Giải chi tiết các bài toán vận dụng điểm 8 – 9 – 10 trong các đề thi thử môn Toán

Tài liệu gồm 299 trang tuyển tập các bài toán thuộc mức độ vận dụng, vận dụng cao với mức điểm 8, 9 và 10 dùng để phân loại các thí sinh top đầu, đây là các bài toán được chọn lọc từ các đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán của các trường cấp 3 và các sở Giáo dục – Đào tạo trên toàn quốc. 

27 14 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán

Môn: Toán

Thông tin:

299 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
Chủđề1.KHẢOSÁTHÀMSỐ&ỨNGDỤNG
Câu1: 󰇛SGDVĨNHPHÚC󰇜Chohàmsố
3
5yx mx
, m làthamsố.Hỏihàmsốđãchocónhiều
nhấtbaonhiêuđiểmcựctrị
A.
3
. B.
1
. C.
2
. D.
4
.
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Tacó:
6
5
y
xmx
Suyra:
3
5
5
33
3
3
x
mx
x
ym
xx

vàhàmsốkhôngcóđạohàmtại
0x
.
TH1:
0m
.Tacó:
5
3
5
0
x
y
x

vônghiệmvàhàmsốkhôngcóđạohàmtại
0x
.
x

0

y

y
Dođóhàmsốcóđúngmộtcựctrị.
TH2:
0m
.Tacó:
3
5
53
0
03
3
3
x
m
yxmx x
xmx

Bảng
biếnthiên
x

0
3
m

y

0
y
Dođóhàmsốcóđúngmộtcựctrị.
TH3:
0m
.Tacó:
3
5
53
0
03
3
3
x
m
yxmx x
xmx


BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8 - 9 - 10)
_______________________________
x

3
m

0

y
0
y
Dođóhàmsốcóđúngmộtcựctrị.
Vậytrongmọitrườnghợphàmsốcóđúngmộtcựctrịvớimọithamsố
m
Ch
úý:Thayvìtrườnghợp
2 taxét
0m
,tacóthểchọn m làmộtsốdương󰇛như
3m
󰇜
đểlàm.Tươngtựởtrườnghợp
3
,tachọn
3m 
đểlàmsẽcholờigiảinhanhhơn.
Câu2: 󰇛SGDVĨNHPHÚC󰇜Chohàmsố
22017
(1)
1
x
y
x
.Mệnhđềnàodướiđâylàđúng?
A. Đ
ồthịhàmsố󰇛1󰇜khôngcótiệmcậnngangvàcóđúngmộttiệmcậnđứnglàđường
thẳng
1.x 
B. Đồthịhàmsố󰇛1󰇜cóhaitiệmcậnnganglàcácđườngthẳng
2, 2yy
vàkhôngcó
tiệmcậnđứng.
C.
Đ
ồthịhàmsố󰇛1󰇜cóđúngmộttiệmcậnnganglàđườngthẳng
2y
vàkhôngcótiệm
cậnđứng.
D. Đồthịhàmsố󰇛1󰇜khôngcótiệmcậnngangvàcóđúnghaitiệmcậnđứnglàcácđường
thẳng
1, 1.xx
Hướngd
ẫngiải
ChọnB
Hàmsố
22017
(1)
1
x
y
x
cótậpxácđịnhlà
,nênđồthịkhôngcótiệmcậnđứng
2 2017 2 2017
lim 2; lim 2
11
xx
xx
xx
 



,nênđồthịhàmsốcóhaitiệmcậnnganglàcác
đườngthẳng
2, 2yy
.
Câu3: 󰇛SGDVĨNHPHÚC󰇜Tìmtấtcả
m saochođiểmcựctiểucủađồthịhàmsố
32
1
y
xxmx
nằmbênphảitrụctung.
A. K
hôngtồntại
m
. B.
1
0
3
m
. C.
1
3
m
. D.
0m
.
Hướngd
ẫngiải
ChọnD.
Đểhàmsốcócựctiểu,tứchàmsốcóhaicựctrịthìphươngtrình
0y
cóhainghiệmphân
biệt
2
32 0(1)xxm cóhainghiệmphânbiệt
1
13 0
3
mm

.
Khiđó
(1) cóhainghiệmphânbiệt
C
Đ
x
,
CT
x
làhoànhđộhaiđiểmcựctrị.TheođịnhlíViet
tacó
2
0(2)
3
.(3)
3
CĐ
CĐ
CT
CT
xx
m
xx

,trongđó
C
CT
x
x
vìhệsốcủa
3
x lớnhơn0.
Đểcựctiểucủađồthịhàmsốnằmbênphảitrụctungthìphảicó:
0
CT
x
,kếthợp
(2)
và
(3)
suyra
(1)
cóhainghiệmtráidấu .00
3
CCĐ T
m
xx m
.
Câu4: 󰇛NGUYỄNKHUYẾNTPHCM󰇜Phươngtrình


2
32
11xxx mx
cónghiệmthựckhivà
chỉkhi:
A.
3
6
2
m
. B.
13m
. C.
3m
. D.
13
44
m
.
Hướngdẫngiải
Sửdụngmáytínhbỏtúi.


2
32432
11 21 0xxx mx mxx m xxm
Chọn
3m
phươngtrìnhtrởthành
43 2
3530xx xx 󰇛khôngcónghiệmthực󰇜nên
loạiđápánB,C.
Chọn
6m 
phươngtrìnhtrởthành
43 2
61360xx xx
󰇛khôngcónghiệmthực󰇜
nênloạiđápánA.
Kiểmtravới
0m
phươngtrìnhtrởthành
32
00xxx x nênchọnđápánD.
Tựluận
Tacó


32
2
32
42
11
21
x
xx
xxx mx m
xx



󰇛1󰇜
Xéthàmsố
32
42
21
x
xx
y
xx


xácđịnhtrên
.
 






32 4 2 32 4 2
2
42
242323
2
42
6542
2
42
42
2
42
21 21
21
321 21 44
21
221
21
121
21
xxxx x xxxx x
y
xx
xx xx xxxxx
xx
xxxxx
xx
xxx
xx

 








42
1
01210
1
x
yxxx
x
 

Bảngbiếnthiên
Phươngtrình󰇛1󰇜cónghiệmthựckhiđườngthẳng
ym
cắt đồ thị hàm số
32
42
21
x
xx
y
xx


13
44
m

.
ChọnđápánD.
Câu5: 󰇛NGUYỄN KHUYẾN TPHCM󰇜 Cho hàm số

9
,
39
x
x
f
xxR
. Nếu
3ab
thì
2fa fb
cógiátrịbằng
A.1. B. 2 . C.
1
4
D.
3
4
.
Hướngdẫngiải
ChọnA
Tacó:
21ba
 
1
1
993
;21
39 39 39
aa
aaa
fa fb f a



93
21
39 39
a
aa
fa fb

Câu6: 󰇛T.TDIỆUHIỀN󰇜Vớigiátrịnàocủa
m thìhaiđiểmcựcđạivàcựctiểucủađồthịhàmsố
32
32yx x mxm nằmvềhaiphíasovớitrụchoành?
A.
3m
. B.
12m
. C.
3m
. D.
23m
.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Tacó:
2
36yx xm
.
Hàmsốcóhaiđiểmcựcđạivàcựctiểunênphươngtrình
0y
có2nghiệmphânbiệt.
Dođó
93 0 3mm

.
Gọi
1
x
,
2
x
làđiểmcựctrịcủahàmsốvà
1
y
,
2
y
làcácgiátrịcựctrịtươngứng.
Ta có:
32
11 2 2
32. 22
33 3 3
yx x mxm y x m x m




nên
11
1ykx
,
22
1ykx
.
Yêu cầu bài toán

2
12 1 2 12 1 2
.0 1 10 10 210 3
3
m
yy k x x xx x x m .
Vậy
3m
thỏamãnbàitoán.
Câu7: 󰇛TRẦNHƯNGĐẠO–NB󰇜Tìmtấtcảcácgiátrịcủa
m đểđườngthẳngđiquađiểmcựcđại,
cựctiểucủađồthịhàmsố
3
32yx mx cắtđườngtròntâm
1;1 ,I
bánkínhbằng1tại
2 điểmphânbiệt ,
A
B saochodiệntíchtamgiác IAB đạtgiátrịlớnnhất.
A.
23
2
m
. B.
13
2
m
. C.
25
2
m
. D.
23
3
m
.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Tacó
2
33
y
xm
nên
2
0
y
xm
 .
Đồthịhàmsố
3
32yx mx cóhaiđiểmcựctrịkhivàchỉkhi
0m
.
Tacó

32
11
32 3322.22
33
yx mx xx m mx xy mx
 
.
Đườngthẳngđiquahaiđiểmcựctrịcủađồthịhàmsố
3
32yx mx
cóphươngtrình
:22ymx
Tacó:
111
...sin sin
222
IAB
SIAIBAIBAIB

Δ
H
B
A
I
Diệntíchtamgiác IAB lớnnhấtbằng
1
2
khi
sin 1
A
IB AI BI
.
Gọi
H
làtrungđiểm
A
B tacó:

,
12
22
I
IH AB d

Mà

,
2
212
41
I
m
d
m

Suyra:


2
,
2
212
2
42 24 1
2
41
I
m
dmm
m


2
23
81620
2
mm m

.
Câu8: 󰇛TRẦNHƯNGĐẠO
–NB󰇜Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủa
m
đểđườngthẳng 1yxm
cắtđồthịhàmsố
21
1
x
y
x
tạihaiđiểmphânbiệt
,
A
B
saocho
23AB
.
A.
410m 
. B.
43m 
. C.
23m 
. D.
210m 
.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
HoànhđộgiaođiểmlànghiệmPT:

2
220
21
1
1
1
fx x m x m
x
xm
x
x



.
Đườngthẳng
1yxm
cắtđồthịhàmsốtạihaiđiểmphânbiệtkhivàchỉkhiphương
trình
0fx cóhainghiệmphânbiệtkhác 1 ,hay


2
0
2
8120
*
10
6
10
m
mm
f
m





.
Khiđó,gọi
12
,
x
x
làhainghiệmcủaphươngtrình
0fx
,tacó
12
12
2
2
x
xm
xx m


󰇛Viète󰇜.
Giảsử
11 2 2 2 1
;1,;1 2
A
xx m Bx x m AB x x 
.
Theogiảthiết

2
2
21 12 12
23 2 23 4 6 8 6 0AB x x x x x x m m  
410m
Kếthợpvớiđiềukiện
*
tađược
410m 
.
Câu9: 󰇛LẠNGGIANGSỐ1󰇜Cho
x
,
y
làcácsốdươngthỏamãn
41
x
yy
.Giátrịnhỏnhấtcủa
62
2
ln
xy
x
y
P
x
y

là
lnab
.Giátrịcủatích
ab
là
A.
45
. B.
81
. C.
108
. D.
115
.
Hướngdẫngiải
ChọnB.
,
xy
dươngtacó:
2
41 14 4 1xy y xy y y
04
x
y

.
Có
12 6 ln 2
yx
P
xy




.
Đặt
x
t
y
,điềukiện:
04t
thì
 
6
12 ln 2Pft t
t



2
22
61 612
22
tt
ft
tt tt




321
0
321
t
ft
t



t 04
f
t
P
ft
27
ln 6
2
TừBBTsuyra

27
ln 6
2
GTNN P 
khi
4t
27
,6 81
2
abab
.
Câu10: 󰇛LÝTỰTRỌNG
–TPHCM󰇜Chohàmsố
2
2
1
49
ax x
y
xbx


cóđồthị
C
󰇛
,ab
làcáchằngsố
dương,
4ab
󰇜.Biếtrằng
C
cótiệmcậnngang
y
c
vàcóđúng1tiệmcậnđứng.Tính
tổng
324Tab c
A.
1.T
B.
4.T
C.
7.T
D.
11.T
Hướngdẫngiải
ChọnD.
lim
4
x
a
y

.Tiệmcậnngang
4
a
yc c
.
(C)
có một tiệm cận đứng nên phương trình
2
490
x
bxcónghiệmkép.
2
01440 12bb  .Vì
11
012
312
bb a c 
.
Vậy
11T .
Câu11: 󰇛NGÔGIATỰ‐VP󰇜Tấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m đểhàmsố
32
23 1 6 2 2017yx m x m x
nghịchbiếntrênkhoảng
;ab
saocho
3ba
là
A.
6m
. B.
9m
. C.
0m
. D.
0
6
m
m
.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Tacó
2
66 16 2yx mx m

Hàmsốnghịchbiếntrên
2
;120;ab x m x m x ab
2
69mm
TH1:
2
0120xmxm x Vôlí
TH2:
03my

cóhainghiệm

12 2 1
,
x
xx x
Hàmsốluônnghịchbiếntrên
12
;
x
x
.
Yêucầuđềbài:

2
2
21 21
3949xx xx S P

2
2
6
14 29 60
0
m
mm mm
m

Câu12: 󰇛CHUYÊNPHANBỘICHÂU󰇜Tìmtấtcảcácgiátrịcủa
m đểhàmsố
32
2

x
xmx
y đồngbiến
trên
1, 2
.
A.
1
3
m
. B.
1
3
m
. C.
1m
. D.
8m
.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Tacó

32
2
32 2 ln2


xxmx
yxxm
.
Hàmsốđãchođồngbiếntrên
  
2
1, 2 ' 0, 1, 2 3 2 0, 1, 2 *  yx xxmx
Vì
2
32
f
xxxm
có
1
30, 2
23

b
a
a
nên


12
12
13 0
0
1
0130
3
*1
1
1
11
3
23
1
2
110
10
33













m
m
m
m
xx
m
m
m
xx
Câu13: 󰇛CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU󰇜 Biết đường thẳng

31 6 3ymxm
cắtđồthịhàmsố
32
31 yx x
tạibađiểmphânbiệtsaochomộtgiaođiểmcáchđềuhaigiaođiểmcònlại.
Khiđó
m
thuộckhoảngnàodướiđây?
A.
(1;0) . B.(0;1) . C.
3
(1; )
2
. D.
3
(;2)
2
.
Hướngdẫngiải.
ChọnA.
Yêucầubàitoántươngđươngphươngtrìnhsaucóbanghiệmphânbiệtlậpthànhcấpsố
cộng
32 32
313163 3 31620  xx mxm xx mxm
.
Giảsửphươngtrình
32
331620 xx mxm cóbanghiệm
123
,,
x
xx
thỏamãn
13
2
(1)
2
xx
x .
Mặtkháctheoviettacó
123
3(2)xxx
.Từ
(1)
và
(2)
suyra
2
1x
.Tức
1x
làmột
nghiệmcủaphươngtrìnhtrên.Thay
1x
vàophươngtrìnhtađược
1
3
m
.
Thửlại
1
3
m
thỏamãnđềbài.
Câu14: 󰇛CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU󰇜 Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị
22
2
4132
xx
y
x
x
là:
A.
2.
B.
3.
C.
4.
D.
1.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Tậpxácđịnh:

11
;;11;
22





D
Tiệmcậnđứng:

22
11
4132
lim lim
1




xx
xx
y
xx
;

22
11
4132
lim lim
1




xx
xx
y
xx
Suyra
1
x
làtiệmcậnđứng.
Tiệmcậnngang:
22
24 2
2
41 2
3
4132
lim lim lim 3
1
1
  



xx x
xx
xx x
y
xx
x
3y
làtiệmcậnngang
22
24 2
2
41 2
3
4132
lim lim lim 3
1
1
  



xx x
xx
xx x
y
xx
x
3y
làtiệmcậnngang
Vậyđồthịhàmsốcóhaitiệmcận.
Câu15: 󰇛SỞ GD HÀ NỘI󰇜 Cho


22
11
1
1
x
x
fx e

.Biếtrằng

1 . 2 . 3 ... 2017
m
n
f
ff f e
với
,mn
làcácsốtựnhiênvà
m
n
tốigiản.Tính
2
mn .
A.
2
2018mn
. B.
2
2018mn
. C.
2
1mn
. D.
2
1mn
.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Tacó:




2
2
2
22
22
2
1
11 1 1 11
111
11
11
xx
xx
x
xx xx xx
xxx


 


.
Suyra:

1 . 2 . 3 ... 2017
m
n
f
ff f e

1 2 3 ... 2017
m
ff f f
n

󰇛lấylnhaivế󰇜
2
1 2018 1
2018
2018 2018
mm
nn

Tachứngminh
2
2018 1
2018
làphânsốtốigiản.
Giảsử
d
làướcchungcủa
2
2018 1
và
2018
Khiđótacó
2
2018 1 d
,
2
2018 2018ddsuyra11dd
Suyra
2
2018 1
2018
làphânsốtốigiản,nên
2
2018 1, 2018mn
.
Vậy
2
1mn
.
Câu16: 󰇛CHUYÊNHÙNGVƯƠNG
–GL󰇜Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố m đểđồthịhàmsố
sin cosyxxmxđồngbiếntrên
.
A.
22.m
B.
2.m 
C.
22.m
D.
2.m
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Tacó:
sin cosyxxmx
'cos sinyxxm
Hàmsốđồngbiếntrên
0, .yx
sin cos , .mxxx

max ,mx

với

sin cos .xxx

Tacó:

sin cos 2 sin 2.
4
xxx x




Dođó:

max 2.x
Từđósuyra
2.m
Câu17: 󰇛CHUYÊNHÙNGVƯƠNG–GL󰇜Chohàmsố
()yfx
xácđịnhvàliêntụctrênđoạn

2; 2
vàcóđồthịlàđườngcongtronghìnhvẽbêndưới.Xácđịnhgiátrịcủathamsố
m
để
phươngtrình

fx m
cósốnghiệmthựcnhiềunhất.
A.3. B.6. C.4. D.5.
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Dựavàođồthịtacóđồthịcủahàmsố
()yfx
là:
Từđồthịtathấyrằng,vớimthỏa
02m
thìphươngtrình
f
xm
cósốnghiệm
nhiềunhấtlà6.
Câu18: 󰇛BIÊNHÒA–HÀNAM󰇜Hàmsố
2
4xx
y
xm
đồngbiếntrên
1; 
thìgiátrịcủa
m
là:
A.

1
;2 \ 1
2
m



. B.

1; 2 \ 1m 
. C.
1
1;
2
m




. D.
1
1;
2
m



.
Giải
ChọnD.
2
4xx
y
xm
cótậpxácđịnhlà

\Dm
và

2
2
24
'
xmxm
y
xm

.
Hàmsốđãchođồngbiếntrên
2
1
1;
240, 1;
m
xmxm x



2 2
240, 1; 2 2 , 1;xmxm x mx xx 󰇛1󰇜
Do
2x
thỏabấtphươngtrình

2
22mx xvớimọi
m
nêntachỉcầnxét
2x
.
Khiđó


2
2
2,1;2
2
1
2,2;
2
x
mx
x
x
mx
x


󰇛2󰇜
Xéthàmsố

2
2
x
fx
x
trên
1; \ 2 có


2
2
4
2
xx
fx
x


0
0
4
x
fx
x

Bảngbiếnthiên
1
1
21 1
2
28
m
YCBT m m
m



.
Cáchkhác
2
4xx
y
xm
cótậpxácđịnhlà
\
D
m và

2
2
24
'
xmxm
y
xm

.
Hàmsốđãchođồngbiếntrên
2
1
1;
240, 1;
m
xmxm x



2
2
2
2
12
40
0
40
0
4
40
240, 1;
0
1
1
41
1
2
m
m
mm
m
mm
xmxm x
m
xx
mm m
m











Kếthợpvớiđk
1m 
tađược
1
1
2
m
 .
Câu19: 󰇛CHUYÊNĐHSPHN󰇜Chocácsốthực
, , abc
thỏamãn
84 2 0
84 2 0
abc
abc


.Sốgiaođiểm
củađồthịhàmsố
32
y x ax bx c vàtrục
Ox
là
A.
0
. B. 1. C. 2 . D.
3
.
ChọnD.
Tacóhàmsố
32
y x ax bx c xácđịnhvàliêntụctrên
.
x
1
2
4

y
0
y
1

8

Mà
lim
x
y


nêntồntạisố 2
M
saocho
0yM ;
lim
x
y


nêntồntạisố
2m 
saocho
0ym ;
2842 0yabc và

2842 0yabc .
Do
.20ym ysuyraphươngtrình 0y cóítnhấtmộtnghiệmthuộckhoảng
;2m .

2. 2 0yysuyraphươngtrình
0y
cóítnhấtmộtnghiệmthuộckhoảng
2; 2 .

2. 0yyM
suyraphươngtrình
0y
cóítnhấtmộtnghiệmthuộckhoảng
2;
M
.
Vậyđồthịhàmsố
32
y
xaxbxc 
vàtrục
Ox
có3điểmchung.
Câu20: 󰇛CHUYÊN ĐHSP HN󰇜 Tập hợp các giá trị của
m đểđồthịhàmsố

22
21
214 4 1
x
y
mx x x mx

cóđúng1đườngtiệmcậnlà
A.
0. B.

;1 1; . 
C.
D.
;1 0 1; . 
ChọnA.
Có
lim 0
x
y

.Nênhàmsốluôncó1đườngtiệmcậnngang 0y .Vậytatìmđiềukiệnđể
hàmsốkhôngcótiệmcậnđứng.
Xétphươngtrình:

2
22
2
2 1 0 (1)
214 4 10
44 10 (2)
mx x
mx x x mx
xmx



TH1:Xét
0m
,tađược


2
2
21 1
41
214 1
x
y
x
xx


󰇛thỏaycbt󰇜
TH2:Xét
0m
.Có:
1
1 m
và
2
2
44m
Th2a.Cả2phươngtrình󰇛1󰇜và󰇛2󰇜đềuvônghiệm:
2
10
1
11
440
m
m
m
m
m






Th2b:󰇛1󰇜vônghiệm,󰇛2󰇜cónghiệmkép
1
2
x
:tathấytrườnghợpnàyvôlí󰇛vì
1m
󰇜
Th2c:󰇛2󰇜vônghiệm,󰇛1󰇜cónghiệmkép
1
2
x
:tathấytrườnghợpnàyvôlí󰇛vì
11m
󰇜
Câu21: 󰇛NGÔSĨLIÊN󰇜Trênđoạn
2; 2
,hàmsố
2
1
mx
y
x
đạtgiátrịlớnnhấttại
1
x
khivàchỉ
khi
A.
2.m
B.
0.m
C.
2.m 
D.
0.m
ChọnB
Cách1:Với
0m
thì 0y nên

2;2
max 0y
khi
1
x
.
Với
0m
.
Đặt
tan
x
t
,tađược
.sin2
2
m
yt
.Với
2; 2x  thì
arctan 2;arctan 2t  .
Hàmsốđãchođạtgiátrịlớnnhấttại
1
x
tươngứngvới
4
t
.
Khi
0m
thì

arctan2;arctan 2
max
2
m
y
khivàchỉkhi
4
t
.
Khi
0m
thì

arctan2;arctan 2
max
2
m
y
khivàchỉkhi
4
t
 .
Vậy
0m
thỏamãnbàitoán.
Cách2:Tacó

2
2
2
1
1
mx
y
x
,
TH1:
00my
làhàmhằngnêncũngcoiGTLNcủanóbằng
0
khi
1
x
TH2:
0m
.Khiđó:
1( )
0
1()
x
n
y
x
n


Vìhàmsốđãcholiêntụcvàxácđịnhnêntacóhàmsốđãchođạtgiátrịlớnnhấttại
1
x
trênđoạn
2; 2 khivàchỉkhi



12
y1 2 0 0
11
yy
ymm
yy



󰇛do
0m
󰇜
Vậy
0m
Chúý:NgoàicáchtrêntrongTH2
0m
,tacóthểxét
0m
,
0m
rồilậpBBTcũngtìm
đượckếtquảnhưtrên.
Câu22: 󰇛SỞ GD BẮC NINH󰇜 Tìm các giá trị thực của tham số
m để phương trình
2
21
x
xmxx cóhainghiệmphânbiệt.
A.
23
5; .
4
m



B.

5; 6 .m
C.

23
5; 6 .
4
m




D.

23
5; 6 .
4
m



Hướngdẫngiải
󰇜
2
21
x
xmxx 󰇛1󰇜
Điềukiện:
12x
󰇜

22
132 2
x
xxxm 
Đặt:
2
;
x
xt
 
2
;21
f
xxxfx x
 

11 1
12,2 2, 2;
24 4
fff t





1322 22 3ttm ttm   223mt t
Đặt

223
f
tt t

112
1
22
t
ft
tt



.
01 20 1ft t t

Bảngbiếnthiên
󰇜
22
0
x
xt x xt
Đểphươngtrìnhcóhainghiệmphânbiệt
1
14 0
4
tt
Dođóđểphươngtrìnhcóhainghiệmphânbiệtthìphươngtrình
cónghiệm
1
2;
4
t




Từbảngbiếnthiên
5; 6m .
ChọnB
Câu23: 󰇛CHUYÊNQUANGTRUNGLẦN3󰇜Chohàmsố
3
2
3
4 2017
32
x
yxx
.Định m đểphương
trình
2
'
y
mmcóđúnghaingiệmthuộcđoạn
[0; ]m
A.
12
;2
3




.
B.
122
;2
3




.
C.
122
;2
2




.
D.
122
;2
2


.
Hướngdẫngiải
ChọnD
Tacó
:
22 2
'34ymm x x mm
23
4
5
6
+
1
4
-1-2
-
f(t)
f'(t)
t
Đặt
2
34
f
xx x P
Yêucầubàitoán:
2
22
22
2
2
3
3
2
2
7
7
34
4
4
34
4
4
3
2
122
2
122
;2
2
122
2
2
02
m
m
mm
mmm m
mmm m
mm
mm
m
m
m
m
m
m













Câu24: 󰇛LÊ HỒNG PHONG󰇜 Tìmtấtcảcácgiátrịcủathamsố
m đểhàmsố


2
ln 16 1 1 2yxmxmnghịchbiếntrênkhoảng
;.
A.
;3.m B.
3; .m  C.
;3.m  D.
3; 3 .m 
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Tacó:


2
ln 16 1 1 2yxmxm

2
32
1
16 1
x
ym
x

Hàmsốnghịchbiếntrên
khivàchỉkhi 0,yx


2
32
10,
16 1
x
mx
x

Cách1:

2
32
10,
16 1
x
mx
x

2
32 1 16 1 0,xm x x
2
16 1 32 1 0,mx xm x

2
2
2
16 1 0
1
16 32 240 0
16 16 1 0
m
m
mm
m






1
3.
5
3
m
m
m
m



3
2
2
ym m
7
4
4
3
2
Cách2:

2
32
10
16 1
x
mx
x

2
32
1,
16 1
x
mx
x

1max(),mgx
với
2
32
()
16 1
x
gx
x
Tacó:

2
2
2
512 32
()
16 1
x
gx
x

1
() 0
4
gx x

11
lim ( ) 0; 4; 4
44
x
gx g g





Bảngbiếnthiên:
x

1
4
1
4

g
x
0
0
g
x

4

0

0

4

Dựavàobảngbiếnthiêntacó
max ( ) 4gx
Dođó:
14 3.mm
Câu25: 󰇛LÊHỒNGPHONG󰇜Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m
đểhàmsố
cot 1
cot 1
x
y
mx
đồngbiếntrênkhoảng
;
42



.
A.
;0 1;m
. B.
;0m
.
C.
1;m 
. D.
;1m 
.
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Tacó:


222
22
1cot cot 1 1cot cot 1 1cot 1
cot 1 cot 1
x
mx m x x x m
y
mx mx



.
Hàmsốđồngbiếntrênkhoảng ;
42



khivàchỉkhi:



2
2
cot 1 0, ;
42
01
0
1cot 1
10
0, ;
42
cot 1
mx x
mm
m
xm
m
yx
mx















.
Câu26: 󰇛NGUYỄNTRÃI
–HD󰇜Phươngtrình
32
23 3 2
2.21024 23 10
xx x
x
xxcótổngcácnghiệm
gầnnhấtvớisốnàodướiđây
A.
0,35.
B.
0,40.
C.
0,50.
D.
0,45.
Hướngdẫngiải
ChọnD
Tacó
32 3 2
23 3 2 23 3 10 2
2 .2 1024 23 10 2 23 2 10
xx x xx x
x
xx xx x

Hàmsố

2
t
f
tt
đồngbiếntrên nên
32
23 3 10 2 3 2
2 23 2 10 23 10 0
xx x
xx x xx x x

hoặc
52
23
x
Tổngcácnghiệmbằng
10
0,4347
23
Mẹo:Khilàmtrắcnghiệmcóthểdùng“
ĐịnhlíVi‐étchophươngtrìnhbậcba
”
Nếuphươngtrình
32
0( 0)ax bx cx d a cóbanghiệm
1
x
,
2
x
,
3
x
thì:
123 122331 13
;;
x
bcd
xxx xxxxxx xxx
aaa

Câu27: 󰇛HAI BÀ TRƯNG
–HUẾ󰇜Đường thẳng
:4dy x
cắtđồthịhàmsố

32
234yx mx m x tại3điểmphânbiệt
0; 4 ,
A
B và
C
saochodiện tích tam
giác
M
BC
bằng4,với
1; 3 .M Tìmtấtcảcácgiátrịcủa
m
thỏamãnyêucầubàitoán.
A.
2m
hoặc
3.m
B.
2m 
hoặc
3.m
C.
3.m
D.
2m 
hoặc
3.m 
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Phươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủa
d
vàđồthị

:C

32
2344xmxmx


32
2
0
220
2201
x
xmxm x
xx mxm


Với
0,x
tacógiaođiểmlà
0; 4 .A
d
cắt
C
tại3điểmphânbiệtkhivàchỉkhiphươngtrình󰇛1󰇜có2nghiệmphânbiệtkhác
0.

2
020
(*)
20
m
mm


Tagọicácgiaođiểmcủa
d
và
C
lầnlượtlà
,;2,;2
BB CC
AB x x C x x
với ,
B
C
x
x là
nghiệmcủaphươngtrình󰇛1󰇜.
TheođịnhlíViet,tacó:
2
.2
BC
BC
x
xm
xx m


Tacódiệntíchcủatamgiác
M
BC
là

1
,4.
2
SBCdMBC
Phươngtrình
d
đượcviếtlạilà: :4 40.dy x x y
Mà


2
2
134
,, 2.
11
dMBC dMd



Dođó:

2
88
32
,
2
BC BC
dMBC

Talạicó:

22 2
2
232
CB C B CB
BC xx yy xx 

22
4. 16 2 4 2 16
BC BC
xx xx m m
2
44240 3; 2.mm mm
Đốichiếuvớiđiềukiện,loạiđigiátrị
2.m 
Câu28: Chohàmsố


2
sin , 0;
2
x
yxx
.Hỏihàmsốđồngbiếntrêncáckhoảngnào?
A.
711
0; ;
12 12
và







. B.
711
;
12 12



.
C.
7711
0; ;
12 12 12
và







. D.
711 11
;;
12 12 12
và




.
Hướngdẫn
ChọnA.
TXĐ:
D
.
1
'sin2
2
yx
.Giải
1
12
'0 sin2
7
2
12
x
k
yx
x
k



,
k
Vì

0;x
nêncó2giátrị
7
12
x
và
11
12
x
thỏamãnđiềukiện.
Bảngbiếnthiên:
Hàmsốđồngbiến
7
0;
12



và
11
;
12



Câu29: Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m saochohàmsố
() cosyfx xm x
luônđồng
biếntrên
?
x
0
7
12
11
12
y
||
0
0
||
y
A.
1m
. B.
3
2
m
. C.
1m
. D.
1
2
m
.
Hướngdẫn
ChọnA.
Tậpxácđịnh:
D
.Tacó
1sin
ymx
.
Hàmsốđồngbiếntrên
'0, sin 1,yx mxx  
Trườnghợp1:
0m
tacó01,x .Vậyhàmsốluônđồngbiếntrên
Trườnghợp2:
0m
tacó
11
sin , 1 1xx m
mm

Trườnghợp3:
0m
tacó
11
sin , 1 1xx m
mm

Vậy
1m
Câu30: Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m
saochohàmsố (3)(21)cos ym x m xluôn
nghịchbiếntrên
?
A.
2
4
3
 m
. B.
2m
. C.
3
1
m
m
. D.
2m
.
Hướngdẫn
ChọnA.
Tậpxácđịnh:
D
.Tacó:
'3(21)sinym m x
Hàmsốnghịchbiếntrên
'0, (2 1)sin 3 ,yx m xmx 
Trườnghợp1:
1
2
m 
tacó
0
7
2
,x
.Vậyhàmsốluônnghịchbiếntrên
.
Trườnghợp2:
1
2
m 
tacó
33
sin , 1
21 21
mm
xx
mm



321 4mm m  
Trườnghợp3:
1
2
m 
tacó:
33
sin , 1
21 21
mm
xx
mm



2
321
3
mm m
.Vậy
2
4;
3



m
Câu31: Tìmmốiliênhệgiữacácthamsố
a và
b
saochohàmsố
() 2 sin cosyfx xa xbx
luôn
tăngtrên
?
A.
11
1
ab

. B.
223ab
. C.
22
4ab. D.
12
2
3
ab

.
Hướngdẫn
ChọnC.
Tậpxácđịnh
D
.Tacó:
2cos sin
 yaxbx
ÁpdụngbấtđẳngthứcSchwartztacó
22 22
22

ab y ab
Yêucầucủabàitoánđưađếngiảibấtphươngtrình
22 22
0, 2 0 4

yx ab ab.
Câu32: Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m
saochohàmsố

32
61
y
xxmx
đồngbiến
trênkhoảng

0; ?
A.
0m
. B. 12m . C.
0m
. D. 12m .
Hướngdẫn
ChọnD.
Cách1:
Tậpxácđịnh:
D
.Tacó
2
312
yx xm
Trườnghợp1:
Hàmsốđồngbiếntrên
0,
yx
30()
12
36 3 0
hn
m
m


Trườnghợp2:Hàmsốđồngbiếntrên
0;  0
y
cóhainghiệm
12
,
x
x
thỏa
12
0xx
󰇛*󰇜
Trườnghợp2.1:
0
y
cónghiệm
0x
suyra
0m
.Nghiệmcònlạicủa
0
y
là
4x
󰇛khôngthỏa󰇛*󰇜󰇜
Trườnghợp2.2:
0
y
cóhainghiệm
12
,
x
x
thỏa
12
0
00
0


xx S
P
36 3 0
40()
0
3
m
vl
m


khôngcó
m .Vậy
12m
Cách2:
Hàmsốđồngbiếntrên

0; 
2
12 3 ( ), (0; )mxxgxx .
Lậpbảngbiếnthiêncủa
()
g
x
trên

0; 
.
x
0
2

∞
g
0
–
g
0
12

–∞
Câu33: Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố m saochohàmsố
42
2( 1) 2yx m x m đồng
biếntrênkhoảng
(1; 3)
?
A.
5; 2m 
. B.
;2m
. C.
2,m
. D.
;5m 
.
Hướngdẫn
ChọnB.
Tậpxácđịnh
D
.Tacó
3
'4 4( 1)yx mx.
Hàmsốđồngbiếntrên
(1; 3)
2
'0, (1;3) () 1 , (1;3)yx gxxmx   .
Lậpbảngbiếnthiêncủa
()
g
x
trên
(1; 3)
.
x
1
3
g
0
g
2
10
Dựavàobảngbiếnthiên,kếtluận:
min ( ) 2mgxm
.
Câu34: Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m saochohàmsố 
32
11
234
32
yx mxmxm
nghịchbiếntrênmộtđoạncóđộdàilà3?
A. 
1; 9mm. B.
1m
. C.
9m
. D. 1; 9mm .
Hướngdẫn
ChọnA.
Tậpxácđịnh:
D
.Tacó
2
2

yxmx m
Takhôngxéttrườnghợp
0,
yx
vì
10a 
Hàmsốnghịchbiếntrênmộtđoạncóđộdàilà3
0
y
có2nghiệm
12
,
x
x
thỏa

2
12
2
2
2
12
080
80
1
3
9
89
949
mm
m hay m
m
xx
m
mm
xx S P








Câu35: Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m
saochohàmsố
tan 2
tan
x
y
x
m
đồngbiếntrên
khoảng



0;
4
?
A.
12m
. B. 0;1 2mm. C.
2m
. D.
0m
.
Hướngdẫn
ChọnB.
󰇜Điềukiện
t
an
x
m
.Điềukiệncầnđểhàmsốđồngbiếntrên
0;
4
là
m 0;1

󰇜
y'
2 m
cos
2
x(tan x m)
2
.
󰇜Tathấy:
1
cos
2
x(tan x m)
2
0x 0;
4
;m 0;1

󰇜Đểhsđồngbiếntrên
0;
4
y' 0
m (0;1)
m 2 0
m 0;m 1
m 0
hoặc
12m
Câu36: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m sao cho hàm số
3
2
() 7 14 2
3
mx
yfx mx xm
 giảmtrênnửakhoảng
[1; )
?
A.
14
;
15




. B.
14
;
15



. C.
14
2;
15




. D.
14
;
15



.
Hướngdẫn
ChọnB.
Tậpxácđịnh
D
,yêucầucủabàitoánđưađếngiảibấtphươngtrình
2
14 14 0, 1mx mx x,tươngđươngvới
2
14
()
14
g
xm
xx

󰇛1󰇜
Dễdàngcóđược
()
g
x
làhàmtăng
1;x ,suyra
1
14
min ( ) (1)
15
x
gx g

Kếtluận:󰇛1󰇜
1
14
min ( )
15
x
g
xm m

Câu37: Tấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m saochohàmsố
42
(2 3)yx mxm
nghịchbiến
trênkhoảng

1; 2
là
;
p
q



,trongđóphânsố
p
q
tốigiảnvà
0q
.Hỏitổng
p
q
là?
A.5. B.9. C.7. D.3.
Hướngdẫn
ChọnC.
Tậpxácđịnh
D .Tacó
3
42(23)

yx mx
.
Hàmsốnghịchbiếntrên
(1; 2)
2
3
0, (1; 2) ( ), (1; 2)
2
 
yx mx gxx .
Lậpbảngbiếnthiêncủa
()
g
x
trên
(1; 2)
.
() 2 0 0
gx x x
Bảngbiếnthiên
x
1
2
g
0
g
5
2
11
2
Dựavàobảngbiếnthiên,kếtluận:
5
min ( )
2
mgxm
.Vậy 527pq.
Câu38: Hỏicóbaonhiêugiátrịnguyêndươngcủathamsố
m
sao cho hàm số
2
2(1)1
x
mx m
y
xm

đồngbiếntrênkhoảng
(1; )
?
A.3. B.1. C.2. D.0.
Hướngdẫn
ChọnD.
Tậpxácđịnh
\Dm
.Tacó
22
22
24 21 ()
() ()



x
mx m m g x
y
x
mxm
Hàmsốđồngbiếntrên
(1; )
khivàchỉkhi
() 0, 1
g
xx
và
1m
󰇛1󰇜
Vì
2
2( 1) 0,

g
mmnên󰇛1󰇜
() 0gx
cóhainghiệmthỏa
12
1xx
Điềukiệntươngđươnglà
2
2(1) 2( 6 1) 0
322 0,2
1
2
gmm
m
S
m



.
Dođókhôngcógiátrịnguyêndươngcủa
m thỏayêucầubàitoán.
Câu39: Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m saochophươngtrình
21
x
xm
cónghiệm
thực?
A.
2m
. B.
2m
. C.
3m
. D.
3m
.
Hướngdẫn
ChọnB.
Đặt 1, 0txt.Phươngtrìnhthành:
22
21 21tt m m t t
Xéthàmsố
2
() 2 1, 0; () 2 2
 
f
tttt ft t
Bảngbiếnthiêncủa
f
t :
Từđósuyraphươngtrìnhcónghiệmkhi
2m
.
Câu40: Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m saochophươngtrình
22
45 4
x
xmxx
cóđúng2nghiệmdương?
A.
13m
. B.
35m
. C.
53m
. D.
33m
.
Hướngdẫn
ChọnB
Đặt
2
() 4 5tfx x x.Tacó
2
2
()
45

x
fx
xx
.
() 0 2
fx x
Xét
0x
tacóbảngbiếnthiên
Khiđóphươngtrìnhđãchotrởthành
22
550mt t t t m
󰇛
1
󰇜
.
Nếuphươngtrình󰇛
1
󰇜cónghiệm
12
,tt
thì
12
1tt
.
󰇛1󰇜cónhiềunhất1nghiệm
1t
.
Vậyphươngtrìnhđãchocóđúng2nghiệmdươngkhivàchỉkhiphươngtrình󰇛1󰇜cóđúng
1nghiệm
1; 5t
.
Đặt
2
() 5
g
ttt
.
Tađitìmm đểphươngtrình
()
g
tm
cóđúng1
nghiệm
1; 5t
.
Tacó

() 2 1 0, 1; 5
gt t t
.
Bảngbiếnthiên:
x
0 2

f
x
0

f
x
5
1

t
0 1

f
t
0
f
t
1
2

Từbảngbiếnthiênsuyra
35m
làcácgiátrịcầntìm.
Câu41: Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m sao cho phương trình:
22
33
log log 1 2 1 0xxmcóítnhấtmộtnghiệmtrênđoạn
3
1; 3


?
A.
13m
. B.
02m
. C.
03m
. D.
12m
.
Hướngdẫn
ChọnB.
Đặt
2
3
log 1tx.Điềukiện:
1t
.
Phươngtrìnhthành:
2
220(*)ttm .Khi
3
1; 3 [1; 2]xt



2
2
(*) ( )
2
tt
f
tm


.Bảngbiếnthiên :
Từbảngbiếnthiêntacó
:02m
Câu42: Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m saochophươngtrình
2
22 1
x
mx xcó
hainghiệmthực?
A.
7
2
m 
. B.
3
2
m
. C.
9
2
m
. D.
m
.
Hướngdẫn
ChọnC
Điềukiện:
1
2
x 
t
1
2
f
t
f
t
0
2
t
1
5
g
t

g
t
3
5
Phươngtrình
2
22 1
x
mx x
2
341 (*)xx mx
Vì
0x
khônglànghiệmnên󰇛*󰇜
2
341
x
x
m
x


Xét
2
341
()
x
x
fx
x

.Tacó
2
2
31 1
() 0 ; 0
2
x
fx x x
x

Bảngbiếnthiên
Từbảngbiếnthiêntacóđểphươngtrìnhcóhainghiệmthì
9
2
m
.
Câu43: Tìm tất cả các giá trị thựccủa tham số
m saochomọinghiệm của bấtphươngtrình:
2
320xxcũnglànghiệmcủabấtphươngtrình
2
110mx m x m
?
A.
1m 
. B.
4
7
m 
. C.
4
7
m 
. D.
1m 
.
Hướngdẫn
ChọnC.
Bấtphươngtrình
2
320xx
12x
.
Bấtphươngtrình
2
110mx m x m
2
2
2
(1)2
1
x
mx x x m
x
x



Xéthàmsố
2
2
()
1
x
fx
x
x


với
12x
.Có
2
22
4x 1
() 0, [1;2]
(1)



x
fx x
xx
Yêucầubàitoán
[1;2]
max ( )mfx
4
7
m
Câu44: Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m saochobấtphươngtrình:
3
3
1
32xmx
x

nghiệmđúng
1
x

?
A.
2
3
m
. B.
2
3
m
. C.
3
2
m
. D.
13
32
m
.
x
1
2
0

f
x
+ +

f
x
9
2



Hướngdẫn
ChọnA.
Bpt

32
34
112
32,13 ,1mx x x m x f x x
x
xx

.
Tacó


52 5 2 2
42 2
42 4 2
222 0fx x x
xx x x x

suyra

f
x
tăng.
Ycbt
 

1
2
3, 1 min 1 2 3
3
x
f
xmx fxf m m

Câu45: Bất phương trình
32
236164 23xxx x
có tập nghiệm là

;ab . Hỏi tổng
ab
cógiátrịlàbaonhiêu?
A.
2
. B.4. C.5. D.3.
Hướngdẫn
ChọnC
Điềukiện:
24x
.Xét
32
() 2 3 6 16 4
f
xxxx x
trênđoạn
2; 4
.
Có


2
32
31
1
() 0, 2;4
24
23616
xx
fx x
x
xxx



.
Dođóhàmsốđồngbiếntrên
2; 4 ,bpt
() (1) 23 1
f
xf x
.
Sovớiđiềukiện,tậpnghiệmcủabptlà
[1; 4] 5.Sab
Câu46: Bất phương trình
22
23 611 3 1
x
xxx xx  cótậpnghiệm
;ab
. Hỏi
hiệu
ba
cógiátrịlàbaonhiêu?
A.1. B.2. C.3. D.
1
.
Hướngdẫn
ChọnA.
Điềukiện:
13x
;bpt
 
22
12 1 3 23
x
xx x
Xét
2
() 2
f
tt t
với
0t
.Có
2
1
'( ) 0, 0
2
22
t
ft t
t
t

.
Dođóhàmsốđồngbiếntrên
[0; )
.󰇛1󰇜
(1) (3) 13 2fx f x x x
Sovớiđiềukiện,bptcótậpnghiệmlà
(2;3]S
Câu47: Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m đểhàmsố

42
3
1
2
ym xmx
chỉcócựctiểu
màkhôngcócựcđại.
A.
1.m 
B.
10.m
C.
1.m
D.
10.m
Hướngdẫn
ChọnB
Taxéthaitrườnghợpsauđây:
TH1:
10m 
1m 
.Khiđó
2
3
2
yx
hàmsốchỉcócựctiểu󰇛
0x
󰇜màkhôngcó
cựcđại
1m 
thỏamãnyêucầubàitoán.
TH2:
10m 
1m 
.Khiđóhàmsốđãcholàhàmsốtrùngphươngtacó:
 

32
'4 1 2 4 1
21
m
ymxmxmxx
m




.
Hàmsốchỉcócựctiểumàkhôngcócựcđại
'y
cóđúngmộtnghiệmvàđổidấutừâm
sangdươngkhi
x
điquanghiệmnày

410
0
21
m
m
m

10m
.
Kếthợpnhữnggiátrị
m tìmđược,tacó
10m
.
Câu48: Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m đểđồthịhàmsố

32 2
22
23 1
33
yxmx m x
cóhaiđiểmcựctrịcóhoànhđộ
1
x
,
2
x
saocho

12 1 2
21xx x x
.
A.
0.m
B.
2
.
3
m 
C.
2
.
3
m
D.
1
.
2
m 
Hướngdẫn
ChọnC
Tacó:
2222
'2 2 23 1 2 3 1yxmx m xmxm ,

22
31gx x mx m làtamthứcbậchaicó
2
13 4m .Dođóhàmsốcóhaiđiểmcực
trịkhivàchỉkhi
'y
cóhainghiệmphânbiệt
g
x
cóhainghiệmphânbiệt
0
213
13
213
13
m
m

.󰇛1󰇜
1
x
,
2
x
làcácnghiệmcủa

g
x nêntheođịnhlýVi‐ét,tacó
12
2
12
31
xx m
xx m


.
Dođó

12 1 2
21xx x x
2
3211mm
2
320mm
0
2
3
m
m
.
Đốichiếuvớiđiềukiện󰇛1󰇜,tathấychỉ
2
3
m
thỏamãnyêucầubàitoán.
Câu49: Chohàmsố
422
21 1yx mx m .Tìmtấtcảcácgiátrịcủathamsốthực m đểhàm
sốcócựcđại,cựctiểuvàcácđiểmcựctrịcủađồthịhàmsốlậpthànhtamgiáccódiệntích
lớnnhất.
A.
1
.
2
m 
B.
1
.
2
m
C.
0.m
D.
1.m
Hướngdẫn
ChọnC
󰇟Phươngpháptựluận󰇠
32
'4 41yx mx
'0y
22
0
1
x
x
m

Hàmsốcócựcđại,cựctiểukhivàchỉkhi:
1m
Tọađộđiểmcựctrị

0; 1Am
24 2
1; 2Bmmmm
24 2
1; 2Cmmmm
2
21 ;0BC m

Phươngtrìnhđườngthẳng
B
C
:
42
20ym m m
42
,BC 2 1dA m m
,
2
21BC m

24 2
1
.[ , ] 1 2 1
2
ABC
SBCdABCmmm
 

5
2
11m
VậySđạtgiátrịlớnnhất
0m
.
󰇟Phươngpháptrắcnghiệm󰇠
24 2
1; 21AB m m m

24 2
1; 21AC m m m

KhiđóS
1
,
2
A
BAC
 

24 2
121mm m

5
2
11m
VậySđạtgiátrịlớnnhất
0m
.
Câu50: Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m
đểđồthịhàmsố
32
23 1 6yx m x mx có
haiđiểmcựctrị ,
A
B saochođườngthẳng
A
B
vuônggócvớiđườngthẳng: 2yx
.
A.
3
.
2
m
m

B.
2
.
3
m
m

C.
0
.
2
m
m
D.
0
.
3
m
m

Hướngdẫn
ChọnC
󰇟Phươngpháptựluận󰇠
Tacó:
2
66 16yx m xm
1
'0
x
y
x
m

Điềukiệnđểhàmsốcó2điểmcựctrịlà:
1m
Tacó:
1; 3 1Am

32
;3
B
mm m
Hệsốgócđt
A
B
là:

2
1km
Đt
A
B
vuônggócvớiđườngthẳng
2yx
khivàchỉkhi
1k 
0
2
m
m
󰇟Phươngpháptrắcnghiệm󰇠
Bước1:BấmMode2󰇛CMPLX󰇜
Bước2:

2
32
66161261
'. ''
231 6
18 36
xyxyxy
yy
yxyxyx
a
 

Bước3:Cacl
x
i ,
1000y
Kếtquả:
1001000 9980001.i
.Hay:
1001000 9980001.yx
Vậyphươngtrìnhđtqua2điểmcựctrị
A
B
là:

2
2
1
y
mmm x
Cóđt
A
B vuônggócvớiđườngthẳng 2yxkhivàchỉkhi

2
11m
0
2
m
m
Câu51: Tìmcácgiátrịcủathamsố
m đểđồthịhàmsố:
32
32yx x mx cóđiểmcựcđạivà
điểmcựctiểucáchđềuđườngthẳngcóphươngtrình:

1yx d
.
A.
0.m
B.
0
.
9
2
m
m

C.
2.m
D.
9
.
2
m 
Hướngdẫn
ChọnA
󰇟Phươngpháptrắcnghiệm󰇠
2
36yxxm

Hàm số có 2 cực trị
3m 
,gọi
12
,
x
x
làhainghiệmcủaphươngtrình
0y
, ta có:
12
2xx
Bấmmáytính:

,1000
32 2
1
3236
33
994 2006 1000 6 2000 6 2 6 6
33 3 3 3 3
ximA
x
xxmx xxm
mm
iix







Haiđiểmcựctrịcủađồthịhàmsốlà:
11 2 2
26 6 26 6
;;;
33 33
mm m m
Ax x Bx x





Gọi
I
làtrungđiểmcủa
1;
A
BI m
Đườngthẳngđiquahaiđiểmcựctrịlà:

26 6
33
mm
yx


Yêucầubàitoán
26
9
//
1
3
2
0
11
m
dor d
m
Id
m
m





Kếthợpvớiđiềukiệnthì
0m
.
Câu52: Tìmcácgiátrịcủathamsố
m đểđồthịhàmsố:
4224
21yx mx m cóbađiểmcựctrị.
ĐồngthờibađiểmcựctrịđócùngvớigốcOtạothành1tứgiácnộitiếp.
A.
1.m 
B.
1.m
C.Khôngtồntạim. D.
1.m 

Hướngdẫn
ChọnA
32
44yy x mx

Hàmsốcó3điểmcựctrịkhi
0m
Khiđó3điểmcựctrịlà:
4
0; 1 , ;1 , ;1
A
mBmCm
GọiIlàtâmđườngtrònngoạitiếp󰇛nếucó󰇜củatứgiác
A
BOC
.Dotínhchấtđốixứng,ta
có:
,,
A
OI
thẳnghàng
A
O
làđườngkínhcủađườngtrònngoạitiếp󰇛nếucó󰇜củatứgiác
A
BOC
.
Vậy
24
.0 0AB OB AB OB m m

0
1
m
m

Kếthợpđiềukiện
1m 
󰇛thỏamãn󰇜.
Câu53: Tìmcácgiátrịcủathamsố
m đểđồthịhàmsố:
42
2yx mx m cóbađiểmcựctrị.Đồng
thờibađiểmcựctrịđólàbađỉnhcủamộttamgiáccóbánkínhđườngtrònnộitiếplớn
hơn1.
A.
1.m 
B.
2.m
C.
;1 2; .m D.Khôngtồntạim.
Hướngdẫn
ChọnB
󰇟Phươngpháptựluận󰇠
Hàmsốcó3điểmcựctrịkhi
0m
Bađiểmcựctrịlà

22
0; , ; , ;
A
mB mmm C mmm
Gọi
I
làtrungđiểmcủa

2
0;
B
CImm
2
1
.
2
ABC
SAIBCmm

Chuvicủa
A
BC
là:
4
22pABBCAC mm m
Bánkínhđườngtrònnộitiếp
A
BC
là:
2
4
ABC
S
mm
r
p
mm m


Theobàira:
24
2
4
4
11 1
mm mm m
mm
r
m
mm m

 

󰇛vì
0m
󰇜
422522
1
20
2
m
mmm m m mm mm mm
m


Sosánhđiềukiệnsuyra
2m
thỏamãn.
󰇟Phươngpháptrắcnghiệm󰇠
Sửdụngcôngthức
222
23 3 3
4
4162 4161611
bmm
rr
aaab m m


Theobàira:
23
2
3
3
3
11
11 111
11
mm
m
rmm
m
m

  

332
1
1111 20
2
m
mm mm mm
m


Sosánhđiềukiệnsuyra
2m
thỏamãn.
Câu54: Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m đểđồthịhàmsố
32
333ymx mx m cóhai
điểmcựctrị
,
A
B saocho
222
2( )20AB OA OB
󰇛Trongđó
O
làgốctọađộ󰇜.
A.
1.m 
B.
1m
.
C.
1m 
hoặc
17
11
m 
. D.
1m
hoặc
17
11
m 
.
Hướngdẫn
ChọnD
Tacó:
2
(3 6 )
y
mx x

Vớimọi
0m
,tacó
033
0
23
xym
y
xym



.Vậyhàmsốluôncóhaiđiểmcựctrị.
Giảsử
(0;3 3); (2; 3)Am B m.
Tacó:
222 2
1
2( )20116170
17
11
m
AB OA OB m m
m


󰇛thỏamãn󰇜
Vậygiátrị
m
cầntìmlà:
1
17
11
m
m

.
Câu55: Trongtấtcảcáchìnhchữnhậtcócùngdiệntích48cm
2
,hìnhchữnhậtcóchuvinhỏnhất
bằng:
A.
16 3
cm B.
43
cm C.24cm D.
83
cm
Hướngdẫn
ChọnA.
Cách1
Gọicạnhcủahìnhchữnhật:
a,b
;0
a,b
48
Tacó:
48
48ab b
a

.Chuvi:
48
() 2Pa a
a




2
48
() 21Pa
a




; () 0 43Pa a

Bảngbiếnthiên:
Cách2
ÁpdụngbấtđẳngthứcCôsi:
224883ab ab ab 
chuvinhỏnhất:
2( ) 16 3ab
Hìnhchữnhậtcóchuvinhỏnhấtbằng
16 3
khicạnhbằng
43
.
Câu56: Tamgiácvuôngcódiệntíchlớnnhấtlàbaonhiêunếutổngcủamộtcạnhgócvuôngvà
cạnhhuyềnbằnghằngsố
a
󰇛
a
0󰇜?
A.
2
63
a
. B.
2
9
a
. C.
2
2
9
a
. D.
2
33
a
.
Hướngdẫn
ChọnA.
Cạnhgócvuông
,0
2
a
xx;cạnhhuyền: ax
Cạnhgócvuôngcònlạilà:
22
()ax x
Diệntíchtamgiác
2
1
() 2
2
Sx x a ax
.
2
(3)
() ; () 0
3
22
aa x a
Sx Sx x
aax


Bảngbiếnthiên:
x
0
3
a
2
a

Sx
0
Sx
2
63
a
a 0
43
48
P
a
0 +
P
a
16 3
Tamgiáccódiệntíchlớnnhấtbằng
2
63
a
khicạnhgócvuông
3
a
,cạnhhuyền
2
.
3
a
Câu57: Chohàmsố
2
2cos cos 1
.
cos 1
xx
y
x

Gọi
M
làgiátrịlớnnhấtvà
m
làgiátrịnhỏnhấtcủa
hàmsốđãcho.Khiđó
Mm
bằng
A.
–4. B.–5. C.–6. D.3.
Hướngdẫn
ChọnD.
Tậpxácđịnh:
D .Đặt cos , 0 1txt
2
21
() ,0 1
1
tt
y
ft t
t


2
2
24
()
(1)
tt
ft
t
;

0
() 0
20;1
t
ft
t


(0) 1, (1) 2ff
Vậy
min 1, max 2yy
Câu58: Chohàmsố
2
sin 1
.
sin sin 1
x
y
x
x

Gọi
M
làgiátrịlớnnhấtvà
m
làgiátrịnhỏnhấtcủahàm
sốđãcho.Chọnmệnhđềđúng.
A.
2
3
Mm
. B.
1Mm
. C.
3
2
M
m . D.
3
2
Mm
.
Hướngdẫn
ChọnB.
Đặt
sin , 1 1txt
2
1
()
1
t
yft
tt


,

2
2
2
2
()
1
tt
ft
tt



01;1
() 0
21;1
t
ft
t



2
(0) 1, ( 1) 0, (1)
3
ff f
.Vậy
1, 0Mm
Câu59: Chohaisốthực
0, 0xythayđổivàthỏamãnđiềukiện
22
()
x
yxy x y xy
.Giátrị
lớnnhất
M
củabiểuthức
33
11
A
x
y

là:
A.
0.M
B.
0.M
C.
1.M
D.
16.M
Hướngdẫn
ChọnD.
22
33 2 2
3 3 33 33
11 ( )( ) 11x y xyx xyy xy
A
x
yxy xy xy xy





.
Đặt
x
t
y
.Từgiảthiếttacó:
22 3 2 2
() (1) ( 1)
x
yxy x y xy t ty t t y
Dođó
22
2
11
;
1
tt tt
yxty
tt t
 


.Từđó
2
2
2
2
11 21
1
tt
A
xy t t









.
Xéthàmsố

22
2
2
2
21 3 3
() ()
1
1
tt t
ft f t
tt
tt




.
Lậpbảngbiếnthiêntatìmgiátrịlớnnhấtcủa
A
là:16đạtđượckhi
1
2
xy
.
Câu60: Đồthịhàmsố
2
39
x
y
x
cóđườngtiệmcậnđứnglà
x
a vàđườngtiệmcậnnganglà
yb
.Giátrịcủasốnguyên
m
nhỏnhấtthỏamãn
mab
là
A.
0
. B.
3
. C.
1
. D.
2
.
Hướngdẫn
ChọnD
Tacóđườngtiệmcậnđứnglà
3x 
vàđườngtiệmcậnnganglà
1
3
y
Nên
1
3,
3
ab
Dođó
8
2
3
mab m m 
Câu61: Chohàmsố
23
()
2
x
yC
x
.Gọi
M
làđiểmbấtkỳtrên󰇛C󰇜,
d
làtổngkhoảngcáchtừ
M
đếnhaiđườngtiệmcậncủađồthị󰇛
C
󰇜.Giátrịnhỏnhấtcủa
d
là
A.5. B.10. C.6. D.2.
Hướngdẫn
ChọnD
Tọađộđiểm
M
códạng
0
0
0
23
;
2
x
Mx
x



với
0
2x
Phươngtrìnhtiệmcậnđứng,nganglầnlượtlà

12
20 , 20
x
dy d 
.
Tacó

120
0
1
,,2 2
2
ddMd dMd x
x

Câu62: Chohàmsố
32
12
:
33
yxmxxm
cóđồthị
m
C
.Tấtcảcácgiátrịcủathamsố
m
để
m
C
cắttrục
Ox
tạibađiểmphânbiệtcóhoànhđộ
123
, ,
x
xx
thỏa
222
123
15xxxlà
A.
1m
hoặc
1.m 
B.
1m 
.C.
0m
.D.
1m
.
Hướngdẫn
ChọnA.
Phươngpháptựluận:
Phươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủa
()C vàđườngthẳng
d
:

32 2
12
01 31320
33
xmxxm x x m xm




2
()
1
31 320 (1)
gx
x
xmxm


m
C
cắt
Ox
tạibađiểmphânbiệt
phươngtrình(1) cóhainghiệmphânbiệtkhác1

2
0
9690
0
10 6 0
g
mm
m
gm





.
Gọi
1
1x
còn
23
,
x
x
lànghiệmphươngtrình

1 nêntheoViettacó
23
23
31
32
xx m
xx m


.
Vậy


2
222
123 23 23
2
2
15 1 2 15
31 2321409 90 1 1
xxx xx xx
mm m mm


Vậychọn
11mm
.
Phươngpháptrắcnghiệm:Takiểmtrangaytrênđápán
 Với
2m 
,tagiảiphươngtrìnhbậcba:
32
14
20
33
xxx
thuđược3nghiệm
123
6.37..., 1, 0.62...xxx  Tachọnnhữnggiátrịnhỏhơncácnghiệmnàyvàkiểm
trađiềukiệncủabàitoán.
Cụthểtatính

22
2
6.4 1 0.63 42.3569 15
loạiC,D.
 Với
2m
,talàmtươngtựthuđược3nghiệm
123
6.27..., 1, 1.27...xxx
Tính

2
22
6.2 1 1.3 41.13 15
loạiB.
Vậychọn
11mm
.
Câu63: Chohàmsố

1
21
x
y
x
cóđồthịlà
C .Gọiđiểm
00
;
M
x
y
với
0
1x 
làđiểmthuộc
,C biếttiếptuyếncủa
C tạiđiểm
M
cắttrụchoành,trụctunglầnlượttạihaiđiểm
phânbiệt ,
A
B vàtamgiác
OAB
cótrọngtâm
G
nằmtrênđườngthẳng
:4 0dxy
.Hỏi
giátrịcủa
00
2
x
y bằngbaonhiêu?
A.
7
2
. B.
7
2
. C.
5
2
. D.
5
2
.
Hướngdẫn
ChọnA.
Gọi


0
0
0
1
;
21
x
M
xC
x




với
0
1x 
làđiểmcầntìm.
Gọi tiếptuyếncủa
C tại
M
tacóphươngtrình.

00
00 0
2
00
0
11
1
:'()() ()
2( 1) 2( 1)
1
xx
yfxxx xx
xx
x



.
Gọi
A
Ox
2
00
21
;0
2
xx
A




và BOy
2
00
2
0
21
0;
2( 1)
xx
B
x




.
Khiđó tạovớihaitrụctọađộ
OAB
cótrọngtâmlà
22
00 00
2
0
21 21
;
66(1)
xx xx
G
x

 


.
Do
G
thuộcđườngthẳng40xy
22
00 00
2
0
21 21
4. 0
66(1)
xx xx
x
 


2
0
1
4
1x
󰇛vì ,
A
B khôngtrùng
O
nên
2
00
210xx󰇜
00
00
11
1
22
13
1
22
xx
xx









.
Vì
0
1x  nênchỉchọn
000
113 7
;2
222 2
xM xy

 


.
Câu64: Chohàmsố
1
21
x
y
x

cóđồthịlà
C
,đườngthẳng
:dy xm
.Vớimọi m taluôncó
d
cắt
C
tại2điểmphânbiệt ,
A
B .Gọi
12
,kk
lầnlượtlàhệsốgóccủacáctiếptuyếnvới
C
tại ,
A
B .Tìm m đểtổng
12
kk
đạtgiátrịlớnnhất.
A.
1m 
. B.
2m 
. C.
3m
. D.
5m 
.
Hướngdẫn
ChọnA.
Phươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủa
d
và
C là
1
21
x
x
m
x



2
1
2
22 10(*)
x
gx x mx m

.
TheođịnhlíViettacó
12 12
1
;
2
m
xx mxx


.Giảsử

11 2 2
;, ;
A
xy Bxy .
Ta có

2
1
21
y
x
,nêntiếptuyếncủa
C tại
A
và B cóhệsốgóclầnlượtlà

1
2
1
1
21
k
x

và

2
2
2
1
21
k
x

.Vậy



22
12 12
12
2
22
12
12 1 2
2
2
4( ) 4( ) 211
(2 1) (2 1)
42()1
4864122
xx xx
kk
xx
xx x x
mm m




  
Dấu""xảyra
1m 
.
Vậy
12
kk
đạtgiátrịlớnnhấtbằng 2 khi
1m 
.
Câu65: Chohàmsố
21
1
x
y
x
cóđồthị
C
.Biếtkhoảngcáchtừ
1; 2I
đếntiếptuyếncủa
C
tại
M
làlớnnhấtthìtungđộcủađiểm
M
nằmởgócphầntưthứhai,gầngiátrịnàonhất?
A.
3e
. B.
2e
. C.e . D.
4e
.
Hướngdẫn
ChọnC.
Phươngpháptựluận
Tacó

2
3
1
y
x
.
Gọi

0
00
0
21
;,1
1
x
Mx C x
x




.Phươngtrìnhtiếptuyếntại
M
là
0
0
2
00
21
3
()
(1) 1
x
yxx
xx


22
000
3( 1) 2 2 10xx y x x
.

