Giải Toán 10 trang 57, 58 Chân trời sáng tạo - Tập 2 Bài 1 trang 57
Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a. d đi qua điểm A(-1; 5) và có vectơ chỉ phương
b. d đi qua điểm B(4; -2) và có vectơ pháp tuyến là
c. d đi qua P(1; 1) và có hệ số góc k = -2
d. d đi qua hai điểm Q(3; 0) và R(0; 2) Gợi ý đáp án a. Ta có
là vectơ chỉ phương của d nên d nhận là vectơ pháp tuyến.
Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(-1; 5) và nhận là vectơ chỉ phương là:
Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A(-1; 5) và nhận là vectơ pháp tuyến là:
b. Phương trình tổng quát của d đi qua B(4; -2) và nhận là vectơ pháp tuyến là: Ta có
là vectơ pháp tuyến của d nên d nhận là vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của d đi qua B(4; -2) và nhận
làm vectơ chỉ phương là:
c. Ta có: d là đồ thị của hàm số bậc nhất
Vì hệ số góc k = -2 nên ta có:
Lại có d đi qua P(1; 1) nên thay tọa độ P vào hàm số bậc nhất ta được:
Phương trình tổng quát của d là: Ta có: d nhận là vectơ pháp tuyến
là vectơ chỉ phương của d.
Phương trình tham số của d đi qua P(1; 1) và nhận
làm vectơ chỉ phương là: d. Ta có:
là vectơ chỉ phương của d nhận là vectơ pháp tuyến.
Phương trình tham số của d đi qua Q(3; 0) và nhận
làm vectơ chỉ phương là:
Phương trình tổng quát của d đi qua Q(3; 0) và nhận
làm vectơ pháp tuyến là: Bài 2 trang 57
Cho tam giác ABC, biết A(2; 5), B(1; 2) và C(5; 4).
a. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng BC.
b. Lập phương trình tham số của trung tuyến AM
c. Lập phương trình của đường cao AH. Gợi ý đáp án Vẽ hình a. Ta có nhận là vectơ pháp tuyến.
Phương trình tổng quát của đường thẳng BC đi qua B(1; 2) và nhận làm vectơ pháp tuyến là:
b. Ta có M là trung điểm của
Phương trình tham số của trung tuyến AM đi qua A(2; 5) và nhận làm vectơ chỉ phương là:
c. Phương trình đường cao AH đi qua A(2; 5) và nhận là vectơ pháp tuyến là: Bài 3 trang 57
Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:
a. đi qua A(2; 1) và song song với đường thẳng 3x + y + 9 = 0;
b. đi qua B(-1; 4) và vuông góc với đường thẳng 2x - y - 2 = 0. Gợi ý đáp án
a. Vì song song với đường thẳng 3x + y + 9 = 0 nên nhận làm vectơ pháp tuyến và làm vectơ chỉ phương.
Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua A(2; 1) và nhận làm vectơ pháp tuyến là:
Phương trình tham số của đi qua A(2; 1) và nhận
làm vectơ chỉ phương là:
b. Vì vuông góc với đường thẳng 2x - y - 2 = 0 nên nhận làm vectơ chỉ phương và làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua B(-1; 4) và nhận làm vectơ pháp tuyến là:
Phương trình tham số của đi qua B(-1; 4) và nhận
làm vectơ chỉ phương là: Bài 4 trang 57
Xét vị trí tương đối của các cặp dường thẳng à sau đây: à à và Gợi ý đáp án a. Ta có và
có các vectơ pháp tuyến lần lượt là à Ta có: đ ó
Tọa độ M là giao điểm của à
là nghiệm của hệ phương trình: Vậy vuông góc với
và cắt nhau tại M(-3; -1). b. Ta có
là vectơ chỉ phương của
là vectơ pháp tuyến của
là vectơ pháp tuyến của Ta có: nên à
là hai vectơ cùng phương. Do đó, à song song hoặc trùng nhau. Lấy điểm
, thay tọa độ của M vào phương trình ta được: Vậy c.
là vectơ chỉ phương của
là vectơ pháp tuyến của
Phương trình tổng quát của d đi qua điểm A(2; 5) và nhận là vectơ pháp tuyến là: Ta có:
là vectơ pháp tuyến của Ta có: nên à
là hai vectơ cùng phương. Do đó, và song song hoặc trùng nhau. Lấy điểm
thay tọa độ của N vào phương trình
, ta được: 3. 2 + 5 - 11 = 0 Vậy Bài 5 trang 58
Cho đường thẳng d có phương trình tham số
Tìm giao điểm của d với hai trục tọa độ Gợi ý đáp án
Giao điểm A của d và trục Ox là nghiệm của hệ phương trình:
Giao điểm B của d và trục Oy là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy d cắt hai trục tọa độ tại các điểm và B(0; 11). Bài 6 trang 58
Tìm số đo góc xen giữa hai đường thẳng và
trong các trường hợp sau: à à à c. Gợi ý đáp án a. Ta có: b. Ta có à
lần lượt là vectơ pháp tuyến của à Ta có: c. Hai đường thẳng và
lần lượt có vectơ chỉ phương là à Ta có: Bài 7 trang 58
Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng trong các trường hợp sau: a. M(1; 2) và b. M(4; 4) và c. M(0; 5) và d. M(0; 0) và Gợi ý đáp án
b. Phương trình tổng quát của \Delta đi qua điểm O(0; 0) và nhận làm vectơ pháp tuyến là: x + y = 0
c. Phương trình tổng quát của đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến là: Bài 8 trang 58
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: Gợi ý đáp án Ta có: Lấy điểm Bài 9 trang 58
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm S(x; y) di động trên đường thẳng d: 12x - 5y + 16 = 0
Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm M(5; 10) đến điểm S. Gợi ý đáp án
Khoảng cách ngắn nhất từ điểm M đến điểm S chính là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d. Ta có:
Vậy khoảng cách ngắn nhất từ M đến S là 2. Bài 10 trang 58
Một người đang viết chương trình cho trò chơi bóng đá rô bốt. Gọi A(-1; 1), B(9; 6), C(5; -3) là ba vị trí trên màn hình.
a. Viết phương trình các đường thẳng AB, AC, BC.
b. Tính góc hợp bởi hai đường thẳng AB và AC.
c. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC. Gợi ý đáp án a. Ta có:
Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm A(-1; 1) và nhận là vectơ pháp tuyến là:
Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm A(-1; 1) và nhận là vectơ pháp tuyến là:
Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm B(9; 6) và nhận là vectơ pháp tuyến là:
Lý thuyết Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ
*Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương . Khi đó điểm
M(x: y) thuộc đường thẳng khi và chỉ khi tồn tại số thực t sao cho , hay (2)
Hệ (2) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng (t là tham số).
Ví dụ: Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(2; -3) và có vectơ chỉ phương . Giải
Phương trinh tham số của đường thẳng là
*Phương trình tổng quát của đường thẳng
Trong mặt phẳng toạ độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng ax + by + c =0,
với a và b không đồng thời bằng 0. Ngược lại, mỗi phương trình dạng ax + by + c =0, với a và
b không đồng thời bằng 0, đều là phương trình của một đường thẳng, nhận là một vectơ pháp tuyến.
* Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng + Nếu a=0 và
thì phương trình tổng quát ax + by + c =0 trở thành y
Khi đó d là đường thẳng vuông góc với Oy tại điểm + Nếu b =0 và
thì phương trình tổng quát ax + by + c =0 trở thành
Khí đó d là đường thẳng vuông góc với Ox tại điểm
Trong cả hai trường hợp này, đường thẳng d không phải là đồ thị của hàm số bậc nhất.