Ôn thi HSG Toán 6: Phương pháp biến đổi tương đương để tìm thành phần chưa biết của lũy thừa

Ôn thi HSG Toán 6: Phương pháp biến đổi tương đương để tìm thành phần chưa biết của lũy thừa. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 25 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!

120 60 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 6

Môn: Toán 6

Thông tin:

25 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mỹ Duyên
Trang 1
ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 2-LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỂ TÌM THÀNH PHẦN
CHƯA BIẾT CỦA LŨY THỪA
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Lũy thừa bậc
n
của số
a
là tích của
n
thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng
a
. ...
n
a a a a=
( 0)n
.
a
gọi là cơ số,
n
gọi là số mũ.
Chú ý:
2
a
còn được gọi là
a
bình phương (hay bình phương của
a
).
3
a
còn được gọi là
a
lập phương (hay lập phương của
a
).
Quy ước:
1
=aa
2. Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số
3. Chia hai luỹ thừa cùng cơ số
:
m n m n
a a a
−
=
) 0, ( a m n
Quy ước
( )
0
10aa=
4. Luỹ thừa của luỹ thừa
( )
n
m m n
aa
=
5. Luỹ thừa một tích
( )
..
m
mm
a b a b=
6. Một số luỹ thừa của
10
:
- Một nghìn:
3
1 000 10=
- Một vạn:
4
10 000 10=
- Một triệu:
6
1 000 000 10=
- Một tỉ:
9
1 000 000 000 10=
Tổng quát: nếu
n
là số tự nhiên khác
0
thì:
10 1000 00
n
=
(có
n
chữ số
0
)
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa
I. Phương pháp giải
- Đưa hai luỹ thừa về cùng cơ số
- Sử dụng tính chất
Nếu
mn
aa=
thì
mn=
( )
*
; 1, ,a N a m n N
n thừa số
a
Trang 2
II. Bài toán
Bài 1: Tìm số tự nhiên
x
thoả mãn
a)
6 216
x
=
b)
2
3 81
x
=
c)
3 2 3 3
7 3.7 7 .4
x−
−=
d)
5 2 1
1
.3 .3 3
9
xx+
=
Lời giải:
a)
6 216
x
=
3
66
x
=
3x=
Vậy
3x =
b)
2
3 81
x
=
2 2 4
3 9 3
x
= =
24x=
2x=
Vậy
2x =
.
c)
3 2 3 3
7 3.7 7 .4
x−
−=
3 2 3
7 7 (3 4)
x−
= +
3 2 4
77
x−
=
2x=
Vậy
2x =
.
d)
5 2 1
1
.3 .3 3
9
xx+
=
3 2 1
3 .3 3
xx+
=
3 2 1
33
xx++
=
3 2 1xx + = +
2x=
Vậy
2x =
.
Bài 2: Tìm số tự nhiên
x
thoả mãn
a)
( )
2 2 4 8 6 2
5 3 2 6 :6 6
x−
− = − −
Trang 3
b)
( )
6 3 2 2005
3 16 19 : 19 .19 3.1 1
x
+ = − +
Lời giải:
a)
( )
2 2 4 8 6 2
5 3 2 6 :6 6
x−
− = − −
( )
2 2 2
5 9 16 6 6
x−
− = − −
2
5 9 16 0
x−
− = −
2
5 25
x−
=
2
5 25
x−
=
22x − =
4x=
Vậy
4x =
.
b)
( )
6 3 2 2005
3 16 19 : 19 .19 3.1 1
x
+ = − +
65
3 16 19 :19 3 1
x
+ = − +
3 16 19 3 1
x
+ = − +
3 16 17
x
+ =
31
x
=
0x=
Vậy
0x =
Bài 3: Tìm số tự nhiên
x
thoả mãn
a)
2
2
15 .15 1
xx
=
b)
2
2
5 .5 5
xx
=
c)
2
9 .81 729
xx
=
d)
2
7 12
11 11 .11
xx
=
Lời giải:
a)
2
2
15 .15 1
xx
=
2
20
15 15
xx+
=
Trang 4
2
20xx + =
( 2) 0xx + =
0
0
20
x
x
x
=
=
+=
Vậy
0x =
b)
2
2
5 .5 5
xx
=
2
12
55
xx+
=
2
12xx + =
2
2 1 0xx − + =
2
10x x x − − + =
( 1) ( 1) 0x x x − − − =
( 1)( 1) 0xx − − =
10x − =
1x=
Vậy
1x =
c)
2
9 .81 729
xx
=
2
23
9 .9 9
xx
=
2
23
99
xx+
=
2
23xx + =
2
2 3 0xx + − =
2
3 3 0x x x + − − =
( 3) ( 3) 0x x x + − + =
( 3)( 1) 0xx + − =
30
1
10
x
x
x
+=
=
−=
Vậy
1x =
Trang 5
d)
2
7 12
11 11 .11
xx
=
2
7 12
11 11
xx+
=
2
7 12xx = +
2
7 12 0xx − + =
2
4 3 12 0x x x − − + =
( 4) 3( 4) 0x x x − − − =
( 4)( 3) 0xx − − =
4 0 4
3 0 3
xx
xx
− = =



− = =

Vậy
4; 3xx==
Bài 4: Tìm số tự nhiên
x
thoả mãn
a)
1 2 3
2 2 2 2 480
x x x x+ + +
+ + + =
b)
1
5 5 2.2 8.2
x x x x+
− = +
c)
1
6 6 2 2.2 4.2
x x x x x+
+ = + +
d)
30
3 25 26.2 2.3
x
+ = +
Lời giải:
a)
1 2 3
2 2 2 2 480
x x x x+ + +
+ + + =
23
2 (1 2 2 2 ) 480
x
+ + + =
2 .15 480
x
=
5
22
x
=
5x=
Vậy
5x =
b)
1
5 5 2.2 8.2
x x x x+
− = +
5 (5 1) 2 (2 8)
xx
− = +
21
2 .5 2 .5
xx+
=
21
22
2 .5 2 .5
2 .5 2 .5
xx+
=
11
52
xx−−
=
Trang 6
1 0 1xx − = =
Vậy
1x =
c)
1
6 6 2 2.2 4.2
x x x x x+
+ = + +
7.6 7.2
xx
=
62
xx
=
0x=
Vậy
0x =
d)
30
3 25 26.2 2.3
x
+ = +
3 185
x
=
Vì
185
không viết được dưới dạng luỹ thừa của
3
nên không có sô tự nhiên
x
nào thoả mãn
Vậy không có giá trị nào của
x
thoả mãn
Bài 5: Tìm số tự nhiên x, biết
a)
1 2 3
3 3 3 3 1080
x x x x+ + +
+ + + =
b)
1 2 3 2
5 5 5 5 1 2 3... 87 88 4
x x x x+ + +
+ + + = + + + + −
Lời giải:
a)
1 2 3
3 3 3 3 1080
x x x x+ + +
+ + + =
3 (1 3 9 27) 1080
x
+ + + =
3 27 3
x
x = =
Vậy
3x =
là giá trị cần tìm.
b)
1 2 3 2
5 5 5 5 1 2 3... 87 88 4
x x x x+ + +
+ + + = + + + + −
( ) ( )
5 1 5 25 125 1 88 88:2 16
x
+ + + = + −
5 .156 3916 16
x
= −
5 .156 3900
x
=
5 25
x
=
2x=
Vậy
2x =
.
Bài 6: Tìm hai số tự nhiên
,mn
biết
2 2 2
m n m n+
+=
Lời giải:
2 2 2
m n m n+
+=
2 2 2 0
m n m n+
− − =
Trang 7
2 .2 2 2 1 1
m n m n
− − + =
2 (2 1) (2 1) 1
m n n
− − − =
(2 1)(2 1) 1
mn
− − =
Vì
21
m
và
21
n
nên
2 1 1 2 2 1
1
2 1 1 2 2
mm
nn
m
n

− = = =

=
− = =


Vậy
1mn==
Bài 7: Có bao nhiêu số tự nhiên
x
thoả mãn
3
16 16
xx
=
Lời giải:
3
16 16
xx
=
3
xx=
2
2
(1 ) 0
0
0
1
10
xx
x
x
x
x
− =
=
=

