Tài liệu chủ đề nhị thức Niu-tơn

Tài liệu gồm 40 trang, bao gồm kiến thức trọng tâm, hệ thống ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm tự luyện chủ đề nhị thức Niu-tơn, có đáp án và lời giải chi tiết; giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 2.

72 36 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 8: Đại số tổ hợp (KNTT)

Môn: Toán 10

Thông tin:

40 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Trang 1
CHỦ ĐỀ NHỊ THỨC NIU-TƠN
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Công thức nhị thức Niu-tơn
Ta có
0 1 1 1 1
0
. . . ... . . . . . .
n
n
n n n n n n k n k k
n n n n n
k
a b C a C a b C a b C b C a b
2. Một số kết quả quan trọng
Với
1,
a b
ta có công thức
0 1 1
2 ... .
n n n
C C C C
Với
1;
a b x
, ta có công thức
0 1 2 2
1 . . ... .
n
n n
n n n n
x C C x C x C x
Với
1; ,
a b x
ta có công thức
0 1 2 2 3 3
1 . . . ... 1 .
n n
n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
Với
1; 1,
a b
ta có
0 1
0 ... 1 ... 1 .
k n
n k n
n n n n
C C C C
3) Chú ý
Trong biểu thức ở vế phải của khai triển
n
a b
- Số các hạng tử là
1
n
- Số hạng thứ
1
k
của khai triển là
1
. .
k n k k
k n
T C a b
- Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0; số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ
của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước
0 0
1
a b
);
- Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối đều bằng nhau.
- Các công thức lũy thừa thường dùng:
.
1
1
. ;
m
m n m n m n n
n
n
n
m m n
m
n
m
n
n n
a
a a a a a
a a
a a
a a a a
II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Dạng 1. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển không có điều kiện
Phương pháp:
- Bước 1: Viết khai triển dạng tổng quát:
1
0
. . . .
n
n
k n k k k n k k
n k n
k
a b C a b T C a b

- Bước 2: Dựa vào giả thiết yêu cầu tìm hệ số của
m
x
, giải phương trình
m f k k

- Bước 3: Thay vào biểu thức của T và kết luận
Ví dụ 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x
4
trong khai triển
9
3 ?
x
Lời giải:
Trang 2
Ta có
9
9 9
9
1
3 . . 3
k
k k
k
x C x
- Hệ số của số hạng chứa x
k
trong khai triển sẽ là:
9
9
3
k
k
T C
- Số hạng chứa x
3
tức
3
k
là
6
3
9
3 61236
T C
Ví dụ 2. Tìm hệ số của số hạng chứa x
5
trong khai triển
12
2 1 ?
x
Lời giải:
Ta có
12 12
12 12 12
12 12
1 1
2 1 . 2 . 1 1 2 .
k k k k k
k k
k k
x C x C x
- Hệ số của số hạng chứa x
k
trong khai triển sẽ là:
12
12
1 2
k k
k
T C
- Số hạng chứa x
5
tức
5
k
là:
5
5
12
2 25344
T C
Ví dụ 3. Tìm hệ số của số hạng chứa x
15
trong khai triển
12
2
3 ?
x x
Lời giải:
Ta có
12 12
12
12 12 12
2 12 12 12 24
12 12
1 1
3 3 .3 . 1 .3 . 1
k k
k k k k k k
k k
x x x x x C x C x
- Hệ số của số hạng chứa
24
k
x
trong khai triển sẽ là:
12
12
.3 . 1
k
k k
T C
- Số hạng chứa x
15
tức
24 15 9
k k
1à
9 9
12
3 .
T C
Ví dụ 4. Tìm hệ số của số hạng chứa x
11
trong khai triển
10
2
2
?
x
x
Lời giải:
Ta có
10 10
10 10
10
2 2 3 10
10 10
1 1
2 2
. . 2 . .
k
k
k
k k k
k k
x C x C x
x x
- Hệ số của số hạng chứa
3 10
k
x
trong khai triển sẽ là:
10
10
2 .
k
k
T C
- Số hạng chứa x
11
nên có
3 10 11 7,
k k
hệ số đó 1à
3
7
10
2 .
T C
Ví dụ 5. Tìm hệ số của số hạng chứa x
4
trong khai triển
12
1
2 ?
x
x
Lời giải:
Ta có
12 12
12 12
12
2 12
12 12
1 1
1 1
2 . 2 . 1 .2 . .
k
k k
k k k k
k k
x C x C x
x x
Trang 3
- Hệ số của số hạng chứa
2 12
k
x
trong khai triển sẽ là:
12
12
1 .2 .
k
k k
T C
- Số hạng chứa x
4
nên có
2 12 4 8,
k k
hệ số đó 1à
8 8
12
2 .
T C
Ví dụ 6. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
10
4
1
?
x
x
Lời giải:
Ta có
10 10
10 12
5 10
10 10
4 4
1 1
1 1
. . .
k
k
k k k
k k
x C x C x
x x
- Hệ số của số hạng chứa
5 10
k
x
trong khai triển sẽ là:
5 10
10
.
k k
T C x
- Số hạng không chứa x tức là
5 10 0 2,
k k
hệ số đó 1à
2
10
45
T C
Ví dụ 7. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
12
2
4
1
?
x
x
Lời giải:
Ta có
12
12 12
12
2 2 4 6 48
12 12
4
0 0
1
. . .
k k
k k k
k k
x C x x C x
x
- Số hạng không chứa x ứng với
6 48 0
8
0 12
k
k
k
Vậy số hạng không chứa x bằng:
8
12
495.
C
Ví dụ 8. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
15
3
2
2
?
x
x
Lời giải:
Ta có
15
15 15
15
3 3 2 15 5 30
15 15
2
0 0
2
. . 2 2 . .
k k
k k k k
k k
x C x x C x
x
Số hạng không chứa x ứng với
5 30 0
6
0 15
k
k
k
Vậy số hạng không chứa x bằng:
15 6 6
15
2 . 2562560.
C
Ví dụ 9. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
10
2
3
1
?
x
x
Lời giải:
Trang 4
Ta có:
10
10 10
10
2 2 3 5 30
10 10
3
0 0
1
. . .
k k
k k k
k k
x C x x C x
x
Số hạng không chứa x ứng với
5 30 0
6.
0 10
k
k
k
Vậy số hạng không chứa x bằng:
6
10
210.
C
Ví dụ 10. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
10
5
5
1
?
x
x
Lời giải:
Ta có :
10
10
1 1 2
10 10
2
5
5 5 5
10 10
5
0 0
1
. . .
k
k
k
k k
k k
x C x x C x
x
Số hạng không chứa x ứng với
2
2 0
5.
5
0 10
k
k
k
Vậy số hạng không chứa x bằng:
5
10
252.
C
Ví dụ 11. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
12
1
?
x
x
Lời giải:
Ta có:
12
12
1 3
12 12
6
1
2 2
12 12
0 0
1
. . .
k
k
k
k k
k k
x C x x C x
x
Số hạng không chứa x ứng với
3
6 0
4
2
0 12
k
k
k
Vậy số hạng không chứa x bằng:
4
12
495
C
Ví dụ 12. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
16
3
1
?
x
x
Lời giải:
Ta có:
16
1 4
16 16
16
16
1
3
3 3
16 16
0 0
1
. . .
k
k
k
k k
k k
x C x x C x
x
Số hạng không chứa x ứng với
4
16 0
12.
3
0 16
k
k
k
Trang 5
Vậy số hạng không chứa x bằng:
6
12
1820
C
Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển có điều kiện
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm n dựa vào điều kiện đề bài cho
- Bước 2: Quy về dạng 1 đã biết
Ví dụ 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x
4
trong khai triển
9
3 ?
x
Lời giải:
Ta có
9
9 9
9
1
3 . . 3
k
k k
k
x C x
Hệ số của số hạng chứa x
k
trong khai triển sẽ là:
9
9
3
k
k
T C
Số hạng chứa x
3
tức
3
k
là
6
3
9
3 61236
T C
Ví dụ 1. Cho biết trong khai triển
3
2
1
n
x
x
tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba bằng
11. Tìm hệ số của x
2
?
Lời giải:
Vì tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba bằng 11 nên ta có:
0 1 2
! !
11 10
1 ! 2 2 !
n n n
n n
C C C
n n
2
. 1
10 20 0 4 5 0 4
2
n n
n n n n n n
Ta có:
4
4 4
4
3 3 2 5 8
4 4
2
0 0
1
. . .
k k
k k k
k k
x C x x C x
x
Số hạng chứa x
2
ứng với
5 8 2
2.
0 4
k
k
k
Vậy số hạng chứa x
2
bằng:
2
4
6.
C
Ví dụ 2. Cho biết trong khai triển
2
1
,
n
x
x
tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba bằng
46. Tìm hạng tử không chứa x.
Lời giải:
Vì tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba bằng 46 nên ta có:
0 1 2
. 1
! !
46 45 45
1 ! 2 2 ! 2
n n n
n n
n n
C C C n
n n
Trang 6
2
90 0 9 10 0 9
n n n n n
Ta có
9
9 9
9
2 2 1 3 9
9 9
0 0
1
. . .
k k
k k k
k k
x C x x C x
x
Số hạng không chứa x ứng với
3 9 0
3.
0 9
k
k
k
Vậy số hạng không chứa x bằng:
3
9
84
C
Ví dụ 3. Tìm hệ số không chứa x trong khai triển biểu thức
3
4
3
2
1
0 .
n
A x x
x
Trong đó n là số
nguyên dương thỏa mãn:
3 1 2
30 17
n n n
A C C
Lời giải
Ta có:
3 1 2
30 17 1 2 15 1 17
n n n
A C C n n n n n n
3 2
18 18 17 0 17
n n n n
Với
17
n
ta có số hạng tổng quát:
17
2 17 343
3 12 3
4
1 17 17
0 17,
k k
k
k k
k
T C x x C x k k
Cho
17 34
8
12 3
k
k
. Vậy số hạng không chứa x là
8
17
24310
C
Ví dụ 4: Cho khai triển
.
3
3
2
3
.
n
x
x
Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên của khai triển là 631.
Tìm hệ số của số hạng chứa x
5
.
Lời giải
Ta có:
3 13
3 3
2 6
3 3
2 2
0 0
3 3
3 . .
n k
n k
n n
n k
k k k
n n
k k
x C x C x
x x
Từ đó tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên của khai triển là:
2
0 0 1 2 2
0
9 1
3 . 3 . 3. 3 631 1 3 631 12
2
k k
n n n n
k
n n
C C C C n n
Khi đó ta có:
12
13
12
18
3
6
3
2
0
3
3 . .
k
k k
n
k
x C x
x
Hệ số của số hạng chứa x
5
là:
12
3 .
k k
T C
Với k thỏa mãn:
6 6
12
13
18 5 6 3 .
6
k
k T C
Ví dụ 5. Tìm hệ số của số hạng chứa x
15
trong khai triển
3
2 3
n
x
thành đa thức, biết n là số nguyên
Trang 7
dương thỏa mãn hệ thức
3 1 2
8 49
n n n
A C C
Lời giải
+) Điều kiện:
3
n
+) Ta có
3 1 2 3 2
. 1
8 49 1 2 8. 49 7 7 49 0
2
n n n
n n
A C C n n n n n n n
2
7 7 0 7
n n n
+) Với
7
n
ta có khai triển
7 7
7
7 7
3 3 3
7 7
0 0
2 3 . 2 . 3 .2 . 3 .
k
k k
k k k k
k k
x C x C x
Xét hạng tử x
15
suy ra
3 15
k
hay
5.
k
Từ đó hệ số của hạng tử x
15
bằng
2
5 5
7
.2 . 3 6048
C
Ví dụ 6. Tìm hệ số của hạng tử chứa x
8
trong khai triển nhị thức Newton
5
3
1
n
n
n x
x
biết rằng n là số
nguyên dương thỏa mãn
1
4 3
7 3 .
n n
n n
C C n
Lời giải
1 1
4 3 3 3 3
1
3
7 3 7 3
3 !
7 3 7 3 2 14 12
1 !2!
n n n n n
n n n n n
n
n
C C n C C C n
n
C n n n n
n
Ta có
12
12
5 60 11
12 12
5 5 12
2 2
12 12
3 3 3
0 0
1 13 13
12 12 13 12
k
n k
k
k k k k
k k
n
n x x C x C x
x x x
Ta có
60 11
8 4,
2
k
k
do đó hệ số là
4 4 8
12
13 12 .
C
Ví dụ 7: Với mọi số nguyên dương n, khai triển nhị thức
1
3
n
x
theo thứ tự số mũ giảm dần, tìm số
hạng đứng giữa của khai triển biết hệ số của số hạng thứ ba là 5.
Lời giải
Ta có
0 1 1 2 2
1 1 1 1
... .
3 3 9 3
n n
n n n n
n n n n
x C x C x C x C
Hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển bằng
2
1
.
9
n
C
Theo giả thiết
2 2
1 !
5 45 90 0 10.
9 2! 2 !
n
n
C n n n
n
Trang 8
Với
10
n
ta có 11 số hạng nên số hạng đứng giữa là số hạng thứ 6, tức là bằng
5
5 5 5
10
1 28
.
3 27
C x x
Ví dụ 8. Cho biết hệ số của số hạng thứ tư của khai triển
2
5
1
, 0
2
n
x x
x x
bằng 70. Hãy tìm số
hạng không chứa x trong khai triển đó.
Lời giải
Ta có
6 6 16
2
2 2 2
5 5 5
5
0 0
1 1 1 1
. . .
2 2 2
2 .
n k
n
k
k
n n
n
n k
k k
n n
k k
x x x C x x C x
x x
Hệ số của số hạng thứ tư tương ứng với
3
k
tức là:
3
3 3 2
1 !
. 7 56 3 2 336 0 8
2 3! 3 !
n
n
C n n n n
n
Tìm số hạng không chứa x ta có:
16
2 0 5
5
k
n k
nên số hạng đó là
5
8
5
1 7
.
2 4
C
Ví dụ 9. Tìm hệ số của x
5
trong khai triển của
4
n
x x x
biết
3 2
1330
n n
C C
Lời giải
Ta có
3 2
1 !
! ! ! 1 1 ! 1
. 1330
3! 3 ! 2! 2 ! 2! 3 ! 3 2 2! 3 ! 3 2 3! 2 !
n n
n
n n n n n
C C
n n n n n n n
3
1 1 1330.3! 1330 0 20
n n n n n n
Khi đó ta cần tìm hệ số của x
5
trong khai triển của
20
3 1
20
4
2 4
x x x x x
Gọi số hạng phải tìm là T(k) ta có:
3 1 5
20 5
2 4 4
20 20
5
5 5 8
4
k k k
k k
T k C x x C x k k
Vậy hệ số của x
5
là
8
20
125970
C
Ví dụ 10. Cho khai triển
3
.
n
x
x
Tìm hệ số của x
2
trong khai triển trên biết tổng hệ số của khai triển
là 1024.
Lời giải
Ta có khai triển Niu tơn:
3
2
0 0
3 3
1 .3 , 0.
n n i
i
n n
i
n
i
i i n i
n n
i i
x C x C x x
x x
Tổng hệ số của khai triển là
0
1 3 3 1 2 .
n
i n
n i n
i
Theo giả thiết ta tìm được
10
n
Trang 9
Khi đó,
10
3
10
10
10
2
10
0
3
1 3 , 0
i
i
i i
i
x C x x
x
Để có số hạng chứa x
2
thì
3
10 2 8
2
i
i
Hệ số cần tìm là
2 8
10
3 405
C
Ví dụ 11. Tìm hệ số của x
7
trong khai triển nhị thức
4
3
1
2 , 0 .
n
x x
x
Biết rằng n là số tự nhiên thỏa
mãn
2 2
2 112
n n
C A n
Lời giải
Ta có
4 4 4 7
3 3
0 0 0
1 1
2 2 2
n k
n n n
n k
n k
k k n k
n n
k k k
x C x C x
x x
Theo bài, n là số tự nhiên thỏa mãn
2 2 2
5
2 112 5 112 1 112 7
2
n n n
C A n C n n n n n
Hệ số của x
7
trong khai triển là
7
7
2 .
k k
T C
ứng với
4.7 7 7 3 560
k k T
Ví dụ 12. Tìm hệ số của x
4
trong khai triển biểu thức
3
2
,
n
x
x
biết n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức
6 2
4
454.
n
n n
C nA
Lời giải:
Ta có:
3 3 4
0 0
2 2
1 1 2
n n k
n n
k
k k n k
k k k n
n n
k k
x C x C x
x x
Theo bài,
6 2 2
4
1
454 4 5 454 8
2
n
n n
C nA n n n n n n
Vậy hệ số của x
4
trong khai triển là:
8
8
1 2
k k
k
T C
ứng với
4 8 4 3 1792
k k T
Ví dụ 13. Tìm hệ số của x
9
trong khai triển:
2
*
1 3 ; ,
n
x n
biết
2 3
2 14 1
.
3
n n
C C n
Lời giải
Ta có:
2 2
2
2 2
0 0
1 3 1 3 3
n n
n k k
k k
k k
n n
k k
x C x C x
Theo bài:
2 3
2 14 1 4 28
1 9
3 1 1 2
n n
n
C C n n n n
Trang 10
Vậy hệ số của x
9
trong khai triển là:
18
3
k
k
T C
ứng với
9 3938220 3
k T
Ví dụ 14. Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển
3
2
2
5
n
n
x
thành đa thức, biết n là số nguyên
dương thỏa mãn hệ thức
3 2 1
6 4 100.
n n n
A C C
Lời giải:
Ta có:
3 2 1
! !
6 4 100 6. 4 100
3 ! 2!. 2 !
n n n
n n
A C C n
n n
(với
; 3
n n
)
3
1 2 3 1 4 100 5 100 5
n n n n n n n n n
Với
5
n
xét khai triển
3
15
15
2 2 2 15
15
0
2
2 .2
5
n
k k k
n
A x x C x
Số hạng chứa x
8
tương ứng
2 8 4.
k k
Vậy hệ số chứa x
8
trong khai triển là
4 11
15
C .2 2795520
Ví dụ 15. Tìm hệ số của số hạng chứa
1
x
trong khai triển
2
3
3
2
n
x
x
thành đa thức, biết n là số nguyên
dương thỏa mãn hệ thức
3 3 2 1
1 1 3
. .
n n
n n n n
C C C C
Lời giải
Ta có:
3 3 2 1
1 1 3
1 ! 1 !
!
. . 3
3! 3 ! 2! 3 ! 2 !
n n
n n n n
n n
n
C C C C n
n n n
(với
; 3
n n
)
2
1 2 1 2
1 3 2 3 2 6 3
6 2
11 12 0 12.
n n n n n
n n n n n n
n n n
Khi đó xét khai triển
12
12 12
12
12
2 2 3 5 36
12 12
3
0 0
3
2 2 . 3 2 . 3
k k
k
k k k k
A x C x x C x
x
Số hạng chứa
1
x
tương ứng
5 36 1
5 36 1 7
k
x x k k
Khi đó hệ số của số hạng chứa
1
x
là:
5
7 7
12
.2 . 3 24634368
C
Ví dụ 16. Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển
3
2
n
x
x
thành đa thức, biết n là số
nguyên dương thỏa mãn hệ thức
6 7 8 9 8
2
3 3 2 .
n n n n n
C C C C C
Lời giải:
Trang 11
Áp dụng công thức:
1
1 1
k k k
n n n
C C C
Ta có:
6 7 8 9 6 7 7 8 8 9 7 8 9
1 1 1
3 3 2 2
n n n n n n n n n n n n n
C C C C C C C C C C C C C
8 9 9
2 2 3
.
n n n
C C C
Như vậy ta có:
9 8
3 2
3 ! 2. 2 !
3
2 2 15
9!. 6 ! 8! 6 ! 9
n n
n n
n
C C n
n n
Khi đó xét khai triển
15
15
1 30 5
1
15 15
3
3 6
2
15 15
0 0
2
. 2 .2 .
k k
k
k k k
A x C x x C x
x
Số hạng không chứa x tương ứng
30 5
0 6
6
k
k
Vậy số hạng không chứa x là
6 6
15
.2 320320
C
Dạng 3. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhiều hạng tử
Phương pháp:
- Bước 1: Viết khai triển thu gọn về 2 hạng tử
Ta có
0 0 0
. . . . . .
n n k
n
n k
k n k k i k i i n k
n n k
k k i
a b c a b c C a b c C C a b c
Ở đây
0
0
k n
i k
- Bước 2: Dựa vào chỉ số mũ của x để biện luận tìm i và k.
- Bước 3: Kết luận về hệ số của số hạng cần tìm.
Ví dụ 1. Tìm hệ số của x
6
trong khai triển
7
2
1 1
x x
thành đa thức.
Lời giải
Cách 1: Ta có
7 7
7
2 2 2
7 7
0 0 0
1 1 1
k
k
k k k i i
k
k k i
x x C x x C x C x
Vậy ta có hệ số của x
6
là
7
k i
k
C C
thỏa mãn:
0
0 7
3
2 6
2
,
2
i
i k
k
k i
i
i k
k
Vậy hệ số của x
6
trong khai triển là:
3 0 2 2
7 3 7 2
56
C C C C
Cách 2: Ta có:
7
2 7
2 0 1 2 2 4 7 14
7 7 7 7
1 1 1 1 ... 1
x x C C x x C x x C x x
Nhận thấy x
6
chỉ có trong:
2 3
2 4 3 6
7 7
1 1
C x x C x x
Vậy hệ số của x
6
trong khai triển là:
2 3
7 7
56
C C
Trang 12
Ví dụ 2. Tìm hệ số của x
8
trong khai triển
8
2
1 1 2
x x
Lời giải
Ta có
8 8
8
2 2 2
8 8
0 0
1 1 2 1 2 1 2
k
k
k k k
k k
x x C x x C x x
8 8
2 3
8 8
0 0 0 0
1 2 2 .
k k
k i k i
k k i i k i k i k i
k k
k i k i
C x C x C C x
Tìm hệ số x
8
thì
3
1
3 8
8 0
4
4
k
i
k i
k i
k
i
nên hệ số của x
8
là
2 0
3 1 4 4
8 3 8 4
. . 2 . . 2 742
C C C C
Ví dụ 3. Tìm hệ số của x
8
trong khai triển đa thức của:
8
2
1 1
x x
Lời giải
Cách 1: Ta có
8 8
2 2
8 8
0 0 0
1 .
k
k
k
k k k i i
k
k k i
f x C x x C x C x
Vậy ta có hệ số của x
8
là:
8
k i
k
C C
thỏa
0
0 8
4
2 8
2
,
3
i
i k
k
k i
i
i k
k
Hệ số trong khai triển của x
8
là
0 2
4 0 3 2
8 4 8 3
1 1 238
C C C C
Cách 2: Ta có:
3 4 8
0 3 2 4 2 8 2
8 8 8 8
... 1 1 ... 1
f x C C x x C x x C x x
Nhận thấy: x
8
chỉ có trong các số hạng:
• Số hạng thứ 4:
3
3 2
8
1
C x x
• Số hạng thứ 5:
4
4 2
8
1
C x x
Với hệ số tương đương với:
3 2 4 0
8 8 3 8 4
238
a C C C C
Ví dụ 4. Cho khai triển
2 2 3 2
0 1 2 3 2
1 ...
n
n
n
x x a a x a x a x a x
(với
*
n
). Tìm hệ số của số
hạng chứa x
4
trong khai triển biết
1 2 3 2
6 6 9 14 .
n n n
C C C n n
Lời giải
Ta có:
1 2 3 3
! ! !
