Tài liệu học tập môn Toán 12 học kì 2 năm 2025 – 2026 chuẩn cấu trúc mới
Tài liệu gồm 557 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Hữu Chung Kiên, bao gồm tóm tắt lý thuyết và các dạng toán thường gặp môn Toán 12 học kì 2 theo chuẩn cấu trúc mới.
Chủ đề: Tài liệu chung 176 tài liệu
Môn: Toán 12 4.3 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
CÔNG TY TNHH GIÁO DỤC THIÊN AN
HỌC VIỆN PARIS - 134 THỐNG NHẤT, PHÚ THỌ HÒA, TP HỒ CHÍ MINH SĨ TOÁN GIẢ ẠC I T H Í T CH F MATHEMA MA MA TIC THEMA MA THEMA MA AL TIC THEMA TIC THEMA AL TIC F AL F ANALYSIS F F F giaoducthienan.vn N F F G N U Y IÊ Ễ K N HỮU CHUNG
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHUẨN CẤU TRÚC MỚI TOÁN12
HỌC KÌ 2 − NĂM HỌC 2025 − 2026
• Tóm tắt chi tiết lí thuyết theo bài
• Phân chia dạng toán theo bài
• Bài tập từng bài chuẩn cấu trúc mới của BGD P(B) · P(A | B) P (B | A) = P(A) y f (x) g(x) b · a O p a x b ≥ b + 2 a ¡a2 + b2¢ · ¡c2 + R d2¢ ≥ (a · c + b · d)2
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI ĐỊA Mục lục Phần I
MỘT SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH Chương 4.
NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN KIÊN 7 Bài 1. Nguyên hàm 7 2026 A
Tóm tắt lý thuyết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 −
| Dạng 1. Nguyên hàm của hàm đa thức ........................................................... 8
| Dạng 2. Nguyên hàm của hàm số mũ............................................................23 2025
| Dạng 3. Nguyên hàm của hàm số lượng giác ................................................. 30
| Dạng 4. Nguyên hàm kết hợp nhiều hàm số .................................................. 39
| Dạng 5. Nguyên hàm hàm ẩn........................................................................45 HỌC
| Dạng 6. Các bài toán thực tế ứng CHUNG
dụng nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Bài 2. Tích Phân 61 NĂM A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 B
Các dạng toán thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 HKII | −
Dạng 1. Tích phân hàm đa thức, căn, giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
| Dạng 2. Tích phân của hàm số lượng giác, mũ..............................................86 12
| Dạng 3. Tích phân hàm HỮU
phân nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 ÁN
| Dạng 4. Tích phân hàm ẩn..........................................................................106 TO
| Dạng 5. Bài toán thực tế − liên môn .......................................................... 119
Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân 131 TẬP A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 B
Các dạng toán thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 HỌC
| Dạng 1. Diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, thể tích khối tròn xoay.......132
| Dạng 2. Các bài toán liên quan đến hình vẽ ................................................ 153 LIỆU
| Dạng 3. Bài toán thực tế ............................................................................ 177
| Dạng 4. Ứng dụng vật lí của tích phân ........................................................ 188 TÀI NGUYỄN
Bài 4. Bài tập cuối chương IV 193 A
Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 B
Bài tập trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195 ThS: C
Tích phân tronng đề thi THPT QG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Trang 2 Mục lục D
Bài tập trắc nghiệm đúng sai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228 E
Bài tập trắc nghiệm trả lời ngắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233 MINH Phần II
HÌNH HỌC VÀ ĐO LƯỜNG
CHÍ Chương5. PHƯƠNGTRÌNHMẶTPHẲNG,ĐƯỜNGTHẲNG,MẶTCẦU
Bài 1. Phương trình mặt phẳng KIÊN241 HỒ 241 TP A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 − B
Các dạng toán thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 A
| Dạng 1. Tích có hướng và ứng dụng............................................................243 HÒ
| Dạng 2. Xác định vectơ pháp tuyến, cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng .. 248
| Dạng 3. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng...................................255 THỌ
| Dạng 4. Vị trí tương đối, góc, khoảng cách ................................................. 266
| Dạng 5. Các bài toán thực tiễn - Cực trị ..
Bài 2. Phương trình đường thẳng trong CHUNG
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 PHÚ không gian 292 − A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 T B
Các dạng toán thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
| Dạng 1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng .................................. 294 NHẤ
| Dạng 2. Viết phương trình đường thẳng ...................................................... 299 G
| Dạng 3. Vị trí tương đối. HỮU
Góc. Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .326
| Dạng 4. Tọa độ hóa. Bài toán thực tiễn. Cực trị..........................................354 THỐN
Bài 3. Phương trình mặt cầu 372 A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 134 B
Các dạng toán thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 AN
| Dạng 1. Phương trình mặt cầu .................................................................... 372
| Dạng 2. Vị trí tương đối .............................................................................. 387
| Dạng 3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất .................................................... 412 THIÊN | NGUYỄN
Dạng 4. Các bài toàn thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
Bài 4. Bài tập cuối chương V 452 TÂM A
Ôn tập tổng hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .452 G B
Bài tập ôn theo dạng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .459 UN TR Phần III ThS:
THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn
TÀI LIỆU HỌC TẬP HKII TOÁN 12, NĂM HỌC 2025 − 2026 CHUẨN FORM MỚI Trang 3 Chương 6.