=
−=
Vậy có
2
số tự nhiên
x
thoả mãn là
0; 1xx==
Bài 8:
a) Cho
2 3 100
5 5 5 ... 5 .A= + + + +
Tìm số tự nhiên
n
biết
1
4 5 5
n
A
+
+=
b) Cho
2 3 99 100
2 2 2 .... 2 2B = + + + + +
. Tìm số tự nhiên n biết
21
22
n
B
+
−=
Lời giải:
a)Ta có
2 3 100
5 5 5 ... 5A= + + + +
2 3 100 101
5 5 5 ... 5 5A = + + + +
( ) ( )
2 3 100 101 2 3 100
5 5 5 ... 5 5 5 5 5 ... 5AA − = + + + + − + + + +
101
4 5 5A = −
101
4 5 5A + =
Theo đầu bài ta có:
1
4 5 5
n
A
+
+=
101 1
5 5 100.
n
n
+
= =
Vậy
100n =
.
b) Ta có :
Trang 8
2 3 99 100
2 2 2 .... 2 2B = + + + + +
2 3 99 100 101
2 2 2 .... 2 2 2B = + + + + +
101
2 2 2BB − = −
101
22B = −
Mà
21
22
n
B
+
−=
101 2 1
2 2 2 1 101 50
n
nn
+
= + = =
Vậy
50n =
Bài 9:
a) Cho
2 3 99
4 4 4 ... 4A = + + + +
. Tìm số tự nhiên
n
biết rằng
2
3 4 4
n
A
−
+=
.
b) Cho
3 5 99
4 4 4 ... 4B = + + + +
. Tìm số tự nhiên
n
biết rằng
21
15 4 4
n
B
+
=−
.
Lời giải
a)
2 3 99
4 4 4 ... 4A = + + + +
2 3 4 100
4 4 4 4 ... 4A = + + +
( ) ( )
2 3 4 100 2 3 99
4 4 4 4 ... 4 4 4 4 ... 4AA − = + + + − + + + +
100
3 4 4A = −
Có
2
3 4 4
n
A
−
+=
100 2
4 4 4 4
n−
− + =
100 2
44
n−
=
2 100
102
n
n
− =
=
Vậy
102n =
.
a)
3 5 99
4 4 4 ... 4B = + + + +
2 3 5 7 101
4 4 4 4 ... 4B = + + +
( ) ( )
3 5 7 101 3 5 99
16 4 4 4 ... 4 4 4 4 ... 4BB − = + + + − + + + +
101
15 4 4B = −
Có
21
15 4 4
n
B
+
=−
101 2 1
4 4 4 4
n+
− = −
101 2 1
44
n+
=
2 1 101
50
n
n
+ =
=
Vậy
50n =
.
Trang 9
Bài 10: Tìm số tự nhiên
x
biết:
2 1 2 2 1 2 3
7 7 7 5 5 5
57 131
x x x x x x+ + + +
+ + + +
=
Lời giải:
2 1 2 2 1 2 3
7 7 7 5 5 5
57 131
x x x x x x+ + + +
+ + + +
=
( ) ( )
2
7 49 7 1 5 1 5 125
57 131
xx
+ + + +
=
7 25 0
xx
x = = =
Vậy
0x =
Bài 11: Tìm số tự nhiên
n
biết:
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
5 5 5 5 5
4 4 4 4 6 6 6 6 6 6
.8
3 3 3 2 2
n
+ + + + + + + +
=
+ + +
Lời giải:
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
5 5 5 5 5
4 4 4 4 6 6 6 6 6 6
.8
3 3 3 2 2
n
+ + + + + + + +
=
+ + +
55
3
55
4.4 6 .6
.2
3.3 2.2
n
=
5
3
24 24
.2
66
n

=


53
4 .4 2
n
=
12 3
2 2 3 12 4
n
nn = = =
Vậy
4n =
Bài 12: Tìm hai số tự nhiên
,xy
thoả mãn
1
2 .3 12
x y x+
=
Lời giải:
1
2 .3 12
x y x+
=
12
2 .3 2 .3
x y x x+
=
21
2 :2 3 :3
x x y x+
=
1
23
x y x−−
=
10
0
x
yx
−=
−=
1xy = =
Vậy
1xy==
Bài 13: Tìm x biết:
Trang 10
a)
21
2 .3 .5 10800
x x x++
=
b)
31
4 .5 .6 192000
x x x++
=
Lời giải:
a)
21
2 .3 .5 10800
x x x++
=
2 1 4 3 2
2 .3 .5 2 .3 .5
x x x++
=
24
1 3 2
2
x
xx
x
+=
+ = =
=
Vậy
2x =
.
b)
31
4 .5 .6 192000
x x x++
=
3 1 4 3
4 .5 .6 4 .5 .6
x x x++
=
34
1
13
2
1
x
x
x
x
x
+=
=
+ =

=
=
Vậy không tìm được số tự nhiên
x
thoả mãn bài toán
Bài 14: Tìm
,x y N
biết
4 3124 5
xy
+=
Lời giải:
Nếu
0x =
thì
05
5 4 3124 3125 5 5
y
y= + = = =
Nếu
0x
thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với mọi
,x y N
( vô lý)
Vậy
0, 5xy==
Dạng 2: Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong lũy thừa.
I. Phương pháp giải
- Đưa về hai lũy thừa cùng số mũ
- Sử dụng tính chất
+) Ta có
( )
*
00
n
x n N x= =
+) Ta có
( )
*
,;
nn
x a a x N n N x a= =
II. Bài toán
Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết:
a)
( )
*
1
n
xn=
b)
( )
*
0
n
xn=
c)
( )
1
n
xn=
Lời giải:
Trang 11
a)
( )
*
11
n
x x n= =
b)
( )
*
00
n
x x n= =
c)
( )
1
n
xn=
Nếu
0n =
thì
0
1x =
*xN
Nếu
0n
thì
( )
1 1 *
n
x x n= =
.
Bài 2: Tìm số tự nhiên x, biết:
a)
2
16x =
b)
5
125x =
c)
0
2021x =
d)
2 3 2 3
2 3 4x = + +
e)
3
2
2.
48
3
x
=
Lời giải:
a) Ta có
2 2 2
16 4 4x x x= = =
b) Ta có
5 5 3
125 5 5x x x= = =
c) Ta có
0
2021 1x ==
d) Ta có
2 3 2 3 2
2 3 4 8 9 64 81 9 9xx= + + = + + = = =
e) Ta có
3
2
2.
48
3
x
=
3
2.
48
9
x
=
3
2. 48.9x =
3
2. 432x =
33
216 6x ==
6x =
Vậy
x6=
Bài 3: Tìm số tự nhiên x, biết:
a)
( )
3
3 27x −=
b)
( )
3
2 1 125x +=
Trang 12
c)
( )
2
288: 3 2x −=
d)
( )
4
1 3 256x+=
Lời giải:
a) Ta có
( )
3
3 27x −=
( )
3
3
33x −=
33x−=
6x =
Vậy
x6=
b) Ta có
( )
3
2 1 125x +=
( )
3
3
2 1 5x +=
2 1 5x +=
24x =
2x =
Vậy
x2=
c)Ta có
( )
2
288: 3 2x −=
( )
2
3 288:2x −=
( )
2
3 144x −=
( )
2
2
3 12x −=
3 12x −=
15x =
Vậy
x 15=
d) Ta có
( )
4
1 3 256x+=
( )
4
4
1 3 4x+=
1 3 4x+=
3 4 1x =−
Trang 13
33x =
1x =
Vậy
x1=
Bài 4: Tìm số tự nhiên x, biết:
a)
32
xx=
b)
( )
11
4
xx=
c)
( )
2
54
xx=
Lời giải:
a) Ta có
32
xx=
suy ra
32
0xx−=
( )
2
10xx − =
2
0
0
1
10
x
x
x
x
=
=

=
−=
Vậy
0x =
hoặc
1x =
.
b) Ta có
( )
11
4
xx=
suy ra
44
0xx−=
( )
43
10xx −=
43 43
00
0
1
1 0 1
xx
x
x
xx
==
=


=
− = =

Vậy
0x =
hoặc
1x =
.
c) Ta có
( )
2
54
xx=
suy ra
108
0xx−=
( )
107
10xx −=
107 107
00
0
1
1 0 1
xx
x
x
xx
==
=



=
− = =

Vậy
0x =
hoặc
1x =
.
Bài 5: Tìm số tự nhiên x, biết:
a)
( )
2
2. 2 1 50x −=
b)
( )
3
52
7 11 2 .5 200x − = +
Trang 14
c)
( )
3
720: 41 2 5 2 .5x

− − =

Lời giải:
a) Ta có
( )
2
2. 2 1 50x −=
( )
2
2 1 50: 2x −=
( )
2
2
2 1 25 5x − = =
2 1 5x − =
26x =
3x =
Vậy
3x =
b) Ta có:
( )
3
52
7 11 2 .5 200x − = +
33
(7 11) 1000 10x − = =
7 11 10x − =
7 21x =
3x =
Vậy
3x =
c) Ta có:
( )
3
720: 41 2 5 2 .5x

− − =

( )
720: 41 2 5 40x

− − =

( )
41 2 5 720: 40x

− − =

( )
41 2 5 18x

− − =

2 5 23x −=
2 28x =
14x =
Vậy
14x =
.
Bài 6: Tìm số tự nhiên x, biết:
a)
( ) ( )
68
22xx− = −
b)
( ) ( )
46
3 6 3 6xx− = −
Lời giải:
a) Ta có:
( ) ( )
68
22xx− = −
( ) ( )
68
2 2 0xx − − − =
( ) ( )
62
2 1 2 0xx

− − − =

6
2
2
20
( 2) 0 2 2
2 1 3
( 2) 1
1 ( 2) 0
x
x x x
xx
x
x
−=
− = = =


− = =
−=
− − =

Vậy
2x =
hoặc
3x =
.
b) Ta có:
( ) ( )
46
3 6 3 6xx− = −
( ) ( )
46
3 6 3 6 0xx − − − =
Trang 15
( ) ( )
42
3 6 1 3 6 0xx

