44 trang 41 lượt tải

Giới hạn+ Tính liên tục của hàm 2 biến - Giải Tích | Trường Đại học CNTT Thành Phố Hồ Chí Minh

82

Giới hạn+ Tính liên tục của hàm 2 biến - Giải Tích | Trường Đại học CNTT Thành Phố Hồ Chí Minh được được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Môn: Giải Tích (MA006) 17 tài liệu

Trường: Trường Đại học Công nghệ Thông tin, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh 464 tài liệu

Tác giả:

Profile

Mai Nguyệt

1 năm trước
Danh sách Quiz
/44
lOMoARcPSD| 40551442
Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
lOMoARcPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
lOMoARcPSD| 40551442
1.1. Các ịnh nghĩa
a) Miền phẳng
D
lOMoARcPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
Điểm trong Điểm ngoài
Miền óng
lOMoARcPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
D D D
Miền mở
lOMoARcPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
D D D\
lOMoARcPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
D C
C CD
1
2 3
lOMoARcPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
Miền không liên thông
lOMoARcPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
b) Lân cận của một iểm trong mặt phẳng
lOMoARcPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
S(M
0,
ε)
lOMoARcPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
M S M (
0
, ) d M M( ,
0
)
H(M
0
,ε)
|x x |
M x y( , ) H M( 0, ) |y y 00 |
d) Hàm số hai biến số
•
M
0
ε
lOMoARcPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
f : D
2
(x,y) D z f(x,y) .
• Tập D
2
ược gọi là miền xác ịnh (MXĐ) của hàm
số f x y( , ), ký hiệu là D
f
.
D
f
{(x y, )
2
| ( , )f x y }
• z f x y( , ) ược gọi là giá trị của hàm số tại (x y, ).
lOMoARcPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
lOMoARcPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
Đồ thị của hàm số z = f(x,y) f M( )
f(a,b ) c
lOMoARcPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
S {(x y f M, , ( ))|M x y( , ) D}
VD 1
• Hàm số f x y( , ) 3x y
2
cosxy có D
f
2
.
• Hàm số z 4 x
2
y
2
có MXĐ là hình tròn óng tâm
O(0; 0), bán kính R 2. Vì M x y( , ) D
z
4
x
2
y
2
0
lOMoARcPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
x
2
y
2
4.
• Hàm số z ln(4 x
2
y
2
) có MXĐ là hình tròn mở
tâm O(0; 0), bán kính R 2.
Vì M x y( , ) D
z
4 x
2
y
2
0
x
2
y
2
4.
lOMoARcPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
• Hàm số z f x y( , ) ln(2x y 3) có MXĐ là nửa
mp mở có biên d : 2x y 3 0, không
lOMoARcPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
1.2. Giới hạn của hàm số hai biến số
a) Điểm tụ • M
n
• • • •
••••• •• • • • •
• M•••••
0
• •
,
lOMoARcPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
VD. O(0, 0) là iểm tụ của dãy iểm M
n
n
1 1
2
.
n
b) Định nghĩa giới hạn kép (giới hạn bội)
lOMoARcPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
• Điểm
M x
0
(
0
,
y
0
) ược gọi là giới hạn của dãy iểm M
x
n
(
n
, y
n
), n 1,2,... nếu M x
0 0
( , y
0
) là iểm tụ duy
nhất của dãy.
Ký hiệu là: lim M M hay M n M .
n n 0 n 0
lOMoARcPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
• Hàm số f x y( , ) có giới hạn là L { } khi Mn
n M0 nếu nlim f x( n, yn) L.
Ký hiệu là L lim f M( ) M M
0
lim f x y( , ) lim f x y( , ).
(x y, ) (x y
0
,
0
) x x
0
y y
0
lOMoARcPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
lOMoARcPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
2x y
2
3x 1 3
VD 2. lim .
(x y, ) (1, 1) xy2 3 2
lOMoARcPSD| 40551442
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com)
lOMoARcPSD| 40551442
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com)