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN 493
Bài 1. Xác suất có điều kiện 493 A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 B
Các dạng toán thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
| Dạng 1. Tính xác suất có điều kiện theo định nghĩa .............. KIÊN
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
| Dạng 2. Xác suất có điều kiện, sơ đồ hình cây.............................................497 2026
| Dạng 3. Công thức nhân xác suất ............................................................... 507 −
Bài 2. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes 518 A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 2025 B
Các dạng toán thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
| Dạng 1. Tính xác suất theo công thức xác suất toàn phần .......................... 518
| Dạng 2. Công thức Bayes............................................................................528 HỌC
Bài 3. Bài tập cuối chương VI CHUNG 541 A
Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541 NĂM B
Bài tập trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .544 C
Bài tập trắc nghiệm đúng sai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .545 HKII D
Bài tập trắc nghiệm trả lời ngắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .552 − 12 HỮU ÁN TO TẬP HỌC LIỆU TÀI NGUYỄN ThS:
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn MINH CHÍ KIÊN HỒ TP − A HÒ THỌ CHUNG PHÚ − T NHẤ G HỮU THỐN 134 AN THIÊN NGUYỄN TÂM G UN TR ThS: KIÊN 2026 − I 2025 PHẦN HỌC CHUNG NĂM MỘT SỐ YẾU HKII − 12 HỮU ÁN TỐ GIẢI TÍCH TO TẬP HỌC LIỆU TÀI NGUYỄN ThS: MINH CHÍ KIÊN HỒ TP − A HÒ THỌ CHUNG PHÚ − T NHẤ G HỮU THỐN 134 AN THIÊN NGUYỄN TÂM G UN TR ThS:
TÀI LIỆU HỌC TẬP HKII TOÁN 12, NĂM HỌC 2025 − 2026 CHUẨN FORM MỚI Trang 7
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN 12 Chương 4
NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN TOÁN THPT:
DẠY THẬT - HỌC THẬT - GIÁ TRỊ THẬT KIÊN 2026 K12 – CHƯƠNG 4 §1. NGUYÊN HÀM −
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 2025 A1
Khái niệm nguyên hàm
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn, hoặc nửa khoảng của R. HỌC
Định nghĩa 1 Cho hàm số f (x) xác định trên K. Hàm số FCHUNG
(x) được gọi là nguyên hàm của hàm
số f (x) trên K nếu F 0(x) = f (x) với mọi x thuộc K. NĂM Tổng quát, ta có:
Định nghĩa 2 Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K. Khi đó: HKII
○ Với mỗi hằng số C, hàm số F (x) + C là một nguyên hàm của f (x) trên K; −
○ Nếu G(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho 12
G(x) = F (x) + C với mọi x thuộc K. HỮU
Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số f (x) trên K đều có dạng F (x) + C, với C là một hằng số. Z ÁN
Ta gọi F (x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f (x) trên K, kí hiệu f (x) dx và viết TO Z f (x) dx = F (x) + C. TẬP
o Biểu thức f(x) dx gọi là vi phân của nguyên hàm F (x) của f(x), kí hiệu là dF (x).
Vậy dF (x) = F 0(x) dx = f (x) dx. HỌC o
a) Mọi hàm số f (x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ ràng khoảng K thì được hiểu là
tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của hàm số đó. LIỆU Z
b) Từ định nghĩa nguyên hàm, ta có f 0(x) dx = f (x) + C. TÀI NGUYỄN A2
Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp Z Z ○ 0 dx = C. ○ 1 dx = x + C. Z xα+1 Z 1 ○ xα dx ThS: = + C (α 6= −1). ○ dx = ln |x| + C. α + 1 x
