Giáo trình môn Toán rời rạc

Giáo trình môn Toán rời rạc gồm có 4 chương chính và 139 trang của Đại học Nguyễn Tất Thành với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả cao cũng như có thể vận dụng tốt những kiến thức mình đã học vào thực tiễn cuộc sống. Mời bạn đọc đón xem! 

lOMoARcPSD|36667950
MC LC
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LOGIC ................................................................................................... 2
§1 PHÁP TÍNH MỆNH ĐỀ .................................................................................................... 2
§2 DNG MỆNH ĐỀ ............................................................................................................ 5
§3 QUY TC SUY DIN ....................................................................................................... 9
§4 V T VÀ LƯỢNG T .................................................................................................... 16
§5 NGUYÊN LÝ QUY NP ................................................................................................... 22
BÀI TẬP CHƯƠNG 1 .......................................................................................................... 24
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐẾM ......................................................................................... 37
§1 TP HP ..................................................................................................................... 37
§2 ÁNH X ....................................................................................................................... 39
§3 PHÉP ĐẾM ................................................................................................................... 42
§4 GII TÍCH T HP ....................................................................................................... 47
§5 NGUYÊN LÝ CHUNG B CÂU ....................................................................................... 52
BÀI TẬP CHƯƠNG 2 ........................................................................................................ 53
CHƯƠNG 3: QUAN H ........................................................................................................ 61
§1 QUAN H ..................................................................................................................... 61
§2 QUAN H TƯƠNG ĐƯƠNG ............................................................................................ 64
§3 TH T ....................................................................................................................... 66
§4 DÀN ............................................................................................................................ 71
§5 DÀN
2
......................................................................................................................... 74
§6 DÀN ............................................................................................................................ 75
BÀI TẬP CHƯƠNG 3 .......................................................................................................... 82
CHƯƠNG 4: ĐẠI S BOOL VÀ HÀM BOOL ............................................................................. 89
§1 ĐẠI S BOOL ............................................................................................................... 89
§2 HÀM BOOL .................................................................................................................. 95
§3 MNG CÁC CNG VÀ CÔNG THỨC ĐA THỨC TI TIU .................................................... 99
§4 PHƯƠNG PHÁP BIỂU Đ KARNAUGH ........................................................................... 103
§5 PHƯƠNG PHÁP THA THUN ...................................................................................... 111
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 ...................................................................................................... 117
GIẢI ĐÁP MỘT S BÀI TP ................................................................................................. 121
lOMoARcPSD|36667950
CHƯƠNG 1: S LOGIC
§1 PHÁP TÍNH M
NH
ĐỀ
Trong toán hc ta quan tâm ến nhng mnh giá tr hân xác nh ( úng hoc
sai nhưng không thể va úng va sai). Các khng ịnh như vậy ược gi là m
nh
. Các mnh
úng ược nói là có giá tr
chân lý úng
(hay chân tr
úng
), các mnh sai ược nói là có chân
tr
sai.
Ví d:
1. Các khng nh sau là mnh :
Môn Toán ri rc là môn bt buc cho ngành Tin hc. 1+1=2.
4 là s nguyên t.
Hai mnh u có chân tr 1, mnh th ba có chân tr 0.
2. Các khng ịnh dưới dng tán than hoc mnh lnh không phi mnh vì nó không có chân
tr xác nh.
3. Khng nh số nguyên t không phải mnh . Tuy nhiên, nếu thay n bng mt s
nguyên c nh thì ta s có mt mnh : chng hn vi
= 3
ta có mt mnh úng, trong khi
vi
= 4
ta mt mnh sai. Khng ịnh này ược gi mt v
t
cũng ối tượn kho
sát ca logic.
Ta thường ký hiu các mnh bi các ch
, , ,…
chân tr úng (sai) ược ký hiu bi
1 (0). Đôi khi ta còn dùng các ký hiu
,
ch chân tr úng và d ch chân tr sai.
Phân tích k các ví d ta thy các mnh ược chia ra làm 2 loi:
Các mnh ược xây dng t các mnh khác nh liên kết chúng li bng
các liên t(và, hay, nếu… thì… ) hoặc trng t “không”. Ta nói các mệnh
này là mnh phc hp.
Ví d: N
ế
u tri p thì tôi i dạo” là một mnh phc hp.
Các mnh không th xây dng t các mnh khác bng các liên t hoc
trng t “không”. Ta nói các mệnh này là mnh nguyên thy hay sơ cp.
Ví d: “Hôm nay trời ẹp”, “3 là số nguyên tố” là các mệnh nguyên thy.
Mc ích ca phép tính mnh là nghiên cu chân tr ca mt mnh phc hp t
chân tr ca các mnh ơn giản hơn và các phép nối ca nhng mnh này th hin qua
lien t hoc trng t không”.
Các phép ni:
Phép ph nh: ph
nh ca mnh P ưc hiu bi
¬
( c là không P). Chân tr ca
¬
0 nếu chân tr ca là 1 và ngược li.
Ta có bng sau gi là b
ng chân tr
ca phép ph nh:
¬
lOMoARcPSD| 36667950
0
1
1
0
Phép ni lin: m
nh
n
i li
n ca hai mnh P, Q ược ký hiu bi PQ ( c là
P Q). Chân tr ca PQ là 1 nếu c P ln Q u có chân tr 1. Trong các trường hp khác,
PQ có chân tr 0.
Nói cách khác phép ni liền ược xác nh bi b
ng chân tr
sau:
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
d: mnh “Hôm nay trời p trn bóng á s hp dẫn” ược xem mt mnh úng
nếu c hai iu kiện “trời p” và “trận bóng á s hp dẫn” u xảy ra. Ngược li nếu mt mnh
úng mt mnh sai hoc c hai mnh u sai thì mnh mt mnh sai.
Phép ni ri: m
nh
n
i r
i ca hai mnh P, Q ược hiu bi PQ ( c P hoc
Q). Chân tr ca PQ là 0 nếu c P ln Q u có cn tr 0. Trong các trường hp khác, PQ
có chân tr 1.
Nói cách khác phép ni rời ược xác nh bi b
ng chân tr
sau:
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
Ví d: “Ba ang ọc báo hay xem tivi” một mnh úng nếu lúc này ba c báo, xem tivi hay
va c báo va xem tivi (!). Ngược li nếu c hai vic trên u không xy ra, d Ba ang
làm vic thì mnh mnh sai. Chú ý rng trong mnh PQ, t “hay” ược dung theo
nghĩa bao gm,nghĩa có th ng thi úng. Tuy nhiên theo ngôn ng hng ngày ta
thường hiu theo nghĩa loi tr, nghĩa úng hay úng nhưng không ng thời úng. Để
phân bit rõ rang, trong trường hp loi tr ta s s dng t “hoặc”: “ hoặc ” và ký hiu
( hay nhưng khôngng thi c hai). Bng chân tr ca là:
lOMoARcPSD| 36667950
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
Phép kéo theo: nếu P thì Q ược ký hiu là (cũng c là kéo theo , hay là iu kin
ca , hay là iu kin ca ). Để xác nh chân tr cho ta
hãy xem ví d mnh “nếu tri p thì tôi i dạo”. Ta có các trưng hp sau:
tr
i
p và tác gi
c
a kh
ng nh ang i d
o: khi y hin nhiên là mnh úng.
tr
i
p và tác gi
ng
i nhà: mnh rõ ràng sai.
tr
i x
u và tác gi
i d
o: mnh vn úng
tr
i x
u và tác gi
ng
i nhà: mc dù tri xấu nhưng tác giả không vi phm khng nh ca
mình nên mnh phải ược xem là úng.
T ó ta có b
ng chân tr
của phép kéo theo như sau:
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
Chú ý:
1. Với quy ước v chân tr như trên, ta sẽnhng khng nh úng rt ng nghĩnh như:
“nếu 2=1 thì Quang Trung và Trần Hưng Đạo là một người”
2. Cn phân bit mnh vi lnh trong mt s ngôn
ng lp trình ví d như Pascal, Basic. Trong thì c và là mnh còn trong lnh
ì
mt mnh còn mt dãy liên tiếp dòng lnh s
ược thc hin nếu mnh P có chân tr 1 và s ược b qua nếu P có chân tr là 0. Nhc
li rng các dòng lnh nhng mnh lnh máy phi thc hin nên không phi
mt mnh d theo nghĩa ta xét. Dù sao cũng có mt s tương tự gia hai ối tượng “
và “ ”. Hơn nữa có th li dụng các tương ương logic ể thc hin
lệnh “ ” có hiệu qu.
3. Trong ngôn ng hằng ngày, người ta thường hay nhm ln phép kéo theo vi kéo
theo hai chiu, chng hạn như phát biểu ”giảng viên khoa Toán dạy nghiêm túc” viết
theo phép nối “nếu anh giáo viên khoa Toán thì anh dạy nghiêm túc” thường b
phn ng giáo viên các khoa khác vì h cho rằng người nói ã ám ch “nếu là ging viên
khoa khác tdạy không nghiêm túc”. Thật ra khi phát biểu, người nói có khi cũng mun
ám ch “nếu anh giáo viên khoa Toán thì anh dạy nghiêm túc”. ây nếu viết phát biu
ban u dưi dng thì hai phát biu hiu nhm s có dng
(¬ )
(¬ )
. Tuy
nhiên, nếu bao gm them mt trong hai phát biu sau, thì phát biu thành mt phép
kéo theo hai chiu theo nghĩa dưi ây.
Phép kéo theo hai chiu: mnh nếu thì và ngược lại ược ký hiu (cũng
c khi ch khi
,
nếu ch nếu , hay P iu kin cn ). Theo trên, c hai
lOMoARcPSD|36667950
chiu u úng nên nếu úng thì cũng úng và ngược li. Do ó ta có b
ng chân tr
ca
phép kéo theo hai chiu như sau:
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
§2 D
NG M
NH
ĐỀ
Trong Đại s ta có các biu thc i s ược xây dng t:
các s nguyên, hu t, thực,… mà ta gọi là h
ng s
.
các biến
, ,…
có th ly giá trcác hng s.
các phép toán thao tác trên các hng s các biến theo mt th t nht nh.
Khi thay thế các biến trong mt biu thc i s bi các hng s thì kết qu thc hin
phép toán trong biu thc smt hng s nào ó. Trong phép toán mnh ta cũng có các
“biểu thức logic” tương t mà ta gi là các d
ng m
nh
ược xây dng t:
các mnh (hng mnh ).
các biến mnh
, ,…
có th ly giá tr là các mnh nào ó.
các phép ni thao tác trên các hng mnh biến mnh theo mt th t nht nh. ây
th t ược xác nh bi các dấu “()” ể chphép ni thc hin trên cp mnh nào, úng ra là
trên các bi
u th
c con nào. Ví d như:
( , , ) )
là mt dng mnh trong ó
, ,
là các biến mnh còn là mt hng mnh .
Gi s
,
là 2 dng mnh , khi y
¬ ,
,
,
các dng mnh . Bng cách này
ta có thy dựng ược các dng mnh càng ngày càng phc tp.
Mt khác, iu ta quan tâm i vi mt dng mnh
( , , ,…)
là chân tr ca mnh ó có ưc
( , , ,…) khi thay các biến mnh , , ,… bi các hng mnh
, , ,… chân tr xác nh, nghĩa là s ph thuc ca chân tr ca ( , , ,…) theo các chân tr
ca
, , ,…
ch không phi theo các th hin c th
, , ,…
qua các mnh cu th , , ,… Nói
cách khác mi mt dng mnh ( , , ,…) có mt bng chân tr xác nh trong ó mi dòng cho
biết chân tr ca
( , , ,…)
theo các chân tr c th ca , , ,…
Ví d:
1. Ta hãy xây dng bng chân tr ca hai dng mnh ˅
(
˄
)
(
˅
)
˄ theo các biến mnh
, ,
.
˄
˅( ˄ )
˅
˅ )˄
lOMoARcPSD| 36667950
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
Ta thy hai dng mnh ˅
(
˄
),(
˅
)
˄ bng chân tr khác nhau. Điều này cho thy
th t thc hin các phép ni quan trng s cn thiết ca các dấu “()”. Tuy nhiên ta
s quy ước rng nếu phép ni ¬ i cùng vi mt phép ni khác mà không dấu “()” thì phép
ni ¬ s ược ưu tiên thực hiện trước. d như
¬
˅ nghĩa thc hin ¬ trước ri mi
thc hin , nói cách khác biu thc
¬
˅
(¬ )
˅ là mt. Trong trường hp mun thc hin
sau ta phi t du ngoc:
¬ (
˅
)
.
2. Ta hãy xây dng bng chân tr ca hai dng mnh
¬
˅
¬
¬
˅
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
Như vậy hai dng mnh
¬
˅ có cùng bng chân tr. Ta nói chúng tương ương logic
theo nghĩa sau
Định nghĩa 1.2.1: hai dng mnh
,
ược nói chúng tương ương logic nếu chúng cùng
bng chân tr. Khi y ta viết .
Chú ý rng nếu và tương ương logic thì dng mnh luôn luôn ly giá tr 1 dù các
biến có ly giá tr nào i na.
Định nghĩa 1.2.2:
i. Mt dng mnh ược coi là mt h
ng úng
nếu nó luôn luôn ly chân tr 1.
ii. Mt dng mnh ược coi là mt h
ng sai hay mâu thu
n nếu nó luôn luôn ly chân tr 0.
T nhn xét trên, ta luôn có
Mnh 1.2.1: hai dng mnh tương ương logic khi và chỉ khi là mt hng úng.
Nếu ch ý ến phép kéo theo mt chiu ta có
Định nghĩa 1.2.3: dng mnh ược nói h qu logic ca mnh nếu mt hng
úng. Khi y ta viết . Ta cũng nói là h qu logic ca .
Như thế nói rng tương ương logic với có nghĩa là là h qu logic ca và là h qu
logic ca .
lOMoARcPSD|36667950
Trong phép tính mnh ề, ta thường không phân bit các dng mnh tương ương logic.
Ta có
Quy tc thay thế th nht: trong dng mnh nếu ta thay thế biu thc con bi mt
dng mnh tương ương logic thì dng mnh thu ược vn còn tương dương logic vi .
Chú ý: Ta ã s dng khái nim biu thc con theo mt nghĩa hết sc t nhiên: dng mnh
“xuất hiện” trong , hay nói cách khác có thể xây dng t và mt s dng mnh khác
qua các phép ni.
Ví d:
(
)
tương ương logic với
˅
)
vì trong ó biu thc con ã ược thay thế bi dng
mnh ơng dương logic là
¬
˅.
Vi quy tc thay thế trên ta có th “rút gọn” một dng mnh bng cách thay mt
biu thc con bi mt dng mnh ơng ương nhưng ơn giản hơn hoặc giúp cho bước rút
gn tiếp theo d dàng hơn. Ngoài ra, cũng cần nhn biết mt s hằng úng. Thường các hng
úng này có th suy t mt s hằng úng ơn giản nh:
Quy tc thay thế th hai: gi s dng mnh ( , , ,…) mt hng úng. Nếu ta thay thế
những nơi p xuất hin trong E bi mt dng mnh tùy ý
( ’, , ’,…)
thì dng mnh nhn
ược theo các biến , , ,…, ’, ’, ’,… vn còn là mt hng úng.
Ngoài hai quy tc thay thế trên, ta còn s dng 10 quy luật logic ược phát biu i dng
các tương ương logic có thể rút gn mt dng mnh cho trước. Ta có
Định 1.2.2 (Quy lut logic): vi
, ,
các biến mnh , 1 mt hng úng 0 mt mâu
thun (hằng sai), ta có các tương ương logic:
i. Ph
nh c
a ph
nh:
¬ ¬ ii. Quy
t
c De Morgan:
¬ ( ¬ ¬
¬ () ¬ ¬ iii. Lu
t
giao hoán:
iv. Lu
t k
ế
t h
p:
v. Lu
t phân b
:
)
)
vi. Lu
t l
ũy
ng (Idempotent Rules)
vii. Lu
t trung hòa:
1
lOMoARcPSD|36667950
0 viii. Lu
t v
ph
n t
bù:
¬ 0 ¬
1
ix. Lu
t th
ng tr
:
0 0
1 1
x. Lu
t h
p th
:
()
()
Chng minh: c gi có th kim tra d dàng 10 quy lut logic trên bng cách lp bng chân tr
ca hai vế của tương ương logic.
pcm
Ví d:
1. T quy tắc De morgan ta ược hng úng
¬ () ¬ ¬
Thay thế p bi rs ta s ược mt hng úng mi
¬ ( () ) ¬ () ¬
2. Hãy chng minh dng mnh sau là hng úng
[ () () ) (1.2.1)
Mun vy ta thay thế rs bi p¬tu bi q ưa về chng minh dng mnh sau là
hng úng:
( ) ]
Ta s dng liên tiếp quy tc thay thế th nhất và ược các tương ương logic sau:
( ) ]
¬ ¬
¬ 1
Do ó 1.2.1 là mt hng úng.
3. Tương tự như trên ta có:
1
()
¬ ¬
¬ ¬ ( ) (1.2.2)
Nếu ta liên kết dng mnh vi lnh trong mt s
ngôn ng lp trình cp cao như Pascal, Basic thì dng mnh
(
˄
)
s ưc liên kết vi lnh
˄ còn dng mnh
(
)
s ượ liên kết vi
lnh .
Bây gi ta hãy xét mt d liên quan ến hay lnh trên trong mt oạn chương trình viết bng
Pascal:
a) :=3;
lOMoARcPSD|36667950
For :=1 to 10 do
Begin
:= ;
:= + 2 ;
If ( > 0) And ( > 0) Then
Writeln (‘giá trị ca + = ’, + )
End;
b) :=3;
For :=1 to 10 do
Begin
:= ;
:= + 2 ;
If > 0 Then
If > 0 Then Writeln (‘giá trị ca + = ’, + )
End;
Rõ ràng c hai oạn chương trình trên u có cùng Output là hai dòng:
giá tr ca + =
7 giá tr ca + =
8
Tuy nhiên trong chương trình a) ta cn 20 ln so sánh (10 l so sánh
> 0
10 ln
so sánh
> 0
), trong khi chương trình b) ta ch cn 12 ln so sánh (10 ln so sánh
> 0
2
ln so sánh
> 0
ng vi
=
1,2). Như thế chương trình b) chy có hiu qu hơn.
Ví d trên ây cho thy mt mt cn phân bit và lnh
, mt khác ta cn nm các dạng tương ương ca dng mnh thc hin lnh
hiu qu hơn. Chẳng hn nhiều chương trình biên dch li
dụng tương ương logic 1.2.2 thay lnh
(
)
. ây li xy ra nghch lý là lnh
(
˄
)
lại ược thay
thế bng lnh
(
)
trong d trên
ta cn ến 20 ln so sánh. Như thế phi cn thn khi s dụng tương ương logic hiển nhiên
(lut giao hoán) gia
˄ ˄.
§3 QUY T
C SUY DI
N
Trong mt chng minh toán hc, xut phát t mt s khng ịnh úng p1, p2,…, pn
gi tin , ta áp dng các quy tc suy din suy ra chân ca mt khng nh q ta
gi là kết lun. Nói cách khác, các quy tc suy diễn ược áp dng suy ra q h qu logic
ca p1 p2pn, hay nói cách khác dng mnh
( ˄ ˄ ˄)
lOMoARcPSD|36667950
là mt hng úng, trong ó p
1
, p
2
,…, p
n
, q là các dng mnh theo mt s biến logic nào ó.
Thường thì các biến logic không xut hin một cách tường minhược trừu tượng hóa (b
i mt phn ni dung c th) tc mnh nguyên thủy như ví dụ sau ây cho thy.
Gi s ta có các tin :
: nếu An hc chăm thì An t môn Toán ri rc.
: nếu An không i chơi thì An hc chăm.
: An trượt môn Toán ri rc.
Ta mun dùng các quy tc suy din suy ra kết lun sau úng: :
An hay i chơi.
Mun vy ta trừu tượng hóa các mnh nguyên thy “An học chăm”, “An hay i chơi”,
“An t môn toán ri rạc” thành các biến mnh
, ,
. Như vậy các tin bây gi tr thành
các dng mnh
=
= ¬
= ¬
Ta phi chng minh dng mnh sau là mt hng úng:
[() )
Ta th kim tra d dàng dng mnh trên mt hng úng bng cách lp ra bng
chân tr ca nó. Tuy nhiên, ây không phi là một phương pháp tốt nếu s biến mnh ln.
Một phương pháp khác sử dng các qui tc suy din chia bài toán thành ra các c
nh, nghĩa là t các tin suy ra mt s kết luận trung gian trước khi tiếp tc áp dng các
quy tc suy din suy ra kết lun. Để tin ra mô hình hóa phép suy in thành sơ ồ sau:
.
.
.
n
i ây mt s quy tc suy diễn thường dùng chân th c kim tra d
dàng bng cách lp bng chân tr.
Quy tắc Modus Ponens (Phương pháp khẳng nh)
Quy tắc này ược th hin bi hng úng
[() ] (1.3.1) hoặc dưới dạng sơ
Ví d:
Nếu Minh học chăm thì Minh t Toán ri rc
lOMoARcPSD|36667950
Mà Minh học chăm
Suy ra Minh t Toán ri rc.
Tht ra trong quy tc Modus Ponens, mnh pq thường dng tổng quát hơn
“vi bt k sinh viên X nào, nếu X học chăm thì X t Toán ri rạc” và ta ã c bit hóa nó cho
trường hp X= sinh viên Minh. Các phép c bit hóa s ược xem xét trong phn v t
ng t. Mt ví d c in khác ca Qui tc Modus ponens là:
M
ọi người
u ch
ế
t
Socrate là ngườ
i
v
y Socrate s
ch
ế
t.
Thường thì quy tắc Modus Ponens ược áp dng cùng vi quy tc thay thế ơn gin hóa
các bước suy lun. Chng hn ta có phép suy din
)
ây Quy tc Modus Ponens (dng mnh 1.3.1) ược áp dng cùng vi phép thay thế
bi ˅ và q bi
¬
˄.
Tam on lun (Syllogism) ược th hiên bi hng úng
Ví d:
1.
Hai tam giác vuông có cnh huyn bng nhau và mt góc nhn bng nhau thì chúng có
mt cnh bng nhau kèm gia hai góc bng nhau.
Hai tam giác có mt cnh bng nhau kèm gia hai góc bng nhau thì chúng bng nhau.
Suy ra hai tam giác vuông cnh huyn bng nhau mt góc nhn bng nhau thì
chúng bng nhau.
lOMoARcPSD| 36667950
2. Xét tam on lun
Mt con nga r thì hiếm
Cái gì hiếm thì t
Suy ra mt con nga r thì t
Tam on luân trên hoàn toàn hp logic. Tuy nhiên kết lun mâu thun là do da trên
mt tin sai.
3. Ta hãy xét mt ví d trong ó có s dng c hai quy tc trên Bình i chơi thì
Bình không hc Toán ri rc
Bình không hc Toán ri rc thì Bình trượt Toán ri rc
Mà Bình thích i chơi
Vy Bình trượt Toán ri rc.
Nếu trừu tượng hóa các med nguyên thy thành các biến mnh p, q, r thì lun
trên có dng
¬
¬
Ta có th suy luận như sau:
¬
¬
(Tam on lun)
(Modus Ponens)
hoc là
¬
¬
(Modus Ponens) mà
¬
(Modus Ponens)
Quy tắc Modus Tollens (Phương pháp phủ nh)
Phương pháp này ược th hin bi hng úng
[() ¬
] ¬
GS. Nguyn Hu Anh
14
hay dưới dng mô hình
lOMoARcPSD|36667950
¬
¬
Ví d: xét chng minh
¬
¬ ˅
¬
¬
Ta th suy luận như sau: ta thấy các tin ˅
¬
˅ bi các dng mnh tương
ương
à
. Khi y
(Tam on lun lp li nhiu ln) ¬
¬
(Phương pháp phủ nh)
Tam on lun ri: ược th hin bi hng úng
[() ¬ ]
Ý nghĩa ca quy tc này là khi ch có úng hai trường hp có th xy ra và mt trong
hai trường hp ã ược khng nh là sai thì trường hp còn li là úng.
Quy tc mâu thun (Chng minh bng phn chng)
Ta có tương ương logic
[(
1
2
n
) ] [(
1
2
n
¬ ) 0]
Do ó nếu chứng minh ược dng mnh bên phi là mt hng úng thì dng mnh
bên trái cũng là mt hng úng. Nói cách khác nếu thêm gi thiết ph
¬
vào các tin cho
trước mà dn ến mt mâu thun thì q là h qu logic ca các tin in cho trước.
Ví d: y s dụng phương pháp phản chng cho chng minh sau:
¬
¬
Ph nh ca kết lun s ơng ương với:
¬ (¬ ) ¬ () ¬ ¬
lOMoARcPSD|36667950
Như thế ta thêm vào các tin hai gi thiết ph ¬r ¬s tìm cách chng minh
suy lun sau là úng:
¬
¬
¬
Ta có các bước sau ây
¬
0
¬
¬
(Tam on lun)
¬ (¬ )
(Phương pháp phủ nh)
hay tương ương
(Phương pháp khẳng nh)
Kết lun cùng vi gi thiết ph
¬
cho ta:
¬ 0
Do ó theo phương pháp phản chng, chng minh ban u là úng.
Quy tc chứng minh theo trường hp
Quy tắc này ược th hin bi hng úng sau:
[() ()] ]
Ý nghĩa ca quy tc này là mt gi thiết có th tách thành hai trường hp úng hay q
úng, ta ã chứng minh ược riêng r cho từng trường hp là kết lun úng, khi y cũng úng
trong c hai trường hp.
Ví d: Đ chng minh rng ( ) = + 2 luôn chia hết cho 3 ta viết ( ) = ( + 2)
và ly n là mt s nguyên tùy ý. Khi ấy có hai trường hp xy ra:
chia hết cho 3: khi y rõ ràng f(n) cũng chia hết cho 3.
không chia hết cho 3, khi y ta có th viết
= 3 ± 1
vi mt s nguyên k nào ó. Ta có
+ 2 = (3 ± 1) + 2
= 9 ±
6 + 3
= 3(3 ± 2 + 1)
lOMoARcPSD|36667950
Suy ra
( )
=
(
2
+ 2)
cũng chia hết cho 3. Như vy trong mọi trường hp
( )
chia hết cho 3.
Ta hãy xem mt ví d trong ó có s dng nhiu quy tc:
N
ế
u ngh
s
ĩ Văn Ba không tr
ình di
n hay s
vé bán ra ít hơn 50
thì
êm di
n s
b
h
y b
và ông b
u r
t bu
n.
N
ếu êm bi
u di
n b
h
y b
thì ph
i tr
l
i ti
ền vé cho ngườ
i xem.
Nhưng tiền
ã không
ượ
c tr
l
ại cho ngườ
i xem.
V
y ngh
s
ĩ Văn Ba có tr
ình di
n.
Ta thay các mnh nguyên thy bng các biến mnh
: “nghệ sĩ Văn Ba ã trình diễn”
: “số vé bán ra ít hơn 50”
: “êm din s b hy b
: “trả li tiền vé cho người xem”
Khi y lý lun cn chng minh
) ()
¬
Suy lun trên có th ưc thực hiên theo các bước sau:
¬
(Tin )
(hng úng gi là phép ơn giản ni lin)
(Tin )
¬
(Tam on luân m rng)
¬
(Tin )
¬ (¬ )
(Phương pháp phủ nh)
hay
¬
(Quy tc De Morgan và ph nh ca ph nh)
¬
(Phép ơn giản ni lin)
(Phương pháp khẳng nh)
Phn ví d
Bây gi ta hãy xem mt bài toán ngược: khi nào mt chng minh (suy lun) sai,
nghĩa là phi kim tra (
1
2
n
¬
) không phi mt hng úng. Nói cách khác
tìm các chân tr ca biến mnh m cho các tin u úng trong khi kết lun q là sai. Ta nói
d dn ến các giá tr ca biến mnh như trên mt ph
n d
ca nh cn chng
minh.
Ví d: y tìn phn ví d cho suy luận dưới ây
Ông Minh ã khng nh rng nếu không ược tăng lương thì ông ta s xin nghĩ vic. Mt
khác nếu ông ta ngh vic v ông ta b mt vic thì phi bán xe. Biết rng nếu v ông
lOMoARcPSD|36667950
Minh hay i làm tr thì s mt vic và cui cùng ông Minh ã ược tăng lương. Suy ra nếu ông
Minh không bán xe thì v ông ta không i làm tr.
Ta t các biến mnh như sau:
: Ông Minh ược tăng lương
: Ông Minh xin ngh vic
: V ông Minh b mt vic
: Ông Minh phi bán xe
: V ông Minh i làm tr
hình suy lun s
¬
()
¬ ¬
Để tìm phn ví d ta cn tìm các gái tr ca các biến mnh sao cho các tin úng
trong khi kết lun là sai.
Trước hết d kết lun sai ta cn có
¬
úng và
¬
sai, nghĩa là sai và úng. Khi y cho
tin th tư úng r cũng phải úng. Để tin th ba úng ta cn có q sai. Khi y p phi úng
hai tin u úng. Tóm li phn d ng vi các chân tr ca biến = 1, = 0, = 1, = 0
= 1. Đó trường hợp: Ông Minh ược tăng lương ( = 1) ông Minh không
ngh vic (
= 0
), v ông Minh b mt vic (
= 1
), ông Minh không bán xe ( = 0) và v ông Minh
hay i làm tr ( = 1).
§4 V
T
NG T
Định nghĩa 1.4.1: mt v
t
mt khng nh
( , ,…)
trong ó cha mt s biến , ,… ly giá
tr trong nhng tp hợp cho trước , ,… sao cho:
i. bn thân ( , ,…) không phi là mnh
ii. nếu thay
, ,…
bng nhng phn t c ịnh nhưng tùy ý
,
, … ta sẽ ược
mt mnh
( , ,…)
, nghĩa là chân tr ca nó hoàn toàn xác nh. Các biến ,
,…
ược nói
là biến t do ca v t.
Ví d:
( ) = à ê là mt v t theo mt biến
t do : vi = 1,2,11 ta ược các mnh úng (1), (2), (11), còn vi
ta ược các mnh sai (4), (6), (15).
lOMoARcPSD|36667950
( , ) = “ + 2,, + 2 à ℎẵ mt v t vi 2 biến t do ,
: chng hn (4,2) mt mnh úng trong khi (5,2), (4,7) nhng mnh
sai.
Định nghĩa 1.4.2: cho trước các v t
( ), ( )
theo mt biến . Khi y:
i. Ph nh ca p, ký hiu ¬p v tkhi thay x bi mt phn t c nh ca thì ta
ược mnh ¬ ( ( ))
ii. Phép ni liền (tương ng ni rời, kéo theo…) của , hiu bi (tương ứng ,
,…) là vị t theo biến mà khi thay bi phn t c nh ta ược mnh
( ) ( ) (tương ứng ( ) ( ), ( ) ( ),…)
Gi s
( )
là mt v t theo biến . Khi ấy 3 trường hp th xy ra:
Trường hp 1: khi thay bi mt phn t a tùy ý trong , ta ược mnh úng
( ).
Trường hp 2: vi mt s giá tr thì
( )
thì mnh úng, mt s giá tr
thì
( )
là mnh sai.
Trường hp 3: khi thay bi phn ty ý trong , ta ược mnh sai
( )
.
Nếu trường hp 1 xy ra thì mnh “vi mi ” là một mnh úng. Mnh
này ược ký hiu bởi ” ”. Như thế mnh này sai nếu trường hp 2 hay trường
hp 3 xy ra.
Mt khác nếu trường hợp 1 hay trường hp 2 xy ra thì mnh “tn ti
, ( )
là một mnh úng. Mnh này ược hiu bởi ”. Nếu vy mnh
này s sai nếu trườgn hp 3 xy ra.
Định nghĩa 1.4.2: các mnh ” và “ ” ược gọi là lượng t hóa ca
v t
( )
bởi lượng t ph dng () và lượng t tn ti ().
Chú ý:
1. Trong các mnh ng t hóa, biến không còn là t do na. ta nói nó ã b buc bi
các lượng t hay .
2. Theo nhn xét trên, ph nh ca mnh
)”
là úng nếu trường hp 2 hay
trường hp 3 xảy ra. Trưng hp 3 có th viết li: khi thay x bi tùy ý
thì ¬
( )
úng. Như thế nếu trường hợp 2 hay trường hp 3 xy ra thì mnh
)”
là mnh úng. Nói cách khác, ph nh ca mnh A, p(x)” là
mnh
)”.
Cũng thế ph nh ca mnh
mệnh
cả hai cùng úng nếu trường hp 3 xy ra cùng sai nếu trưng hp
1 hay trường hp 2 xy ra.
Bây gi ta xem mt v t theo hai biến . Khi y nếu thay bng
mt phn t c nh nhưng tùy ý t theo biến
nên ta có th ng ta nó theo biến và ưc hai m
”. Bằng cách này ta ược hai v t theo mt biến
)”
)”
. Nếu lượng t hóa chúng ta s ược 4 mnh :
lOMoARcPSD|36667950
) )
)
)
Đương nhiên ta thể ng t hóa theo biến x trước ri theo biến y sau ược 4
mnh na. Hãy xét mt trong các mnh ó: ”. Giả s mnh này
úng. Suy ra mnh úng. Rõ ràng iều ngược li cũng úng nên ta có
mnh úng
)]
Tương tự mnh sau cũng úng:
)]
Hơn nữa ta
Định lý 1.4.1: nếu
( , )
là mt v t theo 2 biến
,
thì các mnh sau là úng
i.
)] và
)] ii.
)]
Chng minh: ta ch cn chng minh ii
Gi s
” úng. Khi ấy s tn ti sao cho mnh
” là úng, nghĩa là nếu thay tùy ý thì
( , )
úng. Như vậy vi
tùy ý ta có th chn
=
khng nh rng
)”
là úng.
Do ó
)”
là mt mnh úng.
pcm
Chú ý: mnh o ca ii không nht thiết úng trong trường hp tng quát. Tht vy ta hãy
xem mt ví d
Gi
( , )
là v t theo hai biến thc:
+ = 1
Ta nhn xét rng nếu thay y=b là mt s thc tùy ý thì ta có th chn
=
1
cho x + b = 1 nên mnh úng. Điều này chng t mnh
” úng. Ngưc li nếu thay
=
tùy ý, ta có th chn
=
nên mnh
sai. Điều này chng t mnh
” là sai. Do ó phép kéo theo sau là sai:
1)
lOMoARcPSD| 36667950
Các kết qu trên ây có th ược m rng d dàng cho các v t theo nhiu biến t do.
Đặc bit ta có:
Định 1.4.2: trong mt mnh ng t hóa t mt v t theo nhiu biến c lp nếu ta
hoán v hai lượng t ng cnh nhau thì
Mnh mi vn còn tương ương logic với mnh cũ nếu hai lưng t này cùng
loi
Mnh mi s mt h qu logic ca mnh cũ nếu hai lượng t trước khi hoán v
có dng ∃∀.
Ví d: mt hàm thc liên tc u trên mt khong ược nh nghĩa bi mnh :
> 0, > 0, , ,(| | < ) (| ( ) ( )| < )
Theo mnh 1.4.2 thì mnh trên có h qu logic
> 0,∀ ∈ ,> 0,∀ ∈ ,(| | < ) (| ( ) ( )| < ) hay tương ương
,> 0, > 0, ,(| | < ) (| ( ) ( )| < )
Nói cách khác mt hàm liên tc u trên I thì liên tc.
Để ly ph nh mt mnh ng t hóa, chú ý 2 ca nh nghĩa 1.4.3 có th ược m
rng thành
Định lý 1.4.3: ph nh ca mt mnh ng t hóa t v t
( , ,…)
ược bng cách thay
ng t bởi lượng t và lượng t bởi lượng t , và v t
( , ,…)
bi ph nh ¬ ( ,
,…).
Ví d: mt hàm thc liên tc ti ược nh nghĩa bi:
> 0, > 0, ,(| | < ) (| ( ) ( )| < )
Do ó ly ph nh theo nh 1.4.3 ta s ược nh nghĩa ca hàm không liên tc ti
:
> 0, > 0, ,(| | < ) (| ( ) ( )| )
Thông thưng các nh trong toán hc ược phát biu liên quan ến các mnh ng
t hóa trong ó lượng t ph dng. Do ó ngoài các quy tc suy din ta còn s dng quy
t
c
c bi
t hóa ph
d
ngquy t
c t
ng quát hóa ph
d
ng.
Quy tc c bit hóa ph dng: nếu mt mnh úng dạng lượng t hóa trong ó mt
biến b buc bởi lượng t ph dng , khi y nếu thay thế bi ta s ược mt mnh
úng.
Ví d:
1. Khi ta phát biểu “mọi người u chết”, thực cht là ta ã s dng mnh lượng t hóa:
,( à ườ ) ( ℎế)
Để áp dụng ược phương pháp khẳng nh, ta dùng quy tc c bit háo ph dng
vi =
(Socrate là người) (Socrate s chết)
Do ó kết hp vi tin “Socrate là người”, phương pháp khẳng nh cho phép kết lun
“Socrate sẽ chết”.
lOMoARcPSD|36667950
2. Trong các nh lý tóan hc, ví d như trường hp bng nhau ca hai tam giác, khng
nh là mt mnh ng t hóa ph dng cho mt cp tam giác bt k. khi áp dng
ta s c bit hóa cho mt cp tam giác c th o ó.
Bài toán ngược li nếu mt kết lun có dạng lượng t hóa ph dng thì làm cách
nào suy din nó t các tin . Nếu tp hợp tương ứng A là mt tp hp hu hn không quá
nhiu phn t, ta th dùng phương pháp vét cn bng cách thay thế biến lần lượt bi các
phn t ca A và chng minh mnh là úng. Mt khác nếu A=N ta thường s dng nguyên
lý quy np s trình bày §5.
Tuy nhiên nếu A hn không ếm ược, hay ngay khi A hu hạn nhưng số phn t
ca A quá lớn, các phương pháp trên không sử dụng ược và ta pho s dng:
Quy tc tng quát hóa ph dng: nếu trong mt mnh ng t hóa, khi thay mt biến
buc bởi lượng t bng mt phn t c ịnh nhưng tùy ý ca tp hợp tương ứng mà mnh
nhận ược có chân tr 1 thì bn thân mnh ng t hóa ban u cũng có chân tr 1.
Ví d: Khi giải phương trình 4 5 = 15 ta lý luận như sau:
Gi s 4 5 = 15 , khi y 4
= 20
Gi s 4
= 20
, khi y
= 5
Như vậy nếu 4 5 = 15 thì = 5
Nếu gi ( ), ( ), ( ) là các v t 4 5 = 15”, “4 = 20”, “ = 5” thì lý luận trên có dng
, ( ) ( )
, ( ) ( ) (1.4.1)
∴ ∀ , ( ) ( )
S úng n ca lý luận trên ược cho bi
Định lý 1.4.4: gi ( )
,
( )
, ( )
là các v t theo mt biến , khi y suy lun 1.4.1 là úng.
Mun vy ta c bit hóa hai tin và ược hai mnh úng
( ) ( ) ( )
( )
Suy ra ( )
( )
theo tam on lun. Do ó quy tc tng quá hóa ph dng cho phép kết
lun
, ( )
( )
là mt mnh úng.
Ví d: Gi
,
là 2 hàm thc
Gi s ( ) liên tc ti = ( )liên tc ti = = ( ). Khi y ( ) = ( )(
)
liên tc ti
=
. Suy lun
cn chng minh có dng:
lOMoARcPSD| 36667950
S dng phép tng quát hóa ph dng ta bi mt s dương cố ịnh nhưng tùy ý. Để
tin ta s dùng cùng ký hiu d ch s c nh trên. Khi y ta cn tìm
> 0
d cho mnh sau
là úng
,(| | < ) (|( ) ( )| < )
Dùng phép c bit hóa ph dng cho tin th hai vi
> 0
như trên, ta sẽ tìm ược >
0 sao cho:
,(| | < ) (| ( ) ( )| < ) (1.4.2)
Tiếp theo, ta c bit hóa bi va tìm ưc cho tin th nht và tìm ược > 0 sao cho:
,(| | < ) (| ( ) ( )| < ) (1.4.3)
Thay bi s thc tùy ý mà ta vn ký hiu thì 1.4.3 ược c bit hóa bi
(| | < ) (| ( ) ( )| < ) (1.4.4) Khi y ta c bit hóa
1.4.2 vi
= ( )
ta ược
(| ( ) | < ) (|( ) ( )| < ) (1.4.5)
Áp dng Tam on luận cho 1.4.4 và 1.4.5 ta ược
lOMoARcPSD|36667950
(| | < ) (|( ) ( )| < )
Do ó theo phương pháp tổng quát hóa ph dng ta
,(| | < ) (|( ) ( )| < )
Áp dng mt ln nữa phương pháp tổng quát hóa ph dng ta thy mnh sau
úng
> 0, > 0,,(| | < ) (|( ) ( )| < )
nghĩa là làm liên tc ti
=
.
§5 NGUYÊN LÝ QUY N
P
Trong nhiều trường hp, quy tc tng quát hóa ph dng không cho kết qu, ngay
c vi các v tbiến t do thuc N. Tuy nhiên i vi các v ty ta có mt công c rt
mnh là:
Nguyên lý quy np: Mnh , ( ) là h qu ca
(0) [ , ( ) ( + 1)]
Chú ý:
Theo ngôn ng thông thưng ta nói: gi s (
0
) úng và nếu ( ) úng thì (
+ 1
) cũng úng,
khi y suy ra ( ) úng vi tùy ý.
Nguyên lý này có th bt u t : nghĩa là
( ) [ 0, ( ) ( + 1)] [ , ( )]
Ví d: xét v t ( ):
Trước hết
(0)
úng vì nó có dng:
0 =
Để chng minh
, ( )
( + 1)
ta dùng phép tng quát hóa ph dng, thay bi , mt
s nguyên tùy ý và chng minh
( )
( + 1)
. Mun vy gi s
( )
úng:
Khi y
nghĩa là
( + 1)
úng. Do ó theo nguyên lý quy np “
, ( )
” là một mnh úng.
lOMoARcPSD| 36667950
Áp dng: kim tra một chương trình máy tính có chy úng ý nh cu ngưi thiết kế khôn,
ta thường to ra các s liu gi nh chy th (Test). Thật ra phương pháp này không th
khng nh chc chn rằng chương trình chạy úng không. Hơn nữa trong nhiều trường
hp, d nkhi chương trình ang xét là mt b phn của chương trình ln mà d liu ch
có th sinh ra t chương trình ln, thì khi y ta không th to ra d liu gi d chy chuong
trình con ược. May mn là trong mt s trường hp ta th s dng công c toán hc
chng minh rằng chương trình khi chy s luôn cho ra kết qu mong mun. Mt trong nhng
công c ó là ngyên lý quy nạp như ví dụ i ây cho thy
Xét oạn chương trình viết bng Pascal: while
< > 0
do
Begin
;
1;
End;
Kết qu:= ;
Ta mun kim tra rng khi gi oạn chương trình trên mà các biến có giá tr
, ,
vi là
s nguyên t nhiên thì khi ra khỏi chương trình , biến sgiá tr . Mun vy ta gi ( ) v
t:
" ℎự , , ế đ
ℎươ ì ò á á
á ế à , , ì ℎỏ ℎươ ì ế
ó á
"
Ta áp dng nguyên lý quy nạp như sau:
(
0
)
:
khi tr v dòng lnh while vi các giá tr ca biến là
, ,0
thì vòng lp không ược
thc hin tiếp và ta ra khỏi chương trình vi giá tr ca biến
=
* vi
=
là mt s nguyên t nhiên tùy ý. Gi s ( ) úng, ta s chng minh
(
+ 1
) úng. Gi
,
là các s thc tùy ý và gi s ta tr v dòng lnh while vi giá tr ca các
biến là , , = + 1. Do 0 nên + 1 > 0. Do ó vòng lặp while ược thc hin thêm ít nht mt ln
na. Sau ln u tiên thc hin ta tr v dòng lnh while vi giá tr ca các biến
, , =
. Do
( )
úng nên khi ra khỏi chương trình, biến s có giá
tr:
() = ( )
nghĩa là ( + 1) úng.
Do ó “
, ( )
” úng. Đặc bit khi ta gi oạn chương trình trên vi các biến
, ,
thì khi ra
khỏi chương trình biến s có giá tr như mong muốn.
lOMoARcPSD|36667950
BÀI T
ẬP CHƯƠNG 1
1. Trong các khng nh sau, cho biết khng nh nào là mnh :
a) Trần Hưng Đạo là mt v ng tài.
b)
+ 1
là mt s nguyên dương.
c) 9 là mt s chn.
d) Hôm nay tri p làm sao!
e) Hãy hc Toán ri rc i.
f) Nếu bn ến tr thì tôi s xem bóng á trước.
2. Gi và là các mnh ề: : “Minh giỏi Toán”
: “Minh yếu Anh văn”
Hãy viết li các mnh sau dưới dng hình thc trong ó s dng các phép ni a)
Minh giỏi Toán nhưng yếu Anh văn
b) Minh yếu c Toán lẫn Anh văn
c) Minh gii Toán hay Minh va giỏi Anh văn vừa yếu Toán
d) Nếu Minh gii Toán thì Minh giỏi Anh văn
e) Minh giỏi Toán và Anh văn hay Minh giỏi Toán và yếu Anh văn
3. Gi
, ,
là các mnh :
: “Bình ang học Toán”
: “Bình ang học Toán”
: “Bình ang học Anh văn”
Hãy viết li các mnh sau dưới dng hình thc trong ó s dng các phép ni a)
Bình ang học Toán và Anh văn nhưng không học Tin hc
b) Bình ang hc Toán và Tin học nhưng không học cùng mt lúc Tin hc và Anh văn
c) Không úng là Bình ang hc Anh văn mà không học Toán
d) Không úng là Bình ang học Anh văn hay Tin học mà không hc Toán
e) Bình không hc Tin hc ln Anh văn nhưng ang học Toán
4. Hãy ly ph nh ca các mnh sau:
a) Ngày mai nếu trời mưa hay trời lnh thì tôi s không ra ngoài
b) 15 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 4
c) Hình t giác này không phi là hình ch nht mà cũng không phi là hình thoi
d) Nếu An không i làm ngày mai thì s b dui vic
e) Mi tam giác u có các góc bng 60
0
5. Cho biết chân tr ca các mnh sau:
a)
= 2
và tng các góc ca mt tam giác bng 180
0
b) = 3.1416 kéo theo tng các góc ca mt tam giác bng 170
0
c)
= 3
kéo theo tng các góc ca mt tam giác bng 170
0
d) Nếu 2>3 thì nước sôi 100
0
C
e) Nếu 3<4 thì 4<3
f) Nếu 4<3 thì 3<4
lOMoARcPSD| 36667950
6. Ta nh nghĩa mt phép ni mi ký hiu ch mnh : không cũng không
. Hãy lp bng chân tr ca phép ni trên.
7. Gi s và là hai mnh nguyên thy sao cho sai. Hãy xác nh chân tr ca
các mnh sau:
a) b) ¬ c)
8. Gi
, ,
là các mnh sau:
: “Bình ang học Toán”
: “Bình ang học Toán”
: “Bình ang học Anh văn”
Hãy viết li các mnh sau theo ngôn ng thông thường:
a) b) ¬
c) d)
9. Xác nh chân tr ca các mnh sau:
a) Nếu 3 + 4 = 12 thì 3 + 2 = 6
b) Nếu 1 + 1 = 2 thì 1 + 2 = 3
c) Nếu 1 + 1 = 2 thì 1 + 2 = 4
10. Có bao nhiêu cách t dấu “()” khác nhau vào dạng mnh
¬
. Lp bng chân tr cho
từng trường hp.
11. Lp bng chân tr cho các dng mnh sau:
a) ¬ () b) ¬ )
c) () ¬ d) () (¬ )
e) () () f) (¬ ) )
g) (¬ ) (¬ ) h) ¬ (¬ ¬ )
12. Hãy ch ra các hng úng trong các dng mnh sau:
a) () () b) () ()
b) ) d) ()
c) () f) () [() ()]
13. Trong các khng nh sau, hãy ch ra các khng nh úng:
a)
b) ¬ ()
c) () ()
d) () () ()
e) ()
f) ()
g) () () ()
h) () () ()
i) ) (¬ )
14.
lOMoARcPSD| 36667950
a) Gi s biến mnh có chân tr 1, hãy xác nh tt c các chân tr ca các biến mnh
, ,
cho dng mnh sau ly chân tr 1:
([(¬ ) ¬ ]) (¬ )]
b) Câu hỏi tương tự cho trường hp có chân tr 0
15. Có th nói gì v mt dng mnh :
a) Có h qu logic là mt mâu thun?
b) h qu logic là mt hng úng?
c) Là h qu logic ca mt mâu thun?
d) Là h qu logic ca mt hng úng?
16. Hãy ch ra các khng nh úng trong s các khng nh sau:
a) ()
b) ¬ ()
c) ¬ ¬
d) ¬ ¬ () )
e) [() () ()] [() () ()]
f) () () () () () ()
17. Dùng quy tc thay thế kim tra các dng mnh sau là hng úng:
a) [() ] ¬ ()]
b) [() ] () [[[() ] ] [[() ] ]]]
18. Đơn gin dng mnh sau:
[[[() ] [() ¬ ]] ¬ ]
19. Ly ph nh rồi ơn giản các dng mnh sau:
a) () ¬ ) b) ()
c) ) d) ¬ )
20. Cho biết quy lut logic nào ã ược áp dng trong mỗi bước tương dương sau:
Biu thc Quy lut logic
a) [() (¬ )]
[(¬ )]
(0)
b) ¬ () [(¬ ) ¬ ] ¬() )]
¬() [(¬ ¬ ) )]
¬() [(¬ ¬ ) 1]
¬() ¬ )
¬() ¬ ()
¬[() ()]
¬[() ()]
¬[[()]]
¬()
c) () (¬ )]
lOMoARcPSD| 36667950
() ¬
) ¬
¬ )
¬ ) )
¬ ) 0 ¬
¬
¬()
21. Hãy in mnh vào ch trng cho các suy luận sau ây theo phương pháp khng nh
và ph nh là úng:
a) Nếu xe ca Minh không khi ộng ược thì anh phi kim tra bugi. Mà xe ca Minh
không khi ộng ược.
Suy ra ...............................................................................................
b) Nếu Hà làm bài úng thì ược im cao Mà không ưc im cao
Suy ra ...............................................................................................
c) Nếu ây là vòng lp REPEAT-UNTIL thì phn thân ca vòng lp phải ưc thc hiên
ít nht mt ln
Mà ....................................................................................................
Vy phn thân ca vòng lặp ược thc hiên ít nht mt ln.
d) Nếu chiu nay Minh á bóng thì Minh không ược xem tivi bui ti
Mà ....................................................................................................
Vy Minh không á bóng chiu nay.
22. Cho biết suy luận nào trong các suy luân dưới ây là úng và quy tc suy din nào ã ược
s dng?
a) Điu kin CSG thng trn là i th ng g li vào phút cui
Mà CSG ã thng trn
Vy i th CSG không g li vào phút cui
b) Nếu Minh giải ưc bài toán th tư thì em ã np trưc gi quy nh Mà Minh ã
không nộp bài trước gi quy nh
Vy Minh không giải ược bài toán th
c) Nếu lãi sut gim thì s người gi tiết kim s gim
Mà lãi sut ã không gim
Vy s ngưi gi tiết kim không gim
d) Nếu ược thưởng cuối năm Hà sẽ i Đà Lạt
Nếu i Đà Lạt Hà s thăm Suối vàng
Do ó nếu ược thưởng cuối năm Hà sẽ thăm suối vàng
23.
a) Dùng các quy tc suy din suy ra khng nh sau là úng:
() ()
b) Xét các dng mnh :
= [()] ¬ [()]
= [()] ¬ [()]
24. Xét suy din:
[() () (¬ )] ()
Cho biết các bước suy din sau ã s dng các quy tc nào?
c Quy tc
lOMoARcPSD|36667950
hay
¬ ¬
¬
hay
¬
25. Xét suy din sau:
) r()
¬ ¬ ¬
¬
Cho biết các quy tc nào ã ược s dụng trong các bước sau:
c Quy tc
¬ ¬
¬
¬ ¬
¬
¬ nên
¬ ¬
hay
¬ (
¬
)
hay
¬
26. Giải thích các bưc ca suy lun sau:
[() ) ()] ) c Quy tc
lOMoARcPSD|36667950
G.S ¬ (¬
)
hay
¬ ()
hay ¬ ¬
¬
¬
¬ hay
¬
nên ¬ ¬ hay
¬ ()
0
Vy suy lun là úng.
27. Hãy kim tra li các suy lun sau:
a) [(¬ ) ] [() ]
b) [() )]
28. Hãy kim tra các suy lun sau:
a)
b)
c) ()
¬
¬
¬ ¬
¬
¬ () ¬
d) e) () f)
() ¬ () ¬
¬ s ¬ s
lOMoARcPSD|36667950
¬ () ¬ ¬
29. Tìm phn ví d cho các suy lun sau:
a) b)
¬ (¬
)
¬ ¬ ¬
¬ (
)
30. Hãy kim tra xem các suy lun sau có úng không
a) Nếu An ược lên chc làm vic nhiu thì An s ược tăng lương Nếu ược
tăng lương An sẽ mua xe mi
Mà An không mua xe mi
Vậy An không ược lên chc hay An không làm vic nhiu.
b) Nếu mun d hp sáng th ba thì Minh phi dy sm Nếu Minh i nghe nhc
ti th hai thì Minh s v tr
Nếu v tr và thc dy sm thì Minh phi i hp mà ch ng i 7 gi Nhưng
Minh không th i hp nếu ch ng i 7 gi
Do ó hoc Minh không i nghe nhc thi th hai hoc là Minh phi b hp sáng th
ba.
c) Nếu Bình i làm v mun thì v anh ta s rt gin d
Nếu An thường xuyên vng nhà thì v anh ta s rt gin d
Nếu v Bình hay v An gin d thì cô Hà bn h s nhận ưc li than phin
không nhận ược li than phin Vy
Bình i làm v sm và An ít khi vng nhà.
31. Xét các v t
( ):"5" ( ):" +
3 chn"
Trong ó là mt biến nguyên. Xét chân tr ca các mnh sau:
a) (1) b) (2) c) ¬ (2)
d) (3) e) (6) (6)
32. Vi ( )
,
( ) như trên. Xét thêm vị t:
( ):" > 0"
Tìm chân tr ca các mnh sau:
f) ¬ (
(1)
(1))
a) b)
c)
(2)]
d)
(3)
e)
(1)]
f)
(1)
33. Vi
, ,
như trên
lOMoARcPSD|36667950
a) Tìm tt c cho ( ) ( ) ( ) úng
b) Tìm tt c nh nht ( ) [¬ ( ) ( )] úng
34. Xét v t ( ):" 3 + 2 = 0". Cho biết chân tr ca các mnh sau:
a) (0) b) (1) c) (2)
e) , ( ) e) , ( )
35. Lp Phân tích Thut toán có 110 sinh viên ghi tên hc trong ó có:
15 sinh viên Toán-Tin học năm thứ 3 5 sinh viên Toán năm thứ 3
25 sinh viên Toán-Tin học năm thứ 4
5 sinh viên Toán năm thứ 4
50 sinh viên Công ngh Thông tin năm thứ 4
5 sinh viên Toán-Tin hc Cao hc
5 sinh viên Công ngh Thông tin Cao hc Xét các v t:
( ):sinh ê ê ℎọ ô â í
á
( ): àsinh ê ă ℎứ 3
( ): àsinh ê ă ℎứ 4
( ): àsinh ê ℎọ
( ): àsinh ê ô ℎệ ô
( ): àsinh ê á ℎọ
( ): àsinh ê á
Hãy viết các mnh i ây theo dạng lượng ta:
a) Có sinh viên Toán năm thú 3 trong lớp PTTT
b) Có sinh viên trong lp không phi sinh viên Công ngh Thông tin
c) Mi sinh viên trong lp là sinh viên Toán-Tin hc hay Công ngh Thông tin
d) Không có sinh viên Cao hc Toán trong lp PTTT
e) Mi sinh viên năm thứ 3 trong lp thuc ngành Toán hay ngành Toán-Tin hc
f) sinh viên trường không thuc ngành Toán-Tin hc và cũng không thuc ngành
Công ngh Thông tin
36. Xét các v t:
( , ):" " ( , ):" + 1
< "
Trong ó
,
là các biến thc. cho biết chân tr ca các mnh sau:
a) (2,4) b) (2, )
c) (3,7) (1, d) (2,1) ¬ (1,1)
e) (1,1) (1,1) f) (2,5) ¬ (2,5)
37. Xét các v t theo biến thc :
( ):" 5 + 6 = 0"
( ):" 4 5 = 0"
( ):" > 0"
Hãy xác nh chân tr ca các mnh sau:
a) , ( ) ( ) b) ¬ ( )
c) , ( ) ( ) d) , ( ) ¬ ( )
38. Xét v t theo hai biến nguyên t nhiên:
( , ):" à ướ "
Hãy xác nh chân tr ca các mnh sau:
a) (2,3) b) (2,6) c) , (1, )
lOMoARcPSD|36667950
d) , ( , ) e) ,, ( , ) f) ∃ ∀ , ( , )
e) ∀ ∀ ,( ( , ) ( , )) ( = ) d) ∀ ∀ ∀ ,( ( , ) ( , )) ( , )
39. Vi mi mnh i ây cho biết chân tr. Ph nh kèm theo có úng không? Nếu không
hãy thay bng ph nh úng.
a) Vi mi s thc
,
nếu
>
thì
>
Ph
nh: Tn ti s thc
,
sao cho
>
nhưng
b) Vi mi s thc nếu
0
thì có nghch o
Ph
nh: tn ti s thc khác 0 mà không có nghch o
c) Tn ti hai s nguyên l có tích là s l
Ph
nh: tích ca hai s l bt k là s l
d) Bình phương của mi s hu t là s hu t
Ph
nh: tn ti s thc sao cho nếu vô t thì vô t.
40. Ly ph nh ca các mnh sau:
a) Vi mi s nguyên , nếu không chia hết cho 2 thì là s l
b) Nếu bình phương của mt s nguyên là l thì s nguyên y là l
c) Nếu
, ,
là s nguyên sao cho là s l thì là s chn
d) Nếu là mt s thc sao cho > 16 thì < 4 hay > 4
e) Vi mi s thc , nếu | 3|
< 7
thì 4 <
< 10
41. Gi
( )
( )
là hai v t theo mt biến, hãy ly ph ịnh và ơn giản các mnh sau:
a) , ( ) ( ) b)
d) , ( ) ( ) d) ,[ ( ) ( )] ( )
42. Cho biết chân tr ca các mnh sau trong ó
,
là các biến thc:
a) ∃ ∃ , = 1
b) ∃ ∀ , = 1
c) ∀ ∃ , = 1
d) ∀ ∀ , + = +
e) ∃ ∃ ,(2 + = 5) ( 3 = 8)
f) ∃ ∃ ,(3 = 7) (2 + 4 = 3)
43.
a) S tn ti ca phn t 0 trong R ưc cho bi:
∃ ∀ , + =
Hãy viết mnh ch s tn ti ca phn t ơn vị trong R
b) ược nói là phn t i ca nếu + = 0
Hãy viết mnh cho biết tn ti phn t i
c) ược nói là nghch o ca nếu
= 1
Hãy viết mnh cho biết mi s thc khác 0 u có nghch o
d) Nếu thu hp vào tp hp các s nguyên thì các mnh trong b) và c) phải ược iu
chỉnh như thế nào vn còn úng
44. Gi s
( )
là v t theo biến . Khi y mnh ng t hóa
! , ( )
ược nh nghĩa như là:
, ( ) [∀ ∀ ,( ( ) ( )) = ]
lOMoARcPSD| 36667950
Nói cách khác tn ti phn t sao cho
( )
úng và phn t duy nht ca sao cho
(
)
úng.
Hãy viết li các mnh ới ây dưới dng hình thc trong ó s dụng lượng t
!
a) Mi s thc khác 0 có nghch o duy nht
b) Vi mi
,
, tng
+
là duy nht
c) Vi mi , tn ti duy nht sao cho = 3 + 7
45. Gi s
( , )
v t
=
2
trong ó
,
các biến nguyên. Hãy cho biết chân tr ca các mnh
sau:
a) [∀ ∃! , ( , )] [! , ( , )]
b) [! , ( , )] [∀ ∃! , ( , )]
46. Vi v t (
,
)
:" +
à
ℎẵ
"
. Hãy cho biết các mnh trong câu 45 úng
không?
47. Xét mnh
"
! , > 1"
. Hãy tìm tp hp vũ tr cho mnh trên là úng (tương ứng sai)
48. Hãy in vào hàng trng d cho các suy lun sau là úng:
a) Mi s nguyên là s hu t
S thc không phi s hu t
.........................................................
b) Mi sinh viên Tin hc u hc Toán Ri rc
.........................................................
Minh hc Toán Ri rc
c) .........................................................
Bình là mt Giám c iu hành
Bình biết cách y quyn cho cấp dưới
d) Mi hình ch nht có bn góc bng nhau
.........................................................
T giác MNPQ không phi hình ch nht
e) Mi người quan tâm ến Cholesterol ều tránh ăn gan
Minh là một người quan tâm ến Cholesterol
........................................................
49. Xác nh các suy lun úng trong s các suy luận dưới ây. Cho biết quy tc suy din ã
ược áp dng:
a) Mọi người ua thư dều mang theo túi thư
An là một người ưa thư
Vy An mang theo túi thư
b) Mi công dân tt u óng thuế
Ông Bình ã dóng thuế
Vy ông Bình là mt công dân tt
c) Mọi người quan tâm ến môi trường u riêng các túi nha b i
lOMoARcPSD|36667950
Hà không quan tâm ến môi trường
Suy ra Hà không riêng các túi nha b i
d) Mi sinh viên nghiêm túc u không np bài chưa làm xong
Minh không nộp bài chưa làm xong
Vy Minh là sinh viên nghiêm túc
50.
( )
( )
là hai v t theo mt biến
Hãy chng minh các khng ịnh dưới dây:
a) [, ( ) ( )] , ( ) , ( )
b) [, ( ) ( )] [, ( ) , ( ) ]
c) , ( ) , ( ) [, ( ) ( )]
d) Hãy tìm phn ví d cho phn o ca c)
51. Xét suy lun:
Hãy cho biết quy tc suy din áp dng cho mỗi bước sau ây:
c Quy tc
, ( ) ( ) ( ) (
)
( )
( )
, ( ) ( (
)
( ))
( ) ( ( )
( ) ( )
(
))
vy
( )
( ) ( )
như thế
, ( ) ( )
lOMoARcPSD|36667950
52. Xét suy luân:
, ( ) ( ) ( )
,¬ ( )
,¬ ( ) ( )
, ( ) ¬ ( ) ∴ ∃
( )
Hãy cho biết quy tc suy din áp dng trong các c sau:
c Quy tc
,¬ ( ) ¬ ( )
, ( ) ( )
( ) ( )
(
)
hay
¬ ( ) ( ) ( )
,¬ ( ) ( )
¬ ( ) ( )
hay
( ) ( ) ( )
, ( ) ¬ ( )
( ) ¬ ( )
¬ ( )
nghĩa là
,¬ ( )
53. Hãy chng minh các công thc sau:
)
(
)
)
)
!
)
54. Xét v t:
(
)
: vt bt k thì ng nht vi nhau trong ó là mt biến nguyên,
1
.
Kh
ng
nh: 1, ( )
Chng minh:
(1): hin nhiên
Gi s ( 1) úng. Xét vt , ,…,
Do ( 1) úng nên , ,…, ng nht ng thi , ,…, ng nht.
Suy ra , ,…, ng nht. Nghĩa là ( ) úng.
lOMoARcPSD|36667950
Do ó nguyên lý quy np
Suy lun trên sai do âu?
1,
(
) là mt mnh úng!
GS. Nguyn Hu Anh
34
55. Đặt các s 1,2,…,25 trên một vòng tròn theo th t tùy ý. Chng minh rng luôn luôn
có 3 s liên tiếp có tng 39
56. Chng minh các bt ng thc sau vi
a) Nếu
> 3
thì 2
< !
b) Nếu > 4 thì
< 2
c) Nếu > 9 thì
57. Xét v t
( )
:
< 2
Chng minh rng nếu ( ) úng thì ( + 1) úng vi mi 1. T ó có suy
ra ược
( )
úng vi mi
1
không?
58. Xét các phương trình
1 = 1
2 + 3 + 4
= 1 + 8
5 + 6 + 7 + 8 + 9
= 8 + 27
10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 27 + 64
T ó suy ra mt công thc tổng quát dưới dng v t theo mt biến nguyên chng
minh công thc này.
59. Xét oạn chương trình viết bng Pascal while
< > 0
do
Begin
+ ; 1;
End;
Ketqua:= ;
Chng minh rng khi gi oạn chương trình trên vi các biến
,
ly giá tr thc và biến ly
giá tr nguyên t nhiên thì khi ra khi oạn chương trình, biến Ketqua ược gán giá tr
+
lOMoARcPSD|36667950
60. Xét oạn chương trình viết bng Pascal while
< > 0
do
Begin
× ; 1;
End;
Ketqua:= ;
Gi s ta gi oạn chương trình trên vi các biến
,
ly giá tr thc ly giá tr nguyên
dương. Khi ra khi oạn chương trình, biến Ketqua ưc gán giá tr nào? Hãy chng minh
khng nh ó.
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐẾM
T Chương 2 trở i ta s s dng các hiu logic quen thuc
,
ch các quan
h “có hệ qu logic”, “tương ương logic” giữa các mnh ta xem như dạng mnh
hng. Ngoài ra ta cũng dùng các kí hiu này ch phép kéo theo và kéo theo hai chiu. Các
kí hiu
,
ược dành cho các ánh x.
§1 T
P H
P
Trong chương trước ta ã s dng khái nim tp hp trong mt s d, c bit trong
nh nghĩa của các lượng từ. Trong chương này ta tiếp tc s dng khái nim tp hp theo
nghĩa trc quan: ó nhng ối tượng ược nhóm li theo mt tính cht nào ó. Nếu mt
phn t ca tp hp , ta viết . Trong trường hợp ngược li ta viết .
ây khái niệm “tính chất” ược hiu theo mt nghĩa hết sc rng rãi. Thường thì nó
biu hin bi mt v t
( )
theo mt biến . Khi y tp hp tt c các phn t sao cho
( )
úng ược kí hiu bi:
= {∈⁄ ( )}
ược gi là tp hp vũ tr. Nếu hiu ngm thì có th viết:
= { / ( )}
Ví d:
1. A = {x N x s nguyên t}
2. A = {x Z x < 5}
Trong ví d 2, ta có th ch ra tt c các phn t ca : -2, -1, 0, 1, 2. Ta viết
= {2,1,0,1,2}
Ta nói ược mô t bng cách lit ra tt c các phn t. Cũng thế
= {
/
}
có th ưc mô t bng cách lit kê các phn t:
= {0,1,…, }
Với phương pháp mô tả bng cách lit kê các phn t, mt tp hp có th là:
= {1,2,97,100}
Khi này không nht thiết các phn t ược nhóm li theo mt tính cht c th nào.
Chú ý rng tp hp
{
/ < 0}
không có phn t nào c. Ta nói nó là t
p h
p r
ng và kí
hu bi .
lOMoARcPSD|36667950
Gi s
,
là 2 tp hp con ca tp hp vũ tr , ta nói t
p h
p con ca (hay ược
bao hàm trong hay bao hàm ) nếu:
,() ()
S dng các phép ni trên mnh v t, ta th nh nghĩa các phép toán hp
(), giao () và phn bù trên tp hp.
Định nghĩa 2.1.1: Gi s
,
là tp hp con ca tp hp vũ tr . Khi y
= \ = {/ }
ược gi là ph
n bù ca (trong ).
Định lý 2.1.1:
, ,
là các tp con tùy ý ca , ta có:
i. Tính giao hoán:
=
=
ii. Tính kết hp:
() = ()
() = ()
iii. Lut De Morgan:
=
 ∩∪
=
iv. Tính phân b:
() = () ()
() = () ()
v. Phn t trung hòa:
∪ ∅ =
=
vi. Phn bù:
∪
==
vii. Tính thng tr:
=
∩ ∅ =
Chng minh: các tính cht trên suy t nh nghĩa và các qui luật logic (Định lý 1.2.2) mà ta
có th m rng d dàng cho các v t.
pcm
Do tính kết hp ta có th dùng ch
(
)
hay
(
)
. Cũng thế, cho trước tp
hp ∪ ∪
không ph thuc vào th t t du ngoc. Ta cũng viết
lOMoARcPSD|36667950
=
Tương tự
=
§2 ÁNH X
Định nghĩa 2.2.1:
i. Mt ánh x t tp hp vào tp hp phép tương ng liên kết vi mi phn t
ca mt phn t duy nht ca mà ta kí hiu là
( )
và gi là
nh c
a bi
. Ta viết:
:
( )
ii. Hai ánh x
,
t vào ược nói là bng nhau nếu:
, ( ) = ( )
Định nghĩa 2.2.2:
i. Nếu là mt tp hp con ca thì nh ca bi là tp hp:
( ) = { / , = ( )}
Ta cũng viết:
( ) = { ( )/ }
ii. Nếu là mt tp hp con ca thì
ảnh ngư
c (to nh) ca là tp hp
( ) = {/ ( ) }
Chú ý:
1. Nếu thì ta viết ({ })
= ( )
.
2. Nếu ( )
=
thì không nm trong nh
( )
ca .
3. Nếu ( ) = { }, thì là phn t duy nhtnh là .
Định nghĩa 2.2.3: Gi là 1 ánh x t tp hp vào tp hp . Khi y ta nói
i. là toàn ánh nếu ( )
=
ii. ơn ánh nếu hai phn t khác nhau bt k ca
nh khác nhau:
, , ( ) ( )
iii. là song ánh nếu nó ng thời là ơn ánh và toàn ánh.
Chú ý: nếu là song ánh t n , ta viết:
:
Khi y vi tùy ý, có phn t duy nht sao cho (
lOMoARcPSD|36667950
ng 1 ánh x t vào mà ta kí hiu
1
:
: ( ) =
vi ( ) =
Ta có:
)
=
. Như thế ơng
( )
( )
(2.2.1)
(2.2.2)
Ví d:
: sao cho ( )
=
vi tùy ý là ơn ánh nhưng không phải toàn ánh chng hn không
nh ca phn t nào ca .
Gi s
,
hai s thc sao cho
0
. Khi y f(x)=ax+b xác nh mt song ánh gia . Ánh
x ngược ca nó là
:
Định nghĩa 2.2.4: Cho hai ánh x
: :
lOMoARcPSD|36667950
Ánh x hp là ánh x t vào xác nh bi:
( ) = ( )
Ta viết:
= :
( ) ( ) = ( )
Chú ý:
Ta thường biu din mt ánh x bởi sơ ồ
Ký hiu là ánh x sao cho
Ta nói ánh x ng nht ca . tương tự gi ánh x ng nht ca . Khi y (2.2.1)
(2.2.2) tr thành
= =
lOMoARcPSD|36667950
Định lý 2.2.1: Gi s mt ánh x t vào ,
_2
là hai tp con tùy ý ca ,
là hai tp con tùy ý ca . Ta có:
i. ( ) = (
) ( ) ii. (
) ( )
( )
iii. ( ) = ( ) ( ) iv. ( ) = ( ) ( )
Chng minh: ta ch chng minh i), các phn còn lại ược lý luận tương tự. Ta có:
( ) , = ( )
( ) ( )
( ) ( )
Chú ý: bao hàm trong ii) có th ngt trong ví d sau cho thy. Xét
:
xác nh bi:
( ) = | |,
Ly = , = . Ta có = nên ( ) = () = . Trong khi ó ( ) = ( ) = nên ( ) ( ) ≠ ∅.
§3 PHÉP
ĐẾ
M
Trước hết ta nhn xét rng phép ếm các phn t ca mt tp hp mt th tc
gm có nhiu bước:
c 0: nếu
=
ta nói s phn t ca bng 0. Nếu không
(
≠ ∅
)
ta qua Bưc 1
c 1: chn tùy ý mt phn t ri gán tươngng vi phn t
1
. Nếu = {
}
ta nói
là mt phn t. Nếu không ta qua Bước 2
c 2: do { }, tn ti mt phn t
.
Ta gán b tương ứng vi phn t 2 .
Nói cách khác ta có mt song ánh { , } {1,2}. Nếu = { , } ta nói có hai phn t. Nếu không,
ta qua Bước 3.