0
4
2
0
0
2
0
61
66
,6
9
9( 1)
29
(1)
(1)
x
dI
x
x
x



.
Dấu
""
xảyrakhivàchỉkhi



2
00
2
00
2
0
00
13 23
9
(1) 13
(1)
13 23
x
yL
xx
x
x
yN



.
Tungđộnàygầnvớigiátrị
e nhấttrongcácđápán.
Phươngpháptrắcnghiệm
Tacó
IM 
00
121cx d ad bc x


0
0
13 23
13 23
x
yL
x
yN


.
Câu66: Chohàmsố
2
1
x
y
x
cóđồthị
C
.Phươngtrìnhtiếptuyến
củađồthịhàmsố
C
tạo
vớihaiđườngtiệmcậnmộttamgiáccóbánkínhđườngtrònnộitiếplớnnhất.Khiđó,
khoảngcáchtừtâmđốixứngcủađồthị
C
đếnbằng?
A.
3
. B.
26
. C.
23
. D.
6
.
Hướngdẫn
ChọnD.
Phươngpháptựluận
Gọi

0
00
0
2
;,1,1;1
1
x
Mx C x I
x




.Phươngtrìnhtiếptuyếntại
M
códạng

0
0
2
0
0
2
3
:()
1
1
x
yxx
x
x

.
Giaođiểmcủa
vớitiệmcậnđứnglà
0
0
5
1;
1
x
A
x



.
Giaođiểmcủa
vớitiệmcậnnganglà
0
21;1Bx
.
Ta có
0
0
6
,21.12
1
IA IB x IA IB
x

.Bánkínhđườngtròn ngoại tiếp
IAB
là
IAB
Spr
,suyra
22
.. .
23 6
2. 2..
IAB
S
IA IB IA IB IA IB
r
pIAIBAB
IA IB IA IB
IA IB IA IB



.
Suyra
2
0
max 0
0
13 13
23 6 1 3
13 13
M
M
xy
rIAIBx
xy



.
3; 3 6IM IM

.
Phươngpháptrắcnghiệm
IA IB
IAB
vuôngcântại
IIM
.
13 13
112
13 13
MM
MM
MM
xy
cx d ad bc x
xy



6IM

.
Câu67: Chohàmsố
23
2
x
y
x
cóđồthị
C
.Biếtrằngtiếptuyếntạimộtđiểm
M
bấtkỳcủa
C
luôncắthaitiệmcậncủa
C
tại
A
và
B
.Độdàingắnnhấtcủađoạnthẳng
A
B
là
A.
4
. B.
2
.C.
2
. D.
22
.
Hướngdẫn
ChọnD.
Lấyđiểm
1
;2
2
Mm
m




C
với
2m
.Tacó


2
1
'
2
ym
m

.
Tiếptuyếntại
M
cóphươngtrình


2
11
:2
2
2
dy x m
m
m

.
Giaođiểmcủa
d
vớitiệmcậnđứnglà
2
2; 2
2
A
m



.
Giaođiểmcủa
d
vớitiệmcậnnganglà
22;2Bm .
Tacó


2
2
2
1
42 8
2
AB m
m





,suyra
22AB
.Dấu“”xảyrakhi

2
21m ,
nghĩalà
3m
hoặc
1m 
.
Câu68: Chohàmsố
2
33
2
xx
y
x

cóđồthị
C
.Tổngkhoảngcáchtừmộtđiểm
M
thuộc
C
đếnhaihaitrụctọađộđạtgiátrịnhỏnhấtbằng?
A.
1. B.
1
2
. C.2 . D.
3
2
.
Hướngdẫn
ChọnD.
Điểm
3
0,
2
M



nằmtrêntrục
Oy
.KhoảngcáchtừMđếnhaitrụclà
3
2
d=
.
Xétnhữngđiểm
M
cóhoànhđộlớnhơn
3
2
3
2
dxy
.
Xétnhữngđiểm
M
cóhoànhđộnhỏhơn
3
2
:
Với
33 3
0
22 2
xy dxy
Với

2
3111
0; 0 1 1 ; ' 0
222
2
xy dxx d
xx
x
 

.
Chứngtỏhàmsốnghịchbiến.Suyra

3
min 0
2
dy
.
Câu69: Tọađộcặpđiểmthuộcđồthị
()C
củahàmsố
4
2
x
y
x
đốixứngnhauquađườngthẳng
:260dx y
là
A.
4; 4
và
1; 1
. B.
1; 5
và
1; 1
.
C.
0; 2 và
3; 7 . D.
1; 5 và
5;3 .
Hướngdẫn
ChọnB.
Gọiđườngthẳng
vuônggócvớiđườngthẳng
1
:3
2
dy x
suyra
:2yxm
.
Giảsử
cắt
()C
tạihaiđiểmphânbiệt
,
A
B
.Khiđóhoànhđộcủa
,
A
B
lànghiệmcủa
phươngtrình
2
()
4
2
2(3)2
2
40
2
hx
x
x
xm
xmxm
x




.
Điềukiệncần:
Để
cắt
()C
tạihaiđiểmphânbiệtthìphươngtrình
() 0hx
cóhainghiệmphânbiệt
khác
2 ,tứclà
2
0543
10 23 0
(2) 0
60
543






m
mm
h
m
󰇛*󰇜.
Điềukiệnđủ:
Gọi
I
làtrungđiểmcủa
A
B
,tacó:
3
33 3
4
;
2
3
42
2
2










AB
I
I
II
I
m
xx
x
x
mm
I
m
yxm
ym
.
Để hai điểm
,
A
B
đốixứngnhauqua
:260dx y
khi
Id
333
2. 6 0 3
42


mm
m
󰇛thỏađiềukiện󰇛*󰇜󰇜.
Với
3m
phươngtrình
2
11
() 0 2 2 0
15
 
 

xy
hx x
xy
Vậytọahaiđiểmcầntìmlà
1; 5
và
1; 1
.
Câu70:
󰇛CHUYÊNQUANGTRUNG󰇜Đểhàmsố
2
1
x
mx
y
x
m

đạtcựcđạitại
2x
thì m thuộc
khoảngnào?
A.
0; 2
. B.
4; 2
. C.
2;0
. D.
2; 4
.
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Tậpxácđịnh:
\Dm
.
x
y
O
3
1
Đạohàm:

22
2
21xmxm
y
xm

.
Hàmsốđạtcựctrịtại
2x
thì


2
2
3
44 1
20 0
1
2
m
mm
y
m
m


 

.
Với

2
2
2
68
3;0
4
3
x
xx
my y
x
x



.Lậpbảngbiếnthiêntathấyhàmsốđạt
cựcđạitại
2x
nên
3m 
tanhận.
Với

2
2
0
2
1;0
2
1
x
xx
my y
x
x


.Lậpbảngbiếnthiêntathấyhàmsốđạtcực
tiểutại
2x
nên
1m 
taloại.
Câu71: 󰇛CHUYÊNVINH–L2󰇜Chocácsốthực
,
xy
thỏamãn
23 3xy x y .Giátrịnhỏ
nhấtcủabiểuthức

22
415
P
xy xylà
A.
min 80P 
. B.
min 91P 
. C.
min 83P 
. D.
min 63P 
.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Ta có
2
4
2( 3 3) ( ) 4( ) 8 3. 3 4( )
0
xy
xy x y xy xy x y xy
xy



Mặtkhác
2( 3 3) 2 2( ) 8 4;8xy x y xy xy xy 
Xétbiểuthức
22 2
4( ) 15 4( ) 7 16( ) 7 7 ( 3) 16 5
P
x y xy xy xy xy xy xy y x .
Mà
30
16(4 ) 5 64 21
4
y
P
xx x
yx



,kếthợpvới

4 3;7 64 21 83xy x x
Vậygiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức
P
là
83
Câu72: 󰇛CHUYÊNVINH–L2󰇜Chohàmsốbậcba
yfx
cóđồthịnhưhìnhbên.Tất
cảcácgiátrịcủathamsố
m đểhàmsố

yfxmcóbađiểmcựctrị
là
A.
1m 
hoặc
3m
. B.
3m 
hoặc
1m
.
C.
1m 
hoặc
3m
. D.13m.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Nhậnxét:Đồthịhàmsố

y
fx mgồmhaiphần:
Phần1làphầnđồthịhàmsố
yfxm
nằmphíatrêntrụchoành;
Phần2làphầnđốixứngcủađồthịhàmsố
yfxm
nằmphíadướitrụchoành
quatrụchoành.
Dựavàođồthịcủahàmsố
yf
x đãchohìnhbêntasuyradạngđồthịcủahàmsố
yfxm
.Khiđóhàmsố

y
fx mcóbađiểmcựctrịkhivàchỉkhiđồthịhàmsố
yfxm
vàtrụchoànhtạinhiềunhấthaiđiểmchung
10 1
30 3
mm
mm






.
Câu 73: (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH – L2) Cho hàm số
32
()yfx axbxcxd có
bảng biến thiên như sau:
Khi đó
|()|fx m
có bốn nghiệm phân biệt
123 4
1
2
xxx x
khi và chỉ khi
A.
1
1
2
m
. B.
1
1
2
m
. C.
01m
. D.
01m
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có




01
2
10
3
0
00
1
10
f
a
f
b
c
f
d
f




, suy ra
32
() 2 3 1yfx x x.
NX:

0
0
1
2
x
fx
x


.
Bảng biến thiên của hàm số
()yfx
như sau:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình
|()|fx m
có bốn nghiệm phân biệt
123 4
1
2
xxx x
khi và chỉ khi
1
1
2
m
.
Câu 74: (CHUYÊN THÁI BÌNH – L4) Cho hàm số
22 2
() ( 1)( 4)( 9)yfx xx x x
. Hỏi đồ thị
hàm số
()
yfx
¢
=
cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm phân biệt?
A.
3.
B.
5.
C.
6.
D.
4.
Hướng dẫn giải
Chọn C
x

0
1

y
0
0
y
1
0

Ta có


22 2 3 42 753
149 1336 144936
fx xx x x x x x x x x x x

64 2
7 70 147 36fx x x x

Đặt
2
,0txt
Xét hàm

32
7 70 147 36gt t t t
Do phương trình

2
21 140 147 0gt t t

có hai nghiệm dương phân biệt và

0360g 
nên

0gt
có 3 nghiệm dương phân biệt
Do đó

0fx
có 6 nghiệm phân biệt.
Câu 75: (CHUYÊN THÁI BÌNH – L4) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số

33
1ymx x
đồng biến trên

0; 1
.
A.
2.m 
B.
2.m 
C.
1.m
D.
1.m
Hướng dẫn giải.
Chọn B
+ Tập xác định:
; 1D 
.
+
 
22
23 3 3
33
33
31 . 3 2
21 21
xx
yxx mx xm
xx


.
3
0
0
2
3
x
y
m
x

.
* Trường hợp 1:
2m 
, ta có bảng xét dấu:
Dựa vào BXD, ta có

0, x 0; 1y

hàm số nghịch biến trên

0; 1
.
* Trường hợp 2:
2m 
.
Để hàm số nghịch biến trên

0; 1
thì
3
2
02
3
m
m

.
Vậy
2m 
thì hàm số nghịch biến trên

0; 1
.
Câu 76: (CHUYÊN THÁI BÌNH – L4) Phương trình
sin 2
2017 sin 2 cos
x
xx
có bao nhiêu
nghiệm thực trong

5 ;2017

?
A. vô nghiệm. B.
2017
. C.
2022
. D.
2023
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có hàm số
sin 2
2017 sin 2 cos
x
yxx
tuần hoàn với chu kỳ
2T
.
Xét hàm số
sin 2
2017 sin 2 cos
x
yxx
trên

0; 2
.
Ta có
sin sin
22
2sin .cos sin
cos .2017 .ln 2017 cos cos . 2017 .ln 2017 1
22 cos 1sin
x x
xx x
yx x x
xx





Do vậy trên

0; 2
,
3
0cos 0
22
yxxx
   .
2017 1 2 0
2
y




;
31
120
22017
y




Bảng biến thiên
x
0
2
3
2
2
y
0
0
y
0
0
Vậy trên

0; 2
phương trình
sin 2
2017 sin 2 cos
x
x
x có đúng ba nghiệm phân biệt.
Ta có
0y
, nên trên

0; 2
phương trình
sin 2
2017 sin 2 cos
x
x
x có ba nghiệm
phân biệt là
0, , 2
.
Suy ra trên
5 ;2017
phương trình có đúng
2017 5 1 2023
nghiệm.
2
y



3
2
y



Chủđề2.LŨYTHỪA–MŨ–LOGARIT
Câu1: 󰇛SGDVĨNHPHÚC󰇜Đạohàmcủahàmsố
2
ylog 3 1
x

là:
A.
6
31ln2
y
x
B.

2
31ln2
y
x
C.

6
31ln2
y
x
D.
2
31ln2
y
x
Hướngd
ẫngiải
ChọnC.
Điềukiện:
310x 




2
31
36
ylog 3 1
31ln2
31ln2 31ln2
x
xy
x
xx


.
Câu2: 󰇛NGUYỄNKHUYẾNTPHCM󰇜Bấtphươngtrình
22
2.5 5.2 133. 10
x
xx
 cótậpnghiệmlà

;Sab
thì
2ba
bằng
A.
6
B.
10
C.
12
D.
16
Hướngd
ẫngiải
Ta có:
22
2.5 5.2 133. 10 50.5 20.2 133 10
x
xxxxx
 chia hai vế bất phương trình
cho
5
x
tađược:
20.2 133 10 2 2
50 50 20. 133.
55 5 5
x
x
xx
xx








󰇛1󰇜
Đặt
2
,( 0)
5
x
tt





phươngtrình󰇛1󰇜trởthành:
225
2
20 133 50 0
54
tt t
Khiđ
ótacó:
24
22252 2 2
42
5545 5 5
x
x
x

  


  

  

nên
4, 2ab
Vậy
210ba
BÌNHLUẬN
Phương pháp giải bất phương trình dạng

22
0ma n ab pb


:chia2vếcủabất
phươngtrìnhcho
2
a
hoặc
2
b
.
Câu3: 󰇛NGUYỄN KHUYẾN TPHCM󰇜 Cho
a làsốnguyêndươnglớnnhấtthỏamãn

3
32
3log 1 2logaa a
.Tìmphầnnguyêncủa
2
log 2017a
.
A.
14 B. 22 C. 16 D. 19
Hướngd
ẫngiải
BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8 - 9 - 10)
_______________________________
Đặt
6
,0tat,từgiảthiếttacó

32 3
32
3log 1 2logtt t
32 2
32
log 1 log 0ft t t t


32
2
32
43
3ln2 2ln3 2ln2 2ln3 2ln3
13 2 21
..
ln 3 1 ln 2
ln 2.ln 3.
tt
tt
ft
tt t
ttt




Vìđềxét
a nguyêndươngnêntaxét
1t
.
Xét
32
3ln2 2ln3 2ln2 2ln3 2ln3gt t t 
Tacó

2
84 84
3ln 2ln 3ln 2ln
99 99
gt t t t t





9
2ln
4
00
8
3ln
9
gt t

.
Lậpbảngbiếnthiênsuyrahàmsố
g
t giảmtrênkhoảng
1;  .
Suyra
  
1 5ln 2 6ln 3 0 0gt g f t

.
Suyrahàmsố
f
t luôngiảmtrênkhoảng
1;  .
Nên
4t
lànghiệmduynhấtcủaphươngtrình
0ft .
Suyra
6
0 4 4 4 4096ft ft f t a a
.
Nênsốnguyên
a lớnnhấtthỏamãngiảthiếtbàitoánlà
4095a
.
Lúcđó
2
log 2017 22,97764311a
.
Nênphầnnguyêncủa
2
log 2017a
bằng22.
Đápán:B.
Câu4: 󰇛NGUYỄN KHUYẾN TPHCM󰇜 Biết
15
2
x
làmộtnghiệmcủabấtphươngtrình
2
2log 23 23 log 2 15
a
a
xxx 󰇛*󰇜.TậpnghiệmT củabấtphươngtrình󰇛*󰇜là:
A.
19
;
2
T




. B.
17
1;
2
T



. C.
2;8T
. D.

2;19T
.
Hướngdẫngiải
22
2log 23 23 log 2 15 log 23 23 log 2 15
aaa
a
xxx xxx 
Nếu
1a
tacó


2
2
2
23 23 2 15
log 23 23 log 2 15 2 19
2150
aa
xxx
xxx x
xx



Nếu
01a
tacó


2
2
12
23 23 2 15
log 23 23 log 2 15
19
23 23 0
aa
x
xxx
xxx
x
x




Mà
15
2
x
làmộtnghiệmcủabấtphươngtrình.ChọnD.
BÌNHLUẬN
‐ Sửdụngtínhchấtcủahàmsốlogarit
log
a
yb
đồngbiếnnếu
1a
nghịchbiếnnếu
01a
‐
 

 

 
1
0
log log
01
0
aa
a
gx
f
xgx
fx gx
a
fx
f
xgx


Câu5: 󰇛T.TDIỆUHIỀN󰇜Tìm
m
đểphươngtrình :

2
2
11
22
1
1 log 2 4 5 log 4 4 0
2
mxm m
x

cónghiệmtrên
5
,4
2



A.
7
3
3
m . B.
m
. C.
m
. D.
7
3
3
m .
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Đặt

1
2
log 2tx
.Do

5
;4 1;1
2
xt




2
414(5)440mt mtm
2
1510mtm tm

22
151mt t t t
2
2
51
1
tt
m
tt



g
mft
Xét

2
2
51
1
tt
ft
tt


với

1;1t 


2
2
2
44
0
1
t
ft
tt


1; 1t
Hàmsốđồngbiếntrênđoạn

1;1
Để phương trình có nghiệm khi hai đồ thị
;
g
mftcắtnhau
1; 1t

7
(1) 1 3
3
fgmf m
BÌNHLUẬN
Đâylàdạngtoánứngdụnghàmsốđểgiảibàitoánchứathamsố.Đốivớibàitoánbiện
luậnnghiệmmàchứathamsốthìphảitìmđiềukiệnđúngchoẩnphụsauđócôlập
m rồi
tìmmax,minhàmsố.
Câu6: 󰇛LẠNG GIANG SỐ 1󰇜 Sốcácgiátrịnguyêndươngđểbấtphươngtrình
22 2
cos sin sin
32 .3
x
xx
m
cónghiệmlà
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Đặt
2
sin
x
t
01t

22 2
1
cos sin sin
32 .3 323
t
x
xx tt
m


2
332
2.3
33
3
t
tt
t
t
mm




Đặt:

32
01
93
t
t
yt




1122
3. .ln .ln 0
9933
tt
y




Hàmsốluônnghịchbiến
Dựavàobảngbiếnthiênsuyra
1m
thìphươngtrìnhcónghiệm
Suyracácgiátrịnguyêndươngcầntìm
1m
.
_
1
1
0
4
f(t)
f'(t)
t
Câu7: 󰇛LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM󰇜 Cóbaonhiêugiátrịthựccủathamsố m đểphươngtrình
22
32 4 63
.3 3 3
xx x x
mm


cóđúng
3
nghiệmthựcphânbiệt.
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
4.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Đặt.
2
2
32
63
4
3
.3
3
xx
x
x
u
uv
v


. Khi đó phương trình trở thành

2
32
2
2
2
2
3
2
3
1101 0
1
31
30
1
320
2
4log
4log
xx
x
mu v uv m m u v u u m v
u
vm
mm
x
xx
x
xm
x
m








Đểphươngtrìnhcóbanghiệmthì
2
3
4log
x
m cómộtnghiệmkhác
1; 2
. Tức
3
4log 0 81mm.
ChọnA.
Câu8: 󰇛LÝTỰTRỌNG–TPHCM󰇜Cho
2
log log log
log 0;
y
abc b
x
x
pqr ac
.Tính
y
theo
,,
pq
r
.
A.
2
yq pr. B.
2
p
r
y
q
. C.
2yqpr
. D.
2yqpr
.
Hướngdẫngiải
ChọnC.

22
log log
log 2log log log 2 log log log
log 2
yy
bb
xx
ac ac
yx b a cqxpxrx
xqpr



2yqpr
󰇛do
log 0x
󰇜.
BÌNHLUẬN
Sửdụng
log log log c,log log log ,log log
m
aaaaaaa a
b
bc b b c b m b
c
 
Câu9: 󰇛CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU󰇜 Cho hàm số

4
42
x
x
fx
.Tínhgiátrịbiểuthức
1 2 100
...
100 100 100
 

 
 
Af f f
?
A.
50
. B.
49
. C.
149
3
. D.
301
6
.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Cách1.BấmmáytínhCasiofx570theocôngthức
100
100
1
100
4 301
6
42





X
X
X
.
Cách2.Sửdụngtínhchất
11fx f x củahàmsố

4
42
x
x
fx
.Tacó
1
2
1
2
1 99 2 98 49 51 50 100
...
100 100 100 100 100 100 100 100
4 4 301
49
42 6
42

   

   

   


Af f f f f f f f
PS:Chứngminhtínhchấtcủahàmsố

4
42
x
x
fx
.
Tacó

1
1
44 4 4 4 2
11
424 24242.4 4224
  
 
xxx x
xxx xx x
fx f x
.
Câu10: 󰇛THTT
–477󰇜Nếu
2
84
log log 5ab
và
2
48
log log 7ab
thìgiátrịcủa
ab
bằng
A.
9
2.
B.
18
2.
C.
8.
D.
2.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Đặt
22
log 2 ; log 2
x
y
xaaybb.
Tacó
2
84
2
48
1
5
log log 5
315 6
3
13213
log log 7
7
3
xy
ab
xy x
xy y
ab
xy











.Suyra
9
22
xy
ab
.
BÌNHLUẬN
Nguyêntắctrongbàinàylàđưavềlogaritcơsố2.
Câu11: 󰇛THTT
– 477󰇜 Cho
1n
làmộtsốnguyên.Giátrịcủabiểuthức
23
11 1
...
log ! log ! log !
n
nn n

bằng
A.
0.
B. .n C.
!.n
D.
1.
Hướngdẫngiải
ChọnD.

!!! !
234
!!
111 1
1, ... log 2 log 3 log 4 ... log
log ! log ! log ! log !
log 2.3.4... log ! 1
nnn n
n
nn
nn n
nnn n
nn


BÌNHLUẬN
Sửdụngcôngthức
1
log
log
a
b
b
a
=
,
log log log
aaa
bc b c=+
,
log 1
a
a =
Câu12: 󰇛CHUYÊNLƯƠNGVĂNCHÁNH󰇜Chohaisốthựcdương
,
xy
thỏamãn
22 4
xy

.Tìmgiá
trịlớnnhất
max
P
củabiểuthức
22
22 9
P
xyyx xy .
A.
max
27
2
P . B.
max
18P
. C.
max
27P
. D.
max
12P
.
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Tacó
42 2 22 42 2
x y xy xy
xy

 .
Suyra
2
1
2
xy
xy




.
Khiđó

22 3322
22 92 410
P
xyyx xy xy xy xy .

22
23210



P
x y x y xy xy xy
22 22
4 4 3 4 10 16 2 2 1 18 xy xy xy xy xyxy
Vậy
max
18P
khi
1
x
y
.
Câu13:
󰇛CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU󰇜 Tìmtấtcảcácgiátrịcủa m đểphươngtrình

22
2
1
735 735 2
xx
x
m
cóđúnghainghiệmphânbiệt.
A.
1
16
m
. B.
1
0
16
m
. C.
11
216
m
. D.
1
0
2
1
16
m
m

.
ChọnD.
PT
22
735 735 1
222
xx
m





.
Đặt
2
735
0;1
2
x
t




.KhiđóPT

22
22022ttm mtt gt
󰇛1󰇜.
Tacó

1
14 0
4
gt t t

.
Suyrabảngbiếnthiên:
PTđãchocóđúng2ng
hiệmphânbiệt
󰇛1󰇜cóđúng1nghiệm

0;1t
1
1
2
16
8
1
12 0
0
2
m
m
m
m



.
BÌNHLUẬN
Trongbàinàycácemcầnlưuýtìmđiềukiệnđúngcho
t
vàmốiquanhệsốnghiệmgiữa
biếncũvàbiếnmới,tứclàmỗi

0;1t
chotahaigiátrị
x
.
Câu14: 󰇛CHUYÊNĐHSPHN󰇜Sốnghiệmthựcphânbiệtcủaphươngtrình
11
44
224
x
x
xx

là
A.
2. B. 3
. C.
1. D. 0.
ChọnD.
Điềukiện
0x
‐
Nếu
1
01
4
xx
x
 ,dấubằngxẩyrakhi
1
2
x và
1
1
4
x
x
,
dấubằngxẩyrakhi
2x
suyra
11
44
224,0
x
x
xx
x


‐Nếu
1
4
11 1
0112
44 2
x
x
xx x
xx
  ,dấubằngxẩyrakhi
1
2
x 
và
1
4
11 1
112
44 2
x
x
xx
xx

,dấubằngxẩyrakhi
2x
Suyra
11
44
221,0
x
x
xx
x


Vậyphươngtrìnhđãchovônghiệm.
BÌNHLUẬN
SửdụngbấtđẳngthứcCôsichohaisốdương
2ab ab
,dấu“”xảyrakhi .ab
Câu15: 󰇛CHUYÊNĐHVINH󰇜Sốnghiệmcủaphươngtrình
22
35
log 2 log 2 2xx xx
là
t 0
1
4
1
g
t
0
g
t
0
1
8
1
A.
3.
B.
2.
C.
1.
D.
4.
Đápán:B.
ĐK:
0; 2xx
.
Đặt
2
2tx x
2
22 2
x
xt
35
log log 2tt.
Đặt
35
log log 2ttu

3
5
log
log 2
tu
tu


3
25
u
u
t
t

523
uu

523
52 3
uu
uu


532
325
uu
uu


532 (1)
.
31
21(2)
55
uu
uu

 

 
 
Xét
1:5 3 2
uu

Ta thấy
0u
là1nghiệm,dùngphươngpháphàmsốhoặcdùngBĐTđểchứngminh
nghiệm
0u
làduynhất.
Với
2
01 210ut xx
,phươngtrìnhnàyvônghiệm.
Xét

31
2: 2 1
55
uu
 

 
 
Tathấy
1u
là1nghiệm,dùngphươngpháphàmsốhoặcdùngBĐTđểchứngminh
nghiệm
1u
làduynhất.
Với
2
03 230utxx
,phươngtrìnhcó2nghiệmphânbiệtthỏa
0; 2xx.
BÌNHLUẬN
Cho
1fx gx
nếu
,
f
xgx
đốinghịchnhaunghiêmngặthoặc
g
x const
và

f
x
tăng,giảmnghiêmngặtthì󰇛1󰇜cónghiệmduynhất.
Câu16: 󰇛CHUYÊNTHÁIBÌNH󰇜Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsốmđểphươngtrìnhsaucó
hainghiệmthựcphânbiệt:
2
31
3
log (1 ) log ( 4) 0xxm
.
A.
1
0
4
m
. B.
21
5.
4
m
 C.
21
5.
4
m
 D.
1
2
4
m
.
ChọnC.
2
2
31
2
2
3
33
1;1
10
log (1 ) log ( 4) 0
log (1 ) log ( 4)
14
x
x
xxm
xxm
xxm







Yê
ucầubàitoán
2
50fx x xm
có2nghiệmphânbiệt
1; 1
Cá
ch1:Dùngđịnhlívềdấutamthứcbậchai.
Để thỏa yêu cầu bài toán ta phải có phương trình
0fx cóhainghiệmthỏa:
12
11xx


.10
50
.1 0
21
30 5
0
4
21 4 0
11
2
af
m
af
mm
m
S









.
Cách2:Vớiđiềukiệncónghiệm,tìmcácnghiệmcủaphươngtrình
0fx rồisosánh
trựctiếpcácng
hiệmvới
1
và
1
.
Cách3:Dùngđồthị
Đườngthẳng
ym
cắtđồthịhàmsố
2
5yx xtạihaiđiểmphânbiệttrongkhoảng
1;1
khivàchỉkhiđườngthẳng
m
cắtđồthịhàmsố
2
5yx xtạihaiđiểmphân
bi
ệtcóhoànhđộ

1; 1
.
Cá
ch4:Dùngđạohàm
Xéthàmsố

2
1
5210
2
fx x x f x x x

Có

121
;1 3; 1 5
24
fff




Tacóbản
gbiếnthiên
x
1
1
2
1
f
x
–
0
f
x
5
21
4
3
Dựa vào bảng biến thiên, để có hai nghiệm phân biệt trong khoảng
1;1 khi
21 21
55
44
mm
.
Cách5:DùngMTCT
Saukhiđưavềphươngtrình
2
50xxm ,tanhậpphươngtrìnhvàomáytính.
*Giảikhi
0, 2m 
:khôngthỏaloạiA,D.
*Giảikhi
5m
:khôngthỏa
loạiB.
Câu17: Tậptấtcảcácgiátrịcủa
m
đểphươngtrình



2
1
2
22
2. 234. 2 2
xm
x
log x x log x m
 cóđúngbanghiệmphânbiệtlà:
A.
13
;1; .
22



B.
13
;1; .
22



C.
13
;1; .
22



D.
13
;1; .
22



Hướngdẫngiải
ChọnD
Tacó



2
1
2
22
2. 234. 2 2
xm
x
log x x log x m


1



2
2
2
1
22
2. 122. 2 2
xm
x
log x log x m



2
Xéthàmsố

2
2. 2 , 0.
t
ft log t t
Vì

0, 0ft t

hàmsốđồngbiếntrên

0; 
Khiđó



22
212 12
f
xfxmx xm




2
2
412 03
214
xx m
xm


Phươngtrình

1
cóđúngbanghiệmphânbiệtnếuxảyracáctrườnghợpsau:
󰇜PT
3
cónghiệmképkháchainghiệmphânbiệtcủaPT
4
3
2
m
,thayvàoPT
4
thỏamãn
󰇜PT
4
cónghiệmképkháchainghiệmphânbiệtcủaPT

3
1
2
m
,thayvàoPT
3
thỏamãn
󰇜PT
4
cóhainghiệmphânbiệtvàPT
3
cóhainghiệmphânbiệt,trongđócómột
nghiệmcủahaiPTtrùngnhau
421xm
,với
13
.
22
m
ThayvàoPT

3
tìmđược 1.m
KL:
13
;1; .
22
m



BÌNHLUẬN
B1:Đưaphươngtrìnhvềdạng
f
ufv
với
,uv
làhaihàmtheo
x
.
B2:Xét
hàmsố
,.
f
tt D
B3:Dùngđạohàmchứngminhhàmsố
,
f
tt D
tănghoặcgiảmnghiêmngặttrênD.
B4:
f
ufv uv
Câu18: 󰇛QUẢNG XƯƠNG I󰇜 Tấtcảcácgiátrịcủa
m đểbấtphươngtrình
(3 1)12 (2 )6 3 0
xxx
mmcónghiệmđúng
0x
là:
A.

2;
. B.
(;2]
. C.
1
;
3




. D.
1
2;
3




.
Chọn đápánBĐặt 2
x
t .Do
01
x
t
.
Khi đó ta có :
2
(3m 1) t (2 m) t 1 0, t 1
2
22
2
21
(3t t) m t 2 1 t 1 t 1
3
tt
tm
tt

 
Xéthàmsố

2
2
21
() ê 1;
3
tt
ft trn
tt


2
22
761
'(t) 0 (1; )
(3t t)
tt
ft


BBT
t
1

f'(t)

f(t)
1
3
2
Dođó
1
lim (t) 2
t
mf

thỏamãnyêucầubàitoán
BÌNHLUẬN
Sửdụng
 
 
maxf
minf
mfxxD m xxD
mfxxD m xxD


Câ
u19: 󰇛QUẢNG XƯƠNG I󰇜 Trong các nghiệm
(; )
x
y
thỏa mãn bất phương trình
22
2
log (2 ) 1
xy
xy

.Giátrịlớnnhấtcủabiểuthức
2Txy
bằng:
A.
9
4
. B.
9
2
. C.
9
8
. D.9.
Chọn đápánB
BấtPT
22
22 22
2
22 22
21 0 21
log (2 ) 1 ( ), ( )
22022
xy
xy xy
x
yIII
xyxy xyxy

 



 


.
XétT
2
x
y
TH1:󰇛x;y󰇜thỏamãn󰇛II󰇜khiđó
22
02 21Txyx y
TH2:󰇛x;y󰇜thỏamãn󰇛I󰇜
22 2 2
19
22 (1)(2 )
8
22
xyxyx y
.Khiđó
22 2
1191 199999
22(1)(2 ) (2)(1)(2 ) .
42 42842
222 22
xy x y x y

 


Suyra:
9
max
2
T
1
(;y) (2; )
2
x
BÌNHLUẬN
‐ Sử dụng tính chất của hàm số logarit
log
a
yb
đồng biến nếu 1a nghịch biến nếu
01a
 

 

 
1
0
log log
01
0
aa
a
gx
f
xgx
fx gx
a
fx
f
xgx


‐ Sử
dụngbấtđẳngthứcBCSchohaibộsố
;,;ab x
y
thì

222 2
ax b
y
abx
y

Dấu“”xảyrak
hi
0
ab
xy

Câ
u20: 󰇛MINH HỌA L2󰇜 Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực
m để phương trình

63 2 0
xx
mm
cónghiệmthuộckhoảng

0;1
.
A.

3; 4
. B.

2; 4
. C.
2; 4
. D.
3; 4
.
ChọnC.
Tacó:

63 2 0
xx
mm

1
63.2
21
xx
x
m
Xét hàm số

63.2
21
x
x
x
fx
xácđịnhtrên
, có


2
12 .ln3 6 .ln6 3.2 .ln2
0,
21


xx x
x
fx x nênhàmsố
f
x đồngbiếntrên
Suyra
 
01 0 12 4  xffxf fx
vì

02, 14.ff
Vậyphươngtrình

1 cónghiệmthuộckhoảng

0;1 khi
2; 4m .
Câu21: 󰇛CHUYÊNQUANGTRUNGLẦN3󰇜Tìm
m đểbấtphươngtrình
22
55
1 log 1 log 4
x
mx x m
thoãmãnvớimọi
x
.
A.
10m
. B.
10m
. C.
23m
. D.
23m
.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
BPT thoã mãn với mọi
x
.


2
22
40
51 4
mx x m
x
xmxxm





2
2
40
5450
mx x m
x
mx x m




2
2
0
16 4 0
50
16 4 5 0
m
m
m
m



0
2
2
5
3
7
m
m
m
m
m
m


23m
.
BÌNHLUẬN
SửdụngdấutamthứcbậchaikhôngđổitrênR:


2
2
0
0
0
0
0
0
a
f x ax bx c x R
a
f x ax bx c x R




Câu22: 󰇛 CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3󰇜Cho hàm số

4
2017
y



3x x
em-1e+1
. Tìm m đểhàmsố
đồngbiếntrênkhoảng
1; 2 .
A.
34
31 31eme . B.
4
31me.
C.
23
31 31eme . D.
2
31me.
Hướngdẫngiải
ChọnB.



3
11
3
44
.ln . 1 1
2017 2017
xx
eme
xx
yeme

 

 
 



3
11
3
44
.ln . 3 1
2017 2017
xx
eme
x
x
y
eme

 

 
 
Hàmsốđồngbiếntrênkhoảng
1; 2




3
11
3
44
.ln . 3 1 0, 1;2
2017 2017
xx
eme
xx
yemex

 

 
 
󰇛*󰇜, mà

3
11
4
0,
2017
4
ln 0
2017
xx
eme
x








. Nên 󰇛*󰇜
3
310,1;2
xx
eme x
2
31, 1;2
x
emx
Đặt


2
31, 1;2
x
gx e x ,
2
3.20, 1;2
x
gx e x


12x
gx
gx
||
||
.Vậy󰇛*󰇜xảyrakhi
2mg
4
31me
.
BÌNHLUẬN
S
ửdụng
''ln
uu
auaa
và phương pháp hàm số như các bài trên.
Câu23: 󰇛CHUYÊNBẮCGIANG󰇜 Tronghình vẽdướiđâycóđồthịcủacáchàmsố
x
y
a
,
x
y
b
,
log
c
yx
.
.
Hãychọnmệnhđềđúngtrongcácmệnhđềsauđây?
A.
.cab
B.
.acb
C.
.bca
D.
.abc
O
1
123
1
2
3
x
y
x
ya
x
yb
log
c
yx
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Từđồthị
Tathấyhàmsố
x
ya nghịchbiến
01a
.
Hàmsố
,log
x
c
yby x
đồngbiến 1, 1bc
,abac nênloạiA,C
Nếu
bc
thìđồthịhàmsố
x
yb và
log
c
yx
phảiđốixứngnhauquađườngphângiác
gócphầntưthứnhất
y
x
.Nhưngtathấyđồthịhàmsố
log
c
yx
cắtđường
y
x
nên
loạiD.
Câu24: 󰇛CHUYÊNBẮCGIANG󰇜Biếtrằngphươngtrình



2
log 4 2 3
24.2
x
xx



cóhainghiệm
1
x
,
21 2
x
xx .Tính
12
2
x
x
.
A.1. B.
3
. C.
5
. D. 1 .
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Điềukiện
2x
.
Phươngtrìnhthành



22
log 4 log 2 3
24.2
x
xx





2
2log2 3
2. 2 4. 2
x
xx x

hay



2
log 2
24.2
x
xx

.
Lấylôgaritcơsố2haivếtađược
  
22 2
log 2 .log 2 log 4 2xx x


 


2
2
22
2
5
log 2 1
log 2 2 log 2
2
log 2 2
6
x
x
xx
x
x



.
Suyra
1
5
2
x
và
2
6.x
Vậy
12
5
22.61
2
xx
.
Câu25: 󰇛CHUYÊNKHTNL4󰇜Cho
,
x
y làsốthựcdươngthỏamãn
2
ln nln l yxxy
.Tìmgiá
trịnhỏnhấtcủa
Pxy
A.
6P
. B.
22 3P
. C.
232P
. D.
17 3P
.
Hướngdẫngiải:
ChọnđápánB.
Từ

22
lnnln l xy xyxxy
y
.Taxét:
Nếu
01x
thì
22
0xyyy
x
x mâuthuẫn.
Nếu
1
x
thì

2
22
1
1

x
xy x y y x x
x
y
.Vậy
2
1

x
xP
x
xy
.
Tacó

2
1

x
fx x
x
xéttrên
1; 
.
Có

2
2
22
()
2
2
'0
22
()
41
2
2
1



x
loai
x
fx
x
x
an
x
nh
x
Vậy


1;
22
min 2 2 3
2





fx f
.
Câu26: 󰇛CHUYÊN KHTN L4󰇜 Tìm tập hợp tất cả các tham số
m
sao cho phương trình
22
21 22
4.2320
xx xx
mm
 
cóbốnnghiệmphânbiệt.
A.
;1 . B.
;1 2;  . C.
2; 
. D.
2;  .
Hướngdẫn
giải
Đặt

2
(1)
2 1
x
tt

Phươngtrìnhcódạng:
2
2320*tmtm
Phư
ơngtrìnhđãchocó4nghiệmphânbiệt
phươngtrình󰇛*󰇜cóhainghiệmphânbiệtlớnhơn1
2
2
2
2
2
22
1,2
320
320
320
10 2
321
32 1
32 21
mm
mm
mm
mm
xmmm
mm m
mm mm









Ch
ọnđápán:D
BÌNHLUẬN
Trongbàinàydođềbàiyêucầuphươngtrìnhcó4nghiệmphânbiệtnêntacầnchúýmỗi
1t thìtanhậnđượcbaonhiêugiátrị
x
Từ phương trình (*) chúng ta có thể cô lập
m và ứng dụng hàm số để biện luận số
nghiệm của phương trình thỏa đề bài.
Câu27: Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m
đểbấtphươngtrình
22
log (5 1).log (2.5 2)
xx
m
cónghiệmvớimọi
1
x
?
A.
6m
. B.
6m
. C.
6m
. D.
6m
.
Hư
ớngdẫngiải
BPT
22 2 2
log (5 1).log (2.5 2) m log (5 1). 1 log (5 1) m
xx x x

 

Đặt
2
6
log 1txx
do
1
x
2;t
BPT
2
(1 ) ( )ttmttmftm
Với
2
()
f
ttt
,
() 2 1 0ft tvới
2;t 
nênhàmđồngbiếntrên
2;t 
Nên
() (2) 6Minf t f
Dođóđểđểbấtphươngtrình
22
log(5 1).log(2.5 2) m
xx

cónghiệmvớimọi 1
x
thì:
() 6mMinft m
Câu28: Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m
đểphươngtrình
22 2
21 4
2
log log 3 log 3xxmx
cónghiệmthuộc
32;
?
A.
1; 3m
. B.
1; 3m
. C.
1; 3m

. D.
3;1m

.
Hướngdẫngiải
Điềukiện:
0.x
Khiđóphươngtrìnhtươngđương:

2
22 2
log 2 log 3 log 3xxmx .
Đặt
2
logtx
với
22
32 log log 32 5xx
hay
5.t
Phươngtrìnhcódạng

2
2 3 3 *tt mt .
Khiđóbàitoánđượcphátbiểulạilà:“Tìm
m
đểphươngtrình󰇛*󰇜cónghiệm
5t
”
Với
5t
thì
 

(*) 3 . 1 3 3. 1 3 0tt mt t tmt
1
130
3
t
tmt m
t

Tacó
14
1.
33
t
tt


Với
44
511 1 3
353
t
t
 

hay
11
131 3
33
tt
tt



suyra
13.m
Vậyphươngtrìnhcónghiệmvới
13.m
BÌNHLUẬN
Chúngtacóthểdùnghàmsốđểtìmmax,mincủahàmsố
1
,5
3
t
yt
t

Câu29: Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m
đểbấtphươngtrình
22
22
log 7 7 log 4 , .xmxxmx
A.
2;5m
. B.
2;5m
. C.
2;5m
. D.
2;5m
.
Hướngdẫngiải
Bấtphươngtrìnhtươngđương
22
77 4 0, xmxxmx
2
2
7 4 7 0 (2)
, .
4 0 (3)
mx x m
x
mx x m



7m
:󰇛2󰇜khôngthỏa
x
0m
:󰇛3󰇜khôngthỏa
x
󰇛1󰇜thỏa
x

2
2
2
3
70
7
5
47 0
2 5.
0
0
2
40
m
m
m
m
m
m
m
m
m








Câu30: Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsố
m
saochokhoảng
2;3 thuộctậpnghiệmcủabất
phươngtrình
22
55
log 1 log 4 1 (1)xxxm .
A.

12;13m
. B.
12;13m
. C.

13;12m
. D.
13; 12m
.
Hướngdẫngiải
2
2
2
2
2
4
4()
1
(1)
5
445()
40
xxm
mx xfx
x
mx x gx
xxm








Hệtrênthỏamãn
2;3x
23
23
( ) 12 khi 2
12 13.
( ) 13 khi 2
x
x
mMaxfx x
m
mMinfx x





Câu31: Phươngtrình
2
356
23
x
xx
cóhainghiệm
12
,
x
x
trongđó
12
x
x
,hãychọnphátbiểu
đúng?
A.
12 3
32 log8xx
. B.
12 3
23 log8xx
.
C.
12 3
23 log54.xx
D.
12 3
32 log54.xx
Hướngdẫngiải
Logarithóahaivếcủaphươngtrình󰇛theocơsố2󰇜tađược:

2
356
22
3 log 2 log 3
x
xx




2
22 2
3 log 2 5 6 log 3 3 2 3 log 3 0xxx xxx  

 
2
22
2
3
30 3
3.1 2log 3 0
1
2
12log3 2log31
log 3
x
xx
xx
x
xx









3333
33 3
log 2 2 log 2 log 9 log 18
xx x
xx x




 

Câu32: Phươngtrình
33 33 4 4 3
333310
xxxx

cótổngcácnghiệmlà?
A.0. B.2. C.3. D.4.
Hướngdẫngiải
33 33 4 4 3
333310
xxxx

7
 
333 3
33
27 81 1 1
7 27.3 81.3 10 27. 3 81. 3 10 7'
33 3 3
xx x x
xx x x




Đặt
11
323.2
33
xx
xx
Côsi
t 
3
332 33
23 3
11111
3 3 3.3 . 3.3 . 3 3
33333
xxxx x
xxxxx
ttt




Khiđó:



3
333
10 10
7' 27 3 81 10 2
27 3
tt t t t N
Với

10 1 10
3 7''
333
x
x
t 
Đặt
30
x
y .Khiđó:


2
3
110
7'' 3 10 3 0
1
3
3
yN
yyy
y
yN

Với
333 1
x
yx

Với
11
31
33
x
yx
Câu33: Phươngtrình
2
32314.350
xx x
x
cótấtcảbaonhiêunghiệmkhôngâm?
A.
1. B. 2. C.
0.
D.
3.
Hướngdẫngiải
2
3 2314.350
xx x
x
2
312314.340
xxx
x
3131 2 4310
xx x
x

325310
xx
x
3250
x
x
Xéthàmsố

325
x
f
xx
,tacó :
10f
.

'3ln320;
x
fx x
.Dođóhàmsố

f
x
đồngbiếntrên
.
Vậynghiệmduynhấtcủaphươngtrìnhlà
1
x
BÌNHLUẬN
Cóthểđặt
30
x
t 
sauđótínhdeltatheo
x
Câu34: Gọi
12
,
x
x
làhainghiệmcủaphươngtrình

22
22
21 22
43
22 2 21
xx
xx



.Khiđó,tổng
hainghiệmbằng?
A.
0.
B.
2.
C.
2.
D.
1.
Hướngdẫngiải
 
22 2 2
222 2
21 22 21 21
431 1
2 2 2 2 1 8.2 2 4.2 4.2 1
xx x x
xxx x


 
Đặt

2
1
22
x
tt

,phươngtrìnhtrêntươngđươngvới
22 2
8441610310tt t t t t t 
󰇛vì
2t
󰇜.Từđósuyra
2
12
1
22
310
log
2
2310
310
log
2
x
x
x


Vậytổnghainghiệmbằng
0
.
Câu35: Với giá trị của tham số
m
thìphươngtrình

116 2 2 3 4 6 5 0
xx
mmm
cóhai
nghiệmtráidấu?
A.
41.m
B.Khôngtồntại
m
.C.
3
1
2
m
. D.
5
1
6
m
.
Hướngdẫngiải
Đặt
40
x
t
.Phươngtrìnhđãchotrởthành:

2
1223650.
ft
mt mtm

*
Yêucầubàitoán
*
cóhainghiệm
12
, tt
thỏamãn
12
01tt




10 10
110 13120 4 1.
16 5 0 16 5 0
mm
mf m m m
mm mm

 

 


 

BÌNHLUẬN
Tìmmốiquanhệnghiệmgiữabiếncũvàmới,do
4
4
4log
01log0
x
txt
tt


nên
12
01tt
thì
phươngtrìnhcóhainghiệmtráidấu.
Câu36: Vớigiátrịnàocủathamsố
m
thìphươngtrình
1
4.220
xx
mm

cóhainghiệm
12
,
x
x
thoảmãn
12
3xx
?
A.
4m
. B.
2m
. C.
1m
. D.
3m
.
Hướngdẫngiải
Tacó:

2
1
4 .2 2 0 2 2 .2 2 0 *
xx x x
mm mm

Phươngtrình
*
làphươngtrìnhbậchaiẩn
2
x
có:

2
2
'22mmmm
.
Phươngtrình
*
cónghiệm

2
2
20 20
0
m
mm mm
m

ÁpdụngđịnhlýVi‐éttacó:
12 12
2.2 2 2 2
xx xx
mm

Dođó
3
12
322 4xx m m
.
Thửlạitađược
4m thỏamãn.ChọnA.
BÌNHLUẬN
Dophươngtrình
*
làphươngtrìnhbậchaiẩn
20
x
cóthểcónghiệm
20
x
󰇛vôlí󰇜
nên
khigiảirathamsố
4m
thìphảithửlại.
Câu37: 󰇛CHUYÊN VINH –L2󰇜Tìmtấtcảcácgiátrịcủathamsố
m
đểhàmsố
2
33
1
log 4log 3
y
mx xm

xácđịnhtrênkhoảng
0;
.
A.
;4 1;m
. B.
1;m
.
C.
4;1m
.

D.
1;m
.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Đặt
3
logtx
,khiđó
0;
x
t
.
2
33
1
log 4log 3
y
mx xm

trởthành
2
1
43
y
mt t m

.
Hàmsố
2
33
1
log 4log 3
y
mx xm

xácđịnhtrênkhoảng

0;
khivàchỉkhihàmsố
2
1
43
y
mt t m

xácđịnhtrên
2
430mt t mvônghiệm
2
430 41mm m m
  .
Câu38: 󰇛CHUYÊN VINH –L2󰇜Tìmtấtcảcácgiátrịcủathamsố
m đểphươngtrình

3
2
log 1
x
m
x

cóhainghiệmphânbiệt.
A.
01 m
. B.
1m 
. C.Khôngtồntạim . D.
10m
.
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Điềukiện:
10 1
11 0





xx
xx
Xét hàm số



 

2
33
22
;1 0,1;00:
log 1 1 .ln 3.log 1
fx x f x x
xxx


Bảngbiếnthiên
O
x
y
1
C
3
C
4
C
Từbảngbiếnthiênsuyraphươngtrình

3
2
log 1

x
m
x
cóhainghiệmphânbiệtkhivà
chỉkhi
1m
Câu39: 󰇛TIÊNLÃNG–HP󰇜Chobốnhàmsố

31
x
y ,

1
2
3
x
y



,
4 3
x
y
,

1
4
4
x
y



có đồ thị là
4
đườngcongtheophíatrênđồthị,thứtựtừtráiquaphảilà
1234
,,,CCCCnhưhìnhvẽbên.
Tươngứnghàmsố‐đồthịđúnglà
A.
2341
1,2,3,4CCCC.
B.
1234
1,2 ,3,4 .CCCC
C.
4132
1,2,3,4CCCC
.
D.
1234
1,2 ,3,4 .CCCC
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Tacó
3
x
y và 4
x
y cócơsốlớnhơn1nênhàmđồng
biếnnênnhậnđồthịlà
3
C
hoặc
4
C
.Lấy
2x
tacó
2
2
34 nênđồthị
4
x
y
là
3
C vàđồthị
3
x
y là
4
C .
Tacóđồthịhàmsố
4
x
y và
1
4
x
y



đốixứngnhauqua
Oy
nênđồthị
1
4
x
y



là
2
C
.
Cònlại
1
C
làđồthịcủa
1
3
x
y



.
Vậy
4132
1,2,3,4CCCC
Câu 40: ( CHUYÊN SƠN LA – L2)
Cho phương trình
2
911
3
3
12
4log log log 0
69
xm x xm
( m
là tham số ). Tìm m để phương trình có hai nghiệm
1
x
,
2
x
thỏa mãn
12
.3xx
. Mệnh đề nào
sau đây đúng ?
A.
12m
. B.
34m
. C.
3
0
2
m
. D.
23m
.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có:
2
911
3
3
12
4log log log 0
69
xm x xm
Đk:
0x
x

0

y
+ +
y
1




211
2
2
33
3
12
4 log log log 0
69
xm x xm


2
333
112
4log log log 0
239
xm x xm





2
33
12
log log 0 1
39
xm xm




Đặt
3
logtx
. Khi đó phương trình

1

2
12
02
39
tm tm




Phương trình đã cho có hai nghiệm
12
,xx
thỏa mãn
12
.3xx
31 2
log . 1xx
31 32 1 2
log log 1 1xxtt
(Với
131
logtx
và
232
logtx
)
Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình

2
Ta có
12
12
11 1
33
b
tt m m
a




Vậy
3
0
2
m
là mệnh đề đúng.
Câu 41: (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH – L2) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m để phương trình
31
x
mx
có hai nghiệm phân biệt?
A.
0m
. B.
0
ln 3
m
m
. C.
2m
. D. Không tồn tại m
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: Số nghiệm của phương trình
31
x
mx
phụ thuộc vào số giao điểm của đồ
thị hàm số
3
x
y
và đường thẳng
1ymx
.
.ln3 1yx
3
x
y
Ta thấy 1ymx luôn đi qua điểm cố định
0; 1 nên
+Nếu
0m
: phương trình có nghiệm duy nhất
+ Nếu
0m
:
1ymx
là hàm nghịch biến nên có đồ thị cắt đồ thị hàm số 3
x
y
tại m
ộ
t điểm duy nhất.
+
Nếu
0m
:Để thỏa mãn ycbt thì đường thẳng
1ymx
phải khác tiếp tuyến của
đồ thị hàm s
ố
3
x
y
tại điểm
0; 1 , tức là
ln 3m
.
Vậy
0
ln 3
m
m
Chủđề3.NGUYÊNHÀM–TÍCHPHÂN‐ỨNGDỤNG
Câu1: (SGD VĨNH PHÚC)Gọi
St là diện tích hình phẳng giới hạn bởi cácđường

2
1
12
y
xx

,
0y
,
0x
,
( 0)xtt
.Tìm

lim .
t
St

A.
1
ln 2
2

. B.
1
ln 2
2
. C.
1
ln 2
2
. D.
1
ln 2
2
.
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Cách1:
*Tìm
,,abc
saocho

2
2
1
1( 2)
12
abxc
xx
xx




2
12 1ax bx c x
22
144ax a x a bx bx cx c

2
144abx abcx ac
01
401
41 3
ab a
abc b
ac c








.
*Vìtrên
0;t
,

2
1
0
12
y
xx


nêntacó:
Diệntíchhìnhphẳng:



22
00
113
dd
1
12 2
tt
x
St x x
x
xx x









2
0
0
11 1 11
dln
12 22
2
t
t
x
x
xx xx
x









11 1
ln ln 2
22 2
t
tt


.
*Vì
11
lim 1 lim ln 0
22
tt
tt
tt
 

 

 

 
và
1
lim 0
2
t
t

Nê
n

1111
lim lim ln ln 2 ln 2
22 2 2
tt
t
St
tt
 





.
Cách2:DùngMáytínhcầmtay.
BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8 - 9 - 10)
_______________________________
Diệntíchhìnhphẳng:


2
0
1
d
12
t
St x
xx





Cho
100t
tabấmmáy

100
2
0
1
d 0,193
12
x
xx






Dùngmáytínhkiểmtra4kếtquảtađượcđápánB.
Câu2: (NGUYỄNKHUYẾNTPHCM)Chocáctíchphân
0
1
1tan
Idx
x
và
0
sin
cos sin
x
J
dx
x
x
với
0;
4



,khẳngđịnhsailà
A.
0
cos
cos sin
x
Idx
x
x
. B. ln sin osIJ c
 .
C.
ln 1 tanI

. D.
IJ

.
Hướngdẫngiải
ChọnC
Tacó
11cos
sin
1 tan cos sin
1
cos



nênAđúng.
0
00
cos sin
cos sin
ln cos sin ln cos sin
cos sin cos sin
dx x
xx
IJ dx x x
xx xx




Bđúng
0
0
IJ dxx

Dđúng.
Câu3: (NGUYỄNKHUYẾNTPHCM)Chohàmsố


3
1
48
x
f
xttdt
.Gọi ,mMlầnlượtlà
giátrịnhỏnhất,giátrịlớnnhấtcủahàmsố
f
x
trênđoạn
0;6
.Tính
M
m
.
A.18 B.12 C.16 D.9
Hướngdẫngiải


3422
1
1
48 4 43
x
x
f
xttdtttxx
,với
0x
.
24; 0 21;6fx x fx x


.
03;2 1;615ff f
.Suyra
15, 1Mm
.Suyra
16Mm
.
Đápán:C.
Câu4: (NGUYỄNKHUYẾNTPHCM)Giảsử



2017
11
1d
ab
xx
x
xx C
ab


với
,ab
là
cácsốnguyêndương.Tính
2ab
bằng:
A.
2017
. B.
2018
. C.
2019
. D.
2020
.
Hướngdẫngiải
Tacó:
   

 
2018 2019
2017 2017 2017 2018
11
1d 111d1 1 d
2018 2019
xx
x
xxx xx x x x C



Vậy 2019, 2018 2 2020ab ab.
ChọnD.
Câu5: (NGUYỄNKHUYẾNTPHCM)Cho
Fx
lànguyênhàmcủahàmsố

1
3
x
fx
e
và

1
0ln4
3
F 
.Tậpnghiệm
S
củaphươngtrình

3
3ln32Fx x
là:
A.
2S
. B.
2; 2S 
. C.
1; 2S
. D.
2;1S 
.
Hướngdẫngiải
Tacó:



d1 1
1d ln3
33 3 3
x
x
xx
xe
Fx x x e C
ee






.
Do

1
0ln4
3
F 
nên
0C
.Vậy


1
ln 3
3
x
Fx x e .
Dođó:
3ln322
x
Fx e x
ChọnA.
Câu6: (NGUYỄNKHUYẾNTPHCM)Cho
(), ()
f
xgxlàcáchàmsốliêntụctrênđoạn

2;6 và
thỏamãn
366
233
() 3; () 7; () 5f x dx f x dx g x dx

.HãytìmmệnhđềKHÔNGđúng.
A.
6
3
[3() ()] 8gx f x dx
B.
3
2
[3 ( ) 4] 5fx dx
C.
6
ln
2
[2 ( ) 1] 16
e
fx dx
D.
6
ln
3
[4 ( ) 2 ( )] 16
e
fx gxdx
Hướngdẫngiải
36 6
23 2
() () f() 10fxdx fxdx xdx

Tacó:
666
333
[3() ()] 3 () () 15 7 8g x f x dx g x dx f x dx

nên
A
đúng
333
222
[3 () 4] 3f() 4 9 4 5fx dx xdx dx

nên
B
đúng
6
ln 6 6 6
22 22
[2 ( ) 1] [2 ( ) 1] 2 f( ) 1 20 4 16
e
f x dx f x dx x dx dx 

nên
C
đúng
6
ln 6 6 6
33 33
[4() 2()] [4() 2()] 4f() 2 () 28 10 18
e
fx gxdx fx gxdx xdx gxdx

Nên
D sai
Chọnđápán
D
Câu7: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Giả s ử
23 2 3 2 2
(2 5 2 4) ( )
xx
e x x x dx ax bx cx d e C
.Khiđó
abcd
bằng
A.‐2 B.3 C.2 D.5
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Ta có
23 2 3 2 2
(2 5 2 4) ( )
xx
e x x x dx ax bx cx d e C
nên

32 2 2 2 232
32 2
32 2
()'(32)2()
2(32)(22) 2
(2 5 2 4)
xxx
x
x
ax bx cx d e C ax bx c e e ax bx cx d
ax a b x b c x c d e
xxxe
 


Dođó
22 1
325 1
22 2 2
24 3
aa
ab b
bc c
cd d











.Vậy
3abcd
.
Câu8: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho biết
5
1
() 15fxdx
. Tính giá trị của
2
0
[(5 3) 7]dxPf x
A.
15P
B.
37P
C.
27P
D.
19P
Hướngdẫngiải
Để tỉnh
P
tađặt
53
3
05
21
dt
txdx
xt
xt



nên
1555
5111
11
[ () 7]( ) [ () 7]dt () 7
33 3
11
.15 .7.(6) 19
33
dt
P
ft ft ftdt dt







chọnđápán
D
Câu9: (NGUYỄN KHU YẾN TPHCM) Cho hàm số
sin 2 cos2
f
xa xb x
thỏa mãn
'2
2
f




và
3
b
a
adx
.Tínhtổng
ab
bằng:
A.
3.
B.
4.
C.
5.
D.
8.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
'2cos22sin2
f
xa xbx
'2221
2
faa

 


1
313 4
bb
a
adx dx b b

Vậy
14 5.ab
Câu10: (TRẦNHƯNGĐẠO–NB)Biếtrằng:
ln 2
0
11 5
dln2ln2ln.
21 2 3
a
x
xxbc
e




Trongđó
,,abc
lànhữngsốnguyên.Khiđó
Sabc
bằng:
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D.
5
.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
ln 2 ln 2 ln 2
000
11
dd d
21 21
xx
x
xxx x
ee






.
Tính
ln 2
ln 2
22
0
0
ln 2
d
22
x
xx
Tính
ln 2
0
1
d
21
x
x
e
Đặt
d
21d2d d
1
xx
t
te tex x
t

.Đổicận:
ln 2 5, 0 3
x
tx t
.


ln 2 5 5
5
3
033
1d11 5
d d ln 1 ln ln 4 ln 5 ln 2 ln 3 ln 2 ln
21 1 1 3
x
t
xttt
etttt






.
ln 2
2
0
11 5
dln2ln2ln 2,1,1
21 2 3
x
xx abc
e




Vậy
4abc
.
Câu11: (LẠNG GIANG SỐ 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởiđồthị
C của hàm số

2
1
43
2
yxx
vàhaitiếptuyếncủa
C xuấtpháttừ
3; 2M là
A.
8
.
3
B.
5
.
3
C.
13
.
3
D.
11
.
3
Hướngdẫngiải
ChọnA
Tacó

1
24 2
2
yxx

.
Gọi

00
;
x
y
làtọađộtiếpđiểm.Khiđó,

2
000
1
43
2
yxx
và
00
2yx x

.
Phươngtrìnhcủatiếptuyếncủa
C tạiđiểmcótọađộ
00
;
xy
là


2
0000
1
243
2
yx xx x x
Vìtiếptuyếnđiquađiểm
3; 2M
nên


0
2
0000
0
11
1
223 43
5311
2
xyx
xxxx
xyx



Diệntíchhìnhphẳngcầntìm




35
22
13
118
43 1d 43 311d
223
Sxxxxxxxx

 



Câu12: (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân
4
0
dln2
1cos2
x
xa b
x

, với
a
,
b
là các số thực .
Tính
16 8ab
A.
4.
B.
5.
C.
2.
D.
3.
Hướngdẫngiải
ChọnA
Đặt
dd
d
1
d
tan
1cos2
2
ux
ux
x
v
vx
x



.Tacó
4
0
11 1 11111
tan tan d ln cos ln ln 2 ,
44
2 2 82 82 84 8 4
2
00
Ixx xx x ab


  
Dođó,
16 8 4ab
.
Câu13: (LẠNG GIANG SỐ 1) Giả sử

1
0
d3fx x
và

5
0
d9fz z
. Tổng
 
35
13
dd
f
tt ftt

bằng
A.
12.
B.
5.
C.
6.
D.
3.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Tacó

11
00
d3 d3
f
xx ftt

;

55
00
d9 d9
f
zz ftt

     
 
5135 35
0013 13
35
13
9dddd3dd
dd6.
f
tt ftt ftt ftt ftt ftt
ft t ft t




Câu14: (LẠNGGIANGSỐ1)Tíchphân
ln 2
21
0
1
d
x
x
ea
xe
eb

.Tínhtích
.ab
.
A.
1.
B.
2.
C.
6.
D.
12.
Hướngdẫngiải
ChọnB.

ln 2 ln2 ln 2 ln 2 ln 2
21
11
0000 0
1
dddd1d
x
xxx x
x
e
x
ex ex e x e x
e





ln 2
ln 2
1
0
0
11
21
22
x
x
ee ee e




1, 2 2ab ab
.
Câu15: (LÝTỰTRỌNG–TPHCM)Biết
32
3
63
3
sin 3
d3
1
x
xcd
ab
xx



với
,,,abcd
làcácsốnguyên.Tính
abcd
.
A.
28abcd
. B.
16abcd
. C.
14abcd
. D.
22abcd
.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
63
33 3
63
66
63
33 3
1sin
sin
1sin
1
1
xx x
x
Idx dxxxxdx
xx
xx








.
Đặt
t x dt dx  .Đổicận
33
33
xt
xt


.

333
63 63 6 3
333
1 sin 1 sin 1 sinI t t t dt t t tdt x x xdx





Suyra

33
33
33
22sin sinIxxdxIxxdx





.
3
x
(+)
sin
x
2
3
x
(–)
cos
x
6
x
(+)
sin
x
6(–)
cos
x
0
sin
x

32
32
3
3
3
sin3cos6sin6sin 263
27 3
Ixxxxxx x


Suyra:
27, 3, 2, 6abcd
.Vậy
28abcd
.
Câu16: (NGÔ GIA TỰ ‐ VP) Có bao nhiêu giá trị của
a
trongđoạn ;2
4



thỏa mãn
0
sin 2
d
3
13cos
a
x
x
x
.
A.
2 . B.1. C.4 . D.
3
.
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Đặt
2
13cos 13cos 2d 3sind.txtxttxx
Đổicận:+Với
20 tx
+Với
.cos31 Aatax
Khiđó

2
2
0
sin 2 2 2 2
dd 2 113cos1cos0
33 3 3
13cos
a
A
A
x
xtt A A a a
x



2
akk
 .Do
0
13
;2 2
1
442 42
k
akk
k






.
Bìnhluận:Khicho
2
a
thìtíchphânkhôngxácđịnhvìmẫuthứckhôngxác
định(trongcănbịâm).VậyđápánphảilàB,nghĩalàchỉchấpnhận
2
a
.
Câu17: (NGÔGIATỰ‐VP)Diệntíchmiềnphẳnggiớihạnbởicácđường:
2, 3
x
yyx
và
1y
là:
A.
S
11
ln 2 2
. B.
1
1
ln 2
S 
. C.
47
50
S
. D.
1
3
ln 2
S 
.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Xétphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủacácđường.Tacó:
231
x
x
x
21 0
x
x
31 2xx
Diệntíchcầntìmlà:


12
12
2
01
01
211
21d 31d 2
ln 2 2 ln 2 2
x
x
x
Sxxxx x





Câu18: (CHUYÊNPHANBỘICHÂU)Cóbaonhiêusố
0;20
a saocho
5
0
2
sin sin 2 .
7
a
xxdx
A.
20
. B.
19
. C.
9
. D.
10
.
Hướngdẫngiải
ChọnD
Tacó

56677
0
000
222
sin sin 2 2 sin cos 2 sin sin sin sin .
777


aaa
a
x xdx x xdx xd x x a
Dođó
7
sin 1 sin 1 2
2
  aaak. Vì
0;20
a
nên
1
0 2 20 10
22

 kkvà
k
nêncó10giátrịcủa
k
Câu19: (THTT–477)Giátrịcủa
1
1
lim d
1
n
x
n
n
x
e

bằng
A.
1.
B.
1.
C.
.e
D.
0.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Tacó:
1
1
d
1
n
x
n
Ix
e
Đặt
1dd
xx
tetex .Đổicận:Khi
1
1; 1 1
nn
x
nt exn t e
 
Khiđó:


11
1
11
1
1
1
11
111 1
d d ln 1 ln 1 ln
11 1
nn
n
n
nn
ee
n
e
n
e
ee
e
It ttt
tt t t e









Mà
1
1
1
11
1
1
n
n
n
n
e
e
ee
e
e







khin ,Dođó,
1
lim 1 ln 0
n
I
e


Câu20: (THTT–477)Nếu
6
0
1
sin cos d
64
n
xxx
thì
n
bằng
A.
3.
B.
4.
C.
5.
D.
6.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Đặt
sin d cos dtxt xx
.Đổicận:khi
1
00;
62
xtx t

Khiđó:
1
1
1
1
2
2
0
0
11 1
d.
11264
n
n
n
t
Itt
nn





.
Suyra
1
11
264
n
n



cónghiệmduynhất
3n
(tínhđơnđiệu).
Câu21: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hàm số

32
,,, , 0yfx axbx cxdabc a
cóđồthị
C .Biếtrằngđồthị
C tiếpxúcvớiđườngthẳng
4y
tạiđiểmcóhoànhđộâmvà
đồthịhàmsố
yf
x
chobởihìnhvẽdướiđây:
Tínhdiệntích
S
củahìnhphẳnggiớihạnbởiđồthị

C
vàtrụchoành.
A.
9S
. B.
27
4
S
. C.
21
4
. D.
5
4
.
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Từđồthịsuyra

2
33fx x

.
 

23
33 3fx f xdx x dx x x C


.
Do

C
tiếp xúc vớiđường thẳng
4y
tạiđiểm có hoànhđộ
0
x
âm nên

2
00 0
03 30 1fx x x
 
.
Suyra

14 2fC

3
:32Cyx x
Xétphươngtrình
3
2
320
1
x
xx
x


.
Diệntíchhìnhphẳngcầntìmlà:

1
3
2
27
32
4
xxdx

.
Câu22: (SỞGDHÀNỘI)Cho

yfx
làhàmsốchẵn,cóđạohàmtrênđoạn

6;6 .
Biếtrằng

2
1
d8fx x
và

3
1
2d 3fxx
.Tính

6
1
dIfxx
A.
11.I
B.
5.I
C.
2.I
D.
14.I
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Vì

fx
làhàmsốchẵnnên
  
22
11
d0 d d8
a
a
fx x fx x fx x




33
11
2d 2d 3fxxfxx

Xéttíchphân

3
1
2d 3Kfxx
Đặt
d
2d2dd
2
u
ux u x x
Đổicận:
12;36xux u .
  
66 6
22 2
11
dd3d6
22
Kfuufxx fxx

Vậy
   
6626
11 1 2
dddd8614.Ifxxfxxfxxfxx


Câu23: (SỞGDHÀNỘI)Biếtrằng

1
13 2
0
3 ,,
53
x
ab
e dx e e c abc

.Tính
23
bc
Ta
.
A.
6.T
B.
9.T
C.
10.T
D.
5.T
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Đặt
2
13 13 2 3txtxtdtdx
Đổicận:+
01
x
t
+
12
x
t

12 2
222
13 22 2
111
01 1
322 2 22 2.
xttttt
edx tedt te edt tee eeee e


10
10
0
a
T
bc


nêncâuCđúng.
Câu24: (SỞGDHÀNỘI)Chohàmsố

yfx
liêntụctrênđoạn

;ab
.Gọi
D
làdiệntích
hình phẳng giới hạn bởiđồthị
:Cyfx
, trục hoành, haiđường thẳng
x
a
,
x
b
(nhưhìnhvẽdướiđây).
Giảsử
D
S
làdiệntíchhìnhphẳng
D
.ChọncôngthứcđúngtrongcácphươngánA,B,
C,Dchodướiđây?
A.
 
0
0
dd
b
D
a
Sfxxfxx

. B.
 
0
0
dd
b
D
a
Sfxxfxx

.
C.
 
0
0
dd
b
D
a
Sfxxfxx

. D.
 
0
0
dd
b
D
a
Sfxxfxx

.
Hướngdẫngiải
ChọnB.
+Nhìnđồthịtathấy:
Đồthị
()C
cắttrụchoànhtại

0;0O
Trênđoạn

;0a
,đồthị
()C
ởdướitrụchoànhnên
 
fx fx
Trênđoạn

0;b
,đồthị

C
ởtrêntrụchoànhnên
 
fx fx
+Dođó:
    
00
00
ddd dd
bb b
D
aa a
S fxx fxx fxx fxx fxx

Câu25: (CHUYÊNHÙNGVƯƠNG–GL)Biết
5
1
221
4ln2ln5
x
Idxab
x


,với
,ab
là
cácsốnguyên.Tính
.Sab
A.
9.S
B.
11.S
C.
5.S
D.
3.S 
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Tacó:
525
112
221 221 221
ddd
xxx
Ixxx
xxx
  


 
25
25
12
12
22 1 2 2 1
52 2 3
xx
xx
dx dx dx dx
xxxx





25 2 5
12
12
53
2 5ln 2 3lnxdx dx x x x x
xx
 

 
 

8ln2 3ln5 4
8
11.
3
a
ab
b


Câu26: (BIÊNHÒA–HÀNAM)Biết

4
0
ln 2 1 d ln 3 ,
a
Ix x x c
b

trongđó
, , abc
làcácsố
nguyêndươngvà
b
c
làphânsốtốigiản.Tính
.Sabc
A.
60.S
B.
70.S
C.
72.S
D.
68.S
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Tacó

4
0
ln 2 1 dIx x x
Đặt

2
2
ud
ln 2 1
21
dd
2
dx
ux
x
x
vxx
v





4
2
44
2
00
0
ln 2 1
ln 2 1
221
xx
x
Ix xdx dx
x



4
4
2
0
0
11 11 63
8ln9 16ln3 ln 2 1 ln3 3
2442 1 4 4 8 4
xx
dx x x
x








63
63
ln 3 ln 3 3 4 70
4
3
a
a
cbS
b
c

.
Câu27: (PHANĐÌNHPHÙNG–HN)Chohìnhphẳng

H
giớihạnbởicácđường
2
1yx
và
,0 1.yk k

Tìm
k
đểdiệntíchcủahìnhphẳng

H
gấphailầndiệntíchhìnhphẳng
đượckẻsọctronghìnhvẽbên.
A.
3
4.k
B.
3
21.k 
C.
1
.
2
k
D.
3
41.k 
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Dođồthịnhậntrục
Oy
làmtrụcđốixứngnênyêucầubàitoántrởthành:
Diệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởi
2
1, ,0yxykx
bằngdiệntíchhìnhphẳnggiới
hạnbởi:
22
1, 1, ,0.yxyxykx

 
111
222
01
1
1
1d 1d 1d1111
3
kk
k
xkx k xx kx x k k k k

 

    
11 1 1
1 111111 111
33 3 3
k kkkkkk kkk
 

24
11
33
kk


3
12k
3
41.k
Câu28: (CHUYÊNTHÁIBÌNH)Chohàmsố
()yfx
cóđồthị
()yfx
cắttrụcOxtạiba
điểmcóhoànhđộ
abc
nhưhìnhvẽ.Mệnhđềnàodướiđâylàđúng?
A.
() () ().fc fa fb

B.
() () ().fc fb fa
C.
() () ().fa fb fc
D.
() () ().fb fa fc

Hướngdẫngiải
ChọnA.
Đồthịcủahàms ố
()yfx
liêntụctrêncác
đoạn

;ab
và

;bc
, lại có
()fx
là một
nguyênhàmcủa
()fx
.
Dođódiệntíchcủahìnhphẳnggiớihạnbởicácđường:
()
0
yfx
y
xa
xb
là:
 
1
()d ()d
bb
b
a
aa
Sfxx fxxfxfafb



.
Vì

1
0Sfafb


1
Tươngtự:diệntíchcủahìnhphẳnggiớihạnbởicácđường:
()
0
yfx
y
xb
xc
là:
 
2
()d ()d
cc
c
b
bb
Sfxxfxxfxfcfb



.

2
0Sfcfb

2
.
Mặt khác, dựa vào hình vẽ ta có:
 
12
S S fa fb fc fb fa fc


3
.
Từ(1),(2)và(3)tachọnđápánA.
(cóthểsosánh

fa
với

fb
dựavàodấucủa
()fx
trênđoạn

;ab
vàsosánh

fb
với

fc
dựavàodấucủa
()fx
trênđoạn

;bc
).
Câu29: Chotamgiácđều
ABC
códiệntíchbằng
3
quayxungquanhcạnh
AC
củanó.Tính
thểtích
V
củakhốitrònxoayđượctạothành.
A.
2.V p=
B.
.V p=
C.
7
.
4
V p=
D.
7
.
8
V p=
Hướngdẫngiải
ĐápánA
32
ABC
SABBCCA= = ==
.Chọnhệtrụcvuônggóc
Oxy
sao cho
()()
()
0;0, 1;0, 0; 3OAB-
với
O
là trungđiểm
AC
.
Phươngtrìnhđường thẳng
AB
là
()
31yx=-
,thể tíchkhối
trònxoaykhiquay
ABO
quanhtrục
AC
(trùng
Ox
)tínhbởi
()
1
0
31Vxdxpp
¢
=-=
ò
. Vậy thể tích cần tìm
22VV p
¢
==
.
Câu30: Trongcácsốdướiđây,sốnàoghigiátrịcủa
2
1
2
2.cos
d
12
x
x
x
x
p
p
-
-
+
ò
A.
1
2
. B.0. C.2. D.1.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Tacó:
() ()
()
22 2
1
00
2
2 cos 2 cos 2 cos
ddd1
12
12.2 12.2
xxx
x
xx
xx x
xxx
pp p
p
-
-
-
=-
+
++
òòò
Đặt
xt=-
tacó
0x =
thì
0, x
2
==-t
p
thì
2
t
p
=
và
ddxt=-
()
()
()
()
() ()
22 2 2
00 0 0
2cos
2 cos cos cos
dd dd
1 2 .2 1 2 .2 1 2 .2 1 2 .2
t
x
xt tx
t
xtx
xttx
pp p p
-
-
-
= - =- =-
++ + +
òò ò ò
Thayvào(1)có
() ()
22 2
1
00
2
2 cos 2 cos cos
dd
12
12.2 12.2
-
-
=+
+
++
òòò
xx
x
xx
xxx
xxdx
pp p
p
()
()
22
2
000
12cos
cos sin 1
dd
222
12.2
+
====
+
òò
x
x
x
xx
xx
pp
p
Vậy
2
1
2
2 cosx 1
d
2
12
x
x
x
p
p
-
-
=
+
ò
Câu31: ( CHUYÊNQUANGTRUNGLẦN 3)Cho
f
,
g
làhaihàmliêntụctrên
1; 3
thỏa:
 
3
1
3d10fx gx x

.

