Luyện thi HSG Toán 6 chủ đề: Các tính chất cơ bản và bài toán ƯCLN BCNN

Luyện thi HSG Toán 6 chủ đề: Các tính chất cơ bản và bài toán ƯCLN BCNN. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 25 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!

34 17 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 6

Môn: Toán 6

Thông tin:

25 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mỹ Duyên
Trang 1
ĐS6. CHUYÊN ĐỀ - ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
CHỦ ĐỀ 1: CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ BÀI TOÁN ƯCLN VÀ BCNN
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. ĐỊNH NGHĨA VỀ ƯỚC VÀ BỘI
Ước: Số tự nhiên
được gọi là ước của số tự nhiên a khi và chỉ khi a chia hết cho d . Ta nói d là
ước của a.
Nhận xét: Tập hợp các ước của a là Ư
( )
:|a d d a=
Bội: Số tự nhiên m được gọi là bội của khi và chỉ khi m chia hết cho a hay a là một ước số m.
Nhận xét: Tập hợp các bội của a là
2) Tính chất:
- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.
- Các số
1
và
1−
là ước của mọi số nguyên.
- Nếu Ư thì a là số nguyên tố.
- Số lượng các ước của một số : Nếu dng phân tch ra tha số nguyên tố của một số tự nhiên là
… thì số lượng các ước của bng …
Thật vậy ước của là số c dng …trong đ:
c cách chọn (là )
c cách chọn (là )
c cách chọn (là ),…
Do đ, số lượng các ước của bng
II. Ước chung và bội chung
1) Định nghĩa
Ước chung (ƯC): Nếu hai tập hợp Ư
( )
a
và Ư
( )
b
có những phần tử chung thì những phần tử đ gọi là
ước số chung của a và b. Kí hiệu: ƯC
( )
;ab
.
0d
( )
0a
( )
0; ;2 ;...; ,B a a a ka k Z=
( )
1;aa=
A
..
x y z
a b c
A
( )( )( )
1 1 1x y z+ + +
A
mnp
m
1x +
2
1, , , ,
x
a a a
n
1y +
2
1, , , ,
y
b b b
p
1z +
2
1, , , ,
z
c c c
A
( )( )( )
1 1 1x y z+ + +
Trang 2
Nhận xét: Nếu ƯC thì a và b nguyên tố cùng nhau.
Ước chung lớn nhất (ƯCLN): Số
d
được gọi là ước số chung lớn nhất của a và b
( )
;ab
khi
d là phần tử lớn nhất trong tập hợp ƯC
( )
;ab
. Kí hiệu ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN
( )
;ab
hoặc
( )
;ab
hoặc gcd
( )
;ab
.
Bội chung (BC): Nếu hai tập hợp B
( )
a
và B
( )
b
có những phần tử chung thì những phần tử đ gọi là bội
số chung của a và b. Kí hiệu BC
( )
;ab
.
Bội chung nhỏ nhất (BCNN): Số
0m
được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b khi m là
số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC
( )
;ab
. Kí hiệu bội chung nhỏ nhất của a và b là BCNN
( )
;ab
hoặc
hoặc lcm
( )
;ab
.
2) Tính chất
Một số tính chất của ước chung lớn nhất:
● Nếu thì ta ni các số nguyên tố cùng nhau.
● Nếu thì ta ni các số đôi một nguyên tố cùng
nhau.
● ƯC
( )
;ab
thì
●
●
● và thì
●
● Cho
- Nếu thì
- Nếu thì
Một số tính chất của bội chung nhỏ nhất:
● Nếu
thì
●
( )
;1ab =
( )
12
; ;...; 1
n
a a a =
12
; ;...;
n
a a a
( )
; 1, , , 1;2;....;
mk
a a m k m k n=
12
; ;...;
n
a a a
c
( )
;
;.
ab
ab
c c c

=


( )
; ; 1.
ab
d a b
dd

= =


( ) ( )
; ; .ca cb c a b=
( )
;1ab =
( )
;1ac =
( )
;1a bc =
( ) ( )
( )
; ; ; ;a b c a b c=
0ab
.a b q=
( )
;.a b b=
( )
0a bq r r= +
( ) ( )
; ; .a b b r=
;a b M=
; 1.
MM
ab

=


; ; ; ;a b c a b c

=

Trang 3
●
●
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Các tính chất và bài toán cơ bản về ƯCLN và BCNN
I. Phương pháp giải
Nếu dng phân tch ra tha số nguyên tố của một số tự nhiên là … thì số lượng các ước của
bng …
Thật vậy ước của là số c dng …trong đ:
c cách chọn (là )
c cách chọn (là )
c cách chọn (là ),…
Do đ, số lượng các ước của bng
II. Bài toán
Bài 1: Tìm số ước của số .
Lời giải:
Ta có :
Vậy số ước của số là
Bài 2: Chứng minh rng một số tự nhiên lớn hơn 0 là số chnh phương khi và chỉ khi số ước số
của nó là số lẻ.
Lời giải:
Giả sử với
nguyên tố và
n là số chnh phương khi và chỉ khi là các số chẵn khi đ
là số lẻ.
Mặt khác
là số các số ước của n, do đ bài toán được chứng minh.
Bài 3: Một số tự nhiên n là tổng bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rng n
không thể c đúng 17 ước số.
, , ;ka kb k a b=
( )
; . ; .a b a b ab=
A
..
x y z
a b c
A
( )( )( )
1 1 1x y z+ + +
A
mnp
m
1x +
2
1, , , ,
x
a a a
n
1y +
2
1, , , ,
y
b b b
p
1z +
2
1, , , ,
z
c c c
A
( )( )( )
1 1 1x y z+ + +
96
18
( )
96
96 2 192 96
18 3 .2 3 .2 .==
96
18
( )( )
96 1 192 1 97.193 18721.+ + = =
12
12
. ....
k
a
aa
k
n p p p=
i
p
*
.
i
aN
12
, ,...,
k
a a a
( )( ) ( )
12
1 1 ... 1
k
a a a+ + +
( )( ) ( )
12
1 1 ... 1
k
a a a+ + +
Trang 4
Lời giải
Tổng bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp c dng :
không thể là số chnh phương.
Nếu n c đúng 17 ước số thì n là số chnh phương (bài toán 1), vô l. Tđ suy ra điều phải
chứng minh.
Bài 3: Cho
( , ) 1; .a b a b=
Chứng minh rng:
a)
( , ) 1a a b+=
c)
( , ) 1ab a b+=
b)
( , ) 1b a b−=
d)
2
( , ) 1a a b−=
Lời giải
a) Đặt
*
( , ) ( ) ( , ) ( ( , )) 1 1
ad
a a b d d N b d d UC a b d U UC a b d d
a b d
+ = =
+
c)
( , )
ab d
ab a b d
a b d
+ =
+
Giả sử
1.d
Gọi p là số ước nguyên tố của d (1 số tự nhiên khác 1 bào giờ cũng tồn ti ít nhất một ước
nguyên tố)
ab p
dp
a b p

+
Ta có:
( , ) ( ( , )) 1 1
a b b p
ab p p UC a b p U ucln a b p p
b p a p
=
(vô lý)
Vậy
1 ( ; ) 1d ab a b= + =
d)
2
22
a p a p b p
a b d a b p
b p a p
a b d a b p
a b p



−−
−
Bài 3: Biết rng
abc
là bội chung của
;;ab ac bc
. Chứng minh rng:
a)
abc
là bội của
bc
b)
abc
là bội của
11
Lời giải
a)
: 10 0abc ab ab c ab c ab c + =
(do c có một chữ số,
ab
có hai chữ số)
-
(100 10 ) 10
0
abc ac
a b a b a
c
+
=
( ) ( )
22
22
1 1 3 2n m m m m= − + + + = +
Trang 5
Đặt
*
()b ak k N=
-
100 10 (10 ) 99 10 99 10 99 10 1 10 1 11
0;
abc ba
a b b a a b a a ak a k k
c b ak
+ + + + + + =
==
1 ; 0k a b c = = =
Vì
abc ac abc bc
đpcm
b)
0 110 11abc aa a= =
đpcm
Bài 4: Biết rng
, .( , )a b a b ab=
a.
, 600;( , )a b a b=
nhỏ hơn 10 lần (a, b). Số thứ nhất là 120, tìm số thứ hai
b. (a, b) = 12, [a, b] lớn gấp 6 lần (a, b). Số thứ nhất là 24, tìm số thứ hai
c. Tổng cuả hai số bng 60, tổng giữa UCLN và BCNN của chúng là 84. Tìm hai số đ
Lời giải
a. Ta có:
( , ) 600:10 60;( , ). , 60.60 120. 300a b a b a b ab b b= = = = =
b. Số thứ hai là 36
c. Gọi hai số phải tìm là: a và b
( , ) ,a b d=
đặt
*
( , ) 1
;
,
mn
a dm b dn
m n N
=
= =
;
2
..
,
( , )
ab d m n
a b dmn
a b d
= = =
Có:
4 ( 1) 4(1)d dmn d mn+ = + =
Vì tổng của hai bng 60 nên
( ) 60(2)d m n+=
T (1)(2)
1,2,3,4,6,12 12( . ) 2; 3 24; 36d d thoaman m n a b = = = = = =
Hoặc
3; 2 36; 24m n a b= = = =
Dạng 2: Tìm số nguyên
n
để thỏa mãn điều kiện chia hết
I. Phương pháp giải
Tách số bị chia thành phần chứa ẩn số chia hết cho số chia và phần nguyên dư, sau đ để thỏa
mãn chia hết thì số chia phải là ước của phần số nguyên dư, t đta tìm được số nguyên n thỏa
mãn điều kiện.
II. Bài toán
Bài 1: Tìm số tự nhiên
n
để
5 14n +
chia hết cho
2n +
.
Trang 6
Lời giải:
Ta có:
( )
5 14 5. 2 4nn+ = + +
Mà
( )
5. 2n+
chia hết cho
( )
2n+
Do đ
( )
5 14n +
chia hết cho
( )
2n+
4 chia hết cho
( )
2n+
( )
2n+
là ước của 4.
( )
2n+
Do đ
2{}0;n
Vậy với
2{}0;n
thì
( )
5 14n +
chia hết cho
( )
2n+
.
Bài 2: Tìm số tự nhiên
n
để là số tự nhiên.
Lời giải:
Để là số tự nhiên thì
( )
15n+
chia hết cho
( )
3n+
.
( ) ( )
15 3nn+ − +


chia hết cho
( )
3n+
.
12 chia hết cho
( )
3n+
.
( )
3n+
là Ư
( )
12 1;2;3;4;6{};12=
.
0;1;{ .}3;9n
Vậy với
0;1{};3;9n
thì là số tự nhiên.
Bài 3: Tìm số tự nhiên
n
để
( )
( )
2
3 6 3n n n+ + +
.
Lời giải:
Ta có:
( )
( )
2
3 6 3n n n+ + +
Suy ra:
( ) ( )
3 6 3n n n


+ + +
( )
6 3n +
Do đ
3n+
Ư
( )
6 1;2;3;6=
Vậy
0; 3nn==
thì
( )
( )
2
3 6 3n n n+ + +
.
Bài 4: Tìm số nguyên
n
để phân số
45
21
n
n
+
−
có giá trị là một số nguyên.
Lời giải:
4;2;1
3
15
+
+
n
n
3
15
+
+
n
n
3
15
+
+
n
n
Trang 7
Ta có:
( )
2 2 1 7
4 5 4 2 7 7
2
2 1 2 1 2 1 2 1
n
nn
n n n n
−+
+ − +
= = = +
− − − −
Vì 2 là số nguyên nên để
45
21
n
n
+
−
là số nguyên thì
7
21n −
là số nguyên
Suy ra
2 –1 n
Ư
( )
7 –7;–1;1;7=
2 –6;0;2;8n
–3;0;1;4n
Vậy với
–3;0;1;4n
thì
45
21
n
n
+
−
có giá trị là một số nguyên.
Bài 5: Tìm số tự nhiên
n
để biểu thức sau là số tự nhiên:
Lời giải
Ta có:
Để
B
là số tự nhiên thì là số tự nhiên
( )
11 2n+
2 n+
Ư
( )
11 11; 1;1;11= − −
Do
21n+
nên
2 11 9nn+ = =
.
Vậy
9n =
thì
B
là số tự nhiên.
Bài 6: Tìm k nguyên dương lớn nhất để ta có số là một số nguyên dương.
Lời giải
Ta có: n là một số
nguyên dương khi và chỉ khi
Ta có 484 = 22
2
= 4.121= 44.21
Với
98k =
, ta có
81n =
Với
21k =
, ta có
11n =
Vậy giá trị
k
lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là 98.
Dạng 3: Tìm số tự nhiên khi biết điều kiện về tổng, tích, thương các số và dữ kiện về ƯCLN, BNCC.
2 2 5 17 3
2 2 2
n n n
B
n n n
++
= + −
+ + +
2 2 5 17 3 2 2 5 17 3 4 19
2 2 2 2 2
n n n n n n n
B
n n n n n
+ + + + + − +
= + − = =
+ + + + +
4( 2) 11 11
4
22
n
nn
++
= = +
++
11
2n +
( )
2
1
23
k
n
k
+
=
+
( ) ( )( )
2
2
1 23 21 484
2 1 484
1,
23 23 23 23
k k k
kk
n k k Z
k k k k
+
+ + − +
++
= = = = − +
+ + + +
23| 484, 23 23kk+ +
23 121 98
23 44 21
kk
kk
+ = =

