Số chính phương là gì? Cách nhận biết số chính phương và ví dụ
Số chính phương về bản chất là bình phương của một số tự nhiên nào đó. Để tìm hiểu và nhận biết số
chính phương dễ dàng, mời Quý bạn đọc theo dõi bài viết sau đây của Luật Minh Khuê.
1. Số chính phương là gì?
Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên. Với số nguyên bao gồm các số
nguyên dương (1, 2, 3,…), các số nguyên âm (-1, -2, -3,…) và số 0. Tập các số nguyên được ký hiệu là Z.
Tuy nhiên, căn bậc hai của một số chính phương lại chỉ có giá trị là một số tự nhiên, tức là các số nguyên dương.
Ví dụ: Số 10 không phải là số chính phương bởi vì căn bậc 2 của 10 bằng 3.16227766017, là một số vô
tỷ (thuộc tập I), không phải là số tự nhiên.
Số chính phương còn được gọi là số hình vuông vì số chính phương là bình phương của một số tự
nhiên mà diện tích hình vuông là hai cạnh nhân nhau (bình phương của 1 cạnh).
Số chính phương được chia ra làm 2 loại:
- Số chính phương chẵn: một số chính phương được gọi là số chính phương chẵn nếu như nó là bình
phương của một số chẵn. Ví dụ: 4, 16, 36... là số chính phương chẵn.
- Số chính phương lẻ: một số chính phương được gọi là số chính phương lẻ nếu như nó là bình
phương của một số lẻ. Ví dụ: 9, 49, 81... là số chính phương lẻ.
1.1. Tính chất chia hết của số chính phương
Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì cũng sẽ chia hết cho p^2, và ngược lại.
- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 2^2 = 4.
- Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 3^2 = 9.
- Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 5^2 = 25.
- Số chính phương chia hết cho 8 (= 2^3) thì cũng chia hết cho 2^4 = 16 (viết dưới dạng lũy thừa của một số).
- Số chính phương 36 ( 6^2 ) chia hết cho 2 => 36 chia hết cho 4 ( 2^2 )
- Số chính phương 144 ( 12^2 ) chia hết cho 3 (144:3=48) => 144 chia hết cho 9 (144:9=16)
1.2. Số chính phương nhỏ nhất
Số chính phương nhỏ nhất trong tập hợp các số chính phương sẽ là số 0. Còn trong dãy số từ 0 đến
100 thì có có tất cả 10 số chính phương nhỏ hơn 100. Nó bao gồm số: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.
1.3. Số chính phương lớn nhất
- Số chính phương lớn nhất có 1 chữ số là số 9
- Số chính phương lớn nhất có 2 chữ số là số 81
- Số chính phương lớn nhất có 3 chữ số là 312
- Số chính phương lớn nhất có 4 chữ số là 9801
- Số chính phương lớn nhất có 5 chữ số là 99856
1.4. Hằng đẳng thức để tính hiệu của hai số chính phương
a^2 - b^2 = (a+b)(a-b).
Ví dụ: 6^2 - 3^2 = (6+3)(6-3) = 9.3 = 27.
2. Cách nhận biết số chính phương?
Nhận biết số chính phương vào tính chất của chúng, ta có một số tính chất quan trọng sau:
- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9. Nếu các số tận cùng là 2,3,7,8 thì không
phải là số chính phương.
- Ngoại trừ số 0 và số 1 thì các số chính phương còn lại: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100..v.v Đều là số
chính phương lớn hơn 1.
- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
- Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 4 dạng: 4n hoặc 4n + 1, 3n hoặc 3n + 1
Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2, 4n + 2 hoặc 4n + 3 (với n thuộc tập hợp số tự nhiên N).
- Số chính phương có chữ số tận cùng là 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính
phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.
- Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính phương tận cùng
bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
- Số chính phương chia cho 3 không bao giờ có số dư là 2; chia cho 4 không bao giờ dư 2 hoặc 3; số
chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1. Ví dụ: 81:8 = 10 dư 1.
- Số ước nguyên dương của số chính phương chính là một số lẻ.
- Tất cả các số chính phương đều có thể viết thành dãy tổng của các số lẻ tăng dần từ 1. Bắt đầu từ 1; 1
+ 3; 1 + 3 + 5; 1 + 3 + 5 + 7; 1 + 3 + 5 + 7 + 9;…v.v
3. Một số bài tập vận dụng về số chính phương
Bài tập 1: Số chính phương gồm cả 4 chữ số 0 2 3 5 là số nào? Hướng dẫn giải:
Ta sẽ gọi số cần tìm là abcd.
Vì là số chính phương phải có tận cùng bằng 0 hoặc 5, kết hợp với tính chtaas bất cứ số nào có 0 đứng
cuối bình phương nên đều dư 1 số 0, nên ta biểu diễn số cần tìm dưới dạng : abc5.
Ta có 6 cách thay thế 0, 2, 3 vào abc: 0235, 0325, 2305, 2035, 3025, 3205.
Vậy số cần tìm là 3025, vì 3025 = 55^2.
Kết luận: Vậy, số chính phương gồm bốn chữ số 0 2 3 5 chính là 3025.
Bài tập 2: Chứng minh số n = 2004^2 + 2003^2 + 2002^2 – 2001^2 không phải là số chính phương. Hướng dẫn giải:
Ta thấy chữ số tận cùng của các số 2004^2, 2003^2, 2002^2, 2001^2 lần lượt là 6,9,4,1. Do đó số n có
chữ số tận cùng là 8 nên n không phải là số chính phương.
Bài tập 3: Chứng minh 1234567890 không phải là số chính phương. Hướng dẫn giải:
Ta thấy số 1234567890 chia hết cho 5 vì chữ số tận cùng là 0 nhưng lại không chia hết cho 25 vì hai
chữ số tận cùng là 90. Vì vậy, số 1234567890 không phải là số chính phương.
Bài tập 4: Chứng minh một số là số chính phương Chứng minh: Với mọi số tự nhiên n thì A =
n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 là số chính phương. Hướng dẫn giải: Ta có: A = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = n.(n+3).(n+1).(n+2) + 1
= (n² + 3n)(n² + 3n + 2) + 1
Khi đó đặt x = n² + 3n với x € số tự nhiên.
Khi đó: A = x ( x +2) + 1 = x² + 2x + 1 = (x+1)² = (n² + 3n + 1)²
Vì n là số tự nhiên nên n² + 3n + 1 cũng thuộc số tự nhiên.
Vì thế A = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 là một số chính phương.
Bài tập 5: Cho dãy số sau, số nào là số chính phương 9, 81, 790, 400, 121, 380, 2500, 441, 560.
Hướng dẫn trả lời: Trong dãy số trên các số là số chính phương là: 9 = 3²; 81 = 9²; 121 = 11²; 2500 =
25²; 400 = 20²; 441 = 21²
Bài tập 6: Tìm số tự nhiên x sao cho những số dưới đây là số chính phương: A = x²+ 2x + 12. Hướng dẫn giải: A = x²+ 2x + 12
Để A là số chính phương, ta có: x²+ 2x + 12 = n²
<=> (x²+ 2x + 1) + 11 = n²
<=> n² - (x + 1)² = 11
<=> (n + x + 1) . (n - x - 1) = 11
Nhận thấy (n + x + 1) > (n - x - 1) và đều là các số nguyên dương nên có thể viết như sau:
(n + x + 1) . (n - x - 1) = 11 . 1
Giải hệ phương trình: n + x + 1 = 11 n - x - 1 = 1
Ta được n = 6, x = 4
Vậy số tự nhiên phải tìm là 4.