Không gian Vecto | Bài giảng Đại số tuyến tính
Hệ S có chứa một hệ con PTTT thì S là PTTT
Hệ S là PTTT khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một vector là THTT của những vector còn lại. Bài giảng 32 trang giúp bạn tham khảo, củng cố kiến thức và ôn tập đạt kết cao
Môn: Đại số tuyến tính (MA003)
Trường: Trường Đại học Công nghệ Thông tin, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
KHÔNG GIAN VECTOR : V V V V x y x, y x y V * x * .: V V Một tập V khác rỗng
trên đó có hai phép toán: * y * , x x cộng và nhân x 1) x
, y V x y V x , y V x V 7)
x y x y 2) x V x V 0 : duy nhất V 3) x
, y V x y y x 8)
x x x , 4) x , y, x : duy nhất z V x y z x y z x V 0 V 9)
x x V , 0 5) x 0 x x V 0V x 0 x V 10) x V 1.x x x 0 x V 6)
x x x x 0V 0 : phần tử trung hòa; : x phần tử đối; : 1 vô hướng đơn vị x V V 1 1) x
, y V x y V x V V u u R (1) Với x , y, z V 2) x V VD1: R , R 3) x
, y V x y y x
Các phép cộng và nhân thông thường trên R 4) x
, y, z V x y z x y z (2) Kiểm tra 0
Tập các số thực R là một (3) Thỏa V 5) V x 0 x x 1),…,10) V 0V x V R- không gian vector x V 0 u V 0, 6)
x x x x x 0V V V
ux y x y R 2 , , , V R x , y V 7) VD2:
x y x y R (1) x V
Các phép cộng và nhân thông thường vector 2 chiều trên R 8)
x x x , x V (3)
(2) u x , y ,u x , y ,u x , y V 1 1 1 2 2 2 3 3 3 9)
x x , 1),…,10) , R 10) x V 1.x x
Tập R2 là một không gian vector 0 u x y V 0,0, , n R là không gian vector, 0 u x x V 0,0,...,0 , ,..., 1 n 2 V ux , x ,..., x x R i n V R n i , 1, , n 1 2 n 1) x
, y V x y V VD3: V 2 a bx cx a, , b c R , V P x 2 x V 2) x V
Các phép cộng và nhân đa thức thông thường trên R 3) x
, y V x y y x (1) 2 4) x
, y, z V x y z x y z
f x a a x a x V; a ,a ,a R 1 0 1 2 0 1 2 0 V 5) V 2 x 0 x x
f x b b x b x V; b ,b ,b R 2 V 0V x V 0 1 2 0 1 2 x V
f x c c x c x V ; c ,c ,c R 1 2 6) 0 1 2 0 1 2
x x x x x 0V V (2) x , y V 7)
x y x y 1),…,10) x V 8)
x x x , (3) x V 9)
x x P x
2 là một không gian vector , 0 a b c u a b c V , , 0,0,0; , , 10) x V 1.x x n i V a x a R i n V P x i i , 1, , n P x i0
n là một không gian vector 3 0 a a u a a V ,..., n 0,...,0 0, ,..., 0 0 n 1) x
, y V x y V a b x V VD4: V
a,b,c,d R, V M R 2 2) x V c d
Các phép cộng và nhân ma trận thông thường trên R 3) x
, y V x y y x (1) 4) x
, y, z V x y z x y z 0 V 5) V x 0 x x x y V 0V x V 1 1 u V ; x , y , z ,t R 1 1 1 1 1 x V z t 1 1 6)
x x x x x 0V V x y 2 2 x , y V u V; x , y , z ,t R 7)
x y x y 2 2 2 2 2 z t 2 2 x V 8)
x x x x y , 3 3 u V; x , y , z ,t R 3 3 3 3 3 x V z t 9) 3 3
x x , 10) x V 1.x x 0 0 a b M R 0 u 2
là một không gian vector V 0 0 c d M R m n
là một không gian vector 4
Kiểm tra các tập sau có là V x x R V x x Q KGVT không VD5: (Yes) VD6: (No) K Q K R 1) x
, y V x y V x V 2) x V VD7: V
x ,x ,x x R i x x x i , 1,3 2 3 0 (Yes) 1 2 3 1 2 3 3) x
, y V x y y x 4) x
, y, z V x y z x y z VD8: V x, y,z x, y,z R (No) 0 V 5) V x 0 x x V 0V x V
pc() : x, y, z x', y ', z ' x x', y y', z z ' x V 6)
x x x x x 0V V pn(.) :
x, y, z x, y, z x , y V 7)