+ = =
Trang 8
I. Phương pháp giải
- Biết ƯCLN(a, b) = k thì
a km=
và
b kn=
với ƯCLN(m, n) = 1 (là điều kiện của số m, n cần tìm), t đ
tìm được a và b
- Biết BCNN(a, b) = k thì ta gọi ƯCLN(a, b) = d thì
a md=
và
b nd=
với ƯCLN(m, n) = 1
(là điều kiện của số m, n cần tìm), t đ tìm được a và b.
II. Bài toán
Bài 1: Tìm hai số nguyên dương
;ab
biết
128ab+=
và ƯCLN(a, b) = 16.
Lời giải:
Điều kiện:
,ab
+
Giả sử
0 ab
. Ta c ƯCLN(a, b) = 16
16 ; 16a m b n = =
với
( )
,m n Z
+
; ƯCLN
( )
, 1;m n m n=
Biết
( )
128 16 128 8a b m n m n+ = + = + =
Vì ƯCLN
( )
,1mn =
nên ta c hai trường hợp của m và n
Trường hợp 1:
1, 7 16, 112m n a b= = = =
Trường hợp 2:
3, 5 48, 80m n a b= = = =
Bài 2: Tìm hai số tự nhiên a, b, biết rng:
162ab+=
và ƯCLN
( )
, 18ab=
Lời giải:
Điều kiện:
,ab
. Giả sử
Ta có:
Đặt với
T
Do
( )
,1mn =
, lập bảng:
m
1
2
3
4
n
8
7
6
5
a
18
36
loai
72
( )
162, , 18a b a b+ = =
18
18
am
bn
=
=
( )
,n 1,m m n=
( )
162 18 162 9a b m n m n+ = + = + =
Trang 9
b
144
126
90
Kết luận: Các số cần tìm là:
Bài 3: Tìm hai số nhỏ hơn 200, biết hiệu của chúng bng 90 và ƯCLN là 15
Lời giải:
Gọi hai số cần tìm là
;ab
( )
, ; , 200a b a b
Ta có:
Đặt
Li có:
m
n
a
b
13
7
195
105
11
5
65
75
7
1
85
15
Vậy:
Bài 4: Tìm hai số tự nhiên có tích bng 432 và ƯCLN bng 6.
Lời giải:
Gọi hai số tự nhiên cần tìm là
,ab
. Điều kiện:
,ab
.
Ta có:
Đặt với (m, n) = 1 và m ≤ n
Ta được:
m
n
a
b
1
12
6
72
3
4
18
24
Vậy
.
Bài 5: Tìm hai số
,ab
biết
7 11ab=
và ƯCLN
( )
; 45ab =
.
Lời giải
T
7 11ab=
suy ra
ab
( ) ( ) ( )
18;144 ; 36;126 ; 72;90
( )
90; , 15a b a b− = =
( )
( )
( )
,1
15
,1
15 90
15
6
mn
am
mn
mn
bn
mn
=
=
=