− − − =

( )
( )
( )
( )
4
2
2
2
3 6 0
3 6 0
3 6 2
7
3 6 1 3 7
3 6 1
1 3 6 0
3
x
x
x
xx
xx
x loai
x
x
=
−=
−=
==



− = =
=
−=
− − =


Vậy
2x =
.
Bài 7: Tìm số tự nhiên x, biết:
( ) ( ) ( )
3
2 2 0
mm
x x m
+
− − − =
Lời giải:
Ta có:
( ) ( ) ( )
3
2 2 0
mm
x x m
+
− − − =
( ) ( )
3
2 1 2 0
m
xx

− − − =

( )
( )
( )
( )
( )
3
33
2 0 2 0
20
22
2 1 3
21
1 2 0 1 2 0
mm
xx
x
xx
xx
x
xx

− = − =
−=
==




− = =
−=
− − = − − =


Vậy
2x =
hoặc
3x =
.
Bài 8: Tìm số tự nhiên x, biết
( ) ( ) ( )
24
1 1 1
xx
xx
++
− = −
Lời giải:
Đặt
1 2 3; 4 5x y x y x y− = + = + + = +
Ta có
( )
1
trở thành
35yy
yy
++
=
32
( 1) 0
y
yy
+
−=
3
2
0 0 1
1;2
12
10
y
y y x
x
yx
y
+
= = =


==
−=

Vậy
1;2x
là giá trị cần tìm.
Bài 9: Tìm các số tự nhiên x và y biết rằng:
2
10 48
x
y+=
Lời giải:
Nếu
0x =
ta có
2 0 2
10 48 1 48 49 7 7yy= + = + = = =
.
Nếu
0x
ta có
10
x
có chữ số tận cùng là 0, do đó
10 48
x
+
có chữ số tận cùng là 8 mà
2
y
không thể có
chữ số tận cùng là 8.
Vậy
0, 7xy==
.
Bài 10: Tìm số tự nhiên x, biết:
a)
( )
5
1600: 41 2 5 40x

− − =

b)
( ) ( )( ) ( )
2 2 2 2
1 2 3 ... 100 15050x x x x+ + + + + + + =
Lời giải:
a) Ta có:
( )
5
1600: 41 2 5 40x

− − =

Trang 16
( )
5
41 2 5 1600:40x

− − =

( )
5
41 2 5 40x

− − =

( )
5
2 5 41 40x − = −
`
( )
5
2 5 1x −=
2 5 1x −=
26x =
3x =
Vậy
3x =
.
b) Ta có:
( ) ( )( ) ( )
2 2 2 2
1 2 3 ... 100 15050x x x x+ + + + + + + =
( )
2
.100 1 2 3 ... 100 15050x + + + + + =
( ) ( )
2
.100 1 100 100 1 :1 1 :2 15050x + + − + =


2
.100 101.50 15050x +=
2
.100 5050 15050x +=
2
.100 15050 5050x =−
2
.100 10000x =
22
100 10x ==
10x=
Vậy
10x =
.
Bài 11: Tìm số tự nhiên x, biết:
a)
( ) ( )
2 2021
3 3 3 3
1 2 3 4 . 1 1 2 3 4x+ + + − = + + +
b)
( )
3 5 5 2022 2022
125 .7 175 :5 :2021 x−=
Lời giải:
a) Ta có:
( ) ( )
2 2021
3 3 3 3
1 2 3 4 . 1 1 2 3 4x+ + + − = + + +
( )
2021
2
10 . 1 1 8 27 64x− = + + +
( )
2021
100. 1 100x−=
( )
2021
1 100:100x−=
( )
2021
11x−=
11x − =
2x =
Vậy
2x =
.
b) Ta có:
( )
3 5 5 2022 2022
125 .7 175 :5 :2021 x−=
( )
( )
3
5
3 5 2022 2022
5 .7 25.7 :5 :2021 x

−=


9 5 5 5 2022 2022
5 .7 25 .7 :5 :2021 x

−=

9 5 10 5 2022 2022
5 .7 5 .7 :5 :2021 x

−=

9 5 9 5 2022 2022
5 .7 5 .7 :2021 x

−=

2022 2022
0:2021 x=
2021
0x =
0x =
Vậy
0x =
.
Trang 17
Bài 12. Tìm
x
, biết:
( )
3
3
3
2 2 2
6 8 9.7 7.5 5.3 1x


− − − − − =




Lời giải:
Ta có:
( )
3
3
3
2 2 2
6 8 9.7 7.5 5.3 1x


− − − − − =




( )
3
3
3
2
36 64 63 35 15 1x

− − − − − =

3
3
23
36 1 35 15 1x

− − − − =

3
2
15 1x −=
2
15 1x − =
22
16 4x ==
4x =
.
Vậy
4x =
.
Bài 13. Tìm
x
, biết:
( ) ( )
22
3 1– 3 xx−=
Lời giải:
Ta có
( ) ( )
22
3 1– 3 – 3 1– 3x x x x− = =
44x =
1x =
Vậy
1x =
Bài 14. Tìm số tự nhiên
x
và
y
, biết:
( ) ( )
100 200
3 6 2 4 0xy− + −
Lời giải:
Ta có
( ) ( )
100 200
3 6 2 00, 4 , ,x y x y−−
( ) ( )
100 200
3 6 2 4 0, ,x y x y− +−
Mà
( ) ( )
100 200
3 6 2 4 0xy− + −
nên
( ) ( )
( )
( )
100
100 200
200
3
3 0 2
3
4
0
0
2 4 0
2 4 0 2
2
6
6
6
x
xx
xy
yy
y
−
− = =

− + − =

−=
=
=
−
=
Vậy
2xy==
.
Bài 15. Tìm số tự nhiên a và b, biết:
3 9 183
a
b+=
Lời giải:
Nếu
0a =
ta có
0
3 9 138b+=
1 9 183b+=
9 182b =
b
Trang 18
Nếu
1a =
ta có
1
3 9 138b+=
9 180b =
20b =
Nếu
2a
ta có
3
a
chia hết cho 9,
9b
chia hết cho 9
39
a
b+
chia hết cho 9 nhưng 183 không chia hết
cho 9.
3 9 183
a
b+=
Vô lý.
Vậy
1, 20 ab==
.
Bài 16. Tìm số tự nhiên a và b, biết:
2
10 168
a
b+=
Lời giải:
Nếu
0a =
ta có
20
10 168b =+
2
169b =
2
13b =
13b=
Nếu
0a
ta có
1
3 9 138b+=
9 180b =
20b =
Nếu
2a
ta có
3
a
chia hết cho 9,
9b
chia hết cho 9
39
a
b+
chia hết cho 9 nhưng 183 không chia hết
cho 9.
3 9 183
a
b+=
Vô lý.
Vậy
1, 20 ab==
.
Bài 17. Tổng bình phương của ba số tự nhiên là 2596. Biết rằng tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là
2
3
,
giữa số thứ hai và số thứ ba là
5
6
. Tìm ba số đó.
Lời giải:
Gọi a, b, c là ba số tự nhiên phải tìm, ta có:
2 5 2 6
;;
3 6 3 5
ab
a b c b
bc
= = = =
Có
2 2 2
2596abc+ + =
nên
2 2 2
4 36
5296
9 25
b b b+ + =
Hay
22
649
2596 900
225
bb= =
2 6 6
30, .30 20, .30 36
3 5 5
b a c b = = = = = =
Vậy ba số cần tìm lần lượt là 20, 30, 36.
Bài 18. Tìm số tự nhiên
x
và
y
, biết:
( ) ( )
22
2 2 – 3 4 xy− +
Ta có
( )
( )
( ) ( )
2
22
2
2
2 2 – 3 0
2 – 3
0,
0,
x x
xy
yy
−
−


+
Mà
( ) ( )
22
2 2 – 3 4 xy− +
( ) ( )
22
40 2 2 – 3 xy−+
mà
( )
2
2 – 3y
là số chẵn nên ta có các trường hợp:
Trang 19
Xét trường hợp 1.
( )
( )
2
2
0
2
22
– 3 0 3
2 – 3 0
0x
xx
yy
y
=
=



−
−=
==
=
Xét trường hợp 2.
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
– 3 1
2 – 3
1
2
1
3
4
x
y
x
x
y
y
=
=
=