x y x y VD9: V
x ,x x ,x R x 0,x 0 (Yes) 1 2 1 2 1 2 x V 8)
x x x ,
pc () : x, y x', y ' xy, x' y ' x V 9)
x x ,
pn(.) : x, y x , y 10) x V 1.x x 5 KHÔNG GIAN VECTOR CON W W V
W là không gian vector con của V x , y W x y W
VD10: Chứng minh W là KGVT con của R3 x W , R x W W x ,x ,x 3 R x 2 x 1 2 3 1 2
* u 2,1,0W W u
x , x , x W x 2 x 1 1 2 3 1 2 * 3 * W R R u
x , x , x W x 2 x u x , x , x 1 1 2 3 1 1 2 3 1 2 * u
y , y , y W y 2 y x 2 x 2 2 x 1 2 2 2 1 2 3 1 2
u u x y , x y , x y u W 1 2 1 1 2 2 3 3 1
x y 2 x 2 y 2 x y 1 1 2 2 2 2 Vậy W là KGVT con của R3 6 u u W 1 2 VD11: W x ,x ,x 3 R x x 0 VD12: W x ,x ,0 x , x R 1 2 1 2 1 2 3 1 2
* u 1,1,0W W
* u 0,0,0W W 3 * W R 3 * W R u
x , x , x W x x 0 u
x , x ,0 W x , x R 1 1 2 1 1 2 3 1 2 * 1 2 * u
y , y , y W y y 0 u
y , y ,0 W y , y R 2 1 2 2 1 2 3 1 2 1 2
u u x y , x y , x y
u u x y , x y ,0 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 3 3
x y x y x x y y 0 0 0 x , y R x y R 1 1
2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 u u W x , y R x y R 1 2 2 2 2 2 u
x , x , x W x x 0 u u W 1 2 1 1 2 3 1 2 * u
x , x ,0 W x , x R 1 1 2 R 1 2 *
u x , x , x R 3 1 1 2
x x x x 0 0 u x , x ,0 1 1 2 1 2 1 2 u W x , R x R 1 1 1 x , R x R 2 2 Vậy W là KGVT con của R3 u W 1 Vậy W là KGVT con c 7 ủa R3 VD13: W x ,x ,x 3 R 2x 5 x 3 x 0 1 2 3 1 2 3 VD14: W x ,x ,x x x , x R 1 2 1 2 1 2
* u 0,0,0W W
* u 0,0,0W W 3 * W R 3 * W R u
x , x , x W 2x 5 x 3 x 0 1 1 2 3 1 2 3 * u
x , x , x x W x , x R 1 1 2 1 2 u
y , y , y W 2y 5 y 3 y 0 1 2 2 1 2 3 1 2 3 *
u u x y , x y , x y u
y , y , y y W y , y R 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 3 3
2x y 5 x y 3 x y
u u x y , x y , x x y y 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 3 3
2x 5x 3x 2y 5 y 3 y 0 0 0 1 2 3 1 2 3 x y x y 1 1 2 2 u u W 1 2
x x y y x y x y x x y y 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 u
x , x , x W 2x 5 x 3x 0 2 3 1 1 * 1 2 3 u u W 1 2 R u x , x , x
Vậy W không là KGVT con của R3 1 1 2 3
2 x 5 x 3 x 2x 5 x 3 x 0 0 1 2 3 1 2 3 u W 1 8 Vậy W là KGVT con của R3 VD15: W x ,x 2 R x x (Yes) 1 2 1 2 VD16: W x ,x 2 R 3x x 5 (No) 1 2 1 2 VD17: W x ,x ,x 2 R3 x x x 0 (No) 1 2 3 1 2 3 W x 3x x 0 VD18: x , x , x R3 (Yes) 1 2 3 2 1 2 3 2x x 0 2 3 9
TỔ HỢP TUYẾN TÍNH - ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH - PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH n
Tổ hợp tuyến tính: v c u c u ... c u c u c R i n n n i i ; i , 1, 1 1 2 2 i 1 Độc lập tuyến tính 0 C i n cu i i 0V i 1 C Phụ thuộc tuyến tính i 0
Nếu hệ S u ,u ,....,u 1 2
n là ĐLTT thì mọi hệ con của nó là cũng ĐLTT
Hệ S có chứa một hệ con PTTT thì S là PTTT
Hệ S là PTTT khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một vector u là THTT của những vector còn lại i 10 (u ) (u ) . 1 1 2 1 c 1,5 c 2,8 v ,v 1 2 1 2 n A T . . . c 2c v v c u 1 2 1 i i (u ) u m ( )m . i 1 1 2 5 c 8c A X B v 1 2 2 n T v 0 1 1 2 0 c u V i i A i 1 B . , B . T 5 8 v m 0 Gauss-Jordan Cramer 11 v0,0, 1 Tổ hợp tuyến tính ?