−=
=
−=

15 200 13
, 200
15 200 13
mm
ab
nn







( ) ( ) ( ) ( )
, 195;105 , 65;75 , 85;15 .ab =
( ) ( )
432; , 6ab a b a b= =
6 , 6a m b n==
36 432 12mn mn = =
( ) ( ) ( )
,b 6;72 , 18,24a =
Trang 10
T ƯCLN
( )
; 45ab =
Mà: vì =>
Vậy hai số
,ab
cần tìm là
495a =
và
315b =
.
Bài 6: Cho
a) Tìm và .
b) So sánh với Chứng minh nhận xét đ đối với hai số tự nhiên và khác tùy ý.
Lời giải
a)
ƯCLN(1980, 2100)
b) ( đều bng ). Ta sẽ chứng minh rng
Cách 1. Trong cách giải này, các tha số riêng cũng được coi như các tha số chung, chẳng hn
chứa
tha số không chứa tha số thì ra coi như chứa tha số với số mũ bng . Với cách viết này,
trong ví dụ trên ta có:
là tích các tha số chung với số mũ nhỏ nhất . là tích các
tha số chung với số mũ lớn nhất
Bây giờ ta chứng minh trong trường hợp tổng quát:
Khi phân tích ra tha số nguyên tố, các tha số nguyên tố ở hai vế của chính là các tha số nguyên tố
có trong và Ta sẽ chứng tỏ rng hai vế chứa các tha số nguyên tố như nhau với số mũ tương ứng
bng nhau.
( ) ( )
1
1 1 1 1
1
45
; 1,
45
aa
a b a b
bb
=
=
=
1
1
1
1
11
11 11
7
77
a
a
a
b
bb
=
= =
=
( )
11
;1ab =
45.11 495
45.7 315
a
b
==
==
1980, 2100.ab==
( )
,ab
,ab
( )
, . ,a b a b
.ab
a
b
0
2 2 2 2
1980 2 .3 .5.11, 2100 2 .3.5 .7.==
2
2 .3.5 60==
( )
2 2 2
1980,2100 2 .3 .5 .7.11 69300.BCNN ==
( )
1980,2100 . 1980,2100 1980.2100=
4158000
( )
, . , .a b a b ab=
a
11,b
11
b
11
0
2 2 0
1980 2 .3 .5.7 .11.=
2 2 0
2100 2 .3.5 .7.11.=
( )
1980,2100
2 2 0 0
2 .3 .5.7 .11 60=
1980,2100
2 2 2
2 .3 .5 .7.11 69300.=
( )
, . , .a b a b ab=
( )
1
( )
1
a
.b
Trang 11
Gọi là tha số nguyên tố tùy ý trong các tha số nguyên tố như vậy. Giả sử số mũ của trong là
số mũ của trong là trong đ
và c thể bng Không mất tnh tổng quát, giả sử rng
Khi đ vế phải của chứa với số mũ . Còn ở vế trái, [a, b] chứa với số mũ x, (a, b) chứ p
với số mũ nên vế trái cũng chứa với số mũ
Cách 2. Gọi thì , trong đ
Đặt , ta cần chứng minh rng .
Để chứng minh điều này, cần chứng tỏ tồn ti các số tự nhiên x, y sao cho ,
và (x, y) = 1.
Thật vậy t (1) và (2) suy ra ,
Do đ, ta chọn thế thì vì
Vậy tức là
Bài 7: Tìm hai số tự nhiên biết rng ƯCLN của chúng bng , BCNN của chúng bng 900.
Lời giải
Gọi các số phải tìm là và
.
Điều kiện:
,ab
. Giả sử .
Ta có nên. , , Do đ . Mặt khác
T và suy ra Ta c các trường hợp :
1
2
3
4
90
45
18
10
Suy ra:
10
20
50
90
900
450
180
100
Bài 5: Tìm hai số tự nhiên
,ab
sao cho tổng của ƯCLN và BCNN là 15.
Lời giải
Điều kiện:
,ab
. Giả sử
ab
.
Gọi d = ƯCLN( a; b) , và d < 15
Nên BCNN(a; b) =
Theo bài ra ta có: , Mà d < 15, Nên
p
p
a
,x
p
b
y
x
y
0.
.xy
(1)
p
xy+
p
y
p
.xy+
( , )d a b=
', (1)a da b db
==
( ', ') 1.ab =
ab
m
d
=
( )
2
,a b m=
m ax=
m by=
'
.
b
m a ab
d
==
'
..
a
m b ba
d
==
''
,,x b y a==
( )
,1xy=
( )
''
, 1.ab =
,,
ab
ab
d
=
( )
, . , .a b a b ab=
10
a
b
ab
( , ) 10ab =
'
10aa=
'
10bb=
''
( , ) 1, '.a b a b
=
100 ' ' (1)ab a b=
, .( , ) 900.10 9000 (2).ab a b a b= = =
(1)
(2)
' ' 90.ab=
'
a
'b
a
b
( ) ( )
1
1 1 1 1
1
.
, ; 1
.
a d a
a b a b
b d b
=
=
=
11
..a b d
( ) ( )
1 1 1 1
. 15 1 . 15 15 1;3;5;15d a bd d a b d U+ = = + = = =
Trang 12
TH1 : hoặc
TH2 :
TH3 :
Vậy các cặp số (a ; b) cần tìm là : (1 ;14), (2 ; 7), (3 ; 12), ( 5 ; 10) và đảo ngược li.
Bài 8: Tìm hai số nguyên dương
,ab
biết
216ab =
và ƯCLN
( )
,6ab =
.
Lời giải
Điều kiện:
,ab
+
. Giả sử
ab
. Ta c ƯCLN
( )
,6ab =
.
( )
( )
6 ; 6 , ; , 1;a m b n m n Z UCLN m n m n
+
= = =
Biết
216 6 .6 36 216 6ab m n mn mn= = = =
Vì ƯCLN
( )
,1mn =
nên ta c hai trường hợp
Trường hợp 1:
1, 6 6, 36m n a b= = = =
Trường hợp 2:
2, 3 12, 18m n a b= = = =
Vậy hai số cần tìm là
( ) ( ) ( )
, 6;36 ; 12;18ab
.
Bài 9: Tìm hai số nguyên dương
,ab
biết
2,6
a
b
=
và ƯCLN
( )
,5ab =
.
Lời giải
Điều kiện:
,ab
+
ƯCLN
( )
,5ab =
( )
( )
5 ; 5 , ; , 1a m b n m n Z m n
+
= = =¦ CLN
Biết
13
2,6 2,6
5
am
bn
= = =
với ƯCLN (m, n) = 1.
13m=
và
5 65na= =
và
25.b =
Bài 10: Tìm
,ab
biết
42ab+=
và
( )
, 72BCNN a b =
.
Lời giải
Gọi
d =
ƯCLN
( )
,;a b a md b nd = =
với
,m n Z
+
;
( )
,1mn =¦ CLN
1
11
1
11
1 . 14
14 14
aa
d a b
bb
= =
= =
= =
1
1
22
77
aa
bb
= =
= =
1
11
1
13
3 . 4
4 12
aa
d a b
bb
= =
= =
= =
1
11
1
15
5 . 2
2 10
aa
d a b
bb
= =
= = =
= =
Trang 13
Không mất tính tổng quát, giả sử
ab
nên
mn
Biết
( ) ( )
42 42 1a b dm dn d m n+ = + = + =
Biết
( ) ( )
, 72 . . 72 2BCNN a b m n d= =
d
là ước chung của 42 và 72
1;2;3;6d
Lần lượt thay các giá trị của d và (1) và (2) để tính m, n ta thấy chỉ c trường hợp
6d =
thì
7mn+=
và
12mn =
3; 4mn = =
(thỏa mãn các điều kiện của m và n)
Vậy
6d =
và
3.6 18; 4.6 24ab= = = =
.
Bài 11: Tìm hai số nguyên dương
,ab
biết
180ab =
,
( )
, 60BCNN a b =
.
Lời giải
Điều kiện:
,ab
+
Đặt ƯCLN
( )
,;a b d a md b nd= = =
với ƯCLN
( ) ( )
, 1 , . .m n BCNN a b mnd= =
Biết
( )
( )
2
180
180 . . 180 , 3
, 60
ab
ab m n d d a b
BCNN a b
= = = = = =¦ CLN
T đây bài toán đã biết
180ab =
và
( )
,3ab =¦ CLN
3; 60ab = =
hoặc
12; 15ab==
.
Bài 12: Tìm
,ab
biết
4
5
a
b
=
và
( )
, 140BCNN a b =
.
Lời giải
Đặt ƯCLN
( )
,a b d=
.
Vì
4
5
a
b
=
, mặt khác
( )
4,5 1 4 ; 5a d b d= = =¦ CLN
Mà
( )
, 140BCNN a b =
, nên
( )
,7ab =¦ CLN
T đây bài toán đã biết
4
5
a
b
=
và
( )
,7ab =¦ CLN
28; 35ab = =
.
Trang 14
Bài 13: Tìm hai số tự nhiên
,ab
biết
7ab−=
và
( )
, 140BCNN a b =
Lời giải
Điều kiện:
,ab
.
Gọi
d =
ƯCLN
( )
( )
, ; , ;a b a md b nd m n Z
+
= =
ƯCLN
( )
,1mn =
Biết
( ) ( )
7 7 1a b dm dn d m n− = − = − =
Biết
( ) ( )
, 140 . . 140 2BCNN a b m n d= =
d
là ước chung của 7 và 140
1;7d
Thay lần lượt các giá trị d vào (1) và (2) để tnh m, n ta được kết quả duy nhất
7d =
thì
1mn−=
và
20 5; 4mn m n= = =
(thỏa mãn
( )
,1mn =¦ CLN
)
Vậy
7d =
và
5.7 35; 4.7 28ab= = = =
.
Bài 14: Tìm hai số tự nhiên
,ab
biết
96ab+=
và ƯCLN
( )
,6ab =
Lời giải
Điều kiện:
,ab
. Giả sử
ab
.
Biết ƯCLN
( )
( )
, 6 6 ; 6 , ;a b a m b n m n Z
+
= = =
ƯCLN
( )
, 1;m n m n=
Mà
96ab+=
nên
6 6 96 16m n m n+ = + =
Mà ƯCLN
( )
,1mn =
nên c các trường hợp của số m, n như sau
Trường hợp 1:
11; 5 66; 30m n a b= = = =
Trường hợp 2:
13; 3 78; 18m n a b= = = =
Trường hợp 3:
15; 1 90; 6m n a b= = = =
Vậy hai số cần tìm là
( ) ( ) ( ) ( )
, 66;30 ; 78;18 ; 90;6ab
.
Bài 15: Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bng 504 và ƯCLN của chúng bng 42
Lời giải
Gọi các số phải tìm là và
.
Điều kiện:
,ab
. Giả sử
ab
.
Biết ƯCLN
( )
( )
, 42 42 ; 42 , ;a b a m b n m n Z
+
= = =
ƯCLN
( ) ( )
,1m n m n=
a
b
Trang 15
Mà
504 42 42 504 12a b m n m n+ = + = + =
Vì ƯCLN
( )
, 1,mn =
nên c các trường hợp của số m, n như sau
Trường hợp 1:
11; 1 462; 42m n a b= = = =
Trường hợp 2:
7; 5 294; 210m n a b= = = =
Vậy hai số cần tìm là
( ) ( ) ( )
, 462;42 ; 294;210ab
.
Bài 16: Cho
n
, tìm số nguyên tố
p
có 2 chữ số sao cho
p =
ƯC
( )
2 3;3 15nn−+
Lời giải
Vì số
p =
ƯC
( )
2 3;3 15nn−+
p
cũng là ước của hiệu
( ) ( )
2 3 15 3 2 3 39nn+ − − =
Mà
p
là số nguyên tố có hai chữ số nên
13p =
.
Vậy số nguyên tố cần tìm là
13p =
.
Bài 17: Tìm hai số tự nhiên có tích bng 300 và ƯCLN bng 5.
Lời giải
Gọi các số phải tìm là
a
và
b
. Điều kiện:
,ab
. Giả sử
ab
.
Biết ƯCLN
( )
( )
, 5 5. ; 5. , ;a b a m b n m n Z
+
= = =
ƯCLN
( ) ( )
,1m n m n=
Mà
300ab =
nên
.5. .5 300 12m n mn = =
Mà ƯCLN
( )
,1mn =
nên c các trường hợp của số m, n như sau
Trường hợp 1:
12; 1 60; 5m n a b= = = =
Trường hợp 2:
4; 3 20; 15m n a b= = = =
Vậy hai số cần tìm là
( ) ( ) ( )
, 60;5 ; 20;15ab
.
Bài 18: Tìm hai số tự nhiên
a
và
b
( )
ab
, biết: ƯCLN
( ) ( )
, 300; , 900a b BCNN a b==
.
Lời giải
Điều kiện:
,ab
.
Vì ƯCLN
( )
, 10ab =
và
ab
( )
10 ; 10 , ;a m b n m n Z
+
= =
ƯCLN
( ) ( ) ( )
, 1 , 10. .m n m n BCNN a b mn= =
Trang 16
Mà
( )
, 900BCNN a b =
nên
90.mn =
Khi đ c các trường hợp của số m, n như sau
Trường hợp 1:
5; 18 50; 180m n a b= = = =
(thỏa mãn)
Trường hợp 2:
9; 10 90; 100m n a b= = = =
(thỏa mãn)
Vậy hai số cần tìm là
( ) ( ) ( )
, 50;180 ; 90;100ab
.
Bài 19: Tìm hai số tự nhiên
a
và
b
, biết:
( )
, 300;BCNN a b =
ƯCLN
( )
, 15; 15a b a b= + =
.
Lời giải
Điều kiện:
,ab
.
Vì ƯCLN
( )
, 15,ab =
nên tồn ti các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho:
( )
15 ; 15 1a m b n==
và
( )
,1mn =¦ CLN
( )
2
Vì
( )
, 300,BCNN a b =
nên theo trên ta suy ra
( ) ( )
15 ,15 300 15.20 , 20BCNN m n BCNN m n= = =
Vì
( )
15 15 15 15 15 1 15 1a b m n m n m n+ = + + + = + =
Trong các trường hợp thỏa mãn điều kiện (2) và (3) thì chỉ c trường hợp
4; 5mn==
là thỏa mãn điều
kiện (4)
Vậy
4; 5mn==
ta được các số phải tìm là
15.4 60; 15.5 75ab= = = =
.
Bài 20: Tìm hai số tự nhiên
a
và
b
, biết:
( )
, 420;BCNN a b =
ƯCLN
( )
, 21; 21a b a b= + =
Lời giải
Điều kiện:
,ab
.
Vì ƯCLN
( )
, 21,ab =
nên tồn ti các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho:
( )
21 ; 21 1a m b n==
và
( ) ( )
, 1 2mn =¦ CLN
Vì
( ) ( ) ( ) ( )
, 420 21 ,21 420 21.20 , 20 3BCNN a b BCNN m n BCNN m n= = = =
Vì
( ) ( )
21 21 21 21 21 1 21 1 4a b m n m n m n+ = + = + = + =
Trong các trường hợp thỏa mãn điều kiện (2) và (3) thì chỉ c trường hợp
4; 5mn==
hoặc
2; 3mn==
là
thỏa mãn điều kiện (4)
Vậy
4; 5mn==
hoặc
2; 3mn==
ta được các số phải tìm là:
21.4 84; 21.5 105ab= = = =
.
Trang 17
Bài 21: Tìm hai số tự nhiên
a
và
b
, biết: ƯCLN
( ) ( )
, 5; , 300a b BCNN a b==
.
Lời giải
Điều kiện:
,ab
. Giả sử
.ab
Biết ƯCLN
( )
( )
, 5 5 ; 5 , ;a b a m b n m n Z
+
= = =
ƯCLN
( )
, 1,m n m n=
( )
,5BCNN a b mn=
Mà
( )
, 300 5 300 50BCNN a b mn mn= = =
Vì ƯCLN
( )
,1mn =
nên ta c các trường hợp của số m, n như sau
Trường hợp 1:
60, 1 300, 5m n a b= = = =
Trường hợp 2:
20, 3 100, 15m n a b= = = =
Trường hợp 3:
12, 5 60, 25m n a b= = = =
Vậy hai số cần tìm là
( ) ( ) ( ) ( )
, 300;5 ; 100;15 ; 60;25ab
.
Bài 22: Tìm hai số tự nhiên
a
và
b
, biết:
( ) ( )
, 180; , 12BCNN a b a b==¦ CLN
Lời giải
Điều kiện:
,ab
. Giả sử
.ab
Biết ƯCLN
( )
( )
, 12 12 ; 12 , ;a b a m b n m n
+
= = =
ƯCLN
( )
, 1,m n m n=
( )
, 12BCNN a b mn=
Mà
( )
, 180 15BCNN a b mn= =
Vì ƯCLN
( )
,1mn =
nên ta c các trường hợp của số
,mn
như sau
Trường hợp 1:
15, 1 180, 12m n a b= = = =
Trường hợp 2:
5, 3 100, 15m n a b= = = =
Trường hợp 3:
12, 5 60, 25m n a b= = = =
Vậy hai số cần tìm là
( ) ( ) ( ) ( )
, 180;12 ; 100;15 ; 60;25ab
.
Bài 23: Tìm hai số tự nhiên biết tổng ƯCLN và BCNN của chúng bng 23
Lời giải
Trang 18
Gọi hai số tự nhiên cần tìm là
,ab
và giả sử
ab
Đặt ƯCLN
( )
,;a b d a md b nd= = =
với
,;m n Z
+
ƯCLN
( ) ( )
, 1, ,m n m n BCNN a b dmn= =
Mà ƯCLN
( ) ( )
, , 23a b BCNN a b+=
nên
( )
. 1 23d m n d+ =
là ước của 23 hay
1;23d
Xét
1,d =
ta có
1 23 22mn mn+ = =
với
( )
,1mn =¦ CLN
nên ta c các trường hợp của
,mn
như sau:
Trường hợp 1:
22, 1 22, 1m n a b= = = =
Trường hợp 2:
11, 2 11, 2m n a b= = = =
Xét
3,d =
ta có
1 1 0mn mn+ = =
(không thỏa mãn)
Vậy hai số cần tìm là
( ) ( ) ( )
, 22;1 ; 11;2ab
Bài 24: Tìm hai số tự nhiên biết hiệu của chúng bng 84, ƯCLN của chúng bng 28 và các số đ trong
khoảng t 300 đến 400.
Lời giải
Gọi các số phải tìm là
a
và
b
. Điều kiện:
,ab
.
Ta có ƯCLN
( )
, 28 28 ; 28a b a k b q= = =
với
*
,kq
và
,kq
nguyên tố cùng nhau
Ta có
84 3a b k q− = − =
Theo bài ra ta có
300 440 10 16.b a q k
Chọn hai số có hiệu bng 3 trong khoảng t 11 đến
15 là 11 và 14; 12 và 15
Chi có 11 và 14 là hai số nguyên tố cùng nhau
11; 14 28.11 308; 28.14 392q k a b = = = = = =
Vậy hai số cần tìm là 308 và 392.
PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG
Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên khác 0:
a
và
b
, sao cho:
( )
,1ab =
và
22
7
25
ab
ab
+
=
+
.
(Thi học sinh giỏi TP. Hồ Chí Minh năm 1992 – 1993)
Lời giải
Gọi
( )
22
,a b a b d a b d+ + = +
và
22
a b d+
22
22a ab b d ab d + +
vì
( )
,1ab =
( ) ( ) ( )
, 1 2 , 2,ab a b ab a b a b + = + = +
Trang 19
d
là ước số của
( )
2,ab a b d+
là ước số của
( )
2,ab+
d
là ước số của 2
1d=
hoặc
2d =
.
Nếu
22
7
73
1
12 4
25
ab
a b a
d
ab b
ab
+=
+ = =

