giáo trình phép tính vi phân hàm một biến
Preview text:
lOMoARcPSD|62226682
Calculus - môn vi tích phân hàm một biến
Phép Tính vi Tích Phân Hàm Một Biến (Đại học Sư phạm Hà Nội) Scan to open on Studeersnel
Studocu is not sponsored or endorsed by any college or university
Downloaded by TÔ TH? NG?C (stu755102081@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|62226682
ĐỖ ĐỨC THÁI (Chủ biên)
LÊ ĐỨC ÁNH − NGUYỄN QUANG DIỆU − NGUYỄN NGỌC HÀ
LÊ VĂN HIỆN − TRẦN ĐÌNH KẾ GIÁO TRÌNH
PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
Downloaded by TÔ TH? NG?C (stu755102081@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|62226682 2 Mục lục trang ban quyen NXB
Downloaded by TÔ TH? NG?C (stu755102081@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|62226682 3 Mục lục 1
Giới hạn hàm và hàm liên tục 7 1.1
Dãy số và giới hạn dãy số
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2
Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3
Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4
Bài tập Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2
Phép tính vi phân hàm một biến 36 2.1
Đạo hàm và vi phân cấp một
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2
Đạo hàm của một số hàm sơ cấp
. . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3
Các định lí cơ bản của hàm khả vi
. . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4
Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5
Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.6
Một số ứng dụng của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.7
Bài tập Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3
Phép tính tích phân của hàm một biến 66 3.1
Nguyên hàm và tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2
Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2.1
Định nghĩa tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2.2
Tính chất của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . 73 3.2.3
Định lí cơ bản của giải tích
. . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.2.4
Đổi biến trong tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . 76 3.2.5
Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . 77 3.3
Ứng dụng của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3.1
Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3.2
Tính độ dài đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.3.3
Tính thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.3.4
Tính diện tích mặt tròn xoay
. . . . . . . . . . . . . . . 83 3.4
Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.4.1
Tích phân với cận vô hạn
. . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Downloaded by TÔ TH? NG?C (stu755102081@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|62226682 4 Mục lục 3.4.2
Tích phân của hàm số không bị chặn . . . . . . . . . . . 88 3.5
Bài tập Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4 Chuỗi số và chuỗi hàm 104 4.1
Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.1.1
Các khái niệm cơ bản về chuỗi số . . . . . . . . . . . . . 104 4.1.2
Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của chuỗi . . . . . . . . 107 4.1.3
Tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi không âm . . . . . . . . . . 108 4.1.4
Hội tụ tuyệt đối và hội tụ có điều kiện . . . . . . . . . . 114 4.1.5
Các tiêu chuẩn Dirichlet và Abel . . . . . . . . . . . . . 115 4.1.6
Ước lượng phần dư của chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . 117 4.2
Chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.3
Chuỗi luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.4
Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.5
Bài tập Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5
Phương trình vi phân tuyến tính 150 5.1
Một số ví dụ và mô hình toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.2
Khái niệm về phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.2.1 Nghiệm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.2.2
Bài toán giá trị ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 5.3
Giải một số lớp phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . 165 5.3.1
Phương trình tách biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.3.2
Phương trình thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 5.3.3
Phương trình vi phân tuyến tính cấp một . . . . . . . . 168 5.4
Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao . . . . . . . . . . . . . 170 5.4.1
Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.4.2
Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số
hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.4.3
Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất . . 176 5.5
Hệ phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.5.1
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với ma
trận hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.5.2
Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất với ma trận hằng số
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 5.6
Bài tập Chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Danh mục từ khoá 192
Downloaded by TÔ TH? NG?C (stu755102081@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|62226682 5 Lời nói đầu
Giáo trình Phép tính vi tích phân hàm một biến (gọi tắt là Calculus) được
biên soạn làm giáo trình cho sinh viên năm thứ nhất các ngành khoa học tự
nhiên và công nghệ của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Nội dung chính của
giáo trình bao gồm những kiến thức liên quan đến hai phép toán cơ bản của
Giải tích toán học: phép tính vi phân và phép tính tích phân cho hàm một biến
thực. Những kiến thức này đóng vai trò là công cụ toán học phục vụ cho việc
học tập và nghiên cứu của sinh viên các ngành khoa học tự nhiên và công nghệ
như Vật lí, Hoá học, Sinh học, Công nghệ thông tin và một số ngành khác.