3
1
2d6fx gx x

.Tính
 
3
1
d
f
xgx x

.
A.8. B.9. C.6. D.7.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Tacó
   
333
111
3d10 d3 d10f x gx x f x x gx x 


.
Tươngtự
   
333
111
2d62dd6f x gx x f x x gx x
 


.
Xéthệphươngtrình
310 4
26 2
uv u
uv v





,trongđó

3
1
dufxx
,

3
1
dvgxx
.
Khiđó
   
333
111
ddd426f x gx x f x x gx x
 


.
Câu32: (PHANĐÌNHPHÙNG) Thểtích
V
củakhốitrònxoayđượcsinhra khi quayhình
phẳnggiớihạnbởiđườngtròn
22
(): ( 3) 1Cx y
xungquanhtrụchoànhlà
A.
6V
. B.
3
6V
. C.
2
3V
. D.
2
6V
.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
22 2
(3)1 31xy y x
.
11
22
22 2
11
31 31 12 1
Vxxdxxdx







.
Đặt
sin cos .xtdx tdt
.Với
1
2
11
2
xt
xt

 
.
22
222
22
12 1 sin .cos 12 cos 6Vttdttdt






.
Câu33: (CHUYÊNĐHKHTNHUẾ)Trongmặtphẳngtọađộ
Oxyz
cho

E
cóphươngtrình

22
22
1, , 0
xy
ab
ab

vàđườngtròn

22
:7.
Cx y
Đểdiệntíchelip

E
gấp7lần
diệntíchhìnhtròn

C
khiđó
A.
7ab
. B.
77ab
. C.
7ab
. D.
49ab
.
Hướngdẫngiải
ChọnD.

22
22
22
1, , 0
xy b
ab y a x
a
ab

.
Diệntích

E
là



d
d
22
22
00
44
aa
E
ba x x b
Saxx
aa
Đặt




tt d tdt

sin , ; cos
22
xa xa
.
Đổicận:
 tt
00;
2
xxa




a.costdt 1+cos2tdt
22
00
42
aa
E
b
Sabab
a
Màtacó

2
.7.
C
S π R π
Theogiảthiếttacó



7. 49 49.
EC
S S ab ab
Câu34: (CHUYÊNĐHKHTNHUẾ)Giảsửtíchphân

1
2017
0
.ln 2 1 d ln3
b
xx xa
c

.Vớiphân
số
b
c
tốigiản.Lúcđó
A.
6057.bc
B.
6059.bc
C.
6058.bc
D.
6056.bc
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Tacó
 
11
2017
00
.ln 2 1 d 2017 .ln 2 1 dIx x x x x x

.
Đặt

2
2
dd
ln 2 1
21
1
dd
28
ux
ux
x
x
vxx
v




Dođó
 

1
11
22
00
0
112
.ln 2 1 d ln 2 1 d
28 2821
xx
x
xx x x
x








1
2
0
33
ln 3 ln 3
848
xx





1
2017
0
3 6051
.ln 2 1 d 2017 ln 3 ln3.
88
Ix x x




Khiđó
6059.bc
Câu35: (NGÔQUYỀN–HP)Gọi
S
làdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởicácđường
2
2,my x
2
1
,
2
mx y
0m
.Tìmgiátrịcủam để
3S
.
A.
3
.
2
m
B.
2.m
C.
3.m
D.
1
.
2
m
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Tacó
22
1
20
2
my x y x
m

(do
0m
).
và
22
20
1
2
2
20
ymx
mx y y mx
ymx



.
Xétphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủa
2
2my x
và
2
1
2
mx y
tacó
22 43
0
1
22280
2
2
x
x mxx mmxxmx
xm
m

.
Khiđó
22
22
00
11
2d 2 d
22
mm
S x mx x x mx x
mm





2
32
0
122 4
.
23 3 3
m
xm m
xx
m

.
Để
2
2
493
33
342
m
Smm 
(do
0m
).
Câu36: (CHUYÊNKHTNL4)Gọi

H
làphầngiaocủa
haikhối
1
4
hìnhtrụcóbánkính
a
,haitrụchình
trụvuônggócvớinhau. Xemhìnhvẽbên.Tính
thểtíchcủa

H
.
A.

3
2
3
H
a
V
. B.

3
3
4
H
a
V
.
C.

3
2
H
a
V
. D.

3
4
H
a
V
.
Hướngdẫngiải
ChọnđápánA.
Tagọitrụctọađộ
Oxyz
nhưhìnhvẽ.Khiđóphầngiao

H
làm ộtvậtthểcóđáylàmột
phầntưhìnhtròntâm
O
bánkính
a
,thiếtdi ệncủamặtphẳngvuônggócvớitrục
Ox
làmột
hìnhvuôngcódiệntích

22
Sx a x
Thểtíchkhối

H
là


3
22
00
2
3


aa
x
a
Sxdx a dx
.
x
y
Câu37: (CHUYÊN KHTNL4) Với các số nguyên
,ab
thỏa mãn

2
1
3
21lnd ln
2
xxxa b

.
Tínhtổng
Pab
.
A.
27P
. B.
28P
. C.
60P
. D.
61P
.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Đặt

ln
d21d
ux
vx x

tacó
2
1
ddux
x
vx x


 

22
222
1
11
2
2
2
1
1
1
21lnd ln .d
33
6ln2 1 d 6ln2 6ln2 4 4 ln64
222
xxxxxxxxx
x
x
xx x









46460Pab
.
Câu38: (CHUYÊNVINH–L2)TrongCôngviênToánhọccónhững
mảnhđất manghình dángkhácnhau.Mỗimảnhđược
trồngmộtloàihoavànóđượctạothànhbởimộttrong
nhữngđườngcongđẹp
trongtoánhọc.Ởđócómột
mảnhđất mang tên Bernoulli, nóđược tạo thành từ
đườngLemmiscatecóphươngtrìnhtronghệtọađộ
Oxy
là

22 2
16 25yx x
nhưhìnhvẽbên.
Tínhdiệntích
S
củamảnhđấtBernoullibiếtrằngmỗiđơnvịtronghệtọađộ
Oxy
tươngứngvớichiềudài
1
mét.
A.

2
125
6
Sm
B.

2
125
4
Sm
C.

2
250
3
Sm
D.

2
125
3
Sm
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Vìtínhđốixứngtrụnêndiệntíchcủamảnhđấttươngứngvới4lầndiệntíchcủa
mảnhđấtthuộcgócphầntưthứnhấtcủahệtrụctọađộ
Oxy
.
x
y
O
a
M
H
4
K
Từgiảthuyếtbàitoán,tacó
2
1
5
4
yxx
.
Gócphầntưthứnhất

2
1
25 ; 0;5
4
yx xx
Nên
5
23
()
0
1 125 125
25 d ( )
4123
I
Sxxx Sm
Câu39: (CHUYÊN VINH – L2) Gọi
V
là thể tích khối tròn
xoaytạothànhkhiquay hìnhphẳnggiớihạnbởicác
đường
yx ,
0y
và
4x
quanh trục
Ox
.Đường
thẳng

04xa a cắtđồthị hàm
yx
tại
M
(hình vẽ bên). Gọi
1
V
là thể tích khối tròn xoay tạo
thànhkhiquaytamgiác
OMH
quanhtrục
Ox
.Biếtrằng
1
2VV
.Khiđó
A.
2a
. B.
22a
. C.
5
2
a . D.
3a
.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Tacó
00xx
.Khiđó
4
0
d8Vxx

Tacó

;
M
aa
Khiquaytamgiác
OMH quanhtrụcOx tạothànhhaihìnhnóncóchungđáy:
Hìnhnón

1
N
cóđỉnhlà
O
,chiềucao
1
hOKa
,bánkínhđáy

R
MK a
;
Hình nón
2
N
thứ 2 cóđỉnh là
H
, chiều cao
2
4hHK a, bán kínhđáy

R
MK a
Khiđó
22
112
11 4
33 3

VRhRha
Theođềbài
1
4
282. 3
3

 VV aa
.
Câu40: (CHUYÊN VINH – L2)Gọi
H
là hình phẳng giới hạn bởiđồthị hàm số:
2
44yx x,trụctungvàtrụchoành.Xácđịnh
k
đểđườngthẳng
d
điquađiểm
0; 4A
cóhệsốgóc
k
chia
H
thànhhaiphầncódiệntíchbằngnhau.
A.
4k 
. B.
8k 
. C.
6k 
. D.
2k 
.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Phươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủađồthịhàmsố
2
44yx xvàtrụchoànhlà:
2
440 2xx x.
O
BI
x
y
d
4
1
Diệntíchhìnhphẳng

H
giớihạnbởiđồthịhàms ố:
2
44
y
xx
,trụctungvàtrục
hoànhlà:

22
22
00
44d 44dSxx x xx x

2
3
2
0
8
24
33
x
xx




.
Phươngtrìnhđườngthẳng
d điquađiểm

0;4A
cóhệsốgóc
k códạng: 4ykx.
Gọi
B làgiaođiểmcủa
d
vàtrụchoành.Khiđó
4
;0
B
k



.
Đườngthẳng
d
chia
H
thànhhaiphầncódiệntích
bằngnhaukhi
BOI
và
14
23
OAB
SS

.
4
02
2
6
1144 6
..4.
223
OAB
k
k
k
k
SOAOB
k






.
Câu41: (CHUYÊN TUYÊN QUANG –L1) Tí nh tích phân

62
42
3
4
1
432
d34
18
xx
xabc
x


.V ới a ,
b
, c làcácsốnguyên.Khiđó
biểuthức
24
ab ccógiátrịbằng
A.
20
. B.241. C.
196
. D.
48
.
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Tacó
62 62 62 62
42 2 2
22 22
44 4
11 11
43 1 1
d4d4d d
11 1
xx x x
x
xx xIJ
xx x








.
Tính
62
2
62
2
1
1
4d4 26224Ixx
  
.
Tính
62 62 62
2
22 2
22
2
4
2
11 1
2
11
11
1
dd d.
1
1
1
2
x
xx
J
xx x
x
x
x
x
x








Đặt
2
11
1d
tx dt x
xx




.Khi
10
62
2
2
xt
xt


.
Khiđó

2
2
2
0
d
2
t
J
t
.Đặt
2
2tan d 2 1 tan dtut uu
. Khi
00
2
4
tu
tu


.
Suyra


2
44
4
2
00
0
21 tan
222
du du
228
21 tan
u
Ju
u



.
Vậy

62
42
2
4
1
16
432
d163164
1
18
ab
xx
x
c
x



.
Vậy
24
241ab c .
Câu 42: (CHU VĂN AN – HN) Cho hai mặt cầu

1
S ,
2
S có cùng bán kính R thỏa mãn
tính chất: tâm của
1
S
thuộc
2
S
và ngược lại. Tính thể tích phần chung
V
của
hai khối cầu tạo bởi
1
()S
và
2
()S
.
A.
3
VR
. B.
3
2
R
V
. C.
3
5
12
R
V
. D.
3
2
5
R
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gắn hệ trục
Oxy
như hình vẽ
Khối cầu
,SOR chứa một đường tròn lớn
là
22 2
:Cx
y
R
Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính là

33
22 2
2
2
5
2d2
312
R
R
R
R
x
R
VRxxRx





.
Câu 43: `(CHU VĂN AN – HN) Cho hàm số
42
3
y
xxm
có đồ thị
m
C với m là tham
số thực. Giả sử
m
C
cắt trục
Ox
tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ :
O
R
2
R
22 2
():Cx y R
y
x
Gọi
1
S
,
2
S
và
3
S
là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm m để
12 3
SS S
.
A.
5
2
m  . B.
5
4
m  . C.
5
2
m . D.
5
4
m .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Giả sử
x
b
là nghiệm dương lớn nhất của phương trình
42
30xxm. Khi đó ta
có
42
30bbm
(1)
Nếu xảy ra
12 3
SS S
thì


54
42 3 2
0
3 d 0 0 0 (2) do 0
55
b
bb
xxmx bmb bm b

Từ (1) và (2), trừ vế theo vế ta được
42 2
45
2 0 (do 0)
52
bb b b .
Thay trở ngược vào (1) ta được
5
4
m .
O
x
y
3
S
1
S
2
S

m
C
Chủđề4.SỐPHỨC
Câu1: (TRẦNHƯNGĐẠO–NB)Chocácsốphức
12
,zz
khácnhauthỏamãn:
12
.zz Chọn
phươngánđúng:
A.
12
12
0
zz
zz
. B.
12
12
zz
zz
làsốphứcvớiphầnthựcvàphầnảođềukhác
0
.
C.
12
12
zz
zz
làsốthực. D.
12
12
zz
zz
làsốthuầnảo.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Phươngpháptựluận:
Vì
12
zz và
12
zz
nêncảhais ốphứcđềukhác
0
.Đặt
12
12
zz
w
zz
và
12
zza,ta
có
22
22
1
1
2121212
12 2
12
12
aa
zz zz z z zz
ww
aa
zz zz
zz
zz






Từđósuyra
w
làsốthuầnảo.ChọnD.
Phươngpháptrắcnghiệm:
Sốphức
12
,zz
khácnhauthỏamãn
12
zz nênchọn
12
1;zzi
,suyra
12
12
1
1
zz
i
i
zz i


làsốth
uầnảo.ChọnD.
Câu2: (TRẦNHƯNGĐẠO–NB)Chosốphức
z thỏamãnđiềukiện 34 2.zi Trong
mặtphẳng
Oxy tậphợpđiểmbiểudiễnsốphức
21wz i
làhìnhtròncódiệntích
A.
9S
. B.
12S
. C.
16S
. D.
25S
.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
1
21
2
wi
wz iz



1
34 2 34 2 1 68 4 79 41
2
wi
zi i wii wi

  
Giảsử
,wxyixy
,khiđó

22
17916xy 
Suyratậphợpđiểmbiểudiễnsốphức
wlàhìnhtròntâm
7; 9I ,bánkính
4.r
Vậydiệntíchcầntìmlà
2
.4 16 .S

BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8 - 9 - 10)
_______________________________
Câu3: (TRẦNHƯNGĐẠO–NB)Trongcácsốphứcthỏamãnđiềukiện 32.ziz i
Tìmsốphứccómôđunnhỏnhất?
A.
12zi
. B.
12
55
zi
. C.
12
55
zi
. D.
12zi
.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Phươngpháptựluận
Giảsử
,zxyixy
 
222
2
32 3 21 3 2 1ziz i xy i x y i x y x y    
6944214840 210 21yxy xy xy xy

2
2
22 2 2
215
21 5 41 5
555
zxy y y yy y




Suyra
min
5
5
z
khi
21
55
yx
Vậy
12
.
55
zi
Phươngpháptrắcnghiệm
Giảsử

,zxyixy
 
222
2
32 3 21 3 2 1ziz i xy i x y i x y x y    
6944214840 210yxy xy xy
Vậytậphợpcácđiểmbiểudiễnsốphức
z
thỏađiềukiện 32ziz ilàđường
thẳng
:210dx y.
PhươngánA:
12zi
cóđiểmbiểudiễn
1; 2 dnênloạiA.
PhươngánB:
12
55
zi
cóđiểmbiểudiễn
12
;
55
d




nênloạiB.
PhươngánD:
12zi
cóđiểmbiểudiễn
1; 2 dnênloạiB.
PhươngánC:
12
55
zi
cóđiểmbiểudiễn
12
;
55
d




Câu4: (LẠNGGIANGSỐ1)Chosốphức
z
thỏamãn 338zz.Gọi
M
, m lầnlượt
giátrịlớnnhấtvànhỏnhất
.z Khiđó
M
m
bằng
A.
47.
B.
47.
C.
7.
D.
45.
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Gọi
zxyi với ;xy .
Tacó
833332 4zzzz zz
.
Dođó 4Mmaxz.
Mà
 
22
22
338 3 3 8 3 3 8zz xyixyi x yx y
.
ÁpdụngbấtđẳngthứcBunhiacopxki,tacó
 

 
22 22
222222
81. 3 1. 3 1 1 3 3
x
yxy xyxy



22 22
822 2 18 22 2 1864xy xy
22 22
777xy xy z
.
Dođó
7Mminz
.
Vậy
47Mm
.
Câu5: (CHUYÊNPHANBỘICHÂU)Chosốphức
z
thỏamãn 23 1 zi.Giátrịlớnnhất
của
1zi
là
A. 13 2 . B. 4 . C.
6
. D. 13 1 .
Hướngdẫngiải
ChọnD
Gọi
zxyitacó
23 23 2 3   zixyiixyi.
Theogiảthiết

22
231xy
nênđiểm
M
biểudiễnchosốphức
z
nằmtrên
đườngtròntâm
2;3I bánkính
1R
.
Tacó
 
22
1111 11   zixyiix yi x y
.
Gọi
;
M
xyvà
1;1H thì

2
2
11HM x y
.
Do
M
chạytrênđườngtròn,
H
cốđịnhnên
M
H
lớnnhấtkhi
M
làgiaocủa
H
I
với
đườngtròn.
Phươngtrình
23
:
32


x
t
HI
yt
,giaocủa
H
I
vàđườngtrònứngv ới
t
thỏamãn:
22
1
941
13
tt t
nên
32 32
2;3 ,2;3
13 13 13 13

 


MM
.
Tínhđộdài
M
H
talấykếtquả
13 1HM
.
Câu6: (THTT–477)Cho
123
, , zzz
làcácsốphứcthỏamãn
123
0zzz
và
123
1.zzz
Khẳngđịnhnàodướiđâylàsai?
A.
333 3 3 3
123123
.zzz z z z
B.
333 3 3 3
123 1 2 3
.zzz z z z

C.
333 3 3 3
123 1 2 3
.zzz z z z
D.
333 3 3 3
123 1 2 3
.zzz z z z
Hướngdẫngiải
M
1
I
H
M
2
ChọnD.
Cách1:Tacó:
123 23 1
0zzz zz z
 
3
333
123 1 23 1213123 2323
33   z z z z z z zz zz z z z zz z z
333
123 123
3zzz zzz
333
123 123
3zzz zzz
.
333
123 123 123
33 3 zzz zzz zzz
Mặtkhác
123
1zzz nên
333
123
3zzz
.VậyphươngánDsai.
Cách2:thaythử
123
1zzz
vàocácđápán,thấyđápánDbịsai
Câu7: (THTT–477)Cho
123
,,zzz
làcácsốphứcthỏa
123
1.zzzKhẳngđịnhnàod ưới
đâylàđúng?
A.
123 122331
.zzz zzzzzz B.
123 122331
.zzz zzzzzz 
C.
123 122331
.zzz zzzzzz
D.
123 122331
.zzz zzzzzz
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Cách1:Kíhiệu
Re
:làphầnthựccủasốphức.
Tacó
2
123
zzz

222
123 122331
2Rezzz zzzzzz

12 23 31
32Rezz zz zz (1).
2
12 23 31
zz zz zz

222
12 23 31 1223 2331 3112
2Rezz zz zz zzzz zzzz zzzz

22 22 22 2 2 2
12 23 31 123231312
...2Rezz zz zz zzzzzzzzz
13 21 32 12 33 31
32Re 32Rezz zz zz zz zz zz  (2).
Từ
1 và

2 suyra
123 122331
zzz zzzzzz .
Cáchkhác:BhoặcCđúngsuyraDđúngLoạiB,C.
Chọn
123
zzz
AđúngvàDsai
Cách2:thaythử
123
1zzz
vàocácđápán,thấyđápánDbịsai
Câu8: (THTT – 477) Cho

P
z là mộtđa thức với hệ số thực.Nếu số phức
z
thỏa mãn

0Pz thì
A.

0.Pz
B.
1
0.P
z



C.
1
0.P
z



D.
0.Pz
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Giảsử

P
z códạng
2
01 2 012
... ; ; ;...; ; 0
n
nnn
Pz a az az az a a a a a

22
01 2 01 2
0 ... 0 ... 0
nn
nn
Pz a az az az a az az az 
2
01 2
... 0 0
n
n
aazaz az Pz
Câu9: (BIÊNHÒA–HÀNAM)Chosốphức z thỏamãn
1z
.Đặt
2
2
zi
A
iz
.Mệnhđềnào
sauđâyđúng?
A. 1A . B. 1A . C. 1A . D. 1A .
Hướngdẫngiải
ChọnA.
ĐặtCó


22
,, 1aabiab a b (do 1z )
 

 



2
2
2
2
221 4 21
2
22
2
abi a b
zi
A
iz b ai
ba
Tachứngminh



2
2
2
2
421
1
2
ab
ba
.
Thậtvậytacó





2
2
22
2222
2
2
421
14 21 2 1
2
ab
ab baab
ba
Dấu“=”xảyrakhi

22
1ab .
Vậy
1A .
Câu10: (CHUYÊNĐHVINH)Chosốphức
z
thỏamãn
2
2
z
vàđiểm
A
tronghìnhvẽbên
làđiểmbiểudiễncủa
z
.Biếtrằngtronghìnhvẽbên,điểmbiểudiễncủas ốphức
1
w
iz
làmột
trongbốnđiểm
M
,
N
,
P
,Q.Khiđóđiểmbiểudiễncủasốphứcwlà
A.điểm
Q. B.điểm
M
.
C.điểm N . D.điểm
P
.
Hướngdẫngiải
Đápán:D.
Dođi ểm
A
làđiểmbiểudiễncủa
z
nằmtronggócphầntưthứnhấtcủamặtphẳng
Oxy nêngọi (, 0)zabiab .
Do
2
2
z
nên
22
2
2
ab
.
Lạicó
22 22
1 ba
wi
iz
ab ab


nênđiểmbiểudiễn wnằmtronggócphầntưthứba
củamặtphẳng
Oxy .
11
22 2
.
wzOA
iz i z
 .
Vậyđiểmbiểudiễncủasốphức
wlàđiểm
P
.
O
A
Q
M
N
P
y
x
Câu11: Chosốphức
z
thỏamãn
1z
.Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức
5
1.
i
A
z

A.
5.
B.
4.
C.
6.
D.
8.
Hướngdẫngiải
Tacó:
555
11 16.
ii
A
zz
z

Khi
6.zi A
ChọnđápánC.
Câu12: Gọi
M
làđiểmbiểudiễnsốphức
2
23
2
zzi
z

,trongđó z làsốphứcthỏamãn
23izi iz
. Gọi
N
làđiểm trong mặt phẳng sao cho

,2Ox ON

, trongđó

,Ox OM

làgóclượnggiáctạothànhkhiquaytia
Ox
tớivịtrítia
OM
.Điểm
N
nằmtrong
gócphầntưnào?
A.Gócphầntưthứ(I). B.Gócphầntưthứ(II).
C.Gócphầntưthứ(III). D.Gócphầntưthứ(IV).
Hướngdẫngiải
Tacó:

51 51 1
23 1 ;tan.
44 44 5
izi iz z i w i M




Lúcđó:
2
22
2tan 5 1 tan 12
sin 2 0; cos2 0
13 13
1tan 1tan





.
ChọnđápánA.
Câu13: Chosốphức
z
thỏamãn
1z
.Tìmgiátrịlớnnhất
max
M
vàgiátrịnhỏnhất
min
M
của
biểuthức
23
11.Mz z z
A.
max min
5; 1.MM
B.
max min
5; 2.MM
C.
max min
4; 1.MM
D.
max min
4; 2.MM
Hướngdẫngiải
Tacó:
23
115Mz z z
,khi
max
15 5.zM M
Mặt khác:
33333
3
11111
11,
22 2
1
zzzzz
Mz
z


khi
min
11 1.zMM
ChọnđápánA.
Câu14: Chosốphức z thỏa
2z
.Tìmtíchcủagiátrịlớnnhấtvànhỏnhấtcủabiểuthức
zi
P
z
.
A.
3
.
4
B.
1.
C.
2
. D.
2
.
3
Hướngdẫngiải
Tacó
13
11 .
|| 2
i
P
zz
 Mặtkhác:
11
11 .
|| 2
i
zz

Vậy,giátrịnhỏnhấtcủa
P
là
1
2
,xảyrakhi 2;zi giátrịlớnnhấtcủa
P
bằng
3
2
xảy
rakhi
2.zi
ChọnđápánA.
Câu15: Gọi
1234
,
,,zzzz
làcácnghiệmcủaphươngtrình
4
1
1.
2
z
zi



Tínhgiátrịbiểuthức

2222
1234
1111Pzzzz
.
A.
2.P
B.
17
.
9
P
C.
16
.
9
P
D.
15
.
9
P
Hướngdẫngiải
Tacóphươngtrình
44
210.fz z i z
Suy ra:
1234
15fz zz zz zz zz
. Vì


2
111
.
11.
225
fi f i
zziziP

Mà

444
4
15; 3 185.fi i i f i i i
Vậytừ

17
1.
9
P
ChọnđápánB.
Câu16: Chosốphức z thỏamãn
12 3zi
.Tìmmôđunlớnnhấtcủasốphức
2.zi
A.
26 6 17 .
B.
26 6 17 .
C.
26 8 17 .
D.
26 4 17 .
Hướngdẫngiải
Gọi
;; 2 2zxyi x y z ix y i  
. Ta có:

22
12 9 1 2 9zi x y
.
Đặt
13sin; 23cos; 0;2 .xty tt


2
22
2 13sin 43cos 266sin 4cos 26617sin ; .zi t t t t t


max
26 6 17 2 26 6 17 2 26 6 17 .zi zi  
ChọnđápánA.
Câu17: Chosốphức z thỏamãn 1z .Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức 131.Pz z
A.
315
B.
65
C.
20
D.
220.
Hướngdẫngiải
Gọi
;;zxyi x y .Tacó:
22 2 2
1111;1.zxyyxx 

Tacó:
   
22
22
131 1 31 21 321Pz z xy xy x x .
Xéthàmsố
21 3 21 ; 1;1.fx x x x

Hàmsốliêntụctrên
1;1

vàvới

1;1x
tacó:




13 4
01;1.
5
21 21
fx x
xx


Tacó:

max
4
12; 16; 220 220.
5
ff f P




ChọnđápánD.
Câu18: Chosốphức
z
thỏamãn
1.z
Gọi
M
và
m
lầnlượtlàgiátrịlớnnhấtvàgiátrịnhỏ
nhấtcủabiểuthức
2
11.Pz z z
Tínhgiátrịcủa
.Mm
.
A.
13 3
.
4
B.
39
.
4
C.
33.
D.
13
.
4
Hướngdẫngiải
Gọi
;;zxyi x y 
.Tacó:
1.1zzz
Đặt
1tz
,tacó
01112 0;2.zzz t

Tacó

2
2
2
11 1. 22 .
2
t
tzzzzzzxx

Suyra

2
22 2
1.121213zz zzzzzz z x x t 
.
Xéthàmsố
2
3, 0;2 .ft t t t

Bằngcáchdùngđạohàm,suyra
 
13 13 3
max ; min 3 . .
44
ft ft Mn
ChọnđápánA.
Câu19: Gọiđiểm
,
ABl ầnlượtbiểudiễncácsốphức z và

1
;0
2
i
zzz

trênmặtphẳng
tọađộ(
,
,ABC
và
,
,ABC

đềukhôngthẳnghàng).Với
O
làgốctọađộ,khẳngđịnhnào
sauđâyđúng?
A.Tamgiác
OAB
đều.
B.Tamgiác
OAB
vuôngcântại
.O
C.Tamgiác
OAB
vuôngcântại
.B
D.Tamgiác
OAB
vuôngcântại
.A
Hướngdẫngiải
Tacó:
11 2
;...
222
ii
OA z OB z z z z


Tacó:
11 2
..
22 2
ii
BA OA OB BA z z z z z z


  
Suyra:
222
OA OB AB
và
AB OB OAB
làtamgiácvuôngcântại
.B
ChọnđápánC.
Câu20: Chosốphức
z
thỏamãnđiềukiện
2
42.zz
Khẳngđịnhnàosauđâylàđúng?
A.
31 31
.
66
z


B.
51 51.z
C.
61 61.z
D.
21 21
.
33
z


Hướngdẫngiải
Ápdụngbấtđẳngthức
,uvuv
tađược
22
2
24 44 240 51.zz zzz z 
22
22
24424051.zz z z z z z
Vậy,
z
nhỏnhấtlà
51,
khi
5zii
và
z
lớnnhấtlà
51,
khi
5.zii
ChọnđápánB.
Câu21: Chosốphức z thỏamãn
12 2zi
.Tìmmôđunlớnnhấtcủasốphức .z
A.
945.
B.
11 4 5
C.
645
D.
565
Hướngdẫngiải
Gọi
;;zxyi x y 
.Tacó:

22
12 2 1 2 4.zi x y
Đặt
12sin; 22cos; 0;2xty tt


.
Lúc đó:
2
22
22
1 2sin 2 2cos 9 4sin 8cos 9 4 8 sin ;zt t tt t



2
945sin 945;945ztz




max
945z
đạtđượckhi
525 1045
.
55
zi


ChọnđápánA.
Câu22: Cho
,
,,ABCDlàbốnđiểmtrongmặtphẳngtọađộtheo thứtự biểudiễn cácsố
phức
1 2;1 3 ;1 3 ;1 2iiii
.Biết
A
BCD
làtứgiácnộitiếptâm
.I
Tâm
I
biểudiễnsố
phứcnàosauđây?
A.
3.z
B.
13.zi
C.
1.z
D.
1.z 
Hướngdẫngiải
Ta có
A
B

biểu diễn số phức
3;i
DB

biểu diễn số phức
33i
. Mặt khác
33
3
3
i
i
i
nên
.0AB DB
 
.Tươngtự(hayvìlídođốixứngqua
Ox
),
.0DC AC
 
.Từ
đó suy ra
AD
là mộtđường kính củađường trònđi qua
,
,,.ABCD Vậy

1; 0 1.Iz
ChọnđápánC.
Câu23: Trênmặtphẳngtọađộ
,
Oxy
lấyđiểm
M
làđiểmbiểudiễnsốphức
2
24zii
vàgọi
làgóctạobởichiềudươngtrụchoànhvàvectơ
.OM

Tínhcos2 .
A.
425
.
87
B.
475
.
87
C.
475
.
87
D.
425
.
87
Hướngdẫngiải
Tacó:

2
13
2 4 16 13 16;13 tan .
16
zii iM

Tacó:
2
2
1 tan 425
cos2 .
87
1tan

ChọnđápánD.
Câu24: Cho
12
,
zz
làhaisốphứcliênhợpcủanhauvàthỏamãn
1
2
2
z
z
và
12
23.zz
Tính
môđuncủasốphức
1
.z
A.
1
5.z
B.
1
3.z
C.
1
2.z
D.
1
5
.
2
z
Hướngdẫngiải
Gọi

12
;;z a bi z a bi a b  
.Khôngmấttínhtổngquáttagọi
0.b
Do
12
23 2 23 3.zz bi b
Do
12
,
zz
làhaisốphứcliênhợpcủanhaunên
12
.zz
,mà

3
3
11
1
22
2
12
.
zz
z
z
zz

Tacó:


3
3322323 2
1
22
0
33 3 0 1.
3
b
z abi a ab abbi abb a
ab

Vậy
22
1
2.zab
ChọnđápánC.
Câu25: Chosốphức
26
,
3
m
i
z
i



m nguyêndương.Cóbaonhiêugiátrị
1; 50m

đểz là
sốthuầnảo?
A.24. B.26. C.25. D.50.
Hướngdẫngiải
Tacó:
26
(2 ) 2 .
3
m
mmm
i
zii
i




z
làsốthuầnảokhivàchỉkhi
21,mk k
(do
*
0;zm
).
Vậycó25giátrị
m thỏayêucầuđềbài.
ChọnđápánC.
Câu26: Nếu
1z
thì
2
1z
z
A.lấymọigiátrịphức. B.làsốthuầnảo.
C.bằng0. D.lấymọigiátrịthực.
Hướngdẫngiải
Tacó:
2
2
11
.
zzz
zz z zz
zzzz
z
   
làsốthuầnảo.
ChọnđápánB.
Câu27: Chosốphức z thỏamãn
16210iz i
.Tìmmôđunlớnnhấtcủasốphức .z
A.
45
B.
35.
C.
3.
D.
35
Hướngdẫngiải
Gọi
;;zxyi x y 
.
Ta có:
  
22
62
162101. 10 245 2 45.
1
i
iz i i z z i x y
i

  
Đặt
25sin;45cos; 0;2xtytt
 

.
Lúcđó:


22 22
2
2 5 sin 4 5 cos 25 4 5 sin 8 5 cos 25 4 5 8 5 sin ;zt t tt t

2
25 20sin 5;3 5ztz



max
35zđạtđượckhi
36.zi
ChọnđápánB.
Câu28: Gọi
,zxyixy
là số phức thỏa mãn haiđiều kiện
22
2226zz
và
33
22
zi

đạtgiátrịlớnnhất.Tínhtích
.xy
A.
9
.
4
xy
B.
13
.
2
xy
C.
16
.
9
xy
D.
9
.
2
xy
Hướngdẫngiải
Đặt
,.zxiyxy
Thayvàođiềukiệnthứnhất,tađược
22
36.xy
Đặt
3cos , 3sin .xtyt
Thayvàođiềukiệnthứhai,tacó
33
18 18sin 6.
4
22
Pz i t




Dấubằngxảyrakhi
33232
sin 1 .
4422
ttz i





ChọnđápánD.
Câu29: Cóbaonhiêusốphứcz thỏa
1
1
z
iz
và
1?
2
zi
z
A.1. B.2. C.3. D.4.
Hướngdẫngiải
Tacó:
1
3
1
1
33
2
.
42 3 3
22
2
1
2
2
z
x
ziz
xy
iz
zi
xy
zi zi z
y
z









ChọnđápánA.
Câu30: Gọiđiểm
,
AB
lầnlượtbiểudiễncácsốphức
1
z
;
212
;.0zzz
trênmặtphẳngtọa
độ(
,
,ABC
và
,
,ABC

đềukhôngthẳnghàng)và
22
1212
.zz zz .Với
O
làgốctọađộ,khẳng
địnhnàosauđâyđúng?
A.Tamgiác
OAB
đều.
B.Tamgiác
OAB
vuôngcântại
.O
C.Tamgiác
OAB
vuôngcântại
.B
D.Diệntíchtamgiác
OAB
khôngđổi.
Hướngdẫngiải
Tacó:
2
22 2
1212 1 121 1 121
.;.zzzz zzzz z zzz
.Do
2
2
121
1
0;
z
zzz
z

(1)
Mặtkhác:

2
2
1
2
1 212 1 212 12
2
.
z
z zzz z zzz zz
z

(do
2
0z
)(2)
Từ(1)và(2)suyra:
22
21
12
12
zz
zz
zz

.Vậytacó:
1221
zzzz OAOBAB
.
ChọnđápánA.
Câu31: Trongcácsốphứcthỏamãnđiềukiện
24 2zizi
.Tìmmôđunnhỏnhấtcủasố
phức
2.zi
A.
5
B.
35.
C.
32
D.
32
Hướngdẫngiải
Gọi
;;zxyi x y 
.
Tacó:
 
22 2
2
24 2 2 4 2 40 4 .zizix y xy xy yx  
Tacó:
 
2
22 2
22 2
2 2 6 2 12 36 2 3 18 18zi x y x x x x x
min
21832zi
khi
3.zi
ChọnđápánC.
Câu32: Tìmđiềukiệncầnvàđủvềcácsốthực
,
mn
đểphươngtrình
42
0zmzn
không
cónghiệmthực.
A.
2
40.mn
B.
2
40mn
hoặc
2
40
0
0
mn
m
n

.
C.
2
40
0.
0
mn
m
n

D.
2
40mn
hoặc
2
40
0
0
mn
m
n

.
Hướngdẫngiải
Phươngtrình
42
0zmzn
khôngcónghiệmthựctrongcáctrườnghợp:
TH1:Phươngtrìnhvônghiệm,tứclà
2
40.mn
TH2:Phươngtrình

42 2
0;tmtn tz
cóhainghiệmâm
2
040
00.
00
mn
Sm
Pn





ChọnđápánD.
Câu33: Nếu

;0zaa
thì
2
za
z
A.lấymọigiátrịphức. B.làsốthuầnảo.
C.bằng0. D.lấymọigiátrịthực.
Hướngdẫngiải
Tacó:
22 2 2
2
.
za a az az
zz z zz
zzzz
z
   làsốthuầnảo.
ChọnđápánB.
Câu34:
Chosốphức
z
thỏamãn
12 3zi
.Tìmmôđunnhỏnhấtcủasốphức
1.zi
A.
4.
B.22. C.
2.
D. 2.
Hướngdẫngiải
Gọi
;; 1 11zxyi x y z i x y i 
. Ta có:

22
12 9 1 2 9zi x y
.
Đặt
13sin; 23cos; 0;2 .xty tt



2
22
min
13sin13cos106cos2241 2zi t t t zi zi  
, khi
1.zi
ChọnđápánC.
Câu35: Gọi
M
làđiểmbiểudiễnsốphức
2
21zz i
zi

,trongđó z làsốphứcthỏamãn

12izi iz
. Gọi
N
làđiểm trong mặt phẳng sao cho
,2Ox ON

, trongđó
,Ox OM

làgóclượnggiáctạothànhkhiquaytia
Ox
tớivịtrítia
OM
.Điểm
N
nằmtrong
gócphầntưnào?
A.Gócphầntưthứ(I). B.Gócphầntưthứ(II).
C.Gócphầntưthứ(III). D.Gócphầntưthứ(IV).
Hướngdẫngiải
Tacó:

7 19 7 19 19
12 3 ;tan.
82 82 82 82 7
izi iz z i w i M




Lúcđó:
2
22
2tan 133 1 tan 156
sin 2 0; cos 2 0
205 205
1 tan 1 tan





.
ChọnđápánC.
Câu36: Biết số phức z thỏa mãnđồng thời haiđiều kiện
34 5zi
và biểu thức
22
2Mz zi
đạtgiátrịlớnnhất.Tínhmôđuncủasốphức
.zi
A.
241zi
B.
35.zi
C.
52zi
D.
41.zi
Hướngdẫngiải
Gọi
;;zxyi x y 
.Ta có:

22
34 5 : 3 4 5zi Cx y
: tâm

3;4I
và
5.R
Mặt khác:



22 2 2
22
2 2 1 423 :423 0.Mz zi x y x y x y dx y M




Dosốphức
z thỏamãnđồngthờihaiđiềukiệnnên
d
và

C cóđiểmchung

23
; 5 23 10 13 33
25
M
dId R M M


22
max
42300
5
33 5 4 41.
5
345
xy
x
Mziizi
y
xy






ChọnđápánD.
Câu37: Cácđiểm
,
,ABC
và
,
,ABC

lầnlượtbiểudiễncácsốphức
123
,
,zzz
và
123
,
,zzz

trên mặt phẳng tọađộ(
,
,ABC
và
,
,ABC

đều không thẳng hàng). Biết
123 123
zzz zzz


,khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.Haitamgiác
ABC
và
ABC

bằngnhau.
B.Haitamgiác
ABC
và
ABC

cócùngtrựctâm.
C.Haitamgiác
ABC
và
ABC

cócùngtrọngtâm.
D.Haitamgiác
ABC
và
ABC

cócùngtâmđườngtrònngoạitiếp.
Hướngdẫngiải
Gọi
111222333
;;;;;1;3
kk
zxyizxyizxyixy k


.
Khiđó:

11 22 33
;; ;; ;Ax y Bx y Cx y
, gọi
G
là trọng tâm
123123
;.
33
xxxyyy
ABC G




Tươngtự,gọi
111222333
;;;;;1;3
kk
zxyizxyizxyixy k


.
Khiđó:

11 22 33
;; ;; ;Axy Bxy Cxy
  
,
gọi
G
làtrọngtâm
123123
;.
33
xxxyyy
ABC G






Do
123123 123 123 123 123
zzz zzz xxx yyyi xxx yyyi

  
123 123
123 123
.
xxx xxx
GG
yyy yyy





ChọnđápánC.
Câu38: Trênmặtphẳngtọađộ
,
Oxy
lấyđiểm
M
làđiểmbiểudiễnsốphức
23 1zii
vàgọi
làgóctạobởichiềudươngtrụchoànhvàvectơ
.OM

Tínhsin2 .
A.
5
.
12
B.
5
.
12
C.
12
.
5
D.
12
.
5
Hướngdẫngiải
Tacó:

1
2 3 1 5 5; 1 tan .
5
ziiiM

Tacó:
2
2tan 5
sin 2 .
12
1tan

ChọnđápánA.
Câu39: Chosốphức

,
12
mi
zm
mm i



.Tìmmôđunlớnnhấtcủa
.z
A.1. B.0. C.
1
2
. D.2.
Hướngdẫngiải
Tacó:

22 2
max
1
11;0.
12
11 1
mi m i
zzzzim
mm i
mm m




ChọnđápánA.
Câu40: Chosốphức z có
;0zmm
.Với
;zm
tìmphầnthựccủasốphức
1
.
mz
A. .m B.
1
.
m
C.
1
.
4m
D.
1
.
2m
Hướngdẫngiải
Gọi
Re z làphầnthựccủasốphức .z
Taxét:

2
1111 2
.
mzmz mzz
mz mz mz mz
mzmz
mzzmzmz








2
22111
Re .
2
2
2
mzz mzz
mmzm
mmzz
mmzmz
 





ChọnđápánD.
Câu41: Chosốphức
12
,zzthỏamãn
1
3z =
,
2
2z =
đượcbiểudiễntrongmặtphẳngphức
lầnlượtlàcácđiểm
,MN.Biết
(
)
,
6
OM ON
p
=
 
,tínhgiátrịcủabiểuthức
12
12
zz
zz
+
-
.
A.
13
B.
1
C.
73
2
D.
1
13
Hướngdẫngiải
Dựnghìnhbìnhhành
OMPN
trongmặtphẳngphức,khiđóbiểudiễncủa:
12
12
ì
ï
+=
ï
ï
í
ï
-=
ï
ï
î
zz OP
zz MN
()
()
22
0
12 1 2 12
22
0
12 1 2 12
2cos1501
2 cos 30 1
ì
ï
ï
+= + + =
ï
ï
í
ï
ï
-= + - =
ï
ï
î
zz z z zz
zz z z zz
12
12
12
12
1
+
+
==
-
-
zz
zz
zz
zz
.Chọn
B.
Câu42: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho thỏa mãn
z
thỏa mãn

10
212iz i
z

.Biếttậphợpcácđiểmbiểudiễnchosốphức

34 12wizi
làđường
tròn
I
,bánkính
R
.Khiđó.
A.

1; 2 .,5IR
B.

1; 2 , .5IR
C.

1; 2 , 5.IR
D.

1; 2 , 5.IR
Hướngdẫngiải
ChọnC.(đãsửađềbài)
Đặt
zabi
và
0zc
,với
;;abc
.
Lạicó

12
34 12
34
wi
wiziz
i

 
.
Gọi
wxyi
với
;xy
.
Khiđó
12
12
12 5
34 34
wi
wi
zc c c xyi i c
ii


 

 
22 22
2
125 1225xy cxy c
.
Vậytậphợpcácđiểmbi ểudiễncủasốphức
w
làđườngtròn

1; 2I
.
KhiđóchỉcóđápánCcókhảnăngđúngvàtheođó
555 1Rcc 
.
Thử
1c
vàophươngtrình(1)thìthỏamãn.
Câu43: (CHUYÊNQUANGTRUNGLẦN3)Sốphức
z
đượcbiểudiễntrênmặtphẳngtọa
độnhưhìnhvẽ:
x
O
1
1
y
z
Hỏihìnhnàobiểudiễnchosốphức
i
z
?
A.
B.
B. D.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Gọi
;, .zabiab
Từgiảthiếtđiểmbiểudiễnsốphức
z
nằmởgócphầntưthứnhấtnên ,0ab .
Tacó
22 22 22
ia bi
ii b a
i
abi a b a b a b
z


Do
,0ab nên
22
22
0
0
b
ab
a
ab

điểmbiểudiễnsốphức
nằmởgócphầntưthứhai.
VậychọnC.
Câu44: (CHUYÊNĐHKHTNHUẾ)Trongcácsốphức
z
thỏa
34 2zi++ =
,gọi
0
z
làsốphức
cómôđunnhỏnhất.Khiđó
A.
Khôngtồntạisốphức
0
z
. B.
0
2z =
.
C.
0
7z =
. D.
0
3z =
.
x
y
1
1
O
x
O
1
1
y
x
O
1
1
y
x
O
1
1
y
Hướngdẫngiải.
ChọnD
Cách1:
Đặt ( , )zabiab=+ Î . Khiđó
22
34 2 ( 3) ( 4) 4zi a b++ = + + + =
.
Suy ra biểu diễn hình họccủa số phức
z
làđường
tròn
C
tâm

3; 4I 
vàbánkính 5R .
Gọi

M
z
làđiểm biểu diễn số phức
z
. Ta có:

M
zC
.
3zOMOIR
.
Vậy
z
bénhấtbằng3khi

M
zCIM
.
Cách2:
Đặt
32cos 32cos
42sin 42sin
aa
bb
jj
jj
ìì
+= =-+
ïï
ïï
íí
ïï
+= =-+
ïï
îî
.
22 2 2
(2cos 3) (2sin 4) 29 12cos 16sinzab jj jj= += - + - = - -
.
34
29 20 cos sin 29 20cos( ) 9
55
jj aj
æö
÷
ç
=- + =- -³
÷
ç
÷
ç
èø
.
0
3z=
Câu45: (NGUYỄN TRÃI – HD) Cho số phức z thỏa mãn: 22 1zi . Số phức zi có
môđunnhỏnhấtlà:
A.
51
B.
51
C.
52
D.
52
.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
y
x
1
1
O
I
M
Gọi zxyi , ,xy .
Tacó:
22
2 2 1 ( 2) ( 2) 1 ( 2) ( 2) 1zi x yi x y
Tậphợpcácđiểmtrongmặtphẳng
Oxy biểudiễncủasốphức
z
làđườngtròn ()C
tâm
(2;2)I vàbánkính
1R
.

2
2
1zi x y IM ,với

2; 2I làtâmđườngtròn,
M
làđiểmchạytrênđường
tròn.Khoảngcáchnàyngắnnhấtkhi
M
làgiaođiểmcủađườngthẳngnốihaiđiểm

0;1 , 2; 2NOyI
vớiđườngtròn(C).
min
51IM IN R
Câu46: (HAIBÀTRƯNG–HUẾ)Tìmtậphợpcácđiểm
M
biểudiễnhìnhhọcsốphức
z
trongmặtphẳngphức,biếtsốphức
z
thỏamãnđiềukiện: 4 4 10.zz
A.Tậphợpcácđiểmcầntìmlàđườngtròncótâm
0;0O
vàcóbánkính
4.R
.
B.Tậphợpcácđiểmcầntìmlàđườngelipcóphươngtrình
22
1.
925
xy

C.Tậphợpcácđiểmcầntìmlànhữngđiểm
;
M
xytrongmặtphẳng Oxy thỏamãn
phươngtrình
 
22
22
4412.xyxy 
D.Tậphợpcácđiểmcầntìmlàđườngelipcóphươngtrình
22
1.
25 9
xy

Hướngdẫngiải
ChọnD.
Tacó:Gọi
;
M
xylàđiểmbiểudiễncủasốphức
.zxyi
Gọi
4;0A làđiểmbiểudiễncủasốphức
4.z
Gọi
4;0B làđiểmbiểudiễncủasốphức
4.z 
Khiđó:
4 4 10 10.z z MA MB (*)
Hệthứctrênchứngtỏtậphợpcácđiểm
M
làelipnhận ,
A
B làcáctiêuđiểm.
Gọiphươngtrìnhcủaeliplà

22
222
22
1, 0,
xy
ab a b c
ab

Từ(*)tacó:
210 5.aa
222
282 4 9AB c c c b a c
Vậyquỹtíchcácđiểm
M
làelip:

22
:1.
25 9
xy
E

Câu47: (HAIBÀTRƯNG–HUẾ)Tính
2 3 2017
1009 2 3 ... 2017Siii i .
A.
S 2017 1009i.
B.
1009 2017 .i
C.
2017 1009 .i
D.
1008 1009 .i
Hướngdẫngiải
ChọnC
Tacó



2 3 4 2017
4 8 2016 5 9 2017
2 6 10 2014 3 7 11 2015
504 505 504 504
11 1 1
1009 2 3 4 ... 2017
1009 4 8 ... 2016 5 9 ... 2017
2 6 10 ... 2014 3 7 11 ... 2015
1009 4 4 3 4 2 4 1
1009
nn n n
Siiii i
ii i iii i
ii i i ii i i
ni n n i n






509040 509545 508032 508536
2017 1009 .
ii
i
 

Cáchkhác:
Đặt


2 3 2017
22016
2 3 2017
1 ....
1 2 3 ... 2017
2 3 ... 2017 1
fx x x x x
fx x x x
xf x x x x x



Mặtkhác:










2018
2 3 2017
2017 2018
2
2017 2018
2
1
1 ....
1
2018 1 1
1
2018 1 1
.2
1
x
fx x x x x
x
xx x
fx
x
xx x
xf x x
x




Thay
x
i
vào
1 và

2 tađược:



2017 2018
2
2018 1 1
2018 2018 2
1009 . 1009 2017 1009
2
1
ii i
i
Si i i
i
i


 
Câu48: Trongmặt phẳng phức Oxy , cácsố phức
z
thỏa
21zi zi
.Tìm số phức
z
đượcbiểudiễnbởiđiểm
M
saocho
M
A
ngắnnhấtvới
1, 3A
.
A.
3 i
. B.
13i
. C.
23i
. D.
23i
.
Hướngdẫngiải
Gọi
,
M
xylàđiểmbiểudiễnsốphức

,zxyixyR
Gọi

1, 2E làđiểmbiểudiễnsốphức
12i
Gọi
0, 1F làđiểmbiểudiễnsốphức
i
Tacó:
21z i z i ME MF
Tậphợpđiểmbiểudiễnsốphức
z
làđường
trungtrục
:20EF x y.
Để
M
A
ngắnnhấtkhi
M
AEF
tại
M

3,1 3
M
zi=>ĐápánA.
Câu49: Trongmặtphẳngphức Oxy ,tậphợpbiểudiễns ốphứcZthỏa
112zi
làhình
vànhkhăn.Chuvi
P
củahìnhvànhkhănlàbaonhiêu?
A.
4P
. B.
P
. B.
2P
. D.
3P
.
Hướngdẫngiải
Gọi
,
M
xylàđiểmbiểudiễnsốphức
,zxyixyR
Gọi

1,1A
làđiểmbiểudiễnsốphức 1 i
112zi
12MA .Tậphợpđiểmbiểudiễnlàhìnhvànhkhăngiớihạnbởi2
đường trònđồng tâm có bán kính lần lượt là
12
2, 1RR

12 1 2
22PPP RR

=>ĐápánC.
Lưuýcầnnắmvữnglýthuyếtvàhìnhvẽcủadạngbàinàykhihọctr ênlớptránhnhầmlẫn
sangtínhdiệntíchhìnhtròn.
Câu50:
Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp cácđiểm biểu diễn số phức
Z
thỏa mãn
2
2
2
216zz z
làhaiđườngthẳng
12
,dd
.Khoảngcáchgiữa2đườngthẳng
12
,dd
làbao
nhiêu?
A.
12
,2ddd . B.
12
,4ddd . C.
12
,1ddd . D.
12
,6ddd .
Hướngdẫngiải
Gọi
,
M
xylàđiểmbiểudiễnsốphức

,zxyixyR
Tacó:
2
2
2222222
216 2 2 2216zz z xxyiyxxyiyxy
2
416 2xx
12
,4ddd
TachọnđápánB.
Ởđâylưuýhaiđườngthẳngx=2vàx=‐2songsongvớinhau.
Câu51: (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH – L2)
Cho số phức
z
thỏa mãn

2
25 12 31zz z izi
.
Tính
min | |w ,với
22wz i
.
A.
3
min | |
2
w
. B.min | | 2w . C.min | | 1w . D.
1
min | |
2
w
.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Ta có
2
2 5 12 3 1 12 12 12 3 1zz zizi zizizizi    

12 0
12 3 1
zi
zizi


.
Trườnghợp
1:
12 0zi
11ww
1
.
Trườnghợp2:
12 3 1zizi
Gọi
zabi
(với ,ab ) khiđó tađược
 
22
1
12 1 3 2 3
2
abia bib b b
.
Suyra

2
393
22 2 2
242
wz ia i w a

2 .
Từ

1 ,
2 suyra min | | 1w .
Câu52: ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho số phức
z
thỏa mãnđiều kiện :
12 5zi
và
1wz i
cómôđunlớnnhất.Sốphức
z
cómôđunbằng:
A.
25. B.
32
. C. 6 . D.
52
.
Hướngdẫngiải:
ChọnB.
Gọi
,1212zxyi xy z i x y i
Tacó:
 
22 22
12 5 1 2 5 1 2 5zi x y x y
Suyratậphợpđi ểm
;
M
xybiểudiễnsốphức
z
thuộcđườngtròn

C tâm
1; 2I
bánkính
5R
nhưhìnhvẽ:
Dễthấy

OC ,
1; 1NC
Theođềtacó:

;
M
xy C làđiểmbiểudiễnchosố
phức
z
thỏamãn:
1111wz ixyi i x y i

22
111zi x y MN

Suyra
1ziđạtgiátrịlớnnhất
M
N
lớnnhất
O
x
y
1
2
I
1
1
N
Mà
,
M
NC nên
M
N lớnnhấtkhi
M
N làđườngkínhđườngtròn

C
I
làtrungđiểm
 
2
2
3; 3 3 3 3 3 3 2MN M z i z
Câu53: (CHUYÊNSƠNLA–L2)Giảsử ,
A
Btheothứtựlàđiểmbiểudiễncủasốphức
1
z
,
2
z
.Khiđóđộdàicủa
A
B

bằng
A.
21
zz
. B.
21
zz
. C.
12
zz
. D.
12
zz
.
Hướngdẫngiải.
ChọnB.
Giảsử
1
zabi
,
2
zcdi
,
,,,abcd .
Theođềbàitacó:
;
A
ab ,
;Bcd

22
A
Bcadb.

21
zz ac dbi

22
21
zz ca db .
Câu54: (CHUVĂNAN–HN)Chosốphức
z
thỏamãnđiềukiện
12z 
.Tìmgiátrịlớn
nhấtcủa
2Tziz i.
A.
max 8 2T
. B.
max 4T
. C.
max 4 2T
. D.
max 8T
.
Hướngdẫngiải
ChọnB
211 11Tziz i z i z i  
.
Đặt
1wz
.Tacó 1w và
 
11Tw i w i
.
Đặt
.wxyi
.Khiđó
2
22
2wx
y

.
 




22 22
2222
22
22
11 11
1. 1 1 1. 1 1
11 1 1 1 1
22 2 4 4
Tx yix yi
xy xy
xyxy
xy
 
 


Vậy
max 4T
.
Câu55: (CHUVĂNAN–HN)Trênmặtphẳngtọađộ
Oxy
,tìmtậphợpcácđiểmbiểudiễn
cácsốphức
z
thỏamãnđiềukiện 2210zz .
A.Đườngtròn

22
22100xy
. B.Elip
22
1
25 4
xy

.
C.Đườngtròn

22
2210xy
. D.Elip
22
1
25 21
xy

.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Gọi
;
M
xylàđiểmbiểudiễnsốphức zxyi ,
,xy
.
Gọi
A
làđiểmbiểudiễnsốphức
2
Gọi
B
làđiểmbiểudiễnsốphức
2

Tacó:
2 2 10 10zz MBMA .
Tacó
4
A
B
.Suyratậphợpđiểm
M
biểudiễnsốphức
z
làElipvới
2
tiêuđiểmlà
2;0A ,
2;0B , tiêu cự
42AB c
,độdài trục lớn là
10 2a
,độdài trục bé là
22
22 2254221bac.
Vậy,tậphợpcácđiểmbiểudiễncácsốphức
z
thỏamãnđiềukiện 2210zz là
Elipcóphươngtrình
22
1.
25 21
xy

A'
C'
B'
C
A
B
D
D'
H
a
2a
M
A
B
C
S
Chủđề5.KHỐIĐADIỆN
Câu1: 󰇛SGD VĨNH PHÚC󰇜 Cho hình hộp chữ nhật
.ABCD A B C D

có
,3.AB a AD a
Tính
khoảngcáchgiữahaiđườngthẳng
BB
và
.AC
A.
3
4
a
. B.
3a
. C.
3
2
a
. D.
2
2
a
.
Hướn
gdẫngiải
ChọnC.
Tacó:

22
2.AC AB BC a


Kẻ
.BH AC


..33
.
22
AB BC aa a
BH
BC a




Vì

//BB ACC A

nên


,,dBBAC dBB ACCA



3
,.
2
a
dBB ACCA BH


Nên

3
,.
2
a
dBBAC

Câu
2: 󰇛SGDVĨNHPHÚC󰇜Chohìnhchóp
.S ABC
có

SA ABC
,tamgiác
ABC
vuôngcântại
B
,
2AC a
và
.SA a
Gọi
M
làtrungđiểmcạnh
SB
.Tínhthểtíchkhốichóp
..SAMC
A.
3
6
a
. B.
3
3
a
.
C.
3
9
a
. D.
3
12
a
.
Hướn
gdẫngiải
ChọnA.
Xéttamgiácvuôngcân
ABC
có:
2
2
AC
AB BC a
2
1
.
2
ABC
SABBCa
3
2
.
11
...
333
S ABC ABC
a
VSASaa
Áp
dụngđịnhlíSim‐Sontacó:
.
1
..
2
SAMC
S ABC
V
SA SM SC
VSASBSC

BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8 - 9 - 10)
_______________________________
K
I
C
B
C
1
B
1
A
1
A
H
3
..
1
26
SAMC SABC
a
VV

Câu3: 󰇛SGDVĨNHPHÚC󰇜Chohìnhlăngtrụđứng
111
.
A
BC A B C
có
A
Ba
,
2
A
Ca
,
1
25
A
Aa
và
120 .BAC 
Gọi
K
, I lầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnh
1
CC
,
1
B
B
.Tínhkhoảngcáchtừ
điểm
I đếnmặtphẳng
1
.
A
BK
A.
5
3
a
. B.
15a
. C.
5
6
a
. D.
15
3
a
.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Tacó
22 0
11
2 . . os120 7IK B C BC AB AC AB AC c a 
Kẻ
11
A
HBC
khiđó
A
H
làđườngcaocủatứdiện
1
A
BIK

Vì
0
1111111 1
21
. . .sin120
7
a
AH BC AB AC AH

1
23
.
11 1
.35 15()
22 6
IKB A IBK
SIKKBa V advtt

MặtkhácápdụngđịnhlýPitagovàcôngthứcHê‐rôngtatínhđc
1
33
ABK
S a dvdt

Dođó


1
1
1
3
5
,
6
AIBK
ABK
V
a
dI ABK
S

.
Câu4: 󰇛NGUYỄN KHUYẾN TPHCM󰇜 Cho hình chóp
.SABCD
có đáy là hình chữ nhật. Tam giác
SAB
vuôngcântại
A
vànằmtrongmặtphẳngvuônggócvớiđáyvà
42SB
.Gọi
M
là
trungđiểmcủacạnh
SD
.Tínhkhoảngcách
l
từđiểm
M
đếnmặtphẳng
SBC
.
A.
2l
B.
22l
C.
2l
D.
2
2
l
Hướngdẫngiải
N
M
B
D
C
A
P
Theogiảthiết,tacó
,SAB A BCD SAB ABCD AB
SA AB


SA ABCD .
Gọi
,,NHKlầnlượtlàtrungđiểmcáccạnh ,SA SB vàđoạn
SH
.
Tacó

BC SA
BC SAB BC AH
BC AB
 
.
Mà
A
HSB
󰇛
A
BC
cântại
A
có
A
H
làtrungtuyến󰇜.
Suyra

A
HSBC ,dođó
K
NSBC 󰇛vì
||
K
NAH
,đườngtrungbình󰇜.
Mặtkhác
|| ||
M
NBC MN SBC
.
Nên




1
,, 22
2
dM SBC dN SBC NK AH
.
Đápán:B.
Câu5: 󰇛NGUYỄNKHUYẾNTPHCM󰇜Chotứdiệnđều
A
BCD
cócạnhbằng3.Gọi
,
M
N
lầnlượtlà
trungđiểmcáccạnh
,.
A
DBD
Lấyđiểmkhôngđổi
P
trêncạnh
A
B
󰇛khác
,
A
B
󰇜.Thểtích
khốichóp
PMNC
bằng
A.
92
16
 B.
83
3
 C.
33
 D.
27 2
12

Hướngdẫngiải
ChọnA
Do
A
BCMN nên
,A,D,d P CMN d CMN d CMN
Vậy
1
4
PCMN DPMN MCND ABCD
VVV V
󰇛Dodiệntíchđáyvàchiềucaođềubằngmộtnửa󰇜.
42
M
K
N
H
A
B
C
D
S
8a
2a 2
C'
B'
A
C
B
A' H
Mặtkhác
2
23
2
13 2272
.
3 4 12 12
3
ABCD
aaa
Va




nên
127 2 92
.
412 16
MCND
V 

Câu6: 󰇛NGUYỄNKHUYẾNTPHCM󰇜Chotứdiện
A
BCD
có 14, 6AD BC.Gọi ,
M
N lầnlượtlà
trungđiểmcủacáccạnh
,
A
CBDvà
8MN
.Gọi
làgócgiữahaiđườngthẳng
B
C
và
M
N
.Tính
sin
.
A.
22
3
B.
3
2
C.
1
2
D.
2
4
Hướngdẫngiải
Gọi
P
làtrungđiểmcủacạnh
CD
, ta có


,,
M
NBC MNNP
.
Trong tam giác
M
NP
, ta có
222
1
cos
2. 2
MN PN MP
MNP
MN NP


.Suyra
60MNP .
Suyra
3
sin
2
.
Câu7: 󰇛NGUYỄN KHUYẾN TPHCM󰇜 Cholăngtrụtamgiác
.'' '
A
BC A B C
cóđáy
A
BC
làđềucạnh
22
A
Ba
.Biết
'8
A
Ca
vàtạovớimặtđáymộtgóc
0
45 .Thểtíchkhốiđadiện
''
A
BCC B
bằng
A.
3
83
.
3
a
 B.
3
86
.
3
a
 C.
3
16 3
.
3
a
 D.
3
16 6
.
3
a
Hướngdẫngiải
Gọi
H
làhìnhchiếucủa
A
lên
'''mp A B C

0
'45HC A
'
A
HC
vuôngcântạiH.
'8
42.
22
AC a
AH a

NX:
2
3
.'' .'''
22.3
222 166
..42. .
333 43
A BCC B ABC A B C ABC
a
a
VV AHSa
ChọnD.
Gọi
H
làhìnhchiếucủa
A
lên
'''mp A B C

0
'45HC A
3
7
14
8
6
M
P
N
B
C
D
A
6 cm
2 cm
3 cm
B
D
C
D'
B'
C'
A'
A
'
A
HC
vuôngcântạiH.
'8
42.
22
AC a
AH a

NX:
2
3
.'' .'''
22.3
222 166
..42. .
333 43
A BCC B ABC A B C ABC
a
a
VV AHSa
Câu8: 󰇛T.TDIỆUHIỀN󰇜Chohìnhlậpphương
.'' ' '
A
BCD A B C D
cạnh a .Tínhkhoảngcáchgiữa
haiđườngthẳng
'
B
C
và
'CD
.
A.
2a . B.
3
3
a
. C.
2a
. D.
2
3
a
.
Hướngdẫngiải
ChọnB
Gọi
'' ''OAC BD
vàtừ
'B
kẽ
'
B
HBO
Ta có
'CD
//
('')BA C
nên
'. ' 3
( '; ') ( ';( ' ')) ( '; ( ' ')) '
3
B
BBO a
dBC CD dD BAC dB BAC BH
BO

Câu9: 󰇛T.TDIỆUHIỀN󰇜Mộthìnhhộpchữnhật
.
A
BCD A B C D

cóbakíchthướclà
2cm
,
3cm
và
6cm
.Thểtíchcủakhốitứdiện
.
A
CB D

bằng
A.
3
8 cm . B.
3
12 cm . C.
3
6 cm . D.
3
4 cm .
Hướngdẫngiải
ChọnB.

Tacó :
O
B
D
C
D'
A'
C'
B'
A
H
P
N
M
H
K
F
E
A
B
C
D
......
...
...
.. .
..
4
4
1
4.
6
11
.2.
33
A
BCD A B C D B AB C D ACD A B AD C B C D A CB D
ABCD A B C D B AB C A CB D
ACBD ABCD ABCD B ABC
ACBD ABCD ABCD ABCD ABCD
ACBD ABCDABCD
VVVVVV
VVV
VV V
VV V
VV
 

 
  
 





3
3.6 12cm
Câu10: 󰇛LẠNGGIANGSỐ1󰇜Chokhốitứdiệnđều
A
BCD
cạnhbằng
2.cm
Gọi ,,
M
NPlầnlượtlà
trọngtâmcủabatamgiác
,,.
A
BC ABD ACD Tínhthểtích
V
củakhốichóp
.
A
MNP

A.
3
2
162
Vcm
. B.
3
22
81
Vcm
. C.
3
42
81
Vcm
. D.
3
2
144
Vcm
.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Tamgiác
B
CD
đều
23
3
3
DE DH

22
26
3
AH AD DH
 
EF
,D,BC
11113
.. . .
22224
K
EFK
SdFKdBC

EF
112632
...
33346
SKFE K
VAHS
 .
Mà
2
3
AM AN AP
A
EAKAF


Lạicó:
8842
..
27 27 81
AMNP
AMNP AEKF
AEKF
V
AM AN AP
VV
VAEAKAF

.
Câu11: 󰇛LÝ TỰ TRỌNG
– TPHCM󰇜 Cho hình hộp
.
A
BCD A B C D

có
60 , 7, 3,BCD AC a BD a AB AD
,đườngchéo
BD
hợpvớimặtphẳng
A
DD A

góc
30
.Tínhthểtích
V
củakhốihộp
.
A
BCD A B C D

.
A.
3
39 .a
 B.
3
39
.
3
a
 C.
3
23 .a
 D.
3
33 .a

Hướngdẫngiải
ChọnD.
Đặt 
ÁpdụngđịnhlýhàmcosvàphângiáctrongtamgiácBCD
 và 
 
Với và 

VậyVhìnhhộp
Câu12: 󰇛NGÔGIATỰ‐VP󰇜Chohìnhchóptứgiácđều
.SABCD
cóthểtích
2
6
V
.Gọi
M
là
trungđiểmcủacạnh
SD
. Nếu
SB SD
thì khoảng cách từ
B
đếnmặtphẳng
M
AC
bằng:
A.
1
2
. B.
1
2
. C.
2
3
. D.
3
4
.
Hướngdẫngiải
ChọnA
Giảsửhìnhchópcóđáy
A
BCD
làhìnhvuôngcạnh a .Khiđó,
2BD a
.
Tamgiác
SBD
vuôngcântại
S
nên
SD SB a
và
2
22
BD a
SO
 .
30°
y
x
O
A
C
B
C'
A'
B'
D'
D

;y
x
CD BC x y
222
3axyxy
22 2
5
x
ya
2;
x
aya
22
x
ya
60C
B
DAD
';(ADD'A') 30BD
'3
D
Da
2
.sin60 a 3
ABCD
Sxy
3
33a
O
M
A
S
D
C
B
Suyracáctamgiác ,SCD SAD làcáctamgiácđềucạnh
a
và

SD MAC tại
M
.
Thểtíchkhốichóplà
3
12
..
36
ABCD
a
VSOS
Mà
3
22
1
66
a
a

Vì
O
làtrungđiểm BD nên




1
,,
2
dBMAC dDMAC DM
.
Câu13: 󰇛THTT
–477󰇜Mộthìnhlăngtrụcóđáylàtamgiácđềucạnhbằng
a
,cạnhbênbằng
b
và
tạovớimặtphẳngđáymộtgóc
.Thểtíchcủakhốichópcóđáylàđáycủalăngtrụvà
đỉnhlàmộtđiểmbấtkìtrênđáycònlạilà
A.
2
3
sin .
12
ab
B.
2
3
sin .
4
ab
C.
2
3
cos .
12
ab
D.
2
3
cos .
4
ab
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Gọi
H
làhìnhchiếucủa
A
trên

A
BC
.Khiđó
A
AH
.
Ta có
.sin sinAH AA b


nênthểtíchkhốilăngtrụlà
2
.
3sin
.
4
ABC A B C ABC
ab
VAHS


.
Lạicóchiềucaocủachóptheoyêucầuđềbàichínhlàchiềucaocủalăngtrụvàbằng
A
H
nênthểtíchkhốichóplà
2
..
13sin
312
S ABC ABC A B C
ab
VV

 .
Câu14: 󰇛THTT
–477󰇜Cácđườngchéocủacácmặtcủamộthìnhhộpchữnhậtbằng
, , abc
.Thể
tíchcủakhốihộpđólà
A.
222222 222
.
8
bcacababc
V

B.

