Sổ tay giải toán 12 – Nguyễn Đức Thắng
Sổ tay giải toán 12 – Nguyễn Đức Thắng được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Tài liệu chung 77 tài liệu
Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
Thy Nguyn c Thng
0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool S TAY GII TOÁN 12
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool MC LC CH TRANG A. KHO SÁT HÀM S 2
B. LU THA - M - LÔGARIT 18
C. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ NG DNG 25 D. S PHC 42 E. NÓN – TR-CU 47
F. PHNG PHÁP TO TRONG KHÔNG GIAN OXYZ 54 G. KHI A DIN 64 H. GÓC VÀ KHONG CÁCH 67 I. B SUNG MT S KIN THC 77
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 1
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool A. KHO SÁT HÀM S 1. Tính n iu 1.1. Lí thuyt
a) nh ngha: Cho K là mt khong, on hoc na khong. Gi s f(x) là mt hàm s xác nh trên K.
- Hàm s f(x) gi là ng bin trên K nu x , x K : x x f (x ) 1 2 1 2 1 f (x2)
- Hàm s f(x) gi là nghch bin trên K nu x , x K : x x f (x ) 1 2 1 2 1 f (x2) b. i u kin cn
Gi s f có o hàm trên khong K.
- Hàm s f(x) không i trên K x K : f '(x) 0
- Nu f ng bin trên khong K thì f '(x) 0,x K
- Nu f nghch bin trên khong K thì f '(x) 0,x K c. i u kin
Gi s f có o hàm trên khong K.
- Nu f (x) 0, x I (f(x) = 0 ti mt s hu hn i!m) thì f ng bin trên K.
- Nu f (x) 0, x I (f(x) = 0 ti mt s hu hn i!m) thì f nghch bin trên K.
- Nu f(x) = 0, x I thì f không i trên K.
1. 2. M t s" v#n % khác
a) &nh lí v% d#u c(a tam th*c b-c hai: g(x) a 2
x bx c (a 0)
+ Nu < 0 thì g(x) luôn cùng d"u v#i a. b b + Nu = 0 thì (
g x) luôn cùng d"u v#i a (tr$ x g 2a ), 0 2a + Nu > 0 thì ( g x) có hai nghi%m g x 1
x , x2 và trong khong hai nghi%m thì ( ) khác d"u
v#i a, ngoài khong hai nghi%m thì (
g x) cùng d"u v#i a. 2 a 0 a 0
Chú ý: - Nu y ' ax bx c (a 0) thì: +) y ' 0, x R +) y ' 0, x R 0 0
- Nu = 0 hay g x a x 2 ( )
thì g(x) không i d u khi qua , d u ca g(x) ph thuc d u ca a.
- Nu > 0 thì g(x) i d"u khi qua x , x 1
2 ( i t$+ sang – sang +, hoc i t$ - sang + sang -)
b) So sánh các nghim 1
x , x2 c(a tam th*c b-c hai 2 (
g x) ax bx c v#i s 0: 0 0 +) 1
x x2 0 P 0 +) 0 1
x x2 P 0 +) 1
x 0 x2 P 0 S 0 S 0 c) Hàm s" b-c hai: 2
y ax bx c (a 0) a>0 a<0
th hàm s là mt parabol có &nh
th hàm s là mt parabol có &nh b b ; ; 2a 4a 2a 4a
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 2 Thy Nguyn c Thng
0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool b b Hàm s ng bin trên ; 2a Hàm s nghch bin trên ; 2a b b Hàm s nghch bin trên ; 2a Hàm s ng bin trên ; 2a b b mi y n x y x 4a ti 2a max 4a ti 2a Bng bin thiên Bng bin thiên Dng th: Dng th: d) ng d.ng trong gi/i toán
Cho hàm s y=g(x) xác nh trên (a;b) và liên t(c trên [a;b]:
+) g(x) m, x ( ;
a b) max g(x) m ; a;b +) (
g x) m, x ( ; a b) min ( g x) m a;b
e) n iu trên m t kho/ng, o0n
! hàm s y f (x) ng bin trên t*p K nào ó thì tn ti khong ! f’(x)>0 cha t*p K.
! hàm s y f (x) nghch bin trên t*p K nào ó thì tn ti khong ! f’(x)<0 cha t*p K B1 tr2: - T*p (; )
a là t*p con c+a t*p (; )
b khi và ch& khi a b - T*p ( ; a ) là t*p con c+a t*p ( ; b )
khi và ch& khi b a c a - Tp ( ;
a b) là tp con ca tp ( ;
c d) khi và ch khi b d
1.3. Tính n iu ca hàm thng gp
a) Hàm s a thc bc ba 3 2
f (x) ax bx cx d (a 0) : 3 2 a 0
“iu kin hàm s f (x) ax bx cx d ng bin trên R là ; nghch bin trên 0 a 0 R là ” 0 3 2
Hàm s f (x) ax bx cx d ng bin ( nghch bin) trên K thì kho!ng mà f '(x) 0 (
f '(x) 0 ) ca hàm s ph!i cha K. ax b
b) Hàm s phân thc dng f (x)
(c 0,ad bc 0) cx d
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
( ad bc 0)
iu kin hàm s ng bin (nghch bin) trên trên ; là
ad bc 0 ad bc 0 d c
iu kin hàm s ng bin (nghch bin) trên trên ; là
ad bc 0 ad bc 0 d c
+) i v"i hàm hp y f ( (
g x)) , trong ó hàm u (
g x) xác nh và có o hàm trên ;ab, ly giá tr trên kho!ng ;
c d; hàm y f ( )
u xác nh ;cdvà có o hàm trên ;cd, ly giá tr trên R.
g'(x) 0 xa;b
g'(x) 0 xa;b Nu y f g x f '(u) ho#c thì hàm s ( ( )) ng bin 0 u ;cd
f '(u) 0 u ;cd trên ; a b.
g'(x) 0 xa;b
g'(x) 0 xa;b Nu y f g x
f '(u) 0 u ho#c thì hàm s ( ( )) nghch bin ;cd
f '(u) 0 u ;cd trên ; a b. 2. C3C TR4 CA HÀM S 2.1. Lí thuyt
a) nh ngha: Gi s hàm s f (x) xác nh trên D, x0 D . - im x ; x h
0 g%i là im c&c tiu ca hàm s f(x) nu tn ti s th&c d ng h sao cho x h 0 0
cha trong D và f (x) f (x ) h
o , x x0 h; x \ 0 x 0 Khi ó:
+ Giá tr f (x0) gi là giá tr c,c ti!u c+a hàm s.
+ i!m x0; f (x0) gi là i!m c,c ti!u c+a th hàm s y=f(x).
+ Hàm s t c,c ti!u ti i!m x0 - im x x ; h x h
0 g%i là im c&c i ca hàm s f(x) nu tn ti s th&c d ng h sao cho 0 0
cha trong D và f (x) f (x ), x x ; h x 0 0 h \ o x0
Khi ó: Giá tr f (x
x ; f (x )
0 ) gi là giá tr c,c i c+a hàm s. i!m 0 0 gi là i!m c,c i c+a th hàm s y=f(x).
+ Giá tr f (x0) gi là giá tr c,c i c+a hàm s.
+ i!m x0; f (x0) gi là i!m c,c i c+a th hàm s y=f(x).
+ Hàm s t c,c i ti i!m x0
Chú ý: C,c i, c,c ti!u gi chung là c,c tr b) &nh lí:
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 4
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
i-u ki%n cn: Nu hàm s f(x) t c,c tr ti i!m x0 thì hoc không tn ti f '(x0 ) hoc f '(x ) 0 0
i u kin 1: Gi s tn ti ;
a b D ch x0 , hàm s y=f(x) liên t(c trên (a,b) và có o hàm trên m.i khong ;
a x0,x0;b
f '(x) 0 x ;ax0 Nu x
f '(x) 0 x
thì 0 là mt i!m c,c ti!u c+a hàm s f(x) x0;b
f '(x) 0 x ;ax0 Nu x f '(x) thì
là mt i!m c,c i c+a hàm s f(x) 0 x 0 x0;b
i u kin 2: Gi s tn ti ;
a b D ch x0 , hàm s y=f(x) liên t(c trên (a,b) và có o hàm
c"p 1 trên (a;b) và có o hàm c"p hai ti x0 . Khi ó:
f '(x ) 0 Nu 0 x f ''(x ) thì
là mt i!m c,c ti!u c+a hàm s f(x) 0 0 0
f '(x ) 0 Nu 0 x f ''(x ) thì
là mt i!m c,c i c+a hàm s f(x) 0 0 0 2.2. M t s" v#n % khác
a) Hàm s a thc bc ba 3 2
f (x) ax bx cx d (a 0) : a 0 a 0 Hàm s t c,c i ti x b 0
0 khi: f '(x) 0 hoc f ''(x c 0 ) 0 x 0 2b a 0 a 0 Hàm s t c,c ti!u ti x b 0
0 khi: f '(x) 0 hoc f ''(x c 0 ) 0 x 0 2b a 0 a 0
Hàm s không có c,c tr hoc '(x) 0 f b 0 a 0
Hàm s có c,c i, c,c ti!u '(x) 0 f
Ph ng trình ng th/ng i qua hai i!m c,c tr c+a th hàm s 3 2
y ax bx cx d a 0 2
. V#i i-u ki%n b 3ac 0 , th,c hi%n phép chia y cho y’ ta
0c y = y’(x).g(x) + Ax + B. Khi ó, ng th/ng i qua hai i!m c,c tr là y = Ax + B 4 2
b) Hàm s a thc trùng phng: f (x) ax bx c (a 0) TH1: a 0
*) Nu b 0 Hàm s ch& có 1 c,c ti!u
*) Nu b 0 Hàm s ch& có 1 c,c i
*) Nu b 0 Hàm s không có c,c tr
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 5
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool 3 2
TH2: a 0 . Khi ó: y ' 4ax 2bx 2x 2ax b
*) Nu a.b<0 thì hàm s có ba c&c tr. C' th
a>0: Hàm s có 2 c,c ti!u, 1 c,c i
a<0: Hàm s có 2 c,c i, 1 c,c ti!u *) Nu .
a b 0 : Hàm s ch có úng mt c&c tr a>0: Hàm s có 1 c,c ti!u a<0: Hàm s có 1 c,c i 4 2
Tham kho: Tr ng h0p th hàm s: y ax bx c a 0 có ba i!m c,c tr 2 b b 2 b b
Ba i!m c,c tr là A0; c , B ; c C ; c 2a 4a và . 2a 4a 4 b 8ab 2b
Khi ó ta có AB AC và BC . 2 16a a
Dng 1. th hàm s 4 2
y ax bx c có ba im c&c tr to thành ba nh ca mt tam giác ab 0
vuông khi và ch khi 3 .
b 8a 0
Dng 2. th hàm s 4 2
y ax bx c có ba im c&c tr to thành ba nh ca mt tam giác u ab 0 khi và ch khi 3 .
b 24a 0
Dng 3. th hàm s 4 2
y ax bx c có ba im c&c tr A, B, C to thành ba nh ca mt tam ab 0
giác cân có mt góc BAC cho tr"c khi và ch khi 3 b 8a cos 3 b 8a 4 2
Dng 4. th hàm s y ax bx c có ba im c&c tr A, B, C th(a mãn iu kin BC OA ab 0
(v"i O là gc t%a ) khi và ch khi 2 .
ac 2b 0
Dng 5. th hàm s 4 2
y ax bx c có ba im c&c tr A, B, C to thành ba nh ca mt tam ab 0
giác có din tích là S cho tr"c khi và ch khi 5 b S . 3 32a
Dng 6. th hàm s 4 2
y ax bx c có ba im c&c tr A, B, C to thành ba nh ca mt tam ab 0 3
giác có bán kính )ng tròn ngoi tip là R khi và ch khi b 8a R . 8 a b
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 6 Thy Nguyn c Thng
0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool 4 2
Dng 7. th hàm s y ax bx c có ba im c&c tr A, B, C to thành ba nh ca mt tam ab 0 2 b
giác có bán kính )ng tròn ni tip là r khi và ch khi 4a r . 2 1 b 1 8a
Dng 8. th hàm s 4 2
y ax bx c có ba im c&c tr A, B, C to thành ba nh ca mt tam 3
b 8a 4abc 0
giác nhn gc O là tr&c tâm khi và ch khi c 0 4 2
Dng 9. th hàm s y ax bx c có ba im c&c tr A, B, C to thành ba nh ca mt tam 3
b 8a 8abc 0
giác nhn gc O là tâm )ng tròn ngoi tip khi và ch khi c 0 ax b
c) Hàm s phân thc dng f (x)
(c 0,ad bc 0) cx không có c&c tr d 2
ax bx c
d) Hàm s" b-c 2/b-c 1 y
có c c i và c,c ti!u khi và ch& khi ph ng trình y’ = 0 có
a ' x b ' b'
hai nghi%m phân bi%t khác a' . Khi ó, ph ng trình ng th/ng i qua hai i!m c,c tr c+a 2
ax bx c 2ax b th hàm s y y
a' x b' là a' .
3. GIÁ TR4 L6N NH7T – GIÁ TR4 NH8 NH7T CA HÀM S 3.1. Lí thuyt
Gi s f xác nh trên D . Ta có
f x M x D
f x m x D
M max f x Nu
; m min f x Nu . x D x x
0 D : f x0
0 D : f x0 M x D m
3.2. Chú ý: ! tìm giá GTLN, GTNN c+a hàm s y f (x) liên t(c on ; a b , có o hàm trên
;ab và f '(x) 0 có hu hn nghi%m , ta làm nh sau:
B1 Tìm các i!m x1 , x2 , …, xm thuc khong ;
a b mà ti ó hàm s f có o hàm b1ng 0 hoc không có o hàm.
B2 Tính f x
1 , f x2 , …, f xm , f a , f b .
B3 So sánh các giá tr tìm 0c 2 b #c 2. S l#n nh"t trong các giá tr ó chính là GTLN c+a f trên on ; a b
; s nh3 nh"t trong các giá tr ó chính là GTNN c+a f trên on ; a b .
max f x maxf 1x, f x2,, f x , f a, m f b. x ; a b
min f x minf 1x, f x2,, f x , f a, m f b. x ; a b
3.3. Quy c. Khi nói n GTLN, GTNN c+a hàm s f mà không ch& rõ GTLN, GTNN trên t*p nào thì
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
3.4. Chú ý: Gi! s* f(x) là mt hàm s liên t'c trên min D và tn ti min f (x) ;
m max f (x) M . Khi D D ó:
1) Ph ng trình f (x) có nghim trên D m M.
2) Bt ph ng trình f (x) có nghim trên D M .
3) Bt ph ng trình f (x) có nghim trên D m .
4) Bt ph ng trình f(x) úng v"i m%i x D m .
5) Bt ph ng trình f(x) úng v"i m%i x D M .
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 8 Thy Nguyn c Thng
0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool 4. TIM C9N CA : TH4 HÀM S Khái nim Hình /nh minh ho0
Ph+ng pháp tìm tim c-n 1. Tim c-n *ng: B1. Tìm t*p xác nh
)ng th+ng x x0 (vuông góc
B2. Tìm các giá tr x0 mà ti
Ox) g%i là tim cn ng c+a
x0 hàm s: y=f(x) không xác
th hàm s: y=f(x) Nu có ít nh"t nh. mt trong các gi#i hn sau: B3. Tính các gi#i hn:
lim f (x) ,
lim f (x) ,
lim y & lim y xx xx 0 0 x x x x
lim f (x) ,
lim f (x) , 0 0 xx xx B4. Kt lu*n. 0 0 2. Tim c-n ngang B1. Tìm t*p xác nh
Hàm s y f (x) xác nh trên B2. Tính các gi#i hn:
mt kho!ng vô hn (có th! là lim y 0
y & lim y 0 y x x ; a, ; b , ; B3. Kt lu*n
)ng th+ng y y0 (vuông góc
Oy) g%i là tim cn ngang c+a
th hàm s: y=f(x) Nu có ít nh"t mt trong các gi#i hn sau: lim f (x) 0
y , lim f (x) 0 y x x B1. Tìm t*p xác nh 3. Tim c-n xiên B2. Tính các gi#i hn:
Hàm s y f (x) xác nh trên f (x)
mt kho!ng vô hn (có th! là lim a
x x hoc ;
a,b;,;
lim f (x) ax b x
)ng th+ng y ax b ( a 0 ) f (x)
g%i là tim cn xiên c+a th lim a x
hàm s: y=f(x) Nu có ít nh"t mt x lim trong các gi#i hn sau:
f(x)ax b x
lim f (x)
ax b 0, x B3. Kt lu*n
lim f (x)
ax b 0. x Chú ý: ax b d a 1. Hàm s: y x y cx có ti%m c*n ng là: , ti%m c*n ngang là: d c c 2 ax bx c k n 2.Hàm s: y px q x mx n
mx n có ti%m c*n ng là: m , ti%m c*n xiên là:
y px q
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool n n 1
a x a x ... n n a x a
n m : TCÑ &TCN 3. 1 1 0 lim m m 1 x
n m :TCÑ &TCX m b x m b 1x ... 1 b x 0 b b 4. Hàm s: 2
y f (x) ax bx c
a 0 có ti%m c*n xiên là y a x 2a 5. Hàm s: 2
y f (x) mx n p ax bx c
a 0 có ti%m c*n xiên là b
y mx n p a x 2a mx n 2 6. Hàm s: y
ch& có ti%m c*n ngang, có th! có ti%m c*n ng nu ax bx c 0 2
ax bx c có nghi%m.