Bài 1. Khái niệm cơ bản sin(x
2
y
2
)
VD 4. Tìm lim .
cos
lOMoARcPSD| 40551442
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com)
(x y, ) (0,0) x2 y2
Giải. Đặt x r cos , y r sin , ta có: sin(x
2
y
2
) sinr
2
lim lim
1.
(x y, ) (0,0) x2 y2 r 0 r2
lOMoARcPSD| 40551442
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com)
Bài 1. Khái niệm cơ bản
xy
VD 3. Tìm lim f x y( , ), f x y( , ) .
(x y, ) (0,0) x
2
y2
lOMoARcPSD| 40551442
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com)
Giải.
xyyx 00
0 f x y( , ) x 0.
y2 Vậy lim f x y( , ) 0.
(x y, ) (0,0)
lOMoARcPSD| 40551442
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com)
lOMoARcPSD| 40551442
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com)
2xy
lOMoARcPSD| 40551442
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com)
VD 5. Cho hàm số f x y( , ) . x2
y2
Chứng tỏ rằng lim f x y( , ) không tồn tại.
(x y, ) (0,0)
Giải. Đặt x r cos , y r sin , ta có: r
2
sin2
lim f x y( , ) lim sin2 .
(x y, ) (0,0) r 0 r2
Do giới hạn phụ thuộc vào nên không duy nhất.
Vậy lim f x y( , ) không tồn tại.
(x y, ) (0,0)
lOMoARcPSD| 40551442
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com)
c) Giới hạn lặp
Giới hạn theo từng biến khi dãy iểm
M x y
n
(
n
,
n
) dần
ến M
0
của f x y( , ) ược gọi là giới hạn lặp.
• Khi x x
0
trước, y y
0
sau thì ta viết
lim lim ( , )f x y
y y
0
x x
0
• Khi y y
0
trước, x x
0
sau thì ta viết
lOMoARcPSD| 40551442
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com)
lim lim ( , )f x y x x
0
y y
0
Giới hạn lặp
lOMoARcPSD| 40551442
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com)
sinx
2
siny
2
lOMoARcPSD| 40551442
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com)
VD 6. Xét hàm số f x y( , ) .
Ta có: x2 y2
siny
2
lim lim (
,f x y) lim 1, y 0 x 0 y 0 y2
sinx
2
lim lim ( , )f x y lim 1. x 0y 0 x 0 x2
Vậy lim lim ( , )f x y lim lim ( ,f x y). y 0x
0 x 0y 0
lOMoARcPSD| 40551442
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com)
Chú ý
• Nếu lim lim f x y( , ) lim lim f x y( , ) thì không y y x x
0 0
x x y y
0 0
tồn tại lim f x y( , ).
(x y, ) (x y
0 0
, )
• Sự tồn tại giới hạn lặp không kéo theo sự tồn tại của giới
hạn bội.
lOMoARcPSD| 40551442
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com)
lOMoARcPSD| 40551442
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com)
lOMoARcPSD| 40551442
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com)
Bài 1. Khái niệm cơ bản
1.3. Hàm số liên tục
• Hàm số f x y( , ) liên tục tại M x y
0 0 0
( , ) D
2
nếu
(xy, )lim (x y
0 0
,) f x y( , ) f x y(
0
,
0
)
lOMoARcPSD| 40551442
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com)
Bài 1. Khái niệm cơ bản
• Hàm số f x y( , ) liên tục trên tập D
2
nếu nó liên
tục tại mọi iểm thuộc D.
Chú ý
Hàm số f x y( , ) liên tục trên miền óng giới nội D thì
nó ạt giá trị lớn nhất (max) và nhỏ nhất (min) trên
D.
lOMoARcPSD| 40551442
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com)
Bài 1. Khái niệm cơ bản
sinx
2
siny
2
VD 7. Xét sự liên tục của f x y( , ) . x2
y2
Giải
• Với (x y, ) (0, 0) thì hàm số f x y( , ) xác ịnh nên liên
tục. • Tại (0, 0) thì lim f x y( , ) không tồn tại.
(x y, ) (0,0)
lOMoARcPSD| 40551442
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com)
Bài 1. Khái niệm cơ bản
Vậy hàm số f x y( , ) liên tục trên
2
\{(0, 0)}.
lOMoARcPSD| 40551442
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com)
lOMoARcPSD| 40551442
Downloaded
by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com)
Ví dụ 3.1.2:
f( x,y) x2 y2 ,(
x,y) (00, ). 0 ,( x,y) (00, )
……………………………………………………….

