Phân Tích Các Bài Tập Xác Suất và Thống Kê | Toán Rời Rạc | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

Đại lượng ngẫu nhiên liên tục
Bài 1. Lịch chạy xe buýt tại một bến chờ xe buýt như sau: chuyến xe đầu tiên trong
ngày là vào 7 giờ sáng và cứ sau mỗi 15 phút sẽ có một chuyến xe đến bến. Giả sử một
hành khách đến bến trong khoảng thời gian từ 7 giờ đến 7 giờ 30 phút. Tìm xác suất để hành khách này chờ: a. Ít hơn 5 phút. b. Ít nhất 12 phút.
Bài 2. Thời gian, T (giờ), một người sử dụng để thăm quan một viện bảo tàng là một
biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất
f (x) = kx(16 − x2), 0 ≤ x ≤ 4,
trong đó k là một số thực dương. a. Tìm k?
b. Tìm thời gian trung bình một người sử dụng để thăm quan viện bảo tàng.
c. Tính xác suất một người được chọn ngẫu nhiên có thời gian thăm quan bảo tàng ít hơn 1 giờ.
d. Tính xác suất hai người được chọn ngẫu nhiên mà cả hai có thời gian thăm quan bảo tàng ít hơn 1 giờ.
Bài 3. Thời gian sản xuất ra một thiết bị tay nâng tủ bếp một ĐLNN X có phân bố
chuẩn. Biết rằng tỷ lệ các thiết bị tay nâng phải mất hơn 20 phút mới làm xong là
65% còn mất hơn 30 phút là 8%.
a. Tính tỷ lệ các thiết bị được sản xuất ra trong thời gian nhiều hơn 25 phút.
b. Trong số 1000 sản phẩm có bao nhiêu thiết bị được sản xuất ra trong thời gian nhỏ hơn 15 phút.
Bài 4. Một vườn mít thu hoạch được 5000 quả. Giả sử rằng khối lượng quả mít tuân
theo phân bố chuẩn. Biết rằng có 125 quả nhẹ hơn 2 (kg), và có 793 quả nặng hơn 6.5 (kg).
a. Xác định kỳ vọng và phương sai của khối lượng quả mít
b. Lấy ra 100 quả mít, tính xác suất để có ít nhất 2 quả nặng hơn 8 (kg). 1
Bài 5. Giả sử X là thời gian giữa hai lần nhận được tín hiệu từ về tinh. Biết rằng
trung bình cứ 1 giờ chúng ta lại nhận được một tín hiệu. 2
a. Hãy tính xác suất để khoảng thời gian giữa hai lần chúng ta nhận được tín hiệu
từ vệ tinh là nhỏ hơn 2 giờ. b. Hãy tính E(etX).
Bài 6. Cho biết X là đại lượng phân bố mũ với tham số λ = 1.
a. Xác định hàm mật độ và gọi tên phân bố Y = e X − . b. Tính P (X2 − 2X < 3).
Bài 7. Biết rằng một mạch vi tính có tuổi theo (theo năm) tuân theo phân bố mũ với
tham số là 5. Mỗi mạch bán ra với giá 10 triệu đồng. Giả sử rằng thời gian bảo hành
là 2 (năm), nếu hỏng tại thời gian x (năm) thì việc bảo hành sẽ thiệt hại 6 − 3x triệu đồng.
Tính kỳ vọng số tiền thu được khi bán một sản phẩm.
Bài 8. Tuổi thọ của một thiết bị điện tử là một đại lượng ngẫu nhiên liên tục X (năm)
có hàm mật độ xác suất là:   k(1 − x) 0 ≤ x ≤ 1    f (x) = 3k2 (x2 + 1) 1 < x ≤ 2 20     0 Ngược lại
a. Tìm hệ số k. Tính xác suất để một thiết bị sử dụng được từ 6 tháng đến 18 tháng.
b. Tính tuổi thọ trung bình của thiết bị này.
c. Giả sử cửa hàng nhập một lô hàng gồm 20 thiết bị trên về kho, hãy tính xác suất
để trong lô hàng đó có 15 thiết bị có tuổi thọ từ 6 tháng đến 18 tháng?
d. Một hệ thống gồm 3 thiết bị nói trên được mắc nối tiếp nhau, hệ thống sẽ không
hoạt động nếu như 1 trong 3 biết bị không hoạt động. Hãy tính xác suất để hệ
thống này không hoạt động sau 18 tháng. 2
Bài 9. Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ như sau:  1  − x −2 ≤ x ≤ 0  4   f (x) = kx 0 < x ≤ 2     0 x / ∈ [−2; 2] a. Tìm k, EX và DX.
b. Tìm P |X − EX| < 3. 2
c. Tìm kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên Y = eX.
Bài 10. Số tiền trung bình hàng năm mà các hộ gia đình tại khu vực A chi cho giao
thông là 6 312$ (tháng 8 năm 2001). Giả sử rằng số tiền chi cho giao thông X tuân theo phân bố chuẩn.
a. Giả sử bạn biết rằng 5% hộ gia đình tại khu vực A chi ít hơn 6295, 5$ cho giao
thông. Độ lệch tiêu chuẩn của X là bao nhiêu?
b. Xác suất mà một hộ gia đình chi từ 6321, 5$ đến 6323$ là bao nhiêu?
Bài 11. Tuổi thọ của một sản phẩm là một biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối
chuẩn với trung bình bằng 1000 giờ và bình phương độ lệch tiêu chuẩn là 100 giờ.
a. Nếu thời gian bảo hành là 980 giờ thì tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành là bao nhiêu?
b. Nếu bán được một sản phẩm cửa hàng sẽ lãi 50 000 đồng, nhưng nếu trong thời
gian bảo hành sản phẩm bị hỏng thì chi phí bảo hành là 500 000 đồng. Hỏi tiền
lãi trung bình khi bán được một sản phẩm là bao nhiêu?
c. Nếu muốn tỷ lệ bảo hành là 0.01 thì phải quy định thời gian bảo hành là bao nhiêu?
d. Nếu thời gian bảo hành vẫn là 980 giờ và tỷ lệ bảo hành là 0.01 thì phải tăng
tuổi thọ trung bình của mỗi sản phẩm lên bao nhiêu giờ?
Bài 12. Nghiên cứu chiều cao của người trưởng thành người ta nhận thấy chiều cao
X (đơn vị: cm) tuân theo phân bố chuẩn N (175, 42). Hãy xác định:
a. Tỷ lệ người trưởng thành có chiều cao trên 180 cm. 3
b. Tỷ lệ người trưởng thành có chiều cao từ 170 cm đến 175 cm. c. Tìm mức h biết 0
33% người trưởng thành có chiều cao dưới mức h0.
d. Tìm khoảng dao động chiều cao của 90% người trưởng thành xung quanh giá
trị trung bình của nó, nói cách khác, xác định khoảng (µ − ϵ, µ + ϵ) sao cho P (|X − µ| < ϵ) = 0.9. 4