B1 sung m t s" kin th*c:
- Công thc khong cách: ng th/ng 2 2
:ax by c 0
(a b 0) và M x0; 0 y .
ax by c
Khong cách t$ M n 4 là: d M, 0 0 2 2 a b
;c bit: - ng th/ng : y m thì d M, 0 y m
- ng th/ng : x n thì d M, x0 n
- Công thc gi i hn: C n nchaün n + Gi#i hn ti vô c,c: lim
0 vôùik 0 & lim x
, lim x vôùi n N k x x n leû x x c Neáu c 0 c Neáu c 0 + Gi#i hn mt bên: lim & lim
x x x x Neáu c 0 x x x x Neáu c 0 0 0 0 0
5. TNG GIAO HAI : TH4 HÀM S 5.1. Kin thc Cho hai ng cong: 1
C :y f (x) và 2 C :y ( g x)
y f (x) +) Nu M(x M x0; 0 y
0; y0 ) là i!m chung c+a 1 C và 2 C
là nghi%m c+a h%: y (gx)
+ Hoành giao i!m c+a C
1 và C2 là nghi%m c+a ph ng trình: f (x) g(x) (*)
+) S nghi%m ph ng trình (*) b1ng s giao i!m c+a C 1 và C2
5.2 . B! sung m"t s kin thc a) Phng trình bc 2 2 0 -Ph ng trình: (
g x) ax bx c 0 a 0 có hai nghi%m phân bi%t khác x0 (gx 0 ) 0 0 2 -Ph ng trình: (
g x) ax bx c 0 a 0 có nghi%m kép khác x0 b 0 2a 2 -Ph ng trình: (
g x) ax bx c 0 a 0 vô nghi%m 0
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 10
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
b) Phng trình bc 3 hay tng giao # th hàm a thc bc ba và tr$c Ox 3 2
T ng giao ca th hàm bc 3 y a ' x b ' x c ' x d ' a' 0 và tr'c Ox:
Ph ng trình hoành giao im: 3 2
a' x b' x c' x d ' 0 2
Trng h%p 1: Bin ,i ph ng trình: 3 2
a' x b' x c' x d ' 0 thành x ax bx c 0 2
Ph ng trình: x ax bx c 0 có ba nghi%m phân bi%t Ph ng trình: 2
ax bx c 0 có hai nghi%m phân bi%t khác . 2
Ph ng trình: x ax bx c 0 có hai nghi%m phân bi%t Ph ng trình: 2
ax bx c 0 có nghi%m kép khác hoc có hai nghi%m phân bi%t trong ó có mt 0 g() 0 nghi%m b1ng 0 g() 0 2
Ph ng trình: x ax bx c 0 ch& có mt nghi%m Ph ng trình: 0 a 2
x bx c 0 có nghi%m kép b1ng hoc vô nghi%m g() 0 0
Tr+=ng h2p 2: Không nh5m 0c nghi%m S giao i!m c+a th hàm s 3 2
y ax bx cx d a 0 và Ox b1ng s nghi%m c+a ph ng 3 2
trình: ax bx cx d 0
Ch có mt nghim khi và ch& khi: Hàm s luôn ng bin hoc luôn nghch bin; hoc có hai y ' 0
c,c tr n1m v- cùng mt phía i v#i Ox y ' 0
trong ó: x , x là nghi%m c+a 1 2 y( 1
x ).y(x2) 0 ph ng trình: y ' 0
Ch có hai nghim khi và ch& khi hàm s có hai c,c tr, trong ó có mt c,c tr n1m trên Ox y ' 0 x , x y y(
trong ó: 1 2 là nghi%m c+a ph ng trình: ' 0 1
x ).y(x2) 0
Ch có ba nghim phân bit khi và ch& khi hàm s có hai c,c tr, trong ó có hai c,c tr n1m 0 v- hai phía c+a tr(c Ox y' x , x y(
trong ó: 1 2 là nghi%m c+a ph ng trình: 1
x ).y(x2) 0 y' 0
B1 sung: Ph ng trình ng th/ng qua hai c,c tr (nu có) là y mx n (Bi!u thc mx n là a thc d khi chia y cho y’). 2
Xét y ' 3ax 2bx c 0
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 11 Thy Nguyn c Thng
0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
c) Phng trình bc bn trùng phng hay tng giao ca # th hàm a thc bc 4 trùng phng vàc trucj Ox) 2 4 2 f (x) t x 0
ax bx c 0 a 0 . t = x2 x = t f (t) 0 S nghi%m 4 3 2 1 0 CSC P 0 0 0 P 0 P 0 S 0 P 0 0 1 t t2 i-u ki%n P 0 0 S 0 0 S 0 t 3 t S 0
S / 2 0 2 1
S / 2 0 0
M"t s kin thc hình h&c b! sung: - Cho: 1 u 1 x ; 1y, 2 u x2; 2 y 1 u . 2 u 1 x x2 1y 2 y 2 2 - Cho 1 A ( 1 x ; 1y), 2 A ( 2 x ; 2 y ) : 1 A 2
A x2 1 x ; y2 1 y ; 1 A 2
A x2 1x 2 y 1y - Cho tam giác 1 A 2 A 3 A trong ó: 1 A ( 1 x ; 1y), 2 A (x2; 2 y ), 3 A ( 3 x ; 3 y ) không th/ng hàng:
+ Tam giác
A A A .A A 0 1 A 2 A 3 A vuông ti 1 1 2 1 3 1A 2A 1 A 3 A + Tam giác 1 A 2 A 3
A -u 1 A 2 A 2 A 3 A 1 1 abc
- Di%n tích tam giác : S . h a . b csin ABC A pr
p p a p b p c 2 2 4R 6. HÀM S VÀ : TH4 6.1. # th hàm s bc 3
th hàm s luôn ct tr(c Ox ti ít nh"t mt i!m b b th nh*n i!m I ; f 3a là tâm i xng 3a Bng bin thiên và dng th Tr+=ng a>0 a<0 h2p y ' 0 vô nghim *) Hàm s luôn ng bin trên R
*) Hàm s luôn nghch bin trên R *) Hàm s không có c,c tr *) Hàm s không có c,c tr
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool *) Hàm s luôn ng bin trên R
*) Hàm s luôn nghch bin trên R *) Hàm s không có c,c tr y ' 0 *) Hàm s không có c,c tr có nghim kép *) Hàm s ng bin trên khong
*) Hàm s nghch bin trên khong ; 1
X và X2;. Hàm s nghch bin ; 1
X và X2;. Hàm s ng bin y ' 0 trên 1 X ; X2 . trên 1 X ; X2 . có hai *) Hàm s t c,c i ti nghim *) Hàm s t c,c i ti
x X ; y f (X ) phân 1 CÑ 1 . Hàm s t c,c ti!u x 1 X ; y f ( 1 X ) CT . Hàm s t c,c bit
ti x X2; y f (X2) CT .
ti!u ti x X2; y f (X2) CÑ . Thy Nguyn c Thng
0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool 4 2
6.2. # th hàm s bc 4 trùng phng: f (x) ax bx c (a 0)
Vì hàm s là ch6n trên R nên th luôn nh*n tr(c tung làm tr(c i xng.
Hàm s luôn có c,c tr (mt c,c tr nu a.b>0 ; ba c,c tr nu a.b<0)
Có mt c,c tr luôn thuc tr(c Oy. Tr ng h0p có 3 i!m c,c tr thì ba i!m c,c tr là 3 &nh c+a tam giác cân.
B/ng bin thiên và d0ng ? th& Các d0ng a>0 a<0 *) n iu *) n iu Hàm s ng bin trên các khong
Hàm s nghch bin trên các khong b b b b ;0 ;0 2a và ; và ; 2a 2a 2a
Hàm s nghch bin trên các khong Hàm s ng bin trên các khong b b b b ; ; 2a và 0; và 0; 2a 2a 2a * C@c tr& * C@c tr& b b
Hàm s t c,c ti!u ti : CT x x 2a
Hàm s t c,c ti!u ti : CÑ 2a y’ = 0 có 3 và y 1 Y f (x ) CT CT .Hàm s t c,c và y 1 Y f (x ) CÑ CÑ .Hàm s t c,c i nghim phân i ti 0 CÑ x và CÑ y 2 Y c . ti 0 CT x và CT y 2 Y c . bit * GiAi h0n * GiAi h0n PT (*) có Neáu a 0 Neáu a 0 hai nghim lim 4 2
ax bx c lim 4 2
ax bx c x
Neáu a 0 x
Neáu a 0 phân bit khác 0 4 2
ax bx c Neáu a 0 lim 4 2 Neáu a 0
lim ax bx c x Neáu a 0 x Neáu a 0 ab < 0 th hàm s không có ti%m c*n th hàm s không có ti%m c*n *) B/ng BT *) B/ng BT 3. ? th& 3. ? th& Thy Nguyn c Thng
0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool *) n iu *) n iu Hàm s ng bin trên các khong Hàm s ng bin trên các khong
0;. Hàm s nghch bin trên các
;0 . Hàm s nghch bin trên các khong ;0 khong 0; * C@c tr& * C@c tr& Hàm s t c,c ti!u ti 0 CT x và
Hàm s t c,c ti!u ti xCÑ 0 và CT y 2 Y c . CÑ y 2 Y c . * GiAi h0n * GiAi h0n 4 2
ax bx c Neáu a 0 lim 4 2
ax bx c Neáu a 0 lim y’ = 0 chB có x
Neáu a 0 x
Neáu a 0 1 nghim 4 2 Neáu a 0 4 2 Neáu a 0
lim ax bx c
lim ax bx c PT (*) vô x
Neáu a 0 x
Neáu a 0 nghim ho;c *) B/ng BT *) B/ng BT chB có m t nghim bDng 0 ab > 0 th hàm s không có ti%m c*n th hàm s không có ti%m c*n 3. ? th& 3. ? th& ax b
6.3.# th hàm s phân thc dng f (x)
(c 0,ad bc 0) cx d Bng bin thiên và dng th ad bc 0 ad bc 0 *)n iu *)n iu Hàm s ng bin trên các khong ; d
c và Hàm s nghch bin trên các khong ; d c Thy Nguyn c Thng
0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool d d ; c và ; c *) C'c tr *) C'c tr Hàm s không có c,c tr Hàm s không có c,c tr *) Gi i hn *) Gi i hn
lim y và lim y nên ng
lim y và lim y nên ng d x d d d x x x c c c c d d th/ng x x c là ti%m c*n ng th/ng c là ti%m c*n ng lim a y a a a và lim y nên ng th/ng
lim y và lim y nên ng th/ng x c x c x c x c a y a y c là ti%m c*n ngang c là ti%m c*n ngang
*) Bng bin thiên :
*) Bng bin thiên : 3. ? th& 3. ? th& 7. BÀI TOÁN TIP TUYN
D0ng 1. Ph ng trình tip tuyn c+a ng cong (C): y f (x) ti tip i!m M x0; 0 y có dng:
d : y f ' x x y x 0 0 0
Áp d'ng trong các tr)ng hp sau: Trng h%p Cn tìm Ghí chú
1. Vit ph ng trình tip tuyn d c+a (C) t0i H% s góc : f ' 0 x i!m M x0; 0 y .
2. Vit ph ng trình tip tuyn d c+a (C) ti H% s góc : f ' 0 x
f 'x0 T$ x
i!m có hoành x x 0 f x0 0 Tung tip i!m 0
y f x0
3. Vit ph ng trình tip tuyn d c+a (C) ti Hoành tip i!m x0 Gii ph ng trình i!m có tung y 0
y f x0 0 y H% s góc : f ' 0 x Hoành tip i!m x
4. Vit ph ng trình tip tuyn d c+a (C) , 0 Gii ph ng trình
bit h% s góc k c+a tip tuyn d .
Tung tip i!m y f x f 'x 0 k
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool Chú ý: Gi 1
k là h% s góc c+a ng th/ng 1
d và k2 là h% s góc c+a ng th/ng d2 Nu 1
d song song v#i d2 thì 1k k2 Nu 1
d vuông góc v#i d2 thì 1k. 2 k 1
D0ng 2 (tham kh/o). Vit ph ng trình tip tuyn c+a ng cong (C) i qua i!m A 1 x ; 1y
Phng pháp: B"c 1. Vit ph ng trình ng th/ng d i qua i!m A và có h% s góc k
d : y k x 1x 1y
B"c 2. Tìm i-u ki%n ! d là tip tuyn c+a ng cong (C) :
f (x) k x 1x y d tip xúc v#i ng cong (C) 1 f ' có nghim.
x k (*)
B"c 3. Kh k , tìm x , thay x vào (*) ! tìm k , t$ ó suy ra các tip tuyn cn tìm
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 17
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool B. M – LOGARIT
1. nh ngha và các công thc lu( th*a và m+ a) L+y th*a S" mE C s" a LuG thIa a * n N a R n a a . a ...... a a (n tha s a) 0 a 0 0 a a 1 * n 1
n( n N ) a 0
a a n a m m
(m Z,n N, n 2) a 0 n n n m
a a a (n n
a b b a) *
lim r (r Q,n N ) a 0 r n n a lim n a
2. Các phép toán: V#i a và b là nhng s th,c d ng, và là nhng s th,c tùy ý, ta có a .a a a a a a . (a ) a (a )
(ab) a .b a b b 3. So sánh:
Nu a 1 thì a a ;
Nu 0 a 1 thì a a m m m m
V#i 0 < a < b ta có: a b m 0 ;
a b m 0 b) C,n bc n: n
Khái nim : C7n b*c n c+a a là s b sao cho b a .
V#i a, b 0, m, n N*, p, q Z ta có: n n n a a p .n ab a b n m ; n (b 0) ; p n a a (a 0) n mn a a n b b p q n p m q m n Nu
thì a a (a 0) n m a a n m #c bit
- Nu n là s nguyên d ng l8 và a < b thì n n a b .
- Nu n là s nguyên d ng ch6n và 0 < a < b thì n n a b .
Chú ý: + Khi n l8, m.i s th,c a ch& có mt c7n b*c n. Kí hi%u n a .
+ Khi n ch6n, m.i s th,c d ng a có úng hai c7n b*c n là hai s i nhau, c7n có giá tr d ng ký hi%u là n a n n a khi n l a a khi n chn
2. nh ngha và các công thc lôgarit
* &nh nghJa : log
a b a b
* Phép toán : V"i a, b > 0; a 1; b1, b2 > 0; R ta có: log 1 0 log b a a b a ; log 1 a a ; log b a a b ;
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 18
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
* So sánh: Nu a > 1 thì log b log a
a c b c . Nu 0 < a < 1 thì log b log a
a c b c b * Phép toán: log ( 1
log log b log b 1 b 2
b ) log 1b log a a a 2 b a a 1 a 2 log b log a a b 2 b
* 1i c s" : V#i a, b, c > 0 và a, b 1, ta có: log c 1 log a 1 b c hay log .
b log c log c log b log c log c ( 0) log a b a a a a a b logb a
* Logarit th-p phân: lg b log b lo 10 g b 1 n
* Logarit t@ nhiên (logarit Nepe):
ln b loge b (v#i e lim1 2,718281......) n
3. HÀM S- L/Y TH1A
* D0ng: y x , R * T-p xác &nh: D
nguyên d ng thì TX là D = R
nguyên âm hoc b1ng 0 thì TX là D = R \ {0}.
không là s nguyên thì TX là D = (0; +). * 0o hàm : 1 (x )' .x ( x D) . 1 (u )' .u .u' v#i u là hàm h0p.
* Tính n iu : trên khong (0 ; +) hàm s ng bin nu >0 và nghch bin nu < 0 . *# th : Luôn i qua i!m (1; 1)
0 th không có ti%m c*n.
< 0 th có ti%m c*n ngang là tr(c Ox, ti%m c*n ng là tr(c Oy. 1 n
* Chú ý: Hàm s n
y x không ng nht v"i hàm s y x (n N*). n x 1 n u'
( v"i x > 0 khi n ch-n và x 0 khi n l.) u n n 1 n x n n 1 n u 4. HÀM S- M/ * D0ng: x
y a (a > 0, a 1). * T-p xác &nh: D = R. * T-p giá tr&: T = (0; +). xe x ue u x a x u a u * 0o hàm: e e .u' a .ln a
a .u'.ln a * Tính n iu:
Khi a > 1 hàm s ng bin trên R.
Khi 0 < a < 1 hàm s nghch bin trên R. * ? th&:
Luôn i qua các i!m (0; 1) ; (1 ; a)
th có ti%m c*n ngang là tr(c Ox.
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 19
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool y y=ax y=ax y 1 1 x x a>1 01 1 x x e 1
Chú ý: Gi#i hn c bi%t: lim (1 x)x lim 1 e lim 1 x0 x x x 0 x 5. HÀM S- LÔGARIT
* D0ng: y loga x (a > 0, a 1)
* T-p xác &nh: D = (0; +).
* T-p giá tr&: T = R. u * 0o hàm: 1 ln x ln u x (x 0); u u a x 1 log log u x ln a (x0)
a ulna * Tính n iu:
Khi a > 1 hàm s ng bin trên (0; +).
Khi 0 < a < 1 hàm s nghch bin trên (0; +). * ? th&:
Luôn i qua i!m (1; 0) và (a ; 1).
th có ti%m c*n ng là tr(c Oy. y y y=log y=logax ax 1 x x O O 1 a>1 0ln(1 x)
Chú ý : Gi#i hn c bi%t: lim 1 x0 x
6. PH23NG TRÌNH M/ x b 0
6.1. Ph+ng trình mE c b/n: V#i a > 0, a 1: a b x log a b
6.2. M t s" ph+ng pháp gi/i ph+ng trình mE f x g x
a) +a v% cùng c s": V#i a > 0, a 1: ( ) ( ) a a f (x) ( g x)
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 20
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool M N
Chú ý: Trong tr)ng hp c s có cha /n s thì:
a a (a 1)(M N) 0 b) Logarit hoá: f (x) g(x) a b
f (x) loga b. ( g x) c) ;t Kn ph.: f (x) f x t a , t 0 Dng 1: ( ) P(a ) 0
, trong ó P(t) là a thc theo t. P(t) 0 f (x) a f x f x f x 2 f (x) Dng 2: 2 ( ) ( ) 2 ( ) a (ab) b 0 Chia 2 v cho b
, ri t 5n ph( t b f (x) f (x) f (x) f (x) 1 Dng 3: a b
m , v#i ab 1. t t a b t
d) SL d.ng tính n iu c(a hàm s" Xét ph ng trình: f(x) = g(x) (1)
oán nh*n x0 là mt nghi%m c+a (1).
D,a vào tính ng bin, nghch bin c+a f(x) và g(x) ! kt lu*n x0 là nghi%m duy nh"t:
Nu f(x) ng bin (hoc nghch bin) thì f ( )
u f (v) u v CMn nhA: x x x
+) a>1: Hàm s y a ng bin (ngh9a là: Nu 1 2 1
x x2 a a ) x x x
+) 0y a nghch bin (ngh9a là: Nu 1 2 1
x x2 a a
+) Hàm s y f x liên t(c và có o hàm trên I.
Nu f '(x) 0 thì hàm s ng bin trên I;
Nu f '(x) 0 thì hàm s nghch bin trên I.
+) Hàm s y f x liên t(c và có o hàm trên I. Nu y f (x) luôn ng bin hoc luôn nghch
bin thì f (u) f (v) u v
e) +a v% ph+ng trình các ph+ng trình ;c bit A
Ph+ng trình tích A.B = 0 0 B 0 2 2 A 0
Ph+ng trình A B 0 B 0
f) Ph+ng pháp "i l-p : Xét ph ng trình: f(x) = g(x) (1)
f (x) M
f (x) M Nu ta chng minh 0c: thì (1) ( g x) M ( g x) M
g) Ph+ng pháp phân tích thành tích: v a uv au bv ab
0 v au b 0 u b
7.B4T PH23NG TRÌNH M/
Khi gii các b"t ph ng trình m: ta cn chú ý tính n i%u c+a hàm s m:. a 1 f (x) g(x)
f (x) g(x) a a 0 a1
f (x) g(x)
Chú ý: Trong tr)ng hp c s a có cha /n s thì:
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 21
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool M N
a a (a 1)(M N) 0
8. PH23NG TRÌNH LOGARIT:
8.1. Ph+ng trình logarit c b/n: V#i a > 0, a 1: log b
a x b x a
8.2. M t s" ph+ng pháp gi/i ph+ng trình logarit 8.3. D0ng c b/n
D0ng 1: Ph ng trình dng log f (x) log g(x); 0 a 1 a a Ph ng pháp gi!i: f (x) ( g x)
log f (x) log g(x) a a (gx) 0
D0ng 2: Ph ng trình dng : log ( ) a f x b Ph ng pháp gi!i: Ph ng trình log ( ) ( ) b a f x b f x a
D0ng 3: Ph ng trình có dng
log f (x) log g(x) (0 a,b 1) a b Ph ng pháp gi!i:
f (x) t a
+) log f (x) log ( g x) a b
g(x) t b
Kh 5n x ! a v- ph ng trình m: 5n t. a
g x f x +) log
g x a
f x
f x ; gx 0; f x 1
D0ng 4: Ph ng trình dng
t log x
+) f log x 0 0 a
1 f t a a 0
t log g x
+) f log g x 0 0 a 1 f t a a 0
8.4. M t s" ph+ng pháp gi/i ph+ng trình mE:
a) Ph+ng pháp +a v% cùng c s"
Cn nh# các công thc bin i sau: m x mn m n a n 1 n nx 1 n x 1. a a .a 2. m n a 3. a 4. n nx x a a
5. a a 6. a n a n a a nx
b) Ph+ng pháp lôgarit hoá S d(ng mt s công thc sau: x
1. log x.y log x log y x, y 0,0 a 1 a a a 2. log
log x log y x,y 0,0 a 1 a a a y 1
3. log x log x
x 0,0 a 1 a a 4. log x log x x a a 0,0 1, 0 a log b 5. log c log x log x x 0,0 a 1, 0 a b
0 a,c 1,b 0 log 6. a a c a 2n Chú ý: log x 2n log x x 0 a a
c) Ph+ng pháp ;t Kn ph.
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 22
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool + #t /n ph' hoàn toàn: Cn nh# mt s công thc sau: log log b c b
a c b , log x
log x x 0,0 a 1, 0 a a 0 , 1, 0 log a a c t t log x a . Mt s công thc bin i
+ #t /n ph' không hoàn toàn
S d(ng bi%t thc cho tam thc b*c 2 5n t, trong ó t log x a ! phân tích thành tích
d) Ph+ng pháp sL d.ng tính n iu c(a hàm s" CMn nhA:
+) a>1: Hàm s y log x a ng bin trên R 0 x og x (ngh9a là: Nu
x1 x l 2 og l a 1 a 2 ) +) 0y log x a nghch bin trên R 0 x log x (ngh9a là: Nu
x1 x l 2 og a 1 a 2
+) Hàm s y f x liên t(c, có o hàm trên I.