222222222
.
8
bcacababc
V

C.
.Vabc
H'
C
B
A
B'
C'
A'
H
S
D.
.Vabc
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Giảsửhìnhhộpchữnhậtcóbakíchthước:
,,
x
yz
.
Theoyêucầubàitoántacó
222 222 222
222 222 22222
22 2 2 22 2 22
xya yax yax
yzc yzc axbxc
xzb zbx zbx

 

 


  


222
2
222 222222
222
2
222
2
2
28
2
abc
y
acbabcbca
abc
xV
bca
z

  



Câu15: 󰇛SỞGDHÀNỘI󰇜Chohìnhlăngtrụ
ABCA B C

cóđáylàtamgiácđềucạnha .Hìnhchiếu
vuônggóccủa
A
lênmặtphẳng
ABC
trùngvớitrọngtâmtamgiác
ABC
.Biếtkhoảng
cách giữahaiđườngthẳng
AA
vàBC bằng
3
4
a
.TínhthểtíchV củakhốilăngtrụ
.ABCA B C

A.
3
3
.
24
a
V
B.
3
3
.
12
a
V
C.
3
3
.
3
a
V
D.
3
3
.
6
a
V
Hướngdẫngiải
ChọnB.
M
làtrungđiểmcủa
BC
thì

BC AA M
.
Gọi
MH làđườngcaocủatamgiácAAM
thì
MH A A
vàHM BC nênHM làkhoảngcách
z
c
b
ax
y
A'
C'
D'
C
B
D
A
B'
H
G
M
B
C
A
C'
B'
A'
AA
và
BC
.
Tacó
..A A HM A G AM


2
2
33
.
42 3
aa a
AA AA


222
22 2 2
442
43 .
3393
aaaa
AA AA AA AA AA


 



Đườngcaocủalăngtrụlà
22
43
993
aaa
AG

.
Thểtích
23
33
.
34 12
LT
aaa
V 
.
Câu16: 󰇛SỞGDHÀNỘI󰇜Chohìnhchóp
.SABC
có
0
60ASB C SB,
0
90ASC ,
SA SB SC a
.
Tínhkhoảngcách
d
từđiểm
A
đếnmặtphẳng
SBC
.
A.
26da
. B.
6
3
a
d
. C.
6da
. D.
26
3
a
d
.
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Tacó:
SAB
,
SBC
làcácđềucạnh a nên
A
BBCa
Tacó:
SAC
vuôngcântại
S
nên
2
A
Ca
Tacó:
222
A
CABBCnên
A
BC
vuôngtại
B
có
2
2
ABC
a
S
Gọi
H
làtrungđiểmcủa
A
C
.Tacó:
HA HB HC
và
SA SB SC
nên
SH ABC
và
2
22
AC a
SH 
.
H
S
B
C
A
Vậy

2
.
2
2
.
3.
6
22
;
3
3
4
S ABC ABC
SBC SBC
aa
VSHS
a
dASBC
SS
a
 

Câu17: 󰇛CHUYÊNHÙNGVƯƠNG
–GL󰇜Chohìnhchóp
.SABCD
cóđáy
A
BCD
làhìnhthoicạnh
bằng
23a
,góc
BAD
bằng120
0
.Haimặtphẳng
SAB và
SAD cùngvuônggócvới
đáy.Gócgữamặtphẳng
SBC
và
A
BCD
bằng45
0
.Tínhkhoảngcách
h
từ
A
đếnmặt
phẳng

.SBC

A.
22.ha B.
22
.
3
a
h
C.
32
.
2
a
h
D.
3.ha
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Gọi
H
làchânđườngcaohạtừ
A
củatamgiác
.
A
BC

Xéttamgiác
:
A
BH
0
sin 2 3.sin 60 3 .
AH
BAHa a
A
B


0
cos 2 3.cos 60 3.
BH
BBHa a
A
B


Xéttamgiác
SAH
vuôngtại
:
A
0
tan 3 tan 45 3 .
SA
SHA SA a a
A
H


Trongtamgiác
SAH
vuôngtại
A
,kẻ
A
ISH
tại
.I
Tacó
A
ISBC
nên
A
I là
khoảngcáchtừ
A
đếnmặtphẳng

.SBC 
Xéttamgiác
SAH
,tacó:
 
22
22 2 2
111 1 1 2
.
9
33
A
ISAAH a
aa




32
,.
2
a
dASBC AI

Câu18: 󰇛CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH󰇜 Khi chiều cao của một hình chóp đều tăng lên n lần
nhưngmỗicạnhđáygiảmđi
n lầnthìthểtíchcủanó.
A.Khôngthayđổi. B.Tănglên
n
lần. C.Tănglên
1n
lần. D.Giảmđi
n
lần.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Tacó:
1
..
3
VhS
,với
h
làchiềucao,
S
làdiệntíchđáy
2
0
180
4tan
xa
S
a




với
x
làđộdàicạnhcủađagiácđều, a làsốđỉnhcủađagiácđều.
A
S
D
C
B
H
I
Ycbt
2
1
0
1111
.. ... .
33
180
4tan
x
a
n
Vnh hSV
nn
a








.
Câu19: 󰇛BIÊNHÒA
–HÀNAM󰇜Chohìnhchóptứgiácđều
.SABCD
cócạnhđáybằng
a
,cạnhbên
hợpvớiđáymộtgóc
60
.Gọi
M
làđiểmđốixứngcủa
C
qua
D
,
N
làtrungđiểm
.SC
Mặtphẳng
BMN chiakhốichóp
.SABCD
thànhhaiphần.Tỉsốthểtíchgiữahaiphần
󰇛phầnlớntrênphầnbé󰇜bằng:
A.
7
5
. B.
1
7
. C.
7
3
. D.
6
5
.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Giảsửcácđiểmnhưhìnhvẽ.
E
SD M N E làtrọngtâmtamgiác SCM ,
//
D
FBC F
làtrungđiểm
B
M
.
Tacó:

6
,60
2
a
SD ABCD SDO SO
,
22
7
2
a
SF SO OF



2
61 7
,;.
24
27
SAD
aa
dO SAD OH h S SFAD
1
6
MEFD
MNBC
V
ME MF MD
VMNMBMC




3
551 15156
,4
663 2182 72
BFDCNE MNBC SBC SAD
a
VV dMSADShS
33
..
16 76
.
36 36
S ABCD ABCD SABFEN S ABCD BFDCNE
aa
VSOS VVV
Suyra:
7
5
SABFEN
BFDCNE
V
V

E
N
M
FO
AB
C
D
S
H
Câu20: 󰇛CHUYÊNPHANBỘICHÂU󰇜Chohìnhhộpchữnhật
.
A
BCD A B C D

cótồngdiệntíchcủa
tấtcảcácmặtlà
36
,độdàiđườngchéo
A
C
bằng
6
.Hỏithểtíchcủakhốihộplớnnhấtlà
baonhiêu?
A.
8
. B.
82
. C.
16 2
. D.
24 3
.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Gọichiềudài3cạnhcủahìnhhộpchữnhậtlầnlượtlà:
a ,
b
,
0c
Tacó
22 222
36; 2 2 2 36 ( ) 72 6 2a b c S ab bc cAC a a b c a b c  

3
3
3
62
16 2
333
abc abc
abc abc

 







.Vậy
16 2
Max
V
Câu21: 󰇛CHUYÊNĐHSPHN󰇜Chohìnhchópđều
.S ABC
cóđáycạnhbằng a ,gócgiữađườngthẳng
SA
vàmặtphẳng
A
BC
bằng
60
.Gọi
A
,
B
,
C
tươngứnglàcácđiểmđốixứngcủa
A
,
B ,
C
qua
S
.Thểtíchcủakhốibátdiệncócácmặt ,
A
BC
A
BC

,
A
BC
,
B
CA
,
CAB
,
A
BC

,
B
AC

,
CA B

là
A.
3
23
3
a
. B.
3
23a
. C.
3
3
2
a
. D.
3
43
3
a
.
ChọnA.
Cách1:Tatínhthểtíchkhốichóp
.SABC
:
GọiHlàtâmtamgiácABCđềucạnha
3
3
a
CH
.Gócgiữađườngthẳng
SA
vàmặt
phẳng
󰇛ABC󰇜
bằng
0
60
23
.
1133
60 .S . . .
33412
o
SABC ABC
aa
SCH SH a V H S a

3
.'' .ACS .
23
22.48
3
B ACA C B S ABC
a
VV V V
.
Cách2:Tacóthểtíchkhốichóp
.S ABC
là:
3
.
3
12
S ABC
a
V
.
Diệntíchtamgiác
SBC
là:
2
39
12
SBC
a
S
.
Khoảng cách từ
A
đếnmặtphẳng
SBC
là:


3
,
13
a
dASBC
.
Tứgiác
''
B
CB C
làhìnhchữnhậtvìcóhaiđường
chéobằngnhauvàcắtnhautạitrungđiểmmỗi
đường.
H
B'
A'
C'
C
A
B
S
Có
23 23 39
''
33 3
aaa
SB BB B C
.
Diệntích
''
B
CB C
là:
2
''
39
3
BCB C
a
S
.
Thểtíchkhối8mặtcầntìmlà:


3
''
123
2. , . .
33
BCB C
a
VdASBCS
Cách3 󰇛ThamkhảolờigiảicủaNgọcHuyềnLB󰇜.
Thểtíchkhốibátdiệnđãcholà
''' '. .
1
22.488..
3
A
B C BC A SBC S ABC ABC
VV V V SGS 
Ta có:


0
;60.SA ABC SAG
Xét
SGA
vuôngtại
G
:
tan .tan .
SG
SAG SG AG SAG a
A
G


Vậy
23
11323
8. . 8. . . .
3343
ABC
aa
VSGS a
Câu22: 󰇛CHUYÊNTHÁIBÌNH󰇜 Chokhốichóp
.SABC
có
SA a
, 2SB a ,
3SC a
.Thểtích
lớnnhấtcủakhốichóplà
A.
3
6a
. B.
3
6
2
a
. C.
3
6
3
a
. D.
3
6
6
a
.
ChọnD.
Gọi
H
làhìnhchiếucủa
A
lên
1
() .
3
SBC
SBC V AH S .
Tacó
A
HSA
;dấu“”xảyrakhi
A
SSBC
.
11
..sin .
22
SBC
S SB SC SBC SB SC, dấu “” xảy ra khi
SB SC
.
Khiđó,
1111
.
3326
SBC
V AH S AS SB SC SA SB SC.
Dấu “” xảy ra khi
,,SA SB SC
đôimộtvuônggócvới
nhau.
Suy ra thể tích lớn nhất của khối chóp là
3
16
..
66
a
VSASBSC
.
a
a2
a3
A
S
B
C
H
H
I
A D
B C
Câu23: 󰇛CHUYÊN THÁI BÌNH󰇜 Cho hình chóp
.SABCD
cóđáylàhìnhvuôngcạnh
a
,
17
2
a
SD
,
hìnhchiếuvuônggóc
H
của
S
lênmặt
A
BCD
làtrungđiểmcủađoạn
A
B .Tínhchiềucao
củakhốichóp
.HSBD
theo
a
.
A.
3
5
a
. B.
3
7
a
. C.
21
5
a
. D.
3a
5
.
ChọnA.
Ta có
SHD
vuôngtại
H
2
2
22 2
17
3
22
aa
SH SD HD a a












.
Cách1.Tacó

12
,,
24
a
d H BD d A BD
.
Chiềucaocủachóp
.HSBD
là




2
2
2
2
2
.,
,
,
2
3.
6.2 2 3
4
.
4.5 5
3
8
SH d H BD
dH SBD
SH d H BD
a
a
aa
a
a
a




Cách2.
3
13
..
33
ABCD
SABCD SHS a

...
3
.
111
2224
3
1
H SBD A SBD S ABC S ABCD
VVVV a
.
Tamgiác
SHB
vuôngtại
H
2
22 2
13
3
42
aa
SB SH HB a 
.
Tamgiác
SBD
có
13 17
;2;
22
aa
SB BD a SD
2
5
4
SBD
a
S
.


.
3
3
,.
5
SHBD
SBD
V
a
dH SBD
S

Cách3.Gọi
I
làtrungđiểm
BD
.Chọnhệtrục
Oxyz
với
; ; ; .O H Ox HI Oy HB Oz HS

Tacó
0;0; 0H
; 0; ;0
2
a
B



;

0;0; 3Sa
; ;0;0
2
a
I




Vì
SBD SBI
H
B
S
A
D
C
y
x
O
H
z
I
B
C
D
A
S

22 3
:1220
3
3
xyz
SBD x y z a
aa
a

.
Suyra


3
2.0 2.0 .0
3
3
,.
5
1
44
3
a
a
dH SBD



Câu24: 󰇛CHUYÊNPHANBỘICHÂU󰇜Chokhốichóp
.SABCD
cóthểtíchbằng
3
a
.Mặtbên
SAB
là
tamgiácđềucạnh
a
vàđáy
A
BCD
làhìnhbìnhhành.Tínhtheo
a
khoảngcáchgiữa
SA
và
CD
.
A.
23a
. B.
3a
. C.
2
3
a
. D.
2
a
.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Vìđáy
A
BCD
làhìnhbìnhhành
3
.
1
22

SABD SBCD S ABCD
a
VV V
.
Tacó:
Vìtamgiác
SAB
đềucạnha 
2
3
4
SAB
a
S

Vì
CD AB CD SAB
nên
,, ,dCDSA dCD SAB dD SAB 
3
2
3.
3
2
23
3
4

SABD
SBD
a
V
a
S
a
.
Câu25: 󰇛LÝTỰTRỌNG–TPHCM󰇜Tìm
max
V
làgiátrịlớnnhấtcủathểtíchcáckhốihộpchữnhật
cóđườngchéobằng
32cm
vàdiệntíchtoànphầnbằng
2
18 .cm 
A.
3
max
6.Vcm  B.
3
max
5.Vcm 
C.
3
max
4.Vcm
 D.
3
max
3.Vcm

Hướngdẫngiải
ChọnC.
Đặt
,,abc
làkíchthướccủahìnhhộpthìtacóhệ
222
18
9
abc
ab bc ac


.
Suyra
6.abc
CầntìmGTLNcủa
.Vabc
Tacó
69 96.bc a bc abc a a  
Do
 
22
46 496 04.bc bc a a a a


a
A
D
C
B
S
Tươngtự
0,4bc
.
Talạicó
96Va a a

.KhảosáthàmsốnàytìmđượcGTLNcủa
V
là4.
Câu26: 󰇛CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU󰇜 Khối chóp
.S ABCD
cóđáy
A
BCD
làhìnhthoicạnh
a
.
SA SB SC a
,Cạnh
SD
thayđổi.Thểtíchlớnnhấtcủakhốichóp
.S ABCD
là:
A.
3
8
a
. B.
3
4
a
. C.
3
3
8
a
. D.
3
2
a
.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Khi
SD
thayđổithi
A
C
thayđổi.Đặt
A
Cx
.
Gọi
OACBD
.
Vì
SA SB SC
nênchânđườngcao
SH
trùng
vớitâmđườngtrònngoạitiếptamgiác
A
BC
.
HBO
.
Tacó
2
22 22
2
44
24 2





x
ax ax
OB a

22 22
114 4
..
222 4


ABC
ax xax
SOBACx

22
22 22
..
4
44
4.
4


ABC
aax a x a
HB R
S
x
ax ax
.
422
222
22
22
3
4
4

aaax
SH SB BH a
ax
ax

22 22
..
22
1234
22.. . .
33 4
4


S ABCD S ABC ABC
aa xxa x
VV SHS
ax

222 3
22
113
.3
3322





x
ax a
ax a x a

Câu27: 󰇛THTT–477󰇜Chokhốiđadiệnđều n mặtcóthểtích
V
vàdiệntíchmỗimặtcủanóbằng
.S
Khiđó,tổngcáckhoảngcáchtừmộtđiểmbấtkìbêntrongkhốiđadiệnđóđếncácmặt
củanóbằng
A.
.
nV
S
B. .
V
nS

C.
3
.
V
S
D. .
3
V
S
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Xéttrongtrườnghợpkhốitứdiệnđều.
Cáctrườnghợpkháchoàntoàntươngtự.
.1.2.3.4
1111
.; .; .; .
3333
H ABC H SBC H SAB H SAC
V hSV hSV hSV hS
x
a
O
A
S
D
C
B
H
A
C
B
S
H

3
12 4
12 3 4
1234
1234
3
33 3
;;;
3
3
V
VV V
hh hh
SSSS
VVVV
V
hhhh
SS



Câu28: 󰇛LƯƠNG ĐẮC BẰNG󰇜 Chohìnhlậpphương
.
A
BCD A B C D

cócạnhbằng a , một mặt
phẳng
cắtcáccạnh
A
A
, BB
,
CC
, DD
lầnlượttại
M
,
N
,
P
, Q .Biết
1
3
A
Ma ,
2
5
CP a
.Thểtíchkhốiđadiện
.
A
BCD MNPQ
là:
A.
3
11
30
a
. B.
3
3
a
. C.
3
2
3
a
. D.
3
11
15
a
.
HD:Tứgiác
MNPQ
làhìnhbìnhhànhcótâmlàI
thuộcđoạnOO’.
Tacó:
11
2302
A
MCP a
OI a


GọiO
1
làđiểmđốixứngOquaIthì:
OO
1
2OI
11
15
a
a.VậyO
1
nằmtrongđoạnOO’.
VẽmặtphẳngquaO
1
songsongvới󰇛ABCD󰇜cắt
cáccạnh
AA’;BB’;CC’;DD’
lầnlượttại
A
1
,B
1
,C
1
,D
1
.
KhiđóIlàtâmcủahìnhhộp
ABCD.AB
1
C
1
D
1
.
VậyV󰇛ABCD.MNPQ󰇜V󰇛MNPQ.A
1
B
1
C
1
D
1
󰇜
23
111 1 1
1111
(. )
2230
V ABCD A B C D a OO a


Câu29: 󰇛CHUYÊNVĨNHPHÚC󰇜Ngườitagọtmộtkhốilậpphươnggỗđểlấykhốitámmặtđềunội
tiếpnó󰇛tứclàkhốicócácđỉnhlàcáctâmcủacácmặtkhốilậpphương󰇜.Biếtcáccạnhcủa
khốilậpphươngbằnga.Hãytínhthểtíchcủakhốitámmặtđềuđó:
A.
3
a
4
 B.
3
a
6
 C.
3
a
12
 D.
3
a
8

ĐápánB
Dựngđượchìnhnhưhìnhbên
Thấyđượcthểtíchkhốicầntính bằng2lầnthểtíchcủa
hìnhchópS.ABCD
NhiệmvụbâygiờđitìmthểtíchcủaS.ABCD
Q
O
1
I
O'
O
A'
C'
D'
C
B
D
A
B'
N
M
P
B
D
C
S
A
ABCDlàhìnhvuôngcótâmOđồngthờichínhlàhìnhchiếucủaSlênmặtđáy
a
SO
2
;
BD
cạnhcủahìnhlậpphương a .Suyracáccạnhcủahìnhvuông
2
ABCD a
2

3
3
S.ABCD
11122 a
VSh.. a
33222 12





.V
khốiđadiện
3
S.ABCD
a
2.V
6

.
Câu30: Chotứdiện
A
BCD
cóthểtíchbằng12và
G
làtrọngtâmtamgiác
B
CD
.Tínhthểtích
V
củakhốichóp
.
A
GBC
.
A.
3V
. B.
4V
. C.
6V
. D.
5V
.
ChọnB.
Cách1:
Phân tích:tứdiện
A
BCD
và khối chóp
.
A
GBC
cócùng
đườngcaolàkhoảngcáchtừ
A
đếnmặtphẳng
BCD
.Do
G
là trọng tâm tam giác
B
CD
nêntacó


B
GC BGD CGD
SSS 3


B
CD BGC
SS
󰇛xem phần chứng
minh󰇜.
Ápdụngcôngthứcthểtíchhìnhchóptacó:
.
.
1
1
.
.
3
3
3
1
1
.
.
3
3

ABCD BCD
BCD
ABCD BCD
AGBC GBC
GBC
AGBC GBC
VhS
hS
VS
VS
hS
VhS
.
11
.12 4
33

A GBC ABCD
VV .
Chứngminh:Đặt ;DN h BC a .
Từhìnhvẽcó:
󰇜
11
//
22 2

M
FCM h
MF ND MF DN MF
DN CD
.
󰇜
222
// .
33323
 
GE BG h h
GE MF GE MF
M
FBM
󰇜
11
.
22
33
11
.
223


BCD
B
CD GBC
GBC
DN BC ha
S
SS
h
S
GE BC a
󰇜Chứngminhtươngtựcó
33


B
CD GBD GCD
SSS
B
GC BGD CGD
SSS


.
Cách2:
G
B
C
D
A
H
1
G
I
D
C
B
A
H
F
E
G
M
N
B
C
D






;
11
;;
33
;

d G ABC
GI
d G ABC d D ABC
DI
dD ABC
.
Nên


.
11
;. .4.
33

G ABC ABC DABC
VdGABCSV
Câu31: Mộthìnhtrụcódiệntíchxungquanhbằng 4 ,diệntíchđáybằngdiệntíchcủamặtcầucó
bánkínhbằng
1.TínhthểtíchV khốitrụđó.
A.
4V =
. B.
6V =
. C.
8V =
. D.
10V =
.
ĐápánB
,BD
nhìnAC dướimộtgóc90 .
22
5; ;
55
AD a a
SD a KD
SD
a
====
22
6SC SA A C a=+=
Tacó:
()
22 2
11 1 2
1
5
a
AK
SA AD AK
+==
222
SC SD CD=+
tamgiácSCD vuôngtạiD .
Khiđótamgiác
KDC vuôngtạiD .
22
6
5
a
KC CD KD= + =
Tacó:
22 2
AK KC AC+=
.Vậy
90AKC =
.Tươngtự
0
90AHC =
Vậy
AC
chínhlàđườngkínhmặtcầungoạitiếpkhối
ABCDEHK
.
2
2
a
AC a OA==
.
3
33
44 2
33 3
22
a
VOA app p== =
Câu32: Ghép5khốilậpphươngcạnh
a
đểđượckhốihộpchữthậpnhưhìnhvẽ.
Tínhdiệntíchtoànphần
tp
S
củakhốichữthập
A.
=
2
20
tp
Sa
. B.
=
2
30
tp
Sa
. C.
=
2
12
tp
Sa
. D.
=
2
22
tp
Sa
.
E
O
A
B
C
D
S
H
K
Diệntíchmỗimặtkhốilậpphương:
=
2
1
Sa
Diệntíchtoànphầncáckhốilậpphương:
=
2
2
6Sa
Diệntíchtoànphầnkhốichữthập:
=-=
2
21
5822SS S a
Câu33: Chohìnhchóptứgiácđều
.SABCD
cócạnhđáybằnga ,cạnhbênhợpvớiđáymộtgóc
60
.Gọi
M
làđiểmđốixứngvới
C
qua
D
;
N
làtrungđiểmcủa
SC
,mặtphẳng󰇛
BMN
󰇜
chiakhốichóp
.SABCD
thànhhaiphần.Tínhtỉsốthểtíchgiữahaiphầnđó.
A.
1
5
. B.
7
3
. C.
1
7
. D.
7
5
.
ĐápánD
Đặt
1
1
2
2
?
SABIKN
NBCDIK
VV
V
VV
V
ì
ï
=
ï
=
í
ï
=
ï
î
*
23
.
16 6
.
32 6
SABCD
a
Vaa==
*
.
3
11
.. . .
332
161 6
...2
34 2 12
NBMC BMC BMC
SO
VNHS S
a
aa a
DD
==
==
*NhậnthấyKlàtrọngtâmcủatamgiácSMC
2
3
MK
MN
=
*
.
.
112 1
.. ..
223 6
MDIK
MCBN
V
MD MI MK
VMCMBMN
===
33
2. . .CBN
55656
.
661272
MCBN MDIK M
VV V V a a= - = = =
a
a
60°
H
K
N
M
I
O
A
S
B
C
D
3
33 3
1
1. 2
2
3
76
656 76 7
72
672 72 5
56
72
SABCD
a
V
VV V a a a
V
a
= -= - = = =
Câu34: Chohìnhchóptứgiác
.S ABCD
có

SA ABCD ,
A
BCD
làhìnhthangvuôngtại
A
và B
biết
2
A
Ba
,
33
A
DBCa
.Tínhthểtíchkhốichóp
.SABCD
theo a ,biếtkhoảngcáchtừAđến
mặtphẳng
()SCD bằng
36
4
a
.
A.
3
66a
. B.
3
26a
. C.
3
23a
. D.
3
63a
.
Hướngdẫngiải
Dựng
A
MCD
tại
M
.
Dựng
A
HSM
tại
H
.
Tacó:
36
4
A
Ha .
2
.4
2
ABCD
AD BC
SABa



2
2
22CD AD BC AB a

2
1
.
2
ABC
SABBCa
2
3
ACD ABCD ABC
SS S a
2
132
.
22
ACD
ACD
S
SAMCDAM a
CD

Tacó:
222
22
111 . 36
2
AH AM
A
Sa
AH AM AS
AM AH


3
.
1
.26
3
S ABCD ABCD
VSAS a
Câu35: Cholăngtrụtamgiác
.'' '
A
BC A B C
có
'
B
Ba
,gócgiữađườngthẳng 'BB và
A
BC
bằng
60
,tamgiác
A
BC
vuôngtại
C
vàgóc
60BAC .Hìnhchiếuvuônggóccủađiểm 'B lên
A
BC
trùngvớitrọngtâmcủa
A
BC
.Thểtíchcủakhốitứdiện
'.
A
ABC
theo
a bằng
A.
3
13
108
a
. B.
3
7
106
a
. C.
3
15
108
a
. D.
3
9
208
a
.
Hướngdẫngiải
M
A
D
B
C
S
K
60°
60°
C'
A'
G
M
N
B
C
A
B'
Gọi ,
M
N làtrungđiểmcủa ,
A
BAC
và
G
làtrọngtâmcủa
A
BC
.
'BG ABC

0
', ' 60BB ABC B BG
.
'.
11
..' ...'
36
A ABC ABC
V S BG ACBCBG

Xét
'
B
BG
vuôngtại
G
,có
0
'60BBG
3
'
2
a
BG
.󰇛nửatamgiácđều󰇜
Đặt
2
A
Bx
.Trong
A
BC
vuôngtại
C
có
0
60BAC

tamgiác
A
BC
lànữatamgiácđều , 3
2
AB
A
CxBCx
Do
G
làtrọngtâm
A
BC
33
24
a
BN BG
.
Trong
B
NC
vuôngtại
C
:
222
BN NC BC
22 2
22
3
213
993
3
16 4 52
213
33
213
a
AC
ax a a
xx x
a
BC

V
ậy,
3
'
13 33 39
...
6 2 208
213213
A ABC
aa a a
V 
.
Câu36: Chohìnhlăngtrụđứng
.'' '
A
BC A B C
,biếtđáy
A
BC
làtamgiácđềucạnh
a .Khoảngcách
từ tâm
O
của tam giác
A
BC
đến mặt phẳng
'
A
BC
bằng
6
a
.Tính thể tích khối lăng trụ
.'' '
A
BC A B C
.
A.
3
32
8
a
. B.
3
32
28
a
. C.
3
32
4
a
. D.
3
32
16
a
.
Hướngdẫngiải
Gọi
M
làtrungđiểmcủa
B
C
,
tacó

''
A
AM A BC
theogiao
tuyến
'
A
M
.
Trong

'
A
AM
kẻ
'( ')OH A M H A M
.
'OH A BC
Suyra:


,'
6
a
dO ABC OH.
2
3
4
ABC
a
S
.
Xéthaitamgiácvuông
'
A
AM
và
OHM
cógóc
M
chungnênchúng
đồngdạng.
Suyra:
22 2
2
13
.
13
632
'' ' '
'
3
'
2
aa
OH OM
AA AM AA AA
AA AM
a
AA




.
6
'
4
a
AA
.Thểtích:
23
.'''
6332
.' .
44 16
ABC A B C ABC
aa a
VSAA

.
Câu37: Chohìnhchóptứgiácđều
.SABCDcócạnhđáybằng
a
.Biếtthểtíchkhốichópbằng
3
2
6
a
.Tínhkhoảngcách
h
giữahaiđườngthẳng
BC
và
SA
.
A.
.
6
a
 B.
.a
 C.
2
.
6
a
D.
.
2
a
Hướngdẫngiải
Gọi
O làtâmhìnhvuông .SABCD, suy ra
(
)
^SO ABCD .
Đặt
=SO x . Ta có
====
3
2
.
1122
.. . .
3362
S ABCD ABCD
aa
VSSOax x

Tacó
BC AD
nên
(
)
BC SAD .Dođó
(
)
(
)
(
)
éùéùéù
éù
===
êú
êúêúêú
ëû
ëûëûëû
,, ,2,d BC SA d BC SAD d B SAD d O SAD
.
Kẻ
^OK SE
.Khiđó
()
éù
== =
êú
ëû
+
22
.
,
6
SO OE a
dO SAD OK
SO OE
.
O
C'
B'
M
A
B
A'
C
H
E
O
C
D
A
B
S
K
Vậy
éù
==
êú
ëû
2
,2 .
6
a
dBCSA OK
ChọnC.
Câu38: 󰇛ĐỀMINHHỌAQUỐCGIANĂM2017󰇜Chohìnhchóptứgiác
.SABCDcóđáylàhình
vuôngcạnhbằng
2.a
Tamgiác
()
SAD
cântạiS vàmặtbên
()
SAD
vuônggócvớimặtphẳng
đáy.Biếtthểtíchkhốichóp
.SABCD
bằng
3
4
.
3
a
Tínhkhoảngcách
h
từ
B
đếnmặtphẳng
(
)
SCD .
A.
=
2
.
3
ha
 B.
=
4
.
3
ha
 C.
=
8
.
3
ha
D.
=
3
.
4
ha
Hướngdẫngiải
Gọi
H làtrungđiểmAD .
Suyra
()
^^ .SH AD SH ABCD

Đặt
=SH x
.
Tacó
()
===
2
3
14
.. 2 2
33
Vxa axa
.
Tacó
(
)
(
)
éùéù
=
êúêú
ëûëû
,,
dB SCD dA SCD

()
éù
===
êú
ëû
4
2, 2
3
a
dH SCD HK
.ChọnB.
Câu39: Cho hình chóp
.SABCD
cóđáy
ABCD
làhìnhvuôngtâm
O
, cạnh a . Cạnh bên
SA
vuônggócvớiđáy,góc
=
0
60SBD
.Tínhtheo
a
khoảngcáchgiữahaiđườngthẳng
AB
và
SO
.
A.
3
3
a
. B.
6
4
a
. C.
2
.
2
a
D.
5
.
5
a
Hướngdẫngiải
Tacó
D=DSAB SAD
()
--cgc,suyra
=SB SD
.
Lạicó
=
0
60SBD ,suyra

DSBD
đềucạnh == =2SB SD BD a .
Trongtamgiácvuông
SAB ,tacó

=-=
22
SA SB AB a .
Gọi
E
làtrungđiểm
AD
,suyra

OE AB
và
^AE OE
.
Dođó
(
)
(
)
éùéù
éù
==
êú
êúêú
ëû
ëûëû
,, ,.dABSO dAB SOE dA SOE
H
A
B
C
D
S
K
E
O
A
S
B
C
D
K
Kẻ
^AK SE
.
Khiđó
()
éù
== =
êú
ëû
+
22
.5
,
5
SA AE a
dA SOE AK
SA A E
.ChọnD.
Câu40: Cho hình hộp chữ nhật
.''''ABCD A B C D cóđáyABCD là hình vuông cạnh
2a
,
='2AA a
.Tínhkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng
BD
và
'CD
.
A.
2.a
B.
2.a
 C.
25
.
5
a
D.
5
.
5
a
Hướngdẫngiải
Gọi
I
làđiểmđốixứngcủa
A
qua
D
,suyra
BCID
làhìnhbìnhhànhnên
.BD CI
Dođó
(
)
(
)
éùéù
éù
==
êú
êúêú
ëû
ëûëû
,' , ' , '.dBDCD dBD CDI dD CDI
Kẻ
^DE CI
tại
E
,kẻ
^ 'DK D E
.Khiđó
()
éù
=
êú
ëû
,' .dD CDI DK

Xéttamgiác
IAC ,tacó
DE AC
󰇛docùngvuônggócvớiCI 󰇜vàcó D làtrungđiểmcủa
AI nênsuyraDE làđườngtrungbìnhcủatamgiác.Suyra
==
1
.
2
DE AC a

Tamgiácvuông
'DDE
,có ==
+
22
'. 2 5
.
5
'
DDDE a
DK
DD DE
ChọnC.
Câu41: Chokhốichóptứgiácđều
.SABCD
.Mặtphẳng
(
)
a điqua
, AB
vàtrungđiểm
M
của
SC
.Tỉsốthểtíchcủahaiphầnkhốichópbịphânchiabởimặtphẳngđólà:
A.
1
4
. B.
3
8
. C.
5
8
. D.
3
5
.
Hướngdẫngiải
Kẻ
MN CD
()
ÎNCD, suyrahìnhthang
ABMN
làthiếtdiệncủakhốichóp.
Tacó
=+
...S ABMN S ABM S AMN
VVV.
E
I
B
D
C
D'
B'
C'
A'
A
K
M
N
D
S
C
B
A
Mà
==
.
.
1
2
SABM
SABC
V
SM
VSC
.
Suyra
==
...
11
.
24
SABM SABC SABCD
VVV
Và
===
.
..
.
11
..
48
SAMN
SAMN SABCD
SACD
V
SM SN
VV
VSCSD
Suyra
=+=
....
113
.
488
SABMN SABCD SABCD SABCD
VVVV
Từđósuyra
=
.
5
8
ABMNDC S ABCD
VV
nên =
.
3
.
5
SABMN
ABMNDC
V
V

ChọnD.
Câu42: Cholăngtrụđứng
.''' 'ABCD A B C D
cóđáylàhìnhthoicạnhbằng 1,
0
120BAD =
.Gócgiữa
đườngthẳng
'AC vàmặtphẳng
()
''
A
DD A
bằng
0
30
.Tínhthểtíchkhốilăngtrụ.
A.
6V = . B.
6
6
V =
. C.
6
2
V =
. D. 3V = .
Hướngdẫngiải
Hìnhthoi
ABCDcó
0
120BAD = ,suyra
0
60ADC = .
Dođótamgiác
ABC và ADC làcáctamgiácđều.
Vì
N
làtrungđiểm ''
A
D nên

'''CN AD^
và
3
'.
2
CN=
Suyra
()
0
30 ', ' ' ', 'AC ADD A AC AN C AN===
.
Tamgiác ,có
'3
2
tan '
CN
AN
CAN
==
.
Tamgiác ,có
22
''2AA AN A N=-=
.
Diệntíchhìnhthoi
2
3
.sin
2
ABCD
SABBAD==
.
Vậy
.''' '
6
.'
2
ABCD A B C D ABCD
VSAA==
󰇛đvtt󰇜.ChọnC.
Câu43: Chohìnhchóp
.SABCDcóđáy ABCD làhìnhvuôngcạnh
a
,tamgiác SAD đềuvànằm
trongmặtphẳngvuônggócvớiđáy.Tínhkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng
SA và BD .
A.
21
.
14
a
B.
2
.
2
a
 C.
21
.
7
a
D.
.a
Hướngdẫngiải
ʹCAN
ʹAA N
N
D
B
C
B'A'
C'
D'
A
Gọi
I
làtrungđiểmcủa
A
D nênsuyra
()
SI AD SI ABCD^^
.
Kẻ
Ax BD . Do đó
[
]()()()
,, ,2,d BD SA d BD SAx d D SAx d I SAx
éùéùéù
===
ëûëûëû
.
Kẻ
IE A x^
,kẻ
IK SE^
.Khiđó
()
,dI SAx IK
éù
=
ëû
.
Gọi
F làhìnhchiếucủa
I
trên BD , ta có
2
24
AO a
IE IF
== =
.
Tamgiácvuông
SIE ,có
22
.21
14
SI IE a
IK
SI IE
==
+
.
Vậy
[]
21
,2 .
7
a
dBDSA IK==
ChọnC.
Câu44: 󰇛CHUYÊNQUANGTRUNGLẦN3󰇜Chohìnhlăngtrụcótấtcảcáccạnhđềubằng
a ,đáylà
lụcgiácđều,góctạobởicạnhbênvàmặtđáylà
60
.Tínhthểtíchkhốilăngtrụ
A.
3
27
8
Va
. B.
3
3
4
Va
. C.
3
3
2
Va
. D.
3
9
4
a
.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Tacó
A
BCDEF
làlụcgiácđềunêngócởđỉnhbằng
120
.
A
BC
làtamgiáccântại
B
,
DEF
làtamgiáccântại
E
.
2
13
. .sin120
24
ABC DEF
a
SS aa
22
2. . .cos
A
CABBC ABBCB
22
1
2... 3
2
aa aa a




2
.3.3
ACDF
SACAFaaa
222
2
3333
3
442
ABCDEF ABC ACDF DEF
aaa
SSSS a
3
'60' '.sin60
2
a
BBH BH BB
Suyra 
Câu45: 󰇛NGUYỄNTRÃI
–HD󰇜Mộtcốcnướccódạnghìnhtrụđựngnướcchiềucao
12cm
,đường
kínhđáy
4cm
,lượngnướctrongcốccao
8cm
.Thảvàocốcnước4viênbicócùngđườngkính
2cm
.Hỏinướcdângcaocáchmépcốcbaonhiêuxăng‐ti‐mét?󰇛làmtrònsaudấuphẩy2chữsốthập
phân,bỏquađộdàycủacốc󰇜
A.
2,67cm
. B.
2,75cm
. C.
2, 25cm
. D.
2,33cm
.
2
3
339
'. 3.
44
ABCDEF
a
VBHS a a

x
E
F
I
O
D
C
B
A
S
K
60°
C'
E'
F'A'
D'
E
F
B
C
D
A
B'
H
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Lượngnướcdânglênchínhlàtổngthểtíchcủa4viênbithảvàobằng
3
4
4.
3
bb
Vr
3
16
cm
3
.
Dễthấyphầnnướcdânglênlàhìnhtrụcóđáybằngvớiđáycốcnướcvàthểtíchlà
3
16
cm
3
.
Chiềucaocủaphầnnướcdânglênlà
d
h
thỏamãn:
2
16
3
d
rh
nên
4
cm
3
d
h .
Vậynướcdângcaocáchmépcốclà
48
12 8 2,67
33

cm.
Câu 46: 󰇛CHUYÊNBẮCGIANG󰇜Cho tứ diện đều cạnh
a
và điểm
I
nằm trong tứ diện.
Tính tổng khoảng cách từ
I
đến các mặt của tứ diện.
A.
2
a
. B.
6
3
a
. C.
3
2
a
. D.
34
2
a
.
Hướngdẫngiải
Chọn B
2233
.
3323
aa
AH AM
.
2
222
6
33
aa
SH SA AH a
.
Ta có
23
11362
...
334312
SABC ABC
aa a
VSSH
.
Mặt khác,
SABC ISAB IABC ISAC ISBC
VVVVV








1
.; ; ; ;
3
ABC
S dISAB dIABC dISAC dISBC











3
;; ;;
SABC
A
BC
V
dI SAB dI ABC dI SAC dI SBC
S

3
2
2
3.
6
12
3
3
4
a
a
a
.
Câu 47:
󰇛CHUYÊNKHTNL4󰇜Cho hình chóp
SABC
có đáy
A
BC
là tam giác vuông cân,

A
BACa
,
SC ABC
và
SC a
. Mặt phẳng qua
C
, vuông góc với
SB
cắt
,SA SB
lần
lượt tại
E
và F . Tính thể tích khối chóp
.SCEF
.
A.
3
2
36
SCEF
a
V
. B.
3
18
SCEF
a
V
. C.
3
36
SCEF
a
V
. D.
3
2
12
SCEF
a
V
.
Hướngdẫngiải
M
C
B
A
S
I
H
Chọn đáp án C.
Từ
C hạ

,CF SB F SB
,
,CE SA E SA
Ta có

  
AB AC
A
B SAC AB CE CE SAB CE SB
AB SC
Vậy mặt phẳng qua
C
và vuông góc
SB
là mặt
CEF
.
Ta có
.
SCEF
SCAB
V
SE SF
VSASB
Tam giác vuông
SAC
vuông tại
C
ta có:
22
2SA SC AC a
và
22
22
1
2
2

SE SC a SE
SA SA
SA a
Tam giác vuông
SBC
vuông tại
C
ta có:
22
3SB SC BC a
và
22
22
1
3
3

SF SC a SF
SB SC
SB a
Do đó
3
11 1 1 11 1
...
23 6 6 63 36

SCEF
SCEF SABC ABC
SCAB
V
VV SAS a
V
.
Câu 48: 󰇛CHUYÊNVINH–L2󰇜Cho hình lăng trụ
.
A
BC A B C

có thể tích bằng
V
. Các điểm
M
,
N
,
P
lần lượt thuộc các cạnh
A
A
,
B
B
,
CC
sao cho
1
2
AM
AA
,
2
3
BN CP
BB CC


. Thể tích khối đa diện
.
A
BC MNP
bằng
A.
2
3
V
B.
9
16
V
C.
20
27
V
D.
11
18
V
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Đặt




1.
1
,.
3
122
,.
339
M
NPCB NPCB
CC B B
VV dMCCBBS
dM CCBB S V









2.
1
,.
3
11 1
., .
32 6
M
ABC ABC
ABC
VV dMABCS
dA ABC S V


Vậy
.12
2111
96 8
ABC MNP
VVVVVV
a
a
a
B
A
C
S
F
E
M
C
B
A
B'
C'
A'
P
N
Chủđề6.KHỐITRÒNXOAY
Câu1: 󰇛SGDVĨNHPHÚC󰇜Chohìnhchóp
.S ABC
có

SA ABC
,
1AB
,
2AC
và
60 .BAC 
Gọi
M
,
N
lầnlượtlàhìnhchiếucủa
A
trên
SB
,
SC
.Tínhbánkính
R
củamặtcầuđiqua
cácđiểm
A
,
B
,
C
,
M
,
N
.
A.
2R
. B.
23
3
R
.
C.
4
3
R . D.
1R
.
Hướn
gdẫngiải
ChọnD.
*Gọi
K
là trung điểm của
AC
suy ra :
1AK AB KC
*Lạ
i có

60 60 ; 30 90 1BAC ABK KBC ABC   
*Th
eogiảthiêt

90 2ANC 
* Ch
ứngminh

90 3AMC 
Th
ậtvậy,tacó:


;BC SA BC AB BC SAB SBC SAB
AM SB AM SBC AM MC


Từ
 
1;2;3
suyracácđiểm
A
,
B
,
C
,
M
,
N
nội tiếp đường tròn tâm
K
, bán kính
1
1
2
KA KB KC KM KN AC
.
Câu2: 󰇛NGUYỄNKHUYẾNTPHCM󰇜ChođoạnthẳngABcóđộdàibằng
2a
,vẽtia
Ax
vềphíađiểm
BsaochođiểmBluôncáchtia
Ax
mộtđoạnbằng
a
.GọiHlàhìnhchiếucủaBlêntia,khi
tamgiácAHBquayquanhtrụcABthìđườnggấpkhúcAHBvẽthànhmặttrònxoaycódiện
tíchxungquanhbằng
A.
2
(2 2)
2
a
B.
2
(3 3)
2
a
C.
2
(1 3)
2
a
D.
2
32
2
a
Hướn
gdẫngiải
C
họnB.
KhiquayquanhtamgiácAHBthìđườnggấpkhúcAHBvẽlên
một mặt tròn xoay. Diện tích mặt tròn xoay này bằng tổng
diệntíchxungquanhhaihìnhnónđườngsinhAHvàBH.
BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8 - 9 - 10)
_______________________________
Tacó
22
3
A
HABBHa

.3.3
22
AH BH a a a
HK
AB a


DiệntíchxungquanhhìnhnóncóđườngsinhAHlà
2
1
33
.3
22
aa
Sa


DiệntíchxungquanhhìnhnóncóđườngsinhBHlà
2
2
33
.
22
aa
Sa


Diệntíchmặttrònxoaycầntìmlà
2
12
(3 3)
2
a
SS S

.
Câu3: 󰇛LÝTỰTRỌNG–TPHCM󰇜Chohìnhchóp
.SABC
cóđáylàtamgiácvuôngtại
A
,cạnh
huyền
6BC cm
,cáccạnhbêncùngtạovớiđáymộtgóc
60
.Diệntíchmặtcầungoại
tiếphìnhchóp
.SABC
là
A.
2
48 cm
. B.
2
12 cm
. C.
2
16 cm
. D.
2
24cm
.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Gọi
H
làhìnhchiếuvuônggóccủa
S
lênmặtphẳng
A
BC .Gọi
O
làtrungđiểmcủa
B
C
.
Tam giác
A
BC
vuôngtại
A
,
O
làtrungđiểmcủacạnh
huyền
B
C
,suyra
(1)OA OB OC
.
Xétcáctamgiác
,,SHA SHB SHC
có:

90 ( . . ) (2)
60
SH
SHA SHB SHC SHA SHB SHC g c g HA HB HC
SAH SBH SCH
chung
  

.
Từ

1
và
2
suyra
H
trùng
O
.Khiđó
SH
làtrụcđườngtrònngoạitiếp
A
BC
.
Trong
SAH
dựngtrungtrựccủa
SA
cắt
SH
tại
I
.
Khiđó
IA IB IC IS
.Vậy
I
làtâmmặtcầungoạitiếphìnhchóp
.SABC
.
SBC
đềucạnhbằng

6 cm
22
33 . .33 23
33
SO SI SO
.
Diệntíchmặtcầungoạitiếphìnhchóp
.SABC
là:

2
2
423 48Scm

.
Câu4: 󰇛NGÔGIATỰ‐VP󰇜Chohìnhtrụcóhaiđáylàhaiđườngtròn
O
và

O
,chiềucaobằng
2
R
vàbánkínhđáy
R
.Mộtmặtphẳng

điquatrungđiểmcủa
OO
vàtạovới
OO
mộtgóc
30
,

cắtđườngtrònđáytheomộtdâycung.Tínhđộdàidâycungđótheo
R
.
A.
4
33
R
. B.
22
3
R
. C.
2
3
R
. D.
2
3
R
.
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Dựng
OH AB

A
BOIH OIH IAB
IH
làhìnhchiếucủa
OI
lên
I
AB
Theobàitađược
30OIH 
Xét tam giác vuông
OIH
vuôngtại
O
3
tan 30
3
R
OH OI
Xét tam giác
OHA
vuôngtại
H
22
626
33
RR
AH OA OH AB

Câu5: 󰇛CHUYÊNPHANBỘICHÂU󰇜Chokhốinónđỉnh
O
,trục
OI
.Mătphẳngtrungtrựccủa
OI
chiakhốichópthànhhaiphần.Tỉsốthểtíchcủahaiphầnlà:
A.
1
2
. B.
1
8
. C.
1
4
. D.
1
7
.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Gọi
R
là bán kính đáy của khối nón trục
OI
.
2
1
.
3
VROI

Giảsửmặtphẳngtrungtrựccủa
OI
cắttrục
OI
tại
H
,cắtđườngsinh
OM
tại
N
.Khiđómặtphẳng
nàychiakhốinónthành2phần,phầntrênlàkhối
nónmớicóbánkính
2
R
r ,cóchiềucaolà
2
OI
2
2
1
1..
32 2 24




R
OI R OI
V
.Phầndướilàkhối
nóncụtcóthểtích
22 2
21
..7.
324 24


R
OI R OI R OI
VVV
.
Vậytỉsốthểtíchlà:
2
1
2
2
.
1
24
7.
7
24

ROI
V
ROI
V

Câu6: 󰇛SỞGDHÀNỘI󰇜Chohìnhchóp
.SABCDcóđáylàhìnhvuôngcạnh22,cạnhbên SA
vuônggócvớimặtphẳngđáyvà
3SA .Mặtphẳng
qua
A
vàvuônggócvới SC cắt
cạnh
SB
,
SC
,
SD
lầnlượttạicácđiểm
M
,
N
, P .Thểtích
V
củakhốicầungoạitiếptứ
diện
CMNP
.
A.
32
3
V
.B.
64 2
3
V
.C.
108
3
V
.D.
125
6
V
.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Tacó:

,1CB SAD AM SAB AM CB
,2SC AM AM SC


Từ

1,2 90AM SBC AM MC AMC 
.
Chứngminhtươngtựtacó
90APC 

Có
90AN SC ANC 
Tacó:

90AMC APC APC
khốicầuđườngkính
A
C
làkhốicầungoạitiếptứdiện
CMNP
.
Bánkínhcầunàylà
2
2
AC
r 
.
Thểtíchcầu:
3
432
33
Vr


Câu7: 󰇛SỞGDHÀNỘI󰇜Chomặtcầu

S
bánkính
R
.Mộthìnhtrụcóchiềucao
h
vàbánkính
đáy r thayđổinộitiếpmặtcầu.Tínhchiềucao
h
theobánkính
R
saochodiệntíchxung
quanhhìnhtrụlớnnhất
A.
2hR
. B.
hR
. C.
2
R
h
. D.
2
2
R
h
.
Hướngdẫngiải
C
A
D
B
S
M
N
P
ChọnA.
Tacó
2
22
;,
4
h
OO h IA R AO r r R
 .
Diệntíchxungquanhcủahìnhtrụ
222
22
4
24
2
hRh
SrhhRh



,
󰇛dùngBĐT
22
2
ab
ab
󰇜.
Vậy
22 22
max
24 2SRhRhhR

.
Câu8: 󰇛BẮCYÊNTHÀNH󰇜Chobahìnhtamgiácđềucạnhbằng
a
chồnglênnhaunhưhìnhvẽ
󰇛cạnhđáycủatamgiáctrênđiquacáctrungđiểmhaicạnhbêncủatamgácdưới󰇜.Tính
theo
a
thểtíchcủakhốitrònxoaytạothànhkhiquaychúngxungquanhđườngthẳng
d
.
A.
3
13 3
96
a
.B.
3
11 3
96
a
.
C.
3
3
8
a
. D.
3
11 3
8
a
.
ChọnB.
Nếubahìnhtamgiáckhôngchồnglênnhauthì
thểtíchcủakhốitrònxoaylà
3
1
3
8
a
V

Thểtíchphầnbịchồnglênlà
3
2
3
96
a
V
Thểtíchcầntínhlà
3
12
11 3
96
a
VVV

Hoặclàmnhưsau:
Đặt
1234
;;;VVVVlầnlượtlàthểtích:khốinónsinhbởitamgiác
OAB
quayquanh
OB
,khối
trònxoaysinhbởihình
;BCFE GCHK
,khốinónsinhbởitamgiác
DEB
khiquayquanh
B
C
.Khiđó:Thểtíchkhốicầntìmlà:
223
123 1 4
1313113
32 3 2 .
342 3164 96
aa aa a
VVVV V V


Câu9: 󰇛CHUYÊNLƯƠNGVĂNCHÁNH󰇜Chohìnhthangcân
A
BCD
cóđáynhỏ
1
A
B
,đáylớn
3CD
,cạnhbên
2AD
quayquanhđườngthẳng
A
B
.Tínhthểtích
V
củakhốitròn
xoaytạothành.
A.
3V
. B.
4
3
V
. C.
7
3
V
. D.
5
3
V
.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Theohìnhvẽ:
1
A
HHD.
Thểtíchkhốitrònxoaytạothànhbằngthể
tíchkhốitrụcóbánkính
1rAH
,chiều
cao
3CD
trừđithểtíchhaikhốinónbằng
nhau󰇛khốinónđỉnh
A
,đỉnh
B
vàđáylàđáycủahìnhtrụ󰇜.
Vậy
22
127
.. 2... 3
333
VAHCD AHHD





.
Câu10: 󰇛CHUYÊNLƯƠNGVĂNCHÁNH󰇜Chohìnhnónđỉnh
S
,đáylàhìnhtròntâm
O
,gócởđỉnh
bằng
120
.Trênđườngtrònđáy,lấyđiểm
A
cốđịnhvàđiểm
M
diđộng.Cóbaonhiêuvị
tríđiểmcủađiểm
M
đểdiệntíchtamgiác
SAM
đạtgiátrịlớnnhất?
A.2. B.3. C.1. D.vôsố.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Gọi
r
làbánkínhđáycủahìnhnón.
Vìgócởđỉnh
120 60ASA ASO

.
Suyra
.cot
3
r
SO OA ASO
.
Gọi
H
làtrungđiểmcủa
A
M vàđặt
x
OH
.
Tacó:
2
22 2
3
r
SH SO OH x

,
22 22
22 2AM AH OA OH r x
.
Diệntíchtamgiác
SAM
bằng
2
222 2
12
...
23 3
r
s
SH AM x r x r
2
max
2
3
s
r
đạtđượckhi
22
222 2
33
3
rrr
xrx x x
.Tứclà
OH SO
.
Theotínhchấtđốixứngcủacủađườngtròntacóhaivịtrícủa
M
thỏayêucầu.
Câu11: 󰇛PHANĐÌNHPHÙNG
–HN󰇜Trongcáchìnhnónnộitiếpmộthìnhcầucóbánkínhbằng3,
tínhbánkínhmặtđáycủahìnhnóncóthểtíchlớnnhất.
A.Đápánkhác. B.
42.R
C.
2.R
D.
22.R
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Giảsửchópđỉnh
A
nhưhìnhvẽlàhìnhchópcóthểtíchlớnnhất.
A
KM
vuôngtại
.K
Tathấy
I
Kr
làbánkínhđáycủachóp,
A
Ih
làchiềucaocủachóp.
22
.6.
I
KAIIMrh h

22
11
606.
33
Vrhhh h



2
max
1
6max
3
Vhh

32
6maxyh h
trên
0;6
Câu12: 󰇛CHUYÊNĐHVINH󰇜Chonửađườngtrònđườngkính
2
A
BR
vàđiểmC thayđổitrên
nửađườngtrònđó,đặt
CAB
vàgọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa
C
lên
A
B .Tìm
saochothểtíchvậtthểtrònxoaytạothànhkhiquaytamgiác
A
CH quanhtrục
A
B
đạt
giátrịlớnnhất.
A.
60

. B.
45

. C.
1
arctan
2
. D.
30

.
Hướngdẫngiải
Đápán:C.
2
.cos 2 .cos
.sin 2 .cos .sin ;
.cos 2 .cos
AC AB R
CH AC R
A
HAC R




Thểtíchvậtthểtrònxoaytạothànhkhiquaytamgiác
A
CH
quanhtrục
A
B là
2342
18
..cos.sin
33
VAHCH R


.
Đặt
2
cos 0 1tt


32
8
1
3
VRt t

3
33
8822
.. 2 2
663
tt t
Rtt t R





Vậy
V
lớnnhấtkhi
2
3
t
khi
1
arctan
2
.
Chúý:cóthểdùngPPhàmsốđểtìmGTNNcủahàm

2
1
f
tt t

Câu13: 󰇛SỞGDBẮCNINH󰇜Chomộthìnhnón
N
cóđáylàhìnhtròntâm
O
.Đườngkính
2a
và
đườngcao
SO a
.Chođiểm
H
thayđổitrênđoạnthẳng
SO
.Mặtphẳng

P
vuônggóc
với SO tại
H
vàcắthìnhnóntheođườngtròn
C
.Khốinóncóđỉnhlà O
vàđáylàhình
tròn

C
cóthểtíchlớnnhấtbằngbaonhiêu?
A.
3
2
.
81
a
B.
3
4
.
81
a
C.
3
7
.
81
a
D.
3
8
.
81
a
Hướngdẫngiải
Gọi
làmặtphẳngquatrụccủahìnhnón
N cắthìnhnón
N theothiếtlàtamgiác
SAB,cắthìnhnónđỉnhSvàcóđáylàđườngtròn
C theothiếtdiệnlàtamgiácSCD,gọiI
làgiaođiểmcủaSOvàCD.Tacó:
2
A
BaOAaSO
.Dođótamgiác
SOA
vuôngcân
tại
S
.Suyratamgiác
SIC
vuôngcântại I .Đặt
(0 )SI AC x x a OI a x
Thểtíchkhốinóncóđỉnhlà
O
vàđáylàhìnhtròn

C
là:
22 32
11 1
.. . .. ( )
33 3
VICOIxax xax

.

2
1
'..32
3
Vx x ax


0
'0 .
2
3
x
Vx
a
x

Bảngbiếnthiên:
ChọnđápánB
Câu14: 󰇛SỞ GD BẮC NINH󰇜 Cho hình chóp
.SABC
có
SA
vuông góc với mặt phẳng
,,ABC SA a AB a
,
2,
A
Ca
0
60 .BAC
Tínhdiệntíchhìnhcầungoạitiếphìnhchóp
.S ABC
.
A.
2
5
.
3
a
. B.
2
20 a
. C.
2
20
3
a
. D.
2
5 a
.
Hướngdẫngiải
Gọi
H
làtâmđườngtrònngoạitiếptamgiác
A
BC
,
d
là
đường thẳng đi qua
H vàvuônggóc
v
ới mặt phẳng
()
A
BC
,gọi
làmặtphẳngtrungtrựccủa
SA
,
O
là
giaođiểmcủa
d
và
.Khiđó
O
làtâmcủahìnhcầu
ngoạitiếphìnhchóp
.S ABC
.
Theođịnhlíhàmsốcosintacó
:

22
2
20
2.AC.cos
2 2 .2 .cos60 3
BC AB AC AB BAC
aaaa a


Diệntíchtamgiác
A
BC
:
2
1.3
.AB.AC.sin
22
ABC
a
S BAC

Bánkínhđườngtrònngoạitiếptamgiác
A
BC
:
2
.. .2.a3
4.
3
4.
2
ABC
AB BC AC a a
A
Ha
S
a

Bánkínhcủamặtcầungoạitiếphìnhchóp
.SABC
:

2
2
22
5
22
aa
ROA AH OH a




Diệntíchhìnhcầungoạitiếphìnhchóp
.SABC
2
22
5
44. 5
2
a
SR a






ChọnđápánD
Câu15: 󰇛CHUYÊNLƯƠNGVĂNCHÁNH󰇜Chotứdiệnđều
A
BCD
cócạnhbằng
a
.
Tậphợpcácđiểm
M
saocho
222 22
2
M
AMBMCMD a
là
A.Mặtcầucótâmlàtrọngtâmcủatamgiác
A
BC
vàbánkínhbằng
2
2
a
.
B.Mặtcầucótâmlàtrọngtâmcủatứdiệnvàbánkínhbằng
2
4
a
.
C.Mặtcầucótâmlàtrọngtâmcủatứdiệnvàbánkínhbằng
2
2
a
.
D.Đườngtròncótâmlàtrọngtâmtamgiác
A
BC
vàbánkínhbằng
2
4
a
.
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Gọi
,
I
J
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
,
A
BCD
.Gọi
K
làtrungđiểm
IJ
.󰇛Lúcnày,
K
làtrọng
tâmtứdiện󰇜.
Ápdụngđịnhlýđườngtrungtuyếntrongtamgiác,tacó:
22
22 2 2
22
22 2 2
22
22
22
22
A
Ba
MA MB MI MI
CD a
MC MD MJ MJ
 



222 2 222
2
M
AMBMCMD MI MJ a
2
22
22
2
IJ
M
Ka





Tacó:
2
22 2 2 22
22
3
24 4242
IC ID CD a a a a
IJ IC





2
222 2 2
3
4
2
a
MA MB MC MD MK
.
Dođó:
2
222 22 2 2
32
24 2
24
aa
MA MB MC MD a MK a MK
.
Vậytậphợpcácđiểm
M
thoảmãnhệthứcđềbàilàmặtcầutâm
K
,bánkínhbằng
2
4
a
.
Câu16: 󰇛CHUYÊNLƯƠNGVĂNCHÁNH󰇜Chohìnhchóp
.SABC
có
,2SA ABC SA a
,tamgiác
A
BC
cântại ,22
A
BC a ,
1
cos .
3
ACB
Tínhdiệntích
S
củamặtcầungoạitiếphình
chóp
..S ABC
A.
2
97
.
4
a
S
B.
2
97
.
2
a
S
C.
2
97
.
3
a
S
D.
2
97
.
5
a
S
 Hướngdẫngiải
ChọnA.
Gọi
H
làtrungđiểmcủa
B
C
2
2
BC
HC a
.
Do
A
BC
cântại
A
A
HBC
.
1
cos 3 3 2
3

A
CB AC HC AC a .
22 22
18 2 4
A
HACHC aa a
.
Gọi
M
làtrungđiểm
A
C
,trongmp
A
BC
vẽđườngtrungtrực
A
C
cắt
A
H
tại
O
O

làtâmđườngtrònngoạitiếp
A
BC
.
Tacó
11 22
cos sin cos
33 3
  ACH CAH CAH
.
Trong
A
MO
vuôngtại
M
2
3
9
2
4
22
cos
3

a
A
Ma
AO
CAH

Gọi
N
làtrungđiểm
SA
.Trongmp
SAH vẽtrungtrực
SA
cắtđườngthẳngqua
O
và
vuông góc mp
A
BC tại
I
. Chứng minh được
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
..S ABC
Tacó
A
NIO
làhìnhchữnhật
đườngchéo
22
22 2
81 97 97
16 16 4
aa
A
IAOAN a a .
Vậydiệntíchmặtcầungoạitiếphìnhchóp
.SABC
là
2
22
97 97
44
16 4
a
SR a 
󰇛đvdt󰇜.
Câu17: 󰇛LƯƠNGTÂM󰇜Chomặtcầu

S Cótâm
I
,bánkính
5R
.Mộtđườngthằng
cắt

S
tại
2
điểm
M
,
N
phânbiệtnhưngkhôngđiqua
I
.Đặt
2
M
Nm
.Vớigiátrịnàocủam
thìdiệntíchtamgiác
IMN
lớnnhất?
A.
52
2
m 
. B.
10
2
m
. C.
5
2
m
. D.
52
2
m
.
Hướngdẫngiải
GọiHlàtrungđiểmMN,tacó
:
2
25
I
Hm
DiệntíchtamgiácIMN
:
2
22
22
1
.25
2
25
(25 )
2
IMN
SIHMNmm
mm
mm



Suyra
25
2
IMN
S
.Dấu‘’xãyrakhi
22
5
25
2
mmm
Chọn󰇛D󰇜
Câu18: Chohìnhchóp
.SABC
cóđáy
ABC
làtamgiácđềucạnhbằng
1
,mặtbên
SAB
làtam
giácđềuvànằmtrongmặtphẳngvuônggócvớimặtphẳngđáy.Tínhthểtích
V
củakhối
cầungoạitiếphìnhchópđãcho.
A.
515
18
V
p
=
. B.
515
54
V
p
=
. C.
43
27
V
p
=
. D.
5
3
V
p
=
.
Hướngdẫngiải
ĐápánB
Gọi
O
làtâmđườngtròntamgiác
ABC
suyra
O
làtrọngtâm,
H
làtrungđiểm
AB
,kẻ
đườngthẳngqua
O
songsong
SH
cắt
SC
tại
N
tađược
()
NO ABC^
,gọi
M
làtrung
điểm
SC
,
HM
cắt
NO
tại
.I

Tacó
HS HC=
nên
HM SC IS IC IA IB r^====
Tacó
0
2266 61
45 , ,
3323 4
6
CN CO
NIM HCS CN SM SN
CS CH
== === == =
Suyra
6
12
NM SM SN=-=
NMID
vuôngtại
M
0
6
tan 45
12
NM
IM NM
IM
===
Suyra
22
5
12
rIC IM MC== + =
Vậy
3
4515
354
Vr
p
p
== .
Cáchkhác:
Gọi
, PQ
lầnlượtlàtrọngtâmcáctamgiác
SAB và ABC
.
Docáctamgiác
SAB và ABC
làcáctamgiácđềucạnhbằng
1
nên
, PQ
lầnlượttâm
đườngtrònngoạitiếptamgiácđó.
Qua
P
đườngthẳngvuônggócvớimặtphẳng
()
,SAB
qua
O
dựngđườngthẳngvuông
gócvớimặtphẳng
()
.ABC
Haitrụcnàycắtnhautại
,I
suyra
IA IB IC IS===
.Vậy
I
làtâmmặtcầungoạitiếphìnhchóp
.SABC
và
RIC=
.
Xét
22
22
13 23 15
:IC . .
32 32 6
IQC IG GC
æöæö
÷÷
çç
÷÷
çç
D=+= +=
÷÷
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
Vậy
3
4515
354
VR
p
p==
.
Câu19: Chohìnhtrụcóchiềucao
2,h =
bánkínhđáy
3.r =
Mộtmặtphẳng
(
)
P
khôngvuônggócvới
đáycủahìnhtrụ,lànlượtcắthaiđáytheođoạngiaotuyến
AB
và
CD
saocho
ABCD
làhình
vuông.Tínhdiệntích
S
củahìnhvuông
ABCD
.
A.
12 .S p=
 B.
12.S =
C.
20.S =
D.
20 .S p=
Hướngdẫngiải
Kẻđườngsinh
BB’
củahìnhtrụ.Đặtđộdàicạnhcủahìnhvuông
ABCD
là
x
,
x0
.
Do
''
'
CD BC
CD B C B CD
CD BB
ì
ï
^
ï
^ D
í
ï
^
ï
î
vuông tại
C.
Khiđó,
B’D
làđườngkínhcủa
đường
Tròn
()
'O
.Xét
'BCDD
vuôngtại
C
22 2222
''4(1)B D CD CB r x CB=+=+
Xéttamgiác
'CBBD
vuôngtại
B
222222
'' '(2)BC BB CB x h CB=+=+
Từ󰇛1󰇜và󰇛2󰇜
22
2
4
20
2
rh
x
+
= =
.
Suyradiệntíchhìnhvuông
ABCD
là
20S =
.
Câu20: Chohình chópđều S.ABC có
AB a
,
SB a 2
.Diệntíchmặtcầungoạitiếphìnhchóp
S.ABClà:
A.
2
3
11
a
S B.
2
3
11
a
S
C.
2
12
11
a
S D.
2
12
11
a
S
Hướngdẫngiải
1󰇜Xácđịnhtâmvàbánkínhmặtcầungoạitiếptứdiện.
Xácđịnhtâmmặtcầu
Gọi
O
làtâmđườngtrònngoạitiếptamgiác
A
BC
,
do
.S ABC
làhìnhchópđềunên
SO
làtrụcđườngtròn
ngoạitiếptamgiác
A
BC
.Trongtamgiác
SOA
dựngđườngtrung
trực
củacạnhbên
SA
, cắt
SO
tạiI vàcắt
SA
tạitrungđiểm
J
.
Tacó:
ISO IAIBIC
IA IB IC IS
IIAIS



Vậy
I làtâmcủamặtcầungoạitiếphìnhchóp
.S ABC
.
Tínhbánkínhmặtcầu
Gọi
M
AO BC
thì
M
làtrungđiểmcủa
BC
.
Tacó:
33
22
AB a
AM 
23
33
a
AO AM
.
Trongtamgiácvuông
SOA
tacó
2
22 2
333
4
93
aa
SO SA AO a
Xéthaitamgiácvuôngđồngdạng
SJI
và
SOA
tacó:
22
4233
211
33
2.
3
SI SJ SA a a
RSI
SA SO SO
a

2󰇜Tínhdiệntíchmặtcầuvàthểtíchkhốicầu
Diệntíchmặtcầulà:
2
2
2
233 12
44
11 11
aa
SR






.
Câu21: ChohìnhchópđềuS.ABCcóđườngcao
SH a
;gócSABbằng45độ.Bánkínhmặtcầu
ngoạitiếphìnhchópS.ABClà
A.
2
a
B.
a
C.
3
2
a
D.
2a
Hướngdẫngiải
GọiIlàtâmcủamặtcầungoạitiếphìnhchopS.ABCD
Khiđó
IA IB IC ID IS
hay
(1)
(2)
IA IB IC ID
IA IS

GọiHlàgiaođiểmcủaACvàBD.Từ󰇛1󰇜suyra
(*)ISH
Trongmặtphẳng󰇛SAH󰇜dựngđườngthẳng
làtrungtrựccủaSA.
Từ󰇛2󰇜,suyra

(2*)
(*) (2*)


I
SH I
GọiMlàtrungđiểmcủaSA,khiđó:
2
...
22
SI SM SM SA SA SA SA
RSI
SA SH SH SH SH

.DoSABcântạiSvàcó
0
45SAB
nênSABvuôngcân
tạiS.Đặt
SA x
,khiđó
36
2;
33
A
Bx
AB x HA
TrongtamgiácvuôngSHAcó:
22
2 2 22 222
633
3
922
x
aa
SA HA SH x a x a R
a

.Đápán
C
Câu22: ChohìnhchópS.ABCD,đáyABCDlàhìnhvuông,cạnh2a,tâmO,mặtbên󰇛SAB󰇜làtamgiác
đềuvà
SAB ABCD
.Xácđịnhtâmvàbánkínhcủamặtcầungoạitiếphìnhchópđó.
1

2
A.
21
3
a
R
B.
3
3
a
R
C.
3
2
a
R
D.
6
3
a
R
Hướngdẫngiải
QuaO,kẻ
1
ABCD
thì
1
làtrụccủađườngtrònngoạitiếphìnhvuôngABCD.
Do
SAB ABCD nênkẻ
SH AB
thì
SH ABCD
GọiElàtâmđườngtrònngoạitiếptamgiácđềuSABvàkẻ
2
SAB
tạiEthì
2
làtrụccủa
đườngtrònngoạitiếptamgiácSAB.
1
cắt
2
tạiI:tâmcủamặtcầungoạitiếphìnhchópS.ABCD.
TứgiácOHEIcó3gócvuôngO,H,Enênlàhìnhchữnhật
33
2. 3
23
a
SH a a EH
Trong

aa
AIO R AI OA OI a
2
22 2
321
:2
93
.
ĐápánA.
Câu23: ChohìnhcầutâmO,đườngkính2Rvàhìnhtrụtrònxoaynộitiếptronghìnhcầu.Hãytìm
kíchthướccủahìnhtrụkhinócóthểtíchđạtgiátrịlớnnhất.
A.
6
3
R
r
B.
2
3
R
r
C.
2
3
R
r
D.
2
3
R
r
Hướngdẫngiải
Gọihvàrlàchiềucaovàbánkínhđáycủahìnhtrụ.BàitoánquyvềviệctínhhvàrphụthuộctheoR
khihìnhchữnhậtABCDnộitiếptronghìnhtròn󰇛O,R󰇜thayđổivề
2
Vrh
đạtgiátrịlớnnhất
Tacó:
222 222
44AC AB BC R r h

22 32
22
11
02
44
32
ʹ
4
3
VRhh hRh hR
R
VhRh









Vậy
3
max
42
3
9
3
R
VV R h

Lúcđó
22
22
14 2 6
.
43 3 3
RR R
rR r
.ChọnA.
h
Câu24: Chohìnhcầu󰇛S󰇜tâmO,bánkínhR.Hìnhcầu󰇛S󰇜ngoạitiếpmộthìnhtrụtrònxoay󰇛T󰇜có
đườngcaobằngđườngkínhđáyvàhìnhcầu󰇛S󰇜lạinộitiếptrongmộtnóntrònxoay󰇛N󰇜
cógócởđỉnhbằng
60
.Tínhtỉsốthểtíchcủahìnhtrụ󰇛T󰇜vàhìnhnón󰇛N󰇜.
A.
2
6
T
N
V
V
B.
2
3
T
N
V
V
C.
62
2
T
N
V
V
D.Đápánkhác.
Hướngdẫngiải
BàitoánquyvềhìnhnóntâmOngoạitiếphìnhvuôngABCDvànộitiếptamgiácđềuSEFmàEF//
AB.VìOABlàtamgiácvuôngcânnên
2AB BC R .Suyra
2
3
2
22
T
AB R
VBC




Tathấy,tâmOcủahìnhtròncũngchínhlàtâmcủahìnhvuôngABCDđồngthờicũnglàtrọngtâm
củatamgiácđềuSEF.
Nhưvậy,đườngcaocủatamgiácSEFlà
33SH OH R
TrongtamgiácEOH󰇛vuôngtạiH,
30EOH 
󰇜.Tacó:
.3 3EH O H R
Thểtíchcủahìnhnón
223
11
.3.33
33
N
VEHSHRRR


Vậy
3
3
2
2
2
6
3
T
N
R
V
V
R

.ChọnA.
Câu25: Chohìnhnón
N cóbánkínhđáyR,đườngcaoSO.Gọi󰇛P󰇜màmặtphẳngvuônggócvới
SOtạiO
1
saocho
1
1
3
SO SO
.Mộtmặtphẳngquatrụchìnhnóncắtphầnkhốinón N
nằmgiữa󰇛P󰇜vàđáyhìnhnóntheothiếtdiệnlàhìnhtứgiáccóhaiđườngchéovuônggóc.
Tínhthểtíchphầnhìnhnón
N nằmgiữamặtphẳng󰇛P󰇜vàmặtphẳngchứađáyhình
nón
N .
A.
3
7
9
R
 B.
3
9
R
 C.
3
26
81
R
 D.
3
52
81
R
Hướngdẫngiải
Gọithiếtdiệnthuđượclà
11
A
ABB
Vì
1
1
3
SO SO
nên
11
11
.2
33
A
BAB R

Mặtkhác
11
A
BAB tạiInên
111
11
,
22
I
OABIO AB
Vậy
1
4
33
RR
OO R

Dễthấy
11
12
23
R
SO OO

Từđó
2SO R
GọithểtíchphầnhìnhnónphảitínhlàV*thì
12
*VVV
,trongđó:
V
1
làthểtíchcủahìnhnón N .
V
2
làthểtíchhìnhnónđỉnhSvàđáylàthiếtdiệncủa
N
đượccắtbởi󰇛P󰇜.
Tacóthểtíchphầnhìnhnónphảitínhlà
22
12 11 1
11
*..
33
V V V OBSO OBSO


23
2
1252
.2 .
39381
RR R
RR





Câu26: Chiềucaocủakhốitrụcóthểtíchlớnnhấtnộitiếptronghìnhcầucóbánkính
R
là
A.
3
R
. B.
3
3
R
. C.
43
3
R
. D.
23
3
R
.
Hướngdẫngiải
Giảsử
2
x
làchiềucaohìnhtrụ
(0 )
x
R
󰇛xemhìnhvẽ󰇜
Bánkínhcủakhốitrụlà
22
rRx.Thểtíchkhốitrụlà:
22
()2VRxx
 .Xéthàmsố
22
() ( )2,0Vx R x x x R

Tacó:
22
3
'( ) 2 ( 3 ) 0
3
R
Vx R x x

.Bảngbiếnthiên:
Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là
23
3
R
;
3
max
43
9
R
V
.
Câu27: Chohìnhnóncóchiềucao
h
.Tínhchiềucao
x
củakhốitrụcóthểtíchlớnnhấtnộitiếp
tronghìnhnóntheo
h
.
A.
2
h
x
. B.
3
h
x
. C.
2
3
h
x
. D.
3
h
x
.
Hướngdẫngiải
Gọi
,rR
theothứtựlàbánkínhđáyhìnhnónvàkhốitrụcầntìm.
O
làđỉnhcủahìnhnón,
I làtâmcủađáyhìnhnón,
J
làtâmcủađáyhìnhtrụvàkhác I .
OA
làmộtđườngsinh
củahìnhnón,
B
làđiểmchungcủa
OA
vớikhốitrụ.Tacó:
()
rhx R
rhx
Rh h

.
Thểtíchkhốitrụlà:
2
22
2
()
R
VxR xhx
h


Xéthàmsố
2
2
2
() ( ),0
R
Vx x h x x h
h
.
Tacó
2
2
'( ) ( )( 3 ) 0 hay .
3
Rh
Vx h xh x x x h
h
 
Bảngbiếnthiên:
Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là
3
h
x
;
2
max
4
27
R
h
V
.
Câu28: Chohìnhnónđỉnh
O
,chiềucaolà
h
.Mộtkhốinónkháccóđỉnhlàtâmcủađáyvàcóđáy
làlàmộtthiếtdiệnsongsongvớiđáycủahìnhnónđỉnh
O
đãcho󰇛hìnhvẽ󰇜.Tínhchiều
cao
x
củakhốinónnàyđểthểtíchcủanólớnnhất,biết
0
x
h
.
A.
3
h
x
. B. 3
x
h . C.
2
3
h
x
. D.
3
3
h
x
.
Hướngdẫngiải
Từhìnhvẽtacó
()
J
BOJ hx Rhx
JB
IA OI h h


.
Thểtíchkhốinóncầntìmlà:
2
2
2
1
()
3
R
Vhxx
h
.
Xéthàmsố
2
2
2
1
() ( ) ,0
3
R
Vx h x x x h
h
.
Tacó
2
2
1
'( ) ( )( 3 ) 0 hay .
33
R
h
Vx h xh x x h x
h

Bảngbiếnthiên:
DựavàoBBT,tathấythểtíchkhốinóncầntìmlớnnhấtkhichiềucaocủanólà
3
h
x
;
2
max
4
81
R
h
V
.
Câu29: Chomộthìnhnóncóbánkínhđáylà
R
,chiềucaolà
2
R
,ngoạitiếpmộthìnhcầu
(;)SOr
.
Khiđó,thểtíchcủakhốitrụngoạitiếphìnhcầu
(;)SOr
là
A.