C tiếp tc th tục như trên. Hai trường hp có th xy ra
Trường hp 1: th tc dng một Bước nào ó, nghĩa là tn ti mt song ánh
gia và {1,2,…, } .ta nói rng có phn t.
Trường hp 2: th tc không bao gi dng. Ta nói vô s phn t hay mt
t
p h
p vô h
n. T nhn xét trên ta
Định nghĩa 2.3.1:
i. Mt tp hp ược nói h
u h
n phn t nếu tn ti mt song ánh gia
và tp hp con {1,2,…, } ca . Ta viết | | = .
ii. Nếu không hu hn, ta nói vô h
n
Chú ý:
1. Do nhn xét trên, phép toán ch ra cho ta mt thut toán c th xây dng mt
song ánh gia
{1,2,…, }
nếu hu hạn, trong khi Định nghĩa 2.3.1 ch òi hi tn ti
một song ánh như vậy.
2. Hai tp hp hu hn
,
có cùng s phn t s ơng ứng 1 - 1 vi nhau, nghĩa là tn
ti mt song ánh . Ta cũng nói và có cùng lực lượng. Tổng quát hơn ta có
Định nghĩa 2.3.2:
lOMoARcPSD| 36667950
i. Mt tp hp ược nói là có lực lượng bé hơn lực lượng ca nếu tn ti một ơn
ánh t vào .
ii. Hai tp hp và ược nói là ng lực lưng nếu có mt song ánh
Chú ý: Gi s tn ti một ơn ánh t vào . Đặt
= ( )
là phn bù ca trong . Chn mt
phn t tùy ý. Ta s nh nghĩa mt ánh x
:
như sau:
Nếu thì tn ti duy nht sao cho = ( ). Ta t ( ) = Nếu ∈, ta t ( ) =
Khi y rõ ràng là mt ánh x t vào sao cho
( ) =
. Suy ra là toàn ánh.
Ngưc li gi s tn ti mt toàn ánh
:
. Khi y vi tùy ý,
( )
mt tp con khác
nên ta có th chn mt phn t nht nh
( )
. Đặt
( ) =
, ta s ược mt ánh x t vào .
Do cách xây dng vi
thì ( ) ( )
=
n ( )
= ( )
, nghĩa là ơn ánh. ây ta s dng khái
nim chn ( ) mt cách trc quan. Theo thuyết tp hp tiên thì vic chọn như vậy
không hiển nhiên ược da trên Tiên chọn. Đương nhiên i vi các tp hp hu hn
Tiên chn là không cn thiết. Tóm li ta ã chứng minh ược.
Mnh 2.3.1: lực lượng ca nh hơn lực lượng ca khi và ch khi tn ti mt tn ánh t
lên .
Mt vn th hai nếu lực lượng ca nh hơn lực lượng ca lực lưng ca nh
hơn lực lượng ca thì liu ng lực lượng không. Khng ịnh này ược chng minh
trong trường hp tng quát, nhưng chứng minh này ra khi khuôn kh ca giáo trình Toán
Ri rc.
Tuy nhiên nếu A và B hu hn ta có
Định lý 2.3.2: Gi s hai tp hp hu hn. Nếu tn ti một ơn ánh từ vào mt
ơn ánh từ vào thì và có cùng s phn tử. Hơn nữa mọi ơn ánh (tương ứng vi toàn ánh)
t vào (tương ứng lên) là mt song ánh.
Chng minh: Gi là một ơn ánh tùy ý t vào
Đặt
=
( ) và là phn bù ca trong thì Mnh 2.3.3 dưới ây cho:
| | = | | + | |
Do f rõ ràng xác nh mt song ánh gia và nên ta
| | = | | + | | | |
Tương tự nếu tn ti một ơn ánh từ vào ta s
| | | |
Suy ra
| | = | |
Đặc bit
| | = 0
nghĩa là
= ( )
và do ó f là mt song ánh gia và .
Gi s g mt toàn ánh t lên . Trên ây ta dang xây dng mt ơn ánh t vào sao
cho ( ) ( ) vi mi . Theo chng minh trên song ánh nên ràng cũng song ánh.
Mnh 2.3.3 (Nguyên lý cng):
Gi s là mt tp hp con ca tp hp hu hn . Gi là phn bù ca trong . Khi y
ta có:
lOMoARcPSD|36667950
| | = | | + | |
Chng minh: Gi
,
là s phn t ca tương ứng. Khi y tn ti mt song ánh t n
{1,2,…, } và mt song ánh t n {1,2,…, }. Ta nh nghĩa ánh x t vào {1,2,…, +
} như sau:
nếu ta t ( ) = ( )
nếu ta t ( ) = ( ) +
Rõ ràng mt song ánh nên | |
= +
pcm
Ví d: chun b vào giai oạn 2, 150 sinh viên chương trình 1 ã ghi tên hc môn Toán
Ri rc và 120 sinh viên ghi tên hc Vi tích phân 3 hc k này. Hi có bao nhiêu sinh viên
ghi tên hc mt trong hai môn biết rng không có sinh viên nào hc c hai môn.
Gi tp hp các sinh viên ghi tên hc môn Toán ri rc tp hp sinh viên
ghi tên hc Vi tích phân 3. Khi y tp hp các sinh viên ghi tên hc mt trong hai môn
và chính là phn bù ca trong nên ta
|| = | | + | | = 150 + 120 = 270
Qua ví d trên, ta thy quá trình ếm các sinh viên hc mt trong hai môn có th ưc
thc hin bng hai cách: ếm các sinh viên hc Toán ri rc và ếm các sinh viên hc Vi tích
phân 3. Hai cách này loi tr ln nhau theo nghĩa chúng không th ng thi xy ra. Khi
y ta cũng có th phát biu li Mnh 2.3.3 dưới dng:
Nguyên lý cng: Nếu mt quá trình có th ược thc hin bng mt trong hai cách loi tr
ln nhau: cách th nht cho kết qu cách th hai cho kết qu. Khi y vic thc hin
quá trình cho
+
kết qu.
Chú ý:
1. Trong ví d trên nếu có mt s sinh viên ghi tên hc c hai môn, chng hạn như 50
thì tp hp ∩ ≠ 50 phn tử. Trong trường hp này | |
+
| | không phi s
phn t ca || || ược tính hai ln trong | | | |. Do ó ta dng m rng ca
nguyên lý cng là:
|| = | | + | | || (2.3.1)
= 150 + 120 50 = 220
2. Mnh 2.3.3 cũng th ược m rộng theo hướng nhiều hơn 2 tập hp. Gi s
có n tp hp:
, ,…,
.Ta nói các tp hp này ôi mt ri nhau nếu
=
nếu . Ta có
Mnh 2.3.4 (Nguyên lý cng m rng): nếu tp hp hu hn có th viết như là hợp các
tp hp
, ,…,
ôi mt ri nhau thì
| | = | | + | | + + | |
Chng minh: s dng Mnh 2.3.3 và Nguyên lý quy np trên
pcm
Ngoài nguyên lý cng, mt công c ếm hu hiu là:
Nguyên lý nhân: Nếu mt quá trình có th thc hin theo hai on liên tiếp c lp vi nhau
sao cho có cách khác nhau thc hin giai on 1 và vi mi cách la chn trong giai on
1 u có cách khác nhau thc hiên giai on 2. Khi y có cách khác nhau thc hiên toàn
b quá trình.
lOMoARcPSD| 36667950
Chú ý: nói rng hai giai oạn ược thc hin c lập ược thc hin (
,
) (
,
) s cho hai kết
qu khác nhau nếu một trong hai trường hp sau xy ra:
hai cách thc hiên giai on 1 khác nhau
=
và hai cách thc hin giai on 2 khác nhau
Ví d: chun b m một văn phòng i din c ngoài, Giám c ca Công ty X cn
nghe li c vn v pháp lut t mt luật sư chọn trong s 5 luật sư và cố vn v a c t
mt chuyên viên a c chn trong s 3 chuyên viên a c. Do ó theo Nguyên lý nhân có tt
c 5x3=15 phương án Giám c Công ty X tiếp xúc vi hai chuyên viên trong hai lĩnh vc
trên.
Trong ví d trên, gi là tp hp các luật là tp hp các chuyên viên a c cn
tham kho. Khi y một phương án tham khảo c vn là mt cp có th t (
,
) vi
,
. Tp
hợp các phương án tham kho c vn chínhtích Descartes
×
theo nh nghĩa dưới ây.
Định nghĩa 2.3.3: Tích Descartes ca 2 tp hp , hiu bi × cũng mt tp hp hu
hn v ta có:
| × | = | | | |
Chng minh: Quá trình ếm các phn t ca
×
ược thc hiên theo hai giai on: | |cách
khác nhau chn 1 phn t tùy ý ca vi mi cách chn phn t , | | cách chn mt
phn t tùy ý to thành các cp khác nhau
( , )
. Do ó theo nguyên lý nhân có | | | |
cách chn các cp (
,
) khác nhau. Nói cách khác
| × | = | || |
Để xây dng mt song ánh c th t × lên {1,2,…, }, trong ó = | |, =
| | ta làm như sau:
Xét các song ánh:
: {1,2,…, }:
{1,2,…, }
Ta nh nghĩa ánh x : × {1,2,…, } như sau:
( , ) = ( ( ) 1) × + ( )
Gi s
( , ) = ( ,)
Khi y
( ( ) 1) + ( ) = ( ( ) 1) + () (2.3.2) ta th gi s () ( ). Do
(2.3.2) ta có:
( ) ( ) = () ( )
Nhưng 0 ( ) ( ) <() ( ) nếu () ( )
> 0
Suy ra ( ) = ( )() ( )
Do ó ( , ) = ( ,) vì và là song ánh
lOMoARcPSD|36667950
Sau cùng gi s là mt s nguyên bt k sao cho
1
. Gi mt s nguyên t
nhiên ln nht sao cho
<
. Khi y
< ( + 1) nên 1 =
0 ≤ ≤ =
Đặt = ( )= ( + 1)
Rõ ràng ( , ) = ( ( + 1) 1) + ( )
= + =
Tóm li mt song ánh pcm
Chú ý: cho phép viết và i dng
= { , ,…, } = { , ,…, }
Ta nói các phn t ca (tương ứng ) ã ược ánh ch s bi (tương ng ). Khi
y ánh x có th viết: , = ( 1) +
Nói cách khác ta ã “ếm” các phần t ca
×
theo mng t kế tiếp nhau:
{( , ),( , ),…,( , )}, {( , ),( , ),…,( , )}
…, {( , ),( , ),…,( ,
)}
Gi các mng này lần lượt là
, ,…,
thì chúng ều tương ứng 1 1 vi nên có cùng
s phn t. Hơn nữa các tp hp này ôi mt ri nhau nên nh ca × phn t
do ó là song ánh.
Nguyên lý nhân có th ược m rng cho quá trình nhiều hơn hai giai oạn. Tương t
Định nghĩa 2.3.3 và Định nghĩa 2.3.5 có th ược m rng cho tích Descartes ca nhiu hơn
hai tp hp.
Định nghĩa 2.3.4: có tp hp không rng , ,…,
mt b phn t là mt h phn t có dng ( , ,…, ), vi , ,…, hai b ( , ,…, ),( , ,…, )
ược nói bng nhau nếu = , = ,…, = tp hp tt c các b n phn t ược gi tích
Descartes ca
, ,…,
và ký hiu bi
× × …×
× × …× = {( , ,…, )/ , ,…, }
Chú ý: ta cũng ký hiêu tích Descartes bởi
Định lý 2.3.6: nếu A
1
,A
2
,…,A
n
hu hn t cũng hữu hn
và ta có
lOMoARcPSD|36667950
= | || | …| |
= | |
Chng minh: dùng Định lý 2.3.5 và nguyên lý quy np
pcm
Ví d: sinh viên Giai on 1 thuộc Chương trình 1 của Trưng Đại hc Khoa hc T nhiên
c ra một Ban Đại din gm môt sinh viên Toán Tin, mt sinh viên Công ngh Thông tin,
mt sinh viên Vt lý, mt sinh viên Hóa hc. Hi có bao nhiêu cách chn ra ban Đại din
biết rng có 300 sinh viên Toán Tin, 400 sinh viên Công ngh Thông tin, 200 sinh viên
Vt lý và 300 sinh viên Hóa?
Gi
1
,
2
,
3
,
4
lần lượt tp hp các sinh viên Giai on 1 ca các ngành Toán Tin,
Công ngh thông tin, Lý, Hóa. Khi y một Ban Đại din chính là mt b 4:
( , , , ), , , ,
Do ó theo Định lý 2.3.6 s cách chọn Ban Đại din là:
= | | = 300 × 400 × 200 × 300 =
= 7.200.000.000
§4 GI
I TÍCH T
H
P
Cho trước hai tp hp và , tp hp tt c các ánh x t vào ược ký hiu bi
. Gi s | | = , ta có = { , ,…, }
ràng mt ánh x t vào ược xác nh hoàn toàn bng cách chn ra phn t
= ( ), = ( ),…, = ( )
Nói cách khác ược xác nh bi b : ( ( ), ( ),…,
Như vậy ta ược mt ánh x:
:
vi ( ) = ( ( ), ( ),…, ( )) (2.4.1)
Ngưc lại cho trước (
, ,…,
) thì ta nh nghĩa ược mt ánh x duy nht
bi:
( ) = , ( ) = ,…, ( ) =
Như thế ta ã chng minh:
Mnh 2.4.1: Gi s | | = vi = { , ,…, } thì (2.4.1) xác nh mt song ánh gia và . Đặc bit
nếu hu hn thì cũng hu hn và ta có:
| | = | |
| |
Chú ý: trong phép tương ứng (2.4.1), là một ơn ánh khi và chỉ khi các phn t
( )
,
( )
,…,
( ) là ôi mt khác nhau. T ó ta có mt quá trình c ếm các ơn ánh từ vào .
c 1: chn tùy ý mt phn t . c này có cách chn
lOMoARcPSD| 36667950
c 2: chn tùy ý mt phn t khác vi nghĩa là mt phn t
\ {
}
. ây
\ {
}
ch phn bù ca { } trong . Ta có
1
cách chn
.............................................................................................................................
c : chn tùy ý mt phn t \ { , ,…, }. Do ( 1) = + 1, nên có + 1 cách chn
.
Chú ý rng có th tiến hành ến Bước th ta cn có
+ 1
1
, hay . Do ó áp dng
nguyên lý nhân ta ưc
Mnh 2.4.2: Gi s . Khi y s ơn ánh từ vào là:
( 1) …( + 1)
Nếu | | = | | = thì ta có
H qu 1: s song ánh t lên là :
( 1) …1 = !
Chng minh: nếu | |
=
| | thì mọi ơn ánh từ | | vào | | cũng là mt song ánh.
Trong trưng hp
=
thì mt song ánh t n chính nó còn ưc gi là mt phép hoán
v
ca
.
Do ó H qu 1 có th ược phát biu li:
lOMoARcPSD|36667950
H qu 2: s các phép hoán v ca mt tp hp có phn t
!
Định nghĩa 2.4.1: Đặt = {1,2,…, }
i. Mt ch
nh h
p ca ph
n t
ch
n mt phép chn ra phn t phân bit trong theo
mt th to ó
ii. Mt t
h
p ca ph
n t
ch
n là mt phép chn ra phn t phân bit trong không
k th t.
Định lý 2.4.1:
i.
S các chnh hp ca phn t chn
là:
=
(
1) …(
+ 1)
ii.
S các chnh hp ca phn t chn
là:
=
( )…( )
!
Chng minh:
Vi
=
{
1,2,…,
} thì mt chnh hp ca phn t chn không gì khác hơn một b (
, ,…,
) ôi
mt khác nhau. Do ó s chnh hợp ược cho bi Mnh 2.4.2.
Ta s tính s t hp bng cách ếm li s chnh hp theo mt quá trình hai bước:
c 1: chn tùy ý mt t hp ca phn t chn , nói cách khác chn ra mt tp hp
con
có m phn t ca . S cách chn khác nhau chính là s t hp
c 2: vi mt tp hp con
, ta có th chn ra m phn t phân bit ca
theo
mt th t nht nh:
( , ,…, )
. S cách chn chính là s phép hoán v ca
nên bng
!
Bằng hai bước trên ta ã ếm ược tt c các chnh hp ca phn t chn nên:
= × !
Suy ra
=
pcm
Chú ý: Ta thường ký hiu s t hp bi gi là h
s
nh
th
c . H s nh thc th t
i dng i xng:
= =
=
! ()!
i dng trên ta thy ngay:
=
Định lý 2.4.4: vi ta có
+ 1
= +
1
(2.4.2)
lOMoARcPSD|36667950
Chng minh: Ta s chn ra các t hp ca
+ 1
phn t chn bng mt trong hai cách loi
tr ln nhau:
Cách 1: chn ra mt tp hp con có m phn t phân bit trong
{1,2,…, + 1}
không cha + 1. Rõ ràng cũng là mt tp hp con m phn t ca {1,2,…,
cách chn.
} nên có
GS. Nguyn Hu Anh
46
Cách 2: chn ra mt tp hp con ’’m phn t phân bit trong {1,2,…, + 1} cha
+ 1. Rõ ràng ’’\ { + 1} là mt tp hp con 1 phn t phân bit ca {1,2,…, } nên
1
cách chn.
Do ó theo nguyên lý cng, s t hp ca
+ 1
phn t chn tha (2.4.2)
pcm
Để hiu rõ ti sao s t hp còn ưc gi là h s nh thc, ta hãy chng minh
công thức dưi ây gi là Công th
c nh
th
c Newton Định lý 2.4.5:
,
là hai biến thc ta có
( + ) = + + +
1
(2.4.3)
=
Chng minh: ta hãy khai trin ( + ) = ( + )( + ) …( + ) thành tng các s hng có dng trong
ó = hay = ,1 . Vi 0 ≤ ≤ ta gp tt c các s hng trong ó có úng tha s bng . Các
s hng này u có dng . Hơn nữa s các s hạng như vậy chính là s cách chn phn t
phân bit ca
{1,2,…, }
: trong ó là s t hp nên (2.4.3) ược chng minh.
pcm
H qu: Ta
i. 2 = 1 + + + + + (2.4.4)
1
ii. 0 = 1 + + (1) + + (1)
1
Chú ý: Theo nguyên lý cng, vế phi ca (2.4.4) chính là s các tp hp con ca
{1,2,…, }
nên ta ếm ược sc tp hp con ca
{1,2,…, }
chính là
2
. Tht ra ta có th ếm gián tiếp
s các tp hp con ca mt tp hp có phn t như sau:
Gi là mt tp hp con bt k ca , ta s nh nghĩa hàm ặc trưng của bi:
lOMoARcPSD|36667950
Rõ ràng {0,1} . Ngược lại, cho trưc {0,1} . Đặt = (1). Khi y rõ ràng
= . Bằng cách này ta ược mt song ánh gia tp hp ( ) gm tt c các tp hp con ca
{0,1} . Suy ra | ( )| = |{0,1}|
| |
= 2
Hai tp hp ( )
{0,1}^
(ký hiu là
2
) là các i s Bool s ược xét trong chương 4.
Bây gi ta hãy m rng khái nim t hp trong ó có phép lp lại. Trước hết ta hãy
xét mt ví d: mt hc sinh ến ca hàng mua 4 cây bút chn trong 3 màu khác nhau
xanh, vàng. Có bao nhiêu cách khác nhau chn mua hàng?
Trước hết ta hãy liệt kê các trường hp khác nhau:
4 bút cùng màu: có 3 trường hp
3 bút cùng màu bút th chọn tùy ý trong hai màu còn li: 3x2=6
trường hp (Nguyên lý nhân!)
2 bút cùng màu và 2 bút kia chn trong 2 màu còn lại: 3 trường hp 2 cp
bút cùng màu: có
3
= 3
trường hp
2
Như vậy tng cng có 15 cách mua hàng khác nhau
Tuy nhiên nếu liệt kê như vậy rt khó m rộng cho trường hp nhiu bút nhiu
màu chn. Thay vì như vậy, ta s biu din mỗi trường hp bi 4 dấu “+” và 2 dấu “t
liên tiếp trên một ường thng: s du + bên trái du u tiên ch s bút xanh, s du +
nm gia 2 du ch s bút s du + nm bên phi du
cui cùng ch s bút màu
vàng. Như vậy trường hợp mua 4 bút xanh ược biu din bi
+ + + +
Cũng thế trường
hợp mua 1 bút xanh và 3 bút vàng ược biu din bi
+
+ + +
Như thế mi trường hợp tương ứng vi vic la chn v trí ca 2 du
trong s 6
hiu, nói cách khác ng vi 1 tp hp con 2 phn t ca tp hp {1,2,…,6} T ó suy ra s
cách mua hàng khác nhau chính là
6 == 15
2
Bng cách này ta có th tng quát hóa vic chn ra vt trong s loi vt khác nhau
trong ó mi loi vt có th ưc chn li nhiu lần. như trên mỗi trường hp la chn có th
ược biu din bng cách chèn
(
1)
du
vào trong s du
+
chia on thng thành on
tương ng vi s vt mi loi. Do ó s cách la chn khác nhau ta gi s t hp
lp li ca n vt chn chính là:
+ 1 = + 1
1
Áp dng:
Có vt ng nht nhau, hi bao nhiêu cách chia chúng vào hp phân bit nhau?
ây mi cách chia cũng chính mt t hp ca vt chn nên s cách chia khác nhau
chính là
+
1
Xét phương trình: + + + = (2.4.5)
lOMoARcPSD|36667950
trong ó các s nguyên không âm cho trước
, ,…,
các n ly giá tr nguyên không
âm. Ta hãy tìm xem phương trình trên có bao nhiêu li gii vi mt cách chia
vt ng nht nhau vào n hp phân bit: chính là s vt cha trong hp th .
Do ó s li gii chính là s t hp có lp ca vt chn :
+
1
§5 NGUYÊN LÝ CHU
NG B
CÂU
Trong Mnh 2.4.1, ta ã gi s | |
=
| |
=
có th chọn ra ược mt h phn t phân
bit có th t ca ; nói cách khác chọn ra ưc một ơn ánh từ vào
. Trong trường hp
>
thì không tn ti ơn ánh từ o theo nguyên lý chung B câu sau
ây
Nguyên lý chung Bu: nếu chung b câu có ít cửa (pigeon hole) hơn s b câu thì ít
nht hai chim b câu chung trong mt ca.
Ví d:
1. Trong ví d trên, s b câu và là s ca. Mt ánh x
:
chính là mt cách xếp
chim b câu vào các ca. Nói rng có 2 chim b câu chung mt ca có nghĩa là có
2 phn t phân bit ca có chung nh nên không ơn ánh.
2. Trong một nhóm có 367 người s có ít nhất hai ngưi cùng ngày tháng sinh. ây
s các ngày tháng sinh khác nhau (366 ngày, k c ngày 29 tháng 02) chính s
ca ca chung b câu.
3. Xét một sở d liu 500.000 bn tin (record). Hi th s dng mt vùng
(thuc tính) vi nhiu nht 4 t các mu t làm khóa chính hay không? ây
một vùng ưc nói là mt khóa chính nếu giá tr ca nó xác nh bn tin mt cách duy
nhất. Để gii áp bài toán trên, ta s s dng s các t ghm nhiu nht 4 mu t
làm s ca ca chung b câu. S cửa này ược cho bi Nguyên lý cng Nguyên
lý nhân:
26 + 26 + 26 + 26 = 475.254
ến 500.000 b câu nên ít nht 2 bn tin cùng giá tr ca thuc tính: không
th dùng thuộc tính này làm khóa chính ưc!
4. Ta hãy dùng Nguyên chung B câu chng minh rng mi tp hp con ít
nht 6 phn t ca = {1,2,…,9} s có hai trong s các phn t tng bng 10.
Tht vy, ây các ca ca chung b câu ược chn là các tp hp con {1,9},
{2,3}, {3,7}, {4,6}, {5}. Do ó có 5 ca trong khi s chim b câu
6
nên có ít nht hai
phn t phân bit ca thuc v cùng mt tp hợp con trên, hay chính xác hơn thuộc v
cùng mt trong bn tp hp con ầu tiên. Đó là những cp có tng bng 10.
Chú ý: ngh thut ếm khi s dng Nguyên lý chung B câu là xác nh úng âu là s b câu
và âu là s cửa như ví dụ sau cho thy.
Gi s là mt tp hp con có 6 phn t ca {1,2,…,14}. Hãy chng minh rng trong
s các tp hp con khác ca , có ít nht 2 tp hp con mà tng các phn t là như
nhau.
Gi s mt tp hp con khác rng bt k ca . Gi là tng ca các phn t ca .
Khi y ta
lOMoARcPSD|36667950
1 9 + 10 + + 14 = 69
Nếu chn các s t 1 ến 69 là s ca ca chung b câu là s tp hp con khác rng
ca là s b câu thì s b câu là
2
1 = 63
. Do s b câu ít hơn số ca, ta không th
áp dng Nguyên chung b câu ược. Tuy nhiên nếu ta hn chế ch xét các tp hp con
có tối a năm phần t thì
1 10 + 11 + + 14 = 60
Trong khi s b câu bây gi
63
1 = 62
(tr 1 tp hp con 6 phn t). Do ó theo
Nguyên lý chung b câu shai tp hp con
, ’
có ti a 5 phn t ca A sao cho
=
BÀI T
ẬP CHƯƠNG 2
1. Trong các tp
hợp dưới ây, hãy ch ra các tp hp bng nhau:
a) { , , } b) { , , , }
c) { , , , } d) { , , , }
2. Gi s = {1,{1},{2}}. Hãy ch ra các khng nh úng trong s các khng ịnh dưới ây:
a) 1
A
b) {1} c) {1}
d) e) { f) {2}
3. Trong s các khng dịnh dưới ây, hãy ch ra các khng nh úng:
a) ∈ ∅ b) ⊂ ∅
c) {} d) {}
4. Hãy lit kê ra các phn t ca tp hợp dưới ây:
a) {1 + (1) / }
b) { + / {1,2,3,5,7}}
c) {(1/ ( + ))/ , s l
5. Xét các tp hp con ca :
= {2 + 1/ } = {2 + 3/ }
= {2 3/ } = {3 + 1/ }
= {3 + 2/ } = {2 2/ }
Hãy xác nh các khng nh úng trong s các khng ịnh dưới ây:
a) = b) = c) =
d) = e) = f) =
lOMoARcPSD|36667950
6. = {1,2,3,4,5,6,7}. Hãy lit kê ra:
a) Các tp hp con ca
b) Các tp hp con khác ca
c) Các tp hp con ca cha 3 phn t
d) Các tp hp con ca cha 1,2
e) Các tp hp con ca cha 5 phn t trong ó có 1,2
f) Các tp hp con ca gm mt s chn phn t
g) Các tp hp con ca gm mt s l phn t
7. Trong s các tp hp dưới ây, tp hp nào khác ?
a) {/ 2 + 7 = 3} b) {/ 3 + 5 = 9}
c) {/ + 4 = 6} d) {/ + 4 = 6}
e) {/ + 5 = 4} f) {/ + 3 + 3 = 0}
8. Xét 4 tp hp con ca tp hp vũ tr = {1,2,3,…,10}:
= {1,2,3,4,5} = {1,2,3,5,7}
Hãy xác nh các t hợp dưới ây:
a) () b) () c)
d) e) () f) (∩)
g) (∩) h) i) ()
9. Xét các tp hp con ca
Hãy ch ra các khng nh úng trong s các khng ịnh dưi ây:
a) b)
c) d)
e) f )
10. Vi các tp hp
, , , ,
như trong bài tập 9. Hãy xác nh các tp hợp dưới ây:
a) b) c)
d) e) f)
11. Xét các tp hp con tùy ý
, , ,
ca tp hp vũ tr . Hãy chng minh các khng ịnh dưới
ây:
a) Nếu thì
b) Nếu thì
c) khi và ch khi =
d) khi và ch khi
=
12. Trong s các khng ịnh dưới ây, cho biết khng nh nào úng:
a) , ,( ),(= ) ( = )
b) , ,( ),(= ) ( = )
c) , ,( ),[(= ) (= )] ( = )
13. Cho biết khng ịnh nào dưới ây là úng:
a) () = ( ) ( )
b) () = ( ) ( )
14. Xét các tp hp con
, , ,
ca tp hp vũ tr , hãy cho biết qui lut nào ca thuyết
tp hợp (Định lý 2.1.1) ược s dụng trong các bước ơn giản tp hợp dưới ây:
lOMoARcPSD| 36667950
c Qui lut
() [(() ())]
= () [(())]
= () [()]
= () ()
= () ()
= ()
15. Dùng các qui lut ca Lý thuyết tp hp ơn giản các biu thc dưới ây:
a) (∩)
b) () ( ) ( )
c) ( )
d) () ( ) ( )
16. Đối vi mi ánh x i ây hãy xác nh xem là ơn ánh không? Tìm nh ca min
xác nh ca ánh x trên.
a) : , ( ) = 2 + 1
b) : , ( ) = 2 + 1
c)
:
,
( )
=
d)
:
,
( )
=
e) : , , ( ) = sin
f) :[0, ] , ( ) = sin
17. Xét ánh x
:
xác nh bi ( )
=
. Hãy tìm ( ) i vi mi tp hp i ây:
a) = {2,3} b) = {3,2,2,3}
c) = (3,3) d) = (3,2]
e) = [7,2] f ) = (4,3] [5,6]
18. Vi mi ánh x
:
i ây, hãy xác ịnh xem nó có là ơn ánh hay toàn ánh không? Tìm
( )
a) ( ) = + 7 b) ( ) = 2 3 c) ( ) = + 5
e) ( ) = e) ( ) = + f) ( ) =
19. Các câu hỏi tương tự như trong bài tập 18 nhưng bây gi mt ánh x
:
20. Xét 3 ánh x
:
, :
,
:
. Hãy chng minh rng
( ) = ()
21. Xét 3 ánh x
, ,
t vào xác nh bi:
( ) = 1, ( ) = 3 ( ) = 0 nếu
chn
1 nếu l
a) Tìm , , , , ∘ ℎ
b) Vi là s nguyên dương, ược nh nghĩa bng qui nạp như sau:
= , = ,…, =
Tương tự cho , . Hãy xác nh , , , , , ,
22. Cho trước hai tp hp con c nh
,
ca . Ta nh nghĩa mt ánh x
lOMoARcPSD|36667950
: ( ) ( ) như sau:
( )
=
() vi là tp hp con bt k ca . Chng minh rng
=
23. Vi mi ánh x
:
i ây, cho biết nó có ơn ánh, toàn ánh hoặc song ánh
không? Trong trường hp nó là song ánh, hãy tìm ánh x ngưc.
a) = = , ( ) = + 7
b) = = , ( ) = + 2 3
c) = [4,9], = [21,96], ( ) = + 7
d) = = , ( ) = 3 2| |
e) = , = (0,+ ), ( ) =
f) = = , ( ) = ( + 1)
24. Đặt = {1,2,3,4}. Xét hai ánh x : : ược xác nh bi (
) = 2
(1) = 2, (2) = 3, (3) = 5, (4) = 7. Hãy tìm .
25. Xét hai ánh x , : xác nh bi: ( ) = + ( )
()( ) = 9 9 + 3, . Hãy xác nh , .
26. Xét hai ánh x , : xác nh bi: ( ) = + ( ) =
trong ó
, , ,
là các hng s thc. Hãy tìm các h thc gia
.
27. Xét ánh x
:
nh nghĩa bi:
+ 7 ế 0
( ) = 2 + 5 0 < < 3
1 3
a) Tìm (10), (0), (2), (6)
b) Tìm nghch nh ca các khong [5,1],[2,4] 28.
Xét ánh x
:
nh nghĩa bi:
( ) 2 1 ế > 0
a) Chng minh
rng mt
song ánh
b) Tìm
29. Xét hai ánh x :
, :
a) Chn
g minh rng nếu
ơn ánh thì ơn ánh
= 1
+
. Gi s
+ vi tùy ý, , , ,
cho =
b) Chng minh rng nếu toàn ánh thì toàn ánh
c) Chng minh rng nếu song ánh thì song ánh. Hãy tìm
.
d) Cho ví d song ánh nhưng khng phi là song ánh.
30. Xét ánh x : xác nh bi: ( ): + (1)
a) Chng minh rng và
( )
khác tính chn l (mt s chn và s kia l).
b) Chng minh rng là một ơn ánh
c) Tìm . Suy ra biu thức ơn giản ca
d) Giải phương trình 365 = + (1) , nguyên 31. Xét ánh x
:
nh nghĩa bi:
( , ) =
Chng minh rng là mt song ánh
(Hướng dn: s dng Nguyên lý Quy np chng minh toàn ánh)
32. Hãy ếm s các tp hp trong mi câu hi a) - g) ca bài tp 6 mà không s dng kết qu
lit kê.
lOMoARcPSD|36667950
33. Xét
= {1,2,…,10}
. Có bao nhiêu con ca tha:
a) | |
= 5?
b) | |
= 5
và phn t bé nht ca là 3?
c) | |
= 5
và phn t bé nht ca bé hơn hay bằng 3?
34.
a) Có bao nhiêu tp hp con ca {1,2,…,11} cha ít nht mt s chn?
b) Có bao nhiêu tp hp con ca {1,2,…,12} cha ít nht mt s chn?
c) Tng quát hóa các kết qu trong a) và b)
35. Gi s ch có mt phần tư số tp hợp con năm phần t ca
{1,2,…, }
cha s 7. Hãy tìm
.
36. Hãy s dng các nguyên lý ếm chng minh rng
+ 2 = + 2 1 + 2
trong ó 2
37. Hãy trình bày mt thut toán và viết chương trình máy tính lit kê tt c nhng tp hp
con 5 phn t ca {1,2,…,40}.
38. Gi s
, ,
là 3 tp hp hu hn. Hãy chng minh rng:
| | = | | + | | + | | || || || + | |
39. Để chn máy tính trang b cho phòng LAB, Khoa Toán Tin hc ã xem xét 15 nãn hiu
máy tính khác nhau dựa theo các tính năng sau:
(
)
Có CPU nhanh
(
)
ĩa cng tt
(
)
Có màn hình vi phân gii cao
Gi
, ,
lần lượt là các tp hp nhng nhãn hiu thỏa tính năng ( )
,
( )
hay
( )
. Gi
s | | = | | = | | = 6,|| = || = 1,|| = 2,| ∩ ∩ | = 0.
a) Có bao nhiêu nhãn hiu tha úng một tính năng?
b) Có bao nhiêu nhãn hiu không thỏa tính năng nào cả?
40.
a) Trong mt lp hc 7 sinh viên, có bao nhiêu các chia h thành hai i? Nếu yêu cu
mi i có ít nht 2 sinh viên thì có bao nhiêu cách chia.
b) Tr li các câu hi trong a) khi s sinh viên ca lp là mt s nguyên tùy ý .
41. Gi
, ,…,
các s nguyên dương tổng . bao nhiêu cách chia sinh viên thành
nhóm vi s sinh viên ca các nhóm là
, ,…,
.
42. Hãy cho biết các khng ịnh dưới ây là úng hay sai
a) Nếu
,
là hai tp hp vô hn thì cũng vô hn
b) Nếu vô hn thì vô hn
c) Nếu hu hn và thì hu hn
d) Nếu hu hn và thì vô hn
43. Xét = {1,2,…,15}
lOMoARcPSD|36667950
a) Có bao nhiêu tp hp con ca ch cha s l
b) Có bao nhiêu tp hp con ca ch cha úng 3 s l
c) Có bao nhiêu tp hp con 8 phn t ca cha úng 3 s l
d) Hãy trình bày mt thut toán viết chương trình máy tính lit tt c các tp
hp con 8 phn t ca cha úng 3 s l
44. Lp thc tp Vt lý có 21 sinh viên phi thc hin 3 thí nghim. Biết rng tt c các sinh
viên u làm ược ít nht mt thí nghim , 5 sinh viên không là thí nghim th nht, 7 sinh
viên không làm thí nghim th hai và 6 sinh viên không làm thí nghim th ba. Ngoài ra
có 9 sinh viên làm c ba thí nghim. hi có bao nhiêu sinh viên ch làm mt thí nghim?
45. Theo mt mạng lưới hình ch nht gm m mắt lưới theo chiu rng n mắt lưới theo
chiu ngang, mt con kiến di chuyn t A ến B dc theo các cnh ca nhng mắt lưới
theo qui tc sau ây: trên mt cnh ngang nó ch i t trái qua phi và trên mt cnh ng
nó ch i t i lên trên. Tìm s các ường i khác nhau khi kiến mun di chuyn t A ến
B.
(Hướng dn: chia mỗi ường i theo các bước nh, trong ó mỗi bước di chuyn theo
cnh ngang hoc cnh ng ca mt mắt lưi)
m
46. 4 ngăn tiền cha 4 loi giy bc: 1.000 , 2.000 , 5.000 và 10.000 . Hi có bao nhiêu
cách chn 10 t giy bc t các ngăn tiền?
47. Tìm s cách chia 10 hòn bi cho 5 a tr trong các trường hp sau:
a) Không có hn chế nào c
b) Đứa tr ln nhất ược ít nht 2 hòn bi
c) Mi a tr ược ít nht 1 hòn bi
48.
a) Tìm ra s cách chia r vt ng nht vài hp phân bit nếu yêu cu thêm không c1
hp nào trng
b) Suy ra s nghim của phương trình (2.4.5) nếu ta gi thiết thêm các n , ly giá tr
nguyên dương
49. Tìm s nguyên của phương trình
+ + + = 32
trong các trưng hp sau:
lOMoARcPSD|36667950
a) , 5, , 7
b) 8,1 4
c) , , > 0,0 < 25
50.
a) Tìm h s ca trong phép khai trin ca ( + 2 + 3 + + )
b) Có bao nhiêu s hng khác nhau trong phép khai trin trên?
51. Tính
5
và kim tra li kết qu bng các lit kê tt c các t hp chn 2 ca
{1,2,…,5} 2
52. Mt Tiu ban gồm 2 người ược chn trong s 10 i biu n 10 i biu nam. bao
nhiêu cách chn? Biết rng: a) Không có hn chế nào c
b) Phi có 6 nam 6 n
c) S n phi là s chn
d) Phi có nhiu n hơn nam
e) Phi có ít nht 8 nam
53. Có bao nhiêu byte khác nhau:
a) Cha úng 2 bit 1
b) Cha úng 4 bit 1
c) Cha úng 6 bit 1
d) Cha ít nht 6 bit 1
54. Có th chia 12 quyn sách khác nhau cho 4 a tr theo bao nhiêu cách? Biết rng:
a) Mi a tr ược 3 quyn sách
b) Hai a ln nhất ược 4 quyn sách mi a và hai a bé nhất ưc 2 quyn mi a
55.
a) Cho trước 15 im trong mt phng sao cho 3 im bt k trong s ó không cùng nm
trên một ường thẳng. Có bao nhiêu ường thng i qua hai im trong s ó?
b) Cho trước 25 im trong không gian sao cho 4 im bt k trong s ó không cùng nm
trong mt mt phng. bao nhiêu tam giác ni 3 im bt k trong s ó? bao
nhiêu mt phng tạo ược t các tam giác? bao nhiêu t din ni 4 im bt k
trong s ó?
56. Cho trước mt a giác u n cnh. Có bao nhiêu tam giác:
a) Tạo ược t các nh ca a giác u
b) Trong s các tam giác trong a) không có chung cnh vi a giác u 57. Tìm h
s ca trong:
a) ( + ) b) ( + 2 ) c) (2 3 )
58. Xác nh các h s ca:
a) trong ( + + )
b) trong ( + + + )
c) trong (2 )
59. Cho trước s nguyên dương và s thc , hãy tính các tng sau:
a) + 2 + + 2 + + 2
0 1
b) (1 + ) (1 + ) + (1 + ) + + (1)
1 2
lOMoARcPSD|36667950
c)
d)
60. Chng minh rng nếu có m b câu và n ca th ít nht có b câu chung trong mt
ca nào ó. Trong ó ch s nguyên bé nht .
61. Cn phi tung mt con xúc sc bao nhiêu ln có mt mt xut hin ít nht: a) 2 ln
b) 3 ln
c) ln vi 4
62. Chng minh rng trong 14 phn t khác nhau tùy ý ca = {1,2,…,25}, ít nht 2 phn
t có tng là 26.
63.
a) Chng minh rng trong 11 phn t khác nhau tùy ý ca {1,2,…,100}, ít nht
2 phn t , sao cho 0 < < 1
b) Hãy tng quát hóa kết qu trên
64. Chng minh rng trong s 10 im khác nhau tùy ý bên trong 1 tam giác u có cnh bng
1, có ít nht 2 im mà khoảng cách bé hơn .
lOMoARcPSD|36667950
CHƯƠNG 3: QUAN H
§1 QUAN H
Định nghĩa 3.1.1: mt quan h gia tp hp và tp hp là mt tp hp con ca
× . Nếu (
,
) ∈ ℛ, ta viết . Mt quan h gia và ược gi là quan h trên Ví d:
1. = {1,2,3,4}, = {4,5}
= {(1,4),(1,5),(3,5),(4,4)} mt quan h gia . Ta thường biu
din quan h bởi sơ ồ sau:
6
0
1
2
3
4
5
2. Quan h “=” trên một tp hp bt k:
=
3. Quan h ” trên
,
hay : ()
Trên quan h có th biu din bởi sơ ồ:
4. Gi tp hợp các ường thng trong mt phng. Quan h song song ược nh
nghĩa bi: / /
5. Mt s nguyên ược nói chia hết cho s nguyên nếu tn ti s nguyên
sao cho
=
. Khi y ta cũng nói là ước s ca và là bi s ca .
Gi s là mt s nguyên >1 và
0
1
2
3
4
5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-3
-2
0
1
2
3
4
-1
lOMoARcPSD|36667950
Xét các bi s không âm ca n: 0, ,2 ,…, ,…
Trong s này, các bi s to thành mt tp hp hu hn nên ta có th tìm ược
bi s ln nht: < ( + 1)
Đặt = = ta có
= + 0 <
Ta nói rng là thương số dư số trong phép chia (có dư) cho .
Chú ý rng và tn ti duy nht. tht vy,gi s tn ti
,
′ ∈ sao cho:
= + ,0 <
Ta có th gi s . Khi y: + = +
Suy ra ( ) = 0
Rõ ràng < ( ) nếu ′ ≥ 1
Cho trước s nguyên
> 1
, ta nh nghĩa quan h: chia hết
cho
Quan h y ược nói là quan h ồng dư modulo . Nếu ta viết:
(
)
Rõ ràng khi y cùng dư số khi chia cho
Vi = 7 ta có 9 2( 7)3 10( 7) nhưng 3 6( 7).
Định nghĩa 3.1.2: cho trước các tp hp
, ,…,
. Khi y ánh x chiếu lên thành
phn th là ánh x:
: × × …×
( , ,…, )
1. Ánh x chiếu rõ ràng là mt toàn ánh
2. Đặc bit các ánh x chiếu
,
t
×
lên ơng ứng là các toàn ánh. Tuy nhiên nếu
tp hp con ca
×
, nghĩa mt quan h gia A B thì () () có thtp
hp con thc s của A và B tương ứng như các ví dụ sau cho thy.
Ví d:
1. = = , = {( , )/ = | |}
Quan h ược biu din bởi sơ ồ
Ta có () =
Tuy nhiên () =
2. = = , = {( , ) × / = }
lOMoARcPSD|36667950
Rõ ràng () = = trong khi () = [0,+ ) = {/ 0}
3. × / + 1}
Khi y () = () = = mc dù ×
Định nghĩa 3.1.3: mt quan h trên các tp hp
× × …×
là mt tp hp con ca
= × × …×
Chú ý:
1. Gi s là mt quan h trên
, ,…,
. Khi y các phn t ca nhng
b
( , ,… )
2. Xét s nguyên
1
< <
<
. Khi y ta cũng có th nh nghĩa mt ánh x chiếu
,
,…, :
× × …× ×
× …×
( , ,…, ) , ,…,
Rõ ràng
, ,…,
cũng là mt toàn ánh.
Định nghĩa 3.1.4: nếu mt quan h trên , ,…, thì
, ,…,
() ược gi quan h chiếu
ca .
Chú ý:
1. Quan h chiếu
, ,…,
() là mt quan h trên × × …× .
2. Trong thuyết v sở d liu hình quan h, các tp hp
, ,…,
ược gi các
thuộc tính. Như thế quan h chiếu
1
,
2
,…,
() chính quan h ban u nhưng
các thuc tính không thuc các tp hp
, ,…,
ã ược b qua nhưd sau cho thy
d: trong sở d liu Môn hc Đại hc Khoa hc T nhiên, ta các tp hp thuc
tính sau:
: các mã s môn hc
: các tên môn hc
: các Ging viên
Quan h Môn hc - Giảng viên ưc cho bi bng sau:
Mã Môn hc
Tên môn hc
Ging viên
lOMoARcPSD|36667950
T001
T011
T012
TH001
TH002
Vi tích phân
Toán Ri rc
Đại s tuyến tính
Tin học ĐC A1
Tin học ĐC A2
Ông Bình
Ông An
Ông Minh
Cô Hà
Cô Hà
Quan h chiếu
(Môn hc-Ging viên) quan h Môn học ược cho
bi bng sau:
Mã Môn hc
Tên Môn hc
T001
T011
T012
TH001
TH002
Vi tích phân
Toán Ri rc
Đại s tuyến tính
Tin học ĐC A1
Tin học ĐC A2
Mt khác quan h chiếu (Môn hc Ging viên) chính là quan h Ging viên:
{Ông Bình, Ông An, Ông Minh, Cô Hà}.
§2 QUAN H
TƯƠNG ĐƯƠNG
Định nghĩa 3.2.1: mt quan h trên tp hp ược nói ph
n x
nếu:
,
d:
1. Quan h “=” trên một tp hp bt k, quan h ” trên
, ,
, quan h ống trên
Z là phn x
2. Quan h “// trên phn x. Tuy nhiên quan h (vuông góc) trên không
phi là quan h phn x.
Chú ý: gi ường chéo chính ca × : = {( , )/ }. Khi y quan h trên phn x khi
và ch khi ⊃ ∆ .
Định nghĩa 3.2.2: quan h trên ược nói là i xng nếu:
,
,
Ví d:
1. Các quan h
= ,
,
//, ” là những quan h i xng
2. Quan h trên
, ,
không phi là quan h i xng
3. Quan h = {(1,2).(2,1),(1,3),(3,1)} trên = {1,2,3,4} là mt quan h i xng nhưng không
phn x:
lOMoARcPSD|36667950
Chú ý: trong hình v trên ta thy tp hp t i xứng qua ường chéo . Tng quát hơn
mt quan h trên tp hp bt k i xng khi và ch khi là t i xng qua Định
nghĩa 3.2.3: mt quan h trên ưc nói là bc cu nếu:
, , ,() ()
Ví d:
1. Các quan h
= ,
,
//, là các quan hệ bc cu
2. Quan h trên không phi là quan h bc cu
3. Quan h {(1,1),(2,3),(3,4),(2,4)} trên = {1,2,3,4} là bc cu
Định nghĩa 3.2.4: mt quan h trên tp ược gi là quan h
tương ương
nếu phn x,
i xng, bc cu.
Ví d:
1. Các quan h
= ,
,
//” là các quan hệ tương ương
2. Quan h
,
” không phải là mt quan h tương ương
3. Quan h = {(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)} trên = {1,2,3} là quan h ơng ương
4. Quan h “tương ương logic” trên tập hp các mnh là mt quan h tương ương.
5. Cho trước mt ánh x
:
. Ta nh nghĩa quan h trên như sau:
( ) = ( )
Khi ó mt quan h tương ương.
Định nghĩa 3.2.5: gi s mt quan h tương ương trên . Khi y lớp tương ương
cha là tp hp con: {
/
}
Chú ý: lớp tương ương chứa thường ược ký hiu bi hay [ ] Ví d:
Quan h
(
3)
có ba lớp tương ương:
0 = {,…,6,3,0,3,…} 1
= {,…,5,2,1,4,…}
2 = {,…,4,1,2,5,…} Để ý
rng:
0 = 3 = 6 = 1
= 4 = 7 =
2 = 5 = 8 =
Như thế {
0,1,2
} mt phân hoch ca , nghĩa là Z hp ca 3 tp hp ôi mt ri
nhau {0,1,2}. Tỗng quát hơn ta có:
Định nghĩa 3.2.1: gi s mt quan h tương ương trên . Khi y:
i. ,
ii. ,,
iii. Hai lớp tương ương và sao cho ≠ ∅ thì trùng nhau
lOMoARcPSD|36667950
Chng minh:
i. Do tính phn x, . Nói cách khác
ii. Gi s . Gi là mt phn t bt k ca
Ta có: nên do tính bt cầu.Như thế . Mt khác do tính i xng ta cũng có .
Do ó chứng minh tương tự như trên ta có .
Ngưc li gi s
=
, do . Điều này có nghĩa là iii. Gi
s ≠ ∅. Khi y tn ti , nghĩa là . Do ii) ta có
=
=
pcm
Ví d:
1. Xét quan h trên :
=
Theo ví d 5 sau Định nghĩa 3.2.4, quan h tương ương xác nh bi ánh x
t vào . Các lớp tương ương là {0},{1,1},{2,2},…,{ , },… ây ược phân hoch thành
s tp hp con hu hn.
Vi , quan h ồng (mod ) mt quan h tương ương với lớp tương ương 0,1,…,
1. Ta ký hiu: = {0,1,…, 1}
Các phn t của, ược gi là các s nguyên ồng dư mod .
Vi
,
, chn tùy ý . Ta có th kiểm tra ược
+
không ph thuc vào mà ch
ph thuc vào và . Do ó ta có th dùng
+
nh nghĩa
+ . Đặc bit ta có th chn = = : + = +
Tương tự ta có:
=
Bây gi ta có th kiểm ược 2 phép toán
,+
trên tha các tính chất ơng tự
như các phép toán
,+
trên :
Tính giao hoán:
,
,
+ = + =
Tính kết hp: , ,,
= ( + ) +
() = ()
Tính phân b: , ,,( + ) = + Phn t trung hòa:
+ 0 =
1 =
Phn t i: , + () = 0
Ta nói cũng như là nhng
vành giao hoán có ơn vị
§3 TH
T
Định nghĩa 3.3.1: mt quan h trên tp hp ưc gi là ph
n x
ng nếu:
, ,() () =
lOMoARcPSD|36667950
Ví d:
Quan h trên
,
hay R phn xng
Quan h
,/ /
” không phản xng
Chú ý: trái vi các quan h i xng, i vi mt quan h phn xng , mi b phn t i
xng ca u nằm trong ường chéo
Định nghĩa 3.3.2: mt quan h trên tp hp ược nói m
t th
t
nếu phn x, phn
xng và bc cu. Khi y ta nói là mt tp hp sp th t (hay có th t)
Chú ý:
1. Ta thường ký hiu mt th t bi . Cp (
,
) là mt tp hp có th t.
2. Gi s mt tp hp con ca tp hp có th t (
,
). Khi y cm sinh mt th t
trên mt cách t nhiên: vi
,
, ta nói trong nếu trong .
Ví d:
1. (
,
) là mt tp hp có th t. Th t cm sinh các th t t nhiên trên
,
.
2. Nhc li tp hp ( ) ta có quan h:
Khi ó là mt th t trên ( ) gi là th t bao hàm. Ký hiêu s ưc dùng thay
Trên tp hp các dng mnh , ta nh nghĩa khi và ch khi , nghĩa là mt h
qu logic ca . Rõ ràng quan h trên có tính phn x và bc cu. Mt khác nếu
thì
à
ươ đươ . Do ó nếu ta ng nht các dng mnh tương ương
logic thì quan h trên tr thành mt th t trên .
Chính xác hơn, ta thấy quan h tương ương logic là một quan h tương ương trên
. Ta có mt quan h trên tp hp các lớp tương ương như sau: [ ] [ ] h
qu logic ca
Khi y quan h trên vn còn là phn xbc cu.
Gi s [ ] [ ][ ] . Khi y là h qu logic ca và ngược li, nghĩa là và tương
ương logic. Suy ra [ ]
=
[ ]
Do ó mt th t trên tp hp các lớp tương ương của .
Ví d: Gi là mt s nguyên dương. Đặt:
=
{
/ |
}
Trong ó
|
nghĩa một ước ca n hay n chia hết cho a. Trên ta th nh nghĩa mt
quan h:
|
Khi y rõ ràng là phn x và bc cu
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
lOMoARcPSD|36667950
Gi s . Ta có:
=
=
vi ,
Suy ra = = 1 ì > 0
Do , ta phi= = 1, nghĩa là =
Quan h th t trên vẫn ược ký hiu bi
|
Vi = 12 ta có = {1,2,3,4,6,12}
Do ó ta có th lit kê các cp thuc quan h trên: {(1,1)
,(1,2),(1,3),(1,4)(1,6),(1,12),
(2,2),(2,4),(2,6),(2,12),(3,3),(3,6),(3,12),(4,4),(4,12),(6,6),(12,12)}
Tuy nhiên i vi các tp hp hu hn có nhiu phn t, ta không th dùng phương pháp lit
kê như trên mà sẽ s dng biu Hasse
Định nghĩa 3.3.3: Xét mt tp hp có th t (
,
)
,
là hai phn t bt k ca
i. Nếu ta nói là tri ca hay ược tri bi
ii. là tri trc tiếp ca nếu tri và không tn ti mt tri ca sao cho:
Định nghĩa 3.3.4: Biu Hasse ca mt tp hp hu hn có th t (
,
) bao gm:
i. Mt tp hp các im trong mt phẳng tươngng 1 1 vi , gi là các nh
ii. Mt tp hp các
cung có hướ
ng ni mt s nh: hai nh
,
ược nói li bi mt cung có
ng (t ti ) nếu là tri trc tiếp ca .
Ví d:
1.
Trên ây là biu Hasse ca tp hp sp th t {
, , , , ,
} trong ó:
<
không so sánh ược vi các p hn t khác, nghĩa là vi
1
5
thì
.
2. Biu Hasse ca ược cho bi:
lOMoARcPSD|36667950
2
1 3
3. Vi = { , , } thì biu Hasse ca ( ( ),) có dng
{ , }
{
, ,
}
{ } {
,
}
{
,
} { }
{ }
ây ta quy ước các cung là không chéo nhau. Do ó mt cách hình dùng d dàng
là xem như Biểu Hasse ca ( ) gm các nh và cnh ca mt hình l
ập phương 3
chi
u.
4. Biu Hasse ca {1,2,3,4,5} vi th t thông thưng có dng mt dây chuy
n:
1 2 3 4 5
Ta có th duyt hết các nh mt ln bng cách i theo các cung mà không quay tr li
Cũng thế trong vô hn, ta cũng th quy ước biu din th t trên bi biu Hasse
vô hạn như sau:
2 -1 0 1 2
Biu Hasse trên vn còn là mt dây chuyn vô hn
Định nghĩa 3.3.5: mt th t trên ược nói là toàn ph
n nếu hai phn t bt k u so sánh
ược, nghĩa là mnh sau là úng: ,,() ()
Ví d:
1.
, , ,
vi th t thông thường là nhng tp hp sp th t toàn phn
2. Xét mt tp hp hu hn không rng mà ta gi là b mu t. Gi s trên có mt
th t toàn phn (ví d như thứ t thông thưng nếu là b ch cái:
≺ ≺ ⋯ ≺ , hay th t xác nh bi mã ASCII nếu là b ch cái ược m rng thêm
các ký tcác s t 0 ến 9, các du+,-,…)
Gi là tp hp các chui ký t có dng
= …
vi là s nguyên t nhiên tùy ý.
Vi
= 0
, ta ược chui rng không ký t nào c. ta s nh nghĩa mt quan h trên như
sau:
,
nếu = …= … là hai chui khác , ta nh nghĩa khi và ch khi mt trong hai iu
kiện sau ưc tha:
i. tn ti mt ch s ,1 ≤ ≤ sao cho: = ,…, = ii. = ,…, =
4
12
6
lOMoARcPSD|36667950
Ta chứng minh ược rng là mt th t trên gi là th t t iển. Hơn nữa vi th
t t in, là mt tp sp th t toàn phn (Bài tp)
Bây gi với Định nghĩa 3.3.5, nhn xét trên ây v biu Hasse có th ược phát biu
i dng mt kết qu tổng quát hơn mà chứng minh là hin nhiên.
Mnh 3.3.1: biu Hasse ca (
,
) là mt dây chuyn khi và ch khi là mt th t toàn
phn trên .
Do Mnh 3.3.1, biu Hasse ca mt tp hp sp th t toàn phn hu hn là mt
dây chuyn xut phát t mt phn t chm dt bi 1 phn t . ràng là phn t
nht và phn t ln nht theo nghĩa: ∀ ∈
,
Mt khác, d 1 cho thy phn t nht ln nht không nht thiết tn ti, ngay
c trong 1 tp hp sp th t hu hn. Tuy nhiên các phn t
,
là nhng phn t t
i
i
,
,
là nhng phn t t
i ti
u theo nghĩa sau:
Định nghĩa 3.3.6: trong tp hp sp th t (
,
), mt phn t ược nóit
i
i (tương ứng
t
i ti
u ) nếu không tri thc s (tương ng không tri thc s ca phn t nào c).
Nói cách khác mnh sau là úng:
,() ( = )
tương ứng
Định lý 3.3.2: trong mt tp hp sp th t , phn t ln nht , nếu tn ti, là phn t t i
duy nht. Suy ra cũng là phn t ln nht duy nht. Kết luận tương tự cho phn tnht
và phn t ti tiu.
Chng minh: Gi s là phn t ln nht và tn ti sao cho . Do ln nht, ta cũng.
Do tính phn xng, ta có
=
. Suy ra là mt phn t ti i.
Mt khác nếu gi là mt phn t ti i tùy ý, do ln nht ta . Nhưng ti i,
ta phi có
=
. Như thế là phn t ti i duy nht và dĩ nhiên cũng là phn t ln nht
duy nht. Kết lun cho phn t bé nht và các phn t ti tiểu ưc chng minh tương tự
bng cách i chiu các th t (bt ng thc).
pcm
S tn ti ca phn t ti i i vi các tp hp sp th t hu hn ược cho bi:
Định lý 3.3.3: trong mt tp hp sp th t hu hn thì:
i. mi phn t ược tri bởi (tươngng tri) mt phn t ti ại (tương ứng ti tiu)
ii. nếu phn t ti i (tương ng ti tiu) duy nht ca thì phn t ln nht
(tương ứng phn t bé nht)
Chng minh:
1. Xét mt phn t . Nếu không ti i s sao cho:
Nếu ti i thì ó là phn t phi tìm.
Nếu không s sao cho:
Nếu ti i thì ó phn t phi tìm rõ ràng tri . Nếu không ta tiết tiếp tc tìm
ược mt tri thc s của
lOMoARcPSD|36667950
Do hu hn và các phn t
, , ,…
ôi mt khác nhau, quá trình trên s dng sau ti a
1
c, trong ó
=
| |. Phn t cui cùng tìm ưc chính là phn t ti i tri .
2. Gi s phn t ti i duy nht ca , mt phn t tùy ý ca . Do i) tn ti
mt phn t ti i sao cho: .
Do duy nht ta có:
=
Suy ra ,
Nói cách khác là phn t ln nht.
Chng minh cho kết lun v phn t ti tiu và phn t nhất hoàn toàn tương tự.
Chú ý: Nếu không hu hạn, Định lý không úng theo c khi kết lun:
1. không có phn t ti a; ví d n
=
vi th t thông thưng.
2. có th có phn t ti i duy nht nhưng không có phần t ln nhất như ví dụ sau
cho thy:
0 1 2 3
§4 DÀN
Gi s là mt tp hp con hu hn ca tp hp sp th t toàn phn , khi y phn
t ln nht ca tn tại và ược ký hiu bi max . Tương tự, phn t bé nht ca tn ti, và
ược ký hiu bi min .
Đối vi các tp hp sp th t không toàn phn , khái nim max, min th ược
gim nh thành khái niệm sup và inf như sau:
Định nghĩa 3.4.1: Gi s là mt tp hp con ca tp hp sp th t (
,
). Khi y
1. Mt phn t ược nói là ch
n trên (tương ứng ch
ặn dướ
i ) chung ca nếu:
,
(tương ứng
,
)
2. Phn t nht (tương ng ln nht) ca tp hp
{
/
là chn trên chung ca } (tương ứng {
/
chặn dưới chung
ca }) ược ký hiu bi sup (tương ứng inf )
Ví d:
1. Trong mt tp hp sp th t toàn phn , rõ ràng max ca mt tp hp con hu hn
chính là sup . Tương tự min chính là inf .
2. Gi s = { , ,…, } là mt tâp hp con hu hn ca ( ).
Khi y chính làsup à chính làinf
Trên tp hp các dng mnh vi th t , xét mt tp hp con hu hn = { ,
,…, }. Khi y ∨ ∨ ∧ ∧ chính là sup inf
lOMoARcPSD|36667950
(Bài tp).
Định nghĩa 3.4.2: mt tp hp sp th t (
,
) ược nói là mt dàn nếu vi hai phn t bt
k
,
luôn luôn tn ti.
Ký hiu: trong mt dàn, ta s ký hiu .
Ví d:
1. Mt tp hp sp th t toàn phn là mt dàn 2.
( )
vi th t bao hàm là mt dàn. Ta có:
3. vi th t là mt dàn: vi
,
là hai dng mnh , các ký hiu mi
,
nh cho
sup{ , } inf{ , } trùng vi các ký hiu quen thuc ca phép ni ri và phép ni lin:
.
4. Tp hp
=
{
, , , , ,
} vi biu Hasse dưới ây không phi mt dàn {
,
} không có
sup. Tht vy các tri chung ca {
,
}{
, ,
} và tp hp này không có phn t bé.
Tương tự ta cũng thy {
,
} không có inf.
Định lý 3.4.1: Trong mt dàn (
,
)c phép toán tha các tính cht giao hoán và kết
hp:
i.
à
ii.
à
Chng minh: i) hin nhiên nên ta ch cn chng minh ii). Xét 3 phn t bt k
, ,
.
Khi y
=
() là mt tri chung ca và nên nó cũng là mt tri chung ca
, và thì là tri chung bé nht ca {
,
}. Như thế tri chung ca
{ ,}. Suy ra = () .
Như thế chính tri chung nht ca {
, ,
}. Tương tự ta cũng thy () cũng là
tri chung bé nht ca {
, ,
}. Do phn t bé nht là duy nht, ta có:
lOMoARcPSD|36667950
() = ()
Chng minh ca ()
=
() hoàn toàn tương tự.
pcm
Chú ý: Do tính kết hp, nếu
= , ,
…, là mt tp hp con hu hn ca dàn thì
không ph thuc vào cách t các dấu “( )”. Hơn nữa, chứng minh tương tự
như trong Định 3.4.1 ta thy chính sup . Tương tự = inf . Đặc bit nếu
hu hn ta có:
Mnh 3.4.2: Trong dàn hu hn = { , ,…, } thì ∨ ∨ ∧ ∧ chính là phn t ln nht
và phn t bé nht ca .
Chú ý: Nếu dàn không hu hn thì phn t ln nht nht không nht thiết tn ti
như ví dụ ca cho thy.
Định nghĩa 3.4.3: mt dàn ược nói là phân b
nếu vi mi
, ,
trong ta có:
() = () ()
à () = () ()
Ví d:
1. Mi tp hp sp th t toàn phn là mt dàn phân b (Bài tp) 2. Do tính
phân b ca các phép tính tp hp, dàn
( )
là mt dàn phân b. 3. Do quy
lut phân b, dàn c dng mnh là mt dàn phân b
4. Xét tp hp sp th t
=
{
, , , ,
} vi biu Hasse như sau:
Ta có th kim tra d dàng là mt dàn. Tuy nhiên không phân b vì:
() = =
() () = =
Định nghĩa 3.4.4: Gi s là mt dàn vi phn t ln nht nht ta hiêu 1
và 0. Khi y mt phn t ược nói là ph
n bù ca phn t nếu:
= 1 à
= 0
Ta nói là mt dàn bù nếu mi phn t ca u có phn bù.
Chú ý: nếu là phn bù ca thì rõ ràng là phn bù ca
Ví d:
lOMoARcPSD|36667950
1. Các dàn
( )
dàn bù. Phn ca ( ) chính phn bù ca tp hp trong , còn
phn bù ca dng mnh chính là ph nh ca . 2. Dàn
=
{
, , , ,
} vi biu Hasse như
i ây là mt dàn
§5 DÀN 2
Cho trước hai tp hp
,
, nhc li rng ký hiu tp hp các ánh x t vào .
Gi s là mt th t trên . Khi y vi
,
, ta nh nghĩa:
, ( ) ( )
Có th kim tra rng là mt th t trên , và hơn nữa (
,
)mt dàn nếu (
,
)
mt dàn (Bài tp)
Gi
,
là hai phn t bt k ca
,
là ánh x sao cho vi mi :
()( ) = ( ) ( )
à ()( ) = ( ) ( )
trong ó ch sup và inf ca hai phn t trong i vi th t
Đặc bit vi = {0,1}, ta ược dàn {0,1} mà ta ký hiu2 . Vi 2 , t
= (1). Khi y ta có:
Ta nói là hàm ặc trưng của
Hàm ặc trưng của ưc ký hiu bi . Ta có:
Định lý 3.5.1: tương ứng
:
là mt song ánh gia
( )
2
. Hơn nữa vi
,
là hai tp hp con tùy ý ca ta có: (3.5.1)
Chng minh: Trên ây ta ã thy là toàn ánh. Hơn nữa nếu
=
thì :
= (1) = (2) =
Như thế là mt song ánh,
Mt khác, vi
,
là hai tp hp con tùy ý ca , ta có:
, ( ) = 1 ( ) = 1
lOMoARcPSD|36667950
pcm
Ta có th viết li (3.5.1) như sau: ( ) ( )
ng cu gia hai tp hp con có th t
( )
2
theo nghĩa sau:
Định nghĩa 3.5.1: môt ng cu gia hai tp hp có th t (
,
)
,
(
,
) là mt song ánh :
sao cho: , ,( ) ( ) ( ) (3.5.2)
Định lý 3.5.2: Gi s mt ng cu gia hai tp hp có th t (
,
)(
,
)
i. Nếu (
,
)(
,
) là hai dàn, thì vi
,
tùy ý ta có:
() = ( ) ( ) (3.5.3) () = ( ) ( ) (3.5.4)
ii. Nếu là dàn phân b thì cũng là dàn phân b
iii. Gi s có 0 là phn t bé nht và 1 là phn t ln nht. Khi y (
0
)(
1
) là phn t
bé nht và ln nht ca .
iv. Nếu là dàn bù thì cũng là dàn bù. Hơn nữa nếu là phn bù ca phn t , thì ()
phn bù ca ( ). Nói cách khác () = ( ).
Chng minh:
i. Vi
,
tùy ý, do (3.5.2) rõ ràng
(
)
là chn trên chung ca
( )
( ).
Suy ra:
( ) ( ) () (3.5.5)
Mt khác, cũng do (3.5.2) ( ) ( ) và chn trên chung ca và nên:
( ) ( )
Do ó () ( ) ( ) (3.5.6)
T (3.5.5) và (3.5.6) ta suy ra (3.5.3)
Chng minh của (3.5.4) hoàn toàn tương tự.
ii), iii), iv) ược suy ra d dàng t nh nghĩa
pcm
H qu: nếu
,
là hai tp hp con tùy ý ca thì
=
à
=
trong ó
=
là tích ca hai hàm theo nghĩa t nhiên.
§6 DÀN
6.1 Ước s chung ln nht và bi s chung ln nht
Gi s
,
hai s nguyên dương, khi y s nguyên dương ược nói
ướ
c s
chung
ca nếu ước s ca ước s ca . Khi y 0 min( , ). Do ó tp hp ca các
ước s chung ca mt tp hp hu hntn ti mt phn t ln nht gi là
ướ
c s
chung l
n nh
t ca và . Ta viết: = ( , )
lOMoARcPSD| 36667950
Để tìm ước s chung ln nht ca 2 s nguyên dương
,
ta s dng thut toán sau:
Thut chia Euclide: nếu là ước ca , t
=
. Nếu không ta thc hiên lần lượt các phép chia
có dư số:
=
+
,0
<
=
=
+
,0 <
+
,0 r
<
………………… …………………
=
+ ,0 <
………………… ……………………
Do > > > > > 0, thut chia s ngưng sau một s hu hạn bước.
Gi là dư số u tiên bng 0. Ta có:
= + ,
0
<
= + 0
Ta có:
Định lý 3.6.1: ước s chung ln nht ca . Hơn nữa mi ưc s chung ca ước
s ca
Chng minh: Nếu là ước ca thì ước s chung ln nht ca và chính là
=
. Nếu không
>
0
. Gi s là ước s chung ca . Do
=
nên cũng ước s ca vi
1
≤ ≤ . Tht vy,
gi s
1
<
là ưc ca vi
1
≤ ≤ . Khi y do
= nên cũng là ước ca . Như thế theo nguyên lý qui np, là ước ca . Đặc bit nếu
gi là ước s chung ln nht ca và thì cũng là ước ca .
Suy ra
lOMoARcPSD|36667950
Ngưc li, do
=
nên ước ca . Tương tự như trên, dùng nguyên lý qui np , ta thy
ước ca vi
1
≤ ≤ . Nhưng
= +
nên cũng là ước ca . Cui cùng do
= +
, cũng là ước ca .
Như thế là ước s chung ca và .
Suy ra
Tóm li =
pcm
Định lý 3.6.2: Gi s là ước s chung ln nht ca và . Khi y tn ti
,
sao cho: = +
Chng minh: vi ký hiệu như trong Định lý 3.6.1, ta có
=
. Như thế:
= = +
Nhưng =
Do ó = + ( )
=
Bng Nguyên lý qui nạp tương tự như trên ta cũng chứng minh ưc tn ti
, ,…, sao cho: = +
= + ( )
S dng = ta ược:
=
=
+ (
+
)
= +
pcm
Định nghĩa 3.6.1: hai s nguyên dương
,
ược nói là mt nguyên t cùng nhau nếu ước s
chung ln nht ca chúng bng 1. Khi y ta viết (
,
)
= 1
lOMoARcPSD|36667950
Downloaded by Albedo Lili (albedo0208@gmail.com)
Chú ý: Mt s nguyên
> 1
ược nói là s
nguyên t
nếu không có ước nào ngoài 1 và chinh
nó. Nếu là s nguyn t và không phải là ước ca thì và nguyên t cùng nhau.
Mnh 3.6.3: Gi s , , sao cho là ước ca( , ) = 1. Khi y là ước ca .
Chng minh: Do Định lý 3.6.2, tn ti
,
sao cho:
1 = + đó = +
là ước ca nên cũng là ước ca
pcm
Mnh 3.6.4: Gi s , , sao cho ( , ) = 1( , ) = 1. Khi y ( , ) = 1 Chng minh: Gi s ước
s chung l nht ca > 1. Khi y ( , ) = 1nếu không, gi ước s chung ln nht
ca và ta có
> 1
. Rõ ràng cũng là ước chung ca và . Điều này mâu thun vi gi thiết ( ,
) = 1. Vy ( , ) = 1. Do ó theo Mnh 3.6.3 là ước s ca . Điều này mâu thun vi gi thiết
(
,
)
= 1
. Do ó
= 1
, nghĩa là
( , ) = 1
pcm
Mt s nguyên ược nói b
i s
chung ca hai s nguyên
,
nếu ng thi bi s
ca và .
B 3.6.5: Cho , ,. Gi s bi s chung ca ,( , ) = 1. Khi y là bi s chung ca .
Chng minh: Do là bi s ca , ta có th viết
=
vi là s nguyên. Do Mnh
3.6.3, là ưc s ca :
= ,
. Suy ra
=
pcm
Định lý 3.6.6: Gi s
,
. Gi là ước s chung ln nht ca
,
. Khi y là bi s chung ca
,
. Hơn nữa mi bi s chung ca
,
u chia hết cho . Suy ra là bi s chung ln nht ca và
.
Chng minh: Ta có th viết = = vi ,
Mt khác ý rng nguyên t cùng nhau. Tht vy gi là ước s chung ln
nht ca chúng thì cũng là ước s chung ca và . Suy ra
= 1
.
