Preview text:
1
Định nghĩa 1. Giả sử X, Y là không gian topo, f : X → Y .
1. f được gọi là ánh xạ liên tục dãy nếu với mỗi U là tập mở dãy trong Y thì f −1(U ) là tập mở dãy trong X.
2. f được gọi là ánh xạ bảo toàn hội tụ dãy nếu mỗi dãy {xn} trong X sao cho xn hội tụ
dãy đến x thì f (xn) hội tụ dãy đến f (x).
Bổ đề 1. Giả sử X, Y là không gian topo, f : X → Y .
1. f là ánh xạ liên tục dãy khi và chỉ khi U là tập đóng dãy trong Y thì f −1(U ) là tập đóng dãy trong X.
2. f là ánh xạ liên tục dãy khi và chỉ khi f là ánh xạ bảo toàn hội tụ dãy.
Chứng minh. . (1) Điều kiện cần: Giả sử f là ánh xạ liên tục dãy, U là tập đóng dãy trong Y
thì Y \ U là tập mở dãy trong Y . Theo giả thuyết
X \ f −1(U ) = f −1(Y \ U )
là tập mở dãy trong X hay f −1(U ) là tập đóng dãy trong X.
Điều kiện đủ: Giả sử U là tập mở dãy trong Y thì Y \ U là tập đóng dãy trong Y . Theo giả thuyết ta có
X \ f −1(U ) = f −1(Y \ U )
là tập đóng dãy trong X. Vậy f −1(U ) là tập mở dãy trong X do đó f là ánh xạ liên tục dãy.
(2) Điều kiện cần: Giả sử f là ánh xạ liên tục dãy, với mọi dãy {xn} nằm trong X sao cho
xn hội tụ dãy đến x. Khi đó với mọi U là lân cận mở của f (x) nên U là tập mở dãy. Lại vì f
là ánh xạ liên tục dãy nên f −1(U ) là lân cận mở dãy của x trong X. Do đó tồn tại N ∈ N sao
cho với mọi n ≥ N thì xn ∈ U . Vậy f (xn) ∈ U với mọi n ≥ N nên f (xn) hội tụ dãy đến f (x).
Suy ra f là ánh xạ bảo toàn hội tụ dãy.
Điều kiện đủ: Giả sử f là ánh xạ bảo toàn hội tụ dãy, U là tập đóng dãy trong Y . Với mỗi
{xn} nằm trong f −1(U ) sao cho xn hội tụ dãy tới x. Vì f là ánh xạ bảo toàn hội tụ dãy nên
f (xn) hội tụ dãy đến f (x). Mặt khác xn ∈ f −1(U ) với mọi n ∈ N nên f (xn) ∈ U với mọi n ∈ N.
Lại vì U là tập đóng dãy, f (xn) hội tụ dãy đến f (x) nên f (x) ∈ U hay x ∈ f −1(U ). Do đó
f −1(U ) là tập đóng dãy. Vậy f là ánh xạ liên tục dãy.
Định nghĩa 2. Giả sử X, Y là không gian topo, I là Ideal trên N và ánh xạ f : X → Y .
1. f được gọi là ánh xạ I-liên tục nếu với mỗi U là tập I-mở trong Y thì f −1(U ) là tập I-mở trong X.
2. f được gọi là ánh xạ bảo toàn I-hội tụ nếu mỗi dãy {xn} trong X sao cho xn là dãy I
hội tụ đến x thì f (xn) là dãy I hội tụ đến f (x).
Bổ đề 2. Giả sử X, Y là không gian topo, I là Ideal trên N và ánh xạ f : X → Y . Khi đó f
là ánh xạ I-liên tục khi và chỉ khi F là tập I-đóng trong Y thì f −1(F ) là tập I-đóng trong X.
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử f là ánh xạ I-iên tục, F là tập I-đóng trong Y thì Y \ F
là tập I-mở trong Y . Theo giả thuyết
X \ f −1(F ) = f −1(Y \ F )
là tập I-mở trong X hay f −1(F ) là tập I-đóng trong X.
