4 trang 8 lượt tải

Đề thi tự luận kết thúc học phần môn Đại số tuyến tính | Trường Đại học Xây Dựng Hà Nội

15

Đề thi tự luận kết thúc học phần môn Đại số tuyến tính | Trường Đại học Xây Dựng Hà Nội. Tài liệu được sưu tầm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem.

Môn: toán cao cấp 1 (huce) 14 tài liệu

Trường: Trường Đại học Xây Dựng Hà Nội 552 tài liệu

Tác giả:

Profile

Huy Vũ

1 tuần trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/4
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TỰ LUẬN KẾT THÚC HỌC PHẦN
TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG HÀ NỘI MÔN: Đại số tuyến tính
HỆ: chính quy, NGÀNH:...........................
Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề
ĐỀ SỐ 1
Câu 1 (1.5 điểm) [CLO1]. Trình bày định nghĩa ánh xạ tuyến tính. Cho ví dụ một ánh xạ
f : R
3
−→ R
2
không là ánh xạ tuyến tính.
Câu 2 (2.5 điểm) [CLO2]. Cho ánh xạ tuyến tính f : R
3
−→ P
2
[x], u = (a, b, c) 7→ f(u) =
(−2a + b + c) + (a − 2b + c)x + (a + b − 2c)x
2
.
(a) Viết ma trận biểu diễn của f trong cặp cơ sở chính tắc của R
3
và P
2
[x].
(b) Tìm một cơ sở và tìm số chiều của không gian ker(f).
(c) Tìm cơ sở và tìm số chiều của không gian Im(f).
Câu 3 (2.0 điểm) [CLO2]. Trên không gian Euclide R
3
, với tích vô hướng thông thường, hãy
trực chuẩn hóa hệ véctơ
A = {a
1
= (1, 1, 1), a
2
= (1, 2, 1), a
3
= (0, 1, 0)}.
Câu 4 (4.0 điểm) [CLO3]. Cho dạng toàn phương ω trên R
3
:
x = (x
1
, x
2
, x
3
) 7→ ω(x) = x
2
1
+ x
2
2
+ mx
2
3
+ 2x
1
x
2
+ 2x
2
x
3
+ 2x
1
x
3
(m là tham số thực).
(a) Tìm m, biết rằng ω là dạng toàn phương không xác định dấu.
(b) Xét m = 1. Hãy đưa biểu thức của ω về dạng chính tắc bằng phương pháp biến đổi trực
giao và cho biết ω thuộc loại nào trong 5 loại sau đây: xác định dương, xác định âm, bán
xác định dương, bán xác định âm, không xác định dấu.
Tổng cộng: 4 câu
Hết.
Đề thi gồm 1 trang (tổng số trang của đề thi), thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi
không giải thích gì thêm.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TỰ LUẬN KẾT THÚC HỌC PHẦN
TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG HÀ NỘI MÔN: Đại số tuyến tính
HỆ: chính quy, NGÀNH:...........................
Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề
ĐỀ SỐ 2
Câu 1 (1.5 điểm) [CLO1]. Trình bày định nghĩa tích vô hướng. Cho ví dụ một tích vô hướng trên
không gian R
2
.
Câu 2 (2.5 điểm) [CLO2]. Cho ánh xạ tuyến tính f : R
3
−→ R
3
, x = (x
1
, x
2
, x
3
) 7→ f (x) = (−2x
1
+ x
2
+
x
3
, x
1
− 2x
2
+ x
3
, x
1
+ x
2
− 2x
3
).
(a) Viết ma trận biểu diễn của f trong cơ sở chính tắc của R
3
.
(b) Tìm một cơ sở và tìm số chiều của không gian ker(f).
(c) Tìm cơ sở và tìm số chiều của không gian Im(f).
Câu 3 (2.0 điểm) [CLO2]. Cho R
3
là không gian Euclide với tích vô hướng thông thường.
(a) Hệ véctơ A = {a
1
=
1
√
3
(1, 1, 1), a
2
=
1
√
6
(1, −2, 1), a
3
= (1, 0, −1) có là hệ giao, hệ trực chuẩn hay
không? Giải thích.
(b) Tìm số thực m sao cho góc giữa hai véctơ a = (1, m, 1), b = (m, 1, 1) bằng
π
3
.
Câu 4 (4.0 điểm) [CLO3]. Cho dạng toàn phương ω trên R
3
:
x = (x
1
, x
2
, x
3
) 7→ ω(x) = x
2
1
+ x
2
2
+ mx
2
3
+ 2x
1
x
2
+ 2x
2
x
3
+ 2x
1
x
3
(m là tham số thực).
(a) Tìm m, biết rằng ω là dạng toàn phương không xác định dấu.
(b) Xét m = 1. Hãy đưa biểu thức của ω về dạng chính tắc bằng phương pháp biến đổi trực giao và
cho biết ω thuộc loại nào trong 5 loại sau đây: xác định dương, xác định âm, bán xác định dương,
bán xác định âm, không xác định dấu.
Tổng cộng: 4 câu
Hết.
Đề thi gồm 1 trang (tổng số trang của đề thi), thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi
không giải thích gì thêm.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TỰ LUẬN KẾT THÚC HỌC PHẦN
TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG HÀ NỘI MÔN: Đại số tuyến tính
HỆ: chính quy, NGÀNH:...........................
Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề
ĐỀ SỐ 3
Câu 1 (1.5 điểm) [CLO1]. Tr ình bày định nghĩa giá trị riêng và véctơ riêng của một phép biến đổi
tuyến tính trên không gian véctơ thực V . Cho ví dụ.
Câu 2 (2.5 điểm) [CLO2]. Trên không gian R
3
xét cơ sở chính tắc
E = {e
1
= (1, 0, 0), e
2
= (0, 1, 0), e
3
= (0, 0, 1)} .
Cho f là ánh xạ tuyến tính từ R
3
vào R
3
xác định bởi f(e
1
) = (−2, 1, 1), f(e
2
) = (1, −2, 1), f(e
3
) =
(1, 1, −2).
(a) Viết ma trận biểu diễn của f trong cơ sở chính tắc của R
3
.
(b) Tìm một cơ sở và tìm số chiều của không gian ker(f).
(c) Tìm cơ sở và tìm số chiều của không gian Im(f).
Câu 3 (2.0 điểm) [CLO2]. Trên R
3
, với tích vô hướng ⟨x, y⟩ = 2x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ x
3
y
3
. Tìm số thực m sao
cho hệ véctơ A = {a
1
= (1, 1, 1), a
2
= (1, −2, m), a
3
= (−1, m
2
− 1, 3 + m) là hệ trực giao. Với m vừa tìm
được, hãy chỉ ra (không cần chứng minh) một cơ sở trực chuẩn của không gian L(A)
Câu 4 (4.0 điểm) [CLO3]. Cho dạng toàn phương ω trên R
3
:
x = (x
1
, x
2
, x
3
) 7→ ω(x) = x
2
1
+ x
2
2
+ mx
2
3
+ 2x
1
x
2
+ 2x
2
x
3
+ 2x
1
x
3
(m là tham số thực).
(a) Tìm m, biết rằng ω là dạng toàn phương bán xác định dương.
(b) Xét m = 1. Hãy đưa biểu thức của ω về dạng chính tắc bằng phương pháp biến đổi trực giao và
cho biết ω thuộc loại nào trong 5 loại sau đây: xác định dương, xác định âm, bán xác định dương,
bán xác định âm, không xác định dấu.
Tổng cộng: 4 câu
Hết.
Đề thi gồm 1 trang (tổng số trang của đề thi), thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi
không giải thích gì thêm.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TỰ LUẬN KẾT THÚC HỌC PHẦN
TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG HÀ NỘI MÔN: Đại số tuyến tính
HỆ: chính quy, NGÀNH:...........................
Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề
ĐỀ SỐ 4
Câu 1 (1.5 điểm) [CLO1]. Tr ình bày định nghĩa giá trị riêng và véctơ riêng của một phép biến đổi
tuyến tính trên không gian véctơ thực V . Cho ví dụ.
Câu 2 (2.5 điểm) [CLO2]. Trên không gian R
3
xét cơ sở
U = {u
1
= (1, 1, 1), u
2
= (1, 1, 0), u
3
= (1, 0, 0)} .
Cho f là một phép biến đổi tuyến tính trên R
3
xác định bởi f (u
1
) = (0, 0, 0), f(2
2
) = (−1, −1, 2), f(u
3
) =
(−2, 1, 1).
(a) Viết ma trận biểu diễn của f trong cơ sở chính tắc của R
3
.
(b) Tìm một cơ sở và tìm số chiều của không gian ker(f).
Câu 3 (2.0 điểm) [CLO2]. Trên R
3
, với tích vô hướng ⟨x, y⟩ = x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ x
3
y
3
. Tìm số thực m sao
cho hệ véctơ A = {a
1
= (1, 1, 1), a
2
= (1, −2, m), a
3
= (−1, m
2
− 1, 2 − m) là hệ trực giao. Với m vừa tìm
được, hãy chỉ ra (không cần chứng minh) một cơ sở trực chuẩn của không gian L(A)
Câu 4 (4.0 điểm) [CLO3]. Cho dạng toàn phương ω trên R
3
:
x = (x
1
, x
2
, x
3
) 7→ ω(x) = x
2
1
+ (m
2
− 3m + 3)x
2
2
+ mx
2
3
+ 2x
1
x
2
+ 2x
2
x
3
+ 2x
1
x
3
(m là tham số thực).
(a) Tìm m, biết rằng ω là dạng toàn phương xác định dương .
(b) Xét m = 1. Hãy đưa biểu thức của ω về dạng chính tắc bằng phương pháp biến đổi trực giao và
cho biết ω thuộc loại nào trong 5 loại sau đây: xác định dương, xác định âm, bán xác định dương,
bán xác định âm, không xác định dấu.
Tổng cộng: 4 câu
Hết.
Đề thi gồm 1 trang (tổng số trang của đề thi), thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi
không giải thích gì thêm.

