Ôn tập môn Cấu trúc đại số cơ bản
Thời gian làm bài thi: 120 phút.
Nội dung ôn tập: Xem lại các ví dụ và bài tập trong giáo trình, tập trung vào các chủ điểm dưới đây:
1. Quan hệ tương đương và Nhóm -
Khái niệm quan hệ tương đương và tập thương. -
Khái niệm phép toán hai ngôi, phần tử trung hoà, phần tử đối xứng -
Khái niệm nhóm, nhóm con, nhóm con chuẩn tắc, nhóm cyclic, nhóm thương và các ví dụ. -
Kiểm tra nhóm con, nhóm con chuẩn tắc, nhóm cyclic, đồng cấu nhóm, đẳng cấu nhóm. Tính ker, Im. -
Tính chất về cấp của nhóm hữu hạn, cấp của nhóm con, cấp của phần tử trong nhóm (Định lí Lagrange). -
Các đẳng cấu của các nhóm cyclic, các ví dụ. 2. Vành và trường -
Khái niệm vành, trường, miền nguyên, vành con, trường con, ideal, vành thương và các ví dụ. -
Kiểm tra vành con, miền nguyên, trường con, ideal, đồng cấu vành, đẳng cấu vành. Tính ker, Im. -
Xác định trường các thương của một miền nguyên. -
Một số phép toán ideal (tổng, giao, ch) -
Chứng minh ideal nguyên tố, ideal cực đại.
3. Một vài lớp vành đặc bi t ệ -
Khái niệm về phần tử nguyên tố, phần tử bất khả quy, vành chính, vành Euclid, vành
Gauss, mối liên hệ giữa chúng và các ví dụ. -
Chứng minh một vành là (hoặc không là) vành chính, vành Euclid, vành Gauss: các
vành đa thức và các vành dạng ℤ[√𝑑]. 4. Vành đa thức -
Các nh chất của vành đa thức đã có trong các nội dung ở trên: Tính mi n ề nguyên,
nh chính, nh Euclid, nh Gauss, ideal, ideal nguyên tố, cực đại trong vành đa thức,
một số đẳng cấu liên quan đến vành đa thức. -
Đa thức bất khả quy và phân ch đa thức thành nhân tử bất khả quy trong
ℚ[𝑥], ℝ[𝑥], ℂ[𝑥].