-
Thông tin
-
Hỏi đáp
Phương trình đường thẳng Oxy – Nguyễn Bảo Vương
Tài liệu gồm 70 trang do thầy Nguyễn Bảo Vương biên soạn trình bày lý thuyết, dạng toán và bài tập tự luận, trắc nghiệm chủ đề phương trình đường thẳng trong chương trình Hình học 10 chương 3 (Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy). Các bài tập có đáp án và hướng dẫn giải.
Toán 10 2.8 K tài liệu
Phương trình đường thẳng Oxy – Nguyễn Bảo Vương
Tài liệu gồm 70 trang do thầy Nguyễn Bảo Vương biên soạn trình bày lý thuyết, dạng toán và bài tập tự luận, trắc nghiệm chủ đề phương trình đường thẳng trong chương trình Hình học 10 chương 3 (Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy). Các bài tập có đáp án và hướng dẫn giải.
Chủ đề: Chương 7: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng (KNTT) 78 tài liệu
Môn: Toán 10 2.8 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
1.PH¦¥NG TR×NH §êng Th¼ng
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng :
a. Định nghĩa : Cho đường thẳng . Vectơ n 0 gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của
nếu giá của n vuông góc với . Nhận xét :
- Nếu n là VTPT của thì kn k 0 cũng là VTPT của .
b. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Cho đường thẳng đi qua M (x ;y ) và có VTPT n (a;b) . 0 0 0
Khi đó M(x;y) MM n MM .n 0 a(x x ) (
b y y ) 0 0 0 0 0
ax by c 0 (c a
x by ) (1) 0 0
(1) gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng . Chú ý :
- Nếu đường thẳng :ax by c 0 thì n (a;b) là VTPT của .
c) Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát
• song song hoặc trùng với trục Ox : by c 0
• song song hoặc trùng với trục Oy : ax c 0
• đi qua gốc tọa độ : ax by 0 x y
• đi qua hai điểm Aa;0, B 0;b : 1 với ab 0 a b
• Phương trình đường thẳng có hệ số góc k là y kx m với k tan , là góc
hợp bởi tia Mt của ở phía trên trục Ox và tia Mx
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 1 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
2. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số của đường thẳng :
a. Định nghĩa vectơ chỉ phương :
Cho đường thẳng . Vectơ u 0 gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng
nếu giá của nó song song hoặc trùng với . Nhận xét :
- Nếu u là VTCP của thì ku k 0 cũng là VTCP của .
- VTPT và VTCP vuông góc với nhau. Do vậy nếu có VTCP u (a;b) thì n ( ; b a) là một VTPT của .
b. Phương trình tham số của đường thẳng :
Cho đường thẳng đi qua M (x ;y ) và u (a;b) là VTCP. 0 0 0
x x at
Khi đó M(x;y) . 0
MM tu t R . (1) 0
y y bt 0
Hệ (1) gọi là phương trình tham số của đường thẳng , t gọi là tham số
Nhận xét : Nếu có phương trình tham số là (1) khi đóA (
A x at;y bt) 0 0
2. Phương trình chính tắc của đường thẳng.
Cho đường thẳng đi qua M (x ;y ) và u (a;b) (với a 0, b 0 ) là vectơ chỉ 0 0 0
phương thì phương trình x x y y 0 0
được gọi là phương trình chính tắc của a b đường thẳng .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 2 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng. Cho hai đường thẳ
ng d : a x b y c 0; : d
a x b y c 0 1 1 1 1 2 2 2 2 a b
• d cắt d khi và chỉ khi 1 1 0 1 2 a b 2 2 a b b c a b c a
• d / /d khi và chỉ khi 1 1 0 và 1 1 0, hoặc 1 1 0 và 1 1 0 1 2 a b b c a b c a 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a
• d d khi và chỉ khi 1 1 1 1 1 1 0 1 2 a b b c c a 2 2 2 2 2 2
Chú ý: Với trường hợp a .b .c 0 khi đó 2 2 2 + Nếu a a 1 2
thì hai đường thẳng cắt nhau. b b 1 2 a a c + Nếu 1 2 1
thì hai đường thẳng song song nhau. b b c 1 2 2 a a c + Nếu 1 2 1
thì hai đường thẳng trùng nhau. b b c 1 2 2
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng.
1. Phương pháp giải:
• Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng ta cần xác định - Điểm (
A x ;y ) 0 0
- Một vectơ pháp tuyến n a;b của
Khi đó phương trình tổng quát của là a x x b y y 0 0 0 Chú ý:
o Đường thẳng có phương trình tổng quát là 2 2
ax by c 0, a b 0 nhận n a;b làm vectơ pháp tuyến.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 3 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
o Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT đường thẳng này cũng là VTPT của đường thẳng kia.
o Phương trình đường thẳng qua điểm M x ;y có dạng 0 0
: a x x b y y 0 với 2 2 a b 0 0 0
hoặc ta chia làm hai trường hợp
+ x x : nếu đường thẳng song song với trục Oy 0
+ y y k x x : nếu đường thẳng cắt trục Oy 0 0 x y
o Phương trình đường thẳng đi qua Aa; 0,B 0;b với ab 0 có dạng 1 a b
1. caùc ví duï minh hoïa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết A2;0, B 0;4, C(1;3). Viết phương trình tổng quát của a) Đường cao AH
b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC .
c) Đường thẳng AB .
d) Đường thẳng qua C và song song với đường thẳng AB .
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d : x 2y 3 0 và điểm M 1;2 . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng biết:
a) đi qua điểm M và có hệ số góc k 3
b) đi qua M và vuông góc với đường thẳng d
c) đối xứng với đường thẳng d qua M
Ví dụ 3: Biết hai cạnh của một hình bình hành có phương trình x y 0 và x 3y 8 0 , tọa độ
một đỉnh của hình bình hành là 2;2. Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành.
Ví dụ 4: Cho điểm M 1;4. Viết phương trình đường thẳng qua M lần lượt cắt hai tia Ox , tia Oy tại A
và B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất .
1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän
Bài 1: Cho điểm A1;3. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua A và
a) Vuông góc với trục tung
b) song song với đường thẳng d : x 2y 3 0
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 4 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
Bài 2: Cho tam giác ABC biết A2;1, B 1;0, C(0;3).
a) Viết phương trình tổng quát của đường cao AH
b) Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB .
c) Viết phương trình tổng quát đường thẳng BC .
d) Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua A và song song với đường thẳng BC .
Bài 3: Viết phương trình tổng quátcủa đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a) ∆ đi qua điểm M 2;5 và song song với đường thẳng d : 4x 7y 3 0
b) ∆ đi qua P 2;5 và có hệ số góc k 11.
Bài 4: Cho M 8;6. Viết phương trình đường thẳng qua M cắt chiều dương hai trục toạ độ tại A, B sao
cho OA OB đạt giá trị nhỏ nhất.
DẠNG 2: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng.
1. Phương pháp giải:
• Để viết phương trình tham số của đường thẳng ta cần xác định - Điểm (
A x ;y ) 0 0
- Một vectơ chỉ phương u a;b của
x x at
Khi đó phương trình tham số của là 0 , t R .
y y bt 0
• Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng ta cần xác định - Điểm (
A x ;y ) 0 0
- Một vectơ chỉ phương u a;b , ab 0 của x x y y
Phương trình chính tắc của đường thẳng là 0 0 a b
(trường hợp ab 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc)
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 5 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 Chú ý:
o Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT.
o Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại
o Nếu có VTCP u (a;b) thì n ( ;
b a) là một VTPT của .
1. caùc ví duï minh hoïa
Ví dụ 1: Cho điểm A1;3 và B 2;3. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a) đi qua A và nhận vectơ n 1;2 làm vectơ pháp tuyến
b) đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB
c) là đường trung trực của đoạn thẳng AB
Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a) ∆ đi qua điểm A3;0 và B 1;3
x 1 3t
b) ∆ đi qua N 3;4 và vuông góc với đường thẳng d ' : .
y 4 5t
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có A2;1, B 2;3 và C 1;5.
a) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác.
b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM.
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm D, G với D là chân đường phân giác trong góc A
và G là trọng tâm của A BC .
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC biết AB : x y 1 0 , AC : x y 3 0 và trọng tâm G 1;2. Viết
phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.
1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän
Bài 5. Cho điểm A2;2 và B 0;1. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a) đi qua A và nhận vectơ u 1;2 làm vectơ chỉ phương
b) đi qua A và nhận vectơ n 4;2 làm vectơ pháp tuyến
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 6 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
c) đi qua C 1;1 và song song với đường thẳng AB
d) là đường trung trực của đoạn thẳng AB
Bài 6: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a) ∆ đi qua điểm A3;0 và B 1;0
b) ∆ đi qua M 1;2 và vuông góc với đường thẳng d : x 3y 1 0 .
x 1 3t
c) ∆ đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng ' : . y 2t
Bài 7: Cho tam giác ABC có A2;1, B 2;3 và C 1;5 .
a) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh của tam giác.
b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM .
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua trung điểm AB và trọng tâm của tam giác ABC
Bài 8. Cho tam giác ABC biết A1;4,B 3;1 và C 6;2.
a) Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh AB.
b) Viết phương trình đường cao AH.
c) Viết phương trình đường trung tuyến của tam giác đó AM.
d) Viết phương trình đường trung trực cạnh BC.
e) Viết phương trình đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác và song song với trục hoành.
f) Viết phương trình đường thẳng đi qua trung điểm BC và vuông góc với trục tung.
g) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân đỉnh là gốc tọa độ.
h) Đường thẳng qua C và chia tam giác thành hai phần , phần chứa điểm A có diện tích gấp đối phần chứa điểm B .
Bài 9. Viết phương trình đường thẳng qua M 3;2và cắt tia Ox tại A, tia Oy tại B sao cho :
a) OA OB 12
b) Diện tích tam giác OAB bằng 12
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 7 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
Bài 10. Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình của AB : 2x y 5 0 , đường thẳng AD qua
gốc tọa độ O , và tâm hình chữ nhật là I 4;5. Viết phương trình các cạnh còn lại của hình chữ nhật.
Bài 11. Cho hình bình hành hai cạnh có phương trình 3x y 2 0 và x y 2 0.
Viết phương trình hai cạnh còn lại biết tâm hình bình hành là I 3;1 .
Bài 12. Cho tam giác ABC có trung điểm của AB là I 1;3, trung điểm AC là J 3;1. Điểm A thuộc
Oy và đường BC qua gốc tọa độ O . Tìm tọa độ điểm A , phương trình BC và đường cao vẽ từ B .
Bài 13. Cho tam giác ABC biết M 2;1, N 5;3, P 3;4 lần lựợt là trung điểm của ba cạnh. Viết
phương trình các cạnh của tam giác ABC.
1ii. Baøi taäp traéc nghieäm töï luyeän
Câu 1. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường
thẳng song song với trục Ox ?
thẳng song song với trục Ox ? A. n ; 0 1 . n 1;0 . n 1;0 . n 1;1 . 1
B. 2 C. 3 D. 4 A. u 1;0 u 0;1 . u 1;1 . u 1;1 . 1 . B. 2 C. 3 D. 4
Câu 8. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường
Câu 2. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường
thẳng song song với trục Oy ?
thẳng song song với trục Oy ? n 1;1 . n 0;1 . n 1;1 . n 1;0 . A. 1
B. 2 C. 3 D. 4
A. u 1;1 . u 0;1 . u 1;0 . u 1;1 . 1
B. 2 C. 3 D. 4
Câu 9. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường
Câu 3. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường
thẳng đi qua hai điểm A2; 3 và B4; 1 ?
thẳng đi qua hai điểm A3;2 và B 1;4?
A. n 2;2 . n 2;1 . 1 B. 2
A. u 1;2 . u 2;1 . u 2;6 . u 1;1 . 1
B. 2 C. 3 D. 4 C. n 1;1 . n 1;2 . 3 D. 4
Câu 4. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường
thẳng đi qua gốc tọa độ O 0;0 và điểm M a;b?
Câu 10. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường
thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm Aa;b?
A. u 0;a b .
u a;b . 1 B. 2 A. n a ;b . n 1;0 . 1 B. 2
C. u a; b . u a ;b . 3 D. 4
C. n b; a .
n a;b . 3 D. 4
Câu 5. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường
thẳng đi qua hai điểm Aa;0 và B 0;b?
Câu 11. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường
thẳng đi qua hai điểm phân biệt Aa;0 và B 0;b?
A. u a; b u a;b u b;a u b ;a 1
.B. 2 . C. 3 .D. 4
A. n b; a . n b ;a . 1 B. 2
Câu 6. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường
phân giác góc phần tư thứ nhất?
C. n b;a .
n a;b . 3 D. 4 A. u ; 1 1 . u 0;1 . u 1;0 .
u 1;1 . Câu 12. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường 1 B. 2
C. 3 D. 4
phân giác góc phần tư thứ hai?
Câu 7. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 8 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 A. n ; 1 1 . n 0;1 . n 1;0 . n 1;1 .
Câu 20. Đường thẳng d đi qua điểm M 1;2 và có vectơ chỉ 1
B. 2 C. 3 D. 4
phương u 3;
5 có phương trình tham số là:
Câu 13. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u 2; 1 .
Trong các vectơ sau, vectơ nào là một vectơ pháp tuyến của d
x 3t
x 13t A. d : . B. d : . ? y 52t
y 2 5t
A. n 1;2 . n 1;2 . 1 B. 2
x 15t
x 32t C. d : . D. d : .
y 23t y 5 t
C. n 3;6 . n 3;6 . 3 D. 4
Câu 21. Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và có vectơ chỉ
Câu 14. Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n 4;2 .
phương u 1;2 có phương trình tham số là:
Trong các vectơ sau, vectơ nào là một vectơ chỉ phương của d ? x 1 x 2t A. d : . B. d : . y 2 y t
A. u 2;4 . u 2;4 . u 1;2 . u 2;1 . 1 B. 2
C. 3 D. 4 x t
x 2t C. d : . D. d : .
Câu 15. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u 3;4 . y 2t y t
Đường thẳng vuông góc với d có một vectơ pháp tuyến là:
Câu 22. Đường thẳng d đi qua điểm M 0;2 và có vectơ chỉ A. n 4;3 . n 4;3 . 1 B. 2
phương u 3;0 có phương trình tham số là: C. n 3;4 . n 3;4 . 3 D. 4
x 32t x 0 A. d : d : . B. . y 0
y 2 3t
Câu 16. Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là
n 2; 5. Đường thẳng vuông góc với d có một x 3 x 3t vectơ chỉ C. d : . D. d : . phương là: y 2t y 2
A. u 5;2 . u 5;2 . 1 B. 2
Câu 23. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường x 2 thẳng d : ? C. u 2;5 . u 2;5 . 3 D. 4
y 1 6t
Câu 17. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u 3;4. A. u 6;0 u 6;0 u 2;6 u 0;1 1 . B. 2
.C. 3 .D. 4 .
Đường thẳng song song với d có một vectơ pháp tuyến là:
Câu 24. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A. n 4;3 . n 4;3 . 1 1 B. 2 x 5 t : 2 ?
y 33t C. n 3;4 . n 3;4 . 3 D. 4 1
Câu 18. Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là A. u 1;6 . u ;3 u 5;3 u 5;3 1 B. .C. 3 .D. 4 . 2 2 n 2;
5 . Đường thẳng song song với d có một vectơ chỉ phương là:
Câu 25. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A2; 1 và B2; 5 .
