Luyện thi HSG Toán 6 chủ đề: Chứng minh một số không phải là chính phương

Luyện thi HSG Toán 6 chủ đề: Chứng minh một số không phải là chính phương. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 14 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!

46 23 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 6

Môn: Toán 6

Thông tin:

14 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mỹ Duyên
Trang 1
ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 6-SỐ CHÍNH PHƯƠNG
CHỦ ĐỀ 2: DÙNG CÁC TÍNH CHẤT CHIA HẾT VÀ SỐ DƯ ĐỂ CHỨNG MINH
MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Số chính phương chia hết cho
2
thì chia hết cho
4
.
2. Số chính phương chia hết cho
3
thì chia hết cho
9
3. Số chính phương chia hết cho
5
thì chia hết cho
25
4. Số chính phương chia hết cho
8
thì chia hết cho
16
.
➢ Tổng quát: Số chính phương chia hết cho
21n
p
+
thì chia hết cho
(
p
là số nguyên tố,
n
)
* Phương pháp chứng minh một số không là số nguyên tố bằng quan hệ chia hết:
Ta có:
Ap
và
p
là số nguyên tố mà
2
Ap
A
không phải là số chính phương.
* Để chứng minh
N
không phải một số chính phương ta có thể:
• Chứng minh
N
có tận cùng
2;3;7;8
hoặc
N
tận cùng là
21k +
chữ số
0
.
• Chứng minh
N
chứa số nguyên tố với số mũ lẻ.
• Xét số dư khi
N
chia cho
3
hoặc
4
hoặc
5
hoặc
8
,... Chẳng hạn
N
chia
3
dư
2
hoặc chia
4
dư
2
; hoặc chia
5
dư
3
thì
N
không là số chính phương.
• Chứng minh
N
nằm giữa hai số chính phương liên tiếp.
PHẦN II. CÁC BÀI TẬP
Các dạng bài chứng minh một số không phải là số chính phương
DẠNG 1:
A
chia hết cho số nguyên tố
p
nhưng
A
không chia hết
2
p
Bài 1: Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là
2004
thì số đó không là số chính phương?
Lời giải
Số có tổng các chữ số là
2004
thì số đó chia hết cho
3
nhưng không chia hết cho
9
, do đó số có tỏng
các chữ số là
2004
không thể là số chính phương.
Bài 2: Tổng các chữ số của một số chính phương có thể là
1983
không?
Lời giải
Tổng các chữ số của một số là
1983
thì số đó chia hết cho
3
nhưng không chia hết cho
9
, nên không
tồn tại số chính phương có tổng các chữ số là
1983
.
Bài 3: Cho các số tự nhiên:
1,2,3,4,5,6
. Lập được tất cả các số tự nhiên có
6
chữ số bao gồm tất cả các
chữ số trên. Trong các số đã lập có số nào là số chính phương không?
Lời giải
Tổng các chữ số của các số là
21
chia hết cho
3
nhưng không chia hết cho
9
.
Trang 2
Bài 4: Cho một số tự nhiên gồm
21
chữ số
4
. Có cách nào viết thêm các chữ số
0
vào vị trí tùy ý để số
mới tạo thành là một số chính phương hay không?
Lời giải
( ) 21.4 84 3SN ==
nhưng không chia hết cho
9
.
Bài 5: Chứng minh rằng số
1234567890
không phải là số chính phương.
Lời giải
Cách 1: Ta thấy số
1234567890
chia hết cho
5
(vì chữ số tân cùng là
0
) nhưng không chia hết cho
25
(vì hai chữ số tận cùng là
90
).
Do đó: số
1234567890
không là số chính phương.
Cách 2: Ta thấy số
1234567890
chia hết cho
2
(vì chữ số tân cùng là
0
) nhưng không chia hết cho
4
(vì hai chữ số tận cùng là
90
).
Do đó: số
1234567890
không là số chính phương.
Cách 3: Số
1234567890
tận cùng có lẻ chữ số 0.
Bài 6: Các tổng sau có phải là số chính phương không?
a)
10
10 5+
b)
100 50
10 10 1++
Lời giải
a, Ta có:
10
10 5+
chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho
25
nên không là số chính phương.
b, Ta có:
100 50
10 10 1++
có tổng các chữ số là 3 nên chia hết cho
3
mà không chia hết cho
9
nên không
là số chính phương.
Bài 7: Cho
2 3 2020
3 3 3 .... 3S = + + + +
. Chứng minh S không phải là số chính phương.
Lời giải
Ta có:
2 3 2020
3 3 3 .... 3S = + + + +
Với mọi số tự nhiên
2n
thì
39
n
Suy ra:
2 3 2020
3 3 .... 3 9+ + +
Do đó:
2 3 2020
3 3 3 .... 3+ + + +
chia
9
dư
3
Hay
9S
Mặt khác
3S
Vậy S không là số chính phương.
Bài 8: Chứng minh tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương.
Lời giải
Gọi bốn số tự nhiên lên tiếp lần lượt là
( )
; 1; 2; 3a a a a a+ + +
Khi đó ta xét:
1 2 3S a a a a= + + + + + +
46a=+
Trang 3
Ta có:
42
2
62
a
S
(1)
44
4
64
a
S
(2)
Từ (1) và (2)
S không là số chính phương
Vậy tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương.
Bài 9: Viết liên tiếp các số tự nhiên từ
1
đến
101
thành một số
A
. Chứng minh
A
không là số chính
phương.
Lời giải
Ta có:
1234...100101A=
Ta có tổng các chữ số của A là:
1 2 3 4 ... 100 101+ + + + + +
( )
1 101 .101:2=+
5151=
Ta thấy:
5151 3 3A
5151 9 9A

Do đó
A
không là số chính phương.
Bài 10: Số
23
11 11 11A= + +
có phải là số chính phương không?
Lời giải:
Ta có:
23
11 11 11A= + +
Suy ra:
( )
( ) ( )
23
.11 11.11 11 .11 11 .11A = + +
234
11 11 11= + +
( ) ( )
2 3 4 2 3
.11 11 11 11 11 11 11AA− = + + − + +
( ) ( ) ( )
2 2 3 3 4
11 11 11 11 11 11A= − + − + −
4
0 0 11 11= + + −
4
11 11=−
Ta thấy:
( )
22
11
11 1 11 11 11
A
A
A
= + +
không là số chính phương
Bài 11: Viết liên tiếp từ
1
đến
12
được số
1234 1112H =
. Số
H
có thể có
81
ước được không?
Lời giải
Giả sử số
H
có
81
ước.
Vì số lượng các ước của
H
là
81
(là số lẻ) nên
H
là số chính phương
( )
1
mặt khác, tổng của các chữ số của
H
là:
1 2 3 9 (1 0) (1 1) (1 2) 51+ + ++ + + + + + + =
.Vì
51 3; 51 9
;
nên
H
chia hết cho
3
nhưng không chia hết cho
9
, do đó
H
không là số chính phương
mâu thuẫn với
( )
1
.