6 6 6. 6. 3 1 1 2
1! 1 ! 2! 2 ! 3! 3 !
n n n
n n n
C C C n n n n n n n
n n n
Theo bài
* 3 2
, 3 9 14 2 7 0 7
n n n n n n n n n
Trang 13
Suy ra
7 7 7
7
2 2 2
7 7
0 0 0 0 0
1 .
k k
k m
k k m k m m k m
k k
k k m k m
x x C x x C C x x C x
Hạng tử chứa
4
*
4
0 4
; 0;4 , 1;3 , 2;2
0 7
,
m k
k
x m k
m k
m k
Vậy hệ số của hạng tử chứa x
4
là:
4 0 3 1 2 2
7 4 7 3 7 2
. . . 161
T C C C C C C
Ví dụ 5. Tìm hệ số của x
6
trong khai triển thành đa thức của
5 7
2
2 1 3 3 1 2
P x x x x x
Lời giải
Ta có:
5 7
5 7
2 2
5 7
0 0
2 1 3 3 1 2 2 3 3 . 2
k k
k k
k k
P x x x x x x C x x C x
Suy ra số hạng chứa x
6
của P(x) là:
4 5
2 4 5
5 7
2 . 3 3 . . 2
x C x x C x
Vậy hệ số của x
6
là:
4
4 5 5
5 7
2. . 3 3. .2 1206
T C C
Ví dụ 6. Tìm hệ số của x
5
trong khai triển biểu thức
2
2
1 2 1 3 ,
n n
P x x x x biết rằng
2 1
1
A 5.
n
n n
C
Lời giải
Ta có:
2
2 2
0 0
1 2 1 3 2 . 3
n n
n n k k
k k
n n
k k
P x x x x x C x x C x
Theo bài,
2 1
1
1
5 1 5 5
2
n
n n
n n
A C n n n
Suy ra số hạng chứa x
5
là:
4 3
4 2 3
5 5
. 2 . . 3
x C x x C x
Vậy hệ số của x
5
là:
4
4 3 3
5 5
. 2 .3 350
T C C
Ví dụ 7. Tìm hệ số của x
4
trong khai triển
3
1 3 ,
n
P x x
biết rằng
2 2
1
6 5 .
n
n n
C n A
Lời giải
Ta có:
2 2
1
1
6 5 1 6 5 1
2
n
n n
C n A n n n n n
(với
; 2
n n
)
2
9 10 0 10
n n n
Khi đó
10 10
10 10 10
3 3 3
10
0 0 0
1 3 1 3 . . . 3 0 10
k
k k
k i
k i
k
k i
P x x x x C C x x i k
+) Cho
30 3 4 3 26
k i k i
ta có các cặp (i; k) thỏa mãn là: (1;9), (4;10)
+) Vậy hệ số của x
4
trong khai triển là:
1 1 4 0
9 1 10 4
10 9 10 10
. 1 . 3 1 3 480
C C C C
Trang 14
Ví dụ 8. Tìm hệ số của x
13
trong khai triển
3
3
2
1
2 1 ,
4
n
P x x x
biết rằng
3 2
14 .
n
n n
A C n
Lời giải
Ta có:
3 2
1
14 1 2 1 14 ; 3
2
n
n n
A C n n n n n n n n n
2 1 2 1 28 5
n n n n
Khi đó ta có:
6
21
15 21
21
6 6
0
1 1 1
. 2 1 2 1 2
2 2 2
k
k
P x x x C x
+) Cho
13
k
ta có hệ số của x
13
trong khai triển là:
13 13
21
6
1
. .2 26046720
2
C
Ví dụ 9. Tìm hệ số của x
4
trong khai triển
12
2
1
P x x
Lời giải
Xét khai triển:
12 12
12 12 12
2 2 2
12
0 0 0
1 1 . . 0 12
k
k k
k i
k i
k
k i
P x x x x C C x x i k
+) Cho
24 2 4 2 20
k i k i
ta có các cặp
;
i k
thỏa mãn là:
0;10 , 2;11 , 4;12
+) Vậy hệ số của x
4
trong khai triển là:
10 0 11 2 12 4
12 10 12 11 12 12
1221
C C C C C C
Ví dụ 10. Tìm hệ số của x
4
trong khai triển
1
3 1
n
x
x
biết rằng
1 2 3
1 2 1
3 8 3 .
n
n n n
C C C
Lời giải
ĐK:
2, .
n n
Ta có:
1 2 3
1 2 1
2 1 1 1 1
3 8 3 3 1 8. 3
4! 3!
n
n n n
n n n n n n n
C C C n
3 2 2
2
2 1 1
3
3 2
2
2 18 0 2 2 5 9 0
2 5 9 0
n n n n n
n Loai
n n n n n n
n n VN
Vậy không có giá trị n thỏa mãn.
Ví dụ 11. Tìm hệ số của x
8
trong khai triển
8
2
1
x x
thành đa thức?
Lời giải
Khai triển
8 8 8
8
2 8 2 2
8 8 8
0 0 0 0 0
1 .1 . . . . . 1 .
k k
k i
i
k k k i k i k i k i
k k
k k i k i
x x C x x C C x x C C x
Với hệ số của x
8
thì
8
k i
với điều kiện
0 8
,
i k
i k
thì các bộ số
;
k i
thỏa mãn là
4;4 , 5;3 , 6;2 , 7;1 , 8;0
Trang 15
Từ đó hệ số của x
8
là
4 4 5 3 6 2 7 1 8 0
8 4 8 5 8 6 8 7 8 8
. . . . . 125.
C C C C C C C C C C
Dạng 4. Khai triển có điều kiện về tổng dãy số
Phương pháp:
Các tổng đặc biệt cần lưu ý:
0 1 1
0 1 2 2
2
1
0 1 2 2 2 2 0 2 2 1 3 2 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
10 1 2 2 2 2 0 1
2 2 2 2 2 2
... 2
1 . . ... .
1 . . ... .... ...
1 . . ... . .

n n n
n n n n
n
n n
n n n n
n
x
n n n n
n n n n n n n n n n
n
xn n
n n n n n n
C C C C
x C C x C x C x
x C C x C x C x C C C C C C
x C C x C x C x C C
2 2
2
.. 2
n n
n
C
Suy ra
2
0 2 2 1 3 2 1 2 1
2 2 2 2 2 2
2
... ... 2
2
n
n n n
n n n n n n
C C C C C C
Ví dụ 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x
21
trong khai triển nhị thức Niu-tơn
3
2
2
; 0
n
x x
x
biết
0 1 2 3
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
... 1024
n
n n n n n
C C C C C
Lời giải:
+) Ta có khai triển:
2 1
0 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 ...
n
n n
n n n
x C C x C x
Cho
1
x
được:
2 1 0 1 2 2 1 0 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 ... 2 ...
n n n
n n n n n n n n
C C C C C C C C
Vì
2 1
2 1 2 1
k n k
n n
C C
Do đó:
2
1024 2 5.
n
n
+) Khi đó:
15 15
15 0
15
2 2 3 15
15 15
0 15
2 2
2
k
k
k k k k
A x C x C x
x x
Cho
3 15 21 12.
k k
Hệ số của số hạng chứa x
21
trong khai triển là: -3640
Ví dụ 2. Tìm hệ số của x
20
trong khai triển nhị thức Newton biểu thức
2
3
1
n
P x x
x
với n nguyên
dương thỏa mãn:
1 2 2 100
2 1 2 1 2 1
.... 2 1.
n n n
n n n
C C C
Lời giải
Ta có
2 1
2 1
1
n
n
C
và
0
; 2 .
n
k n k k n
n n n
k
C C C
Lại có
1 2 2 100
2 1 2 1 2 1
.... 2 1.
n n n
n n n
C C C
0 1 1 2 1 101 2 1 101
2 1 2 1 2 1 2 1
... ... 2 2 2 50
n n n
n n n n
C C C C n
Với
50
50
2 5 150
50
3
0
1
50
k k
k
n P x x C x
x
Số hạng này chứa
20
5 150 20 34
x k k
Trang 16
Vậy hệ số của số hạng chứa x
20
là
34
50
C
Ví dụ 3. Cho khai triển
2
3 2
n
x x tìm hệ số chứa x
2
trong khai triển đó.
Biết
2 4 2 19
2 2 2
... 2 1
n
n n n
C C C
Lời giải
Xét:
2
2
0 1 2
2 2 2 2
0
1 1 ...
n
n
k n
n n n n
k
C C C C
2
2
0 1 2
2 2 2 2
0
1 1 1 ...
n
n k
k n
n n n n
k
C C C C
Cộng hai vế của chúng lại ta có:
2 0 19
2
2 2 2 2 2 2 1 10
n
n
C P n
Ta có:
10 10
10
10 10 10 10
2
10 10
0 0
3 2 1 2 1 2
k i
k k i i
k i
x x x x C x C x
Khi đó hệ số chứa x
2
trong khai triển là
10 10
10 10
;
1 . 2
k i
k i
i k
C C
thỏa mãn:
1
2 0; 2
2; 0
k i
i k i k
i k
Khi
1
k i
hệ số sẽ là:
9 9
1 1 10 1
10 10 10
1 . 2 2 .
C C C
Khi
0; 2
i k
hệ số là:
8 10
2 0 10 2
10 10 10
1 . 2 2 .
C C C
Khi
2; 0
i k
hệ số là:
10 8
0 2 8 2
10 10 10
1 . 2 2
C C C
Vậy hệ số chứa x
2
trong khai triển trên là
10 1 10 2 8 2
10 10 10
2 . 2 . 2 . 67840
C C C
Ví dụ 4. Tìm hệ số của số hạng chứa x
26
trong khai triển nhị thức Niuton của
7
4
1
,
n
x
x
biết rằng
1 2 20
2 1 2 1 2 1
... 2 1
n
n n n
C C C
Lời giải
Sử dụng khai triển sau:
2 1
0 1 2 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1 ...
n
n n
n n n n
x C C x C x C x
Cho
1
x
ta có:
2 1 0 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 ...
n n
n n n n
C C C C
Mặt khác ta có công thức:
k n k
n n
C C
Do vậy:
2 1 0 1 2 20
2 1 2 1 2 1 2 1
2 2 ... 2 1 2 1 10
n n
n n n n
C C C C n
Xét khai triển
10
10 10
10
7 7 70 11
10 10
4 4
0 0
1 1
k
k
k k k
k k
x C x C x
x x
Ứng với hệ số của số hạng chứa x
26
ta có:
70 11 26 4
k k
Vậy hệ số của số hạng chứa x
26
là
4
10
C
Trang 17
Ví dụ 5. Cho
0
x
và
1 2 3 2 1 2 2 1 36
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
... 2 .
n n n n n n
n n n n n n
C C C C C C
Tìm số hạng không phụ thuộc
x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
5
1
.
n
x
x
Lời giải
Ta có
2 1
2 1 2 1
: 0 2 1
k n k
n n
C C k k n
nên
1 2 3 2 1 2 2 1 0 1 2 2 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1
... ...
2
n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n n
C C C C C C C C C C C C
Mà
2 1
0 1 2 2 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 1 ...
n
n n n
n n n n n n
C C C C C C
suy ra
36
2 2 18
n
n
18 18
18 18
6 18
5 5 5
5
18 18
0 0
1 1 1
. 1 .
n k
k k
k k
k k
x x C x C x
x x x
Số hạng không phụ thuộc x ứng với
6 18
0 3.
5
k
k
Suy ra số hạng cần tìm là
3
3
18
1 816
C
Ví dụ 6. Cho đẳng thức
1 2 3 2 1 2 8
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
... 2 1.
n n n n n
n n n n n
C C C C C
Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển
3 4
1 .
n
x x x
Lời giải
Đặt
1 2 3 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
...
n n n n n
n n n n n
S C C C C C
Ta có
2 1
0 1 2 1 1 2 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 1 ... ...
n
n n n n n n
n n n n n n n n n
C C C C C C C C C
2 1 0 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 2 8
44
4
3 4 3 3
0 1 2 2 3 3 4 4 0
4 4 4 4 4 4
2 ... ...
2 2 2 2 1 2 2 4
1 1 1 1 1
n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n
n n n
n
C C C C C C C C C C
S S n
x x x x x x x x
C C x C x C x C x C
1 3 2 6 3 9 4 12
4 4 4 4
.C x C x C x C x
Ta có hệ số của x
10
là:
1 3 4 2
4 4 4 4
. . 10
C C C C
Ví dụ 7. Tìm hệ số của x
4
trong khai triển biểu thức
2
1 2
n
x x
biết n là số nguyên dương thỏa mãn
0 2 4 2
2 2 2 2
... 512.
n
n n n n
C C C C
Lời giải:
Xét các khai triển sau:
2
0 1 2 2 2 2
2 2 2 2
1 ...
n
n n
n n n n
x C C x C x C x
Với
2 0 1 2 2
2 2 2 2
1 2 ... 1
n n
n n n n
x C C C C
2
0 1 2 2 2 2
2 21 2 2
1 ...
n
n n
n n n
x C C x C x C x
Với
0 1 2 2
2 2 2 2
1 0 ... 2
n
n n n n
x C C C C
Trang 18
Cộng vế với vế (1) và (2) ta được
2 0 2 2
2 2 2
2 2 ... 512.2 1024 5
n n
n n n
C C C n
Xét khai triển
10 2
5 4 3
2 0 1 2 2 2
5 5 5
1 2 1 1 2 1 2 ...
x x C x C x x C x x
Các số hạng chứa x
4
trong các số hạng trên là:
5
0 0 1 4
5 5 5
4
1 2 1 2 2 2
5 5 4
2
4
2 2 2 0 4
5 5 4
1 .
1 2 . .2
1 . 2 .1.4
C x C C x
C x x C C x x
C x x C C x
Suy ra tổng hệ số của x
4
là
0 1 1 2 2 0
5 5 5 4 5 4
.2 .4 105.
C C C C C C
Ví dụ 8. Tìm hệ số của x
5
trong khai triển biểu thức
3
2
1 2 4
n
x x
biết n là số nguyên dương thỏa mãn
2 4 6 1006 503
2014 2014 2014 2014
... 2 1.
n
C C C C
Lời giải
Xét khai triển
2014
0 1 2 2 2014 2014
2014 2014 2014 2014
1 ... .
x C C x C x C x Với
2014 0 1 2 2014
2014 2014 2014 2014
1 2 ...x C C C C
2014
0 1 2 2 2014 2014
2014 2014 2014 2014
1 ... .
x C C x C x C x Với
0 1 2 2014
2014 2014 2014 2014
1 0 ...x C C C C
Cộng vế hai đẳng thức trên ta được
2014 0 2 2014 2 4 2012 2013
2014 2014 2014 2014 2014 2014
2 2 ... ... 2 2
C C C C C C
Ta có
2 4 6 1006 2012 2010 1008
2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014
... ...C C C C C C C
2 4 2012
2013
2 4 6 1006 2012
2014 2014 2014
2014 2014 2014 2014
503 2012
...
2 2
... 2 1
2 2
2 1 2 1 4.
n
C C C
C C C C
n
Xét khai triển
12 2 3
12 11 10 9
2 12 11 2 10 2 9 2
12 12 12 12
1 2 4 . 1 2 . 1 2 4 . 1 2 . 4 . 1 2 . 4 ...
x x C x C x x C x x C x x
Các số hạng chứa x
5
là
12 5
12 12 5 5 5
12 12 12 12
11 3
11 2 11 3 2 3 5
12 12 11 11
2
10 1
10 2 10 1 4 10 5
12 12 10 12
1 2 . 2 32. .
. 1 2 4 . . 2 .4 32.12. .
. 1 2 . 4 . . 2 .16 32.10. .
C x C C x C x
C x x C C x x C x
C x x C C x x C x
hệ số của x
5
là
5 3 10
12 11 12
32. 32.12 32.10. 109824
C C C
Ví dụ 9. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của
2
3
2
,
n
x
x
biết rằng
Trang 19
1 2 28
2 1 2 1 2 1
... 2 1
n
n n n
C C C
Lời giải
Xét khai triển
2 1
0 1 2 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1 ...
n
n n
n n n n
x C C x C x C x
Với
2 1 1 2 2 1 2 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 2 2 ... ... 2 2
n n n n
n n n n n n
x C C C C C C
Ta có
1 2 2 2 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
... ...
n n n n
n n n n n n
C C C C C C
1 2 1 2
2 1
1 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
28 2
... ...
2 2
... 2 1
2 2
2 1 2 1 14
n n n
n
n n
n n n n n
n n n
n
C C C C C
C C C
n
Xét khai triển
14
2
3
2
x
x
có số hạng tổng quát là
14 14
2 2
14 14
3 3
2 1
. . 2 . . .
k k
k k
k k k
k
a C x C x
x x
Xét phần tử có bậc của x bằng 0 thì sẽ có
28 2
14
2
3
3
1
. 1 1 12
k
k
k
k
x
x x k
x
x
Suy ra hệ số của x
0
là
12 12
14
2 372736
C
Ví dụ 10. Tìm số hạng không chứa x
14
trong khai triển
2
1 3 ,
n
x x
biết rằng n là số nguyên dương thỏa
mãn
1 2
... 256
n
n n n
C C C
Lời giải
Xét khai triển
0 1 2 2
1 ...
n
n n
n n n n
x C C x C x C x
Với
0 1
1 2 ... 256 8
n n
n n n
x C C C n
Xét khai triển
8 8
8 7
2 8 7 2 0 2
8 8 8
1 3 1 1 . 3 ... 3
x x C x C x x C x
Xét số hạng tổng quát là
8
2 8 16 2
8 8
. . 3 . .3 .
k
k i i k i k k i
k k
C C x x C C x
Số hạng chứa x
14
thì thỏa mãn
16 2 14 2 2 2 1
k i i k k
Với
8
k
và
i k
và
¥
,i k
Ta có
0 2
2 1 2 0 1 0
2 2
k i
k k k k i
k i
Thay 2 trường hợp thỏa mãn vào ta được hệ số của x
14
là
1 0 8 1 2 2 8 2
8 1 8 2
. .3 . .3 37908
C C C C
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Tìm số hạng chứa x
7
trong khai triển
13
1
.
x
x
A.
4 17
13
.
C x
B.
3
13
.
C
C.
3 7
13
.
C x
D.
3 7
13
.
C x
Trang 20
Câu 2. Tìm số hạng chứa x
3
trong khai triển
9
1
.
2
x
x
A.
3 3
9
1
.
8
C x
B.
3 3
9
1
.
8
C x
C.
3 3
9
.
C x
D.
3 3
9
.
C x
Câu 3. Tìm số hạng chứa x
31
trong khai triển
40
2
1
.
x
x
A.
37 31
40
.
C x
B.
37 31
40
.
C x
C.
2 31
40
.
C x
D.
4 31
40
.
C x
Câu 4. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
6
2
2
.
x
x
A.
4 2
6
2 .
C
B.
2 2
6
2 .
C
C.
4 4
6
2 .
C
D.
2 4
6
2 .
C
Câu 5. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
8
2
1
.
xy
xy
A. 70y
4
. B. 60y
4
. C. 50y
4
. D. 40y
4
.
Câu 6. Tìm số hạng chứa x
3
y trong khai triển
5
1
.
xy
y
A. 3x
3
y. B. 5x
3
y. C. 10x
3
y. D. 4x
3
y.
Câu 7. Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển
21
3
.
x xy
A.
10 40 10
21
.
C x y
B.
10 43 10
21
.
C x y
C.
11 41 11
21
.
C x y
D.
10 43 10 11 11
21 21
; .
C x y C y
Câu 8: Tính tổng S tất cả các hệ số trong khai triển
17
3 4 .
x
A.
1.
S
B.
1.
S
C.
0.
S
D.
8192.
S
Câu 9: Hệ số của x
5
trong khai triển
12
1
x
là
A. 972. B. 495. C. 792. D. 924.
Câu 10: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
6
2
1
2x
x
với
0.
x
A. 240. B. 15. C. -240. D. -15.
Câu 11: Hệ số của x
2
trong khai triển của biểu thức
10
2
2
x
x
bằng
A. 3124. B. 2268. C.13440. D. 210.
Câu 12: Tìm hệ số của số hạng chứa a
3
b
2
trong khai triển
5
2
a b
A. 40a
3
b
2
. B. 40. C. 10. D. 10a
3
b
2
.
Câu 13: Giả sử có khai triển
7
2 7
0 1 2 7
1 2 ... .
x a a x a x a x
Tìm a
5
.
A. 672x
5
. B. -672. C. -672x
5
. D. 672.
Trang 21
Câu 14: Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển
18
4
2
x
x
0.
x
A.
9 9
18
2 .
C
B.
11 7
18
2 .
C
C.
8 8
18
2 .
C
D.
8 10
18
2 .
C
Câu 15: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
12
2
1
.
x
x
A. -459. B. -495. C. 495. D. 459.
Câu 16: Tìm hệ số của số hạng chứa x
3
trong khai triển nhị thức Niu-ton của
6
2 1 .
x
A. 960. B. -160. C. -960. D. 160.
Câu 17: Tìm số hạng không chứa x trong biểu thức
11
4
1
2
f x x x
x
với
0.
x
A.
156
.
8
B.
165
.
8
C.
156
.
8
D.
165
.
8
Câu 18: Tìm hệ số của x
12
trong khai triển
10
2
2 .
x x
A.
8
10
.
C
B.
2 8
10
2 .
C C.
2
10
.
C
D.
2 8
10
2 .
C
Câu 19: Khai triển đa thức
2017
5 1P x x ta được
2007 2006
2007 2006 1 0
... .
P x A x A x A x A
Mệnh đề nào sau đây đứng?
A.
7 7
2000 2007
.5 .
A C
B.
7 7
2000 2007
.5 .
A C
C.
2000 2000
2000 2007
.5 .
A C
D.
7 7
2000 2007
.5 .
A C
Câu 20: Đa thức
5 4 3 2
32 80 80 40 10 1
P x x x x x x
là khai triển của nhị thức nào dưới đây?
A.
5
1 2 .
x
B.
5
1 2 .
x
C.
5
2 1 .
x D.
5
1 .
x
Câu 21: Khai triển đa thức
1000
P 2 1x x ta được
1000 999
1000 999 1 0
... .
P x A x A x A x A
Mệnh đề
nào sau đây đứng?
A.
1000 999 1
2 .
n
A A A
B.
1000 999 1
2 1.
n
A A A
C.
1000 999 1
1.
A A A
D.
1000 999 1
0.
A A A
Câu 22: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
0 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2
... ... .
n n n n
n n n n n n
C C C C C C
B.
0 1 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2
... ... .
n n n n
n n n n n n
C C C C C C
C.
0 1 2 1 2 2
2 2 2 2 2 2
... ... .
n n n n
n n n n n n
C C C C C C
D.
0 1 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2
... ... .
n n n n
n n n n n n
C C C C C C
Trang 22
Câu 23: Tính tổng
0 1 2
... .
n
n n n n
S C C C C
A.
2 1.
n
S
B.
2 .
n
S
C.
1
2 .
n
S
D.
2 1.
n
S
Câu 24: Tính tổng
0 1 2 2
2 2 2 2
... .
n
n n n n
S C C C C
A.
2
2 .
n
S B.
2
2 1.
n
S
C.
2 .
n
S D.
2
2 1.
n
S
Câu 25: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn
1 3 2 20
2 1 2 1 2 1
... 2 1.
n n n
C C C
A.
8.
n
B.
9.
n
C.
10.
n
D.
11.
n
Câu 26: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn
1 3 2 1
2 1 2 1 2 1
... 1024.
n
n n n
C C C
A.
5.
n
B.
9.
n
C.
10.
n
D.
4.
n
Câu 27: Tính tổng
0 1 2
3 3 ... 3 .
n n n
n n n n
S C C C C
A.
3 .
n
S
B.
2 .
n
S
C.
3.2 .
n
S
D.
4 .
n
S
Câu 28: Tìm hệ số của x
7
trong khai triển
2
2
3
n
x
x
với
0,
x
biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai
triển bằng 1080.
