Thông tin
Hỏi đáp

Hình học giải tích phẳng Oxy – Đặng Thành Nam

Tài liệu gồm 30 trang tuyển chọn và giải chi tiết các bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng, tài liệu được biên soạn bởi thầy Đặng Thành Nam. Nội dung tài liệu gồm các phần:

KIẾN THỨC CẦN NHỚ
BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ TAM GIÁC
Cho tam giác vuông tại A chẳng hạn thì ta có vtAb.vtAC = 0.
+ Nếu đề bài cho phương trình đường cao Ax + By + C = 0 thì cạnh đối diện sẽ nhận véctơ u(A; B) làm một véc tơ chỉ phương, vậy nếu biết cạnh đối diện đi qua một điểm nữa thì ta viết được phương trình của cạnh đối diện.

Chủ đề:

Chương 7: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng (KNTT) 78 tài liệu

Môn:

Toán 10 2.8 K tài liệu

Thông tin:

30 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Mai Nguyệt

docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Hình học giải tích phẳng Oxy – Đặng Thành Nam

127 64 lượt tải Tải xuống

Chuyên đề 10: Hình học giải tích trong mặt phẳng

648

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt

Mobile: 0976266202

CHUYÊN ĐỀ 10:

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

Chuyên đề 10: Hình học giải tích trong mặt phẳng

649

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

650

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt

Mobile: 0976266202

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Phương trình đường thẳng có dạng tổng quát





: 0

d ax by c

  

2 2

a b

 

+ Đường thẳng





có véc tơ pháp tuyến





;

n a b





, và véc tơ chỉ phương





;

u b a

 



+ Phương trình đường thẳng đi qua điểm





0 0

;

M x y

và có véc tơ pháp tuyến





;

n a b





có dạng:













0 0

: 0.

d a x x b y y

   

+ Phương trình đường thẳng đi qua điểm





0 0

;

M x y

và có hệ số góc

có dạng:









0 0

: .

d y k x x y

  

+ Phương trình đoạn chắn đi qua điểm









;0 , 0;

A a B b

có dạng

 

: 1.

x y

a b

 

+ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm









1 1 1 2 2 2

; , ;

M x y M x y

có dạng

 

1 1

2 1 2 1

: .

x x y y

 



 

Góc giữa 2 đường thẳng

+ Nếu 2 đường thẳng cho dưới dạng hệ số góc





 

1 1 1

1 2

2 2 2

tan ,0 90 .

d y a x b

a a

d y a x b

 

 





   





 





+ Nếu 2 đường thẳng cho dưới dạng tổng quát





 

1 1 1 1

1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

: 0

d a x b y c

a a b b

d a x b y c

a b a b



  





 



  

 





Khoảng các từ một điểm đến một đường thẳng

 

0 0

2 2

; .

ax by c

d M d

a b

 





Các tính chất trong tam giác

Cho tam giác

ABC

có 3 đỉnh là

, ,

A B C

và trọng tâm

, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC

là

, tâm đường tròn nội tiếp tam giác

ABC

. Khi đó ta có

+ Tọa độ trọng tâm

được xác định bởi

A B C G

x x x x

y y y y

  





  



+ Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

651

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

+ Tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm của 3 đường phân giác trong của tam giác.

+ Phương trình đường phân giác trong của góc

có véc tơ chỉ phương

1 1

u AB AC

AB AC

 

  

+ Phương trình đường phân giác ngoài của góc

có véc tơ chỉ phương

1 1

u AB AC

AB AC

 

  

BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ TAM GIÁC

Phương pháp:

- Cho tam giác vuông tại

chẳng hạn thì ta có

. 0

AB AC



 

- Nếu đề bài cho phương trình đường cao

Ax By C

  

thì cạnh đối diện sẽ nhận véc tơ





;

u A B





làm một véc tơ chỉ phương, vậy nếu biết cạnh đối diện đi qua một điểm nữa thì ta viết

được phương trình của cạnh đối diện.

- Nếu đề bài cho phương trình của một hoặc hai đường trung tuyến thì ta tìm được trung

điểm cạnh đối diện hoặc trọng tâm của tam giác.

Lưu ý: Thường xét mối liên hệ giữa tọa độ ba đỉnh và trọng tâm

A B C G

x x x x

y y y y

  





  



hoặc

AG AM



 

với

là trung điểm cạnh

- Nếu đề bài cho phương trình đường phân giác trong

của một góc, và biết một điểm

thuộc một cạnh bên thì ta tìm tọa độ điểm

đối xứng với

qua

Điểm

được xác định qua các bước:

1. Viết phương trình đường thẳng



đi qua

và vuông góc với

2. Xác định tọa độ

I d

  

, vì

là trung điểm của

' '

MM M

 theo công thức liên hệ đối

xứng qua một điểm.

- Nếu đề bài cho tâm hay bán kính đường tròn nội tiếp, diện tích tam giác thì chú ý công

thức liên hệ

1 1 1

. sin sin sin

2 2 2

ABC

S p r ab C bc A ca B

   

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Cho điểm





2; 2



và đường thẳng





đi qua điểm





3;1

M và cắt các trục tọa độ tại

B C

. Viết phương trình đường thẳng





, biết rằng tam giác

ABC

cân tại

Lời giải:

Giả sử





cắt các trục tọa độ tại









;0 , 0;

B b C c

. Khi đó

 

: 1.

x y

b c

 

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

652

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Do điểm

   

3 1

3;1 1(1)

M d

b c

    .

Tam giác

ABC

cân tại

   

2 2

2 4 4 2 (2)

A AB AC b c       

Từ (1) và (2) suy ra:

6 2

2 2

b b

c c

 

 



 

  

 

Vậy có 2 đường thẳng

   

1 2

: 1; : 1.

6 2 2 2

x y x y

d d

   



Bài 2. Cho 2 đường thẳng









1 2

: 1 0; :2 1 0

d x y d x y

     

và điểm





2;1

M . Viết phương

trình đường thẳng





đi qua điểm

và cắt hai đường thẳng trên tại

A B

sao cho

là trung

điểm của

Lời giải:

Giả sử

















1 1 1 2 2 2

; 1 ; ; 2 1

A t t d B t t d

    

Điểm





2;1

M là trung điểm của

khi và chỉ khi

   

1 2

10 13 2 7

; , ;

1 2 1 2

2 2

3 3 3 3

A B M

t t

x x x

A B

t t

y y y







 

 





 

   

  

  

   

    

 

   













 

2;5

AB  



Vậy phương trình đường thẳng

   

2 1

: :5 2 8 0.

2 5

x y

d d x y

 

    

Bài 3. Cho 2 đường thẳng









1 2

:2 5 0; : 3 0

d x y d x y

     

và điểm





2;0

M  Viết phương

trình đường thẳng





đi qua điểm

và cắt hai đường thẳng trên lần lượt tại

A B

sao cho

2 .

MA MB



 

Lời giải:

Giả sử

















1 1 1 2 2 2

;2 5 ; ;3

A t t d B t t d

    . Suy ra









1 1 2 2

2 ;2 5 , 2;3

MA t t MB t t

     

 

Ta có

 

1 2

2 2 2

2 3;7

2 5 2 3

t t

MA MB MA

t t





  

 

    

 

 

  





  

Vậy phương trình đường thẳng

 

: 7 3 14 0.

3 7

x y

d x y



    

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

653

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho hai đường thẳng

: 4 0

d x y

  

và

:2 2 0

d x y

  

Tìm tọa độ điểm

thuộc đường thẳng

sao cho đường thẳng

cắt đường thẳng

tại điểm

thỏa mãn

. 8

OM ON



Lời giải:

Gọi









2 1

;2 2 ; ; 4

N a a d M b b d

   

, ,

O M N

thẳng hàng nên hệ số góc đường thẳng

bằng hệ số góc đường thẳng

2 2 4 4

a b a

 

  



Ta có

 





 





2 2

. 8 2 2 4 64

OM ON a a b b

      

, thay





vào ta được





 









2 2 2 2

5 8 4 4 2 5 6 5 10 8 0 5 6 0

a a a a a a a a a

           





0; 2

6 2

;

5 5











 

 





 





 



Vậy có hai điểm

 

1 2

6 2

0; 2 ; ;

5 5

N N

 



 

 

Bài 4. Viết phương trình đường thẳng





đi qua điểm





4;1

M cắt các trục tọa độ tại

A B

sao

cho.

1. Diện tích tam giác

OAB

nhỏ nhất.

2. Tổng độ dài

OA OB



nhỏ nhất.

Lời giải:

Giả sử





cắt các trục tọa độ tại









;0 , 0; , , 0

A a B b a b



. Khi đó phương trình của





là

 

: 1

x y

a b

 

. Do

   

4 1

4;1 1(1).

M d

a b

   

1. Ta có

OAB

S ab

 , theo (1) ta có

4 1 4 1 4

1 2 . 16 8.

OAB

ab S

a b a b

       

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

 

8, 2 : 1.

8 2

x y

a b d

    

2. Ta có

 

4 4

4 5 2 4 5 9

4 4 4

OA OB a b a a a

a a a

            

  

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

654

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

 

4 6; 3 : 1.

4 6 3

x y

a a b d

       



Bài 5. Cho 2 điểm









0;6 , 2;5

A B . Tìm trên





: 2 2 0

d x y

  

điểm

sao cho

MA MB



đạt giá trị nhỏ nhất.

MA MB

 đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải:

Thay tọa độ 2 điểm

A B

vào phương trình của













10 6 0

    

2 điểm

A B

nằm cùng

phía với đường thẳng





1. Gọi

là điểm đối xứng của

qua





' '

d MA MB MA MB A B

     .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

là giao điểm của đường thẳng

A B

và





Đường thẳng

đi qua

và vuông góc với









': 2 6 0 2 6 0

d AA x y x y

       

. Tọa độ giao điểm

của





và

A A

là

nghiệm của hệ

   

2 6 0

2;2 ' 4; 2

2 2 0

x y

H A

x y

  



  



  



Đường thẳng

4 2

' : 7 2 24 0

2 4 5 2

x y

A B x y

 

    

 

Tọa độ điểm

là nghiệm của hệ

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

655

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

7 2 24 0

11 19

; .

2 2 0

4 8

x y

  



 





 

  

 



2. Ta có





axm

MA MB AB MA MB AB M AB d

      



Đường thẳng

: 2 12 0

AB x y

  

Tọa độ điểm

là nghiệm của hệ

2 12 0

5; .

2 2 0

x y

  



 





 

  

 



Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc

Oxy

cho 2 điểm









0;1 , 2; 1

A B



và 2 đường thẳng:

























1 2

: 1 2 2 0; : 2 1 3 5 0

d m x m y m d m x m y m

           

Gọi

là giao điểm của









1 2

d d

. Xác định m để tổng

PA PB



lớn nhất.

Lời giải:

1 2

d d

có véc tơ pháp tuyến là









1 2

1; 2 ; 2 ; 1

n m m n m m

     

 

. Suy ra









1 2 1 2

. 0

n n d d

  

 

Dễ thấy









1 2

A d B d PAB

  



vuông tại

. Ta có

 





2 2 2

2 2 16 4.

PA PB PA PB AB PA PB

       

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác

PAB

vuông cân tại

, hay góc giữa đường thẳng

và





bằng

Ta có





1;1

n 



, từ đó suy ra

   

2 2

2 3

cos45 1

1 2

n n

m m







   







  

 

Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc

Oxy

cho điểm





2;1

A . Tìm tọa độ điểm

trên trục hoành, điểm

trên trục tung sao cho tam giác

ABC

vuông tại

và có diện tích lớn

nhất, biết điểm

có hoành độ không âm.

Lời giải:

Gọi

















;0 , 0; ; , 0 2; 1 , 2; 1

B b C c b c AB b AC c

       

 

Tam giác

ABC

vuông tại

suy ra

   

. 0 2 2 1 1 0 5 2 0 0

AB AC b c c b b

             

 

Diện tích tam giác

ABC

   

2 2

1 1

. 2 1 4 1 4 5

2 2

ABC

S AB AC b c b b

        

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

656

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Xét hàm số

( ) 4 5,0 ( ) (0) 5

f t t t t f t f

       

Vậy diện tích tam giác

ABC

lớn nhất khi









0;0 , 0;5

B C .

Bài 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc

Oxy

cho điểm





2;2

A và hai đường

thẳng

1 2

: 2 0, : 8 0

d x y d x y

     

. Tìm

B C

tương ứng thuộc

1 2

d d

sao cho tam giác

ABC

vuông cân tại

Lời giải:

Giả sử









1 2

;2 ; ;8

B b b d C c c d

   

. Ta có









2; , 2;6

AB b b AC c c

     

 

. Tam giác

ABC

vuông cân tại

khi và chỉ khi













     

2 2 2

2 2

2 2 8 0

3 1

. 0

5 3

2 2 8

b c b c

b b

AB AC

c c

AB AC

b b c c

    



  



 

 

  

   

 



     

 





 

Vậy có hai cặp điểm

B C

thỏa mãn đề bài là









3; 1 , 5;3

B C hoặc









1;3 , 3;5

B C .

Bài 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc

Oxy

cho bốn điểm





1;0













2;4 , 1;4 , 3;5

B C D  . Tìm điểm

trên đường thẳng

:3 5 0

d x y

  

sao cho hai tam

MAB MCD

có diện tích bằng nhau.

Lời giải:

Ta có

5, 17.

AB CD 

Giả sử điểm





;3 5

M a a



thuộc đường thẳng

Đường thẳng

AB CD

lần lượt có phương trình là

:4 3 4 0; : 4 17 0

AB x y CD x y

     

Vậy diện tích tam giác ,

MAB MCD

bằng nhau khi và chỉ khi

   

2 2 2 2

13 19 11 37

. ; . ; 5. 17.

3 4 1 4

a a

AB d M AB CD d M CD



  





   



 

 



Vậy có hai điểm thỏa mãn bài toán là

 

1 2

;2 , 9; 32

M M

 

 

 

 

Bài 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc

Oxy

cho tam giác

ABC

có diện tích

bằng

và hai điểm









2; 3 , 3; 2

A B

 

. Trọng tâm

nằm trên đường thẳng

3 8 0

x y

  

. Tìm

tọa độ đỉnh

của tam giác.