=
=
−
=
−
Vậy
2, 3xy==
hoặc
3, 4xy==
.
PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG. ( Khoảng 15 bài )
Bài 1: ĐỀ THI HUYỆN HOA LƯ
Tìm x biết:
2
3 81
x
=
Lời giải:
2
3 81
x
=
24
33
x
=
24
2
x
x
=
=
Bài 2: ĐỀ THI HUYỆN PHÙ CÁT
Tìm số tự nhiên
x
, biết:
a)
3 5 2 2
(7x 11) 2 .5 2.10− = +
b)
1 2 2021 2026
2 2 2 ...... 2 2 16
x x x x+ + +
+ + + + = −
Lời giải:
a) Ta có
( )
3
5 2 2 2
7 2 .5 2.- 211 5 . x =+
( )
( )
3
3 2 2
7 2 .5 . 2 1-11x =+
( )
3
33
7 -11 2 .5x =
( )
3
3
-117 10x =
- 11 107x =
7 21x =
3x =
Vậy
3x =
1 2 2021 2026
)2 2 2 ...... 2 2 16
x x x x+ + +
+ + + + = −b
Đặt
1 2 2021
2 2 2 . .. ... 2
x x x x
A
+ + +
+ + += +
1 2 2022
2A 2 2 ...... 2
x x x+ + +
= + + +
2022
2A 2 2
xx
A
+
− = −
( )
2022 2022
2 2 2 2 1
x x x
A
+
= − = −
Từ (1):
Trang 20
( ) ( )
2022 4 2022
2 2 -1 2 2 -1
x
=
4
22
x
=
4x =
Vậy
4x =
Bài 3: ĐỀ THI HUYỆN TP NINH BÌNH
Tìm các số nguyên x biết:
( ) ( )
32
7 11 3 .15 208x − = − +
Lời giải:
( ) ( )
32
7 11 3 .15 208x − = − +
( )
3
7 11 9.15 208x − = +
( )
3
3
7 11 7x −=
7 11 7x −=
18
7
x =
Bài 4: ĐỀ THI HUYỆN TIÊN DU
Tìm số tự nhiên x biết:
1
2.3 5.3 153
xx+
+=
Lời giải:
1
2.3 5.3 153
xx+
+=
(2 15).3 153
x
+=
17.3 153
x
=
39
x
=
2x =
Vậy
2x =
Bài 5: ĐỀ THI HUYỆN CHƯ SÊ
Tìm
x
, biết:
2
200 1 1 1 1
2 2 . ...
19 1.2 2.3 3.4 19.20
xx+

+ = + + + +


Lời giải:
Ta có:
200 1 1 1 1 200 1
. ... 1 10
19 1.2 2.3 3.4 19.20 19 20
+ + + + = − =
2
2 2 10
xx+
+ =
( )
2 1 4 10
x
+ =
2 2 1
x
x = =
Bài 6: ĐỀ THI HƯNG HÀ
a) Tìm số tự nhiên x biết:
x x 1 x 2 1
15
5
1000..5 . 5 .5 :2.0
++
=
ch÷ sè 0
.
Trang 21
Lời giải:
x x 1 1
5
5
1
x2
1000...5 . 5 20.5 :
++
=
ch÷ sè 0
5
3x + 3
= 10
15
: 2
15
5
3x + 3
= 5
15
Suy ra: 3x + 3 = 15
3x = 12
x = 4
Vậy x = 4
Bài 7: ĐỀ THI HUYỆN CHƯƠNG MỸ
Tìm số nguyên x thỏa mãn:
2 3 2 2
5 7.5 12.5
x−
+=
Lời giải:
2 3 2 2
5 7.5 12.5
x−
+=
2 3 2 2
5 12.5 7.5
x−
=−
2 3 2
5 (12 7).5
x−
=−
2 3 3
55
x−
=
2 3 3x −=
23x =
3x =
Vậy
3x =
Bài 8: ĐỀ THI HUYỆN KIẾN XƯƠNG
Tìm x biết:
( )
2
2
26 3. 2 3 7x− − = −
Lời giải:
( )
2
2
26 3. 2 3 7x− − = −
( )
2
26 3. 2 3 49x− − = −
( )
2
3. 2 3 75x −=
( )
2
2 3 25x −=
2 3 5x − =
hoặc
2 3 5x − = −
4x=
hoặc
1x =−
Vậy
4x =
hoặc
1x =−
Bài 9: ĐỀ THI KỲ ANH
Trang 22
Tìm 𝑥 biết:
( )
3
32
3 7 2 .3 53x − = +
Lời giải:
( )
3
32
3 7 2 .3 53x − = +
( )
3
3 7 8.9 53x − = +
( )
3
3 7 125x −=
( )
3
3
3 7 5x −=
3 7 5x−=
3 12x =
12:3x=
4x=
Bài 10: ĐỀ THI HUYỆN THANH TRÌ
Tìm số tự nhiên
x
, biết:
a)
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 ... 20 420+ + + + + + + + + =x x x x x
.
b)
1 2 3 2020 2023
2 2 2 2 ... 2 2 4
+ + + +
+ + + + + = −
x x x x x
.
Lời giải
a)
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 ... 20 420+ + + + + + + + + =x x x x x
1 2 3 ... 20 420+ + + + + + + + + =x x x x x
( ) ( )
... 1 2 3 ... 20 420+ + + + + + + + =x x x
21.20
21 420
2
+=x
21 210 420+=x
21 420 210=−x
21 210=x
10=x
Vậy
10=x
.
b)
1 2 3 2020 2023
2 2 2 2 ... 2 2 4
+ + + +
+ + + + + = −
x x x x x
.
( ) ( )
2 3 2020 2 2021
2 1 2 2 2 ... 2 2 2 1+ + + + + = −
x
(1)
Đặt
2 3 2020 2 3 4 2021
1 2 2 2 ... 2 2 2 2 2 2 ... 2= + + + + + = + + + + +AA
2021 2021
2 2 1 2 1 − = − = −A A A
Từ (1)
( ) ( )
2021 2 2021
2 2 1 2 2 1 − = −
x
2
2 2 2 = =
x
x
Trang 23
Vậy
2=x
.
Bài 11: ĐỀ THI YÊN ĐỊNH
Tìm
x
biết
11
2 2 2 112
x x x−+
+ + =
Lời giải
Ta có:
11
2 2 2 112
x x x−+
+ + =
1 1 1 2
2 2 .2 2 .2 112
x x x− − −
+ + =
( )
12
2 . 1 2 2 112
x−
+ + =
1
2 .7 112
x−
=
1
2 112:7
x−
=
1
2 16
x−
=
14
22
x−
=
14x −=
5x =
Bài 12: ĐỀ THI THANH BA
Cho
x
,
y
là các số tự nhiên thỏa mãn các hệ thức
( )
5
2 243x −=
;
4
2 2 272
yy+
+=
. Khẳng định nào sau
đây là đúng?
A.
9xy+=
. B.
1xy− = −
. C.
22
40xy+=
. D.
22
9xy− = −
.
Lời giải
Ta có
( )
5
5
2 243 3x − = =
23x −=
5x =
Ta có
4
2 2 272
yy+
+=
( )
4
2 1 2 272
y
+=
2 .17 272
y
=
2 272:17 16
y
==
4
2 16 2
y
==
4y =
Vậy
9xy+=
Bài 13. ĐỀ THI THỊ XÃ HOÀI NHƠN
Cho
1 2 3 2019
3 3 3 ... 3A= + + + +
. Tìm
x
để
2 3 3
x
A+=
Lời giải
1 2 3 2019
3 3 3 ... 3A= + + + +
Trang 24
2 3 2020
3 3 3 ... 3A= + + +
( ) ( )
2 3 2020 1 2 3 2019
3 3 3 ... 3 3 3 3 ... 3AA − = + + + − + + + +
2020
2 3 3A = −
2020
2 3 3A + =
Mà
2 3 3
x
A+=
2020x=
Vậy
2020x =
thì
2 3 3
x
A+=
Bài 14. ĐỀ THI KIẾN XƯƠNG
Tìm x biết:
2
1 1 1 1 16
... . 2
4.7 7.10 10.13 73.76 19
x

