Trang 1
ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 2-LŨY THỪA VI S MŨ TỰ NHIÊN
CH ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỂ TÌM THÀNH PHN
CHƯA BIẾT CỦA LŨY THỪA
PHN I. TÓM TT LÝ THUYT
1. Lũy thừa bc
n
ca s
a
là tích ca
n
tha s bng nhau, mi tha s bng
a
. ...
n
a a a a=
( 0)n
.
a
gọi là cơ số,
n
gi là s mũ.
Chú ý:
2
a
còn được gi là
a
bình phương (hay bình phương ca
a
).
3
a
còn được gi là
a
lập phương (hay lập phương ca
a
).
Quy ước:
1
=aa
2. Nhân hai lu thừa cùng cơ số
3. Chia hai lu thừa cùng cơ số
:
m n m n
a a a
=
) 0, ( a m n
Quy ước
( )
0
10aa=
4. Lu tha ca lu tha
( )
n
m m n
aa
=
5. Lu tha mt tích
( )
..
m
mm
a b a b=
6. Mt s lu tha ca
10
:
- Mt nghìn:
3
1 000 10=
- Mt vn:
4
10 000 10=
- Mt triu:
6
1 000 000 10=
- Mt t:
9
1 000 000 000 10=
Tng quát: nếu
n
là s t nhiên khác
0
thì:
10 1000 00
n
=
(có
n
ch s
0
)
PHN II. CÁC DNG BÀI
Dng 1: Tìm s mũ, thành phần trong s mũ của lũy thừa
I. Phương pháp giải
- Đưa hai luỹ thừa về cùng cơ số
- S dng nh cht
Nếu
mn
aa=
thì
mn=
( )
*
; 1, ,a N a m n N
n tha s
a
Trang 2
II. Bài toán
Bài 1: Tìm s t nhiên
x
tho mãn
a)
6 216
x
=
b)
2
3 81
x
=
c)
3 2 3 3
7 3.7 7 .4
x
−=
d)
5 2 1
1
.3 .3 3
9
xx+
=
Li gii:
a)
6 216
x
=
3
66
x
=
3x=
Vy
3x =
b)
2
3 81
x
=
2 2 4
3 9 3
x
= =
24x=
2x=
Vy
2x =
.
c)
3 2 3 3
7 3.7 7 .4
x
−=
3 2 3
7 7 (3 4)
x
= +
3 2 4
77
x
=
2x=
Vy
2x =
.
d)
5 2 1
1
.3 .3 3
9
xx+
=
3 2 1
3 .3 3
xx+
=
3 2 1
33
xx++
=
3 2 1xx + = +
2x=
Vy
2x =
.
Bài 2: Tìm s t nhiên
x
tho mãn
a)
( )
2 2 4 8 6 2
5 3 2 6 :6 6
x
=
Trang 3
b)
( )
6 3 2 2005
3 16 19 : 19 .19 3.1 1
x
+ = +
Li gii:
a)
( )
2 2 4 8 6 2
5 3 2 6 :6 6
x
=
( )
2 2 2
5 9 16 6 6
x
=
2
5 9 16 0
x
=
2
5 25
x
=
2
5 25
x
=
22x =
4x=
Vy
4x =
.
b)
( )
6 3 2 2005
3 16 19 : 19 .19 3.1 1
x
+ = +
65
3 16 19 :19 3 1
x
+ = +
3 16 19 3 1
x
+ = +
3 16 17
x
+ =
31
x
=
0x=
Vy
0x =
Bài 3: Tìm s t nhiên
x
tho mãn
a)
2
2
15 .15 1
xx
=
b)
2
2
5 .5 5
xx
=
c)
2
9 .81 729
xx
=
d)
2
7 12
11 11 .11
xx
=
Li gii:
a)
2
2
15 .15 1
xx
=
2
20
15 15
xx+
=
Trang 4
2
20xx + =
( 2) 0xx + =
0
0
20
x
x
x
=
=
+=
Vy
0x =
b)
2
2
5 .5 5
xx
=
2
12
55
xx+
=
2
12xx + =
2
2 1 0xx + =
2
10x x x + =
( 1) ( 1) 0x x x =
( 1)( 1) 0xx =
10x =
1x=
Vy
1x =
c)
2
9 .81 729
xx
=
2
23
9 .9 9
xx
=
2
23
99
xx+
=
2
23xx + =
2
2 3 0xx + =
2
3 3 0x x x + =
( 3) ( 3) 0x x x + + =
( 3)( 1) 0xx + =
30
1
10
x
x
x
+=
=
−=
Vy
1x =
Trang 5
d)
2
7 12
11 11 .11
xx
=
2
7 12
11 11
xx+
=
2
7 12xx = +
2
7 12 0xx + =
2
4 3 12 0x x x + =
( 4) 3( 4) 0x x x =
( 4)( 3) 0xx =
4 0 4
3 0 3
xx
xx
= =



= =

Vy
4; 3xx==
Bài 4: Tìm s t nhiên
x
tho mãn
a)
1 2 3
2 2 2 2 480
x x x x+ + +
+ + + =
b)
1
5 5 2.2 8.2
x x x x+
= +
c)
1
6 6 2 2.2 4.2
x x x x x+
+ = + +
d)
30
3 25 26.2 2.3
x
+ = +
Li gii:
a)
1 2 3
2 2 2 2 480
x x x x+ + +
+ + + =
23
2 (1 2 2 2 ) 480
x
+ + + =
2 .15 480
x
=
5
22
x
=
5x=
Vy
5x =
b)
1
5 5 2.2 8.2
x x x x+
= +
5 (5 1) 2 (2 8)
xx
= +
21
2 .5 2 .5
xx+
=
21
22
2 .5 2 .5
2 .5 2 .5
xx+
=
11
52
xx−−
=
Trang 6
1 0 1xx = =
Vy
1x =
c)
1
6 6 2 2.2 4.2
x x x x x+
+ = + +
7.6 7.2
xx
=
62
xx
=
0x=
Vy
0x =
d)
30
3 25 26.2 2.3
x
+ = +
3 185
x
=
185
không viết được dưới dng lu tha ca
3
nên không có sô t nhiên
x
nào tho mãn
Vy không giá tr nào ca
x
tho mãn
Bài 5: Tìm s t nhiên x, biết
a)
1 2 3
3 3 3 3 1080
x x x x+ + +
+ + + =
b)
1 2 3 2
5 5 5 5 1 2 3... 87 88 4
x x x x+ + +
+ + + = + + + +
Li gii:
a)
1 2 3
3 3 3 3 1080
x x x x+ + +
+ + + =
3 (1 3 9 27) 1080
x
+ + + =
3 27 3
x
x = =
Vy
3x =
là giá tr cn tìm.
b)
1 2 3 2
5 5 5 5 1 2 3... 87 88 4
x x x x+ + +
+ + + = + + + +
( ) ( )
5 1 5 25 125 1 88 88:2 16
x
+ + + = +
5 .156 3916 16
x
=
5 .156 3900
x
=
5 25
x
=
2x=
Vy
2x =
.
Bài 6: Tìm hai s t nhiên
,mn
biết
2 2 2
m n m n+
+=
Li gii:
2 2 2
m n m n+
+=
2 2 2 0
m n m n+
=
Trang 7
2 .2 2 2 1 1
m n m n
+ =
2 (2 1) (2 1) 1
m n n
=
(2 1)(2 1) 1
mn
=
21
m
21
n
nên
2 1 1 2 2 1
1
2 1 1 2 2
mm
nn
m
n

= = =

=
= =


Vy
1mn==
Bài 7: Có bao nhiêu s t nhiên
x
tho mãn
3
16 16
xx
=
Li gii:
3
16 16
xx
=
3
xx=
2
2
(1 ) 0
0
0
1
10
xx
x
x
x
x
=
=
=

