Số nguyên là gì? Số nguyên âm, số nguyên dương là gì? 0 là loại số gì?
Số nguyên là khái niệm để chỉ một tập hợp số học, được sử dụng trong môn toán của
chương trình giáo dục tại Việt Nam. Bài viết sau đây sẽ cùng các bạn tìm hiểu một số kiến
thức liên quan đến số nguyên.
Mục lục bài viết  1. Số nguyên là gì?
 2. Phân loại số nguyên
 3. Số 0 là số nguyên âm hay số nguyên dương
 4. Tính chất của số nguyên
 5. Phân biệt tập số nguyên và tập số thực
 6. Một số bài tập củng cố
1. Số nguyên là gì?
Trong Toán học, số nguyên gồm tập hợp các số 0, số tự nhiên (số nguyên dương) và số đối của chúng (số nguyên âm).
Tập hợp các số nguyên là vô hạn và đếm được. Ký hiệu của tập số nguyên là Z.
2. Phân loại số nguyên
Số nguyên được phân thành 2 loại gồm số nguyên dương và số nguyên âm. Trong đó:
 Số nguyên dương: là những số nguyên lớn hơn 0 và được ký hiệu là Z+.
 Số nguyên âm: là các số nguyên nhỏ hơn 0 và được ký hiệu là Z-.
 Tập hợp các số nguyên dương hoặc âm nói trên không bao gồm số 0. Ví dụ:
 Số nguyên dương gồm: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,…
 Số nguyên âm gồm: -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8,…
 Các số 1; 5; 67; - 94; - 978 là các số nguyên  - 26 ∈ Z ; 0 ∈ Z
3. Số 0 là số nguyên âm hay số nguyên dương
Như đã trình bày, số 0 là một số đặc biệt trong tập số nguyên bởi nó nằm giữa tập số nguyên âm
và tập số nguyên dương nhưng không phải giao của hai tập này, và cũng không thuộc tập nào trong hai tập này.
Khi biểu diễn trên trục số nằm ngang, tập số nguyên dương sẽ nằm bên phải điểm 0, tập số nguyên
âm sẽ gồm các số nằm bên trái điểm 0. Các tập số này là vô hạn, được biểu diễn bởi một đường
thẳng không có điểm mút với chiều mũi tên từ trái sang phải được quy định là chiều dương. Khi
đó, điểm 0 là gốc của trục số, ở chính giữa trục số, phân cách giữa số nguyên âm và số nguyên dương.
Ngoài ra, trục số có thể vẽ theo chiều dọc thẳng đứng. Khi đó:
- Chiều dương hướng từ dưới lên trên (được đánh dấu bằng mũi tên)
- Điểm gốc của trục số thẳng đứng là điểm 0 ở chính giữa trục số (biểu diễn số 0)
- Đơn vị đo độ dài trên trục số là độ dài đoạn thẳng nối điểm 0 với điểm 1 (biểu diễn số 1 và nằm phía trên điểm 0).
Từ gốc trục số 0, ta sinh ra khái niệm số đối. Hai số được gọi là đối nhau khi chúng nằm ở 2 phía
của điểm 0 và cách đều điểm 0 trên trục số những khoảng bằng nhau (tính bằng đơn vị). Tính chất:
- Số đối của một số nguyên dương là một số nguyên âm
- Số đối của một số nguyên âm là một số nguyên dương. - Số đối của 0 là 0.
Muốn viết số đối của một số nguyên dương, ta chỉ cần đặt dấu “-” trước số đó. Ngược lại, khi viết
số đối của một số nguyên âm, bạn chỉ cần bỏ dấu “-” trước số đó. Ví dụ cụ thể:
 Số đối của 1 là -1
 Số đối của 2 là -2
 Số đối của 3 là -3
 Số đối của -4 là 4
 Số đối của -5 là 5
 Số đối của -6 là 6
 Số đối của 0 là 0 (trường hợp đặc biệt).
Khi đó ta có thể nói, tập số tự nhiên (N) và tập số đối của nó hợp lại thành tập số nguyên.
4. Tính chất của số nguyên
Các số nguyên gồm có 4 tính chất cơ bản như sau:
 Do bản chất tập số nguyên là vô hạn nên không tồn tại số nguyên dương lớn nhất và số nguyên âm nhỏ nhất.
 Ngược lại, chỉ tồn tại số nguyên dương nhỏ nhất và số nguyên âm lớn nhất (cận 0). Cụ thể, số nguyên âm
lớn nhất là -1 và số nguyên dương nhỏ nhất là 1.
 Số nguyên âm luôn nhỏ hơn số 0 và số nguyên dương.
 Mọi số nguyên dương đều lớn hơn số 0
 Tập hợp số nguyên bao gồm vô số tập con hữu hạn. Nếu xét trong một tập con hữu hạn của Z bất kỳ thì
luôn có phần tử nhỏ nhất và phần tử lớn nhất.
 Khác với tập số học khác (như số hữu tỉ Q, số thực R), giữa 2 số nguyên liên tiếp sẽ không có bất kỳ số nguyên nào nằm giữa.
5. Phân biệt tập số nguyên và tập số thực Tập số nguyên Z Tập số thực R
Tập số nguyên gồm tập hợp các số 0, số tự Định
Số thực là những số không đếm được bao gồm tập hợp số nguyên,
nhiên (số nguyên dương) và số đối của nghĩa
số hữu tỉ và số vô tỉ. chúng (số nguyên âm). Ký hiệu: R Ký hiệu: Z Tính
Tập hợp các số nguyên là vô hạn và đếm được Tập hợp các số thực là vô hạn và không đếm được. chất
Do bản chất tập số nguyên là vô hạn nên
không tồn tại số nguyên dương lớn nhất và Số thực khác 0 bất kỳ sẽ là số dương hoặc số âm.
số nguyên âm nhỏ nhất.
Tổng và tích của 2 số thực không âm cũng sẽ là một số thực không
Ngược lại, chỉ tồn tại số nguyên dương nhỏ âm.
nhất và số nguyên âm lớn nhất (cận 0). Cụ Có nhiều số thực hơn so với những phần tử trong tập hợp số đếm Đặc
thể, số nguyên âm lớn nhất là -1 và số được bất kỳ.
điểm nguyên dương nhỏ nhất là 1.
Có một hệ thống các tập hợp con vô hạn có thể đếm được của
Nếu xét trong một tập con hữu hạn của Z bất những số thực (số hữu tỉ, số nguyên, số đại số, số tính được). Phần
kỳ thì luôn có phần tử nhỏ nhất và phần tử bù của các số này (số siêu việt, số vô tỉ, số không tính được) trong lớn nhất.
số thực đều là tập hợp vô hạn không đếm được.
Khác với tập số học khác (như số hữu tỉ Q, Số thực có thể dùng để biểu thị kết quả đo lường đại lượng liên tục.
số thực R), giữa 2 số nguyên liên tiếp sẽ
không có bất kỳ số nguyên nào nằm giữa.
Như vậy, ta cần nhớ, số nguyên là tập con của số thực.
6. Một số bài tập củng cố
Bài tập 1: Hãy điền các số nguyên còn thiếu vào trục số sau: Hướng dẫn giải:
Bài tập 2: Mỗi phát biểu sau đúng hay sai: a) 25 ∈ Z b) - 67 ∈ N c) 0 ∈ N* d) 0 ∉ Z
Hướng dẫn giải: a. Đúng b. Sai c. Sai (N* là tập số tự nhiên lớn hơn 0) d. Sai
Bài tập 3: Các phát biểu sau đúng hay sai:
a) Tất cả các số tự nhiên đều là số nguyên.
b) Cho a ∈ Z, nếu a không phải là số nguyên dương thì a là số nguyên âm.
c) Tất cả các số nguyên đều là số tự nhiên
d) Tập hợp các số nguyên bao gồm các số tự nhiên và số nguyên âm.
e) Tất cả các số tự nhiên khác 0 đều là số nguyên dương.
f) Số 0 là số nguyên dương. Hướng dẫn giải: a) Đúng
b) Sai. Vì số 0 ∈ Z không phải là số nguyên dương cũng không phải là số nguyên âm.
c) Sai. Vì các số nguyên âm không phải là số tự nhiên d) Đúng e) Đúng
f) Sai. Vì số 0 không phải là số nguyên dương cũng không phải là số nguyên âm.
Bài tập 4: Tìm số đối của các số sau: a) 23, 96, 35, 34 b) - 124; - 674; - 5633; - 45 c) - 1; 0; 1 Hướng dẫn giải:
a) Số đối của 23 là -23. Số đối của 96 là -96. Số đối của 35 là -35. Số đối của 34 là -34.
b) Số đối của - 124 là 124.
Số đối của - 674 là 674.
Số đối của - 5633 là 5633.
Số đối của - 45 là 45. c) Số đối của-1 là 1. Số đối của 0 là 0. Số đối của 1 là -1.
Bài tập 5: Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ tự tăng dần.
a) 23; - 4; 0; 5; - 67; - 675; 123 b) -12578; 567; 43; -41; -1 c) -2; 1; -9; -54; -27 Hướng dẫn giải:
a) Các số nguyên sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: - 675; - 67; - 4; 0; 5; 23; 123
b) Các số nguyên theo thứ tự tăng dần là: - 12578; - 41; -1; 43; 567
c) Các số nguyên sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: -54; - 27; - 9; - 2; 1
Bài tập 6: Cho tập hợp A = {2; - 5; -9; 4; - 12}
a) Viết tập hợp B gồm những phần tử của A và số đối của chúng.
b) Viết tập hợp C bao gồm các phần tử lớn hơn các phần tử của B một đơn vị
c) Viết tập hợp D bao gồm các phần tử nhỏ hơn các phần tử của C hai đơn vị Hướng dẫn giải:
a) Tập hợp B gồm những phần tử của A và số đối của chúng là: B = {2; - 5 ; - 9; 4; - 12; -2; 5; 9; - 4; 12}
b) Tập hợp C bao gồm các phần tử lớn hơn các phần tử của B một đơn vị là: C = {3; -4; - 8; 5; - 11; - 1; 6; 19; - 3; 13}
c) Tập hợp D bao gồm các phần tử nhỏ hơn các phần tử của C hai đơn vị là: D = {1; - 6; - 10; 3; - 13; - 3; 4; 17; - 5; 11 }
Như vậy bài viết trên đây đã trình bày tổng hợp các kiến thức về số nguyên và một số bài tập áp
dụng. Hy vọng những kiến thức trên sẽ giúp quý bạn đọc nắm vững hơn về tập hợp số nguyên và
áp dụng được các kiến thức đã học hiệu quả. Mong nhận được sự ủng hộ của bạn đọc tại các bài viết tiếp theo.