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn Trang 8 1. Nguyên hàm Z Z ○ sin x dx = − cos x + C. ○ cos x dx = sin x + C. Z 1 Z 1 MINH ○ dx = − cot x + C. ○ dx = tan x + C. sin2 x cos2 x Z Z ax CHÍ ○ ex dx = ex + C. ○ ax dx = + C (a > 0, a 6= 1). ln a o Z Z KIÊN HỒ Người ta thường viết dx thay cho 1 dx. TP − A3
Tính chất cơ bản của nguyên hàm A Z Z Z Z Z ○ kf (x) dx = k
f (x) dx, với k ∈ R, k 6= 0. ○ [f (x) ± g(x)] dx = f (x) dx± g(x) dx. HÒ DẠNG 1
Nguyên hàm của hàm đa thức THỌ
1. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa Z Z ○ 0 dx = C; ○ 1 d CHUNG PHÚ x = x + C; − Z xα+1 Z 1 1 T ○ xα dx = + C (α 6= −1). ○ dx = − + C; α + 1 x2 x NHẤ
2. Nguyên hàm của hàm phân thức, căn Z Z G 1 du ○ dx = ln |x| + C. ○ = ln |u| + C. x HỮUu Z 1 √ Z 1 √ ○ √ dx = 2 x + C. ○ √ du = 2 u + C. x u THỐN
o Dùng công thức sau làm trắc nghiệm cho nhanh 134 Z 1 (ax + b)n+1 (ax + b)n dx = + C. a n + 1 AN
3. Tính chất của nguyên hàm Z Z ○ kf (x) dx = k f (x) dx, k ∈ R, k 6= 0. THIÊN Z Z Z ○ [f (x) ± g(x)] 4. Lũy thừa với số mũ NGUYỄN dx = f (x) dx ± g(x) dx. TÂM
thực: Cho a, b là những số thực dương, α, β là những số thực bất kì. Khi đó G ○ aαaβ = aα+β; aα ○ = aα−β; ○ (ab)α = aαbα; UN aβ TR a α aα ○ = ; ○ (aα)β = aα·β. b ThS: bα
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn
TÀI LIỆU HỌC TẬP HKII TOÁN 12, NĂM HỌC 2025 − 2026 CHUẨN FORM MỚI Trang 9 A1 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Hàm số F (x) = 2x3 − 2x + 1 là nguyên hàm của hàm số nào sau đây? 1 A. f (x) = 6x2 − 2. B. f (x) = x4 − x2 + x. 2 1 C. f (x) = x4 − x2 + x + C.
D. f (x) = 6x2 − 2 + C. 2
Ví dụ 2 (Mức độ 1). Tìm KIÊN Z Z √2 2026 a) x5 dx; b) x dx. −
Ví dụ 3 (Mức độ 2). Tìm Z Z Z Z a) (x2 + x) dx; b) (4x3 − 3x2) dx; c) (3x2 + 1) dx; d) (2x − 1)2 dx. 2025
Ví dụ 4 (Mức độ 2). Tìm Z Z Z HỌC a) (2x + 5) dx; b) 2x2 − 3x + 5 dx;
Ví dụ 5 (Mức độ 1). Tìm các nguyên hàm dưới đây: CHUNG c) 2x(x3 − x + 2) dx. NĂM Z 1 Z √ Z Å 3 ã a) dx; b) x dx; c) 2x2 + √ dx. x3 x HKII
Ví dụ 6 (Mức độ 2). Tìm các nguyên hàm dưới đây: − Z 2x + 1 Z √ Z Å 3 √ ã a) dx; b) x x dx; c) − 5 3 x dx. 12 x − 2
Ví dụ 7 (Mức độ 1). Hàm số nào sau đây là một HỮU x
nguyên hàm của hàm số y = x4? ÁN x5 x5 A. − . B. 4x3. C. + 1. D. −4x3 − 1. 5 5 TO
Ví dụ 8 (Mức độ 2). Hàm số F (x) = x3 + 5 là nguyên hàm của hàm số x4 TẬP A. f (x) = 3x2. B. f (x) = + 5x + C. 4 x4 C. f (x) = + 5x. D. f (x) = 3x2 + 5x. 4 HỌC
Ví dụ 9 (Mức độ 2). Tìm một nguyên hàm F (x) của f (x) = 3x2 − 2x biết F (2) = 9. A. F (x) = 6x − 3.
B. F (x) = x3 − x2 + 5. C. F (x) = 6x + 9.
D. F (x) = x3 − x2 + 9. Z Å 1 ã LIỆU
Ví dụ 10 (Mức độ 2). Tính nguyên hàm + 1 dx. 2x TÀI 1 1 1 A. ln |x| + x2 + C. B. ln |x| + x + C. C. ln |x| + x + C. D. ln |x| + 1 + C. 2 NGUYỄN 2 2 Z 1
Ví dụ 11 (Mức độ 2). Tính nguyên hàm √ dx. 3 − x √ √ √ √ A. −2 3 − x + C. B. 2 3 − x + C. C. − 3 − x + C. D. 3 − x + C. Ví dụ 12. ThS:
Cho hàm số F (x) = x3 − 2x + 1, x ∈ R là một nguyên hàm của hàm số f (x).
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn Trang 10 1. Nguyên hàm Phát biểu Đ S
a) Nếu hàm số G(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) và G(−1) = 3 thì G(x) = F (x) − 1, x ∈ MINH R.
b) Nếu hàm số H(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) và H(1) = −3 thì H(x) = F (x) − 3, x ∈ R. CHÍ
c) Nếu hàm số K(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) và K(0) = 0
d) Nếu hàm số M (x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) và M (2) = 4 KIÊN thì K(x) = F (x) + 1, x ∈ R. HỒ thì M (x) = F (x) − 1, x ∈ TP R.