=
==
+=

hoặc
4
3
a
b
=
=
Nếu
22
14
2
50
ab
d
ab
+=
=
+=
vô nghiệm.
Tóm li
( ) ( )( )
, 3;4 4;3ab
Bài 2: Tìm tất cả các cặp số
( )
,ab
nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện:
i)
,ab
đều khác và ước số chung lớn nhất của
,ab
là .
ii) Số
( )( )
1 2 1N ab ab ab= + +
c đúng ước số nguyên dương.
(Trích đề học sinh giỏi toán Đăk Lăk năm học 2017-2018)
Lời giải
Ta có:
( )( )
1 2 1N ab ab ab= + +
chia hết cho các số:
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1; ; 1 2 1 ; ; 1 2 1 ; 1 ; 2 1 ; 1 2 1 ; ;
1 ; 2 1 ; ; 1 ; 2 1 ; 1 ; 2 1
a b ab ab b a ab ab ab ab ab ab ab
ab ab ab ab N a ab a ab b ab b ab
+ + + + + + + +
+ + + + + +
Hay
( )( )
1 2 1N ab ab ab= + +
có ước dương Nên để chỉ c đúng ước dương thì
; ; 1;2 1a b ab ab++
là số nguyên tố. Do
, 1 1 2a b ab +
Nếu
,ab
cùng lẻ thì
1ab +
chia hết cho 2 nên là hợp số (vô lý). Do đ không mất tnh tổng quát, giả sử
a
chẵn
b
lẻ
2a=
.
Ta cũng c nếu
b
không chia hết cho 3 thì
2 1 4 1ab b+ = +
và
1 2 1ab b+ = +
chia hết cho 3 là hợp số (vô
lý)
3b=
.
Vậy
2; 3ab==
.
Bài 3: Cho hai số tự nhiên
m
và
n
thoả mãn
11mn
nm
++
+
là số nguyên.
Chứng minh ước chung lớn nhất của
m
và
n
không lớn hơn
mn+
.
(Trích đề học sinh giỏi Hải Dương năm học 2004-2005)
Lời giải
1
1
16
16
N
16
Trang 20
Gọi
d
là ƯCLN
( )
,mn
suy ra
22
,,m n mn
cùng chia hết cho
2
d
.
Do
22
11m n m n m n
n m mn
+ + + + +
+=
là số nguyên nên
22
m n m n+ + +
cũng chia hết cho
2
d
.
Suy ra
mn+
chia hết cho
22
d m n d m n d + +
.
Bài 4: Cho ba số nguyên dương
,,abc
đôi một khác nhau và đồng thời thỏa mãn các điều kiện:
i)
a
là ước của
b c bc++
,
ii) b là ước của
a c ac++
,
iii) c là ước của
a b ab++
,
a) Hãy chỉ ra bộ ba số
( )
,,abc
thỏa mãn các điều kiện trên.
b) Chứng minh rng
,,abc
không thể đồng thời là các số nguyên tố.
(Trích đề vào 10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội năm 2007-2008)
Lời giải
a) Dễ thấy bộ số
( ) ( )
, , 1,3,7abc =
thỏa mãn đề bài
b) Đặt
S a b c ab bc ca= + + + + +
.
T giả thiết suy ra S chia hết cho
,,abc
.
Vì
,,abc
đôi một khác nhau, do đ
,,abc
đồng thời là các số nguyên tố thì
S abc
hay
( )
.S k abc k=
Không mất tính tổng quát, giả sử
abc
.
Nếu
2a =
thì
,bc
đều lẻ
b c bc + +
lẻ nên không chia hết cho .
Do đ
3a
nên
5, 7bc
. T
( )
.S k abc k=
suy ra
1 1 1 1 1 1
01kk
ab ac bc c b a
= + + + + +
Vậy
,,abc
không thể đồng thời là các số nguyên tố.
Bài 5: Tìm
,ab
biết:
a)
( )
, , 55a b a b+=
b)
( )
, , 5a b a b−=
c)
( )
, , 35a b a b+=
Lời giải
2
Trang 21
a) Gọi
'; 'a da b db==
và
( )
', ' 1ab =
. Ta có:
, ' '
ab
a b da b
d
==
Theo đề bài, ta có:
' ' 55da b d+=
hay
( )
' ' 1 55d a b +=
. Như vậy
' ' 1ab+
là ước của 55, mặt khác
' ' 1 2ab+
.
Ta có lần lượt
' ' 1ab+
''ab
'a
'b
a
b
11
5
2
42=
1
4
11
44
5
11
10 2.5=
1
2
10
5
5
10
50
25
1
55
3
54 2.3=
1
2
54
27
1
2
54
27
b) Giải tương tự câu a) ta được:
( )
' ' 1 5d a b −=
. T đ:
' ' 1ab−
''ab
'a
'b
a
b
1
5
6
6
1
6
1
3
2
3
2
5
1
2
2
1
10
5
c) Có 6 cặp số (1, 36), (4, 9), (5, 40), (7, 42), (14, 21), (35, 70).
Bài 6: Tìm
, 1, 2n n n++
Lời giải
Đặt
,1A n n=+
và
,2B A n=+
. Áp dụng tính chất
, , , ,a b c a b c

=

, ta có
, 1, 2B n n n= + +
Dễ thấy
( )
, 1 1nn+=
, suy ra
( )
, 1 1n n n n+ = +
do
( )
, . ,a b a b ab=
Li áp dụng tính chất
( )
,
,
ab
ab
ab
=
thế thì
( )( )
( )
( )
12
, 1, 2
1 , 2
n n n
n n n
n n n
++
+ + =
++
Gọi
( )
( )
1 , 2d n n n= + +
. Do
( )
1, 2 1nn+ + =
nên
( ) ( )
, 2 ,2d n n n= + =
Xét hai trường hợp:
- Nếu
n
chẵn thì
2d =
, suy ra
( )( )
12
, 1, 2
2
n n n
n n n
++
+ + =
- Nếu
n
lẻ thì
1d =
, suy ra
( )( )
, 1, 2 1 2n n n n n n+ + = + +
Bài 7: Tìm
*
n
biết
30n
để các số
34n +
và
51n +
c ước chung lớn hơn 1.
d
d
Trang 22
Lời giải
Gọi
d
là một ước chung của
34n +
và
51n +
( )
*
d
Ta có
34nd+
và
51nd+
nên
( ) ( )
5 3 4 3 5 1 17 1;17n n d d+ − +
Để
34n +
và
51n +
c ước chung lớn hơn 1, ta phải có
3 4 17n +
Hay
( )
3 10 17n−
mà ƯCLN
( )
3,17 1=
nên
( )
10 17n−
Do đ
( )
10 17n k k− =
.
Vì
*
, 30 10 10 20n n n − −
nên
0;1k
.
Với
0 10kn= =
, khi đ
3.10 4 17+
và
5.10 1 17+
(thỏa mãn)
Với
1 27kn= =
, khi đ
3.27 4 17+
và
5.27 1 17+
(thỏa mãn)
Vậy
10;27n
.
Bài 8: Tìm hai số nguyên dương biết
2 48ab+=
và ƯCLN
( ) ( )
, 3. , 114.a b BCNN a b+=
Lời giải
Gọi ƯCLN
( ) ( )
1
11
1
.
, ; , 1
.
a d a
a b d a b
b d b
=
= =
=
Mà :
( ) ( )
1 1 1 1
2 48 . 2 . 48 2 48 48a b d a d b d a b d U+ = + = + =
(1)
Ta li có: ƯCLN
( ) ( )
, 3. , 114a b BCNN a b+=
( ) ( )
1 1 1 1
3. . . 114 1 3. . 114 114d a b d d a b d U + = + =
(2)
T (1) và (2) suy ra
( )
48,114 1;2;3;6d UC=
Mà:
( )
11
1 3. . 114 3.38 3 3d a b d d+ = = =
hoặc
6d =
TH1:
1 1 1 1
1 1 1 1
2 16 2 16
3
1 3 . 38 3 . 37
a b a b
d
a b a b
+ = + =

=

+ = =

(loi)
TH2:
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
2 8 2 8 2 12
6
1 3 . 19 . 6 3 18
a b a b a a
d
a b a b b b
+ = + = = =
=
+ = = = =
Vậy
12a =
và
18.b =
Bài 9: Cho
, ,1 .m n m n
Chứng minh rng:
( )
22
2 1,2 1 1.
nn
+ + =
Lời giải
Ta có:
Trang 23
( )( )
( )( )( )
( )( ) ( )( )
11
1 2 2
12
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 ... 2 1 2 1
n n n
n n n
n n m m
d
−−
− − −
−−
− = + −
= + + −
= + + + −
Do đ
( ) ( )
22
2 1 2 1 2 1
nn
dd+ − − = =
(vì
d
lẻ)
Vậy
( )
22
2 1,2 1 1.
nn
+ + =
Bài 10: Cho
1 , .mn
Tìm
( )
2 1,2 1
mn
−−
Lời giải
Đặt
( )
,.d m n=
Khi đ tồn ti các số tự nhiên
,rs
sao cho
.rn sm d−=
Đặt
( )
11
2 1,2 1
mn
dd= − −
lẻ.
Ta có:
2 1 2 1
nd
−−
(vì
nd
)
2 1 2 1
md
−−
(vì
md
)
Do đ
1
21
d
d −
Mặt khác:
( ) ( )
11
1
11
2 1 2 1
2 2 2 2 1 2 2 1
2 1 2 1
n rn
rn sm sm rn sm sm d
m sm
dd
d
dd
−
− −
− = − = −
− −
Mà
( )
11
2, 1 2 1
d
dd= −
T đ suy ra
1
2 1.
d
d =−
Vậy
( )
( )
,
2 1,2 1 2 1.
mn
mn
− − = −
Bài 11: Cho
,am
là các số nguyên lớn hơn
1
. Chứng minh rng:
( )
( )
21
1 ... , 1 , 1 .
m
a a a a m a
−
+ + + + − = −
Lời giải
Giả sử
( )
1
| 1 ...
m
d a a
−
+ + +
và
( )
| 1 ,da−
suy ra:
Trang 24
( ) ( )
( )
12
| 1 1 ... 1 | .
mm
d a a a m d m
−−
− + − + + − +
Vậy
|dm
và
( )
| 1 .da−
Ngược li, nếu
|da
và
( )
|1da−
thì
( )
1
... 1
m
d m a
−
+ + +
Vậy
( )
( )
21
1 ... , 1 , 1 .
m
a a a a m a
−
+ + + + − = −
Bài 12: Chứng minh rng nếu
,,abc
là các số lẻ thì
( )
, , , , .
2 2 2
a b b c c a
abc
+ + +

=


Lời giải
Giả sử
| , | , |d a b d c d
thì
d
lẻ.
Ta có
a b d+
và
( )
( )
2 2 do 2, 1
2
ab
a b a b d d d
+
+ + =
Tương tự:
2
bc
d
+
và
2
ca
d
+
Vậy
d
là ước của
, , .
2 2 2
a b b c c a+ + +
Ngược li, giả sử
d
là ước của
,,
2 2 2
a b b c c a+ + +
thì
d
là ước của
.
2 2 2
a b c a b c
a
+ + +
+−=
Tương tự
|db
và
|.dc
Vậy:
( )
, , , , .
2 2 2
a b b c c a
abc
+ + +