Giáo trình bao gồm 5 chương, được trình bày tương đối ngắn gọn với mục
tiêu truyền tải những đơn vị kiến thức cốt lõi của Giải tích hàm một biến thực
cùng những ứng dụng của chúng. Chúng tôi không đặt mục tiêu chứng minh
chi tiết tất cả các định lí để tránh đi vào những lập luận toán học dài và phức
tạp. Thay vào đó, chúng tôi chú trọng việc trình bày những tình huống hay
bài toán dẫn đến khái niệm toán học và những ứng dụng quan trọng của mỗi đơn vị kiến thức.
Khái niệm giới hạn (của dãy số và hàm số) trong Chương 1 được định
nghĩa chính xác bằng ngôn ngữ giải tích, cho phép ta xây dựng các khái niệm
đạo hàm trong Chương 2, tích phân trong Chương 3 và khái niệm tổng của
chuỗi số/chuỗi hàm trong Chương 4. Trên thực tế, đạo hàm được sử dụng để
xác định tốc độ thay đổi của các quá trình theo thời gian (ví dụ như vận tốc
của một chuyển động thẳng, tốc độ tăng dân số, hay tốc độ phân rã của một
chất phóng xạ). Từ đó, sử dụng các định luật vật lí nói riêng và các quy tắc
cân bằng nói chung, ta có thể chuyển (hay mô hình hoá) các bài toán thực
tế thành các phương trình vi phân. Những kiến thức cơ bản về phương trình
vi phân sẽ được trình bày trong Chương 5, ở đó người học có thể tìm thấy
nhiều bài toán trong Vật lí, Hoá học và Sinh học được viết dưới dạng phương
trình/hệ phương trình vi phân.
Hệ thống bài tập được đưa vào phần cuối mỗi chương, trong đó chúng tôi
lựa chọn một số bài tập ứng dụng phù hợp với kiến thức của sinh viên năm thứ
nhất. Khó khăn có thể gặp đối với người học đó là người học cần hiểu được
Downloaded by TÔ TH? NG?C (stu755102081@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|62226682 6 Mục lục
bản chất các khái niệm (trình bày bằng ngôn ngữ giải tích) để có thể giải các
bài tập sử dụng định nghĩa và các bài tập ứng dụng. Đây cũng là điểm khác
biệt so với yêu cầu trong chương trình phổ thông, ở đó người học chỉ cần nhận
biết khái niệm thông qua tình huống hoặc ví dụ cụ thể. Việc hiểu bản chất
các khái niệm toán học giúp cho người học có thể nhận dạng và giải quyết
những vấn đề đặt ra trong chuyên ngành mà ở đó cần sự hỗ trợ của kiến thức toán học.
Những nội dung cơ bản trong giáo trình Phép tính vi tích phân hàm một
biến đã được giảng dạy cho sinh viên năm thứ nhất các ngành khoa học tự
nhiên và công nghệ của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội qua một số năm.
Nhóm biên soạn rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của độc giả để
cuốn giáo trình này được hoàn thiện hơn trong những lần xuất bản sau. Các tác giả
Downloaded by TÔ TH? NG?C (stu755102081@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|62226682 7 Chương 1
Giới hạn hàm và hàm liên tục
Phép tính vi tích phân được nghiên cứu trên cơ sở xem xét các quá trình
mà ở đó một dãy các đại lượng tiệm cận tới một đại lượng khác. Nói cách
khác, ta tìm cách tiếp cận một đại lượng chưa biết bởi một dãy các đại lượng
đơn giản hơn đã biết từ trước, từ đó rút ra những thông tin quan trọng của đại lượng chưa biết.
Để thấy được điều này, chúng ta sẽ nói về một số bài toán đã được giải
quyết theo hướng tiếp cận này.