Lời giải:

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

657

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Ta có

AB 

. Đường thẳng

có phương trình là

: 5 0

AB x y

  

. Vì

là trọng tâm tam

giác

ABC

nên

 

1 1 2

;

3 2 2

ABG

ABG ABC

S S d G AB

    

Gọi





;3 8

G a a



suy ra

   

2 3

1; 5 , 2; 2

G G



 



    







Gọi

là trung điểm của

5 5

;

2 2

AB M

 

 

 

 

Vì





 

2; 2

1; 1

MC MG





 









 

Bài 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc

Oxy

cho tam giác

ABC

có trực tâm





1;0

H chân đường cao hạ từ đỉnh

là





0;2

K và trung điểm cạnh

là điểm





3;1

M . Viết

phương trình ba cạnh của tam giác

ABC

Lời giải:

Đường cao

đi qua hai điểm

H K

nên có phương trình

:2 2 0

BK x y

  

Ta có





1;2

HK  



, đường thẳng

đi qua

và nhận



làm véc tơ pháp tuyến nên có

phương trình

: 2 4 0

AC x y

  

Do ,

A AC B BK

 

nên giả sử









2 4; , ;2 2

A a a B b b

  . Vì điểm





3;1

M là trung điểm của

nên ta có hệ

   

2 4 6 4

4;4 , 2; 2

2 2 2 2

a b a

A B

a b b

   

 

  

 

   

 

Từ đó suy ra phương trình cạnh

:3 8 0

AB x y

  

Đường thẳng

đi qua

và vuông góc với





3;4

HA 



nên có phương trình là

:3 4 2 0

BC x y

  

Bài 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc

Oxy

cho tam giác

ABC

có trực tâm





1;4

H  và tâm đường tròn ngoại tiếp





3;0

I  , trung điểm cạnh

là điểm





0; 3



. Viết

phương trình đường thẳng

biết đỉnh

có hoành độ dương.

Lời giải:

Gọi

là trung điểm cạnh

, vì tam giác

ABH

đồng dạng với tam giác

MNI

và

song

song với

nên





2 7;10

HA MI A  

 

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

658

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Gọi













; , 0 3; 3 , ; 3

B x y x IM MB x y

     

 

. Với

là trung điểm cạnh

nên

IM MB



và bán kính đường tròn ngoại tiếp

116

IA IB  .

Do đó tọa độ đỉnh

là nghiệm của hệ

 

3 116 7

7;4

3 3 3 0

x y x

x y



   





 

 



   







Vậy đường thẳng

đi qua hai điểm

A B

nên có phương trình là

:3 7 49 0

AB x y

  

Bài 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc

Oxy

cho tam giác

ABC

vuông tại

Hai đỉnh

A B

nằm trên trục hoành, phương trình cạnh

có phương trình là

:4 3 16 0

BC x y

  

. Xác định tọa độ trọng tâm

của tam giác

ABC

biết bán kính đường tròn

nội tiếp bằng 1.

Lời giải:

Do điểm

thuộc đường thẳng

và nằm trên

nên tọa độ điểm

là nghiệm của hệ

 

4;0

4 3 16 0

x y









  



Giả sử









;0 4 ;0

A a AB a

  



, gọi

16 4

;

C c BC



 



 

 

. Do tam giác

ABC

vuông tại

nên

. 0

AB AC c a

  

 

. Vậy điểm

16 4

;

C a



 

 

 

Ta có

1 1 16 4

. 4 .

2 2 3

ABC

S AB AC a



  

Mặt khác ta lại có

1 16 4 5

4 4 ;( , 1)

2 3 3 2

ABC

a AB BC CA

S pr a a p r

    

       

 

 

Từ đó suy ra

4 3





  







+ Với

     

1 1;0 , 4;0 , 1,4 2; .

a A B C G

 

  

 

 

+ Với

     

7 7;0 , 4;0 , 7, 4 6; .

a A B C G

 

    

 

 

Bài 14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc

Oxy

cho tam giác

ABC

nội tiếp đường

tròn tâm





6;6

I và ngoại tiếp đường tròn tâm





4;5

K , biết đỉnh





2;3

A . Xác định tọa độ đỉnh

B C

Lời giải:

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

659

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Ta có



, do vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC

có phương trình là

     

2 2

: 6 6 25

C x y

   

Đường phân giác

đi qua hai điểm

A K

nên có phương trình là

: 1 0

AK x y

  

, đường

thẳng này cắt đường tròn





tại điểm





9;10

D .

Ta có





A C

DCK DKC



  nên tam giác

DKB

là tam giác cân.

Suy ra

B C

là giao điểm của





và đường tròn tâm

bán kính

DK  .

Vậy tọa độ

B C

là nghiệm của hệ

   

2 2

6 6 25

2 10

9 3

9 10 50

x y

x x

y y

x y



   

 

 



 

  

 

 

   





Vậy









2;9 , 10;3

B C hoặc









10;3 , 2;9

B C .

Bài 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc

Oxy

cho tam giác

ABC

cân tại

có

phương trình hai cạnh

: 1 0; : 2 0

AB y BC x y

    

. Tính diện tích tam giác

ABC

biết

đi

qua điểm





1;2

M  .

Lời giải:

Đỉnh

là giao điểm của

AB BC

nên tọa độ đỉnh

là nghiệm của hệ

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

660

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

 

1 0

3; 1

2 0

x y

 



 



  



Gọi

là đường thẳng đi qua

và song song với

, khi đó

có véc tơ pháp tuyến





1;1

n 



Suy ra phương trình của









: 1 2 0 : 1 0

d x y d x y

       

Tạo độ giao điểm

của

và

là nghiệm hệ

 

1 0

2; 1

1 0

x y

 



 



  



Tam giác

ABC

cân tại

nên

nằm trên đường trung trực của

. Viết được phương trình

đường trung trực

: 0

MN x y

 

Khi đó tọa độ điểm

là nghiệm của hệ

 

1 0

1; 1

x y

 



  



 



Từ đó ta có

4, . 8

ABC

AB AC AC AB S AB AC

     

Bài 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

xOy

cho tam giác

ABC

. Biết đường cao kẻ từ đỉnh

và phân giác trong góc

lần lượt có phương trình là

:3 4 10 0

d x y

  

và

: 1 0

d x y

  

Điểm





0;2

M thuộc đường thẳng

đồng thời cách

một khoảng bằng

. Tìm tọa độ các

đỉnh của tam giác

ABC

Lời giải:

- Gọi

là điểm đối xứng của

qua

d M AC

  .

Đường thẳng

đi qua

và vuông góc với

nên

: 2 0

MM x y

  

Gọi

1 3

;

2 2

I d MM I

 

  

 

 

và

là trung điểm của





' '

1;1

MM M

- Đường thẳng

đi qua

và vuông góc với

nên nhận





3;4

u 



làm một véc tơ chỉ

phương, vậy

1 3

1 4

x t

y t

 





 



Và





4;5

A d AC A  

- Đường thẳng

đi qua

và

nên

4 5

: 3 4 8 0

4 2 5

x y

AB x y

 

    

 

Có

B d AB B

 

    

 

 

- Điểm





1 3 ;1 4

C t t AC

   , do

   

2 2

2 1 3 4 1 2

MC t t

     

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

661

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam





0 1;1

2 31 33

;

25 25 25

t C

 





 



 

 



 



Vậy các đỉnh của tam giác là

   

4;5 , 3; , 1;1

A B C

 

 

 

 

hoặc

31 33

;

25 25

 

 

 

Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho tam giác

ABC

có đỉnh

 

 

 

. Đường tròn nội tiếp

tam giác

ABC

tiếp xúc với các cạnh

, ,

BC CA AB

tương ứng tại các điểm

, ,

D E F

. Cho





3;1

và đường thẳng

có phương trình

3 0

 

. Tìm tọa độ đỉnh

, biết

có tung độ dương.

Lời giải:

Ta có

 

 

 

 



song song với

hay tam giác

ABC

cân tại

Đường thẳng

vuông góc với

nên có phương trình

3 0

 





F EF F t

  . Mặt khác lại có

1 5

2 2

BF BD t

 



 

     

 





 



Với

 

, suy ra





1;3

F  và đường thẳng

có phương trình:

4 3 5 0

3 1

x y



    



 

, khi đó tọa độ giao điểm

của

và

là

 



 

 

, loại

trường hợp này vì không thỏa mãn

có tung độ dương.

Với





2 2;3

t F  và đường thẳng

:4 3 1 0

BF x y

  

, từ đó suy ra

 

 

 

, thỏa mãn.

Vậy

 

 

 

là điểm cần tìm.

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc

Oxy

cho tam giác

ABC

có đỉnh





4;1

B  , trọng tâm





1;1

G và đường thẳng chứa phân giác trong của góc

có phương

trình

1 0

x y

  

. Tìm tọa độ các đỉnh

và

1.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc

Oxy

cho điểm





0;2

A và đường thẳng

: 2 2 0

d x y

  

. Tìm trên

hai điểm

B C

sao cho tam giác

ABC

vuông tại

và có

AB BC



HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

662

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

1.3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc

Oxy

cho tam giác

ABC

cân tại

có

trọng tâm

4 1

;

3 3

 

 

 

. Phương trình đường thẳng

: 2 4 0

BC x y

  

, đường thẳng

:7 4 8 0

BG x y

  

. Xác định tọa độ ba đỉnh

, ,

A B C

1.4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc

Oxy

cho tam giác

ABC

có đỉnh





1;2

A .

Đường trung tuyến

và đường phân giác trong

có phương trình lần lượt là

2 1 0; 1 0

x y x y

     

. Viết phương trình cạnh

1.5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc

Oxy

cho tam giác

ABC

có trung điểm





2;0

M của cạnh

. Đường trung tuyến và đường cao kẻ từ đỉnh

có phương trình

lần lượt là

7 2 3 0;6 4 0

x y x y

     

. Viết phương trình cạnh

1.6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc

Oxy

cho tam giác

ABC

cân tại





6;6

A .

Đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh

AB AC

có phương trình

4 0

x y

  

. Tìm

tọa độ các đỉnh

B C

, biết điểm





1; 3



nằm trên đường cao đi qua đỉnh

của tam giác

đã cho.

1.7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc

Oxy

cho các đường thẳng

: 3 0,

d x y

  

: 4 0,

d x y

  

: 2 0

d x y

 

Tìm tọa độ điểm

nằm trên đường

thẳng

sao cho khoảng các từ

đến đường thẳng

bằng hai lần khoảng cách từ

đến đường thẳng

1.8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc

Oxy

cho hai điểm





0;2

A và





3; 1

 

. Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

OAB

1.9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc

Oxy

cho tam giác

ABC

vuông tại

phương trình đường thẳng

: 3 3 0

BC x y

  

, các đỉnh

A B

nằm trên trục hoành và

bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tạo độ trọng tâm

của tam giác

ABC

1.10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc

Oxy

cho tam giác

ABC

vuông tại

,có

đỉnh





4;1

C  phân giác trong góc

có phương trình

5 0

x y

  

. Viết phương trình

đường thẳng

, biết diện tích tam giác

ABC

bằng 24 và đỉnh

có hoành độ dương.

1.11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc

Oxy

cho tam giác

ABC

cân tại





1;4

A 

và các đỉnh

B C

thuộc đường thẳng

4 0

x y

  

. Xác định tọa độ các đỉnh

B C

biết

diện tích tam giác

ABC

bằng 18.

1.12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc

Oxy

hãy xác định tọa độ đỉnh

của tam

giác

ABC

biết hình chiếu vuông góc của

trên đường thẳng

là điểm





1; 1

 

đường phân giác trong của góc

có phương trình

2 0

x y

  

và đường cao kẻ từ

có

phương trình

4 3 1 0

x y

  

1.13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc

Oxy

cho tam giác

ABC

có đỉnh













1;0 , 4;0 , 0; ; 0

A B C m m

 

. Xác định tọa độ trọng tâm

của tam giác

ABC

theo

. Xác định

để tam giác

GAB

vuông tại

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

663

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

1.14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc

Oxy

cho tam giác

ABC

vuông cân tại

,biết





1; 1



là trung điểm cạnh

và

 

 

 

là trọng tâm tam giác

ABC

. Xác

định tọa độ ba đỉnh của tam giác.

1.15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc

Oxy

cho điểm





0;2

A và đường thẳng

đi qua gốc tọa độ. Gọi

là hình chiếu vuông góc của

trên

. Viết phương trình

đường thẳng

biết khoảng cách từ

đến trục hoành bằng

1.16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc

Oxy

cho tam giác

ABC

vuông cân tại

,cạnh huyền nằm trên đường thẳng

7 31 0

x y

  

, điểm





7;7

N nằm trên cạnh

điểm





2; 3



thuộc cạnh

và nằm ngoài đoạn

. Xác định tọa độ ba đỉnh

, ,

A B C

1.17. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc

Oxy

cho tam giác cân, có cạnh đáy

: 3 1 0

BC x y

  

. Cạnh bên

: 5 0

AB x y

  

, đường thẳng

đi qua điểm





4;1

M  .

Tìm tọa độ đỉnh

1.18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc

Oxy

cho tam giác

ABC

có đỉnh









1;1 , 2;5

A B  , trọng tâm thuộc đường thẳng

2 3 1 0

x y

  

. Đỉnh

thuộc đường

thẳng

1 0

x y

  

. Tính diện tích tam giác

ABC

1.19. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc

Oxy

cho tam giác

ABC

biết đường cao

và trung tuyến xuất phát từ đỉnh

lần lượt có phương trình là

6 5 7 0; 4 2 0

x y x y

     

. Tính diện tích tam giác

ABC

, biết trọng tâm của tam giác

nằm trên trục hoành và đường cao xuất phát từ đỉnh

đi qua điểm





1; 4



BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ TỨ GIÁC

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc

Oxy

cho hình bình hành

ABCD

có điểm









1;0 , 2;0

A B . Giao điểm

của 2 đường chéo thuộc đường thẳng

y x



. Tìm tọa độ các đỉnh

còn lại của hình bình hành, biết diện tích hình bình hành bằng 4.

Lời giải:

Giả sử tọa độ tâm





;

I a a

, do điểm

đối xứng với

qua

và điểm

đối xứng với

qua

Suy ra









2 1;2 , 2 2;2

C a a D a a

  .