+ + + + =


Lời giải
2
1 1 1 1 16
... . 2
4.7 7.10 10.13 73.76 19
x

+ + + + =


2
1 1 1 1 1 1 16
... . 2
3 4 7 7 73 76 19
x

− + − + − =


2
3 16
.2
38 19
x =
2
36x =
6x =
Vậy
6x =
Bài 14. ĐỀ THI HUYỆN ĐÔNG HƯNG
Tìm x biết:
a)
2
(2 1) 25x −=
b)
( )
3 5 1 2 70
x
− − =
Lời giải
a)
2
(2 1) 25x −=
Ta có:
2 2 2
25 5 (2 1) 5 x= − =
hoặc
( )
2
5−
Trường hợp 1:
2 1 5x − = −
2 4 2xx = − = −
Trang 25
Trường hợp 2:
2 1 5x −=
2 5 1 3xx = + =
Vậy
3x =
hoặc
2x =−
b,
( )
3 5 1 2 70
x
− − =
( )
3. 5 1 2 70
x
− − =
( )
3. 5 1 72
x
−=
5 1 24
x
−=
5 25
x
=
2x =
Vậy
2x =
Bài 15. ĐỀ THI HUYỆN HƯNG HÀ
Tìm số tự nhiên
x
biết:
1 2 2017 2020
2 2 2 ... 2 2 4
x x x x+ + +
+ + + + = −
.
Lời giải
Tìm số tự nhiên
x
biết:
1 2 2017 2020
2 2 2 ... 2 2 4
x x x x+ + +
+ + + + = −
.
1 2 2017 2020
2 2 2 ... 2 2 4
x x x x+ + +
+ + + + = −
( )
2 2017 2020
2 . 1 2 2 ... 2 2 4
x
+ + + + = −
( )
2018 2020
2 . 2 1 2 4
x
− = −
2020
2018
24
2
21
x
−
=
−
( )
2 2018
2018
2 2 1
2
21
x
−
=
−
2
22
x
=
Vậy
2x =
.
| 1/25
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 2-LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỂ TÌM THÀNH PHẦN
CHƯA BIẾT CỦA LŨY THỪA
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Lũy thừa bậc n của số a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a n a = . a .
a ..a ( n  0) . a gọi là cơ số, n gọi là số mũ. n thừa số a Chú ý: 2
a còn được gọi là a bình phương (hay bình phương của a ). 3
a còn được gọi là a lập phương (hay lập phương của a ). Quy ước: 1 a = a
2. Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số m. n m n a a a + =
3. Chia hai luỹ thừa cùng cơ số m : n m n a a a − =
( a  0, m  ) n Quy ước 0 a = 1 (a  0)
4. Luỹ thừa của luỹ thừa ( )n m m n a a  = m
5. Luỹ thừa một tích ( . ) m = . m a b a b
6. Một số luỹ thừa của 10 : - Một nghìn: 3 1 000 = 10 - Một vạn: 4 10 000 = 10 - Một triệu: 6 1 000 000 = 10 - Một tỉ: 9 1 000 000 000 = 10
Tổng quát: nếu n là số tự nhiên khác 0 thì: 10n = 1000 0
 0 (có n chữ số 0 )
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa
I. Phương pháp giải
- Đưa hai luỹ thừa về cùng cơ số - Sử dụng tính chất Nếu m n
a = a thì m = n ( *
a N ; a  1, , m n N ) Trang 1 II. Bài toán
Bài 1: Tìm số tự nhiên x thoả mãn a) 6x = 216 2x b) 3 = 81 c) 3x−2 3 3 7 −3.7 = 7 .4 1 + d) 5 x 2 x 1 .3 .3 = 3 9 Lời giải: a) 6x = 216 x 3  6 = 6  x = 3 Vậy x = 3 b) 2 3 x = 81 2x 2 4  3 = 9 = 3  2x = 4  x = 2 Vậy x = 2 . c) 3x−2 3 3 7 −3.7 = 7 .4 3x−2 3  7 = 7 (3+ 4) 3x−2 4  7 = 7  x = 2 Vậy x = 2 . 1 + d) 5 x 2 x 1 .3 .3 = 3 9 3 x 2x 1 3 .3 3 +  = x 3 + 2x 1 3 3 +  =
x + 3 = 2x +1  x = 2 Vậy x = 2 .
Bài 2: Tìm số tự nhiên x thoả mãn a) x−2 2 4 − = − ( 8 6 2 5 3 2 6 : 6 − 6 ) Trang 2 b) x 6 + = ( 3 2) 2005 3 16 19 : 19 .19 − 3.1 +1 Lời giải: a) x−2 2 4 − = − ( 8 6 2 5 3 2 6 : 6 − 6 ) x−2  − = − ( 2 2 5 9 16 6 − 6 ) x−2 5 −9 =16−0 x−2  5 = 25 x−2  5 = 25  x − 2 = 2  x = 4 Vậy x = 4 . b) x 6 + = ( 3 2) 2005 3 16 19 : 19 .19 − 3.1 +1 x 6 5 3 +16 =19 :19 −3+1 3x  +16 =19−3+1 3x  +16 =17 3x  =1  x = 0 Vậy x = 0
Bài 3: Tìm số tự nhiên x thoả mãn 2 a) x 2 15 .15 x = 1 2 b) x 2 5 .5 5 x = 2
c) 9x .81x = 729 2 d) 7 x x 12 11 =11 .11 Lời giải: 2 a) x 2 15 .15 x = 1 2 x +2 x 0  15 =15 Trang 3 2  x + 2x = 0  ( x x + 2) = 0 x = 0   x = 0  x + 2 = 0 Vậy x = 0 2 b) x 2 5 .5 5 x = 2 x 1 + 2  5 = 5 x 2  x +1= 2x 2
x −2x +1= 0 2
x − x − x +1= 0  (
x x −1) − (x −1) = 0
 (x −1)(x −1) = 0  x −1 = 0  x =1 Vậy x = 1 2
c) 9x .81x = 729 2 x 2 x 3  9 .9 = 9 2 x +2 x 3  9 = 9 2  x + 2x = 3 2
x + 2x −3 = 0 2
x +3x − x −3 = 0  (
x x + 3) − (x + 3) = 0
 (x +3)(x −1) = 0 x + 3 = 0   x = 1  x −1 = 0 Vậy x = 1 Trang 4 2 d) 7 x x 12 11 =11 .11 2 7 x x 1 + 2 11 =11 2  7x = x +12 2
x −7x +12 = 0 2
x −4x −3x +12 = 0  (
x x − 4) −3(x − 4) = 0
 (x −4)(x −3) = 0 x − 4 = 0 x = 4     x − 3 = 0 x = 3
Vậy x = 4; x = 3
Bài 4: Tìm số tự nhiên x thoả mãn + + + a) x x 1 x 2 x 3 2 + 2 + 2 + 2 = 480 x 1 + x x x b) 5 −5 = 2.2 +8.2 x x 1 + x x x c) 6 + 6 = 2 2 + .2 + 4.2 x 3 0 d) 3 + 25 = 26.2 + 2.3 Lời giải: + + + a) x x 1 x 2 x 3 2 + 2 + 2 + 2 = 480 x 2 3  2 (1+ 2 + 2 + 2 ) = 480 2 . x  15 = 480 x 5  2 = 2  x = 5 Vậy x = 5 + b) x 1 5
−5x = 2.2x +8.2x 5x (5 1) 2x  − = (2 + 8) 2 x x 1 2 .5 2 +  = .5 2 x x 1 2 .5 2 + .5  = 2 2 2 .5 2 .5 x 1 − x 1 5 2 −  = Trang 5
x −1= 0  x =1 Vậy x = 1 + c) x x 1 6 + 6 = 2x 2 + .2x + 4.2x 7.6x 7.2x  = 6x 2x  =  x = 0 Vậy x = 0 d) x 3 0 3 + 25 = 26.2 + 2.3 3x  =185
Vì 185 không viết được dưới dạng luỹ thừa của 3 nên không có sô tự nhiên x nào thoả mãn
Vậy không có giá trị nào của x thoả mãn
Bài 5: Tìm số tự nhiên x, biết x x 1 + x+2 x 3 + + + + = a) 3 3 3 3 1080 x x 1 + x+2 x 3 + 2 b) 5 + 5
+5 +5 =1+ 2+3...+87+88−4 Lời giải: + + + a) x x 1 x 2 x 3 3 + 3 +3 +3 =1080 3x  (1+ 3+ 9 + 27) =1080
3x = 27  x = 3
Vậy x = 3 là giá trị cần tìm. x x 1 + x+2 x 3 + 2 b) 5 + 5
+5 +5 =1+ 2+3...+87+88−4 5x
 (1+5+ 25+125) = (1+88)88:2−16 5 . x  156 = 3916−16 5 . x  156 = 3900 5x  = 25  x = 2 Vậy x = 2 .
Bài 6: Tìm hai số tự nhiên ,
m n biết 2m + 2n = 2m+n Lời giải:
2m + 2n = 2m+n
 2m+n −2m −2n = 0 Trang 6 2 .
m 2n 2m 2n  − − +1=1
2m (2n 1) (2n  − − −1) =1 (2m 1)(2n  − −1) =1 m m  − =  =  = m n 2 1 1 2 2 m 1
Vì 2  1 và 2  1 nên       2n −1 =1 2n = 2 n = 1 Vậy m = n = 1 3
