Luyện thi HSG Toán 6 chủ đề: Định nghĩa tính chất số nguyên tố hợp số

Luyện thi HSG Toán 6 chủ đề: Định nghĩa tính chất số nguyên tố hợp số. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 34 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!

Trang 1
ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 5-S NGUYÊN T,HP S
CH ĐỀ 1:ĐỊNH NGHĨA,TÍNH CHẤT,S NGUYÊN T,HP S
PHN I.TÓM TT LÝ THUYT
1.S NGUYÊN T
-S nguyên t là s t nhiên lớn hơn 1,chỉ 2 ước là 1 và chính nó.
-S nguyên t nh nht va là s nguyên t chn duy nht là s 2.
-Không th gii hn s nguyên t cũng như tập hp s nguyên t.Hay nói cách khác,s nguyên t
là vô hn.
-Khi 2 s nguyên t nhân vi nhau thì tích ca chúng không bao gi mt s chính phương.
-Ước t nhiên nh nht khác 1 ca mt s t nhiên được coi là s nguyên t.
-Để kết lun s t nhiên a là mt s nguyên t
( )
1a
, ch cn chng minh a không chia hết cho
mi s nguyên t bình phương không vượt quá a.
-Nếu tích
ap
ab p
bp
(
p
là s nguyên t)
-Đặc bit nếu
n
a p a p
(
p
là s nguyên t)
-Mi s nguyên t vượt q2 đều dng:
*
4 1( )n n N
-Mi s nguyên t vượt q3 đều dng:
*
6 1( )n n N
-Hai s nguyên t sinh đôi là hai số nguyên t n kém nhau 2 đơn vị.
2.HP S
-Hp s s t nhiên ln lơn 1 có nhiều hơn 2 ước nguyên dương.
-Để chng t mt s t nhiên
a
là hp s,ch cn ch ra một ước khác 1
a
.
-Ước s nh nht khác 1 ca mt hp s là mt s nguyên t bình phương lên không vượt quá
nó.
-Mt hp s bng tổng các ước ca nó (không k chính nó) được gi là: S hoàn chnh.
-Mi s t nhiên lớn hơn 1 đều phân ch được ra tha s nguyên t mtch duy nht (không k
th t các tha s)
3.HAI S NGUYÊN TNG NHAU
-Hai s t nhiên được gi nguyên t cùng nhau khi ch khi chúng ước chung ln nht
bng 1.
Trang 2
,ab
nguyên t vi nhau
*
( , ) 1;( , )a b a b N=
- Hai s t nhiên liên tiếp luôn nguyên t cùng nhau
- Hai s nguyên t khác nhau luôn nguyên t cùng nhau
- Các s nguyên t khác nhau luôn nguyên t cùng nhau
- Các s
,,abc
nguyên t cùng nhau
( , , ) 1abc =
-
,,abc
nguyên t sánh đôi khi chúng đôi một nguyên t cùng nhau
,,abc
nguyên t nh đôi
( , ) ( , ) ( , ) 1a b b c c a = = =
4.MT S ĐỊNH LÍ ĐẶC BIT
- Định Đirichlet: Tồn tai s s nguyên t p có dng:
*
; ,( , ) 1ax b x Np ab+ ==
- Định Tchebycheff: Trong khong t s t nhiên
n
đến s t nhiên
2n
ít nht mt s nguyên t
( 2)n
- Định Vinogradow: Mi s l lớn hơn
3
3
là tng ca 3 s nguyên t.
PHN II.CÁC DNG BÀI
Dng 1:Tính chất đặc trưng của s nguyên t và cách nhn biết s nguyên t,hp s.
I.Phương pháp giải
- Dựa vào các dấu hiệu chia hết các tính chất về số nguyên tố ,hợp số, để giải các bài toán về chứng
minh hoặc giải thích.
- Thông qua vic phân tích và xét hết kh năng thể xảy ra, đối chiếu vi gi thiết và các đnh lý, h qu
đã học để loi b các trường hp mâu thun và nhn biết được đâu là số nguyên t, hp s.
II.Bài toán
Bài 1: Chng minh rng:
a, Mi s nguyên t vượt quá 2 đều có dng:
*
4 1( )n n N
b, Mi s nguyên t vượt quá 3 đều có dng:
*
6 1( )n n N
Li gii:
a, Gi
A
là mt s t nhiên lớn hơn 2. Khi đó
A
sdng
*
4 ,4 1,4 2,4 3( )n n n n n N+ + +
-Nếu
4An=
hay
42An=+
thì
2A
A
là hp s
Suy ra nếu
A
là s nguyên t thì
A
s có dng
4 1,4 3nn++
4 3 4 4 1 4 1 1n n (k )+ = + = +
nên suy ra mi s nguyên t vượt quá 2 đều dng:
*
4 1( )n n N
(đpcm)
Trang 3
b, Gi
A
là mt s t nhiên lớn hơn 3.Khi đó
A
s có dng
*
6 ,6 1,6 2,6 3( )n n n n n N+ + +
-Nếu
6An=
hay
63An=+
thì
3A
A
là hp s.
-Nếu
62An=+
thì
2A
A
là hp s.
Suy ra nếu
A
là s nguyên t thì
A
s có dng
6 1,6 5nn++
6 5 6 6 1 6( 1) 1n n k+ = + = +
nên suy ra mi s nguyên t vượt quá 3 đều dng:
*
6 1( )n n N
(đpcm)
Bài 2: Ta biết rng có 25 s nguyên t nh hơn 100. Tổng ca 25 s này s chn hay s l?
Li gii:
Trong 25 s nguyên t nh hơn 100 chứa mt s nguyên t chn 2, n 24 s nguyên t
còn li là s nguyên t lẻ. Do đó tổng 25 s nguyên t nh hơn 100 là số chn.
Bài 3: Tng 2 s nguyên t có th bằng 2003 được không ?
Li gii:
Ta thy 2003 mt s l nên nếu 2003 tng ca hai s nguyên t thì mt trong hai s phi
s chn bng 2. Vy s còn lại là 2001 nhưng 2001 lại không là s nguyên t
2001 69.29=
Vy tng ca hai s nguyên tó không th bng 2003.
Bài 4: Cho
p
2p+
hai s nguyên t lớn hơn 3. Chng minh rng tng ca chúng chia hết
cho 12.
Li gii:
Ta thy
p
là s nguyên t lớn hơn 3 nên
p
dng
*
6 1,( )n n N
TH1:
*
6 1,( )p n n N= +
thì
2 6 3 3(2 1) 3p n n+ = + = +
2p+
là s lớn hơn 3 nên
2p+
là hp s ( Trái vi GT, loi )
TH2:
*
6 1( )p n n N=
thì
2 6 1pn+ = +
Khi đó
2 6 1 6 1 12 12p p n n n+ + = + + =
ĐPCM
Bài 5: Cho
p
là s nguyên tmt trong hai
8 1,8 1pp+−
là s nguyên t .Hi s còn li là s
nguyên t hay hp s.
Li gii:
-Nếu
2p =
thì
8 1 8.2 1 15p = =
là hp s
Trang 4
-Nếu
3p =
thì
8 1 8.3 1 25p+ = + =
là hp s
-Nếu
3p
thì
8p
không chia hết cho 3
Vy 1 trong 2 s
8 1,8 1pp−+
s chia hết cho 3 và là hp s.
Vy s còn li là hp s.
Bài 6: Hai s
2 1,2 1( , 2)
nn
n N n+
có th cùng là s nguyên t hay không ? Vì sao ?
Li gii:
2 1,2 ,2 1
n n n
+−
3 s t nhiên liên tiếp nên 1 s chia hết cho 3.Mà
(2,3) 1=
3 là s
nguyên t nên
2
n
không chia hết cho 3.
(1)
2n
nên
2 1 3,2 1 3
nn
+
(2)
T
(1)
,
(2)
suy ra 1 trong 2 s
2 1,2 1
nn
+−
phi chia hết cho 3.
Hai s
2 1,2 1( , 2)
nn
n N n+
không th cùng là s nguyên t.
Bài 7: Cho 3 s nguyên t lớn hơn 3,trong đó số sau lớn hơn số trước là
d
đơn vị.Chng minh rng
6d
.
Li gii
Các s nguyên t lớn hơn 3 nên
p
dng
31k +
hoc
32k +
*
()kN
3 s ch 2 dng nên tn ti hai s thuc cùng mt dng, hiu ca chúng (
d
hoc
2d
) chia
hết cho 3 ( theo nguyên lý Drichlet ). Mt khác
d
chia hết cho 2
d
là hiu ca hai s l.Vy
d
chia
hết cho 6.
Bài 8: Hai s nguyên t gọi là sinh đôi nếu chúng là hai s nguyên t l liên tiếp. Chng minh rng mt s
t nhiên lớn hơn 3 nằm gia hai s nguyên t sinh đôi thì chia hết cho 6.
Li gii:
Gi
p
là s nguyên t lơn hơn 3
p
l nên
12p +
(1)
p
là s nguyên t lớn hơn 3 n
p
dng
3 1,3 2( , 1)+ + k k k N k
.
Dng
31pk=+
không xy ra vì nếu
31pk=+
thì
2 3 3 3pk+ = +
là hp s (Loi)
3 2 1 3 3 3p k p k = + + = +
(2)
T
(1)
,
(2)
16p+
ĐPCM
Bài 9: Cho
p
8p+
là hai s nguyên t lớn hơn 3. Hỏi
100p+
là s nguyên t hay là hp s ?
Li gii:
Trang 5
Ta thy
p
là s nguyên t lớn hơn 3 nên
p
dng
*
6 1,( )n n N
TH1:
*
6 1,( )p n n N= +
thì
8 6 9 3(2 3) 3p n n+ = + = +
8p+
là s lớn hơn 3 nên
8p+
là hp s ( Trái vi GT, loi )
TH2:
*
6 1( )p n n N=
thì
8 6 7pn+ = +
Khi đó
100 6 1 100 6 99 3(2 33) 3p n n n+ = + = + = +
100p+
là s lớn hơn 3 nên
100p+
là hp s.
Bài 10: Cho
p
21p+
là hai s nguyên t ln hơn 3. Hi
41p+
là s nguyên t hay hp s ?
Li gii:
Ta thy
p
là s nguyên t lớn hơn 3 nên p dng
*
6 1,( )n n N
TH1:
*
6 1,( )p n n N= +
thì
2 1 2(6 1) 1 12 3 3(4 1) 3p n n n+ = + + = + = +
21p+
là s lớn hơn 3 nên
21p+
là hp s ( Trái vi GT, loi )
TH2:
*
6 1( )p n n N=
thì
2 1 2(6 1) 1 12 1p n n+ = + =
Khi đó
4 1 4(6 1) 1 24 3 3(8 1)p n n n+ = + = =
41p+
là s lớn hơn 3 nên
41p+
là hp s.
Bài 11: Chng minh rng s dư trong phép chia một s nguyên t cho 30 chth là 1 hoc là s nguyên
t.
Li gii:
Gi s
p
là s nguyên t
p
dng
**
30 2.3.5. ( , ,0 30)p k r k r k N r N r= + = +
Nếu
r
là hp s thì
r
ước nguyên t
q
sao cho
2
30 2,3,5qq
Nhưng với
2,3,5q
thì p lần lưt chia hết cho
2,3,5
( Vô lý )
Vy
1r =
hoc
r
là s nguyên t.
Bài 12: Mt s nguyên t chia cho 30 có s
r
.Tìm
r
biết rng
r
không là s nguyên t.
Li gii:
Gi s nguyên t
p
(
*
pN
)
Ta có:
**
30 2.3.5. ( , ,0 30)p k r k r k N r N r= + = +
p
là s nguyên t nên r không chia hết cho
2,3,5.
Trang 6
S nguyên dương không là số nguyên t nh hơn 30 và không chia hết cho
2,3,5
chs 1.
Vy
1r =
.
Bài 13: Mt s nguyên t chia cho 42 s
r
. Tìm r biết rng
r
là hp s.
Li gii:
Gi s nguyên t
p
(
*
pN
)
Ta có:
**
42 2.3.7. ( , ,0 42)p k r k r k N r N r= + = +
p
là s nguyên t nên
r
không chia hết cho
2,3,7
.
S nguyên dương là hp s nh hơn 42 và không chia hết cho
2,3,7
ch có s 25.
Vy
25r =
.
Bài 14: Trong dãy s t nhiên th tìm được 1997 s liên tiếp nhau không s nguyên t nào hay
không ?
Li gii:
Chn dãy s:
1
1998! 2a =+
1
2a
2
1998! 3a =+
2
3a
3
1998! 4a =+
3
4a
……............. ………….
1997
1998! 1998a =+
1997
1998a
Như vậy: Dãy s
1 2 3 1997
; ; ;....;a a a a
gm có 1997 s t nhiên liên tiếp không s nào là s nguyên t.
Bài 15: Trong dãy s t nhiên th tìm được
n
s liên tiếp nhau
( 1)n
không s nguyên t nào
hay không ?
Li gii:
Chn dãy s:
1
( 1)! 2an= + +
11
2, 2aa
nên
1
a
là hp s
2
( 1)! 3an= + +
22
3, 3aa
nên
2
a
là hp s
3
( 1)! 4an= + +
33
4, 4aa
nên
3
a
là hp s
……............. ………….
Trang 7
( 1)! ( 1)
n
a n n= + + +
( 1), 1
nn
a n a n+ +
nên
n
a
là hp s
Như vậy: Dãy s
1 2 3
; ; ;....;
n
a a a a
gm có
n
s t nhiên liên tiếp không s nào là s nguyên t.
Bài 16: Ta biết rng có 25 s nguyên t nh hơn 100. Tổng ca 25 s này là s chn hay s l?
Li gii:
Trong 25 s nguyên t nh hơn 100 chứa mt s nguyên t chn 2, còn 24 s nguyên t còn li s
nguyên t lẻ. Do đó tổng 25 s nguyên t nh hơn 100 là số chn.
Bài 17: Chng minh rng nếu tng ca
n
lũy thừa bc 4 ca các s nguyên t lớn hơn 5 là một s nguyên
t thì
( ,30) 1n =
Li gii:
S nguyên t
p
khi chia cho 30 ch có th là:
1,7,11,13,17,19,23,29
Vi
1r =
thì
2
1(mod30)p
tương tự vi
11r =
,
9r =
,
19r =
Vi
7r =
thì
2
19(mod30)p
tương tự vi
13r =
,
17r =
,
23r =
Suy ra
2
1(mod30)p
Gi s
12
, ,...,
n
p p p
là các s nguyên t lớn hơn 5
Khi đó
4 4 4
12
... (mod30)
n
q p p p n= + + +
*
30 ( )p k n k N = +
là s nguyên t nên
( ,30) 1)n =
.
Dng 2:Tìm s nguyên t p để thỏa mãn điều kin.
I.Phương pháp giải
- Trong
n
số tự nhiên liên tiếp chỉ có một chỉ một số chia hết cho
n
.
- Nắm chắc các tính chất đặc trưng của số nguyên tố để giải bài toán.
II.Bài toán
Bài 1: Tìm s nguyên t
p
sao cho các s sau cũng số nguyên t:
a,
10, 14pp++
b,
2, 6, 8, 12, 14p p p p p+ + + + +
Li gii:
a,
10, 14pp++
là s nguyên t và 10;14 là hp s
2p
p
dng
*
3 ,3 1,3 2( )k k k k N+ +
.
-Nếu
3 1 14 3 15 3( 5) 3p k p k k= + + = + = +
là hp s (Loi)
Trang 8
-Nếu
3 2 10 3 12 3( 4) 3p k p k k= + + = + = +
là hp s (Loi)
-Nếu
33p k p= =
(vì
p
là s nguyên t)
10 3 10 13
14 3 14 17
p
p
+ = + =
+ = + =
u là s nguyên t,tha mãn)
Vy
3p =
thì
10, 14pp++
là s nguyên t.
b, Vì
2, 6, 8, 12, 14p p p p p+ + + + +
là s nguyên t
3p
.
p
dng
5 ,5 1,5 2,5 3,5 4( )k k k k k k N+ + + +
-Nếu
5 1 14 5 15 5p k p k= + + = +
là hp s (loi)
-Nếu
5 2 8 5 10 5p k p k= + + = +
là hp s (loi)
-Nếu
5 3 12 5 15 5p k p k= + + = +
là hp s (loi)
-Nếu
5 4 6 5 10 5p k p k= + + = +
là hp s (loi)
-Nếu
5pk=
p
là s nguyên t nên
5 2 7; 6 11, 8 13; 12 17; 14 19p p p p p p= + = + = + = + = + =
đều
là s nguyên t (tha mãn, ly)
Vy
5p =
thì
2, 6, 8, 12, 14p p p p p+ + + + +
là s nguyên t.
Bài 2: Tìm 3 s l liên tiếp đều là các s nguyên t.
Li gii:
Gi 3 s l liên tiếp là:
*
2 1,2 3,2 5( )k k k k N+ + +
Trong 3 s l liên tiếp luôn có 1 s chia hết cho 3
-Nếu
2 3 3 2 3 3kk+ + =
(vì
23k +
s nguyên t)
0 2 1 1kk = + =
(Loi 1 không s nguyên
t)
-Nếu
2 5 3 2 5 3kk+ + =
(vì
25k +
là s nguyên t)
1k =
(Loi vì -1 không phi là s t nhiên)
-Nếu
2 1 3 2 1 3kk+ + =
(vì
21k +
s nguyên t)
1 2 3 5;2 5 7k k k = + = + =
(Tha mãn đều
s nguyên t)
Vy 3 s t nhiên l cn tìm là 3,5,7.
Bài 3: Tìm các s nguyên t
p
sao cho
p
va là tng va là hiu ca hai s nguyên t.
Li gii:
Gi s
p
s nguyên t cn tìm thì ta
1 2 3 4
p p p p p= + =
(
1 2 3 4
, , ,p p p p
đều các s nguyên t
34
pp
)
Trang 9
Để
p
s nguyên t thì
12
,pp
mt trong hai s s chn
34
,pp
cũng một trong hai s s
chn.
Gi s
12
pp
thì
24
2pp = =
Ta có:
13
22p p p= + =
31
4pp = +
.
Ta thy
1 1 1
, 2, 4p p p++
là 3 s nguyên t l liên tiếp.
Theo câu a
11
3 2 5p p p = = + =
.
Th li:
5 5 2 3 7 2.p = = + =
Vy s cn tìm là 5.
Bài 4:Tìm
kN
để dãy s
1, 2,....., 10k k k+ + +
cha nhiu s nguyên t nht.
Li gii:
-Nếu
0k =
Ta có dãy s
1;2;3;...;10
có các s nguyên t
2;3;5;7
4 s nguyên t.
-Nếu
1k =
Ta có dãy s
2;3;4;...;11
có các s nguyên t
2;3;5;7;11
5 s nguyên t.
-Nếu
2k =
Ta có dãy s
3;4;5;...;12
có các s nguyên t
3;5;7;11
4 s nguyên t.
-Nếu
3k 
Dãy s
1, 2,..., 10k k k+ + +
đều gm các s lớn hơn 3 bao gồm 5 s l liên tiếp 5
chn liên tiếp.
Vì các s trong dãy đều lớn hơn 3 nên suy ra 5 số chn liên tiếp đều là hp s và trong 5 s l liên tiếp tn
ti ít nht mt s chia hết cho 3 và s này cũng là hợp s.
Vy
1k =
là giá tr cn tìm.
Bài 5: Ta gi
,pq
là 2 s nguyên t liên tiếp nếu gia
p
q
không có s nguyên t nào khác. Tìm 3 s
nguyên t liên tiếp
,,pqr
sao cho
2 2 2
pqr++
cũng là số nguyên t.
Li gii:
+Nếu
,,pqr
đều khác 3
,,pqr
là các s nguyên t.
,,pqr
chia 3 dư 1 hoặc dư 2 ( hay dư -1 ).
2 2 2
,,pqr
chia 3 dư 1.
2 2 2
pqr + +
chia hết cho 3.
Vy tn ti 1 s bng 3.
TH1: Ba s nguyên t đó là 2, 3, 5 Khi đó
2 2 2
2 3 5 38+ + =
là hp s ( Loi )
Trang 10
TH2: Ba s nguyên t đó là 3, 5, 7 Khi đó
2 2 2
3 5 7 83+ + =
là s nguyên t ( Tha mãn )
Vy 3 s nguyên t liên tiếp cn tìm là:
3,5,7
.
Bài 6: Tìm 3 s nguyên t
,,pqr
sao cho:
qp
p q r+=
.
Li gii:
22
qp
p q r+
r là s l (
r
là s nguyên t ).
,
qp
pq
có 1 s l và 1 s chn.
Gi s
q
p
là s chn
p
chn
2p=
( vì
p
là s nguyên t )
2
2
q
qr + =
+Nếu
2
3 1(mod3) 1(mod3)q q q
Mt khác
q
là s l
2 ( 1) 1(mod3)
qp
=
2
2 0(mod3)
q
q +
2
2 3 3
q
qr +
3r=
( Vì
r
là s nguyên t )
2
23
q
q + =
( Loi vì
q
là s nguyên t nên
2
33qr
)
+Nếu
3q =
thì
23
3 2 17r = + =
là s nguyên t ( Tha mãn )
Vy
( , , ) (2,3,17);(3,2,17)pqr
.
Bài 7: Đ thi hc sinh gii 2020-20121,huyn Yên Mô:
Cho
,,abc
là 3 s nguyên t khác nhau đôi một.Tìm 3 s
,,abc
để giá tr ca biu thc:
1 1 1
A
BCNN( a,b ) BCNN( a,c ) BCNN( b,c )
= + +
đạt GTLN.
Li gii:
Ta có:
,,abc
là 3 s nguyên t khác nhau nên
( , ) .BCNN a b ab=
;
( , ) .BCNN a c ac=
;
( , ) .BCNN b c bc=
1 1 1 1 1 1
( , ) ( , ) ( , )
A
BCNN a b BCNN a c BCNN b c ab ac bc
= + + = + +
Vì vai trò
,,abc
như nhau nên để không mt tính mt tính tng quát ta gi s:
abc
,,abc
là 3 s nguyên t nên
2; 3; 5a b c
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2.3 2.5 3.5 6 10 15 3
A
ab ac bc
= + + + + = + + =
.
Trang 11
1
2, 3, 5
3
MaxA a b c = = = =
Vy
A
đạt GTLN khi
2, 3, 5a b c= = =
và các hoán v ca .
Bài 8: Tìm 2 s nguyên t tng bng 2005.
Li gii:
Ta thy tng s nguyên t hai s cn m là s l nên mt trong hai s cn tìm phi là s nguyên t chn
bằng 2. Khi đó số còn li là 2003 ( là s nguyên t, tha mãn)
Vy hai s cn tìm là 2 và 2003.
Bài 9: Tìm 2 s nguyên t tng bng 309.
Li gii:
Ta thy tng s nguyên t hai s cn m là s l nên mt trong hai s cn tìm phi là s nguyên t chn
bằng 2. Khi đó số còn li là 307 ( là s nguyên t, tha mãn)
Vy hai s cn tìm là 2 và 307.
Bài 10: Tng ca 3 s nguyên t bng 1012. Tìm s nh nht trong 3 s.
Li gii:
Trong ba s nguyên t có tng bng 1012, phi có mt s chn, là s 2. Đó là số nh nht trong ba s.
Bài 11: Tìm tt c các s nguyên t p để
4 11p+
là s nguyên t nh hơn 30.
Li gii:
p
là s nguyên t nên
2 4 11 19pp +
4 11p+
là s nguyên t nh hơn 30 nên
4 11 19;23;29p+
+ Nếu
4 11 19p+=
thì
2p =
là s nguyên t ( Tha mãn, ly )
+ Nếu
4 11 23p+=
thì
3p =
là s nguyên t ( Tha mãn, ly )
+ Nếu
4 11 29p+=
thì
9
2
p =
không s nguyên t ( Trái vi GT, loi )
Vy s nguyên t cn m là 2 và 3.
Bài 12: Tìm các s nguyên t
,xy
tha mãn
22
2 1 0xy =
Li gii:
22
2 1 0xy =
Trang 12
2
( 1)( 1) 2x x y + =
Do
y
là s nguyên t
11xx+
nên ch xy ra các trưng hp sau:
TH1:
1 2 3
12
x y x
x y y
+ = =


