Luyện thi HSG Toán 6 chủ đề: Phương pháp tìm ƯCLN và BCNN

Luyện thi HSG Toán 6 chủ đề: Phương pháp tìm ƯCLN và BCNN. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 20 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!

Trang 1
ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 4- ƯỚC CHUNG LN NHT VÀ BI CHUNG NH NHT
CH ĐỀ 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM ƯCLN, BCNN
PHN I. TÓM TT LÝ THUYT
1. Kiến thc cn nh
1. Ước chung ca hai hay nhiu s là ước ca tt c các s đó.
2. Ước chung ln nhất (ƯCLN) của hai hay nhiếu s là s ln nhất trong các ước chung ca các s đó.
3. Muốnm ƯCLN của hai hay nhiếu s lớn hơn
1
, ta thc hiện ba bước sau:
- Phân tích mi s ra tha s nguyên t.
- Chn ra các tha s nguyên t chung.
- Lp ch các tha s đã chọn, mi tha s ly vi s mũ nhỏ nht ca nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.
4. Để m ước chung ca nhiu s, ta có th m ƯCLN của các s đó rồi tìm ước của ƯCLN đó.
5. Bi chung ca hai hay nhiu s là bi ca tt c các s đó.
6. Bi chung nh nht (BCNN) ca hai hay nhiu s s nh nht khác
0
trong các bi chung ca các s
đó.
7. Munm BCNN ca hai hay nhiu s lớn hơn
1
, ta thc hiện ba bước sau:
- Phân tích mi s ra tha s nguyên t.
- Chn ra các tha s nguyên t chung và riêng.
- Lp ch các tha s đã chọn, mi tha s ly vi s mũ lớn nht của nó. Tích đó BCNN phải tìm.
8. Để m bi chung ca nhiu s, ta th tìm BCNN ca các s đó rồi nhân BCNN đó lần lượt vi
0,1,2,3,
2. Các nh cht
1. Khi cn kí hiu gn, ta có th viết ƯCLN
( , )ab
( , )ab
, viết
( , )BCNN a b
[ , ]ab
2. Nếu
ab c
thì
ac
.
3. Nếu
am
an
thì
( , )a BCNN m n
. Đặc bit, nếu
,a m a n
( , ) 1mn =
thì
a mn
4. Nếu ƯCLN
( , )a b d=
thì
,a dm b dn==
vi
( , ) 1mn =
.
5. Nếu
( , )BCNN a b c=
thì
,c am c bn==
vi
( , ) 1mn =
.
6. ƯCLN
( , ) ( , ) .a b BCNN a b ab=
.
7. Người ta chứng minh được rng:
Cho hai s t nhiên
a
b
trong dó
ab
.
Trang 2
+ Nếu a chia hết cho
b
thì ƯCLN
( , )a b b=
.
+ Nếu
a
không chia hết cho
b
thì ƯCLN
( , )ab
bằng ƯCLN của
b
s dư trong phép chia
a
cho
b
.
T đó, ta thuật toán Euclide m ƯCLN ca hai s không cn phân ch mi s ra tha s nguyên t
như sau:
- Chia s ln cho s nh.
- Nếu phép chia còn dư, lấy s chia đem chia cho số dư.
- Nếu phép chia này còn dư, lại ly s chia mi chia cho s mới.
- C tiếp tục làm như vậy cho đến khi được s dư bằng
0
thì s chia cui cùng ƯCLN phi tìm.
PHN II. CÁC DNG BÀI
Dng 1: Phương pháp phân tích ra các tha s nguyên t
I. Phương pháp giải
Muốn m ƯCLN, BCNN của hai hay nhiu s ta làm như sau
c 1: Phân ch các s ra tha s nguyên t vi s mũ tương ứng
c 2: Tìm các tha s chung riêng
c 3: ƯCLN là tích các thừa s nguyên t chung vi s mũ nhỏ nht
BCNN là tích ca các tha s nguyên t chung và riêng vi s mũ lớn nht
II. Bài toán
Bài 1: Tìm s t nhiên
n
ln nht sao cho khi chia
364,414,539
cho
n
, ta được ba s dư bng nhau.
Li gii:
364,414,539
chia cho
n
có cùng s dư nên các hiệu ca hai s trong ba s y chia hết cho
n
.
Ta có:
539 414 n
, tc là
125 n
,
539 364 n
, tc là
175 n
,
414 364 n
, tc là
50 n
.
Để
n
ln nht thì
n
là ƯCLN
(125, 175, 50)
.
Phân tích ra tha s nguyên t:
3
125 5=
2
175 5 .7=
2
50 25 .=
Trang 3
ƯCLN
2
(125, 175, 50) 5 25==
Vy
25n =
Bài 2: Tìm s t nhiên
n
nh hơn
30
để các s
34n+
51n +
ước chung khác
1
.
Li gii:
Gi
d
là một ước chung ca
34n+
51n +
.
Ta có
34nd+
51nd+
nên
5(3 4) 3(5 1)n n d+ +
, tc
17 d
Suy ra
{1;17}d
.
Để
34n+
51n +
ước chung khác
1
, ta phi có
3 4 17n +
tc là
3 4 34 17n +−
hay
3( 10) 17n
Ta li có
(3,17) 1=
nên
10 17n
.
Do
30n
nên
10n =
hoc
27n =
.
Th li
10n =
,
27n =
tha mãn. Vy
10n =
,
Bài 3: Tng của năm số t nhiên bng
156
. Ước chung ln nht ca chúng th nhn giá tr ln nht bng
bao nhiêu?
Li gii:
Gọi năm số t nhiên đã cho
1 2 3 4 5
, , , ,a a a a a
, ước chung ln nht ca chúng
d
.
Ta có:
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
, , , ,a dk a dk a dk a dk a dk= = = = =
nên
( )
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
a a a a a d k k k k k+ + + + = + + + +
do đó
( )
1 2 3 4 5
156 d k k k k k= + + + +
Suy ra
d
là ước ca
156
.
Ta li có
1 2 3 4 5
5k k k k k+ + + +
nên
5 156d
, suy ra
31d
.
Phân tích ra tha s nguyên t:
2
156 2 .3.13=
.
Ước ln nht ca
156
không vượt quá
31
26
.
Giá tr ln nht ca
d
26
, xy ra khi chng hn
1 2 3 4
26a a a a= = = =
5
52a =
hoc các hoán v ca
chúng.
Bài 4: ba đèn n hiu, chúng phát sáng cùng mt lúc vào
8
gi sáng. Đèn th nht c
4
phút phát sáng
mt lần, đèn th hai c
6
phút phát sáng mt ln, đèn th ba c
7
phút phát sáng mt ln. Thi gian đầu
tiên để c ba đèn cùng phát sáng sau
12
gi trưa là lúc mấy gi?
Li gii:
Trang 4
Gi thi gian ít nhất để sau đó, cả ba đèn lại cùng phát sáng là
a
(phút).
Ta có
a
(4,6,7)BCNN
.
Phân tích ra tha s nguyên t:
2
4. 2 ,6 2.3,7 7= = =
nên
2
(4,6,7) 2 3.7 84BCNN = =
Sau
84
phút, c ba đèn cùng phát sáng. Chúng cùng phát sáng vào lúc
9
gi
24
phút,
10
gi
48
phút,
12
gi
12
phút. . .
Thời gian đầu tiên sau
12
gi trưa để c ba đèn cùng phát sáng là lúc
12
gi
12
phút.
Bài 5: Đin các ch s thích hp vào dấu * để s
***
679A =
chia hết cho tt c các s
5,6,7,9
Li gii:
Điu kiện để
A
chia hết cho tt c các s
5,6,7,9
A
chia hết cho
(5,6,7,9)BCNN
2
(5,6,7,9) 2.3 5.7 630BCNN = =
Ta thy
679999
chia
630
được
1079
,
229
nên
679999 229 679770−=
chia hết cho
630
,
679770 630 679140−=
chia hết cho
630
.
Đáp số:
679770
679140
.
Bài 6: Tìm các s t nhiên
a
b
()ab
biết ƯCLN
( , ) 12, ( , ) 240a b BCNN a b==
Li gii:
Ta có
ab =
ƯCLN
( , ). ( , ) 12.240 2880a b BCNN a b ==
( )
1
ƯCLN
( , ) 12ab =
nên
12m, 12a b n==
trong đó
( , ) 1mn =
Suy ra
12m.12 144 .ab n mn==
( )
2
T
( )
1
( )
2
suy ra
144 2880mn =
hay
20mn =
.
Ta có
ab
nên
mn
. Các s
,mn
nguyên t cùng nhau và có ch bng
20
nên
m
1
4
n
20
5
Suy ra
a
12
48
b
240
60
Bài 7: Cho
24, 70, 112.a b c= = =
Tìm
( ) ( )
, ; , , ; , ; , , .a b a b c a b a b c
T đó kiểm tra công thc
ƯCLN
( , , )abc =
ƯCLN(ƯCLN
( , ), ); ( , , ) ( ( , ), )a b c BCNN a b c BCNN BCNN a b c=
Trang 5
Li gii:
Ta có:
33
24 2 .3; 70 2.5.7; 112 24.7;( , ) 2;( , , ) 2; , 2 .35.7 840a b c a b a b c a b= = = = = = = = = =
4
, , 2 .3.5.7 1680abc ==
ƯCLN
( , , ) 2;abc =
ƯCLN
( , ) 2ab =
ƯCLN(ƯCLN
( , ), )a b c =
ƯCLN
(2,112) 2=
( , , ) 1680; ( ( , ), ) (840,112) 1680BCNN a b c BCNN BCNC a b c BCNN= = =
Bài 8: Tìm ƯCLN, BCNN của các s sau
a)
793016,308,3136
b)
1323,19845,1287,315
Li gii:
a) Ta có:
3 3 2
793016 2 .7 .17=
;
2
308 2 .7.11=
;
62
3136 2 .7=
ƯCLN
( )
2 6 3 2
793016,308,3136 2 .7 28; 2 .7 .11 17BCNN= = = =
b) Ta
32
1323 3 .7=
;
42
19845 3 .5.7=
;
2
1287 3 .11.13=
;
2
315 3 .5.7=
ƯCLN
( )
2 4 2
1323,19845,1287,315 3 9; 3 .5.7 .11.13BCNN= = =
Bài 9: Một trường t chc cho khong
700
800
học sinh đi tham quan. Tính s hc sinh biết rng nếu
xếp
40
người hoc
50
người lên xe ô tô thì vừa đủ.
Li gii:
Gi s hc sinh của trường là:
( )
*
n n N
Theo bài ta có:
700 800n
45; 40 (40,45) ( (40,45))n n n BC n B BCNN
Ta có:
32
40 2 .5;45 3 .5==
32
(40,45) 2 .3 .5 360BCNN ==
(360)
700
700 800
nB
n
n
=