A. 1080. B. -810. C. 810. D. 1080.
Câu 29: Tìm số tự nhiên n, biết hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x trong khai triển
1
3
n
x
bằng 4.
A. 8. B. 17. C. 9. D. 4.
Câu 30: Tìm hệ số của x
6
trong khai triển
3 1
3
1
n
x
x
với
0,
x
biết n là số nguyên dương thỏa mãn
2 2
1 2
3 4 .
n n
C nP A
A. 210x
6
. B. 120x
6
. C. 120. D. 210.
Câu 31: Tìm hệ số của x
9
trong khai triển
2
1 3 ,
n
x biết n là số nguyên dương thỏa mãn
2 3
2 14 1
.
3
n n
C C n
A.
9
9
18
3 .
C
B.
9
9 9
18
3 .
C x
C.
9
9 9
18
3 .
C x
D.
9
9
18
3 .
C
Câu 32: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
2
3
3
2
n
x
x
với
0,
x
biết n là số nguyên dương
thỏa mãn
3 2
1
2 .
n n
C n A
A.
12 4 12
16
.2 .3 .
C B.
0 16
16
.2 .
C C.
12 4 12
16
.2 .3 .
C D.
16 0
16
.2 .
C
Câu 33: Hệ số x
5
trong khai triển biểu thức
8
3 1
x x
bằng
Trang 23
A. -5670. B. 13608. C. -13608. D. 5670.
Câu 34: Tìm hệ số của số hạng chứa x
15
trong khai triển
3
2 3
n
x thành đa thức, biết n là số nguyên
dương thỏa mãn hệ thức
3 1 2
8 49.
n n n
A C C
A. 6048. B. 6480. C. 6408. D. 4608.
Câu 35: Số hạng không chứa x trong khai triển
5
3
2
1
0
P x x x
x
(theo chiều mũ của x giảm
dần) là số hạng thứ
A. 3. B. 6. C. 4. D. 5.
Câu 36: Trong khai triển
20
2 20
0 1 2 20
1 2 ... . .
x a a x a x a x
Tính giá trị của
0 1 2
.
a a a
A. 801. B. 800. C. 1. D.721.
Câu 37: Cho x là số thực dương. Khai triển nhị thức
12
2
1
,
x
x
ta có hệ số của số hạng chứa x
m
bằng
495. Giá trị của m là
A.
4
m
hoặc
8
m
. B.
0
m
.
C.
8
m
. D.
0
m
hoặc
12
m
.
Câu 38: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của
4
1
n
x x
x
với
0,
x
biết rằng
2 1
44.
n n
C C
A. 238. B. 165. C. 485. D. 525.
Câu 39: Với số nguyên dương n thỏa mãn
2
27,
n
C n trong khai triển
2
3
,
n
x
x
số hạng không chứa x
là
A. 84. B. 2268. C. 61236. D. 27.
Câu 40: Với n là số nguyên dương thỏa mãn
3 2
2 100
n n
A A (
k
n
A
là chỉnh hợp chập k của tập hợp có n
phần tử), số hạng chứa x
5
trong khai triển của biểu thức
2
1 3
n
x
là
A. 61236. B. 252. C. 256x
5
. D. 61236x
5
.
Câu 41: Tìm hệ số của số hạng chứa x
6
trong khai triển
9
2
1
2 , 0 .
x x
x
A.
4 4
9
.2 .
C B.
5 5
9
.2 .
C C.
5 5
9
.2 .
C D.
5 4
9
.2 .
C
Câu 42: Hệ số của số hạng chứa x
7
trong khai triển nhị thức
12
2
x
x x
với
0
x
A. 376. B. -264. C. 264. D. 260.
Câu 43: Biết tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Newton của
5 1
n
x
bằng
100
2 .
Tìm hệ số của x
3
.
A. -19600. B. -20212500. C. -2450000. D. -161700.
Trang 24
Câu 44: Xác định hệ số của x
13
trong khai triển của
10
2
2 .
x x
A. 5120. B. 180. C. 960. D. 3360.
Câu 45: Hệ số của x
12
trong khai triển của biểu thức
10
2
2x x bằng
A.
8
10
.
C
B.
2 8
10
2 .
C C.
2 8
10
2 .
C D.
2
10
.
C
Câu 46: Cho x là số thực dương, tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
30
2
.
x
x
A.
10 20
30
2 .
C
B.
20
2 .
C.
20
30
.
C
D.
20 10
30
2 .
C
Câu 47: Số hạng độc lập với x trong khai triển
12
2
1
2x
x
là
A.
8 4
12
2 .
C
B.
6 6
12
2 .
C
C.
4 4
12
2 .
C
D.
4 4
12
2 .
C
Câu 48: Tổng các hệ số nhị thức Niu-tơn trong khai triển
3
1
n
x
bằng 64. Số hạng không chứa x trong
khai triển
3
2
1
2
2
n
nx
nx
là
A. 360. B. 210. C. 250. D. 240.
Câu 49: Số hạng không chứa x trong khai triển
7
3
4
1
x
x
bằng
A. 5. B. 35. C. 45. D. 7.
Câu 50: Tổng các hệ số trong khai triển
4
1
n
x
x
là 1024. Hệ số chứa x
10
là
A. 10. B. 252. C. 120. D. 210.
Câu 51: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn
1 2
5 5.
n n
C C
Tìm hệ số a của x
4
trong khai triển
2
1
2 .
n
x
x
A.
11520.
a
B.
256.
a
C.
45.
a
D.
3360.
a
Câu 52: Tìm hệ số của x
5
trong khai triển nhị thức Newton của
2
1 3 ,
n
x biết rằng
3 2
2 100
n n
A A (n là
số nguyên dương và
k
n
A
là số chỉnh hợp chập k của n phần tử).
A. 61236. B. 243. C. 63216. D. 252.
Câu 53: Hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển
3
2
,
n
x
x
biết n là số nguyên dương thỏa mãn
1 2
78
n n
n n
C C
là
A. 112640. B. 112643. C. -112640. D. -112643.
Trang 25
Câu 54: Gọi a là hệ số của
5
3
x
trong khai triển
3
3 2
2
, 0.
n
x x
x
Tìm a biết rằng
4 2 1 2
2 1
2 .
n n n
n n n
C C n C
A.
96096.
a
B.
96906.
a
C.
96960.
a
D.
96069.
a
Câu 55: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn
0 1 2 2
2 2 ... 2 14348907.
n n
n n n n
C C C C
Hệ số của số hạng
chứa x
10
trong khai triển của biểu thức
2
3
1
, 0
n
x x
x
bằng
A. -1365. B. 32760. C. 1365. D. -32760.
Câu 56: Cho khai triển biểu thức
2
0 1 2
3 ... ,
2
n
n
n
x
a a x a x a x
với n là số tự nhiên khác 0, biết
rằng
2
0 1 2
2 2 ... 2 1024.
n
n
a a a a Tìm hệ số của x
6
trong khai triển trên.
A.
6
8505
.
32
x
B.
6
8505
.
32
x
C.
8505
.
32
D.
8505
.
32
Câu 57: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn
2 1
44.
n n
C C
Số hạng không chứa x trong khai triển của
biểu thức
4
1
,
n
x x
x
với
0
x
bằng
A. 165. B. 485. C. 238. D. 525.
Câu 58: Cho n
thỏa mãn
1 2
... 1023.
n
n n n
C C C Tìm hệ số của x
2
trong khai triển
12 1
n
n x
thành đa thức.
A. 2. B. 90. C. 45. D. 180.
Câu 59: Tìm hệ số của số hạng chứa x
4
trong khai triển biểu thức
3
2
n
x
x
với mọi
0,
x
biết n là số
nguyên dương thỏa mãn
2 2
476.
n n
C nA
A. 1792x
4
. B. -1792. C. 1792. D. -1792x
4
.
Câu 60: Hệ số của x
5
trong rút gọn của khai triển
8 10
3 2 1
x x là
A. 9576. B. 196. C. 6552. D. -5544.
Câu 61: Cho khai triển
6
1 1 3
ax x
với
.
a
Biết rằng hệ số của x
3
trong khai triển trên là 405.
Tính a.
A. 9. B. 6. C. 14. D. 7.
Câu 62: Tổng các hệ số trong khai triển
3
1
n
x
bằng 64. Số hạng không chứa x trong khai triển
3
2
1
2
2
n
nx
nx
là
Trang 26
A. 360. B. 210. C. 250. D. 240.
Câu 63: Cho khai triển
1
n
x
với n là số nguyên dương. Tìm hệ số của số hạng chứa x
3
trong khai triển
biết
1 2 3 20
2 1 2 1 2 1 2 1
... 2 1.
n
n n n n
C C C C
A. 480. B. 720. C. 240. D. 120.
Câu 64: Tìm hệ số của x
5
trong khai triển
5 10
2
1 2 1 3 .
P x x x x x
A. 80. B. 3240. C. 3320. D. 259200.
Câu 65: Tìm hệ số của x
5
trong khai triển đa thức
6 8
2 1 3 .
x x x
A. -1752. B. 1272. C. 1752. D. -1272.
Câu 66: Tìm hệ số của x
4
trong khai triển
3
1 3
n
P x x x
với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức
2 2
1
6 5 .
n
n n
C n A
A. 210. B. 840. C. 480. D. 270.
Câu 67: Tìm hệ số của x
10
trong khai triển
5
2 3
1 .
x x x
A. 5. B. 50. C. 101. D. 105.
Câu 68: Tìm hệ số của x
5
trong khai triển
2 8
1 2 1 ... 8 1 .
P x x x x
A. 630. B. 635. C. 636. D. 637.
Câu 69: Hệ số của số hạng x
30
trong khai triển
20
2
2 1 2f x x x x thành đa thức là
A. 631181184. B. 3611181184. C. 361811184. D. 361181184.
Câu 70: Tìm hệ số của số hạng chứa x
5
trong khai triển
10
2 3
1 .
x x x
A. 1902. B. 7752. C. 252. D. 582.
Câu 71: Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển thành đa thức của
8
2
1 1 .
x x
A. 238. B. 128. C. 258. D. 348.
Câu 72: Tìm số hạng không phụ thuộc vào x trong khai triển
8
2
1
.
x x
x
A. 70. B. -336. C. -168. D. -98.
Câu 73: Tìm hệ số của x
5
trong khai triển biểu thức
2
2
1 2 1 3
n n
P x x x x
thành đa thức, biết
2 1
1
5.
n
n n
A C
A. 432. B. 3320. C. -5432. D. 4674.
Câu 74: Tìm hệ số của số hạng chứa x
5
trong khai triển
6
3
1
2 .
x
x
A. 356. B. 210. C. 735. D. 480.
Trang 27
Câu 75: Cho khai triển
2 2 2
0 1 2 2
1 2 3 ... .
n
n
n
x x a a x a x a x
Tìm hệ số của x
5
trong khai triển trên
biết rằng
0 2 4 2
... 30233600.
n
a a a a
A. 37102. B. 33264. C. 32951. D. 34704.
Câu 76: Tìm hệ số của x
3
sau khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng của
9
2
1
2 , 0.
x x x
x
A. 3210. B. -3210. C. -2940. D. 2940.
Câu 77: Xác định hệ số của x
4
trong khai triển của biểu thức
10
2
3 2 1 .
x x
A. 8085. B. 11312. C. 1303. D. 8089.
Câu 78: Cho khai triển
0 1
1 2 ... ,
n
n
n
x a a x a x
trong đó
*
n
là các hệ số thỏa mãn
1
0
... 4096.
2 2
n
n
aa
a
Tìm hệ số lớn nhất.
A. 112640. B. 101376. C. 126720. D. 67584.
Câu 79: Khai triển đa thức
12
12
0 1 12
1 2 ... .
P x x a a x a x
Tìm hệ số
0 12
k
a k lớn nhất
trong khai triển trên.
A.
8 8
12
2 .
C B.
9 9
12
2 .
C C.
10 10
12
2 .
C D.
8 8
12
1 2 .
C
Câu 80: Khai triển đa thức
10
9 10
0 1 9 10
1 2
... .
3 3
P x x a a x a x a x
Tìm hệ số
0 10
k
a k lớn
nhất trong khai triển trên.
A.
7
7
10
10
2
1 .
3
C
B.
7
7
10
10
2
.
3
C
C.
6
6
10
10
2
.
3
C
D.
8
8
10
10
2
.
3
C
Câu 81: Cho khai triển
2019
2 2019
0 1 2 2019
3 ... .
x a a x a x a x
Hãy tính tổng
0 2 4 6 2016 2018
... .
S a a a a a a
A.
1009
3 .
B.
1009
2 .
C.
2019
2 .
D. 0.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN
1-C 2-B 3-B 4-A 5-A 6-C 7-D 8-B 9-C 10-A
11-C 12-B 13-B 14-A 15-C 16-D 17-B 18-B 19-C 20-C
21-D 22-B 23-B 24-A 25-C 26-A 27-D 28-B 29-C 30-D
31-A 32-C 33-D 34-A 35-C 36-A 37-D 38-B 39-B 40-D
41-B 42-C 43-C 44-C 45-B 46-D 47-C 48-D 49-B 50-D
51-A 52-A 53-C 54-A 55-C 56-D 57-A 58-D 59-B 60-A
61-D 62-D 63-D 64-C 65-D 66-C 67-C 68-A 69-D 70-A
71-A 72-D 73-B 74-D 75-D 76-C 77-A 78-C 79-A 80-B
Trang 28
81-D
Câu 1: Ta có
13
13 13
13 13 2
13 13
0 0
1 1
. . . 1 . .
k
k
k k k k
k k
x C x C x
x x
Hệ số của x
3
ứng với
13 2 7 3
k k
số hạng cần tìm
3 7
13
.
C x
Chọn C.
Câu 2: Ta có:
9
9 9
9 9 2
9 9
0 0
1 1 1
. . . . .
2 2 2
k k
k k k k
k k
x C x C x
x x
Hệ số của x
3
ứng với
9 2 3 3k k
số hạng cần tìm
3 3
9
1
.
8
C x
Chọn B.
Câu 3: Ta có
40
40 40
40 40 3
40 40
2 2
0 0
1 1
. . . .
k
k k k k
k k
x C x C x
x x
Hệ số của x
31
ứng với
40 3 31 3
k k
số hạng cần tìm
37 31
40
.
C x
Chọn B
Câu 4: Ta có
6
6 6
6
2 2 12 3
6 6
0 0
2 2
. . . 2 . .
k
k
k
k k k
k k
x C x C x
x x
Số hạng không chứa x ứng với
12 3 0 4
k k
số hạng cần tìm
4 4 4 2
6 6
.2 2 .
C C
Chọn A.
Câu 5: Ta có
8
8 8
8
2 2 8 2 16 3
8 8
0 0
1 1
. . . 1 . . .
k
k
k
k k k k
k k
xy C xy C x y
xy xy
Số hạng không chứa x ứng với
8 2 0 4
k k
số hạng cần tìm
4 4 4
8
70 .
C y y
Chọn A.
Câu 6: Ta có
5
5 5
5
5 5 2
5 5
0 0
1 1
. . . . .
k
k
k k k k
k k
xy C xy C x y
y y
Hệ số của x
3
y ứng với
5 3
2
5 2 1
k
k
k
số hạng cần tìm
2 3 3
5
10 .
C x y x y
Chọn C.
Câu 7: Ta có
21 21
21 21
3 3 63 2
21 21
0 0
. . . . .
k
k
k k k k
k k
x xy C x xy C x y
Suy ra khai triển
21
3
x xy
có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số hạng thứ 11 (ứng với
10
k
) và số hạng thứ 12 (ứng với
11
k
).
Vậy hai số hạng đứng giữa cần tìm là
10 43 10 11 41 11
21 21
; .
C x y C x y
Chọn D.
Câu 8: Tính tổng các hệ số trong khai triển cho
1.
x
Khi đó
17
3.1 4 1
S
. Chọn B.
Câu 9: Ta có
12 12
12
12
12 12
0 0
1 .1 . .
k k k k k
k k
x C x C x
Trang 29
Hệ số của x
5
ứng với
5
k
hệ số cần tìm là
5
12
792.
C
Chọn C.
Câu 10: Ta có
6
6 6
6
6 6 3
6 6
2 2
0 0
1 1
2 . 2 . .2 . 1 .
k
k k
k k k k
k k
x C x C x
x x
Số hạng không chứa x ứng với
6 3 0 2
k k
số hạng cần tìm là
2
2 4
6
.2 . 1 240.
C Chọn A.
Câu 11: Ta có
10
10 10
10
2 2 20 3
10 10
0 0
2 2
. . .2 .
k
k
k k k k
k k
x C x C x
x x
Hệ số của x
2
ứng với
20 3 2 6
k k
hệ số cần tìm là
6 6
10
.2 13440.
C Chọn C.
Câu 12: Ta có
5 5
5
5 5
5 5
0 0
2 . . 2 .2 . .
k
k k k k k k
k k
a b C a b C a b
Hệ số của a
3
b
2
ứng với
5 3 2
k k
hệ số cần tìm là
2 2
5
.2 40.
C
Chọn B.
Câu 13: Ta có
7 7
7
7
7 7
0 0
1 2 .1 . 2 . 2
k k
k k k k
k k
x C x C x
Hệ số của a
5
ứng với
5
k
hệ số cần tìm là
5
5
7
. 2 672.
C Chọn B.
Câu 14: Ta có
18 18
18 18
3 18 18 2
18 18
0 0
4 4
. . .2 .
2 2
k k
k k k k
k k
x x
C C x
x x
Số hạng không chứa x ứng với
18 2 0 9
k k
số hạng cần tìm là
9 9
18
2 .
C
Chọn A.
Câu 15: Ta có
12
12 12
12
2 2 24 3
12 12
0 0
1 1
. . . 1
k
k
k
k k k
k k
x C x C x
x x
Số hạng không chứa x ứng với
24 3 0 8
k k
số hạng cần tìm là
8
8
12
. 1 495.
C Chọn C.
Câu 16:
6 6
6 6
6 6
6 6
0 0
2 1 . 2 . 1 .2 . 1 .
k k k
k k k k
k k
x C x C x
Hệ số của x
3
ứng với
6 3 3
k k
hệ số cần tìm là
3
3 3
6
.2 . 1 160.
C Chọn D.
Câu 17: Ta có
11
33 3
11 11
11
4
2
11 11
4 4
0 0
1 1 1
. . .
2 2 2
k k
k
k
k
k k
k k
x x C x x C x
x x
Số hạng không chứa x ứng với
33 3
4 0 3
2
k
k k
số hạng cần tìm là
3
3 3
11 11
1 1 165
. .
2 8 8
C C
Chọn B.
Câu 18:
10 10
10
10
2 2 10 10
10 10
0 0
2 . 2 . .2 . 1
k
k k
k k k k
k k
x x C x x C x
Trang 30
Hệ số của x
12
ứng với
10 12 2
k k
hệ số cần tìm là
2 8
10
.2 .
C
Chọn B.
Câu 19: Ta có
2017 2017
2017 2017
2017 2017
2017 2017
0 0
5 1 . 5 . 1 .5 . 1
k k k
k k k k
k k
x C x C x
Yêu cầu bài toán trở thành:
2000 2000
2000 2017
2017 2000 17 .5
k k A C . Chọn C.
Câu 20: Nhị thức cần tìm là
5
2 1 .
x Chọn C.
Câu 21:
1000 999
1000 999 1 0
...
P x a x a x a x a
Cho
1
x
, ta được
1000 999 1 0
1 .... .
P a a a a
Mặt khác
1000 1000
2 1 1 2.1 1 1.
P x x P
Từ đó suy ra
1000 999 1 0 1000 999 1 0
... 1 ... 1 .
a a a a a a a a

Mà là số hạng không chứa x trong khai triển
1000
2 1P x x nên
1000
0 1000
1.
a C
Vậy
1000 999 1
.... 0.
a a a
Chọn D.
Câu 22: Áp dụng công thức
,
k n k
n n
C C
ta có
0 2
2 2
1 2 1
2 2
1 1
2 2
...
n
n n
n
n n
n n
n n
C C
C C
C C
Cộng vế theo vế, ta được
0 1 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2
... ... .
n n n n
n n n n n n
C C C C C C
Chọn B.
Câu 23: Ta có
0 1 2 2
1 ...
n
n n
n n n n
x C C x C x C x
Cho
1
x
, ta được
0 1 2
... 1 1 2 .
n
n n
n n n n
C C C C
Chọn B.
Câu 24: Ta có
2
0 1 2 2 2 2
2 2 2 2
1 ...
n
n n
n n n n
x C C x C x C x
Cho
1,
x
ta được
2
0 1 2 2 2
2 2 2 2
... 1 1 2 .
n
n n
n n n n
C C C C Chọn A.
Câu 25: Ta có
2 1
0 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 ... 1
n
n
n n n
C C C
Lại có
0 2 1 1 2 2 2 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
; ; ;....; 2
n n n n n
n n n n n n n n
C C C C C C C C
Từ (1) và (2), suy ra
2 1
0 1
2 1 2 1 2 1
2
...
2
n
n
n n n
C C C
1 2 20 2
2 1 2 1
... 2 1 2 1 2 1 10
n n n
n n
C C n
Vậy
10
n
thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.
Câu 26: Ta có
2 1
0 2 1 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1
1 ... .
n
n n n
n n n
x C x C x C
Cho
1,
x
ta được
2 1 0 1 2 1
2 1 2 1 2 1
2 ... . 1
n n
n n n
C C C
Cho
1
x
, ta được
0 1 2 1
2 1 2 1 2 1
0 ... . 2
n
n n n
C C C
Trang 31
Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được
2 1 1 3 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
2 2 ... 2 2.1024 5.
n n n
n n n
C C C n
Chọn A.
Câu 27: Ta có
0 1 2 2
1 ...
n
n n
n n n n
x C C x C x C x
Cho
3,
x
ta được
0 1 2 3
3 3 ... 3 1 3 4 .
n
n n n
n n n n
C C C C
Chọn D.
Câu 28: Số hạng tổng quát của khai triển là:
2 2 3
2
3 . .3 . . 2 . .3 2 .
n k
k
n k n k
k k k k k n k k k n
n n n
C x C x x C x
x
Hệ số của số hạng thứ 3 ứng với
3
k
là
3 3
3 3 3
.3 . 2 1080 . 2 40 5
n n
n n
C C n
Khi đó số hạng tổng quát là
5
3 5
5
.3 . 2 .
k
k k k
C x
Cho
3 5 7 4
k k
ta được hệ số của x
7
trong khai triển
4 4
5
.3 . 2 810.
C Chọn B.
Câu 29: Số hạng tổng quát của khai triển là
1
. .
3
k
k n k
n
C x
Hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x trong khai triển ứng với
2
k
Khi đó
2
2
1
1
. 4 36 9.
3 2
n
n n
C n
Chọn C.
Câu 30: Theo giả thiết ta có:
2 2
1 2
1 !
!
3 4 3. .2! 4.
2!. 1 ! 2 !
n n
n
n
C nP A n
n n
1 .
3. 2 4 1 3 1 4 8 1 15 5 3
2
n n
n n n n n n n
Xét khai triển
10
3
1
x
x
có số hạng tổng quát là
10
3 10 3 4 10
10 10 10
1
. . . .
k
k
k k k k k k
C x C x x C x
x
Cho
4 10 6
k
ta được
4
k
hệ số của x
6
trong khai triển là
6
10
210.
C
Chọn D.
Câu 31: Ta có
2 3
2 14 1 2 14 1
! !
3
3.
2 !.2! 3 !.3!
n n
n n
C C n n
n n
2
4 28 1 4 28
1
1 1 2 1 1 2
4 8 28
1 7 18 0 9
1 2
n n n n n n n n n
n
n n n
n n
Xét khai triển
18
18
18
0
1 3 . 3
k
k
k
x C x
có hệ số của số hạng chứa x
9
là
9 9
9 9
18 18
. 3 3 .
