Giải Toán 6 Bài 12: Ước chung và ước chung lớn nhất | Cánh diều

Toán 6 Bài 12: Ước chung và ước chung lớn nhất
Giải Toán 6 bài 12 phần Khởi động Khởi động
Thầy giáo chuẩn bị 30 miếng dứa và 48 miếng dưa hấu để liên hoan lớp. Thầy giáo muốn chia
số trái cây trên vào một số đĩa sao cho mỗi đĩa có số miếng mỗi loại quả như nhau.
Thầy giáo có thể chia như thế vào bao nhiêu đĩa? Số đĩa nhiều nhất mà thầy giáo có thể dùng là bao nhiêu? Gợi ý đáp án
Cách 1. Trước khi học bài này, ta giải quyết bài toán như sau:
+) Ta tìm các ước của 30 và 48:
Các ước của 30 là: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Các ước của 48 là: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
+) Các ước chung của của 30 và 48 là 1, 2, 3, 6
Vậy thầy giáo có thể chia số hoa quả thành 1 đĩa, 2 đĩa, 3 đĩa hoặc 6 đĩa. Số đĩa nhiều nhất mà
thầy giáo có thể chia là 6 đĩa.
Câu hỏi Hoạt động Toán 6 Bài 12
Hoạt động 1 trang 47 Toán lớp 6 Tập 1:
a) Nêu các ước của 30 và của 48 theo thứ tự tăng dần: Các ước của 30 1 2 Các ước của 48 1 2
b) Tìm các số vừa ở trong hàng thứ nhất vừa ở trong hàng thứ hai.
c) Xác định số lớn nhất trong các ước chung của 30 và 48. Gợi ý đáp án
a) Các ước của 30 và của 48 theo thứ tự tăng dần: Các ước của 30 1 2 3 5 6 10 15 30 Các ước của 48 1 2 3 4 6 8 12 16 24 48
b) Các số vừa ở hàng thứ nhất vừa ở hàng thứ 2 là: 1;2;3;6. c) Số lớn nhất là 6. Hoạt động 2 Quan sát bảng sau:
a) Viết tập hợp ƯC(24, 36). b) Tìm ƯCLN (24, 36).
c) Thực hiện phép chia ƯCLN (24, 36) cho các ước chung của hai số đó. Gợi ý đáp án
a) Quan sát bảng trên ta thấy các số 1; 2; 3; 4; 6; 12 vừa là ước của 24 vừa là ước là ước của
36 nên các số đó là ước chung của 24 và 36.
Do đó ta viết: ƯC(24, 36) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.
b) Trong các ước chung của 24 và 36, ta thấy 12 là số lớn nhất. Vậy ƯCLN(24, 36) = 12.
c) Thực hiện phép chia ƯCLN(24, 36) cho các ước chung của hai số đó ta được: 12 : 1 = 12 12 : 2 = 6 12 : 3 = 4 12 : 4 = 3 12 : 6 = 2 12 : 12 = 1.
Giải Toán 6 bài 12 phần Luyện tập Luyện tập 1
a) Số 8 có phải là ước chung của 24 và 56 không? Vì sao?
b) Số 8 có phải là ước chung của 14 và 48 không? Vì sao? Gợi ý đáp án a) 8 là ước của 24 8 là ước của 56
Vậy 8 là ước chung của 24 và 56
b) 8 không là ước của 14 8 là ước của 48
Vậy 8 không là ước chung của 24 và 56 Luyện tập 2
Số 7 có phải là ước chung của 14; 49; 63 không? Vì sao? Gợi ý đáp án
14 : 7 = 2 nên 7 là ước của 14
49 : 7 = 7 nên 7 là ước của 49
63 : 7 = 9 nên 7 là ước của 63
Vậy 7 là ước chung của ba số 14; 49; 63 Luyện tập 3
Tìm tất cả các số có hai chữ số là ước chung của a và b, biết rằng UCLN(a; b) = 80. Gợi ý đáp án
Vì ước chung của a và b đều là ước của UCLN(a; b) = 80 nên tất cả các số có hai chữ số là
ước chung của a và b là: 10; 16; 20; 40; 80. Luyện tập 4
Tìm ước chung lớn nhất của 126 và 162. Gợi ý đáp án Ta có: Vậy UCLN(126; 162) = 18 Luyện tập 5
Hai số 24 và 35 có nguyên tố cùng nhau không? Vì sao? Gợi ý đáp án Ta có:
Vậy 24 và 35 nguyên tố cùng nhau
Giải Toán 6 trang 51 phần Bài tập Bài 1
Số 1 có phải là ước chung của hai số tự nhiên bất kì không? Vì sao? Gợi ý đáp án:
Số 1 là ước chung của hai số tự nhiên bất kì. Bởi vì tất cả các số tự nhiên đều có ước số là số 1. Bài 2
a) Viết tập hợp ƯC (440,495) b) Tìm ƯCLN (440,495) Gợi ý đáp án: a) ƯC (440,495) = {1,5,11,55} b) ƯCLN (440,495) = 55 Bài 3
Tìm ước chung lớn nhất của từng cặp số trong 3 số sau đây: a) 31, 22,34 b) 105, 128, 135
Hướng dẫn cách giải
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung
Bước 3: Với mỗi thừa số nguyên tố chung, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất.
Bước 4: Lập tích các thừa số đã chọn. Tích đó là ước chung lớn nhất cần tìm. Gợi ý đáp án: a) b) ƯCLN(31,22) = 1 ƯCLN (105,128) = 1 ƯCLN(31,34) = 1 ƯCLN (128,135) = 1 ƯCLN (22,34) = 14 ƯCLN (105,135) = 15 Bài 4
Tìm ƯCLN(126, 150). Từ đó hãy tìm tất cả các ước chung của 126, 150
Hướng dẫn cách giải
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung
Bước 3: Với mỗi thừa số nguyên tố chung, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất.
Bước 4: Lập tích các thừa số đã chọn. Tích đó là ước chung lớn nhất cần tìm. Gợi ý đáp án: Phân tích: 126 = 2.32.7 150 = 2.3.52
=> ƯCLN(126, 150) = 2.3 = 6 ƯC(126, 150) = {1,2,3,6}. Bài 5
Rút gọn các phân số sau về phân số tối giản
Hướng dẫn cách giải
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung
Bước 3: Với mỗi thừa số nguyên tố chung, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất.
Bước 4: Lập tích các thừa số đã chọn. Tích đó là ước chung lớn nhất cần tìm. Gợi ý đáp án: Bài 6
Phân số bằng các phân số nào trong các phân số sau:
Hướng dẫn cách giải
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung
Bước 3: Với mỗi thừa số nguyên tố chung, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất.
Bước 4: Lập tích các thừa số đã chọn. Tích đó là ước chung lớn nhất cần tìm. Gợi ý đáp án:
Phân số bằng các phân số Bài 7
Một nhóm gồm 24 bạn nữ và 30 bạn nam tham gia một số trò chơi. Có thể chia các bạn thành
nhiều nhất bao nhiêu đội chơi sao cho số bạn nam cũng như số bạn nữ được chia đều vào các đội? Gợi ý đáp án:
Gọi a là số đội được chia
Khi đó: a là ước chung lớn nhất của 24 và 36
Ta có: ƯC(24,30) = {1,2,3 ,6} => ƯCLN (24,30) = 6
Vậy có thể chia các bạn thành nhiều nhất 6 đội. Bài 8
Một khu đất có dạng hình chữ nhật với chiều dài 48m, chiều rộng 42m. Người ta muốn chia
khu đất ấy thành những mảnh hình vuông bằng nhau (với độ dài cạnh, đo theo đơn vị mét là số
tự nhiên) để trồng các loại rau. Có thể chia được bằng bao nhiêu cách? Với cách chia nào thì
diện tích của mảnh đất hình vuông là lớn nhất và bằng bao nhiêu? Gợi ý đáp án:
Gọi: x là số cách chia mảnh đất thành các mảnh hình vuông bằng nhau
y là độ dài cạnh của mảnh đất hình vuông được chia theo cách chia lớn nhất
Khi đó: x là số ước chung của 48 và 42
y là ước chung lớn nhất của 48 và 42 Ta có: ƯC(42,48) = {1,2,3,6} => ƯCLN(42, 48) = 6 Vậy:
Số cách chia thành những mảnh hình vuông bằng nhau là 4 cách
Với cách chia độ dài là 6m thì diện tích của mảnh đất hình vuông là lớn nhất S = 62 = 36 m2
Lý thuyết Ước chung và ước chung lớn nhất
I. Ước chung. Uớc chung lớn nhất 1. Định nghĩa
+ Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
+ Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. Kí hiệu:
+ ƯC(a ; b) là tập hợp các ước chung của a và b.
+ ƯCLN(a,b) là ước chung lớn nhất của a và b.
Ví dụ: Ư(6) = {1; 2; 3; 6} Ư(8) = {1; 2; 4; 8} Nên ƯC(6; 8) = {1; 2} Nhận xét:
+) x ∈ ƯC(a; b) nếu a ⋮ x và b ⋮ x
+) x ∈ ƯC(a; b; c) nếu a ⋮ x; b ⋮ x và c ⋮ x
+) ƯC(a;b) là tập hợp còn ƯCLN(a,b) là một số.
2. Cách tìm ƯCLN trong trường hợp đặc biệt
+) Trong các số cần tìm ƯCLN có số nhỏ nhất là ước của những số còn lại thì số đó là ƯCLN cần tìm
Nếu a ⋮ b thì ƯCLN (a; b) = b
+) Số 1 chỉ có 1 ước là 1 nên với mọi số tự nhiên a và b ta có
ƯCLN(a, 1) = 1 và ƯCLN(a, b, 1) = 1
II. Cách tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN)
1. Tìm ƯCLN bằng phân tích các số ra thừa số nguyên tố
Muốn tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.
Ví dụ: Tìm ƯCLN (18 ; 30) Ta có:
Bước 1: phân tích các số ra thừa số nguyên tố. 18 = 2.32 30 = 2.3.5
Bước 2: Thừa số nguyên tố chung là 22 và 33
Bước 3: ƯCLN(18; 30) = 2.3 = 6 Chú ý:
Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.
Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau.
2. Cách tìm ước chung từ ƯCLN
Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có thể làm như sau:
Bước 1: Tìm ƯCLN của các số đó.
Bước 2: Tìm ước của ƯCLN.
Ví dụ: Tìm ƯC(18; 30)
Bước 1: ƯCLN(18; 30) = 2.3 = 6
Bước 2: Ta có ƯC(18; 30) =Ư(6) = {1; 2; 3; 6}
3. Phân số tối giản
Rút gọn về phân số tối giản
Rút gọn phân số: Chia cả tử và mẫu cho ước chung khác 1 (nếu có) của chúng.
Phân số tối giản: ab là phân số tối giản nếu ƯCLN(a,b) = 1
Đưa một phân số chưa tối giản về phân số tối giản: Chia cả tử và mẫu cho ƯCLN(a,b)