=


Bài 13: Tìm tất cả các cặp số
( )
;ab
nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện:
i)
;ab
đều khác
1
và ước số chung lớn nhất của
;ab
là
1
.
ii) Số
( )( )
1 2 1N ab ab ab= + +
c đúng
16
ước số nguyên dương.
Lời giải
Ta có:
( )( )
1 2 1N ab ab ab= + +
chia hết cho các số :
( )( ) ( )( ) ( )
1; ; 1 2 1 ; ; 1 2 1 ; 1; 2 1 ;2 1; ; ;a b ab ab b a ab ab ab ab ab ab N ab+ + + + + + +
Trang 25
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 ; 1 ; 2 1 ; 1 ; 2 1ab ab b ab a ab a ab b ab+ + + + + +
có
16
ước dương. Nên để
N
chỉ c đúng
16
ước dương thì
; ; 1;2 1a b ab ab++
là số nguyên tố. Do
, 1 1 2a b ab +
Nếu
;ab
cùng lẻ thì
1ab +
chia hết cho
2
nên là hợp số (vô lý). Do đ không mất tnh tổng quát, giả sử
a
chẵn
b
lẻ thì suy ra
2.a =
Ta cũng c nếu
b
không chia hết cho
3
thì
2 1 4 1ab b+ = +
và
1 2 1ab b+ = +
chia hết cho
3
là hợp số (vô
lý), suy ra
3.b =
Vậy
2, 3.ab==
Bài 14: Tổng các số tự nhiên
1 2 49
, ,...,a a a
bng
999.
Hỏi ước số chung lớn nhất của chúng có thể nhận giá
trị lớn nhất bng bao nhiêu ?
Lời giải
Giả sử
( )
1 2 49
, ,...,d a a a=
,khi đ
1 2 49
... 999a a a d+ + + =
, suy ra
d
là ước của
3
999 3 .37.=
Vì
( )
| 1,2,...,49
k
d a k =
nên
1 2 49
99
, 999 ... 49 21.
29
k
a d k a a a d d = + + +
Vậy
d
chỉ có thể
nhận các giá trị
1,3,9.
Giá trị
d
lớn nhất bng
9
khi
1 2 48 49
... 9; 567a a a a= = = = =
(vì
9.48 567 999+=
)
Bài 15: Cho
( )
, 1.ab =
Tìm
( )
11 2 ,18 5a b a b++
Lời giải
Giả sử
( )
11 2 ,18 5 ,d a b a b= + +
khi đ
|18 5d a b+
và
|11 2 ,d a b+
suy ra
( ) ( )
|11 18 5 18 11 2 19 |19d a b a b b d+ − + =
hoặc
|.db
- Nếu
|db
thì t
( ) ( ) ( )
|5 11 2 3 18 5 5 | | , 1 1.d a b a b a b d a d a b d+ − + = − = =
- Nếu
|19d
thì
1d =
hoặc
19.d =
Vậy
( )
11 2 ,18 5a b a b++
bng
1
hoặc bng
19.
HẾT
| 1/25
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ - ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
CHỦ ĐỀ 1: CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ BÀI TOÁN ƯCLN VÀ BCNN
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. ĐỊNH NGHĨA VỀ ƯỚC VÀ BỘI
Ước: Số tự nhiên d  0 được gọi là ước của số tự nhiên a khi và chỉ khi a chia hết cho d . Ta nói d là ước của a.
Nhận xét: Tập hợp các ước của a là Ư (a) =d  : d |  a
Bội: Số tự nhiên m được gọi là bội của a  0 khi và chỉ khi m chia hết cho a hay a là một ước số m.
Nhận xét: Tập hợp các bội của a (a  0) là B(a) = 0; ; a 2 ; a ...;k
a , k Z 2) Tính chất:
- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào. - Các số 1 và 1
− là ước của mọi số nguyên.
- Nếu Ư(a) = 1; 
a thì a là số nguyên tố.
- Số lượng các ước của một số : Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên A là x . y. z
a b c … thì số lượng các ước của A bằng ( x + ) 1 ( y + ) 1 ( z + ) 1 …
Thật vậy ước của A là số có dạng mnp …trong đó:
m có x +1 cách chọn (là 2 1, , , , x a aa )
n có y +1 cách chọn (là 2 1, , , , y b bb )
p có z +1 cách chọn (là 2 1, , , , z c cc ),…
Do đó, số lượng các ước của A bằng (x + ) 1 ( y + ) 1 ( z + ) 1
II. Ước chung và bội chung 1) Định nghĩa
Ước chung (ƯC): Nếu hai tập hợp Ư(a) và Ư(b) có những phần tử chung thì những phần tử đó gọi là
ước số chung của a và b. Kí hiệu: ƯC( ; a b) . Trang 1
Nhận xét: Nếu ƯC( ; a b) =  
1 thì a và b nguyên tố cùng nhau.
Ước chung lớn nhất (ƯCLN): Số d  được gọi là ước số chung lớn nhất của a và b ( ;
a b  ) khi
d là phần tử lớn nhất trong tập hợp ƯC ( ;
a b) . Kí hiệu ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN ( ; a b) hoặc ( ;
a b) hoặc gcd( ; a b) .
Bội chung (BC): Nếu hai tập hợp B (a) và B(b) có những phần tử chung thì những phần tử đó gọi là bội
số chung của a và b. Kí hiệu BC ( ; a b) .
Bội chung nhỏ nhất (BCNN): Số m  0 được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b khi m là
số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC ( ;
a b) . Kí hiệu bội chung nhỏ nhất của a và b là BCNN ( ; a b) hoặc  ;
a b hoặc lcm( ; a b) . 2) Tính chất
Một số tính chất của ước chung lớn nhất:
● Nếu (a ;a ;...;a =1
a ; a ;...; a 1 2 n ) thì ta nói các số nguyên tố cùng nhau. 1 2 n
● Nếu (a ;a ) =1, m   k, ,
m k1;2;....;n m k
 thì ta nói các số a ;a ;...;a đôi một nguyên tố cùng 1 2 n nhau.  a b  ( ; a b) ● c ƯC ( ; a b) thì ; = .    c c ca b  ● d = ( ; a b)  ; =1.    d d  ● (c ; a cb) = c( ; a b). ● ( ; a b) =1 và ( ; a c) = 1thì ( ; a bc) = 1 ● ( ; a ;
b c) = ((a;b);c)
● Cho a b  0 - Nếu a = . b q thì ( ; a b) = . b
- Nếu a = bq + r (r  0) thì ( ; a b) = ( ; b r ).
Một số tính chất của bội chung nhỏ nhất: ● Nếu   M M  ;
a b = M thì ; =1.    a b  ●  ; a ; b c =   ; a b  ;c Trang 2 ● k ,
a kb = k  , a b; ●  ; a b.( ; a b) = . a b
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Các tính chất và bài toán cơ bản về ƯCLN và BCNN
I. Phương pháp giải
Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên A là x. y. z
a b c … thì số lượng các ước của A bằng ( x + ) 1 ( y + ) 1 ( z + ) 1 …
Thật vậy ước của A là số có dạng mnp …trong đó:
m có x +1 cách chọn (là 2 1, , , , x a aa )
n có y +1 cách chọn (là 2 1, , , , y b bb )
p có z +1 cách chọn (là 2 1, , , , z c cc ),…
Do đó, số lượng các ước của A bằng (x + ) 1 ( y + ) 1 ( z + ) 1 II. Bài toán
Bài 1: Tìm số ước của số 96 18 . Lời giải: Ta có : = ( )96 96 2 192 96 18 3 .2 = 3 .2 .
Vậy số ước của số 96 18 là (96 + ) 1 (192 + ) 1 = 97.193 = 18721.
Bài 2: Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 0 là số chính phương khi và chỉ khi số ước số của nó là số lẻ. Lời giải: Giả sử 1 a 2 n = p . a p .... ka p p * a N . 1 2 k với nguyên tố và i i
n là số chính phương khi và chỉ khi a , a ,..., a
(a +1 a +1 ... a +1 1 )( 2 ) ( k ) 1 2
k là các số chẵn khi đó là số lẻ.
Mặt khác (a +1 a +1 ... a +1 1
)( 2 ) ( k ) là số các số ước của n, do đó bài toán được chứng minh.
Bài 3: Một số tự nhiên n là tổng bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng n
không thể có đúng 17 ước số. Trang 3 Lời giải
Tổng bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp có dạng :
n = (m − )2 + m + (m + )2 2 2 1 1
= 3m + 2 không thể là số chính phương.
Nếu n có đúng 17 ước số thì n là số chính phương (bài toán 1), vô lí. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Bài 3: Cho ( , a ) b =1;a  .
b Chứng minh rằng: a) ( , a a + ) b =1 c) (a , b a + ) b =1 b) ( , b a − ) b =1 d) 2
(a , a − b) = 1 Lời giảia d a) Đặt *
(a, a + b) = d (d N )  
b d d UC(a,b)  d U (UC(a,b)) 1 d d =1 a + b dab d c) ( ,
ab a + b) = d   a + b d
Giả sử d  1. Gọi p là số ước nguyên tố của d (1 số tự nhiên khác 1 bào giờ cũng tồn tại ít nhất một ước ab p
nguyên tố)  d p   a + b pa b b p Ta có: ab p
p UC(a,b)  p U (ucln(a,b)) 1 p p =1  (vô lý) b p a p
Vậy d =1 (a ; b a + ) b =1 2
a p a p b p 2 2 a b da b p  d)   
 b p a pa − b da − b p  a − b p
Bài 3: Biết rằng abc là bội chung của ; ab ;
ac bc . Chứng minh rằng:
a) abc là bội của bc
b) abc là bội của 11 Lời giải
a) abc : ab 10ab + c ab c ab c = 0 (do c có một chữ số, ab có hai chữ số) abc ac - 
 (100a +10b) 10a b a c = 0 Trang 4 Đặt *
b = ak(k N ) abc ba - 
100a +10b (10b + a)  99a 10b + a  99a 10ak + a  99 10k +1 10k +1 = 11
c = 0;b = ak
k =1 a = ; b c = 0
Vì abc ac abc bc  đpcm
b) abc = aa0 = 110a 11 đpcm
Bài 4: Biết rằng  , a b.( , a ) b = ab a.  , a b = 600;( , a )
b nhỏ hơn 10 lần (a, b). Số thứ nhất là 120, tìm số thứ hai
b. (a, b) = 12, [a, b] lớn gấp 6 lần (a, b). Số thứ nhất là 24, tìm số thứ hai
c. Tổng cuả hai số bằng 60, tổng giữa UCLN và BCNN của chúng là 84. Tìm hai số đó Lời giải a. Ta có: ( , a ) b = 600 :10 = 60;( , a ) b . ,
a b = ab  60.60 =120.b b = 300 b. Số thứ hai là 36
c. Gọi hai số phải tìm là: a và b ( , m n) = 1 ab d m n ( , a )
b = d, đặt a = d ; m b = dn   ; a b 2 . . , = = = dmn *  , m n N (a,b) d
Có: d + dmn = 4  d(mn +1) = 4(1)
Vì tổng của hai bằng 60 nên d(m + ) n = 60(2)
Từ (1)(2) 1, 2,3, 4,6,12 = d d =12(tho . a ma )
n m = 2;n = 3  a = 24;b = 36
Hoặc m = 3;n = 2  a = 36;b = 24
Dạng 2: Tìm số nguyên n để thỏa mãn điều kiện chia hết
I. Phương pháp giải
Tách số bị chia thành phần chứa ẩn số chia hết cho số chia và phần nguyên dư, sau đó để thỏa