1. Tính diện tích hình tròn đơn vị: Giả sử ta phải tính diện tích của
hình tròn đơn vị (hình tròn có bán kính bằng 1). Ta sẽ nội tiếp trong hình tròn
đó một dãy các đa giác đều n cạnh với n càng ngày càng lớn. Sử dụng một số
tính toán, ta sẽ thấy diện tích của các đa giác đều này tiệm cận tới một giới
hạn (số π). Một cách tự nhiên, ta sẽ thừa nhận π là diện tích của hình tròn đơn vị.
2. Vẽ tiếp tuyến tại một điểm của đồ thị hàm số: Xét đồ thị của
hàm số y = x2 trên mặt phẳng Oxy. Cho trước một điểm A nằm trên đồ thị
này. Vấn đề đặt ra là hãy vẽ một đường thẳng đi qua điểm A và tiếp xúc với
đồ thị. Cách tự nhiên là ta xét một dãy các điểm An nằm trên đồ thị và càng
ngày càng gần với điểm A. Ta sẽ coi tiếp tuyến cần tìm chính là ‘giới hạn’ của
các đường thẳng đi qua A và An khi An tiến về A.
3. Vận tốc tức thời của chuyển động: Giả sử một vật thể chuyển động
thẳng được mô tả bởi phương trình s = s(t), với t là thời gian và s(t) là quãng
đường. Khi đó, vận tốc trung bình của chuyển động tính từ thời điểm t0 đến
t0 + h là đại lượng vh = [s(t0 + h) − s(t0)]/h. Nếu h rất nhỏ thì vh gần với một
đại lượng gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0.
Chúng ta sẽ bắt đầu với những khái niệm rất cơ bản liên quan tới dãy số
và sau đó tiếp cận những đối tượng trung tâm của môn học là hàm số và giới hạn hàm.
Downloaded by TÔ TH? NG?C (stu755102081@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|62226682 8
1. Giới hạn hàm và hàm liên tục 1.1
Dãy số và giới hạn dãy số
Khái niệm về dãy số không phải là mới nhưng bây giờ chúng ta sẽ làm
quen với một khía cạnh của dãy số dùng để mô tả dáng điệu của dãy này tại "vô tận".
Định nghĩa 1.1 (Định nghĩa dãy số). Dãy số là một quy tắc ứng một số tự
nhiên với một số thực. Nếu viết chính xác thì một dãy số là một tập hợp có
dạng a1, a2, . . . , an, . . ., hay còn được viết gọn lại {an}n≥1 hoặc là {an}.
Khái niệm quan trọng nhất gắn liền với một dãy số là giới hạn.
Định nghĩa 1.2 (Định nghĩa giới hạn dãy số). Dãy số {an} được gọi là hội
tụ tới l nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho |an − l| < ε với mọi n > N.
Trong trường hợp này thì l được gọi là giới hạn của {an} và ta viết an → l
hay đầy đủ hơn là lim an = l. n→∞
Như vậy, an → l khi và chỉ khi với bất kì một khoảng mở chứa l thì bắt
đầu từ một chỉ số n đủ lớn, mọi phần tử an sẽ nằm trong khoảng mở đó.
Dưới đây là một số ví dụ về dãy số hội tụ. 1 Ví dụ 1. (a) an =
hội tụ về 0 khi n → ∞. Thật vậy, với ε > 0 cho trước, n 1
ta sẽ chọn số tự nhiên N để N > . Khi đó ε 1 1 0 < an = < < ε n N
với mọi n > N. Do đó lim an = 0. n→∞ 1 1 1
(b) Xét dãy {an} xác định bởi công thức an = + + · · · + . Khi đó 2 22 2n 1 1 1 1 an = 2(1 − ) + · · · + 2 2 22 2n 1 1 = 2 − 2 2n+1 1 = 1 − . 2n
Vậy an → 1 khi n → ∞ bằng lập luận tương tự như phần (a).
Downloaded by TÔ TH? NG?C (stu755102081@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|62226682
1.1. Dãy số và giới hạn dãy số 9
(c) Nếu 0 < a < 1 thì lim an = 0. Thật vậy, với ε > 0, do ln a < 0 nên ta có n→∞ ln ε
an < ε ⇔ n ln a < ln ε ⇔ n > . ln a ln ε
Vậy nếu ta chọn N đủ lớn sao cho N > thì ln a 0 < an < ε, ∀n ≥ N.