=
−=
Vy
2
s t nhiên
x
tho mãn là
0; 1xx==
Bài 8:
a) Cho
2 3 100
5 5 5 ... 5 .A= + + + +
Tìm s t nhiên
n
biết
1
4 5 5
n
A
+
+=
b) Cho
2 3 99 100
2 2 2 .... 2 2B = + + + + +
. Tìm s t nhiên n biết
21
22
n
B
+
−=
Li gii:
a)Ta có
2 3 100
5 5 5 ... 5A= + + + +
2 3 100 101
5 5 5 ... 5 5A = + + + +
( ) ( )
2 3 100 101 2 3 100
5 5 5 ... 5 5 5 5 5 ... 5AA = + + + + + + + +
101
4 5 5A =
101
4 5 5A + =
Theo đầu bài ta có:
1
4 5 5
n
A
+
+=
101 1
5 5 100.
n
n
+
= =
Vy
100n =
.
b) Ta :
Trang 8
2 3 99 100
2 2 2 .... 2 2B = + + + + +
2 3 99 100 101
2 2 2 .... 2 2 2B = + + + + +
101
2 2 2BB =
101
22B =
21
22
n
B
+
−=
101 2 1
2 2 2 1 101 50
n
nn
+
= + = =
Vy
50n =
Bài 9:
a) Cho
2 3 99
4 4 4 ... 4A = + + + +
. Tìm s t nhiên
n
biết rng
2
3 4 4
n
A
+=
.
b) Cho
3 5 99
4 4 4 ... 4B = + + + +
. Tìm s t nhiên
n
biết rng
21
15 4 4
n
B
+
=−
.
Li gii
a)
2 3 99
4 4 4 ... 4A = + + + +
2 3 4 100
4 4 4 4 ... 4A = + + +
( ) ( )
2 3 4 100 2 3 99
4 4 4 4 ... 4 4 4 4 ... 4AA = + + + + + + +
100
3 4 4A =
2
3 4 4
n
A
+=
100 2
4 4 4 4
n
+ =
100 2
44
n
=
2 100
102
n
n
=
=
Vy
102n =
.
a)
3 5 99
4 4 4 ... 4B = + + + +
2 3 5 7 101
4 4 4 4 ... 4B = + + +
( ) ( )
3 5 7 101 3 5 99
16 4 4 4 ... 4 4 4 4 ... 4BB = + + + + + + +
101
15 4 4B =
21
15 4 4
n
B
+
=−
101 2 1
4 4 4 4
n+
=
101 2 1
44
n+
=
2 1 101
50
n
n
+ =
=
Vy
50n =
.
Trang 9
Bài 10: Tìm s t nhiên
x
biết:
2 1 2 2 1 2 3
7 7 7 5 5 5
57 131
x x x x x x+ + + +
+ + + +
=
Li gii:
2 1 2 2 1 2 3
7 7 7 5 5 5
57 131
x x x x x x+ + + +
+ + + +
=
( ) ( )
2
7 49 7 1 5 1 5 125
57 131
xx
+ + + +
=
7 25 0
xx
x = = =
Vy
0x =
Bài 11: Tìm s t nhiên
n
biết:
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
5 5 5 5 5
4 4 4 4 6 6 6 6 6 6
.8
3 3 3 2 2
n
+ + + + + + + +
=
+ + +
Li gii:
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
5 5 5 5 5
4 4 4 4 6 6 6 6 6 6
.8
3 3 3 2 2
n
+ + + + + + + +
=
+ + +
55
3
55
4.4 6 .6
.2
3.3 2.2
n
=
5
3
24 24
.2
66
n

=


53
4 .4 2
n
=
12 3
2 2 3 12 4
n
nn = = =
Vy
4n =
Bài 12: Tìm hai s t nhiên
,xy
tho mãn
1
2 .3 12
x y x+
=
Li gii:
1
2 .3 12
x y x+
=
12
2 .3 2 .3
x y x x+
=
21
2 :2 3 :3
x x y x+
=
1
23
x y x−−
=
10
0
x
yx
−=
−=
1xy = =
Vy
1xy==
Bài 13: Tìm x biết:
Trang 10
a)
21
2 .3 .5 10800
x x x++
=
b)
31
4 .5 .6 192000
x x x++
=
Li gii:
a)
21
2 .3 .5 10800
x x x++
=
2 1 4 3 2
2 .3 .5 2 .3 .5
x x x++
=
24
1 3 2
2
x
xx
x
+=
+ = =
=
Vy
2x =
.
b)
31
4 .5 .6 192000
x x x++
=
3 1 4 3
4 .5 .6 4 .5 .6
x x x++
=
34
1
13
2
1
x
x
x
x
x
+=
=
+ =

=
=
Vậy không m được s t nhiên
x
tho mãn bài toán
Bài 14: Tìm
,x y N
biết
4 3124 5
xy
+=
Li gii:
Nếu
0x =
thì
05
5 4 3124 3125 5 5
y
y= + = = =
Nếu
0x
thì vế trái là s chn, vế phi là s l vi mi
,x y N
( vô lý)
Vy
0, 5xy==
Dạng 2: Tìm cơ số, thành phn của cơ số trong lũy thừa.
I. Phương pháp giải
- Đưa về hai lũy thừa cùng số mũ
- Sử dụng nh chất
+) Ta có
( )
*
00
n
x n N x= =
+) Ta có
( )
*
,;
nn
x a a x N n N x a= =
II. Bài toán
Bài 1: Tìm s t nhiên x, biết:
a)
( )
*
1
n
xn=
b)
( )
*
0
n
xn=
c)
( )
1
n
xn=
Li gii:
Trang 11
a)
( )
*
11
n
x x n= =
b)
( )
*
00
n
x x n= =
c)
( )
1
n
xn=
Nếu
0n =
thì
0
1x =
*xN
Nếu
0n
thì
( )
1 1 *
n
x x n= =
.
Bài 2: Tìm s t nhiên x, biết:
a)
2
16x =
b)
5
125x =
c)
0
2021x =
d)
2 3 2 3
2 3 4x = + +
e)
3
2
2.
48
3
x
=
Li gii:
a) Ta có
2 2 2
16 4 4x x x= = =
b) Ta
5 5 3
125 5 5x x x= = =
c) Ta có
0
2021 1x ==
d) Ta
2 3 2 3 2
2 3 4 8 9 64 81 9 9xx= + + = + + = = =
e) Ta
3
2
2.
48
3
x
=
3
2.
48
9
x
=
3
2. 48.9x =
3
2. 432x =
33
216 6x ==
6x =
Vy
x6=
Bài 3: Tìm s t nhiên x, biết:
a)
( )
3
3 27x −=
b)
( )
3
2 1 125x +=
Trang 12
c)
( )
2
288: 3 2x −=
d)
( )
4
1 3 256x+=
Li gii:
a) Ta có
( )
3
3 27x −=
( )
3
3
33x −=
33x−=
6x =
Vy
x6=
b) Ta
( )
3
2 1 125x +=
( )
3
3
2 1 5x +=
2 1 5x +=
24x =
2x =
Vy
x2=
c)Ta có
( )
2
288: 3 2x −=
( )
2
3 288:2x −=
( )
2
3 144x −=
( )
2
2
3 12x −=
3 12x −=
15x =
Vy
x 15=
d) Ta
( )
4
1 3 256x+=
( )
4
4
1 3 4x+=
1 3 4x+=
3 4 1x =−
Trang 13
33x =
1x =
Vy
x1=
Bài 4: Tìm s t nhiên x, biết:
a)
32
xx=
b)
( )
11
4
xx=
c)
( )
2
54
xx=
Li gii:
a) Ta có
32
xx=
suy ra
32
0xx−=
( )
2
10xx =
2
0
0
1
10
x
x
x
x
=
=

=
−=
Vy
0x =
hoc
1x =
.
b) Ta
( )
11
4
xx=
suy ra
44
0xx−=
( )
43
10xx −=
43 43
00
0
1
1 0 1
xx
x
x
xx
==
=


=
= =

Vy
0x =
hoc
1x =
.
c) Ta có
( )
2
54
xx=
suy ra
108
0xx−=
( )
107
10xx −=
107 107
00
0
1
1 0 1
xx
x
x
xx
==
=



=
= =

Vy
0x =
hoc
1x =
.
Bài 5: Tìm s t nhiên x, biết:
a)
( )
2
2. 2 1 50x −=
b)
( )
3
52
7 11 2 .5 200x = +
Trang 14
c)
( )
3
720: 41 2 5 2 .5x

=

Li gii:
a) Ta
( )
2
2. 2 1 50x −=
( )
2
2 1 50: 2x −=
( )
2
2
2 1 25 5x = =
2 1 5x =
26x =
3x =
Vy
3x =
b) Ta có:
( )
3
52
7 11 2 .5 200x = +
33
(7 11) 1000 10x = =
7 11 10x =
7 21x =
3x =
Vy
3x =
c) Ta có:
( )
3
720: 41 2 5 2 .5x

=

( )
720: 41 2 5 40x

=

( )
41 2 5 720: 40x

=

( )
41 2 5 18x

=

2 5 23x −=
2 28x =
14x =
Vy
14x =
.
Bài 6: Tìm s t nhiên x, biết:
a)
( ) ( )
68
22xx =
b)
( ) ( )
46
3 6 3 6xx =
Li gii:
a) Ta có:
( ) ( )
68
22xx =
( ) ( )
68
2 2 0xx =
( ) ( )
62
2 1 2 0xx

=

6
2
2
20
( 2) 0 2 2
2 1 3
( 2) 1
1 ( 2) 0
x
x x x
xx
x
x
−=
= = =


= =
−=
=

Vy
2x =
hoc
3x =
.
b) Ta có:
( ) ( )
46
3 6 3 6xx =
( ) ( )
46
3 6 3 6 0xx =
Trang 15
( ) ( )
42
3 6 1 3 6 0xx

=

( )
( )
( )
( )
4
2
2
2
3 6 0
3 6 0
3 6 2
7
3 6 1 3 7
3 6 1
1 3 6 0
3
x
x
x
xx
xx
x loai
x
x
=
−=
−=
==



