TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
Tích phân đường loại 1.
Cho L là đường cong đơn đo được đóng hoặc không đóng.
Tích phân đường của hàm f(x,y) dọc theo độ dài cung (tích phân đường loại 1) kí hiệu: f  x, y ds  L
Nếu L là đường cong không đóng và A là điểm đầu, B là điểm cuối: f  , x y ds   AB Chú ý:
Tích phân đường không phụ thuộc vào hướng của đường lấy tích phân. Chiều dài cung  AB : ds  ứng với f(x,y) = 1.  AB Cách tính
 Giả sử cung AB trơn và được cho bởi phương trình  = (),  ≤  ≤  Khi đó f  x y  b ds  f   x y x ' 2 , , 1  y dx . x a  AB
 Nếu cung AB được cho bởi phương trình tham số x  x t , y  y t , t  t  t 1 y ' t Khi đó y 'x     f  x,y t 2 ds  f
 xt,yt '2 '2 x  y dt x 't t t t  1 AB
 Nếu đường cong L được cho bởi phương trình   ,       ds     '2 2 d 1 2 f  x y ds  f       2 2 , cos , sin    ' d.   L
 Trường hợp đường lấy tích phân là một đường cong trong không gian
Nếu cung AB có phương trình tham số là x  xt, y  yt, z  z t,   thì 1 t t 2 t 2 ds  x t 2  y t 2 ' '  z' tdt f  x y z  t 2 ds  f 
 xt yt zt 2 x t  2  y t  2 , , , , ' '  z ' t dt 1 t  AB Ví dụ. Tích tích phân ds I  
, trong đó L là đoạn thẳng nối điểm O(0,0) với điểm A(1,2). 2 2   L x y 4 Giải.
Phương trình đường thẳng qua O,A: 2
y  2x  ds  1 y ' dx  1 4dx  5dx
Khi đi từ điểm O đến điểm A biến x thay đổi từ 0 đến 1 khi đó 1 dx 5 1 dx   5 dx    2 2 0 2 2 0 2      L x y 4 x 4 x 4 5 x 5 1 1 dx 4 5  3 2   ln x  x   ln .  0 4 5 2 2 x  0 5 Bài tập. 1 a) ds Tính 
, L là đoạn đường thẳng y  x  2 nối điểm A(0,2), B(4,0). x  y 2 L
b) Tính x  yds , L là biên tam giác với đỉnh A(1,0), B(0,1), C(0,0). L c) Tính 2 2 I  x  y ds 
, trong đó L là đường tròn 2 2 x  y  ax . L d) Tính 2 y ds 
trong đó L là một vòm cuốn của xicloit L
x   t  at  sin t ; y    t  a1 cost , 0  t  2 . e) 2 2 2
Tính  x  y  z ds , L là cung của đường cong x acost, y asint, z  bt, 0 t  2. L f) Tính  2 2
2 z  x  y  ds, trong đó L là cung đường cong L
x  t cost, y  t sin t, z  t, 0  t  2 . 2 3 g) t 3
Tính  x  yds , L là cung đường cong x  t, y  , z  t , 0  t  1. 2 L
Tích phân đường loại 2.
Xuất phát điểm là tính công của lực F tác động lên điểm M di chuyển theo một cung phẳng L từ A đến B.