Ta có điều phải chứng minh.
Một vấn đề nảy sinh là khi nào một dãy là hội tụ? Nếu dãy hội tụ thì giới
hạn có duy nhất không? Ta có kết quả sau đây mà nó là hệ quả trực tiếp của
khái niệm hội tụ của dãy số.
Mệnh đề 1.3. Cho {an} là một dãy số thực. Khi đó, ta có các khẳng định sau:
(i) Nếu dãy số {an} hội tụ thì dãy này phải bị chặn, tức là tồn tại số thực
M sao cho |an| < M với mọi n;
(ii) Nếu dãy số {an} hội tụ về l thì mọi dãy con {an } k k≥1 cũng hội tụ về l;
(iii) Nếu dãy số {an} hội tụ về các giới hạn l và l′ thì l = l′.
Chứng minh. (i) Giả sử an → l. Khi đó, với ε = 1 trong định nghĩa, ta tìm được N để
|an − l| < 1, ∀n > N. Điều này dẫn tới
|an| ≤ |an − l| + |l| < 1 + |l|, ∀n > N. Bây giờ ta đặt
M = max{|l| + 1, |a1|, |a2|, · · · , |aN |}. Ta sẽ có |an| ≤ M, ∀n ≥ 1.
Do đó, dãy {an} là bị chặn.
Downloaded by TÔ TH? NG?C (stu755102081@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|62226682 10
1. Giới hạn hàm và hàm liên tục
(ii) Cố định ε > 0. Ta tìm được N để
|an − l| < ε, ∀n > N.
Do đó khi k ≥ N thì nk ≥ k > N và theo bất đẳng thức trên ta sẽ có
|an − l| < ε, ∀k > N. k
(iii) Giả sử l ̸= l′. Ta có thể coi l < l′. Đặt l′ − l ε0 = . 2
Theo định nghĩa 1.2, ta tìm được các số N và N ′ sao cho
|an − l| < ε0, ∀n > N,
|an − l′| < ε0, ∀n > N ′.
Do đó với m = N + N ′, ta có
|am − l| < ε0, |am − l′| < ε0. Điều này dẫn tới 2ε0 = |l − l′| ≤ |am − l| + |am − l′| < ε0 + ε0 = 2ε0.
Ta gặp mâu thuẫn. Vậy l = l′ và ta có điều phải chứng minh.
Ta thường áp dụng mệnh đề trên để chỉ ra một dãy là không hội tụ. Chẳng
hạn an = (−1)n (áp dụng (ii)) hay dãy các số tự nhiên an = n (áp dụng (i)) là không hôi tụ.
Ngoài dãy số hội tụ, ta cũng quan tâm tới khái niệm sau:
Định nghĩa 1.4 (Giới hạn bằng vô cùng). Ta nói dãy số {an} có giới hạn
bằng +∞ (viết lim an = +∞) nếu với mọi số M > 0, có một chỉ số n0 để n→∞
an > M với mọi n > n0.
Tương tự như thế, ta nói dãy số {an} có giới hạn bằng −∞ (viết
lim an = −∞) nếu với mọi số M > 0, có một chỉ số n0 để an < −M với n→∞ mọi n > n0.
Downloaded by TÔ TH? NG?C (stu755102081@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|62226682
1.1. Dãy số và giới hạn dãy số 11 Chú ý mối liên hệ sau 1
an > 0, lim an = +∞ ⇔ lim = 0. n→∞ n→∞ an 1
an < 0, lim an = −∞ ⇔ lim = 0. n→∞ n→∞ an
Để tính giới hạn của dãy số, chúng ta sẽ sử dụng các công thức cơ bản sau đây.
