Luyện thi HSG Toán 6 chủ đề: Các bài toán về hợp số

Luyện thi HSG Toán 6 chủ đề: Các bài toán về hợp số. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 23 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!

33 17 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 6

Môn: Toán 6

Thông tin:

23 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mỹ Duyên
Trang 1
ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ
CHỦ ĐỀ 3:CÁC BÀI TOÁN VỀ HỢP SỐ
PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.SỐ NGUYÊN TỐ
-Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1,chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.
-Số nguyên tố nhỏ nhất vừa là số nguyên tố chẵn duy nhất là số 2.
-Không thể giới hạn số nguyên tố cũng như tập hợp số nguyên tố.Hay nói cách khác,số nguyên tố
là vô hạn.
-Khi 2 số nguyên tố nhân với nhau thì tích của chúng không bao giờ là một số chính phương.
-Ước tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên được coi là số nguyên tố.
-Để kết luận số tự nhiên a là một số nguyên tố (
1a
),chỉ cần chứng minh a không chia hết cho
mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a.
-Nếu tích
ap
ab p
bp
(p là số nguyên tố)
-Đặc biệt nếu
n
a p a p
(p là số nguyên tố)
-Mọi số nguyên tố vượt quá 2 đều có dạng:
*
4 1( )n n N
-Mọi số nguyên tố vượt quá 3 đều có dạng:
*
6 1( )n n N
-Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị.
2.HỢP SỐ
-Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước nguyên dương.
-Để chứng tỏ một số tự nhiên a (
1a
) là hợp số,chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a.
-Ước số nhỏ nhất khác 1 của một hợp số là một số nguyên tố và bình phương lên không vượt quá
nó.
-Một hợp số bằng tổng các ước của nó (không kể chính nó) được gọi là: Số hoàn chỉnh.
-Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất(không kể
thứ tự các thừa số)
3.HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU
-Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng có ước chung lớn nhất
bằng 1.
a,b nguyên tố với nhau
*
( , ) 1;( , )a b a b N=
- Hai số tự nhiên liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau
- Hai sô nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau
- Các số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau
- Các số
nguyên tố cùng nhau
( , , ) 1abc =
Trang 2
-
,,abc
nguyên tố sánh đôi khi chúng đôi một nguyên tố cùng nhau
,,abc
nguyên tố sánh đôi
( , ) ( , ) ( , ) 1a b b c c a = = =
4.MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐẶC BIỆT
- Định lí Đirichlet: Tồn tai vô số số nguyên tổ p có dạng:
*
; ,( , ) 1ax b x Np ab+= =
- Định lí Tchebycheff: Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n có ít nhất một số nguyên tố
( 2).n
- Định lí Vinogradow: Mọi số lẻ lớn hơn
3
3
là tổng của 3 số nguyên tố.
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Phương pháp kiểm tra một số là hợp số
I.Phương pháp giải
Cách 1. Sử dụng định nghĩa.
-Hợp số là số tự nhiên lớn lơn 1 và có nhiều hơn 2 ước nguyên dương.
-Để chứng tỏ một số tự nhiên a (
1a
) là hợp số,chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a.
Cách 2. Với
*
,1n N n
ta kiểm tra theo các bước sau
- Tìm số nguyên tố k sao cho:
22
( 1)k n k +
- Kiểm tra xem n có chia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng k không ?
+) Nếu có chia hết thì n là số hợp số
+) Nếu không chia hết thì n là số nguyên tố
II.Bài toán
Bài 1: Tổng, hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số
a)
3.4.5 6.7+
b)
5.7.9.11 2.3.4.7−
c)
16354 67541+
Lời giải
a) Ta có:
( )
3.4.5 6.7 3 4.5 2.7 3+ = +
tổng trên là hợp số
b) Ta có:
( )
5.7.9.11 2.3.4.7 7 5.9.11 2.3.4 7− = −
tổng trên là hợp số
c) Ta có:
16354 67541+
có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5, Vậy tổng trên là hợp số
Bài 2: Tổng, hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số
a)
5.6.7 8.9+
b)
5.7.9.11.13 2.3.7−
c)
5.7.11 13.17.19+
d)
4253 1422+
Lời giải
Trang 3
a) Ta có :
( )
5.6.7 8.9 3 5.2.7 8.3 3+ = +
tổng trên là hợp số
b) Ta có :
( )
5.7.9.11.13 2.3.7 7 5.9.11.13 2.3 7− = −
tổng trên là hợp số
c) Ta có:
5.7.11
là 1 số lẻ và
13.17.19
cũng là 1 số lẻ, nên tổng là số chẵn 2
Là hợp số
d) Ta có:
4253 1422+
có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5. Vậy tổng trên là hợp số
Bài 3: Tổng, hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số
a)
17.18.19.31 11.13.15.23+
b)
41.43.45.47 19.23.29.31+
c)
987654 54321+
Lời giải
a) Ta có:
( )
17.18.19.31 11.13.15.23 3 17.6.19.31 11.13.5.23 3+ = +
17.18.19.31 11.13.15.23+
là hợp số
b) Ta có:
41.43.45.47
là số lẻ,
19.23.29.31
là số lẻ, nên
41.43.45.47 19.23.29.31+
là số chẵn
nên
41.43.45.47 19.23.29.31+
là hợp số
c) Ta có:
987654 54321+
có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5 nên tổng trên là hợp số
Bài 4: Các số tự nhiên
;;abab abcabc ababab
là số nguyên tố hay hợp số.
Lời giải
Ta có
101.abab ab=
có nhiều hơn hai ước số.
1001. 1.11.13.abcabc abc abc==
có nhiều hơn hai ước số.
101 1. 3.7.13.37.ababab o ab ab==
có nhiều hơn hai ước số.
Vậy các số tự nhiên
;;abab abcabc ababab
là hợp số.
Bài 5: Nếu
p
là số nguyên tố thì
a.
2
2pp++
là số nguyên tố hay hợp số
b.
2
200p +
là số nguyên tố hay hợp số
Lời giải:
a) Ta có:
2
2 ( 1) 2p p p p+ + = + +
Vì
;1pp+
là hai số liên tiếp nên
( )
1pp+
là số chẵn
Nên
2
2pp++
là số chẵn lớn hơn 2 nên là hợp số .
b)
- Với
2
2 200pp= +
là số chẵn lớn hơn
2
2
200p+
là hợp số
- Với
2
3 200 209 7pp= + =
2
200p+
là hợp số
- Với
2
3 :3pp
dư 1;
200 3
dư 2
( )
2
200 3p+
2
200p+
là hợp số
Trang 4
Vậy
2
200p +
luôn là hợp số.
Bài 6: Cho
, , , *a b c d
thỏa mãn
ab cd=
.
Chứng minh rằng:
n n n n
A a b c d= + + +
là hợp số với mọi
.
Lời giải
Ta có
::ab cd ab bd cd bd= =
Hay
::a d c b=
Đặt
( )
: : *
a dt
a d c b t t
c bt
=
= =
=
Khi đó:
n n n n
A a b c d= + + +
( ) ( )
nn
nn
dt b bt d= + + +
n n n n n n
d t b b t d= + + +
( ) ( )
11
n n n n
d t b t= + + +
( )( )
1
n n n
d b t= + +
Vì
, , *b d t
nên A là hợp số.
Dạng 2: Một số bài toán về hợp số
I.Phương pháp giải
-Dựa vào các tính chất đặc trưng của hợp số để giải các bài toán về chứng minh hợp số.
II.Bài toán
Bài 7:
a) Cho
p
là số nguyên tố. Hỏi
5
1p −
là số nguyên tố hay hợp số.
b) Cho
p
và
4p+
là các số nguyên tố
( 3)p
. Chứng minh
8p +
là hợp số.
Lời giải:
a. Nếu
55
2 1 2 1 31= − = − =pp
là số nguyên tố
- Nếu
2p
Vì
p
là số nguyên tố nên
p
là số lẻ
5
p
là số lẻ
5
1p−
là số chẵn lớn hơn 2
5
1p−
là hợp số
Vậy
5
1p −
là hợp số.
b.
, 4, 8p p p++
là dãy số cách đều 4 đơn vị
có 1 số chia hết cho 3
Trang 5
Vì
3 4 3, 8 3p p p + +
và
,4pp+
là số nguyên tố nên
,4pp+
không chia hết cho 3
83p+
và
8 3 8pp+ +
là hợp số.
Bài 8: Cho
p
và
8p +
là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi
100p+
là số nguyên tố hay là hợp số?
Lời giải:
Ta thấy
p
là số nguyên tố lớn hơn 3 nên
p
có dạng
*
3 1;3 2,( )n n n N+ +
TH1:
*
3 1,( )p n n N= +
thì
8 3 9 3( 3) 3p n n+ = + = +
Mà
8p +
là số lớn hơn 3 nên
8p +
là hợp số ( Vô lí vì
8p +
là số nguyên tố )
TH2:
*
3 2( )p n n N= +
thì
8 3 10pn+ = +
Khi đó
100 3 2 100 6 102 3(2 34) 3p n n n+ = + + = + = +
Mà
100p+
là số lớn hơn 3 nên
100p+
là hợp số.
Bài 9: Cho
p
và
81p+
là các số nguyên tố
( 3)p
. Chứng minh
41p+
là hợp số.
Lời giải:
Vì
p
là số nguyên tố lớn hơn 3 nên
p
chia 3 dư 1 hoặc dư 2
p
có dạng
*
3 1;3 2( )k k k+ +
Nếu
( )
3 1 8 1 24 9 3 8 3 3 8 1= + + = + = + +p k p k k p
là hợp số ( Vô lí vì
81p+
là số nguyên tố)
Vậy
32pk=+
khi đó
4 1 12 9 3(4 3) 3p k k+ = + = +
và
12 9 3k +
nên là hợp số.
Vậy nếu
p
và
81p +
là các số nguyên tố
( 3)p
thì
41p +
là hợp số.
Bài 10 : Cho
p
và
21p+
là các số nguyên tố
( 3)p
. Chứng minh
41p+
là hợp số.
Lời giải:
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên
p
chia 3 dư 1 hoặc dư 2
p
có dạng
( )
*
3 1, 3 2p k p k k= + = +
+) Nếu
31pk=+
thì
2 1 6 3 3pk+ = +
và
6 3 3k +
nên là hợp số ( mâu thuẫn với giả thiết
21p+
là các
số nguyên tố)
Vậy
32pk=+
Khi đó
4 1 12 9 3pk+ = +
và
12 9 3k +
nên là hợp số.
Vậy nếu
p
và
21p+
là các số nguyên tố
( 3)p
thì
41p+
là hợp số.(đpcm)
Bài 11:
a) Cho
p
và
2p+
là số nguyên tố
( 3)p
. Chứng minh
1p+
là hợp số và
16p +
b) Cho
p
và
4p+
là các số nguyên tố . Chứng minh
2021p+
là hợp số.
Lời giải:
a) Với
3p
, ta có
, 1, 2p p p++
là 3 số tự nhiên liên tiếp
Do đó trong 3 số trên có 1 số chia hết cho 3
( )
1
Mà
;2pp+
là các số nguyên tố nên
13p +
và
3p
1p+
là hợp số
Lại có số nguyên tố
3p
Trang 6
Nên
1p+
là số chẵn
( )
1 2 2p+
Từ
(1)(2) 1 6p+
b) Ta có:
2012 2 2010pp+ = + +
Xét dãy
, 2, 4p p p++
Với
2 4 6 2 4p p p= + = +
là hợp số (loại)
Với
3 2012 2015 5 2012p p p= + = +
là hợp số
Với
3p 
p
chia 3 dư 1 hoặc dư 2
p
có dạng
( )
*
3 1, 3 2p k p k k= + = +
+) Nếu
31pk=+
thì
2 3 3 3pk+ = +
và
3 3 3k +
2012 2 2010pp + = + +
nên là hợp số .
Vậy
32pk=+
Khi đó
4 3 6 3pk+ = +
và
3 6 3k +
nên là hợp số( mâu thuẫn với giả thiết
4p+
là số
nguyên tố).
Bài 12: Cho
p
và 10p + 1 là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng: 5p + 1 là hợp số
Lời giải
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên
p
chia 3 dư 1 hoặc dư 2
p
có dạng
( )
*
3 1, 3 2p k p k k= + = +
+) Nếu
32pk=+
thì
( )
10 1 10 3 2 1 30 21 3p k k+ = + + = +
và
30 21 3k +
nên là hợp số ( mâu thuẫn với
giả thiết
10 1p+
là số nguyên tố)
Vậy
31pk=+
Khi đó
5 1 15 6 3pk+ = +
và
15 6 3k +
nên là hợp số.
Vậy nếu
p
và
10 1p+
là các số nguyên tố
( 3)p
thì
51p +
là hợp số.(đpcm)
Bài 13: Cho p và
2
81p +
là các số nguyên tố
( 3)p
.Chứng minh rằng
2
81p −
là hợp số.
Lời giải:
Vì
2
,8 1pp+
là 2 số nguyên tố lớn hơn 3 nên không chia hết cho 3
Khi đó ta có :
2 2 2
8 1;8 ;8 1p p p−+
là 3 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3
Mà
22
8 1 3, 3 8 3p p p
+ =
. Vậy
2
8 1 3p −
hay là hợp số
Bài 14: Cho
p
và
81p −
là các số nguyên tố
( 3)p
. Tìm số nguyên tố
p
để
81p+
là hợp số.
Lời giải:
Với
3p 
, 8 1pp−
là 2 số nguyên tố lớn hơn 3 nên không chia hết cho 3
Khi đó ta có :
8 1; 8 ; 8 1p p p−+
là 3 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3
Mà
8 1 3, 3 8 3p p p
− =
.Vậy
8 1 3p +
hay là hợp số
Bài 15: Chứng minh rằng dãy các số sau là hợp số :
121;11211;1112111;11...1211.....1( 2)
n
n
n
Lời giải:
Ta có:
Trang 7
121 110 11 11.10 11 11(10 1)= + = + = +
2
11211 1110 111 111(10 1)= + = +
3
1112111 1111000 1111 1111(10 1)= + = +
11
11
111...12111...1 111...1000...0 11...1 111....1(10....0 1) 11...1(10 1)
n
n n n
n n n n n
++
++
= + = + = +
là hợp số
Bài 16: Chứng minh rằng
11...122.....2( 2)
n
n
n
là hợp số.
Lời giải:
Ta có:
11...122.....2 11...100.....0 22.....2
nn
n n n
=+
11...122.....2 11...1.100.....0 2.11.....1
nn
n n n
=+
11...122.....2 11...1. 100.....0 2
nn
nn