Vậy
H
không thể có
81
ước.
Trang 4
Bài 12: Một số tự nhiên gồm một chữ số
0
và sáu chữ số 6 có thể là một số chính phương không?
Lời giải
Gọi
A
là số gồm một chữ số
0
và sáu chữ số
6
.
- Nếu
A
có chữ số tận cùng là
0
thì
A
có hai chữ số tận cùng là
60
.
A
chia hết cho 5 nhưng
A
không chia hết cho
25
(vì
60 25
)
A
không là số chính phương.
- Nếu
A
có chữ số tận cùng là
6
A
có hai chữ số tận cùng là 06 hoặc
66
A
chia hết cho
2
nhưng không chia hết cho
4
.
A
không là số chính phương.
Vậy
A
không phải là số chính phương.
DẠNG 2: Chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ
Bài 1: Chứng minh rằng
2001
2001
không là số chính phương.
Lời giải
Ta có:
( )
2001
2001 2001 2001 2001
2001 3.23.29 3 .23 .29==
chứa thừa số nguyên tố có số mũ lẻ
Do đó:
2001
2001
không là số chính phương
Bài 2: Chứng minh rằng số
29 58 84
29 58 87A= + +
không là số chính phương.
Lời giải
29 58 29 87 58
29 29
29 (1 2 .29 3 .29A = + +
29
Ta có
29
29A
nhưng
A
không chia hết cho
30
29
mà
29
là số nguyên tố từ đó suy ra
A
không là số
chính phương.
DẠNG 3:
.A p N=
và
N p
(
p
: nguyên tố)
A
không là số chính phương
Bài 1: Chứng minh rằng
A ababa=
không là số chính phương.
Lời giải
Ta có:
2
.101n abab ab==
2
101.
101
101 101
abab ab
ab
abab abab
=
(Vô lý)
Do đó
A ababa=
không là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh rằng
abcabc
không là số chính phương.
Lời giải
Ta có:
2
.1001 .11.91n abcabc abc abc= = =
Vì
11abc !
đồng thời
91abc !
mà
11,91
là số nguyên tố.
Trang 5
Do đó
abcabc
không là số chính phương.
Bài 3: Chứng minh rằng
ababab
không là số chính phương.
Lời giải
Ta có:
2
.10101 .3.7.13.37n ababab ab ab= = =
Vì
3,7,13,37
là số nguyên tố nên
10101ab=
(Vô lý).
Do đó
ababab
không là số chính phương.
DẠNG 4: Chứng minh
A
chia
3
dư
2
, chia
4
dư
2
;
3
; chia
5
dư
2
,
3
; chia
8
dư
2
;
3
;
5
;
6
Bài 1:
a. Chứng minh rằng với
nN
thì
2
2 2 3nn++
không là số chính phương
b. Chứng minh rằng với
nN
thì
3 1002
n
+
không là số chính phương
Lời giải
a.
2
4
2 2 3 2 ( 1) 3n n n n+ + = + +
chia 4 dư 3 nên không là số chính phương
b. -
0 3 1002 1003
n
n = → + =
không là số chính phương
-
1 3 1002 1005 3, 9
n
n = → + = !
không là số chính phương
-
2 3 1002 3, 9
n
n → + !
không là số chính phương
Bài 2: Chứng minh rằng một số có tổng các chữ số của nó là
2006
không phải là một số chính phương
Lời giải
Số chính phương khi chia cho
3
chỉ có thể dư
0
hoặc
1
.
Số trên có tổng các chữ số là
2006
nên chia
3
dư
2
, vậy không phải là số chính phương.
Bài 3: Một số tự nhiên có tổng các chữ số bằng
2018
thì có thể là số chính phương được không? Tại
sao?
Lời giải
Gọi số tự nhiên có tổng các chữ số bằng
2018
là
n
.
Ta có:
2018 3 2m=+
,
m
nên số tự nhiên
n
chia
3
dư
2
, do đó số
n
có dạng
32k +
với
k
là số tự
nhiên. Mặt khác số chính phương không có dạng
32k +
suy ra số tự nhiên
n
không là số chính phương.
Bài 4: Chứng minh rằng
4 4 4 4
2012 2013 2014 2015
n n n n
A= + + +
không phải là số chính phương với mọi
số nguyên dương
n
.
Lời giải
Ta có:
4
2012 0(mod2)
n
;
4
2013 1(mod2)
n
;
*
n
4
2014 0(mod2)
n
;
4
2015 1(mod2)
n
Do đó:
2 0(mod2)A
.
Trang 6
Ta lại có:
2012 0(mod4)
4
2012 0(mod4)
n

2014 2(mod4)
22
2014 2 0(mod4)
2 2 2 2
(2014 ) (2014 ) 0(mod4)
nn
Do
2013 1(mod4)
4
2013 1(mod4)
n

Do
2015 1(mod4)−
44
2015 ( 1) 1(mod4)
nn
−
Do đó
2(mod4)A
nghĩa là
A
chia cho
4
dư
2
.
Ta có
2
2; 2 ;2AA!
là số nguyên tố. Vậy
A
không là số chính phương.
Bài 5: Cho
1.3.5.7...2015N =
. Chứng minh rằng
1N −
;
3N +
không là số chính phương.
Lời giải
+) Ta có:
3N
Suy ra:
1N −
chia cho
3
dư
2
Do đó:
1N −
không là số chính phương.
+) Ta có:
3N
và
9N
Suy ra:
33N +
nhưng
39N
+
Do đó:
3N +
không là số chính phương.
Bài 6: Gọi
2.3.5...
n
Np=
là tích của
n
số nguyên tố đầu tiên
( )
1n
. Chứng minh rằng các số
1N −
;
N
;
1N +
không là số chính phương.
Lời giải
+) Ta thấy:
2N
nhưng
4N
N
không là số chính phương.
+) Giả sử
2
1Na+=
hay
( )( )
2
1 1 1N a a a= − = − +
Ta có:
1N +
lẻ suy ra
a
lẻ nên
( )( )
1 1 4N a a= − +
(mâu thuẫn)
Do đó điều giả sử là sai.
Vậy
1N +
không là số chính phương.
+) Ta có:
3N
( )
1 2 mod3N −
Vậy
1N −
không là số chính phương.
Bài 7: Giả sử
1.3.5.7...2007.2011N =
. Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp
21N −
;
2N
;
21N +
không có số nào là số chính phương.
Lời giải
+) Ta có:
2 1 2.1.3.5.7...2011 1N − = −
Trang 7
Ta thấy:
( )
2 3 2 1 3 2N N k k − = +
Do đó:
21N −
không là số chính phương.
+) Ta có:
2 2.1.3.5.7...2011N =
2N
chẵn
Do đó:
N
lẻ
2N
và
22N
nhưng
24N
Ta thấy
2N
chẵn nên
2N
không chia cho
4
dư
1
hoặc dư
3
Vậy
2N
không là số chính phương
+) Ta có:
2 1 2.1.3.5.7...2011 1N + = +
Ta thấy
21N +
lẻ nên
2 1 4N
+
24N
nên
21N +
không chia cho
4
dư
1
Do đó:
21N +
không là số chính phương.