Vy S hc sinh
700
.
Dng 2: Thuật toán EUCLID để m ƯCLN
Trong toán học, giải thuật Euclid (hay thuật toán Euclid) là một giải thuật để nh ước chung lớn
nhất (ƯCLN) của hai số nguyên, số lớn nhất thể chia được bởi hai số nguyên đó với số bằng không.
Giải thuật này được đặt tên theo nhà toán học người Hy Lạp cổ đại Euclid, người đã viết trong bộ
sở của ông (khoảng năm 300 TCN). Nó một dụ về thuật toán, một chuỗi các bước tính toán theo điều
kiện nhất định và là một trong số những thuật toán lâu đời nhất được sử dụng rộng rãi.
Trang 6
Giải thuật Euclid dựa trên nguyên tắc là ước chung lớn nhất của hai số nguyên không thay đổi khi thay số lớn
hơn bằng hiệu của với số nhỏ n. Chẳng hạn,
21
ƯCLN của
252
105
(vì
252 21 .1 2=
105 21 . 5=
) cũng ƯCLN của
105
252 1 05 1 47−=
. Khi lặp lại quá trình trên thì hai số trong cặp s
ngày càng nhỏ đến khi chúng bằng nhau, và khi đó chúng là ƯCLN của hai số ban đầu. Bằng cách đảo ngược
lại các bước, ƯCLN này thể được biểu diễn thành tổng của hai số hạng, mỗi số hạng bằng một trong hai
số đã cho nhân với một số nguyên dương hoặc âm (đồng nhất thức Bézout), chẳng hạn,
( )
21 5.105 2 . 252.= +
Dạng ban đầu của giải thuật như trên thể tốn nhiều bước thực hiện phép trừ để tìm ƯCLN nếu một trong
hai số lớn hơn rất nhiều so với số còn lại. Một dạng khác của giải thuật rút ngắn lại các bước này, thay vào đó
thế số lớn hơn bằng số của khi chia cho số nhỏ hơn (dừng lại khi số bằng không). Dạng thuật toán
này chỉ tốn số bước nhiều nhất năm lần số chữ số của số nhỏ hơn trên hệ thập phân. Gabriel Lamé chứng
minh được điều này vào năm 1844, đánh dấu sự ra đời của thuyết độ phức tạp nh toán. Nhiều phương
pháp khác để tăng hiệu quả của thuật toán cũng đã được phát triển trong thế kỷ 20.
Giải thuật Euclid rất nhiều ứng dụng trong thuyết thực tế. được dùng để rút gọn phân số về dạng
tối giản thực hiện phép chia trong số học module. Thuật toán ng một thành phần then chốt trong giao
thức mật để bảo mật kết nối Internet được dùng để phá vỡ hệ thống mật này qua phân ch số
nguyên. cũng được áp dụng để giải phương trình Diophantine, chẳng hạn như tìm một số thỏa mãn nhiều
biểu thức đồng theo định số Trung Quốc, để y dựng liên phân số hay m xấp xỉ gần đúng
nhất cho số thực. Cuối cùng, nó là công cụ cơ bản để chứng minh nhiều định lý trong lý thuyết số như định lý
bốn số chính phương của Lagrange tính duy nhất của phân ch số nguyên ra thừa số nguyên tố. Thuật
toán Euclid ban đầu chỉ được giới hạn về số tự nhiên độ dài hình học (số thực), nhưng đến thế kỷ 19 đã
được mở rộng cho nhiều dạng số khác như số nguyên Gauss đa thức một biến, dẫn đến các khái niệm
về đại số trừu tượng như miền Euclid.
Giải thuật Euclid dùng để nh ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai số tự nhiên
a
b
. Ước chung
lớn nhất
g
số lớn nhất chia được bởi cả
a
b
không để lại số được hiệu ƯCLN
( )
,ab
hoặc
( )
,ab
.
Nếu ƯCLN
( )
1,ab =
thì
a
b
được gọi hai số nguyên tố cùng nhau. Tính chất y không khẳng định
b
số nguyên tố. Chẳng hạn,
6
35
đều không phải số nguyên tố chúng đều thể được phân tích
thành ch của các thừa số nguyên tố:
6 2.3=
35 5.7=
. Tuy nhiên,
6
35
nguyên tố ng nhau
chúng không có một thừa số chung o.
Gọi
g =
ƯCLN
( )
,ab
. Vì
a
b
đều là bội của
g
nên chúngthể được viết thành
a mg=
b ng=
, không tồn tại số
Gg
nào để các biểu thức trên đúng. Hai số tự nhiên
m
n
phải nguyên tố cùng
nhau thể phân tích bất kỳ thừa số chung nào từ
m
n
để
g
lớn hơn. Do đó, một số
c
bất kỳ được
chia bởi
a
b
cũng được chia bởi
g
. Ước chung lớn nhất
g
của
a
b
ước chung (dương) duy nhất
của chúng có thể chia được bởi một ước chung
c
bất kỳ.
ƯCLN thể được minh họa như sau: Xét một hình chữ nhật có kích thước là
ab
một ước chung
c
bất
kỳ thể chia được hết cả
a
b
. C hai cạnh của hình chữ nhật thể được chia thành các đoạn thẳng
bằng nhau độ dài
c
để chia hình chữ nhật thành các hình vuông cạnh bằng
c
. Ước chung lớn nhất
g
chính giá trị lớn nhất của
c
để điều này thể xảy ra. Chẳng hạn, một hình chữ nhật kích thước
Trang 7
24 60
thể được chia thành các hình vuông cạnh
1, 2, 3, 4, 6
hoặc
12
, nên
12
ước chung lớn
nhất của
24
60
, tức hình chữ nhật trên hai hình vuông nằm trên một cạnh (
24
2
12
=
) năm hình
vuông nằm trên cạnh còn lại (
60
5
12
=
).
Ước chung lớn nhất của hai số
a
b
tích của các thừa số nguyên tố chung của hai số đã cho, trong đó
một thừa số thể được nhân lên nhiều lần, chỉ khi ch của các thừa số đó chia được cả
a
b
. Chẳng
hạn, ta phân tích được
1386 2.3.3.7.11=
3213 3.3.3.7.17=
nên ước chung lớn nhất
1386
3213
bằng
63 3.3.7=
(là tích của các thừa số nguyên tố chung). Nếu hai số không một thừa số nguyên tố
chung nào thì ước chung lớn nhất của chúng bằng
1
(một trường hợp của ch rỗng), hay nói cách khác
chúng nguyên tố cùng nhau. Một ưu điểm quan trọng của giải thuật Euclid thể tính được ƯCLN đó
mà không cần phân tích ra thừa số nguyên tố. Bài toán phân ch các số nguyên lớn là rất khó và nh bảo mật
của nhiều giao thức mật phổ biến được dựa trên tính chất này.
ƯCLN của ba số trở lên bằng ch của các thừa số nguyên tchung của cba số đã cho, nhưng cũng
thể được tính bằng cách m ƯCLN của từng cặp số trong ba số đó. Chẳng hạn,
ƯCLN
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
, , , , , , , , .a b c a b c a b c a c b= = =¦ CLN ¦ CLN ¦ CLN ¦ CLN ¦ CLN ¦ CLN
ư Vì vậy, giải thuật Euclid, vốn dùng để tính ƯCLN của hai số nguyên cũng có thể được áp dụng để
nh ƯCLN của một số lượng số nguyên bất kỳ.
Giải thuật Euclid gồm một dãy các bước trong đó, đầu ra của mỗi bước đầu vào của bước kế
tiếp. Gọi
k
số nguyên dùng để đếm số bước của thuật toán, bắt đầu từ số không (khi đó bước đầu tiên
ơng ứng với
0k =
, bước tiếp theo là
1k =
,...)
Mỗi bước bắt đầu với hai số dư không âm
1k
r
2k
r
. Vì thuật toán giúp đảm bảo số dư luôn giảm dần theo
từng bước nên
1k
r
nhỏ hơn
2k
r
. Mục tiêu của bước thứ
k
tìm thương
k
q
số
k
r
thỏa mãn
21k k k k
r q r r
−−
=+
1
0
kk
rr