3
3
16
51
R
. B.
3
4
125
R
. C.

3
3
16
15
R
. D.
3
4
25 1
R
.
Hướngdẫngiải
Giảsửhìnhnóncóđỉnh
O
vàđườngkínhđáylà
A
B
.
Tacó
22
(2 ) 5OA OB R R R
.
Tamgiác
OAB
códiệntíchlà
2
2SR
,
chuvilà
22(15)pR
.
Dođóbánkínhkhốicầu
(;)SOr
là
2
15
SR
r
p

.
Thểtíchkhốitrụcầntìmlà:

3
23
3
16
2
15
tru
R
Vrhr


.
Câu30: Hìnhnóncóthểtíchlớnnhấtnộitiếpmộtmặtcầubánkính
R
chotrướcbằng:
A.
3
64
81
R
 B.
23
32
81
R
C.
3
32
81
R
 D.
23
64
81
R
Hướngdẫngiải
Kíhiệubánkínhđáyhìnhnónlà
x
,chiềucaohìnhnónlà
y

0,02
x
RyR
.Gọi
'SS
là
đườngkínhcủamặtcầungoàitiếphìnhnónthìtacó

2
2xyRy
.Gọi
1
V là thể tích khối nón thì

2
1
11
.2
33
VxyyyRy



42..
6
Ryyy

3
3
42 32
63 81
R yyy R






Vậy thể tích
1
V đạtgiátrịlớnnhấtbằng
3
32
81
R
khivàchỉkhi
42Ryy
4
3
R
y
, từ đó
2
2
448
2
339
RRR
xR




hay
22
3
R
x
.ChọnC.
Câu31: Tìmhìnhnóncóthểtíchnhỏnhấtngoạitiếpmặtcầubánkính
r
chotrướccóthểtíchbằng:
A.
3
1
6
r
B.
3
8
3
r
C.
3
2
3
r
 D.
3
4
3
r
Hướngdẫngiải
Xétmặtphẳngchứatrụccủahìnhnón,mặtphẳngnàycắthìnhnóntheotamgiáccân
SAB
vàcắt
mặtcầunộitiếphìnhnóntheođườngtrònbánkính
r
vàhìnhtrònnàynộitiếptamgiáccân
SAB

.79hb
Kí hiệu bán kính đáy hình nón là
x
,chiềucaohìnhnónlà

0, 2yx y r
thì

1
.
2
AH SA r AB SH
\
Vậythểtíchhìnhnónngoạitiếpmặtcầubánkính
r
là
2
22
2
11
:
33 2
y
Vxyr
yr


Tacó
2222 2
44 4
2
22 2
yyrr r
yr
yr yr yr



2
22 2
2

ry
xxyrxyx
yr
2
4
24
2
r
yr r
yr


2
4
22. 48
2
r
yr rr
yr

Từđó
3
2
1
.8
3
Vr
,tứclà
2
V
đạtgiátrịbénhấtkhivàchỉkhi
2
4
24
2
r
yr y r
yr

từđó 2
x
r
.
Câu32: Gọi
r
và
h
lầnlượtlàbánkínhđáyvàchiềucaocủamộthìnhnón.Kíhiệu
12
,VVlầnlượt
làthểtíchhìnhnónvàthểtíchhìnhcầunộitiếphìnhnón.Khi
r
và
h
thayđổi,tìmgiátrị
bénhấtcủatỉsố
1
2
V
V
A.
2
 B.
22
C.
1
3
 D.2
Hướngdẫngiải
Gọi

P
làmặtphẳngđiquatrụccủahìnhnónthì

P
cắthìnhnón.Theotamgiáccân
SAB
,cắt
mặtcầutheođườngtrònlớn,đườngtrònnàynộitiếptamgiáccân.Khiđó,bánkính
1
r củahìnhcầu
nộitiếphìnhnónđượctínhbởicôngthức
1
22
rh
r
rhr


3
2
3
2
1
2
2
2
11
11
11
44
h
x
r
V
h
Vx
r







,ởđó
2
2
0
h
x
r

Xét


32
2
11 1 1 221
,'
4
4.2 1
x
xx x
fx f x
x
xx


Vì
2
2
11
0
4.2 1
x
xx

nênkhixétdấucủa

f
x
,tachỉcầnxétdấucủa

221
g
xx x
.
Tacó

1
'1
1
gx
x

.Dễthấy

'0gx
vìkhi
0x
thì
1
1
1x
,đồngthời
08gx x
Vậy
gx
làhàmtăngtrênmiền
0x
và
80g
nên
Với
08x
thì

0;gx
Câu33: Chokhốinóntrònxoaycóđườngcao
20hcm
,bánkínhđáy
25rcm
.Mộtmặtphẳng
󰇛P󰇜điqua2đỉnhcủakhốinónvàcókhoảngcáchđếntâmOcủađáylà12cm.Khiđódiện
tíchthiếtdiệncủa󰇛P󰇜vớikhốinónbằng:
A.
2
500
cm B.
2
475 cm
C.
2
450
cm D.
2
550
cm
Hướngdẫngiải
GọiSlàđỉnhcủakhốinón.Mặtphẳng󰇛P󰇜điquađỉnhScắtkhốinóntheohaiđườngsinhbằngnhau
là
SA SB
nêntacóthiếtdiệnlàtamgiáccânSAB.
Gọi I là trung điểm của đoạn AB, ta có
OI AB
.TừtâmOcủađáytakẻ
OH SI
tạiH,tacó
OH SAB
vàdođótheogiảthiếttacó
12OH cm
.XéttamgiácvuôngSOItacó:
22222
11111
12 20OI OH OS


15OI cm
Mặtkhác,xéttamgiácvuôngSOItacòncó:
..OS OI SI OH
Dođó

. 20.15
25
12
OS OI
SI cm
OH

GọiS
t
làdiệntíchcủathiếtdiệnSAB.Tacó:
1
.
2
t
SABSI
,trongđó
2AB AI
Vì
222222
25 15 20AI OA OI
nên
20
A
Icm
và
40
A
Bcm
VậythiếtdiệnSABcódiệntíchlà:

2
1
.40.25 500
2
t
Scm
.ChọnA.
Câu34: Cholăngtrụđứng
.'''ABC A B C
cóđáylàtamgiácđềucạnha .Mặtphẳng
()
''AB C
tạo
vớimặtđáygóc
0
60 vàđiểm
G
làtrọngtâmtamgiác
ABC
.Bánkínhmặtcầungoạitiếp
khốichóp
.' ' 'GA B C
bằng:
A.
85
.
108
a
B.
3
2
a
. C.
3
.
4
a
D.
31
.
36
a

Hướngdẫngiải
Gọi
M
làtrungđiểm
''BC
,tacó

()( )
===
0
60 '', ''' ,' 'AB C A B C AM A M AMA
.
Trong
D 'AA M
,có =
3
'
2
a
AM
;

==
3
''.tan '
2
a
AA A M A MA
.
Gọi
'G
làtrọngtâmtamgiácđều
'''ABC
,suyra
'G
cũnglàtâm
đườngtrònngoạitiếp
D '''.ABC
Vìlặngtrụđứngnên
()
^''''GG A B C .
Dođó
'GG
làtrụccủatamgiác
'''ABC
.
Trongmặtphẳng
(
)
''GC G
,kẻtrungtrực
d
củađoạnthẳng
'GC
cắt
'GG
tại
I
.Khiđó
I
làtâm
mặtcầungoạitiếpkhốichóp
.' ' 'GA B C
,bánkính
= .RGI

Tacó
DD =
'
ÿ''
'
GP GG
GPI GG C
GI GC

+
= = = = =
222
.' ' ' '' 31
'2' 2' 36
GP GC GC GG G C a
RGI
GG GG GG
.ChọnD.
Câu35: Chomộthìnhtrụcóbánkínhđáybằng
R
vàcóchiềucaobằng
3.R
Haiđiểm
, AB
lần
lượtnằmtrênhaiđườngtrònđáysaochogócgiữa
AB
vàtrụccủahìnhtrụbằng
0
30
.
Khoảngcáchgiữa
AB
vàtrụccủahìnhtrụbằng:
A.
.R
B.
3.R
C.
3
.
2
R
D.
3
.
4
R
Hướngdẫngiải
Từhìnhvẽkếthợpvớigiảthiết,tacó
=='.OA O B R
Gọi
'AA
làđườngsinhcủahìnhtrụthì
=='' , ' 3OA R AA R và
=
0
'30BAA .
Vì
()
''OO ABA
nên

() () ()
éùé ùé ù
==
êúê úê ú
ëûë ûë û
', ', ' ', ' .dOOAB dOOABA dOABA
Gọi
H
làtrungđiểm
'AB
,suyra
()
ü
ï
^
ï
^
ý
ï
^
ï
þ
''
''
''
OH AB
OH ABA
OH AA
nên
(
)
éù
=
êú
ëû
', ' 'dO ABA O H
.
Tamgiác
'ABA
vuôngtại
'A
nên
==
0
''tan30.BA AA R
Suyratamgiác
''ABO
đềucócạnhbằng
R
nên
=
3
'.
2
R
OH
ChọnC.
Câu36: Chohìnhchóp
.SABC
cóđáy
ABC
làtamgiácđềucạnha ,hìnhchiếuvuônggóccủa
đỉnh
S
trênmặtphẳng
(
)
ABC
làtrungđiểm
H
củacạnh
BC
.Gócgiữađườngthẳng
SA
vàmặtphẳng
()
ABC
bằng
0
60
.Gọi
G
làtrọngtâmtamgiác
SAC
,
R
làbánkínhmặtcầu
cótâm
G
vàtiếpxúcvớimặtphẳng
(
)
SAB
.Đẳngthứcnàosauđâysai?
A.
()
éù
=
êú
ëû
,.RdGSAB
B.
=313 2 .RSH
C.
D
=
2
43
.
39
ABC
R
S
D. = 13.
R
a

Hướngdẫngiải
Tacó
()
===
0
60 , ,SA AB C SA HA SAH
.
Tamgiác
ABC
đềucạnha nên =
3
2
a
AH .
Trongtamgiácvuông
SHA
,tacó
==
3
.tan
2
a
SH AH SAH
.
Vìmặtcầucótâm
G
vàtiếpxúcvới
(
)
SAB
nênbánkínhmặtcầu
()
éù
=
êú
ëû
,.RdGSAB
Tacó
() () ()
éùéùéù
==
êúêúêú
ëûëûëû
12
,,,.
33
dG SAB dC SAB dH SAB
Gọi
, ME
lầnlượtlàtrungđiểm
AB
và
MB
.
Suyra
ì
ï
^
ï
ï
ï
í
ï
=
ï
ï
ï
î
3
2
CM AB
a
CM
và
ì
ï
^
ï
ï
ï
í
ï
==
ï
ï
ï
î
13
24
HE AB
a
HE CM
.
Gọi
K
làhìnhchiếuvuônggóccủa
H
trên
SE
, suy ra
^HK SE
.
()
1
Tacó
()
ì
ï
^
ï
^ ^
í
ï
^
ï
î
.
HE AB
AB SHE AB HK
AB SH
()
2
Từ
()
1
và
()
2
,suyra
(
)
^HK SAB
nên
(
)
éù
=
êú
ëû
,dH SAB HK
.
Trongtamgiácvuông
SHE
,tacó
==
+
22
.3
213
SH HE a
HK
SH HE
.
Vậy
==
2
3
13
a
RHK
.ChọnD.
Câu37: Chohìnhchóptamgiácđều
.SABC
cócạnhđáybằnga vàcạnhbênbằng
21
6
a
.Gọi
h
là
chiềucaocủakhốichópvà
R
làbánkínhmặtcầungoạitiếpkhốichóp.Tỉsố
R
h
bằng:
A.
7
12
B.
7
.
24
 C.
7
.
6
D.
1
.
2

Hướngdẫngiải
Gọi
O
làtâm
DABC
,suyra
(
)
^SO ABC
và =
3
.
3
a
AO
Trong
SOA
,tacó == - =
22
.
2
a
hSO SA AO
Trongmặtphẳng
SOA
,kẻtrungtrực
d
củađoạn
SA

cắt
SO
tại
I
,suyra
●
ÎId
nên
=IS IA
.
●
ÎISO
nên
==IA IB IC
.
Do đó
===IA IB IC IS
nên
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối
chóp
.SABC
.
Gọi
M
làtungđiểm
SA
,tacó
DDÿSMI SOA
nên
== = =
2
.7a
.
212
SM SA SA
RSI
SO SO
Vậy
=
7
.
6
R
h
ChọnC.
Câu38: Chohìnhchóptứgiácđều
.SABCD
cócạnhđáybằnga ,cạnhbênhợpvớimặtđáymột
góc
0
60 .Thểtíchcủakhốicầungoạitiếpkhốichóp
.SABCD
là:
A.
p
3
4
.
3
a
B.
p
3
26
.
9
a
C.
p
3
86
.
9
a
D.
p
3
86
.
27
a

Hướngdẫngiải
Gọi
=ÇOACBD
,suyra
(
)
^SO A BCD
.
Tacó
()
==
0
60 = , ,SB ABCD SB OB SBO
.
Trong
DSOB
,tacó
==
6
.tan
2
a
SO OB SBO
.
Tacó
SO
làtrụccủahìnhvuông
ABCD
.
Trong mặt phẳng
SOB
, kẻ đường trung trực
d
của đoạn
SB
.
Gọi
ìì
ïï
Î===
ïï
=Ç
íí
ïï
Î=
ïï
îî
ISO IAIBIC ID
ISOd
I d IS IB
== ===IA IB IC ID IS R
.
Xét
DSBD
có
ì
ï
=
ï
ï
í
ï
==
ï
ï
î
60
o
SB SD
SBD SBO
DSBD
đều.
Dođó
d
cũnglàđườngtrungtuyếncủa
DSBD
.Suyra
I
làtrọngtâm
DSBD
.
Bánkínhmặtcầu
== =
26
33
a
RSI SO .Suyra
p
p
==
3
3
486
.
327
a
VR
ChọnD.
Câu39: Chohìnhchóptứgiácđều
.SABCD
cócạnhbênbằngcạnhđáybằnga .Khiđómặtcầu
nộitiếphìnhchóp
.SABCD
cóbánkínhbằng:
A.
()
+13
.
2
a
B.
(
)
-62
.
4
a
C.
(
)
+62
.
4
a
D.
()
-31
.
2
a
Hướngdẫngiải
Gọi
H
làtâmcủahìnhvuông
ABCD
.
Tacó
SH
làtrụcđườngtrònngoạitiếpđáy.
Gọi
M
là trung điểm của
CD
và
I
làchânđườngphângiác
trongcủagóc
Î ()SMH I SH .
Suyra
I
làtâmcủamặtcầunộitiếphìnhchóp,bánkính
=rIH
.
Tacó
=-=
==
22
2
;
2
3
; .
22
a
SH SA AH
aa
SM MH
Dựavàotínhchấtcủađườngphângiáctacó:
=
IS MS
IH MH
(
)
-
+
= = = =
+
+
62
.
.
4
26
a
SH MS MH SH MH a
IH
IH MH MS MH
ChọnB.
Câu40: 󰇛CHUYÊNQUANGTRUNGLẦN3󰇜Tínhthểtíchcủavậtthểtrònxoaykhiquaymôhình
󰇛nhưhìnhvẽ󰇜quanhtrục
DF
A.
3
10
9
a
. B.
3
10
7
a
. C.
3
5
2
a
. D.
3
3
a
.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Tacó
3
.tan .tan30
3
a
EF AF a

Khiquayquanhtrục
DF
,tamgiác
A
EF
tạoramộthìnhnóncóthểtích
2
3
2
1
113
.. . .
3339
aa
VEFAF a






Khiquayquanhtrục
DF
,hìnhvuông
A
BCD
tạoramộthìnhtrụcóthểtích
223
2
.. ..VDCBCaaa


Thểtíchcủavậtthểtrònxoaykhiquaymôhình󰇛nhưhìnhvẽ󰇜quanhtrục
DF
là
3
33
12
10
99
a
VVV a a

Câu41: 󰇛NGÔQUYỀN–HP󰇜Thểtích
V
củakhốitrònxoaythuđượckhiquayhìnhthang
A
BCD
quanhtrục
OO
,biết
80,OO
24,OD
12,OC
12,OA
6OB
.
A.
43200 .V
B.
21600 .V
C.
20160 .V
D.
45000 .V
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Côngthứctínhthểtíchkhốinóncụt

22
1212
1
3
V hRRRR

.
Trongđó
h
làđộdàiđườngcao,
12
;
R
R lầnlượtlàbánkínhhai
đáy.
Gọi
1
V làthểtíchkhốinóncụtkhiquayhìnhthang
A
OO D
quanhtrục
OO
.
Gọi
2
V làthểtíchkhốinóncụtkhiquayhìnhthang
B
OO C
quanhtrục
OO
.
Khiđó
12
VVV.
Tacó

22
1
1
. . . 26880
3
VOOODOAODOA


và

22
2
1
. . . 6720
3
VOOOCOBOCOB


.
Vậy
12
26880 6720 20160VVV

 .
Câu42: 󰇛CHUYÊNBẮCGIANG󰇜Chohìnhnóncóđộdàiđườngkínhđáylà
2
R
,độdàiđườngsinhlà
17R vàhìnhtrụcóchiềucaovàđườngkínhđáyđềubằng
2
R
,lồngvàonhaunhưhình
vẽ.
.
Tínhthểtíchphầnkhốitrụkhônggiaovớikhốinón
A.
3
5
12
πR
. B.
3
1
3
πR
. C.
3
4
3
πR
. D.
3
5
6
πR
.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Tacó
22 22
17 4 2 ,
2

R
SI SB IB R R R SE R EF
.
Thểtíchkhốinónlớn󰇛cóđườngcao
SI
󰇜là
23
1
14
.4R
33

V πR πR
.
Thểtíchkhốinónnhỏ󰇛cóđườngcao
SE
󰇜là
2
3
2
11
.2
32 6




R
V π R πR
Thểtíchphầnkhốigiaonhaugiữkhốinónvàkhốitrụlà
3
3122
7
6
 VVVV πR
.
Thểtíchkhốitrụlàlà
23
4
.2 2V πRR πR
.
Vậythểtíchphầnkhốitrụkhônggiaovớikhốinónlà
3
43
5
6
VVV πR
.
Câu43: 󰇛CHUYÊNKHTNL4󰇜Mộtnútchaithủytinhlàmộtkhốitrònxoay

H
,mộtmặtphẳng
chứatrụccủa

H
cắt

H
theomộtthiếtdiệnnhưtronghìnhvẽbên.Tínhthểtíchcủa

H
󰇛đơnvị
3
cm
󰇜.
A.

23
H
V
. B.

13
H
V
. C.

41
3
H
V
. D.

17
H
V
.
Hướngdẫngiải:
ChọnđápánC.
Thểtíchkhốitrụlà
2
1. .54 9


tru
VBh
.Thểtíchkhốinónlà
2
1
2.
16
3
4
3

non
V
.
Thểtíchphầngiaolà:
.
2
1
3
2
1.2
3

pgiao
V
.Vậy

16 2 41
3
9
33


H
V
.
Câu44: 󰇛CHUYÊNKHTNL4󰇜Chomộtmặtcầubánkínhbằng
1
.Xétcáchìnhchóptamgiácđều
ngoạitiếpmặtcầutrên.Hỏithểtíchnhỏnhấtcủachúnglàbaonhiêu?
A.
min 8 3V
. B.
min 4 3V
. C.
min 9 3V
. D.
min 16 3V
.
Hướngdẫngiải:
ChọnA.
Hướngdẫngiải
Gọicạnhđáycủahìnhchóplà
a

Tacó
SIJ SMH~ 




22
2
222
222
2
2
2
1
12 2 0
2
12
12
SI IJ
M
HSH IH IJ SH HM
SM MH
MH SH SH HM
aSHaSH
a
SH a
a




4
2
24
13231
.
112
36126
ABC
a
SSSH
a
aa

.Tacó
24
112 1
48aa

83S
Câu45: 󰇛CHUYÊNKHTNL4󰇜Cắtmộtkhốitrụbởimộtmặtphẳngtađượcmộtkhối

H
nhưhình
vẽbên.Biếtrằngthiếtdiệnlàmộthìnhelipcóđộdàitrụclớnbằng8,khoảngcáchtừđiểm
thuộcthiếtdiệngầnmặtđáynhấtvàđiểmthuộcthiếtdiệnxamặtđáynhấttớimặtđáy
lầnlượtlà8và14󰇛xemhìnhvẽ󰇜.Tínhthểtíchcủa

H
.
A.
()
192
H
V
.
B.
()
275
H
V
.
C.
()
704
H
V
.
D.
()
176
H
V
.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Đườngkínhđáycủakhốitrụlà
22
10 6 8

Bánkínhđáycủakhốitrụlà
4
R

Thểtíchcủakhốitrụ
1
H
là
22
11
. . .4 .8 128VRh

.
Thểtíchcủakhốitrụ
2
H
là
22
22
.. .4.696VRh


.
ThểtíchcủaHlà
12
11
128 .96 176
22
VV V


.
Câu46: 󰇛CHUYÊN VINH –L2󰇜 Cho lăng trụ
.
A
BC A B C

có
,3
A
BACaBC a
. Cạnh bên
2
A
Aa
.Bánkínhmặtcầungoạitiếptứdiện
A
BCC

bằng
A.
a . B. 2a . C.
5a
. D.
3a
.
Hướngdẫngiải:
ChọnB.
Dễthấytâmmặtcầungoạitiếptứdiện
A
BCC

cũnglàtâmmặtcầungoạitiếpkhốilăng
trụđứngđãcho.
Gọi
O
làtâmđườngtrònngoạitiếptamgiác
A
BC
.
Đườngthẳngqua
O
vuônggócvới
A
BC
cắtmặtphẳngtrungtrựccủa
A
A
tại
I
.
Khiđó
I
làtâmmặtcầungoạitiếp.
Mặtkhác
222
1
cos
2. . 2
AB AC BC
A
AB AC



Tacó:
0
3
2sinA 2sin120
ABC
BC a
R
a
dođó
22 22
2RIA OI OA a a a
.
Câu47: Chokhốichóp
.SABC
có
^ ()SA ABC
;tamgiác
ABC
cântại
A
,
=AB a
;
=120BAC
.
Gọi
,HK
lầnlượtlàhìnhchiếucủaA lên
,SB SC
.Tínhbánkínhmặtcầuđiqua5điểm
,,,,ABC K H
.
A.
= 3Ra  B.
=Ra

C.
= 2Ra
 D.Khôngtồntạimặtcầunhưvậy
Hướngdẫngiải
Gọi
I làtâmđườngtrònngoạitiếptamgiácABC vàAD làmộtđườngkínhcủađườngtròn
()I
.
Tamgiác
ACD vuôngtạiC ,suyra: ^DC AC mà ^DC SA nên
^ ()DC SAC
.
Talạicó:
ì
ï
^
ï
^
í
ï
^^
ï
î
(()
AK KC
AK KC
AK DC do DC KCD
.
Suyratamgiác
AKD vuôngtạiK ,suyra: ==IA ID IK .
Tươngtựnhưtrêntacũngcó:
==IA I D IH
.
Vậythì
=== =IA IB IC IK IH
,
dođó5điểm
,,,,ABC K H
cùngnằmtrênmộtmặtcầu󰇛đpcm󰇜.
Bánkính
R
củamặtcầucũnglàbánkínhđườngtrònngoạitiếptamgiácABC .
Ápdụngđịnhlý
cos
tacó:
=+- =
22
2 . .cos120 3BC AB AC AB AC a
.
Ápdụngđịnhlý
sin
tacó:
== = =
3
2
sin 2 sin
3
2.
2
BC BC a
RR a
AA
.ChọnB.
Câu48: Chokhốichóp
.SABCD
có
^ ()SA ABCD
;đáy
ABCD
làhìnhthangvuôngtại
A
và
B
với
==;AB BC a
= 2AD a ; =SA a .Gọi E làtrungđiểmcủa AD .Tìmtâmvàbánkính
mặtcầungoạitiếphìnhchóp
.SECD
.
A.
=
7
2
a
R  B.
= 7Ra
 C. =
11
2
a
R  D. = 11Ra 
Hướngdẫngiải
Gọi
O làtrungđiểmcủaCD .
Kẻtia
Ox SA
thì
^ ()Ox ABCD
.
Tacó:
O làtâmđườngtrònngoạitiếptamgiácvuôngCDE và
^ ()Ox ABCD
,nênOx làtrụccủa
đườngtròn
()CD E
.
Gọi
,MN
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
,AB SC
.
Tacó:
=+=
22
5
2
a
SM SA AM
; =+=
22
5
2
a
MC MB BC
nênsuyra =SM MC .
Dođótamgiác
SMC cântạiM ,suyra ^MN SC .
Dễthấy
()//()MNO SAD
và
^ ()CE SAD
nênsuyra
^ ()CE MNO
vàdođó ^CE MN .
Vậynên
^ ()MN SEC
,dođóMN làtrụccủađườngtròn
()SEC
.
Gọi
I làgiaođiểmcủaMN vàSO thìI chínhlàtâmmặtcầungoạitiếphìnhchóp .SECD.
Bánkínhmặtcầungoạitiếphìnhchóp
.SECDlà == +
22
RIC IOOC.
Trongđó
=
5
2
a
OC
và
== =
3
33.
22
SA a
IO NP
󰇛P làgiaođiểmcủaMO vàAC 󰇜.
x
x
O
P
M
N
O
C
D
S
B
A
A
B
S
D
C
E
I
E
Vậythì
æö
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
=+=
ç
÷
ç
÷
÷
ç
÷
ç
ç
÷
èø
ç
èø
2
2
53 11
222
aaa
R
.ChọnC.
Câu49: Chokhốichóp
.SABCcótamgiácABC vuôngtại
,B
biết 1AB = ;
3AC =
.Gọi
M
là
trungđiểm
BC , biết
()SM ABC^
.Tổngdiện tích cácmặtcầungoại tiếp cáctứdiện
SMAB vàb SMAC bằng15
.Diệntíchmặtcầungoạitiếphìnhchóp .SABClà:
A.
21
4
 B.
20
 C.
25
4
 D.
4

Hướngdẫngiải
Dễkiểmtrađược
2
B
Ca
vàtamgiác
M
AB đềucạnh
a
.Đặt
SM h
.
Gọi
12
,RRvà
R
lầnlượtlàbánkínhcácmặtcầungoạitiếpcủacáchình
SMAB
,
SMAC
và
.SABC
.
Gọi
12
,rrvà r lầnlượtlàbánkínhcácđườngtrònngoạitiếpcủacáctamgiác
M
AB
,
M
AC vàABC .
Tacó:
1
3
2
r
và
2
1
2.sin120
AC
r 
.
Vì
()SA MAB , ()SA MAC nêndễkiểmtrađược:
2
2
22
11
3
244
hh
Rr




và
2
2
22
22
1
24
hh
Rr




.
Theogiảthiếttổngdiệntíchcácmặtcầuthì:

22
12
415RR


Suyra:
22
315
1
444 4
hh

.Từđâytìmđược
2h
.
Dựngtrungtrựccủa
SC ,cắt SM tại
I
thì
I
làtâmmặtcầungoạitiếpcủa .SABC.
Dễkiểmtra
..SI SM SN SC ,suyra
.5
4
SN SC
RSI
SM

.
Vậythìdiệntíchmặtcầungoạitiếphìnhchóp
.SABClà
2
525
4
44
S




.ChọnC.
N
M
A
B
C
S
I
Câu50: Chohìnhlậpphương
.ABCD A B C D
¢¢¢ ¢
cạnh
.a
Gọi
,
MN
lầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnh
AB vàBC
¢¢
.Mặtphẳng
()DMN
chiahìnhlậpphươngthành2phần.Gọi
1
V
làthểtíchcủa
phầnchứađỉnh
2
,
A
V
làthểtíchcủaphầncònlại.Tínhtỉsố
1
2
V
V
.
A.
2
3
. B.
55
89
. C.
37
48
. D.
1
2
.
Hướngdẫngiải
Gọi
H
AB DN;
M
H
cắt
'
B
B
tại
K
,cắt
'
A
A
tại S ; SD cắt
''
A
D
tại
E
.
Thiếtdiệntươngứnglàngũgiác
D
NKME .
Phầnđadiệnchứa
A
cóthểtíchlà:
1. .' .SADH SAEM KBNH
VV V V
.
Dùngtamgiácđồngdạngkiểmtrađược:
B
ABH
;
4'
A
HAM
;
4'
A
DAE
và
1
'' '
3
SA B K A A
.
Đặtđộdàicạnhhìnhlậpphươngbằng
1
thì:
12
';
33
SA KB
.
Tacó:
.
1114
.. 1 .1.2
6639
SADH
VSAADAH




.

.' .
11
64 144
SAEM SADH
VV
;
..
11
818
KBNH SADH
VV

Vậythìphầnđadiệnchứa
A
cóthểtíchlà:
41 155
9 144 18 144

.
Suyraphầnđadiệnkhôngchứa
A
cóthểtíchlà:
3
55 89
1
144 144

.ChọnB.
E
K
N
M
A'
A
N
M
A'
A
D
C
B
B'
C'
D'
D'
C'
B'
B
C
D
S
H
Chủđề7.TỌAĐỘTRONGKHÔNGGIANOXYZ
Câu1: 󰇛SGDVĨNHPHÚC󰇜Trongkhônggianvớihệ tọađộ
Oxyz
,choba điểm
()
A1;2;0
,
()
B3;4;1
,
(
)
D1;3;2-
.Tìmtọađộđiểm
C
saocho
ABCD
làhìnhthangcóhaicạnhđáy
AB
,
CD
vàcó
góc
C
bằng
45 .
A.
()
C 5;9;5
. B.
()
C1;5;3
.
C.
()
C 3;1;1-
. D.
()
C3;7;4
.
Hướng
dẫngiải
ChọnD.
Cách1.
AB (2;2;1)=

.
Đườngthẳng
CD
cóphươngtrìnhlà
x12t
CD : y 3 2t
z2t
ì
ï
=- +
ï
ï
ï
=+
í
ï
ï
=+
ï
ï
î
.
Suyra
()
C 1 2t;3 2t;2 t-+ + +
;
CB (4 2t;1 2t; 1 t),=- ---

CD ( 2 t; 2t; t)=- - -

.
Tacó
22 2222
(4 2t)( 2t) (1 2t)( 2t) ( 1 t)( t)
cos BCD
(4 2t) ( 1 2t) ( 1 t) ( 2t) ( 2t) ( t)
--+--+---
=
-+-+-- -+-+-
Hay
22 2222
(4 2t)( 2t) (1 2t)( 2t) ( 1 t)( t) 2
2
(4 2t) ( 1 2t) ( 1 t) ( 2t) ( 2t) ( t)
--+--+---
=
- +- +-- -+-+-
󰇛1󰇜.
Lầnlượtthay t bằng
3; 1; 1; 2
-
󰇛thamsố t tươngứngvớitoạđộđiểm
C
ởcácphươngánA,B,
C,D󰇜,tathấy
t2=
thoả󰇛1󰇜.
Cách2.
Ta có
AB (2; 2;1), AD ( 2;1; 2)==-

.
Suyra
AB CD^

và
AB AD=
.Theo
giảthiết,suyra
DC 2AB=

.Kíhiệu
C(a; b; c)
, ta có
DC (a 1;b 3;c 2)=+ - -

,
2AB (4; 4; 2)=

.Từđó
C(3; 7; 4)
.
D
C
B
A
BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8 - 9 - 10)
_______________________________
z
y
x
m
n
m
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
O
Câu2: 󰇛SGD VĨNHPHÚC󰇜Trong không gian với hệ tọađộ
Oxyz
,chobađường thẳng
1
1
xt
d:y 0
z0
ì
ï
=
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
=
ï
ï
î
,
22
x1
d:y t
z0
ì
ï
=
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
=
ï
ï
î
,
3
3
x1
d:y 0
zt
ì
ï
=
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
=
ï
ï
î
.Viếtphươngtrìnhmặtphẳngđiquađiểm
(
)
H3;2;1
vàcắtbađường
thẳng
1
d ,
2
d ,
3
d lầnlượttại
A
,
B
,
C
saocho
H
làtrựctâmtamgiác
ABC
.
A.
2x 2y z 11 0++-=
. B.
xyz60++-=
. C.
2x 2y z 9 0+--=
. D.
3x 2y z 14 0++-=
.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Gọi
()
Aa;0;0
,
(
)
B 1;b;0
,
(
)
C1;0;c
.
(
)
(
)
(
)
(
)
AB 1 a;b;0 , BC 0; b;c , CH 2;2;1 c , AH 3 a;2;1=- = - = - =-

.
Yêucầubàitoán
()()()
23
AB,BC .CH 0
2bc 2c a 1 1 c b a 1 0
b0
AB.CH 0 a b 1 9b 2b 0
9
b
c2b
2
BC. AH 0
ì
éù
ï
ï=
êú
ì
ï
ï
+ -+- -=
é
ëû
=
ï
ï
ï
ê
ï
ï
ï
ê
==+ -=
íí
ê
ïï
=
ïï
ê
=
ïï
ë
=
ïï
î
ï
ï
î



Nếu
b0=
suyra
ABº
󰇛loại󰇜.
Nếu
9
b
2
=
,tọađộ
11
A;0;0
2
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
,
9
B1; ;0
2
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
,
()
C1;0;9
.Suyraphươngtrìnhmặtphẳng
(
)
ABC
là
2x 2y z 11 0++-=
.
Câu3: 󰇛NGUYỄN KHUYẾN TPHCM󰇜 Trong không gian với hệ tọa độ
Oxy
,chohìnhhộpchữnhật
ABCD.A B C D
¢¢¢¢
cóA trùngvớigốctọađộO ,cácđỉnh
B(m; 0; 0)
,
D(0; m; 0)
,
A (0; 0; n)
¢
với
m, n 0> và
mn4+=
.Gọi
M
làtrungđiểmcủacạnh
CC
¢
.Khiđóthểtíchtứdiện
BDA M
¢
đạtgiátrịlớnnhấtbằng
A.
245
108
. B.
9
4
. C.
64
27
. D.
75
32
.
Hướngdẫngiải
Tọađộđiểm
n
C (m; m; 0), C (m; m;; n), M m; m;
2
æö
÷
ç
¢
÷
ç
÷
ç
èø

()( )
n
BA m; 0; n , BD m; m; 0 , BM 0; m;
2
æö
÷
ç
¢
÷
=- =- =
ç
÷
ç
èø
  

()
2
BA , BD mn; mn; m
éù
¢
=---
êú
ëû
 

2
BDA M
1mn
VBA,BD.BM
64
¢
éù
¢
==
êú
ëû
 

Tacó
3
2
m m 2n 512 256
m.m.(2n) m n
327 27
æö
++
÷
ç
÷
£=£
ç
÷
ç
èø

BDA M
64
V
27
¢
£
Chọnđápán:C
Câu4: 󰇛NGUYỄN KHUYẾN TPHCM󰇜 Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, hai mặt phẳng
4x 4y 2z 7 0-+-=
và
2x 2y z 1 0-++=
chứahaimặtcủahìnhlậpphương.Thểtíchkhối
lậpphươngđólà
A.
27
V
8
=
 B..
81 3
V
8
=
.
C.
93
2
V
D.
64
27
V

Hướngdẫngiải
Theobàirahaimặtphẳng
44270xyz
và
22 10xyz
chứahaimặtcủahìnhlập
phương.Màhaimặtphẳng
():4 4 2 7 0Pxyz
và
():2 2 1 0Qxyz
songsongvới
nhaunênkhoảngcáchgiữahaimặtphẳngsẽbằngcạnhcủahìnhlậpphương.
Tacó
(0;0; 1) ( )
M
Q
nên
222
27 3
(( ),( )) ( ,( ))
2
4(4)2
dQ P dMP




Vậythểtíchkhốilậpphươnglà:
222 8
..
333 27
V 
.
Câu5: 󰇛NGUYỄN KHUYẾN TPHCM󰇜 Trong không gian với hệ trục tọa độ
,Oxyz
cho điểm
(2;3;0),A
(0; 2;0),B
6
;2;2
5
M



vàđườngthẳng
:0.
2
xt
dy
zt

Điểm
C
thuộc
d
sao cho chu vi tam
giác
A
BC
lànhỏnhấthìđộdài
CM
bằng
A.
23. B.
4.
C.
2.
D.
26
.
5
Hướngdẫngiải
Do
A
B
cóđộdàikhôngđổinênchuvitamgiác
A
BC
nhỏnhấtkhi
A
CCB
nhỏnhất.
Vì

 
22
;0;2 2 2 2 9, 2 2 4Cd Ct t AC t BC t

22
222 9 2 2 4.AC CB t t
Đặt
222;3, 2 2;2ut v t

ápdụngbấtđẳngthức
uvuv


22 2
222 9 2 2 4 222 25.ttDấubằngxảyrakhivàchỉ
khi
22
2223 7 7 3 67 3
;0; 2 2 2.
2555 55 5
22
t
tC CM
t





ChọnC.
Câu6: 󰇛T.TDIỆUHIỀN󰇜Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ
Oxyz
,cho
1;1;1A
,
0;1;2B
,
2;0;1C

:10Pxyz
.Tìmđiểm
NP
saocho
22 2
2SNANBNC
đạtgiátrịnhỏnhất.
A.
153
;;
244
N



. B.
3; 5;1N . C.
2;0;1N . D.
31
;;2
22
N




.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Gọi
I
làtrungđiểm
BC
và
J
làtrungđiểm
A
I
.Dođó
13
1; ;
22
I



và
35
0; ;
44
J



.
Khiđó
22 2 22 2
11
22 4
22
SNA NI BC NJIJ BC 
.
Dođó
S nhỏnhấtkhi NJ nhỏnhất.Suyra J làhìnhchiếucủa N trên
P
.
Phươngtrìnhđườngthẳng
3
:
4
5
4
xt
NJ y t
zt


.
Tọađộđiểm
J
lànghiệmcủahệ:
10
1
2
5
3
4
4
3
5
4
4
xyz
x
xt
y
yt
z
zt










Câu7: 󰇛LẠNG GIANG SỐ 1󰇜 Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
chobađườngthẳng
1
1
:1,;
x
dy t
zt

2
2
:,;
1
x
dyuu
zu


11
:.
111
xyz

Viếtphươngtrìnhmặtcầutiếpxúc
vớicả
12
,ddvàcótâmthuộcđườngthẳng
?

A.

22
2
111xyz
. B.
222
1115
2222
xyz




.
C.
222
3131
2222
xyz




. D.
222
5159
44416
xyz




.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Đườngthẳng
1
d
điquađiểm

1
1; 1; 0M vàcóvéctơchỉphương
1
0;0;1
d
u

.
Đườngthẳng
2
d điquađiểm
2
2;0;1M
vàcóvéctơchỉphương
2
0;1;1
d
u

.
Gọi
I làtâmcủamặtcầu.Vì I nêntathamsốhóa
1;;1
I
tt t
,từđó

12
;1 ; 1 , 1 ; ;IM t t t IM ttt

.
Theogiảthiếttacó
12
;;dId dId ,tươngđươngvới
 
12
12
22
2
12
;;
121
0
1
2
dd
dd
IM u IM u
tt t
t
uu




  
 
Suyra
1; 0; 1I
vàbánkínhmặtcầulà
1
;1RdId
.Phươngtrìnhmặtcầucầntìmlà

22
2
111xyz
.
Câu8:
󰇛LẠNGGIANGSỐ1󰇜Trongkhônggianvớihệtọađộ chohaiđiểm
vàmặtphẳng Tìmtọađộđiểm thuộc saocho nhỏ
nhất?
A. . B. .
C. . D.
21118
;;
555
M




.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Thaytọađộvàophươngtrìnhmặtphẳng ,tađược
haiđiểm
,
A
B
cùngphíavớiđốivớimặtphẳng .

Gọi làđiểmđốixứngcủa
A
qua
P
.Tacó
.
Nên
min
M
AMB AB

khivàchỉkhi
M
làgiaođiểmcủa
A
B
với
P
.
,Oxyz

1; 0; 2 ; 0; 1; 2AB
:22120.Px y z
M

P
M
AMB

2; 2;9M
61825
;;
11 11 11
M




7731
;;
66 4
M




1; 0; 2 ; 0; 1; 2AB
P
0PAPB

P
A
M
AMB MA MB AB

 
H
M
B
A'
A
P
Phươngtrình 󰇛 điqua vàcóvéctơchỉphương

1; 2; 1
P
n 

󰇜.
Gọi
H
làgiaođiểmcủa
A
A
trên
P
,suyratọađộcủa
H
là
0; 2;4H ,suyra
1; 4; 6A
 ,
nênphươngtrình
:13
24
xt
A
B
y
t
zt


.
 Vì
M
làgiaođiểmcủa
A
B
với
P
nêntatínhđượctọađộ
Câu9:
󰇛LẠNG GIANG SỐ 1󰇜 Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng
vàmặtphẳng Phươngtrìnhđườngthẳng nằm
trong saocho cắtvàvuônggócvớiđườngthẳng là
A. . B. .
C. . D. .
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Vectơchỉphươngcủa ,vectơpháptuyếncủa
P
là

1; 2; 2
P
n

.
Vì .
Tọađộgiaođiểm lànghiệmcủahệ .
Lạicó ,mà .Suyra .
Vậyđườngthẳng điqua vàcóVTCP nêncóphươngtrình
.
Câu10: 󰇛LÝTỰTRỌNG
–TPHCM󰇜Trongkhônggianchođiểm
(1; 3; 2)M
.Cóbaonhiêumặtphẳngđi
qua
M
vàcắtcáctrụctọađộtại
,,
A
BC
mà
0OA OB OC

A.1. B.2. C.3. D.4.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
1
:2
22
x
t
A
Ayt
zt


A
A

1; 0; 2A
21118
;;.
555
M




,Oxyz
12
:
11 1
xy z


:2240.Px y z
d
P
d

3
:12
1
xt
dy tt
zt




3
:2
22
xt
dy tt
zt



24
:13
4
xt
dy tt
zt




1
:33
32
xt
dy tt
zt



:1;1;1u





;4;3;1
d
dP
dP
d
uu
uun
dP
un









HP

1
22;1;4
2
2240
xt
yt
tH
zt
xyz





;dPd
HP
H
d
d
2; 1;4H 
4; 3;1
d
u 

24
:13
4
xt
dy tt
zt



Giảsửmặtphẳng
()
cầntìmcắt
,,Ox Oy Oz
lầnlượttại
(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0c)(a,b,c 0)A

(): 1
xyz
abc

;
()
qua
(1; 3; 2)M
nên:
132
(): 1(*)
abc

(1)
(2)
00
(3)
(4)
abc
ab c
OA OB OC a b c
abc
abc


 

 
Thay
(1)
vào󰇛*󰇜tacóphươngtrìnhvônghiệm
Thay
(2),(3),(4)
vào󰇛*󰇜tađượctươngứng
3
4, 6,
4
aaa


Vậycó3mặtphẳng.
Câu11: 󰇛LÝ TỰ TRỌNG
–TPHCM󰇜Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
chođiểm
E(8;1;1)
.Viết
phươngtrìnhmặtphẳng
()
quaEvàcắtnửatrụcdương
,,Ox Oy Oz
lầnlượttại
,,
A
BC
sao
cho
OG
nhỏnhấtvới
G
làtrọngtâmtamgiác
A
BC
.
A.
2110 xy z
. B.
866=0xyz
.
C.
2180xyz
. D.
22120xyz
.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Cách1 :
VớiđápánA:
2
11 11 11 11 121
(11;0;0);B(0;11;0);C(0;0; ) ( ; ; ) OG
2336 4
AG
VớiđápánB:
2
33 11 15609
( ;0;0);B(0;66;0);C(0;0;66) ( ;22;22) OG
4416
AG
VớiđápánC:
2
18 18
(9;0;0);B(0;18;0);C(0;0;18) (3; ; ) OG 81
33
AG
VớiđápánD:
2
( 12;0; 0); B(0;6;0);C(0; 0;6) ( 4; 2; 2) OG 24AG
Cách2 :
Gọi
;0;0 , 0; ; 0 , 0;0;
A
aBbCc
với
,, 0abc
.Theođềbàitacó :
811
1
abc

.Cầntìmgiátrị
nhỏnhấtcủa
222
abc
.
Tacó




22
222 222
411 .2 .1 .1 6. 2abc a b c abc abc 
Mặtkhác



222
2
411 .2 .1 .1
811
2
411 36
abc a b c
abc
abc






Suyra
2223
6abc
.Dấu
'' ''
xảyrakhi
2
22
22.
4
a
bc abc
Vậy
222
abc
đạtgiátrịnhỏnhấtbằng216khi
12, 6abc
.
Vậyphươngtrìnhmặtphẳnglà
:
1
1266
x
yz

hay
22120xyz
.
Câu12: 󰇛CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU󰇜 Trong không gian với hệ tọa độ
Ox
y
z
, cho đường thẳng
2
:
214

x
yz
d
vàmặtcầu

222
:1 2 12 Sx y z
. Hai mặt phẳng

P
và
Q
chứa
d
vàtiếpxúcvới

S
.Gọi
,
M
N
làtiếpđiểm.Tínhđộdàiđoạnthẳng
.
M
N

A.
22.
 B.
4
.
3
C. 6. D.
4.
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Mặtcầu

S cótâm
1; 2;1 , 2IR

Đườngthẳng
d
nhận
2; 1; 4
u
làmvectơchỉ
phương
GọiHlàhìnhchiếucủaIlênđườngthẳngd.
22;;4
H
dHt tt
Lạicó:
.0 21; 2;41.2;1;40

IH u t t t

22 1 2 44 1 0 0tt t t
Suyratọađộđiểm
2;0;0H
.
Vậy
141 6IH 
Suyra:
62 2HM 
Gọi
K
làhìnhchiếuvuônggóccủa
M
lênđườngthẳng
H
I
.
Suyra:
222
111113
424

MK MH MI
.
Suyra:
24
33
MK MN
.
Câu13: 󰇛CHUYÊNPHANBỘICHÂU󰇜Trongkhônggianvớihệtọađộ
Oxyz
,chođiểm
1; 2; 1M
.Mặt
phẳng

P
thayđổiđiqua
M
lầnlượtcắtcáctia
,,Ox Oy Oz
tại
,,ABC
khác
O
.Tínhgiátrị
nhỏnhấtcủathểtíchkhốitứdiện
OABC
.
A.
54.
 B.
6.
C.
9.
D.
18.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Gọi

;0;0 , 0; ;0 , 0,0,
A
aBbCcvới
,, 0abc
.
Phươngtrìnhmặtphẳng
P
:
1
xyz
abc
.
Vì:

121
1MP
abc
.
Thểtíchkhốitứdiện
OABC
là:
1
6
OABC
Vabc

ÁpdụngbấtđẳngthứcCauchytacó:
3
121 121
3.
abc abc
Hay
3
254
13 1
abc abc

Suyra:
1
54 9
6
 abc abc

Vậy:
9
OABC
V .
Câu14: 󰇛THTT
–477󰇜Chohaiđườngthẳng
1
2
:1
2
x
t
dy t
zt


và
2
22
:3
x
t
dy
zt

.Mặtphẳngcáchđềuhai
đườngthẳng
1
d và
2
d cóphươngtrìnhlà
A.
5 2 12 0.xyz
B.
52120.xyz
C.
5 2 12 0.xyz
D.
52120.xyz
Hướngdẫngiải
ChọnD.
1
d
qua
2;1;0A
vàcóVTCPlà
1
1; 1; 2u 
;
2
d qua
2;3;0B
vàcóVTCPlà
2
2;0;1u 
.
Có

12
,1;5;2uu 

;
0;2;0AB

,suyra
12
,. 10uu AB


,nên
12
;ddlàchéonhau.
Vậymặtphẳng
P
cáchđềuhaiđườngthẳng
12
,ddlàđườngthẳngsongsongvới
12
,ddvàđi
quatrungđiểm
2;2;0I
củađoạnthẳng
AB
.
Vậyphươngtrìnhmặtphẳng

P
cầnlậplà:
52120xyz
.
Câu15: 󰇛THTT
–477󰇜Cho hai điểm
3; 3;1 , 0; 2;1AB
và mặt phẳng

:70xyz

. Đường
thẳng
d
nằmtrên
saochomọiđiểmcủa
d
cáchđều2điểm
, AB
cóphươngtrìnhlà
A.
73.
2
xt
yt
zt

B.
73.
2
xt
yt
zt

C.
73.
2
xt
yt
zt


D.
2
73.
xt
yt
zt

Hướngdẫngiải
A
B
M
P
ChọnA.
Mọiđiểmtrên
d
cáchđềuhaiđiểm ,ABnên
d
nằmtrênmặtphẳngtrungtrựccủađoạn
AB
.
Có
3; 1; 0AB 

vàtrungđiểm AB là
35
;;1
22
I



nênmặtphẳngtrungtrựccủa AB là:
35
30370
22
xy xy




.
Mặtkhác
d
nên
d
làgiaotuyếncủahaimặtphẳng:
370 73
70 2
xy y x
xyz z x





.
Vậyphươngtrình


:73
2
xt
dy tt
zt
.
Câu16: 󰇛SỞGDHÀNỘI󰇜Trongkhônggian
,Oxyz
chocácđiểm

1; 0; 0 ,A
2;0;3 ,B

0;0;1M
và

0;3;1 .N
Mặtphẳng

P
điquacácđiểm
,
M
N
saochokhoảngcáchtừđiểm
B
đến
P
gấp
hailầnkhoảngcáchtừđiểm
A
đến

.
P
Cóbaomặtphẳng
P
thỏamãnđầubài?
A.Cóvôsốmặtphẳng

.
P
B.Chỉcómộtmặtphẳng
.
P
C.Khôngcómặtphẳng

P
nào. D.Cóhaimặtphẳng
.
P
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Giảsử
P
cóphươngtrìnhlà:

222
z0 0ax by c d a b c

Vì
0.
M
Pcd dc

Vì
30NP bcd
hay
0b
vì
0.cd

:0.Paxczc

Theobàira:
,2,dBP dAP
22 22
23
2
acc ac
ac ac


ca ac
Vậycóvôsốmặtphẳng
.
P
Câu17: 󰇛SỞ GD HÀ NỘI󰇜 Trong không gian
Ox
y
z
, cho điểm
13
;;0
22
M




vàmặtcầu

222
:8Sx y z
.Đườngthẳng
d
thayđổi,điquađiểm
M
,cắtmặtcầu

S
tạihaiđiểm
,
A
B
phânbiệt.Tínhdiệntíchlớnnhất
S
củatamgiác
OAB
.
A.
7.S  B.
4.S
C. 27.S D.
22.S
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Cách1:Mặtcầu

S
cótâm

0;0; 0O
vàbánkính
22R
.
Có
2
2
13
1
22
OM








nênMnằmtrongmặtcầu
KhiđódiệntíchAOBlớnnhấtkhiOMAB.Khiđó
22
227AB R OM
và
1
.7
2
AOB
SOMAB
Cách 2:gọiHlàhìnhchiếucủaOxuốngđườngthẳngd,đặt
01OH x x
Khiđó
22 2
228
A
BROH xvà
2
1
.8
2
AOB
SOHABxx
.
Khảosáthàmsố

2
8
f
xx xtrên
0;1 thuđượcgiátrịlớnnhấtcủahàmsốlà
7
Đạt
đượctại
1
x
Câu18: 󰇛BẮCYÊNTHÀNH󰇜Cóbaonhiêumặtphẳngđiquađiểm
(1; 9; 4)M
vàcắtcáctrụctọađộtại
cácđiểm
A
,
B
,
C
󰇛khácgốctọađộ󰇜saocho
OA OB OC
.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Giảsửmặtphẳng
()
cắtcáctrụctọađộtạicácđiểmkhácgốctọađộlà
(;0;0), (0;;0), (0;0;)Aa B b C c
với
,, 0.abc

Phươngtrìnhmặtphẳng
()
códạng
1.
xyz
abc

Mặtphẳng
()
điquađiểm
(1; 9; 4)M
nên
194
1(1).
abc

Vì
OA OB OC
nên
,abc
dođóxảyra4trườnghợpsau:
󰇜TH1:
.abc

Từ
(1)
suyra
194
114,a
aaa

nênphươngtrìnhmp
()
là
14 0.xyz
󰇜TH2:
.ab c
Từ
(1)
suyra
194
16,a
aaa

nênptmp
()
là
60.xyz
󰇜TH3:
.abc
Từ
(1)
suyra
194
14,a
aaa

nênptmp
()
là
40.xyz
󰇜TH4:
.abc 
Từ
(1)
có
194
112,a
aaa

nênptmp
()
là
12 0.xyz
Vậycó4mặtphẳngthỏamãn.
Câu19: 󰇛BIÊN HÒA –HÀNAM󰇜Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
;0; 0 , 0; ;0 , 0;0;
A
aBbCc
với
,,abc
dương.Biết
,,
A
BC
diđộngtrêncáctia
,,Ox Oy Oz
saocho
2abc
.Biếtrằngkhi
,,abc
thayđổithìquỹtíchtâmhìnhcầungoạitiếptứdiện
OABC
thuộcmặtphẳng
P
cốđịnh.Tínhkhoảngcáchtừ
2016;0;0M
tớimặtphẳng
P
.
A.
2017
. B.
2014
3
. C.
2016
3
. D.
2015
3
.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Gọi
làmặtphẳngtrungtrựccủađoạn
OA


điquađiểm
;0;0
2
a
D



vàcóVTPT
;0;0 1;0;0OA a a



:0
2
a
x

.
Gọi
làmặtphẳngtrungtrựccủađoạn
OB

điquađiểm
0; ;0
2
a
E



vàcóVTPT
0; ;0 0;1;0OB a a


:0
2
a
y
.
Gọi
làmặtphẳngtrungtrựccủađoạn
OC

điquađiểm
0;0;
2
a
F



vàcóVTPT
0;0; 0;0;1OC a a


:0
2
a
z
.
Gọi
I
làtâmmặtcầungoạitiếptứdiện
OABC

;;
222
aaa
II





.
Màtheogiảthiết,

21:1
222
abc
abc I Pxyz 
.
Vậy,


2016 1
2015
,
33
dM P

.
Câu20:
󰇛SỞ BÌNH PHƯỚC󰇜 Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
chođiểm

;0;0 , 0; ;0 , 0;0; ,
A
aBbCc
trongđó
0a
,
0b
,
0c
và
123
7.
abc

Biếtmặtphẳng
A
BC
tiếp xúc với mặt cầu

222
72
:1 2 3 .
7
Sx y z
Thểtíchcủakhốitứdiện
OABC
là
A.
2
.
9
B.
1
.
6
C.
3
.
8
D.
5
.
6
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Cách1:Tacó

:1.
xyz
ABC
abc

Mặtcầu
S
cótâm
1; 2; 3I
vàbánkính
72
.
7
R
Mặtphẳng
A
BC
tiếpxúcvới


222
123
1
72
;.
7
111
abc
S d I ABC R
abc



Mà
222
123 1 1 1 7
7.
2abc a b c

ÁpdụngBĐTBunhiacopskitacó

2
222 2
222 222
111 123 1117
123 7 .
2abc abc abc




Dấu
""
xảyra
123
111
2
2, 1, ,
3
123
7
abc
abc
abc



khiđó
12
.
69
OABC
V abc
Cách2:Tacó

:1,
xyz
ABC
abc

mặtcầu
S
cótâm
72
(1; 2; 3),
7
IR
.
Tacó
A
BC
tiếpxúcvớimặtcầu
S

222
123
1
72
,( )
7
111
abc
dI P R
abc



222 222
222
71
72 1117 111 7
7
72 2
111
abc abc
abc


222
1111237
2abcabc

22 2
11 1 13
10
22abc




2
1
2
3
a
b
c

12
.
69
OABC
Vabc
Cách3:GiốngCách2khiđến
222
1117
2abc

.
Đếnđâytacóthểtìma,b,cbằngbấtđẳngthứcnhưsau:
Tacó

22
2222
222 222
123 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7
71.2.3.123
2abc a b c abc abc




Mà
222
1117
2abc

Dấu“”củaBĐTxảyra
111
123
abc

,kếthợpvớigiảthiết
123
7
abc

tađược
2a
,
1b
,
2
3
c
.Vậy:
12
.
69
OABC
Vabc
Tacó
2
1
2
3
a
b
c

12
.
69
OABC
V abc
Cách4:Mặtcầu
S
cótâm
1; 2; 3I
vàbánkính
72
.
7
R

Phươngtrìnhmặtphẳng
(): 1
x
yz
ABC
abc

.
Tacó:
123
123
777
71
abc ab c

nên

123
;;
777
M
ABC



Thaytọađộ
123
;;
777
M



vàophươngtrìnhmặtcầu
()S
tathấyđúngnên
()
M
S
.
Suyra:
()
A
BC
tiếpxúcvới
()S
thì
M
làtiếpđiểm.
Dođó:
()
A
BC
qua
123
;;
777
M



,cóVTPTlà

61218
;; 1;2;3
77 7
MI n





()
A
BC
cóphươngtrình: 2320 1 2
2
21
3
xyz
xyz a,
1b
,
2
3
c
.
Vậy
12
69
Vabc
Câu21: 󰇛LƯƠNGTÂM󰇜Phươngtrìnhcủamặtphẳngnàosauđâyđiquađiểm
1; 2; 3M
vàcắtbatia
Ox
,
Oy
,
Oz
lầnlượttại
A
,
B
,
C
saochothểtíchtứdiện
OABC
nhỏnhất?
A.
632180xyz
. B.
633210xyz
.
C.
633210xyz
. D.
632180xyz
.
Hướngdẫngiải
Giảsử
(;0;0), (0;;0), (0;0;) (,, 0)Aa B b C c abc
󰇛ABC󰇜:
1
xyz
abc

󰇛1󰇜
M󰇛1;2;3󰇜thuộc󰇛ABC󰇜:
123
1
abc

.
ThểtíchtứdiệnOABC:
1
6
V abc
ÁpdụngBDTCôsitacó:
3
1 2 3 6 27.6 1
131 2727
6
abc V
a b c abc abc

Tacó:Vđạtgiátrịnhỏnhất
3
1231
27 6
3
9
a
Vb
abc
c

Vậy󰇛ABC󰇜:
632180xyz
.Chọn󰇛D󰇜
Câu22: 󰇛PHAN ĐÌNH PHÙNG
–HN󰇜Trong không gian với hệ trục tọa độ
,Oxyz
chomặtphẳng
:3 5 0Pxyz
vàhaiđiểm
1; 0; 2A
,
2; 1; 4 .B
Tìmtậphợpcácđiểm
;;
M
xyz
nằm
trênmặtphẳng
P
saochotamgiác
M
AB
códiệntíchnhỏnhất.
A.
7470
.
350
xyz
xyz


 B.
74140
.
350
xyz
xyz


C.
7470
.
350
xyz
xyz


D.
37450
.
350
xyz
xyz


Hướngdẫngiải
ChọnC.
Tathấyhaiđiểm
,
A
B
nằmcùng1phíavớimặtphẳng
P
và
A
B
songsongvới
P
.Điểm
M
P
saochotamgiác
A
BM
códiệntíchnhỏnhất
.( ; )
2
ABC
A
Bd M AB
S
 nhỏnhất

;dMAB
nhỏnhất,hay
,
M
PQQ
làmặt
phẳngđiqua
A
B
vàvuônggócvới
P
.
Tacó
1; 1; 2AB 

,vtptcủa
P

3;1; 1
P
n 

Suyravtptcủa
Q
:


,1;7;4
QP
nABn



  

PTTQ

:1 1 7 4 2 0Qx yz
7470xyz

Quỹtích
M
là
7470
.
350
xyz
xyz


Câu23: 󰇛CHUYÊN ĐH VINH󰇜 Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
2; 2;1M 
,
1; 2; 3A
vàđườngthẳng
15
:
221
x
yz
d


.Tìmvéctơchỉphương u
củađườngthẳng
điqua
M
,vuônggócvớiđườngthẳng
d
đồngthờicáchđiểm
A
mộtkhoảngbénhất.
A.
2;1;6u
. B.
1; 0; 2u
. C.
3; 4; 4u 
. D.
2; 2; 1u 
.
Hướngdẫngiải
Đápán:B.
Gọi
P
là mặt phẳng qua
M
và vuông góc với
d
.
Phươngtrìnhcủa
22 90P: x y z
.
Gọi
H,K
lầnlượtlàhìnhchiếuvuônggóccủa
A
trên

,P
.
Tacó
321
K
;;
d( A, ) AH AK
Vậy khoảng cách từ
A
đến
bénhấtkhi
điqua
M
,K
. cóvéctơchỉphương
1; 0; 2u
Câu24: 󰇛MINH HỌA L2󰇜 Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
xétcácđiểm

0;0;1A
,
;0;0Bm
,

0; ;0Cn
,
1; 1;1D
với
0; 0mn
và
1.mn
Biếtrằngkhi
m , n thayđổi,tồntạimộtmặt
cầucốđịnhtiếpxúcvớimặtphẳng
A
BC
vàđiqua
d
.Tínhbánkính
R
củamặtcầuđó?
A.
1R
. B.
2
2
R
. C.
3
2
R
. D.
3
2
R
.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Gọi
1; 1; 0I
làhìnhchiếuvuônggóccủa
D
lênmặtphẳng
()Oxy
Tacó:Phươngtrìnhtheođoạnchắncủamặtphẳng
()
A
BC
là:
1
xy
z
mn
Suyraphươngtrìnhtổngquátcủa
()
A
BC
là
0 nx my mnz mn
Mặtkhác


22 22
1
;1


mn
dI ABC
mnmn
󰇛vì
1mn
󰇜và
1(; .
I
DdIABC
Nêntồntạimặtcầutâm
I
󰇛làhìnhchiếuvuônggóccủa
D
lênmặtphẳng
Oxy
󰇜tiếpxúcvới
()
A
BC
vàđiqua
D
.Khiđó
1R
.
Câu25: Cho ba điểm
()( )( )
3;1 ; 0 , 0; 1 ; 0 , 0; 0; 6AB C--
. Nếu tam giác
ABC
¢¢¢
thỏamãnhệthức
0AA BB CC
¢¢¢
++=
  
thìcótọađộtrọngtâmlà:
A.
()
1; 0; 2 .-
B.
(
)
2; 3; 0 .-
C.
(
)
3; 2; 0 .-
D.
()
3; 2;1 .-
Hướngdẫngiải
ĐápánA
*Cáchdiễnđạtthứnhất:
GọiG,G’theothứtựlầnlượtlàtrọngtâmtamgiácABC,A’B’C’.VớimọiđiểmTtrongkhông
giancó:
()
()()( )
1: ' ' ' 0 ' ' ' 0A A B B C C TA TA TB TB TC TC++=-+-+- =
       
()
''' 2TA TB TC TA TB TC++= + +
     
d
M
H
K
A
P
Hệthức󰇛2󰇜chứngtỏ.Nếu
TGº
tứclà
0TA TB TC++=
 
thìtacũngcó
'''0TA TB TC++=
  
hay 'TGº hay󰇛1󰇜làhệthứccầnvàđủđểhaitamgiácABC,A’B’C’có
cùngtrọngtâm.
TacótọađộcủaGlà:
()
300110006
;; 1;0;2
333
G
æö
++ -+ +-
÷
ç
÷
==-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ĐócũnglàtọađộtrọngtâmG’của
'''ABCD
*Cáchdiễnđạtthứhai:
Tacó:
'''0AA BB CC++=
 

󰇛1󰇜
()()( )
'' ' '' ' '' ' 0AG GG GA BG GG GB CG GG GC++++++++=
    
()( )
'' '' '' 3' 0GA GB GC A G B G C G G G+++ + + + =
  
󰇛2󰇜
NếuG,G’theothứtựlầnlượtlàtrọngtâmtamgiácABC,A’B’C’nghĩalà
'' '' ''GA GB GC A G B G C G++= + +
  
thì
()
2'0'GG G G=º

Tómlại󰇛1󰇜làhệthứccầnvàđủđểhaitamgiácABC,A’B’C’cócùngtrọngtâm.
TacótọađộcủaGlà:
()
300110006
;; 1;0;2
333
G
æö
++ -+ +-
÷
ç
÷
==-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
.Đócũnglàtọađộtrọng
tâmG’của
'''ABCD
Câu26: 󰇛AN LÃO󰇜TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chohaiđiểm
(2;2;1),A 

1; 2; 3B
và
đườngthẳng
15
:
221
x
yz
d


.Tìmvectơchỉphương
u
củađườngthẳng
qua
A
,vuông
gócvớidđồngthờicáchđiểmBmộtkhoảngbénhất.
A.
(2;1;6)u
B.
(2;2; 1)u 
C.
(25; 29; 6)u 
D.
(1; 0; 2)u
Hướngdẫngiải
Cách1󰇛Tựluận󰇜
Gọi󰇛P󰇜làmặtphẳngquaAvàvuônggócvớid,B’làhìnhchiếucủaBlên󰇛P󰇜
Khiđóđườngthẳng
chínhlàđườngthẳngAB’và
B'Au

Tacó

Pd
Qua A( 2; 2;1)
P: (P):2x 2y z 9 0
VTPT n u (2;2; 1)



 
Gọid’làđườngthẳngquaBvàsongsongd’
x12t
d' y 2 2t
z3t



B’làgiaođiểmcủad’và󰇛P󰇜
B'(3;2;1) u B'A (1;0;2)

ChọnD
Cách2:Khôngcầnviếtphươngtrìnhmặtphẳng󰇛P󰇜quaAvàvuônggócvớid.
Gọid’làđườngthẳngquaBvàsongsongd’
x12t
d' y 2 2t
z3t



B’
d’

B'A 2t 3; 2t 4;t 4

AB’
d
d
u.B'A 0 t 2 u B'A (1;0;2)
  
ChọnD
Câu27: 󰇛ANLÃO󰇜TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođườngthẳng
21
:
121
x
yz
d


.Viết
phươngtrìnhmặtphẳng󰇛P󰇜chứađườngthẳngdvàcắtcáctrụcOx,OylầnlượttạiAvàBsao
chođườngthẳngABvuônggócvớid.
A.
:2540.Px y z
 B.