Bài 8: Chứng minh số
5 12 2003
23 23 23A= + +
không là số chính phương.
Lời giải
Ta có:
23
chia
3
dư
2
nên
5
23
chia
3
dư
2
12
23
chia
3
dư
1
2003
23
chia
3
dư
2
Suy ra:
5 12 2003
23 23 23A= + +
chia
3
dư
2
Vậy
A
không là số chính phương.
Bài 9: Chứng minh
4 44 444 4444
4 44 444 4444 15C = + + + +
không là số chính phương.
Lời giải
Ta có:
4
chia hết cho
4
nên
4
4
chia hết cho
4
44
chia hết cho
4
nên
44
44
chia hết cho
4
444
chia hết cho
4
nên
444
444
chia hết cho
4
4444
chia hết cho
4
nên
4444
4444
chia hết cho
4
Suy ra:
4 44 444 4444
4 44 444 4444+ + +
chia hết cho
4
Mà:
15
chia
4
dư
3
Do đó:
4 44 444 4444
4 44 444 4444 15C = + + + +
chia
4
dư
3
Vậy C không là số chính phương.
Bài 10: Chứng minh
432
2004 2004 2004 23D= + + +
không là số chính phương.
Lời giải
Ta thấy:
2004 3
Trang 8
4
2004 3
Tương tự
3
2004 3
,
2
2004 3
Mà
23
chia
3
dư
2
nên
32Dk=+
( )
k
Mà ta biết số chính phương không có dạng
32k +
Do đó D không là số chính phương.
Bài 11: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kì không phải là một số chính phương.
Lời giải
Gọi
a
và
b
là số lẻ.
Giả sử:
21=+am
,
21=+bn
với
,mn
Ta có:
( ) ( )
( )
22
2 2 2 2
2 1 2 1 4 2 4 2a b m n m m n n k+ = + + + = + + + + = +
với
k
Không có số chính phương nào có dạng
42k +
vì vậy
22
ab+
không phải là một số chính phương.
Bài 12: Chứng minh rằng tổng các số tự nhiên liên tiếp từ
1
đến
2005
không phải là số chính phương.
Lời giải
Ta có:
1 2 3 4 ... 2005S = + + + + +
( )
2005 1 .2005:2=+
( )
1003.2005 1.3 3 mod4=
S
có dạng
( )
43kk+
Do đó
S
không là số chính phương.
Bài 13: Cho
A
là tổng các bình phương của
111
số tự nhiên liên tiếp nào đó. Chứng minh rằng
A
không phải là số chính phương.
Lời giải
Xét tổng các bình phương của
3
số tự nhiên liên tiếp:
( ) ( ) ( )
22
22
1 1 3 2 2 mod3a a a a a− + + + = +
Chia
A
thành
37
nhóm, mỗi nhóm là tổng các bình phương của
3
số tự nhiên liên tiếp
( )
37.2 1.2 2 mod3A
Do đó
A
không là số chính phương.
Bài 14: Cho
A
là tổng các bình phương của
108
số tự nhiên liên tiếp nào đó. Chứng minh rằng
A
không là số chính phương.
Lời giải
Xét tổng các bình phương của
4
số tự nhiên liên tiếp:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
22
1 2 3 4 12 14 2 mod4 ;a a a a a a a+ + + + + + = + +
Trang 9
Chia
A
thành
27
nhóm, mỗi nhóm gồm
4
số tự nhiên liên tiếp.
Suy ra:
( )
27.2 54 2 mod4A
Do đó
A
không là số chính phương.
Bài 15: Chứng minh
3 63
n
+
không phải là số chính phương với
; 0;4nn
Lời giải:
Xét
n
lẻ. Đặt
( )
2 1;n k k= +
Ta có:
( ) ( ) ( )
21
21
3 1 mod 4 1 mod4
k
k
+
+
− −
( )
63 3 mod4
( )
21
3 63 2 mod4
k +
+
21
3 63
k +
+
không là số chính phương
Xét
n
chẵn. Đặt
( )
2 ; 0n k k=
Vì
3y
nên ta đặt
( )
3y t t=
Khi đó, ta có:
22
3 63 9
k
t+=
2 2 2
37
k
t
−
+=
( )
2
21
37
k
t
−
− =
( )( )
11
3 3 7
kk
tt
−+
− + =
1
1
31
37
k
k
t
t
−
+
−=
+=
1
2.3 6
k −
=
1
33
k −
=
2k=
4n=
(trái với giả thiết đề bài)
Vậy:
3 63
n
+
không phải là số chính phương với
0;4n
Bài 16: Chứng minh
7
34 5nn++
không là số chính phương.
Lời giải:
Bổ đề:
( )
2
mod7 ; 0;1;2;4x i i
Theo định lí Fermat, ta có:
( )
7
mod7nn
( )
7
34 5 35 5 mod7n n n + + +
( )
7
34 5 6 mod7nn + +
Giả sử
72
34 5 ,n n x x+ + =
Trang 10
Suy ra:
( )
2
5 mod7x
(vô lý)
Do đó:
7
34 5nn++
không là số chính phương.
Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số
k
thì số
2 2 2
1 9 77 1977
k k k
A= + + +
không là số chính phương.
Lời giải:
Bất kì số chính phương nào cũng có dạng
3t
hoặc
31t +
, với
t
Ta có:
2 2 2
1 9 77 1977
k k k
A= + + +
có dạng
3 2;ll+
Do đó
A
không là số chính phương.
DẠNG 5: Chứng minh
A
có chữ số tận cùng là
2;3;7
hoặc
8
Bài 1: Chứng minh rằng các tổng sau có phải là số chính phương không?
a)
23
11 11 11A = + +
b)
10
10 8B =+
Lời giải:
b) Tổng
A
có chữ số tận cùng là
3
nên không là số chính phương
c) Ta có:
10
10
có chữ số tận cùng là
0
.
Nên
10
10 8+
có chữ số tận cùng là
8
Vậy
B
không là số chính phương.
Bài 2: Cho
2012 2011 2010 2009
10 10 10 10 8A= + + + +
. Chứng minh rằng
A
không phải là số chính phương.
Lời giải:
Ta có các số
2012
10
;
2011
10
;
2010
10
;
2009
10
đều có chữ số tận cùng là
0
.
Nên
2012 2011 2010 2009
10 10 10 10 8A= + + + +
có chữ số tận cùng là
8
.
Vậy
A
không là số chính phương vì số chính phương là những số có tận cùng là
0;1;4;5;6;9
.
Bài 3: Chứng minh rằng tổng các bình phương của năm số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính
phương.