mãn chia hết thì số chia phải là ước của phần số nguyên dư, từ đó ta tìm được số nguyên n thỏa mãn điều kiện. II. Bài toán
Bài 1: Tìm số tự nhiên n để 5n +14 chia hết cho n + 2 . Trang 5 Lời giải:
Ta có: 5n +14 = 5.(n + 2) + 4
Mà 5.(n + 2) chia hết cho (n + 2)
Do đó (5n +14) chia hết cho (n + 2)  4 chia hết cho (n + 2)  (n + 2) là ước của 4.
 (n + 2) 1; 2 ;  4 Do đó n {  0;2} Vậy với n {
 0;2} thì (5n +14) chia hết cho (n + 2) . n + 15
Bài 2: Tìm số tự nhiên n để là số tự nhiên. n + 3 Lời giải: n + 15 Để
là số tự nhiên thì (n +15) chia hết cho (n + 3) . n + 3
(n +15) − (n + 3) 
 chia hết cho (n + 3) .
 12 chia hết cho (n +3).
 (n +3) là Ư(12) = 1 { ;2;3;4;6 } ;12 .  n 0 { ;1;3;9 . } n + 15 Vậy với n 0 { ;1;3; } 9 thì là số tự nhiên. n + 3
Bài 3: Tìm số tự nhiên n để ( 2
n + 3n + 6) ( n + 3) . Lời giải: Ta có: ( 2
n + 3n + 6) ( n + 3)
Suy ra: n(n + 3) + 6  
 (n + 3)  6 (n + 3)
Do đó n + 3  Ư(6) = 1;2;3;  6
Vậy n = 0;n = 3 thì ( 2
n + 3n + 6) ( n + 3) . 4n + 5
Bài 4: Tìm số nguyên n để phân số 2n − có giá trị là một số nguyên. 1 Lời giải: Trang 6 4n + 5 4n − 2 + 7 2(2n − ) 1 + 7 7 Ta có: = = = 2 + 2n −1 2n −1 2n −1 2n −1 4n + 5 7
Vì 2 là số nguyên nên để là số nguyên thì là số nguyên 2n −1 2n −1
Suy ra 2n –1  Ư (7) = –7; –1;1;  7
 2n –6;0;2; 
8  n –3;0;1;  4 4n + 5 Vậy với n   –3;0;1;  4 thì
có giá trị là một số nguyên. 2n −1
Bài 5: Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau là số tự nhiên: 2n + 2 5n +17 3n B = + − n + 2 n + 2 n + 2 Lời giải Ta có: 2n + 2 5n +17 3n
2n + 2 + 5n +17 − 3n 4n +19 4(n + 2) + 11 11 B = + − = = = = 4 + n + 2 n + 2 n + 2 n + 2 n + 2 n + 2 n + 2 Để 11
B là số tự nhiên thì là số tự nhiên n + 2
 11 (n + 2)  n + 2  Ư(1 ) 1 =  1 − 1;−1;1;1  1
Do n + 2  1 nên n + 2 = 11 n = 9 .
Vậy n = 9 thì B là số tự nhiên. (k + )2 1
Bài 6: Tìm k nguyên dương lớn nhất để ta có số n =
là một số nguyên dương. k + 23 Lời giải (k + )2 2 1 k + 2k +1
(k + 23)(k − 2 ) 1 + 484 484 + Ta có: n = = = = k −1+
,k Z n là một số k + 23 k + 23 k + 23 k + 23
nguyên dương khi và chỉ khi k + 23 | 484, k + 23  23 k + 23 =121 k = 98
Ta có 484 = 222 = 4.121= 44.21    k + 23 = 44  k = 21
Với k = 98 , ta có n = 81
Với k = 21, ta có n =11
Vậy giá trị k lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là 98.
Dạng 3: Tìm số tự nhiên khi biết điều kiện về tổng, tích, thương các số và dữ kiện về ƯCLN, BNCC. Trang 7
I. Phương pháp giải
- Biết ƯCLN(a, b) = k thì a = km và b = kn với ƯCLN(m, n) = 1 (là điều kiện của số m, n cần tìm), từ đó tìm được a và b
- Biết BCNN(a, b) = k thì ta gọi ƯCLN(a, b) = d thì a = md và b = nd với ƯCLN(m, n) = 1
(là điều kiện của số m, n cần tìm), từ đó tìm được a và b. II. Bài toán
Bài 1: Tìm hai số nguyên dương ;
a b biết a + b = 128 và ƯCLN(a, b) = 16. Lời giải:
Điều kiện: a,b + 
Giả sử 0  a b . Ta có ƯCLN(a, b) = 16  a =16 ;
m b =16n với ( , m n Z +  ); ƯCLN( ,
m n) =1;m n
Biết a + b = 128 16(m + n) =128  m + n = 8 Vì ƯCLN ( ,
m n) =1 nên ta có hai trường hợp của m và n
Trường hợp 1: m =1,n = 7  a =16,b =112
Trường hợp 2: m = 3,n = 5  a = 48,b = 80
Bài 2: Tìm hai số tự nhiên a, b, biết rằng: a + b = 162 và ƯCLN ( , a b) =18 Lời giải: Điều kiện: , a b
. Giả sử a b
Ta có: a + b = 162, ( , a b) = 18 a = 18m Đặ  t  với ( ,
m n) =1,m n  b = 18n
Từ a + b = 162 18(m + n) =162  m + n = 9 Do ( ,
m n) =1 , lập bảng: m 1 2 3 4 n 8 7 6 5 a 18 36 loai 72 Trang 8 b 144 126 90
Kết luận: Các số cần tìm là: (18;144);(36;126);(72;90)
Bài 3: Tìm hai số nhỏ hơn 200, biết hiệu của chúng bằng 90 và ƯCLN là 15 Lời giải:
Gọi hai số cần tìm là ; a b ( , a b ; , a b  200)
Ta có: a − b = 90; ( , a b) =15 a = 15m  ( , m n) = 1   (  , m n  ) =1 Đặt      b =15n 1  5
 (m − n) = 90
m − n = 6 15  m  200 m  13  
Lại có: a,b  200     15n  200  n 13 m n a b 13 7 195 105 11 5 65 75 7 1 85 15 Vậy: ( ,
a b) = (195;105),(65;75),(85;15).
Bài 4: Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 432 và ƯCLN bằng 6. Lời giải:
Gọi hai số tự nhiên cần tìm là a,b . Điều kiện: , a b . Ta có: ab = 432; ( ,
a b) = 6 (a b) Đặt a = 6 ,
m b = 6n với (m, n) = 1 và m ≤ n  36mn = 432  mn = 12 Ta được: m n a b 1 12 6 72 3 4 18 24 Vậy ( ,
a b) = (6;72),(18,24) .
Bài 5: Tìm hai số a,b biết 7a = 11b và ƯCLN ( ; a b) = 45 . Lời giải
Từ 7a = 11b suy ra a b Trang 9a = 45a Từ ƯCLN ( ; a b) = 45 1  
(a ;b =1, a b 1 1 ) ( 1 1) b = 45b  1 a 11 a 11 a = 11 a = = Mà: 1 1 =  =   vì (a ;b = 45.11 495 1  1 1 ) => b 7 b 7 b = 7  b  = 45.7 = 315 1 1
Vậy hai số a,b cần tìm là a = 495 vàb = 315 .
Bài 6: Cho a =1980,b = 2100. a) Tìm ( , a b) và  , a b. b) So sánh  , a b.( , a b)với .
ab Chứng minh nhận xét đó đối với hai số tự nhiên a và b khác 0 tùy ý. Lời giải a) 2 2 2 2 1980 = 2 .3 .5.11, 2100 = 2 .3.5 .7. ƯCLN(1980, 2100) 2 = 2 .3.5 = 60 BCNN ( ) 2 2 2
1980, 2100 = 2 .3 .5 .7.11 = 69300. b) 1980, 210 
0 .(1980,2100) =1980.2100 ( đều bằng 4158000 ). Ta sẽ chứng minh rằng  , a b.( , a b) = . a b
Cách 1. Trong cách giải này, các thừa số riêng cũng được coi như các thừa số chung, chẳng hạn a chứa
thừa số 11,b không chứa thừa số 11 thì ra coi như b chứa thừa số 11 với số mũ bằng 0 . Với cách viết này, trong ví dụ trên ta có: 2 2 0 1980 = 2 .3 .5.7 .11. 2 2 0 2100 = 2 .3.5 .7.11 .
(1980, 2100) là tích các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất 2 2 0 0
2 .3 .5.7 .11 = 60 . 1980, 2100 là tích các
thừa số chung với số mũ lớn nhất 2 2 2 2 .3 .5 .7.11 = 69300.
Bây giờ ta chứng minh trong trường hợp tổng quát:
 ,ab.( ,ab) = .ab ( )1
Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, các thừa số nguyên tố ở hai vế của ( )
1 chính là các thừa số nguyên tố có trong a và .
b Ta sẽ chứng tỏ rằng hai vế chứa các thừa số nguyên tố như nhau với số mũ tương ứng bằng nhau. Trang 10
Gọi p là thừa số nguyên tố tùy ý trong các thừa số nguyên tố như vậy. Giả sử số mũ của p trong a là x,
số mũ của p trong b là y trong đó x và y có thể bằng 0. Không mất tính tổng quát, giả sử rằng x  . y
Khi đó vế phải của (1) chứa p với số mũ x + y . Còn ở vế trái, [a, b] chứa p với số mũ x, (a, b) chứ p
với số mũ y nên vế trái cũng chứa p với số mũ x + . y
Cách 2. Gọi d = ( , a )
b thì a = da ',b = db (1) , trong đó (a ',b') = 1. ab Đặt
= m (2), ta cần chứng minh rằng  , a b = m . d
Để chứng minh điều này, cần chứng tỏ tồn tại các số tự nhiên x, y sao cho m = ax , m = by và (x, y) = 1. b
Thật vậy từ (1) và (2) suy ra ' m = . a = ab , d a ' m = . b
= ba . Do đó, ta chọn ' '
x = b , y = a , thế thì ( , x y) =1 vì ( ' ' a , b ) =1. d ab Vậy
= a,b,tức là  , a b.( , a b) = a . b d
Bài 7: Tìm hai số tự nhiên biết rằng ƯCLN của chúng bằng 10 , BCNN của chúng bằng 900. Lời giải
Gọi các số phải tìm là a và b . Điều kiện: , a b
. Giả sử a b . Ta có ( , a ) b =10 nên. ' a =10a , ' b = 10b , ' '
(a ,b ) = 1, a  b '. Do đó ab = 100a 'b' (1). Mặt khác ab =  , a b.( , a ) b = 900.10 = 9000 (2).
Từ (1) và (2) suy ra a 'b' = 90. Ta có các trường hợp : ' a 1 2 3 4 b ' 90 45 18 10 Suy ra: a 10 20 50 90 b 900 450 180 100
Bài 5: Tìm hai số tự nhiên a,b sao cho tổng của ƯCLN và BCNN là 15. Lời giải Điều kiện: , a b
. Giả sử a b .
a = d.a Gọi d = ƯCLN( a; b) 1  
(a b , a ;b =1 1 1 ) ( 1 1) , và d < 15 b = d.b  1
Nên BCNN(a; b) = a .b .d 1 1
Theo bài ra ta có: d + a .b d =15 = d 1+ a .b =15 = d U  15 = 1;3;5;15 1 1 ( 1 1) ( )   , Mà d < 15, Nên Trang 11
a = 1  a = 1
a = 2  a = 2 TH1 : 1
d = 1  a .b = 14   hoặc 1  1 1
b = 14  b = 14  b = 7  b = 7 1  1
a = 1  a = 3 TH2 : 1
d = 3  a .b = 4   1 1 b = 4  b = 12  1
a = 1  a = 5 TH3 : 1
d = 5  a .b = 2 =  1 1 b = 2  b = 10  1
Vậy các cặp số (a ; b) cần tìm là : (1 ;14), (2 ; 7), (3 ; 12), ( 5 ; 10) và đảo ngược lại.
Bài 8: Tìm hai số nguyên dương a,b biết ab = 216 và ƯCLN ( , a b) = 6 . Lời giải
Điều kiện: a,b + 
. Giả sử a b . Ta có ƯCLN ( , a b) = 6 . a 6 ; m b 6n ( , m n Z +  = = 
);UCLN ( ,mn) =1;m n Biết ab = 216  6 .
m 6n = 36mn = 216  mn = 6 Vì ƯCLN ( ,
m n) =1 nên ta có hai trường hợp
Trường hợp 1: m =1,n = 6  a = 6,b = 36
Trường hợp 2: m = 2,n = 3  a =12,b =18
Vậy hai số cần tìm là ( , a b) (  6;36);(12;18). a
Bài 9: Tìm hai số nguyên dương a,b biết = 2,6 và ƯCLN( , a b) = 5 . b Lời giải
Điều kiện: a,b +  ƯCLN ( , a b) = 5 +  a = 5 ; m b = 5n ( ,