Điều kiện đủ: Giả sử F là tập I-mở trong Y thì Y \ F là tập I-đóng trong Y . Theo giả thuyết ta có
X \ f −1(U ) = f −1(Y \ U )
là tập I-đóng trong X. Vậy f −1(U ) là tập I-mở trong X do đó f là ánh xạ I-liên tục. 2
Định lý 1. Giả sử X, Y là không gian topo, f : X → Y là ánh xạ, I là Ideal chấp nhận được trên N. Khi đó
1. Ánh xạ liên tục ⇒ Ánh xạ bảo toàn I-hội tụ ⇒ Ánh xạ I-liên tục.
2. Nếu Y là không gian dãy thì ánh xạ liên tục ⇒ Ánh xạ liên tục dãy.
Chứng minh. . (1) Giả sử f là ánh xạ liên tục, với mọi dãy {xn} ⊂ X sao cho {xn} là dãy I-hội
tụ đến x. Với mọi U là lân cận mở f (x) trong Y vì f là ánh xạ liên tục nên f −1(U ) là lân cận
mở của x. Lại vì {xn} là dãy I-hội tụ đến x nên {n ∈ N : xn / ∈ f −1(U )} ∈ I. Mà {n ∈ N : f(xn) / ∈ U } = {n ∈ N : xn / ∈ f −1(U )} ∈ I.
Nên {f (xn)} là dãy I-hội tụ đến f (x). Vậy f là ánh xạ bảo toàn I-hội tụ.
Giả sử f là ánh xạ bảo toàn I-hội tụ, với mọi U là tập I-đóng trong Y. Với mọi {xn} nằm
trong f −1(U ) sao cho {xn} là dãy I-hội tụ đến x. Vì f là ánh xạ bảo toàn I-hội tụ nên {f (xn)}
là dãy I-hội tụ đến f (x). Lại vì U là tập I-đóng trong Y nên f (x) thuộc U hay x thuộc f −1(U ).
Do đó f −1(U ) là I-đóng trong X. Suy ra f là ánh xạ I-liên tục.
(2) Giả sử f là ánh xạ liên tục, Y là không gian dãy. Với mỗi U là đóng dãy trong Y , với
mỗi {xn} nằm trong f −1(U ) sao cho {xn} hội tụ dãy tới x. Khi đó {xn} là dãy I-hội tụ đến
x. Mà f là ánh xạ liên tục nên f là ánh xạ bảo toàn I-hội tụ do đó {f (xn)} là dãy I-hội tụ
đến f (x). Vì U là tập đóng dãy trong Y nên U là tập I-đóng. Lại vì {f (xn)} nằm trong U nên
f (x) thuộc U hay x thuộc f −1(U ). Suy ra f −1(U ) là tập đóng dãy trong X nên f là ánh xạ liên tục dãy.
Định lý 2. Giả sử J là ideal cực đại của N. Khi đó f : X → Y là ánh xạ J -liên tục khi và
chỉ khi f là ánh xạ bảo toàn J -hội tụ.
Chứng minh. Điều kiện đủ: Theo Định lí 1, f là ánh xạ bảo toàn J -hội tụ nên f là ánh xạ J -liên tục.
Điều kiện cần: Giả sử f là ánh xạ J -liên tục, {xn} là dãy J -hội tụ đến x trong X. Khi
đó với mọi U là lân cận mở của f (x) nên U là tập J -mở trong Y . Theo giả thuyết f −1(U ) là
lân cận J -mở của x trong X. Vì J là ideal cực đại của N nên tồn tại E ∈ J sao cho với mọi
n ∈ N \ E thì xn ∈ f −1(U ). Do đó với mỗi x ∈ N \ E thì f (xn) ∈ U . Vì J là ideal cực đại nên (N \ E) / ∈ J . Suy ra
{n ∈ N : f(xn) ∈ U} = N \ E / ∈ J
Lại vì J là ideal cực đại nên n ∈ N : f (xn) / ∈ U } ∈ J
do đó {f (xn)} là dãy J -hội tụ đến f (x) hay f là ánh xạ bảo toàn J -hội tụ.