C C
Chọn A.
Câu 32: Điều kiện
, 3
n n
Trang 32
Ta có:
3 2
1
1 ! 1 2
!
2 2 2 1 .
3! 3 ! 1 ! 6
n n
n n n n
n
C n A n n n n
n n
2
2 2
3 2
2 1 3 2 12 6 6 9 8 0 8
6
n n
n n n n n n n
Xét khai triển
2 16
16 16
16
16 16
3
16 16
3 3 3
0 0
3 3 3
2 2 2 . . 2 . . 3 .
n k
k
k k
k k k k
k k
x x C x C x x
x x x
4
16
16
16
3
16
0
.2 . . 3
k
k
k k
k
C x
Số hạng không chứa x ứng với
4
16 0 12
3
k
k
số hạng không chứa x trong khai triển là
12
12 4
16
2 . 3 .
C Chọn C.
Câu 33: Hệ số x
5
trong khai triển biểu thức
8
3 1
x x
bằng hệ số của x
4
trong khai triển
8
3 1
x
và bằng
4
4 4
8
.3 . 1 5670.
C Chọn D.
Câu 34: Ta có
3 1 2
! !
8 49 8. 49
3 ! 2 !.2!
n n n
n n
A C C n
n n
3 2 2
3 2
1 2 4 1 49 3 2 4 4 49
7 7 49 0 7
n n n n n n n n n n n n
n n n n
Số hạng tổng quát của
7
3
2 3
x là
7
3
7
. 2 . 3
k
k
k
C x
Cho
5
k
ta được hệ số của số hạng chứa x
15
trong khai triển là
2
5 5
7
.2 . 3 6048.
C Chọn A.
Câu 35: Số hạng tổng quát của khai triển là
5
5 5
3 3 2 10 5 10
5 5 5
2
1
. . . . 1 . . 1 .
k
k
k k
k k k k k k
C x C x x C x
x
Cho
5 10 0 2
k k
ta được số hạng không chứa x trong khai triển.
Theo chiều mũ của x giảm dần thì đây là số hàng thứ 4. Chọn C.
Câu 36: Số hạng tổng quát khai triển là
20 20
. 2 . 2 .
k k
k k k
C x C x
Ta có:
0 1 2
0 1 2
0 1 2 20 20 20
. 2 . 2 . 2 801.
a a a C C C Chọn A.
Câu 37: Số hạng tổng quát của khai triển là
12
2 24 2 24 3
12 12 12
1
. . . . .
k
k
k k k k k k
C x C x x C x
x
Giải phương trình
12
495 8
k
C k
hoặc
4.
k
Khi đó
24 3 0 0
.
24 3 12 12
k m
k m
Chọn D.
Trang 33
Câu 38: Ta có
2 1
1
!
44 44 44
2 !.2! 2
n n
n n
n
C C n n
n
2
3 88 0 11.
n n n
Số hạng tổng quát của khai triển
11
4
1
x x
x
là
3 11
44
11
4 4 44
2 2
11 11 11
. . .
k
k
k
k
k k k k
C x x x C x x C x
Cho
11
44 0 8
2
k
k
suy ra số hạng không chứa x là
8
11
165.
C Chọn B.
Câu 39: Ta có
2
1
!
27 27 27
2 !.2! 2
n
n n
n
C n n n
n
2
3 54 0 9
n n n
Số hạng tổng quát của khai triển
9
2
3
x
x
là
9 9 2 9 3
9 9 9
2
3
. . . .3 . . .3
k
k k k k k k k k k
C x C x x C x
x
Cho
9 3 0 3
k k
suy ra số hạng không chứa x của khai triển là
3 3
9
. 2268.
C x Chọn B.
Câu 40: Ta có
3 2
! !
2 100 2. 100 1 2 2 1 100
3 ! 2 !
n n
n n
A A n n n n n
n n
3 2 2 3 2
3 2 2 2 100 100 0 5.
n n n n n n n n
Với
5
n
thì số hạng chứa x
5
trong khai triển của biểu thức
10
1 3
x
là
5
5 5
10
. 3 61236 .
C x x
Chọn D.
Câu 41: Ta có
9 9
9 9
2 2 3 9
9 9
0 0
1 1
2 . . 2 . 2 .
k
k
k
k k k
k k
x C x C x
x x
Hệ số của x
6
ứng với
3 9 6 5
k k
Hệ số cần tìm là
5
5 5 5
9 9
. 2 2 . .
C C
Chọn B.
Câu 42: Ta có
12
5
12 12
12
12
2
12 12
0 0
2 2
. . . 2 .
k
k
k
k k k
k k
x C x C x
x x x x
Hệ số của x
7
ứng với
5
12 7 2
2
k k
Hệ số cần tìm là
2
2
12
. 2 264.
C Chọn C.
Câu 43: Thay
1
x
vào nhị thức, ta được
100 100
5.1 1 2 4 2 50
n
n
n
HD: Ta có
50 50
50 50
50 50
50 50
0 0
5 1 . 5 . 1 .5 . 1
k k k
k k k k
k k
x C x C x
Hệ số của x
3
ứng với
50 3 47
k k
Hệ số cần tìm là
47
47 3
50
.5 . 1 2450000.
C
Chọn C.
Câu 44: Ta có
10 10
10
2 10 2 10
10 10
0 0
2 . . 2 .2 .
k
k k k k k
k k
x x C x x C x
Hệ số của x
13
ứng với
10 13 3
k k
Hệ số cần tìm là
3 3
10
.2 960.
C Chọn C.
Trang 34
Câu 45: Ta có
10 10
10
10
2 2 10 10
10 10
0 0
2 . 2 . .2 . 1 .
k
k k
k k k k
k k
x x C x x C x
Hệ số của x
12
ứng với
10 12 2
k k
Hệ số cần tìm là
2 8
10
.2 11520.
C
Chọn B.
Câu 46: Ta có
30
3
30 30
30
30
2
30 30
0 0
2 2
. . .2 .
k
k
k k k k
k k
x C x C x
x x
Số hạng không chứa x ứng với
3
30 0 20
2
k k
Số hạng không chứa x là
20 20
30
.2 .
C
Chọn D.
Câu 47: Ta có
12 12
12 12
2 2 3 12
12 12
0 0
1 1
2 . . 2 . 2 .
k
k
k
k k k
k k
x C x C x
x x
Số hạng không chứa x ứng với
3 12 0 4
k k
Số hạng cần tìm là
4
4 4 4
12 12
. 2 2 .
C C
Chọn C.
Câu 48: Thay
1
x
vào nhị thức, ta được
3 3 6
2 64 2 2 2
n n
n
Ta có
6
6 6
6
6 2 6 3
6 6
2 2
0 0
1 1
4 . 4 . .4 .
4 4
k
k
k k k k
k k
x C x C x
x x
Số hạng không chứa x ứng với
6 3 0 2
k k
Số hạng cần tìm là
2 2
6
.4 240.
C Chọn D.
Câu 49: Ta có
7
7
7
7 7
3 3
3 4
7 7
4 4
0 0
1 1
. . .
k
k
k k
k k
k k
x C x C x
x x
Số hạng không chứa x ứng với
7
0 4
3 4
k k
k
Số hạng cần tìm là
4
7
35.
C Chọn B.
Câu 50: Thay
1
x
vào khai triển, ta được
10
2 1024 2 2 10
n n
n
Ta xét
10 10
10 10
4 4 5 10
10 10
0 0
1 1
. . .
k
k
k k k
k k
x C x C x
x x
Hệ số của x
10
ứng với
5 10 10 4
k k
Hệ số cần tìm là
4
10
210.
C Chọn D.
Câu 51:
1 2
!
5 5 5 5 10 . 1 10 10
2 !.2!
n n
n
C C n n n n n
n
Ta xét
10
10 10
10
10 10 3
10 10
2 2
0 0
1 1
2 . 2 . .2 .
k
k
k k k k
k k
x C x C x
x x
Hệ số của x
4
ứng với
10 3 4 2
k k
Hệ số cần tìm là
2 8
10
.2 11520.
C
Chọn A.
Câu 52:
3 2
! !
2 100 2. 100
3 ! 2 !
n n
n n
A A
n n
Trang 35
3 2
. 1 . 2 2 . 1 100 100 0 5
n n n n n n n n
Ta xét
10 10
10
10
10 10
0 0
1 3 .1 . 3 .3
k
k k k k k
k k
x C x C x
Hệ số của x
5
ứng với
5
k
Hệ số cần tìm là
5 5
10
.3 61236.
C
Chọn A.
Câu 53:
1 2 1 2
78 78 12
n n
n n n n
C C C C n
Ta xét
12
12 12
12
3 3 36 4
12 12
0 0
2 2
. . . 2
k
k
k
k k k
k k
x C x C x
x x
Số hạng không chứa x ứng với
36 4 0 9
k k
Số hạng cần tìm là
9
9
12
. 2 112640.
C Chọn C.
Câu 54: Ta có
4 4
2 ! 1 ! 1
!
2 . 2 . 2 1
2 !.2! 3 ! 2 ! 2
n n
n n n n
n
n n n n
n n n
4 4
2 . . 1 4 4 2 1 2 . 4 2 4 1 5
n n
n n n n n n n
Ta xét
15
30 2
15 15
15
3 32 2
3
15 15
0 0
2 2
. . .2
k
k
k
k
k k k
k k
x C x C x
x x
Hệ số của
5
3
x
ứng với
30 2 5
30 5 5 5
3 3
k
k k k
Vậy hệ số cần tìm là
5 5
12
.2 96096.
C
Chọn A.
Câu 55:
0 1 2 2
2 2 ... 2 1 2 3 15
n
n n n
n n n n
C C C C n
Ta xét
15
15 15
15
2 2 30 5
15 15
3 3
0 0
1 1
. . . 1 .
k
k
k
k k k
k k
x C x C x
x x
Hệ số của x
10
ứng với
30 5 10 4
k k
Hệ số cần tìm là
4
4
15
. 1 1365.
C Chọn C.
Câu 56: Thay
2
x
vào khai triển, ta được
2 1024 10
n
n
Ta xét
10
10 10
10 10
10 10
0 0
1
3 .3 . .3 .
2 2 2
k k
k k k k k
k k
x x
C C x
Hệ số của x
6
ứng với
6
k
Hệ số cần tìm là
6
6 4
10
1 8505
.3 . .
2 32
C
Chọn D.
Câu 57: Ta có
2 1
!
44 44 . 1 2 88 11
2 !.2!
n n
n
C C n n n n n
n
Ta xét
11
33 3
11 11
11
4
2
11 11
4 4
0 0
1 1
. . .
k
k
k
k
k k
k k
x x C x x C x
x x
Số hạng không chứa x ứng với
33 3
4 0 3
2
k
k k
Hệ số cần tìm là 165. Chọn A.
Trang 36
Câu 58: Ta có
0 1
... 1024 2 1024 10
n n
n n n
C C C n
Ta xét
10 10
10 10
10 10
10 10
0 0
2 1 . 2 .1 .2 .
k
k k k k k
k k
x C x C x
Hệ số của x
2
ứng với
10 2 8
k k
Hệ số cần tìm là
8 2
10
.2 180.
C Chọn D.
Câu 59:
2 2 2
. 1
! !
. 476 . 476 . 1 476
2 !.2! 2 ! 2
n n
n n
n n
C n A n n n
n n
2 3 2 3 2
2 2 952 2 952 0 8
n n n n n n n n
Ta xét
8 8
8 8
3 3 8 4 8
8 8
0 0
2 2
. . .2 . 1
k
k
k
k k k k
k k
x C x C x
x x
Hệ số của x
4
ứng với
4 8 4 3
k k
Hệ số cần tìm là
3
3 5
8
.2 . 1 1792.
C
Chọn B.
Câu 60: Ta có
8 10
8 10
8 10
8 10
0 0
3 2 1 .3 . 1 .2
k
k k k h h h
k h
x x C x C x
Hệ số x
5
ứng với
5
k h
Hệ số cần tìm là
5 3 5 5
8 10
.3 .2 9576.
C C
Chọn A.
Câu 61: Ta có
6 6 6
1 1 3 1 3 . 1 3
ax x x a x x
• Xét khai triển
6
6
6
0
1 3 . 3
k
k k
k
x C x
Hệ số của x
3
là
3
3
6
. 3 540
C
• Xét khai triển
6
6
1
6
0
1 3 . 3
k
k k
k
x x C x
Hệ số của x
3
là
2
2
6
. 3 135
C
Suy ra hệ số cần tìm là
135 540 405 7.
a a

Chọn D.
Câu 62: Ta có
3
0 1 2 2 3 3
3 3 3 3
1 ...
n
n n
n n n n
x C C x C x C x
Cho
1
x
ta có:
3 0 1 2 3
3 3 3 3
2 ... 64 3 6 2
n n
n n n n
C C C C n n
Xét khai triển
3 6
2 2
1 1
2 4
2 4
n
nx x
nx x
có số hạng tổng quát là
6
6 6 2 6 6 3
6 6 6
2
1 1 1
. 4 . .4 . . . .4 . .
4 4 4
k
k
k k k k k k k k
k k
C x C x x C x
x
Số hạng không chứa x tương ứng với
6 3 0 2.
k k
Số hạng không chứa x trong khai triển là
2 4
6
2
1
.4 . 240.
4
C
Chọn D.
Câu 63: Xét khai triển
2 1
0 1 2 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1 ...
n
n n
n n n n
x C C x C x C x
Thay
1
x
ta được
2 1 0 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 ... *
n n
n n n n
C C C C
Mặt khác
0 2 1 1 2 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
, , ...
n n n
n n n n n n
C C C C C C
Trang 37
Do đó
2 1 0 1 2 20 21
2 1 2 1 2 1 2 1
* 2 2. ... 2 1 2 1 2 10.
n n
n n n n
C C C C n
Xét khai triển
10
1
x
có hệ số của số hạng chứa x
3
là
3
10
120.
C Chọn D.
Câu 64: Số hạng chứa x
5
trong khai triển
5
1 2
x x
là
4
4 5
5
. . 2 80
x C x x
Số hạng chứa x
5
trong khai triển
10
2
1 3
x x
là
3
2 3 5
10
. 3 3240
x C x x
Suy ra số hạng x
5
trong khai triển P là
5 5 5
80 3240 3320 .
x x x
Chọn C.
Câu 65: Số hạng chứa x
5
trong khai triển
6
2 1
x x
là
4 2
4 5
6
. . 2 . 1 240 .
x C x x
Số hạng chứa x
5
trong khai triển
8
3
x
là
3
5 5 5
8
. 3 1512
C x x
Hệ số của x
5
trong khai triển đa thức đã cho là
1512 240 1272.
Chọn D.
Câu 66: Ta có
2 2
1
1 !
!
6 5 6 5
2 !.2! 1 !
n
n n
n
n
C n A n
n n
2 2
2
1
6 5 1 . 12 10 2 2
2
9 10 0 10
n n
n n n n n n n n
n n n
Xét khai triển
10
10 10
10
3 3 3
10
0
1 3 3 1 3 . 1
k
k
k
k
P x x x x x C x x
10 10
10 10
3 3 2
10 10
0 0 0 0
. . 3 . 1 . .3 1
k k
k i
k k
k i i k i k i k i
k k
k i k i
C C x x C C x
Cho
3 2 4
k i
ta được
; 2;1 ; 4;4
k i
Suy ra hệ số của x
4
trong khai triển là
8 6
2 1 1 4 4 0
10 2 10 4
. .3 . 1 . .3 . 1 480.
C C C C Chọn C.
Câu 67: Ta có:
5 5
5
5 5
5
2 3 2 2 2
5 5
0 0
1 1 1 1 . 1 .
i
k k i
k i
x x x x x x x C x C x
5 5
2
5 5
0 0
.
k i k i
k i
C C x
Cho
2 10
i k
với
, ,0 , 5
k i k i
ta được
; 0;5 ; 2;4 ; 4;3
k i
Suy ra hệ số của x
10
trong khai triển là:
0 5 2 4 4 3
5 5 5 5 5 5
. . . 101.
C C C C C C Chọn C.
Câu 68: Số hạng chứa x
5
trong khai triển P là số hạng chứa x
5
trong khai triển
5 6 7 8
5 1 6 1 7 1 8 1
Q x x x x x
và bằng
5 5 5 5 5 5 5 5 5
5 6 7 8
5. 6. 7 8 630 .
C x C x C x C x x
Chọn A.
Câu 69:
20 20
20 2 20 2
20 20
0 0
2 1 . . . 2 2 1 . . .2 .
k
k k k k k k
k k
f x x C x x x C x x
20
20
20
0
2 1 . . .2
k k k
k
x C x
Trang 38
Ta chọn
9
k
và
10.
k
Hệ số của số hạng chứa x
30
trong khai triển là
9 9 10 10
20 20
2. .2 1. .2 361181184.
C C Chọn D.
Câu 70:
10 10
10
10 10
10
2 3 2 2 2
10 10
0 0
1 1 1 1 1 . .
k k i i
k i
x x x x x x x C x C x
10 10
2
10 10
0 0
.
k i i k
k i
C C x
Chọn i, k sao cho
2 5 ,k i i k
ta được
; 1;2 ; 3;1 ; 5;0
k i
Suy ra hệ số của số hạng chứa x
5
trong khai triển là
1 2 3 1 5 0
10 10 10 10 10 10
. . . 1902.
C C C C C C
Chọn A.
Câu 71:
8 8 8
8
2 2 2 2
8 8 8
0 0 0 0
1 1 1 . 1 .
k
k
k i
k k k k k i
k
k k k i
x x C x x C x x C x C x
8
2
8
0 0
. 1
k
i
k i k i
k
k i
C C x
Chọn i, k sao cho
2 8
k i
và
;i k i k
ta được
; 4;0 ; 3;2
k i
Suy ra hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển thành đa thức đã cho là:
0 2
4 0 3 2
8 4 8 3
. . 1 . . 1 238.
C C C C Chọn A.
Câu 72: Ta có
8 8
8 8
2 2 8 2
8 8
0 0
1 1
. 1 .
k
k
k
k
k k k
k k
x x C x x C x x x
x x
8 8
8 2 3 8
8 8
0 0 0 0
1 . . 1 . .
k k
k i
k k
k k i i k i k i
k k
k i k i
C x C x x C C x
Cho
3 8 0 3 8
k i k i
Chọn i, k sao cho
3 8
k i
và
8 ;i k i k
ta được
; 3;1 ; 4;4
k i
Số hạng không chứa x trong khai triển là
3 4
3 1 4 4
8 3 8 4
. 1 . . 1 . 98.
C C C C
Chọn D.
Câu 73: Ta có
2 1
1
1 !
! 1
5 5 1 1 . 5
2 ! 1 !.2! 2
n
n n
n
n
A C n n n n
n n
2
3 10 0 5
n n n
Suy ra
5 10
2
1 2 1 3 ,
P x x x x hệ số số hạng chứa x
5
trong khai triển là
4
4 3 3
5 10
2 .3 3320.
C C
Chọn B.
Câu 74: Ta có
6
6 6
3 3 6 3 1 6
6 6
0 0 0
1 1
2 .2 . .2
k
k
i k i
k k k i k
k
k k i
x C x C C x x
x x
6
6 4
6
0
.2 .
k i k i k
k
k
C C x
Chọn i, k sao cho
4 5
i k
và
0 6 ;i k i k
ta được
; 3;2
k i
Suy ra hệ số của x
5
trong khai triển là
3 2 3
6 3
. .2 480.
C C
Chọn D.
Trang 39
Câu 75: Xét
2 2 2
0 1 2 2
1 2 3 ... .
n
n
n
x x a a x a x a x
Cho
1
x
ta được
0 1 2 2
6 ...
n
n
a a a a
Cho
1
x
ta được
0 1 2 3 2
2 ...
n
n
a a a a a
Cộng vế theo vế ta được
0 2 2
6 2 2 ... 2.30233600
n n
n
a a a
Suy ra
6 2 60467200 10
n n
n
Xét khai triển
10 10 10
10
2 2 2
10 10 10
0 0 0
1 2 3 2 3 2 . 3 2 .3
k i
k i
k k i k i k i i k i
k k
k
x x C x x C C x x C C x
Chọn i, k sao cho
5
i k
và
0 10 ,i k i k
ta được
; 5;0 ; 4;1 ; 3;2
k i
Suy ra hệ số của x
5
trong khai triển là
5 0 5 0 4 1 3 1 3 2 1 2
10 5 10 4 10 3
. .2 .3 . .2 .3 . .2 .3 34704.
C C C C C C Chọn D.
Câu 76: Ta có
9 9
9 9
2 2 9 2
9 9
0 0 0
1 1
2 . 2 . 2 .
k
k
k i
k i
k k k i
k
k k i
x x C x x C x C x x
x x
9
2 9
9
0 0
. 1 .2 .
k
k i
k i i k i
k
k i
C C x
Chọn i, k sao cho
2 9 3 2 12
k i k i
và
0 9 ;i k i k
ta được
; 6;0 ; 5;2 ; 4; 4
k i
Suy ra hệ số của x
3
trong khai triển là
6 3 0
6 0 0 5 2 2 4 4 4
9 6 9 5 9 4
1 .2 1 .2 1 .2 2940
C C C C C C . Chọn C.
Câu 77: Xét khai triển
10 10 10
10
2 2 2
10 10 10
0 0 0
1 2 3 2 3 2 . 3 2 .3
k i
k i
k k i k i k i i k i
k k
x x C x x C C x x C C x
Chọn i, k sao cho
4
i k
và
0 10 ,i k i k
ta được
; 4;0 ; 3;1 ; 2;2
k i
Suy ra hệ số của x
5
trong khai triển là
4 0 4 0 3 1 2 1 2 2 0 2
10 4 10 3 10 2
. .2 .3 . .2 .3 . .2 .3 8085.
C C C C C C Chọn A.
Câu 78: Thay
1
2
x
vào khai triển, ta được
2 4096 12
n
n
Xét khai triển
12
12
12
12 12
0
1 2 .1 . 2 .2
k
k k k k
k
k
x C x a C
Hệ số lớn nhất khi
1 1
1
12 12
1 1
1
12 12
12! 12!
.2
12 !. ! 11 !. 1 !
.2 .2
12! 12!
.2 .2
.2
12 !. ! 13 !. 1 !
k k k k
k k
k k k k
k k
k k k k
a a
C C
a a
C C
k k k k
max 8
1 2 23
1 24 2
12 1 3
8 126720.
2 1 26 2 26
13 3
k
k k
k k
k a a
k k
k
k k
Chọn C.
Trang 40
Câu 79: Xét khai triển
12
12
12
12 12
0
1 2 .1 . 2 .2
k
k k k k
k
k
x C x a C
Hệ số lớn nhất khi
1 1
1
12 12
1 1
1
12 12
12! 12!
.2
12 !. ! 11 !. 1 !
.2 .2
12! 12!
.2 .2
.2
12 !. ! 13 !. 1 !
k k k k
k k
k k k k
k k
k k k k
a a
C C
a a
C C
k k k k
max 8
1 2 23
1 24 2
12 1 3
8 126720.
2 1 26 2 26
13 3
k
k k
k k
k a a
k k
k
k k
Chọn A.
Câu 80: Xét khai triển
10
10
10
10 10
10 10 10
0
1 1 1
. 1 2 . .1 . 2 . .2
3 3 3
k
k k k k
k
k
x C x a C
Hệ số lớn nhất khi
1 1
1 10 10
1 1
1
10 10
10! 10!
.2
10 !. ! 9 !. 1 !
.2 .2
10! 10!
.2 .2
.2
10 !. ! 11 !. 1 !
k k k k
k k
k k k k
k k
k k k k
a a C C
a a
C C
k k k k
7 7
10
max
10
1 2 19
1 20 2
.2
10 1 3
7 .
