Ôn tập Toán cao cấp | Trường Đại học Kỹ thuật - Công nghệ Cần Thơ
Ôn tập Toán cao cấp | Trường Đại học Kỹ thuật - Công nghệ Cần Thơ. Tài liệu được sưu tầm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem.
Môn: Tóan cao cấp 1 (CT) 2 tài liệu
Trường: Trường Đại học Kỹ thuật - Công nghệ Cần Thơ 150 tài liệu
Tác giả:
Preview text:
CHƯƠNG 1. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 1.1. MA TRẬN
1.1.1. Định nghĩa. Một bảng gồm m hàng, n cột các phần tử thuộc ℝ gọi là một ma trận cấp mn trên ℝ. a a a ... a 11 12 13 1n a a a ... a 21 22 23 2n ... ... ... ... ... A = = = = (a i 1, , m j , 1 , ij ) a a a ... a m n, n i1 i2 i3 in ... ... ... ... ... a a a ... a m1 m2 m3 mn
trong đó: phần tử aij là phần tử ở hàng i, cột j của ma trận A.
Ta ký hiệu: Mm×n(ℝ) là tập hợp các ma trận cấp mn trên ℝ. 1 2 3
Ví dụ 1.1. Ma trận A =
là ma trận cấp 2×3. 4 5 6
1.1.2. Một số dạng ma trận đặc biệt
1.1.2.1. Ma trận vuông
Nếu m = n thì ta được ma trận gồm n hàng và n cột gọi là ma trận vuông cấp n. a a ... a 11 12 1n a a ... a 21 22 2n A = ... ... ... ... a a ... a n1 m2 nn
1.1.2.2. Ma trận đơn vị
Ma trận vuông I = (aij)n trong đó aij = 1 nếu i = j và aij = 0 nếu i j gọi là
ma trận đơn vị cấp n, tức là 1 0 ... 0 0 1 ... 0 I = ... ... ... ... 0 0 ... 1
1.1.2.3. Ma trận tam giác. Cho ma trận vuông A = (aij)n
a) A gọi là ma trận tam giác trên nếu aij = 0, i > j a a ... a 11 12 1n 0 a ... a 22 2n A = ... ... ... ... 0 0 ... ann TOÁN CAO CẤP 1
b) A gọi là ma trận tam giác dưới nếu aij = 0, i < j a 0 ... 0 11 a a ... 0 21 22 A = ... ... ... ... a a ... a n1 m2 nn
1.1.2.4. Ma trận bằng nhau
Cho ma trận hai ma trận A=(aij)m x n và B=(bij)m x n. Hai ma trận gọi là bằng
nhau nếu aij = bij với mọi i,j.
1.1.2.5. Ma trận chuyển vị
Cho ma trận A = (aij)m x n. Ma trận AT = (aji)n x m thu được từ ma trận A
bằng cách đổi các cột thành các hàng tương ứng gọi là ma trận chuyển vị
của ma trận A. Như vậy nếu ma trận A có cấp n, m thì ma trận AT có cấp m, n. 1 5 9 1 2 3 4 T 2 6 10 A = 5 6 7 8 A = . 3 7 11 9 10 11 12 4 8 12
1.1.3. Một số phép toán và tính chất
1.1.3.1. Phép cộng các ma trận cùng cấp
Cho hai ma trận: A = (aij)mn ,và B = (bij)mn. Ta có: A+B = (aij + bij)mn.
(Phép cộng các ma trận cùng cấp cho một ma trận cùng cấp với mỗi phần tử
của ma trận tổng bằng tổng các phần tử tương ứng của hai ma trận thành phần). 2 3 −1 4 1 − 3 2 − 2
Ví dụ 1.2. Cho A = , B = . 5 1 3 − 2 −1 4 1 3 3 0 1 2
Khi đó, A + B = 4 5 4 1
1.1.3.2. Phép nhân một số thực với ma trận
Cho ma trận A = (aij)mn và một số thực k. Ta có: k.A = (kaij)mn.
