Toán 7 Bài 5: Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh - góc - cạnh Bài 1
Chứng minh định lí: “Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn” (trang
74) thông qua việc giải bài tập sau đây:
Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại điểm D. Điểm E
thuộc cạnh AC thoả mãn AE = AB. Chứng minh: a) ∆ABD = ∆AED; b) Gợi ý đáp án
a) Do AD là tia phân giác của nên Xét ∆ABD và ∆AED có: AB = AE (theo giả thiết). (chứng minh trên). AD chung.
Suy ra ∆ABD = ∆AED (c - g - c).
b) Do ∆ABD = ∆AED (c - g - c) nên (2 góc tương ứng). Ta có
là góc ngoài tại đỉnh E của ∆ECD nên Do đó Bài 2
Cho Hình 53 có AD = BC, IC = ID, các góc tại đỉnh C, D, H là góc vuông. Chứng minh: a) IA = IB;
b) IH là tia phân giác của góc AIB. Gợi ý đáp án
a) Xét ∆IDA vuông tại D và ∆ICB vuông tại C có: ID = IC (theo giả thiết). AD = BC (theo giả thiết).
Suy ra ∆IDA = ∆ICB (2 cạnh góc vuông).
Do đó IA = IB (2 cạnh tương ứng).
b) Xét ∆IHA vuông tại H và ∆IHB vuông tại H có: IA = IB (chứng minh trên). IH chung.
Suy ra ∆IHA = ∆IHB (2 cạnh góc vuông). Do đó (2 góc tương ứng).
Mà IH nằm giữa IA và IB nên IH là tia phân giác của Bài 3
Có hai xã cùng ở một bên bờ sông Lam. Các kĩ sư muốn bắc một cây cầu qua sông Lam cho
người dân hai xã. Để thuận lợi cho người dân đi lại, các kĩ sư cần phải chọn vị trí của cây cầu
sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến chân cầu là nhỏ nhất. Bạn Nam đề xuất cách xác định
vị trí của cây cầu như sau (Hình 54):
– Kí hiệu điểm A chỉ vị trí xã thứ nhất, điểm B chỉ vị trí xã thứ hai, đường thẳng d chỉ vị trí bờ sông Lam.
– Kẻ AH vuông góc với d (H thuộc d), kéo dài AH về phía H và lấy điểm C sao cho AH = HC.
– Nối C với B, CB cắt đường thẳng d tại điểm E.
Khi đó, E là vị trí của cây cầu.
Bạn Nam nói rằng: Lấy một điểm M trên đường thẳng d, M khác E thì MA + MB > EA + EB.
Em hãy cho biết bạn Nam nói đúng hay sai. Vì sao? Gợi ý đáp án Nối CM.
Xét ∆AHE vuông tại H và ∆CHE vuông tại H có: AH = CH (giả thiết). HE chung.
Suy ra ∆AHE = ∆CHE (2 cạnh góc vuông).
Do đó EA = EC (2 cạnh tương ứng).
Khi đó EA + EB = EC + EB = BC.
Xét ∆AHM vuông tại H và ∆CHM vuông tại H có: AH = CH (giả thiết). HM chung.
Suy ra ∆AHM = ∆CHM (2 cạnh góc vuông).
Do đó MA = MC (2 cạnh tương ứng). Khi đó MA + MB = MC + MB.
Xét ∆MBC có MB + MC > BC (bất đẳng thức tam giác).
Hay MC + MB > EC + EB hay MA + MB > EA + EB. Vậy bạn Nam nói đúng. Bài 4
: Cho ∆ABC = ∆MNP. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC và CA; Q, R lần lượt là trung điểm của NP và PM. Chứng minh: a) AD = MQ; b) DE = QR. Gợi ý đáp án
Do ∆ABC = ∆MNP nên AC = MP (2 cạnh tương ứng), BC = NP (2 cạnh tương ứng), (2 góc tương ứng).
E là trung điểm của AC nên
R là trung điểm của MP nên
D là trung điểm của BC nên
Q là trung điểm của NP nên
Mà AC = MP, BC = NP nên EC = RP, CD = QP. a) Xét ∆ACD và ∆MPQ có: AC = MP (chứng minh trên). (chứng minh trên). CD = PQ (chứng minh trên).
Suy ra ∆ACD = ∆MPQ (c - g - c).
Do đó AD = MQ (2 cạnh tương ứng). b) Xét ∆ECD và ∆RPQ có: EC = RP (chứng minh trên). (chứng minh trên). CD = PQ (chứng minh trên).
Suy ra ∆ECD = ∆RPQ (c - g - c).
Do đó DE = QR (2 cạnh tương ứng).