Gi là bi s chung ca và . Áp dng B 3.6.5 cho
, ,
ta thy là bi s chung ca
nên là bi s chung ca .
pcm
Chú ý: ta ký hiu bi s chung nh nht ca
,
bi
( , )
Gi s
, > 1
. Khi y nếu gi là ước bé nht ca sao cho
> 1
thì rõ ràng là mt s
nguyên t. Li tiếp tc xét ta chứng minh ược bng qui np rng tích ca mt s hu
hn s nguyên t. Gp các tha s ging nhau li ta có th phân tích thành
th
a s
nguyên t
: =
trong ó
, ,…,
là các s nguyên t ôi mt khác nhau
,
,…,
(3.6.1)
GS. Nguyn Hu Anh
72
lOMoARcPSD|36667950
Mnh 3.6.7: Biu din (3.6.1) là duy nht
Chng minh: xét mt phân tích ra tha s nguyên t khác ca :
= (3.6.2)
Nếu {
, ,…,
} thì áp dng thì áp dng Mnh 3.6.4 nhiu ln ta i ến kết lun và s
nguyên t cùng nhau. Điều mâu thun này chng t {
, ,…,
}. Lp luận tương tự cho ,…, ,
,…, ta ược: { , ,…, } = { , ,…, }
Đặc bit = . Sp xếp th t li , ,…, ta có th gi s = , =
,…, = . Ta s chng minh = , = ,…, = bng qui np trên
Nếu = 1 thì = = . Suy ra =
Gi s > 1. Nếu < thì = ràng nguyên t cùng nhau
vi
. Trong khi ó dùng biu diễn (3.6.2) ta ược:
=
Do
> 0,
ước của. Điều mâu thun này chng t . Do và óng vai trò i xng ta
cũng có , nghĩa là
=
. Khi ấy ta ược 2 biu in ca thành tha s nguyên t:
=
=
Áp dng gi thiết qui nạp ta ược = , = ,…, =
pcm
S dng phân tích (3.6.1) ta một phương pháp thứ hai m ước s chung ln
nht và bi s chung nh nht ca hai s nguyên dương. Trước tiên nhn xét rng nếu
có phân tích
=
(3.6.3)
=
(3.6.4)
Thì là ước ca khi và ch khi 2 iu kin dưới ây ưc tha:
lOMoARcPSD| 36667950
{ , ,…, } { , ,…, }. Đặc bit
Ta sp xếp th t , ,…, li sao cho = , = , = . Khi y các s mũ tha: , ,…,
.
Chng minh ca khng nh trên da trên cùng ý tưởng vi chng minh Mnh 3.6.7
nêu ược dành cho c gi.
Bây gi gi s phân tích như trong (3.6.3) (3.6.4) với các s mũ nguyên
dương. Bng cách b sung thêm vào các tha s lũy tha 0 ca nhng s nguyên t
trong (3.6.3) và ngược li, ta có th gi s
,
có dng:
=
=
Vi các s mũ ly giá tr nguyên dương hay 0. Khiy do nhân xét trên ta có:
Mnh 3.6.8:
= min ,
= max(
,
6.2 Dàn
Nhc li rng tp hp gồm các ước s dương của ược
sp th t bi quan h:
|
( là ước s ca )
Gi s ,. Khi y = ( , )
Rõ ràng . Hơn nữa nếu sao cho thì ước s chung ca
,
nên theo
Định lý 3.6.1 cũng là ước s ca , nghĩa là .
Nói tóm li chính inf( , ). Tương tự ( , ) sup( , ). Vi ký hiu , cho inf và sup ta
có:
= ( , )
= ( , )
Như thế là mt dàn phn t bé nht là 1, phn t ln nht là .
Hơn nữa nếu gi
, ,…,
là các ước s nguyên t ca thì ta có th biu din 1 phn t
bt k ca i dng (3.6.1) vi s mũ thuc . Xét ba phn t tùy ý
, ,
vi biu diễn như
trên:
=
= … =
Khi y do Mnh 3.6.8 s mũ ca trong () là:
min( ,max(, )) = max(min( , ) ,min( ,
))
( , ) =
( , ) =
vi
( )
lOMoARcPSD|36667950
Như thế () = () () Tương tự () = ()
()
Tóm li ta ã chng minh.
Định lý 3.6.9: là mt dàn phân b.
Mt s nguyên dương ược nói không có th
a s
chính phương
nếu không chia hết cho
bình phương của bt k s nguyên >1 nào.
Định lý 3.6.10: là dàn bù khi và ch khi không có tha s phương.
Chng minh: Gi s không có tha s chính phương và mt phn t tùy ý ca . Khi
y và nguyên t cùng nhau vì nếu không, bt k ước s chung
> 1
ca chúng cũng u có
bình phương là ước ca . Như thế = 1
Ngoài ra = , ==
Vy chính là phn bù ca và do ó là mt dàn bù.
Ngưc li, gi s chia hết cho bình phương của s nguyên >1. Gi phn bù ca
trong . Ta có:
= 1
=
Suy ra
=
. Nhưng ràng là ước s chung ca nên ∧ ≠
1
. Điều này mâu thun
chng t không phn không phài mt dàn bù. Tht ra trong chương 4 ta sẽ
chng minh rng nếu mt th t nào ó trên tr thành mt dàn thì s phn t
ca phi mt lũy tha ca 2. Trong khi ó s ước ca mt lũy tha ca 2 thì trong
phân tích ca thành tha s nguyên t, các s mũ phi có dng 2 1 (Bài tp).
lOMoARcPSD|36667950
BÀI T
ẬP CHƯƠNG 3
1. Gi s = {0,1,2,3,4}, = {1,3,7,12}, = {0,1,2,,4,8,16,} và A_4={-3,-2,-1,0,1,2,3}
a) Xét = {( , , , ) × × × ; = 0}. Hãy tính | |.
b) Xét = {( , , , ) × × × ; < 0}. Hãy tính | |.
2. Gi s = {1,2,3}, = {2,4,5}
a) Tính | × |
b) Tìm s quan h gia và
c) Tìm s quan h gia hai ngôi trên
d) Tìm s quan h gia và cha (1,2),(1,5)
e) Tìm s quan h gia và cha úng 5 cp có th t.
f) Tìm s quan h gia hai ngôi trên cha ít nht 7 cp có th t.
3. Xét hai tp hp hu hn sao cho
| | = 3
. Tìm s phn t ca biết rng úng 4096
quan h gia và .
4. Mt quan h gia hai tp hp và ược nếu là mt hàm nếu vi mi (t.ư
), tn ti duy nht mt phn t (t.ư ) sao cho
( , )
∈ ℛ. Khi ấy tươngng (t.ư )
rõ ràng là mt ánh x t vào (t.ư vào ) như ã xét trong Chương 2. Trong các quan hệ
i ây, hãy cho biết quan h nào là mt hàm và tìm ánh x tương ứng
a) = {( , ) / = + 7}
b) = {( , ) / = }
c) = {( , ) / = 3 + 1}
d) = {( , ) / + = 1}
e) = {( , ) [0,1] × [0,1]/ + = 1}
5. Gi s
= =
. Hãy tìm
(
)
(
)
cho các quan h sau ây:
a) = {( , ) × / = }
b) = {( , ) × / = cos }
c) = {( , ) × / + = 1}
6. Gi s = { , , , , , } (mã sc loi ngũ cc), = = = = . Xét quan h giac tp
, , , ,
cho
bi bảng dưới ây:
Mã s
ng
ường/ vtt
L.Vitamin A/
vtt
L.Vitamin C/
vtt
L.Protein/ vtt
U
V
W
X
Y
Z
1
7
12
0
32
2
25
25
25
60
25
25
25
2
2
40
40
40
6
4
4
20
10
10
a) Hãy tìm quan h chiếu ca lên
× ×
b) Mt thuộc tính ược nói là khóa chính ca quan h nếu giá tr ca nó xác nh duy
nht mt b 5 thuc . Hãy tìm các khóa chính ca .
7. Gi s = {1,2}, = { , , }, = = = . Xét quan h gia , , , , cho bi bảng dưới ây:
lOMoARcPSD|36667950
Loi viên
Vitamin
Loi Vitamin
trong viên
ng Vitamin
trong viên
Liều lượng:
s viên/ ngày
S viên trong chai
1
1
1
2
2
2
A
D
E
A
D
E
10.000
400
30
4.000
400
15
1
1
1
1
1
1
100
100
100
250
250
250
a) Tìm quan h chiếu ca lên
×
× ×
b) Quan h này có khóa chính không?
c) Mt khóa chính ph
c h
p tích Descartes ca mt s ti thiu thuc tính sao cho
nếu gi ℛ′ quan h chiếu ca lên tích Descartes ó, thì mi b trong
hình chiếu duy nht ca mt b trong . Hãy xác nh các kháo chính phc hp ca
.
8. Hãy tìm quan h trên = {1,2,3,4} sao cho nó có tính cht
a) Phn xi xứng nhưng không bắc cu
b) Phn xbc cầu nhưng khôngi xng
c) Đối xng và bc cầu nhưng không phản x
9. Trong s các quan h i ây, hãy cho biết quan h nào có tính phn x, i xng, phn
xng, bc cu:
a) là mt tp con c nh ca , xét quan h trên
( )
:
b) Quan h trên : + chn
c) Quan h trên : l
d) Quan h trên × : ( , )( , ) chn
e) Quan h trên : + chn
f) Quan h trên : | | = | |
g) Quan h trên : sin + cos = 1
10. là mt quan h trên tp hp vi phn t. Cho biết các khng ịnh dưới ây úng hay
sai. Nếu sai, ch ra mt phn ví d: a) Nếu phn x thì
|
|
b) Nếu
|
|
thì phn x
c) Nếu là hai quan h trên sao cho phn x thì phn x
d) Kết luận tương tự như c) cho tính i xng, phn xng và bc cu
e) Nếu là hai quan h trên sao cho phn x thì phn x
f) Kết luận tương tự như e) cho tính ối xng, phn xng và bc cu
11. Gi s là mt quan h trên A, quan h
i ng
u của ược nh nghĩa bi:
a) Quan h i ngu ca
là gì?
b) Có th nói gì v nếu
=
c) Nếu bc cu thì
có bc cu không? Câu hỏi tương tự cho tính i xng, phn
xng.
12. = {1,2,3,4}. Xác nh s quan h trên A có tính cht:
a) phn x
b) i xng
c) phn xi xng
lOMoARcPSD| 36667950
d) phn xng
e) i xng và phn xng
f) phn xi xng và phn xng
13. Gi s | |
=
là tp hp con ti i ca
×
sao cho là mt quan h phn xng. Tìm
s phn t ca . bao nhiêu quan h tha iu kin trên? 14. = {1,2,3,4,5,6}, =
{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(6,6)}.
a) Kim tra li mt quan h tương ương
b) Tìm các lớp tương ương [1],[2],[3].
c) Tìm phân hoch ca thành các lớp tương ương
15. = {1,2,3,4,5}. Tìm quan h tương ương trên sao cho phân hoch ca thành các lp
tương ương có dạng:
= {1,2} {3,4} {5}
16. = {1,2,3,4,5}, = {1,2}, = {2,3,4}, = {5}. Định nghĩa quan h trên như sau:
:1 3 ,
có phi là quan h tương ương không?
17. Xét quan h trên
=
sao cho :
( , )( , ) =
a) Kim tra li là mt quan h tương ương
b) Ch ra các lớp tương ương và cho biết ý nghĩa hình hc 18. = {1,2,3,4,5}
× {1,2,3,4,5} là quan h trên sao cho:
( , )( , ) + = +
a) Kim tra li mt quan h tương ương
b) Xác nh các lớp tương ương [(1,3)],[(2,4)] [(1,1)]
c) Ch ra phân hoch ca thành các lp tương ương
19.
a) Quan h trong 9a) có phải tương ương không?
b) Vi = {1,2,3}= {1,2}. Tìm phân hoch ca ( ) thành các lớp tuong ương
c) Vi = {1,2,3} = {1,2}. Tìm lớp tương ương [{1,3,5}]. bao nhiêu lớp tương ương khác
nhau?
20. Quan h trên ược nh nghĩa bi:
: 2
a) Kim tra li là mt quan h tương ương
b) Trong s các lớp tương ương [1], [2], [3], [4] có bao nhiêu lớp ôi mt phân bit?
c) Câu hỏi tương tự như b) sao cho các lp [6],[7], [21], [24], [25], [35], [42] và [48]
21. Có bao hiêu quan h tương ương trên
= { , , , , , }
sao cho:
a) Có úng hai lớp tương ương với 3 phn t
b) Có mt lớp tương ương với 3 phn t
c) Có mt lớp tương ương với 4 phn t
d) Có ít nht mt lớp tương ương với
3
phn t.
22. Xét mt ánh x
:
. Định nghĩa trên như sau:
( ) = ( )
a) Chng minh rng là mt quan h ơng ương
b) Xác nh các lớp tương ương
lOMoARcPSD|36667950
23. | |
= 30
mt quan h tương ương trên sao cho ược phân hoch thành 3 lớp tương
ương
, ,
vi cùng s phn t. Hãy xác nh
24. = {1,2,3,4,5,6,7}. Hãy tìm mt quan h tương ương trên sao cho || cho các giá tr: 6,
7, 8, 9, 11, 22, 23, 30, 31.
25. V biu Hasse cho tp hp sp th t ( ( ),) trong ó = {1,2,3,4}
26. Xét hai tp hp th t tp hp th t ( , )( , ). Vi ( , ),( , ) × nh nghĩa:
( , ) ( , ) ( ) ( )
a) Chng minh rng quan h trên là mt th t
b) Nếu là th t toàn phn thì có là th t toàn phn không?
27. Cho trước hai tp hp
,
là mt th t trên . ta nh nghĩa quan h trên như sau:
, ( ) ( )
a) Chng minh rng là mt th t trên
b) Nếu (
,
) là mt dàn, chng minh rng (
,
) là mt dàn
28. Gi s mt quan h bc cu trên . Gi
quan h i ngu ca như trong bài
tp 11. Chng minh rng là mt th t khi và ch khi
∩ ℛ
= = {( , )/ }
29. Chng minh rng th t t in trên tp hp các chui ký t tht s là mt th t. hơn
nữa S ược sp th t toàn phn bi quan h trên.
30. Gi s mt th t không toàn phn trên , mt tp hp con khác ca . Khi
y th t cm sinh trên bi có nht thiết là th t không toàn phn không?
31. Trong các biu sau, cái nào là biu Hasse ca mt tp hp sp th t:
32. Có bao nhiêu th t trên tp i ây cho là mt phn t ti tiu?
a) = { , }
b) = { , , }
33. Gi s = ( ) vi = {1,2,3}. Trong tp hp A vi th t bao hàm, hãy tìm sup và inf ca tp
hp con i ây:
a) = {1},{2}
b) = {1},{2},{3},{1,2}
c) = ,{1},{2},{1,2}
d) = {1},{1,2},{1,3},{1,2,3}
e) = {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}
f) = {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}
lOMoARcPSD| 36667950
34. Gi s
=
( ) vi th t bao hàm trong ó
= {1,2,3,4,5,6,7}
. Xét
=
{
1
}
,
{
2
}
,
{
2,3
} . Hãy cho biết:
a) S chn trên ca bao gm 3,4,5 phn t ca
b) S tt c chn trên ca
c) sup
d) S tt c chặn dưi ca
e) inf
35. Gi s
( ,
)
mt tp hp sp th t. Cho biết các khng ịnh dưới ây úng hay sai? Ti
sao?
a) Nếu (
,
) là mt dàn thì là th t toàn phn
b) Nếu th t toàn phn thì (
,
) là mt dàn
36. Gi s (
,
) mt dàn mt phn t ti i ca . Khi y phn t ln nht. Kết
luận tương tự cho phn t ti tiu.
37. Gi s = { , , , , , , , , , } vi th t xác nh bi biu Hasse dưới ây. Hãy tính:
a) inf { , } b) inf { , } c) inf { , }
d) sup { , } e) sup { , } f) sup { , } g) sup { , }
z
x t y
v
e
c d
a
38. Vi (
,
) như trong bài tập 37
a) có phn t ln nht và bé nht không không?
b) (
,
) có là mt dàn không?
39. Trên tp hp các dng mnh vi th t “có hệ qu logic” (), chng minh rng
sup inf ca mt tp hp con hu hn
=
{
, ,…,
} chính các dng mnh
(ni ri) và ∧ ∧ (ni lin).
40. Mt tp hp th t trên tp hợp A ược nói là th t tt nếu mi tp hp con A khác
ca A u có phn t nht. khi y ta nói (
,
) ược sp tt.
a) Chng minh rng mi th t tt u là toàn phần. Điều ngược li có úng không?
b) Chng minh rng mi tp hp sp th t tt có phn t bé nht.
c) Cho ví d ca mt tp hp sp tt không có phn t ln nht, và ví d ca mt tp
hp sp tt có phn t ln nht.
41. Trong các tp hp sp th t i ây, cho biết tp hp nào sp th t tt:
a) ( ,)
b) ( ,)
c) ( ,)
d) ( ,)
lOMoARcPSD|36667950
e) (
,
) trong ó là tp hp các s nguyên t
f) (
,
) trong ó là tp hp con hu hn ca Z
g) (
,
) trong ó là tp hp các chui ký t trên mt tp hp mu t sp th t toàn
phn và là th t t in.
42. Gi s (
,
) là mt tp hp sp th t tt không có phn t ti i
a) Chng minh rng mi phn t x u có tri trc tiếp duy nht
( )
b) Chng minh rng ánh x
:
là ơn ánh. Ánh xạ này có toàn ánh không?
c) Gi s
( )
bng tr i mt im. chng minh rng (
,
) ng cu vi (
,
) 43. Tìm ước
s chung ln nht ca các cp s sau:
a) 43,16
b) 442,276
c) 6234,3312
d) 87657,44441
e) 654321,123456
44.
a) Phân tích 2 s sau ra tha s nguyên t: 148.500 và 7.114.800
b) Hãy tìm USCLN và BSCNN ca chúng
45. Gi s s có phân tích ra tha s nguyên t:
=
Hãy tìm phân tích ra tha s nguyên ca ,
46. Hãy tìm phân tích ra tha s nguyên ca 8!, 10!, 12! và 15!
47.
a) Hãy tìm ra các ưc s ơng của
2
5
7
b) Gi s có phân tích ra tha s nguyên t
=
Tìm s các ước dương của
c) Tng quát hóa kết qu trên cho trường hp có nhiu hơn 3 ước s nguyên t
d) Suy ra nếu s các ưc s dương của là lũy tha ca 2 thì trong phân tích ca thành
tha s nguyên t, các s mũ u có dng
2
1,
48.
a) S = 2 3 5 7 11 13 37 có bao nhiêu ước s?
b) Có bao nhiêu ước s dương của chia hết cho 2 3 5 11 37 ?
c) Có bao nhiêu ước s dương của chia hết cho 1.166.400.000
49. 200 ồng xu ược ánh s t 1 ến 200 t thành hàng nganh trên bàn và 200 sinh viên
cũng ược ánh s t 1 ến 200. Sinh viên th nht s lật ngược tt cc ng xu li. Tiếp
theo sinh viên th 2 lật ngược ng xu th 2,4,6,… Sinh viên thứ n, 1
200, lật ngược ng xu th ,2 ,3 ,…
a) Hi ng xu th 200 ưc lt ngược bao nhiêu ln?
b) ng xu nào có s ln b lật ngược nhưng xu th 200 không?
lOMoARcPSD|36667950
50. Hãy viết một chương trình máy tính cho phép phân tích s nguyên
nguyên t.
51. Tìm s nguyên dương có úng:
a) hai ước s ơng b) ba ước s dương
c) bn ước s dương d) năm ưc s dương
52. Cho hai s nguyên dương
,
> 1 ra tha s
a) Gi s (
,
)
= 1
. Hãy tìm tt c các li gii (nghĩa là các cp
( ,
trình
=
b) Câu hỏi tương tự nhưng không giả thiết
,
nguyên t cùng nhau
c) Hãy tìm s các cp s nguyên
,
tha:
)) của phương
+ = ( , )
53. Hãy tìm các cp
( , )
tha h thc
+ = ( , )
trong các trường hp sau:
a) = 46, = 16
b) = 124, = 64
c) = 3450, = 331
54. Cho trước s nguyên
> 1
. Ta nói kh nghch (mod ) nếu tn ti
sao cho:
1 (mod )
a) Chng minh rng nếu kh nghch (mod ) thì phương trình ồng (mod
) có nghim duy nht trong
b) Nếu không kh nghch mod thì sao?
55. Hãy gii các h thc ồng dư dưi ây (tìm tt c các s ồng dư):
a) 37 (mod 14) b) 5 + 7 6 (mod 23)
d) 4 + 3 7 + 12 (mod 11) d) 3 + 9 8 + 61 (mod 64)
lOMoARcPSD|36667950
CHƯƠNG 4: ĐẠI S BOOL VÀ HÀM BOOL
§1 ĐẠ
I S
BOOL
Định nghĩa 4.1.1: Mt i s Bool là tp hp cùng vi hai phép tính (hai ngôi) tha
mãn các tính cht sau
i. Tính k
ế
t h
p: vi mi , ,:
() = () và () = () ii. Tính
giao hoán: vi mi , ,:
= = iii. Tính phân b
:
vi mi , ,:
() = () ()() = ()
()
iv. Ph
n t
trung hòa: tn ti hai phn t trung hòa 0,1 i vi hai phép toán , sao cho
vi mi ta có:
0 =1
=
v. Ph
n t
bù: vi mi , tn ti sao cho:
= 1
= 0
Ví d:
1. Mt dàn bù phân b mt i s Bool vi hai phép tính
,
chính sup và inf ca hai
phn tử. Đặc
( )
là mt i s Bool di vi các phép tính tp hp . Cũng thế
cũng mt i s Bool i vi các phép ni ri ni lin ca hai dng mnh . Do
30 không chia hết cho chính phương, dàn bù phân b và do ó là mt i s Bool i
vi các phép toán :
= ( , )
= ( , )
2. Tp hp
=
{
0,1
} là mt i s Bool di vi các phép toán :
=
= +
Phn bù ca chính là = 1
Đại s Bool này óng vai trò quan trng trong lý thuyết v các hàm Bool.
Chú ý: phn bù ca phn t là duy nhất và hơn nữa ta có qui tc De Morgan (Bài tp).
= =
Trong các d
trên, các phép toán
lOMoARcPSD|36667950
i s Bool ược nh
nghĩa còn t nhiên
hơn cu trúc th t
ca dàn phân
b. vn ược t ra
liu th suy
cu trúc ca dàn
phân b t cu
trúc i s Bool
không? Định lý sau
ây là câu tr li:
Định nghĩa 4.1.1: trong i s Bool , nh nghĩa quan h:
=
Khi y là mt th t trên sao cho là mt dàn bù phân b i vi th t này.
Hơn nữa, vi
,
ta có:
sup( , ) =
inf( , ) =
Chng minh: Trưc hết ta kim tra là mt th th trên . Vi mi ta có:
= ( )
= 1 =
(4.1.1)
nghĩa là
Mt khác vi
,
sao cho ta có:
Do tính giao hoán ca ta có
=
Vi
, ,
sao cho ta có:
= à =
Suy ra
= () = ()
= =
nghĩa là
Tóm li mt th t trên .
lOMoARcPSD|36667950
Vi
,
tùy ý, ta
() = () Nhưng
nên () =
nghĩa là ∧ ≺
tương tự =
Như thế chặn dưi chung ca
,
Gi là mt chặn dưi chung bt k ca
,
. Ta có:
Do ó () = () =
=
nghĩa là
Như thế = inf( , )
Bây gi do iv) của Định nghĩa 4.1.1, 1 chính là phn t ln nht. Mt khác, vi tùy
ý:
= (0 )
=
= 0
(4.1.1) nghĩa 0 phn t nht
ca .
Sau cùng vi mi
,
, ta có:
0
nên
() = 0 = nghĩa là
Tương tự =
Gi là m chn trên chung ca
,
ta có:
nghĩa là
Như thế = sup( , )
Tóm li là mt dàn phân b vi phn t ln nht và bé nhất là 1,0. Hơn nữa, do
v) của Định lý 4.1.1 chính là phn bù ca .
lOMoARcPSD|36667950
pcm
Do Định 4.1.1, mi i s Bool h
u h
n ược liên kết vi mt biu Hasse. Ta hãy
quan sát aho i s Bool ({
, ,
}). Tuy ược nh nghĩa khác nhau, các i s Bool này hai
biu Hasse “ ồng dạng”
{
,
}
15 30
{
, ,
}
5 10 {
} {
,
}
3 6 { }
{
,
}
1
2 { }
T hai biu trên ta có th xây dng mt song ánh gia ({
, ,
}) sao cho các nh
tương ứng vi nhau 1 ,2 { },3 { },… hai ỉnh ược ni bi mt cnh ca s tương
ng vi hai ỉnh ược ni bi mt cnh ca ({
, ,
}). Nói cách khác ta có mt ng cu gia
các tp hp th tự. Do Định 3.4.1 sup inf ca hai phn t
,
trong tương ng vi
sup, inf ca ( )
,
( ). Nói cách khác là mt ng cu gia các i s Bool theo nh nghĩa sau:
Định nghĩa 4.1.2: mt
ng c
u gia hai i s Bool mt song ánh
:
sao cho vi
mi
,
ta có:
() = ( ) ( )
() = ( ) ( )
Mnh 4.1.2: nếu
:
là mt ng cấu Đại s Bool thì cũng ng cu tp hp có th t
vi th t trên xác nh bởi Định 4.1.1. Đặc bit nếu 0,1 là phn t trung hòa ca
,
trong thì (
0
)
,
(
1
) là phn t trung hòa ca
,
trong .
Chng minh: gi s
,
là hai phn t trong sao cho . Khi y ta có:
= ( ) ( ) = ( )
( ) ( )
Do 0 và 1 cũng là phn tnht và ln nht ca , ta thy (
0
)(
1
) cũng là phn t
bé nht và ln nht ca , nghĩa là phn t trung hòa i vi các phép toán
,
trong
pcm
Tr li hai i s Bool ({
, ,
}). S ng cu ca chúng không phi trường hp
bit. Ta có:
Đinh lý 4.1.3 (Stone): mt i s Bool hu hn luôn lương ẳng cu vi ( ), trong ó mt
tp hp hu hn.
H qu 1: S phn t ca mt i s Bool hu hn là mt ũy tha ca 2.
H qu 2: Hai i s Bool hu hn có cùng s phn t thì ng cu vi nhau.
lOMoARcPSD|36667950
Chng minh: Tht vy hai i s Bool cho trước s ng cu với như sau:
: ( ) ( )
( )
Khi y ta có: () = ( ) ( ) nghĩa ()
= ( ) ( )
Hơn nữa do là song ánh ta cũng có:
() = ( ) ( ) nghĩa là
() = ( ) ( )
pcm
Bây gi chứng minh Định lý Stone ta cn tìm tp hp . Đ ý rng ta có một ơn ánh:
: ( )
{ }
Hơn nữa trong ( ) các tp hp { } chính là các tri trc tiếp ca . T ó ta có:
Định nghĩa 4.1.3: trong mt i s Bool , mt tri trc tiếp ca phn t nhất ược
si là mt nguyên t
ca .
B 4.1.4: Gi s là mt i s Bool hu hn vi phn tnht 0. Khi y mi phn t 0
u có th viết dưới dng: = ∨ ∨
trong ó { , ,…, } là tp hp các nguyên t tri bi . Hơn nữa nếu ,
,…, là các nguyên t sao cho: = thì { , ,…, } = {
, ,…, }
Chng minh: Trước hết
\ {0}
là mt tp hp sp th t hu hn cha (
0
) nên tn ti mt
phn t ti tiu . ràng mt nguyên t ca . Nói cách khác tp hp { , ,…, } các nguyen
t tri bi là không .
Đặt =
Rõ ràng .
Ta có: = () = () ()
= ()
Gi s () 0
Khi y theo trên tn ti mt nguyên t . Như thế
=
vi
1
nào ó
Đt =
Ta có =
Do ó =
Suy ra : mâu thun.
Như thế () = 0 nghĩa là =
Sau cùng gi s , ,…, là các nguyên t tri bi sao cho =
lOMoARcPSD| 36667950
Ta có : { , ,…, } { , ,…, }
Mt khác, vi mi c nh,
1
ta có:
= = ∨ ∧
Suy ra tn ti sao cho
1
0
Do là nguyên t ta có:
=
nghĩa là
Do là nguyên t
0
ta có
=
Như thế { , ,…, } { , ,…, }
Nghĩa là { , ,…, } = { , ,…, }
pcm
Gi là tp hp tt c các nguyên t ca
. Nh B 4.1.4, ta có mt ánh x
:
( )
ược nh nghĩa như sau:
(0) =
nếu
0
thì ( ) là tp hp tt c các nguyên t tri bi . Bây gi Định
lý 4.1.3 là h qu ca
Định lý 4.1.5: mt ng cu gia
( )
.
Chng minh: Gi s
0
. Khi y các nguyên t tri bi cũng nguyên t tri bi
nên ( ) ( )
Ngưc li gi s 0 ( ) ( )
Ta viết ( ) = { , ,…,
}( ) = { , ,…,
}
Do B 4.1.4 ta có:
= =
Do { , ,…, } { , ,…, } nên
Trường hp
= 0
là hin nhiên.
Tóm li, ta ã chng minh: () ( ) ( )
Đặc bit nếu ( )
=
( ) thì nên
=
: là ơn ánh.
Sau cùng, gi s { , ,…, }
Đặt =
( ) = { , ,…, }
Do B 4.1.4
lOMoARcPSD|36667950
=
{ , ,…, } = { , ,…, }.
Như thế là toàn ánh.
pcm
§2 HÀM BOOL
Xét sơ ồ mch in gm 3 ngt in:
Tùy theo các ngt in
, ,
ược óng hay m s có dòng in i t ến hay không. Để biết
các ngt in iu khin vic cho dòng in i qua hay không, ta v ra sơ ồ cho tt c mọi trường
hp. Tuy nhiên iu này không thc hiện ược nếu s ngt in quá ln. Ví d nếu có 100 ngt
in s
2
sơ ồ khác nhau. Ngay c trong trường hp s ngt in bé, thì vn cn mt cách
sp xếp có h thống các sơ ồ th tra cu dng từng trưng hp.
Chng hn ta có th liên kết vi mi ngt in mt biến ly giá tr 1 nếu ngt in óng
0 nếu ngt in m. Trong d v mch im nói trên ta ba biến
, ,
. Ngoài ra toàn mch
in ược liên kết vi biến ly giá tr 1 nếu dòng din i t ến ly giá tr 0 trong
trường hp không có dòng din nào i t ến . với tương ứng như vy ta có th lit kê tt c
các trường hp trong bng giá tr như sau:
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
Trong trường ngt in ln thì vic lp bng giá tr là không thc tế. Ta cn tìm mt
công thc cho phép biu din hàm
( , , )
theo các biến
, ,
như các hàm a thức trong
trường hp hàm biến thc chng hn. Mt khác ta cũng nhn xét rng bng trên rt ging
bng chân tr ca các dng mnh . Tht ra khi kho sát các dng mnh , iu ta quan tâm
không phi mnh thu ược (
, , ,…
) khi ta thay các biến mnh
, , ,…
ln t bi các mnh
lOMoARcPSD| 36667950
, , ,… s ph thuc chân tr ca mnh ( , , ,…) vào chân tr các mnh
, , ,…
Nói
cách khác ta ng nht dng mnh (
, , ,…
) vi bng chân tr ca nó. Thc cht ây ta
ang xem xét hàm (
, , ,…
) theo các biến
, , ,… trong ó , , ,… c ( , , ,…) cũng ch ly hai giá tr 0,1. Đó các hàm Bool theo nh
nghĩa dưới ây:
Định nghĩa 4.2.1: mt hàm Bool biến là mt ánh x , trong ó
=
{
0,1
}. Tp hp các hàm
Bool biến ưc ký hiu bi .
Chú ý:
1. Các hàm Bool còn ược gi là hàm logic hay hàm nh
phân
2. Nhc li tp hp là i s Bool i vi các phép toán
=
= +
= 1
3. Các biến xut hiện trong hàm Bool ược gi biến Bool. Mỗi hàm Bool ược liên kết vi
mt bảng tương t như bảng trên cho biết s ph thuc ca hàm Bool theo giá tr
các biến Bool. Ta cũng gi bng giá try là B
ng chân tr
ca hàm Bool.
4. Theo ký hiu của Chương 3 chính là tp hp
2
. Do ó s hàm Bool khác nhau
chính là | | = 2
|
|
= 2
( )
Mặt khác trong §1, tương ứng là mt ng cu ca tp hp có th t ( )
trong ó th t trên ược xác ịnh như sau: với
,
∈ ℱ t
= ( , ,…, ) , ( ) ( )
Khi y sup và inf ca hai hàm
,
ược cho bi:
()( ) = ( ) ( )
= ( ) + ( ) ( ) ( ),
()( ) = ( ) ( )
= ( ) ( ),
và phn ca hàm Bool ược cho bi
( ) = ( )
= 1 ( ),
Ta s dng ký hiệu thông thường
1
ch các hàm trong ó 1 ch hàm hng
{1}
Vi các phép toán trên, tr thành mt i s Bool ng cu vi ( ). Đặc bit các nguyên
t trong s ơng ứng vi các nguyên t trong ( ). mà trong ( ) các nguyên t chính là các
tp hp thu v mt im nên ta có:
lOMoARcPSD| 36667950
Mnh 4.2.1: c nguyên t trong là các hàm Bool ch khác 0 ti im duy nht, hay nói
cách khác, bng chân tr ca nó ch có mt dòng duy nht ó hàm khác 0. Các này dược gi
là các t ti tiu ca .
Do Định lý Stone ta có:
Định lý 4.2.2: mi hàm Bool ều ưc viết dưới dng:
= (4.2.1) trong ó
, ,…,
các t ti tiu tri
bi .
Do t ti tiu ch khác 0 duy nht mt dòng, s ược tri bi khi và ch khi dòng
khác 0 cũng là mt trong nhng dòng mà khác 0. T ó ta có qui tc viết ra công thc
(4.2.1) bng cách chn chính là các t ti tiểu tương ứng vi mt dòng khác 0 nào ó ca .
Chng hạn như trong ví dụ vm
( , , )
biu din mch in trên ta có
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
Ta có
=
(4.2.2)
Bây gi mt công thức tường minh cho mt hàm Bool bt k, do (4.2.1) ta cn
tìm mt công thức tường minh cho tt c các t ti tiu. Nhc li phép chiếu th ược cho
bi:
:
( , ,…, )
ràng bn thân mt hàm Bool biến giá tr ca nó ch ph thuc vào biến th
. Tương tự như trường hp các hàm thc, ta s dùng cùng ký hiu d chm Bool
: ( , ,…, ) =
Vik ý hiu này thì phn
= 1
cũng là mt hàm Bool mà giá tr ch ph thuc vào
biến th . Ta nói
,
là các t
ơn
. Có tt c
2
t ơn.
Mnh 4.2.3: các t ti tiu u có th viết dưới dng:
=
trong ó
=
hay =
Chng minh: gi s t ơn bằng hay . Ta s chng minh
=
mt t ti tiu. Chính
xác hơn gọi = ( , ,…, )các phn t ca sao cho = 1 nếu =
= 0
nếu
=
. Ta s chng minh
rng khác 0 duy nht ti .
lOMoARcPSD|36667950
Tht vy vi
1
ta có:
( ) = ( ) = = 1 nếu =
( ) = ( ) = = 1 nếu =
Như thế ( ) = 1 vi 1
Suy ra ( ) = 1
Mt khác nếu = ( , ,…, ) thì tn ti sao cho 1 . Khi y:
( ) = ( ) = = 0 (vì ) nếu =( ) = ( ) = = (vì = )
nếu =
Như thế ( ) = 0 và do ó ( ) = 0
Tóm li là t ti tiểu tương ứng vi im .
Ngưc li gi s là t ti tiu khác 0 duy nht ti im
=
(
, ,…,
). Đặt:
=
nếu
= 1
= nếu = 0
Khi y theo chng minh trên,
là t ti tiu tương ứng vi im
=
( , ,…, ) sao cho:
= 1
nếu
=
= 0 nếu = nói
cách khác
Do ó =
pcm
Chú ý:
1. Do mi có th ly hai giá tr , nên ta tìm lại ược s t ti tiu chính s phn t
ca
2
.
2. Ta có qui tc viết biu thc ca mt t ti tiu ng vi im
=
(
, ,…,
): viết tích ca
tt c các biến
, sau ó biến th
= 0
s ược gch u. Chng hn trong ví d v
mch in trên các t ti tiu
, ,…,
có biu din như sau: =
=
Do ó (4.2.2) tr thành:
=
ây ta s dng quy ưc v th t ưu tiên của phép tính nhân di vi phép toán :
công thc nghĩa là phép toán ược thực hiên trước ri mit hc hin phép toán gia
và . Nói cách khác
=
( )
Ngưc li nếu thc hiên phép trước ta phi viết:
(
)
3. Tổng quát hơn, do (4.2.1) và Mnh 4.2.3 mt hàm Bool bt k th viết như
tng Bool ca các t ti tiu tri bi , và mi t ti tiểu này ược viết như là tích ca
biến. Công thức này ưc gi là d
ng n
i r
i chính t
c ca .
lOMoARcPSD|36667950
4. Thay vì các t ti tiu, ta có th xét các t ti i: ó là phn bù ca các t ti tiu. Khi
y do Mnh 4.2.3, mi t ti i s tng Bool ca t ơn. Hơn nữa áp dng (4.2.1)
cho , ta có th viết như tích ca các t ti i: ây chính d
ng n
i li
n chính t
c ca
hàm Bool . T ây ta ch ý ến dng ni ri chính tc và tổng quát hơn các công thức
a thc theo nghĩa dưới ây:
Định nghĩa 4.2.1:
i. Mt
ơn thứ
c là mt tích khác 0 ca các t ơn
ii. Mt công th
c a th
c ca hàm Bool là công thc biu din i dng tng Bool ca
các ơn thức.
Chú ý: Do
=
= 0
nên trong một ơn thức , biến th xut hin nhưng không ng
thi xut hin. Nói cách khác mỗi ơn thức có th viết như là tích
trong ó ly mt trong 3 giá tr
1, ,
. Do ó s ơn thức khác nhau là
3
. suy ra
mi hàm Bool chmt s hu hn công thc a thức. Để ý rng nếu
1
, ta nói
mt tha s ca . Như thế mỗi ơn thức ược viết như là tích ca ti a tha s khác nhau.
§3 M
NG CÁC C
NG VÀ CÔNG TH
ỨC ĐA THỨ
C T
I TI
U
Trong d v mch in §2, ta ã biu din mch iện dưới dng mt hàm Bool
kho sát s phũ thuc ca output (có dòng in chy qua hay không) theo các input
,
,
(ngt iện tương ứng óng hay m). Bây gi ta hãy xét bài toán ngược lại: cho trước mt
hàm Bool
( , , ,…)
. Hãy thiết kế mt mng các thiết b vt lý cho phép tng hp nên hàm Bool
. ây ta không quan tâm ến các thiết b vt lý c th mà ch ý ến các ni kết chúng trong
mt mng tng hp nên hàm Bool. Do Mnh 4.2.2 và 4.2.3, mi hàm Bool u có th viết
thành mt công thc trong ó các biến logic (biến Bool) ược ni kết li vi nhau bi các phép
toán
,
,
. Do ó ta cn phi tng hp các phép toán trên. Thiết b tng hp các phép toán
này gi là các c
ng ược biu din bởi các sơ sau:
Cng NOT hay o in Cng AND Cng OR
Tron các trên, hai tín hiu vào vi 2 trng thái khác nhau cho phép chúng
biu diễn ưc các biến logic vi hai giá tr 0,1. u ra ta cũng có mt tín hiêu biu din cho
mt biến logic ph thuc vào các input theo các phép toán
,
,
.
Ví d: tng hp hàm Bool
=
, ta có th s dng mng vi các cng sau:
lOMoARcPSD|36667950
trong ó có hai cng AND, 1 cng OR và mt cng NOT.
Mt khác ta cũng c2o th viết hàm như sau:
== ∨∨
Đây là dạng ni ri chính tc ca vì các s hng u là t ti tiu. nếu s dung công
thc trên thiết kế mt mng các tng hp f, ta phi s dng 8 cng AND 3 cng OR,
không k mt s cng NOT.
Vn ược t ra là làm sao tìm ược mt công th tối ưu tng hp mt hàm Bool cho
tc.
3.1 Bài toán tối ưu ầu tiên là tìm cách gim s loi cng t 3 xung còn 2, hoc nếu ưc ch
dùng mt loi cng.
Tht vy, ta th tng hp cng OR t cng NOT cng AND. Tht ra ta có th
t hai cng này chung thành mt cng có tên là NAND với sơ :
Khi y các cng NOT và các cng AND có th ược tng hợp như sau:
T ó có th tng hp cng OR mà ch dùng cổng NAND như trong bài tập nêu trên.
Suy ra mi hàm Bool ều ược tng hp mà ch dùng cng NAND ta cũng có thng cng
NOR với sơ ồ sau:
Khi y ta cũng chứng minh ược mi hàm Bool ều ưc tng hp mà ch s dng cng
NOR.
3.1 Bài toán ti ưu tiếp theo là tối ưu hóa hai mục tiêu:
lOMoARcPSD| 36667950
Cc tiu hóa thi gian châm tr (delay): tuy thi gian chm tr khi i qua mt cng là
nh nhưng nếu tích lũy qua nhiu lp cng thì nó tr thành áng k, nht là trong các
máy tính có tc cao.
Cc tiu hóa s cng s dng
Do thi gian chm tr kho i qua cng NOT không áng kể, dưới ây khi phân tích các
mch ta có th b qua cng NOT. Nói cách khác các biến
, ,
,…
cũng ược xem n các biến
input tương tự như , , ,…
Tht ra hai mc tiêu trên không th ng thi tối ưu hóa ược. Do ó trước hết ta tối ưu
hóa theo thi gian. Ta s thiết kế các mch ch ti a hai lp cng: lp cng AND ri lp
cng OR hay lp cng OR ri lp cổng AND. Tuy nhiên trường hp sau luôn luôn có th ưa
ược v trường hợp trước nếu ta xét . Do ó ta ch xét các công thc có dng OR () ca các
s hng là AND () ca t ơn. Đây chính là các công th
c a th
c
Trong lp các công thc a thc, ta có mt s thut toán cho phép tìm ược công th
c
a th
c t
i ti
u.
Định nghĩa 4.3.1: Xét hai công thc a thc ca hàm Bool :
= (4.3.1)
= (4.3.2)
Ta nói (4.3.1) ơn giản hơn (4.3.2) nếu tn ti một ơn ánh
:
{
1,2,…,
} {
1,2,…,
} sao
cho vi
1
≤ ≤ thì s tha s là t ơn của không nhiều hơn số tha s là t ơn của
( )
.
Chú ý:
1. Nếu (4.3.1) ơn giản hơn (4.3.2) thì
2. Quan h ơn giản hơn” gia các công thc a thc ca ràng tính phn x
bc cu. Tuy nhiên quan h này không phn xng.
3. Nói rằng (4.3.1) ơn giản hơn (4.3.2) (4.3.2) ơn giản hơn (4.3.1) có nghĩa là tn ti
các ơn ánh
:{1,2,…, } {1,2,…, }
:{1,2,…, } {1,2,…, }
sao cho
,
thỏa Định nghĩa 4.3.1. Khi y
,
song ánh và vi
1
≤ ≤ thì s tha st
ơn của không nhiều hơn số tha s t ơn của
( )
. Do ó nếu gi là s nguyên nh
nht sao cho
() () () ( ) == () () ()( )
thì có tha s là t ơn bằng nhau.
Suy ra vi
1
thì
( )
có tha s là t ơn bằng nhau. Khi y ta nói
(4.3.1) và (4.3.2)
ơn giản như nhau
. Rõ ràng quan h ơn giản như nhau là một quan
h
tương ương
. Hơn nữa nếu hai công thc a thức là ơn gản như nhau thì mng các
cng tng hp chúng s s dng cùng s cng AND và cng OR.
4. Tương tự như trong Chương 3, nếu chuyn qua các lớp tương ương thì quan h ơn
giản hơn trở thành mt th t. Tuy nhiên ta cũng có th kho sát trc tiếp các
quan h ch có hai tính cht phn x bc cu. ta nói chng là các quan h ti
n th
t
. Đối vi quan h tin th t, khái nim phn t ti tiu và ti i vn còn ý nghĩa.
Chng hn như một công thc a thc ( ) ca hàm Bool ược nóit
i ti
u nếu vi bt
lOMoARcPSD|36667950
k công thc a thc ( ) ca ơn giản hơn” ( ) thì ( ) ( ) ơn giản như nhau. Bây
gi do tp hp các công thc a thc ca mt hàm Bool hu hn, ta chng minh
ược tương tự như Định lý 3.3.3, cho trước mt công thc a thc ( ) ca thì s t ti
mt công thc a thc ti tiu ( ) ca sao cho ( ) ơn giản hơn ( ). Cũng như trường
hp các tp hp có th t, mt hàm Bool có th nhiu công thc a thc ti tiu.
5. Xét công thc a thc (4.3.1) ca hàm . Gi s tn ti mt dơn thức sao cho
. Khi y ta có:
= = ()
= (4.3.3)
Do ta có th viết:
=
Như thế mi tha s là t ơn của cũng là mt tha s ca . Hơn nữa do
nên ít nht mt tha s t ơn của không xut hin trong . Khi y công thc
(4.3.3) rõ ràng ơn giản hơn (4.3.1) nhưng không ơn giản như nhau. Suy ra (4.3.1) không ti
tiu. Ta ã chng minh.
Mnh 4.3.1: trong mt công thc a thc ti tiu, các s hng là ơn thức ti di tri bi .
Định nghĩa 4.3.2: một ơn thức ti i tri bi hàm Bool ược gi là mt ti
n
nguyên t
ca
.
Do Mnh 4.3.1, tìm công thc a thc ti tiu ca mt hàm Bool , ta hn chế tìm
kiếm trong các công thc a thc các s hng nhng tin nguyên t dôi mt khác
nhau. Các công thc này là rút gn theo nghĩa sau:
Định nghĩa 4.3.3: công thc a thc (4.3.1) ca hàm ược nói rút gn nếu vi 1 ≠ ≤ ,
thì không phải là ưc tht s ca .
Ví d: t hàm Bool theo 3 biến:
=
( )
ràng ( ) dng ni ri chính tc ca rút gọn. Để nhng công thc rút
gn khác ta s gom tt c các s hng li và s dng
B 4.3.2: nếu và là hai hàm Bool thì
=
∨ ℎ
Chng minh:
∨ ℎ =
=
( ∨ ℎ)
∨ ℎ ∨ ℎ = ∨ ℎ
T ( ) ta ược:
pcm
= ()
=
( )
Tương tự =
( )
=
( )
Áp dng B 4.3.2 cho ( ), ( ) và ( ) ta ưc:
= ( )
= ( )
lOMoARcPSD|36667950
= ( ) Tương tự
=
( ) =
( )
Cui cùng, áp dng B 4.3.2 cho mt trong 3 công thc ( ), ( ) hay ( ) ta
ược: = ( )
Tám công thc trên u là rút gn và có biu Hasse:
(
3
)
(
(
3
)
(
2
)
(
8
) (
5
)
Công thc (
8
) công thc a thc ti tiu duy nht nên cũng công thc
ơn
gi
n
nh
t. S dng công thc (
8
) tng hp hàm Bool ta ch tn 3 cng AND 2 cng OR thay
vì 8 cng AND và 3 cng OR nếu dùng (
1
). Ta có sơ mch các cng ng vi (
8
) như sau:
§4
PHƯƠNG PHÁP BIỂU ĐỒ
KARNAUGH
Phương pháp biu Karnaugh cho phép tìm nhanh công thc a thc ti tiu ca hàm
Bool 3, 4 biến. Trường hp 3 biến hoàn toàn tương tự nhưng ơn giản hơn trường hp
4 biến. Do ó ta tp trung trình bày 4 biến. Nhc li mt hàm Bool 4 biến là mt ánh x
nên th biu din bng hình nh ta s s dng mt hình vuông gm 16 ô vuông
nh biu din 16 phn t ca . Khi y ta có th biu din mt hàm Bool : bng các gch
chéo các ô ó bng 1.
Như vậy vn chính là ánh du 16 ô ca hình vuông tương ứng vi các phn t ca
. Ta ã biết các phn t ca có th ược sp th t theo th t t in:
0000,0001,,0010,0011,…,1111
Ta th xếp các phn t ca theo th t lần lượt trên các dòng ca hình vuông
ln. tuy nhiên cách này không thun tin bng cách của Veitch và Karnaugh như sau:
lOMoARcPSD|36667950
1010 1110 0110 0010
1011 1111 0111 0011
1001 1101 0101 0001
1000 1100 0100 0000
ây hiu ch ct ó biến u tiên ly giá tr 1, ch ct ó biến ly gtr 0.
Tương tự cho biến th hai . Các biến th ba th
,
ược gán vi các dòng. Ví d hai
dòng u biến ly giá tr 1 2 dòg nsau biến ly giá tr 0. Tương t cho biến . Cách biu
din trên ca rt thun tin cho vic biu diễn các ơn thc. Tht vy ta nhn xét rng 2 ô
liên tiếp nhau ch khác nhau mt thành phn , d ô ng 2 ct 2ô dòng 2 ct 3 ch
khác nhau thành phn u tiên: 1111 và 0111. Mt khác ô dòng 1 ct 1 và dòng 1 ct 4
cũng biu din hai phn t ch khác nhau mt thành phn: 1010 và 0010. Ta quy ước rng
các ô này cũng ược xem như kề nhau theo nghĩa rộng: 2 ô ược nói k
nhau theo ngh
ĩa r
ng
nếu sau khi ta cun hình vuông theo chiu rng hoc chiu ngang to thành hình tr thì hai
ô ban u s tr thành k nhau trên hình tr. Với qui ước trên ta thy rng hai ô k nhau
(theo nghĩa thông thường hay nghĩa rng) khi ch khi chùng biu din hai phn t ca
ch khác nhau mt thành phn.
Bây gi biu din mt hàm Bool 4 biến , ta s gch chéo các ô ca hình vuông ln
tương ứng vi các im ca ó bng 1. Ta nói hình v y là bi
u
Karnaugh ca hàm Bool
. Ví d như hình v i ây ch biu Karnagh ca hàm Bool 4 biến:
= ∨
Nhn xét rng hàm Bool chính các hàm c trưng của tp hp gch chéo trong biu
Karnaugh. Do ó s dng ng cu gia 2 i s Bool ( )
2
ta có:
Mnh 4.4.1: Vi mi hàm Bool 4 biến
,
:
lOMoARcPSD|36667950
i. Biu Karnaugh ca là tp hp con ca biu Karnaugh ca khi và ch khi
ii. Biu Karnaugh ca (tương ng ) hợp (tương ng giao) ca các biu
Karnaugh ca và .
iii. Biu Karnaugh ca là phn bù ca biu Karnaugh ca .
Chú ý:
1. S dng Mnh 4.4.1 ta có th v ược biu Karnaugh ca mt hàm Bool nếu biết
bng chân tr cahoc nếu biết ược mt công thc biu diễn hàm Bool dưi dng
mt biu thc theo các biến và các phép toán
,
,
.
2. Ngưc li nếu biết ược biu Karnaugh ca hàm Bool , ta có th c ngay t ó dng
ni ri chính tc: các t ti tiu tri bi chính các hàm ặc trưng ca mi ô nm
trong biu Karnaugh. Hơn nữa, công thc cho t ti tiểu như là tích của bn t ơn
ược c ngay triong biu Karnaugh khi xem các dòng ct cha ô ang xét: d
như từ ơnng vi ô dòng 3 ct 2 là thì các dòng và ct cha ô này là
, ,
và .
3. Hai t ti tiu ng vi hai ô k nhau ( theo nghĩa thông thường hoc nghĩa rng) h
khác nhau mt tha s là t ơn, nên ta có thể dùng lut phân b t tha s chung
trong tng Bool của chúng và ưc một ơn thức có 3 tha s là t ơn. Ví d như:
∨ = (∨) =
biu Karnaugh mt hình ch nht theo nghĩa rng gm hai ô liên tiếp nhau
1110 và 1111.
Tổng quát hơn ta có:
Mnh 4.4.2: biu Karnaugh ca một ơn thức dng tích ca (
1
4
) t ơn mt
hình chũ nht (theo nghĩa rng) gm
2
ô, mà ta gi là các t
ế
bào.
Ví d:
Do Mnh 4.4.1 4.4.2, các tin nguyên t ca mt hàm Bool 4 biến biu
Karnaugh là mt tế bào ti i nm trong biu Karnaugh ca . Ta nói các tế bào này t
ế
bào l
n ca biu Karnaugh ca . Như vậy vic tìm công thc a thc ti tiu ca ưa về vic
gii quyết hai vn :
Tìm tt cc tế bào ln nm trong biu Karnaugh ca .
lOMoARcPSD|36667950
Tìm mt phép ph
t
i ti
u biu Karnaugh ca bng các tế bào ln, nghĩa là mt
h tế bào ln có hp là biu Karnaugh ca sao cho khi rút bt mt tế bào ln
thì h còn li không ph kín biu Karnaugh ca . T ó ta ược mt thut toán
tìm công thc a thc ti tiu.
Thut toán: gồm 4 bước
c 1: ch ra tt cc tế bào ln ca biu Karnaugh ca .
Sau bước 1 ta s ph dn biu Karnaugh bng các tế bào ln cho ến khi ph kín
c 2: nếu tn ti mt ô ch nm trong mt tếo ln duy nht, ta chn ra tế bào
này ph. Trong phn còn li ca biu Karnaugh, nếu có mt ô ch nm trong mt tế bào
ln duy nht, ta chn ra tế bào này ph, và lp lại bước 2 cho ến khi không còn ô nào có
tính cht trên.
c 3: nếu các tế bào ln chọn trong Bước 2 ã ph kín biu Karnaugh ca ta qua
thẳng Bước 4. Nếu không, chn ra mt ô còn li. Trong s các tế bào ln cha ô này ta chn
ra mt ô tùy ý d thêm vào phép ph c tiếp tục như trên cho phần còn li cho ến khi
ph kín biu Karnaugh ca .
c 4: c này ta ã chọn ược mt s tế bào ln ph kín biu Karnaugh ca .
Do trong Bước 3 s la chn tùy tế bào ln cha mt ô , ta thường nhiều hơn mt
phép ph. Trong s phép ph nhận ược, loi b các phép ph không ti tiu. Sau cùng các
phép ph còn li cho ta mt công thc a thc ca mà ta còn phi so sánh chúng theo Định
nghĩa 4.3.1: loi b nhng công thc có mt công thc khác trong s ó thc s ơn giản hơn
nó. Các công thc còn li chính là công thc a thc ti tiu phi tìm.
Chú ý:
1. Nếu Bước 3 ược b qua thì không s la chn tùy ý. Trong trường hp any2 ta
ược mt phép ph duy nhất tương ứng vi công thc a thc ti tiu duy nht.
2. Để thun tin cho vic xem xét ta gch chéo mi tế bào lớn ược chn cho ến khi
phn gch chéo trùng vi biu Karnaugh ca . Đương nhiên hai cách chọn khác nahu s
dn ến hai quá trình ph khác nhau cho ta hai công thc khác nhau. d 1: xét hàm
có biu Karnaugh như sau:
c 1: Biu Karnaugh ca có hai tế bào ln:
c 2: ô (3,1) nm duy nht trong , ô (1,1) nm duy nht trong
Hai tế bào ln này ã ph kín biu Karnaugh ca nên ta qua thẳng Bưc 4
c 4: ta ch có duy nht mt phép ph tương ứng vi công thc a thc ti tiu
lOMoARcPSD|36667950
ca : =
Chú ý: s dng cng thc trên tng hp hàm Bool bng mt mng các cng ta cn 4
cng AND và mt cng OR (không k cng NOT)
Ví d 2: xét hàm có biu Karnaugh như sau:
c 1: Biu Karnaugh ca có 4 tế bào ln:
c 2: ô (2,4) nm trong tế bào ln duy nht , ô (4,2) nm trong tế bào ln duy
nht
Gch chéo hai tế bào lớn này ta ược sơ ồ sau:
Còn lại ô (3,3) chưa ược ph nm trong hai tế bào lớn nên ta qua Bước 3
c 3: ô (3,3) nm trong 2 tế bào ln
,
chn tùy ý mt trong hai tế bào trên ta u
ph kín biu Karnaugh ca
c 4: ta ưc phép ph ti tiểu tương ứng vi hai công thc a thc:
= =
C hai công thc này u n giản như nhau theo Định nghĩa 4.3.2 nên ta ược 2 công
thc a thc ti tiu.
Chú ý: s dng các công thc này tng hp hàm bng mt mng các cng ta cn 6
cng AND và 2 cng OR.
Ví d 3: xét hàm vi biu Karnaugh như sau:
c 1: Biu Karnaugh ca có 8 tế bào lớn như sau:
lOMoARcPSD|36667950
c 2: các ô (1,2) (2,4) nm trong các tế bào ln duy nht tương ng.
Sau khi chn các tế bào ln này thì phn còn li ca biu Karnaugh ca u có mi ô nm
úng trong hai tế bào lớn nên ta qua Bưc 3.
c 3: Ta có sơ cách chn các tế bào ln còn li ph kín biu Karnaugh ca
theo các nhánh (ca hình cây):
Ch
n
:
còn lại 4 ô chưa phủ
Ch
n : còn li 2 ô chưa phủ
Ch
n : ph kín biu Karnaugh ca :
= ( )
Không chn : ph hai ô (4,3) và (4,4) ta buc phi chn :
= ( )
Không ch
n : ph hai ô (3,2) và (3,3) ta buc phi chn và . Lúc này ch còn li ô
(4,4). Nếu chn ta s ược mt phép ph không ti tiu vì có th loi bt tế bào ln
mà vn còn ược mt phép ph. Do ó ta buc phi chn  :
=   ( )
Không ch
n
:
ph 2 ô (3,1) và (4,1) ta buc phi chn các tế bào ln . Lúc này còn
lại 2 ô chưa phủ (3,3) và (4,3).
Ch
n : ph kín biu Karnaugh:
= ( )
lOMoARcPSD|36667950
Không ch
n : ph hai ô (3,3) và (4,3) ta buc phi chn các tế bào ln  :
=   ( )
c 4: ta có 5 công thc a thc. Tuy nhiên ta có th xây dng d dàng các ơn ánh
trong Định nghĩa 4.3.1 cho thy công thc ( ) ơn giản hơn ( ), ( ), ( ), ( ) không tương
ương ( ơn giản như nhau theo Định nghĩa 4.3.2). Chẳng như ta có ơn ánh:
Trong ó ch có hai tha s là t ơn trong khi có 3 tha s là t ơn, nghĩa ( ) thc
s ơn giản hơn( ). Các ơn ánh khác cũng ược xây dựng tương tự. Tóm li ta ch có duy nht
mt công thc a thc ti tiu ca hàm là:
=
Chú ý: s dng công thc trên tng hp bng mng các cng ta cn 6 cng AND 4
cng OR.
Trường hp hàm 3 biến:
Đối vi các hàm Bool 3 biến ta s s dng hình ch nht có 8 ô d biu din thay vì
hình vuông 16 ô.
Khi y nh nghĩa biu Karnaugh ,tế bào, tế bào lớn hoàn toàn tương tta có th
áp dng qui trình 4 bước như trên tìm công thc a thc ti tiu.
Ví d: t hàm Bool = ( )( )( )
Biu Karnaugh ca ba tha s là:
Do ó biu Karnaugh ca có dng:
c 1: có 4 tế bào ln
lOMoARcPSD|36667950
c 2: ô (1,3) nm trong tế bào ln duy nht , ô (2,4) nm trong tế bào ln duy
nht
Chn các tế bào này cho phép ph ta ược:
c 3: còn li ô (1,1) nm trong hai tế bào ln và . Chn 1 trong 2 tế bào này ta
u ph kín biu Karnaugh ca .
c 4: ta có 2 công thc u là công thc a thc ti tiu
=
=
Trường hp 5,6 biến:
Đối vi hàm Bool 5 biến, ta dùng 2 lp hình vuông 16 ô biu din 32 ô ca , mt
lớp tươngng vi giá tr ca biến th 5
= 0
và lp ng vi
= 1
Biu Karnaugh ca mt hàm Bool theo 5 biến
, , , ,
ược thiết lp bng cách gch xéo
các ô trong hai lp trên ng vi các im ó ly giá tr 1. ây ngoài các tế bào nhng
hình ch nhat65trong mi lp, ta các tế bào 2 hình ch nht (tế bào) thuc 2 lp
cùng hình chiếu xung mt mt phng nm ngang, hay nói cách khác, khi ch nht 3 chiu
vi chiu cao 2 lp và áy là mt tếo. Bằng cách này ta ưc các tếo là biu Karnaugh
ca tích ca (
1
5
) tha s t ơn. Tế bào tương ng s
2
ô. Phương pháp biểu
Karnaugh tìm công thc a thc ti tiu hoàn toàn tương tự trưng hp 4 biến.
lOMoARcPSD|36667950
Để x trưng hp hàm 6 biến ta s s dng 4 lp 16 ô thay vì 2 lp. Các lp k t
trên xung bây gi ng vi = 1, = 0; = 1, = 1; = 0, = 1; = 0, = 0. Phương pháp tìm công thc a
thc ti tiu cũng tương tự nhưng hình v phc tạp hơn. Do ó i với trường hp này hay
trường hp nhiu biến hơn ta sẽ dùng phương pháp “Thỏa thun i ây.
§5 PHƯƠNG PHÁP TH
A THU
N
Nhc li hai bài toán chính tìm công thc a thc ti tiu ca mt hàm Bool :
5.1 Tìm tt c các tin nguyên t ca
5.2 Tìm cách biu din như tổng ti tiu ca các tin nguyên t Để
gii quyết bài toán 5.1 ta s dùng phương pháp thỏa thun
Định nghĩa 4.5.1: Gi s là mt trong các biến Bool và
,
là hai ơn thức không chia hết cho
c ln . Khi ấy ược nói là th
a thu
n giữa hai ơn thức và .
Chú ý: nếu có mt biến th hai sao cho chia hết cho (hoc ) và chia hết cho (hoc ), khi
y tha thun rõ ràng bằng 0. Do ó cho trước 3 ơn thức có 3 trường hp có th xy ra:
Trường hp 1: không tìm ược tha thun ca chúng vì không biến nào như trong
Định nghĩa 4.5.1
Trường hp 2: tha thun ca chúng bng 0 ít nht hai biến Bool thỏa Định
nghĩa 4.5.1
Trường hp 3: ch mt biến Bool thỏa Định nghĩa 4.5.1 do ó tha thun ca
hai ơn thức cho trưc là một ơn thức (
0
)
Ví d:
1.
à
không có tha thun
2.
à
có tha thun bng 0
3.
à
có tha thun là
Định lý 4.5.1: Tha thun của haqi ơn thức luôn luôn ượ tri bi tng Bool của hai ơn thc
y.
Chng minh: t hai ơn thức vi tha thun ta có:
= ( ) =
Suy ra: = ( ) ∨∨ ( )
Nghĩa là
pcm
Vi khái nim tha thuận ta phương pháp sau xác nh tt c các tin nguyên
t ca mt hàm Bool .
c 1: Viết i dng công thc thu gn tùy ý (dng ni ri chính tc chng hn):
=
Đặt = { , ,…, }
Gi là danh sách các biến theo mt th t nht ịnh nhưng tùy ý.
lOMoARcPSD|36667950
c 2: Trong Bước 2 ta s cp nht dn theo tng biến trong như sau:
i. Gi s mt biến trong mà ta ã xét ti vi ã ược cp nht theo các biến trước
. Ta phn hoch thành 3 phn (ri nhau):
gồm các ơn thức chia hết cho
gồm các ơn thức chia hết cho
gồm các ơn thức không chia hết cho ln ii. Nếu
=
hay
=
ta s xét
biến kế tiếp . Nếu không, ta thêm vào tt c các tha thun ca một ơn thức
thuc một ơn thức thuc . iii. Mi ln thêm mt phn t mi vào ta phi
duyt li và loi bt nhng phn t ược tri thc s bi mt phn t khác (k c
phn t mi thêm vào).
c 3: Sau khi ã duyt tt c các biến trong ta có:
Định lý 4.5.2:
Tp hp sau cùng trong Bước 3 chính là tp hp tt c các tin nguyên t
ca .
Chng minh: Gi s biến trong , và mt mt tin nguyên t bt k ca , ta chng
minh tp hp sau cùng s cha bng quy np trên .
Gi là biến u tiên trong danh sách và
,
,
là các tp hợp tương ứng như trong i).
Trường hp 1: không chia hết cho ln , ta có:
∈ℬ
ây kí hiu dùng ch tng Bool ca tt c các phn t ca A. Các ký hiu
khác cũng tương tự. ý rng nếu ∈ ℬ thì chia hia hết cho nên
= 0
. Do ó:
/
Cho = 1 ta ược
/
Tương tự ta có:
/
∈ℬ
Suy ra
Gi s ã ược cp nht theo biến như trong Bước 2 trên. Gi tp hp con ca
gồm các ơn thức không chia hết cho ln . Gi tng Bool của các ơn thc trong xem như
hàm Bool theo các biến trong
= \
{ }. Rõ ràng mt tin nguyên t ca nên theo gi thiết
quy np, sau khi cp nht theo biến cui cùng trong
lOMoARcPSD|36667950
, cha . Nhưng tập hp sau cùng là tph p con ca tp hp sau khi cp nht theo biến
sau cùng ca , trong quá trình cp nht theo các biến ca , các ơn thức ca b loại i cũng
chính là các ơn thức ca b loi i hoặc các ơn thức chia hết cho hoc . Nói tóm li ta ã
chứng minh ược tph p sau cùng cha .
Trường hp 2: chia hết cho hay . Ta có th gi s chia hết cho vì trường hp còn
li chứng minh tương tự.
Gi
,
,
là 3 tp hp to thành phân hoch ca tương ứng vi biến như trong Bước
2. Cho = 1 ta ưc:
/ ( / )
Suy ra
ng vi mi hàm Bool theo các biến trong , ta liên kết mt hàm Bool vi các biến
trong = \ { } bng cách cho = 1. Đặt = . Khi y mt song ánh gia và mt tp hp
các t ơn theo các biến trong không phn t nào ca ước ca mt phn t ca
(công thc a thc ban u ca là rút gn).
Ta có công thc a thc rút gn:
=
Hơn nữa tương ứng , nếu thu hp trên tp ã ược cp nht i vi biến sau cùng,
cũng mt song ánh gia tp hp này tp hp ã ược cp nht theo biến sau cùng i
vi hàm ,nếu
=
vi thì một trong hai ơn thức
,
tích của ơn thức kia nên ã ưc
loi trong quá trình cp nht.
Rõ ràng , gi s tn tại ơn thức theo các biến trong sao cho:
Ta có:
= =
Do là tin nguyên t, ta có
=
lOMoARcPSD|36667950
Suy ra
=
, nghĩa là là tin nguyên t ca
Như thế theo gi thiết quy np, , sau khi cp nht theo biến cui cùng, s cha
. ơng tự như trong Trường hp 1, ta thy tp hp sau khi cp nht i vi biến
cui cùng, s cha .
Suy ra
Cui cùng do cách cp nhật các ơn thức, trong ơn thức nào trong ược tri thc s
bi một ơn thức khác, nghĩa là các phn t ca u là tin nguyên t ca .
pcm
Ví d 1:
=
Ta có quá trình cp nht theo các biến trong
=
[
, , , ,
] như sau:
Biến :  
Tha thun:
Biến :
 
Tha thun:
Biến : không có tha thun
Biến :  
Tha thun:
 
Tha thun:
 Biến :
Tha thun:

Tha thun: 
Cui cùng tp hp các tin d nguyên t
là:
= {, , , }
Tha thun:
lOMoARcPSD|36667950
Tha thun:
Biến : 
Tha thun:
Biến :
Tha thun:
Như vậy tp hp các tin nguyên t
=
{
,
,
,
}
Bây gi ta xét bài toán 5.2: biu din hàm Bool như tổng ti tiu ca các tin
nguyên t. Trong phương pháp Biểu Karnaugh, bài toán trên chính là bài toán ph ti tiu
ca biu Karnaugh ca hàm bi các tế bào lớn. Đó là một h các tế bào ln sao cho:
i. Mi ô trong biu Karnaugh nm trong ít nht 1 tế bào ln thuc
ii. Nếu rút bt mt tế bào ln thuc thì phn còn li không tha i)
Do các ô thuc biu Karnaugh ca chínhbiu Karnaugh ca mt t ti tiu tri
bi , ta có th phát biu bài toán ph tổng quát như sau:
Bài toán ph: tìm mt h c tin nguyên t ca sao cho:
i. Mi t ti tiu tri bi ược tri bi mt tin thuc
ii. H là t ti tiu, nghĩa là nếu rút bt mt phn t thì phn còn li không tha i)
Gi
= ,…,
là tp hp tt cc tin d nguyên t ca mà ta tìm ược khi
gii bài toán 5.1
Ta ưa vào các biến Bool
, ,…,
và tgiet61 lp mt h phương trình Bool theo các biến
Bool như sau:
Vi mi t ti tiu tri bi , gi
, ,…,
là tt c các tin nguyên t ca tri . Khi y
ta có một phương trình: ∨ ∨ = 1
Cho chy khp các t ti tiu tri bi , ta ược mt h phương trình trong ó s
các t ti tiu tri bi . Gii h phương trình Bool trên ta ược các nghim là b :
Trong ó
, ,…,
là các giá tr c nh bng 1 hoc tùy ý. Vi các
= 1
ta có
= 1, nghĩa tin nguyên t ược chn ph . Để gii h phương trình Bool dng
trên, ta thực hiên các bước sau:
c 1: loi b các phương trình trùng lp, nói cách khác gi s có hai phương trình
có dng:
= 1
= 1
sao cho { , ,…, } { , ,…, }
lOMoARcPSD| 36667950
Khi ấy phương trình th hai h qu của phương trình u do ó th ược loi
b.
c 2: h phương trình ng thi nghim úng, ta thấy tương ương với mt
phương trình duy nht vế trái tích ca tt c các vế trái vế phi bng 1 Dùng lut
phân b khai trin vế trái và ưa nó về dng mt công thc a thc.
c 3: Loi b các ơn thức dư thừa, nghĩa là nó là bi ca một ơn thức khác. Nói
cách khác ưa vế trái của phương trình ã biến i c 2 v dng mt công thc a thc rút
gn. ây lưu ý rằng các ơn thc u tích ca mt s biến, không tha s ơn nào
phn bù ca biến. Phương trình tr thành: ∨ ∨
= 1
c 4: các li gii là:
= 1
hay = 1
hay = 1
Mi tích ca mt s biến, nên li giải tương ng chính các tin nguyên t
tương ứng vi biến ó.
Ví d: trong ví d 2 trên, ta có 4 tin nguyên t = , = , = , = , và 5 t ti tiu = , = , = , =
, .
Ta có h 5 phương trình:
= 1
= 1
= 1
= 1
= 1
Phương trình th hai là h qu của phương trình ầu và phương trình th 4 là h qu
của phương trình cui: loi b chúng và ly tích ta ược phương trình duy nht:
( ) = 1
Khai triển ta ược: = 1
Do ó ta có hai li gii:
= 1 hay
= 1
Nói cách khác ta có hai công thc a thc:
= =
=
=
C hai u là công thc a thc ti tiu.
lOMoARcPSD|36667950
BÀI T
ẬP CHƯƠNG 4
1. Chng minh rng trong mt i s Bool
a) Phn bù ca mt phn t là duy nht
b) Suy ra qui tc De Morgan: ,,= =
2. Trong i s Bool , xét quan h th t xác nh bi nh lý 4.1.1. Chng minh rng:
a) nếu thì =
b) nếu thì
c) nếu thì thì
d) nếu thì thì
3. Trong mt i s Bool hãy tìm phn bù ca:
()
( ) ()
4. Trong i s Bool , mt tp hp con ≠ ∅ c a ược nói mt i s con nếu vi mi
,
∈ ℬ thì
,
cũng là phn t ca . Chng minh rng là mt i s con ca .
a) Chng minh rng nếu là mt i s con ca thì 0,1 ∈ ℬ
b) Vi
=
({
, ,
}). Hãy tìm tt c các i s con ca
c) Gi s là mt tp hp con ca sao cho vi mi
,
∈ ℬ thì ∨ ∈ ℬ ∈ ℬ. Chng minh
rng mt i s con ca .
5. là mt i s Bool, . Tp hp tt c các phn t tri bi có là mt i s Bool không?
có là i s con không?