Đường thẳng

chính là trục hoành:



, ta có





; , 1

d I AB a AB

  





4 2 ; . 2 4 2

ABCD IAB

S S d I AB AB a a

      

+ Với









2 3;4 , 2;4 .

a C D 

+ Với









2 5; 4 , 6; 4 .

a C D

      

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

664

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc

Oxy

cho hình chữ nhật

ABCD

có tâm





6;2

I , điểm





1;5

M AB

 và trung điểm

của cạnh

thuộc đường thẳng

5 0

x y

  

. Viết phương trình

đường thẳng

Lời giải:

Gọi

đối xứng với

qua





11; 1

I N

 

. Giả sử tọa độ điểm





0 0

E x x



Ta có









0 0 0 0

6;3 , 11;6

IE x x NE x x

     

 

. Do

. 0

IE NE IE NE

  

 

     

0 0 0 0

6 11 3 6 0

x x x x





       







+ Với





6 0; 3 : 5 0.

x IE AB y

      



+ Với





7 1; 4 : 4 19 0.

x IE AB x y

       



Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc

Oxy

cho hình chữ nhật

ABCD

có diện tích bằng 12,

tâm

giao điểm của đường thẳng





: 3 0

d x y

  

và đường thẳng





: 6 0

d x y

  

. Trung

điểm một cạnh là giao điểm của





với trục hoành. Xác định tọa độ bốn đỉnh hình chữ nhật.

Lời giải:

Tọa độ tâm

là nghiệm của hệ

3 0

9 3

; .

6 0

2 2

x y

  



 





 

  

 



Do vai trò các đỉnh

, , ,

A B C D

là như nhau, nên ta giả sử đó là trung điểm

của cạnh

Tọa độ điểm

là nghiệm của hệ

 

3;0 .

3 0

x y









  



Suy ra

2 3 2

AB IM 

. Mặt khác

. 2 2

3 2

ABCD

S AB AD AD

    

Vì

M I

cùng thuộc





suy ra





AD d

 , vậy

đi qua điểm

và có véc tơ pháp tuyến









1;1 : 3 0 3 0.

n AD x y x y

        



Lại có

MA MD

   

Tọa độ điểm

A D

là nghiệm hệ phương trình

 

   

3 0

2 4

2;1 , 4;1 .

1 1

3 2

x y

x x

A D

y y

x y

  



 

 



  

  

  

  

 





Các điểm

C B

lần lượt đối xứng với

A B

qua

. Suy ra tọa độ điểm









7;2 , 5;4 .

C B

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

665

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc

Oxy

cho hình chữ nhật

ABCD

có tâm

 

 

 

, đường

thẳng

: 2 2 0

AB x y

  

AB AD



. Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật biết đỉnh

có hoành

độ âm.

Lời giải:

Cạnh

AD BC

vuông góc với

nên phương trình có dạng:

2 0

x y c

  

, do

   

2 ; ;

AB AD d I AB d I AD

   .

5 5



 





  







+ Do đó đường thẳng

AD BC

có phương trình

2 6 0;2 4 0.

x y x y

     

Khi đó tọa độ các đỉnh

A B

là nghiệm của hệ

2 2 0 2

2 6 0 2

x y x

x y y

   

 



 

   

 

2 2 0 2

2 4 0 0

x y x

x y y

    

 



 

   

 

Do điểm

có hoành độ âm nên









2;0 , 2;2

A B . Điểm

đối xứng với

qua

nên





3;0

C và

điểm





1; 2

 

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc

Oxy

cho hình thoi

ABCD

có đỉnh









1;0 , 3;2 ; 120

A B ABC  . Xác định tọa độ 2 đỉnh

C D

Lời giải:

Theo giả thiết suy ra tam giác

ABD

đều, ta có tọa độ trung điểm

của

là





2;1

M , có





2;2

AB 



. Vậy phương trình đường trung trực của

là









2 1 0 3 0

x y x y

       

. Điểm

thuộc đường trung trực

nên gọi





D t t



ABCD

là hình thoi nên

   

2 2

1 3 8 2 3

AD AB t t t        

+ Với









2 3 2 3;1 3 , 3; 1 3 .

t D C       

+ Với









2 3 2 3;1 3 , 3; 1 3 .

t D C       

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc

Oxy

cho hình chữ nhật

ABCD

có các cạnh

, , ,

AB BC CA AD

lần lượt đi qua các điểm

















4;5 , 6;5 , 5;2 , 2;1

M N P Q . Viết phương trình

cạnh

, biết hình chữ nhật có diện tích bằng 16.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

666

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Lời giải:

Giả sử phương trình cạnh









2 2

: 4 5 0, 0

AB a x b y a b

     

Khi đó









: 6 5 0

BC b x a y

   

Ta có

   

2 2 2 2

3 4 4

; . ; . 16

ABCD

a b

a b b a

S d P AB d Q BC

a b

a b a b

 



  



   



 

 



+ Với

a b

 

, chọn

1; 1 : 1 0

b a AB x y

       

+ Với

a b

  , chọn

1; : 3 11 0.

b a AB x y

       

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1.1. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc

Oxy

cho hình chữ nhật

ABCD

có





2;6

A  , đỉnh

thuộc đường thẳng

2 6 0

x y

  

. Gọi

M N

lần lượt là 2 điểm trên cạnh

BC CD

sao cho

BM CN



. Biết

2 14

;

5 5

AM BN I

 



 

 

 . Xác định tọa độ đỉnh

1.2. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc

Oxy

cho hình thang vuông

ABCD

vuông tại

A D

có

đáy lớn là

, đường thẳng

có phương trình

y x



, đường thẳng

có phương

trình

2 0

x y

 

. Góc tạo bởi 2 đường thẳng

AB BC

bằng

. Viết phương trình đường

thẳng

biết diện tích hình thang bằng 24, điểm

có hoành độ dương.

1.3. Cho hình bình hành

ABCD

có đỉnh





1;5

B , đường cao

: 2 2 0

AH x y

  

, phương trình

đường phân giác góc

là

1 0

x y

  

. Tìm tọa độ 3 đỉnh

, ,

A C D

1.4. Cho hình chữ nhật

ABCD

có đỉnh





1;3

D  , đường phân giác trong của góc

là

6 0

x y

  

. Tìm tọa độ đỉnh

, biết diện tích hình chữ nhật

ABCD

bằng

và đỉnh

có tọa độ thỏa mãn

A A

x y



1.5. Cho hình thoi

ABCD

có cạnh

AB CD

lần lượt có phương trình là

2 5 0; 2 1 0

x y x y

     

. Viết phương trình đường thẳng

AD BC

biết điểm





3;3

M 

thuộc đường thẳng

và điểm





1;4

N  thuộc đường thẳng

1.6. Cho hình vuông

ABCD

có tâm





1;1

I , biết điểm





2;2

M  thuộc cạnh

và điểm





2; 2



thuộc cạnh

. Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông.

1.7. Cho hình vuông

ABCD

và điểm





3; 2

 

thuộc cạnh

, đường tròn nội tiếp hình

vuông có phương trình

   

2 2

2 3 10

x y

   

. Xác định tọa độ bốn đỉnh hình vuông,

biết điểm

có hoành độ dương.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

667

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

1.8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc

Oxy

cho hình chữ nhật

ABCD

có điểm





6;2

I là giao điểm của hai đường chéo

và

. Điểm





1;5

M thuộc đường thẳng

và trung điểm

của cạnh

thuộc đường thẳng

5 0

x y

  

. Viết phương trình

đường thẳng

1.9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc

Oxy

cho hai đường thẳng

: 0

d x y

 

và

:2 1 0

d x y

  

. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông

ABCD

, biết đỉnh

thuộc

và đỉnh

thuộc

và các đỉnh

B D

nằm trên trục hoành.

1.10. Cho hình thoi

ABCD

có một đường chéo là

2 7 0

x y

  

và một cạnh có phương trình

3 3 0

x y

  

. Viết phương trình ba cạnh và đường chéo còn lại của hình thoi, biết một

đỉnh của hình thoi là





0;1

BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG TRÒN

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc

Oxy

cho đường thẳng





: 1 2 0

d x y

   

. Viết

phương trình đường tròn đi qua gốc tọa độ và điểm





1;1

A  đồng thời tiếp xúc với đường thẳng





Lời giải:

Giả sử đường tròn có tâm





;

I a b

, theo giả thiết ta có

 

   

 

2 2

2 2 2

2 2

1 1

0 1

1 2

1 0

;

a b a b

IO IA

b a

a a

a b

b b

IO d I d

a a

a b



     





 

  



 

 

   

    

  

 



 

 







 





vậy có 2

đường tròn là

 

1 1

x y

  

hoặc

 

1 1.

x y

  

Bài 2. Viết phương trình đường thẳng





đi qua điểm





2;1

A và cắt đường tròn





2 2

: 2 4 4 0

C x y x y

    

theo dây cung

có độ dài bằng

Lời giải:

Đường tròn





có tâm





1;2 , 3

I R

 

Đường thẳng













2 2

: 2 1 0 2 0, 0

d a x b y ax by a b a b

          

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

668

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Ta có

 

2 2

; 3 5

2 2

d I d R

   

    

   

   

Vậy

2 2

3 11

b a

a b





  



+ Với

3 11

a b



 ,chọn

 





4, 3 11 : 3 11 4 2 11 10 0.

b a d x y

        

+ Với

3 11



 chọn

 





4, 3 11 : 3 11 4 2 11 10 0.

b a d x y

        

Bài 3. Cho đường tròn

   

: 1 1

C x y

  

có tâm





1;0

I . Xác định tọa độ điểm

thuộc





sao cho

IMO  .

Lời giải:

Nhận thấy điểm





0;0

O thuộc đường tròn





nên

IM IO

 

Tam giác

MIO

cân tại

0 0

, 30 120

I IMO MIO    

Gọi điểm

     

; 1 1(1)

M a b C a b    

Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác

MIO

ta có

2 2 2 0 2 2

2 . os120 3 3(2)

OM IM IO IO IMc a b      

Từ (1) và (2) suy ra

3 3

;

2 2







 



 

 



 

 



 





Bài 4. Viết phương trình đường thẳng





đi qua điểm





2;3

A và cắt hai đường tròn

     

2 2 2

1 2

: 13; : 6 25

C x y C x y

    

lần lượt tại

M N

sao cho

là trung điểm của

Lời giải:

Gọi









2 2

; 13, 2(1)

M x y C x y x     . Do

là trung điểm của

nên





4 ;6

N x y

 

Nhưng

     

2 2

2 6 25(2)

N C x y     

Từ (1) và (2) suy ra

17 6 17 6

, ;

5 5 5 5

x y M

 

   

 

 

Đường thẳng





đi qua

A M

nên





: 3 7 0.

d x y

  

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

669

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bài 5. Cho đường thẳng





: 7 10 0

d x y

  

. Viết phương trình đường tròn





có tâm thuộc

đường thẳng

2 0

x y

 

và tiếp xúc với đường thẳng





tại điểm





4;2

A .

Lời giải:

Giả sử đường tròn





có tâm









; 2 4; 2 2

I x x IA x x

     



. Đường tròn





tiếp xúc với

đường thẳng





tại

suy ra

















7 4 2 2 0 6 6; 12

IA d x x x I           , bán

kính

10 2

R IA 

Vậy phương trình đường tròn

     

2 2

: 6 12 200.

C x y   

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

,cho đường tròn

     

2 2

: 1 2 4

C x y

   

và đường thẳng





: 1 0

d x y

  

. Viết phương trình đường tròn





đối xứng với





qua đường thẳng





Lời giải:

Đường tròn





có tâm





1;2 , 2

I R



Đường tròn





đối xứng với





qua





nên có tâm

là điểm đối xứng của

qua





và bán

kính



Gọi









; 1

H x x d

  là tọa độ chân đường vuông góc hạ từ

, ta có





1; 3

IH x x

  



và

















1 3 0 2 2;1

IH d x x x H        

Điểm

đối xứng với

qua





' 3;0

H I

Vậy phương trình đường tròn

   

' : 3 4

C x y

  

Bài 7. Cho đường tròn

     

2 2

: 1 2 9

C x y

   

và đường thẳng





:3 4 0

d x y m

  

. Xác

định

để trên





có duy nhất một điểm

kẻ được 2 tiếp tuyến ,

MA MB

(

A B

là các tiếp

điểm) đến đường tròn





sao cho tam giác

MAB

đều.

Lời giải:

Đường tròn





có tâm





1; 2 , 3

I R

 

Tam giác

MAB

đều suy ra tam giác

MIA

là nửa tam giác đều, suy ra

2 6

MI IA

 

Vậy điểm

thuộc đường tròn





có tâm

bán kính



, điểm

là duy nhất suy ra

đường thẳng





tiếp xúc với





. Từ đó suy ra

 

2 2

; 6 6

1 7

d I d







   



 

 

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

670

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bài 8. Cho đường tròn





2 2

: 4 4 6 0

C x y x y

    

và đường thẳng





: 2 3 0

d x my m

   

Gọi

là tâm của





, tìm

để đường thẳng





cắt





tại hai điểm phân biệt

A B

sao cho

diện tích tam giác

IAB

lớn nhất.

Lời giải:

Đường tròn





có tâm





2; 2

 

bán kính

R 

Ta có

 

2 2

1 1 1

. sin sin

2 2 2

IAB

S IA IB AIB R AIB R

  

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi



90AIB

 

Suy ra

 

1 4

; 1 1

d I d









    









BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc

Oxy

cho điểm





1;0

A và đường tròn





2 2

: 2 4 5 0

C x y x y

    

. Viết phương trình đường thẳng

cắt





tại hai điểm

M N

sao cho tam giác

AMN

vuông cân tại

1.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc

Oxy

, cho 2 đường thẳng





: 3 0

d x y

 

và





: 3 0

d x y

 

. Gọi





là đường tròn tiếp xúc với





tại

, cắt





tại hai điểm

và

sao cho tam giác

ABC

vuông tại

. Viết phương trình của





biết rằng tam giác

ABC

có diện tích bằng

và điểm

có hoành độ dương.

1.3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc

Oxy

, cho tam giác

ABC

có













0;2 , 2; 2 , 4; 2

A B C

  

. Gọi

là chân đường cao hạ từ

;

M N

lần lượt là trung

điểm của các cạnh

và

. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm

, ,

H M N

1.4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc

Oxy

cho đường tròn

   

: 2

C x y

  

và hai đường thẳng









1 2

: 0, : 7 0

d x y d x y

   

. Xác định tọa

độ tâm

và bán kinh đường tròn





, biết đường tròn





tiếp xúc với hai đường

thẳng









1 2

d d

và có tâm

thuộc đường tròn





1.5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc

Oxy

cho hai điểm





2;0

A và





6;4

B .

Viết phương trình đường tròn





tiếp xúc với trục hoành tại điểm

và khoảng cách từ

tâm của





đến

bằng 5.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

671

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

1.6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc

Oxy

cho tam giác

ABC

có





3; 7



và

trực tâm





3; 1



, tâm đường tròn ngoại tiếp là





2;0

I  . Xác định tọa độ đỉnh

, biết

có hoành độ dương.