A. u 5;2 . u 5;2 . 1 B. 2 x 2 x 2t A. . B. . C. u 2;5 . u 2;5 . 3 D. 4 y 1 6t y 6t
Câu 19. Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương?
x 2 t x 1 C. . . D. y 5 6t
y 2 6t A. 1 . B. 2 . C. 4 . D. Vô số.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 9 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
Câu 26. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai
x 3 4t
x 32t điể A. . B. . m A–1; 3 và B3; 1 . y 22t y 2 t
x 12t
x 12t
x 12t
x 12t A. . . . B. . C. D. y 3 t y 3t y t
y 2 t
x 32t
x 12t
Câu 32. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành C. . D. . y 1 t y 3 t
ABCD có đỉnh A–2
;1 và phương trình đường thẳng chứa
x 1 4t
Câu 27. Đường thẳng đi qua hai điểm A1;
1 và B2;2 có phương cạnh CD là
. Viết phương trình tham số của y 3t trình tham số là:
đường thẳng chứa cạnh AB . x 1t x 1t A. . .
x 2 3t
x 24t B. y 2 2t y 1 2t A. . B. . y 2 2t y 13t
x 2 2t x t C. .
x 23t
x 23t D. . y 1 t y t C. . D. . y 1 4t y 1 4t
Câu 28. Đường thẳng đi qua hai điểm A3;7 và B 1;7 có Câu 33. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua
phương trình tham số là: điểm M 3;
5 và song song với đường phân giác của góc x t phần tư thứ nhất. x t A. . B. . y 7
y 7t
x 3t
x 3t A. . B. . y 5t y 5 t x 3t x t C. . D. . y 17t y 7
x 3t
x 5t C. . D. . y 5 t
y 3 t
Câu 29. Phương trình nào dưới đây không phải là phương trình
tham số của đường thẳng đi qua hai điểm O 0;0 và Câu 34. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M 1; 3 ?
điểm M 4;7 và song song với trục Ox . x 1t x 1t
x 1 4t x 4 A. . B. . y 3t A. . B. .
y 33t y 7t
y 7 t
x 12t x t
x 7 t x t C. . D. .
y 3 6t C. . D. . y 3t y 4 y 7
Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC
A2;0 ¸ B0; 3 và C 3;
1 . Đường thẳng đi qua điểm B
có A1;4 , B 3;2 và C 7;
3 . Viết phương trình tham số
và song song với AC có phương trình tham số là:
của đường trung tuyến CM của tam giác. x 5t x 5 x 7
x 35t A. . . B. y 3 t A. . B. . y 13t y 35t y 7 x t
x 35t
x 7 t x 2 C. . . D. y 35t C. . D. . y t y 3 y 3t
Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC
A3;2¸ P 4;0 và Q0;2 . Đường thẳng đi qua điểm A
có A2;4 , B 5;0 và C 2;
1 . Trung tuyến BM của tam
và song song với PQ có phương trình tham số là:
giác đi qua điểm N có hoành độ bằng 20 thì tung độ bằng:
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 10 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 25 27
Câu 44. Đường thẳng d đi qua điểm A1;2 và có vectơ pháp A. 12. B. . C. 13. D. . 2 2
tuyến n 2;4 có phương trình tổng quát là:
Câu 37. Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?
A. d : x 2 y 4 0.
B. d : x 2 y 5 0. A. 1. B. 2. C. 4. D. Vô số.
C. d : 2x 4 y 0.
D. d : x 2 y 4 0.
Câu 38. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của M 0;2
d : x 2y 2017 0
Câu 45. Đường thẳng d đi qua điểm và có vectơ chỉ ?
phương u 3;0
có phương trình tổng quát là: A. n 0;2 n 1;2 1 . B. 2 . d x d y A. : 0. B. : 2 0. C. n 2;0 n 2;1 3 . D. 4 .
C. d : y 2 0.
D. d : x 2 0.
Câu 39. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của
d : 3x y 2017 0 ?
Câu 46. Đường thẳng d đi qua điểm A4; 5 và có vectơ pháp
tuyến n 3;2 có phương trình tham số là: A. n 3;0 n 3;1 1 . B. 2 .
x 4 2t
x 2t A. . B. . C. n 6;2 n 6;2 3 . D. 4 . y 5 3t y 1 3t
Câu 40. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của
x 12t
x 52t C. . D. .
x 1 2t y 3t
y 4 3t d : ? y 3t
Câu 47. Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của A. n 2;1 n 1;2
x 35t 1 . B. 2 . đườ ng thẳng d : ? y 1 4t C. n 1;2 n 1;2 3 . D. 4 .
A. 4x 5y 17 0 .
B. 4x 5y 17 0 .
Câu 41. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của
d : 2x 3y 2018 0 ?
C. 4x 5y 17 0 .
D. 4x 5y 17 0 .
Câu 48. Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của
A. u 3;2 u 2;3 1 . B. 2 . x 15 đườ d : ng thẳng ? y 6 7t C. u 3;2 u 2;3 3 . D. 4 .
A. x 15 0 .
B. x 15 0 .
Câu 42. Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A 3;2 , B 3; 3
C. 6x 15y 0 .
D. x y 9 0 .
có một vectơ pháp tuyến là:
Câu 49. Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của A. n 6;5 n 0;1 1 . B. 2 .
đường thẳng d : x y 3 0 ? C. n 3;5 n 1;0 3 . D. 4 . x t x t A. . B. . y 3 t y 3t
Câu 43. Cho đường thẳng : x 3y 2 0 . Vectơ nào sau đây
không phải là vectơ pháp tuyến của ? x 3
x 2 t C. . D. . y t y 1 t A. n 1; –3 n –2;6 1 . B. 2 .
Câu 50. Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của 1
đường thẳng d : 3x 2y 6 0?
C. n ;1 n 3;1 3 . D. 4 . 3
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 11 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 x t A 2;0 , 0 B ;3 , C –3;1 x 3t
Câu 56. Cho tam giác ABC có . A. . B. 3 . y 2t 3 Đườ y t 3
ng thẳng d đi qua B và song song với AC có phương 2 trình tổng quát là: x t x 2t x y x y A. 5 – 3 0 . B. 5 – 3 0 . C. 3 . 3 . D.
y t 3 y t 3 2 2
C. x 5y – 15 0 .
D. x – 15y 15 0 .
Câu 51. Cho đường thẳng d : 3x 5y 2018 0 . Tìm mệnh đề Câu 57. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua
sai trong các mệnh đề sau: x t điể
m M 1;0 và vuông góc với đường thẳng : . y 2t
A. d có vectơ pháp tuyến n 3; 5 .
A. 2x y 2 0 .
B. 2x y 2 0 .
B. d có vectơ chỉ phương u 5; 3 .
C. x 2 y 1 0 .
D. x 2 y 1 0 . 5
C. d có hệ số góc k . 3
Câu 58. Đường thẳng d đi qua điểm M 2; 1 và vuông góc với
x 13t
D. d song song với đường thẳng : 3x 5y 0 . đườ ng thẳng :
có phương trình tham số là:
y 2 5t
Câu 52. Đường thẳng d đi qua điểm M 1;2 và song song với
x 23t
x 2 5t đườ . .
ng thẳng : 2x 3y 12 0 có phương trình tổng quát A. B. y 1 5t y 13t là:
x 13t
x 15t
A. 2x 3y 8 0 .
B. 2x 3y 8 0 . C. . . D. y 2 5t y 2 3t
C. 4x 6 y 1 0 .
D. 4x 3y 8 0 .
Câu 59. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua
điểm A1;2 và song song với đường thẳng
Câu 53. Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua O và
song song với đường thẳng : 6x 4x 1 0 là:
: 3x 13y 1 0 .
A. 3x 2 y 0.
B. 4x 6 y 0.
x 113t
x 113t A. . B. . y 2 3t
y 2 3t
C. 3x 12 y 1 0.
D. 6x 4 y 1 0.
x 113t
x 13t C. . D. .
Câu 54. Đường thẳng d đi qua điểm M 1;2 và vuông góc với y 2 3t y 213t đường thẳng
: 2x y 3 0 có phương trình tổng quát là:
Câu 60. Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua điểm
A1;2 và vuông góc với đường thẳng : 2x y 4 0 .
A. 2x y 0 .
B. x 2 y 3 0 .
x 12t x t A. . B. .
C. x y 1 0 .
D. x 2 y 5 0 . y 2t
y 4 2t
Câu 55. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A4; 3
x 12t
x 12t C. . D. . x 32t y 2 t y 2 t
và song song với đường thẳng d : . y 1 3t
Câu 61. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua
A. 3x 2 y 6 0 .
B. 2x 3y 17 0 .
điểm M 2;
5 và song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất.
C. 3x 2 y 6 0 .
D. 3x 2 y 6 0 .
A. x y 3 0 .
B. x y 3 0 .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 12 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
C. x y 3 0 .
D. 2x y 1 0 .
A. x y 1 0.
B. 2x 7 y 9 0.
Câu 62. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua
C. x 2 0.
D. x 2 0. điểm M 3;
1 và vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ
Câu 69. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm hai.
A3;7 và B1;7 là:
A. x y 4 0 .
B. x y 4 0 .
A. y 7 0.
B. y 7 0.
C. x y 4 0 .
D. x y 4 0 .
C. x y 4 0.
D. x y 6 0.
Câu 63. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua
điểm M 4;0 và vuông góc với đường phân giác góc phần Câu 70. Cho tam giác ABC có A1; 1 , B(0;2), C 4;2. Lập tư thứ hai.
phương trình đường trung tuyến của tam giác ABC kẻ từ . A x t
x 4 t
A. x y 2 0.
B. 2x y 3 0. A. . B. . y 4 t y t
C. x 2 y 3 0.
D. x y 0. x t x t C. . D. . y 4 t y 4 t
Câu 71. Đường trung trực của đoạn AB với A1;4 và B 5;2 có phương trình là:
Câu 64. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điể
m M 1;2 và song song với trục Ox . A. 2x 3y 3 0. B. 3x 2y 1 0.
A. y 2 0 .
B. x 1 0 .
C. 3x y 4 0.
D. x y 1 0.
C. x 1 0 .
D. y 2 0 .
Câu 72. Đường trung trực của đoạn AB với A4; 1 và
B1;4 có phương trình là:
Câu 65. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua
điểm M 6;10 và vuông góc với trục Oy .
A. x y 1.
B. x y 0.
x 10 t
x 2 t A. d : C. y x 0. D. x y 1. . B. . y 6 y 10
Câu 73. Đường trung trực của đoạn AB với A1;4 và B 1;2 x 6 x 6 C. d : d : . D. . có phương trình là: y 10 t
y 10 t
A. y 1 0.
B. x 1 0.
Câu 66. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A3; 1 và B1; 5 là:
C. y 1 0.
D. x 4 y 0.
A. x 3y 6 0.
B. 3x y 10 0.
Câu 74. Đường trung trực của đoạn AB với A1;4 và
C. 3x y 6 0.
D. 3x y 8 0.
B3;4 có phương trình là :
Câu 67. Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại
A. y 4 0.
B. x y 2 0.
A–2;0 và B0 ;3 là:
C. x 2 0.
D. y 4 0.
A. 2x 3y 4 0 .
B. 3x – 2 y 6 0 .
Câu 75. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC
C. 3x – 2 y 6 0 .
D. 2x – 3y 4 0 . có A2; 1 , B 4;
5 và C 3;2. Lập phương trình đường
cao của tam giác ABC kẻ từ . A
Câu 68. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A2; 1 và B2; 5 là:
A. 7x 3y 11 0.
B. 3x 7 y 13 0.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 13 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
C. 3x 7 y 1 0.
D. 7x 3y 13 0.
Câu 77. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A2; 1 , B 4;
5 và C 3;2. Lập phương trình đường
Câu 76. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC
cao của tam giác ABC kẻ từ C. có A2; 1 , B 4;
5 và C 3;2. Lập phương trình đường x y x y
cao của tam giác ABC kẻ từ B. A. 1 0. B. 3 3 0.
A. 3x 5y 13 0.
B. 3x 5y 20 0.
C. 3x y 11 0.
D. 3x y 11 0.
C. 3x 5y 37 0.
D. 5x 3y 5 0.
DẠNG 3: Xét vị trí tương đối của hai đường
1. Phương pháp giải:
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng . Ta xét hệ (I)
+ Hệ (I) vô nghiệm suy ra .
+ Hệ (I) vô số nghiệm suy ra
+ Hệ (I) có nghiệm duy nhất suy ra d1 và d2 cắt nhau và nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm.
Chú ý: Với trường hợp khi đó + Nếu
thì hai đường thẳng cắt nhau. + Nếu
thì hai đường thẳng song song nhau. + Nếu
thì hai đường thẳng trùng nhau.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 14 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
1. caùc ví duï minh hoïa
Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau
a) : x y 2 0;
: 2x y 3 0 1 2 b) : x 2y 5 0;
: 2x 4y 10 0 1 2
c) : 2x 3y 5 0; : x 5 0 1 2
d) : 2x 3y 4 0; : 4x 6y 0 1 2
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng A , B BC,CA là
AB : 2x y 2 0 ; BC : 3x 2y 1 0 ; CA : 3x y 3 0 .
Xác định vị trí tương đối của đường cao kẻ từ đỉnh A và đường thẳng : 3x y 2 0
Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng 2
: (m 3)x 2y m 1 0 và 2 : x
my (m 1) 0 . 1 2
a) Xác định vị trí tương đối và xác định giao điểm (nếu có) của và trong các trường hợp 1 2
m 0, m 1
b) Tìm m để hai đường thẳng song song với nhau.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC , tìm tọa độ các đỉnh của tam giác trong trường hợp sau
a) Biết A2;2 và hai đường cao có phương trình d : x y 2 0 ; : d
9x 3y 4 0 . 1 2 b) Biết (
A 4;1) , phương trình đường cao kẻ từ B là : 2x 3y 0 ; phương trình trung tuyến đi
qua đỉnh C là ' : 2x 3y 0.
1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän
Bài 14: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) d : x y 3 0; d : 2x 2y 0 1 2
b) d : 4x 6y 2 0; d : 2x 3y 1 0 1 2
c) d : 3x 2y 1 0; d : x 3y 4 0 1 2
Bài 15: Cho hai đường thẳng : 3x y 3 0, : x y 2 0 và điểm M(0;2) 1 2
a) Tìm tọa độ giao điểm của và . 1 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 15 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt và lần lượt tại A và B sao cho B là 1 2
trung điểm của đoạn thẳng AM
Bài 16: Cho hai đường thẳng có phương trình: 2 2
: (a b)x y 1; : (a b )x ay b với 2 2 a b 0 1 2
a) Tìm quan hệ giữa a và b để và cắt nhau 1 2
b) Tìm điều kiện giữa a và b để và cắt nhau tại điểm thuộc trục hoành. 1 2
Bài 17: Cho 2 đường thẳng 2 2
: kx y k 0; : (1 k )x 2ky 1 k 0 . 1 2 Chứng minh rằng:
a) Đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi k . 1
b) luôn cắt . Xác định toạ độ giao điểm của chúng. 1 2
Bài 18: Cho hai đường thẳng : mx y 1 m 0; : x my 2 0 1 2
Biện luận theo m vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Bài 19: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho các điểm A0;1, B 2;1 và các đường thẳng
d : (m 1)x (m 2)y 2 m 0 , d : (2 m)x (m 1)y 3m 5 0 1 2
a) Chứng minh d và d luôn cắt nhau. 1 2
b) Gọi P là giao điểm của d và d . Tìm m sao cho PA PB lớn nhất. 1 2
Bài 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng
: mx y m 1 0, : x my 3 m 0 , (với m là tham số thực). Chứng minh rằng với m m '
mọi m R thì hai đường thẳng đó luôn cắt nhau tại 1 điểm nằm trên một đường tròn cố định.