- Nu f '(x) 0 thì hàm s ng bin trên I;
- Nu f '(x) 0 thì hàm s nghch bin trên I.
+) Hàm s y f x liên t(c và có o hàm trên I. Nu y f (x) luôn ng bin hoc luôn nghch
bin thì f (u) f (v) u v u +) o hàm: a u ' log ' ulna
f (x) M
e) Ph+ng pháp "i l-p: Gi s cn gii ph ng trình: f x g x ta ch& ra: (gx) M
f (x) M
khi ó: f (x) (
g x) g(x) M
f) Ph+ng pháp phân tích thành tích:
0 0 v a uv au bv ab v a u b
u b Chú ý:
Khi gi!i ph ng trình logarit c0n chú ý iu kin biu thc có ngh1a. log c log a
V"i a, b, c > 0 và a, b, c 1: b b a c
9. B4T PH23NG TRÌNH LOGARIT:
Khi gii các b"t ph ng trình logarit ta cn chú ý tính n i%u c+a hàm s logarit. a 1
f (x) g(x) 0
log f (x) log g(x) a a
0 a1
0 f (x) g(x)
Chú ý: Trong tr)ng hp c s a có cha /n s thì: log A log 0 ( 1)( 1) 0 a a B a B ;
0 (A 1)(B 1) 0 log . a B 10. MT S BÀI TOÁN TH3C T 10.1. LÃI 3N
S ti-n lãi ch& tính trên s ti-n gc mà không tính trên s ti-n lãi mà s ti-n gc sinh ra Công thc tính lãi n : 1 . n T M r n
V#i Tn : s ti-n c vn l;n lãi sau n k< hn ; M : s ti-n vn ban u.
r : Lãi su"t nh k< ( tính theo % )
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 23
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool n : s k< hn tính lãi. 10.2. LÃI KÉP
S ti-n lãi không ch& tính trên s ti-n gc mà còn tính trên s ti-n lãi do s ti-n gc sinh ra thay i theo t$ng nh k<. n
a) Lãi kép gLi m t lMn :
Công thc tính lãi kép : n
T M 1 r
V#i Tn : s ti-n c vn l;n lãi sau n k< hn ; M : s ti-n vn ban u.
r : Lãi su"t nh k< ( tính theo % ) n : s k< hn tính lãi.
b) Lãi kép, gLi &nh kN :
*Trng h%p 1 : Tin c g*i vào cui mi tháng
Cui tháng th nht ng)i ó b3t 0u g*i tin : T1 = M M 2
Cui tháng th hai ng)ió có s tin là : M(1 + r) + M = M[(1+r) + 1] = [(1 r) 1] r M 2 M 3
Cui tháng th ba ng)ió có s tin là : [(1 r) 1] [(1 r) 1] r (1+r) + M= r M n
Cui tháng th n ng)ió có s tin là : T [(1 r) 1] n r
*Trng h%p 2 : Tin c g*i vào 0u mi tháng M n
Cui tháng th n ng)ió có s tin là : T
[(1 r) 1](1 r) n r
c) Vay tr/ góp : Vay A, lãi su"t r, s kì vay n, tr hàng kì : M M n
T A1 rn [(1 r)n 1] r
d) TOng l+ng : Kh2i i!m A, t& l% t7ng hàng kì : r, s ln t7ng l ng : n A n Tng ti-n : T [(1 r) 1] n 1 n r r
và ti-n l ng 2 kì t7ng l ng th n là n T A
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 24 Thy Nguyn c Thng
0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
C. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ NG DNG TÍCH PHÂN
I. LÍ THUYT NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN 1. Nguyên hàm c b/n 1 1 1 dx ax b ax b c, 1
cosax bdx sinax b c a 1 a dx 1 1
ln ax b c
sin ax b dx
cos ax b c ax c b a a axb 1 dx axb e 1 e c
tgax bdx ln cosax b c a a axb 1 dx axb m 1 m c
cotgax bdx ln sinax b c a ln m a dx 1 dx 1
arctg x c
cotgax b c 2 2 a x a a 2
sin ax b a dx 1 dx 1
ln a x c
tgax b c 2 2 a x 2a a x 2
cos ax b a dx 2 2 ln 2
x x a c dx 1
ln a x a c 2 x a 2 2 a x x x a dx 1 ax b b c
lnax bdx
x lnax b x c
sinax b ln tg a 2 a ax ax e
a cos bx bsin bx dx 1 ax b e cos bx dx c ln tg c 2 2 a b
sinax b a 2 ax ax e
a sin bx b cos bx dx x e sin bx dx c ln tan C 2 2 a b cos x 2 4
dx ln tan x C 2 2 x 2 2 a 2 2 x a dx
x a ln x x a C sin x 2 2 2 2 2 x 2 2 a 2 2 x a dx
x a ln x x a C 2 2 2. Tích phân
Cho hàm s f liên t'c trên K và a, b K. Nu F là mt nguyên hàm ca f trên K thì: b b
F(b) – F(a) c g%i l tích phân ca f t* a n b và kí hiu là f (x)dx :
f (x)dx F(b) F(a) a a
i v"i bin s ly tích phân, ta có th ch%n bt kì mt ch4 khác thay cho x, tc là: b b b
f (x)dx f (t)dt f (u)du . . F(b) F(a) a a a
Ý ngha hình h&c:
Nu hàm s y = f(x) liên t'c và không âm trên on [a; b] thì din tích S ca hình thang cong gi"i hn b
b5i th ca y = f(x), tr'c Ox và hai )ng th+ng x = a, x = b là: S f (x)dx Thy Nguyn c Thng
0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
3. Tính ch#t c(a tích phân 0 b a b b
f (x)dx 0
f x dx f x dx
kf x dx k f x dx (k: h6ng s) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 a b a a b b b b c b
f (x) (
g x)dx f (x)dx ( g x)dx
f (x)dx f (x)dx f (x)dx a a a a a c b b b
Nu f(x) 0 trên [a; b] thì f (x)dx 0 Nu f(x) g(x) trên [a; b] thì
f (x)dx ( g x)dx a a a b
Nu m f (x) M trên [a; b] thì m(b a) f (x)dx M (b a) a
4. Ph+ng pháp tính tích phân b u(b)
a) Phng pháp !i bin s: f (
u x).u'(x)dx f (u)du
trong ó: u = u(x) có o hàm liên t'c a u(a)
trên K, y = f(u) liên t'c và hàm hp f[u(x)] xác nh trên K, a, b K.
b) Phng pháp tích phân t*ng phn b b b
Nu u, v là hai hàm s có o hàm liên t'c trên K, a, b K thì:
udv uv vdu a a a
Chú ý: – C0n xem li các ph ng pháp tìm nguyên hàm. b b
– Trong ph ng pháp tích phân tng ph0n, ta c0n ch%n sao cho vdu d7 tính h n udv . a a b – Khi tính
f (x)dx c0n chú ý xem hàm s y = f(x) có liên t'c trên a; b không ? Nu có thì a
áp d'ng ph ng pháp ã h%c tính tích phân. Nu không kt lun tích phân không tn ti.
II. PHNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Ph+ng pháp 1: Tính tích phân bDng ph+ng pháp 1i bin b b u(b)
Dng 1: Gi! s* c0n tính tích phân: f (x)dx
. Nu f (x) f u(x).u '(x) thì :
f (x)dx f (u)du a a u(a) b
Dng 2: Gi! s* c0n tính tích phân: f (x)dx
. Nhng tính theo dng 1 không c, lúc này ta chuyn a
v hàm lng giác. Ta th)ng g#p các dng sau: 2 2 a x dx 1 x a t x a t dx #t sin ho#c #t : cos 2 2 a x
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool 2 2 a x dx 1 dx
#t x a tan t
ho#c #t : x a cot t 2 2 a x 1 dx 2 2 a x 2 2 x a dx a a 1 x x dx #t sin t ho#c #t cost 2 2 x a DNG CÁCH I BIN f
ax bdx
t t ax b n 1 ( ). n f x x dx n 1 t t x dx f x . x t t x
f sin xcosxdx t t sin x
f cosxsin xdx t t cos x tan dx f x ; f tan x 2 1 tan x dx t x 2 t tan cos x cot dx f x ; f cot x 2 1 cot x dx t x 2 t cot sin x x. x f e e dx x t t e dx f ln x t x x t ln 1 1 f x 1 . x dx t x x x t x
Ph+ng pháp 2: Tính tích phân bDng ph+ng pháp tích phân tIng phMn
V"i P(x) là a thc /n x, có các dng sau: b b b b P(x). x e dx
P(x).cos xdx
P(x).sin xdx
P(x).ln xdx a a a a t u P(x) P(x) P(x) lnx t dv x e dx cos xdx sin xdx P(x)
Th t, u tiên t u trong ph ng pháp Nguyên hàm t$ng phn: sin x,cos x (Hàm lng giác)
Lôgarít a thc x e (Hàm m)
IV. TÍCH PHÂN HÀM HPU TQ
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 27
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
- Loi 1: Nu bc ca P(x) bc ca Q(x) thì ta th&c hin phép chia a thc.
- Loi 2: Nu bc ca P(x) < bc ca Q(x) và Q(x) có dng tích nhiu nhân t* thì ta phân tích f(x)
thành t,ng ca nhiu phân thc (b6ng ph ng pháp h s bt nh).
Các dng dùng phöông phaùp heä soá baát ñònh thng gp:
Dng 1: M;u s có nghi%m n: P(x) P(x) A B (
Q x) (x a)(x b) x a x b P(x) P(x) A B C (
Q x) (x a)(x )
b (x c) x a x b (x c)
Dng 2: M;u s có nghi%m n và b*c 2 vô nghi%m: P(x) P(x) A Bx C 2
, vôùi b 4ac 0 2 2
Q(x) (x m)(ax bx c) x m ax bx c
Dng 3: M;u s có nghi%m bi: P(x) P(x) A B
Q(x) 2 2 xa x a x a P(x) P(x) A B C
Q(x) 3 3 2 xa x a x a x a P(x) P(x) A B C D 2 2 2 2
Q(x) (x a) (x b)
x a (x a)
x b (x b) P(x) P(x) A B C D E 2 3 2 2 3
Q(x) (x a) (x b)
x a (x a)
x b (x b) (x b)
- Lo0i 3: Mt s nguyên hàm ta dùng ph ng pháp i bin hoc t$ng phn
V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TQ ax b ax b
+ D0ng 1: f x R x,m t: m t cx d cx d
+ D0ng 2: f x 1 R
t: t x a x b (x a)(x b) n m
+ D0ng 3: f x R x, ax b, ax b t: n.m t ax b 2 2 a x dx + D0ng 4: 1 x a t t x a t t dx #t sin , 2 2 hoaëc: cos , 0 2 2 a x 2 2 a x dx + D0ng 5: 1 x a t t x a t t dx #t tan , 2 2 hoaëc: cot , 0 2 2 a x
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 28
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool a x dx ax + D0ng 6:
#t x a cos2t a x dx a x
+ D0ng 7: x ab xdx
#t x a b a 2 sin t
VI. TÍCH PHÂN HÀM LRNG GIÁC
sin ax.sin bxdx
D0ng 1: Các d0ng: sin ax.sin bxdx
sinax.sinbxdx 1 cos .
a cosb cos
ab cosa b 2 1
Ph+ng pháp gi/i: Dùng công thc bin ,i thành t,ng: sin .
a sin b cos
abcosa b 2 1
sin .acosb sin
absina b 2 sinn axdx D0ng 2: n N n cos axdx n n 1 n 1
+ VAi n lS : sin axdx sin ax.sin axdx sin ax.sin axdx axn 1 n 2 axdx ax 1 2 2 2 sin .sin 1 cos
.sin axdx . t : u cos x cosn axdx
. Phân tích nh trên sau ó #t: u sin x 2 1 cos2ax 2 1 cos2ax
+ VAi n chTn: S* d'ng công thc h bc: cos ax sin ax 2 ; 2 n m
D0ng 3: sin ax.cos axdx (n, m N)
+ VAi n lS hay m lS : n lS t u = cosax ; m lS t u = sinax
+ VAi n và m chTn: S d(ng công thc h b*c: 2 1 cos2ax ax cos ax 1 2 1 cos2 sin ax
sin x.cos x sin2x 2 ; 2 ; 2 1 dx ax D0ng 4: 1 cos 1 dx 1 cosax 2 ax 2 ax
S* d'ng công thc: 1 cos ax 2 cos 1 cosax 2sin 2 và 2
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 29
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
sin a cos a 2 sin a 4
CMn nhA: sin a cos a 2 cos a 4
sin a cosa 2 cos a 4 1 dx ax D0ng 5: sin 1 . dx cosax 1 sin ax sin ax Ph+ng pháp: dx dx dx u x 2 2 sin ax . t cos sin ax 1 cos ax 1 cosax cosax dx dx dx u x 2 2 cosax . t sin cos ax 1sin ax 1 dx n D0ng 6: sin ax nN 1 dx cosn ax Ph+ng pháp: 1 1 1 n dx 1 . dx
1 tan ax 2 2 2 .
dx ; t u tan ax . sinn ax n ax 2 sin ax sin ax 2 2 sin 2 2 1 1 1 n dx 1 . dx
1 cot ax 2 2 2 .
dx ; t u cot ax cosn ax n ax 2 cos ax cos ax 2 2 cos 2 2 tann axdx D0ng 7: n N n cot axdx 2
Ph+ng pháp: + Bin i sao cho tan ax làm th$a s chung 2 1 + Thay : tan ax 1 2 cos ax tann ax dx 2 D0ng 8: cos ax n N u ax u ax n . Ph+ng pháp: t tan hoc cot cot ax dx 2 sin ax dx D0ng 9: .s a in x .
b cos x c
Cách 1: Ph ng pháp chung:
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 30
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool 2dt dx 2 x 1 t t : t tan 2 2 2t 1 t 2 sin ; cos ; tan t x x x 2 2 2 1 t 1 t 1-t 2 2
Cách 2: Ph ng pháp riêng: Nu c a b . 1 1 1 1 Ta có: a x . b x c c 1 cos x - . sin cos 2c 2 cos x 2 a b Trong ó : sin ; cos 2 2 2 2 a b a b 1 dx 1 x Khi ó : I tan C 2c 2 x c 2 cos 2 .s a in x . b cos x D0ng 10: dx .s
c in x d.cos x .s a in x . b cos x B( .
c cos x d.sin x)
Ph+ng pháp: Phân tích A .
c sin x d.cos x .
c sin x d.cos x
Sau ó dùng ng nh"t thc tìm A, B. . a sin x .
b cos x m D0ng 11: dx
.csinxd.cosxn Ph+ng pháp: .s a in x .
b cos x m B( .
c cos x d.sin x) C Phân tích A .
c sin x d.cos x n .s
c in x d.cos x n .s
c in x d.cos x n
Sau ó dùng ng nh"t thc tìm A, B, C. dx
D0ng 12: sinxasinxb
Ta th,c hi%n theo các b #c sau :
sina b sin x ax b
+ B #c 1: S d(ng ng nh"t thc : 1 sina b ab + B #c 2: Ta 0c : sin 1
x ax b dx dx
sinx asinx b sina b sinx asinx b 1
sinx acosx -b sinx bcosx -a dx sina b
sinx asinx b 1
cosx b
cosx a dx dx
sina b sinx b
sinx a 1 1 sinx b x b x a ln C sina b ln sin ln sin
sina b sinx a
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 31
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
* Chú ý: phng pháp trên c+ng %c áp d$ng cho các dng tích phân sau : dx sina b s d(ng ng nh"t thc : 1
cosx acosx b sina b dx cosa b s d(ng ng nh"t thc : 1 .
sinx acosx b cosa b dx
D0ng 13: sin x sin
* Dùng công thc tng thành tích bin i v- dng 12 ri gii bình th ng.
* Chú ý : Ph ng pháp trên c:ng áp d(ng cho các dng tích phân sau : dx dx dx m cos x ; ; 1 . cos cos x m sin x m 2 2
a sin x b sin x cos x c cos x D0ng 14: 1 1 1 dx . 2 a sin x 2 b cos x + Bin i : 2 2
a sin x b sin x cos x c cos x Asin x Bcos xa sin x b cos x C 2 2 1 1 1 2 2
sin x cos x
Asin x Bcosxa sin x b cosxC 2 2 2 2
sin x cos x + Khi ó: 2 a sin x 2 b cos x dx
A sin x B cos x C 2asinx 2b cosx cos sin C dx cos sin C ln tan x A x B x A x B x C 2 2 sin x a b 2 2 2 2 2 2 a 2 b b a Trong ó : 2 2 sin ; cos . 2 2 2 2 2 a 2 b 2 a 2 b dx D0ng 15: 2 2
asin x bsin x cos x c cos x dx dx + Bin i v- dng : 2 2 a x b x x c x
2xb xc 2 sin sin cos cos atan tan cot x 1 2 2 dt
+ t: t tan x dt
dx 1 tan x dx 1 t dx dx 2 2 cos x 1 t dx dt + Khi ó 2 2 2 .
asin x bsin x cos x ccos x
at bt c n n D0ng 16: A = sinx dx ; A cosx 1.1 1.2 dx 1. Công th*c h0 b-c 2 1 cos2x 2 1 cos2x 3
sin3x 3sin x 3 cos3x 3cos sin ; cos ; sin ; cos x x x x x 2 2 4 4
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 32
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool 2. Ph+ng pháp
2.1. Nu n ch6n thì s d(ng công thc h b*c
2.2. Nu n 3 thì s d(ng công thc h b*c hoc bin i theo 2.3.
2.3. Nu 3 n l8 (n 2p 1) thì th,c hi%n bin i: n 2p+1 2 2 p p x xdx x d x 1.1 A = sinx dx = sinx dx sin sin 1 cos cos 0 1 2 k p C
C cos x .. 1k C 2
cos x ... 1 p k p C 2 cos x d cos x p p p p 1 1 k p k C x C x C x2k 1 1 cos cos ... cos ... p
C cos x2p 1 0 1 3 p c 3 p 2k 1 p 2p 1 p p A
= cosxn dx = cosx2p+1 dx cos 2p x cos xdx 2
1 sin x d sin x 1.2 0 1 2 k p C C
sin x ... 1 k C 2
sin x ... 1 p k p C 2 sin x d sin x p p p p 1 1 k p k C x C x C x2k 1 1 sin sin ... sin ... p
C sin x2p 1 0 1 3 p c 3 p 2k 1 p 2p 1 p D0ng 17: m n B = sin x cos x dx (m, nN) 1. Ph+ng pháp:
1.1. Trng h%p 1: m, n là các s nguyên
a. Nu m ch6n, n ch6n thì s d(ng công thc h b*c, bin i tích thành tng.
b. Nu m ch6n, n l8 (n 2p 1) thì bin i: m 2p+1 m 2p m x x xdx x 2 p B = sinx cosx dx sin cos cos sin
1 sin x d sin x k p sin xm 0 1 2 C
C sin x ... 1 k k C 2
sin x ... 1 p p C 2
sin x d sin x p p p p
sin xm 1 sin xm3 2k 1 m 2 p 1 m 0 1 C C ... k k sin x 1 C ... p p sin x 1 p C c m 1 p m 3 p 2k 1 p m
2p 1 m
c. Nu m ch6n, n l8 (n 2p 1) thì bin i: 2p+1 n n 2p n x x xdx x 2 p B = sinx cosx dx cos sin sin cos
1 cos x d cos x k p
cos xn 0 1 2 C
C cos x ... 1 k k C 2
cos x ... 1 p p C 2
cos x d cos x p p p p
cos xn 1 cos xn3 2k 1 n 2 p 1 n 0 1 C C ... k k cos x 1 C ... p p cos x 1 p C c n 1 p n 3 p 2k 1 p n
2p 1 n
d. Nu m l8, n l8 thì s d(ng bin i 1.2. hoc 1.3. cho s m: l8 bé hn.
1.2. Nu m, n là các s h6u t7 thì bin !i và t u sinx ta có: n 1 m 1 m m n 2 2 m B x xdx x x xdx u 2 u 2 sin cos sin cos cos 1 du (*)
m 1 n 1 m k
• Tích phân (*) tính 0c 1 trong 3 s ; ; 2 2 2 là s nguyên n n D0ng 18: C = tg x dx ; C = cotg x 3 .1 3 . 2 dx (nN) 1. Công th*c sL d.ng
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 33
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool 2 dx
• 1 tg xdx d
tgx tgx c 2 cos x 2 dx
• 1 cotg xdx d
cotgx cotgx c 2 sin x sin x d cos x • tg xdx dx
ln cos x c cosx cosx cos x d sin x • cotg xdx dx
ln sin x c sinx sinx tg xm cotg xm D0ng 19: D 4.1 = dx ; D = dx cos xn 4 . 2 sin xn tg xm
1. Ph+ng pháp: Xét i di%n 4. D 1 dx cosxn
1.1. Nu n ch8n (n 2k) thì bin !i: tgxm k 1 xm 1 k dx D = dx tg
tg xm 1 tg x 1 2 d tg x 4.1 cosx2k 2 2 cos x cos x p k tg xm C C
tg x1 ... p C
tg x ... k
C tg x 1 0 1 2 2 1 2 d tg x k 1 k 1 k 1 k 1 tg xm 1 tg xm3
p tg x m 2 p 1
k tg x m 2k 1 0 1 1 Ck 1 k C 1 ... k C 1 ... C k 1 c m 1 m 3 m 2p 1 m 2k 1
1.2. Nu m l9, n l9 (m 2k 1, n 2h 1) thì bin !i: tgx2k+1 2h 2h k x x = dx
tg x2k 1 tg dx 2 tg x 1 sin D4 .1 dx cosx2h+1 2
cos x cosx
cos x cos x k 2 1 1 h 1 k 1 1 2 2 1 h d u u du u ) 2 (2 ây cos x cos x cos x cos x u C
u k C u k 1 2 0 2 1 2
p C 2 k p ... 1 u ... 1 k h p k k k k Ck du 2k2h 1 2k2h 1
2k2h2 p 1 2h 1 0 u 1 u C ... 1 p u C ... 1 k p k u Ck C c 2k 2h 1
k 2k 2h 1
k 2k 2h 2p 1 k 2h 1
1.3. Nu m ch8n, n l9 (m 2k, n 2h 1) thì s: d$ng bin !i: tg x2k
sin x2k cos x sin x2k D dx dx
d sin x ;u sinx 4.1
cos x2h 1
cos x2kh 1 2 kh 1 sin x 1 2k 2k2 u du u 1 2 1 u 2k2 2k2 u du u du 4. D 1 du kh kh kh kh 1 u 1 1u 1 1u 1 2 2 2 2 1 u
H% thc trên là h% thc truy hi, kt h0p v#i bài tích phân hàm phân thc hu t& ta có th! tính 0c D4.1.
D0ng 20: SL d.ng công th*c bin 1i tích thành t1ng 1. Ph+ng pháp:
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 34
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool E mx nx 1 cos cos dx
cosm n x cosm n x 5.1 dx 2 E mx nx 1 sin sin dx
cosm n x cosm n x 5.2 dx 2 E mx nx 1 sin cos dx
sinm n x sinm n x 5.3 dx 2 E mx nx 1 cos sin dx
sinm n x sinm n x 5.4 dx 2
VI. TÍCH PHÂN HÀM CÓ CHA TR4 TUYT I b
D0ng 1: Gi s cn tính tích phân I f (x) dx , ta th,c hi%n các b #c sau: a
+ B+Ac 1. L*p bng xét d"u (BXD) c+a hàm s f(x) trên on [a; b], gi s f(x) có BXD: x a 1 x x b 2 f (x) 0 0 b x x 1 2 b
+ B+Ac 2. Tính I
f (x) dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx . a a x x 1 2 b
D0ng 2: Gi s cn tính tích phân I f (x) g(x) dx , ta th,c hi%n: a b b b
Cách 1. Tách I f (x) g(x) dx
f (x) dx g(x) dx ri s d(ng dng 1 2 trên. a a a Cách 2.
B+Ac 1. L*p bng xét d"u chung c+a hàm s f(x) và g(x) trên on [a; b].
B+Ac 2. D,a vào bng xét d"u ta b3 giá tr tuy%t i c+a f(x) và g(x). b b
D0ng 3: ! tính các tích phân I max
f(x), g(x )dx và J min
f(x), g(x )dx, ta th,c hi%n a a các b #c sau:
B+Ac 1. L*p bng xét d"u hàm s (
h x) f (x) ( g x) trên on [a; b]. B+Ac 2. + Nu (
h x) 0 thì max f (x), (
g x ) f (x) và min f (x), ( g x ) ( g x) . + Nu (
h x) 0 thì maxf (x), ( g x ) (
g x) và min f (x), (
g x ) f (x).
VII. TÍCH PHÂN MT S HÀM UC BIT a
1. Cho hàm s y f (x) liên t(c và l8 trên on ; a a . Khi ó: I
f (x)dx 0 . a a a
2. Cho hàm s y f (x) liên t(c và ch6n trên on ; a a . Khi ó I
f (x)dx 2 f (x)dx . a 0
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 35
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool f (x) 1
3. Cho hàm s y f (x) liên t(c và ch6n trên on : . Khi ó: dx f (x)dx x a 1 2 2 2
4. Cho f(x) liên t(c trên on 0;
f (sin x)dx f (cos x)dx 2 .Khi ó: . 0 0 b b
5. Hàm s f (x) liên t(c trên ; a b
Khi ó: f (x)dx f (a b x)dx a a b b a b
6. Hàm s f (x) liên t(c trên ; a b
tho mãn: f (x) f (a b x) thì xf (x)dx f (x)dx 2 a a
Nh-n xét : B1ng cách làm t ng t, ta có các công thc
*Nu f(x) liên t'c trên 0;1 thì
xf (sin x)dx
f (sin x)dx 2 2 2
*Nu f(x) liên t'c trên 0;1 thì
xf (cos x)dx
f (cos x)dx VIII. NG DNG CA TÍCH PHÂN 1. Din tích hình phVng
D0ng 1: Cho hàm s y f x liên t(c trên ; a b
. Khi ó di%n tích hình ph/ng gi#i hn b2i th
hàm s y f x , tr(c Ox ( y 0 ) và hai ng th/ng x a và x b là: b
S f (x) dx a y x b x a
(C) : y f ( ) x x a O y 0 b Phng pháp gii:
B c 1. Lp b!ng xét du hàm s y f (x) trên on ; a b . b
B c 2. D&a vào b!ng xét du tính tích phân : f (x) dx . a b
Chú ý: có 2 cách tính tích phân f (x) dx a
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 36
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool b b
+ Cách 1: Nu trên on ; a b
hàm s f x không i d"u thì:
f (x)dx f (x)dx a a
+ Cách 2: L*p bng xét d"u hàm s f x trên on ; a b ri kh tr tuy%t i.
D0ng 2: Cho hàm s x f y liên t(c trên ; a b
. Khi ó di%n tích hình ph/ng gi#i hn b2i
th hàm s x f y , tr(c Oy ( x 0) và hai ng th/ng y a và y b là: b
S f (y) dy a y b y b x 0
(C) : x f ( y) a y a x O
2. Din tích hình phVng D n
0 g 1: Cho 2 hàm s y f x và y g x liên t(c trên ; a b
. Khi ó di%n tích c+a hình
ph/ng (H) gi#i hn b2i th hai hàm s y f x và y g x và hai ng th/ng x a và x b là: b
S f (x) ( g x) dx a y x x b a
(C ) : y f (x) 1 (H)
(C ) : y g(x) 2 x a O b Phng pháp gii:
B c 1. Lp b!ng xét du hàm s f x g x trên on ; a b . b
B c 2. D&a vào b!ng xét du tính tích phân
f (x) g(x) dx . a
D0ng 2: Cho hai hàm s y f x và y g x liên t(c trên ; a b
. Di%n tích hình ph/ng gi#i hn
b2i các ng y f x và y g x là: S
f (x) g(x) dx .
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 37
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
Trong ó , là nghi%m nh3 nh"t và l#n nh"t c+a ph ng trình f x g x a b Phng pháp gii:
B c 1. Gi!i ph ng trình f x g x 0 . Gi! s* ta tìm c , là nghim nh( nht
và l"n nht ca ph ng trình a b .
B c 2. Lp b!ng xét du hàm s : f x g x trên on ; .
B c 3. D&a vào b!ng xét du tính tích phân:
f (x) g(x) dx . D n
0 g 3: Cho hai hàm s x f y và x gy liên t(c trên ; a b
. Khi ó di%n tích c+a hình
ph/ng (H) gi#i hn b2i th hai hàm s x f y và x gy và hai ng th/ng y a và y b là: b
S f (y) ( g y) dy y
(C ) : x g ( y) a 2 b y b (H) a y a x O
(C ) : x f ( y) 1 Phng pháp gii:
B c 1. Lp b!ng xét du hàm s f y gy trên on ; a b . b
B c 2. D&a vào b!ng xét du tính tích phân
f (y) g(y) dy . a
D0ng 4: Cho hai hàm s x f y và x gy liên t(c trên ; a b
. Di%n tích hình ph/ng gi#i hn
b2i các ng x f y và x gy là: S 1 g (y) 2
g (y) dy .
Trong ó , là nghi%m nh3 nh"t và l#n nh"t c+a ph ng trình f y gy a b Phng pháp gii:
B c 1. Gi!i ph ng trình f y gy 0 . Gi! s* ta tìm c , là nghim nh( nht
và l"n nht ca ph ng trình a b .
B c 2. Lp b!ng xét du hàm s : f y gy trên on ; .
B c 3. D&a vào b!ng xét du tính tích phân:
f (y) g(y) dy .
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 38
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
D0ng 5: khi tính din tích giAi h0n 3 hàm s" trW lên thì ph+ng pháp chung là vX ? th& r?i d@a vào ? th& Y tính.
Cách tính gi i hn ca 3 hàm s: Cho 3 hàm s y f x , y g x và y h x liên t(c trên ; a b
. Khi ó di%n tích c+a hình ph/ng (H) gi#i hn b2i th 3 hàm s y f x , y g x và
y hx là: x x 2 S f
x gx 3 dx h
x gx dx x x 1 2 V#i: + f x g x 1
x là nghi%m ph ng trình: + x f x h x 2 là nghi%m ph ng trình: + x h x g x 3 là nghi%m ph ng trình: Trong ó: a 1
x x2 x3 b
Tóm l0i khi gi/i toán ta th+=ng g;p các d0ng sau:
y f (x) b
1. Din ;ch S ca mi n gi i hn: y 0
S f (x)dx
x ;ax b a
y f (x) b
2. Din ;ch S ca mi n gi i hn: y g(x) S f (x) g(x)dx
x ;ax b a
x f (y) b
3. Din ;ch S ca mi n gi i hn: x (
g y) S f (y) g(y)dy
y ;ay b a Chú ý:
1. ! tính di%n tích S ta phi tính tích phân (1) , mun v*y ta phi “phá” d"u giá tr tuy%t i . b b
Nu f (x) 0 , x a ; b thì S f (x) dx f (x)dx a a b b
Nu f (x) 0 , x a ; b thì S f (x) dx
f (x)dx a a
Mun “phá” d"u giá tr tuy%t i ta phi xét d"u c+a bi!u thc f(x) . Th ng có hai cách làm nh sau :
-Cách 1: Dùng nh lí “d"u c+a nh thc b*t nh"t” , nh lí “d"u c+a tam thc b*c hai” ! xét d"u
các bi!u thc f(x) ; ôi khi phi gii các b"t ph ng trình f(x) 8 0 , f(x) 9 0 trên on a ; b
-Cách 2: D&a vào th ca hàm s y =f(x) trên on a ; b
! suy ra d"u c+a f(x) trên on ó .
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 39
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
Nu trên on [a ; b] th hàm s y = f(x) n1m phía “trên” tr(c hoành thì f (x) 0 , x a ; b
Nu trên on [a ; b] th hàm s y = f(x) n1m phía “d #i” tr(c hoành thì f (x) 0 , x a ; b b b
-Cách 3 Nu f(x) không i d"u trên [a ; b] thì ta có : S
f (x) dx f (x)dx a a
2. Nu ph ng trình f(x) = 0 có k nghi%m phân bi%t x1 , x2 , …, xk thuc (a ; b) thì trên m.i khong
(a ; x1 ) , (x1 ; x2) , …, (xk ; b) bi!u thc f(x) có d"u không i . b
Khi ó ! tính tích phân S f (x) dx ta có th! tính nh sau : a b x x 1 2 b
S f (x) dx
f (x)dx
f (x)dx ... f (x)dx a a x x 1 k
2. Tính thY tích kh"i tròn xoay khi quay hình phVng quay quanh tr.c Ox, Oy D n
0 g 1: Th! tích c+a v*t th! tròn xoay khi cho hình ph/ng gi#i hn b2i các ng y f x , tr(c Ox b
và hai ng th/ng x a và x b a b quay xung quanh tr(c Ox là: V f x 2 Ox dx . a y x b x a
(C) : y f (x) x a O y 0 b
Chú ý: Hàm s y f x 0 x ; a b
và liên t(c trên on ; a b . D n
0 g 2: Th! tích c+a v*t th! tròn xoay khi cho hình ph/ng gi#i hn b2i các ng x f y , tr(c Oy b
và hai ng th/ng y a và y b a b quay xung quanh tr(c Oy là: V f y 2 Oy dy . a y b y b x 0
(C) : x g(y) a y a x O
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 40
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
Chú ý: Hàm s x f y 0 y ; a b
và liên t(c trên on ; a b .
D0ng 3: Cho hai hàm s y f x và y g x liên t(c, cùng d"u trên on ; a b . Hình ph/ng gi#i
hn b2i th c+a các hàm s trên và hai ng th/ng x a và x b a b quay xung quanh b 2 2
tr(c Ox to nên mt khi tròn xoay có th! tích là: V Ox f x g x dx a
D0ng 4: Cho hai hàm s x f y và x gy liên t(c, cùng d"u trên on ; a b . Hình ph/ng
gi#i hn b2i th c+a các hàm s trên và hai ng th/ng y a và y b a b quay xung quanh b 2 2
tr(c Ox to nên mt khi tròn xoay có th! tích là: V Oy f y g y dx a
Tóm l0i khi gi/i toán ta th+=ng g;p các d0ng sau:
y f (x)
1. Th tích ca khi tròn xoay sinh ra khi quay min gi"i hn các )ng sau: y 0 quanh Ox
x ;ax b b mt vòng là : 2 Ox V f x.dx . a
y f (x)
2. Th tích ca khi tròn xoay sinh ra khi quay min gi"i hn các )ng sau: y g(x) quanh Ox
x ;ax b b mt vòng là : 2 V f x 2 Ox
g x.dx . a
x f (y)
3. Th tích ca khi tròn xoay sinh ra khi quay min gi"i hn các )ng sau: x 0 quanh Oy
y ;ay b b mt vòng là : 2 Oy V f y.dy. a
x f (y)
4. Th tích ca khi tròn xoay sinh ra khi quay min gi"i hn các )ng sau: x ( g y) quanh Oy
y ;ay b b mt vòng là : 2 Oy V f y 2
g y.dy . a
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 41
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool D. S PHC
1. Các &nh nghJa, công th*c, tính ch#t s" ph*c: 1.1. nh ngha s phc
M.i bi!u thc dng a bi , trong ó 2 ,
a b ,i 1 0c gi là mt s" ph*c
i v#i s phc z a bi , ta nói a là phMn th@c, b là phMn /o c+a z .
T*p h0p các s phc kí hi%u là . Chú ý:
M.i s th,c a 0c coi là mt s phc v#i phn o b1ng 0: a a 0i
Nh v*y ta có .
S phc bi v#i b 0c gi là s" thuMn /o ( hoc s" /o)
S 0 0c gi là s v$a th,c v$a o; s i 0c gi là n v& /o. 1.2. S phc b
Hai s phc là b1ng nhau nu phn th,c và phn o t ng ng c+a chúng b1ng nhau: a c
a bi c di bd
1.3. S phc i và s phc liên h%p
Cho s phc z a bi , 2
a,b ,i 1
S phc i c+a z kí hi%u là z và z a bi .
S phc liên h0p c+a z kí hi%u là z và z a bi .
1.4. Bi=u di>n hình h&c ca s phc
i!m M(a; b) trong mt h% tr(c ta vuông góc c+a mt ph/ng 0c gi là iYm biYu diZn
s" ph*c z a bi . 1.5. Môun ca s phc
Gi s s phc z a bi 0c bi!u din b2i M(a; b) trên mt ph/ng ta . dài c+a vect OM
0c gi là môun c(a s" ph*c z và kí hi%u là | z | . 2 2
V*y: | z || OM | hay | z | a b .
Nhn xét: | z || z | | z | .
2. C ng, trI, nhân, chia hai s" ph*c
2.1. Phép c"ng và phép tr*
Phép cng và phép tr$ hai s phc 0c th,c hi%n theo quy tc cng, tr$ hai a thc. Tng quát:
(a bi) (c di) (a c) (b d)i
(a bi) (c di) (a c) (b d)i 2.2. Phép nhân 2
Phép nhân hai s phc 0c th,c hi%n theo quy tc nhân a thc ri thay i 1 trong kt qu nh*n 0c.
Tng quát: (a bi).(c di) (ac bd) (ad bc) . i Chú ý:
Phép cng và phép nhân các s phc có y + các >nh ch"t c+a phép cng và phép nhân các s th,c.
Cho s phc z a bi , 2
a,b ,i 1. Ta có: z z 2a ; 2 .zz | z | .
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 42
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
2.3. Phép chia hai s phc c di
V#i a bi 0 , ! >nh th ng a
, ta nhân c t và m;u v#i s phc liên h0p c+a a bi bi
c di (c di)(a bi) ac bd ad bc C( th!: i 2 2 2 2
a bi (a bi)(a bi) . a b a b
2.4. Các tính ch?t cn nh
Cho s phc z a bi , 2
a,b ,i 1
Tính ch?t 1: S phc z là s th,c z z
Tính ch?t 2: S phc z là s o z z
Cho hai s phc 1z 1
a 1b ;i 2z 2 a 2 b ;i 1 a , 1b, 2 a , 2 b ta có:
Tính ch?t 3: 1z 2
z 1z 2z
Tính ch?t 4: 1z. 2
z 1z. 2z z z
Tính ch?t 5: 1 1 ; 2 z 0 2 z 2z
Tính ch?t 6: | 1z. 2
z || 1z | .| 2z | z | z |
Tính ch?t 7: 1 1 ; 2z 0 2 z | 2z |
Tính ch?t 8: | 1z 2
z || 1z | | 2z |
3. COn b-c hai c(a m t s" ph*c
Phng pháp: Cho s phc w = a + bi . Tìm c7n b*c hai c+a s phc này.
+) Nu w = 0 w có mt c7n b*c hai là 0
+) Nu w = a > 0 (a R) w có hai c7n b*c hai là a và - a
+) Nu w = a < 0 (a R) w có hai c7n b*c hai là i a và i a
+) Nu w = a + bi (b 0) 2 2
x y a
Gi s z = x +yi (x, y thuc R) là mt c7n b*c hai c+a w z2 = w (x+yi)2 = a + bi 2xy b
! tìm c7n b*c hai c+a w ta cn gii h% này ! tìm x, y. M.i cp (x, y) nghi%m úng ph ng
trình ó cho ta mt c7n b*c hai c+a w.
Chú ý: Có r"t nhi-u cách ! gii h% này, sau ây là hai cách th ng dùng ! gii.
Cách 1: S d(ng ph ng pháp th: Rút x theo y t$ ph ng trình (2) th vào pt (1) ri bin i
thành ph ng trình trùng ph ng ! gii.