. Nói cách khác, từ số lớn hơn
2k
r
, trừ đi bội của số nhỏ hơn
1k
r
đến khi
phần dư
k
r
nhỏ hơn
1k
r
.
bước đầu tiên (
0k =
), số
2k
r
1k
r
bằng
a
b
, hai số cần m ƯCLN. Đến bước kế tiếp (
1k =
), hai số lần ợt bằng
b
số dư
0
r
bước đầu tiên,... Do đó, thuật toán có thể được viết thành một dãy
các bước:
00
1 0 1
0 2 1 2
1 3 2 3
...
a q b r
b q r r
r q r r
r q r r
=+
=+
=+
=+
Nếu
a
nhỏ hơn
b
thì thuật toán đảo ngược vị trí của hai số. Chẳng hạn, nếu
ab
thì thương
0
q
bằng
không và số dư
0
r
bằng
a
. Do đó,
k
r
luôn nhỏ n
1k
r
với mọi
0k
.
Trang 8
các số luôn giảm dần theo từng bước nhưng không thể số âm nên số sau cùng
n
r
phải bằng
không thuật toán dừng lại tại đó. Số khác không cuối cùng
1n
r
chính ước chung lớn nhất của
a
b
. Số
n
không thể hạn chỉ một số lượng hữu hạn các số nguyên ơng nằm giữa số ban đầu
0
r
0
.
Tính đúng đắn của giải thuật Euclid có thể được chứng minh qua hai bước lập luận.
Bước thứ nhất, cần chứng minh số khác không cuối cùng
1n
r
chia được cả
a
b
. Vì
1n
r
một ước
chung nênphải nhỏ n hoặc bằng với ước chung lớn nhất
g
.
Bước thứ hai, cần chứng minh rằng bất kỳ ước chung nào của
a
b
, trong đó
g
cần phải chia được
1n
r
; từ đó,
g
phải nhỏ n hoặc bằng
1n
r
. Hai kết luận trên là mâu thuẫn trừ khi
1n
rg
=
.
Để chứng tỏ
1n
r
chia được cả
a
b
, cần biết
1n
r
chia được số liền trước
2n
r
:
21n n n
r q r
−−
=
số
cuối cùng
n
r
bằng không.
1n
r
cũng chia được số dư
3n
r
:
3 1 2 1n n n n
r q r r
=+
vì nó chia được cả hai số hạng
trong vế phải của phương trình. Chứng minh tương tự,
1n
r
cũng chia được tất cả số dư liền trước nó kể cả
a
b
. Không số liền trước
2n
r
,
3n
r
,... chia bởi
a
b
cho số bằng không. Vì
1n
r
ước chung
của
a
b
nên
1n
rg
.
Trong bước thứ hai, một số tự nhiên
c
bất kỳ chia được cả
a
b
(là ước chung của
a
b
) cũng chia
được số dư
k
r
. Theo định nghĩa thì
a
b
thể được viết thành bội của
c
:
a mc=
b nc=
với
m
n
các số tự nhiên. Ta
( )
0 0 0 0
r a q b mc q nc m q n c= = =
nên
c
một ước của số dư ban đầu
0
r
.
Chứng minh như bước thứ nhất, ta thấy
c
cũng ước của các số liền sau
12
, ,...rr
Từ đó, ước chung lớn
nhất
g
là ước của
1n
r
hay
1n
gr
. Kết hợp hai kết luận thu được, ta có
1n
gr
=
. Vậy
g
là ước chung lớn
nhất của tất cả cặp số liền sau:
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 1 2 1 1
, , , , .
n n n
g a b b r r r r r r
= = = == =¦ CLN ¦ CLN ¦ CLN ¦ CLN
I. Phương pháp giải
Muốn m ƯCLN của
a
b
(gi s
)ab
c 1: Chia
a
cho
b
s dư là
r
c 2:
+ Nếu
0r =
thì ƯCLN
( )
,a b b=
. Việc tìm ƯCLN dừng li.
+ Nếu
0r
, ta chia tiếp
b
cho
r
, được s
1
r
- Nếu
1
0r =
thì
( )
1
,r a b= ¦ CLN
. Dng li việc tìm ƯCLN
- Nếu
1
0r
thì ta thc hin phép chia
r
cho
1
r
lp lại quá trình như trên.
ƯCLN
( )
,ab
là s dư khác
0
nh nht trong dãy phép chia nói trên.
Trang 9
II. Bài toán
Bài 1: Hãy tìm ƯCLN
( )
1575,343
bng thuật toán Ơclide
Li gii:
Ta có:
1575 343.4 203=+
343 203.1 140=+
203 140.1 63=+
140 63.2 14=+
63 14.4 7=+
14 7.2 0=+
(chia hết)
Vy ƯCLN
( )
1575,343 7=
Trong thc hành làm như sau:
Vy ƯCLN
( )
1575,343 7=
Bài 2: Tìm ƯCLN
( )
58005,2835
bng thut toán Euclide
Li gii:
Ta có:
58005 20.2835 1305 (58005,2835) (2835,1305);2835 2.1305 225;1305 5.225 180= + = = + = +
225 1.180 45;180 4.45= + =
ƯCLN
45=
.
Bài 3: Chng minh rng ƯCLN
( 1,3 4) 1,n n n+ + =
.
Li gii:
Cách 1:
Gi
34
( 1,3 4), * (3 4) 3( 1) 1 1
1
nd
d UCLN n n d n n d d d
nd
+
= + + + + =
+
.
Vy ƯCLN
( 1,3 4) 1,n n n+ + =
.
1575
343
343
203
4
203
140
1
140
63
1
63
14
2
14
7
4
0
2
Trang 10
Cách 2:
Ta có:
3 4 3 3 1 3( 1) 1n n n+ = + + = + +
3( 1) ( 1) 3( 1) 1n n n+ + + +M
chia cho
( 1)n+
1
Suy ra ƯCLN
( )
( 1,3 4) 1;1 1,n n n n+ + = + =
Bài 4: Chng minh rng
21n +
23n +
là hai s nguyên t cùng nhau.
Li gii:
Cách 1:
Gi
21
(2 1,2 3), * (2 3) (2 1) 2 1;2
23
nd
d UCLN n n d n n d d d
nd
+
= + + + +
+
.
21nd+
21n +
l nên
d
l. Suy ra
1d =
.
Vy
21n +
23n+
là hai s nguyên t cùng nhau.
Cách 2:
Ta có:
2 3 2 1 2nn+ = + +
23n+
chia cho
21n +
2
Suy ra ƯCLN
( )
(2 3,2 1) 2 1;2 1,n n n n+ + = + =
(Vì
21n +
l ,
2
là s chn).
Vy
21n +
23n +
là hai s nguyên t cùng nhau.
Bài 5: Biết s
A
gm
2015
ch s
2
B
gm
8
ch s
2
. Hãy tìm ƯCLN
( )
,AB
Li gii:
Ta có
2015 7
2008 7. . .2
22...2 2.2.....20....0 2.2......2
chu so
A = = +
7
2008 8 8 7
2.2.....20....0 2.2.....2 ( , ) (2.2.....2,2.2.....2)AB→=
Ta có:
8 7 8 7 7
2.2.....2 2.2.....20 2 (2.2.....2,2.2.....2) (2.2.....2,2) 2 ( , ) 2AB= + = = =
Bài 6: S
X
gm
2002
ch s
9
, Y gm
9
ch s
9
. Tìm ƯCLN
( )
,XY
Li gii:
Có:
44
2002 1998
2002 222.9 4; 99....9 99....90000 9999; ( ) 9999(1)X X BS Y= + = = + = +
1
98
9999....9 9999....90 9 (9999) 9(2);9999 (9)(3)Y Y BS BS= = + = + =
T
(1)(2)(3)
ƯCLN
( , ) 9XY =
Bài 7: Tìm s t nhiên
n
, biết rng khi chia
239
373
cho
n
thì s lần t là
14
23
Li gii:
Trang 11
Theo đầu bài ta có:
2 2 2
239 14 225
(225,350) ( (225,350));225 3 .5 ;350 2.5 .7
373 23 350
n
n UC n U UCLN
n
−=
= =
−=
ƯCLN
(225,350) 25 (25)n UC=
373
chia cho
n
23
23
25
(25)
n
n
nU
=
Vy
25n =
Bài 8: Người ta đếm s trng trog mt r. Nếu đếm theo tng chục cũng như theo hoặc theo tng
15
qu
thì lần nào cũng dư
1
qu.nh s trng trong r, biết rng s trứng đó lớn hơn
150
nh hơn
200
qu.
Li gii:
Gi s trng trong r
n
(
*
nN
)
Ta có:
150 200(1);( 1) 10,12,15 ( 1) (10,12,15) 1 (60)n n n BC n B
Theo
( )
1
149 1 199 1 180 181n n n = =
Vy s trng trong r
181
qu
Bài 9: Một trưng hc s ng hc sinh không quá
1000
. Khi xếp hàng
20,25,30
thì đều
15
.
Nhưng khi xếp hàng
41
thì vừa đủ. Tính s hc sinh của trường?
Li gii:
Gi s hc sinh của trường là:
n
(
*
nN
)
Theo bài ra ta có:
1000n
Li có:
15 20,25,30; 41; 15 (20,25,30) ( (20,25,30) 300 15 (300)n n n BC B BCNN n B =
315,615,915
15 1000 15 985 1 300,600,900 615
41
n
n n n
n
= =
Vy s hc sinh của trường là
615
(hc sinh).
Bài 10: Tìm s t nhiên nh nht, biết rng khi chia s đó cho
12,18,23
thì s lần lượt
11,17,9
Li gii:
Gi s t nhiên cn tìm là:
a
(
aN
)
Theo bài ta có:
12 1 18 17 2.3. 9( , , )a k q p k p q N= + = + = +
Ta tìm s
b
sao cho:
12,18,23ab+
Nhn thy:
37 12 48 12; 37 18 54 18; 37 23 46 23 37 (12,18,23)a k a q a p a BC+ = + + = + + = + +
a
nh nht
2 2 2 2
37 (12,18,23);12 2 .3;18 2.3 ;23 23 (12,18,23) 2 .3 .23 828a BCNN BCNN + = = = = = =
Trang 12
828 37 791a = =
Vy s t nhiên cn tìm
791
.
Bài 11: Tìm s t nhiên nh nht sao cho khi chia cho
11
6
, chia cho
4
1
, chia cho
19
11
Li gii:
Gi s cn tìm
a
, ta có:
( ) ( ) ( )
6 11; 1 4; 11 19a a a
( ) ( ) ( )
6 33 11; 1 28 4; 11 38 19a a a + + +
( ) ( ) ( )
27 11; 27 4; 27 19a a a + + +
a
nh nht
( )
27a+
nh nht
( ) ( )
27 11,4,9a BCNN + =
Do ƯCLN
( ) ( )
4;11;9 1 11;4;9 11.14.9 396BCNN= = =
27 396 369aa + = =
Vy s t nhiên cn tìm là:
369
.
Bài 12: Cho
,ab
các s t nhiên khác
0
sao cho
11ab
ba
++
+
s t nhiên. Gi
d
ƯCLN của
,ab
.
Chng minh rng:
2
a b d+
Li gii:
( , )d a b=
, đặt
22
22
2 2 2
22
11
,;
..
a b a b ab
a b a b a b
a dm b dn N a b a b d
b a ab
ab d m n d
+ + +
+ + + + +
= = + = + + +
=
2 2 2 2
22
2 2 2 2
a d m d
a b d a b d dpcm
b d n d
=
+ +
=
Bài 13: Mt s t nhiên chia cho
7
5
, chia cho
13
4
. Nếu đem số đó chia cho
91
thì dư bao nhiêu?
Li gii:
Gi s đó
a
a
chia cho
7
5
, chia cho
13
4
9 7; 9 13aa + +
ƯCLN
( )
7,13 1=
nên
( )
9 7.13 91a + =
( ) ( ) ( )
9 91 91 9 91 91 82 91 1 82a k a k k k k N + = = = + = +
Vy
a
chia cho
91
82
.
Bài 14: Tìm s t nhiên
a
biết rng khi chia
355
cho
a
ta được s
13
khi chia
836
cho
a
s
dư là
8
.
Li gii:
Trang 13
Theo đề khi chia
355
cho
a
ta được s
13
nên ta
355 . 13am=+
vi
*mN
13a
hay
. 342 18.19am==
(1) khi chia
836
cho
a
s
8
836 . 8 . 828 18.46a n a n = + = =
vi
*nN
(2).
T (1) và (2) suy ra
18a =
là s t nhiên cn tìm.
Bài 15: Mt s chia cho
7
3
, chia cho
17
12
, chia cho
23
7
. Hi s đó chia cho
2737
dư bao
nhiêu?
Li gii:
Gi s đã cho
A
. Theo bài ra ta có:
7 3 17 12 23 7A a b c= + = + = +
Mt khác:
( ) ( ) ( )
39 7 3 39 17 12 39 23 7 39 7 6 17 3 23 2A a b c a b c+ = + + = + + = + + = + = + = +
Như vậy
39A+
đồng thi chia hết cho
7,17
23
.
Nhưng ƯCLN
( )
7,17,23 1=
( ) ( )
39 7.17.23 39 2737 39 2737.A A A k + + + =
( )
2737 39 2737 1 2698A k k = = +
Do
2698 2737
nên
2698
là s dư của phép chia s
A
cho
2737
.
Bài 16: Tìm s t nhiên ln nht có 3 ch s, sao cho chia cho
8
thì dư
7
và chia nó cho
31
thì dư
28
.
Li gii:
Gi s cn tìm
a
(
,100 999a N a
)
Vì a chia cho
8
thì dư
7
chia nó cho
31
thì dư
28
nên:
7 8 7 8 8 1 8 1 64 8 65 8
28 31 28 31 31 3 31 3 62 31 65 31
a a a a a
a a a a a
+ + + + +
+ + + + +
( ) ( )
( )
*
8,31 1 65 248 248 65a a k k N= + =
a
là s có 3 ch s ln nht nên
4k =
, khi đó
248.4 65 927a = =
Vy s cn m là
927
.
Bài 17: Tìm s t nhiên nh nht có 3 ch s biết rng s đó chia cho
4,6,7
đều dư
3
.
Li gii:
Gi s cn tìm là
a
. điều kin
, 100a N a
Vì
a
chia cho
4,6,7
đều
3
( )
3 4,6,7a−
a
nhỏ nhất nên
3a
nh nht
( )
3 4,6,7a BCNN =
ƯCLN
( ) ( )
4,6,7 1 4,6,7 4.6.7 168BCNN= = =
3 168 171aa = =
Vy s cn tìm là
171
.
Trang 14
Bài 18: Tìm s t nhiên
a
nh nht sao cho
a
chia cho
5
thì dư
3
,
a
chia cho
7
thì
4
.
Li gii:
Ta có
a
chia cho
5
thì dư
3
,
a
chia cho
7
thì dư
4
( )
35a−
( ) ( )
4 7 3 20 5aa +
( )
4 21 21a−+
( )
17 5a+
( )
17 7 17aa + +
là bi chung ca
5
7
a
là s t nhiên n nht nên
17 (5,7) 35 18.a BCNN a+ = = =
Bài 19: m s t nhiên nh nht, biết rng s đó khi chia cho
3
, cho
4
, cho
5
, cho
6
đều dư là
2
, còn chia cho
7
thì dư
3
.
Li gii:
Gi s t nhiên cn tìm là
a
( )
,3a N a
Ta có khi chia
a
cho
3
, cho
4
, cho
5
, cho
6
đều dư là
2
( )
2 3;4;5;6 60;120;180;240;....a BC =
Nên
a
nhn các giá tr
62;122;182;242;...
Mt khác
a
là s nh nht chia cho
7
thì dư
3
tc là
( )
3a
là s nh nht chia hết cho
7
122a=
(vì
62a =
thì
62 3 59−=
không chia hết cho
7
).
PHN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG Đ HSG.
Bài 1: Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng
84
ƯCLN bằng
6
.
Li gii:
Gọi 2 số cần m là
a
b
, giả sử
( )
*
,a b a b¥
ƯCLN
( )
;6ab =
Ta có
84 6 6 84 14a b m n m n+ = + = + =
Lập bảng:
m
1
3
5
n
13
11
9
a
6
18
30
b
78
30
54
Vậy hai số cần tìm là
6
78
;
18
66
;
30
54
.
Bài 2: Tìm số tự nhiên
n
biết
( )
3 14n+
chia hết cho
( )
1n +
.
Li gii:
Ta có
( ) ( )
3 14 3 1 7nn+ = +
Trang 15
( ) ( )
3 1 1nn−−
nên để
( ) ( )
3 14 1nn+−
thì
( )
71n
( )
1n−
phải là ước ca
7
1 7; 1;1;7 6;0;2;8nn
,nN
nên
0;2;8n
Vy
0;2;8n
thì
( )
3 14n+
chia hết cho
( )
1n +
.
Bài 3: Tìm số tự nhiên
n
biết
15
3
n
n
+
+
là s t nhiên.
Li gii:
Để
15
3
n
n
+
+
là s t nhiên thì
( )
15n +
chia hết cho
( )
3n+
( ) ( )
15 3nn + +