= =
=
−=
=


Vy
2x =
.
Bài 7: Tìm s t nhiên x, biết:
( ) ( ) ( )
3
2 2 0
mm
x x m
+
=
Li gii:
Ta có:
( ) ( ) ( )
3
2 2 0
mm
x x m
+
=
( ) ( )
3
2 1 2 0
m
xx

=

( )
( )
( )
( )
( )
3
33
2 0 2 0
20
22
2 1 3
21
1 2 0 1 2 0
mm
xx
x
xx
xx
x
xx

= =
−=
==




= =
−=
= =


Vy
2x =
hoc
3x =
.
Bài 8: Tìm s t nhiên x, biết
( ) ( ) ( )
24
1 1 1
xx
xx
++
=
Li gii:
Đặt
1 2 3; 4 5x y x y x y = + = + + = +
Ta có
( )
1
tr thành
35yy
yy
++
=
32
( 1) 0
y
yy
+
−=
3
2
0 0 1
1;2
12
10
y
y y x
x
yx
y
+
= = =


==
−=

Vy
1;2x
là giá tr cn tìm.
Bài 9: Tìm các số tự nhiên x và y biết rằng:
2
10 48
x
y+=
Li gii:
Nếu
0x =
ta có
2 0 2
10 48 1 48 49 7 7yy= + = + = = =
.
Nếu
0x
ta có
10
x
chữ số tận cùng là 0, do đó
10 48
x
+
chữ số tận cùng là 8 mà
2
y
không thể có
chữ số tận cùng là 8.
Vậy
0, 7xy==
.
Bài 10: Tìm s t nhiên x, biết:
a)
( )
5
1600: 41 2 5 40x

=

b)
( ) ( )( ) ( )
2 2 2 2
1 2 3 ... 100 15050x x x x+ + + + + + + =
Li gii:
a) Ta có:
( )
5
1600: 41 2 5 40x

=

Trang 16
( )
5
41 2 5 1600:40x

=

( )
5
41 2 5 40x

=

( )
5
2 5 41 40x =
`
( )
5
2 5 1x −=
2 5 1x −=
26x =
3x =
Vy
3x =
.
b) Ta có:
( ) ( )( ) ( )
2 2 2 2
1 2 3 ... 100 15050x x x x+ + + + + + + =
( )
2
.100 1 2 3 ... 100 15050x + + + + + =
( ) ( )
2
.100 1 100 100 1 :1 1 :2 15050x + + + =


2
.100 101.50 15050x +=
2
.100 5050 15050x +=
2
.100 15050 5050x =−
2
.100 10000x =
22
100 10x ==
10x=
Vy
10x =
.
Bài 11: Tìm s t nhiên x, biết:
a)
( ) ( )
2 2021
3 3 3 3
1 2 3 4 . 1 1 2 3 4x+ + + = + + +
b)
( )
3 5 5 2022 2022
125 .7 175 :5 :2021 x−=
Li gii:
a) Ta có:
( ) ( )
2 2021
3 3 3 3
1 2 3 4 . 1 1 2 3 4x+ + + = + + +
( )
2021
2
10 . 1 1 8 27 64x = + + +
( )
2021
100. 1 100x−=
( )
2021
1 100:100x−=
( )
2021
11x−=
11x =
2x =
Vy
2x =
.
b) Ta có:
( )
3 5 5 2022 2022
125 .7 175 :5 :2021 x−=
( )
( )
3
5
3 5 2022 2022
5 .7 25.7 :5 :2021 x

−=


9 5 5 5 2022 2022
5 .7 25 .7 :5 :2021 x

−=

9 5 10 5 2022 2022
5 .7 5 .7 :5 :2021 x

−=

9 5 9 5 2022 2022
5 .7 5 .7 :2021 x

−=

2022 2022
0:2021 x=
2021
0x =
0x =
Vy
0x =
.
Trang 17
Bài 12. Tìm
x
, biết:
( )
3
3
3
2 2 2
6 8 9.7 7.5 5.3 1x


=




Li gii:
Ta có:
( )
3
3
3
2 2 2
6 8 9.7 7.5 5.3 1x


=




( )
3
3
3
2
36 64 63 35 15 1x

=

3
3
23
36 1 35 15 1x

=

3
2
15 1x −=
2
15 1x =
22
16 4x ==
4x =
.
Vy
4x =
.
Bài 13. Tìm
x
, biết:
( ) ( )
22
3 1 3 xx−=
Li gii:
Ta có
( ) ( )
22
3 1 3 3 1 3x x x x = =
44x =
1x =
Vy
1x =
Bài 14. Tìm s t nhiên
x
y
, biết:
( ) ( )
100 200
3 6 2 4 0xy +
Li gii:
Ta có
( ) ( )
100 200
3 6 2 00, 4 , ,x y x y−−
( ) ( )
100 200
3 6 2 4 0, ,x y x y +
( ) ( )
100 200
3 6 2 4 0xy +
nên
( ) ( )
( )
( )
100
100 200
200
3
3 0 2
3
4
0
0
2 4 0
2 4 0 2
2
6
6
6
x
xx
xy
yy
y
= =

+ =

−=
=
=
=
Vy
2xy==
.
Bài 15. Tìm s t nhiên a b, biết:
3 9 183
a
b+=
Li gii:
Nếu
0a =
ta có
0
3 9 138b+=
1 9 183b+=
9 182b =
b
Trang 18
Nếu
1a =
ta có
1
3 9 138b+=
9 180b =
20b =
Nếu
2a
ta có
3
a
chia hết cho 9,
9b
chia hết cho 9
39
a
b+
chia hết cho 9 nhưng 183 không chia hết
cho 9.
3 9 183
a
b+=
Vô lý.
Vy
1, 20 ab==
.
Bài 16. Tìm s t nhiên a b, biết:
2
10 168
a
b+=
Li gii:
Nếu
0a =
ta có
20
10 168b =+
2
169b =
2
13b =
13b=
Nếu
0a
ta có
1
3 9 138b+=
9 180b =
20b =
Nếu
2a
ta có
3
a
chia hết cho 9,
9b
chia hết cho 9
39
a
b+
chia hết cho 9 nhưng 183 không chia hết
cho 9.
3 9 183
a
b+=
Vô lý.
Vy
1, 20 ab==
.
Bài 17. Tng bình phương của ba s t nhiên là 2596. Biết rng t s gia s th nht và s th hai là
2
3
,
gia s th hai và s th ba
5
6
. Tìm ba s đó.
Li gii:
Gi a, b, c là ba s t nhiên phi tìm, ta có:
2 5 2 6
;;
3 6 3 5
ab
a b c b
bc
= = = =
2 2 2
2596abc+ + =
nên
2 2 2
4 36
5296
9 25
b b b+ + =
Hay
22
649
2596 900
225
bb= =
2 6 6
30, .30 20, .30 36
3 5 5
b a c b = = = = = =
Vy ba s cn m lần lượt là 20, 30, 36.
Bài 18. Tìm s t nhiên
x
y
, biết:
( ) ( )
22
2 2 3 4 xy +
Ta có
( )
( )
( ) ( )
2
22
2
2
2 2 3 0
2 3
0,
0,
x x
xy
yy
−


+
( ) ( )
22
2 2 3 4 xy +
( ) ( )
22
40 2 2 3 xy−+
( )
2
2 3y
là s chẵn nên ta có các trưng hp:
Trang 19
Xét trưng hp 1.
( )
( )
2
2
0
2
22
3 0 3
2 3 0
0x
xx
yy
y
=
=



−=
==
=
Xét trưng hp 2.
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
3 1
2 3
1
2
1
3
4
x
y
x
x
y
y
=
=
=


=
=
=
Vy
2, 3xy==
hoc
3, 4xy==
.
PHN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GP TRONG Đ HSG. ( Khong 15 bài )
Bài 1: ĐỀ THI HUYỆN HOA
Tìm x biết:
2
3 81
x
=
Li gii:
2
3 81
x
=
24
33
x
=
24
2
x
x
=
=
Bài 2: ĐỀ THI HUYỆN PHÙ CÁT
Tìm số tự nhiên
x
, biết:
a)
3 5 2 2
(7x 11) 2 .5 2.10 = +
b)
1 2 2021 2026
2 2 2 ...... 2 2 16
x x x x+ + +
+ + + + =
Li gii:
a) Ta có
( )
3
5 2 2 2
7 2 .5 2.- 211 5 . x =+
( )
( )
3
3 2 2
7 2 .5 . 2 1-11x =+
( )
3
33
7 -11 2 .5x =
( )
3
3
-117 10x =
- 11 107x =
7 21x =
3x =
Vậy
3x =
1 2 2021 2026
)2 2 2 ...... 2 2 16
x x x x+ + +
+ + + + = b
Đặt
1 2 2021
2 2 2 . .. ... 2
x x x x
A
+ + +
+ + += +
1 2 2022
2A 2 2 ...... 2
x x x+ + +
= + + +
2022
2A 2 2
xx
A
+
=
( )
2022 2022
2 2 2 2 1
x x x
A
+
= =
Từ (1):
Trang 20
( ) ( )
2022 4 2022
2 2 -1 2 2 -1
x
=
4
22
x
=
4x =
Vậy
4x =
Bài 3: ĐỀ THI HUYỆN TP NINH BÌNH
Tìm các số nguyên x biết:
( ) ( )
32
7 11 3 .15 208x = +
Li gii:
( ) ( )
32
7 11 3 .15 208x = +
( )
3
7 11 9.15 208x = +
( )
3
3
7 11 7x −=
7 11 7x −=
18
7
x =
Bài 4: ĐỀ THI HUYỆN TIÊN DU
Tìm số tự nhiên x biết:
1
2.3 5.3 153
xx+
+=
Li gii:
1
2.3 5.3 153
xx+
+=
(2 15).3 153
x
+=
17.3 153
x
=
39
x
=
2x =
Vậy
2x =
Bài 5: Đ THI HUYỆN CHƯ
Tìm
x
, biết:
2
200 1 1 1 1
2 2 . ...
19 1.2 2.3 3.4 19.20
xx+