6. Gi s
:
là mt ng cu i s Bool. Chng minh rng:
a) nếu là mt nguyên t ca thì
( )
là mt nguyên t ca
b) nếu là mt i s con ca thì
( )
là mt i s con ca
7. Gi tp hợp các ước dương ca 210. Trong ta nh nghĩa các phép toán
,
,
như
sau: vi mi
,
thì:
= ( . )
= ( , )
= 210/
Chng minh rng là mt i s Bool
8.
a) Xét ánh x ({ , , , })
Sao cho (2) = { }, (3) = { }, (5) = { }(7) = { }
Mun cho là mt ng cu i s Bool thì nh ca 35, 70, 42 là bao nhiêu? b)
bao nhiêu ng cu khác nhau t lên ({
, , ,
})
9. Gi s là mt i s Bool và là mt tp hp ≠ ∅. Vi
,
∈ ℬ nh nghĩa:
a) Chng minh rng là mt i s Bool vi các phép toán trên
b) Chng minh rng th t tương ứng trên chính là th t trong bài tp 27, chương
3
lOMoARcPSD|36667950
10. Gi s , hai i s Bool. Trên
×
nh nghĩa:
( , ) ( , ) = (,)
( , ) ( , ) = (,)
( , ) = (, )
Chng minh rng
×
là mt i s Bool vi các phép toán trên.
11. Trên nh s Bool nh nghĩa phép toán
= ∧∨ () (*)
a) Chng minh rng phép toán trên tha:
, ,
() = ()
=
0 =
= 0
() = ()()
Nghĩa là
( ,
,
)
là mt vành giao hoán.
b) Ngưc li nếu là mt phép toán trên tha các iu kiên trên thì (*) ược tha.
12. Cho trước phn t ca Bool . Có th nói gì v phn t tha mt trong các iu kin sau:
a)
= 0
b)
= 1
c)
= 0
= 1
13. Trong mt i s Bool ta khảo sát phương trình: (1)
trong ó a và b là hai phn t cho trước ca và là n.
a) Chng minh rng iu kin cn và cho (1) có ít nht mt nghim là
b) Đặt = . Chng minh rng = = 1
c) Nếu là mt nghim, chng minh rng ∧ ≺ ≺ . Phát biu và chng minh phn o.
d) Chng minh rng nghim ca (1) gm tt c các phn tdng
=
vi
.
e) Khảo sát tương tự cho phương trình
=
14. Tp hp có là mt i s Bool không? Có các phép toán nào khác tr thành i s Bool
không?
15.
a) M rng nh nghĩa trong bài tp 10 cho tích ca i s Bool
× × …×
.
b) Đặc bit vi = = = = {0,1} hãy xác nh th t tươngng vi cu trúc i s Bool có
n nguyên t u ng cu vi
16. Gi s là mt phn t bt k ca i s Bool có nguyên t. Gi
( )
là s nh ti thiu cn
phi i qua i t 0 ến dc theo các mũi tên ca biu Hasse (
(0) =
0).
a) Tính
( )
khi là mt nguyên t
b) Chng minh rng vi , tùy ý ta có: () = ( ) + ( ) ()
lOMoARcPSD|36667950
17. Tìm giá tr của các hàm Bool dưới ây khi các biến
, ,
và ly các giá tr 1,1,0 và 0:
a) b)
c) d)
e) () ∨ ∨ ()(∨)
18. Tìm tt c các giá tr ca y và z các biu thức dưới ây luôn luôn ly giá tr 1 biết rng
=
1
:
a) b) c) d)
19. Tìm t ti tiu theo 4 biến
, , ,
biết rng nó ly giá tr 1 ti:
a) = = 0, = = 1 b) = = 1, = = 0
b) = = = 1, = 0 d) = = = = 0
20.
a) Có bao nhiêu hàm Bool 6 biến ly giá tr 1 ti các im úng hai thành phn có giá
tr 1 (ti các im khác hàm Bool có th bng 0 hay 1)
b) Có bao nhiêu hàm Bool 6 biến ly giá tr 1 ti các im có ít nht 2 thành phn có giá
tr 1 (ti các im khác hàm Bool có th bng 0 hay 1)
c) bao nhiêu hàm Bool 6 biến không ph thuc biến th nht. bao nhiêu hàm
không ph thuc 3 biến u tiên.
21. Tìm các hàm Bool theo 2 biến sao cho:
,
22. Xác nh tt c các hàm Bool theo 3 biến sao cho: (
, ,
)
=
(
, ,
)
, ,
(Hướng dn: lp bng chân tr)
23. Xác nh các hàm Bool theo 3 biến biết rng không thay i giá tr nếu ta hoán v 2 biến
bt k? Câu hỏi tương tự cho hàm 4 biến (Hướng dn: lp bng chân tr)
24. Tn ti hay không mt hàm Bool 3 biến khác 0 biết rằng nó ược thay bng phn bù nếu
ta hoán v 2 biến bt k? Câu hỏi tương tự cho hàm Bool biến
25. Mt hàm Bool biến ược nói hàm chn nếu: ( , ,…, ) = ( , ,…, ), , ,…, . bao nhiêu
hàm chn biến? Xác nh các hàm này khi = 2
26. Hàm s Bool biến ược nói là hàm chn nếu ( , ,…, ) = (
, ,…, ),
, ,…, . Có bao nhiêu hàm l biến? Xác nh các hàm này khi = 2
a) Chng minh rng mi hàm Bool theo biến ều ược viết dưới dng:
( , ,…, ) = [ (1, ,…, )] [ (0, ,…, )]
b) S dng h thc trên xây dng mt song ánh gia
×
. Áp dng tìm li
s phn t ca
c) S dng h thc trên chng minh li s tn ti ca dng ni ri chính tc.
28. Gi s là tích ca t ơn phân biệt
a) Trong dng ni ri chính tc ca có bao nhiêu t ti tiu xut hin
b) Có bao nhiêu hàm Bool tri
29. Tìm dng ni ri chính tc ca các hàm Bool theo 4 biến biết rng tha mt trong
hai iu kin:
a) (1) = {0101,0110,1000,1011}
b) (0) = {0000,0001,0010,0100,1000,1001,0110
}
ây ta viết 0101 thay (0,1,0,1) ch
ra phn t ca
30. Tìm dng ni ri chính tc ca hàm Bool theo 3 biến:
lOMoARcPSD|36667950
a) b) ( )
b) d) ()
c) f) [ () ]
d) ()( ) h)
e) ()()() j) ( )()( )
31. Tìm dng ni ri chính tc ca hàm Bool theo 4 biến:
a) ()()()()
b)
c)
32. Mt bài thi 4 câu A,B,C,D vi s im ti a 8,5,4,3.Nếu tr li úng mt câu, sinh viên
ược im ti a, tr lời sai ưc 0 im. Mun t sinh viên phải ưc 10 im tr lên. Ta liên kết
vi các câu 4 biến Bool a,b,c,dmt hàm Bool (a,b,c,d) ly giá tr 1 nếu sinh viên t
bng 0 nếu sinh viên không t. Hãy tìm dng ni ri chính tc ca hàm .
33. Hãy v mng s dng các cng NOT, AND, OR tng hp hàm Bool
a) ( )()( ) b)
c) ( )( ) d) ( )
34. Hãy tng hp phép toán ch s dng cng AND và cng NOT 35. Hãy tng hp các
cng AND, OR, NOT mà ch s dng cng NOR
36. Viết ra biu thc hàm tng hp bi mng các cổng dưới ây:
37. Hãy v mt mch ch có cng NOR tng hp các m Bool theo 4 biến sao cho ly giá
tr 1 khi và ch khi s biến ly giá tr 1 là s chẵn. Tương tự i vi cng NAND.
38. Tìm công thc a ti tiu ca các hàm Bool có biu Karnaugh dưới ây:
39. Tìm công thc a ti ti tiu ca các hàm sau:
a) () ( )
b)
lOMoARcPSD|36667950
c)
d) ( ∨)
e) 
f) ()()()()
g) () ( )
h)
i)
40. Tìm các công thc a thc ti tiu ca hàm Bool i ây. Cho biết s cng thiết kế các
mng tối ưu tổng hp
a) là hàm Bool 3 biến và ly giá tr 1 khi và ch khi có úng 2 biến ly giá tr 1
b) là hàm Bool 3 biến và ly giá tr 1 khi và ch khi có ít nht 2 biến ly giá tr 1
c) là hàm Bool 4 biến và ly giá tr 1 khi và ch khi s biến ly giá tr 1 là mt s l
GIẢI ĐÁP MT S BÀI TP
CHƯƠNG 1
1. Các mnh a,c,f
2. a) b) ¬ c) ¬ ) d) ¬ e) (¬ ) ¬ )
3. a) ¬ b) ¬ () c) ¬ (¬ ) d)¬ [() ¬ ]
e) ¬ ¬
12. b, c, e, f
13. a, b,d, f, h
14. a) Để dng mnh ã cho ly chân tr 1, hai dng mnh sau cn ly chân tr 1:
) ¬ , à ¬ ¬
Nghĩa là ¬ ,¬¬ phi ly chân tr 1.
Tóm li ta phi chn: = 1, = 0, = 0= 0.
b) Do
¬
chân tr 0 ta suy ra
¬
chân tr 0, nghĩa chân tr 1. Trong trường hp
này và có chân tr tùy ý.
15. Dng mnh ã cho là : a) Mâu thun b),c) Tùy ý d) Hng úng
17. a) Thay thế bi ta cn chng minh dng mnh
() ¬ ) là hng úng.
Do qui tc thay thế th nht, dng mnh trên tương ương logic với:
) (¬ ) 1
b) Thay () bi ta cn chng minh dng mnh sau là hng úng:
[()] [() ()]
Đây chính là luật phân b
22. a) Sai b) Đúng, PP phủ nh c) Sai d) Đúng, Tam oạn lun
29. a), b) = 1, = 1, = 1, = 0
30. a) Phép suy lun có dng:
()
lOMoARcPSD|36667950
¬
¬ ¬
S dng Tam on lun PP Ph nh b)
Phép suy lun có dng
() ()
¬
¬ ¬
Dùng phép phn chng.
c) Phép suy lun có dng:
()
¬
¬ ¬
Dùng PP Ph nh 3 ln
34. a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng: chọn
= 1
e) Sai: chn x=0
37. a) Đúng: nếu thay bi phn t tùy ý sao cho ( ) úng thì
= 2
hay
= 3
. Khi ó
> 0
b) Sai: chn = 5 thì (5) úng và ¬ (5) sai
c) Đúng: chọn = 0 thì (0) sai nên (0) (0) úng
d) Đúng: chọn = 0 thì (0) sai nên (0) ¬ (0) úng 38. a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng
e) Cho tùy ý, chn
=
thì (
,
) úng
f) Sai cì có ph nh úng là: ∀ ∃
(
,
) . Tht vy cho tùy ý, chn
= + 1
thì ¬ ( , ) úng.
g) Đúng h) Đúng
39. a) Sai: ch = 1= 0 thì > nhưng < . Ph nh ã cho ược viết úng.
b) Đúng. Phủ nh ã cho ược viết úng.
c) Đúng. 1.3=3 là số l. Ph nh ược viết không chính xác. Ph nh úng là: tích ca hai s l
bt k là s chn.
d) Đúng. Phủ ịnh ược viết không chính xác. Ph nh úng là : tn ti s hu t có bình phương
là s vô t
40. a) Tn ti s nguyên sao cho chia hết cho
2
và s chn
b) Tn ti s nguyên chn có bình phương là số l
c) Tn ti các s nguyên
, ,
sao cho
,
s l.
d) Tn ti s thc sao cho > 164 4
e) Tn ti s thc sao cho | 3| < 7 trong khi hay 10.
41. a) , ¬ ( ) ( ) ,¬ ( ) ¬ ( )
b) ( ) ¬ ( ) ,¬ ( ) ( ) , ( ) ( )
lOMoARcPSD|36667950
c) ( ) ( ) ,¬ ¬ ( ) ( ) , ( ) ¬ ( )
d) , ( ) ( ) ¬ ( ) , ( ) ¬ ( )
43. a) ∃ ∀ , = b) c) ,(0) ( , = 1)
d) Trong b) vẫn như trên trong khi ó c) phải ược thay bi ,(| | = 1) ( , = 1)
44. a) ∀ ∈ , (0) → ∃! : = 1 . Nếu ược hiu ngm thì mnh trên có th viết: 0,! : = 1
b) , ,! : = + c) ,! : = 3 + 7
45. ,! , = 2 úng trong khi ! ,, = 2 sai. Tht ra ta cn kim tra ,
,
2 úng. Mun vy, ta cho = tùy ý và chn = + 1 thì = 2 + 2 ≠ −2
Vi kết qu trên thì a) sai và b) úng
46. Chn = 0, = 0, = 2 thì ( , ) ( , ) úng trong khi . Như vậy
sai. Suy ra
!
;
(
,
) cũng sai. T ó ta thy c hai kết lun a) và b) u
úng.
47. Vi tp hp vũ tr = {1,2} thì mnh ! , > 1úng trong khi với = {1,2} thì mnh trên
sai.
49. a) Đúng. Qui tắc c bit hóa ph dng và PP khng nh ã ược s dng.
b) Sai. Có th ông Bình ã óng thuế nhưng vẫn không là công dân tt (vi phm lut giao
thông chng hn!)
c) Sai. th không quan tâm ến môi trường nhưng vẫn riêng các túi nha b i
(b m bt chng hn!)
d) Sai.Có th Minh không nộp bài chưa làm xong vì không chu làm bài (do ó Minh không
phi là sinh viên nghiêm túc).
50. a) b) hin nhiên.
c) S dng Qui tc c bit hóa ph dng, Qui tc tng quát hóa ph dng Phép chng
minh theo trường hp, d) Xét hai v t trên :
( ):"0"
( ):"0"
Khi ấy “ , ( ) ( )” úng trong khi cả , ( )” và “ , ( )u sai.
54.Suy luận sai ngay ngay trong bước qui np u tiên: (
1
)
(2)
.
55. Gi s 3 s liên tiếp bt k tng
38
. Khi y ta có: 3.(1 + 2 + + 25)
25.38
nghĩa là
25.39 25.38: mâu thun
56. a) Suy ra d dàng t nguyên lý qui np.
b) Cn chng minh bng qui np bt ng th ph nếu > 2 thì 2 + 1 < 2
lOMoARcPSD|36667950
c) Cn chng minh bng qui np 2 bt ng th ph: nếu > 5 t6 + 10 < 2nếu > 6 t
3 + 3 + 1 < 2
57. Gi s
Khi y:
Tuy nhiên
(1)
ã sai nên không áp dng nguyên lý qui nạp ược.
58. ng thc cn chng minh là ( + 1) + ( + 2) + + ( + 1) = + ( + 1) ,
0
Gi s công thc trên úng vi
=
. Ta có:
(( + 1) + 1) + (( + 1) + 2) + + ( + 2)
lOMoARcPSD|36667950
= ( + 2 + 1 + 1) + ( + 2 + 1 + 2) +
…+ ( + 2 + 1 + 2 + 1) + ( + 1)
2
+ 2 + 2 + ( + 1)
2
+ 2 + 3
= ( + 1) + ( + 2) + + ( + 1) + (2 + 1).(2 + 1) + 2 + 4 + 5
= ( + 1) + + 6 + 12 + 8 = ( + 1) + ( + 2
)
CHƯƠNG 2
1. Bn tp hp bng nhau. Tuy nhiên 3 cách viết sau không hp lý vì có nhng phn t ưc
k 2 ln trong tp hp.
2. a) Đúng b) Đúng c) Đúng do a) d) Đúng do b)
e) Sai. Ta phi viết {
2
} . f) Sai. Ta phi viết {
2
}
3. a) Sai. b) c) d) Đúng.
4. a) {0,2} b) 2, , , , c) , , ,
, ,
5. a) b) c) e) Đúng. d) và f) Sai
7. Ch có d) khác phươn trình tươngng có nghim.
8. a) {1,2,3,5} b) c) và d)
\
{
2
}
g) h) {1} i) {1,3,4,5,8}
9. a) c) d) Đúng. b) e) f) Sai
e) {4,8} f) {1,2,3,4,5,8}
10. a) b) c) d) f) e)
= {2 + 1/ }
12. a) Sai, chn 0y ý và = = , =
b) Sai, chn 0 tùy ý = , = =
c) Đúng. Ta có: () () = ()
= () =
=
Suy ra () () = =
=
Do 11. d) . Tương tự ta . Nghĩa là
=
.
13. a) Sai. Chn = {1}, = {2} b) Đúng
b) () (
) ( ) =
c) ∪ ∪ ( ∩ ∩)
=
∩ ∩ d) Tp hp ã cho bng ∩ ∩ ∩ 21. a) ( ) = 3 1( ) = 3
3 ( ) = (3 ) = ( ); ( )
=
0
ế ℎẵ
3 ế
∘ ℎ( ) = 3ℎ( ) 1
b) ( ) = 2, ( ) = 3, ( ) = 9 , ( ) = 27 = , = = . Bng
qui np =
22. ( ) = () = ()
= () () = () = ( )
lOMoARcPSD|36667950
23. a) là song ánh. Ánh x ngược
:
cho bi
b) (1) = (3) = 0 nên không ơn ánh
(
) = 7.
GS. Nguyn Hu Anh
117
c) Hàm s tăng ngặt trên [4,9] nên ơn ánh. Mặt khác ([4,9]) [21,96]. Hơn nữa vi
[21,96] thì phương trình + 2 3 = nghim duy nht . Do ó song
ánh vi ánh x ngược là ( ) = 1 + 4 + .
d) là song ánh. Ánh x ngưc:
ế < 5
e) là song ánh. ( ) = ln( ) 1,
(0,+ )
f) là ơn ánh nhưng không toàn ánh vì
1
( )
27. a) (10) = 3, (0) = 7, (2) = 1, (6) = 5
b) ([5,1]) = [2,6], ([2,4]) = ([2,0]) (0.3) ([3,4]) = (1,7]
28. a) Chú ý rng mt song ánh gia ={1,2,…} va tập hp các s nguyên t nhiên l,
cũng như một song ánh gia {0} = {…,2,1,0} tp hp các s nguyên t nhiên chn.
Suy ra là mt song ánh gia và .
ế à ê
ê
b) ( ) =
ế à ê ê ℎẵ
( ) = ( ) =
b) Do toàn ánhn cho tùy ý, st tn ti sao cho
=
( )
=
( ) vi = ( ) . Điều này chng
t toàn ánh.
c) () =
d) Chn ( ) = 2 vi
ế à ê ê
ℎẵ
( ) = 2
ế à ê
ê
30. a) ( ) = ± 1 nên và ( ) khác tính chn l.
b) Gi s ( ) = ( ). Khi y và cùng tính chn l nên (1) = (1) .Suy ra =
là ơn ánh
c) ( ) = ( ) + (1)
( )
= + (1) (1) = ,
Như vậy là song ánh và
=
.
d) Ta có = (365) = (365) = 365 + (1) = 364
lOMoARcPSD|36667950
31. i) Gi s + < + . Khi y
Tương tự nếu + < + thì ( + ) < ( , ). Mt khác nếu + = + ( , ) = ( , ) thì = , = . Tóm li
là ơn ánh.
ii) Đặt = ( × ). Ta có 0 =
(0,0)
GS. Nguyn Hu Anh
118
Mt khác, gi s = ( , ). Khi y + 1 = ( 1, + 1) nếu > 0+ 1 = ( + 1,0) nếu = 0. Suy ra
( × ) = theo Nguyên lý Qui np.
a) b)
7
= 35
33.
4
c)
34. a) Đó các tập hp dng vi mt tp con ca ca {2,4,6,8,10}
{1,3,5,7,9,11}. Do ó theo Nguyên nhân s tp hp này là: (2 1)2 b) Tương tự như trên,
s tp hp con có dng này là
2 (2
1)
c) T
ng quát hóa: nếu mt tp hp s chn phn t mt tp hp s chn
phn t thì s tp hp con ca cha ít nht mt s chn là: (
2
1
)
2
35.
= 20
38. a) S nhãn hiu tha ít nhất 2 tính năng là:
|() () ()| = || + || + || = 4
S nhãn hiu tha ít nhất 1 tính năng là:
|() () ()| = 18 4 = 14
Do ó s nhãn hiu thỏa úng 1 tính năng là 10.
b) S nhãn hiu không thỏa tính năng nào là 15 - 14=1.
40. a) 2 2 = 126;2 2
7
7
= 112 b) 2 2;2 2 2
1 6
!
41. =
! !… !
44. Gi
, ,
là tp hp các sinh viên làm thí nghim th nht, th hai và th ba tương ứng.
Ta có: | | = 21 5 = 16, | | = 21 7 = 14, | | = 21 6 = 15. Áp dn 38. ta ược
|| + || + || = 33
S sinh viên làm ít nht hai thí nghim là:
|() () ()| = 33 3| | + | | = 15
Do ó có 21 15 = 6 sinh viên ch m ược mt 1 thí nghim.
lOMoARcPSD| 36667950
45. Mỗi ường i ược xác nh bi ký t ( i ngang) chn mt dãy gm
+
ký t
và ( i lên). Do ó s c ường i khác nhau là
+ = +
46. 10 + 4 1
=
13
= 286
4 1 3
47. a) 10 + 5 1 = 14 = 1001
5 1 4
b) Chia cho a tr ln nht hai hòn bi, còn li chia cho 5 a:
8 + 5
1
=
12
= 495
5 1 4
c) Chia 5 hòn bi còn lc h a:
5 + 5
1
=
9
= 126
5 1 4
48. a) Cho vào mi hp mt vt, còn li vt chia cho hp:
+
1
1
=
1
1
GS. Nguyn Hu Anh
119
b)
1
1
49. a) Đây là số nghim 0 của phương trình + + + = 8
8 + 4 1 = 11 = 165
4 1 3
b) Ch có 1 nghim: = = = = 8
c) Chính là s nghim ca phương trình + + + = 28 vi ,
, 0,0 24:
31
6
= 4475
3 3
ây
6
chính là s nghim 0 ca + + + = 3
3
50. a) Theo Nguyên lý nhân, s các s hng (2 ) (3 ) là: 7 ×
6
×
4
= 420
2 3
Do ó h s ca 420 × 2 × 3
= 15120
b) S s hng có dng là s nghim của phương trình
+ + + + = 7
, vi ,1 ≤ ≤ 5:
7 + 5 1 = 11 = 330
5 1 4
53. a)
8
= 28 b)
8
= 70 c)
8
= 28
lOMoARcPSD|36667950
2 4 6
d) Đây cũng là s byte có nhiu nht 2 bit 0:
8
+
8
+
8
= 37
0 1 2
55. a)
15
= 105 b)
25
= 2300,
25
= 12650
2 3 4
56. a) = ( )( )
3
b) Có tam giác có chung hai cnh vi a giác u và
(
4)
tam giác có chung mt cnh vi a
giác u. Do ó s tam giác không có cnh chung là
( 4) = ( 9 + 20)
6 59. a) (1 + 2) = 3
b) (1 + ) = 1
1
c) =
=
!
d) = (1) = (1 1) = 0
60. Gi s mi cửa có ít hơn b câu. Khi y ta có:
1 < =
: mâu thun
61. a) Ít nht 7 ln: Nguyên lý chung b câu
b) Gi là s ln tung. Do 60. Ta cn có:
Do ó giá tr nh nht ca là 13
c) 6( 1) + 1
3
GS. Nguyn Hu Anh
120
63. a) Ta chn 10 ca chung b câu: [1,2),[2,3),…,[9,10),{10}. Do nguyên chung b
câu có hai phn t có căn bậc hai cùng thuc mt tp hp, nghĩa là:
0 <
√ −
<
1.
b) Cho trước mt s nguyên > 0. Trong + 1 phn t khác nhau ca {1,2,…, }, ít nht 2
phn t , sao cho: 0 < √ − < 1
64. V 9 tam giác u các cnh song song vi các cnh ca tam giác u ã cho vaa2 nh
chn trong s 3 nh, 6 dim chia các cnh theo t s tâm ca tam giác u. Theo Nguyên
chung b câu, ít nht 2 trong s 10 im ã cho thuc v cùng mt tam giác u nh.
Khong cách ca chúng . Du = ch xy ra i vi 2 nh ca mt tam giác u nh. Tuy
nhiên ch có mt nh duy nht nm bên trong tam giác u ã cho.
lOMoARcPSD|36667950
CHƯƠNG 3
1. a) = 0,( , , ) × × tùy ý: có 4.7 = 196 b 4 0 tùy ý, = 0,( , )
× tùy ý: có 4 .7 = 112 b 4
0 tùy ý, tùy ý, tùy ý,
= 0
: có 4
.6 = 96
b 4
Vy | | = 196 + 112 + 96 = 404
b) 0 tùy ý, tùy ý, tùy ý, = 0 tùy ý
Vy | | = 4 .6.3 = 288
2. a) | × | = 3 = 9 b) 2
| × |
= 2 = 512 c) 2
| × |
= 512
d) Đó là số tp hp con ca × \ {(1,2),(1,5)} = 2 = 128
e) Đó là số tp hp con 5 phn t ca ×
:
9
= 126
5
f) 2
9
9
9
= 466
0 1 2
3. 2
| || |
= 4096 = 2 3| | = 12 | | = 4 4. a) Quan
h hàm: : , ( ) = + 7
b) Quan hm: : , ( ) =
c) Quan hm: : , ( ) = 3 + 1 hay : , ( ) = = ( )
d) Không phi là quan h hàm
e) Quan hm: :[0,1] hay : [0,1] [0,1], ( ) = 1 = ( ) = ( )
b) () = , () = [1,1]
c) () = [1,1], () = [1,1]
6. a) Quan h trên
× ×
trong ó dòng 2 và 3 ng nht nên loi bt 1 và dòng 5
và 6 ng nht nên loi bt 1.
b)
×
u có th dùng làm khóa chính
7. a) Quan h chiếu lên gm 2 ct u và 6 dòng. Quan h chiếu lên
×
gm 3 ct u và 6 dòng.
×
×
GS. Nguyn Hu Anh
121
lOMoARcPSD|36667950
b) Không có khóa chính vì mi ct u có giá tr lp li.
c) × , × , × , × , × .
8. a) = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}
b) = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(1,3)}
c) = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)}
9. a) Phn x, i xng, bc cu. Tuy nhiên không phn xng tr trưng hp
=
b), e), f), g) Phn x, i xng, bc cầu nhưng không phản xng
c) Đối xứng nhưng không có ba tính chất kia
d) Phn x, phn xng, bc cầu nhưng không ối xng
b)
=
khi và ch khi i xng
c) bc cu, phn xng khi ch khi
bc cu, phn xng. Theo b) nếu i xng thì
=
cũng i xng.
12. a) | × | = 16,| | = 4 nên s quan h phn x là: 2
= 4096
b) Gi = {( , )/ 1 < 4}. Vi ⊂ ∪ ∆ thì {( , )( , ) } là mt quan h i xúng và ngược li. Do
ó s quan h i xng là 2
∪∆
= 2 = 1024
c) Mt quan h phn xi xng xác nh duy nht bi tp hp nên s quan h phn x
i xng là 2
| |
= 2
= 64
.
d) Gi s phn xng, t
=
∩ ∆
, =
=
: rõ ràng ưc xác nh duy nht bi
, ,
.
Do ó s các quan h phn xng là :
6
2 2 = 11.664
e) Đó là quan hệ ⊂ ∆ : 2 = 16 quan h
f) Quan h duy nht
=
.
13. Ta viết = { , ,…, }. Đặt = , / < . Ta | | =
( )
. Tương tự như trên, mi quan h phn
xng tương ng vi các tp con
, ,
. ti i khi ch khi = = , nghĩa là ||
=
( )
+ =
( )
Hơn nữa s quan h như vậy chính là
2
.
14. a) Trc tiếp t nh nghĩa
b) [1] = {1,2} = [2],[3] = {3}
c) [4] = {4,5} = [5][6] = {6}. Do ó ta có phân hoch ca thành các lp tương ương: = {1,2}
{3} {4,5} {6}
15. Ngoài ường chéo chính
,
còn cha các cp {1,2},{2,1},{3,4},{4,3}.
lOMoARcPSD|36667950
16. Ta có (1,2) và (2,3) nhưng (1,3) nên không phi quan h tương ương.
17. a) Hin nhiên
b) [(
,
)]
=
{(
,
)
/
∈ ℛ}. Đấy chính là ường thng song song vi trc tung và i qua im ( , )
19. a) Đó là quan hệ tương ương
b) [] = ,{3} ,[{1}] = {1},{1,3} ,[{2}] = {2},{2,3} ,[{1,2}] = {1,2},{1,2,3}
c) [{1,3,5}] = {{1,3,4},{1,3,5}}. Mi lớp tương ương ều cha mt tp hp con duy nht
ca nên s lớp tương ương chính là 2
| |
= 2 = 8
21. a)
6
= 10 b)
6
1 +
3
= 80
3 3 1
c) d) 10 + 80 + 30 + = 126
22. a) Suy trc tiếp t nh nghĩa b) { ( )
/
( )
}
23. = ( × ) ( × ) ( × )
25. Xét = ({1,2,3}) = {/ 4 }. Khi y biu Hasse ca 2 hình lập phương 3 chiều.
Ni mi nh ến nh {
4
} bởi 1 cung có hướng xut phát t . Tp hp các nh trong
các cung trong cùng vi các cung mi thêm vào như trên chính biểu
Hasse ca ( ).
26. a) Kim tra trc tiếp ca nh nghĩa
b) không nht thiết là toàn phn. ví d
= =
{
0,1
}
,
là th t thông thường
27. a) Trc tiếp t nh nghĩa
b) Vi , tùy ý. Định nghĩa ánh x : bi ( ) = ( ) ( ), . Khi y =
sup{ , }
Tương tự ta thy inf( , ) là ánh x : inf( , ) ( ) = ( ) ( ),
29. Tính phn x hin nhiên. Gi ch s sao cho = , = ,…, = = hoc nếu
<
. Gi
là ch s ơng tự xác nh t .
Nếu thì ta có = ,…, = = hoc
nếu < . Nếu < thì < nên ta có = ,…, =
.
Trong c hai trường hp ta u có tính bc cu. Chú ý rằng trong trường hp trên
nếu
=
thì trưng hp 2 không xy ra và khi ó
=
, nghĩa là là phn xng.
Xét hai chui khác rng , như trên. Nếu = vi 1 min( , ) thì ta có
hay theo Định nghĩa ca . Trong trường hợp ngược li s có ch s
nht
, nghĩa là
= ,…, =
. Do th t trên là tòan phn ta
hay . Nóich khác hay
. Tóm li th t trên là toàn phn.
30. Trong 3 biu u, nh nghĩa tri trc tiếp b vi phm.
lOMoARcPSD|36667950
Ngoài ra trong biu th 2 tính phn xng cũng b vi phm. Chbiu cui cùng là biu
Hasse
34. a) Ch có mt chn trên gm 3 phn t
{1,2,3} S chn trên gm 4 phn t:
4
= 4
1 S chn trên gm 5 phn t:
4
= 6
2
b) 11 +
4
+
4
= 16
3 4
c) {1,2,3} d) Mt chặn dưới duy nht: e)
35. a) ( ({
1,2
})
,
) là 1 dàn nhưng thứ t không toàn phn.
b) Nếu toàn phn thì vi , tùy ý ta có: sup{ , } = max( , ) à inf{ , } = min( , ) Do ó
mt dàn.
37. a) b) c) d) e) f) g)
38. a) là phn t ln nht và là phn t nht
b) (
,
) là mt dàn
39. S dng các qui lut logic
40. a)
, ,min
{
,
} tn ti. Vy th t tt toàn phn. Tuy nhiên th t toàn phn trên
nhưng không phi là th t tt. b) Do nh nghĩa ca th t tt
c) th t tt trên nhưng không phn t ln nht. {1,2} 1 tp hp sp tt
phn t ln nht.
41. a), e), f) là tp hp sp tt.
b) Không phi tp sp tt. Mt khác tp hp
{1, ,…, ,…}
không có phn t nht nên (
,
)(
,
) không phi là tp sp tt.
g) Gi s b mu t gm 2 ch cái . Khi y {
, , ,…
} là mt tp con ca không có phn
t bé nht nên không phi là tp sp tt.
42. a) chính là tri trc tiếp duy nht ca .
b) Gi s . Khi y nên ơn ánh. Tuy nhiên
phn t bé nht ca không thuc
( )
.
c) Định nghĩa ánh x : bi (0) = , ( ) = ( ), trong ó ( ) ược nh nghĩa bng qui np: ( )
=
( ) . Khi y là mt ng cu gia hai tp hp sp th t ( ,) và ( ,)
43. a) 1 b) 22 c) 6 d) 11 e) 3
a) 2 .3 .5 .112 .3.5 .7 .11
b)
47. a) 2 .5 .7 ,0 3,0 2,0 4
b) Các ước s dương của dng vi
0
≤ ≤
,0
≤ ≤
,0
≤ ≤ . Do ó theo Nguyên lý nhân, s
ước s dương là ( + 1)( + 1)( + 1).
lOMoARcPSD|36667950
c) Nếu = thì có ( + 1)( + 1) …( + 1) ước s dương.
d) Suy ra + 1 = 2 , nghĩa là = 2 1, ,1
49. a) Sinh viên th lt 62ng xu th 100 khi và ch khi ước s ca
200 = 2 .5
. Do ó s ln
mà dng xu th 200 dược lt là 4.3 = 12.
b) Gi s ng xu th = …< 200 ược lật ngược ( + 1)( + 1)( + 1) …= 12 ln. Khi y th ly
các giá tr sau:
2 .3 = 96 2 .5 = 160 2 .3 = 72 3 .2 = 108 2 .3.5 = 60 2 .3.7 = 84
2 .3.11 = 132, 2 .3.13 = 156 , 2 .5.7 = 140, 3 .2.7 = 126, 3 .2.11 = 198
52. a) Gi s (
,
) mt li gi thì là ước ca do Mnh 3.6.3:
=
. Khi y
=
Ngược li (
,
)
,
là mt li gi.
b) Gi
=
(
,
). Ta có
=
nên do a) các li gii dng (
c) Gi = ( , ) = + , , nh lý 3.6.2) Do ó nếu , tha = + thì () = () Theo b),
= , = , vi
Nghĩa là = +=
chia Euclide tìm
, ,
:
53. Dùng thut
a) = 2, = 1, = 3; = 1 + 8 , = 3 23 ,
b) = 4, = 1, = 2; = 1 + 16 , = 3 31 ,
c) = 1, = 26, = 271; = 26 + 331 , = 271 3450 ,
54. a) Gi s ( ) khi y ta có = ( )
Do ó là nghim duy nht trong của phương trình ồng dư ã cho.
b) Gi
=
(
,
)
> 1
. Nếu không chia hết cho , thì phương trình dồng dư là nghim. Mt khác
gi s
|
khi ấy ta ưa về vic giải phương trình ồng dư
=
:
( )
Theo a) phương trình trên có nghim duy nht trong :
( ) 1( )
Đó cũng là nghim của phương trình ồng dư ban ầu.
55. a) (3,16)=1. Ta 3 × 11 33 1( 16) nên 11 × 7 13( 16)
b) (5,23)=1. Ta có 5 × 14 70 1( 23) nên 14(6 7) 9( 23)
c) Phương trình có dng 3≡ −12 10( 11)3 × 4 1( 11) nên 4 × 10 7
(11)
d) Phương trình có dng 5≡ −52 12( 64)
lOMoARcPSD|36667950
5 × 13 65 1( 64) nên 13 × 12 28( 64)
CHƯƠNG 4
1. a) Gi s là hai phn bù ca . Ta có: ( ) = 0 =
( ) = ( ) () = ( ) 1 =
Suy ra =
Tương tự nếu xét ( ) ta cũng có . Nghĩa
=
b) Kim tra trc tiếp t nh nghĩa ca phn bù ri s dng a).
2. a) Do nên là tri chung ca và . Hơn nữa nếu là tri chung ca
,
thì
. Như thế = sup{ , } =
b) Do a) = = :
c) . Suy ra
d) . Suy ra
3. a) () = nên
() =
=
∧
b) ( ) () = ( )
Do ó phn bù ca nó là:
4. a) Xét mt phn t ∈ ℬ. Khi y ∈ ℬ0 = ∈ ℬ, 1 = ∈ ℬ
b) Có 4 i s con là , = ,{ },{ , },{ , , } , = ,{ },{ , },{ , ,{ },{ , }.{ , , } .
c) Vi
,
∈ ℬ tùy ý ta có
,
∈ ℬ nên . Suy ra
=
.
, } ,
=
5. Đó i s Bool vi phn t trung hòa i vi . Hơn nữa vi thì là phn bù
ca . Tuy nhiên nó không phi là i s con nếu
1
vì khi y nó không cha 1
6. a) Gi s ( ), tn ti sao cho ( )
=
. Ta ( ) ( ) nên suy ra = 0 hay = , nghĩa là
= 0 hay = .
b) Trc tiếp t nh nghĩa ca i s con.
8. a) Do 35 = (5,7),70 = (35,2) à 42 = (2,3,7) ta phi có (35) = { , }, (70) = { , , }, (42) = { , ,
}.
lOMoARcPSD|36667950
b) Mi ng cu phi biến nguyên t thành nguyên t nên ược xác nh hoàn toàn bi mt
song ánh gia {2,3,5,7} và {
, , ,
}. Có tt c 4! = 24 ng cu khác nhau.
11. a) () = () ()
= ∧ ∧ ( ) ( ) ∧ ∧
= () ( )
= ( ) = ()
∧∧
= ( ) ()
= ()()
Các tính cht khác hin nhiên.
b) Đặt = ()
() = =
Suy ra ∧ ≺
Tương tự
Vy
Do ó () ⨁′ = 1
Mt khác
() ⨁′ = () ()
= ()() = 0
Như thế = = ⨁′
13. a) =
Mt khác gi s . Đặt = . Ta có: = =
b) = () () = () =
= = = 1
c) Ta có
=
. Ngược li gi s . Khi y
= ()
Suy ra là nghim ca (1).
d) Nếu là nghim, do b) có dng vi
=
∨ ≺ . Ngược li nếu
=
vi thì
=
∧ ∧
=
. Như
thế ∧ ≺ ≺ nên là nghim do c).
lOMoARcPSD| 36667950
e) Nghim ca
=
cũng là nghim ca = nên ta ưa về (1).
14. Do 1728 = 2 .3 chia hết cho chính phương nên không i s Bool. Hơn nữa s mũ 6
không có dng
2
1,
nên không có th t nào trên cho nó tr thành dàn bù phân b,
nghĩa là i s Bool.
16. a) ( ) = 1 nếu là nguyên t.
b) Nhn xét rng nếu là nguyên t không tri bi thì là tri trc tiếp ca . Do ó ta có th
chng minh bng qui np rng ( )
=
nếu có úng nguyên t tri bi .
Suy ra () = ( ) + ( ) ()
17. a) 0 b) 0 c) 0 d) 1 e) 1
18. a), b) = 1 = 1 c), d) = 1, ù ý
19. a)  b)  c) d)
20. a) Có
6
= 15 im có úng 2 thành phn bng 1. Còn li (2 15) = 49 im, nên2
2 hàm Bool tha iu kin này.
b)
6
+
6
= 7
im ó s thành phn có giá tr 1 béhoơn 2, nên tổng s hàm
Bool
0 1
tha iu kin này là 2 = 128.
c) 2 = 22 = 2 = 256.
21. Ta có (1,0) = (0,1) nên các hàm Bool này u có dng (
), vi
,
,
là các hng s bt k thuc {0,1}
22. Ta có (1,0,0) = (0,0,1) = (0,1,0) (1,1,0) = (1,0,1) = (0,1,1)
Do ó các hàm Bool này u có dng: (
, ,
)
=
( )
( ) trong ó là các hng s tùy ý thuc {0,1}.
23. Hàm Bool 3 biến không thay i giá tr khi ta hoán v 2 biến bt k chính làc hà m Bool
trong 22.
Tương tự mt hàm Bool 4 biến khi thay i giá tr khi ta hoán v 2 biến bt k có dng:
( , , , ) = ( ) (
∨ ∨ ) ( ∨ ∨∨ ) vi
, , , ,
là các hng s tùy ý thuc {0,1}.
24. Xét
, ,
{
0,1
} . Khi y ít nht 2 trong s 3 s trên bng nhau. Gi s
=
. Ta có:
( , , ) = ( , , ) ( , , ) = 0
Tương t trong các trường hp khác ta cũng có
= 0
.
Nếu
> 2
cũng không tn ti hàm Bool biến
0
tha iu kin trên. Tuy nhiên nếu
= 2
thì các
hàm Bool như vậy có dng (
,
)
=
vi là hng s tùy ý thuc {0,1}.
lOMoARcPSD|36667950
25.Lp bng chân tr. Khi y hàm chẵn ược xác nh hoàn toàn bi
2 = 2
dòng u tiên. Do ó
hàm chn là 2 . Vi = 2, ta ược 4 hàm chn: , ,0,1
26. Tương tự trong 25, s hàm l biến là
2
. Vi
= 2
, ta ược
4
hàm l:
,
, ,
27. a) Hai vế
bng nhau khi = 1 hay = 0
b) Xét ánh x (
×
,
)
vi ( , ,…, ) = ( ,…, ) ( ,…, ). Khi y ta kiểm ược d dàng ánh x trên là song ánh. Suy ra |
| = | | × | |.Bng qui np trên ta suy ra | | = 2 c) Bng qui np trên và tính phân b
28. a) Viết hàm hng 1 theo biến còn lại như tổng Bool ca
2
t ti tiu và s dng
tính phân b, ta viết ưc như là tổng Bool ca
2
t ti tiu theo biến.
b) ∃ℎ
: =
. Do ó là tích ca mt s t ơn xuất hin trong . Suy ra
2
hàm Bool tri .
29. a)
=
b)
=
∨∨
b) ∨   ∨ ∨   32. ∨   ∨ ∨
34.
35. Cng NOT có th tng hp như sau:
Do ó cng AND và cổng OR ược tng hp nh các công thc:
=
=
36. = ( ) =  ( )
37.
=
      . Ta viết = ∨ ∨ s dng mt cng NOR vào tng hp t ti
tiểu này. Tương tự cho các t ti tiu khác.
Mt khác ta có th viết =
thiết k mng ch dùng cng NAND.
38. a) Các tế bào ln:
,
,
,
,
. Dùng phương pháp biểu Karnaugh ta uc hai công thc:
=
,
=
, trong ó ch c công thc du
Là ti tiu.
b) Các tế bào ln:
, , ,
,
,
. Có 3 công thc a ti tiu:
=
lOMoARcPSD| 36667950
, = , =
c) Dng ni ri chính tc cũng là công thc a thc ti tiu duy nht.
d) Các tế bào ln:
,
,
,
.
Công thc công thc a thc ti tiu duy nht:
=
∨
e) Các tế bào ln:
,
, ,
. Có 2 công thc a thc ti tiu:
=
=
f) Các tếo ln:
,

,
,
,
,
Có 3 công thc a thc ti tiu:
=
=
=
39. a) =
=
b) =
=
c) =
d) =
e) Dùng phương pháp biểu Karnaugh ược 6 công thc trog ó ch mt công thc
ti tiu: = f) =
g) =
h) =
i)
=
 
40. a)
=
∨ ∨ . Đây cũng là công thc a thc ti tiu duy nht. mng tối ưu sử dng 6 cng
AND và 2 cng OR.
b)
=
∨ ∨ . Đây cũng là công thc a thc ti tiu duy nht. Mng tối ưu sử dng 3 cng
AND và 2 cng OR.
c)
=
      . Đây cũng là công thc a thc ti tiu duy nht. Mng tối ưu
s dng 24 cng AND và 7 cng OR.
| 1/139

Preview text:

lOMoARcPSD| 36667950 MỤC LỤC
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LOGIC ................................................................................................... 2
§1 PHÁP TÍNH MỆNH ĐỀ .................................................................................................... 2
§2 DẠNG MỆNH ĐỀ ............................................................................................................ 5
§3 QUY TẮC SUY DIỄN ....................................................................................................... 9
§4 VỊ TỪ VÀ LƯỢNG TỪ .................................................................................................... 16
§5 NGUYÊN LÝ QUY NẠP ................................................................................................... 22
BÀI TẬP CHƯƠNG 1 .......................................................................................................... 24
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐẾM ......................................................................................... 37
§1 TẬP HỢP ..................................................................................................................... 37
§2 ÁNH XẠ ....................................................................................................................... 39
§3 PHÉP ĐẾM ................................................................................................................... 42
§4 GIẢI TÍCH TỔ HỢP ....................................................................................................... 47
§5 NGUYÊN LÝ CHUỒNG BỒ CÂU ....................................................................................... 52
BÀI TẬP CHƯƠNG 2 ........................................................................................................ 53
CHƯƠNG 3: QUAN HỆ ........................................................................................................ 61
§1 QUAN HỆ ..................................................................................................................... 61
§2 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG ............................................................................................ 64
§3 THỨ TỰ ....................................................................................................................... 66
§4 DÀN ............................................................................................................................ 71
§5 DÀN 2 ......................................................................................................................... 74
§6 DÀN ............................................................................................................................ 75
BÀI TẬP CHƯƠNG 3 .......................................................................................................... 82
CHƯƠNG 4: ĐẠI SỐ BOOL VÀ HÀM BOOL ............................................................................. 89
§1 ĐẠI SỐ BOOL ............................................................................................................... 89
§2 HÀM BOOL .................................................................................................................. 95
§3 MẠNG CÁC CỔNG VÀ CÔNG THỨC ĐA THỨC TỐI TIỂU .................................................... 99
§4 PHƯƠNG PHÁP BIỂU ĐỒ KARNAUGH ........................................................................... 103
§5 PHƯƠNG PHÁP THỎA THUẬN ...................................................................................... 111
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 ...................................................................................................... 117
GIẢI ĐÁP MỘT SỐ BÀI TẬP ................................................................................................. 121 lOMoARcPSD| 36667950
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LOGIC
§1 PHÁP TÍNH MNH ĐỀ
Trong toán học ta quan tâm ến những mệnh ề có giá trị hân lý xác ịnh ( úng hoặc
sai nhưng không thể vừa úng vừa sai). Các khẳng ịnh như vậy ược gọi là mệnh ề. Các mệnh
ề úng ược nói là có giá tr chân lý úng (hay chân tr úng), các mệnh ề sai ược nói là có chân tr sai. Ví dụ:
1. Các khẳng ịnh sau là mệnh ề:
 Môn Toán rời rạc là môn bắt buộc cho ngành Tin học.  1+1=2.  4 là số nguyên tố.
Hai mệnh ề ầu có chân trị 1, mệnh ề thứ ba có chân trị 0.
2. Các khẳng ịnh dưới dạng tán than hoặc mệnh lệnh không phải mệnh ề vì nó không có chân trị xác ịnh.
3. Khẳng ịnh “ là số nguyên tố ” không phải mệnh ề. Tuy nhiên, nếu thay n bằng một số
nguyên cố ịnh thì ta sẽ có một mệnh ề: chẳng hạn với = 3 ta có một mệnh ề úng, trong khi
với = 4 ta có một mệnh ề sai. Khẳng ịnh này ược gọi là một v t và cũng là ối tượn khảo sát của logic.
Ta thường ký hiệu các mệnh ề bởi các chữ , , ,… và chân trị úng (sai) ược ký hiệu bởi
1 (0). Đôi khi ta còn dùng các ký hiệu , ể chỉ chân trị úng và dể chỉ chân trị sai.
Phân tích kỹ các ví dụ ta thấy các mệnh ề ược chia ra làm 2 loại:
 Các mệnh ề ược xây dựng từ các mệnh ề khác nhờ liên kết chúng lại bằng
các liên từ(và, hay, nếu… thì… ) hoặc trạng từ “không”. Ta nói các mệnh ề
này là mệnh ề phức hợp.
Ví dụ: Nếu trời ẹp thì tôi i dạo” là một mệnh ề phức hợp.
 Các mệnh ề không thể xây dựng từ các mệnh ề khác bằng các liên từ hoặc
trạng từ “không”. Ta nói các mệnh ề này là mệnh ề nguyên thủy hay sơ cấp.
Ví dụ: “Hôm nay trời ẹp”, “3 là số nguyên tố” là các mệnh ề nguyên thủy.
Mục ích của phép tính mệnh ề là nghiên cứu chân trị của một mệnh ề phức hợp từ
chân trị của các mệnh ề ơn giản hơn và các phép nối của những mệnh ề này thể hiện qua
lien từ hoặc trạng từ “không”. Các phép nối:
Phép phủ ịnh: ph nh của mệnh ề P ược ký hiệu bởi ¬ ( ọc là không P). Chân trị của ¬
0 nếu chân trị của là 1 và ngược lại.
Ta có bảng sau gọi là bng chân trị của phép phủ ịnh: ¬ lOMoAR cPSD| 36667950 0 1 1 0
Phép nối liền: mệnh ề ni lin của hai mệnh ề P, Q ược ký hiệu bởi P∧Q ( ọc là
P Q). Chân trị của P∧Q là 1 nếu cả P lẫn Q ều có chân trị 1. Trong các trường hợp khác, P∧Q có chân trị 0.
Nói cách khác phép nối liền ược xác ịnh bởi bng chân trị sau: ∧ 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
Ví dụ: mệnh ề “Hôm nay trời ẹp và trận bóng á sẽ hấp dẫn” ược xem là một mệnh ề úng
nếu cả hai iều kiện “trời ẹp” và “trận bóng á sẽ hấp dẫn” ều xảy ra. Ngược lại nếu một mệnh
ề úng một mệnh ề sai hoặc cả hai mệnh ề ều sai thì mệnh ề là một mệnh ề sai.
Phép nối rời: mệnh ề ni ri của hai mệnh ề P, Q ược ký hiệu bởi P∨Q ( ọc là P hoặc
Q). Chân trị của P∨Q là 0 nếu cả P lẫn Q ều có chân trị 0. Trong các trường hợp khác, P∨Q có chân trị 1.
Nói cách khác phép nối rời ược xác ịnh bởi bng chân trị sau: ∨ 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
Ví dụ: “Ba ang ọc báo hay xem tivi” là một mệnh ề úng nếu lúc này ba ọc báo, xem tivi hay
vừa ọc báo vừa xem tivi (!). Ngược lại nếu cả hai việc trên ều không xảy ra, ví dụ Ba ang
làm việc thì mệnh ề là mệnh ề sai. Chú ý rằng trong mệnh ề P∨Q, từ “hay” ược dung theo
nghĩa bao gồm,nghĩa là và có thể ồng thời úng. Tuy nhiên theo ngôn ngữ hằng ngày ta
thường hiểu ∨ theo nghĩa loại trừ, nghĩa là úng hay úng nhưng không ồng thời úng. Để
phân biệt rõ rang, trong trường hợp loại trừ ta sẽ sử dụng từ “hoặc”: “ hoặc ” và ký hiệu ∨
( hay nhưng không ồng thời cả hai). Bảng chân trị của ∨ là: ∨ lOMoAR cPSD| 36667950 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
Phép kéo theo: nếu P thì Q ược ký hiệu là → (cũng ọc là kéo theo , hay là iều kiện ủ
của , hay là iều kiện ủ của ). Để xác ịnh chân trị cho → ta
hãy xem ví dụ mệnh ề “nếu trời ẹp thì tôi i dạo”. Ta có các trường hợp sau:
trời ẹp và tác gi ca khẳng ịnh ang i dạo: khi ấy hiển nhiên là mệnh ề úng.
trời ẹp và tác gi ngi nhà: mệnh ề rõ ràng sai.
tri xu và tác gi i dạo: mệnh ề vẫn úng
tri xu và tác gi ngi nhà: mặc dù trời xấu nhưng tác giả không vi phạm khẳng ịnh của
mình nên mệnh ề phải ược xem là úng.
Từ ó ta có bng chân trị của phép kéo theo như sau: → 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Chú ý:
1. Với quy ước về chân trị như trên, ta sẽ cò những khẳng ịnh úng rất ngộ nghĩnh như:
“nếu 2=1 thì Quang Trung và Trần Hưng Đạo là một người”
2. Cần phân biệt mệnh ề → với lệnh ℎ trong một số ngôn
ngữ lập trình ví dụ như Pascal, Basic. Trong → thì cả và là mệnh ề còn trong lệnh ℎ ℎì
là một mệnh ề còn là một dãy liên tiếp dòng lệnh sẽ
ược thực hiện nếu mệnh ề P có chân trị 1 và sẽ ược bỏ qua nếu P có chân trị là 0. Nhắc
lại rằng các dòng lệnh là những mệnh lệnh mà máy phải thực hiện nên không phải là
một mệnh dề theo nghĩa ta xét. Dù sao cũng có một sự tương tự giữa hai ối tượng “→” và “ ℎ
”. Hơn nữa có thể lợi dụng các tương ương logic ể thực hiện lệnh “ ℎ ” có hiệu quả.
3. Trong ngôn ngữ hằng ngày, người ta thường hay nhầm lẫn phép kéo theo với kéo
theo hai chiều, chẳng hạn như phát biểu ”giảng viên khoa Toán dạy nghiêm túc” mà viết
theo phép nối là “nếu anh là giáo viên khoa Toán thì anh dạy nghiêm túc” thường bị
phản ứng giáo viên các khoa khác vì họ cho rằng người nói ã ám chỉ “nếu là giảng viên
khoa khác thì dạy không nghiêm túc”. Thật ra khi phát biểu, người nói có khi cũng muốn
ám chỉ “nếu anh là giáo viên khoa Toán thì anh dạy nghiêm túc”. Ở ây nếu viết phát biểu
ban ầu dưới dạng → thì hai phát biểu hiểu nhầm sẽ có dạng (¬ ) → (¬ ) và →. Tuy
nhiên, nếu bao gồm them một trong hai phát biểu sau, thì phát biểu → thành một phép
kéo theo hai chiều theo nghĩa dưới ây.
Phép kéo theo hai chiều: mệnh ề nếu thì và ngược lại ược ký hiệu là ↔ (cũng
ọc là khi và chỉ khi , nếu và chỉ nếu , hay P là iều kiện cần và ủ ể có ). Theo trên, cả hai lOMoARcPSD| 36667950
chiều → và → ều úng nên nếu úng thì cũng úng và ngược lại. Do ó ta có bng chân trị của
phép kéo theo hai chiều như sau: ↔ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
§2 DNG MNH ĐỀ
Trong Đại số ta có các biểu thức ại số ược xây dựng từ:
 các số nguyên, hữu tỉ, thực,… mà ta gọi là hng số.
 các biến , ,… có thể lấy giá trị là các hằng số.
 các phép toán thao tác trên các hằng số và các biến theo một thứ tự nhất ịnh.
Khi thay thế các biến trong một biểu thức ại số bởi các hằng số thì kết quả thực hiện
phép toán trong biểu thức sẽ là một hằng số nào ó. Trong phép toán mệnh ề ta cũng có các
“biểu thức logic” tương tự mà ta gọi là các dng mệnh ề ược xây dựng từ:
 các mệnh ề (hằng mệnh ề).
 các biến mệnh ề , ,… có thể lấy giá trị là các mệnh ề nào ó.
 các phép nối thao tác trên các hằng mệnh ề và biến mệnh ề theo một thứ tự nhất ịnh. Ở ây
thứ tự ược xác ịnh bởi các dấu “()” ể chỉ rõ phép nối thực hiện trên cặp mệnh ề nào, úng ra là
trên các biu thc con nào. Ví dụ như: ( , , ) → )
là một dạng mệnh ề trong ó , , là các biến mệnh ề còn là một hằng mệnh ề.
Giả sử , là 2 dạng mệnh ề, khi ấy ¬ , ∧
,→,↔ là các dạng mệnh ề. Bằng cách này
ta có thể xây dựng ược các dạng mệnh ề càng ngày càng phức tạp.
Mặt khác, iều ta quan tâm ối với một dạng mệnh ề ( , , ,…) là chân trị của mệnh ề ó có ược
( , , ,…) khi thay các biến mệnh ề , , ,… bởi các hằng mệnh ề
, , ,… có chân trị xác ịnh, nghĩa là sự phụ thuộc của chân trị của ( , , ,…) theo các chân trị
của , , ,… chứ không phải theo các thể hiện cụ thể , , ,… qua các mệnh ề cu thể , , ,… Nói
cách khác mỗi một dạng mệnh ề ( , , ,…) có một bảng chân trị xác ịnh trong ó mỗi dòng cho
biết chân trị của ( , , ,…) theo các chân trị cụ thể của , , ,… Ví dụ:
1. Ta hãy xây dựng bảng chân trị của hai dạng mệnh ề ˅(˄) và
(˅)˄ theo các biến mệnh ề , , . ˄ ˅( ˄ ) ˅ ( ˅ )˄ lOMoAR cPSD| 36667950 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
Ta thấy hai dạng mệnh ề ˅(˄),(˅)˄ có bảng chân trị khác nhau. Điều này cho thấy
thứ tự thực hiện các phép nối là quan trọng và sự cần thiết của các dấu “()”. Tuy nhiên ta
sẽ quy ước rằng nếu phép nối ¬ i cùng với một phép nối khác mà không có dấu “()” thì phép
nối ¬ sẽ ược ưu tiên thực hiện trước. Ví dụ như ¬ ˅ có nghĩa là thực hiện ¬ trước rồi mới
thực hiện ฀, nói cách khác biểu thức ¬ ˅ và (¬ )˅ là một. Trong trường hợp muốn thực hiện
sau ta phải ặt dấu ngoặc: ¬ (˅).
2. Ta hãy xây dựng bảng chân trị của hai dạng mệnh ề → và ¬ ˅ ¬ → ¬ ˅ 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1
Như vậy hai dạng mệnh ề → và ¬ ˅ có cùng bảng chân trị. Ta nói chúng tương ương logic theo nghĩa sau
Định nghĩa 1.2.1: hai dạng mệnh ề , ược nói là chúng tương ương logic nếu chúng có cùng
bảng chân trị. Khi ấy ta viết ⟺.
Chú ý rằng nếu và tương ương logic thì dạng mệnh ề ↔ luôn luôn lấy giá trị 1 dù các
biến có lấy giá trị nào i nữa. Định nghĩa 1.2.2: i.
Một dạng mệnh ề ược coi là một hằng úng nếu nó luôn luôn lấy chân trị 1. ii.
Một dạng mệnh ề ược coi là một hng sai hay mâu thun nếu nó luôn luôn lấy chân trị 0.
Từ nhận xét trên, ta luôn có
Mệnh ề 1.2.1: hai dạng mệnh ề và tương ương logic khi và chỉ khi → là một hằng úng.
Nếu chỉ ể ý ến phép kéo theo một chiều ta có
Định nghĩa 1.2.3: dạng mệnh ề
ược nói là hệ quả logic của mệnh ề nếu → là một hằng
úng. Khi ấy ta viết ⟹. Ta cũng nói là hệ quả logic của .
Như thế nói rằng tương ương logic với có nghĩa là là hệ quả logic của và là hệ quả logic của . lOMoARcPSD| 36667950
Trong phép tính mệnh ề, ta thường không phân biệt các dạng mệnh ề tương ương logic. Ta có
Quy tắc thay thế thứ nhất: trong dạng mệnh ề nếu ta thay thế biểu thức con bởi một
dạng mệnh ề tương ương logic thì dạng mệnh ề thu ược vẫn còn tương dương logic với .
Chú ý: Ta ã sử dụng khái niệm biểu thức con theo một nghĩa hết sức tự nhiên: dạng mệnh
ề “xuất hiện” trong , hay nói cách khác có thể xây dựng từ và một số dạng mệnh ề khác qua các phép nối.
Ví dụ: → (→) tương ương logic với → (¬ ˅) vì trong ó biểu thức con → ã ược thay thế bởi dạng
mệnh ề tương dương logic là ¬ ˅.
Với quy tắc thay thế trên ta có thể “rút gọn” một dạng mệnh ề bằng cách thay một
biểu thức con bởi một dạng mệnh ề tương ương nhưng ơn giản hơn hoặc giúp cho bước rút
gọn tiếp theo dễ dàng hơn. Ngoài ra, cũng cần nhận biết một số hằng úng. Thường các hằng
úng này có thể suy từ một số hằng úng ơn giản nhờ:
Quy tắc thay thế thứ hai: giả sử dạng mệnh ề ( , , ,…) là một hằng úng. Nếu ta thay thế
những nơi p xuất hiện trong E bởi một dạng mệnh ề tùy ý ( ’, ’, ’,…) thì dạng mệnh ề nhận
ược theo các biến , , ,…, ’, ’, ’,… vẫn còn là một hằng úng.
Ngoài hai quy tắc thay thế trên, ta còn sử dụng 10 quy luật logic ược phát biểu dưới dạng
các tương ương logic có thể rút gọn một dạng mệnh ề cho trước. Ta có
Định lý 1.2.2 (Quy luật logic): với , , là các biến mệnh ề, 1 là một hằng úng và 0 là một mâu
thuẫn (hằng sai), ta có các tương ương logic: i.
Ph nh ca ph nh: ¬ ¬ ⇔ ii. Quy
tc De Morgan: ¬ ( ⇔ ¬ ∨ ¬
¬ (∨) ⇔ ¬ ∧ ¬ iii. Lut giao hoán: iv.
Lut kết hp: v.
Lut phân b: ) ) vi.
Lut lũy ẳng (Idempotent Rules) vii.
Lut trung hòa: ∧ 1 ⇔ lOMoARcPSD| 36667950
∨ 0 ⇔ viii. Lut v
phn t bù: ∧ ¬ ⇔ 0 ∨ ¬ ⇔ 1 ix.
Lut thng tr: ∧ 0 ⇔ 0 ∨ 1 ⇔ 1 x.
Lut hp th: ∧ (∨) ⇔ ∨ (∧) ⇔
Chứng minh: ọc giả có thể kiểm tra dễ dàng 10 quy luật logic trên bằng cách lập bảng chân trị
của hai vế của tương ương logic. pcm Ví dụ:
1. Từ quy tắc De morgan ta ược hằng úng ¬ (∧) ⟺ ¬ ∨ ¬
Thay thế p bởi r฀s ta sẽ ược một hằng úng mới ¬ ( (∧) ∧ ) ⟺ ¬ (∧) ∨ ¬
2. Hãy chứng minh dạng mệnh ề sau là hằng úng [ (→) (→) → → (¬ ∨) (1.2.1)
Muốn vậy ta thay thế r→s bởi p và ¬t฀u bởi q và ưa về chứng minh dạng mệnh ề sau là hằng úng: ( → ) ] →
Ta sử dụng liên tiếp quy tắc thay thế thứ nhất và ược các tương ương logic sau: ( → ) ] →  →  →  →  →  ¬ ∨ ¬ ∨  ¬ ∨ 1  1
Do ó 1.2.1 là một hằng úng.
3. Tương tự như trên ta có: (∧) →  ¬ ∨ ¬ ∨  ¬  ¬ ∨ ( → ) (1.2.2)
Nếu ta liên kết dạng mệnh ề → với lệnh ℎ trong một số
ngôn ngữ lập trình cấp cao như Pascal, Basic thì dạng mệnh ề (˄) → sẽ ược liên kết với lệnh ˄ ℎ
còn dạng mệnh ề → (→) sẽ ượ liên kết với lệnh ℎ ℎ .
Bây giờ ta hãy xét một ví dụ liên quan ến hay lệnh trên trong một oạn chương trình viết bằng Pascal: a) :=3; lOMoARcPSD| 36667950 For :=1 to 10 do Begin := −; := + 2 ∗ ;
If ( > 0) And ( > 0) Then
Writeln (‘giá trị của + = ’, + ) End; b) :=3; For :=1 to 10 do Begin := −; := + 2 ∗ ; If > 0 Then
If > 0 Then Writeln (‘giá trị của + = ’, + ) End;
Rõ ràng cả hai oạn chương trình trên ều có cùng Output là hai dòng: giá trị của + = 7 giá trị của + = 8
Tuy nhiên trong chương trình a) ta cần 20 lần so sánh (10 lầ so sánh > 0 và 10 lần
so sánh > 0), trong khi chương trình b) ta chỉ cần 12 lần so sánh (10 lần so sánh > 0 và 2
lần so sánh > 0 ứng với = 1,2). Như thế chương trình b) chạy có hiệu quả hơn.
Ví dụ trên ây cho thấy một mặt cần phân biệt → và lệnh ℎ
, mặt khác ta cần nắm rõ các dạng tương ương của dạng mệnh ề ể thực hiện lệnh ℎ
có hiệu quả hơn. Chẳng hạn nhiều chương trình biên dịch lợi
dụng tương ương logic 1.2.2 ể thay lệnh ℎ ( ℎ
). Ở ây lại xảy ra nghịch lý là lệnh (˄) ℎ lại ược thay thế bằng lệnh ℎ ( ℎ ) mà trong ví dụ trên
ta cần ến 20 lần so sánh. Như thế phải cẩn thận khi sử dụng tương ương logic hiển nhiên (luật giao hoán) giữa ˄ và ˄.
§3 QUY TC SUY DIN
Trong một chứng minh toán học, xuất phát từ một số khẳng ịnh úng p1, p2,…, pn
gọi là tiền ề, ta áp dụng các quy tắc suy diễn ể suy ra chân lý của một khẳng ịnh q mà ta
gọi là kết luận. Nói cách khác, các quy tắc suy diễn ược áp dụng ể suy ra q là hệ quả logic
của p1฀ p2฀…฀pn, hay nói cách khác dạng mệnh ề ( ˄ ˄ …˄) → lOMoARcPSD| 36667950
là một hằng úng, trong ó p1, p2,…, pn, q là các dạng mệnh ề theo một số biến logic nào ó.
Thường thì các biến logic không xuất hiện một cách tường minh mà ược trừu tượng hóa (bỏ
i một phần nội dung cụ thể) từ các mệnh ề nguyên thủy như ví dụ sau ây cho thấy.
Giả sử ta có các tiền ề:
: nếu An học chăm thì An ạt môn Toán rời rạc.
: nếu An không i chơi thì An học chăm.
: An trượt môn Toán rời rạc.
Ta muốn dùng các quy tắc suy diễn ể suy ra kết luận sau là úng: : An hay i chơi.
Muốn vậy ta trừu tượng hóa các mệnh ề nguyên thủy “An học chăm”, “An hay i chơi”,
“An ạt môn toán rời rạc” thành các biến mệnh ề , , . Như vậy các tiền ề bây giờ trở thành các dạng mệnh ề = → = ¬ → = ¬
Ta phải chứng minh dạng mệnh ề sau là một hằng úng: [(→) ∧ (¬ →) →
Ta có thể kiểm tra dễ dàng dạng mệnh ề trên là một hằng úng bằng cách lập ra bảng
chân trị của nó. Tuy nhiên, ây không phải là một phương pháp tốt nếu số biến mệnh ề lớn.
Một phương pháp khác là sử dụng các qui tắc suy diễn ể chia bài toán thành ra các bước
nhỏ, nghĩa là từ các tiền ề suy ra một số kết luận trung gian trước khi tiếp tục áp dụng các
quy tắc suy diễn ể suy ra kết luận. Để tiện ra mô hình hóa phép suy iễn thành sơ ồ sau: . . . n
Dưới ây là một số quy tắc suy diễn thường dùng mà chân lý có thể dược kiểm tra dễ
dàng bằng cách lập bảng chân trị.
Quy tắc Modus Ponens (Phương pháp khẳng ịnh)
Quy tắc này ược thể hiện bởi hằng úng
[(→) ∧ ]→ (1.3.1) hoặc dưới dạng sơ ồ → Ví dụ:
Nếu Minh học chăm thì Minh ạt Toán rời rạc lOMoARcPSD| 36667950 Mà Minh học chăm
Suy ra Minh ạt Toán rời rạc.
Thật ra trong quy tắc Modus Ponens, mệnh ề p→q thường có dạng tổng quát hơn
“với bất kỳ sinh viên X nào, nếu X học chăm thì X ạt Toán rời rạc” và ta ã ặc biệt hóa nó cho
trường hợp X= sinh viên Minh. Các phép ặc biệt hóa sẽ ược xem xét trong phần vị từ và
lượng từ. Một ví dụ cổ iển khác của Qui tắc Modus ponens là:
Mọi người ều chết mà Socrate là người
vy Socrate s chết.
Thường thì quy tắc Modus Ponens ược áp dụng cùng với quy tắc thay thế ể ơn giản hóa
các bước suy luận. Chẳng hạn ta có phép suy diễn ∨ ) →
Ở ây Quy tắc Modus Ponens (dạng mệnh ề 1.3.1) ược áp dụng cùng với phép thay thế bởi ˅ và q bởi ¬ ˄.
Tam oạn luận (Syllogism) ược thể hiên bởi hằng úng → → → Ví dụ: 1.
 Hai tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau và một góc nhọn bằng nhau thì chúng có
một cạnh bằng nhau kèm giữa hai góc bằng nhau.
 Hai tam giác có một cạnh bằng nhau kèm giữa hai góc bằng nhau thì chúng bằng nhau.
 Suy ra hai tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau và một góc nhọn bằng nhau thì chúng bằng nhau. lOMoAR cPSD| 36667950 2. Xét tam oạn luận
Một con ngựa rẻ thì hiếm Cái gì hiếm thì ắt
Suy ra một con ngựa rẻ thì ắt
Tam oạn luân trên hoàn toàn hợp logic. Tuy nhiên kết luận mâu thuẫn là do dựa trên một tiền ề sai.
3. Ta hãy xét một ví dụ trong ó có sử dụng cả hai quy tắc trên Bình i chơi thì
Bình không học Toán rời rạc
Bình không học Toán rời rạc thì Bình trượt Toán rời rạc Mà Bình thích i chơi
Vậy Bình trượt Toán rời rạc.
Nếu trừu tượng hóa các med nguyên thủy thành các biến mệnh ề p, q, r thì lý luận trên có dạng → ¬ ¬ →
Ta có thể suy luận như sau: → ¬ ¬ → → (Tam oạn luận) mà (Modus Ponens) hoặc là → ¬ ¬ (Modus Ponens) mà ¬ → (Modus Ponens)
Quy tắc Modus Tollens (Phương pháp phủ ịnh)
Phương pháp này ược thể hiện bởi hằng úng [(→) ∨ ¬ ] → ¬ GS. Nguyễn Hữu Anh 14 hay dưới dạng mô hình lOMoARcPSD| 36667950 → ¬ ¬
Ví dụ: xét chứng minh → → ∨ ¬ ¬ ˅ ¬ ¬
Ta có thể suy luận như sau: ta thấy các tiền ề ˅¬ ,¬ ˅ bởi các dạng mệnh ề tương ương → à → . Khi ấy → → → →
→ (Tam oạn luận lập lại nhiều lần) mà ¬
¬ (Phương pháp phủ ịnh)
Tam oạn luận rời: ược thể hiện bởi hằng úng [(∨) ∧ ¬ ] →
Ý nghĩa của quy tắc này là khi chỉ có úng hai trường hợp có thể xảy ra và một trong
hai trường hợp ã ược khẳng ịnh là sai thì trường hợp còn lại là úng.
Quy tắc mâu thuẫn (Chứng minh bằng phản chứng) Ta có tương ương logic [( 1฀ 2 ฀…฀ n )
→ ] ⟺ [( 1฀ 2 ฀…฀ n ฀¬ ) →0]
Do ó nếu chứng minh ược dạng mệnh ề ở bên phải là một hằng úng thì dạng mệnh ề
ở bên trái cũng là một hằng úng. Nói cách khác nếu thêm giả thiết phụ ¬ vào các tiền ề cho
trước mà dẫn ến một mâu thuẫn thì q là hệ quả logic của các tiền iền cho trước.
Ví dụ: hãy sử dụng phương pháp phản chứng cho chứng minh sau: → ¬ → → ¬ →
Phủ ịnh của kết luận sẽ tương ương với: ¬ (¬ →) ⟺ ¬ (∨)⟺ ¬ ∨ ¬ lOMoARcPSD| 36667950
Như thế ta thêm vào các tiền ề hai giả thiết phụ ¬r và ¬s và tìm cách chứng minh suy luận sau là úng: → ¬ → → ¬ ¬ 0 Ta có các bước sau ây ¬ → → ¬ → mà ( T am o ạ n lu ậ n) ¬ ¬ (¬ ) (Phương pháp phủ ịnh) hay tương ương mà →
(Phương pháp khẳng ịnh)
Kết luận cùng với giả thiết phụ ¬ cho ta: ∧ ¬ ⟺ 0
Do ó theo phương pháp phản chứng, chứng minh ban ầu là úng.
Quy tắc chứng minh theo trường hợp
Quy tắc này ược thể hiện bởi hằng úng sau: [(→) ∧ (→)] → ]
Ý nghĩa của quy tắc này là một giả thiết có thể tách thành hai trường hợp úng hay q
úng, và ta ã chứng minh ược riêng rẻ cho từng trường hợp là kết luận úng, khi ấy cũng úng
trong cả hai trường hợp.