− Ví dụ 13 (Mức độ 2). Các khẳng định sau đúng hay sai? A Phát biểu Đ S x6 HÒ
a) Hàm số f (x) = x5 là một nguyên hàm của hàm số g(x) = . 6 Z
b) Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm f (x). Khi đó [3f (x)+2x] dx = 3F (x)+2+C. THỌ Z x6 c) (2x5 + 3) dx = + 3x + C. 3 Z 9 d) x(2x − 3)2 dx = x4 − 4x3 + x2 + C. 2 CHUNG PHÚ
− Ví dụ 14 (Mức độ 2). Mỗi kết quả nguyên hàm dưới đây đúng hay sai? T Phát biểu Đ S Z 1 NHẤ a) dx = ln |x + 1| + C. x + 1 Z √ √ G 1 b) 2x dx = x 2x + C. 3 Z HỮU x + 1 1 3 c) dx = x + ln |2x − 1| + C. 2x − 1 2 4 Z √ √ THỐN 3 d)
3 x − 2 dx = (x − 2) 3 x − 2 + C. 4
134 Ví dụ 15. Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2 − 4x + 1 và F(2) = 2. Tính F (3). KQ: AN √ a
Ví dụ 16 (Mức độ 2). Biết F (x) = 6 1 − x là một nguyên hàm của hàm số f (x) = √ . Tính a? 1 − x KQ:
THIÊN Ví dụ 17 (Mức độ 3). Biết rằ NGUYỄN
ng hàm số F (x) = mx3+(3m+n)x2−4x+3 là một nguyên hàm của hàm số
f (x) = 3x2 + 10x − 4. Tính m + n. KQ: TÂM G A2 Bài tập tự luận
UN Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: TR Å 1 ã2 a) f (x) = 3x2 ThS: + 2x − 1; b) f (x) = x3 − x; c) f (x) = (2x + 1)2; d) f (x) = 2x − . x
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn
TÀI LIỆU HỌC TẬP HKII TOÁN 12, NĂM HỌC 2025 − 2026 CHUẨN FORM MỚI Trang 11 Bài 2. Tính Z Z 3x2 − 1 a) (x + 2)(x2 − 2x + 4) dx; b) dx. x3 Bài 3. Tìm Z Z Z √ Z (1 − x)2 3 a) (x − 2)2 dx; b) (x − 1)(x − 3) dx; c) x2 dx; d) KIÊN √ dx. x 2026
Bài 4. Biết rằng đồ thị của hàm số y = f (x) đi qua điểm (1; 2) và có hệ số góc của tiếp tuyến tại mỗi − 1 − x điểm (x; f (x)) là
với x > 0. Tìm hàm số f (x). x2 √ Z Ä ä 1
Bài 5. Tìm đạo hàm của hàm số F (x) = ln x2 + 4 − x . Từ đó, tìm √ dx 2025 x2 + 4
Bài 6 (Mức độ 2). Tìm nguyên hàm của các hàm số sau HỌC Z a) f (x) = 3x2 + x; b) f (x) = 9x2 − 2x + 7; CHUNG c) f (x) = (4x−3)(x2+3) dx. NĂM
Bài 7 (Mức độ 2). Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 6x5 + 2x − 3, biết F (−1) = −5. 1
Bài 8. Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (0; +∞). Biết rằng, f 0(x) = 2x + với mọi x2 HKII
x ∈ (0; +∞) và f (1) = 1. Tính giá trị f (4). −
Bài 9 (Mức độ 3). Cho hàm số y = f (x) có đồ thị là (C). Xét điểm M (x; f (x)) thay đổi trên (C). Biết
rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là k 12 HỮU
M = (x − 1)2 và điểm M trùng với gốc toạ độ
khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức f (x). Å ã2 ÁN 1
Bài 10 (Mức độ 2). Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x − . x TO Z Å √ 1 ã
Bài 11 (Mức độ 2). Tìm nguyên hàm 3 x + √ dx. 3 x TẬP √
Bài 12 (Mức độ 2). Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x (7x2 − 3). Z (2x + 1)2
Bài 13 (Mức độ 2). Tìm nguyên hàm dx. x2 HỌC Bài 14. Tính LIỆU Z Å √ 1 ã Z √ a) 3 x + √ dx; b) x(7x2 − 3) dx (x > 0); 3 x TÀI NGUYỄN Z (2x + 1)2 Z Å 3 ã c) dx; d) 2x + dx. x2 x2 Å 3 ã 20x2 − 30x + 7
Bài 15 (Mức độ 3). Biết rằng trên khoảng ; +∞ , hàm số f (x) = √ có một nguyên √ hàm F (x) = ThS: 2 2x − 3 (ax2 + bx + c)
2x − 3 (a, b, c ∈ Z). Tính giá trị của biểu thức S = a + b + c.
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn Trang 12 1. Nguyên hàm A3
Bài tập trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn
Câu 1. Phát biểu nào sau đây là đúng? MINH Z Z A. F 0(x)dx = F (x) + C. B. F (x)dx = F 0(x) + C. Z Z CHÍ C. F (x)dx = F (x) + C. D. F 0(x)dx = F 0(x) + C. Z √ Câu 2. (2x) 2 dx bằng KIÊN HỒ √ √ √ √ TP (2x) 2+1 2 2x 2+1 (2x) 2 √ A. √ + C. B. √ + C. C. + C. D. (2x) 2 + C. − 2 + 1 2 + 1 ln(2x)
A Câu 3. Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Mệnh đề nào sau đây sai. Z ÅZ ã0 HÒ A. f (x) dx =F (x) + C. B. f (x) dx = f (x). ÅZ ã0 ÅZ ã0 C. f (x) dx = f 0(x). D. f (x) dx = F 0(x).
THỌ Câu 4. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 6 là A. x2 + C. B. x2 + 6x + C. C. 2x2 + C. Z CHUNG D. 2x2 + 6x + C. PHÚ x2 dx bằng − Câu 5. T 1 A. 2x + C. B. x3 + C. C. x3 + C. D. 3x3 + C. 3
NHẤ Câu 6. Tính nguyên hàm của hàm số y = −4x3 + 2x2 + x − 4. 2x3 x2 2x3 G A. −x4 + + − 4x + C. B. −x4 + + 2x2 − 4x − 1 + C. 3 2 2x3 x2 HỮU3 3x4 2x3 x2 C. −x4 + + − x − 2 + C. D. − + + − 4x + C. 3 2 4 3 2 Z
THỐN Câu 7. Tính (4x + 2)2dx ta được kết quả 8x3 25x3 134 A. + 16x2 + 4x + C. B. + 8x2 + 4x + C. 3 3 16x3 16x3 C. + 8x2 + 4x + C. D. + 8x2 + 7x + C. AN 3 3 23
Câu 8. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = x − 4 và F (3) = − . Tìm F (x). 2 x2 x2 THIÊN A. F(x) = − 4x − 4. B. F (x) = − 4x + 4 + C. 2 x (8 − x) C. F (x) = x (x − 8).
Câu 9. Họ nguyên hàm của NGUYỄN 2 D. F (x) = + C. 2 TÂM hàm số f (x) = 3x2 + 1 là G x3 A. x3 + C. B. + x + C. C. 6x + C. D. x3 + x + C. 3 UN √
Câu 10. Nguyên hàm của hàm số y = 2 x5 bằng TR 7 7 7 7 4x 2 6x 2 2x 2 2x 2 A. + C. B. + C. C. + C. D. − + C. 7 ThS: 7 7 7
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn
TÀI LIỆU HỌC TẬP HKII TOÁN 12, NĂM HỌC 2025 − 2026 CHUẨN FORM MỚI Trang 13
Câu 11. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 + x là 1 1 A. x4 + x2 + C. B. 3x2 + 1 + C. C. x3 + x + C. D. x4 + x2 + C. 4 2
Câu 12. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x4 + x2 là 1 1 A. x5 + x3 + C. B. x4 + x2 + C. C. x5 + x3 + C. D. 4x3 + 2x + C. 5 3 3
Câu 13. Nguyên hàm của hàm số y = bằng x KIÊN A. ln x + C. B. − ln x + C. C. −3 ln x + C. D. 3 ln x + C. 2026
Câu 14. Mệnh đề nào sau đây là sai? − Z Z A. Nếu f (x) dx = F (x) + C thì f (u) du = F (u) + C . Z Z B. kf (x) dx = k
f (x) dx (k là hằng số và k 6= 0). 2025
C. Nếu F (x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f (x) thì F (x) = G(x). Z Z Z D. [f1(x) + f2(x)] dx = f1(x) dx + f2(x) dx. HỌC Z 1
Câu 15. Nguyên hàm I = dx bằng 2x + 1 1 1 CHUNG A. − ln |2x + 1| + C. B. − ln |2x + 1| + C. C. ln |2x + 1| + C. D. ln |2x + 1| + C. NĂM 2 2
Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x2 + x + 1 là HKII 2x3 2x3 x2 2x3 x2 A. + x2 + x + C. B. 4x + 1. C. + + x. D. + + x + C. 3 3 2 3 2 − 2
Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 + . 12 Z x3 2 Z x3 1 A. f (x) dx = − + C. HỮU x2 B. f (x) dx = − + C. 3 x 3 x ÁN Z x3 2 Z x3 1 C. f (x) dx = + + C. D. f (x) dx = + + C. TO 3 x 3 x 1
Câu 18. Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = . (1 + x)2 TẬP Z 1 2 Z 1 1 A. dx = + C. B. dx = − + C. (x + 1)2 (x + 1)3 (x + 1)2 x + 1 Z 1 1 Z 1 2 C. dx = + C. D. dx = − + C. HỌC (x + 1)2 x + 1 (x + 1)2 (x + 1)3 Z 2x − 1
Câu 19. Cho nguyên hàm I =
dx. Khẳng định nào sau đây đúng? x − 1 LIỆU Z dx Z Å 1 ã A. I = 2x + . B. I = 2 − dx. x − 1 x − 1 TÀI Z 2x Z 2x − 1 C. I = dx. NGUYỄN D. I= dx. x − 1 x
Câu 20. Cho hai hàm số f (x), g(x) liên tục trên R. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? Z Z Z A. [f (x) + g(x)] dx = f (x) dx + g(x) dx. Z Z Z B. [f (x) ThS: · g(x)] dx = f (x) dx · g(x) dx.
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn Trang 14 1. Nguyên hàm Z Z Z C. [f (x) − g(x)] dx = f (x) dx − g(x) dx. Z Z D. kf (x) dx = k f (x) dx với k 6= 0.
MINH Câu 21. Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số y = x2022? CHÍ x2023 x2023 x2023 A. + 1. B. . C. y = 2022x2021. D. − 1. 2023 2023 2023 1
Câu 22. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 − 2x2 + x − 2024 là 3 KIÊN HỒ TP 1 2 x2 1 2 x2 A. x4 − x3 + + C. B. x4 − x3 + − 2024x + C. 12 3 2 9 3 2 − 1 2 x2 1 2 x2 C. x4 − x3 + − 2024x + C. D. x4 + x3 − − 2024x + C. A 12 3 2 9 3 2
Câu 23. Tìm nguyên F (x) của hàm số f (x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)? HÒ x4 11 A. F (x) = − 6x3 + x2 − 6x + C.
B. F (x) = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x + C. 4 2 x4 11 C. F (x) = + 2x3 + x2 + 6x + C.
D. F (x) = x3 + 6x2 + 11x2 + 6x + C. THỌ 4 2
Câu 24. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = (5x + 3)5. (5x + 3)6 (5x + 3)4 A. (5x + 3)6 + C. B. (5x + 3)4 + C. C. CHUNG PHÚ + C. D. + C. 30 30 − 2
T Câu 25. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 + . x2 Z x3 1 Z x3 2 A. f (x) dx = + + C. B. f (x) dx = − + C. 3 x 3 x NHẤ Z x3 1 Z x3 2 C. f (x) dx = − + C. D. f (x) dx = + + C. G 3 x
Câu 26 (Mức độ 1). Tìm nguyên hàm của hàm số f ( HỮU 3 x x) = x2. Z x2 Z Z x3 Z x3 A. x2 dx = + C . B. x2 dx = 2x + C . C. x2 dx = + C . D. x2 dx = . THỐN 2 3 3
Câu 27 (Mức độ 1). Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y = 12x5? 134 A. y = 12x6 + 5. B. y = 2x6 + 3. C. y = 12x4. D. y = 60x4.
Câu 28 (Mức độ 2). Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 + 2x. AN x4 x4 x4 A. − x2 + C. B. + x2 + C. C. + C. D. x2 + C. 4 4 4
Câu 29 (Mức độ 2). Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 + 2x + 5 là
THIÊN A. F(x) = x3 + x2 + 5. B. F (x) = x3 + x + C.
C. F (x) = x3 + x2 + 5x + NGUYỄN C. D. F (x) = x3 + x2 + C.
Câu 30 (Mức độ 2). Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) = 5x4 − 6x2 + 1 là
TÂM A. 20x3 − 12x + C. B. x5 − 2x3 + x + C. G x4
C. 20x5 − 12x3 + x + C. D. + 2x2 − 2x + C. 4
UN Câu 31 (Mức độ 2). Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x(1 + 3x3) là TR Å 3 ã Å 6x3 ã Å 3 ã Å 3 ã A. 2x x + x4 + C. B. x2 1 + + C. C. x2 1 + x2 + C. D. x2 x + x3 + C. 4 ThS: 5 2 4
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn
TÀI LIỆU HỌC TẬP HKII TOÁN 12, NĂM HỌC 2025 − 2026 CHUẨN FORM MỚI Trang 15
Câu 32 (Mức độ 2). Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = (x + 1)(x + 2) là x3 3 A. F (x) = + x2 + 2x + C. B. F (x) = 2x + 3 + C. 3 2 x3 2 x3 2 C. F (x) = + x2 + 2x + C. D. F (x) = − x2 + 2x + C. 3 3 3 3
Câu 33 (Mức độ 2). Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f ( (x − 3)5 (x − 3)5 + x. B. F (x) = . 5 5 (x − 3)5 (x − 3)5 KIÊN x) = (x − 3)4? A. F (x) = C. F (x) = + 2020. D. F (x) = − 1. 2026 5 5 −
Câu 34 (Mức độ 2). Cho hàm số f (x) có đạo hàm f 0(x) liên tục và có một nguyên hàm là hàm số F (x). Z Tìm nguyên hàm I = [2f (x) + f 0(x) + 1] dx.
A. I = 2F (x) + f (x) + x + C.
B. I = 2F (x) + xf (x) + C. 2025
C. I = 2xF (x) + f (x) + x + 1.
D. I = 2xF (x) + f (x) + x + C.
Câu 35 (Mức độ 2). Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 + 2x + 3x2 thỏa mãn F (1) = 2. Tính F (0) + F (−1). HỌC A. −3. B. −4. C. 3. CHUNGD.4.