Bài 21: Tam giác ABC biết AB : 5x 2y 6 0 và AC : 4x 7y 21 0 và H(0;0) là trực tâm
của tam giác. Tìm tọa độ điểm , A B .
Bài 22: Cho điểm A2;1 và đường thẳng d : 3x y 3 0 . Tìm hình chiếu của A lên d .
Bài 23: Cho tam giác ABC biết A4;6, B 1;2 và đường phân giác trong CK có phương trình là
3x 9y 22 0 . Tính toạ độ đỉnh C của tam giác.
1ii. Baøi taäp traéc nghieäm töï luyeän
Câu 78. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng A. Trùng nhau. B. Song song.
d : x 2y 1 0
d : 3x 6y 10 0
C. Vuông góc với nhau. 1 và 2 .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 16 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
: 7x 2y 1 0 x 4 t 1 và : . 2 y 15t
Câu 79. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
d : 3x 2y 6 0
d : 6x 2y 8 0 A. Trùng nhau. B. Song song. 1 và 2 .
C. Vuông góc với nhau. A. Trùng nhau. B. Song song.
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
C. Vuông góc với nhau.
Câu 85. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
x 4 2t x y d :
d : 3x 2y 14 0 1 và 2 .
Câu 80. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d : 1 y 13t 1 3 4
và d : 3x 4 y 10 0 2 . A. Trùng nhau. B. Song song. A. Trùng nhau. B. Song song.
C. Vuông góc với nhau.
C. Vuông góc với nhau.
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
Câu 86. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Câu 81. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
x 4 2t d :
và d : 5x 2 y 14 0 . 2
x 1 t 1
x 2 2t y 15t d : d : 1 và . y 2 2t 2
y 8 4t A. Trùng nhau. B. Song song. A. Trùng nhau. B. Song song.
C. Vuông góc với nhau.
C. Vuông góc với nhau.
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
Câu 87. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Câu 82. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
x 2 3t
x 2t d : và d : . 1 2
x 3 4t
x 22t y 2t
y 23t d : d : 1 và . y 2 6t 2
y 8 4t A. Trùng nhau. B. Song song. A. Trùng nhau. B. Song song.
C. Vuông góc với nhau.
C. Vuông góc với nhau.
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
x 2 t
Câu 88. Cho hai đường thẳng d : 1 và
Câu 83. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng
y 3 2t x 5 t 3 1 9 x 3 t d : .
x 9t 2
y 7 3t 2 1 : 2 : 1 và . 4 2 1
y 1 t y 8t 3 3
Khẳng định nào sau đây là đúng:
A. d song song d .B. d và d cắt nhau tại M 1; – 3 . A. Trùng nhau. B. Song song. 1 2 1 2
C. Vuông góc với nhau. C. d d d d M 3;–1 1 trùng với
2 . D. 1 và 2 cắt nhau tại .
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. x 1t
Câu 89. Cho hai đường thẳng d : 1 và
Câu 84. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng y 53t
d : x – 2y 1 0 2 .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 17 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
Khẳng định nào sau đây là đúng:
x 13t
x 13t C. . . D. y 2 t y 2t A. d d d
1 song song 2 .B. 2 song song với trục Ox .
Câu 95. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng 1 C. d M 0;
2 cắt trục Oy tại .
4x 3y 1 0 2 ? x 4t x 4t 1 3 A. . B. . D. d d M ; 1 và 2 cắt nhau tại . 8 8 y 33t
y 3 3t
x 4t x 8t
Câu 90. Cho bốn điểm A4; 3 , B5; 1 , C 2; 3 và C. . . D. y 33t
y 3 t
D2; 2 . Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng AB và CD .
Câu 96. Đường thẳng nào sau đây có vô số điểm chung với x t A. Trùng nhau. B. Song song. đườ ng thẳng ? y 1
C. Vuông góc với nhau. x 0
x 1t
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. A. . . B.
y 1 2018t y 0
Câu 91. Cho bốn điểm A1;2 , B 4;0 , C 1; 3 và
x 12018t x 1
D7;7 . Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng C. . . D. y 1
y 1 t AB và CD .
Câu 97. Đường thẳng nào sau đây có đúng một điểm chung với A. Trùng nhau. B. Song song.
x 2 3t đườ ng thẳng ?
C. Vuông góc với nhau. y 57t
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
A. 7x 3y 1 0.
B. 7x 3y 1 0.
Câu 92. Các cặp đường thẳng nào sau đây vuông góc với nhau?
C. 3x 7 y 2018 0.
D. 7x 3y 2018 0. x t A. d :
d : 2x y –1 0. 1 và y 12t 2
Câu 98. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng x t
d : 3x 4 y 10 0
d : 2m 1 x m y 10 0 1 và 2 2 trùng
B. d : x 2 0 d : . 1 và 2 y 0 nhau?
C. d : 2x y 3 0
d : x 2y 1 0. A. m 2 .
B. m 1 . C. m 2 . D. m 2 . 1 và 2
D. d : 2x y 3 0
d : 4x 2y 1 0.
Câu 99. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường 1 và 2
thẳng có phương trình d : mx m 1 y 2m 0 1 và
Câu 93. Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng
d : 2x y 1 0 d d
2x 3y 1 0 . Nếu song song thì: ? 2 1 2 A. m 2.
B. m 1. C. m 2. D. m 1.
A. 2x 3y 1 0 .
B. x 2 y 5 0 .
Câu 100. Tìm m để hai đường thẳng d : 2x 3y 4 0 1 và
C. 2x 3y 3 0 .
D. 4x 6 y 2 0 .
x 23t d : 2 cắt nhau.
Câu 94. Đường thẳng nào sau đây không có điểm chung với đường y 1 4mt
thẳng x 3y 4 0 ? 1 1 1
A. m . B. m 2. C. m . D. m . x 1t x 1t 2 2 2 A. . . B. y 2 3t y 2 3t
Câu 101. Với giá trị nào của a thì hai đường thẳng
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 18 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
x 1at 1 9 9 5
d : 2x – 4 y 1 0 d : A. m . B. m .
C. m . D. m . 1 và 2 vuông góc với
y 3a 1 t 2 8 8 4 nhau?
Câu 109. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng
A. a 2. B. a 2.
C. a 1. D. a 1 .
x 12t
d : 4x 3y 3m 0 d : 1 và 2 trùng nhau?
Câu 102. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng y 4 mt
x 2 2t
x 2 mt 8 8 4 4 d : d :
A. m . B. m . C. m . D. m . 1 và trùng nhau? y 3t 2 3 3 3 3 y 6 12mt 1
Câu 110. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng A. m
. B. m 2 . C. m 2 . D. m 2 . 2
d : 3mx 2y 6 0 2
d : m 2 x 2my 3 0 1 và 2 song
Câu 103. Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng song?
x 2 2t
A. m 1; m 1. B. m .C. m 2 . D. m 1 . d :
d : 4x 3y m 0 1 và trùng nhau. y 1 mt 2
Câu 111. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng 4
A. m 3 . B. m 1 . C. m
. D. m .
x 8m 3 1 t d :
d : mx 2y 14 0 1 và 2 song song?
y 10 t
Câu 104. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng m 1
d : 2x y 4 m 0 A. . B. m 1 .
C. m 2 . D. m . d m
x y m 1 và : 3 2 1 0 song 2 m 2 song?
Câu 112. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng A. m 1.
B. m 1. C. m 2. D. m 3. d : m 2
3 x 2y m 1 0 1 và
Câu 105. Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng 2
d : x my m 2m 1 0 2 cắt nhau?
: 2x 3my 10 0
: mx 4 y 1 0 1 và 2 cắt nhau. m 1 m 1 A. m 1 . B.
. C. m 2 . D. .
A. 1 m 10 .B. m 1 .
C. Không có m .D. Với mọi m m 2 m 2 .
Câu 113. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng
Câu 106. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng
x m 2t
x 1mt
: mx y 19 0
: m 1 x m 1 y 20 0 : : 1 2 và 2 trùng nhau? 1 và 2
y 1m 1t
y m t vuông góc? 4
A. Không có m .B. m . C. m 1 . D. m 3 .
A. Với mọi m .B. m 2 . C. Không có m .D. m 1 . 3
Câu 107. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng
Câu 114. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng
: 5x 2y 10 0 và trục hoành.
d : 3mx 2y 6 0 2
d : m 2 x 2my 6 0 1 và 2 cắt nhau? A. 0;2. B. 0; 5 . C. 2;0. D. 2;0.
A. m 1 . B. m 1 .C. m D. m 1 và m 1 .
Câu 115. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng x 2t d : và trục tung.
Câu 108. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng
y 515t
x 23t
d : 2x 3y 10 0 2 d : 1 và 2 vuông góc? ;0 0;5 0;5 5;0 y 1 4mt A. . B.
. C. . D. . 3
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 19 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
Câu 116. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
và vuông góc với đường thẳng d : 2x y 7 0 3 .
7x 3y 16 0 và x 10 0 .
A. 3x 6 y 5 0 .
B. 6x 12 y 5 0 .
A. 10;18 .B. 10;18 . C. 10;18 .D. 10;18 .
C. 6x 12 y 10 0 .
D. x 2 y 10 0 .
Câu 117. Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng
Câu 124. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba đường thẳng
x 3 4t
x 1 4t d : d : . lần lượt có phương trình
d : 3x 4 y 15 0 , 1 và y 2 5t 2 1
y 75t
d : 5x 2y 1 0
d : mx 2m 1 y 9m 13 0 2 và 3 . A. 1;7.
B. 3;2. C. 2; 3 . D. 5; 1 .
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ba đường thẳng đã
cho cùng đi qua một điểm.
Câu 118. Cho hai đường thẳng d : 2x 3y 19 0 1 và 1 1 m . m . A.
B. m 5. C. D. m 5.
x 22 2t 5 5 d : 2
. Tìm toạ độ giao điểm của hai đường y 55 5t thẳng đã cho.
Câu 125. Nếu ba đường thẳng A. 2; 5 . B. 10;
25 . C. 1;7. D. 5;2.
d : 2x y – 4 0 d : 5x – 2y 3 0 1 , 2 và
d : mx 3y – 2 0 3
Câu 119. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm x t
đồng quy thì m nhận giá trị nào sau đây?
A–2;0, B 1;4
và đường thẳng d : . Tìm tọa y 2 t 12 12 độ A. . B. . C. 12. D. 12.
giao điểm của đường thẳng AB và d . 5 5 A. 2;0. B. –2;0 . C. 0;2. D. 0; – 2 .
Câu 126. Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng
d : 3x – 4 y 15 0
d : 5x 2y –1 0 1 , 2 và
Câu 120. Xác định a để hai đường thẳng d : ax 3y – 4 0 1
d : mx – 4 y 15 0 3 đồng quy?
x 1t và d : 2
cắt nhau tại một điểm nằm trên trục y 3 3t
A. m 5 . B. m 5 .
C. m 3 . D. m 3 . hoành.
Câu 127. Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng A. a 1.
B. a 1. C. a 2. D. a 2.
d : 2x y –1 0
d : x 2y 1 0 1 , 2 và
d : mx – y – 7 0 3 đồng quy?
Câu 121. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai đường thẳng
x 2 t 2
d : 4x 3my – m 0 d :
A. m 6 . B. m 6 .
C. m 5 . D. m 5 . 1 và 2 cắt nhau tại một y 6 2t điểm thuộc trục tung.
Câu 128. Đường thẳng d : 51x 30 y 11 0 đi qua điểm nào sau đây?
A. m 0 hoặc m 6 .
B. m 0 hoặc m 2 . 4 4 3 3
C. m 0 hoặc m 2 . D. m 0 hoặc m 6 . A. M 1; . B. N
1; . C. P 1; . D. Q 1; . 3 3 4 4 Câu 122.
Cho ba đường thẳng d : 3x – 2y 5 0 1 ,
x 12t
d : 2x 4 y – 7 0
d : 3x 4 y –1 0 d : ? 2 , 3
. Phương trình Câu 129. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng y 3t đườ
ng thẳng d đi qua giao điểm của d d 1 và 2 , và song song với d3 là:
A. M 2; –
1 . B. N –7;0 . C. P 3;
5 . D. Q 3; 2 .
A. 24x 32 y – 53 0 .
B. 24x 32 y 53 0 .
Câu 130. Đường thẳng 12x 7 y 5 0 không đi qua điểm nào sau đây?
C. 24x – 32 y 53 0 .
D. 24x – 32 y – 53 0 . 5 17
Câu 123. Lập phương trình của đường thẳng đi qua giao điểm A. M 1;
1 . B. N 1; 1 .C. P ;0 .D. Q 1; . 12 7
của hai đường thẳng d : x 3y 1 0
d : x 3y 5 0 1 , 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 20 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
Câu 131. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng
A. M 1;
3 . B. N 1;2. C. P 3;
1 . D. Q 3;8.
x 12t ? y 35t
DẠNG 4. Xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng.
1. Phương pháp giải.
Để xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng ta dựa vào nhận xét sau:
• Điểm A thuộc đường thẳng ( hoặc ) có dạng
• Điểm A thuộc đường thẳng (ĐK: ) có dạng với hoặc với
1. caùc ví duï minh hoïa
Ví dụ 1: Cho đường thẳng : 3x 4y 12 0
a) Tìm tọa độ điểm A thuộc và cách gốc tọa độ một khoảng bằng bốn
b) Tìm điểm B thuộc và cách đều hai điểm E 5;0 , F 3;2
c) Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M 1;2 lên đường thẳng
x 1 t
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng : x 2y 6 0 và ' : . y t
a) Xác định tọa độ điểm đối xứng với điểm A1;0 qua đường thẳng
b) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với ' qua
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông ở A. Biết A1;4, B 1;4, đường thẳng BC đi qua điểm 7 K ;2 3 . Tìm toạ độ đỉnh C.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 21 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD . Biết 7 5 I ;
là trung điểm của cạnh CD, 3
D 3; và đường phân 2 2 2
giác góc BAC có phương trình là : x y 1 0 . Xác định tọa độ đỉnh B.
Ví dụ 5: Cho đường thẳng d : x 2y 2 0 và 2 điểm A0;1 và B 3;4. Tìm tọa độ điểm M trên d
sao cho MA 2MB là nhỏ nhất.
1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän
Bài 24: Cho tam giác ABC có trọng tâm G 2;0, phương trình các cạnh AB: 4x y 14 0 , AC:
2x 5y 2 0 . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.
Bài 25: Cho hai đường thẳng d : x y 0 và d : 2x y 1 0 . Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông 1 2
ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d , đỉnh C thuộc d và các đỉnh B, D thuộc trục hoành. 1 2
Bài 26: Cho tam giác ABC có đỉnh A2;1, đường cao qua đỉnh B có phương trình x 3y 7 0 và
đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x y 1 0 . Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác.
Bài 27: Cho điểm A2;2 và các đường thẳng: d : x y 2 0, d : x y 8 0. Tìm toạ độ các 1 2
điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
Bài 28: Tam giác ABC biết A2;1 và phương trình hai đường phân giác trong của góc B và góc C lần
lượt là : x 2y 1 0, ' : 2x 3y 6 0 . Xác định tọa độ , B C .
Bài 29: Cho điểm A2;1. Trên trục Ox , lấy điểm B có hoành độ x 0 , trên trục Oy , lấy điểm C có B
tung độ y 0 sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm các điểm B, C sao cho diện tích tam giác C ABC lớn nhất.
Bài 30: Cho tam giác ABC cân tại B, vớiA1;1,C3;5. Điểm B nằm trên đường thẳngd : 2x y 0
. Viết phương trình các đường thẳng AB, BC.