=+


là hợp số
Bài 17: Một số nguyên tố chia cho
42
có số dư là hợp số. Tìm số dư đó
Lời giải:
Gọi
p
là số nguyên tố theo đầu bài, khi đó:
42. 2.3.7 (0 42)p k r k r r= + = +
Vì
r
là hợp số
2 42r
Vì p là số nguyên tố
r
không chia hết cho
2,3,7
Mà
r
là hợp số nên
25r=
là giá trị cần tìm
Vậy
25r =
Bài 18: Một số nguyên tố chia cho
60
có số dư là
r
. Tìm số dư, biết rằng
r
có thể là hợp số hay là số
nguyên tố không?
Lời giải:
Giả sử p là số nguyên tố:
22
60 ( ;0 60);60 2 .3.5 2 .3.5. 2,3,5p k r k N r p k r r
= + = = +
1r=
hoặc
r
là số nguyên tố hoặc là hợp số và không chia hết cho 2, 3, 5
1r=
hoặc
r
là số nguyên tố khác 2, 3, 5 hoặc r = 49
1
49
r
r
=
=
Bài 19: Cho
p
và
2p+
là các số nguyên tố (
3p
).Chứng minh rằng tổng của hai số nguyên tố đó chia
hết cho
12
.
Lời giải:
Đặt
( ) ( )
2 2 2 2 1A p p p p= + + = + = +
Trang 8
Và
2 1 3pp+ = − +
Xét 3 số liên tiếp
1, , 1p p p−+
phải có 1 số chia hết cho 3
Vì
p
là số nguyên tố lớn hơn 3, nên
p
không chia hết cho 3,
Mặt khác
13p
−
vì nếu chia hết cho 3 thì
2p+
sẽ chia hết cho 3, như vậy
( )
1 3 2 1 3pp+ = +
Lại có
p
là số nguyên tố >3 nên
p
lẻ
1p= +
là số chẵn 2
Vậy
( )
2 1 12p +
Bài 20: Cho
p
là số nguyên tố lớn hơn
3
. Chứng minh rằng
( 1)( 1)pp−+
chia hết cho 24.
Lời giải:
Vì
p
là số nguyên tố lớn hơn 3 nên
p
là số lẻ không chia hết cho 2 và 3
Với
p
không chia hết cho 2
( ) ( )
1 , 1pp= − +
là hai số chẵn liên tiếp
( )( )
1 1 8pp= − +
Mặt khác p không chia hết cho 3 nên
3 1, 3 2p k p k= + = +
- Nếu
( ) ( )( )
3 1 1 3 1 1 24p k p p p= + = − = − +
- Nếu
( ) ( )( )
3 2 1 3 1 1 24p k p p p= + = + = − +
Bài 16: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100, hỏi tổng 25 số nguyên tố đó có là hợp số không?
Lời giải
Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100, có 1 số nguyên tố chẵn là số 2
Còn lại 24 số nguyên tố còn lại là số lẻ => tổng của 24 số lẻ cho ta 1 số chẵn
Vậy xét tổng của 25 số nguyên tố đó cho ta được 1 số chẵn nên tổng 25 số nguyên tố đó có là hợp số .
Bài 17:
Chứng minh rẳng với mọi số nguyên
2a
thì
1966 2006
1A a a= + +
là hợp số.
Lời giải
Ta có
( ) ( ) ( )
1966 2006 3.655 2 3.668 2
1 1 1 1A a a a a a a a a= + + = − + − + + +
Mà
( ) ( )
655 668
3.655 3 2 3.668 3 2
1 1 1; 1 1 1a a a a a a a a
− = − + + − = − + +
Do đó
2
11A a a+ +
Vậy với mọi số nguyên
2a
thì
1966 2006
1A a a= + +
là hợp số.
Bài 18: Cho
2.3.4.5....1987a =
. Có phải 1986 số tự nhiên liên tiếp sau đều là hợp số không?
2; 3; 4;.....; 1987a a a a+ + + +
Lời giải
Do a là tích các số từ 2 đến 1987 có ngĩa là tích của a có 1996 số.
( )
2 2.3.4.5....1987 2 2 3.4.5....1987 2a+ = + =
và
22a +
nên
2a +
là hợp số.
Trang 9
( )
3 2.3.4.5....1987 3 3 2.4.5....1987 3a+ = + =
và
33a +
nên
3a+
là hợp số.
Chứng minh tương tự cho các trường hợp còn lại.
Vậy 1986 số tự nhiên liên tiếp
2; 3; 4;.....; 1987a a a a+ + + +
đều là hợp số.
Bài 19: Cho
( )
( )
32
F x ax bx cx d a
+
= + + +
, biết
( ) ( )
5 3 2010FF−=
. Chứng minh rằng:
( ) ( )
71FF−
là hợp số.
Lời giải
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
( )
3 3 2 2
32 5 3 5 5 3 5 3 980 6201 1F F a b c a b c− = − + − + − + += =
16 2 2010 98b c a + = −
( ) ( )
( ) ( )
( )
3 3 2 2
7 1 7 1 7 1 7 1 342 48 6F F a b c a b c − = − + − + − = + +
( ) ( ) ( )
342 3 16 2 342 3 2010 98 48 6030 3. 16 2010 3a b c a a a a= + + = + − = + = +
Vì a nguyên dương nên
16 2010 1a +
.
Vậy
( ) ( )
71FF−
là hợp số.
Bài 20: Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3, sao cho 14p + 1 cũng là số nguyên tố thì
7p + 1 là bội số của 6.
Lời giải
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ không chia hết cho 2 và 3
Khi đó
71p+
là 1 số chẵn nên chia hết cho 2
Mặt khác vì
p
không chia hết cho 3 nên p có dạng
( )
*
3 1, 3 2,p k p k k= + = +
Với
31pk=+
giả sử là số nguyên tố,
14 1 45 15 3pk= + = +
nên
( )
31p k l=+
Với
3 2 14 1 42 29p k p k= + = + = +
giả sử là số nguyên tố, khi đó:
7 1 21 15 3pk+ = +
Như vậy
7 1 6p +
Bài 21: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì
1p−
và
1p+
không thể là các số
chính phương
Lời giải
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên
2p
và p không thể chia hết cho 4 (1)
- Giả sử p + 1 là số chính phương, đặt
( )
2
1p m m N+ =
Vì p chẵn nên
1p+
lẻ
2
m=
lẻ => m lẻ
Đặt
( )
21m k k N= +
, ta có:
( )
2 2 2 2
4 4 1 1 4 4 1 4 4 4 1= + + + = + + = + = +m k k p k k p k k k k
Mâu thuẫn với (1)
=> p + 1 không thể là số chính phương
Trang 10
- Giả sử
2.3.5....p =
là 3
1p= −
có dạng 3k+2
1−p
không là số chính phương
Vậy nếu p là tích của
( )
1nn
số nguyên tố đầu tiên thì p – 1 và p + 1 không là số chính phương
Bài 22: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn :
10 1p+
cũng là số nguyên tố. CMR :
5 1 6p +
Lời giải
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3, nên 10p cũng không chia hết cho 3 (1)
Lại có
10 1p+
là số nguyên tố và
10 1 3 10 1 3pp
+ = +
(2)
Ta có
( )( )
10 10 1 10 2p p p++
là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3
10 2 3 5 1 3pp= + = +
Lại có p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ =>
51p +
là số chẵn nên chia hết cho 2, khi đó
5 1 6p+
Bài 23: Cho
, , , a b c d
là các số nguyên dương thỏa mãn:
2 2 2 2
a c b d+ = +
. Chứng minh rằng:
a b c d+ + +
là hợp số
Lời giải
Ta có:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
a b c d a b c d a a b b c c d d+ + + − + + + = − + − + − + −
=>
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1a a b b c c d d− + − + − + −
2
mà
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
22a c b d a b c d b d+ = + = + + + = +
Do đó
2a b c d+ + +
Vì Cho
, , , a b c d
là các số nguyên dương nên
4a b c d+ + +
a b c d + + +
là hợp số
Bài 24: Chứng minh các số sau là hợp số
a)
11 17 19
12 13 17++
b)
23 29 125
1 23 29 25+ + +
c)
25 15
45 37+
d)
354 25
95 51+
Lời giải
a) Ta có:
11
12
có chữ số tận cùng là 8
17
13
có chữ số tận cùng là 3
19
17
có chữ số tận cùng là 7
11 17 19
12 13 17 + +
có chữ số tận cùng là 8
11 17 19
12 13 17 + +
là 1 số chẵn
11 17 19
12 13 17 + +
là hợp số
b) Ta có :
23
23
có chữ số tận cùng là 7
29
29
có chữ số tận cùng là 9
Trang 11
125
25
có chữ số tận cùng là 5
23 29 125
1 23 29 25 + + +
có chữ số tận cùng là 2
23 29 125
1 23 29 25 + + +
là 1 số chẵn
23 29 125
1 23 29 25 + + +
là hợp số
c) Ta có :
25
45
có chữ số tận cùng là 5
15
37
có chữ số tận cùng là 3
25 15
45 37+
có chữ số tận cùng là 8
25 15
45 37+
là 1 số chẵn
25 15
45 37+
là hợp số
d) Ta có
354
95
có chữ số tận cùng là 5
25
51
có chữ số tận cùng là 1
354 25
95 51+
có chữ số tận cùng là 6
354 25
95 51+
là 1 số chẵn
354 25
95 51+
là hợp số
Bài 25: Chứng minh các số sau là hợp số
a)
87
10 10 7++
b)
5 4 21
17 24 13+−
c)
25 15
425 37−
Lời giải
a)Ta có :
87
10 10 7++
có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên là hợp số
b) Ta có :
5 4 21
17 24 13+−
là số chẵn nên là hợp số
c)
25 15
425 37−
là số chẵn nên là hợp số
Bài 26: Chứng minh các số sau là hợp số
a)
7 11 13 17 19
1 2 3 5 7 11+ + + + +
b)
354 25
195 151−
c)
21
2
2 1,
n
n
+
−
d)
41
2
2 6,
n
n
+
−
Lời giải
a)
7 11 13 17 19
1 2 3 5 7 11+ + + + +
là số chẵn nên là hợp số.
b) Ta có:
354 25
195 151−
là số chẵn nên là hợp số
c) Ta có :
( )
21
2
2 1 2 2 4 .2 4
2 2 .2 4 .2 2 2 2
n n n
n n n
+
+
= = = = =
Ta có :
4
2
n
có chữ số tận cùng là 6
( )
2
4
2
n
có chữ số tận cùng là 6
Trang 12
21
2
21
n+
−
có chữ số tận cùng là 5
21
2
2 1 5
n+
−
21
2
21
n+
+
là hợp số
d) Ta có :
( )
21
2
4 1 4 4 16 .2 16
2 2 .2 16 .2 2 2 2
n n n
n n n
+
+
= = = = =
Ta có :
16
2
n
có chữ số tận cùng là 6
( )
2
16
2
n
có chữ số tận cùng là 6
41
2
26
n+
−
có chữ số tận cùng là 0
41
2
2 6 5
n+
−
nên
41
2
26
n+
−
là hợp số
Bài 27: Chứng minh với mọi số tự nhiên lớn hơn 0 thì
21
2
23
n+
+
là hợp số.
Lời giải:
Với
2 2 * 2
2 4 1(mod3) 2 1(mod3),( ) 2 1 3
nn
n= −
nên
2 1 2
2 2 2(2 1) 6
nn+
− = −
Hay
21
2 6 2( )
n
kk
+
= +
21
2 6 2 2
2 3 (2 ) .2 3 2 3 0(mod7)
n
k
+
+ = + +
Tức là
21
2*
2 3 7( )
n
n
+
+
Mà
21
2*
2 3 7( )
n
n
+
+
nên
21
2
23
n+
+
là hợp số. ( đpcm )
Bài 28: Chứng minh với mọi số tự nhiên lớn hơn 0 thì
19.8 17
n
+
là hợp số.
Lời giải:
+ Nếu
*
2 ( )n k k=
thì
22
19.8 17 18.8 (63 1) (18 1) 0(mod3)
k k k
+ = + + + −
+ Nếu
*
4 1( )n k k= +
thì
4 1 2
19.8 17 13.8 6.8.64 17
n k k+
+ = + +
4 1 2 2
13.8 39.64 9(1 65) (13 4) 0(mod13)
k k k+
= + + − + +
+ Nếu
*
4 3( )n k k= +
thì
4 3 3 2
4 3 2 2
19.8 17 15.8 4.8 .64 17
15.8 4.5.10.64 4 2(1 65) (25 8) 0(mod5)
n k k
k k k
+
+
+ = + +
+ + − − + −
Như vậy với mọi giá trị
*
n
thì số
19.8 17
n
+
là hợp số.
Bài 29: Chứng minh các số sau là hợp số:
a)
7abcabc +
b)
22abcabc+
c)
39abcabc+
Lời giải
a) Ta có:
5 4 3 2
.10 .10 .10 .10 .10 7abcabc a b c a b c= + + + + + +
.100100 .10010 1001 7a b c= + + +
( )
1001 100 101 7a b c= + + +
Trang 13
Vì 1001 chia hết cho 7 nên
7abcabc
là hợp số
b) Tách tương tự, nhưng vì
1001 11
nên là hợp số
c) Tách tương tự, nhưng vì 1001 13 nên là hợp số
Bài 30: Hãy chứng minh các số sau là hợp số:
a)
11111..........1A =
( 2022 chữ số 1 );
b)
1010101B =
c)
1! 2! 3! ....... 100!C = + + + +
d)
311141111D =
Lời giải:
a) Tổng các chữ số của A là:
1 1 1...... 1 2022 3 3A+ + + =
mà
3A
nên A là hợp số ( đpcm )
b)
1010101 101.10001B ==
là hợp số ( đpcm )
c) Vì
1! 2! 3 3+=
và
3! 4! ..... 100!+ + +
luôn chia hết cho 3 nên
3C
Mà
3C
nên C là hợp số (đpcm )
d)
311141111 311110000 31111 31111(10000 1) 31111D = = + = +
D là hợp số (đpcm )
Bài 31: Chứng minh rằng số
125
25
51
51
N
−
=
−
là hợp số.
Lời giải:
Đặt
25
5 a=
, khi đó
5
432
1
1
1
a
N a a a a
a
−
= = + + + +
−
4 2 3 2 3 2
( 9 1 6 6 2 ) (5 10 1)a a a a a a a= + + + + + − + +
2 2 2
( 3 1) 5 ( 2 1)a a a a a= + + + + +
2 2 25 2
( 3 1) 5.5 ( 1)a a a= + + − +
2
2 2 13
( 3 1) 5 .( 1)a a a

= + + − +

2 13 2 13
3 1 5 ( 1) 3 1 5 ( 1)a a a a a a
= + + + + + + − +
N là tích của hai số nguyên lớn hơn 1 nên N là hợp số ( đpcm )
Bài 32: Cho các số nguyên dương
, , ,a b c d
thỏa mãn
5
n
a
.Chứng minh rằng
n n n n
A a b c d= + + +
là hợp số.
Lời giải:
Giả sử
*
( , ) ( )a c t t=
Trang 14
Đặt
1 1 1 1
, ;( , ) 1a a t c c t a c= = =
1 1 1 1
ab cd a bt c dt a b c d= = =
Mà
1 1 1
( , ) 1a c b c=
Đặt
*
11
,( )b c k d a k k= =
,
Ta có
1 1 1 1 1 1
( )( )
n n n n n n n n n n n n n n n n
A a b c d a t c k c t a k a c k t= + + + = + + + = + +
Vì
11
, , ,a c t k
là số nguyên dương nên
A
là hợp số.
Bài 33: Hai số
21
n
+
và
( )
2 1 2
n
n−
có thể đồng thời là số nguyên tố hay đồng thời là hợp số được
không ?
Lời giải:
Trong ba số nguyên liên tiếp
21
n
+
,
2
n
và
21
n
−
có một số chia hết cho 3, nhưng
23
n
do đó
21
n
+
hoặc
21
n
−
chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên
21
n
+
,
21
n
−
không đồng thời là số nguyên tố.
Với
6n =
thì
21
n
+
,
21
n
−
đồng thời là hợp số.
Bài 34: Hai số nguyên tố lẻ liên tiếp
1
p
và
( )
2 1 2
p p p
, chứng tỏ
12
2
pp+
là hợp số.
Lời giải:
Vì
1
p
và
2
p
là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp nên
12
pp+
là số chẵn và
12
2
pp+
Mặt khác
12
pp
nên
12
1 2 2 2
2
2
pp
p p p p
+
+
và
12
1 1 2 1
2
2
pp
p p p p
+
+
Vậy
1 2 1 2
21
22
p p p p
pp
++
là hợp số.
Dạng 3:Áp dụng định lí Fermat chứng minh một biểu thức là hợp số.
I.Phương pháp giải
-Định lí Fermat nhỏ:
1
2 1(mod )
p
p
−
với p là số nguyên tố.
-Bằng cách sử dụng định lí Fermat để giải các bài toán về số nguyên tố.
II.Bài toán
Bài 33: Cho
*
n
, chứng minh rằng:
10 1
2
2 19
n+
+
là hợp số.
Lời giải:
Ta chứng minh
10 1
2
2 19 23
n+
+
với mọi
1n
Ta có:
10 10 1 10 1
2 1(mod11) 2 2(mod22) 2 22 2( )
nn
kk
++
= +
.
Theo định lý Fermat:
Trang 15
10 1
22 2 22 2
2 1(mod23) 2 2 4(mod23)
n
k
+
+
10 1
2
232 19
n+
+
Mà
10 1
2 19 23
n+
+
nên
10 1
2
2 19
n+
+
là hợp số ( đpcm )
Bài 34: Cho
*
n
, chứng minh rằng:
4 1 4 1
32
2 3 5
nn++
++
là hợp số.
Lời giải:
Theo định lí Fermat nhỏ ta có
10 10
3 1(mod11),2 1(mod11)
.
Ta tìm số dư trong phép chia
41
2
n+
và
41
3
n+
cho 10, tức là tìm chữ số tận cùng chúng.
4 1 4 1
2 2.16 2(mod10) 2 10 2,( )
n n n
kk
++
= = +
4 1 4 1
3 3.81 3(mod10) 3 10 3,( )
n n n
ll
++
= = +
Mà
10
3 1(mod11)
và
10
2 1(mod11)
nên
4 1 4 1
3 2 10 2 10 3 2 3
2 3 5 3 2 5 3 2 5 0(mod11)
nn
kl
++
++
+ + + + + +
Mà
4 1 4 1
32
2 3 5 11
nn++
+ +
với mọi số tự nhiên n khác 0
Vậy
4 1 4 1
32
2 3 5
nn++
++
là hợp số với mọi số tự nhiên n khác 0.
Bài 35: Giả sử
p
là số nguyên tố lẻ và
91
8
p
m
−
=
. Chứng minh rằng
m
là hợp số lẻ không chia hết cho 3
và
( )
3 1 mod
m
m
.
Lời giải:
Ta có
9 1 3 1 3 1
..
8 2 4
p p p
m a b
− − +
= = =
với
3 1 3 1
,
24
pp
ab
−+
==
Vì
,ab
là các số nguyên lớn hơn 1 nên
m
là hợp số.
Mà
12
9 9 .... 9 1
pp
m
− − +
= + + +
và
p
là số nguyên tố lẻ nên
m
lẻ và
( )
1 mod 3m
.
Theo định lí Fermat ta có
99
p
p−
và
( )
, 8 1p =
nên
99
9 9 8 1
8
p
p
p m p
−
− −
Vì
12m −
nên
12mp−
khi đó
12
91
3 1 3 1
8
p
mp
m
−
−
− − =
(đpcm).
Bài 36: Cho
n
, chứng minh rằng:
41
2
27
n+
+
là hợp số.
Lời giải:
Với
n
ta có
4
2 1 16 1 0(mod5)
nn
− = −
( )
( )
4 2 4 4 2
2 2 2 2 1 10 2 10 2
n n n
kk
++
− = − = +
( )
( )
41
2 10 2 2
2 7 2 .2 7 2 7 0 mod11
n
k
+
+ = + +
Trang 16
Mặt khác
( )
41
2
2 7 11
n
n
+
+
Vậy
41
2
27
n+
+
là hợp số.
PHẦN III.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG. ( Khoảng 15 bài )
Bài 1: (HUYỆN BẠCH THÔNG NĂM 2018-2019)
Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng
2015
hay không ? Vì sao ?
Lời giải:
Tổng của hai số nguyên tố bằng 2015 là số lẻ, nên một trong hai số nguyên tố phải là 2
Khi đó số kia là 2013, số này là hợp số
Vậy không tồn tại hai số nguyên tố có tổng bằng 2015
Bài 2: (HUYỆN TAM DƯƠNG NĂM 2017-2018)
Cho
p
là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi
2016
2018p +
là số nguyên tố hay hợp số
Lời giải:
Vì
p
là số nguyên tố lớn hơn 3 nên
p
chia cho 3 dư 1 hoặc
p
chia cho 3 dư 2
2
p
chia cho 3 dư 1
Mà
( )
1008
2016 2
pp=
nên
2016
p
chia cho
3
dư 1.
Mặt khác:
2018
chia cho 3 dư 2, do đó:
( )
2016
2018 3p +
Vì
( )
2016
2018 3p +
và
( )
2016
2018 3p +
nên
2016
2018p +
là hợp số
Bài 3: (HUYỆN SƠN TÂY NĂM 2017-2018)
Với
,qp
là số nguyên tố lớn hơn 5, chứng minh rằng:
44
240pq−
Lời giải:
Ta có:
( ) ( )
4 4 4 4
1 1 ;240 8.2.3.5p q p q− = − − − =
Chứng minh
4
1 240p −
Do
5p
nên
p
là số lẻ
Mặt khác
( )( )
( )
42
1 1 1 1p p p p− = − + +
( )
1p−
và
( )
1p +
là hai số chẵn liên tiếp
( )( )
1 1 8pp − +
Do
p
là số lẻ nên
2
p
là số lẻ
2
12p+
5p
nên p có dạng:
4
4
3 1 1 3 3 1 3
3 2 1 3 3 3 1 3
p k p k p
p k p k p
= + − = −
= + + = + −
Mặt khác p có thể là dạng :
Trang 17
( )
4
2
2 2 4
2 2 4
4
5 1 1 5 1 1 5 5 1 5
5 2 1 5 2 1 25 20 5 5 1 5
5 3 1 25 30 10 5 1 5
5 4 1 5 5 5 1 5
p k p k k p
p k p k k k p
p k p k k p
p k p k p
= + − = + − = −
= + + = + + = + + −
= + + = + + −
= + + = + −
Vậy
4
1 8.2.3.5p −
hay
4
1 240p −
Tương tự ta cũng có:
4
1 240q −
Vậy
( ) ( )
4 4 4 4
1 1 240p q p q− − − = −
Bài 4: (HUYỆN QUẢNG TIẾN)
Nếu
5p
và
21p+
là các số nguyên tố thì
41p+
là số nguyên tố hay hợp số.
Lời giải:
Xét 3 số tự nhiên liên tiếp
4 ; 4 1; 4 2p p p++
, trong 3 số đó có 1 số là bội của 3
Mà
5p
và p là số nguyên tố nên p có dạng
31k +
hoặc
( )
32kk+
.
Nếu
31pk=+
thì
( )
4 4 3 1 3 1p k Q p= + + =
và
( )
4 2 4 3 1 2 3 3p k p Q+ = + + =
Mặt khác
( ) ( )
4 2 2 2 1 3 3 2 2 1 3p p Q p+ = + = +
mà
( )
2;3 1=
nên
2 1 3p +
(trái với giả thiết).
Nếu
( )
3 2 4 1 4 3 2 1 12 9 3 3p k p k k M= + + = + + = + =
41p+
là hợp số.
Vậy nếu
5p
và
21p+
là các số nguyên tố thì
41p+
là hợp số.
Bài 5: (HUYỆN THANH OAI NĂM 2017-2018)
Tìm các số nguyên tố
,xy
sao cho:
22
45xy+=
Lời giải:
2 2 2
45 45,x y y+ =
do đó .
y
.
là số nguyên tố lẻ
Suy ra
x
là số nguyên tố chẵn nên
2.x =
từ đó ta có:
2
4 45 49 7yy= + = =
Bài 6: (HSG NĂM 2018-2019)
Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi
2
2006n +
là số nguyên tố hay hợp số
Lời giải:
n
là số nguyên tố nên
3n
và không chia hết cho 3. Vậy
2
n
chia cho 3 dư 1 do đó
( )
2
2006 3 1 2006 3 2007 3. 669 3n m m m+ = + + = + = +
Vậy
2
2006n +
là hợp số.
Bài 7: (HUYỆN HOÀNG HOÁ NĂM 2018-2019)
Chứng tỏ rằng nếu
p
là số nguyên tố lớn hơn 3 thì
2
1p −
chia hết cho 3
Lời giải:
Trang 18
Xét số nguyên tố p khi chia cho 3. Ta có:
31pk=+
hoặc
( )
3 2 *p k k= +
Nếu
( )
2
22
3 1 1 3 1 1 9 6 3p k p k k k= + − = + − = +
Nếu
( )
2
22
3 2 1 3 2 1 9 12 3 3p k p k k k= + − = + − = + +
Vậy
2
13p −
Bài 8: (TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRỰC – KIM BÀI- NĂM 2017-2018)
Cho P và
4P+
là các số nguyên tố với
3.P
Chứng minh
2014P −
là hợp số.
Lời giải:
Từ giả thiết ta có
31Pk=+
hoặc
( )
3 2 *P k k= +
Nếu
3 2 3 3 6 3p k p k= + + = +
(loại)
Nếu
3 1 2014 3 2013 3p k p k= + − = −
(loại)
Vậy
2014p−
là hợp số
Bài 9: (PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH BA)
Cho
;4pp+
là các số nguyên tố
( )
3p
. Chứng minh
8p +
là hợp số.
Lời giải:
p
là số nguyên tố lớn hơn
3
nên
p
có dạng
hoặc
32k +
( )
*
kN
Nếu
32pk=+
thì
4 3 2 4 3 6 3p k k+ = + + = +
mà
43p+
nên
4p+
là hợp số, trái với đề bài. Vậy
p
có dạng
31k +
.
Khi đó:
8 3 1 8 3 9 3p k k+ = + + = +
Lại có
83p +
nên
8p +
là hợp số.
Vậy nếu
;4pp+
là các số nguyên tố (
3p
) thì
8p +
là hợp số.
Bài 10: (PHÒNG GD VÀ ĐT HOẰNG HOÁ)
Cho ba số nguyên tố lớn hơn
3
, trong đó số sau lớn hơn số trước là
d
đơn vị. Chứng minh:
d
chia hết
cho
6.
Lời giải:
Gọi ba số nguyên tố lớn hơn
3
là
,,abc
. Giả sử
abc
.
Vì
,,abc
là ba số nguyên tố lớn hơn
3
nên
,,abc
là ba số nguyên tố lẻ.
Vì số sau lớn hơn số trước là
d
đơn vị nên
d
là số chẵn và
2
a b d
b c d
a c d
−=
−=
−=
Vì
,,abc
là ba số nguyên tố lớn hơn
3
nên
,,abc
không chia hết cho 3.
Trang 19
Do đó trong ba số
3
số
,,abc
luôn tồn tại ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho
3
nên hiệu của hai số
đó chia hết cho 3.
3
3
23
d
d
d