Phép nhân một số thực k với ma trận cấp n, m cho một ma trận cùng cấp n,
m trong đó mỗi phần tử bằng tích của k với phần tử tương ứng của ma trận đã cho. 4 6 − 2 8
Ví dụ 1.3. 2.A =
, với A là ma trận ở ví dụ 1.2 10 2 6 − 4
1.1.3.3. Phép nhân hai ma trận
a) Định nghĩa. Cho hai ma trận A = (aij)mn và B = (bij)nk. Khi đó tích
của hai ma trận A và B là một ma trận C = (cij)mk với các phần tử cij TOÁN CAO CẤP 2
là tổng tất cả các tích của các phần tử hàng i trong ma trận A với phần
tử tương ứng cuả cột j trong ma trận B. Tức là: n
c = a b + a b ++ a b = a .b ; i = 1,...,m; j = 1, …,k. ij i1 1j i2 2j in nj it tj t 1 = a a a 11 12 1n a a a b b b b 21 22 2n 11 12 1j 1k c c c 11 12 1k b b b b 21 22 2j 2k c c c 21 22 2k = . a a a c i1 i2 in ij b b b b n1 n2 nj nk c c c m1 m2 mk a a a m1 m2 mn n Viết gọn A.B = a .b . it tj t 1 = mk
❖ Chú ý. Điều kiện để phép nhân ma trận thực hiện được là số cột của
ma trận A bằng số hàng của ma trận B. Tức là nếu A là ma trận cấp
m×n, B là ma trận cấp n×k thì A.B là ma trận cấp m×k – Phép nhân
ma trận không có tính chất giao hoán. b) Ví dụ 1.4 1 2 3 2 −1 1 3 5 7 ▪ Cho A = ,B = 2 −1 1 . Khi đó . A B = . − 3 2 0 1 − 8 − 7 3 0 2 1 2 2 1 2 3 1 7 ▪ Cho A = và B = . Khi đó . A B = và . B A = . −1 3 0 1 − 2 2 −1 3 Vậy A.B ≠ B.A. 2 1 x 3 12 ▪ Cho A = , B = 4 . Nếu .
A B = , hãy tìm x và y. 2 −1 1 6 y
2 + 4x + 3y
2 + 4x + 3y 12
Giải. Ta có A B . =
. Theo giả thiết ta suy ra = . y y 6 Vậy, y = 6 và x = -2.
1.1.3.4. Một số tính chất. Cho ba ma trận A, B, C. Với điều kiện của phép cộng,
nhân thực hiện được, ta có: i) (A.B).C = A.(B.C); ii) A(B+C) = AB + AC; iii) (B+C)A = BA + CA; iv) k(BC) = (kB)C = B(kC); v) A + B = B + A.
1.2. ĐỊNH THỨC (Trong phần này, ta sẽ làm việc với các ma trận vuông)
1.2.1. Định thức cấp 2. Cho A = (a )
M (ℝ). Định thức cấp 2 của ma trận A được ij 22 2
ký hiệu l detA hay |A|, được tính TOÁN CAO CẤP 3 a a det A = A 11 12 = = a a − a a . a a 11 22 21 12 21 22 1 2 1 2
Ví dụ 1.5. Cho A = ta có: det A = = 1.1− 2.( 3) − = 7. − 3 1 − 3 1
1.2.2. Định thức cấp 3. Cho A = (a )
M (ℝ). Định thức cấp 3 của ma trận A được tính ij 33 3 a a a 11 12 13 det A = a a
a = a a a + a a a + a a a − a a a − a a a − a a a . 21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31 12 21 33 23 32 11 a a a 31 32 33
Cộng thức trên thường được nhớ theo quy tắc Sarrus như sau: Ta viết thêm cột thứ
nhất và thứ hai vào bên phải định thức ta được: a a a a a 11 12 13 11 12 det A = a a a a a 21 22 23 21 22 a a a a a 31 32 33 31 32 dấu: - - - + + +
Ví dụ 1.6. Tính định thức: 2 −1 3 D = − 3 1
5 = 2.1.2 + (-1).5.(-1) + 3.(-3).1 – (-1).1.3 – (-3).(-1).2 – 2.1.5 = −1 1 2
= 4 + 5 – 9 + 3 – 6 – 10 = -13.
1.2.3. Định thức cấp n
Trong phần này ta tạm thời thừa nhận khái niệm về định thức cấp n như là một số
thực tính được từ một ma trận vuông A = (aij)n cấp n theo một quy tắc nhất định
Ký hiệu: DetA = A = (aij)n.
1.2.3.1. Định thức con – phần bù đại số của một phần tử
o Cho ma trận vuông cấp n: A = (aij)n , bằng cách lấy giao của p (0 < p < n)
hàng bất kỳ và p cột bất kỳ của A ta lập nên một ma trận vuông B cấp p
của A. Định thức của ma trận này được gọi là định thức con cấp p của định thức A.
o Phần bù đại số cuả phần tử aij
Cho định thức A = (aij ) ta gọi định thức con cấp n - 1 thu được từ A n
bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j là định thức bù của phần tử aij. Ký hiệu: TOÁN CAO CẤP 4 a a ... a a ... a 11 12 1j 1 − 1j 1 + n 1 ... ... ... ... ... ... ... a a ... a a ... a M i 11 − i 12 − i 1 − j 1 − i 1 − j 1 + i− n 1 ij = M(aij) = (bỏ hàng i, cột j). a a ... a a ... a i 11 + i 12 + i 1 + j 1 − i 1 + j 1 + i+ n 1 ... ... ... ... ... ... ... a a ... a a ... a n1 n 2 nj 1 − nj 1 + nn
Số thực : Aij = (-1)i+jMij Gọi là phần bù đại số của phần tử aij . 3 1 2 0 0 2 1 1
Ví dụ 1.7. Định thức: D4 = , ta có: 1 3 4 2 3 1 4 3 2 1 1 0 1 1
A11 = (-1)1+1 3 4 2 = (-1)1+1M11 = 9; A12 = (-1)1+2 1 4 2 = -M12 = 5, … 1 4 3 3 4 3
1.2.3.2. Cách tính định thức cấp cao
a) Phương pháp Laplace
Định lý (Laplace). Cho A là ma trận vuông cấp n a a ... a ... a 11 12 1 j 1n
a a ... a ... a 21 22 2 j 2n A = a a ... a ... a . i1 i2 ij in a a ... a ... a 1n n2 nj nn Khi đó,
− Nếu khai triển định thức A theo hàng thứ i thì detA được biểu diễn dưới dạng n det A = a A . kj kj j=1
− Nếu khai triển định thức A theo cột thứ j thì detA được biểu diễn dưới dạng n det A = a A . ik ik i 1 = ❖
Nhận xét. Nhờ định lý Laplace ta có thể đưa việc tính định thức cấp
n về việc tính các định thức cấp bé hơn n – 1, n-2,… Cứ làm như vậy
sau hữu hạn bước ta có thể đưa việc tính định thức cấp cao về tính
các định thức cấp 2 hay cấp 3 đã biết. TOÁN CAO CẤP 5 0 3 0 5 2 3 1 1
Ví dụ 1.8. Tính định thức A = 1 1 3 0 0 4 0 5 2 1 1 2 3 1
Khai triển theo hàng 1 có A = (− ) 1 1+2 . 3 1 3 0 + (− ) 1 1+4 . 5 . 1 1 3. 0 0 5 0 4 0
Khai triển theo hàng cuối của 2 định thức trên có: 2 1 2 1 A = (− ) 1 1+2 .( 3 . − ) 1 3+3 5 . + (− ) 1 1+4 .( 5 . − ) 1 3+2 4 . . = 25 1 3 1 3 ➢
Chú ý. Từ công thức trên ta chứng minh được định thức của ma trận
tam giác (ma trận tam giác trên, ma trận tam giác dưới) bằng tích các
phần tử trên đường chéo chính, tức là:
Nếu ma trận vuông A = (aij)n có aij = 0 với mọi i > j ( hoặc i < j) thì n det(A) = a . ii i=1
b) Phương pháp biến đổi (đưa về dạng đặc biệt hay dạng tam giác) Trong
phương pháp này ta sử dụng một số tính chất mà ta thừa nhận sau:
▪ Định thức bằng 0 nếu có một hàng (cột) bằng 0.
▪ Định thức bằng 0 nếu có hai hàng (cột) tỉ lệ.
▪ Định thức đổi dấu nếu ta đổi chỗ hai hàng (cột).
▪ Định thức không đổi nếu:
− Ta cộng vào một hàng (cột), một hàng (cột) khác sau khi đã
nhân với một hằng số.
− Ta cộng vào một hàng (cột), một tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) khác.
▪ Nếu các phần tử trên một hàng (hay một cột) của định thức có nhân
tử chung thì có thể đưa nhân tử đó ra ngoài. 1 2 3 1 2 3
Ví dụ 1.9: 4 2 6 = 2. 2 1 3 . 9 8 6 9 8 6
Dựa theo hai phương pháp và những tính chất trên ta có thể tính định
thức bằng việc biến đổi định thức về dạng đặc biệt (bằng 0 hay dạng ma trận tam giác). Ví dụ 1.10. TOÁN CAO CẤP 6 1 2 5
a) Cho A = 1 1 2 . −1 2 1 1 2 5 1 2 5 1 2 5 Khi đó, det A = 1
1 2 = 0 −1 − 3 = 0 −1 − 3 −1 2 1 0 4 6 0 0 − 6 h → h − h 2 2 1 h → h + 4h h → h + h 3 3 2 3 3 1 Vậy det A = .( 1 − ). 1 (− ) 6 = . 6 3 1 2 0 0 2 1 1 b) Cho B =
Tính định thức của B trên ta có: 1 3 4 2 3 1 4 3 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 0 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 B = - = - = - = 3 1 2 0 0 − 8 −10 − 6 0 0 − 6 − 2 3 1 4 3 0 − 8 − 8 − 3 0 0 − 4 1 đổi h1 h3
h3 → h1.(-3) + h3 h3→ h2.(4) + h3
h4 → h1.(-3) + h4 h4→ h2.(4) + h4 1 3 4 2 0 2 1 1 = - 7 = 28. 0 0 − = -(1).2.(-6). 6 − 2 3 7 0 0 0 3 - 2 h4 → h3. + h4. 3 ➢
Chú ý. Trong thực tế ta thường kết hợp cả hai phương pháp để tính
định thức, tức là ta biến đổi định thức về một dạng đơn giản – có một
hàng hay một cột có nhiều phần tử bằng 0 rồi khai triển theo hàng hay cột đó.
Ví dụ 1.11. Tính định thức: 1 2 − 3 4 1 2 − 3 4 1 2 − 3 4 2 3 5 −1 0 −1 11 − 9 0 −1 11 − 9 D = = = = 3 1 0 2 0 − 5 9 −10 0 0 − 46 35 − 2 0 3 1 0 4 − 3 9 0 0 41 − 27 TOÁN CAO CẤP 7 −1 11 − 9 − 46 35 = 1. 0 − 46 35 = (1).(-1) = 193. 41 − 27 0 41 − 27
1.3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
1.3.1. Định nghĩa. Cho ma trận A Mn(ℝ). Ta nói ma trận B là ma trận nghịch đảo của
A nếu AB = BA = I . Ky hiệu B = A-1.
➢ Chú ý: Ma trận A có ma trận nghịch đảo nếu A là ma trận vuông và detA 0.
Khi đó ta còn gọi A là ma trận không suy biến.
1.3.2. Tính chất của ma trận nghịch đảo. Nếu A, B Mn(ℝ) là hai ma không suy biến thì − 1 − a) (A− ) 1 1 = A b) ( ) 1 − 1 AB = B A− . − c) (A ) 1 t = (A )t 1 - .
d) det(A-1) = (det A)-1.
1.3.3. Cách tìm ma trận nghịch đảo của ma trận không suy biến A a a ... a 11 12 n 1 a a ... a 21 22 2n Cho A = ... ... ... ... a a ... a n1 m2 nn
Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo nhờ định thức: 11 A A21 ... An1 1 − 1 A ( 1 A A ... A A = ij )T 12 22 n2 = , det(A) det(A) ... ... ... ... 1 A n A2n ... Ann
trong đó Aij là phần bù đại số của aij.
Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo nhờ phương pháp Gauss – Jordan: a a ... a 1 0 ... 0 11 12 1n a a ... a 0 1 ... 0 21 22 2n
Xét ma trận mở rộng (A | I ) = ... ... ... ... ... ... ... ... a a ... a 0 0 ... 1 1 n m2 nn
Dùng phép biến đổi sơ cấp hàng đối với (A | I ) để biến A thành I và biến I thành A-1. 1 3 2
Ví dụ 1.12. Tìm ma trận nghịch đảo cuả ma trận A = 1 4 2. 1 3 3 Giải:
Cách 1: Ta có detA=1. TOÁN CAO CẤP 8 4 2 1 2 1 4 A = (− ) 1 1 1 + = ; 6 A = (− ) 1 1+2 = − ; 1 A = (− ) 1 1+3 = − ; 1 11 3 3 12 1 3 13 1 3 3 2 1 2 1 3 A = (− ) 1 2 1 + = − ; 3 A = (− ) 1 2+2 = ; 1 A = (− ) 1 2+3 = ; 0 21 3 3 22 1 3 23 1 3 3 2 1 2 1 3 A = (− ) 1 3 1 + = − ; 2 A = (− ) 1 3+2 = ; 0 A = (− ) 1 3+3 = ; 1 31 4 2 32 1 2 33 1 4 6 − 3 − 2 Vậy A 1- = −1 1 0 . −1 0 1 Cách 2: 1 3 2 1 0 0 1 3 2 1 0 0 h →h − 2 2 1 h
(A | I) = 1 4 2 0 1 0 ⎯ ⎯h → 3 3 h ⎯ ⎯− 1h → 0 1 0 −1 1 0 1 3 3 0 0 1 0 0 1 −1 0 1 1 3 2 1 0 0 1 3 0 3 0 − 2 ⎯ ⎯ 1h ⎯ →h − 1 ⎯ 2 3 h → 0 1 0 −1 1 0 ⎯ ⎯ 1h ⎯ →h − 1 ⎯ 2 3 h → 0 1 0 −1 1 0 0 0 1 −1 0 1 0 0 1 −1 0 1 1 0 0 6 − 3 − 2 ⎯ ⎯ 1h ⎯ →h − 1 ⎯ 3 3 h → 0 1 0 −1 1 0 0 0 1 −1 0 1 1 2 3 − 40 16 9
Ví dụ 1.13. Cho A = 2 5 3 , tìm 1 − A . HD: − A 1 = 13 − 5 − 3 . 1 0 8 5 − 2 −1
1.4. HẠNG CỦA MA TRẬN
1.4.1. Định nghĩa. Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của A. Ký hiệu: ( A) hay R(A).
1.4.2. Cách tìm hạng cuả ma trận
1.4.2.1. Phương pháp bổ sung
− Tìm một định thức con khác không của A, B.
− Xét các định thức con cấp r + 1 của A chứa B:
o Nếu mọi định thức con cấp r + 1 của A chứa B đều bằng không: ( A) = r .
o Nếu có định thức con chứa B khác không là C; ta lại xét các
định thức con của A chứa C và tiếp tục như trên. TOÁN CAO CẤP 9 1 0 1 − 1 2 0 1 0 1 2 −
Ví dụ 1.14. Tìm hạng của ma trận A = 1 1 1 − 2 − 2 1 0 0 1 0 1 0
Dễ thấy định thức con cấp 2 của A: B = = 1 0 . 0 1 1 0 1 −
Ta lại có, định thức con cấp 3 chứa B: C = 0 1 0 =1 0 . 1 0 0
Có một định thức con cấp 4 chứa C: 1 0 1 − 2 0 1 − 2 0 1 − 2 0 1 0 2 1 − 2 D = = − 1 0 2 = − 1 0 2 = = 2 0. 1 1 1 − 2 1 − 0 1 1 − 2 0 1 − 0 1 0 0 0 Vậy ( A) = ( D) = 4.
❖ Nhận xét. Việc tính hạng ma trận bằng sử dụng định thức khá phức
tạp nên trong thực tế ta thường ít sử dụng phương pháp này, mà người
ta thường sử dụng phương pháp tìm hạng ma trận bằng cách sử dụng
các phép biến đổi tương đương trên ma trận.
1.4.2.2. Phương pháp biến đổi sơ cấp ma trận
Để tìm hạng của ma trận, có thể sử dụng các phép biến đổi (theo hàng) ma trận sau:
− Đổi chỗ hai hàng.
− Nhân một hàng với một số khác không.
− Cộng vào một hàng một tổ hợp tuyến tính của các hàng khác.
− Hạng của ma trận bậc thang bằng số hàng khác không của nó.
Trong đó: ma trận bậc thang là ma trận có dạng:
− Các hàng khác 0 nằm trên các hàng bằng 0 (nếu có).
− Phần tử khác 0 đầu tiên của hàng dưới nằm bên phải cột chứa phần tử
khác 0 đầu tiên của hàng trên.
Ví dụ 1.15. Tìm hạng của ma trận: TOÁN CAO CẤP 10 1 2 − 3 4 1 2 − 3 4 2 8 1 2 − 3 4
d →d − d 2 2 1
d →d − d a) A
d →d −3d 3 3 2 3 3 1 7 = 2 4 1 10 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → 0 0 7 2 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → 0 0 7 2 = B 3 6 −1 15 0 0 8 3 5 0 0 0 7 Vậy (A) =3. 1 1 2 0 1 − 1 2 0 1 1
b) Tìm hạng của ma trận A = . 0 1 1 − 2 − 2 1 1 0 6 1 − 1 1 2 0 − 1 1 1 2 0 − 1 1 2 0 1 1 d →d − 2 2 d1 0 1 2 1 2
d →d −d − A = ⎯ ⎯ 4 ⎯4⎯ 1 → 0 1 −1 − 2 2 0 1 −1 − 2 2 1 1 0 6 − 1 0 0 − 2 6 0 1 1 2 0 − 1 1 1 2 0 − 1 0 1 2 1 2 d d d d d 2d 0 1 2 1 2 → − − → + 3 3 2 4 4 − ⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → 0 0 1 − 3 0 0 0 1 − 3 0 0 0 − 2 6 0 0 0 0 0 0 Vậy (A) =3. ➢
Chú ý. Vì (A) = (AT) nên có thể dùng các phép biến đổi ma trận theo cột
tương ứng. Khi đó hạng của A bằng số cột khác không của ma trận bậc thang (cột) tương ứng. TOÁN CAO CẤP 11
CHƯƠNG II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2.1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2.1.1. Khái niệm. Một hệ gồm m phương trình tuyến tính n ẩn với hệ số thực, có dạng a x + a x + a x = b 11 1 12 2 1n n 1 a x + a x + a x = b 21 1 22 2 2n n
2 (I) gọi là hệ phương trình tuyến tính. ... ... ... ... ... a x + a x + a x = b m1 1 m2 2 mn n m Trong đó: xj là biến.
aij ℝ được gọi là hệ số (của ẩn).
bi ℝ được gọi là hệ số tự do. Ma trận các hệ số: a a ... a 11 12 1n a a ... a 21 22 2n A= ... ... ... ... a a ... a m1 m2 mn
Ma trận cột của ẩn và ma trận cột của hệ số tự do: x b 1 T 1 x X = T 2 = x x ... b B = = ... 2 b b n x ... 1 2 m b 1 2 ... n x m b
Hệ phương trình (I) có thể viết gọn: AX = B.
Ma trận hệ số mở rộng: a a ... a b 11 12 1n 1 a a ... a b 21 22 2n 2 (A | B) = ... ... ... ... ... a a ... a b m1 m2 mn m
❖ Các trường hợp riêng
Nếu bi = 0 với mọi i thì hệ (I) gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
Nếu m = n và D = det(A) ≠ 0 thì hệ (I) gọi là hệ phương trình tuyến tính Cramer.
2.1.2. Điều kiện tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính TOÁN CAO CẤP 12 c1 c2
Nghiệm của (I) là bộ C = sao cho A.C = B. Quá trình đi tìm tập nghiệm của cn
hệ phương trình tuyến tính gọi là giải hệ phương trình tuyến tính.
Định lý (Kronecker – Capelli): Hệ phương trình tuyến tính (I) có nghiệm khi và
chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận hệ số mở rộng,
ρ(A) = ρ(A | B) . Hơn nữa:
i) ρ(A) = ρ(A | B) = n: hệ (I) có nghiệm duy nhất.
ii) ρ(A) = ρ(A | B) < n: hệ (I) có vô số nghiệm phụ thuộc (n - r) tham số.
iii) ρ(A) ρ(A | B) : hệ (I) vô nghiệm.
(Phần chứng minh định lý – Xem là bài tập – có thể tham khảo tài liệu) ➢
Chú ý. Từ định lý trên ta có: Nếu hệ (I) là hệ phương trình tuyến tính thuần
nhất, nghĩa là khi B là ma trận không thì ta luôn có ρ(A) = ρ(A | B) nên hệ
phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có nghiệm.
2.2. CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2.2.1. Hệ phương trình tuyến tính Cramer
2.2.1.1. Khái niệm. Hệ phương trình Cramer là một hệ phương trình tuyến tính n
phương trình, n ẩn a x + a x + + a x = b 11 1 12 2 1n n 1 a x + a x + + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 (II) ... ... ... ... ...
a x + a x + + a x = b n1 1 n2 2 nn n n a a ... a 11 12 n 1 a a ... a
và định thức của ma trận hệ số D = 21 22 2n ≠ 0. . . ... . a a ... a n1 n2 nn
2.2.1.2. Cách giải hệ phương trình tuyến tính Cramer
Cách 1: Phương pháp dùng định thức – Phương pháp Cramer
Định lý. Hệ Cramer có một nghiệm duy nhất: (x1 , x2 , …, xn ), với D x k k =
; k = 1, 2, …, n. Trong đó Dk là định thức thu được từ định D
thức D bằng cách thay cột k bằng cột các hạng tử tự do B = (bi).
Chứng minh (Sinh viên tham khảo)
Giả sử (x1, x2, . . . , xn) là nghiệm cuả hệ (I). Khi đó: TOÁN CAO CẤP 13
Nhân phương trình thứ k của hệ với Akj rồi cộng vế theo vế ta được:
(a11A1j + a21 A2j +… +an1 Anj )x1 + (a12 A1j +a22 A2j + +an2 Anj )x2 + + (a1n A1j + a2n
A2j + + ann Anj )xn = b1 A1j + b2 A2j + + bn Anj = Dj. n
Mà a A = 0 nếu k j. (vì là khai triển của định thức có cột k và cột j bằng nhau). ik ij i =1 D Vậy (a j
1jA1j + a2j A2j + +anj Anj )xj = Dj . Hay xj = (j = 1, 2, …, n). D D Ngược lại: Thay x j j =
(j = 1, 2, …, n) vào vế trái của phương trình thứ k ta có: D D D D 1 1 2 n a + a + . . + a =
(a D + a D + . . + a D ) (1) k1 k2 kn k1 1 k2 2 kn n D D D D
Vì Dk = b1A1k + b2 A2k + + bn Ank ( k = 1, 2, …,n) – Khai triển theo cột k. n n n n
Do đó: (1) = (b1 a A + b a A + + b a A + + b a A ) / D kj 1 j 2 kj 2 j k kj kj n kj nj j =1 j =1 j =1 j =1 n n = bk a A / D = b
a A = 0 – khai triển định thức có hàng k bằng kj kj
k D / D = bk = VP. ( kj ij j =1 j =1 hàng i)
x + x + x = 1 1 2 3
Ví dụ 2.1. Giải hệ phương trình: 2x − 6x − x = 0 1 2 3 .
3x + 4x + 2x = 0 1 2 3 1 1 1
Ta có A = 2 − 6 − 1 , det(A)=11. 3 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 det(A ) = 0 6 − 1 − = 8 − , det(A ) = 2 0 1 − = 7 − , det(A ) = 2 6 − 0 = 26. 1 2 3 0 4 2 3 0 2 3 4 0 8 7 26
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: x = − , x = − , x = . 1 11 2 11 3 11
Cách 2. Phương pháp biến đổi – Phương pháp Gauxơ
Sử dụng phương pháp này giải hệ phương trình tuyến tính bất kỳ.
Đặc biệt hệ phương trình có số phương trình và số ẩn khác nhau
hoặc định thức của ma trận các hệ số bằng 0. Phương pháp:
▪ Bước 1: Lập ma trận hệ số mở rộng của A. TOÁN CAO CẤP 14 a a ... a b 11 12 n 1 1 a a ... a b 21 22 2n 2 (A | B) = ... ... ... ... ... a a ... a b m1 m2 mn m
▪ Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp hàng đưa ma trận mở
rộng về dạng ma trận bậc thang, tức là (A | B) ⎯ ⎯ →( ' A | B') , trong
đó A là ma trận bậc thang. Dựa vào định lý Kronecker – Capelli để kết luận nghiệm. ➢ Chú ý
o Nghiệm của hệ phương trình không thay đổi khi
− Đổi chỗ hai phương trình.
− Nhân hai vế của một phương trình với cùng một số khác không.
− Cộng vào một phương trình (vế với vế) một tổ hợp tuyến tính của các phương trình khác.
o Khi biến đổi một hệ phương trình ta chỉ cần biến đổi (theo hàng) trên
ma trận các hệ số mở rộng của hệ đó để đưa về dạng tam giác trên (hay
dưới) sau đó dùng phép thế để tính dần các ẩn.
Ví dụ 2.2. Giải hệ phương trình tuyến tính ở ví dụ 2.1 bằng cách 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(A | B) = 2 − 6 −1 0 → 0 − 8 − 3 − 2 → 0 8 3 2 3 4
2 0 0 1 −1 − 3 0 0 −11 − 26 26 1 26 − 7 26 7 8
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: x = , x = 2 − 3 = , x = 1− + = − , 3 11 2 8 11 11 1 11 11 11
Ví dụ 2.3. Cho hệ phương trình: (a + )
1 x + x + x = 1 1 2 3 x + (a + ) 1 x + x = 2 (1) 1 2 3
x + x + (a + ) 1 x = 3 1 2 3
Với giá trị nào của a thì hệ (1) là hệ Cramer. Giải hệ (1) với a tìm được. Giải
a) Ta có D = a2 (a + 3). Hệ là hệ Crame nếu a 0 và a -3.
b) Với a ≠ 0 và a ≠ -3, ta có: TOÁN CAO CẤP 15 1 1 1 a +1 1 1 a +1 1 1 2 D = 2 a +1 1 = a(a −3); D = 1 2 1 = 2a ; D = 1 a +1 2 = 3a(a +1) x y z 3 1 a +1 1 3 a +1 1 1 3 a − a + Vậy, 3 2 ( 3 ) 1 x = , x = , x = . 1 a(a + ) 3 2 a + 3 3 a(a + ) 3
Cách 3. Phương pháp dùng ma trận nghịch đảo
− Viết hệ phương trình (I) dạng ma trận: AX = B; Trong đó:
• A là ma trận cột các hệ số của ẩn.
• X là ma trận cột các ẩn.
• B là ma trận cột các hệ số tự do.
− Nếu det A ≠ 0 thì ta có: X = A-1B.
x + 3x + 2x = 1 1 2 3
Ví dụ 2.4. Giải hệ phương trình x + 4x + 2x = − 2 (2) 1 2 3
x + 3x + 3x = 5 1 2 3 1 3 2 x1 1
Viết dưới dạng AX=B: 1 4 2 x 2 = − 2 1 3 3 x3 5 6 − 3 − 2 Ta có, A 1- = −1 1 0 . −1 0 1
x 6 − 3 − 2 1 2 1
Do đó, x = −1 1 0 − 2 = − 3 . 2 x −1 0 1 5 4 3
2.2.2. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát AX = B
Để giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát, ta có thể sử dụng phương pháp
Gauxơ : biến đổi hệ đã cho về hệ tương đương đơn giản (dạng bậc thang) rồi kết
hợp với phương pháp thế để tính dần các ẩn.
Ta thường tiến hành các bước sau:
Biến đổi (theo hàng) ma trận các hệ số mở rộng về dạng bậc thang, sau
đó sử dụng định lý Kronecker – Capelli để kết luận nghiệm. Nếu ρ(A | B) ≠ (
A) thì hệ vô nghiệm (khi đó xuất hiện ít nhất một
hàng có các aij = 0 với mọi j mà bi ≠ 0). TOÁN CAO CẤP 16 Nếu ρ(A | B) = (
A) = r (r n) thì hệ đã cho tương đương với một hệ gồm
r phương trình, n ẩn. Trong trường hợp này, ta giữ lại ở vế trái r ẩn mà có ma
trận các hệ số là ma trận tam giác và có định thức khác 0, n – r ẩn còn lại
chuyển vế phải và gán cho mỗi ẩn này một tham số. Từ đó, bằng phương
pháp thế ta tìm các nghiệm của hệ đã cho (phụ thuộc vào n - r tham số).
x + x − x = 1
Ví dụ 2.5. Giải hệ phương trình 1 2 3
2x + x + 3x = 2 1 2 3 Giải 1 1 −11 1 1 −11 1 0 4 1
Ta có, (A | B) = → → 2 1 3 2 0 −1 5 0 0 1 − 5 0
Suy ra rank(A)= rank(A|B) = 2 < 3. Phương trình có vô số nghiệm.
Viết lại hệ trên ta được: x + 4x = 1
x = 1− 4x = 1− 4t 1 3 1 3 , t ℝ x − 5x = 0 x = 5x = 5 t 2 3 2 3
x + 3x + 5x + 4t = 1 1 2 3
Ví dụ 2.6. Giải hệ phương trình 4x +11x − 3x − t = −2 1 2 3
3x + 7x + 7x + 8t = 4 1 2 3 Giải. Ta có, 1 3 5 4 1 1 3 5 4 1
(A | B) = 4 11 − 3 −1 − 2 → 0 −1 − 23 −17 − 6 3 7 7
8 4 0 − 2 − 8 − 4 1 1 3 5 4 1 → 0 1 23 17 6 0 0 38 3013
x + 3x + 5x = 1− t 4 1 2 3 Do đó, hệ trở thành x
+ 23x = 6 −17t (hệ bậc thang). 2 3 38 x = 13 − t 30 3 186 − t 134 − 71+ t 44 13 − t 30 Vậy, x = , x = , x =
, x = t , t ℝ. 1 2 3 4 38 38 38
2.2.3. Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính
Trong trường hợp ma trận mở rộng có các tham số thì hạng của các ma trận A và
A phụ thuộc các tham số; do đó ta phải biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo các tham số đã cho. TOÁN CAO CẤP 17
Ví dụ 2.7. Giải và biện luận hệ phương trình sau (theo tham số m): x + x + 2x − x = 1 1 2 3 5 x +2x +x +x = 0 1 2 4 5 x − x − 2x + 2x = 1 − 2 3 4 5 x + x + 6x − x = m 1 2 4 5 Giải 1 1 2 0 −1 1 1 1 2 0 −1 1 1 2 0 1 1 0 0 1 − 2 1 2 −1
Ta có, (A | B) = → 0 1 −1 − 2 2 − 1 0 1 −1 − 2 2 −1 1 1 0 6
−1 m 0 0 − 2 6 0 m − 1 1 1 2 0 −1 1 1 1 2 0 −1 1 0 1 − 2 1 2 −1 0 1 − 2 1 2 −1 → → 0 0 1 − 3 0 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0 − 2 6 0 m − 1 0 0 0 0 0 m − 1
− Nếu m – 1 ≠ 0 hay m ≠ 1 (A) = 3 ≠ 4 = (A | B) Hệ vô nghiệm.
− Nếu m – 1 = 0 hay m = 1 ( A) = (
A) = 3 Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số. x +x +2x =1 + x 1 2 3 5 Khi đó, ta được hệ x −2x = −1− x − 2x 2 3 4 5 x = 3x 3 4
Có nghiệm tổng quát là:
(x1, x2, x3, x4, x5) = (2 -11a + 3b, -1 + 5a - 2b, 3a, a, b); a, b ℝ.
Ví dụ 2.8. Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số a ax + x + x = 1 1 2 3 x + ax + x = a 1 2 3 x + x + ax = 2 a 1 2 3 Giải a 1 1 Ta có, D = 2 1 a 1 = (a −1) (a + 2) . 1 1 a
− Nếu a ≠ 1 và a ≠ -2 thì hệ có nghiệm duy nhất: TOÁN CAO CẤP 18 2 a +1 1 (a +1) (x1 , x2, x3) = − , , . a 2 a 2 a 2 + + +
− Nếu a = 1, hệ (I) trở thành x + y + z = 1 có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số:
(x1 , x2, x3) = (1 – x2 – x3, x2, x3), x2, x3 ℝ. - 2x + x + x = 1 1 2 3 −
Nếu a = -2 thì được hệ x - 2x + x = -2 , suy ra 0x 1 2 3
1 + 0x2 + 0x3 = 3 (vô nghiệm) x + x - 2x = 4 1 2 3
Do đó, hệ đã cho vô nghiệm
❖ Kết luận:
✓ Hệ có nghiệm duy nhất nếu a ≠ 1 và a ≠ -2.
✓ Hệ có vô số nghiệm nếu a = 1.
✓ Hệ vô nghiệm nếu a = -2. TOÁN CAO CẤP 19
CHƯƠNG III. KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ
3.1. HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
3.3.1. Định nghĩa và các phép toán
3.3.1.1. Ví dụ về hàm số
a) Diện tích S của một hình tròn thì phụ thuộc vào bán kính r của nó,
quy tắc kết nối giữa r với S được cho bởi phương trình S=ðr2. Mỗi
số dương r thay vào sẽ có một gía trị duy nhất của S.
b) Dân số thế giới P thì phụ thuộc vào thời gian t. Bảng sau ghi lại giá
trị gần đúng của dân số thế giới P(t) tại thời điểm t. Với mỗi t cho
trước thì có duy nhất một giá trị P(t) tương ứng.
c) Cho {(x,y): x X ℝ , y=f(x)} là một tập con của ℝ×ℝ = ℝ 2, hình vẽ ❖ Nhận xét
“Thường” hàm số được cho bởi ba cách như trong ví dụ trên: Công thức, bảng,
hình vẽ. Mỗi cách cho hàm sẽ cho ta một thuận lợi riêng. TOÁN CAO CẤP 20