Định lí 1.5 (Phép tính trên dãy hội tụ). Giả sử lim an = a và lim bn = b. n→∞ n→∞ Khi đó ta có: (a) lim (an + bn) = a + b; n→∞ (b) lim (an − bn) = a − b; n→∞ (c) lim (anbn) = ab. n→∞ an a (d) lim = , nếu b ̸= 0. n→∞ bn b
Chứng minh. (a) Lấy ε > 0 là một số tuỳ ý. Khi đó bằng cách áp dụng định ε nghĩa của giới hạn cho
, ta tìm được N1 và N2 sao cho 2 ε
|an − a| < , ∀n > N1, 2 và ε
|bn − b| < , ∀n > N2. 2
Vậy nếu n > max(N1, N2) thì
|(an + bn) − (a + b)| ≤ |an − a| + |bn − b| < ε.
Bằng cách quan niệm max(N1, N2) chính là N trong Định nghĩa 1.2, ta có điều phải chứng minh.
(b) Ta chứng minh tương tự như (a). Cố định ε > 0. Ta tìm được N1 và N2 sao cho ε
|an − a| < , ∀n > N1, 2
Downloaded by TÔ TH? NG?C (stu755102081@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|62226682 12
1. Giới hạn hàm và hàm liên tục và ε
|bn − b| < , ∀n > N2. 2
Vậy nếu n > max(N1, N2) thì
|(an − bn) − (a − b)| ≤ |an − a| + |bn − b| < ε.
Ta có điều phải chứng minh.
(c) Theo Mệnh đề 1.3 (i), các dãy {an} và {bn} là bị chặn. Vậy ta tìm được hằng số M > 0 sao cho
|an| < M, |bn| < M, ∀n ≥ 1.
Như vậy với mỗi n ≥ 1, chúng ta có thể đánh giá như sau
|anbn − ab| = |(anbn − anb) + (anb − ab)|
≤ |anbn − anb| + |anb − ab|
= |an||bn − b| + |b||an − a|
≤ M (|bn − b| + |an − a|).
Bây giờ ta cố định ε > 0 và chọn N1, N2 sao cho ε |an − a| < , ∀n > N1, 2M và ε |bn − b| < , ∀n > N2. 2M
Kết hợp với đánh giá ở trên, ta có ε ε |anbn − ab| ≤ M ( + ) = ε, ∀n > max{N1, N2}. 2M 2M
Điều này có nghĩa là lim anbn = ab. Ta có điều phải chứng minh. n→∞
(d) Trước hết ta chứng minh 1 1 lim = . (1.1) n→∞ bn b
Downloaded by TÔ TH? NG?C (stu755102081@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|62226682
1.1. Dãy số và giới hạn dãy số 13
Cố định ε > 0. Do dãy bn hội tụ về b ̸= 0 nên tồn tại N đủ lớn sao cho |b| |bn − b| < , ∀n > N. 2 Điều này dẫn đến |b|
|bn| ≥ |b| − |bn − b| > , ∀n > N. 2
Cũng do dãy {bn} hội tụ về b nên ta tìm được N ′ sao cho ε|b|2 |bn − b| < , ∀n > N ′. 2
Như vậy với mỗi n ≥ max{N, N ′}, chúng ta có thể đánh giá như sau 1 1 bn − b 1 − = = |bn − b| b n b bnb |bnb| 2 2 |b|2 ≤ |b . = ε. | n − b| ≤ ε. b|2 |b|2 2
Ta đã chứng minh xong khẳng định (1.1). Để kết thúc chứng minh, ta áp dụng (c) như sau a 1 lim n = lim an. n→∞ bn n→∞ bn 1 1 a = lim an. lim = a. = . n→∞ n→∞ bn b b
Ta có điều phải chứng minh.
Một phương pháp khác cũng hay được sử dụng để tính giới hạn dãy số là phương pháp kẹp giữa.
Mệnh đề 1.6 (Nguyên lí kẹp giữa). Cho an, bn và cn là các dãy số thoả mãn an ≤ bn ≤ cn. Giả sử lim an = lim cn = l. n→∞ n→∞ Khi đó lim bn = l. n→∞
Downloaded by TÔ TH? NG?C (stu755102081@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|62226682 14
1. Giới hạn hàm và hàm liên tục
Chứng minh. Chứng minh kết quả trên chỉ dựa vào định nghĩa của giới hạn.
Cụ thể ta tiến hành như sau, lấy ε > 0 tuỳ ý. Khi đó tồn tại các chỉ số N1, N2 sao cho
|an − l| < ε, ∀n > N1, và
|cn − l| < ε, ∀n > N2.
Khi đó với mọi n > N = max{N1, N2}, ta có bn − l ≤ cn − l < ε và
l − bn ≥ l − an > −ε.
Kết hợp lại chúng ta có
|bn − l| < ε, ∀n > N.
Vậy ta đã chứng minh được lim bn = l. n→∞
Ví dụ 2. Ta sẽ chứng minh n + 1 lim = 0. n→∞ n2 + 1
Thật vậy, với n ≥ 1 ta có các đánh giá sau n + 1 n(n + 1) 0 < = n2 + 1 n(n2 + 1) 2(n2 + 1) ≤ n(n2 + 1) 2 = . n 2 Do
→ 0 khi n → ∞ nên sử dụng nguyên lí kẹp giữa (Mệnh đề 1.6), ta có n điều phải chứng minh.
Nếu một dãy số là đơn điệu thì ta có thể nói rằng dãy số đó đã ‘hầu như’
hội tụ. Điều này được thể hiện qua kết quả sâu sắc sau đây.
Downloaded by TÔ TH? NG?C (stu755102081@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|62226682
1.1. Dãy số và giới hạn dãy số 15
Định lí 1.7 (Định lí hội tụ của dãy đơn điệu).
(i) Cho {an} là một dãy đơn điệu tăng (tức là a1 ≤ a2 ≤ · · · ) và bị chặn
trên (tức là có một số M thoả mãn an ≤ M với mọi n). Khi đó tồn tại
giới hạn l = lim an. Ta viết an ↑ l. n→∞
(ii) Cho {an} là một dãy đơn điệu giảm (tức là a1 ≥ a2 ≥ · · · ) và bị chặn
dưới (tức là có một số M ′ thoả mãn an ≥ M ′ với mọi n). Khi đó tồn tại
giới hạn l = lim an. Ta viết an ↓ l. n→∞
Khái niệm sau đây là tổng quát hơn khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của một tập hợp số. Cụ thể hơn, nếu A là một tập hợp các số thực
thì ta nói M là một cận trên của A nếu a ≤ M với mọi a ∈ A. Tương tự như
vậy, m là cận dưới của A nếu a ≥ m với mọi a ∈ A.
Định lí 1.8 (Định lí về cận trên đúng và cận dưới đúng). Cho A là một tập
các số thực. Khi đó, ta có hai khẳng định sau:
(i) Nếu A có một cận trên (hay nói cách khác A bị chặn trên) thì tồn tại duy
nhất một cận trên đúng của A, kí hiệu là sup A, theo nghĩa sau đây:
a ≤ sup A với mọi a ∈ A và tồn tại một dãy {an} ⊂ A để lim an = sup A. n→∞
(ii) Nếu A có một cận dưới (hay nói cách khác A bị chặn dưới) thì tồn tại duy
nhất một cận dưới đúng của A, kí hiệu là inf A, theo nghĩa sau đây:
a ≥ inf A với mọi a ∈ A và tồn tại một dãy {bn} ⊂ A để lim bn = inf A. n→∞ Ví dụ 3. Đặt
A = {x : x là số hữu tỉ, x2 < 2}. √ √ √ Khi đó sup A =
2, inf A = − 2. Ta có thể chứng minh được 2 không là số
hữu tỉ. Điều này chứng tỏ khái niệm cận trên đúng và cận dưới đúng là rộng
hơn khái niệm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Downloaded by TÔ TH? NG?C (stu755102081@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|62226682 16
1. Giới hạn hàm và hàm liên tục
Ta bỏ qua chứng minh Định lí 1.8 vì việc chứng minh liên quan đến cách
xây dựng tập số thực. Có thể thấy sự tồn tại của cận trên đúng và cận dưới
đúng kéo theo Định lí 1.7 về sự hội tụ của các dãy đơn điệu và bị chặn.
Ta cũng sẽ cần các khái niệm cận trên đúng và cận dưới đúng để xây dựng
một cách chặt chẽ khái niệm tích phân của hàm số trong chương sau.
Một dạng tương đương của Định lí 1.8 chính là kết quả dưới đây, được sử
dụng để chứng minh các tính chất của hàm liên tục ở chương sau.
Định lí 1.9 (Nguyên lí Bolzano-Weierstrass). Mọi dãy số thực bị chặn {an}
đều chứa một dãy con hội tụ. Điều này có nghĩa là có một dãy {an } sao cho k
tồn tại giới hạn lim an = a. k k→∞
Chứng minh. Ta sẽ chứng tỏ rằng tồn tại một dãy con đơn điệu tăng hoặc một
dãy con đơn điệu giảm của {an}. Ta sẽ nói số hạng am của dãy trên là "đỉnh"
nếu am ≥ an với mọi n ≥ m.
Như thế sẽ có hai trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: Dãy {an} có vô hạn số hạng đỉnh. Khi đó ta có thể viết các
số hạng này thành một dãy con
an , a , · · · , a , · · · với n 1 n2 nk
1 < n2 < · · · < nk < · · · .
Theo cách xây dựng ở trên ta có một dãy con đơn điệu giảm của {an}.
Trường hợp 2: Dãy {an} có hữu hạn số hạng đỉnh hoặc không có số hạng
đỉnh nào. Ta lại đánh số tất cả các số hạng đỉnh của dãy ban đầu như sau: am , · · · , a . Đặt n
không phải số hạng đỉnh cho nên tồn 1 mk 1 = mk + 1. Do an1
tại n2 > n1 để an > a . Tương tự như vậy, do a
không là số hạng đỉnh cho 2 n1 n2
nên tồn tại n3 để an > a . Cứ tiếp tục như thế ta tìm được một dãy con đơn 3 n2
điệu tăng an , a , · · · , của dãy ban đầu {a 1 n2 n}.
Theo định lí về sự hội tụ của dãy đơn điệu bị chặn, ta đã tìm được một dãy
con hội tụ của dãy đã cho.
Tiếp theo, sử dụng định lí về sự hội tụ của dãy đơn điệu, ta có thể chứng
minh được kết quả kinh điển sau đây mà nhờ nó ta định nghĩa được cơ số logarit tự nhiên.
Downloaded by TÔ TH? NG?C (stu755102081@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|62226682
1.1. Dãy số và giới hạn dãy số 17
Định nghĩa số e. Xét các dãy số {an} và {bn} được xác định bởi công thức 1 n 1 n+1 an = 1 + , bn = 1 + . n n
Khi đó ta có các khẳng định sau:
(i) {an} là dãy đơn điệu tăng, {bn} là dãy đơn điệu giảm;
(ii) {an} và {bn} hội tụ về cùng một giới hạn được kí hiệu là e.
Chứng minh. (i) Theo công thức nhị thức Newton, ta có: 1 n an = 1 + n n 1 n(n − 1) 1 n(n − 1) · · · 2.1 1 = 1 + . + . + · · · + . 1 n 2! n2 n! nn 1 1 1 1 2 = 1 + 1 + 1 − + 1 − 1 − + 2! n 3! n n 1 1 2 n − 1 + · · · + 1 − 1 − · · · 1 − . n! n n n Tương tự, ta có: 1 n+1 an+1 = 1 + n + 1 n + 1 1 n(n + 1) 1 (n + 1)n · · · 2.1 1 = 1 + . + . + · · · + . 1 n + 1 2! (n + 1)2 (n + 1)! (n + 1)n+1 1 1 1 1 2 = 1 + 1 + 1 − + 1 − 1 − + 2! n + 1 3! n + 1 n + 1 1 1 2 n + · · · + 1 − 1 − · · · 1 − . (n + 1)! n + 1 n + 1 n + 1
Như vậy, an và an+1 lần lượt là tổng của n + 1 và n + 2 số hạng dương. Hơn
nữa, mỗi số hạng xuất hiện trong an là nhỏ hơn hoặc bằng số hạng tương ứng
của an+1. Vậy ta có an < an+1.