(vì
( )
2;3 1UCLN =
)
Mà
d
là số chẵn nên
2d
.
Vậy
6d
.
Bài 11: (PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÔ LƯƠNG)
Cho
p
là số nguyên tố thỏa mãn
2p+
và
4p+
cũng là số nguyên tố. Tìm số nguyên
x
sao cho
( )
2
3
54 2 1px+ = −
.
Lời giải:
Với
p
là số nguyên tố
Xét
2p =
thì
24p+=
;
46p+=
đều là hợp số (loại)
Xét
3p =
thì
25p+=
;
47p+=
đều là số nguyên tố (nhận)
Xét
3p
thì
p
có dạng
hoặc
32k +
,
k
là số nguyên dương
- Với
31pk=+
thì
2p+
chia hết cho 3,
23p+
nên
2p+
là hợp số.
- Với
32pk=+
thì
4p+
là hợp số.
Vậy
3p =
Khi đó:
( )
2
3
54 2 1px+ = −
( )
2
2 1 81x − =
2 1 9 5
2 1 9 4
xx
xx
− = =



− = − = −

(thỏa mãn)
Bài 12: (PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOA LƯ)
Cho
1999 1997
999993 555557B =−
. Chứng minh rằng
B
là hợp số.
Lời giải:
Số
1999
999993
có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của
1999
3
Mà
( )
499
4 3 4991999
3 .3 81 .273 ==
có chữ số tận cùng bằng
7
Số
1997
555557
có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của
1997
7
Mà
( )
499
449 991 97
7 7 .7 2041 .7==
có chữ số tận cùng bằng
7
1999 1997
999993 555557B = −
có chữ số tận cùng bằng
0
Trang 20
5B
và
5B
nên
B
là hợp số.
Bài 13: (PHÒNG GD&ĐT HUYỆN TIÊN DU)
Chứng minh rằng nếu
p
là số nguyên tố lớn hơn 3, sao cho
21p+
cũng là số nguyên tố thì
41p+
là hợp
số.
Lời giải:
+ Nếu
3p
thì
p
có dạng
3 1; 3 2p k p k= + = +
+ Nếu
31pk=+
ta có
2 1 2(3 1) 1 6 3p k k+ = + + = +
chia hết cho 3 nên là hợp số (loại)
+ Nếu
32pk=+
ta có
2 1 2(3 2) 1 6 5p k k+ = + + = +
(thõa mãn)
4 1 4(3 2) 1 12 9p k k+ = + + = +
chia hết cho 3 nên là hợp số
Vậy
41p +
là hợp số.
Bài 14: (UBND HUYỆN PHÚ XUYÊN)
Cho
p
và
8p +
đều là số nguyên tố
( )
3p
. Hỏi
100p +
là số nguyên tố hay hợp số.
Lời giải:
Vì
p
là số nguyên tố và
3p
nên
3p
. Do đó
p
có dạng
31k +
hoặc
( )
3 2, *k k N+
.
Nếu
31pk=+
thì
8 3 9 3pk+ = +
8p+
là hợp số (Không thỏa mãn).
32pk=+
, khi đó
100 3 102 3pk+ = +
100p+
là hợp số.
Bài 15: (UBND HUYỆN VŨ THƯ)
Cho
a
,
b
,
c
,
d
là số nguyên dương thỏa mãn
2 2 2 2
a b c d+ − −
chẵn. Chứng minh
a b c d+ + +
không là
số nguyên tố.
Lời giải:
Xét : A = (a
2
+ b
2
- c
2
- d
2
) + (a + b + c + d)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
A a a b b c c d d= + + + − − − +
( ) ( ) ( ) ( )
A a. a 1 b. b 1 c. c 1 d. d 1= + + + − − − −
Vì a là số nguyên dương nên
*a
( )
.1aa+
là hai số tự nhiên liên tiếp
( )
. 1 2aa+
Tương tự chứng minh được:
( ) ( ) ( )
1 2; 1 2; 1 2b b c c d d+ − −
, , *b c d
Nên ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
*
A a a 1 b b 1 c c 1 d d 1 2 a,b,c,d= + + + − − − −


Mà giá trị biểu thức
2 2 2 2
a b c d+ − −
là số chẵn nên
(a b c d) 2 (1)+ + +
Lại có
*
a,b,c,d
nên
( )
a b c d 4 2+ + +
Từ (1) và (2) suy ra
a b c d+ + +
là hợp số
Vậy
a b c d+ + +
không là số nguyên tố
Bài 16: (PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LỤC NAM)
Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi
2
2018n +
là số nguyên tố hay hợp số.
Trang 21
Lời giải:
Vì n là số nguyên tố và
3 3 1; 3 2n n k n k = + = +
-Nếu
31nk=+
( )
2
22
2018 3 1 2018 9 6 1 2018n k k k + = + + = + + +
( )
22
9 6 2019 3 3 2 673 3k k k k= + + = + +
là hợp số.
-Nếu
( )
2
22
3 2 2018 3 2 2018 9 12 4 2018n k n k k k= + + = + + = + + +
là hợp số.
Vậy khi n là số nguyên tố lớn hơn 3thì
2
2018n +
là hợp số.
Bài 17: (ĐỀ HSG LỚP 9)
Tìm tất cả các số nguyên dương n để
2021 2020
1A n n= + +
là hợp số.
Lời giải:
Với
13nA= =
không là hợp số.
Với
2021 2020 2021 2 2020 2
1 1 1n A n n n n n n n n = + + = − + − + + +
( ) ( ) ( )
2 2019 2019 2
1 1 1n n n n n n= − + − + + +
Mà
( ) ( )
3
2019 673 3 3 2 2019 2
1 1 1; 1 1 1 1n n n n n n n n n− = − − − + + − + +
2
1A n n + +
Mà
,1nn
+

nên
2021 2020 2
1 1 1A n n n n= + + + +
.
Vậy
A
là hợp số với mọi số nguyên dương
1n
.
Bài 18: (ĐỀ HSG LỚP 9)
Chứng minh rằng nếu
0a b c d+ + + =
thì
3 3 3 3
A a b c d= + + +
là hợp số.
Lời giải:
Ta có
( )
0a b c d a c b d+ + + = + = − +
( ) ( )
3
3
a c b d + = − +