chia hết cho
( )
3 12n+
chia hết cho
( )
3n+
nN
nên
( )
3n+
phi là s t nhiên lớn hơn hoặc bng
3
đồng thời là ước ca
12
3 3;4;6;12 0;1;3;9nn +
Vy
0;1;3;9n
thì
15
3
n
n
+
+
là s t nhiên.
Bài 4: Tìm số tự nhiên
n
biết
( )
( )
2
3 6 3n n n+ + +
Li gii:
Ta có
( )
2
3 6 3 6n n n n+ + = + +
( ) ( )
3 3 ,n n n++
nên để
( )
( )
2
3 6 3n n n+ + +
thì
( )
63n +
,nN
nên
( )
3n +
phi là s t nhiên lớn hơn hoặc bng
3
đồng thời là ước ca
6
( )
3 3;6 0;3nn +
Vy
0;3n
thì
( )
( )
2
3 6 3n n n+ + +
Bài 5: Tìm số tự nhiên
n
biết
1
2
n
n
+
có giá tr là mt s nguyên
Li gii:
Ta có
1
2
n
n
+
là mt s nguyên khi
( ) ( )
12nn+−
Ta có
( )
1 2 3,nn+ = +
do đó
( ) ( )
12nn+−
khi
( )
32n
( )
2n−
là ước ca
3
Trang 16
( )
2 3; 1;1;3 1;1;3;5nn
Vy
1;1;3;5n−
thì
1
2
n
n
+
giá tr là mt s nguyên.
Bài 6: Tìm hai s t nhiên biết hiu ca chúng bng
84
, ƯCLN ca chúng bng
28
các s đó trong
khong t
300
đến
400
.
Li gii:
Gi hai s t nhiên cn tìm
,ab
gi s
ab
Đặt ƯCLN
( )
,;a b d a md b nd= = =
vi
( ) ( )
, ; , 1, ,m n Z UCLN m n m n BCNN a b dmn
+
= =
ƯCLN
( ) ( )
, , 23a b BCNN a b+=
nên
( )
. 1 23d mn d+ =
là ước ca
23
hay
1;23d
Xét
1,d =
ta có
1 23 22mn mn+ = =
vi ƯCLN
( )
,1mn =
nên ta có các trường hp của m, n như sau:
Trường hp 1:
22, 1 22, 1m n a b= = = =
Trường hp 2:
11, 2 11, 2m n a b= = = =
Trường hp 3:
11, 2 11, 2m n a b= = = =
Xét
3,d =
ta có
1 1 0mn mn+ = =
(không tha mãn)
Bài 7: Cho
*
.nN
Tìm ƯCLN của
21n
94n+
Li gii:
Gi
*
2 1 (1) 1
(2 1,9 4)( ) 2(9 4) 9(2 1) 17
9 4 (2) 17
n d d
d n n d N n n d d
n d d
−=

= + +
+=

-Nếu
17 (9 4) 4(2 1) 8 17 17 9 ( ) 9 4 9(17 9) 4 9.17 85 17d n n n n k k N n k k= + = + = + + = + + = +
2 1 2(17 9) 1 2.17 17 17n k k = + = +
Vy nếu
n
dng
( )
17 9k k N+
thì
( )
2 1;9 4 17UCLN n n + =
Bài 8: Tìm ƯCLN
( )
1 2 3 ... ,2 1nn+ + + + +
vi
,2n N n
Li gii:
( 1)
( 1)
( 1)
,2 1
2
21
2
21
nn
n n d
nn
nd
nd
nd
+
+
+

+ =


+

+
Gi s
1d
,
p
là ước nguyên t ca
d
1
( 1) ( 1) 1 1
1
n p n p
n n d n n p p
n p n p
+

+ + =

+
(vô lý)
1d=
Bài 9: Tìm ƯCLN của
9 24n +
34n +
Trang 17
Li gii:
Gi ƯCLN
( )
*
9 24;3 4n n d d N+ + =
Khi đó ta có:
( ) ( )
9 24 9 24
9 24 9 12 12
3 4 9 12
n d n d
n n d d
n d n d
++

+ + =
++
( )
12 1; 2; 3; 4; 6; 12dU =
Do
( )
3 4 ,nd+
34n +
không chia hết cho
3
, nên
3;6;13d =
(loi)
Do đó
1;2;4d
- Để
2d =
thì
n
phi chn
- Để
4d =
thì
n
phi chia hết cho
4
- Để
1d =
thì
n
là s l
Vy
( )
42n k k N= +
thì ƯCLN
( )
9 24;3 4 2nn+ + =
( )
4n k k N=
thì ƯCLN
( )
9 24;3 4 4nn+ + =
( )
21n k k N= +
thì ƯCLN
( )
9 24;3 4 1nn+ + =
.
Bài 10: Biết
( )
, 95ab =
. Tìm
( )
,a b a b+−
Li gii:
Gi ƯCLN
( )
*
,a b a b d d N+ =
( )
22
a b d
b d d U
a b d
+
hoc
( )
d U b
2
a b d
ad
a b d
+

hoc
( )
2dU
hoc
( )
d U a
ƯCLN
( )
, 95,ab =
nên
95d =
hoc
2d =
Vy ƯCLN
( )
,2a b a b+ =
hoc
95d =
.
Bài 11: Hc sinh khi 6 khi xếp hàng; nếu xếp hàng
10
, hàng
12
, hàng
15
đều dư
3
học sinh. Nhưng khi
xếp hàng
11
thì vừa đủ. Biết s hc sinh khối 6 chưa đến
400
hc sinh. Tính s hc sinh khi 6?
Li gii:
Gi s hc sinh khi 6 là
a
( )
3 400a
Vì khi xếp hàng
10
, hàng
12
, hàng
15
đều
3
hc sinh
3 10;12;15a
Trang 18
3 (10,12,15)a BC−
Ta có:
( )
10;12;15 60BCNN =
3 60;120;180;240;300;360;420;....a−
63;123;183;243;303;363;423;...a
11; 400 363a a a =
Vy s hc sinh khi 6
363
hc sinh.
Bài 12: Một người bán năm giỏ xoài cam. Mi gi ch đựng mt loi qu vi s ng là:
65kg
;
71kg
;
58kg
;
72kg
;
93kg
. Sau khi bán mt gi cam thì s ng xoài còn li gp ba ln s ng cam còn li.
Hãy cho biết gi nào đựng cam, gi nào đng xoài?
Li gii:
Tng s xoài và cam lúc đu:
( )
65 71 58 72 93 359 kg+ + + + =
s xoài còn li gp ba ln s cam còn li nên tng s xoài cam còn li s chia hết cho
4
,
359
chia cho
4
3
nên gi cam bán đi khối lưng chia cho
4
3
.
Trong các s
65;71;58;72;93
ch
71
chia cho
4
3
.
Vy gi cam bán đi là giỏ
71kg
.
S xoài và cam còn li:
( )
359 71 288 kg−=
S cam còn li:
( )
288:4 72 kg=
Vy: các gi cam là gi đựng
71kg
;
72kg
.
Các gi xoài gi đựng
65 ;58 ;93kg kg kg
.
Bài 13: Hai lp 6A; 6B cùng thu nht mt s giy vn bng nhau. Lp 6A 1 bạn thu được
26kg
còn li
mi bạn thu được
11kg
. Lp 6B có 1 bạn thu được
25kg
còn li mi bạn thu được
10kg
. Tính s hc sinh
mi lp biết rng s giy mi lớp thu được trong khong
200kg
đến
300kg
.
Li gii:
Gi s giy mi lớp thu được là
( ) ( )
26 11x kg x−
( )
25 10x
Do đó
( ) ( )
15 10;11x BC−
200 300 15 220 235x x x = =
S hc sinh lp 6A là:
( )
266 26 :11 1 20 + =
(hc sinh)
S hc sinh lp 6B là:
( )
235 25 :10 1 22 + =
(hc sinh)
Bài 14: S hc sinh khi 6 ca mt trường chưa đến
400
bn, biết khi xếp hàng
10;12;15
đều
3
nhưng
nếu xếp hàng
11
thì không dư. Tính s hc sinh khi 6 ca trưng đó.
Trang 19
Li gii:
Gi s hc sinh
( )
*
a a N
Vì s hc sinh khi xếp hàng
10;12;15
đều
3
( )
3 10;12;15a BC
( )
( )
*
10;12;15 60 3 60 6 3BCNN a k k N a kk= = = +
Ta có bng sau:
k
1
2
3
4
5
6
7
a
63
123
183
243
303
363
423
Vì s học sinh chưa đến
400
bn khi xếp hàng
11
thì không dư nên
400a
11a
Trong các giá tr trên, ch
363a =
tha mãn bài toán
Vy s hc sinh cn tìm là
363
hc sinh.
Bài 15: Một đơn vị b đội khi xếp hàng, mi hàng
20
người, hoc
25
người, hoc
30
người đều tha
15
người. Nếu xếp mi hàng
41
người thì vừa đủ (không hàng nào thiếu, không ai ngoài hàng). Hi
đơn vị có bao nhiêu người, biết rng s người của đơn vị chưa đến
1000
?
Li gii:
Gi s người của đơn vị b đội là
( )
*
;41 100x x N x
Ta có
:20a
( )
15 15 20x−
:25a
( )
15 15 25x−
:30a
( )
15 15 30x−
( ) ( )
15 20,25,35x BC
Ta có
( )
2 2 2 2
20 2 .5;25 5 ;30 2.3.5 20,25,30 2 .5 .3 300BCNN= = = = =
( ) ( )
20,25,35 300 15 300 300 15BC k k N x k x k = = = +
1000x
nên ch xét
1;2;3 ,k
khi đó
315;615;915x
Vì s b đội khi xếp mi hàng
41
người thì vừa đủ tc là:
41,x
do đó
615x =
tha mãn bài toán
Vậy đơn vị b đội có
615
người.
Bài 16: Cho
,mn
là hai s t nhiên. Gi
A
là tp hợp các ước chung ca
m
n
.
B
là tp hợp các ước s
chung ca
11 5mn+
94mn+
. Chng minh rng
.AB=
Li gii:
Trang 20
Gi
( )
*
11 5 ,9 4d m n m n d N= + + ¦ CLN
Khi đó ta có:
( )
( )
9 11 5
11 5 99 45
9 4 99 44
11 9 4
m n d
m n d m n d
nd
m n d m n d
m n d
+
++
++
+
( )
1
Tương tự ta có:
( )
( )
4 11 5
11 5 44 20
9 4 45 20
5 9 4
m n d
m n d m n d
md
m n d m n d
m n d
+
++
++
+
( )
2
T
( )
1
( )
2
ta có:
( ; )d m n d A B A ¦ C
AB
Suy ra
AB=
.
HT
| 1/20