2 1 22 2 22
3
11 3
k
k k
C
k k
k a
k k
k
k k
Chọn B.
Câu 81: Xét khai triển
2019
2 2019
0 1 2 2019
3 ... .
x a a x a x a x
Cho
x i
ta được
2019
2 3 4 2019
0 1 2 3 4 2019
3 ... *
i a a i a i a i a i a i
Phần thực của vế phải (*) là
0 2 4 6 2016 2018
...
a a a a a a
Mặt khác
2019
2019
2019 2019
3 2 cos sin 3 2 . cos sin
6 6 6 6
i i i i
Suy ra phân thực vế trái của (*) là 0 do đó
0.
S
Chọn D.
| 1/40
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHỦ ĐỀ NHỊ THỨC NIU-TƠN I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Công thức nhị thức Niu-tơn n Ta có a  bn 0 n 1 n 1  n 1  n 1
 C .a  C .a .b  ... C . .  n a b  C . n k b  C . nk a . k b . n n n n n k 0
2. Một số kết quả quan trọng
 Với a  b  1, ta có công thức n 0 1 n 1 2  C  C  ...  n  C  C . n n n n
 Với a  1;b  x , ta có công thức   xn 0 1 2 2 1
 C  C .x  C .x  ... n  C . n x n n n n
 Với a  1;b  x, ta có công thức   xn 0 1 2 2 3 3 1
 C  C .x  C .x  C .x  ...   1 n n C . n x n n n n n
 Với a  1;b  1, ta có 0 1 0  C  C  ...   C   C n n   1 k ... n   1 n n k n . n 3) Chú ý
Trong biểu thức ở vế phải của khai triển   n a b
- Số các hạng tử là n 1
- Số hạng thứ k 1của khai triển là k T  C . nk a . k b k 1  n
- Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0; số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ
của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước 0 0 a  b  1);
- Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối đều bằng nhau. m   a m n m n mn n 1 a .a  a ;  a  a   n a an   n
- Các công thức lũy thừa thường dùng:  m  a  m.n  a  m 1  n n m n n a  a  a  a  
II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
 Dạng 1. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển không có điều kiện Phương pháp: n
- Bước 1: Viết khai triển dạng tổng quát: a  bn k  C . nk a . k k b T   C . nk a . k b n k 1  n k 0
- Bước 2: Dựa vào giả thiết yêu cầu tìm hệ số của m
x , giải phương trình m  f k   k
- Bước 3: Thay vào biểu thức của T và kết luận
Ví dụ 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển  x  9 3 ? Lời giải: Trang 1 9
Ta có  x  39  C .x .39k k k 9 k 1 
- Hệ số của số hạng chứa xk trong khai triển sẽ là:  39k k T C 9
- Số hạng chứa x3 tức k  3 là T  36 3 C  61236 9
Ví dụ 2. Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển  x  12 2 1 ? Lời giải: 12 12 Ta có 2x  12 1
 C .2xk . 12 1 k  12 1 k 2 k C . k k k x 12   12   k 1  k 1 
- Hệ số của số hạng chứa xk trong khai triển sẽ là:   12 1 k 2k k T C 12
- Số hạng chứa x5 tức k  5 là: T   25 5 C  25344 12
Ví dụ 3. Tìm hệ số của số hạng chứa x15 trong khai triển  x  x 12 2 3 ? Lời giải: 12 12 12
Ta có 3x  x   x 3 x12  x C .3 . 12
1 k x   C .3 . 12 2 12 12 12 k k k k k k 24 1 k x 12 12 k 1  k 1 
- Hệ số của số hạng chứa 24 k
x  trong khai triển sẽ là: .3 . 12 1 k k k T C    12
- Số hạng chứa x15 tức 24  k  15  k  9 1à 9 9 T  3  .C 12 10  2 
Ví dụ 4. Tìm hệ số của số hạng chứa x11 trong khai triển 2 x  ?    x  Lời giải: 10 10 10 k 10  2 k   2  Ta có x   C .x  .    2      10 2 2 k k k 3k 1  0 .C .x 10 10  x  k 1   x  k 1 
- Hệ số của số hạng chứa 3k 10
x  trong khai triển sẽ là:  210k . k T C 10
- Số hạng chứa x11 nên có 3k 10  11 k  7, hệ số đó 1à T  23 7 .C 10 12  1 
Ví dụ 5. Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển 2x  ?    x  Lời giải: 12 12 12 k 12  1  k  1  Ta có 2x   C .2x .        12k k k k 2k 1  2 1 .2 .C .x 12 12  x  k 1   x  k 1  Trang 2
- Hệ số của số hạng chứa 2k 12
x  trong khai triển sẽ là:   12 1 k .2k. k T C 12
- Số hạng chứa x4 nên có 2k 12  4  k  8, hệ số đó 1à 8 8 T  2 .C 12 10  1 
Ví dụ 6. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển x  ?  4   x  Lời giải: 10 10 10 k 12  1  k k  1  Ta có x   C . x . k  C . k x   4    5 10 10  4  10  x  k 1   x  k 1 
- Hệ số của số hạng chứa 5k 10
x  trong khai triển sẽ là: k 5k 10 T C .x   10
- Số hạng không chứa x tức là 5k 10  0  k  2, hệ số đó 1à 2 T  C  45 10 12  1 
Ví dụ 7. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2 x  ?  4   x  Lời giải: 12 12 12  1 k 12k  Ta có 2 k x   C . x .  k x  C . k x   4   2  4 6 48 12 12  x  k 0 k 0 6k  48  0
- Số hạng không chứa x ứng với   k  8 0  k  12
Vậy số hạng không chứa x bằng: 8 C  495. 12 15  2 
Ví dụ 8. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 3 x  ?  2   x  Lời giải: 15 15 15  2 k 15k  Ta có 3 k x   C . x . 2x  2 k. k C . k x   2   3  2 15 5 30 15 15  x  k 0 k 0 5  k  30  0
Số hạng không chứa x ứng với   k  6 0  k  15
Vậy số hạng không chứa x bằng: 156 6 2 .C  2562560. 15 10  1 
Ví dụ 9. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2 x  ?  3   x  Lời giải: Trang 3 10 10 10  1 k 10k  Ta có: 2 k x   C . x .  k x  C . k x   3   2  3 5 30 10 10  x  k 0 k 0 5  k  30  0
Số hạng không chứa x ứng với   k  6. 0  k 10
Vậy số hạng không chứa x bằng: 6 C  210. 10 10  1 
Ví dụ 10. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 5  x ?   5  x  Lời giải: 10 10 k k 10 1 1 10 2  1 k       2 Ta có : 5 k 5 5 k 5  x  C .    x  . x   C .x 10 10 5  x  k 0     k 0  2k 2   0
Số hạng không chứa x ứng với  5  k  5. 0  k 10
Vậy số hạng không chứa x bằng: 5 C  252. 10 12  1 
Ví dụ 11. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  x ?    x  Lời giải: 12 12 k 12 1 12 3  1 k k    6 Ta có: k  x  C .    1 x  2 k 2 . x   C .x 12 12  x  k 0   k 0  3k 6   0
Số hạng không chứa x ứng với  2  k  4 0  k 12
Vậy số hạng không chứa x bằng: 4 C  495 12 16  1 
Ví dụ 12. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 3 x  ?    x  Lời giải: 16 k 16 1 16 4  1 k    16k 1  6 Ta có: 3 k 3 x   C .    x  . 1 x  k 3  C .x 16 16  x  k 0   k 0 4k  16  0
Số hạng không chứa x ứng với  3  k  12. 0  k 16 Trang 4
Vậy số hạng không chứa x bằng: 6 C  1820 12
 Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển có điều kiện Phương pháp:
- Bước 1: Tìm n dựa vào điều kiện đề bài cho
- Bước 2: Quy về dạng 1 đã biết
Ví dụ 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển  x  9 3 ? Lời giải: 9
Ta có  x  39  C .x .39k k k 9 k 1 
Hệ số của số hạng chứa xk trong khai triển sẽ là:  39k k T C 9
Số hạng chứa x3 tức k  3 là T  36 3 C  61236 9  1 n 
Ví dụ 1. Cho biết trong khai triển 3 x  
tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba bằng 2   x  11. Tìm hệ số của x2? Lời giải:
Vì tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba bằng 11 nên ta có: n! n! 0 1 2 C  C  C  11    n n n n   n   10 1 ! 2 2 ! . n n   1 2  n 
 10  n  n  20  0  n  4n  5  0  n  4 2 4 4 4  1 k 4k  Ta có: 3 k x   C . x .  k x  C . k x   2   3  2 5 8 4 4  x  k 0 k 0 5  k  8  2
Số hạng chứa x2 ứng với   k  2. 0  k  4
Vậy số hạng chứa x2 bằng: 2 C  6. 4  1 n 
Ví dụ 2. Cho biết trong khai triển 2 x  , 
 tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba bằng  x 
46. Tìm hạng tử không chứa x. Lời giải:
Vì tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba bằng 46 nên ta có: n! n! . n n 1 0 1 2   C  C  C  46     n   n n n n   n   45 45 1 ! 2 2 ! 2 Trang 5 2
 n  n  90  0  n 9n 10  0  n  9 9 9 9  1 k 9k  Ta có 2 k x   C .    2x . 1 x  k 3k 9  C .x 9 9  x  k 0 k 0 3  k  9  0
Số hạng không chứa x ứng với   k  3. 0  k  9
Vậy số hạng không chứa x bằng: 3 C  84 9 n  1 
Ví dụ 3. Tìm hệ số không chứa x trong khai triển biểu thức 4 3 A  
 x  x  0. Trong đó n là số 3 2  x  nguyên dương thỏa mãn: 3 1 2 A  C  30C 17 n n n Lời giải Ta có: 3 1 2
A  C  30C 17  nn  
1 n  2  n  15nn   1 17 n n n 3 2
 n 18n 18n 17  0  n 17 17 2   k 3 k 17k 34     
Với n  17 ta có số hạng tổng quát: k 3 4 k 12 3 T  C x x C x k k k      0   17,   1  17 17       17k 34 Cho 
 k  8 . Vậy số hạng không chứa x là 8 C  24310 12 3 17 n.  3  Ví dụ 4: Cho khai triển 3  x 
 . Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên của khai triển là 631. 3 2  x 
Tìm hệ số của số hạng chứa x5. Lời giải n k  3 n      k 3 n k n n k Ta có:  x    C   x  3k. k C .x 2 n 2   3 13 3 3 2 6 3 3 n  x  k 0  x  k 0
Từ đó tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên của khai triển là: 2 9n n 1 k k 0 0 1 2 2  
3 .C  3 .C 3.C 3 C  63113n  631  n 12 n n n n k 0 2 12 12 13k   18 3  Khi đó ta có: 3 k k 6  x    3 .C .x 3 2 n  x  k 0
Hệ số của số hạng chứa x5 là:  3k. k T C 12 13k Với k thỏa mãn: 6 6 18 
 5  k  6  T  3 .C 12 6 n
Ví dụ 5. Tìm hệ số của số hạng chứa x15 trong khai triển  3
2x  3 thành đa thức, biết n là số nguyên Trang 6
dương thỏa mãn hệ thức 3 1 2 A  C  8C  49 n n n Lời giải +) Điều kiện: n  3 . n n 1 +) Ta có 3 1 2
A  C  8C  49  n n  n   n    n  n  n   n n n   1  2   3 2 8. 49 7 7 49 0 2  n   2
7 n  7  0  n  7 7 7 7 k
+) Với n  7 ta có khai triển 2x 3  C .2x  . 3
 7k  C .2 .37 3 3 k k k k 3 . k x 7 7 k 0 k 0
Xét hạng tử x15 suy ra 3k  15 hay k  5.
Từ đó hệ số của hạng tử x15 bằng C .2 .32 5 5  6048 7  1 n n 
Ví dụ 6. Tìm hệ số của hạng tử chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton 5  n x  biết rằng n là số 3   x 
nguyên dương thỏa mãn n 1  n C  C  7 n  3 . n4 n3   Lời giải n 1  n C  C  7 n   C   C  C  n  n n  3 n 1 n n 7 3 4 3 n3 n3 n3   n  3 ! n 1 C   7 n  3 
 7 n  3  n  2  14  n 12 n3     n     1 !2! 12 12 k n 12 k 5 12 60 1  1  n 1   13      k 13 k Ta có 5 5 k k 12 2 k 2  n x  12 x  C       12x   C 13 12 x 3 3 12 3 12  x   x  k 0  x    k 0 60 11k Ta có
 8  k  4, do đó hệ số là 4 4 8 C 13 12 . 2 12  1 n 
Ví dụ 7: Với mọi số nguyên dương n, khai triển nhị thức x  
 theo thứ tự số mũ giảm dần, tìm số  3 
hạng đứng giữa của khai triển biết hệ số của số hạng thứ ba là 5. Lời giải  1 n  n 1 n 1 n  1 n  Ta có 0 1 1 2 2 x   C x  C x  C x  ... n   C .      3 n  3 n 9 n  3 n  1
Hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển bằng 2 C . 9 n 1 n! Theo giả thiết 2 2 C  5    n  n    n  n n   45 90 0 10. 9 2! 2 ! Trang 7 5  1  28
Với n  10 ta có 11 số hạng nên số hạng đứng giữa là số hạng thứ 6, tức là bằng 5 5 5  C x   x .   10  3  27  1 n 
Ví dụ 8. Cho biết hệ số của số hạng thứ tư của khai triển 2 x  , 
  x  0 bằng 70. Hãy tìm số 5  2x x 
hạng không chứa x trong khai triển đó. Lời giải n 6 n n 6 k k n 16k      nk    2 1 1  k 1 k  1 n  Ta có 2 2 x      x  x   C x  x   C x n  2 5  5 5 . . .   5  2 . x x  2 n   k 0 2   k 0  2 
Hệ số của số hạng thứ tư tương ứng với k  3 tức là: 3  1  n! 3 3 2 C .  7    n  n  n    n  n     n   56 3 2 336 0 8 2 3! 3 ! 16k 1 7
Tìm số hạng không chứa x ta có: 2n 
 0  k  5 nên số hạng đó là 5 C .  5 8 5 2 4 n
Ví dụ 9. Tìm hệ số của x5 trong khai triển của  4 x x  x  biết 3 2 C  C  1330 n n Lời giải n! n! n!  1 1  n! n 1 n 1 ! 3 2   Ta có C  C        n n    n   n   n    n   n   . n   n   1330 3! 3 ! 2! 2 ! 2! 3 ! 3 2 2! 3 ! 3 2 3! 2 !  n  nn   3 1
1  1330.3! n  n 1330  0  n  20  
Khi đó ta cần tìm hệ số của x5 trong khai triển của    20 3 1 20 4 2 4 x x x   x  x    3 1 5 k 20k k 5 k k 5
Gọi số hạng phải tìm là T(k) ta có: T k    2 4 4  C x x  C x  k  5  5  k  8 20 20 4 Vậy hệ số của x5 là 8 C  125970 20  3 n  Ví dụ 10. Cho khai triển  x . 
 Tìm hệ số của x2 trong khai triển trên biết tổng hệ số của khai triển  x  là 1024. Lời giải n ni n n 3  3   3 i i n  Ta có khai triển Niu tơn:  x  C  x    C  x x    n      i i i n i 2 1 .3 , 0. n  x  i0  x  i0 n
Tổng hệ số của khai triển là   1 i 3   3   1 n n i
 2 .n Theo giả thiết ta tìm được n  10 i0 Trang 8 10 10 3  3 i 1  0  Khi đó,  x     i i 10i 2 1 C 3 x , x  0 10  x  i0 3i
Để có số hạng chứa x2 thì 10  2  i  8 2 Hệ số cần tìm là 2 8 3 C  405 10  1 n 
Ví dụ 11. Tìm hệ số của x7 trong khai triển nhị thức 4 2x  , x  0 . 
Biết rằng n là số tự nhiên thỏa 3     x  mãn 2 2 C  2A  n  112 n n Lời giải  1 n    1 k n n n n k  Ta có 4 2x   C x    C x    n  4 2    2n k k k 4n 7k 3 3 n  x  k 0 k 0  x  k 0
Theo bài, n là số tự nhiên thỏa mãn 5 2 2 2
C  2A  n  112  5C  n  112  n n   n   n  n n n   1 112 7 2
Hệ số của x7 trong khai triển là 7  2 k. k T
C ứng với 4.7  7k  7  k  3  T  560 7  2 n 
Ví dụ 12. Tìm hệ số của x4 trong khai triển biểu thức 3  x , 
 biết n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức  x  n6 2 C  nA  454. n4 n Lời giải:  2 n   k  2 n k n n k  Ta có: 3  x    1 C  3x        1 k 2nk k k 4k n C x n n  x  k 0  x  k 0 n 1 Theo bài, 6 2 C  nA  454  n  n   n n  n   n  n n  4 5  2 454 8 4  2
Vậy hệ số của x4 trong khai triển là:    1 k 28k k T
C ứng với 4k  8  4  k  3  T  1  792 8 n 2 14 1
Ví dụ 13. Tìm hệ số của x9 trong khai triển:   x2 * 1 3 ;n   , biết   . 2 3 C 3C n n n Lời giải 2n 2 2 n n k k
Ta có: 1 3x    1 k C 3x    3 k k k C x 2n     2n   k 0 k 0 2 14 1 4 28 Theo bài:     1  n  9 2 3 C 3C n n 1 n   1 n  2 n n  Trang 9 k
Vậy hệ số của x9 trong khai triển là:   3 k T
C ứng với k  9  T  3  938220 3 18 3  2 n n 
Ví dụ 14. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển 2 x  
 thành đa thức, biết n là số nguyên  5 
dương thỏa mãn hệ thức 3 2 1 A  6C  4C  100. n n n Lời giải: n! n! Ta có: 3 2 1 A  6C  4C  100    n  (với n  ;  n  3) n n n
n   6. n   4 100 3 ! 2!. 2 !
 nn  n    nn   3 1 2 3
1  4n  100  n  5n  100  n  5 3n 15  2n 15 
Với n  5 xét khai triển 2 A  x      2x 2 k 2k 15  C x .2 k 15  5  0
Số hạng chứa x8 tương ứng 2k  8  k  4.
Vậy hệ số chứa x8 trong khai triển là 4 11 C .2  2795520 15 1  3 n 
Ví dụ 15. Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển 2 2x  
 thành đa thức, biết n là số nguyên x 3  x 
dương thỏa mãn hệ thức 3 n3 n2 1 C  C  C .C . n n 1  n 1  n3 Lời giải     n n n n n ! 1 ! 1 ! 3 3 2 1     Ta có: C  C  C .C    . n  3 (với n  ;  n  3) n n 1  n 1  n3 3 
! n  3! 2!n  3! n  2   ! nn   1 n  2 n   1 n  2    n  
1 n  3  nn  2  3n  2  6n  3 6 2 2
 n 11n 12  0  n  12. 12 12 12  3 k 12k 
Khi đó xét khai triển  2    2 . 3    2 . 3 k k k k k A x C x x C  x   3       12 2 2 3 5 36 12 12  x  0 0 1
Số hạng chứa tương ứng 5k36 1 x
 x  5k  36  1  k  7 x 1
Khi đó hệ số của số hạng chứa là: C .2 . 3  2  4634368 12  5 7 7 x  2 n 
Ví dụ 16. Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển 3 x  
 thành đa thức, biết n là số  x 
nguyên dương thỏa mãn hệ thức 6 7 8 9 8
C  3C  3C  C  2C . n n n n n2 Lời giải: Trang 10 Áp dụng công thức: k k 1  k C  C  C n n 1  n 1  Ta có: 6 7 8 9 6 7
C  3C  3C  C  C  C  2 7 8 C  C  8 9 7 8 9
 C  C  C  2C  C n n n n n n n n n n n 1  n 1  n 1  8 9 9  C  C  C . n2 n2 n3 n  3 ! 2. n  2 ! n  3 9 8     Như vậy ta có: C  2C     2  n  15 n3 n2 9!.n  6! 8  ! n  6! 9 15 15k k 15 1 1 15 305  2 k      Khi đó xét khai triển 3 k 3 2 k k 6 A  x   C    x  . 2x   C .2 .x 15 15  x  0     0 30  5k
Số hạng không chứa x tương ứng  0  k  6 6
Vậy số hạng không chứa x là 6 6 C .2  320320 15
 Dạng 3. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhiều hạng tử Phương pháp:
- Bước 1: Viết khai triển thu gọn về 2 hạng tử n n k
Ta có a  b  cn  a  b n  c  C .   a bk k . nk k c  C . i C . ki a . i b . nk c n n k k 0 k 0 i0 0  k  n Ở đây  0  i  k
- Bước 2: Dựa vào chỉ số mũ của x để biện luận tìm i và k.
- Bước 3: Kết luận về hệ số của số hạng cần tìm.