+ = + + + +


Li gii:
Ta có:
200 1 1 1 1 200 1
. ... 1 10
19 1.2 2.3 3.4 19.20 19 20
+ + + + = =
2
2 2 10
xx+
+ =
( )
2 1 4 10
x
+ =
2 2 1
x
x = =
Bài 6: Đ THI HƯNG HÀ
a) m s t nhiên x biết:
x x 1 x 2 1
15
5
1000..5 . 5 .5 :2.0
++
=
c sè 0
.
Trang 21
Li gii:
x x 1 1
5
5
1
x2
1000...5 . 5 20.5 :
++
=
c sè 0
5
3x + 3
= 10
15
: 2
15
5
3x + 3
= 5
15
Suy ra: 3x + 3 = 15
3x = 12
x = 4
Vy x = 4
Bài 7: Đ THI HUYỆN CHƯƠNG MỸ
Tìm s nguyên x tha mãn:
2 3 2 2
5 7.5 12.5
x
+=
Li gii:
2 3 2 2
5 7.5 12.5
x
+=
2 3 2 2
5 12.5 7.5
x
=−
2 3 2
5 (12 7).5
x
=−
2 3 3
55
x
=
2 3 3x −=
23x =
3x =
Vậy
3x =
Bài 8: Đ THI HUYN KIẾN XƯƠNG
Tìm x biết:
( )
2
2
26 3. 2 3 7x =
Li gii:
( )
2
2
26 3. 2 3 7x =
( )
2
26 3. 2 3 49x =
( )
2
3. 2 3 75x −=
( )
2
2 3 25x −=
2 3 5x =
hoặc
2 3 5x =
4x=
hoặc
1x =−
Vậy
4x =
hoặc
1x =−
Bài 9: ĐỀ THI KỲ ANH
Trang 22
Tìm 𝑥 biết:
( )
3
32
3 7 2 .3 53x = +
Li gii:
( )
3
32
3 7 2 .3 53x = +
( )
3
3 7 8.9 53x = +
( )
3
3 7 125x −=
( )
3
3
3 7 5x −=
3 7 5x−=
3 12x =
12:3x=
4x=
Bài 10: ĐỀ THI HUYN THANH TRÌ
Tìm s t nhiên
x
, biết:
a)
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 ... 20 420+ + + + + + + + + =x x x x x
.
b)
1 2 3 2020 2023
2 2 2 2 ... 2 2 4
+ + + +
+ + + + + =
x x x x x
.
Li gii
a)
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 ... 20 420+ + + + + + + + + =x x x x x
1 2 3 ... 20 420+ + + + + + + + + =x x x x x
( ) ( )
... 1 2 3 ... 20 420+ + + + + + + + =x x x
21.20
21 420
2
+=x
21 210 420+=x
21 420 210=−x
21 210=x
10=x
Vy
10=x
.
b)
1 2 3 2020 2023
2 2 2 2 ... 2 2 4
+ + + +
+ + + + + =
x x x x x
.
( ) ( )
2 3 2020 2 2021
2 1 2 2 2 ... 2 2 2 1+ + + + + =
x
(1)
Đặt
2 3 2020 2 3 4 2021
1 2 2 2 ... 2 2 2 2 2 2 ... 2= + + + + + = + + + + +AA
2021 2021
2 2 1 2 1 = = A A A
T (1)
( ) ( )
2021 2 2021
2 2 1 2 2 1 =
x
2
2 2 2 = =
x
x
Trang 23
Vy
2=x
.
Bài 11: ĐỀ THI YÊN ĐỊNH
Tìm
x
biết
11
2 2 2 112
x x x−+
+ + =
Li gii
Ta có:
11
2 2 2 112
x x x−+
+ + =
1 1 1 2
2 2 .2 2 .2 112
x x x
+ + =
( )
12
2 . 1 2 2 112
x
+ + =
1
2 .7 112
x
=
1
2 112:7
x
=
1
2 16
x
=
14
22
x
=
14x −=
5x =
Bài 12: ĐỀ THI THANH BA
Cho
x
,
y
các s t nhiên tha mãn các h thc
( )
5
2 243x −=
;
4
2 2 272
yy+
+=
. Khẳng định nào sau
đây là đúng?
A.
9xy+=
. B.
1xy =
. C.
22
40xy+=
. D.
22
9xy =
.
Li gii
Ta có
( )
5
5
2 243 3x = =
23x −=
5x =
Ta có
4
2 2 272
yy+
+=
( )
4
2 1 2 272
y
+=
2 .17 272
y
=
2 272:17 16
y
==
4
2 16 2
y
==
4y =
Vy
9xy+=
Bài 13. ĐỀ THI TH XÃ HOÀI NHƠN
Cho
1 2 3 2019
3 3 3 ... 3A= + + + +
. Tìm
x
để
2 3 3
x
A+=
Li gii
1 2 3 2019
3 3 3 ... 3A= + + + +
Trang 24
2 3 2020
3 3 3 ... 3A= + + +
( ) ( )
2 3 2020 1 2 3 2019
3 3 3 ... 3 3 3 3 ... 3AA = + + + + + + +
2020
2 3 3A =
2020
2 3 3A + =
2 3 3
x
A+=
2020x=
Vy
2020x =
thì
2 3 3
x
A+=
Bài 14. ĐỀ THI KIN XƯƠNG
Tìm x biết:
2
1 1 1 1 16
... . 2
4.7 7.10 10.13 73.76 19
x

+ + + + =


Li gii
2
1 1 1 1 16
... . 2
4.7 7.10 10.13 73.76 19
x

+ + + + =


2
1 1 1 1 1 1 16
... . 2
3 4 7 7 73 76 19
x

+ + =


2
3 16
.2
38 19
x =
2
36x =
6x =
Vy
6x =
Bài 14. ĐỀ THI HUYN ĐÔNG HƯNG
Tìm x biết:
a)
2
(2 1) 25x −=
b)
( )
3 5 1 2 70
x
=
Li gii
a)
2
(2 1) 25x −=
Ta có:
2 2 2
25 5 (2 1) 5 x= =
hoc
( )
2
5
Trường hp 1:
2 1 5x =
2 4 2xx = =
Trang 25
Trường hp 2:
2 1 5x −=
2 5 1 3xx = + =
Vy
3x =
hoc
2x =−
b,
( )
3 5 1 2 70
x
=
( )
3. 5 1 2 70
x
=
( )
3. 5 1 72
x
−=
5 1 24
x
−=
5 25
x
=
2x =
Vy
2x =
Bài 15. ĐỀ THI HUYỆN HƯNG HÀ
Tìm s t nhiên
x
biết:
1 2 2017 2020
2 2 2 ... 2 2 4
x x x x+ + +
+ + + + =
.
Li gii
Tìm s t nhiên
x
biết:
1 2 2017 2020
2 2 2 ... 2 2 4
x x x x+ + +
+ + + + =
.
1 2 2017 2020
2 2 2 ... 2 2 4
x x x x+ + +
+ + + + =
( )
2 2017 2020
2 . 1 2 2 ... 2 2 4
x
+ + + + =
( )
2018 2020
2 . 2 1 2 4
x
=
2020
2018
24
2
21
x
=
( )
2 2018
2018
2 2 1
2
21
x
=
2
22
x
=
Vy
2x =
.