Ví dụ: Để chứng minh rằng ( ) =
+ 2 luôn chia hết cho 3 ta viết ( ) = ( + 2)
và lấy n là một số nguyên tùy ý. Khi ấy có hai trường hợp xảy ra: 
chia hết cho 3: khi ấy rõ ràng f(n) cũng chia hết cho 3. 
không chia hết cho 3, khi ấy ta có thể viết = 3 ± 1 với một số nguyên k nào ó. Ta có + 2 = (3 ± 1) + 2 = 9 ± 6 + 3 = 3(3 ± 2 + 1) lOMoARcPSD| 36667950 Suy ra 2 ( ) =
( + 2) cũng chia hết cho 3. Như vậy trong mọi trường hợp ( ) chia hết cho 3.
Ta hãy xem một ví dụ trong ó có sử dụng nhiều quy tắc:
Nếu ngh sĩ Văn Ba không trình din hay s vé bán ra ít hơn 50 thì êm diễn s
b hy b và ông bu rt bun.
Nếu êm biểu din b hy b thì phi tr li tiền vé cho người xem.
Nhưng tiền vé ã không ược tr lại cho người xem.
Vy ngh sĩ Văn Ba có trình din.
Ta thay các mệnh ề nguyên thủy bằng các biến mệnh ề
: “nghệ sĩ Văn Ba ã trình diễn”
: “số vé bán ra ít hơn 50”
: “êm diễn sẽ bị hủy bỏ”
: “trả lại tiền vé cho người xem”
Khi ấy lý luận cần chứng minh là (¬ ∨) → (∧) → ¬
Suy luận trên có thể ược thực hiên theo các bước sau: ¬ (Tiền ề) ∧ →
(hằng úng gọi là phép ơn giản nối liền) → (Tiền ề) ¬ (Tam oạn luân mở rộng) mà ¬ (Tiền ề) ¬ (¬ ∨) (Phương pháp phủ ịnh) hay ∧ ¬
(Quy tắc De Morgan và phủ ịnh của phủ ịnh) mà ∧ ¬ →
(Phép ơn giản nối liền)
(Phương pháp khẳng ịnh) Phản ví dụ
Bây giờ ta hãy xem một bài toán ngược: khi nào một chứng minh (suy luận) là sai,
nghĩa là phải kiểm tra ( 1฀ 2 ฀…฀ n ฀¬ ) → không phải là một hằng úng. Nói cách khác
tìm các chân trị của biến mệnh ề làm cho các tiền ề ều úng trong khi kết luận q là sai. Ta nói
ví dụ dẫn ến các giá trị của biến mệnh ề như trên là một phn ví dụ của ịnh lý cần chứng minh.
Ví dụ: hãy tìn phản ví dụ cho suy luận dưới ây
Ông Minh ã khẳng ịnh rằng nếu không ược tăng lương thì ông ta sẽ xin nghĩ việc. Mặt
khác nếu ông ta nghỉ việc mà vợ ông ta bị mất việc thì phải bán xe. Biết rằng nếu vợ ông lOMoARcPSD| 36667950
Minh hay i làm trễ thì sẽ mất việc và cuối cùng ông Minh ã ược tăng lương. Suy ra nếu ông
Minh không bán xe thì vợ ông ta không i làm trễ.
Ta ặt các biến mệnh ề như sau:
: Ông Minh ược tăng lương : Ông Minh xin nghỉ việc
: Vợ ông Minh bị mất việc : Ông Minh phải bán xe
: Vợ ông Minh i làm trễ Mô hình suy luận sẽ là ¬ → (∧) → → ¬ → ¬
Để tìm phản ví dụ ta cần tìm các gái trị của các biến mệnh ề sao cho các tiền ề là úng
trong khi kết luận là sai.
Trước hết dể kết luận sai ta cần có ¬ úng và ¬ sai, nghĩa là sai và úng. Khi ấy ể cho
tiền ề thứ tư úng r cũng phải úng. Để tiền ề thứ ba úng ta cần có q sai. Khi ấy p phải úng ể
hai tiền ề ầu là úng. Tóm lại phản ví dụ ừng với các chân trị của biến là = 1, = 0, = 1, = 0 và
= 1. Đó là trường hợp: Ông Minh ược tăng lương ( = 1) và ông Minh không
nghỉ việc ( = 0), vợ ông Minh bị mất việc ( = 1), ông Minh không bán xe ( = 0) và vợ ông Minh hay i làm trễ ( = 1).
§4 V TLƯỢNG T
Định nghĩa 1.4.1: một v từ là một khẳng ịnh ( , ,…) trong ó có chứa một số biến , ,… lấy giá
trị trong những tập hợp cho trước , ,… sao cho: i.
bản thân ( , ,…) không phải là mệnh ề ii.
nếu thay , ,… bằng những phần tử cố ịnh nhưng tùy ý , , … ta sẽ ược
một mệnh ề ( , ,…), nghĩa là chân trị của nó hoàn toàn xác ịnh. Các biến , ,… ược nói
là biến tự do của vị từ. Ví dụ: ( ) = “ à ộ ố ê
ố” là một vị từ theo một biến tự do ∈ : với =
1,2,11 ta ược các mệnh ề úng (1), (2), (11), còn với
ta ược các mệnh ề sai (4), (6), (15). lOMoARcPSD| 36667950 ( , ) = “ + 2,−, + 2 à ố
ℎẵ ” là một vị từ với 2 biến tự do , ∈
: chẳng hạn (4,2) là một mệnh ề úng trong khi (5,2), (4,7) là những mệnh ề sai.
Định nghĩa 1.4.2: cho trước các vị từ ( ), ( ) theo một biến ∈ . Khi ấy: i.
Phủ ịnh của p, ký hiệu ¬p là vị từ mà khi thay x bởi một phần tử cố ịnh của thì ta ược mệnh ề ¬ ( ( )) ii.
Phép nối liền (tương ứng nối rời, kéo theo…) của và , ký hiệu bởi ∧ (tương ứng ∨,
→,…) là vị từ theo biến mà khi thay bởi phần tử cố ịnh ∈ ta ược mệnh
ề ( ) ∧ ( ) (tương ứng ( ) ∨ ( ), ( ) → ( ),…)
Giả sử ( ) là một vị từ theo biến ∈
. Khi ấy có 3 trường hợp có thể xảy ra:
Trường hợp 1: khi thay bởi một phần tử a tùy ý trong , ta ược mệnh ề úng ( ).
Trường hợp 2: với một số giá trị ∈
thì ( ) thì mệnh ề úng, một số giá trị ∈ thì ( ) là mệnh ề sai.
Trường hợp 3: khi thay bởi phần tử tùy ý trong , ta ược mệnh ề sai ( ).
Nếu trường hợp 1 xảy ra thì mệnh ề “với mọi
” là một mệnh ề úng. Mệnh
ề này ược ký hiệu bởi ”
”. Như thế mệnh ề này sai nếu trường hợp 2 hay trường hợp 3 xảy ra.
Mặt khác nếu trường hợp 1 hay trường hợp 2 xảy ra thì mệnh ề “tồn tại ∈
, ( )” là một mệnh ề úng. Mệnh ề này ược ký hiệu bởi “ ”. Nếu vậy mệnh
ề này sẽ sai nếu trườgn hợp 3 xảy ra.
Định nghĩa 1.4.2: các mệnh ề “ ” và “
” ược gọi là lượng từ hóa của
vị từ ( ) bởi lượng từ phổ dụng (∀) và lượng từ tồn tại (∃). Chú ý:
1. Trong các mệnh ề lượng từ hóa, biến không còn là tự do nữa. ta nói nó ã bị buộc bởi
các lượng từ ∀ hay ∃.
2. Theo nhận xét trên, phủ ịnh của mệnh ề “
)” là úng nếu trường hợp 2 hay
trường hợp 3 xảy ra. Trường hợp 3 có thể viết lại: khi thay x bởi ∈ tùy ý
thì ¬ ( ) úng. Như thế nếu trường hợp 2 hay trường hợp 3 xảy ra thì mệnh ề “
)” là mệnh ề úng. Nói cách khác, phủ ịnh của mệnh ề “ A, p(x)” là mệnh ề “
)”. Cũng thế phủ ịnh của mệnh ề “ ” là mệnh ề “
” vì cả hai cùng úng nếu trường hợp 3 xảy ra và cùng sai nếu trường hợp
1 hay trường hợp 2 xảy ra.
Bây giờ ta xem một vị từ theo hai biến . Khi ấy nếu thay bằng
một phần tử cố ịnh nhưng tùy ý ị từ theo biến ∈
nên ta có thể lượng tử hóa nó theo biến và ược hai m “
”. Bằng cách này ta ược hai vị từ theo một biến )” và
)”. Nếu lượng tử hóa chúng ta sẽ ược 4 mệnh ề: lOMoARcPSD| 36667950 ) ) ) )
Đương nhiên ta có thể lượng từ hóa theo biến x trước rồi theo biến y sau ể ược 4
mệnh ề nữa. Hãy xét một trong các mệnh ề ó:”
”. Giả sử mệnh ề này úng. Suy ra mệnh ề “
” úng. Rõ ràng iều ngược lại cũng úng nên ta có mệnh ề úng ⟷ )]
Tương tự mệnh ề sau cũng úng: ⟷ )] Hơn nữa ta có
Định lý 1.4.1: nếu ( , ) là một vị từ theo 2 biến
, thì các mệnh ề sau là úng i. ⟷ )] và )] ii. )]
Chứng minh: ta chỉ cần chứng minh ii Giả sử ”
” úng. Khi ấy sẽ tồn tại ∈ sao cho mệnh ề “
” là úng, nghĩa là nếu thay
tùy ý thì ( , ) úng. Như vậy với
tùy ý ta có thể chọn = ể khẳng ịnh rằng “ )” là úng. Do ó “
)” là một mệnh ề úng. pcm
Chú ý: mệnh ề ảo của ii không nhất thiết úng trong trường hợp tổng quát. Thật vậy ta hãy xem một ví dụ
Gọi ( , ) là vị từ theo hai biến thực: “ + = 1”
Ta nhận xét rằng nếu thay y=b là một số thực tùy ý thì ta có thể chọn = 1 − ể
cho x + b = 1 nên mệnh ề “
” là úng. Điều này chứng tỏ mệnh ề “
” úng. Ngược lại nếu thay = tùy ý, ta có thể chọn = − ể nên mệnh ề “
” là sai. Điều này chứng tỏ mệnh ề “
” là sai. Do ó phép kéo theo sau là sai: ⟶ 1) lOMoAR cPSD| 36667950
Các kết quả trên ây có thể ược mở rộng dễ dàng cho các vị từ theo nhiều biến tự do. Đặc biệt ta có:
Định lý 1.4.2: trong một mệnh ề lượng từ hóa từ một vị từ theo nhiều biến ộc lập nếu ta
hoán vị hai lượng từ ứng cạnh nhau thì
Mệnh ề mới vẫn còn tương ương logic với mệnh ề cũ nếu hai lượng từ này cùng loại
Mệnh ề mới sẽ là một hệ quả logic của mệnh ề cũ nếu hai lượng từ trước khi hoán vị có dạng ∃∀.
Ví dụ: một hàm thực liên tục ều trên một khoảng
ược ịnh nghĩa bởi mệnh ề: ∀ > 0,∃ > 0,∀ ∈ ,∀ ∈ ,(|− | < ) ⟶ (| ( ) − ( )| < )
Theo mệnh ề 1.4.2 thì mệnh ề trên có hệ quả logic là
∀ > 0,∀ ∈ ,∃ > 0,∀ ∈ ,(|− | < ) ⟶ (| ( ) − ( )| < ) hay tương ương ∀ ∈ ,∀ > 0,∃ > 0,∀ ∈ ,(|− | < ) ⟶ (| ( ) − ( )| < )
Nói cách khác một hàm liên tục ều trên I thì liên tục.
Để lấy phủ ịnh một mệnh ề lượng từ hóa, chú ý 2 của ịnh nghĩa 1.4.3 có thể ược mở rộng thành
Định lý 1.4.3: phủ ịnh của một mệnh ề lượng từ hóa từ vị từ ( , ,…) có ược bằng cách thay
lượng từ ∀ bởi lượng từ ∃ và lượng từ ∃
bởi lượng từ ∀, và vị từ ( , ,…) bởi phủ ịnh ¬ ( , ,…).
Ví dụ: một hàm thực liên tục tại ∈
ược ịnh nghĩa bởi: ∀ > 0,∃ > 0,∀ ∈ ,(|− | < ) ⟶ (| ( ) − ( )| < )
Do ó lấy phủ ịnh theo ịnh lý 1.4.3 ta sẽ ược ịnh nghĩa của hàm không liên tục tại : ∃ > 0,∀ > 0,∃ ∈ ,(|− | < ) ∨ (| ( ) − ( )| ≥ )
Thông thường các ịnh lý trong toán học ược phát biểu liên quan ến các mệnh ề lượng
từ hóa trong ó có lượng từ phổ dụng. Do ó ngoài các quy tắc suy diễn ta còn sử dụng quy
t
ắc ặc bit hóa ph dngquy tc tng quát hóa ph dng.
Quy tắc ặc biệt hóa phổ dụng: nếu một mệnh ề úng có dạng lượng từ hóa trong ó một
biến ∈ bị buộc bởi lượng từ phổ dụng ∀, khi ấy nếu thay thế bởi ∈ ta sẽ ược một mệnh ề úng. Ví dụ:
1. Khi ta phát biểu “mọi người ều chết”, thực chất là ta ã sử dụng mệnh ề lượng từ hóa: ∀ ,( à ườ ) ⟶ ( ẽ ℎế)
Để áp dụng ược phương pháp khẳng ịnh, ta dùng quy tắc ặc biệt háo phổ dụng với =
(Socrate là người) ⟶ (Socrate sẽ chết)
Do ó kết hợp với tiền ề “Socrate là người”, phương pháp khẳng ịnh cho phép kết luận “Socrate sẽ chết”. lOMoARcPSD| 36667950
2. Trong các ịnh lý tóan học, ví dụ như trường hợp bằng nhau của hai tam giác, khẳng
ịnh là một mệnh ề lượng từ hóa phổ dụng cho một cặp tam giác bất kỳ. khi áp dụng
ta sẽ ặc biệt hóa cho một cặp tam giác cụ thể nào ó.
Bài toán ngược lại là nếu một kết luận có dạng lượng từ hóa phổ dụng thì làm cách
nào suy diễn nó từ các tiền ề. Nếu tập hợp tương ứng A là một tập hợp hữu hạn không quá
nhiều phần tử, ta có thể dùng phương pháp vét cạn bằng cách thay thế biến lần lượt bởi các
phần tử của A và chứng minh mệnh ề là úng. Mặt khác nếu A=N ta thường sử dụng nguyên
lý quy nạp sẽ trình bày ở §5.
Tuy nhiên nếu A vô hạn không ếm ược, hay ngay khi A hữu hạn nhưng số phần tử
của A quá lớn, các phương pháp trên không sử dụng ược và ta phảo sử dụng:
Quy tắc tổng quát hóa phổ dụng: nếu trong một mệnh ề lượng từ hóa, khi thay một biến
buộc bởi lượng từ ∀ bằng một phần tử cố ịnh nhưng tùy ý của tập hợp tương ứng mà mệnh
ề nhận ược có chân trị 1 thì bản thân mệnh ề lượng từ hóa ban ầu cũng có chân trị 1.
Ví dụ: Khi giải phương trình 4− 5 = 15 ta lý luận như sau:
Giả sử 4− 5 = 15 , khi ấy 4 = 20
Giả sử 4 = 20 , khi ấy = 5
Như vậy nếu 4− 5 = 15 thì = 5
Nếu gọi ( ), ( ), ( ) là các vị từ “4− 5 = 15”, “4 = 20”, “ = 5” thì lý luận trên có dạng ∀ , ( ) ⟶ ( ) ∀ , ( ) ⟶ ( ) (1.4.1) ∴ ∀ , ( ) ⟶ ( )
Sự úng ắn của lý luận trên ược cho bởi
Định lý 1.4.4: gọi ( ), ( ), ( ) là các vị từ theo một biến ∈, khi ấy suy luận 1.4.1 là úng.
Muốn vậy ta ặc biệt hóa hai tiền ề và ược hai mệnh ề úng ( ) → ( ) ( ) → ( )
Suy ra ( ) → ( ) theo tam oạn luận. Do ó quy tắc tổng quá hóa phổ dụng cho phép kết
luận ∀ , ( ) → ( ) là một mệnh ề úng.
Ví dụ: Gọi , là 2 hàm thực
Giả sử ( ) liên tục tại = và ( )liên tục tại = = ( ). Khi ấy ℎ( ) = (∘ )( ) liên tục tại = . Suy luận
cần chứng minh có dạng: lOMoAR cPSD| 36667950
Sử dụng phép tổng quát hóa phổ dụng ta bởi một số dương cố ịnh nhưng tùy ý. Để
tiện ta sẽ dùng cùng ký hiệu dể chỉ số cố ịnh trên. Khi ấy ta cần tìm > 0 dể cho mệnh ề sau là úng ∀ ,(|− | < ) → (|∘( ) − ∘ ( )| < )
Dùng phép ặc biệt hóa phổ dụng cho tiền ề thứ hai với > 0 như trên, ta sẽ tìm ược > 0 sao cho: ∀ ,(|− | < ) → (| ( ) − ( )| < ) (1.4.2)
Tiếp theo, ta ặc biệt hóa bởi vừa tìm ược cho tiền ề thứ nhất và tìm ược > 0 sao cho: ∀ ,(|− | < ) → (| ( ) − ( )| < ) (1.4.3)
Thay bởi số thực tùy ý mà ta vẫn ký hiệu là thì 1.4.3 ược ặc biệt hóa bởi
(|− | < ) → (| ( ) − ( )| < ) (1.4.4) Khi ấy ta ặc biệt hóa 1.4.2 với = ( ) ta ược (| ( ) − | < ) → (|∘( ) − ∘ ( )| < ) (1.4.5)
Áp dụng Tam oạn luận cho 1.4.4 và 1.4.5 ta ược lOMoARcPSD| 36667950 (|− | < ) → (|∘( ) − ∘ ( )| < )
Do ó theo phương pháp tổng quát hóa phổ dụng ta có ∀ ,(|− | < ) → (|∘( ) − ∘ ( )| < )
Áp dụng một lần nữa phương pháp tổng quát hóa phổ dụng ta thấy mệnh ề sau là úng ∀ > 0,∃ > 0,∀ ,(|− | < ) → (|∘( ) − ∘ ( )| < )
nghĩa là làm ∘ liên tục tại = .
§5 NGUYÊN LÝ QUY NP
Trong nhiều trường hợp, quy tắc tổng quát hóa phổ dụng không cho kết quả, ngay
cả với các vị từ mà biến tự do thuộc N. Tuy nhiên ối với các vị từ này ta có một công cụ rất mạnh là:
Nguyên lý quy nạp: Mệnh ề ∀ ∈ , ( ) là hệ quả của (0) ∧ [∀ ∈ , ( ) → ( + 1)] Chú ý:
Theo ngôn ngữ thông thường ta nói: giả sử (0) úng và nếu ( ) úng thì ( + 1) cũng úng,
khi ấy suy ra ( ) úng với ∈ tùy ý.
Nguyên lý này có thể bắt ầu từ ∈ : nghĩa là ( ) ∧ [∀ ≥ 0, ( ) → ( + 1)] → [∀ ≥ , ( )]
Ví dụ: xét vị từ ( ):
Trước hết (0) úng vì nó có dạng: 0 =
Để chứng minh ∀ , ( ) → ( + 1) ta dùng phép tổng quát hóa phổ dụng, thay bởi , một
số nguyên tùy ý và chứng minh ( ) → ( + 1). Muốn vậy giả sử ( ) úng: Khi ấy nghĩa là (
+ 1) úng. Do ó theo nguyên lý quy nạp “∀ , ( )” là một mệnh ề úng. lOMoAR cPSD| 36667950
Áp dụng: ể kiểm tra một chương trình máy tính có chạy úng ý ịnh cuả người thiết kế khôn,
ta thường tạo ra các số liệu giả ịnh ể chạy thử (Test). Thật ra phương pháp này không thể
khẳng ịnh chắc chắn rằng chương trình chạy có úng không. Hơn nữa trong nhiều trường
hợp, ví dụ như khi chương trình ang xét là một bộ phận của chương trình lớn mà dữ liệu chỉ
có thể sinh ra từ chương trình lớn, thì khi ấy ta không thể tạo ra dữ liệu giả dể chạy chuong
trình con ược. May mắn là trong một số trường hợp ta có thể sử dụng công cụ toán học ể
chứng minh rằng chương trình khi chạy sẽ luôn cho ra kết quả mong muốn. Một trong những
công cụ ó là ngyên lý quy nạp như ví dụ dưới ây cho thấy
Xét oạn chương trình viết bằng Pascal: while < > 0 do Begin ≔ ∗ ; ≔ − 1; End; Kết quả:= ;
Ta muốn kiểm tra rằng khi gọi oạn chương trình trên mà các biến có giá trị , , với là
số nguyên tự nhiên thì khi ra khỏi chương trình , biến sẽ có giá trị . Muốn vậy ta gọi ( ) là vị từ: "ớ ấ ỳ ố ℎự , , ế ℎ ỏ đ ề ℎ ể ℎươ ì ℎ ở ề ò ệ ℎ ℎ ớ á á ị ủ á ế à , , ℎì ℎ ℎỏ ℎươ ì ℎ ế ó á ị "
Ta áp dụng nguyên lý quy nạp như sau:
∗ (0): khi trở về dòng lệnh while với các giá trị của biến là , ,0 thì vòng lặp không ược
thực hiện tiếp và ta ra khỏi chương trình với giá trị của biến là = * với =
là một số nguyên tự nhiên tùy ý. Giả sử ( ) úng, ta sẽ chứng minh
( + 1) úng. Gọi , là các số thực tùy ý và giả sử ta trở về dòng lệnh while với giá trị của các
biến là , , = + 1. Do ≥ 0 nên + 1 > 0. Do ó vòng lặp while ược thực hiện thêm ít nhất một lần
nữa. Sau lần ầu tiên thực hiện ta trở về dòng lệnh while với giá trị của các biến là ∗, , = . Do
( ) úng nên khi ra khỏi chương trình, biến sẽ có giá trị: (∗) ∗ = ∗ ( ) nghĩa là ( + 1) úng.
Do ó “∀ , ( )” úng. Đặc biệt khi ta gọi oạn chương trình trên với các biến , , thì khi ra
khỏi chương trình biến sẽ có giá trị ∗ như mong muốn. lOMoARcPSD| 36667950
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
1. Trong các khẳng ịnh sau, cho biết khẳng ịnh nào là mệnh ề: a)
Trần Hưng Đạo là một vị tướng tài. b)
+ 1 là một số nguyên dương. c) 9 là một số chẵn. d)
Hôm nay trời ẹp làm sao! e)
Hãy học Toán rời rạc i. f)
Nếu bạn ến trễ thì tôi sẽ xem bóng á trước.
2. Gọi và là các mệnh ề: : “Minh giỏi Toán” : “Minh yếu Anh văn”
Hãy viết lại các mệnh ề sau dưới dạng hình thức trong ó sử dụng các phép nối a)
Minh giỏi Toán nhưng yếu Anh văn
b) Minh yếu cả Toán lẫn Anh văn
c) Minh giỏi Toán hay Minh vừa giỏi Anh văn vừa yếu Toán
d) Nếu Minh giỏi Toán thì Minh giỏi Anh văn
e) Minh giỏi Toán và Anh văn hay Minh giỏi Toán và yếu Anh văn 3. Gọi , , là các mệnh ề: : “Bình ang học Toán” : “Bình ang học Toán”
: “Bình ang học Anh văn”
Hãy viết lại các mệnh ề sau dưới dạng hình thức trong ó sử dụng các phép nối a)
Bình ang học Toán và Anh văn nhưng không học Tin học
b) Bình ang học Toán và Tin học nhưng không học cùng một lúc Tin học và Anh văn
c) Không úng là Bình ang học Anh văn mà không học Toán
d) Không úng là Bình ang học Anh văn hay Tin học mà không học Toán
e) Bình không học Tin học lẫn Anh văn nhưng ang học Toán
4. Hãy lấy phủ ịnh của các mệnh ề sau: a)
Ngày mai nếu trời mưa hay trời lạnh thì tôi sẽ không ra ngoài b)
15 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 4 c)
Hình tứ giác này không phải là hình chữ nhật mà cũng không phải là hình thoi d)
Nếu An không i làm ngày mai thì sẽ bị duổi việc e)
Mọi tam giác ều có các góc bằng 600
5. Cho biết chân trị của các mệnh ề sau: a)
= 2 và tổng các góc của một tam giác bằng 1800 b)
= 3.1416 kéo theo tổng các góc của một tam giác bằng 1700 c)
= 3 kéo theo tổng các góc của một tam giác bằng 1700 d)
Nếu 2>3 thì nước sôi ở 1000C e) Nếu 3<4 thì 4<3 f) Nếu 4<3 thì 3<4 lOMoAR cPSD| 36667950
6. Ta ịnh nghĩa một phép nối mới ký hiệu là ↓
ể chỉ mệnh ề: không mà cũng không
. Hãy lập bảng chân trị của phép nối trên.
7. Giả sử và là hai mệnh ề nguyên thủy sao cho →
sai. Hãy xác ịnh chân trị của các mệnh ề sau: a) ∧ b) ¬ ∨ c) → 8. Gọi , , là các mệnh ề sau: : “Bình ang học Toán” : “Bình ang học Toán”
: “Bình ang học Anh văn”
Hãy viết lại các mệnh ề sau theo ngôn ngữ thông thường: a) → b) ¬ → c) ∧ d) →
9. Xác ịnh chân trị của các mệnh ề sau: a)
Nếu 3 + 4 = 12 thì 3 + 2 = 6 b)
Nếu 1 + 1 = 2 thì 1 + 2 = 3 c)
Nếu 1 + 1 = 2 thì 1 + 2 = 4
10. Có bao nhiêu cách ặt dấu “()” khác nhau vào dạng mệnh ề ¬ ∨ ∨ . Lập bảng chân trị cho từng trường hợp.
11. Lập bảng chân trị cho các dạng mệnh ề sau: a) ¬ → (∨) b) ¬ → (¬ ∨) c) (∧) → ¬ d) (∨) → (∨ ¬ ) e) (→) ∨ (→) f) (∨ ¬ ) ∧ (¬ ∨) g) (→ ¬ ) ∨ (→ ¬ ) h) ¬ (¬ ∧ ¬ )
12. Hãy chỉ ra các hằng úng trong các dạng mệnh ề sau: a) (∨) → (∧) b) (∧) → (∨) b) → (¬ →) d) → (→) c) → (→) f) (→) → [(→) → (→)]
13. Trong các khẳng ịnh sau, hãy chỉ ra các khẳng ịnh úng: a) ⇒ → b) ¬ (→) ⟹ c) (∧) ∨ ⟹ ∧ (∨) d) (→) ∧ (→) ⟹ → (→) e) → (→) ⟹ → f) → (∧) ⟹ → g) (∧) → ⟹ (→) ∧ (→) h) → (∨) ⟹ (→) ∨ (→) i) (¬ →) ∨ (→ ¬ ) ⟹ ∧ 14. lOMoAR cPSD| 36667950
a) Giả sử biến mệnh ề có chân trị 1, hãy xác ịnh tất cả các chân trị của các biến mệnh
ề , , ể cho dạng mệnh ề sau lấy chân trị 1:
(→ [(¬ ∨) ∧ ¬ ]) ∧ [¬ → (¬ ∧)]
b) Câu hỏi tương tự cho trường hợp có chân trị 0
15. Có thể nói gì về một dạng mệnh ề: a)
Có hệ quả logic là một mâu thuẫn? b)
Có hệ quả logic là một hằng úng? c)
Là hệ quả logic của một mâu thuẫn? d)
Là hệ quả logic của một hằng úng?
16. Hãy chỉ ra các khẳng ịnh úng trong số các khẳng ịnh sau: a) ∧ (→) ⟺ ∧ b) → ⟺ ¬ ∨ (∧) c) → ⟺ ¬ → ¬ d) ¬ ⟺ ¬ (∨) ∨ (¬ ∧) e)
[(⟷) ∧ (⟷) ∧ (⟷)] ⟺ [(→) ∧ (→) ∧ (→)] f)
(∧) ∨ (∧) ∨ (∧) ⟺ (∨) ∧ (∨) ∧ (∨)
17. Dùng quy tắc thay thế ể kiểm tra các dạng mệnh ề sau là hằng úng: a)
[(∨) → ] ⟷ [¬ → ¬ (∨)] b)
[(∨) → ] ∨ (∨) ⟷ [[[(∨) → ] ∨ ] ∧ [[(∨) → ] ∨ ]]]
18. Đơn giản dạng mệnh ề sau:
[[[(∧) ∧ ] ∨ [(∧) ∧ ¬ ]] ∨ ¬ ] →
19. Lấy phủ ịnh rồi ơn giản các dạng mệnh ề sau: a) ∧ (∨) ∧ (¬ ∨ ¬ ∨) b) (∧) → c) → (¬ ∧) d) ∨ ∨ (¬ ∧ ¬ ∧)
20. Cho biết quy luật logic nào ã ược áp dụng trong mỗi bước tương dương sau: Biểu thức Quy luật logic a) [(∨) ∧ (∨ ¬ )] ∨ ⟺ [∨ (∧ ¬ )] ∨ ⟺ (∨ 0) ∨ ⟺ ∨ b)
¬ (∨) ∨ [(¬ ∧) ∨ ¬ ] ⟺ ¬(∨) ∨ [¬ ∨ (¬ ∧)]
⟺ ¬(∨) ∨ [(¬ ∨ ¬ ) ∧ (¬ ∨)]
⟺ ¬(∨) ∨ [(¬ ∨ ¬ ) ∧ 1] ⟺ ¬(∨) ∨ (¬ ∨ ¬ ) ⟺ ¬(∨) ∨ ¬ (∧) ⟺ ¬[(∨) ∧ (∧)] ⟺ ¬[(∧) ∧ (∨)] ⟺ ¬[∧ [∧ (∨)]] ⟺ ¬(∧) c) (→) ∧ [¬ ∧ (∨ ¬ )] lOMoAR cPSD| 36667950 ⟺ (→) ∧ ¬ ⟺ (¬ ∨) ∧ ¬ ⟺ ¬ ∧ (¬ ∨) ⟺ (¬ ∧ ¬ ) ∨ (¬ ∧) ⟺ (¬ ∧ ¬ ) ∨ 0 ⟺ ¬ ∧ ¬ ⟺ ¬(∨)
21. Hãy iền mệnh ề vào chỗ trống ể cho các suy luận sau ây theo phương pháp khẳng ịnh và phủ ịnh là úng: a)
Nếu xe của Minh không khởi ộng ược thì anh phải kiểm tra bugi. Mà xe của Minh không khởi ộng ược.
Suy ra ............................................................................................... b)
Nếu Hà làm bài úng thì cô ược iểm cao Mà Hà không ược iểm cao
Suy ra ............................................................................................... c)
Nếu ây là vòng lặp REPEAT-UNTIL thì phần thân của vòng lặp phải ược thực hiên ít nhất một lần
Mà ....................................................................................................
Vậy phần thân của vòng lặp ược thực hiên ít nhất một lần. d)
Nếu chiều nay Minh á bóng thì Minh không ược xem tivi buổi tối
Mà ....................................................................................................
Vậy Minh không á bóng chiều nay.
22. Cho biết suy luận nào trong các suy luân dưới ây là úng và quy tắc suy diễn nào ã ược sử dụng? a)
Điều kiện ủ ể CSG thắng trận là ối thủ ừng gỡ lại vào phút cuối Mà CSG ã thắng trận
Vậy ối thủ CSG không gỡ lại vào phút cuối b)
Nếu Minh giải ược bài toán thứ tư thì em ã nộp trước giờ quy ịnh Mà Minh ã
không nộp bài trước giờ quy ịnh
Vậy Minh không giải ược bài toán thứ tư c)
Nếu lãi suất giảm thì số người gửi tiết kiệm sẽ giảm
Mà lãi suất ã không giảm
Vậy số người gửi tiết kiệm không giảm d)
Nếu ược thưởng cuối năm Hà sẽ i Đà Lạt
Nếu i Đà Lạt Hà sẽ thăm Suối vàng
Do ó nếu ược thưởng cuối năm Hà sẽ thăm suối vàng 23.
a) Dùng các quy tắc suy diễn ể suy ra khẳng ịnh sau là úng: (∧) ⟹ (∨)
b) Xét các dạng mệnh ề:
= [∧ (∧)] ∨ ¬ [∨ (∧)]
= [∧ (∨)] ∨ ¬ [∨ (∨)] 24. Xét suy diễn:
[∧ (→) ∧ (∨) ∧ (→ ¬ )] → (∨)
Cho biết các bước suy diễn sau ã sử dụng các quy tắc nào? Bước Quy tắc lOMoARcPSD| 36667950 → ∴ hay ¬ ¬ mà → ¬ ∴ mà ∨ hay ¬ → 25. Xét suy diễn sau: (¬ ∨) → r→ (∨) ¬ ∨ ¬ ¬ → ¬ ∴
Cho biết các quy tắc nào ã ược sử dụng trong các bước sau: Bước Quy tắc ¬ ∧ ¬ ∴ ¬ mà ¬ → ¬ ∴ ¬ mà ¬ nên ¬ ∧ ¬ hay ¬ ( mà → ∨ ∴ ¬ mà (¬ ∨) → hay ∧ ¬ ∴
26. Giải thích các bước của suy luận sau:
[(→) ∧ (¬ ∨) ∧ (∨)] → (¬ →) Bước Quy tắc lOMoARcPSD| 36667950 G.Sử ¬ (¬ →) hay ¬ (∨) hay ¬ ∧ ¬ ∴ ¬ và ¬ mà ¬ ∨ hay → ∴ ¬ → và nên ¬ ∧ ¬ hay ¬ (∨) mà ∨ ∴ 0 Vậy suy luận là úng.
27. Hãy kiểm tra lại các suy luận sau:
a) [(∧ ¬ ) ∧ ] → [(∧) ∨ ]
b) [∧ (→) ∧ (¬ ∨)] →
28. Hãy kiểm tra các suy luận sau: a) → b) → c) → (→) ¬ → ¬ ¬ → ¬ ¬ ∴ ¬ (∨) ∴ ¬ ∴ d) ∧ e) → (→) f) ∨
→ (∧ ) ∨ ¬ ∨ → (∨) → ¬ ¬ s ¬ s ∴ lOMoARcPSD| 36667950 ∴¬ (∨) ∴ ¬ → ¬
29. Tìm phản ví dụ cho các suy luận sau: a) ↔ b) → → ∨ ¬ → (∨ ¬ ) ¬ → ¬ ∨ ¬ ∴¬ (∨) ∴
30. Hãy kiểm tra xem các suy luận sau có úng không
a) Nếu An ược lên chức và làm việc nhiều thì An sẽ ược tăng lương Nếu ược
tăng lương An sẽ mua xe mới Mà An không mua xe mới
Vậy An không ược lên chức hay An không làm việc nhiều.
b) Nếu muốn dự họp sáng thứ ba thì Minh phải dạy sớm Nếu Minh i nghe nhạc
tối thứ hai thì Minh sẽ về trễ
Nếu về trễ và thức dậy sớm thì Minh phải i họp mà chỉ ngủ dưới 7 giờ Nhưng
Minh không thể i họp nếu chỉ ngủ dưới 7 giờ
Do ó hoặc là Minh không i nghe nhạc thối thứ hai hoặc là Minh phải bỏ họp sáng thứ ba.
c) Nếu Bình i làm về muộn thì vợ anh ta sẽ rất giận dữ
Nếu An thường xuyên vắng nhà thì vợ anh ta sẽ rất giận dữ
Nếu vợ Bình hay vợ An giận dữ thì cô Hà bạn họ sẽ nhận ược lời than phiền
Mà Hà không nhận ược lời than phiền Vậy
Bình i làm về sớm và An ít khi vắng nhà. 31. Xét các vị từ ( ):"≤ 5" ( ):" + 3 chẵn"
Trong ó là một biến nguyên. Xét chân trị của các mệnh ề sau: a) (1) b) (2) c) ¬ (2) d) (3) e) (6) ∨ (6) f) ¬ ( (−1) ∨ (−1))
32. Với ( ), ( ) như trên. Xét thêm vị từ: ( ):" > 0"
Tìm chân trị của các mệnh ề sau: a) b) c) → (2)] d) → (3) e) ↔ (1)] f) ↔ (1) 33. Với , , như trên lOMoARcPSD| 36667950
a) Tìm tất cả ể cho ( ) ∧ ( ) ∧ ( ) úng
b) Tìm tất cả nhỏ nhất ể ( ) → [¬ ( ) ∧ ( )] úng 34. Xét vị từ ( ):" − 3
+ 2 = 0". Cho biết chân trị của các mệnh ề sau: a) (0) b) (1) c) (2) e) ∃ , ( ) e) ∀ , ( )
35. Lớp Phân tích Thuật toán có 110 sinh viên ghi tên học trong ó có:
 15 sinh viên Toán-Tin học năm thứ 3  5 sinh viên Toán năm thứ 3
 25 sinh viên Toán-Tin học năm thứ 4
 5 sinh viên Toán năm thứ 4
 50 sinh viên Công nghệ Thông tin năm thứ 4
 5 sinh viên Toán-Tin học Cao học
 5 sinh viên Công nghệ Thông tin Cao học Xét các vị từ: ( ):sinh ê ℎ ê ℎọ ô ℎâ íℎ ℎ ậ á ( ): àsinh ê ă ℎứ 3 ( ): àsinh ê ă ℎứ 4 ( ): àsinh ê ℎọ ( ): àsinh ê ô ℎệ ℎô ( ): àsinh ê á − ℎọ ( ): àsinh ê á
Hãy viết các mệnh ề dưới ây theo dạng lượng từ hóa:
a) Có sinh viên Toán năm thú 3 trong lớp PTTT
b) Có sinh viên trong lớp không phải sinh viên Công nghệ Thông tin
c) Mọi sinh viên trong lớp là sinh viên Toán-Tin học hay Công nghệ Thông tin
d) Không có sinh viên Cao học Toán trong lớp PTTT
e) Mọi sinh viên năm thứ 3 trong lớp thuộc ngành Toán hay ngành Toán-Tin học
f) Có sinh viên ở trường không thuộc ngành Toán-Tin học và cũng không thuộc ngành Công nghệ Thông tin 36. Xét các vị từ: ( , ):" ≥ " ( , ):" + 1 < "
Trong ó , là các biến thực. cho biết chân trị của các mệnh ề sau: a) (2,4) b) (2, ) c) (−3,7) ∧ (1,
d) (−2,1) ∨ ¬ (−1,−1) e) (1,1) → (1,1) f) (2,5) ↔ ¬ (2,5)
37. Xét các vị từ theo biến thực : ( ):" − 5 + 6 = 0" ( ):" − 4− 5 = 0" ( ):" > 0"
Hãy xác ịnh chân trị của các mệnh ề sau: a) ∀ , ( ) → ( ) b) → ¬ ( ) c) ∃ , ( ) → ( ) d) ∃ , ( ) → ¬ ( )
38. Xét vị từ theo hai biến nguyên tự nhiên: ( , ):" à ướ ủ "
Hãy xác ịnh chân trị của các mệnh ề sau: a) (2,3) b) (2,6) c) ∀ , (1, ) lOMoARcPSD| 36667950
d) ∀ , ( , ) e) ∀ ,∃ , ( , ) f) ∃ ∀ , ( , ) e) ∀ ∀ ,( ( , ) ∧ ( , )) → ( = )
d) ∀ ∀ ∀ ,( ( , ) ∧ ( , )) → ( , )
39. Với mỗi mệnh ề dưới ây cho biết chân trị. Phủ ịnh kèm theo có úng không? Nếu không
hãy thay bằng phủ ịnh úng.
a) Với mọi số thực , nếu > thì >
Ph nh: Tồn tại số thực , sao cho > nhưng ≤
b) Với mọi số thực nếu ≠ 0 thì có nghịch ảo
Ph nh: tồn tại số thực khác 0 mà không có nghịch ảo
c) Tồn tại hai số nguyên lẻ có tích là số lẻ
Ph nh: tích của hai số lẻ bất kỳ là số lẻ
d) Bình phương của mọi số hữu tỉ là số hữu tỉ
Ph nh: tồn tại số thực sao cho nếu vô tỉ thì vô tỉ.
40. Lấy phủ ịnh của các mệnh ề sau:
a) Với mọi số nguyên , nếu không chia hết cho 2 thì là số lẻ
b) Nếu bình phương của một số nguyên là lẻ thì số nguyên ấy là lẻ
c) Nếu , , là số nguyên sao cho − và − là số lẻ thì − là số chẵn
d) Nếu là một số thực sao cho > 16 thì < −4 hay > 4
e) Với mọi số thực , nếu |− 3| < 7 thì −4 < < 10
41. Gọi ( ) và ( ) là hai vị từ theo một biến, hãy lấy phủ ịnh và ơn giản các mệnh ề sau: a) ∃ , ( ) ∨ ( ) b) d) ∀ , ( ) → ( ) d) ∃ ,[ ( ) ∨ ( )] → ( )
42. Cho biết chân trị của các mệnh ề sau trong ó , là các biến thực: a) ∃ ∃ , = 1 b) ∃ ∀ , = 1 c) ∀ ∃ , = 1 d) ∀ ∀ , + = + e) ∃ ∃ ,(2 + = 5) ∧ (− 3 = −8) f) ∃ ∃ ,(3− = 7) ∧ (2 + 4 = 3) 43.
a) Sự tồn tại của phần tử 0 trong R ược cho bởi: ∃ ∀ , + =
Hãy viết mệnh ề chỉ sự tồn tại của phần tử ơn vị trong R
b) ′ ược nói là phần tử ối của nếu + = 0
Hãy viết mệnh ề cho biết tồn tại phần tử ối
c) ′ ược nói là nghịch ảo của nếu = 1
Hãy viết mệnh ề cho biết mọi số thực khác 0 ều có nghịch ảo
d) Nếu thu hẹp vào tập hợp các số nguyên thì các mệnh ề trong b) và c) phải ược iều
chỉnh như thế nào ể vẫn còn úng
44. Giả sử ( ) là vị từ theo biến ∈. Khi ấy mệnh ề lượng từ hóa ∃! , ( ) ược ịnh nghĩa như là: ∃ , ( ) ∧ [∀ ∀ ,( ( ) ∧ ( )) → = ] lOMoAR cPSD| 36667950
Nói cách khác tồn tại phần tử sao cho ( ) úng và là phần tử duy nhất của sao cho ( ) úng.
Hãy viết lại các mệnh ề dưới ây dưới dạng hình thức trong ó sử dụng lượng từ ∃!
a) Mọi số thực khác 0 có nghịch ảo duy nhất b) Với mọi ,∈, tổng + là duy nhất
c) Với mọi , tồn tại duy nhất sao cho = 3 + 7
45. Giả sử ( , ) là vị từ = −2 trong ó , là các biến nguyên. Hãy cho biết chân trị của các mệnh ề sau:
a) [∀ ∃! , ( , )] → [∃! ∀, ( , )]
b) [∃! ∀, ( , )] → [∀ ∃! , ( , )]
46. Với vị từ ( , ):" + à ố
ℎẵ ". Hãy cho biết các mệnh ề trong câu 45 có úng không?
47. Xét mệnh ề "∃! , > 1". Hãy tìm tập hợp vũ trụ ể cho mệnh ề trên là úng (tương ứng sai)
48. Hãy iền vào hàng trống dể cho các suy luận sau là úng:
a) Mọi số nguyên là số hữu tỉ
Số thực không phải số hữu tỉ
∴.........................................................
b) Mọi sinh viên Tin học ều học Toán Rời rạc
.........................................................
∴ Minh học Toán Rời rạc
c) .........................................................
Bình là một Giám ốc iều hành
∴ Bình biết cách ủy quyền cho cấp dưới
d) Mọi hình chữ nhật có bốn góc bằng nhau
.........................................................
∴ Tứ giác MNPQ không phải hình chữ nhật
e) Mọi người quan tâm ến Cholesterol ều tránh ăn gan
Minh là một người quan tâm ến Cholesterol
∴ ........................................................
49. Xác ịnh các suy luận úng trong số các suy luận dưới ây. Cho biết quy tắc suy diễn ã ược áp dụng:
a) Mọi người ua thư dều mang theo túi thư
An là một người ưa thư Vậy An mang theo túi thư
b) Mọi công dân tốt ều óng thuế Ông Bình ã dóng thuế
Vậy ông Bình là một công dân tốt
c) Mọi người quan tâm ến môi trường ều ể riêng các túi nhựa bỏ i lOMoARcPSD| 36667950
Hà không quan tâm ến môi trường
Suy ra Hà không ể riêng các túi nhựa bỏ i
d) Mọi sinh viên nghiêm túc ều không nộp bài chưa làm xong
Minh không nộp bài chưa làm xong
Vậy Minh là sinh viên nghiêm túc
50. ( ) và ( ) là hai vị từ theo một biến
Hãy chứng minh các khẳng ịnh dưới dây: a) [∃ , ( ) ∨
( )] ⟺ ∃ , ( ) ∨ ∃ , ( ) b) [∀ , ( ) ∧
( )] ⟺ [∀, ( ) ∧ ∀ , ( ) ] c) ∀, ( ) ∨ ∀ , ( )⟹ [∀ , ( ) ∨ ( )]
d) Hãy tìm phản ví dụ cho phần ảo của c) 51. Xét suy luận:
Hãy cho biết quy tắc suy diễn áp dụng cho mỗi bước sau ây: Bước Quy tắc ∀ , ( ) ∧ ( ) ( ) ∧ ( ) ∴ ( ) và ( ) ∀ , ( ) → ( ( ) ∧ ( )) ( ) → ( ( ) ∧ ∴ ( )) ( ) ∧ ( ) vậy ( ) ∴ ( ) ∧ ( ) như thế ∀ , ( ) ∧ ( ) lOMoARcPSD| 36667950 52. Xét suy luân: ∀ , ( ) → ( ) ∨ ( ) ∃ ,¬ ( ) ∀ ,¬ ( ) ∨ ( )
∀ , ( ) → ¬ ( ) ∴ ∃ ,¬ ( )
Hãy cho biết quy tắc suy diễn áp dụng trong các bước sau: Bước Quy tắc ∃ ,¬ ( ) ¬ ( ) ∀ , ( ) → ( ) ∨ ( ) ( ) ∨ ( ) hay ¬ ( ) → ( ) ∴ ( ) ∀ ,¬ ( ) ∨ ( ) ¬ ( ) ∨ ( ) hay ( ) → ( ) ∴ ( ) ∀ , ( ) → ¬ ( ) ( ) → ¬ ( ) ∴ ¬ ( ) nghĩa là ∃ ,¬ ( )
53. Hãy chứng minh các công thức sau: ) ( ) ) ) ! ) 54. Xét vị từ:
( ): vật bất kỳ thì ồng nhất với nhau trong ó là một biến nguyên, ≥ 1.
Khẳng ịnh: ∀ ≥ 1, ( ) Chứng minh: (1): hiển nhiên
Giả sử (− 1) úng. Xét vật , ,…, Do (− 1) úng nên , ,…,
ồng nhất và ồng thời , ,…, ồng nhất. Suy ra , ,…,
ồng nhất. Nghĩa là ( ) úng. lOMoARcPSD| 36667950
Do ó nguyên lý quy nạp ∀ ≥ 1, ( ) là một mệnh ề úng! Suy luận trên sai do âu? GS. Nguyễn Hữu Anh 34
55. Đặt các số 1,2,…,25 trên một vòng tròn theo thứ tự tùy ý. Chứng minh rằng luôn luôn
có 3 số liên tiếp có tổng ≥ 39
56. Chứng minh các bất ẳng thức sau với ∈ a) Nếu > 3 thì 2 < ! b) Nếu > 4 thì < 2 c) Nếu > 9 thì < 2 57. Xét vị từ ( ):
Chứng minh rằng nếu ( ) úng thì ( + 1) úng với mọi ≥ 1. Từ ó có suy
ra ược ( ) úng với mọi ≥ 1 không? 58. Xét các phương trình 1 = 1 2 + 3 + 4 = 1 + 8 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 8 + 27
10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 27 + 64
Từ ó suy ra một công thức tổng quát dưới dạng vị từ theo một biến nguyên và chứng minh công thức này.
59. Xét oạn chương trình viết bằng Pascal while < > 0 do Begin ≔ + ; ≔ − 1; End; Ketqua:= ;
Chứng minh rằng khi gọi oạn chương trình trên với các biến , lấy giá trị thực và biến lấy
giá trị nguyên tự nhiên thì khi ra khỏi oạn chương trình, biến Ketqua ược gán giá trị + lOMoARcPSD| 36667950
60. Xét oạn chương trình viết bằng Pascal while < > 0 do Begin ≔ × ; ≔ − 1; End; Ketqua:= ;
Giả sử ta gọi oạn chương trình trên với các biến , lấy giá trị thực và lấy giá trị nguyên
dương. Khi ra khỏi oạn chương trình, biến Ketqua ược gán giá trị nào? Hãy chứng minh khẳng ịnh ó.
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐẾM
Từ Chương 2 trở i ta sẽ sử dụng các kí hiệu logic quen thuộc ⟹,⟺ ể chỉ các quan
hệ “có hệ quả logic”, “tương ương logic” giữa các mệnh ề mà ta xem như dạng mệnh ề
hằng. Ngoài ra ta cũng dùng các kí hiệu này ể chỉ phép kéo theo và kéo theo hai chiều. Các
kí hiệu ⟶,⟷ ược dành cho các ánh xạ.
§1 TP HP
Trong chương trước ta ã sử dụng khái niệm tập hợp trong một số ví dụ, ặc biệt trong
ịnh nghĩa của các lượng từ. Trong chương này ta tiếp tục sử dụng khái niệm tập hợp theo
nghĩa trực quan: ó là những ối tượng ược nhóm lại theo một tính chất nào ó. Nếu là một
phần tử của tập hợp , ta viết ∈. Trong trường hợp ngược lại ta viết ∉.
Ở ây khái niệm “tính chất” ược hiểu theo một nghĩa hết sức rộng rãi. Thường thì nó
biểu hiện bởi một vị từ ( ) theo một biến ∈. Khi ấy tập hợp tất cả các phần tử ∈ sao cho ( ) úng ược kí hiệu bởi: = {∈⁄ ( )}
ược gọi là tập hợp vũ trụ. Nếu hiểu ngầm thì có thể viết: = { / ( )} Ví dụ: 1. A = {x ∈ N x⁄ là số nguyên tố} 2. A = {x ∈ Z x⁄ < 5}
Trong ví dụ 2, ta có thể chỉ ra tất cả các phần tử của : -2, -1, 0, 1, 2. Ta viết = {−2,−1,0,1,2}
Ta nói ược mô tả bằng cách liệt ra tất cả các phần tử. Cũng thế = {∈/ ≤ }
có thể ược mô tả bằng cách liệt kê các phần tử: = {0,1,…, }
Với phương pháp mô tả bằng cách liệt kê các phần tử, một tập hợp có thể là: = {1,2,97,100}
Khi này không nhất thiết các phần tử ược nhóm lại theo một tính chất cụ thể nào.
Chú ý rằng tập hợp {∈/ < 0} không có phần tử nào cả. Ta nói nó là tp hp rng và kí hệu bởi ∅. lOMoARcPSD| 36667950
Giả sử , là 2 tập hợp con của tập hợp vũ trụ , ta nói là tp hp con của (hay ược
bao hàm trong hay bao hàm ) nếu: ∀ ∈ ,(∈) ⟺ (∈)
Sử dụng các phép nối trên mệnh ề và vị từ, ta có thể ịnh nghĩa các phép toán hợp
(∪), giao (∩) và phần bù trên tập hợp.
Định nghĩa 2.1.1: Giả sử , là tập hợp con của tập hợp vũ trụ . Khi ấy ̅ = \ = {∈/ ∉}
̅ ược gọi là phn bù của (trong ). Định lý 2.1.1: ,
, là các tập con tùy ý của , ta có: i. Tính giao hoán: ∪ = ∪ ∩ = ∩ ii. Tính kết hợp: ∪ (∪) = (∪) ∪ ∩ (∩) = (∩) ∩ iii. Luật De Morgan: ∪ = ̅̅ ∩∪ ∩ = iv. Tính phân bố: ∪ (∩) = (∪) ∩ (∪) ∩ (∪) = (∩) ∪ (∩) v. Phần tử trung hòa: ∪ ∅ = ∩ = vi. Phần bù: ∪̅ == ∅ ∩ vii. Tính thống trị: ∪ = ∩ ∅ = ∅
Chứng minh: các tính chất trên suy từ ịnh nghĩa và các qui luật logic (Định lý 1.2.2) mà ta
có thể mở rộng dễ dàng cho các vị từ. pcm
Do tính kết hợp ta có thể dùng ∪ ∪ ể chỉ ∪ (∪) hay (∪) ∪ . Cũng thế, cho trước tập
hợp ∪ ∪ …∪ không phụ thuộc vào thứ tự ặt dấu ngoặc. Ta cũng viết lOMoARcPSD| 36667950 = ∪ ∪ …∪ Tương tự = ∪ ∪ …∪ §2 ÁNH X Định nghĩa 2.2.1: i.
Một ánh xạ từ tập hợp vào tập hợp là phép tương ứng liên kết với mỗi phần tử
của một phần tử duy nhất của mà ta kí hiệu là ( ) và gọi là ảnh ca bởi . Ta viết: : ⟶ ⟼ ( ) ii.
Hai ánh xạ , từ vào ược nói là bằng nhau nếu: ∀ ∈ , ( ) = ( ) Định nghĩa 2.2.2: i.
Nếu là một tập hợp con của thì ảnh của bởi là tập hợp: ( ) = { / ∃ ∈ , = ( )} Ta cũng viết: ( ) = { ( )/ ∈} ii.
Nếu là một tập hợp con của thì ảnh ngược (tạo ảnh) của là tập hợp ( ) = {∈/ ( ) ∈ } Chú ý: 1. Nếu thì ta viết ({ }) = ( ). 2. Nếu
( ) = ∅ thì không nằm trong ảnh ( ) của . 3. Nếu
( ) = { }, thì là phần tử duy nhất có ảnh là .
Định nghĩa 2.2.3: Gọi là 1 ánh xạ từ tập hợp vào tập hợp . Khi ấy ta nói
i. là toàn ánh nếu ( ) = ii. là ơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của có ảnh khác nhau: ∀ , ∈ , ≠ ′ ⟹ ( ) ≠ ( ) iii.
là song ánh nếu nó ồng thời là ơn ánh và toàn ánh.
Chú ý: nếu là song ánh từ lên , ta viết: :⟷
Khi ấy với ∈ tùy ý, có phần tử duy nhất ∈ sao cho ( lOMoARcPSD| 36667950
ứng ⟼ là 1 ánh xạ từ vào mà ta kí hiệu là −1: ) = . Như thế tương ⟶ : ⟼ ( ) = với ( ) = Ta có: ( ) ∀ ∈ ∀ ∈ ( ) (2.2.1) (2.2.2) Ví dụ:
: ⟶ sao cho ( ) = với ∈ tùy ý là ơn ánh nhưng không phải là toàn ánh vì chẳng hạn không
là ảnh của phần tử nào của .
Giả sử , là hai số thực sao cho ≠ 0. Khi ấy f(x)=ax+b và xác ịnh một song ánh giữa và . Ánh xạ ngược của nó là : ⟶ ⟼ −
Định nghĩa 2.2.4: Cho hai ánh xạ : ⟶ và : ⟶ lOMoARcPSD| 36667950
Ánh xạ hợp ℎ là ánh xạ từ vào xác ịnh bởi: ℎ ∶ ⟶ ⟼ ℎ( ) = ( ) Ta viết: ℎ = ∘: ⟶ ⟶ ⟼ ( ) ⟼ ℎ( ) = ( ) Chú ý:
Ta thường biểu diễn một ánh xạ bởi sơ ồ Ký hiệu là ánh xạ ⟶ sao cho
Ta nói là ánh xạ ồng nhất của . tương tự gọi là ánh xạ ồng nhất của . Khi ấy (2.2.1) và (2.2.2) trở thành ∘ = và ∘ = lOMoARcPSD| 36667950
Định lý 2.2.1: Giả sử là một ánh xạ từ vào , và _2 là hai tập con tùy ý của , và
là hai tập con tùy ý của . Ta có: i. ( ∪ ) = ( ) ∪ ( ) ii. ( ∩ ) ⊂ ( ) ∩ ( )
iii. ( ∪ ) = ( ) ∪ ( ) iv. ( ∩ ) = ( ) ∩ ( )
Chứng minh: ta chỉ chứng minh i), các phần còn lại ược lý luận tương tự. Ta có: ∈( ∪ ) ⟺ ∃ ∈ ∪ , = ( ) ⟺ ∈( ) ∨ ∈( ) ⟺ ∈ ( ) ∪ ( )
Chú ý: bao hàm trong ii) có thể là ngặt trong ví dụ sau cho thấy. Xét : ⟶ xác ịnh bởi: ( ) = | |,
Lấy = , = . Ta có ∩ = ∅ nên ( ∩ ) = (∅) = ∅. Trong khi ó ( ) = ( ) = nên ( ) ∩ ( ) ≠ ∅.
§3 PHÉP ĐẾM
Trước hết ta nhận xét rằng phép ếm các phần tử của một tập hợp là một thủ tục gồm có nhiều bước:
Bước 0: nếu = ∅ ta nói số phần tử của bằng 0. Nếu không (≠ ∅) ta qua Bước 1
Bước 1: chọn tùy ý một phần tử ∈ rồi gán tương ứng với phần tử 1 ∈ . Nếu = { } ta nói
là một phần tử. Nếu không ta qua Bước 2
Bước 2: do ≠ { }, tồn tại một phần tử ∈ và ≠. Ta gán b tương ứng với phần tử 2 ∈ .
Nói cách khác ta có một song ánh { , } ⟷ {1,2}. Nếu = { , } ta nói có hai phần tử. Nếu không, ta qua Bước 3.
Cứ tiếp tục thủ tục như trên. Hai trường hợp có thể xảy ra
 Trường hợp 1: thủ tục dừng ở một Bước nào ó, nghĩa là tồn tại một song ánh
giữa và {1,2,…, } ⊂ .ta nói rằng có phần tử.
 Trường hợp 2: thủ tục không bao giờ dừng. Ta nói có vô số phần tử hay là một
tp hp vô hn. Từ nhận xét trên ta có Định nghĩa 2.3.1: i.
Một tập hợp ược nói là hu hn và có phần tử nếu tồn tại một song ánh giữa
và tập hợp con {1,2,…, } của . Ta viết | | = . ii.
Nếu không hữu hạn, ta nói vô hn Chú ý:
1. Do nhận xét trên, phép toán chỉ ra cho ta một thuật toán cụ thể ể xây dựng một
song ánh giữa và {1,2,…, } nếu hữu hạn, trong khi Định nghĩa 2.3.1 chỉ òi hỏi tồn tại một song ánh như vậy.
2. Hai tập hợp hữu hạn , có cùng số phần tử sẽ tương ứng 1 - 1 với nhau, nghĩa là tồn
tại một song ánh ⟷. Ta cũng nói và có cùng lực lượng. Tổng quát hơn ta có Định nghĩa 2.3.2: lOMoAR cPSD| 36667950 i.
Một tập hợp ược nói là có lực lượng bé hơn lực lượng của nếu tồn tại một ơn ánh từ vào . ii.
Hai tập hợp và ược nói là ồng lực lượng nếu có một song ánh ⟷
Chú ý: Giả sử tồn tại một ơn ánh từ vào . Đặt = ( ) và là phần bù của ̅ trong . Chọn một
phần tử ∈ tùy ý. Ta sẽ ịnh nghĩa một ánh xạ : ⟶ như sau:
 Nếu ∈ thì tồn tại duy nhất ∈ sao cho = ( ). Ta ặt ( ) =  Nếu ∈̅, ta ặt ( ) =
Khi ấy rõ ràng là một ánh xạ từ vào sao cho ( ) = . Suy ra là toàn ánh.
Ngược lại giả sử tồn tại một toàn ánh : ⟶. Khi ấy với ∈ tùy ý, ( ) là một tập con khác
∅ nên ta có thể chọn một phần tử nhất ịnh ∈ ( ). Đặt ( ) = , ta sẽ ược một ánh xạ từ vào .
Do cách xây dựng với ≠’ thì ( ) ∩ ( ) = ∅ nên ( ) = ( ), nghĩa là là ơn ánh. Ở ây ta sử dụng khái
niệm chọn ∈ ( ) một cách trực quan. Theo lý thuyết tập hợp tiên ề thì việc chọn như vậy
không hiển nhiên mà ược dựa trên Tiên ề chọn. Đương nhiên ối với các tập hợp hữu hạn
Tiên ề chọn là không cần thiết. Tóm lại ta ã chứng minh ược.
Mệnh ề 2.3.1: lực lượng của nhỏ hơn lực lượng của khi và chỉ khi tồn tại một tồn ánh từ lên .
Một vấn ề thứ hai là nếu lực lượng của nhỏ hơn lực lượng của và lực lượng của nhỏ
hơn lực lượng của thì liệu và có ồng lực lượng không. Khẳng ịnh này ược chứng minh
trong trường hợp tổng quát, nhưng chứng minh này ra khỏi khuôn khổ của giáo trình Toán Rời rạc.
Tuy nhiên nếu A và B hữu hạn ta có
Định lý 2.3.2: Giả sử và là hai tập hợp hữu hạn. Nếu tồn tại một ơn ánh từ vào và một
ơn ánh từ vào thì và có cùng số phần tử. Hơn nữa mọi ơn ánh (tương ứng với toàn ánh)
từ vào (tương ứng lên) là một song ánh.
Chứng minh: Gọi là một ơn ánh tùy ý từ vào Đặt =
( ) và là phần bù của trong thì Mệnh ề 2.3.3 dưới ây cho: | | = | | + | ̅|
Do f rõ ràng xác ịnh một song ánh giữa và nên ta có | | = | | + | ̅| ≥ | |
Tương tự nếu tồn tại một ơn ánh từ vào ta sẽ có | | ≥ | | Suy ra | | = | | Đặc biệt | ̅| = 0 nghĩa là =
( ) và do ó f là một song ánh giữa và .
Giả sử g là một toàn ánh từ lên . Trên ây ta dang xây dựng một ơn ánh từ vào sao
cho ( ) ∈ ( ) với mọi ∈. Theo chứng minh trên là song ánh nên rõ ràng cũng là song ánh.
Mệnh ề 2.3.3 (Nguyên lý cộng):
Giả sử là một tập hợp con của tập hợp hữu hạn . Gọi là phần bù của trong . Khi ấy ta có: lOMoARcPSD| 36667950 | | = | | + | |
Chứng minh: Gọi , là số phần tử của và tương ứng. Khi ấy tồn tại một song ánh từ lên
{1,2,…, } và một song ánh từ lên {1,2,…, }. Ta ịnh nghĩa ánh xạ ℎ từ vào {1,2,…, + } như sau:
 nếu ∈ ta ặt ℎ( ) = ( )
 nếu ∈ ta ặt ℎ( ) = ( ) +
Rõ ràng ℎ là một song ánh nên | | = +  pcm
Ví dụ: ể chuẩn bị vào giai oạn 2, có 150 sinh viên chương trình 1 ã ghi tên học môn Toán
Rời rạc và 120 sinh viên ghi tên học Vi tích phân 3 ở học kỳ này. Hỏi có bao nhiêu sinh viên
ghi tên học một trong hai môn biết rằng không có sinh viên nào học cả hai môn.
Gọi là tập hợp các sinh viên ghi tên học môn Toán rời rạc và là tập hợp sinh viên
ghi tên học Vi tích phân 3. Khi ấy tập hợp các sinh viên ghi tên học một trong hai môn là ∪
và chính là phần bù của trong ∪ nên ta có
|∪| = | | + | | = 150 + 120 = 270
Qua ví dụ trên, ta thấy quá trình ếm các sinh viên học một trong hai môn có thể ược
thực hiện bằng hai cách: ếm các sinh viên học Toán rời rạc và ếm các sinh viên học Vi tích
phân 3. Hai cách này là loại trừ lẫn nhau theo nghĩa chúng không thể ồng thời xảy ra. Khi
ấy ta cũng có thể phát biểu lại Mệnh ề 2.3.3 dưới dạng:
Nguyên lý cộng: Nếu một quá trình có thể ược thực hiện bằng một trong hai cách loại trừ
lẫn nhau: cách thứ nhất cho kết quả và cách thứ hai cho kết quả. Khi ấy việc thực hiện
quá trình cho + kết quả. Chú ý:
1. Trong ví dụ trên nếu có một số sinh viên ghi tên học cả hai môn, chẳng hạn như 50
thì tập hợp ∩ ≠ ∅ và có 50 phần tử. Trong trường hợp này | | + | | không phải là số
phần tử của |∪| vì |∩| ược tính hai lần trong | | và | |. Do ó ta có dạng mở rộng của nguyên lý cộng là: |∪| = | | + | | − |∩| (2.3.1) = 150 + 120 − 50 = 220
2. Mệnh ề 2.3.3 cũng có thể ược mở rộng theo hướng có nhiều hơn 2 tập hợp. Giả sử
có n tập hợp: , ,…, .Ta nói các tập hợp này ôi một rời nhau nếu ∩ = ∅ nếu ≠. Ta có
Mệnh ề 2.3.4 (Nguyên lý cộng mở rộng): nếu tập hợp hữu hạn có thể viết như là hợp các
tập hợp , ,…, ôi một rời nhau thì | | = | | + | | + ⋯ + | |
Chứng minh: sử dụng Mệnh ề 2.3.3 và Nguyên lý quy nạp trên  pcm
Ngoài nguyên lý cộng, một công cụ ếm hữu hiệu là:
Nguyên lý nhân: Nếu một quá trình có thể thực hiện theo hai oạn liên tiếp ộc lập với nhau
sao cho có cách khác nhau ể thực hiện giai oạn 1 và với mỗi cách lựa chọn trong giai oạn
1 ều có cách khác nhau ể thực hiên giai oạn 2. Khi ấy có cách khác nhau ể thực hiên toàn bộ quá trình. lOMoAR cPSD| 36667950
Chú ý: nói rằng hai giai oạn ược thực hiện ộc lập ược thực hiện ( , ) và ( , ) sẽ cho hai kết
quả khác nhau nếu một trong hai trường hợp sau xảy ra: 
hai cách thực hiên giai oạn 1 khác nhau ≠  =
và hai cách thực hiện giai oạn 2 khác nhau ≠
Ví dụ: ể chuẩn bị mở một văn phòng ại diện ở nước ngoài, Giám ốc của Công ty X cần
nghe lời cố vấn về pháp luật từ một luật sư chọn trong số 5 luật sư và cố vấn về ịa ốc từ
một chuyên viên ịa ốc chọn trong số 3 chuyên viên ịa ốc. Do ó theo Nguyên lý nhân có tất
cả 5x3=15 phương án ể Giám ốc Công ty X tiếp xúc với hai chuyên viên trong hai lĩnh vực trên.
Trong ví dụ trên, gọi là tập hợp các luật sư và là tập hợp các chuyên viên ịa ốc cần
tham khảo. Khi ấy một phương án tham khảo cố vấn là một cặp có thứ tự ( , ) với ∈,∈. Tập
hợp các phương án tham khảo cố vấn chính là tích Descartes × theo ịnh nghĩa dưới ây.
Định nghĩa 2.3.3: Tích Descartes của 2 tập hợp , ký hiệu bởi × cũng là một tập hợp hữu hạn vả ta có: | × | = | | | |
Chứng minh: Quá trình ếm các phần tử của × ược thực hiên theo hai giai oạn: có | |cách
khác nhau ể chọn 1 phần tử tùy ý của với mỗi cách chọn phần tử ∈, có | | cách chọn một
phần tử tùy ý ∈ ể tạo thành các cặp khác nhau ( , ). Do ó theo nguyên lý nhân có | | | |
cách chọn các cặp ( , ) khác nhau. Nói cách khác | × | = | || |
Để xây dựng một song ánh cụ thể từ × lên {1,2,…, }, trong ó = | |, = | | ta làm như sau: Xét các song ánh: : ⟷ {1,2,…, } và : ⟷ {1,2,…, }
Ta ịnh nghĩa ánh xạ ℎ: × ⟶ {1,2,…, } như sau: ℎ( , ) = ( ( ) − 1) × + ( ) Giả sử ℎ( , ) = ℎ( ,′) Khi ấy
( ( ) − 1) + ( ) = ( ( ) − 1) + (′) (2.3.2) ta có thể giả sử (′) ≤ ( ). Do (2.3.2) ta có: ( ) − ( ) = (′) − ( )
Nhưng 0 ≤ ( ) − ( ) < và (′) − ( ) ≥ nếu (′) − ( ) > 0 Suy ra ( ) = ( ) và (′) − ( ) Do ó ( , ) = ( ,′) vì và là song ánh lOMoARcPSD| 36667950
Sau cùng giả sử là một số nguyên bất kỳ sao cho 1 ≤ ≤
. Gọi là một số nguyên tự nhiên lớn nhất sao cho < . Khi ấy
< ≤( + 1) nên 1 ≤ = − ≤ và 0 ≤ ≤ = Đặt = ( ) và = ( + 1) Rõ ràng ℎ( , ) = ( ( + 1) − 1) + ( ) = + =
Tóm lại ℎ là một song ánh  pcm Chú ý:
cho phép viết và dưới dạng = { , ,…, } và = { , ,…, }
Ta nói các phần tử của (tương ứng ) ã ược ánh chỉ số bởi (tương ứng ). Khi
ấy ánh xạ ℎ có thể viết: ℎ , = (− 1) +
Nói cách khác ta ã “ếm” các phần tử của ×
theo mảng ặt kế tiếp nhau: {( , ),( , ),…,( , )}, {( , ),( , ),…,( , )} …, {( , ),( , ),…,( , )}
Gọi các mảng này lần lượt là , ,…, thì chúng ều tương ứng 1 – 1 với nên có cùng
số phần tử là . Hơn nữa các tập hợp này ôi một rời nhau nên ảnh của ℎ có × phần tử và do ó ℎ là song ánh.
Nguyên lý nhân có thể ược mở rộng cho quá trình nhiều hơn hai giai oạn. Tương tự
Định nghĩa 2.3.3 và Định nghĩa 2.3.5 có thể ược mở rộng cho tích Descartes của nhiều hơn hai tập hợp.
Định nghĩa 2.3.4: có tập hợp không rỗng , ,…,
một bộ phần tử là một họ phần tử có dạng ( , ,…, ), với ∈ , ∈ ,…, ∈ hai bộ ( , ,…, ),( , ,…, )
ược nói là bằng nhau nếu = , = ,…, = tập hợp tất cả các bộ n phần tử ược gọi là tích
Descartes của , ,…, và ký hiệu bởi × × …× × × …× = {( , ,…, )/ ∈ , ∈ ,…, ∈ }
Chú ý: ta cũng ký hiêu tích Descartes bởi Định lý 2.3.6:
nếu A1,A2,…,An hữu hạn thì cũng hữu hạn và ta có lOMoARcPSD| 36667950 = | || | …| | = | |
Chứng minh: dùng Định lý 2.3.5 và nguyên lý quy nạp  pcm
Ví dụ: sinh viên Giai oạn 1 thuộc Chương trình 1 của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
cử ra một Ban Đại diện gồm môt sinh viên Toán – Tin, một sinh viên Công nghệ Thông tin,
một sinh viên Vật lý, một sinh viên Hóa học. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra ban Đại diện
biết rằng có 300 sinh viên Toán – Tin, 400 sinh viên Công nghệ Thông tin, 200 sinh viên
Vật lý và 300 sinh viên Hóa? Gọi
lần lượt là tập hợp các sinh viên Giai oạn 1 của các ngành Toán – Tin, 1, 2, 3, 4
Công nghệ thông tin, Lý, Hóa. Khi ấy một Ban Đại diện chính là một bộ 4: ( , , , ), ∈ , ∈ , ∈ , ∈
Do ó theo Định lý 2.3.6 số cách chọn Ban Đại diện là: = | | = 300 × 400 × 200 × 300 = = 7.200.000.000
§4 GII TÍCH T HP
Cho trước hai tập hợp và , tập hợp tất cả các ánh xạ từ vào ược ký hiệu bởi . Giả sử | | = , ta có = { , ,…, }
Rõ ràng một ánh xạ từ vào ược xác ịnh hoàn toàn bằng cách chọn ra phần tử = ( ), = ( ),…, = ( )
Nói cách khác ược xác ịnh bởi bộ : ( ( ), ( ),…,
Như vậy ta ược một ánh xạ: : ⟶ với ( ) = ( ( ), ( ),…, ( )) ∈ (2.4.1)
Ngược lại cho trước ( , ,…, ) ∈
thì ta ịnh nghĩa ược một ánh xạ duy nhất ∈ bởi: ( ) = , ( ) = ,…, ( ) =
Như thế ta ã chứng minh:
Mệnh ề 2.4.1: Giả sử | | = với = { , ,…, } thì (2.4.1) xác ịnh một song ánh giữa và . Đặc biệt
nếu hữu hạn thì cũng hữu hạn và ta có: | | = | || |
Chú ý: trong phép tương ứng (2.4.1), là một ơn ánh khi và chỉ khi các phần tử
( ), ( ),…, ( ) là ôi một khác nhau. Từ ó ta có một quá trình bước ể ếm các ơn ánh từ vào .