m n Z );¦ CLN( , m n) = 1 a m 13 Biết = 2,6  = 2,6 = với ƯCLN (m, n) = 1. b n 5
m =13 và n = 5  a = 65 và b = 25.
Bài 10: Tìm a,b biết a + b = 42 và BCNN ( , a b) = 72 . Lời giải Gọi d = ƯCLN ( ,
a b)  a = md;b = nd với , m n Z +  ; ¦ CLN ( , m n) =1 Trang 12
Không mất tính tổng quát, giả sử a b nên m n
Biết a + b = 42  dm + dn = d (m + n) = 42( ) 1 Biết BCNN ( , a b) = 72  . m . n d = 72(2)
d là ước chung của 42 và 72  d 1;2;3;  6
Lần lượt thay các giá trị của d và (1) và (2) để tính m, n ta thấy chỉ có trường hợp d = 6 thì m + n = 7 và mn = 12
m = 3;n = 4 (thỏa mãn các điều kiện của m và n)
Vậy d = 6 và a = 3.6 =18;b = 4.6 = 24 .
Bài 11: Tìm hai số nguyên dương a,b biết ab = 180 , BCNN ( , a b) = 60 . Lời giải
Điều kiện: a,b +  Đặt ƯCLN ( ,
a b) = d a = md;b = nd với ƯCLN( ,
m n) =1 BCNN ( , a b) = . m . n d ab 180 Biết 2 ab = 180  . m .
n d = 180  d = ¦ CLN (a,b) = = = BCNN (a b) 3 , 60
Từ đây bài toán đã biết ab = 180 và ¦ CLN( , a b) = 3
a = 3;b = 60 hoặc a =12;b =15. a 4
Bài 12: Tìm a,b biết = và BCNN ( , a b) =140 . b 5 Lời giải Đặt ƯCLN ( , a b) = d . a 4 Vì
= , mặt khác ¦ CLN(4,5) =1 a = 4d;b = 5d b 5 Mà BCNN ( ,
a b) =140 , nên ¦ CLN( , a b) = 7 a 4
Từ đây bài toán đã biết = và ¦ CLN( , a b) = 7 b 5
a = 28;b = 35 . Trang 13
Bài 13: Tìm hai số tự nhiên a,b biết a − b = 7 và BCNN ( , a b) =140 Lời giải Điều kiện: , a b .
Gọi d = ƯCLN (a,b) a md;b nd ( , m n Z +  = =  );ƯCLN( , m n) =1
Biết a − b = 7  dm − dn = d (m − n) = 7( ) 1 Biết BCNN ( , a b) =140  . m . n d = 140(2)
d là ước chung của 7 và 140  d 1;  7
Thay lần lượt các giá trị d vào (1) và (2) để tính m, n ta được kết quả duy nhất d = 7 thì m − n = 1 và
mn = 20  m = 5;n = 4 (thỏa mãn ¦ CLN( , m n) =1)
Vậy d = 7 và a = 5.7 = 35;b = 4.7 = 28.
Bài 14: Tìm hai số tự nhiên a,b biết a + b = 96 và ƯCLN ( , a b) = 6 Lời giải Điều kiện: , a b
. Giả sử a b .
Biết ƯCLN (a,b) 6 a 6 ; m b 6n ( , m n Z + =  = =  );ƯCLN( ,
m n) =1;m n
Mà a + b = 96 nên 6m + 6n = 96  m + n = 16 Mà ƯCLN ( ,
m n) =1 nên có các trường hợp của số m, n như sau
Trường hợp 1: m =11;n = 5  a = 66;b = 30
Trường hợp 2: m =13;n = 3 a = 78;b =18
Trường hợp 3: m =15;n =1 a = 90;b = 6
Vậy hai số cần tìm là ( , a b) (  66;30);(78;18);(90;6).
Bài 15: Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 504 và ƯCLN của chúng bằng 42 Lời giải
Gọi các số phải tìm là a và b . Điều kiện: , a b
. Giả sử a b .
Biết ƯCLN (a,b) 42 a 42 ; m b 42n ( , m n Z + =  = = 
);ƯCLN( ,mn) = (1mn) Trang 14
Mà a + b = 504  42m + 42n = 504  m + n = 12 Vì ƯCLN ( ,
m n) =1, nên có các trường hợp của số m, n như sau
Trường hợp 1: m =11;n =1 a = 462;b = 42
Trường hợp 2: m = 7;n = 5  a = 294;b = 210
Vậy hai số cần tìm là ( , a b) (  462;42);(294;210).
Bài 16: Cho n
, tìm số nguyên tố p có 2 chữ số sao cho p = ƯC (2n − 3;3n +15) Lời giải
Vì số p = ƯC (2n − 3;3n +15)
p cũng là ước của hiệu 2(3n+15)−3(2n− ) 3 = 39
Mà p là số nguyên tố có hai chữ số nên p = 13.
Vậy số nguyên tố cần tìm là p = 13.
Bài 17: Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 300 và ƯCLN bằng 5. Lời giải
Gọi các số phải tìm là a và b . Điều kiện: , a b
. Giả sử a b .
Biết ƯCLN (a,b) 5 a 5. ; m b 5.n( , m n Z + =  = =  );ƯCLN( , m n) = ( 1 m n) Mà ab = 300 nên  . m 5. .
n 5 = 300  mn = 12 Mà ƯCLN ( ,
m n) =1 nên có các trường hợp của số m, n như sau
Trường hợp 1: m =12;n =1 a = 60;b = 5
Trường hợp 2: m = 4;n = 3 a = 20;b =15
Vậy hai số cần tìm là ( , a b) (  60;5);(20;15).
Bài 18: Tìm hai số tự nhiên a và b (a b) , biết: ƯCLN ( ,
a b) = 300; BCNN ( , a b) = 900 . Lời giải Điều kiện: , a b . Vì ƯCLN ( ,
a b) =10 và a b a 10 ; m b 10n ( , m n Z +  = =  );ƯCLN( , m n) = (
1 m n)  BCNN ( , a b) =10. . m n Trang 15 Mà BCNN ( ,
a b) = 900 nên mn = 90. Khi đó có các trường hợp của số m, n như sau
Trường hợp 1: m = 5;n =18  a = 50;b =180 (thỏa mãn)
Trường hợp 2: m = 9;n =10  a = 90;b =100 (thỏa mãn)
Vậy hai số cần tìm là ( , a b) (  50;180);(90;100).
Bài 19: Tìm hai số tự nhiên a và b , biết: BCNN ( , a b) = 300; ƯCLN( ,
a b) =15;a +15 = b . Lời giải Điều kiện: , a b . Vì ƯCLN ( ,
a b) =15, nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho: a =15 ; m b =15n( ) 1 và ¦ CLN( , m n) =1 (2) Vì BCNN ( ,
a b) = 300, nên theo trên ta suy ra BCNN (15 ,1
m 5n) = 300 =15.20  BCNN ( , m n) = 20
Vì a +15 = b 15m +15 +15n 15(m + )
1 =15n m +1 = n
Trong các trường hợp thỏa mãn điều kiện (2) và (3) thì chỉ có trường hợp m = 4;n = 5 là thỏa mãn điều kiện (4)
Vậy m = 4; n = 5 ta được các số phải tìm là a =15.4 = 60;b =15.5 = 75 .
Bài 20: Tìm hai số tự nhiên a và b , biết: BCNN ( , a b) = 420; ƯCLN( ,
a b) = 21;a + 21 = b Lời giải Điều kiện: , a b . Vì ƯCLN ( ,
a b) = 21, nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho: a = 21 ; m b = 21n ( ) 1 và ¦ CLN( , m n) =1 (2) Vì BCNN ( ,
a b) = 420  BCNN (21 ,
m 21n) = 420 = 21.20  BCNN ( , m n) = 20(3)
Vì a + 21 = b  21m + 21 = 21n  2 ( 1 m + )
1 = 21n m +1 = n(4)
Trong các trường hợp thỏa mãn điều kiện (2) và (3) thì chỉ có trường hợp m = 4;n = 5 hoặc m = 2;n = 3 là
thỏa mãn điều kiện (4)
Vậy m = 4; n = 5 hoặc m = 2; n = 3 ta được các số phải tìm là: a = 21.4 = 84;b = 21.5 =105 . Trang 16
Bài 21: Tìm hai số tự nhiên a và b , biết: ƯCLN ( ,
a b) = 5; BCNN ( , a b) = 300. Lời giải Điều kiện: , a b . Giả sử a  . b
Biết ƯCLN (a,b) 5 a 5 ; m b 5n ( , m n Z + =  = =  );ƯCLN( ,
m n) =1,m n BCNN ( , a b) = 5mn Mà BCNN ( ,
a b) = 300  5mn = 300  mn = 50 Vì ƯCLN ( ,
m n) =1 nên ta có các trường hợp của số m, n như sau
Trường hợp 1: m = 60,n =1 a = 300,b = 5
Trường hợp 2: m = 20,n = 3 a =100,b =15
Trường hợp 3: m =12,n = 5  a = 60,b = 25
Vậy hai số cần tìm là ( , a b) (
 300;5);(100;15);(60;25).
Bài 22: Tìm hai số tự nhiên a và b , biết: BCNN ( , a b) =180;¦ CLN( , a b) =12 Lời giải Điều kiện: , a b . Giả sử a  . b
Biết ƯCLN (a,b) 12 a 12 ; m b 12n ( , m n + =  = =  ); ƯCLN ( ,
m n) =1,m n BCNN ( , a b) =12mn Mà BCNN ( ,
a b) =180  mn =15 Vì ƯCLN ( ,
m n) =1 nên ta có các trường hợp của số , m n như sau
Trường hợp 1: m =15,n =1 a =180,b =12
Trường hợp 2: m = 5,n = 3 a =100,b =15
Trường hợp 3: m =12,n = 5  a = 60,b = 25
Vậy hai số cần tìm là ( , a b) (
 180;12);(100;15);(60;25).
Bài 23: Tìm hai số tự nhiên biết tổng ƯCLN và BCNN của chúng bằng 23 Lời giải Trang 17
Gọi hai số tự nhiên cần tìm là a,b và giả sử a b Đặt ƯCLN ( ,
a b) = d a = md;b = nd với , m n Z +  ; ƯCLN ( ,
m n) =1,m n BCNN ( , a b) = dmn Mà ƯCLN ( , a b) + BCNN ( ,
a b) = 23 nên d ( . m n + )
1 = 23  d là ước của 23 hay d 1;2  3
Xét d = 1, ta có mn +1 = 23  mn = 22 với ¦ CLN( ,
m n) =1 nên ta có các trường hợp của , m n như sau:
Trường hợp 1: m = 22,n =1 a = 22,b =1
Trường hợp 2: m =11,n = 2  a =11,b = 2
Xét d = 3, ta có mn +1 =1  mn = 0 (không thỏa mãn)
Vậy hai số cần tìm là ( , a b) (  22; )1;(11;2)
Bài 24: Tìm hai số tự nhiên biết hiệu của chúng bằng 84, ƯCLN của chúng bằng 28 và các số đó trong
khoảng từ 300 đến 400. Lời giải
Gọi các số phải tìm là a và b . Điều kiện: , a b . Ta có ƯCLN ( ,
a b) = 28  a = 28k;b = 28q với * k, q
và k, q nguyên tố cùng nhau
Ta có a −b = 84  k − q = 3
Theo bài ra ta có 300  b a  440 10  q k 16. Chọn hai số có hiệu bằng 3 trong khoảng từ 11 đến 15 là 11 và 14; 12 và 15
Chi có 11 và 14 là hai số nguyên tố cùng nhau  q =11;k =14  a = 28.11= 308;b = 28.14 = 392
Vậy hai số cần tìm là 308 và 392.
PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG a + b 7
Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên khác 0: a và b , sao cho: ( , a b) =1 và = . 2 2 a + b 25
(Thi học sinh giỏi TP. Hồ Chí Minh năm 1992 – 1993) Lời giải Gọi ( 2 2 a + ,
b a + b ) = d a + b d và 2 2 a + b d 2 2
a + 2ab +b d  2ab d vì ( , a b) =1  (a ,
b a + b) =1 (2a ,
b a + b) = (2,a + b) Trang 18
d là ước số của (2a ,
b a + b)  d là ước số của (2,a + b)
d là ước số của 2  d =1 hoặc d = 2 . a + b = 7 a + b = 7 a = 3 a = 4 Nếu d = 1       hoặc   2 2 a + b = 25 ab =12 b  = 4 b  = 3 a + b =14 Nếu d = 2   vô nghiệm. 2 2 a + b = 50 Tóm lại ( , a b) (  3;4)(4;3)
Bài 2: Tìm tất cả các cặp số ( ,
a b) nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện: i)