Câu 36 (Mức độ 2). Tìm m để hàm số F (x) = mx3 + (3m + 2)x2 − 4x + 3 là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 + 10x − 4. NĂM A. m = 3. B. m = 0. C. m = 1. D. m = 2. HKII
Câu 37 (Mức độ 2). Tìm các giá trị thực của m để F (x) = mx3 + x2 − 3x + 4 là một nguyên hàm của
hàm số f (x) = −x2 + 2x − 3. − 1 1 A. m = −1. B. m = . C. m = 1. D. m = − . 3 3 12
Câu 38 (Mức độ 3). Tìm hàm số F (x) biết F 0(x) HỮU
= 3x2 + 2x + 1 và đồ thị hàm số y = F (x) cắt trục
tung tại điểm có tung độ bằng a. ÁN A. F (x) = x2 + x + a.
B. F (x) = cos 2x + a − 1. TO
C. F (x) = x3 + x2 + x + 1.
D. F (x) = x3 + x2 + x + a.
Câu 39 (Mức độ 3). Biết rằng F (x) = ax3 + (a + b)x2 + (2a − b + c)x + 1 là một nguyên hàm của TẬP
f (x) = 3x2 + 6x + 2. Tính tổng S = a + b + c. A. S = 2. B. S = 3. C. S = 4. D. S = 5.
Câu 40 (Mức độ 3). Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số f (x) = |2x − 4| trên khoảng HỌC
(−∞; +∞), ở đó C, C0 là các hằng số tùy ý? ®x2 − 4x + 2C khi x ≥ 2
A. F (x) = |x2 − 4x| + C. B. F (x) = . − x2 + 4x + 2C − 8 khi x < 2 LIỆU ®x2 − 4x + C khi x ≥ 2
C. F (x) = |x2 − 4x + C|. D. F (x) = . TÀI Z q NGUYỄN − x2 + 4x + C0 khi x < 2 » √ Câu 41. Tính x x x dx. 4 √ 8 √ 8 √ 4 √ A. x 8 x7 + C. B. x 8 x7 + C. C. x 15 x7 + C. D. x 15 x7 + C. 15 15 15 15 √ √ Z x − 2 3 x2 + 1 Câu 42. Tính ThS:√ dx. 4 x
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn Trang 16 1. Nguyên hàm √ √ √ 4 √ 24 √ 4 √
A. x 5 x − 2x 17 x5 + 4 x3 + C. B. x 5 x − x 17 x5 + 4 x3 + C. 5 17 3 √ 24 √ √ 4 √ √ 4 √ C. x 5 x − x 17 x5 + 4 x3 + C. D. x 5 x − 2x 17 x5 + 4 x3 + C. 17 5 3
MINH Câu 43. Cho hàm số f(x) = x2 + 4. Mệnh đề nào sau đây đúng? Z Z CHÍ A. f (x) dx = 2x + C. B. f (x) dx = x2 + 4x + C. Z x3 Z C. f (x) dx = + 4x + C. D. f (x) dx = x3 + 4x + C. 3 KIÊN HỒ 3
TP Câu 44. Trên khoảng (0; +∞), cho hàm số f(x) = x2. Mệnh đề nào sau đây đúng? Z Z Z √ − 3 1 A. f (x) dx = x 2 + C. B. f (x) dx = x3 dx. 2 A Z 2 Z 5 2 1 C. f (x) dx = x 2 + C. D. f (x) dx = x 2 + C. 5 3 HÒ x4 + 2
Câu 45. Cho hàm số f (x) =
. Mệnh đề nào sau đây đúng? x2 THỌ Z x3 1 Z x3 2 A. f (x) dx = − + C. B. f (x) dx = + + C. 3 x Z Z Å 2 ã Z x3 2 C. f (x) dx = x2 + dx. D. f (x) dx = − + C. x2 CHUNG 3 x PHÚ 3 x − 1
Câu 46 (Mức độ 2). Nguyên hàm của hàm số f (x) = √ là T 2x − 1 Z √ Z √ A. f (x) dx = 2x − 1 + C. B. f (x) dx = 2 2x − 1 + C. NHẤ √ Z 2x − 1 Z √ C. f (x) dx = + C. D. f (x) dx = −2 2x − 1 + C. G 2 √
Câu 47 (Mức độ 2). Nguyên hàm của hàm số f (x) = HỮU 5 − 3x là Z 2 √ Z 2 √ A. f (x) dx = (5 − 3x) 5 − 3x + C. B.
f (x) dx = − (5 − 3x) 5 − 3x + C. THỐN 9 9 Z 2 √ Z 2 √ C.
f (x) dx = − (5 − 3x) 5 − 3x + C. D. f (x) dx = (5 − 3x) 5 − 3x + C. 3 3 134 √
Câu 48 (Mức độ 2). Nguyên hàm của hàm số f (x) = 3 x − 2 là Z √ Z √ AN 2 1 A. f (x)dx = (x − 2) 3 x − 2 + C. B. f (x)dx = (x − 2) 3 x − 2 + C. 3 3 Z 3 √ Z 3 √ C. f (x)dx = (x − 2) 3 x − 2 + C. D.