Lời giải
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là:
2, 1, , 1, 2n n n n n− − + +
trong đó
n
và
2n
Xét tổng bình phương:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
22
2 1 1 2 5 2A n n n n n n= − + − + + + + + = +
.
Vì
2
n
không thể có tận cùng là
3
hoặc
8
, nên
2
2n +
không thể có tận cùng là
5
hoặc
0
,
2
2n+
không thể chia hết cho
5
2
5( 2)n+
không thể chia hết cho
25
Vậy
A
không là số chính phương
DẠNG 6: Chứng minh
A
kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp
( )
2
2
1n A n +
Bài tập: Chứng minh rằng số
4014025
không là số chính phương.
Trang 11
Nhận xét:
Số này có hai chữ số tận cùng là
25
nên chia cho
3
dư
1
và chia cho
4
cũng dư
1
, nên không thể áp
dụng bằng cách trên.
Lời giải:
Cách 1:
Ta thấy:
2
2003 401209=
;
2
2004 4016016=
. Nên
22
2003 4014025 2004
. Chứng tỏ số
4014025
không phải là số chính phương.
Cách 2:
Ta có:
4014025 25.160561=
Muốn
4014025
là số chính phương thì
160561
phải là số chính phương
Ta lại có:
2
400 160000=
2
401 160801=
Mà:
160000 160561 160801
160561
không là số chính phương.
Do đó số
4014025
không là số chính phương
PHẦN III. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số
m
thì số
2 2 2
1 9 80 1980
m m m
A= + + +
không là số chính phương.
Lời giải
Bất kì số chính phương nào cũng có dạng
4n
hoặc
41n+
,
n
.
Ta có:
2 2 2
1 9 80 1980
m m m
A= + + +
có dạng
42q+
,
q
Suy ra: A không là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh rằng bình phương của hai số lẻ bất kì không phải là số chính phương.
Lời giải
Gọi hai số lẻ bất kì là
a
và
b
.
Vì
a
và
b
lẻ nên
21ak=+
;
21bm=+
;
;km
Suy ra:
( ) ( )
22
22
2 1 2 1a b k m+ = + + +
22
4 4 1 4 4 1k k m m= + + + + +
( )
22
42k k m m= + + + +
( )
4 2;tt= +
Do đó:
22
ab+
không là số chính phương.
Trang 12
Bài 3: Chứng minh rằng
( )
5
1999 2017;A n n n= + +
không là số chính phương.
Lời giải
Ta có:
55
1999 2017 2000 2015 2A n n n n n= + + = − + + +
Ta thấy: A chia cho
5
dư
2
Do đó: A không là số chính phương.
Bài 4: Chứng minh rằng
( )
3
2;n n n− +
không là số chính phương.
Lời giải
Ta có:
( )( )
3
2 1 1 2n n n n n− + = − + +
Vì:
( )( ) ( )
1 1 0 mod3n n n− +
( )( ) ( )
1 1 2 2 mod3n n n − + +
Mà một số chính phương chia
3
dư
0
hoặc
1
Do đó:
3
2nn−+
không là số chính phương.
Bài 5: Chứng minh rằng
( )
6 5 3 2
19 5 1890 19 5 1993;A n n n n n n= + + − − +
không là số chính phương.
Lời giải
Ta có:
6 5 3 2
19 5 1890 19 5 1993A n n n n n= + + − − +
6 5 3 2 6 2
20 5 1890 20 5 1990 3n n n n n n n= + + − − + − + +
( )
6 5 3 2 6 2
5 4 378 4 398 3n n n n n n n= + + − − + − + +
Ta có số chính phương chia
5
có thể dư
0;1
hoặc
4
n
nên có 5 trường hợp xảy ra
* TH1: Nếu
5n
thì
6
5n
;
2
5n
mà
3
chia
5
dư
3
62
3nn− + +
chia
5
dư
3
A chia
5
dư
3
A không là số chính phương
* TH2: Nếu
n
chia
5
dư
1
thì
6
n
chia
5
dư
1
,
2
n
chia
5
dư
1
mà
3
chia
5
dư
3
62
3nn− + +
chia
5
dư
( )
1 1 3 3− + + =
A chia
5
dư
3
A không là số chính phương
* TH3: Nếu
n
chia
5
dư
2
thì
6
n
chia
5
dư
6
2
;
6
2 64=
chia
5
dư
4
6
n
chia
5
dư
4
,
2
n
chia
5
dư
2
24=
Trang 13
62
3nn− + +
chia
5
dư
( )
4 4 3 3− + + =
A chia
5
dư
3
A không là số chính phương
* TH4: Nếu
n
chia
5
dư
3
thì
6
n
chia
5
dư
6
3
;
6
3 729=
chia
5
dư
4
6
n
chia
5
dư
4
,
2
n
chia
5
dư
2
3
;
2
39=
chia
5
dư
4
2
n
chia
5
dư
4
62
3nn− + +
chia
5
dư
( )
4 4 3 3− + + =
A chia
5
dư
3
A không là số chính phương
* TH5: Nếu
n
chia
5
dư
4
thì
6
n
chia
5
dư
6
4
;
6
4 4096=
chia
5
dư
1
6
n
chia
5
dư
1
,
2
n
chia
5
dư
2
4
;
2
4 16=
chia
5
dư
1
2
n
chia
5
dư
1
62
3nn− + +
chia
5
dư
( )
1 1 3 3− + + =
A chia
5
dư
3
A không là số chính phương
Vậy A không là số chính phương với mọi
n
.
Bài 6: Cho
p
là tích của
2016
số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng
1p−
và
1p+
không là số
nguyên tố. (Đề HSG Hương Sơn năm học 2015 - 2016)
Lời giải:
Vì
p
là tích của
n
số nguyên tố đầu tiên nên
p
chia hết cho
2
và không chia hết cho
4
Ta chứng minh
1p+
là số chính phương
Giả sử
1p+
là số chính phương.
Đặt
2
1pm+=
. Vì
p
chẵn nên
1p+
lẻ
m
lẻ
2
m
lẻ
Đặt
21mk=+
. Ta có:
22
4 4 1m k k= + +
2
1 4 4 1p k k + = + +
( )
2
4 4 4 1p k k k k = + = +
chia hết cho
4
Ta chứng minh
1p−
là số chính phương
Ta có:
2.3.5...p=
chia hết cho
3
1 3 2pk − = +
Vì không có số chính phương nào có dạng
32k +
nên
1p−
không phải số chính phương
Trang 14
Vậy nếu
p
là tích của
2016
số nguyên tố đầu tiên thì
1p−
và
1p+
không phải số chính phương.
Bài 7: Cho
B abc bca cab= + +
. Chứng minh B không là số chính phương. (Đề HSG Vĩnh Tường năm
học 2019 - 2020)
Lời giải:
Ta có:
B abc bca cab= + +
100 10 100 10 100 10a b c b c a c a b= + + + + + + + +
( ) ( ) ( )
100 10 100 10 100 10a a a b b b c c c= + + + + + + + +
aaa bbb ccc= + +
( )
111. abc= + +
( )
3.37. abc= + +
Ta thấy:
19
1 9 3 27
19
a
b a b c
c

+ +

Suy ra:
37abc
++
Mà:
( ) ( )
3;37 1 3. 37abc
= + +
Do đó:
( )
2
3.37. 37abc
++
Hay:
2
37B
Vậy B không là số chính phương.
