Rèn tư duy Toán thực tế | Toán 12
Rèn tư duy Toán thực tế | Toán 12. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!
Chủ đề: Tài liệu chung 274 tài liệu
Môn: Toán 12 4.7 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
GS.TS. CUNG THẾ ANH - NGỌC HUYỀN LB
RÈN TƯ DUY TOÁN - CHUYÊN ĐỀ 1
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI
QUYẾT VẤN ĐỀ THỰC TIỄN
LIVE CHI TIẾT | 20H THỨ 7 NGÀY 9.11 Cơ sở lí thuyết
Ví dụ minh họa kèm lời giải chi tiết
Bài tập rèn luyện thêm Nơi học Livestream Page Ngoc Huyen LB Math
COMBO BON PRO BON 9 PLUS BON 8 PLUS HỌC BÀI BẢN – THI ĐƠN GIẢN – GHI BẢNG VÀNG
Biên soạn: GS.TS. Cung Thế Anh (Chủ biên SGK KNTT) & cô Ngọc Huyền LB ll Độc quyền tại page: Ngoc Huyen LB Math
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT
MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN TR ONG THỰC TIỄN
Tác giả: GS.TS. Cung Thế Anh (Chủ biên SGK KNTT) – Cô Ngọc Huyền LB
Livestream: Buổi 1: 20h ngày 9.11 trên page “Ngoc Huyen LB Math”
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Tốc độ thay đổi tức thời của một đại lượng
Giả sử đại lượng y là một hàm số của đại lượng x và ta viết y f x . Nếu x
thay đổi từ x đến x , thì sự thay đổi của x là Δx x x , và sự thay đổi tương 1 2 2 1
ứng của y là Δy f x f x . 2 1 Δy
f x f x 2 1 Tỉ số
gọi là tốc độ thay đổi trung bình của y đối với x trên Δx x x STUDY TIP 2 1 Δy
f x f x 2 1
Đạo hàm f a là tốc độ
đoạn x ; x lim lim
gọi là tốc độ thay đổi tức 1
2 . Giới hạn Δx0 Δ x x x 2 1 x x
thay đổi tức thời của đại 2 1
lượng y f x đối với đại
thời của y đối với x tại điểm x x . Như vậy, đạo hàm f a là tốc độ thay đổi 1
lượng x tại điểm x . a
tức thời của đại lượng y f x đối với đại lượng x tại điểm x a.
Một số ứng dụng của ý tưởng này đối với vật lí, hoá học và sinh học:
Nếu s st là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng
thì v st biểu thị vận tốc tức thời của vật. Tốc độ thay đổi tức thời của
vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật: at vt st.
Nếu C Ct là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hoá học tại thời
điểm t, thì Ct là tốc độ phản ứng tức thời của chất đó tại thời điểm t.
Nếu P Pt là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực
vật tại thời điểm t, thì Pt biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần
thể tại thời điểm t.
2. Một số hàm thông dụng trong kinh tế
Giả sử Cx là hàm chi phí, tức là chi phí sản xuất x đơn vị của một sản
phẩm nào đó, thì chi phí biên là tốc độ thay đổi của C đối với x , tức là
đạo hàm Cx . 2
Nhắn cú pháp “bon2025” cho page “Ngoc Huyen LB Math” để học cùng cô Ngọc Huyền LB luôn nhé!
COMBO BON PRO BON 9 PLUS BON 8 PLUS HỌC BÀI BẢN – THI ĐƠN GIẢN – GHI BẢNG VÀNG
Biên soạn: GS.TS. Cung Thế Anh (Chủ biên SGK KNTT) & cô Ngọc Huyền LB ll Độc quyền tại page: Ngoc Huyen LB Math STUDY TIP
Gọi px là giá bán mỗi đơn vị mà công ty có thể tính nếu bán x đơn vị. Những bài toán thường
Khi đó, p được gọi là hàm cầu (hay hàm giá) và chúng ta mong đợi đó gặp trong kinh tế:
là một hàm giảm của x . Nếu x đơn vị được bán và giá mỗi đơn vị là
• Xác định số đơn vị sản
phẩm sản xuất x (hoặc giá
px thì tổng doanh thu là Rx .
x px và Rx được gọi là hàm
bán p) để doanh thu/lợi nhuận lớn nhất.
doanh thu. Đạo hàm Rx của hàm doanh thu được gọi là hàm doanh
• Xác định số đơn vị sản
thu biên và là tốc độ thay đổi của doanh thu đối với số lượng đơn vị sản
phẩm sản xuất x để chi phí sản xuất trung bình phẩm bán ra.
C x C x nhỏ nhất.
Nếu x đơn vị được bán, thì tổng lợi nhuận là Px Rx Cx và x
Px được gọi là hàm lợi nhuận. Hàm lợi nhuận biên là đạo hàm Px của hàm lợi nhuận.
3. Quy trình giải một bài toán tối ưu hoá
• Bước 1. Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn STUDY TIP
nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.
Trong Bước 1, để xác định
• Bước 2. Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các
được đại lượng Q ta
thường đi từ yêu cầu của
đại lượng khác ở Bước 1 theo .
x Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến đề bài. .
x Tìm tập xác định của hàm số Q Qx .
• Bước 3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số Q Qx bằng
các phương pháp đã biết và kết luận.
[Ví dụ] Một công ty nhận sản xuất 400 000 huy chương bạc nhân ngày kỷ niệm
lần thứ 30 tàu vũ trụ Apollo 11 đổ bộ lên Mặt Trăng. Công ty sở hữu 20 máy, mỗi
máy có thể sản xuất 200 huy chương/giờ. Chi phí lắp đặt máy để sản xuất huy
chương là 80 USD/máy và tổng chi phí vận hành là 5,76 USD/giờ. Hãy ước tính
số máy mà công ty nên dùng để tổng chi phí sản xuất nhỏ nhất. Hướng dẫn giải
• Bước 1. Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất TƯ DUY TOÁN
hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.
