Sách giải bài tập chương 2 môn Xác suất thống kê| Trường Đại học Ngoại Thương

GIẢI SÁCH BÀI T P Ậ X Ấ Á T C SU VÀ THỐNG KÊ ĐH KTQD Chương 2 TS. Nguyễn Văn Minh
ĐH Ngoại Thương Hà nội 7/2016 version 2 TS. Nguyễn Văn Minh
ĐH Ngoại Thương Hà nội Giải bài t p ậ sách ‘‘Bài t p ậ Xác su t
ấ và Thống Kê toán’’ trường ĐH KTQD 07/2016 version 2 Bài t p
ậ có sự giúp đỡ của SV K52, K53. Có nhiều chỗ sai sót mong được góp ý: nnvminh@yahoo.com
CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN §1 Bi n ế ng u ẫ nhiên rời rạc Bài 2.1 M t ộ xí nghi p ệ có 2 ô tô v n ậ t i ả hoạt đ n
ộ g. Xác suất trong ngày làm việc các ô tô bị hỏng tương ứng b n
ằ g 0,1 và 0,2. Gọi X là ô tô bị hỏng trong thời gian làm việc. a) Tìm quy lu t
ậ phân phối xác suất của X. b) ết lậ T
p hiàm phân bố xác suất c a ủ X và vẽ đồ thị c a ủ nó Giải :
a) X là số ô tô bị hỏng trong thời gian làm vi c ệ X là biến ng u ẫ nhiên rời r c ạ v i
ớ các giá trị có thể có X = 0, 1, 2 Ta có: P(X=0) = 0,9. 0,8 = 0,72
P(X=1) = 0,1. 0,8 + 0,9. 0,2 = 0,26 P(X=2) = 0,1. 0,2 = 0,02 Vậy quy lu t ậ phân phối xác su t ấ của X là X 0 1 2 P 0,72 0,26 0,02
b) Theo định nghĩa hàm phân bố xác su t
ấ : F(x) = P(XVới x ≤ 0 F(x) = 0
Với 0 < x ≤ 1 F(x) = 0,72
Với 1< x ≤ 2 F(x) = 0,72 + 0,26 = 0,98
Với x > 2 F(x) = 0,72 + 0,26 + 0,02 = 1
Bài 2.2 Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau. Xác su t ấ trong th i
ờ gian t các bộ phận bị
hỏng tương ứng là 0,4; 0,2 và 0,3. a) Tìm quy lu t ậ phân phối xác su t ấ c a ủ số bộ ph n ậ bị hỏng. b) ết lậ T
p hiàm phân bố xác suất c a ủ X. c) Tính xác su t ấ trong th i
ờ gian t có không quá hai b ộ phận bị hỏng.
d) Tìm mốt mo và trung vị m d. Giải : 2 TS. Nguyễn Văn Minh
ĐH Ngoại Thương Hà nội ọia ) X G
là số bộ phận bị hỏng ờ it rgoin a g n lth àm vi c ệ t. X là biến ng u ẫ nhiên r i ờ r c
ạ với các tr ịsố có thể xảy ra X= 0, 1, 2, 3.
Ta có, P(X = 0) = 0,6.0,8.0,7 = 0,336
P(X = 1) = 0,4.0,8.0,7 + 0,6.0,2.0,7 + 0,6.0,8.0,3 = 0,452
P(X = 2) = 0,4.0,2.0,7 + 0,4.0,8.0,3 + 0,6.0,2.0,3 = 0,188
P(X = 3) = 0,4.0,2.0,3 = 0,024 Vậy quy lu t ậ phân phối xác su t ấ c ủ a X là X 0 1 2 3 P 0,336 0,452 0,188 0,024
b) Theo định nghĩa hàm phân bố xấác su t F(x) = P (XTa có: F(x) = 0 v i ớ x ≤ 0 F(x) = 0,336 v i ớ 0 < x ≤ 1 F(x) = 0,788 v i ớ 1 ≤ < 2 x F(x) = 0,976 v i ớ 2 ≤ < 3 x F(x) =1 v i ớ x>3
c) Xác suất trong thời gian t không có quá 2 bộ pậhn bị hỏng: P(X≤2) = 0,976
d) Từ hàm phân bố xác su t ấ d ễ dàng nh ậ n th ấy trung v :ị d m =1 Giá trị Mốt 0 m
là giá trị có xác suất l n ớ ấnth => mo = 1 Bài 2.3 Có 3 qu ả c u ầ tr n ắ g và 2 qu
ả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên t n ừ g qu
ả cầu cho đến khi lấy đư c ợ qu ả c u ầ trắng. Tìm quy lu t ậ phân phối xác su t ấ của s ố qu ả cầu được lấy ra.