Bước 1: chọn tùy ý một phần tử ∈ . Ở bước này có cách chọn lOMoAR cPSD| 36667950
Bước 2: chọn tùy ý một phần tử ∈ khác với nghĩa là một phần tử ∈ \ { }. Ở ây \ {
} chỉ phần bù của { } trong . Ta có − 1 cách chọn
.............................................................................................................................
Bước : chọn tùy ý một phần tử ∈ \ { , ,…, }. Do − (− 1) = − + 1, nên có − + 1 cách chọn .
Chú ý rằng ể có thể tiến hành ến Bước thứ ta cần có − + 1 ≥ 1, hay ≥. Do ó áp dụng nguyên lý nhân ta ược
Mệnh ề 2.4.2: Giả sử ≤. Khi ấy số ơn ánh từ vào là: (− 1) …(− + 1) Nếu | | = | | = thì ta có
Hệ quả 1: số song ánh từ lên là : (− 1) …1 = !
Chứng minh: nếu | | = | | thì mọi ơn ánh từ | | vào | | cũng là một song ánh.
Trong trường hợp = thì một song ánh từ lên chính nó còn ược gọi là một phép hoán
vị của . Do ó Hệ quả 1 có thể ược phát biểu lại: lOMoARcPSD| 36667950
Hệ quả 2: số các phép hoán vị của một tập hợp có phần tử là !
Định nghĩa 2.4.1: Đặt = {1,2,…, } i.
Một chnh hp của phn t chn là một phép chọn ra phần tử phân biệt trong theo một thứ tự nào ó ii.
Một t hp của phn t chn là một phép chọn ra phần tử phân biệt trong không kể thứ tự. Định lý 2.4.1:
i. Số các chỉnh hợp của phần tử chọn là: = − ( 1) …(− + 1)
ii. Số các chỉnh hợp của phần tử chọn là: ( )…( ) = ! Chứng minh:
Với = {1,2,…, } thì một chỉnh hợp của phần tử chọn không gì khác hơn một bộ ( , ,…, ) ∈ ôi
một khác nhau. Do ó số chỉnh hợp ược cho bởi Mệnh ề 2.4.2.
Ta sẽ tính số tổ hợp bằng cách ếm lại số chỉnh hợp theo một quá trình hai bước:
Bước 1: chọn tùy ý một tổ hợp của phần tử chọn , nói cách khác chọn ra một tập hợp
con ’ có m phần tử của . Số cách chọn khác nhau chính là số tổ hợp
Bước 2: với một tập hợp con ’, ta có thể chọn ra m phần tử phân biệt của ’ theo
một thứ tự nhất ịnh: ( , ,…, ). Số cách chọn chính là số phép hoán vị của ’ nên bằng !
Bằng hai bước trên ta ã ếm ược tất cả các chỉnh hợp của phần tử chọn nên: = × ! Suy ra =  pcm
Chú ý: Ta thường ký hiệu số tổ hợp bởi và gọi là h s nh thc . Hệ số nhị thức có thể ặt dưới dạng ối xứng: = = = ! (−)!
Dưới dạng trên ta thấy ngay: = −
Định lý 2.4.4: với ≤ ta có + 1 = + − 1 (2.4.2) lOMoARcPSD| 36667950
Chứng minh: Ta sẽ chọn ra các tổ hợp của + 1 phần tử chọn bằng một trong hai cách loại trừ lẫn nhau:
Cách 1: chọn ra một tập hợp con ’ có m phần tử phân biệt trong {1,2,…, + 1}
không chứa + 1. Rõ ràng ’
cũng là một tập hợp con m phần tử của {1,2,…, } nên có cách chọn. GS. Nguyễn Hữu Anh 46
Cách 2: chọn ra một tập hợp con ’’ có m phần tử phân biệt trong {1,2,…, + 1} chứa + 1. Rõ ràng ’’\ {
+ 1} là một tập hợp con − 1 phần tử phân biệt của {1,2,…, } nên có − 1 cách chọn.
Do ó theo nguyên lý cộng, số tổ hợp của + 1 phần tử chọn thỏa (2.4.2)  pcm
Để hiểu rõ tại sao số tổ hợp còn ược gọi là hệ số nhị thức, ta hãy chứng minh
công thức dưới ây gọi là Công thc nh thc Newton Định lý 2.4.5: , là hai biến thực ta có ( + ) = + + ⋯ + 1 (2.4.3) =
Chứng minh: ta hãy khai triển ( + ) = ( + )( + ) …( + ) thành tổng các số hạng có dạng … trong
ó = hay = ,1 ≤ ≤ . Với 0 ≤ ≤ ta gộp tất cả các số hạng trong ó có úng thừa số bằng . Các
số hạng này ều có dạng . Hơn nữa số các số hạng như vậy chính là số cách chọn phần tử
phân biệt của {1,2,…, }: trong ó là số tổ hợp nên (2.4.3) ược chứng minh.  pcm Hệ quả: Ta có i. 2 = 1 + + ⋯ + + ⋯ + (2.4.4) 1 ii. 0 = 1 − + ⋯ + (−1) + ⋯ + (−1) 1
Chú ý: Theo nguyên lý cộng, vế phải của (2.4.4) chính là số các tập hợp con của {1,2,…, }
nên ta ếm ược số các tập hợp con của {1,2,…, } chính là 2 . Thật ra ta có thể ếm gián tiếp
số các tập hợp con của một tập hợp có phần tử như sau:
Gọi là một tập hợp con bất kỳ của , ta sẽ ịnh nghĩa hàm ặc trưng của bởi: lOMoARcPSD| 36667950 Rõ ràng
∈ {0,1} . Ngược lại, cho trước ∈ {0,1} . Đặt = (1). Khi ấy rõ ràng
= . Bằng cách này ta ược một song ánh giữa tập hợp ( ) gồm tất cả các tập hợp con của
và {0,1} . Suy ra | ( )| = |{0,1}|| | = 2
Hai tập hợp ( ) và {0,1}^ (ký hiệu là 2 ) là các ại số Bool sẽ ược xét trong chương 4.
Bây giờ ta hãy mở rộng khái niệm tổ hợp trong ó có phép lặp lại. Trước hết ta hãy
xét một ví dụ: một học sinh ến cửa hàng mua 4 cây bút chọn trong 3 màu khác nhau là
xanh, ỏ và vàng. Có bao nhiêu cách khác nhau ể chọn mua hàng?
Trước hết ta hãy liệt kê các trường hợp khác nhau:
 4 bút cùng màu: có 3 trường hợp
 3 bút cùng màu và bút thứ tư chọn tùy ý trong hai màu còn lại: có 3x2=6
trường hợp (Nguyên lý nhân!)
 2 bút cùng màu và 2 bút kia chọn trong 2 màu còn lại: 3 trường hợp  2 cặp
bút cùng màu: có 3 = 3 trường hợp 2
Như vậy tổng cộng có 15 cách mua hàng khác nhau
Tuy nhiên nếu liệt kê như vậy rất khó mở rộng cho trường hợp có nhiều bút và nhiều
màu ể chọn. Thay vì như vậy, ta sẽ biểu diễn mỗi trường hợp bởi 4 dấu “+” và 2 dấu “−” ặt
liên tiếp trên một ường thẳng: số dấu + bên trái dấu – ầu tiên chỉ số bút xanh, số dấu +
nằm giữa 2 dấu – chỉ số bút ỏ và số dấu + nằm bên phải dấu – cuối cùng chỉ số bút màu
vàng. Như vậy trường hợp mua 4 bút xanh ược biểu diễn bởi + + + + − − Cũng thế trường
hợp mua 1 bút xanh và 3 bút vàng ược biểu diễn bởi + − − + + +
Như thế mỗi trường hợp tương ứng với việc lựa chọn vị trí của 2 dấu – trong số 6 ký
hiệu, nói cách khác ứng với 1 tập hợp con 2 phần tử của tập hợp {1,2,…,6} Từ ó suy ra số
cách mua hàng khác nhau chính là 6 == 15 2
Bằng cách này ta có thể tổng quát hóa việc chọn ra vật trong số loại vật khác nhau
trong ó mỗi loại vật có thể ược chọn lại nhiều lần. như trên mỗi trường hợp lựa chọn có thể
ược biểu diễn bằng cách chèn (− 1) dấu – vào trong số dấu + ể chia oạn thẳng thành oạn
tương ứng với số vật mỗi loại. Do ó số cách lựa chọn khác nhau mà ta gọi là số tổ hợp có
lặp lại của n vật chọn chính là: + − 1 = + − 1 − 1 Áp dụng:
Có vật ồng nhất nhau, hỏi bao nhiêu cách chia chúng vào hộp phân biệt nhau?
Ở ây mỗi cách chia cũng chính là một tổ hợp của vật chọn nên số cách chia khác nhau chính là + − 1 Xét phương trình: + + ⋯ + = (2.4.5) lOMoARcPSD| 36667950
trong ó và là các số nguyên không âm cho trước và , ,…, là các ẩn lấy giá trị nguyên không
âm. Ta hãy tìm xem phương trình trên có bao nhiêu lời giải với một cách chia
vật ồng nhất nhau vào n hộp phân biệt: chính là số vật chứa trong hộp thứ .
Do ó số lời giải chính là số tổ hợp có lặp của vật chọn : + − 1
§5 NGUYÊN LÝ CHUNG B CÂU
Trong Mệnh ề 2.4.1, ta ã giả sử | | = ≤ | | = ể có thể chọn ra ược một họ phần tử phân
biệt có thứ tự của ; nói cách khác ể chọn ra ược một ơn ánh từ vào
. Trong trường hợp > thì không tồn tại ơn ánh từ vào theo nguyên lý chuồng Bồ câu sau ây
Nguyên lý chuồng Bồ câu: nếu chuồng bồ câu có ít cửa (pigeon hole) hơn số bồ câu thì ít
nhất hai chim bồ câu ở chung trong một cửa. Ví dụ:
1. Trong ví dụ trên, là số bồ câu và là số cửa. Một ánh xạ : ⟶ chính là một cách xếp
chim bồ câu vào các cửa. Nói rằng có 2 chim bồ câu ở chung một cửa có nghĩa là có
2 phần tử phân biệt của có chung ảnh nên không ơn ánh.
2. Trong một nhóm có 367 người sẽ có ít nhất hai người có cùng ngày tháng sinh. Ở ây
số các ngày tháng sinh khác nhau (366 ngày, kể cả ngày 29 tháng 02) chính là số
cửa của chuồng bồ câu.
3. Xét một cơ sở dữ liệu có 500.000 bản tin (record). Hỏi có thể sử dụng một vùng
(thuộc tính) với nhiều nhất 4 ký tự là các mẫu tự làm khóa chính hay không? Ở ây
một vùng ược nói là một khóa chính nếu giá trị của nó xác ịnh bản tin một cách duy
nhất. Để giải áp bài toán trên, ta sẽ sử dụng số các từ ghồm nhiều nhất 4 mẫu tự
làm số cửa của chuồng bồ câu. Số cửa này ược cho bởi Nguyên lý cộng và Nguyên lý nhân: 26 + 26 + 26 + 26 = 475.254
Vì có ến 500.000 bồ câu nên có ít nhất 2 bản tin có cùng giá trị của thuộc tính: không
thể dùng thuộc tính này làm khóa chính ược!
4. Ta hãy dùng Nguyên lý chuồng Bồ câu ể chứng minh rằng mọi tập hợp con có ít nhất 6 phần tử của
= {1,2,…,9} sẽ có hai trong số các phần tử có tổng bằng 10.
Thật vậy, ở ây các cửa của chuồng bồ câu ược chọn là các tập hợp con {1,9},
{2,3}, {3,7}, {4,6}, {5}. Do ó có 5 cửa trong khi số chim bồ câu ≥ 6 nên có ít nhất hai
phần tử phân biệt của thuộc về cùng một tập hợp con trên, hay chính xác hơn thuộc về
cùng một trong bốn tập hợp con ầu tiên. Đó là những cặp có tổng bằng 10.
Chú ý: nghệ thuật ếm khi sử dụng Nguyên lý chuồng Bồ câu là xác ịnh úng âu là số bồ câu
và âu là số cửa như ví dụ sau cho thấy.
Giả sử là một tập hợp con có 6 phần tử của {1,2,…,14}. Hãy chứng minh rằng trong
số các tập hợp con khác ∅ của , có ít nhất 2 tập hợp con mà tổng các phần tử là như nhau.
Giả sử là một tập hợp con khác rỗng bất kỳ của . Gọi là tổng của các phần tử của . Khi ấy ta có lOMoARcPSD| 36667950 1 ≤ ≤ 9 + 10 + ⋯ + 14 = 69
Nếu chọn các số từ 1 ến 69 là số cửa của chuồng bồ câu là số tập hợp con khác rỗng
của là số bồ câu thì số bồ câu là
2 − 1 = 63. Do số bồ câu ít hơn số cửa, ta không thể
áp dụng Nguyên lý chuồng bồ câu ược. Tuy nhiên nếu ta hạn chế chỉ xét các tập hợp con
có tối a năm phần tử thì 1 ≤ ≤ 10 + 11 + ⋯ + 14 = 60
Trong khi số bồ câu bây giờ là 63 − 1 = 62 (trừ 1 tập hợp con 6 phần tử). Do ó theo
Nguyên lý chuồng bồ câu sẽ có hai tập hợp con , ’ có tối a 5 phần tử của A sao cho =
BÀI TẬP CHƯƠNG 2 1. Trong các tập
hợp dưới ây, hãy chỉ ra các tập hợp bằng nhau: a) { , , } b) { , , , } c) { , , , } d) { , , , } 2.
Giả sử = {1,{1},{2}}. Hãy chỉ ra các khẳng ịnh úng trong số các khẳng ịnh dưới ây: a) 1 ∈ A b) {1} ∈ c) {1} ⊂ d) e) { f) {2} ⊂ 3.
Trong số các khẳng dịnh dưới ây, hãy chỉ ra các khẳng ịnh úng: a) ∅ ∈ ∅ b) ∅ ⊂ ∅ c) ∅ ∈ {∅} d) ∅ ⊂ {∅} 4.
Hãy liệt kê ra các phần tử của tập hợp dưới ây: a) {1 + (−1) / ∈} b) { + / ∈ {1,2,3,5,7}} c) {(1/ ( + ))/ ∈, là số lẻ và 5.
Xét các tập hợp con của : = {2 + 1/ ∈} = {2 + 3/ ∈} = {2− 3/ ∈} = {3 + 1/ ∈} = {3 + 2/ ∈} = {2− 2/ ∈}
Hãy xác ịnh các khẳng ịnh úng trong số các khẳng ịnh dưới ây: a) = b) = c) = d) = e) = f) = lOMoARcPSD| 36667950 6.
= {1,2,3,4,5,6,7}. Hãy liệt kê ra: a) Các tập hợp con của b)
Các tập hợp con khác ∅ của c)
Các tập hợp con của chứa 3 phần tử d)
Các tập hợp con của chứa 1,2 e)
Các tập hợp con của chứa 5 phần tử trong ó có 1,2 f)
Các tập hợp con của gồm một số chẵn phần tử g)
Các tập hợp con của gồm một số lẻ phần tử 7.
Trong số các tập hợp dưới ây, tập hợp nào khác ∅ ? a) {∈/ 2 + 7 = 3} b) {∈/ 3 + 5 = 9} c) {∈/ + 4 = 6} d) {∈/ + 4 = 6} e) {∈/ + 5 = 4} f) {∈/ + 3 + 3 = 0} 8.
Xét 4 tập hợp con của tập hợp vũ trụ = {1,2,3,…,10}: = {1,2,3,4,5} = {1,2,3,5,7}
Hãy xác ịnh các tậ hợp dưới ây: a) (∪) ∩ b) ∪ (∩) c) ̅ ∪ d) ∩ e) (∪) ∩ ̅ f) ∪ (∩̅) g) (∩̅) ∩ h) ∩ ∩ i) (∪) ∩ ∩ 9.
Xét các tập hợp con của
Hãy chỉ ra các khẳng ịnh úng trong số các khẳng ịnh dưới ây: a) ⊂ ⊂ b) ⊂ ⊂ c) ⊂ d) ⊂ e) ⊂ f ) ⊂ ̅
10. Với các tập hợp , , ,
, như trong bài tập 9. Hãy xác ịnh các tập hợp dưới ây: a) ∩ b) ∪ c) ∩ d) ∩ e) ̅ f) ∩
11. Xét các tập hợp con tùy ý , , , của tập hợp vũ trụ . Hãy chứng minh các khẳng ịnh dưới ây: a) Nếu ⊂ và ⊂ thì ∩ ⊂ ∩ và ∪ ⊂ ∪ b) Nếu ⊂ và ⊂ thì ∩ ⊂ và ∪ ⊂ c)
⊂ khi và chỉ khi ∩ = ∅ d) ⊂ khi và chỉ khi ̅ ∪ =
12. Trong số các khẳng ịnh dưới ây, cho biết khẳng ịnh nào úng: a) ∀ , ,∈( ),(∩ = ∩) ⟹ ( = ) b) ∀ , ,∈( ),(∪ = ∪) ⟹ ( = ) c) ∀ , ,∈(
),[(∩ = ∩) ∧ (∪ = ∪)] ⟹ ( = )
13. Cho biết khẳng ịnh nào dưới ây là úng: a) (∪) = ( ) ∪ ( ) b) (∩) = ( ) ∩ ( )
14. Xét các tập hợp con , , , của tập hợp vũ trụ , hãy cho biết qui luật nào của Lý thuyết
tập hợp (Định lý 2.1.1) ược sử dụng trong các bước ơn giản tập hợp dưới ây: lOMoAR cPSD| 36667950 Bước Qui luật
(∩) ∪ [∩ ((∩) ∪ (∩))] = (∩) ∪ [∩ (∩ (∩))] = (∩) ∪ [∩ (∩)] = (∩) ∪ (∩) = (∩) ∪ (∩) = ∩ (∪)
15. Dùng các qui luật của Lý thuyết tập hợp ể ơn giản các biểu thức dưới ây: a) ∩ (∩̅) b) (∩) ∪ ( ∩ ∩ ̅ ∩ ) ∪ ( ̅ ∩ ) c) ̅ ∪ ∪ ( ∩ ∩ ̅) d) ̅ ∪ (∩) ∪ ( ∩ ∩ ̅) ∪ ( ∩ ∩ ∩ )
16. Đối với mỗi ánh xạ dưới ây hãy xác ịnh xem nó có là ơn ánh không? Tìm ảnh của miền
xác ịnh của ánh xạ trên. a) : ⟶, ( ) = 2 + 1 b) : ⟶, ( ) = 2 + 1 c) : ⟶, ( ) = − d) : ⟶, ( ) = e) : − , ⟶, ( ) = sin f) :[0, ] ⟶ , ( ) = sin
17. Xét ánh xạ : ⟶ xác ịnh bởi ( ) = . Hãy tìm ( ) ối với mỗi tập hợp dưới ây: a) = {2,3} b) = {−3,−2,2,3} c) = (−3,3) d) = (−3,2] e) = [−7,2] f ) = (−4,−3] ∪ [5,6]
18. Với mỗi ánh xạ : ⟶ dưới ây, hãy xác ịnh xem nó có là ơn ánh hay toàn ánh không? Tìm ( ) a) ( ) = + 7 b) ( ) = 2− 3 c) ( ) = − + 5 e) ( ) = e) ( ) = + f) ( ) =
19. Các câu hỏi tương tự như trong bài tập 18 nhưng bây giờ là một ánh xạ : ⟶
20. Xét 3 ánh xạ : ⟶, : ⟶, ℎ: ⟶. Hãy chứng minh rằng (ℎ ∘ ) ∘ = ℎ ∘ (∘)
21. Xét 3 ánh xạ , ,ℎ từ vào xác ịnh bởi: ( ) = − 1, ( ) = 3 và ℎ( ) = 0 nếu chẵn 1 nếu lẻ a)
Tìm ∘, ∘, ∘ ℎ, ℎ ∘ , ∘ ∘ ℎ b)
Với là số nguyên dương,
ược ịnh nghĩa bằng qui nạp như sau: = , = ∘,…, = ∘ Tương tự cho , ℎ . Hãy xác ịnh , , , ,ℎ ,ℎ ,ℎ
22. Cho trước hai tập hợp con cố ịnh , của . Ta ịnh nghĩa một ánh xạ lOMoARcPSD| 36667950 : ( ) ⟶ ( ) như sau:
( ) = ∩ (∪) với là tập hợp con bất kỳ của . Chứng minh rằng =
23. Với mỗi ánh xạ : ⟶ dưới ây, cho biết nó có ơn ánh, toàn ánh hoặc song ánh
không? Trong trường hợp nó là song ánh, hãy tìm ánh xạ ngược. a) = = , ( ) = + 7 b) = = , ( ) = + 2− 3 c) = [4,9], = [21,96], ( ) = + 7 d) = = , ( ) = 3− 2| | e) = , = (0,+ ∞), ( ) = f) = = , ( ) = ( + 1)
24. Đặt = {1,2,3,4}. Xét hai ánh xạ
: ⟶ và : ⟶ ược xác ịnh bởi ( ) = 2 và
(1) = 2, (2) = 3, (3) = 5, (4) = 7. Hãy tìm ∘. 25.
Xét hai ánh xạ , : ⟶ xác ịnh bởi: ( ) = + và ( ) a) Chứng minh (∘)( ) = 9 − 9 + 3,∀ ∈ . Hãy xác ịnh , . 26. rằng là một
Xét hai ánh xạ , :⟶ xác ịnh bởi: ( ) = + và ( ) = song ánh
trong ó , , , là các hằng số thực. Hãy tìm các hệ thức giữa b) Tìm ∘. 29. Xét hai ánh xạ :
27. Xét ánh xạ : ⟶ ịnh nghĩa bởi: ⟶, : ⟶ + 7 ế ≤ 0 a) Chứn g minh rằng nếu ∘ ( ) = −2 + 5 0 < < 3 ơn ánh thì ơn ánh − 1 3 ≤ = 1 − + . Giả sử a) Tìm (−10), (0), (2), (6)
+ với ∈ tùy ý, , , , ể b)
Tìm nghịch ảnh của các khoảng [−5,−1],[−2,4] 28. cho ∘ =
Xét ánh xạ : ⟶ ịnh nghĩa bởi: ( ) 2− 1 ế > 0 b)
Chứng minh rằng nếu ∘ toàn ánh thì toàn ánh c)
Chứng minh rằng nếu và là song ánh thì ∘ là song ánh. Hãy tìm . d)
Cho ví dụ ể ∘ là song ánh nhưng và khộng phải là song ánh.
30. Xét ánh xạ : ⟶ xác ịnh bởi: ( ): + (−1) a)
Chứng minh rằng và ( ) khác tính chẵn lẻ (một số chẵn và số kia lẻ). b)
Chứng minh rằng là một ơn ánh c)
Tìm . Suy ra biểu thức ơn giản của d)
Giải phương trình 365 = + (−1) , nguyên 31. Xét ánh xạ : ⟶ ịnh nghĩa bởi: ( , ) =
Chứng minh rằng là một song ánh
(Hướng dẫn: sử dụng Nguyên lý Quy nạp ể chứng minh toàn ánh)
32. Hãy ếm số các tập hợp trong mỗi câu hỏi a) - g) của bài tập 6 mà không sử dụng kết quả liệt kê. lOMoARcPSD| 36667950
33. Xét = {1,2,…,10}. Có bao nhiêu con của thỏa: a) | | = 5?
b) | | = 5 và phần tử bé nhất của là 3?
c) | | = 5 và phần tử bé nhất của bé hơn hay bằng 3? 34.
a) Có bao nhiêu tập hợp con của {1,2,…,11} chứa ít nhất một số chẵn?
b) Có bao nhiêu tập hợp con của {1,2,…,12} chứa ít nhất một số chẵn?
c) Tổng quát hóa các kết quả trong a) và b)
35. Giả sử chỉ có một phần tư số tập hợp con năm phần tử của {1,2,…, } chứa số 7. Hãy tìm .
36. Hãy sử dụng các nguyên lý ếm ể chứng minh rằng + 2 = + 2 − 1 + − 2 trong ó ≥ ≥ 2
37. Hãy trình bày một thuật toán và viết chương trình máy tính liệt kê tất cả những tập hợp
con 5 phần tử của {1,2,…,40}. 38. Giả sử ,
, là 3 tập hợp hữu hạn. Hãy chứng minh rằng: | ∪ ∪
| = | | + | | + | | − |∩| − |∩| − |∩| + | ∩ ∩ |
39. Để chọn máy tính trang bị cho phòng LAB, Khoa Toán –Tin học ã xem xét 15 nãn hiệu
máy tính khác nhau dựa theo các tính năng sau: ( ) Có CPU nhanh ( ) Có ổ ĩa cứng tốt
( ) Có màn hình với ộ phân giải cao
Gọi , , lần lượt là các tập hợp những nhãn hiệu thỏa tính năng ( ),( ) hay ( ). Giả
sử | | = | | = | | = 6,|∩| = |∩| = 1,|∩| = 2,| ∩ ∩ | = 0.
a) Có bao nhiêu nhãn hiệu thỏa úng một tính năng?
b) Có bao nhiêu nhãn hiệu không thỏa tính năng nào cả? 40.
a) Trong một lớp học có 7 sinh viên, có bao nhiêu các chia họ thành hai ội? Nếu yêu cầu
mỗi ội có ít nhất 2 sinh viên thì có bao nhiêu cách chia.
b) Trả lời các câu hỏi trong a) khi số sinh viên của lớp là một số nguyên tùy ý .
41. Gọi , ,…, là các số nguyên dương có tổng là . Có bao nhiêu cách chia sinh viên thành
nhóm với số sinh viên của các nhóm là , ,…, .
42. Hãy cho biết các khẳng ịnh dưới ây là úng hay sai
a) Nếu , là hai tập hợp vô hạn thì ∩ cũng vô hạn
b) Nếu vô hạn và ⊂ thì vô hạn
c) Nếu hữu hạn và ⊂ thì hữu hạn
d) Nếu hữu hạn và ⊂ thì vô hạn 43. Xét = {1,2,…,15} lOMoARcPSD| 36667950
a) Có bao nhiêu tập hợp con của chỉ chứa số lẻ
b) Có bao nhiêu tập hợp con của chỉ chứa úng 3 số lẻ
c) Có bao nhiêu tập hợp con 8 phần tử của chứa úng 3 số lẻ
d) Hãy trình bày một thuật toán và viết chương trình máy tính ể liệt kê tất cả các tập
hợp con 8 phần tử của chứa úng 3 số lẻ
44. Lớp thực tập Vật lý có 21 sinh viên phải thực hiện 3 thí nghiệm. Biết rằng tất cả các sinh
viên ều làm ược ít nhất một thí nghiệm , 5 sinh viên không là thí nghiệm thứ nhất, 7 sinh
viên không làm thí nghiệm thứ hai và 6 sinh viên không làm thí nghiệm thứ ba. Ngoài ra
có 9 sinh viên làm cả ba thí nghiệm. hỏi có bao nhiêu sinh viên chỉ làm một thí nghiệm?
45. Theo một mạng lưới hình chữ nhật gồm m mắt lưới theo chiều rộng và n mắt lưới theo
chiều ngang, một con kiến di chuyển từ A ến B dọc theo các cạnh của những mắt lưới
theo qui tắc sau ây: trên một cạnh ngang nó chỉ i từ trái qua phải và trên một cạnh ứng
nó chỉ i từ dưới lên trên. Tìm số các ường i khác nhau khi kiến muốn di chuyển từ A ến B.
(Hướng dẫn: chia mỗi ường i theo các bước nhỏ, trong ó mỗi bước là di chuyển theo
cạnh ngang hoặc cạnh ứng của một mắt lưới) m
46. Có 4 ngăn tiền chứa 4 loại giấy bạc: 1.000 , 2.000 , 5.000 và 10.000 . Hỏi có bao nhiêu
cách chọn 10 tờ giấy bạc từ các ngăn tiền?
47. Tìm số cách chia 10 hòn bi cho 5 ứa trẻ trong các trường hợp sau:
a) Không có hạn chế nào cả
b) Đứa trẻ lớn nhất ược ít nhất 2 hòn bi
c) Mỗi ứa trẻ ược ít nhất 1 hòn bi 48.
a) Tìm ra số cách chia r vật ồng nhất vài hộp phân biệt nếu yêu cầu thêm là không c1 hộp nào ể trống
b) Suy ra số nghiệm của phương trình (2.4.5) nếu ta giả thiết thêm các ẩn , lấy giá trị nguyên dương
49. Tìm số nguyên của phương trình + + + = 32
trong các trường hợp sau: lOMoARcPSD| 36667950 a) , ≥ 5, , ≥ 7 b) ≥ 8,1 ≤ ≤ 4 c) , , > 0,0 < ≤ 25 50.
a) Tìm hệ số của trong phép khai triển của ( + 2 + 3 + + )
b) Có bao nhiêu số hạng khác nhau trong phép khai triển trên? 51. Tính 5
và kiểm tra lại kết quả bằng các liệt kê tất cả các tổ hợp chọn 2 của {1,2,…,5} 2
52. Một Tiểu ban gồm 2 người ược chọn trong số 10 ại biểu nữ và 10 ại biểu nam. Có bao
nhiêu cách chọn? Biết rằng: a) Không có hạn chế nào cả b) Phải có 6 nam 6 nữ
c) Số nữ phải là số chẵn
d) Phải có nhiều nữ hơn nam
e) Phải có ít nhất 8 nam
53. Có bao nhiêu byte khác nhau: a) Chứa úng 2 bit 1 b) Chứa úng 4 bit 1 c) Chứa úng 6 bit 1 d) Chứa ít nhất 6 bit 1
54. Có thể chia 12 quyển sách khác nhau cho 4 ứa trẻ theo bao nhiêu cách? Biết rằng:
a) Mỗi ứa trẻ ược 3 quyển sách
b) Hai ứa lớn nhất ược 4 quyển sách mỗi ứa và hai ứa bé nhất ược 2 quyển mỗi ứa 55.
a) Cho trước 15 iểm trong mặt phẳng sao cho 3 iểm bất kỳ trong số ó không cùng nằm
trên một ường thẳng. Có bao nhiêu ường thẳng i qua hai iểm trong số ó?
b) Cho trước 25 iểm trong không gian sao cho 4 iểm bất kỳ trong số ó không cùng nằm
trong một mặt phẳng. có bao nhiêu tam giác nối 3 iểm bất kỳ trong số ó? Có bao
nhiêu mặt phẳng tạo ược từ các tam giác? Có bao nhiêu tứ diện nối 4 iểm bất kỳ trong số ó?
56. Cho trước một a giác ều n cạnh. Có bao nhiêu tam giác:
a) Tạo ược từ các ỉnh của a giác ều
b) Trong số các tam giác trong a) không có chung cạnh với a giác ều 57. Tìm hệ số của trong: a) ( + ) b) ( + 2 ) c) (2− 3 )
58. Xác ịnh các hệ số của: a) trong ( + + ) b) trong ( + + + ) c) trong (2 − − )
59. Cho trước số nguyên dương và số thực , hãy tính các tổng sau: a) + 2 + ⋯ + 2 + ⋯ + 2 0 1 b) (1 + ) − (1 + ) + (1 + ) + ⋯ + (−1) 1 2 lOMoARcPSD| 36667950 c) d)
60. Chứng minh rằng nếu có m bồ câu và n cửa thỉ ít nhất có bồ câu ở chung trong một
cửa nào ó. Trong ó chỉ số nguyên bé nhất ≥ .
61. Cần phải tung một con xúc sắc bao nhiêu lần ể có một mặt xuất hiện ít nhất: a) 2 lần b) 3 lần c) lần với ≥ 4
62. Chứng minh rằng trong 14 phần tử khác nhau tùy ý của = {1,2,…,25}, có ít nhất 2 phần tử có tổng là 26. 63. a)
Chứng minh rằng trong 11 phần tử khác nhau tùy ý của {1,2,…,100}, có ít nhất
2 phần tử , sao cho 0 < √ − < 1 b)
Hãy tổng quát hóa kết quả trên
64. Chứng minh rằng trong số 10 iểm khác nhau tùy ý bên trong 1 tam giác ều có cạnh bằng
1, có ít nhất 2 iểm mà khoảng cách bé hơn . lOMoARcPSD| 36667950 CHƯƠNG 3: QUAN HỆ §1 QUAN H
Định nghĩa 3.1.1: một quan hệ giữa tập hợp và tập hợp là một tập hợp con ℛ của ×
. Nếu ( , ) ∈ ℛ, ta viết ℛ. Một quan hệ giữa và ược gọi là quan hệ trên Ví dụ: 1. = {1,2,3,4}, = {4,5}
ℛ = {(1,4),(1,5),(3,5),(4,4)} là một quan hệ giữa và . Ta thường biểu
diễn quan hệ ℛ bởi sơ ồ sau: 6 5 ℛ 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 2.
Quan hệ “=” trên một tập hợp bất kỳ: ⟺ = 3.
Quan hệ “≤” trên , hay : (ℛ) ⟺ ≤
Trên quan hệ ≤ có thể biểu diễn bởi sơ ồ: 4 3 2 1 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 4.
Gọi ℒ là tập hợp các ường thẳng trong mặt phẳng. Quan hệ song song ược ịnh nghĩa bởi: ℛ ⟺ / / 5.
Một số nguyên ược nói là chia hết cho số nguyên nếu tồn tại số nguyên
sao cho = . Khi ấy ta cũng nói là ước số của và là bội số của .
Giả sử là một số nguyên >1 và ∈ lOMoARcPSD| 36667950
Xét các bội số không âm của n: 0, ,2 ,…, ,…
Trong số này, các bội số ≤ tạo thành một tập hợp hữu hạn nên ta có thể tìm ược bội số lớn nhất: ≤ < ( + 1) Đặt = = ta có = + ớ 0 ≤ <
Ta nói rằng và là thương số và dư số trong phép chia (có dư) cho .
Chú ý rằng và tồn tại duy nhất. thật vậy,giả sử tồn tại ,′ ∈ sao cho: = + ,0 ≤ <
Ta có thể giả sử ≤. Khi ấy: + = + ′ Suy ra ( − ′) = − ≥ 0 Rõ ràng − < ≤ (− ) nếu − ′ ≥ 1
Cho trước số nguyên > 1, ta ịnh nghĩa quan hệ: ℛ ⟺ − chia hết cho
Quan hệ này ược nói là quan hệ ồng dư modulo . Nếu ℛ ta viết: ≡( )
Rõ ràng khi ấy và có cùng dư số khi chia cho Với = 7 ta có 9 ≡ 2( 7) và 3 ≡ 10( 7) nhưng 3 ≢ 6( 7).
Định nghĩa 3.1.2: cho trước các tập hợp , ,…,
. Khi ấy ánh xạ chiếu lên thành
phần thứ là ánh xạ: : × × …× ⟼ ( , ,…, ) ⟼
1. Ánh xạ chiếu rõ ràng là một toàn ánh
2. Đặc biệt các ánh xạ chiếu , từ × lên và tương ứng là các toàn ánh. Tuy nhiên nếu ℛ
là tập hợp con của × , nghĩa là một quan hệ giữa A và B thì (ℛ) và (ℛ) có thể là tập
hợp con thực sự của A và B tương ứng như các ví dụ sau cho thấy. Ví dụ: 1. = = ,ℛ = {( , )/ = | |}
Quan hệ ℛ ược biểu diễn bởi sơ ồ Ta có (ℛ) = Tuy nhiên (ℛ) = 2. = = ,ℛ = {( , ) ∈ × / = } lOMoARcPSD| 36667950 Rõ ràng (ℛ) = = trong khi
(ℛ) = [0,+ ∞) = {∈/ ≥ 0} 3. × / + ≤ 1} Khi ấy (ℛ) = (ℛ) = = mặc dù ℛ ×
Định nghĩa 3.1.3: một quan hệ trên các tập hợp × × …×
là một tập hợp con của = × × …× Chú ý:
1. Giả sử ℛ là một quan hệ trên , ,…,
. Khi ấy các phần tử của ℛ là những bộ ( , ,… )
2. Xét số nguyên 1 ≤ < < ⋯ < ≤ . Khi ấy ta cũng có thể ịnh nghĩa một ánh xạ chiếu , ,…, : × × …× ⟶ × × …× ( , ,…, ) ⟼ , ,…,
Rõ ràng , ,…, cũng là một toàn ánh.
Định nghĩa 3.1.4: nếu ℛ một quan hệ trên , ,…, thì , ,…,
(ℛ) ược gọi là quan hệ chiếu của ℛ. Chú ý: 1. Quan hệ chiếu , ,…,
(ℛ) là một quan hệ trên × × …× .
2. Trong Lý thuyết về cơ sở dữ liệu mô hình quan hệ, các tập hợp , ,…, ược gọi là các
thuộc tính. Như thế quan hệ chiếu 1, 2,…,
(ℛ) chính là quan hệ ban ầu nhưng
các thuộc tính không thuộc các tập hợp , ,…, ã ược bỏ qua như ví dụ sau cho thấy
Ví dụ: trong cơ sở dữ liệu Môn học ở Đại học Khoa học Tự nhiên, ta có các tập hợp thuộc tính sau: : các mã số môn học : các tên môn học : các Giảng viên
Quan hệ Môn học - Giảng viên ược cho bởi bảng sau: Mã Môn học Tên môn học Giảng viên lOMoARcPSD| 36667950 T001 Vi tích phân Ông Bình T011 Toán Rời rạc Ông An T012 Đại số tuyến tính Ông Minh TH001 Tin học ĐC A1 Cô Hà TH002 Tin học ĐC A2 Cô Hà Quan hệ chiếu
(Môn học-Giảng viên) là quan hệ Môn học ược cho bởi bảng sau: Mã Môn học Tên Môn học T001 Vi tích phân T011 Toán Rời rạc T012 Đại số tuyến tính TH001 Tin học ĐC A1 TH002 Tin học ĐC A2
Mặt khác quan hệ chiếu (Môn học – Giảng viên) chính là quan hệ Giảng viên:
{Ông Bình, Ông An, Ông Minh, Cô Hà}.
§2 QUAN H TƯƠNG ĐƯƠNG
Định nghĩa 3.2.1: một quan hệ ℛ trên tập hợp ược nói là phn xạ nếu: ∀ ∈ ,ℛ dụ:
1. Quan hệ “=” trên một tập hợp bất kỳ, quan hệ “≤” trên , , , quan hệ ống dư trên
Z là phản xạ
2. Quan hệ “// ” trên ℒ là phản xạ. Tuy nhiên quan hệ “⊥” (vuông góc) trên ℒ không
phải là quan hệ phản xạ.
Chú ý: gọi ∆ là ường chéo chính của × : ∆ = {( , )/ ∈}. Khi ấy quan hệ ℛ trên là phản xạ khi và chỉ khi ℛ ⊃ ∆ .
Định nghĩa 3.2.2: quan hệ ℛ trên ược nói là ối xứng nếu: ∀ ,∈, ℛ ⟹ ℛ Ví dụ:
1. Các quan hệ “= ,≡, //, ⊥” là những quan hệ ối xứng
2. Quan hệ “≤” trên ,
, không phải là quan hệ ối xứng
3. Quan hệ ℛ = {(1,2).(2,1),(1,3),(3,1)} trên = {1,2,3,4} là một quan hệ ối xứng nhưng không phản xạ: lOMoARcPSD| 36667950
Chú ý: trong hình vẽ trên ta thấy tập hợp ℛ tự ối xứng qua ường chéo ∆ . Tổng quát hơn
một quan hệ ℛ trên tập hợp bất kỳ là ối xứng khi và chỉ khi ℛ là tự ối xứng qua ∆ Định
nghĩa 3.2.3:
một quan hệ ℛ trên ược nói là bắc cầu nếu: ∀ , , ,(ℛ) ∧ (ℛ) ⟹ ℛ Ví dụ:
1. Các quan hệ “= ,≡, //, ≤” là các quan hệ bắc cầu
2. Quan hệ “⊥” trên ℒ không phải là quan hệ bắc cầu
3. Quan hệ {(1,1),(2,3),(3,4),(2,4)} trên = {1,2,3,4} là bắc cầu
Định nghĩa 3.2.4: một quan hệ ℛ trên tập ược gọi là quan h tương ương nếu nó phản xạ, ối xứng, bắc cầu. Ví dụ:
1. Các quan hệ “= ,≡, //” là các quan hệ tương ương
2. Quan hệ “≤,⊥” không phải là một quan hệ tương ương
3. Quan hệ ℛ = {(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)} trên = {1,2,3} là quan hệ tương ương
4. Quan hệ “tương ương logic” trên tập hợp các mệnh ề là một quan hệ tương ương.
5. Cho trước một ánh xạ : ⟶. Ta ịnh nghĩa quan hệ ℛ trên như sau: ℛ ⟺ ( ) = ( )
Khi ó ℛ là một quan hệ tương ương.
Định nghĩa 3.2.5: giả sử ℛ là một quan hệ tương ương trên và ∈. Khi ấy lớp tương ương
chứa là tập hợp con: {∈/ ℛ}
Chú ý: lớp tương ương chứa thường ược ký hiệu bởi ̅ hay [ ] Ví dụ:
Quan hệ ≡ ( 3) có ba lớp tương ương:
0 = {,…,−6,−3,0,3,…} 1 = {,…,−5,−2,1,4,…}
2 = {,…,−4,−1,2,5,…} Để ý rằng: 0 = 3 = 6 = ⋯ 1 = 4 = 7 = ⋯ 2 = 5 = 8 = ⋯
Như thế {0,1,2} là một phân hoạch của , nghĩa là Z là hợp của 3 tập hợp ôi một rời
nhau {0,1,2}. Tỗng quát hơn ta có:
Định nghĩa 3.2.1: giả sử ℛ là một quan hệ tương ương trên . Khi ấy: i. ∀ ∈ , ∈ ̅ ii. ∀ ,∈, ℛ ⟺ iii.
Hai lớp tương ương ̅ và sao cho ̅ ∩ ≠ ∅ thì trùng nhau lOMoARcPSD| 36667950 Chứng minh: i.
Do tính phản xạ, ℛ. Nói cách khác ∈ ̅ ii.
Giả sử ℛ. Gọi là một phần tử bất kỳ của ̅
Ta có: và nên ℛ do tính bắt cầu.Như thế ̅ ⊂. Mặt khác do tính ối xứng ta cũng có ℛ.
Do ó chứng minh tương tự như trên ta có ⊂ ̅.
Ngược lại giả sử ̅ = , do ∈ ̅
. Điều này có nghĩa là iii. Giả
sử ̅ ∩ ≠ ∅. Khi ấy tồn tại ∈ ̅ ∩ , nghĩa là ℛ và ℛ. Do ii) ta có ̅ = ̅ =  pcm Ví dụ:
1. Xét quan hệ ℛ trên : ℛ ⟺ =
Theo ví dụ 5 sau Định nghĩa 3.2.4, ℛ là quan hệ tương ương xác ịnh bởi ánh xạ ⟼
từ vào . Các lớp tương ương là {0},{−1,1},{−2,2},…,{− , },… Ở ây ược phân hoạch thành vô
số tập hợp con hữu hạn.
Với ∈, quan hệ ồng dư (mod ) là một quan hệ tương ương với lớp tương ương 0,1,…,−
1. Ta ký hiệu: = {0,1,…,− 1}
Các phần tử của, ược gọi là các số nguyên ồng dư mod .
Với , ∈ , chọn tùy ý ∈ và ∈. Ta có thể kiểm tra ược + không phụ thuộc vào và mà chỉ
phụ thuộc vào và . Do ó ta có thể dùng + ể ịnh nghĩa +
. Đặc biệt ta có thể chọn = và = : + = + Tương tự ta có: =
Bây giờ ta có thẻ kiểm ược 2 phép toán ∙,+ trên
thỏa các tính chất tương tự
như các phép toán ∙,+ trên :
 Tính giao hoán: ∀ ̅, , ̅ + = + ̅ và ̅ = ̅
 Tính kết hợp: ∀ ̅, ,̅, = (̅ + ) + ̅ và ̅(̅) = (̅)̅
 Tính phân bố: ∀ ̅, ,̅,̅( + ̅) = ̅ + ̅ ̅  Phần tử trung hòa: ∀ ̅ ̅ + 0 = ̅ ̅1 = ̅
 Phần tử ối: ∀ ̅,̅ + (−) = 0 Ta nói
cũng như là những vành giao hoán có ơn vị
§3 TH T
Định nghĩa 3.3.1: một quan hệ ℛ trên tập hợp ược gọi là phn xng nếu: ∀ , ,(ℛ) ∧ (ℛ) ⟹ = lOMoARcPSD| 36667950 Ví dụ:
Quan hệ “≤” trên , hay R là phản xứng
Quan hệ “ ≡,/ / ” không phản xứng
Chú ý: trái với các quan hệ ối xứng, ối với một quan hệ phản xứng ℛ, mọi bộ phận tự ối
xứng của ℛ ều nằm trong ường chéo ∆ 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5
Định nghĩa 3.3.2: một quan hệ trên tập hợp ược nói là mt th tự nếu nó phản xạ, phản
xứng và bắc cầu. Khi ấy ta nói là một tập hợp sắp thứ tự (hay có thứ tự) Chú ý:
1. Ta thường ký hiệu một thứ tự bởi ≺. Cặp ( ,≺) là một tập hợp có thứ tự.
2. Giả sử là một tập hợp con của tập hợp có thứ tự ( ,≺). Khi ấy ≺ cảm sinh một thứ tự
trên một cách tự nhiên: với ,∈, ta nói ≺ trong nếu ≺ trong . Ví dụ:
1. (ℛ,≤) là một tập hợp có thứ tự. Thứ tự cảm sinh các thứ tự tự nhiên trên , . 2. Nhắc lại tập hợp ( ) ta có quan hệ: ≺ ⟺ ⊂
Khi ó ≺ là một thứ tự trên ( ) gọi là thứ tự bao hàm. Ký hiêu ⊂ sẽ ược dùng thay vì ≺
Trên tập hợp ℳ các dạng mệnh ề, ta ịnh nghĩa ≺ khi và chỉ khi ⟹, nghĩa là một hệ
quả logic của . Rõ ràng quan hệ trên có tính phản xạ và bắc cầu. Mặt khác nếu ⟹ và ⟹ thì à ươ đươ
. Do ó nếu ta ồng nhất các dạng mệnh ề tương ương
logic thì quan hệ trên trở thành một thứ tự trên ℳ.
Chính xác hơn, ta thấy quan hệ tương ương logic là một quan hệ tương ương trên ℳ
. Ta có một quan hệ trên tập hợp các lớp tương ương như sau: [ ] ≺ [ ] ⟺ là hệ quả logic của
Khi ấy quan hệ trên vẫn còn là phản xạ và bắc cầu.
Giả sử [ ] ≺ [ ] và [ ] ≺ . Khi ấy là hệ quả logic của và ngược lại, nghĩa là và tương
ương logic. Suy ra [ ] = [ ]
Do ó ≺ là một thứ tự trên tập hợp các lớp tương ương của ℳ.
Ví dụ: Gọi là một số nguyên dương. Đặt: = {∈/ | }
Trong ó | có nghĩa là một ước của n hay n chia hết cho a. Trên ta có thể ịnh nghĩa một quan hệ: ≺ ⟺ |
Khi ấy rõ ràng là phản xạ và bắc cầu lOMoARcPSD| 36667950
Giả sử ≺ và ≺. Ta có: = và = với ,∈ Suy ra = ⟹ = 1 ì > 0
Do ,∈ ta phải có = = 1, nghĩa là =
Quan hệ thứ tự trên vẫn ược ký hiệu bởi | Với = 12 ta có = {1,2,3,4,6,12}
Do ó ta có thể liệt kê các cặp thuộc quan hệ trên: {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)(1,6),(1,12),
(2,2),(2,4),(2,6),(2,12),(3,3),(3,6),(3,12),(4,4),(4,12),(6,6),(12,12)}
Tuy nhiên ối với các tập hợp hữu hạn có nhiều phần tử, ta không thể dùng phương pháp liệt
kê như trên mà sẽ sử dụng biểu ồ Hasse
Định nghĩa 3.3.3: Xét một tập hợp có thứ tự ( ,≺) và , là hai phần tử bất kỳ của i.
Nếu ≺ ta nói là trội của hay ược trội bởi ii.
là trội trực tiếp của nếu trội và không tồn tại một trội của sao cho:
Định nghĩa 3.3.4: Biểu ồ Hasse của một tập hợp hữu hạn có thứ tự ( ,≺) bao gồm: i.
Một tập hợp các iểm trong mặt phẳng tương ứng 1 – 1 với , gọi là các ỉnh ii.
Một tập hợp các cung có hướng nối một số ỉnh: hai ỉnh , ược nói lại bởi một cung có
hướng (từ tới ) nếu là trội trực tiếp của . Ví dụ: 1.
Trên ây là biểu ồ Hasse của tập hợp sắp thứ tự { , , , , , } trong ó: ≺ < và ≺ ≺
không so sánh ược với các p hần tử khác, nghĩa là với 1 ≤ ≤ 5 thì ⊀ và ⊀ . 2. Biểu ồ Hasse của ược cho bởi: lOMoARcPSD| 36667950 4 12 2 6 1 3
3. Với = { , , } thì biểu ồ Hasse của ( ( ),⊂) có dạng { , } { , , } { } { , } { } { , } ∅ { }
Ở ây ta quy ước các cung là không chéo nhau. Do ó một cách ể hình dùng dễ dàng
là xem như Biểu ồ Hasse của ( ) gồm các ỉnh và cạnh của một hình lập phương 3 chiu.
4. Biểu ồ Hasse của {1,2,3,4,5} với thứ tự thông thường có dạng một dây chuyn: 1 2 3 4 5
Ta có thể duyệt hết các ỉnh một lần bằng cách i theo các cung mà không quay trở lại
Cũng thế trong vô hạn, ta cũng có thể quy ước biểu diễn thứ tự trên bởi biểu ồ Hasse vô hạn như sau: … … 2 -1 0 1 2
Biểu ồ Hasse trên vẫn còn là một dây chuyền vô hạn
Định nghĩa 3.3.5: một thứ tự trên ược nói là toàn phn nếu hai phần tử bất kỳ ều so sánh
ược, nghĩa là mệnh ề sau là úng: ∀ ,∈,(≺) ∨ (≺) Ví dụ: 1. , ,
, với thứ tự ≤ thông thường là những tập hợp sắp thứ tự toàn phần 2.
Xét một tập hợp hữu hạn không rỗng mà ta gọi là bộ mẫu tự. Giả sử trên có một
thứ tự toàn phần ≺ (ví dụ như thứ tự thông thường nếu là bộ chữ cái:
≺ ≺ ≺ ⋯ ≺ , hay thứ tự xác ịnh bởi mã ASCII nếu là bộ chữ cái ược mở rộng thêm
các ký tự là các số từ 0 ến 9, các dấu+,-,…)
Gọi là tập hợp các chuỗi ký tự có dạng = … và … ∈ với là số nguyên tự nhiên tùy ý.
Với = 0 , ta ược chuỗi rỗng ∅ không có ký tự nào cả. ta sẽ ịnh nghĩa một quan hệ ≺ trên như sau:  ∅ ≺ ,∀ ∈
 nếu = … và = … là hai chuỗi khác ∅, ta ịnh nghĩa ≺ khi và chỉ khi một trong hai iều kiện sau ược thỏa:
i. tồn tại một chỉ số ,1 ≤ ≤ sao cho: = ,…, = và ii. ≤ và = ,…, = lOMoARcPSD| 36667950
Ta chứng minh ược rằng ≺ là một thứ tự trên gọi là thứ tự tự iển. Hơn nữa với thứ
tự tự iển, là một tập sắp thứ tự toàn phần (Bài tập)
Bây giờ với Định nghĩa 3.3.5, nhận xét trên ây về biểu ồ Hasse có thẻ ược phát biểu
dưới dạng một kết quả tổng quát hơn mà chứng minh là hiển nhiên.
Mệnh ề 3.3.1: biểu ồ Hasse của ( ,≺) là một dây chuyền khi và chỉ khi ≺ là một thứ tự toàn phần trên .
Do Mệnh ề 3.3.1, biểu ồ Hasse của một tập hợp sắp thứ tự toàn phần hữu hạn là một
dây chuyền xuất phát từ một phần tử và chấm dứt bởi 1 phần tử . Rõ ràng là phần tử bé
nhất và là phần tử lớn nhất theo nghĩa: ∀ ∈ , ≺ ≺
Mặt khác, Ví dụ 1 cho thấy phần tử bé nhất và lớn nhất không nhất thiết tồn tại, ngay
cả trong 1 tập hợp sắp thứ tự hữu hạn. Tuy nhiên các phần tử , là những phần tử tối ại và ,
, là những phần tử ti tiu theo nghĩa sau:
Định nghĩa 3.3.6: trong tập hợp sắp thứ tự ( ,≺), một phần tử ược nói là tối ại (tương ứng
ti tiu ) nếu không có trội thực sự (tương ứng không là trội thực sự của phần tử nào cả).
Nói cách khác mệnh ề sau là úng: ∀ ∈ ,(≺) ⟹ ( = ) tương ứng
Định lý 3.3.2: trong một tập hợp sắp thứ tự , phần tử lớn nhất , nếu tồn tại, là phần tử tố ại
duy nhất. Suy ra cũng là phần tử lớn nhất duy nhất. Kết luận tương tự cho phần tử bé nhất và phần tử tối tiểu.
Chứng minh: Giả sử là phần tử lớn nhất và tồn tại sao cho ≺. Do lớn nhất, ta cũng có ≺.
Do tính phản xứng, ta có = . Suy ra là một phần tử tối ại.
Mặt khác nếu gọi là một phần tử tối ại tùy ý, do lớn nhất ta có ≺. Nhưng là tối ại, ta phải có =
. Như thế là phần tử tối ại duy nhất và dĩ nhiên cũng là phần tử lớn nhất
duy nhất. Kết luận cho phần tử bé nhất và các phần tử tối tiểu ược chứng minh tương tự
bằng cách ổi chiều các thứ tự (bất ẳng thức).  pcm
Sự tồn tại của phần tử tối ại ối với các tập hợp sắp thứ tự hữu hạn ược cho bởi:
Định lý 3.3.3: trong một tập hợp sắp thứ tự hữu hạn thì: i.
mọi phần tử ược trội bởi (tương ứng trội) một phần tử tối ại (tương ứng tối tiểu) ii.
nếu là phần tử tối ại (tương ứng tối tiểu) duy nhất của thì là phần tử lớn nhất
(tương ứng phần tử bé nhất) Chứng minh:
1. Xét một phần tử ∈. Nếu không tối ại sẽ có ∈ sao cho:
Nếu tối ại thì ó là phần tử phải tìm. Nếu không sẽ có ∈ sao cho:
Nếu tối ại thì ó là phần tử phải tìm vì rõ ràng trội . Nếu không ta tiết tiếp tục tìm
ược một trội thực sự của … lOMoARcPSD| 36667950
Do hữu hạn và các phần tử , , ,… ôi một khác nhau, quá trình trên sẽ dừng sau tối a
− 1 bước, trong ó = | |. Phần tử cuối cùng tìm ược chính là phần tử tối ại trội .
2. Giả sử là phần tử tối ại duy nhất của , và là một phần tử tùy ý của . Do i) tồn tại
một phần tử tối ại sao cho: ≺. Do duy nhất ta có: = Suy ra ≺,∀ ∈
Nói cách khác là phần tử lớn nhất.
Chứng minh cho kết luận về phần tử tối tiểu và phần tử bé nhất hoàn toàn tương tự.
Chú ý: Nếu không hữu hạn, Định lý không úng theo cả khi kết luận: 1.
không có phần tử tối a; ví dụ như = với thứ tự thông thường. 2.
có thể có phần tử tối ại duy nhất nhưng không có phần tử lớn nhất như ví dụ sau cho thấy: 0 1 2 3 §4 DÀN
Giả sử là một tập hợp con hữu hạn của tập hợp sắp thứ tự toàn phần , khi ấy phần
tử lớn nhất của tồn tại và ược ký hiệu bởi max . Tương tự, phần tử bé nhất của tồn tại, và ược ký hiệu bởi min .
Đối với các tập hợp sắp thứ tự không toàn phần , khái niệm max, min có thể ược
giảm nhẹ thành khái niệm sup và inf như sau:
Định nghĩa 3.4.1: Giả sử là một tập hợp con của tập hợp sắp thứ tự ( ,≺). Khi ấy
1. Một phần tử ∈ ược nói là chn trên (tương ứng chặn dưới ) chung của nếu: ∀ ∈ ,≺ (tương ứng ∀ ∈ ,≺) 2. Phần tử bé nhất (tương ứng lớn nhất) của tập hợp {∈/ là chặn trên chung của } (tương ứng {∈/ là chặn dưới chung của
}) ược ký hiệu bởi sup (tương ứng inf ) Ví dụ:
1. Trong một tập hợp sắp thứ tự toàn phần , rõ ràng max của một tập hợp con hữu hạn
chính là sup . Tương tự min chính là inf . 2. Giả sử ℬ = { , ,…,
} là một tâp hợp con hữu hạn của ( ). Khi ấy chính làsup ℬ à chính làinf
Trên tập hợp ℳ các dạng mệnh ề với thứ tự ⟹, xét một tập hợp con hữu hạn ℰ = { ,
,…, }. Khi ấy ∨ ∨ …∨ và ∧ ∧ …∧ chính là sup ℰ và inf ℰ lOMoARcPSD| 36667950 (Bài tập).
Định nghĩa 3.4.2: một tập hợp sắp thứ tự ( ,≺) ược nói là một dàn nếu với hai phần tử bất kỳ , luôn luôn tồn tại.
Ký hiệu: trong một dàn, ta sẽ ký hiệu . Ví dụ:
1. Một tập hợp sắp thứ tự toàn phần là một dàn 2.
( ) với thứ tự bao hàm là một dàn. Ta có:
3. ℳ với thứ tự ⟹ là một dàn: với , là hai dạng mệnh ề, các ký hiệu mới ∨, ∧ dành cho
sup{ , } và inf{ , } trùng với các ký hiệu quen thuộc của phép nối rời và phép nối liền: ∨ và ∧.
4. Tập hợp = { , , , , , } với biểu ồ Hasse dưới ây không phải là một dàn vì { , } không có
sup. Thật vậy các trội chung của { , } là { , , } và tập hợp này không có phần tử bé.
Tương tự ta cũng thấy { , } không có inf.
Định lý 3.4.1: Trong một dàn ( ,≺) các phép toán ∨ và ∧ thỏa các tính chất giao hoán và kết hợp: i. à ∧ ii. à ∧
Chứng minh: i) hiển nhiên nên ta chỉ cần chứng minh ii). Xét 3 phần tử bất kỳ , ,∈.
Khi ấy = ∨ (∨) là một trội chung của và ∨ nên nó cũng là một trội chung của , và thì ∨
≺ vì ∨ là trội chung bé nhất của { , }. Như thế là trội chung của
{ ,∨}. Suy ra = ∨ (∨) ≺ .
Như thế chính là trội chung bé nhất của { , , }. Tương tự ta cũng thấy (∨) ∨ cũng là
trội chung bé nhất của { , , }. Do phần tử bé nhất là duy nhất, ta có: lOMoARcPSD| 36667950 ∨ (∨) = (∨) ∨
Chứng minh của ∧ (∧) = (∧) ∧ hoàn toàn tương tự.  pcm
Chú ý: Do tính kết hợp, nếu = , , …,
là một tập hợp con hữu hạn của dàn thì ∨ ∨ …∨
không phụ thuộc vào cách ặt các dấu “( )”. Hơn nữa, chứng minh tương tự
như trong Định lý 3.4.1 ta thấy ∨ ∨ …∨ chính là sup . Tương tự ∧ ∧ …∧ = inf . Đặc biệt nếu hữu hạn ta có:
Mệnh ề 3.4.2: Trong dàn hữu hạn = { , ,…, } thì ∨ ∨ …∨ và ∧ ∧ …∧ chính là phần tử lớn nhất
và phần tử bé nhất của .
Chú ý: Nếu dàn không hữu hạn thì phần tử lớn nhất và bé nhất không nhất thiết tồn tại
như ví dụ của cho thấy.
Định nghĩa 3.4.3: một dàn ược nói là phân b nếu với mọi , , trong ta có: ∧ (∨) = (∧) ∨ (∧) à ∨ (∧) = (∨) ∧ (∨) Ví dụ:
1. Mọi tập hợp sắp thứ tự toàn phần là một dàn phân bố (Bài tập) 2. Do tính
phân bố của các phép tính tập hợp, dàn ( ) là một dàn phân bố. 3. Do quy
luật phân bố, dàn ℳ các dạng mệnh ề là một dàn phân bố
4. Xét tập hợp sắp thứ tự = { , , , , } với biểu ồ Hasse như sau:
Ta có thể kiểm tra dễ dàng là một dàn. Tuy nhiên không phân bố vì: ∧ (∨) = ∧ = ℎ (∧) ∨ (∧) = ∨ = ≠
Định nghĩa 3.4.4: Giả sử là một dàn với phần tử lớn nhất mà bé nhất mà ta ký hiêu là 1
và 0. Khi ấy một phần tử ̅ ∈ ược nói là phn bù của phần tử ∈ nếu: ∨ ̅ = 1 à ∧ ̅ = 0
Ta nói là một dàn bù nếu mọi phần tử của ều có phần bù.
Chú ý: nếu ̅ là phần bù của thì rõ ràng là phần bù của ̅ Ví dụ: lOMoARcPSD| 36667950
1. Các dàn ( ) và ℳ là dàn bù. Phần bù của ∈( ) chính là phần bù của tập hợp trong , còn
phần bù của dạng mệnh ề chính là phủ ịnh của . 2. Dàn = { , , , , } với biểu ồ Hasse như
dưới ây là một dàn bù §5 DÀN 2
Cho trước hai tập hợp , , nhắc lại rằng
ký hiệu tập hợp các ánh xạ từ vào .
Giả sử ≺ là một thứ tự trên . Khi ấy với ,∈ , ta ịnh nghĩa: ≺ ⟺ ∀ ∈ , ( ) ≺ ( )
Có thể kiểm tra rằng ≺ là một thự tự trên , và hơn nữa ( ,≺) là một dàn nếu ( ,≺ ) là một dàn (Bài tập)
Gọi , là hai phần tử bất kỳ của
,∨ và ∧ là ánh xạ sao cho với mọi ∈: (∨)( ) = ( ) ∨ ( ) à (∧)( ) = ( ) ∧ ( )
trong ó ∨ và ∧ chỉ sup và inf của hai phần tử trong ối với thứ tự ≺ Đặc biệt với
= {0,1}, ta ược dàn {0,1} mà ta ký hiệu là 2 . Với ∈ 2 , ặt = (1). Khi ấy ta có:
Ta nói là hàm ặc trưng của
Hàm ặc trưng của ược ký hiệu bởi . Ta có:
Định lý 3.5.1: tương ứng : ⟼ là một song ánh giữa ( ) và 2 . Hơn nữa với ,
là hai tập hợp con tùy ý của ta có: ⊂ ⟺ ≺ (3.5.1)
Chứng minh: Trên ây ta ã thấy là toàn ánh. Hơn nữa nếu = thì : = (1) = (2) =
Như thế là một song ánh,
Mặt khác, với , là hai tập hợp con tùy ý của , ta có: ⊂ ⟺ ∀ ∈ , ( ) = 1 ⟹ ( ) = 1 ⟺ ≺ lOMoARcPSD| 36667950  pcm
Ta có thể viết lại (3.5.1) như sau: ⊂ ⟺ ( ) ≺ ( )
là ẳng cấu giữa hai tập hợp con có thứ tự ( ) và 2 theo nghĩa sau:
Định nghĩa 3.5.1: môt ẳng cấu giữa hai tập hợp có thứ tự ( ,≺ ),( ,≺ ) là một song ánh : ⟷
sao cho: ∀ , ,(≺ ) ⟺ ( ) ≺ ( ) (3.5.2)
Định lý 3.5.2: Giả sử là một ẳng cấu giữa hai tập hợp có thứ tự ( ,≺ ) và ( ,≺ ) i.
Nếu ( ,≺ ) và ( ,≺ ) là hai dàn, thì với ,∈ tùy ý ta có: (∨) = ( ) ∨ ( )
(3.5.3) và (∧) = ( ) ∧ ( ) (3.5.4) ii.
Nếu là dàn phân bố thì cũng là dàn phân bố iii.
Giả sử có 0 là phần tử bé nhất và 1 là phần tử lớn nhất. Khi ấy (0) và (1) là phần tử
bé nhất và lớn nhất của . iv.
Nếu là dàn bù thì cũng là dàn bù. Hơn nữa nếu ̅ là phần bù của phần tử ∈, thì (̅) là
phần bù của ( ). Nói cách khác (̅) = ( ). Chứng minh: i.
Với ,∈ tùy ý, do (3.5.2) rõ ràng (∨) là chặn trên chung của ( ) và ( ). Suy ra: ( ) ∨ ( ) ≺ (∨) (3.5.5) Mặt khác, cũng do (3.5.2) ( ) ∨
( ) và chặn trên chung của và nên: ∨ ≺ ( ) ∨ ( ) Do ó (∨) ≺ ( ) ∨ ( ) (3.5.6)
Từ (3.5.5) và (3.5.6) ta suy ra (3.5.3)
Chứng minh của (3.5.4) hoàn toàn tương tự.
ii), iii), iv) ược suy ra dễ dàng từ ịnh nghĩa  pcm
Hệ quả: nếu , là hai tập hợp con tùy ý của thì ∪ = ∨ à ∩ = trong ó =
∧ là tích của hai hàm theo nghĩa tự nhiên. §6 DÀN
6.1 Ước số chung lớn nhất và bội số chung lớn nhất
Giả sử , là hai số nguyên dương, khi ấy số nguyên dương ược nói là ước s chung
của và nếu là ước số của và là ước số của . Khi ấy 0 ≤ ≤ min( , ). Do ó tập hợp của các
ước số chung của và là một tập hợp hữu hạn và tồn tại một phần tử lớn nhất gọi là ước s
chung l
n nht của và . Ta viết: = ( , ) lOMoAR cPSD| 36667950
Để tìm ước số chung lớn nhất của 2 số nguyên dương , ta sử dụng thuật toán sau:
Thuật chia Euclide: nếu là ước của , ặt = . Nếu không ta thực hiên lần lượt các phép chia có dư số: + = ,0 ≤ < + = ,0 ≤ < = + ,0 ≤ r < … ………………… ………………… … + ,0 ≤ <
………………… …………………… = … … Do > > > ⋯ >
> ⋯ ≥ 0, thuật chia sẽ ngưng sau một số hữu hạn bước. Gọi
là dư số ầu tiên bằng 0. Ta có: = + , 0 ≤ < = + 0 Ta có:
Định lý 3.6.1: là ước số chung lớn nhất của và . Hơn nữa mọi ước số chung của và là ước số của
Chứng minh: Nếu là ước của thì ước số chung lớn nhất của và chính là = . Nếu không >
0. Giả sử là ước số chung của và . Do = − nên cũng là ước số của với 1 ≤ ≤ . Thật vậy,
giả sử 1 ≤ < và là ước của với 1 ≤ ≤ . Khi ấy do
= − nên cũng là ước của . Như thế theo nguyên lý qui nạp, là ước của . Đặc biệt nếu
gọi là ước số chung lớn nhất của và thì cũng là ước của . Suy ra ≤ lOMoARcPSD| 36667950
Ngược lại, do = nên là ước của . Tương tự như trên, dùng nguyên lý qui nạp , ta thấy là
ước của với 1 ≤ ≤ . Nhưng = + nên cũng là ước của . Cuối cùng do = + , cũng là ước của .
Như thế là ước số chung của và . Suy ra ≤ Tóm lại =  pcm
Định lý 3.6.2: Giả sử là ước số chung lớn nhất của và . Khi ấy tồn tại ,∈ sao cho: = +
Chứng minh: với ký hiệu như trong Định lý 3.6.1, ta có = . Như thế: = − = + Nhưng = − Do ó = + ( − ) =
Bằng Nguyên lý qui nạp tương tự như trên ta cũng chứng minh ược tồn tại , ,…, ∈ sao cho: = + = + ( − ) Sử dụng = + = − ta ược: = + ( ) = +  pcm
Định nghĩa 3.6.1: hai số nguyên dương , ược nói là một nguyên tố cùng nhau nếu ước số
chung lớn nhất của chúng bằng 1. Khi ấy ta viết ( , ) = 1 lOMoARcPSD| 36667950
Chú ý: Một số nguyên > 1 ược nói là s nguyên t nếu không có ước nào ngoài 1 và chinh
nó. Nếu là số nguyện tố và không phải là ước của thì và nguyên tố cùng nhau.
Mệnh ề 3.6.3: Giả sử , ,∈ sao cho là ước của và ( , ) = 1. Khi ấy là ước của .
Chứng minh: Do Định lý 3.6.2, tồn tại ,∈ sao cho: 1 = + đó = +
Vì là ước của nên cũng là ước của  pcm
Mệnh ề 3.6.4: Giả sử , ,∈ sao cho ( , ) = 1 và ( , ) = 1. Khi ấy ( , ) = 1 Chứng minh: Giả sử ước
số chung lớ nhất của và là > 1. Khi ấy ( , ) = 1 vì nếu không, gọi là ước số chung lớn nhất
của và ta có > 1. Rõ ràng cũng là ước chung của và . Điều này mâu thuẫn với giả thiết ( ,
) = 1. Vậy ( , ) = 1. Do ó theo Mệnh ề 3.6.3 là ước số của . Điều này mâu thuẫn với giả thiết
( , ) = 1. Do ó = 1, nghĩa là ( , ) = 1  pcm
Một số nguyên ược nói là bi s chung của hai số nguyên , nếu ồng thời là bội số của và .
Bổ ề 3.6.5: Cho , ,∈ . Giả sử là bội số chung của , và ( , ) = 1. Khi ấy là bội số chung của .
Chứng minh: Do là bội số của , ta có thể viết =
với là số nguyên. Do Mệnh ề
3.6.3, là ước số của : = , ∈ . Suy ra = ′  pcm
Định lý 3.6.6: Giả sử ,∈ . Gọi là ước số chung lớn nhất của , . Khi ấy là bội số chung của
, . Hơn nữa mọi bội số chung của , ều chia hết cho . Suy ra là bội số chung lớn nhất của và .
Chứng minh: Ta có thể viết = = với , Mặt khác ể ý rằng
và nguyên tố cùng nhau. Thật vậy gọi là ước số chung lớn
nhất của chúng thì cũng là ước số chung của và . Suy ra = 1.