Preview text:

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 4- ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
CHỦ ĐỀ 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM ƯCLN, BCNN
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Kiến thức cần nhớ
1. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
2. Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiếu số là số lớn nhất trong các ước chung của các số đó.
3. Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiếu số lớn hơn 1 , ta thực hiện ba bước sau:
- Phân tích mổi số ra thừa số nguyên tố.
- Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
- Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.
4. Để tìm ước chung của nhiều số, ta có thể tìm ƯCLN của các số đó rồi tìm ước của ƯCLN đó.
5. Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.
6. Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của các số đó.
7. Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1 , ta thực hiện ba bước sau:
- Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
- Chọn ra các thừa sổ nguyên tố chung và riêng.
- Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.
8. Để tìm bội chung của nhiều số, ta có thể tìm BCNN của các số đó rồi nhân BCNN đó lần lượt với 0,1, 2,3, 2. Các tính chất
1. Khi cần kí hiệu gọn, ta có thể viết ƯCLN ( , a ) b là ( , a )
b , viết BCNN( , a ) b là [ , a ] b 2. Nếu ab c và ( , b )
c =1 thì a c .
3. Nếu a m a n thì a BCNN ( , m )
n . Đặc biệt, nếu a , m a n và ( , m ) n =1 thì a mn 4. Nếu ƯCLN ( , a )
b = d thì a = d ,
m b = dn với ( , m ) n =1 . 5. Nếu BCNN( , a )
b = c thì c = a ,
m c = bn với ( , m ) n =1 . 6. ƯCLN ( , a ) b BCNN( , a ) b = . a b .
7. Người ta chứng minh được rằng:
Cho hai số tự nhiên a b trong dó a b . Trang 1
+ Nếu a chia hết cho b thì ƯCLN ( , a ) b = b .
+ Nếu a không chia hết cho b thì ƯCLN ( , a )
b bằng ƯCLN của b và số dư trong phép chia a cho b .
Từ đó, ta có thuật toán Euclide tìm ƯCLN của hai số mà không cần phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố như sau:
- Chia số lớn cho số nhỏ.
- Nếu phép chia còn dư, lấy số chia đem chia cho số dư.
- Nếu phép chia này còn dư, lại lấy số chia mới chia cho số dư mới.
- Cứ tiếp tục làm như vậy cho đến khi được số dư bằng 0 thì số chia cuối cùng là ƯCLN phải tìm.
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Phương pháp phân tích ra các thừa số nguyên tố
I. Phương pháp giải
Muốn tìm ƯCLN, BCNN của hai hay nhiều số ta làm như sau
Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố với số mũ tương ứng
Bước 2: Tìm các thừa số chung và riêng
Bước 3: ƯCLN là tích các thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất
BCNN là tích của các thừa số nguyên tố chung và riêng với số mũ lớn nhất II. Bài toán
Bài 1: Tìm số tự nhiên n lớn nhất sao cho khi chia 364, 414,539 cho n , ta được ba số dư bằng nhau. Lời giải:
364, 414,539 chia cho n có cùng số dư nên các hiệu của hai số trong ba số ấy chia hết cho n . Ta có:
539 − 414 n , tức là 125 n ,
539 − 364 n , tức là 175 n ,
414 − 364 n , tức là 50 n .
Để n lớn nhất thì n là ƯCLN (125, 175, 50) .
Phân tích ra thừa số nguyên tố: 3 125 = 5 2 175 = 5 .7 2 50 = 5 2 . Trang 2 ƯCLN 2 (125, 175, 50) = 5 = 25 Vậy n = 25
Bài 2: Tìm số tự nhiên n nhỏ hơn 30 để các số 3n + 4 và 5n +1 có ước chung khác 1 . Lời giải:
Gọi d là một ước chung của 3n + 4 và 5n +1 .
Ta có 3n + 4 d và 5n +1 d nên 5(3n + 4) − 3(5n +1) d , tức là 17 d Suy ra d {  1;17} .
Để 3n + 4 và 5n +1 có ước chung khác 1 , ta phải có 3n + 4 17 tức là 3n + 4 − 34 17 hay 3(n −10) 17
Ta lại có (3,17) =1 nên n −10 17 .
Do n  30 nên n = 10 hoặc n = 27 .
Thử lại n = 10 , n = 27 thỏa mãn. Vậy n = 10 ,
Bài 3: Tổng của năm số tự nhiên bằng 156 . Ước chung lớn nhất của chúng có thể nhận giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu? Lời giải:
Gọi năm số tự nhiên đã cho là a , a , a , a , a , ước chung lớn nhất của chúng là d . 1 2 3 4 5
Ta có: a = dk , a = dk , a = dk , a = dk , a = dk 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
nên a + a + a + a + a = d k + k + k + k + k 1 2 3 4 5 ( 1 2 3 4 5)
do đó 156 = d (k + k + k + k + k 1 2 3 4 5 )
Suy ra d là ước của 156 .
Ta lại có k + k + k + k + k  5 nên 5 d  156 , suy ra d  31 . 1 2 3 4 5
Phân tích ra thừa số nguyên tố: 2 156 = 2 .3.13 .
Ước lớn nhất của 156 không vượt quá 31 là 26 .
Giá trị lớn nhất của d là 26 , xảy ra khi chẳng hạn a = a = a = a = 26 và a = 52 hoặc các hoán vị của 1 2 3 4 5 chúng.
Bài 4: Có ba đèn tín hiệu, chúng phát sáng cùng một lúc vào 8 giờ sáng. Đèn thứ nhất cứ 4 phút phát sáng
một lần, đèn thứ hai cứ 6 phút phát sáng một lấn, đèn thứ ba cứ 7 phút phát sáng một lần. Thời gian đầu
tiên để cả ba đèn cùng phát sáng sau 12 giờ trưa là lúc mấy giờ? Lời giải: Trang 3
Gọi thời gian ít nhất để sau đó, cả ba đèn lại cùng phát sáng là a (phút).
Ta có a BCNN(4,6,7) .
Phân tích ra thừa số nguyên tố: 2 4. = 2 , 6 = 2.3, 7 = 7 nên 2
BCNN (4, 6, 7) = 2 3.7 = 84
Sau 84 phút, cả ba đèn cùng phát sáng. Chúng cùng phát sáng vào lúc 9 giờ 24 phút, 10 giờ 48 phút, 12 giờ 12 phút. . .
Thời gian đầu tiên sau 12 giờ trưa để cả ba đèn cùng phát sáng là lúc 12 giờ 12 phút.
Bài 5: Điền các chữ số thích hợp vào dấu * để số *** A = 679
chia hết cho tất cả các số 5,6,7,9 Lời giải:
Điều kiện để A chia hết cho tất cả các số 5,6,7,9 là A chia hết cho BCNN(5,6,7,9) 2
BCNN (5, 6, 7,9) = 2.3 5.7 = 630
Ta thấy 679999 chia 630 được 1079 , dư 229 nên 679999 − 229 = 679770 chia hết cho 630 ,
679770 − 630 = 679140 chia hết cho 630 .
Đáp số: 679770 và 679140 .
Bài 6: Tìm các số tự nhiên a b (a  ) b biết ƯCLN ( , a ) b =12, BCNN( , a ) b = 240 Lời giải: Ta có ab = ƯCLN ( , a ) b .BCNN( , a ) b =12.240 = 2880 ( ) 1 ƯCLN ( , a )
b = 12 nên a =12m, b =12n trong đó ( , m ) n =1
Suy ra ab = 12m.12n = 144m . n (2) Từ ( )
1 và (2) suy ra 144mn = 2880 hay mn = 20 .
Ta có a b nên m n . Các số ,
m n nguyên tố cùng nhau và có tích bằng 20 nên m 1 4 n 20 5 Suy ra a 12 48 b 60 240
Bài 7: Cho a = 24,b = 70, c =112. Tìm ( , a b);( , a , b c); , a b; , a ,
b c. Từ đó kiểm tra công thức ƯCLN ( , a , b ) c = ƯCLN(ƯCLN ( , a ) b , ) c ; BCNN( , a , b )
c = BCNN(BCNN( , a ) b , ) c Trang 4 Lời giải: Ta có: 3 a = = b = = c = = a b = a b c = a b 3 24 2 .3; 70 2.5.7; 112 24.7;( , ) 2;( , , ) 2; , = 2 .35.7 = 840 a b c 4 , , = 2 .3.5.7 =1680 ƯCLN ( , a , b ) c = 2; ƯCLN ( , a )
b = 2  ƯCLN(ƯCLN ( , a ) b , ) c = ƯCLN (2,112) = 2 BCNN( , a , b )
c =1680; BCNN(BCNC( , a ) b , )
c = BCNN(840,112) =1680
Bài 8: Tìm ƯCLN, BCNN của các số sau a) 793016,308,3136 b) 1323,19845,1287,315 Lời giải: a) Ta có: 3 3 2 793016 = 2 .7 .17 ; 2 308 = 2 .7.11 ; 6 2 3136 = 2 .7  ƯCLN ( ) 2 6 3 2
793016,308,3136 = 2 .7 = 28; BCNN = 2 .7 .11 =17 b) Ta có 3 2 1323 = 3 .7 ; 4 2 19845 = 3 .5.7 ; 2 1287 = 3 .11.13 ; 2 315 = 3 .5.7  ƯCLN ( ) 2 4 2
1323,19845,1287,315 = 3 = 9; BCNN = 3 .5.7 .11.13
Bài 9: Một trường tổ chức cho khoảng 700 và 800 học sinh đi tham quan. Tính số học sinh biết rằng nếu
xếp 40 người hoặc 50 người lên xe ô tô thì vừa đủ. Lời giải:
Gọi số học sinh của trường là: ( * n n N )
Theo bài ta có: 700  n  800
n 45; n 40  n BC(40, 45)  n  ( B BCNN(40, 45)) Ta có: 3 2 40 = 2 .5; 45 = 3 .5 3 2
BCNN (40, 45) = 2 .3 .5 = 360 nB(360)    n = 700 700  n  800
Vậy Số học sinh là 700 .
Dạng 2: Thuật toán EUCLID để tìm ƯCLN
Trong toán học, giải thuật Euclid (hay thuật toán Euclid) là một giải thuật để tính ước chung lớn
nhất (ƯCLN) của hai số nguyên, là số lớn nhất có thể chia được bởi hai số nguyên đó với số dư bằng không.
Giải thuật này được đặt tên theo nhà toán học người Hy Lạp cổ đại Euclid, người đã viết nó trong bộ
sở
của ông (khoảng năm 300 TCN). Nó là một ví dụ về thuật toán, một chuỗi các bước tính toán theo điều
kiện nhất định và là một trong số những thuật toán lâu đời nhất được sử dụng rộng rãi. Trang 5
Giải thuật Euclid dựa trên nguyên tắc là ước chung lớn nhất của hai số nguyên không thay đổi khi thay số lớn