( ) ( )
3 3 3 3
33a c ac a c b d bd b d + + + = − − − +
( ) ( )
3 3 3 3
33a b c d ac a c bd b d + + + = − + − +
( ) ( )
3 3 3 3
33a b c d ac b d bd b d + + + = + − +
( )( )
3 3 3 3
33a b c d ac bd b d + + + = − +
Vậy nếu
0a b c d+ + + =
thì
3 3 3 3
A a b c d= + + +
là hợp số.
Bài 19: (ĐỀ THI VÔ ĐỊCH TOÁN ANH)
Chứng minh rằng
19.8 17
n
A=+
là hợp số với
n
.
Trang 22
Lời giải:
Xét các trường hợp
2 , 4 1, 4 3n k n k n k= = + = +
.
Nếu
( )
2 2 2
2 19.8 17 18.8 8 18 1
k k k
n k A= = + = + + −
Mà
( )
2
8 64 63 1 , 63 3.21
k
kk
= = + =
nên
2
8 :3
k
dư 1
3A
.
Nếu
41nk=+
4 1 4 1 2
19.8 17 13.8 6.8.64 17
k k k
A
++
= + = + +
( ) ( )
2
4 1 2
13.8 39.64 9. 1 65 13 4
k
kk+
= + + − + +
Chú ý rằng
( )
2
65 135. 1 65 :3
k
=−
dư 1 nên
3A
.
Nếu
43nk=+
4 3 4 3 3 2
19.8 17 15.8 4.8 .64 17
k k k
A
++
= + = + +
( ) ( )
2
4 3 2
15.8 4.510.64 4.2. 1 65 25 8
k
kk+
= + + − + −
8A
Vậy
19.8 17
n
A=+
là hợp số với
.
Bài 20: (ĐỀ THI HSG TOÁN 9)
Tìm số
p
nguyên tố để
2
2
p
Ap=+
là hợp số .
Lời giải:
Với
22
2 2 2 8pA= = + =
là hợp số.
Với
32
3 2 3 17pA= = + =
là số nguyên tố.
Với
3p
,
p
nguyên tố nên
p
lẻ.
Ta có
( ) ( )
22
2 1 2 1= + = − + +
pp
A p p
Xét 3 số tự nhiên liên tiếp
1; ; 1p p p−+
trong đó có một số chia hết cho 3, mà
3p
nên
1p−
hoặc
1p +
chia hết cho 3
2
13p−
Lại có
( )
2 1 2 1 3
p
+ + =
và
2
23
p
p+
nên
2
2
p
Ap=+
là hợp số .
Vậy với
2p =
hoặc
3p
thì
2
2
p
Ap=+
là hợp số .
Bài 21: (ĐỀ THI HSG TOÁN 9)
Chứng minh rằng
1975 2010
25A =+
là hợp số .
Lời giải:
Ta có:
+)
( ) ( )
987
1975 2.987 1 2.987 987 *
2 2 2 .2 4 .2 3 1 .2 3 1 .2 6 2,k k k
+
= = = = + = + = +
1975
2 :3
dư 2 (1).
+)
( ) ( )
1005 1005
2010 2.1005 1005 *
5 5 25 24 1 3.8 1 3 1,mm= = = + = + = +
Trang 23
2010
5 :3
dư 1 (2).
Từ (1) và (2) ta có
1975 2010
25A =+
3
và
3A
nên
A
là hợp số.
HẾT
| 1/23
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ
CHỦ ĐỀ 3:CÁC BÀI TOÁN VỀ HỢP SỐ
PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.SỐ NGUYÊN TỐ
-Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1,chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.
-Số nguyên tố nhỏ nhất vừa là số nguyên tố chẵn duy nhất là số 2.
-Không thể giới hạn số nguyên tố cũng như tập hợp số nguyên tố.Hay nói cách khác,số nguyên tố là vô hạn.
-Khi 2 số nguyên tố nhân với nhau thì tích của chúng không bao giờ là một số chính phương.
-Ước tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên được coi là số nguyên tố.
-Để kết luận số tự nhiên a là một số nguyên tố ( a  1 ),chỉ cần chứng minh a không chia hết cho
mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a. a p
-Nếu tích ab p   (p là số nguyên tố) b p -Đặc biệt nếu n a
p a p (p là số nguyên tố)
-Mọi số nguyên tố vượt quá 2 đều có dạng: *
4n 1(n N )
-Mọi số nguyên tố vượt quá 3 đều có dạng: *
6n 1(n N )
-Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị. 2.HỢP SỐ
-Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước nguyên dương.
-Để chứng tỏ một số tự nhiên a ( a  1) là hợp số,chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a.
-Ước số nhỏ nhất khác 1 của một hợp số là một số nguyên tố và bình phương lên không vượt quá nó.
-Một hợp số bằng tổng các ước của nó (không kể chính nó) được gọi là: Số hoàn chỉnh.
-Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất(không kể thứ tự các thừa số)
3.HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU
-Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng có ước chung lớn nhất bằng 1.
a,b nguyên tố với nhau  *
(a,b) = 1;(a,b N )
- Hai số tự nhiên liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau
- Hai sô nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau
- Các số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau - Các số , a ,
b c nguyên tố cùng nhau ( , a , b ) c =1 Trang 1 - , a ,
b c nguyên tố sánh đôi khi chúng đôi một nguyên tố cùng nhau , a ,
b c nguyên tố sánh đôi  ( , a ) b = ( , b ) c = ( , c ) a =1
4.MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐẶC BIỆT
- Định lí Đirichlet: Tồn tai vô số số nguyên tổ p có dạng: * p = ax + ;
b x N , (a, b) = 1
- Định lí Tchebycheff: Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n có ít nhất một số nguyên tố (n  2).
- Định lí Vinogradow: Mọi số lẻ lớn hơn 3
3 là tổng của 3 số nguyên tố.
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Phương pháp kiểm tra một số là hợp số
I.Phương pháp giải
Cách 1. Sử dụng định nghĩa.
-Hợp số là số tự nhiên lớn lơn 1 và có nhiều hơn 2 ước nguyên dương.
-Để chứng tỏ một số tự nhiên a ( a  1) là hợp số,chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a. Cách 2. Với *
n N , n  1 ta kiểm tra theo các bước sau
- Tìm số nguyên tố k sao cho: 2 2
k n  (k +1)
- Kiểm tra xem n có chia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng k không ?
+) Nếu có chia hết thì n là số hợp số
+) Nếu không chia hết thì n là số nguyên tố II.Bài toán
Bài 1: Tổng, hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số a) 3.4.5 + 6.7 b) 5.7.9.11− 2.3.4.7 c) 16354 + 67541 Lời giải
a) Ta có: 3.4.5 + 6.7 = 3(4.5 + 2.7) 3  tổng trên là hợp số
b) Ta có: 5.7.9.11− 2.3.4.7 = 7 (5.9.11− 2.3.4) 7  tổng trên là hợp số
c) Ta có: 16354 + 67541 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5, Vậy tổng trên là hợp số
Bài 2: Tổng, hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số a) 5.6.7 + 8.9 b) 5.7.9.11.13 − 2.3.7 c) 5.7.11+13.17.19 d) 4253 + 1422 Lời giải Trang 2
a) Ta có : 5.6.7 + 8.9 = 3(5.2.7 +8.3) 3  tổng trên là hợp số
b) Ta có : 5.7.9.11.13 − 2.3.7 = 7(5.9.11.13− 2. )
3 7  tổng trên là hợp số
c) Ta có: 5.7.11 là 1 số lẻ và 13.17.19 cũng là 1 số lẻ, nên tổng là số chẵn 2  Là hợp số
d) Ta có: 4253 +1422 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5. Vậy tổng trên là hợp số
Bài 3: Tổng, hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số
a) 17.18.19.31+11.13.15.23 b) 41.43.45.47 +19.23.29.31 c) 987654 + 54321 Lời giải
a) Ta có: 17.18.19.31+11.13.15.23 = 3(17.6.19.31+11.13.5.2 )
3 3  17.18.19.31+11.13.15.23 là hợp số
b) Ta có: 41.43.45.47 là số lẻ, 19.23.29.31 là số lẻ, nên 41.43.45.47 +19.23.29.31 là số chẵn
nên 41.43.45.47 +19.23.29.31 là hợp số
c) Ta có: 987654 + 54321 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5 nên tổng trên là hợp số
Bài 4: Các số tự nhiên ab ; ab abcab ;
c ababab là số nguyên tố hay hợp số. Lời giải
Ta có abab = 101.ab có nhiều hơn hai ước số.
abcabc = 1001.abc =1.11.13.abc có nhiều hơn hai ước số. ababab = 101 1
o .ab = 3.7.13.37.ab có nhiều hơn hai ước số.
Vậy các số tự nhiên ab ; ab abcab ;
c ababab là hợp số.
Bài 5: Nếu p là số nguyên tố thì a. 2
p + p + 2 là số nguyên tố hay hợp số b. 2
p + 200 là số nguyên tố hay hợp số Lời giải: a) Ta có: 2
p + p + 2 = p( p +1) + 2 Vì ;
p p +1 là hai số liên tiếp nên p ( p + ) 1 là số chẵn Nên 2
p + p + 2 là số chẵn lớn hơn 2 nên là hợp số . b) - Với 2
p = 2  p + 200 là số chẵn lớn hơn 2 2
p + 200 là hợp số - Với 2
p = 3  p + 200 = 209 7 2
p + 200 là hợp số - Với 2
p  3  p : 3 dư 1; 200 3 dư 2  ( 2 p + 200) 3 2
p + 200 là hợp số Trang 3 Vậy 2
p + 200 luôn là hợp số. Bài 6: Cho , a , b , c d
* thỏa mãn ab = cd . Chứng minh rằng: n n n n
A = a + b + c + d là hợp số với mọi n  . Lời giải
Ta có ab = cd ab : bd = cd : bd
Hay a : d = c : b a = dt
Đặt a : d = c : b = t (t  *)   c = bt Khi đó: n n n n
A = a + b + c + d = ( )n + + ( )n n n dt b bt + d n n n n n n
= d t +b +b t + d n = ( n + )1 n + ( n d t b t + ) 1 = ( n n + )( n d b t + ) 1 Vì , b d,t  * nên A là hợp số.
Dạng 2: Một số bài toán về hợp số
I.Phương pháp giải
-Dựa vào các tính chất đặc trưng của hợp số để giải các bài toán về chứng minh hợp số. II.Bài toán Bài 7:
a) Cho p là số nguyên tố. Hỏi 5
p −1 là số nguyên tố hay hợp số.
b) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố ( p  3) . Chứng minh p + 8 là hợp số. Lời giải: a. Nếu 5 5
p = 2  p −1 = 2 −1 = 31 là số nguyên tố - Nếu p  2
Vì p là số nguyên tố nên p là số lẻ 5  p là số lẻ 5
p −1 là số chẵn lớn hơn 2 5
p −1 là hợp số Vậy 5 p −1 là hợp số. b. ,
p p + 4, p + 8 là dãy số cách đều 4 đơn vị  có 1 số chia hết cho 3 Trang 4
Vì p  3  p + 4  3, p +8  3 và ,
p p + 4 là số nguyên tố nên ,
p p + 4 không chia hết cho 3
p +8 3 và p +8  3 p +8là hợp số.
Bài 8: Cho p và p + 8 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p +100 là số nguyên tố hay là hợp số? Lời giải:
Ta thấy p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng *
3n +1;3n + 2, (n N ) TH1: * = +  + = + = + p 3n 1, (n N ) thì p 8 3n 9 3(n 3) 3
Mà p + 8 là số lớn hơn 3 nên p + 8 là hợp số ( Vô lí vì p +8 là số nguyên tố ) TH2: *
p = 3n + 2(n N ) thì p + 8 = 3n +10
Khi đó p +100 = 3n + 2 +100 = 6n +102 = 3(2n + 34) 3
Mà p +100 là số lớn hơn 3 nên p +100 là hợp số.
Bài 9: Cho p và 8 p +1 là các số nguyên tố ( p  3) . Chứng minh 4 p +1 là hợp số. Lời giải:
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p chia 3 dư 1 hoặc dư 2  p có dạng *
3k +1;3k + 2(k  )
Nếu p = 3k +1  8 p +1 = 24k + 9 = 3(8k + 3) 3  8p +1 là hợp số ( Vô lí vì 8p +1 là số nguyên tố)