Gọi là bội số chung của và . Áp dụng Bổ ề 3.6.5 cho , , ta thấy là bội số chung của
nên là bội số chung của .  pcm
Chú ý: ta ký hiệu bội số chung nhỉ nhất của , bởi ( , )
Giả sử ∈, > 1. Khi ấy nếu gọi là ước bé nhất của sao cho > 1 thì rõ ràng là một số
nguyên tố. Lại tiếp tục xét ta chứng minh ược bằng qui nạp rằng là tích của một số hữu
hạn số nguyên tố. Gộp các thừa số giống nhau lại ta có thể phân tích thành (3.6.1)
tha s nguyên tố: = … trong ó ∈ , ,…,
là các số nguyên tố ôi một khác nhau và , ,…, GS. Nguyễn Hữu Anh 72
Downloaded by Albedo Lili (albedo0208@gmail.com) lOMoARcPSD| 36667950
Mệnh ề 3.6.7: Biểu diễn (3.6.1) là duy nhất
Chứng minh: xét một phân tích ra thừa số nguyên tố khác của : = … (3.6.2)
Nếu ∉ { , ,…, } thì áp dụng thì áp dụng Mệnh ề 3.6.4 nhiều lần ta i ến kết luận và số
nguyên tố cùng nhau. Điều mâu thuẫn này chứng tỏ ∈ { , ,…, }. Lập luận tương tự cho ,…, , ,…, ta ược: { , ,…, } = { , ,…, } Đặc biệt =
. Sắp xếp thứ tự lại , ,…, ta có thể giả sử = , = ,…, =
. Ta sẽ chứng minh = , = ,…, = bằng qui nạp trên  Nếu = 1 thì = = . Suy ra =  Giả sử > 1. Nếu < thì = …
rõ ràng nguyên tố cùng nhau với
. Trong khi ó dùng biểu diễn (3.6.2) ta ược: = …
Do − > 0, là ước của. Điều mâu thuẫn này chứng tỏ ≥ . Do và óng vai trò ối xứng ta
cũng có ≤ , nghĩa là = . Khi ấy ta ược 2 biểu iễn của thành thừa số nguyên tố: = … = …
Áp dụng giả thiết qui nạp ta ược = , = ,…, =  pcm
Sử dụng phân tích (3.6.1) ta có một phương pháp thứ hai ể tìm ước số chung lớn
nhất và bội số chung nhỏ nhất của hai số nguyên dương. Trước tiên nhận xét rằng nếu và có phân tích = … (3.6.3) = … (3.6.4)
Thì là ước của khi và chỉ khi 2 iều kiện dưới ây ược thỏa: lOMoAR cPSD| 36667950  { , ,…, } ⊂ { , ,…, }. Đặc biệt ≤
 Ta sắp xếp thứ tự , ,…, lại sao cho = , = , = . Khi ấy các số mũ thỏa: ≤ , ≤ ,…, ≤ .
Chứng minh của khẳng ịnh trên dựa trên cùng ý tưởng với chứng minh Mệnh ề 3.6.7
nêu ược dành cho ọc giả.
Bây giờ giả sử và có phân tích như trong (3.6.3) và (3.6.4) với các số mũ nguyên
dương. Bằng cách bổ sung thêm vào các thừa số là lũy thừa 0 của những số nguyên tố
trong (3.6.3) và ngược lại, ta có thể giả sử , có dạng: = … = …
Với các số mũ lấy giá trị nguyên dương hay 0. Khi ấy do nhân xét trên ta có: Mệnh ề 3.6.8: ( , ) = … và ( , ) = … ( ) = min , với và = max( , 6.2 Dàn
Nhắc lại rằng tập hợp gồm các ước số dương của ược
sắp thứ tự bởi quan hệ: ≺ ⟺ | ( là ước số của ) Giả sử ,∈. Khi ấy = ( , ) ∈
Rõ ràng ≺ và ≺. Hơn nữa nếu ∈ sao cho ≺ và ≺ thì là ước số chung của , nên theo
Định lý 3.6.1 cũng là ước số của , nghĩa là ≺.
Nói tóm lại chính là inf( , ). Tương tự ( , ) là sup( , ). Với ký hiệu ∧,∨ cho inf và sup ta có: ∧ = ( , ) ∨ = ( , )
Như thế là một dàn phần tử bé nhất là 1, phần tử lớn nhất là .
Hơn nữa nếu gọi , ,…, là các ước số nguyên tố của thì ta có thể biểu diễn 1 phần tử
bất kỳ của dưới dạng (3.6.1) với số mũ thuộc . Xét ba phần tử tùy ý , ,∈ với biểu diễn như trên: = … = … = …
Khi ấy do Mệnh ề 3.6.8 số mũ của trong ∧ (∨) là: )) min( ,max(, )) = max(min( , ) ,min( , lOMoARcPSD| 36667950
Như thế ∧ (∨) = (∧) ∨ (∧) Tương tự ∨ (∧) = (∨) ∧ (∨)
Tóm lại ta ã chứng minh.
Định lý 3.6.9: là một dàn phân bố.
Một số nguyên dương ược nói là không có tha s chính phương nếu không chia hết cho
bình phương của bất kỳ số nguyên >1 nào. Định lý 3.6.10:
là dàn bù khi và chỉ khi không có thừa số phương.
Chứng minh: Giả sử không có thừa số chính phương và là một phần tử tùy ý của . Khi
ấy và nguyên tố cùng nhau vì nếu không, bất kỳ ước số chung > 1 của chúng cũng ều có
bình phương là ước của . Như thế ∧= 1 Ngoài ra ∨ = , ==
Vậy chính là phần bù của và do ó là một dàn bù.
Ngược lại, giả sử chia hết cho bình phương của số nguyên >1. Gọi là phần bù của trong . Ta có: ∧ = 1 ∨ = Mà
Suy ra = . Nhưng rõ ràng là ước số chung của và nên ∧ ≠ 1. Điều này mâu thuẫn
chứng tỏ không có phần bù và không phài là một dàn bù. Thật ra trong chương 4 ta sẽ
chứng minh rằng nếu có một thứ tự nào ó trên ể nó trở thành một dàn bù thì số phần tử của
phải là một lũy thừa của 2. Trong khi ó số ước của là một lũy thừa của 2 thì trong
phân tích của thành thừa số nguyên tố, các số mũ phải có dạng 2 − 1 (Bài tập). lOMoARcPSD| 36667950
BÀI TẬP CHƯƠNG 3 1. Giả sử = {0,1,2,3,4}, = {1,3,7,12},
= {0,1,2,,4,8,16,} và A_4={-3,-2,-1,0,1,2,3} a) Xét ℛ = {( , , , ) ∈ × × × ; = 0}. Hãy tính |ℛ |. b) Xét ℛ = {( , , , ) ∈ × × × ; < 0}. Hãy tính |ℛ |. 2.
Giả sử = {1,2,3}, = {2,4,5} a) Tính | × | b)
Tìm số quan hệ giữa và c)
Tìm số quan hệ giữa hai ngôi trên d)
Tìm số quan hệ giữa và chứa (1,2),(1,5) e)
Tìm số quan hệ giữa và chứa úng 5 cặp có thứ tự. f)
Tìm số quan hệ giữa hai ngôi trên chứa ít nhất 7 cặp có thứ tự. 3.
Xét hai tập hợp hữu hạn và sao cho | | = 3. Tìm số phần tử của biết rằng có úng 4096 quan hệ giữa và . 4.
Một quan hệ giữa hai tập hợp và ược nếu là một hàm nếu với mọi ∈ (t.ư ∈
), tốn tại duy nhất một phần tử ∈ (t.ư ∈) sao cho ( , ) ∈ ℛ. Khi ấy tương ứng ⟼ (t.ư ⟼)
rõ ràng là một ánh xạ từ vào (t.ư vào ) như ã xét trong Chương 2. Trong các quan hệ
dưới ây, hãy cho biết quan hệ nào là một hàm và tìm ánh xạ tương ứng a) ℛ = {( , ) ∈ / = + 7} b) ℛ = {( , ) ∈ / = } c) ℛ = {( , ) ∈ / = 3 + 1} d) ℛ = {( , ) ∈ / + = 1} e)
ℛ = {( , ) ∈ [0,1] × [0,1]/ + = 1} 5. Giả sử = = . Hãy tìm
(ℛ) và (ℛ) cho các quan hệ ℛ sau ây: a) ℛ = {( , ) ∈ × / = } b) ℛ = {( , ) ∈ × / = cos } c) ℛ = {( , ) ∈ × / + = 1} 6.
Giả sử = { , , , , , } (mã số các loại ngũ cốc), = = = = . Xét quan hệ ℛ giữa các tập , , , , cho bởi bảng dưới ây: L.Vitamin A/ L.Vitamin C/ Mã số Lượng ường/ vtt vtt vtt L.Protein/ vtt U 1 25 25 6 V 7 25 2 4 W 12 25 2 4 X 0 60 40 20 Y 32 25 40 10 Z 2 25 40 10 a)
Hãy tìm quan hệ chiếu của ℛ lên × × b)
Một thuộc tính ược nói là khóa chính của quan hệ ℛ nếu giá trị của nó xác ịnh duy
nhất một bộ 5 thuộc ℛ. Hãy tìm các khóa chính của ℛ. 7.
Giả sử = {1,2}, = { , , }, = = = . Xét quan hệ ℛ giữa , , , , cho bởi bảng dưới ây: lOMoARcPSD| 36667950 Loại viên Loại Vitamin Lượng Vitamin Liều lượng: Vitamin trong viên trong viên số viên/ ngày Số viên trong chai 1 A 10.000 1 100 1 D 400 1 100 1 E 30 1 100 2 A 4.000 1 250 2 D 400 1 250 2 E 15 1 250 a)
Tìm quan hệ chiếu của ℛ lên × và × × b)
Quan hệ này có khóa chính không? c)
Một khóa chính phc hp là tích Descartes của một số tối thiểu thuộc tính sao cho
nếu gọi ℛ′ là quan hệ chiếu của ℛ lên tích Descartes ó, thì mỗi bộ trong ℛ’ là là
hình chiếu duy nhất của một bộ trong ℛ. Hãy xác ịnh các kháo chính phức hợp của ℛ. 8.
Hãy tìm quan hệ trên = {1,2,3,4} sao cho nó có tính chất a)
Phản xạ và ối xứng nhưng không bắc cầu b)
Phản xạ và bắc cầu nhưng không ối xứng c)
Đối xứng và bắc cầu nhưng không phản xạ 9.
Trong số các quan hệ dưới ây, hãy cho biết quan hệ nào có tính phản xạ, ối xứng, phản xứng, bắc cầu: a)
là một tập con cố ịnh của , xét quan hệ ℛ trên ( ): ℛ ⟺ ∩ ⟺ ∩ b) Quan hệ ℛ trên : ℛ ⟺ + chẵn c) Quan hệ ℛ trên : ℛ ⟺ − lẻ d) Quan hệ ℛ trên ×
: ( , )ℛ( , ) ⟺ ≤ chẵn e) Quan hệ ℛ trên : ℛ ⟺ + chẵn f)
Quan hệ ℛ trên : ℛ ⟺ | | = | | g)
Quan hệ ℛ trên : ℛ ⟺ sin + cos = 1
10. ℛ là một quan hệ trên tập hợp với phần tử. Cho biết các khẳng ịnh dưới ây úng hay
sai. Nếu sai, chỉ ra một phản ví dụ: a) Nếu ℛ phản xạ thì |ℛ| ≥
b) Nếu |ℛ| ≥ thì ℛ phản xạ
c) Nếu ℛ và ℛ là hai quan hệ trên sao cho
phản xạ thì ℛ phản xạ
d) Kết luận tương tự như c) cho tính ối xứng, phản xứng và bắc cầu
e) Nếu ℛ và ℛ là hai quan hệ trên sao cho
phản xạ thì ℛ phản xạ
f) Kết luận tương tự như e) cho tính ối xứng, phản xứng và bắc cầu
11. Giả sử là một quan hệ trên A, quan h i ngu của ược ịnh nghĩa bởi: ℛ∗ ⟺ ℛ a)
Quan hệ ối ngẫu của ℛ∗ là gì? b)
Có thể nói gì về ℛ nếu ℛ = ℛ∗ c)
Nếu ℛ bắc cầu thì ℛ∗ có bắc cầu không? Câu hỏi tương tự cho tính ối xứng, phản xứng.
12. = {1,2,3,4}. Xác ịnh số quan hệ trên A có tính chất: a) phản xạ b) ối xứng c) phản xạ và ối xứng lOMoAR cPSD| 36667950 d) phản xứng e) ối xứng và phản xứng f)
phản xạ và ối xứng và phản xứng
13. Giả sử | | = và ℛ là tập hợp con tối ại của × sao cho ℛ là một quan hệ phản xứng. Tìm
số phần tử của ℛ. Có bao nhiêu quan hệ ℛ thỏa iều kiện trên? 14. = {1,2,3,4,5,6},ℛ =
{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(6,6)}. a)
Kiểm tra lại ℛ là một quan hệ tương ương b)
Tìm các lớp tương ương [1],[2],[3]. c)
Tìm phân hoạch của thành các lớp tương ương
15. = {1,2,3,4,5}. Tìm quan hệ tương ương ℛ trên sao cho phân hoạch của thành các lớp tương ương có dạng: = {1,2} ∪ {3,4} ∪ {5} 16. = {1,2,3,4,5}, = {1,2}, = {2,3,4},
= {5}. Định nghĩa quan hệ ℛ trên như sau: ℛ ⟺ ∃ :1 ≤ ≤ 3 và ,∈
ℛ có phải là quan hệ tương ương không?
17. Xét quan hệ ℛ trên = sao cho : ( , )ℛ( , ) ⟺ =
a) Kiểm tra lại ℛ là một quan hệ tương ương
b) Chỉ ra các lớp tương ương và cho biết ý nghĩa hình học 18. = {1,2,3,4,5}
× {1,2,3,4,5} và ℛ là quan hệ trên sao cho: ( , )ℛ( , ) ⟺ + = +
a) Kiểm tra lại ℛ là một quan hệ tương ương
b) Xác ịnh các lớp tương ương [(1,3)],[(2,4)] và [(1,1)]
c) Chỉ ra phân hoạch của thành các lớp tương ương 19.
a) Quan hệ ℛ trong 9a) có phải tương ương không?
b) Với = {1,2,3} và = {1,2}. Tìm phân hoạch của ( ) thành các lớp tuong ương
c) Với = {1,2,3} và = {1,2}. Tìm lớp tương ương [{1,3,5}]. Có bao nhiêu lớp tương ương khác nhau?
20. Quan hệ ℛ trên ược ịnh nghĩa bởi: ℛ ⟺ ∃ ∈ : 2 a)
Kiểm tra lại ℛ là một quan hệ tương ương b)
Trong số các lớp tương ương [1], [2], [3], [4] có bao nhiêu lớp ôi một phân biệt? c)
Câu hỏi tương tự như b) sao cho các lớp [6],[7], [21], [24], [25], [35], [42] và [48]
21. Có bao hiêu quan hệ tương ương trên = { , , , , , } sao cho: a)
Có úng hai lớp tương ương với 3 phần từ b)
Có một lớp tương ương với 3 phần tử c)
Có một lớp tương ương với 4 phần tử d)
Có ít nhất một lớp tương ương với ≥ 3 phần tử.
22. Xét một ánh xạ : ⟶. Định nghĩa ℛ trên như sau: ℛ ⟺ ( ) = ( ) a)
Chứng minh rằng ℛ là một quan hệ tương ương b)
Xác ịnh các lớp tương ương lOMoARcPSD| 36667950
23. | | = 30 và ℛ là một quan hệ tương ương trên sao cho ược phân hoạch thành 3 lớp tương
ương , , với cùng số phần tử. Hãy xác ịnh ℛ
24. = {1,2,3,4,5,6,7}. Hãy tìm một quan hệ tương ương ℛ trên sao cho |ℛ| cho các giá trị: 6, 7, 8, 9, 11, 22, 23, 30, 31.
25. Vẽ biểu ồ Hasse cho tập hợp sắp thứ tự ( ( ),⊂) trong ó = {1,2,3,4}
26. Xét hai tập hợp thứ tự tập hợp thứ tự ( ,≺ ) và ( ,≺ ). Với ( , ),( , ) ∈ × ịnh nghĩa: ( , ) ≺ ( , ) ⟺ ( ≺ ) ∧ ( ≺ ) a)
Chứng minh rằng quan hệ trên là một thứ tự b)
Nếu ≺ và ≺ là thứ tự toàn phần thì ≺ có là thứ tự toàn phần không?
27. Cho trước hai tập hợp , và ≺ là một thứ tự trên . ta ịnh nghĩa quan hệ ≺ trên như sau: ≺ ⟺ ∀ ∈ , ( ) ≺ ( ) a)
Chứng minh rằng ≺ là một thứ tự trên b)
Nếu ( ,≺ ) là một dàn, chứng minh rằng ( ,≺) là một dàn
28. Giả sử ℛ là một quan hệ bắc cầu trên . Gọi ℛ∗ là quan hệ ối ngẫu của ℛ như trong bài
tập 11. Chứng minh rằng ℛ là một thứ tự khi và chỉ khi
ℛ ∩ ℛ∗ = ∆ = {( , )/ ∈}
29. Chứng minh rằng thứ tự tự iển trên tập hợp các chuỗi ký tự thật sự là một thứ tự. hơn
nữa S ược sắp thứ tự toàn phần bởi quan hệ trên.
30. Giả sử ≺ là một thứ tự không toàn phần trên , và là một tập hợp con khác ∅ của . Khi
ấy thứ tự cảm sinh trên bởi ≺ có nhất thiết là thứ tự không toàn phần không?
31. Trong các biểu ồ sau, cái nào là biểu ồ Hasse của một tập hợp sắp thứ tự:
32. Có bao nhiêu thứ tự trên tập dưới ây ể cho là một phần tử tối tiểu? a) = { , } b) = { , , }
33. Giả sử = ( ) với = {1,2,3}. Trong tập hợp A với thứ tự bao hàm, hãy tìm sup và inf của tập hợp con ⊂ dưới ây: a) = {1},{2} b) = {1},{2},{3},{1,2} c) = ∅,{1},{2},{1,2} d) = {1},{1,2},{1,3},{1,2,3} e) = {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3} f) =
{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} lOMoAR cPSD| 36667950
34. Giả sử = ( ) với thứ tự bao hàm trong ó = {1,2,3,4,5,6,7}. Xét = {1},{2},{2,3} . Hãy cho biết: a)
Số chặn trên của bao gồm 3,4,5 phần tử của b)
Số tất cả chặn trên của c) sup d)
Số tất cả chặn dưới của e) inf
35. Giả sử ( ,≺) là một tập hợp sắp thứ tự. Cho biết các khẳng ịnh dưới ây úng hay sai? Tại sao? a)
Nếu ( ,≺) là một dàn thì ≺ là thứ tự toàn phần b)
Nếu ≺ là thứ tự toàn phần thì ( ,≺) là một dàn
36. Giả sử ( ,≺) là một dàn và là một phần tử tối ại của . Khi ấy là phần tử lớn nhất. Kết
luận tương tự cho phần tử tối tiểu.
37. Giả sử = { , , , , , , , , , } với thứ tự xác ịnh bởi biểu ồ Hasse dưới ây. Hãy tính: a) inf { , } b) inf { , } c) inf { , } d) sup { , } e) sup { , } f) sup { , } g) sup { , } z x t y v e c d a
38. Với ( ,≺) như trong bài tập 37 a)
có phần tử lớn nhất và bé nhất không không? b)
( ,≺) có là một dàn không?
39. Trên tập hợp ℳ các dạng mệnh ề với thứ tự “có hệ quả logic” (⟹), chứng minh rằng
sup và inf của một tập hợp con hữu hạn ℇ = { , ,…, } chính là các dạng mệnh ề ∨ ∨ …∨
(nối rời) và ∧ ∧ …∧ (nối liền).
40. Một tập hợp thứ tự ≺ trên tập hợp A ược nói là thứ tự tốt nếu mọi tập hợp con A khác ∅
của A ều có phần tử bé nhất. khi ấy ta nói ( ,≺) ược sắp tốt. a)
Chứng minh rằng mọi thứ tự tốt ều là toàn phần. Điều ngược lại có úng không? b)
Chứng minh rằng mọi tập hợp sắp thứ tự tốt có phần tử bé nhất. c)
Cho ví dụ của một tập hợp sắp tốt không có phần tử lớn nhất, và ví dụ của một tập
hợp sắp tốt có phần tử lớn nhất.
41. Trong các tập hợp sắp thứ tự dưới ây, cho biết tập hợp nào sắp thứ tự tốt: a) ( ,≤) b) ( ,≤) c) ( ,≤) d) ( ,≤) lOMoARcPSD| 36667950 e)
( ,≤) trong ó là tập hợp các số nguyên tố f) ( ,≤) trong ó
là tập hợp con hữu hạn của Z g)
( ,≺) trong ó là tập hợp các chuỗi ký tự trên một tập hợp mẫu tự sắp thứ tự toàn
phần và ≺ là thứ tự tự iển.
42. Giả sử ( ,≺) là một tập hợp sắp thứ tự tốt không có phần tử tối ại a)
Chứng minh rằng mỗi phần tử x ều có trội trực tiếp duy nhất ( ) b)
Chứng minh rằng ánh xạ : ⟶ là ơn ánh. Ánh xạ này có toàn ánh không? c)
Giả sử ( ) bằng trừ i một iểm. chứng minh rằng ( ,≺) ẳng cấu với ( ,≤) 43. Tìm ước
số chung lớn nhất của các cặp số sau: a) 43,16 b) 442,276 c) 6234,3312 d) 87657,44441 e) 654321,123456 44.
a) Phân tích 2 số sau ra thừa số nguyên tố: 148.500 và 7.114.800
b) Hãy tìm USCLN và BSCNN của chúng
45. Giả sử số có phân tích ra thừa số nguyên tố: = …
Hãy tìm phân tích ra thừa số nguyên của ,
46. Hãy tìm phân tích ra thừa số nguyên của 8!, 10!, 12! và 15! 47.
a) Hãy tìm ra các ước số dương của 2 5 7
b) Giả sử có phân tích ra thừa số nguyên tố =
Tìm số các ước dương của
c) Tổng quát hóa kết quả trên cho trường hợp có nhiều hơn 3 ước số nguyên tố
d) Suy ra nếu số các ước số dương của là lũy thừa của 2 thì trong phân tích của thành
thừa số nguyên tố, các số mũ ều có dạng 2 − 1,∈ 48. a) Số = 2 3 5 7
11 13 37 có bao nhiêu ước số?
b) Có bao nhiêu ước số dương của chia hết cho 2 3 5 11 37 ?
c) Có bao nhiêu ước số dương của chia hết cho 1.166.400.000
49. Có 200 ồng xu ược ánh số từ 1 ến 200 ặt thành hàng nganh trên bàn và 200 sinh viên
cũng ược ánh số từ 1 ến 200. Sinh viên thứ nhất sẽ lật ngược tất cả các ồng xu lại. Tiếp
theo sinh viên thứ 2 lật ngược ồng xu thứ 2,4,6,… Sinh viên thứ n, 1≤
≤200, lật ngược ồng xu thứ ,2 ,3 ,…
a) Hỏi ồng xu thứ 200 ược lật ngược bao nhiêu lần?
b) Có ồng xu nào có số lần bị lật ngược như ồng xu thứ 200 không? lOMoARcPSD| 36667950
50. Hãy viết một chương trình máy tính cho phép phân tích số nguyên > 1 ra thừa số nguyên tố.
51. Tìm số nguyên dương có úng: a) hai ước số dương b) ba ước số dương c) bốn ước số dương d) năm ước số dương
52. Cho hai số nguyên dương , a) Giả sử ( )) của phương
, ) = 1. Hãy tìm tất cả các lời giải (nghĩa là các cặp ( , trình =
b) Câu hỏi tương tự nhưng không giả thiết , nguyên tố cùng nhau
c) Hãy tìm số các cặp số nguyên , thỏa: + = ( , )
53. Hãy tìm các cặp ( , ) thỏa hệ thức + =
( , ) trong các trường hợp sau: a) = 46, = 16 b) = 124, = 64 c) = 3450, = 331
54. Cho trước số nguyên > 1. Ta nói ∈ khả nghịch (mod ) nếu tồn tại ’ ∈ sao cho: ’ ≡ 1 (mod ) a)
Chứng minh rằng nếu khả nghịch (mod ) thì phương trình ồng dư ≡ (mod
) có nghiệm duy nhất trong b)
Nếu không khả nghịch mod thì sao?
55. Hãy giải các hệ thức ồng dư dưới ây (tìm tất cả các số ồng dư): a) 3≡ 7 (mod 14) b) 5 + 7 ≡ 6 (mod 23) d) 4 + 3 ≡ 7 + 12 (mod 11) d) 3 + 9 ≡ 8 + 61 (mod 64) lOMoARcPSD| 36667950
CHƯƠNG 4: ĐẠI SỐ BOOL VÀ HÀM BOOL
§1 ĐẠI S BOOL
Định nghĩa 4.1.1: Một ại số Bool là tập hợp cùng với hai phép tính (hai ngôi) ∨ và ∧ thỏa mãn các tính chất sau i.
Tính kết hp: với mọi , ,∈:
∨ (∨) = (∨) ∨ và ∧ (∧) = (∧) ∧ ii. Tính
giao hoán: với mọi , ,∈:
∨ = ∨ và ∧ = ∧ iii. Tính phân b: với mọi , ,∈:
∨ (∧) = (∨) ∧ (∨) và ∧ (∨) = (∧) ∨ (∧) iv.
Phn t trung hòa: tồn tại hai phần tử trung hòa 0,1 ối với hai phép toán ∨,∧ sao cho với mọi ∈ ta có: ∨ 0 = và ∧ 1 = v.
Phn t bù: với mọi ∈, tồn tại ∈ sao cho: ∨ ̅ = 1 và ∧ ̅ = 0 Ví dụ:
1. Một dàn bù phân bố là một ại số Bool với hai phép tính ∨,∧ chính là sup và inf của hai
phần tử. Đặc ( ) là một ại số Bool dối với các phép tính tập hợp ∪ và ∩. Cũng thế ℳ
cũng là một ại số Bool ối với các phép nối rời ∨ và nối liền ∧ của hai dạng mệnh ề. Do
30 không chia hết cho chính phương, là dàn bù phân bố và do ó là một ại số Bool ối với các phép toán : ∨ = ( , ) và ∧ = ( , )
2. Tập hợp = {0,1} là một ại số Bool dối với các phép toán : ∧ = ∨ = + −
Phần bù của chính là ̅ = 1 −
Đại số Bool này óng vai trò quan trọng trong lý thuyết về các hàm Bool.
Chú ý: phần bù ̅ của phần tử là duy nhất và hơn nữa ta có qui tắc De Morgan (Bài tập).
∨ = ̅ ∧ và ∧ = ̅ ∨ Trong các ví dụ trên, các phép toán lOMoARcPSD| 36667950 ại số Bool ược ịnh nghĩa còn tự nhiên hơn cấu trúc thứ tự của dàn bù phân
bố. vấn ề ược ặt ra là liệu có thể suy cấu trúc của dàn bù phân bố từ cấu trúc ại số Bool không? Định lý sau ây là câu trả lời:
Định nghĩa 4.1.1: trong ại số Bool , ịnh nghĩa quan hệ: ≺ ⟺ ∧ =
Khi ấy ≺ là một thứ tự trên sao cho là một dàn bù phân bố ối với thứ tự này.
Hơn nữa, với ,∈ ta có: sup( , ) = ∨ inf( , ) = ∧
Chứng minh: Trước hết ta kiểm tra ≺ là một thứ thự trên . Với mọi ∈ ta có: ∧ ̅ = ∧ ( ∨ ̅) = ∧ 1 = (4.1.1) nghĩa là ≺
Mặt khác với ,∈ sao cho ≺ và ≺ ta có:
Do tính giao hoán của ∧ ta có =
Với , ,∈ sao cho ≺ và ≺ ta có: ∧ = à ∧ = Suy ra ∧ = (∧) ∧ = ∧ (∧) = ∧ = nghĩa là ≺
Tóm lại ≺ là một thứ tự trên . lOMoARcPSD| 36667950 Với ,∈ tùy ý, ta có (∧) ∧ = (∧) ∧ Nhưng nên (∧) ∧ = ∧ nghĩa là ∧ ≺ tương tự ∧ = ∧ ≺
Như thế ∧ là chặn dưới chung của ,
Gọi là một chặn dưới chung bất kỳ của , . Ta có: Do ó ∧ (∧) = (∧) ∧ = ∧ = nghĩa là ≺ ∧ Như thế ∧ = inf( , )
Bây giờ do iv) của Định nghĩa 4.1.1, 1 chính là phần tử lớn nhất. Mặt khác, với ∈ tùy ý: ∧ ̅ = (0 ∨ ̅) ∧
= ̅ ∧ = 0 (4.1.1) nghĩa là 0 là phần tử bé nhất của .
Sau cùng với mọi ,∈, ta có: Mà 0 ∧ nên
∧ (∨) = ∨ 0 = nghĩa là ≺ ∨ Tương tự ≺ ∨ = ∨
Gọi là mộ chặn trên chung của , ta có: nghĩa là ∨ ≺ Như thế ∨ = sup( , )
Tóm lại là một dàn phân bố với phần tử lớn nhất và bé nhất là 1,0. Hơn nữa, do
v) của Định lý 4.1.1 ̅ chính là phần bù của . lOMoARcPSD| 36667950  pcm
Do Định lý 4.1.1, mỗi ại số Bool hu hn ược liên kết với một biểu ồ Hasse. Ta hãy
quan sát aho ại số Bool và ({ , , }). Tuy ược ịnh nghĩa khác nhau, các ại số Bool này có hai
biểu ồ Hasse “ ồng dạng” 15 30 { , } { , , } 5 10 { } { , } 3 6 { } { , } 1 ∅ 2 { }
Từ hai biểu ồ trên ta có thể xây dựng một song ánh giữa và ({ , , }) sao cho các ỉnh
tương ứng với nhau 1 ⟼ ∅,2 ⟼ { },3 ⟼ { },… và hai ỉnh ược nối bởi một cạnh của sẽ tương
ứng với hai ỉnh ược nối bởi một cạnh của
({ , , }). Nói cách khác ta có một ẳng cấu giữa
các tập hợp có thứ tự. Do Định lý 3.4.1 sup và inf của hai phần tử , trong tương ứng với
sup, inf của ( ), ( ). Nói cách khác là một ẳng cấu giữa các ại số Bool theo ịnh nghĩa sau:
Định nghĩa 4.1.2: một ẳng cu giữa hai ại số Bool và ℬ là một song ánh :⟷ ℬ sao cho với mọi ,∈ ta có: (∨) = ( ) ∨ ( ) và (∧) = ( ) ∧ ( )
Mệnh ề 4.1.2: nếu : ⟷ ℬ là một ẳng cấu Đại số Bool thì cũng là ẳng cấu tập hợp có thứ tự
với thứ tự trên và ℬ xác ịnh bởi Định lý 4.1.1. Đặc biệt nếu 0,1 là phần tử trung hòa của ∨,∧
trong ℬ thì (0), (1) là phần tử trung hòa của ∨,∧ trong ℬ.
Chứng minh: giả sử , là hai phần tử trong
sao cho ≺. Khi ấy ta có: ∧ = ⟹( ) ∧ ( ) = ( ) ⟹ ( ) ≺ ( )
Do 0 và 1 cũng là phần tử bé nhất và lớn nhất của , ta thấy (0) và (1) cũng là phần tử
bé nhất và lớn nhất của ℬ, nghĩa là phần tử trung hòa ối với các phép toán ∨,∧ trong ℬ  pcm
Trở lại hai ại số Bool và ({ , , }). Sự ẳng cấu của chúng không phải là trường hợp cá biệt. Ta có:
Đinh lý 4.1.3 (Stone): một ại số Bool hữu hạn luôn lương ẳng cấu với ( ), trong ó là một tập hợp hữu hạn.
Hệ quả 1: Số phần tử của một ại số Bool hữu hạn là một ũy thừa của 2.
Hệ quả 2: Hai ại số Bool hữu hạn có cùng số phần tử thì ẳng cấu với nhau. lOMoARcPSD| 36667950
Chứng minh: Thật vậy hai ại số Bool cho trước sẽ ẳng cấu với như sau: : ( ) → ( ) ⟼( )
Khi ấy ta có: (∪) = ( ) ∪ ( ) nghĩa là (∨) = ( ) ∨ ( )
Hơn nữa do là song ánh ta cũng có:
(∩) = ( ) ∩ ( ) nghĩa là (∧) = ( ) ∧ ( )  pcm
Bây giờ ể chứng minh Định lý Stone ta cần tìm tập hợp . Để ý rằng ta có một ơn ánh: : →( ) ⟼ { }
Hơn nữa trong ( ) các tập hợp { } chính là các trội trực tiếp của ∅. Từ ó ta có:
Định nghĩa 4.1.3: trong một ại số Bool
, một trội trực tiếp của phần tử bé nhất ược
sọi là một nguyên tử của .
Bổ ề 4.1.4: Giả sử là một ại số Bool hữu hạn với phần tử bé nhất 0. Khi ấy mọi phần tử ≠ 0
ều có thể viết dưới dạng: = ∨ ∨ …∨ trong ó { , ,…,
} là tập hợp các nguyên tử trội bởi . Hơn nữa nếu , ,…,
là các nguyên tử sao cho: = ∨ ∨ …∨ thì { , ,…, } = { , ,…, }
Chứng minh: Trước hết \ {0} là một tập hợp sắp thứ tự hữu hạn chứa (≠ 0) nên tồn tại một
phần tử tối tiểu ≺. Rõ ràng là một nguyên tử của . Nói cách khác tập hợp { , ,…, } các nguyen
tử trội bởi là không ∅. Đặt = ∨ ∨ …∨ Rõ ràng ≺.
Ta có: = ∧ (∨) = (∧) ∨ (∧) = ∨ (∧) Giả sử (∧) ≠ 0
Khi ấy theo trên tồn tại một nguyên tử ≺
∧ . Như thế = với 1 ≤ ≤ nào ó Đặt = ∨ ∨ …∨ ∨ ∨ …∨ Ta có = ∨ Do ó = ∧ Suy ra : mâu thuẫn.
Như thế (∧) = 0 nghĩa là = Sau cùng giả sử , ,…,
là các nguyên tử trội bởi sao cho = ∨ ∨ …∨ lOMoAR cPSD| 36667950 Ta có : { , ,…, } ⊂ { , ,…, }
Mặt khác, với mỗi cố ịnh, 1 ≤ ≤ ta có: = ∧ = ∧ ∨ ∧ ∨ … ∧
Suy ra tồn tại sao cho 1 ≤ ≤ và 0 ≠ ∧ ≺
Do là nguyên tử ta có: ∧ = nghĩa là ≺ Do
là nguyên tử và ≠ 0 ta có = Như thế { , ,…, } ⊂ { , ,…, } Nghĩa là { , ,…, } = { , ,…, }  pcm
Gọi là tập hợp tất cả các nguyên tử của
. Nhờ Bổ ề 4.1.4, ta có một ánh xạ : →
( ) ược ịnh nghĩa như sau:  (0) = ∅
 nếu ≠ 0 thì ( ) là tập hợp tất cả các nguyên tử trội bởi . Bây giờ Định
lý 4.1.3 là hệ quả của
Định lý 4.1.5: là một ẳng cấu giữa và ( ).
Chứng minh: Giả sử 0 ≠ ≺ . Khi ấy các nguyên tử trội bởi cũng là nguyên tử trội bởi nên ( ) ⊂ ( )
Ngược lại giả sử 0 ≠ ( ) ⊂ ( ) Ta viết ( ) = { , ,…, } và ( ) = { , ,…, } Do Bổ ề 4.1.4 ta có:
= ∨ ∨ …∨ và = ∨ ∨ …∨ Do { , ,…, } ⊂ { , ,…, } nên ≺
Trường hợp = 0 là hiển nhiên.
Tóm lại, ta ã chứng minh: (≺) ⟺ ( ) ⊂ ( ) Đặc biệt nếu ( ) = ( ) thì ≺ và ≺ nên = : là ơn ánh.
Sau cùng, giả sử { , ,…, } ⊂ Đặt = ∨ ∨ …∨ và ( ) = { , ,…, } Do Bổ ề 4.1.4 lOMoARcPSD| 36667950 = ∨ ∨ …∨ và { , ,…, } = { , ,…, }. Như thế là toàn ánh.  pcm §2 HÀM BOOL
Xét sơ ồ mạch iện gồm 3 ngắt iện:
Tùy theo các ngắt iện , , ược óng hay mở sẽ có dòng iện i từ ến hay không. Để biết
các ngắt iện iều khiển việc cho dòng iện i qua hay không, ta vẽ ra sơ ồ cho tất cả mọi trường
hợp. Tuy nhiên iều này không thực hiện ược nếu số ngắt iện quá lớn. Ví dụ nếu có 100 ngắt
iện sẽ có 2 sơ ồ khác nhau. Ngay cả trong trường hợp số ngắt iện bé, thì vẫn cần một cách
sắp xếp có hệ thống các sơ ồ ể có thể tra cứu dễ dàng từng trường hợp.
Chẳng hạn ta có thể liên kết với mỗi ngắt iện một biến lấy giá trị 1 nếu ngắt iện óng
và 0 nếu ngắt iện mở. Trong ví dụ về mạch iệm nói trên ta có ba biến , , . Ngoài ra toàn mạch
iện cò ược liên kết với biến lấy giá trị 1 nếu có dòng diện i từ ến và lấy giá trị 0 trong
trường hợp không có dòng diện nào i từ ến . với tương ứng như vậy ta có thể liệt kê tất cả
các trường hợp trong bảng giá trị như sau: 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1
Trong trường ngắt iện lớn thì việc lập bảng giá trị là không thực tế. Ta cần tìm một
công thức cho phép biểu diễn hàm ( , , )
theo các biến , , như các hàm a thức trong
trường hợp hàm biến thực chẳng hạn. Mặt khác ta cũng nhận xét rằng bảng trên rất giống
bảng chân trị của các dạng mệnh ề. Thật ra khi khảo sát các dạng mệnh ề, iều ta quan tâm
không phải là mệnh ề thu ược ( , , ,…) khi ta thay các biến mệnh ề , , ,… lần lượt bởi các mệnh lOMoAR cPSD| 36667950
ề , , ,… mà là sự phụ thuộc chân trị của mệnh ề ( , , ,…) vào chân trị các mệnh ề , , ,… Nói
cách khác ta ồng nhất dạng mệnh ề ( , , ,…) với bảng chân trị của nó. Thực chất ở ây là ta
ang xem xét hàm ( , , ,…) theo các biến
, , ,… trong ó , , ,… và cả ( , , ,…) cũng chỉ lấy hai giá trị 0,1. Đó là các hàm Bool theo ịnh nghĩa dưới ây:
Định nghĩa 4.2.1: một hàm Bool biến là một ánh xạ → , trong ó = {0,1}. Tập hợp các hàm
Bool biến ược ký hiệu bởi ℱ . Chú ý:
1. Các hàm Bool còn ược gọi là hàm logic hay hàm nh phân
2. Nhắc lại tập hợp là ại số Bool ối với các phép toán ∧ = ∨ = + − = 1 −
3. Các biến xuất hiện trong hàm Bool ược gọi là biến Bool. Mỗi hàm Bool ược liên kết với
một bảng tương tự như bảng trên cho biết sự phụ thuộc của hàm Bool theo giá trị
các biến Bool. Ta cũng gọi bảng giá trị này là Bng chân tr của hàm Bool.
4. Theo ký hiệu của Chương 3 ℱ chính là tập hợp 2
. Do ó số hàm Bool khác nhau chính là |ℱ | = 2| | = 2( )
Mặt khác trong §1, tương ứng ⟼ là một ẳng cấu của tập hợp có thứ tự ( ) và ℱ
trong ó thứ tự trên ℱ ược xác ịnh như sau: với ,∈ ℱ thì ≺ ⟺ ∀ = ( , ,…, ) ∈ , ( ) ≤ ( )
Khi ấy sup và inf của hai hàm , ược cho bởi: (∨)( ) = ( ) ∨ ( ) = ( ) + ( ) − ( ) ( ),∀ ∈ và (∧)( ) = ( ) ∧ ( ) = ( ) ( ),∀ ∈
và phần bù ̅ của hàm Bool ược cho bởi ̅( ) = ( ) = 1 − ( ),∀ ∈
Ta sử dụng ký hiệu thông thường và 1 − ể chỉ các hàm ∧ và ̅ trong ó 1 chỉ hàm hằng → {1}
Với các phép toán trên, ℱ trở thành một ại số Bool ẳng cấu với ( ). Đặc biệt các nguyên
tử trong ℱ sẽ tương ứng với các nguyên tử trong ( ). mà trong ( ) các nguyên tử chính là các
tập hợp thu về một iểm nên ta có: lOMoAR cPSD| 36667950
Mệnh ề 4.2.1: các nguyên tử trong ℱ là các hàm Bool chỉ khác 0 tại iểm duy nhất, hay nói
cách khác, bảng chân trị của nó chỉ có một dòng duy nhất ở ó hàm khác 0. Các này dược gọi
là các từ tối tiểu của ℱ . Do Định lý Stone ta có:
Định lý 4.2.2: mỗi hàm Bool ều ược viết dưới dạng: = ∨ ∨ …∨ (4.2.1) trong ó , ,…,
là các từ tối tiểu trội bởi .
Do từ tối tiểu chỉ khác 0 ở duy nhất một dòng, sẽ ược trội bởi khi và chỉ khi dòng
mà khác 0 cũng là một trong những dòng mà khác 0. Từ ó ta có qui tắc viết ra công thức
(4.2.1) bằng cách chọn chính là các từ tối tiểu tương ứng với một dòng khác 0 nào ó của .
Chẳng hạn như trong ví dụ về hàm ( , , )
biểu diễn mạch iện ở trên ta có 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 Ta có = ∨ ∨ ∨ ∨ (4.2.2)
Bây giờ ể có một công thức tường minh cho một hàm Bool bất kỳ, do (4.2.1) ta cần
tìm một công thức tường minh cho tất cả các từ tối tiểu. Nhắc lại phép chiếu thứ ược cho bởi: :→ ( , ,…, ) ⟼
Rõ ràng bản thân là một hàm Bool biến mà giá trị của nó chỉ phụ thuộc vào biến thứ
. Tương tự như trường hợp các hàm thực, ta sẽ dùng cùng ký hiệu dể chỉ hàm Bool : ( , ,…, ) =
Vớik ý hiệu này thì phần bù ̅ = 1 − cũng là một hàm Bool mà giá trị chỉ phụ thuộc vào
biến thứ . Ta nói ,̅ là các t ơn. Có tất cả 2 từ ơn.
Mệnh ề 4.2.3: các từ tối tiểu ều có thể viết dưới dạng: = … trong ó = hay = ̅
Chứng minh: giả sử là từ ơn bằng hay ̅ . Ta sẽ chứng minh = … là một từ tối tiểu. Chính
xác hơn gọi = ( , ,…, ) là các phần tử của sao cho = 1 nếu = và = 0 nếu = ̅ . Ta sẽ chứng minh
rằng khác 0 duy nhất tại . lOMoARcPSD| 36667950
Thật vậy với 1 ≤ ≤ ta có: ( ) = ( ) = = 1 nếu = và ( ) = ̅ ( ) = = 1 nếu = ̅
Như thế ( ) = 1 với 1 ≤ ≤ Suy ra ( ) = 1 Mặt khác nếu = ( , ,…,
) ≠ thì tồn tại sao cho 1 ≤ ≤ và ≠ . Khi ấy:
( ) = ( ) = = 0 (vì ≠ ) nếu = và ( ) = ̅ ( ) = = (vì = ) nếu = ̅
Như thế ( ) = 0 và do ó ( ) = 0
Tóm lại là từ tối tiểu tương ứng với iểm .
Ngược lại giả sử là từ tới tiểu khác 0 duy nhất tại iểm = ( , ,…, ). Đặt:
= nếu = 1 và = ̅ nếu = 0
Khi ấy theo chứng minh trên, … là từ tối tiểu tương ứng với iểm = ( , ,…, ) sao cho: = 1 nếu = và = 0 nếu = ̅ nói cách khác Do ó = …  pcm Chú ý:
1. Do mỗi có thể lấy hai giá trị , ̅ nên ta tìm lại ược số từ tối tiểu chính là số phần tử của ∶ 2 .
2. Ta có qui tắc ể viết biểu thức của một từ tối tiểu ứng với iểm = ( , ,…, ): viết tích của
tất cả các biến … , sau ó biến thứ mà = 0 sẽ ược gạch ầu. Chẳng hạn trong ví dụ về
mạch iện ở trên các từ tối tiểu , ,…, có biểu diễn như sau: = = ̅ ̅ Do ó (4.2.2) trở thành: = ∨ ̅ ∨ ∨ ̅ ∨
Ở ây ta sử dụng quy ước về thứ tự ưu tiên của phép tính nhân dối với phép toán ∨:
công thức ∨ có nghĩa là phép toán ược thực hiên trước rồi mớit hực hiện phép toán ∨ giữa
và . Nói cách khác ∨ = ( ) ∨
Ngược lại nếu thực hiên phép ∨ trước ta phải viết: (∨)
3. Tổng quát hơn, do (4.2.1) và Mệnh ề 4.2.3 một hàm Bool bất kỳ có thể viết như là
tổng Bool của các từ tối tiểu trội bởi , và mỗi từ tối tiểu này ược viết như là tích của
ủ biến. Công thức này ược gọi là dng ni ri chính tc của . lOMoARcPSD| 36667950
4. Thay vì các từ tối tiểu, ta có thể xét các từ tối ại: ó là phần bù của các từ tối tiểu. Khi
ấy do Mệnh ề 4.2.3, mỗi từ tối ại sẽ là tổng Bool của từ ơn. Hơn nữa áp dụng (4.2.1)
cho ̅, ta có thể viết như là tích của các từ tối ại: ây chính là dng ni lin chính tc của
hàm Bool . Từ ây ta chỉ ể ý ến dạng nối rời chính tắc và tổng quát hơn các công thức
a thức theo nghĩa dưới ây: Định nghĩa 4.2.1: i.
Một ơn thức là một tích khác 0 của các từ ơn ii.
Một công thức a thức của hàm Bool là công thức biểu diễn dưới dạng tổng Bool của các ơn thức.
Chú ý: Do = và ̅ = 0 nên trong một ơn thức , biến và ̅ có thể xuất hiện nhưng không ồng
thời xuất hiện. Nói cách khác mỗi ơn thức có thể viết như là tích
… trong ó lấy một trong 3 giá trị 1,
,̅ . Do ó số ơn thức khác nhau là 3 . suy ra
mỗi hàm Bool chỉ có một số hữu hạn công thức a thức. Để ý rằng nếu ≠ 1, ta nói là
một thừa số của . Như thế mỗi ơn thức ược viết như là tích của tối a thừa số khác nhau.
§3 MNG CÁC CNG VÀ CÔNG THỨC ĐA THỨC TI TIU
Trong ví dụ về mạch iện ở §2, ta ã biểu diễn mạch iện dưới dạng một hàm Bool ể
khảo sát sự phũ thuộc của output (có dòng iện chạy qua hay không) theo các input
, , (ngắt iện tương ứng óng hay mở). Bây giờ ta hãy xét bài toán ngược lại: cho trước một
hàm Bool ( , , ,…). Hãy thiết kế một mạng các thiết bị vật lý cho phép tổng hợp nên hàm Bool
. Ở ây ta không quan tâm ến các thiết bị vật lý cụ thể mà chỉ ể ý ến các nối kết chúng trong
một mạng ể tổng hợp nên hàm Bool. Do Mệnh ề 4.2.2 và 4.2.3, mỗi hàm Bool ều có thể viết
thành một công thức trong ó các biến logic (biến Bool) ược nối kết lại với nhau bởi các phép
toán ∧,∨,−. Do ó ta cần phải tổng hợp các phép toán trên. Thiết bị ể tổng hợp các phép toán
này gọi là các cng ược biểu diễn bởi các sơ ồ sau: ̅ ∨ Cổng NOT hay ảo iện Cổng AND Cổng OR
Tron các sơ ồ trên, và là hai tín hiệu vào với 2 trạng thái khác nhau cho phép chúng
biểu diễn ược các biến logic với hai giá trị 0,1. Ở ầu ra ta cũng có một tín hiêu biểu diễn cho
một biến logic phụ thuộc vào các input theo các phép toán ∧,∨,−.
Ví dụ: ể tổng hợp hàm Bool =
∨ ̅ , ta có thể sử dụng mạng với các cổng sau: lOMoARcPSD| 36667950
trong ó có hai cổng AND, 1 cổng OR và một cổng NOT.
Mặt khác ta cũng c2o thể viết hàm như sau: == ∨ ̅ ∨∨ ̅̅ ∨ ̅
Đây là dạng nối rời chính tắc của vì các số hạng ều là từ tối tiểu. nếu sử dung công
thức trên ể thiết kế một mạng các tổng hợp f, ta phải sử dụng 8 cổng AND và 3 cổng OR,
không kể một số cổng NOT.
Vấn ề ược ặt ra là làm sao tìm ược một công thứ tối ưu ể tổng hợp một hàm Bool cho trước.
3.1 Bài toán tối ưu ầu tiên là tìm cách giảm số loại cổng từ 3 xuống còn 2, hoặc nếu ược chỉ dùng một loại cổng.
Thật vậy, ta có thể tổng hợp cổng OR từ cổng NOT và cổng AND. Thật ra ta có thể
ặt hai cổng này chung thành một cổng có tên là NAND với sơ ồ:
Khi ấy các cổng NOT và các cổng AND có thể ược tổng hợp như sau:
Từ ó có thể tổng hợp cổng OR mà chỉ dùng cổng NAND như trong bài tập nêu trên.
Suy ra mọi hàm Bool ều ược tổng hợp mà chỉ dùng cổng NAND ta cũng có thể dùng cổng NOR với sơ ồ sau: ∨
Khi ấy ta cũng chứng minh ược mọi hàm Bool ều ược tổng hợp mà chỉ sử dụng cổng NOR.
3.1 Bài toán tối ưu tiếp theo là tối ưu hóa hai mục tiêu: lOMoAR cPSD| 36667950
 Cực tiểu hóa thời gian châm trễ (delay): tuy thời gian chậm trễ khi i qua một cổng là
nhỏ nhưng nếu tích lũy qua nhiều lớp cổng thì nó trở thành áng kể, nhất là trong các máy tính có tốc ộ cao.
 Cực tiểu hóa số cổng sử dụng
Do thời gian chậm trễ kho i qua cổng NOT là không áng kể, dưới ây khi phân tích các
mạch ta có thể bỏ qua cổng NOT. Nói cách khác các biến ̅, ,̅,… cũng ược xem như là các biến
input tương tự như , , ,…
Thật ra hai mục tiêu trên không thể ồng thời tối ưu hóa ược. Do ó trước hết ta tối ưu
hóa theo thời gian. Ta sẽ thiết kế các mạch chỉ có tối a hai lớp cổng: lớp cổng AND rồi lớp
cổng OR hay lớp cổng OR rồi lớp cổng AND. Tuy nhiên trường hợp sau luôn luôn có thể ưa
ược về trường hợp trước nếu ta xét ̅. Do ó ta chỉ xét các công thức có dạng OR (∨) của các
số hạng là AND (∧) của từ ơn. Đây chính là các công thức a thức
Trong lớp các công thức a thức, ta có một số thuật toán cho phép tìm ược công thức
a thức ti tiu.
Định nghĩa 4.3.1: Xét hai công thức a thức của hàm Bool : = ∨ ∨ …∨ (4.3.1) = ∨ ∨ …∨ (4.3.2)
Ta nói (4.3.1) ơn giản hơn (4.3.2) nếu tồn tại một ơn ánh :{1,2,…, } → {1,2,…, } sao
cho với 1 ≤ ≤ thì số thừa số là từ ơn của không nhiều hơn số thừa số là từ ơn của . ( ) Chú ý:
1. Nếu (4.3.1) ơn giản hơn (4.3.2) thì ≤
2. Quan hệ “ ơn giản hơn” giữa các công thức a thức của rõ ràng có tính phản xạ và
bắc cầu. Tuy nhiên quan hệ này không phản xứng.
3. Nói rằng (4.3.1) ơn giản hơn (4.3.2) và (4.3.2) ơn giản hơn (4.3.1) có nghĩa là tồn tại các ơn ánh :{1,2,…, } → {1,2,…, } và :{1,2,…, } → {1,2,…, }
sao cho , thỏa Định nghĩa 4.3.1. Khi ấy , là song ánh và với 1 ≤ ≤ thì số thừa số là từ
ơn của không nhiều hơn số thừa số là từ ơn của ∘ . Do ó nếu gọi là số nguyên nhỏ ( ) nhất sao cho
(∘) ∘ (∘) ∘ …∘ (∘) ( ) = và = (∘) ∘ (∘) ∘ …∘ (∘)( )
thì và có thừa số là từ ơn bằng nhau.
Suy ra với 1 ≤ ≤ thì và
có thừa số là từ ơn bằng nhau. Khi ấy ta nói ( )
(4.3.1) và (4.3.2) ơn giản như nhau. Rõ ràng quan hệ ơn giản như nhau là một quan
h tương ương. Hơn nữa nếu hai công thức a thức là ơn gản như nhau thì mạng các
cổng tổng hợp chúng sẽ sử dụng cùng số cổng AND và cổng OR.
4. Tương tự như trong Chương 3, nếu chuyển qua các lớp tương ương thì quan hệ ơn
giản hơn trở thành một thứ tự. Tuy nhiên ta cũng có thể khảo sát trực tiếp các
quan hệ chỉ có hai tính chất phản xạ và bắc cầu. ta nói chứng là các quan hệ tin th
tự . Đối với quan hệ tiền thứ tự, khái niệm phần tử tối tiểu và tối ại vẫn còn ý nghĩa.
Chẳng hạn như một công thức a thức ( ) của hàm Bool ược nói là ti tiu nếu với bất lOMoARcPSD| 36667950
kỳ công thức a thức ( ) của “ ơn giản hơn” ( ) thì ( ) và ( ) ơn giản như nhau. Bây
giờ do tập hợp các công thức a thức của một hàm Bool là hữu hạn, ta chứng minh
ược tương tự như Định lý 3.3.3, cho trước một công thức a thức ( ) của thì sẽ tồ tại
một công thức a thức tối tiểu ( ) của sao cho ( ) ơn giản hơn ( ). Cũng như trường
hợp các tập hợp có thứ tự, một hàm Bool có thể có nhiều công thức a thức tối tiểu.
5. Xét công thức a thức (4.3.1) của hàm . Giả sử tồn tại một dơn thức sao cho ≺. Khi ấy ta có: = ∨ = (∨ ) ∨ ∨ …∨ = ∨ ∨ …∨ (4.3.3) Do ≺ ta có thể viết: =
Như thế mọi thừa số là từ ơn của cũng là một thừa số của . Hơn nữa do
≠ nên có ít nhất một thừa số là từ ơn của không xuất hiện trong . Khi ấy công thức
(4.3.3) rõ ràng ơn giản hơn (4.3.1) nhưng không ơn giản như nhau. Suy ra (4.3.1) không tối tiểu. Ta ã chứng minh.
Mệnh ề 4.3.1: trong một công thức a thức tối tiểu, các số hạng là ơn thức tối dại trội bởi .
Định nghĩa 4.3.2: một ơn thức tối ại trội bởi hàm Bool ược gọi là một tiền ề nguyên tố của .
Do Mệnh ề 4.3.1, ể tìm công thức a thức tối tiểu của một hàm Bool , ta hạn chế tìm
kiếm trong các công thức a thức mà các số hạng là những tiền ề nguyên tố dôi một khác
nhau. Các công thức này là rút gịn theo nghĩa sau:
Định nghĩa 4.3.3: công thức a thức (4.3.1) của hàm ược nói là rút gọn nếu với 1 ≤ ≠ ≤ ,
thì không phải là ước thật sự của .
Ví dụ: Xét hàm Bool theo 3 biến: = ∨ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅ ( )
Rõ ràng ( ) là dạng nối rời chính tắc của và là rút gọn. Để có những công thức rút
gọn khác ta sẽ gom tất cả các số hạng lại và sử dụng
Bổ ề 4.3.2: nếu và ℎ là hai hàm Bool thì ℎ ∨ ℎ = ∨ ℎ Chứng minh: ℎ ∨ ℎ = ℎ ∨ (ℎ ∨ ℎ) = ℎ ∨ ℎ ∨ ℎ = ∨ ℎ  pcm Từ ( ) ta ược: = ∨(∨) ̅ ∨ ̅ ̅ = ∨ ̅ ∨ ̅ ̅ ( ) Tương tự = ∨ ̅ ∨ ̅ ( ) và = ∨ ̅ ∨ ̅ ̅ ( )
Áp dụng Bổ ề 4.3.2 cho ( ), ( ) và ( ) ta ược: = ( ∨ )̅ ∨ ̅ ̅ = ( ∨ ̅) ∨ ̅ ̅ lOMoARcPSD| 36667950
= ∨ ̅ ∨ ̅ ̅ ( ) Tương tự = ∨ ̅ ∨ ̅ ( ) và = ∨ ̅ ∨ ̅ ( )
Cuối cùng, áp dụng Bổ ề 4.3.2 cho một trong 3 công thức ( ), ( ) hay ( ) ta ược: = ∨ ̅ ∨ ̅ ( )
Tám công thức trên ều là rút gọn và có biểu ồ Hasse: ( ) 3 ( ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) 8 5
Công thức ( ) là công thức a thức tối tiểu duy nhất nên cũng là công thức ơn 8 gin
nht. Sử dụng công thức ( ) ể tổng hợp hàm Bool ta chỉ tốn 3 cổng AND và 2 cổng OR thay 8
vì 8 cổng AND và 3 cổng OR nếu dùng ( ). Ta có sơ ồ mạch các cổng ứng với ( ) như sau: 1 8
§4 PHƯƠNG PHÁP BIỂU ĐỒ KARNAUGH
Phương pháp biểu ồ Karnaugh cho phép tìm nhanh công thức a thức tối tiểu của hàm
Bool 3, 4 biến. Trường hợp 3 biến hoàn toàn tương tự nhưng ơn giản hơn trường hợp
4 biến. Do ó ta tập trung trình bày 4 biến. Nhắc lại một hàm Bool 4 biến là một ánh xạ
→ nên ể có thẻ biểu diễn bằng hình ảnh ta sẽ sử dụng một hình vuông gồm có 16 ô vuông
nhỏ ể biểu diễn 16 phần tử của . Khi ấy ta có thể biểu diễn một hàm Bool : → bằng các gạch
chéo các ô ở ó bằng 1.
Như vậy vấn ề chính là ánh dấu 16 ô của hình vuông tương ứng với các phần tử của
. Ta ã biết các phần tử của có thể ược sắp thứ tự theo thứ tự tự iển: 0000,0001,,0010,0011,…,1111
Ta có thể xếp các phần tử của theo thứ tự lần lượt trên các dòng của hình vuông
lớn. tuy nhiên cách này không thuận tiện bằng cách của Veitch và Karnaugh như sau: ̅ lOMoARcPSD| 36667950 1010 1110 0110 0010 1011 1111 0111 0011 1001 1101 0101 0001 1000 1100 0100 0000
Ở ây ký hiệu chỉ cột ở ó biến ầu tiên lấy giá trị 1, ̅ chỉ cột ở ó biến lấy giá trị 0.
Tương tự cho biến thứ hai . Các biến thứ ba và thứ tư , ược gán với các dòng. Ví dụ ở hai
dòng ầu biến lấy giá trị 1 và 2 dòg nsau biến lấy giá trị 0. Tương tự cho biến . Cách biểu
diễn trên của rất thuận tiện cho việc biểu diễn các ơn thức. Thật vậy ta nhận xét rằng 2 ô
liên tiếp nhau chỉ khác nhau một thành phần , ví dụ ô ở dòng 2 cột 2 và ô ở dòng 2 cột 3 chỉ
khác nhau ở thành phần ầu tiên: 1111 và 0111. Mặt khác ô ở dòng 1 cột 1 và dòng 1 cột 4
cũng biểu diễn hai phần tử chỉ khác nhau một thành phần: 1010 và 0010. Ta quy ước rằng
các ô này cũng ược xem như kề nhau theo nghĩa rộng: 2 ô ược nói là k nhau theo nghĩa rộng
nếu sau khi ta cuốn hình vuông theo chiều rộng hoặc chiều ngang tạo thành hình trụ thì hai
ô ban ầu sẽ trở thành kề nhau trên hình trụ. Với qui ước trên ta thấy rằng hai ô kề nhau
(theo nghĩa thông thường hay nghĩa rộng) khi và chỉ khi chùng biểu diễn hai phần tử của
chỉ khác nhau một thành phần.
Bây giờ ể biểu diễn một hàm Bool 4 biến , ta sẽ gạch chéo các ô của hình vuông lớn
tương ứng với các iểm của ở ó bằng 1. Ta nói hình vẽ ấy là biu Karnaugh của hàm Bool
. Ví dụ như hình vẽ dưới ây chỉ biểu ồ Karnagh của hàm Bool 4 biến: = ∨̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅ ∨ ̅ ̅ ̅ ∨ ̅ ̅
Nhận xét rằng hàm Bool chính là các hàm ặc trưng của tập hợp gạch chéo trong biểu
ồ Karnaugh. Do ó sử dụng ẳng cấu giữa 2 ại số Bool ( ) và 2 ta có:
Mệnh ề 4.4.1: Với mọi hàm Bool 4 biến , : lOMoARcPSD| 36667950 i.
Biểu ồ Karnaugh của là tập hợp con của biểu ồ Karnaugh của khi và chỉ khi ≺ ii.
Biểu ồ Karnaugh của ∨ (tương ứng ∧) là hợp (tương ứng giao) của các biểu ồ Karnaugh của và . iii.
Biểu ồ Karnaugh của ̅ là phần bù của biểu ồ Karnaugh của . Chú ý:
1. Sử dụng Mệnh ề 4.4.1 ta có thể vẽ ược biểu ồ Karnaugh của một hàm Bool nếu biết
bảng chân trị của nó hoặc nếu biết ược một công thức biểu diễn hàm Bool dưới dạng
một biểu thức theo các biến và các phép toán ∨,∧,−.
2. Ngược lại nếu biết ược biểu ồ Karnaugh của hàm Bool , ta có thể ọc ngay từ ó dạng
nối rời chính tắc: các từ tối tiểu trội bởi chính là các hàm ặc trưng của mỗi ô nằm
trong biểu ồ Karnaugh. Hơn nữa, công thức cho từ tối tiểu như là tích của bốn từ ơn
ược ọc ngay triong biểu ồ Karnaugh khi xem các dòng và cột chứa ô ang xét: ví dụ
như từ ơn ứng với ô ở dòng 3 cột 2 là ̅ thì các dòng và cột chứa ô này là , ,̅ và .
3. Hai từ tối tiểu ứng với hai ô kề nhau ( theo nghĩa thông thường hoặc nghĩa rộng) hỉ
khác nhau một thừa số là từ ơn, nên ta có thể dùng luật phân bố ể ặt thừa số chung
trong tổng Bool của chúng và ược một ơn thức có 3 thừa số là từ ơn. Ví dụ như: ∨̅ = (∨̅) =
có biểu ồ Karnaugh là một hình chữ nhật theo nghĩa rộng gồm hai ô liên tiếp nhau 1110 và 1111. Tổng quát hơn ta có:
Mệnh ề 4.4.2: biểu ồ Karnaugh của một ơn thức có dạng tích của (1 ≤ ≤ 4) từ ơn là một
hình chũ nhật (theo nghĩa rộng) gồm 2 ô, mà ta gọi là các tế bào. Ví dụ: ̅ ̅ ̅
Do Mệnh ề 4.4.1 và 4.4.2, các tiền ề nguyên tố của một hàm Bool 4 biến có biểu ồ
Karnaugh là một tế bào tối ại nằm trong biểu ồ Karnaugh của . Ta nói các tế bào này là tế
bào l
n của biểu ồ Karnaugh của . Như vậy việc tìm công thức a thức tối tiểu của ưa về việc giải quyết hai vấn ề:
 Tìm tất cả các tế bào lớn nằm trong biểu ồ Karnaugh của . lOMoARcPSD| 36667950
 Tìm một phép ph ti tiu biểu ồ Karnaugh của bằng các tế bào lớn, nghĩa là một
họ tế bào lớn có hợp là biểu ồ Karnaugh của sao cho khi rút bớt một tế bào lớn
thì họ còn lại không phủ kín biểu ồ Karnaugh của . Từ ó ta ược một thuật toán ể
tìm công thức a thức tối tiểu.
Thuật toán: gồm 4 bước
Bước 1: chỉ ra tất cả các tế bào lớn của biểu ồ Karnaugh của .
Sau bước 1 ta sẽ phủ dần biểu ồ Karnaugh bằng các tế bào lớn cho ến khi phủ kín
Bước 2: nếu tồn tại một ô chỉ nằm trong một tế bào lớn duy nhất, ta chọn ra tế bào
này ể phủ. Trong phần còn lại của biểu ồ Karnaugh, nếu có một ô chỉ nằm trong một tế bào
lớn duy nhất, ta chọn ra tế bào này ể phủ, và lặp lại bước 2 cho ến khi không còn ô nào có tính chất trên.
Bước 3: nếu các tế bào lớn chọn trong Bước 2 ã phủ kín biểu ồ Karnaugh của ta qua
thẳng Bước 4. Nếu không, chọn ra một ô còn lại. Trong số các tế bào lớn chứa ô này ta chọn
ra một ô tùy ý dể thêm vào phép phủ và cứ tiếp tục như trên cho phần còn lại cho ến khi
phủ kín biểu ồ Karnaugh của .
Bước 4: ở bước này ta ã chọn ược một số tế bào lớn phủ kín biểu ồ Karnaugh của .
Do trong Bước 3 có sự lựa chọn tùy tế bào lớn chứa một ô , ta thường có nhiều hơn một
phép phủ. Trong số phép phủ nhận ược, loại bỏ các phép phủ không tối tiểu. Sau cùng các
phép phủ còn lại cho ta một công thức a thức của mà ta còn phải so sánh chúng theo Định
nghĩa 4.3.1: loại bỏ những công thức có một công thức khác trong số ó thực sự ơn giản hơn
nó. Các công thức còn lại chính là công thức a thức tối tiểu phải tìm. Chú ý: 1.
Nếu Bước 3 ược bỏ qua thì không có sự lựa chọn tùy ý. Trong trường hợp any2 ta
ược một phép phủ duy nhất tương ứng với công thức a thức tối tiểu duy nhất. 2.
Để thuận tiện cho việc xem xét ta gạch chéo mỗi tế bào lớn ược chọn cho ến khi
phần gạch chéo trùng với biểu ồ Karnaugh của . Đương nhiên hai cách chọn khác nahu sẽ
dẫn ến hai quá trình phủ khác nhau và cho ta hai công thức khác nhau. Ví dụ 1: xét hàm
có biểu ồ Karnaugh như sau:
Bước 1: Biểu ồ Karnaugh của có hai tế bào lớn: ̅ ̅
Bước 2: ô (3,1) nằm duy nhất trong ̅, ô (1,1) nằm duy nhất trong ̅
Hai tế bào lớn này ã phủ kín biểu ồ Karnaugh của nên ta qua thẳng Bước 4
Bước 4: ta chỉ có duy nhất một phép phủ tương ứng với công thức a thức tối tiểu lOMoARcPSD| 36667950 của : = ̅ ∨ ̅
Chú ý: sử dụng cộng thức trên ể tổng hợp hàm Bool bằng một mạng các cổng ta cần 4
cổng AND và một cổng OR (không kể cổng NOT)
Ví dụ 2: xét hàm có biểu ồ Karnaugh như sau:
Bước 1: Biểu ồ Karnaugh của có 4 tế bào lớn:
Bước 2: ô (2,4) nằm trong tế bào lớn duy nhất ̅, ô (4,2) nằm trong tế bào lớn duy nhất ̅
Gạch chéo hai tế bào lớn này ta ược sơ ồ sau:
Còn lại ô (3,3) chưa ược phủ nằm trong hai tế bào lớn nên ta qua Bước 3
Bước 3: ô (3,3) nằm trong 2 tế bào lớn ̅,̅ chọn tùy ý một trong hai tế bào trên ta ều
phủ kín biểu ồ Karnaugh của
Bước 4: ta ược phép phủ tối tiểu tương ứng với hai công thức a thức:
= ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ và = ̅ ∨ ̅ ∨ ̅
Cả hai công thức này ều n giản như nhau theo Định nghĩa 4.3.2 nên ta ược 2 công thức a thức tối tiểu.
Chú ý: sử dụng các công thức này ể tổng hợp hàm bằng một mạng các cổng ta cần có 6 cổng AND và 2 cổng OR.
Ví dụ 3: xét hàm với biểu ồ Karnaugh như sau:
Bước 1: Biểu ồ Karnaugh của có 8 tế bào lớn như sau: lOMoARcPSD| 36667950
Bước 2: các ô (1,2) và (2,4) nằm trong các tế bào lớn duy nhất là và tương ứng.
Sau khi chọn các tế bào lớn này thì phần còn lại của biểu ồ Karnaugh của ều có mỗi ô nằm
úng trong hai tế bào lớn nên ta qua Bước 3.
Bước 3: Ta có sơ ồ cách chọn các tế bào lớn còn lại ể phủ kín biểu ồ Karnaugh của
theo các nhánh (của hình cây): Chn
: còn lại 4 ô chưa phủ
Chn ̅: còn lại 2 ô chưa phủ
Chn ̅ ̅: phủ kín biểu ồ Karnaugh của : = ∨ ∨ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅ ( )
Không chọn ̅ ̅: ể phủ hai ô (4,3) và (4,4) ta buộc phải chọn ̅ ̅ và ̅: = ∨ ∨ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅ ∨ ̅ ( )
Không chn ̅: ể phủ hai ô (3,2) và (3,3) ta buộc phải chọn và ̅ . Lúc này ̅ chỉ còn lại ô
(4,4). Nếu chọn ̅ ta sẽ ược một phép phủ không tối tiểu vì có thể loại bớt tế bào lớn
mà vẫn còn ược một phép phủ. Do ó ta buộc phải chọn ̅ ̅̅: = ∨ ∨ ∨ ∨ ̅ ̅ ∨ ̅ ̅ ̅ ( )
Không chn : ể phủ 2 ô (3,1) và (4,1) ta buộc phải chọn các tế bào lớn và ̅. Lúc này còn
lại 2 ô chưa phủ là (3,3) và (4,3).
Chn ̅ ̅: phủ kín biểu ồ Karnaugh: = ∨ ∨ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅ ( ) lOMoARcPSD| 36667950
Không chn ̅ ̅ : ể phủ hai ô (3,3) và (4,3) ta buộc phải chọn các tế bào lớn ̅ và ̅ ̅̅: = ∨ ∨ ∨ ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅ ̅ ( )
Bước 4: ta có 5 công thức a thức. Tuy nhiên ta có thể xây dựng dễ dàng các ơn ánh
trong Định nghĩa 4.3.1 cho thấy công thức ( ) ơn giản hơn ( ), ( ), ( ), ( ) mà không tương
ương ( ơn giản như nhau theo Định nghĩa 4.3.2). Chẳng như ta có ơn ánh: ⟼ ⟼ ⟼ ̅ ⟼ ̅ ̅ ̅ ⟼ ̅ ̅
Trong ó chỉ có hai thừa số là từ ơn trong khi ̅ có 3 thừa số là từ ơn, nghĩa là ( ) thực
sự ơn giản hơn( ). Các ơn ánh khác cũng ược xây dựng tương tự. Tóm lại ta chỉ có duy nhất
một công thức a thức tối tiểu của hàm là: = ∨ ∨ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅
Chú ý: sử dụng công thức trên ể tổng hợp bằng mạng các cổng ta cần 6 cổng AND và 4 cổng OR.
Trường hợp hàm 3 biến:
Đối với các hàm Bool 3 biến ta sẽ sử dụng hình chữ nhật có 8 ô dể biểu diễn thay vì hình vuông 16 ô. ̅
Khi ấy ịnh nghĩa biểu ồ Karnaugh ,tế bào, tế bào lớn hoàn toàn tương tự và ta có thể
áp dụng qui trình 4 bước như trên ể tìm công thức a thức tối tiểu.
Ví dụ: Xét hàm Bool = ( ∨ ∨ )( ̅ ∨ ∨ )( ∨ ∨ ̅)
Biểu ồ Karnaugh của ba thừa số là: ∨ ∨ ̅ ∨ ∨ ∨ ∨ ̅
Do ó biểu ồ Karnaugh của có dạng:
Bước 1: có 4 tế bào lớn lOMoARcPSD| 36667950 ̅
Bước 2: ô (1,3) nằm trong tế bào lớn duy nhất , ô (2,4) nằm trong tế bào lớn duy nhất ̅
Chọn các tế bào này cho phép phủ ta ược:
Bước 3: còn lại ô (1,1) nằm trong hai tế bào lớn và . Chọn 1 trong 2 tế bào này ta
ều phủ kín biểu ồ Karnaugh của .