Cách 2: Ta bin i h% nh sau:
x y 2 2 2 2 a 2 2
x y a 2 2
x y a 2 xy 2 2 2 2 2 2 b
x y a b 2xy b 2xy b xy b / 2
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 43
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
T$ h% này, ta có th! gii ra x2 và y2 mt cách d dàng, sau ó kt h0p v#i i-u ki%n xy=b/2 ! xem xét x, y cùng d"u
hay trái d"u t$ ó chn 0c nghi%m thích h0p.
Nh*n xét: M.i s phc khác 0 có hai c7n b*c hai là hai s i nhau.
4. Ph+ng trình b-c hai vAi h s" th@c
4.1.Công thc nghim ca phng trình bc hai 2 Xét ph ng trình b*c hai: 2
Az Bz C 0 ( A, B, C là các s th,c, A 0) có B 4AC B
Nu 0 thì ph ng trình có 2 nghi%m th,c phân bi%t z 2A B
Nu 0 thì ph ng trình có nghi%m kép th,c z 2A Nu 2
0 i () thì ph ng trình có 2 nghi%m phc phân bi%t B i z 2A
Chú ý : Khi A, B, C là các s phc B
0 thì ph ng trình có nghi%m kép th,c z 2A B B
0 thì ph ng trình (1) có hai nghi%m phân bi%t z1 = 2A , z2 = 2A
(trong ó là mt c7n b*c hai c+a ). 4.2. Chú ý
Ph ng trình b*c hai trên t*p h0p s phc v#i h% s th,c luôn có 2 nghi%m là 2 s phc liên h0p.
Khi b là s ch6n ta có th! >nh ' và công thc nghi%m t ng t, nh trong t*p h0p s th,c. Gi z , z
1 2 là 2 nghi%m c+a ph ng trình a 2
z bz c 0 (a 0) a, b, c là các s th,c ho7c s b 1 z 2z a phc. Khi ó ta có: c 1z. 2z a
Dng 1. Th'c hin các phép tính trên tp h%p s phc. xác nh phn th'c, phn áo và tính môun ca m"t s phc Ph+ng pháp
S* d'ng các qui t3c cng, tr, nhân, chia s phc tính toán giá tr các biu thc.
xác nh ph0n th&c, ph0n !o và môun ca s phc z thì ta ph!i s* d'ng các khái
nim liên quan n s phc và các phép toán trên tp hp s phc bin ,i s phc
z a bi(a;b )
. Khi ó: z có ph0n th&c b6ng a; ph0n !o b6ng b; z a2 b2
Trong khi tính toán v s phc ta có th s* d'ng các h6ng +ng thc áng nh" nh trong s th&c.
2. Tìm s phc th@a mãn i u kin cho tr c Ph+ng pháp
Nu trong iu kin bài ch có duy nht mt kí hiu z ho#c z thì ta quy v bài toán th&c hin phép :nh.
Nu trong iu kin bài có nhiu h n mt kí hiu z ho#c z ho#c có kí hiu môun ta
gi!i theo ph ng pháp sau: G%i z a bi , a, b .
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 44
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
S* d'ng gi! thit bài toán và khái nim v s lp h hai ph ng trình v"i hai /n a,b
Gi!i h ph ng trình lp c trên tp hp s th&c và kt lun.
3. Gii phng trình trên tp h%p s phc
Ph+ng pháp gi/i ph+ng trình a 2
z bz c 0 (a 0) Tính 2 b 4ac
D&a vào giá tr ca xác nh công thc nghim .
4. Bi=u di>n hình h&c s phc. tìm tp h%p i=m bi=u di>n s phc th@a mãn i u kin cho tr c Ph+ng pháp
G%i z x yi (x,y )
R M(x;y) biu di7n cho s phc z trong m#t ph+ng to .
D&a vào d4 kin bài toán, thit lp mi liên h gi4a x và y
D&a vào mi liên h ó, kt lun tp hp im trong m#t ph+ng biu di7n cho s phc z .
5. Tìm s phc có hình bi=u di>n cho tr c Ph+ng pháp
Tìm to im M (ph' thuc tham s) biu di7n cho s phc z trên m#t ph+ng to .
Cho M thuc và hình biu di7n ca z , ta tìm c giá tr ca tham s.
Kt lun s phc z c0n tìm. Chú ý: 2 2 2 2
-Ph ng trình ng tròn: 2 x a
y b R hoc x y 2ax 2by c 0 (trong ó 2 2
a b c 0 2 2
). Ph ng trình hình tròn: 2 x a y b R
- Ph ng trình ng th/ng: ax by c 0, x x0, y y0 2 2 x y 2 2 x y - Ph ng trình ng Elip:
1 . Ph ng trình ng Hypebol: 1 2 2 a b 2 2 a b
- Ph ng trình ng Parabol: 2 2
y ax bx c, x ay by c
6. Tính ch#t liên quan n hình biYu diZn c(a s" ph*c
Ph+ng pháp: ! chng minh các i!m bi!u din cho các s phc tho mãn i-u ki%n (T), thông th ng ta làm nh sau
c to các i!m bi!u din cho các s phc ã cho.
D,a vào i!u ki%n (T), ta qui 0c bài toán v- bài toán hình gii tích trong mt ph/ng. Chú ý: - Nu M , M , z , z , 1
2 M 3 l0n lt biu di7n s phc 1 2 z3 thì: M
2M1 biu di7n s phc 1 z z2 z z
OI (v"i I là trung im M1M 2 ) biu di7n s phc 1
2 . Suy ra: 2OI biu di7n s phc 2 z z M , M 1 z z2 . Do ó, 1 2
0 thì trung im I ca 1 2 trùng v"i O. z z z
OG (v"i G là tr%ng tâm M1M 2M 3 ) biu di7n s phc 1 2
3 . Suy ra: 3OG biu di7n 3 s phc z z z M M M 1 z z2 z3 . Do ó, 1 2 3
0 thì tr%ng tâm G ca tam giác 1 2 3 trùng v"i gc to O.
- Nu z (a bi) R thì im M n6m trên )ng tròn tâm I(a;b) bán kính R. - Nu z z 1 2 R thì dài M M 1 2 R
- Nu z k , s phc z tho! mãn z (a bi) R . Khi ó, im biu di7n s phc . z 0z n6m trên 0
)ng tròn I(a;b) bán kính k.R.
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 45
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
7. C'c tr ca s phc
Ph+ng pháp : Các bài toán qui v- bài toán tìm giá tr l#n nh"t, giá tr nh3 nh"t c+a hàm mt bin,
tìm giá tr l#n nh"t, giá tr nh3 nh"t c+a mt bi!u thc hai bin mà các bin tho mãn i-u ki%n cho tr #c
Bài toán: Trong các s phc z tho mãn i-u ki%n T. Tìm s phc z ! bi!u thc P t giá tr nh3 nh"t, l#n nh"t
T$ i-u ki%n T, bin i ! tìm cách rút 5n ri th vào bi!u thc P ! 0c hàm mt bin
Tìm giá tr l#n nh"t (hoc nh3 nh"t) tu< theo yêu cu bài toán c+a hàm s mt bin v$a tìm 0c.
S d(ng các b"t /ng thc c bn nh : B"t /ng thc liên h% gia trung bình cng và trung
bình nhân, b"t /ng thc Bunhia- Cpxki, b"t /ng thc hình hc.
B"t /ng thc liên quan n s phc:
*) 1z 2z 1z 2z *)
z z z z 1
z 2z 1z 2z *) 1 2 1 2
Chú ý: B#t Vng th*c th+=ng g;p:
a a ... a
1. B"t /ng thc Côsi: Cho a ,1 ,.. a 0 n n
a .a .. a 1 2 n , 1 2 1 2 n n D"u “=” xy ra khi
a a ...a 1 2 n 2 2 2 2 2 2 2
2. B"t /ng thc Bunhiacopski: a b a b ...a b
a a ... a
b b ... b 1 1 2 2 n n 1 2 2 1 2 n a a a D"u “=” xy ra khi: 1 2 ... n b b b 1 2 n 2 2
3. B"t /ng thc Mincopski:
a a b b 2a 2b 2a 2b 1 2 1 2 1 1 2 2 D"u “=” khi a b 1 1 0 a b 2 2
4. B"t /ng thc tam giác: Cho tam giác ABC, khi ó: AB BC AC AB BC
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 46 Thy Nguyn c Thng
0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool E. NÓN – TR - CU 1. MUT NÓN – HÌNH NÓN 1.1 M;t nón tròn xoay
Trong mt ph/ng (P), cho 2 ng th/ng d, 4 ct nhau ti O và chúng
to thành góc B v#i 0 < B < 900. Hình tròn xoay to ra khi quay ng
th/ng d xung quanh tr(c 4 v#i góc B không thay i 0c gi là mt
nón tròn xoay &nh O (hình 1).
ng th/ng 4 gi là tr(c, ng th/ng d 0c gi là ng sinh và
góc 2B gi là góc 2 &nh c+a mt nón. 1.2. Hình nón tròn xoay
Cho 4OIM vuông ti I . Hình tròn xoay to ra khi quay ng g"p
khúc OMI quanh cnh góc vuông OI gi là hình nón tròn xoay (gi tt là hình nón) (hình 2).
+ ng th/ng OI gi là tr(c, O là &nh, OI gi là ng cao và OM gi là ng sinh c+a hình nón.
+ Hình tròn tâm I, bán kính r = IM là áy c+a hình nón.
Khi nón tròn xoay là hình to b2i mi-n tam giác OMI quay quanh cnh góc vuông OI
1.3. Công th*c din tích và thY tích c(a hình nón
Cho hình nón có chi-u cao là h, bán kính áy r và ng sinh là ?. Hc sinh cn nh# các công thc: 2 2 2
+ Mi liên h% h, r, ?: h r
+ Di%n tích xung quanh: Sxq=@.r.?
+ Di%n tích áy (hình tròn): ñ S .r2
+ Di%n tích toàn phn hình tròn: t S p S ñ Sxq 1 1 2 + Th! tích khi nón: V .h r h noùn 3 ñ S 3 h + 2 2
Th! tích khi nón c(t: V
R r .Rr 3 1.4. Tính ch#t:
* Nu ct mt nón tròn xoay b2i mt ph/ng i qua Bnh thì có các tr ng h0p sau xy ra:
+ Mt ph/ng ct mt nón theo 2 ng sinh ⇒ Thit di%n là tam giác cân.
+ Mt ph/ng Ap xúc v#i mt nón theo mt ng sinh. Trong tr ng
h0p này, ng i ta gi ó là mt ph/ng Ap di%n c+a mt nón.
* Nu ct mt nón tròn xoay b2i mt ph/ng không i qua Bnh thì có các tr ng h0p sau xy ra:
+ Nu mt ph/ng ct vuông góc v#i tr(c hình nón ⇒ giao tuyn là mt ng tròn.
+ Nu mt ph/ng ct song song v#i 2 ng sinh hình nón ⇒ giao tuyn là 2 nhánh c+a 1 hypebol.
+ Nu mt ph/ng ct song song v#i 1 ng sinh hình nón ⇒ giao tuyn là
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool 2. HÌNH TR - KHI TR 2.1. M;t tr. tròn xoay
+ Trong mp(P) cho hai ng th/ng 4 và ? song song nhau, cách nhau mt
khong r. Khi quay mp(P) quanh tr(c c nh 4 thì ng th/ng ? sinh ra
mt mt tròn xoay 0c gi là mt tr( tròn xoay hay gi tt là mt tr(. + ng th/ng 4 0c gi là tr(c.
+ ng th/ng ? 0c gi là ng sinh.
+ Khong cách r 0c gi là bán kính c+a mt tr(. 2.2. Hình tr. tròn xoay
+ Khi quay hình ch nh*t ABCD xung quanh ng th/ng cha mt
cnh, ch/ng hn cnh AB thì ng g"p khúcABCD to thành mt hình,
hình ó 0c gi là hình tr( tròn xoay hay gi tt là hình tr(. + ng th/ng AB 0c gi là tr(c.
+ on th/ng CD 0c gi là ng sinh.
+ dài on th/ng AB = CD = h 0c g
gi là chi-u cao c+a hình tr(.
+ Hình tròn tâm A, bán kính r = AD và h hììn
nh tròn tâm B, bán kính r = BC
0c gi là 2 áy c+a hình tr(.
+ Khi tr( tròn xoay, gi tt là khi tr(, là phn không gian gi#i hn b2i
hình tr( tròn xoay k! c hình tr(.
2.3. Công th*c tính din tích và thY tích c(a hình tr.
Cho hình tr( có chi-u cao là h và bán kính áy b1ng r, khi ó:
+ Di%n tích xung quanh c+a hình tr(: Sxq = 2@rh
+ Di%n tích toàn phn c+a hình tr(: Stp=S =Sxq+S=2@rh+2@r2
+ Th! tích khi tr(: V = Bh = @r2h . 2.4. Tính ch#t
Nu ct mt tr( tròn xoay (có bán kính là r ) b2i mt mpvuông góc v#i tr(c thì ta 0c
ng tròn có tâm trên và có bán kính b1ng r v#i r c:ng chính là bán kính c+a mt tr( ó.
Nu ct mt tr( tròn xoay (có bán kính là r ) b2i mt mpkhông vuông góc v#i tr(c
nh ng ct t"t c các ng sinh, ta 0c giao tuyn là mt ng elíp có tr( nh3 b1ng 2r và 2r 0 0 tr(c l#n b1ng mp 0 90
sin , trong ó là góc gia tr(c và v#i .
Cho mpsong song v#i tr(c c+a mt tr( tròn xoay và cáchmt khong k .
Nu k r thì mp ct mt tr( theo hai ng sinh thit di%n là hình ch nh*t.
Nu k r thì mp Ap xúc v#i mt tr( theo mt ng sinh.
Nu k r thì mp không ct mt tr(. 3. MUT CU – KHI CU 3.1. M;t cMu – Kh"i cMu: &nh nghJa M;t cMu: S(O; R) M OM R Kh"i cMu: V(O;R) M OM R Thy Nguyn c Thng
0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
3.2.V& trí t+ng "i c(a m t iYm "i vAi m;t cMu Cho mt cu S ;R
O và mt i!m A b"t kì, khi ó:
NuOA R AS ;
O R. Khi óOAgi là bán kính mt cu. Nu OA B
và OB là hai bán kính sao cho OA O
B thì on th/ng AB gi là 1 ng kính c+a mt cu. O
NuOA R A n1m trong mt cu. A A
NuOA R A n1m ngoài mt cu. Khi cu S ;R
O là t*p h0p t"t c các i!m M sao choOM R. A
3.3. V& trí t+ng "i c(a m;t phVng và m;t cMu
Cho mt cu S O;R và mt mpP . Gi d là khong cách t$ tâmO c+a mt cu n mpP và H là
hình chiu c+a O trên mpP d OH .
Nu d R mpPct mt cu SO;R theo giao tuyn là ng tròn n1m trên mpPcó 2 2
tâm là H và bán kính r HM R2 d2 R OH (hình a).
Nu d R mpPkhông ct mt cu SO;R (hình b)
Nu d R mpPcó mt i!m chung duy nh"t. Lúc này, ta gi mt cu SO;R Ap xúc
mpP. Do ó, i-u ki%n cn và + !mpPAp xúc v#i mt cu SO;R là
d O,mpP R (hình c). d d = Hình a Hình b Hình c
3.4. V& trí t+ng "i c(a +=ng thVng và m;t cMu Cho mt cu S ;R
O và mt ng th/ng . Gi H là hình chiu c+aOtrên ng th/ngvà
d OH là khong cách t$ tâmOc+a mt cu n ng th/ng . Khi ó:
Nu d R không ct mt cu S ;R O .
Nu d R ct mt cu S ;R
O ti hai i!m phân bi%t.
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
Nu d R và mt cu Ap xúc nhau (ti mt i!m duy nh"t). Do ó: i-u ki%n cn và
+ ! ng th/ng Ap xúc v#i mt cu là d d O, R .
&nh lí: Nu i!m A n1m ngoài mt cu S ;R O thì:
Qua A có vô s Ap tuyn v#i mt cu S ;R O .
dài on th/ng ni A v#i các Ap i!m -u b1ng nhau.
T*p h0p các i!m này là mt ng tròn n1m trên mt cu S ;R O .
3.5. M;t cMu ngo0i [p kh"i a din M;t cMu ngo0i tip Hình a din
T"t c các &nh c+a hình a di%n -u n1m trên mt cu Hình tr.
Hai ng tròn áy c+a hình tr( n1m trên mt cu Hình nón
Mt cu i qua &nh và ng tròn áy c+a hình nón a/ Các khái nim c b/n
Tr.c c(a a giác áy: là ng th/ng i qua tâm ng tròn ngoi Ap c+a a giác áy và
vuông góc v#i mt ph/ng cha a giác áy.
B"t kì mt i!m nào n1m trên tr(c c+a a giác thì cách -u các &nh c+a a giác ó.
+=ng trung tr@c c(a o0n thVng: là ng th/ng i qua trung i!m c+a on th/ng và vuông góc v#i on th/ng ó.
B"t kì mt i!m nào n1m trên ng trung tr,c thì cách -u hai u mút c+a on th/ng.
M;t trung tr@c c(a o0n thVng: là mt ph/ng i qua trung i!m c+a on th/ng và vuông góc v#i on th/ng ó.
B"t kì mt i!m nào n1m trên mt trung tr,c thì cách -u hai u mút c+a on th/ng.
b/ Tâm và bán kính m;t cMu ngo0i [p hình chóp
Tâm m;t cMu ngo0i [p hình chóp: là i!m cách -u các &nh c+a hình chóp. Hay nói cách
khác, nó chính là giao i!m I c+a tr(c )ng tròn ngoi ;p m#t ph+ng áy và m#t ph+ng
trung tr&c ca mt cnh bên hình chóp.
Bán kính: là khong cách t$ I n các &nh c+a hình chóp.
c/ Cách xác &nh tâm và bán kính m;t cMu c(a m t s" hình a din c b/n
Cách 1: Nu (n – 2) &nh c+a a di%n nhìn hai &nh còn li d #i mt góc vuông thì tâm c+a
mt cu là trung i!m c+a on th/ng ni hai &nh ó.
Cách 2: ! xác nh tâm c+a mt cu ngoi tip hình chóp.
– Xác nh tr(c c+a áy ( là ng th/ng vuông góc v#i áy ti tâm
ng tròn ngoi tip a giác áy).
– Xác nh mt ph/ng trung tr,c (P) c+a mt cnh bên.
– Giao i!m c+a (P) và là tâm c+a mt cu ngoi tip hình chóp.
D0ng 1: Hình h p ch\ nh-t, hình l-p ph+ng.
Tâm: trùng v#i tâm i xng c+a hình hp ch A B A nh*t (hình l*p ph ng). D C
Tâm là I , là trung i!m c+a AC' . I A I
Bán kính: b1ng na dài ng chéo hình hp B’ ch nh*t (hình l*p ph ng). D C’ C’
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 50
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool AC '
Bán kính: R 2 .
D0ng 2: Hình lOng tr. *ng có áy n i [p +=ng tròn. Xét hình l7ng tr( ng ' ' ' ' 1 A 2 A 3 A ...A . 1 A 2 A 3 A ... n n A , trong ó có 2 áy A O O' n 1 A 2 A 3 A ... n A và ' ' ' ' 1 A 2 A 3 A ... n
A ni Ap ng tròn và . Lúc A1 ó, O A2
mt cu ni Ap hình l7ng tr( ng có: A3
Tâm: I v#i I là trung i!m c+aOO'. I Bán kính: ' R 1 IA 2 IA ... n IA . A’n A’1
D0ng 3: Hình chóp có các Bnh nhìn o0n thVng n"i 2 Bnh còn l0i O A’ d+Ai 1 góc vuông. 2 A’3 0 Hình chóp .
S ABC có SAC SBC 90 . S S
+ Tâm: I là trung i!m c+a SC . SC + Bán kính: R
IA IB IC 2 . I
Hình chóp S.ABCD có I 0
SAC SBC SDC 90 . A A C
+ Tâm: I là trung i!m c+a SC . SC + Bán kính: R
IA IB IC ID 2 . B B C D0ng 4: Hình chóp %u.
Cho hình chóp -u S.ABC... S
Gi O là tâm c+a áy SO là tr(c c+a áy.
Trong mt ph/ng xác nh b2i SO và mt cnh bên, M
ch/ng hn nh mpSAO , ta vC ng trung tr,c c+a cnh SA
là ct SA ti M và ct SO ti I I là tâm c+a mt cu. I Bán kính: A SM SI
Ta có: SMI SOA Bán kính là: O D SO SA B 2 SM.SA SA R IS
IA IB IC ... C SO 2SO S
D0ng 5: Hình chóp có c0nh bên vuông góc vAi m;t phVng áy.
Cho hình chóp S.ABC...có cnh bên SA áy ABC...và áy ABC... d
ni Ap 0c trong ng tròn tâm O . Tâm và bán kính mt cu
ngoi Ap hình chóp S.ABC... 0c xác nh nh sau: M I
T$ tâm O ngoi Ap c+a ng tròn áy, ta vC ng th/ng
d vuông góc v#i mpABC ... tiO .
Trong mpd,SA , ta d,ng ng trung tr,c c+a cnh SA A O C
, ct SA ti M , ct d ti I .
I là tâm mt cu ngoi Ap hình chóp
và bán kính R IA IB IC IS ... B Tìm bán kính:
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 51
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool 2 2 2 2 SA
Ta có: MIOB là hình ch nh*t.Xét MAI vuông ti M có: R AI MI MA AO 2 .
D0ng 6: Hình chóp khác. D,ng tr(c c+a áy.
D,ng mt ph/ng trung tr,c c+a mt cnh bên b"t kì.
I I là tâm mt cu ngoi Ap hình chóp.
Bán kính: khong cách t$ I n các &nh c+a hình chóp. Chú ý:
- i-u ki%n ! mt hình chóp ni tip mt cu là áy ni tip mt ng tròn
- ng tròn ngoi Ap mt s a giác th ng gp. Khi xác nh tâm mt cu, ta cn xác nh tr(c
c+a mt ph/ng áy, ó chính là ng th/ng vuông góc v#i mt ph/ng áy ti tâm O c+a ng
tròn ngoi Ap áy. Do ó, vi%c xác nh tâm ngoi O là yu t r"t quan trng c+a bài toán. O O O Hình vuông: O là giao i!m 2 Hình ch nh*t: O là giao i!m D -u: O là giao i!m c+a 2 ng ng chéo. c+a hai ng chéo. trung tuyn (trng tâm). O O D vuông: O là trung i!m c+a
D th ng: O là giao i!m c+a hai cnh huy-n. ng trung tr,c c+a hai cnh D.
- Hình chóp có các cnh bên -u b1ng nhau luôn ni tip mt mt cu.
- Các &nh c+a mt hình a di%n luôn nhìn mt on th/ng mt góc vuông thì hình a di%n ó ni
tip mt cu, có tâm là trung i!m on th/ng.
3.6. Din ]ch và thY ]ch m;t cMu 2 * Di%n >ch mt cu: 4 C S R . 4 * Th! >ch mt cu: 3 C V R . 3
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 52 Thy Nguyn c Thng
0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool 3.6. M;t cMu n i tip M;t cMu n i tip Hình a din
T"t c các mt c+a hình a di%n -u tip xúc v#i mt cu Hình tr.
Mt cu tip xúc v#i các mt áy và mi ng sinh c+a hình tr( Hình nón
Mt cu tip xúc v#i mt áy và mi ng sinh c+a hình nón
a) nh ngha 1: mt ph/ng phân giác c+a mt góc là mt ph/ng qua gc và mi i-m n1m trên mt
ph/ng -u cách -u 2 tia c+a góc.
T ng t, ta c:ng nh ngh9a mt ph/ng phân giác c+a mt góc nh di%n là t*p h0p t"t c các i!m
trong không gian sao cho khong cách t$ i!m ó n m.i mt ph/ng c+a nh di%n là nh nhau.
b) nh ngha 2: Mt cu ni tip a di%n là mt cu tip xúc t"t c các mt c+a a di%n. Khi ó ta
c:ng nói a di%n ngoi tip mt cu. Chú ý:
T"t c các t di%n và t"t c các a di%n -u -u có mt cu ni tip và v#i a di%n -u thì
tâm c+a mt cu ni tip trùng v#i tâm c+a mt cu ngoi tip.
Mt l7ng tr( có mt cu ni tip khi và ch& khi l7ng tr( ó là l7ng tr( ng có mt áy là a
giác ngoi tip 0c ng tròn và có chi-u cao b1ng 2 ln bán kính ng tròn ni tip a giác áy.
Nu chân ng ng cao c+a hình chóp cách -u các cnh trong mt áy thì hình chóp có mt cu ni tip.
Nu hình chóp có các mt bên to v#i áy các góc b1ng nhau thì hình chóp có mt cu ni tip.
c) Cách xác &nh tâm và bán kính m;t cMu n i tip m t hình chóp * Xác &nh tâm:
- D,ng 3 mt ph/ng phân giác c+a góc to b2i hai mt ph/ng (Mt ph/ng cha ng phân giác c+a
mt góc n1m trong mt ph/ng vuông góc v#i giao tuyn c+a hai mt ó)
- Tìm i!m chung c+a 3 giao tuyn ( ba giao tuyên không song song) c+a ba mt ph/ng phân giác.
Suy ra, tâm mt cu ngoi tip hình chóp
c bit: Nu H là chân ng cao c+a hình chóp và cách -u các mt bên. Gi I là hình chiu c+a S
xung 1 cnh áy. Ta d,ng ng phân giác c+a góc SIH ct SH ti tâm mt cu ni tip hình chóp. * Xác &nh bán kính
Cách 1: Bán kính mt cu ni tip a di%n 0c tính theo công 3V thc r n
Trong ó Si là di%n là di%n tích c+a mt th i c+a iS i 1 a di%n.
Cách 2: S d(ng h% thc phân giác:
AD là phân giác trong c+a tam giác ABC. Khi ó BD BA CD CA
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
F. PHNG PHÁP TO TRONG KHÔNG GIAN OXYZ I. HA TRCC TOD E
1. ng d.ng tích có h+Ang
a cùng ph ng b a,b 0
a b a.b 0
u,v, w không ng ph/ng u,v.w 0 ( ) .
u,v, w ng ph/ng u,v.w 0 ( )
(ba véc t có giá song song hoc n1m trên mt mt ph/ng).
A, B, C không th/ng hàng(3 &nh c+a mt tam giác) AB, AC 0 .
A, B, C th/ng hàng AB, AC 0 .
Bn i!m A, B, C, D ng ph/ng AB, AC.AD 0 ( ) (bn i!m n1m trên mt mt ph/ng).
Bn i!m A, B, C, D không ng ph/ng AB, AC.AD 0 ( ) (bn &nh c+a mt t di%n).
Di%n tích hình bình hành: S A , B AD ( ) ABCD 1 2 2
Di%n tích tam giác: S
AB, AC ( ) S
AB .AC A . B AC ABC 2 ; ABC 2 Th! tích khi hp: ' V
AB, AD.AA ( ) ' ' ' ' ABCD.A B C D
1 Th! tích t di%n: V
AB, AC.AD ( ) ABCD 6
2. Cho A(x ; y ; z ), B(x ; y ; z ) A A A B B B
AB (x x ; y y ;z z ) B A B A B A 2 2 2
AB (x x ) (y y ) (z z ) B A B A B A x x
y y z z
To trung i!m M c+a on th/ng AB: A B M ; A B ; A B 2 2 2
x x x
y y y z z z
To trng tâm G c+a tam giác ABC: A B C G ; A B C ; A B C 3 3 3
To trng tâm G c+a t di%n ABCD:
xA xB C
x xD y y y y z z z z G ; A B C D ; A B C C 4 4 4
ABCD là hình bình hành AB DC
Cho ABC có các chân E, F c+a các ng phân giác trong và ngoài c+a góc A c+a ABC trên AB BC. Ta có: FB .FC AC
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 54
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
Nu M chia on AB theo t& s k ( MA kMB ) thì ta có : xA kxB y ky z kz x ; A B y ; A B M z 1 M V#i k E 1 k 1 M k 1 k
Cho i!m M(a;b;c). Hình chiu c+a M lên Ox, Oy,Oz, (Oxy), (Oyz), (Oxz) ln l0t là: 1 M ;0 a ;0 , M2 0;b;0, 3
M 0;0;c, M4 ;ab;0, 5 M 0;b;c, 6 M a;0;c
Cho i!m M(a;b;c). i!m i xng v#i i!m M qua Ox, Oy,Oz, (Oxy),(Oyz), (Oxz) ln l0t là: 7
M ;a ;bc , 8
M ;a ;bc , 9
M ;ab;c , 10 M ;b a ; c , 11 M ;b a ;c, 12
M a; ;bc
Cho i!m M(a;b;c). i!m i xng v#i M qua O là 13
M ;a ;b c .
i!m thuc tr(c Ox, Oy, Oz ln l 0t có to : x0;0;0,0; 0
y ;0,0;0; 0z. i!m thuc
mt ph/ng (Oxy), (Oyz), (Oxz) l 0t có to là : x0;y ;0,0; 0
y ; 0z ,x0;0; o 0 z .
II. PH23NG TRÌNH MFT CGU
- M"t s v?n tr&ng tâm 2 2 2
1. Phng trình mt cu: Mt cu có tâm I(a; b; c) và bán kính R : x a y b z c R2
Ph ng trình mt cu dng khai tri!n:x2 +y2 +z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0, k: a2 + b2 + c2 – d > 0 (2)
Tâm I(a; b; c) và bán kính R= a2 b2 2 c d 2. Chú ý: 2 2 2
Mt cu có tâm I và qua A thì R = IA =
xA xI yA yI zA Iz 1
Mt cu có ng kính AB thì R = AB 2 và tâm I là trung i!m AB
Mt cu qua 4 i!m A, B,C, D thì vit ph ng trình mt cu 2 dng (2) ri thay ta t$ng
i!m vào ph ng trình và gii h% ! tìm a, b, c, d. (Hoc )
3. V trí tng i ca i=m v i mt cu: 2 2 2 Cho (S) : x a y b z c 2
R và i!m M(x I a b c 0; y0; 0
z ) , Gi ( ; ; ) là tâm mc(S), R là bán kính c+a mt cu.
IM > R i!m M n1m ngoài mt cu (S)
IM < R i!m M n1m trong mt cu (S)
IM = R i!m M thuc mt cu (S) (Hay Thay ta i!m M vào PT mt cu th3a mãn)
4. V trí t ng i gi4a hai m#t c0u:
Cho hai m#t c0u S1(I1, R1) và S2(I2, R2). 1II2 1 R 2 R
(S1), (S2) trong nhau 1II2 1 R 2
R (S1), (S2) ngoài nhau 1II2 1 R 2 R
(S1), (S2) tip xúc trong 1II2 1 R 2
R (S1), (S2) tip xúc ngoài 1 R 2 R 1II2 1 R 2
R (S1), (S2) c3t nhau theo mt )ng tròn.
5. V& trí t+ng "i gi\a m;t phVng và m;t cMu
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 55
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool 2 2 2
Cho mt ph/ng. và mt cu . 2 x a y b
z c R (S) có tâm I ; a ;
b c, ábn kính R . Gi . . .
A a B.b C.c D d d I; . 2 2 2
A B C
+ Nu d R và (S) không giao nhau.
+ Nu d R và (S) tip xúc nhau ti mt i!m H. ( gi là tip di%n c+a mt cu (S)).
+ Nu d R và (S) ct nhau theo giao tuyn là mt ng tròn (C) có bán kính 2 2
r R d và có tâm H là hình chiu vuông góc c+a I trên .
Lu ý: ! tìm ta tâm H c+a ng tròn (C) ta làm nh sau
- L*p ph ng trình ng th/ng i qua I và vuông góc v#i .
- Ta i!m H là nghi%m c+a h% gm ph ng trình c+a và ph ng trình .
6. V& trí t+ng "i gi\a +=ng thVng và m;t cMu
x x0 at 2 2 2
Cho ng th/ng th/ng : y y 2
0 bt và mt cu (S): x a y b z c R z 0 z ct , u M I
Gi d d I, 0 , trong ó M
u (a;b;c) là VTCP c+a u 0(x0; y ; 0 0 z ) ,
+ Nu d R và (S) không có i!m chung
+ Nu d R tip xúc v#i (S) ( là tip tuyn c+a mt cu (S))
+ Nu d R ct (S) tai hai i!m A, B ( gi là cát tuyn c+a mt cu (S)).
III. PH23NG TRÌNH MFT PHHNG
1. Mt ph/ng i qua i!m M (x0; y0; 0 z ) o
và có VTPT n ; A ;
B C có ph ng trình
A(x x ) B 0
(y y ) C(z z 0 0 ) 0 Chú ý:
Véc t n 0 vuông góc v#i mt ph/ng 0c gi là VTPT c+a mt ph/ng .
Véc t u 0 có giá song song hoc n1m trên mt ph/ng 0c gi là VTCP c+a mt ph/ng .
Nu u, v là hai véc t không cùng ph ng có giá song song hoc n1m trên mt ph/ng thì
u,v n
là mt VTPT c+a mt ph/ng .
Nu ba i!m A, B, C không th/ng hàng thì AB, AC n
là mt VTPT c+a mt ph/ng (ABC). Các tr)ng hp riêng
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 56
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool Các h s"
Ph+ng trình m;t phVng ()
Tính ch#t m;t phVng () D = 0
Ax By Cz 0 () i qua gc to O A = 0
By Cz D 0 () // Ox hoc () Ox B = 0
Ax Cz D 0 () // Oy hoc () Oy C = 0
Ax By D 0 () // Oz hoc () Oz A = B = 0 Cz D 0
() // (Oxy) hoc () (Oxy)
+Nu trong ph ng trình ca () không cha /n nào thì () song song ho#c cha tr'c t ng ng. x y z
+ Ph ng trình m#t ph+ng theo on ch3n: 1 a b c
. () c3t các tr'c to ti các im (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)
2. V& trí t+ng "i gi\a hai m;t phVng
Cho : Ax By Cz D 0 và ' ' ' '
: A x B y C z D 0 khi ó: n n n n * , ' 0 . * , ' 0 , n MM' 0 , n MM' 0
* , ct nhau n,n' 0
Tr)ng hp #c bit: A'.B'.C'.D' 0 n kn A B C D + ' ' ' ' ' ' D kD A B C D n kn A B C D + ' ' ' ' ' ' D kD A B C D
+ và ct nhau '
n kn A B C ' ' ' : :
A : B : C ' ' ' '
+ và vuông góc v# nhau .
n n 0 AA BB CC 0
3. V& trí t+ng "i gi\a +=ng thVng và m;t phVng
x x0 at
Cho ng th/ng : y y0 bt ; M0(x0; y0; 0
z ),VTCP u ( ; a ; b c) và mt ph/ng z 0 z ct
:Ax By Cz D 0 có VTPT n ; A ; B C .
Xét ph ng trình A x0 at B 0
y btC 0z ct D 0 ( ) 5n là t , khi ó
+ ph ng trình (*) vô nghi%m .
u n 0, M0
+ ph ng trình (*) có vô s nghi%m .
u n 0, M0
+ và ct nhau ti mt i!m ph ng trình (*) có nghi%m duy nh"t . u n 0
Lu ý: u kn
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 57
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
4. Góc gi\a +=ng thVng và m;t phVng
ng th/ng có VTCP u ( ; a ;
b c) và mt ph/ng có VTPT n ( ; A ; B C) thì . u n
Aa Bb Cc
sin , cosu,n ; 0 0 , 0 90 2 2 2 2 2 2 u . n
A B C . a b c
5. Góc gi\a hai m;t phVng
Nu mt ph/ng có VTPT n ( ; A ;
B C) và mt ph/ng có VTPT 'n ' ' '
A ;B ;C thì ' ' ' ' . n n
AA BB CC cos , ' cosn,n ; 00 , 0 90 ' 2 2 2 '2 '2 '2 n . n
A B C . A B C
6. Kho/ng cách tI m t iYm n m;t phVng Cho i!m M
Ax By Cz D 0 (x0; y0; 0 z ) và mp : 0 thì:
Ax By Cz D d M ; 0 0 0 0 2 2 2
A B C
7. Kho/ng cách tI +=ng thVng n m;t phVng song song
Cho ng th/ng : Ax By Cz D 0 , M0(x0; y0; 0 z ) là mt i!m thuc
Ax By Cz D
d , d M ; 0 0 0 0 2 2 2
A B C
8. Kho/ng cách gi\a hai m;t phVng song song
Cho hai mt ph/ng song song : Ax By Cz D 0 và ' ' ' '
: A x B y C z D 0 , khi ó ' ' ' '
A x B y C z D
d , d M ; 0 0 0 0
. trong ó M (x ; y ; z ) là mt i!m '2 '2 '2 0 0 0 0
A B C
9. M t s" d0ng l-p ph+ng trình m;t phVng th+=ng g;p
Lp ph ng trình m#t ph+ng () ta c0n xác nh mt i=m thuc () và mt VTPT ca nó.
D0ng 1: () i qua i!m . M 0 x ; 0 y ; 0
z có VTPT n A; B;C :
(): A x x B y y C z z 0 0 0 0
D0ng 2: () i qua i!m M , n a,b 0 x ; 0 y ; 0
z có cp VTCP a b : Khi ó mt VTPT ca () là .
D0ng 3: () i qua i!m M 0 x ; 0 y ; 0
z và song song v#i mt ph/ng (): Ax + By + Cz + D = 0:
(): A x x B y y C z z 0 0 0 0
D0ng 4: () i qua 3 i!m không th/ng hàng A, B, C: Khi ó ta có th xác nh mt VTPT ca () là:
n AB, AC
D0ng 5: () i qua mt i!m M và mt ng th/ng (d) không cha M:
– Trên (d) ly im A và VTCP u.
– Mt VTPT ca () là: n AM,u
D0ng 6: () i qua mt i!m M và vuông góc v#i mt ng th/ng (d):
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 58
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
VTCP u ca )ng th+ng (d) là mt VTPT ca ().
D0ng 7: () i qua 2 ng th/ng ct nhau d1, d2:
– Xác nh các VTCP a, b ca các )ng th+ng d1, d2.
– Mt VTPT ca () là: n a,b . – Ly mt im M thuc d 1 ho#c d2
M ().
D0ng 8: () cha ng th/ng d1 và song song v#i ng th/ng d2 (d1, d2 chéo nhau):
– Xác nh các VTCP a, b ca các )ng th+ng d1, d2.
– Mt VTPT ca () là: n a,b .
– Ly mt im M thuc d 1
M ().
D0ng 9: () i qua i!m M và song song v#i hai ng th/ng chéo nhau d1, d2:
– Xác nh các VTCP a, b ca các )ng th+ng d1, d2.
– Mt VTPT ca () là: n a,b .
D0ng 10: () i qua mt ng th/ng (d) và vuông góc v#i mt mt ph/ng ():
– Xác nh VTCP u ca (d) và VTPT n ca ().
– Mt VTPT ca () là: n u ,n .
– Ly mt im M thuc d M ().
D0ng 11: () i qua i!m M và vuông góc v#i hai mt ph/ng ct nhau (), ():
– Xác nh các VTPT n ,n
ca () và ().
– Mt VTPT ca () là: n u ,n .
D0ng 12: () i qua ng th/ng (d) cho tr #c và cách i!m M cho tr #c mt khong k cho tr #c:
– Gi! s* () có ph ng trình: 2 2
Ax By Cz+D 0 2
A B C 0 .
– Ly 2 im A, B (d) A, B () (ta c hai ph ng trình (1), (2)).
– T iu kin kho!ng cách d(M,( )) k , ta c ph ng trình (3).
– Gi!i h ph ng trình (1), (2), (3) (b6ng cách cho giá tr mt /n, tìm các /n còn li).
D0ng 13: () là tip xúc v#i mt cu (S) ti i!m H:
– Gi! s* m#t c/u (S) có tâm I và bán kính R.
– Mt VTPT ca () là: n IH
IV. PH23NG TRÌNH 2ING THHNG
1. ng th/ng i qua i!m M (x0; y0; 0 z ) o
và có VTCP u ; a ; b c , khi ó
x x0 at
+ Ph ng trình tham s là: y y0 bt ;(t R) , t gi là tham s. z 0 z ct x x y y z z + Ph ng trình chính tc là: 0 0 0 (abc 0) a b c .
Chú ý:
Véc t u 0 có giá song song hoc trùng v#i ng th/ng 0c gi là VTCP c+a ng th/ng .
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 59
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
Nu hai mt ph/ng : Ax By Cz D 0 và ' ' ' '
: A x B y C z D 0 giao nhau thì
Ax By Cz D 0 h% ph ng trình: ' ' ' '
0c gi là ph ng trình tng quát c+a ng th/ng
A x B y C z D 0 trong không gian.
2. V& trí t+ng "i gi\a hai +=ng thVng
x x0 at
Cho hai ng th/ng : y y0 bt ; M0(x0; y0; 0
z ),VTCP u ( ; a ; b c) z 0 z ct ' ' '
x x0 a t ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' : y 0
y b t ; M0(x0;y0; 0z) ,VTCPu (a ;b ;c ) ' ' ' z 0 z c t ' ' '
x0 at x0 a t ' ' '
Xét h% ph ng trình y0 bt y0 b t (I) , khi ó ' ' ' 0
z ct 0z c t ' ' u ku + '
, hay h% ph ng trình (I) có vô s nghi%m. M ' 0 M0 ' ' u ku ' + '
, hay u ku và h% (I) vô nghi%m. M ' 0 M0 ' '
+ và ct nhau u ku và h% ph ng trình (I) có nghi%m duy nh"t
' ' hay , u u .M 0M0 0 .
' ' ' '
+ và chéo nhau u ku và h% ph ng trình (I) vô nghi%m hay , u u .M 0M0 0
3. Góc gi\a hai +=ng thVng '
Nu ng th/ng có VTCP u ( ; a ;
b c) và ng th/ng có VTCP ' ' '
u (a ;b ;c ) thì ' u u
aa bb cc cos, ' ' ' . ' ; 00 ' , 0 90 ' 2 2 2 '2 '2 '2 u . u
a b c . a b c
4. Kho/ng cách tI m t iYm n m t +=ng thVng
Khong cách t$ i!m M x ; y ; M M M z n ng th/ng
x x0 at , u M M :
y y0 bt ; M0(x0;y0; 0
z ),VTCP u ( ; a ;
b c) ; 0c tính b2i CT: d M, 0 z u 0 z ct
5. Kho/ng cách gi\a hai +=ng thVng chéo nhau
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 60
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool '
Nu ng th/ng i qua i!m M0(x0; y0; 0
z ) và có VTCP u ( ; a ;
b c) . ng th/ng i qua
' ' , u u .M 0M0 i!m ' ' ' ' M '
0 (x 0; y 0; z 0 ) và có ' ' ' '
VTCP u (a ;b ;c ) thì d , ' , u u
Lu ý: Khong cách gia hai ng th/ng song song b1ng khong cách t$ mt i!m n1m trên ng
' ' u , M 0M0 ' '
th/ng này n ng th/ng còn li, ngh9a là d , d M0, , M . ' 0 u
6. M t s" d0ng l-p ph+ng trình +=ng thVng th+=ng g;p
Lp ph ng trình )ng th+ng d ta c0n xác nh mt i=m thuc d và mt VTCP ca nó.
D0ng 1: d i qua i!m M (x ; y ; z )
a (a ;a ;a ) 0 0 0 0 và có VTCP 1 2 3 :
x xo a t1
(d) :y o y a t (t R) 2 z o z a t 3 D n
0 g 2: d i qua hai i!m A, B: Mt VTCP ca d là AB .
D0ng 3: d i qua i!m M (x ; y ; z ) 0 0
0 0 và song song v#i ng th/ng cho tr #c:
Vì d // nên VTCP ca c
D0ng 4: d i qua i!m M (x ; y ; z ) 0 0
0 0 và vuông góc v#i mt ph/ng (P) cho tr #c:
Vì d (P) nên VTPT ca (P) c
D0ng 5: d là giao tuyn c+a hai mt ph/ng (P), (Q):
Cách 1: Tìm mt im và mt VTCP. (P)
– Tìm to mt im A d: b6ng cách gi!i h ph ng trình (Q)
– Tìm mt VTCP ca d: a P n , Q n
Cách 2: Tìm hai im A, B thuc d, ri vit ph ng trình )ng th+ng i qua hai im ó.
D0ng 6: d i qua i!m M (x ; y ; z ) 0 0
0 0 và vuông góc v#i hai ng th/ng d1, d2: Vì d d
a a ,a
1, d d2 nên mt VTCP ca d là: d d 1 2
D0ng 7: d i qua i!m M (x ; y ; z ) 0 0
0 0 , vuông góc và ct ng th/ng . H
Cách 1: G%i H là hình chiu vuông góc ca M
0 trên )ng th+ng . M H u 0
Khi ó )ng th+ng d là )ng th+ng i qua M0, H.
Cách 2: G%i (P) là m#t ph+ng i qua A và vuông góc v"i d; (Q) là m#t ph+ng i qua A và
cha d. Khi ó d = (P) (Q)
D0ng 8: d i qua i!m M (x ; y ; z ) 0 0
0 0 và ct hai ng th/ng d1, d2: Cách 1: G%i M 1
d1, M2 d2. T iu kin M, M1, M2 th+ng hàng ta tìm c M1, M2. T
ó suy ra ph ng trình )ng th+ng d.
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 61
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
Cách 2: G%i (P) = (M ,d ) (M ,d ) 0 1 , (Q) = 0
2 . Khi ó d = (P) (Q). Do ó, mt VTCP ca d có
th ch%n là a P n , Q n .
D0ng 9: d n1m trong mt ph/ng (P) và ct c hai ng th/ng d1, d2:
Tìm các giao im A = d 1 (P), B = d2
(P). Khi ó d chính là )ng th+ng AB.
D0ng 10: d song song v#i và ct c hai ng th/ng d1, d2:
Vit ph ng trình m#t ph+ng (P) cha và d1, m#t ph+ng (Q) cha và d2.
Khi ó d = (P) (Q).
D0ng 11: d là ng vuông góc chung c+a hai ng th/ng d1, d2 chéo nhau: MN d
Cách 1: G%i M d1, N d2. T iu kin 1
MN d , ta tìm c M, N. 2 Khi ó, d là )ng th+ng MN. Cách 2: – Vì d d
a a ,a
1 và d d2 nên mt VTCP ca d có th là: d d . 1 2
– Lp ph ng trình m#t ph+ng (P) cha d và d1, b6ng cách: + Ly mt im A trên d1.
+ Mt VTPT ca (P) có th là: P
n a, d a . 1
– T ng t& lp ph ng trình m#t ph+ng (Q) cha d và d2.
Khi ó d = (P) (Q).
D0ng 12: d là hình chiu c+a ng th/ng lên mt ph/ng (P):
Lp ph ng trình m#t ph+ng (Q) cha và vuông góc v"i m#t ph+ng (P) b6ng cách:
– Ly M .
– Vì (Q) cha và vuông góc v"i (P) nên Q n a , P n .
Khi ó d = (P) (Q).
D0ng 13: d i qua i!m M, vuông góc v#i d1 và ct d2:
Cách 1: G%i N là giao im ca d và d2. T iu kin MN d1, ta tìm c N. Khi ó, d là )ng th+ng MN. Cách 2:
– Vit ph ng trình m#t ph+ng (P) qua M và vuông góc v"i d1.
– Vit ph ng trình m#t ph+ng (Q) cha M và d2.
Khi ó d = (P) (Q).
- M t s" d0ng toán khác
1. Xác nh hình chiu H ca m"t i=m M lên ng thJng d Cách 1:
– Vit ph ng trình m#t ph+ng (P) qua M và vuông góc v"i d.
– Khi ó: H = d (P) H d Cách 2:
im H c xác nh b5i: MH d a 3.
i=m i xng M' ca m"t i=m M qua ng thJng d Cách 1:
– Tìm im H là hình chiu ca M trên d.
– Xác nh im M sao cho H là trung im ca on MM.
Cách 2:– G%i H là trung im ca on MM. Tính to im H theo to ca M, M. MM ' a
– Khi ó to ca im M c xác nh b5i: d . H d
4.Xác nh hình chiu H ca m"t i=m M lên mt phJng (P) Cách 1:
– Vit ph ng trình )ng th+ng d qua M và vuông góc v"i (P).
– Khi ó: H = d (P)
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 62
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool H (P) Cách 2:
im H c xác nh b5i: MH, P n cuøng phöông
5.i=m i xng M' ca m"t i=m M qua mt phJng (P) Cách 1:
– Tìm im H là hình chiu ca M trên (P).
– Xác nh im M sao cho H là trung im ca on MM. Cách 2:
– G%i H là trung im ca on MM. Tính to im H theo to ca M, M. H (P)
– Khi ó to ca im M c xác nh b5i: MH, . P n cuøng phöông
6. C@c tr& trong không gian
D0ng 1: A, B c nh. ng th/ng d thay i qua B. Khi ó. d ( A, ) l#n nh"t khi AB vuông góc v#i d.
D0ng 2: A, B c nh. Mt ph/ng (P) thay i qua B. Khi ó. d ( ,
A (P)) l#n nh"t khi AB vuông góc v#i (P).
D0ng 3: A c nh và M thay i trên mt cu (S) tâm I. Khi ó MA l#n nh"t=R+IA, MA nh3 nh"t=|R-
IA| khi và ch& khi M là giao i!m c+a IA và mt cu (S).
D0ng 4: L*p ph ng trình mt ph/ng (P) cha ng th/ng c nh, khong cách A t#i (P)
l#n nh"t khi (P) qua K và nh*n AK là vecto pháp tuyn, trong ó K là hình chiu c+a A lên .
D0ng 5: L*p ph ng trình mt ph/ng (P) cha ng th/ng c nh, to v#i mt ph/ng (Q) mt
góc nh3 nh"t khi n u .u , n P P
D0ng 6: L*p ph ng trình mt ph/ng (P) cha ng th/ng c nh, to v#i mt ph/ng d mt
góc l#n nh"t khi n u .u ,u P d
D0ng 7:L*p ph ng trình ng th/ng n1m trong (P), i qua M sao cho khong cách t$ A (P) c nh t#i d nh3 nh"t, l#n nh"t.
TH1: d (a, ) nh3 nh"t khi i qua M và hình chiu c+a A lên (P).
TH2: d (a, ) l#n nh"t khi là giao tuyn c+a (P) và mt ph/ng (Q) qua M nh*n AM là vecto phap
tuyn (hay u AM , n P
D0ng 8: Tìm M thuc mt cu (S) tâm I sao cho khong cách t$ M n (P) l#n nh"t, nh3 nh"t. Khi
ó, M là giao i!m c+a ng th/ng d (qua I vuông góc v#i (P)) và mt cu (S).
D0ng 9: Tìm M thuc mt cu (S) tâm I sao cho khong cách t$ M n l#n nh"t, nh3 nh"t. Khi ó,
M là giao i!m c+a ng th/ng d’ (d’ qua I vuông góc v#i và d’ n1m trong mp(I, ) ) và mt cu (S). B1 sung: 1. 2 2 2
MA MA ...
hoc MA MA ... t giá tr nh3 nh"t (l#n 1 1 2 2 MA MA n n 1 1 2 2 n n
nh"t) khi và ch& khi MI nh3 nh"t (l#n nh"t), trong ó K là i!m tho mãn:
MI MI ... MI 0 1 1 2 2 . n n
2. Cho A, B c nh, M thuc mt ph/ng (P) sao cho: MA MB nh3 nh"t hoc MA MB l#n nh"t
TH1: Nu A, B cùng phía so v#i (P) thì M AB (P)
TH2: Nu A, B khác phía so v#i (P) thì M AB ' (P) trong ó B’ là i!m i xng c+a B qua (P)
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 63
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
G. KHI A DIN VÀ TH^ TÍCH KHI A DIN 1. Lí thuyt v% kh"i a din
- Hình a di%n là hình 0c to b2i mt s hu hn các a giác tho mãn:
Hai a giác phân bi%t ch& có th!: Ch& có mt i!m chung hoc ch& có mt &nh chung, hoc ch& có mt cnh chung.
M.i cnh c+a a giác nào -u là cnh chung c+a úng hai mt.
- Khi a di%n 0c gi là li n-u v#i hai i!m b"t kì A và B thuc khi a di%n thi mi i!m thuc on AB c:ng thuc khi a di%n ó. 2. Kh"i a din %u a) nh ngh1a
Khi a di%n -u là khi a di%n li có hai tính ch"t:
Các mt là các a giác -u có cùng s cnh
M.i &nh là &nh chung c+a cùng mt s cnh (ít nh"t 3 cnh)
Ng i ta phân loi khi a di%n -u: Nu m.i mt có n cnh, m.i &nh là &nh chung c+a p cnh thì khi a di%n -u ó loi , n p .
Chú ý: Gi , C, M là s &nh, s cnh, s mt c+a mt khi da di%n -u khi ó: 4n 2np 4p
1. D-C+M=2 và 2C=nM=pD và D ; C ; M
2n 2p np
2n 2p np
2n 2p np trong ó
2n 2p np 0 và n2 p2 4, n 3, p 3,
2. Trong mt khi a di%n: C 6 , D 4 , M 4 và 2C M
3 C 6 , 2C D 3 C 6 b) Các loi khi a din u Lo0i Tên g_i S" Bnh S" c0nh S" m;t ThY tích 3, 3 T di%n -u 3 a . 2 4 6 4 V 12 4, 3 L*p ph ng 3 8 12 6 V a 3, 4 Bát di%n -u 3 a . 2 6 12 8 V 3 5, 3 M i hai mt -u 3 15 7 5 a 20 30 12 V 4 3, 5 Hai m i mt -u 3 15 5 5 a 12 30 20 V 12
c) Tâm i xng, m#t i xng ca khi a din u
* Tâm i xng: Khi l*p ph ng, khi bát di%n -u, khi m i hai mt -u, khi hai m i mt -u
* Mt i xng: T di%n -u có 6 mt i xng; Khi l*p ph ng có 9 mt i xng; Khi bát i%n
-u có 5 mt i xng; Khi m i hai mt -u có 15 mt i xng. Chú ý:
* T di%n -u: Không có tâm i xng, có 6 mt i xng, có 3 tr(c i xng;
* Hình l*p ph ng có tâm i xng, có 9 mt i xng, có 13 tr(c i xng;
* Hình bát di%n -u có tâm i xng, 9 mt i xng và 9 tr(c i xng.
* Hình có tâm i xng thì có s cnh, s mt, s &nh là s ch6n.
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 64 Thy Nguyn c Thng
0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
3. Th= tích khi a din S a) Th! tích 1
- Th tích khi chóp: V= B.h 3 C B: Di%n tích a giác áy. A h: dài ng cao. H B B’
- Th tích khi l=ng tr': V=B.h C’ A’ B: Di%n tích a giác áy. D’ h: dài ng cao. B A C H D - Th! >ch hình hp ch nh*t: V . a . b c 1 S . 2 S . 3 S 2 2 2
ng chéo: l a b c - Th! >ch khi l*p ph ng 3 V a ng chéo: a 3
- Th tích khi chóp c't: h
V B B' .BB' 3
Trong ó: B, B’ là din tích hai áy, h
là chiu cao khi chóp c't (h=OO’) S b. T> s th tích: B' C' A' * Cho khi chóp S.ABC. C A'SA, B'SB, C'SC A V . SA . SB SC S . ABC Thy Nguyn c Thng
0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool S * MSC, ta có: M C V . SA . SB SM SM S . ABM A V S . A S . B SC SC S. ABC B
4. M"t s công thc tính xác nh nhanh tâm và bán kính mt cu ngoi tip khi a din KiYu hình Tâm
Bán kính m;t cMu ngo0i tip T din u cnh a. Tâm O c+a mt cu ngoi tip A n1m trên AH và cách (BCD) a 6 mt khong OH= O 12 B a 6 D R= . H E 4 C T din OABC có OA=a, O n1m trên ng th/ng d
OB=b,OC=c và OA,OB,OC ôi vuông góc mp(ABC) ti trung mt vuông góc. c i!m H c+a AB và OH= . C 2 M O S B 2 2 2 H a b c R A 2 T di%n SABC có SA=b,SA
Ta xét hình tr( ngoi tip hình 2 2 2 .sin 4 (ABC). BC=a c nh, A thay i chóp SABC. Khi ó tâm O c+a b a R 2sin trên mt ph/ng (ABC) sao cho mt cu ngoi tip hình chóp BAC . SABC trùng v#i trung i!m on ni hai tâm c+a hình tròn áy c+a hình tr( T di%n ABCD có tính ch"t M2 rng t di%n ABCD thành 2 2 2 AB=CD=a, BC=AD=b,CA=BD=c. hình hp ch nh*t a b c R 8 B1 C AB1CC1.E1DD1B nh hình vC. D nh*n ra r1ng tâm O c+a A C1 mt cu ngoi tip t di%n ABCD chính là tâm c+a hình O D1 D hp ch nh*t AB1CC1.E1DD1B E1 B Thy Nguyn c Thng
0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool H. GÓC VÀ KHONG CÁCH
1. +=ng thVng vuông góc vAi m;t phVng Phng pháp 1
! chng minh ng th/ng d vuông góc v#i mt ph/ng () ta chng minh d vuông góc v#i hai ng th/ng ,
a b ct nhau n1m trong () . d a d a I d b b
d (P) , a b (P) .
a b I Phng pháp 2
S d(ng tính ch"t: d , mà () thì d ( ) . d I K Phng pháp 3 Nu hai mt ph/ng
( ) , () vuông góc v#i nhau và ct nhau theo giao tuyn , ng th/ng nào
n1m trong mt ph/ng ( ) mà vuông góc v#i giao tuyn thì vuông góc v#i mt ph/ng ( ) . d Phng pháp 4
Nu hai mt ph/ng phân bi%t cùng vuông góc v#i mt ph/ng th ba thì giao tuyn c+a chúng vuông góc v#i mt ph/ng th ba ó. d (P) (R) (Q) (R)
a (R). (P) Q ( ) a Thy Nguyn c Thng
0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool Phng pháp 5
Nu hai mt ph/ng song song v#i nhau, ng th/ng d vuông góc v#i mt ph/ng này thì nó vuông góc v#i mt ph/ng kia. d
2. Hai m;t phVng vuông góc Phng pháp 1
Mun chng minh hai mt ph/ng vuông góc v#i nhau ta chng minh d
mt ph/ng này cha mt ng th/ng vuông góc mt ph/ng kia.
d ()()() d () Phng pháp 2 () ( ) S d(ng tính ch"t: ( ) ( ) ( ) () . d l Phng pháp 3 S d(ng tính ch"t
( ) d , mà d () hoc d () thì () (). d
3. Hai +=ng thVng vuông góc Phng pháp 1
Mun chng minh hai ng th/ng vuông góc v#i nhau ta a
chng minh ng th/ng này vuông góc v#i mt ph/ng cha d () ng th/ng kia. d a a ( ) . Thy Nguyn c Thng
0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool Phng pháp 2
Nu ng th/ng a song song mt ph/ng () , mà ng th/ng d vuông góc mt ph/ng () , thì
d vuông góc v#i ng th/ng a . d a
d () d a a () . 4. Góc
4.1 Góc gi6a hai ng thJng Phng pháp
B #c 1: Tìm mt i!m O tùy ý (có th! l"y trên ng th/ng a hoc b ). T$ O d,ng hai tia Oa' và
Ob' ln l 0t song song v#i a và b 0c góc a 'Ob' .
B #c 2. Tính s o c+a góc b1ng các nh lý và tính ch"t c+a hình hc ph/ng hay nh lý côsin.
Chú ý: góc gia hai ng th/ng không l#n hn 900 . a a' O b' b
4.2 Góc gi\a +=ng thVng và m;t phVng Phng pháp
! xác nh góc gia ng th/ng d và mt ph/ng ( ) ta th,c hi%n nh sau:
B #c 1: Xác nh hình chiu vuông góc c+a d xung mt ph/ng ( ) là d ' .
+ Tìm giao i!m O d ( ) .
+ D,ng hình chiu vuông góc c+a A xung () là H (chn ng th/ng i qua A và vuông góc v#i () ).
B #c 2: Góc gia ng th/ng d và d ' là góc ng th/ng d và mt ph/ng () . Tính s o c+a
góc ó b1ng h% thc l 0ng trong tam giác vuông. Thy Nguyn c Thng
0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool A H O
4.3 Góc gi\a hai m;t phVng
! xác nh góc gia hai mt ph/ng () và ( ) ta làm nh sau: Phng pháp 1 Tìm hai ng th/ng ,
a b ln l 0t vuông góc v#i hai mt ph/ng () và (). Khi ó góc gia hai ng th/ng ,
a b chính là góc gia hai mt ph/ng () và (). a b a () ( , a ) b (),() b () . Phng pháp 2 Xác nh giao tuyn c+a ( ) và ().
L"y i!m I .Trong
( ) d,ng a ti I . Trong () d,ng b ti I . Khi ó góc gia hai ng th/ng ,
a b chính là góc gia hai mt ph/ng ( ) và (). b a I Phng pháp 3
Xác nh giao tuyn c+a () và ( ) .
Trong ( ) l"y i!m A . D,ng hình chiu H c+a A xung mt ph/ng () .
T$ H d,ng HI .
Khi ó góc AHI là góc gia hai mt ph/ng () và ( ) . Thy Nguyn c Thng
0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool A b a I H Phng pháp 4
Xác nh giao tuyn c+a () và ( ) . Chn mt ph/ng ( ) .
Tìm các giao tuyn a ( ) () , b ( ) ( ). Khi ó góc gia hai ng th/ng ,
a b chính là góc gia hai mt ph/ng () và (). a b
Phng pháp 5 S d(ng công thc di%n tích hình chiu S ' S cos . 5. Kho/ng cách
5.1 Kho/ng cách tI m t iYm n m t +=ng thVng
! tính khong cách t$ i!m M n ng th/ng ta cn xác nh 0c hình chiu H c+a i!m
M trên ng th/ng . i!m H th ng 0c d,ng theo hai cách sau:
- Trong mt ph/ng (M, ) vC MH . Khi ó: d(M,) MH .
- D,ng mt ph/ng () qua M và vuông góc v#i ti H . Khi ó: d(M, ) MH . M H
5.2 Kho/ng cách tI m t iYm n m t m;t phVng
Cho i!m M và mt ph/ng
( ) . Gi H là hình chiu c+a M xung
( ) . Khi ó MH 0c gi là
khong cách t$ i!m M n mt ph/ng ( ) . Phng pháp 1
B #c 1: Chn mt ph/ng ( ) qua M và vuông góc v#i ( ) .
B #c 2: Xác nh giao tuyn d () ( ) . Thy Nguyn c Thng
0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
B #c 3: Trong mt ph/ng ( ) k8 MH d . V*y MH d(M,()) . M H d Phng pháp 2 Gi s ã bit d( ,
A ()), IM và IA .
- Nu AM ( ) thì d(M,( )) d( , A ()) .
d(M,()) IM
- Nu AM ct () ti I thì d( , A ()) IA . M M A A H K I H K
5.3 Kho/ng cách gi\a hai +=ng thVng
Khong cách gia hai ng th/ng và ' :
- Nu và ' ct nhau hoc trùng nhau thì d( , ') 0 .
- Nu và ' song song v#i nhau thì d( ,
') d(M,') d(N,) M K ' H N
5.4 Kho/ng cách gi\a +=ng thVng và m;t phVng
Khong cách gia ng th/ng và () :
- Nu ct () hoc n1m trong () thì d( , ()) 0 .
- Nu () thì d( ,
()) d(M,()). M H
5.5 Kho/ng cách gi\a hai m;t phVng Thy Nguyn c Thng
0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
Khong cách gia hai mt ph/ng () và ( )
- Nu () ct ( ) hoc ( ) ( ) thì d((),( )) 0 .
- Nu ( ) ( ) thì d(( ),( )) d(M,( )) . M H
5.6 Kho/ng cách gi\a hai +=ng thVng chéo nhau
ng vuông góc chung c+a hai ng th/ng chéo nhau và ' là ng th/ng a ct 2 M và
ct ' 2 N ng thi vuông góc v#i c và ' .
on MN 0c gi là on vuông góc chung c+a hai ng th/ng chéo nhau và ' . M ' N Phng pháp 1 1 Chn mt ph/ng
( ) cha ng th/ng và song song v#i ' . Khi ó d(,') d(', ( )). M ' H Phng pháp 2
D,ng hai mt ph/ng song song và ln l 0t cha hai ng th/ng. Khong cách gia hai mt ph/ng ó là khong cách cn tìm. '
Phng pháp 3 D,ng on vuông góc chung và tính dài on ó.
Tr)ng hp 1: và ' v$a chéo nhau v$a vuông góc v#i nhau
B #c 1: Chn mt ph/ng () cha ' và vuông góc v#i ti I . Thy Nguyn c Thng
0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
Khi ó IJ là on vuông góc chung và d( , ') IJ . ' I J
Tr)ng hp 2: và ' chéo nhau mà không vuông góc v#i nhau B #c 1: Chn mt ph/ng
( ) cha ' và song song v#i .
B #c 2: D,ng d là hình chiu vuông góc c+a xung
( ) b1ng cách l"y i!m M d,ng on
MN , lúc ó d là ng th/ng i qua N và song song v#i .
B #c 3: Gi H d ', d,ng HK MN
Khi ó HK là on vuông góc chung và d(, ') HK MN . K M d N H ' Hoc
B #c 1: Chn mt ph/ng () t i I .
B #c 2: Tìm hình chiu d c+a ' xung mt ph/ng ( ) . B #c 3: Trong mt ph/ng
( ) , d,ng IJ d , t$ J d,ng ng th/ng song song v#i ct ' ti
H , t$ H d,ng HM IJ .
Khi ó HM là on vuông góc chung và d(, ') HM IJ . ' M H d I J 6. Bài toán khác
DNG 1: Thit din to bKi mt phJng i qua m"t i=m và vuông góc v i m"t ng thJng d cho tr c
Cách xác nh mp( ) i qua i!m A và vuông góc v#i ng th/ng d: Cách 1:
+ K8 ng th/ng a qua A và vuông góc v#i d.
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
Khi ó, mp(a,b) chính là mp( ) cn d,ng.
Cách 2: Nu có d vuông góc v#i (P). D,ng qua A và / /(P)
DNG 2: Thit din to bKi mt phJng cha m"t ng thJng và vuông góc m"t mt phJng cho tr c.
Cách xác nh mp( ) cha ng th/ng a và vuông góc v#i ng th/ng mp( ) trong ó (
a mp ):
+ Chn mt i!m A trên ng th/ng a.
+ K8 ng th/ng qua A và vuông góc v#i mp( ).
Khi ó, mp(a,b) chính là mp( ) cn d,ng. Kt qu:
+ Nu mt ng th/ng và mt mp cùng vuông góc v#i mt ng th/ng ( ng th/ng không n1m
trong mt ph/ng) thì song song.
+ Nu mt ng th/ng và mt mp cùng vuông góc v#i mt ph/ng ( ng th/ng không n1m trong mt ph/ng thì song song.
DNG 3: D'ng m"t ng thJng d qua m"t i=m A và vuông góc v i mt phJng (P)
Cách 1: Nu có a (P) : D,ng d song song v#i a. Khi ó d (P) Cách 2:
+ D,ng mt ph/ng (Q) qua i!m A và Q (P) ;
+ Tìm giao tuyn b c+a (P) và (Q);
+ T$ i!m A d,ng ng th/ng d vuông góc v#i b. Khi ó: d là ng th/ng cn d,ng
DNG 4: Ch&n m"t mt phJng qua i=m A và vuông góc v i mt phJng (P ) cho tr c
Cách 1: Nu ã có mt ng th/ng a vuông góc v#i ng th/ng b trong (P).
T$ mt i!m M nào ó trên a, k8 mt ng th/ng MH vuông góc v#i b.
Khi ó: mp(a,H) chính là mt ph/ng cn d,ng.
Cách 2: Nu bit mt ph/ng (Q) vuông góc v#i (P).
T$ i!m A k8 ln l 0t hai ng th/ng song song v#i hai ng th/ng ct nhau trong (P).
DNG 5: Tìm hình chiu H ca i=m M lên mt phJng (P) Quy tc chung:
+ i!m thuc mt ph/ng thì hình chiu c+a i!m ó lên mt ph/ng là chính nó; + i!m không thuc mt ph/ng:
- D,ng mt ng th/ng d qua i!m A và vuông góc v#i (P); - DFNG 3
- Tìm giao i!m c+aH c+a d và mt ph/ng (P). Khi ó, H chính là hình chiu c+a i!m A lên (P)
DNG 6: Tìm hình chiu ca ng thJng d ( không vuông góc v i (P)) lên mt phJng (P). Cách 1:
Chn trên d hai i!m A & B. (nu d ct (P) nên chn 1 i!m là giao c+a d và (P))
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 75
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
+ Tìm hình chiu A’, B’ ln l 0t c+a A, B lên (P).
+ ng th/ng d’ qua A’, B’ chính là hình chiu c+a d lên (P) Cách 2:
+ Chn mt ph/ng (Q) cha d và Q (P) ;
+ Khi ó, giao tuyn d’ c+a (P) và (Q) chính là hình chiu c+a d lên (P).
DNG 7: T7 s khong cách d( , A (P)) AM
+ Nu ng th/ng AB ct (P) ti M thì:
d(B,(P)) BM
+ Nu AB song song v#i (P) thì d( ,
A (P)) d(B,(P)).
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 76
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool I. MT S KIN THC B SUNG
1/ Các h thc l%ng trong tam giác vuông
Cho ABC vuông ti A, AH là ng cao, AM là ng trung tuyn. Ta có: A 1 1 1 S . a h . b h . ABC c h 2 a 2 b 2 c 1 1 1 S absinC bcsin A acsin ABC B 2 2 2 abc B C S , . ABC
SABC p r H M 4R
a b c
S ABC p p a p b p c, p 2 BC AM 2
2/ Các h thc l%ng trong tam giác thng 2 2 2 a) nh lí hàm s cosin
b c a A 2 2 2
a b c 2bc cos A cos A 2bc 2 2 2
a c b c b 2 2 2
b a c 2ac cos B cos B 2ac 2 2 2 2 2 2
a b c
c a b ab C C B a C 2 cos cos 2ab b) nh lí hàm s sin A a b c c = = = 2R b sin A sin B sinC B C
(R là bán kính ng tròn ngoi tip ABC) R a
c) Công thc >nh di%n >ch c+a tam giác A 1 1 1 S a.h b.h c. ABC h 2 a 2 b 2 c c b 1 1 1 S ab sin C bc sin A ac sin ABC B 2 2 2 abc B a C S , S p. ABC r 4 ABC R p – na chu vi
a b c
S ABC p p a p b p c, p 2
r – bán kính ng tròn
d) Công thc >nh dài ng trung tuyn c+a tam giác A 2 2 2 2 2 2 2 AB AC BC K N AM BA BC AC 2 BN 2 4 . 2 4 . 2 2 2 M 2 CA CB AB B C CK 2 4 .
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 77
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool 3/ nh lí Talet / / AM AN MN MN BC k A AB AC BC 2
SAMN AM 2 k M N S ABC AB B C
(T din tích bng t bình phng ng dng)
4/ Din ;ch ca a giác B
a/ Din :ch tam giác vuông 1 ⇒ S = AB.AC ΔABC 2
Di%n >ch tam giác vuông b1ng ½ >ch 2 cnh A C góc vuông.
b/ Din :ch tam giác u B 2 ⎧⎪ a 3 2 canh 3 S ⎪⎪ = AB Δ C ⎪ Di%n >ch tam giác -u: S ⎪ 4 4 a ⇒ ⎨ h ⎪⎪ a 3 . canh 3 h ⎪ = ⎪ ⎪⎩ 2 Chi-u cao tam giác -u: h A C 2 A B
c/ Din :ch hình vuông và hình ch4 nht 2 S ⎧⎪ = a HV ⎪ a ⎪ ⇒ O ⎨ ⎪
Di%n >ch hình vuông b1ng cnh bình ph ng.
AC = BD = a 2 ⎪ D C ⎪⎩
ng chéo hình vuông b1ng cnh nhân 2 .
Di%n >ch hình ch nh*t b1ng dài nhân rng.
d/ Din :ch hình thang A D Di%n >ch hình thang:
(AD + BC ).AH 1 ⇒ S =
SHình Thang .(áy l#n + áy bé) x chi-u cao 2 2 B H C
e/ Din :ch t giác có hai )ng chéo vuông góc B
Di%n >ch t giác có hai ng chéo vuông góc 1 A C ⇒ S = AC.BD
nhau b1ng ½ >ch hai ng chéo. H .Thoi 2
Hình thoi có hai ng chéo vuông góc nhau ti trung i!m c+a m.i ng. D
L+u ý: Trong >nh toán di%n >ch, ta có th! chia a giác thành nhng hình n gin d >nh di%n
>ch, sau ó cng các di%n >ch 0c chia này, ta 0c di%n >ch a giác.
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 78
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool
5. M t s" phép bin 1i ? th&
1. Các phép bin 1i n gi/n. a. Hai i!m M ;
x y và M ;xy i xng v#i nhau qua tr(c hoành . b. Hai i!m M ;
x y và M ;x y i xng v#i nhau qua tr(c tung . c. Hai i!m M ;
x y và M ;xy i xng v#i nhau qua gc to O .
T$ các phép bin i n gin này ta có.
2. Các phép bin 1i ? th&.
a. th c+a hai hàm s y f x và y f x i xng v#i nhau qua tr(c hoành.
b. th c+a hai hàm s y f x và y f x i xng v#i nhau qua tr(c tung.
c. th c+a hai hàm s y f x và y f x i xng v#i nhau qua gc ta O.
H qu/ 1. th hàm s ch-n nhn tr'c tung làm tr'c i xng.
H qu/ 2. th hàm s l. nhn gc t%a O làm tâm i xng.
T$ các kt qu trên ta có các dng c bn v- th c+a hàm s có cha d"u giá tr tuy%t i. 3. Các d0ng c b/n
D0ng 1. T th (C) ca hàm s y f x , suy ra cách v@ th (G) ca hàm s y f x f x khi 0 f x
Li gii. Ta có y f x f
x khi f x 0
Suy ra G C C 1
2 v#i C1 là phn th (C) n1m phía trên tr(c hoành yC 0 , còn 2 C
là phn i xng qua tr(c hoành c+a phn th (C) n1m phía d #i tr(c hoành y 0 C
D0ng 2. T th (C) ca hàm s y f x , suy ra cách v@ th (H) ca hàm s y f x
L=i gi/i. Vì x x nên y f x là hàm s ch6n, suy ra th (H) nh*n tr(c tung làm tr(c i
xng. Vì v*y (H) 3 C 4 C v#i 3
C là phn th c+a (C) n1m bên phi tr(c tung x 0, còn C
4 là phn i xng c+a C3 qua tr(c tung.
D0ng 3. T th (C) ca hàm s y f x , suy ra cách v@ th (K) ca hàm s y f x f x khi 0 f x
Li gii. Ta có y f x f
x khi f x 0 Suy ra (K) 1
H H2 v#i 1
H là phn th c+a (H) c+a hàm s y f x n1m phía trên tr(c
hoành y 0 H H
,còn 2 làphni xngquatr(choành c+aphnth (H)2phía d #itr(c
hoành y 0 H . ux ux
D0ng 4. T th (C) ca hàm s y
, suy ra cách v@ th (L) ca hàm s y vx vx
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 79
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool ux
ux vx khi ux 0
Li gii. y
vx u x v
x khi ux 0
Suy ra L 1 C 2 C v#i 1
C là phn c+a th (C) có hoành th3a mãn i-u ki%n ux 0 và 2
C là phn i xng qua tr(c hoành c+a phn th (C) có hoành th3a mãn ux 0. ux ux
D0ng 5. T th (C) ca hàm s y
, suy ra cách v@ th (M) ca hàm s y . vx vx ux
ux vx khi vx 0
Li gii. y vx u x v
x khi vx 0
Suy ra M 3 C 4 C v#i 3
C là phn c+a th (C) có hoành th3a mãn i-u ki%n vx 0 và 4
C là phn i xng qua tr(c hoành c+a phn th (C) có hoành th3a mãn vx 0 . ux ux
D0ng 6. T th (C) ca hàm s y
, suy ra cách v@ th (N) ca hàm s y . vx vx ux ux
ux vx khi vx 0
Li gii. y
vx u x ux v
x khi vx 0 Suy ra N y 0 C 5 C 6 C v#i 5
C là phn c+a th (C) n1m phía trên tr(c hoành và y 0 C 6
C là phn i xng qua tr(c hoành c+a phn th (C) n1m phía d #i tr(c hoành . ux u x
D0ng 7. T th (C) ca hàm s y
, suy ra cách v@ th (Q) ca hàm s y . vx v x u x
L=i gi/i. Vì x x nên y
là hàm s ch6n, suy ra th (Q) nh*n tr(c tung làm tr(c i v x xng. Vì v*y ( ) Q 7 C 8 C v#i 7
C là phn th c+a (C) n1m bên phi tr(c tung x 0, còn 8
C là phn i xng c+a 7 C qua tr(c tung. ux u x
D0ng 8. T th (C) ca hàm s y
, suy ra cách v@ th (R) ca hàm s y vx v x
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 80
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool u x u x
u x v
x khi v x 0
Li gii. y v x u x u x v
x khi v x 0 u x
Suy ra R 1 Q 2 Q v#i 1
Q là phn th (Q) c+a hàm s y n1m phía trên tr(c v x
hoành y 0 Q , còn Q
2 là phn i xng qua tr(c hoành c+a phn th (Q) 2 phía d #i tr(c
hoành y 0 Q . 6. Công th*c 0o hàm
6.1. Các quy tLc tính o hàm (Ký hiu U=U(x), V=V(x)). U
U .V U.V
U V UV UV U V UV
{f[U(x)]} / = f ' . U 2 x V V u x sin x 1 U ' lim 1
kU k.U '
UVW ' U 'VW UV 'W UVW ' x0 x 2 U U
6.2. Các công thc tính o hàm: Tên hàm s" Công th*c 0o hàm 0o hàm c(a hàm s" h2p Các hàm s" C =0 (C là h1ng s) th+=ng g;p x ' =1, (kx)’=k (k là h1ng s ) 1 n .u' u 0 n n 1 u u n
x =n.xn-1 (nN, n 2) u 1
.u .u' 1 1 / 1 u (x 0) (u 0) 2 x x 2 u u 1 n 1 n .u' (u 0) n n 1 (x 0) x x n n 1 u u ( x) 1 u = (x>0) u / (u 0) 2 x 2 u n x' 1 (x 0) nu' 1 .u' (u 0) n n 1 n x n n 1 n u Hàm s" l+2ng
sin x/ cosx sinu/ / cos . u u giác
cosx/ sin x cosu/ / sin . u u tanx/ 1 2 1 1 tan x tanu/ / .u 2 cos x 2 cos u x/ 1 cot 1 2 1 cot x cotu/ / .u 2 sin x 2 sin u Hàm lEy thIa (xH)/= H x H -1 (uH)/= H u H -1u/
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 81
Thy Nguyn c Thng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Tr ng PTLC Vinschool Hàm s" mE (ex )’ = ex ( eu)’ = u’ .eu (ax)’ = axlna ( au)’ = u’ .au.lna Hàm logarít 1 u' (lnx )’ = x (x>0) ( lnu)’ = u (u>0) 1 u' (ln /x/ )’ = x (xE0) ( ln /u/ )’ = u (uE0) 1 u'
( loga x )’ = x lna (x>0, 0( loga u )’ = ulna (u>0, 01 u'
( loga x )’ = x lna (x>0, 0( loga u )’ = ulna (u>0, 0' (n) (n 1 )
6.3. o hàm cp cao: f (x) f (x)
T#ng các con trai, em trai, các cháu ca tôi!
Hà Ni, ngày 06 tháng 4 n=m 2017
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M, Nam T Liêm, Hà Ni Page 82