:2550.Px y z
C.

:2 40.Px yz
D.
:2 3 0.Pxy
Hướngdẫngiải
Cách1󰇛Tựluận󰇜
ĐườngthẳngdquaM󰇛2;1;0󰇜vàcóVTCP

1; 2; 1
d
u 

Tacó:AB
dvàAB
OznênABcóVTCPlà:
,2;1;0
AB d
uuk



 
󰇛P󰇜chứadvàABnên󰇛P󰇜điquaM󰇛2;1;0󰇜,cóVTPTlà:
,1;2;5
dAB
nuu




:2540Px y z
ChọnA
Cách2:Dùngphươngtrìnhmặtphẳngtheođoạnchắn.
Đườngthẳngdqua2điểmM󰇛2;1;0󰇜vàN󰇛3;3;‐1󰇜
Giảsửmp󰇛P󰇜cắtOx,Oy,OzlầnlượttạiA󰇛a;0;0󰇜,B󰇛0;b;0󰇜,C󰇛0;0;c󰇜

:1
x
yz
P
abc

AB
d
.0 2
d
A
Bu a b

󰇛1󰇜
P
chứadnêndcũngđiquaM,N
21
1
ab

󰇛2󰇜,
33 1
1
ab c

󰇛3󰇜
Từ󰇛1󰇜,󰇛2󰇜,󰇛3󰇜a4,b2,c
4
5
:2540Px y z
ChọnA
Câu28: Trongkhônggianvớihệtrụctọađộ
Oxyz
,chobađiểm

3;0;0 , , , 0 , 0; 0;
M
Nmn P p
.Biết
0
13, 60MN MON
,thểtíchtứdiện
OMNP
bằng3.Giátrịcủabiểuthức
22
2
A
mnp
bằng
A.
29.
 B.
27.
 C.
28.
 D.
30.

Hướngdẫngiải
3; 0; 0 , ; ; 0 . 3OM ON m n OM ON m
  

0
22
.1 1
..cos60
22
.
OM ON m
OM ON OM ON
OM ON
mn


  



2
2
313MN m n

Suyra
2; 2 3mn
1
, . 63 63 3 3
6
OM ON OP p V p p



  

Vậy
22.12329.A 

Câu29: Trongkhônggianvớihệtọađộ
Oxyz
,chohìnhvuông
ABCD
,
(3;0;8)B
,
(5;4;0)D 
.Biếtđỉnh
A
thuộcmặtphẳng󰇛
Oxy
󰇜vàcótọađộlànhữngsốnguyên,khiđó
CA CB

bằng:
A.
510.
B.
610.
 C.
10 6.
D.
10 5.
Hướngdẫngiải
Tacótrungđiểm
BD
là
(1;2;4)I 
,
12BD
vàđiểm
A
thuộcmặtphẳng
()Oxy
nên
(;;0)
A
ab
.
ABCD
làhìnhvuông
22
2
2
1
2
AB AD
A
IBD



222 2 2
222
(3) 8(5)(4)
(1)(2)436
ab a b
ab


22
42
(1)(62)20
ba
aa


1
2
a
b
hoặc
17
5
14
5
a
b
A󰇛1;2;0󰇜hoặc
17 14
;;0
55
A



󰇛loại󰇜.
Với
(1; 2; 0)A
(3;6;8)C 
.
Câu30: Trongkhônggianvớihệtoạđộ
Oxyz
,cho4điểm
(2;4; 1)A
,
(1; 4; 1)B
,
(2;4;3)C
(2;2; 1)D
.
Biết
;;
M
xyz
,để
22 2 2
M
AMBMCMD
đạtgiátrịnhỏnhấtthì

x
yz
bằng
A.
7.
B.
8.
 C.
9.
 D.
6.
Hướngdẫngiải
Gọi
G
làtrọngtâmcủa
ABCD
tacó:
714
;;0
33
G



.
Tacó:
22 2 2 22222
4
M
AMBMCMD MGGAGBGCGD
22 2 2
GA GB GC GD
.Dấubằngxảyrakhi
M
714
;;0 7
33
Gxyz




.
Câu31: Chohìnhchóp
.SABCD
biết
2; 2;6 , 3;1;8 , 1;0;7 , 1; 2;3ABCD
.Gọi
H
làtrungđiểm
của
,CD
SH ABCD
. Để khối chóp
.SABCD
cóthểtíchbằng
27
2
󰇛đvtt󰇜thìcóhaiđiểm
12
,SS
thỏamãnyêucầubàitoán.Tìmtọađộtrungđiểm
I
của
12
SS

A.
0; 1; 3I
. B.
1; 0; 3I
 C.
0;1;3I
. D.
1; 0; 3 .I
Hướngdẫngiải
Tacó

133
1; 1; 2 , 1; 2; 1 ,
22
ABC
AB AC S AB AC



 

2; 2; 4 , 1; 1; 2 2.DC AB DC AB 
   
ABCD
làhìnhthangvà
93
3
2
ABCD ABC
SS

Vì
.
1
.33
3
S ABCD ABCD
VSHSSH

Lạicó
H
làtrungđiểmcủa
0;1;5CD H

Gọi

; ; ;1 ;5 , 3;3;3 3 ;3 ;3S a b c SH a b c SH k AB AC k k k k



  

Suyra
222
33 9 9 9 1kkkk

󰇜Với
1 3;3;3 3; 2;2kSH S


󰇜Với

1 3;3;3 3;4;8kSH S 


Suyra
0;1;3I
Câu32: Chođiểm
1; 7; 5I
vàđườngthẳng
16
:
213


x
yz
d
.Phươngtrìnhmặtcầucótâm
I
vàcắt
đườngthẳng
d
tạihaiđiểm
A,B
saochotamgiácdiệntíchtamgiác
IAB
bằng
26015
là:
A.

222
1 7 5 2018. xyz
B.

222
1 7 5 2017. xyz
C.

222
1 7 5 2016. xyz
D.

222
1 7 5 2019. xyz
Hướngdẫngiải
Gọi
H
làhìnhchiếucủa
1; 7; 5I
trên
d
0;0; 4H
;23 IH d I d
2.
8020
2

AIB
AIB
SIH AB
SAB
IH
2
22
2017
2




AB
RIH
Vậyphươngtrìnhmặtcầulà:

222
1 7 5 2017. xyz
LựachọnđápánB.
Câu33: Chođiểm
(0;0;3)I
vàđườngthẳng
1
:2.
2


x
t
dy t
zt
Phươngtrìnhmặtcầu󰇛
S
󰇜cótâm
I
vàcắt
đườngthẳng
d
tạihaiđiểm
,
A
B
saochotamgiác
I
AB
vuônglà:
A.

2
22
3
3.
2
 xy z
B.

2
22
8
3.
3
 xy z
C.

2
22
2
3.
3
 xy z
D.

2
22
4
3.
3
 xy z
Hướngdẫngiải
Gọi
1;2;2
H
tt t d
làhìnhchiếuvuônggóccủa
I
lênđườngthẳng
d
1;2;1  

IH t t t

Tacóvectơchỉphươngcủa
d
:
1; 2;1

d
a
và
I
Hd

1227
.0 141 0 260 ;;
3333

  



d
IH a t t t t t H
222
22223
333 3
  

  
  
IH

Vìtamgiác
I
AB
vuôngtại
I
và

I
AIBR
.Suyratamgiác
I
AB
vuôngcântại
I
,dođóbán
kính:
0
22326
cos 45 2 . 2 2.
233
 RIAAB IH IH

Vậyphươngtrìnhmặtcầu

2
22
8
:3
3
 Sx y z
.
LựachọnđápánB.
Câu34: Chođiểm
2;5;1A
vàmặtphẳng
():6 3 2 24 0Pxyz
,
H
làhìnhchiếuvuônggóccủa
A
trênmặtphẳng
P
.Phươngtrìnhmặtcầu
()S
códiệntích
784
vàtiếpxúcvớimặtphẳng
P
tại
H
,saochođiểmAnằmtrongmặtcầulà:
A.

222
8 8 1 196.xyz
B.

222
8 8 1 196.xyz
C.

222
16 4 7 196.xyz
D.

222
16 4 7 196.xyz
Hướngdẫngiải
Gọi
d
làđườngthẳngđiqua
A
vàvuônggócvới
P
.Suyra
26
:53
12



x
t
d
y
t
zt
Vì
H
làhìnhchiếuvuônggóccủa
A
trên
P
nên
()Hd P
.
Vì
Hd
nên
26;53;12
H
ttt
.
Mặtkhác,
()HP
nêntacó:
62 6 35 3 21 2 24 0 1 ttt t
Dođó,
4; 2;3H
.
Gọi
,IR
lầnlượtlàtâmvàbánkínhmặtcầu.
Theogiảthiếtdiệntíchmặtcầubằng
784
,suyra
2
4 784 14

RR
.
Vìmặtcầutiếpxúcvớimặtphẳng
P
tại
H
nên
()IH P I d
.
Dođótọađộđiểm
I
códạng
26;53;12
I
ttt
,với
1t
.
Theogiảthiết,tọađộđiểm
I
thỏamãn:

22 2
22 2
62 6 35 3 21 2 24
1
14
(,( )) 14
63(2)
1
3
14
22
63 214
 








ttt
t
dI P
t
t
AI
t
tt t
Dođó:
8;8; 1I
.
Vậyphươngtrìnhmặtcầu

222
( ) : 8 8 1 196Sx y z
.
LựachọnđápánA.
Câu35: Cho mặt phẳng
:22100Px y z
vàhaiđườngthẳng
1
21
:
11 1


x
yz
,
2
23
:
114


xyz
.Mặtcầu
S
cótâm thuộc
1
,tiếpxúcvới
2
vàmặtphẳng
P
,có
phươngtrình:
A.
222
(1)(1)(2)9 xyz
hoặc
222
11 7 5 81
.
2224




xyz
B.
22 2
(1)(1)(2)9 xyz
hoặc
222
11 7 5 81
.
2224




xyz
C.
222
(1)(1)(2)9. xyz
D.
222
(1)(1)(2)3. xyz
Hướngdẫngiải
1
2
:
1



x
t
yt
zt
;
2
điquađiểm
(2;0; 3)A
vàcóvectơchỉphương
2
(1;1; 4)

a
.
Giảsử
1
(2 ; ;1 )Ittt
làtâmvà R làbánkínhcủamặtcầu
S
.
Tacó:
(;;4 )

A
Itt t
2
,(54;45;0)



 
A
Ia t t

2
2
2
,
54
;
3





AI a
t
dI
a
2 2 2(1 ) 10
10
(,( ))
3
144



tt t
t
dI P
.
S
tiếpxúcvới
2
và
P
2
(, ) (,( ))dI dI P
54 10tt
7
2
1

t
t
.
Với
7
2
t
11 7 5
;;
22 2



I
,
9
2
R

222
11 7 5 81
:
2224




Sx y z
.
Với
1t
(1; 1; 2), 3IR
222
:( 1) ( 1) ( 2) 9 Sx y z
.
LựachọnđápánA.
Câu36: Trongkhônggianvớihệtoạđộ
Oxyz
,cho
:4260Px y z
,
:2460Qx y z
.Lập
phươngtrìnhmặtphẳng
chứagiaotuyếncủa
,
P
Q
vàcắtcáctrụctọađộtạicácđiểm
,,
A
BC
saochohìnhchóp .O ABC làhìnhchópđều.
A.
60xyz
. B.
60xyz
. C.
60xyz
. D.
30xyz
.
Hướngdẫngiải
Chọn
6;0;0 , 2; 2; 2MN
thuộcgiaotuyếncủa
,
P
Q
Gọi
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;
A
aBbCc
lầnlượtlàgiaođiểmcủa
vớicáctrục
,,Ox Oy Oz
 
:1,,0
xyz
abc
abc

chứa
,
M
N
6
1
222
1
a
abc

Hìnhchóp
.O ABC
làhìnhchópđều
OA OB OC a b c
Vâyphươngtrình
60xyz
.
Câu37: Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz
,cho tứ diện
A
BCD
cóđiểm
1; 1; 1 , 2; 0; 2AB
,

1; 1; 0 , 0; 3; 4CD
.Trêncáccạnh
,,
A
BACAD
lầnlượtlấycácđiểm
', ', '
B
CD
thỏa :
4
'''
AB AC AD
A
BACAD

.Viếtphươngtrìnhmặtphẳng

'''BCD
biếttứdiện
'''
A
BCD
cóthể
tíchnhỏnhất?
A.
16 40 44 39 0xyz
. B.
16 40 44 39 0xyz
.
C.
16 40 44 39 0xyz
. D.
16 40 44 39 0xyz
.
Hướngdẫngiải
Ápdụngbấtđẳngthức
A
MGM
tacó:
3
..
43
''' '.'.'
A
BACAD ABACAD
A
BACAD ABACAD

'. '. ' 27
.. 64
AB AC AD
A
BACAD

'''
'. '. ' 27
.. 64
AB C D
ABCD
V
AB AC AD
VABACAD

'''
27
64
A
B C D ABCD
VV
Để
'''
A
BCD
V
nhỏnhấtkhivàchỉkhi
'''3
4
AB AC AD
A
BACAD

3 717
'';;
4 444
AB AB B





Lúcđómặtphẳng

'''BCD
songsongvớimặtphẳng
BCD
vàđiqua
717
';;
444
B




' ' ' :16 40 44 39 0BCD x y z
.
Câu38: Trongkhônggianvớihệtoạđộ
Oxyz
,chomặtphẳng
()
a
điquađiểm
(
)
1; 2; 3M
vàcắtcáctrục
Ox,Oy,Oz
lầnlượttại
A
,
B
,
C󰇛khácgốctoạđộ O󰇜saocho
M
làtrựctâmtamgiác
A
BC .Mặt
phẳng
()
a
cóphươngtrìnhlà:
A.
23140xyz+ +-=
. B.
10
123
xyz
++-=
.
C.
32 100xyz++-=
. D.
23140xyz+ ++=
.
Hướngdẫngiải
Cách1:
Gọi
H
làhìnhchiếuvuônggóccủa
C
trên
A
B
,
K
làhìnhchiếuvuônggóc
B
trên
A
C
.
M
làtrựctâmcủatamgiác
A
BC khivàchỉkhi
M
BK CH=Ç
Tacó:
()
(1)
AB CH
AB COH AB OM
AB CO
ü
^
ï
ï
^ ^
ý
ï
^
ï
þ
󰇛1󰇜
Chứngminhtươngtự,tacó:
A
COM^
󰇛2󰇜.
Từ󰇛1󰇜và󰇛2󰇜,tacó:
()
OM ABC^
Tacó:
(
)
1; 2; 3OM

.
Mặt phẳng
()
a
đi qua điểm
(
)
1; 2; 3M
và có một
VTPT
là
(
)
1; 2; 3OM

nêncóphươngtrìnhlà:
()( )()
12 23 3 0 2 3140xyz xyz-+ -+ -=+ +-=
.
Cách2:
󰇜Do
CBA ,,
lầnlượtthuộccáctrục
OzOyOx ,,
nên
( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )
A
aBbCc
󰇛
,, 0abc
󰇜.
Phươngtrìnhđoạnchắncủamặtphẳng
)(ABC
là: 1
xyz
abc
.
󰇜Do
M
làtrựctâmtamgiác
ABC
nên
.0
.0
()
AM BC
BM AC
M
ABC


.Giảihệđiềukiệntrêntađược
,,abc
Vậyphươngtrìnhmặtphẳng:
23140xyz 
.
Câu39: Trongkhônggianvớihệtoạđộ
Oxyz
,chođiểm
1; 1;1N
.Viếtphươngtrìnhmặtphẳng
P
cắtcáctrục
,,Ox Oy Oz
lầnlượttại
,,
A
BC
󰇛khôngtrùngvớigốctọađộ
O
󰇜saocho
N
làtâm
đườngtrònngoạitiếptamgiác
A
BC
A.

:30Pxyz
. B.
:10Pxyz
.
C.
:10Pxyz
. D.
:2 40Px yz
.
M
K
H
O
z
y
x
C
B
A
Hướngdẫngiải
Gọi
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;
A
aBbCc
lầnlượtlàgiaođiểmcủa
P
vớicáctrục
,,Ox Oy Oz
 
:1,,0
xyz
P abc
abc

Tacó:

111
1
11 3 30
11
NP
abc
NA NB a b a b c x y z
NA NC a c





Câu40: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
,chohaiđườngthẳng
12
,dd
lần lượt có phương trình
1
223
:
213
x
yz
d


,
2
121
:
214
x
yz
d


.Phươngtrìnhmặtphẳng

cáchđềuhai
đườngthẳng
12
,dd
là:
A.
7240xyz
. B.
72430xyz
.
C.
2330xy z
. D.
14 4 8 3 0xyz
.
Hướngdẫngiải
Tacó
1
d
điqua
2; 2;3A
vàcó
1
2;1;3
d
u

,
2
d
điqua
1; 2; 1B
vàcó
2
2; 1; 4
d
u 


12
1;1; 2 ; ; 7; 2; 4
dd
AB u u




;
12
;10
dd
uu AB



  
nên
12
,dd
chéonhau.
Do
cáchđều
12
,dd
nên
songsongvới
12
,dd

12
;7;2;4
dd
nuu





códạng
724 0xyzd
Theogiảthiếtthì




,,dA dB
21
3
2
69 69
dd
d



:14 4 8 3 0xyz

Câu41: Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
gọi
d
đi qua

3; 1;1A
, nằm trong mặt phẳng

:50Pxyz
, đồng thời tạo với
2
:
122
xy
z

mộtgóc
0
45
.Phươngtrìnhđường
thẳng
d
là
A.
37
18.
115
x
t
yt
zt



B.
3
1.
1
x
t
yt
z


C.
37
18.
115
x
t
yt
zt



D.
3
1
1
x
t
yt
z


và
37
18.
115
x
t
yt
zt




Hướngdẫngiải
cóvectơchỉphương
1; 2; 2a

d
cóvectơchỉphương
;;
d
aabc


P
cóvectơpháptuyến
1; 1;1
P
n 



 



00
222
2
222
; 1
,45cos,cos45
22
2
2
3
2 2 2 9 ; 2
dP
dPan bac
dd
abc
abc
abc abc

 





Từ
1
và
2
,tacó:
2
0
14 30 0
15 7 0
c
cac
ac



Với
0c
,chọn
1ab
,phươngtrìnhđườngthẳng
d
là
3
1
1
x
t
yt
z



Với
15 7 0ac
,chọn
715;8acb
,phươngtrìnhđườngthẳng
d
là
37
18
115
x
t
yt
zt




Câu42: Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
gọi
d
điquađiểm

1; 1; 2A
, song song với
:2 3 0Pxyz
,đồngthờitạovớiđườngthẳng
11
:
122
x
yz

mộtgóclớnnhất.
Phươngtrìnhđườngthẳng
d
là.
A.
112
.
157
xyz

B.
112
.
457
xyz


C.
112
.
457
xyz

D.
112
.
157
xyz


Hướngdẫngiải
cóvectơchỉphương
1; 2; 2a


d
cóvectơchỉphương
;;
d
aabc


P
cóvectơpháptuyến

2; 1; 1
P
n 

Vì
//dP
nên
.02 0 2
dP dP
a n an abc c ab  



2
22
22
54
54
1
cos ,
35 4 2
35 4 2
ab
ab
d
aabb
aabb



Đặt
a
t
b
,tacó:


2
2
54
1
cos ,
35 4 2
t
d
tt



Xéthàmsố


2
2
54
542
t
ft
tt

,tasuyrađược:

153
max
53
ft f





Dođó:

53 1 1
max cos ,
27 5 5
a
dt
b




Chọn
15,7abc
Vậyphươngtrìnhđườngthẳng
d
là
112
157
xyz


Câu43: Trongkhônggianvớihệtọađộ
,Oxyz
gọi
d
điqua
1; 0; 1A 
,cắt
1
122
:
21 1
xyz

,
saochogócgiữa
d
và
2
323
:
12 2
xyz

lànhỏnhất.Phươngtrìnhđườngthẳng
d
là
A.
11
.
22 1
xyz

B.
11
.
45 2
xyz

C.
11
.
452
xyz


D.
11
.
221
xyz

Hướngdẫngiải
Gọi

1
12;2 ;2
M
dMttt
d
cóvectơchỉphương

22;2;1
d
aAM t t t
 
2
cóvectơchỉphương
2
1; 2; 2a 



2
2
2
2
cos ;
36 14 9
t
d
tt


Xéthàmsố

2
2
6149
t
ft
tt

,tasuyrađược
min 0 0 0
f
tf t
Dođó
min cos , 0 0 2;2 1dtAM



Vậyphươngtrìnhđườngthẳng
d
là
11
22 1
xy
z


Câu44: Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
chohaiđườngthẳng
1
12
:
21 1
xyz
d


và
2
122
:
13 2
xyz
d


.Gọi làđườngthẳngsongsongvới
:70Pxyz
vàcắt
12
, dd

lầnlượttạihaiđiểm
,
A
B
saocho AB ngắnnhất.Phươngtrìnhcủađườngthẳnglà.
A.
12
5.
9
x
t
y
zt


B.
6
5
.
2
9
2
x
t
y
zt


C.
6
5
.
2
9
2
x
yt
zt


D.
62
5
.
2
9
2
x
t
yt
zt



Hướngdẫngiải


1
2
12;;2
1;23;22
Ad A aa a
Bd B b b b


cóvectơchỉphương
2;3 2; 2 4AB b a b a b a

P
cóvectơpháptuyến

1;1; 1
P
n

Vì
//
P
nên
.0 1
PP
A
Bn ABn ba

.Khiđó
1; 2 5; 6
A
Ba a a


222
2
2
1256
6 30 62
54972
6 ;
222
A
Ba a a
aa
aa






Dấu
"" xảyrakhi
559 77
6; ; , ;0;
222 22
aA AB






Đườngthẳng
điquađiểm
59
6; ;
22
A



vàvectơchỉphương
1; 0; 1
d
u 

Vậyphươngtrìnhcủa
là
6
5
2
9
2
x
t
y
zt


Câu45: Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
chohaiđườngthẳng
1
12
:
211
xy z
d


và
2
12
:1
3
x
t
d
y
t
z


. Phương trình đường thẳng vuông góc với
:7 4 0Pxyz
vàcắthai
đườngthẳng
12
, dd
là:
A.
74
.
211
xyz

B.
21
.
71 4
xyz

C.
21
.
714
xyz


D.
21
.
714
xyz

Hướngdẫngiải
Gọi
d
làđườngthẳngcầntìm
Gọi
12
,
A
ddBdd 


1
2
2;1 ;2
12;1 ;3
221; ; 5
Ad Aa a a
Bd B b b
AB a b a b a




P
cóvectơpháptuyến
7;1; 4
P
n 

,
p
dP ABn

cùngphương
cómộtsố
k
thỏa
p
A
Bkn


2217 2271 1
02
54 4 5 1
ab k abk a
abk abk b
ak ak k
 


 


  

d
điquađiểm
2;0; 1A
vàcóvectơchỉphương
7;1 4
dP
an

Vậyphươngtrìnhcủa
d
là
21
71 4
xy
z

Câu46: Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
chohaiđườngthẳng
1
121
:
312
xy
z

và
2
11
:
123
xy
z

.Phươngtrìnhđườngthẳngsongsongvới
3
:1
4
x
d
y
t
zt


vàcắthaiđường
thẳng
12
;
là:
A.
2
3.
3
x
y
t
zt


B.
2
3.
3
x
y
t
zt



C.
2
3.
3
x
y
t
zt



D.
2
3.
3
x
y
t
zt


Hướngdẫngiải
Gọi
làđườngthẳngcầntìm
Gọi
12
,AB 


1
2
13;2 ;12
1;2;13
32;22;232
AAaaa
BBbbb
AB a b a b a b




d
cóvectơchỉphương
0;1;1
d
a

// ,
d
dABa

cùngphương
cómộtsố
k
thỏa
d
A
Bka

320 3 2 1
22 2 2 1
232 23 2 1
ab ab a
ab k abk b
ab k abk k
 


 


 

Tacó
2;3;3 ; 2; 2;2AB
điquađiểm
2;3;3A
vàcóvectơchỉphương
0; 1; 1AB 

Vậyphươngtrìnhcủa
là
2
3
3
x
y
t
zt


Câu47: Trongkhônggianvớihệtọađộ
,Oxyz
chođườngthẳng
12 9 1
:,
431
xyz
d


vàmặtthẳng

:3 5 2 0Pxyz
.Gọi
'd
làhìnhchiếucủa
d
lên

.P
Phươngtrìnhthamsốcủa
'd
là
A.
62
25 .
261
x
t
yt
zt


B.
62
25 .
261
xt
yt
zt


C.
62
25 .
261
xt
yt
zt


D.
62
25 .
261
xt
yt
zt


Hướngdẫngiải
Cách1:
Gọi
A
dP

12 4 ;9 3 ;1
30;0;2
A
dA a aa
AP a A


d
điquađiểm
12;9;1B
Gọi
H
làhìnhchiếucủa
B
lên

P
P
cóvectơpháptuyến
3; 5; 1
P
n 

BH điqua
12;9;1B
vàcóvectơchỉphương
3; 5; 1
BH P
an
 


12 3
:95
1
12 3 ;9 5 ;1
78 186 15 113
;;
35 35 7 35
186 15 183
;;
35 7 35
xt
BH y t
zt
HBH H t t t
HP t H
AH



 









'd
điqua
0;0; 2A
vàcóvectơchỉphương
'
62; 25;61
d
a 

Vậyphươngtrìnhthamsốcủa
'd
là
62
25
261
xt
yt
zt


Cách2:
Gọi

Q
qua
d
vàvuônggócvới

P

d
điquađiểm
12;9;1B
vàcóvectơchỉphương
4;3;1
d
a

P
cóvectơpháptuyến

3; 5; 1
P
n 

Q
qua
12;9;1B
cóvectơpháptuyến

,8;7;11
QdP
nan





:8 7 11 22 0Qxy z
'd
làgiaotuyếncủa
Q
và
P
Tìmmộtđiểmthuộc
'd
,bằngcáchcho
0y
Tacóhệ

32 0
0;0; 2 '
81122 2
xz x
M
d
xz y






'd
điquađiểm
0;0; 2M
vàcóvectơchỉphương

;62;25;61
dPQ
ann




Vậyphươngtrìnhthamsốcủa
'd
là
62
25
261
xt
yt
zt


Câu48: Trongkhônggianvớihệtọađộ
,Oxyz
chođườngthẳng
12
:24
3
x
t
d
y
t
zt



.Hìnhchiếusongsong
của
d
lênmặtphẳng

Oxz
theophương
162
:
111
xyz


cóphươngtrìnhlà:
A.
32
0.
14
x
t
y
zt


B.
3
0.
12
x
t
y
zt


C.
12
0.
54
x
t
y
zt


 D.
32
0.
1
x
t
y
zt


Hướngdẫngiải
Giaođiểmcủadvàmặtphẳng

Oxz
là:
0
(5;0;5)M
.
Trên
12
:24
3
x
t
d
y
t
zt



chọn
M
bấtkỳkhôngtrùngvới
0
(5;0;5)M
;vídụ:
(1; 2; 3)M
.Gọi
A
là
hìnhchiếusongsongcủa
M
lênmặtphẳng

Oxz
theophương
162
:
111
xyz


.
/Lậpphươngtrình
d’
điqua
M
vàsongsonghoặctrùngvới
162
:
111
xyz


.
/ĐiểmAchínhlàgiaođiểmcủa
d’
và

Oxz
/Tatìmđược
(3;0;1)A

Hình chiếu song song của
12
:24
3
x
t
dy t
zt



lênmặtphẳng

Oxz
theo phương
162
:
111
xyz


làđườngthẳngđiqua
0
(5;0;5)M
và (3;0;1)A .
Vậyphươngtrìnhlà:
3
0
12
x
t
y
zt


Câu49: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm

3; 0; 2A
,

3; 0; 2B
vàmặtcầu
222
(2)(1)25xy z
.Phươngtrìnhmặtphẳng
điquahaiđiểm
A
,
B
vàcắtmặtcầu
S
theomộtđườngtrònbánkínhnhỏnhấtlà:
A.
4 5170xyz
. B.
3 2 7 0xyz
.
C.
4 5130xyz
. D.
3 2 – 1 1 0xyz
.
Hướngdẫngiải
Mặtcầu
S
cótâm

0; 2;1I
,bánkính 5R .Do 17 RIA nên
A
B luôncắt
S
.Dođó
()
luôncắt
S
theođườngtròn
C
cóbánkính



2
2
,rRdI

.Đềbánkính r nhỏ
nhất
,dI P
lớnnhất.
Mặtphẳng
điquahaiđiểm
A
,
B
vàvuônggócvớimp
A
BC
.
Ta có
AB (1;1;1)

, AC (2;3;2)

suyra
A
BC
cóvéctơpháptuyến
,(1;4;5)nABAC



 
󰇛
α󰇜cóvéctơpháptuyến
,(96;3)3(3;2;1)nnAB



 
Phươngtrình
: 3 – 2 2 –1 1 – 3 0 3 2 –11 0xyz xyz

.
Câu50: Trongkhônggian
Oxyz
,chođiểm

3; 3; 3A 
thuộcmặtphẳng
2–2 1:50xyz

vàmặt
cầu

222
:(x2)(y3)(z5)100S 
.Đườngthẳng quaA,nằmtrênmặtphẳng
cắt
()S
tại
A
,
B
.Đểđộdài
AB
lớnnhấtthìphươngtrìnhđườngthẳng
là:
A.
33 3
146
xyz

. B.
33 3
16 11 10
xyz

.
C.
35
3
38
x
t
y
zt


. D.
33 3
11 3
xyz

.
Hướngdẫngiải
Mặtcầu
S
cótâm
2;3;5I
,bánkính
10R
.Do
(I,( )) Rd
nên luôncắt
S
tại
A
,
B
.
Khiđó

2
2
(I, )AB R d
.Dođó,
A
B lớnnhấtthì
,dI
nhỏnhấtnên qua H ,với H
làhìnhchiếuvuônggóccủaIlên
.Phươngtrình
x22t
y3
5
:2
zt
BtH




() 22 2 23–2 5 15 0Httt

2; 7;t2 3H 
.
Dovậy
AH (1; 4;6)

làvéctơchỉphươngcủa
.Phươngtrìnhcủa
33 3
146
xyz

Câu51: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
22 90xyz
vàmặtcầu
222
():( 3) ( 2) ( 1) 100Sx y z
.Tọađộđiểm
M
nằmtrênmặtcầu
()S
saochokhoảng
cáchtừđiểm
M
đếnmặtphẳng
()
P
đạtgiátrịnhỏnhấtlà:
A.
11 14 13
;;
333
M



. B.
29 26 7
;;
333
M




.
C.
29 26 7
;;
33 3
M




. D.
11 14 13
;;
33 3
M



.
Hướngdẫngiải
Mặtcầu
()S
cótâm
(3; 2;1)I
.
Khoảngcáchtừ
I
đếnmặtphẳng
()
P
:
(;( )) 6dI P R
nên
()
P
cắt
()S
.
Khoảngcáchtừ
M
thuộc
()S
đến
()
P
lớnnhất
()
M
d
điqua
I
vàvuônggócvới
()
P
Phươngtrình
32
(): 2 2
1
x
t
dy t
zt



.
Tacó:
() (3 2;2 2;1 )
M
dM t tt
Mà:
()
M
S
1
2
10 29 26 7
;;
3333
10 11 14 13
;;
3333
tM
tM








Thửlạitathấy:
12
(,()) (,())dM P dM P
nên
11 14 13
;;
333
M



thỏayêucầubàitoán
Câu52: Trongkhônggian
Oxyz
,chohìnhhộpchữnhật
.
A
BCD A B C D

cóđiểm
A
trùngvớigốccủa
hệtrụctọađộ,
(;0;0)Ba
,
(0; ;0)
D
a
,
(0;0; )
A
b
(0,0)ab
.Gọi
M
làtrungđiểmcủacạnh
CC
.
Giátrịcủatỉsố
a
b
đểhaimặtphẳng
()
A
BD
và
M
BD
vuônggócvớinhaulà:
A.
1
3
. B.
1
2
. C. 1 . D.1.
Hướngdẫngiải
Tacó

;;0 ' ;; ;;
2
b
AB DC C aa C aab M aa




 
Cách1.
Tacó 0; ;
2
b
MB a





;
;;0
B
Daa

và
';0;
A
Ba b

Tacó
2
;;;
22
ab ab
uMBBD a







và
222
;;;'BD A aBaa




 
Chọn
1;1;1v
làVTPTcủa
'
A
BD

2
'.001
22
ab ab a
ABD MBD uv a a b
b
 

Cách2
.
'' '
A
BAD AX BD
AB AD BC CD a
M
BMD MX BD






với
X
làtrungđiểm
B
D

'; ';
A
BD MBD A X MX



;;0
22
aa
X



làtrungđiểm
B
D
';;
22
aa
A
Xb





;;
222
aab
MX





''
A
BD MBD A X MX
'. 0AXMX
 
22
2
0
222
aab
 

 
 
1
a
b

Câu53: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
(): 2 2 4 0Px y z
vàmặtcầu
222
(): 2 2 2 1 0.Sx y z x y z
Giátrịcủađiểm
M
trên
S
saocho


,dM P
đạtGTNN
là:
A.
1; 1; 3
. B.
577
;;
333



.
C.
111
;;
333




. D.
1; 2; 1
.
Hướngdẫngiải
Tacó:
(,())3 2 ()() .dM P R P S
Đườngthẳng
d
điqua
I
vàvuônggócvới
󰇛P󰇜
cópt:
1
12, .
12
xt
ytt
zt



Tọađộgiaođiểmcủa
d
và
󰇛S󰇜
là:
577
;;
333
A



,
111
;;
333
B




Tacó:
(,()) 5 (,()) 1.dA P dB P
( ,( )) ( ,( )) ( ,( )).dA P dM P dB P
Vậy:
min
(,()) 1 .dM P M B
Câu54: Trong không gian với hệ trục toạ độ
Oxyz,
chođiểm
10;2;1A
vàđườngthẳng
11
:
213
x
yz
d


.Gọi
P
làmặtphẳngđiquađiểm
A
,songsongvớiđườngthẳng
d
sao
chokhoảngcáchgiữa
d
và
P
lớnnhất.Khoảngcáchtừđiểm
1; 2; 3M
đếnmp
P
là
A.
97 3
.
15
 B.
76 790
.
790
 C.
213
.
13
 D.
329
.
29

Hướngdẫngiải
P
làmặtphẳngđiquađiểm
A
vàsongsongvới
đườngthẳng
d
nên
P
chứađườngthẳng
d
đi
quađiểm
A
vàsongsongvớiđườngthẳng
d
.
Gọi
H làhìnhchiếucủa
A
trên
d
, K làhình
chiếucủa
H
trên
P
.
Tacó
, dd P HK AH
󰇛
A
H
khôngđổi󰇜
GTLNcủa
(,())dd P
là
A
H
, dd P
lớnnhấtkhi
A
H vuônggócvới
P
.
Khiđó,nếugọi
Q
làmặtphẳngchứa
A
và
d
thì
P
vuônggócvới
Q
.

 

,98;14;70
97 3
:7 5 77 0 , .
15
PdQ
nun
Pxyz dMP






Câu55: Trong không gian với hệ trục toạ độ
,Oxyz
chođiểm

2;5;3A
và đường thẳng
12
:
212
xyz
d


.Gọi
P
làmặtphẳngchứađườngthẳng
d
saochokhoảngcáchtừ
A
đến
P
lớnnhất.Tínhkhoảngcáchtừđiểm
1; 2; 1M
đếnmặtphẳng
P
.
A.
11 18
.
18
 B.32. C.
11
.
18
 D.
4
.
3

Hướngdẫngiải
d'
d
K
H
A
P
d
H
K
A
P
Gọi
H
làhìnhchiếucủa
A
trên
d
;
K
làhìnhchiếucủa
A
trên
P
.
Tacó
, dAP AK AH
󰇛Khôngđổi󰇜
GTLNcủa
(,())dd P
là
A
H

⟹


, dAP
lớnnhấtkhi
K
H
.
Tacó
3;1; 4H
,
P
qua
H
và
A
H
:4 30Px yz 

Vậy


11 18
,
18
dM P .
Câu56: Trongkhônggianvớihệtrụctoạđộ
,Oxyz
chomặtphẳng
:20Pxyz
vàhaiđường
thẳng
1
:
22
x
t
dyt
zt


;
3
': 1 .
12
x
t
dy t
zt




Biếtrằngcó2đườngthẳngcócácđặcđiểm:songsongvới
P
;cắt
, dd
vàtạovới d góc
O
30 .
Tínhcosingóctạobởihaiđườngthẳngđó.
A.
1
.
5
B.
1
.
2
 C.
2
.
3
 D.
1
.
2
Hướngdẫngiải
Gọi
làđườngthẳngcầntìm,
P
n

làVTPTcủamặtphẳng
P
.
Gọi
1;;22
M
tt t
làgiaođiểmcủa
và
d
; làgiaođiểmcủa và
Tacó: 

Tacó 
Vậy,có2đườngthẳngthoảmãnlà .
Khiđó, 
Câu57: Trongkhônggianvớihệtrụctoạđộ cho3điểm .Gọi
làmặtphẳngđiqua saochotổngkhoảngcáchtừ và đến lớnnhấtbiếtrằng
khôngcắtđoạn .Khiđó,điểmnàosauđâythuộcmặtphẳng ?
A. B. C. D..
Hướngdẫngiải
3;1;12
M
tt t


'd
'2 ;1 ; 1 2 2
M
Mtttt tt



M
M
//


24;1;32
P
MP
P
tMMttt
MM n





O
2
4
69
3
cos30 cos ,
1
2
36 108 156
d
t
t
MM u
t
tt





12
5
:4;: 1
10
x
xt
yt y
ztzt









12
1
cos , .
2

,Oxyz
1; 0; 1 ; 3; 2; 0 ; 1; 2; 2AB C
P
A
B
C
P
P
BC
P
2; 0; 3.G
3; 0; 2 .F
1;3;1.E
0;3;1H
Gọi làtrungđiểmđoạn ;cácđiểm lần
lượtlàhìnhchiếucủa trên .
Tacótứgiác làhìnhthangvà làđường
trungbình.
Mà 󰇛với khôngđổi󰇜
Dovậy, lớnnhấtkhi 
điqua vàvuônggóc với
Câu58: Trongkhônggianvớihệtrụctoạđộ chocácđiểm trongđó
dương và mặt phẳng . Biết rằng vuông góc với và
,mệnhđềnàosauđâyđúng?
A.  B.C.D. 
Hướngdẫngiải
Tacóphươngtrìnhmp󰇛 là 

Tacó 
Từ󰇛1󰇜và󰇛2󰇜 .
Câu59: Trongkhônggianvớihệtrụctoạđộ cho3điểm .
Điểm saochogiátrịcủabiểuthức nhỏnhất.
Khiđó,điểm cách mộtkhoảngbằng
A. B. C. D.
Hướngdẫngiải
Gọi .Tacó 

với 
nhỏnhấtkhi nhỏnhất làhìnhchiếuvuônggóccủa trên
I
BC
, ,
B
CI

, ,
B
CI
P
BCC B

II
, , 2 .dBP dCP BB CC II


II IA
I
A
, , dBP dCP
IA

P
A
I
A


2;0; 1 .I
: 2 1 0 1;3;1 .Pxz E P
,Oxyz
1;0;0 , 0; ;0 , 0;0;
A
Bb C c
,bc
:10Pyz
mp ABC
mp P


1
,
3
d O ABC
1.bc 21.bc 31.bc 33.bc
)
A
BC
1
1
xyz
bc


11
0(1)
A
BC P b c
bc



22
22
11111
,8(2)
33
11
1
dO ABC
bc
bc
 

1
1
2
bc bc
,Oxyz
1; 2; 3 ; 0; 1; 1 ; 1; 0; 2ABC
:20MPxyz
222
23TMA MB MC
M
:2 2 3 0Qxyz
121
.
54
24.
25
.
3
101
.
54
;;
M
xyz
222
66688631Tx y z xyz
222
2 2 1 145
6
3326
Tx y z








2
145
6
6
TMI
22 1
;;
33 2
I



T
M
I
M
I
P
A
I'
C'
B'
I
C
B
P
.
Câu60: 󰇛
Đề minh họa L1󰇜
Trong không gian với hệ tọa độ cho bốn điểm
và .Hỏicótấtcảbaonhiêumặtphẳngcáchđều
bốnđiểmđó?
A.
1.
 B.4. C.
7.
D. Có vô số mặt
phẳng.
Hướngdẫngiải
Tacó:
Suyra:
4điểm
A
,
B
,
C
,
D
khôngđồngphẳng.
Khiđó,mặtphẳngcáchđềucả4điểm
A
,
B
,
C
,
D
sẽcóhailoại:
Loại1:Có1điểmnằmkhácphíavới3điểmcònlại󰇛điquacáctrungđiểmcủa3cạnhchung
đỉnh󰇜 có4mặtphẳngnhưthế󰇜.
Loại2:Có2điểmnằmkhácphíavới2điểmcònlại󰇛điquacáctrungđiểmcủa4cạnhthuộc
haicặpcạnhchéonhau󰇜 có3mặtphẳngnhưthế󰇜.
Vậycótấtcả7mặtphẳngthỏamãnyêucầubàitoán.
ChọnđápánC.

Câu61: 󰇛
ĐềminhhọaL1󰇜
Trongkhônggianvớihệtọađộ chođiểm vàđườngthẳng
cóphươngtrình: .Viếtphươngtrìnhđườngthẳng điqua ,vuônggóc
vàcắt .
5513
;;
18 18 9
M




,
Oxyz
1; 2;0 , 0; 1;1 ,AB

2;1; 1C

3;1; 4D

1;1;1 ; 1; 3; 1 ; 2;3;4 .AB AC AD
  
,4;0;4,.240AB AC AB AC AD
 

 
    
4
3
2
1
A
B
C
DD
C
B
A
A
B
C
D
D
C
B
A
7
6
5
A
B
C
D
D
C
B
A
A
B
C
D
,
Oxyz
1; 0; 2A
d
11
112
y
xz

A
d
B. .
D. .
Hướngdẫngiải
Do cắt nêntồntạigiaođiểmgiữachúng.Gọi .
Phương trình tham số của : . Do , suy ra
Do nên làvectơchỉphươngcủa .
Theođềbài, vuônggóc nên 󰇛 làvectorchỉphươngcủa 󰇜.Suyra
.Giảiđược .Vậy
ChọnđápánB.

Câu62: 󰇛
Đềthửnghiệm2017󰇜
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm và
.Đườngthẳng cắtmặtphẳng tạiđiểm .Tínhtỉsố .
A. . B. . C. . D. .
Hướngdẫngiải
Tacó:
;
;
và
Tacó:
thẳnghàng
và
ChọnđápánA.

Câu63: 󰇛
Đềthửnghiệm2017󰇜
Trongkhônggianvớihệtọađộ
Oxyz
,viếtphươngtrìnhmặtphẳng
songsongvàcáchđềuhaiđườngthẳng và
A. . B. .
C. . D. .
Hướngdẫngiải
Tacó: điquađiểm vàcóVTCP .
12
:
11 1
y
xz

12
:
131
y
xz

d
B
Bd
Bd


d
1
,
1
xt
yt t
zt



Bd
1; ; 1Bt tt

;;2 3AB t t t

,AB AB

d AB u

(1;1;2)u
d
.0AB u

t1

1;1; 1AB

12
:.
11 1
y
xz

2;3;1A
5; 6; 2B
AB
Oxz
M
AM
BM
1
2
A
M
BM
2
A
M
BM
1
3
A
M
BM
3
A
M
BM
;0;MOxz Mxz

;;731 59AB AB

;;23 1AM x z

,,ABM
.AM k AB k
 
27 9
33 1
10
xkx
kk
zk z


 




;0;90.M
;; 14 6 2 118 2 .BM BM AB

P
1
2
:
111
y
xz
d

2
1
2
:.
21 1
y
xz
d


:2 2 1 0xPz
:2 2 1 0yPz
:2 2 1 0xPy
:2 2 1 0yPz
1
d

2;0;0A

1
1;1;1u 
và điquađiểm vàcóVTCP Vì songsongvớihaiđườngthẳng
và nênVTPTcủa là
Khiđó códạng loạiđápánAvàC.
Lại có cách đều và nên đi qua trung điểm của . Do đó
ChọnđápánB.

Câu64: 󰇛
Tạp chí THTT Lần 5
󰇜 Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm Viết
phươngtrìnhmặtphẳng điquagốctọađộ vàcách mộtkhoảnglớnnhất.
A.  B.  C.  D. 
Hướngdẫngiải
Gọi làhìnhchiếucủa trên vuôngtại 
.Khiđó điqua vàvuônggócvới làvectopháp
tuyếncủa phươngtrìnhcủamặtphẳng là 
hay 
ChọnđápánA.

Câu65: 󰇛
THPT Hai Bà Trưng Lần 1
󰇜 Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm
Tìmđiểm trongmặtphẳng cócaođộâmsaocho
thểtíchcủakhốitứdiện bằng2vàkhoảngcáchtừ đếnmặtphẳng bằng1.
Khiđócótọađộđiểm thỏamãnbàitoánlà:
A. B.C.D.
Hướngdẫngiải
Vì ,docaođộâmnên 
Khoảngcáchtừ đếnmặtphẳng bằng1 
Suyratọađộ .Tacó:

Mà .Chọnđápán
ChọnđápánA.

2
d
0;1;2B
2
2; 1; 1 .u 
P
1
d
2
d
P
12
,
0;1; 1nuu 


P
0yzD
P
1
d
2
d
P
1
0; ;1
2
M



AB
:2 2 1 0yPz
,
Oxyz
1; 2; 1 .M

0;0;0O
M
20.xyz
1.
12 1
y
xz

0.xyz 20.xyz
H
M
()P
MHO
H
MH MO
max
MH
MO
()P
MMO
(1; 2; 1)MO

()P
()P
1( 0) 2( 0) 1( 0) 0xyz 
20.xyz
,
Oxyz
2;0; 2 , 3; 1; 4 , 2; 2;0 .AB C
D
Oyz
A
BCD
D
Oxy
D
0;3; 1 .D
0; 3; 1 .D 
0;1; 1 .D
0; 2; 1 .D
0; ;
D
Oyz D b c 0.c
0; ;
D
bc
:0Oxy z

11do0.
1
c
cc
0; ; 1Db

1; 1; 2 , 4; 2; 2 ; 2; ;1
A
BACADb


; 2;6;2 ; . 46 26 66 1AB AC AB AC AD b b b
 

 

1
;. 1
6
ABCD
VABACADb





0;3; 1
3
212
1
0; 1; 1
ABCD
D
b
Vb
b
D



0;3; 1 .D
Câu66: 󰇛
THPTHaiBàTrưngLần1
󰇜Trongkhônggianvớihệtọađộ chođiểm .Mặt
phẳng điquađiểm cắt tại saocho làtrựctâmcủatamgiác
.Phươngtrìnhcủamặtphẳng là
A.
B.
C.D.
Hướngdẫngiải
Dotứdiện cóbacạnh đôimộtvuônggócnênnếu làtrựctâmcủatam
giác dễdàngchứngminhđược hay .
Vậymặtphẳng điquađiểm vàcóVTPT nênphươngtrình là
ChọnđápánD.

Câu67: 󰇛
THPTChuyênĐHKHHuếLần1
󰇜Trongkhônggianvớihệtọađộ ,chođiểm ,
điểm nằmtrênmặtphẳng và .Gọi làhìnhchiếuvuônggóccủalên
và làtrungđiểmcủa .Biếtđườngthẳng luôntiếpxúcvớimộtmặtcầucốđịnh.
Tínhbánkínhmặtcầuđó.
A. . B. . C. . D. .
Hướngdẫngiải
Tacótamgiác luônvuôngtại .Gọi làtrungđiểmcủa 󰇛Điểm cốđịnh󰇜.
Tacótamgiác vuôngtại có làđườngtrungtuyếnnên
Ta có là đường trung bình của tam giác nên song song với mà
Mặtkháctamgiác cântại .Từđósuyra làđườngtrung
trựccủa
Nên
Vậy luôntiếpxúcvớimặtcầutâm bánkính
ChọnđápánA.

Câu68: 󰇛CHUYÊNĐHKHTNHUẾ󰇜Trongkhônggianvớihệtọađộ
Oxyz
,chođiểm

0;0; 4A
,điểm
M
nằ
mtrênmặtphẳng

Oxy
và
MO
.Gọi
D
làhìnhchiếuvuônggóccủa
O
lên
AM
và
E
là
trungđiểmcủa
OM
.Biếtđườngthẳng
DE
luôntiếpxúcvớimộtmặtcầucốđịnh.Tínhbán
kínhmặtcầuđó.
A.
2R
. B.
1R
. C.
4R
. D.
2R
.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Tacótamgiác
OAM
luônvuôngtại
O
.
Gọi
I
làtrungđiểmcủa
OA
󰇛Điểm
I
cốđịnh󰇜
Tacótamgiác
ADO
vuôngtại
D
có
ID
là
đườngtrungtuyếnnên

1
21
2
ID OA
,
Oxyz
1; 2; 3H
P
,H ,,Ox Oy Oz ,,
A
BC
H
A
BC
P
():3 2 11 0.Pxyz ():3 2 10 0.Pxyz
(): 3 2 13 0.Px y z (): 2 3 14 0.Px y z
OABC
,,OA OB OC
H
A
BC
OH ABC
OH P

P
1; 2; 3H

1; 2; 3OH


P
1 2 2 3 3 0 2 3 14 0.xyz xyz  
Oxyz
0;0;4A
M
Oxy
M
O
D
O
A
M
E
OM
D
E
2R
1R 4R
2R
OAM O
I
OA
I
ADO
D
I
D

1
21
2
ID OA
I
E
OAM
I
E
A
M
OD AM OD IE
E
OD
E
I
E
OD



;902DOE ODE IOD IDO IDE IOE ID DE
D
E
I
2
2
OA
R 
A
D
I
Tacó
I
E
làđườngtrungbìnhcủatamgiác
OAM
nên
I
E
songsongvới
A
M
mà
OD AM OD IE
Mặt
kháctamgiác
E
OD
cântại
E
.Từđósuyra
I
E làđườngtrungtrựccủa
OD

Nên


;902DOE ODE IOD IDO IDE IOE ID DE
Vậy
D
E
luôntiếpxúcvớimặtcầutâm
I
bánkính 2
2
OA
R 
Câu69: 󰇛CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ󰇜 Cho điểm
(0;8;2)A vàmặtcầu ()S có phương trình
222
():( 5) ( 3) ( 7) 72Sx y z
vàđiểm
(9; 7;23)B
.Viếtphươngtrìnhmặtphẳng
()
P
qua
A
tiếpxúcvới()S saochokhoảngcáchtừ
B
đến ()
P
làlớnnhất.Giảsử (1; ; )
nmn làmột
vectơpháptuyếncủa
()
P
.Lúcđó
A.
.2.mn
B.
.2.mn
C.
.4.mn
D.
.4.mn
Hướngd
ẫngiải
ChọnD.
Mặtphẳng
()P
quaA códạng
(0)(8)(2)0 820a x b y c z ax by cz b c-+ -+ -= ++--=.
Điềukiệntiếpxúc:
222 222
53782 5115
(;( )) 6 2 6 2 6 2
abcbc a bc
dI P
abc abc
-+-- - +
= = =
++ ++
.󰇛*󰇜
Mà
222 222
972382 91521
(;())
ab cbc a b c
dB P
abc abc
-+ -- - +
==
++ ++
222
51154( 4)abcabc
abc
-++-+
=£
++
222222
222 222 222
5115 4
1(1)4.
4624 182
abc abc
abc
abc abc abc
-+ -+
+- + + +
£+ £+ =
++ ++ ++
.
Dấubằngxảyrakhi
114
abc
==
-
.Chọn 1; 1; 4ab c==-=thỏamãn󰇛*󰇜.
Khiđó
(): 4 0Pxy z-+ =.Suyra 1; 4mn=- = .Suyra:
.4.mn =-

Câu70: 󰇛CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ󰇜 Trongkhônggianchođườngthẳng
31
:
123
x
yz

vàđường
thẳng
312
:
312
xyz
d


.Viếtphươngtrìnhmặtphẳng
P
điqua
vàtạovớiđường
thẳng
d
mộtgóclớnnhất.
A.
19 17 2 77 .00xyz
B.
19 17 2 34 .00xyz
C.
31 8 5 91 .0xyz
D.
31 8 5 98 .0xyz
Hướngd
ẫngiải
ChọnD.
Đườngthẳng
d cóVTCPlà
1
3;1; 2u

.
Đườngthẳng
điquađiểm
3; 0; 1M vàcóVTCPlà
1; 2; 3u
.
Do
P
 nên

M
P .GiảsửVTPTcủa
P
là


222
;; , 0nABCABC
.
Phươngtrình
P
códạng
310Ax By Cz .
Do
P
 nên .0 23 0 23un A B C A B C 

.
Gọi
làgócgiữa
d
và
P
.Tacó


1
222 2
22
1
.
32 3 2
32
.
14.
14. 2 3
un
BCBC
AB C
sin
un
ABC
B
CBC








2
22
22
57 57
1
512 10
14
14. 5 12 10
BC BC
B
BC C
BBC C



.
TH1:Với
0C
thì
570
14 14
sin

.
TH2:Với
0C đặt
B
t
C
tacó

2
2
57
1
51210
14
t
sin
tt

.
Xéthàmsố


2
2
57
51210
t
ft
tt

trên
.
Tacó


2
2
2
50 10 112
51210
tt
ft
tt


.

2
8875
5514
0 50 10 112 0
77
0
55
tf
ft t t
tf




 




.
Và


2
2
57
lim lim 5
51210
xx
t
ft
tt
 


.
Bảngbiếnthiên
Từđótacó

75
14
Maxf t
khi
88
55
B
t
C

.Khiđó
1875
.
514
14
sin f




.
SosánhTH1vàTh2tacó
s
in
lớnnhấtlà
75
14
sin
khi
8
5
B
C
.
Chọn
8531BCA 
.
Phươngtrình
P
là
31 3 8 5 1 0 31 8 5 98 0xyz xyz
.
Câu71: 󰇛CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ󰇜 Trong không gian
Oxyz
chomặtcầu

222
:1 2 39Sx y zvàmặtphẳng
:2 2 3 0Pxyz
.Gọi
;;
M
abc
làđiểm
trênmặtcầu
S
saochokhoảngcáchtừ
M
đến
P
làlớnnhất.Khiđó
A.
5.abc
B.
6.abc
C.
7.abc
D.
8.abc
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Mặtcầu

222
:1 2 39Sx y zcótâm
1; 2; 3I
vàbánkính
3.R
Gọi
d
làđườngthẳngđiqua
1; 2; 3I vàvuônggóc
P

Suyraphươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng
d
là
12
22
3
x
t
yt
zt



.
Gọi
,
A
B
lần lượt là giao của d và
S , khi đó tọa độ
,
A
B
ứngvớit lànghiệmcủa
phươngtrình

222
1
12 1 22 2 3 3 9
1
t
ttt
t
 

Với

13
1 3;0;4 ;( ) .
3
tA dAP
Với

5
11;4;2 ;().
3
tB dBP
0
0
Vớimọiđiểm
;;
M
abc trên
S taluôncó
;( ) ;( ) ;( ) .dBP dM P dAP
Vậykhoảngcáchtừ
M
đến
P
làlớnnhấtbằng
13
3
khi
3; 0; 4M
Dođó
7.abc
Câu72: 󰇛LÊ HỒNG PHONG󰇜 Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho đường thẳng
13
:
12 1
xyz
d



vàmặtcầu

S
tâm
I
cóphươngtrình

222
:1 2 118Sx y z .
Đườngthẳng
d
cắt

S tạihaiđiểm
,
A
B
.Tínhdiệntíchtamgiác
I
AB .
A.
811
.
3
 B.
16 11
.
3
C.
11
.
6
D.
811
.
9
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Đườngthẳng
d
điquađiểm
1; 0; 3C vàcóvectơchỉphương
1; 2; 1u 

Mặtcầu

S cótâm

1; 2; 1I ,bánkính 32R 
Gọi
H
làhìnhchiếuvuônggóccủa
I
lênđườngthẳng
d
.
Khi đó:
,IC u
IH
u



, với
0; 2; 2IC 

;

,6;2;2IC u




Vậy
222
622 66
3
141
IH



Suyra
22 4 6
18
33
HB 

Vậy,
116686811
.
22333
IAB
SIHAB


Câu73: 󰇛HAIBÀTRƯNG
–HUẾ󰇜Chohìnhlậpphương
.ABCD A B C D

cócạnhbằng2.Tínhkhoảng
cáchgiữahaimặtphẳng
và .
A
BD BCD


A.
3
.
3
B.
3.
C.
3
.
2
D.
2
.
3
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Tachọnhệtrụctọađộsaochocácđỉnhcủahìnhlập
phươngcótọađộnhưsau:
A
'
D
'
C'
B
'
B
C
D
A

0;0;0 2; 0;0 2; 2;0 0; 2; 0
0;0;2 2; 0; 2 2; 2; 2 0; 2; 2
ABCD
ABCD


 

2;0; 2 , 0;2; 2 ,
2; 2;0 , 0; 2; 2
AB AD
BD BC



 


*Mặtphẳng
A
BD

qua
0;0; 0A
vànhậnvéctơ

1
,1;1;1
4
nABAD




 
làmvéctơ
pháptuyến.Phươngtrình
A
BD

là:
0.xyz

*Mặtphẳng
B
CD
qua
2;0; 0B vànhậnvéctơ

1
,1;1;1
4
mBDBC




làmvéctơ
pháptuyến.
Phươngtrình

B
CD
là:
20.xyz
Suyrahaimặtphẳng
A
BD

và
B
CD
songsongvớinhaunênkhoảngcáchgiữahai
mặt phẳng chính là khoảng cách từ điểm
A
đếnmặtphẳng
B
CD
:


223
,.
3
3
dABCD


Cáchkhác:Thấykhoảngcáchcầntìm


11 23
,.23.
33 3
dABD BCD AC


Câu74: 󰇛HAI BÀ TRƯNG
–HUẾ󰇜Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
2;0; 2 , 3; 1; 4 , 2; 2;0 .AB C
Điểm D trongmặtphẳng
Oyz
cócaođộâmsaochothể
tíchcủakhốitứdiện
A
BCD
bằng2vàkhoảngcáchtừ D đếnmặtphẳng
Oxy
bằng1.Khiđó
cótọađộđiểm
D
thỏamãnbàitoánlà:
A.
0;3; 1 .D
B.
0; 3; 1 .D 
C.
0;1; 1 .D
D.
0; 2; 1 .D
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Vì

0; ;DOyz Dbc
,docaođộâmnên
0.c

Khoảng cách từ
0; ;Dbc
đếnmặtphẳng
:0Oxy z
bằng1

11do0.
1
c
cc

Suyratọađộ
0; ; 1Db
.Tacó:

1; 1; 2 , 4; 2; 2 ; 2; ;1
A
BACADb


,2;6;2AB AC





,. 4626661AB AC AD b b b




1
,. 1
6
ABCD
VABACADb



 

Mà

0;3; 1
3
212
1
0; 1; 1
ABCD
D
b
Vb
b
D



.Chọnđápán
0;3; 1 .D
Câu75: Trongkhônggianvớihệtọađộ
Oxyz
,chođiểm
()
2;11; 5A -
vàmặtphẳng
()
()()
22
:2 1 1 10 0Pmxm ym z+++--=
.Biếtrằngkhi
m
thayđổi,tồntạihaimặtcầucốđịnhtiếpxúc
vớimặtphẳng
()
P
vàcùngđiqua A .Tìmtổngbánkínhcủahaimặtcầuđó.
A.
22. B.52. C.72. D.12 2 .
Lờigiảithamkhảo:
Gọi
()
;; ,I abc rlầnlượtlàtâmvàbánkínhcủamặtcầu.Domặtcầutiếpxúcvới
()
P nêntacó
()
()
()()
()
()
()
22
2
22
21110
210
,
12 12
ma m b m c
bcm mabc
rdIP
mm
+++--
-++--
== =
++
()
()
()
()
()
()
2
22
2
2 2 21001
21012
22 21002
bcr m mabcr
bcm mabc rm
bcr m mabcr
é
+- + +-- - =
ê
ê
+++--=+
ê
++ + +-+ - =
ê
ë
TH1:
()
()
2
2 2 21001bcr m mabcr+- + +-- - =
Domthayđổivẫncómặtcầucốđịnhtiếpxúcvới
()
P
nênyêucầubàitoántrờthànhtìmđiềukiện
,,abc
saocho
()
1 khôngphụthuộcvào
m
.Dođó
()
1 luônđúngvớimọi
20
0
210 0
bcr
a
bcr
ì
ï
+- =
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
ï
-- - =
ï
î
250
0
5
br
a
c
ì
ï
=+=
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
ï
=-
ï
î
Suyra
()
()
()
()
2
2
22
0;5 2; 5 : 5 2 5Ir Sxyr z r+-=> +-- ++=
.
Lạicó
()
ASÎ
nênsuyra:
()
2
22
22
41152 122400
10 2
r
rrr r
r
é
=
ê
+- - - = - + =
ê
=
ê
ë
TH2:
()
2
22 2100bcr m mabcr++ + +-+ - = làmtươngtựTH1󰇛trườnghợpnàykhôngthỏađềbài󰇜
Tómlại:Khi
m
thayđổi,tồntạihaimặtcầucốđịnhtiếpxúcvớimặtphẳng
()
P vàcùngđiqua
A
vàcótổngbánkínhlà:
12 2 suyrachọnD
Câu76: Trong không gianvớihệtọađộ
Oxyz
,chobốnđiểm
()()()
3;0;0 , 0;2;0 , 0;0;6ABCvà
()
1;1;1D .Kí
hiệu
d
làđườngthẳngđiqua
D
saochotổngkhoảngcáchtừcácđiểm
, ,
A
BC
đến
d
lớn
nhất.Hỏiđườngthẳng
d
điquađiểmnàodướiđây?
A.
()
1; 2;1M --
. B.
()
5;7;3N
. C.
()
3;4;3P
. D.
()
7;13;5Q
.
Lờigiảithamkhảo:
TacóphươngtrìnhmặtphẳngquaA,B,Clà:
()
:12360
326
xyz
ABC x y z++= + +-=
.
Dễthấy
()
D ABCÎ
.Gọi
', ', '
A
BC
lầnlượtlàhìnhchiếuvuônggóccủa
,,
A
BC
trênd .
Suy ra
()()()
,,,'''dAd dBd dCd AA BB CC AD BD CD++=++£++
.Dấu bằng xảy ra khi
'''
A
BCDººº
.
Haytổngkhoảngcáchtừcácđiểm
, ,
A
BC
đến
d
lớnnhấtkhidlàđườngthẳngquaDvàvuônggóc
vớimặtphẳng
()
12
:13;
1
xt
ABC d y t N d
zt
ì
=+
ï
ï
ï
ï
=> = + Î
í
ï
ï
ï
=+
ï
î
suyrachọnB
Câu77: Trongkhônggian vớihệtọa độ
Oxyz
,chobađiểm
()()( )
5;5;0 , 1;2;3 , 3;5; 1ABC- vàmặtphẳng
()
:50Px yz+++=.Tínhthểtích
V
củakhốitứdiện
SABC
biếtđỉnh
S
thuộcmặtphẳng
()
P và
SA SB SC==
.
A.
145
6
V
=
. B. 145V = . C.
45
6
V =
. D.
127
3
V =
.
Lờigiảithamkhảo:
Gọi
()() ()
;; 5 01S abc P a b cÎ=>+++=
.
Tacó:
()()
22
2
55,AS a b c=-+-+
()()() ()()()
222 222
123, 351BS a b c CS a b c= - +- +- = - +- ++
Do
()()() ()()()
()() ()()()
222 222
22 222
2
123 351
468210
42150
55 351
ab c abc
abc
SA SB SC
ac
abcabc
ì
ï
ï - +- +- = - +- ++
ì
+--=
ï
ï
ïï
==
íí
ïï
+-=
ï
ïî
-+-+= -+-++
ï
ï
î
T
acóhệ:
6
4 68210
23 13 9
42150 6; ;
222
50
9
2
a
abc
ac b S
abc
c
ì
ï
ï
ï
=
ï
ì
+--=
ï
ï
ï
ï
æö
ï
ï
ïï
÷
ç
+-= =- =- -
÷
íí
ç
÷
ç
ïï
èø
ïï
ïï+++=
ï
î
ï
ï
=-
ï
ï
ï
î
.Lạicó:
()()
4; 3;3 , 2;0; 1AB AC-- - -

()
()
.
23 9 145
3; 10; 6 ; 1; ; 145
22 6
S ABC
AB AC AS AB AC AS V
æö
÷
ç
=> = - - = - - => = => =
÷
ç
÷
ç
èø
  
Câ
u78: ChohìnhchópSABCcóđáylàtamgiácđềucạnhbằng
6cm và
()
43SA SB SC cm===
.GọiDlà
điểmđốixứngcủaBquaC.KhiđóbánkínhmặtcầungoạitiếphìnhchópSABDbằng?
A.
5cm
B. 32cm C.26cm D. 37cm
Lờ
igiảithamkhảo:
Cách1:DựngCGvuônggócvới
()
A
BC ,QuaEdựngmặtphẳngvuônggócvới
SB
,mặtphẳngnàycắt
CGtạiF.SuyraFlàtâmmặtcầungoạitiếphìnhchópS.ABD.Đặt
SF R=
Xéthìnhchữnhật:
()
22
1FGSH FC SH FG SH R CH=> = - = - -
Lạicó:
()
22
2FC R CB=- .Từ󰇛1󰇜và󰇛2󰇜suyra
22 22
SH R CH R CB-- =-
()
22 2
612 365120 37RR R Rcm--=---==>= SuyrachọnD
C
ách2:
Chọnhệtrụctọađộnhưhìnhvẽ.
Tacó:
()
()()()
0;0;0 , 3 3; 3;0 , 3 3;3;0 , 2 3;0;6CA B S-- - -
() ()
2
2
0;0; 36 12 6FCG F t FAFS t tÎ=> = +=+-
()
137tSCcm==> =
suyrachọnD
Chủ đề 8. TOÁN THỰC TẾ
Câu1: 󰇛SGDVĨNHPHÚC󰇜SốsảnphẩmcủamộthãngđầuDVDsảnxuấtđượctrong1ngàylàgiátrị
củahàmsố:

21
33
,.
f
mn m n
,trongđó
m
làsốlượngnhânviênvà
n
làsốlượnglaođộng
chính.Mỗingàyhãngphảisảnxuấtđượcítnhất
40
sảnphẩmđểđápứngnhucầukhách
hàng.Biếtrằngmỗingàyhãngđóphảitrảlươngchomộtnhânviênlà
6 USD
vàchomột
laođộngchínhlà
24 USD
.Tìmgiátrịnhỏnhấtchiphítrong1ngàycủahãngsảnxuấtnày.
A.
1720 USD
. B.
720 USD
. C.
560 USD
. D.
600 USD
.
Hướn
gdẫngiải
ChọnB.
Tacógiảthiết:
21
33
.40mn
2
64000mn
với
,mn
.
Tổngsốtiềnphảichitrongmộtngàylà:
32
6 24 3 3 24 3 216 720mnmmn mn
Dấu
""
xảyrakhivàchỉkhi
324mn 8mn
Dođó,
2
64000mn
3
64 64000n
10n
Tachọn
10 80nm
.
Vậychiphíthấpnhấtđểtrảcho80nhânviênvà10laođộngchínhđểsảnxuấtđạtyêucầu
là
720
USD
Câu2: 󰇛SGDVĨNHPHÚC󰇜Chohìnhthangcâncóđộdàiđáynhỏvàhaicạnhbênđềubằng
1
mét.
Khiđóhìnhthangđãchocódiệntíchlớnnhấtbằng?
A.

2
33 m
. B.

2
33
2
m
. C.

2
33
4
m
. D.