hơn bằng hiệu của nó với số nhỏ hơn. Chẳng hạn, 21 là ƯCLN của 252 và 105 (vì 252 = 21 .1 2 và
105 = 21 . 5 ) và cũng là ƯCLN của 105 và 252 1 − 05 1
= 47 . Khi lặp lại quá trình trên thì hai số trong cặp số
ngày càng nhỏ đến khi chúng bằng nhau, và khi đó chúng là ƯCLN của hai số ban đầu. Bằng cách đảo ngược
lại các bước, ƯCLN này có thể được biểu diễn thành tổng của hai số hạng, mỗi số hạng bằng một trong hai
số đã cho nhân với một số nguyên dương hoặc âm (đồng nhất thức Bézout), chẳng hạn, 21 = 5.105 + ( 2 − ). 252.
Dạng ban đầu của giải thuật như trên có thể tốn nhiều bước thực hiện phép trừ để tìm ƯCLN nếu một trong
hai số lớn hơn rất nhiều so với số còn lại. Một dạng khác của giải thuật rút ngắn lại các bước này, thay vào đó
thế số lớn hơn bằng số dư của nó khi chia cho số nhỏ hơn (dừng lại khi số dư bằng không). Dạng thuật toán
này chỉ tốn số bước nhiều nhất là năm lần số chữ số của số nhỏ hơn trên hệ thập phân. Gabriel Lamé chứng
minh được điều này vào năm 1844, đánh dấu sự ra đời của lý thuyết độ phức tạp tính toán. Nhiều phương
pháp khác để tăng hiệu quả của thuật toán cũng đã được phát triển trong thế kỷ 20.
Giải thuật Euclid có rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết và thực tế. Nó được dùng để rút gọn phân số về dạng
tối giản và thực hiện phép chia trong số học module. Thuật toán cũng là một thành phần then chốt trong giao
thức mật mã để bảo mật kết nối Internet và được dùng để phá vỡ hệ thống mật mã này qua phân tích số
nguyên. Nó cũng được áp dụng để giải phương trình Diophantine, chẳng hạn như tìm một số thỏa mãn nhiều
biểu thức đồng dư theo định lý số dư Trung Quốc, để xây dựng liên phân số hay tìm xấp xỉ gần đúng
nhất cho số thực. Cuối cùng, nó là công cụ cơ bản để chứng minh nhiều định lý trong lý thuyết số như định lý
bốn số chính phương của Lagrange và tính duy nhất của phân tích số nguyên ra thừa số nguyên tố. Thuật
toán Euclid ban đầu chỉ được giới hạn về số tự nhiên và độ dài hình học (số thực), nhưng đến thế kỷ 19 đã
được mở rộng cho nhiều dạng số khác như số nguyên Gauss và đa thức một biến, dẫn đến các khái niệm
về đại số trừu tượng như miền Euclid.
Giải thuật Euclid dùng để tính ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai số tự nhiên a b . Ước chung
lớn nhất g là số lớn nhất chia được bởi cả a b mà không để lại số dư và được ký hiệu là ƯCLN (a,b) hoặc (a,b) . Nếu ƯCLN ( ,
a b) =1 thì a b được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau. Tính chất này không khẳng định
b là số nguyên tố. Chẳng hạn, 6 và 35 đều không phải là số nguyên tố vì chúng đều có thể được phân tích
thành tích của các thừa số nguyên tố: 6 = 2.3 và 35 = 5.7 . Tuy nhiên, 6 và 35 nguyên tố cùng nhau vì
chúng không có một thừa số chung nào.
Gọi g = ƯCLN (a,b) . Vì a b đều là bội của g nên chúng có thể được viết thành a = mg b = ng
, và không tồn tại số G g nào để các biểu thức trên đúng. Hai số tự nhiên m n phải nguyên tố cùng
nhau vì có thể phân tích bất kỳ thừa số chung nào từ m n để g lớn hơn. Do đó, một số c bất kỳ được
chia bởi a b cũng được chia bởi g . Ước chung lớn nhất g của a b là ước chung (dương) duy nhất
của chúng có thể chia được bởi một ước chung c bất kỳ.
ƯCLN có thể được minh họa như sau: Xét một hình chữ nhật có kích thước là a b và một ước chung c bất
kỳ có thể chia được hết cả a b . Cả hai cạnh của hình chữ nhật có thể được chia thành các đoạn thẳng
bằng nhau có độ dài là c để chia hình chữ nhật thành các hình vuông có cạnh bằng c . Ước chung lớn nhất
g chính là giá trị lớn nhất của c để điều này có thể xảy ra. Chẳng hạn, một hình chữ nhật có kích thước Trang 6
24 60 có thể được chia thành các hình vuông có cạnh là 1, 2, 3, 4, 6 hoặc 12 , nên 12 là ước chung lớn nhất của 24
24 và 60 , tức là hình chữ nhật trên có hai hình vuông nằm trên một cạnh ( = 2 ) và năm hình 12
vuông nằm trên cạnh còn lại ( 60 = 5 ). 12
Ước chung lớn nhất của hai số a b là tích của các thừa số nguyên tố chung của hai số đã cho, trong đó
một thừa số có thể được nhân lên nhiều lần, chỉ khi tích của các thừa số đó chia được cả a b . Chẳng
hạn, ta phân tích được 1386 = 2.3.3.7.11 và 3213 = 3.3.3.7.17 nên ước chung lớn nhất 1386 và 3213
bằng 63 = 3.3.7 (là tích của các thừa số nguyên tố chung). Nếu hai số không có một thừa số nguyên tố
chung nào thì ước chung lớn nhất của chúng bằng 1 (một trường hợp của tích rỗng), hay nói cách khác
chúng nguyên tố cùng nhau. Một ưu điểm quan trọng của giải thuật Euclid là nó có thể tính được ƯCLN đó
mà không cần phân tích ra thừa số nguyên tố. Bài toán phân tích các số nguyên lớn là rất khó và tính bảo mật
của nhiều giao thức mật mã phổ biến được dựa trên tính chất này.
ƯCLN của ba số trở lên bằng tích của các thừa số nguyên tố chung của cả ba số đã cho, nhưng nó cũng có
thể được tính bằng cách tìm ƯCLN của từng cặp số trong ba số đó. Chẳng hạn, ƯCLN
(a, ,bc) = ¦ CLN(a,¦ CLN( ,bc)) = ¦ CLN(¦ CLN(a,b),c) = ¦ CLN(¦ CLN(a,c),b).
ư Vì vậy, giải thuật Euclid, vốn dùng để tính ƯCLN của hai số nguyên cũng có thể được áp dụng để
tính ƯCLN của một số lượng số nguyên bất kỳ.
Giải thuật Euclid gồm một dãy các bước mà trong đó, đầu ra của mỗi bước là đầu vào của bước kế
tiếp. Gọi k là số nguyên dùng để đếm số bước của thuật toán, bắt đầu từ số không (khi đó bước đầu tiên
tương ứng với k = 0 , bước tiếp theo là k = 1 ,...)
Mỗi bước bắt đầu với hai số dư không âm r r k 1 − và k 2
− . Vì thuật toán giúp đảm bảo số dư luôn giảm dần theo từng bước nên r r
q và số dư r thỏa mãn k 1 − nhỏ hơn k 2
− . Mục tiêu của bước thứ k là tìm thương k k r
= q r + r và 0  r r . Nói cách khác, từ số lớn hơn r r k −2 k k 1 − k k k 1 − k 2
− , trừ đi bội của số nhỏ hơn k 1 − đến khi
phần dư r nhỏ hơn r k k 1 − .
Ở bước đầu tiên ( k = 0 ), số dư r r k = k 2 − và k 1
− bằng a b , hai số cần tìm ƯCLN. Đến bước kế tiếp ( 1
), hai số dư lần lượt bằng b và số dư r ở bước đầu tiên,... Do đó, thuật toán có thể được viết thành một dãy 0 các bước:
a = q b + r 0 0
b = q r + r 1 0 1
r = q r + r 0 2 1 2
r = q r + r 1 3 2 3 ...
Nếu a nhỏ hơn b thì thuật toán đảo ngược vị trí của hai số. Chẳng hạn, nếu a b thì thương q bằng 0
không và số dư r bằng a . Do đó, r luôn nhỏ hơn r k  . 0 k k 1 − với mọi 0 Trang 7
Vì các số dư luôn giảm dần theo từng bước nhưng không thể là số âm nên số dư sau cùng r n phải bằng
không và thuật toán dừng lại tại đó. Số dư khác không cuối cùng rn 1− chính là ước chung lớn nhất của a
b . Số n không thể là vô hạn vì chỉ có một số lượng hữu hạn các số nguyên dương nằm giữa số dư ban đầu r và 0 . 0
Tính đúng đắn của giải thuật Euclid có thể được chứng minh qua hai bước lập luận.
Bước thứ nhất, cần chứng minh số dư khác không cuối cùng r r n 1
− chia được cả a b . Vì n 1 − là một ước
chung nên nó phải nhỏ hơn hoặc bằng với ước chung lớn nhất g .
Bước thứ hai, cần chứng minh rằng bất kỳ ước chung nào của a b , trong đó có g cần phải chia được r r r = g . n 1
− ; từ đó, g phải nhỏ hơn hoặc bằng n 1
− . Hai kết luận trên là mâu thuẫn trừ khi n 1 − Để chứng tỏ r r r r = q r vì số dư n 1
− chia được cả a b , cần biết n 1
− chia được số dư liền trước n 2 − : n 2 − n n 1 −
cuối cùng r bằng không. r r r
= q r + r vì nó chia được cả hai số hạng n n 1
− cũng chia được số dư n 3 − : n 3 − n 1 − n 2 − n 1 −
trong vế phải của phương trình. Chứng minh tương tự, rn 1− cũng chia được tất cả số dư liền trước nó kể cả a
b . Không có số dư liền trước r r r n 2 − , n 3
− ,... chia bởi a b cho số dư bằng không. Vì n 1 − là ước chung
của a b nên rg . n 1 −
Trong bước thứ hai, một số tự nhiên c bất kỳ chia được cả a b (là ước chung của a b ) cũng chia
được số dư r . Theo định nghĩa thì a b có thể được viết thành bội của c : a = mc b = nc với m k
n là các số tự nhiên. Ta có r = a q b = mc q nc = m q n c nên c là một ước của số dư ban đầu r . 0 0 0 ( 0 ) 0