Bài 8: Cho biểu thức
2 3 80
5 5 5 .... 5M = + + + +
. Chứng minh
M
không phải là số chính phương.
(Đề HSG Quỳnh Lưu năm học 2018 - 2019)
Lời giải
Ta thấy:
2 3 80
5 5 5 .... 5 5M = + + + +
Mặt khác:
2 3 80 2
5 5 .... 5 5+ + +
(vì tất cả các số đều chia hết cho
2
5
)
2 3 80 2
5 5 5 .... 5 5M
= + + + +
(do
2
55
)
Do đó
M
chia hết cho
5
nhưng không chia hết cho
2
5
Vậy
M
không là số chính phương.
| 1/14
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 6-SỐ CHÍNH PHƯƠNG
CHỦ ĐỀ 2: DÙNG CÁC TÍNH CHẤT CHIA HẾT VÀ SỐ DƯ ĐỂ CHỨNG MINH
MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4 .
2. Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
3. Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
4. Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16 .
➢ Tổng quát: Số chính phương chia hết cho 2n 1
p + thì chia hết cho 2n 2
p + ( p là số nguyên tố, n  )
* Phương pháp chứng minh một số không là số nguyên tố bằng quan hệ chia hết:
Ta có: A p và p là số nguyên tố mà 2 A p
A không phải là số chính phương.
* Để chứng minh N không phải một số chính phương ta có thể:
• Chứng minh N có tận cùng 2;3;7;8 hoặc N tận cùng là 2k +1 chữ số 0 .
• Chứng minh N chứa số nguyên tố với số mũ lẻ.
• Xét số dư khi N chia cho 3 hoặc 4 hoặc 5 hoặc 8 ,... Chẳng hạn N chia 3 dư 2 hoặc chia 4 dư
2 ; hoặc chia 5 dư 3 thì N không là số chính phương.
• Chứng minh N nằm giữa hai số chính phương liên tiếp.
PHẦN II. CÁC BÀI TẬP
Các dạng bài chứng minh một số không phải là số chính phương
DẠNG 1: A chia hết cho số nguyên tố p nhưng A không chia hết 2 p
Bài 1: Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không là số chính phương? Lời giải
Số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 , do đó số có tỏng
các chữ số là 2004 không thể là số chính phương.
Bài 2: Tổng các chữ số của một số chính phương có thể là 1983 không? Lời giải
Tổng các chữ số của một số là 1983 thì số đó chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 , nên không
tồn tại số chính phương có tổng các chữ số là 1983 .
Bài 3: Cho các số tự nhiên: 1, 2,3, 4,5, 6 . Lập được tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số bao gồm tất cả các
chữ số trên. Trong các số đã lập có số nào là số chính phương không? Lời giải
Tổng các chữ số của các số là 21 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 . Trang 1
Bài 4: Cho một số tự nhiên gồm 21 chữ số 4 . Có cách nào viết thêm các chữ số 0 vào vị trí tùy ý để số
mới tạo thành là một số chính phương hay không? Lời giải
S(N) = 21.4 = 84 3 nhưng không chia hết cho 9 .
Bài 5: Chứng minh rằng số 1234567890 không phải là số chính phương. Lời giải
Cách 1: Ta thấy số 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tân cùng là 0 ) nhưng không chia hết cho 25
(vì hai chữ số tận cùng là 90 ).
Do đó: số 1234567890 không là số chính phương.
Cách 2: Ta thấy số 1234567890 chia hết cho 2 (vì chữ số tân cùng là 0 ) nhưng không chia hết cho 4
(vì hai chữ số tận cùng là 90 ).
Do đó: số 1234567890 không là số chính phương.
Cách 3: Số 1234567890 tận cùng có lẻ chữ số 0.
Bài 6: Các tổng sau có phải là số chính phương không? a) 10 10 + 5 b) 100 50 10 +10 +1 Lời giải a, Ta có: 10
10 + 5 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không là số chính phương. b, Ta có: 100 50 10
+10 +1 có tổng các chữ số là 3 nên chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 nên không là số chính phương. Bài 7: Cho 2 3 2020 S = 3 + 3 + 3 +....+ 3
. Chứng minh S không phải là số chính phương. Lời giải Ta có: 2 3 2020 S = 3 + 3 + 3 +....+ 3
Với mọi số tự nhiên n 2 thì 3n 9 Suy ra: 2 3 2020 3 + 3 +....+ 3 9 Do đó: 2 3 2020 3+ 3 + 3 +....+ 3 chia 9 dư 3 Hay S  9 Mặt khác S 3
Vậy S không là số chính phương.
Bài 8: Chứng minh tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương. Lời giải
Gọi bốn số tự nhiên lên tiếp lần lượt là a; a +1; a + 2; a +3(a )
Khi đó ta xét: S =a+a 1 + +a+2+a+3 = 4a + 6 Trang 2 4a 2 Ta có:  S 2 (1) 6 2  4a 4  S  4 (2) 6  4 
Từ (1) và (2)  S không là số chính phương
Vậy tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương.
Bài 9: Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 101 thành một số A . Chứng minh A không là số chính phương. Lời giải Ta có: A 1 = 234...100101
Ta có tổng các chữ số của A là: 1+ 2+3+ 4+... 1 + 00 1 + 01 =(1+10 ) 1 .101:2 =5151
Ta thấy: 5151 3 A 3 5151 9 A 9
Do đó A không là số chính phương. Bài 10: Số 2 3
A=11+11 +11 có phải là số chính phương không? Lời giải: Ta có: 2 3 A=11+11 +11 Suy ra: A =( )+( 2 )+( 3 .11 11.11 11 .11 11 .1 ) 1 2 3 4 =11 +11 +11 A − A=( 2 3 4 + + )−( 2 3 .11 11 11 11 11+11 +11 ) A = ( 2 2 − )+( 3 3 − )+( 4 11 11 11 11 11 − ) 11 4 =0+ 0+11 −11 4 =11 −11 A 11  Ta thấy:
  A không là số chính phương 2 A = 11 (1+ ) 2 11 +1111 
Bài 11: Viết liên tiếp từ 1 đến 12 được số H = 1234 1
 112 . Số H có thể có 81 ước được không? Lời giải
Giả sử số H có 81 ước.
Vì số lượng các ước của H là 81 (là số lẻ) nên H là số chính phương ( ) 1
mặt khác, tổng của các chữ số của H là: 1+ 2 + 3++ 9 + (1+ 0) + (1+1) + (1+ 2) = 51.Vì 51 3; 51 9 ;
nên H chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 , do đó H không là số chính phương mâu thuẫn với ( ) 1 .