Preview text:

ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 2-LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỂ TÌM THÀNH PHẦN
CHƯA BIẾT CỦA LŨY THỪA
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Lũy thừa bậc n của số a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a n a = . a .
a ..a ( n  0) . a gọi là cơ số, n gọi là số mũ. n thừa số a Chú ý: 2
a còn được gọi là a bình phương (hay bình phương của a ). 3
a còn được gọi là a lập phương (hay lập phương của a ). Quy ước: 1 a = a
2. Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số m. n m n a a a + =
3. Chia hai luỹ thừa cùng cơ số m : n m n a a a − =
( a  0, m  ) n Quy ước 0 a = 1 (a  0)
4. Luỹ thừa của luỹ thừa ( )n m m n a a  = m
5. Luỹ thừa một tích ( . ) m = . m a b a b
6. Một số luỹ thừa của 10 : - Một nghìn: 3 1 000 = 10 - Một vạn: 4 10 000 = 10 - Một triệu: 6 1 000 000 = 10 - Một tỉ: 9 1 000 000 000 = 10
Tổng quát: nếu n là số tự nhiên khác 0 thì: 10n = 1000 0
 0 (có n chữ số 0 )
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa
I. Phương pháp giải
- Đưa hai luỹ thừa về cùng cơ số - Sử dụng tính chất Nếu m n
a = a thì m = n ( *
a N ; a  1, , m n N ) Trang 1 II. Bài toán
Bài 1: Tìm số tự nhiên x thoả mãn a) 6x = 216 2x b) 3 = 81 c) 3x−2 3 3 7 −3.7 = 7 .4 1 + d) 5 x 2 x 1 .3 .3 = 3 9 Lời giải: a) 6x = 216 x 3  6 = 6  x = 3 Vậy x = 3 b) 2 3 x = 81 2x 2 4  3 = 9 = 3  2x = 4  x = 2 Vậy x = 2 . c) 3x−2 3 3 7 −3.7 = 7 .4 3x−2 3  7 = 7 (3+ 4) 3x−2 4  7 = 7  x = 2 Vậy x = 2 . 1 + d) 5 x 2 x 1 .3 .3 = 3 9 3 x 2x 1 3 .3 3 +  = x 3 + 2x 1 3 3 +  =
x + 3 = 2x +1  x = 2 Vậy x = 2 .
Bài 2: Tìm số tự nhiên x thoả mãn a) x−2 2 4 − = − ( 8 6 2 5 3 2 6 : 6 − 6 ) Trang 2 b) x 6 + = ( 3 2) 2005 3 16 19 : 19 .19 − 3.1 +1 Lời giải: a) x−2 2 4 − = − ( 8 6 2 5 3 2 6 : 6 − 6 ) x−2  − = − ( 2 2 5 9 16 6 − 6 ) x−2 5 −9 =16−0 x−2  5 = 25 x−2  5 = 25  x − 2 = 2  x = 4 Vậy x = 4 . b) x 6 + = ( 3 2) 2005 3 16 19 : 19 .19 − 3.1 +1 x 6 5 3 +16 =19 :19 −3+1 3x  +16 =19−3+1 3x  +16 =17 3x  =1  x = 0 Vậy x = 0
Bài 3: Tìm số tự nhiên x thoả mãn 2 a) x 2 15 .15 x = 1 2 b) x 2 5 .5 5 x = 2
c) 9x .81x = 729 2 d) 7 x x 12 11 =11 .11 Lời giải: 2 a) x 2 15 .15 x = 1 2 x +2 x 0  15 =15 Trang 3 2  x + 2x = 0  ( x x + 2) = 0 x = 0   x = 0  x + 2 = 0 Vậy x = 0 2 b) x 2 5 .5 5 x = 2 x 1 + 2  5 = 5 x 2  x +1= 2x 2
x −2x +1= 0 2
x x x +1= 0  (
x x −1) − (x −1) = 0
 (x −1)(x −1) = 0  x −1 = 0  x =1 Vậy x = 1 2
c) 9x .81x = 729 2 x 2 x 3  9 .9 = 9 2 x +2 x 3  9 = 9 2  x + 2x = 3 2
x + 2x −3 = 0 2
x +3x x −3 = 0  (
x x + 3) − (x + 3) = 0
 (x +3)(x −1) = 0 x + 3 = 0   x = 1  x −1 = 0 Vậy x = 1 Trang 4 2 d) 7 x x 12 11 =11 .11 2 7 x x 1 + 2 11 =11 2  7x = x +12 2
x −7x +12 = 0 2
x −4x −3x +12 = 0  (
x x − 4) −3(x − 4) = 0
 (x −4)(x −3) = 0 x − 4 = 0 x = 4     x − 3 = 0 x = 3
Vậy x = 4; x = 3
Bài 4: Tìm số tự nhiên x thoả mãn + + + a) x x 1 x 2 x 3 2 + 2 + 2 + 2 = 480 x 1 + x x x b) 5 −5 = 2.2 +8.2 x x 1 + x x x c) 6 + 6 = 2 2 + .2 + 4.2 x 3 0 d) 3 + 25 = 26.2 + 2.3 Lời giải: + + + a) x x 1 x 2 x 3 2 + 2 + 2 + 2 = 480 x 2 3  2 (1+ 2 + 2 + 2 ) = 480 2 . x  15 = 480 x 5  2 = 2  x = 5 Vậy x = 5 + b) x 1 5
−5x = 2.2x +8.2x 5x (5 1) 2x  − = (2 + 8) 2 x x 1 2 .5 2 +  = .5 2 x x 1 2 .5 2 + .5  = 2 2 2 .5 2 .5 x 1 − x 1 5 2 −  = Trang 5
x −1= 0  x =1 Vậy x = 1 + c) x x 1 6 + 6 = 2x 2 + .2x + 4.2x 7.6x 7.2x  = 6x 2x  =  x = 0 Vậy x = 0 d) x 3 0 3 + 25 = 26.2 + 2.3 3x  =185
Vì 185 không viết được dưới dạng luỹ thừa của 3 nên không có sô tự nhiên x nào thoả mãn
Vậy không có giá trị nào của x thoả mãn
Bài 5: Tìm số tự nhiên x, biết x x 1 + x+2 x 3 + + + + = a) 3 3 3 3 1080 x x 1 + x+2 x 3 + 2 b) 5 + 5
+5 +5 =1+ 2+3...+87+88−4 Lời giải: + + + a) x x 1 x 2 x 3 3 + 3 +3 +3 =1080 3x  (1+ 3+ 9 + 27) =1080
3x = 27  x = 3
Vậy x = 3 là giá trị cần tìm. x x 1 + x+2 x 3 + 2 b) 5 + 5
+5 +5 =1+ 2+3...+87+88−4 5x
 (1+5+ 25+125) = (1+88)88:2−16 5 . x  156 = 3916−16 5 . x  156 = 3900 5x  = 25  x = 2 Vậy x = 2 .
Bài 6: Tìm hai số tự nhiên ,
m n biết 2m + 2n = 2m+n Lời giải:
2m + 2n = 2m+n
 2m+n −2m −2n = 0 Trang 6 2 .
m 2n 2m 2n  − − +1=1
2m (2n 1) (2n  − − −1) =1 (2m 1)(2n  − −1) =1 m m  − =  =  = m n 2 1 1 2 2 m 1
Vì 2  1 và 2  1 nên       2n −1 =1 2n = 2 n = 1 Vậy m = n = 1 3
Bài 7: Có bao nhiêu số tự nhiên x thoả mãn 16x 16x = Lời giải: 3 16x 16x = 3
x = x 2
x(1− x ) = 0 x = 0
x = 0     2 1  − x = 0 x =1
Vậy có 2 số tự nhiên x thoả mãn là x = 0; x =1 Bài 8: a) Cho 2 3 100
A = 5 + 5 + 5 +...+ 5 . Tìm số tự nhiên n biết 1 4 5 5n A + + = 2 3 99 100 2n 1 +
b) Cho B = 2 + 2 + 2 +....+ 2 + 2
. Tìm số tự nhiên n biết 2 − 2 = B Lời giải: a)Ta có 2 3 100 A = 5+ 5 + 5 +...+ 5 2 3 100 101 5A = 5 +5 +...+5 +5
A A = ( 2 3 100 101 + + + + )−( 2 3 100 5 5 5 ... 5 5 5 + 5 + 5 + ... + 5 ) 101  4A = 5 −5 101  4A+5 = 5 Theo đầu bài ta có: 1 4 5 5n A + + = 101 n 1 5 5 +  =  n =100. Vậy n = 100 . b) Ta có : Trang 7 2 3 99 100
B = 2 + 2 + 2 +....+ 2 + 2 2 3 99 100 101
 2B = 2 + 2 +....+ 2 + 2 + 2 101