Ví dụ 1. Tìm hệ số của x6 trong khai triển   x   x 7 2 1 1    thành đa thức. Lời giải 7 7 7 k k   Cách 1: Ta có 2 1   x 1 x k 2   C x 1 x k 2k i i   C x C x   7   7  k  k 0 k 0  i0   i   0 0  i  k  7   k  3
Vậy ta có hệ số của x6 là k i
C C thỏa mãn: 2k  i  6  7 k  i    2 i, k      k  2
Vậy hệ số của x6 trong khai triển là: 3 0 2 2 C C  C C  56 7 3 7 2 7 Cách 2: Ta có: 1
  x 1 x  C  C x 1 x  C x 1 x2 ... C x 1 x7 2 0 1 2 2 4 7 14   7 7 7 7
Nhận thấy x6 chỉ có trong: C x 1 x2  C x 1 x3 2 4 3 6 7 7
Vậy hệ số của x6 trong khai triển là: 2 3 C  C  56 7 7 Trang 11
Ví dụ 2. Tìm hệ số của x8 trong khai triển   x   x 8 2 1 1 2    Lời giải 8 8 8 k Ta có 2 1   x 1 2x 2
  C x 1 2x 2   C x 1 2 k k k k x   8   8   k 0 k 0 8 k k  C x C 1   x  C C    x  k  2 8 2 k i k  2k i k k i i k i k i 3 . k i 8 8 k 0 i0 k 0 i0 k  3  3  k  i  8 i   1 Tìm hệ số x8 thì  
nên hệ số của x8 là C .C . 2  C .C . 2  742 8 3  2 8 4  0 3 1 4 4 8   k  i  0 k  4   i   4
Ví dụ 3. Tìm hệ số của x8 trong khai triển đa thức của:   x   x8 2 1 1    Lời giải 8 8 k k k   Cách 1: Ta có f  x k 2  C x 1 x k 2k i i   C x C x . 8   8  k  k 0 k 0  i0   i   0 0  i  k  8   k  4
Vậy ta có hệ số của x8 là: k i
C C thỏa 2k  i  8  8 k  i    2 i, k      k  3
Hệ số trong khai triển của x8 là  0 1 C C   2 4 0 3 2 1 C C  238 8 4 8 3 Cách 2: Ta có:
f  x  C  ... C x 1 x 3   C x 1 x 4
  ... C x 1 x 8 0 3 2 4 2 8 2  8 8   8   8  
Nhận thấy: x8 chỉ có trong các số hạng:
• Số hạng thứ 4: C x 1 x 3 3 2  8  
• Số hạng thứ 5: C x 1 x 4 4 2  8  
Với hệ số tương đương với: 3 2 4 0 a  C C  C C  238 8 8 3 8 4 n
Ví dụ 4. Cho khai triển  2 1 x  x  2 3 2
 a  a x  a x  a x ... n  a x (với *
n   ). Tìm hệ số của số 0 1 2 3 2n
hạng chứa x4 trong khai triển biết 1 2 3 2 C  6C  6C  9n 14 . n n n n Lời giải n! n! n! Ta có: 1 2 3 3 C  6C  6C     n  n n   n n  n   n n n n 1  ! n   6. 1 ! 2  ! n  2 6. ! 3  ! n  3 3   1  1 2 ! Theo bài * 3 2
n   ,n  3 n  9n 14n  nn  2n  7  0  n  7 Trang 12 7 7 k 7 7 k k  m    Suy ra  2 1 x  x  k  C  2 x  x  k m  C C . km x x   C x   k  2 m k m 7 7    k  k 0 k 0  m0  k0  m0  m  k  4  0  k  4 Hạng tử chứa 4 x     ; m k   
 0;4,1;3,2;2 0  m  k  7  *  , m k   
Vậy hệ số của hạng tử chứa x4 là: 4 0 3 1 2 2
T  C .C  C .C  C .C  161 7 4 7 3 7 2
Ví dụ 5. Tìm hệ số của x6 trong khai triển thành đa thức của P  x  x   x5  x  x7 2 2 1 3 3 1 2 Lời giải 5 7
Ta có: P  x  2x 1 3x5  3x1 2x7 2 2  2x C 3 k  x  3xC . 2 k k k x 5   7   k 0 k 0
Suy ra số hạng chứa x6 của P(x) là: 2x .C  3  x4  3 .xC .2x5 2 4 5 5 7
Vậy hệ số của x6 là: T  2.C . 3  4 4 5 5  3.C .2  1206 5 7
Ví dụ 6. Tìm hệ số của x5 trong khai triển biểu thức
   n    2 2 1 2 1 3 n P x x x x , biết rằng 2 n 1 A  C   5. n n 1  Lời giải n n
Ta có: P  x 1 2xn  x 1 3x2 2 n  xC  2  xk 2  x C .3xk k k n n k 0 k 0 n n 1 Theo bài, 2 n 1
A  C   5  n n 1   5  n  5 n n 1      2
Suy ra số hạng chứa x5 là: .
x C 2x4  x .C .3x3 4 2 3 5 5
Vậy hệ số của x5 là: T  C .24 4 3 3  C .3  350 5 5 n
Ví dụ 7. Tìm hệ số của x4 trong khai triển P   3
1 x  3x  , biết rằng n2 2 C  6n  5  A . n n 1  Lời giải n 1 Ta có: 2 2 C
 6n  5  A  n n 1  6n  5  n 1 n (với n  ;  n  2 ) n n 1      2 2
 n  9n 10  0  n 10 10 10 10 10 k k 10k Khi đó P   3
1 x  3x   1 xk  3 3  x   .C .C x  x  i  k  k  i k i . 3 3 0 10 10    0 k 0 i0
+) Cho 30  3k  i  4  3k  i  26 ta có các cặp (i; k) thỏa mãn là: (1;9), (4;10)
+) Vậy hệ số của x4 trong khai triển là: C C . 1 1 . 3  1  C C  4 1 30 9 1 10 4  480 10 9 10 10 Trang 13 3  1 
Ví dụ 8. Tìm hệ số của x13 trong khai triển    2    3 2 1 n P x x x , biết rằng 3 n2 A  C  14 . n  4  n n Lời giải n 1 Ta có: 3 2 A  C  14n  n n n n n n n n n n    1   2     1  14   ;   3 2  2n  
1 n  2  n   1  28  n  5 6 21  1  1 1 Khi đó ta có:   .   2  15 1  2 1   2 k k P x x x C x 6  21 6 21    2  2 2 0 1
+) Cho k  13 ta có hệ số của x13 trong khai triển là: 13 13 .C .2  26046720 6 21 2
Ví dụ 9. Tìm hệ số của x4 trong khai triển P    x  x 12 2 1 Lời giải 12 12 12 12 k k 12k Xét khai triển: P   2
1 x  x   1 xk  2 x   C .C x x  i  k  k  i k i . 2 0 12 12    0 k 0 i0
+) Cho 24  2k  i  4  2k  i  20 ta có các cặp i;k  thỏa mãn là: 0;10,2;1  1 ,4;12
+) Vậy hệ số của x4 trong khai triển là: 10 0 11 2 12 4 C C  C C  C C  1221 12 10 12 11 12 12   1 n 
Ví dụ 10. Tìm hệ số của x4 trong khai triển x  3 1    biết rằng 1 n2 3 3C  8C  3C .  x    n 1  n2 n 1  Lời giải ĐK: n  2, n  .  n  2 n 1 n n 1 n 1 n n 1 Ta có: 1 n2 3 3C  8C  3C  3 n 1  8.  3 n 1  n2 n 1             4! 3! nn  2n   1 nn   1  3   3 2  n  2  Loai 3 2
 2n  n  n 18  0  n  2 2 2n  5n  9    0   2 2n  5n  9  0  VN 
Vậy không có giá trị n thỏa mãn.
Ví dụ 11. Tìm hệ số của x8 trong khai triển    8 2 1 x x thành đa thức? Lời giải 8 8 k 8 8 k k i Khai triển  2 1 x  x  8  C .1  . 2
x  x   C .C .  x . x C C x k  2    . 1 i k k k i k i k i k   i . 8 8  8 k   k 0 k 0 i0 k 0 i0 0  i  k  8
Với hệ số của x8 thì k  i  8 với điều kiện 
thì các bộ số k;i thỏa mãn là i  , k 
4;4,5;3,6;2,7; 1,8;0 Trang 14
Từ đó hệ số của x8 là 4 4 5 3 6 2 7 1 8 0
C .C  C .C  C .C  C .C  C .C  125. 8 4 8 5 8 6 8 7 8 8
 Dạng 4. Khai triển có điều kiện về tổng dãy số Phương pháp:
Các tổng đặc biệt cần lưu ý: 0 1 n 1 C  C  ...   C  n C  2n n n n n 1 xn 0 1 2 2
 C  C .x  C .x  ... n C . n x n n n n 1 x2n 0 1 2 2 2n 2n x1 0 2 2n 1 3 2n 1
 C  C .x  C .x  ... C x 
C  C  .... C  C  C  ...   C 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 1 x2n 0 1 2 2 2n 2n x 1  0 1
 C  C .x  C .x  ... C .x C  C  . 2n 2 .. C  2 n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2 n n 2 n Suy ra 0 2 2 1 3 2 1 2n 1 C C ... C C C ... C  2           2n 2n 2n 2n 2n 2n 2 3  2 n 
Ví dụ 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x21 trong khai triển nhị thức Niu-tơn 2 x  ; x  0   biết  x  0 1 2 3 C  C  C  C ... n  C 1024 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  Lời giải:
+) Ta có khai triển: 1 x2n 1 0 1 2n 1  2n 1  C  C x  ...  C x  2n 1  2n 1  2n 1  Cho x  1 được: 2n 1  0 1 2 2n 1 2  C  C  C  ... C   2 C  C  C   C n n n n  0 1 2 ... n 2 1 2 1 2 1 2 1 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1   Vì k 2n 1 k C  C   Do đó: 2 1024  2 n  n  5. 2n 1  2n 1  15 15 15 k 0  2   2  +) Khi đó: A  x   C x      215 2 2 k k k k 3k 1  5 C x 15 15  x  0  x  15
Cho 3k 15  21 k  12.
Hệ số của số hạng chứa x21 trong khai triển là: -3640  1 n 
Ví dụ 2. Tìm hệ số của x20 trong khai triển nhị thức Newton biểu thức P  x 2   x  với n nguyên 3   x  dương thỏa mãn: n 1  n2 2n 100 C  C  .... C  2 1. 2n 1  2n 1  2n 1  Lời giải n Ta có 2n 1 C   1và k nk C  C ; k C  2n. 2n 1  n n n k 0 Lại có n 1  n2 2n 100 C  C  .... C  2 1. 2n 1  2n 1  2n 1  0 1 n 1  2n 1  101 2n 1  101  C  C  ... C  ... C  2  2  2  n  50 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  50 50  1  Với n  50  P x 2 k 5k 1  50   x  C x  3  50  x  k 0 Số hạng này chứa 20
x  5k 150  20  k  34 Trang 15
Vậy hệ số của số hạng chứa x20 là 34 C 50 n
Ví dụ 3. Cho khai triển  2
x  3x  2 tìm hệ số chứa x2 trong khai triển đó. Biết 2 4 2n 19
C  C  ... C  2 1 2n 2n 2n Lời giải n Xét: 1  2 2n k 0 1 2 1  C  C  C ... n  C 2n 2n 2n 2n k 0  n 1  2 2 1 n  C   C  C   C n  k k 0 1 2 1 ... n 2 2n 2n 2n k 0
Cộng hai vế của chúng lại ta có: 2n 0 2  2C  2P  2  2   n  n  19 2 1 10 2  10 10 10
Ta có: x  3x  2  x  10
1  x  210   10 1 k C x 210 2 i k k i i C x 10 10 k 0 i0 k  i 1
Khi đó hệ số chứa x2 trong khai triển là  10 1 k C .210i k i C thỏa mãn: i k 2     i  0;k  2 10 10  i;k i  2;k  0 
Khi k  i  1 hệ số sẽ là:  9 1 C . 2  9 1 1 10 1 C  2 .C 10 10 10
Khi i  0; k  2 hệ số là:  8 1 C .210 2 0 10 2 C  2 .C 10 10 10
Khi i  2;k  0 hệ số là:  10 1 C .28 0 2 8 2 C  2 C 10 10 10
Vậy hệ số chứa x2 trong khai triển trên là 10 1 10 2 8 2
2 .C  2 .C  2 .C  67840 10 10 10  1 n 
Ví dụ 4. Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niuton của 7  x ,  biết rằng 4   x  1 2 n 20 C  C  ... C  2 1 2n 1  2n 1  2n 1  Lời giải
Sử dụng khai triển sau: 1 x2n 1 0 1 2 2 2n 1  2n 1  C  C x  C x  ...  C x  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  Cho x  1 ta có: 2n 1  0 1 2 2n 1 2  C  C  C  ... C  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1 
Mặt khác ta có công thức: k n k C C   n n Do vậy: 2n 1 2   2 0 1 2 C  C  C ... n  C     n  n n n n  2 20 1 2 1 10 2 1 2 1 2 1 2 1  10 10 10  1  k  1 k 10k  Xét khai triển 7 k  k  x  C x  C x  4   4   7  70 11 10 10  x  k 0  x  k 0
Ứng với hệ số của số hạng chứa x26 ta có: 70 11k  26  k  4
Vậy hệ số của số hạng chứa x26 là 4 C 10 Trang 16
Ví dụ 5. Cho x  0 và n 1  n2 n3 2n 1  2n 2n 1  36 C  C  C  ... C  C  C
 2 . Tìm số hạng không phụ thuộc 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  n  1 
x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 5   x  .  x    Lời giải Ta có k 2n 1  k C  C k
 : 0  k  2n 1 nên 2n 1  2n 1  n n n n n n 1 1 2 3 2 1 2 2 1 C  C  C ... C  C  C  C  C  C   C   C  C  n n n n n n  0 1 2 2n 1 2n 2n 1 ... 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1   2 Mà 1 2n 1 0 1 2 2n 1  2n 2n 1 1  C  C  C  ... C  C  C  suy ra 36 2  2n  n  18 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  n 18 18k 18  1   1   1     x    x   C   .x 18 k  C  1k k k . x6 18 5 5 5 5 18 18  x   x    k 0 x k 0       6k 18
Số hạng không phụ thuộc x ứng với  0  k  3. 5
Suy ra số hạng cần tìm là C  3 3 1  816 18
Ví dụ 6. Cho đẳng thức n 1  n2 n3 2n 1  2n 8 C  C  C ... C  C  2 1. 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  n
Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển  3 4 1 x  x  x  . Lời giải Đặt n 1  n2 n3 2n 1  2 S  C  C  C  ... n  C  C 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  Ta có 1 2n 1 0 1 2 n 1 1  C  C  C  ...  n  C  C  C   C    C  C  n n n n n  n 1 n 2 2 ... n n n n  2n 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2n 1  2n 1  2    0 2n 1 C  C   C
 C    C   C   C   C    C   C n n  2n 2n 1 n 2 n 1 ... n n n n  n 1 n 2 2n 1 2 ... n 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1   2n 1  2n 2n 8  2
 2  2S  2  1 S  2  2  n  4   n
1 x  x  x   1 x  x 1 x 4   1 x4 3 4 3    3 1 x 4   0 1 2 2 3 3 4 4
C  C x  C x  C x  C x  0 C  1 3 2 6 3 9 4 12 C x  C x  C x  C x . 4 4 4 4  4 4 4 4 4 4
Ta có hệ số của x10 là: 1 3 4 2 C .C  C .C  1  0 4 4 4 4 n
Ví dụ 7. Tìm hệ số của x4 trong khai triển biểu thức  2
1 x  2x  biết n là số nguyên dương thỏa mãn 0 2 4 2 C  C  C  ... n  C  512. 2n 2n 2n 2n Lời giải:
Xét các khai triển sau: 1 x2n 0 1 2 2 2n 2  C  C x  C x ... n  C x 2n 2n 2n 2n Với 2n 0 1 2 2
x  1 2  C  C  C  ... n C 1 2n 2n 2n 2n   1 x2n 0 1 2 2 2n 2  C  C x  C x ... n  C x 2n 21 2n 2n Với 0 1 2 2
x  1 0  C  C  C  ... n  C 2 2n 2n 2n 2n   Trang 17
Cộng vế với vế (1) và (2) ta được 2 2 n  2 0 2 2 C  C  ... n  C
 512.2  1024  n  5 2n 2n 2n  10 5 4 3 2 Xét khai triển  2 1 x  2x  0  C 1 x 1  C 1 x  2 2x  2  C 1 x  2 2x  ... 5 5 5 
Các số hạng chứa x4 trong các số hạng trên là: C 1 x5 0 0 1 4  C .C x 5 5 5 C 1 x4 1  2 2x  1 2 2 2  C C .x .2x 5 5 4 C 1 x4 2 . 2 2x 2 2 0 4  C C .1.4x 5 5 4
Suy ra tổng hệ số của x4 là 0 1 1 2 2 0
C C  C C .2  C C .4  105. 5 5 5 4 5 4 n
Ví dụ 8. Tìm hệ số của x5 trong khai triển biểu thức   x  x 3 2 1 2 4
biết n là số nguyên dương thỏa mãn 2 4 6 1006 503    ...  2 n C C C C 1. 2014 2014 2014 2014 Lời giải Xét khai triển 1 x2014 0 1 2 2 2014 2014  C  C x  C x  ...  C x . Với 2014 2014 2014 2014 2014 0 1 2 2014 x  1 2  C  C  C  ... C 2014 2014 2014 2014 1 x2014 0 1 2 2 2014 2014  C  C x  C x  ...  C x . Với 0 1 2 2014 x  1 0  C  C  C ... C 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014
Cộng vế hai đẳng thức trên ta được 2014 2  2 0 2 2014 C  C  ... C  2 4 2012 2013  C  C  ... C  2  2 2014 2014 2014 2014 2014 2014 Ta có 2 4 6 1006 2012 2010 1008 C  C  C  ... C  C  C  ... C 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2 4 2012 2013 C  C  ... C 2  2 2 4 6 1006 2014 2014 2014 2012  C  C  C  ... C    2 1 2014 2014 2014 2014 2 2 503n 2012  2 1  2 1 n  4. Xét khai triển
12x4x 12  C .12x12 C .12x114x C .12x10.4x 2 C .12x9 2 12 11 2 10 2 9 . 2 4x ... 12 12 12 12 3
Các số hạng chứa x5 là
C 1 2x12  C .C 2x5 12 12 5 5 5  32.C .x 12 12 12 12
C .1 2x11 4x   C .C .2x3 11 2 11 3 2 3 5 .4x  32.12.C .x 12 12 11 11
C .1 2x10 .4x 2  C .C .2x1 10 2 10 1 4 10 5 .16x  32.10.C .x 12 12 10 12  hệ số của x5 là 5 3 10
32.C  32.12C  32.10.C  1  09824 12 11 12  2 n 
Ví dụ 9. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của 2  x ,   biết rằng 3  x  Trang 18 1 2 n 28 C  C  ...C  2 1 2n 1  2n 1  2n 1  Lời giải
Xét khai triển 1 x2n 1 0 1 2 2 2n 1  2n 1  C  C x  C x  ...  C x  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  Với 2n 1  1 2 2n 1 2 2n 2n 1 x  1  2  2  C  C  ... C  C  C ... C  2   2 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  Ta có 1 2 n 2n 2n 1  n 1 C  C  ... C  C  C ...   C 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  1 2 n n 1  2n 2n 1 C  C   C  C   C   n ... ... 2 2 1 2 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2  C  C ... C    2 n 1 2n 1  2n 1  2n 1  2 2 28 2
 2 1  2 n 1 n  14 14  2      k 2 k k 14k k k 1 14k Xét khai triển 2  x 
 có số hạng tổng quát là a  C . . x  C x k    2  2 . . .    2 14 14 3 3  3  x   x   x   1 k  k  k x
Xét phần tử có bậc của x bằng 0 thì sẽ có .    x  28 2 14 2  1   1 x   k  12 3 3 k  x  x
Suy ra hệ số của x0 là 12 12 2 C  372736 14 n
Ví dụ 10. Tìm số hạng không chứa x14 trong khai triển  2
1 x  3x  , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 1 2 C  C  ... n  C  256 n n n Lời giải
Xét khai triển   xn 0 1 2 2 1  C  C x  C x ... n n  C x n n n n Với n 0 1
x  1 2  C  C  ... n  C  256  n  8 n n n 8 8 7 8 Xét khai triển  2 1 x  3x  8  C 1 x 7  C 1 x . 2 3x  0  ... C  2 3x 8 8 8  k
Xét số hạng tổng quát là k C . i i C x . x C C  x    k 3 8 2 k i 8 k 16 2 . .3 . k i 8 8 k
Số hạng chứa x14 thì thỏa mãn 16  2k  i  14  i  2k  2  2k   1
Với k  8 và i  k và i, k  ¥ k  0  i  2  Ta có 2k 1 k k 2 0 
      k 1 i  0  k  2  i  2 
Thay 2 trường hợp thỏa mãn vào ta được hệ số của x14 là 1 0 8 1  2 2 82 C .C .3  C .C .3  37908 8 1 8 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 13  1 
Câu 1. Tìm số hạng chứa x7 trong khai triển x  .    x  A. 4 17 C x . B. 3 C . C. 3 7 C x . D. 3 7 C x . 13 13 13 13 Trang 19 9  1 
Câu 2. Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển x  .    2x  1 1 A. 3 3  C x . B. 3 3 C x . C. 3 3 C x . D. 3 3 C x . 9 8 9 8 9 9 40  1 
Câu 3. Tìm số hạng chứa x31 trong khai triển x  .  2   x  A. 37 31 C x . B. 37 31 C x . C. 2 31 C x . D. 4 31 C x . 40 40 40 40 6  2 
Câu 4. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2 x  .    x  A. 4 2 2 C . B. 2 2 2 C . C. 4 4 2 C . D. 2 4 2 C . 6 6 6 6 8  1 
Câu 5. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2 xy  .    xy  A. 70y4. B. 60y4. C. 50y4. D. 40y4. 5  1 
Câu 6. Tìm số hạng chứa x3y trong khai triển xy  .    y  A. 3x3y. B. 5x3y. C. 10x3y. D. 4x3y.
Câu 7. Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển x  xy21 3 . A. 10 40 10 C x y . B. 10 43 10 C x y . C. 11 41 11 C x y . D. 10 43 10 11 11 C x y ;C y . 21 21 21 21 21
Câu 8: Tính tổng S tất cả các hệ số trong khai triển  x  17 3 4 . A. S  1. B. S  1. C. S  0. D. S  8192.
Câu 9: Hệ số của x5 trong khai triển   12 1 x là A. 972. B. 495. C. 792. D. 924. 6  1 
Câu 10: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2x   với x  0. 2   x  A. 240. B. 15. C. -240. D. -15. 10  2 
Câu 11: Hệ số của x2 trong khai triển của biểu thức 2 x    bằng  x  A. 3124. B. 2268. C.13440. D. 210.
Câu 12: Tìm hệ số của số hạng chứa a3b2 trong khai triển a  b5 2 A. 40a3b2. B. 40. C. 10. D. 10a3b2.
Câu 13: Giả sử có khai triển 1 2x7 2 7
 a  a x  a x  ... a x . Tìm a 0 1 2 7 5. A. 672x5. B. -672. C. -672x5. D. 672. Trang 20 18  x 4 
Câu 14: Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển    x  0.  2 x  A. 9 9 2 C . B. 11 7 2 C . C. 8 8 2 C . D. 8 10 2 C . 18 18 18 18 12  1 
Câu 15: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2 x  .    x  A. -459. B. -495. C. 495. D. 459.
Câu 16: Tìm hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển nhị thức Niu-ton của  x  6 2 1 . A. 960. B. -160. C. -960. D. 160. 11  1 
Câu 17: Tìm số hạng không chứa x trong biểu thức f  x  x x   với x  0. 4   2x  156 165 156 165 A.  . B.  . C. . D. . 8 8 8 8
Câu 18: Tìm hệ số của x12 trong khai triển  x  x 10 2 2 . A. 8 C . B. 2 8 C 2 . C. 2 C . D. 2 8 C 2 . 10 10 10 10
Câu 19: Khai triển đa thức P  x   x  2017 5 1 ta được P  x 2007 2006  A x  A x
 ... A x  A . Mệnh đề nào sau đây đứng? 2007 2006 1 0 A. 7 7 A  C  .5 . B. 7 7 A  C .5 . C. 2000 2000 A  C  .5 . D. 7 7 A  C .5 . 2000 2007 2000 2007 2000 2007 2000 2007 Câu 20: Đa thức P  x 5 4 3 2
 32x 80x  80x  40x 10x 1 là khai triển của nhị thức nào dưới đây? A.   x5 1 2 . B.   x5 1 2 . C.  x  5 2 1 . D.  x  5 1 .
Câu 21: Khai triển đa thức  x   x  1000 P 2 1 ta được P  x 1000 999  A x
 A x ... A x  A . Mệnh đề 1000 999 1 0 nào sau đây đứng? A.    2 .n A A A 1000 999 1 B.    2n A A A 1. 1000 999 1 C. A  A  A 1. 1000 999 1 D. A  A  A  0. 1000 999 1
Câu 22: Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 0 1 n n 1  n2 2 C  C  ... C  C  C  ... n  C . 2n 2n 2n 2n 2n 2n B. 0 1 n 1  n 1  n2 2 C  C  ... C  C  C ... n  C . 2n 2n 2n 2n 2n 2n C. 0 1 n2 n 1  n2 2 C  C  ... C  C  C  ... n  C . 2n 2n 2n 2n 2n 2n D. 0 1 n 1  n 1  n2 2 C  C  ...  C  C  C  ... n  C . 2n 2n 2n 2n 2n 2n Trang 21 Câu 23: Tính tổng 0 1 2 S  C  C  C  ... n  C . n n n n A. 2n S  1. B. 2 .n S  C. n 1 S 2   . D. 2n S  1. Câu 24: Tính tổng 0 1 2 2 S  C  C  C  ... n  C . 2n 2n 2n 2n A. 2 2 .n S  B. 2 2 n S  1. C. 2n S  . D. 2 2 n S  1.
Câu 25: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1 3 2 20 C  C  ... C  2 1. 2n 1  2n 1  2n 1  A. n  8. B. n  9. C. n  10. D. n  11.
Câu 26: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1 3 2n 1 C  C  ... C   1024. 2n 1  2n 1  2n 1  A. n  5. B. n  9. C. n  10. D. n  4. Câu 27: Tính tổng 0 1 2 S  C  3C  3 n C  ...  3n n C . n n n n A. 3 .n S  B. 2 .n S  C. 3.2 .n S  D. 4 .n S   2 n 
Câu 28: Tìm hệ số của x7 trong khai triển 2 3x  
 với x  0, biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai  x  triển bằng 1080. A. 1080. B. -810. C. 810. D. 1080.
Câu 29: Tìm số tự nhiên n, biết hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x trong khai triển  1 n  x    bằng 4.  3  A. 8. B. 17. C. 9. D. 4. 3 1 1 n  
Câu 30: Tìm hệ số của x6 trong khai triển 3  x  
với x  0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn  x  2 2 3C  nP  4A . n 1  2 n A. 210x6. B. 120x6. C. 120. D. 210. n
Câu 31: Tìm hệ số của x9 trong khai triển   x2 1 3
, biết n là số nguyên dương thỏa mãn 2 14 1   . 2 3 C 3C n n n A. C  39 9 . B. C 3 x . C. C 3 x . D. C 3 . 18  9 9 18  9 9 9 18  9 9 9 18 2  3 n 
Câu 32: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2x  
 với x  0, biết n là số nguyên dương 3  x  thỏa mãn 3 2 C  2n  A . n n 1  A. 12 4 12 C .2 .3 . B. 0 16 C .2 . C. 12 4 12 C .2 .3 . D. 16 0 C .2 . 16 16 16 16
Câu 33: Hệ số x5 trong khai triển biểu thức x  x  8 3 1 bằng Trang 22 A. -5670. B. 13608. C. -13608. D. 5670. n
Câu 34: Tìm hệ số của số hạng chứa x15 trong khai triển  3
2x  3 thành đa thức, biết n là số nguyên
dương thỏa mãn hệ thức 3 1 2 A  C  8C  49. n n n A. 6048. B. 6480. C. 6408. D. 4608. 5  1 
Câu 35: Số hạng không chứa x trong khai triển P  x 3  x  x  0 
(theo chiều mũ của x giảm 2     x  dần) là số hạng thứ A. 3. B. 6. C. 4. D. 5.
Câu 36: Trong khai triển 1 2x20 2 20
 a  a x  a x  ... a .x . Tính giá trị của a  a  a . 0 1 2 20 0 1 2 A. 801. B. 800. C. 1. D.721. 12  1 
Câu 37: Cho x là số thực dương. Khai triển nhị thức 2 x  , 
 ta có hệ số của số hạng chứa xm bằng  x  495. Giá trị của m là A. m  4 hoặc m  8 . B. m  0 . C. m  8 . D. m  0 hoặc m  12 .  1 n 
Câu 38: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của x x  
với x  0, biết rằng 2 1 C  C  44. 4   x  n n A. 238. B. 165. C. 485. D. 525.  3 n 
Câu 39: Với số nguyên dương n thỏa mãn 2
C  n  27, trong khai triển x  , số hạng không chứa x n  2   x  là A. 84. B. 2268. C. 61236. D. 27.
Câu 40: Với n là số nguyên dương thỏa mãn 3 2 A  2A  100 ( k
A là chỉnh hợp chập k của tập hợp có n n n n
phần tử), số hạng chứa x5 trong khai triển của biểu thức   2 1 3 n x là A. 61236. B. 252. C. 256x5. D. 61236x5. 9  1 
Câu 41: Tìm hệ số của số hạng chứa x6 trong khai triển 2  2x ,    x  0.  x  A. 4 4 C .2 . B. 5 5 C .2 . C. 5 5 C .2 . D. 5 4 C .2 . 9 9 9 9 12  2 
Câu 42: Hệ số của số hạng chứa x7 trong khai triển nhị thức x    với x  0  x x  A. 376. B. -264. C. 264. D. 260.
Câu 43: Biết tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Newton của 5  1 n x  bằng 100 2 . Tìm hệ số của x3. A. -19600. B. -20212500. C. -2450000. D. -161700. Trang 23
Câu 44: Xác định hệ số của x13 trong khai triển của x  x 10 2 2 . A. 5120. B. 180. C. 960. D. 3360.
Câu 45: Hệ số của x12 trong khai triển của biểu thức   10 2 2x x bằng A. 8 C . B. 2 8 C 2 . C. 2 8 C 2 . D. 2 C . 10 10 10 10 30  2 
Câu 46: Cho x là số thực dương, tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức x  .    x  A. 10 20 2 C . B. 20 2 . C. 20 C . D. 20 10 2 C . 30 30 30 12  1 
Câu 47: Số hạng độc lập với x trong khai triển 2  2x   là  x  A. 8 4 2 C . B. 6 6 2 C . C. 4 4 2 C . D. 4 4 2 C . 12 12 12 12
Câu 48: Tổng các hệ số nhị thức Niu-tơn trong khai triển   3 1 n x
bằng 64. Số hạng không chứa x trong 3  1 n  khai triển 2nx   là 2   2nx  A. 360. B. 210. C. 250. D. 240. 7  1 
Câu 49: Số hạng không chứa x trong khai triển 3 x    bằng 4  x  A. 5. B. 35. C. 45. D. 7.  1 n 
Câu 50: Tổng các hệ số trong khai triển 4  x 
 là 1024. Hệ số chứa x10 là  x  A. 10. B. 252. C. 120. D. 210.
Câu 51: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 1 2
5C  C  5. Tìm hệ số a của x4 trong khai triển n n  1 n  2x  .  2   x  A. a  11520. B. a  256. C. a  45. D. a  3360.
Câu 52: Tìm hệ số của x5 trong khai triển nhị thức Newton của   2 1 3 n x , biết rằng 3 2 A  2A  100 (n là n n số nguyên dương và k
A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử). n A. 61236. B. 243. C. 63216. D. 252.  2 n 
Câu 53: Hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển 3 x  , 
 biết n là số nguyên dương thỏa mãn  x  n 1  n2 C  C  78 là n n A. 112640. B. 112643. C. -112640. D. -112643. Trang 24 5 3  2 n 
Câu 54: Gọi a là hệ số của 3 x trong khai triển 3 2 x  , x  0.   Tìm a biết rằng  x  n4 2  n2 1 C  C  n  C  n n  n 2. 2 n 1  A. a  96096. B. a  96906. C. a  96960. D. a  96069.
Câu 55: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 0 1 2 2
C  2C  2 C  ... 2n n
C  14348907. Hệ số của số hạng n n n n  1 n 
chứa x10 trong khai triển của biểu thức 2 x  , x  0  bằng 3     x  A. -1365. B. 32760. C. 1365. D. -32760. n  x 
Câu 56: Cho khai triển biểu thức 2 3   a  a x  a x  ... n  a x ,  
với n là số tự nhiên khác 0, biết 0 1 2  2 n  rằng 2
a  2a  2 a  ...  2n a  1024. Tìm hệ số của x6 trong khai triển trên. 0 1 2 n 8505 8505 8505 8505 A. 6  x . B. 6 x . C.  . D. . 32 32 32 32
Câu 57: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 2 1
C  C  44. Số hạng không chứa x trong khai triển của n n  1 n  biểu thức x x  ,  với x  0 bằng 4   x  A. 165. B. 485. C. 238. D. 525.
Câu 58: Cho n   thỏa mãn 1 2 C  C  ... n
 C  1023. Tìm hệ số của x2 trong khai triển 12   1 n n x  n n n  thành đa thức. A. 2. B. 90. C. 45. D. 180.  2 n 
Câu 59: Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển biểu thức 3  x 
 với mọi x  0, biết n là số  x  nguyên dương thỏa mãn 2 2 C  nA  476. n n A. 1792x4. B. -1792. C. 1792. D. -1792x4.
Câu 60: Hệ số của x5 trong rút gọn của khai triển   x8   x  10 3 2 1 là A. 9576. B. 196. C. 6552. D. -5544.
Câu 61: Cho khai triển   ax  x6 1 1 3 với a  .
 Biết rằng hệ số của x3 trong khai triển trên là 405. Tính a. A. 9. B. 6. C. 14. D. 7.
Câu 62: Tổng các hệ số trong khai triển   3 1 n x
bằng 64. Số hạng không chứa x trong khai triển 3  1 n  2nx   là 2   2nx  Trang 25 A. 360. B. 210. C. 250. D. 240.
Câu 63: Cho khai triển 1 n x
với n là số nguyên dương. Tìm hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển biết 1 2 3 n 20 C  C  C  ... C  2 1. 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  A. 480. B. 720. C. 240. D. 120.
Câu 64: Tìm hệ số của x5 trong khai triển P  x  x   x5  x   x10 2 1 2 1 3 . A. 80. B. 3240. C. 3320. D. 259200.
Câu 65: Tìm hệ số của x5 trong khai triển đa thức x  x  6   x  8 2 1 3 . A. -1752. B. 1272. C. 1752. D. -1272. n
Câu 66: Tìm hệ số của x4 trong khai triển P  x   3
1 x  3x  với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức n2 2 C  6n  5  A . n n 1  A. 210. B. 840. C. 480. D. 270.
Câu 67: Tìm hệ số của x10 trong khai triển   x  x  x 5 2 3 1 . A. 5. B. 50. C. 101. D. 105.
Câu 68: Tìm hệ số của x5 trong khai triển P  x    x    x2     x8 1 2 1 ... 8 1 . A. 630. B. 635. C. 636. D. 637.
Câu 69: Hệ số của số hạng x30 trong khai triển f  x   x  x  x 20 2 2 1 2 thành đa thức là A. 631181184. B. 3611181184. C. 361811184. D. 361181184.
Câu 70: Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển   x  x  x 10 2 3 1 . A. 1902. B. 7752. C. 252. D. 582.
Câu 71: Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển thành đa thức của   x   x 8 2 1 1  .   A. 238. B. 128. C. 258. D. 348. 1 
Câu 72: Tìm số hạng không phụ thuộc vào x trong khai triển   x x  8 2 . x    A. 70. B. -336. C. -168. D. -98.
Câu 73: Tìm hệ số của x5 trong khai triển biểu thức
   n    2 2 1 2 1 3 n P x x x x thành đa thức, biết 2 n 1 A  C   5. n n 1  A. 432. B. 3320. C. -5432. D. 4674. 6  1 
Câu 74: Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 3 x   2 .    x  A. 356. B. 210. C. 735. D. 480. Trang 26 n Câu 75: Cho khai triển  2 1 2x  3x  2 2  a  a x  a x ... n
 a x . Tìm hệ số của x5 trong khai triển trên 0 1 2 2n
biết rằng a  a  a  ...  a  30233600. 0 2 4 2n A. 37102. B. 33264. C. 32951. D. 34704. 9  1 
Câu 76: Tìm hệ số của x3 sau khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng của 2  x  2x , x  0.    x  A. 3210. B. -3210. C. -2940. D. 2940.
Câu 77: Xác định hệ số của x4 trong khai triển của biểu thức  x  x  10 2 3 2 1 . A. 8085. B. 11312. C. 1303. D. 8089.
Câu 78: Cho khai triển 1 2xn  a  a x ... n  a x , trong đó *
n   là các hệ số thỏa mãn 0 1 n a a 1 a   ... n 
 4096. Tìm hệ số lớn nhất. 0 2 2n A. 112640. B. 101376. C. 126720. D. 67584.
Câu 79: Khai triển đa thức P  x  1 2x12 12
 a  a x  ... a x . Tìm hệ số a 0  k 12 lớn nhất k  0 1 12 trong khai triển trên. A. 8 8 C 2 . B. 9 9 C 2 . C. 10 10 C 2 . D. 8 8 1 C 2 . 12 12 12 12 10  1 2 
Câu 80: Khai triển đa thức P  x 9 10   x
 a  a x ... a x  a x .  
Tìm hệ số a 0  k 10 lớn k  0 1 9 10  3 3 
nhất trong khai triển trên. 7 2 7 2 6 2 8 2 A. 7 1 C . B. 7 C . C. 6 C . D. 8 C . 10 10 3 10 10 3 10 10 3 10 10 3
Câu 81: Cho khai triển  3  x2019 2 2019
 a  a x  a x ... a x . 0 1 2 2019
Hãy tính tổng S  a  a  a  a  ...  a  a . 0 2 4 6 2016 2018 A.  1009 3 . B. 1009 2 . C. 2019 2 . D. 0.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN 1-C 2-B 3-B 4-A 5-A 6-C 7-D 8-B 9-C 10-A 11-C 12-B 13-B 14-A 15-C 16-D 17-B 18-B 19-C 20-C 21-D 22-B 23-B 24-A 25-C 26-A 27-D 28-B 29-C 30-D 31-A 32-C 33-D 34-A 35-C 36-A 37-D 38-B 39-B 40-D 41-B 42-C 43-C 44-C 45-B 46-D 47-C 48-D 49-B 50-D 51-A 52-A 53-C 54-A 55-C 56-D 57-A 58-D 59-B 60-A 61-D 62-D 63-D 64-C 65-D 66-C 67-C 68-A 69-D 70-A 71-A 72-D 73-B 74-D 75-D 76-C 77-A 78-C 79-A 80-B Trang 27 81-D 13 13 k 13  1    1  Câu 1: Ta có 13 x   C .x .   C .     k k k k 132 1 . k x . 13 13  x  k 0  x  k 0
Hệ số của x3 ứng với 13  2k  7  k  3  số hạng cần tìm 3 7 C x . Chọn C. 13 9 9 k 9  1  k k  1  k  1 k  Câu 2: Ta có: 9 92 x   C .x .  C . . k x .   9   9    2x  k 0  2x  k 0  2  1
Hệ số của x3 ứng với 9  2k  3  k  3  số hạng cần tìm 3 3 C x . Chọn B. 9 8 40 40 k 40  1  k k  1  Câu 3: Ta có 40 k 403 x   C .x .  C . k x .  2  40  2  40  x  k 0  x  k 0
Hệ số của x31 ứng với 40  3k  31  k  3  số hạng cần tìm 37 31 C x . Chọn B 40 6 6 k 6  2 6k   2  Câu 4: Ta có 2 x   C .    2x .  C .   2k k k 123 . k x . 6 6  x  k 0  x  k 0
Số hạng không chứa x ứng với 12  3k  0  k  4  số hạng cần tìm 4 4 4 2 C .2  2 C . Chọn A. 6 6 8 8 k 8  1  8k k  1  Câu 5: Ta có 2 xy   C . 2 xy  .    k C . k      82k 163 1 .x . k y . 8 8  xy  k 0  xy  k 0
Số hạng không chứa x ứng với 8  2k  0  k  4  số hạng cần tìm 4 4 4 C y  70 y . Chọn A. 8 5 5 k 5  1  k   k 1 Câu 6: Ta có xy   C .   xy5 k 5k 52 .  C .x . k y . 5   5  y  k 0  y  k 0 5   k  3
Hệ số của x3y ứng với 
 k  2  số hạng cần tìm 2 3 3 C x y  10x . y Chọn C. 5   2k 1 5 21 21 21 21k Câu 7: Ta có  3 x  xy  C . 3 x  . xyk k k 632  C . k x . k y . 21 21 k 0 k 0
Suy ra khai triển   21 3 x xy
có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số hạng thứ 11 (ứng với
k  10 ) và số hạng thứ 12 (ứng với k 11).
Vậy hai số hạng đứng giữa cần tìm là 10 43 10 11 41 11 C x y ;C x y . Chọn D. 21 21
Câu 8: Tính tổng các hệ số trong khai triển  cho x  1. Khi đó S    17 3.1 4  1  . Chọn B. Câu 9: Ta có 1 x 12 12 12 k 12  C .1 k. k k x  C . k x 12 12 k 0 k 0 Trang 28
Hệ số của x5 ứng với k  5  hệ số cần tìm là 5 C  792. Chọn C. 12 6 6 k 6  1  k  1  Câu 10: Ta có 2x   C . 2x .   C .2  . 1 k k k k  .  k x  2   6 6  2    6 3 6 6  x  k 0  x  k 0
 Số hạng không chứa x ứng với 6  3k  0  k  2
 số hạng cần tìm là C .2 . 2 2 4 1  240. Chọn A. 6 10 10 k 10  2 10k  k  2  Câu 11: Ta có 2 x   C .    2x k k 203 .  C .2 . k x 10   10  x  k 0  x  k 0
Hệ số của x2 ứng với 20  3k  2  k  6  hệ số cần tìm là 6 6 C .2  13440. Chọn C. 10 5 5
Câu 12: Ta có a  2b5 5  C .a  .2bk k k k k 5  C .2 . k a . k b 5 5 k 0 k 0
Hệ số của a3b2 ứng với 5  k  3  k  2  hệ số cần tìm là 2 2 C .2  40. Chọn B. 5 7 7 Câu 13: Ta có 1 2x7 7  C .1  . 2 k x  C . 2 k k k k k  x 7   7   k 0 k 0
Hệ số của a5 ứng với k  5  hệ số cần tìm là C .25 5  672. Chọn B. 7 18 18 18 k k 18  x 4   x k   4  Câu 14: Ta có k 3k 1  8 182   C . .  C .2 . k x   18     18  2 x  k 0  2   x  k 0
Số hạng không chứa x ứng với 18  2k  0  k  9
 số hạng cần tìm là 9 9 2 C . Chọn A. 18 12 12 k 12  1 12k   1  Câu 15: Ta có 2 x   C . 2x  .   C .     k k k 243 1 k x 12 12  x  k 0  x  k 0
Số hạng không chứa x ứng với 24  3k  0  k  8
 số hạng cần tìm là C . 8 8 1  495. Chọn C. 12 6 6 Câu 16: 2x  6
1  C .2x6k . k 6 1  C .2  . k k k k 6 1 . k x 6 6 k 0 k 0
Hệ số của x3 ứng với 6  k  3  k  3  hệ số cần tìm là C .2 . 3 3 3 1  160. Chọn D. 6 11 11 k 11 k 333 11  1    k  1  k  1 k k 4k  Câu 17: Ta có x x   C . x x .   C .  x  4    2 11  4  11    2x  k 0  2x  k 0  2  33  3k
Số hạng không chứa x ứng với  4k  0  k  3 2 3   1  1 165 số hạng cần tìm là 3 3 C .    C   . Chọn B. 11   11  2  8 8 10 10 10  k
Câu 18: 2x  x   C .2x10 2 k . 2 x  10  C .2  . k k k k 10 1 k x 10 10 k 0 k 0 Trang 29
Hệ số của x12 ứng với 10  k  12  k  2  hệ số cần tìm là 2 8 C .2 . Chọn B. 10 2017 2017
Câu 19: Ta có 5x  2017 1
  C .5x2017k . k 2017
1   C .5  . k k k k 2017 1 k x 2017 2017 k 0 k 0
Yêu cầu bài toán trở thành: 2000 2000
2017  k  2000  k 17  A  C .5 . Chọn C. 2000 2017
Câu 20: Nhị thức cần tìm là  x  5 2 1 . Chọn C. Câu 21: P  x 1000 999  a x  a x  ... a x  a 1000 999 1 0
Cho x  1, ta được P   1  a  a  .... a  a . 1000 999 1 0
Mặt khác P  x   x  1000  P     1000 2 1 1 2.1 1  1. Từ đó suy ra a
 a  ... a  a  1  a
 a ... a  1 a . 1000 999 1 0 1000 999 1 0
Mà là số hạng không chứa x trong khai triển P  x   x  1000 2 1 nên 1000 a  C  1. 0 1000 Vậy a
 a .... a  0. Chọn D. 1000 999 1 0 2n C   C 2n 2n  1 2n 1 C   C 
Câu 22: Áp dụng công thức k n k C C   , ta có 2n 2n n n ...   n 1 n 1 C  C   2n 2n
Cộng vế theo vế, ta được 0 1 n 1  n 1  n2 2 C  C  ... C  C  C ... n  C . Chọn B. 2n 2n 2n 2n 2n 2n Câu 23: Ta có   xn 0 1 2 2 1  C  C x  C x  ... n n  C x n n n n Cho x  1, ta được 0 1 2
C  C  C  ...  C    Chọn B. n n n n 1  1 n n 2n. Câu 24: Ta có 1 x2n 0 1 2 2 2n 2  C  C x  C x  ... n  C x 2n 2n 2n 2n
Cho x  1, ta được C  C  C  ...  C    Chọn A. n n n n 1 2 0 1 2 2 n n 2 1 2 .n 2 2 2 2
Câu 25: Ta có 1 2n 1 0 1 2n 1 1  C  C  ... C  1 2n 1  2n 1  2n 1    Lại có 0 2n 1  1 2n 2 2n 1  n n 1 C  C ;C  C ; C  C ;....;C  C  2 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1    2n 1  n 2 Từ (1) và (2), suy ra 0 1 C  C  ... C  2n 1  2n 1  2n 1  2 1 n 2n 20 2  C ... C
 2 1  2 1  2 n 1  n  10 2n 1  2n 1 
Vậy n  10 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.
Câu 26: Ta có  x  2n 1 0 2n 1  1 2n 2n 1 1  C x  C x  ...  C  . 2n 1  2n 1  2n 1  Cho x  1, ta được 2n 1  0 1 2n 1 2  C  C  ... C  . 1 2n 1  2n 1  2n 1    Cho x  1 , ta được 0 1 2n 1 0  C  C ... C  . 2 2n 1  2n 1  2n 1    Trang 30
Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được 2n 1 2   2 1 3 2n 1 C  C  ... C      n  Chọn A. n n n  2n 1 2 2.1024 5. 2 1 2 1 2 1 Câu 27: Ta có   xn 0 1 2 2 1  C  C x  C x  ... n n  C x n n n n Cho x  3, ta được 0 1 2 3
C  3C  3 C  ... 3 C    Chọn D. n n n n 1 3n n n 4n.
Câu 28: Số hạng tổng quát của khai triển là:    C  k 2 n k 2 3x  2 .   C .3 .x .    2
 nk .x   C .3 2nk k k k k k n k k 3 . kn x n n n  x 
Hệ số của số hạng thứ 3 ứng với k  3là C  C        n  n  n 3 n  n 3 3 3 3 .3 . 2 1080 . 2 40 5
Khi đó số hạng tổng quát là C .3 .25k k k 3k 5 .x 5
Cho 3k  5  7  k  4 ta được hệ số của x7 trong khai triển 4 4 C .3 . 2   810. Chọn B. 5   k n k 1 k
Câu 29: Số hạng tổng quát của khai triển là C .x    .  n    3 
Hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x trong khai triển ứng với k  2 2  1  n n 1 2   Khi đó C .   4   36  n  9. Chọn C. n    3  2 n 1 ! n! 2 2  
Câu 30: Theo giả thiết ta có: 3C  nP  4A  3.  . n 2!  4. n 1  2 n 2!.n   1 ! n  2! n  1.n  3.  2n  4nn   1  3n   1  4  8n   1  15  5n  n  3 2 10  1  10 k  1 k k  Xét khai triển 3  x 
 có số hạng tổng quát là . k  . k . k k  . k C x C x x C x  10    3 10 3 4 10  x  10 10  x 
Cho 4k 10  6 ta được k  4  hệ số của x6 trong khai triển là 6 C  210. Chọn D. 10 2 14 1 2 14 1 Câu 31: Ta có      2 3 C 3C n n! n! n n n n   3. 2 !.2! n 3!.3! 4 28 1 4 28      
nn   nn  n   n n  n  n   1 1 1 2 1 1 2 4n  8  28 2          n  n   1 n 7n 18 0 n 9 1 2 18 18 k 9 9
Xét khai triển 1 3x k
 C .  3x có hệ số của số hạng chứa x9 là 9 C . 3 9  C  3 . 18 18   18   k 0 Chọn A.