= =

TH2:
2
12
11
xy
x
+=
−=
nghim nguyên t
TH3:
2
3
1
2
12
x
xy
y
x
=
+=

=
−=
Vy cp nguyên t duy nht thỏa mãn đề bài là
3; 2.xy==
Bài 13: Tìm các s nguyên t
,,x y z
tha mãn
2 3 4
x y z+=
.
Li gii:
Ta có:
2 3 4 3 2 2
( )( )x y z y z x z x+ = = +
22
( ) ( )z x z x+
;
y
là s nguyên t nên
23
2
1
z x y
zx
+=
−=
(1)
hoc
22
2
z x y
z x y
+=
−=
(2)
không có
,,x y z
tha mãn
(1)
(2)
Vy không tn ti
,,x y z
nguyên t để
2 3 4
x y z+=
Bài 14: Tìm tt c các b ba s
a,b,c
sao cho
abc ab bc ac + +
Li gii:
,,abc
có vai trò như nhau nên giả s
abc
khi đó
3ab bc ac bc+ +
3abc bc
32aa =
a
là s nguyên t.
Vi
2a =
thì ta có
2 2 2 2( ) 4bc b c bc bc b c c + + +
Trang 13
2
4
3
b
b
b
=

=
( vì p là s nguyên t )
+ Nếu
2b =
thì
4 4 4cc+
tha mãn vi
c
là s nguyên t bt kì
+ Nếu
3b =
thì
6 6 5 6 3;5c c c c +
Vy các cp s
( , , )abc
cn tìm
(2,2, );(2,3,3);(2,3,5)p
các hoán v ca chúng, vi
p
s nguyên
t.
Dng 3: Các bài toán chng minh s nguyên t,hp s
I.Phương pháp giải
-Da vào các tính chất đặc trưng của s nguyên t và hp s để gii các bài toán v chng minh s nguyên
t, hp s.
II.Bài toán
Bài 1: Cho
p
4p+
là các s nguyên t (
3p
).Chng minh rng
8p+
là hp s .
Li gii:
Ta có:
p
là s nguyên t lớn hơn 3 nên
p
dng
*
3 1,3 2( )k k k N+ +
+Nếu
32pk=+
thì
4 3 6 3pk+ = +
là hp s ( Trái vi GT,loi )
Vy
p
dng
31k +
, khi đó
8 3 9 3( 3) 3p k k+ = + = +
là hp s
ĐPCM
Bài 2: Cho
p
81p
là các s nguyên t. Chng minh rng
81p+
là hp s.
Li gii:
Ta xét các trường hp:
*
3 ; 3 1; 3 2( )p k p k p k k N= = + = +
TH1:
32pk=+
thì
8 1 8(3 2) 1 24 15 3(8 5) 3p k k k = + = + = +
là các hp s ( Trái vi gi thiết,loi )
TH2:
33p k p= =
( vì
p
là s nguyên t )
8 1 23p =
là s nguyên t
khi đó
8 1 25p+=
là hp s
(1)
TH3:
31pk=+
thì
8 1 24 7pk = +
khi đó
8 1 24 9 3(8 3) 3p k k+ = + = +
là hp s
(2)
T
(1)
,
(2)
ta suy ra
81p+
là hp s
ĐPCM
Trang 14
Bài 3: Chng minh rng
( 1)!p
chia hết cho
p
nếu
p
hp s, không chia hết cho
p
nếu
p
s
nguyên t.
Li gii:
+TH1:
p
là hp s:
Nếu
p
hp s thì
p
tích các tha s nguyên t nh hơn
p
s các lũy thừa này không th ln
hơn số của chính các lũy thừa y trong
( 1)!p
.
Vy:
( 1)!pp
( ĐPCM )
+TH2:
p
là s nguyên t:
p
là s nguyên t nên
p
nguyên t cùng nhau vi mi tha s ca
( 1)!p
Kết hp vi
1 ( 1)!p p p
không chia hết cho
p
( ĐPCM )
Bài 4: Cho
21
m
là s nguyên t. Chng minh rng
m
cũng số nguyên t.
Li gii:
Gi s
m
là hp s
. ( , ; , 1)m pq p q N p q =
Khi đó:
. ( 1) ( 2)
2 1 2 1 (2 ) 1 (2 1)(2 2 ..... 1)
m p q p q p p q p q−−
= = = + + +
1p
( Gi s ) nên
2 1 1
p
( 1) ( 2)
(2 2 ..... 1) 1
p q p q−−
+ + +
nên
21
m
hp s ( Trái
vi gi thiết )
Gi s là sai
m
không th là hp s
m
là s nguyên t (ĐPCM)
Bài 5: Chng minh rng: mi s nguyên t ca
1994! 1
đều lớn hơn 1994.
Li gii:
Gi
p
là ước s nguyên t ca
1994! 1
Gi s
1994 1994.1993........3.2.1p 
chia hết cho p
1994!
chia hết cho
p
(1994! 1) p
nên
1 p
( vô lý )
Vy
1994p
( ĐPCM )
Bài 6: Chng minh rng:
2n
thì gia
n
n!
ít nht 1 s nguyên t ( t đó suy ra số
s nguyên t ).
Li gii:
2n
nên
! 1 1kn=
, do đó
k
ít nht một ước nguyên t
p
.
Ta chng minh
pn
.Thy vy: nếu
pn
thì
n! p
Trang 15
Mà k
( ! 1)p n p−
.Do đó
1 p
( vô lý )
Vy
! 1 !p n n n
( ĐPCM )
Bài 7: Hãy chng minh các s sau là hp s:
a)
11111..........1A =
( 2001 ch s 1 );
b)
1010101B =
c)
1! 2! 3! ....... 100!C = + + + +
d)
311141111D =
Li gii:
a) Tng các ch s ca
A
là:
1 1 1...... 1 2001 3 3A+ + + =
3A
nên
A
là hp s ( ĐPCM )
b)
1010101 101.10001B ==
là hp s ( đpcm )
c) Vì
1! 2! 3 3+=
3! 4! ..... 100!+ + +
luôn chia hết cho 3 nên
3C
3C
nên
C
là hp s (ĐPCM )
d)
311141111 311110000 31111 31111(10000 1) 31111D = = + = +
D
là hp s (ĐPCM )
Bài 8: Chng minh rng s
125
25
51
51
N
=
là hp s.
Li gii:
Đặt
25
5 a=
, khi đó
5
432
1
1
1
a
N a a a a
a
= = + + + +
4 2 3 2 3 2
( 9 1 6 6 2 ) (5 10 1)a a a a a a a= + + + + + + +
2 2 2
( 3 1) 5 ( 2 1)a a a a a= + + + + +
2 2 25 2
( 3 1) 5.5 ( 1)a a a= + + +
2
2 2 13
( 3 1) 5 .( 1)a a a

= + + +

2 13 2 13
3 1 5 ( 1) 3 1 5 ( 1) .a a a a a a
= + + + + + + +
N
là tích ca hai s nguyên lớn hơn 1 nên
N
là hp s ( ĐPCM )
Trang 16
Bài 9: Chng minh vi mi s t nhiên lớn hơn 0 thì
21
2
23
n+
+
là hp s.
Li gii:
Vi
2 2 * 2
2 4 1(mod3) 2 1(mod3),( ) 2 1 3
nn
nN=
nên
2 1 2
2 2 2(2 1) 6
nn+
=
Hay
21
2 6 2( )
n
k k N
+
= +
21
2 6 2 2
2 3 (2 ) .2 3 2 3 0(mod7)
n
k
+
+ = + +
Tc
21
2*
2 3 7( )
n
nN
+
+
21
2*
2 3 7( )
n
nN
+
+
nên
21
2
23
n+
+
là hp s. ( ĐPCM )
Bài 10: Chng minh vi mi s t nhiên lớn hơn 0 thì
n
19.8 17+
là hp s.
Li gii:
+ Nếu
*
2 ( )n k k N=
thì
22
19.8 17 18.8 (63 1) (18 1) 0(mod3)
k k k
+ = + + +
+ Nếu
*
4 1( )n k k N= +
thì
4 1 2
19.8 17 13.8 6.8.64 17
n k k+
+ = + +
4 1 2 2
13.8 39.64 9(1 65) (13 4) 0(mod13)
k k k+
= + + + +
+ Nếu
*
4 3( )n k k N= +
thì
4 3 3 2
19.8 17 15.8 4.8.64 17
n k k+
+ = + +
4 3 2 2
15.8 4.5.10.64 4 2(1 65) (25 8) 0(mod5)
k k k+
+ + +
Như vậy vi mi giá tr
*
nN
thì s
19.8 17
n
+
là hp s.
Bài 11: Cho
*
,a n N
, biết
5
n
a
.Chng minh rng:
2
150 25a +
Li gii:
Ta có
5
n
a
,mà 5 là s nguyên t nên suy ra
2
5 25aa
.
150 25
nên
2
150 25a +
đpcm
Bài 12: Cho
*
! 1, 1( )A n b n n N= + = +
.Chng minh rng nếu
A
chia hết cho
B
thì
B
s
nguyên t.
Li gii:
Gi s
B
không là s nguyên t.
Do đó
B
ước nguyên t
,p q B
Do đó
!!p n n p
.
Trang 17
Mt khác
AB
, nên
Ap
!1A n p p
( Vô lí )
n
nguyên dương nên
0, 1BB
.
Vy
B
là s nguyên t ( đpcm )
Bài 13: Cho các s nguyên dương
, , ,a b c d
tha mãn
5
n
a
. Chng minh rng
n n n n
A a b c d= + + +
là hp s.
Li gii:
Gi s
*
( , ) ( )a c t t N=
Đặt
1 1 1 1
, ;( , ) 1a a t c c t a c= = =
1 1 1 1
ab cd a bt c dt a b c d= = =
1 1 1
( , ) 1a c b c=
Đặt
*
11
,( )b c k d a k k N= =
,
Ta có
1 1 1 1 1 1
( )( )
n n n n n n n n n n n n n n n n
A a b c d a t c k c t a k a c k t= + + + = + + + = + +
11
, , ,a c t k
là s nguyên dương nên
A
là hp s.
Bài 14: Chng minh rng có vô s nguyên t có dng:
*
3 1( , 1)x x N x
Li gii:
Mi s t nhiên không nh hơn 2 có 1 trong 3 dạng:
*
3 ;3 1;3 1( )x x x x N+
+Nhng s dng
3x
1x
nên là hp s.
+Xét 2 s có dng
31x +
:đó là số
(3 1)n+
(3 1)m+
Xét tích
(3 1)(3 1) 9 3 3 1 3 1m n mn m n x+ + = + + + = +
Tích trên có dng
31x +
+ Ly mt s nguyên t
p
dng
31x
(vi
p
s nguyên t bt k ) ta lp ch ca
p
vi tt c c
s nguyên t nh hơn
p
ri tr đi 1 ta có:
2.3.5.7.......9 1 3(2.3.5.7...... ) 1Mp= =
M
dng:
31x
Trang 18
2 kh năng xảy ra:
*Kh năng 1:
M
là s nguyên t dang
31xp−
,bài toán được chng minh.
*Kh năng 2:
M
hp s: Ta chia
M
cho
2,3,5,......, p
đều tn ti mt s khác 0 nên các ước s
nguyên t ca
M
đều lớn hơn
p
, trong các ước này không s o dng
3x 1+
(đã chứng minh
trên). Do đó ít nhất một trong các ước nguyên t ca
M
phi có dng
3x
( hp s ) hoc
31x
.
Vy s nguyên t có dng:
3 1( , 1)x x N x
Bài 15: Chng minh có vô s s nguyên t dng
4 3( )x x N+
Li gii:
Các s nguyên t l không thdng
4x
42x +
.
Vy chúng ch th tn tại dưới dng
41x +
hoc
43x +
+ Xét tích 2 s dng
41x +
là:
41m+
41n +
Ta có:
(4 1)(4 1) 16 4 4 1 4(4 ) 1 4 1m n mn m n mn m n x+ + = + + + = + + + = +
Vy ch ca 2 s có dng
41x +
là mt s cũng dạng
41x +
+Ly mt s nguyên t p bt k dng
41x
, ta lp tích ca
41x +
vi tt c các s nguyên t nh n
p
ri ch đi 1 khi ta có:
2.3.5.7.... 1 4(2.3.5.7.... ) 1M p p= =
2 kh năng xảy ra:
*Kh năng 1:
M
là s nguyên t dang
41xp−
,bài toán được chng minh.
*Kh năng 2:
M
hp s: Ta chia M cho
2,3,5,......, p
đều tn ti mt s khác 0 nên các ước s
nguyên t ca
M
đều lớn hơn
p
,trong các ước này không s nào dng
41x +
( đã chứng minh
trên). Do đó ít nht một trong các ước nguyên t ca
M
phi dng
4x
( hp s ) hoc
41x
.mà ưc
này hiển nhiên lơn hơn
p
.
Dng 5: Áp dụng định lí Fermat
I.Phương pháp giải
-Định lí Fermat nh:
1
2 1(mod )
p
p
vi
p
là s nguyên t.
-Bng cách s dụng định lí Fermat để gii các bài toán v s nguyên t.
II.Bài toán
Bài 1: Chứng minh định Fermat nh. Nếu
p
s nguyên t
( , ) 1ap =
thì
1
1
p
ap
vi mi s
nguyên dương
a
.
Trang 19
Li gii:
a
không chia hết cho
p
nên các s
( )
2 ,3 ,..., 1a a p a
cũng không chia hết cho
p
. Gi s khi các s
,2 ,3 ,...,( 1)a a a p a
chia cho
p
được các s dư là
1 2 1
; ;...; .
p
r r r
1 2 1
, ,...,
p
r r r
đôi một khác nhau.
Tht vy nếu
(1 1)
ij
r r i j p=
thì
(mod ) ( ) 0(mod )ia ja p a i j p
(*)
a
không chia hết cho
p
ij
không chia hết cho
p
nên
(*)
không xy ra.
do đó
1 2 1
. ... ( 1)!
p
r r r p
=−
1 2 1
2 .3 ....( 1) . .... (mod )
p
a a p a r r r p
−
1
( 1)! ( 1)!(mod )
p
p a p p
( )
p1
(p 1)!;p 1 a 1(modp)
=
Bài 2: Chng minh rng tng
100 100 100 100 100
1 2 3 ... 1981 1982 200283 + +
Li gii:
200283 1983.101=
(1983;101) 1=
nên ch cn chng minh
1983S
101S
* Chng minh chia hết cho 1983
100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
(1 1982 ) (2 1981 ) (3 1980 ) (4 1979 ) .... (991 992 ) 1983S = + + + +
991
1 100 100
1
( 1) (1983 ) 1983
k
k
kk
+
=

= +

Ta có :
100 100 100 100
(1983 ) ( 1983 )k k k k m = +
(
m
nguyên )
Vy hiu này chia hết cho 1983. T đó suy ra S chia hết cho 1983.
(1)
* Chng minh chia hết cho 101
Tr các s chia hết cho 101
100 100 100
101 ;202 ;....;1919
trong tng
S
còn li các s dng
100
a
vi
(a,101) 1=
. 101 s nguyên t n theo định Fermat nh, thì c s này chia 101 1. Số các s
hng mang du cng bng s s hng mang du tr. T đó suy ra
S
chia hết cho 101
(2)
T
(1)
,
(2)
suy ra
S
chia hết cho 200283.
Bài 3: Nhà toán học Pháp Fermat đã đưa ra công thức
2
21
n
Trang 20
để tìm các s nguyên t vi mi s t nhiên
n
.
1. Hãy tính giá tr ca công thc này khi
4x =
.
2. Vi giá tr này hãy chng t ba tính cht sau:
a) Tng hai ch s đầu cui bng tng các ch s còn li.
b) Tổng bình phương các ch s là s chính phương.
c) Hiu gia tổng các bình phương của hai ch s đầu cui vi tổng các bình phương của các ch s
còn li bng tng các ch s ca s đó.
Li gii:
1. Ta thay
4x =
vào công thức Fermat và được:
4
2
2 1 65537−=
là s nguyên t.
2. S nguyên t 65537 có ba tính cht sau:
a) Tng hai ch s đầu cui
6 7 13+=
đúng bằng tng ba ch s còn li
5 5 3 13+ + =
.
b) Tổng bình phương các ch s
2 2 2 2 2 2
6 5 5 3 7 36 25 25 9 49 144 12+ + + + = + + + + = =
là s chính phương.
c) Tổng bình phương ca hai ch s đầu và cui là
22
6 7 36 49 85.+ = + =
Tổng các bình phương của ba ch s n li là:
2 2 2
5 5 3 25 25 9 59.+ + = + + =
Tng các ch s đó là:
6 5 5 3 7 26. + + + + =
Ta nhn thy rng:
85 59 26−=
Hiệu này đúng bằng tng các ch s ca s nguyên t
Bài 4: Cho
*
nN
, chng minh rng:
10n 1
2 19
+
+
là hp s.
Li gii:
Ta chng minh
10n 1
(2 19) 23
+
+
vi mi
1n
Ta có:
10 10 1 10 1
2 1(mod22) 2 2(mod22) 2 22 2( )
nn
k k N
++
= +
.
Theo định Fermat:
22 10 1 22 2
2 1(mod23) 2 2 4(mod23)
nk++
10 1
(2 19) 23
n+
+
10 1
2 19 23
n+
+
nên
10 1
2 19
n+
+
là hp s ( ĐPCM )
Trang 21
Bài 5: Cho
*
nN
, chng minh rng:
4 1 4 1
32
2 3 5
nn++
++
là hp s.
Li gii:
Theo định Fermat nh ta có
10 10
3 1(mod11),2 1(mod11)
.
Ta tìm s dư trong phép chia
41
2
n+
41
3
n+
cho 10, tc là tìm ch s tn cùng chúng.
4 1 4 1
2 2.16 2(mod10) 2 10 2,( )
n n n
k k N
++
= = +
4 1 4 1
3 3.81 3(mod10) 3 10 3,( )
n n n
l l N
++
= = +
10
3 1(mod11)
10
2 1(mod11)
nên
4 1 4 1
3 2 10 2 10 3 2 3
2 3 5 3 2 5 3 2 5 0(mod11)
nn
kl
++
++
+ + + + + +
4 1 4 1
32
2 3 5 11
nn++
+ +
vi mi s t nhiên
n
khác 0
Vy
4 1 4 1
32
2 3 5
nn++
++
là hp s vi mi s t nhiên
n
khác 0.
Bài 6: Tìm s nguyên t p để
(2 1)
p
p+
Li gii:
p
là s nguyên t
(2 1) 2
p
pp+
.
Ta thy
p
không chia hết cho 2
2p
.
Theo định Fermat nh ta có
1
21
p
p
(2 1)
p
p+
( Gi thiết )
1
2.2 2 3 2(2 1) 3 3
pp
p p p
+ +
(
1
21
p
p
)
3p=
( vì
p
là s nguyên t )
Vy s nguyên t cn m là 3.
Bài 7: Cho
p
s nguyên t
p
lớn hơn 2. Chng minh rng s s t nhiên
n
tha mãn
( .2 1)
n
np
Li gii:
Ta có:
1
2 1(mod )
p
p
, ta tìm
( 1)np=−
sao cho
.2 1(mod )
n
np
.
Ta có:
( 1) *
.2 .( 1).2 (mod ) .2 1(mod ) 1,( ).
n m p n
n m p p n m p m kp k N
=
Vy, vi
*
( 1)( 1),( )n kp p k N=
thì
( .2 1)
n
np
.
Bài 8: Cho
p
là s nguyên t,chng minh rng s
21
p
ch có ước nguyên t dng là:
21pk +
.
Trang 22
Li gii:
Gi
q
là ước nguyên t ca
21
p
thì
q
lẻ, nên theo định lý Fermat:
1 1 ( . 1)
2 1 (2 1,2 1) 2 1 1
q p q p q
q q q p
=
,vì nếu
( 1, ) 1qp−=
thì
1 q
,vô lý.
Mt khác
1q
chn
1 2 2 1.q p q pk = +
Bài 9: Chng minh rng dãy s
2003 23k+
vi
1,2,3,....k =
cha hn s lũy tha ca ng mt s
nguyên t.
Li gii:
Ga s tn ti s nguyên t sao cho:
2003 23
n
kp+=
(1)
Trong đó
,kn
là các s nguyên dương nào đó.
T
(1)
d thy
p
không chia hết cho 23 nên
(23, ) 1p =
.
Theo định Fermat thì
22 22
1 23 1 23
t
p p s = +
vi mi s nguyên dương
,ts
.
T đó
22
(1 23 ) 23. 2003 23 23 .
t n n n n n
p s p p p k s p
+
= + = + = + +
hay
22
2003 23( )
t n n
p k sp
+
= + +
vi mi
1,2,3,.....t =
Bài toán được giải đầy đủ khi ta ch ra s tn ti s nguyên t p tha mãn
(1)
.Chng hn:
Vi
2p =
thì
12
2003 23.2 2+=
Vi
3p =
thì
7
2003 23.8 3+=
Vi
2003p =
thì tn tại k theo định lí Fermat tha mãn
23
2003 23k 2003+=
.
Bài 10: Gi s
p
s nguyên t l đặt
91
8
p
m
=
. Chng minh rng m mt hp s l không chia hết
cho 3
1
3 1(mod )
m
m
.
Li gii:
Ta có
3 1 3 1
24
pp
m ab
−+
==
d thy
,ab
đều là s nguyên dương lớn hơn 1 nên
m
là hp s
12
9 9 ... 1
pp
m
−−
= + + +
suy ra
m
l
chia 3 dư 1.
Theo định Fermat nh:
99
p
p
( ,8) 1p =
Trang 23
1m
chẵn nên cũng
12mp
Do đó
1 2 1
91
3 1 3 1 3 1(mod )
8
p
m p m
mp
−−
=
ĐPCM
Bài 11: Cho s nguyên t
p
, các s dương
1(mod ).
n
ap
Tìm s khi chia
a
cho
1n
p
.
Li gii:;
Xét các trường hp sau:
1)
2p =
.Ta có
2
1(mod2 )
n
a
a
l. Đt
2 1( )a x x N= +
2
2( 1) 2 ( 1) 2
nn
x x x x
+ +
D suy ra
1
1(mod2 )
n
a

.
2)
3p
ta có
t
1(mod )
p
a a p
( định lí Fermat nh )
12
( 1; .... )
pp
d a a a a a p
−−
= + + + +
dp=
d
không chia hết cho
p
12
( 1)( ..... 1)
p p n
a a a a p
−−
+ + + +
1 2 2
... 1 (mod )
pp
a a a p p
−−
+ + + +
11
1 1(mod ).
nn
a p a p
−−
Bài 12: Chng minh rng
3 2 1 42
pp
Ap=−−
( vi
p
là s nguyên t lớn hơn 7 )
Li gii:
Ta có:
3 1 0(mod2) 2
p
A
2 1 0(mod3) 3
p
A+
.
p
là s nguyên t lớn hơn 7 nên
p
chth dng
*
6 1( )n n N
Nếu
61pn=+
6 1 6 1 6 6
3 2 1 3(3 1) 2(2 1).
n n n n
A
++
= =
66
66
3 1(mod7) 3 1 7
7.
2 1(mod7) 2 1 7
A

−



−


Trang 24
Nếu
5 6 5 6 5 5
6 5 3 (3 1) 2 (2 1) 3 2 1
tt
p n A= + = +
Ta cũng có:
t
55
3 2 1 0(mod7) 7A
Vy
A
chia hết cho 7
Mặt khác theo định lí Fermat nh ta có:
3 39(mod )
p
p
2 2(mod )
p
p
nên
0(mod )Ap
2,3,7, p
đôi một nguyên t cùng nhau nên
t
(2.3.7. ) 42A p A p
( đpcm )
Bài 13: Cho
,pq
là hai s nguyên t phân bit. Chng minh rng:
11
1
qp
p q pq
−−
+−
chia hết cho
Li gii:
Áp dụng định lý Fermat nh ta có:
1
( ) ( 1)
qq
p p q p p q
do
,pq
là s nguyên t).
(1)
,pq
là các s nguyên t nên
( , ) 1pq =
T
(1)
suy ra
1
( 1)
q
pq
(2)
T
(2)
suy ra
11
( 1)
qp
p q q
−−
+−
(3)
p
q
vai trò như nhau nên
11
( 1)
qp
p q p
−−
+−
(4)
Li vì
( , ) 1pq =
nên t
(3)
(4)
ta suy ra điều phi chng minh.
Bài 14: Tìm tt c các s nguyên dương n sao cho
n
7 2 1.
Li gii:
Ta có 2 không chia hết cho 7; 7 là s nguyên t nên theo định lí Fermat ta có
6
2 1(mod7)
Ta có
3
2 8 1(mod7)
Do đó tất c các s chia hết cho 3 đều tha mãn yên cầu đề bài.
Bài 15: Tìm tt c các s nguyên t p sao cho
2
2
5 1(mod ).
p
p
Li gii:
Ga s s nguyên t
p
thỏa mãn điều kiện đã cho.
Khi đó
2
2
5 1(mod ).
p
p
Vì
2
( 1) 1pp−−
nên theo định Fermat nh ta có :
2
2( 1)
5 1(mod ).
p
p
Trang 25
T đó suy ra
2
5 1(mod )p
nên
2;3p
Th li ta thy
3p =
thỏa mãn điều kiện đề bài.
Dng 6: Các bài toán v hai s nguyên t cùng nhau
I.Phương pháp giải
- S dng thuyết tính cht ca 2 s nguyên t cùng nhau để gii c bài toán v hai s nguyên t
cùng nhau.
II.Bài toán
Bài 1: Chng minh rng: 5 và 7 là hai s nguyên t cùng nhau.
Li gii:
Ta có
5 5.1=
;
7 7.1=
(5;7) 1UCLN =
Vy hai s 5 và 7 là hai s nguyên t cùng nhau.
Bài 2: Chng minh rng: Hai s t nhiên liên tiếp khác 0 là hai s nguyên t cùng nhau.
Li gii:
Gi 2 s t nhiên liên tiếp là:
*
, 1( )n n n N+
Đặt
*
( , 1),( )d n n d N= +
1 1 1.
1
nd
n n d d d
nd
+ =
+
Vy
n
1n +
là hai s nguyên t cùng nhau.
Bài 3: Chng minh rng: Hai s l liên tiếp là hai s nguyên t cùng nhau.
Li gii:
Gi 2 s l liên tiếp là:
2 1,2 3( )k k k N+ +
.
Đặt
*
(2 1;2 3) ( )k k d d N+ + =
21
2 3 2 1 2
23
kd
k k d
kd
+
+ =
+
1;2d
d
là ước s l nên
1d =
. Vy hai s l liên tiếp là hai s nguyên t cùng nhau.
Trang 26
Bài 4: Chng minh rng :
21n +
31n +
là hai s nguyên t cùng nhau.
Li gii:
(2 1,3 1) ( )n n d n N+ + =
2 1 3(2 1) 6 3
6 3 6 2 1 1
3 1 2(3 1) 6 2
n d n d n d
n n d d
n d n d n d
+ + +
+ = =
+ + +
.
Vy
21n +
31n +
là hai s nguyên t cùng nhau.
Bài 5 : Cho
a
b
hai s nguyên t cùng nhau. Chng minh rng hai s sau hai s nguyên t cùng
nhau:
a
ab+
.
Li gii:
Đt
*
( , ) ( )a a b d d N+ =
ad
bd
a b d

+
a
b
là 2 s nguyên tng nhau nên
1d=
Vy
a
ab+
là hai s nguyên t cùng nhau. ( ĐPCM )
Bài 6: Cho
a
b
hai s nguyên t cùng nhau. Chng minh rng hai s sau hai s nguyên t cùng
nhau:
2
a
ab+
Li gii:
Đt
2*
( , ) ( )a a b d d N+ =
2
a d a d
ad
a b d b d
a b d



+
+

a
b
là 2 s nguyên tng nhau nên
1d=
Vy
2
a
ab+
là hai s nguyên t cùng nhau. ( ĐPCM )
Bài 7: Cho
a
b
hai s nguyên t cùng nhau. Chng minh rng hai s sau hai s nguyên t cùng
nhau:
ab
ab+
.
Li gii:
Đặt
*
( , ) ( )ab a b d d N+ =
ad
ab d
bd
a b d
a b d
+
+
Trang 27
+ TH1:
a d b d
a
b
là 2 s nguyên tng nhau nên
1d=
Vy
ab
ab+
là hai s nguyên t cùng nhau. ( ĐPCM )
+ TH2:
b d a d
a
b
là 2 s nguyên t cùng nhau nên
1d=
Vy
ab
ab+
là hai s nguyên t cùng nhau. ( ĐPCM )
Bài 8 : Cho
a
b
hai s nguyên t cùng nhau. Chng minh rng hai s sau hai s nguyên t cùng
nhau:
b
()a b a b−
.
Li gii:
Đặt
*
( , ) ( )b a b d d N =
ad
ab d
bd
cd
cd
a
b
là 2 s nguyên tng nhau nên
1d=
Vy
b
ab
là hai s nguyên t cùng nhau. ( ĐPCM )
Bài 9: Chng minh rng nếu nếu
c
nguyên t cùng vi
a
b
thì c nguyên t cùng nhau vi tích
ab
Li gii:
Gi
p
là ước chung nguyên t ca
c
ab
.
cd
ab d
+ TH1:
ad
a
c
là 2 s nguyên tng nhau nên
1d=
Vy
ab
c
là hai s nguyên t cùng nhau. ( ĐPCM )
+ TH2:
bd
c
b
là 2 s nguyên tng nhau nên
1d=
Vy
ab
c
là hai s nguyên t cùng nhau. ( ĐPCM )
Bài 10: Tìm s t nhiên n để các s
9 24n +
34n +
là các s nguyên t cùng nhau.
Li gii:
Trang 28
Gi s
9 24n +
34n +
cùng chia hết cho s nguyên t d thì
9 24 3(3 4) 12 2,3 .n n d d d+ +
Điu kiện để
(9 24;3 4) 1nn+ + =
2; 3dd
.Hin nhiên
3d
34n +
không chia hết cho 3.Mun
2d
phi có ít nht mt trong 2 s
9 24n +
34n +
không chia hết cho 2.Ta thy:
+ Nếu
9 24n +
là s l
9n
l
n
l,
+ Nếu
34n +
là s l
3n
l
n
l.
Vậy điều kiện để hai s
9 24n +
34n +
là các s nguyên t cùng nhau là n l.
Bài 11: Tìm s t nhiên
n
để các s
18 3n +
21 7n +
là các s nguyên t cùng nhau.
Li gii:
Gi s
18 3n +
21 7n +
cùng chia hết cho s nguyên t d thì
6(21 7) 7(18 3) 21 1;3;7;21 .n n d d d+ +
Điu kiện đ
(18 3;21 7) 1nn+ + =
3; 7; 21d d d
.Hin nhiên
3; 21dd
21 7n +
không chia
hết cho 3. Mun
7d
thì s
18 3n +
không chia hết cho 7 (vì
21 7n +
luôn chia hết cho 7 )
18 3 7 18 3 21 7 18( 1) 7 1 7.n n n n+ +
Vậy điều kiện để hai s
18 3n +
21 7n +
là các s nguyên t cùng nhau
*
n 7k 1,(k N ) +
.
Bài 12: Chng minh rng hai s
25n +
4 12n+
là các s nguyên t cùng nhau vi mi s t nhiên
n
.
Li gii:
Gi
(2 5;4 12)d n n= + +
25
4 12
nd
nd
+
+
2(2 5)
4 12
nd
nd
+
+
4 10
4 12
nd
nd
+
+
4 12 4 10n n d +
2 d
25n+
là s l nên
1d =
Trang 29
Vy hai s
25n+
4 12n +
là các s nguyên t cùng nhau vi mi s t nhiên
n
.
Bài 13: Chng minh rng hai s
12 1n +
30 2n +
là các s nguyên t cùng nhau vi mi s t nhiên
n
.
Li gii:
Gi
(12 1;30 2)d n n= + +
12 1
30 2
nd
nd
+
+
5(12 1)
2(30 2)
nd
nd
+
+
60 5
60 4
nd
nd
+
+
6 5 6 4n n d +
1 d
1d=
Vy hai s
12 1n +
30 2n +
là các s nguyên t cùng nhau vi mi s t nhiên
n
.
Bài 14: Chng minh rng hai s
23n+
48n+
là các s nguyên t cùng nhau vi mi s t nhiên
n
.
Li gii:
Gi
(2 3;4 8)d n n= + +
23
48
nd
nd
+
+
2(2 3)
48
nd
nd
+
+
46
48
nd
nd
+
+
4 8 4 6n n d +
2 d
1d=
23n+
là s l.
Vy hai s
23n+
48n+
là các s nguyên t cùng nhau vi mi s t nhiên
n
.
Trang 30
Bài 15: Chng minh rng hai s
32n +
53n +
là các s nguyên t cùng nhau vi mi s t nhiên
n
.
Li gii:
Gi
(3 2;5 3)d n n= + +
32
53
nd
nd
+
+
5(3 2)
3(5 3)
nd
nd
+
+
15 10
15 9
nd
nd
+
+
15 10 15 9n n d +
1 d
1d=
Vy hai s
32n +
53n +
là các s nguyên t cùng nhau vi mi s t nhiên
n
.
PHẦN III.BÀI TOÁN THƯỜNG GP TRONG ĐỀ HSG.
Bài 1: Tìm s t nhiên
n
để
2018 2002
1A n n= + +
là s nguyên t.
(HSG Tnh Qung Ngãi 2015 2016).
Li gii:
Xét
0n =
thì
1A =
không phi là s nguyên t
Xét
1n =
thì
3A =
là s nguyên t.
Xét
1n
:
2018 2 2002 2
1A n n n n n n= + + + +
( )
(
)
( )
(
)
( )
672 667
2 3 3 2
1 1 1n n n n n n= + + + +
( )
672
3
1n
chia hết cho
3
1n
, suy ra
( )
672
3
1n
chia hết cho
2
1nn++
.
Tương tự:
( )
667
3
1n
chia hết cho
2
1nn++
.
Vy
A
chia hết cho
2
11nn+ +
nên
A
là hp s. S t nhiên cn tìm
1n =
.
Bài 2 : Tìm các s nguyên t
p
để
2
2
p
p +
cũng là số nguyên t.
(HSG Thành phNi 2016 2017).
Li gii:
Nếu
2p =
thì
2
2 4 4 8
p
p + = + =
(không tha mãn).
Nếu
3p =
thì
2
2 9 8 17
p
p + = + =
(tha mãn).
Nếu
3p
thì
( ) ( )
22
2 1 2 1 3
pp
pp+ = + +
.
Trang 31
Kết lun
3p =
là giá tr cn m.
Bài 3: Tìm tt c các cp s nguyên t
( )
;pq
tha mãn
22
54pq−=
.
(Chuyên Vũng Tàu 2016 2017).
Li gii:
( )( )
2 2 2 2 2
5 4 4 5 2 2 5p q p q p p q = = + =
Do
0 2 2pp +
q
nguyên t nên
2p
chth nhn các giá tr
2
1;5; ;qq
.
Ta có bng giá tr ơng ng:
2p
2p+
p
q
1
2
5q
3
1
5
2
q
7
3
q
5q
3
1
2
q
5
3
1
Do
,pq
là các s nguyên t nên chcp
( ) ( )
; 7;3pq =
tha mãn.
Bài 4: Tìm tt c các s t nhiên
N
(theo h thp phân) thỏa mãn các điều kin sau:
N aabb=
, trong đó
abb
aab
là s nguyên t.
Li gii:
Do
aab
là s nguyên t, tc
110ab+
là s nguyên t ta có
1,3,7b =
hoc 9.
T điều kin th nht ta có:
( )
11 100N a b=+
.
Theo bng s nguyên t ta tìm được các cp s nguyên t
abb
aab
thỏa mãn điệu kin th nht sau
đây:
( )
223;233
,
( )
227;277
,
( )
331;311
,
( )
443;433
,
( )
449;499
,
( )
557;577
,
( )
773;733
,
( )
881;811
,
( )
887;877
,
( )
991;911
,
( )
997;977
Tương ứng vi
100ab+
là các s sau:
203 2.29=
;
207 9.23=
;
301 7.43=
;
403 13.31=
; 409 là s
nguyên t;
2
507 3.13=
;
703 19.37=
;
2
801 3 .89=
;
807 2.269=
;
901 17.53=
; 907 là s nguyên t.
Vy
8877 3.11.269N ==
Bài 5: Tìm s t nhiên
p
sao cho
p
3p+
đều là s nguyên t.
Li gii:
Mt s t nhiên bt kì có 1 trong hai dng:
2 ;2 1nn+
vi
nN
. Nếu
21pn=+
thì
3 2 4pn+ = +
chia
hết cho 2.
Ta có
33p+
3p+
chia hết cho 2. Nên
3p+
là hp s trái đề bài.
Do đó:
2pn=
. Nhưng
p
nguyên t nên
2p =
35p+=
nguyên t.
Vy
2p =
.
Bài 6: Tìm s nguyên t
p
sao cho
4p+
8p+
đều là s nguyên t.
Li gii:
Trang 32
Bt kì s t nhiên nào cũng có một trong ba dng:
3 ;3 1;3n 2;n Nnn+ +
. Nếu
3pn=
thì
8 3 9 3pn+ = +
, lí.
Nếu
32pn=+
thì
4 3 6pn+ = +
, . Do đó
3pn=
.
Nhưng
p
nguyên t nên
3; 4 7; 8 11p p p= + = + =
nguyên t. Vy
3p =
.
Bài 7: Tìm các s nguyên t
,,x y Z
tha mãn
1
y
xZ+=
Li gii:
,xy
là các s nguyên t
2, 2xy
5ZZ
là s nguyên t l
y
x
là s chn
x
chn
2x=
thay vào ta
21
y
Z =+
Nếu
y
l
2 1 3
y
+
(
nn
a b a b++
l)
3Z
Do đó
y
là s chn
2y=
Thay
2, 2 5x y Z= = =
Vy
2, 2 5x y Z= = =
Bài 8: Tìm
*nN
để
4
4n +
là s nguyên t
Li gii:
a)
4 4 2 2
4 4 4 4n n n n+ = + +
( )
( )
2
2
2
22nn= +
( )( )
22
2 2 2 2n n n n= + + +
Để
4
4n +
là s nguyên t thì
2
2 2 2 1 1n n n + = =
Th li vi
1n =
thì
4
45n +=
là s nguyên t.
Vy vi
1n =
thì
4
4n +
là s nguyên t.
Bài 9: Tìm s nguyên t
p
sao cho
2p+
4p+
là các s nguyên t (trích đề thi HSG Quãng
Trch)
Li gii:
Vi
3p =
thì
25p+=
47p+=
là các s nguyên t
Vi
3p
thì
31pk=
Nếu
31pk=+
thì
2 3 3 3pk+ = +
Nếu
31pk=−
thì
4 3 3 3pk+ = +
Trang 33
Vy
3p =
thì
2p+
4p+
là các s nguyên t.
Bài 10: Tìm các s t nhiên
n
để
2
12nn+
là s nguyên tố.( trích đề thi HSG Thanh Oai)
Li gii:
Ta có
2
12 ( 12)n n n n+ = +
12 1n +
nên để
2
12nn+
là s nguyên t thì
1n =
Th li
22
12 1 12.1 13nn+ = + =
là s nguyên t
Vy vi
1n =
thì
2
12nn+
là s nguyên t
Bài 11: Chng minh rng nếu
p
2
2p +
là các s nguyên t thì
3
2p +
cũng là số nguyên tố. (trích đề thi
HSG Nga Sơn)
Li gii:
Vi mi s nguyên t lớn hơn 3 thì chia hết cho 3 đều có dng
31pk=+
hoc
*
3 2( )p k k N= +
Vi
31pk=+
thì
22
2 9 6 3p k k+ = + +
chia hết cho
3
Vi
32pk=+
thì
22
2 9 6 6p k k+ = +
chia hết cho
3
p
là s nguyên t n
2p
khi đó trong cả hai trưng hp trên thì
2
2p +
đều lớn hơn
3
chia hết
cho
3
, tc là
2
2p +
là hp s
2
2p= +
ch là hp s khi
3p =
khi đó
2
2 11p +=
là s nguyên t
33
2 3 2 29p= + = + =
là s nguyên t
Vy nếu
p
2
2p +
là các s nguyên t thì
3
2p +
cũng là số nguyên t.
Bài 12:Cho
2 3 100
3 3 3 ... 3A= + + + +
là s nguyên t hay hp s? vì sao? (trích đề thi HSG Nam
Trc)
Li gii:
2 3 100 2 3 4 99 100
3 3 3 ... 3 (3 3 ) (3 3 ) ... (3 3 )A = + + + + = + + + + + +
3 99
3(1 3) 3 (1 3) ... 3 (1 3)= + + + + + +
3 99 3 99
3.4 3 .4 ... 3 .4 4(3 3 ... 3 ) 4= + + + = + + +
4A
Nên
2 3 100
3 3 3 ... 3A= + + + +
là hp s
Trang 34
Bài 13: Cho
n
là s nguyên t. Hi
10
1n
là s nguyên t hay hp số? (trích đề thi HSG Bá
Thước)
Li gii:
Ta có
n
là s nguyên t suy ra
n
chia
2
1
10
n=
chia
2
1
10
1n=
chia hết cho
2
Vy
10
1n
là hp s
Bài 14: Tìm s t nhiên
n
sao cho
2
( 2)( 5)p n n n= +
là s nguyên tố. (Trích đề thi HSG Hip
Hòa)
Li gii:
2
( 2)( 5)p n n n= +
nên
2n
2
5nn+
Ư
()p
p
là s nguyên t n
21n −=
hoc
2
51nn+ =
+ Nếu
2 1 3nn = = =
thì
2
(3 2)(3 3 5) 1.7 7p = + = =
(tha)
+ Nếu
22
5 1 6 ( 1) 6 2.3 2n n n n n n n+ = = + = = + = = = =
thì
2
(2 2)(2 2 5) 0p = + =
không phi là s nguyên t, loi
Vy
3n =
thì
2
( 2)( 5)p n n n= +
là s nguyên t.
Bài 15: Tìm các s t nhiên
n
để
36
n
+
là s nguyên tố. (tch đề thi HSG Hưng Hà).
Li gii:
Vi
0n =
ta có
0
3 6 3 6 7
n
+ = + =
là s nguyên t.
Vi
0n
ta có
3 3,6 3
n
nên
3 6 3
n
+
3 6 3
n
+
do đó
36
n
+
là hp s
Vy
0n =
thì
36
n
+
là s nguyên t.
HT
| 1/34

Preview text:


ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 5-SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ
CHỦ ĐỀ 1:ĐỊNH NGHĨA,TÍNH CHẤT,SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ
PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.SỐ NGUYÊN TỐ
-Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1,chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.
-Số nguyên tố nhỏ nhất vừa là số nguyên tố chẵn duy nhất là số 2.
-Không thể giới hạn số nguyên tố cũng như tập hợp số nguyên tố.Hay nói cách khác,số nguyên tố là vô hạn.
-Khi 2 số nguyên tố nhân với nhau thì tích của chúng không bao giờ là một số chính phương.
-Ước tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên được coi là số nguyên tố.
-Để kết luận số tự nhiên a là một số nguyên tố ( a 1 ) , chỉ cần chứng minh a không chia hết cho
mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a. a p
-Nếu tích ab p  
( p là số nguyên tố) b p -Đặc biệt nếu n a
p a p ( p là số nguyên tố)
-Mọi số nguyên tố vượt quá 2 đều có dạng: *
4n 1( n N )
-Mọi số nguyên tố vượt quá 3 đều có dạng: *
6n 1( n N )
-Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị. 2.HỢP SỐ
-Hợp số là số tự nhiên lớn lơn 1 và có nhiều hơn 2 ước nguyên dương.
-Để chứng tỏ một số tự nhiên a ( a 1 ) là hợp số,chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a .
-Ước số nhỏ nhất khác 1 của một hợp số là một số nguyên tố và bình phương lên không vượt quá nó.
-Một hợp số bằng tổng các ước của nó (không kể chính nó) được gọi là: Số hoàn chỉnh.
-Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất (không kể thứ tự các thừa số)
3.HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU
-Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng có ước chung lớn nhất bằng 1. Trang 1
a,b nguyên tố với nhau  *
( a,b ) = 1; ( a, b N )
- Hai số tự nhiên liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau
- Hai số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau
- Các số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau - Các số , a ,
b c nguyên tố cùng nhau ( , a , b c ) =1 - , a ,
b c nguyên tố sánh đôi khi chúng đôi một nguyên tố cùng nhau , a ,
b c nguyên tố sánh đôi  ( , a b) = ( , b c ) = ( , c a ) =1
4.MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐẶC BIỆT
- Định lí Đirichlet: Tồn tai vô số số nguyên tổ p có dạng: * p = ax + ; b x N , ( , a b ) = 1
- Định lí Tchebycheff: Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n có ít nhất một số nguyên tố ( n  2)
- Định lí Vinogradow: Mọi số lẻ lớn hơn 3
3 là tổng của 3 số nguyên tố.
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1:Tính chất đặc trưng của số nguyên tố và cách nhận biết số nguyên tố,hợp số.
I.Phương pháp giải
- Dựa vào các dấu hiệu chia hết và các tính chất về số nguyên tố ,hợp số, để giải các bài toán về chứng minh hoặc giải thích.
- Thông qua việc phân tích và xét hết khả năng có thể xảy ra, đối chiếu với giả thiết và các định lý, hệ quả
đã học để loại bỏ các trường hợp mâu thuẫn và nhận biết được đâu là số nguyên tố, hợp số. II.Bài toán
Bài 1: Chứng minh rằng:
a, Mọi số nguyên tố vượt quá 2 đều có dạng: *
4n 1( n N )
b, Mọi số nguyên tố vượt quá 3 đều có dạng: *
6n 1( n N ) Lời giải:
a, Gọi A là một số tự nhiên lớn hơn 2. Khi đó A sẽ có dạng * 4 ,
n 4n +1, 4n + 2, 4n + 3( n N )
-Nếu A = 4n hay A = 4n + 2 thì A 2 và A là hợp số
Suy ra nếu A là số nguyên tố thì A sẽ có dạng 4n +1, 4n + 3
Vì 4n + 3 = 4n + 4 −1 = 4( k +1)−1 nên suy ra mọi số nguyên tố vượt quá 2 đều có dạng: *
4n 1( n N ) (đpcm) Trang 2
b, Gọi A là một số tự nhiên lớn hơn 3.Khi đó A sẽ có dạng * 6 ,
n 6n +1, 6n + 2, 6n + 3( n N )
-Nếu A = 6n hay A = 6n + 3 thì A 3 và A là hợp số.
-Nếu A = 6n + 2 thì A 2 và A là hợp số.
Suy ra nếu A là số nguyên tố thì A sẽ có dạng 6n +1,6n + 5
Vì 6n + 5 = 6n + 6 −1 = 6(k +1) −1 nên suy ra mọi số nguyên tố vượt quá 3 đều có dạng: *
6n 1( n N ) (đpcm)
Bài 2: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số này là số chẵn hay số lẻ? Lời giải:
Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn là 2, còn 24 số nguyên tố
còn lại là số nguyên tố lẻ. Do đó tổng 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 là số chẵn.
Bài 3: Tổng 2 số nguyên tố có thể bằng 2003 được không ? Lời giải:
Ta thấy 2003 là một số lẻ nên nếu 2003 là tổng của hai số nguyên tố thì một trong hai số phải là
số chẵn và bằng 2. Vậy số còn lại là 2001 nhưng 2001 lại không là số nguyên tố vì 2001 = 69.29
Vậy tổng của hai số nguyên tó không thể bằng 2003.
Bài 4: Cho p p + 2 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng tổng của chúng chia hết cho 12. Lời giải:
Ta thấy p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng *
6n 1, ( n N ) TH1: * = +  + = + = + p 6n 1, ( n N ) thì p 2 6n 3 3( 2n 1) 3
p + 2 là số lớn hơn 3 nên p + 2 là hợp số ( Trái với GT, loại ) TH2: *
p = 6n −1( n N ) thì p + 2 = 6n +1
Khi đó p + p + 2 = 6n −1+ 6n +1 =12n 12  ĐPCM
Bài 5: Cho p là số nguyên tố và một trong hai 8p +1,8 p −1 là số nguyên tố .Hỏi số còn lại là số nguyên tố hay hợp số. Lời giải:
-Nếu p = 2 thì 8p −1 = 8.2 −1 =15là hợp số Trang 3
-Nếu p = 3 thì 8p +1= 8.3+1= 25 là hợp số
-Nếu p  3 thì 8 p không chia hết cho 3
Vậy 1 trong 2 số 8p −1,8p +1 sẽ chia hết cho 3 và là hợp số.
Vậy số còn lại là hợp số.
Bài 6: Hai số 2n +1, 2n −1( n N, n  2 ) có thể cùng là số nguyên tố hay không ? Vì sao ? Lời giải:
Vì 2n 1, 2n , 2n +
−1là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3.Mà (2,3) =1và 3 là số
nguyên tố nên 2n không chia hết cho 3. (1)
n  2 nên 2n 1 3, 2n +  −1  3 (2)
Từ (1) , (2) suy ra 1 trong 2 số 2n 1, 2n + −1phải chia hết cho 3.
 Hai số 2n +1,2n −1( nN,n  2) không thể cùng là số nguyên tố.
Bài 7: Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3,trong đó số sau lớn hơn số trước là d đơn vị.Chứng minh rằng d 6 . Lời giải
Các số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k +1hoặc 3k + 2 * ( k N )
Có 3 số mà chỉ có 2 dạng nên tồn tại hai số thuộc cùng một dạng, hiệu của chúng ( là d hoặc 2d ) chia
hết cho 3 ( theo nguyên lý Drichlet ). Mặt khác d chia hết cho 2 vì d là hiệu của hai số lẻ.Vậy d chia hết cho 6.
Bài 8: Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng một số
tự nhiên lớn hơn 3 nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho 6. Lời giải:
Gọi p là số nguyên tố lơn hơn 3 và p lẻ nên p +1 2 (1)
p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k +1,3k + 2(k N, k  1) .
Dạng p = 3k +1không xảy ra vì nếu p = 3k +1thì p + 2 = 3k + 3 3 là hợp số (Loại)
p = 3k + 2  p +1= 3k +3 3 (2)
Từ (1) , (2)  p +1 6  ĐPCM
Bài 9: Cho p p + 8 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p +100 là số nguyên tố hay là hợp số ? Lời giải: Trang 4
Ta thấy p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng *
6n 1, ( n N ) TH1: * = +  + = + = + p 6n 1, ( n N ) thì p 8 6n 9 3( 2n 3) 3
p + 8 là số lớn hơn 3 nên p + 8 là hợp số ( Trái với GT, loại ) TH2: *
p = 6n −1( n N ) thì p +8 = 6n + 7
Khi đó p +100 = 6n −1+100 = 6n + 99 = 3(2n + 33) 3
p +100 là số lớn hơn 3 nên p +100 là hợp số.
Bài 10: Cho p và 2 p +1 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi 4 p +1 là số nguyên tố hay hợp số ? Lời giải:
Ta thấy p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng *
6n 1, ( n N ) TH1: * = +  + = + + = + = + p 6n 1, ( n
N ) thì 2 p 1 2(6n 1) 1 12n 3 3(4n 1) 3
Mà 2 p +1 là số lớn hơn 3 nên 2 p +1 là hợp số ( Trái với GT, loại ) TH2: *
p = 6n −1(n N ) thì 2 p +1 = 2(6n −1) +1 =12n −1
Khi đó 4p +1= 4(6n −1) +1= 24n −3 = 3(8n −1)
Mà 4 p +1 là số lớn hơn 3 nên 4 p +1 là hợp số.
Bài 11: Chứng minh rằng số dư trong phép chia một số nguyên tố cho 30 chỉ có thể là 1 hoặc là số nguyên tố. Lời giải:
Giả sử p là số nguyên tố và p có dạng * *
p = 30k + r = 2.3.5.k + r(k N , r N , 0  r  30)
Nếu r là hợp số thì r có ước nguyên tố q sao cho 2
q  30  q 2,3,  5
Nhưng với q 2,3, 
5 thì p lần lượt chia hết cho 2,3,5 ( Vô lý )
Vậy r =1 hoặc r là số nguyên tố.
Bài 12: Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư là r .Tìm r biết rằng r không là số nguyên tố. Lời giải:
Gọi số nguyên tố là p ( * p N ) Ta có: * *
p = 30k + r = 2.3.5.k + r(k N , r N , 0  r  30)
p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2,3,5. Trang 5
Số nguyên dương không là số nguyên tố nhỏ hơn 30 và không chia hết cho 2,3,5 chỉ có số 1. Vậy r =1.
Bài 13: Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư là r . Tìm r biết rằng r là hợp số. Lời giải:
Gọi số nguyên tố là p ( * p N ) Ta có: * *
p = 42k + r = 2.3.7.k + r(k N , r N , 0  r  42)
p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2,3, 7 .
Số nguyên dương là hợp số nhỏ hơn 42 và không chia hết cho 2,3, 7 chỉ có số 25. Vậy r = 25 .
Bài 14: Trong dãy số tự nhiên có thể tìm được 1997 số liên tiếp nhau mà không có số nguyên tố nào hay không ? Lời giải: Chọn dãy số: a = 1998!+ 2 a 2 1 1 a = 1998!+ 3 a 3 2 2 a = 1998!+ 4 a 4 3 3 ……............. …………. a =1998!+1998 a 1998 1997 1997
Như vậy: Dãy số a ;a ;a ;....; a
gồm có 1997 số tự nhiên liên tiếp không có số nào là số nguyên tố. 1 2 3 1997
Bài 15: Trong dãy số tự nhiên có thể tìm được n số liên tiếp nhau ( n  1) mà không có số nguyên tố nào hay không ? Lời giải: Chọn dãy số: a = (n +1)!+ 2
a 2, a  2 nên a là hợp số 1 1 1 1 a = (n +1)!+ 3
a 3, a  3 nên a là hợp số 2 2 2 2 a = (n +1)!+ 4
a 4, a  4 nên a là hợp số 3 3 3 3 ……............. …………. Trang 6
a = (n +1)!+ (n +1)
a (n +1), a n +1 nên a là hợp số n n n n
Như vậy: Dãy số a ;a ;a ;....;a gồm có n số tự nhiên liên tiếp không có số nào là số nguyên tố. 1 2 3 n
Bài 16: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số này là số chẵn hay số lẻ? Lời giải:
Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số
nguyên tố lẻ. Do đó tổng 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 là số chẵn.
Bài 17: Chứng minh rằng nếu tổng của n lũy thừa bậc 4 của các số nguyên tố lớn hơn 5 là một số nguyên tố thì ( , n 30) =1 Lời giải:
Số nguyên tố p khi chia cho 30 chỉ có thể dư là: 1,7,11,13,17,19, 23, 29 Với r =1 thì 2
p  1( mod 30 ) tương tự với r =11, r = 9 , r = 19 Với r = 7 thì 2
p  19 ( mod 30 ) tương tự với r = 13, r = 17 , r = 23 Suy ra 2 p  1( mod 30 )
Giả sử p , p ,..., p là các số nguyên tố lớn hơn 5 1 2 n Khi đó 4 4 4
q = p + p + ... + pn(mod30) 1 2 n *
p = 30k + n(k N ) là số nguyên tố nên ( , n 30) =1) .
Dạng 2:Tìm số nguyên tố p để thỏa mãn điều kiện. I.Phương pháp giải
- Trong n số tự nhiên liên tiếp chỉ có một và chỉ một số chia hết cho n .
- Nắm chắc các tính chất đặc trưng của số nguyên tố để giải bài toán. II.Bài toán
Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố: a, p +10, p +14
b, p + 2, p + 6, p +8, p +12, p +14 Lời giải:
a, Vì p +10, p +14  
là số nguyên tố và 10;14 là hợp số p 2  p có dạng *
3k,3k +1,3k + 2(k N ) .
-Nếu p = 3k +1 p +14 = 3k +15 = 3(k + 5) 3 là hợp số (Loại) Trang 7
-Nếu p = 3k + 2  p +10 = 3k +12 = 3(k + 4) 3 là hợp số (Loại)  p +10 = 3+10 =13
-Nếu p = 3k p = 3(vì p là số nguyên tố)  
(đều là số nguyên tố,thỏa mãn)  p +14 = 3+14 =17
Vậy p = 3 thì p +10, p +14 là số nguyên tố.
b, Vì p + 2, p + 6, p +8, p +12, p +14 là số nguyên tố  p  3.
p có dạng 5k,5k +1,5k + 2,5k +3,5k + 4(k N)
-Nếu p = 5k +1 p +14 = 5k +15 5 là hợp số (loại)
-Nếu p = 5k + 2  p + 8 = 5k +10 5 là hợp số (loại)
-Nếu p = 5k + 3  p +12 = 5k +15 5là hợp số (loại)
-Nếu p = 5k + 4  p + 6 = 5k +10 5 là hợp số (loại)
-Nếu p = 5k p là số nguyên tố nên p = 5  p + 2 = 7; p + 6 =11, p +8 =13; p +12 =17; p +14 =19 đều
là số nguyên tố (thỏa mãn, lấy)
Vậy p = 5 thì p + 2, p + 6, p +8, p +12, p +14 là số nguyên tố.
Bài 2: Tìm 3 số lẻ liên tiếp đều là các số nguyên tố. Lời giải:
Gọi 3 số lẻ liên tiếp là: *
2k +1, 2k + 3, 2k + 5( k N )
Trong 3 số lẻ liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 3
-Nếu 2k + 3 3  2k + 3 = 3 (vì 2k + 3 là số nguyên tố)  k = 0  2k +1 = 1(Loại vì 1 không là số nguyên tố)
-Nếu 2k + 5 3  2k + 5 = 3 (vì 2k + 5là số nguyên tố) k = 1
− (Loại vì -1 không phải là số tự nhiên)
-Nếu 2k +1 3  2k +1 = 3 (vì 2k +1là số nguyên tố)  k =1 2k + 3 = 5;2k + 5 = 7 (Thỏa mãn vì đều là số nguyên tố)
Vậy 3 số tự nhiên lẻ cần tìm là 3,5,7.
Bài 3: Tìm các số nguyên tố p sao cho p vừa là tổng vừa là hiệu của hai số nguyên tố. Lời giải:
Giả sử p là số nguyên tố cần tìm thì ta có p = p + p = p p ( p , p , p , p đều là các số nguyên tố và 1 2 3 4 1 2 3 4 p p ) 3 4 Trang 8
Để p là số nguyên tố thì p , p có một trong hai số là số chẵn và p , p cũng có một trong hai số là số 1 2 3 4 chẵn.
Giả sử p p thì  p = p = 2 1 2 2 4 Ta có: p = p 2
+ = p − 2  p = p + 4 . 1 3 3 1
Ta thấy p , p + 2, p + 4 là 3 số nguyên tố lẻ liên tiếp. 1 1 1
Theo câu a  p = 3  p = p + 2 = 5 . 1 1
Thử lại: p = 5  5 = 2 + 3 = 7 − 2. Vậy số cần tìm là 5.
Bài 4:Tìm k N để dãy số k +1, k + 2,....., k +10 chứa nhiều số nguyên tố nhất. Lời giải:
-Nếu k = 0  Ta có dãy số 1;2;3;...;10có các số nguyên tố là 2;3;5;7  Có 4 số nguyên tố.
-Nếu k = 1  Ta có dãy số 2;3;4;...;11có các số nguyên tố là 2;3;5;7;11  Có 5 số nguyên tố.
-Nếu k = 2  Ta có dãy số 3;4;5;...;12 có các số nguyên tố là3;5;7;11  Có 4 số nguyên tố.
-Nếu k  3 Dãy số k +1, k + 2,..., k +10 đề
u gồm các số lớn hơn 3 và bao gồm 5 số lẻ liên tiếp và 5 sô chẵn liên tiếp.
Vì các số trong dãy đều lớn hơn 3 nên suy ra 5 số chẵn liên tiếp đều là hợp số và trong 5 số lẻ liên tiếp tồn
tại ít nhất một số chia hết cho 3 và số này cũng là hợp số.
Vậy k = 1là giá trị cần tìm. Bài 5: Ta gọi ,
p q là 2 số nguyên tố liên tiếp nếu giữa p q không có số nguyên tố nào khác. Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp , p , q r sao cho 2 2 2
p + q + r cũng là số nguyên tố. Lời giải: +Nếu , p ,
q r đều khác 3 mà , p ,
q r là các số nguyên tố.  , p ,
q r chia 3 dư 1 hoặc dư 2 ( hay dư -1 ). 2 2 2
p ,q ,r chia 3 dư 1. 2 2 2
p + q + r chia hết cho 3.
 Vậy tồn tại 1 số bằng 3.
TH1: Ba số nguyên tố đó là 2, 3, 5 Khi đó 2 2 2
2 + 3 + 5 = 38 là hợp số ( Loại ) Trang 9
TH2: Ba số nguyên tố đó là 3, 5, 7 Khi đó 2 2 2
3 + 5 + 7 = 83là số nguyên tố ( Thỏa mãn )
Vậy 3 số nguyên tố liên tiếp cần tìm là: 3,5,7 .
Bài 6: Tìm 3 số nguyên tố , p , q r sao cho: q p
p + q = r . Lời giải: q p
p + q  2  r  2  r là số lẻ ( r là số nguyên tố ). q  , p
p q có 1 số lẻ và 1 số chẵn. Giả sử q
p là số chẵn  p chẵn  p = 2 ( vì p là số nguyên tố ) 2
 2q + q = r +Nếu 2
q  3  q  1
 ( mod3)  q 1( mod3)
Mặt khác q là số lẻ 2q ( 1) p   − = 1 − ( mod3) q 2  2 + q  0( mod3) q 2
 2 + q 3  r 3  r = 3( Vì r là số nguyên tố ) q 2
 2 + q = 3 ( Loại vì q là số nguyên tố nên 2
q  3  r  3 ) +Nếu q = 3thì 2 3
r = 3 + 2 =17là số nguyên tố ( Thỏa mãn ) Vậy ( , p ,
q r ) ( 2,3,17);(3,2,17  ) .
Bài 7: Đề thi học sinh giỏi 2020-20121,huyện Yên Mô: Cho , a ,
b c là 3 số nguyên tố khác nhau đôi một.Tìm 3 số , a , b c để
giá trị của biểu thức: 1 1 1 A = + + đạt GTLN. BCNN( a,b ) BCNN( a,c ) BCNN( b,c ) Lời giải: Ta có: , a , b c = = =
là 3 số nguyên tố khác nhau nên BCNN( , a ) b . a b ; BCNN( , a ) c . a c ; BCNN( , b ) c . b c 1 1 1 1 1 1  A = + + = + +
BCNN (a, b)
BCNN (a, c)
BCNN (b, c) ab ac bc Vì vai trò , a ,
b c như nhau nên để  
không mất tính mất tính tổng quát ta giả sử: a b c Mà , a , b c   
là 3 số nguyên tố nên a 2;b 3;c 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  A = + +  + + = + + = . ab ac bc 2.3 2.5 3.5 6 10 15 3 Trang 10 1
MaxA =  a = 2,b = 3,c = 5 3
Vậy A đạt GTLN khi a = 2,b = 3,c = 5 và các hoán vị của nó.
Bài 8: Tìm 2 số nguyên tố có tổng bằng 2005. Lời giải:
Ta thấy tổng số nguyên tố hai số cần tìm là số lẻ nên một trong hai số cần tìm phải là số nguyên tố chẵn và
bằng 2. Khi đó số còn lại là 2003 ( là số nguyên tố, thỏa mãn)
Vậy hai số cần tìm là 2 và 2003.
Bài 9: Tìm 2 số nguyên tố có tổng bằng 309. Lời giải:
Ta thấy tổng số nguyên tố hai số cần tìm là số lẻ nên một trong hai số cần tìm phải là số nguyên tố chẵn và
bằng 2. Khi đó số còn lại là 307 ( là số nguyên tố, thỏa mãn)
Vậy hai số cần tìm là 2 và 307.
Bài 10: Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong 3 số. Lời giải:
Trong ba số nguyên tố có tổng bằng 1012, phải có một số chẵn, là số 2. Đó là số nhỏ nhất trong ba số.
Bài 11: Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4 p +11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30. Lời giải:
p là số nguyên tố nên p  2  4 p +1119
Mà 4 p +11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30 nên 4 p +1119;23;29
+ Nếu 4 p +11 =19 thì p = 2 là số nguyên tố ( Thỏa mãn, lấy )
+ Nếu 4 p +11 = 23 thì p = 3 là số nguyên tố ( Thỏa mãn, lấy ) 9
+ Nếu 4 p +11 = 29 thì p =
không là số nguyên tố ( Trái với GT, loại ) 2
Vậy số nguyên tố cần tìm là 2 và 3.
Bài 12: Tìm các số nguyên tố , x y thỏa mãn 2 2
x − 2 y −1 = 0 Lời giải: 2 2
x − 2 y −1 = 0 Trang 11 2
 ( x −1)( x +1) = 2y
Do y là số nguyên tố và x +1  x −1 nên chỉ xảy ra các trường hợp sau: x +1 = 2yx = 3 TH1:    x −1 = yy = 2 2 x +1= 2y TH2:  vô nghiệm nguyên tố x −1 =1 2 x +1 = yx = 3 TH3:    x −1 = 2 y = 2
Vậy cặp nguyên tố duy nhất thỏa mãn đề bài là x = 3; y = 2.
Bài 13: Tìm các số nguyên tố , x , y z thỏa mãn 2 3 4
x + y = z . Lời giải: Ta có: 2 3 4 3 2 2
x + y = z y = (z + x)(z x) Mà 2 2
(z + x)  (z x) ; y là số nguyên tố nên 2 3
z + x = y  (1) 2 z x =1 2 2
z + x = y hoặc  (2) 2
z x = y không có , x ,
y z thỏa mãn (1) và (2) Vậy không tồn tại , x ,
y z nguyên tố để 2 3 4
x + y = z
Bài 14: Tìm tất cả các bộ ba số a,b,c sao cho abc  ab + bc + ac Lời giải: Vì , a ,
b c có vai trò như nhau nên giả   sử a b c khi đó
ab + bc + ac  3bc
abc  3bc
a  3  a = 2 vì a là số nguyên tố.
Với a = 2 thì ta có 2bc  2b + 2c + bc bc  2(b + ) c  4c Trang 12b = 2 b  4  
( vì p là số nguyên tố ) b = 3
+ Nếu b = 2 thì 4c  4 + 4c thỏa mãn với c là số nguyên tố bất kì
+ Nếu b = 3 thì 6c  6 + 5c c  6  c 3;  5 Vậy các cặp số ( , a , b )
c cần tìm là (2, 2, )
p ;(2,3,3);(2,3,5) và các hoán vị của chúng, với p là số nguyên tố.
Dạng 3: Các bài toán chứng minh số nguyên tố,hợp số
I.Phương pháp giải
-Dựa vào các tính chất đặc trưng của số nguyên tố và hợp số để giải các bài toán về chứng minh số nguyên tố, hợp số. II.Bài toán
Bài 1: Cho p p + 4 là các số nguyên tố ( p  3).Chứng minh rằng p +8 là hợp số . Lời giải:
Ta có: p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng *
3k +1,3k + 2( k N )
+Nếu p = 3k + 2thì p + 4 = 3k + 6 3 là hợp số ( Trái với GT,loại )
Vậy p có dạng 3k +1, khi đó p + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) 3 là hợp số  ĐPCM
Bài 2: Cho p và 8 p −1 là các số nguyên tố. Chứng minh rằng 8p +1 là hợp số. Lời giải: Ta xét các trường hợp: *
p = 3k; p = 3k +1; p = 3k + 2( k N )
TH1: p = 3k + 2 thì 8 p −1 = 8(3k + 2) −1 = 24k +15 = 3(8k + 5) 3 là các hợp số ( Trái với giả thiết,loại )
TH2: p = 3k p = 3( vì p là số nguyên tố )  8p −1 = 23 là số nguyên tố
Và khi đó 8p +1= 25 là hợp số (1)
TH3: p = 3k +1thì 8p −1 = 24k + 7
Và khi đó 8p +1 = 24k + 9 = 3(8k + 3) 3 là hợp số (2)
Từ (1) , (2) ta suy ra 8 p +1 là hợp số  ĐPCM Trang 13
Bài 3: Chứng minh rằng ( p −1)! chia hết cho p nếu p là hợp số, không chia hết cho p nếu p là số nguyên tố. Lời giải:
+TH1: p là hợp số:
Nếu p là hợp số thì p là tích các thừa số nguyên tố nhỏ hơn p và số mũ các lũy thừa này không thể lớn
hơn số mũ của chính các lũy thừa ấy trong ( p −1)!.
Vậy: ( p −1)! p ( ĐPCM )
+TH2: p là số nguyên tố:
p là số nguyên tố nên p nguyên tố cùng nhau với mọi thừa số của ( p −1)!
Kết hợp với p p −1 ( p −1)! không chia hết cho p ( ĐPCM )
Bài 4: Cho 2m −1 là số nguyên tố. Chứng minh rằng m cũng là số nguyên tố. Lời giải:
Giả sử m là hợp số  m = . p ( q , p q N; , p q 1) Khi đó: m p.q p q p p( q 1 − ) p( q−2) 2 −1 = 2
−1 = ( 2 ) −1 = ( 2 −1)( 2 + 2 +.....+1) − −
p  1( Giả sử ) nên 2p  −11 và p( q 1) p( q 2) ( 2 + 2
+.....+1) 1nên 2m −1 là hợp số ( Trái
với giả thiết )  Giả sử là sai  m không thể là hợp số  m là số nguyên tố (ĐPCM)
Bài 5: Chứng minh rằng: mọi số nguyên tố của 1994!−1 đều lớn hơn 1994. Lời giải:
Gọi p là ước số nguyên tố của 1994!−1
Giả sử p 1994 1994.1993........3.2.1chia hết cho p  1994! chia hết cho p
Mà (1994!−1) p nên 1 p ( vô lý )
Vậy p 1994 ( ĐPCM )
Bài 6: Chứng minh rằng: n  2 thì giữa n và n ! có ít nhất 1 số nguyên tố ( từ đó suy ra có vô số số nguyên tố ). Lời giải:
n  2 nên k = n!−1  1, do đó k có ít nhất một ước nguyên tố p .
Ta chứng minh p n .Thậy vậy: nếu p n thì n! p Trang 14
Mà k p  (n!−1) p .Do đó 1 p ( vô lý )
Vậy p n n!−1 n!( ĐPCM )
Bài 7: Hãy chứng minh các số sau là hợp số:
a) A = 11111..........1( 2001 chữ số 1 ); b) B = 1010101
c) C = 1!+ 2!+ 3!+ ....... +100! d) D = 311141111 Lời giải:
a) Tổng các chữ số của A là: 1+1+1...... +1 = 2001 3  A 3
A  3 nên A là hợp số ( ĐPCM )
b) B = 1010101 =101.10001là hợp số ( đpcm )
c) Vì 1!+ 2! = 3 3 và 3!+ 4!+ ..... +100! luôn chia hết cho 3 nên C 3
C  3nên C là hợp số (ĐPCM )
d) D = 311141111 = 311110000 + 31111 = 31111(10000 +1) 31111
D là hợp số (ĐPCM ) 125 5 −1
Bài 8: Chứng minh rằng số N = là hợp số. 25 5 −1 Lời giải: Đặt 25 5 = a , khi đó 5 a −1 4 3 2 N =
= a + a + a + a +1 a − 1 4 2 3 2 3 2
= ( a + 9a +1+ 6a + 6a + 2a ) − (5a +10a +1) 2 2 2
= ( a + 3a +1) + 5a( a + 2a +1) 2 2 25 2
= ( a + 3a +1) − 5.5 ( a +1) 2 2 2 13
= ( a + 3a +1) − 5  .( a +1)   2 13 2 13
= a + 3a +1+ 5 ( a +1) a + 3a +1− 5 ( a +1).    
N là tích của hai số nguyên lớn hơn 1 nên N là hợp số ( ĐPCM ) Trang 15 2 n 1 +
Bài 9: Chứng minh với mọi số tự nhiên lớn hơn 0 thì 2 2 + 3 là hợp số. Lời giải: Với 2 2n * 2 2 = 4  1( mod 3)  2 1( mod3),(  )  2 n n N −1 3 nên 2n 1+ 2 2 − 2 = 2( 2 n −1) 6 Hay 2n 1
2 + = 6k + 2( k N ) 2 n 1 + 2 6 k 2 2  2
+ 3 = (2 ) .2 + 3  2 + 3  0(mod7) 2 n 1 + Tức là 2 * 2 + 3 7(nN ) 2 n 1 + 2 n 1 + Mà 2 * 2
+3  7(nN ) nên 2 2 + 3 là hợp số. ( ĐPCM )
Bài 10: Chứng minh với mọi số tự nhiên lớn hơn 0 thì n 19.8 +17 là hợp số. Lời giải: + Nếu *
n = 2k( k N ) thì 2k 2 19.8 17 18.8 k ( 63 1)k + = + + + (18 −1)  0( mod3) + Nếu *
n = 4k +1( k N ) thì n 4k 1 + 2 19.8 +17 =13.8 + 6.8.64 k +17 4k 1 + 2k 2 =13.8
+ 39.64 + 9(1− 65) k + (13+ 4)  0( mod13) + Nếu *
n = 4k + 3( k N ) thì n 4k 3 + 3 2 19.8 +17 =15.8 + 4.8 .64 k +17 4k +3 2k 2 15.8
+ 4.5.10.64 + 4 − 2(1− 65) k + ( 25 −8)  0( mod5)
Như vậy với mọi giá trị *
n N thì số 19.8n +17 là hợp số. Bài 11: Cho *
a, n N , biết n
a 5 .Chứng minh rằng: 2 a +150 25 Lời giải: Ta có n
a 5 ,mà 5 là số nguyên tố nên suy ra 2 a 5  a 25 . Mà 150 25 nên 2 a +150 25  đpcm Bài 12: Cho *
A = n!+1,b = n +1(n N ) .Chứng minh rằng nếu A chia hết cho B thì B là số nguyên tố. Lời giải:
Giả sử B không là số nguyên tố.
Do đó B có ước nguyên tố , p q B
Do đó p n! n! p . Trang 16
Mặt khác A B , nên A p
An! p 1 p ( Vô lí )
n nguyên dương nên B  0, B  1.
Vậy B là số nguyên tố ( đpcm )
Bài 13: Cho các số nguyên dương , a , b , c d n
thỏa mãn a 5 . Chứng minh rằng n n n n
A = a + b + c + d là hợp số. Lời giải: Giả sử *
(a, c) = t(t N )
Đặt a = a t,c = c t;(a ,c ) =1 1 1 1 1
ab = cd a bt = c dt a b = c d 1 1 1 1
Mà (a , c ) = 1  b c 1 1 1 Đặt *
b = c k d = a k, (k N ) , 1 1 Ta có n n n n n n n n n n n n = + + + = + + + = ( n n + )( n n A a b c d a t c k c t a k a c k + t ) 1 1 1 1 1 1
a , c ,t, k là số nguyên dương nên A là hợp số. 1 1
Bài 14: Chứng minh rằng có vô số nguyên tố có dạng: *
3x −1( x N , x  1) Lời giải:
Mọi số tự nhiên không nhỏ hơn 2 có 1 trong 3 dạng: * 3 ;
x 3x +1;3x −1( x N )
+Những số có dạng 3x x 1nên là hợp số.
+Xét 2 số có dạng 3x +1:đó là số (3n +1) và (3m +1)
Xét tích (3m +1)(3n +1) = 9mn + 3m + 3n +1 = 3x +1
Tích trên có dạng 3x +1
+ Lấy một số nguyên tố p có dạng 3x −1 (với p là số nguyên tố bất kỳ ) ta lập tích của p với tất cả các
số nguyên tố nhỏ hơn p rời trừ đi 1 ta có:
M = 2.3.5.7.......9 −1 = 3( 2.3.5.7......p ) −1
M có dạng: 3x −1 Trang 17 Có 2 khả năng xảy ra:
*Khả năng 1: M là số nguyên tố có dang 3x −1  p ,bài toán được chứng minh.
*Khả năng 2: M là hợp số: Ta chia M cho 2,3,5,......, p đều tồn tại một số dư khác 0 nên các ước số
nguyên tố của M đều lớn hơn p , trong các ước này không có số nào có dạng 3x +1(đã chứng minh
trên). Do đó ít nhất một trong các ước nguyên tố của M phải có dạng 3x ( hợp số ) hoặc 3x −1.
Vậy có vô số nguyên tố có dạng: 3x −1( x N, x 1)
Bài 15: Chứng minh có vô số số nguyên tố có dạng 4x + 3( x N ) Lời giải:
Các số nguyên tố lẻ không thể có dạng 4x và 4x + 2 .
Vậy chúng chỉ có thể tồn tại dưới dạng 4x +1 hoặc 4x + 3
+ Xét tích 2 số có dạng 4x +1 là: 4m +1và 4n +1
Ta có: ( 4m +1)( 4n +1) =16mn + 4m + 4n +1 = 4( 4mn + m + n) +1 = 4x +1
Vậy tích của 2 số có dạng 4x +1là một số cũng có dạng 4x +1
+Lấy một số nguyên tố p bất kỳ có dạng 4x −1, ta lập tích của 4x +1 với tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn
p rồi chứ đi 1 khi ta có:
M = 2.3.5.7....p −1 = 4(2.3.5.7.... ) p −1 Có 2 khả năng xảy ra:
*Khả năng 1: M là số nguyên tố có dang 4x −1  p ,bài toán được chứng minh.
*Khả năng 2: M là hợp số: Ta chia M cho 2,3,5,......, p đề
u tồn tại một số dư khác 0 nên các ước số
nguyên tố của M đều lớn hơn p ,trong các ước này không có số nào có dạng 4x +1 ( đã chứng minh
trên). Do đó ít nhất một trong các ước nguyên tố của M phải có dạng 4x ( hợp số ) hoặc 4x −1.mà ước
này hiển nhiên lơn hơn p .
Dạng 5: Áp dụng định lí Fermat
I.Phương pháp giải
-Định lí Fermat nhỏ: p 1 2
1( mod p ) với p là số nguyên tố.
-Bằng cách sử dụng định lí Fermat để giải các bài toán về số nguyên tố. II.Bài toán
Bài 1: Chứng minh định lí Fermat nhỏ. Nếu p
p là số nguyên tố và ( , a p ) =1thì 1 a
−1 p với mọi số nguyên dương a . Trang 18 Lời giải:
a không chia hết cho p nên các số 2 , a 3 ,
a ...,( p −1 )a cũng không chia hết cho p . Giả sử khi các số , a 2 , a 3 , a ...,( p 1
− )a chia cho p được các số dư là r ;r ;...;r . 1 2 p 1 −
r , r ,..., r đôi một khác nhau. 1 2 p 1 −
Thật vậy nếu có r = r (1  i j p −1) thì ia j ( a mod p )  (
a i j )  0( mod p ) (*) i j
a không chia hết cho p i j không chia hết cho p nên (*) không xảy ra.
do đó r .r ...r = ( p −1)! 1 2 p 1 − 2 .3 a ....( a
p −1)a r .r ....r ( mod p ) 1 2 p 1 − p 1 − −  − ( p 1)!a
( p 1)!( mod p ) − Vì ( − ) p 1 ( p 1)!;p =1 a 1(modp)
Bài 2: Chứng minh rằng tổng 100 100 100 100 100 1 − 2 + 3 −...+1981 −1982 200283 Lời giải:
Vì 200283 = 1983.101mà (1983;101) =1 nên chỉ cần chứng minh S 1983và S 101
* Chứng minh chia hết cho 1983 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 S = (1
−1982 ) − (2 −1981 ) + (3 −1980 ) −(4 −1979 ) +....+ (991 −992 ) +1983 991 k 1 + 100 100 = ( −1) 
k −(1983−k) +1983   k 1 = Ta có : 100 100 100 100 k
− (1983− k ) = k − (k +1983m) ( m nguyên )
Vậy hiệu này chia hết cho 1983. Từ đó suy ra S chia hết cho 1983. (1)
* Chứng minh chia hết cho 101
Trừ các số chia hết cho 101 là 100 100 100
101 ; 202 ;....;1919 trong tổng S còn lại các số có dạng 100 a với
(a,101) = 1. Mà 101 là số nguyên tố nên theo định lí Fermat nhỏ, thì các số này chia 101 dư 1. Số các số
hạng mang dấu cộng bằng số số hạng mang dấu trừ. Từ đó suy ra S chia hết cho 101 (2)
Từ (1) , (2) suy ra S chia hết cho 200283. n
Bài 3: Nhà toán học Pháp Fermat đã đưa ra công thức 2 2 −1 Trang 19
để tìm các số nguyên tố với mọi số tự nhiên n .
1. Hãy tính giá trị của công thức này khi x = 4 .
2. Với giá trị này hãy chứng tỏ ba tính chất sau:
a) Tổng hai chữ số đầu và cuối bằng tổng các chữ số còn lại.
b) Tổng bình phương các chữ số là số chính phương.
c) Hiệu giữa tổng các bình phương của hai chữ số đầu và cuối với tổng các bình phương của các chữ số
còn lại bằng tổng các chữ số của số đó. Lời giải:
1. Ta thay x = 4 vào công thức Fermat và được: 4 2 2
−1 = 65537 là số nguyên tố.
2. Số nguyên tố 65537 có ba tính chất sau:
a) Tổng hai chữ số đầu và cuối 6 + 7 = 13 đúng bằng tổng ba chữ số còn lại 5 + 5 + 3 = 13 .
b) Tổng bình phương các chữ số 2 2 2 2 2 2
6 + 5 + 5 + 3 + 7 = 36 + 25 + 25 + 9 + 49 = 144 = 12 là số chính phương.
c) Tổng bình phương của hai chữ số đầu và cuối là 2 2 6 + 7 = 36 + 49 = 85.
Tổng các bình phương của ba chữ số còn lại là: 2 2 2 5 + 5 + 3 = 25 + 25 + 9 = 59.
Tổng các chữ số đó là: 6 + 5 + 5 + 3 + 7 = 26.
Ta nhận thấy rằng: 85 − 59 = 26
Hiệu này đúng bằng tổng các chữ số của số nguyên tố Bài 4: Cho *
n N , chứng minh rằng: 10n 1 2 + +19 là hợp số. Lời giải: + Ta chứng minh 10n 1 ( 2
+19) 23 với mọi n 1 + + Ta có: 10 10n 1 10n 1 2  1( mod 22 )  2  2( mod 22)  2
= 22k + 2( k N ) . Theo định lý Fermat: 22 10n 1 + 22k +2 2 1( mod 23)  2  2  4( mod 23) 10n 1 ( 2 +  +19) 23 Mà 10n 1
2 + +19  23nên 10n 1
2 + +19 là hợp số ( ĐPCM ) Trang 20 4 n 1 + 4 n 1 + Bài 5: Cho *
n N , chứng minh rằng: 3 2 2 + 3 + 5 là hợp số. Lời giải:
Theo định lí Fermat nhỏ ta có 10 10
3  1( mod11), 2  1( mod11) .
Ta tìm số dư trong phép chia 4 1 2 n+ và 4 1
3 n+ cho 10, tức là tìm chữ số tận cùng chúng. 4n 1 + n 4n 1 2 2.16 2( mod10 ) 2 + =  
=10k + 2,( k N ) 4n 1 + n 4n 1 3 3.81 3( mod10 ) 3 + =  
=10l + 3,(l N ) Mà 10 3  1( mod11) và 10 2  1( mod11) nên 4 n 1 + 4 n 1 + 3 2 10k +2 10l +3 2 3 2 +3 +5  3 + 2 +5  3 + 2 +5  0(mod11) 4 n 1 + 4 n 1 + Mà 3 2 2 + 3
+ 5 11 với mọi số tự nhiên n khác 0 4 n 1 + 4 n 1 + Vậy 3 2 2 + 3
+ 5 là hợp số với mọi số tự nhiên n khác 0.
Bài 6: Tìm số nguyên tố p để ( 2p +1) p Lời giải:
p là số nguyên tố mà ( 2p +1) p p  2 .
Ta thấy p không chia hết cho 2 vì p  2 . Theo đị −
nh lí Fermat nhỏ ta có p 1 2
−1 p mà ( 2p +1) p ( Giả thiết ) p 1 2.2 −  − 2 + 3  2( 2p p
−1) + 3 p  3 p − ( vì p 1 2 −1 p )
p = 3( vì p là số nguyên tố )
Vậy số nguyên tố cần tìm là 3.
Bài 7: Cho p là số nguyên tố p lớn hơn 2. Chứng minh rằng có vô số số tự nhiên n thỏa mãn ( .2n n −1) p Lời giải: − Ta có: p 1 2
1( mod p ), ta tìm n = ( p −1) sao cho .2n n 1( mod p ) . − Ta có: n m( p 1) n * . n 2  . m ( p −1).2 ( mod p )  .
n 2  −m  1( mod p)  m = kp −1, ( k N ). Vậy, với *
n = ( kp −1)( p −1), ( k N ) thì ( .2n n −1) p .
Bài 8: Cho p là số nguyên tố,chứng minh rằng số 2 p −1chỉ có ước nguyên tố có dạng là: 2 pk +1. Trang 21 Lời giải:
Gọi q là ước nguyên tố của 2 p −1 thì q lẻ, nên theo định lý Fermat: q 1 − p q 1 − ( p.q 1 − ) 2
−1 q  ( 2 −1,2 −1) = 2
−1 q q −1 p ,vì nếu (q −1, p) =1 thì 1 q ,vô lý.
Mặt khác q −1chẵn  q −1 2 p q = 2 pk +1.
Bài 9: Chứng minh rằng dãy số 2003 + 23k với k =1, 2,3,.... chứa vô hạn số là lũy thừa của cùng một số nguyên tố. Lời giải:
Gỉa sử tồn tại số nguyên tố sao cho: 2003 + 23 n k = p (1)
Trong đó k,n là các số nguyên dương nào đó.
Từ (1) dễ thấy p không chia hết cho 23 nên (23, ) p =1.
Theo định lý Fermat thì 22 22 −1 23 t p
p =1+ 23s với mọi số nguyên dương t, s . Từ đó
22t +n = (1+ 23 ) n n =
+ 23. n = 2003+ 23 + 23 . n p s p p p k s p t +n n = + + hay 22 p 2003 23( k sp ) với mọi t =1, 2,3,.....
Bài toán được giải đầy đủ khi ta chỉ ra sự tồn tại số nguyên tố p thỏa mãn (1) .Chẳng hạn: Với p = 2 thì 12 2003 + 23.2 = 2 Với p = 3 thì 7 2003 + 23.8 = 3
Với p = 2003thì tồn tại k theo định lí Fermat thỏa mãn 23 2003 + 23k = 2003 . 9 p −1
Bài 10: Giả sử p là số nguyên tố lẻ đặt m =
. Chứng minh rằng m là một hợp số lẻ không chia hết 8 − cho 3 và m 1 3 1(mod ) m . Lời giải:
 3p −1 3p +1 Ta có m =    = ab  2  4  − −
dễ thấy a, b đề p p = + + +
u là số nguyên dương lớn hơn 1 nên m là hợp số mà 1 2 m 9 9
... 1 suy ra m lẻ và chia 3 dư 1.
Theo định lí Fermat nhỏ: p − 9 9 p vì ( , p 8) =1 Trang 22
m −1 chẵn nên cũng có m −1 2 p − 9 p m p 1 Do đó 1 2 m 1 3 −1 3 −1
= m  3 − 1(mod p)  ĐPCM 8
Bài 11: Cho số nguyên tố n n
p , các số dương a  1(mod p ). Tìm số dư khi chia a cho 1 p − . Lời giải:;
Xét các trường hợp sau: 1) p = 2 .Ta có 2 1(mod 2n a  )
a lẻ. Đặt a = 2x +1(x N) − n n 2
 2( x +1)x 2  x( x +1) 2 − Dễ suy ra n 1 a  1  (mod 2 ) .
2) p  3 ta có t p
a a  1( mod p ) ( định lí Fermat nhỏ ) − − p 1 p 2
d = (a −1;a + a
+....+ a + a) p
d = p d không chia hết cho p − − p 1 p 2 ( −1)( + +.....+ +1) n a a a a p − − mà p 1 p 2 2 a + a
+...+ a +1 p(mod p ) n 1 − n 1 a 1 p a 1(mod p −  −   ).
Bài 12: Chứng minh rằng = 3p − 2p A
−1 42 p ( với p là số nguyên tố lớn hơn 7 ) Lời giải:
Ta có: 3p −1  0( mod 2 )  A 2
2p +1  0( mod 3)  A 3 .
p là số nguyên tố lớn hơn 7 nên p chỉ có thể có dạng *
6n 1(n N ) Nếu p = 6n +1 6n 1 6n 1 6n 6 3 2 1 3(3 1) 2(2 n A + + = − − = − − −1). 6 6 3  1(mod7) 3  −1 7 Vì     A 7. 6 6  2 1(mod 7) 2 −1 7 Trang 23 Nếu 5 6t 5 6t 5 5
p = 6n + 5  A = 3 (3 −1) − 2 (2 −1) + 3 − 2 −1 Ta cũng có: t 5 5
3 − 2 −1  0(mod 7)  A 7
Vậy A chia hết cho 7
Mặt khác theo định lí Fermat nhỏ ta có:
3p  39( mod p ) và 2p  2( mod p ) nên A  0( mod p )
2,3, 7, p đôi một nguyên tố cùng nhau nên t A (2.3.7.p)  A 42 p ( đpcm ) − − Bài 13: Cho ,
p q là hai số nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng: q 1 p 1 p
+ q −1 pq chia hết cho Lời giải:
Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta có: q q 1
( p p) q p( p −1) q do ,
p q là số nguyên tố). (1) Vì ,
p q là các số nguyên tố nên ( , p ) q =1 − Từ q (1) suy ra 1 ( p −1) q (2) − − Từ q p (2) suy ra 1 1 ( p
+ q −1) q (3) − −
p q có vai trò như nhau nên q 1 p 1 ( p
+ q −1) p (4) Lại vì ( , p )
q =1 nên từ (3) và (4) ta suy ra điều phải chứng minh.
Bài 14: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n 7 2 −1. Lời giải:
Ta có 2 không chia hết cho 7; 7 là số nguyên tố nên theo định lí Fermat ta có 6 2  1(mod 7) Ta có 3 2  8  1(mod 7)
Do đó tất cả các số chia hết cho 3 đều thỏa mãn yên cầu đề bài. 2
Bài 15: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p 2 5 1(mod p ). Lời giải:
Gỉa sử số nguyên tố p thỏa mãn điều kiện đã cho. Khi đó 2 2
5 p  1(mod p). 2 2 −
Vì ( p −1) p −1 nên theo định lí Fermat nhỏ ta có : 2( p 1) 5 1(mod ) p . Trang 24 Từ đó suy ra 2
5  1(mod p) nên p 2;  3
Thử lại ta thấy p = 3 thỏa mãn điều kiện đề bài.
Dạng 6: Các bài toán về hai số nguyên tố cùng nhau
I.Phương pháp giải
- Sử dụng lý thuyết và tính chất của 2 số nguyên tố cùng nhau để giải các bài toán về hai số nguyên tố cùng nhau. II.Bài toán
Bài 1: Chứng minh rằng: 5 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Ta có 5 = 5.1 ; 7 = 7.1 UCLN(5;7) =1
Vậy hai số 5 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 2: Chứng minh rằng: Hai số tự nhiên liên tiếp khác 0 là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải:
Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp là: * ,
n n +1(n N ) Đặt * d = ( ,
n n +1), (d N ) n d  
n +1− n d 1 d d =1. n +1 d
Vậy n n +1 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 3: Chứng minh rằng: Hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải:
Gọi 2 số lẻ liên tiếp là: 2k +1, 2k + 3(k N) . Đặt *
(2k +1; 2k + 3) = d (d N ) 2k +1 d  
 2k + 3− 2k −1 = 2 d 2k + 3 dd 1;  2
d là ước số lẻ nên d = 1. Vậy hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau. Trang 25
Bài 4: Chứng minh rằng : 2n +1và 3n +1là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải:
(2n +1,3n +1) = d(nN) 2n +1 d 3  (2n +1) d 6n + 3 d      
 6n + 3− 6n − 2 =1 d d = 1. 3  n +1 d 2(3n +1) d 6n + 2 d
Vậy 2n +1và 3n +1là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 5 : Cho a b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng hai số sau là hai số nguyên tố cùng
nhau: a a + b . Lời giải: Đặt *
(a, a + b) = d (d N ) a d    b d a + b d
a b là 2 số nguyên tố cùng nhau nên  d = 1
Vậy a a + b là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )
Bài 6: Cho a b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng hai số sau là hai số nguyên tố cùng nhau: 2
a a + b Lời giải: Đặt 2 *
(a , a + b) = d (d N ) 2 a da da d       a + b da + b d bd
a b là 2 số nguyên tố cùng nhau nên  d = 1 Vậy 2
a a + b là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )
Bài 7: Cho a b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng hai số sau là hai số nguyên tố cùng
nhau: ab a + b . Lời giải: Đặt * (a ,
b a + b) = d (d N ) a dab d    b d
a + b d a+b d Trang 26
+ TH1: a d b d a b  =
là 2 số nguyên tố cùng nhau nên d 1
Vậy ab a + b là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )
+ TH2: b d a d
a b là 2 số nguyên tố cùng nhau nên  d = 1
Vậy ab a + b là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )
Bài 8 : Cho a b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng hai số sau là hai số nguyên tố cùng
nhau: b a − ( b a  ) b . Lời giải: Đặt * ( ,
b a b) = d (d N ) a dab d    b d c d c da b  =
là 2 số nguyên tố cùng nhau nên d 1
Vậy b a b là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )
Bài 9: Chứng minh rằng nếu nếu c nguyên tố cùng với a b thì c nguyên tố cùng nhau với tích ab Lời giải:
Gọi p là ước chung nguyên tố của c ab . c d   ab d + TH1: a d
a c là 2 số nguyên tố cùng nhau nên  d = 1
Vậy ab c là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM ) + TH2: b d
c b là 2 số nguyên tố cùng nhau nên  d = 1
Vậy ab c là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )
Bài 10: Tìm số tự nhiên n để các số 9n + 24 và3n + 4 là các số nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Trang 27
Giả sử 9n + 24 và 3n + 4 cùng chia hết cho số nguyên tố d thì
9n + 24 − 3(3n + 4) d 12 d d  2,3.
Điều kiện để (9n + 24;3n + 4) =1 là d  2;d  3.Hiển nhiên d  3vì 3n + 4 không chia hết cho 3.Muốn
d  2 phải có ít nhất một trong 2 số 9n + 24 và3n + 4 không chia hết cho 2.Ta thấy:
+ Nếu 9n + 24là số lẻ  9n lẻ  n lẻ,
+ Nếu 3n + 4 là số lẻ  3n lẻ  n lẻ.
Vậy điều kiện để hai số 9n + 24 và3n + 4 là các số nguyên tố cùng nhau là n lẻ.
Bài 11: Tìm số tự nhiên n để các số 18n + 3 và 21n + 7 là các số nguyên tố cùng nhau. Lời giải:
Giả sử 18n + 3 và 21n + 7 cùng chia hết cho số nguyên tố d thì
6(21n + 7) − 7(18n + 3) d  21 d d 1;3;7;2  1 .
Điều kiện để (18n +3;21n + 7) =1 là d  3;d  7;d  21.Hiển nhiên d  3;d  21vì 21n + 7 không chia
hết cho 3. Muốn d  7 thì số 18n + 3 không chia hết cho 7 (vì 21n + 7 luôn chia hết cho 7 )
18n + 3 7 18n + 3 − 21 7 18(n −1) 7  n −1 7.
Vậy điều kiện để hai số 18n + 3 và 21n + 7 là các số nguyên tố cùng nhau là * n  7k + 1, (k  N ) .
Bài 12: Chứng minh rằng hai số 2n + 5 và 4n +12 là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n . Lời giải:
Gọi d = (2n + 5;4n +12) 2n + 5 d
 4n+12 d 2(2n + 5) d
 4n+12 d 4n +10 d
 4n+12 d
 4n +12 − 4n −10 d  2 d
Mà 2n + 5 là số lẻ nên d = 1 Trang 28
Vậy hai số 2n + 5 và 4n +12 là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n .
Bài 13: Chứng minh rằng hai số 12n +1 và 30n + 2 là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n . Lời giải:
Gọi d = (12n +1;30n + 2) 12  n +1 d  30  n + 2 d 5  (12n +1) d   2(30n + 2) d 60n + 5 d   60n + 4 d
 6n + 5 − 6n − 4 d  1 d d =1
Vậy hai số 12n +1 và 30n + 2 là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n .
Bài 14: Chứng minh rằng hai số 2n + 3 và 4n + 8 là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n . Lời giải:
Gọi d = (2n + 3;4n +8) 2n + 3 d
 4n+8 d 2(2n + 3) d
 4n+8 d 4n + 6 d
 4n+8 d
 4n + 8 − 4n − 6 d  2 d d =1
Vì 2n + 3 là số lẻ.
Vậy hai số 2n + 3 và 4n + 8 là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n . Trang 29
Bài 15: Chứng minh rằng hai số 3n + 2 và 5n + 3 là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n . Lời giải:
Gọi d = (3n + 2;5n + 3) 3n + 2 d
 5n+3 d 5  (3n + 2) d
 3(5n+3) d 1  5n +10 d
 15n+9 d
15n +10 −15n − 9 d  1 d d =1
Vậy hai số 3n + 2 và 5n + 3 là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n .
PHẦN III.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.
Bài 1: Tìm số tự nhiên n để 2018 2002 A = n + n +1 là số nguyên tố.
(HSG Tỉnh Quảng Ngãi 2015 – 2016). Lời giải:
Xét n = 0 thì A =1 không phải là số nguyên tố
Xét n = 1 thì A = 3 là số nguyên tố. Xét n  1 : 2018 2 2002 2 A = nn + n
n + n + n +1 672 667 2
= n ( ( 3n ) − )+n( ( 3n ) − )+( 2 1 1 n + n +1 ) Mà ( n )672 3 −1 chia hết cho 3
n −1, suy ra ( n )672 3 −1 chia hết cho 2 n + n +1. Tương tự: ( n )667 3 −1 chia hết cho 2 n + n +1.
Vậy A chia hết cho 2
n + n +1 1 nên A là hợp số. Số tự nhiên cần tìm n =1 .
Bài 2 : Tìm các số nguyên tố p để 2 2 p p + cũng là số nguyên tố.
(HSG Thành phố Hà Nội 2016 – 2017). Lời giải: Nếu p = 2 thì 2 2p p +
= 4 + 4 = 8 (không thỏa mãn). Nếu p = 3 thì 2 2p p + = 9 + 8 =17 (thỏa mãn). Nếu p  3 thì 2 p + = ( 2 2 −1 ) + ( 2p p p +1 ) 3. Trang 30
Kết luận p = 3 là giá trị cần tìm.
Bài 3: Tìm tất cả các cặp số nguyên tố ( ; p q ) thỏa mãn 2 2 p − 5q = 4 .
(Chuyên Vũng Tàu 2016 – 2017). Lời giải: 2 2 2 2
p q =  p − = q  ( p − )( p + ) 2 5 4 4 5 2 2 = 5q
Do 0  p − 2  p + 2 và q nguyên tố nên p − 2 chỉ có thể nhận các giá trị 2 1;5; ; q q .
Ta có bảng giá trị tương ứng: p − 2 p + 2 p q 1 2 5q 3 1 5 2 q 7 3 q 5q 3 1 2 q 5 3 1 Do ,
p q là các số nguyên tố nên chỉ có cặp ( ;
p q ) = ( 7;3 ) thỏa mãn.
Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên N (theo hệ thập phân) thỏa mãn các điều kiện sau: N = aabb , trong đó
abb aab là số nguyên tố. Lời giải:
Do aab là số nguyên tố, tức là 110a + b là số nguyên tố ta có b =1,3, 7 hoặc 9.
Từ điều kiện thứ nhất ta có: N = 1 ( 1 100a + b ).
Theo bảng số nguyên tố ta tìm được các cặp số nguyên tố abb aab thỏa mãn điệu kiện thứ nhất sau
đây: ( 223;233 ) ,( 227;277 ), ( 331;311 ), ( 443;433 ) , ( 449;499 ) , ( 557;577 ) , ( 773;733 ) ,
( 881;811), ( 887;877 ), ( 991;911), ( 997;977 )
Tương ứng với 100a + b là các số sau: 203 = 2.29 ; 207 = 9.23; 301 = 7.43 ; 403 =13.31; 409 là số nguyên tố; 2 507 = 3.13 ; 703 = 19.37 ; 2
801 = 3 .89 ; 807 = 2.269 ; 901 = 17.53 ; 907 là số nguyên tố.
Vậy N = 8877 = 3.11.269
Bài 5: Tìm số tự nhiên p sao cho p p + 3 đều là số nguyên tố. Lời giải:
Một số tự nhiên bất kì có 1 trong hai dạng: 2 ;
n 2n +1 với n N . Nếu p = 2n +1 thì p + 3 = 2n + 4 chia hết cho 2.
Ta có p + 3  3 và p + 3 chia hết cho 2. Nên p + 3 là hợp số trái đề bài.
Do đó: p = 2n . Nhưng p nguyên tố nên p = 2 và p + 3 = 5 nguyên tố. Vậy p = 2 .
Bài 6: Tìm số nguyên tố p sao cho p + 4 và p + 8 đều là số nguyên tố. Lời giải: Trang 31
Bất kì số tự nhiên nào cũng có một trong ba dạng: 3n;3n +1;3n+ 2;n  N. Nếu p = 3n thì
p + 8 = 3n + 9 3 , vô lí.
Nếu p = 3n + 2 thì p + 4 = 3n + 6 , vô lí. Do đó p = 3n .
Nhưng p nguyên tố nên p = 3; p + 4 = 7; p +8 =11 nguyên tố. Vậy p = 3 .
Bài 7: Tìm các số nguyên tố ,
x y, Z thỏa mãn y x +1 = Z Lời giải: Vì ,
x y là các số nguyên tố
x  2, y  2
Z  5  Z là số nguyên tố lẻ y
x là số chẵn  x chẵn
x = 2 thay vào ta có 2y Z = +1 Nếu y lẻ 2y  +1 3 ( n n
a + b a + b lẻ)  Z 3 vô lí
Do đó y là số chẵn  y = 2
Thay x = 2, y = 2  Z = 5
Vậy x = 2, y = 2  Z = 5
Bài 8: Tìm n N * để 4
n + 4 là số nguyên tố Lời giải: a) 4 4 2 2
n + 4 = n + 4n + 4 − 4n
= ( n + )2 −( n )2 2 2 2 = ( 2 n n + )( 2 2 2 n + 2n + 2 ) Để 4
n + 4 là số nguyên tố thì 2
2n − 2n + 2 =1 n =1
Thử lại với n = 1 thì 4
n + 4 = 5 là số nguyên tố.
Vậy với n = 1 thì 4
n + 4 là số nguyên tố.
Bài 9: Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2 và p + 4 là các số nguyên tố (trích đề thi HSG Quãng Trạch) Lời giải:
Với p = 3 thì p + 2 = 5 và p + 4 = 7 là các số nguyên tố
Với p  3 thì p = 3k 1
Nếu p = 3k +1thì p + 2 = 3k + 3 3
Nếu p = 3k −1thì p + 4 = 3k + 3 3 Trang 32
Vậy p = 3 thì p + 2 và p + 4 là các số nguyên tố.
Bài 10: Tìm các số tự nhiên n để 2
n +12n là số nguyên tố.( trích đề thi HSG Thanh Oai) Lời giải: Ta có 2
n +12n = n(n +12)
n +12  1 nên để 2
n +12n là số nguyên tố thì n = 1 Thử lại 2 2
n +12n =1 +12.1 =13 là số nguyên tố
Vậy với n = 1 thì 2
n +12n là số nguyên tố
Bài 11: Chứng minh rằng nếu p và 2
p + 2 là các số nguyên tố thì 3
p + 2 cũng là số nguyên tố. (trích đề thi HSG Nga Sơn) Lời giải:
Với mọi số nguyên tố lớn hơn 3 thì chia hết cho 3 đều có dạng p = 3k +1hoặc *
p = 3k + 2(k N )
Với p = 3k +1 thì 2 2
p + 2 = 9k + 6k + 3 chia hết cho 3
Với p = 3k + 2 thì 2 2
p + 2 = 9k − 6k + 6 chia hết cho 3
p là số nguyên tố nên p  2 khi đó trong cả hai trường hợp trên thì 2
p + 2 đều lớn hơn 3 và chia hết cho 3 , tức là 2 p + 2 là hợp số 2
= p + 2 chỉ là hợp số khi p = 3khi đó 2
p + 2 = 11là số nguyên tố 3 3
= p + 2 = 3 + 2 = 29là số nguyên tố Vậy nếu p và 2
p + 2 là các số nguyên tố thì 3
p + 2 cũng là số nguyên tố. Bài 12:Cho 2 3 100
A = 3+ 3 + 3 +...+ 3 là số nguyên tố hay hợp số? vì sao? (trích đề thi HSG Nam Trực) Lời giải: 2 3 100 2 3 4 99 100 A = 3 + 3 + 3 + ... + 3
= (3+ 3 ) + (3 + 3 ) +...+ (3 + 3 ) 3 99
= 3(1+ 3) + 3 (1+ 3) +...+ 3 (1+ 3) 3 99 3 99
= 3.4 + 3 .4 +...+ 3 .4 = 4(3 + 3 +...+ 3 ) 4 Mà A  4 Nên 2 3 100 A = 3+ 3 + 3 +...+ 3 là hợp số Trang 33
Bài 13: Cho n là số nguyên tố. Hỏi 10
n −1là số nguyên tố hay hợp số? (trích đề thi HSG Bá Thước) Lời giải:
Ta có n là số nguyên tố suy ra n chia 2 dư 1 10 = n chia 2 dư 1 10
= n −1chia hết cho 2 Vậy 10 n −1 là hợp số
Bài 14: Tìm số tự nhiên n sao cho 2
p = (n − 2)(n + n − 5) là số nguyên tố. (Trích đề thi HSG Hiệp Hòa) Lời giải: Vì 2
p = (n − 2)(n + n − 5) nên n − 2 và 2
n + n − 5Ư ( p)
p là số nguyên tố nên n − 2 = 1hoặc 2 n + n − 5 =1
+ Nếu n − 2 = 1 = n = 3 thì 2
p = (3 − 2)(3 + 3 − 5) = 1.7 = 7 (thỏa) + Nếu 2 2
n + n − 5 = 1 = n + n = 6 = n(n +1) = 6 = 2.3 = n = 2 thì 2
p = (2 − 2)(2 + 2 − 5) = 0 không phải là số nguyên tố, loại Vậy n = 3thì 2
p = (n − 2)(n + n − 5) là số nguyên tố.
Bài 15: Tìm các số tự nhiên n để 3n + 6 là số nguyên tố. (trích đề thi HSG Hưng Hà). Lời giải:
Với n = 0 ta có n 0
3 + 6 = 3 + 6 = 7 là số nguyên tố.
Với n  0 ta có 3n 3, 6 3 nên 3n + 6 3mà 3n + 6  3 do đó 3n + 6 là hợp số
Vậy n = 0 thì 3n + 6 là số nguyên tố.  HẾT Trang 34