Hệ trục tọa độ trong không gian - Tài liệu tham khảo | Đại học Hoa Sen

Trường THPT Marie Curie
1. Hệ tọa độ trong không gian Oxyz
 Gồm 3 trục O ; x O ;
y Oz vuông góc từng đôi một.
 Véctơ đơn vị : i , j ,k trên các trục O , x O , y Oz .
 Các trục O ,
x Oy, Oz lần lượt là trục hoành, trục tung và trục cao.
 Các mặt phẳng Ox ; y Oy ;
z Oxz gọi là các mặt tọa độ . 2. Tọa độ véctơ ur
Trong không gian Oxyz, cho vectơ a tùy ý. 
Khi đó luôn tồn tại bộ số  a ;a ;a  thỏa a  a . i  a . j  a 1 2 3 1 2 ur
Ta nói bộ số  a ;a ;a  là tọa độ của vectơ 1 2 3 a ur ur
Ký hiệu : a 
 a ;a ;a  hay a a ;a ;a  . 1 2 3 1 2 3 ur r ur ur ur
Ví dụ: a  i
3  2 j  k  a   ; 3  ; 2   1 ur r ur ur r Ví dụ: a i   2j  . 0 k  a  ; 1 ; 2  0 ur r ur ur r
Ví dụ: a  i 5  .
0 j  k  a  ; 5 ; 0   1 ur ur ur r Ví dụ:   a  j  1 2 k  1 a ; 0  ; 2    2   2 ur u r u r ur r u r u r ur
Ví dụ: a  . 2b  c
3  d  a  ; 2 ; 3  
1 , Vì bộ b ;c ;d không phải là vectơ đơn vị 
Ví dụ: a  i  2 j  k  a 1; 2;1  Ví dụ: a 3
 k  2 j  a 0; 2;3 . Cẩn thận
Ví dụ: c  2;3; 2  c 2
 .i 3 j  2k   
Ví dụ: Biểu diễn b    2;4; 
1 theo i , j ,k . Giải: b  2.i  4 j  k Như vậy:
 i = 1. i + 0. j + 0. k  i 1;0;0
 j = 0.i + 1. j + 0. k  j 0; ;10
 k = 0.i + 0. j + 1. k  k 0;0 1 ; 
3. C6c phép to6n : ( cộng, trừ theo thành phần) ur ur
Trong không gian Oxyz, cho vectơ a 
 a ;a ;a  ; b 
 b ;b ;b  1 2 3 1 2 3 - 1 - Trường THPT Marie Curie
 Cộng hai véctơ :
" h+h ; t+t ; c+c" ur u r a  b 
 a  b ;a  b ;a  b  1 1 2 2 3 3
 Trừ hai véctơ : " hh
 ; t t ; c  c  " ur u r a  b 
 a  b ;a  b ;a  b  1 1 2 2 3 3 a   2;1;  1 ,
Ví dụ: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ b 1;4; 3 ur ur ur ur
Tính tổng a  b và hiệu a  b .
Giải: a 2;1; 1, b 1;4; 3
 a b   3; 5 ; 4
 a  b  1; 3;2
 Một số nhân véctơ : “là 1 véctơ ”.
Trong không gian Oxyz, cho vectơ a 
 a ;a ;a  và số thực  k  1 2 3 ur  ka 
 ka ;ka ;ka  1 2 3 Ví dụ: a 
 5;2; 4   2a    10; 4;8 u r u r Vd: b   ; 5  ; 2  1   b 3    1 ; 5 ; 6   3  
a cung chieu b  k  0
 Lưu ý: a  k .b  
a nguoc chieu b  k  0 
Vd: Cho đoạn thẳng AB và
điểm M nằm giữa hai điểm A,B
sao cho AM 3MB (như hình vẽ). Mệnh đề nào sau đây sai?