1.7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc

Oxy

cho đường tròn





2 2

: 2 2 1 0

C x y x y

    

và đường thẳng

: 3 0

d x y

  

. Tìm tọa độ điểm

nằm

trên

sao cho đường tròn tâm

bán kính gấp đôi bán kính đường tròn





tiếp xúc

ngoài với





1.8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc

Oxy

cho đường tròn

   

: 4 40

T x y

  

. Viết phương trình đường thẳng

đi qua gốc tọa độ và cắt





tại

hai điểm

A B

sao cho

4 .

AB BO



1.9. Trong mặt phẳng

Oxy

cho đường tròn





2 2

: 4 6 12 0

C x y x y

    

có tâm

và đường

thẳng





: 4 0

d x y

  

. Tìm trên





điểm

sao cho tiếp tiếp với đường tròn





kẻ từ

tiếp xúc với





tại

A B

và diện tích tam giác

IAB

là lớn nhất.

1.10. Trong mặt phẳng

Oxy

cho đường tròn





ngoại tiếp tam giác

ABC

có

   





2; 2 , 4;0 , 3; 2 1

A B C

 

. Viết điểm

thuộc đường thẳng

4 4 0

x y

  

sao cho

tiếp tuyến kẻ từ

tiếp xúc với





tại

và diện tích tam giác

NAB

lớn nhất.

1.11. Cho đường tròn





2 2

: 8 12 0

C x x y

   

. Tìm điểm

nằm trên trục tung sao cho từ

kẻ được 2 tiếp tuyến ,

MA MB

(

A B

là các tiếp điểm) đến





và đường thẳng đi qua 2

tiếp điểm đi qua





8;5 .

1.12. Cho đường tròn tâm





2 2

: 2 4 4 0

C x y x y

    

. Tìm điểm

nằm trên đường thẳng

2 0

x y

  

, sao cho từ

kẻ 2 tiếp tuyến đến





tiếp xúc tại

A B

và diện tích tứ giác

MIAB

bằng

6 2

1.13. Viết phương trình đường thẳng





đi qua điểm





2;2

M và cắt đường tròn





2 2

: 2 2 14 0

C x y x y

    

tại hai điểm

A B

sao cho

MA MB



BÀI TẬP TỔNG HỢP

1.1. Trong mặt phẳng

xOy

tìm điểm

trên đường thẳng

: 2 1 0

d x y

  

biết qua

kẻ được

hai tiếp tuyến

AB AC

( với

B C

là các tiếp điểm) đến đường tròn

     

2 2

: 2 1 1

C x y

   

sao cho chu vi tam giác

ABC

nhỏ nhất.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

672

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

1.2. Trong mặt phẳng

xOy

tìm tọa độ ba đỉnh tam giác

ABC

vuông tại có trọng tâm

 

 

 

và

, ,

A B C

lần lượt thuộc ba đường thẳng

:3 8 0

d x y

  

2 3

: 0; : 3 4 0

d x y d x y

    

1.3. Trong mặt phẳng

xOy

cho tam giác

ABC

có

nằm trên trục hoành

 

 

 

 

và hai

đường cao kẻ từ

B C

lần lượt có phương trình là

: 1 0

d x y

  

và

:2 4 0

d x y

  

Tìm tọa độ ba đỉnh

, ,

A B C

sao cho diện tích tam giác

ABC

lớn nhất.

1.4. Trong mặt phẳng

xOy

cho hai đường tròn

     

2 2

: 3 1 10

C x y

   

và

     

2 2

: 1 7 50

C x y

   

. Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và cắt hai

đường tròn trên hai dây cung bằng nhau.

1.5. Trong mặt phẳng tọa độ

xOy

viết phương trình bốn cạnh hình vuông không song song

với các trục tọa độ; có tâm là gốc tọa độ và hai cạnh kề của hình vuông lần lượt đi qua hai

điểm

( 1;2); (3; 1)

M N

 

1.6. Trên mặt phẳng tọa độ

xOy

lấy hai điểm

A B

nằm trên elip

 

2 2

: 1

16 12

x y

 

và đối xứng

qua điểm

 

 

 

 

. Xác định tọa độ điểm





C E

 sao cho diện tích tam giác

ABC

lớn nhất.

1.7. Trong mặt phẳng

xOy

cho đường tròn





2 2

: 2 2 0

C x y mx my m

     

và đường tròn





2 2

: 3 1 0

C x y x

   

. Xác định tất cả các giá trị của tham số

để số tiếp tuyến

chung của hai đường tròn trên là một số lẻ.

1.8. Trên mặt phẳng tọa độ

xOy

cho tam giác

ABC

có trọng tâm

7 4

;

3 3

 

 

 

, tâm đường tròn

nội tiếp là

(2;1)

I . Cạnh

có phương trình





1 0

A B

x y x x

    . Xác định tọa độ ba

đỉnh

, ,

A B C

1.9. Trong mặt phẳng tọa độ

xOy

viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

ABC

vuông

tại





1;4

A có phương trình cạnh

: 2 3 0

BC x y

  

, và tâm(có hoành độ âm ) và cách

một khoảng bằng

1.10. Trong mặt phẳng tọa độ

xOy

cho hình thang cân

ABCD

co hai đáy là

AB CD

và hai

đường chéo

AC BD

vuông góc với nhau. Biết









0;3 ; 3;4 ,

A B C

nằm trên trục hoành.

Xác định tọa độ đỉnh

của hình thang.

1.11. Trong mặt phẳng

xOy

cho hai đường tròn





2 2

: 1

C x y

 

và đường tròn

     

2 2

: 1 1 10

C x y

   

. Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với





và cắt





một đoạn



HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

673

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

1.12. Trong mặt phẳng tọa độ

xOy

tìm tọa độ ba đỉnh của tam giác

ABC

vuông tại

có





: 3 0 0 ;

A d x y x B Ox

      , trung điểm cạnh

nằm trên đường thẳng

:3 4 8 0

d x y

  

và

 

 

 

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC

1.13. Trong mặt phẳng tọa độ

xOy

cho tam giác

ABC

với





1;2

B . Đường phân giác trong



của góc

có phương trình

2 1 0

x y

  

, khoảng cách từ

đến



bằng hai lần khoảng

cách từ

đến



. Tìm tọa độ của

A C

biết

nằm trên trục tung.

1.14. Cho hình thang vuông

ABCD

vuông tại

và

có đáy lớn là

, đường thẳng

có

phương trình

3 0

x y

 

, đường thẳng

có phương trình

2 0

x y

 

, góc tọa bởi hai

đường thẳng

và

bằng

. Viết phương trình đường thẳng

biết diện tích hình

thang bằng

và điểm

có hoành độ dương.

1.15. Trong mặt phẳng tọa độ

xOy

cho đường thẳng





: 1 0

d x y

  

và đường tròn





2 2

: 2 4 4 0

T x y x y

    

. Tìm điểm

thuộc đường thẳng





sao cho qua

ta kẻ

được các tiếp tuyến ,

MA MB

đến đường tròn





(

A B

là các tiếp điểm) đồng thời

khoảng cách từ điểm

 

 

 

đến đường thẳng

là lớn nhất.

1.16. Trong mặt phẳng tọa độ

xOy

cho tam giác

ABC

có phương trình đường phân giác trong

góc

là

2 0

x y

  

, đường cao xuất phát từ đỉnh

là

2 1 0

x y

  

. Cạnh

đi qua

điểm





1;1

M , tìm tọa độ các đỉnh

, ,

A B C

biết diện tích tam giác

ABC

bằng

1.17. Trong mặt phẳng

xOy

cho





1;2

A và các đường thẳng

: 2 1 0

d x y

  

: 2 8 0

d x y

  

. Tìm điểm

B d



D d



và điểm

sao cho

ABCD

là hình vuông.

1.18. Trong mặt phẳng

xOy

cho đường tròn





2 2

: 64

C x y

 

và điểm

(3;4)

A . Đường tròn





có tâm

và đi qua trung điểm của

I A

. Viết phương trình đường tròn





sao cho

bán kính của đường tròn này là nhỏ nhất.

1.19. Trong mặt phẳng tọa độ

xOy

cho tam giác

ABC

có đỉnh

(1;2)

A , phương trình đường

phân giác trong góc

là

1 0

x y

  

và tâm đường tròn ngoại tiếp

(6;6)

I . Viết phương

trình cạnh

, biết diện tích tam giác

ABC

gấp ba lần diện tích tam giác

IBC

1.20. Trong mặt phẳng tọa độ

xOy

cho hình thoi

ABCD

, phương trình cạnh

là

x y

 

Đường thẳng

đi qua điểm

(1; 3)

, đường thẳng

đi qua điểm

( 2; 2 3)

Q  

. Tìm

tọa độ các đỉnh hình thoi, biết độ dài

AB AC



và điểm

có hoành độ lớn hơn 1.

1.21. Trong mặt phẳng tọa độ

xOy

cho đường thẳng

:2 3 3 0

d x y

  

và đường thẳng

:5 2 17 0

d x y

  

. Viết phương trình đường thẳng

đi qua giao điểm của hai đường

thẳng

1 2

d d

đồng thời cắt hai trục tọa độ

Ox Oy

tại

A B

sao cho

OAB

nhỏ nhất.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

674

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

1.22. Cho hình thang vuông

ABCD

vuông tại

và

có

BC CD AB

 

, trung điểm cạnh

là điểm

(1;0)

M , đường thẳng

có phương trình là

2 0

x y

 

. Xác định tọa độ

đỉnh

1.23. Trong mặt phẳng tọa độ

xOy

cho đường tròn

     

2 2

: 2 1 4

C x y

   

. Gọi

là điểm

sao cho trung tiếp tuyến qua

tiếp xúc với





tại

, cát tuyến qua

cắt





tại

A B

sao cho tam giác

ABE

vuông cân tại

. Tìm tọa độ của

sao cho khoảng cách từ

đến

là ngắn nhất.

1.24. Trong mặt phẳng tọa độ

xOy

cho hình chữ nhật

ABCD

có diện tích bằng 34;

(6; 1)



là

trung điểm cạnh

. Đường thẳng

:15 8 48 0

x y

   

đi qua tâm của hình chữ nhật và

cắt đường thẳng

tại một điểm thuộc trục tung. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ

nhật.

1.25. Trong mặt phẳng tọa độ

xOy

cho hai đường tròn

   

: 2 1

C x y

  

và

     

2 2

: 6 4 4

C x y

   

. Tìm điểm

trên





, điểm

trên





và điểm

trên

trục hoành sao cho tổng

AC CB



đạt giá trị nhỏ nhất.

1.26. Trong mặt phẳng tọa độ

xOy

cho điểm





1;0

M  và đường tròn

   

: 1 1

C x y

  

Viết phương trình đường thẳng

qua

cắt đường tròn





tại hai điểm

A B

sao cho

diện tích tam giác

OAB

lớn nhất.

1.27. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

xOy

cho tam giác

ABC

. Biết đường cao kẻ từ đỉnh

và phân giác trong góc

lần lượt có phương trình là

:3 4 10 0

d x y

  

và

: 1 0

d x y

  

. Điểm





0;2

M thuộc đường thẳng

đồng thời cách

một khoảng

bằng

. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác

ABC

1.28. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

xOy

cho tam giác

ABC

có

AB AC



, đường phân

giác trong của góc

có phương trình

x y

 

; đường cao hạ từ đỉnh

có phương trình

là

3 16 0

x y

  

. Xác định tọa độ ba đỉnh

, ,

A B C

biết cạnh

đi qua điểm





4;10

M .

1.29. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

tìm điểm

thuộc đường thẳng

3 2 1 0

x y

  

và điểm

thuộc đường thẳng

2 3 0

x y

  

sao cho đường thẳng

7 8 0

x y

  

là trung trực của

đoạn thẳng

1.30. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho điểm





3;2

K tìm điểm

thuộc đường tròn





2 2

: 2 1 0

C x y x

   

với tâm





1;2

I sao cho



IMK  .

1.31. Trên mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

, tìm điểm

thuộc trục hoành và điểm

trên đường

thẳng

1 0

 

sao cho đường thẳng đi qua

cắt đường tròn

     

2 2

: 2 2 1

C x y

   

tại hai điểm phân biệt

M N

(

nằm giữa

A N

);

trung điểm của

và tam giác

ABM

cân tại

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

675

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

1.32. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho điểm





0;5 2 3

B 

, đường tròn

   

: 1 4

C x y

  

và đường thẳng

: 1

d y x

 

cắt đường tròn





tại hai điểm phân biệt

M N

. Tìm điểm

thuộc đường thẳng

(

nằm ngoài đường tròn





) sao cho

AB AM AN

 .

1.33. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho hình chữ nhật

ABCD

có tâm





1; 2

 

. Gọi

là trung

điểm cạnh

. Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật

ABCD

biết rằng tam giác

IOM

có

diện tích bằng 4, đường thẳng

đi qua





11;3

N và cạnh

tiếp xúc với đường tròn

     

2 2

: 1 2 2

C x y

   

1.34. Tìm m để trên đường thẳng

:3 4 0

d x y m

  

tồn tại duy nhất một điểm

có thể kẻ

được hai tiếp tuyến

PA PB

(

A B

là các tiếp điểm) tới đường tròn

     

2 2

: 1 1 9

C x y

   

sao cho tam giác

PAB

đều.

1.35. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho hai điểm









4;4 ; 8; 2

A B



. Tìm điểm

thuộc đường

thẳng

:3 2 7 0

d x y

  

sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

ABC

đạt giá trị

lớn nhất.

1.36. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho đường thẳng

:2 5 0

d x y

  

và điểm





3;1

M  . Viết

phương trình đường tròn





đi qua điểm





1;3

K  và cắt đường thẳng

tại hai điểm

phân biệt

A B

sao cho ,

MA MB

là hai tiếp tuyến vuông góc của đường tròn





1.37. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho đường thẳng

: 2 1 0

d x y

  

và

: 2 3 0

d x y

  

và

hai điểm









2; 3 , 1;3

A B  . Tìm hai điểm

thuộc

. Biết rằng

vuông góc với

và độ dài đường gấp khúc

AMNB

ngắn nhất.

1.38. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho đường tròn





có tâm





4;0

I bán kính



. Tìm

điểm

trên trục tung sao cho từ

kẻ được hai tiếp tuyến ,

MA MB

(

A B

là các tiếp

điểm) đến





và

đi qua điểm





4;1

E .

1.39. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho tam giác

ABC

có













0;0 ; 2;4 ; 6;0

A B C và các điểm

trên cạnh

, điểm

trên cạnh

, điểm

;

P Q

trên cạnh

. Xác định tọa độ bốn

điểm

, , ,

M N P Q

biết

MNPQ

là hình vuông.