Tài liệu khác của Trường Đại học Xây Dựng Hà Nội

Preview text:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI TỰ LUẬN KẾT THÚC HỌC PHẦN
TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG HÀ NỘI
MÔN: Đại số tuyến tính
HỆ: chính quy, NGÀNH:...........................
Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ SỐ 1
Câu 1 (1.5 điểm) [CLO1]. Trình bày định nghĩa ánh xạ tuyến tính. Cho ví dụ một ánh xạ f : 3 2
R −→ R không là ánh xạ tuyến tính.
Câu 2 (2.5 điểm) [CLO2]. Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 R
−→ P2[x], u = (a, b, c) 7→ f (u) =
(−2a + b + c) + (a − 2b + c)x + (a + b − 2c)x2.
(a) Viết ma trận biểu diễn của f trong cặp cơ sở chính tắc của 3 R và P2[x].
(b) Tìm một cơ sở và tìm số chiều của không gian ker(f ).
(c) Tìm cơ sở và tìm số chiều của không gian Im(f ).
Câu 3 (2.0 điểm) [CLO2]. Trên không gian Euclide 3
R , với tích vô hướng thông thường, hãy
trực chuẩn hóa hệ véctơ
A = {a1 = (1, 1, 1), a2 = (1, 2, 1), a3 = (0, 1, 0)}.
Câu 4 (4.0 điểm) [CLO3]. Cho dạng toàn phương ω trên 3 R :
x = (x1, x2, x3) 7→ ω(x) = x2 + x2 + mx2 + 2x 1 2 3 1x2 + 2x2x3 + 2x1x3 (m là tham số thực).
(a) Tìm m, biết rằng ω là dạng toàn phương không xác định dấu.
(b) Xét m = 1. Hãy đưa biểu thức của ω về dạng chính tắc bằng phương pháp biến đổi trực
giao và cho biết ω thuộc loại nào trong 5 loại sau đây: xác định dương, xác định âm, bán
xác định dương, bán xác định âm, không xác định dấu. Tổng cộng: 4 câu Hết.
Đề thi gồm 1 trang (tổng số trang của đề thi), thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi
không giải thích gì thêm.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI TỰ LUẬN KẾT THÚC HỌC PHẦN
TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG HÀ NỘI
MÔN: Đại số tuyến tính
HỆ: chính quy, NGÀNH:...........................
Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ SỐ 2
Câu 1 (1.5 điểm) [CLO1]. Trình bày định nghĩa tích vô hướng. Cho ví dụ một tích vô hướng trên không gian 2 R .
Câu 2 (2.5 điểm) [CLO2]. Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 3
R −→ R , x = (x1, x2, x3) 7→ f (x) = (−2x1 + x2 +
x3, x1 − 2x2 + x3, x1 + x2 − 2x3).
(a) Viết ma trận biểu diễn của f trong cơ sở chính tắc của 3 R .
(b) Tìm một cơ sở và tìm số chiều của không gian ker(f ).
(c) Tìm cơ sở và tìm số chiều của không gian Im(f ).
Câu 3 (2.0 điểm) [CLO2]. Cho 3
R là không gian Euclide với tích vô hướng thông thường. (a) Hệ véctơ A = {a1 = 1 √ (1, 1, 1), a2 = 1
√ (1, −2, 1), a3 = (1, 0, −1) có là hệ giao, hệ trực chuẩn hay 3 6 không? Giải thích.
(b) Tìm số thực m sao cho góc giữa hai véctơ a = (1, m, 1), b = (m, 1, 1) bằng π . 3
Câu 4 (4.0 điểm) [CLO3]. Cho dạng toàn phương ω trên 3 R :
x = (x1, x2, x3) 7→ ω(x) = x21 + x22 + mx23 + 2x1x2 + 2x2x3 + 2x1x3 (m là tham số thực).
(a) Tìm m, biết rằng ω là dạng toàn phương không xác định dấu.
(b) Xét m = 1. Hãy đưa biểu thức của ω về dạng chính tắc bằng phương pháp biến đổi trực giao và
cho biết ω thuộc loại nào trong 5 loại sau đây: xác định dương, xác định âm, bán xác định dương,
bán xác định âm, không xác định dấu. Tổng cộng: 4 câu Hết.
Đề thi gồm 1 trang (tổng số trang của đề thi), thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi
không giải thích gì thêm.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI TỰ LUẬN KẾT THÚC HỌC PHẦN
TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG HÀ NỘI
MÔN: Đại số tuyến tính
HỆ: chính quy, NGÀNH:...........................
Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ SỐ 3
Câu 1 (1.5 điểm) [CLO1]. Trình bày định nghĩa giá trị riêng và véctơ riêng của một phép biến đổi
tuyến tính trên không gian véctơ thực V . Cho ví dụ.
Câu 2 (2.5 điểm) [CLO2]. Trên không gian 3 R xét cơ sở chính tắc
E = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} .
Cho f là ánh xạ tuyến tính từ 3 3 R
vào R xác định bởi f (e1) = (−2, 1, 1), f (e2) = (1, −2, 1), f (e3) = (1, 1, −2).
(a) Viết ma trận biểu diễn của f trong cơ sở chính tắc của 3 R .
(b) Tìm một cơ sở và tìm số chiều của không gian ker(f ).
(c) Tìm cơ sở và tìm số chiều của không gian Im(f ).
Câu 3 (2.0 điểm) [CLO2]. Trên 3
R , với tích vô hướng ⟨x, y⟩ = 2x1y1 + x2y2 + x3y3. Tìm số thực m sao
cho hệ véctơ A = {a1 = (1, 1, 1), a2 = (1, −2, m), a3 = (−1, m2 − 1, 3 + m) là hệ trực giao. Với m vừa tìm
được, hãy chỉ ra (không cần chứng minh) một cơ sở trực chuẩn của không gian L(A)
Câu 4 (4.0 điểm) [CLO3]. Cho dạng toàn phương ω trên 3 R :
x = (x1, x2, x3) 7→ ω(x) = x21 + x22 + mx23 + 2x1x2 + 2x2x3 + 2x1x3 (m là tham số thực).
(a) Tìm m, biết rằng ω là dạng toàn phương bán xác định dương.
(b) Xét m = 1. Hãy đưa biểu thức của ω về dạng chính tắc bằng phương pháp biến đổi trực giao và
cho biết ω thuộc loại nào trong 5 loại sau đây: xác định dương, xác định âm, bán xác định dương,
bán xác định âm, không xác định dấu. Tổng cộng: 4 câu Hết.
Đề thi gồm 1 trang (tổng số trang của đề thi), thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi
không giải thích gì thêm.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI TỰ LUẬN KẾT THÚC HỌC PHẦN
TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG HÀ NỘI
MÔN: Đại số tuyến tính
HỆ: chính quy, NGÀNH:...........................
Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ SỐ 4
Câu 1 (1.5 điểm) [CLO1]. Trình bày định nghĩa giá trị riêng và véctơ riêng của một phép biến đổi
tuyến tính trên không gian véctơ thực V . Cho ví dụ.
Câu 2 (2.5 điểm) [CLO2]. Trên không gian 3 R xét cơ sở
U = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0)} .
Cho f là một phép biến đổi tuyến tính trên 3
R xác định bởi f (u1) = (0, 0, 0), f (22) = (−1, −1, 2), f (u3) = (−2, 1, 1).
(a) Viết ma trận biểu diễn của f trong cơ sở chính tắc của 3 R .
(b) Tìm một cơ sở và tìm số chiều của không gian ker(f ).
Câu 3 (2.0 điểm) [CLO2]. Trên 3
R , với tích vô hướng ⟨x, y⟩ = x1y1 + x2y2 + x3y3. Tìm số thực m sao
cho hệ véctơ A = {a1 = (1, 1, 1), a2 = (1, −2, m), a3 = (−1, m2 − 1, 2 − m) là hệ trực giao. Với m vừa tìm
được, hãy chỉ ra (không cần chứng minh) một cơ sở trực chuẩn của không gian L(A)
Câu 4 (4.0 điểm) [CLO3]. Cho dạng toàn phương ω trên 3 R :
x = (x1, x2, x3) 7→ ω(x) = x21 + (m2 − 3m + 3)x22 + mx23 + 2x1x2 + 2x2x3 + 2x1x3 (m là tham số thực).
(a) Tìm m, biết rằng ω là dạng toàn phương xác định dương .
(b) Xét m = 1. Hãy đưa biểu thức của ω về dạng chính tắc bằng phương pháp biến đổi trực giao và
cho biết ω thuộc loại nào trong 5 loại sau đây: xác định dương, xác định âm, bán xác định dương,
bán xác định âm, không xác định dấu. Tổng cộng: 4 câu Hết.
Đề thi gồm 1 trang (tổng số trang của đề thi), thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi
không giải thích gì thêm.

Tài liệu liên quan: