Tài liệu dạy thêm – học thêm chuyên đề so sánh phân số

Tài liệu gồm 29 trang, tổng hợp tóm tắt lý thuyết, hướng dẫn phương pháp giải các dạng toán và bài tập chuyên đề so sánh phân số, hỗ trợ giáo viên và học sinh lớp 6 trong quá trình dạy thêm – học thêm môn Toán 6.

77 39 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 6: Phân số (KNTT)

Môn: Toán 6

Thông tin:

29 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
1
SH6.CHUYÊN ĐỀ 6-PHÂN SỐ
CHỦ ĐỀ 6.1 SO SÁNH PHÂN SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
1. So sánh hai phân số cùng mẫu.
- Trong hai phân số cùng mẫu dương:
+ Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
+ Phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn.
+ Nếu tử số của hai phân số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
2. So sánh hai phân số khác mẫu.
Muốn so sánh hai phân số khác mẫu ta quy đồng mẫu hai phân số đó, rồi thực hiện so sánh hai phân số
cùng mẫu.
Lưu ý: Để thực hiện so sánh nhanh hơn nên rút gọn các phân số đã cho về dạng tối giản trước khi quy
đồng.
3. Trong hai phân số có cùng tử số:
- Trong hai phân số cùng tử số dương:
+ Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì bé hơn.
+ Phân số nào có mẫu số bé hơn thì lớn hơn.
+ Nếu mẫu số của hai phân số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
4. Các tính chất
+ Phân số có tử và mẫu cùng dấu là phân số dương. Mọi phân số dương đều lớn hơn 0.
+ Phân số có tử và mẫu trái dấu là phân số âm. Mọi phân số âm đều nhỏ hơn 0.
+ Nếu cộng cả tử và mẫu của một phân số nhỏ hơn 1, tử và mẫu đều dương, với cùng một số nguyên
dương thì giá trị của phân số đó tăng thêm.
( , , 0)
a a c
a b c
b b c
+ Với hai phân số có cả tử và mẫu dương
a
b
và
c
d
thì
a c a a c
a b c d
b d b b d
+ Tính chất bắc cầu
( , , 0)
a c
a c e
b d
b e f
c e
b d f
d f
+ Với mọi m
0 :
* 1
a a a m
b b b m
* 1 .
a a a m
b b b m
* 1
a a a m
b b b m
* .
a c a c
b d b d
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. So sánh hai phân số cùng mẫu dương
I.Phương pháp giải.
2
- Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn:
0
a c
a c b
b b
II. Bài toán.
Bài 1. So sánh các phân số sau
a)
3
4
và
1
4
b)
3
5
và
4
5
c)
5
7
và
6
7
d)
15
37
và
25
37
Lời giải
a) Ta có:
3 1
và
4 0
nên
3 1
4 4
. b) Ta có:
3 4
và
5 0
nên
3 4
5 5
.
c) Ta có:
6 5
và
7 0
nên
5 6
7 7
. d) Ta có:
25 15
và
27 0
nên
15 25
37 37
.
Bài 2. So sánh các phân số sau đây
a)
3
4
và
1
4
b)
3
8
và
7
8
c)
7
17
và
6
17
d)
25
47
và
17
47
Lời giải
Các phân số ở bài này chưa có mẫu dương, trước hết ta sẽ đưa chúng về các phân số có mẫu dương
trước khi so sánh.
a) Vì
1 1
4 4
; Ta có:
3 1
và
4 0
nên
3 1 3 1
4 4 4 4
.
b) Vì
7 7
8 8
; Ta có:
7 3
và
8 0
nên
7 3 7 3
8 8 8 8
.
c) Vì
7 7
17 17
; Ta có:
6 7
và
17 0
nên
6 7 6 7
17 17 17 17
.
d) Vì
25 25
47 47
; Ta có:
25 17
và
47 0
nên
25 17 25 17
47 47 47 45
.
Bài 3: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần
a)
5
17
;
5
17
;
2
17
;
4
17
;
0
17
;
11
17
;
7
17
. b)
15
57
;
5
57
;
12
57
;
14
57
;
10
57
;
14
57
;
27
57
.
c)
15
37
;
16
37
;
32
37
;
13
37
;
10
37
;
18
37
;
23
37
.
Lời giải
Nhận xét: Các phân số trong bài có cùng mẫu số dương, nên để sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng
dần ta so sánh các tử số.
a)
5
17
;
5
17
;
2
17
;
4
17
;
0
17
;
11
17
;
7
17
.
Ta có: -11 < -5 < -4 <0 < 2 < 5< 7 và 17 > 0 nên
11 5 4 0 2 5 7
17 17 17 17 17 17 17
.
b)
15
57
;
5
57
;
12
57
;
14
57
;
10
57
;
14
57
;
27
57
.
Ta có: -15 < -14 < 5 < 10 < 12 <14 < 27 và 57 > 0 nên
15 14 5 10 12 14 27
57 57 57 57 57 57 57
.
3
c)
15
37
;
16
37
;
32
37
;
13
37
;
10
37
;
18
37
;
23
37
.
Ta có: -18 < -16 < -15 < 10 < 13 < 23 < 32 và 37 > 0 nên
18 16 15 10 13 23 32
37 37 37 37 37 37 37
.
Bài 4: Điền số thích hợp vào các chỗ trống sau
a)
10 ... ... ... ... 15
15 15 15 15 15 15
. b)
11 ... ... ... ... 6
17 17 17 17 17 17
.
c)
8 ... ... ... 4
37 37 37 37 37
.
Lời giải
a)
10 11 12 13 14 15
15 15 15 15 15 15
. b)
11 10 9 8 7 6
17 17 17 17 17 17
.
c)
8 7 6 5 4
.
37 37 37 37 37
Dạng 2. So sánh hai phân số khác mẫu
I. Phương pháp giải.
Cách 1. Quy đồng mẫu số hai phân số rồi so sánh các tử số của chúng.
- Bước 1: Quy đồng mẫu số của hai phân s (đưa các phân số về cùng mẫu số)
- Bước 2: So sánh tử số của hai phân số cùng mẫu số đã quy đồng.
Trong hai phân số có cùng mẫu số:
+ Phân số nào có tử số nhỏ hơn thì nhỏ hơn.
+ Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
Cách 2. Quy đồng tử số hai phân số rồi so sánh các mẫu số của chúng.
- Bước 1: Quy đồng tử số (đưa về cùng tử số)
+ Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất nhân tử số của phân số thứ hai.
+ Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhân tử số của phân số thứ nhất.
- Bước 2: So sánh mẫu số của hai phân số đã quy đồng tử số.
Trong hai phân số có cùng tử số:
+ Phân số nào có mẫu số nhỏ hơn thì lớn hơn
+ Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn.
Lưu ý: Để thực hiện so sánh nhanh hơn nên rút gọn các phân số đã cho về dạng tối giản trước khi quy
đồng.
II.Bài toán.
Bài 1: So sánh
2
5
và
4
7
Lời giải
Cách 1: Quy đồng mẫu số
2PS
rồi so sánh tử số của chúng với nhau.
+ Ta có: mẫu chung là 35
+ So sánh
2PS
đã quy đồng, ta có :
14 20
35 35
(vì 2 PS có cùng mẫu số, tử số có
14 20
) nên
2 4
5 7
.
Cách 2: Chọn tử số chung là 4 (vì
4 : 2 2
), ta có:
2 2 2 4
;
5 5 2 10
giữ nguyên
4
7
4
Ta có
4 4
: TS 4
10 7
, mẫu số có
10 7
) nên
2 4
5 7
.
Bài 2: So sánh .
3
4
. và
4
5
Lời giải
Có MC: 4.5 = 20
- 3 (- 3).5 - 15
= =
4 4.5 20
;
- 4 (- 4).4 - 16
= =
5 5.4 20
Vì: - 15 > - 16 nên
- 15 - 16
20 20
hay:
- 3 - 4
4 5
. Vậy:
- 3 - 4
4 5
Bài 3: So sánh các phân số:
a)
- 11
12
và
17
- 18
b)
- 14
21
và
- 60
- 72
Lời giải
a)
- 11
12
và
17
- 18
- 11
12
và
- 17
18
Có MC: 2
2
.3
2
= 36
- 11 (- 11).3 - 33
= =
12 12.3 36
;
- 17 (- 17).2 - 34
= =
18 18.2 36
Vì
- 33 - 34
36 36
nên
- 11 - 17
12 18
. Vậy:
- 11 17
12 - 18
b,
- 14
21
và
- 60
- 72
- 2
3
và
5
6
Có MC: 6
- 2 (- 2).2 - 4
= =
3 3.2 6
Vì
- 4 5
6 6
nên
- 2 5
3 6
. Vậy
- 14 - 60
21 - 72
Bài 4: So sánh các đại lượng sau:
a) Thời gian nào dài hơn:
2
3
h
hay
3
4
h
? b) Đoạn thẳng nào ngắn hơn
7
10
m
hay
3
4
m
?
c) Khối lượng nào lớn hơn:
7 9
10 10
kg hay kg
d) Vận tốc nào nhỏ hơn
5 7
/ / ?
6 9
kg h hay kg h
Lời giải
a,
2
3
h và
3
4
h có MC: 12
2 2.4 8
= =
3 3.4 12
;
3 3.3 9
= =
4 4.3 12
Vì
9 8
>
12 12
nên
3
4
h dài hơn
2
3
h
b,
7
10
và
3
4
có MC: 2
2
.5 = 20
7 7.2 14
= =
10 10.2 20
;
3 3.5 15
= =
4 4.5 20
Vì
14 15
<
20 20
nên
7
10
m ngắn hơn
3
4
m.
c) Ta có
9
10
>
7
10
(vì
9 7
) d) Ta có
7 42
9 54
;
5 45
6 54
5
nên
9
10
kg
lớn hơn
7
10
kg
mà
42 45
42 45
54 54
vậy
7
9
km/h nhỏ hơn
5
6
km/h
Bài 5: So sánh hai phân số
2
3
và
3
4
Lời giải
Cách 1:
QĐMS (chọn
MSC 12
)
Ta có :
2 2 4 8 3 3 3 9
;
3 3 4 12 4 4 3 12
Vì
8 9
12 12
nên
2 3
3 4
Cách 2:
QĐTS ( chọn
TSC 6)
Ta có :
2 2 3 6 3 3 2 6
;
3 3 3 9 4 4 2 8
Vì
6 6
9 8
nên
2 3
3 4
.
Bài 6: Viết các phân số sau theo thứ tự từ bé đến lớn :
a)
8 5 17
; ;
9 6 18
b)
1 3 5
; ;
2 4 8
Lời giải
Để sắp xếp các PS theo thứ tự từ bé đến lớn, trước tiên ta QĐMS các PS này. Rồi so sánh tử số.
Chọn
MSC 18
(vì 18 chia hết cho 6; 9; 18)
a)
8 8 2 16 5 5 3 15
; ;
9 9 2 18 6 6 3 18
giữ nguyên
17
18
Ta so sánh các
PS
đã quy đồng mẫu số Vì
15 16 17
18 18 18
nên
5 8 17
6 9 18
Vậy các phân số được viết theo thứ tự từ bé đến lớn là:
5 8 17
; ;
6 9 18
b) Chọn
MSC 8
(vì 8 chia hết cho 2 ; 4; 8)
Ta có: Vì
1 4 3 6
;
2 8 4 8
nên
1 5 3
2 8 4
, giữ nguyên
5
8
Vì
4 5 6
8 8 8
nên
1 5 3
2 8 4
Vậy các phân số được viết theo thứ tự từ bé đến lớn là :
1 5 3
; ;
2 8 4
Bài 8. Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần:
2 3 1 5 5
; ; ; ;
9 4 12 6 8
Lời giải
Do các số âm luôn nhỏ hơn các số dương nên
3 5 2 1 5
; ; ; ;
4 6 9 12 8
Trong các số dương thì
5 3
6 4
6
Vì
2 5 5
9 12 8
nên
2 5
9 8
Vì
2 2 1
9 12 12
nên
2 1
9 12
Vậy chúng ta có thể sắp xếp theo yêu cầu đề bài
5 3 1 2 5
; ; ; ; ;
6 4 12 9 8
Dạng 3. So sánh qua số trung gian
I. Phương pháp giải.
- Khi so sánh hai hay nhiều phân số, việc quy đồng đưa về cùng một mẫu số dương để so sánh tử số
nhiều khi khá khó khăn, do đó, ta có thể chọn một phân số trung gian, dựa vào phân số trung gian này,
ta sẽ so sánh được hai phân số ban đầu.
* Dạng 3.1: So sánh qua số 0
- Việc so sánh qua số 0 được sử dụng khi ta thấy một phân số nhỏ hơn 0 (tử và mẫu trái dấu) và một
phân số lớn hơn không (tử và mẫu cùng dấu).
. 0 0
( . 0)
. 0 0
a
a c
a b
c
c d
b
c d
b d
d
* Dạng 3.2: So sánh qua số 1
- Với hai phân số cùng dương mà ta nhận thấy một phân số lớn hơn 1 ( tử số lớn hơn mẫu số) và một
phân số nhỏ hơn 1 ( tử số nhỏ hơn mẫu số) thì ta sẽ chọn 1 là số trung gian để so sánh.
1
1 ( , , , 0)
1
a
a b
a c
b
a b c d
c
b d
c d
d
* Dạng 3.3: So sánh qua một phân số trung gian phù hợp
Ta cũng có thể chọn một phân số trung gian phù hợp để so sánh hai phân số
( . . 0)
a c
a c e
b d
b e f
c e
b d f
d f
Chú ý một vài tính chất sau đây:
+ Trong hai phân số có cùng tử, tử và mẫu đều dương, phân số nào có mẫu nhỏ hơn thì lớn hơn
( , , 0)
a a
c b a b c
c b
+ Nếu cộng cả tử và mẫu của một phân số nhỏ hơn 1, tử và mẫu đều dương, với cùng một số
nguyên dương thì giá trị của phân số đó tăng thêm.
( , , 0)
a a c
a b c
b b c
+ Với hai phân số có cả tử và mẫu dương
a
b
và
c
d
thì
a c a a c
a b c d
b d b b d
II.Bài toán.
Bài 1. So sánh hai phân số sau
7
a)
3
5
và
7
6
b)
7
15
và
4
3
c)
13
14
và
16
15
d)
23
25
và
21
19
Lời giải
a)
3
5
và
7
6
.
Ta có
3 5
1
3 7 3 7
5 5
1
7 6
5 6 5 6
1
6 6
.
b)
7
15
và
4
3
Ta có:
7 15
1
7 4 7 4
15 15
1
4 3
15 3 15 3
1
3 3
.
c)
13
14
và
16
15
.
Ta có
13 14
1
13 16 13 16
14 14
1
16 15
14 15 14 15
1
15 15
.
d)
23
25
và
21
19
.
Ta có:
23 25
1
23 21 23 21
25 25
1
21 19
25 19 25 19
1
19 19
.
Bài 2. So sánh hai phân số sau
a)
13
5
và
7
9
b)
8
13
và
1
33
c)
13
17
và
3
11
d)
3
25
và
1
19
Lời giải
a)
13
5
và
7
9
.
Ta có
13
13.5 0 0
5
7
7.9 0 0
9
7 13 7 13
0 .
9 5 9 5
b)
8
13
và
1
33
Ta có
1
1.33 0 0
33
8
8.( 13) 0 0
13
8 1 8 1
0 .
13 33 13 33
c)
13
17
và
3
11
Ta có
13
( 13).( 17) 0 0
17
3
( 3).11 0 0
11
3 13 3 13
0 .
11 17 11 17
d)
3
25
và
1
19
Ta có:
1
( 1).( 19) 0 0
19
3
3.( 25) 0 0
25
3 1 3 1
0 .
25 19 25 19
8
Bài 3. So sánh hai phân số sau
a)
4
17
và
16
63
. b)
5
29
và
7
33
c)
44
57
và
89
99
d)
19
53
và
30
73
Lời giải
a) Ta có:
4 4 1 16 16
17 16 4 64 63
. b) Ta có :
5 5 1 7 7
29 25 5 35 33
c) Ta có:
44 44 22 88 88 89
57 52 25 100 99 99
. d) Ta có:
19 20 20 2 30 30
53 53 50 5 75 73
Bài 4: So sánh hai phân số sau
a)
22
107
và
18
79
. b)
25
67
và
35
89
. c)
18
67
và
31
106
. d)
41
119
và
24
67
.
Lời giải
a) Ta có:
22 22 2 18 18
107 99 9 81 79
b) Ta có:
25 25 5 35 35
.
67 65 13 91 89
c) Ta có:
18 18 2 30 30
67 63 7 75 73
. d) Ta có:
41 42 6 24 24
.
119 119 17 68 67
Bài 5: So sánh hai phân số sau
a)
65
129
và
91
174
. b)
21
53
và
50
119
.
Lời giải
a) Ta có:
65 65 13 91 91
129 125 25 175 174
. b) Ta có:
21 21 7 49 50
53 51 17 119 119
.
Dạng 4. So sánh qua phần bù (hay phần thiếu).
I. Phương pháp giải.
So sánh qua phần bù áp dụng để so sánh hai phân số nhỏ hơn 1.
Với phân số
1
a
b
thì
1
a b a
b b
được gọi là phần bù đến đơn vị của phân số
a
b
.Trong hai phân số
có phần bù tới đơn vị khác nhau, phân số nào có phần bù nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn.
II.Bài toán.
Bài 1. So sánh hai phân số sau
a)
2009
2010
và
2008
2009
b)
1007
1009
và
1005
1007
c)
2021
2023
và
2017
2019
d)
2005
2007
và
2009
2011
Lời giải
a) Ta có:
+)
2009 2010 2009 1
1
2010 2010 2010 2010
+)
2008 2009 2008 1
1
2009 2009 2009 2009
b) Ta có:
+)
1007 1009 1007 2
1
1009 1009 1009 1009
+)
1005 1007 1005 2
1
1007 1007 1007 1007
9
+)
1 1 2009 2008
.
2009 2010 2010 2009
+)
2 2 1005 1007
1007 1009 1007 1009
.
c) Ta có:
+)
2021 2023 2021 2
1
2023 2023 2023 2023
+)
2017 2019 2017 2
1
2019 2019 2019 2019
+)
2 2 2017 2021
2019 2023 2019 2023
d) Ta có:
+)
2005 2007 2005 2
1
2007 2007 2007 2007
+)
2009 2011 2009 2
1
2011 2011 2011 2011
+)
2 2 2005 2009
2011 2007 2007 2011
Bài 2. So sánh hai phân số sau
a)
2005
2009
và
2007
2010
. b)
1997
1999
và
1995
1998
. c)
2004
2005
và
2001
2004
. d)
1775
1777
và
1768
1771
Lời giải
a) Ta có:
+)
2005 2009 2005 4
1
2009 2009 2009 2009
+)
2007 2010 2007 3
1
2010 2010 2010 2010
+)
3 3 4 2007 2005
2010 2009 2009 2010 2009
b) Ta có:
+)
1997 1999 1997 2
1
1999 1999 1999 1999
+)
1995 1998 1995 3
1
1998 1998 1998 1998
+)
2 2 3
1999 1998 1998
1997 1995
1999 1998
c) Ta có:
+)
2004 2005 2004 1
1
2005 2005 2005 2005
+)
2001 2004 2001 3
1
2004 2004 2004 2004
+)
1 1 3 2004 2001
2005 2004 2004 2005 2004
d) Ta có:
+)
1775 1777 1775 2
1
1777 1777 1777 1777
+)
1768 1771 1768 3
1
1771 1771 1771 1771
+)
2 2 3 1775 1768
1777 1771 1771 1777 1771
.
Bài 3. So sánh hai phân số sau
9 8
10 9
10 1 10 1
;
10 1 10 1
A B
Lời giải
Ta có:
+)
9 10 9 10 9 9
10 10 10 10 10
10 1 10 1 10 1 10 10 10 .9
1 1
10 1 10 1 10 1 10 1 10 1
A
+)
8 9 8 9 8 8
9 9 9 9 9
10 1 10 1 10 1 10 10 10 .9
1 1
10 1 10 1 10 1 10 1 10 1
B
+) Để so sánh
1
A
và
1
B
, ta so sánh
10
10
10 1
và
9
1
10 1
10
9 10 10
1 10 10
10 1 10 10 10 1
1 1
B A A B
Bài 4. So sánh hai phân số sau
99 98
100 99
7 2 7 2
;
7 2 7 2
A B
Lời giải
Ta có:
+)
99 99 99 99 98
100 100 100 100 99
7 2 5 7 1 7 2 5 7 7 7 1
1
5
7 2 7 1 7 2 5 7 7 7 1
A
+)
98 98 98 98 98
99 99 99 99 99
7 1 7 1 1 7 1 7 1 1 7 2
1
1
7 1 7 1 7 1 7 1 1 7 2
+ Vậy
A B
.
Bài 5. So sánh hai phân số sau
89
90
11 1
11 1
A
và
87
88
10 1
10 1
B
.
Lời giải
Ta có:
89 89 89 88
90 90 90 89
11 1 10 11 1 11 1 10 11 1
1
10
11 1 11 1 11 1 10 11 1
A
88 88 88 88 87
89 89 89 89 88
11 1 11 1 10 11 1 11 1 10 11 1
1
10
11 1 11 1 11 1 11 1 10 11 1
Vậy
88
89
11 1
11 1
A B
.
Bài 6. So sánh hai phân số sau
43
49
và
31
35
Lời giải
Ta có:
43 43.4 172
49 49.4 196
31 31.6 186
35 35.6 210
43 172 196 172 24
1 1
49 196 196 196 196
31 186 210 186 24
1 1
35 210 210 210 210
24 24 43 31
196 210 49 35
.
Bài 7. So sánh hai phân số sau
a)
12
17
và
7
15
b)
1999
2001
và
12
11
c)
13
27
và
27
41
11
d)
1998
1999
và
1999
2000
e)
23
47
và
24
45
g)
17
33
và
13
27
Lời giải
a) Ta có:
7 7 2 7 7 2 9 12
1 .
15 15 2 15 15 2 17 17
Vậy
12 7
17 15
.
b) Ta có:
1999
1999 2001 1.
2001
12
12 11 1
11
1999 12 1999 12
1
2001 11 2001 11
.
c) Ta có:
13 13 1
27 26 2
27 27 1
41 54 2
Vậy
13 1 27 13 27
.
27 2 41 27 41
d) Ta có:
1998 1999 1998 1
1
1999 1999 1999 1999
1999 2000 1999 1
1
2000 2000 2000 2000
Mà
1 1 1998 1999
1999 2000 1999 2000
e) Ta có
23 23 1
47 46 2
24 24 1
45 48 2
Vậy
23 1 24 23 24
47 2 45 47 45
.
g) Ta có:
13 13 1
27 26 2
17 17 1
33 34 2
Vậy
13 1 17 13 17
27 2 33 27 33
.
Bài 8. So sánh hai phân số sau
a)
15
25
và
5
7
b)
13
60
và
27
100
c)
1993
1995
và
997
998
d)
47
15
và
29
35
e)
3
8
và
17
49
g)
43
47
và
29
35
i)
16
27
và
15
29
k)
15
59
và
24
47
.
Lời giải
a) Ta có:
5 5.3 15
7 7.3 21
.
15 15 15 5
.
25 21 25 7
b) Ta có
13 15 1
60 60 4
27 25 1
100 100 4
Vậy
13 1 27 13 27
60 4 100 60 100
c) Ta có: d) Ta có:
12
1993 1995 1993 2
1 .
1995 1995 1995 1995
997 998 997 1
1
998 998 998 998
1 2 2 1993 997
998 1996 1995 1995 998
47
47 15 1
15
29
29 35 1
35
29 47
1
35 15
. Vậy:
29 47
35 15
e) Ta có:
3 3.6 18
8 8.6 48
17 17 18
49 48 48
17 3
49 8
g) Ta có:
43 43.6 258
47 47.6 282
29 29.4 116
35 35.4 140
43 258 282 258 24
1 1
47 282 282 282 282
29 116 140 116 24
1 1
35 140 140 140 140
24 24 43 29
282 116 47 35
i) Ta có:
15 16 16
29 29 27
15 16
29 27
.
k) Ta có:
24 24 1
47 48 2
15 15 3 5 1
59 50 10 10 2
Vậy
15 1 24 15 24
59 2 47 59 47
.
Bài 9. So sánh hai phân số:
a)
13
15
và
1333
1555
b)
42
43
và
58
59
.
Lời giải
a) Ta có:
13 13.111 1443
.
15 15.111 1665
1443 1665 1443 222
1
1665 1665 1665 1665
1333 1555 1333 222
1
1555 1555 1555 1555
222 222 13 1333
1665 1555 15 1555
b) Ta có:
42 1 58 1
1 ;1
43 43 59 59
.
Vì
1 1
43 59
nên
42 58
43 59
.
Bài 10. So sánh hai phân số sau
a)
13
15
và
23
25
b)
13
38
và
16
49
c)
23
28
và
25
49
13
d)
13
15
và
133
153
e)
15
21
và
153
213
Lời giải
a) Ta có:
13 15 13 2
1
15 15 15 15
23 25 23 2
1
25 25 25 25
Mà
2 2 13 23
15 25 15 25
.
b) Ta có:
13 13 1
38 39 3
16 16 1
49 48 3
Vậy
16 1 13
.
49 3 38
c) Ta có:
25 28 4 16 23
49 49 7 28 28
.
Vậy
25 23
49 28
.
d) Ta có:
13 130 3 13 130 3 133
1 .
15 150 3 15 150 3 153
Vậy
13 133
15 153
.
e) Ta có:
15 150 3 15 150 3 153
.
21 210 3 21 210 3 213
Vậy
15 153
21 213
Bài 11. So sánh các phân số sau với 1
a)
34.34
33.35
b)
1999.1999
1995.1995
c)
198519851985.198719871987
198619861986.198619861986
Lời giải
a) Ta có
2 2
2
34.34 34 34
1.
33.35 (34 1)(34 1)
34 1
b) Ta có:
2
2
1999.1999 1999
1
1995.1995
1995
c) Ta có
2
198519851985.198719871987 1985.100010001.
1987.100010001 1985.1987
198619861986.198619861986 1986.100010001.1986.100010001
1986
2
2
2
(1986 1)(1986 1)
1986
1986 1
1
1986
Bài 12: Không quy đồng mẫu hãy so sánh phân số sau bằng cách nhanh nhất:
a)
2012
2013
và
2013
2014
b)
1006
1007
và
2013
2015
c)
64
73
và
45
51
d)
2323 20132013
à
2424 20142014
v
14
Lời giải
a) Ta có: 1 -
2012
2013
=
1
2013
;
1 -
2013
2014
=
1
2014
.
Vì
1
2013
>
1
2014
nên
2012
2013
<
2013
2014
.
b) Ta thấy:
1006 1006 2 2012
1007 1007 2 2014
.
Ta có:
2012 2
1
2014 2014
;
2013 2
1
2015 2015
.
Vì
2
2014
>
2
2015
nên
2012 2013
2014 2015
hay
1006 2013
1007 2015
c) Ta thấy:
64
73
=
64 2 128
73 2 146
;
45
51
=
45 3 135
51 3 153
.
Ta có:
128 18
1
146 146
;
135 18
1 .
153 153
.
Vì
18 18
143 153
nên
128 135
146 153
hay
64 45
.
73 51
d) Ta thấy:
2323 23 101 23
2424 24 101 24
;
20132013 2013 10001 2013
20142014 2014 10001 2014
.
Ta có:
23 1
1
24 24
;
2013 1
1 .
2014 2014
Vì
1 1
24 2014
nên
23 2013
24 2014
Vậy
2323 20132013
.
2424 20142014
Dạng 5: So sánh phần hơn (phần thừa) với đơn vị của các phân số.
I. Phương pháp giải.
* Phần hơn với đơn vị của phân số là hiệu giữa phân số đó với 1
Ví dụ: Tìm phần hơn với đơn vị của phân số
8
5
Ta lấy :
8 3
1
5 5
Vậy phần hơn với đơn vị của phân số
8
5
là
3
5
* Sử dụng cách so sánh bằng phần hơn khi:
15
- Nhận thấy tất cả các phân số đều có tử số lớn hơn mẫu số (phân số lớn hơn 1) và hiệu của tử số với
mẫu số đều bằng nhau hoặc nhỏ thì ta tìm phần hơn với 1.
- Nhận thấy cả hai phân số đều có tử số lớn hơn mẩu số và nếu lấy tử số chia cho mầu số ở cả hai phân
số thì có thương bằng nhau. (ví dụ 5)
- Nhận thấy cả hai phân số đều có tử số bé hơn mẫu số và nếu lấy mẫu số chia cho tử số ở cả hai phân
số thì có thương bằng nhau. (ví dụ 6)
- Lưu ý:
+ Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn và ngược lại phân số nào
có phần hơn nhỏ hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
* Các bước tiến hành:
+ Bước 1: Tìm phần hơn của hai phân số
+ Bước 2: So sánh hai phần hơn với nhau
+ Bước 3: Kết luận.
II.Bài toán.
Bài 1. So sánh hai phân số
8
5
là
14
11
Hướng dẫn
Hai phân số
8
5
và
14
11
có đặc điểm:
+ Đều lớn hơn 1 vì có tử số lớn hơn mẫu số.
+ Tử số - mẫu số
3
Vậy ta sẽ chọn cách So sánh phần hơn với đơn vị của hai phân số.
Lời giải
Ta có :
8 3 14 3
1 ; 1
5 8 11 11
.
Vì
3 3
8 11
(hai phân số có cùng tử số, mẫu số có
8 11
).
Vậy
8 14
5 11
.
Bài 2. So sánh:
2016
2012
và
2018
2014
Hướng dẫn:
Hai phân số
2016
2012
và
2018
2014
có đặc điểm:
+ Đều lớn hơn 1 vì có tử số lớn hơn mẫu số.
+ Tử số - mẫu số
4
Vậy ta sẽ chọn cách so sánh phần hơn với đơn vị của hai phân số.
Lời giải
Ta có :
2016 4 2018 4
1 ; 1
2012 2012 2014 2014
.
16
Vì
4 4
2012 2014
(hai phân số có cùng tử số, mẫu số có
2012 2014
)
Vậy
2016 2018
2012 2104
Bài 3. So sánh hai phân số
43
14
và
10
3
.
Lời giải
Ta làm như sau:
Lấy tử số chia cho mẫu số:
43:14 3
(dư 1)
10:3 3
(dư 1 ).
Chọn phần nguyên của thương làm số chung (có 3).
Thực hiện phép trừ:
43 1 10 1
3 ; 3
14 14 3 3
.
Vậy ta có:
43 1 10 1
3 ; 3
14 14 3 3
Vì
1 1
3 14
nên
43 10
14 3
.
Bài 4: So sánh hai phân số
77
76
và
84
83
.
Lời giải
Ta có
1 1
1 ; 1
76 83
77 84
76 83
Vì
1 1
76 83
nên
77 84
76 83
Bài 5. So sánh hai phân số
13
41
và
19
71
.
Lời giải
Ta làm như sau:
Lấy mẫu số chia cho tử số:
41:13 3
(dư 2);
71:19 3
(dư 14).
Chọn mẫu số của phân số chung bằng cách lấy phần nguyên của thương cộng
1:3 1 4
Thực hiện phép trừ:
13 1 11 19 1 5
;
41 4 164 71 4 284
.
Vậy ta có:
13 1 11 19 1 5
;
41 4 164 71 4 284
.
Vì:
5 11 11
284 284 164
nên
19 13
71 41
.
Bài 6. So sánh hai phân số
21
89
và
2003
8017
.
Lời giải
17
Ta nhận thấy hai phân số đã cho nếu lấy mẫu số chia cho tử số thì đều được thương là 4 và số dư là 5 .
Ta có:
21 89 2003 8017
1: ;1:
89 21 8017 2003
.
Mà
89 5 8017 5
4 ; 4
21 21 2003 2003
.
Vì
5 5
21 2003
nên
89 8017
21 2003
.
Suy ra:
21 2003
89 8017
.
Bài 7. Cho
2002
2003
10 1
A
10 1
và
2003
2004
10 1
B .
10 1
So sánh
A
và
B
.
Lời giải
2003
2003 2003
10 10 9
10A 1
10 1 10 1
2004
2004 2004
10 10 9
10.B 1
10 1 10 1
Vì
2003 2004
9 9
10 1 10 1
(cùng tử số, mẫu số càng lớn thì phân số càng nhỏ)
Nên
10.A 10.B
Hay:
A B
Bài 8. So sánh các phân số sau
3535.232323
3353535.232
A
;
3535
3534
B
;
2323
2322
C
Lời giải
Ta có:
3535.232323 35.101.23.10101
1
353535.2323 35.10101.23.101
A
3535 1
3534 3534
1 B
2323 1
2322 2322
1 C
Vì
1 1
3534 2322
(cùng tử số, mẫu số càng lớn thì phân số càng nhỏ) nên
A B C
.
Bài 9. So sánh các phân số sau
5.(11.13 22.26)
22.26 44.52
A
;
2
2
138 690
137 548
B
;
Lời giải
5.11.13.(1.1 2.2) 5 1
1
22.26.(1.1 2.2) 4 4
5.(11.13 22.26)
22.26 44.52
A
2
2
138 690 138.(
3 7
138 5)
1
1
37.(137 4)
1
1
3
1
7 548
138
1
7 3
B
18
Vì
1 1
4 137
(cùng tử số, mẫu số càng lớn thì phân số càng nhỏ) nên
A B
Ta có:
5.(11.13 22.26)
22.26 44.52
A
Dạng 6: So sánh một tổng hoặc một tích nhiều phân số với một phân số.
I. Phương pháp giải.
Bước 1: Tìm số chữ số của tổng.
Bước 2: Tách số cố định thành tổng các chữ số.
Bước 3: So sánh từng số của tổng với các chữ số vừa tách.
Bước 4: Kết luận
II.Bài toán.
Bài 1. So sánh:
a)
1 1 1 1
101 102 199 200
với 1 ; b)
1 1 1 1
101 102 149 150
với
1
3
;
c)
1 1 1 1
101 102 199 200
với
7
12
Lời giải
a) Từ
1
101
tới
1
200
có tất cả 100 chữ số.
Mà
1 1 1
1
100 100 100
có 100 chữ số
1
100
Vì
1 1 1 1 1 1
; ; ;
101 100 102 100 200 100
Nên:
1 1 1 1 1 1 1
101 102 199 200 100 100 100
1 1 1 1
1
101 102 199 200
Kết luận: Vậy nếu gặp dạng so sánh như trên (dấu hiệu so sánh 1 số với tổng dãy số), các em thực
hiện theo các bước:
Bước 1: Tìm số chữ số của tổng (ví dụ bài toán trên là 100 chữ số)
Bước 2: Tách số cố định thành tổng các chữ số (ví dụ trên là tách 1 thành tổng 100 chữ số)
Bước 3: So sánh từng số của tổng
1 1
; ;..
101 102
với các chữ số vừa tách
1
100
Bước 4: Kết luận
b)
1 1 1 1
101 102 149 150
với
1
3
;
Bước 1: Từ
1
101
tới
1
150
có tất cả 50 chữ số.
19
Bước 2: Tách
1 1 1 1
3 150 150 150
(có tất cả 50 chữ số
1
150
)
Bước 3: Vì
1 1 1 1 1
; ; 150
101 150 102 150 149
1 1 1 1 1 1
101 102 150 150 150 150
1 1 1 50 1
101 102 150 150 3
1 1 1 1 1
; ; 150
101 150 102 150 149
1 1 1 1 1 1
101 102 150 150 150 150
1 1 1 50 1
101 102 150 150 3
Bước 4: Kết luận:
1 1 1 1
101 102 150 3
c)
1 1 1 1
101 102 199 200
với
7
12
Phần này khó hơn 2 phần a và
b
một chút, chúng ta sẽ phải kết hợp:
Chúng ta có
1 1 1 1
101 102 150 3
(1)
Lại có:
1 1 1 1
50
4 200 200 200
chữ số
1
200
Mà:
1 1 1 1 1 1
; ; ;
151 200 152 200 199 200
Nên:
1 1 1 1
151 152 200 4
Cộng (1) và (2) chúng ta được:
1 1 1 1 1 3 4 7
101 102 200 3 4 12 12
Kết luận:
1 1 1 7
101 102 200 12
Bài 2: Cho tổng
1 1 1
:
31 32 60
S
. Chứng minh:
3 4
5 5
S
Lời giải
1 1 1 1 1 1 1 1 1
31 32 40 41 42 50 51 52 60
S
1 1 1 1 1 1 1 1 1
30 30 30 40 40 40 50 50 50
S
hay
10 10 10
30 40 50
S
20
suy ra
47 48
60 60
S
Vậy
4
5
S
(1).
Mặt khác:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
40 40 40 50 50 50 60 60 60
S
10 10 10
40 50 60
S
37 36
60 60
S
3
(2)
5
S
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
Bài 3. So sánh
1 3 5 9999
A
2 4 6 10000
với
1
B
100
Lời giải
Đặt
2 4 6 8 10000
3 5 7 9 10001
C
So sánh từng số của
A
với của
C
ta thấy:
1 2 3 4
;
2 3 4 5
và
9999 10000
10000 10001
Vậy
A C
1 3 5 9999 2 4 6 10000
.
2 4 6 10000 3 5 7 10001
A A A C
2
1 2 3 4 5 9999 10000
2 3 4 5 6 10000 10001
A
(Rút gọn tử và mẫu lần lượt).
2
1
10001
A
mà
1 1
10001 10000
(mẫu càng lớn phân số càng nhỏ)
2
2
1 1
10000 100
A
1
100
A B
Kết luận:
A B
Bài 4: Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1 7
..
41 42 43 78 79 80 12
Lời giải
Ta thấy:
1
41
đến
1
80
có 40 phân số.
Vậy
1 1 1 1 1 1
..
41 42 43 78 79 80
21
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
.. ..
41 42 43 59 60 61 62 63 79 80
(1)
Vì
1 1 1
.
41 42 60
và
1 1 1
61 62 80
(2)
Ta có
1 1 1 1 1 1 1 1 1
. .
60 60 60 60 80 80 80 80 80
20 20 1 1 4 3 7
60 80 3 4 12 12
(3)
Từ (1), (2), (3) Suy ra:
1 1 1 1 1 1 7
41 42 43 78 79 80 12
Bài 5: So sánh
2 2 2 2
1 1 1 1
...
2 3 2
n
và 1
Lời giải
2
1 1
1
2
2
2
1 1 1
2 3
3
2
1 1 1
4 3
4
…
…
2
1 1 1 1
( 1) 1
n n n n
n
2 2 2 2
1 1 1 1 1
... 1 1
2 3 4
n
n
Vậy
2 2 2 2
1 1 1 1
... 1
2 3 4
n
Bài 6. So sánh
2 3 99
1 1 1 1
...
3
3 3 3
A
với
1
2
Lời giải
Ta có:
2 3 99
1 1 1 1
3 3( ... )
3
3 3 3
A
=
2 3 98
1 1 1 1
(1 ... )
3
3 3 3
Suy ra
99
1
3 1
3
A A
99
1
2 1
3
A
99
1 1 1
2 2
2.3
A
Vậy
2 3 99
1 1 1 1 1
...
3 2
3 3 3
A
22
Bài 13: Cho
1 3 5 99
. . ...
2 4 6 100
M
và
2 4 6 100
. . ...
3 5 7 101
N
a) Chứng minh: M < N
b) Tìm tích M.N
c) Chứng minh:
1
10
M
Lời giải
Nhận xét M và N đều có 45 thừa số:
a) Và
1 2 3 4 5 6 99 100
; ; ;...
2 3 4 5 6 7 100 101
nên M < N
b) Tích
1 3 5 99 2 4 6 100 1
. . . ... . . . ...
2 4 6 100 3 5 7 101 101
M N
c)Vì
1
.
101
M N
mà
M N
nên ta suy ra được:
1 1
.
101 100
M M
Tức là M.M <
1
10
.
1
10
M <
1
10
Dạng 7: Dạng bài tập phối hợp nhiều phương pháp
I. Phương pháp giải.
* Phương pháp so sánh hai phân số bằng cách "nhân thêm cùng một số vào hai phân số"
- Ta sử dụng phương pháp nhân thêm cùng một số vào hai phân số khi nhận thấy tử số của hai phân số
đều bé hơn mẫu số và nểu lấy mẫu số chia cho tử số thì có thương và số dư bằng nhau. Khi đó ta nhân
cả hai phân số với cùng một số tự nhiên (là phần nguyên của thương) để đưa về dạng so sánh "phần
bù"
Bài 1: So sánh hai phân số
11
52
và
17
76
.
Lời giải
Ta nhận thấy hai phân số đã cho nếu lấy mẫu số chia cho tử số thì đều được thương là 4 và số dư là 8
nên ta nhân cả hai phân số với 4 .
Ta có:
11 44
4 ;
52 52
17 68 44 8
4 1 ;
76 76 52 52
68 8
1
76 76
Vì
8 8
52 76
nên
44 68
52 76
hay
11 17
52 76
.
* Phương pháp so sánh hai phân số bằng cách "phép chia hai phân số"
- Phương pháp này được sử dụng dựa vào nhận xét: "Trong phép chia, nếu số bị chia lớn hơn số chia
thì được thương lớn hơn 1, nếu số bi chia bé hơn số chia thì được thương nhỏ hơn 1".
- Ta sử dụng phương pháp "chia hai phân số" khi nhận thấy tử số và mẫu số của hai phân số là những
số có giá trị không quá lớn, không mất nhiều thời gian khi thực hiện phép nhân ở tử số và mẫu số.
23
Bài 2. So sánh hai phân số
2
23
và
9
41
.
Lời giải
Ta có:
2 9 2 41 82
: .
23 41 23 9 207
Vì
82
1
207
nên
2 9
23 41
.
Bài 3: So sánh hai phân số
8
9
10 1
A
10 1
và
9
10
10 1
B
10 1
.
Lời giải
Cách 1:
B
là phân số nhỏ hơn 1 . Nếu cộng cùng một số nguyên dương vào tử và mẫu của
B
thì giá
trị của
B
tăng thêm. Do dó
8
9 9 9 8
10 10 10 9
9
10 10 1
10 1 10 1 9 10 10 10 1
B A
10 1 10 1 9 10 10 10 1
10 10 1
Vậy
B A
.
Cách 2. (sau khi học phép nhân phân sô)
8
9
9 9 9
9
10
10 10 10
10 10 1
10 10 9
10 A 1
10 1 10 1 10 1
10 10 1
10 10 9
10 B 1
10 1 10 1 10 1
Ta thấy
9 10
9 9
10 1 10 1
(so sánh hai phân số cùng tử) nên
10 A 10 B
.
Do đó
A B
.
Bài 4. So sánh
2003
2004
2003 1
A
2003 1
và
2002
2003
2003 1
B
2003 1
Nhận thấy tử và mẫu có số mũ lớn và đều cách nhau là 2003, nên:
2003.A
2003
2004
2004 2004 2004
2003 2003 1
2003 2003 2002
1
2003 1 2003 1 2003 1
2003.
2002
2003
2003 2003 2003
2003 2003 1
2003 2003 2002
B 1
2003 1 2003 1 2003 1
Vì
2004 2003
2002 2002
2003 1 2003 1
(do cùng tử mà mẫu càng lớn phân số càng bé)
Nên
A
B
.
Bài 5. a) So sánh phân số:
15
301
với
25
490
24
b) So sánh tổng
2 3 2007
1 2 3 2007
... ...
2
2 2 2 2
n
n
S
với
*
2
( )
n N
Lời giải
a)
15 15 1 25 25
.
301 300 20 500 499
Vậy
15 25
301 499
b) So sánh tổng
2 3 2007
1 2 3 2007
... ...
2
2 2 2 2
n
n
S
với
*
2
( )
n N
Với
n 2
ta có:
n 1
n n 1 n 2
2 2 2
n n
.
Từ đó ta có:
2 2 3 2006 2007 2007
1 3 4 4 5 2008 2009 2009
S .. 2 2.
2 2
2 2 2 2 2 2
Vậy
S 2
Bài 6. Cho
2002
2003
10 1
A
10 1
và
2003
2004
10 1
B .
10 1
So sánh
A
và
B
.
Lời giải
10.
2003
2003 2003
10 10 9
A 1
10 1 10 1
2004
2004 2004
10 10 9
10.B 1
10 1 10 1
Vì
2003 2004
9 9
10 1 10 1
(cùng tử số, mẫu số càng lớn thì phân số càng nhỏ)
Nên
10.A 10.B
Hay:
A B
Bài 7. So sánh hai phân số
13
41
và
19
71
.
Lời giải
Lấy mẫu số chia cho tử số:
41:13 3
(dư 2)
71:19 3
dư 14).
Chọn mẫu số của phân số chung bằng cách lấy phần nguyên của thương cộng
1:3 1 4
(có
1
4
)
Thực hiện phép trừ:
13 1 11 19 1 5
;
41 4 164 71 4 284
.
Vậy ta có:
25
13 1 11
41 4 164
19 1 5
71 4 284
.
Vì
5 11 11
284 284 164
nên
19 13
71 41
.
Bài 8: Cho
199919991999
20002002000
A
và
1999
2000
B
. Hãy so sánh
A
và
B
.
Lời giải
199919991999 1999000000 19990000 1999
20002002000 2000000000 20000000 2000
A
1999 100000000 10000 1
2000 100000000 10000 1)
(
1999.100010001
2000.100010001
1999
2000
B
Vậy
A B
Bài 9:
a) Chứng minh rằng các phân số sau bằng nhau:
25 2525 252525
; ;
53 5353 535353
b) Không quy đồng mẫu hãy so sánh phân số sau
37
67
và
377
677
Lời giải
a) Ta có:
2525 25.101 25
5353 53.101 53
252525 25.10101 25
535353 53.10101 53
Vậy
25 2525 252525
53 5353 535353
b)
300 300
670 677
mà
300 30 30 300
670 67 67 677
(1)
Ta có:
377 37
677 67
37 30
1
67 67
và
377 300
1
677 677
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
377 37
677 67
Bài 10: So sánh
11
12
10 1
10 1
A
và
10
11
10 1
10 1
B
Lời giải
26
Ta có :
11
12
10 1
1
10 1
A
(vì tử nhỏ hơn mẫu)
11 11 11 10
12 12 12 11
10 1 (10 1) 11 10 10 10 1
10 1 (10 1) 11 10 10 10 1
A B
Vậy A < B .
Bài 11: So sánh
2004 2005
2005 2006
M
và
2004 2005
2005 2006
N
Lời giải
Ta có
2004 2004
2005 2005 2006
2005 2005
2006 2005 2006
Cộng vế với vế ta được
M N
Bài 12: So sánh
37
39
và
3737
3939
Lời giải
37 3700 3700 37 3737
39 3900 3900 39 3939
(áp dụng tính chất
.
a c a c
b d b d
)
Bài 13: Cho
, , *
a b m N
. Hãy so sánh
a m
b m
và
a
b
Lời giải
Xét các trường hợp
1
a
b
;
1
a
b
;
1
a
b
a) Trường hợp
1
a
a b
b
thì
1
a m a
b m b
b) Trường hợp
1
a
a b a m b m
b
a m
b m
có “phần bù” tới 1 là
b a
b m
a
b
có “phần bù” tới 1 là
b a
b
, vì
b a b a
b m b
nên
a m a
b m b
.
c) Trường hợp
1
a
a b a m b m
b
a m
b m
có “phần thừa” tới 1 là
b a
b m
a
b
có “phần thừa” tới 1 là
a b
b
, vì
a b a b
b m b
nên
a m a
b m b
.
Bài 14: Cho tổng :
1 1 1
...
31 32 60
S
.Chứng minh:
3 4
5 5
S
27
Lời giải
Tổng S có 30 số hạng, cứ nhóm 10 số hạng thành một nhóm. Giữ nguyên tử, nếu thay mẫu bằng một
mẫu khác lớn hơn thì giá trị của phân số sẽ giảm đi. Ngược lại, nếu thay mẫu bằng một mẫu khác nhỏ
hơn thì giá trị của phân số sẽ tăng lên.
Ta có
1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ... ...
31 32 40 41 42 50 51 52 60
S
1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ... ...
30 30 30 40 40 40 50 50 50
S
hay
10 10 10
30 40 50
S
Tức là:
47 48
60 60
S
Vậy
4
5
S
(1)
Mặt khác:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ... ...
40 40 40 50 50 50 60 60 60
S
10 10 10
40 50 60
S
Tức là :
37 36
60 60
S
vậy
3
5
S
(2).
Từ (1) và (2) suy ra
3 4
5 5
S
Bài 15: So sánh
a)
7
1
80
A và
6
1
;
243
B b)
5
3
8
C và
3
5
243
D
Lời giải
Áp dụng công thức
.
&
n
n
n
m m n
n
x x
x x
y
y
a)
7
7 7
4 28
1 1 1 1
80 81
3 3
A
6
6
5 30
1 1 1
;
243
3 3
B
Vì
28 30
1 1
3 3
nên
A B
b)
5
5
3 15
3 3 243
8
2 2
C
3
3
5 15
5 5 125
.
243
3 3
D
Chọn
15
125
2
làm phân số trung gian, so sánh
15
125
2
>
15
125
3
Vậy C > D.
28
Bài 16: Cho
*
, ,
a m n N
. Hãy so sánh:
10 10
m n
A
a a
và
11 9
m n
B
a a
Lời giải
10 9 1
m n n
A
a a a
10 9 1
m n m
B
a a a
Muốn so sánh A và B ,ta so sánh
1
n
a
và
1
m
a
bằng cách so sánh các trường hợp sau:
a) Với
1
a thì
m n
a a A B
b) Với a
0:
Nếu m= n thì a
m
= a
n
A=B
Nếu m< n thì
1
1
m n
m n
a a A B
a a
Nếu m > n thì
1
1
>
>
m n
m n
a a A B
a a
Bài 17: So sánh P và Q, biết rằng
31 32 33 60
. . ....
2 2 2 2
P
và
1.3.5.7....59
Q
Lời giải
30 30
31 32 33 60 31.32.33....60 (31.32.33.60).(1.2
.3....30)
. . ....
2 2 2 2
2 2 .(1.2.3....30)
(1.3.5....59).(2.4.6....60)
1.3.5....59
2.4.6....60
P
Q
Vậy
P Q
Bài 18: Sắp xếp các phân số
47 17 27 37
; ; ;
223 98 148 183
theo thứ tự tăng dần
Lời giải
Xét các phân số nghịch đảo
223 98 148 183
; ; ;
47 17 27 37
,
Nếu đổi ra hỗn số là
35 13 13 35
4 ;5 ;5 ;4
47 17 27 37
Ta thấy:
13 13 35 35
5 5 4 4
17 27 37 47
Suy ra
17 27 37 47
( )
98 148 183 223
a c b d
vì
b d a c
Bài 19: So sánh P và Q, biết rằng:
2010 2011 2012
2011 2012 2013
P
và
2010 2011 2012
2011 2012 2013
Q
Lời giải
29
2010 2011 2012
2011 2012 2013
Q
2010 2011 2012
2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013
Vì
2010 2010
2011 2012 2013 2011
2011 2011
2011 2012 2013 2012
2012 2012
2011 2012 2013 2013
Cộng vế với vế ta có:
2010 2011 2012 2010 2011 2012
2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011
2012 2013
Vậy:
Q P
Bài 20: So sánh
A
và
B
, biết rằng:
2005
2006
2005 1
2005 1
A
và
2004
2005
2005 1
2005 1
B
Lời giải
2005 2005 2004 2004
2006 2006 2005 2005
2005 1 2005 1 2004 2005.(2005 1) 2005 1
.
2005 1 2005 1 2004 2005.(2005 1) 2005 1

A B
Vậy
A
<
B
,
Bài 21: Hãy so sánh hai phân số
1999
2000
và
19992000
20002000
bằng tất cả các cách có thể được
Lời giải
Cách 1: Quy đồng mẫu số rồi so sánh tử.
Mẫu chung là 20002000
Ta có:
1999 19991999
2000 20002000
; giữ nguyên
19992000
20002000
Vì
19991999 19992000
20002000 20002000
Nên
1999 19992000
2000 20002000
Cách 2:
1999 19991999 19992000
2000 20002000 20002000
Vậy
1999 19992000
2000 20002000
Cách 3:
1999 1 19992000 10000
1
2000 2000 20002000 20002000
Vậy
1999 19992000
2000 20002000
HẾT
| 1/29
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

SH6.CHUYÊN ĐỀ 6-PHÂN SỐ
CHỦ ĐỀ 6.1 SO SÁNH PHÂN SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
1. So sánh hai phân số cùng mẫu.
- Trong hai phân số cùng mẫu dương:
+ Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
+ Phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn.
+ Nếu tử số của hai phân số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
2. So sánh hai phân số khác mẫu.
Muốn so sánh hai phân số khác mẫu ta quy đồng mẫu hai phân số đó, rồi thực hiện so sánh hai phân số cùng mẫu.
Lưu ý: Để thực hiện so sánh nhanh hơn nên rút gọn các phân số đã cho về dạng tối giản trước khi quy đồng.
3. Trong hai phân số có cùng tử số:
- Trong hai phân số cùng tử số dương:
+ Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì bé hơn.
+ Phân số nào có mẫu số bé hơn thì lớn hơn.
+ Nếu mẫu số của hai phân số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau. 4. Các tính chất
+ Phân số có tử và mẫu cùng dấu là phân số dương. Mọi phân số dương đều lớn hơn 0.
+ Phân số có tử và mẫu trái dấu là phân số âm. Mọi phân số âm đều nhỏ hơn 0.
+ Nếu cộng cả tử và mẫu của một phân số nhỏ hơn 1, tử và mẫu đều dương, với cùng một số nguyên a a  c
dương thì giá trị của phân số đó tăng thêm.  (a,b, c  0) b b  c a c a c a a  c
+ Với hai phân số có cả tử và mẫu dương và thì    (a,b, c, d  0) b d b d b b  d + Tính chất bắc cầu a c    b d  a c e     (b, , e f  0) c  e  b d f d f  + Với mọi m  0 : a a a  m a a a  m *  1   *  1   . b b b  m b b b  m a a a  m a c a  c *  1  *   . b b b  m b d b  d PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. So sánh hai phân số cùng mẫu dương I.Phương pháp giải. 1 a c
- Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn: a  c   b  0 b b II. Bài toán.
Bài 1. So sánh các phân số sau 3 1 3 4 5 6 15 25 a) và b) và c) và d) và 4 4 5 5 7 7 37 37 Lời giải 3 1 3 4
a) Ta có: 3  1và 4  0 nên  . b) Ta có: 3
   4 và 5  0 nên  . 4 4 5 5 5 6 15 25
c) Ta có: 6  5 và 7  0 nên  .
d) Ta có: 25  15 và 27  0 nên  . 7 7 37 37
Bài 2. So sánh các phân số sau đây 3  1 3  7 7  6 25 1  7 a) và b) và c) và d) và 4 4  8 8  1  7 17 4  7 47 Lời giải
Các phân số ở bài này chưa có mẫu dương, trước hết ta sẽ đưa chúng về các phân số có mẫu dương trước khi so sánh. 1 1  3  1 3  1 a) Vì  ; Ta có: 3   1  và 4  0 nên    . 4  4 4 4 4 4 7 7  7 3 7 3 b) Vì  ; Ta có: 7   3 và 8  0 nên    . 8 8 8 8 8 8 7  7 6 7 6 7 c) Vì 
; Ta có: 6  7 và 17  0 nên    . 1  7 17 17 17 17 1  7 25 25 25 17 25 1  7 d) Vì  ; Ta có: 2
 5  17 và 47  0 nên    . 47 47 47 47 47 45
Bài 3: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần 5 5 2 4 0 11 7 15 5 12 14 10 14 27 a) ; ; ; ; ; ; . b) ; ; ; ; ; ; . 17 17 17 17 17 17 17 57 57 57 57 57 57 57 1  5 1  6 32 13 10 1  8 23 c) ; ; ; ; ; ; . 37 37 37 37 37 37 37 Lời giải
Nhận xét: Các phân số trong bài có cùng mẫu số dương, nên để sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng
dần ta so sánh các tử số. 5  5 2 4  0 11 7 a) ; ; ; ; ; ; . 17 17 17 17 17 17 17 1  1 5  4  0 2 5 7
Ta có: -11 < -5 < -4 <0 < 2 < 5< 7 và 17 > 0 nên       . 17 17 17 17 17 17 17 15 5 12 14 10 14 27 b) ; ; ; ; ; ; . 57 57 57 57 57 57 57 1  5 14 5 10 12 14 27
Ta có: -15 < -14 < 5 < 10 < 12 <14 < 27 và 57 > 0 nên       . 57 57 57 57 57 57 57 2 1  5 1  6 32 13 10 1  8 23 c) ; ; ; ; ; ; . 37 37 37 37 37 37 37 18 16 15 10 13 23 32
Ta có: -18 < -16 < -15 < 10 < 13 < 23 < 32 và 37 > 0 nên       . 37 37 37 37 37 37 37
Bài 4: Điền số thích hợp vào các chỗ trống sau 10 ... ... ... ... 15 1  1 ... ... ... ... 6 a)      . b)      . 15 15 15 15 15 15 17 17 17 17 17 17 8  ... ... ... 4 c)     . 37 37 37 3  7 37 Lời giải 10 11 12 13 14 15
11 10 9 8 7 6 a)      . b)      . 15 15 15 15 15 15 17 17 17 17 17 17 8  7 6  5 4  c)     . 37 37 37 37 37
Dạng 2. So sánh hai phân số khác mẫu I. Phương pháp giải.
Cách 1. Quy đồng mẫu số hai phân số rồi so sánh các tử số của chúng.
- Bước 1: Quy đồng mẫu số của hai phân s (đưa các phân số về cùng mẫu số)
- Bước 2: So sánh tử số của hai phân số cùng mẫu số đã quy đồng.
Trong hai phân số có cùng mẫu số:
+ Phân số nào có tử số nhỏ hơn thì nhỏ hơn.
+ Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
Cách 2. Quy đồng tử số hai phân số rồi so sánh các mẫu số của chúng.
- Bước 1: Quy đồng tử số (đưa về cùng tử số)
+ Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất nhân tử số của phân số thứ hai.
+ Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhân tử số của phân số thứ nhất.
- Bước 2: So sánh mẫu số của hai phân số đã quy đồng tử số.
Trong hai phân số có cùng tử số:
+ Phân số nào có mẫu số nhỏ hơn thì lớn hơn
+ Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn.
Lưu ý: Để thực hiện so sánh nhanh hơn nên rút gọn các phân số đã cho về dạng tối giản trước khi quy đồng. II.Bài toán. 2 4 Bài 1: So sánh và 5 7 Lời giải
Cách 1: Quy đồng mẫu số 2PS rồi so sánh tử số của chúng với nhau. + Ta có: mẫu chung là 35 14 20 2 4
+ So sánh 2PS đã quy đồng, ta có : 
(vì 2 PS có cùng mẫu số, tử số có 14  20 ) nên  . 35 35 5 7 2 2 2 4 4
Cách 2: Chọn tử số chung là 4 (vì 4 : 2  2 ), ta có:   ; giữ nguyên 5 5 2 10 7 3 4 4 2 4 Ta có :
 TS  4 , mẫu số có 10  7 ) nên  . 10 7 5 7 3 4 Bài 2: So sánh . . và 4 5 Lời giải Có MC: 4.5 = 20 - 3 (- 3).5 - 15 = = ; 4 4.5 20 - 4 (- 4).4 - 16 = = 5 5.4 20 - 15 - 16 - 3 - 4 - 3 - 4 Vì: - 15 > - 16 nên  hay:  . Vậy:  20 20 4 5 4 5
Bài 3: So sánh các phân số: - 11 17 - 14 - 60 a) và b) và 12 - 18 21 - 72 Lời giải - 11 17 - 11 - 17 - 14 - 60 - 2 5 a) và  và b, và  và 12 - 18 12 18 21 - 72 3 6 Có MC: 22.32 = 36 Có MC: 6 - 11 (- 11).3 - 33 - 2 (- 2).2 - 4 = = ; = = 12 12.3 36 3 3.2 6 - 17 (- 17).2 - 34 - 4 5 - 2 5 - 14 - 60 = = Vì  nên  . Vậy  18 18.2 36 6 6 3 6 21 - 72 - 33 - 34 - 11 - 17 - 11 17 Vì  nên  . Vậy:  36 36 12 18 12 - 18
Bài 4: So sánh các đại lượng sau: 2 3 7 3
a) Thời gian nào dài hơn: h hay h ?
b) Đoạn thẳng nào ngắn hơn m hay m ? 3 4 10 4 7 9 5 7
c) Khối lượng nào lớn hơn: kg hay kg
d) Vận tốc nào nhỏ hơn kg / h hay kg / h ? 10 10 6 9 Lời giải 2 3 7 3 a, h và h có MC: 12 b, và có MC: 22.5 = 20 3 4 10 4 2 2.4 8 3 3.3 9 7 7.2 14 3 3.5 15 = = ; = = = = ; = = 3 3.4 12 4 4.3 12 10 10.2 20 4 4.5 20 9 8 3 2 14 15 7 3 Vì > nên h dài hơn h Vì < nên m ngắn hơn m. 12 12 4 3 20 20 10 4 9 7 7 42 5 45 c) Ta có > (vì 9  7 ) d) Ta có  ;  10 10 9 54 6 54 4 9 7 42 45 nên kg lớn hơn kg mà 42  45   10 10 54 54 7 5 vậy km/h nhỏ hơn km/h 9 6 2 3
Bài 5: So sánh hai phân số và 3 4 Lời giải
Cách 1: QĐMS (chọn MSC 12 )
Cách 2 : QĐTS ( chọn TSC  6) Ta có : Ta có : 2 2 4 8 3 3 3 9     2 2 3 6 3 3 2 6 ;     ;   3 3 4 12 4 4 3 12 3 33 9 4 4 2 8 8 9 2 3 6 6 2 3 Vì  nên  Vì  nên  . 12 12 3 4 9 8 3 4
Bài 6: Viết các phân số sau theo thứ tự từ bé đến lớn : 8 5 17 1 3 5 a) ; ; b) ; ; 9 6 18 2 4 8 Lời giải
Để sắp xếp các PS theo thứ tự từ bé đến lớn, trước tiên ta QĐMS các PS này. Rồi so sánh tử số.
Chọn MSC 18 (vì 18 chia hết cho 6; 9; 18) 8 8 2 16 5 5 3 15 17 a)   ;   ; giữ nguyên 9 9 2 18 6 6 3 18 18 15 16 17 5 8 17
Ta so sánh các PS đã quy đồng mẫu số Vì   nên   18 18 18 6 9 18 5 8 17
Vậy các phân số được viết theo thứ tự từ bé đến lớn là: ; ; 6 9 18
b) Chọn MSC  8 (vì 8 chia hết cho 2 ; 4; 8) 1 4 3 6 1 5 3 5
Ta có: Vì  ;  nên   , giữ nguyên 2 8 4 8 2 8 4 8 4 5 6 1 5 3 Vì   nên   8 8 8 2 8 4 1 5 3
Vậy các phân số được viết theo thứ tự từ bé đến lớn là : ; ; 2 8 4 2 3 1 5 5
Bài 8. Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần:  ; ; ; ;  9 4 12 6 8 Lời giải 3 5 2 1 5
Do các số âm luôn nhỏ hơn các số dương nên ; ;  ; ;  4 6 9 12 8 5 3
Trong các số dương thì  6 4 5 2 5 5 2 5 Vì   nên    9 12 8 9 8 2 2 1 2 1 Vì   nên    9 12 12 9 12 5 3 1 2 5
Vậy chúng ta có thể sắp xếp theo yêu cầu đề bài ; ;  ;  ;  ; 6 4 12 9 8
Dạng 3. So sánh qua số trung gian I. Phương pháp giải.
- Khi so sánh hai hay nhiều phân số, việc quy đồng đưa về cùng một mẫu số dương để so sánh tử số
nhiều khi khá khó khăn, do đó, ta có thể chọn một phân số trung gian, dựa vào phân số trung gian này,
ta sẽ so sánh được hai phân số ban đầu.
* Dạng 3.1: So sánh qua số 0
- Việc so sánh qua số 0 được sử dụng khi ta thấy một phân số nhỏ hơn 0 (tử và mẫu trái dấu) và một
phân số lớn hơn không (tử và mẫu cùng dấu). a  . a c  0   0  a b c    ( . c d  0) b .  0   0 c d b d d 
* Dạng 3.2: So sánh qua số 1
- Với hai phân số cùng dương mà ta nhận thấy một phân số lớn hơn 1 ( tử số lớn hơn mẫu số) và một
phân số nhỏ hơn 1 ( tử số nhỏ hơn mẫu số) thì ta sẽ chọn 1 là số trung gian để so sánh. a  a  b   1 a c b   1 (a, , b c, d  0)   c 1 b d c d d 
* Dạng 3.3: So sánh qua một phân số trung gian phù hợp
Ta cũng có thể chọn một phân số trung gian phù hợp để so sánh hai phân số a c    b d  a c e     ( . b . e f  0) c  e  b d f d f 
Chú ý một vài tính chất sau đây:
+ Trong hai phân số có cùng tử, tử và mẫu đều dương, phân số nào có mẫu nhỏ hơn thì lớn hơn   a  a c b (a,b, c  0) c b
+ Nếu cộng cả tử và mẫu của một phân số nhỏ hơn 1, tử và mẫu đều dương, với cùng một số a a  c
nguyên dương thì giá trị của phân số đó tăng thêm.  (a,b, c  0) b b  c a c a c a a  c
+ Với hai phân số có cả tử và mẫu dương và thì    (a,b, c, d  0) b d b d b b  d II.Bài toán.
Bài 1. So sánh hai phân số sau 6 3 7 7 4 13 16 23 21 a) và b) và c) và d) và 5 6 15 3 14 15 25 19 Lời giải 3 7 7 4 a) và . b) và 5 6 15 3 3 5  Ta có:  1 3 7 3 7 Ta có 5 5   1   . 7 15  7 6 5 6 5 6  1   1  7 4 7 4 15 15 6 6     1    . 4 3 15 3 15 3  1  3 3  13 16 23 21 c) và . d) và . 14 15 25 19 13 14  Ta có:  1 13 16 13 16 Ta có 14 14   1    . 23 25  16 15 14 15 14 15  1  1  23 21 23 21 25 25 15 15     1   . 21 19 25 19 25 19  1 19 19 
Bài 2. So sánh hai phân số sau 13 7  8 1 1  3 3  3 1  a) và b) và c) và d) và 5 9 1  3 33 1  7 11 2  5 1  9 Lời giải 13 7  8 1 a) và . b) và 5 9 1  3 33 Ta có Ta có 13 1 13.5  0   0 1.33  0   0 5 33  7  8 7.9  0   0 8.(13)  0   0 9 1  3 7 13 7 13   8 1 8 1 0    .   0    . 9 5 9 5 13 33 13 33 1  3 3  3 1  c) và d) và 1  7 11 2  5 1  9 Ta có Ta có: 13 1  (13).(17)  0   0 ( 1  ).( 1  9)  0   0 1  7 1  9 3  3 (3).11  0   0 3.( 2  5)  0   0 11 25 3  13 3  1  3     3 1 3 1 0    .   0    . 11 17 11 1  7 25 19 25 19 7
Bài 3. So sánh hai phân số sau 4 16 5 7 44 89 19 30 a) và . b) và c) và d) và 17 63 29 33 57 99 53 73 Lời giải 4 4 1 16 16 5 5 1 7 7 a) Ta có:     . b) Ta có :     17 16 4 64 63 29 25 5 35 33 44 44 22 88 88 89 19 20 20 2 30 30 c) Ta có:      . d) Ta có:      57 52 25 100 99 99 53 53 50 5 75 73
Bài 4: So sánh hai phân số sau 22 18 25 35 18 31 41 24 a) và . b) và . c) và . d) và . 107 79 67 89 67 106 119 67 Lời giải 22 22 2 18 18 25 25 5 35 35 a) Ta có:     b) Ta có:     . 107 99 9 81 79 67 65 13 91 89 18 18 2 30 30 41 42 6 24 24 c) Ta có:     . d) Ta có:     . 67 63 7 75 73 119 119 17 68 67
Bài 5: So sánh hai phân số sau 65 91 21 50 a) và . b) và . 129 174 53 119 Lời giải 65 65 13 91 91 21 21 7 49 50 a) Ta có:     . b) Ta có:     . 129 125 25 175 174 53 51 17 119 119
Dạng 4. So sánh qua phần bù (hay phần thiếu). I. Phương pháp giải.
So sánh qua phần bù áp dụng để so sánh hai phân số nhỏ hơn 1. a a b  a a
Với phân số  1 thì 1 
được gọi là phần bù đến đơn vị của phân số .Trong hai phân số b b b b
có phần bù tới đơn vị khác nhau, phân số nào có phần bù nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn. II.Bài toán.
Bài 1. So sánh hai phân số sau 2009 2008 1007 1005 2021 2017 2005 2009 a) và b) và c) và d) và 2010 2009 1009 1007 2023 2019 2007 2011 Lời giải a) Ta có: b) Ta có: 2009 2010 2009 1 1007 1009 1007 2 +) 1    +) 1    2010 2010 2010 2010 1009 1009 1009 1009 2008 2009 2008 1 1005 1007 1005 2 +) 1    +) 1    2009 2009 2009 2009 1007 1007 1007 1007 8 1 1 2009 2008 2 2 1005 1007 +)    . +)    . 2009 2010 2010 2009 1007 1009 1007 1009 c) Ta có: d) Ta có: 2021 2023 2021 2 2005 2007 2005 2 +) 1    +) 1    2023 2023 2023 2023 2007 2007 2007 2007 2017 2019 2017 2 2009 2011 2009 2 +) 1    +) 1    2019 2019 2019 2019 2011 2011 2011 2011 2 2 2017 2021 2 2 2005 2009 +)    +)    2019 2023 2019 2023 2011 2007 2007 2011
Bài 2. So sánh hai phân số sau 2005 2007 1997 1995 2004 2001 1775 1768 a) và . b) và . c) và . d) và 2009 2010 1999 1998 2005 2004 1777 1771 Lời giải a) Ta có: b) Ta có: 2005 2009 2005 4 1997 1999 1997 2 +) 1    +) 1    2009 2009 2009 2009 1999 1999 1999 1999 2007 2010 2007 3 1995 1998 1995 3 +) 1    +) 1    2010 2010 2010 2010 1998 1998 1998 1998 3 3 4 2007 2005 2 2 3 +)     +)   1997 1995   2010 2009 2009 2010 2009 1999 1998 1998 1999 1998 c) Ta có: d) Ta có: 2004 2005 2004 1 1775 1777 1775 2 +) 1    +) 1    2005 2005 2005 2005 1777 1777 1777 1777 2001 2004 2001 3 1768 1771 1768 3 +) 1    +) 1    2004 2004 2004 2004 1771 1771 1771 1771 1 1 3 2004 2001 2 2 3 1775 1768 +)     +)     . 2005 2004 2004 2005 2004 1777 1771 1771 1777 1771 9 8 10 1 10 1
Bài 3. So sánh hai phân số sau A  ; B  10 9 10 1 10 1 Lời giải Ta có: 9 10 9 10 9 9 10 1 10 1 10 1 10 10 10 .9 +) 1 A  1     10 10 10 10 10 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 8 9 8 9 8 8
10 1 10 1 10 1 10 10 10 .9 +) 1 B  1     9 9 9 9 9 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1
+) Để so sánh 1 A và 1 B , ta so sánh và 10 10 1 9 10 1 9 1 10 10   9 10 10 10 1 10 10 10 1
1 B 1 A  A  B 99 98 7  2 7  2
Bài 4. So sánh hai phân số sau A  ; B  100 99 7  2 7  2 Lời giải Ta có: 99 99 99 99 98 7  2 5 7 1 7  2  5 7  7 7 1 +) A  1      100 100 100 100 99 7  2 5 7 1 7  2  5 7  7 7 1 98 98 98 98 98 7 1 7 1 1 7 1 7 11 7  2 +)  1     99 99 99 99 99 7 1 7 1 1 7 1 7 11 7  2 + Vậy A  B . 89 11 1 87 10 1
Bài 5. So sánh hai phân số sau A  và B  . 90 11 1 88 10 1 Lời giải Ta có: 89 89 89 88 11 1 10 11 1 11 110 11 1 A  1      90 90 90 89 11 1 10 11 1 11 110 11 1 88 88 88 88 87 11 1 11 1 10 11 1 11 110 11 1  1     89 89 89 89 88 11 1 11 1 10 11 1 11 110 11 1 88 11 1 Vậy A   B . 89 11 1 43 31
Bài 6. So sánh hai phân số sau và 49 35 Lời giải 43 43.4 172 Ta có:   49 49.4 196 31 31.6 186   35 35.6 210 43 172 196 172 24 1  1    49 196 196 196 196 31 186 210 186 24 1  1    35 210 210 210 210 24 24 43 31    . 196 210 49 35
Bài 7. So sánh hai phân số sau 12 7 1999 12 13 27 a) và b) và c) và 17 15 2001 11 27 41 10 1998 1999 23 24 17 13 d) và e) và g) và 1999 2000 47 45 33 27 Lời giải a) Ta có: b) Ta có: 7 7 2 7 7  2 9 12  1      . 1999 15 15 2 15 15  2 17 17 1999  2001   1. 2001 12 7 Vậy  . 12 17 15 12  11  1 11 1999 12 1999 12   1    . 2001 11 2001 11 c) Ta có: d) Ta có: 13 13 1   1998 1999 1998 1 1    27 26 2 1999 1999 1999 1999 27 27 1   1999 2000 1999 1 1    41 54 2 2000 2000 2000 2000 13 1 27 13 27 1 1 1998 1999 Vậy     . Mà    27 2 41 27 41 1999 2000 1999 2000 e) Ta có g) Ta có: 23 23 1   13 13 1   47 46 2 27 26 2 24 24 1   17 17 1   45 48 2 33 34 2 23 1 24 23 24 13 1 17 13 17 Vậy     . Vậy     . 47 2 45 47 45 27 2 33 27 33
Bài 8. So sánh hai phân số sau 15 5 13 27 1993 997 47 29 a) và b) và c) và d) và 25 7 60 100 1995 998 15 35 3 17 43 29 16 15 15 24 e) và g) và i) và k) và . 8 49 47 35 27 29 59 47 Lời giải a) Ta có: b) Ta có 5 5.3 15   13 15 1 .   7 7.3 21 60 60 4 15 15 15 5    27 25 1 .   25 21 25 7 100 100 4 13 1 27 13 27 Vậy     60 4 100 60 100 c) Ta có: d) Ta có: 11 1993 1995 1993 2 47 1    . 47  15  1 1995 1995 1995 1995 15 997 998 997 1 29 1    29  35   1 998 998 998 998 35 1 2 2 1993 997     29 47 29 47   1  . Vậy:  998 1996 1995 1995 998 35 15 35 15 e) Ta có: g) Ta có: 3 3.6 18   43 43.6 258   8 8.6 48 47 47.6 282 17 17 18   17 3   29 29.4 116   49 48 48 49 8 35 35.4 140 43 258 282 258 24 1 1    47 282 282 282 282 29 116 140 116 24 1 1    35 140 140 140 140 24 24 43 29    282 116 47 35 i) Ta có: k) Ta có: 15 16 16   24 24 1   29 29 27 47 48 2 15 16   15 15 3 5 1 .     29 27 59 50 10 10 2 15 1 24 15 24 Vậy     . 59 2 47 59 47
Bài 9. So sánh hai phân số: 13 1333 42 58 a) và b) và . 15 1555 43 59 Lời giải 13 13.111 1443 42 1 58 1 a) Ta có:   . b) Ta có: 1  ;1  . 15 15.111 1665 43 43 59 59 1443 1665 1443 222 1 1 42 58 1    Vì  nên  . 1665 1665 1665 1665 43 59 43 59 1333 1555 1333 222 1    1555 1555 1555 1555 222 222 13 1333    1665 1555 15 1555
Bài 10. So sánh hai phân số sau 13 23 13 16 23 25 a) và b) và c) và 15 25 38 49 28 49 12 13 133 15 153 d) và e) và 15 153 21 213 Lời giải a) Ta có: b) Ta có: 13 15 13 2 13 13 1 1      15 15 15 15 38 39 3 23 25 23 2 16 16 1 1      25 25 25 25 49 48 3 2 2 13 23 16 1 13 Mà    . Vậy   . 15 25 15 25 49 3 38 c) Ta có: d) Ta có:  25 28 4 16 23 13 130 3 13 130 3 133     .   1     .  49 49 7 28 28 15 150 3 15 150 3 153 25 23 13 133 Vậy  . Vậy  . 49 28 15 153 e) Ta có: 15 150 3 15 150  3 153      . 21 210 3 21 210  3 213 15 153 Vậy  21 213
Bài 11. So sánh các phân số sau với 1 34.34 1999.1999 198519851985.198719871987 a) b) c) 33.35 1995.1995 198619861986.198619861986 Lời giải 2 2 34.34 34 34 a) Ta có    1. 2 33.35 (34 1)(34 1) 34 1 2 1999.1999 1999 b) Ta có:   1 2 1995.1995 1995
198519851985.198719871987 1985.100010001.1987.100010001 1985.1987 c) Ta có   2
198619861986.198619861986 1986.100010001.1986.100010001 1986 (1986 1)(1986 1)  2 1986 2 1986 1   1 2 1986
Bài 12: Không quy đồng mẫu hãy so sánh phân số sau bằng cách nhanh nhất: 2012 2013 1006 2013 a) và b) và 2013 2014 1007 2015 64 45 2323 20132013 c) và d) à v 73 51 2424 20142014 13 Lời giải 2012 1 a) Ta có: 1 - = ; 2013 2013 2013 1 1 - = . 2014 2014 1 1 2012 2013 Vì > nên < . 2013 2014 2013 2014 1006 1006  2 2012 b) Ta thấy:   . 1007 1007  2 2014 2012 2 2013 2 Ta có: 1   ; 1   . 2014 2014 2015 2015 2 2 2012 2013 1006 2013 Vì > nên  hay  2014 2015 2014 2015 1007 2015 64 642 128 45 453 135 c) Ta thấy: =  ; =  . 73 732 146 51 513 153 128 18 135 18 Ta có: 1  ; 1  .. 146 146 153 153 18 18 128 135 64 45 Vì  nên  hay  . 143 153 146 153 73 51 2323 23101 23 d) Ta thấy:   ; 2424 24101 24 20132013 201310001 2013   . 20142014 2014 10001 2014 23 1 Ta có: 1  ; 24 24 2013 1 1  . 2014 2014 1 1 23 2013 Vì  nên  24 2014 24 2014 2323 20132013 Vậy  . 2424 20142014
Dạng 5: So sánh phần hơn (phần thừa) với đơn vị của các phân số. I. Phương pháp giải.
* Phần hơn với đơn vị của phân số là hiệu giữa phân số đó với 1 8 8 3
Ví dụ: Tìm phần hơn với đơn vị của phân số Ta lấy : 1  5 5 5 8 3
Vậy phần hơn với đơn vị của phân số là 5 5
* Sử dụng cách so sánh bằng phần hơn khi: 14
- Nhận thấy tất cả các phân số đều có tử số lớn hơn mẫu số (phân số lớn hơn 1) và hiệu của tử số với
mẫu số đều bằng nhau hoặc nhỏ thì ta tìm phần hơn với 1.
- Nhận thấy cả hai phân số đều có tử số lớn hơn mẩu số và nếu lấy tử số chia cho mầu số ở cả hai phân
số thì có thương bằng nhau. (ví dụ 5)
- Nhận thấy cả hai phân số đều có tử số bé hơn mẫu số và nếu lấy mẫu số chia cho tử số ở cả hai phân
số thì có thương bằng nhau. (ví dụ 6) - Lưu ý:
+ Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn và ngược lại phân số nào
có phần hơn nhỏ hơn thì phân số đó nhỏ hơn. * Các bước tiến hành:
+ Bước 1: Tìm phần hơn của hai phân số
+ Bước 2: So sánh hai phần hơn với nhau + Bước 3: Kết luận. II.Bài toán. 8 14
Bài 1. So sánh hai phân số là 5 11 Hướng dẫn 8 14 Hai phân số và có đặc điểm: 5 11
+ Đều lớn hơn 1 vì có tử số lớn hơn mẫu số.
+ Tử số - mẫu số  3
Vậy ta sẽ chọn cách So sánh phần hơn với đơn vị của hai phân số. Lời giải 8 3 14 3 Ta có : 1  ; 1  . 5 8 11 11 3 3 Vì 
(hai phân số có cùng tử số, mẫu số có 8 11 ). 8 11 8 14 Vậy  . 5 11 2016 2018 Bài 2. So sánh: và 2012 2014 Hướng dẫn: 2016 2018 Hai phân số và có đặc điểm: 2012 2014
+ Đều lớn hơn 1 vì có tử số lớn hơn mẫu số.
+ Tử số - mẫu số  4
Vậy ta sẽ chọn cách so sánh phần hơn với đơn vị của hai phân số. Lời giải 2016 4 2018 4 Ta có : 1  ; 1  . 2012 2012 2014 2014 15 4 4 Vì 
(hai phân số có cùng tử số, mẫu số có 2012  2014 ) 2012 2014 2016 2018 Vậy  2012 2104 43 10
Bài 3. So sánh hai phân số và . 14 3 Lời giải Ta làm như sau:
Lấy tử số chia cho mẫu số: 43:14  3 (dư 1) 10 : 3  3 (dư 1 ).
Chọn phần nguyên của thương làm số chung (có 3). 43 1 10 1 Thực hiện phép trừ:  3  ;  3  . 14 14 3 3 43 1 10 1 Vậy ta có:  3  ;  3   14 14 3 3 1 1 43 10 Vì  nên  . 3 14 14 3 77 84
Bài 4: So sánh hai phân số và . 76 83 Lời giải 77 1 84 1 Ta có  1 ;  1 76 76 83 83 1 1 77 84 Vì  nên  76 83 76 83 13 19
Bài 5. So sánh hai phân số và . 41 71 Lời giải Ta làm như sau:
Lấy mẫu số chia cho tử số: 41:13  3 (dư 2); 71:19  3 (dư 14).
Chọn mẫu số của phân số chung bằng cách lấy phần nguyên của thương cộng 1: 3 1  4 13 1 11 19 1 5 Thực hiện phép trừ:   ;   . 41 4 164 71 4 284 13 1 11 19 1 5 Vậy ta có:   ;   . 41 4 164 71 4 284 5 11 11 19 13 Vì:   nên  . 284 284 164 71 41 21 2003
Bài 6. So sánh hai phân số và . 89 8017 Lời giải 16
Ta nhận thấy hai phân số đã cho nếu lấy mẫu số chia cho tử số thì đều được thương là 4 và số dư là 5 . 21 89 2003 8017 Ta có: 1:  ;1:  . 89 21 8017 2003 89 5 8017 5 Mà  4  ;  4  . 21 21 2003 2003 5 5 89 8017 Vì  nên  . 21 2003 21 2003 21 2003 Suy ra:  . 89 8017 2002 10 1 2003 10 1 Bài 7. Cho A  và B  . So sánh A và B . 2003 10 1 2004 10 1 Lời giải 2003 10 10 9 10A   1 2003 2003 10 1 10 1 2004 10 10 9 10.B   1 2004 2004 10 1 10 1 9 9 Vì 
(cùng tử số, mẫu số càng lớn thì phân số càng nhỏ) 2003 2004 10 1 10 1 Nên 10.A  10.B Hay: A  B 3535.232323 3535 2323
Bài 8. So sánh các phân số sau A  ; B  ; C  353535.23 3 2 3534 2322 Lời giải Ta có: 3535.232323 35.101.23.10101 A    1 353535.2323 35.10101.23.101 3535 1 B   1 3534 3534 2323 1 C   1 2322 2322 1 1 Vì 
(cùng tử số, mẫu số càng lớn thì phân số càng nhỏ) nên A  B  C . 3534 2322 5.(11.13  22.26) 2 138  690
Bài 9. So sánh các phân số sau A  ; B  ; 22.26  44.52 2 137  548 Lời giải 5.(11.13  22.26) 5.11.13.(1.1 2.2) 5 1 A     1 22.26  44.52 22.26.(1.1 2.2) 4 4 2 138  690 138.(138  5) 138 1 B     1 2
137  548 137.(137  4) 137 137 17 1 1 Vì 
(cùng tử số, mẫu số càng lớn thì phân số càng nhỏ) nên A  B 4 137 5.(11.13  22.26) Ta có: A  22.26  44.52
Dạng 6: So sánh một tổng hoặc một tích nhiều phân số với một phân số. I. Phương pháp giải.
Bước 1: Tìm số chữ số của tổng.
Bước 2: Tách số cố định thành tổng các chữ số.
Bước 3: So sánh từng số của tổng với các chữ số vừa tách. Bước 4: Kết luận II.Bài toán. Bài 1. So sánh: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a)    với 1 ; b)    với ; 101 102 199 200 101 102 149 150 3 1 1 1 1 7 c)    với 101 102 199 200 12 Lời giải 1 1 a) Từ tới
có tất cả 100 chữ số. 101 200 1 1 1 1  Mà 1     có 100 chữ số  100 100 100 100  1 1 1 1 1 1 Vì  ;  ;;  Nên: 101 100 102 100 200 100 1 1 1 1 1 1 1       101 102 199 200 100 100 100 1 1 1 1      1 101 102 199 200
Kết luận: Vậy nếu gặp dạng so sánh như trên (dấu hiệu so sánh 1 số với tổng dãy số), các em thực hiện theo các bước:
Bước 1: Tìm số chữ số của tổng (ví dụ bài toán trên là 100 chữ số)
Bước 2: Tách số cố định thành tổng các chữ số (ví dụ trên là tách 1 thành tổng 100 chữ số)  1 1   1 
Bước 3: So sánh từng số của tổng ; ;.. 
 với các chữ số vừa tách   101 102  100  Bước 4: Kết luận 1 1 1 1 1 b)    với ; 101 102 149 150 3 1 1 Bước 1: Từ tới
có tất cả 50 chữ số. 101 150 18 1 1 1 1 1 Bước 2: Tách   
(có tất cả 50 chữ số ) 3 150 150 150 150 1 1 1 1 1 Bước 3: Vì  ;  ;  150 101 150 102 150 149 1 1 1 1 1 1      101 102 150 150 150 150 1 1 1 50 1      101 102 150 150 3 1 1 1 1 1  ;  ;  150 101 150 102 150 149 1 1 1 1 1 1      101 102 150 150 150 150 1 1 1 50 1      101 102 150 150 3 1 1 1 1 Bước 4: Kết luận:    101 102 150 3 1 1 1 1 7 c)    với 101 102 199 200 12
Phần này khó hơn 2 phần a và b một chút, chúng ta sẽ phải kết hợp: 1 1 1 1 Chúng ta có    (1) 101 102 150 3 1 1 1 1 1  Lại có:    50 chữ số  4 200 200 200 200  1 1 1 1 1 1 Mà:  ;  ;;  Nên: 151 200 152 200 199 200 1 1 1 1    151 152 200 4
Cộng (1) và (2) chúng ta được: 1 1 1 1 1 3  4 7       101 102 200 3 4 12 12 1 1 1 7 Kết luận:    101 102 200 12 1 1 1 3 4 Bài 2: Cho tổng : S    . Chứng minh:  S  31 32 60 5 5 Lời giải  1 1 1   1 1 1   1 1 1  S                 31 32 40   41 42 50   51 52 60   1 1 1   1 1 1   1 1 1   S                 30 30 30   40 40 40   50 50 50  10 10 10 hay S    30 40 50 19 47 48 suy ra S   60 60 4 Vậy S  (1). 5  1 1 1   1 1 1   1 1 1  Mặt khác: S                 40 40 40   50 50 50   60 60 60  10 10 10  S    40 50 60 37 36 S   60 60 3 S  (2) 5
Từ (1) và (2) suy ra đpcm. 1 3 5 9999 1
Bài 3. So sánh A     với B  2 4 6 10000 100 Lời giải 2 4 6 8 10000
Đặt C      3 5 7 9 10001 1 2 3 4 9999 10000
So sánh từng số của A với của C ta thấy:  ;   và  2 3 4 5 10000 10001 Vậy A  C  1 3 5 9999   2 4 6 10000   A A  . A C              2 4 6 10000   3 5 7 10001  2  1 2 3 4 5 9999 10000   A        
 (Rút gọn tử và mẫu lần lượt).  2 3 4 5 6 10000 10001  2 1  1 1 A  mà 
(mẫu càng lớn phân số càng nhỏ) 10001 10001 10000 2 2 1  1   A     10000 100  1  A   B 100 Kết luận: A  B 1 1 1 1 1 1 7 Bài 4: Chứng minh rằng:    .  .    41 42 43 78 79 80 12 Lời giải 1 1 Ta thấy: đến có 40 phân số. 41 80 1 1 1 1 1 1 Vậy    .  .   41 42 43 78 79 80 20  1 1 1 1 1   1 1 1 1 1      .  .      .  .      (1)  41 42 43 59 60   61 62 63 79 80  1 1 1 1 1 1 Vì    .   và     (2) 41 42 60 61 62 80  1 1 1 1   1 1 1 1 1  Ta có    .        .         60 60 60 60   80 80 80 80 80  20 20 1 1 4  3 7       (3) 60 80 3 4 12 12 Từ (1), (2), (3) Suy ra: 1 1 1 1 1 1 7       41 42 43 78 79 80 12 1 1 1 1 Bài 5: So sánh   ... và 1 2 2 2 2 2 3 2 n Lời giải 1 1  1 2 2 2 1 1 1   2 3 2 3 1 1 1   2 4 4 3 … … 1 1 1 1    2 n n(n 1) n 1 n 1 1 1 1 1     ...  1  1 2 2 2 2 2 3 4 n n 1 1 1 1 Vậy    ... 1 2 2 2 2 2 3 4 n 1 1 1 1 1 Bài 6. So sánh A     ... với 2 3 99 3 3 3 3 2 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: 3A  3(    ... ) = (1    ... ) 2 3 99 3 3 3 3 2 3 98 3 3 3 3 1 Suy ra 3A  A  1 99 3 1 1 1 1 2A  1  A    99 3 99 2 2.3 2 1 1 1 1 1 Vậy A     ...  2 3 99 3 3 3 3 2 21 1 3 5 99 2 4 6 100 Bài 13: Cho M  . . ... và N  . . ... 2 4 6 100 3 5 7 101 a) Chứng minh: M < N b) Tìm tích M.N 1 c) Chứng minh: M  10 Lời giải
Nhận xét M và N đều có 45 thừa số: 1 2 3 4 5 6 99 100 a) Và  ;  ;  ;...  nên M < N 2 3 4 5 6 7 100 101  1 3 5 99   2 4 6 100  1 b) Tích M .N  . . ... . . . ...     