2
1 m
.
Hướn
gdẫngiải
ChọnC.
Kíhiệu
x
làđộdàiđườngcaosuyra
01x
Tínhđượcđáylớnbằng
2
121x
.
Diệntíchhìnhthang
2
11Sxx
.Xéthàmsố
2
() 1 1fx x x
trên
0;1
.
Tacó:
22
2
211
()
1
xx
fx
x

.
3
() 0
2
fx x

.Lậpbảngbiếnthiên.Suyra
0;1
333
max ( )
24
fx f





BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8 - 9 - 10)
_______________________________
Câu3: 󰇛NGUYỄNKHUYẾNTPHCM󰇜Chomộtcâynếnhìnhlăngtrụlụcgácđềucóchiềucaovàđộ
dàicạnhđáylầnlượtlà
15cm
và
5cm
.Ngườitaxếpcâynếntrênvàotrongmộthộpcó
dạnghìnhhộpchữnhậtsaochocâynếnnằmkhíttronghộp.Thểtíchcủachiếchộpđó
bằng
A.
1500 ml
. B.
600 6 ml
. C.
1800 ml
. D.
750 3 ml
.
Hướngdẫngiải
Tacó
10 cm,AD=5 3 cmAB 
50 3
ABCD
S

. 750 3
ABCD
VS h
Chọnđápán:D
Câu4: 󰇛NGUYỄNKHUYẾNTPHCM󰇜Ngườitathay
nướcmóichomộtbểbơidạnghìnhhộpchữnhậtcóđộsâu
1
280hcm
.Giảsử ()ht cmlà
chiềucaocủamựcnướcbơmđượctạithờiđiểm
t giây,bếtrằngtốcđộtăngcủachiềucao
nướctạigiâythứ
t
là
3
1
() 3
500
ht t

.Hỏisaubaolâuthìnướcbơmđược
3
4
độsâucủa
hồbơi?
A.7545, 2
s
. B. 7234,8
s
. C.7200,7
s
. D. 7560,5
s
.
Hướngdẫngiải
Saumgiâymứcnướccủabểlà


4
3
4
3
33
00
0
1333
(m) ( )dt= 3dt= 3 3 3
500 2000 2000
m
mm
t
hht t m




Yêucầubàitoán,tacó

4
3
3
33
3 3 3 280
2000 4
m





3
4
4
3
33
3 140000 3 3 140000 3 3 3 7234,8mm .ChọnB
Câu5: 󰇛NGUYỄNKHUYẾNTPHCM󰇜Mộtchấtđiểmchuyểnđộngtheoquyluật
32
617
s
tt t ,
với
t 󰇛giây󰇜làkhoảngthờigiantínhtừlúcvậtbắtđầuchuyểnđộngvà
s
󰇛mét󰇜làquãng
đườngvậtđiđượctrongkhoảngthờigianđó.Khiđóvậntốc
v
/ms
củachuyểnđộng
đạtgiátrịlớnnhấttrongkhoảng8giâyđầutiênbằng:
A.
17 /ms
. B.
36 /ms
. C.
26 /ms
D.
29 /ms
.
Hướngdẫngiải
Vậntốccủachấtđiểmlà

2
2
312173 2 2929vs t t t

.
Vậyvậntốccủachuyểnđộngđạtgiátrịlớnnhấtbằng29khi
2t
.
ChọnD.
Câu6: 󰇛TRẦNHƯNGĐẠO–NB󰇜BạnHùngtrúngtuyểnvàođạihọcnhungvìkhôngđủnộptiềnhọc
phíHùngquyếtđịnhvayngânhàngtrong
4
nămmỗinăm
3.000.000
đồngđểnộphọcvới
lãisuất
3%
/năm.SaukhitốtnghiệpđạihọcHùngphảitrảgóphàngthángsốtiềnT󰇛không
đổi󰇜cùngvớilãisuất
0, 25% /
thángtrongvòng
5
năm.SốtiềnTmàHùngphảitrảchongân
hàng󰇛làmtrònđếnhàngđơnvị󰇜là
A.
232518 đồng. B. 309604đồng. C. 215456 đồng. D. 232289 đồng.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
TínhtổngsốtiềnmàHùngnợsau4nămhọc:
Sau1nămsốtiềnHùngnợlà:
3
3r
31 r

Sau2nămsốtiềnHùngnợlà:

2
31 31rr

Tươngtự:Sau4nămsốtiềnHùngnợlà:

432
3 1 3 1 3 1 3 1 12927407,43rrrr A
Tínhsốtiền
T
màHùngphảitrảtrong1tháng:
Sau1thángsốtiềncònnợlà:
1
A
Ar T A r T
.
Sau2thángsốtiềncònnợlà:
 
 
2
11.11
A
rT A rTrTA r T rT  

Tương tự sau
60
thángsốtiềncònnợlà:
   
60 59 58
111 1TT
A
rrr TTr
.
Hùngtrảhếtnợkhivàchỉkhi
   
  






60 59 58
60 59 58
60
60
60
60
60
60
111 10
111 110
11
10
11
10
1
11
11
232.289
TT T
T
T
Ar r r rT
Ar r r r
r
Ar
r
Ar
Ar r
T
r
T
r
T
r


 










Câu7: 󰇛TRẦNHƯNGĐẠO
–NB󰇜Mộtđámvitrùngtạingàythứ t cósốlượnglà
.
N
t
Biếtrằng

4000
10,5
Nt
t
vàlúcđầuđámvitrùngcó250000con.Hỏisau
10
ngàysốlượngvitrùng
làbaonhiêu?
A.
258 959 con
. B.
253 584 con
. C.
257 167 con
. D.
264 334 con
.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Tacó:
 
4000
d d 8000.ln 1 0,5
10,5
Nt N t t t t C
t



Màsốlượngvitrùngbanđầubằng
250000
connên
250000C
.
Dođó:
8000.ln 1 0,5 250000Nt t
.
Vậysau
10
ngàysốlượngvitrùngbằng:
10 8000.ln 6 250000 264334N 
con.
Câu8: 󰇛TRẦN HƯNG ĐẠO –NB󰇜Người ta cần đổ một ống thoát nước hình trụ với chiều cao
200cm
,độdàycủathànhốnglà
15cm
,đườngkínhcủaốnglà
80cm
.Lượngbêtôngcần
phảiđổlà
A.
3
0,195 m
. B.
3
0,18 m
. C.
3
0,14 m
. D.
3
m
.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Gọi
12
V,V
lầnlượtlàthểtíchcủakhốitrụbênngoài
vàbêntrong
Dođólượngbêtôngcầnphảiđổlà:
22 3 3
12
.40 .200 .25 .200 195000 0,195VVV cm m



Câu9:
󰇛LẠNGGIANGSỐ1󰇜Mộtngôibiệtthựnhỏcó
10
câycộtnhàhìnhtrụtròn,tấtcảđềucó
chiềucaobằng
4, 2m .Trongđócó 4 câycộttrướcđạisảnhcóđườngkínhbằng
40cm
,
6
câycộtcònlạibênthânnhàcóđườngkínhbằng
26cm
.Chủnhàdùngloại
sơngiảđá
để
sơn
10
câycộtđó.Nếugiácủamộtloạisơngiảđálà
2
380.000 /đ m
󰇛kểcảphầnthicông󰇜
thìngườichủphảichiítnhấtbaonhiêutiềnđểsơncột
10
câycộtnhàđó󰇛đơnvịđồng󰇜?
A.
15.845.000.
B.
13.627.000.
C.
16.459.000.
D.
14.647.000.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Diện tích xung quanh
4 câycộttrướcđạisảnhcóđườngkínhbằng
40cm
:

1
4. 2 .0, 2.4, 2S
.
Diệntíchxungquanh6câycộttrướccâycộtcònlạibênthânnhàcóđườngkínhbằng
26cm
:
2
62.0,13.4,2S
.
Sốtiềnđểsơnmườicâycộtnhàlà

12
.380.000SS
15.845.000.
Câu10:
󰇛LẠNGGIANGSỐ1󰇜Tốcđộpháttriểncủasốlượngvikhuẩntronghồbơiđượcmôhình
bởihàmsố


2
1000
,0
10,3
Bt t
t

,trongđó

Btlàsốlượngvikhuẩntrênmỗi
ml
nước
tạingàythứ
t .Sốlượngvikhuẩnbanđầulà
500
contrênmột
ml
nước.Biếtrằngmứcđộ
antoànchongườisửdụnghồbơilàsốvikhuẩnphảidưới
3000
contrênmỗi
ml
nước.
Hỏivàongàythứbaonhiêuthìnướctronghồkhôngcònantoànnữa?
A.
9
B.
10.
C.
11.
D.
12.
Hướngdẫngiải
ChọnB
Tacó



2
1000 1000
'd d
0,3 1 0,3
10,3
B
tt t C
t
t


Mà


10000 11500
0 500 500
31 0,3.0 3
BCC 
Dođó:


10000 11500
31 0,3 3
Bt
t

Nướctronghồvẫnantoànkhichỉkhi


10000 11500
3000 3000 10
31 0,3 3
Bt t
t
 
Vậykểtừngàythứ10,nướchồkhôngcònantoàn.
Câu11:
󰇛LẠNGGIANGSỐ1󰇜Mộtlonnướcsoda
80
F
đượcđưavàomộtmáylàmlạnhchứađátại
32
F
.Nhiệtđộcủasodaởphútthứt đượctínhtheođịnhluậtNewtonbởicôngthức
( ) 32 48.(0.9)
t
Tt  .Phảilàmmátsodatrongbaolâuđểnhiệtđộlà
50
F
?
A.
1,56.
 B.
9,3.
 C.
2.
 D.
4.

Hướngdẫngiải
ChọnB.
Gọi
o
t
làthờiđiểmnhiệtđộlonnước
80
F


32 48. 0,9 80
o
t
o
Tt 
󰇛1󰇜
Gọi
1
t
làthờiđiểmnhiệtđộlonnước
50
F


1
32 48. 0,9 50
o
t
Tt 
󰇛2󰇜
󰇛1󰇜

0,9 1
o
t
0
o
t

󰇛2󰇜

1
3
0,9
8
t
10,9
3
log 9,3
8
t


Câu12:
󰇛LẠNGGIANGSỐ1󰇜Mộtcôngtybấtđộngsảncó50cănhộchothuê.Biếtrằngnếucho
thuêmỗicănhộvớigiá
2000000
đồngmộtthángthìmọicănhộđềucóngườithuêvàcứ
mỗilầntănggiáchothuêmỗicănhộthêm
50000
đồngmộtthángthìcóthêmmộtcănhộ
bịbỏtrống.Côngtyđãtìmraphươngánchothuêđạtlợinhuậnlớnnhất.Hỏithunhập
caonhấtcôngtycóthểđạtđượctrong1thánglàbaonhiêu?
A.
115 250 000
. B.
101 250 000
. C.
100 000 000
. D.
100 250 000
.
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Gọi
x
󰇛đồng/tháng󰇜
()
0x >
làgiáchothuêmới.
Sốcănhộbịbỏtrốnglà
50 000
x
cănhộ
Sốtiềncôngtythuêđược
() ( )
2 000 000 50
50 000
x
Tx x
æö
÷
ç
=+-
÷
ç
÷
ç
èø
Khảosáthàmsố
(
)
Txtrên
()
0;+¥
()
10
25 000
x
Tx
¢
=-
(
)
0Tx
¢
=
250 000x =
.
Bảngbiếnthiên
Vậythunhậpcaonhấtcôngtycóthểđạtđượctrong1thánglà:
101 250 000T
.
Câu13: 󰇛LÝTỰTRỌNG
–TPHCM󰇜Mộtcáilycódạnghìnhnónđượcrótnướcvàovớichiềucao
mựcnướcbằng chiềucaohìnhnón.Hỏinếubịchkínhmiệnglyrồiúpngượclyxuống
thìtỷsốchiềucaomựcnướcvàchiềucaohìnhnónxấpxỉbằngbaonhiêu?
A. . B. . C. . D.
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Gọichiềucaovàbánkínhđườngtrònđáycủacáilylầnlượt
là và .
Khiđểcốctheochiềuxuôithìlượngnướctrongcốclàhình
nóncóchiềucaovàbánkínhđườngtrònđáylầnlượtlà
và
Dođóthểtíchlượngnướctrongbìnhlà Phầnkhông
chứanướcchiếm
Khiúpngượclylạithìphầnthểtíchnướctronglykhôngđổivàlúcđóphầnkhôngchứa
nướclàhìnhnónvàtagọi và lầnlượtlàchiềucaovàbánkínhđườngtrònđáycủa
phầnhìnhnónkhôngchứanướcđó.
Tacó vàphầnthểtíchhìnhnónkhôngchứanướclà
2
3
0,33 0,11 0, 21 0,08
h
R
2
3
h
2
.
3
R
8
27
V
19
.
27
V
'h
'
R
''
R
h
R
h
19
27
V
3
3
22
'19 '19'19
.' .. .
3273 27 3
hhhh
RR
hh





Dođótỷlệchiềucaocủaphầnchứanướcvàchiềucaocủacáilytrongtrườnghợpúp
ngượclylà
Câu14: 󰇛LÝTỰTRỌNG–TPHCM󰇜Giảsửvàocuốinămthìmộtđơnvịtiềntệmất10%giátrịso
vớiđầunăm.Tìmsốnguyêndươngnhỏnhấtsaochosau
n năm,đơnvịtiềntệsẽmấtđiít
nhất90%giátrịcủanó?
A.16 B.18. C.20. D.22.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Gọi
0xx làgiátrịtiềntệlúcbanđầu.Theođềbàithìsau1năm,giátrịtiềntệsẽcòn
0,9
x
.
Cuốinăm1còn
0,9
x

Cuốinăm2còn
2
0,9.0,9 0,9
x
x

……………………………
Cuốinăm
n
còn
0,9
n
x

Ycbt
0,9 0,1 21,58
n
xxn.Vì n nguyêndươngnên
22n
.
Câu15: 󰇛NGÔGIATỰ‐VP󰇜Mộtngôibiệtthựcó
10
câycộtnhàhìnhtrụtròn,tấtcảđềucóchiều
caobằng
4,2 m
.Trongđó,
4
câycộttrướcđạisảnhcóđườngkínhbằng
40cm
,
6
câycột
cònlạibênthânnhàcóđườngkínhbằng
26cm
.Chủnhàdùngloạisơngiảđáđểsơn
10
câycộtđó.Nếugiácủamộtloạisơngiảđálà
2
380.000 /đ m 󰇛kểcảphầnthicông󰇜thìngười
chủphảichiítnhấtbaonhiêutiềnđểsơn
10
câycộtnhàđó󰇛đơnvịđồng󰇜?
A.
15.844.000
. B.
13.627.000
. C.
16.459.000
. D.
14.647.000
.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Diệntíchxungquanhcủamộtcáicộtđượctínhbởicôngthức:
2
xq
SRh
Tổngdiệntíchxungquanhcủa10cáicộtlà:
4. 2 .0, 2.4, 2 6. 2 .0,13.4, 2 13,272


Tổngsốtiềncầnchilà:
13, 272 380.000 15.844.000

.
Câu16: 󰇛NGÔGIATỰ‐VP󰇜Mộtđoàntàuchuyểnđộngthẳngkhởihànhtừmộtnhàga.Quãng
đường
s
mét
điđượccủađoàntàulàmộthàmsốcủathờigian
tgiây
,hàmsốđólà
23
6–
s
tt .Thờiđiểm
tgiây
màtạiđóvậntốc

/vms
củachuyểnđộngđạtgiátrịlớn
nhấtlà
A.
4ts
. B.
2ts
. C.
6ts
. D.
8ts
.
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Hàmsốvậntốclà
2
312vst t t

,cóGTLNlà
max
12v
tại
2t

Câu17: 󰇛LÝTHÁITỔ‐HN󰇜Mộtnhàmáysảnxuấtcầnthiếtkếmộtthùngsơndạnghìnhtrụcónắp
đậyvớidungtích
3
1000cm .Bánkínhcủanắpđậyđểnhàsảnxuấttiếtkiệmnguyênvật
liệunhấtbằng
3
'3 19
1.
3
h
h

A.
3
500
cm
. B.
3
5
10.
cm
. C.
500
cm
. D.
5
10.
cm
.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Gọi
h
cm
làchiềucaohìnhtrụvà R
cm
làbánkínhnắpđậy.
Tacó:
2
1000VRh
.Suyra
2
1000
h
R
.
Đểnhàsảnxuấttiếtkiệmnguyênvậtliệunhấtthìdiệntíchtoànphần
tp
S
củahìnhtrụnhỏ
nhất.
Tacó:
22
2
1000
22 22.
tp
SRRhRR
R
 

3
22 2
3
1000 1000 1000 1000
2 3. 2 . . 3 2 .1000RR
RR RR



Đẳngthứcxảyrakhivàchỉkhi
2
3
1000 500
2 RR
R

.
Câu18: 󰇛LÝTHÁITỔ‐HN󰇜Giảsửcứsaumộtnămdiệntíchrừngcủanướctagiảm
x
phầntrăm
diệntíchhiệncó.Hỏisau
4
nămdiệntíchrừngcủanướctasẽlàbaonhiêulầndiệntích
hiệnnay?
A.
4
1.
100
x
B.
4
1.
100
x
C.
4
1.
100
x



D.
4
1.
100
x



Hướngdẫngiải
ChọnC
Gọi
0
S
làdiệntíchrừnghiệntại.
Sau
n năm,diệntíchrừngsẽlà
0
1
100
n
x
SS




.
Dođó,sau4nămdiệntíchrừngsẽlà
4
1
100
x



lầndiệntíchrừnghiệntại.
Câu19: 󰇛CHUYÊNPHANBỘICHÂU󰇜Mộtcốcnướchìnhtrụcóchiềucao
9cm
,đườngkính
6cm
.
Mặtđáyphẳngvàdày
1cm
,thànhcốcdày
0,2cm
.Đổvàocốc
120ml
nướcsauđóthảvào
cốc5viênbicóđườngkính
2cm
.Hỏimặtnướctrongcốccáchmépcốcbaonhiêu cm .
󰇛Làmtrònđếnhaichữsốsaudấuphẩy󰇜.
A.
3, 67 cm
. B.
2,67 cm
. C.
3, 28cm
. D.
2,28cm
.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Thànhcốcdày
0,2cm
nênbánkínhđáytrụbằng
2,8cm
.Đáycốcdày
1cm
nênchiềucao
hìnhtrụbằng
8cm
.Thểtíchkhốitrụlà

2
3
. 2,8 .8 197,04
Vcm
.
Đổ
120ml
vàocốc,thểtíchcònlạilà

3
197,04 120 77,04 cm .
Thả5viênbivàocốc,thểtích5viênbibằng
33
4
5. . .1 20,94 ( )
3

bi
Vcm.
Thểtíchcốccònlại
3
77,04 20,94 56,1cm
.
Tacó

2
56,1 '. . 2,8 ' 2,28
hhcm
.
Cáchkhác:Dùngtỉsốthểtích
2
8. 2,8 .
8
5,72
4
120 5. .
3


Tr coc
nuoc bi
nuoc bi nuoc bi nuoc bi
Vh
h
VVh h
Chiềucaocònlạicủatrụlà
85,72 2,28
.
Vậymặtnướctrongcốccáchmépcốclà
2,28cm
.
Câu20: 󰇛CHUYÊNPHANBỘICHÂU󰇜Mộtchiếcxôhìnhnóncụt
đựnghóachấtởphòngthínghiệmcóchiềucao
20 ,cm
đườngkínhhaiđáylầnlượtlà
10cm
và
20cm
.Côgiáo
giaochobạnAnsơnmặtngoàicủaxô󰇛trừđáy󰇜.Tính
diện tíchbạn Anphải sơn 󰇛làm tròn đến hai chữ số
saudấuphẩy󰇜.
A.
2
1942,97 .cm
B.
2
561,25 .cm

C.
2
971,48 .cm D.
2
2107,44 .cm
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Tacó

12

xq
Srrl
Với
1
5r
,
2
10r

 
22
22
21
20 10 5 5 17 lhrr 
Vậy
5 10 5 17 75 17 971,48


xq
S

Câu21: 󰇛CHUYÊNPHANBỘICHÂU󰇜Mộtôtôđangchạyđềuvớivậntốc
15
m/sthìphíatrướcxuất
hiệnchướngngạivậtnênngườiláiđạpphanhgấp.Kểtừthờiđiểmđó,ôtôchuyểnđộng
chậmdầnđềuvớigiatốc
a
2
/ms.Biếtôtôchuyểnđộngthêmđược
20m
thìdừnghẳn.
Hỏi
a thuộckhoảngnàodướiđây.
A.
3; 4
. B.
4;5
. C.
5;6
. D.
6;7
.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Gọi
x
t
làhàmbiểudiễnquãngđường,
vt
làhàmvậntốc.
Tacó:

0
0d
t
vt v a t at
15vt at
.
 
2
00
1
0d 15d 15
2
 

tt
x
tx vtt at t at t

2
1
15
2

x
tatt

Tacó:


2
15 0
0
1
15 20
20
2




at
vt
at t
xt
15 8 45
15 20
238
 tt t a
.
Câu22: 󰇛CHUYÊNPHANBỘICHÂU󰇜Một nguồn âm đẳng hướng đặt tại điểm
O
cócôngsuất
truyềnâmkhôngđổi.Mứccườngđộâmtạiđiểm
M
cách
O
mộtkhoảng
R
đượctínhbởi
côngthức
2
log
M
k
L
R
󰇛Ben󰇜với
k
làhằngsố.Biếtđiểm
O
thuộcđoạnthẳng
A
B vàmức
cườngđộâmtại
A
và B lầnlượtlà
3
A
L
󰇛Ben󰇜và
5
B
L
󰇛Ben󰇜.Tínhmứccườngđộâm
tạitrungđiểm
A
B 󰇛làmtrònđến2chữsốsaudấuphẩy󰇜.
A.
3,59
󰇛Ben󰇜. B.
3, 06
󰇛Ben󰇜. C.
3, 69
󰇛Ben󰇜. D.
4
󰇛Ben󰇜.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Tacó:

AB
L
LOAOB
.
Gọi
I
làtrungđiểm
A
B .Tacó:
22
log 10
10

A
A
L
A
L
kk k
LOA
OA OA

22
log 10
10

B
B
L
B
L
kk k
LOB
OB OB
22
log 10
10

I
I
L
I
L
kk k
LOI
OI OI
Tacó:

1
2
OI OA OB
11111
22
10 10 10 10 10 10

 



IABIAB
LLLLLL
kkk

11 1
2log
2
10 10









AB
I
LL
L
3,69
I
L
.
Câu23: 󰇛CHUYÊNPHANBỘICHÂU󰇜ÔngAnbắtđầuđilàmvớimứclươngkhởiđiểmlà1triệu
đồngmộttháng.Cứsau3nămthìôngAnđượctănglương
40%
.Hỏisautròn20nămđi
làmtổngtiềnlươngôngAnnhậnđượclàbaonhiêu󰇛làmtrònđếnhaichữsốthậpphân
saudấuphẩy󰇜?
A.726,74triệu. B.71674triệu. C.858,72triệu. D.768,37triệu.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Mứclương3nămđầu:1triệu Tổnglương3nămđầu:36.1
Mứclương3nămtiếptheo:
2
1. 1
5



 Tổnglương3nămtiếptheo:
2
36 1
5




Mứclương3nămtiếptheo:
2
2
1. 1
5



 Tổnglương3nămtiếptheo:
2
2
36 1
5




Mứclương3nămtiếptheo:
3
2
1. 1
5



Tổnglương3nămtiếptheo:
3
2
36 1
5



Mứclương3nămtiếptheo:
4
2
1. 1
5



Tổnglương3nămtiếptheo:
4
2
36 1
5



Mứclương3nămtiếptheo:
5
2
1. 1
5



Tổnglương3nămtiếptheo:
5
2
36 1
5



Mứclương2nămtiếptheo:
6
2
1. 1
5



Tổnglương2nămtiếptheo:
6
2
24 1
5



Tổnglươngsautròn20nămlà
256
6
6
22 2 2
36 1 1 1 ... 1 24 1
55 5 5
2
11 1
5
2
36. 24 1 768,37
2
5
11
5

  


  
  


















S
Câu24: 󰇛CHUYÊNPHANBỘICHÂU󰇜Mộtđườngdâyđiệnđượcnốitừmộtnhàmáyđiệnở
A
đến
mộthònđảoở
C
nhưhìnhvẽ.Khoảngcáchtừ
C
đến B là1km.Bờbiểnchạythẳngtừ
A
đến
B vớikhoảngcáchlà 4 km.Tổngchiphílắpđặtcho1kmdâyđiệntrênbiểnlà
40
triệuđồng,còntrênđấtliềnlà
20
triệuđồng.Tínhtổngchiphínhỏnhấtđểhoànthành
côngviệctrên󰇛làmtrònđếnhaichữsốsaudấuphẩy󰇜.
A.
106,25
triệuđồng. B.
120
triệuđồng.
C.
164,92
triệuđồng. D.
114,64
triệuđồng.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Gọi
M
làđiểmtrênđoạn
A
B
đểlắp
đặtđườngdâyđiệnrabiểnnốivới
điểm
C
.
Đặt


2
2
414178,0;4 BM x AM x CM x x x x

Khiđótổngchiphílắpđặtlà:
2
.20 40 8 17 yx x x
đơnvịlàtriệuđồng.

2
22
8172 4
4
20 40. 20.
817 817


 
xx x
x
y
xx xx
.

2
12 3
081724
2
 yxx xx

Tacó
 
12 3
80 20 3 114,64; 0 40 17 164,92; 4 120
3





yyy
.
VậytachọnđápánD.
Câu25: 󰇛SỞGDHÀNỘI󰇜ÔngViệtdựđịnhgửivàongânhàngmộtsốtiềnvớilãisuất
6,5%
một
năm.Biếtrằng,cứsaumỗinămsốtiềnlãiđượcnhậpvàovốnbanđầu.Tínhsốtiềntối
thiểu
x
󰇛triệuđồng,
x
󰇜ôngViệtgửivàongânhàngđểsau3nămsốtiềnlãiđủđể
muamộtchiếcxegắnmáytrịgiá
30
triệuđồng
A.
154
triệuđồng. B.
150
triệuđồng. C.
140
triệuđồng. D.
145
triệuđồng.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Ápdụngcôngthứclãikép:

1
n
n
P
xr

Trongđó
n
P
là
tổnggiátrịđạtđược󰇛vốnvàlãi󰇜
saunkì.
x
làvốngốc, r làlãisuấtmỗikì.
Tacũngtínhđược
sốtiềnlãi
thuđượcsaunkìlà :
 
111
nn
n
Pxx r xx r



󰇛*󰇜
Ápdụngcôngthức󰇛*󰇜với
3, 6, 5%nr
,sốtiềnlãilà30triệuđồng.
Tađược

3
30 1 6,5% 1 144,27



xx

Sốtiềntốithiểulà145triệuđồng.
Câu26: 󰇛SỞGDHÀNỘI󰇜Mộtôtôbắtđầuchuyểnđộngnhanhdầnđềuvớivậntốc
1
() 7vt t
󰇛m/s󰇜.
Điđược
5
󰇛s󰇜,ngườiláixepháthiệnchướngngạivậtvàphanhgấp,ôtôtiếptụcchuyển
độngchậmdầnđềuvớigiatốc
70a 
󰇛m/s
2
󰇜.Tínhquãngđường
S
󰇛m󰇜điđượccủaôtô
từlúcbắtđầuchuyểnbánhchođếnkhidừnghẳn.
A.
95,70S
󰇛m󰇜. B.
87,50S
󰇛m󰇜. C.
94,00S
󰇛m󰇜. D.
96,25S
󰇛m󰇜.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Quãngđườngôtôđiđượctừlúcxelănbánhđếnkhiđượcphanh:
5
55
2
11
00
0
( )d 7 d 7 87,5
2
t
Svtt tt

󰇛m󰇜.
Vậntốc
2
()vt
󰇛m/s󰇜củaôtôtừlúcđượcphanhđếnkhidừnghẳnthoảmãn
2
( ) ( 70)d = 70vt t t C
,
21
(5) (5) 35 385vv C.Vậy
2
() 70t 385vt .
Thờiđiểmxedừnghẳntươngứngvới
t thoảmãn
2
() 0 5,5vt t
󰇛s󰇜.
Quãngđườngôtôđiđượctừlúcxeđượcphanhđếnkhidừnghẳn:
5,5 5,5
21
55
( )d ( 70 385)d 8,75Svtt t t

󰇛m󰇜.
Quãngđườngcầntính
12
96,25SS S
󰇛m󰇜.
Câu27: 󰇛SỞGDHÀNỘI󰇜Mộtcôngtydựkiếnchi
1
tỉđồngđểsảnxuấtcácthùngđựngsơnhình
trụcódungtích
5
lít.Biếtrằngchiphíđểlàmmặtxungquanhcủathùngđólà
100.000
đ/m
2
,chiphíđểlàmmặtđáylà
120.000
đ/m
2
.Hãytínhsốthùngsơntốiđamàcôngtyđó
sảnxuấtđượC.󰇛giảsửchiphíchocácmốinốikhôngđángkể󰇜.
A.
57582
thùng. B.
58135
thùng. C.
18209
thùng. D.
12525
thùng.
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Gọichiềucaohìnhtrụlà
0hh
󰇛m󰇜.
Bánkínhđáyhìnhtrụlà
0xx
󰇛m󰇜.
Thểtíchkhốitrụlà:
2
2
55
1000 1000
Vxh h
x

󰇛m󰇜.
Diệntíchmặtxungquanhlà:
1
2
100
xq
Sxh
x

.
Diệntíchhaiđáylà:
2
2
đ
Sx
Sốtiềncầnlàmmộtthùngsơnlà:
 
2
1000
240000 0fx x x
x

Tacó:
 
2
3
1000 1
480000 0
480
fx x fx x
x


.
Bảngbiếnthiên:
x
0
3
1
480

f
x
0
f
x

17201.05

Vậyvớisốtiền
1
tỉđồngthìcôngtycóthểsảnxuấttốiđalà:
9
10
58135
17201.05
thùng.
Câu28: 󰇛CHUYÊN HÙNGVƯƠNG
–GL󰇜Mộtbìnhđựng
nướcdạnghìnhnón󰇛khôngcónắpđáy󰇜,đựngđầy
nước.Biếtrằngchiềucaocủabìnhgấp3lầnbánkính
đáycủanó.Ngườitathảvàobìnhđómộtkhốitrụvà
đođượcthểtíchnướctràorangoàilà
3
16
()
9
dm
.Biết
rằngmộtmặtcủakhốitrụnằmtrênmặtđáycủahình
nónvàkhốitrụcóchiềucaobằngđườngkínhđáycủa
hìnhnón󰇛nhưhìnhvẽdưới󰇜.Tínhbánkínhđáy
R
của
bìnhnước.
A.
3( ).Rdm
B.
4( ).Rdm
C.
2( ).Rdm
D.
5( ).Rdm
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Gọi ,'hh lầnlượtlàchiềucaocủakhốinónvàkhốitrụ.
,Rrlầnlượtlàbánkínhcủakhốinónvàkhốitrụ.
Theođềtacó:
3,' 2.hRh R

Xéttamgiác
SOA
tacó:
'3 2 1
33
rIM SIhh RR
ROASO h R



1
3
rR
.Talạicó:
23
2
trô
216
'2
999
RR
Vrh R



3
82 .RRdm

Câu29: 󰇛CHUYÊNHÙNGVƯƠNG
–GL󰇜ÔngNamgửi
100
triệuđồngvàongânhàngtheothểthức
lãiképkìhạnmộtnămvớilãisuấtlà
12%
mộtnăm.Sau n nămôngNamrúttoànbộtiền
󰇛cảvốnlẫnlãi󰇜.Tìm
n nguyêndươngnhỏnhấtđểsốtiềnlãinhậnđượchơn
40
triệu
đồng.󰇛Giảsửrằnglãisuấthàngnămkhôngthayđổi󰇜.
A.
5
. B.
2
. C.
4
. D.
3
.
Hướngdẫngiải
ChọnD
Sốtiềnthuđượccảgốclẫnlãisaunnămlà
100(1 0,12)
n
C 
Sốtiềnlãithuđượcsaunnămlà
100(1 0,12) 100
n
L 
1,12
77
100(1 0,12) 100 40 1,12 log 2,9740
5
.
5
nn
nL  
Câu30: 󰇛CHUYÊNHÙNGVƯƠNG
–GL󰇜Mộtchuyếnxebuýtcósứcchứatốiđalà
60
hànhkhách.
Nếumộtchuyếnxebuýtchở
x
hànhkháchthìgiátiềnchomỗihànhkháchlà
2
3
40
x



󰇛USD󰇜.Khẳngđịnhnàosauđâylàkhẳngđịnhđúng?
A.Mộtchuyếnxebuýtthuđượclợinhuậncaonhấtkhicó
45
hànhkhách.
B.Mộtchuyếnxebuýtthuđượclợinhuậncaonhấtbằng
135
󰇛USD󰇜.
C.Mộtchuyếnxebuýtthuđượclợinhuậncaonhấtkhicó
60
hànhkhách.
D.Mộtchuyếnxebuýtthuđượclợinhuậncaonhấtbằng
160
󰇛USD󰇜.
Hướngdẫngiải
ChọnD
Sốtiềnthuđượckhicóxkháchlà
2
() 3
40
x
fx x





Tacó
2
13
'( ) 3 2. 3 3 3 3 3
40 40 40 40 40 20 40 40
x
xxxxxx
fx x
  
  
  
  
120
3
'( ) 0 3 3 0
40
40 40
x
xx
fx
x

 


(40) 160
(60) 135
f
f

Vậy
[0;60]
max ( ) (40) 160
x
fx f
.
Câu31: 󰇛CHUYÊNHÙNGVƯƠNG
–GL󰇜Mộtviênđạnđượcbắntheophươngthẳngđứngvớivận
tốcbanđầu
29,4
/ms
.Giatốctrọngtrườnglà
9,8
2
/ms.Tínhquãngđường
S
viênđạnđi
đượctừlúcbắnlênchođếnkhichạmđất.
A.
88,2 .Sm
B.
88,5 .Sm
C.
88 .Sm
D.
89 .Sm
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Tacócôngthứcliênhệgiữavậntốc,giatốcvàquảngđườngđiđượclà
22
0
2vv as nên
quãngđườngđiđượctừlúcbắnlênđếnkhidừnglạilà
:
22
0
vv s
.
22
2
0
029,4
44,1
2 2.9.8
vv
s
a

Quãngđườngđiđượctừlúcbắnđếnkhichạmđấtlà
44,1.2 88,2Sm
.
Câu32: 󰇛BẮCYÊNTHÀNH󰇜Chomộttấmnhômhìnhchữnhật
A
BCD
có
60
A
Dcm
,
40
A
Bcm
.
Tagậptấmnhômtheohaicạnh
M
N
và
P
Q
vàophíatrongchođếnkhi
A
B
và
DC
trùng
nhaunhưhìnhvẽbênđểdượcmộthìnhlăngtrụkhuyếthaiđáy.Khiđócóthểtạođược
khốilăngtrụvớithểtíchlớnnhấtbằng
A.
4000 3
3
cm B.
2000 3
3
cm C.
400 3
3
cm D.
4000 2
3
cm
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Đáycủalăngtrụlàtamgiáccâncó
cạnhbênbằng
x
,cạnhđáybằng
60 2
x

Đườngcaotamgiácđólà
2
2
60 2
60 900
2
x
AH x x




,
với
H
làtrungđiểm
NP

Diệntíchđáylà
 
11
. 60 900. 30 60 900 900 30 900 30
230
ANP
SS AHNP x x x x x

3
2
1 900
100 3
30 3
Scm





Diệntíchđáylớnnhấtlà
2
100 3cm
nênthểtíchlớnnhấtlà
3
40.100 3 4000 3Vcm .
Câu33: 󰇛BẮCYÊNTHÀNH󰇜ÔngAgửisốtiền
100
triệuđồngvàongânhàngvớilãisuất
7%
trên
năm,biếtrằngnếukhôngrúttiềnrakhỏingânhàngthìcứsaumỗinămsốtiềnlãisẽđược
nhậpvàovốnbanđầu.sauthờigian
10
nămnếukhôngrútlãilầnnàothìsốtiềnmàôngA
nhậnđượctínhcảgốclẫnlãilà
A.
810
10 .(1 0,07)
. B.
810
10 .0,07
. C.
810
10 .(1 0,7)
. D.
810
10 .(1 0,007)
.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Theocôngthứclãikép

1
N
CA r
vớigiảthiết
8
100.000.000 10 ; 7% 0,07 và 10ArN
.
Vậysốtiềnnhậnđược…
810
10 .(1 0,07) ,nênchọnA.
Câu34: 󰇛CHUYÊNLƯƠNGVĂNCHÁNH󰇜Ngườitamuốndùngvậtliệubằngkimloạiđểgòthành
mộtthùnghìnhtrụtrònxoaycóhaiđáyvớithểtích
V
chotrước󰇛haiđáycũngdùng
chínhvậtliệuđó󰇜.Hãyxácđịnhchiềucao
h
vàbánkính R củahìnhtrụtheo
V
đểtốnít
vậtliệunhất.
A.
3
22
2
V
Rh

. B.
22
2
V
Rh

. C.
22
2
V
hR

. D.
3
22
2
V
hR

.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Đểvậtliệutốnítnhấtthìdiệntíchtoànphầncủahìnhtrụnhỏnhất.
Tacó:
2
22
tp
SRRh
.
Do
2
VRh
nên
2
V
h
R
.Suyra
32222
3
2
22. 2 3.2..3.2
tp
VVV VV
SRR R R V
RRR RR

  .
Đẳngthứcxảyrakhi
2
3
2
2
VV
RR
R
 .Khiđó
3
2
2
V
h
.
Câu35: 󰇛BIÊNHÒA
–HÀNAM󰇜Mộtviênphấnbảngcódạngmộtkhốitrụvớibánkínhđáybằng
0,5cm
,chiềudài
6cm
.Ngườitalàmmộthìnhhộpchữnhậtbằngcartonđựngcácviên
phấnđóvớikíchthước
656cm cm cm
.Hỏicầnítnhấtbaonhiêuhộpkíchthướcnhư
trênđểxếp
460
viênphấn?
A.
17
. B.
15
. C.
16
. D.
18
.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
M
A
B
C
H
1
H
2
H
3
Có3cáchxếpphấntheohìnhvẽdướiđây:
Nếu xếp
theohình
1
H
:vìđườngkínhviênphấnlà2.0,5 1cm nênmỗihộpxếpđượctốiđasố
viênphấnlà:
6.5 30
.
Nếuxếptheohình
2
H
:hàng
6
viênxenkẽhàng
5
viên.Gọisốhàngxếpđượclà
1,nn

.
Tacó
Δ
A
BC
đềucạnhbằng1
3
2
CM
.
Taphảicó
38
2.0,5 . 5
2
3
nn
xếptốiđađược
5
hàngmỗihộpxếpđượctối
đasốviênphấnlà:
3.6 2.5 28
.
Nếuxếptheohình
3H
:hàng
5
viênxenkẽhàng
4
viên.Gọisốhàngxếpđượclà
1,mm
 .
Taphảicó
310
2.0,5 . 6
2
3
mm
xếptốiđađược6hàngnênmỗihộpxếp
đượctốiđasốviênphấnlà:
3.5 3.4 27
.
Vậy,xếptheohình
1
H
thìxếpđượcnhiềuphấnnhất,nêncầníthộpnhất.
Tacó
460 :30 15,3
cầnítnhất
16
hộpđểxếphết
460
viênphấn.
Câu36: 󰇛BIÊNHÒA
–HÀNAM󰇜Mộtchấtđiểmđangcuyểnđộngvớivậntốc
0
15 /vms
thìtăng
vậntốcvớigiatốc


22
4/at t tm s .Tínhquãngđườngchấtđiểmđóđiđượctrong
khoảngthờigian
3
giâykểtừlúcbắtđầutăngvậntốc.
A.
68,25m
. B.
70,25m
. C.
69,75m
. D.
67,25m
.
Hướngdẫngiải
ChọnC.


232
1
4d 2
3
vt t t t t t C
.Mà
015 15vC
nên

32
1
215
3
vt t t
 
3
32 4 3 3
0
0
1 1 2 279
2 15 d 15 69,75
31234
St t t t t t t m




.
Câu37: 󰇛BIÊNHÒA
–HÀNAM󰇜Mộtnhàmáycầnthiếtkếmộtchiếcbểđựngnướchìnhtrụbằng
tôncónắp,cóthểtíchlà

3
64 m
.Tìmbánkínhđáyr củahìnhtrụsaochohìnhtrụđược
làmratốnítnhiênliệunhất.
A.

3rm . B.

3
16rm
. C.
3
32rm
. D.
4rm .
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Gọihìnhtrụcóchiềucao
h
,độdàiđườngsinh
l
,bánkínhđáyr .
Tacó:
2
22 2
64 64 64
Vrhh l
rr r

Đểtốnítnhiênliệunhấtthìdiệntíchtoànphầnnhỏnhất.
Tacó:
22
128
2222
tp day xq
SSS r rlr
r

.
Xéthàmsố

2
128
2fr r
r
với
0r
.
Tacó
 
3
2
128
4;032fr r fr r
r


.
Lậpbảngbiếnthiêntacó
f
r đạtGTNNkhi
3
32r
.
Câu38: 󰇛BIÊNHÒA
–HÀNAM󰇜Mộtngườithả1lábèovàomộtcáiao,sau12giờthìbèosinhsôi
phủkínmặtao.Hỏisaumấygiờthìbèophủkín
1
5
mặtao,biếtrằngsaumỗigiờthìlượng
bèotănggấp10lầnlượngbèotrướcđóvàtốcđộtăngkhôngđổi.
A.
12 log5
󰇛giờ󰇜. B.
12
5
󰇛giờ󰇜. C.
12 log 2
󰇛giờ󰇜. D.
12 ln5
󰇛giờ󰇜.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Tagọi
i
u
làsốlábèoởgiờthứ
.i

Tacó
0212
012 12
1 10 , 10, 10 ,....., 10 .uuu u 
Tacósốlábèođểphủkín
1
5
mặthồlà
12
1
.10
5
thờigianmàsốlábèophủkín
1
5
mặthồ
là
12 log5.

Câu39:
󰇛SỞBÌNHPHƯỚC󰇜Mộtngườinuôicáthìnghiệmtronghồ.Ngườiđóthấyrằngnếumỗi
đơnvịdiệntíchcủamặthồcó
n concáthìtrungbìnhmỗiconcásaumộtvụcânnặng
480 20
P
nn
g
am .Hỏiphảithảbaonhiêucátrênmộtđơnvịdiệntíchcủamặthồđể
saumộtvụthuhoạchđượcnhiềucánhất?
A.
12.
 B.
14.
C.
10.
D.
18.
 Hướngdẫngiải
ChọnA.
Cách1:Thếđápán:
Sốcátrênmỗiđơn
v
ịdiệntích
12 14 10 18
Sốcânnặng:
2880 2800 2800 2160

480 20 ( )n n gam
Cách 2: Số cân nặng của
n
con cá là:
22
( ) 480 20 20 480 20( 12) 2880 2880fn nn n n n
Vậygiátrịlớnnhấtcủa
()
f
n
là
2880
đạtđượckhi
12n
.
Chúý:hàm
f
nhưmộthàmsốtheobiếnsốthực,chứkhôngphảibiếnsốnguyên
dương
Câu40:
󰇛SỞBÌNHPHƯỚC󰇜Mộtkhốicầucóbánkínhlà
5 dm
,
ngườitacắtbỏhaiphầncủakhốicầubằnghaimặt
phẳngsongsongcùngvuônggócđườngkínhvàcáchtâm
mộtkhoảng
3 dm đểlàmmộtchiếcluđựngnước󰇛như
hìnhvẽ󰇜.Tínhthểtíchmàchiếcluchứađược.
A.

3
100
3
dm
B.

3
43
3
dm
C.

3
41 dm
D.
3
132 dm
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Cách1:Trênhệtrụctọađộ
Oxy ,xétđườngtròn
22
():( 5) 25Cx y
.Tathấynếucho
nửatrêntrục
Ox
của
C quayquanhtrục
Ox
tađượcmặtcầubánkínhbằng5.Nếucho
hình phẳng
H giới hạn bởi nửa trên trục
Ox
của
C , trục
Ox
, hai đường thẳng
0, 2xx
quayxungquanhtrục
Ox
tasẽđượckhốitrònxoaychínhlàphầncắtđicủa
khốicầutrongđềbài.
Tacó
22 2
(5) 25 25(5)xy y x
Nửatrêntrục
Ox
của
C
cóphươngtrình
22
25 ( 5) 10yx xx
Thểtíchvậtthểtrònxoaykhicho
H
quayquanh
Ox
là:

2
2
3
22
1
0
0
52
10 d 5
33
x
Vxxxx





Thểtíchkhốicầulà:
3
2
4 500
V.5
33

Thểtíchcầntìm:

3
21
500 52
2 2. 132
33
VV V dm

Câu41: 󰇛SỞBÌNHPHƯỚC󰇜Sựtăngtrưởngcủamộtloạivikhuẩntuântheocôngthức .
rt
SAe ,
trongđó
A
làsốlượngvikhuẩnbanđầu,
r
làtỉlệtăngtrưởng,t
làthờigiantăngtrưởng.
Biếtrằngsốlượngvikhuẩnbanđầulà
100
convàsau
5
giờcó
300
con.Hỏisốconvi
khuẩnsau
10
giờ ?
A.
1000
. B.
850
. C.
800
. D.
900
.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Trướctiên,tatìmtỉlệtăngtrưởngmỗigiờcủaloạivikhuẩnnày.
Từgiảthiếttacó:
5
ln 300 ln100 ln 3
300 100.
55
r
er

Tứctỉlệtăngtrưởngcủaloạivikhuẩnnàylà
ln3
5
r
mỗigiờ.
Sau
10 giờ,từ 100 convikhuẩnsẽcó
ln3
10.
5
100. 900e con.
Câu42:
󰇛CHUYÊNPHANBỘICHÂU󰇜Mộtmiếngbìahìnhtamgiácđều
A
BC
, cạnh bằng
16
. Học sinh Trang cắt một hình chữ nhật
NPQ
từmiếngbìatrênđểlàmbiểntrôngxecholớptrong
buổi ngoại khóa 󰇛với
,
M
N
thuộccạnh
B
C
;
P
,
Q
lầnlượt
thuộccạnh
A
C
và
A
B 󰇜.Diệntíchhìnhchữnhật
M
NPQ lớn
nhấtbằngbaonhiêu?
A.
16 3.
B.
83.
 C.
32 3.
D.
34 3.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Đặt

16
,0 16
2
x
MN x x BM


3
tan60 16
2
QM
QM x
BM

Xéthàmsố
 

2
33
16 16 max 32 3
22
Sx x x x x S
khi
8x
.
Câu43: 󰇛CHUYÊN ĐHSP HN󰇜 Một đám vi trùng tại ngày thứ
t cósốlượng
()Nt
, biết rằng
7000
()
2
Nt
t
vàlúcđầuđámvitrùngcó
300000
con.Sau10ngày,đámvitrùngcókhoảng
baonhiêucon?
A.
302542
con. B.
322542
con. C.
312542
con. D.
332542
con.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Tacó
7000
( ) ( )d d 7000ln | 2 |
2
Nt N t t t t C
t



Do
(0) 300000 300000 7000ln 2NC

Khiđó
(10) 7000ln12 300000 7000ln 2 312542N 
.ChọnC
Câu44: 󰇛CHUYÊNĐHSPHN󰇜Chuyệnkểrằng:Ngàyxưa,cóôngvuahứasẽthưởngchomộtvị
quanmónquàmàvịquanđượcchọn.Vịquantâu:“HạthầnchỉxinBệHạthưởngchomột
sốhạtthócthôiạ!Cụthểnhưsau:Bàncờvuacó64ôthìvớiôthứnhấtxinnhận1hạt,ô
thứ2thìgấpđôiôđầu,ôthứ3thìlạigấpđôiôthứ2,…ôsaunhậnsốhạtthócgấpđôi
phầnthưởngdànhchoôliềntrước”.Giátrịnhỏnhấtcủa
n
đểtổngsốhạtthócmàvịquan
từ
n
ôđầutiên󰇛từôthứnhấtđếnôthứ
n
󰇜lớnhơn1triệulà
A.18. B.19. C.20. D.21.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Bàitoándùngtổngnsốhạngđầutiêncủamộtcấpsốnhân.
Tacó:
21
12
21
... 1 1.2 1.2 ... 1.2 1. 2 1
21
n
nn
nn
Suu u



66
2
2 1 10 log 10 1 19.93.
n
n
Sn
Vậynnhỏnhấtthỏayêucầubàilà20.
Câu45: 󰇛CHUYÊNĐHSPHN󰇜Mộtngườigửingânhàng100triệuđồngtheohìnhthứclãikép,lãi
suấtmộttháng󰇛kểtừthángthứ2,tiềnlãiđượctínhtheophầntrămtổngtiềncóđược
củathángtrướcđóvàtiềnlãicủathángtrướcđó󰇜.Sauítnhấtbaonhiêutháng,ngườiđó
cónhiềuhơn125triệu.
A.
45
tháng. B.
47
tháng. C.
44
tháng. D.
46
tháng.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Ápdụngcôngthứclãiképgửi1lần:

1
n
NA r
,Với
6
100.10A và
0
0
0,5r
.
Theođềbàitatìmnbénhấtsaocho:

86
10 1 0,5% 125.10
n


5
10,5%
4
n

201
200
5
log 44,74
4
n
Câu46: 󰇛PHANĐÌNHPHÙNG
–HN󰇜Áp suất không khí
P
󰇛đobằngmilimetthủyngân,kíhiệu
mmHg󰇜 tại độ cao
x
󰇛đobằngmét󰇜sovớimựcnướcbiểnđượctínhtheocôngthức
0
x
l
P
Pe ,trongđó
0
760P mmHglàápsuấtkhôngkhíởmứcnướcbiển,
l
làhệsốsuy
giảm.Biếtrằngởđộcao
1000
métthìápsuấtkhôngkhílà
672,71
mmHg.Hỏiápsuấtở
đỉnhFanxipancaométlàbaonhiêu?
A.
22,24 mmHg. B.519,58mmHg.
C.
517,94
mmHg. D.
530,23
mmHg.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Ởđộcao
1000
métápsuấtkhôngkhílà
672,71
mmHg
Nên
1000
672,71 760
l
e
1000
672,71
760
l
e
1 672,71
ln
1000 760
l
ÁpsuấtởđỉnhFanxipan
1 672,71
3143. ln
3143
1000 760
760 760 717,94
l
Pe e
Câu47: 󰇛CHUYÊNĐHVINH󰇜Tạimộtnơikhôngcógió,mộtchiếckhícầuđangđứngyênởđộcao
162󰇛mét󰇜sovớimặtđấtđãđượcphicôngcàiđặtchonóchếđộchuyểnđộngđixuống.
Biếtrằng,khícầuđãchuyểnđộngtheophươngthẳngđứngvớivậntốctuântheoquyluật
2
10vt t t
,trongđót 󰇛phút󰇜làthờigiantínhtừlúcbắtđầuchuyểnđộng,
vt
được
tínhtheođơnvịmét/phút󰇛
/mp
󰇜.Nếunhưvậythìkhibắtđầutiếpđấtvậntốc
v
củakhí
cầulà
A.
5/vmp
. B.

7/vmp
. C.
9/vmp
. D.
3/vmp
.
Hướngdẫngiải
Đápán:C.
Gọithờiđiểmkhícầubắtđầuchuyểnđộnglà
0t
,thờiđiểmkhinhkhícầubắtđầutiếpđất
là
1
t
.
Quãngđườngkhícầuđiđượctừthờiđiểm
0t
đếnthờiđiểmkhinhkhícầubắtđầutiếp
đấtlà
1
t
là

1
3
22
1
1
0
10 d 5 162
3
t
t
tt t t
493 1093 9t,t,t
Do
00 10vt t nênchọn
9t
.
Vậykhibắtđầutiếpđấtvậntốc
v
củakhícầulà
2
910.99 9/vmp
Câu48: 󰇛CHUYÊNĐHVINH󰇜Trongnôngnghiệpbèohoadâuđượcdùnglàmphânbón,nórấttốt
chocâytrồng.MớiđâycácnhàkhoahọcViệtNamđãpháthiệnrabèohoadâucóthể
dùngđểchiếtxuấtrachấtcótácdụngkíchthíchhệmiễndịchvàhỗtrợđiềutrịbệnhung
thư.Bèohoadâuđượcthảnuôitrênmặtnước.Mộtngườiđãthảmộtlượngbèohoadâu
chiếm
4%
diệntíchmặthồ.Biếtrằngcứsauđúngmộttuầnbèopháttriểnthành3lầnsố
lượngđãcóvàtốcđộpháttriểncủabèoởmọithờiđiểmnhưnhau.Saubaonhiêungày
bèosẽvừaphủkínmặthồ?
A.
3
7log25
. B.
25
7
3 . C.
24
7
3
. D.
3
7 log 24
.
Hướngdẫngiải
Đápán:A.
23 cm
5 cm
Theođềbàisốlượngbèobanđầuchiếm
0,04
diệntíchmặthồ.
Sau7ngàysốlượngbèolà
1
0,04 3
diệntíchmặthồ.
Sau14ngàysốlượngbèolà
2
0,04 3 diệntíchmặthồ.
…
Sau
7 n ngàysốlượngbèolà
0,04 3
n
diệntíchmặthồ.
Đểbèophủkínmặthồthì
3
0,04 3 1 3 25 log 25
nn
n .
Vậysau
3
7log25
ngàythìbèovừaphủkínmặthồ.
Câu49: 󰇛CHUYÊNNGUYỄNQUANGDIỆU󰇜Mộtôtôđangchạyvớivậntốc
19 /ms
thìngườiláihãm
phanh,ôtôchuyểnđộngchậmdầnđềuvớivậntốc

38 19 / ,vt t m s trongđót là
khoảngthờigiantínhbằnggiâykểtừlúcbắtđầuhãmphanh.Hỏitừlúchãmphanhđến
khidừnghẳn,ôtôcòndichuyểnbaonhiêumét?
A.
4,75 .m
B.
4,5 .m
C.
4, 25 .m
D.
5.m
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Tacóthờigianôtôbắtđầuhãmphanhđếnkhidừnghẳnlà:

1
38 19 0
2
tts .
Trongkhoảngthờigiannàyôtôdichuyểnmộtđoạnđường:


 
1
1
2
2
2
0
0
19
38 19 d 19 19 4,75
4
s
tx tt m m
.
Câu50: 󰇛CHUYÊNNGUYỄNQUANGDIỆU󰇜Mộtcáitụclănsơnnướccó
dạngmộthìnhtrụ.Đườngkínhcủađườngtrònđáylà
5cm
,
chiềudàilănlà
23cm
󰇛hìnhbên󰇜.Saukhilăntrọn
15
vòng
thìtrụclăntạonênsânphẳngmộtdiệndiệntíchlà
A.
2
1725 .cm
B.
2
3450 .cm
C.
2
1725 .cm
D.
2
862,5 .cm
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Diệntíchxungquanhcủamặttrụlà
2
2 2 .5.23 230
xq
SRl cm


.
Saukhilăn15vòngthìdiệntíchphầnsơnđượclà:
2
230 .15 3450Scm

 .
Câu51: 󰇛NGÔSĨLIÊN󰇜Mộtngườiláixeôtôđangchạyvớivậntốc
20 /ms
thìngườiláixepháthiện
cóhàngràongănđườngởphíatrướccách
45m
󰇛tínhtừvịtríđầuxeđếnhàngrào󰇜vìvậy,
người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó xe chuyển động chậm dầnđềuvớivậntốc

520vt t
󰇛
/ms
󰇜,trongđó t làkhoảngthờigiantínhbằnggiây,kểtừlúcbắtđầuđạp
phanh.Hỏitừlúcđạpphanhđếnkhidừnghẳn,xeôtôcòncáchhàngràongăncáchbao
nhiêumét󰇛tínhtừvịtríđầuxeđếnhàngrào󰇜?
A.
5 m
. B.
4 m
. C.
6 m
. D.
3 m
.
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Xeđangchạyvớivậntốc
20 /vms tươngứngvớithờiđiểm

0ts 
Xeđừnglạitươngứngvớithờiđiểm

4ts
.
Quảngđườngxeđãđilà
 
4
4
2
0
0
5
5 20 d 20 40
2
Stttt m




.
Vậyôtôcáchhàngràomộtđoạn
45 40 5 m .
Câu52: 󰇛NGÔSĨLIÊN󰇜Biếtthểtíchkhí
2
CO
năm1998là
3
Vm .
10
nămtiếptheo,thểtích
2
CO
tăng
%a
,
10
nămtiếptheonữa,thểtích
2
CO
tăng
%n
.Thểtíchkhí
2
CO
năm
2016
là
A.


10 8
3
2016
36
100 . 100
..
10
an
VV m

B.

18
3
2016
.1 .VVanm
C.



10
3
2016
20
100 100
..
10
an
VV m

D.

18
3
2016
.1 .VVVanm
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Tacó:
Sau10nămthểtíchkhí
2
CO
là

10
10
2008
20
100
1
100 10
a
a
VV V





Dođó,8nămtiếptheothểtíchkhí
2
CO
là

10
88
2016 2008
20
10 8 10 8
20 16 36
100
11
100 10 100
100 100 100 . 100
10 10 10
a
nn
VV V
an an
VV
 

 
 


Câu53: 󰇛NGÔSĨLIÊN󰇜Chotamgiácđềuvàhìnhvuôngcùngcócạnhbằng
4
đượcxếpchồnglênnhau saochomột đỉnhcủatamgiác đều
trùngvớitâmcủahìnhvuông,trụccủatamgiácđềutrùngvớitrục
củahìnhvuông󰇛nhưhìnhvẽ󰇜.Thểtíchcủavậtthểtrònxoaysinh
bởihìnhđãchokhiquayquanhtrục
A
B
là
A.

136 24 3
.
9
B.
48 7 3
.
3

C.

128 24 3
.
9
D.

144 24 3
.
9
Hướngdẫngiải
ChọnD
h
R
'
R
H
C
A
K
KhixoayquanhtrụcABthì:
PhầnhìnhvuôngphíatrêntrởthànhlăngtrụcóbánkínhR2,chiềucaoh4
2
1
2.4 16V


Phầndướitrởthànhhìnhnóncụtvới
23 2 2 3 1hHK AKAH ; 2R 
'21 2
'
23 3 3 3
RAH R
R
RAK


Ápdụng

22
24 3 8
' ' ...
1
3
...
9
hR RVRR




Vậy
12
24 3 136
9
VVV





.ĐápánlàcâuD
Câu54: 󰇛NGÔSĨLIÊN󰇜Mộtngọnhảiđăngđặtởvịtrí
A
cách
bờ
5km
,trênbờbiểncómộtkhohàngởvịtrí
C
cách
B
mộtkhoảng
7km
.Ngườicanhhảiđăngcóthểchèo
thuyềntừ
A
đến
M
trênbờbiểnvớivậntốc
4/km h
rồiđibộtừ
M
đến
C
vớivậntốc
6/km h
.Xácđịnhđộ
dàiđoạn
BM
đểngườiđóđitừ
A
đếnCnhanhnhất.
A.
32 .km  B.
7
.
3
km
 C.
25km. D.
7
.
2
km
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Gọi
BM x
km
,
07x
.Khiđó:
2
25
A
Mxvà
7
M
Cx
Theođềbàitacó:

2
25 7
46
x
x
fx



2
2
3225
425
x
x
fx
x

Cho

2
2
0
0
0225 3 25
20
25
x
x
fx x x x
x
x



Khiđó:

29
0
12
f
,

74
7
4
f
và

14 5
25
12
f
Vậy



0;7
14 5
min 2 5
12
x
fx f

.
Câu55: 󰇛CHUYÊNTHÁIBÌNH󰇜BạnAcómộtđoạndâydài
20m
.Bạnchiađoạndâythànhhaiphần.
Phầnđầuuốnthànhmộttamgiácđều.Phầncònlạiuốnthànhmộthìnhvuông.Hỏiđộdài
phầnđầubằngbaonhiêuđểtổngdiệntíchhaihìnhtrênlànhỏnhất?
A.
40
.
943
m
B.
180
.
943
m
C.
120
.
943
m
D.
60
.
943
m
Hướngdẫngiải
ChọnB.
BạnAchiasợidâythànhhaiphầncóđộdài
x
m
và
20
x
m
,
020x
󰇛nhưhìnhvẽ󰇜.
Phầnđầuuốnthànhtamgiácđềucócạnh

3
x
m
,diệntích

2
2
2
1
33
.
34 36
xx
Sm




Phầncònlạiuốnthànhhìnhvuôngcócạnh

20
4
x
m
,diệntích

2
2
2
20
4
x
Sm



Tổngdiệntíchhaihìnhnhỏnhấtkhi

2
2
320
36 4
x
x
fx




nhỏnhấttrênkhoảng
0; 20
.
Tacó:

320 180
'0
18 8
43 9
xx
fx x

.
Bảngbiếnthiên:
x
0
180
43 9
20
f
x
0 
f
x



Dựavàobảngbiếnthiêntađược
180
43 9
x
.
Câu56: 󰇛CHUYÊNTHÁIBÌNH󰇜Mộtquảbóngbànvàmộtchiếcchénhìnhtrụcócùngchiềucao.
Ngườitađặtquảbónglênchiếcchénthấyphầnởngoàicủaquảbóngcóchiềucaobằng
3
4
chiềucaocủanó.Gọi
1
V
,
2
V
lầnlượtlàthểtíchcủaquảbóngvàchiếcchén,khiđó:
A.
12
98VV . B.
12
32VV . C.
12
16 9VV . D.
12
27 8VV .
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Gọi
1
r
làbánkínhquảbóng,
2
r
làbánkínhchiếcchén,
h
làchiềucaochiếcchén.
Theogiảthiếttacó
11
22hrr h
và
1
24
r
h
OO

.
Tacó
22
22
2
3
2416
hh
rh
 

 
 
.
Thểtíchcủaquảbónglà
3
33
11
44 1
3326
h
Vr h






và thể tích của chén nước là
23
22
3
.
16
VBh rh h

1
2
8
.
9
V
V

Câu57: 󰇛CHUYÊNTHÁIBÌNH󰇜Xétmộthộpbóngbàncódạnghìnhhộpchữnhật.Biếtrằnghộp
chứavừakhítbaquảbóngbànđượcxếptheochiềudọc,cácquảbóngbàncókíchthước
nhưnhau.Phầnkhônggiancòntrốngtronghộpchiếm:
A.
65,09% . B. 47,64% . C.82,55% . D.83,3% .
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Gọiđườngkínhquảbóngbànlà
d .Khiđókíchthướccủahìnhhộpchữnhậtlà
,,3dd d
.
Vậythểtíchcủahìnhhộpchữnhậtlà
3
1
..3 3Vddd d
Thểtíchcủabaquảbóngbàn:
33
3
2
4
34
382
dd
Vr


.
Thểtíchphầnkhônggiancòntrống:
312
VVV

Phầnkhônggiancòntrốngtronghộpchiếm:
3
3
3
3
1
33
22
47,64%
33
d
d
V
Vd



.
Câu58: 󰇛CHUYÊNTHÁIBÌNH󰇜Mộtbểnướccódungtích
1000
lít.Ngườitamởvòichonướcchảy
vàobể,banđầubểcạnnước.Tronggiờđầuvậntốcnướcchảyvàobểlà1lít/1phút.Trong
cácgiờtiếptheovậntốcnướcchảygiờsaugấpđôigiờliềntrước.Hỏisaukhoảngthời
gianbaolâuthìbểđầynước󰇛kếtquảgầnđúngnhất󰇜.
A.
3,14
giờ. B.
4,64
giờ. C.4,14giờ. D.
3, 64
giờ.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Tronggiờđầutiên,vòinướcchảyđược
60.1 60
lítnước.
Giờthứ2vòichảyvớivậntốc2lít/1phútnênvòichảyđược
60 2 120
lítnước.
Giờthứ3vòichảyvớivậntốc4lít/1phútnênvòichảyđược
60 4 240
lítnước.
Giờthứ4vòichảyvớivậntốc8lít/1phútnênvòichảyđược
60 8 480
lítnước.
r
R
D
C
A
B
R
=5
r
=2
M
C
F
B
E
Trong4giờđầutiên,vòichảyđược:
60 120 240 480 900
lítnước.
Vậytronggiờthứ5vòiphảichảylượngnướclà
1000 900 100
lítnước.
Sốphútchảytronggiờthứ5là
100 :16 6,25
phút
Đổi
6, 25 : 60 0,1
giờ
Vậythờigianchảyđầybểlàkhoảng
4,1
giờ.
Câu59: 󰇛CHUYÊNTHÁIBÌNH󰇜Mộtvậtchuyểnđộngchậmdầnvớivậntốc
( ) 160 10 ( / ).vt t m s
Tìmquãngđường
S
màvậtdichuyểntrongkhoảngthờigiantừthờiđiểm 0( )ts đến
thờiđiểmvậtdừnglại.
A.
2560 .Sm
B.
1280 .Sm
C.
2480 .Sm
D.
3840 .Sm
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Tacó,vậtdừnglạikhi

() 0 160 10 0 16vt t t s 
.
Khiđó,quãngđường
S
màvậtdichuyểntrongkhoảngthờigiantừthờiđiểm
0( )ts
đến
thờiđiểmvậtdừnglạilà

16
0
160 10 1280 .Stdtm

Câu60: 󰇛SỞGDBẮCNINH󰇜Phầnkhônggianbêntrongcủachainướcngọtcóhình
dạngnhưhìnhbên.Biếtbánkínhđáybằng
5,
R
cm
bánkínhcổ
2, 3,rcmABcm 6,
B
Ccm
16 .CD cm
Thểtíchphầnkhônggianbêntrong
củachainướcngọtđóbằng:
A.

3
495 cm
. B.

3
462 cm
.
C.

3
490 cm
. D.

3
412 cm
.
Hướngdẫngiải
Thểtíchkhốitrụcóđườngcao
CD
:
23
1
.400VRCD cm


.
Thểtíchkhốitrụcóđườngcao
A
B :

23
2
.12VrAB cm


.
Tacó
5
4
2
MC CF
MB
M
BBE


Thểtíchphầngiớihạngiữa
B
C
:

22 3
3
..78
3
VRMCrMB cm

.
Suyra:
3
123
490VVV V cm

.
ChọnC
Câu61: 󰇛SỞGDBẮCNINH󰇜Mộtcôngtysảnxuấtgỗmuốnthiếtkếcácthùngđựnghàngbêntrong
dạnghìnhlăngtrụtứgiácđềukhôngnắpcóthểtíchlà
2
62,5dm
.Đểtiếtkiệmvậtliệulàm
thùng,ngườitacầnthiếtkếthùngsaochocótổng
S
diệntíchxungquanhvàdiệntích
mặtđáylànhỏnhất,
S
bằng
A.
2
106,25dm
. B.
2
75dm . C.
2
50 5dm
. D.
2
125dm .
I
M
P
N
Q
S
B
A
O
Hướngdẫngiải
Gọi
a làđộdàicạnhđáycủahìnhlăngtrụ.
Theobàitacóchiềucaocủalăngtrụlà
2
62,5
a
.Suyra
22 2 2
3
2
62.5 250 125 125 125 125
4. . 3 . . 75Saaaaa
aaaaaa

.Dấubằngxảyrakhi
3
125 5a .Vậy
S
lànhỏnhấtbằng
75
.
ChọnđápánB
Câu62: 󰇛SỞGDBẮCNINH󰇜Chobiếtsựtăngdânsốđượcướctínhtheocôngthức
.
.
Nr
SAe
󰇛trong
đó
A
làdânsốcủanămlấylàmmốctính,
S
làdânsốsau
N
năm,
r
làtỉlệtăngdânsố
hàngnăm󰇜.Đầunăm2010dânsốtỉnhBắcNinhlà1.038.229người,tínhđếnđầunăm
2015dânsốcủatỉnhlà1.153.600người.Hỏinếutỉlệtăngdânsốhàngnămgiữnguyên
thìđầunăm2025dânsốcủatỉnhnằmtrongkhoảngnào?
A.
1.424.300;1.424.400
. B.
1.424.000;1.424.100
.
C.
1.424.200;1.424.300 . D.
1.424.100;1.424.200 .
Hướngdẫngiải
Gọi
1
S
làdânsốnăm2015,tacó
1
1.153.600, 5, 1.038.229SNA
Tacó:
1
..
1
1
ln
.
5
Nr Nr
S
S
A
SAe e r
A

Gọi
2
S
làdânsốđầunăm2025,tacó
ln
15.
15.
5
2
. 1.038.229. 1.424.227,71
S
A
r
SAe e
ChọnđápánC
Câu63: 󰇛QUẢNG XƯƠNG I󰇜 Mộtbìnhđựngnướcdạnghìnhnón󰇛khôngđáy󰇜
đựngđầynước.Biếtrằngchiềucaocủabìnhgấp3lầnbánkínhđáy
củanó.Ngườitathảvàođómộtkhốitrụvàđodượcthểtíchnước
trànrangoàilà
3
16
9
dm
.Biếtrằngmộtmặtcủakhốitrụnằmtrênmặt
trêncủahìnhnón,cácđiểmtrên đườngtrònđáy cònlạiđềuthuộccác
đườngsinhcủahìnhnón󰇛nhưhìnhvẽ󰇜vàkhốitrụcóchiềucaobằng
đườngkínhđáycủahìnhnón.Diệntíchxungquanh
x
q
S
củabìnhnướclà:
A.
2
910
2
xq
Sdm
. B.
2
410
xq
Sdm
. C.
2
4
xq
Sdm
. D.
2
3
2
xq
Sdm
.
Hướngdẫngiải
ChọnB
6m
O
Xéthìnhnón:
3hSO r
, ,rOBlSA.Xéthìnhtrụ:
1
2hrNQ
,
1
rONQI

SQI SBO
1
1
33
QI SI r
r
BO SO

Thểtíchkhốitrụlà:
3
2
11
216
26
99
t
r
Vrh r h


22
210lhr
2
410
xq
Srl dm



Câu64: 󰇛QUẢNGXƯƠNGI󰇜Mộtmảnhvườnhìnhtròntâm
O
bánkính
6m
.
Ngườitacầntrồngcâytrêndảiđấtrộng
6m
nhận
O
làmtâmđối
xứng, biết kinh phí trồng cây là
70000
đồng
2
/ m
. Hỏi cần bao
nhiêutiền đểtrồngcâytrêndảiđấtđó󰇛sốtiềnđượclàmtròn
đếnhàngđơnvị󰇜
A.
8412322 đồng. B.8142232 đồng.
C.
4821232 đồng. D.4821322 đồng.
Hướngdẫngiải
ChọnD
Xéthệtrụctọađộoxyđặtvàotâmkhuvườn,khiđóphươngtrìnhđườngtròntâmOlà
22
xy 36
.Khiđóphầnnửacungtrònphíatrêntrục
Ox
cóphươngtrình
2
36 (x)
y
x
f


KhiđódiệntíchScủamảnhđấtbằng2lầndiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởitrụchoành,đồthị
(x)yf vàhaiđườngthẳng 3; 3xx 
3
2
3
236xdxS


Đặt
6sin 6cos
x
tdx tdt
.Đổicận: 3
6
xt
  ; 3
6
xt

6
66
2
66
6
2 36cos 36 (cos2t+1)dt 18(sin 2 t 2 t) 18 3 12Stdt






Dođósốtiềncầndùnglà
70000. 4821322S
đồng
Câu65: 󰇛QUẢNGXƯƠNGI󰇜BạnHùngtrúngtuyểnvàotrườngđạihọc
A
nhưngvìdokhôngđủnộp
họcphínênHùngquyếtđịnhvayngânhàngtrong4nămmỗinămvay
3.000.000
đồngđể
nộphọcphívớilãisuất3%/năm.SaukhitốtnghiệpđạihọcbạnHùngphảitrảgóphàng
thángsốtiền
T
󰇛khôngđổi󰇜cùngvớilãisuất0,25%/thángtrongvòng5năm.Sốtiền
T
hàngthángmàbạnHùngphảitrảchongânhàng󰇛làmtrònđếnkếtquảhàngđơnvị󰇜là:
A.
232518
đồng. B.
309604
đồng. C.
215456
đồng. D.
232289
đồng.
Hướngdẫngiải
Chọn đápánD
Vậysau4nămbạnHùngnợngânhàngsốtiềnlà:

432
3000000 3% 3% 3% 12927407,43s

   


LúcnàytacoinhưbạnHùngnợngânhàngkhoảntiềnbanđầulà
12.927.407,43
đồng,
sốtiềnnàybắtđầuđượctínhlãivàđượctrảgóptrong5năm.
Tacócôngthức:




60
60
. 12927407,4 0,0025 .0,0025
232289
0,0025
n
n
Nrr
r
 

   
Câu66: 󰇛QUẢNGXƯƠNGI󰇜Khicắtmặtcầu
, SOR
bởimộtmặtkính,tađượchainửamặtcầu
vàhìnhtrònlớncủamặtkínhđógọilàmặtđáycủamỗinửamặtcầu.Mộthìnhtrụgọilà
nộitiếpnửamặtcầu
, SOR
nếumộtđáycủahìnhtrụnằmtrongđáycủanửamặtcầu,
cònđườngtrònđáykialàgiaotuyếncủahìnhtrụvớinửamặtcầu.Biết
1
R
,tínhbán
kínhđáy
r
vàchiềucao h củahìnhtrụnộitiếpnửamặtcầu
, SORđểkhốitrụcóthể
tíchlớnnhất.
A.
36
,
22
rh
. B.
63
,
22
rh
. C.
63
,
33
rh
. D.
36
,
33
rh
.
Hướngdẫngiải
Chọn đápánC.
Hìnhtrụnộitiếpnửamặtcầu,nêntheogiảthiếtđườngtrònđáy
trêncótâmO'cóhìnhchiếucủaOxuốngmặtđáy󰇛O'󰇜.Suyrahình
trụvànửamặtcầucùngchungtrụcđốixứngvàtâmcủađáydưới
hìnhtrụtrùngvớitâmOcủanửamặtcầu.Tacó:
22 2
hr R
01hR
22
1rh
Thể tích khối trụ là:
22
(1 h ) h (h)Vrh f


2
3
'(h) (1 3 h ) 0 h
3
f


h
0

3
3

1
f'(h)
0
f(h)

23
9

0

0
Vậy:
0;1
23
9
MaxV
󰇛đvtt󰇜khi
6
3
r
và
3
3
h
Câu67: 󰇛LƯƠNGĐẮCBẰNG󰇜BạnAmuốnlàmmộtchiếcthùnghìnhtrụkhôngđáytừnguyênliệu
làmảnhtônhìnhtamgiácđều
A
BC
cócạnhbằng
90 cm .Bạnmuốncắtmảnhtônhình
chữnhật
M
NPQ từmảnhtônnguyênliệu󰇛với
M
,
N
thuộccạnh
B
C
;
P
vàQ tương
ứngthuộccạnh
A
C
và
A
B
󰇜đểtạothànhhìnhtrụcóchiềucaobằng
M
Q
.Thểtíchlớn
nhấtcủachiếcthùngmàbạnAcóthểlàmđượclà:
A.