1.40. Cho đường tròn

     

2 2

: 1 2 1

T x y

   

và đường thẳng





:2 1 0

x y

   

. Tìm điểm

thuộc đường thẳng







sao cho từ

kẻ được các tiếp tuyến

AB AC

(

B C

là các tiếp

điểm) đến





sao cho diện tích tam giác

ABC

bằng

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

676

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

1.41. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn

     

2 2

: 4 6 5

T x y

   

và hai điểm









2;5 ; 6;5

A B nằm trên





. Đỉnh

của tam giác

ABC

di động trên đường tròn





Tìm tọa độ trực tâm

$H$ của tam giác

ABC

biết

nằm trên đường thẳng





: 1 0

x y

   

1.42. Trong mặt phẳng

Oxy

cho đường tròn





2 2

: 3 6 0

T x y x y

   

. Gọi

M N

là hai điểm

di động trên





sao cho



MON  ( với

là gốc tọa độ). Tìm tọa độ trọng tâm

của

tam giác

OMN

biết

nằm trên đường thẳng





: 1 0

x y

   

1.43. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn

     

2 2

: 2 1 4

T x y

   

. Gọi

là điểm

sao cho tiếp tuyến qua

tiếp xúc với





tại

, cát tuyến qua

cắt





tại

A B

sao

cho tam giác

ABE

vuông cân tại

. Tìm tọa độ điểm

sao cho khoảng cách từ

đến

là ngắn nhất.

1.44. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho điểm





2;4

I và hai đường thẳng

:2 2 0

d x y

  

và

:2 2 0

d x y

  

. Viết phương trình đường tròn





có tâm

, cắt

tại hai điểm

A B

và cắt

tại hai điểm

C D

sao cho

16 5

AB CD  .

1.45. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho tam giác

ABC

có tâm đường tròn ngoại tiếp





4; 1



phương trình đường cao và trung tuyến xuất phát từ đỉnh

lần lượt có phương trình là

1 0

x y

  

và

2 1 0

x y

  

. Viết phương trình các cạnh tam giác

ABC

1.46. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho ba điểm













3;4 ; 1;2 ; 5;0

A B C . Viết phương trình

đường thẳng

đi qua

sao cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất

















2. ; ;

P d B d d C d

  , ở đây

















; ; ;

d B d d C d

lần lượt là khoảng cách từ điểm

B C

đến đường thẳng

1.47. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho hai đường thẳng

1 2

:2 2 0; : 2 1 0

d x y d x y

     

Gọi

, ,

A B C

lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm

5 12

;

13 13

 



 

 

xuống

1 2

;

d d

và

trục hoành. Chứng minh rằng ba điểm

, ,

A B C

thẳng hang.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

677

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/30

| | Tải xuống

Preview text:

Chuyên đề 10: Hình học giải tích trong mặt phẳng Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202 CHUYÊN ĐỀ 10:
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 648 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Chuyên đề 10: Hình học giải tích trong mặt phẳng 649 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Phương trình đường thẳng có dạng tổng quát d  : ax  by  c  0 , 2 2 a  b  0 .  
+ Đường thẳng d  có véc tơ pháp tuyến n   ;
a b , và véc tơ chỉ phương u   ; b a . d  d  
+ Phương trình đường thẳng đi qua điểm M  x ; y và có véc tơ pháp tuyến n   ; a b có dạng: d  0 0 
d  : a x  x  b y  y  0. 0   0 
+ Phương trình đường thẳng đi qua điểm M  x ; y và có hệ số góc k có dạng: 0 0 
d  : y  k  x  x  y . 0  0 x y
+ Phương trình đoạn chắn đi qua điểm A ;
a 0, B 0;b có dạng d  :   1. a b
+ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm M x ; y , M x ; y có dạng 1  1 1  2  2 2  x  x y  y d  1 1 :  . x  x y  y 2 1 2 1
Góc giữa 2 đường thẳng
+ Nếu 2 đường thẳng cho dưới dạng hệ số góc 
 d : y  a x  b  1  1 1 a  a 1 2 0   tan  , 0    90 .
d : y  a x  b 1 a a   2  2 2 1 2
+ Nếu 2 đường thẳng cho dưới dạng tổng quát 
 d : a x  b y  c  0  1  1 1 1 a a  b b 1 2 1 2   os c   d   2 2 2 2
: a x  b y  c  0  2 2 2 2 a  b a  b 1 1 2 2
Khoảng các từ một điểm đến một đường thẳng
ax  by  c
d M ;d  0 0  . 2 2 a  b
Các tính chất trong tam giác
Cho tam giác ABC có 3 đỉnh là , A ,
B C và trọng tâm G , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC là I , tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Khi đó ta có
+ Tọa độ trọng tâm G được xác định bởi
x  x  x  3x A B C G  .
y  y  y  3y  A B C G
+ Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác. 650 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
+ Tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm của 3 đường phân giác trong của tam giác.  1  1 
+ Phương trình đường phân giác trong của góc A có véc tơ chỉ phương u  AB  AC . AB AC  1  1 
+ Phương trình đường phân giác ngoài của góc A có véc tơ chỉ phương u  AB  A . C AB AC
BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ TAM GIÁC Phương pháp:   -
Cho tam giác vuông tại A chẳng hạn thì ta có A . B AC  0 . -
Nếu đề bài cho phương trình đường cao Ax  By  C  0 thì cạnh đối diện sẽ nhận véc tơ  u   ;
A B làm một véc tơ chỉ phương, vậy nếu biết cạnh đối diện đi qua một điểm nữa thì ta viết
được phương trình của cạnh đối diện. -
Nếu đề bài cho phương trình của một hoặc hai đường trung tuyến thì ta tìm được trung
điểm cạnh đối diện hoặc trọng tâm của tam giác.
x  x  x  3x
Lưu ý: Thường xét mối liên hệ giữa tọa độ ba đỉnh và trọng tâm A B C G 
y  y  y  3y  A B C G  2  hoặc AG 
AM với M là trung điểm cạnh BC . 3 -
Nếu đề bài cho phương trình đường phân giác trong d của một góc, và biết một điểm M
thuộc một cạnh bên thì ta tìm tọa độ điểm '
M đối xứng với M qua d Điểm '
M được xác định qua các bước:
1. Viết phương trình đường thẳng  đi qua M và vuông góc với d .
2. Xác định tọa độ I  d   , vì I là trung điểm của ' '
MM  M theo công thức liên hệ đối xứng qua một điểm. -
Nếu đề bài cho tâm hay bán kính đường tròn nội tiếp, diện tích tam giác thì chú ý công 1 1 1 thức liên hệ S  . p r  ab sin C  bc sin A  ca sin B ABC 2 2 2 BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Cho điểm A2; 2
  và đường thẳng d  đi qua điểm M 3 
;1 và cắt các trục tọa độ tại ,
B C . Viết phương trình đường thẳng d  , biết rằng tam giác ABC cân tại . A Lời giải: x y
Giả sử d  cắt các trục tọa độ tại B  ;
b 0,C 0;c . Khi đó d  :   1. b c 651 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 3 1 Do điểm M 3 
;1 d     1(1) . b c 2 2
Tam giác ABC cân tại 2 2
A  AB  AC  2  b  4  4  2  c (2) b   6 b   2 Từ (1) và (2) suy ra:    c  2 c  2   x y x y
Vậy có 2 đường thẳng d :   1; d :   1. 1   2  6 2 2 2
Bài 2. Cho 2 đường thẳng d : x  y 1  0; d : 2x  y 1  0 và điểm M 2  ;1 . Viết phương 1   2 
trình đường thẳng d  đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng trên tại ,
A B sao cho M là trung điểm của A . B Lời giải:
Giả sử At ;t 1  d ; B t ; 2  t 1  d 1 1   1  2 2   2  Điểm M 2 
;1 là trung điểm của AB khi và chỉ khi  10 t  1
x  x  2x t  t  4  A B M  1 2  3  10 13   2 7        A ; , B ;    
y  y  2 y t    t    A B M  1 2 1 2 2  3 3   3 3  1   2   t   2   3  4
 AB   2;5 3 x  2 y 1
Vậy phương trình đường thẳng d  : 
 d  : 5x  2y  8  0. 2 5
Bài 3. Cho 2 đường thẳng d : 2x  y  5  0; d : x  y  3  0 và điểm M  2  ; 0 Viết phương 1   2 
trình đường thẳng d  đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng trên lần lượt tại , A B sao cho   MA  2M . B Lời giải:
Giả sử At ;2t  5  d ; B t ;3  t  d . Suy ra 1 1   1  2 2   2   
MA  2  t ;2t  5 , MB  t  2;3  t 1 1   2 2  t    t  2  2  t  2 1 1  1 2 
Ta có MA  2MB      MA  3;7 1 
2t  5  2 3  t t     1  2   2  2 x  2 y
Vậy phương trình đường thẳng d  : 
 7x  3y 14  0. 3 7 652 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d : x  y  4  0 và d : 2x  y  2  0 . 1 2
Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng d tại điểm 2 1
M thỏa mãn OM .ON  8 . Lời giải: Gọi N  ;
a 2a  2  d ; M ;
b b  4  d 2   1
Do O, M , N thẳng hàng nên hệ số góc đường thẳng OM bằng hệ số góc đường thẳng ON : 2a  2 b  4 4a   b  a b 2  a 2 2 4a
Ta có OM ON    2
a   a    2 . 8 2 2
b  b  4   64, thay b  vào ta được 2  a
 a  a  2  a  2 2   2 a  a 2 a  a   2 5 8 4 4 2 5 6 5 10
8  0  5a  6a  0 a  0  N 0;2    6    6 2  a  N ;   5     5 5   6 2 
Vậy có hai điểm N 0; 2  ; N ; 1   2    5 5 
Bài 4. Viết phương trình đường thẳng d  đi qua điểm M 4 
;1 cắt các trục tọa độ tại , A B sao cho. 1.
Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất. 2.
Tổng độ dài OA  OB nhỏ nhất. Lời giải:
Giả sử d  cắt các trục tọa độ tại A ;
a 0, B 0;b, a,b  0 . Khi đó phương trình của d  là x y 4 1
d  :   1. Do M 4  ;1  d     1(1). a b a b 1 4 1 4 1 4 1. Ta có S 
ab , theo (1) ta có 1    2 . 
 ab  16  S  8. OAB 2 OAB a b a b ab x y
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  8, b  2  d  :   1. 8 2 a 4 4 2.
Ta có OA  OB  a  b  a   a  4 
 5  2  a  4  5  9 a  4 a  4 a  4 653 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 4 x y
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  4 
 a  6;b  3   d  :   1. a  4 6 3
Bài 5. Cho 2 điểm A0;6, B 2;5 . Tìm trên d  : x  2 y  2  0 điểm M sao cho
1. MA  MB đạt giá trị nhỏ nhất.
2. MA  MB đạt giá trị lớn nhất. Lời giải:
Thay tọa độ 2 điểm ,
A B vào phương trình của d   106  0  2 điểm , A B nằm cùng
phía với đường thẳng d  . 1.
Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d   MA  MB  MA' MB  A' B .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng A ' B và d  . B A M' d M A'
Đường thẳng AA' đi qua A và vuông góc với
d   AA': 2x   y  6  0  2x  y  6  0. Tọa độ giao điểm H của d  và A' A là nghiệm của hệ
2x  y  6  0 
 H 2; 2  A'4; 2   .
x  2 y  2  0  x  4 y  2
Đường thẳng A ' B : 
 7x  2 y  24  0 2  4 5  2
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 654 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
7x  2 y  24  0  11 19    M ; .  
x  2 y  2  0   4 8  2.
Ta có MA  MB  AB  MA  MB
 AB  M  AB   d  a m x
Đường thẳng AB : x  2 y 12  0
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
x  2 y 12  0  7    M 5; .  
x  2 y  2  0   2 
Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy cho 2 điểm A0  ;1 , B 2;   1 và 2 đường thẳng:
d : m 1 x  m  2 y  2  m  0; d : 2  m x  m 1 y  3m  5  0 1       2     
Gọi P là giao điểm của d , d . Xác định m để tổng PA  PB lớn nhất. 1   2  Lời giải:  
d , d có véc tơ pháp tuyến là n  m 1; m  2 ; n  2  ; m m 1 . Suy ra 1   2   1 2  
n .n  0  d  d . 1 2  1  2 
Dễ thấy Ad , B  d PAB vuông tại P . Ta có 1   2 
PA  PB2   2 2 PA  PB  2 2
 2 AB  16  PA  PB  4.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác PAB vuông cân tại P , hay góc giữa đường thẳng AB và d bằng 0 45 . 1   Ta có n  1;  1 , từ đó suy ra AB   n .n AB 1 2m  3 m  1 0
cos 45      1   n . n m      AB m 2 1 m 22 2 1
Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho điểm A2  ;1 . Tìm tọa độ điểm
B trên trục hoành, điểm C trên trục tung sao cho tam giác ABC vuông tại A và có diện tích lớn
nhất, biết điểm B có hoành độ không âm. Lời giải:   Gọi B  ;
b 0,C 0;c; ,
b c  0  AB  b  2; 
1 , AC  2;c   1
Tam giác ABC vuông tại A suy ra   5 A .
B AC  0  2b  2 1c  
1  0  c  5  2b  0  0  b  2
Diện tích tam giác ABC 1 1 S  A . B AC  b    c   b  b  ABC  22 1 4  2 2 1 4 5 2 2 655 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 5 Xét hàm số 2
f (t)  t  4t  5, 0  t 
 f (t)  f (0)  5 2
Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất khi B 0;0,C 0;5 .
Bài 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho điểm A2;2 và hai đường
thẳng d : x  y  2  0, d : x  y  8  0 . Tìm ,
B C tương ứng thuộc d , d sao cho tam giác ABC 1 2 1 2 vuông cân tại A . Lời giải: Giả sử B  ;
b 2  b  d ;C ;
c 8  c  d . Ta có 1   2  
AB  b  2;b, AC  c  2;6  c . Tam giác ABC vuông cân tại A khi và chỉ khi     A . B AC  0
b  2c  2  b8  c  0  b   3 b   1          AB  AC 
b  2  b  c  2    c2 2 2 2 c  5 c  3 2 2 8    Vậy có hai cặp điểm ,
B C thỏa mãn đề bài là B 3;  
1 , C 5;3 hoặc B  1
 ;3, C 3;5 .
Bài 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho bốn điểm A1;0
B 2; 4,C 1; 4, D3;5 . Tìm điểm M trên đường thẳng d : 3x  y  5  0 sao cho hai tam MA ,
B MCD có diện tích bằng nhau. Lời giải:
Ta có AB  5, CD  17. Giả sử điểm M  ;
a 3a  5 thuộc đường thẳng d Đường thẳng A ,
B CD lần lượt có phương trình là
AB : 4x  3y  4  0;CD : x  4 y 17  0
Vậy diện tích tam giác MA ,
B MCD bằng nhau khi và chỉ khi  7 13a 19 11a  37 a  A .
B d M ; AB C .
D d  M ;CD 5. 17.      3 2 2 2 2 3 4 1 4    a  9    7 
Vậy có hai điểm thỏa mãn bài toán là M ; 2 , M 9; 32 . 1   2    3 
Bài 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có diện tích 3 bằng
và hai điểm A2; 3   , B3; 2
  . Trọng tâm G nằm trên đường thẳng 3x  y 8  0. Tìm 2
tọa độ đỉnh C của tam giác. Lời giải: 656 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Ta có AB 
2 . Đường thẳng AB có phương trình là AB : x  y  5  0 . Vì G là trọng tâm tam 1 1 2S 2 giác ABC nên S  S   d G AB   ABC  ;  ABG ABG 3 2 AB 2 Gọi G  ;
a 3a  8 suy ra 2  a  3 2 a  1    G 1; 5  , G 2; 2    2 2 a  2   5 5 
Gọi M là trung điểm của AB  M ;     2 2    C 2; 2  
Vì MC  3MG  C1; 1 
Bài 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có trực tâm
H 1;0 chân đường cao hạ từ đỉnh B là K 0; 2 và trung điểm cạnh AB là điểm M 3  ;1 . Viết
phương trình ba cạnh của tam giác ABC . Lời giải:
Đường cao BK đi qua hai điểm H , K nên có phương trình BK : 2x  y  2  0 .  
Ta có HK  1; 2 , đường thẳng AC đi qua K và nhận HK làm véc tơ pháp tuyến nên có
phương trình AC : x  2 y  4  0 .
Do A AC, B  BK nên giả sử A2a  4;a , B  ;
b 2  2b . Vì điểm M 3  ;1 là trung điểm của AB nên ta có hệ
2a  4  b  6 a  4   
 A4; 4 , B 2; 2  
a  2  2b  2 b  2  
Từ đó suy ra phương trình cạnh AB : 3x  y  8  0 
Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với HA  3;4 nên có phương trình là
BC : 3x  4 y  2  0 .
Bài 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H  1
 ; 4 và tâm đường tròn ngoại tiếp I 3;0 , trung điểm cạnh BC là điểm M 0; 3   . Viết
phương trình đường thẳng AB biết đỉnh B có hoành độ dương. Lời giải:
Gọi N là trung điểm cạnh AC , vì tam giác ABH đồng dạng với tam giác MNI và AH song  
song với MI nên HA  2MI  A 7  ;10 . 657 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG   Gọi B  ;
x y, x  0  IM  3;  3 , MB   ; x y  
3 . Với M là trung điểm cạnh BC nên
IM  MB và bán kính đường tròn ngoại tiếp IA  IB  116 .
Do đó tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ    x  2 2 3  y  116 x  7     B 7;4 .
 x   y    y  4 3 3 3 0  
Vậy đường thẳng AB đi qua hai điểm ,
A B nên có phương trình là
AB : 3x  7 y  49  0 .
Bài 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC vuông tại A . Hai đỉnh ,
A B nằm trên trục hoành, phương trình cạnh BC có phương trình là
BC : 4x  3y 16  0 . Xác định tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC biết bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Lời giải:
Do điểm B thuộc đường thẳng BC và nằm trên Ox nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ  y  0   B 4;0 .
4x  3y 16  0    16  4c  Giả sử A ;
a 0  AB  4  ; a 0 , gọi C ; c  BC  
. Do tam giác ABC vuông tại A nên  3     16  4a  A .
B AC  0  c  a . Vậy điểm C a;   .  3  1 1 16  4a Ta có S  A . B AC  a  4 . ABC 2 2 3 1  16  4a 5 
AB  BC  CA
Mặt khác ta lại có S  pr  a  4  
a  4 ; ( p  , r  1) ABC   2 3 3 2   a  7
Từ đó suy ra a  4  3   a  1   4 
+ Với a  1  A1;0, B4;0 ,C 1, 4  G 2; .    3   4 
+ Với a  7  A7;0, B4;0 ,C 7, 4  G 6;  .    3 
Bài 14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường
tròn tâm I 6;6 và ngoại tiếp đường tròn tâm K 4;5 , biết đỉnh A2;3 . Xác định tọa độ đỉnh , B C . Lời giải: 658 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
Ta có IA  5 , do vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là
C   x  2   y  2 : 6 6  25 .
Đường phân giác AK đi qua hai điểm ,
A K nên có phương trình là AK : x  y 1  0 , đường
thẳng này cắt đường tròn C  tại điểm D 9;10 . A K C I B D     A  C
Ta có DCK  DKC 
nên tam giác DKB là tam giác cân. 2 Suy ra ,
B C là giao điểm của C  và đường tròn tâm D bán kính DK  50 . Vậy tọa độ ,
B C là nghiệm của hệ   x  6 
2   y  62  25 x  2 x  10      
 x  2   y  2 y  9 y  3 9 10  50   
Vậy B 2;9, C 10;3 hoặc B 10;3, C 2;9 .
Bài 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC cân tại A có
phương trình hai cạnh AB : y 1  0; BC : x  y  2  0 . Tính diện tích tam giác ABC biết AC đi qua điểm M  1  ; 2 . Lời giải:
Đỉnh B là giao điểm của A ,
B BC nên tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ 659 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG  y 1  0   B 3;   1 .
x  y  2  0  
Gọi d là đường thẳng đi qua M và song song với BC , khi đó d có véc tơ pháp tuyến n  1;  1 .
Suy ra phương trình của d :  x  
1   y  2  0  d : x  y 1  0 .
Tạo độ giao điểm N của d và AB là nghiệm hệ  y 1  0   N 2;  1 .
x  y 1  0 
Tam giác ABC cân tại A nên A nằm trên đường trung trực của MN . Viết được phương trình
đường trung trực MN : x  y  0 .
Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ  y 1  0   A1;   1 . x  y  0  1
Từ đó ta có AB  AC  4, AC  AB  S  A . B AC  8 . ABC 2
Bài 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ xOy cho tam giác ABC . Biết đường cao kẻ từ đỉnh
B và phân giác trong góc A lần lượt có phương trình là d : 3x  4 y 10  0 và d : x  y 1  0 . 1 2
Điểm M 0; 2 thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C một khoảng bằng 2 . Tìm tọa độ các
đỉnh của tam giác ABC . Lời giải: -
Gọi M ' là điểm đối xứng của M qua '
d  M  AC . 2 Đường thẳng '
MM đi qua M và vuông góc với d nên '
MM : x  y  2  0 2  1 3  Gọi '
I  d  MM  I ;
và I là trung điểm của ' '
MM  M 1  ;1 2    2 2   -
Đường thẳng AC đi qua '
M và vuông góc với d nên nhận u  3;4 làm một véc tơ chỉ 1 x  1 3t
phương, vậy AC :  y  1 4t 
Và A  d  AC  A 4;5 2   x  4 y  5 -
Đường thẳng AB đi qua A và M nên AB : 
 3x  4 y  8  0 4 2  5  1 
Có B  d  AB  B 3;  1    4  2 2 -
Điểm C 1 3t;1 4t  AC , do MC  2  1 3t   4t   1  2 660 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
t  0  C 1;  1   2   31 33  t   C ;    25   25 25   1   31 33 