Chứng minh như bước thứ nhất, ta thấy c cũng là ước của các số dư liền sau r , r ,... Từ đó, ước chung lớn 1 2
nhất g là ước của r g r
. Kết hợp hai kết luận thu được, ta có g = r
. Vậy g là ước chung lớn n 1 − hay n 1 − n 1 −
nhất của tất cả cặp số liền sau: g = ¦ CLN( , a b) = ¦ CLN( ,
b r = ¦ CLN r , r = = ¦ CLN r ,r = r . 0 ) ( 0 1)
( n 2− n 1−) n 1−
I. Phương pháp giải
Muốn tìm ƯCLN của a b (giả sử a  ) b
Bước 1: Chia a cho b có số dư là r Bước 2:
+ Nếu r = 0 thì ƯCLN (a,b) = b . Việc tìm ƯCLN dừng lại.
+ Nếu r  0 , ta chia tiếp b cho r , được số dư r 1
- Nếu r = 0 thì r = ¦ CLN ,
a b . Dừng lại việc tìm ƯCLN 1 ( ) 1
- Nếu r  0 thì ta thực hiện phép chia r cho r và lập lại quá trình như trên. 1 1
ƯCLN (a,b) là số dư khác 0 nhỏ nhất trong dãy phép chia nói trên. Trang 8 II. Bài toán
Bài 1: Hãy tìm ƯCLN (1575,34 )
3 bằng thuật toán Ơclide Lời giải: Ta có: 1575 = 343.4 + 203 343 = 203.1+140 203 = 140.1+ 63 140 = 63.2 +14 63 = 14.4 + 7 14 = 7.2 + 0 (chia hết) Vậy ƯCLN (1575,34 ) 3 = 7
Trong thực hành làm như sau: 1575 343 343 203 4 203 140 1 140 63 1 63 14 2 Vậy ƯCLN (1575,34 ) 3 = 7 14 7 4
Bài 2: Tìm ƯCLN (58005,2835) bằng thuật toán E 0 ucl 2 ide Lời giải:
Ta có: 58005 = 20.2835+1305  (58005, 2835) = (2835,1305);2835 = 2.1305+ 225;1305 = 5.225+180
225 =1.180 + 45;180 = 4.45  ƯCLN = 45 .
Bài 3: Chứng minh rằng ƯCLN (n +1,3n + 4) =1, n . Lời giải: Cách 1: 3  n + 4 d
Gọi d = UCLN (n +1, 3n + 4), d  *  
 (3n + 4) − 3(n +1) d 1 d d =1 . n +1 d
Vậy ƯCLN (n +1,3n + 4) =1, n . Trang 9 Cách 2:
Ta có: 3n + 4 = 3n + 3+1 = 3(n +1) +1 Mà 3(n +1) (n
M +1)  3(n +1) +1 chia cho (n +1) dư 1
Suy ra ƯCLN (n +1,3n + 4) = (n +1; ) 1 =1, n
Bài 4: Chứng minh rằng 2n +1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Cách 1: 2n +1 d
Gọi d = UCLN (2n +1, 2n + 3), d  *  
 (2n + 3) − (2n +1) d  2 d d 1;  2 . 2n + 3 d
Mà 2n +1 d và 2n +1 lẻ nên d lẻ. Suy ra d = 1 .
Vậy 2n +1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. Cách 2:
Ta có: 2n + 3 = 2n +1+ 2  2n + 3 chia cho 2n +1 dư 2
Suy ra ƯCLN (2n + 3, 2n +1) = (2n +1;2) =1, n (Vì 2n +1 lẻ , 2 là số chẵn).
Vậy 2n +1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 5: Biết số A gồm 2015 chữ số 2 và B gồm 8 chữ số 2 . Hãy tìm ƯCLN ( , A B) Lời giải:
Ta có A = 22...2 = 2.2.....20....0 + 2.2......2 2015 2008 7 7.chu.so.2
Vì 2.2.....20....0 2.2.....2 → ( ,
A B) = (2.2.....2, 2.2.....2) 2008 7 8 8 7
Ta có: 2.2.....2 = 2.2.....20 + 2 → (2.2.....2, 2.2.....2) = (2.2.....2, 2) = 2  ( , A B) = 2 8 7 8 7 7
Bài 6: Số X gồm 2002 chữ số 9 , Y gồm 9 chữ số 9 . Tìm ƯCLN ( X ,Y ) Lời giải:
Có: 2002 = 222.9 + 4; X = 99....9 = 99....90000 + 9999; X = BS(Y ) + 9999(1) 2002 1998 4 4
Y = 9999....9 = 9999....9 0 + 9 → Y = BS(9999) + 9(2);9999 = BS (9)(3) 9 8 1
Từ (1)(2)(3)  ƯCLN (X ,Y) = 9
Bài 7: Tìm số tự nhiên n , biết rằng khi chia 239 và 373 cho n thì số dư lần lượt là 14 và 23 Lời giải: Trang 10 Theo đầu bài ta có: 239 −14 = 225 n 2 2 2
  nUC(225,350)  nU (UCLN(225,350));225 = 3 .5 ;350 = 2.5 .7 373 − 23 = 350 n
ƯCLN (225,350) = 25  n UC(25) n  23
Vì 373 chia cho n dư 23    n = 25 n U (25) Vậy n = 25
Bài 8: Người ta đếm số trứng trog một rổ. Nếu đếm theo từng chục cũng như theo tá hoặc theo từng 15 quả
thì lần nào cũng dư 1 quả. Tính số trứng trong rổ, biết rằng số trứng đó lớn hơn 150 và nhỏ hơn 200 quả. Lời giải:
Gọi số trứng trong rổ là n ( * n N )
Ta có: 150  n  200(1);(n −1) 10,12,15  (n −1)  BC(10,12,15)  n −1 ( B 60) Theo ( )
1 149  n −1199  n −1 =180  n =181
Vạy số trứng trong rổ là 181 quả
Bài 9: Một trường học có số lượng học sinh không quá 1000 . Khi xếp hàng 20, 25,30 thì đều dư 15 .
Nhưng khi xếp hàng 41 thì vừa đủ. Tính số học sinh của trường? Lời giải:
Gọi số học sinh của trường là: n ( * n N )
Theo bài ra ta có: n  1000
Lại có: n −15 20, 25,30; n 41; n −15 BC(20, 25,30)  (
B BCNN(20, 25,30) = 300  n −15 B(300) n 315,615,915
n −15  1000 −15 = 985  n −1300, 600,    900    n = 615 n 41
Vậy số học sinh của trường là 615 (học sinh).
Bài 10: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số đó cho 12,18, 23 thì số dư lần lượt là 11,17,9 Lời giải:
Gọi số tự nhiên cần tìm là: a ( a N )
Theo bài ta có: a =12k +1 =18q +17 = 2.3.p + 9(k, , p q N)
Ta tìm số b sao cho: a + b 12,18, 23
Nhận thấy: a + 37 =12k + 48 12; a + 37 =18q + 54 18; a + 37 = 23p + 46 23  a + 37  BC(12,18, 23) Vì a nhỏ nhất 2 2 2 2
a + 37 = BCNN(12,18,23);12 = 2 .3;18 = 2.3 ;23 = 23  BCNN(12,18,23) = 2 .3 .23 = 828 Trang 11a = 828−37 = 791
Vậy số tự nhiên cần tìm là 791 .
Bài 11: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6 , chia cho 4 dư 1 , chia cho 19 dư 11 Lời giải:
Gọi số cần tìm là a , ta có: (a − 6) 11;(a − ) 1 4;(a −1 ) 1 19  (a −6+3 )
3 11;(a −1+ 28) 4;(a −11+ 38) 19
 (a + 27) 11;(a + 27) 4;(a + 27) 19
a nhỏ nhất  (a + 27) nhỏ nhất  (a + 27) = BCNN (11, 4,9)
Do ƯCLN (4;11;9) =1 BCNN (11;4;9) =11.14.9 = 396
a + 27 = 396  a = 369
Vậy số tự nhiên cần tìm là: 369 . a +1 b +1
Bài 12: Cho a,b là các số tự nhiên khác 0 sao cho +
là số tự nhiên. Gọi d là ƯCLN của a,b . b a Chứng minh rằng: 2
a + b d Lời giải: 2 2 2 2 a +1 b +1
a + b + a + b
a + b + a + b ab d = ( , a ) b , đặt 2 2 2 a = , dm b = ; dn + =  N → 
a + b + a + b d 2 2 b a ab ab = d . . m n d 2 2 2 2 a = d m d   2 2
 → a + b d a + b d dpcm 2 2 2 2 b = d n d 
Bài 13: Một số tự nhiên chia cho 7 dư 5 , chia cho 13 dư 4 . Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu? Lời giải: Gọi số đó là a
a chia cho 7 dư 5 , chia cho 13 dư 4  a + 9 7; a + 9 13 mà ƯCLN (7,1 )
3 = 1 nên  (a + 9) 7.13 = 91
 (a +9) = 91k a = 91k −9 = 91k −91+82 = 9 ( 1 k − )
1 + 82(k N )
Vậy a chia cho 91 dư 82 .
Bài 14: Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 355 cho a ta được số dư là 13 và khi chia 836 cho a có số dư là 8 . Lời giải: Trang 12
Theo đề khi chia 355 cho a ta được số dư là 13 nên ta có 355 = .
a m +13 với mN * và a  13 hay .
a m = 342 =18.19 (1) và khi chia 836 cho a có số dư là 8  836 = . a n + 8  .
a n = 828 = 18.46 với n N * (2).
Từ (1) và (2) suy ra a = 18 là số tự nhiên cần tìm.
Bài 15: Một số chia cho 7 dư 3 , chia cho 17 dư 12 , chia cho 23 dư 7 . Hỏi số đó chia cho 2737 dư bao nhiêu? Lời giải:
Gọi số đã cho là A . Theo bài ra ta có: A = 7a + 3 =17b +12 = 23c + 7
Mặt khác: A + 39 = 7a + 3 + 39 =17b +12 + 39 = 23c + 7 + 39 = 7(a + 6) =17(b + 3) = 23(c + 2)
Như vậy A + 39 đồng thời chia hết cho 7,17 và 23 . Nhưng ƯCLN (7,17,2 )
3 = 1  ( A+ 39) 7.17.23  ( A+ 39) 2737  A+ 39 = 2737.k
A = 2737k −39 = 2737(k − ) 1 + 2698
Do 2698  2737 nên 2698 là số dư của phép chia số A cho 2737 .
Bài 16: Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số, sao cho chia nó cho 8 thì dư 7 và chia nó cho 31 thì dư 28 . Lời giải:
Gọi số cần tìm là a ( a N,100  a  999 )
Vì a chia cho 8 thì dư 7 và chia nó cho 31 thì dư 28 nên: a − 7 8 a − 7 + 8 8 a +1 8 a +1+ 64 8 a + 65 8          a − 28 31 a − 28 + 31 31 a + 3 31 a + 3 + 62 31 a + 65 31 Vì ( ) =  (a + )  a = k − ( * 8, 31 1 65 248 248 65 k N )
a là số có 3 chữ số lớn nhất nên k = 4 , khi đó a = 248.4 − 65 = 927
Vậy số cần tìm là 927 .
Bài 17: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số biết rằng số đó chia cho 4,6,7 đều dư 3 . Lời giải:
Gọi số cần tìm là a . điều kiện a N, a 100
a chia cho 4,6,7 đều dư 3  (a − ) 3 4, 6, 7
a nhỏ nhất nên a − 3 nhỏ nhất  a − 3 = BCNN (4,6,7)
Mà ƯCLN (4,6,7) =1 BCNN (4,6,7) = 4.6.7 =168
a −3 =168  a =171
Vậy số cần tìm là 171 . Trang 13
Bài 18: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 5 thì dư 3 , a chia cho 7 thì dư 4 . Lời giải:
Ta có a chia cho 5 thì dư 3 , a chia cho 7 thì dư 4  (a − )
3 5 và (a − 4) 7  (a −3+ 20) 5 và (a − 4 + 2 ) 1 21
 (a +17) 5 và  (a +17) 7  a +17 là bội chung của 5 và 7
a là số tự nhiên nỏ nhất nên a +17 = BCNN(5,7) = 35  a =18.
Bài 19: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó khi chia cho 3 , cho 4 , cho 5 , cho 6 đều dư là 2 , còn chia cho 7 thì dư 3 . Lời giải:
Gọi số tự nhiên cần tìm là a (a N, a  3)