a,b đều khác 1 và ước số chung lớn nhất của a,b là 1. ii)
Số N = ab(ab + ) 1 (2ab + )
1 có đúng 16 ước số nguyên dương.
(Trích đề học sinh giỏi toán Đăk Lăk năm học 2017-2018) Lời giải
Ta có: N = ab(ab + ) 1 (2ab + ) 1 chia hết cho các số:
1; a;b (ab + ) 1 (2ab + ) 1 ; ; b a (ab + ) 1 (2ab + ) 1 ;(ab + ) 1 ;(2ab + ) 1 ;(ab + ) 1 (2ab + ) 1 ; ; ab ab (ab + ) 1 ; ab (2ab + )
1 ; N; a (ab + ) 1 ; a (2ab + ) 1 ;b (ab + ) 1 ;b (2ab + ) 1
Hay N = ab(ab + ) 1 (2ab + )
1 có 16 ước dương Nên để N chỉ có đúng 16 ước dương thì ; a ;
b ab +1;2ab +1 là số nguyên tố. Do ,
a b 1 ab +1  2
Nếu a,b cùng lẻ thì ab +1 chia hết cho 2 nên là hợp số (vô lý). Do đó không mất tính tổng quát, giả sử a
chẵn b lẻ  a = 2.
Ta cũng có nếu b không chia hết cho 3 thì 2ab +1= 4b +1 và ab +1 = 2b +1 chia hết cho 3 là hợp số (vô lý)  b = 3.
Vậy a = 2;b = 3. m +1 n +1
Bài 3: Cho hai số tự nhiên m và n thoả mãn + là số nguyên. n m
Chứng minh ước chung lớn nhất của m và n không lớn hơn m + n .
(Trích đề học sinh giỏi Hải Dương năm học 2004-2005) Lời giải Trang 19 Gọi d là ƯCLN ( , m n) suy ra 2 2
m , n , mn cùng chia hết cho 2 d . 2 2 m +1 n +1
m + n + m + n Do + = là số nguyên nên 2 2
m + n + m + n cũng chia hết cho 2 d . n m mn
Suy ra m + n chia hết cho 2 2
d m + n d
m + n d .
Bài 4: Cho ba số nguyên dương , a ,
b c đôi một khác nhau và đồng thời thỏa mãn các điều kiện: i)
a là ước của b + c + bc , ii)
b là ước của a + c + ac , iii)
c là ước của a + b + ab ,
a) Hãy chỉ ra bộ ba số ( , a ,
b c) thỏa mãn các điều kiện trên. b) Chứng minh rằng , a ,
b c không thể đồng thời là các số nguyên tố.
(Trích đề vào 10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội năm 2007-2008) Lời giải a) Dễ thấy bộ số ( , a ,
b c) = (1,3,7)thỏa mãn đề bài
b) Đặt S = a + b + c + ab + bc + ca .
Từ giả thiết suy ra S chia hết cho , a , b c . Vì , a ,
b c đôi một khác nhau, do đó , a ,
b c đồng thời là các số nguyên tố thì S abc hay S = k.abc (k  )
Không mất tính tổng quát, giả sử a b c . Nếu a = 2 thì ,
b c đều lẻ  b + c + bc lẻ nên không chia hết cho 2 .
Do đó a  3 nên b  5,c  7 . Từ S = k.abc (k  ) suy ra 1 1 1 1 1 1 0  k = + + + + + 1 k ab ac bc c b a Vậy , a ,
b c không thể đồng thời là các số nguyên tố.
Bài 5: Tìm a,b biết: a)  , a b + ( , a b) = 55 b)  , a b − ( , a b) = 5 c)  , a b + ( , a b) = 35 Lời giải Trang 20 ab
a) Gọi a = da';b = db' và (a ',b') =1. Ta có: a,b = = da'b' d
Theo đề bài, ta có: da'b'+ d = 55 hay d (a'b'+ )
1 = 55 . Như vậy a 'b'+1 là ước của 55, mặt khác a 'b'+1  2 . Ta có lần lượt d a 'b'+1 a 'b ' a ' b ' a b 2 11 5 4 = 2 1 4 11 44 1 10 5 50 5 11 10 = 2.5 2 5 10 25 1 54 1 54 3 1 55 54 = 2.3 2 27 2 27
b) Giải tương tự câu a) ta được: d (a'b'− ) 1 = 5 . Từ đó: d
a 'b'−1 a 'b ' a ' b ' a b 6 1 6 1 1 5 6 3 2 3 2 5 1 2 2 1 10 5
c) Có 6 cặp số (1, 36), (4, 9), (5, 40), (7, 42), (14, 21), (35, 70). Bài 6: Tìm ,
n n +1, n + 2 Lời giải Đặt A =  , n n +  1 và B =  , A n + 
2 . Áp dụng tính chất a, , b c =   a,b
,c , ta có B = ,nn+1,n+ 2 Dễ thấy ( , n n + ) 1 = 1 , suy ra  , n n +  1 = n(n + ) 1 do  , a b.( , a b) = ab ab n n +1 n + 2
Lại áp dụng tính chất a,b = ( thế thì  , n n +1, n + 2 ( )( ) = a,b)
(n(n+ )1,n+2)
Gọi d = (n(n + )
1 , n + 2) . Do (n +1,n + 2) =1 nên d = ( , n n + 2) = ( , n 2) Xét hai trường hợp: n n +1 n + 2
- Nếu n chẵn thì d = 2 , suy ra n, n +1, n + 2 ( )( ) = 2
- Nếu n lẻ thì d = 1, suy ra , n n +1,n +  2 = n(n + ) 1 (n + 2) Bài 7: Tìm * n
biết n  30 để các số 3n + 4 và 5n +1 có ước chung lớn hơn 1. Trang 21 Lời giải
Gọi d là một ước chung của 3n + 4 và 5n +1 ( * d  )
Ta có 3n + 4 d và 5n +1 d nên 5(3n + 4) −3(5n + )
1 d 17  d 1;1  7
Để 3n + 4 và 5n +1 có ước chung lớn hơn 1, ta phải có 3n + 4 17
Hay 3(n −10) 17 mà ƯCLN (3,17) =1 nên (n −10) 17
Do đó n −10 =17k (k  ) . Vì * n  , n  30  1
− 0  n −10  20 nên k 0;  1 .
Với k = 0  n = 10 , khi đó 3.10 + 4 17 và 5.10 +1 17 (thỏa mãn)
Với k = 1 n = 27 , khi đó 3.27 + 4 17 và 5.27 +1 17 (thỏa mãn) Vậy n 10;2  7 .
Bài 8: Tìm hai số nguyên dương biết a + 2b = 48 và ƯCLN ( ,
a b) + 3.BCNN ( , a b) =114. Lời giải
a = d.a
Gọi ƯCLN (a,b) 1 = d   ;(a ,b = 1 1 1 ) b = d.b  1
Mà : a + 2b = 48  d.a + 2d.b = 48  d a + 2b = 48  d U  48 (1) 1 1 ( 1 1 ) ( ) Ta lại có: ƯCLN ( ,
a b) + 3.BCNN ( , a b) =114
d +3.a .b .d =114  d 1+3.a .b =114  d U  114 (2) 1 1 ( 1 1 ) ( )
Từ (1) và (2) suy ra d U
C(48,114) =1;2;3;  6
Mà: d (1+ 3.a .b =114 = 3.38  d 3  d = 3 hoặc d = 6 1 1 ) a + 2b =16 a + 2b =16 TH1: 1 1 1 1 d = 3     (loại) 1+ 3a .b = 38 3a .b = 37  1 1  1 1 a + 2b = 8 a + 2b = 8
a = 2  a =12 TH2: 1 1 1 1 1 d = 6       1+ 3a .b = 19 a .b = 6 b = 3  b = 18  1 1  1 1  1
Vậy a = 12 và b = 18. n n Bài 9: Cho ,
m n ,1 m  .
n Chứng minh rằng: ( 2 2 2 +1, 2 + ) 1 = 1. Lời giải Ta có: Trang 22 − − 2n n n 2 −1 = ( 1 2 2 + )1( 1 2 2 − )1 = ( n 1− − − 2 n n 2 + )1( 2 2 2 + )1( 2 2 2 − )1 = ( n 1− − 2 n m m 2 + )1( 2 2 2 + )1...( 2 2 + )1( 2 2 − )1 d
Do đó ( 2n + ) −( 2n 2 1 2 − )
1 = 2 d d = 1 (vì d lẻ) n n Vậy ( 2 2 2 +1, 2 + ) 1 = 1. Bài 10: Cho 1 , m n . m n − − Tìm (2 1, 2 )1 Lời giải Đặt d = ( ,
m n). Khi đó tồn tại các số tự nhiên r, s sao cho rn − sm = d. Đặt = 2m −1,2n d −1  d lẻ. 1 ( ) 1 Ta có: 2n 1 2d − −1 (vì n d ) 2m 1 2d − −1 (vì m d ) Do đó 2d d −1 1
2n −1 d  2rn −1 d − Mặt khác: 1 1 
 2rn − 2sm = 2sm (2rn sm − ) 1 = 2sm (2d − d m sm )1 1
2 −1 d  2 −1 d  1 1 Mà (2, =1 2d d −1 d 1 ) 1 Từ đó suy ra 2d d = −1. 1 Vậy (2m 1, 2n − − ) (m,n) 1 = 2 −1. −
Bài 11: Cho a, m là các số nguyên lớn hơn 1. Chứng minh rằng: ( 2 m 1
1+ a + a + ... + a , a − ) 1 = ( , m a − ) 1 . Lời giải Giả sử ( 1 | 1 ... m d a a − + + +
) và d |(a− )1, suy ra: Trang 23 d ( m 1
a − − ) + ( m−2 | 1 a − ) 1 + ... + (a − ) 1 + m d | . m
Vậy d | m và d | (a − ) 1 . Ngược lại, nếu −
d | a và d | (a − ) 1 thì d ( m 1 m + ...+ a + ) 1 Vậy ( 2 m 1 1 a a ... a − + + + + , a − ) 1 = ( , m a − ) 1 .
a + b b + c c + a
Bài 12: Chứng minh rằng nếu , a ,
b c là các số lẻ thì , , =   (a, , b c).  2 2 2  Lời giải Giả sử d | ,
a b | d, c | d thì d lẻ. a + b
Ta có a + b d và a + b 2  a + b 2d (do (2, d ) = ) 1  d 2 + + Tương tự b c c a : d và d 2 2
a + b b + c c + a
Vậy d là ước của , , . 2 2 2
a + b b + c c + a a + b c + a b + c
Ngược lại, giả sử d là ước của , ,
thì d là ước của + − = . a 2 2 2 2 2 2
Tương tự d | b và d | . c
a + b b + c c + a  Vậy: , , =   (a, , b c).  2 2 2 
Bài 13: Tìm tất cả các cặp số ( ;
a b) nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện: i) ;
a b đều khác 1 và ước số chung lớn nhất của ; a b là 1.
ii) Số N = ab(ab + ) 1 (2ab + )
1 có đúng 16 ước số nguyên dương. Lời giải
Ta có: N = ab(ab + ) 1 (2ab + ) 1 chia hết cho các số : 1; ; a b(ab + ) 1 (2ab + ) 1 ; ; b a (ab + ) 1 (2ab + )
1 ; ab +1; ab(2ab + )
1 ; 2ab +1; N; a ; b Trang 24 (ab+ ) 1 (2ab + ) 1 ;b(ab + ) 1 ; a (2ab + ) 1 ; a (ab + ) 1 ;b(2ab + )
1 có 16 ước dương. Nên để N chỉ có đúng 16 ước dương thì ; a ;
b ab +1;2ab +1 là số nguyên tố. Do ,
a b 1 ab +1  2 Nếu ;
a b cùng lẻ thì ab +1 chia hết cho 2 nên là hợp số (vô lý). Do đó không mất tính tổng quát, giả sử a
chẵn b lẻ thì suy ra a = 2.
Ta cũng có nếu b không chia hết cho 3 thì 2ab +1= 4b +1 và ab +1 = 2b +1 chia hết cho 3 là hợp số (vô lý), suy ra b = 3.
Vậy a = 2,b = 3.
Bài 14: Tổng các số tự nhiên a , a ,..., a bằng 999. Hỏi ước số chung lớn nhất của chúng có thể nhận giá 1 2 49
trị lớn nhất bằng bao nhiêu ? Lời giải
Giả sử d = (a , a ,..., a
,khi đó a + a +...+ a = 999 d , suy ra d là ước của 3 999 = 3 .37. 1 2 49 ) 1 2 49 99
Vì d | a (k =1, 2,..., 49 nên a d, k
  999 = a + a +...+ a  49d d
 21. Vậy d chỉ có thể k ) k 1 2 49 29 nhận các giá trị 1,3,9.
Giá trị d lớn nhất bằng 9 khi a = a = ... = a = 9; a = 567 (vì 9.48 + 567 = 999 ) 1 2 48 49 Bài 15: Cho ( ,
a b) =1. Tìm (11a + 2 ,1
b 8a + 5b) Lời giải
Giả sử d = (11a + 2 ,1
b 8a + 5b), khi đó d |18a +5b và d |11a + 2 , b suy ra d |1 (
1 18a + 5b) −18(11a + 2b) =19b d |19 hoặc d | . b -
Nếu d | b thì từ d | 5(11a + 2b) −3(18a + 5b) = a −5b d | a d | ( ,
a b) =1 d =1. -
Nếu d |19 thì d = 1 hoặc d = 19. Vậy (11a + 2 ,1
b 8a + 5b) bằng 1 hoặc bằng 19.  HẾT Trang 25