Giải: Gọi X là “số cầu đư c ợ lấy ra” X g m ồ ị 3 1 ,g i 2 á , t 3 r (vì đ n ế qu ả th
ứ 3 chắc chắn lấy được cầu trắng và k t ế t ấ h y ú ).c quá trình l Xác su t
ấ lấy được 1 quả cầu: 3  0 ,6 5 2 3  Xác su t
ấ lấy được 2 quả cầu (quả ầ
c u 1 là đen, quả cầu 2 là tr n ắ g): . 0,3 5 4 Xác su t
ấ lấy được 3 quả cầu (quả ầ
c u 1 là đen, quả cầu 2 là đen, quả cầu 3 là tr n ắ g 21): 3 . . 0  , 1 5 4 3 Ta có quy lu t ậ phân phối x ấtá:c su 3 TS. Nguyễn Văn Minh
ĐH Ngoại Thương Hà nội X 1 2 3 P 0,6 0,3 0,1
Bài 2.4 Xác suất để một người bắn trúng bia là 0,8. Người ấy được phát từng viên đạn để ắ b n cho đến khi
trúng bia. Tìm quy luật phân phối xác su t
ấ của viên đạn bắn trượt.
Giải: Gọi X là số viên đạn bắn trượt: X = {1,2, 3, …,n} Lại có: Gọi A ến = c “ ố B b i
ắn trúng bia” có P(A) = 0,8 = p và P() = 0,2 =q. Khi đó: P(X=n) = 0,8.(0,2)n Ta có: X 0 1 2 … n ... P 0,8 0,8.(0,2)1 0,8.(0,2)2 … 0,8.(0,2)n ... Nhận thấy: P(X=n) > 0 Và:        n 1 0  ,2 1 n      P  X   n 0,2 .0,8  lim 0,8.  lim 1   . 1    n n n    n 0   n 0 1 0,2 5 Vậy các xátc ts r u ê ấ n tạo thành 1 quy lu t ậ phân phối x ấtá c su Bài 2.5 Có 2 lô s n ả ẩph m:
Lô 1: có 8 chính phẩmế v pàh 2 ẩ p m h
Lô 2: có 7 chính phẩmế v pàh 3 ẩ p m h
Từ lô thứ nhất lấy ng u ẫ nhiên 2 sản ẩph
m bỏ sang lô thứ hai, sau đó từ lô th
ứ hai lấy ra 2 sản ẩph m. a) Tìm quy lu t ậ phân phối xác su t ấ c a
ủ số chính phẩm được lấy ra.