Vậy các đỉnh của tam giác là A 4;5, B 3;  , C   1;  1 hoặc C ;    4   25 25   1 
Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh B ;1 
 . Đường tròn nội tiếp  2 
tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, ,
CA AB tương ứng tại các điểm D, E, F . Cho D 3  ;1
và đường thẳng EF có phương trình y  3  0 . Tìm tọa độ đỉnh A , biết A có tung độ dương. Lời giải:   5  Ta có BD  ; 0   
BC song song với EF hay tam giác ABC cân tại A .  2 
Đường thẳng AD vuông góc với EF nên có phương trình x  3  0 2 2  1  5 t  1
Do F  EF  F t;3 . Mặt khác lại có 2
BF  BD  t   2       2  2 t  2 
Với t  1, suy ra F  1
 ;3 và đường thẳng BF có phương trình: 1 x  y 1 2  7  
 4x  3y  5  0 , khi đó tọa độ giao điểm A của AD và BF là A 3;  , loại 1   3 1  3 1  2
trường hợp này vì không thỏa mãn A có tung độ dương.  13 
Với t  2  F 2;3 và đường thẳng BF : 4x  3y 1  0, từ đó suy ra A 3;   , thỏa mãn.  3   13  Vậy A 3;   là điểm cần tìm.  3 
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1.1.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B  4  
;1 , trọng tâm G 1 
;1 và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương
trình x  y 1  0 . Tìm tọa độ các đỉnh A và C . 1.2.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho điểm A0;2 và đường thẳng
d : x  2 y  2  0 . Tìm trên d hai điểm ,
B C sao cho tam giác ABC vuông tại B và có AB  2BC . 661 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 1.3.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC cân tại A có  4 1  trọng tâm G ; 
 . Phương trình đường thẳng BC : x  2 y  4  0 , đường thẳng  3 3 
BG : 7x  4 y  8  0 . Xác định tọa độ ba đỉnh , A , B C . 1.4.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A1;2 .
Đường trung tuyến BM và đường phân giác trong CD có phương trình lần lượt là
2x  y 1  0; x  y 1  0 . Viết phương trình cạnh BC . 1.5.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có trung điểm
M 2;0 của cạnh AB . Đường trung tuyến và đường cao kẻ từ đỉnh A có phương trình
lần lượt là 7x  2y  3  0; 6x  y  4  0 . Viết phương trình cạnh AC . 1.6.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho tam giác ABC cân tại A6;6 .
Đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh A ,
B AC có phương trình x  y  4  0 . Tìm tọa độ các đỉnh ,
B C , biết điểm E 1;3 nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. 1.7.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho các đường thẳng
d : x  y  3  0, d : x  y  4  0, d : x  2 y  0 Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường 1 2 3
thẳng d sao cho khoảng các từ M đến đường thẳng d bằng hai lần khoảng cách từ M 3 1
đến đường thẳng d . 2 1.8.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho hai điểm A0;2 và B  3;  
1 . Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB . 1.9.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC vuông tại A ,
phương trình đường thẳng BC : 3x  y  3  0 , các đỉnh ,
A B nằm trên trục hoành và
bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tạo độ trọng tâm G của tam giác ABC .
1.10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC vuông tại A ,có đỉnh C 4; 
1 phân giác trong góc A có phương trình x  y  5  0 . Viết phương trình
đường thẳng BC , biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
1.11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC cân tại A1; 4 và các đỉnh ,
B C thuộc đường thẳng x  y  4  0 . Xác định tọa độ các đỉnh , B C biết
diện tích tam giác ABC bằng 18.
1.12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam
giác ABC biết hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H  1  ;   1 ,
đường phân giác trong của góc A có phương trình x  y  2  0 và đường cao kẻ từ B có
phương trình 4x  3y 1  0 .
1.13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có đỉnh
A1;0, B 4;0,C 0; m; m  0 . Xác định tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo
m . Xác định m để tam giác GAB vuông tại G . 662 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
1.14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại  2 
A ,biết M 1; 
1 là trung điểm cạnh BC và G ; 0 
 là trọng tâm tam giác ABC . Xác  3 
định tọa độ ba đỉnh của tam giác.
1.15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho điểm A0;2 và đường thẳng
d đi qua gốc tọa độ. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d . Viết phương trình
đường thẳng d biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH .
1.16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại
A ,cạnh huyền nằm trên đường thẳng x  7 y  31  0 , điểm N 7;7 nằm trên cạnh AC , điểm M 2; 3
  thuộc cạnh AB và nằm ngoài đoạn AB . Xác định tọa độ ba đỉnh , A , B C .
1.17. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác cân, có cạnh đáy
BC : x  3y 1  0 . Cạnh bên AB : x  y  5  0 , đường thẳng AC đi qua điểm M  4   ;1 .
Tìm tọa độ đỉnh C .
1.18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A1 
;1 , B 2;5 , trọng tâm thuộc đường thẳng 2x  3y 1  0 . Đỉnh C thuộc đường
thẳng x  y 1  0 . Tính diện tích tam giác ABC .
1.19. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC biết đường cao
và trung tuyến xuất phát từ đỉnh A lần lượt có phương trình là
6x  5y  7  0; x  4 y  2  0 . Tính diện tích tam giác ABC , biết trọng tâm của tam giác
nằm trên trục hoành và đường cao xuất phát từ đỉnh B đi qua điểm M 1;4 .
BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ TỨ GIÁC BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy cho hình bình hành ABCD có điểm
A1;0, B2;0 . Giao điểm I của 2 đường chéo thuộc đường thẳng y  x . Tìm tọa độ các đỉnh
còn lại của hình bình hành, biết diện tích hình bình hành bằng 4. Lời giải:
Giả sử tọa độ tâm I  ;
a a , do điểm C đối xứng với A qua I và điểm D đối xứng với B qua I .
Suy ra C 2a 1;2a , D2a  2;2a .
Đường thẳng AB chính là trục hoành: y  0 , ta có d  I; AB  a , AB  1 S  4S
 2d  I; AB.AB  2 a  4  a  2  ABCD IAB
+ Với a  2  C 3;4, D2; 4. + Với a  2   C  5
 ; 4, D6;4. 663 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I 6; 2 , điểm
M 1;5  AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng x  y  5  0 . Viết phương trình đường thẳng A . B Lời giải:
Gọi N đối xứng với M qua I  N 11;  
1 . Giả sử tọa độ điểm E  x ;5  x 0 0     
Ta có IE   x  6;3  x , NE  x 11;6  x . Do IE  NE  IE.NE  0 0 0   0 0   x  6
  x  6 x 1 
1  3  x 6  x  0  0  0 0 0 0  x  7  0 
+ Với x  6  IE  0; 3 
 AB : y  5  0. 0   
+ Với x  7  IE  1; 4 
 AB : x  4 y 19  0. 0  
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12,
tâm I giao điểm của đường thẳng d : x  y  3  0 và đường thẳng d : x  y  6  0 . Trung 2  1 
điểm một cạnh là giao điểm của d với trục hoành. Xác định tọa độ bốn đỉnh hình chữ nhật. 1  Lời giải:
Tọa độ tâm I là nghiệm của hệ
x  y  3  0  9 3    I ; .  
x  y  6  0   2 2  Do vai trò các đỉnh , A ,
B C, D là như nhau, nên ta giả sử đó là trung điểm M của cạnh AD.
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ  y  0   M 3;0.
x  y  3  0  S 12
Suy ra AB  2IM  3 2 . Mặt khác S  A . ABCD B AD  AD    2 2 . ABCD AB 3 2
Vì M , I cùng thuộc d suy ra AD  d , vậy AD đi qua điểm M và có véc tơ pháp tuyến 1  1   n  1; 
1  AD :  x  3  y  0  x  y  3  0. AD
Lại có MA  MD 
 2  Tọa độ điểm ,
A D là nghiệm hệ phương trình 2
x  y  3  0  x  2 x  4     
 A 2;1 , D 4;1 . 2       x  3 2  y  2 y  1 y  1    
Các điểm C, B lần lượt đối xứng với ,
A B qua I . Suy ra tọa độ điểm C 7;2, B 5; 4. 664 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG  1 
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ; 0   , đường  2 
thẳng AB : x  2 y  2  0 , AB  2 AD . Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật biết đỉnh A có hoành độ âm. Lời giải:
Cạnh AD, BC vuông góc với AB nên phương trình có dạng: 2x  y  c  0 , do 1
AB  2 AD  d  I; AB  d  I; AD . 2 1  2 2 1 1 c c  6      5 2 5 c  4 
+ Do đó đường thẳng AD, BC có phương trình
2x  y  6  0; 2x  y  4  0. Khi đó tọa độ các đỉnh ,
A B là nghiệm của hệ
x  2 y  2  0 x  2   
2x  y  6  0 y  2  
x  2 y  2  0 x  2   
2x  y  4  0 y  0  
Do điểm A có hoành độ âm nên A2;0, B 2;2 . Điểm C đối xứng với A qua I nên C 3;0 và điểm D  1  ; 2   .
Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy cho hình thoi ABCD có đỉnh A  B  0 1;0 , 3; 2 ; A
 BC  120 . Xác định tọa độ 2 đỉnh C, D . Lời giải:
Theo giả thiết suy ra tam giác ABD đều, ta có tọa độ trung điểm M của AB là M 2  ;1 , có 
AB  2; 2 . Vậy phương trình đường trung trực của AB là
 x  2   y  
1  0  x  y  3  0 . Điểm D thuộc đường trung trực AB nên gọi D t;3  t . 2 2
Do ABCD là hình thoi nên 2 2
AD  AB  t   1
 3  t   8  t  2  3
+ Với t  2  3  D 2  3;1 3,C  3;1 3.
+ Với t  2  3  D 2  3;1 3,C  3; 1   3.
Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh A , B BC, ,
CA AD lần lượt đi qua các điểm M 4;5, N 6;5, P 5; 2 ,Q 2  ;1 . Viết phương trình
cạnh AB , biết hình chữ nhật có diện tích bằng 16. 665 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Lời giải:
Giả sử phương trình cạnh AB a  x    b y   2 2 : 4
5  0, a  b  0
Khi đó BC : b  x  6  a  y  5  0. a  b a  3b 4  b  4a Ta có S d P AB d Q BC      ABCD  ; .  ;  . 16 1 2 2 2 2    a   b a b a b  3
+ Với a  b , chọn b  1; a  1  AB : x  y 1  0 . 1 1
+ Với a   b , chọn b  1; a  
 AB : x  3y 11  0. 3 3
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1.1.
Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có A 2  ;6 , đỉnh B
thuộc đường thẳng x  2 y  6  0 . Gọi M , N lần lượt là 2 điểm trên cạnh BC,CD sao cho  2 14 
BM  CN . Biết AM  BN  I ; 
 . Xác định tọa độ đỉnh C.  5 5  1.2.
Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy cho hình thang vuông ABCD vuông tại , A D có
đáy lớn là CD , đường thẳng AD có phương trình y  3x , đường thẳng BD có phương
trình x  2 y  0 . Góc tạo bởi 2 đường thẳng A , B BC bằng 0
45 . Viết phương trình đường
thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 24, điểm B có hoành độ dương. 1.3.
Cho hình bình hành ABCD có đỉnh B 1;5 , đường cao AH : x  2y  2  0 , phương trình
đường phân giác góc C là x  y 1  0 . Tìm tọa độ 3 đỉnh , A C, D . 1.4.
Cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh D 1;3 , đường phân giác trong của góc A là
x  y  6  0 . Tìm tọa độ đỉnh B , biết diện tích hình chữ nhật ABCD bằng 18 và đỉnh A
có tọa độ thỏa mãn x  y . A A 1.5.
Cho hình thoi ABCD có cạnh A ,
B CD lần lượt có phương trình là
x  2 y  5  0; x  2 y 1  0 . Viết phương trình đường thẳng AD, BC biết điểm M 3;3
thuộc đường thẳng AD và điểm N  1
 ; 4 thuộc đường thẳng BC . 1.6.
Cho hình vuông ABCD có tâm I 1 
;1 , biết điểm M  2
 ; 2 thuộc cạnh AB và điểm
N 2;2 thuộc cạnh CD . Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông. 1.7.
Cho hình vuông ABCD và điểm M  3  ; 2
  thuộc cạnh AB , đường tròn nội tiếp hình 2 2
vuông có phương trình  x  2   y  3  10 . Xác định tọa độ bốn đỉnh hình vuông,
biết điểm A có hoành độ dương. 666 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 1.8.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm
I 6; 2 là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Điểm M 1;5 thuộc đường thẳng
AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng x  y  5  0 . Viết phương trình đường thẳng AB . 1.9.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho hai đường thẳng
d : x  y  0 và d : 2x  y 1  0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD , biết đỉnh 1 2
A thuộc d và đỉnh C thuộc d và các đỉnh ,
B D nằm trên trục hoành. 1 2
1.10. Cho hình thoi ABCD có một đường chéo là x  2 y  7  0 và một cạnh có phương trình
x  3y  3  0 . Viết phương trình ba cạnh và đường chéo còn lại của hình thoi, biết một
đỉnh của hình thoi là 0  ;1 .
BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG TRÒN BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy cho đường thẳng d  : x  y 1 2  0 . Viết
phương trình đường tròn đi qua gốc tọa độ và điểm A 1  
;1 đồng thời tiếp xúc với đường thẳng d  . Lời giải:
Giả sử đường tròn có tâm I  ;
a b , theo giả thiết ta có
a  b   1
  a2  1 b2 2 2 2 2 IO  IA    b  a 1 a  0 a  1  2          vậy có 2 2 2 IO  d  I;d 
a b 1 2 2 a  a  0 b  1 b  0 2 2  a  b       2 đường tròn là
x   y  2 2 1
 1hoặc  x  2 2 1  y  1.
Bài 2. Viết phương trình đường thẳng d  đi qua điểm A2  ;1 và cắt đường tròn C 2 2
: x  y  2x  4 y  4  0 theo dây cung MN có độ dài bằng 4 . Lời giải:
Đường tròn C  có tâm I 1; 2, R  3 .
Đường thẳng d  a  x    b  y   2 2 : 2
1  0  ax  by  2a  b  0, a  b  0 667 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 2 2  MN   4 
Ta có d  I;d  2 2  R   3   5      2   2  b  3a 3  11 Vậy  5  a  b 2 2 4 a  b 3  11 + Với a 
b ,chọn b  4, a  3  11  d  : 3  11 x  4 y  2 11 10  0. 4 3  11 + Với a 
, chọn b  4, a  3  11  d  : 3  11 x  4 y  2 11 10  0. 4
Bài 3. Cho đường tròn C   x  2 2 :
1  y  1có tâm I 1;0 . Xác định tọa độ điểm M thuộc C  sao cho 0 IM  O  30 . Lời giải:
Nhận thấy điểm O 0;0 thuộc đường tròn C  nên IM  IO  1.
Tam giác MIO cân tại 0 0 I , I  MO  30  M  IO  120
Gọi điểm M a b C    a  2 2 ; 1  b  1(1)
Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác MIO ta có 2 2 2 0 2 2
OM  IM  IO  2I . O IM o
c s120  3  a  b  3(2)  3 a   2  3 3   Từ (1) và (2) suy ra   M  ;   . 3  2 2  b        2
Bài 4. Viết phương trình đường thẳng d  đi qua điểm A2;3 và cắt hai đường tròn
C  : x  y  13;C  : x  62 2 2 2
 y  25 lần lượt tại M , N sao cho A là trung điểm của MN . 1 2 Lời giải: Gọi M  ;
x y C  2 2
 x  y  13, x  2(1) . Do A là trung điểm của MN nên N 4  ; x 6  y . 1 2 2
Nhưng N  C  2  x  6  y  25(2) 2      17 6  17 6 
Từ (1) và (2) suy ra x   , y   M ;   5 5  5 5 
Đường thẳng d  đi qua ,
A M nên d  : x  3y  7  0. 668 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
Bài 5. Cho đường thẳng d  : x  7 y 10  0 . Viết phương trình đường trònC  có tâm thuộc
đường thẳng 2x  y  0 và tiếp xúc với đường thẳng d  tại điểm A4;2 . Lời giải: 
Giả sử đường tròn C  có tâm I  ; x 2
 x  IA   x  4;2x  2 . Đường tròn C  tiếp xúc với
đường thẳng d  tại A suy ra IA  d   7  x  4   2
 x  2  0  x  6  I 6; 1  2 , bán
kính R  IA  10 2 2 2
Vậy phương trình đường tròn C  :  x  6   y 12  200. 2 2
Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho đường tròn C  :  x   1
  y  2  4 và đường thẳng
d  : x  y 1  0 . Viết phương trình đường tròn C ' đối xứng với C  qua đường thẳng d  . Lời giải:
Đường tròn C  có tâm I 1;2, R  2 .
Đường tròn C ' đối xứng với C  qua d  nên có tâm I ' là điểm đối xứng của I qua d  và bán kính R  2 .  Gọi H  ; x x  
1  d  là tọa độ chân đường vuông góc hạ từ I , ta có IH   x 1; x  3 và
IH  d    x  
1   x  3  0  x  2  H  2  ;1
Điểm I ' đối xứng với I qua H  I '3;0
Vậy phương trình đường tròn C   x  2 2 ' : 3  y  4 . 2 2
Bài 7. Cho đường tròn C  :  x   1
  y  2  9 và đường thẳng d  : 3x  4 y  m  0 . Xác
định m để trên d  có duy nhất một điểm M kẻ được 2 tiếp tuyến M , A MB ( , A B là các tiếp
điểm) đến đường tròn C  sao cho tam giác MAB đều. Lời giải:
Đường tròn C  có tâm I 1; 2  , R  3
Tam giác MAB đều suy ra tam giác MIA là nửa tam giác đều, suy ra MI  2IA  6 .
Vậy điểm M thuộc đường tròn C ' có tâm I bán kính R  6 , điểm M là duy nhất suy ra
đường thẳng d  tiếp xúc với C ' . Từ đó suy ra m 11 m  19
d  I;d   6   6   2 2 m  4  1 1  7  669 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
Bài 8. Cho đường tròn C  2 2
: x  y  4x  4 y  6  0 và đường thẳng d  : x  my  2m  3  0 .
