Ôn thi HSG Toán 6 chủ đề: Tìm chữ số tận cùng

Ôn thi HSG Toán 6 chủ đề: Tìm chữ số tận cùng. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 25 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!

Trang 1
ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 2 - Y THỪA VI S TỰ NHIÊN
CH ĐỀ 6: TÌM CH S TNNG
PHN I. TÓM TT LÝ THUYT
1. Tìm 1 chữ số tận cùng
Tính chất 1:
a) Các số có chữ số tận cùng
0,1,5,6
khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay
đổi.
b) Các sốchữ số tận cùng
4,9
khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
c) Các số có chữ số tận cùng
3,7,9
khi nâng lên lũy thừa bậc
( )
4nnÎ ¥
thì chữ số tận cùng là
1
.
d) Các sốchữ số tận cùng
2,4,8
khi nâng lên lũy thừa bậc
( )
4nnÎ ¥
thì chữ số tận cùng
6
.
Ch : Muốn m chữ số tận cùng của số tự nhiên
, trưc hết ta xác định chữ số tận cùng của
a
:
- Nếu chữ số tận cùng của
a
0,1,5,6
thì
x
cũng chữ số tận cùng là
.
- Nếu chữ số tận cùng của
a
3,7,9
:
Phân tch:
44
.
m n r n r
a a a a
+
==
với
0, 1, 2, 3r =
Từ tnh chất 1c
Þ
chữ số tận cùng của
x
chnh là chữ số tận cùng của
r
a
.
- Nếu chữ số tận cùng của
a
2,4,8
: cũng như trường hợp trên
Từ tnh chất 1d
Þ
chữ số tận cùng của
x
chnh là chữ số tận cùng của
6
r
a
.
Tính chất 2:
Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc
( )
41nn¥
thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tnh tổng các chữ số tận cùng của từng
lũy thừa trong tổng.
Tính chất 3:
a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc
43n +
sẽ có chữ số tận cùng là 7; số có chữ số tận
cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc
43n +
sẽ có chữ số tận cùng
3
.
b) Số chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc
43n +
sẽ chữ số tận cùng là 8; số có chữ số tận
cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc
43n +
sẽ có chữ số tận cùng
2
.
c) Các số có chữ số tận cùng
0,1,4,5,6,9
khi nâng lên lũy thừa bậc
43n +
sẽ không thay đổi chữ số tận
cùng.
Tính chất 4:
Trang 2
Nếu
a Î ¥
( )
, 5 1a =
thì
100
1a -
chia hết cho
125
.
Chứng minh:
Do
20
1a -
chia hết cho 25 nên
20 40 60 80
, , , a a a a
khi chia cho 25 có cùng số là 1
20 40 60 80
1a a a a+ + + +Þ
chia hết cho 5.
Vậy
( ) ( )
100 20 80 60 40 20
1 1 1a a a a a a- = - + + + +
chia hết cho 125.
* Phương pháp dùng cấu tạo số để m chữ số tận cùng của số
k
An=
với
,n k NÎ
.
- Giả sử
10A q r=+
. Khi đó,
( )
10 10
k
k t k
A q r p r+ = +=
với
; 0 9rrÎ £ £¥
Suy ra, chữ số cuối cùng của
A
chnh là chữ số cuối cùng của số
k
r
.
- Nếu
100A a bc abc= + =
thì
bc
là hai chữ số cuối cùng của
A
.
- Nếu
1000A a bcd abcd= + =
thì
bcd
là ba chữ số cuối cùng của
A
.
- Nếu
1... 0 1 0
10 . ...
m
m m m
A a a a a a a
-
= + =
thì
1... 0m
aa
-
m
chữ số cuối cùng của
A
.
2. Tìm hai chữ số tận cùng
Vic tìm hai ch s tn cùng ca s tnhiên
x
chính là việc m s dư ca phép chia
x
cho
100.
Phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên
n
xa=
:
Trước hết, ta có nhận xét sau:
( )
20
2 76 mod 100º
( )
20
01 mod1003 º
( )
5
76 mod1006 º
( )
4
7 01 mod100º
Mà:
( )
76 mod10076
n
º
với
1n ³
,
( )
5 25 mod 100
n
º
với
2n ³
.
Suy ra kết quả sau với
*
:k Î ¥
( )
20
00 mod 100
k
a º
nếu
( )
0 mod 10a º
,
( )
20
01 mod 100
k
a º
nếu
( )
1; 3; 7; 9 mod 10a º
,
( )
20
25 mod 100
k
a º
nếu
( )
5 mod 10a º
,
Trang 3
( )
20
76 mod 100
k
a º
nếu
( )
2; 4; 6; 8 mod 100a º
.
Vậy để tìm hai chữ số tận cùng của
n
a
ta lấy số mũ
n
chia cho
20
.
Một số trường hợp cụ thể về 2 chữ số tận cùng
- Các sốtận cùng bằng
01; 25; 76
nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng
01; 25; 76
- Các số
20
3
(hoặc
5
81
);
4 2 2
7 ; 51 ; 99
có tận cùng bằng
01
.
- Các số
20 5 4 2 4 2
; ; ;2 6 18 ;24 8 ;6 74
tận cùng bằng
76
.
- Số
( )
26 1
n
n >
tận cùng bằng
76
.
- Các sốchữ số tận cùng là
01;25;76
khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì khác 0 thì hai chữ số tận cùng vẫn
không thay đổi. (1)
- Các số
20 4 10 2 5 2
3 ;7 ;9 ;51 ;81 ;99
chữ số tận cùng
01
. (2)
- Các số
10 5 4 2 4 2
4 ;6 ;18 ;24 ;68 ;74
có chữ số tận cùng là
76
. (3)
- Số
26 ( 1)
n
n >
chữ số tận cùng
76
. (4)
Như vậy, muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên
m
xa=
, trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a.
CHÚ Ý:
-
10
4
có 2 chữ số tận cùng là
76
.
-
2
5
có 2 chữ số tận cùng là
25
.
-
20
8
có 2 chữ số tận cùng là
76
.
-
10
9
có 2 chữ số tận cùng là
01
.
3. Tìm ba chữ số tận cùng trở lên
Vic tìm ba ch s tn cùng ca stnhiên
x
chính là việc tìm s ca phép chia
x
cho
1000.
Gisử
100n k r=+
với
0 100r£<
, khi đó:
( )
100 100
.
k
n k r r
a a a a
+
==
.
Gisử:
( )
mod 10axº
,
}
{
0, 1, 2, ..., 9x Î
Ta có:
( ) ( )
100
100 100
10 mod 1000a k x x= + º
Vậy 3 chữ số tận cùng của
100
a
cũng chnh là 3 chữ số tận cùng của
100
.x
Dùng quy nạp với mọi
1n ³
, ta có:
( )
625 625 mod 1000
n
º
,
Trang 4
( )
376 376 mod 1000
n
º
.
- Nếu
0x =
thì
( )
100
000 mod 1000x º
- Nếu
5x =
thì
44
5 625x ==
( ) ( )
25
100 4 3
5 625 mod 10xÞ = º
- Nếu
1; 3; 7; 9x =
ta có tương ứng:
( )
4
1;81; 2401; 6561 1 mod 40x
( )
( )
25
100 3
40 1 1 mod 10xkÞ = + º
- Nếu
2;4; 6;8x =
thì
100 100
28x MM
.
Ta có:
( )
, 125 1x =
nên
( )
100
1 mod 125x º
(Định l Euler).
Gisử 3 chữ số tận cùng của
100
x
abc
ta có:
100
1000x k abc=+
8abcÞ M
( )
1 mod 125abc º
Trong các số
1; 126; 376; 501; 626; 751; 876
(các số có 3 chữ số chia cho 125 dư 1) chỉ có duy nhất một s
chia hết cho 8 là 376. Vậy
( )
100
376 mod 1000 .x º
Do đó ta có kết quả sau:
( )
100 3
000 mod 10
k
a º
nếu
( )
0 mod 10a º
( )
100 3
001 mod 10
k
a º
nếu
( )
1; 3; 7; 9 mod 10a º
( )
100 3
625 mod 10
k
a º
nếu
( )
5 mod 10a º
( )
100 3
376 mod 10
k
a º
nếu
( )
2; 4; 6; 8 mod 10a º
Vậy để tìm ba chữ số tận cùng của
n
a
ta tìm
2
chữ số tận cùng của số mũ
n
.
Một số trường hợp cụ thể về 3 chữ số tận cùng
- Các số tận cùng bằng
001; 376; 625
nâng lên luỹ thừa nào (khác
0
) cũng tận cùng bằng
001; 376; 625
.
- Các số tận cùng bằng
0625
nâng lên luỹ thừa nào (khác
0
) cũng tận cùng bằng
0625
.
PHN II. CÁC DNG BÀI
Dạng 1: Tìm 1 chữ số tận cùng
dụ 1.1: Tìm chữ số tận cùng của
324
187
Lời giải:
Ta thấy các số có tận cùng bằng 7 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì được sốtận cùng bằng 1.
Các số tận cùng bằng 1 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 1.
Do đó:
( ) ( )
81
324 4 81
()187 187 .1 1= = =
Trang 5
Vậy chữ số tận cùng của
324
187
1
Ví dụ 1.2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
7 9 7 9 7 9
)156 )1061 )156 1061 )156 .1061a b c d+
Phân ch:
- Ta biết rằng các số chữ số tận cùng là
khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn
không thay đổi.
- Để m chữ số tận cùng của mỗi lũy thừa trên ta chỉ cần tìm chữ số tận cùng của hàng đơn vị.
Lời giải
a)
7
156
chữ số tận cùng là
6
b)
9
1061
chữ số tận cùng là
1
c) Theo câu a) và b)
Chữ số tận cùng của lũy thừa :
79
156 1061+
7
d) Theo kết quả câu a)b)
Chữ số tận cùng của lũy thừa:
79
156 .1061
6
.
Ví dụ 1.3: Tìm chữ số tận cùng của
2020
5
Phân ch:
Để m được chữ số tận cùng của số trên ta phải đưa về số có tận cùng
5
.
Lời giải
Ta thấy
4
5 625=
, số tận cùng bằng
5
nâng lên bậc lũy thừa nào cũng có chữ số tận cùng bằng
5
nên ta
phân tích
2020 4.505 505
5 5 625==
.
Vậy số
2020
5
chữ số tận cùng bằng
5
.
dụ 1.4: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
2006 32 1991 35 30 4
)7 )87 )9 )23 )74 )7 1
n
a b c d e f
Lời giải
2006 2004 2 4.501 2
)7 7 .7 7 .7 .....1.49 .....9a = = = =
Vậy chữ số tận cùng của
2006
7
9
.
32 4.7
)87 87 .....1b ==
Vậy chữ số tận cùng của
32
87
1
.
1991 1988 3 4.497 3
)9 9 .9 9 .9 ......1......9 .....9c = = = =
Vậy chữ số tận cùng của
1991
9
9
.
35 32 3 4.8 3
)23 23 .23 23 .23 .....1......7 .....7d = = = =
Vậy chữ số tận cùng của
35
23
7
.
( )
15
30 2 15
)74 74 (.....6) .....6e = = =
Vậy chữ số tận cùng của
30
74
là:
6
.
Trang 6
4
)7 1 .....1 1 .....0
n
f = =
Vậy chữ số tận cùng của
4
71
n
0
.
Ví d 1.5: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
35 31 4 1 1930 1945
)7 4 )2 2 )2 .9
n
a b c
+
−+
Lời giải
a) Ta có:
35 32 3 4.8 3
7 7 .7 7 .7 .....1.343 .....3= = = =
Vậy chữ số tận cùng của
35 31
74
3
.
b) Ta có:
4 1 4 4
2 2 .2 (2 ) .2 16 .2 .....2
n n n n+
= = = =
41
2 2 .....2 2 .....4
n+
+ = + =
Vậy chữ số tận cùng của
41
22
n+
+
4
.
c) Ta có:
1930 1928 2 4.482
2 2 .2 2 .4 .....6.4 .....4= = = =
1945 1944 1 4.486
9 9 .9 9 .9 .....1.9 .....9= = = =
1930 1945
2 .9 .....4......9 .....6 = =
Vậy chữ số tận cùng của
1930 1945
2 .9
6
.
Ví dụ 1.6: Tìm chữ số tận cùng của các phép toán sau:
8 8 8 8 8 8 123 124 125 205 15
)11 12 13 14 15 16 )11 13 15 )125 237a b c+ + + + + + +
Lời giải
a) Ta có:
-
8
1
chữ số tận cùng là
1
.
-
8
2
chữ số tận cùng là
6
.
-
8
3
chữ số tận cùng là
1
.
-
8
4
chữ số tận cùng là
6
.
-
8
5
chữ số tận cùng là
5
.
-
8
6
chữ số tận cùng là
6
.
Tng các ch s này bng:
1 6 1 6 5 6 25+ + + + + =
.
Vy
8 8 8 8 8 8
11 12 13 14 15 16+ + + + +
ch s tn cùng là 5.
b) Ta có:
-
123
1
chữ số tận cùng là
1
.
-
124
3
chữ số tận cùng là
1
.
-
125
5
chữ số tận cùng là
5
.
Tng các ch s này bng:
1 1 5 7+ + =
.
Trang 7
Vy
123 124 125
11 13 15++
ch s tn cùng là
7
.
c) Ta có:
-
205
5
chữ số tận cùng là
5
.
-
15
7
chữ số tận cùng là
3
.
Tng các ch s này bng:
5 3 2−=
.
Vy
205 15
125 237
ch s tn cùng
2
.
Ví dụ 1.7: Tìm chữ số tận cùng của các tổng sau:
1 5 9 8009
2 3 4 2004 .S = + + + ¼ +
Phân ch:
Trong dạng bài này ta phải tìm được quy luật của tổng, quy luật ở đây chnh là số mũ của các số hạng trong
S, các số này đều chia
4
1
. Mà ta biết các số khi nâng lên lũy thừa dạng
41n +
sẽ có tận cùng
không đổi.
Lời giải:
Nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho
4
thì
1
(các lũy thừa đều có dạng
( )
4 2 1n
n
+
,
n
thuộc
{ }
2;3;4...;2004
)
Theo tnh chất, suy ra mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng
chữ số tận cùng của tổng:
( ) ( ) ( )
2 3 9 199. 1 2 9 1 2 3 4 200 1 2 9 9 9009+ + ¼ + + + + ¼ + + + + + = + + ¼ + + =
.
Vậy chữ số tận cùng của tổng S
9
.
Tổng quát hóa:
Tìm chữ số tận cùng của tổng sau:
( )
4 2 1
1 5 9
2 3 4 n
n
S
-+
= + + + ¼ +
Ví dụ 1.8: Tìm chữ số tận cùng của tổng
3 7 11 8011
2 3 4 ... 2004 .T = + + + +
Lời giải:
Nhận xét: Mọi lũy thừa trong T đều số mũ khi chia cho
4
thì dư
3
(các lũy thừa đều có dạng
4( 2) 3n
n
-+
,
n
thuộc
{ }
2;3;4...;2004
)
Theo quy tắc
3
thì
3
2
chữ số tận cùng là
8
;
7
3
chữ số tận cùng là
7
;
11
4
có chữ số tận cùng là
4
;
Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng:
(8 7 4 5 6 3 2 9) 199.(1 8 7 4 5 6 3 2 9) 1 8 7 4
200.(1 8 7 4 5 6 3 2 9 8 7 4 9019
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
= + + + + + + + + + + + =
Vậy chữ số tận cùng của tổng T là
9
Tương tự hóa:
Trang 8
Tìm chữ số tận cùng của
( )
4 2 3
3 7 11
2 3 4 n
n
S
-+
= + + + ¼ +
Dạng 2: Tìm hai chữ số tận cùng
d 2.1: Tìm hai ch s tn cùng ca các s:
2003 99
2 ))7ab
Li gii:
a) Do
2003
2
là s chn, ta tìm s t nhiên n nh nht sao cho
2 1 25
n
.
Ta có
( )( ) ( )
10 10 20 10 10 3 20
2 1024 2 1 1025 25 2 1 2 1 2 1 25 2 2 1 100.= = + = = = + =
Mt khác:
( ) ( )
(
)
( )
100
2003 3 2000 3 3 20 3
2 2 2 1 2 2 2 1 2 100 8 .k k N= + = + = +
Vy hai ch s tn cùng ca
2003
2
08
.
b) Do
99
7
là s l, ta tìm s t nhiên n nht sao cho
7 1 100
n
.
Ta có
4
7 2401 74 1 100= =
.
Mt khác :
( )
99
9 1 4 9 4 1k k N = = +
Vy
( )
( )
99 4 1 4
7 7 7 7 1 7 100 7
kk
q q N
+
= = + = +
tn cùng bi hai ch s
07
.
Ví dụ 2.2: Tìm hai chữ số tận cùng của
1991
7
Lời giải
Ta thấy:
4
7 2401,=
số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào cũng tận cùng bằng 01.
Do đó:
( )
( )
( )
497
497
1991 1988 3 4
7 7 .7 7 .343 ...01 .343 ...01 .343 ...43.= = = = =
Vậy
1991
7
hai chữ số tận cùng là
43
.
Ví dụ 2.3: Tìm hai số tận cùng của
100
2
Lời giải
Chú ý rằng:
10
2 1024=
bình phương của số có tận cùng bằng
24
thì tận cùng bằng
76
, số có tận cùng bằng
76
thì nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng
76
.
Do đó
( ) ( )
( )
5
10 5
100 10 10 2
2 2 1024 1024 ...76 ...76= = = = =
Vậy hai chữ số tận cùng của
100
2
76
.
dụ 2.4: Tìm hai chữ số tận cùng của:
a)
51
51 ;
b)
99
99
99 ;
c)
666
6;
d)
101 101
14 .16
Trang 9
ng dẫn:
a)
( )
( )
25
25
51 2
51 51 .51 01 .51 51= = =KK
.
b)
( )
( ) ( )
99
99 2 1 2
99 99 99 .99 01 .99 99
k
k
k+
= = = =KK
.
c)
( )
( )
133
666 5
6 6 .6 76 .6 56= = =KK
.
d)
( )
( )
( )
50
50
101
101 101 101 2
14 .16 14.16 224 224 .224 76 .224= = = = K
( )
76 .224 24==KK
.
Ví dụ 2.5: Tìm 2 chữ số tận cùng của
56 77
1976 .2015
Lời giải
Ta thấy:
Chữ số tận cùng của
56
1976
cũng là chữ số tận cùng của
56
76
56
76 ...76=
Chữ số tận cùng của
77
2015
cũng là chữ số tận cùng của
77
15
( )
( ) ( ) ( )( )
77
77 77 77 20.3 17 77 17
15 3.5 3 .5 3 .5 3 ...01 . ...25 ...63 ...25 ...75.
+
= = = = = =
Suy ra:
( ) ( )
56 77
1976 .2015 ...76 . ...75 ...00.==
Vậy
56 77
1976 .2015
có 2 chữ số tận cùng
00
.
Ví dụ 2.6: Tìm hai chữ số tận cùng của số
999
2C =
Lời giải
Ta có:
10
2 1 1024 1 1025 25+ = + = M
suy ra
( )( )
20 10 10
2 1 2 1 2 1 25+= M
Ta lại có
( )
50
1000 20 20
2 1 2 1 2 1= M
suy ra
1000
2 1 25M
Do đó
1000
2
chữ số tận cùng
26;51;76
nhưng
1000
24M
Suy ra
1000
2
tận cùng là 76
Þ
999
2
tận cùng 38 hoặc 88
999
2 4M
Vậy
999
2
tận cùng là
88
Vậy
999
2C =
có hai chữ số tận cùng là
88
.
Ví dụ 2.7: Tìm 2 chữ số tận cùng của
2020
51
Lời giải
Ta có
2020 2.1010=
nên
2020 2 1010 1010
51 (51 ) 2601==
.
Trang 10
Khi đó theo quy tắc (1) chữ số tận cùng của
2020
51
01
.
Ví dụ 2.8: Tìm 2 chữ số tận cùng của a)
2015
7
b)
66
57
Lời giải
a) Ta có:
4
7 2401=
nên
2015 4.503 3 4 503 3 503
7 7 (7 ) .7 2401 .343 (...01).343 ...43
+
= = = = =
Chữ số tận cùng của
2015
7
43
.
b) Ta
66 4 16 2 16
57 (57 ) .57 (...01) .3249 ...49= = =
Chữ số tận cùng của
66
57
49
.
Dạng 3: Tìm ba chữ số tận cùng
dụ 3.1: Tìm ba chữ số tận cùng của
2008
5
Lời giải:
5
2008
=5
4.502
=(5
4
)
502
4
5
có tận cùng
625
Suy ra
( )
502
4
5
có tận cùng
625
Vậy
2008
5
3 chữ số tận cùng là
625
.
Ví dụ 3.2: Tìm ba chữ số tận cùng của
100
2
.
Lời giải
Ta có:
10
2 1024 024(mod1000)=
50 10 5 5
2 (2 ) 24 624(mod1000)=
( )
2
100 50 2
2 2 624 376(mod1000)=
Vậy ba chữ số tận cùng của
100
2
376
.
Ví dụ 3.3: Tìm ba chữ số tận cùng của
101
123
Phân ch:
Nhận thấy rằng
( )
123,5 1=
nên ta sẽ áp dụng tnh chất 4, khi đó chia hết cho
125
.
Lời giải:
+ Vì
( )
123,5 1=
nên áp dụng tnh chất ta có
101
123 1
chia hết cho
125
. (1)
+ Ta lại chia hết cho
8
(2)
( )
8;125 1=
và kết hợp (1),(2) tachia hết cho
1000
Khi đó
Vậy ba chữ số tận cùng của
123
.
Trang 11
Ví dụ 3.4: Tìm ba chữ số tận cùng của
2003
9
2
Lời giải
- Tìm 2 chữ số tận cùng của
2003
9
Ta có
( )
2003 3 2000 3 20 50
9 9 .9 9 .(3 ) 29 mod1 00= = º
- Khi đó ta có
( )
2003
9 100k 29 29 100k
2 2 2 .2 912.376 912 mod1000
+
= = º º
Vậy 3 chữ số tận cùng là
912
.
Ví dụ 3.5: Tìm ba chữ số tận cùng của
213
7
3
Lời giải
Ta có
( )
( )
26
213 26.8 5 8 5 26 5 5
7 7 7 .7 1 .7 7 7 mod100
+
º º º º º
Khi đó
213
7 100k 7 100k 7
3 3 3 .3
+
= = º
1.
( )
7
3 187 mod1000º
Vậy ba chữ số tận cùng của
213
7
3
187
.
Ví dụ 3.6: Tìm ba chữ số tận cùng của
1992
5
Lời giải
( )
498
1992 4 498 498
5 5 625 0625 0625= = = = ¼
Vậy bốn chữ số tận cùng của
1992
5
0625
Ví dụ 3.7: Tìm ba chữ số tận cùng của số
946
5T =
Lời giải
Ta có
3
5
có ba chữ số tận cùng
125
Suy ra T = 5
946
= (5
3
)
315
.5=(
125n
)
315
.5=
125m
.5=
625t
(Với
,,n m t Î ¥
)
Vậy
946
5T =
ba chữ số tận cùng
125
.
Ví dụ 3.8:
Tìm ba chữ số tận cùng của số:
1994
5P =
Lời giải
Ta có:
4
5 0625=
tận cùng
0625
;
5
5
tận cùng
3125
;
6
5
tận cùng
5625
7
5
tận cùng
8125
;
8
5
tận cùng
0625
;
9
5
tận cùng
3125
;
10
5
tận cùng
5625
;
11
5
tận cùng
8125
;
12
5
tận cùng
0625
Chu kỳ lặp là 4.
Suy ra:
Trang 12
4
5
m
tận cùng
0625
;
41
5
m+
tận cùng
3125
42
5
m+
tận cùng
5625
;
43
5
m+
tận cùng
8125
1994
có dạng
42m +
, do đó
1994
5M =
4 chữ số tận cùng
5625
.
Ví dụ 3.9:
Tìm ba chữ số tận cùng của số:
101
123R =
Lời giải
Do
( )
100
123,5 1 123 1= Þ -
chia hết cho
125
(1).
Mặt khác:
( )( )( )
100 25 25 50 100
123 1 123 1 123 1 123 1 123 1- = - + + -Þ
chia hết cho 8 (2).
( )
8,125 1=
, từ (1) và (2) suy ra
100
:123 1-
chi hết cho 1000
( )
( )
101 100
123 123 123 1 123 1000 123k k NÞ = - + = + Ç
.
Vậy
101
123
ba chữ số tận cùng
123
.
Ví dụ 3.10:
Tìm ba chữ số tận cùng của
399...98
3
Lời giải
Do
( )
100
9,5 1 9 1= Þ -
chi hết cho
125
(1).
Ta có
100
91-
chia hết cho 8 (2).
( )
8,125 1=
, từ (1) và (2) suy ra:
100
91-
chia hết cho 1000
( )
( )
399...98 199...9 100 99 99 100 99 99
3 9 9 9 9 1 9 1000 9 ,
pp
q p q
+
Þ = = = - + = + Î ¥
.
Vậy ba chữ số tận cùng của
399...98
3
cũng chnh là ba chữ số tận cùng của
99
9
.
Lại vì
100
91-
chia hết cho
1000
Þ
ba chữ số tận cùng của
100
9
là 001 mà
99 100
9 9 : 9=
Þ
ba chữ số tận cùng của 9
99
889
(dễ kiểm tra chữ số tận cùng của 9
99
là 9, sau đó dựa vào phép nhân
??9 9 ...001´=
để xác định
??9 889=
).
Vậy ba chữ số tận cùng của 3
399...98
889
.
Ví dụ 3.11: Tìm ba chữ số tận cùng của
200
2004
Lời giải
Do
( )
2004,5 1=
100
2004
chia cho
125
dư 1
( )
2
200 100
2004 2004=
chia cho
125
dư 1
200
2004
chỉ có thể tận cùng
126,251,376,501,626,751,876
.
Do
200
2004
chia hết cho 8 nên chỉ có thể tận cùng
376
.
Trang 13
Ví dụ 3.12: Tìm ba chữ số tận cùng của tổng
1 5 9 8009
2 3 4 2004S = + + + ¼ +
.
Lời giải
Nhn thy: lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1
(các lũy thừa đều có dạng
( )
4 2 1k
n
-+
, k thuộc
{ }
2,3, ,2004¼
).
Mọi lũy thừa trong S đềuchữ số tận cùng là chữ số tận cùng của cơ số tương ứng:
Chữ số tận cùng của tổng S là chữ số tận cùng của tổng:
( ) ( )
2 3 9 199. 0 1 2 9 1 2 3 4+ + ¼ + + + + + ¼ + + + + +
( )
200 1 2 9 9 9009= + + ¼ + + =
.
Vậy ba chữ số tận cùng sẽ
009
Dng 4: Vn dng chng minh chia hết, chia có dư.
* Chú ý:
a. Du hiu chia hết cho
2
:
Mt s chia hết cho
2
khi và ch khi ch s tn cùng ca s đó là số chn.
b. Du hiu chia hết cho
3
(hoc
9
):
Mt s chia hết cho
3
(hoc
9
) khi và ch khi tng các ch s ca s đó chia hết cho
3
(hoc
9
).
Chú ý: Mt s chia hết cho
3
(hoc
9
) bao nhiêu thì tổng các ch s ca chia cho
3
(hoc
9
) cũng
dư bấy nhiêu và ngược li.
c. Du hiu chia hết cho
5
:
Mt s chia hết cho
5
khi và ch khi ch s ca s đó tận cùng bng
0
hoc bng
5
.
d. Du hiu chia hết cho
4
(hoc
25
):
Mt s chia hết cho
4
(hoc
25
) khi và ch khi hai ch s tn cùng ca s đó chia hết cho
4
(hoc
25
).
e. Du hiu chia hết cho
8
(hoc
125
):
Mt s chia hết cho
8
(hoc
125
) khi và ch khi ba ch s tn cùng ca s đó chia hết cho
8
(hoc
125
).
f. Du hiu chia hết cho
11
:
Mt s chia hết cho
11
khi và ch khi hiu gia tng các ch s hàng l tng các ch s hàng chn (t trái
sang phi) chia hết cho
11
.
Ví d 4.1: Cho
1999 1997
999993 555557
. Chng minh rng A chia hết cho
5
.
Li gii:
Để chng minh
5A
, ta xét ch s tn cùng ca A bng vic xét ch s tn cùng ca tng s hng.
Ta có:
( )
499
1999 4 499
3 3 81 .27==
Suy ra:
1999
3
ch s tn cùng
7
.
Trang 14
( )
499
1997 4 499
7 7 .7 2041 .7==
Suy ra:
1997
7
ch s tn cùng
7
.
Vy A ch s tn cùng bng
0
.
Do đó:
5A
.
Ví d 4.2: Cho
n
, chng minh rng
2
1++nn
không chia hết cho
4
không chia hết cho
5
.
Li gii:
Ta có:
( )
2
1 1 1+ + = + +n n n n
( )
1+nn
ch ca hai s t nhiên liên tiếp nên chia hết cho
2
. Suy ra
( )
11++nn
mt s l nên không
chia hết cho
4
.
( )
1+nn
là tích ca hai s t nhiên liên tiếp nên không có tn cùng là
4
hoc
9
nên
( )
11++nn
không có tn
cùng là
5
hoc
0
. Do đó
( )
11++nn
không chia hết cho
5
.
Ví d 4.3: Chng t rng
2003
10 8+
chia hết cho
2
.
Li gii:
Ta có:
2003
10
có ch s tn cùng là
0
.
Do đó:
2003
10 8+
có ch s tn cùng
8
.
Vy
2003
10 8+
chia hết cho
2
Ví d 4.4: Chng minh
2000 2000
2113 2011
chia hết cho c
2
5
.
Li gii:
Để
2000 2000
2113 2011
va chia hết cho c
2
5
thì s phi có ch s tn cùng là
0
.
Suy ra: Cn chng minh s b tr và s tr đều có ch s tn cùng
1
.
Chú ý: S t nhiên
a
ch s tn cùng là
1
thì
n
a
cũng ch s tn cùng là
1
.
Ta có:
( )
500
500
2000 4
2113 2113 ...1==
. Suy ra:
2000
2113
có ch s tn cùng
1
.
2000
2011
luôn có ch s tn cùng là
1
.
Suy ra:
2000 2000
2113 2011
ch s tn cùng là
0
.
Vy:
2000 2000
2113 2011
chia hết cho c
2
5
.
Ví d 4.5: Cho 1 s có 4 ch s:
*26*
. Điền các ch s thích hp vào dấu (*) đ được s bn ch s
khác nhau chia hết cho tt c bn s:
2;3;5;9
.
Li gii:
S
*26*
đảm bo chia hết cho
2
nên s đó là số chn.
S
*26*
chia hết cho
5
nên s đó phải có ch s tn cùng là s
0
hoc
5
.
Trang 15
S
*26*
va chia hết cho
3
9
nên s đó phải có tng các ch s chia hết cho
9
.
Suy ra: Ch s tn cùng ca s
*26*
0
.
Do đó ta có số
*260
. Ch s đầu là s
1
Vy: s đã cho
1260
.
Ví d 4.6: Chng t rng hiu
1983 1917
1983 1917
chia hết cho
10
.
Li gii:
Ta có:
( )
495
1983 4 3
1983 1984 .1983=
S
4
1983
ch s tn cùng bng
1
Suy ra
( )
495
4
1983
tn cùng bng
1
S
3
1983
tn cùng bng
7
Do đó:
1983
1983
có tn cùng bng
7
Phân tch tương tự,
1917
1917
tn cùng bng
7
Do đó:
1983 1917
1983 1917
có tn cùng bng
0
Vy:
1983 1917
1983 1917
chia hết cho
10
.
Ví d 4.7: Chng t rng:
5 4 13
2007 2014 2013+−
chia hết cho
10
.
Li gii:
Ta có:
54
7 7 .7 2401.7==
tn cùng bng ch s
7
nên s
5
2007
cũng tận cùng bng ch s
7
.
4
4 256=
tn cùng bng ch s
6
nên
4
2014
cũng tận cùng bng ch s
6
.
( )
3
13 4 3
3 3 .3 81 .3==
tn cùng bng ch s
3
nên s
13
2013
cũng tận cùng bng ch s
3
.
Suy ra:
5 4 13
2007 2014 2013+−
tn cùng bng ch s
0
.
Vây: s
5 4 13
2007 2014 2013+−
chia hết cho
10
.
Ví d 4.8: Tìm bn ch s tn cùng ca
1994
5
khi viết trong h thp phân.
Li gii:
Cách 1:
4
5 625=
Ta thy s tn cùng bng
0625
nâng lên lu thừa nguyên dương bất kì vn tn cùng bng
0625
.
Do đó:
( )
( )
( )
1994 4 2 4
5 5 25 5 25 0625 25 ...0625 ...5625
k
k
k +
= = = = =
Cách 2: Tìm s khi chia
1994
5
cho
44
10000 2 .5=
Nhn xét:
4
51
k
chia hết cho
( )( )
4 2 2
5 1 5 1 5 1 =
nên chia hết cho
16
.
Ta có:
( )
1994 6 1988 6
5 5 5 1 5= +
Trang 16
Do
6
5
chia hết cho
4
5
còn
1988
51
chia hết cho
16
(theo nhn xét trên)
Nên:
( )
6 1988
5 5 1
chia hết cho
10000
Tính
6
5 15625=
Vy bn ch s tn cùng ca
1994
5
5625
.
dụ 4.9: Chứng minh rằng
66 55
33 77 2+
chia hết cho
5
Lời giải:
Ta chứng minh
66 55
33 77 2+
có tận cùng
0
sau đó vận dụng dấu hiệu chia hết cho
5
Thật vậy,
66
33
cùng chữ số tận cùng với
66
33
,
66 33 2.16
3 9 9.9==
suy ra
66
33
tận cùng
9
,
55
77
cùng chữ số tận cùng với
55
77
,
55 3 4.13
7 7 .7=
nên
55
77
tận cùng
3
. Do đó
66
33
,
55
77
chữ số tận
cùng lần lượt
9
,
3
suy ra
66 55
33 77 2+
tận cùng
0
(đpcm)
Dng 5: Vn dng ch s tận cùng vào bài toán chính phương.
* Chú ý:
- S chnh phương chỉ ch s tn cùng là:
0;1;4;5;6;9
- Khi phân tích ra tha s nguyên t, s chnh phương chỉ cha các tha s nguyên t với lũy thừa chn
- S chnh phương thì chia hết cho
4
hoc chia cho
4
1
- S chnh phương thì chia hết cho
3
hoc chia cho
3
1
- S chnh phương chia hết cho
1
thì s chia hết cho
4
- S chnh phương chia hết cho
3
thì chia hết cho
9
- S chnh phương chia hết cho
5
thì chia hết cho
25
- S chnh phương chia hết cho
8
thì chia hết cho
16
- S chnh phương tận cùng
1
hoc
4
hoc
9
thì ch s hàng chc là s chn
- S chnh phương tận cùng
5
thì ch s hàng chc
2
- S chnh phương tận cùng
6
thì ch s hàng chc là s l.
- S t nhiên A không phi là s chnh phương nếu:
+ A có ch s tn cùng là
2;3;7;8
.
+ A có ch s tn cùng là
6
mà ch s hàng chc là ch s chn.
+ A có ch s hàng đơn vị khác
6
mà ch s hàng chc là l.
+ A có ch s hàng đơn vị
5
mà ch s hàng chc khác
2
.
+ A có hai ch s tn cùng là l.
Ví d 5.1: Các s sau có phi là s chnh phương không? Vì sao?
a)
2019
10 8+
; b)
1.2.3.4...2019 7+
Li gii:
a) Ta có:
2019
10
ch s tn cùng là
0
Suy ra:
2019
10 8+
ch s tn cùng là
8
.
Trang 17
Do đó:
2019
10 8+
không là s chnh phương.
b) Ta có:
1.2.3.4...2019
có ch s tn cùng
0
.
Suy ra:
1.2.3.4...2019 7+
ch s tn cùng
7
.
Do đó:
1.2.3.4...2019 7+
không là s chnh phương.
Ví d 5.2: Cho
2 3 4 2020
2 2 2 ... 2A= + + + +
. Chng minh rng
4A+
không s chnh phương.
Li gii:
Ta có:
2 3 4 2020
2 2 2 ... 2A= + + + +
3 4 5 2021
2 2 2 2 ... 2A= + + + +
Suy ra:
2021
2 2 4AA =
Suy ra:
2021 2021
4 2 4 4 2A+ = + =
( )
505
4
2 .2=
505
16 . 2=
Ta có:
505
10
ch s tn cùng là
6
.
Suy ra:
505
16
ch s tn cùng
2
.
Do đó:
4A+
có ch s tn cùng
2
.
Vy
4A+
không phi là s chnh phương.
d 5.3: Cho
a
1n
không chia hết cho
4
. Chng minh rng
72+
n
không th s chính
phương.
Li gii:
Do
1n
không chia hết cho 4 nên
( )
4 0,2,3= + n k r r
.
Ta có
4
7 1 2400:10−=
. Ta viết
( )
44
7 2 7 2 7 7 1 7 2
+
+ = + = + +
n k r r k r
.
Vy hai ch s tn cùng ca
72+
n
cũng chnh là hai chữ s tn cùng ca
( )
7 2 0;2;3+=
r
r
nên chth
03;51;45
. Theo nh cht trên thì rõ ràng
72+
n
không th là s chnh phương khi
n
không chia hết cho
4
.
d 5.4: Cho
1 2 3 30
1 3 3 3 ... 3= + + + + +S
. Tìm ch s tn cùng ca S, t đó suy ra S không phải là s chính
phương.
Li gii:
Tng
31
s hng , nhóm các s hng t trái sang phi, mi nhóm
4
hng, còn tha ba s hng cui
28 29 30
3 3 3++
. Trong mi nhóm, ch s tn cùng ca tng là
0
.
Vy ch s tn cùng ca tng S là ch s tn cùng ca tng
28 29 30
3 3 3++
.
Ta có:
29 28
3 3 .3 ...1.3 ...3= = =
Trang 18
30 28 2
3 3 .3 ...1. 9 ...9= = =
Tng S có ch s tn cùng
1 3 9 ...3+ + =
S chnh phương không có tận cùng bng
3
. Suy ra S không phi là s chnh phương.
Ví d 5.5: Cho tng
1 3 5 ... 2009 2011= + + + + +S
a) Tính S
b) Chng t S là mt s chnh phương.
Li gii:
a) Ta có:
2
2011 1 2011 1
1 3 5 ... 2009 2011 . 1 1006 1012036
22
+−
= + + + + + = + = =
S
b)
2 2 2
2 .503 1006==S
ch s tn cùng là
6
nên S là s chnh phương.
Ví d 5.6: Tìm s chnh phương bốn ch số, được viết vi các ch s
3;6;8;8
.
Li gii:
Gi
2
n
là s chnh phương cn tìm.
S chnh phương không tận cùng bng
3
8
nên
2
n
phi tn cùng bng
6
.
S tn cùng bng
86
thì chia hết cho
2
, không chia hết cho
4
nên không là s chnh phương.
Vy
2
n
phi tn cùng bng
36
Suy ra s chnh phương cần m là:
2
8836 94=
BÀI TP
Bài 1: Chng t rng
2003
10 8+
chia hết cho
2
.
Li gii:
Cách 1:
2003 2002 2002
10 10.10 2.5.10==
chia hết cho
2
8
chia hết cho
2
.
Do đó:
2003
10 8+
chia hết cho
2
.
Cách 2:
2003
10
ch s tận cùng 0. Do đó:
2003
10 8+
ch s tn cùng là
8
.
Vy:
2003
10 8+
chia hết cho
2
.
Bài 2: Tìm ch s tn cùng ca các s sau:
a)
7
6
5
234
; b)
5
7
6
579
Li gii:
a) S
243
tn cùng là
4
, nâng lên lu tha l nên có ch s tn cùng là
4
.
b) S
579
tn cùng là
9
, ng lên lu tha chn nên có tn cùng là
1
.
Bài 3: Tìm ch s tn cùng ca các s sau:
1995
6
;
1995
9
;
1995
3
;
1995
2
Li gii:
Trang 19
Ta có:
1995
6
s tn cùng là
6
1995
9
s tn cùng
9
1995
3
s tn cùng
7
(
1995 4.498 3=+
)
1995
2
s tn cùng
8
Bài 4: Tìm ch s cui cùng ca s
9
9
7
.
Li gii:
Ta có:
4
7
k
ch s cui cùng là
7
.
Mà:
( )
9
9
9 2.4 1=+
Do đó: chữ s cui cùng ca s
9
9
7
7
.
Bài 5: Tích các s l liên tiếp có tn cùng
7
. Hỏi tch đó có bao nhiêu thừa s?
Li gii:
Nếu ch
5
tha s l liên tiếp tr lên thì ít nhất cũng một tha s ch s tn cùng
5
. đó tch
phi tn cùng là
5
nên trái đề bài. Vy s tha s ca tích nh nht phi lớn hơn
5
.
Nếu ch
4
tha s l liên tiếp thì hoc tích có tn cùng bng
5
, hoc tn ng bng
9
nên trái đề bài.
Nếu ch
2
tha s l liên tiếp thì tích có tn cùng
3
hoc
5
hoc
9
nên trái đề bài.
Vậy tch đó chỉ
3
tha s.
Bài 6: Tích
2 3 10 2 4 6 14
2.2 .2 ...2 .5 .5 .5 ...5=A
tn cùng bng bao nhiêu ch s
0
.
Li gii:
Ta có:
2 3 10 1 2 3 ... 10 55
2.2 .2 ...2 2 2
+ + + +
=
2 4 6 14 2 4 6 ... 14 56
5 .5 .5 ...5 5 5
+ + + +
==
Do đó:
55 56 55 55 55
2 . 5 2 .5 .5 10 .5= = =A
Vy A tn cùng bng
55
ch s
0
.
Bài 7: Tìm s t nhiên
5
ch s biết rng s gồm năm chữ s đó viết theo th t ngược li bng bn ln
s phi tìm.
Li gii:
Gi s phi tìm
( )
, , , , ;1 , 9;0 , , 9 abcde a b c d e a e b c d
Theo đầu bài ta có:
4. =abcde edcba
(*)
4.abcde
bng mt s năm chữ s nên
2a
, a li ch nên
2a=
.
Tích
4e
là mt s tn cùng bng
2
, do đó
3=e
hoc
8=e
.
Trang 20
Vì e là ch s đầu ca s tn cùng bng b nên b phi là s lẻ, do đó
1=b
.
Xét tích
4d
. Đó là một s cng vi
3
được mt s tn cùng bng
1
nên
4.d
tn cùng bng
8
.
Vy
2=d
hoc
7=d
.
Bng cách th trc tiếp, ta được
7=d
, do đó
9=c
.
Vy s phi m là
21978
.
Bài 8: Hãy thay vào a, b, c, d các ch s thích hp, biết rng:
a)
.5=abc dad
; b)
+=abc ba dcca
; c)
==acc cca aa
Li gii:
a) Tích
.5abc
mt s ba ch s, nên
1. .5=ac
mt s tn cùng bng
0
hoc
5
(tc
0=d
hoc
5=d
) nhưng
0d
nên
5=d
, suy ra
515=dad
.
Vy:
515:5 103==abc
. Ta có phép nh
103.5 515=
.
b) Ta viết li phép tnh như sau:
ba
+ abc
dcca
Ta có:
+=a c a
(vì
10+ +a c a
) nên
0=c
. Tng mt s bn ch s ch trong trường hp
9=a
. Khi
đó
1=d
;
+bb
là mt s tn cùng bng
0
, hơn nữa
+bb
phi khác
0
vì nếu không ta phi có
0=b
, trái vi
đầu bài. Do đó:
10+=bb
5=b
.
Ta có phép tính:
950 59 1009+=
c) Ta viết li phép tinh bng:
aa
+ cca
acc
Nếu
10+ac
thì
0+=ac
suy ra
0=a
, điều này lý vì ràng a phi khác
0
.
Do đó:
10+ = +a a c
( )
1 10 1+ + = + + + a c c a c c
.
T đó
9=a
nhưng
10+ = +a a c
, nghĩa là
10 18+=c
nên
8=c
.
Ta có phép tính:
988 889 99−=
.
Bài 9: Nếu
a
( )
;5 1=a
thì
100
1a
chia hết cho
125
.
Li gii:
Do
20
1a
chia hết cho
25
nên
20
a
;
40
a
;
60
a
;
80
a
khi chia cho
25
cùng s
1
.
Trang 21
Suy ra:
20 40 60 80
1+ + + +a a a a
chia hết cho
5
.
Vy
( )( )
100 20 80 60 40 20
1 1 1 = + + + +a a a a a a
chia hết cho
125
.
Bài 10: Chng minh rng: Trong
11
s nguyên bt kì thế nào cũng có hai số có cùng ch s tn cùng.
Li gii:
Mt s nguyên ch có th tn cùng bng
1
trong
10
ch s
0;1;2;...;9
Lp
11
s nguyên, theo nguyên tc Dirichlet phi có hai s cùng ch s tn cùng.
PHN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GP TRONG Đ HSG.
Bài 1: Tìm mt s t nhiên có
6
ch s tn cùng là ch s
4
. Biết rng khi chuyn ch s
4
đó lên đầu còn
các ch s khác gi nguyên thì ta được s mi gp
4
ln s . thi HSG Gia Lai m 2018 - 2019)
Li gii:
Gi s cn tìm
4abcde
, ta có:
4.4 4=abcde abcde
Đặt
44= =abcde x abcde x
Ta có:
4.4 400000=+xx
( )
10 4 .4 400000+ = +xx
40 16 400000+ = +xx
39 399984=x
10256=x
Vy s cn m là
10256
.
Bài 2: Cho
2 3 18
2017 2017 2017 ... 2017= + + + +A
. Chng t rng
2018A
. Tìm ch s tn cùng ca A.
HSG Trc Ninh năm 2017 - 2018)
Li gii:
Ta có
2 3 18
2017 2017 2017 ... 2017= + + + +A
(tng A có
2018
s hng,
2018 2
)
( ) ( ) ( )
2 3 4 2017 2018
2017 2017 2017 2017 ... 2017 2017= + + + + + +A
( ) ( ) ( )
3 2017
2017. 1 2017 2017 . 1 2017 ... 2017 1 2017= + + + + + +
( )
3 2017
2018. 2017 2017 ... 2017 2018= + + +
( ) ( )
2 3 4 5 6 2015 2016 2017 2018
2017 2017 2017 2017 2017 2017 ... 2017 2017 2017 2017= + + + + + + + + + +
( ) ( ) ( )
3 2015
...6 2017 . ...0 ... 2017 . ...0= + + +
( )
...6=
Trang 22
Vy ch s tn cùng ca A là
6
.
Bài 3: Tìm ch s tn cùng ca s
14 9 4
14 9 3
14 9 2= + +P
HSG Lý Nhân năm 2018 - 2019).
Li gii:
Ch s tn cùng ca
14
14
14
6
.
Ch s tn cùng ca
9
9
9
9
.
Ch s tn cùng ca
4
3
2
2
.
Ch s tn cùng ca P là ch s tn cùng ca tng
( )
6 9 2++
7
.
Bài 4: Cho
2 3 20
2 2 2 ... 2= + + + +M
HSG Bắc Ninh năm 2016 - 2017)
a) Chng t rng
5M
.
b) Tìm ch s tn cùng ca M.
Li gii:
a) Ta có:
2 3 20
2 2 2 ... 2= + + + +M
( ) ( )
2 3 4 17 18 19 20
2 2 2 2 ... 2 2 2 2= + + + + + + + +
( ) ( )
2 3 17 2 3
2 1 2 2 2 ... 2 1 2 2 2= + + + + + + + +
( )
17
15 2 ... 2= + +
( )
17
5.3. 2 ... 2 5= + +
b) D thy
2; 5 10M M M
Do đó: M có chữ s tn cùng bng
0
.
Bài 5: Cho
( )( )( )( )
2 4 8 16
3 2 1 2 1 2 1 2 1= + + + +A
. Không làm phép nh, hãy rút gn biu thc ri tìm s tn
cùng ca A. HSG Bắc Ninh năm 2016 - 2017)
Li gii:
Ta có:
( )( )( )( )
2 4 8 16
3 2 1 2 1 2 1 2 1= + + + +A
( )( )( )( )( )
2 2 4 8 16
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1= + + + +
( )( )( )( )
4 4 8 16
2 1 2 1 2 1 2 1= + + +
( )( )( )
8 8 16
2 1 2 1 2 1= + +
( )( )
16 16
2 1 2 1= +
Trang 23
32
21=−
32
2
ch s tn cùng 2 nên
32
21=−A
ch s tn cùng
1
.
Bài 6: Cho
( )
2015 94
2012 92
1
73
2
=−A
. Chng minh A s t nhiên chia hết cho 5. HSG Hong Hoá năm
2018 - 2019 )
Li gii:
2012;92
đều là bi ca
4
nên
2015
2012
94
92
cũng là bội ca
4
.
Suy ra:
( )
2015 *
2012 4=mm
( )
94 *
92 4=nn
Khi đó:
( ) ( )
2015 94
2012 92 4 4
7 3 7 3 ...1 ...1 0
mn
= = =
Vy A tn cùng là
0
nên chia hết cho
10
nên
( )
2015 94
2012 92
1
7 3 5
2
=−A
.
Bài 7: Cho
2012 2011 2010 2009
10 10 10 10 8= + + + +A
. Chng minh rng A không phi s chnh phương.
HSG Buôn Mê Thuột năm 2018 - 2019)
Li gii:
Ta có các s
2012 2011 2010 2009
10 ;10 ;10 ;10
đều có ch s tn cùng
0
.
Do đó:
2012 2011 2010 2009
10 10 10 10 8= + + + +A
có ch s tn cùng
8
.
Vy A không phi là s chnh phương.
Bài 8: Tìm ch s tn cùng ca các s sau: HSG Tân Uyên 2018 - 2019)
a)
2011
57
b)
1999
93
Li gii:
a) Xét
2011
7
, ta có:
( )
502
2011 4 3 502
7 7 .7 2401 .343==
Suy ra ch s tn cùng bng
3
Vy s
2011
57
ch s tn cùng
3
b) Xét
1999
3
ta có:
( )
499
1999 4 3 499
3 3 .3 81 .27==
Suy ra ch s tn cùng bng
7
Vy s
1999
93
ch s tn cùng
7
Bài 9: HSG Yên Lc 2018 - 2019)
a) Tìm ch s tn cùng ca các s sau:
31 2000
49 ;32
b) Chng t rng:
2011
10 8+
chia hết cho
72
Trang 24
Li gii:
a) Do
49
có ch s tn cùng
9
, khi đó ng lên lũy bậc l có ch s tn cùng là
9
Vy
31
49
ch s tn cùng
9
Ta có
2000 4.500
32 32=
có ch s tn cùng
0
nên khi nâng lên lũy thừa
4n
tn cùng là ch s
6
.
Vy
2000
32
ch s tn cùng là
6
b) Vì
2011
10 8+
có tng các ch s chia hết cho
9
nên tng chia hết cho
9
Li có
2011
10 8+
3
ch s tn cùng
008
nên chia hết cho
8
Vy
2011
10 8+
chia hết cho
72
.
Bài 10: Cho
2 96
5 5 ... 5A= + + +
. Tìm ch s tn cùng ca A. HSG 2017 - 2018)
Li gii:
Ta có:
2 96
5 5 ... 5A= + + +
2 3 96 97
5 5 5 ... 5 5A= + + + +
Do đó:
97
5 5 5AA =
Suy ra:
97
55
4
A
=
Ta có:
97
5
có ch s tn cùng là
5
Suy ra
97
55
có ch s tn cùng là
0
Vy ch s tn cùng ca A là
0
.
Bài 11: Chng minh rng:
2002
10 8+
chia hết cho c
9
2
. HSG Cao Lc 2020 - 2021)
Li gii:
a) Ta có:
2002
10 8 10...000 8+ = +
(2002 s 0)
10...008=
(2001 s 0)
8
tn cùng nên chia hết cho
2
tng
các ch s ca nó là:
1 0 ... 0 0 8 9+ + + + + =
nên chia hết cho
9
Vy
2002
10 8+
chia hết cho
9
2
.
Bài 12: Cho
2 3 40
2 2 2 ... 2B= + + + +
. Tìm ch s tn cùng ca
B
. HSG Lc Ngn 2020 - 2021)
Li gii:
Ta có:
2 3 40
2 2 2 ... 2B= + + + +
2 3 4 41
2 2 2 2 ... 2B= + + + +
Do đó:
41
2 2 2BB =
Suy ra:
41
22
1
B
=
Ta có:
41
2
ch s tn cùng là
2
.
Trang 25
Suy ra:
41
22
ch s tn cùng
0
.
Vy ch s tn cùng ca B là
0
.
Bài 13: Tìm ch s tn ng ca dãy phép nh sau:
2001.2002.2003.2004 2005.2006.2007.2008.2009P=+
.
HSG Cao Lộc năm 2020 2021)
Li gii:
Ta gi
2001.2002.2003.2004
vế A. Ta s nhân ch s tn cùng ca các tha s vế A li vi nhau ta
được:
1.2.3.4 24=
nên vế A có ch s tn cùng
4
.
Gi
2005.2006.2007.2008.2009
vế B. Ta s nhân ch s tn cùng ca các tha s vế B li vi nhau ta
được:
5.6.7.8.9 15120=
nên vế B có ch s tn cùng
0
.
Vy ch s tn cùng ca
2001.2002.2003.2004 2005.2006.2007.2008.2009P=+
404+=
.
Bài 14: Tìm mt ch s tn cùng ca:
( )
22
3 2 3 2
n n n n
An
++
= + + +
. HSG Kon Tum năm 2020 -
2021)
Li gii:
Ta có:
22
3 2 3 2
n n n n
A
++
= + + +
( ) ( )
22
22
3 .3 2 .2 3 2
3 3 1 2 2 1
3 .10 2 .5
n n n n
nn
nn
= + + +
= + + +
=+
Ta có:
3 .10
n
ch s tn cùng là
0
.
2 .5
n
ch s tn cùng là
0
.
Vy A ch s tn cùng
0
Bài 15: Tìm hai ch s tn cùng ca
100
2
. HSG năm 2016 - 2017)
Li gii:
Ta có:
10
2 1024=
( ) ( )
10 5
100 10 10 2
2 2 1024 1024= = =
2
1024
có hai ch s tn cùng
76
Suy ra:
( )
0
2
1024
có hai ch s tn cùng là
76
Vy
100
2
hai ch s tn cùng là
76
.
| 1/25

Preview text:

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 2 - LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
CHỦ ĐỀ 6: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tìm 1 chữ số tận cùng Tính chất 1:
a) Các số có chữ số tận cùng là 0,1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n Î ¥ ) thì chữ số tận cùng là 1.
d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n Î ¥ ) thì chữ số tận cùng là 6 .
Chú ý: Muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên m
x = a , trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a :
- Nếu chữ số tận cùng của a là 0,1, 5, 6 thì x cũng có chữ số tận cùng là 0,1, 5, 6 .
- Nếu chữ số tận cùng của a là 3, 7, 9 : Phân tích: m 4n + r 4n = = . r a a a
a với r = 0, 1, 2, 3
Từ tính chất 1c Þ chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của r a .
- Nếu chữ số tận cùng của a là 2, 4, 8 : cũng như trường hợp trên
Từ tính chất 1d Þ chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của 6 r a . Tính chất 2:
Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n Î ¥ ) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng. Tính chất 3:
a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7; số có chữ số tận
cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3 .
b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8; số có chữ số tận
cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2 .
c) Các số có chữ số tận cùng là 0,1, 4, 5, 6, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng. Tính chất 4: Trang 1
Nếu a Î ¥ và (a , ) 5 = 1 thì 100 a - 1 chia hết cho 125 . Chứng minh: Do 20
a - 1 chia hết cho 25 nên 20 40 60 80
a , a , a , a khi chia cho 25 có cùng số dư là 1 20 40 60 80
Þ a + a + a + a + 1 chia hết cho 5. Vậy 100 a - = ( 20 a - ) ( 80 60 40 20 1 1 a + a + a + a + ) 1 chia hết cho 125.
* Phương pháp dùng cấu tạo số để tìm chữ số tận cùng của số k
A = n với n,k Î N . k
- Giả sử A = 10q + r . Khi đó,
k = (10 + ) = 10t k A q r
p + r với r Î ¥ ; 0 £ r £ 9
Suy ra, chữ số cuối cùng của A chính là chữ số cuối cùng của số k r .
- Nếu A = 100a + bc = abc thì bc là hai chữ số cuối cùng của A .
- Nếu A = 1000a + bcd = abcd thì bcd là ba chữ số cuối cùng của A .
- Nếu A = 10m.a + a
a = a ...a a thì a
a m chữ số cuối cùng của A . m m - 1... 0 m 1 0 m - 1... 0
2. Tìm hai chữ số tận cùng
Việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 100.
Phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên n x = a :
Trước hết, ta có nhận xét sau: 20 2 º 76 (mod 100) 20 3 º 01 ( mod 100) 5 6 º 76 ( mod 100) 4 7 º 01 ( mod 100) Mà: 76n º 76 (
mod 100) với n ³ 1 ,
5n º 25 (mod 100) với n ³ 2 . Suy ra kết quả sau với * k Î ¥ : 20k a º 00 (mod 10 ) 0 nếu a º 0 (mod 1 ) 0 , 20k a º 01 (mod 10 )
0 nếu a º 1; 3; 7; 9 (mod 1 ) 0 , 20k a º 25 (mod 10 ) 0 nếu a º 5 (mod 1 ) 0 , Trang 2 20k a º 76 (mod 10 )
0 nếu a º 2; 4; 6; 8 (mod 10 ) 0 .
Vậy để tìm hai chữ số tận cùng của n
a ta lấy số mũ n chia cho 20 .
Một số trường hợp cụ thể về 2 chữ số tận cùng
- Các số có tận cùng bằng 01; 25; 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 01; 25; 76 - Các số 20 3 (hoặc 5 81 ); 4 2 2
7 ; 51 ; 99 có tận cùng bằng 01 . - Các số 20 5 4 2 4 2 2 ; 6 ; 18 ; 24 ; 8
6 ; 74 có tận cùng bằng 76 .
- Số 26n (n > ) 1 có tận cùng bằng 76 .
- Các số có chữ số tận cùng là 01;25;76 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì khác 0 thì hai chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. (1) - Các số 20 4 10 2 5 2
3 ;7 ;9 ;51 ; 81 ;99 có chữ số tận cùng là 01 . (2) - Các số 10 5 4 2 4 2
4 ;6 ;18 ;24 ;68 ;74 có chữ số tận cùng là 76 . (3) n
- Số26 (n > 1) có chữ số tận cùng là 76 . (4)
Như vậy, muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên m
x = a , trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a. CHÚ Ý: - 10
4 có 2 chữ số tận cùng là 76 . - 2
5 có 2 chữ số tận cùng là 25 . - 20
8 có 2 chữ số tận cùng là 76 . - 10
9 có 2 chữ số tận cùng là 01 .
3. Tìm ba chữ số tận cùng trở lên
Việc tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 1000. k
Giả sử n = 100k + r với 0 £ r < 100 , khi đó: n 100k + r = = ( 100) . r a a a a .
Giả sử: a º x (mod 1 )
0 , x Î {0, 1, 2, ..., 9} 100 Ta có: 100 a = ( k + x ) 100 10 º x (mod 1000)
Vậy 3 chữ số tận cùng của 100 a
cũng chính là 3 chữ số tận cùng của 100 x .
Dùng quy nạp với mọi n ³ 1 , ta có: 625n º 625 (mod 100 ) 0 , Trang 3
376n º 376 (mod 1000). - Nếu x = 0 thì 100 x º 000 (mod 100 ) 0 25 - Nếu x = 5 thì 4 4 x = 5 = 625 100 Þ x = ( 4) º ( 3 5 625 mod 10 )
- Nếu x = 1; 3; 7; 9 ta có tương ứng: 25 4
x = 1; 81; 2401; 6561 º 1 (mod 4 ) 0 100 Þ x = ( k + ) º ( 3 40 1 1 mod 10 )
- Nếu x = 2; 4; 6; 8 thì 100 100 x 2 M 8 M . Ta có: (x , 12 ) 5 = 1 nên 100 x º 1 (mod ) 125 (Định lí Euler).
Giả sử 3 chữ số tận cùng của 100 xabc ta có: 100 x
= 1000k + abc Þ abc 8
M và abc º 1 (mod 12 ) 5
Trong các số 1; 126; 376; 501; 626; 751; 876 (các số có 3 chữ số chia cho 125 dư 1) chỉ có duy nhất một số
chia hết cho 8 là 376. Vậy 100 x º 376 (mod 1000).
Do đó ta có kết quả sau: 100k a º ( 3
000 mod 10 ) nếu a º 0 (mod 1 ) 0 100k a º ( 3
001 mod 10 ) nếu a º 1; 3; 7; 9 (mod 10) 100k a º ( 3
625 mod 10 ) nếu a º 5 (mod 1 ) 0 100k a º ( 3
376 mod 10 ) nếu a º 2; 4; 6; 8 (mod 10)
Vậy để tìm ba chữ số tận cùng của n
a ta tìm 2 chữ số tận cùng của số mũ n .
Một số trường hợp cụ thể về 3 chữ số tận cùng
- Các số có tận cùng bằng 001; 376; 625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0 ) cũng tận cùng bằng 001; 376; 625 .
- Các số có tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0 ) cũng tận cùng bằng 0625 .
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Tìm 1 chữ số tận cùng
Ví dụ 1.1: Tìm chữ số tận cùng của 324 187 Lời giải:
Ta thấy các số có tận cùng bằng 7 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì được số có tận cùng bằng 1.
Các số có tận cùng bằng 1 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 1. Do đó: 81 324 4 81 187 = (187 ) = ( ) .1 = ( ) 1 Trang 4
Vậy chữ số tận cùng của 324 187 là 1
Ví dụ 1.2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 7 9 7 9 7 9 a)156 ) b 1061 c)156 +1061 d)156 .1061 Phân tích:
- Ta biết rằng các số có chữ số tận cùng là 0,1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
- Để tìm chữ số tận cùng của mỗi lũy thừa trên ta chỉ cần tìm chữ số tận cùng của hàng đơn vị. Lời giải a) 7
156 có chữ số tận cùng là 6 b) 9
1061 có chữ số tận cùng là 1
c) Theo câu a) và b)  Chữ số tận cùng của lũy thừa : 7 9 156 +1061 là 7
d) Theo kết quả câu a) và b)  Chữ số tận cùng của lũy thừa: 7 9 156 .1061 là 6 .
Ví dụ 1.3: Tìm chữ số tận cùng của 2020 5 Phân tích:
Để tìm được chữ số tận cùng của số trên ta phải đưa về số có tận cùng là 5 . Lời giải Ta thấy 4
5 = 625, số tận cùng bằng 5 nâng lên bậc lũy thừa nào cũng có chữ số tận cùng bằng 5 nên ta phân tích 2020 4.505 505 5 = 5 = 625 . Vậy số 2020 5
có chữ số tận cùng bằng 5 .
Ví dụ 1.4: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 2006 32 1991 35 30 4 ) 7 )87 ) 9 ) 23 ) 74 ) 7 n a b c d e f −1 Lời giải 2006 2004 2 4.501 2 a) 7 = 7 .7 = 7 .7 = .....1.49 = .....9
Vậy chữ số tận cùng của 2006 7 là 9 . 32 4.7 b)87 = 87 = .....1
Vậy chữ số tận cùng của 32 87 là 1. 1991 1988 3 4.497 3 c) 9 = 9 .9 = 9 .9 = ......1......9 = .....9
Vậy chữ số tận cùng của 1991 9 là 9 . 35 32 3 4.8 3 d ) 23
= 23 .23 = 23 .23 = .....1......7 = .....7
Vậy chữ số tận cùng của 35 23 là 7 . e = ( )15 30 2 15 ) 74 74 = (.....6) = .....6
Vậy chữ số tận cùng của 30 74 là: 6 . Trang 5 4 ) 7 n f −1 = .....1−1 = .....0
Vậy chữ số tận cùng của 4 7 n −1 là 0 .
Ví dụ 1.5: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 35 31 4n 1 + 1930 1945 a) 7 − 4 b) 2 + 2 c) 2 .9 Lời giải a) Ta có: 35 32 3 4.8 3 7
= 7 .7 = 7 .7 = .....1.343 = .....3
Vậy chữ số tận cùng của 35 31 7 − 4 là 3 . b) Ta có: 4n 1 + 4n 4 2
= 2 .2 = (2 )n.2 = 16 .2 n = .....2 4n 1 2 +  + 2 = .....2+ 2 = .....4
Vậy chữ số tận cùng của 4n 1 2 + + 2 là 4 . c) Ta có: 1930 1928 2 4.482 2 = 2 .2 = 2 .4 = .....6.4 = .....4 1945 1944 1 4.486 9 = 9 .9 = 9 .9 = .....1.9 = .....9 1930 1945  2 .9 = .....4......9 = .....6
Vậy chữ số tận cùng của 1930 1945 2 .9 là 6 .
Ví dụ 1.6: Tìm chữ số tận cùng của các phép toán sau: 8 8 8 8 8 8 123 124 125 205 15
a)11 +12 +13 +14 +15 +16 ) b 11 +13 +15 c)125 − 237 Lời giải a) Ta có: - 8
1 có chữ số tận cùng là 1. - 8
2 có chữ số tận cùng là 6 . - 8
3 có chữ số tận cùng là 1. - 8
4 có chữ số tận cùng là 6 . - 8
5 có chữ số tận cùng là 5 . - 8
6 có chữ số tận cùng là 6 .
Tổng các chữ số này bằng: 1+ 6 +1+ 6 + 5 + 6 = 25. Vậy 8 8 8 8 8 8
11 +12 +13 +14 +15 +16 có chữ số tận cùng là 5. b) Ta có: - 123 1
có chữ số tận cùng là 1. - 124 3
có chữ số tận cùng là 1. - 125 5
có chữ số tận cùng là 5 .
Tổng các chữ số này bằng: 1+1+ 5 = 7 . Trang 6 Vậy 123 124 125 11
+13 +15 có chữ số tận cùng là 7 . c) Ta có: - 205 5
có chữ số tận cùng là 5 . - 15
7 có chữ số tận cùng là 3 .
Tổng các chữ số này bằng: 5 − 3 = 2 . Vậy 205 15 125
− 237 có chữ số tận cùng là 2 .
Ví dụ 1.7: Tìm chữ số tận cùng của các tổng sau: 1 5 9 8009
S = 2 + 3 + 4 + ¼ + 2004 . Phân tích:
Trong dạng bài này ta phải tìm được quy luật của tổng, quy luật ở đây chính là số mũ của các số hạng trong
S, các số mũ này đều chia 4 dư 1. Mà ta biết các số khi nâng lên lũy thừa dạng 4n + 1 sẽ có tận cùng không đổi. Lời giải: Nhận xét: 4 n – 2 + 1
Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1(các lũy thừa đều có dạng ( ) n ,
n thuộc {2; 3; 4...;2004})
Theo tính chất, suy ra mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng
chữ số tận cùng của tổng: (2 + 3 + ¼ + ) 9 + 199.(1 + 2 + ¼ + )
9 + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + ¼ + 9)+ 9 = 9009 .
Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9 . Tổng quát hóa:
Tìm chữ số tận cùng của tổng sau: ( 4 - ) 2 + 1 1 5 9 = 2 + 3 + 4 + ¼ + n n S
Ví dụ 1.8: Tìm chữ số tận cùng của tổng 3 7 11 8011
T = 2 + 3 + 4 + ... + 2004 . Lời giải:
Nhận xét: Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng 4(n 2) 3 n - + , n thuộc {2;3;4...;2004}) Theo quy tắc 3 thì 3
2 có chữ số tận cùng là 8 ; 7
3 có chữ số tận cùng là 7 ; 11
4 có chữ số tận cùng là 4 ;
Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng:
(8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4
= 200.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9 + 8 + 7 + 4 = 9019
Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9 Tương tự hóa: Trang 7
Tìm chữ số tận cùng của ( 4 - ) 2 + 3 3 7 11 = 2 + 3 + 4 + ¼ + n n S
Dạng 2: Tìm hai chữ số tận cùng
Ví dụ 2.1: Tìm hai chữ số tận cùng của các số: 2003 99 a) 2 b) 7 Lời giải: a) Do 2003 2
là số chẵn, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 2n − 1 25 . Ta có 10 10 20 = = + = = − = ( 10 + )( 10 − ) 3 = ( 20 2 1024 2 1 1025 25 2 1 2 1 2 1 25 2 2 − ) 1 100. Mặt khác: = ( − ) + = ( )100 2003 3 2000 3 3 20 − ) 3 2 2 2 1 2 2 2
1 + 2 = 100k + 8 (k N ).
Vậy hai chữ số tận cùng của 2003 2 là 08 . b) Do 99
7 là số lẻ, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 7n − 1 100 . Ta có 4 7 = 2401 = 74 −1 100 . Mặt khác : 9 9
9 −1∶ 4 = 9 = 4k + ( 1 k N ) Vậy 99 4k + 1 = = ( 4 7 7 7 7 k − )
1 + 7 = 100q + 7 (q N ) tận cùng bởi hai chữ số 07 .
Ví dụ 2.2: Tìm hai chữ số tận cùng của 1991 7 Lời giải Ta thấy: 4
7 = 2401, số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào cũng tận cùng bằng 01. 497 497 Do đó: 1991 1988 3 = = ( 4 7 7 .7 7 ) .343 = (...0 ) 1 .343 = (...0 ) 1 .343 = ...43. Vậy 1991 7
có hai chữ số tận cùng là 43 .
Ví dụ 2.3: Tìm hai số tận cùng của 100 2 Lời giải Chú ý rằng: 10
2 = 1024 bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76 , số có tận cùng bằng
76 thì nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 76 . 5 10 5 Do đó 100 = ( 10) 10 = = ( 2 2 2 1024 1024 ) = (...7 ) 6 = ...76
Vậy hai chữ số tận cùng của 100 2 là 76 .
Ví dụ 2.4: Tìm hai chữ số tận cùng của: 99 a) 51 51 ; b) 99 99 ; c) 666 6 ; d) 101 101 14 .16 Trang 8 Hướng dẫn: 25 25 a) 51 = ( 2 51 51 ) .51 = (K 0 ) 1 .51 = K 51 . k 99 k b) 99 2k + 1 = = ( 2 99 99 99 ) .99 = (K 0 ) 1 .99 = (K 9 ) 9 . 133 c) 666 = ( 5 6 6 ) .6 = (K 7 ) 6 .6 = K 56 . 50 101 50 d) 101 101 = ( ) 101 = = ( 2 14 .16 14.16 224 224 ) .224 = (K 7 ) 6 .224 = (K 7 ) 6 .224 = K 24 .
Ví dụ 2.5: Tìm 2 chữ số tận cùng của 56 77 1976 .2015 Lời giải Ta thấy: Chữ số tận cùng của 56
1976 cũng là chữ số tận cùng của 56 76 mà 56 76 = ...76 Chữ số tận cùng của 77
2015 cũng là chữ số tận cùng của 77 15 77 mà 77 = ( ) 77 77 20.3+ 17 77 17 15 3.5 = 3 .5 = 3 .5 = 3 (...0 )
1 .(...25) = (...63)(...25) = ...75. Suy ra: 56 77 1976 .2015 = (...7 ) 6 .(...7 ) 5 = ...00. Vậy 56 77
1976 .2015 có 2 chữ số tận cùng là 00 .
Ví dụ 2.6: Tìm hai chữ số tận cùng của số 999 C = 2 Lời giải Ta có: 10 2 + 1 = 1024 + 1 = 1025 25 M suy ra 20 = ( 10 + )( 10 2 – 1 2 1 2 – ) 1 25 M Ta lại có = ( )50 1000 20 20 2 – 1 2 – 1 2 M – 1 suy ra 1000 2 – 1 25 M Do đó 1000 2
chữ số tận cùng là 26;51;76nhưng 1000 2 4 M Suy ra 1000 2 tận cùng là 76 Þ 999 2
tận cùng là 38 hoặc 88 vì 999 2 4 M Vậy 999 2 tận cùng là 88 Vậy 999 C = 2
có hai chữ số tận cùng là 88 .
Ví dụ 2.7: Tìm 2 chữ số tận cùng của 2020 51 Lời giải Ta có 2020 = 2.1010 nên 2020 2 1010 1010 51 = (51 ) = 2601 . Trang 9
Khi đó theo quy tắc (1) chữ số tận cùng của 2020 51 là 01 .
Ví dụ 2.8: Tìm 2 chữ số tận cùng của a) 2015 7 b) 66 57 Lời giải a) Ta có: 4 7 = 2401 nên 2015 4.503+ 3 4 503 3 503 7 = 7 = (7 )
.7 = 2401 .343 = (...01).343 = ...43
Chữ số tận cùng của 2015 7 là 43 . b) Ta có 66 4 16 2 16 57
= (57 ) .57 = (...01) .3249 = ...49 Chữ số tận cùng của 66 57 là 49 .
Dạng 3: Tìm ba chữ số tận cùng
Ví dụ 3.1: Tìm ba chữ số tận cùng của 2008 5 Lời giải: 52008 =54.502=(54)502 4 5 có tận cùng là 625 Suy ra ( )502 4 5 có tận cùng là 625 Vậy 2008 5
có 3 chữ số tận cùng là 625 .
Ví dụ 3.2: Tìm ba chữ số tận cùng của 100 2 . Lời giải Ta có: 10 2 = 1024  024(mod1000) 50 10 5 5 2
= (2 )  24  624(mod1000) = ( )2 100 50 2 2 2  624  376(mod1000)
Vậy ba chữ số tận cùng của 100 2 là 376 .
Ví dụ 3.3: Tìm ba chữ số tận cùng của 101 123 Phân tích:
Nhận thấy rằng (123,5) =1 nên ta sẽ áp dụng tính chất 4, khi đó chia hết cho 125. Lời giải:
+ Vì (123,5) =1nên áp dụng tính chất ta có 101 123 −1 chia hết cho 125. (1)
+ Ta lại có chia hết cho 8 (2)
Vì (8;125) =1và kết hợp (1),(2) ta có chia hết cho 1000 Khi đó
Vậy ba chữ số tận cùng của là 123. Trang 10 Ví dụ 3. 2003
4: Tìm ba chữ số tận cùng của 9 2 Lời giải
- Tìm 2 chữ số tận cùng của 2003 9 Ta có 2003 3 2000 3 20 50 9 = 9 .9 = 9 .(3 ) º 29 ( mod1 00) 2003 - Khi đó ta có 9 100k+ 29 29 100k 2 = 2 = 2 .2 º 912.376 º 912(mod 100 ) 0
Vậy 3 chữ số tận cùng là 912. Ví dụ 3. 213
5: Tìm ba chữ số tận cùng của 7 3 Lời giải 26 Ta có 213 26.8+ 5 º º ( 8) 5 26 5 5 7 7 7 .7 º 1 .7 º 7 º 7(mod 100) Khi đó 213 7 100k+ 7 100k 7 3 = 3 = 3 .3 º 1. 7 3 º 187(mod 1000)
Vậy ba chữ số tận cùng của 213 7 3 là 187 .
Ví dụ 3.6: Tìm ba chữ số tận cùng của 1992 5 Lời giải = ( )498 1992 4 498 498 5 5 = 625 = 0625 = ¼ 0625
Vậy bốn chữ số tận cùng của 1992 5 là 0625
Ví dụ 3.7: Tìm ba chữ số tận cùng của số 946 T = 5 Lời giải Ta có 3
5 có ba chữ số tận cùng là 125
Suy ra T = 5946 = (53)315.5=(n125 )315.5=m 125 .5=t 625
(Vớin,m,t Î ¥ ) Vậy 946 T = 5
có ba chữ số tận cùng là125 .
Ví dụ 3.8: Tìm ba chữ số tận cùng của số: 1994 P = 5 Lời giải Ta có: 4
5 = 0625 tận cùng là 0625 ; 5 5 tận cùng là 3125 ; 6 5 tận cùng là5625 7 5 tận cùng là 8125 ; 8 5 tận cùng là 0625 ; 9 5 tận cùng là 3125 ; 10 5 tận cùng là 5625; 11 5 tận cùng là 8125 ; 12 5 tận cùng là 0625 Chu kỳ lặp là 4. Suy ra: Trang 11 4
5 m tận cùng là 0625 ; 4 1
5 m+ tận cùng là 3125 4 2
5 m+ tận cùng là 5625; 4 3
5 m+ tận cùng là 8125
Mà 1994 có dạng 4m + 2 , do đó 1994 M = 5
có 4 chữ số tận cùng là 5625.
Ví dụ 3.9: Tìm ba chữ số tận cùng của số: 101 R = 123 Lời giải Do ( ) 100 123, 5 = 1 Þ 123 - 1 chia hết cho 125 (1). Mặt khác: 100 - = ( 25 - )( 25 + )( 50 + ) 100 123 1 123 1 123 1 123 1 Þ 123 - 1 chia hết cho 8 (2).
Vì(8,125) = 1 , từ (1) và (2) suy ra 100 : 123 - 1 chi hết cho 1000 101 Þ = ( 100 123 123 123 - )
1 + 123 = 1000k + 123(k Ç N ). Vậy 101 123
có ba chữ số tận cùng là123 .
Ví dụ 3.10: Tìm ba chữ số tận cùng của 399...98 3 Lời giải Do ( ) 100 9, 5 = 1 Þ 9 - 1 chi hết cho 125 (1). Ta có 100 9 - 1 chia hết cho 8 (2).
Vì(8,125) = 1 , từ (1) và (2) suy ra: 100 9 - 1 chia hết cho 1000 399...98 199...9 100p+ 99 99 Þ = = = ( 100p - ) 99 99 3 9 9 9 9 1 + 9 = 1000q + 9 ( , p q Î ¥ ).
Vậy ba chữ số tận cùng của 399...98 3
cũng chính là ba chữ số tận cùng của 99 9 . Lại vì 100 9
- 1 chia hết cho 1000 Þ ba chữ số tận cùng của 100 9 là 001 mà 99 100 9 = 9 : 9
Þ ba chữ số tận cùng của 999 là 889 (dễ kiểm tra chữ số tận cùng của 999 là 9, sau đó dựa vào phép nhân
?? 9´ 9 = ...001 để xác định ??9 = 889 ).
Vậy ba chữ số tận cùng của 3399...98 là 889 .
Ví dụ 3.11: Tìm ba chữ số tận cùng của 200 2004 Lời giải Do (2004, 5) = 1  100 2004 chia cho 125 dư 1  = ( )2 200 100 2004 2004 chia cho 125 dư 1  200 2004
chỉ có thể tận cùng là126,251, 376, 501, 626, 751, 876 . Do 200 2004
chia hết cho 8 nên chỉ có thể tận cùng là 376 . Trang 12
Ví dụ 3.12: Tìm ba chữ số tận cùng của tổng 1 5 9 8009
S = 2 + 3 + 4 + ¼ + 2004 . Lời giải
Nhận thấy: lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1
(các lũy thừa đều có dạng (4k- )2+1 n
, k thuộc{2, 3,¼ , 2004} ).
Mọi lũy thừa trong S đều có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của cơ số tương ứng:
 Chữ số tận cùng của tổng S là chữ số tận cùng của tổng: (2 + 3 + ¼ + )
9 + 199.(0 + 1 + 2 + ¼ + 9)+ 1 + 2 + 3 + 4
= 200(1 + 2 + ¼ + 9)+ 9 = 9009 .
Vậy ba chữ số tận cùng sẽ là 009
Dạng 4: Vận dụng chứng minh chia hết, chia có dư. * Chú ý:
a. Dấu hiệu chia hết cho 2 :
Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn.
b. Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9 ):
Một số chia hết cho 3 (hoặc 9 ) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3 (hoặc 9 ).
Chú ý: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9 ) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9 ) cũng
dư bấy nhiêu và ngược lại.
c. Dấu hiệu chia hết cho 5 :
Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số của số đó có tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5 .
d. Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25 ):
Một số chia hết cho 4 (hoặc 25 ) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4 (hoặc 25 ).
e. Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125 ):
Một số chia hết cho 8 (hoặc 125 ) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 8 (hoặc 125 ).
f. Dấu hiệu chia hết cho 11:
Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn (từ trái
sang phải) chia hết cho 11. Ví dụ 4.1: Cho 1999 1997 999993 −555557
. Chứng minh rằng A chia hết cho 5 . Lời giải:
Để chứng minh A 5, ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng. Ta có: =( )499 1999 4 499 3 3 = 81 .27 Suy ra: 1999 3
có chữ số tận cùng là 7 . Trang 13 =( )499 1997 4 499 7 7 .7 = 2041 .7 Suy ra: 1997 7
có chữ số tận cùng là 7 .
Vậy A có chữ số tận cùng bằng 0 . Do đó: A 5. Ví dụ 4.2: Cho  n , chứng minh rằng 2
n + n +1 không chia hết cho 4 và không chia hết cho 5 . Lời giải: Ta có: 2
n + n +1= n(n + ) 1 +1 n(n + )
1 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 . Suy ra n(n + )
1 +1 là một số lẻ nên không chia hết cho 4 . n(n + )
1 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên không có tận cùng là 4 hoặc 9 nên n(n + ) 1 +1 không có tận
cùng là 5 hoặc 0 . Do đó n(n + )
1 +1 không chia hết cho 5 .
Ví dụ 4.3: Chứng tỏ rằng 2003 10 +8 chia hết cho 2 . Lời giải: Ta có: 2003 10
có chữ số tận cùng là 0 . Do đó: 2003 10
+8 có chữ số tận cùng là 8 . Vậy 2003 10 +8 chia hết cho 2
Ví dụ 4.4: Chứng minh 2000 2000 2113 − 2011 chia hết cho cả 2 và 5 . Lời giải: Để 2000 2000 2113 − 2011
vừa chia hết cho cả 2 và 5 thì số phải có chữ số tận cùng là 0 .
Suy ra: Cần chứng minh số bị trừ và số trừ đều có chữ số tận cùng là 1.
Chú ý: Số tự nhiên a có chữ số tận cùng là 1 thì n
a cũng có chữ số tận cùng là 1. Ta có: =( )500 500 2000 4 2113 2113 =...1 . Suy ra: 2000 2113
có chữ số tận cùng là 1. 2000 2011
luôn có chữ số tận cùng là 1. Suy ra: 2000 2000 2113 − 2011
có chữ số tận cùng là 0 . Vậy: 2000 2000 2113 − 2011
chia hết cho cả 2 và 5 .
Ví dụ 4.5: Cho 1 số có 4 chữ số: *26*. Điền các chữ số thích hợp vào dấu (*) để được số có bốn chữ số
khác nhau chia hết cho tất cả bốn số: 2;3;5;9 . Lời giải:
Số *26* đảm bảo chia hết cho 2 nên số đó là số chẳn.
Số *26* chia hết cho 5 nên số đó phải có chữ số tận cùng là số 0 hoặc 5 . Trang 14
Số *26* vừa chia hết cho 3 và 9 nên số đó phải có tổng các chữ số chia hết cho 9 .
Suy ra: Chữ số tận cùng của số *26* là 0 .
Do đó ta có số *260  . Chữ số đầu là số 1
Vậy: số đã cho là 1260 .
Ví dụ 4.6: Chứng tỏ rằng hiệu 1983 1917 1983 −1917 chia hết cho 10 . Lời giải: Ta có: =( )495 1983 4 3 1983 1984 .1983 Số 4
1983 có chữ số tận cùng bằng 1 Suy ra ( )495 4 1983 có tận cùng bằng 1 Số 3 1983 có tận cùng bằng 7 Do đó: 1983 1983 có tận cùng bằng 7 Phân tích tương tự, 1917 1917 có tận cùng bằng 7 Do đó: 1983 1917 1983 −1917 có tận cùng bằng 0 Vậy: 1983 1917 1983 −1917 chia hết cho 10 .
Ví dụ 4.7: Chứng tỏ rằng: 5 4 13
2007 + 2014 − 2013 chia hết cho 10 . Lời giải: Ta có: 5 4
7 = 7 .7 = 2401.7 tận cùng bằng chữ số 7 nên số 5
2007 cũng tận cùng bằng chữ số 7 . 4
4 = 256 tận cùng bằng chữ số 6 nên 4
2014 cũng tận cùng bằng chữ số 6 . =( )3 13 4 3 3 3
.3=81 .3 tận cùng bằng chữ số 3 nên số 13
2013 cũng tận cùng bằng chữ số 3 . Suy ra: 5 4 13
2007 + 2014 − 2013 tận cùng bằng chữ số 0 . Vây: số 5 4 13
2007 + 2014 − 2013 chia hết cho 10 .
Ví dụ 4.8: Tìm bốn chữ số tận cùng của 1994 5
khi viết trong hệ thập phân. Lời giải: Cách 1: 4 5 = 625
Ta thấy số tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nguyên dương bất kì vẫn tận cùng bằng 0625 . Do đó: k 1994 4k + 2 = = ( 4 k 5 5
25 5 ) = 25(0625) = 25(...0625)=...5625
Cách 2: Tìm số dư khi chia 1994 5 cho 4 4 10000 = 2 .5 Nhận xét: 4
5 k −1 chia hết cho 4 − = ( 2 − )( 2 5 1 5 1 5 − ) 1 nên chia hết cho 16 . Ta có: 1994 6 = ( 1988 − ) 6 5 5 5 1 + 5 Trang 15 Do 6 5 chia hết cho 4 5 còn 1988 5
−1 chia hết cho 16 (theo nhận xét trên) Nên: 6 ( 1988 5 5 − ) 1 chia hết cho 10000 Tính 6 5 =15625
Vậy bốn chữ số tận cùng của 1994 5 là 5625 .
Ví dụ 4.9: Chứng minh rằng 66 55
33 + 77 – 2 chia hết cho 5 Lời giải: Ta chứng minh 66 55
33 + 77 – 2 có tận cùng là 0 sau đó vận dụng dấu hiệu chia hết cho 5 Thật vậy, 66
33 có cùng chữ số tận cùng với 66 33 , mà 66 33 2.16 3 = 9 = 9.9 suy ra 66 33 có tận cùng là 9 , 55 77 có
cùng chữ số tận cùng với 55 77 , vì 55 3 4.13 7 = 7 .7 nên 55
77 có tận cùng là 3 . Do đó 66 33 , 55 77 có chữ số tận
cùng lần lượt là 9 , 3 suy ra 66 55
33 + 77 – 2 tận cùng là 0 (đpcm)
Dạng 5: Vận dụng chữ số tận cùng vào bài toán chính phương. * Chú ý:
- Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là: 0;1;4;5;6;9
- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với lũy thừa chẵn
- Số chính phương thì chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1
- Số chính phương thì chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1
- Số chính phương chia hết cho 1 thì sẽ chia hết cho 4
- Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
- Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
- Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16
- Số chính phương tận cùng là 1 hoặc 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là số chẵn
- Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2
- Số chính phương tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là số lẻ.
- Số tự nhiên A không phải là số chính phương nếu:
+ A có chữ số tận cùng là 2;3;7;8 .
+ A có chữ số tận cùng là 6 mà chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
+ A có chữ số hàng đơn vị khác 6 mà chữ số hàng chục là lẻ.
+ A có chữ số hàng đơn vị là 5 mà chữ số hàng chục khác 2 .
+ A có hai chữ số tận cùng là lẻ.
Ví dụ 5.1: Các số sau có phải là số chính phương không? Vì sao? a) 2019 10 +8 ; b) 1.2.3.4...2019+ 7 Lời giải: a) Ta có: 2019 10
có chữ số tận cùng là 0 Suy ra: 2019 10
+8 có chữ số tận cùng là 8 . Trang 16 Do đó: 2019 10
+8 không là số chính phương.
b) Ta có: 1.2.3.4...2019 có chữ số tận cùng là 0 .
Suy ra: 1.2.3.4...2019+7 có chữ số tận cùng là 7 .
Do đó: 1.2.3.4...2019+7 không là số chính phương. Ví dụ 5.2: Cho 2 3 4 2020 A= 2 + 2 + 2 +...+ 2
. Chứng minh rằng A+ 4 không là số chính phương. Lời giải: Ta có: 2 3 4 2020 A= 2 + 2 + 2 +...+ 2 3 4 5 2021 2A= 2 + 2 + 2 +...+ 2 Suy ra: 2021 2AA= 2 −4 Suy ra: 2021 2021 A + 4 = 2 − 4+ 4= 2 = ( )505 4 2 .2 505 =16 . 2 Ta có: 505 10
có chữ số tận cùng là 6 . Suy ra: 505 16
có chữ số tận cùng là 2 .
Do đó: A+ 4 có chữ số tận cùng là 2 .
Vậy A+ 4 không phải là số chính phương.
Ví dụ 5.3: Cho a và n −1 không chia hết cho 4 . Chứng minh rằng 7n + 2 không thể là số chính phương. Lời giải:
Do n −1 không chia hết cho 4 nên n = 4k + r (r   0,2,  3 ) . Ta có 4
7 −1= 2400:10 . Ta viết n 4k + + = r + = r ( 4 7 2 7 2 7 7 k − ) 1 + 7r + 2 .
Vậy hai chữ số tận cùng của 7n + 2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 7r + 2(r =0;2; ) 3 nên chỉ có thể là
03;51; 45 . Theo tính chất trên thì rõ ràng 7n + 2 không thể là số chính phương khi n không chia hết cho 4 . Ví dụ 5.4: Cho 1 2 3 30
S =1+ 3 + 3 + 3 +...+ 3 . Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S không phải là số chính phương. Lời giải:
Tổng có 31 số hạng , nhóm các số hạng từ trái sang phải, mỗi nhóm 4 hạng, còn thừa ba số hạng cuối là 28 29 30
3 + 3 + 3 . Trong mỗi nhóm, chữ số tận cùng của tổng là 0 .
Vậy chữ số tận cùng của tổng S là chữ số tận cùng của tổng 28 29 30 3 + 3 + 3 . Ta có: 29 28 3 = 3 .3 =...1.3 =...3 Trang 17 30 28 2 3 = 3 .3 =...1. 9 =...9
Tổng S có chữ số tận cùng 1+ 3 + 9 =...3
Số chính phương không có tận cùng bằng 3 . Suy ra S không phải là số chính phương.
Ví dụ 5.5: Cho tổng S 1 = +3+5+...+2009+2011 a) Tính S
b) Chứng tỏ S là một số chính phương. Lời giải:  2011+1  2011−1  a) Ta có: 2
S =1+ 3+ 5 +...+ 2009 + 2011= . +1 =1006 =1012036      2   2  b) 2 2 2
S = 2 .503 =1006 có chữ số tận cùng là 6 nên S là số chính phương.
Ví dụ 5.6: Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết vởi các chữ số 3;6;8;8 . Lời giải: Gọi 2
n là số chính phương cần tìm.
Số chính phương không tận cùng bằng 3 và 8 nên 2
n phải tận cùng bằng 6 .
Số tận cùng bằng 86 thì chia hết cho 2 , không chia hết cho 4 nên không là số chính phương. Vậy 2
n phải tận cùng bằng 36
Suy ra số chính phương cần tìm là: 2 8836 = 94 BÀI TẬP
Bài 1: Chứng tỏ rằng 2003 10 +8 chia hết cho 2 . Lời giải: Cách 1: 2003 2002 2002 10 =10.10 =2.5.10
chia hết cho 2 và 8 chia hết cho 2 . Do đó: 2003 10 +8 chia hết cho 2 . Cách 2: 2003 10
có chữ số tận cùng là 0. Do đó: 2003 10
+8 có chữ số tận cùng là 8 . Vậy: 2003 10 +8 chia hết cho 2 .
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 7 6 5 7 a) 5 234 ; b) 6 579 Lời giải:
a) Số 243 có tận cùng là 4 , nâng lên luỹ thừa lẻ nên có chữ số tận cùng là 4 .
b) Số 579 có tận cùng là 9 , nâng lên luỹ thừa chẵn nên có tận cùng là 1.
Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 1995 6 ; 1995 9 ; 1995 3 ; 1995 2 Lời giải: Trang 18 Ta có: 1995 6 có số tận cùng là 6 1995 9 có số tận cùng là 9 1995 3
có số tận cùng là 7 (1995=4.498+3 ) 1995 2 có số tận cùng là 8 9
Bài 4: Tìm chữ số cuối cùng của số 9 7 . Lời giải: Ta có: 4
7 k có chữ số cuối cùng là 7 . Mà: =( + )9 9 9 2.4 1 Do đó: chữ 9
số cuối cùng của số 9 7 là 7 .
Bài 5: Tích các số lẻ liên tiếp có tận cùng là 7 . Hỏi tích đó có bao nhiêu thừa số? Lời giải:
Nếu tích có 5 thừa số lẻ liên tiếp trở lên thì ít nhất cũng có một thừa số có chữ số tận cùng là 5 . Dó đó tích
phải tận cùng là 5 nên trái đề bài. Vậy số thừa số của tích nhỏ nhất phải lớn hơn 5 .
Nếu tích có 4 thừa số lẻ liên tiếp thì hoặc tích có tận cùng bằng 5 , hoặc tận cùng bằng 9 nên trái đề bài.
Nếu tích có 2 thừa số lẻ liên tiếp thì tích có tận cùng là 3 hoặc 5 hoặc 9 nên trái đề bài.
Vậy tích đó chỉ có 3 thừa số. Bài 6: Tích 2 3 10 2 4 6 14
A = 2.2 .2 ...2 .5 .5 .5 ...5
tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0 . Lời giải: + + + + Ta có: 2 3 10 1 2 3 ... 10 55 2.2 .2 ...2 = 2 2 2 4 6 14 2 + 4 + 6 . + ..+14 56 5 .5 .5 ...5 =5 =5 Do đó: 55 56 55 55 55
A = 2 . 5 = 2 .5 .5 =10 .5
Vậy A có tận cùng bằng 55 chữ số 0 .
Bài 7: Tìm số tự nhiên có 5 chữ số biết rằng số gồm năm chữ số đó viết theo thứ tự ngược lại bằng bốn lần số phải tìm. Lời giải:
Gọi số phải tìm là abcde(a ,b,c, d ,e  ;1 a ,e 9;0b, c, d  9)
Theo đầu bài ta có: 4.abcde=edcba (*)
Vì 4.abcde bằng một số có năm chữ số nên a  2 , a lại chẵ nên a =2 .
Tích 4e là một số tận cùng bằng 2 , do đó e =3 hoặc e =8 . Trang 19
Vì e là chữ số đầu của số tận cùng bằng b nên b phải là số lẻ, do đó b =1.
Xét tích 4d . Đó là một số cộng với 3 được một số tận cùng bằng 1 nên 4.d tận cùng bằng 8 .
Vậy d = 2 hoặc d = 7 .
Bằng cách thử trực tiếp, ta được d = 7 , do đó c =9 .
Vậy số phải tìm là 21978 .
Bài 8: Hãy thay vào a, b, c, d các chữ số thích hợp, biết rằng:
a) abc.5 = dad ;
b) abc + ba = dcca ;
c) acc = cca = aa Lời giải:
a) Tích abc .5 là một số có ba chữ số, nên a 1
= .c.5 là một số tận cùng bằng 0 hoặc 5 (tức là d =0 hoặc
d =5 ) nhưng d  0 nên d =5 , suy ra dad = 515 .
Vậy: abc = 515:5 =103 . Ta có phép tính 103.5=515.
b) Ta viết lại phép tính như sau: ba + abc dcca
Ta có: a + c = a (vì a + c 10+ a ) nên c =0 . Tổng là một số có bốn chữ số chỉ trong trường hợp a =9 . Khi
đó d =1 ; b+b là một số tận cùng bằng 0 , hơn nữa b+b phải khác 0 vì nếu không ta phải có b=0 , trái với
đầu bài. Do đó: b+b 10 = và b=5 . Ta có phép tính: 950+59 1 = 009
c) Ta viết lại phép tinh bằng: aa + cca acc Nếu a + c 10
 thì a +c =0suy ra a=0 , điều này vô lý vì rõ ràng a phải khác 0 .
Do đó: a + a 10
= +ca +c +1 1
= 0+c(a+c+1c).
Từ đó a =9 nhưng a + a 10
= +c, nghĩa là 10+c 1 = 8 nên c =8.
Ta có phép tính: 988−889=99 .
Bài 9: Nếu a và (a;5) =1 thì 100 a −1 chia hết cho 125. Lời giải: Do 20
a −1 chia hết cho 25 nên 20 a ; 40 a ; 60 a ; 80
a khi chia cho 25 có cùng số dư là 1. Trang 20 Suy ra: 20 40 60 80
a + a + a + a +1 chia hết cho 5 . Vậy 100 a − =( 20 a − )( 80 60 40 20 1
1 a + a + a + a + ) 1 chia hết cho 125 .
Bài 10: Chứng minh rằng: Trong 11 số nguyên bất kì thế nào cũng có hai số có cùng chữ số tận cùng. Lời giải:
Một số nguyên chỉ có thể tận cùng bằng 1 trong 10 chữ số 0;1;2;...;9
Lấp 11 số nguyên, theo nguyên tắc Dirichlet phải có hai số có cùng chữ số tận cùng.
PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.
Bài 1: Tìm một số tự nhiên có 6 chữ số tận cùng là chữ số 4 . Biết rằng khi chuyển chữ số 4 đó lên đầu còn
các chữ số khác giữ nguyên thì ta được số mới gấp 4 lần số cũ. (Đề thi HSG Gia Lai năm 2018 - 2019) Lời giải:
Gọi số cần tìm là abcde4 , ta có: abcde4.4 = 4abcde
Đặt abcde = x abcde4 = x4
Ta có: x4.4 = 400 000 + x
(10x+4).4=400000+ x 40x 1 + 6=400000+ x 39x =399984 x 10256 =
Vậy số cần tìm là 10256 . Bài 2: Cho 2 3 18
A = 2017 + 2017 + 2017 +...+ 2017 . Chứng tỏ rằng A 2018 . Tìm chữ số tận cùng của A. (Đề
HSG Trực Ninh năm 2017 - 2018) Lời giải: Ta có 2 3 18
A = 2017 + 2017 + 2017 +...+ 2017 (tổng A có 2018 số hạng, 2018 2 ) A = ( 2 + )+( 3 4 + )+ +( 2017 2018 2017 2017 2017 2017 ... 2017 + 2017 ) = ( + ) 3 + ( + ) 2017 2017. 1 2017 2017 . 1 2017 +...+ 2017 (1+2017) = ( 3 2017 2018. 2017 + 2017 +...+ 2017 ) 2018 2 = + + ( 3 4 5 6 + + + )+ +( 2015 2016 2017 2018 2017 2017 2017 2017 2017 2017 ... 2017 + 2017 + 2017 + 2017 ) =( ) 3 + ( ) 2015 ...6 2017 . ...0 +...+ 2017 .(...0) = (...6) Trang 21
Vậy chữ số tận cùng của A là 6 . 14 9 4
Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của số 14 9 3 P 1
= 4 +9 +2 (Đề HSG Lý Nhân năm 2018 - 2019). Lời giải: 14 Chữ số tận cùng của 14 14 là 6 . 9 Chữ số tận cùng của 9 9 là 9 . 4 Chữ số tận cùng của 3 2 là 2 .
Chữ số tận cùng của P là chữ số tận cùng của tổng (6+9+ 2) là 7 . Bài 4: Cho 2 3 20
M = 2 + 2 + 2 +...+ 2 (Đề HSG Bắc Ninh năm 2016 - 2017)
a) Chứng tỏ rằng M 5 .
b) Tìm chữ số tận cùng của M. Lời giải: a) Ta có: 2 3 20 M = 2 + 2 + 2 +...+ 2 = ( 2 3 4 + + + )+ +( 17 18 19 20 2 2 2 2 ... 2 + 2 + 2 + 2 ) = ( 2 3 + + + ) 17 + + ( 2 3 2 1 2 2 2 ... 2 1+ 2 + 2 + 2 ) = ( 17 15 2 +...+ 2 ) = ( 17 5.3. 2 +...+ 2 ) 5
b) Dễ thấy M 2; M 5 M 10
Do đó: M có chữ số tận cùng bằng 0 .
Bài 5: Cho A = ( 2 + )( 4 + )( 8 + )( 16 3 2 1 2 1 2 1 2 + )
1 . Không làm phép tính, hãy rút gọn biểu thức rồi tìm số tận
cùng của A. (Đề HSG Bắc Ninh năm 2016 - 2017) Lời giải:
Ta có: A = ( 2 + )( 4 + )( 8 + )( 16 3 2 1 2 1 2 1 2 + ) 1
= ( 2 − )( 2 + )( 4 + )( 8 + )( 16 2 1 2 1 2 1 2 1 2 + ) 1 = ( 4 − )( 4 + )( 8 + )( 16 2 1 2 1 2 1 2 + ) 1 = ( 8 − )( 8 + )( 16 2 1 2 1 2 + ) 1 = ( 16 − )( 16 2 1 2 + ) 1 Trang 22 32 =2 −1 Vì 32
2 có chữ số tận cùng là 2 nên 32
A = 2 −1 có chữ số tận cùng là 1. 2015 94 1
Bài 6: Cho A= ( 2012 92 7
−3 ) . Chứng minh A là số tự nhiên chia hết cho 5. (Đề HSG Hoằng Hoá năm 2 2018 - 2019 ) Lời giải:
Vì 2012;92 đều là bội của 4 nên 2015 2012 và 94 92 cũng là bội của 4 . Suy ra: 2015 = m( * 2012 4 m ) 94 = n ( * 92 4 n ) Khi đó: 2015 94 2012 92 4m 4 7 3 7 3 n − = − =(... ) 1 −(... ) 1 = 0 2015 94 1
Vậy A có tận cùng là 0 nên chia hết cho 10 nên A = ( 2012 92 7 −3 ) 5. 2 Bài 7: Cho 2012 2011 2010 2009 A =10 +10 +10 +10
+8 . Chứng minh rằng A không phải là số chính phương. (Đề
HSG Buôn Mê Thuột năm 2018 - 2019) Lời giải: Ta có các số 2012 2011 2010 2009 10 ;10 ;10 ;10
đều có chữ số tận cùng là 0 . Do đó: 2012 2011 2010 2009 A =10 +10 +10 +10
+8 có chữ số tận cùng là 8 .
Vậy A không phải là số chính phương.
Bài 8: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: (Đề HSG Tân Uyên 2018 - 2019) a) 2011 57 b) 1999 93 Lời giải: a) Xét 2011 7 , ta có: =( )502 2011 4 3 502 7 7 .7 = 2401 .343
Suy ra chữ số tận cùng bằng 3 Vậy số 2011 57
có chữ số tận cùng là 3 b) Xét 1999 3 ta có: =( )499 1999 4 3 499 3 3 .3 =81 .27
Suy ra chữ số tận cùng bằng 7 Vậy số 1999 93
có chữ số tận cùng là 7
Bài 9: (Đề HSG Yên Lạc 2018 - 2019)
a) Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 31 2000 49 ;32
b) Chứng tỏ rằng: 2011 10 +8 chia hết cho 72 Trang 23 Lời giải:
a) Do 49 có chữ số tận cùng là 9 , khi đó nâng lên lũy bậc lẻ có chữ số tận cùng là 9 Vậy 31
49 có chữ số tận cùng là 9 Ta có 2000 4.500 32 =32
có chữ số tận cùng là 0 nên khi nâng lên lũy thừa 4n có tận cùng là chữ số 6 . Vậy 2000 32
có chữ số tận cùng là 6 b) Vì 2011 10
+8 có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng chia hết cho 9 Lại có 2011 10
+8 có 3 chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8 Vậy 2011 10 +8 chia hết cho 72 . Bài 10: Cho 2 96
A = 5 + 5 +...+ 5 . Tìm chữ số tận cùng của A. (Đề HSG 2017 - 2018) Lời giải: Ta có: 2 96
A = 5 + 5 +...+ 5 2 3 96 97
5A= 5 + 5 +... + 5 + 5 Do đó: 97
5A A = 5 − 5 97 5 − 5 Suy ra: A = 4 Ta có: 97
5 có chữ số tận cùng là 5 Suy ra 97
5 − 5 có chữ số tận cùng là 0
Vậy chữ số tận cùng của A là 0 .
Bài 11: Chứng minh rằng: 2002 10
+8 chia hết cho cả 9 và 2 . (Đề HSG Cao Lộc 2020 - 2021) Lời giải: a) Ta có: 2002 10 +8=10...000+8 (2002 số 0) 1
= 0...008 (2001 số 0) có 8 tận cùng nên chia hết cho 2 và tổng
các chữ số của nó là: 1+0+...+0+0+8=9 nên chia hết cho 9 Vậy 2002 10 +8 chia hết cho 9 và 2 . Bài 12: Cho 2 3 40
B = 2 + 2 + 2 +...+ 2 . Tìm chữ số tận cùng của B . (Đề HSG Lục Ngạn 2020 - 2021) Lời giải: Ta có: 2 3 40 B = 2 + 2 + 2 +...+ 2 2 3 4 41
2B = 2 + 2 + 2 + ...+ 2 Do đó: 41
2B B = 2 − 2 41 2 − 2 Suy ra: B = 1 Ta có: 41
2 có chữ số tận cùng là 2 . Trang 24 Suy ra: 41
2 − 2 có chữ số tận cùng là 0 .
Vậy chữ số tận cùng của B là 0 .
Bài 13: Tìm chữ số tận cùng của dãy phép tính sau: P =2001.2002.2003.2004+ 2005.2006.2007.2008.2009 .
(Đề HSG Cao Lộc năm 2020 2021) Lời giải:
Ta gọi 2001.2002.2003.2004 là vế A. Ta sẽ nhân chữ số tận cùng của các thừa số ở vế A lại với nhau ta
được: 1.2.3.4=24 nên vế A có chữ số tận cùng là 4 .
Gọi 2005.2006.2007.2008.2009 là vế B. Ta sẽ nhân chữ số tận cùng của các thừa số ở vế B lại với nhau ta được: 5.6.7.8.9 1
= 5120 nên vế B có chữ số tận cùng là 0 .
Vậy chữ số tận cùng của P =2001.2002.2003.2004+ 2005.2006.2007.2008.2009 là 4 + 0 = 4 .
Bài 14: Tìm một chữ số tận cùng của: n + 2 n + 2 =3 +2 +3n +2n A
(n ). (Đề HSG Kon Tum năm 2020 - 2021) Lời giải: Ta có: n 2 n 2 3 2 3n 2n A + + = + + + n 2 n 2
=3 .3 + 2 .2 +3n + 2n = 3n ( 2 3 + ) 1 + 2n ( 2 2 + ) 1 =3n .10+ 2n .5
Ta có: 3n .10 có chữ số tận cùng là 0 .
2n .5 có chữ số tận cùng là 0 .
Vậy A có chữ số tận cùng là 0
Bài 15: Tìm hai chữ số tận cùng của 100 2
. (Đề HSG năm 2016 - 2017) Lời giải: Ta có: 10 2 =1024 10 5 100 =( 10 ) 10 = =( 2 2 2 1024 1024 ) Mà 2
1024 có hai chữ số tận cùng là 76 Suy ra: ( )0 2 1024
có hai chữ số tận cùng là 76 Vậy 100 2
có hai chữ số tận cùng là 76 . Trang 25