Định lý 3. Giả sử I là ideal chấp nhận được của N, X là không gian I-dãy, f : X → Y là
ánh xạ. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương
1. f là ánh xạ liên tục.
2. f là ánh xạ bảo toàn I-hội tụ.
3. f là ánh xạ I-liên tục. 3
Chứng minh. . Theo định lý 1 thì (1) ⇒ (2) ⇒ (3)
Chứng minh (3) ⇒ (1). Giả sử f là ánh xạ I-liên tục, với mỗi tập F đóng trong Y thì F là
tập I-đóng trong Y . Vì f là ánh xạ I-liên tục nên f −1(F ) là tập I-đóng trong X. Mặt khác
X là không gian I dãy nên f −1(F ) là tập đóng trong X. Vây f là ánh xạ liên tục.
Bổ đề 3. Giả sử X là không gian dãy, f : X → Y là ánh xạ I là Ideal chấp nhận được trên
N. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương
1. f là ánh xạ liên tục.
2. f là ánh xạ bảo toàn I-hội tụ.
3. f là ánh xạ I-liên tục.
4. f là ánh xạ liên tục dãy.
Chứng minh. . Vì X là không gian dãy nên X là không gian I-dãy theo Định lý 3 thì mệnh đề
(1), (2) và (3) tương đương với nhau
Chứng minh (4) ⇒ (1). Giả sử f : X → Y là ánh xạ liên tục dãy, với mọi U là tập mở trong
Y thì U là tập mở dãy trong Y . Vì f là ánh xạ liên tục dãy nên f −1(U ) là mở dãy trong X.
Lại vì X là không gian dãy nên f −1(U ) là tập mở trong X do đó f là ánh xạ liên tục.
Chứng minh (1) ⇒ (4). Giả sử f : X → Y là ánh xạ liên tục, với mọi U là đóng dãy trong
Y . Với mọi {xn} nằm trong f −1(U ) sao cho {xn} hội tụ đến x, khi đó {xn} là dãy I-hội tụ đến
x. Vì f là ánh xạ liên tục nên f là ánh xạ bảo toàn I-hội tụ. Khi đó {f (xn)} là dãy I-hội tụ
đến f (x). Mặt khác f (xn) ∈ U với mọi n ∈ N và U là tập đóng dãy nên U là tập I-đóng, do
đó f (x) ∈ U hay x ∈ f −1(U ). Vậy f −1(U ) là tập đóng dãy suy ra f là ánh xạ liên tục dãy.
Ví dụ 1. Giả sử I là ideal chấp nhận được trên N, khi đó tồn tại không gian X không rời rạc thỏa mãn
1. Mỗi dãy hội tụ đều là dãy tầm thường trong X. Nghĩa là giả sử {xn} hội tụ đến x thì tồn
tại n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 thì xn = n0;
2. {xn} là dãy I-hội tụ đến x khi và chỉ khi {n ∈ N : xn ̸= x} ∈ I; 3. Nếu N /
∈ I, thì mỗi tập con A của X là tập đóng với phép I-hội tụ của dãy trong A.
Chứng minh. Đặt X = [0, ω1] là không gian thứ tự đóng được trang bị topo thứ tự thông
thường. Khi đó tập con {ω1} không là tập mở của X vì mỗi lân cận mở của ω1 có dạng (α, ω1]
với α là số thứ tự đếm được. Do đó X không phải là không gian rời rạc. Giả sử {αn} là dãy hội tụ đến α, khi đó
Trường hợp 1: Dãy {αn} hội tụ đến 0.Xét U = [0, 1) là lân cận mở của 0 tồn tại n0 ∈ N sao
cho với mọi n ≥ n0 thì αn ∈ U . Khi đó αn = 0, với mọi n ≥ n0.
Trường hợp 2: Dãy {αn} hội tụ đến ω1. Đặt β = sup(βn) với αn là các số thứ tự đếm được
trong dãy {αn}. Khi đó β cũng là số thứ tự đếm được nên (β + 1, ω1] là lân cận mở của ω1. Do
đó tồn tại n1 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n1 thì
αn ∈ (β + 1, ω1] ⇐⇒ β + 1 < αn ≤ ω1
điều này xảy ra khi và chỉ khi αn = ω1 với mọi n ≥ n1.
Trường hợp 3: Giả sử {αn} sao cho αn hội tụ tới α. Khi đó xét lân cận mở U = (α − 1, α]
của α tồn tại n2 sao cho với mọi n ≥ n2 thì αn ∈ U = (α − 1, α]. Do đó với mọi n ≥ n1 thì αn = α.
Vậy mọi dãy hội tụ trong X đều là dãy tầm thường. 4
Giả sử {αn} là dãy I-hội tụ đến α thì xét lân cận mở Uα = (α − 1, α] (trong trường hợp
α = 0 thì Uα = [0, 1) , còn α = ω1 thì Uα = (β, ω1] với
β = sup{βn|βn là các số thứ tự đếm được trong dãy{αn}})
khi đó vì {α} là dãy I-hội tụ đến α nên
{n ∈ N : αn ̸= α} = {n ∈ N : αn / ∈ Uα} ∈ I.
Giả sử {n ∈ N : αn ̸= α} ∈ I và U là lân cận mở của x thì Uα ⊂ U do đó n ∈ N : αn / ∈ U } ⊂ {n ∈ N : αn /
∈ Uα} = {n ∈ N : αn ̸= α} ∈ I
vậy dãy {α} là dãy I-hội tụ đến α. Giả sử N /
∈ I, {αn} ⊂ A sao cho {αn} là dãy I-hội tụ đến α. Giả sử α / ∈ A thì
N = {n ∈ N : αn ̸= α} ∈ I mâu thuẫn với N /
∈ I. Vậy A là tập đóng với phép I-hội tụ của dãy trong A.
Ví dụ 2. Tồn tại một ánh xạ không liên tục dãy, không liên tục nhưng bảo toàn I-hội tụ.
Chứng minh. Lấy I = N, X = [0, ω1]. Khi đó xét ánh xạ f : [0, ω1] → [0, ω1]
sao cho f (ω1) = 0, f (0) = ω1, f (x) = x nếu x ∈ (0, ω1). Khi đó f là ánh xạ liên tục dãy, không
liên tục nhưng bảo toàn I-hội tụ.
Thật vậy, theo Ví dụ 1 mọi dãy hội tụ trong [0, ω1] đều là dãy hội tụ tầm thường nên giả
sử {xn} hội tụ đến x0 thì tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 ta có xn = x0. Khi đó với mọi
n ≥ n0 thì f (xn) = f (x0), dẫn tới f (xn) hội tụ đến f (x0). Vậy f là ánh xạ bảo toàn hội tụ dãy
hay f là ánh xạ liên tục dãy.
Vì {0} = [0, 1) là tập mở trong [0, ω1] nhưng f −1({0}) = {ω1} không là tập mở trong [0, ω1]
nên f không là ánh xạ liên tục.
Giả sử {xn} là dãy I-hội tụ đến x, khi đó
{n ∈ N : f(xn) ̸= f(x)} = {n ∈ N : xn ̸= x} ∈ I
vậy theo Ví dụ 1 {f (xn)} là dãy I-hội tụ đến f (x). Do đó f là ánh xạ bảo toàn I-hội tụ.
Hệ quả 1. Giả sử X là không gian I-dãy, I là ideal chấp nhận được trên N. Khi đó f : X → Y
là ánh xạ I-liên tục khi và chỉ khi ánh xạ đồ thị của f g : X → X × Y là ánh xạ I-liên tục.
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử f : X → Y là ánh xạ I-liên tục, khi đó cần chứng minh g
là ánh xạ I-liên tục. Thật vậy, với mọi {xn} là dãy I-hội tụ tới x. Vì f là ánh xạ I-liên tục
nên theo Định lí 3 f là ánh xạ bảo toàn I-hội tụ do đó {f (xn)} là dãy I-hội tụ tới f (x). Khi
đó với mọi lân cận mở U × V của (x, f (x)) ta có {n ∈ N : (xn, f(xn)) / ∈ U × V } = {n ∈ N : xn / ∈ U } ∪ {n ∈ N : f(xn) / ∈ V }
lại vì U, V lần lượt là lân cận mở của x, f (x) và {xn} là dãy I-hội tụ đến x và {f (xn)} là dãy I-hội tụ đến f (x) nên {n ∈ N : xn /
∈ U } ∈ I ∧ {n ∈ N : f(xn) / ∈ V } ∈ I 5 do đó {n ∈ N : (xn, f(xn)) / ∈ U × V } ∈ I
vậy {xn, f (xn)} là dãy I-hội tụ tới (x, f (x)). Suy ra g là ánh xạ bảo toàn I-hội tụ nên theo
Định lí 3 g là ánh xạ I-liên tục.
Điều kiện đủ: Giả sử g : X → X × Y lầ ánh xạ I-liên tục. Vì X là không gian I-dãy nên
theo Định lí 3 cần chứng minh f là ánh xạ bảo toàn I-hội tụ. Thật vậy, với mọi dãy {xn} ⊂ X
sao cho {xn} là dãy I-hội tụ đến x. Vì g là ánh xạ I-liên tục và X là không gian I-dãy nên
theo Định lí 3 g là ánh xạ bảo toàn I-hội tụ, do đó {g(xn)} là dãy I-hội tụ đến g(x). Với mọi
V × W là lân cận mở của (x, f (x)) thì {n ∈ N : xn / ∈ V } ∪ {n ∈ N : f(xn) /
∈ W } = {n ∈ N : (xn, f(xn)) / ∈ V × W } ∈ I mặt khác {n ∈ N : f(xn) /
∈ W } ⊂ {n ∈ N : (xn, f(xn)) / ∈ V × W } nên {n ∈ N : f(xn) / ∈ W } ∈ I
do đó {f (xn)} là dãy I-hội tụ đến f (x). Vậy f là ánh xạ bảo toàn I-hội tụ hay f là ánh xạ I-liên tục.
Câu hỏi: Trong trường hợp X là không gian topo bất kì thì Hệ quả 1 còn đúng không?
Định lý 4. Giả sử (X, τ ) là không gian topoI là ideal chấp nhận được trên N, với mọi U ∈ τ .
Giả sử f : X → Y là ánh xạ I-liên tục thì ánh xạ hạn chế f |U : U → Y cũng là ánh xạ I-liên tục.
Chứng minh. Giả sử f : X → Y là ánh xạ I-hội tụ, U ∈ τ, f |U : U → Y.
Khi đó với mọi V là tập I-đóng trong Y cần chứng minh (f |U )−1(V ) là tập I-đóng trong U .
Thật vậy, với mọi dãy {xn} ⊂ (f |U )−1(V ) sao cho {xn} là dãy I-hội tụ tới x. Vì
(f |U )−1(V ) = f −1(V ) ∩ U
nên {xn} ⊂ f −1(V ) và {xn} ⊂ U . Lại vì f là ánh xạ I-liên tục, V là tập I-đóng trong Y nên
f −1(V ) là tập I-đóng trong X suy ra x ∈ f −1(V ). Bây giờ tiếp tục chứng minh x ∈ U , giả sử x /
∈ U . Vì U là tập mở trong X nên X \ U là tập đóng trong X do đó tồn tại lân cận mở W
của x sao cho V ∩ U = ∅. Lại vì {xn} là dãy I-hội tụ tới x nên N = {n ∈ N : xn / ∈ W } ∈ I
điều này mâu thuẫn với I là ideal chấp nhận được trên N. Vì vậy x ∈ U dẫn tới
x ∈ f −1(V ) ∩ U = (f |U )−1(V ).
Vậy (f |U )−1(V ) là tập I-đóng trong U suy ra f |U là ánh xạ I-liên tục.
Hệ quả 2. Giả sử (X, τ ) là không gian topoI là ideal chấp nhận được trên N, Ui ∈ τ, ∀i ∈ N.
Giả sử f : X → Y là ánh xạ I-liên tục khi đó ánh xạ hạn chế g : S U i∈N i → Y cũng là ánh xạ I-liên tục.
Chứng minh. Giả sử Ui ∈ τ, ∀i ∈ N khi đó S U U i∈N
i ∈ τ . Nên theo Định lí 4 ta có g : Si∈N i → Y là ánh xạ I-liên tục. 6
Bổ đề 4. Giả sử (X, τ ) là không gian topo I là ideal chấp nhận được trên N, với mọi U là tập
đóng trong X. Giả sử f : X → Y là ánh xạ I-liên tục thì ánh xạ hạn chế f |U : U → Y cũng là ánh xạ I-liên tục.
Chứng minh. Giả sử f : X → Y là ánh xạ I-hội tụ, U là tập đóng trong X f |U : U → Y.
Khi đó với mọi V là tập I-đóng trong Y, {xn} ⊂ (f |U )−1(V ) sao cho {xn} là dãy I-hội tụ tới x. Ta có
(f |U )−1(V ) = f −1(V ) ∩ U.
Lại vì f là ánh xạ I-liên tục, V là tập I-đóng trong Y nên f −1(V ) là tập I-đóng trong X. Và
U là tập đóng trong X nên U là tập I-đóng trong X do đó
(f |U )−1(V ) = f −1(V ) ∩ U
là tập I-đóng trong X. Do đó
x ∈ f −1(V ) ∩ U = (f |U )−1(V )
vậy (f |U )−1(V ) là tập I-đóng trong X hay f |U là ánh xạ I-liên tục.
Hệ quả 3. Giả sử (X, τ ) là không gian topoI là ideal chấp nhận được trên N, Ui là tập đóng
với mọi i ∈ N. Giả sử f : X → Y là ánh xạ I-liên tục khi đó ánh xạ hạn chế g : T U i∈N i → Y
cũng là ánh xạ I-liên tục.
Chứng minh. Giả sử Ui là tập đóng với mọi i ∈ N khi đó T U i∈N
i là tập đóng trng X . Nên theo Bổ đề 4 ta có g : T U i∈N
i → Y là ánh xạ I -liên tục.
Bổ đề 5. Giả sử (X, τ ) là không gian topoI là ideal chấp nhận được trên N, U là con của X.
Giả sử f : X → Y là ánh xạ bảo toàn-I-hội tụ khi đó ánh xạ hạn chế fU : U → Y cũng là ánh xạ bảo toàn-I hội tụ.
Chứng minh. Giả sử f : X → Y là ánh xạ bảo toàn I-hội tụ, U là tập con của X f |U : U → Y.
Khi đó với mọi {xn} ⊂ U sao cho {xn} là dãy I-hội tụ đến x thuộc U . Vì f là ánh xạ bảo toàn
I-hội tụ nên {f (xn)} là dãy I-hội tụ đến f (x). Lại vì {xn} ⊂ U ∧ x ∈ U nên
f (xn) = f |U (xn), ∀n ∈ N ∧ f (x) = f |U (x)
do đó {f |U (xn)} là dãy I-hội tụ tới f |U (x). Vậy f |U là ánh xạ bảo toàn I-hội tụ.
Bổ đề 6. Giả sử X là không gian topo, I là ideal chấp nhận được trên N. Khi đó {xn} là dãy
I-hội tụ đến x khi và chỉ khi {xn} là dãy J -hội tụ đến x với mọi J ∈ Θ(I).
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử {xn} là dãy I-hội tụ đến x. Khi đó với mỗi lân cận mở U của x, ta có {n ∈ N : xn / ∈ U } ∈ I ⊂ J
vậy {xn} là dãy J -hội tụ đến x. 7
Điều kiện đủ: Giả sử {xn} là dãy J hội tụ đến x với mọi J ∈ Θ(I). Khi đó với mỗi lân cận mở U của x, ta có {n ∈ N : xn / ∈ U } ∈ J , ∀J ∈ N hay \ {n ∈ N : xn / ∈ U } ∈ J = I J ∈Θ(I)
vậy {xn} là dãy I-hội tụ đến x.
Bổ đề 7. Giả sử X, Y là không gian topo, f : X → Y là ánh xạ bảo toàn J -hội tụ, ∀J ∈ Θ(I).
Khi đó f là ánh xạ bảo toàn I-hội tụ.
Chứng minh. . Giả sử f là ánh xạ bảo toàn J -hội tụ với mọi J ∈ Θ(I). Giả sử {xn} là dãy
I-hội tụ đến x,lúc này {xn} là dãy J -hội tụ đến x. Theo giả thuyết, ta có {f (xn)} là dãy J -hội
tụ đến f (x) với mọi J ∈ Θ(I). Theo Bổ đề 6, {f (xn)} là dãy I-hội tụ đến f (x) do đó f là ánh xạ bảo toàn I-hội tụ.
Điều ngược lại ở Bổ đề 7 chưa chắc đúng.
Ví dụ 3. Tồn tại ánh xạ bảo toàn J -hội tụ nhưng không bảo toàn I-hội tụ với I, J là hai ideal trên N sao cho I ⊂ J .
Ví dụ 4. Tồn tại ánh xạ bảo toàn If -hội tụ nhưng không bảo toàn J -hội tụ với mọi J ∈ Θ(If ) với
If = {A : A hữu hạn trong N}
Chứng minh. Giả sử I là một ideal chấp nhận được trên N, xét tập N ∪ {∞}, ∞ / ∈ N. Trang
bị 1 topo τ trên nó sao cho τ thỏa mãn các điều kiện sau:
1. Với mỗi n ∈ N thì {n} là một tập mở.
2. Với mỗi lân cận mở U của {∞} thì
U = (N \ I) ∪ {∞}, I ∈ I.
Không gian N ∪ {∞} cùng với topo trên được kí hiệu là P(I). Xét X = P(J ) với mọi
J ∈ If được trang bị topo trên và Y = ω được trang bị topo rời rạc. Khi đó xét ánh xạ X f : (J ) → ω
sao cho f (∞) = 0 và f (n) = n với mọi n ≥ 1 và f (0) = 1. Khi đó f là ánh xạ bảo toàn If -hội
tụ nhưng f không bảo toàn J -hội tụ.
Thật vậy, giả sử {xn} là dãy If -hội tụ đến x.
Trường hợp 1: x ̸= ∞ khi đó xét tập mở U = {x} của x thì
{n ∈ N : f(xn) ̸= f(x)} = {n ∈ N : xn ̸= x} = {n ∈ N : xn / ∈ {x}} ∈ If
lúc này với mọi lân cận mở V của f (x) = x thì {x} ⊂ V do đó {n ∈ N : f(xn) / ∈ V } ⊂ {n ∈ N : f(xn) /
∈ {x} = {f (x)}} = {n ∈ N : f(xn) ̸= f(x)} ∈ If
Trường hợp 2: x = ∞ xét tập mở U = (N \ ∅) ∪ {∞} = N ∪ {∞} của ∞ thì
{n ∈ N : f(xn) ̸= 0} = {n ∈ N : xn ̸= ∞} = {n ∈ N : xn / ∈ U } ∈ If 8
khi đó với mọi W là lân cận mở 0 thì {n ∈ N : f(xn) / ∈ W } ⊂ {n ∈ N : f(xn) /
∈ {0}} = {n ∈ N : f(xn) ̸= 0} = {n ∈ N : xn ̸= ∞} ∈ If
dẫn tới {f (xn)} là dãy If -hội tụ tới 0. Suy ra f là ánh xạ bảo toàn If -hội tụ.
Tuy nhiên, f không bảo toàn J -hội tụ. Xét tập F = N khi đó F là tập J -đóng trong ω.
Giả sử f −1(N) = N là tập J -đóng trong P(J ). Dãy {xn} ⊂ F sao cho xn = n với mọi n ∈ N
là tập J -hội tụ tới ∞. Khi đó với mỗi U = (N \ J) ∪ {∞}, J ∈ J thì {n ∈ N : xn / ∈ U } = {n ∈ N : n /
∈ (N \ J) ∪ {∞}} = {n ∈ N : n ∈ J} = J ∈ J
vậy dãy {xn} là dãy J -hội tụ tới ∞ nhưng ∞ /
∈ F . Do đó F không là tập J -đóng trong P(J ).
Vậy f không là ánh xạ J -liên tục. Theo Định lí 1 f không là ánh xạ bảo toàn J -hội tụ.
Mệnh đề 1. Giả sử X, Y, Z là không gian topo, I là Ideal không tầm thường trên N f : X → Y, g : Y → Z. Khi đó
1. Nếu f, g là ánh xạ bảo toàn I-hội tụ thì g ◦ f là ánh xạ bảo toàn I-hội tụ;
2. Nếu f, g là ánh xạ bảo toàn hội tục dãy thì g ◦ f là ánh xạ bảo tồn hội tụ dãy;
3. Nếu f, g là ánh xạ liên tục dãy thì g ◦ f là ánh xạ liên tục dãy;
4. Nếu f, g là ánh xạ I-liên tục thì g ◦ f là ánh xạ I-liên tục.
Chứng minh. . (1) Giả sử f, g là hai ánh xạ bảo toàn I-hội tụ. Khi đó với mọi dãy {xn} nằm
trong X sao cho {xn} là dãy I-hội tụ tới x. Vì f là ánh xạ bảo toàn I-hội tụ nên {f (xn)} là
dãy I-hội tụ đến f (x). Mặt khác, vì {f (xn)} nằm trong Y và {f (xn)} là dãy I-hội tụ đến f (x)
và g là ánh xạ bảo toàn I-hội tụ nên {g(f (xn))} là dãy I-hội tụ đến g(f (x)) hay {(g ◦ f )(xn)}
là dãy I-hội tụ đến (g ◦ f )(x). Do đó g ◦ f là ánh xạ bảo toàn I-hội tụ.
(2) Giả sử f, g là hai ánh xạ bảo tòan hội tụ dãy. Giả sử {xn} là dãy nằm trong X sao cho
{xn} hội tụ đến x. Vì f là ánh xạ bảo toàn hội tụ dãy nên {f (xn)} hội tụ đến f (x). Mặt khác
gì vì g là ánh xạ bảo toàn hội tụ dãy và {f (xn)} là dãy nằm trong Y nên {g(f (xn))} hội tụ
đến g(f (x)) hay (g ◦ f )(xn) hội tụ đến (g ◦ f )(x) vậy g ◦ f là dãy bảo toàn hội tụ dãy.
(3) Giả sử f, g là hai ánh xạ liên tục dãy. U là tập mở dãy trong Z. Vì g là ánh xạ liên tục
dãy nên g−1(U ) là tập mở dãy trong Y . Mặt khác, vì f là ánh xạ liên tục dãy nên f −1(g−1(U ))
là tập mở dãy trong X hay (g ◦ f )−1(U ) là tập mở dãy trong X. Do đó g ◦ f là ánh xạ liên tục dãy.
(4) Giả sử f, g là hai ánh xạ I-liên tục, U là tập I-mở trong Z. Vì g là ánh xạ I-liên tục
nên g−1(U ) là tập I-mở trong Y . Mặt khác, vì f là ánh xạ I-liên tục nên f −1(g−1(U )) là tập
I-mở trong X hay (g ◦ f )−1(U ) là tập I-mở trong X. Do đó g ◦ f là ánh xạ I-liên tục.