Gọi I là tâm của C  , tìm m để đường thẳng d  cắt C  tại hai điểm phân biệt , A B sao cho
diện tích tam giác IAB lớn nhất. Lời giải:
Đường tròn C  có tâm I 2; 2
  bán kính R  2 . 1  1 1 2  Ta có 2 S  I . A IB sin AIB  R sin AIB  R IAB 2 2 2 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 0 AIB  90  Suy ra m  0 R 1 4m
d  I;d  1 1       8 2 2 1   m m   15
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1.1.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho điểm A1;0 và đường tròn C 2 2
: x  y  2x  4 y  5  0 . Viết phương trình đường thẳng d cắt C  tại hai điểm
M , N sao cho tam giác AMN vuông cân tại . A 1.2.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy , cho 2 đường thẳng
d : 3x  y  0 và d : 3x  y  0 . Gọi T  là đường tròn tiếp xúc với d tại A , cắt 1  2  1 
d tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B . Viết phương trình của T  , 2  3
biết rằng tam giác ABC có diện tích bằng
và điểm A có hoành độ dương. 2 1.3.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy , cho tam giác ABC có
A0; 2, B  2  ; 2  ,C  4; 2
  . Gọi H là chân đường cao hạ từ B ; M , N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB và BC . Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H , M , N . 1.4.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho đường tròn 4
C  :  x  22 2  y 
và hai đường thẳng d : x  y  0, d : x  7 y  0 . Xác định tọa 1   2  5
độ tâm K và bán kinh đường tròn C , biết đường tròn C tiếp xúc với hai đường 1  1 
thẳng d , d và có tâm K thuộc đường tròn C  . 1   2  1.5.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho hai điểm A2;0 và B 6;4 .
Viết phương trình đường tròn C  tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ
tâm của C  đến B bằng 5. 670 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 1.6.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có A3; 7   và
trực tâm H 3; 
1 , tâm đường tròn ngoại tiếp là I 2;0 . Xác định tọa độ đỉnh C , biết
C có hoành độ dương. 1.7.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho đường tròn C 2 2
: x  y  2x  2 y 1  0 và đường thẳng d : x  y  3  0 . Tìm tọa độ điểm M nằm
trên d sao cho đường tròn tâm M bán kính gấp đôi bán kính đường tròn C  tiếp xúc
ngoài với C  . 1.8.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho đường tròn
T   x  2 2 : 4
 y  40 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và cắt T  tại hai điểm ,
A B sao cho AB  4B . O 1.9.
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn C  2 2
: x  y  4x  6 y 12  0 có tâm I và đường
thẳng d  : x  y  4  0 . Tìm trên d  điểm M sao cho tiếp tiếp với đường tròn C  kẻ từ
M tiếp xúc với C  tại ,
A B và diện tích tam giác IAB là lớn nhất.
1.10. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn C  ngoại tiếp tam giác ABC có A 2; 2
 , B 4; 0 ,C 3; 2  
1 . Viết điểm M thuộc đường thẳng 4x  y  4  0 sao cho
tiếp tuyến kẻ từ M tiếp xúc với C  tại N và diện tích tam giác NAB lớn nhất.
1.11. Cho đường tròn C  2 2
: x  8x  y 12  0 . Tìm điểm M nằm trên trục tung sao cho từ
M kẻ được 2 tiếp tuyến M , A MB ( ,
A B là các tiếp điểm) đến C  và đường thẳng đi qua 2
tiếp điểm đi qua I 8;5.
1.12. Cho đường tròn tâm I C  2 2
: x  y  2x  4 y  4  0 . Tìm điểm M nằm trên đường thẳng
x  y  2  0 , sao cho từ M kẻ 2 tiếp tuyến đến C  tiếp xúc tại ,
A B và diện tích tứ giác MIAB bằng 6 2 .
1.13. Viết phương trình đường thẳng d  đi qua điểm M 2;2 và cắt đường tròn C 2 2
: x  y  2x  2 y 14  0 tại hai điểm ,
A B sao cho MA  3MB .
BÀI TẬP TỔNG HỢP 1.1.
Trong mặt phẳng xOy tìm điểm A trên đường thẳng d : x  2 y 1  0 biết qua A kẻ được hai tiếp tuyến A , B AC ( với ,
B C là các tiếp điểm) đến đường tròn
C   x  2   y  2 : 2 1
 1 sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. 671 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG  5  1.2.
Trong mặt phẳng xOy tìm tọa độ ba đỉnh tam giác ABC vuông tại có trọng tâm G 1;    3  và , A ,
B C lần lượt thuộc ba đường thẳng d : 3x  y  8  0 1
d : x  y  0; d : x  3y  4  0 . 2 3  5  1.3.
Trong mặt phẳng xOy cho tam giác ABC có A nằm trên trục hoành 0  x   và hai A   2  đường cao kẻ từ ,
B C lần lượt có phương trình là d : x  y 1  0 và d : 2x  y  4  0 . 1 2 Tìm tọa độ ba đỉnh , A ,
B C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất. 2 2 1.4.
Trong mặt phẳng xOy cho hai đường tròn C : x  3  y 1  10 và 1     
C  :  x  2
1   y  72  50 . Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và cắt hai 2
đường tròn trên hai dây cung bằng nhau. 1.5.
Trong mặt phẳng tọa độ xOy viết phương trình bốn cạnh hình vuông không song song
với các trục tọa độ; có tâm là gốc tọa độ và hai cạnh kề của hình vuông lần lượt đi qua hai điểm M ( 1  ; 2); N (3; 1  ) . 2 2 x y 1.6.
Trên mặt phẳng tọa độ xOy lấy hai điểm ,
A B nằm trên elip  E  :   1và đối xứng 16 12  3  qua điểm M 1  ;  
 . Xác định tọa độ điểm C  E  sao cho diện tích tam giác ABC  2  lớn nhất. 1.7.
Trong mặt phẳng xOy cho đường tròn C  2 2
: x  y  2mx  my  m  2  0 và đường tròn 1 C  2 2
: x  y  3x  1  0 . Xác định tất cả các giá trị của tham số m để số tiếp tuyến 2
chung của hai đường tròn trên là một số lẻ.  7 4  1.8.
Trên mặt phẳng tọa độ xOy cho tam giác ABC có trọng tâm G ;   , tâm đường tròn  3 3 
nội tiếp là I (2;1) . Cạnh AB có phương trình x  y 1  0  x  x . Xác định tọa độ ba A B  đỉnh , A , B C . 1.9.
Trong mặt phẳng tọa độ xOy viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC vuông
tại A1;4 có phương trình cạnh BC : x  2y  3  0 , và tâm(có hoành độ âm ) và cách A một khoảng bằng 10 .
1.10. Trong mặt phẳng tọa độ xOy cho hình thang cân ABCD co hai đáy là A , B CD và hai
đường chéo AC, BD vuông góc với nhau. Biết A0;3; B 3; 4, C nằm trên trục hoành.
Xác định tọa độ đỉnh D của hình thang.
1.11. Trong mặt phẳng xOy cho hai đường tròn C  2 2
: x  y  1và đường tròn 1
C  :  x  2 1   y  2 1
 10 . Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với C và cắt 1  2
C một đoạn AB  6 . 2  672 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
1.12. Trong mặt phẳng tọa độ xOy tìm tọa độ ba đỉnh của tam giác ABC vuông tại A có
A  d : x  y  3  0 x  0 ; B  Ox , trung điểm cạnh AB nằm trên đường thẳng 1  A   3 
d : 3x  4 y  8  0 và I 1;
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 2    2 
1.13. Trong mặt phẳng tọa độ xOy cho tam giác ABC với B 1;2 . Đường phân giác trong 
của góc A có phương trình 2x  y 1  0 , khoảng cách từ C đến  bằng hai lần khoảng
cách từ B đến  . Tìm tọa độ của ,
A C biết C nằm trên trục tung.
1.14. Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có đáy lớn là CD , đường thẳng AD có
phương trình 3x  y  0 , đường thẳng BD có phương trình x  2 y  0 , góc tọa bởi hai
đường thẳng AB và BC bằng 0
45 . Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình
thang bằng 24 và điểm B có hoành độ dương.
1.15. Trong mặt phẳng tọa độ xOy cho đường thẳng d  : x  y 1  0 và đường tròn T  2 2
: x  y  2x  4 y  4  0 . Tìm điểm M thuộc đường thẳng d  sao cho qua M ta kẻ
được các tiếp tuyến M ,
A MB đến đường tròn T  ( ,
A B là các tiếp điểm) đồng thời  1 
khoảng cách từ điểm N ;1 
 đến đường thẳng AB là lớn nhất.  2 
1.16. Trong mặt phẳng tọa độ xOy cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong
góc A là x  y  2  0 , đường cao xuất phát từ đỉnh B là 2x  y 1  0 . Cạnh AB đi qua 27 điểm M 1 
;1 , tìm tọa độ các đỉnh , A ,
B C biết diện tích tam giác ABC bằng . 2
1.17. Trong mặt phẳng xOy cho A1;2 và các đường thẳng d : x  2 y 1  0 1
d : x  2 y  8  0 . Tìm điểm B  d , D  d và điểm C sao cho ABCD là hình vuông. 2 1 2
1.18. Trong mặt phẳng xOy cho đường tròn C  2 2
: x  y  64 và điểm (3
A ; 4) . Đường tròn 1
C có tâm I và đi qua trung điểm của I A . Viết phương trình đường tròn C sao cho 2  2  2 2
bán kính của đường tròn này là nhỏ nhất.
1.19. Trong mặt phẳng tọa độ xOy cho tam giác ABC có đỉnh (
A 1; 2) , phương trình đường
phân giác trong góc A là x  y 1  0 và tâm đường tròn ngoại tiếp I (6; 6) . Viết phương
trình cạnh BC , biết diện tích tam giác ABC gấp ba lần diện tích tam giác IBC .
1.20. Trong mặt phẳng tọa độ xOy cho hình thoi ABCD , phương trình cạnh BD là x  y  0 .
Đường thẳng AB đi qua điểm P(1; 3) , đường thẳng CD đi qua điểm Q(2; 2 3) . Tìm
tọa độ các đỉnh hình thoi, biết độ dài AB  AC và điểm B có hoành độ lớn hơn 1.
1.21. Trong mặt phẳng tọa độ xOy cho đường thẳng d : 2x  3y  3  0 và đường thẳng 1
d : 5x  2 y 17  0 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường 2 2 AB
thẳng d , d đồng thời cắt hai trục tọa độ Ox,Oy tại , A B sao cho nhỏ nhất. 1 2 S 2 OAB 673 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
1.22. Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có BC  CD  2 AB , trung điểm cạnh
BC là điểm M (1; 0) , đường thẳng AD có phương trình là x  2 y  0 . Xác định tọa độ đỉnh A . 2 2
1.23. Trong mặt phẳng tọa độ xOy cho đường tròn C  :  x  2   y   1
 4 . Gọi M là điểm
sao cho trung tiếp tuyến qua M tiếp xúc với C  tại E , cát tuyến qua M cắt C  tại , A B
sao cho tam giác ABE vuông cân tại B . Tìm tọa độ của M sao cho khoảng cách từ M
đến O là ngắn nhất.
1.24. Trong mặt phẳng tọa độ xOy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 34; M (6; 1) là
trung điểm cạnh BC . Đường thẳng  :15x  8y  48  0 đi qua tâm của hình chữ nhật và
cắt đường thẳng AD tại một điểm thuộc trục tung. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
1.25. Trong mặt phẳng tọa độ xOy cho hai đường tròn C  : x   y  22 2  1 và 1
C  :  x  62   y  42  4 . Tìm điểm A trên C , điểm B trên C và điểm C trên 2  1  2
trục hoành sao cho tổng AC  CB đạt giá trị nhỏ nhất.
1.26. Trong mặt phẳng tọa độ xOy cho điểm M 1;0 và đường tròn C  x   y  2 2 : 1  1 .
Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt đường tròn C  tại hai điểm , A B sao cho
diện tích tam giác OAB lớn nhất.
1.27. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ xOy cho tam giác ABC . Biết đường cao kẻ từ đỉnh
B và phân giác trong góc A lần lượt có phương trình là d : 3x  4 y 10  0 và 1
d : x  y 1  0 . Điểm M 0; 2 thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C một khoảng 2
bằng 2 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC .
1.28. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ xOy cho tam giác ABC có AB  3AC , đường phân
giác trong của góc A có phương trình x  y  0 ; đường cao hạ từ đỉnh B có phương trình
là 3x  y 16  0 . Xác định tọa độ ba đỉnh , A ,
B C biết cạnh AB đi qua điểm M 4;10 .
1.29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm điểm P thuộc đường thẳng 3x  2 y 1  0 và điểm Q
thuộc đường thẳng 2x  y  3  0 sao cho đường thẳng 7x  y  8  0 là trung trực của đoạn thẳng PQ .
1.30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm K 3; 2 tìm điểm M thuộc đường tròn   C  2 2
: x  y  2x 1  0 với tâm I 1;2 sao cho 0 IMK  60 .
1.31. Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , tìm điểm B thuộc trục hoành và điểm A trên đường 2 2
thẳng y 1  0 sao cho đường thẳng đi qua A cắt đường tròn C  :  x  2   y  2  1
tại hai điểm phân biệt M , N ( M nằm giữa ,
A N ); M trung điểm của AN và tam giác
ABM cân tại M . 674 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
1.32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm B 0;5  2 3 , đường tròn C x   y  2 2 : 1  4
và đường thẳng d : y  x 1cắt đường tròn C  tại hai điểm phân biệt M , N . Tìm điểm
A thuộc đường thẳng d ( A nằm ngoài đường tròn C  ) sao cho 2
AB  AM.AN .
1.33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I  1  ; 2
  . Gọi M là trung
điểm cạnh BC . Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật ABCD biết rằng tam giác IOM có
diện tích bằng 4, đường thẳng AB đi qua N 11;3 và cạnh AD tiếp xúc với đường tròn
C   x  2   y  2 : 1 2  2
1.34. Tìm m để trên đường thẳng d : 3x  4 y  m  0 tồn tại duy nhất một điểm P có thể kẻ
được hai tiếp tuyến P , A PB ( ,
A B là các tiếp điểm) tới đường tròn
C   x  2   y  2 : 1 1
 9 sao cho tam giác PAB đều.
1.35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A4; 4; B 8; 2
  . Tìm điểm C thuộc đường
thẳng d : 3x  2 y  7  0 sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất.
1.36. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : 2x  y  5  0 và điểm M  3   ;1 . Viết
phương trình đường tròn C  đi qua điểm K  1
 ;3 và cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt , A B sao cho M ,
A MB là hai tiếp tuyến vuông góc của đường tròn C  .
1.37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x  2 y 1  0 và d : x  2 y  3  0 và 1 2 hai điểm A2; 3
 , B 1;3 . Tìm hai điểm M thuộc d , N thuộc d . Biết rằng MN 1 2
vuông góc với d và độ dài đường gấp khúc AMNB ngắn nhất. 1
1.38. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn C  có tâm I 4;0 bán kính R  2 . Tìm
điểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến M , A MB ( , A B là các tiếp
điểm) đến C  và AB đi qua điểm E 4  ;1 .
1.39. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A0;0; B 2; 4;C 6;0 và các điểm
M trên cạnh AB , điểm N trên cạnh BC , điểm ;
P Q trên cạnh AC . Xác định tọa độ bốn điểm M , N, ,
P Q biết MNPQ là hình vuông. 2 2
1.40. Cho đường tròn T  :  x  
1   y  2  1và đường thẳng  : 2x  y 1  0 . Tìm điểm
A thuộc đường thẳng  sao cho từ A kẻ được các tiếp tuyến A , B AC ( , B C là các tiếp 27
điểm) đến T  sao cho diện tích tam giác ABC bằng . 10 675 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 2 2
1.41. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn T  :  x  4   y  6  5 và hai điểm
A2;5; B 6;5 nằm trên T  . Đỉnh C của tam giác ABC di động trên đường tròn T  .
Tìm tọa độ trực tâm H $H$ của tam giác ABC biết H nằm trên đường thẳng
 : x  y 1  0.
1.42. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn T  2 2
: x  y  3x  6 y  0 . Gọi M , N là hai điểm di động trên   T  sao cho 0
MON  30 ( với O là gốc tọa độ). Tìm tọa độ trọng tâm G của
tam giác OMN biết G nằm trên đường thẳng  : x  y 1  0 . 2 2
1.43. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn T  :  x  2   y   1
 4 . Gọi M là điểm
sao cho tiếp tuyến qua M tiếp xúc với T  tại E , cát tuyến qua M cắt T  tại , A B sao
cho tam giác ABE vuông cân tại B . Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ M đến O là ngắn nhất.
1.44. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I 2;4 và hai đường thẳng d : 2x  y  2  0 và 1
d : 2x  y  2  0 . Viết phương trình đường tròn T  có tâm I , cắt d tại hai điểm , A B 2 1 16 5
và cắt d tại hai điểm C, D sao cho AB  CD  . 2 5
1.45. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I 4;  1 ,
phương trình đường cao và trung tuyến xuất phát từ đỉnh A lần lượt có phương trình là
x  y 1  0 và x  2 y 1  0 . Viết phương trình các cạnh tam giác ABC .
1.46. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A3; 4; B1; 2;C 5;0 . Viết phương trình
đường thẳng d đi qua A sao cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất
P  2.d  B;d   d C;d  , ở đây d  B;d ; d C;d  lần lượt là khoảng cách từ điểm ,
B C đến đường thẳng d .
1.47. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d : 2x  y  2  0; d : x  2 y 1  0 . 1 2  5 12  Gọi , A ,
B C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M ;  
 xuống d ; d và 1 2  13 13 
trục hoành. Chứng minh rằng ba điểm , A , B C thẳng hang. 676 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 677 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam