Không gian Vecto | Bài giảng Đại số tuyến tính

Hệ S có chứa một hệ con PTTT thì S là PTTT
Hệ S là PTTT khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một vector là THTT của những vector còn lại. Bài giảng 32 trang giúp bạn tham khảo, củng cố kiến thức và ôn tập đạt kết cao

46 23 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Đại số tuyến tính (MA003)

Trường: Trường Đại học Công nghệ Thông tin, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

Thông tin:

31 trang 3 tháng trước

Tác giả:

Profile Như Ngọc
1
KHÔNG GIAN VECTOR
V
:
,
V V V
x y x y
Một tập V khác rỗng
trên đó có hai phép toán:
cộng và nhân
*
x
y
V
x y
x
*
*
: phần tử trung hòa; : phần tử đối; : vô hướng đơn vị
0
V
x
1
0
V
x
0
0
0
x
x
: duy nhất
: duy nhất
.:
,
V V
x x
1) ,
2)
3) ,
4) , ,
0
5) 0 0
6) 0
V
V V
V
x y V x y V
x V
x V
x y V x y y x
x y z V x y z x y z
V
x x x
x V
x V
x x x x
x V
,
7)
8)
,
9)
,
10) 1.
x y V
x y x y
x V
x x x
x V
x x
x V x x

2
1) ,
2)
3) ,
4) , ,
0
5) 0 0
6) 0
,
7)
8)
,
9)
,
V
V V
V
x y V x y V
x V
x V
x y V x y y x
x y z V x y z x y z
V
x x x
x V
x V
x x x x
x V
x y V
x y x y
x V
x x x
x V
x x

10) 1.x V x x
VD1:
V u u R
R
, ,
,
x y z V
R
1),…,10)
(1) Với
(2) Kiểm tra
(3) Thỏa
Tập các số thực R là một
R- không gian vector
Các phép cộng và nhân thông thường trên R
2
, , ,
VD2:
V u x y x y R V R
R
1 1 1 2 2 2 3 3 3
, , , , ,
,
u x y u x y u x y V
R
(1)
1),…,10)
(2)
(3)
Các phép cộng và nhân thông thường vector 2 chiều trên R
0 0,
V
u
Tập R
2
là một không gian vector
0 0,0 , ,
V
u x y
n
R
1 2
, ,..., , 1, ,
n
n i
V u x x x x R i n V R
là không gian vector,
1
0 0,0,...,0 , ,...,
V n
n
u x x
3
1) ,
2)
3) ,
4) , ,
0
5) 0 0
6) 0
,
7)
8)
,
9)
,
V
V V
V
x y V x y V
x V
x V
x y V x y y x
x y z V x y z x y z
V
x x x
x V
x V
x x x x
x V
x y V
x y x y
x V
x x x
x V
x x

10) 1.x V x x
2
2
VD3: , , ,
V a bx cx a b c R V P x
(3)
(2)
(1)
1),…,10)
là một không gian vector
2
P x
0 , , 0,0,0 ; , ,
V
a b c u a b c
n
P x
là một không gian vector
0
0 0
, 1, ,
0 ,..., 0,...,0 0, ,...,
n
i
i i n
i
V n n
V a x a R i n V P x
a a u a a
Các phép cộng và nhân đa thức thông thường trên R
2
1 0 1 2 0 1 2
2
2 0 1 2 0 1 2
2
1 0 1 2 0 1 2
; , ,
; , ,
; , ,
f x a a x a x V a a a R
f x b b x b x V b b b R
f x c c x c x V c c c R
4
1) ,
2)
3) ,
4) , ,
0
5) 0 0
6) 0
,
7)
8)
,
9)
,
V
V V
V
x y V x y V
x V
x V
x y V x y y x
x y z V x y z x y z
V
x x x
x V
x V
x x x x
x V
x y V
x y x y
x V
x x x
x V
x x

10) 1.x V x x
1 1
1 1 1 1 1
1 1
2 2
2 2 2 2 2
2 2
3 3
3 3 3 3 3
3 3
; , , ,
; , , ,
; , , ,
x y
u V x y z t R
z t
x y
u V x y z t R
z t
x y
u V x y z t R
z t
2
VD4: , , , ,
a b
V a b c d R V M R
c d
Các phép cộng và nhân ma trận thông thường trên R
(1)
là một không gian vector
2
M R
0 0
0
0 0
V
a b
u
c d
m n
M R
là một không gian vector
5
VD5: (Yes)
V x x R
K Q
VD6: (No)
V x x Q
K R
1 2 3 1 2 3
VD7: , , , 1,3 2 3 0 (Yes)
i
V x x x x R i x x x
VD8: , , , , (No)
( ) : , , ', ', ' ', ', '
(.) : , , , ,
V x y z x y z R
pc x y z x y z x x y y z z
pn x y z x y z
1 2 1 2 1 2
VD9: , , 0, 0 (Yes)
( ) : , ', ' , ' '
(.) : , ,
V x x x x R x x
pc x y x y xy x y
pn x y x y
1) ,
2)
3) ,
4) , ,
0
5) 0 0
6) 0
,
7)
8)
,
9)
,
V
V V
V
x y V x y V
x V
x V
x y V x y y x
x y z V x y z x y z
V
x x x
x V
x V
x x x x
x V
x y V
x y x y
x V
x x x
x V
x x

10) 1.x V x x
Kiểm tra các tập sau có là
KGVT không
6
KHÔNG GIAN VECTOR CON
,
,
W
W V
x y W x y W
x W R x W
W là không gian vector con của V
VD10: Chứng minh W là KGVT con của R
3
3
1 2 3 1 2
3
, , 2
* 2,1,0
*
W x x x R x x
u W W
W R
1 1 2 3 1 2
2 1 2 3 1 2
1 2 1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 2 2
1 2
, , 2
*
, , 2
, ,
2 2 2
u x x x W x x
u y y y W y y
u u x y x y x y
x y x y x y
u u W
1 1 2 3 1 2
1 1 2 3
1 2 2
1
, , 2
*
, ,
2 2 2
u x x x W x x
R
u x x x
x x x
u W
Vậy W là KGVT con của R
3
7
Vậy W là KGVT con của R
3
3
1 2 3 1 2
3
1 1 2 3 1 2
2 1 2 3 1 2
1 2 1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2
1 1 2 3 1 2
1 1 2
VD11: , , 0
* 1,1,0
*
, , 0
*
, , 0
, ,
0 0 0
, , 0
*
, ,
W x x x R x x
u W W
W R
u x x x W x x
u y y y W y y
u u x y x y x y
x y x y x x y y
u u W
u x x x W x x
R
u x x
3
1 2 1 2
1
0 0
x
x x x x
u W
Vậy W là KGVT con của R
3
1 2 1 2
3
1 1 2 1 2
2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 2
1 1 2 1 2
1 1 2
1 1
VD12: , ,0 ,
* 0,0,0
*
, ,0 ,
*
, ,0 ,
, ,0
,
,
, ,0 ,
*
, ,0
,
W x x x x R
u W W
W R
u x x W x x R
u y y W y y R
u u x y x y
x y R x y R
x y R x y R
u u W
u x x W x x R
R
u x x
x R x
2 2
1
,
R
x R x R
u W
8
3
1 2 3 1 2 3
3
1 1 2 3 1 2 3
2 1 2 3 1 2 3
1 2 1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3
1 2
1 1
VD13: , , 2 5 3 0
* 0,0,0
*
, , 2 5 3 0
*
, , 2 5 3 0
, ,
2 5 3
2 5 3 2 5 3 0 0 0
*
W x x x R x x x
u W W
W R
u x x x W x x x
u y y y W y y y
u u x y x y x y
x y x y x y
x x x y y y
u u W
u x
2 3 1 2 3
1 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1
, , 2 5 3 0
, ,
2 5 3 2 5 3 0 0
x x W x x x
R
u x x x
x x x x x x
u W
Vậy W là KGVT con của R
3
1 2 1 2 1 2
3
1 1 2 1 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
1 1 2 2
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2
1 2
VD14: , , ,
* 0,0,0
*
, , ,
*
, , ,
, ,
W x x x x x x R
u W W
W R
u x x x x W x x R
u y y y y W y y R
u u x y x y x x y y
x y x y
x x y y x y x y x x y y
u u W
Vậy W không là KGVT con của R
3
9
2
1 2 1 2
VD15: , (Yes)
W x x R x x
2
1 2 1 2
VD16: , 3 5 (No)
W x x R x x
2
1 2 3 1 2 3
VD17: , , 0 (No)
W x x x R x x x
1 2 3
2
1 2 3
2 3
3 0
VD18: , , (Yes)
2 0
x x x
W x x x R
x x
3
3
10
TỔ HỢP TUYẾN TÍNH - ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH - PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH
1 1 2 2
1
... ; , 1,
n
n n i i i
i
v c u c u c u c u c R i n
Tổ hợp tuyến tính:
Độc lập tuyến tính
0
i
C
Phụ thuộc tuyến tính
0
i
C
1
0
n
i i V
i
c u
Nếu hệ là ĐLTT thì mọi hệ con của nó là cũng ĐLTT
Hệ S có chứa một hệ con PTTT thì S là PTTT
Hệ S là PTTT khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một vector là THTT của những vector còn lại
1 2
, ,....,
n
S u u u
i
u
11
Gauss-Jordan
Cramer
1 2 1 2
1 2 1
1 2 2
1,5 2,8 ,
2
5 8
1 2
5 8
T
c c v v
c c v
c c v
A
1
2 11
1
2
1
1
1
( )
.
(
)
)
.
.
.
.
0
,
)
0
.
0
(
.
(
n
T
i i
i
n
V i i
m
i
mm
T
A
v
u
u
v
v
c u
c u
B
u
B
u
A X B
12
1
2
7, 3,0
) 1,1,0
1, 1,0
v
b u
u
1
2
0,0,1
) 1,1,0
1, 1,0
v
c u
u
Tổ hợp tuyến tính ?
Độc lập tuyến tính hoặc
phụ thuộc tuyến tính?
1 1 1 2 2 1 2
2
7, 1
) 2,1 ? ?
1, 1
v
a u v c u c u v u u
u
1
2
?
1 1 1 2 2 1 2
?
) 2,1 ? ?
c
c
a u v c u c u v u u

1 1
2 2
1,2 3, 6
) ) ) 2 ,3
1,1 2,4
u u
d e f S x y
u u
1 1
2 2
1,2 3, 6
) ) ) 2 ,3
1,1 2,4
u u
d e f S x y
u u
Gauss-Jordan
Cramer
13
HẠNG CỦA HỆ VECTOR
1 2 3
, , ,...,
n
S u u u u V S
Số vector ĐLTT cực đại trong S
1 2 3
(1) (1)
(1) (1) (1)
1
1 1 2
( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
1 2
, , ,...,
...
, ,...,
. ... .
......
...
, ,...,
n
m
m
n n
m
n n n
n m
S u u u u
a a
u a a a
A S A
a a
u a a a
*
*
vector of S
vector of S
S N
S N
Hệ S là ĐLTT
Trong S có hệ con chứa vector ĐLTT
Những hệ con chứa nhiều hơn vector là PTTT
S
S
14
TẬP SINH – CƠ SỞ – SỐ CHIỀU
B là tập sinh của (hay sinh ra) V
(V=<B>, V=Span(B))
1 2
1
, ,..., , , 1,
n i
n
i i
i
B u u u u V i n
v V v c u
B
B
B là cơ sở V
là tập sinh của V
là ĐLTT
Số chiều của V
dim V = số vector của B
(một số không đổi)
3
1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,1
B R
3
1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
, ,
, , 1,0,0 0,1,0 0,0,1
, ,
v v v v R
v c u c u c u
v v v c c c
c v c v c v v v u v u v u
B là tập sinh của
3
R
B là cơ sở của
1 1 2 2 3 3
1 2 3
1 2 3
0
1,0,0 0,1,0 0,0,1 0,0,0
0, 0, 0
V
c u c u c u
c c c
c c c
3
dim 3
R
1 2
1,0,...,0 ; 0,1,...,0 ;...; 0,0,...,1
dim
n
n
n
B u u u
R
R n
B là ĐLTT
3
R
15
2
0 1 2
1, , ,...,
n
n n
B u u x u x u x P x
B là tập sinh của
n
P
3
0 1 2
0 0 1 1 2 2
3 3
0 1 2 0 1 2
0 0 1 1 2 2
...
...
... ...
, , ,...,
n
n n
n n
n n
n n
n n
f x a a x a x a x P x
f x c u c u c u c u
a a x a x a x c c x c x c x
c a c a c a c a
3
0 0 1 1 2 2 0 1 2
3 3
0 1 2
0 1 2
... 0 ... 0
... 0 0 0 ... 0
0, 0, 0,..., 0
n
n n V n V
n n
n
n
c u c u c u c u c c x c x c x
c c x c x c x x x x
c c c c
B là ĐLTT
B là cơ sở của
n
P x
dim 1
n
P x n
2
2
2
2 2
16
Tính chất của cơ sở & số chiều
*dim
V n
là một số không đổi
1
1 1
1
* ,...,
, ...
,...,
n
n n
n
B u u
v V v c u c u
c c
là cơ sở của V
là duy nhất
dim
dim
*
dim
S
S
S
N V
N V
N V
S là PTTT
S không thể là
hệ sinh ra V
S là một cơ sở
của V khi và chỉ khi S là ĐLTT
Gauss-Jordan
Cramer
17
Tập sinh ?
D là tập sinh của V,
CMR D1 là tập sinh của V
2 2 2
3
2
3
1
1,1,1 ; 1,2,
,
3 ; 3,2,1
,
(
1 1,1 ; 1,2,1 ; 2,
2,
3 1 (
1
2 ,
,2 3 ,
, ,
1 2 )
)
)
(
CMR
D x x y z D x x y z
A
C
o
x x x x x x
B
R Y
P x No
e
R N
s
Cơ sở ?
3
2 2 2
1
3
1,1,2 ; 1,2,1 ; 3,
1,
, , 2
2
1,2
1 2 1
5
, 2
,
2,2 ( )
,1
,
; 1 7
)
(
, (
, )
CMR
H x y z H x y z x y z x y z
E
G
Y
x x x x x x N
N
F s
R
o
e
o
R

H là cơ sở của V
CMR H1 là cơ sở của V
3
1,2,3 ; 1,1,1 ; 3, 4,2 ; 7,2,1 ( )
I R No
, ,
x y z
18
CƠ SỞ – SỐ CHIỀU CỦA KGVT CON
Chứng minh W là KGVT con của
Tìm cơ sơ và số chiều của W
4
R
1 1 2 3 4 1 2 3 1 2 4
2 1 2 3 4 1 2 3 1 2 4
3 1 2 3 4 1 2 3 4
, , , 2 , 2
, , , 0, 0
, , , 0, 0
W x x x x x x x x x x
W x x x x x x x x x x
W x x x x x x x x
1 1
4
1
3 4 3 4 3 4 1
4
3
1 1 2 3 4 1 2 3 1 2 4
4 3 4 3 4 1
3 3 4 4 3 3 4 4
1
3 3 4 4
3
43 4 3 3
4 3
* 0,0,0,0
*
* , , ,
, , ,
( ) (
, , , 2 , 2
,
( ), ) (
,
,
,
,
)
,
W
x W W
W R
x x x x x x x W
y y y y y y y W
R
x y x y x y x y
x y
y
x x x x x x x x x x
x x
x
x x
W
x y x
x
x x
x x
4 3 4 1
, ,x x x W
W là KGVT
con của
4
R
3 4 3 4 3 4 1
3 4
1 2
, , ,
1,1,1,0 1, 1,0,1
1,1,1,0 , 1, 1,0,1
x x x x x x x W
x x x
B u u
B
là tập sinh của
1
W
1 1 2 2
1 2
1 2
0
1,1,1,0 1, 1,0,1 0,0,0,0
0
: là ÐLTT
V
c u c u
c c
c c
B
Vậy cơ sở của là B và
1
W
1
dim 2
W
19
TỌA ĐỘ – MA TRẬN CHUYỂN ĐỔI CƠ SỞ
1
1 1
1
1
,...,
...
...
.
n
n n
n
B
B
n
B u u V
v V v c u c u
v c c
c
v
c

là vector tọa độ của v đối với cơ sở B
là ma trận tọa độ
của v trong cơ sở B
là cơ sở của
là ma trận chuyển cơ sở
từ B sang B’
'
'
B B
B B
v P v
11 1
'
1
...
. ... .
...
n
B B
n nn
c c
P
c c
1 1
1
1 1
... .
.
.
.
, . , .
n n
n
n
n
v c u c u v U C
c v
U C v
c
u
v
u
1
'
'
B B
P B B
Chú ý: đưa B và B’ về dạng ma trận cột
1
1
1 1
' '
' '
B B B B
P P B B B B
1 1
1 11 1 21 2 1
1 1 2 2
,..., , ' ' ,..., '
' ...
.....
' ...
n n
n n
n n n nn n
B u u B u u
u c u c u c u
u c u c u c u
20
1 2
1 1 2 2
1 2 1
1 2 2
* 0,1 , 1,1
2,3
0 1 2 1
3 2
1
2
B
B u u
v
v c u c u
c c c
c c c
v
1,1,1 , 1,1,0 , 1,0,1
1
) 2 ?
1
3,1, 2 ?
B
B
B
a v v
v v
2 2 2
2
1, 2 1, 2
3
) 2 ?
5
?
B
B
B x x x x x x
b p x p x
p x x p x
1
?
1
) 1,0 , 0,1
1,1 , 2, 3
B B
c B
P
B
' '
'
1,1,1 , 1,0,1 , 1,1,0
?, ?
)
2,1,3 ?, ?
' 1,1,2 , 1,1,2 , 1,1,2
B B B B
B B
B
P P
d
v v v
B
| 1/31
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

KHÔNG GIAN VECTOR  : V V  V  V x y x, y  x  y V   * x    * .: V V Một tập V khác rỗng
trên đó có hai phép toán: * y * , x  x cộng và nhân  x 1) x
 , y  V  x  y  V x  , y  V  x   V  7)
    x  y   x  y 2)    x  V           x   V  0 : duy nhất V 3) x
 , y  V  x  y  y  x 8)
      x   x   x   ,     4) x  , y,        x : duy nhất z V x y z x  y z x   V  0   V 9)
    x    x V    ,        0 5)   x  0   x  x V 0V  x  0  x   V   10) x   V 1.x  x x  0 x  V  6) 
  x  x  x  x  0V 0 : phần tử trung hòa; : x phần tử đối; :    1 vô hướng đơn vị  x     V V 1  1) x
 , y  V  x  y  V x   V  V   u u   R (1) Với  x  , y, z V  2)    x  V  VD1:         R    ,     R 3) x
 , y  V  x  y  y  x
Các phép cộng và nhân thông thường trên R 4) x
 , y, z  V  x  y z  x  y  z (2) Kiểm tra 0
Tập các số thực R là một (3) Thỏa   V  5) V   x  0   x  x 1),…,10) V 0V x   V  R- không gian vector x   V  0  u V 0, 6)  
        x x  x  x x 0V  V  V
 ux y x y  R  2 , , , V  R  x  , y  V  7) VD2:
    x  y   x  y         R (1) x   V 
Các phép cộng và nhân thông thường vector 2 chiều trên R 8)
      x   x   x   ,    x   V    (3)
(2)  u x , y ,u x , y ,u x , y V  1  1 1  2  2 2  3  3 3  9)
    x    x   ,    1),…,10)      ,     R 10) x   V 1.x  x
Tập R2 là một không gian vector  0   u  x  y V 0,0,  ,  n R là không gian vector,       0     u  x  x V 0,0,...,0 ,  ,..., 1 n       2 V ux , x ,..., x x R i n V R n i , 1, , n 1 2      n  1) x
 , y  V  x  y  V VD3: V   2 a  bx  cx a, , b c   R , V  P x 2   x   V  2)    x  V    
Các phép cộng và nhân đa thức thông thường trên R  3) x
 , y  V  x  y  y  x (1) 2 4) x
 , y, z  V  x  y z  x  y  z
 f x  a  a x  a x  V; a ,a ,a  R 1   0 1 2 0 1 2 0   V   5) V 2   x  0   x  x
 f x  b  b x  b x  V; b ,b ,b  R 2   V 0V x   V  0 1 2 0 1 2  x   V 
 f x  c  c x  c x  V ; c ,c ,c  R  1   2 6)  0 1 2 0 1 2 
        x x  x  x x 0V  V  (2) x  , y  V  7)
    x  y   x  y      1),…,10) x   V  8)
      x   x   x   ,    (3) x   V  9)
    x    x P x
2   là một không gian vector   ,    0  a b c   u  a b  c V  , ,  0,0,0;  , ,  10) x   V 1.x  x n  i V a x a R i n     V  P x i i , 1, ,  n   P x  i0 
n   là một không gian vector 3 0  a a    u  a  a V  ,..., n 0,...,0 0, ,..., 0     0 n  1) x
 , y  V  x  y  V   a b   x   V  VD4: V  
 a,b,c,d  R, V  M R 2   2)    x  V   c d         
Các phép cộng và nhân ma trận thông thường trên R 3) x
 , y  V  x  y  y  x (1) 4) x
 , y, z  V  x  y z  x  y  z 0   V  5) V    x  0   x  x  x y  V 0V x   V 1 1  u      V ; x , y , z ,t  R 1 1 1 1 1 x   V    z t 1 1  6)  
        x x  x  x x 0V  V    x y 2 2  x  , y  V  u      V; x , y , z ,t  R 7)
    x  y   x  y 2 2 2 2 2       z t  2 2  x   V   8)
      x   x   x  x y    ,    3 3  u    V; x , y , z ,t    R 3 3 3 3 3 x   V    z t  9) 3 3
    x    x   ,    10) x   V 1.x  x 0 0  a b  M R 0  u  2 
 là một không gian vector V 0 0      c d  M  R m n 
 là một không gian vector 4
Kiểm tra các tập sau có là V   x x  R V   x x  Q KGVT không VD5:  (Yes) VD6:  (No) K  Q K  R 1) x
 , y  V  x  y  V x   V  2)    x  V VD7: V       
 x ,x ,x x R i  x  x  x  i , 1,3 2 3 0 (Yes) 1 2 3  1 2 3  3) x
 , y  V  x  y  y  x 4) x
 , y, z  V  x  y z  x  y  z VD8: V    x, y,z x, y,z  R (No) 0   V  5) V   x  0   x  x V 0V x   V 
pc() : x, y, z  x', y ', z '  x  x', y  y', z  z ' x   V  6)  
        x x  x  x x 0V  V pn(.) :  
x, y, z    x,  y,  z  x  , y  V  7)
    x  y   x  y      VD9: V  
 x ,x x ,x R  x  0,x  0 (Yes) 1 2  1 2 1 2  x   V  8)
      x   x   x   ,   
pc () : x, y  x', y '   xy, x' y ' x   V  9)
    x    x   ,   
pn(.) : x, y  x , y   10) x   V 1.x  x 5 KHÔNG GIAN VECTOR CON W    W    V
W là không gian vector con của V  x  , y W  x  y W 
VD10: Chứng minh W là KGVT con của R3  x  W ,    R   x W W    x ,x ,x  3  R x  2 x 1 2 3 1 2
* u  2,1,0W  W    u
  x , x , x W  x  2 x 1  1 2 3 1 2 *  3 * W  R     R  u
  x , x , x W  x  2 x u   x , x , x 1  1 2 3 1  1 2 3 1 2 *  u
  y , y , y W  y  2 y   x  2 x  2 2 x 1 2  2 2  1 2 3 1 2
u  u  x  y , x  y , x  y  u W 1 2  1 1 2 2 3 3 1
x  y  2 x  2 y  2 x  y 1 1 2 2  2 2 Vậy W là KGVT con của R3 6  u  u W 1 2 VD11: W    x ,x ,x  3  R x  x  0 VD12: W    x ,x ,0 x , x R 1 2  1 2  1 2 3 1 2 
* u  1,1,0W  W  
* u  0,0,0W  W   3 * W  R 3 * W  R  u
  x , x , x W  x  x  0  u
  x , x ,0 W  x , x  R 1  1 2  1  1 2 3 1 2 * 1 2  *   u
  y , y , y W  y  y  0   u
  y , y ,0 W  y , y  R  2  1 2  2  1 2 3 1 2 1 2
u  u  x  y , x  y , x  y
u  u  x  y , x  y ,0 1 2  1 1 2 2  1 2  1 1 2 2 3 3
x  y  x  y  x  x  y  y  0 0  0 x , y  R  x  y  R 1 1 
 2 2  1 2  1 2 1 1 1 1  u  u W x , y  R  x  y  R 1 2 2 2 2 2  u
  x , x , x W  x  x  0  u  u W 1 2 1  1 2 3 1 2 *   u
  x , x ,0 W  x , x  R 1  1 2      R 1 2 * 
u   x , x , x     R 3  1 1 2
 x  x   x  x  0  0 u   x , x ,0 1  1 2  1 2  1 2  u W x ,  R   x  R 1 1 1 x , R   x  R 2 2 Vậy W là KGVT con của R3  u W 1 Vậy W là KGVT con c 7 ủa R3 VD13: W    x ,x ,x  3  R 2x  5 x  3 x  0 1 2 3 1 2 3  VD14: W    x ,x ,x x x , x R 1 2 1 2  1 2 
* u  0,0,0W  W  
* u  0,0,0W  W   3 * W  R 3 * W  R  u
  x , x , x W  2x 5 x  3 x  0 1  1 2 3 1 2 3 *   u
  x , x , x x W  x , x  R 1  1 2 1 2  u
  y , y , y W  2y  5 y  3 y  0  1 2 2  1 2 3 1 2 3 * 
u  u  x  y , x  y , x  y  u
  y , y , y y W  y , y  R  2  1 2 1 2  1 2 1 2  1 1 2 2 3 3
2x  y 5 x  y  3 x  y 
u  u  x  y , x  y , x x  y y 1 2  1 1 2 2 1 2 1 2 1 1   2 2  3 3
2x 5x 3x  2y 5 y 3 y  0 0  0 1 2 3   1 2 3  x  y x  y  1 1   2 2   u  u W 1 2
 x x  y y  x y  x y  x x  y y 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2  u
  x , x , x W  2x  5 x  3x  0 2 3  1 1 * 1 2 3   u  u W 1 2     R u   x , x , x
Vậy W không là KGVT con của R3 1  1 2 3
2 x  5 x  3 x   2x  5 x  3 x  0  0 1 2 3  1 2 3   u W 1 8 Vậy W là KGVT con của R3 VD15: W    x ,x  2  R x  x (Yes) 1 2 1 2  VD16: W    x ,x  2  R 3x  x  5 (No) 1 2 1 2  VD17: W    x ,x ,x  2  R3 x x x  0 (No) 1 2 3 1 2 3        W  x 3x x 0 VD18:  x , x , x R3      (Yes) 1 2 3  2 1 2 3  2x  x    0 2 3  9
TỔ HỢP TUYẾN TÍNH - ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH - PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH n
Tổ hợp tuyến tính: v  c u  c u  ... c u  c u c  R i  n n n i i ; i , 1, 1 1 2 2 i 1  Độc lập tuyến tính 0 C  i n cu  i i 0V i 1  C  Phụ thuộc tuyến tính i 0
 Nếu hệ S  u ,u ,....,u 1 2
n là ĐLTT thì mọi hệ con của nó là cũng ĐLTT
 Hệ S có chứa một hệ con PTTT thì S là PTTT
 Hệ S là PTTT khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một vector u là THTT của những vector còn lại i 10   (u ) (u ) . 1 1 2 1  c 1,5  c 2,8  v ,v    1   2    1 2 n A    T . . .   c  2c  v v  c u     1 2 1 i i     (u ) u  m ( )m . i 1 1 2  5  c 8c    A X  B  v  1 2 2 n T    v   0 1  1 2 0  c u V i i      A     i 1  B  . , B  . T 5 8        v      m   0 Gauss-Jordan Cramer 11 v0,0,  1 Tổ hợp tuyến tính ?
Độc lập tuyến tính hoặc  c) u phụ thuộc tuyến tính?  1,1,0 1   v7,  1  u  1, 1  ,0  2   a) u  2,1
 v  c u  c u  v  ?u  ?u u 1, u 2 1, 2 u    3, 6 1 1  u    3, 6 1   1   1 1 2 2 v7,3,01d) 2 1  d )  e)  e)  f ) S f 2x),3 Sy 2x,3y u  1,1 u  1,1 u   2  , 4 2 u  1,1  2  u    2, 4 2     2 2    b) u 1,1,0 1   1 c ? a) u 2,1
 v  c u  c u   v  ?u  ?u 1 1 1 2 2 2 c ? 1 2 u  1, 1  ,0  2   Gauss-Jordan Cramer 12 HẠNG CỦA HỆ VECTOR
S  u ,u ,u ,...,u  V   S  Số vector ĐLTT cực đại trong S 1 2 3 n   S  u ,u ,u ,...,u  1 2 3 n      , ,..., a a u a a am  (1) (1) (1) (1) (1) ... 1 m 1 1 2   A  . ... .       S    A ... .  (n) (n)     a a    u a ,a ,. .,am  ... 1 ( ) ( ) ( ) m n n n n 1 2  * S   N  vector of S Hệ S là ĐLTT * S   N
 Trong S có hệ con chứa  S  vector ĐLTT vector of S
Những hệ con chứa nhiều hơn  S vector là PTTT 13
TẬP SINH – CƠ SỞ – SỐ CHIỀU
B là tập sinh của (hay sinh ra) V B         3 1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,1  R (V=, V=Span(B)) v  v ,v ,v  3  R 1 2 3
B  u ,u ,...,u u V i  n n , i , 1, 1 2   v  c u  c u  c u 1 1 2 2 3 3 n   v  V  v  c u
v ,v ,v  c 1,0,0  c 0,1,0  c 0,0,1 1 2 3  1   2   3   i i  i 1 
 c  v ,c  v ,c  v  v  v u  v u  v u B là cơ sở V 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 B là tập sinh của 3 R B là tập sinh của V c u  c u  c u  0  1 1 2 2 3 3 V B là ĐLTT
 c 1,0,0  c 0,1,0  c 0,0,1  0,0,0 1   2   3     Số chiều của V
 c  0,c  0,c  0 B là ĐLTT 1 2 3 dim V = số vector của B B là cơ sở của 3 3 R dim R  3 (một số không đổi) B  u  u  u  n  1,0,...,0 ; 0,1,...,0 ;...; n 0,0,...,1 1   2     R   n   14 dim R n B   2 u 1,u  x,u  x ,..., n u  x  P x 0 1 2 n  n   f  x 3  a  a x  a x2 ... n  a x  P x 0 1 2 n n  
f x  c u  c u  c u ... c u 0 0 1 1 2 2 n n B là tập sinh của Pn 32 n 3
 a  a x  a x ... a x  c  c x  c x2   c x n ... n 0 1 2 0 1 2 n
 c  a , c  a , c  a ,...,c  a 0 0 1 1 2 2 n n 3
c u  c u  c u ... c u  0  c  c x  c x ... n  c x  n n V n 0 0 0 1 1 2 2 0 1 2 V 32 n 3
 c  c x  c x ... c x   x  x2   x n 0 0 0 ... 0 n 0 1 2 B là ĐLTT
 c  0, c  0, c  0,..., c  n 0 0 1 2 B là cơ sở của P x dim P x  n  n   n   1 15
Tính chất của cơ sở & số chiều *dimV  n là một số không đổi Gauss-Jordan
*B  u ,...,u là cơ sở của  1 n  V Cramer  v
  V , v  c u ... c u 1 1 n n    c ,...,c 1 n là duy nhất N  V  S là PTTT S dim   N  V  S không thể là S dim * hệ sinh ra V  N  V  S là một cơ sở S dim 
 của V khi và chỉ khi S là ĐLTT 16 A  
 ,11, 1;1,2, 1;2, ,3 1 3  R (Yes) B  
 1,1, 1;1,2,3;3,2, 1 3  R (No) Tập sinh ? C   2 2 2
x  x 1,2x  3x  ,1 x  2  x  P x (No) 2   D là tập sinh của V,  2x ,y, z ,  CMR D x x y z   D  2x, x  y, z 1   CMR D1 là tập sinh của V E    1,2, 1; ,17,5 3  R (No) Cơ sở ? F        2,2 3 1,1,2 ; 1,2,1 ; 3,  R (Y s e ) G   2 2 2
x  x  ,12x  x 1, x  2x   1 (No) H là cơ sở của V CMR H1 là cơ sở của V   , ,  CMR H x y z 
 H  2x y  z, x  2y  z, x y  z 1   I           3
1,2,3 ; 1,1,1 ; 3,4,2 ; 7,2,1  R (No) 17
CƠ SỞ – SỐ CHIỀU CỦA KGVT CON
W  x , x , x , x x  x  2 x , x  x  2 x 1  1 2 3 4  1 2 3 1 2 4
Chứng minh W là KGVT con của 4 R
W  x , x , x , x x  x  x  0, x  x  x  0 2  1 2 3 4 1 2 3 1 2 4 
Tìm cơ sơ và số chiều của W
W  x , x , x , x x  x 0, x  x  0 3  1 2 3 4  1 2 3 4 
W  x , x , x , x x  x  2 x , x  x  2 x x
 x  x , x  x , x , x W 3 4 3 4 3 4  1  1 2 3 4 1 2 3 1 2 4 1    x  x ,x  x ,x ,x
 x  x 1,1,1,0  x 1,1,0,1 3   4   3 4 3 4 3 4 
*x0,0,0,0W  W   1 1
 B  u  1,1,1,0 ,u  1,1,0,1 1   2   4 *W  R 1 W là KGVT  B là tập sinh của W * x
  x  x , x  x , x , x W  1 3 4 3 4 3 4  1  con của 4 R c u  c u  0 y
  y  y , y  y , y , y W 1 1 2 2 V 3 4 3 4 3 4  1   R   
 c 1,1,1,0  c 1,1,0,1  0,0,0,0 1   2      
(x  y )  (x  y ),(x  y )  (x  y ,)  c  c  0 3 3 4 4 3 3 4 4  1 2 x  y   W1    x  y , x  y  B : là ÐLTT 3 3 4 4   18  x  
x x ,x  x ,x ,x W
Vậy cơ sở của W1là B và dimW  2 4 3 4  3 4 3 1 1
TỌA ĐỘ – MA TRẬN CHUYỂN ĐỔI CƠ SỞ B  u ,...,u là cơ sở của V  1 n    c ... c 
v V  v  c u ... c u B  u ,...,u B  u u  n , ' ' ,..., ' 1   1 n 11 1n 1 1 n n   P    BB . ... .  v  c ... c '    B 1 n     c c    n ...
là vector tọa độ của v đối với cơ sở B 1 nn      c u
 '  c u  c u ... c u 1 11 1 21 2 1
là ma trận chuyển cơ sở 1    n n  v  .      từ B sang B’   ..... B       c  u 
 '  c u  c u   c u n n n ... 1 1 2 2 nn n   v  P  v B B B'   n   B'
 là ma trận tọa độ của v trong cơ sở B 1 
v  c u ... c u  v  U C P   B B B B ' n n . 1 1 ' u . u   c   v 1 n 1 1 
Chú ý: đưa B và B’ về dạng ma trận cột U  . , C  . , v  .              P  P  B B  B    B B B B B ' ' '  '  1  1  1 1  .    c     v  n n  19 *B  u 0,1 ,u 1,1  1   2   v2,3 2 2 2 
B  x  x 1, x  2x 1, x  x    B  
 1,1, 1,1,1,0,1,0, 1 2    v  c u  c u   1     3  1 1 2 2       0c 1c  2 c  1 a)   v  2  v  ? b)  p   x  2   p  x  ?   1 2 1 B   B         c c 3    c   1  5    2    1 2 2
v  3,1, 2  v  ? 2   p x  x   p    x  ?     B B  v 1  B  2   c) B  
 1,0,0, 1 P B    1, 1,2,3 B 1 B ? 1  B  
 1,1, 1,1,0, 1,1,1,0  P    P B B ?, B B ? ' ' d)    B'  
 1,1,2,1,1,2,1,1,2 v  2,1,3    v  ?, v  ? B B' 20