b) Xây dựng hàm phân bố xấátc c s ủ u
a số chính phẩm được lấy Giải : ọia ) X G là “s
ố chính phẩm được lấy ra t ừ hộp 2” nh n ậ ị30 g ; i 1 á ; 2 t r
Gọi Hi là “số chính phẩm lấy t ừ hộp 1 sang hộp 2 ớ là i” v i i = 0;1;2 0 2 C . C 1 1 1 C . C 16 2 0 C . C 28 Ta có: P(H 8 2 8 2 8 2 0) = C; P(H ) = C = ; P(H2) = C = 2 1 2 2 10 45 10 45 10 45 0 2 C . C 10 0 2 C . C 6 0 2 C . C 3 P(X=0|H0) = 7 5C = ; P(X=0|H 8 4 9 3 1) = ; P(X=0|H2) = 2 C = C = 66 2 66 2 66 12 12 12 2  PX X  0  P  H P  H i i  . ( 0 | ) i 0  4 TS. Nguyễn Văn Minh
ĐH Ngoại Thương Hà nội 1 10 16 6 28 3 = ...   = 190 = 0,06397 45 66 45 66 45 66 2970 Tương tự: 1 1 C . 35 1 1 C. 32 1 1 C . 27 P(X=1|H C C C 0) = 5 7 C = ; P(X=1|H 8 4 9 3 1) = C = ; P(X=1|H2) = = 2 66 2 66 2 66 12 12 1 C 2 1 35 16 32 28 27  PA  1 X |  2  P  =H .  P( 1  H ...   = 1303 = 0,43872 i i ) 45 66 45 66 45 66 2970 i 0
 P(A=2) = 1 – P(A=0) – P(A=1) = 1 – 0,06397 – 0,43872 = 0,49731 Ta có bảng sau: X 0 1 2 P 0,06397 0,43872 0,49731
b) Hàm phân phối xác suất của X là:  0 x 0      F x  0,06397 0 x 1  x . 0,50269 1    2  1     x 2 Bài 2.6 Hai c u ầ th ủ bóng r
ổ lần lượt ném bóng vào rổ cho đến khi có người ném trúng v i ớ x ấ ác su t ném trúng c a
ủ từng người lần lượt là 0,3 và 0,4. Người th ứ nhất ném trước. a) Tìm qui lu t ậ p ố h i â x n á cp h su t
ấ của số lần ném rổ cho mỗi người b)Tìm qui lu t ậ phân phối xác su t ấ của tổng s
ố lần ném rổ củ a cả 2 người. Giải: a) Gọi s ố X 1ố là ầ
n s n élm rổ của người thứ nhất: X = 1, 21, 3,…, n,… Khi X 1n TH1 người 1 ném cuối t ả h ì n c gười 1 và ngườ i ẽ 2 n s ém trượt n  1 lần đầu nên n 1 n 1 P( X n)     TH 0,7 0,6 .0,3 1 1 TH2 người 2 ném cuối t ả h ì n c gười 1 ném trượ ầt nn
vlà người 2 sẽ ném trượt n 1 lần đầu nên n n 1 P( X n) 0, 7 0,6    .0, 4 1 2 TH Vậy 1 P(X n) (P X n ) P X n        TH ( TH ) 0,58.0, 42 n 1 1 1 1 2 Vậy qui lu t ậ phân phối xác su t ấ c ủ a X 1 là: X1 1 2 … n ... P 0,58 0,58.0,42 … 1 0,58.0, 42n ... 5 TS. Nguyễn Văn Minh
ĐH Ngoại Thương Hà nội Gọi X 2 l ốà ầsn l ném của ngư i
ờ thứ 2: X2 =0, 1, 2, 3,…, n,…
Dễ thấy P (X2 1 0) 0  TH , 3 Khi X 2n  1 TH1 người 1 ném cuối t ả h ì n c gười 1 và ngườ i ẽ 2 n s ém trượt n lần đầu nên P( X  ) n 0, 7n 0n TH ,6 .0,3 2 1 TH2 người 2 ném cuối t ả h ì n c gười 1 ném trượ ầt nn
vlà người 2 sẽ ném trượt n 1 lần đầu nên n n 1 P( X ) n    TH 0,7 0,6 .0,4 2 2 Vậy P( )X (n) ( )P X 0,5 n8. P X n        T 0 H , T 6 H .0,7 n n1 2 2 1 2 2 Vậy qui lu t ậ phân phối xác su t ấ c ủ a X 2 là: X2 0 1 2 … n ... P 0,3 0,58.0,7 2 0,58.0,6.0,7 … 0,58.0 1,6 .n0n  .,. 7 . b) G i ọ X là tổng s
ố lần ném rổ của 2 người X nh n ậ ịclá à c 1g , i 2á, 3t,r... Dễ thấy P (X  1)  0,3 . Xét X n  2 2
có nghĩa người 2 ném cuối. n n 1 1 ( 2 ) 0,7 0,6 .0, 4 0, 28.0,n P X n      42 Xét X n
 2  13 có nghĩa người 1 ném cuối. (
 2 1) 0,7n0,n6 .0,3 0,3.0,4n P X n 2 Vậy qui lu t ậ phân phối xác su t ấ c ủ a X là: X 1 3 … 2n+1 ... P 0,3 0,3.0, 42 … 0,3.0,42n ... X 2 4 … 2n ... P 0,28 0, 28.0, 42 … 1 0,28.0,42n  ... 6 TS. Nguyễn Văn Minh
ĐH Ngoại Thương Hà nội Bài 2.7 B n ả g phân phối xác su t ấ c a
ủ biến ngẫu nhiên X như sau: X -5 2 3 4 P 0,4 0,3 0,1 0,2
a) Tính E(X); V(X) và  b) Tìm giá trị mốt m0. Giải : 4 a) E(X)=
X P = -5.0,4+2.0,3+3.0,1+4.0,2 = -0,3. i i i  1
b) V(X) = E(X ) – E2 (2X)= (-5) 2 .0,4 2 +2 .0,3 2 +3 .0,1 2 +4 .0,2-(-02,3 = )15,21.   V = 3(, ) X 9. X c) Vì X là biến ng u ẫ nhiên r i ờ r ạ c nên m 0 là giá tr
ị của biến ngẫu nhiên tương ứng với xác su t ấ l ớ n nhất nên m0=-5.
Bài 2.8 Tại một cửa hàng bán xe máy Honda, người ta thống kê được số xe máy X bán ra hàng tu n ầ v ới
bảng phân bố xác suất như sau: X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 P
0,05 0,12 0,17 0,08 0,12 0,20 0,07 0,02 0,07 0,02 0,03 0,05 a) Tìm số xỗei m tu á ầ y n .t rung bình bán ra m
b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn c a ủ s
ố xe máy bán được mỗi tu n ầ và gi i ả thích ý nghĩa c a ủ k t ế quả nhận được. Giải: a) S ố xe ỗi truuầng bbáìn n h đ m ư c ợ là kỳ vọng toán: 11 ( E )X i i  x  p 4,33 i 0  b) Phương sai:
V(X) = E(X2) 2– E(X) = 27.09 –2 (4 = .3 8, 3)411 Độ lệch chuẩn:    XV X ( ) 2,8881 Ý nghĩa: Trung ì
b nh cửa hàng bán được 4,33 xe máy mỗi tu n ầ . 
 đánh giá mức độ phân tán c a ủ b ế i n ngẫu nhiên. X 2,8881 7 TS. Nguyễn Văn Minh
ĐH Ngoại Thương Hà nội
Bài 2.9 Cho X1 2, X , X3 là các biến ngẫu nhiên độc l p ậ ảvà có b ng p ố h i â x n á p c h xu t ấ của chúng như sau: X1 0 1 X2 1 2 X3 0 2 P 0.6 0.4 P 0.4 0.6 P 0.8 0.2   Lập X 123 X X X  Tính ( E )X và V ( ) X 3 Giải :
*)Tính E (X ) Ta có: E(X1) = 0.0,6 + 1. 0,4 = 0,4 E(X2) = 0.0,8 + 2.0,2 = 1,6 E(X3) = 0.0,8 + 2.0,2 = 0.4 E X EX     1  E X2 3 E( )X0,4 1,6 0,4  ( )    0 ,8 3 3 *)Tính V ( ) X Ta có: V   2 2 2 2 X  (
E X ) ( EX )  1 .0, 4 – 0, 4  0 , 24 1 1 1   V X  2 2 2 2 2  E (X ) (EX )  0, 4 .1 0,6.2  1,6  0, 24 2 2 2 V X  2 2 2 2  E(X  ) (EX  ) 2 .0,2 0, 4 0,64 333 V X ( V )X  V  X (V ) X 0,  24  0,24 0,64 1  23  ( )    0 ,12 9 9 Bài 2.10 Thống kê s
ố khách trên 1 ô tô buýt t i ạ m
ột tuyến giao thông thu được các s ố liệu sau: Số khách trên 1 chuyến 20 25 30 35 40 Tần suất tương ứng 0,2 0,3 0,15 0,1 0,25
Tìm kỳ vọng toán và phương sai c a ủ s
ố khách đi mỗi chuyến và giải thích ý nghĩa của kết quả thu được. Giải: * Gọi X ố l k à
h ásch đi mỗi chuyến,ỳ kvọng toán củ a ố s khách đi mỗi chuy n ế là:
E(X) = 0,2.20 + 0,3.25 + 0,15. 30 + 0,1.35 + 0,25.40 = 29,5 Ý nghĩa: Kỳ vọng