Vậy H không thể có 81 ước. Trang 3
Bài 12: Một số tự nhiên gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 có thể là một số chính phương không? Lời giải
Gọi A là số gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 .
- Nếu A có chữ số tận cùng là 0 thì A có hai chữ số tận cùng là 60 .
A chia hết cho 5 nhưng A không chia hết cho 25 (vì 60 25)
A không là số chính phương.
- Nếu A có chữ số tận cùng là 6  A có hai chữ số tận cùng là 06 hoặc 66
A chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 .
A không là số chính phương.
Vậy A không phải là số chính phương.
DẠNG 2: Chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ
Bài 1: Chứng minh rằng 2001 2001
không là số chính phương. Lời giải Ta có: = ( )2001 2001 2001 2001 2001 2001 3.23.29 = 3 .23 .29
chứa thừa số nguyên tố có số mũ lẻ Do đó: 2001 2001
không là số chính phương
Bài 2: Chứng minh rằng số 29 58 84
A = 29 + 58 +87 không là số chính phương. Lời giải 29 58 29 87 58
A = 29 (1+ 2 .29 + 3 .29 29 29 29 Ta có 29
A 29 nhưng A không chia hết cho 30
29 mà 29 là số nguyên tố từ đó suy ra A không là số chính phương. DẠNG 3: A = .
p N và N p ( p : nguyên tố) A không là số chính phương
Bài 1: Chứng minh rằng A = ababa không là số chính phương. Lời giải Ta có: 2
n = abab = a . b 101 abab = 101.ab 
  ab 101(Vô lý) 2
abab 101  abab 101  
Do đó A = ababa không là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh rằng abcabc không là số chính phương. Lời giải Ta có: 2
n = abcabc = ab . c 1001 = ab . c 11.91
Vì abc !11 đồng thời abc ! 91 mà 11,91 là số nguyên tố. Trang 4
Do đó abcabc không là số chính phương.
Bài 3: Chứng minh rằng ababab không là số chính phương. Lời giải Ta có: 2
n = ababab = a . b 10101 = a . b 3.7.13.37
Vì 3,7,13,37 là số nguyên tố nên = ab 10101 (Vô lý).
Do đó ababab không là số chính phương.
DẠNG 4: Chứng minh A chia 3 dư 2 , chia 4 dư 2 ; 3 ; chia 5 dư 2 , 3 ; chia 8 dư 2 ; 3 ; 5 ; 6 Bài 1:
a. Chứng minh rằng với n   N thì 2
2n + 2n + 3 không là số chính phương
b. Chứng minh rằng với n
  N thì 3n +1002 không là số chính phương Lời giải a. 2
2n + 2n + 3 = 2 (
n n +1) + 3  chia 4 dư 3 nên không là số chính phương 4 b. - 0 3n n = →
+1002 =1003  không là số chính phương - 1 3n n = →
+1002 =1005 3, !9  không là số chính phương - 2 3n n  →
+1002 3, !9  không là số chính phương
Bài 2: Chứng minh rằng một số có tổng các chữ số của nó là 2006 không phải là một số chính phương Lời giải
Số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.
Số trên có tổng các chữ số là 2006 nên chia 3 dư 2 , vậy không phải là số chính phương.
Bài 3: Một số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2018 thì có thể là số chính phương được không? Tại sao? Lời giải
Gọi số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2018 là n .
Ta có: 2018 = 3m + 2, m nên số tự nhiên n chia 3 dư 2 , do đó số n có dạng 3k + 2 với k là số tự
nhiên. Mặt khác số chính phương không có dạng 3k + 2 suy ra số tự nhiên n không là số chính phương.
Bài 4: Chứng minh rằng 4n 4n 4n 4 2012 2013 2014 2015 n A = + + +
không phải là số chính phương với mọi
số nguyên dương n . Lời giải Ta có: 4 2012 n  0 (mod 2) ; 4 2013 n  1(mod 2) ; * n   4 2014 n  0 (mod 2) ; 4 2015 n  1(mod 2)
Do đó: A 2  0(mod2) . Trang 5 Ta lại có: 2012 0(mod 4) 4 2012 n   0(mod 4) 2014 2(mod 4) 2 2  2014  2  0(mod 4) 2 2n 2 2 (2014 ) (2014 ) n    0(mod 4) Do 20131(mod 4) 4 2013 n  1(mod 4) Do 2015 1 − (mod4) 4n 4 2015 ( 1) n   − 1(mod 4)
Do đó A 2(mod 4) nghĩa là A chia cho 4 dư 2 . Ta có 2
A 2; A ! 2 ; 2 là số nguyên tố. Vậy A không là số chính phương. Bài 5: Cho N 1
= .3.5.7...2015. Chứng minh rằng N −1; N +3 không là số chính phương. Lời giải +) Ta có: N 3
Suy ra: N −1 chia cho 3 dư 2
Do đó: N −1 không là số chính phương.
+) Ta có: N 3 và N 9
Suy ra: N + 3 3 nhưng N + 3 9
Do đó: N +3 không là số chính phương.
Bài 6: Gọi N = 2.3.5... p là tích của n số nguyên tố đầu tiên (n  )
1 . Chứng minh rằng các số N −1; n
N ; N +1 không là số chính phương. Lời giải
+) Ta thấy: N 2 nhưng N  4
N không là số chính phương. +) Giả sử 2 N +1= a hay 2
N = a −1=(a − ) 1 (a + ) 1
Ta có: N +1 lẻ suy ra a lẻ nên N = (a − ) 1 (a + ) 1 4 (mâu thuẫn)
Do đó điều giả sử là sai.
Vậy N +1 không là số chính phương. +) Ta có: N 3  N − 1 2(mod ) 3
Vậy N −1 không là số chính phương.
Bài 7: Giả sử N 1
= .3.5.7...2007.2011. Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp 2N 1 − ; 2N ;
2N +1 không có số nào là số chính phương. Lời giải +) Ta có: 2N 1 − =2.1.3.5.7...2011 1 − Trang 6
Ta thấy: 2N 3 2N 1
− =3k +2(k ) Do đó: 2N 1
− không là số chính phương.
+) Ta có: 2N =2.1.3.5.7...2011  2N chẵn
Do đó: N lẻ  N  2 và 2N 2 nhưng 2N  4
Ta thấy 2N chẵn nên 2N không chia cho 4 dư 1 hoặc dư 3
Vậy 2N không là số chính phương +) Ta có: 2N 1 + =2.1.3.5.7...2011 1 +
Ta thấy 2N +1 lẻ nên 2N +1 4
2N  4 nên 2N +1 không chia cho 4 dư 1
Do đó: 2N +1 không là số chính phương.