A. AM  3BM . B. AB 4  MB .   C. 1
MA  MB . D. 4AM 3  AB . 3 Giải  C
Ví dụ: Trong không gian Oxyz , a   2; 1;3 , b   4; 1;0 , c   2; 2; 5 . TNnh x 2
 a    3.b  4c Giải: 2a   4;  2;6    3b    12;3;  0  4c   8;  8;  20
Cộng theo vế ta được : x 2
 a  3b  4c   0; 7; 14
Hướng dẫn dùng m6y tính Casio 570 Mode 811: nhập VtcA
Shift 5221: Nhập VtcB Shift 5231: Nhập VtcC - 2 - Trường THPT Marie Curie
Bấm AC. Kết thúc việc nhập Gọi lại véctơ
Bấm shift 5 …. . Bấm số tương ứng véctơ cần 
Ví dụ: Cho ba vectơ Za  ( ; 2  ; 1 1 , ) b  ( ; 2  ; 1 3, ) c  (  ; 1 ; 1 ) 1
Tọa độ của vectơ 2Za b 3c bằng
A.  2; 6;9 . B. 9;6;2 .
C. 9; 6; 2 .
D. 9; 6;2 .
 Tích vô hướng = 1 số
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a a ;a ;a , b b ;b ;b  1 2 3 1 2 3 ur u r
 a .b a
 b  a b  a b  ¡ 1 1 2 2 3 3
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ Za  ( ; 2  ; 1 1,)b  ( ; 2  ; 1 ) 3 . TNch bằng uru r a b bằng A. 2 . B. 8. C.  7 . D.  3 . Giải: r u ru  ( ; 2  ; 1 ) 1,  ( ; 2 b  ; 1 ) 3 u r u r a b 2  .  2    1    1  . 1 3 8
Vd: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a (  2;0; 1),b (
 m  1;2; m)
Tìm m để a .b 3  Giải: a .b 3
  2(m  1)  0  m 3   m 5  / 3
Vd: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a 
 2 ;m  1;3 , b 
  m  3; 2 ;m .
Tìm m để a .b 2  Giải: a .b  .
h h t.t  . c c 2   2  (  m 3 )  2(  m 1) 3  m 2  m = 2/3
Ví dụ: Cho a (2;1; 1),b(2  m 1;3; )
m . Tìm m để . a b 3 Giải: ab  2 2  m 1 3m3  m 2 5
 Độ dài véctơ : “ khoảng c6ch giữa điểm gốc và ngọn” - 3 - Trường THPT Marie Curie  
h 2   tung 2   ao2 a hoan c = 1 số 0
Trong không gian Oxyz, cho vectơ a 
 a ;a ;a  1 2 3
    2 a a
 a 2  a 2 2 2 3
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, a = (2;1;1) . Tính độ dài vectơ  a
 Giải:  a   2     2     2 2 1 1  6
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ Za  ( ; 2  ; 1 1 , ) b  ( ; 2  ; 1 ) 3 . ur u r
Biểu thức a  b 2 bằng. A. 101 . B. 2 5 . C. 37 . D. 94. Giải: ur u r ur u r a  b 2   ; 6  ; 3  7  a  b 2  36 9 49  94 uuu r
Nhớ: AB AB . Là khoảng cách giữa hai điểm A, B r r r
Ví dụ: Trong không gian Oxyz,cho ba vectơ a   ; 2 ; 0  1 , b   ; 2  ; 2   3 ,c    ; 2  ; 1  3 r r r
Tính a  b 2  c 4  461
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho a = (2;1;1), 
b = (1;2;1) ,  c = (1;1;2) 
Tính 2a  b  2c  70 Nhập véctơ
Mode 811: nhập VtcA; Shift 5221: Nhập VtcB
Shift 5231: Nhập VtcC; Bấm AC.
Kết thúc việc nhập Gọi lại véctơ
Bấm shift 5 …. . Bấm số tương ứng véctơ cần
 2a  b  2c 
 3; 6;5  2a  b  2c  9 36  25  70
M6y shift hyp shift56 ấn 2x = 70
Ví dụ: Trong không gian Oxyz,cho a = (2;3;1), 
b = (1;3;2), 
c =(1;2;2) 
Tính 2a  b 3c  109
Ví dụ: Cho a (  ; m  1;1),b (   1;2;m)
Tìm m để a  2b  30 - 4 - Trường THPT Marie Curie a (  ; m  1;1),   Giải:   a  2b 
 m 2;  5;1 2m
 2b (2; 4; 2m)
 a  2b  30   2 m    2 ( 2) 25 (1 2 ) m  30   2 m    2 ( 2) 25 (1 2 )
m 30  m0.