Tài liệu khác của Trường Đại học Công nghệ Thông tin, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

Preview text:

lOMoAR cPSD| 40551442
Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản lOMoAR cPSD| 40551442 1.1. Các ịnh nghĩa a) Miền phẳng D lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản Điểm trong Điểm ngoài Miền óng lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản D D D Miền mở lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản D D D\ lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản D C C CD 1 2 3 lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản Miền không liên thông lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
b) Lân cận của một iểm trong mặt phẳng lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản S(M0,ε) lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản M S M ( 0, ) d M M( , • 0) ε H(M0,ε) M0 |x x | M x y( , ) H M( 0, ) |y y 00 | d) Hàm số hai biến số lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản f : D 2 (x,y) D z f(x,y) .
• Tập D 2 ược gọi là miền xác ịnh (MXĐ) của hàm
số f x y( , ), ký hiệu là Df . Df {(x y, ) 2 | ( , )f x y }
• z f x y( , ) ược gọi là giá trị của hàm số tại (x y, ). lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
Đồ thị của hàm số z = f(x,y) f M( ) f(a,b ) c lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản S {(x y f M, , ( ))|M x y( , ) D} VD 1
• Hàm số f x y( , ) 3x y2 cosxy có Df 2.
• Hàm số z 4 x2 y2 có MXĐ là hình tròn óng tâm
O(0; 0), bán kính R 2. Vì M x y( , ) Dz 4 x2 y2 0 lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản x2 y2 4.
• Hàm số z ln(4 x2 y2) có MXĐ là hình tròn mở tâm O(0; 0), bán kính R 2. Vì M x y( , ) Dz 4 x2 y2 0 x2 y2 4. lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
• Hàm số z f x y( , ) ln(2x y 3) có MXĐ là nửa
mp mở có biên d : 2x y 3 0, không lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
1.2. Giới hạn của hàm số hai biến số a) Điểm tụ • Mn • • • • ••••• •• • • • •
• M••••• 0 • • , lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
VD. O(0, 0) là iểm tụ của dãy iểm Mn n1 12 . n
b) Định nghĩa giới hạn kép (giới hạn bội) lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản M x y • Điểm
0( 0, 0) ược gọi là giới hạn của dãy iểm M
xn( n, yn), n 1,2,... nếu M x0 0( , y0) là iểm tụ duy nhất của dãy.
Ký hiệu là: lim M M hay M n M . n n 0 n 0 lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
• Hàm số f x y( , ) có giới hạn là L { } khi Mn n M0 nếu nlim f x( n, yn) L.
Ký hiệu là L lim f M( ) M M0 lim f x y( , ) lim f x y( , ). (x y, ) (x y0, 0) x x 0 y y 0 lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản 2x y2 3x 1 3 VD 2. lim . (x y, ) (1, 1) xy2 3 2 lOMoAR cPSD| 40551442 Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40551442 cos
Bài 1. Khái niệm cơ bản sin(x2 y2) VD 4. Tìm lim .
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40551442 (x y, ) (0,0) x2 y2
Giải. Đặt x r cos , y r sin , ta có: sin(x2 y2) sinr2 lim lim 1. (x y, ) (0,0) x2 y2 r 0 r2 Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản xy VD 3. Tìm lim f x y( , ), f x y( , ) . (x y, ) (0,0) x2 y2
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40551442 Giải. xyyx 00 0 f x y( , ) x 0. y2 Vậy lim f x y( , ) 0. (x y, ) (0,0) Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40551442
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40551442 2xy Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40551442
VD 5. Cho hàm số f x y( , ) . x2 y2 Chứng tỏ rằng
lim f x y( , ) không tồn tại. (x y, ) (0,0)
Giải. Đặt x r cos , y r sin , ta có: r2 sin2 lim f x y( , ) lim sin2 . (x y, ) (0,0) r 0 r2
Do giới hạn phụ thuộc vào nên không duy nhất. Vậy
lim f x y( , ) không tồn tại. (x y, ) (0,0)
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40551442 c) Giới hạn lặp M x y ( ,
Giới hạn theo từng biến khi dãy iểm n n n) dần
ến M0 của f x y( , ) ược gọi là giới hạn lặp.
• Khi x x0 trước, y y0 sau thì ta viết lim lim ( , )f x y y y 0 x x 0
• Khi y y0 trước, x x0 sau thì ta viết Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40551442 lim lim ( , )f x y x x0 y y0 Giới hạn lặp
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40551442 sinx2 siny2 Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40551442
VD 6. Xét hàm số f x y( , ) . Ta có: x2 y2 siny2 lim lim ( ,f x y) lim 1, y 0 x 0 y 0 y2 sinx2 lim lim ( , )f x y lim 1. x 0y 0 x 0 x2
Vậy lim lim ( , )f x y lim lim ( ,f x y). y 0x 0 x 0y 0
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40551442 Chú ý
• Nếu lim lim f x y( , ) lim lim f x y( , ) thì không y y x x 0 0 x x y y
0 0 tồn tại lim f x y( , ). (x y, ) (x y0 0, )
• Sự tồn tại giới hạn lặp không kéo theo sự tồn tại của giới hạn bội. Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40551442
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40551442 Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản 1.3. Hàm số liên tục
• Hàm số f x y( , ) liên tục tại M x y0 0 0( , ) D 2 nếu
(xy, )lim (x y0 0,) f x y( , ) f x y( 0, 0)
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
• Hàm số f x y( , ) liên tục trên tập D 2 nếu nó liên
tục tại mọi iểm thuộc D. Chú ý
Hàm số f x y( , ) liên tục trên miền óng giới nội D thì
nó ạt giá trị lớn nhất (max) và nhỏ nhất (min) trên D. Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản sinx2 siny2
VD 7. Xét sự liên tục của f x y( , ) . x2 y2 Giải
• Với (x y, ) (0, 0) thì hàm số f x y( , ) xác ịnh nên liên
tục. • Tại (0, 0) thì lim f x y( , ) không tồn tại. (x y, ) (0,0)
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40551442
Bài 1. Khái niệm cơ bản
Vậy hàm số f x y( , ) liên tục trên 2 \{(0, 0)}. Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40551442
Downloaded by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40551442 Ví dụ 3.1.2: f( x,y) x2 y2 ,( x,y) (00, ). 0 ,( x,y) (00, )
………………………………………………………. Downloaded
by H?u h?u Mai mai (abcdefghis@gmail.com)

Tài liệu liên quan: