Không gian Vecto | Bài giảng Đại số tuyến tính

KHÔNG GIAN VECTOR  : V V  V  V x y x, y  x  y V   * x    * .: V V Một tập V khác rỗng
trên đó có hai phép toán: * y * , x  x cộng và nhân  x 1) x
 , y  V  x  y  V x  , y  V  x   V  7)
    x  y   x  y 2)    x  V           x   V  0 : duy nhất V 3) x
 , y  V  x  y  y  x 8)
      x   x   x   ,     4) x  , y,        x : duy nhất z V x y z x  y z x   V  0   V 9)
    x    x V    ,        0 5)   x  0   x  x V 0V  x  0  x   V   10) x   V 1.x  x x  0 x  V  6) 
  x  x  x  x  0V 0 : phần tử trung hòa; : x phần tử đối; :    1 vô hướng đơn vị  x     V V 1  1) x
 , y  V  x  y  V x   V  V   u u   R (1) Với  x  , y, z V  2)    x  V  VD1:         R    ,     R 3) x
 , y  V  x  y  y  x
Các phép cộng và nhân thông thường trên R 4) x
 , y, z  V  x  y z  x  y  z (2) Kiểm tra 0
Tập các số thực R là một (3) Thỏa   V  5) V   x  0   x  x 1),…,10) V 0V x   V  R- không gian vector x   V  0  u V 0, 6)  
        x x  x  x x 0V  V  V
 ux y x y  R  2 , , , V  R  x  , y  V  7) VD2:
    x  y   x  y         R (1) x   V 
Các phép cộng và nhân thông thường vector 2 chiều trên R 8)
      x   x   x   ,    x   V    (3)
(2)  u x , y ,u x , y ,u x , y V  1  1 1  2  2 2  3  3 3  9)
    x    x   ,    1),…,10)      ,     R 10) x   V 1.x  x
Tập R2 là một không gian vector  0   u  x  y V 0,0,  ,  n R là không gian vector,       0     u  x  x V 0,0,...,0 ,  ,..., 1 n       2 V ux , x ,..., x x R i n V R n i , 1, , n 1 2      n  1) x
 , y  V  x  y  V VD3: V   2 a  bx  cx a, , b c   R , V  P x 2   x   V  2)    x  V    
Các phép cộng và nhân đa thức thông thường trên R  3) x
 , y  V  x  y  y  x (1) 2 4) x
 , y, z  V  x  y z  x  y  z
 f x  a  a x  a x  V; a ,a ,a  R 1   0 1 2 0 1 2 0   V   5) V 2   x  0   x  x
 f x  b  b x  b x  V; b ,b ,b  R 2   V 0V x   V  0 1 2 0 1 2  x   V 
 f x  c  c x  c x  V ; c ,c ,c  R  1   2 6)  0 1 2 0 1 2 
        x x  x  x x 0V  V  (2) x  , y  V  7)
    x  y   x  y      1),…,10) x   V  8)
      x   x   x   ,    (3) x   V  9)
    x    x P x
2   là một không gian vector   ,    0  a b c   u  a b  c V  , ,  0,0,0;  , ,  10) x   V 1.x  x n  i V a x a R i n     V  P x i i , 1, ,  n   P x  i0 
n   là một không gian vector 3 0  a a    u  a  a V  ,..., n 0,...,0 0, ,..., 0     0 n  1) x
 , y  V  x  y  V   a b   x   V  VD4: V  
 a,b,c,d  R, V  M R 2   2)    x  V   c d         
Các phép cộng và nhân ma trận thông thường trên R 3) x
 , y  V  x  y  y  x (1) 4) x
 , y, z  V  x  y z  x  y  z 0   V  5) V    x  0   x  x  x y  V 0V x   V 1 1  u      V ; x , y , z ,t  R 1 1 1 1 1 x   V    z t 1 1  6)  
        x x  x  x x 0V  V    x y 2 2  x  , y  V  u      V; x , y , z ,t  R 7)
    x  y   x  y 2 2 2 2 2       z t  2 2  x   V   8)
      x   x   x  x y    ,    3 3  u    V; x , y , z ,t    R 3 3 3 3 3 x   V    z t  9) 3 3
    x    x   ,    10) x   V 1.x  x 0 0  a b  M R 0  u  2 
 là một không gian vector V 0 0      c d  M  R m n 
 là một không gian vector 4
Kiểm tra các tập sau có là V   x x  R V   x x  Q KGVT không VD5:  (Yes) VD6:  (No) K  Q K  R 1) x
 , y  V  x  y  V x   V  2)    x  V VD7: V       
 x ,x ,x x R i  x  x  x  i , 1,3 2 3 0 (Yes) 1 2 3  1 2 3  3) x
 , y  V  x  y  y  x 4) x
 , y, z  V  x  y z  x  y  z VD8: V    x, y,z x, y,z  R (No) 0   V  5) V   x  0   x  x V 0V x   V 
pc() : x, y, z  x', y ', z '  x  x', y  y', z  z ' x   V  6)  
        x x  x  x x 0V  V pn(.) :  
x, y, z    x,  y,  z  x  , y  V  7)
    x  y   x  y      VD9: V  
 x ,x x ,x R  x  0,x  0 (Yes) 1 2  1 2 1 2  x   V  8)
      x   x   x   ,   
pc () : x, y  x', y '   xy, x' y ' x   V  9)
    x    x   ,   
pn(.) : x, y  x , y   10) x   V 1.x  x 5 KHÔNG GIAN VECTOR CON W    W    V
W là không gian vector con của V  x  , y W  x  y W 
VD10: Chứng minh W là KGVT con của R3  x  W ,    R   x W W    x ,x ,x  3  R x  2 x 1 2 3 1 2
* u  2,1,0W  W    u
  x , x , x W  x  2 x 1  1 2 3 1 2 *  3 * W  R     R  u
  x , x , x W  x  2 x u   x , x , x 1  1 2 3 1  1 2 3 1 2 *  u
  y , y , y W  y  2 y   x  2 x  2 2 x 1 2  2 2  1 2 3 1 2
u  u  x  y , x  y , x  y  u W 1 2  1 1 2 2 3 3 1
x  y  2 x  2 y  2 x  y 1 1 2 2  2 2 Vậy W là KGVT con của R3 6  u  u W 1 2 VD11: W    x ,x ,x  3  R x  x  0 VD12: W    x ,x ,0 x , x R 1 2  1 2  1 2 3 1 2 
* u  1,1,0W  W  
* u  0,0,0W  W   3 * W  R 3 * W  R  u
  x , x , x W  x  x  0  u
  x , x ,0 W  x , x  R 1  1 2  1  1 2 3 1 2 * 1 2  *   u
  y , y , y W  y  y  0   u
  y , y ,0 W  y , y  R  2  1 2  2  1 2 3 1 2 1 2
u  u  x  y , x  y , x  y
u  u  x  y , x  y ,0 1 2  1 1 2 2  1 2  1 1 2 2 3 3
x  y  x  y  x  x  y  y  0 0  0 x , y  R  x  y  R 1 1 
 2 2  1 2  1 2 1 1 1 1  u  u W x , y  R  x  y  R 1 2 2 2 2 2  u
  x , x , x W  x  x  0  u  u W 1 2 1  1 2 3 1 2 *   u
  x , x ,0 W  x , x  R 1  1 2      R 1 2 * 
u   x , x , x     R 3  1 1 2
 x  x   x  x  0  0 u   x , x ,0 1  1 2  1 2  1 2  u W x ,  R   x  R 1 1 1 x , R   x  R 2 2 Vậy W là KGVT con của R3  u W 1 Vậy W là KGVT con c 7 ủa R3 VD13: W    x ,x ,x  3  R 2x  5 x  3 x  0 1 2 3 1 2 3  VD14: W    x ,x ,x x x , x R 1 2 1 2  1 2 
* u  0,0,0W  W  
* u  0,0,0W  W   3 * W  R 3 * W  R  u
  x , x , x W  2x 5 x  3 x  0 1  1 2 3 1 2 3 *   u
  x , x , x x W  x , x  R 1  1 2 1 2  u
  y , y , y W  2y  5 y  3 y  0  1 2 2  1 2 3 1 2 3 * 
u  u  x  y , x  y , x  y  u
  y , y , y y W  y , y  R  2  1 2 1 2  1 2 1 2  1 1 2 2 3 3
2x  y 5 x  y  3 x  y 
u  u  x  y , x  y , x x  y y 1 2  1 1 2 2 1 2 1 2 1 1   2 2  3 3
2x 5x 3x  2y 5 y 3 y  0 0  0 1 2 3   1 2 3  x  y x  y  1 1   2 2   u  u W 1 2
 x x  y y  x y  x y  x x  y y 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2  u
  x , x , x W  2x  5 x  3x  0 2 3  1 1 * 1 2 3   u  u W 1 2     R u   x , x , x
Vậy W không là KGVT con của R3 1  1 2 3
2 x  5 x  3 x   2x  5 x  3 x  0  0 1 2 3  1 2 3   u W 1 8 Vậy W là KGVT con của R3 VD15: W    x ,x  2  R x  x (Yes) 1 2 1 2  VD16: W    x ,x  2  R 3x  x  5 (No) 1 2 1 2  VD17: W    x ,x ,x  2  R3 x x x  0 (No) 1 2 3 1 2 3        W  x 3x x 0 VD18:  x , x , x R3      (Yes) 1 2 3  2 1 2 3  2x  x    0 2 3  9
TỔ HỢP TUYẾN TÍNH - ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH - PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH n
Tổ hợp tuyến tính: v  c u  c u  ... c u  c u c  R i  n n n i i ; i , 1, 1 1 2 2 i 1  Độc lập tuyến tính 0 C  i n cu  i i 0V i 1  C  Phụ thuộc tuyến tính i 0
 Nếu hệ S  u ,u ,....,u 1 2
n là ĐLTT thì mọi hệ con của nó là cũng ĐLTT
 Hệ S có chứa một hệ con PTTT thì S là PTTT
 Hệ S là PTTT khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một vector u là THTT của những vector còn lại i 10   (u ) (u ) . 1 1 2 1  c 1,5  c 2,8  v ,v    1   2    1 2 n A    T . . .   c  2c  v v  c u     1 2 1 i i     (u ) u  m ( )m . i 1 1 2  5  c 8c    A X  B  v  1 2 2 n T    v   0 1  1 2 0  c u V i i      A     i 1  B  . , B  . T 5 8        v      m   0 Gauss-Jordan Cramer 11 v0,0,  1 Tổ hợp tuyến tính ?
Độc lập tuyến tính hoặc  c) u phụ thuộc tuyến tính?  1,1,0 1   v7,  1  u  1, 1  ,0  2   a) u  2,1
 v  c u  c u  v  ?u  ?u u 1, u 2 1, 2 u    3, 6 1 1  u    3, 6 1   1   1 1 2 2 v7,3,01d) 2 1  d )  e)  e)  f ) S f 2x),3 Sy 2x,3y u  1,1 u  1,1 u   2  , 4 2 u  1,1  2  u    2, 4 2     2 2    b) u 1,1,0 1   1 c ? a) u 2,1
 v  c u  c u   v  ?u  ?u 1 1 1 2 2 2 c ? 1 2 u  1, 1  ,0  2   Gauss-Jordan Cramer 12 HẠNG CỦA HỆ VECTOR
S  u ,u ,u ,...,u  V   S  Số vector ĐLTT cực đại trong S 1 2 3 n   S  u ,u ,u ,...,u  1 2 3 n      , ,..., a a u a a am  (1) (1) (1) (1) (1) ... 1 m 1 1 2   A  . ... .       S    A ... .  (n) (n)     a a    u a ,a ,. .,am  ... 1 ( ) ( ) ( ) m n n n n 1 2  * S   N  vector of S Hệ S là ĐLTT * S   N
 Trong S có hệ con chứa  S  vector ĐLTT vector of S
Những hệ con chứa nhiều hơn  S vector là PTTT 13
TẬP SINH – CƠ SỞ – SỐ CHIỀU
B là tập sinh của (hay sinh ra) V B         3 1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,1  R (V=, V=Span(B)) v  v ,v ,v  3  R 1 2 3
B  u ,u ,...,u u V i  n n , i , 1, 1 2   v  c u  c u  c u 1 1 2 2 3 3 n   v  V  v  c u
v ,v ,v  c 1,0,0  c 0,1,0  c 0,0,1 1 2 3  1   2   3   i i  i 1 
 c  v ,c  v ,c  v  v  v u  v u  v u B là cơ sở V 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 B là tập sinh của 3 R B là tập sinh của V c u  c u  c u  0  1 1 2 2 3 3 V B là ĐLTT
 c 1,0,0  c 0,1,0  c 0,0,1  0,0,0 1   2   3     Số chiều của V
 c  0,c  0,c  0 B là ĐLTT 1 2 3 dim V = số vector của B B là cơ sở của 3 3 R dim R  3 (một số không đổi) B  u  u  u  n  1,0,...,0 ; 0,1,...,0 ;...; n 0,0,...,1 1   2     R   n   14 dim R n B   2 u 1,u  x,u  x ,..., n u  x  P x 0 1 2 n  n   f  x 3  a  a x  a x2 ... n  a x  P x 0 1 2 n n  
f x  c u  c u  c u ... c u 0 0 1 1 2 2 n n B là tập sinh của Pn 32 n 3
 a  a x  a x ... a x  c  c x  c x2   c x n ... n 0 1 2 0 1 2 n
 c  a , c  a , c  a ,...,c  a 0 0 1 1 2 2 n n 3
c u  c u  c u ... c u  0  c  c x  c x ... n  c x  n n V n 0 0 0 1 1 2 2 0 1 2 V 32 n 3
 c  c x  c x ... c x   x  x2   x n 0 0 0 ... 0 n 0 1 2 B là ĐLTT
 c  0, c  0, c  0,..., c  n 0 0 1 2 B là cơ sở của P x dim P x  n  n   n   1 15
Tính chất của cơ sở & số chiều *dimV  n là một số không đổi Gauss-Jordan
*B  u ,...,u là cơ sở của  1 n  V Cramer  v
  V , v  c u ... c u 1 1 n n    c ,...,c 1 n là duy nhất N  V  S là PTTT S dim   N  V  S không thể là S dim * hệ sinh ra V  N  V  S là một cơ sở S dim 
 của V khi và chỉ khi S là ĐLTT 16 A  
 ,11, 1;1,2, 1;2, ,3 1 3  R (Yes) B  
 1,1, 1;1,2,3;3,2, 1 3  R (No) Tập sinh ? C   2 2 2