Bài 7: Có bao nhiêu số tự nhiên x thoả mãn 16x 16x = Lời giải: 3 16x 16x = 3
x = x 2
x(1− x ) = 0 x = 0
x = 0     2 1  − x = 0 x =1
Vậy có 2 số tự nhiên x thoả mãn là x = 0; x =1 Bài 8: a) Cho 2 3 100
A = 5 + 5 + 5 +...+ 5 . Tìm số tự nhiên n biết 1 4 5 5n A + + = 2 3 99 100 2n 1 +
b) Cho B = 2 + 2 + 2 +....+ 2 + 2
. Tìm số tự nhiên n biết 2 − 2 = B Lời giải: a)Ta có 2 3 100 A = 5+ 5 + 5 +...+ 5 2 3 100 101 5A = 5 +5 +...+5 +5
A − A = ( 2 3 100 101 + + + + )−( 2 3 100 5 5 5 ... 5 5 5 + 5 + 5 + ... + 5 ) 101  4A = 5 −5 101  4A+5 = 5 Theo đầu bài ta có: 1 4 5 5n A + + = 101 n 1 5 5 +  =  n =100. Vậy n = 100 . b) Ta có : Trang 7 2 3 99 100
B = 2 + 2 + 2 +....+ 2 + 2 2 3 99 100 101
 2B = 2 + 2 +....+ 2 + 2 + 2 101
 2B − B = 2 −2 101  B = 2 −2 Mà 2n 1 2 + − 2 = B 101 2n 1 2 2 +  =
 2n+1=101 n = 50 Vậy n = 50 Bài 9: a) Cho 2 3 99
A = 4 + 4 + 4 + ... + 4 . Tìm số tự nhiên n biết rằng 2 3 4 4n A − + = . b) Cho 3 5 99
B = 4 + 4 + 4 +...+ 4 . Tìm số tự nhiên n biết rằng 2n 1 15B 4 + = − 4. Lời giải a) 2 3 99
A = 4 + 4 + 4 + ... + 4 2 3 4 100
 4A = 4 + 4 + 4 ...+ 4
A − A = ( 2 3 4 100 + + + )−( 2 3 99 4 4 4 4 ... 4 4 + 4 + 4 + ... + 4 ) 100  3A = 4 − 4 Có 2 3 4 4n A − + = 100 2 4 4 4 4n−  − + = 100 2 4 4n−  =  n − 2 = 100  n = 102 Vậy n = 102 . a) 3 5 99
B = 4 + 4 + 4 +...+ 4 2 3 5 7 101
 4 B = 4 + 4 + 4 ...+ 4
B − B = ( 3 5 7 101 + + + )−( 3 5 99 16 4 4 4 ... 4 4 + 4 + 4 + ... + 4 ) 101 15B = 4 −4 Có 2n 1 15B 4 + = − 4 101 2n 1 4 4 4 +  − = − 4 101 2 1 4 4 n+  =  2n +1 = 101  n = 50 Vậy n = 50 . Trang 8 x+2 x 1 + x 2 x 2 x 1 + 2 x+3 7 + 7 + 7 5 + 5 + 5
Bài 10: Tìm số tự nhiên x biết: = 57 131 Lời giải: x+2 x 1 + x 2 x 2 x 1 + 2 x+3 7 + 7 + 7 5 + 5 + 5 = 57 131 x ( ) 2 7 49 7 1 5 x + + (1+5+125)  = 57 131
 7x = 25x = x = 0 Vậy x = 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 + 4 + 4 + 4 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6
Bài 11: Tìm số tự nhiên n biết: . = 8n 5 5 5 5 5 3 + 3 + 3 2 + 2 Lời giải: 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 + 4 + 4 + 4 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 . = 8n 5 5 5 5 5 3 + 3 + 3 2 + 2 5 5 4.4 6 .6 3 . 2 n  = 5 5 3.3 2.2 5  24  24 3  . = 2 n    6  6 5 3 4 .4 2 n  = 12 3
 2 = 2 n  3n =12  n = 4
Vậy n = 4 +
Bài 12: Tìm hai số tự nhiên ,
x y thoả mãn x 1 2 .3y =12x Lời giải: x 1
2 + .3y =12x x 1 + y 2
 2 .3 = 2 .x3x 2x x 1 2 : 2 +  = 3y :3x x 1
 2 − = 3y−xx −1 = 0   y − x = 0  x = y =1
Vậy x = y =1
Bài 13: Tìm x biết: Trang 9 + + a) x 2 x 1 2 .3 .5x =10800 x 3 + x 1 + x b) 4 .5 .6 =192000 Lời giải: x+2 x 1 + x a) 2 .3 .5 =10800 x+2 x 1 + x 4 3 2  2 .3 .5 = 2 .3 .5 x + 2 = 4 
 x +1= 3  x = 2 x = 2  Vậy x = 2 . + + b) x 3 x 1 x 4 .5 .6 =192000 x 3 + x 1 + x 4 3  4 .5 .6 = 4 .5 .6 x + 3 = 4  x =1  x +1= 3    x = 2 x = 1 
Vậy không tìm được số tự nhiên x thoả mãn bài toán Bài 14: Tìm ,
x y N biết 4x 3124 5y + = Lời giải:
Nếu x = 0 thì y 0 5
5 = 4 + 3124 = 3125 = 5  y = 5
Nếu x  0 thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với mọi ,
x y N ( vô lý)
Vậy x = 0, y = 5
Dạng 2: Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong lũy thừa.
I. Phương pháp giải
- Đưa về hai lũy thừa cùng số mũ - Sử dụng tính chất +) Ta có n x = ( *
0 n N )  x = 0 +) Ta có n n x = a ( *
a, x N; n N )  x = a II. Bài toán
Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết: a) n x = ( * 1 n  ) b) n x = ( * 0 n  ) c) n x = 1 (n ) Lời giải: Trang 10 a) n x =  x = ( * 1 1 n  ) b) n x =  x = ( * 0 0 n  ) c) n x = 1 (n ) Nếu n = 0 thì 0
x = 1  x N *
Nếu n  0 thì n x = 1  x = ( 1 n  ) * .
Bài 2: Tìm số tự nhiên x, biết: a) 2 x = 16 b) 5 x =125 c) 0 x = 2021 3 2.x d) 2 3 2 3 x = 2 + 3 + 4 e) = 48 2 3 Lời giải: a) Ta có 2 2 2
x =16  x = 4  x = 4 b) Ta có 5 5 3
x =125  x = 5  x = 5 c) Ta có 0 x = 2021 =1 d) Ta có 2 3 2 3 2
x = 2 + 3 + 4 = 8 + 9 + 64 = 81 = 9  x = 9 3 2.x e) Ta có = 48 2 3 3 2.x = 48 9 3 2.x = 48.9 3 2.x = 432 3 3 x = 216 = 6 x = 6 Vậy x = 6
Bài 3: Tìm số tự nhiên x, biết: a) ( x − )3 3 = 27 b) ( x + )3 2 1 =125 Trang 11 c) (x − )2 288 : 3 = 2 d) ( + x)4 1 3 = 256 Lời giải: a) Ta có ( x − )3 3 = 27 (x − )3 3 3 = 3 x − 3 = 3 x = 6 Vậy x = 6 b) Ta có ( x + )3 2 1 =125 ( x + )3 3 2 1 = 5 2x +1 = 5 2x = 4 x = 2 Vậy x = 2 c)Ta có (x − )2 288 : 3 = 2 (x − )2 3 = 288 : 2 (x − )2 3 = 144 (x − )2 2 3 =12 x − 3 = 12 x = 15 Vậy x = 15 d) Ta có ( + x)4 1 3 = 256 ( + x)4 4 1 3 = 4 1+ 3x = 4 3x = 4 −1 Trang 12 3x = 3 x =1 Vậy x =1
Bài 4: Tìm số tự nhiên x, biết: a) 3 2 x = x ( )11 4 x = x b) ( )2 54 x = x c) Lời giải: a) Ta có 3 2 x = x suy ra 3 2 x − x = 0 2  x (x − ) 1 = 0 2 x = 0 x = 0     x −1 = 0 x =1
Vậy x = 0 hoặc x =1. b) Ta có ( )11 4 x = x suy ra 44 x − x = 0 x ( 43 x − ) 1 = 0 x = 0 x = 0 x = 0       43 43 x −1 = 0 x =1 x =1
Vậy x = 0 hoặc x = 1 . c) Ta có ( )2 54 x = x suy ra 108 x − x = 0 x ( 107 x − ) 1 = 0 x = 0
x = 0 x = 0      107 107 x −1 = 0 x =1x =1
Vậy x = 0 hoặc x = 1 .
Bài 5: Tìm số tự nhiên x, biết: a) ( x − )2 2. 2 1 = 50 b) ( x − )3 5 2 7 11 = 2 .5 + 200 Trang 13 c)  −  ( x − ) 3 720 : 41 2 5  = 2 .5  Lời giải: a) Ta có ( x − )2 2. 2 1 = 50 ( x − )2 2 1 = 50 : 2 ( x − )2 2 2 1 = 25 = 5  2x −1= 5 2x = 6 x = 3 Vậy x = 3 b) Ta có: ( x − )3 5 2 7 11 = 2 .5 + 200 3 3 = = (7x −11) 1000 10  7x −11=10 7x = 21 x = 3 Vậy x = 3 c) Ta có:  −  ( x − ) 3 720 : 41 2 5  = 2 .5  720 : 41−  (2x −5) = 40  41−  (2x −5) = 720:40  41−  (2x −5) =18  2x − 5 = 23 2x = 28 x = 14 Vậy x =14 .