Bài 31: Cho đường thẳng : x 2y 3 0 và hai điểm A2;5 và B 4;5. Tìm tọa độ điểm M trên sao cho a) 2 2
2MA MB đạt giá trị nhỏ nhất
b) MA MB đạt giá trị nhỏ nhất
c) MA MB đạt giá trị lớn nhất
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 22 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
Bài 32: Viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết A1;1 và phương trình các đường phân
giác trong góc B, C lần lượt là 2x y 2 0 và x 3y 3 0 .
Bài 33: Viết phương trình đường thẳng ' đối xứng với đường thẳng qua điểm I biết
x 2 t
a) I(3;1); : 2x y 3 0 b) I( 1;3); :
y 1 2t
Bài 34: Cho hình vuông tâm I 2;3 và AB : x 2y 1 0 . Viết phương trình các cạnh còn lại và các đường chéo .
Bài 35: Cho tam giác ABC vuông tại A biết phương trình cạnh BC là: 3x y 3 0 ; điểm A, B
thuộc trục hoành. Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2
Bài 36: Cho tam giác ABC có C(2, 0) , đường phân giác trong góc A có phương trình là
5x y 3 0 và thỏa mãn AB 2OM với M 2;3. Tìm tọa độ điểm A, B
Bài 37: Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB
và AC có phương trình x y 4 0 . Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E 1;3 nằm trên
đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
Bài 38: Cho hình thoi ABCD có (
A 1,2);B(3, 3) và giao điểm của hai đường chéo nằm trên đường
thẳng d : x y 2 0. Tìm toạ độ C và D.
Bài 39: Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB : x y 1 0 và phương trình
đường thẳng BD : 2x y 1 0 ; đường thẳng AC đi qua M 1;1 . Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD .
Bài 40: Cho tam giác ABC có diện tích 3
S , tọa độ các đỉnh A2;3, B 3;2 và trọng tâm G 2
của tam giác nằm trên đường thẳng có phương trình 3x y 8 0 . Tìm tọa độ đỉnh C
Bài 41: Cho điểm M(1; 1) và hai đường thẳng d : 3x y 5 0, d : x y 4 0. 1 2
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt d , d lần lượt tại , A B sao cho 1 2
2MA 3MB 0.
Bài 42. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh C 4;1; phương trình các
đường trung tuyến AA', đường phân giác BB' của tam giác đó lần lượt là
2x y 3 0, x y 6 0
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 23 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
Bài 43. Cho tam giác ABC có A4;1 và phương trình hai đường trung tuyến
BB ' : 8x y 3 0, CC ' : 14x 13y 9 0 . Tính tọa độ , B C
Bài 44: Cho tam giácABC;phương trình các đường thẳng chứa đường cao và đường trung tuyến kẻ từ
đỉnh A lần lượt là x 2y 13 0 và 13x 6y 9 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(5; 1).
Bài 45. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh A5;3 , trực tâm H 3;2 và trung điểm cạnh BC là 1 M ;2 . 2
Bài 46: Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết M 1;4, N 1;3 là trung điểm của BC, CA và 1 5 H ;
là trực tâm tam giác ABC . 3 3
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 24 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
DẠNG 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng.
1. Phương pháp giải:
• Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng ta cần xác định - Điểm ( A x ;y ) 0 0
- Một vectơ pháp tuyến n a;b của
Khi đó phương trình tổng quát của là a x x b y y 0 0 0 Chú ý:
o Đường thẳng có phương trình tổng quát là 2 2
ax by c 0, a b 0 nhận n a;b làm vectơ pháp tuyến.
o Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT đường thẳng này cũng là VTPT của đường thẳng kia.
o Phương trình đường thẳng qua điểm M x ;y 0 0 có dạng
: a x x b y y 0 a b 0 0 với 2 2 0
hoặc ta chia làm hai trường hợp
+ x x0 : nếu đường thẳng song song với trục Oy
+ y y k x x 0
0 : nếu đường thẳng cắt trục Oy x y
o Phương trình đường thẳng đi qua Aa; 0,B 0;b với ab 0 có dạng 1 a b
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết A2;0, B 0;4, C(1;3). Viết phương trình tổng quát của a) Đường cao AH
b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC .
c) Đường thẳng AB .
d) Đường thẳng qua C và song song với đường thẳng AB . Lời giải
a) Vì AH BC nên BC là vectơ pháp tuyến của AH
Ta có BC 1;1 suy ra đường cao AH đi qua A và nhận BC là vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát
là 1.x 2 1.y 0 0 hay x y 2 0 .
b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC đi qua trung điểm BC và nhận vectơ BC làm vectơ pháp tuyến. x x y y
Gọi I là trung điểm BC khi đó 1 7 1 7 B C x , B C y I ; I 2 2 I 2 2 2 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 1 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 Suy ra phương trình tổ 1 7
ng quát của đường trung trực BC là 1.x 1.
y 0 hay x y 3 0 2 2 c) Phương trình tổ x y
ng quát của đường thẳng AB có dạng
1 hay 2x y 4 0 . 2 4
d) Cách 1: Đường thẳng AB có VTPT là n 2;1 do đó vì đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng AB
nên nhận n 2;1 làm VTPT do đó có phương trình tổng quát là 2.x 1 1.y 3 0 hay
2x y 5 0 .
Cách 2: Đường thẳng song song với đường thẳng AB có dạng 2x y c 0.
Điểm C thuộc suy ra 2.1 3 c 0 c 5 .
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình tổng quát là 2x y 5 0 .
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d : x 2y 3 0 và điểm M 1;2 . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng biết:
a) đi qua điểm M và có hệ số góc k 3
b) đi qua M và vuông góc với đường thẳng d
c) đối xứng với đường thẳng d qua M Lời giải:
a) Đường thẳng có hệ số góc k 3 có phương trình dạng y 3x m . Mặt khác
M 2 3.1 m m 5
Suy ra phương trình tổng quát đường thẳng là y 3x 5 hay 3x y 5 0 . 1 3 1
b) Ta có x 2y 3 0 y
x do đó hệ số góc của đường thẳng d là k . 2 2 d 2
Vì d nên hệ số góc của là k
k k k thì . 1 2 d
Do đó : y 2x m , M 2 2.1 m m 2
Suy ra phương trình tổng quát đường thẳng là y 2x 2 hay 2x y 2 0 .
c) Cách 1: Ta có 1 2.2 3 0 do đó M d vì vậy đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua M
sẽ song song với đường thẳng d suy ra đường thẳng có VTPT là n 1;2.
Ta có A1;2 d , gọi A' đối xứng với A qua M khi đó A'
Ta có M là trung điểm của AA ' .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 2 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 x x A A' x M
x 2x x 2. 1 1 3 A' M A 2 A'3;2 y y
y 2y y 2.2 2 2 A A' A' M A y M 2
Vậy phương trình tổng quát đường thẳng là 1.x 3 2y 2 0 hay x 2y 7 0 .
Cách 2: Gọi Ax ;y A' x;y 0
0 là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng d ,
là điểm đối xứng với A qua M . x x x x 0 0 x 1 M
x 2 x Khi đó M 0
là trung điểm của AA ' suy ra 2 2 y y y y
y 4 y 0 0 0 y 2 M 2 2
Ta có A d x 2y 3 0
2 x 2. 4 y 3 0 x 2y 7 0 0 0 suy ra
Vậy phương trình tổng quát của đối xứng với đường thẳng d qua M là x 2y 7 0 .
Ví dụ 3: Biết hai cạnh của một hình bình hành có phương trình x y 0 và x 3y 8 0 , tọa độ một đỉnh
của hình bình hành là 2;2. Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành. Lời giải
Đặt tên hình bình hành là ABCD với A2;2, do tọa độ điểm A không là nghiệm của hai phương trình đường
thẳng trên nên ta giả sử BC : x y 0 , CD : x 3y 8 0
Vì AB / /CD nên cạnh AB nhận n
1;3 làm VTPT do đó có phương trình là 1.x 2 3.y 2 0 CD
hay x 3y 4 0
Tương tự cạnh AD nhận n 1;1 làm VTPT do đó có phương trình là 1.x 2 1.y 2 0 hay BC
x y 4 0
Ví dụ 4: Cho điểm M 1; 4 . Viết phương trình đường thẳng qua M lần lượt cắt hai tia Ox , tia Oy tại A và B
sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất . Lời giải: x y
Giả sử Aa; 0, B 0;b với a 0, b 0 . Khi đó đường thẳng đi qua A, B có dạng 1. Do a b 1 4
M AB nên 1 a b 1 1 Mặt khác S . OAOB ab OAB . 2 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 3 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 Áp dụng BĐT Côsi ta có 1 4 4 1 2
ab 16 S 8 OAB a b ab 1 4 1 4 Suy ra S 1 a b OAB nhỏ nhất khi và do đó 2; 8 a b a b x y
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là
1 hay 4x y 8 0 2 8
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1: Cho điểm A1;3. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua A và
a) Vuông góc với trục tung
b) song song với đường thẳng d : x 2y 3 0 lỜI GIẢI
a) Oy nhận j 0;1 làm VTPT do đó phương trình tổng quát của đường thẳng là
0.x 1 1.(y 3) 0 hay y 3 0 .
b) / /d nhận n 1;2 làm VTPT do đó phương trình tổng quát của đường thẳng là
1.x 1 2.(y 3) 0 hay x 2y 5 0 .
Bài 2: Cho tam giác ABC biết A2;1, B 1; 0, C(0; 3).
a) Viết phương trình tổng quát của đường cao AH
b) Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB .
c) Viết phương trình tổng quát đường thẳng BC .
d) Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua A và song song với đường thẳng BC . Lời giải
a) Ta có đường cao AH đi qua A và nhận BC 1; 3 là VTPT nên có phương trình tổng quát là
1.x 2 3.y 1 0 hay x 3y 5 0 . x x y y
b) Gọi I là trung điểm AB khi đó 1 1 1 1 B C x , B C y I ; I 2 2 I 2 2 2 2
Đường trung trực đoạn thẳng AB đi qua I và nhân AB 3;1 làm VTPT nên có phương trình tổng quát là 1 1 3.x 1. y
0 hay 3x y 2 0 2 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 4 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 c) Phương trình tổ x y
ng quát của đường thẳng BC có dạng
1 hay 3x y 3 0 . 1 3
d) Đường thẳng BC có VTPT là n 3;1 do đó vì đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng AB nên
nhận n 3;1 làm VTPT do đó có phương trình tổng quát là 3.x 2 1.y 1 0 hay
3x y 5 0 .
Bài 3: Viết phương trình tổng quátcủa đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a) ∆ đi qua điểm M 2;5 và song song với đường thẳng d : 4x 7y 3 0
b) ∆ đi qua P 2;5 và có hệ số góc k 11 . Lời giải
a) Vì / /d nên VTPT của d cũng là VTPT của nên đường thẳng nhận n 4;7 làm VTPT và
u7;4 làm VTCP do đó phương trình tổng quát là 4x 27y 5 0 hay 4x 7y 27 0;
b) Đường thẳng ∆ có hệ số góc k 11 nên có dạng y 11x m . Mặt khác P nên
5 11.2 m m 27
Vậy phương trình tổng quát của là 11x y 27 0
Bài 4: Cho M 8;6 . Viết phương trình đường thẳng qua M cắt chiều dương hai trục toạ độ tại A, B sao cho
OA OB đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải x y
Gọi Aa; 0, B 0;b a, b 0. Vậy đường thẳng cần tìm có dạng : : 1 . Vì a b 8 6 6a M 1 b a b a 8 6a 48
Ta có: OA OB a b a a 8 14 8 3 14 a 8 a 8
Dấu bằng xảy ra a 8 4 3, b 6 4 3 x y Suy ra : 1 8 4 3 6 4 3
DẠNG 2: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng.
Ví dụ 1: Cho điểm A1;3 và B 2; 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 5 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
a) đi qua A và nhận vectơ n 1;2 làm vectơ pháp tuyến
b) đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB
c) là đường trung trực của đoạn thẳng AB Lời giải:
a) Vì nhận vectơ n 1;2 làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của là u 2;1 .
x 1 2t
Vậy phương trình tham số của đường thẳng là : y 3 t
b) Ta có AB 3;6 mà song song với đường thẳng AB nên nhận u 1;2 làm VTCP x t
Vậy phương trình tham số của đường thẳng là : y 2t
c) Vì là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên nhận AB ( 3
− ;6) làm VTPT và đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB . 1 Ta có I − ; 0
và ∆ nhận u ( 1
− ;2) làm VTCP nên phương trình tham số của đường thẳng là 2 1
x t : 2 . y 2t
Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a) ∆ đi qua điểm A3; 0 và B 1; 3
x 1 3t
b) ∆ đi qua N 3; 4 và vuông góc với đường thẳng d ' : . y 4 5t Lời giải:
a) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A và B nên nhận AB 2;3 làm vectơ chỉ phương do đó
x 3 2t phương trình tham số x 3 y là ; phương trình chính tắ ; phương trình tổ c là ng quát là y 3t 2 3
3x 3 2y hay 3x 2y 9 0
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 6 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
b) d ' nên VTCP của d ' cũng là VTPT của nên đường thẳng nhận u 3;5 làm VTPT và
v5;3 làm VTCP do đó đó phương trình tổng quát là 3x 35y 4 0 hay
x 3 5t x 3 y 4
3x 5y 11 0 ; phương trình tham số là ; phương trình chính tắ c là y 4 3t 5 3
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có A2;1, B 2; 3 và C 1;5 .
a) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác.
b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM.
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm D, G với D là chân đường phân giác trong góc A và G là trọng tâm của A BC . Lời giải:
x 2 t
a) Ta có BC 1;8 suy ra đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình là y 3 8t b) M là trung điể 3 7
m của BC nên M ;1
do đó đường thẳng chứa đường trung tuyến AM nhận AM ;2 2 2 7
làm VTCP nên có phương trình là x 2 t 2
y 1 2t
c) Gọi D(x ;y ) D
D là chân đường phân giác hạ từ A của tam giác ABC AB Ta có BD DC AC 2 2 Mà AB
2 2 3 1 2 5 và
AC 2 2 1 2 5 1 3 5 suy ra 2 8
x 2 (1 x ) AB 2 x D D D 8 1 3 5 1 1 BD
DC DC D( ; )
G ; là trọng tâm AC 3 2 1 5 5 3 3
y 3 (5 y ) y D 3 D D 5 của tam giác ABC
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 7 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 19 2 Ta có DG ;
suy ra đường thẳng DG nhận u 19;2 làm VTCP nên có phương trình là 15 15 1
x 19t 3 . 1
y 2t 3
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC biết AB : x y 1 0 , AC : x y 3 0 và trọng tâm G 1;2 . Viết
phương trình đường thẳng chứa cạnh BC. Lời giải:
x y 1 0 x 1
Ta có tọa độ điểm A là nghiệm của hệ A1;2
x y 3 0 y 2
Gọi M x;y là trung điểm của BC 2 2.(x 1)
Vì G là trọng tâm nên AG 2.GM , AG 2; 0, GM x 1;y 2 suy ra M 2;2 0 2.(y 2)
B x ;y AB x y 1 0 y 1 x B x ;1 x B B B B B B do đó B B
C x ;y AC x y 3 0 y x 3 C x ;x 3 C C C C C C do đó C C x x B C x M x x 4 x 2 B C B
Mà M là trung điểm của BC nên ta có 2 y y x x 0 x 2 B C C B C y M 2 x 2
Vậy B 2;1, C 2;5 BC 0;6 suy ra phương trình đường thẳng BC là .
y 1 6t
3. Bài tập luyện tập.
Bài 5. Cho điểm A2;2 và B 0;1. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a) đi qua A và nhận vectơ u 1;2 làm vectơ chỉ phương
b) đi qua A và nhận vectơ n 4;2 làm vectơ pháp tuyến
c) đi qua C 1;1 và song song với đường thẳng AB
d) là đường trung trực của đoạn thẳng AB
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 8 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 Lời giải:
x 2 t a) Phương trình tham số
của đường thẳng là :
y 2 2t
b) Vì nhận vectơ n 4;2 làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của là u 1;2.
x 2 t
Vậy phương trình tham số của đường thẳng là :
y 2 2t
c) Ta có AB 2; 3 mà song song với đường thẳng AB nên nhận u 2; 3 làm VTCP
x 1 2t
Vậy phương trình tham số của đường thẳng là : y 1 3t
d) Vì là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên nhận AB 2; 3 làm VTPT và đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB . 1 Ta có I 1;
và nhận u 3;2 làm VTCP nên phương trình tham số của đường thẳng là 2
x 1 3t : 1 . y 2t 2
Bài 6: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a) ∆ đi qua điểm A3; 0 và B 1; 0
b) ∆ đi qua M 1;2 và vuông góc với đường thẳng d : x 3y 1 0 .
x 1 3t
c) ∆ đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng ' : . y 2t Lời giải
a) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A và B nên nhận AB 4;0 làm vectơ chỉ phương do đó
x 3 4t phương trình tham số là
; phương trình chính tắckhông có ; phương trình tổ y ng quát là 0 y 0
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 9 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
b) d nên VTPT của d cũng là VTCP của nên đường thẳng nhận u 1;3 làm VTCP nên phương
x 1 t x 1 y 2 trình tham số là ; phương trình chính tắ ; phương trình tổ c là ng quát là y 2 3t 1 3
3x y 5 0
c) / / ' nên VTCP của ' cũng là VTCP của nên đường thẳng nhận u 3;2 làm VTCP nên phương x 3t x y trình tham số là ; phương trình chính tắ ; phương trình tổ x y c là ng quát là 2 0 y 2t 3 2
Bài 7: Cho tam giác ABC có A2;1, B 2;3 và C 1;5 .
a) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh của tam giác.
b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM .
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua trung điểm AB và trọng tâm của tam giác ABC LỜi giải :
x 2 4t
a) Ta có AB 4;2 suy ra đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình là
y 3 2t
x 2 t BC 1;8
suy ra đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình là
y 3 8t
x 2 3t CA3;6
suy ra đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình là
y 1 6t b) M là trung điể 3 7
m của BC nên M ;1
do đó đường thẳng chứa đường trung tuyến AM nhận AM ;2 2 2 7
làm VTCP nên có phương trình là x 2 t 2
y 1 2t c) Trung điể 1 1
m của AB là I 0;2 , trong tâm của tam giác ABC là G ; 3 3 x t Khi đó ta có 1 7 IG ; do đó IG : 3 3
y 2 7t
Bài 8. Cho tam giác ABC biết A1; 4,B 3;1 và C 6;2.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 10 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
a) Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh AB.
b) Viết phương trình đường cao AH.
c) Viết phương trình đường trung tuyến của tam giác đó AM.
d) Viết phương trình đường trung trực cạnh BC.
e) Viết phương trình đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác và song song với trục hoành.
f) Viết phương trình đường thẳng đi qua trung điểm BC và vuông góc với trục tung.
g) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân đỉnh là gốc tọa độ.
h) Đường thẳng qua C và chia tam giác thành hai phần , phần chứa điểm A có diện tích gấp đối phần chứa điểm B . Lời giải:
a) AB : 5x 2y 13 0.
b) AH : 3x y 1 0 9 3
c) Gọi M là trung điểm của BC nên M ;
, AM 7;11 AM : 11x 7y 39 0 . 2 2
d) 3x y 12 0. 10 1 1
e) Trọng tâm của tam giácG ;
suy ra đường thẳng cần tìm là y . 3 3 3 f) Đườ 3
ng thẳng đi qua M và vuông góc với trục tung có dạng là: y . 2
g) x y 5 0 . 7 2
h) Lấy K AB sao cho AK 2BK K ; . Khi đó 3 3
CK 11;8 CK : 8x 11y 26 0.
Bài 9. Viết phương trình đường thẳng qua M 3;2và cắt tia Ox tại A, tia Oy tại B sao cho :
a) OA OB 12
b) Diện tích tam giác OAB bằng 12 Lời giải
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 11 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 x y
Gọi Aa; 0, B 0;b , a 0, b 0 . phương trình cần tìm có dạng 1. Mặt khác a b
OA a,OB b
a) : x 3y 9 0; : 2x y 8 0 1 2
b) : 2x 3y 12 0
Bài 10. Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình của AB : 2x y 5 0 , đường thẳng AD qua gốc tọa độ
O , và tâm hình chữ nhật là I 4;5 . Viết phương trình các cạnh còn lại của hình chữ nhật. Lời giải:
A2;1,C 10;9; CD : 2x y 11 0, BC : x 2y 28 0
Bài 11. Cho hình bình hành hai cạnh có phương trình 3x y 2 0 và x y 2 0 .
Viết phương trình hai cạnh còn lại biết tâm hình bình hành là I 3;1 . Lời giải:
Gọi AB : 3x y 2 0, AD : x y 2 0 . Khi đó A1;1 C 5;1 ,
CD : 3x y 14 0, AD : x y 6 0
Bài 12. Cho tam giác ABC có trung điểm của AB là I 1; 3, trung điểm AC là J 3;1. Điểm A thuộc Oy và
đường BC qua gốc tọa độ O . Tìm tọa độ điểm A , phương trình BC và đường cao vẽ từ B . Lời giải:
A0;a B 2;6 a , C 6;2 a . BC đi qua gốc tọa độ nên OB và OC cùng phương suy ra
22 a 6 a 6 a 5
Bài 13. Cho tam giác ABC biết M 2;1, N 5; 3, P 3;4 lần lựợt là trung điểm của ba cạnh. Viết phương
trình các cạnh của tam giác ABC. Lời giải:
ĐS:7x 2y 12 0, 5x y 28 0, 2x 3y 18 0. Đáp án trắc nghiệm:
Câu 1. Trục Ox: y 0 có VTCP i 1;0 nên một đường thẳng song song với Ox cũng có VTCP là i 1;0. Chọn A.
Câu 2. Trục Oy: x 0 có VTCP j 0;
1 nên một đường thẳng song song với Oy cũng có VTCP là j 0; 1 . Chọn B.
Câu 3. Đường thẳng đi qua hai điểm A3;2 và B1; 4 có VTCP là AB 4; 2 hoặc u 2; 1 . Chọn B.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 12 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
Câu 4. OM ; a b
đường thẳng OM có VTCP: u OM ;
a b. Chọn B.
Câu 5. AB a ;b
đường thẳng AB có VTCP: AB a
;b hoặc u AB ; a b . Chọn A.
Câu 6. Đường phân giác góc phần tư (I): x y 0 VTPT: n1; 1 VTCP: u 1; 1 . Chọn A.
Câu 7. Đường thẳng song song với Ox: y m 0 m 0 VTPT: n0; 1 . Chọn A.
Câu 8. Đường thẳng song song với Oy: x m 0 m 0
VTPT: n1;0. Chọn D.
Câu 9. AB 2;2
đường thẳng AB có VTCP u 1; 1 VTPT n1; 1 . Chọn C.
Câu 10. OA a;b
đường thẳng AB có VTCP u AB ; a b VTPT n ; b a . Chọn C.
Câu 11. AB a ;b
đường thẳng AB có VTCP u ; a b VTPT n ;
b a. Chọn C.
Câu 12. Góc phần tư (II): x y 0
VTPT n 1; 1 . Chọn A.
Câu 13. Đường thẳng d có VTCP: u 2; 1
VTPT n1;2 hoặc 3n 3;6. Chọn D. 1
Câu 14. Đường thẳng d có VTPT: n 4;2
VTCP u 2;4 hoặc u ; 1 2. Chọn C. 2 u d 3; 4 Câu 15. n u Chọn D. d 3; 4. d n d 2; 5 Câu 16.
u n hay chọn n 2; 5 . Chọn C. d 2; 5 d u d 3; 4 Câu 17. u u n Chọn A. d 3; 4 4; 3 . || d n d 2; 5 Câu 18.
n u u Chọn A. d 2; 5 5; 2. || d Câu 19. Chọn D.
M 1;2 d
x 13t Câu 20. PTTS d :
t . Chọn B. u
y 2 5t d 3; 5 O 0;0 d x t Câu 21. PTTS d :
t . Chọn C. u u 1; 2 y 2t d
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 13 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
M 0;2 d x 3t Câu 22. PTTS d :
t . Chọn D. u u y 2 d ; 3 0 x 2 Câu 23. d : VTCP u 0;6 60;
1 hay chọn u 0; 1 . Chọn D. y 1 6t 1 x 5 t 1 1 Câu 24. : 2 VTCP u ;3 1;6
hay chọn u 1;6. Chọn A. 2 2
y 3 3t A2; 1 AB x 2 Câu 25. AB :
t . Chọn A. u AB y 1 6 0; 6 t AB A1; 3 AB
x 1 2t Câu 26. AB :
t . Chọn D. u
4;2 22; 1 3t A y B AB A1; 1 AB x 1 t Câu 27. AB : t u A y t B AB 1; 1 1 x t t 1 O ; 0 0 AB AB :
t . Chọn D. y t
A3;7 AB x 3 t Câu 28. Ta có: AB : u AB y AB 7 2; 0 2 1; 0 x t t 3 M 0;7 AB AB : . Chọn A. y 7
Câu 29. Kiểm tra đường thẳng nào không chứa O0;0
loại A. Chọn A.
Nếu cần thì có thể kiểm tra đường thẳng nào không chứa điểm M 1; 3 .
Câu 30. Gọi d là đường thẳng qua B và song song với AC. Ta có B0; 3 d x 5t d : t Chọn A. u
A 5; 1 1.5; 1 y 3t C d
Câu 31. Gọi d là đường thẳng qua A và song song với PQ.
A3;2 d x 3 2 t Ta có: d : u PQ y t d 4;2 22; 2 1 x t t 1 2 2 M
1;0 d d : t . Chọn C. y t A2; 1 AB, u CD 4; 3 x 2 4t Câu 32. AB : t Chọn B. AB || CD u u y t AB CD 4; . 3 1 3
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 14 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
x 3t
Câu 33. Góc phần tư (I) : x y 0
VTCP : u 1; 1 u d : t . d y 5t Chọn B.
x 4t x t Câu 34. u u d A
d d Ox 1;0 d 1;0 t 4 : 0; 7 : . y 7 y 7 Chọn D. A1;4
x 7 t Câu 35. M 2;
3 MC 5;0 51;0 CM : t Chọn C. B 3;2 . y 3 A2;4 5 5 1 x t Câu 36. M 2; MB 3 ; 6; 5 6 B C M 2; 5 : . 1 2 2 2 y 5t 5 t 20 56t 2
Ta có: N 20; y BM Chọn B. N y 5t 25 N y N 2
Câu 37. Chọn D.
Câu 38. d : x 2 y 2017 0
n 1;2. Chọn B. d
Câu 39. d : 3x y 2017 0 n 3; 1 hay chọn 2n Chọn D. d ; 6 2. d
x 1 2t Câu 40. d : u 2; 1 n 1;2. Chọn D. y 3 d d t
Câu 41. d : 2x 3y 2018 0 n 2; 3
u 3;2 hay chọn n d 3; 2. d d Chọn A. AB 0; 1
Câu 42. Gọi d là trung trực đoạn AB, ta có:
n AB 0; 1 . Chọn B. d d AB
n 1;3 n 1 d
Câu 43. : x 3y 2 0 n n n Chọn D. d 1; 3 2; 6 2 . 2 d 1 1 n
;1 n 3 3 3 d A1;2 d Câu 44. d :2 x
1 4 y 2 n d 0 2; 4
d : 2x 4 y 10 0 d : x 2 y 5 0. Chọn B.
M 0;2 d Câu 45. d y Chọn B. u n d : 2 0. 3; 0 31;0 d 0; 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 15 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 A4; 5 d
x 42t Câu 46. d : t Chọn A. n u y t d . 3; 2 d 2; 3 5 3 x 35 t A3; 1 d
Câu 47. Ta có: d : d : 4 x
3 5 y y t u n d 1 0 1 4 5;4 d 4; 5
d : 4x 5y 17 0. Chọn C. x 15
A15;6 d Câu 48. d : d x Chọn A. y t u n d : 15 0. 6 7 0; 7 70; 1 d 1;0
x 0 y 3 A0; 3 d x t
Câu 49. d : x y 3 0 d : t n u y t d 1 . 1; 1 ;1 3 d Chọn A.
x 0 y 3
Câu 50. d : 3x 2 y 6 0 n d 3;2 A0; 3 d x t 3 d : 3 t Chọn B. u y t d . 2; 3 2 1 ; 3 2 2 n n n d 3; 5 3; 5 d
Câu 51. d : 3x 5 y 2018 0 u u u Chọn C. d 5; 3 5; 3 d 3 5 k k k d 5 3 d
d : 3x 5 y 2018 0 d || : 3x 5 y 0 D đúng. M 1;2 d M 1;2 d Câu 52. d ||
: 2x 3y 12 0 d : 2
x 3y c 0c 12
2.1 3.2 c 0 c 8. Vậy d : 2x 3y 8 0. Chọn A. O 0;0 d O 0;0 d Câu 53.
c c . Vậy
d || : 6x 4x 1 0
d x x c c 6.0 4.0 0 0 : 6 4 0 1
d : 6x 4 y 0 d : 3x 2 y 0. Chọn A.
M 1;2 d
M 1;2 d Câu 54.
12.2 c 0 c 5. d
: 2x y 3 0 d : x
2y c 0
Vậy d : x 2 y 5 0. Chọn D.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 16 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 A4; 3 d A4; 3 d
Câu 55. Ta có: u d 2; 3 u n 2; 3 3;2 || d
: 3x4 2y
3 0 : 3x 2 y 6 0. Choïn . C B0; 3 d B0; 3 d Câu 56. u AC AC 5; 1 n d 1; 5 d || AC d
:1 x 0 5 y
3 0 d : x 5y 15 . 0 Choïn C
M 1;0 d M 1;0 d Câu 57. u 1; 2 d : 1 x 1 2 y 0 n d x y 1;2 d 0 : 2 1 0. d Chọn C. M 2; 1 d M 2; 1 d
x 2 5t Câu 58. u 3; 5 d : t Chọn B. n . 3; 5 u 5; y t d d 3 1 3 d
A1;2 d A 1;2 d
x 113t
Câu 59. n 3; 1 3 d : t Chọn A. n . 3;1 3 u 13; 3 y 2 3t d || d d
A1;2 d A 1;2 d
x 1 2t
Câu 60. n 2; 1 d : t Chọn A. u . 2; 1 y 2t d d M 2; 5 d M 2; 5 0 Câu 61. (
I) : x y 0
2 d x
y c 5 c 0 c 3. : 0 c 0 d ||
Vậy d : x y 3 0. Chọn B. M 3; 1 d M 3; 1 Câu 62.
II: x y 0 d :
x y c 0 d 3
1 c 0 c 4 d : x y 4 0. Choïn B. x t M 4;0 4 t4 d A0;4 d y t
II: x y 0 n 1; 1 Câu 63.
d u d 1; 1 x t d :
t . Choïn . C y 4 t
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 17 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
M 1;2 d Câu 64. d : y 2. Chọn D.
d || Ox : y 0
M 6;10 d x 6 t Câu 65. t 4 d : A2;10 d
d Oy : x 0 u y d 1;0 10 x 2 t d : . Choïn B. y 10 A3; 1 AB Câu 66. u AB n AB 2;6 AB 3; 1
AB : 3x 3 1 y
1 0 AB : 3x y 8 0. Choïn D .