Xác định đại lượng Q: Dựa vào câu hỏi:
Từ phần tư duy toán ta thấy
Thông thường sau từ: để/
Ta cần ước tính số máy mà chi phí sản xuất nhỏ nhất. Chi phí sản xuất có thể
chi phí sản xuất/ nhỏ nhất.
được biểu diễn qua số máy.
đại lượng Q tìm GTNN
• Bước 2. Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng
khác ở Bước 1 theo .
x Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến .
x Tìm tập xác
định của hàm số Q Qx (Ở đây Qx chính là chi phí Cx ). Gọi x *
1 x 20, x
là số máy sử dụng và Cx là hàm tổng chi phí sản xuất tương ứng.
Chi phí lắp đặt các máy là 80x (USD). 400 000 11 520
Chi phí vận hành các máy là .5,76 (USD). 200x x
Tổng chi phí sản xuất Chi phí lắp đặt + Chi phí vận hành.
Nhắn cú pháp “bon2025” cho page “Ngoc Huyen LB Math” để học cùng cô Ngọc Huyền LB luôn nhé! 3
COMBO BON PRO BON 9 PLUS BON 8 PLUS HỌC BÀI BẢN – THI ĐƠN GIẢN – GHI BẢNG VÀNG
Biên soạn: GS.TS. Cung Thế Anh (Chủ biên SGK KNTT) & cô Ngọc Huyền LB ll Độc quyền tại page: Ngoc Huyen LB Math
Do đó chi phí sản xuất là C x 11 520 80x (USD). x
Ta coi C x là hàm số xác định trên đoạn 1 ;20.
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số C x với x 1 ;20 .
• Bước 3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số Q Qx bằng các
phương pháp đã biết và kết luận. 11 520
Ta có: Cx 80 ; 2 x x Cx 12 0 x 12 (loại).
Ta tính giá trị của hàm C x tại các điểm đặc biệt: C
1 11 600; C20 2 176; C12 1920.
Từ đây suy ra min C x C 12 1 920. x 1; 20
Vậy công ty nên sử dụng 12 máy để sản xuất thì tổng chi phí sản xuất sẽ nhỏ nhất. 4
Nhắn cú pháp “bon2025” cho page “Ngoc Huyen LB Math” để học cùng cô Ngọc Huyền LB luôn nhé!
COMBO BON PRO BON 9 PLUS BON 8 PLUS HỌC BÀI BẢN – THI ĐƠN GIẢN – GHI BẢNG VÀNG
Biên soạn: GS.TS. Cung Thế Anh (Chủ biên SGK KNTT) & cô Ngọc Huyền LB ll Độc quyền tại page: Ngoc Huyen LB Math
B. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. [Tối ưu hóa trong xây dựng]
Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo C và
khoảng cách ngắn nhất từ B đến C là 1 km, khoảng cách từ B đến A là 4 km,
được minh họa bằng hình vẽ sau: C B S A
Biết chi phí mắc dây điện của đoạn trên đất liền AS là 3 000 USD cho 1 km, và
của đoạn trên biển SC là 5 000 USD cho 1 km. Để chi phí mắc dây điện nhỏ nhất,
vị trí của điểm S phải cách nhà máy A một khoảng SA là 15 13 10 19 A. km. B. km. C. km. D. km. 4 4 4 4 Hướng dẫn giải TƯ DUY TOÁN
• Bước 1. Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất
1. Xác định đại lượng Q là
hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán. đại lượng:
Từ phần tư duy toán ta thấy: “Để chi phí mắc dây
Đại lượng cần đánh giá là: Chi phí mắc dây điện biểu diễn theo SB hoặc SA. đại lượng Q nhỏ nhất”
• Bước 2. Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng
khác ở Bước 1 theo .
x Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến . x Tìm tập xác tìm GTNN
2. Xác định biến:
định của hàm số Q Qx (Ở đây Qx chính là chi phí Cx ).
“Vị trí của điểm S …”
Biến liên quan đến độ
Như vậy ta xây dựng hàm biểu diễn chi phí mắc dây như sau: dài SA, SB.
Gọi x km là khoảng cách từ điểm S đến tới điểm B, ta có: SB x 0 x 4.
Khi đó khoảng cách SA x 2 2 2 4
km , SC BC BS 1 x km.
Chi phí mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là STUDY TIP C x x 2 3 000 4
5 000 1 x , với 0 x 4.
Chi phí mắc dây điện bằng
tổng chi phí mắc dây điện
• Bước 3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số Q Qx bằng các
trên đất liền và chi phí mắc
phương pháp đã biết và kết luận. dây điện trên biển.
• Phần mắc dây trên đất
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số C x với 0 x 4 . liền ứng với SA.