ằ b ng 29,5 choế tb itrung bình có kho n ả g ế n2 9 x ek . hách hàng trên 1 chuy
* Phương sai của số khách đi mỗi chuyến là: V(X) = E(X )
2 – E (2X) = 0,2.20 2+ 0,3.25 2+ 0,15.30 2+ 0,1.35 2+ 0,25.402– (29,5)2= 54,75 Độ lệch chuẩn c a ủ s ố khách đi mỗi chuy n ế là: σ=V(x)=54,75 ≈7,4
Ý nghĩa: Số khách đi các chuyến có sự khác nhau và chênh lệch khá l n ớ so v i ớ s ố khách trung bình. 8 TS. Nguyễn Văn Minh
ĐH Ngoại Thương Hà nội
Bài 2.11 Cho X và Y là 2 biến ng u ẫ nhiên liên t c ụ v ới E(X)= V(X)= 3; E(Y)= V(Y)= 2
a) Tính E(Z) và V(Z) biết Z= (3X – 2Y)/5 Z  E( ) b) Z Tính E(T) với T= V ( ) Z Giải : a) (3 X  2Y ) 3E( )X2 ( ) E Y 3.3 2.2 Z   ( E  )Z   1 . 5 5 5 2 2  3  2 7 9.3 4.2 35 V ( )Z    V ( ) X    V ( ) Y    5 2 5      1,4 . 5 5 25 25 b) Z E (  )Z Z 1  (E )Z 1 T     E( ) T  0 . V ( ) Z 1,4 1,4
Bài 2.12 Thực hiện 3 lần bắn bia với xác suất trúng bia tương ứng là 0,3; 0,4; 0,6. Tìm kì vọng toán và phương sai số l nầ bắn trúng bia.
Giải: Gọi X là số lần ắ b n trúng bia X là biến ng u ẫ nhiên r i ờ r ạ c v ớ i các giá tịr có th ể xả y ra X = 0, 1, 2, 3.
Ta có P(X = 0) = 0,7.0,6.0,4 = 0,168
P(X = 1) = 0,3. 0,6.0,4 + 0,7.0,4.0,4 + 0,7.0,6.0,6 = 0,436
P(X = 2) = 0,3.0,4.0,4 + 0,3.0,6.0,6 + 0,7.0,4.0,6 = 0,324
P(X = 3) = 0,3.0,4.0,6 = 0,072 Vậy quy lu t ậ phân phối xác su t ấ c ủ a X là X 0 1 2 3 P 0,168 0,436 0,324 0,072 Kì v n
ọ g toán E(X) = 0.0,168 + 1.0,436 + 2.0,324 + 3.0,072 = 1,3 E(X )
2 2= 0 .0,168 2+ 1 .0,436 2+ 2 .0,324 2+ 3 .0,072 = 2,38
Phương sai V(X) = E(X2) 2– (E(X)) = 0,69.
Bài 2.13 Thống kê lại t t ấ c ả 52 c a ử hàng bán s n ả phẩm c a
ủ công ty trên toàn quốc thu đư c ợ các số liệu sau: Số nhân viên bán hàng ở cử a hàng 2 3 4 5
Số cửa hàng tương ứng 10 12 16 14 9 TS. Nguyễn Văn Minh
ĐH Ngoại Thương Hà nội a) Xây dựng ả b ng phân ốpih xác su t ấ v ố à x h á à c m s up ấ h t â c ủ n b a s ố nhân viên bán hàng t i ạ m ỗi cửa hàng.
b) Tìm số nhân viên trung bình ở m
ỗi cửa hàng và phương sai tương ứng Giải :
a) Đặt X là số nhân viên của m ột c a ử hàng, ta có: Bảng phân phối x ấ ác su t: Số nhân viên 2 3 4 5 Tổng Số c a ử hàng 10 12 16 14 52 Xác su t ấ 1 10 5 12 3 16 4 14 7 1 P  2 P   3P   4 P  52 26 52 13 52 13 52 26 Hàm phân bố xác su t ấ c ủ a s ố nhân viên bán hàng t ạ i m ỗi c a ử hàng:  0 2x  5   2 3  x 26 11
 F x  P X x   3 4  x 26  19 4 5  x 26    1 5 x 
b) Số nhân viên trung bình ở m ỗi cửa ằhà n n g g k ìb vọng:  E  5 3 4 7 95 X  2.  3.   4. 5.   3 , 65 26 13 13 26 26 4
Phương sai: V (X )   p  [x E   2 X ] k k k 1  5 3 4 7 2 2 2 2  (2 3 , 65)  (  3 3, 65) (4  3,65)  (5 3  ,65)  ,115 26 13 13 2 6
Bài 2.14 Biến ngẫu nhiên r i ờ r ạ c X nh ậ n ba giá tr
ị có thể có là x1 = 4 với xác su t ấ 1 = P 0,5; x2 = 0,6 với xác su t ấ 2P = 0,3 và3 x ới v xác su t ấ 3P . Tìm3 x và 3P ết b Ei(X) = 8. Giải: Ta có P3 =
1 – P1 – P2 = 1 – 0,5 – 0,3 = 0,2
E(X) = 8 = 0,5.4 + 0,6.0,3 + x3 0 . , 3 2 hay 0,2.x = 5,82 Do đó X3 = 29,1.
Bài 2.15 Biến ngẫu nhiên r i ờ r ạ c X nh ậ n ba giá tr
ị có thể có là x1 2 = -1, x =0, x3= ấ t1 . Tìm các xác su tương ứng p , p , ằ2 123
p biết r ng E(X)= 0,1 và E(X )=0,9.
Giải: Ta có bảng phân phối xác suất c ủ a bếin ng u ẫ nhiên rời r ạ c X là: 10 TS. Nguyễn Văn Minh
ĐH Ngoại Thương Hà nội X -1 0 1 P p p p 1 2 3  ( E )
X  0,1   p +0. p  p  0,1 pp 0, 4 Theo bài ra ta có :   1 2 3 1  (1)   0,1 2 23  ( E X )  0,9 p +0. p  p  0,9 p 0,5 1 2 3 Vậy  1 p 0,4  ; 02, p 3 1; 0 p ,5  .
Bài 2.16 Biến ngẫu nhiên r i ờ r ạ c X có qui lu ậ t phân ph ối xác suất như sau : X x x 1 2 P p 0,7 1 Tìm x , , 1 2x
1p biết E(X) = 0,7 và V(X) = 0,21. Giải: Dễ thấy  p  2 1p 1  0,3. E  ( )X 0,  7 0,3 x  0,7 x  2,7  Ta có x 2 1 2 1 .    2 2 2 V ( ) X 0,  21 0,  3 x 0,  7 x 2,  7 0,21  x  3 1 1 2 Bài 2.17 Có 5 s n
ả phẩm trong đó có 4 chính phẩm và một ph
ế phẩm. Người ta lấy ra lần lượt 2 sản phẩm ( lấy ạkhông hoàn l i). ọia ) X G
là: “số phế phẩm có th
ể gặ p phả i”. Lậ p bả ng phân phố i xác suấ t củ a X. b) Tính E(X) và V(X). ọic ) Y G
là: “ số chính phẩm có th
ể gặ p phả i”. Lậ p hệ thứ c cho biết mối quan h ệ gi ữa Y và X. d) Tính E(Y) và V(Y). Giải : a) Vì có m 5 v c à h í 1n h p hp ế h ẩ p mh ẩ nên n u ế ọg i X là “ ố s p ế hẩ ph m cểó gth ặp phải” thì X= 0 hoặc X=1 4 Gọi X C 0 l ếà ốbi n c “ kh ặ ông g ả p ph ế p i h p ẩ h m nào”: P(X )= 2 0 = 0,6. 5 C2 1 4 Gọi X C .C 1 l ếà ốbi n ặc “ g ải p 1 ph ế ph m”ẩ: P(X ) = 1 1 1 C = 0,4 5 2
Ta có bảng phân phối xác su t ấ c ủ a X: X 0 1 P 0,6 0,4 E(X)= X1P1 b)2 + 2 X P =0,4. V(X) = E(X2) 2– E (X)= 0 2. + 0 1 ,4 – 0,4 =0,224. 11 TS. Nguyễn Văn Minh
ĐH Ngoại Thương Hà nội c)
Y: “số chính phẩm có thể gặ p phả i”. Ta có X+Y=2. Vì X nhận 2 giá trị 0, 1 nên tương ứng Y ũ c ng nhận 2 giá trị 2, 1. d)
Ta có bảng phân phối xác su t ấ c ủ a bi ế n ng ẫ u nhiên Y: [ P 1] Y [   1] P  , [ X 2  ] P [Y  0] P X Y 1 2 P 0,4 0,6 E(Y) = Y1P + 1 Y 2P2 = 1.0,4+2.0,6=1,6. V(Y)= E(Y2) 2– E (Y) = 0,4 2. + 0 2 ,6-1,62 =0,24. Bài 2.18 Trở l i ạ bài 2.8. N u ế giá bình quân c a ủ m
ỗi chiếc xe máy bán ra tại cửa hàng đó là 12 triệu đồng
thì doanh thu bình quân hàng tu n ầ c a
ủ cửa hàng đó là bao nhiêu ?
Giải: Số xe máy bình quân cửa hàng đó bán ra là E(X) = 4,33. Doanh thu trung bình c a
ủ cửa hàng = 12.E(X) = 12.4,33 = 51,96 (triệu đồng) Bài 2.19 Với các s ố li u
ệ của bài 2.10, giả sử chi phí cho mỗi chuyến xe là 200 ngàn đồng không phụ
thuộc vào số khách đi trên xe thì đ ể cô ể n t g h u t y đ x ư e ợ buýt có th c ỗlã i ic b h ì un yh ế q n u xâen l c à ho m
100 ngàn đồng thì phải quy định giá vé là bao nhiêu? Giải: * Các s
ố liệu đã cho của bài tập 2.10 như sau:
Thống kê số khách trên 1 ô tô buýt tại m
ột tuyến giao thông thu được các số liệu sau: Số khách trên 1 chuyến 20 25 30 35 40 Tần suất tương ứng 0,2 0,3 0,15 0,1 0,25 * V i ớ câu hỏi c ủ a bài t ậ p 2.19,
Ta gọi a là giá vé quy định, theo đề bài:
a.E(X) = 200+100. Suy ra a = 300/E(X) = 300/29,5 = 10,17.
Vậy phải quy định giá vé là 10,17 nghìn đ n ồ g.
Bài 2.20 Kinh nghiệm cho thấy l ố à l s ượng một lo i ạ s ả n ph ẩ m mà m
ột khách hàng mua có bảng phân phối xác suất như sau: Số lượng sản ph m ẩ 0 1 2 3 Xác suất tương ứng 0,5 0,1 0,2 0,2 ế a u ) N mỗi s n
ả phẩm được bán với giá 110 ngàn đồng và nhân viên bán hàng được hưởng 10% trên
số sản phẩm bán được thì số ti
ền hoa hồng bình quân mà nhân viên bán hàng được hư n ở g từ mỗi khách hàng là bao nhiêu.
b) Tìm phương sai của số tiền hoa hồng đó và nêu ý nghĩa c a ủ k t ế quả thu đư c ợ . 12 TS. Nguyễn Văn Minh
ĐH Ngoại Thương Hà nội
Giải: a) Gọi X là biến ng u ẫ nhiên s
ố sản phẩm bán được: Kỳ v n ọ g toán cho s
ố sản phẩm bán được:
E(X) = 0.0,5 + 1.0,1 + 2.0,2 + 3.0,2 = 1,1 Mỗi s n
ả phẩm bán với giá 110 ngàn đ n ồ g thì số ti n
ề bình quân thu được từ mỗi khác hàng = 1,1. 110 = 121 ( ngàn đồng )
Nhân viên bán hàng được hưởng 10% trên số sản phẩm bán được.
Số tiền hoa hồng bình quân mà nhân viên bán hàng được hưởng từ mỗi khách hàng là:
121. 0,1 = 12,1 ( ngàn đồng )
b) Phương sai của số lượng sản phẩm bán được: 2 2 2
V (X )  E (X ) E (X )  0,1.1 0,  2.4  0,2  .9 1,1 1, 49 Gọi Y là biến ng u ẫ nhiên số ti
ền hoa hồng nhận được thì Y = 10%.110X=11X (đơn vị ngàn)
Phương sai của số tiền hoa hồng: V(Y) = V(11X) = 11 . 2 1,49= 180,29. Ý nghĩa c a ủ k t ế quả:
Số tiền mà nhân viên nhận được hoa hồng khi bán cho 1 khách không đ n ồ g đ ề u. Bài 2.21 Tỉ l
ệ khách hàng phản ứ ng tích cự c vớ i mộ t chiế n dịch qu n ả g cáo là bi n ế n ẫ g u nhiên có ả b ng phân phối x ấ ác su t sau: X(%) 0 10 20 30 40 50 Px 0,1 0,2 0,35 0,2 0,1 0,05 ứ a n ) g C t h
ỏ rằng các xác suất P t o nên 1 bx n
ạ g phân phả i xác su t ố ấ
b) Tìm tỉ lệ khách hàng bình quân phản ứng tích c c ự với quảng cáo đó
c) Tìm xác suất để có trên 20% khách hàng ph n ả ứng tích c c ự với chiến d c ị h ả qu ng cáo Giải :
a) Ta thấy: P(X=0)+P(X=10)+P(X=20)+P(X=30)+P(X=40)+P(X=50)=0,1+0,2 +0,35+0,2+0,1+0,05=1. Do đó các Px t ạ o ả nên 1 b n ấ g xác su t. b) Tỉ l ệ bảìn n h ứ q n u g âtn íc k h hcác ự h c h v à ớin g q u p ả h
ng cáo đó chính là kì vọng:
E(X)=0,1.0+0,2.10+0,35.20+0,2.30+0,1.40+0,05.50=21,5.
c) Xác suất để có trên 20% khách hàng ph n ả ứng v i ớ chiến dịch ả qu ng cáo là: Pc= 0,2+0,1+0,05=0,35. 13 TS. Nguyễn Văn Minh
ĐH Ngoại Thương Hà nội
Bài 2.22 Tung cùng một lúc hai con xúc xắc. Gọi X là tổng số chấm thu được. a) Tìm b n ả g ố ip h x â á n c sp uht ấ c ủ a X
b) Tìm hàm phân bố xác suất c a ủ X c) Giá trị nào c a ủ X ả n c ă ó n k g h xảy ra nhi u ề ấnh t Giải: X là tổng s
ố chấm thu được. Ta có X là biến ng u ẫ n ời h riê ạ n c ậ r nh n các giá ị tr X = 2, 3,…, 12 a) X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 b)  0 x 2  1  /36  2 x 3   3  /36  3 x 4  6/ 36 4   x 5   10 /36  5 x 6   15/ 36  6 x 7 F(x) =  21/ 36 7 x 8   26/ 36 8   x  9    30 / 36 9 x 10 3  3/ 36 1  0  x 11 35 / 36 1  1 x 12    1 x 12 c) Từ b n ả g ố p x h á â c ns b uất ta th y ấo m = 7
Bài 2.23 Qua theo dõi trong nhiều năm kết hợp v i ớ s
ự đánh giá của các chuyên gia tài chính thì lãi suất
đầu tư vào một công ty là bi n ng u nhiên có b ng phân ph X(%) 9 10 11 12 13 14 15 Px 0,05 0,15 0,3 0,2 0,15 0,1 0,05
a) Tìm xác suất để khi đầu tư vào công ty đó thì sẽ đạt được lãi suất ít nh t ấ là 12% ấ ể hy vọb n) g T kìm hi l đãầi u s u tư t v c à ó o tchông ty đó ứ c c )đ M ộ ủ
r i ro khi đầu tư vào công ty đó có thể đánh giá bằng cách nào? Giải :
a) X là lãi suất đầu tư vào công ty ta có 14