 2 4 6 100   3 5 7 101  101 1 1 1 c)Vì M .N 
mà M  N nên ta suy ra được: M .M   101 101 100 1 1 1 Tức là M.M < .  M < 10 10 10
Dạng 7: Dạng bài tập phối hợp nhiều phương pháp I. Phương pháp giải.
* Phương pháp so sánh hai phân số bằng cách "nhân thêm cùng một số vào hai phân số"
- Ta sử dụng phương pháp nhân thêm cùng một số vào hai phân số khi nhận thấy tử số của hai phân số
đều bé hơn mẫu số và nểu lấy mẫu số chia cho tử số thì có thương và số dư bằng nhau. Khi đó ta nhân
cả hai phân số với cùng một số tự nhiên (là phần nguyên của thương) để đưa về dạng so sánh "phần bù" 11 17
Bài 1: So sánh hai phân số và . 52 76 Lời giải
Ta nhận thấy hai phân số đã cho nếu lấy mẫu số chia cho tử số thì đều được thương là 4 và số dư là 8
nên ta nhân cả hai phân số với 4 . 11 44 Ta có:  4  ; 52 52 17 68 44 8  4  1  ; 76 76 52 52 68 8 1  76 76 8 8 44 68 11 17 Vì  nên  hay  . 52 76 52 76 52 76
* Phương pháp so sánh hai phân số bằng cách "phép chia hai phân số"
- Phương pháp này được sử dụng dựa vào nhận xét: "Trong phép chia, nếu số bị chia lớn hơn số chia
thì được thương lớn hơn 1, nếu số bi chia bé hơn số chia thì được thương nhỏ hơn 1".
- Ta sử dụng phương pháp "chia hai phân số" khi nhận thấy tử số và mẫu số của hai phân số là những
số có giá trị không quá lớn, không mất nhiều thời gian khi thực hiện phép nhân ở tử số và mẫu số. 22 2 9
Bài 2. So sánh hai phân số và . 23 41 Lời giải 2 9 2 41 82 Ta có: :    . 23 41 23 9 207 82 2 9 Vì  1 nên  . 207 23 41 8 10 1 9 10 1
Bài 3: So sánh hai phân số A  và B  . 9 10 1 10 10 1 Lời giải
Cách 1: B là phân số nhỏ hơn 1 . Nếu cộng cùng một số nguyên dương vào tử và mẫu của B thì giá
trị của B tăng thêm. Do dó 10 10 1 10 1 9 10 10  8 9 9 9 10      1 8 10 1 B       A 10 10 10
10 1 10 1 9 10 10 10 9 10   9 1 10 1 Vậy B  A .
Cách 2. (sau khi học phép nhân phân sô) 10 8 10   1 9 10 10 9 10 A   1 9 9 9 10 1 10 1 10 1 10 9 10   1 10 10 10 9 10 B    1 10 10 10 10 1 10 1 10 1 9 9 Ta thấy 
(so sánh hai phân số cùng tử) nên 10 A 10 B . 9 10 10 1 10 1 Do đó A  B . 2003 2003 1 2002 2003 1 Bài 4. So sánh A  và B  2004 2003 1 2003 2003 1
Nhận thấy tử và mẫu có số mũ lớn và đều cách nhau là 2003, nên: 2003 2003 2003  1 2004 2003  2003 2002 2003.A    1 2004 2004 2004 2003 1 2003 1 2003 1 2003 2002 2003  1 2003 2003  2003 2002 2003. B    1 2003 2003 2003 2003 1 2003 1 2003 1 2002 2002 Vì 
(do cùng tử mà mẫu càng lớn phân số càng bé) 2004 2003 2003 1 2003 1 Nên A  B . 15 25
Bài 5. a) So sánh phân số: với 301 490 23 1 2 3 n 2007 b) So sánh tổng S     ... ... với * 2 (n  N ) 2 3 n 2007 2 2 2 2 2 Lời giải 15 15 1 25 25 a)     . 301 300 20 500 499 15 25 Vậy  301 499 1 2 3 n 2007 b) So sánh tổng S    ...  ... với * 2 (n  N ) 2 3 n 2007 2 2 2 2 2 n n 1 n  2 Với n  2 ta có:   . n n 1 2 2  2n Từ đó ta có: 1  3 4   4 5   2008 2009  2009 S       .  .   2   2.  2   2 3   2006 2007  2007 2  2 2   2 2   2 2  2 Vậy S  2 2002 10 1 2003 10 1 Bài 6. Cho A  và B  . So sánh A và B . 2003 10 1 2004 10 1 Lời giải 2003 10 10 9 10. A   1 2003 2003 10 1 10 1 2004 10 10 9 10.B   1 2004 2004 10 1 10 1 9 9 Vì 
(cùng tử số, mẫu số càng lớn thì phân số càng nhỏ) 2003 2004 10 1 10 1 Nên 10.A  10.B Hay: A  B 13 19
Bài 7. So sánh hai phân số và . 41 71 Lời giải
Lấy mẫu số chia cho tử số: 41:13  3(dư 2) 71:19  3 dư 14). 1
Chọn mẫu số của phân số chung bằng cách lấy phần nguyên của thương cộng 1: 3 1  4 (có ) 4 13 1 11 19 1 5 Thực hiện phép trừ:   ;   . 41 4 164 71 4 284 Vậy ta có: 24 13 1 11   41 4 164 . 19 1 5   71 4 284 5 11 11 19 13 Vì   nên  . 284 284 164 71 41 199919991999 1999 Bài 8: Cho A  và B  . Hãy so sánh A và B . 20002002000 2000 Lời giải 199919991999 1999000000 19990000 1999 A   20002002000
2000000000  20000000  2000
1999100000000 10000   1  2000 1 ( 00000000 10000 1) 1999.100010001  2000.100010001 1999   B 2000 Vậy A  B Bài 9: 25 2525 252525
a) Chứng minh rằng các phân số sau bằng nhau: ; ; 53 5353 535353 37 377
b) Không quy đồng mẫu hãy so sánh phân số sau và 67 677 Lời giải a) Ta có: 2525 25.101 25   5353 53.101 53 252525 25.10101 25   535353 53.10101 53 25 2525 252525 Vậy   53 5353 535353 300 300 300 30 30 300 b)  mà    (1) 670 677 670 67 67 677 377 37 377 300 Ta có:  37 30 1  và 1  (2) 677 67 67 67 677 677 377 37 Từ (1) và (2) suy ra  677 67 11 10 1 10 10 1 Bài 10: So sánh A  và B  12 10 1 11 10 1 Lời giải 25 11 10 1 Ta có : A 
 1 (vì tử nhỏ hơn mẫu) 12 10 1 11 11 11 10       10 1 (10 1) 11 10 10 10 1 A      B 12 12 12 11
10 1 (10 1) 11 10 10 10 1 Vậy A < B . 2004 2005 2004  2005 Bài 11: So sánh M   và N  2005 2006 2005  2006 Lời giải 2004 2004 Ta có  2005 2005  2006 2005 2005  2006 2005  2006
Cộng vế với vế ta được M  N 37 3737 Bài 12: So sánh và 39 3939 Lời giải 37 3700 3700  37 3737 a c a     c (áp dụng tính chất   .) 39 3900 3900  39 3939 b d b  d a  m a
Bài 13: Cho a,b, m  N *. Hãy so sánh và b  m b Lời giải a a a
Xét các trường hợp  1;  1;  1 b b b a a  m a
a) Trường hợp  1  a  b thì   1 b b  m b a
b) Trường hợp  1  a  b  a  m  b  m b a  m b  a
có “phần bù” tới 1 là b  m b  m a b  a b  a b  a a  m a
có “phần bù” tới 1 là , vì  nên  . b b b  m b b  m b a
c) Trường hợp  1  a  b  a  m  b  m b a  m b  a
có “phần thừa” tới 1 là b  m b  m a a  b a  b a  b a  m a
có “phần thừa” tới 1 là , vì  nên  . b b b  m b b  m b 1 1 1 3 4 Bài 14: Cho tổng : S    ... .Chứng minh:  S  31 32 60 5 5 26 Lời giải
Tổng S có 30 số hạng, cứ nhóm 10 số hạng thành một nhóm. Giữ nguyên tử, nếu thay mẫu bằng một
mẫu khác lớn hơn thì giá trị của phân số sẽ giảm đi. Ngược lại, nếu thay mẫu bằng một mẫu khác nhỏ
hơn thì giá trị của phân số sẽ tăng lên.  1 1 1   1 1 1   1 1 1  Ta có S    ...     ...    ...        31 32 40   41 42 50   51 52 60    1 1 1   1 1 1   1 1 1  10 10 10 S   ...    ...   ...       hay S     30 30 30   40 40 40   50 50 50  30 40 50 47 48 4 Tức là: S   Vậy S  (1) 60 60 5  1 1 1   1 1 1   1 1 1  Mặt khác: S    ...     ...    ...        40 40 40   50 50 50   60 60 60   10 10 10 S    40 50 60 37 36 3 Tức là : S   vậy S  (2). 60 60 5 3 4
Từ (1) và (2) suy ra  S  5 5 Bài 15: So sánh 7  1  6  1  5  3  3  5  a) A    và B  ;   b) C    và D     80   243   8   243  Lời giải  x n n n x Áp dụng công thức  x x n  m . &    m n  y  y 7 7 7  1   1   1  1 a) A          4  28  80   81  3  3 6 6  1   1  1 B    ;    5  30  243   3  3 1 1 Vì  nên A  B 28 30 3 3 5 5  3   3  243 b) C       3  15  8   2  2 3 3  5   5  125 D    .    5  15  243   3  3 125 125 125 Chọn
làm phân số trung gian, so sánh > 15 2 15 2 15 3 Vậy C > D. 27 10 10 11 9 Bài 16: Cho * a, ,
m n  N . Hãy so sánh: A   và B   m n a a m n a a Lời giải  10 9  1 A       m n a a  n a  10 9  1 B       m n a a  m a 1 1
Muốn so sánh A và B ,ta so sánh và
bằng cách so sánh các trường hợp sau: n a m a a) Với a  1thì m  n a a  A  B b) Với a  0:
 Nếu m= n thì am = an  A=B  m n 1 1
Nếu m< n thì a  a    A  B m n a a  m n 1 1
Nếu m > n thì a > a    A > B m n a a 31 32 33 60
Bài 17: So sánh P và Q, biết rằng P  . . .... và Q  1.3.5.7....59 2 2 2 2 Lời giải 31 32 33 60 31.32.33....60 (31.32.33.60).(1.2.3....30) P  . . ....   30 30 2 2 2 2 2 2 .(1.2.3....30) (1.3.5....59).(2.4.6....60)   1.3.5....59  Q 2.4.6....60 Vậy P  Q 47 17 27 37
Bài 18: Sắp xếp các phân số ; ; ; theo thứ tự tăng dần 223 98 148 183 Lời giải 223 98 148 183
Xét các phân số nghịch đảo ; ; ; , 47 17 27 37 35 13 13 35
Nếu đổi ra hỗn số là 4 ;5 ;5 ; 4 47 17 27 37 13 13 35 35 Ta thấy: 5  5  4  4 17 27 37 47 17 27 37 47 a c b d Suy ra    (vì    ) 98 148 183 223 b d a c 2010 2011 2012 2010  2011 2012
Bài 19: So sánh P và Q, biết rằng: P    và Q  2011 2012 2013 2011 2012  2013 Lời giải 28 2010  2011 2012 Q  2011 2012  2013 2010 2011 2012   
2011 2012  2013 2011 2012  2013 2011 2012  2013 2010 2010 Vì  2011 2012  2013 2011 2011 2011  2011 2012  2013 2012 2012 2012  2011 2012  2013 2013
Cộng vế với vế ta có: 2010 2011 2012 2010 2011 2012     
2011 2012  2013 2011 2012  2013 2011 2012  2013 2011 2012 2013 Vậy: Q  P 2005 2005 1 2004 2005 1
Bài 20: So sánh A và B , biết rằng: A  và B  2006 2005 1 2005 2005 1 Lời giải 2005 2005 2004 2004 2005 1 2005 1 2004 2005.(2005 1) 2005 1 A      . B 2006 2006 2005 2005 2005 1 2005 1 2004 2005.(2005 1) 2005 1 Vậy A < B , 1999 19992000
Bài 21: Hãy so sánh hai phân số và
bằng tất cả các cách có thể được 2000 20002000 Lời giải
Cách 1: Quy đồng mẫu số rồi so sánh tử. Mẫu chung là 20002000 1999 19991999 19992000 Ta có:  ; giữ nguyên 2000 20002000 20002000 19991999 19992000 1999 19992000 Vì  Nên  20002000 20002000 2000 20002000 1999 19991999 19992000 Cách 2:   2000 20002000 20002000 1999 19992000 Vậy  2000 20002000 1999 1 19992000 10000 Cách 3:     1 2000 2000 20002000 20002000 1999 19992000 Vậy  2000 20002000  HẾT  29