 2B B = 2 −2 101  B = 2 −2 Mà 2n 1 2 + − 2 = B 101 2n 1 2 2 +  =
 2n+1=101 n = 50 Vậy n = 50 Bài 9: a) Cho 2 3 99
A = 4 + 4 + 4 + ... + 4 . Tìm số tự nhiên n biết rằng 2 3 4 4n A − + = . b) Cho 3 5 99
B = 4 + 4 + 4 +...+ 4 . Tìm số tự nhiên n biết rằng 2n 1 15B 4 + = − 4. Lời giải a) 2 3 99
A = 4 + 4 + 4 + ... + 4 2 3 4 100
 4A = 4 + 4 + 4 ...+ 4
A A = ( 2 3 4 100 + + + )−( 2 3 99 4 4 4 4 ... 4 4 + 4 + 4 + ... + 4 ) 100  3A = 4 − 4 Có 2 3 4 4n A − + = 100 2 4 4 4 4n−  − + = 100 2 4 4n−  =  n − 2 = 100  n = 102 Vậy n = 102 . a) 3 5 99
B = 4 + 4 + 4 +...+ 4 2 3 5 7 101
 4 B = 4 + 4 + 4 ...+ 4
B B = ( 3 5 7 101 + + + )−( 3 5 99 16 4 4 4 ... 4 4 + 4 + 4 + ... + 4 ) 101 15B = 4 −4 Có 2n 1 15B 4 + = − 4 101 2n 1 4 4 4 +  − = − 4 101 2 1 4 4 n+  =  2n +1 = 101  n = 50 Vậy n = 50 . Trang 8 x+2 x 1 + x 2 x 2 x 1 + 2 x+3 7 + 7 + 7 5 + 5 + 5
Bài 10: Tìm số tự nhiên x biết: = 57 131 Lời giải: x+2 x 1 + x 2 x 2 x 1 + 2 x+3 7 + 7 + 7 5 + 5 + 5 = 57 131 x ( ) 2 7 49 7 1 5 x + + (1+5+125)  = 57 131
 7x = 25x = x = 0 Vậy x = 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 + 4 + 4 + 4 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6
Bài 11: Tìm số tự nhiên n biết: . = 8n 5 5 5 5 5 3 + 3 + 3 2 + 2 Lời giải: 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 + 4 + 4 + 4 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 . = 8n 5 5 5 5 5 3 + 3 + 3 2 + 2 5 5 4.4 6 .6 3 . 2 n  = 5 5 3.3 2.2 5  24  24 3  . = 2 n    6  6 5 3 4 .4 2 n  = 12 3
 2 = 2 n  3n =12  n = 4
Vậy n = 4 +
Bài 12: Tìm hai số tự nhiên ,
x y thoả mãn x 1 2 .3y =12x Lời giải: x 1
2 + .3y =12x x 1 + y 2
 2 .3 = 2 .x3x 2x x 1 2 : 2 +  = 3y :3x x 1
 2 − = 3yxx −1 = 0   y x = 0  x = y =1
Vậy x = y =1
Bài 13: Tìm x biết: Trang 9 + + a) x 2 x 1 2 .3 .5x =10800 x 3 + x 1 + x b) 4 .5 .6 =192000 Lời giải: x+2 x 1 + x a) 2 .3 .5 =10800 x+2 x 1 + x 4 3 2  2 .3 .5 = 2 .3 .5 x + 2 = 4 
 x +1= 3  x = 2 x = 2  Vậy x = 2 . + + b) x 3 x 1 x 4 .5 .6 =192000 x 3 + x 1 + x 4 3  4 .5 .6 = 4 .5 .6 x + 3 = 4  x =1  x +1= 3    x = 2 x = 1 
Vậy không tìm được số tự nhiên x thoả mãn bài toán Bài 14: Tìm ,
x y N biết 4x 3124 5y + = Lời giải:
Nếu x = 0 thì y 0 5
5 = 4 + 3124 = 3125 = 5  y = 5
Nếu x  0 thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với mọi ,
x y N ( vô lý)
Vậy x = 0, y = 5
Dạng 2: Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong lũy thừa.
I. Phương pháp giải
- Đưa về hai lũy thừa cùng số mũ - Sử dụng tính chất +) Ta có n x = ( *
0 n N )  x = 0 +) Ta có n n x = a ( *
a, x N; n N )  x = a II. Bài toán
Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết: a) n x = ( * 1 n  ) b) n x = ( * 0 n  ) c) n x = 1 (n ) Lời giải: Trang 10 a) n x =  x = ( * 1 1 n  ) b) n x =  x = ( * 0 0 n  ) c) n x = 1 (n ) Nếu n = 0 thì 0
x = 1  x N *
Nếu n  0 thì n x = 1  x = ( 1 n  ) * .
Bài 2: Tìm số tự nhiên x, biết: a) 2 x = 16 b) 5 x =125 c) 0 x = 2021 3 2.x d) 2 3 2 3 x = 2 + 3 + 4 e) = 48 2 3 Lời giải: a) Ta có 2 2 2
x =16  x = 4  x = 4 b) Ta có 5 5 3
x =125  x = 5  x = 5 c) Ta có 0 x = 2021 =1 d) Ta có 2 3 2 3 2
x = 2 + 3 + 4 = 8 + 9 + 64 = 81 = 9  x = 9 3 2.x e) Ta có = 48 2 3 3 2.x = 48 9 3 2.x = 48.9 3 2.x = 432 3 3 x = 216 = 6 x = 6 Vậy x = 6
Bài 3: Tìm số tự nhiên x, biết: a) ( x − )3 3 = 27 b) ( x + )3 2 1 =125 Trang 11 c) (x − )2 288 : 3 = 2 d) ( + x)4 1 3 = 256 Lời giải: a) Ta có ( x − )3 3 = 27 (x − )3 3 3 = 3 x − 3 = 3 x = 6 Vậy x = 6 b) Ta có ( x + )3 2 1 =125 ( x + )3 3 2 1 = 5 2x +1 = 5 2x = 4 x = 2 Vậy x = 2 c)Ta có (x − )2 288 : 3 = 2 (x − )2 3 = 288 : 2 (x − )2 3 = 144 (x − )2 2 3 =12 x − 3 = 12 x = 15 Vậy x = 15 d) Ta có ( + x)4 1 3 = 256 ( + x)4 4 1 3 = 4 1+ 3x = 4 3x = 4 −1 Trang 12 3x = 3 x =1 Vậy x =1
Bài 4: Tìm số tự nhiên x, biết: a) 3 2 x = x ( )11 4 x = x b) ( )2 54 x = x c) Lời giải: a) Ta có 3 2 x = x suy ra 3 2 x x = 0 2  x (x − ) 1 = 0 2 x = 0 x = 0     x −1 = 0 x =1
Vậy x = 0 hoặc x =1. b) Ta có ( )11 4 x = x suy ra 44 x x = 0 x ( 43 x − ) 1 = 0 x = 0 x = 0 x = 0       43 43 x −1 = 0 x =1 x =1
Vậy x = 0 hoặc x = 1 . c) Ta có ( )2 54 x = x suy ra 108 xx = 0 x ( 107 x − ) 1 = 0 x = 0
x = 0 x = 0      107 107 x −1 = 0 x =1x =1
Vậy x = 0 hoặc x = 1 .
Bài 5: Tìm số tự nhiên x, biết: a) ( x − )2 2. 2 1 = 50 b) ( x − )3 5 2 7 11 = 2 .5 + 200 Trang 13 c)  −  ( x − ) 3 720 : 41 2 5  = 2 .5  Lời giải: a) Ta có ( x − )2 2. 2 1 = 50 ( x − )2 2 1 = 50 : 2 ( x − )2 2 2 1 = 25 = 5  2x −1= 5 2x = 6 x = 3 Vậy x = 3 b) Ta có: ( x − )3 5 2 7 11 = 2 .5 + 200 3 3 = = (7x −11) 1000 10  7x −11=10 7x = 21 x = 3 Vậy x = 3 c) Ta có:  −  ( x − ) 3 720 : 41 2 5  = 2 .5  720 : 41−  (2x −5) = 40  41−  (2x −5) = 720:40  41−  (2x −5) =18  2x − 5 = 23 2x = 28 x = 14 Vậy x =14 .
Bài 6: Tìm số tự nhiên x, biết: 6 8
a) ( x − 2) = ( x − 2) 4 6
b) (3x − 6) = (3x − 6) Lời giải: 6 8
a) Ta có: ( x − 2) = ( x − 2) 6 8
 (x − 2) −(x − 2) = 0 6 2 (x − 2) 1
 − (x − 2)  = 0   6 (x − 2) = 0 x − 2 = 0 x = 2 x = 2         2 2 1  − (x − 2) = 0 (x − 2) = 1 x − 2 = 1 x = 3
Vậy x = 2 hoặc x = 3. 4 6