Vd: Cho a (1; 2;2 ) m ,b(0; ; m5), c   ( 2; 1  ;3 )
m . Tìm m để a  3b  c  281 Giải: a (1 ; 2  ;2 ) m ,   3b(0  ; 3 ; m  15),
 a 3b c (3;   1 3 ; m  16)
 c (2;1; 3 ) m m   2
a  3b  c  281  2     m  2 3 1 3 16 281 1   m   5 / 3
Ví dụ: Cho b(2  m 1;3  ; )
m . Tìm m để b  19 Giải:  b     m 2 9 2 19 2 1 m  9 1  0 m 1   2 m   m   2 4 4
1 9 m 19  m   9 / 5 h h  
 Hai véctơ bằng nhau a = b  t t c   c
 " các thành phần bằng nhau"
 Hai véctơ cùng chiều, cùng độ lớn
Ví dụ: Cho ABC đều. Mệnh đề nào sai?
A. AB  AC
B. AB AC
C. AB BC.
D. AB AC BC  .
Ví dụ: Cho hình bình hành
Chỉ ra các cặp véctơ bằng ?
Giải: AB DC ; AD BC - 5 - Trường THPT Marie Curie
 Tích có hướng hai véctơ = 1 véctơ
 Véctơ này vuông góc đồng thời với 2 véctơ đã cho.
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a 
 a ;a ;a  , 1 2 3  b 
 b ;b ;b  1 2 3    a a a a a a   2 3 3 1 1 2
 a ,b   ; ;    b b b b b b  2 3 3 1 1 2  
 a b  a b ; a b  a b ;a b  a b  2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
Vd: Trong không gian Oxyz,
a = (2;1 ;1),  b = (0; 2 ;1)      1 1 a ,b     1 1 2 2  ; ;  2 1 1 0 0 2  
= (12; 02; 4+0) = (3; 2 ;4) DÙNG CASIO Nhập véctơ Mode 811: nhập VtcA
Shift 5221: Nhập VtcB
Bấm AC. Kết thúc việc nhập
 shift53shift54 = (3; 2;4)
Vd: a  1;m  ;1 2 , b   1;2; 1 . Tìm m để  a ,b  35   Giải:    m 1 2 2 1 1 m  1 
 ,a b  ; ;    2 1 1  1  1 2     m  5;  3; m   1  
 a b   m   2 ( 3)  m   2 2 , 5 1  35  
“bình phương hai vế, thu gọn”  m 0  2 2m  8m 0    m 4  
Vd: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ a   2;1;0 , b   1; 1;  3 , c   ; m m  1;  2
Tìm m để  a,b c 2   - 6 - Trường THPT Marie Curie
Giải: a,b   3;  6;  3  
a,b c 3
 m  6 m  1  6 2   m  2 / 3  
Vd: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ a   2;1;  0 , b   1; 1;  3 , c    3;0;  2  
Biểu thứca,b  c   bằng
Vd: Trong không gian Oxyz , cho a   2;1;  2 , b   1; 1;  3 ,c    3;1;  2  
Tính a,b  2c     ?
Vd: Trong không gian Oxyz , cho a   2;0;  2 , b   1; 1;  3 , c   x  1;2;  3 r r r
Tìm x để  a,b  c    21 Giải: r r  , a b   ;  ;     2 4 2 r r r  , a b  c   x  ; ;    1 2 1 r r r  2
a,b c   x   1  41   21  x 3  x2  x
2  150  x   5
Lưu ý:  a ,b   b ,a      .
Vd: Trong không gian Oxy ,
z cho hai vectơ a   2;0;  2 , b   1; 1;  3
 Nhập a , b
 shift53shift54=  a ,b    = (2;4;2)
 shift54shift53= b ,a    = (2; 4; 2)
Như vậy ta thấy  a ,b    b ,a     
Ví dụ: Trong không gian Oxy ,
z cho a (1; 1;2),b (  0;1;m).
Tìm các giá trị m để   a,b    35 Giải:    1 2 2 1 1   1   a,b  ; ;       1 m m 0 0 1  - 7 - Trường THPT Marie Curie   a,b    m 2; ; m    1     a,b    m 2  2 2
m 1  170  0 …. Các em tự giải phương trình này nhé!  
 Quan hệ vuông góc, cùng phuơng, đồng phẳng.
 Điều kiện vuông góc a  b  a .b  0
“hai véctơ vuông góc thì tích vô hướng = SỐ 0”
Vd: Trong không gian Oxy , z Cho a   2;1; 2 , b 
 m  2; m;m   1 .
Tìm m để a  b .
Giải: a b  a .b 0   . hh . t t  . c c 0  2(  m ) 2   m 2  m 1 0  m6. Vậy b   4; 6;  7  
a ,b   0  
 Đk hai véctơ cùng phương h t c
a cùng phương b    h t c  
a  k .b
Hai véctơ có gi6 song song hoặc trùng nhau. Ví dụ: Cho a   1; 2;   3 ,b 
 m ; 2  n;  3 . Tìm ,
m n để a cùng phương b . Giải: m  n  3
a cùng phương b  2   1 2  3  m  3         m 1 m 1    1 3     
 b 1;2;  3  2 n  3      2 n 2 n 0  2  3    
 Đk ba véctơ đồng phẳng : a ,b .c 0       o véct Ví dụ:   a 2 (  ; 1;1 , ) b 0 ( ;2  ; 3 , ) c(1;1 ; ) 5
A. 3 véctơ đồng phẳng.
B. 3 véctơ không đồng phẳng. Giải: - 8 - Trường THPT Marie Curie
 a ,b  .c  13 0       o véct Ví dụ:   a 2 (  ; 1;1 , ) b 0 ( ;2  ; ) 3 ,c(1 ; 1;  m ) 1 .
Tìm m để a , b , c đồng phẳng. Giải:   a,b   1;6;    4 , c  1 ( ; 1;  m ) 1    a,b c 0   1 6 4  m 1    
 0  m9/ 4   . a b
 Góc giữa hai véctơ : co s a;b      a .b
Ví dụ: Trong không gian Oxy , z cho a   2;1;  0 , b   1 ; 1;  2
TNnh cos(a ; b ) = ? a  2;1;  0  a  5
 a.b   2  1 01    b   1; 1;  2  b  6  
   a .b a b  1 cos ; a .b 30    
 O M  x . i  y . j  z . k  M  x ; y ; z  0 0 0 0 0 0
 O là gốc tọa độ. Vd: O B i
  j  3k  B( ; 1 ; 1  3 )
Vd: OM  i 3k  M  1;0;3  AB 
 x  x ; y  y ;z  z  “BA”  B A B A B A
 AB  BA “ngược chiều”
 AB   x  x 2   y  y 2  z  z 2 B A B A B A - 9 - Trường THPT Marie Curie
 chính là độ dài véctơ 2 2 2
AB  h  t  c
Vd: A2;1;1, B 0;2;3 . TNnh AB ?
AB   x  x 2   y  y 2   z  z 2 3  B A B A B A uuu r
Hoặc là AB    ; 2 ; 1   2  AB  4  1 4 3
Vd: Trong không gian Oxy ,
z Cho tam giác ABC ,  A 2;0;  0 ,Z  B 0;0  ;2 , C 0 ( ; 2 ) ;0 TNnh chu vi ABC . Giải:  AB 
  2;0;2  AB  8
 AC  2; 2;0  AC  8  BC 
 0; 2; 2  BC  8
 Cv AB  BC  AC 6  2
Vd: Trong không gian Oxy ,
z tìm M  Oz sao cho AM 3, ( A 2;1; ) 3 
 M Oz  M  0;0; z , ( A 2;1;  3)  2 AM 
  2 ; 1; z 3 , "M  A "   AM   4  1   z 3 3   z
   z  2 4 1 3 9  2
z  6z 50 ( mode53) 1    z   5 Vậy M ( ; 0 ; 0  ) 1 ; M ( ; 0 ; 0  ) 5 1 2
Vd: Trong không gian Oxy ,
z cho A 3;1;–2 ,  B –1;2; 
1 . Tìm COx sao cho tam
giác ABC vuông tại . A
 COx   C ; x 0;  0  
AB  4;1;3 , AC x 3  ; 1;  2
ABC vuông tại A  A .  B AC 0    4 x 
3 1( 1) 3(2) 0 x 17/ 4 Vậy  C 17/ 4;0;  0 .
Vd: Trong không gian Oxy ,
z cho ABC , A ; 4 ; 5  0 , B ; 1 ; 0   1 , C  ; 2  ; 1  1 .
Chứng tỏ ABC vuông. TNnh diện tNch tam giác này. uuu r Giải: AB 
  ; ;   AB2 3 5 1 35 uuu r AC 
  ; ;   AC2 2 6 1 41 uuu r BC   ; ;   BC 2 1 1 2 6 - 10 -