Bước 4: ta có 2 công thức ều là công thức a thức tối tiểu = ∨ ̅ ∨ = ∨ ̅ ∨
Trường hợp 5,6 biến:
Đối với hàm Bool 5 biến, ta dùng 2 lớp hình vuông 16 ô ể biểu diễn 32 ô của , một
lớp tương ứng với giá trị của biến thứ 5 = 0 và lớp ứng với = 1
Biểu ồ Karnaugh của một hàm Bool theo 5 biến , , , , ược thiết lập bằng cách gạch xéo
các ô trong hai lớp trên ứng với các iểm ở ó lấy giá trị 1. Ở ây ngoài các tế bào là những
hình chữ nhat65trong mỗi lớp, ta có các tế bào là 2 hình chữ nhật (tế bào) thuộc 2 lớp có
cùng hình chiếu xuống một mặt phẳng nằm ngang, hay nói cách khác, khối chữ nhật 3 chiều
với chiều cao 2 lớp và áy là một tế bào. Bằng cách này ta ược các tế bào là biểu ồ Karnaugh
của tích của (1 ≤ ≤ 5) thừa số là từ ơn. Tế bào tương ứng sẽ có 2 ô. Phương pháp biểu ồ
Karnaugh ể tìm công thức a thức tối tiểu hoàn toàn tương tự trường hợp 4 biến. lOMoARcPSD| 36667950
Để xử lý trường hợp hàm 6 biến ta sẽ sử dụng 4 lớp 16 ô thay vì 2 lớp. Các lớp kể từ
trên xuống bây giờ ứng với = 1, = 0; = 1, = 1; = 0, = 1; = 0, = 0. Phương pháp tìm công thức a
thức tối tiểu cũng tương tự nhưng hình vẽ phức tạp hơn. Do ó ối với trường hợp này hay
trường hợp nhiều biến hơn ta sẽ dùng phương pháp “Thỏa thuận dưới ây.
§5 PHƯƠNG PHÁP THỎA THUN
Nhắc lại hai bài toán chính ể tìm công thức a thức tối tiểu của một hàm Bool :
5.1 Tìm tất cả các tiền ề nguyên tố của
5.2 Tìm cách biểu diễn như là tổng tối tiểu của các tiền ề nguyên tố Để
giải quyết bài toán 5.1 ta sẽ dùng phương pháp thỏa thuận
Định nghĩa 4.5.1: Giả sử là một trong các biến Bool và , là hai ơn thức không chia hết cho
cả lẫn ̅. Khi ấy ược nói là tha thun giữa hai ơn thức và ̅ .
Chú ý: nếu có một biến thứ hai sao cho chia hết cho (hoặc ) và chia hết cho (hoặc ), khi
ấy thỏa thuận rõ ràng bằng 0. Do ó cho trước 3 ơn thức có 3 trường hợp có thể xảy ra:
Trường hợp 1: không tìm ược thỏa thuận của chúng vì không có biến nào như trong Định nghĩa 4.5.1
Trường hợp 2: thỏa thuận của chúng bằng 0 vì có ít nhất hai biến Bool thỏa Định nghĩa 4.5.1
Trường hợp 3: chỉ có một biến Bool thỏa Định nghĩa 4.5.1 và do ó thỏa thuận của
hai ơn thức cho trước là một ơn thức (≠ 0) Ví dụ: 1.
à ̅ không có thỏa thuận 2.
à ̅ có thỏa thuận bằng 0 3. à có thỏa thuận là
Định lý 4.5.1: Thỏa thuận của haqi ơn thức luôn luôn ượ trội bởi tổng Bool của hai ơn thức ấy.
Chứng minh: Xét hai ơn thức và ̅ với thỏa thuận ta có: = ( ∨ ̅) = ∨ ̅ Suy ra: ∨ ∨ ̅ = ( ∨ ) ∨∨ (̅̅ ∨ ̅ ) Nghĩa là ≺ ≺ ̅  pcm
Với khái niệm thỏa thuận ta có phương pháp sau ể xác ịnh tất cả các tiền ề nguyên tố của một hàm Bool .
Bước 1: Viết dưới dạng công thức thu gọn tùy ý (dạng nối rồi chính tắc chẳng hạn): = ∨ ∨ …∨ Đặt = { , ,…, }
Gọi là danh sách các biến theo một thứ tự nhất ịnh nhưng tùy ý. lOMoARcPSD| 36667950
Bước 2: Trong Bước 2 ta sẽ cập nhật dần theo từng biến trong như sau:
i. Giả sử là một biến trong mà ta ã xét tới với ã ược cập nhật theo các biến trước
. Ta phần hoạch thành 3 phần (rời nhau):
 gồm các ơn thức chia hết cho
 ℬ gồm các ơn thức chia hết cho ̅
 gồm các ơn thức không chia hết cho lẫn ̅ ii. Nếu = ∅ hay ℬ = ∅ ta sẽ xét
biến kế tiếp . Nếu không, ta thêm vào tất cả các thỏa thuận của một ơn thức
thuộc và một ơn thức thuộc ℬ. iii. Mỗi lẩn thêm một phần tử mới vào ta phải
duyệt lại và loại bớt những phần tử ược trội thực sự bởi một phần tử khác (kể cả
phần tử mới thêm vào).
Bước 3: Sau khi ã duyệt tất cả các biến trong ta có:
Định lý 4.5.2: Tập hợp sau cùng trong Bước 3 chính là tập hợp tất cả các tiền ề nguyên tố của .
Chứng minh: Gọi là số biến trong , và một là một tiền ề nguyên tố bất kỳ của , ta chứng
minh tập hợp sau cùng sẽ chứa bằng quy nạp trên .
Gọi là biến ầu tiên trong danh sách và ,ℬ, là các tập hợp tương ứng như trong i).
Trường hợp 1: không chia hết cho lẫn ̅, ta có: ≺ ∨ ∨ ∈ ∈ℬ ∈ Ở ây kí hiệu
dùng ể chỉ tổng Bool của tất cả các phần tử của A. Các ký hiệu ∈
khác cũng tương tự. ể ý rằng nếu ∈ ℬ thì chia hia hết cho ̅ nên = 0. Do ó: ≺ / ∨ ∈ ∈ Cho = 1 ta ược ≺ / ∨ ∈ ∈ Tương tự ta có: ≺ / ̅ ∨ ∈ℬ ∈ Suy ra
Giả sử ã ược cập nhật theo biến như trong Bước 2 ở trên. Gọi ′ là tập hợp con của
gồm các ơn thức không chia hết cho lẫn ̅. Gọi ′ là tổng Bool của các ơn thức trong ′ xem như
hàm Bool theo các biến trong = \ { }. Rõ ràng là một tiền ề nguyên tố của ′ nên theo giả thiết
quy nạp, sau khi cập nhật theo biến cuối cùng trong lOMoARcPSD| 36667950
,′ chứa . Nhưng tập hợp ′ sau cùng là tậph ợp con của tập hợp sau khi cập nhật theo biến
sau cùng của ′, vì trong quá trình cập nhật theo các biến của ′, các ơn thức của bị loại i cũng
chính là các ơn thức của ′ bị loại i hoặc là các ơn thức chia hết cho hoặc ̅. Nói tóm lại ta ã
chứng minh ược tậph ợp sau cùng chứa .
Trường hợp 2: chia hết cho hay ̅. Ta có thể giả sử chia hết cho vì trường hợp còn
lại chứng minh tương tự.
Gọi ,ℬ, là 3 tập hợp tạo thành phân hoạch của tương ứng với biến như trong Bước 2. Cho = 1 ta ược: / ≺ ( / )∨ ∈ ∈ Suy ra ≺ ∨ ∈ ∈
Ứng với mỗi hàm Bool theo các biến trong , ta liên kết một hàm Bool ̅ với các biến
trong = \ { } bằng cách cho = 1. Đặt = ∪. Khi ấy ⟼ ̅ là một song ánh giữa ′ và một tập hợp ′
các từ ơn theo các biến trong ′ vì không có phần tử nào của là ước của một phần tử của
(công thức a thức ban ầu của là rút gọn).
Ta có công thức a thức rút gọn: ̅ = ∨ ∈ ∈
Hơn nữa tương ứng ⟼ ̅, nếu thu hệp trên tập ′ ã ược cập nhật ối vối biến sau cùng,
cũng là một song ánh giữa tập hợp này và tập hợp ′ ã ược cập nhật theo biến sau cùng ối
với hàm ̅ , vì nếu có = với ≠ thì một trong hai ơn thức , là tích của ơn thức kia và nên ã ược
loại trong quá trình cập nhật. Rõ ràng ≺, gi̅
ả sử tồn tại ơn thức ′ theo các biến trong ′ sao cho: ≺ ≺ ̅ Ta có: = ≺ ≺ ̅ = ∨ ∈ ∈ ≺
Do là tiền ề nguyên tố, ta có = lOMoARcPSD| 36667950
Suy ra =, nghĩa là là tiền ề nguyên tố của ̅
Như thế theo giả thiết quy nạp, ′, sau khi cập nhật theo biến cuối cùng, sẽ chứa
. Tương tự như trong Trường hợp 1, ta thấy tập hợp sau khi cập nhật ối với biến
cuối cùng, sẽ chứa ′. Suy ra ∈
Cuối cùng do cách cập nhật các ơn thức, trong ơn thức nào trong ược trội thực sự
bởi một ơn thức khác, nghĩa là các phần tử của ều là tiền ề nguyên tố của .  pcm Ví dụ 1: = ̅ ∨ ̅ ̅ ∨ ∨ ̅ ∨
Ta có quá trình cập nhật theo các biến trong = [ , , , , ] như sau: Biến : ̅ ̅̅ ̅̅ Thỏa thuận: ̅ Biến : ̅ ̅̅ ̅̅ ̅ Thỏa thuận:
Biến : không có thỏa thuận Biến : ̅ ̅ ̅̅ ̅̅ Thỏa thuận: ̅ ̅ ̅̅ ̅̅ Thỏa thuận: Biến : ̅ ̅ ̅̅ Thỏa thuận: ̅ ̅̅ ̅ Thỏa thuận: ̅̅
Cuối cùng tập hợp các tiền dề nguyên tố là: = {̅̅, ̅, , ̅̅} Thỏa thuận: lOMoARcPSD| 36667950 Thỏa thuận: ̅ Biến : ̅ ̅ ̅̅ Thỏa thuận: Biến : ̅ ̅ ̅ ̅ Thỏa thuận: ̅
Như vậy tập hợp các tiền ề nguyên tố là = {̅,̅,̅,̅}
Bây giờ ta xét bài toán 5.2: biểu diễn hàm Bool như là tổng tối tiểu của các tiền ề
nguyên tố. Trong phương pháp Biểu ồ Karnaugh, bài toán trên chính là bài toán phủ tối tiểu
của biểu ồ Karnaugh của hàm bởi các tế bào lớn. Đó là một họ các tế bào lớn sao cho: i.
Mỗi ô trong biểu ồ Karnaugh nằm trong ít nhất 1 tế bào lớn thuộc ii.
Nếu rút bớt một tế bào lớn thuộc thì phần còn lại không thỏa i)
Do các ô thuộc biểu ồ Karnaugh của chính là biểu ồ Karnaugh của một từ tối tiểu trội
bởi , ta có thể phát biểu bài toán phủ tổng quát như sau:
Bài toán phủ: tìm một họ các tiền ề nguyên tố của sao cho: i.
Mỗi từ tối tiểu trội bởi ược trội bởi một tiền ề thuộc ii.
Họ là từ tối tiểu, nghĩa là nếu rút bớt một phần tử thì phần còn lại không thỏa i) Gọi = ,…,
là tập hợp tất cả các tiền dề nguyên tố của mà ta tìm ược khi giải bài toán 5.1
Ta ưa vào các biến Bool , ,…, và tgiet61 lập một hệ phương trình Bool theo các biến Bool như sau:
Với mỗi từ tối tiểu trội bởi , gọi , ,…, là tất cả các tiền ề nguyên tố của trội . Khi ấy
ta có một phương trình: ∨ ∨ …∨ = 1
Cho chạy khắp các từ tối tiểu trội bởi , ta ược một hệ phương trình trong ó là số
các từ tối tiểu trội bởi . Giải hệ phương trình Bool trên ta ược các nghiệm là bộ : Trong ó , ,…,
là các giá trị cố ịnh bằng 1 hoặc tùy ý. Với các = 1 ta có
= 1, nghĩa là tiền ề nguyên tố ược chọn ể phủ . Để giải hệ phương trình Bool có dạng
trên, ta thực hiên các bước sau:
Bước 1: loại bỏ các phương trình trùng lắp, nói cách khác giả sử có hai phương trình có dạng: ∨ ∨ …∨ = 1 và ∨ ∨ …∨ = 1
sao cho { , ,…, } ⊂ { , ,…, } lOMoAR cPSD| 36667950
Khi ấy phương trình thứ hai là hệ quả của phương trình ầu và do ó có thể ược loại bỏ.
Bước 2: Vì hệ phương trình ồng thời nghiệm úng, ta thấy nó tương ương với một
phương trình duy nhất có vế trái là tích của tất cả các vế trái và vế phải bằng 1 Dùng luật
phân bố khai triển vế trái và ưa nó về dạng một công thức a thức.
Bước 3: Loại bỏ các ơn thức dư thừa, nghĩa là nó là bội của một ơn thức khác. Nói
cách khác ưa vế trái của phương trình ã biến ổi ở Bước 2 về dạng một công thức a thức rút
gọn. Ở ây lưu ý rằng các ơn thức ều là tích của một số biến, không có thừa số ơn nào là
phần bù của biến. Phương trình trở thành: ∨ ∨ …∨ = 1
Bước 4: các lời giải là: = 1 hay = 1 … … hay = 1
Mỗi là tích của một số biến, nên lời giải tương ứng chính là các tiền ề nguyên tố
tương ứng với biến ó.
Ví dụ: trong ví dụ 2 ở trên, ta có 4 tiền ề nguyên tố = ̅, = ̅, = ̅, = ̅, và 5 từ tối tiểu = ̅, = ̅, = ̅ ̅ , = , ̅̅.
Ta có hệ 5 phương trình: = 1 ⎧⎪ ∨ = 1 ∨ = 1 ⎨⎪ ∨ = 1 ⎩ = 1
Phương trình thứ hai là hệ quả của phương trình ầu và phương trình thứ 4 là hệ quả
của phương trình cuối: loại bỏ chúng và lấy tích ta ược phương trình duy nhất: ( ∨ ) = 1 Khai triển ta ược: ∨ = 1
Do ó ta có hai lời giải: = 1 hay = 1
Nói cách khác ta có hai công thức a thức: = ∨ ∨ = ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ và = ∨ ∨ = ̅ ∨ ̅ ∨ ̅
Cả hai ều là công thức a thức tối tiểu. lOMoARcPSD| 36667950
BÀI TẬP CHƯƠNG 4
1. Chứng minh rằng trong một ại số Bool
a) Phần bù của một phần tử là duy nhất
b) Suy ra qui tắc De Morgan: ∀ ,∈,∨ = ̅ ∧ và ∧ = ̅ ∨
2. Trong ại số Bool , xét quan hệ thứ tự ≺ xác ịnh bởi ịnh lý 4.1.1. Chứng minh rằng: a) nếu ≺ thì ∨ = b) nếu ≺ thì ≺ ̅
c) nếu ≺ thì ≺ thì ∧ ≺ ∧
d) nếu ≺ thì ≺ thì ∨ ≺ ∨
3. Trong một ại số Bool hãy tìm phần bù của: ∧ ∨ (∧) ( ∧ ̅) ∨ ∧ ∨ (∧)
4. Trong ại số Bool , một tập hợp con ℬ ≠ ∅ củ
a ược nói là một ại số con nếu với mọi
,∈ ℬ thì ∨,∧ và ̅ cũng là phần tử của ℬ. Chứng minh rằng ℬ là một ại số con của .
a) Chứng minh rằng nếu ℬ là một ại số con của thì 0,1 ∈ ℬ b) Với =
({ , , }). Hãy tìm tất cả các ại số con của
c) Giả sử ℬ là một tập hợp con của sao cho với mọi ,∈ ℬ thì ∨ ∈ ℬ và ̅ ∈ ℬ. Chứng minh
rằng ℬ là một ại số con của .
5. là một ại số Bool, ∈. Tập hợp tất cả các phần tử trội bởi có là một ại số Bool không? Nó có là ại số con không?
6. Giả sử : ⟶ ℬ là một ẳng cấu ại số Bool. Chứng minh rằng:
a) nếu là một nguyên tử của
thì ( ) là một nguyên tử của ℬ
b) nếu là một ại số con của thì ( ) là một ại số con của ℬ
7. Gọi là tập hợp các ước dương của 210. Trong ta ịnh nghĩa các phép toán ∨,∧,− như sau: với mọi ,∈ thì: ∨ = ( . ) ∧ = ( , ) ̅ = 210/ Chứng minh rằng là một ại số Bool 8. a) Xét ánh xạ ∶ ⟶ ({ , , , }) Sao cho (2) = { }, (3) = { }, (5) = { } và (7) = { }
Muốn cho là một ảng cấu ại số Bool thì ảnh của 35, 70, 42 là bao nhiêu? b) Có
bao nhiêu ẳng cấu khác nhau từ lên ({ , , , })
9. Giả sử ℬ là một ại số Bool và
là một tập hợp ≠ ∅. Với ,∈ ℬ ịnh nghĩa: ̅
a) Chứng minh rằng ℬ là một ại số Bool với các phép toán trên
b) Chứng minh rằng thứ tự tương ứng trên ℬ chính là thứ tự trong bài tập 27, chương 3 lOMoARcPSD| 36667950
10. Giả sử ,ℬ là hai ại số Bool. Trên × ℬ ịnh nghĩa: ( , ) ∨ ( , ) = (∨,∨) ( , ) ∧ ( , ) = (∧,∧) ( , ) = (̅, )
Chứng minh rằng × ℬ là một ại số Bool với các phép toán trên.
11. Trên ịnh số Bool ịnh nghĩa phép toán ⨁ = ∧∨ (∧) (*)
a) Chứng minh rằng phép toán trên thỏa: ∀ , ,∈ (⨁)⨁ = ⨁(⨁) ⨁ = ⨁ ⨁0 = ⨁ = 0 ∧ (⨁) = (∧)⨁(∧) Nghĩa là ( ,⨂
,∧) là một vành giao hoán.
b) Ngược lại nếu ⨁ là một phép toán trên thỏa các iều kiên trên thì (*) ược thỏa.
12. Cho trước phần tử của Bool . Có thể nói gì về phần tử thỏa một trong các iều kiện sau: a) ∧ = 0 b) ∨ = 1 c) ∧ = 0 và ∨ = 1
13. Trong một ại số Bool
ta khảo sát phương trình: (1)
trong ó a và b là hai phần tử cho trước của và là ẩn.
a) Chứng minh rằng iều kiện cần và ủ ể cho (1) có ít nhất một nghiệm là ≺
b) Đặt = ∨. Chứng minh rằng ∧ = và ∨ = 1
c) Nếu là một nghiệm, chứng minh rằng ∧ ≺ ≺ . Phát biểu và chứng minh phần ảo.
d) Chứng minh rằng nghiệm của (1) gồm tất cả các phần tử có dạng = ∧ với ≻ .
e) Khảo sát tương tự cho phương trình ∧ =
14. Tập hợp có là một ại số Bool không? Có các phép toán nào khác ể trở thành ại số Bool không? 15.
a) Mở rộng ịnh nghĩa trong bài tập 10 cho tích của ại số Bool × × …× .
b) Đặc biệt với = = ⋯ = = ≡ {0,1} hãy xác ịnh thứ tự tương ứng với cấu trúc ại số Bool có
n nguyên tử ều ẳng cấu với
16. Giả sử là một phần tử bất kỳ của ại số Bool có nguyên tử. Gọi ( ) là số ỉnh tối thiểu cần
phải i qua ể i từ 0 ến dọc theo các mũi tên của biểu ồ Hasse ( (0) = 0). a) Tính ( ) khi là một nguyên tử b)
Chứng minh rằng với , tùy ý ta có: (∨) = ( ) + ( ) − (∧) lOMoARcPSD| 36667950
17. Tìm giá trị của các hàm Bool dưới ây khi các biến , ,
và lấy các giá trị 1,1,0 và 0: a) ∨ ̅ b) ∨ ̅ c) ∨ ∨ d) ∨ ∨
e) (∨ ̅) ∨ ∨ (∨)(̅∨)
18. Tìm tất cả các giá trị của y và z ể các biểu thức dưới ây luôn luôn lấy giá trị 1 biết rằng = 1: a) ∨ ∨ b) ∨ c) ̅ ∨ d) ̅ ∨
19. Tìm từ tối tiểu theo 4 biến , , , biết rằng nó lấy giá trị 1 tại: a) = = 0, = = 1 b) = = 1, = = 0 b) = = = 1, = 0 d) = = = = 0 20.
a) Có bao nhiêu hàm Bool 6 biến lấy giá trị 1 tại các iểm có úng hai thành phần có giá
trị 1 (tại các iểm khác hàm Bool có thể bằng 0 hay 1)
b) Có bao nhiêu hàm Bool 6 biến lấy giá trị 1 tại các iểm có ít nhất 2 thành phần có giá
trị 1 (tại các iểm khác hàm Bool có thể bằng 0 hay 1)
c) Có bao nhiêu hàm Bool 6 biến không phụ thuộc biến thứ nhất. Có bao nhiêu hàm
không phụ thuộc 3 biến ầu tiên.
21. Tìm các hàm Bool theo 2 biến sao cho: ,
22. Xác ịnh tất cả các hàm Bool theo 3 biến sao cho: ( , , ) = ( , , ) ∀ , ,
(Hướng dẫn: lập bảng chân trị)
23. Xác ịnh các hàm Bool theo 3 biến biết rằng nó không thay ổi giá trị nếu ta hoán vị 2 biến
bất kỳ? Câu hỏi tương tự cho hàm 4 biến (Hướng dẫn: lập bảng chân trị)
24. Tồn tại hay không một hàm Bool 3 biến khác 0 biết rằng nó ược thay bằng phần bù nếu
ta hoán vị 2 biến bất kỳ? Câu hỏi tương tự cho hàm Bool biến
25. Một hàm Bool biến ược nói là hàm chẵn nếu: ( , ,…, ) = ( , ,…, ), ∀ , ,…, . Có bao nhiêu
hàm chẵn biến? Xác ịnh các hàm này khi = 2 26. Hàm số Bool
biến ược nói là hàm chẵn nếu ( , ,…, ) = (̅ , ,…, ), , ,…,
. Có bao nhiêu hàm lẻ biến? Xác ịnh các hàm này khi = 2
a) Chứng minh rằng mọi hàm Bool theo biến ều ược viết dưới dạng: ( , ,…, ) = [ (1, ,…, )] ∨ [ (0, ,…, )]
b) Sử dụng hệ thức trên ể xây dựng một song ánh giữa ℱ × ℱ và ℱ . Áp dụng ể tìm lại số phần tử của ℱ
c) Sử dụng hệ thức trên ể chứng minh lại sự tồn tại của dạng nối rời chính tắc.
28. Giả sử là tích của từ ơn phân biệt a)
Trong dạng nối rời chính tắc của có bao nhiêu từ tối tiểu xuất hiện b)
Có bao nhiêu hàm Bool trội
29. Tìm dạng nối rời chính tắc của các hàm Bool
theo 4 biến biết rằng thỏa một trong hai iều kiện: a) (1) = {0101,0110,1000,1011} b) }
(0) = {0000,0001,0010,0100,1000,1001,0110 Ở ây ta viết 0101 thay vì (0,1,0,1) ể chỉ ra phần tử của
30. Tìm dạng nối rời chính tắc của hàm Bool theo 3 biến: lOMoARcPSD| 36667950 a) ∨ ̅ b) ( ∨ ̅) b) ∨ ∨ d) (∨) c) ∨ ̅ ̅ f) [ (∨) ∨ ̅] ∨ d) (∨)( ̅ ∨ )̅ h) ∨ ̅ e) (∨)(∨)(∨) j) (̅ ∨)(∨)(̅ ∨)
31. Tìm dạng nối rời chính tắc của hàm Bool theo 4 biến: a) (∨)(∨)(∨)(∨) b) ̅ c) ̅
32. Một bài thi có 4 câu A,B,C,D với số iểm tối a 8,5,4,3.Nếu trả lời úng một câu, sinh viên
ược iểm tối a, trả lời sai ược 0 iểm. Muốn ạt sinh viên phải ược 10 iểm trờ lên. Ta liên kết
với các câu 4 biến Bool a,b,c,d và một hàm Bool (a,b,c,d) lấy giá trị 1 nếu sinh viên ạt và
bằng 0 nếu sinh viên không ạt. Hãy tìm dạng nối rời chính tắc của hàm .
33. Hãy vẽ mạng sử dụng các cổng NOT, AND, OR ể tổng hợp hàm Bool a) (̅ ∨)(∨)(̅ ∨) b) ̅ ∨ ̅ ∨ c) ( ∨ )(̅ ∨ )̅ ̅ d) ∨(̅ ∨)
34. Hãy tổng hợp phép toán ∨ mà chỉ sử dụng cổng AND và cổng NOT 35. Hãy tổng hợp các
cổng AND, OR, NOT mà chỉ sử dụng cổng NOR
36. Viết ra biểu thức hàm tổng hợp bởi mạng các cổng dưới ây:
37. Hãy vẽ một mạch chỉ có cổng NOR tổng hợp các hàm Bool theo 4 biến sao cho lấy giá
trị 1 khi và chỉ khi số biến lấy giá trị 1 là số chẵn. Tương tự ối với cổng NAND.
38. Tìm công thức a tối tiểu của các hàm Bool có biểu ồ Karnaugh dưới ây:
39. Tìm công thức a tối tối tiểu của các hàm sau: a) ̅(∨) ∨ ( ̅ ∨ ̅ ) b) ∨ ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅ lOMoARcPSD| 36667950 c) ∨ ̅ ̅ ̅ ∨ ̅ d) ∨ ∨ ̅ ∨ ∨ (̅ ∨̅) e) ̅̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅ ∨ ̅ ̅ ∨ ̅ ∨ f) (∨)(∨)(∨)(∨) g) (∨) ∨ (̅ ∨) ∨ ̅ h) ∨ ̅ ̅ ∨ ̅ ̅ i) ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅ ̅
40. Tìm các công thức a thức tối tiểu của hàm Bool dưới ây. Cho biết số cổng ể thiết kế các mạng tối ưu tổng hợp a)
là hàm Bool 3 biến và lấy giá trị 1 khi và chỉ khi có úng 2 biến lấy giá trị 1 b)
là hàm Bool 3 biến và lấy giá trị 1 khi và chỉ khi có ít nhất 2 biến lấy giá trị 1 c)
là hàm Bool 4 biến và lấy giá trị 1 khi và chỉ khi số biến lấy giá trị 1 là một số lẻ
GIẢI ĐÁP MỘT SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG 1 1. Các mệnh ề là a,c,f
2. a) ∧ b) ¬ ∧ c) ∨ (¬ ∧ ¬ ) d) ⟶ ¬ e) (∧ ¬ ) ∨ (¬ ∧ ¬ ) 3. a) ∧ ∧ ¬ b) ∧
∧ ¬ (∧) c) ¬ (∧ ¬ ) d)¬ [(∨) ∧ ¬ ] e) ¬ ∧ ¬ ∧ 12. b, c, e, f 13. a, b,d, f, h
14. a) Để dạng mệnh ề ã cho lấy chân trị 1, hai dạng mệnh ề sau cần lấy chân trị 1: (¬ ∨) ∧ ¬ , à ¬ ⟶ ¬
Nghĩa là ¬ ,¬ và ¬ ∨ phải lấy chân trị 1.
Tóm lại ta phải chọn: = 1, = 0, = 0 và = 0.
b) Do ¬ ∧ có chân trị 0 ta suy ra ¬ có chân trị 0, nghĩa là có chân trị 1. Trong trường hợp
này và có chân trị tùy ý.
15. Dạng mệnh ề ã cho là : a) Mâu thuẫn b),c) Tùy ý d) Hằng úng
17. a) Thay thế ∨ bởi ta cần chứng minh dạng mệnh ề
(⟶) ⟷ (¬ ⟶ ¬ ) là hằng úng.
Do qui tắc thay thế thứ nhất, dạng mệnh ề trên tương ương logic với: (¬ ∨) ⟷ (∨ ¬ ) ⟺ 1
b) Thay (∨) ⟶ bởi ta cần chứng minh dạng mệnh ề sau là hằng úng:
[∨ (∧)] ⟷ [(∨) ∧ (∨)]
Đây chính là luật phân bố 22. a) Sai b) Đúng, PP phủ ịnh c) Sai d) Đúng, Tam oạn luận 29. a), b) = 1, = 1, = 1, = 0
30. a) Phép suy luận có dạng: (∧) ⟶ lOMoARcPSD| 36667950 ¬⟶ ∴ ¬ ∨ ¬
Sử dụng Tam oạn luận và PP Phủ ịnh b) Phép suy luận có dạng ⟶ ⟶ (∧) ⟶ (∧) ⟶ ¬ ∴ ¬ ∨ ¬ Dùng phép phản chứng.
c) Phép suy luận có dạng: ⟶ ⟶ (∨) ⟶ ¬ ∴ ¬ ∧ ¬ Dùng PP Phủ ịnh 3 lần 34. a) Sai b) Đúng c) Đúng
d) Đúng: chọn = 1 e) Sai: chọn x=0
37. a) Đúng: nếu thay bởi phần tử tùy ý sao cho ( ) úng thì = 2 hay = 3. Khi ó > 0
b) Sai: chọn = 5 thì (5) úng và ¬ (5) sai
c) Đúng: chọn = 0 thì (0) sai nên (0) ⟶ (0) úng
d) Đúng: chọn = 0 thì (0) sai nên (0) ⟶ ¬ (0) úng 38. a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng
e) Cho tùy ý, chọn = thì ( , ) úng
f) Sai cì có phủ ịnh úng là: ∀ ∃ ,¬ ( , ) . Thật vậy cho tùy ý, chọn = + 1 thì ¬ ( , ) úng. g) Đúng h) Đúng
39. a) Sai: chọ = −1 và = 0 thì > nhưng <
. Phủ ịnh ã cho ược viết úng.
b) Đúng. Phủ ịnh ã cho ược viết úng.
c) Đúng. 1.3=3 là số lẻ. Phủ ịnh ược viết không chính xác. Phủ ịnh úng là: tích của hai số lẻ bất kỳ là số chẵn.
d) Đúng. Phủ ịnh ược viết không chính xác. Phủ ịnh úng là : tồn tại số hữu tỉ có bình phương là số vô tỉ
40. a) Tồn tại số nguyên sao cho chia hết cho 2 và số chẵn
b) Tồn tại số nguyên chẵn có bình phương là số lẻ
c) Tồn tại các số nguyên ,
, sao cho −,− và − là số lẻ.
d) Tồn tại số thực sao cho > 16 và −4 ≤ ≤ 4
e) Tồn tại số thực sao cho |− 3| < 7 trong khi hay ≥ 10. 41. a) ∀ , ¬ ( ) ∨ ( ) ⟺ ∀ ,¬ ( ) ∧ ¬ ( ) b) ∃ ,¬ ( ) ∧ ¬ ( ) ⟺ ∃ ,¬ ( ) ∨ ( ) ⟺ ∃ , ( ) → ( ) lOMoARcPSD| 36667950 c) ∃ ,¬ ( ) →
( )⟺ ∃,¬ ¬ ( ) ∨ ( )⟺ ∃, ( ) ∧ ¬ ( )
d) ∀ , ( ) ∨ ( ) ∧ ¬ ( ) ⟺ ∀ , ( ) ∧ ¬ ( ) 43. a) ∃ ∀ , = b) c) ∀ ,(≠ 0) → (∃ , = 1)
d) Trong b) vẫn như trên trong khi ó c) phải ược thay bởi ∀ ,(| | = 1) → (∃ , = 1)
44. a) ∀ ∈ , (≠ 0) → ∃! : = 1 . Nếu ược hiểu ngầm thì mệnh ề trên có thể viết: ∀ ≠ 0,∃! : = 1 b) ∀ ∈ ,∀ ∈ ,∃! ∈: = + c) ∀ ,∃! : = 3 + 7 45. ∀ ,∃! ,
= −2 úng trong khi ∃! ,∀ ,
= −2 sai. Thật ra ta cần kiểm tra ∃ ,∀ ,≠
−2 úng. Muốn vậy, ta cho =
tùy ý và chọn = − + 1 thì = −2 + 2 ≠ −2
Với kết quả trên thì a) sai và b) úng 46. Chọn = 0, = 0,
= 2 thì ( , ) và ( , ) úng trong khi ≠ . Như vậy
sai. Suy ra ∃! ∀; ( , ) cũng sai. Từ ó ta thấy cả hai kết luận a) và b) ều úng.
47. Với tập hợp vũ trụ = {1,2} thì mệnh ề “∃! , > 1” úng trong khi với = {1,2} thì mệnh ề trên sai.
49. a) Đúng. Qui tắc ặc biệt hóa phổ dụng và PP khẳng ịnh ã ược sử dụng. b)
Sai. Có thể ông Bình ã óng thuế nhưng vẫn không là công dân tốt (vi phạm luật giao thông chẳng hạn!) c)
Sai. Có thể Hà không quan tâm ến môi trường nhưng vẫn ể riêng các túi nhựa bỏ i
(bị mẹ bắt chẳng hạn!) d)
Sai.Có thể Minh không nộp bài chưa làm xong vì không chịu làm bài (do ó Minh không
phải là sinh viên nghiêm túc). 50. a) b) hiển nhiên.
c) Sử dụng Qui tắc ặc biệt hóa phổ dụng, Qui tắc tổng quát hóa phổ dụng và Phép chứng
minh theo trường hợp, d) Xét hai vị từ trên : ( ):"≥ 0" ( ):"≤ 0" Khi ấy “ ∀ , ( ) ∨
( )” úng trong khi cả “ ∀ , ( )” và “ ∀ , ( )” ều sai.
54.Suy luận sai ngay ngay trong bước qui nạp ầu tiên: (1) → (2).
55. Giả sử 3 số liên tiếp bất kỳ có tổng ≤ 38. Khi ấy ta có: 3.(1 + 2 + ⋯ + 25) ≤ 25.38 nghĩa là 25.39 ≤ 25.38: mâu thuẫn
56. a) Suy ra dễ dàng từ nguyên lý qui nạp.
b) Cần chứng minh bằng qui nạp bất ẳng thứ phụ nếu > 2 thì 2 + 1 < 2 lOMoARcPSD| 36667950
c) Cần chứng minh bằng qui nạp 2 bất ẳng thứ phụ: nếu > 5 thì 6 + 10 < 2 và nếu > 6 thì 3 + 3 + 1 < 2 57. Giả sử Khi ấy:
Tuy nhiên (1) ã sai nên không áp dụng nguyên lý qui nạp ược.
58. Công thức cần chứng minh là ( + 1) + ( + 2) + ⋯ + ( + 1) = + ( + 1) ,≥ 0
Giả sử công thức trên úng với = . Ta có: (( + 1) + 1) + (( + 1) + 2) + ⋯ + ( + 2) lOMoARcPSD| 36667950 = ( + 2 + 1 + 1) + ( + 2 + 1 + 2) + …+ ( + 2 + 1 + 2 + 1) + ( + 1)2 + 2 + 2 + ( + 1)2 + 2 + 3 = ( + 1) + ( + 2) + ⋯ + ( + 1) + (2 + 1).(2 + 1) + 2 + 4 + 5 ) = ( + 1) + + 6 + 12 + 8 = ( + 1) + ( + 2 CHƯƠNG 2
1. Bốn tập hợp bằng nhau. Tuy nhiên 3 cách viết sau không hợp lý vì có những phần tử ược
kể 2 lần trong tập hợp. 2. a) Đúng b) Đúng
c) Đúng do a) d) Đúng do b)
e) Sai. Ta phải viết {2} ⊂ .
f) Sai. Ta phải viết {2} ∈ 3. a) Sai. b) c) d) Đúng. 4. a) {0,2} b) 2, , , , c) , , , , ,
5. a) b) c) e) Đúng. d) và f) Sai
7. Chỉ có d) khác ∅ vì phươn trình tương ứng có nghiệm. 8. a) {1,2,3,5} b) c) và d) e) {4,8} f) {1,2,3,4,5,8} \ {2} g) ∅ h) {1} i) {1,3,4,5,8} 9. a) c) d) Đúng. b) e) f) Sai 10. a) b) c) d) f) e) ̅ = {2 + 1/ ∈}
12. a) Sai, chọn ≠ 0 tùy ý và = = ∅, =
b) Sai, chọn ≠ 0 tùy ý và = ∅, = =
c) Đúng. Ta có: (∩) ∪ (∩) = (∪) ∩ = (∪) ∩ = ∩ ∩ = ∅ Suy ra (∩) ⊂ ∩ (∩) = ∩ ∩ = ∩ ∩ = ∅ Do 11. d) ⊂
. Tương tự ta có ⊂. Nghĩa là = . 13. a) Sai. Chọn = {1}, = {2} b) Đúng ̅ ̅ b) (∩) ∪ ( ∩ ∩ ̅ ∩ ) ∪ ( ̅ ∩ ) =
c) ̅ ∪ ∪ ( ∩ ∩ ̅) = ∩ ∩ d) Tập hợp ã cho bằng ∩ ∩ ∩ 21. a) ∘( ) = 3− 1 và ∘( ) = 3− 0 ế ℎẵ
3 ℎ ∘ ( ) = ℎ(3 ) = ℎ( ); ∘ ℎ( ) = 3 ế ẻ ∘ ∘ ℎ( ) = 3ℎ( ) − 1
b) ( ) = − 2, ( ) = − 3, ( ) = 9 , ( ) = 27 ℎ = ℎ,ℎ = ℎ = ℎ. Bằng qui nạp ℎ = ℎ 22. ( ) = ∩ (∪) = ∩ ∪ ∩ (∪) = ∩ (∪) ∩ (∪) = ∩ (∪) = ( ) lOMoARcPSD| 36667950
23. a) là song ánh. Ánh xạ ngược ( ) = − 7. : → cho bởi b) (1) =
(−3) = 0 nên không ơn ánh GS. Nguyễn Hữu Anh 117
c) Hàm số tăng ngặt trên [4,9] nên là ơn ánh. Mặt khác ([4,9]) ⊂ [21,96]. Hơn nữa với ∈
[21,96] thì phương trình + 2− 3 = có nghiệm duy nhất là . Do ó là song
ánh với ánh xạ ngược là ( ) = −1 + 4 + .
d) là song ánh. Ánh xạ ngược: ế < 5 e) là song ánh. ( ) = ln( ) − 1,∈ (0,+ ∞)
f) là ơn ánh nhưng không toàn ánh vì 1 ∉ ( ) 27. a) (−10) = −3, (0) = 7, (2) = 1, (6) = 5 b) ([−5,−1]) = [2,6], ([−2,4]) = ([−2,0]) ∪ (0.3) ∪ ([3,4]) = (−1,7]
28. a) Chú ý rằng là một song ánh giữa ={1,2,…} va tập hợp các số nguyên tự nhiên lẻ,
cũng như là một song ánh giữa ∪ {0} = {…,−2,−1,0} tập hợp các số nguyên tự nhiên chẵn.
Suy ra là một song ánh giữa và . ế à ố ê ự ℎê ẻ b) ( ) = ế àố ê ự ℎê ℎẵ ⟹ ( ) = ( ) ⟹ = ′
b) Do ∘ toàn ánh nên cho ∈ tùy ý, sẽt tồn tại ∈ sao cho = ∘( ) = ( ) với = ( ) ∈ . Điều này chứng tỏ toàn ánh. c) (∘) = ∘
d) Chọn ( ) = 2 với ∈ và ế à ộ ố ê ự ℎê ℎẵ ( ) = 2 ế à ố ê ự ℎê ẻ 30. a) ( ) =
± 1 nên và ( ) khác tính chẵn lẻ. b) Giả sử ( ) =
( ). Khi ấy và cùng tính chẵn lẻ nên (−1) = (−1) .Suy ra = ∶ là ơn ánh c) ( ) = ( ) + (−1) ( ) = + (−1) − (−1) = ,∀ ∈ Như vậy là song ánh và = .
d) Ta có = (365) = (365) = 365 + (−1) = 364 lOMoARcPSD| 36667950 31. i) Giả sử + < + ′. Khi ấy ≤
Tương tự nếu + < + thì ( + ) < ( , ). Mặt khác nếu + = + ′ và ( , ) = ( , ) thì = , = . Tóm lại là ơn ánh. ii) Đặt = ( ×
). Ta có 0 = (0,0) ∈ GS. Nguyễn Hữu Anh 118
Mặt khác, giả sử = ( , ). Khi ấy + 1 = (− 1, + 1) nếu > 0 và + 1 = ( + 1,0) nếu = 0. Suy ra
( × ) = theo Nguyên lý Qui nạp. 33. a) b) 7 = 35 4 c)
34. a) Đó là các tập hợp có dạng ∪ với là một tập con của ≠ ∅ của {2,4,6,8,10} và ⊂
{1,3,5,7,9,11}. Do ó theo Nguyên lý nhân số tập hợp này là: (2 − 1)2 b) Tương tự như trên,
số tập hợp con có dạng này là 2 (2 − 1)
c) Tng quát hóa: nếu là một tập hợp số chẵn có phần tử và là một tập hợp số chẵn có
phần tử thì số tập hợp con của ∪ chứa ít nhất một số chẵn là: (2 − 1)2 35. = 20
38. a) Số nhãn hiệu thỏa ít nhất 2 tính năng là:
|(∩) ∪ (∩) ∪ (∩)| = |∩| + |∩| + |∩| = 4
Số nhãn hiệu thỏa ít nhất 1 tính năng là:
|(∩) ∪ (∩) ∪ (∩)| = 18 − 4 = 14
Do ó số nhãn hiệu thỏa úng 1 tính năng là 10.
b) Số nhãn hiệu không thỏa tính năng nào là 15 - 14=1. 40.
a) 2 − 2 = 126;2 − 2 − 7−7 = 112 b) 2 − 2;2 − 2 − 2 1 6 − ! 41. … = ! !… !
44. Gọi , , là tập hợp các sinh viên làm thí nghiệm thứ nhất, thứ hai và thứ ba tương ứng.
Ta có: | | = 21 − 5 = 16, | | = 21 − 7 = 14, | | = 21 − 6 = 15. Áp dụn 38. ta ược |∩| + |∩| + |∩| = 33
Số sinh viên làm ít nhất hai thí nghiệm là:
|(∩) ∪ (∩) ∪ (∩)| = 33 − 3| ∩ ∩ | + | ∩ ∩ | = 15
Do ó có 21 − 15 = 6 sinh viên chỉ làm ược một 1 thí nghiệm. lOMoAR cPSD| 36667950
45. Mỗi ường i ược xác ịnh bởi ký tự ( i ngang) chọn một dãy gồm có + ký tự
và ( i lên). Do ó số các ường i khác nhau là + = + 46. 10 + 4 − 1 = 13 = 286 4 − 1 3 47. a) 10 + 5 − 1 = 14 = 1001 5 − 1 4 b) 12
Chia cho ứa trẻ lớn nhất hai hòn bi, còn lại chia cho 5 ứa: 8 + 5 − 1 = = 495 5 − 1 4 c) 9
Chia 5 hòn bi còn lạc họ ứa: 5 + 5 − 1 = = 126 5 − 1 4
48. a) Cho vào mỗi hợp một vật, còn lại =
− vật chia cho hộp: − + − 1 − 1 − 1 − 1 GS. Nguyễn Hữu Anh 119 b) − 1 − 1
49. a) Đây là số nghiệm ≥ 0 của phương trình + + + = 8 8 + 4 − 1 = 11 = 165 4 − 1 3 b) Chỉ có 1 nghiệm: = = = = 8
c) Chính là số nghiệm của phương trình + + + = 28 với , , ≥ 0,0 ≤ ≤ 24: 31−6 = 4475 3 3
ở ây 6 chính là số nghiệm ≥ 0 của + + + = 3 3
50. a) Theo Nguyên lý nhân, số các số hạng 6 4 (2 ) (3 ) là: 7 × × = 420 2 3 Do ó hệ số của là 420 × 2 × 3 = 15120
b) Số số hạng có dạng là số nghiệm của phương trình + + + + = 7, với ∈ ,1 ≤ ≤ 5: 7 + 5 − 1 = 11 = 330 5 − 1 4 53. a) 8 = 28 b) 8 = 70 c) 8 = 28 lOMoARcPSD| 36667950 2 4 6
d) Đây cũng là số byte có nhiều nhất 2 bit 0: 8 8 8 + + = 37 0 1 2 55. a) 15 = 105 b) 25 = 2300, 25 = 12650 2 3 4 56. a) = ( )( ) 3
b) Có tam giác có chung hai cạnh với a giác ều và (− 4) tam giác có chung một cạnh với a
giác ều. Do ó số tam giác không có cạnh chung là − (− 4) − = ( − 9 + 20) 6 59. a) (1 + 2) = 3 b) (1 + −) = 1 1 c) = = ! d) = (−1) = (1 − 1) = 0
60. Giả sử mỗi cửa có ít hơn bồ câu. Khi ấy ta có: ≤ − 1 < = : mâu thuẫn
61. a) Ít nhất 7 lần: Nguyên lý chuồng bồ câu b)
Gọi là số lần tung. Do 60. Ta cần có: ≥ 3
Do ó giá trị nhỏ nhất của là 13 c) 6(− 1) + 1 GS. Nguyễn Hữu Anh 120
63. a) Ta chọn 10 của chuồng bồ câu: [1,2),[2,3),…,[9,10),{10}. Do nguyên lý chuồng bồ
câu có hai phần tử ≠ có căn bậc hai cùng thuộc một tập hợp, nghĩa là: 0 < √ − < 1.
b) Cho trước một số nguyên > 0. Trong + 1 phần tử khác nhau của {1,2,…, }, có ít nhất 2
phần tử , sao cho: 0 < √ − < 1
64. Vẽ 9 tam giác ều có các cạnh song song với các cạnh của tam giác ều ã cho vaa2 ỉnh
chọn trong số 3 ỉnh, 6 diểm chia các cạnh theo tỉ số và tâm của tam giác ều. Theo Nguyên
lý chuồng bồ câu, có ít nhất 2 trong số 10 iểm ã cho thuộc về cùng một tam giác ều nhỏ.
Khoảng cách của chúng ≤ . Dấu = chỉ xảy ra ối với 2 ỉnh của một tam giác ều nhỏ. Tuy
nhiên chỉ có một ỉnh duy nhất nằm bên trong tam giác ều ã cho. lOMoARcPSD| 36667950 CHƯƠNG 3
1. a) = 0,( , , ) ∈ × × tùy ý: có 4.7 = 196 bộ 4 ≠ 0 tùy ý, = 0,( , ) ∈
× tùy ý: có 4 .7 = 112 bộ 4 ≠ 0 tùy ý, tùy ý, tùy ý, = 0: có 4 .6 = 96 bộ 4
Vậy |ℛ | = 196 + 112 + 96 = 404 b) ≠ 0 tùy ý, tùy ý, tùy ý, = 0 tùy ý Vậy |ℛ | = 4 .6.3 = 288 2. a) | × | = 3 = 9 b) 2| × | = 2 = 512 c) 2| × | = 512
d) Đó là số tập hợp con của × \ {(1,2),(1,5)} = 2 = 128 e) 9
Đó là số tập hợp con 5 phần tử của × : = 126 5 f) 2 − 9−9−9 = 466 0 1 2
3. 2| || | = 4096 = 2 ⟹ 3| | = 12 ⟹ | | = 4 4. a) Quan hệ hàm: : →, ( ) = + 7
b) Quan hệ hàm: : →, ( ) =
c) Quan hệ hàm: : →, ( ) = 3 + 1 hay : →, ( ) = = ( )
d) Không phải là quan hệ hàm e) Quan hệ hàm: :[0,1] ⟶
hay : [0,1] ⟶ [0,1], ( ) = 1 − = ( ) = ( ) b) (ℛ) = , (ℛ) = [−1,1] c) (ℛ) = [−1,1], (ℛ) = [−1,1]
6. a) Quan hệ trên × × trong ó dòng 2 và 3 ồng nhất nên loại bớt 1 và dòng 5
và 6 ồng nhất nên loại bớt 1. b) ×
ều có thẻ dùng làm khóa chính × × ×
gồm 3 cột ầu và ủ 6 dòng. GS. Nguyễn Hữu Anh 121 7. a) Quan hệ chiếu lên
gồm 2 cột ầu và ủ 6 dòng. Quan hệ chiếu lên lOMoARcPSD| 36667950
b) Không có khóa chính vì mỗi cột ều có giá trị lặp lại. c) × , × , × , × , × .
8. a) ℛ = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}
b) ℛ = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(1,3)}
c) ℛ = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)}
9. a) Phản xạ, ối xứng, bắc cầu. Tuy nhiên không phản xứng trừ trường hợp =
b), e), f), g) Phản xạ, ối xứng, bắc cầu nhưng không phản xứng
c) Đối xứng nhưng không có ba tính chất kia
d) Phản xạ, phản xứng, bắc cầu nhưng không ối xứng
b) ℛ = ℛ∗ khi và chỉ khi ℛ ối xứng
c) bắc cầu, phản xứng khi và chỉ khi ℛ∗ bắc cầu, phản xứng. Theo b) nếu ℛ ối xứng thì ℛ∗ = ℛ cũng ối xứng. 12. a) | ×
| = 16,|∆ | = 4 nên số quan hệ phản xạ là: 2 = 4096
b) Gọi = {( , )/ 1 ≤ < ≤ 4}. Với ⊂ ∪ ∆ thì ∪ {( , )( , ) ∈ } là một quan hệ ối xúng và ngược lại. Do
ó số quan hệ ối xứng là 2∪∆ = 2 = 1024
c) Một quan hệ phản xạ và ối xứng xác ịnh duy nhất bởi tập hợp ⊂ nên số quan hệ phản xạ
và ối xứng là 2| | = 2 = 64.
d) Giả sử ℛ phản xứng, ặt = ℛ ∩ ∆ , = ℛ ∩ và = ℛ∗ ∩ : rõ ràng ℛ ược xác ịnh duy nhất bởi , , .
Do ó số các quan hệ phản xứng là : 6 2 2 = 11.664
e) Đó là quan hệ ℛ ⊂ ∆ : có 2 = 16 quan hệ
f) Quan hệ duy nhất là ℛ = ∆ .
13. Ta viết = { , ,…, }. Đặt = , / < . Ta có | | =
( ) . Tương tự như trên, mỗi quan hệ phản
xứng ℛ tương ứng với các tập con , , . ℛ là tối ại khi và chỉ khi = ∆ và ∪ = , nghĩa là |ℛ| = ( ) + = ( )
Hơn nữa số quan hệ như vậy chính là 2 .
14. a) Trực tiếp từ ịnh nghĩa
b) [1] = {1,2} = [2],[3] = {3}
c) [4] = {4,5} = [5] và [6] = {6}. Do ó ta có phân hoạch của thành các lớp tương ương: = {1,2} ∪ {3} ∪ {4,5} ∪ {6}
15. Ngoài ường chéo chính ∆ , còn chứa các cặp {1,2},{2,1},{3,4},{4,3}. lOMoARcPSD| 36667950 16. Ta có (1,2) và (2,3)
nhưng (1,3) ∉ ℛ nên ℛ không phải là quan hệ tương ương. 17. a) Hiển nhiên
b) [( , )] = {( , )/ ∈ ℛ}. Đấy chính là ường thẳng song song với trục tung và i qua iểm ( , )
19. a) Đó là quan hệ tương ương b) [∅] = ∅,{3} ,[{1}] =
{1},{1,3} ,[{2}] = {2},{2,3} ,[{1,2}] = {1,2},{1,2,3}
c) [{1,3,5}] = {{1,3,4},{1,3,5}}. Mỗi lớp tương ương ều chứa một tập hợp con duy nhất
của nên số lớp tương ương chính là 2| | = 2 = 8 21. a) 6 3 = 10 b) 6 1 + = 80 3 3 1 c) d) 10 + 80 + 30 + = 126
22. a) Suy trực tiếp từ ịnh nghĩa b) { ( )/ ∈( )} 23. ℛ = ( × ) ∪ ( × ) ∪ ( × )
25. Xét = ({1,2,3}) và = {⊂/ 4 ∈ }. Khi ấy biểu ồ Hasse của và là 2 hình lập phương 3 chiều.
Nối mỗi ỉnh ∈ ến ỉnh ∪ {4} ∈ bởi 1 cung có hướng xuất phát từ . Tập hợp các ỉnh trong
và và các cung trong và cùng với các cung mới thêm vào như trên chính là biểu ồ Hasse của ( ).
26. a) Kiểm tra trực tiếp của ịnh nghĩa
b) ≺ không nhất thiết là toàn phần. ví dụ =
= {0,1} và ≺ ,≺ là thứ tự thông thường
27. a) Trực tiếp từ ịnh nghĩa
b) Với ,∈ tùy ý. Định nghĩa ánh xạ ℎ: → bởi ℎ( ) = ( ) ∨ ( ),∀ ∈ . Khi ấy ℎ = sup{ , }
Tương tự ta thấy inf( , ) là ánh xạ →: inf( , ) ( ) = ( ) ∧ ( ),∀ ∈
29. Tính phản xạ hiển nhiên. Gọi là chỉ số sao cho = , = ,…, = và = hoặc nếu < . Gọi
là chỉ số tương tự xác ịnh từ ≺ .  Nếu ≥ thì ta có = ,…, = và = hoặc ≺
nếu < .  Nếu < thì < nên ta có = ,…, = và ≺ .
Trong cả hai trường hợp ta ều có ≺ và ≺ có tính bắc cầu. Chú ý rằng trong trường hợp trên
nếu = thì trường hợp 2 không xảy ra và khi ó = , nghĩa là ≺ là phản xứng.
Xét hai chuỗi khác rỗng , như trên. Nếu =
với 1 ≤ ≤ min( , ) thì ta có ≺ hay ≺
theo Định nghĩa của ≺. Trong trường hợp ngược lại sẽ có chỉ số bé nhất ể
≠ , nghĩa là = ,…, = . Do thứ tự trên là tòan phần ta có hay . Nói cách khác ≺ hay
≺ . Tóm lại thứ tự trên là toàn phần.
30. Trong 3 biểu ồ ầu, ịnh nghĩa trội trực tiếp bị vi phạm. lOMoARcPSD| 36667950
Ngoài ra trong biểu ồ thứ 2 tính phản xứng cũng bị vi phạm. Chỉ có biểu ồ cuối cùng là biểu ồ Hasse
34. a) Chỉ có một chặn trên gồm 3 phần tử
{1,2,3} Số chặn trên gồm 4 phần tử: 4 = 4
1 Số chặn trên gồm 5 phần tử: 4 = 6 2 b) 4 4 11 + + = 16 3 4 c) {1,2,3}
d) Một chặn dưới duy nhất:∅ e) ∅
35. a) ( ({1,2}),⊂) là 1 dàn nhưng thứ tự ⊂ không toàn phần.
b) Nếu ≺ toàn phần thì với ,∈ tùy ý ta có: sup{ , } = max( , ) à inf{ , } = min( , ) Do ó là một dàn. 37. a) b) c) d) e) f) g)
38. a) là phần tử lớn nhất và là phần tử bé nhất b) ( ,≺) là một dàn
39. Sử dụng các qui luật logic
40. a) ∀ , ,min{ , } tồn tại. Vậy thứ tự tốt toàn phần. Tuy nhiên ≤ là thứ tự toàn phần trên
nhưng không phải là thứ tự tốt. b) Do ịnh nghĩa của thứ tự tốt
c) ≤ là thứ tự tốt trên nhưng không có phần tử lớn nhất. {1,2} là 1 tập hợp sắp tốt có phần tử lớn nhất.
41. a), e), f) là tập hợp sắp tốt.
b) Không phải là tập sắp tốt. Mặt khác tập hợp {1, ,…, ,…} không có phần tử bé nhất nên (
,≤) và ( ,≤) không phải là tập sắp tốt.
g) Giả sử là bộ mẫu tự gồm 2 chữ cái ≺. Khi ấy { , , ,…} là một tập con của không có phần
tử bé nhất nên không phải là tập sắp tốt. 42. a)
chính là trội trực tiếp duy nhất của . b) Giả sử
. Khi ấy nên là ơn ánh. Tuy nhiên
phần tử bé nhất của không thuộc ( ). c)
Định nghĩa ánh xạ : → bởi (0) = , ( ) = ( ), trong ó ( ) ược ịnh nghĩa bằng qui nạp: ( ) =
( ) . Khi ấy là một ẳng cấu giữa hai tập hợp sắp thứ tự ( ,≤) và ( ,≺) 43. a) 1 b) 22 c) 6 d) 11 e) 3 a) 2 .3 .5 .11 và 2 .3.5 .7 .11 b) 47. a) 2 .5 .7 ,0 ≤ ≤ 3,0 ≤ ≤ 2,0 ≤ ≤ 4
b) Các ước số dương của có dạng với 0 ≤ ≤ ,0 ≤ ≤ ,0 ≤ ≤ . Do ó theo Nguyên lý nhân, số
ước số dương là ( + 1)( + 1)( + 1). lOMoARcPSD| 36667950 c) Nếu = thì có ( + 1)(
+ 1) …( + 1) ước số dương.
d) Suy ra + 1 = 2 , nghĩa là = 2 − 1, ∈ ,1 ≤ ≤
49. a) Sinh viên thứ lật 62ng xu thứ 100 khi và chỉ khi là ước số của 200 = 2 .5 . Do ó số lần
mà dồng xu thứ 200 dược lật là 4.3 = 12.
b) Giả sử ồng xu thứ = …< 200 ược lật ngược ( + 1)( + 1)( + 1) …= 12 lần. Khi ấy có thể lấy các giá trị sau: 2 .3 = 96 2 .5 = 160 2 .3 = 72 3 .2 = 108 2 .3.5 = 60 2 .3.7 = 84
2 .3.11 = 132, 2 .3.13 = 156 , 2 .5.7 = 140, 3 .2.7 = 126, 3 .2.11 = 198
52. a) Giả sử ( , ) là một lời giả thì là ước của do Mệnh ề 3.6.3: = . Khi ấy = Ngược lại ( , ),∈ là một lời giả. b) Gọi = ( , ). Ta có =
nên do a) các lời giải có dạng (
c) Gọi = ( , ) = + , ,∈ (Định lý 3.6.2) Do ó nếu , thỏa = + thì (−) = (−) Theo b),
− = ,− = , với ∈ Nghĩa là = + và = − 53. Dùng thuật chia Euclide ể tìm , , : a) = 2, = −1, = 3; = −1 + 8 , = 3 − 23 ,∈ b) = 4, = −1, = 2; = −1 + 16 , = 3 − 31 ,∈ c) = 1,
= −26, = 271; = −26 + 331 , = 271 − 3450 ,∈ 54. a) Giả sử ( ) khi ấy ta có ≡ = ( )
Do ó ′ là nghiệm duy nhất trong
của phương trình ồng dư ã cho.
b) Gọi = ( , ) > 1. Nếu không chia hết cho , thì phương trình dồng dư là vô nghiệm. Mặt khác
giả sử | khi ấy ta ưa về việc giải phương trình ồng dư = : ≡ ( ′)
Theo a) phương trình trên có nghiệm duy nhất trong : ≡ ( ) ớ ′ ≡ 1( )
Đó cũng là nghiệm của phương trình ồng dư ban ầu.
55. a) (3,16)=1. Ta có 3 × 11 ≡ 33 ≡ 1( 16) nên ≡ 11 × 7 ≡ 13( 16) b)
(5,23)=1. Ta có 5 × 14 ≡ 70 ≡ 1(
23) nên ≡ 14(6 − 7) ≡ 9( 23) c)
Phương trình có dạng 3≡ −12 ≡ 10( 11) Mà 3 × 4 ≡ 1( 11) nên ≡ 4 × 10 ≡ 7 (11) d)
Phương trình có dạng 5≡ −52 ≡ 12( 64) lOMoARcPSD| 36667950 Mà 5 × 13 ≡ 65 ≡ 1(
64) nên ≡ 13 × 12 ≡ 28( 64) CHƯƠNG 4
1. a) Giả sử ̅ và ′ là hai phần bù của . Ta có: (̅ ∧) ∨ = 0 ∨ = ′ Mà (̅ ∧) ∨
= (̅ ∨ ) ∧ (∨ ) = (̅ ∨ ) ∧ 1 = ̅ ∨ Suy ra ̅ ≺ ̅ ∨ = ′
Tương tự nếu xét (̅ ∧) ∨ ta cũng có ≺ ̅. Nghĩa là ̅
= ′ b) Kiểm tra trực tiếp từ ịnh nghĩa của phần bù rồi sử dụng a).
2. a) Do ≺ nên là trội chung của và . Hơn nữa nếu là trội chung của , thì ≺ . Như thế = sup{ , } = ∨ b) Do a) ≺ ⟹ ∨ = ⟹ ̅ ∧ = : ≺ ̅ c) ∧ ≺ ≺ và ∧ ≺ ≺ . Suy ra ∧ ≺ ∧ d) ≺ ≺ ∨ và ≺ ≺ ∨ . Suy ra ∨ ≺ ∨ 3. a) ∧ ∨ (∧) = ∨ ∧ nên ∧ ∨ (∧) = ∨ ∨ ̅ = ∧̅ ∨ ̅ b) ( ∧ ̅) ∨ ∧ ∨ (∧) = ( ∧ ̅) ∨ ∨ ∧ ∨
Do ó phần bù của nó là: ∨ ∧
4. a) Xét một phần tử ∈ ℬ. Khi ấy ̅ ∈ ℬ và 0 = ∧ ̅ ∈ ℬ, 1 = ∨ ̅ ∈ ℬ
b) Có 4 ại số con là ,ℬ = ∅,{ },{ , },{ , , } ,ℬ = ∅,{ },{ , },{ , ∅,{ },{ , }.{ , , } . , } ,ℬ =
c) Với ,∈ ℬ tùy ý ta có ̅,∈ ℬ nên ∨ ∈ ℬ. Suy ra ∧ = ̅ ∨ ∈ ℬ. 5.
Đó là ại số Bool với phần tử trung hòa ối với ∧ là . Hơn nữa với ≺ thì ̅ ∧ là phần bù
của . Tuy nhiên nó không phải là ại số con nếu ≠ 1 vì khi ấy nó không chứa 1 6.
a) Giả sử ≺( ), tồn tại sao cho ( ) = . Ta có ( ) ≺ ( ) nên ≺ suy ra = 0 hay = , nghĩa là = 0 hay = .
b) Trực tiếp từ ịnh nghĩa của ại số con.
8. a) Do 35 = (5,7),70 = (35,2) à
42 = (2,3,7) ta phải có (35) = { , }, (70) = { , , }, (42) = { , , }. lOMoARcPSD| 36667950
b) Mỗi ẳng cấu phải biến nguyên tử thành nguyên tử nên ược xác ịnh hoàn toàn bởi một
song ánh giữa {2,3,5,7} và { , , , }. Có tất cả 4! = 24 ẳng cấu khác nhau. 11. a) (⨁)⨁ = ∧ ∨ (∧) ∧ ̅ ∨ (∨) ∧ ∨ ∧ = ∧ ∧
̅ ∨ ( ∧ ∧ ̅) ∨ ( ∧ ∧ ) ∨ ∧ ∧ = ∧(∧) ∨ ∧ ̅ ∨ ∧ ( ∧ ̅) ∨ ∧ = ∧ ⨁ ∨ ( ∧ ⨁ ) = ⨁(⨁) ∧∧ ̅ = ∧ ∧ ( ∨ ̅) ∨ (∧) ∧ ∨ = (∧)⨁(∧)
Các tính chất khác hiển nhiên. b) Đặt = ∧ ∨ (∧) (⨁) ∧ ∧ = ∧ ∧ ⨁ ∧ ∧ = ∧ Suy ra ∧ ≺ ⨁ Tương tự ∧ ≺ ⨁ Vậy ⨁′ ≺ ⨁ Do ó (⨁) ∨ ⨁′ = 1 Mặt khác (⨁) ∧ ⨁′ = ∧ (∨) ∧ ∨ ⨁ ∧ (∨) ∧ ∨ = (∧)⨁(∧) = 0
Như thế ⨁ = ⨁′ = ⨁′ 13. a) ∨ = ⟹ ≺
Mặt khác giả sử ≺. Đặt = ∧. Ta có: ∨ = ∨ =
b) ∧ = (∧) ∨ (∧) = ∨ (∧) = ∨ = ∨ ∨ = ∨ ≻ ∨ = 1 c) Ta có ∧ = ∧ ≺
≺ . Ngược lại giả sử ≺ và ∧ ≺ ≺ . Khi ấy ∨ = ∨ (∧) ≺ ∨ ≺ ∨
Suy ra là nghiệm của (1).
d) Nếu là nghiệm, do b) có dạng ∧ với = ∨ ≺ . Ngược lại nếu = ∧ với ≻ thì ∧ = ∧ ∧ = ∧. Như
thế ∧ ≺ ≺ nên là nghiệm do c). lOMoAR cPSD| 36667950 e) Nghiệm của ∧ =
cũng là nghiệm của ∧ ̅ = nên ta ưa về (1).
14. Do 1728 = 2 .3 chia hết cho chính phương nên không là ại số Bool. Hơn nữa số mũ 6
không có dạng 2 − 1,∈ nên không có thứ tự nào trên ể cho nó trở thành dàn bù phân bố, nghĩa là ại số Bool.
16. a) ( ) = 1 nếu là nguyên tử.
b) Nhận xét rằng nếu là nguyên tử không trội bởi thì ∨ là trội trực tiếp của . Do ó ta có thể
chứng minh bằng qui nạp rằng ( ) = nếu có úng nguyên tử trội bởi . Suy ra (∨) = ( ) + ( ) − (∧) 17. a) 0 b) 0 c) 0 d) 1 e) 1 18. a), b) = 1 ℎ = 1 c), d) = 1, ù ý 19. a) ̅̅ b) ̅̅ c) ̅ d) ̅ ̅ ̅ 20. a) Có 6
= 15 iểm có úng 2 thành phần bằng 1. Còn lại (2 − 15) = 49 iểm, nên có 2
2 hàm Bool thỏa iều kiện này. b) 6 Có 6 +
= 7 iểm ở ó số thành phần có giá trị 1 béhoơn 2, nên tổng số hàm Bool 0 1
thỏa iều kiện này là 2 = 128. c) 2 = 2 và 2 = 2 = 256. 21. Ta có (1,0) =
(0,1) nên các hàm Bool này ều có dạng ∨ ̅ ∨ ( ∨ ̅ ), với
, , là các hằng số bất kỳ thuộc {0,1} 22. Ta có
(1,0,0) = (0,0,1) = (0,1,0) và (1,1,0) = (1,0,1) = (0,1,1)
Do ó các hàm Bool này ều có dạng: ( , , ) = ∨ ̅ ̅ ∨ ( ̅ ∨ ∨ ̅ ) ∨ ( ̅ ∨ ̅ ̅ ∨ ̅
) trong ó là các hằng số tùy ý thuộc {0,1}.
23. Hàm Bool 3 biến không thay ổi giá trị khi ta hoán vị 2 biến bất kỳ chính là các hà m Bool trong 22.
Tương tự một hàm Bool 4 biến khi thay ổi giá trị khi ta hoán vị 2 biến bất kỳ có dạng: ( , , , ) = ∨ ̅ ̅ ̅ ∨ ( ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ∨ ) ∨ ( ̅ ∨ ̅ ∨ ∨
̅ ∨ ∨ ) ∨ ( ̅ ∨ ∨∨ ) với , , , , là các hằng số tùy ý thuộc {0,1}.
24. Xét , ,∈ {0,1} . Khi ấy ít nhất 2 trong số 3 số trên bằng nhau. Giả sử = . Ta có: ( , , ) = ( , , ) ⟹ ( , , ) = 0
Tương tự trong các trường hợp khác ta cũng có = 0.
Nếu > 2 cũng không tồn tại hàm Bool biến ≠ 0 thỏa iều kiện trên. Tuy nhiên nếu = 2 thì các
hàm Bool như vậy có dạng ( , ) = ∨ ̅ với là hằng số tùy ý thuộc {0,1}. lOMoARcPSD| 36667950
25.Lập bảng chân trị. Khi ấy hàm chẵn ược xác ịnh hoàn toàn bởi 2 = 2 dòng ầu tiên. Do ó
hàm chẵn là 2 . Với = 2, ta ược 4 hàm chẵn: ∨ ̅ , ∨ ̅ ,0,1
26. Tương tự trong 25, số hàm lẻ biến là 2 . Với = 2, ta ược 4 hàm lẻ: ,̅, , 27. a) Hai vế bằng nhau khi = 1 hay = 0
b) Xét ánh xạ ℱ × ℱ ⟶ ( , ) ⟼ ℱ
với ( , ,…, ) = ( ,…, ) ∨ ̅ ( ,…, ). Khi ấy ta kiểm ược dễ dàng ánh xạ trên là song ánh. Suy ra |ℱ
| = |ℱ | × |ℱ |.Bằng qui nạp trên ta suy ra |ℱ | = 2 c) Bằng qui nạp trên và tính phân bố
28. a) Viết hàm hằng 1 theo − biến còn lại như là tổng Bool của 2 từ tối tiểu và sử dụng
tính phân bố, ta viết ược như là tổng Bool của 2 từ tối tiểu theo biến.
b) ≺ ⟺ ∃ℎ: = ℎ. Do ó là tích của một số từ ơn xuất hiện trong . Suy ra có 2 hàm Bool trội . 29. a) = ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ∨ b) = ∨ ∨∨ ̅ ∨ ∨ ̅ ∨ ∨̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ∨ ∨ ̅
b) ∨̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅ ∨ ∨ ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅ 32. ∨̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅ ∨ ∨ ̅ ∨ ̅ ∨ 34.
35. Cổng NOT có thể tổng hợp như sau: ̅
Do ó cổng AND và cổng OR ược tổng hợp nhờ các công thức: = ̅ ∨ và ∨ = ∨ 36. = (∨ ) ∨ ∨ = ̅̅ ∨ ( ∨ ∨ ̅)
37. = ∨ ̅ ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅ ∨ ̅ ̅ ∨ ̅∨ ̅ ̅ ̅. Ta viết = ̅ ∨ ∨ ̅ ∨ ̅ ể sử dụng một cổng NOR vào tổng hợp từ tối
tiểu này. Tương tự cho các từ tối tiểu khác.
Mặt khác ta có thể viết =̅ ̅ … ể thiết kệ mạng chỉ dùng cổng NAND.
38. a) Các tế bào lớn: ̅, ̅,̅,̅,̅. Dùng phương pháp biểu ồ Karnaugh ta uộc hai công thức: = ̅ ∨ ̅
∨ ̅ , = ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ , trong ó chỉ cố công thức dầu Là tối tiểu. b) Các tế bào lớn: ̅, ,
,̅,̅,̅. Có 3 công thức a tối tiểu: = ̅ ∨ ∨ ̅ ∨ lOMoAR cPSD| 36667950 , = ̅ ∨ ∨ ̅ ∨ ̅ , = ̅ ∨ ∨ ̅ ∨ ̅
c) Dạng nối rời chính tắc cũng là công thức a thức tối tiểu duy nhất.
d) Các tế bào lớn: ,̅,̅, ̅.
Công thức công thức a thức tối tiểu duy nhất: = ∨̅ ∨ ̅ ∨ ̅ e) Các tế bào lớn: ̅, ̅, ,
. Có 2 công thức a thức tối tiểu: = ̅ ∨ ∨ = ̅ ∨ ∨ ̅ f) Các tế bào lớn: ̅,̅̅,̅, , ,̅
Có 3 công thức a thức tối tiểu: = ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅ ∨ = ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ∨ = 39. a) = ̅∨ ̅ ∨ ̅ và = ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ b) = ̅ ∨ ∨ ̅ ̅ ∨ ̅ ̅ = ̅ ∨ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅ c) = ∨ ̅ ̅ d) = ∨ e)
Dùng phương pháp biểu ồ Karnaugh ược 6 công thức trog ó chỉ có một công thức tối tiểu: = ̅ ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅ ∨ ̅ ∨ f) = ∨ g) = ̅ ∨ ̅ ∨ h) = ∨ ̅ ̅ i) = ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅ ̅
40. a) = ̅ ∨ ∨ ̅ . Đây cũng là công thức a thức tối tiểu duy nhất. mạng tối ưu sử dụng 6 cổng AND và 2 cổng OR. b)
= ∨ ∨ . Đây cũng là công thức a thức tối tiểu duy nhất. Mạng tối ưu sử dụng 3 cổng AND và 2 cổng OR. c)
= ̅ ∨ ̅ ∨ ∨ ̅ ∨ ̅ ̅ ∨ ̅ ̅ ̅ ∨ ̅ ̅ ∨ ̅ ̅ . Đây cũng là công thức a thức tối tiểu duy nhất. Mạng tối ưu
sử dụng 24 cổng AND và 7 cổng OR.