Bài 8: Chứng minh số 5 12 2003 A = 23 + 23 + 23
không là số chính phương. Lời giải Ta có: 23 chia 3 dư 2 nên 5 23 chia 3 dư 2 12 23 chia 3 dư 1 2003 23 chia 3 dư 2 Suy ra: 5 12 2003 A = 23 + 23 + 23 chia 3 dư 2
Vậy A không là số chính phương. Bài 9: Chứng minh 4 44 444 4444 C = 4 + 44 + 444 + 4444
+15 không là số chính phương. Lời giải
Ta có: 4 chia hết cho 4 nên 4 4 chia hết cho 4 44 chia hết cho 4 nên 44 44 chia hết cho 4 444 chia hết cho 4 nên 444 444 chia hết cho 4 4444 chia hết cho 4 nên 4444 4444 chia hết cho 4 Suy ra: 4 44 444 4444 4 + 44 + 444 + 4444 chia hết cho 4 Mà: 15 chia 4 dư 3 Do đó: 4 44 444 4444 C = 4 + 44 + 444 + 4444 +15 chia 4 dư 3
Vậy C không là số chính phương. Bài 10: Chứng minh 4 3 2
D = 2004 + 2004 + 2004 + 23 không là số chính phương. Lời giải Ta thấy: 2004 3 Trang 7  4 2004 3 Tương tự 3 2004 3 , 2 2004 3
Mà 23 chia 3 dư 2 nên D = 3k+2 (k )
Mà ta biết số chính phương không có dạng 3k + 2
Do đó D không là số chính phương.
Bài 11: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kì không phải là một số chính phương. Lời giải
Gọi a và b là số lẻ.
Giả sử: a = 2m +1, b = 2n +1 với , m n  2 2 Ta có: 2 2
a + b = ( m + ) + ( n + ) = ( 2 2 2 1 2 1
4 m + m + n + n) + 2 = 4k + 2 với k
Không có số chính phương nào có dạng 4k + 2 vì vậy 2 2
a + b không phải là một số chính phương.
Bài 12: Chứng minh rằng tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2005 không phải là số chính phương. Lời giải Ta có: S 1 = +2+3+4+...+2005 =(2005+ ) 1 .2005:2 =1003.2005 1  .3 3(mod4)
S có dạng 4k +3(k )
Do đó S không là số chính phương.
Bài 13: Cho A là tổng các bình phương của 111 số tự nhiên liên tiếp nào đó. Chứng minh rằng A
không phải là số chính phương. Lời giải
Xét tổng các bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp:
(a− )2 +a +(a+ )2 2 2 1
1 = 3a + 2  2 (mod 3) a  
Chia A thành 37 nhóm, mỗi nhóm là tổng các bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp  A37.2 1  .22(mod ) 3
Do đó A không là số chính phương.
Bài 14: Cho A là tổng các bình phương của 108 số tự nhiên liên tiếp nào đó. Chứng minh rằng A
không là số chính phương. Lời giải
Xét tổng các bình phương của 4 số tự nhiên liên tiếp:
a + (a + )2 + (a + )2 + (a + )2 2 2 1 2 3
= 4a +12a +14  2(mod 4); a   Trang 8
Chia A thành 27 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 số tự nhiên liên tiếp.
Suy ra: A 27.2 54  2(mod 4)
Do đó A không là số chính phương.
Bài 15: Chứng minh 3n + 63 không phải là số chính phương với n ;n 0;4 Lời giải:
Xét n lẻ. Đặt n = 2k +1;(k ) 2k +1 Ta có: 2k +1 3 (− ) 1 (mod4)−1(mod4) 633(mod 4) 2k 1 3 +  +632(mod4) 2k +1 3
+ 63 không là số chính phương
Xét n chẵn. Đặt n = 2k ;(k  0)
Vì y 3 nên ta đặt y =3t (t ) Khi đó, ta có: 2k 2 3 + 63=9t 2k −2 2 3 + 7 =t ( k t −  − )2 2 1 3 =7 ( k −1 t − )( k+1 3 t + 3 )=7 k −1 t −3 =1   k +1 t + 3 = 7 k 1 2.3 −  =6 k 1 3 −  =3 k =2
n=4 (trái với giả thiết đề bài)
Vậy: 3n + 63 không phải là số chính phương với n  0; 4 Bài 16: Chứng minh 7
n + 34n + 5 không là số chính phương. Lời giải: Bổ đề: 2
x i (mod 7);i   0;1;2;  4
Theo định lí Fermat, ta có: 7 n n(mod 7) 7
n +34n+535n+5(mod7) 7
n +34n+56(mod7) Giả sử 7 2
n + 34n + 5 = x , x Trang 9 Suy ra: 2
x 5(mod 7) (vô lý) Do đó: 7
n + 34n + 5 không là số chính phương.
Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số k thì số 2k 2k 2 1 9 77 1977 k A = + + +
không là số chính phương. Lời giải:
Bất kì số chính phương nào cũng có dạng 3t hoặc 3t +1, với t Ta có: 2k 2k 2 1 9 77 1977 k A = + + +
có dạng 3l + 2;l
Do đó A không là số chính phương.
DẠNG 5: Chứng minh A có chữ số tận cùng là 2;3;7 hoặc 8
Bài 1: Chứng minh rằng các tổng sau có phải là số chính phương không? a) 2 3 A = 11+11 +11 b) 10 B =10 + 8 Lời giải:
b) Tổng A có chữ số tận cùng là 3 nên không là số chính phương c) Ta có: 10
10 có chữ số tận cùng là 0 . Nên 10
10 + 8 có chữ số tận cùng là 8
Vậy B không là số chính phương. Bài 2: Cho 2012 2011 2010 2009 A =10 +10 +10 +10
+8 . Chứng minh rằng A không phải là số chính phương. Lời giải: Ta có các số 2012 10 ; 2011 10 ; 2010 10 ; 2009 10
đều có chữ số tận cùng là 0 . Nên 2012 2011 2010 2009 A =10 +10 +10 +10
+8 có chữ số tận cùng là 8 .
Vậy A không là số chính phương vì số chính phương là những số có tận cùng là 0;1; 4;5;6;9 .
Bài 3: Chứng minh rằng tổng các bình phương của năm số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương. Lời giải
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là: n − 2, n −1, ,
n n +1, n + 2 trong đó n  và n  2 2 2 2 2
Xét tổng bình phương: A = (n − ) + (n − ) 2
+ n +(n + ) +(n+ ) = ( 2 2 1 1 2 5 n + 2) . Vì 2
n không thể có tận cùng là 3 hoặc 8 , nên 2
n + 2 không thể có tận cùng là 5 hoặc 0 , 2
n + 2 không thể chia hết cho 5 2
 5(n + 2) không thể chia hết cho 25
Vậy A không là số chính phương
DẠNG 6: Chứng minh A kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp n A  (n + )2 2 1
Bài tập: Chứng minh rằng số 4014025 không là số chính phương. Trang 10 Nhận xét:
Số này có hai chữ số tận cùng là 25 nên chia cho 3 dư 1 và chia cho 4 cũng dư 1, nên không thể áp dụng bằng cách trên. Lời giải: Cách 1: Ta thấy: 2 2003 = 401209 ; 2 2004 = 4016016 . Nên 2 2
2003  4014025  2004 . Chứng tỏ số
4014025 không phải là số chính phương. Cách 2: Ta có: 4014025=25.160561
Muốn 4014025 là số chính phương thì 160561 phải là số chính phương Ta lại có: 2 400 =160000 2 401 =160801 Mà: 160000 1  60561 1  60801
 160561 không là số chính phương.