Độc lập tuyến tính hoặc c) u phụ thuộc tuyến tính? 1,1,0 1 v7, 1 u 1, 1 ,0 2 a) u 2,1
v c u c u v ?u ?u u 1, u 2 1, 2 u 3, 6 1 1 u 3, 6 1 1 1 1 2 2 v7,3,01d) 2 1 d ) e) e) f ) S f 2x),3 Sy 2x,3y u 1,1 u 1,1 u 2 , 4 2 u 1,1 2 u 2, 4 2 2 2 b) u 1,1,0 1 1 c ? a) u 2,1
v c u c u v ?u ?u 1 1 1 2 2 2 c ? 1 2 u 1, 1 ,0 2 Gauss-Jordan Cramer 12 HẠNG CỦA HỆ VECTOR
S u ,u ,u ,...,u V S Số vector ĐLTT cực đại trong S 1 2 3 n S u ,u ,u ,...,u 1 2 3 n , ,..., a a u a a am (1) (1) (1) (1) (1) ... 1 m 1 1 2 A . ... . S A ... . (n) (n) a a u a ,a ,. .,am ... 1 ( ) ( ) ( ) m n n n n 1 2 * S N vector of S Hệ S là ĐLTT * S N
Trong S có hệ con chứa S vector ĐLTT vector of S
Những hệ con chứa nhiều hơn S vector là PTTT 13
TẬP SINH – CƠ SỞ – SỐ CHIỀU
B là tập sinh của (hay sinh ra) V B 3 1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,1 R (V=, V=Span(B)) v v ,v ,v 3 R 1 2 3
B u ,u ,...,u u V i n n , i , 1, 1 2 v c u c u c u 1 1 2 2 3 3 n v V v c u
v ,v ,v c 1,0,0 c 0,1,0 c 0,0,1 1 2 3 1 2 3 i i i 1
c v ,c v ,c v v v u v u v u B là cơ sở V 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 B là tập sinh của 3 R B là tập sinh của V c u c u c u 0 1 1 2 2 3 3 V B là ĐLTT
c 1,0,0 c 0,1,0 c 0,0,1 0,0,0 1 2 3 Số chiều của V
c 0,c 0,c 0 B là ĐLTT 1 2 3 dim V = số vector của B B là cơ sở của 3 3 R dim R 3 (một số không đổi) B u u u n 1,0,...,0 ; 0,1,...,0 ;...; n 0,0,...,1 1 2 R n 14 dim R n B 2 u 1,u x,u x ,..., n u x P x 0 1 2 n n f x 3 a a x a x2 ... n a x P x 0 1 2 n n
f x c u c u c u ... c u 0 0 1 1 2 2 n n B là tập sinh của Pn 32 n 3
a a x a x ... a x c c x c x2 c x n ... n 0 1 2 0 1 2 n
c a , c a , c a ,...,c a 0 0 1 1 2 2 n n 3
c u c u c u ... c u 0 c c x c x ... n c x n n V n 0 0 0 1 1 2 2 0 1 2 V 32 n 3
c c x c x ... c x x x2 x n 0 0 0 ... 0 n 0 1 2 B là ĐLTT
c 0, c 0, c 0,..., c n 0 0 1 2 B là cơ sở của P x dim P x n n n 1 15
Tính chất của cơ sở & số chiều *dimV n là một số không đổi Gauss-Jordan
*B u ,...,u là cơ sở của 1 n V Cramer v
V , v c u ... c u 1 1 n n c ,...,c 1 n là duy nhất N V S là PTTT S dim N V S không thể là S dim * hệ sinh ra V N V S là một cơ sở S dim
của V khi và chỉ khi S là ĐLTT 16 A