Bài 6: Tìm số tự nhiên x, biết: 6 8
a) ( x − 2) = ( x − 2) 4 6
b) (3x − 6) = (3x − 6) Lời giải: 6 8
a) Ta có: ( x − 2) = ( x − 2) 6 8
 (x − 2) −(x − 2) = 0 6 2 (x − 2) 1
 − (x − 2)  = 0   6 (x − 2) = 0 x − 2 = 0 x = 2 x = 2         2 2 1  − (x − 2) = 0 (x − 2) = 1 x − 2 = 1 x = 3
Vậy x = 2 hoặc x = 3. 4 6
b) Ta có: (3x − 6) = (3x − 6)
 ( x − )4 −( x − )6 3 6 3 6 = 0 Trang 14
( x − )4  −( x − )2 3 6 1 3 6  = 0   ( − =  = x )4 x 2 3 6 0 3x − 6 = 0 3x = 6 x = 2            1  −(3x −6) 7 2  = 0 (3x − 6)2 =1 3x − 6 =1 3x = 7 x = (loai)    3 Vậy x = 2 . m m+3
Bài 7: Tìm số tự nhiên x, biết: ( x − 2) − ( x − 2) = 0 (m ) Lời giải: m m+3
Ta có: ( x − 2) − ( x − 2) = 0 (m ) ( − )m x  − (x − )3 2 1 2  = 0   ( m m x − 2) = 0 (x − 2) = 0 x − 2 = 0 x = 2 x = 2            1
 −(x − 2)3 = 0  1
 −(x − 2)3 = 0 (x − 2)3 =1 x − 2 =1 x = 3    
Vậy x = 2 hoặc x = 3. x+2 x+4
Bài 8: Tìm số tự nhiên x, biết ( x − ) 1 = (x − ) 1 ( ) 1 Lời giải:
Đặt x −1= y x + 2 = y +3; x + 4 = y +5 + + Ta có ( ) 1 trở thành y 3 y 5 y = y y+3 2 y ( y −1) = 0 y+3  y = 0  y = 0 x = 1      x    1;  2 2 y −1 = 0  y = 1 x = 2 Vậy x 1;  2 là giá trị cần tìm.
Bài 9: Tìm các số tự nhiên x và y biết rằng: x 2 10 + 48 = y Lời giải:
Nếu x = 0 ta có 2 0 2
y = 10 + 48 = 1+ 48 = 49 = 7  y = 7 .
Nếu x  0 ta có 10x có chữ số tận cùng là 0, do đó 10x + 48 có chữ số tận cùng là 8 mà 2 y không thể có chữ số tận cùng là 8.
Vậy x = 0, y = 7.
Bài 10: Tìm số tự nhiên x, biết: a)  − ( x − )5 1600 : 41 2 5  = 40   b) ( 2 x + ) + ( 2 x + )( 2 x + ) + + ( 2 1 2 3 ... x +100) = 15050 Lời giải: a) Ta có:  − ( x − )5 1600 : 41 2 5  = 40   Trang 15  − ( x − )5 41 2 5  = 1600 : 40    − ( x − )5 41 2 5  = 40   ( x − )5 2 5 = 41− 40 ` ( x − )5 2 5 = 1 2x − 5 = 1 2x = 6 x = 3 Vậy x = 3. b) Ta có: ( 2 x + ) + ( 2 x + )( 2 x + ) + + ( 2 1 2 3 ... x +100) = 15050 2
x .100 + (1+ 2 + 3+...+100) =15050 2
x .100 + (1+100) (100 − ) 1 :1+1 : 2 = 15050  2 x .100 +101.50 =15050 2 x .100 + 5050 =15050 2 x .100 =15050 −5050 2 x .100 =10000 2 2 x =100 =10  x =10 Vậy x = 10 .
Bài 11: Tìm số tự nhiên x, biết: 2 2021 a) ( + + + ) ( − x) 3 3 3 3 1 2 3 4 . 1 =1 + 2 + 3 + 4 b) ( 3 5 5 − ) 2022 2022 125 .7 175 : 5 : 2021 = x Lời giải: 2 2021
a) Ta có: ( + + + ) ( − x) 3 3 3 3 1 2 3 4 . 1 =1 + 2 + 3 + 4 ( − x)2021 2 10 . 1 =1+ 8 + 27 + 64 ( − x)2021 100. 1 =100 ( − x)2021 1 =100 :100 ( − x)2021 1 =1 1− x =1 x = 2 Vậy x = 2 . b) Ta có: ( 3 5 5 − ) 2022 2022 125 .7 175 : 5 : 2021 = x 3 5   ( 3) 5 −( ) 2022 2022 5 .7 25.7 : 5 : 2021 = x   9 5 5 5 2022 2022 5 .7 − 25 .7 :5 : 2021 = x   9 5 10 5 2022 2022 5 .7 − 5 .7 :5 : 2021 = x   9 5 9 5 2022 2022 5 .7 − 5 .7  : 2021 = x   2022 2022 0 : 2021 = x 2021 x = 0 x = 0 Vậy x = 0 . Trang 16    
Bài 12. Tìm x  , biết: x − − ( − ) 3 3 3 2 2 2 6 8 9.7 − 7.5 − 5.3 =1     Lời giải:     Ta có: x − − ( − ) 3 3 3 2 2 2 6 8 9.7 − 7.5 − 5.3 =1    
x − −( − ) −  −   3 3 3 2 36 64 63 35 15 =1
x − − −  −   3 3 2 3 36 1 35 15 =1 x − 3 2 15 =1 2  x −15 =1 2 2 x =16 = 4 x = 4 . Vậy x = 4 . 2 2
Bài 13. Tìm x
, biết: ( x − 3) = (1– 3x) Lời giải: 2 2
Ta có ( x − 3) = (1 – 3x)  x – 3 = 1 – 3x 4x = 4 x = 1 Vậy x = 1 100 200
Bài 14. Tìm số tự nhiên x và y , biết: (3x − 6) + (2y − 4)  0 Lời giải: 100 200 Ta có (3x − 6)
 0, (2y − 4)  0, x  , y
 ( x − )100 +( y − )200 3 6 2 4  0,  , x y 100 200 Mà (3x − 6) + (2y − 4)  0 (3x −6)100 = 0  − =  = 100 200 3x 6 0 x 2 nên (3x − 6)
+ (2y − 4) = 0     (   y − 4)200 = 0 2y − 4 = 0  y = 2 2
Vậy x = y = 2 .
Bài 15. Tìm số tự nhiên a và b, biết: 3a + 9b =183 Lời giải: Nếu a = 0 ta có 0 3 + 9b =138 1+ 9b = 183 9b = 182  b Trang 17 Nếu a = 1ta có 1 3 + 9b =138 9b = 180 b = 20
Nếu a  2 ta có 3a chia hết cho 9, 9b chia hết cho 9  3a + 9b chia hết cho 9 nhưng 183 không chia hết
cho 9. 3a + 9b =183 Vô lý.
Vậy a =1, b = 20 .
Bài 16. Tìm số tự nhiên a và b, biết: a 2 10 +168 = b Lời giải: Nếu a = 0 ta có 2 0 b =10 +168 2 b =169 2 b =13  b =13 Nếu a  0 ta có 1 3 + 9b =138 9b = 180 b = 20
Nếu a  2 ta có 3a chia hết cho 9, 9b chia hết cho 9  3a + 9b chia hết cho 9 nhưng 183 không chia hết
cho 9. 3a + 9b =183 Vô lý.
Vậy a =1, b = 20 . 2
Bài 17. Tổng bình phương của ba số tự nhiên là 2596. Biết rằng tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là , 3 5
giữa số thứ hai và số thứ ba là . Tìm ba số đó. 6 Lời giải: a 2 b 5 2 6
Gọi a, b, c là ba số tự nhiên phải tìm, ta có: = ; =  a = ; b c = b b 3 c 6 3 5 4 36 Có 2 2 2
a + b + c = 2596 nên 2 2 2 b + b + b = 5296 9 25 649 Hay 2 2
b = 2596  b = 900 225 2 6 6
b = 30, a = .30 = 20, c = b = .30 = 36 3 5 5
Vậy ba số cần tìm lần lượt là 20, 30, 36. 2 2
Bài 18. Tìm số tự nhiên x và y , biết: ( x − 2) + 2( y – 3)  4 (
x − 2)2  0, x   2 2 Ta có 
 (x − 2) + 2( y – 3)  0 2
 ( y – 3)2  0, y  2 2
Mà ( x − 2) + 2( y – 3)  4
0  ( x − 2)2 + 2( y – 3)2  4 mà ( y )2 2
– 3 là số chẵn nên ta có các trường hợp: Trang 18 Xét trường hợp 1. (  x − 2  )2 = 0 x − 2 = 0 x = 2       ( y )2 = y – 3 = 0 y = 3 2 – 3 0 Xét trường hợp 2. (  x − 2  )2 =1 x − 2 =1  x = 3      2  ( y – 3) = 2 (  y – 3  )2 2 =1 y = 4