x  x 1,2x  3x  ,1 x  2  x  P x (No) 2   D là tập sinh của V,  2x ,y, z ,  CMR D x x y z   D  2x, x  y, z 1   CMR D1 là tập sinh của V E    1,2, 1; ,17,5 3  R (No) Cơ sở ? F        2,2 3 1,1,2 ; 1,2,1 ; 3,  R (Y s e ) G   2 2 2
x  x  ,12x  x 1, x  2x   1 (No) H là cơ sở của V CMR H1 là cơ sở của V   , ,  CMR H x y z 
 H  2x y  z, x  2y  z, x y  z 1   I           3
1,2,3 ; 1,1,1 ; 3,4,2 ; 7,2,1  R (No) 17
CƠ SỞ – SỐ CHIỀU CỦA KGVT CON
W  x , x , x , x x  x  2 x , x  x  2 x 1  1 2 3 4  1 2 3 1 2 4
Chứng minh W là KGVT con của 4 R
W  x , x , x , x x  x  x  0, x  x  x  0 2  1 2 3 4 1 2 3 1 2 4 
Tìm cơ sơ và số chiều của W
W  x , x , x , x x  x 0, x  x  0 3  1 2 3 4  1 2 3 4 
W  x , x , x , x x  x  2 x , x  x  2 x x
 x  x , x  x , x , x W 3 4 3 4 3 4  1  1 2 3 4 1 2 3 1 2 4 1    x  x ,x  x ,x ,x
 x  x 1,1,1,0  x 1,1,0,1 3   4   3 4 3 4 3 4 
*x0,0,0,0W  W   1 1
 B  u  1,1,1,0 ,u  1,1,0,1 1   2   4 *W  R 1 W là KGVT  B là tập sinh của W * x
  x  x , x  x , x , x W  1 3 4 3 4 3 4  1  con của 4 R c u  c u  0 y
  y  y , y  y , y , y W 1 1 2 2 V 3 4 3 4 3 4  1   R   
 c 1,1,1,0  c 1,1,0,1  0,0,0,0 1   2      
(x  y )  (x  y ),(x  y )  (x  y ,)  c  c  0 3 3 4 4 3 3 4 4  1 2 x  y   W1    x  y , x  y  B : là ÐLTT 3 3 4 4   18  x  
x x ,x  x ,x ,x W
Vậy cơ sở của W1là B và dimW  2 4 3 4  3 4 3 1 1
TỌA ĐỘ – MA TRẬN CHUYỂN ĐỔI CƠ SỞ B  u ,...,u là cơ sở của V  1 n    c ... c 
v V  v  c u ... c u B  u ,...,u B  u u  n , ' ' ,..., ' 1   1 n 11 1n 1 1 n n   P    BB . ... .  v  c ... c '    B 1 n     c c    n ...
là vector tọa độ của v đối với cơ sở B 1 nn      c u
 '  c u  c u ... c u 1 11 1 21 2 1
là ma trận chuyển cơ sở 1    n n  v  .      từ B sang B’   ..... B       c  u 
 '  c u  c u   c u n n n ... 1 1 2 2 nn n   v  P  v B B B'   n   B'
 là ma trận tọa độ của v trong cơ sở B 1 
v  c u ... c u  v  U C P   B B B B ' n n . 1 1 ' u . u   c   v 1 n 1 1 
Chú ý: đưa B và B’ về dạng ma trận cột U  . , C  . , v  .              P  P  B B  B    B B B B B ' ' '  '  1  1  1 1  .    c     v  n n  19 *B  u 0,1 ,u 1,1  1   2   v2,3 2 2 2 
B  x  x 1, x  2x 1, x  x    B  
 1,1, 1,1,1,0,1,0, 1 2    v  c u  c u   1     3  1 1 2 2       0c 1c  2 c  1 a)   v  2  v  ? b)  p   x  2   p  x  ?   1 2 1 B   B         c c 3    c   1  5    2    1 2 2
v  3,1, 2  v  ? 2   p x  x   p    x  ?     B B  v 1  B  2   c) B  
 1,0,0, 1 P B    1, 1,2,3 B 1 B ? 1  B  
 1,1, 1,1,0, 1,1,1,0  P    P B B ?, B B ? ' ' d)    B'  
 1,1,2,1,1,2,1,1,2 v  2,1,3    v  ?, v  ? B B' 20