Ta có khi chia a cho 3 , cho 4 , cho 5 , cho 6 đều dư là 2
a − 2BC(3;4;5;6) =60;120;180;240;... .
Nên a nhận các giá trị 62;122;182;242;...
Mặt khác a là số nhỏ nhất chia cho 7 thì dư 3 tức là (a − 3) là số nhỏ nhất chia hết cho 7
a =122 (vì a = 62 thì 62 −3 = 59 không chia hết cho 7 ).
PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.
Bài 1: Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 84 và ƯCLN bằng 6 . Lời giải:
Gọi 2 số cần tìm là a b , giả sử a b ( * a, b  ¥ ) Vì ƯCLN ( ; a b) = 6
Ta có a + b = 84  6m + 6n = 84  m + n = 14 Lập bảng: m 1 3 5 n 13 11 9 a 6 18 30 b 78 30 54
Vậy hai số cần tìm là 6 và 78 ; 18 và 66 ; 30 và 54 .
Bài 2: Tìm số tự nhiên n biết (3n +14) chia hết cho (n + ) 1 . Lời giải:
Ta có (3n +14) = 3(n − ) 1 + 7 Trang 14 Vì 3(n − ) 1 (n − )
1 nên để (3n +14) (n − ) 1 thì 7 (n − ) 1  (n − )
1 phải là ước của 7  n −1 7 − ; 1 − ;1;  7  n 6 − ;0;2;  8
n N, nên n 0;2;  8 Vậy n 0;2; 
8 thì (3n +14) chia hết cho (n + ) 1 . n +15
Bài 3: Tìm số tự nhiên n biết là số tự nhiên. n + 3 Lời giải: + Để n 15
là số tự nhiên thì (n +15) chia hết cho (n + 3) n + 3
 (n +15) −(n + 3) 
 chia hết cho (n + )
3 12 chia hết cho (n + 3)
n N nên (n + 3) phải là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 3 và đồng thời là ước của 12
n +33;4;6;1  2  n0;1;3;  9 n +15
Vậy n 0;1;3; 
9 thì n+ là số tự nhiên. 3
Bài 4: Tìm số tự nhiên n biết ( 2
n + 3n + 6) (n + 3) Lời giải: Ta có 2
n + 3n + 6 = n(n + ) 3 + 6 Vì n(n + ) 3 (n + ) 3 , nên để ( 2
n + 3n + 6) (n + 3) thì 6 (n + ) 3
n N, nên (n + 3) phải là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 3 và đồng thời là ước của 6  (n+ ) 3 3;  6  n0;  3 Vậy n 0;  3 thì ( 2
n + 3n + 6) (n + 3) n +1
Bài 5: Tìm số tự nhiên n biết n− có giá trị là một số nguyên 2 Lời giải: n +1 Ta có n +1 n − 2
n − là một số nguyên khi ( ) ( ) 2
Ta có n +1 = (n − 2) + 3, do đó (n + )
1 (n − 2) khi 3 (n − 2)
 (n−2) là ước của 3 Trang 15  (n−2) 3 − ; 1 − ;1;  3  n 1 − ;1;3;  5 n +1 Vậy n  1 − ;1;3;  5 thì
có giá trị là một số nguyên. n − 2
Bài 6: Tìm hai số tự nhiên biết hiệu của chúng bằng 84 , ƯCLN của chúng bằng 28 và các số đó trong
khoảng từ 300 đến 400 . Lời giải:
Gọi hai số tự nhiên cần tìm là a,b và giả sử a b Đặ + t ƯCLN ( ,
a b) = d a = md;b = nd với ,
m n Z ;UCLN ( ,
m n) =1,m n BCNN ( , a b) = dmn Mà ƯCLN ( , a b) + BCNN ( ,
a b) = 23 nên d ( . m n + )
1 = 23  d là ước của 23 hay d 1;2  3
Xét d = 1, ta có mn +1 = 23  mn = 22 với ƯCLN ( ,
m n) =1 nên ta có các trường hợp của m, n như sau:
Trường hợp 1: m = 22,n =1 a = 22,b =1
Trường hợp 2: m =11,n = 2  a =11,b = 2
Trường hợp 3: m =11,n = 2  a =11,b = 2
Xét d = 3, ta có mn +1 =1  mn = 0 (không thỏa mãn) Bài 7: Cho *
n N . Tìm ƯCLN của 2n −1 và 9n + 4 Lời giải: 2n −1 d(1) d =1 Gọi *
d = (2n −1,9n + 4)(d N )  
 2(9n + 4) − 9(2n −1) d 17 d   9  n + 4 d(2) d =17
-Nếu d =17  (9n + 4) − 4(2n −1) = n + 8 17  n =17 + 9k(k N)  9n + 4 = 9(17k + 9) + 4 = 9.17k + 85 17
2n −1 = 2(17k + 9) −1 = 2.17k +17 17
Vậy nếu n có dạng 17k + 9(k N ) thì UCLN (2n −1;9n + 4) =17
Bài 8: Tìm ƯCLN (1+ 2 + 3+...+ , n 2n + )
1 với nN, n  2 Lời giải: n(n +1)  n(n +1)  
n(n +1) d , 2n +1 = d     2    2   2n +1 d 2n +1 d
Giả sử d  1 , p là ước nguyên tố của d n pn +1 p
n(n +1) d  
 (n +1) − n = 1 p 1 p   (vô lý)  d = 1 n +1 pn p
Bài 9: Tìm ƯCLN của 9n + 24 và 3n + 4 Trang 16 Lời giải: Gọi ƯCLN ( n + n + ) * 9 24;3
4 = d d N 9  n + 24 d 9  n + 24 d Khi đó ta có:   
 (9n + 24) − (9n +12) = d 12 d 3  n + 4 d 9  n +12 dd U  (12) = 1  ; 2  ; 3  ; 4  ; 6  ; 1   2
Do (3n + 4) d, mà 3n + 4 không chia hết cho 3 , nên d = 3;6;13 (loại)
Do đó d 1;2;  4
- Để d = 2 thì n phải chẵn
- Để d = 4 thì n phải chia hết cho 4
- Để d = 1 thì n là số lẻ
Vậy n = 4k + 2(k N ) thì ƯCLN (9n + 24;3n + 4) = 2
n = 4k (k N ) thì ƯCLN (9n + 24;3n + 4) = 4 n = 2k + (
1 k N ) thì ƯCLN (9n + 24;3n + 4) =1 . Bài 10: Biết ( ,
a b) = 95 . Tìm (a + , b a b) Lời giải:
Gọi ƯCLN (a + b a b) * ,
= d d N a + b d
 2b d d U (2) hoặc d U (b) a b da + b d và 
 2a d  hoặc d U (2) hoặc d U (a) a b d mà ƯCLN ( ,
a b) = 95, nên d = 95 hoặc d = 2 Vậy ƯCLN (a + ,
b a b) = 2 hoặc d = 95 .
Bài 11: Học sinh khối 6 khi xếp hàng; nếu xếp hàng 10 , hàng 12 , hàng 15 đều dư 3 học sinh. Nhưng khi
xếp hàng 11 thì vừa đủ. Biết số học sinh khối 6 chưa đến 400 học sinh. Tính số học sinh khối 6? Lời giải:
Gọi số học sinh khối 6 là a (3  a  400)
Vì khi xếp hàng 10 , hàng 12 , hàng 15 đều dư 3 học sinh  a −3 10;12;15 Trang 17
a −3BC(10,12,15)
Ta có: BCNN (10;12;15) = 60
a −360;120;180;240;300;360;420;... .
a63;123;183;243;303;363;423;.. .
a 11; a  400  a = 363
Vậy số học sinh khối 6 là 363 học sinh.
Bài 12: Một người bán năm giỏ xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là: 65kg ; 71kg ;
58kg ; 72kg ; 93kg . Sau khi bán một giỏ cam thì số lượng xoài còn lại gấp ba lần số lượng cam còn lại.
Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài? Lời giải:
Tổng số xoài và cam lúc đầu: 65 + 71+ 58 + 72 + 93 = 359(kg)
Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam còn lại là số chia hết cho 4 , mà 359
chia cho 4 dư 3 nên giỏ cam bán đi có khối lượng chia cho 4 dư 3 .
Trong các số 65;71;58;72;93 chỉ có 71 chia cho 4 dư 3 .
Vậy giỏ cam bán đi là giỏ 71kg .
Số xoài và cam còn lại: 359 − 71 = 288(kg)
Số cam còn lại: 288 : 4 = 72(kg)
Vậy: các giỏ cam là giỏ đựng 71kg ; 72kg .
Các giỏ xoài là giỏ đựng 65kg;58kg;93kg .
Bài 13: Hai lớp 6A; 6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1 bạn thu được 26kg còn lại
mỗi bạn thu được 11kg . Lớp 6B có 1 bạn thu được 25kg còn lại mỗi bạn thu được 10kg . Tính số học sinh
mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200kg đến 300kg . Lời giải:
Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x (kg)  ( x − 26) 11 và ( x − 25) 10
Do đó (x −15)BC(10;1 )
1 và 200  x  300  x −15 = 220  x = 235
Số học sinh lớp 6A là: (266 − 26) :11+1 = 20 (học sinh)
Số học sinh lớp 6B là: (235 − 25) :10 +1 = 22 (học sinh)
Bài 14: Số học sinh khối 6 của một trường chưa đến 400 bạn, biết khi xếp hàng 10;12;15 đều dư 3 nhưng
nếu xếp hàng 11 thì không dư. Tính số học sinh khối 6 của trường đó. Trang 18 Lời giải: Gọi số học sinh là ( * a a N )
Vì số học sinh khi xếp hàng 10;12;15 đều dư 3  a − 3 BC (10;12;15) Mà BCNN (
) =  a − = k ( * 10;12;15 60 3 60
k N )  a = 6kk + 3 Ta có bảng sau: k 1 2 3 4 5 6 7 a 63 123 183 243 303 363 423
Vì số học sinh chưa đến 400 bạn và khi xếp hàng 11 thì không dư nên a  400 và a 11
Trong các giá trị trên, chỉ có a = 363 thỏa mãn bài toán
Vậy số học sinh cần tìm là 363 học sinh.
Bài 15: Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng, mỗi hàng có 20 người, hoặc 25 người, hoặc 30 người đều thừa
15 người. Nếu xếp mỗi hàng 41 người thì vừa đủ (không có hàng nào thiếu, không có ai ở ngoài hàng). Hỏi
đơn vị có bao nhiêu người, biết rằng số người của đơn vị chưa đến 1000 ? Lời giải:
Gọi số người của đơn vị bộ đội là x ( *
x N ; 41  x  100)
Ta có a : 20 dư 15  ( x −15) 20
a : 25 dư 15  ( x −15) 25
a : 30 dư 15  ( x −15) 30
 (x −15)BC(20,25,35) Ta có 2 2 = = =  BCNN ( ) 2 2 20 2 .5; 25 5 ;30 2.3.5 20, 25,30 = 2 .5 .3 = 300
BC(20,25,35) = 300k (k N)  x −15 = 300k x = 300k +15
x  1000 nên chỉ xét k 1;2; 
3 , khi đó x 315;615;91  5
Vì số bộ đội khi xếp mỗi hàng 41 người thì vừa đủ tức là: x 41, do đó có x = 615 thỏa mãn bài toán
Vậy đơn vị bộ đội có 615 người. Bài 16: Cho ,
m n là hai số tự nhiên. Gọi A là tập hợp các ước chung của m n . B là tập hợp các ước số
chung của 11m + 5n và 9m + 4n . Chứng minh rằng A = . B Lời giải: Trang 19
Gọi d = ¦ CLN( m + n m + n) * 11 5 ,9 4  d N 1  1m + 5n d 9
 (11m +5n) d 9  9m + 45n d Khi đó ta có:       n d ( )1 9  m + 4n d 1  1
 (9m + 4n) d 9  9m + 44n d 1  1m + 5n d 4
 (11m + 5n) d 44m + 20n d Tương tự ta có:       m d (2) 9  m + 4n d 5
 (9m + 4n) d 45m + 20n d Từ ( )
1 và (2) ta có: d ¦ ( C ; m )
n d A B A A B Suy ra A = B . HẾT Trang 20