Vậy p = 3k + 2 khi đó 4 p +1 =12k + 9 = 3(4k + 3) 3 và 12k + 9  3 nên là hợp số.
Vậy nếu p và 8 p +1 là các số nguyên tố ( p  3) thì 4 p +1 là hợp số.
Bài 10 : Cho p và 2 p +1 là các số nguyên tố ( p  3) . Chứng minh 4 p +1 là hợp số. Lời giải:
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p chia 3 dư 1 hoặc dư 2  p có dạng p = k + p = k + ( * 3 1, 3 2 k  )
+) Nếu p = 3k +1 thì 2 p +1 = 6k + 3 3 và 6k + 3  3nên là hợp số ( mâu thuẫn với giả thiết 2 p +1 là các số nguyên tố)
Vậy p = 3k + 2 Khi đó 4 p +1 = 12k + 9 3 và12k + 9  3 nên là hợp số.
Vậy nếu p và 2 p +1 là các số nguyên tố ( p  3) thì 4 p +1 là hợp số.(đpcm) Bài 11:
a) Cho p và p + 2 là số nguyên tố ( p  3) . Chứng minh p +1 là hợp số và p +1 6
b) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố . Chứng minh p + 2021 là hợp số. Lời giải:
a) Với p  3 , ta có ,
p p +1, p + 2 là 3 số tự nhiên liên tiếp
Do đó trong 3 số trên có 1 số chia hết cho 3 ( ) 1 Mà ;
p p + 2 là các số nguyên tố nên p +1 3và p  3  p +1 là hợp số
Lại có số nguyên tố p  3 Trang 5
Nên p +1 là số chẵn  p +1 2 (2) Từ (1)(2)  p +1 6
b) Ta có: p + 2012 = p + 2 + 2010 Xét dãy , p p + 2, p + 4
Với p = 2  p + 4 = 6 2  p + 4 là hợp số (loại)
Với p = 3  p + 2012 = 2015 5  p + 2012 là hợp số
Với p  3  p chia 3 dư 1 hoặc dư 2  p có dạng p = k + p = k + ( * 3 1, 3 2 k  )
+) Nếu p = 3k +1 thì p + 2 = 3k + 3 3và 3k + 3  3  p + 2012 = p + 2 + 2010 nên là hợp số .
Vậy p = 3k + 2 Khi đó p + 4 = 3k + 6 3 và 3k + 6  3nên là hợp số( mâu thuẫn với giả thiết p + 4 là số nguyên tố).
Bài 12: Cho p và 10p + 1 là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng: 5p + 1 là hợp số Lời giải
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p chia 3 dư 1 hoặc dư 2  p có dạng p = k + p = k + ( * 3 1, 3 2 k  )
+) Nếu p = 3k + 2 thì 10 p +1 =10(3k + 2) +1 = 30k + 21 3và 30k + 21  3 nên là hợp số ( mâu thuẫn với
giả thiết 10 p +1 là số nguyên tố)
Vậy p = 3k +1 Khi đó 5 p +1 = 15k + 6 3 và15k + 6  3 nên là hợp số.
Vậy nếu p và 10 p +1 là các số nguyên tố ( p  3) thì 5p +1 là hợp số.(đpcm) Bài 13: Cho p và 2
8 p +1 là các số nguyên tố ( p  3).Chứng minh rằng 2
8 p −1là hợp số. Lời giải: Vì 2
p,8 p +1 là 2 số nguyên tố lớn hơn 3 nên không chia hết cho 3 Khi đó ta có : 2 2 2
8 p −1;8 p ;8 p +1 là 3 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3 Mà 2 2
8 p +1 3, p  3 = 8 p  3 . Vậy 2
8 p −1 3 hay là hợp số
Bài 14: Cho p và 8 p −1 là các số nguyên tố ( p  3) . Tìm số nguyên tố p để 8 p +1 là hợp số. Lời giải: Với p  3  ,
p 8p −1 là 2 số nguyên tố lớn hơn 3 nên không chia hết cho 3
Khi đó ta có : 8p −1; 8 ;
p 8p +1 là 3 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3
Mà 8 p −1 3, p  3 = 8 p  3 .Vậy 8 p +1 3 hay là hợp số
Bài 15: Chứng minh rằng dãy các số sau là hợp số : 121;11211;1112111;11...1211.....1(n  2) n n Lời giải: Ta có: Trang 6
121 =110 +11 =11.10 +11 =11(10 +1) 2
11211 = 1110 +111 = 111(10 +1) 3
1112111 = 1111000 +1111 = 1111(10 +1)
111...12111...1 = 111...1000...0 +11...1 = 111....1(10....0 +1) = 11...1(10n +1) là hợp số n n n 1 + n n 1 + n 1 + n n 1 +
Bài 16: Chứng minh rằng 11...122.....2 (n  2) là hợp số. n n Lời giải: Ta có:
11...122.....2 = 11...100.....0 + 22.....2 n n n n n
11...122.....2 = 11...1.100.....0 + 2.11.....1 n n n n n  
11...122.....2 = 11...1.100.....0 + 2 là hợp số n n nn
Bài 17: Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư là hợp số. Tìm số dư đó Lời giải:
Gọi p là số nguyên tố theo đầu bài, khi đó: p = 42.k + r = 2.3.7k + r(0  r  42)
Vì r là hợp số  2  r  42 Vì p là số nguyên tố
r không chia hết cho 2,3, 7
Mà r là hợp số nên  r = 25 là giá trị cần tìm Vậy r = 25
Bài 18: Một số nguyên tố chia cho 60 có số dư là r . Tìm số dư, biết rằng r có thể là hợp số hay là số nguyên tố không? Lời giải:
Giả sử p là số nguyên tố: 2 2
p = 60k + r(k N;0  r  60);60 = 2 .3.5  p = 2 .3.5.k + r r  2,3,5
r =1 hoặc r là số nguyên tố hoặc là hợp số và không chia hết cho 2, 3, 5  =  r 1
r = 1 hoặc r là số nguyên tố khác 2, 3, 5 hoặc r = 49   r = 49
Bài 19: Cho p và p + 2 là các số nguyên tố ( p  3).Chứng minh rằng tổng của hai số nguyên tố đó chia hết cho 12 . Lời giải:
Đặt A = p + ( p + 2) = 2p + 2 = 2( p + ) 1 Trang 7
Và p + 2 = p −1+ 3
Xét 3 số liên tiếp p −1, ,
p p +1 phải có 1 số chia hết cho 3
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3, nên p không chia hết cho 3,
Mặt khác p −1 3 vì nếu chia hết cho 3 thì p + 2 sẽ chia hết cho 3, như vậy p +1 3 = 2( p + ) 1 3
Lại có p là số nguyên tố >3 nên p lẻ = p +1 là số chẵn 2 Vậy 2( p + ) 1 12
Bài 20: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 . Chứng minh rằng ( p −1)( p +1) chia hết cho 24. Lời giải:
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ không chia hết cho 2 và 3
Với p không chia hết cho 2 = ( p − ) 1 ,( p + )
1 là hai số chẵn liên tiếp = ( p − ) 1 ( p + ) 1 8
Mặt khác p không chia hết cho 3 nên p = 3k +1, p = 3k + 2
- Nếu p = 3k +1 = ( p − ) 1 3 = ( p − ) 1 ( p + ) 1 24
- Nếu p = 3k + 2 = ( p + ) 1 3 = ( p − ) 1 ( p + ) 1 24
Bài 16: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100, hỏi tổng 25 số nguyên tố đó có là hợp số không? Lời giải
Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100, có 1 số nguyên tố chẵn là số 2
Còn lại 24 số nguyên tố còn lại là số lẻ => tổng của 24 số lẻ cho ta 1 số chẵn
Vậy xét tổng của 25 số nguyên tố đó cho ta được 1 số chẵn nên tổng 25 số nguyên tố đó có là hợp số . Bài 17:
Chứng minh rẳng với mọi số nguyên a  2 thì 1966 2006 A = a + a +1là hợp số. Lời giải Ta có 1966 2006 A = a + a + = a ( 3.655 a − ) 2 + a ( 3.668 a − ) + ( 2 1 1 1 a + a + ) 1 655 668     Mà 3.655 a − = ( 3 a ) 2 3.668 − a + a + a − = ( 3 a ) 2 1 1 1; 1 −1 a + a +1     Do đó 2 A a + a +1 1
Vậy với mọi số nguyên a  2 thì 1966 2006 A = a + a +1là hợp số.
Bài 18: Cho a = 2.3.4.5....1987 . Có phải 1986 số tự nhiên liên tiếp sau đều là hợp số không?
a + 2; a + 3; a + 4;.....;a +1987 Lời giải
Do a là tích các số từ 2 đến 1987 có ngĩa là tích của a có 1996 số.
a + 2 = 2.3.4.5....1987 + 2 = 2(3.4.5....1987) 2và a + 2  2 nên a + 2 là hợp số. Trang 8
a + 3 = 2.3.4.5....1987 + 3 = 3(2.4.5....1987) 3 và a + 3  3nên a + 3 là hợp số.
Chứng minh tương tự cho các trường hợp còn lại.
Vậy 1986 số tự nhiên liên tiếp a + 2; a + 3; a + 4;.....;a +1987 đều là hợp số. Bài 19: Cho ( ) 3 2 F x ax bx cx d (a + = + + + 
), biết F(5)−F( )3 = 2010. Chứng minh rằng: F (7) − F ( ) 1 là hợp số. Lời giải Ta có 2 0
01 = F (5) − F (3) = ( 3 3 5 − )a+( 2 2 3
5 − 3 )b + (5 − 3)c = 98a + 6 1 b + 2c
16b + 2c = 2010 −98a
F ( ) − F ( ) = ( 3 3 − )a + ( 2 2 7 1 7 1 7 −1 )b + (7 − )
1 c = 342a + 48b + 6c
= 342a +3(16b + 2c) = 342a +3(2010−98a) = 48a +6030 = 3.(16a + 2010) 3
Vì a nguyên dương nên 16a + 2010 1.
Vậy F (7) − F ( ) 1 là hợp số.
Bài 20: Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3, sao cho 14p + 1 cũng là số nguyên tố thì
7p + 1 là bội số của 6. Lời giải
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ không chia hết cho 2 và 3
Khi đó 7 p +1 là 1 số chẵn nên chia hết cho 2
Mặt khác vì p không chia hết cho 3 nên p có dạng p = k + p = k + ( * 3 1, 3 2, k  )
Với p = 3k +1 giả sử là số nguyên tố, = 14 p +1 = 45k +15 3 nên p = 3k + ( 1 l )
Với p = 3k + 2 =14 p +1 = 42k + 29 giả sử là số nguyên tố, khi đó: 7 p +1 = 21k +15 3 Như vậy 7 p +1 6
Bài 21: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p −1 và p +1 không thể là các số chính phương Lời giải
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p 2 và p không thể chia hết cho 4 (1)
- Giả sử p + 1 là số chính phương, đặt 2
p +1 = m (mN )
Vì p chẵn nên p +1 lẻ 2
= m lẻ => m lẻ
Đặt m = 2k + (
1 k N ) , ta có: 2 2 2 2
m = 4k + 4k +1  p +1 = 4k + 4k +1  p = 4k + 4k = 4k (k + ) 1 Mâu thuẫn với (1)
=> p + 1 không thể là số chính phương Trang 9
- Giả sử p = 2.3.5.... là 3 = p −1 có dạng 3k+2  p −1 không là số chính phương
Vậy nếu p là tích của n(n  )
1 số nguyên tố đầu tiên thì p – 1 và p + 1 không là số chính phương
Bài 22: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn : 10 p +1 cũng là số nguyên tố. CMR : 5 p +1 6 Lời giải
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3, nên 10p cũng không chia hết cho 3 (1)
Lại có 10 p +1 là số nguyên tố và 10 p +1  3 = 10 p +1 3 (2)
Ta có 10 p (10 p + )
1 (10 p + 2) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3
=10p + 2 3 = 5p +1 3
Lại có p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ => 5p +1 là số chẵn nên chia hết cho 2, khi đó 5 p +1 6 Bài 23: Cho , a , b ,
c d là các số nguyên dương thỏa mãn: 2 2 2 2
a + c = b + d . Chứng minh rằng:
a + b + c + d là hợp số Lời giải Ta có: ( 2 2 2 2 + + +
)−( + + + ) = ( 2 − )+( 2 − )+( 2 − )+( 2 a b c d a b c d a a b b c c d − d ) => a (a − ) 1 + b(b − ) 1 + c (c − ) 1 + d (d − ) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
mà a + c = b + d = a + b + c + d = 2(b + d ) 2
Do đó a + b + c + d 2 Vì Cho , a , b ,
c d là các số nguyên dương nên a + b + c + d  4