• Phần mắc dây trên biển 5 000x 5x 3 1 x Ta có: C ứng với SC. x 2 3 000 1 000 ; 2 2 1 x 1 x Cx 2
0 5x 3 1 x 0 2
5x 3 1 x 9 2 1 x 2
25x do 0 x 4
Nhắn cú pháp “bon2025” cho page “Ngoc Huyen LB Math” để học cùng cô Ngọc Huyền LB luôn nhé! 5
COMBO BON PRO BON 9 PLUS BON 8 PLUS HỌC BÀI BẢN – THI ĐƠN GIẢN – GHI BẢNG VÀNG
Biên soạn: GS.TS. Cung Thế Anh (Chủ biên SGK KNTT) & cô Ngọc Huyền LB ll Độc quyền tại page: Ngoc Huyen LB Math 3 CHECKPOINT 1 x 2 9 4 x
do 0 x 4. 16
Một đường dây điện được 3 x (loại)
nối từ một nhà máy điện ở A 4
đến một hòn đảo C và khoảng
cách ngắn nhất từ B đến C là Lập bảng biến thiên:
2 km, khoảng cách từ B đến A 3
là 5 km, được minh họa bằng x 0 4 4 hình vẽ sau: C’(x) _ 0 + C C(x) B S A 16 000
Biết chi phí mắc dây điện của 3
đoạn trên đất liền AS là 4 000
Do đó min C x C 16 000 (USD). x 0;4
USD cho 1 km, và của đoạn 4
trên biển SC là 5 000 USD cho
Vậy, để chi phí mắc dây điện ít tốn kém nhất thì điểm S phải cách A một khoảng là
1 km. Tính khoảng cách từ
điểm S đến nhà máy A để chi 3 13
AB BS 4 km.
phí mắc dây điện nhỏ nhất. 4 4
Chọn đáp án B.
Ví dụ 2. [Tối ưu hóa trong kinh doanh]
Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy . B Hai nhà máy
thỏa thuận rằng, hằng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản A B
phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy B (tối đa 100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng
đặt hàng là x tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là px 2
45 0,001x (triệu đồng). Chi phí để nhà máy A sản xuất x tấn sản phẩm
trong một tháng là Cx 100 30x (triệu đồng) (gồm 100 triệu đồng chi phí cố
định và 30 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Trong các khẳng định sau, khẳng
định nào đúng, khẳng định nào sai?
a) Chi phí để nhà máy A sản xuất 10 tấn sản phẩm trong một tháng là 400 triệu đồng.
b) Số tiền nhà máy A thu được khi bán 10 tấn sản phẩm cho nhà máy B là 450 triệu đồng.
c) Hàm số biểu thị lợi nhuận mà nhà máy A thu được khi bán x tấn sản phẩm
cho nhà máy B là Px 3 0
,001x 15x 0 x 100 (triệu đồng).
d) Nếu nhà máy A bán cho nhà máy B 71 tấn sản phẩm mỗi tháng (làm tròn
đến hàng đơn vị) thì sẽ thu được lợi nhuận lớn nhất. Hướng dẫn giải TƯ DUY TOÁN
a) Chi phí để nhà máy A sản xuất 10 tấn sản phẩm trong một tháng là Tóm tắt bài toán:
C10 100 30.10 400 (triệu đồng).
Nếu nhà máy A sản xuất x
tấn sản phẩm thì chi phí Chọn Đúng.
sản xuất là Cx và giá bán
b) Số tiền nhà máy A thu được khi bán 10 tấn sản phẩm cho nhà máy B là
cho mỗi tấn sản phẩm là R p 2 10 10. 10
10. 45 0,001.10 449 (triệu đồng). px. Chọn Sai. 6
Nhắn cú pháp “bon2025” cho page “Ngoc Huyen LB Math” để học cùng cô Ngọc Huyền LB luôn nhé!
COMBO BON PRO BON 9 PLUS BON 8 PLUS HỌC BÀI BẢN – THI ĐƠN GIẢN – GHI BẢNG VÀNG
Biên soạn: GS.TS. Cung Thế Anh (Chủ biên SGK KNTT) & cô Ngọc Huyền LB ll Độc quyền tại page: Ngoc Huyen LB Math
c) Lợi nhuận mà nhà máy A thu được = Số tiền nhà máy A bán được x tấn sản
phẩm – Chi phí nhà máy A sản xuất x tấn sản phẩm:
P x Rx C x xpx C x x 2 45 0,001x 3 x x x 3 45 0,001 100 30 0
,001x 15x 100 0 x 100 (triệu đồng). Chọn Sai.
d) Xét hàm số Px 3 0
,001x 15x 100 0 x 100, ta có:
x 50 2 70,7 (chọn) Px 2 0
,003x 15; Px 2 0 0
,003x 15 0 x 5 0 2 (loại) Bảng biến thiên: STUDY TIP x 0 50 2 100
Trong ý d) thì Px đạt giá P’(x) _ + 0
trị lớn nhất tại x 50 2 là 500 2 – 100
một giá trị không nguyên, P(x)
theo đề bài ta cần tính toán –100 400
x (tấn) là một số nguyên, vì
vậy ta cần thực hiện so
Ta có: P70 607; P7
1 607,089. Do đó: P70 P7 1 .
sánh P70 và P 71 .
Vậy nhà máy A bán cho nhà máy B 71 tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi
nhuận lớn nhất bằng P7
1 607,089 (triệu đồng). Chọn Đúng. CHECKPOINT 2
Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B. Hai nhà máy thỏa thuận
rằng, hằng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng
của nhà máy B (tối đa 100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là x tấn sản phẩm thì giá
bán cho mỗi tấn sản phẩm là px 2
50 0,002x (triệu đồng). Chi phí để nhà máy A sản
xuất x tấn sản phẩm trong một tháng là Cx 100 20x (triệu đồng) (gồm 100 triệu đồng
chi phí cố định và 20 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Trong các khẳng định sau, khẳng
định nào đúng, khẳng định nào sai?
a) Chi phí để nhà máy A sản xuất 15 tấn sản phẩm trong một tháng là 400 triệu đồng.
b) Số tiền nhà máy A thu được khi bán 15 tấn sản phẩm cho nhà máy B là 450 triệu đồng.
c) Hàm số biểu thị lợi nhuận mà nhà máy A thu được khi bán x tấn sản phẩm cho nhà
máy B là Px 3 0
,002x 30x 0 x 100 (triệu đồng).
d) Nếu nhà máy A bán cho nhà máy B 70 tấn sản phẩm mỗi tháng (làm tròn đến hàng
đơn vị) thì sẽ thu được lợi nhuận lớn nhất.
Ví dụ 3. [Vận tốc, gia tốc của chuyển động thẳng]
Giả sử một chất điểm chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng
lên trên sao cho tọa độ của chất điểm (đơn vị: mét) tại thời điểm t (giây) là 3
y t 12t 3, 0 t 10. Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn đúng hoặc sai.
a) Vận tốc và gia tốc của chất điểm lần lượt là vt 2 3t 12 / m s và
at t 2 6 m/s .
b) Chất điểm chuyển động xuống dưới trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 3 giây.
c) Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 3 giây là 9 m.
d) Tốc độ của chất điểm không bao giờ giảm.
Nhắn cú pháp “bon2025” cho page “Ngoc Huyen LB Math” để học cùng cô Ngọc Huyền LB luôn nhé! 7
COMBO BON PRO BON 9 PLUS BON 8 PLUS HỌC BÀI BẢN – THI ĐƠN GIẢN – GHI BẢNG VÀNG
Biên soạn: GS.TS. Cung Thế Anh (Chủ biên SGK KNTT) & cô Ngọc Huyền LB ll Độc quyền tại page: Ngoc Huyen LB Math Hướng dẫn giải
a) Hàm vận tốc là: vt 2
y 3t 12 /
m s, t 0 ;
Hàm gia tốc là: at vt y t 2
6 m/s , t 0. STUDY TIP Chọn Đúng.
“Chất điểm chuyển động
b) Chất điểm chuyến động xuống dưới khi vt 2
0 3t 12 0 0 t 2 (do
xuống dưới” vận tốc âm. t 0) .
“Chất điểm chuyển động Chọn Sai. lên trên” vận tốc dương.
c) Trong khoảng thời gian t 0; 2
, vận tốc âm nên chất điểm chuyển động theo chiều âm.
Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian này là
y 2 y0 16 m .
Trong khoảng thời gian t 2;3 , vận tốc dương nên chất điểm chuyển động CHECKPOINT 3 theo chiều dương.
Giả sử một chất điểm chuyển
Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian này là
động trên một trục thẳng
đứng chiều dương hướng lên
y3 y2 7 m .
trên sao cho tọa độ của chất
Vậy trong khoảng thời gian t 0; 3
điểm (đơn vị: mét) tại thời
, chất điểm đi được quãng đường dài điểm t (giây) là 16 7 2 3 m . 3
y 2t 24t 5, 0 t 10.
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn Chọn Sai. đúng hoặc sai.
d) Lập bảng biến thiên:
a) Vận tốc và gia tốc của chất điểm lần lượt là t 0 2 10 vt 2 6t 24 / m s
v’(t) = a(t) + 0 +
và at t 2 6 m/s . 288
b) Chất điểm chuyển động v(t) 0
xuống dưới trong khoảng
thời gian từ 0 giây đến 2 giây. –12
c) Quãng đường chất điểm đi
được trong khoảng thời gian
Tốc độ của chất điểm là độ lớn của vận tốc, tức là vt . Rõ ràng vt giảm
từ 0 giây đến 3 giây là 18 m. trong khoảng t0;2
d) Tốc độ của chất điểm luôn
(giảm từ 12 m/s xuống 0 m/s), nên tốc độ của chất điểm giảm.
giảm trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 2 giây. Chọn Sai.
Ví dụ 4. [Tối ưu hoá trong hình học]
Một người bán gạo muốn đóng một thùng tôn đựng gạo có thể tích không đổi bằng 3
10 m . Thùng tôn có dạng hình hộp chữ nhật, có đáy là hình vuông và
không có nắp. Trên thị trường, giá tôn làm đáy thùng là 90 000 đồng 2 /m và giá
tôn làm thành xung quanh thùng là 40 000 đồng 2
/m . Hỏi người bán gạo đó cần
đóng thùng đựng gạo với cạnh đáy bằng bao nhiêu để chi phí mua tôn làm thùng
đựng gạo là nhỏ nhất (đơn vị: mét, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)? Hướng dẫn giải
• Bước 1. Xác định đại lượng cần đánh giá 8
Nhắn cú pháp “bon2025” cho page “Ngoc Huyen LB Math” để học cùng cô Ngọc Huyền LB luôn nhé!
COMBO BON PRO BON 9 PLUS BON 8 PLUS HỌC BÀI BẢN – THI ĐƠN GIẢN – GHI BẢNG VÀNG
Biên soạn: GS.TS. Cung Thế Anh (Chủ biên SGK KNTT) & cô Ngọc Huyền LB ll Độc quyền tại page: Ngoc Huyen LB Math Chi phí mua nguyên liệu TƯ DUY TOÁN
= Chi phí làm đáy thùng + chi phí của làm thành xung quanh thùng.
Đại lượng cần đánh giá:
= Diện tích đáy thùng × 90 000 + Diện tích xung quanh × 160 000 (đồng) Chi phí mua nguyên liệu. → Mà dựa vào giả thiết,
Ta tìm diện tích đáy thùng và diện tích xung quanh và biểu diễn theo độ dài
nguyên liệu làm sản phẩm các cạnh.
được tính theo diện tích
• Bước 2. Xây dựng đại lượng cần đánh giá là hàm số của một biến x. tôn đáy và tôn xung
quanh. Tương ứng với quy
Gọi độ dài cạnh đáy hình vuông và chiều cao của thùng đựng gạo lần lượt là
bài toán về đánh giá diện
x, y m ; x 0,y 0. tích xung quanh và diện
tích đáy của hình hộp chữ 10 nhật tương ứng.
Thể tích của thùng đựng gạo là 2 V x y 3 10 m . Suy ra y . 2 x
Diện tích đáy thùng là 2 x 2
m và diện tích xung quanh là xy 2 4 m nên chi phí để làm thùng tôn là f x 1 600 000 2 2
90 000x 40 000.4xy 90 000x
, x 0 (đồng). x CHECKPOINT 4
• Bước 3. Tìm giá trị nhỏ nhất
Một người bán gạo muốn 1 600 000 2 10
Ta có: f x 180 000x ; f x 3 0 x . 2
đóng một thùng tôn đựng x 3 9
gạo có thể tích không đổi Bảng biến thiên: bằng 3 15 m . Thùng tôn có
dạng hình hộp chữ nhật, có 2 3 10
đáy là hình vuông và không x 0 +∞ 3 9
có nắp. Trên thị trường, giá
tôn làm đáy thùng là 100 000 f’(x) – 0 + đồng 2 /m và giá tôn làm +∞ +∞ thành xung quanh thùng là f(x) 70 000 đồng 2 /m . Hỏi người
bán gạo đó cần đóng thùng 120 000 3 900
đựng gạo với cạnh đáy bằng
bao nhiêu để chi phí mua tôn
Vậy chi phí mua nguyên liệu nhỏ nhất (bằng 3
120 000 900 1158 587 đồng) khi
làm thùng đựng gạo là nhỏ
nhất (đơn vị: mét, làm tròn 3 2 10
kết quả đến chữ số thập phân
cạnh đáy của thùng đựng gạo bằng 2,07 m . 3 thứ hai)? 9 Đáp án: 2,07.
Ví dụ 5. [Ứng dụng trong sinh học]
Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1 000 vi khuẩn vào môi trường dinh
dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi
theo thời gian bởi công thức: 100t N t 1 000
(con), trong đó t là thời gian tính bằng giây. 2 100 t
Tính số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng.
Nhắn cú pháp “bon2025” cho page “Ngoc Huyen LB Math” để học cùng cô Ngọc Huyền LB luôn nhé! 9
COMBO BON PRO BON 9 PLUS BON 8 PLUS HỌC BÀI BẢN – THI ĐƠN GIẢN – GHI BẢNG VÀNG
Biên soạn: GS.TS. Cung Thế Anh (Chủ biên SGK KNTT) & cô Ngọc Huyền LB ll Độc quyền tại page: Ngoc Huyen LB Math Hướng dẫn giải TƯ DUY TOÁN 100t
Yêu cầu đề bài: “Tính số
Xét hàm số N t 1 000 t 0 . 2
lượng vi khuẩn lớn nhất kể 100 t
từ khi thực hiện cấy vi Ta có: khuẩn vào môi trường
dinh dưỡng.” → tìm giá trị 100. 2
100 t 100t.2t 100. 2 100 t N lớn nhất của hàm số t 100t . 100 t 2 100t 2 2 2
N t 1 000 khi 2 100 t Khi đó: t 0. Nt 2 2
0 100 t 0 t 100 t 10 (vì t 0).
Bảng biến thiên của hàm số N t như sau: CHECKPOINT 5 t 0 10 +∞
Trong một thí nghiệm y học,
người ta cấy 1 200 vi khuẩn N’(t) 0 _ +
vào môi trường dinh dưỡng.
Bằng thực nghiệm, người ta 1 005
xác định được số lượng vi N(t)
khuẩn thay đổi theo thời gian 1 000 1 000 bởi công thức: 144t N t 1 200
(con), Căn cứ bảng biến thiên, ta thấy: Trên khoảng 0; , hàm số N t đạt giá trị 2 144 t
trong đó t là thời gian tính
lớn nhất bằng 1 005 tại t 10.
bằng giây. Tính số lượng vi
Vậy số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường
khuẩn lớn nhất kể từ khi thực dinh dưỡng là 1 005 con.
hiện cấy vi khuẩn vào môi
trường dinh dưỡng. Đáp án: 1 005. 10
Nhắn cú pháp “bon2025” cho page “Ngoc Huyen LB Math” để học cùng cô Ngọc Huyền LB luôn nhé!
COMBO BON PRO BON 9 PLUS BON 8 PLUS HỌC BÀI BẢN – THI ĐƠN GIẢN – GHI BẢNG VÀNG
Biên soạn: GS.TS. Cung Thế Anh (Chủ biên SGK KNTT) & cô Ngọc Huyền LB ll Độc quyền tại page: Ngoc Huyen LB Math
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Dạng thức 1 Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án. 1
Câu 1: Một vật chuyển động theo quy luật 3 2
s t t 9t, với t (giây) là thời gian tính từ lúc vật bắt đầu 3
chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây
kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? A. 89 / m . s B. 80 / m . s C. 100 / m . s D. 91 / m . s
Câu 2: Một công ty đánh giá rằng sẽ bán được N lô hàng nếu chi phí hết số tiền x (triệu đồng) vào việc
quảng cáo. Biết rằng N và x liên hệ với nhau bằng biểu thức Nx 2
x 30x 6, 0 x 30. Hãy tìm số
lô hàng lớn nhất mà công ty có thể bán sau đợt quảng cáo? A. 232. B. 230. C. 231. D. 233.
Câu 3: Sự phân hủy của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao y
oxygen hoà tan trong nước. Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước 5
sau t giờ t 0 khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được xấp xỉ 15t
bởi hàm số y t 5
, có đồ thị như hình vẽ bên. Vào các thời điểm 2 9t 1 O 1 2 3 t
nào (sau thời điểm lượng rác thải hữu cơ bị xả vào trong hồ) nồng độ
oxygen trong nước tương ứng cao nhất và thấp nhất? 1 1 1 1
A. t 0 và t .
B. t 1 và t .
C. t 0 và t .
D. t 1 và t . 2 3 3 2
Câu 4: Một trang sách có dạng hình chữ nhật với diện tích là 2
384 cm . Sau khi để lề trên và lề dưới đều là
3 cm, để lề trái và lề phải đều là 2 cm, phần còn lại của trang sách được in chữ. Kích thước của trang sách là
bao nhiêu để phần in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất? A. Chiều dài 24 , cm chiều rộng 15 . cm B. Chiều dài 20 , cm chiều rộng 15 . cm C. Chiều dài 32 , cm chiều rộng 12 . cm D. Chiều dài 24 , cm chiều rộng 16 . cm
Câu 5: Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được
giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ t
được cho bởi công thức c t
mg / l . Hỏi sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu 2 t 1
của bệnh nhân cao nhất? A. 1 giờ. B. 2 giờ. C. 3 giờ. D. 4 giờ.
Câu 6: Một con cá hồi bơi ngược dòng nước để vượt một khoảng cách là 300 km. Vận tốc dòng nước là
6 km / h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v km / h thì năng lượng tiêu hao của cá trong t
giờ được cho bởi công thức 3
E v cv t , trong đó c là một hằng số dương, E được tính bằng đơn vị Jun. Vận
tốc bơi của cá khi nước đứng yên bằng bao nhiêu để năng lượng tiêu hao của cá là nhỏ nhất?
A. 12 km / h .
B. 9 km / h.
C. 8 km / h. D. 1 5 km / h .
Nhắn cú pháp “bon2025” cho page “Ngoc Huyen LB Math” để học cùng cô Ngọc Huyền LB luôn nhé! 11
COMBO BON PRO BON 9 PLUS BON 8 PLUS HỌC BÀI BẢN – THI ĐƠN GIẢN – GHI BẢNG VÀNG
Biên soạn: GS.TS. Cung Thế Anh (Chủ biên SGK KNTT) & cô Ngọc Huyền LB ll Độc quyền tại page: Ngoc Huyen LB Math
Câu 7: Khi sản xuất vỏ lon sữa hình trụ, các nhà sản xuất luôn đặt tiêu chí sao cho chi phí sản xuất vỏ lon
là nhỏ nhất. Hỏi khi nhà sản xuất muốn thể tích của hộp sữa là 3
V cm , thì diện tích toàn phần của vỏ lon
sữa nhỏ nhất bằng bao nhiêu? O’ O 2 V 2 V 2 V 2 V A. 3 3 . B. 3 2 . C. 3 . D. 3 6 . 4 4 4 4
Câu 8: Định lí Rolle phát biểu như sau: Một hàm số f x liên tục trên đoạn ; a b
, có đạo hàm liên tục trên
khoảng a;b và f a f b thì tồn tại c ;
a b sao cho f c 0 . Từ định lí Rolle, có thể kết luận điều nào sau đây?
A. Một chiếc xe đi qua điểm A , sau 5 phút lại đi qua điểm A lần nữa, có thể kết luận trong vòng 5 phút
đó có thời điểm xe có vận tốc bằng 0.
B. Cho St là hàm số thể hiện quãng đường đi được của một chiếc xe phụ thuộc vào thời gian t, khi
đó St là vận tốc của chiếc xe đó.
C. Một chiếc xe di chuyển một quãng đường thẳng liên tục từ điểm A đến điểm B trong quãng thời
gian từ t đến t . Với một điểm C thuộc đoạn AB, tồn tại một thời điểm t sao cho chiếc xe đi qua điểm C. A B C
D. Xe thứ nhất di chuyển từ A đến B, xe thứ hai di chuyển từ B đến A. Khi đó tồn tại điểm C sao cho hai xe gặp nhau.
Câu 9: Một nguồn điện với suất điện động E (đơn vị: V) và điện trở r (đơn vị: ) được nối với một biến
trở R (đơn vị: ) như hình vẽ. E r R
Biết rằng công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch sẽ là 2
P RI (đơn vị: W) và cường độ dòng điện trong mạch E sẽ là I
(đơn vị: A). Với giá trị nào của biến trở thì công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch sẽ đạt cực đại? R r A. . r B. 2r. C. 3r. D. 4r.
Câu 10: Trong khoảng thời gian từ ngày 01/01/2024 đến hết ngày 30/9/2024, một nhóm nghiên cứu đã quan
sát sự phát triển của một quần thể. Kết quả nghiên cứu chỉ ra rằng, tại ngày thứ 𝑡 của năm 2024 (tính từ 1
ngày 01/01/2024) số cá thể trong quần thể được ước tính bởi hàm số f t 3 2
t bt ct 12 000 300
0t 365 và ngày 26/09/2024 là ngày có số lượng cá thể nhiều nhất với 55 740 con. Hỏi vào ngày
26/10/2024, số lượng cá thể của quần thể được ước tính khoảng bao nhiêu con? A. 28 000. B. 33 200. C. 47 500. D. 54 300. 12
Nhắn cú pháp “bon2025” cho page “Ngoc Huyen LB Math” để học cùng cô Ngọc Huyền LB luôn nhé!
COMBO BON PRO BON 9 PLUS BON 8 PLUS HỌC BÀI BẢN – THI ĐƠN GIẢN – GHI BẢNG VÀNG
Biên soạn: GS.TS. Cung Thế Anh (Chủ biên SGK KNTT) & cô Ngọc Huyền LB ll Độc quyền tại page: Ngoc Huyen LB Math
Dạng thức 2 Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) chọn đúng hoặc sai.
Câu 11: Ông Vinh đang ở trong rừng để đào vàng. Ông ta tìm thấy vàng ở điểm X , cách điểm A một
khoảng 3 km. Điểm A nằm trên đường bờ biển (đường bờ biển là đường thẳng). Trại của ông Vinh nằm ở
điểm Y , cách điểm B một khoảng 3 km. Điểm B cũng thuộc đường bờ biển. Biết rằng AB 18 k , m
AM NB x km và AX BY 3 km (xem hình vẽ). X Y 3 km km 3 A x km M N x km B 18 km
Khi đang đào vàng, ông Vinh bị rắn cắn, chất độc lan vào máu. Sau khi bị cắn, nồng độ chất độc trong máu
tăng theo thời gian theo phương trình y 50logt 2 . Trong đó, y là nồng độ chất độc, t là thời gian tính
bằng giờ sau khi bị rắn cắn. Ông Vinh cần quay trở lại trại để lấy thuốc giải độc. Ông ấy chạy trong rừng
và trên bãi biển với vận tốc lần lượt là 5 km / h và 13 km / .
h Để về đến trại, ông Vinh cần chạy từ trong
rừng qua điểm M,N trên bãi biển. Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn đúng hoặc sai.
a) Nồng độ chất độc trong máu tỉ lệ nghịch với thời gian ông Vinh trở về trại.
b) Để nồng độ chất độc trong máu là thấp nhất, ông Vinh cần về trại theo đường đi mà thời gian về trại là nhỏ nhất.
c) Khi độ dài đoạn MN 15 km thì thời gian về trại của ông Vinh là ngắn nhất.
d) Nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi ông Vinh về đến trại (làm tròn kết quả đến hàng phần chục) là 32,6.
Câu 12: Hãy xác định độ dài ngắn nhất cánh tay nâng của cần
cẩu bánh hơi có thể dùng để xây dựng tòa nhà cao tầng mái bằng C B
có chiều cao H m và chiều rộng 2L m. Biết rằng đầu dưới
cần cẩu cách mặt đất một khoảng h 0 h H và có thể xê xích
cánh tay nâng một góc 0 90 so với phương ngang sao H A E α
cho đầu trên của cánh tay nâng chiếu xuống theo phương thẳng h
đứng thì trùng với trung điểm của bề rộng (xem hình vẽ). Ta giả
sử ngôi nhà xây dựng trên miếng đất rộng, cần cẩu có thể di 2L
chuyển thoải mái. Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn đúng hoặc sai. H h L
a) Độ dài cánh tay nâng tính theo H, h, L, là m sin cos . b) Nếu H 6 , m L 2 , m h 1 ,
m 30 thì độ dài cánh tay nâng là 12,3 m (làm tròn kết quả đến chữ
số thập phân thứ nhất). H h
c) Cánh tay nâng có độ dài ngắn nhất khi góc có 3 tan . L 1 H h
d) Độ dài ngắn nhất có thể của cánh tay nâng là H h 2 k 1 L 1 , với 3 k . 2 k L
Nhắn cú pháp “bon2025” cho page “Ngoc Huyen LB Math” để học cùng cô Ngọc Huyền LB luôn nhé! 13
COMBO BON PRO BON 9 PLUS BON 8 PLUS HỌC BÀI BẢN – THI ĐƠN GIẢN – GHI BẢNG VÀNG
Biên soạn: GS.TS. Cung Thế Anh (Chủ biên SGK KNTT) & cô Ngọc Huyền LB ll Độc quyền tại page: Ngoc Huyen LB Math
Câu 13: Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong một công
viên giải trí. Trong hình minh họa, nó được giới hạn bởi các trục y 1
tọa độ và đồ thị của hàm số y f x 3 2
x 9x 15x 56. 10 8 M H
Đơn vị đo độ dài trên mỗi trục tọa độ là 100 m. Trong mỗi ý a), f(x)
b), c), d), chọn đúng hoặc sai. 5
a) Đường đi dạo ven hồ (đường màu xám) chạy dọc theo trục Ox dài 800 . m
b) Khoảng cách lớn nhất từ một điểm trên đường đi dạo ven O x 1 5 6 8 12
hồ theo phương thẳng đứng đến bờ hồ đối diện là 400 . m
c) Trong công viên có một con đường chạy dọc theo đồ thị hàm số y 1
,5x 18. Khoảng cách từ một 3 2
10 x 9x 124 điểm ;
x y trên đường đi dạo ven hồ đến con đường đó là m . 3,25
d) Người ta dự định xây dựng bên bờ hồ một bến thuyền đạp nước sao cho khoảng cách từ bến thuyền
đến con đường này là ngắn nhất. Khoảng cách ngắn nhất là MH 0,9 m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Câu 14: Khi nuôi tôm thẻ trong ao, một kỹ sư thủy sản đã thống kê được nếu mỗi mét vuông mặt ao thả
x 1 x 10 con tôm giống thì cuối mỗi vụ con tôm có cân nặng trung bình là 2
108 x (gam). Trong mỗi
ý a), b), c), d), chọn đúng hoặc sai.
a) Sau mỗi vụ khối lượng tôm trung bình trong mỗi mét vuông mặt ao là 2
108 x x (gam).
b) Khi thả 10 con tôm giống / 2
m thì lượng tôm thu được là 2 1 kg / m .
c) Để sản lượng tôm lớn nhất thì nên thả 6 con tôm 2 /m .
d) Để lượng tôm thu được tăng lên thì mật độ tôm giống thả vào ao là từ 6 đến 10 con 2 /m .
Câu 15: Một bệnh nhân bị cao huyết áp có chỉ số huyết áp tâm thu (mmHg) theo thời điểm t (giờ) trong
ngày 0 t 23 được cho bởi hàm số: ht 2 0
,04t 0,92t 150. Ở thời điểm huyết áp lên cao nhất, bệnh
nhân được tiêm một loại thuốc có liều lượng x (miligam) 0 x 30 thì độ giảm huyết áp của bệnh nhân
được cho bởi công thức Gx 2
0,025x 30 x. Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn đúng hoặc sai.
a) Thời điểm t 11,5 (giờ) là lúc huyết áp bệnh nhân lên cao nhất.
b) Huyết áp cao nhất của bệnh nhân là 160 mmHg.
c) Nồng độ thuốc cần bơm vào để huyết áp giảm nhanh nhất là 20 mg.
d) Độ giảm huyết áp nhiều nhất là 90.
Dạng thức 3 Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Câu 16: Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm một hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông
bao quanh hai khu đất trồng rau có dạng hai hình chữ nhật bằng nhau. Đối với mặt hàng rào song song với
bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng/mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi
phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng/mét, mặt giáp với bờ sông không phải rào. Diện tích lớn nhất của hai
khu đất thu được sau khi làm hàng rào là bao nhiêu? 14
Nhắn cú pháp “bon2025” cho page “Ngoc Huyen LB Math” để học cùng cô Ngọc Huyền LB luôn nhé!
COMBO BON PRO BON 9 PLUS BON 8 PLUS HỌC BÀI BẢN – THI ĐƠN GIẢN – GHI BẢNG VÀNG
Biên soạn: GS.TS. Cung Thế Anh (Chủ biên SGK KNTT) & cô Ngọc Huyền LB ll Độc quyền tại page: Ngoc Huyen LB Math
Câu 17: Có hai xã cùng ở một bên bờ sông. Người ta đo được khoảng cách từ trung tâm A,B của hai xã đó
đến bờ sông lần lượt là AA 500 ,
m BB 600 m và A B 2 200 .
m Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp
nước sạch nằm bên bờ sông cho người dân hai xã. Đế tiết kiệm chi phí, kĩ sư cần phải chọn vị trí M của
trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn A B
sao cho tổng khoảng cách từ hai vị trí A,B đến vị trí M là nhỏ
nhất. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó (đơn vị: mét, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). B A 500 m 2200 m 600 m A’ M B’
Câu 18: Các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm một loại virus kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu
tiên đến ngày thứ t là f t 2 3
45t t , với 0 t 25. Nếu coi f t là một hàm xác định trên đoạn 0;25
thì hàm f t được xem là tốc độ truyền bệnh tại thời điểm t. Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất.
Câu 19: Một cửa hàng điện máy trung bình bán được 100 chiếc tivi mỗi tháng với giá 14 triệu đồng một
chiếc. Chủ cửa hàng nhận thấy rằng, nếu cứ giảm giá bán mỗi chiếc 500 nghìn đồng thì số lượng tivi bán
ra sẽ tăng thêm 25 chiếc trong mỗi hai tháng. Hỏi cửa hàng nên bán tivi với giá bao nhiêu triệu đồng một
chiếc để doanh thu trong tháng của cửa hàng là lớn nhất?
Câu 20: Xấp xỉ tuyến tính là phương pháp xấp xỉ một hàm số tại những điểm gần điểm a cho trước nếu
biết giá trị của hàm số và đạo hàm của hàm số tại điểm a theo công thức như sau: f x f a f ax a.
Sử dụng xấp xỉ tuyến tính, hãy tính sai số lớn nhất có thể của tổng diện tích các mặt khối rubik hình lập
phương có cạnh dài 30 cm với sai số 0,1 . cm
Nhắn cú pháp “bon2025” cho page “Ngoc Huyen LB Math” để học cùng cô Ngọc Huyền LB luôn nhé! 15
COMBO BON PRO BON 9 PLUS BON 8 PLUS HỌC BÀI BẢN – THI ĐƠN GIẢN – GHI BẢNG VÀNG
Biên soạn: GS.TS. Cung Thế Anh (Chủ biên SGK KNTT) & cô Ngọc Huyền LB ll Độc quyền tại page: Ngoc Huyen LB Math Khóa Khóa lẻ Giáo trình BON 8 PLUS BON 9 PLUS COMBO BON PRO
Từ cơ bản đến 8+
Từ vận dụng đến 9+
Từ cơ bản đến 9+ THE TRUTH Sách in x Không học x
Nền tảng Toán 11, 10 & THCS cần thiết STARTUP Sách in x Không học x Nền tảng Toán 12 EXPLORER Sách in x x x Vận dụng Toán 12 BREAK THE LIMIT Sách in Không học x x Vận dụng cao Toán 12 KNOCKOUT 9+ Sách in Không học x x
Tổng ôn & bộ đề minh họa đặc biệt 9+ KNOCKOUT 8+ Sách in x Không học x
Tổng ôn & bộ đề minh họa đặc biệt 8+ KILLINGCAMP Phong bì x x x
Bộ đề dự đoán đặc biệt
Đọc vị ĐGNL- ĐGTD
Bấm Casio, Toán 10,11 nâng cao, bộ đề Sách in Không học x x HSA, APT, TSA, HNUE
NGÂN HÀNG TRƯỜNG SỞ 2025 File PDF x x x
Đề thi thử, đề thi Học Kì I, II 4 sách + 1 Phong 4 sách + 1 phong 6 sách + 1 phong Tặng kèm bì đề dự đoán bì đề dự đoán bì đề dự đoán 16
Nhắn cú pháp “bon2025” cho page “Ngoc Huyen LB Math” để học cùng cô Ngọc Huyền LB luôn nhé!