b) Ta có: (3x − 6) = (3x − 6)
 ( x − )4 −( x − )6 3 6 3 6 = 0 Trang 14
( x − )4  −( x − )2 3 6 1 3 6  = 0   ( − =  = x )4 x 2 3 6 0 3x − 6 = 0 3x = 6 x = 2            1  −(3x −6) 7 2  = 0 (3x − 6)2 =1 3x − 6 =1 3x = 7 x = (loai)    3 Vậy x = 2 . m m+3
Bài 7: Tìm số tự nhiên x, biết: ( x − 2) − ( x − 2) = 0 (m ) Lời giải: m m+3
Ta có: ( x − 2) − ( x − 2) = 0 (m ) ( − )m x  − (x − )3 2 1 2  = 0   ( m m x − 2) = 0 (x − 2) = 0 x − 2 = 0 x = 2 x = 2            1
 −(x − 2)3 = 0  1
 −(x − 2)3 = 0 (x − 2)3 =1 x − 2 =1 x = 3    
Vậy x = 2 hoặc x = 3. x+2 x+4
Bài 8: Tìm số tự nhiên x, biết ( x − ) 1 = (x − ) 1 ( ) 1 Lời giải:
Đặt x −1= y x + 2 = y +3; x + 4 = y +5 + + Ta có ( ) 1 trở thành y 3 y 5 y = y y+3 2 y ( y −1) = 0 y+3  y = 0  y = 0 x = 1      x    1;  2 2 y −1 = 0  y = 1 x = 2 Vậy x 1;  2 là giá trị cần tìm.
Bài 9: Tìm các số tự nhiên x và y biết rằng: x 2 10 + 48 = y Lời giải:
Nếu x = 0 ta có 2 0 2
y = 10 + 48 = 1+ 48 = 49 = 7  y = 7 .
Nếu x  0 ta có 10x có chữ số tận cùng là 0, do đó 10x + 48 có chữ số tận cùng là 8 mà 2 y không thể có chữ số tận cùng là 8.
Vậy x = 0, y = 7.
Bài 10: Tìm số tự nhiên x, biết: a)  − ( x − )5 1600 : 41 2 5  = 40   b) ( 2 x + ) + ( 2 x + )( 2 x + ) + + ( 2 1 2 3 ... x +100) = 15050 Lời giải: a) Ta có:  − ( x − )5 1600 : 41 2 5  = 40   Trang 15  − ( x − )5 41 2 5  = 1600 : 40    − ( x − )5 41 2 5  = 40   ( x − )5 2 5 = 41− 40 ` ( x − )5 2 5 = 1 2x − 5 = 1 2x = 6 x = 3 Vậy x = 3. b) Ta có: ( 2 x + ) + ( 2 x + )( 2 x + ) + + ( 2 1 2 3 ... x +100) = 15050 2
x .100 + (1+ 2 + 3+...+100) =15050 2
x .100 + (1+100) (100 − ) 1 :1+1 : 2 = 15050  2 x .100 +101.50 =15050 2 x .100 + 5050 =15050 2 x .100 =15050 −5050 2 x .100 =10000 2 2 x =100 =10  x =10 Vậy x = 10 .
Bài 11: Tìm số tự nhiên x, biết: 2 2021 a) ( + + + ) ( − x) 3 3 3 3 1 2 3 4 . 1 =1 + 2 + 3 + 4 b) ( 3 5 5 − ) 2022 2022 125 .7 175 : 5 : 2021 = x Lời giải: 2 2021
a) Ta có: ( + + + ) ( − x) 3 3 3 3 1 2 3 4 . 1 =1 + 2 + 3 + 4 ( − x)2021 2 10 . 1 =1+ 8 + 27 + 64 ( − x)2021 100. 1 =100 ( − x)2021 1 =100 :100 ( − x)2021 1 =1 1− x =1 x = 2 Vậy x = 2 . b) Ta có: ( 3 5 5 − ) 2022 2022 125 .7 175 : 5 : 2021 = x 3 5   ( 3) 5 −( ) 2022 2022 5 .7 25.7 : 5 : 2021 = x   9 5 5 5 2022 2022 5 .7 − 25 .7 :5 : 2021 = x   9 5 10 5 2022 2022 5 .7 − 5 .7 :5 : 2021 = x   9 5 9 5 2022 2022 5 .7 − 5 .7  : 2021 = x   2022 2022 0 : 2021 = x 2021 x = 0 x = 0 Vậy x = 0 . Trang 16    
Bài 12. Tìm x  , biết: x − − ( − ) 3 3 3 2 2 2 6 8 9.7 − 7.5 − 5.3 =1     Lời giải:     Ta có: x − − ( − ) 3 3 3 2 2 2 6 8 9.7 − 7.5 − 5.3 =1    
x − −( − ) −  −   3 3 3 2 36 64 63 35 15 =1
x − − −  −   3 3 2 3 36 1 35 15 =1 x − 3 2 15 =1 2  x −15 =1 2 2 x =16 = 4 x = 4 . Vậy x = 4 . 2 2
Bài 13. Tìm x
, biết: ( x − 3) = (1– 3x) Lời giải: 2 2
Ta có ( x − 3) = (1 – 3x)  x – 3 = 1 – 3x 4x = 4 x = 1 Vậy x = 1 100 200
Bài 14. Tìm số tự nhiên x y , biết: (3x − 6) + (2y − 4)  0 Lời giải: 100 200 Ta có (3x − 6)
 0, (2y − 4)  0, x  , y
 ( x − )100 +( y − )200 3 6 2 4  0,  , x y 100 200 Mà (3x − 6) + (2y − 4)  0 (3x −6)100 = 0  − =  = 100 200 3x 6 0 x 2 nên (3x − 6)
+ (2y − 4) = 0     (   y − 4)200 = 0 2y − 4 = 0  y = 2 2
Vậy x = y = 2 .
Bài 15. Tìm số tự nhiên a và b, biết: 3a + 9b =183 Lời giải: Nếu a = 0 ta có 0 3 + 9b =138 1+ 9b = 183 9b = 182  b Trang 17 Nếu a = 1ta có 1 3 + 9b =138 9b = 180 b = 20
Nếu a  2 ta có 3a chia hết cho 9, 9b chia hết cho 9  3a + 9b chia hết cho 9 nhưng 183 không chia hết
cho 9. 3a + 9b =183 Vô lý.
Vậy a =1, b = 20 .
Bài 16. Tìm số tự nhiên a và b, biết: a 2 10 +168 = b Lời giải: Nếu a = 0 ta có 2 0 b =10 +168 2 b =169 2 b =13  b =13 Nếu a  0 ta có 1 3 + 9b =138 9b = 180 b = 20
Nếu a  2 ta có 3a chia hết cho 9, 9b chia hết cho 9  3a + 9b chia hết cho 9 nhưng 183 không chia hết
cho 9. 3a + 9b =183 Vô lý.
Vậy a =1, b = 20 . 2
Bài 17. Tổng bình phương của ba số tự nhiên là 2596. Biết rằng tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là , 3 5
giữa số thứ hai và số thứ ba là . Tìm ba số đó. 6 Lời giải: a 2 b 5 2 6
Gọi a, b, c là ba số tự nhiên phải tìm, ta có: = ; =  a = ; b c = b b 3 c 6 3 5 4 36 Có 2 2 2
a + b + c = 2596 nên 2 2 2 b + b + b = 5296 9 25 649 Hay 2 2
b = 2596  b = 900 225 2 6 6
b = 30, a = .30 = 20, c = b = .30 = 36 3 5 5
Vậy ba số cần tìm lần lượt là 20, 30, 36. 2 2
Bài 18. Tìm số tự nhiên x y , biết: ( x − 2) + 2( y – 3)  4 (
x − 2)2  0, x   2 2 Ta có 
 (x − 2) + 2( y – 3)  0 2
 ( y – 3)2  0, y  2 2
Mà ( x − 2) + 2( y – 3)  4
0  ( x − 2)2 + 2( y – 3)2  4 mà ( y )2 2
– 3 là số chẵn nên ta có các trường hợp: Trang 18 Xét trường hợp 1. (  x − 2  )2 = 0 x − 2 = 0 x = 2       ( y )2 = y – 3 = 0 y = 3 2 – 3 0 Xét trường hợp 2. (  x − 2  )2 =1 x − 2 =1  x = 3      2  ( y – 3) = 2 (  y – 3  )2 2 =1 y = 4
Vậy x = 2, y = 3 hoặc x = 3, y = 4 .
PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG. ( Khoảng 15 bài )
Bài 1: ĐỀ THI HUYỆN HOA LƯ Tìm x biết: 2 3 x = 81 Lời giải: 2 3 x = 81 2x 4 3 = 3  2x = 4  x = 2
Bài 2: ĐỀ THI HUYỆN PHÙ CÁT