a + b + c + d là hợp số
Bài 24: Chứng minh các số sau là hợp số a) 11 17 19 12 +13 +17 b) 23 29 125 1+ 23 + 29 + 25 c) 25 15 45 + 37 d) 354 25 95 +51 Lời giải a) Ta có: 11
12 có chữ số tận cùng là 8 17
13 có chữ số tận cùng là 3 19
17 có chữ số tận cùng là 7 11 17 19
12 +13 +17 có chữ số tận cùng là 8 11 17 19
12 +13 +17 là 1 số chẵn 11 17 19 12 +13 +17 là hợp số b) Ta có : 23
23 có chữ số tận cùng là 7 29
29 có chữ số tận cùng là 9 Trang 10 125 25
có chữ số tận cùng là 5 23 29 125
1+ 23 + 29 + 25 có chữ số tận cùng là 2 23 29 125
1+ 23 + 29 + 25 là 1 số chẵn 23 29 125
1+ 23 + 29 + 25 là hợp số c) Ta có : 25
45 có chữ số tận cùng là 5 15
37 có chữ số tận cùng là 3 25 15
 45 +37 có chữ số tận cùng là 8 25 15  45 +37 là 1 số chẵn 25 15  45 +37 là hợp số d) Ta có 354 95
có chữ số tận cùng là 5 25
51 có chữ số tận cùng là 1 354 25
 95 +51 có chữ số tận cùng là 6 354 25  95 +51 là 1 số chẵn 354 25  95 +51 là hợp số
Bài 25: Chứng minh các số sau là hợp số a) 8 7 10 +10 + 7 b) 5 4 21 17 + 24 −13 c) 25 15 425 − 37 Lời giải a)Ta có : 8 7
10 +10 + 7 có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên là hợp số b) Ta có : 5 4 21
17 + 24 −13 là số chẵn nên là hợp số c) 25 15
425 − 37 là số chẵn nên là hợp số
Bài 26: Chứng minh các số sau là hợp số 2n 1 + 4 n 1 + a) 7 11 13 17 19 1+ 2 + 3 + 5 + 7 +11 b) 354 25 195 −151 c) 2 2 −1,n d) 2 2 − 6,nLời giải a) 7 11 13 17 19
1+ 2 + 3 + 5 + 7 +11 là số chẵn nên là hợp số. b) Ta có: 354 25 195
−151 là số chẵn nên là hợp số 2 2 n 1 + n n + c) Ta có : 2n 1 2n n 2 4 .2 = = = = = ( 4 2 2 .2 4 .2 2 2 2 ) Ta có : 4n
2 có chữ số tận cùng là 6 ( n  )2 4 2
có chữ số tận cùng là 6 Trang 11 2 n 1 + 2  2
−1có chữ số tận cùng là 5 2 n 1 + + 2  2 n 1 2 −1 5 2  2 +1 là hợp số 2 2 n 1 + n n d) Ta có : 4n 1 + 4n n 4 16 .2 = = = = = ( 16 2 2 .2 16 .2 2 2 2 ) Ta có : 16n 2
có chữ số tận cùng là 6 n  ( )2 16 2
có chữ số tận cùng là 6 4 n 1 + 2  2
− 6 có chữ số tận cùng là 0 4 n 1 + + 2  4 n 1 2 − 6 5 nên 2  2 − 6 là hợp số n+
Bài 27: Chứng minh với mọi số tự nhiên lớn hơn 0 thì 2 1 2 2 + 3 là hợp số. Lời giải: Với 2 2n * 2 2 = 4  1(mod 3)  2 1(mod3),(  )  2 n n −1 3 nên 2n 1+ 2 2 − 2 = 2(2 n −1) 6 Hay 2n 1
2 + = 6k + 2(k  ) 2n 1 + 2 6 k 2 2  2
+3 = (2 ) .2 +3  2 +3  0(mod7) 2n 1 + Tức là 2 * 2 +3 7(n ) 2n 1 + 2 n 1 + Mà 2 * 2 +3  7(n ) nên 2 2 + 3 là hợp số. ( đpcm )
Bài 28: Chứng minh với mọi số tự nhiên lớn hơn 0 thì 19.8n +17 là hợp số. Lời giải: + Nếu *
n = 2k(k  ) thì 2k 2 19.8 17 18.8 k (63 1)k + = + + + (18 −1)  0(mod3) + Nếu *
n = 4k +1(k  ) thì n 4k 1 + 2 19.8 +17 =13.8 + 6.8.64 k +17 + 4k 1 2k 2 =13.8
+ 39.64 + 9(1− 65) k + (13+ 4)  0(mod13) + Nếu *
n = 4k + 3(k  ) thì n 4k +3 3 2 19.8 +17 = 15.8 + 4.8 .64 k +17 4k +3 2k 2 15.8
+ 4.5.10.64 + 4 − 2(1− 65) k + (25 −8)  0(mod 5)
Như vậy với mọi giá trị * n
thì số 19.8n +17 là hợp số.
Bài 29: Chứng minh các số sau là hợp số: a) abcabc + 7 b) abcabc + 22 c) abcabc + 39 Lời giải a) Ta có: 5 4 3 2 abcabc = . a 10 + . b 10 + . c 10 + . a 10 + . b 10 + c + 7 = . a 100100 + .
b 10010 +1001c + 7 =100 (
1 100a +101b + c) + 7 Trang 12
Vì 1001 chia hết cho 7 nên abcabc 7 là hợp số
b) Tách tương tự, nhưng vì 1001 11 nên là hợp số
c) Tách tương tự, nhưng vì 1001 13 nên là hợp số
Bài 30: Hãy chứng minh các số sau là hợp số:
a) A = 11111..........1( 2022 chữ số 1 ); b) B = 1010101
c) C = 1!+ 2!+ 3!+ ....... +100! d) D = 311141111 Lời giải:
a) Tổng các chữ số của A là: 1+1+1...... +1 = 2022 3  A 3
mà A  3 nên A là hợp số ( đpcm )
b) B = 1010101 =101.10001là hợp số ( đpcm )
c) Vì 1!+ 2! = 3 3và 3!+ 4!+ ..... +100! luôn chia hết cho 3 nên C 3
Mà C  3nên C là hợp số (đpcm )
d) D = 311141111 = 311110000 + 31111 = 31111(10000 +1) 31111  D là hợp số (đpcm ) 125 5 −1
Bài 31: Chứng minh rằng số N = 25 5 − là hợp số. 1 Lời giải: Đặt 25 5 = a , khi đó 5 a −1 4 3 2 N =
= a + a + a + a +1 a − 1 4 2 3 2 3 2
= (a + 9a +1+ 6a + 6a + 2a ) − (5a +10a +1) 2 2 2
= (a + 3a +1) + 5a(a + 2a +1) 2 2 25 2
= (a + 3a +1) − 5.5 (a +1) 2 2 2 13
= (a + 3a +1) − 5  .(a +1)   2 13 2 13
= a + 3a +1+ 5 (a +1) a + 3a +1− 5 (a +1)    
N là tích của hai số nguyên lớn hơn 1 nên N là hợp số ( đpcm )
Bài 32: Cho các số nguyên dương , a , b ,
c d thỏa mãn n
a 5 .Chứng minh rằng n n n n
A = a + b + c + d là hợp số. Lời giải: Giả sử *
(a, c) = t(t  ) Trang 13
Đặt a = a t,c = c t;(a ,c ) =1 1 1 1 1
ab = cd a bt = c dt a b = c d 1 1 1 1
Mà (a , c ) = 1  b c 1 1 1 Đặt *
b = c k d = a k, (k  ) , 1 1 Ta có n n n n n n n n n n n n = + + + = + + + = ( n n + )( n n A a b c d a t c k c t a k a c k + t ) 1 1 1 1 1 1
Vì a , c ,t, k là số nguyên dương nên A là hợp số. 1 1
Bài 33: Hai số 2n +1 và 2n −1 (n  2)có thể đồng thời là số nguyên tố hay đồng thời là hợp số được không ? Lời giải:
Trong ba số nguyên liên tiếp 2n +1, 2n và 2n −1 có một số chia hết cho 3, nhưng 2n  3 do đó 2n +1 hoặc
2n −1 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên 2n +1, 2n −1 không đồng thời là số nguyên tố.
Với n = 6 thì 2n +1, 2n −1 đồng thời là hợp số. p + p
Bài 34: Hai số nguyên tố lẻ liên tiếp p và p
p p , chứng tỏ 1 2 là hợp số. 2 ( 1 2 ) 1 2 Lời giải: p + p Vì p và p
là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp nên p + p là số chẵn và 1 2  1 2 1 2 2 p + p p + p
Mặt khác p p nên 1 2
p + p  2 p   p và 1 2
2 p p + p p  1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 p + p p + p Vậy 1 2 1 2 p   p  là hợp số. 2 1 2 2
Dạng 3:Áp dụng định lí Fermat chứng minh một biểu thức là hợp số.
I.Phương pháp giải −
-Định lí Fermat nhỏ: p 1 2
1(mod p) với p là số nguyên tố.
-Bằng cách sử dụng định lí Fermat để giải các bài toán về số nguyên tố. II.Bài toán 10 n 1 + Bài 33: Cho * n  , chứng minh rằng: 2 2 +19 là hợp số. Lời giải: 10 n 1 + Ta chứng minh 2 2
+19 23với mọi n 1 + + Ta có: 10 10n 1 10n 1 2  1(mod11)  2  2(mod 22)  2
= 22k + 2(k  ) . Theo định lý Fermat: Trang 14 10n 1 + 22 2 22k +2 2 1(mod 23)  2  2  4(mod23) 10 n 1 + 2  2 +19 23 10 n 1 + Mà 10n 1 2 + +19  23nên 2 2 +19 là hợp số ( đpcm ) 4 n 1 + 4 n 1 + Bài 34: Cho * n  , chứng minh rằng: 3 2 2 + 3 + 5 là hợp số. Lời giải:
Theo định lí Fermat nhỏ ta có 10 10
3  1(mod11), 2  1(mod11) .
Ta tìm số dư trong phép chia 4 1 2 n+ và 4 1
3 n+ cho 10, tức là tìm chữ số tận cùng chúng. 4n 1 + n 4n 1 2 2.16 2(mod10) 2 + =  
=10k + 2,(k  ) 4n 1 + n 4n 1 3 3.81 3(mod10) 3 + =  
=10l + 3,(l  ) Mà 10 3  1(mod11) và 10 2  1(mod11) nên 4n 1 + 4 n 1 + 3 2 10k +2 10l+3 2 3 2 +3 +5  3 + 2 +5  3 + 2 +5  0(mod11) 4 n 1 + 4 n 1 + Mà 3 2 2 + 3
+ 5 11 với mọi số tự nhiên n khác 0 4 n 1 + 4 n 1 + Vậy 3 2 2 + 3
+ 5 là hợp số với mọi số tự nhiên n khác 0. 9 p −1
Bài 35: Giả sử p là số nguyên tố lẻ và m =
. Chứng minh rằng m là hợp số lẻ không chia hết cho 3 8 và 3m  ( 1 mod m) . Lời giải: 9 p −1 3p −1 3p +1 3p −1 3p +1 Ta có m = = . = . a b với a = , b = 8 2 4 2 4
Vì a,b là các số nguyên lớn hơn 1 nên m là hợp số. Mà p 1 − p−2 m 9 9 . + = +
...+ 9 +1 và p là số nguyên tố lẻ nên m lẻ và m  ( 1 mod ) 3 . 9 p − p 9
Theo định lí Fermat ta có 9 p − 9 p và ( ,
p 8) =1nên 9 − 9 8 p m −1 p 8 − 9 p − m p 1
Vì m −1 2 nên m −1 2 p khi đó 1 2 3 −1 3 −1 = m (đpcm). 8 4 n 1 +
Bài 36: Cho n  , chứng minh rằng: 2 2 + 7 là hợp số. Lời giải: Với n  ta có 4 2 n 1 16n − = −1  0(mod5) 4n+2  − = ( 4n − ) 4n+2 2 2 2 2 1 10  2
=10k + 2(k  ) 4 n 1 + k 2  + = ( 10 ) 2 2 2 7 2 .2 + 7  2 + 7  0(mod1 ) 1 Trang 15 4 n 1 + 2 Mặt khác 2 + 7 11(n ) 4 n 1 + Vậy 2 2 + 7 là hợp số.
PHẦN III.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG. ( Khoảng 15 bài )
Bài 1: (HUYỆN BẠCH THÔNG NĂM 2018-2019)
Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2015 hay không ? Vì sao ? Lời giải:
Tổng của hai số nguyên tố bằng 2015 là số lẻ, nên một trong hai số nguyên tố phải là 2
Khi đó số kia là 2013, số này là hợp số
Vậy không tồn tại hai số nguyên tố có tổng bằng 2015
Bài 2: (HUYỆN TAM DƯƠNG NĂM 2017-2018)
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi 2016 p
+ 2018 là số nguyên tố hay hợp số Lời giải:
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p chia cho 3 dư 1 hoặc p chia cho 3 dư 2 2  p chia cho 3 dư 1 Mà = ( )1008 2016 2 p p nên 2016 p chia cho 3 dư 1.
Mặt khác: 2018 chia cho 3 dư 2, do đó: ( 2016 p + 2018) 3 Vì ( 2016 p + 2018) 3và ( 2016 p + 2018)  3nên 2016 p + 2018 là hợp số
Bài 3: (HUYỆN SƠN TÂY NĂM 2017-2018) Với ,
q p là số nguyên tố lớn hơn 5, chứng minh rằng: 4 4 p − q 240 Lời giải: Ta có: 4 4 p − q = ( 4 p − ) − ( 4 1 q − ) 1 ; 240 = 8.2.3.5 Chứng minh 4 p −1 240
Do p  5 nên p là số lẻ Mặt khác 4
p − = ( p − )( p + )( 2 1 1 1 p + ) 1  ( p − ) 1 và ( p + )
1 là hai số chẵn liên tiếp  ( p − ) 1 ( p + ) 1 8
Do p là số lẻ nên 2 p là số lẻ 2  p +1 2
p  5 nên p có dạng: 4
p = 3k +1  p −1 = 3k 3  p −1 3 4
p = 3k + 2  p +1 = 3k + 3 3  p −1 3
Mặt khác p có thể là dạng : Trang 16 4
p = 5k +1  p −1 = 5k +1−1 = 5k 5  p −1 5
p = 5k + 2  p +1 = (5k + 2)2 2 2 4
+1 = 25k + 20k + 5 5  p −1 5 2 2 4
p = 5k + 3  p +1 = 25k + 30k +10 5  p −1 5 4
p = 5k + 4  p +1 = 5k + 5 5  p −1 5 Vậy 4 p −1 8.2.3.5 hay 4 p −1 240 Tương tự ta cũng có: 4 q −1 240 Vậy ( 4 p − ) − ( 4 q − ) 4 4 1 1 = p − q 240
Bài 4: (HUYỆN QUẢNG TIẾN)
Nếu p  5 và 2 p +1là các số nguyên tố thì 4 p +1 là số nguyên tố hay hợp số. Lời giải:
Xét 3 số tự nhiên liên tiếp 4 ;
p 4 p +1; 4 p + 2, trong 3 số đó có 1 số là bội của 3
Mà p  5 và p là số nguyên tố nên p có dạng 3k +1hoặc 3k + 2(k  ) .
Nếu p = 3k +1thì 4 p = 4(3k + )
1  3Q +1 = p và 4 p + 2 = 4(3k + )
1 + 2  p = 3Q 3
Mặt khác 4 p + 2 = 2(2 p + )
1 = 3Q 3  2(2 p + )
1 3 mà (2;3) = 1nên 2 p +1 3 (trái với giả thiết).
Nếu p = 3k + 2  4 p +1 = 4(3k + 2) +1 =12k + 9 = 3M 3  4p +1 là hợp số.
Vậy nếu p  5 và 2 p +1là các số nguyên tố thì 4 p +1 là hợp số.
Bài 5: (HUYỆN THANH OAI NĂM 2017-2018) Tìm các số nguyên tố , x y sao cho: 2 2 x + 45 = y Lời giải: 2 2 2
x + 45 = y y  45, do đó . y .là số nguyên tố lẻ
Suy ra x là số nguyên tố chẵn nên x = 2.từ đó ta có: 2
y = 4 + 45 = 49  y = 7
Bài 6: (HSG NĂM 2018-2019)
Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi 2
n + 2006 là số nguyên tố hay hợp số Lời giải:
n là số nguyên tố nên n  3và không chia hết cho 3. Vậy 2
n chia cho 3 dư 1 do đó 2
n + 2006 = 3m +1+ 2006 = 3m + 2007 = 3.(m + 669) 3 Vậy 2
n + 2006 là hợp số.
Bài 7: (HUYỆN HOÀNG HOÁ NĂM 2018-2019)
Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì 2 p −1chia hết cho 3 Lời giải: Trang 17
Xét số nguyên tố p khi chia cho 3. Ta có: p = 3k +1hoặc p = 3k + 2(k  ) *
Nếu p = k +  p − = ( k + )2 2 2 3 1 1 3 1
−1 = 9k + 6k 3
Nếu p = k +  p − = ( k + )2 2 2 3 2 1 3 2
−1 = 9k +12k + 3 3 Vậy 2 p −1 3
Bài 8: (TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRỰC – KIM BÀI- NĂM 2017-2018)
Cho P và P + 4là các số nguyên tố với P  3. Chứng minh P − 2014 là hợp số. Lời giải:
Từ giả thiết ta có P = 3k +1hoặc P = 3k + 2(k  ) *
Nếu p = 3k + 2  p + 3 = 3k + 6 3(loại)
Nếu p = 3k +1 p − 2014 = 3k − 2013 3 (loại)
Vậy p − 2014 là hợp số
Bài 9: (PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH BA) Cho ;
p p + 4 là các số nguyên tố ( p  3) . Chứng minh p + 8 là hợp số. Lời giải:
p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k +1 hoặc 3k + 2 ( * k N )
Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 3 mà p + 4  3 nên p + 4 là hợp số, trái với đề bài. Vậy p có dạng 3k +1.
Khi đó: p +8 = 3k +1+8 = 3k + 9 3
Lại có p + 8  3 nên p + 8 là hợp số. Vậy nếu ;
p p + 4 là các số nguyên tố ( p  3 ) thì p + 8 là hợp số.
Bài 10: (PHÒNG GD VÀ ĐT HOẰNG HOÁ)
Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3 , trong đó số sau lớn hơn số trước là d đơn vị. Chứng minh: d chia hết cho 6. Lời giải:
Gọi ba số nguyên tố lớn hơn 3 là , a ,
b c . Giả sử a b c . Vì , a ,
b c là ba số nguyên tố lớn hơn 3 nên , a ,
b c là ba số nguyên tố lẻ.
a − b = d
Vì số sau lớn hơn số trước là d đơn vị nên d là số chẵn và b − c = d
a − c = 2d  Vì , a ,
b c là ba số nguyên tố lớn hơn 3 nên , a ,
b c không chia hết cho 3. Trang 18 Do đó trong ba số 3 số , a ,
b c luôn tồn tại ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 3 nên hiệu của hai số đó chia hết cho 3. d 3   d 3  (vì UCLN (2; ) 3 = 1 ) 2d 3
Mà d là số chẵn nên d 2 . Vậy d 6 .
Bài 11: (PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÔ LƯƠNG)
Cho p là số nguyên tố thỏa mãn p + 2 và p + 4 cũng là số nguyên tố. Tìm số nguyên x sao cho p + = ( x − )2 3 54 2 1 . Lời giải:
Với p là số nguyên tố
Xét p = 2 thì p + 2 = 4 ; p + 4 = 6 đều là hợp số (loại)
Xét p = 3 thì p + 2 = 5 ; p + 4 = 7 đều là số nguyên tố (nhận)
Xét p  3 thì p có dạng 3k +1 hoặc 3k + 2 , k là số nguyên dương
- Với p = 3k +1thì p + 2chia hết cho 3, p + 2  3 nên p + 2 là hợp số.
- Với p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số. Vậy p = 3 Khi đó: p + = ( x − )2 3 54 2 1  ( x − )2 2 1 = 81  2x −1 = 9  x = 5     (thỏa mãn) 2x −1 = 9 − x = 4 −
Bài 12: (PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOA LƯ) Cho 1999 1997 B = 999993 −555557
. Chứng minh rằng B là hợp số. Lời giải: Số 1999 999993
có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của 1999 3 Mà 1999 3 = (3 )499 4 3 499
.3 = 81 .27 có chữ số tận cùng bằng 7 Số 1997 555557
có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của 1997 7 Mà 9 1 97 7 = (7 )499 4 499
.7 = 2041 .7 có chữ số tận cùng bằng 7 1999 1997  B = 999993 −555557
có chữ số tận cùng bằng 0 Trang 19
B 5 và B  5nên B là hợp số.
Bài 13: (PHÒNG GD&ĐT HUYỆN TIÊN DU)
Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3, sao cho 2p +1 cũng là số nguyên tố thì 4p +1 là hợp số. Lời giải:
+ Nếu p  3 thì p có dạng p = 3k + 1; p = 3k + 2
+ Nếu p = 3k + 1ta có 2 p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 3 chia hết cho 3 nên là hợp số (loại)
+ Nếu p = 3k + 2 ta có 2 p + 1 = 2(3k + 2) + 1 = 6k + 5 (thõa mãn)
4 p + 1 = 4(3k + 2) + 1 = 12k + 9 chia hết cho 3 nên là hợp số
Vậy 4 p + 1 là hợp số.
Bài 14: (UBND HUYỆN PHÚ XUYÊN)
Cho p và p + 8 đều là số nguyên tố ( p  3) . Hỏi p +100 là số nguyên tố hay hợp số. Lời giải:
Vì p là số nguyên tố và p  3 nên p  3 . Do đó p có dạng 3k +1 hoặc 3k + 2,(k N ) * .
Nếu p = 3k +1 thì p + 8 = 3k + 9 3  p + 8 là hợp số (Không thỏa mãn).
p = 3k + 2, khi đó p +100 = 3k +102 3  p +100 là hợp số.
Bài 15: (UBND HUYỆN VŨ THƯ)
Cho a , b , c , d là số nguyên dương thỏa mãn 2 2 2 2
a + b − c − d chẵn. Chứng minh a + b + c + d không là số nguyên tố. Lời giải:
Xét : A = (a2+ b2 - c2 - d2 ) + (a + b + c + d)
= ( 2 + ) + ( 2 + ) −( 2 − ) −( 2 A a a b b c c d + d) A = a.(a + ) 1 + b.(b + ) 1 − c.(c − ) 1 − d.(d − ) 1
Vì a là số nguyên dương nên a  * . a (a + )
1 là hai số tự nhiên liên tiếp  . a (a + ) 1 2
Tương tự chứng minh được: b(b + ) 1 2; c (c − ) 1 2; d (d − ) 1 2  , b , c d  * Nên ta có :
=  ( + ) + ( + )− ( − )− ( − ) * A a a 1 b b 1 c c 1 d d 1  2 a  , b,c,d   2 2 2 2
Mà giá trị biểu thức a + b − c − d là số chẵn nên (a + b + c + d) 2 (1) Lại có * a, b, c, d  nên a + b + c + d  4(2)
Từ (1) và (2) suy ra a + b + c + d là hợp số
Vậy a + b + c + d không là số nguyên tố
Bài 16: (PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LỤC NAM)
Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi 2
n + 2018 là số nguyên tố hay hợp số. Trang 20 Lời giải:
Vì n là số nguyên tố và n  3  n = 3k +1;n = 3k + 2
-Nếu n = 3k +1  n + = ( k + )2 2 2 2018 3
1 + 2018 = 9k + 6k +1+ 2018 2 = k + k + = ( 2 9 6 2019
3 3k + 2k + 673) 3 là hợp số.
-Nếu n = k +  n + = ( k + )2 2 2 3 2 2018 3 2
+ 2018 = 9k +12k + 4 + 2018 là hợp số.
Vậy khi n là số nguyên tố lớn hơn 3thì 2
n + 2018 là hợp số.
Bài 17: (ĐỀ HSG LỚP 9)
Tìm tất cả các số nguyên dương n để 2021 2020 A = n + n +1 là hợp số. Lời giải:
Với n = 1 A = 3 không là hợp số. Với 2021 2020 2021 2 2020 2
n 1 A = n + n +1= n − n + n
− n + n + n +1 2 = n ( 2019 n − ) + n( 2019 n − ) + ( 2 1 1 n + n + ) 1 3 Mà 2019 n − = ( 673 n ) 3 3
− n − n − ( 2 n + n + ) 2019 2 1 1 1; 1 1  n −1 n + n +1 2  A n + n +1 + Mà n  , n  1nên 2021 2020 2 A = n + n
+1 n + n +11.
Vậy A là hợp số với mọi số nguyên dương n  1 .
Bài 18: (ĐỀ HSG LỚP 9)
Chứng minh rằng nếu a + b + c + d = 0 thì 3 3 3 3
A = a + b + c + d là hợp số. Lời giải:
Ta có a + b + c + d = 0  a + c = −(b + d )  ( + )3 a c
= −(b + d ) 3    3 3
a + c + ac(a +c) 3 3 3 = b
− − d −3bd (b + d ) 3 3 3 3
a +b + c + d = 3
− ac(a +c)−3bd (b + d ) 3 3 3 3
a +b + c + d = 3ac(b+ d)−3bd (b + d ) 3 3 3 3
a +b + c + d = 3(ac −bd )(b + d ) 3
Vậy nếu a + b + c + d = 0 thì 3 3 3 3
A = a + b + c + d là hợp số.
Bài 19: (ĐỀ THI VÔ ĐỊCH TOÁN ANH) Chứng minh rằng 19.8n A =
+17 là hợp số với n  . Trang 21 Lời giải:
Xét các trường hợp n = 2k, n = 4k +1, n = 4k +3. Nếu 2k 2k 2
= 2  =19.8 +17 =18.8 +8 k n k A +(18− ) 1 k Mà 2 8 k 64k = = (63+ ) 1 , 63 = 3.21nên 2
8 k : 3 dư 1  A 3 . Nếu n = 4k +1 4k 1 4k 1 2 19.8 17 13.8 6.8.64 k A + +  = + = + +17 2k 4k 1 + 2 =13.8
+ 39.64 k + 9.(1− 65) + (13+ 4) k Chú ý rằng = ( − )2 65 135. 1 65 : 3 dư 1 nên A 3 . Nếu n = 4k + 3 4k 3 4k 3 3 2 19.8 17 15.8 4.8 .64 k A + +  = + = + +17 2k 4k +3 2 =15.8
+ 4.510.64 k + 4.2.(1− 65) + (25 −8)  A 8 Vậy 19.8n A =
+17 là hợp số với n  .
Bài 20: (ĐỀ THI HSG TOÁN 9)
Tìm số p nguyên tố để 2 = 2p A
+ p là hợp số . Lời giải: Với 2 2
p = 2  A = 2 + 2 = 8 là hợp số. Với 3 2
p = 3  A = 2 + 3 = 17 là số nguyên tố.
Với p  3 , p nguyên tố nên p lẻ. Ta có p 2 = + = ( 2 2 − ) 1 + (2p A p p + ) 1
Xét 3 số tự nhiên liên tiếp p −1; ;
p p +1 trong đó có một số chia hết cho 3, mà p  3 nên p −1
hoặc p +1 chia hết cho 3 2  p −1 3 Lại có 2p +1 (2 + ) 1 = 3 và p 2 2 + p  3 nên 2 = 2p A + p là hợp số .
Vậy với p = 2 hoặc p  3 thì 2 = 2p A + p là hợp số .
Bài 21: (ĐỀ THI HSG TOÁN 9) Chứng minh rằng 1975 2010 A = 2 +5 là hợp số . Lời giải: Ta có: 987 +) 1975 2.987 1 + 2.987 987 = = = = ( + ) = ( k + ) * 2 2 2 .2 4 .2 3 1 .2 3
1 .2 = 6k + 2, k  1975  2 : 3dư 2 (1). 1005 1005 +) 2010 2.1005 1005 = = = ( + ) = ( + ) * 5 5 25 24 1 3.8 1 = 3m +1, m Trang 22 2010  5 : 3dư 1 (2). Từ (1) và (2) ta có 1975 2010 A = 2 +5
3 và A  3 nên A là hợp số.  HẾT Trang 23