Câu 32: Điều kiện n  ,n  3 Trang 31 n! n 1 ! n n 1 n  2 3 2      Ta có: C  2n  A   2n    2n  n 1 .n n n 1  3  ! n  3! n     1 ! 6 2 n  3n  2 2 2 
 2  n 1  n  3n  2 12  6n  6  n  9n  8  0  n  8 6 2n 16 16 k 16  3   3   k  3 k  Xét khai triển 2x   2x   C     2x16 16 16 .  .C 2 .x  .   3k k k k k 3 .x 16 16 3 3 3  x   x  k 0  x  k 0 16 4k 16 16 3  C .2 .x . 3 k k k 16   k 0 4k
Số hạng không chứa x ứng với 16 
 0  k 12  số hạng không chứa x trong khai triển là 3 C 2 . 3  12 12 4 . Chọn C. 16
Câu 33: Hệ số x5 trong khai triển biểu thức x  x  8 3
1 bằng hệ số của x4 trong khai triển  x  8 3 1 và bằng C .3 . 4 4 4 1  5670. Chọn D. 8 n! n! Câu 34: Ta có 3 1 2 A  C  8C  49   n   n n n n   8. n  49 3 ! 2 !.2!  nn  
1 n  2  n  4nn   3 2 2
1  49  n  3n  2n  n  4n  4n  49 3 2
 n  7n  7n  49  0  n  7 k
Số hạng tổng quát của  x  7 3 2 3 là .2  . 37 3 k k C x   7
Cho k  5 ta được hệ số của số hạng chứa x15 trong khai triển là C .2 . 3  2 5 5  6048. Chọn A. 7
Câu 35: Số hạng tổng quát của khai triển là 5  1 k k  .  .   . . 1 k  .   . 1 k k k k k k . k C x C x x C x   2   5  5 3 3 2 10 5 10 5 5 5  x 
Cho 5k 10  0  k  2 ta được số hạng không chứa x trong khai triển.
Theo chiều mũ của x giảm dần thì đây là số hàng thứ 4. Chọn C.
Câu 36: Số hạng tổng quát khai triển là . 2 k  . 2 k k k . k C x C x 20   20  
Ta có: a  a  a  C .20  C .21  C .22 0 1 2  801. Chọn A. 0 1 2 20 20 20 k   1 k k 
Câu 37: Số hạng tổng quát của khai triển là . 12 2 k 242k k k 243 .  . .  . k C x C x x C x 12   12 12  x  Giải phương trình k
C  495  k  8 hoặc k  4. 12 24  3k  0 m  0 Khi đó  .  Chọn D. 24 3k 12    m  12 Trang 32 n! n n 1 2 1  
Câu 38: Ta có C  C  44   n    n  n n n   44 44 2 !.2! 2 2
 n  3n 88  0  n 11. 11 k  1  k 11k   k 
Số hạng tổng quát của khai triển x x   là k .  k    . k k C x x x C x x  C .x 11    4 3 11 44 4 44 2 2 4   x  11 11   11k Cho
 44  0  k  8 suy ra số hạng không chứa x là 8 C  165. Chọn B. 2 11 n! n n 1 2  
Câu 39: Ta có C  n  27   n    n  n n   27 27 2 !.2! 2 2
 n  3n  54  0  n  9 9  3  k k  3 k 
Số hạng tổng quát của khai triển x   là 9 k 9k k 2k k 93 . .  . .3 .  . k .3k C x C x x C x 2     x  9 2 9 9  x 
Cho 9  3k  0  k  3 suy ra số hạng không chứa x của khai triển là 3 3 C .x  2268. Chọn B. 9 n! n! Câu 40: Ta có 3 2 A  2A  100     n n  n   n n   n n
n   2.n   100   1  2 2   1 100 3 ! 2 ! 3 2 2 3 2
 n  3n  2n  2n  2n  100  n  n 100  0  n  5.
Với n  5 thì số hạng chứa x5 trong khai triển của biểu thức   10 1 3x là C .3x5 5 5  61236x . Chọn D. 10 9 9 9 k 9  1   1 k  Câu 41: Ta có 2  2x  C . .      2
2x   C .2k k k 3k 9 .x 9 9  x  k 0  x  k 0
Hệ số của x6 ứng với 3k  9  6  k  5  Hệ số cần tìm là C . 2  5 5 5 5  2 .C . Chọn B. 9 9 12 12 k 12 5  2    2  12 k Câu 42: Ta có 12 x   C .x .   C .     2k k k k 2 .x 12 12  x x  k 0  x x  k 0 5
Hệ số của x7 ứng với 12  k  7  k  2  Hệ số cần tìm là C . 2  264. Chọn C. 12  2 2 2
Câu 43: Thay x  1 vào nhị thức, ta được   n 100 n 100 5.1 1  2  4  2  n  50 50 50 HD: Ta có 5x  50 1
 C .5x50k . k 50 1  C .5  . k k k k 50 1 k x 50 50 k 0 k 0
Hệ số của x3 ứng với 50  k  3  k  47  Hệ số cần tìm là C .5 . 47 47 3 1  2  450000. 50 Chọn C. 10 10 10 k Câu 44: Ta có  2 x  2x  k 10  C . k x . 2 2x  k k 10  C .2 . k x 10 10 k 0 k 0
Hệ số của x13 ứng với 10  k  13  k  3  Hệ số cần tìm là 3 3 C .2  960. Chọn C. 10 Trang 33 10 10 10  k
Câu 45: Ta có 2x  x   C .2x10 2 k . 2 x  10  C .2  . k k k k 10 1 . k x 10 10 k 0 k 0
Hệ số của x12 ứng với 10  k  12  k  2  Hệ số cần tìm là 2 8 C .2  11520. Chọn B. 10 30 30 k 30 3  2     k k 2 30 k Câu 46: Ta có 30 k k 2 x   C .x .  C .2 .x   30   30  x  k 0  x  k 0 3
Số hạng không chứa x ứng với 30  k  0  k  20 2
 Số hạng không chứa x là 20 20 C .2 . Chọn D. 30 12 12 12 k 12  1   1 k  Câu 47: Ta có 2  2x  C . .      2 2
 x   C .2k k k 3k 1  2 .x 12 12  x  k 0  x  k 0
Số hạng không chứa x ứng với 3k 12  0  k  4
 Số hạng cần tìm là C .24 4 4 4  2 C . Chọn C. 12 12
Câu 48: Thay x  1 vào nhị thức, ta được 3n 3n 6
2  64  2  2  n  2 6 6 k 6  1  k k  1  Ta có 4x   C . 4x . k  C .4  k.  k x  2   6 6 2 6 3 6  2  6  4x  k 0  4x  k 0
Số hạng không chứa x ứng với 6  3k  0  k  2
 Số hạng cần tìm là 2 2 C .4  240. Chọn D. 6 7 7 7 k k 7 7  1      k 1 k k Câu 49: Ta có 3 x   C .   3 x k 3 4 .  C .x 7   7 4 4  x  k 0  x  k 0 7  k k
Số hạng không chứa x ứng với   0  k  4 3 4
 Số hạng cần tìm là 4 C  35. Chọn B. 7
Câu 50: Thay x  1 vào khai triển, ta được n n 10
2  1024  2  2  n  10 10 10 10 k 10  1  k  1 k  Ta xét 4  x  C . .      4x k 5k 1  0  C .x 10 10  x  k 0  x  k 0
Hệ số của x10 ứng với 5k 10  10  k  4  Hệ số cần tìm là 4 C  210. Chọn D. 10 n! Câu 51: 1 2 5C  C  5  5n    n  n n    n  n n n   5 10 .  1 10 10 2 !.2! 10 10 k 10  1  k k  1  Ta xét 2x   C . 2x . k  C .2 k.  k x  2   10 10 10 3 10  2  10  x  k 0  x  k 0
Hệ số của x4 ứng với 10  3k  4  k  2  Hệ số cần tìm là 2 8 C .2  11520. Chọn A. 10 n! n! Câu 52: 3 2 A  2A  100    n n
n   2.n   100 3 ! 2 ! Trang 34
 n n   n    n n   3 2 . 1 . 2 2 .
1  100  n  n 100  0  n  5 10 10 Ta xét 1 3x10 10  C .1  . 3 k k k k x  C .3k k x 10   10 k 0 k 0
Hệ số của x5 ứng với k  5  Hệ số cần tìm là 5 5 C .3  61236. Chọn A. 10 Câu 53: n 1  n2 1 2 C  C
 78  C  C  78  n  12 n n n n 12 12 k 12  2 12k   2  Ta xét 3 x   C . 3x .   C . 2      k k k 364k x 12 12  x  k 0  x  k 0
Số hạng không chứa x ứng với 36  4k  0  k  9
 Số hạng cần tìm là C . 2  9 9  1  12640. Chọn C. 12         n n n n n n ! 2 ! 1 ! 1 4     n4   Câu 54: Ta có 2 .              n   n   n n   2 . n 2 n n 1 2 !.2! 3 ! 2 ! 2  
n4 n n    n     n   n4 2 . . 1 4 4 2
1  2 .n  4  2  n  4  1  n  5 15 15 15 k  15 302  2   k  2 k k k  Ta xét 3 2 x   C .   3 2x k k 3 .  C .2 x 15   15  x  k 0  x  k 0 5 30  2k 5 Hệ số của 3 x ứng với
 k   30  5k  5  k  5 3 3
Vậy hệ số cần tìm là 5 5 C .2  96096. Chọn A. 12 Câu 55: 0 1 2 2
C  2C  2 C  ...  2 C     n  n n n n 1 2n n n 3n 15 15 15 k 15  1 15k   1  Ta xét 2 x   C . x .   C . 1 k k k  .  k x  3   2  3    30 5 15 15  x  k 0  x  k 0
Hệ số của x10 ứng với 30  5k  10  k  4  Hệ số cần tìm là C . 4 4 1  1365. Chọn C. 15
Câu 56: Thay x  2 vào khai triển, ta được 2n  1024  n  10 10 10 k 10  x    x k k  k k  1 k  Ta xét 10 10 3   C .3 .   C .3 . k  x   10   10    2  k 0  2  k 0  2  6  1  8505
Hệ số của x6 ứng với k  6  Hệ số cần tìm là 6 4 C .3 .   . Chọn D. 10    2  32 n! Câu 57: Ta có 2 1 C  C  44   n   n n   n   n  n n n   44 .  1 2 88 11 2 !.2! 11 11 k 11 333 11  1    k  1 k k 4k  Ta xét x x   C . x x . k  C .x  4    2 11  4  11  x  k 0  x  k 0 33  3k
Số hạng không chứa x ứng với
 4k  0  k  3  Hệ số cần tìm là 165. Chọn A. 2 Trang 35 Câu 58: Ta có 0 1 C  C  ... n
 C  1024  2n  1024  n 10 n n n 10 10 Ta xét 2x  10 1  C .2x10k k k k 10k 10 .1  C .2 . k x 10 10 k 0 k 0
Hệ số của x2 ứng với 10  k  2  k  8  Hệ số cần tìm là 8 2 C .2  180. Chọn D. 10 n! n! . n n 1 2 2   Câu 59: 2 C  . n A  476   n    n n   n n n   . n  476 . 1 476 2 !.2! 2 ! 2 2 3 2 3 2
 n  n  2n  2n  952  2n  n  n  952  0  n  8 8 8 8 k 8  2  k  2  k Ta xét 3  x  C . . 3 x  k 8  C .2 k. k      4k8 1 x 8 8  x  k 0  x  k 0
Hệ số của x4 ứng với 4k  8  4  k  3  Hệ số cần tìm là C .2 . 3 3 5 1  1  792. 8 Chọn B. 8 10
Câu 60: Ta có 3  x8  2x  10 8 1  C .3  . k k k k h 10 1 x  C .2 h h x 8 10 k 0 h0
Hệ số x5 ứng với k  h  5  Hệ số cần tìm là 5 3 5 5
C .3  C .2  9576. Chọn A. 8 10
Câu 61: Ta có   ax  x6    x6  a x  x6 1 1 3 1 3 . 1 3 6
• Xét khai triển 1 3x6  C . 3 k k k 
x  Hệ số của x3 là C . 3  5  40 6  3 3 6   k 0 6
• Xét khai triển x 1 3x6  C . 3  k k k 1
x   Hệ số của x3 là C . 3  135 6  2 2 6 k 0
Suy ra hệ số cần tìm là 135a  540  405   a  7. Chọn D. Câu 62: Ta có 1 x3n 0 1 2 2 3n 3  C  C x  C x ... n  C x 3n 3n 3n 3n Cho x  1 ta có: 3n 0 1 2 3 2  C  C  C  ... n
 C  64  3n  6  n  2 3n 3n 3n 3n 3n 6  1   1  Xét khai triển 2nx   4x  
có số hạng tổng quát là 2   2   2nx   4x    1 k k k  k k k 1  k k k 1 C .4x6 6 6 2 6 63 .  C .4 .x . .x  C .4 . . k x 6  2  6 k 6  4x  4 4k
Số hạng không chứa x tương ứng với 6  3k  0  k  2. 1
Số hạng không chứa x trong khai triển là 2 4 C .4 .  240. Chọn D. 6 2 4
Câu 63: Xét khai triển 1 x2n 1 0 1 2 2 2n 1  2n 1  C  C x  C x  ...  C x  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  Thay x  1 ta được 2n 1  0 1 2 2n 1 2  C  C  C ... C  * 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1    Mặt khác 0 2n 1  1 2n 2 2n 1 C  C ,C  C ,C  C  ... 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  Trang 36 Do đó * 2n 1  2   2. 0 1 2 C  C  C  ... n  C      n  n n n n  2 20 1 2  21 1 2 10. 2 1 2 1 2 1 2 1
Xét khai triển   10
1 x có hệ số của số hạng chứa x3 là 3 C  120. Chọn D. 10
Câu 64: Số hạng chứa x5 trong khai triển x   x5 1 2 là . x C . 2  x4 4 5  80x 5
Số hạng chứa x5 trong khai triển x   x10 2 1 3 là x .C 3x3 2 3 5  3240x 10
Suy ra số hạng x5 trong khai triển P là 5 5 5
80x  3240x  3320x . Chọn C.
Câu 65: Số hạng chứa x5 trong khai triển x  x  6 2 1 là . x C .2x4 . 2 4 5 1  240x . 6
Số hạng chứa x5 trong khai triển  x  8 3 là C x . 3  3 5 5 5  1  512x 8
Hệ số của x5 trong khai triển đa thức đã cho là 1512  240  1272. Chọn D.   n n n ! 1 ! 2 2   Câu 66: Ta có C  6n  5  A   6n  5  n n 1  n  2!.2! n   1 ! nn   1   6n  5  n   2 2
1 .n  n  n 12n 10  2n  2n 2 2
 n  9n 10  0  n  10 10 10 10 k
Xét khai triển P  x  1 x  3x   x  3x   1
 C x 3x  . 10 3 3 3 1 k k 10 k 0 10 k k  k   i C .C x . x C C x k 3  .  10 10 1 k    . .3 k  10 3 3 2 1    k k i i k i k i k i 10 10 k 0 i0 k 0 i0
Cho 3k  2i  4 ta được k;i    2; 1;4;4
Suy ra hệ số của x4 trong khai triển là C .C .3 . 8 1  C .C .3 . 6 2 1 1 4 4 0 1  480. Chọn C. 10 2 10 4 5 5 5 5 5 5 i Câu 67: Ta có:  2 3
1 x  x  x   1 x   2
1 x   1 x .   2 1 x  k k  C x . i C  2x 5 5  k 0 i0 5 5 k i k 2  C . i C x  5 5 k 0 i0
Cho 2i  k  10 với k,i  ,0  k,i  5 ta được k;i  
 0;5;2;4;4;3
Suy ra hệ số của x10 trong khai triển là: 0 5 2 4 4 3
C .C  C .C  C .C  101. Chọn C. 5 5 5 5 5 5
Câu 68: Số hạng chứa x5 trong khai triển P là số hạng chứa x5 trong khai triển
Q  x    x5    x6    x7    x8 5 1 6 1 7 1 8 1 và bằng 5 5 5 5 5 5 5 5 5
5.C x  6.C x  7C x  8C x  630x . 5 6 7 8 Chọn A. 20 20 k
Câu 69: f  x  2x   k 20 1 .C . k x . 2 2x   2x   k 20k k 2 1 .C .x .2 . k x 20 20 k 0 k 0  2x   20 k 20 1 .C . k x  .2k 20 k 0 Trang 37
Ta chọn k  9 và k  10.
Hệ số của số hạng chứa x30 trong khai triển là 9 9 10 10
2.C .2 1.C .2  361181184. Chọn D. 20 20 10 10
Câu 70: 1 x  x  x   1 x 
1 x   1 x10 2 3 2   2 1 x  10 10 10 k k i 2  C x . i C x . 10 10 k 0 i0 10 10 k i 2i k  C C x  . 10 10 k 0 i0
Chọn i, k sao cho k  2i  5i,k  ta được k;i  
 1;2;3; 1;5;0
Suy ra hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển là 1 2 3 1 5 0
C .C  C .C  C .C  1902. Chọn A. 10 10 10 10 10 10 8 8 8 8 k k Câu 71: 2 1   x 1 x 2   C x 1 x 2   C x .1 xk 2  C x . i k k k k k i C x   8   8 8 k   k 0 k 0 k 0 i0 8 k  C .C  x  k  i k i 2 1 k i 8 k 0 i0
Chọn i, k sao cho 2k  i  8 và i  k i;k  ta được k;i    4;0;3;2
Suy ra hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển thành đa thức đã cho là: C .C . 0 1  C .C . 2 4 0 3 2 1  238. Chọn A. 8 4 8 3 8 8 8 k 8 1  k  1 k  k k Câu 72: Ta có    2 x  x   C .      2 x  x  k   C   k8 1 x .   2 x  x 8 8   x  k 0  x  k 0 8   C   k k k k i 1 x  .C x . x  C  C x   k   8 8 2  k k k i i k i 3k i 8 1 . . 8 8 k k 0 i0 k 0 i0
Cho 3k  i  8  0  3k  i  8
Chọn i, k sao cho 3k  i  8 và i  k  8 ;ik   ta được k;i    3; 1;4;4
Số hạng không chứa x trong khai triển là C . 3 1 .C  C . 4 3 1 4 4 1 .C  9  8. Chọn D. 8 3 8 4   n n n ! 1 ! 1 2 1   Câu 73: Ta có A  C  5    5  n n 1  n 1 .n  5 n n 1  n  2! n       1 !.2! 2 2
 n  3n 10  0  n  5
Suy ra P  x   x5  x   x10 2 1 2 1 3
, hệ số số hạng chứa x5 trong khai triển là C 24 4 3 3  C .3  3320. 5 10 Chọn B. 6 6 k 6  1  k  1 k i k i  Câu 74: Ta có 3 3 6 x   2  C x  .2 k k  C . i C x x      k  3   1  6 .2 k 6 6  x  k 0  x  k 0 i0 6 k i 6k 4  C C .2 . ik x 6 k k 0
Chọn i, k sao cho 4i  k  5 và 0  i  k  6i;k   ta được k;i    3;2
Suy ra hệ số của x5 trong khai triển là 3 2 3 C .C .2  480. Chọn D. 6 3 Trang 38 n Câu 75: Xét  2 1 2x  3x  2 2
 a  a x  a x ... n a x . 0 1 2 2n
Cho x  1 ta được 6n  a  a  a  ...  a 0 1 2 2n
Cho x  1 ta được 2n  a  a  a  a ... a 0 1 2 3 2n
Cộng vế theo vế ta được 6n  2n  2a  a  ... a  2.30233600 0 2 2n 
Suy ra 6n  2n  60467200  n  10 10 10 10 10 k k i i Xét khai triển  2 1 2x  3x  k  C  2 2x  3x  k i  C C x x  C C  x  k  2  . 2 3 k i 2k i.3i k i 10 10  10 k k 0 0 0
Chọn i, k sao cho i  k  5 và 0  i  k  10i,k   ta được k;i  
 5;0;4; 1;3;2
Suy ra hệ số của x5 trong khai triển là 5 0 5 0 4 1 3 1 3 2 1 2
C .C .2 .3  C .C .2 .3  C .C .2 .3  34704. Chọn D. 10 5 10 4 10 3 9 9 9 k 9  1   1 k k i  Câu 76: Ta có 2  x  2x  C .      2 2x  x 9  C x .C x x   k  2 2 . k i k k k i 9 9     x  k 0  x  k 0 i0 9 k  C . ki k i i 2k i9 1 .2 .C x 9 k k 0 i0
Chọn i, k sao cho 2k  i  9  3  2k  i  12 và 0  i  k  9 ;ik   ta được k;i  
 6;0;5;2;4;4
Suy ra hệ số của x3 trong khai triển là C C  6 1 .2  C C  3 1 .2  C C  0 6 0 0 5 2 2 4 4 4 1 .2  2940 . Chọn C. 9 6 9 5 9 4 Câu 77: Xét khai triển  k k i i 1 2x 3x  10 k C 2x 3x  10 k i C C x x C C  x        k  2  .3  10 10 2 2 2 k i 2k i.3i k i 10 10 10 k 0 0 0
Chọn i, k sao cho i  k  4 và 0  i  k  10i,k   ta được k;i  
 4;0;3; 1;2;2
Suy ra hệ số của x5 trong khai triển là 4 0 4 0 3 1 2 1 2 2 0 2
C .C .2 .3  C .C .2 .3  C .C .2 .3  8085. Chọn A. 10 4 10 3 10 2 1
Câu 78: Thay x  vào khai triển, ta được 2n  4096  n  12 2 12
Xét khai triển 1 2x12 12  C .1  . 2 k k k k x  a  C .2k 12   k 12 k 0  12! 12!  .2 k k k 1  k 1 a  a C  .2  C .2 
 12 k !.k! 11 k !. k 1 ! k k 1  12 12       Hệ số lớn nhất khi      k k k 1  k 1 a  a     k k  C .2 C .2 12! 12! 1  12 12     k  .2 12 !.k ! 13 k!.k   1!  1 2  23  k     k 1  24  2 12 1 k k k  3        k  8  a  a  126720. Chọn C. max 8 2 1  26  2k  k 26   k  k 13 k  3 Trang 39 12
Câu 79: Xét khai triển 1 2x12 12  C .1  . 2 k k k k x  a  C .2k 12   k 12 k 0  12! 12!  .2 k k k 1  k 1 a  a C  .2  C .2 
 12 k !.k! 11 k !. k 1 ! k k 1  12 12       Hệ số lớn nhất khi      k k k 1  k 1 a  a     k k  C .2 C .2 12! 12! 1  12 12     k  .2 12 !.k ! 13 k!.k   1!  1 2  23  k     k 1  24  2 12 1 k k k  3        k  8  a  a  126720. Chọn A. max 8 2 1  26  2k  k 26   k  k 13 k  3 10 1 1 k k k 1 Câu 80: Xét khai triển . 1 2x  .C .1 . 2x  a  . k C .2k 10  10 10 10 10   k 10 10 3 3 k0 3  10! 10!  .2 k k k 1  k 1 a  a C  .2  C .2 
 10 k !.k! 9 k !. k 1 ! k k 1  10 10       Hệ số lớn nhất khi      k k k 1  k 1 a  a     k k  C .2 C .2 10! 10! 1  10 10     k  .2 10 !.k ! 11 k!.k    1 !  1 2  19  k  7 7    k 1  20  2 10 k k 1 k  3 C .2 10        k  7  a  . max 10 2 1  22  2k  k 22 3   k  k 11 k  3 Chọn B.
Câu 81: Xét khai triển  3  x2019 2 2019
 a  a x  a x  ... a x . 0 1 2 2019 2019
Cho x  i ta được  3  i 2 3 4 2019
 a  a i  a i  a i  a i ... a i * 0 1 2 3 4 2019  
Phần thực của vế phải (*) là a  a  a  a ... a  a 0 2 4 6 2016 2018      2019 2019 
Mặt khác 3  i  2 cos  i sin     3i2019 2019  2 . cos  i sin    6 6   6 6 
Suy ra phân thực vế trái của (*) là 0 do đó S  0. Chọn D. Trang 40