Downloaded by TÔ TH? NG?C (stu755102081@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|62226682 18
1. Giới hạn hàm và hàm liên tục
Để chứng minh dãy {bn} đơn điệu giảm, ta xét 1 n+1 n + 1 n+1 b 1 + n n + 1 n+2 n + 1 n+2 n = n = n = b 1 n+2 n + 2 n+2 n+1 n n + 2 n + 1 1 + n + 1 n + 1 n2 + 2n + 1 n+2 n 1 n+2 n = = 1 + n2 + 2n n + 1 n2 + 2n n + 1 n + 2 n n + 1 n > 1 + = = 1. n2 + 2n n + 1 n n + 1 Vậy bn > bn+1. (ii) Do 1 n 1 bn = 1 + 1 + > an n n nên ta có:
a1 < a2 < · · · < an < · · · < bn < · · · < b2 < b1.
Vậy áp dụng định lí hội tụ của dãy đơn điệu, ta có an ↑ l và bn ↓ l′. Sử dụng
định lí về phép toán của giới hạn, ta có: l a n = lim n = lim = 1. l′ n→∞ bn n→∞ n + 1
Vậy l = l′. Ta có điều phải chứng minh.
Người ta đã chứng minh được e =2,718281828... là một số vô tỉ. Cùng với
số π, đây là một trong hai con số quan trọng của toán học. Tuy nhiên, khác
với số π được định nghĩa một cách hình học là nửa chu vi của đường tròn bán
kính 1 thì ta chỉ có thể định nghĩa được e nhờ giới hạn dãy số. Điều này phần
nào nói lên tầm quan trọng của khái niệm giới hạn.
Để kết thúc mục này, ta giới thiệu khái niệm giới hạn trên và giới hạn dưới của một dãy số.
Cho dãy số {an}. Xét các dãy số
bn = sup{an+k} và cn = inf {an+k}. k∈ k∈ N N
Khi đó, {bn} là một dãy giảm và {cn} là một dãy tăng.
Định nghĩa 1.10. Giới hạn lim sup {a {b k∈ n+k } = inf
n} được gọi là giới hạn n→∞ N n
trên của dãy số {an}, kí hiệu là lim an. Tương tự, giới hạn lim infk∈ {a N n+k } = n→∞ n→∞
sup{cn} được gọi là giới hạn dưới của dãy số {an}, kí hiệu là lim an. n n→∞
Downloaded by TÔ TH? NG?C (stu755102081@hnue.edu.vn) lOMoARcPSD|62226682 1.2. Giới hạn hàm số 19
Chú ý rằng nếu {an} là dãy bị chặn thì lim an và lim an là các số hữu n→∞ n→∞
hạn. Hơn nữa, nếu dãy {an} hội tụ thì lim an = lim an = lim an. n→∞ n→∞ n→∞
Ví dụ 4. Xét dãy số {an} với an = (−1)n. Rõ ràng
bn = sup{an+k} = 1, cn = inf {an+k} = −1. k∈ k∈ N N Vậy lim an = 1, lim an = −1. n→∞ n→∞ 1.2 Giới hạn hàm số
Một đối tượng quan trọng của chương này là khái niệm hàm số. Để hiểu
về hàm số, ta có thể lấy hai ví dụ cơ bản sau:
1. Diện tích của hình tròn bán kính r là πr2. Như thế diện tích là hàm
số của biến số bán kính theo nghĩa cứ cho trước bán kính ta tính được diện tích.
2. Dân số của một thành phố cũng là một hàm số theo biến số thời gian.
Ta có định nghĩa chính xác sau đây:
Định nghĩa 1.11 (Định nghĩa hàm số). Cho A là một tập hợp các số thực.
Một hàm số f xác định trên A là một quy tắc cho ứng mỗi x ∈ A với một số
f (x). Ta gọi f là hàm số của biến số x.
Khái niệm quan trọng gắn liền với hàm số là giới hạn của hàm số.
Định nghĩa 1.12 (Định nghĩa giới hạn hàm số). Cho f là hàm số xác định trên một tập A.
(i) Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bằng l khi biến số x tiến tới giá trị a
nếu điều sau đây là đúng: Với mọi ε > 0, ta tìm được δ > 0 sao cho
|x − a| < δ, x ∈ A ⇒ |f (x) − l| < ε.
Downloaded by TÔ TH? NG?C (stu755102081@hnue.edu.vn)