Tích phân đường loại II của các hàm số P(x,y), Q(x,y) dọc theo cung AB là P
  ,x ydx  Q ,x ydy   P
  ,x ydx Q ,x ydy   AB BA Cách tính:
 Nếu đường cong có phương trình y  y  x, a  x  b thì P  x,ydx Qx,y b dy   P
 x,y x Qx,y x.y 'x dx   a L
 Nếu đường cong cho dưới dạng tham số: x  xt , y  yt , tA  t  t . B
Khi đó P x, y dx  Q x, y  tB dy  P  
xt,yt.x't  Qx t ,y t .y 'tdt.   tA  AB
 Nếu đường cong trong không gian cho dưới dạng tham số:
x   t , y  t , z   t ,   t   thì P
 x,y,zdx  Q x,y,z dy  R x,y,zdz L    P 
 t, t, t '  t  Q 
 t, t, t   't  R 
 t, t, t   'tdt  Ví dụ Tính 2 2xydx  x dy 
theo ba đường nối điểm A(0,0) với điểm B(1,1).  AB
a) Theo đường thẳng y = x. 2 b) y  x . Theo cung parabol
c) Theo đường gấp khúc nối A(0,0) với C(1,0) và nối C(1,0) với B(1,1). Giải. Vì y  x  y '  1.. 1 1 1 2 2 3 I  2 . x xdx  x dx  3x dx  x  1 1   . 0 0 0 Bài tập. 1. 2 2
Tính x  2xy dx  y  2xy dy trong đó L là cung parabol 2
y  x đi từ điểm A(-1,1) đến L điểm B(1,1). 2. Tính 2 2xydx x dy ,  L là cung parabol 2
y  x / 4 đi từ điểm O(0,0) đến điểm A(2,1). L 3. Tính cos ydx sin xdy, 
L là đoạn thẳng nối điểm A(2,-2) với điểm B(-2,2). L 4. Tính 2 2 y dx x dy , 
L là nửa trên của elip x  a cost, y  bsint , và L có hướng là hướng L
cùng chiều kim đồng hồ.
5. Tính xdx  ydy  x  y   1 dz, 
trong đó L là đoạn thẳng nối điểm A(1,1,1) với điểm L B(2,3,4). 6. 2 2 2 2
Tính  x  y dx   x  y dy 
, L là đường cong y  1 1 x , 0  x  2. L 2 2 7. x y
Tính  x  y dx  x  y dy,  L là elip   1. 2 2 a b L 2 2 8. 2 2 2 2 x y
Tính  x  y dx   x  y dy  , L là elip   1. 2 2 a b L Công thức Green
D là một miền liên thông, bị chặn, có biên L gồm một hay nhiều đường kín trơn từng khúc, rời nhau từng đôi một.
Nếu các hàm P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trong miền D thì ta có Q P   dxdy  Pdx  Qdy      x y D   L Hệ quả.
Nếu đường kín L là biên của miền D thì diện tích S của miền ấy được cho bởi công thức 1 S  xdy  yd . x  2 
(áp dụng ct green với P=-y, Q=x). L
Định lý đối với miền đơn liên D.
Giả sử hai hàm số P(x,y), Q(x,y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng trong D.
Khi đó 4 mệnh đề sau tương đương   1) P Q  ,  x, y  D. y x 2) Pdx Qdy 0 
dọc theo mọi đường kín L nằm trong D. L 3) Pdx  Qdy 
không phụ thuộc vào đường đi từ A đến B, chỉ phụ thuộc vào 2 mút A,B (AB là AB một cung trong miền D). 4)   u , x  y : du  Pdx  Qdy . Hệ quả:
 Nếu Pdx+Qdy là vi phân toàn phần của u(x,y) thì P x, y dx Q x, y dy u B u  A   AB
 Nếu D là toàn miền R2 thì Pdx+Qdy là vi phân toàn phần của hàm u xác định bởi: x y x u  P  x, y y dx  Q x,   u  Q x , y dy  P x,  0   y dy C  hoặc   0   ydx C  . 0 x 0 y y0 x0 Bài tập
1. Tính  x  y dx   x  y2 2 2 2 dy 
, L là chu tuyến của tam giác với các đỉnh là A(1,1), B(2,2), L C(1,3).  2. xdx ydy 2 2 Tính , L  x 1  y 1 1  và L có hướng dương. 2 2       x  y L 2 2 3. x y
Tính  xy  x  ydx  xy  x  ydy,  L là elip   1. 2 2 a b L
4. Tính xy  x  ydx xy  x  ydy,  L là đường tròn 2 2 x  y  ax . L