3
91125
4
cm
. B.

3
91125
2
cm
.
C.

3
108000 3
cm
. D.

3
13500. 3
cm
.
Hướngdẫngiải
GọiIlàtrungđiểmBC.SuyraIlàtrungđiểmMN
ĐặtMNx󰇛
090x
󰇜;
3
(90 )
2
MQ BM
M
Qx
A
IBI


GọiRlàbánkínhcủatrụ
2
x
R

232
33
() (90) ( 90)
22 8
T
x
Vxxx


Xét
32
3
() ( 90 )
8
f
xxx
 với090x .Khiđó:
(0;90)
13500. 3
max ( )
x
fx
khix60.
Câu68: 󰇛CHUYÊNVĨNHPHÚC󰇜Mộtngườigửitiếtkiệmngânhàng,mỗithánggửi1triệuđồng,với
lãisuấtkép1%trêntháng.Gửiđượchainăm3thángngườiđócócôngviệcnênđãrút
toànbộgốcvàlãivề.Sốtiềnngườiđóđượcrútlà
A.

27
101. 1,01 1


triệuđồng B.

26
101. 1,01 1


triệuđồng
C.

27
100. 1,01 1


triệuđồng D.
100. 1,01 6 1


triệuđồng
Hướngdẫngiải
ĐápánA
Phươngpháp:Quybàitoánvềtínhtổngcấpsốnhân,rồiápdụngcôngthứctínhtổngcấpsốnhân:
Dãy
123 n
U ; U ;U ;...; U
đượcgọilà1CSNcócôngbộiqnếu:
kk1
UUq

Tổngnsốhạngđầutiên:
n
n12 n1
1q
s u u ... u u
1q


Ápdụngcôngthứctínhtổngcủacấpsốnhân
Cáchgiải:Gọisốtiềnngườiđógửihàngthánglà
a1
triệu
Đầutháng1:ngườiđócóa
Cuốitháng1:ngườiđócó

a. 1 0,01 a.1,01

Đầutháng2ngườiđócó:
aa.1,01

A
B
C
M
N
Q
P
8m
Cuốitháng2ngườiđócó:
2
1, 01 a a.1, 01 a 1, 01 1, 01

Đầutháng3ngườiđócó:
2
a 1 1, 01 1, 01 
Cuốitháng3ngườiđócó:
223
a 1 1,01 1,01 .1,01 a 1 1,01 1,01

….
Đếncuốithángthứ27ngườiđócó:
227
a 1 1, 01 1, 01 ... 1, 01 
Tacầntínhtổng:
227
a 1 1, 01 1, 01 ... 1, 01

Ápdụngcôngthứccấpsốnhântrênvớicôngbộilà1,01tađược

27
27
11,01
100. 1,01 1
10,01

triệu
đồng.
Câu69: 󰇛MINHHỌAL2󰇜ÔngAncómộtmảnhvườnhìnhelipcóđộdàitrục lớn
bằng
16m
vàđộdàitrụcbébằng
10m
.Ôngmuốntrồnghoa
trênmộtdảiđấtrộng
8m
và nhận trục bé của elip làm
trụcđốixứng󰇛nhưhìnhvẽ󰇜.Biếtkinhphíđểtrồnghoalà
100.000
đồng/
2
1m . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để
trồnghoatrêndảiđấtđó?󰇛Sốtiềnđượclàmtrònđếnhàng
nghìn󰇜.
A.
7.862.000
đồng. B.
7.653.000
đồng. C.
7.128.000
đồng.D.
7.826.000
đồng.
Hướngdẫngiải
ChọnB.
Giảsửelipcóphươngtrình
22
22
1
xy
ab
,với
0ab
.
Từgiảthiếttacó
216 8aa
và
210 5bb
Vậyphươngtrìnhcủaeliplà


2
22
1
2
1
5
64
8
1
5
64 25
64
8



yyE
xy
yyE
Khiđódiệntíchdảivườnđượcgiớihạnbởicácđường
12
;; 4;4 EEx xvàdiện
tíchcủadảivườnlà
44
22
40
55
264d 64d
82


Sxxxx
Tínhtíchphânnàybằngphépđổibiến
8sin
x
t
,tađược
3
80
64




S
Khiđósốtiềnlà
3
80 .100000 7652891,82 7.653.000
64




T
.
X
Y
Câu70: 󰇛MINHHỌAL2󰇜Chohaihìnhvuôngcócùngcạnhbằng5đượcxếpchồng
lênnhausaochođỉnh
X
củamộthìnhvuônglàtâmcủahìnhvuôngcòn
lại󰇛nhưhìnhvẽ󰇜.Tínhthểtích
V
củavậtthểtrònxoaykhiquaymôhình
trênxungquanhtrục
XY
.
A.
125 1 2
6
V
. B.
125 5 2 2
12
V
.

C.

125 5 4 2
24
V
. D.

125 2 2
4
V
.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Cách1
:
Khốitrònxoaygồm3phần:
Phần1:khốitrụcóchiềucaobằng5,bánkínhđáybằng
5
2
cóthểtích
2
1
5 125
5
24




V
.
Phần2:khốinóncóchiềucaovàbánkínhđáybằng
52
2
cóthểtích
2
2
1 5 2 5 2 125 2
32212





V
Phần3:khốinóncụtcóthểtíchlà
 
2
2
3
5 2 1 125 2 2 1
1525525
32 2222 24













V
.
Vậythểtíchkhốitrònxoaylà
 
123
125 2 2 1 125 5 4 2
125 125 2
412 24 24



 VVVV
.
Cách2
:
Thểtíchhìnhtrụđượctạothànhtừhìnhvuông
A
BCD
là
2
125
4

T
VRh
Thểtíchkhốitrònxoayđượctạothànhtừhìnhvuông
XEYF là
2
2
2 125 2
36
N
VRh

Thểtíchkhốitrònxoayđượctạothànhtừtamgiác
X
DC
là
2
1125
324

N
VRh
Thểtíchcầntìm
2
542
125
24

TNN
VV V V .
Câu71: Cầnphảixâydựngmộthốga,dạnghìnhhộpchữnhậtcóthểtích
3
Vm ,hệsố
k
cho
trước󰇛
k ‐tỉsốgiữachiềucaocủahốvàchiềurộngcủađáy󰇜.Gọi ,, 0xyh lầnlượtlà
chiềurộng,chiềudàivàchiềucaocủahốga.Hãyxácđịnh
,, 0xyh xâytiếtkiệmnguyên
vậtliệunhất.
,,
x
yh
lầnlượtlà
A.



3
3
3
2
2
21 21
2
2; ; .
44
21
kV kkV
kV
xyh
k
k


B.



3
3
3
2
2
21 21
2
;;2.
44
21
kV kkV
kV
xyh
k
k


C.



3
3
3
2
2
21 21
2
;2 ; .
44
21
kV kkV
kV
xyh
k
k


D.



3
3
3
2
2
21 21
2
;6 ; .
44
21
kV kkV
kV
xyh
k
k


Hướngdẫngiải
ĐápánC.
Gọi
()
,, ,, 0xyh xyh> lầnlượtlàchiềurộng,chiềudàivàchiềucaocủahốga.
Tacó:
h
khkx
x
==
và
2
VV
Vxyh y
xh
kx
===
.
Nêndiệntíchtoànphầncủahốgalà:
(
)
2
21
22 2
kV
Sxy yh xh kx
kx
+
=+ + = +
x
y
h
ÁpdụngđạohàmtacóSnhỏnhấtkhi
()
3
2
21
4
kV
x
k
+
=
Khiđó
()
()
3
3
2
21
2
2,
4
21
kk V
kV
yh
k
+
==
+
.
Câu72: Khimộtchiếclòxobịkéocăngthêm
x
m sovớiđộdàitựnhiênlà

0,15 m
củalòxothì
chiếclòxotrìlại󰇛chốnglại󰇜vớimộtlực
800 .
f
xx Hãytìmcông
W
sinhrakhikéolò
xotừđộdàitừ

0,15 m
đến
0,18 .m
A.
2
36.10 .WJ
B.
2
72.10 .WJ
C. 36 .WJ D.72 .WJ
Hướngdẫngiải
ĐápánA.
Côngđượcsinhrakhikéocănglòxotừ0,15mđến0,18mlà:
0,03
20,03 2
0
0
800 .d 400 36.10 .Wxxx J
-
===
ò

Chúý:
Nếulựclàmộtgiátrịbiếnthiên󰇛nhưnénlòxo󰇜vàđượcxácđịnhbởihàm
()
Fxthì
côngsinhratheotrục
Ox
từ
a
tới
b
là
()
d.
b
a
AFxx=
ò

Câu73: Nhânngàyquốctếphụnữ8‐3năm2017,ôngAquyếtđịnhmuatặngvợmộtmónquàvà
đặtnóvàotrongmộtchiếchộpcóthểtíchlà32󰇛đvtt󰇜cóđáyhìnhvuôngvàkhôngcó
nắp.Đểmónquàtrởnênthậtđặcbiệtvàxứngđángvớigiátrịcủanóôngquyếtđịnhmạ
vàngchochiếchộp,biếtrằngđộdạylớpmạtạimọiđiểmtrênhộplànhưnhau.Gọichiều
caovàcạnhđáycủachiếchộplầnlượtlà .Đểlượngvàngtrênhộplànhỏnhấtthìgiá
trịcủa phảilà?
A. B. C. D.
Hướngdẫngiải
ĐápánB.
h;x
h;x
x2;h4== x4;h2==
3
4;
2
==xh
1; 2==xh
x
x
h
Tacó ,đểlượngvàngcầndùnglànhỏ
nhấtthìDiệntíchSphảinhỏnhấttacó
,
Câu74: Mộtđạilýxăngdầucầnlàmmộtcáibồndầuhìnhtrụbằngtôncóthểtích
3
16 m
.Tìm
bánkínhđáy
r
củahìnhtrụsaochohìnhtrụđượclàmraíttốnnguyênvậtliệunhất.
A.
0,8 .m
B.
1, 2 .m
C.
2.m
D.
2,4 .m
Hướngdẫngiải
ĐápánC.
Gọi
()
xmlàbánkínhcủahìnhtrụ
(
)
0x > .Tacó:
2
2
16
..Vxhh
x
p==
Diệntíchtoànphầncủahìnhtrụlà:
() ()
22
32
22 2 ,0Sx x xh x x
x
p
pp p=+=+ >
Khiđó:
()
2
32
'4Sx x
x
p
p=-
,cho
()
'0 2Sx x==.
Lậpbảngbiếnthiên,tathấydiệntíchđạtgiátrịnhỏnhấtkhi
()
2xm=
nghĩalàbánkínhlà
2m
.
Câu75: NhàNamcómộtchiếcbàntròncóbánkínhbằng m.Nammuốnmắcmộtbóngđiệnở
phíatrênvàchínhgiữachiếcbànsaochomépbànnhậnđượcnhiềuánhsángnhất.Biết
rằngcườngđộsángCcủabóngđiệnđượcbiểuthịbởicôngthức 󰇛 làgóctạo
bởitiasángtớimépbànvàmặtbàn,c‐hằngsốtỷlệchỉphụthuộcvàonguồnsáng,
l
khoảngcáchtừmépbàntớibóngđiện󰇜.Khoảngcáchnamcầntreobóngđiệntínhtừmặt
bànlà
A.1m B.1,2m C.1.5m D.2m
Hướngdẫngiải
Sxhx
Sx. x x
V
x
Vxhh
x
xx
ì
ï
=+
ï
ï
ï
= + = +
í
ï
===
ï
ï
ï
î
2
22
2
2
22
4
32 128
4
32
() ()
Sxfxfʹ xx x
x
x
=+= =-==
2
2
128 128
204
2
2
sin
Cc
l
Gọihlàđộcaocủabóngđiệnsovớimặtbàn󰇛h0󰇜;Đlàbóngđiện;IlàhìnhchiếucủaĐlênmặt
bàn.MNlàđườngkínhcủamặtbàn.󰇛nhưhìnhvẽ󰇜
Tacó và ,suyracườngđộsánglà: .
LậpbảngbiếnthiêntathuđượckếtquảClớnnhấtkhi ,khiđó
Câu76: AnhPhongcómộtcáiaovớidiệntích
2
50m
đểnuôicádiêuhồng.Vụvừaqua,anhnuôi
vớimậtđộ
2
20con / m
vàthuđược
1, 5
tấncáthànhphẩm.Theokinhnghiệmnuôicácủa
mìnhanhthấycứthảgiảmđi
2
8 con / m
thìmỗiconcáthànhphầmthuđượctăngthêm
0, 5kg
.Đểtổngnăngsuấtcaonhấtthìvụtớianhnênmuabaonhiêucágiốngđểthả?󰇛giả
sửkhôngcóhaohụttrongquátrìnhnuôi󰇜
A.488con. B.658con. C.342con. D.512con.
Hướngdẫngiải
ĐápánA
SốcáanhPhongthảtrongvụvừaqualà
50.20 1000=
󰇛con󰇜
Khốilượngtrungbìnhmỗiconcáthànhphầnlà
1500
1, 5 /
1000
kg con=
Gọi
0x >
làsốcáanhcầnthảítđichovụtớinênsẽtăng
0,0625x
kg/con
Tacóphươngtrìnhtổngkhốilượngcáthuđược
() ( )( )
1000 1,5 0,0625Tfx x x== - +
()
()
()
0,125 61 0 488
max 16384 488
0, 125
fx x x
fx x
fx
ì
ï
¢
=- + = =
ï
ï
==
í
ï
¢¢
=-
ï
ï
î
Vậyởvụsauanhchỉcầnthả
1000 488 512-=
concágiống.
2
α
l
N
M
Đ
I
h
sin
h
l
22
2hl
2
3
2
() ( 2)
l
Cl c l
l



2
42
6
'. 0 2
.2
l
Cl c l
ll


'0 6 2Cl l l
6l
Câu77: Vớimộtđĩatrònbằngthéptrángcóbánkính
= 6Rm
phảilàmmộtcáiphễubằngcách
cắtđimộthìnhquạtcủađĩanàyvàgấpphầncònlạithànhhìnhtròn.Cungtròncủahình
quạtbịcắtđiphảibằngbaonhiêuđộđểhìnhnóncóthểtíchcựcđại?
A.
»66
B.
»294
C.
»12,56
D.
»2, 8
Hướngdẫngiải
ĐápánA
Tacóthểnhậnthấyđườngsinhcủahìnhnónlàbánkínhcủađĩatròn.Cònchuviđáycủa
hìnhnónchínhlàchuvicủađĩatrừđiđộdàicungtrònđãcắt.Nhưvậytatiếnhànhgiải
chitiếtnhưsau:
Gọi
()xm
làđộdàiđáycủahìnhnón󰇛phầncònlạisaukhicắtcunghìnhquạtcủadĩa󰇜.
Khiđó
p
p
==2
2
x
xrr
ChiềucaocủahìnhnóntínhtheođịnhlíPITAGOlà
p
=-=-
2
22 2
2
4
x
hRr R
Thểtíchkhốinónsẽlà:
pp
pp
== -
22
22
22
11
33
44
xx
Vrh R
Đến đây các em đạo hàm hàm
()Vx
tìmđượcGTLNcủa
()Vx
đạtđượckhi
p
p==
2
64
3
xR
Suy ra độ dài cung tròn bị cắt đi là :
pp-24R
pp
a
p
-
= »
00
26 4
360 66
26
Câu78: ChomộttamgiácđềuABCcạnha.Ngườitadựngmột
hìnhchữnhậtMNPQcócạnhMNnằmtrêncạnhBC,hai
đỉnhPvàQtheothứtựnằmtrênhaicạnhACvàABcủa
tamgiác.Xácđịnhgiátrịlớnnhấtcủahình chữ nhật
đó?
A. B.
O
N
6m
2
3
a
8
2
3
a
4
C. D.
Hướngdẫngiải
GọiHlàtrungđiểmcủaBC
BHCH .ĐặtBMx ,tacó:
TamgiácMBQvuôngởM, vàBMx
HìnhchữnhậtMNPQcódiệntích:
S󰇛x󰇜MN.QM
x
0 
S’
0
S

Vậy khix
Câu79: Chomộttấmnhômhìnhvuôngcạnh6cm.Ngườitamuốncắtmộthìnhthangnhưhìnhvẽ.
TìmtổngxyđểdiệntíchhìnhthangEFGHđạtgiátrịnhỏnhất.
A.7 B.5 C. D. .
Hướngdẫngiải
0
2
3
a
2
a
2
a
§iÒu kiÖn 0 x
2




a
MN 2MH 2(BH BM) 2 x a 2x
2




0
B60
QM x 3
2
(a 2x)x 3 3(ax 2x )
aa
S'(x) 3(a 4x); S'(x) 0 x 0;
42




a
4
a
2
2
3
a
8
2
a
x0;
2
3
maxS(x) a
8



a
4
x
cm
y
cm
3cm
2cm
H
G
F
E
D
C
B
A
72
2
42
ĐápánC
Tacó nhỏnhất lớnnhất.
Tínhđược 󰇛1󰇜
Mặtkhác đồngdạng nên 󰇛2󰇜
Từ󰇛1󰇜và󰇛2󰇜suyra .Tacó2Slớnnhấtkhivàchỉkhi nhỏnhất.
Biểuthức nhỏnhất .
Câu80: Đểthiếtkếmộtchiếcbểcáhìnhhộpchữnhậtcóchiềucaolà
60cm ,thểtích
3
96000cm
.
Ngườithợdùngloạikínhđểsửdụnglàmmặtbêncógiáthành
70000
VNĐ/m
2
vàloại
kínhđểlàmmặtđáycógiáthành
100000
VNĐ/m
2
.Tínhchiphíthấpnhấtđểhoànthành
bểcá.
A.
320000 VNĐ. B. 32000 VNĐ. C.832000 VNĐ. D.83200 VNĐ.
Hướngdẫngiải
ĐápánD
Gọi
(
)
(
)
,0,0xym x y>>làchiềudàivàchiềurộngcủađáybể,khiđótheođềtasuyra
0, 16
0,6 0, 096xy y
x
==
.Giáthànhcủabểcáđượcxácđịnhtheohàmsốsau:
()
0, 16 0, 16
2.0,6 .70000 100000fx x x
xx
æö
÷
ç
÷
=+ +
ç
÷
ç
÷
ç
èø
()
0, 16
84000 16000fx x
x
æö
÷
ç
÷
= + +
ç
÷
ç
÷
ç
èø
󰇛VNĐ󰇜
() ()
2
0, 16
84000 1 , 0 0,4fx fx x
x
æö
÷
ç
¢¢
÷
=- ==
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Tacóbảngbiếnthiênsau:

Dựavàobảngbiếnthiênsuyrachiphíthấpnhấtđểhoànthànhbểcálà
()
0,4 83200f =
VNĐ
E
FGH
S
A
EH CGF DGH
SS S S
223(6)(6y)xy4x3y36Sxy x
A
EH
CGF
6
AE AH
xy
CG CF

18
242(4x )S
x

18
4x
x
18
4x
x
18 3 2
422
2
xx y
x

–
Câu81: Mộtvậtchuyểnđộngvớiphươngtrìnhvậntốclà:
()
(
)
()
sin
1
/
2
t
vt m s
p
pp
=+
. Tính
quãngđườngvậtđódichuyểnđượctrongkhoảngthờigian
5
giây󰇛làmtrònkếtquảđến
hàngphầntrăm󰇜.
A.
0, 9 .Sm»
B.
0,998 .Sm»
C.
0, 99 .Sm»
D.
1.Sm»
Hướngdẫngiải
ĐápánD
Tacó
(
)
5
0
sin
1
0,99842
2
t
Sdtm
p
pp
æö
÷
ç
÷
ç
=+ »
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
èø
ò
.
Vìlàmtrònkếtquảđếnhàngphầntrămnên
1Sm»
.
Câu82: Tìmdiệntíchlớnnhấtcủahìnhchữnhậtnộitiếptrongnửađườngtrònbánkính ,
biếtmộtcạnhcủahìnhchữnhậtnằmdọctrênđườngkínhcủađường tròn.
A. B. C. D.
Gọi làđộdàicạnhhìnhchữnhậtkhôngnằmdọctheođườngkínhđườngtròn .
Khiđóđộdàicạnhhìnhchữnhậtnằmdọctrênđườngtrònlà:
Diệntíchhìnhchữnhật:
Tacó
.Suyra làđiểmcựcđạicủahàm .
Vậydiệntíchlớnnhấtcủahìnhchữnhậtlà:
10cm
10cm
x
2
80cm
2
100cm
2
160cm
2
200cm
()
x
cm
(
)
010x<<
(
)
22
210 .
x
cm-
22
210Sx x=-
2
22 2 2
22
2
210 2.10 4
10
x
Sx x
x
¢
=-- =-
-
()
()
é
ê
=
ê
ê
¢
=
ê
ê
=-
ê
ë
10 2
thoûa
2
0
10 2
khoâng thoûa
2
x
S
x
10 2
84020
2
SxS
æö
÷
ç
÷
¢¢ ¢¢
=- =- <
ç
÷
ç
÷
÷
ç
èø
10 2
2
x =
(
)
Sx
()
2
22
10
S 10 2. 10 100
2
cm
=-=
Câu83: LưulượngxeôtôvàođườnghầmHảiVân󰇛ĐàNẵng󰇜đượcchobởicông thức
()
2
290,4 v
0,36 13,2 264
fv
vv
=
++
󰇛xe/giây󰇜,trongđó
(
)
/vkm h
làvậntốctrungbìnhcủacác
xekhivàođườnghầm.Tínhlưulượngxelàlớnnhất.Kếtquảthuđượcgầnvớigiátrịnào
sauđâynhất?
A.
9 . B.
8, 7
. C.
8, 8
. D.
8, 9
.
Hướngdẫngiải
ĐápánD
Tacó
()
()
()
2
2
2
290,4 0,36 264
'
0, 36 13, 2 264
v
fv
vv
-+
=
++
với
0v >
.
()
264
'0
0, 6
fv v==
Khiđó
()
()
0;
264
8, 9
0, 6
v
Max f v f
Î+¥
æö
÷
ç
÷
ç
=»
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
󰇛xe/giây󰇜
Câu84: Một màn ảnh hình chữ nhật
cao
1, 4m
vàđặtởđộcao
1, 4m
sovớitầmmắt󰇛tínhtừ
đầumépdướicủamànhình󰇜.
Đểnhìnrõnhấtphảixácđịnh
vị trí đứng sao cho góc nhìn
lớn nhất. Hãy xác định vị trí
đó?Biếtrằnggóc
BOC
nhọn.
A.
2, 4AO m=
. B.
2AO m=
.
C.
2, 6AO m=
. D.
3AO m=
.
Hướngdẫngiải
ĐápánA
Đặtđộdàicạnh
(
)
(
)
,0AO x m x=>
Suyra
22
3, 24 , 10, 24BO x CO x=+ = +
Tasửdụngđịnhlícosintrongtamgiác
OBC
tacó:
()( )
()( )
22
222
22
3, 24 10, 24 1, 96
cos
2.
23,24 10,24
xx
OB OC BC
BOC
OB OC
xx
++ +-
+-
==
++
()( )
2
22
5, 76
3,24 10,24
x
xx
+
=
++
Vìgóc
BOC
nênbàitoántrởthànhtìmxđể
()
()( )
2
22
5, 76
3,24 10,24
x
Fx
xx
+
=
++
đạtgiátrịnhỏ
nhất.
Đặt
(
)
(
)
2
3, 24 , 3, 24xtt+=>
.Suyra
()
() ()
63
25 63
25
725 7
t
t
Ft
tt tt
+
+
==
++
TađitìmtđểF󰇛t󰇜đạtgiátrịnhỏnhất.
()
()
()()
()
()
27
25 7 25 63
27
25 63 1
'
25
7
25 7
t
tt t
tt
t
Ft
tt
tt
æö
æö
÷
ç÷
ç
÷
÷
+
ç
ç
÷
÷
ç
ç
+- +
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
ç
+÷
èø
÷
ç
==
÷
ç
÷
ç
÷
+
ç
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
50 7 25 63 2 7
1 1 49 441
25 25
27 7 27 7
tt t t
t
tt tt tt tt
æöæö
÷÷
çç
+- + +
÷÷
-
çç
÷÷
çç
==
÷÷
çç
÷÷
çç
÷÷
++ ++
çç
÷÷
÷÷
çç
èøèø
()
'0 9Ft t==
Bảngbiếnthiên

t
3,249
+¥
()
'Ft
‐0
(
)
Ft

min
F
Thayvàođặttacó:
(
)
22
144
3, 24 9 2, 4 m
25
xx x+== =
Vậyđểnhìnrõnhấtthì
2, 4AO m=
Câu85: Mộtcôngtynhậnlàmnhữngchiếcthùngphikínhayđáyvớithểtích theo yêu cầu là
3
2 mp mỗichiếcyêucầutiếtkiệmvậtliệunhất.Hỏithùngphảicóbánkínhđáy
R
và
chiềucao
h
làbaonhiêu?
A.
1
2,
2
Rmh m==
. B.
1
,8
2
Rmhm==
.C.
1
4,
8
Rmh m==
. D.
1, 2Rmh m==
.
Hướngdẫngiải
ĐápánA
Gọi
R
làbánkínhđáythùng󰇛
m
󰇜,h :làchiềucaocủathùng󰇛
m
󰇜.ĐK:
0, 0Rh>>
Thểtíchcủathùnglà:
22
2
2
R2 2Vh Rh h
R
pp====
Diệntíchtoànphầncủathùnglà:
()
2 2
2
22
2R 2R 2R 2R 2
tp
Sh hR R R
R
R
ppp p p
æöæö
÷÷
çç
÷÷
=+= += +=+
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
Đặt
() ()
2
2
20ft t t
t
p
æö
÷
ç
÷
=+>
ç
÷
ç
÷
ç
èø
với
tR=
()
()
()
3
3
22
41
1
'4 ,'10 1 1
t
ft t f t t
tt
p
p
-
æö
÷
ç
÷
=-= ===
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Bảngbiếnthiên:

t

-¥
01
+¥
(
)
'ft
‐0
(
)
ft
Min
Vậytacầnchếtạothùngvớikíchthước
1, 2Rmh m==
Câu86: Mộtcửahàngbánlẻbán
2500 cáitivimỗinăm.Chiphígửitrongkholà
10$
mộtcáimỗi
năm.Đểđặthàngchiphícốđịnhchomỗilầnđặtlà
20$
cộngthêm
9$
mỗicái.Cửahàng
nênđặthàngbaonhiêulầntrongmỗinămvàmỗilầnbaonhiêucáiđểchiphíhàngtồn
kholànhỏnhất?
A.Đặthàng
25 lần,mỗilần100 cáitivi.
B.Đặthàng
20 lần,mỗilần100 cáitivi.
C.Đặthàng
25
lần,mỗilần
90
cáitivi.
D.Đặthàng
20
lần,mỗilần
90
cáitivi.
Hướngdẫngiải
ĐápánA
Gọi
x
làsốtivimàcừahàngđặtmỗilần󰇛 1;2500x
éù
Î
êú
ëû
,đơnvịcái󰇜
Sốlượngtivitrungbìnhgửitrongkholà
2
x
nênchiphílưukhotươngứnglà
10. 5
2
x
x=
Sốlầnđặthàngmỗinămlà
2500
x
vàchiphíđặthànglà:
()
2500
20 9x
x
+
Khiđóchiphímàcửahàngphảitrảlà:
() ()
2500 50000
20 9x 5x 5x 22500Cx
xx
=++=++
Lậpbảngbiếnthiêntađược:
(
)
min
100 23500CC==
Kếtluận:đặthàng
25
lần,mỗilần
100
cáitivi.
Câu87: Tínhđếnđầunăm
2011
,dânsốtoàntỉnhBìnhPhướcđạtgần
905 300
,mứctăngdânsốlà
1,37% mỗinăm.Tỉnhthựchiệntốtchủtrương
100%
Trẻemđúngđộtuổiđềuvàolớp
1
.
Đếnnămhọc
2024 2025
ngànhgiáodụccủatỉnhcầnchuẩnbịbaonhiêuphònghọccho
họcsinhlớp
1,mỗiphòngdànhcho
35
họcsinh?󰇛Giảsửtrongnămsinhcủalứahọcsinh
vàolớp
1
đótoàntỉnhcó
2400
ngườichết,sốtrẻtửvongtrước
6
tuổikhôngđángkể󰇜
A.
459
. B.
222
. C.
458
. D.
221
.
Hướngdẫngiải
ĐápánA
Chỉnhữngemsinhnăm2018mớiđủtuổiđihọc󰇛6tuổi󰇜vàolớp1nămhọc2024‐2025.
Ápdụngcôngthức
1
100
n
n
r
SA




đểtínhdânsốnăm2018.
Trongđó:
905300; 1,37; 8Arn
Dânsốnăm2018là:
8
1,37
905300. 1 1009411
100
A




Dânsốnăm2017là:
7
1,37
905300. 1 995769
100
A




Sốtrẻvàolớp1là:
1009411 995769 2400 16042

Sốphònghọccầnchuẩnbịlà
:
16042 : 35 458,3428571
.
Câu88: Một ô tô đang chạy với vận tốc
10 /ms
thìngườiláiđạpphân,từthờiđiểmđó,ôtô
chuyểnđộngchậmdầnđềuvớivậntốc
() ( )
510/vt t m s=- +
,trongđó
t
làkhoảngthời
giantínhbằnggiây,kểtừlúcbắtđầuđạpphanh.Hỏitừlúcđạpphanhđếnkhidừnghẳnô
tôcòndichuyểnbaonhiêumét?
A.
0, 2m
. B.
2m
. C.
10m
. D.
20m
.
Hướngdẫngiải
ĐápánC
Tacóôtôđiđượcthêm
2
giâynữavớivậntốcchậmdầnđều
() ( )
510/vt t m s=- +
ứngdụngtíchphân,tacóquãngđườngcầntìmlà:
() ( ) ()
2
22
2
00
0
5
d510d 1010
2
Svtt t t t t m
æö
÷
ç
÷
==-+=-+=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
òò
*Lúcdừngthìtacó:
(
)
05100 2vt t t=-+ ==
Từlúcđạpphanhđếnlúcdừnghẳn,ôtôđiđượcquãngđường:
2
0
1
2
Svt at=+
Với
() ()
2
0
5
1
2 10.2 5 .2 10
2
10
a
tS m
v
ì
ï
=-
ï
ï
ï
== +- =
í
ï
ï
=
ï
ï
î
*Ápdụngcôngthứclý10tacó:
22
21
2. .vv as-=
Tacòncócôngthứcliênhệgiữavậntốcvàgiatốc:
0
.vv at=+
Dựavàophươngtrìnhchuyểnđộngthì
()
2
5/ams=-
Khidừnghẳnthìtacó
(
)
2
0/vms=
Theocôngthứcbanđầu,tađược
(
)
()
22
2
21
010
10
2
2. 5
vv
sm
a
-
-
===
-
.
Câu89: Mộtcôngtybấtđộngsảncó
50
cănhộchothuê.Biếtrằngnếuchothuêmỗicănhộvớigiá
2000.000
đồngmỗithángthìmọicănhộđềucóngườithuêvàcứmỗilầntănggiácho
thuêmỗicănhộ
100.000
đồngmỗithángthìcóthể
2
cănhộbịbỏtrống.Muốncóthu
nhậpcaonhất,côngtyđóphảichothuêvớigiámỗicănhộlàbaonhiêu?
A.
2.250.000.
B.
2.350.000.
C.
2.450.000.
D.
2.550.000.

Hướngdẫngiải
ĐápánA
Gọi
x
làgiáchothuêthựctếcủamỗicănhộ,󰇛
x
–đồng; 2000.000x ³ đồng󰇜.
Sốcănhộchothuêđượcứngvớigiáchothuê:
() ()
11
50 2000000 90, 1
50000 50.000
xx-- =-+
Gọi
()
Fxlàhàmlợinhuậnthuđượckhichothuêcáccănhộ,󰇛
()
Fx:đồng󰇜.
Tacó
()
2
11
90 90x
50.000 50.000
Fx x x x
æö
÷
ç
÷
=- + =- +
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Bàitoántrởthànhtìmgiátrịlớnnhấtcủa
()
2
1
90x
50.000
Fx x=- +
vớiđiềukiện
2000.000x ³
()
1
'90
25.000
Fx x=- +
()
1
' 0 90 0 2.250.000
25.000
Fx x x=- + ==
Talậpbảngbiếnthiên:
x

2000.000

2.250.000

+¥
()
'Fx

0

-
()
Fx

max
F
Suyra
()
Fx
đạtgiátrịlớnnhấtkhi
2.250.000x =
Vậycôngtyphảichothuêvớigiá
2.250.000
đồngmỗicănhộthìđượclãilớnnhất.
Nhậnxét:
Làmsaotacóthểtìmđượchệsố
1
50000
trongbiểuthức
()
1
?
Tacóthểhiểuđơngiảnnhưsau:Sốcănhộchothuêmỗithángứngvớisốtiềnchothuê;
()
50 2000.000 2.000.000mx x-- =
thìsốcănhộđượcthuêlà
50
.Nếusốtiềnchothuê
tănglênlà
2.100.000x =
thìcó
2
cănhộđểtrống,nghĩalàcó
48
ngườithuê.Tacó:
()
1
50 2.100.000 2.000.000 48
50000
mm
--==
.
Câu90: Cầnphảilàmcáicửasổmà,phíatrênlàhìnhbánnguyệt,phíadưới
là hình chữ nhật, có chu vi là
()am
󰇛
a
chính là chu vi hình bán
nguyệtcộngvớichuvihìnhchữnhậttrừđiđộdàicạnhhìnhchữ
nhậtlàdâycungcủahìnhbánnguyệt󰇜.Hãyxácđịnhcáckíchthước
củanóđểdiệntíchcửasổlàlớnnhất?
A.chiềurộngbằng
p+
2
4
a
,chiềucaobằng
p+4
a
B.chiềurộngbằng
p+4
a
,chiềucaobằng
p+
2
4
a
C.chiềurộngbằng
p+(4 )a
,chiềucaobằng
p+2(4 )a
D.chiềurộngbằng
(4 )-a p
,chiềucaobằng
2(4 )-a p
Hướngdẫngiải
ĐápánA
Gọi
x
làbánkínhcủahìnhbánnguyệt.Tacóchuvicủahìnhbánnguyệtlà
p x
,tổngba
cạnhcủahìnhchữnhậtlà
p-ax
.Diệntíchcửasổlà:
pp
pp
p
--
=+= + =-+ = + -
+
2
2
12
2
2(2)(2)()
22 22
2
2
xaxx
a
SS S x ax x x x
.
Dễthấy
S
lớnnhấtkhi
p
=-
+2
2
a
xx
hay
p
=
+4
a
x
.󰇛Cóthểdùngđạohàmhoặcđỉnh
Parabol󰇜
Vậyđể
max
S
thìcáckíchthướccủanólà:chiềucaobằng
p+4
a
;chiềurộngbằng
p+
2
4
a
Câu91: Tronglĩnhvựcthuỷlợi,cầnphảixâydựngnhiềumươngdẫnnướcdạng"Thuỷđộnghọc"
󰇛KýhiệudiệntíchtiếtdiệnngangcủamươnglàS,
làđộdàiđườngbiêngiớihạncủatiết
diệnnày,
‐đặctrưngchokhảnăngthấmnướccủamương;mươngđựơcgọilàcódạng
thuỷđộnghọcnếuvớiSxácđịnh,
lànhỏnhất󰇜.Cầnxácđịnhcáckíchthướccủamương
dẫnnướcnhưthếnàođểcódạngthuỷđộnghọc?󰇛nếumươngdẫnnước có tiết diện
nganglàhìnhchữnhật󰇜
A.
==4,
4
S
xSy
B.
==4,
2
S
xSy
C.
==2,
4
S
xSy
D.
==2,
2
S
xSy
Hướngdẫngiải
Gọix,ylầnlượtlàchiềurộng,chiềucaocủamương.Theobàira ta có: S  xy;
=+= +
2
2
S
yx x
x
.Xéthàmsố =()x
+
2S
x
x
.Tacó
'
()x

-
2
2S
x
1
-
2
2
2xS
x
.
'
()x
0
-==
2
20 2xS x S
,khiđóy
S
x

2
S
.
Dễthấyvớix,ynhưtrênthìmươngcódạngthuỷđộnghọc,vậycáckíchthướccủamươnglà
= 2xS
,y
2
S
thìmươngcódạngthuỷđộnghọc.
Câu92: Mộtthợxâymuốnsửdụng
1
tấmsắtcóchiềudàilà
4m
,chiềurộng
1m
đểuốnthành
2m
khungđúcbêtông,
1khunghìnhtrụcóđáylàhìnhvuôngvà1khunghìnhtrụcóđáylà
hìnhtròn.Hỏiphảichiatấmsắtthành
2
phần󰇛theochiềudài󰇜nhưthếnàođểtổngthể
tích
2
khunglànhỏnhất?
A.Khungcóđáylàhìnhvuông,khungcóđáylàhìnhtrònlầnlượtcóchiềudàilà
42
,
44pp
++
.
B.Khungcóđáylàhìnhvuông,khungcóđáylàhìnhtrònlầnlượtcóchiềudàilà
24
,
44
p
pp
++
.
x
y
C.Khungcóđáylàhìnhvuông,khungcóđáylàhìnhtrònlầnlượt có chiều dài là
24 14
,
44
p
pp
+
++
.
D.Khungcóđáylàhìnhvuông,khungcóđáylàhìnhtrònlầnlượt có chiều dài là
4142
,
44
p
pp
+
++
.
Hướngdẫngiải
Gọi
12
,VV
lầnlượtlàthểtíchcủakhunghìnhtrụcóđáylàhìnhvuôngvàkhunghìnhtrụ
cóđáylàhìnhtròn.Gọi
a làchiềudàicủacạnhhìnhvuôngvàr làbánkínhcủahìnhtròn.
Tacó:
22
12
VV a rp+=+
󰇛đơnvịthểtích󰇜.
Mà
()
12
42 4 2 ,0
2
ar a r r
pp
p
+==- <<
. Suy ra
() ()
2
2
12
1
2
4
Vr V V r r
pp=+= + -
.
() ()()
()
12
22,0
4
4
Vr r rVr rppp
p
¢¢
=- - ==
+
. Lập bảng biến thiên suy ra
min
4
4
V
p
æö
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
+
èø
.
Vậy,phảichiatấmsắtthành
2 phần:phầnlàmlăngtrụcóđáylàhìnhvuônglà
()
()
4
4
m
p
p +
.
Câu93: Mộtcôngtysảnxuấtmộtloạicốcgiấyhìnhnóncóthểtích
3
27cm vớichiềucaolàh và
bánkínhđáylà
r đểlượnggiấytiêuthụlàítnhấtthìgiátrịcủar là:
A.
6
4
2
3
2
r
p
=
. B.
8
6
2
3
2
r
p
=
. C.
8
4
2
3
2
r
p
=
. D.
6
6
2
3
2
r
p
=
.
Hướngdẫngiải
ĐápánB
Thểtíchcủacốc:
22
2
181811
27 .
Vrh rh h
r
p
pp
====
3
Lượnggiấytiêuthụítnhấtkhivàchỉkhidiệntíchxungquanhnhỏnhất.
22
22 2 4
24 22
81 1 81 1
22 2 2
xq
Srlrrhrr r
rr
pp p p
pp
== += + = +
22 22
44
3
22 22 22 22
81 1 81 1 81 1 81 1
223..
22 22
rr
rr rr
pp
pp pp
=++ ³
4
6
4
81
23
4
p
p
= 󰇛theoBĐTCauchy󰇜
xq
S
nhỏnhất
288
46
6
22 2 2
81 1 3 3
222
rrr
rppp
= = =
.
Câu94: GiảsửtỉlệlạmphátcủaViệtNamtrong10nămqualà
5%
.Hỏinếunăm2007,giáxănglà
12000 VND/lít
.Hỏinăm2016giátiềnxănglàbaonhiêutiềnmộtlít.
A.
11340,000 VND/lít
.B.
113400 VND/lít
.
C.
18615, 94 VND/lít. D.186160,94 VND/lít .
Hướngdẫngiải
ĐápánC
Giáxăngnăm2008là
(
)
12000 1 0, 05+
Giáxăngnăm2009là
()
2
12000 1 0, 05+
…
Giáxăngnăm2016là
()
9
12000 1 0, 05 18615,94 VND/lit+» .
Câu95: Chomộttấmnhômhìnhchữnhật
A
BCD
có 60AD cm= .Tagấptấmnhômtheo2cạnh
M
N
và
PQ
vàophíatrongđếnkhi
A
B vàDC trùngnhaunhưhìnhvẽdướiđâyđểđược
mộthìnhlăngtrụkhuyếthaiđáy.Tìm
x
đểthểtíchkhốilăngtrụlớnnhất?
A.
20x = . B. 15x = . C.
25x
. D. 30x = .
Hướngdẫngiải
ĐápánA
Tacó
60 2PN x=-,gọiH làtrungđiểmcủaPN suyra 60 900AH x=-
() ()
(
)
()
1
. 60 2 60 900 60 2 15 225
2
ANP
Sxxxxfx
D
=- -=- -=
,dochiềucaocủakhối
lăngtrụkhôngđổinênthểtíchkhốilăngtrụmaxkhi
()
fxmax.
()
(
)
() ()
45 20
' 0 20, 20 100 3, 15 0
15 225
x
fx x f f
x
--
=====
-
()
max f 100 3x = khi
20x =
Câu96: Mộtlãonôngchiađấtchocontraiđểngườiconcanhtácriêng,biếtngườiconsẽđược
chọnmiếngđấthìnhchữnhậtcóchuvibằng
800( )m
.Hỏianhtachọnmỗikíchthướccủa
nóbằngbaonhiêuđểdiệntíchcanhtáclớnnhất?
A.
´200 200mm
B.
´300 100mm
C.
´250 150mm
D.Đápánkhác
Hướngdẫngiải
ĐápánA
Gọichiềudàivàchiềurộngcủamiếngđấtlầnlượtlà: và
Diệntíchmiếngđất:
Theođềbàithì: hay .Dođó: với
Đạohàm: .Cho .
Lậpbảngbiếnthiêntađược: khi .
Kếtluận:Kíchthướccủamiếngđấthìnhchữnhậtlà 󰇛làhìnhvuông󰇜.
Lưuý:CóthểđánhgiábằngBĐTCô‐Sy.
Câu97: Mộttrangchữcủamộttạpchícầndiệntíchlà
2
384cm
.Lềtrên,lềdướilà3cm;lềphải,lề
tráilà2cm.Khiđóchiềungangvàchiềudọctốiưucủatranggiấylầnlượtlà:
A.
24 , 25 .cm cm
B.
15 , 40 .cm cm
C.
20 , 30 .cm cm
D.
22,2 , 27 .cm cm

Hướngdẫngiải
ĐápánC
Gọi
(
)
(
)
,0,0abcm a b>>làđộdàichìudọcvàchìungangcủatrangchữsuyrakích
thướctranggiấylà
6, 4ab++
Tacó:
()
384
.384 1ab b
a
==
Diệntíchtrangsáchlà:
()()
2304
6 4 4 408
Sa b S a
a
=+ += + +
TheobấtđẳngthứcCAUCHYtacó:
2304
2 4 . 408 600Sa
a
³ + =
Suyra
2304
600 4 24
MinS a a
a
== =
,suyrachiềudọcvàchiềungangtốiưulà:
30 ,20cm cm
Câu98: ÔngBìnhmuốnthiếtkếmáichomộtxưởngmaycódiệntích
2
20000
m
cóhaiđồánnhư
sau:
x
y
C=800m
()xm
()(, 0).
y
mxy>
Sxy=
2( ) 800xy+= 400
y
x=-
2
(400 ) 400Sx x x x=-=-+
0x >
ʹ( ) 2 400Sx x=- + ʹ 0 200
y
x==
max
40000S =
200 200xy==
200 200´
‐CôngtyAthiếtkếdạnghìnhvuôngvớimáilàhìnhchóptứgiácđềucóchiềucaobằng
70m
.
‐CôngtyBthiếtkếdạnghìnhtrònvớimáilànửamặtcầuúpxuống.
HỏithiếtkếcủacôngtyAgiúptiếtkiệmdiệntíchmáihơnbaonhiêu
2
m
?
A.
2
11857 . m
B.
2
20000 .
m C.
2
9000
.m D.
2
5000
.m
Hướngdẫngiải
ĐápánA
PhươngánA:Hìnhchóptứgiácđều
Chiềudàicủacạnhbênlà
()
()
2
2
50 2 4900 5000 30 11 70hh+=+= =
Độdàicạnhđáylà:
20000
chiềucaomặtbên.cạnhđáy
()
2
2.30 11.100 2 6000 22 m==
PhươngánB:Mặtcầu:
Diệntíchhìnhtrònlớnbằng
22 2 2
20000 20000
20000 20000 ; 2 2 40000
mat
mR R S R mppp
pp
= = = = =
Kếtluận:VậyphươngánAgiúptiếtkiệndiệntíchmáihơn
222
40000 6000 22 11857mmm-=
Câu99: Trêncánhđồngcỏcó2conbòđượccộtvào2câycọckhácnhau.Biếtkhoảngcáchgiữa2
cọclà4métcòn2sợidâycột2conbòdài3métvà2mét.Tínhphầndiệntíchmặtcỏlớn
nhấtmà2conbòcóthểănchung󰇛lấygiátrịgầnđúngnhất󰇜.
A.
1, 034
m
2
B.
1, 5 74
m
2
C.
1,989
m
2
D.
2, 824
m
2
Hướngdẫngiải
Diệntíchmặtcỏănchungsẽlớnnhấtkhi2sợidâyđượckéocăngvàlàphầngiaocủa2
đườngtròn.
Xéthệtrụctọađộnhưhìnhvẽ,gọi
,OM
làvịtrícủacọc.Bàitoánđưavềtìmdiệntích
phầnđượctômàu.
Tacóphươngtrìnhđườngtròntâm
(
)
22 2
:3+=Ox y
vàphươngtrìnhđườngtròntâm
(
)
(
)
2
22
:4 2-+=Mx y
Phươngtrìnhcácđườngcongcủađườngtrònnằmphíatrêntrục
Ox
là:
2
9=-yx
và
()
2
44=--yx
Phươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm:
()
2
2
21
449 48169
8
-- = - + -==
xxxx
Diệntíchphầnđượctômàulà:
()
21
3
8
2
2
221
8
24 4 9 1,989
éù
êú
êú
= --+-»
êú
êú
êú
ëû
òò
Sxdxxdx
. Ta có
thểgiảitíchphânnàybằngphépthếlượnggiác,tuynhiênđểtiếtkiệmthờigiannênbấm
máy.ChọnC.
Câu100: Bêntrongmộtcănnhàbỏhoanghìnhlậpphươngthểtích1000m
3
có3chúnhệnconrất
haycãivãnênphảisốngriêng.Mùađôngđến,vìđóirétnênchúngđànhquyếtđịnhhợp
tácvớinhaugiănglướiđểbắtmồi.Bachúnhệntínhtoánsẽgiăngmộtmảnhlướihình
tamgiáctheocáchsau:Mỗichúnhệnsẽđứngởméptườngbấtkì󰇛cóthểmépgiữa2bức
tường,giữatườngvớitrần,hoặcgiữatườngvớinền󰇜rồiphóngnhữngsợitơlàmkhung
đếnvịtrícũng2connhệncònlạirồisauđómớiphóngtơdínhđanphầnlướibêntrong.
Nhưngvìvốnđãcóhiềmkhíchtừlâu,nêntrướckhibắtđầu,chúngquyđịnhđểtránhxô
xát,khôngcóbấtkì2connhệnnàocùngnằmtrênmộtmặttường,nềnhoặctrầnnhà.
Tính chu vi nhỏ nhấtcủamảnhlướiđượcgiăng󰇛biếtcácsợitơ khung căngvàkhông
nhùn󰇜.
A.
15 6 mét B.230mét C.12 10 mét D.10 2 mét
Hướngdẫngiải
Bàitoánnàytasẽgiảiquyếtbằngcáchứngdụngphươngpháptọađộtrongkhônggian.
Đặthệtrụctọađộnhưhìnhvẽ.Khôngmấttínhtổngquát,vàdựavàoyêucầuvềvịtrí3connhệnta
xácđịnhlàcácđiểm
,,MNP
nằmtrêncáccạnh
'', ',AB CC AD
nhưhìnhvẽ.

Yêucầubàitoánlàcầntìmtọađộcủa3điểm
,,MNP
đểchuvitamgiác
MNP
nhỏnhất.
Đặt
()()( )
;10; 0 , 0; 0; , 10; ;10Mx P z N y .Chuvitamgiác
MNP
là:
()() ()
(
)
(
)
(
)
(
)
22 2
222 222
22 2 2
22 22 2
10 10 10 10 10 10
10 10 10 10 10 10
++=-+-++ ++- +++
=-+-+++-+++-+
MN NP PQ x y y z x z
xy yz z x
Ápdụngbấtđẳngthứcvecto
:
()() ()
()( )()
()()
22 2
22 2
222
22
10 20 20 10
10 10 10 10 10 10
2 5 450 10 10 10 15 6
MN NP PM x y y z z x
xyz y z x
yzx
++³-+++-+++-+
³ -++ + - +- - + + +
=+--++++³

Dấubằngxảyrakhi
5
10 10 10
25 5
10 10
10
10 20 20
10
ì
ï
ï
ï
+-=
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
ï
--
ï
ï
ï
== -====
íí
ïï
-
ïï
+=
ïï
ïï
-+ +-
î
ï
==
ï
ï
-
ï
î
yzx
yz
xy
yx x y z
yz
xy
xy yz
zx
Vậygiátrịcầntìmlà
15 6
.ChọnA.
Câu101: Mộtngôinhàcónềndạngtamgiácđều
ABC cạnhdài
10 m
đượcđặtsongsongvàcáchmặtđất
()
hm
.Nhà
có3trụtại
,,ABC
vuônggócvới
A
BC
.Trêntrụ
A
ngườitalấyhaiđiểm
,
M
N
saocho
,AM x AN y==
và góc giữa
M
BC
và
(
)
NBC
bằng
90
để là mái và
phầnchứađồbêndưới.Xácđịnhchiềucaothấpnhất
củangôinhà.
(
d
)
10
x
y
B
C
M
A
N
I
A.
53
. B.
10 3
.
C.
10 . D.12.
Hướngdẫngiải
ĐápánB
Đểnhàcóchiềucaothấpnhấttaphảichọn
N
nằmtrênmặtđất.Chiềucaocủanhàlà
NM x y=+
.
Gọi
I làtrungđiểmcủaBC . Ta có ABCD đều
AI BC^
, vì
(
)
MN ABC MN BC^^
,từđósuyra
()
0
90
MI BC
BC MNI MIN
NI BC
ì
ï
^
ï
^ =
í
ï
^
ï
î
IMND vuôngtạiI nhậnAI làđườngcaonên
2
2
10 3
.75
2
AM AN AI xy
æö
÷
ç
÷
ç
===
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
TheobấtđẳngthứcCôsi:
2 2.75 103 53xy xy x y+³ = = ==
Dođóchiềucaothấpnhấtcủanhàlà
10 3.
Câu102: 󰇛NHOQUANA󰇜Mộtđườngdâyđiệnđược
nốitừmộtnhàmáyđiệnởAđếnmộthòn
đảoởC.khoảngcáchngắnnhấttừCđến
Blà1km.KhoảngcáchtừBđếnAlà4.
Mỗikmdâyđiệnđặtdướinướclàmất
5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000
USD.HỏidiểmStrênbờcáchAbaonhiêu
đểkhimắcdâyđiệntừAquaSrồiđếnC
làíttốnkémnhất.
A.
15
4
km B.
13
4
km C.
10
4
D.
19
4
Hướngdẫngiải
Trướctiên,taxâydựnghàmsố

f
x làhàmsốtínhtổngchiphísửdụng.
Đặt
BS x
thìtađược:
2
4, 1SA x CS x .Theođềbài,mỗikmdâyđiệnđặtdướinước
mất5000USD,cònđặtdướiđấtmất3000USD,nhưvậytacóhàmsố

f
x đượcxácđịnhnhưsau:

2
3000. 4 5000. 1fx x x
với
0;4x
Tacầntìmgiátrịnhỏnhấtcủa

f
x
đểcóđượcsốtiềnítnhấtcầnsửdụngvàtừđóxácđịnhđược
vịtríđiểmS.

2
' 3000 5000. .
1
x
fx
x


2
2
2
2
' 0 3000 5000. 0 3000 1 5000 0
1
315
3
16 9
3
.
4
4
0
0
x
fx x x
x
xx
x
x
x
x
x
 




Hàmsố

f
x
liêntụctrênđoạn
0;4 .
Tacó:
 
3
0 17000, 16000, 4 20615,52813.
4
ff f




Vậygiátrịnhỏnhấtcủa

f
x
là16000vàtại
3
.
4
x
KhiđóchiphílàthấpnhấtvàđiểmSnằmcách
Amộtđoạn
313
44 .
44
SA x
VậyđápánlàB.
Câu103: 󰇛THTTSỐ673󰇜Cóhaichiếccọc
cao
10m
và
30m
lầnlượtđặt
tại hai vị trí
,.AB
Biết khoảng
cách giữa hai cọc bằng
24 m
.
Ngườitachọnmộtcáichốtởvị
trí
M
trênmặtđấtnằmgiữahai
châncộtđểgiangdâynốiđến
haiđỉnh
C
và
D
củacọc󰇛như
hìnhvẽ󰇜.Hỏitaphảiđặtchốtở
vịtrínàođềtổngđộdàicủahai
sợidâyđólàngắnnhất?
A.
6, 18.AM m BM m==
B.
7, 17.AM m BM m==
C.
4, 20.AM m BM m==
D.
12 , 12 .AM m BM m==
Hướngdẫngiải
Đặt
=<< =-(0 24) 24AM x x BM x
.Tacó =+=+
222
100CM CA AM x 
()
=+=-+
2
22
24 900MD MB BD x
.Suyratổngđộdàihaisợidâylà:
()
+= -+++= <<
2
2
24 900 100 ( ),(0 24)CM MD x x f x x
Khảosáthàmtađược:
(
)
(
)
==>6=18xm BMm
.ChọnA.
Câu104: 󰇛HÀNỘI–AMSTERDAM󰇜Chohaivịtrí
A
,
B
cáchnhau615m,cùngnằmvềmột
phíabờsôngnhưhìnhvẽ.Khoảngcách
từ
A
vàtừ
B
đếnbờsônglầnlượtlà
118mvà487m.Mộtngườiđitừ
A
đến
bờsôngđểlấynướcmangvề
B.
Đoạn
đườngngắnnhấtmàngườiđócóthểđi
là:
A.569,5m B.671,4m C.779,8m D.741,2m
Hướngdẫngiải
GiảsửngườiđóđitừAđếnMđểlấynướcvàđitừMvềB.
dễdàngtínhđược
369, 492.BD EF==
Tađặt
,EM x=
khiđótađược:
()
2
22 2
492 , 118 , 492 487 .MF x AM x BM x=- = + = -+
Nhưvậytacóhàmsố
()
fx
đượcxácđịnhbằngtổngquãngđườngAMvàMB:
() ()
2
22 2
118 492 487fx x x=+ + -+
với
0;492x
éù
Î
êú
ëû
Tacầntìmgiátrịnhỏnhấtcủa
()
fx
đểcóđượcquãngđườngngắnnhấtvàtừđóxácđịnh
đượcvịtríđiểmM.
()
()
22 2
2
492
'.
118
492 487
xx
fx
x
x
-
=-
+
-+
()
()
()
() ()
() ()
()
()( )
22 2
2
22 2
2
2
222
22
2222
22
492
'0 0
118
492 487
492
118
492 487
492 487 492 118
492 487 492 118
0 492
487 58056 118
0 492
58056 58056
605 369
0
xx
fx
x
x
xx
x
x
xx xx
xx xx
x
xx
x
x hay x
x
-
= - =
+
-+
-
=
+
-+
-+=-+
ì
éù
ï
ï
-+ = - +
êú
ï
êú
ëû
í
ï
££
ï
ï
î
ì
ï
ï=-
ï
í
ï
££
ï
ï
î
==-
££
58056
605
492
x
ì
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
ï
î
Hàmsố
()
fx
liêntụctrênđoạn
0; 492
éù
êú
ëû
.Sosánhcácgiátrịcủa
(0)
f
,
58056
605
f
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
,
(
)
492f
tacógiátrịnhỏnhấtlà
58056
779, 8
605
fm
æö
÷
ç
÷
»
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Khiđóquãngđườngđingắnnhấtlàxấpxỉ779,8m.VậyđápánlàC.
Câu105: AnhTháigửivàongânhàng50triệuđồngvớilãisuất0,6%/tháng.Saumỗitháng,chúTư
đếnngânhàngrútmỗitháng3triệuđồngđểchitiêuchođếnkhihếttiềnthìthôi.Saumột
sốtrònthángthìchúTưrúthếttiềncảgốclẫnlãi.Biếttrongsuốtthờigianđó,ngoàisố
tiềnrútmỗithángchúTưkhôngrútthêmmộtđồngnàokểcảgốclẫnlãivàlãisuấtkhông
đổi.VậythángcuốicùngchúTưsẽrútđượcsốtiềnlàbaonhiêu󰇛làmtrònđếnđồng󰇜?
A.
1840270
đồng. B.
3000000
đồng.
C.
1840269 đồng. D.1840268 đồng.
Hướngdẫngiải
󰇟Phươngpháptựluận󰇠
Ápdụngcôngthứctínhsốtiềncònlạisau
n
tháng
()
11
100
19
100
100
n
n
n
r
r
SA X
r
æö
÷
ç
÷
+-
ç
÷
ç
æö
÷
ç
èø
÷
ç
÷
=+ -
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Với
50A = triệuđồng,
0, 6r =
và 3X = triệuđồngtađược
1, 0 06 1
50.1, 006 3.
0,006
n
n
n
S
-
=-
.
Đểrúthếtsốtiềnthìtatìmsốnguyêndương
n
nhỏ nhất sao cho
1,006
1, 006 1 500
0 50.1, 006 3. 500 450.1, 006 0 log 18
0,006 450
n
nn
n
Snn
-
< - - <> =

KhiđósốtiềnthángcuốicùngmàAnhTháirútlà
17
17
17
1, 006 1
.1, 006 50.1, 006 3. .1,006 1, 840269833
0,006
S
éù
-
êú
=- »
êú
ëû
triệuđồng
1840270»
đồng
󰇟Phươngpháptrắcnghiệm󰇠
Nhậplênmànhìnhmáytính
1, 006 1
50.1, 006 3.
0,006
X
X
-
-
,tínhgiátrịchạytừ10đến20với
stepbằng1tađượcbằnggiátrịtươngứngvàsốtiềncònlạinhơhơn3ứngvới
17X =
.
Từ đó tính được số tiền rút ra ở tháng cuối cùng là
17
17
17
1, 006 1
.1, 006 50.1, 006 3. .1, 006 1, 840269833
0, 006
S
éù
-
êú
=- »
êú
ëû
triệuđồng
1840270»
đồng
Câu106: Mộtcôngtyvừatungrathịtrườngsảnphẩmmớivàhọtổchứcquảngcáotrêntruyền
hìnhmỗingày.Mộtnghiêncứuthịtrườngchothấy,nếusau
x
quảngcáođượcphátthìsố
%
ngườixemmuasảnphẩmlà
0.015
100
() , 0
149
x
Px x
e

. Hãy tính số quảng cáo được
pháttốithiểuđểsốngườimuađạthơn
75%
.
A.
333
. B.
343
. C.
330
. D.
323
.
Hướngdẫngiải
Khicó
100
quảngcáophátrathìtỉlệngườixemmuasảnphẩmlà:

1.5
100
100 9.3799%
149
P
e


Khicó
200
quảngcáophátrathìtỉlệngườixemmuasảnphẩmlà:

3
100
200 29.0734%
149
P
e

Khicó
500
quảngcáophátrathìtỉlệngườixemmuasảnphẩmlà:

7.5
100
500 97.3614%
149
P
e

Đápán:A.
Câu107: 󰇛CHUYÊNQUANGTRUNGLẦN3󰇜Trongchươngtrìnhnôngthônmới,tạimộtxãXcóxây
mộtcâycầubằngbêtôngnhưhìnhvẽ.Tínhthểtíchkhốibêtôngđểđổđủcâycầu.
󰇛ĐườngcongtronghìnhvẽlàcácđườngParabol󰇜.
A.
3
19m
. B.
3
21m
. C.
3
18 .m
 D.
3
40m
.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Chọnhệtrục
Ox
y
nhưhìnhvẽ.
Tacó
Gọi

2
1
:
P
yax c
làParabolđiquahaiđiểm

19
;0 , 0;2
2
AB



Nêntacóhệphươngtrìnhsau:

2
2
1
8
19
0. 2
8
:2
361
2
361
2
2
a
a
Py x
b
b









Gọi

2
2
:
Py
ax clàParabolđiquahaiđiểm

5
10;0 , 0;
2
CD



Nêntacóhệphươngtrìnhsau:


2
2
2
1
5
0.10
15
40
2
:
5
5
40 2
2
2
a
a
Py x
b
b






Tacóthểtíchcủabêtônglà:
19
10
223
2
00
15 8
5.2 2 40
40 2 361
Vxdxxdxm








Câu108: 󰇛NGUYỄNTRÃI
–HD󰇜Cómộtcáicốclàmbằnggiấy,đượcúpngượcnhưhìnhvẽ.Chiều
caocủachiếccốclà
20cm
,bánkínhđáycốclà
4cm
,bánkínhmiệngcốclà
5cm
.Mộtcon
kiếnđangđứngởđiểm
A
củamiệngcốcdựđịnhsẽbòhaivòngquanhthancốcđểlên
đếnđáycốcởđiểm
B
.Quãngđườngngắnnhấtđểconkiếncóthểthựchiệnđượcdựđịnh
củamìnhgầnđúngnhấtvớikếtquảnàodướcđây?
0,5m 0,5m
19m
5m
2m
0,5m
A.
59,98cm
B.
59,93cm
C.
58,67 cm
D.
58,80cm
.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Đặt
,,bah
lầnlượtlàbánkínhđáycốc,miệngcốcvàchiềucaocủacốc,làgóckíhiệu
nhưtrênhìnhvẽ.Ta“trải”hailầnmặtxungquanhcốclênmặtphẳngsẽđượcmộthình
quạtcủamộtkhuyênvớicungnhỏ
"4
B
Bb
vàcunglớn
"4AA a
.
ĐộdàingắnnhấtcủađườngđicủaconkiếnlàđộdàiđoạnthẳngBA”.Ápdụngđịnhlíhàm
sốcosintađược:
22
2. .cos2(1).lBOOA BOOA
 

22
() .
B
AAB ab h
 


4() .
11
2
42
(AA )
aalBBOAOBAB AB AB
b
b b OB OB b
l




22
2( ) 2( )
().
()
ab ab
a
AB
ab h




22
()
1()
bab h
AB a a b
OB b
OB b b a b


.
22
22
()
() ().
bab h
OA OB BA a b h c
ab




Thay󰇛a󰇜,󰇛b󰇜,󰇛c󰇜vào󰇛1󰇜tatìmđược
.l

58,79609 58,80lcm
Ghichú.ĐểtồntạilờigiảitrênthìđoạnBA”phảikhôngcắtcung
BB

tạiđiểmnàokhácB,
tứclàBA”nằmdướitiếptuyếncủa
BB

tạiB.Điềunàytươngđươngvới
1
2cos .
b
a



Tuy
nhiên,tronglờigiảicủathísinhkhôngyêucầuphảitrìnhbàyđiềukiệnnày󰇛vàđềbàicũng
đãchothỏamãnyêucầuđó󰇜.
Câu109: 󰇛NGÔQUYỀN–HP󰇜Mộtcơsởsảnxuấtkhănmặtđangbánmỗichiếckhănvớigiá
30.000
đồngmộtchiếcvàmỗithángcơsởbánđượctrungbình
3000
chiếckhăn.Cơsởsảnxuất
đangcókếhoạchtănggiábánđểcólợinhậntốthơn.Saukhithamkhảothịtrường,người
quảnlýthấyrằngnếutừmứcgiá
30.000
đồngmàcứtănggiáthêm
1000
đồngthìmỗi
thángsẽbáníthơn
100
chiếc.Biếtvốnsảnxuấtmộtchiếckhănkhôngthayđổilà
18.000
.
Hỏicơsởsảnxuấtphảibánvớigiámớilàbaonhiêuđểđạtlợinhuậnlớnnhất.
A.
42.000
đồng. B.
40.000
đồng. C.
43.000
đồng. D.
39.000
đồng.
Hướngdẫngiải
ChọnD.
Gọisốtiềncầntănggiámỗichiếckhănlà
x
󰇛nghìnđồng󰇜.
Vìcứtănggiáthêm
1󰇛nghìnđồng󰇜thìsốkhănbánragiảm
100
chiếcnêntăng
x
󰇛nghìn
đồng󰇜thìsốxekhănbánragiảm
100
x
chiếc.Dođótổngsốkhănbánramỗithánglà:
3000 100
x
chiếc.
Lúcđầubánvớigiá
30
󰇛nghìnđồng󰇜,mỗichiếckhăncólãi
12
󰇛nghìnđồng󰇜.Saukhităng
giá,mỗichiếckhănthuđượcsốlãilà:
12
x
󰇛nghìnđồng󰇜.Dođótổngsốlợinhuậnmột
thángthuđượcsaukhitănggiálà:

3000 100 12
f
xxx
󰇛nghìnđồng󰇜.
Xéthàmsố

3000 100 12
f
xxx trên
0;  .
Tacó:

2
2
100 1800 36000 100 9 44100 44100fx x x x 
.
Dấubằngxảyrakhivàchỉkhi
9x
.
Nhưvậy,đểthuđượclợinhuậncaonhấtthìcơsởsảnxuấtcầntănggiábánmỗichiếc
khănlà
9.000
đồng,tứclàmỗichiếckhănbánvớigiámớilà
39.000
đồng.
Câu110: 󰇛CHUYÊNVINH–L2󰇜Cáckhíthảigâyhiệuứngnhàkínhlànguyênnhânchủyếulàmtrái
đấtnónglên.TheoOECD󰇛Tổchứchợptácvàpháttriểnkinhtếthếgiới󰇜,khinhiệtđộtrái
đất tăng lên thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu
giảm.Ngườitaướctínhrằngkhinhiệtđộtrái
đấttăngthêm
2 C
thìtổnggiátrịkinhtếtoàn
cầugiảm3%,cònkhinhiệtđộtráiđấttăngthêm
5 C
thìtổnggiátrịkinhtếtoàncầugiảm
10%
.
Biếtrằngnếu nhiệtđộtráiđấttăngthêm
tC
,
tổnggiátrịkinhtếtoàncầugiảm
f
t % thì
() .
t
f
tka 󰇛trongđó
,ak
làcáchằngsốdương󰇜.
NhiệtđộtráiđấttăngthêmbaonhiêuđộCthìtổnggiátrịkinhtếtoàncầugiảm
20%
?
A.
9,3 C
. B.
7,6 C
. C.
6,7 C
. D.
8, 4 C
.
Hướngdẫngiải
ChọnC.
Theođềbàitacó:

2
5
.3%
1
. 10%
ka
ka
.Cầntìmt thỏamãn
. 20%
t
ka
.
13, 2cm
13,2cm
1cm
1cm
Từ

2
3%
1
k
a

và
3
10
3
a
.Khiđó
. 20%
t
ka
2
2
3% 20
. 20%
3
tt
aa
a

6,7t
.
Câu111: 󰇛CHUYÊNVINH–L2󰇜Mộtxưởngsảnxuấtmuốntạo
ranhữngchiếcđồnghồcátthủytinhcódạnghình
trụ,phầnchứacátlàhainửahìnhcầubằngnhau.Hìnhvẽ
bênvớikíchthướcđãcholàbảnthiếtkếthiếtdiệnqua
trụccủachiếcđồnghồnày󰇛phầngiớihạnbởihìnhtrụvà
phầnhainữahìnhcầuchứacát󰇜.Khiđó,lượngthủytinh
làmchiếcđồnghồcátgầnnhấtvớigiátrịnàotrongcác
giátrịsau
A.
3
1070,8 .cm B.
3
602,2 .cm 
C.
3
711,6 .cm
D.
3
6021,3 .cm
Hướngdẫngiải
ChọnA.
Tacóthểtíchcủakhốitrụlà
2
1
.13, 2.6,6 1086,4V

.
Đường kính hình cầu là
13, 2 2.1,0 11,2 cm
, suy ra thể tích của hai nửa khối cầu là
3
2
4
.5,6 735,619
3
V

Vậylượngthủytinhlàmchiếcđồnghồgầnnhấtvớigiátrị
3
1070,8 cm .
| 1/299
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm: