CHƯƠNG VII. PHƯƠ CHƯƠNG I
NG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TOÁN HH ➉
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 1 BÀI TẬP 7.33 2 BÀI TẬP 7.34 3 BÀI TẬP 7.35 4 BÀI TẬP 7.36 5 BÀI TẬP 7.37 4 5
7.33. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm 𝑨 −𝟏; 𝟎 và 𝑩 𝟑; 𝟏 .
a) Viết phương trình đường tròn tâm 𝑨 và đi qua 𝑩.
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng 𝑨𝑩.
c) Viết phương trình đường tròn tâm 𝑶 và tiếp xúc với đường thẳng 𝑨𝑩. Giải:
a) Đường tròn tâm 𝑨 −𝟏; 𝟎 và đi qua 𝑩 𝟑; 𝟏 nên có bán kính 𝑹 = 𝑨𝑩 =
𝟑 + 𝟏 𝟐 + 𝟏 − 𝟎 𝟐 = 𝟏𝟕.
Phương trình đường tròn tâm 𝑨 và đi qua 𝑩 là: 𝒙 + 𝟏 𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏𝟕.
7.33. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm 𝐴 −1; 0 và 𝐵 3; 1 .
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng 𝐴𝐵. Giải:
Ta có: 𝐴𝐵 = 4; 1 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng 𝐴𝐵. Suy ra
𝑛 = −1; 4 là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng 𝐴𝐵.
Phương trình tổng quát của đường thẳng 𝐴𝐵 đi qua điểm 𝐴 −1; 0 và
có 𝑛 = −1; 4 là một vectơ pháp tuyến là:
− 𝑥 + 1 + 4 𝑦 − 0 = 0 ⇔ −𝑥 + 4𝑦 − 1 = 0.
7.33. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm 𝐴 −1; 0 và 𝐵 3; 1 .
c) Viết phương trình đường tròn tâm 𝑂 và tiếp xúc với đường thẳng 𝐴𝐵. Giải:
Đường tròn tâm 𝑂 và tiếp xúc với đường thẳng 𝐴𝐵 nên có bán kính −0+4.0−1 17 𝑅 = 𝑑
. Phương trình đường tròn tâm 𝑂;𝐴𝐵 = = 𝑂 và tiếp 12+42 17 xúc với đường thẳng 1 𝐴𝐵 là: 𝑥2 + 𝑦2 = . 17
7.34. Cho đường tròn 𝐶 có phương trình 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 6𝑦 − 12 = 0.
a) Tìm tọa độ tâm 𝐼 và bán kính 𝑅 của 𝐶 .
b) Chứng minh rằng điểm 𝑀 5; 1 thuộc 𝐶 . Viết phương trình tiếp tuyến 𝑑 của 𝐶 tại 𝑀. Giải:
a) Đường tròn 𝐶 có tâm 𝐼 2; −3 và bán kính 𝑅 = 22 + −3 2 − −12 = 5.
7.34. Cho đường tròn 𝐶 có phương trình 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 6𝑦 − 12 = 0.
a) Tìm tọa độ tâm 𝐼 và bán kính 𝑅 của 𝐶 .
b) Chứng minh rằng điểm 𝑀 5; 1 thuộc 𝐶 . Viết phương trình tiếp tuyến 𝑑 của 𝐶 tại 𝑀. Giải:
b) Thay tọa độ điểm 𝑀 5; 1 vào phương trình đường tròn 𝐶 ta được:
52 + 12 − 4.5 + 6.1 − 12 = 0 là mệnh đề đúng. Vậy điểm 𝑀 5; 1 thuộc 𝐶 .
7.34. Cho đường tròn 𝐶 có phương trình 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 6𝑦 − 12 = 0.
a) Tìm tọa độ tâm 𝐼 và bán kính 𝑅 của 𝐶 .
b) Chứng minh rằng điểm 𝑀 5; 1 thuộc 𝐶 . Viết phương trình tiếp tuyến 𝑑 của 𝐶 tại 𝑀. Giải:
b) Tiếp tuyến 𝑑 của 𝐶 tại 𝑀 là đường thẳng đi qua 𝑀 5; 1 và nhận
vectơ 𝐼𝑀 = 3; 4 là một vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:
3 𝑥 − 5 + 4 𝑦 − 1 = 0 ⇔ 3𝑥 + 4𝑦 − 19 = 0. 7.35. Cho elip 𝑥2 𝑦2 𝐸 : + = 1 𝑎 > 𝑏 > 0 . 𝑎2 𝑏2 a) Tìm các giao điểm 𝐴 của 1, 𝐴2
𝐸 với trục hoành và các giao điểm 𝐵1, 𝐵2
của 𝐸 với trục tung. Tính 𝐴 . 1𝐴2, 𝐵1𝐵2
b) Xét một điểm bất kỳ 𝑀 𝑥 thuộc 𝑜; 𝑦𝑜 𝐸 .
Chứng minh rằng, 𝑏2 ≤ 𝑥 2 2 𝑜
+ 𝑦𝑜 ≤ 𝑎2 và 𝑏 ≤ 𝑂𝑀 ≤ 𝑎. Chú ý. 𝐴
tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elip 1𝐴2, 𝐵1𝐵2 𝐸 và
tương ứng có độ dài là 2𝑎, 2𝑏. 7.35. Cho elip 𝑥2 𝑦2 𝐸 : + = 1 𝑎 > 𝑏 > 0 . 𝑎2 𝑏2 a) Tìm các giao điểm 𝐴 của 1, 𝐴2
𝐸 với trục hoành và các giao điểm 𝐵1, 𝐵2
của 𝐸 với trục tung. Tính 𝐴 . 1𝐴2, 𝐵1𝐵2 Giải: a) Trong phương trình elip 𝑥2 𝑦2 𝐸 : +
= 1 𝑎 > 𝑏 > 0 cho 𝑦 = 0 ta 𝑎2 𝑏2
được: 𝑥2 = 1 ⇔ 𝑥 = ±𝑎 𝑎2
Suy ra tọa độ các giao điểm của 𝐸 với trục hoành là 𝐴1 −𝑎; 0 , 𝐴2 𝑎; 0 .
Tương tự tọa độ các giao điểm của 𝐸 với trục tung là
𝐵1 0; −𝑏 , 𝐵2 0; 𝑏 .
Do đó: 𝐴1𝐴2 = 2𝑎, 𝐵1𝐵2 = 2𝑏. 7.35. Cho elip 𝑥2 𝑦2 𝐸 : + = 1 𝑎 > 𝑏 > 0 . 𝑎2 𝑏2
b) Xét một điểm bất kỳ 𝑀 𝑥 thuộc 𝑜; 𝑦𝑜 𝐸 .
Chứng minh rằng, 𝑏2 ≤ 𝑥 2 2 𝑜
+ 𝑦𝑜 ≤ 𝑎2 và 𝑏 ≤ 𝑂𝑀 ≤ 𝑎. Giải: 2 2 Xét một điểm bất kỳ 𝑦 𝑀 𝑥 thuộc 𝑜 𝑜; 𝑦𝑜 𝐸 . Ta có 𝑥𝑜 + = 1 𝑎 > 𝑏 > 0 và 𝑎2 𝑏2 2 𝑦 2 𝑥 2 𝑦 2 𝑂𝑀2 = 𝑥 2 2. Do: 𝑥𝑜 𝑜 𝑜 𝑜 2 2 𝑜 + 𝑦𝑜 + ≤ + = 1 ⇒ 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑎2 𝑎2 𝑎2 𝑎2 𝑏2 𝑜 𝑜 2 2 2 2 và: 𝑥𝑜 𝑦 𝑥 𝑦
+ 𝑜 ≥ 𝑜 + 𝑜 = 1 ⇒ 𝑥 2 + 𝑦 2 ≥ 𝑏2 𝑏2 𝑏2 𝑎2 𝑏2 𝑜 𝑜 Vậy 𝑏2 ≤ 𝑥 2 2 𝑜
+ 𝑦𝑜 ≤ 𝑎2. Suy ra: 𝑏2 ≤ 𝑂𝑀2 ≤ 𝑎2 hay 𝑏 ≤ 𝑂𝑀 ≤ 𝑎.
7.36. Cho hypebol có phương trình: 𝑥2 𝑦2 − = 1. 𝑎2 𝑏2 a) Tìm các giao điểm 𝐴
của hypebol với trục hoành (hoành độ của 1, 𝐴2 𝐴1 nhỏ hơn của 𝐴 ). 2
b) Chứng minh rằng, nếu điểm 𝑀 𝑥; 𝑦 thuộc nhánh nằm bên trái trục tung
của hypebol thì 𝑥 ≤ −𝑎, nếu điểm 𝑀 𝑥; 𝑦 thuộc nhánh nằm bên phải trục
tung của hypebol thì 𝑥 ≥ 𝑎. c) Tìm các điểm 𝑀
tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục 1, 𝑀2 tung của hypebol để 𝑀 nhỏ nhất. 1𝑀2
7.36. Cho hypebol có phương trình: 𝑥2 𝑦2 − = 1. 𝑎2 𝑏2 a) Tìm các giao điểm 𝐴
của hypebol với trục hoành (hoành độ của 1, 𝐴2 𝐴1 nhỏ hơn của 𝐴 ). 2 Giải:
a) Trong phương trình hypebol 𝑥2 𝑦2 𝐻 : − = 1 cho 𝑦 = 0 ta được: 𝑎2 𝑏2 𝑥2 = 1 ⇔ 𝑥 = ±𝑎 𝑎2
Suy ra tọa độ các giao điểm của hypebol 𝐻 với trục hoành là
𝐴1 −𝑎; 0 , 𝐴2 𝑎; 0 .
7.36. Cho hypebol có phương trình: 𝑥2 𝑦2 − = 1. 𝑎2 𝑏2
b) Chứng minh rằng, nếu điểm 𝑀 𝑥; 𝑦 thuộc nhánh nằm bên trái trục tung
của hypebol thì 𝑥 ≤ −𝑎, nếu điểm 𝑀 𝑥; 𝑦 thuộc nhánh nằm bên phải trục
tung của hypebol thì 𝑥 ≥ 𝑎. Giải:
Xét điểm 𝑀 𝑥; 𝑦 nằm trên hypebol thì tọa độ điểm 𝑀 thỏa phương trình 𝑥2 𝑦2 𝑦2 𝑥 ≥ 𝑎 − = 1. Ta có 𝑥2 =
+ 1 ≥ 1 ⇒ 𝑥2 ≥ 𝑎2 ⇔ . 𝑎2 𝑏2 𝑎2 𝑏2 𝑥 ≤ −𝑎
Do đó: nếu điểm 𝑀 𝑥; 𝑦 thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol
thì 𝑥 ≤ −𝑎, nếu điểm 𝑀 𝑥; 𝑦 thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì 𝑥 ≥ 𝑎.
7.36. Cho hypebol có phương trình: 𝑥2 𝑦2 − = 1. 𝑎2 𝑏2 c) Tìm các điểm 𝑀
tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục 1, 𝑀2 tung của hypebol để 𝑀 nhỏ nhất. 1𝑀2 Giải: Lấy các điểm 𝑀
tương ứng thuộc các nhánh bên trái,
1 𝑥1; 𝑦1 , 𝑀2 𝑥2; 𝑦2
bên phải trục tung của hypebol.
Ta có 𝑥1 ≤ −𝑎 và 𝑥2 ≥ 𝑎 nên 𝑀1𝑀2 ≥ 2𝑎. Vậy 𝑀 nhỏ nhất bằng 1𝑀2
2𝑎 khi 𝑀1 −𝑎; 0 , 𝑀2 𝑎; 0 .
7.37. Một cột trụ hình hypebol (H.7.36), có chiều cao 6 m, chỗ nhỏ nhất ở
chính giữa và rộng 0,8 m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng 1m. Tính độ rộng
của cột ở độ cao 5 m (tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy). Giải:
Chọn hệ trục tọa độ 𝑂𝑥𝑦 sao cho trục hoành đi qua chỗ
nhỏ nhất của cột hình trụ và trục tung đi qua trung điểm
của đoạn nối hai điểm chỗ nhỏ nhất của cột hình trụ.
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng: 𝑥2 𝑦2 𝐻 : − = 1 𝑎2 𝑏2
7.37. Một cột trụ hình hypebol (H.7.36), có chiều cao 6 m, chỗ nhỏ nhất ở
chính giữa và rộng 0,8 m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng 1m. Tính độ rộng
của cột ở độ cao 5 m (tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy). Giải:
Theo đề ta có: 𝑎 = 0,4 và điểm 𝑀 0,5; 3 thuộc 𝐻 nên 0.52 32 − = 1 ⇔ 𝑏2 = 16. 0.42 𝑏2
Vậy phương trình của hypebol là 𝑥2 𝑦2 𝐻 : 4 − = 1. 16 25
7.37. Một cột trụ hình hypebol (H.7.36), có chiều cao 6 m, chỗ nhỏ nhất ở
chính giữa và rộng 0,8 m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng 1m. Tính độ rộng
của cột ở độ cao 5 m (tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy). Giải:
Xét các điểm 𝐶, 𝐷 nằm trên hypebol và có tung độ 𝑦 = 2.
Thay vào phương trình hypebol ta được: 1 5 2 5 𝑥2 = ⇔ 𝑥 = ± . Suy ra 𝐶𝐷 = ≃ 0,89. 5 5 5
Vậy độ rộng của cột ở độ cao 5 m là 𝐶𝐷 ≃ 0,89 m.