,11, 1;1,2, 1;2, ,3 1 3 R (Yes) B
1,1, 1;1,2,3;3,2, 1 3 R (No) Tập sinh ? C 2 2 2
x x 1,2x 3x ,1 x 2 x P x (No) 2 D là tập sinh của V, 2x ,y, z , CMR D x x y z D 2x, x y, z 1 CMR D1 là tập sinh của V E 1,2, 1; ,17,5 3 R (No) Cơ sở ? F 2,2 3 1,1,2 ; 1,2,1 ; 3, R (Y s e ) G 2 2 2
x x ,12x x 1, x 2x 1 (No) H là cơ sở của V CMR H1 là cơ sở của V , , CMR H x y z
H 2x y z, x 2y z, x y z 1 I 3
1,2,3 ; 1,1,1 ; 3,4,2 ; 7,2,1 R (No) 17
CƠ SỞ – SỐ CHIỀU CỦA KGVT CON
W x , x , x , x x x 2 x , x x 2 x 1 1 2 3 4 1 2 3 1 2 4
Chứng minh W là KGVT con của 4 R
W x , x , x , x x x x 0, x x x 0 2 1 2 3 4 1 2 3 1 2 4
Tìm cơ sơ và số chiều của W
W x , x , x , x x x 0, x x 0 3 1 2 3 4 1 2 3 4
W x , x , x , x x x 2 x , x x 2 x x
x x , x x , x , x W 3 4 3 4 3 4 1 1 2 3 4 1 2 3 1 2 4 1 x x ,x x ,x ,x
x x 1,1,1,0 x 1,1,0,1 3 4 3 4 3 4 3 4
*x0,0,0,0W W 1 1
B u 1,1,1,0 ,u 1,1,0,1 1 2 4 *W R 1 W là KGVT B là tập sinh của W * x
x x , x x , x , x W 1 3 4 3 4 3 4 1 con của 4 R c u c u 0 y
y y , y y , y , y W 1 1 2 2 V 3 4 3 4 3 4 1 R
c 1,1,1,0 c 1,1,0,1 0,0,0,0 1 2
(x y ) (x y ),(x y ) (x y ,) c c 0 3 3 4 4 3 3 4 4 1 2 x y W1 x y , x y B : là ÐLTT 3 3 4 4 18 x
x x ,x x ,x ,x W
Vậy cơ sở của W1là B và dimW 2 4 3 4 3 4 3 1 1
TỌA ĐỘ – MA TRẬN CHUYỂN ĐỔI CƠ SỞ B u ,...,u là cơ sở của V 1 n c ... c
v V v c u ... c u B u ,...,u B u u n , ' ' ,..., ' 1 1 n 11 1n 1 1 n n P BB . ... . v c ... c ' B 1 n c c n ...
là vector tọa độ của v đối với cơ sở B 1 nn c u
' c u c u ... c u 1 11 1 21 2 1
là ma trận chuyển cơ sở 1 n n v . từ B sang B’ ..... B c u
' c u c u c u n n n ... 1 1 2 2 nn n v P v B B B' n B'
là ma trận tọa độ của v trong cơ sở B 1
v c u ... c u v U C P B B B B ' n n . 1 1 ' u . u c v 1 n 1 1
Chú ý: đưa B và B’ về dạng ma trận cột U . , C . , v . P P B B B B B B B B ' ' ' ' 1 1 1 1 . c v n n 19 *B u 0,1 ,u 1,1 1 2 v2,3 2 2 2
B x x 1, x 2x 1, x x B
1,1, 1,1,1,0,1,0, 1 2 v c u c u 1 3 1 1 2 2 0c 1c 2 c 1 a) v 2 v ? b) p x 2 p x ? 1 2 1 B B c c 3 c 1 5 2 1 2 2
v 3,1, 2 v ? 2 p x x p x ? B B v 1 B 2 c) B
1,0,0, 1 P B 1, 1,2,3 B 1 B ? 1 B
1,1, 1,1,0, 1,1,1,0 P P B B ?, B B ? ' ' d) B'
1,1,2,1,1,2,1,1,2 v 2,1,3 v ?, v ? B B' 20