A2;0 Ox x y Câu 67. B y Chọn B. B A x 0. 0; : 1 3 2 6 3 Oy 2 3 A2; 1 AB Câu 68.
AB : x 2 0. Chọn D. u
AB 0;6 n 1;0 AB AB
A3;7 AB Câu 69.
AB : y 7 0. Chọn B. u
AB 4;0 n 0; 1 AB AB
Câu 70. Gọi M là trung điểm của BC. Ta cần viết phương trình đường thẳng AM. Ta có : B0;2
M 2;0 u
AM n
AM x y Chọn A. AM 1; 1 1; C 1 : 2 0. AM 4; 2
Câu 71. Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB. Ta có
A1;4, B5;2 I 3; 1 d
d : 2x 3y 3 0. Chọn A.
d AB n AB 4;6 22; d 3
Câu 72. Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB. Ta có
A B 5 5 4; 1 , 1; 4 I ; d 2 2
d : x y 0. Chọn B.
d AB n AB d 3; 3 31; 1
Câu 73. Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB. Ta có
A1;4, B1;2 I 1; 1 d
d : y 1 0. Chọn A.
d AB n AB d 0;6 60; 1
Câu 74. Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB. Ta có
A1;4, B3;4 I 2;4 d
d : x 2 0. Chọn C.
d AB n AB d 2;0 21;0
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 18 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
Câu 75. Gọi h là đường cao kẻ từ A của tam giác ABC. Ta có A A2; 1 hA
h : 7x 3y 11 0. Chọn A.
h BC n BC A h A 7; 3 7; 3 A
Câu 76. Gọi h là đường cao kẻ từ B của tam giác ABC. Ta có B B4; 5 hB
h : 5x 3y 5 0. Chọn D. B
h AC n AC B h 5; 3 5; 3 B
Câu 77. Gọi h là đường cao kẻ từ C của tam giác ABC. Ta có C C
3;2 hC
h : x 3y 3 0. Chọn B.
h AB n AB C h C 2; 6 21; 3 C
DẠNG 3: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.
1. Phương pháp giải:
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d : a x b y c 0; : d
a x b y c 0 1 1 1 1 2 2 2 2 .
a x b y c 0 1 1 1 Ta xét hệ (I)
a x b y c 0 2 2 2
+ Hệ (I) vô nghiệm suy ra d / /d 1 2 .
+ Hệ (I) vô số nghiệm suy ra d d 1 2
+ Hệ (I) có nghiệm duy nhất suy ra d1 và d2 cắt nhau và nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm.
Chú ý: Với trường hợp a .b .c 0 2 2 2 khi đó a b + Nếu 1 1
thì hai đường thẳng cắt nhau. a b 2 2 a b c + Nếu 1 1 1
thì hai đường thẳng song song nhau. a b c 2 2 2 a b c + Nếu 1 1 1
thì hai đường thẳng trùng nhau. a b c 2 2 2 2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau
a) : x y 2 0;
: 2x y 3 0 1 2 b) : x 2y 5 0;
: 2x 4y 10 0 1 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 19 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
c) : 2x 3y 5 0; : x 5 0 1 2
d) : 2x 3y 4 0; : 4x 6y 0 1 2 Lời giải: 1 1 a) Ta có suy ra cắt 2 1 1 2 1 2 5 b) Ta có suy ra trùng 2 4 10 1 2 1 0 c) Ta có suy ra cắt 2 3 1 2 4 6 0 d) Ta có suy ra / / 2 3 4 1 2
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng A , B BC,CA là
AB : 2x y 2 0 ; BC : 3x 2y 1 0 ; CA : 3x y 3 0 .
Xác định vị trí tương đối của đường cao kẻ từ đỉnh A và đường thẳng : 3x y 2 0 Lời giải
2x y 2 0 x 1
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ A1;0
3x y 3 0 y 0
Ta xác định được hai điểm thuộc đường thẳng BC là M 1;1, N 1;2
Đường cao kẻ từ đỉnh A vuông góc với BC nên nhận vectơ MN 2;3 làm vectơ pháp tuyến nên có phương
trình là 2x 1 3y 0 hay 2x 3y 2 0 3 1 Ta có
suy ra hai đường thẳng cắt nhau. 2 3
Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng 2
: (m 3)x 2y m 1 0 : x
my (m 1) 0 1 và 2 2 .
a) Xác định vị trí tương đối và xác định giao điểm (nếu có) của m m 1 và 2 trong các trường hợp 0, 1
b) Tìm m để hai đường thẳng song song với nhau. Lời giải:
3x 2y 1 0 x 1
a) Với m 0 xét hệ 1;2 suy ra cắt
tại điểm có tọa độ x 1 0 y 2 1 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 20 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
2x 2y 0 x 0
Với m 1 xét hệ suy ra cắt tại gốc tọa độ x y 0 y 0 1 2
b) Với m 0 hoặc m 1 theo câu a hai đường thẳng cắt nhau nên không thỏa mãn
Với m 0 và m 1 hai đường thẳng song song khi và chỉ khi 2 m 3 2 m 1 m 2 1 m m 12
Vậy với m 2 thì hai đường thẳng song song với nhau.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC , tìm tọa độ các đỉnh của tam giác trong trường hợp sau
a) Biết A2;2 và hai đường cao có phương trình d : x y 2 0 ; : d
9x 3y 4 0 1 2 . b) Biết (
A 4;1) , phương trình đường cao kẻ từ B là : 2x 3y 0 ; phương trình trung tuyến đi qua đỉnh C
là ' : 2x 3y 0. Lời giải
a) Tọa độ điểm A không là nghiệm của phương trình d ,d suy ra A d , A d nên ta có thể giả sử 1 2 1 2
B d , C d 1 2
Ta có AB đi qua A và vuông góc với d u 3;9 2 nên nhận
làm VTPT nên có phương trình là
3x 2 9y 2 0 hay 3x 9y 24 0; AC đi qua A và vuông góc với d v 1;1 1 nên nhận làm
VTPT nên có phương trình là 1.x 2 1.y 2 0 hay x y 0
B là giao điểm của d1 và AB suy ra tọa độ của B là nghiệm của hệ
x y 2 0 x 1 B 1;3
3x 9y 24 0 y 3 2 9 3 4 0 x x y Tương tự 2 2
tọa độ C là nghiệm của hệ 3 C ; x y 0 2 3 3 y 3 2 2
Vậy A2;2 , B 1; 3 và C ; 3 3 b) Ta có AC đi qua (
A 4;1) và vuông góc với nên nhận u 3;2 làm VTPT nên có phương trình là
3x 4 2y 1 0 hay 3x 2y 10 0
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 21 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
3x 2y 10 0 x 6
Suy ra toạ độ C là nghiệm của hệ C 6;4 2x 3y 0 y 4
x 4 y 1
Giả sử B x ;y B I ; B B
B suy ra trung điểm
của AB thuộc đường thẳng ' do đó 2 2 x 4 y 1 2. B 3. B
0 hay 2x 3y 5 0 (1) 2 2 B B
Mặt khác B suy ra 2x 3y 0 B B (2) 5 5
Từ (1) và (2) suy ra B ; 4 6 5 5 Vậy (
A 4;1) , B ; và C 6;4. 4 6
3. Bài tập luyện tập:
Bài 14: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) d : x y 3 0; d : 2x 2y 0 1 2
b) d : 4x 6y 2 0; d : 2x 3y 1 0 1 2
c) d : 3x 2y 1 0; d : x 3y 4 0 1 2 Lời giải: a) d / /d d d d d 1 2 b) 1 2 c) 1 cắt 2
Bài 15: Cho hai đường thẳng : 3x y 3 0, : x y 2 0 và điểm M(0;2) 1 2
a) Tìm tọa độ giao điểm của 1 và 2 .
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt 1 và
2 lần lượt tại A và B sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng AM Lời giải
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 22 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 1 9 a) N ;
b) A 3x y 3 0 y 3x 3 , 4 4 1 A A A A
B x y 2 0 y 2x 2 . B là trung điểm AM suy ra 2 B B B B 3 2 x x x A B A 4
: 29x 3y 6 0
4x 4 2 3x 3 3 B A x B 8
Bài 16: Cho hai đường thẳng có phương trình: 2 2
: (a b)x y 1; : (a b )x ay b với 2 2 a b 0 1 2
a) Tìm quan hệ giữa a và b để 1 và 2 cắt nhau
b) Tìm điều kiện giữa a và b để 1 và
2 cắt nhau tại điểm thuộc trục hoành. Lời giải 2 2 a b 1
a) Nếu a b b 0 b 1 2 , Nếu a b 1 và 2 cắt nhau . Vậy 0 và a b a
a b là điều kiện cần tìm. 1 b
b) Cho y 0 a b x 1 và 2 2
(a b )x b suy ra a 0 2 2 a b a b
Bài 17: Cho 2 đường thẳng 2 2
: kx y k 0; : (1 k )x 2ky 1 k 0 . 1 2 Chứng minh rằng:
a) Đường thẳng 1 luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi k . b) . Xác đị 1 luôn cắt 2
nh toạ độ giao điểm của chúng. Lời giải a) M 1;0
1 luôn đi qua 1 điểm cố định là 2 3
k 1 2k b) N ; 2 2
k 1 k 1
Bài 18: Cho hai đường thẳng : mx y 1 m 0; : x my 2 0 1 2
Biện luận theo m vị trí tương đối của hai đường thẳng. Lời giải
TH1: Nếu m 0 1 cắt 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 23 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 TH2:Nếu m 0 : m 1 th1:
m 1 cắt 1 m 1 2 m 1 1 m m 1 th2:
m 1 thì / / 1 m 2 m 1 1 2 m 1 1 m th3:
m 1 thì 1 m 2 1 2
Bài 19: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho các điểm A0;1, B 2;1 và các đường thẳng
d : (m 1)x (m 2)y 2 m 0 d : (2 m)x (m 1)y 3m 5 0 1 , 2 a) Chứng minh d d 1 và 2 luôn cắt nhau.
b) Gọi P là giao điểm của d d
1 và 2 . Tìm m sao cho PA PB lớn nhất. Lời giải
PA PB 2 2 2 PA PB 2 2
2AB 16 . Do đó maxPA PB 4 khi P là trung điểm của cung
AB. Khi đó P 2;1hay P 0;1suy ra m 1 hoặc m 2 .
Bài 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng
: mx y m 1 0, : x my 3 m 0 , (với m là tham số thực). Chứng minh rằng với mọi m m '
m R thì hai đường thẳng đó luôn cắt nhau tại 1 điểm nằm trên một đường tròn cố định. Lời giải
Để ý rằng hai đường thẳng này vuông góc với nhau nên cắt nhau tại điểm M. Rõ ràng đường thẳng thứ nhất đi
qua điểm cố định A1;1 và đường thẳng thứ hai đi qua điểm cố định B 3;1, nên tập hợp điểm M là đường tròn đường kính AB.
Bài 21: Tam giác ABC biết AB : 5x 2y 6 0 và AC : 4x 7y 21 0 và H (0; 0) là trực tâm của
tam giác. Tìm tọa độ điểm , A B . Lời giải
5x 2y 6 0 x 0
Toạ độ của A là nghiệm của hệ pt: A0;3
4x 7y 21 0 y 3 5a 6 5a 6
Vì B a;b thuộc AB nên 5a 2b 6 0 b hay B a; 2 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 24 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
Mặt khác, H là trực tâm nên HB AC suy ra HB là VTPT của AC do đó HB cùng phương với n 4;7 AC a 5a 6
0 a 4 B 4;7 4 14
Bài 22: Cho điểm A2;1 và đường thẳng d : 3x y 3 0 . Tìm hình chiếu của A lên d . Lời giải
Gọi là đường thẳng đi qua A và vuông góc với d . Ta có hệ số góc của đường thẳng d là k 3 d do đó hệ số 1 1
góc của đường thẳng là k
y x m
do đó đường thẳng có dạng . 3 3 1 7
A 2 .1 m m 3 3 1 7
Vậy : y x
hay x 3y 7 0 . 3 3 1 3 3 0 x x y
Tọa độ giao điểm của và d là nghiệm của hệ 5
x 3y 7 0 12 y 5 1 12
Suy ra hình chiếu của A lên d là A ' ; 5 5
Bài 23: Cho tam giác ABC biết A4;6, B 1;2 và đường phân giác trong CK có phương trình là
3x 9y 22 0 . Tính toạ độ đỉnh C của tam giác. Lời giải
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với CK cắt CK và CB lần lượt tại A1, A2.
Đường thẳng A1A2 (hay AA2) có phương trình là 3x y 18 0
Toạ độ điểm A1 là nghiệm của hệ
3x 9y 22 0 14 16
A ;4 A ;2 1 2 3x y 18 0 3 3
Cạnh BC (hay BA2) có phương trình là y 2 0
3x 9y 22 0 4
Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ C ;2 y 2 0 3
Đáp án trắc nghiệm
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 25 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
d : x2y 1 0 1 2 1 Câu 78. 1
d || d . Chọn B. 1 2
d :3x 6y 10 0 3 6 10 2 3 2
d : 3x2y 6 0 n 3;2 1 1 Câu 79. 6 2 d , d 1 2 d : 6x
2y 8 0 n 6;2
cắt nhau nhưng không vuông góc. Chọn D. 2 2
n n 0 1 2 x y 1 1
d : 1 n ; 1 1 Câu 80. 3 4 3 4
n n 0 d d . Chọn C. 1 2 1 2
d : 3x 4y 10 0 n 3;4 2 2 Câu 81.
x 1t d : u 1; 2 1 1 1 2
y 2 2t 2 4
d d . Chọn A. 1 2
x 22t d :
B 2;8 d , u 2;4
B d t 3 2 2 2 1
y 8 4t Câu 82.
x 3 4t d : A 3; 2 d , u 2; 3 1 1 1 2 3 y 2 6t 2
3 d || d . Chọn B. 1 2
x 12t d : 2;3 A d u 2 2 2
y 43t Câu 83. 3 x 3 t 2 3 4 :
A 3;1 , u ; 1 1 1 3 4 4 2 3
y 1 t 2 3 3 9 8 . 1 2 9
x 9t 1 2 A t 2 : u 9;8 6 2 2 1
y 8t 3 Chọn A. Câu 84.
: 7x 2y 1 0 n 7;2 1 1 7 2
x 4t 5 1 , :
u 1;5 n 5;1
cắt nhau nhưng không vuông góc. Chọn D. 2 2 2 1 2 y 15 n n 0 t 1 2 Câu 85.
x 4 2t d :
A 4;1 d , u 2;3 u u 1 1 1 1 2 y 13t
d d . Chọn A. 1 2 A d
d : 3x 2 y 14 0 n 3; 2 u 2;3 2 2 2 2 Câu 86.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 26 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
x 4 2t d :
A 4;1 d , u 2;5 u u 1 1 1 1 2 y 15t
d || d . Chọn B. 1 2 A d
d : 5x 2 y 14 0 n 5; 2 u 2; 2 5 2 2 2 Câu 87.
x 23t d : u 3; 2 1 1 y 2t
u u 0 d d . Chọn C. 1 2 1 2
x 2t d : u 2;3 2 2
y 23t Câu 88. Ta có
x 2t d : d : 2x y 7 0 1 1 y 3 2 t
x 5t 1 d :
d : 3x y 8 0 2 2
y 7 3t 1
d : 2x y 7 0 x 3 1
d d M 3;1 . Chọn D. 1 2
d : 3x y 8 0 y 1 2 15 x x 1t
d : 3x y 8 0 7 Câu 89. 1 d :
d : 3x y 8 0 A, B, D sai. 1 1 y 53t
d : x – 2y 1 0 11 2 y 7 1 1 Oy d :
x – 2 y 1 0 x 0 y
d Oy M 0; . Chọn C. 2 2 2 2 Chọn D. u AB AB 1 4 1; 4 Câu 90.
4 1 AB, CD u CD
cắt nhau nhưng không vuông góc. Chọn D. CD 4; 1 u u 0 AB CD A 3 2
1; 2 AB, u AB n AB x y AB 3; 2 AB 2; 3 : 2 3 8 8 Câu 91. 6 4
nên AB || C . D Chọn B. C 1; 3 CD, u CD CD 6; 4 C AB Câu 92. x t d : u 1;2 1 1 (i)
y 12t u u 0 loại A. 1 2
d : 2x y – 1 0 n 2;1 u 1;2 2 2 2
d : x 2 0 n 1;0 1 1 (ii) x t
n n 0 d d . Chọn B. 1 2 d : d :
. u 1; 0 n 0;1 2 2 2 2 1 2 y 0
Tương tự, kiểm tra và loại các đáp án C, D.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 27 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
d x y 1
Câu 93. Xét đáp án A: : 2 3 1 0 2 3 d || d . Chọn A.
d : 2x 3y 1 0 2 3 1 A A
Để ý rằng một đường thẳng song song với 2x 3y 1 0 sẽ có dạng 2x 3y c 0 c
1 . Do đó kiểm tra chỉ thấy có
đáp án A thỏa mãn, các đáp án còn lại không thỏa mãn.
Câu 94. Kí hiệu d : x 3y 4 0 n 1; 3 . d x 1t
(i) Xét đáp án A: d :
n 1;3 n , n không cùng phương nên loại A. 1 1 1 y 23t x 1t
(ii) Xét đáp án B: d :
n 3;1 n , n không cùng phương nên loại B. 2 2 2 y 2 3t (iii) Xét đáp án C: x 1 3t d :
n 1;3 n , n không cùng phương nên loại C. 3 3 3 y 2t x 13t
M 1;2 d (iv) Xét đáp án D: n n 4 4 d :
d || d . Chọn D. 4 y 2t n 1; 4 3 M d 4
Câu 95. Kí hiệu d : 4x 3y 1 0 n 4; 3 . d x 4 t
(i) Xét đáp án A: d :
n 3;4 n n 0 nên Chọn A. 1 1 1 y 33 d t
(ii) Tương tự kiểm tra và loại các đáp án B, C, D.
Câu 96. Hai đường thẳng có hai điểm chung thì chúng trùng nhau. Như vậy bài toán trở thành tìm đường thẳng trùng với đường
thẳng đã cho lúc đầu. Ta có x t A0; 1 d d : A
kiểm tra đường thẳng nào chứa điểm 0;
1 và có VTCP cùng phương với y 1 u 1;0 d
u Chọn C. d x 23 t
Câu 97. Ta cần tìm đường thẳng cắt d :
d : 7x 3y 1 0. y 5 7 t
d : 7x 3y 1 0
d d loại A. 1 1
d : 7x 3y 1 0 & d : 7x 3y 2018 0
d , d || d
loại B, D. Chọn C. 2 3 2 3
d : 2m1 x m y 10 0 m m d d 2 2 2 2 1 10 Câu 98. 1 2 d : 3
x 4 y 10 0 3 4 10 1 2m1 3
m 2. Choïn . C 2 m 4
d : mx m1 y 2m 0 m m m d d 1 1 2 Câu 99. 1 || 2 d : 2
x y 1 0 2 1 1 2 1 2 m 2. Choïn A. m 2m 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 28 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
d : 2x3y 4 0 1 n 2;3 m d d M 1 4 3 1 Câu 100. 1 2
x 23t m . Chọn C. d : n 4 ; m 3 2 3 2 2 2 y 14 mt Câu 101. Ta có
d : 2x – 4y 1 0 1 n 1;2 1 d 1 d2
x 1 at
n n 0 a 12a 0 a 1. 1 2 d :
n a 1;a 2
y 3a 2 1 t Chọn D. Câu 102. x 2 2 t d : u 2;3 1 1 A d1 y 3 t d d 1 2 m
1 2m m 2. x 2 mt d :
A 2;6 d , u ; m 1 2m 2 3 2 2 2 y 6 12m t Chọn C. Câu 103.
x 2 2t A d 5 m 0 2 d :
A 2;1 d ,u 2;m 1 1 1 d d 1 2 y 1 mt 2 m 8 m . m
d : 4x 3y m 0 u 3; 4 3 4 3 2 2 Chọn D.
d : 2x y 0 Câu 104. Với 1 m 4 d d
loại m 4. 1 2
d : 7x y 7 0 2 Với m 4 thì
d : 2x y 4m 0 m m m d d 1 3 1 2 1 1 1 || 2 m 1.
d : m 3 x y 2m 1 0 2 1 4 m m 5 2 Chọn B.
: x 5 0 1 m 0
m 0 (thoaû maõn)
: 2x 3my 10 0 : 4 y 1 0 Câu 105. 1 2 . Chọn D.
: mx 4y 1 0 2 2 3m 1 2 m 0 m 0 M m 4
: mx y 19 0 n ; m 1 1 1
Câu 106. Ta có : :
m 1 x m 1 y 20 0 n m 1; m 1 2 2 1 1
mm 1 1 m 1 0 m . Choïn . C
d : 3mx 2y 6 0 n 3 ; m 2 1 1
Câu 107. Ta có: d : 2
m 2x 2my 6 0 n 2 m 2; 2m 2 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 29 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
d : y 3 0 1 m 0
m 0thoaû maõn
d : x y 3 0 2 . Chọn D. 2 m m
d d M 2 2 1 2 m 0 m 1 3m 2
d : 2x 3y 10 0 n 2;3 1 1 Câu 108. x 23 t d : n 4 ; m 3 2 2 y 14 mt d d 9 1 2
2.4m 3 .
3 0 m . Chọn C. 8
d : 4x 3y 3m 0 n 4;3 1 1 Câu 109. x 1 2 t d :
A 1;4 d , n ; m 2 2 2 2 y 4 mt A d 3 m8 0 1 d d 8 1 2
m 2 8 m . Chọn B. m 3 4 3 3
d : 3mx 2y 6 0 n 3 ; m 2 1 1 Câu 110. Ta có d : 2
m 2x 2my 3 0 n 2 m 2; 2m 2 2
d : y 3 0 1 m 0
m 0khoâng thoaû maõn
d : 2x 2y 3 0 2 . Choïn A. 2 m m d d 2 2 3 1 || 2 m 0 m 1 3m 2 6
x 8m 1 t d :
A 8;10 d , n 1;m 1 1 1 1 Câu 111. Ta có: y 10 t
d : mx 2 y 14 0 n ; m 2 2 2
A d2 n 1;1 8 m 6 0 1 m d d m 0 khoâng thoaû maõn 1 1 || 2 n m 0 0;2 . Chọn A. 2 m 2 m 1 1 m 1
m 0 m 2
d : m3 x 2y m 1 0 1 2 Câu 112. 2
d :xmy m 2m1 0 2
d :3x 2y 1 0 1 m 0 thoaû maõn
d :x 1 0
d d M 2 1 2 . Chọn B. m 3 2 m 1 m 0 1 m m 2 Câu 113.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 30 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
x m 2 t 2 : A ;1 m
d , u 2;m 1 A 1 d y 1 2 m 1 1 2 1 t d d 1 2 m 1 x 1 mt u m 2 m 1 : ;1 2 2 2 y m t . Chọn C. m 1 mt m 1 m1 m 2 m 1 0 1 m t m 1. m 1 2
m m 2 0 m1 0 3
m m 2 0 y 0 x 2
Câu 114. Ox : 5x 2 y 10 0 . Chọn C. 5
x 2y 10 0 y 0 1 y 0 t x 2 t 3
Câu 115. Oy d : x 2t . Chọn A.
y 5 15t 2
y 515t
x , y 0 3
d : 7x3y 16 0 x 10 Câu 116. 1 . Chọn A.
d : x 10 0 y 18 2 x 3 4 t d : x d 1 1 y t
t t 1 2 5 3 4 1 4
t t 1 t 1 Câu 117. y 7. Chọn A.
x 1 4t
25t 75t
t t 1 d : t 0 2
y 75t
d : 2x 3y 19 0 1 x d d 2 Câu 118. 1 2
x 22 2t
222 2t3555t19 0 t 10 . d : y 5 2 y 555 t Chọn A.
A–2;0, B
1; 4 AB : 4x 3y 8 0 x y x AB d 4 3 8 0 2 Câu 119.
x t . d :
d : x y 2 0
x y 2 0 y 0 y 2 t Chọn B.
x 1t x 2
Câu 120. Ox d
Ox d A ; 2 0 d 2 2 1
y 33t 0 y 0
2a 4 0 a 2. Chọn D.
x 2t 0 x 0
Câu 121. Oy d
Oy d A 0;2 d 2 2 1
y 6 2t y 2 m 0 2
6mm 0 . Chọn D. m 6
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 31 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 3 x
d : 3x – 2y 5 0 8 3 31 Câu 122. 1
d d A ; . Ta có 1 2
d : 2x 4 y – 7 0 31 8 16 2 y 16 A d A d 9 31 53
c 0 c .
d || d : 3x 4 y – 1 0
d : 3x 4y c 0 c 1 8 4 8 3 53
Vậy d : 3x 4 y –
0 d : 24x 32y 53 0. Chọn A. 3 8 x 3
d : x 3y 1 0 2 Câu 123. 1
d d A 2 3 ; . Ta có 1 2
d : x 3y 5 0 y 3 2 3 A d A d 2 5 3 2.
c 0 c .
d d : 2x y 7 0 d : x 2 y c 0 3 3 3 5
Vậy d : x 2 y 0 d : 3x 6 y 5 0. Chọn A. 3
d : 3x4y 15 0 x 1 Câu 124. Ta có: 1
d d A 1;3 d 1 2 3
d : 5x 2y 1 0 y 3 2
m 6m 3 9m 13 0 m 5. Chọn D. 5 x
d : 2x y – 4 0 9 5 26 Câu 125. 1
d d A ; d 1 2 3
d : 5x – 2 y 3 0 26 9 9 2 y 9 5m 26
2 0 m 12. Chọn D. 9 3
d : 3x – 4y 15 0 x 1 Câu 126. 1
d d A 1;3 d 1 2
d : 5x 2y –1 0 y 3 2
m 12 15 0 m 3. Chọn C.
d : 2x y –1 0 x 1 Câu 127. 1
d d A 1;1 d m 17 0 m 6. 1 2 3
d : x 2y 1 0 y 1 2 Chọn B.
f M 4 f 1; 0 M d 3 4
f N f Câu 128. Đặt 1; 80 0 ; 51 30 11 N d f x y x y . 3
f P0
f Q0 Chọn A.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 32 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 1 t t x y d 2 1 2
Câu 129. M 2; – 2, 1 1
2 VN M d. 1 3t t 4 t t x y d N –7; 0 7 1 2 4 7, 0
VN N d. 0 3t t 3 t t x y d P 3; 3 1 2 1 3, 5 5
VN P d. 5 3t t 2 t x y d Q 3; 2 3 1 2 3, 2
t 1 Q d. Chọn D. 2 3 t
Câu 130. Gọi 12x 7 y 5 0 .
f M 1; 110 0 M d Đặt f ;
x y 12x 7 y 5
f N 1;
1 0 N d . Chọn A.
f P 0, f Q 0 x 1 2 t t x y d 1 1 2
Câu 131. Gọi d : . M 1; 1, 3
t M 3 0 d. y 35 t 3 35 t t x y d N 1;2 1 1 2 1, 2
t 1 N d. 2 35 t t 2 t x y d P 3; 3 1 2 3, 1 1 2 P
d. Chọn C. 1 35t t 5 t x y d Q 3; 3 1 2 3 , 8 8
t 1 Q d. 8 35 t
DẠNG 4. Xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng.
1. Phương pháp giải.
Để xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng ta dựa vào nhận xét sau:
x x at x x y y • Điể 0
m A thuộc đường thẳng : , t R ( hoặc 0 0 : ) có dạng
y y bt a b 0
Ax at; y bt 0 0 • at c Điể
m A thuộc đường thẳng : ax by c 0 (ĐK: 2 2
a b 0 ) có dạng At; với b bt c b 0 hoặc A ;t với a 0 a 2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng : 3x 4y 12 0
a) Tìm tọa độ điểm A thuộc và cách gốc tọa độ một khoảng bằng bốn
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 33 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
b) Tìm điểm B thuộc và cách đều hai điểm E 5;0 , F 3;2
c) Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M 1;2 lên đường thẳng Lời giải:
a) Dễ thấy M 0;3 thuộc đường thẳng và u 4; 3 là một vectơ chỉ phương của nên có phương trình x 4t tham số là .
y 3 3t
Điểm A thuộc nên tọa độ của điểm A có dạng A4t;3 3t suy ra t 1
OA 4 4t 2 3 3t 2 2
4 25t 18t 7 0 7 t 25 28 96
Vậy ta tìm được hai điểm là A 4; 0 A ; 1 và 2 25 25
b) Vì B nên B 4t;3 3t
Điểm B cách đều hai điểm E 5;0 , F 3;2 suy ra
EB FB 4t 52 3t 32 4t 32 3t 12 6 2 2 t 7 24 3 Suy ra B ; 7 7
c) Gọi H là hình chiếu của M lên khi đó H nên H 4t;3 3t
Ta có u 4; 3là vectơ chỉ phương của và vuông góc với HM 4t 1; 3t 5 nên HM u
t t 19 . 0 4 4 1 3 3 5 0 t 25 76 18 Suy ra H ; 25 25
x 1 t
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng : x 2y 6 0 và ' : . y t
a) Xác định tọa độ điểm đối xứng với điểm A1;0 qua đường thẳng
b) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với ' qua
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 34 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 Lời giải:
a) Gọi H là hình chiếu của A lên khi đó H 2t 6;t
Ta có u 2;1 là vectơ chỉ phương của và vuông góc với AH 2t 5;t nên
AH.u 0 22t 5 t 0 t 2 H 2;2
A' là điểm đối xứng với A qua suy ra H là trung điểm của AA' do đó
x 2x x x 3 A' H A A'
y 2y y y 4 A' H A A'
Vậy điểm cần tìm là A '3; 4
x 1 t 5 b) Thay
1 t 2t 6 0 t
vào phương trình ta được
suy ra giao điểm của y t 3 8 5
và ' là K ; 3 3
Dễ thấy điểm A thuộc đường thẳng ' do đó đường thẳng đối xứng với ' qua đi qua điểm A' và điểm K do
x 3 t đó nhậ 1 7 1
n A ' K ;
1;7 nên có phương trình là 3 3 3
y 4 7t
Nhận xét: Để tìm tọa độ hình chiếu H của A lên ta có thể làm cách khác như sau: ta có đường thẳng AH nhận
u2;1 làm VTPT nên có phương trình là 2x y 2 0 do đó tọa độ H là nghiệm của hệ
x 2y 6 0 H 2;2
2x y 2 0 7
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông ở A. Biết A1; 4, B 1;4, đường thẳng BC đi qua điểm K ;2 3 . Tìm toạ độ đỉnh C. Lời giải: 4
x 1 2t Ta có BK ;6
suy ra đường thẳng BC nhận u 2;9 làm VTCP nên có phương trình là 3
y 4 9t
C BC C 1 2t;4 9t
Tam giác ABC vuông tại A nên AB.AC 0 , AB 2;8, AC 2 2t;8 9t suy ra
22 2t 89t 8 0 t 1 Vậy C 3;5
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 35 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 7 5 3
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD . Biết I ;
là trung điểm của cạnh CD, D 3; và đường phân giác góc 2 2 2
BAC có phương trình là : x y 1 0 . Xác định tọa độ đỉnh B. Lời giải:
x 2x x 4 C I D 7
Cách 1: Điểm I là trung điểm của CD nên C 4; 7
y 2x y 2 C I D 2
Vì A nên tọa độ điểm A có dạng Aa;a 1
Mặt khác ABCD là hình bình hành tương đương với ,
DA DC không cùng phương và AB DC
x a 4 3 B
x a 1 B
AB DC
B a 1;a 3 7 3
y a 1 y a 3 2 2 B B 3 a 1 a 3 11 , DA DC 2
không cùng phương khi và chỉ khi a 1 2 2
Đường thẳng là phân giác góc BAC nhận vectơ u 1;1 làm vec tơ chỉ phương nên AB u
AC u AB.u AC.u cos ; cos ;
(*) AB u AC u Có AB 5
1;2 , AC 4 a; a nên 2 13 2a a 1 * 3 2 2
2a 13a 11 0 11 2 5 a (l) 4 a 2 5 a 2 2
Vậy tọa độ điểm B 2; 4 7
Cách 2: Ta có C 4; . 2
Đường thẳng d đi qua C vuông góc với nhận u 1;1 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là x 7 1. 4 1. y 0
hay 2x 2y 15 0 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 36 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
Tọa độ giao điểm H của và d là nghiệm của hệ: 13 1 0 x x y 13 17 4 H ;
2x 2y 15 0 17 4 4 y 4
Gọi C' là điểm đối xứng với C qua thì khi đó C' thuộc đường thẳng chứa cạnh AB và H là trung điểm của CC' do 5
x 2x x đó C ' H C x 5 C ' 2 C ' ;5
y 2y y C H C 2 ' y 5 C '
Suy ra đường thẳng chứa cạnh AB đi qua C' và nhận DC 1;2 làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là 5
x t 2
y 5 2t
Thay x, y từ phương trình đường thẳng chứa cạnh AB vào phương trình đường thẳng ta được 5 3
t 5 2t 1 0 t suy ra A1;2 2 2 x 1 1 x 2 B B
ABCD là hình bình hành nên AB DC y 2 2 y 4 B B Suy ra B 2; 4
Chú ý: Bài toán có liên quan đến đường phân giác thì ta thường sử dụng nhận xét " là đường phân giác của góc tạo
bởi hai đường thẳng cắt nhau M 1 và
2 khi đó điểm đối xứng với điểm
1 qua thuộc 2 "
Ví dụ 5: Cho đường thẳng d : x 2y 2 0 và 2 điểm A0;1 và B 3; 4 . Tìm tọa độ điểm M trên d sao
cho MA 2MB là nhỏ nhất. Lời giải:
M d M 2t 2;t , MA2t 2;1 t , MB 1 2t;4 t do đó MA 2MB 6t;3t 9 2 2 3 314 314
Suy ra MA 2MB
6t 3t 9 45t 5 5 5 3 MA 2MB
nhỏ nhất khi và chỉ khi t do đó 16 3
M ; là điểm cần tìm. 5 5 5
3. Bài tập luyện tập.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 37 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
Bài 24: Cho tam giác ABC có trọng tâm G 2; 0, phương trình các cạnh AB: 4x y 14 0 , AC:
2x 5y 2 0 . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C. Lời giải:
ĐS: A4;2, B 3;2, C 1;0.
Bài 25: Cho hai đường thẳng d : x y 0
d : 2x y 1 0 1 và 2
. Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD
biết rằng đỉnh A thuộc d , đỉ d 1
nh C thuộc 2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành. Lời giải:
A d , C d , B, D thuộc trục hoành suy ra Aa;a ,C ;1
c 2c , B ;0
b , D d;0 1 2
Vì ABCD là hình vuông và B, D thuộc trục hoành nên A và C đối xứng nhau qua trục hoành do đó a c
a c 1 A 1;1 ,C 1;1 Suy ra a 2c 1
ABCD là hình vuông suy ra BA BC và trung điểm của AC trùng với trung điểm của BD BA BC BA BC b 2 b 0 . 0 1 1 0 (1) b 2
Trung điểm của AC trùng trung điểm của BD nên b d 2 (2) b 0 b 2 Từ (1) và (2) ta có hoặc d 2 d 0
Vậy có hai hình vuông thỏa mãn có tọa độ các đỉnh là A1;1,B 2; 0,C 1;1,D 0; 0
và A1;1,B 0; 0,C 1;1,D 2; 0
Bài 26: Cho tam giác ABC có đỉnh A2;1, đường cao qua đỉnh B có phương trình x 3y 7 0 và đường
trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x y 1 0 . Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác. Lời giải:
ĐS: B 2;3, C 4;5
Bài 27: Cho điểm A2;2 và các đường thẳng: d : x y 2 0, d : x y 8 0 . Tìm toạ độ các điểm 1 2
B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lời giải:
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 38 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
B d ; C d nên tọa độ B, C có dạng B a;2 a , C ; b 8 b 1 2
AB a 2; a
; AC b 2;6 b
Tam giác ABC vuông cân tại A nên AB AC
a 2 a b 2 b2 2
a 1b 4 2 2 2 6 AB.AC 0
a 2b 2 a 6 b 0
a 12 b 42 3 a 1 a 3
Giải hệ này dễ dàng tìm được hoặc b 3 b 5
Từ đó B 1; 3, C 3;5 hoặc B 3;1, C 5; 3
Bài 28: Tam giác ABC biết A2;1 và phương trình hai đường phân giác trong của góc B và góc C lần lượt là
: x 2y 1 0, ' : 2x 3y 6 0 . Xác định tọa độ , B C . Lời giải:
Điểm A'0;3 BC là điểm đối xứng A qua , A' 0;2 BC là điểm đối xứng A qua ' 1 5
Ta có BC : x 0 suy ra B 0; , C 0; 2 3
Bài 29: Cho điểm A2;1. Trên trục Ox , lấy điểm B có hoành độ x 0 B
, trên trục Oy , lấy điểm C có tung độ y 0 C
sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất. Lời giải:
ĐS: B 0;0, C 0;5
Bài 30: Cho tam giác ABC cân tại B, với A1;1,C3;5. Điểm B nằm trên đường thẳngd : 2x y 0 . Viết
phương trình các đường thẳng AB, BC. Lời giải:
ĐS: AB : 23x y 24 0 , BC : 19x 13y 8 0
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 39 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
Bài 31: Cho đường thẳng : x 2y 3 0 và hai điểm A2;5 và B 4;5. Tìm tọa độ điểm M trên sao cho a) 2 2
2MA MB đạt giá trị nhỏ nhất
b) MA MB đạt giá trị nhỏ nhất
c) MA MB đạt giá trị lớn nhất Lời giải: 2 11 267 267
a) M M 2t 3;t suy ra 2 2 2
2MA MB 15t 66t 126 15t 5 5 5 11 7 11
Dấu bằng xảy ra t M ; 5 5 5
b) Dễ thấy A, B cùng phía với . Gọi A' là điểm đối xứng A qua A '4;1 3 9
Ta có MA MB MA ' MB A ' B , dấu "=" xảy ra M A ' B M A ' B M ; 2 4
c) Lấy A' như câu b) suy ra MA MB MA ' MB A ' B dấu "=" xảy ra 3 9 M A' B M ; 2 4
Bài 32: Viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết A1;1 và phương trình các đường phân giác trong
góc B, C lần lượt là 2x y 2 0 và x 3y 3 0 . Lời giải:
ĐS: BC : 3x 11y 20 0
Bài 33: Viết phương trình đường thẳng ' đối xứng với đường thẳng qua điểm I biết
x 2 t
a) I (3;1); : 2x y 3 0 b) I (1; 3); :
y 1 2t Lời giải: a) d I 8 5 ;
, '/ / ' : 2x y c 0 5
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 40 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 d c c l I; d I; ' 8 5 5 3( ) 5 c 13 5
Vậy ' : 2x y 13 0
b) ' : 2x y 15 0
Bài 34: Cho hình vuông tâm I 2; 3 và AB : x 2y 1 0 . Viết phương trình các cạnh còn lại và các đường chéo . Lời giải:
Ta có DC : x 2y 9 0; BC : 2x y 2 0;
AD : 2x y 12 0; AC : x 3y 11 0; BD : 3x y 3 0
Bài 35: Cho tam giác ABC vuông tại A biết phương trình cạnh BC là: 3x y
3 0 ; điểm A, B thuộc
trục hoành. Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2 Lời giải:
Dễ thấy B1; 0 . Vì C C a; 3 a 1
A, B thuộc trục hoành và tam giác ABC vuông nên Aa;0
AB a 1;0, AC 0; 3a 1, ABC là tam giác khi và chỉ khi ,
AB AC không cùng phương hay a 1 1
Theo công thức tính diện tích tam giác ta có S
pr AB.AC ABC suy ra 2
2AB BC CA AB.AC , mặt khác AB a 1 ,BC 2 a 1 ,CA 3 a 1 nên ta có
a a 2 2 3 3 1 3
1 suy ra a 1 (loại), a 3 2 3 hoặc a 1 2 3
Vậy có hai trường hợp xảy ra ta tìm được tọa độ trọng tâm trong hai trường hợp đó là 7 4 3 2 3 6 1 4 3 2 3 6 G ; , G ; 1 3 3 2 3 3 Nhận xét:
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 41 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
Cách khác: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp A
BC . Vì r 2 y 2 I
. Từ phương trình đường thẳng BC x 1
x x 3 2 3 A C suy ra 0
B 60 do đó BI : y
x 1 2 3 3 I
x x 1 2 3 A C
Từ phương trình BC ta suy ra được yC do đó tìm được tọa độ ba đỉnh rồi suy ra tọa độ trọng tâm.
Bài 36: Cho tam giác ABC có C (2, 0) , đường phân giác trong góc A có phương trình là 5x y 3 0 và
thỏa mãn AB 2OM với M 2; 3. Tìm tọa độ điểm A, B Lời giải:
Aa;3 5a B 4 a;9 5a , u 1;5, AB 4;6, AC 2 a;5a 3 a a
cosAB;u cosAC;u 26 26 13 0 Chỉ có trường hợp 2 2
a 2 a 2 a 1 4 6 2 5 3
a 1 B 5;4
Bài 37: Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC
có phương trình x y 4 0 . Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E 1;3 nằm trên đường cao đi qua
đỉnh C của tam giác đã cho. Lời giải:
(hình 3.27)Gọi H' là chân đường cao xuất phát từ đỉnh A, H là giao điểm của đường thẳng và AH
Vì H nên H a;4 a A H B H' C E Hình 3.27
AH.u 0 1a 6 1.2 a 0 a 2 H 2;2
(Trong đó u 1;1 là vectơ chỉ phương của )
H là trung điểm của đoạn thẳng AH' nên H '2;2
Đường thẳng chứa cạnh BC đi qua H nhận u làm vectơ chỉ phương nên
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 42 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
x 2 t BC : y 2 t
Gọi B 2 t;t 2 C t 2;2 t
E nằm trên đường cao đi qua đỉnh C nên EC .AB 0 t 4 hay t
3 8 t 1 t t 8 2 0 t 2t 8 0 t 2
Vậy B 6;2,C 2;6 hoặc B 0;4,C 4; 0
Bài 38: Cho hình thoi ABCD có (
A 1,2);B(3, 3) và giao điểm của hai đường chéo nằm trên đường thẳng
d : x y 2 0. Tìm toạ độ C và D. Lời giải:
C 3;4, D 1;1 hoặc C 6;13, D 10;8
Bài 39: Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB : x y 1 0 và phương trình đường
thẳng BD : 2x y 1 0 ; đường thẳng AC đi qua M 1;1 . Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD . Lời giải: ĐS: 1 2 2 1 (
A ; ); B(0;1) ; C(1;0) ; D( ; ) 3 3 3 3 3
Bài 40: Cho tam giác ABC có diện tích S
, tọa độ các đỉnh A2;3, B 3;2 và trọng tâm G của tam 2
giác nằm trên đường thẳng có phương trình 3x y 8 0 . Tìm tọa độ đỉnh C Lời giải: I là trung điể 5 5 1 S 1
m AB thì I ; GAB , S GH
, G a;8 3a 2 2 GAB 2 AB 2
AB : x y 5 0 , d G;AB GH từ đó suy ra C 2;10 hoặc C 1;1
Bài 41: Cho điểm M(1; 1) và hai đường thẳng d : 3x y 5 0, d : x y 4 0. 1 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 43 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt d , d lần lượt tại ,
A B sao cho 2MA 3MB 0. 1 2 Lời giải: A d (
A x ;3x 5), B d B(x ; 4 x ) . 1 1 1 2 2 2 2MA 3MB (1)
Vì A, B, M thẳng hàng và 2MA 3MB
2MA 3MB (2)
Ta có MA (x 1; 3x 6), MB (x 1; 3 x ) 1 1 2 2 . 5 x 1
(1) 2(x 1; 3x 6) 3(x 1; 3 x ) 1 1 2 2 2 x 2 2 5 5
Suy ra A ; , B(2; 2)
. Suy ra phương trình d : x y 0. 2 2 x 1 1
(2) 2(x 1; 3x 6) 3(x 1; 3 x ) 1 1 2 2 x 1 2 Suy ra (
A 1; 2), B(1; 3). Suy ra phương trình d : x 1 0 .
Bài 42. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh C 4;1; phương trình các đường trung
tuyến AA', đường phân giác BB' của tam giác đó lần lượt là 2x y 3 0, x y 6 0 Lời giải:
B 3;3, C '5;10 với C' là điểm đối xứng C qua BB'
Bài 43. Cho tam giác ABC có A4;1 và phương trình hai đường trung tuyến
BB ' : 8x y 3 0, CC ' : 14x 13y 9 0 . Tính tọa độ , B C Lời giải:
ĐS: B 1;5, C 4;5
Bài 44: Cho tam giác ABC ; phương trình các đường thẳng chứa đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần
lượt là x 2y 13 0 và 13x 6y 9 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC là I (5; 1).
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 44 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 Lời giải: Ta có (
A 3; 8). Gọi M là trung điểm BC IM / /AH . Ta suy ra pt IM : x 2y 7 0. Suy ra tọa độ
x 2y 7 0 M thỏa mãn M(3; 5).
13x 6y 9 0
Pt đường thẳng BC : 2(x 3) y 5 0 2x y 11 0.
B BC B(a; 11 2a). a 4 Khi đó 2 IA IB a 6a 8 0 . a 2
Từ đó suy ra B(4; 3), C (2; 7) hoặc B(2; 7), C (4; 3).
Bài 45. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh A5; 3 , trực tâm H 3;2 và trung điểm 1
cạnh BC là M ;2 . 2 Lời giải:
BC : 2x y 3, CA : x 3y 14 0; AB : 4x 3y 11 0
Bài 46: Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết M 1; 4, N 1; 3 là trung điểm của BC, CA và 1 5 H ;
là trực tâm tam giác ABC . 3 3 x t
Từ giả thiết suy ra MN CH, NM 2;1 CH :
y 1 2t 7 26 Gọi C t
;1_2t At 2;7 2t HAt ; 2t , CM
t 1;5 2t 3 3 Do đó 7 HACM t t 26 . 0 1 2t
5 2t 0 3 3 t 3 2
15t 86t 123 0 41 t 15
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 45 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 Do đó 41 67 71 53 11 23
C 3;5, B 5;3, A1;1 hoặc C ; , B ; , A . ; 15 15 15 15 15 15
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 46
Document Outline
- BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
- BÀI 1. ĐÁP ÁN