Vậy x = 2, y = 3 hoặc x = 3, y = 4 .
PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG. ( Khoảng 15 bài )
Bài 1: ĐỀ THI HUYỆN HOA LƯ Tìm x biết: 2 3 x = 81 Lời giải: 2 3 x = 81 2x 4 3 = 3  2x = 4  x = 2
Bài 2: ĐỀ THI HUYỆN PHÙ CÁT
Tìm số tự nhiên x , biết: a) 3 5 2 2 (7x −11) = 2 .5 + 2.10 x x 1 + x+2 x+2021 2026 b) 2 + 2 + 2 +......+ 2 = 2 −16 Lời giải: a) Ta có ( x - )3 5 2 2 2 7 11 = 2 .5 2 + .5 2 . ( x-1 )3 3 2 1 = ( 2 7 2 .5 . 2 + ) 1 ( x )3 3 3 7 -11 = 2 .5 (7x )3 3 -11 =10 7x - 11 = 10 7x = 21 x = 3 Vậy x = 3 x x 1 + x+2 x+2021 2026 b)2 + 2 + 2 +......+ 2 = 2 −16 Đặt x x 1 + x+2 x+2021 A = 2 + 2 + 2 +. .....+ 2 x 1 + x+2 x+2022  2A = 2 + 2 +......+ 2 x 2022 2A 2 2x A +  − = − x+2022 x x 2022 A = 2 − 2 = 2 (2 − ) 1 Từ (1): Trang 19 x  ( 2022 ) 4 = ( 2022 2 2 -1 2 2 - ) 1 x 4  2 = 2 x = 4 Vậy x = 4
Bài 3: ĐỀ THI HUYỆN TP NINH BÌNH
Tìm các số nguyên x biết: 3 2 (7x −1 )1 = ( 3 − ) .15 + 208 Lời giải: ( x − )3 = (− )2 7 11 3 .15 + 208 ( x − )3 7 11 = 9.15 + 208 ( x − )3 3 7 11 = 7 7x −11 = 7 18 x = 7
Bài 4: ĐỀ THI HUYỆN TIÊN DU
Tìm số tự nhiên x biết: x x 1 2.3 5.3 + + =153 Lời giải: x x 1 2.3 5.3 + + =153 (2 15).3x + =153 17.3x =153 3x = 9 x = 2 Vậy x = 2
Bài 5: ĐỀ THI HUYỆN CHƯ SÊ   x x+ 200 1 1 1 1 Tìm x  , biết: 2 2 + 2 = . + + +...+   19 1.2 2.3 3.4 19.20  Lời giải: 200  1 1 1 1  200  1  Ta có: . + + +...+ = 1− =10     19 1.2 2.3 3.4 19.20  19  20  x x+2  2 + 2 =10 2x  (1+ 4) =10
 2x = 2  x =1
Bài 6: ĐỀ THI HƯNG HÀ x x 1 + x+2 15 5 . 5 .5 =1000...0 : 2
a) Tìm số tự nhiên x biết: . 15ch÷ sè 0 Trang 20 Lời giải: x x 1 + x+2 15 5 . 5 .5 =1000...0 : 2 5 1 ch÷ sè 0 53x + 3 = 1015 : 215 53x + 3 = 515 Suy ra: 3x + 3 = 15 3x = 12 x = 4 Vậy x = 4
Bài 7: ĐỀ THI HUYỆN CHƯƠNG MỸ
Tìm số nguyên x thỏa mãn: 2x−3 2 2 5 + 7.5 = 12.5 Lời giải: 2x−3 2 2 5 + 7.5 = 12.5 2x−3 2 2 5 = 12.5 − 7.5 2x−3 2 5 = (12 − 7).5 2x−3 3 5 = 5 2x − 3 = 3 2x = 3 x = 3 Vậy x = 3
Bài 8: ĐỀ THI HUYỆN KIẾN XƯƠNG Tìm x biết: − ( x − )2 2 26 3. 2 3 = 7 − Lời giải: − ( x − )2 2 26 3. 2 3 = 7 − − ( x − )2 26 3. 2 3 = 4 − 9 ( x − )2 3. 2 3 = 75 ( x − )2 2 3 = 25
 2x − 3 = 5 hoặc 2x − 3 = 5 −
x = 4 hoặc x = 1 −
Vậy x = 4 hoặc x = 1 −
Bài 9: ĐỀ THI KỲ ANH Trang 21
Tìm 𝑥 biết: ( x − )3 3 2 3 7 = 2 .3 + 53 Lời giải: ( x − )3 3 2 3 7 = 2 .3 + 53 ( x − )3 3 7 = 8.9 + 53 ( x − )3 3 7 = 125 ( x − )3 3 3 7 = 5 3x − 7 = 5 3x = 12 x= 12 : 3 x = 4
Bài 10: ĐỀ THI HUYỆN THANH TRÌ
Tìm số tự nhiên x , biết: a) x + ( x + )
1 + ( x + 2) + ( x + )
3 + ... + ( x + 20) = 420 . x x+ x+ x+ x+ b) 1 2 3 2020 2023 2 + 2 + 2 + 2 +...+ 2 = 2 − 4 . Lời giải a) x + ( x + )
1 + ( x + 2) + ( x + )
3 + ... + ( x + 20) = 420
x + x +1+ x + 2 + x + 3 + ... + x + 20 = 420
(x + x +...+ x) +(1+ 2+3+...+ 20) = 420 21.20 21x + = 420 2 21x + 210 = 420 21x = 420 − 210 21x = 210 x = 10 Vậy x = 10 . x x+ x+ x+ x+ b) 1 2 3 2020 2023 2 + 2 + 2 + 2 +...+ 2 = 2 − 4 . x ( 2 3 2020 + + + + + ) 2 = ( 2021 2 1 2 2 2 ... 2 2 2 − ) 1 (1) Đặt 2 3 2020 2 3 4 2021
A = 1+ 2 + 2 + 2 + ... + 2
 2A = 2 + 2 + 2 + 2 +...+ 2 2021 2021  2A− A = 2 −1 A = 2 −1
Từ (1)  x ( 2021 − ) 2 = ( 2021 2 2 1 2 2 − ) 1 x 2  2 = 2  x = 2 Trang 22 Vậy x = 2 .
Bài 11: ĐỀ THI YÊN ĐỊNH Tìm − + x biết x 1 x x 1 2 + 2 + 2 =112 Lời giải Ta có: x 1 − x x 1 2 2 2 + + + =112 x 1 − x 1 − x 1 − 2 2 + 2 .2+2 .2 =112 x 1 − ( 2 2 . 1+ 2 + 2 ) = 112 x 1 2 − .7 =112 x 1 2 − =112 : 7 x 1 2 − =16 x 1 − 4 2 = 2 x −1 = 4 x = 5
Bài 12: ĐỀ THI THANH BA
Cho x , y là các số tự nhiên thỏa mãn các hệ thức ( x − )5 2 = 243 ; y y+4 2 + 2
= 272. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. x + y = 9.
B. x − y = 1 − . C. 2 2 x + y = 40 . D. 2 2 x − y = 9 − . Lời giải Ta có ( x − )5 5 2 = 243 = 3 x − 2 = 3 x = 5 Ta có y y+4 2 + 2 = 272 y ( 4 2 1+ 2 ) = 272 y 2 .17 = 272 2y = 272 :17 =16 y 4 2 =16 = 2 y = 4 Vậy x + y = 9
Bài 13. ĐỀ THI THỊ XÃ HOÀI NHƠN Cho 1 2 3 2019 A = 3 + 3 + 3 +...+ 3 . Tìm x để 2 3 3x A + = Lời giải 1 2 3 2019 A = 3 + 3 + 3 +...+ 3 Trang 23 2 3 2020 3A = 3 + 3 +...+ 3
A − A = ( 2 3 2020 + + + )−( 1 2 3 2019 3 3 3 ... 3 3 + 3 + 3 + ... + 3 ) 2020  2A = 3 −3 2020  2A+3 = 3 Mà 2 3 3x A + =  x = 2020 Vậy x = 2020 thì 2 3 3x A + =
Bài 14. ĐỀ THI KIẾN XƯƠNG  1 1 1 1  16 Tìm x biết: 2 + + +...+ .x = 2    4.7 7.10 10.13 73.76  19 Lời giải  1 1 1 1  16 2 + + +...+ .x = 2    4.7 7.10 10.13 73.76  19 1  1 1 1 1 1  16 2 − + −...+ − .x = 2   3  4 7 7 73 76  19 3 16 2 .x = 2 38 19 2 x = 36 x = 6  Vậy x = 6 
Bài 14. ĐỀ THI HUYỆN ĐÔNG HƯNG Tìm x biết: a) 2 (2x −1) = 25 b) 3(5x − ) 1 − 2 = 70 Lời giải a) 2 (2x −1) = 25 Ta có: 2 2 2
25 = 5  (2x −1) = 5 hoặc ( )2 5 −
Trường hợp 1: 2x −1 = 5 −  2x = 4 −  x = 2 − Trang 24
Trường hợp 2: 2x −1 = 5  2x = 5 +1 x = 3
Vậy x = 3 hoặc x = 2 − b, 3(5x − ) 1 − 2 = 70 3.(5x − ) 1 − 2 = 70 3.(5x − ) 1 = 72 5x −1 = 24 5x = 25 x = 2 Vậy x = 2
Bài 15. ĐỀ THI HUYỆN HƯNG HÀ + + +
Tìm số tự nhiên x biết: x x 1 x 2 x 2017 2020 2 + 2 + 2 +...+ 2 = 2 − 4. Lời giải + + +
Tìm số tự nhiên x biết: x x 1 x 2 x 2017 2020 2 + 2 + 2 +...+ 2 = 2 − 4. x x 1 + x+2 x+2017 2020 2 + 2 + 2 +...+ 2 = 2 − 4 x ( 2 2017 + + + + ) 2020 2 . 1 2 2 ... 2 = 2 − 4 x ( 2018 − ) 2020 2 . 2 1 = 2 − 4 2020 − x 2 4 2 = 2018 2 − 1 2 2 − x ( 2018 2 )1 2 = 2018 2 − 1 x 2 2 = 2 Vậy x = 2 . Trang 25