Tìm số tự nhiên x , biết: a) 3 5 2 2 (7x −11) = 2 .5 + 2.10 x x 1 + x+2 x+2021 2026 b) 2 + 2 + 2 +......+ 2 = 2 −16 Lời giải: a) Ta có ( x - )3 5 2 2 2 7 11 = 2 .5 2 + .5 2 . ( x-1 )3 3 2 1 = ( 2 7 2 .5 . 2 + ) 1 ( x )3 3 3 7 -11 = 2 .5 (7x )3 3 -11 =10 7x - 11 = 10 7x = 21 x = 3 Vậy x = 3 x x 1 + x+2 x+2021 2026 b)2 + 2 + 2 +......+ 2 = 2 −16 Đặt x x 1 + x+2 x+2021 A = 2 + 2 + 2 +. .....+ 2 x 1 + x+2 x+2022  2A = 2 + 2 +......+ 2 x 2022 2A 2 2x A +  − = − x+2022 x x 2022 A = 2 − 2 = 2 (2 − ) 1 Từ (1): Trang 19 x  ( 2022 ) 4 = ( 2022 2 2 -1 2 2 - ) 1 x 4  2 = 2 x = 4 Vậy x = 4
Bài 3: ĐỀ THI HUYỆN TP NINH BÌNH
Tìm các số nguyên x biết: 3 2 (7x −1 )1 = ( 3 − ) .15 + 208 Lời giải: ( x − )3 = (− )2 7 11 3 .15 + 208 ( x − )3 7 11 = 9.15 + 208 ( x − )3 3 7 11 = 7 7x −11 = 7 18 x = 7
Bài 4: ĐỀ THI HUYỆN TIÊN DU
Tìm số tự nhiên x biết: x x 1 2.3 5.3 + + =153 Lời giải: x x 1 2.3 5.3 + + =153 (2 15).3x + =153 17.3x =153 3x = 9 x = 2 Vậy x = 2
Bài 5: ĐỀ THI HUYỆN CHƯ SÊ   x x+ 200 1 1 1 1 Tìm x  , biết: 2 2 + 2 = . + + +...+   19 1.2 2.3 3.4 19.20  Lời giải: 200  1 1 1 1  200  1  Ta có: . + + +...+ = 1− =10     19 1.2 2.3 3.4 19.20  19  20  x x+2  2 + 2 =10 2x  (1+ 4) =10
 2x = 2  x =1
Bài 6: ĐỀ THI HƯNG HÀ x x 1 + x+2 15 5 . 5 .5 =1000...0 : 2
a) Tìm số tự nhiên x biết: . 15ch÷ sè 0 Trang 20 Lời giải: x x 1 + x+2 15 5 . 5 .5 =1000...0 : 2 5 1 ch÷ sè 0 53x + 3 = 1015 : 215 53x + 3 = 515 Suy ra: 3x + 3 = 15 3x = 12 x = 4 Vậy x = 4
Bài 7: ĐỀ THI HUYỆN CHƯƠNG MỸ
Tìm số nguyên x thỏa mãn: 2x−3 2 2 5 + 7.5 = 12.5 Lời giải: 2x−3 2 2 5 + 7.5 = 12.5 2x−3 2 2 5 = 12.5 − 7.5 2x−3 2 5 = (12 − 7).5 2x−3 3 5 = 5 2x − 3 = 3 2x = 3 x = 3 Vậy x = 3
Bài 8: ĐỀ THI HUYỆN KIẾN XƯƠNG Tìm x biết: − ( x − )2 2 26 3. 2 3 = 7 − Lời giải: − ( x − )2 2 26 3. 2 3 = 7 − − ( x − )2 26 3. 2 3 = 4 − 9 ( x − )2 3. 2 3 = 75 ( x − )2 2 3 = 25
 2x − 3 = 5 hoặc 2x − 3 = 5 −
x = 4 hoặc x = 1 −
Vậy x = 4 hoặc x = 1 −
Bài 9: ĐỀ THI KỲ ANH Trang 21
Tìm 𝑥 biết: ( x − )3 3 2 3 7 = 2 .3 + 53 Lời giải: ( x − )3 3 2 3 7 = 2 .3 + 53 ( x − )3 3 7 = 8.9 + 53 ( x − )3 3 7 = 125 ( x − )3 3 3 7 = 5 3x − 7 = 5 3x = 12 x= 12 : 3 x = 4
Bài 10: ĐỀ THI HUYỆN THANH TRÌ
Tìm số tự nhiên x , biết: a) x + ( x + )
1 + ( x + 2) + ( x + )
3 + ... + ( x + 20) = 420 . x x+ x+ x+ x+ b) 1 2 3 2020 2023 2 + 2 + 2 + 2 +...+ 2 = 2 − 4 . Lời giải a) x + ( x + )
1 + ( x + 2) + ( x + )
3 + ... + ( x + 20) = 420
x + x +1+ x + 2 + x + 3 + ... + x + 20 = 420
(x + x +...+ x) +(1+ 2+3+...+ 20) = 420 21.20 21x + = 420 2 21x + 210 = 420 21x = 420 − 210 21x = 210 x = 10 Vậy x = 10 . x x+ x+ x+ x+ b) 1 2 3 2020 2023 2 + 2 + 2 + 2 +...+ 2 = 2 − 4 . x ( 2 3 2020 + + + + + ) 2 = ( 2021 2 1 2 2 2 ... 2 2 2 − ) 1 (1) Đặt 2 3 2020 2 3 4 2021
A = 1+ 2 + 2 + 2 + ... + 2
 2A = 2 + 2 + 2 + 2 +...+ 2 2021 2021  2AA = 2 −1 A = 2 −1
Từ (1)  x ( 2021 − ) 2 = ( 2021 2 2 1 2 2 − ) 1 x 2  2 = 2  x = 2 Trang 22 Vậy x = 2 .
Bài 11: ĐỀ THI YÊN ĐỊNH Tìm − + x biết x 1 x x 1 2 + 2 + 2 =112 Lời giải Ta có: x 1 − x x 1 2 2 2 + + + =112 x 1 − x 1 − x 1 − 2 2 + 2 .2+2 .2 =112 x 1 − ( 2 2 . 1+ 2 + 2 ) = 112 x 1 2 − .7 =112 x 1 2 − =112 : 7 x 1 2 − =16 x 1 − 4 2 = 2 x −1 = 4 x = 5
Bài 12: ĐỀ THI THANH BA
Cho x , y là các số tự nhiên thỏa mãn các hệ thức ( x − )5 2 = 243 ; y y+4 2 + 2
= 272. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. x + y = 9.
B. x y = 1 − . C. 2 2 x + y = 40 . D. 2 2 x y = 9 − . Lời giải Ta có ( x − )5 5 2 = 243 = 3 x − 2 = 3 x = 5 Ta có y y+4 2 + 2 = 272 y ( 4 2 1+ 2 ) = 272 y 2 .17 = 272 2y = 272 :17 =16 y 4 2 =16 = 2 y = 4 Vậy x + y = 9
Bài 13. ĐỀ THI THỊ XÃ HOÀI NHƠN Cho 1 2 3 2019 A = 3 + 3 + 3 +...+ 3 . Tìm x để 2 3 3x A + = Lời giải 1 2 3 2019 A = 3 + 3 + 3 +...+ 3 Trang 23 2 3 2020 3A = 3 + 3 +...+ 3
A A = ( 2 3 2020 + + + )−( 1 2 3 2019 3 3 3 ... 3 3 + 3 + 3 + ... + 3 ) 2020  2A = 3 −3 2020  2A+3 = 3 Mà 2 3 3x A + =  x = 2020 Vậy x = 2020 thì 2 3 3x A + =
Bài 14. ĐỀ THI KIẾN XƯƠNG  1 1 1 1  16 Tìm x biết: 2 + + +...+ .x = 2    4.7 7.10 10.13 73.76  19 Lời giải  1 1 1 1  16 2 + + +...+ .x = 2    4.7 7.10 10.13 73.76  19 1  1 1 1 1 1  16 2 − + −...+ − .x = 2   3  4 7 7 73 76  19 3 16 2 .x = 2 38 19 2 x = 36 x = 6  Vậy x = 6 
Bài 14. ĐỀ THI HUYỆN ĐÔNG HƯNG Tìm x biết: a) 2 (2x −1) = 25 b) 3(5x − ) 1 − 2 = 70 Lời giải a) 2 (2x −1) = 25 Ta có: 2 2 2
25 = 5  (2x −1) = 5 hoặc ( )2 5 −
Trường hợp 1: 2x −1 = 5 −  2x = 4 −  x = 2 − Trang 24
Trường hợp 2: 2x −1 = 5  2x = 5 +1 x = 3
Vậy x = 3 hoặc x = 2 − b, 3(5x − ) 1 − 2 = 70 3.(5x − ) 1 − 2 = 70 3.(5x − ) 1 = 72 5x −1 = 24 5x = 25 x = 2 Vậy x = 2
Bài 15. ĐỀ THI HUYỆN HƯNG HÀ + + +
Tìm số tự nhiên x biết: x x 1 x 2 x 2017 2020 2 + 2 + 2 +...+ 2 = 2 − 4. Lời giải + + +
Tìm số tự nhiên x biết: x x 1 x 2 x 2017 2020 2 + 2 + 2 +...+ 2 = 2 − 4. x x 1 + x+2 x+2017 2020 2 + 2 + 2 +...+ 2 = 2 − 4 x ( 2 2017 + + + + ) 2020 2 . 1 2 2 ... 2 = 2 − 4 x ( 2018 − ) 2020 2 . 2 1 = 2 − 4 2020 − x 2 4 2 = 2018 2 − 1 2 2 − x ( 2018 2 )1 2 = 2018 2 − 1 x 2 2 = 2 Vậy x = 2 . Trang 25