Do đó số 4014025 không là số chính phương
PHẦN III. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số m thì số 2m 2m 2 1 9 80 1980 m A = + + +
không là số chính phương. Lời giải
Bất kì số chính phương nào cũng có dạng 4n hoặc 4n +1, n . Ta có: 2m 2m 2 1 9 80 1980 m A = + + +
có dạng 4q + 2 , q
Suy ra: A không là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh rằng bình phương của hai số lẻ bất kì không phải là số chính phương. Lời giải
Gọi hai số lẻ bất kì là a và b .
Vì a và b lẻ nên a = 2k +1; b = 2m+1; k ;m 2 2 Suy ra: 2 2
a + b = (2k + ) 1 + (2m + ) 1 2 2
= 4k + 4k +1+ 4m + 4m+1 = ( 2 2
4 k + k + m + m) + 2
= 4t + 2;(t ) Do đó: 2 2
a + b không là số chính phương. Trang 11
Bài 3: Chứng minh rằng 5
A= n +1999n + 2017;(n ) không là số chính phương. Lời giải Ta có: 5 5
A= n +1999n + 2017 = n − n + 2000n + 2015+ 2 Ta thấy: A chia cho 5 dư 2
Do đó: A không là số chính phương.
Bài 4: Chứng minh rằng 3
n − n + 2;(n ) không là số chính phương. Lời giải Ta có: 3
n − n + 2 = n(n − ) 1 (n + ) 1 + 2 Vì: n(n − ) 1 (n + ) 1  0(mod3) n(n− ) 1 (n + ) 1 + 2 2(mod ) 3
Mà một số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 Do đó: 3
n − n + 2 không là số chính phương.
Bài 5: Chứng minh rằng 6 5 3 2 A 1
= 9n +5n +1890n 1
− 9n −5n+1993;(n ) không là số chính phương. Lời giải Ta có: 6 5 3 2
A =19n + 5n +1890n −19n − 5n +1993 6 5 3 2 6 2
= 20n +5n +1890n − 20n −5n +1990− n + n +3 = ( 6 5 3 2 n + n +
n − n − n + ) 6 2 5 4 378 4
398 − n + n + 3
Ta có số chính phương chia 5 có thể dư 0;1 hoặc 4
n nên có 5 trường hợp xảy ra * TH1: Nếu n 5 thì 6 n 5 ; 2 n 5 mà 3 chia 5 dư 3 6 2
− n + n +3 chia 5 dư 3  A chia 5 dư 3
 A không là số chính phương
* TH2: Nếu n chia 5 dư 1 thì 6 n chia 5 dư 1, 2
n chia 5 dư 1 mà 3 chia 5 dư 3 6 2
− n + n +3 chia 5 dư ( 1 − +1+ ) 3 =3  A chia 5 dư 3
 A không là số chính phương
* TH3: Nếu n chia 5 dư 2 thì 6 n chia 5 dư 6 2 ; 6 2 = 64 chia 5 dư 4 6  n chia 5 dư 4 , 2 n chia 5 dư 2 2 = 4 Trang 12 6 2
− n + n +3 chia 5 dư ( 4 − + 4+3)=3  A chia 5 dư 3
 A không là số chính phương
* TH4: Nếu n chia 5 dư 3 thì 6 n chia 5 dư 6 3 ; 6 3 = 729 chia 5 dư 4 6  n chia 5 dư 4 , 2 n chia 5 dư 2 3 ; 2 3 = 9 chia 5 dư 4 2  n chia 5 dư 4 6 2
− n + n +3 chia 5 dư ( 4 − + 4+3)=3  A chia 5 dư 3
 A không là số chính phương
* TH5: Nếu n chia 5 dư 4 thì 6 n chia 5 dư 6 4 ; 6 4 = 4096 chia 5 dư 1 6  n chia 5 dư 1, 2 n chia 5 dư 2 4 ; 2 4 =16 chia 5 dư 1 2  n chia 5 dư 1 6 2
− n + n +3 chia 5 dư ( 1 − +1+ ) 3 =3  A chia 5 dư 3
 A không là số chính phương
Vậy A không là số chính phương với mọi n .
Bài 6: Cho p là tích của 2016 số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng p 1
− và p+1 không là số
nguyên tố. (Đề HSG Hương Sơn năm học 2015 - 2016) Lời giải:
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p chia hết cho 2 và không chia hết cho 4
Ta chứng minh p +1 là số chính phương
Giả sử p +1 là số chính phương. Đặt 2
p +1= m . Vì p chẵn nên p +1 lẻ  m lẻ  2 m lẻ
Đặt m=2k +1. Ta có: 2 2
m = 4k + 4k +1 2
p +1= 4k + 4k +1 2
p=4k +4k =4k (k + ) 1 chia hết cho 4 Ta chứng minh p 1 − là số chính phương
Ta có: p = 2.3.5... chia hết cho 3  p 1 − =3k +2
Vì không có số chính phương nào có dạng 3k + 2 nên p 1
− không phải số chính phương Trang 13
Vậy nếu p là tích của 2016 số nguyên tố đầu tiên thì p 1
− và p+1 không phải số chính phương.
Bài 7: Cho B = abc + bca + cab . Chứng minh B không là số chính phương. (Đề HSG Vĩnh Tường năm học 2019 - 2020) Lời giải:
Ta có: B = abc + bca + cab 1 = 00a 1 + 0b+c 1 + 00b 1
+ 0c+a+100c+10a+b
=(100a +10a + a)+(100b +10b +b)+(100c +10c +c)
= aaa + bbb + ccc 1
= 11.(a+b+c)
=3.37.(a +b + c) 1 a  9 
Ta thấy: 1 b  93 a + b + c  27  1 c  9 
Suy ra: a + b + c  37 Mà: (3;37) 1
= 3.(a+b+c)37 Do đó: (a+b+c) 2 3.37. 37 Hay: 2 B  37
Vậy B không là số chính phương.
Bài 8: Cho biểu thức 2 3 80
M = 5 + 5 + 5 +....+ 5 . Chứng minh M không phải là số chính phương.
(Đề HSG Quỳnh Lưu năm học 2018 - 2019) Lời giải Ta thấy: 2 3 80 M = 5 + 5 + 5 +....+ 5 5 Mặt khác: 2 3 80 2 5 + 5 +....+ 5
5 (vì tất cả các số đều chia hết cho 2 5 )  2 3 80 2
M = 5 + 5 + 5 +....+ 5  5 (do 2 5  5 )
Do đó M chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2 5
Vậy M không là số chính phương. Trang 14