f (x)dx = − (x − 2) 3 x − 2 + C. 4 4 THIÊN Z 1
Câu 49 (Mức độ 2). Nguyên
A. ln |x + 1| + ln |x + 2| + C. ln |x + 2| + C. NGUYỄN hàm dx bằng (x + 1)(x + 2) C. B. ln |x + 1| + C. TÂM
D. ln |x + 1| − ln |x + 2| + C. G Z x + 1
Câu 50 (Mức độ 3). Nguyên hàm dx bằng UN x2 − 3x + 2
A. 3 ln |x − 2| − 2 ln |x − 1| + C.
B. 3 ln |x − 2| + 2 ln |x − 1| + C.
TR C. 2 ln |x − 2| ThS: − 3 ln |x − 1| + C.
D. 2 ln |x − 2| + 3 ln |x − 1| + C.
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn
TÀI LIỆU HỌC TẬP HKII TOÁN 12, NĂM HỌC 2025 − 2026 CHUẨN FORM MỚI Trang 17 A4
Bài tập trắc nghiệm đúng sai
Câu 51. Cho f (x) là hàm số liên tục trên R, C là một hằng số. Phát biểu Đ S Phát biểu Đ S Z Z a) f (x) dx = f 0(x) + C. c) f 0(x) dx = f (x). Z Z b) f 0(x) dx = f (x) + C. d) f 00(x) dx = f 0(x) + C. KIÊN 2026
Câu 52. Xét hàm số f (x) = (ax + b)n với a 6= 0, n ∈ R \ {0, 1} thì − Phát biểu Đ S Z 1 a) f (x) dx = (ax + b)n+1 + C. a(n + 1) 2025 1 b) f 0(x) = (ax + b)n+1 + C. a(n + 1) Å b ã bn+1
c) Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x), thỏa F − = 0 thì F (0) = . HỌC a a(n + 1) Z 1 d) f (x) dx = (ax + b)n+1 + C. (n + 1) CHUNG NĂM
Câu 53. Cho hàm số F (x) = x3 − 2x + 1, x ∈ R là một nguyên hàm của hàm số f (x). Phát biểu Đ S HKII
a) Nếu hàm số G(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) và G(−1) = 3 thì − G(x) = F (x) − 1, x ∈ R.
b) Nếu hàm số H(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) và H(1) = −3 thì 12 H(x) = F (x) − 3, x ∈ R. HỮU
c) Nếu hàm số K(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) và K(0) = 0 thì ÁN K(x) = F (x) + 1, x ∈ R. TO
d) Nếu hàm số M (x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) và M (2) = 4 thì M (x) = F (x) − 1, x ∈ R. TẬP
Câu 54. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 + 2x − 4. Phát biểu Đ S Phát biểu Đ S HỌC
a) Nếu F (1) = 0 thì F (2) = 6. c) F (1) − F (−1) = −6.
b) Nếu F (0) = 0 thì F (−1) = −4.
d) F (1) + F (2) − 2F (0) = 2. LIỆU
Câu 55. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 + 3x − 2. TÀI NGUYỄN Phát biểu Đ S a) f 0(x) = 3x2 + 3.
b) Hàm số y = f (x) không có cực trị.
c) Đồ thị hàm số y = F (x) đi qua điểm M (2; 10). Giá trị F (−2) = 6. d) F (2) − ThS: F (0) = −6.
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn Trang 18 1. Nguyên hàm x2 − 3x + 1
Câu 56. Cho hàm số f (x) = . x − 3 Phát biểu Đ S Phát biểu Đ S MINH 1 Z 1 a) f (x) = x + . c) dx = ln(x − 1) + C. x − 3 x − 1 Z Z CHÍ x2 x2 b) x dx = + C. d) f (x) dx = + ln |x − 3| + C. 2 2
Câu 57. Gọi F (x) và một nguyên hàm của f (x). Khi đó KIÊN HỒ TP Phát biểu Đ S Z − a)
f (x) dx = F (x) + C, với C là hằng số bất kì. A Z 1 b) f (ax + b) dx =
F (ax + b) + C, với a 6= 0 và C là hằng số bất kì. a HÒ Z c)
kf (x) dx = kF (x) + C, với k 6= 0 và C là hằng số bất kì. Z d) f (u) du = F (x) + C. THỌ 1
Câu 58. Biết rằng y = ln x có đạo hàm y0 =
với mọi x > 0. Khi đó ta có x CHUNG PHÚ − Phát biểu Đ S T Z 1 a)
dx = ln |x| + C với mọi x 6= 0. x Z 1 b)
dx = ln |x + m| + C với mọi x 6= −m. NHẤ x + m Z 1 3 G c)
dx = ln |2x + 3| + C với mọi x 6= − . 2x + 3 2 Z 1 HỮU d)
dx = ln | − x + 2| + C với mọi x 6= 2. −x + 2
THỐN Câu 59. Cho f(x) là hàm số liên tục trên R. 134 Phát biểu Đ S Phát biểu Đ S Z Z a) f (x)dx = f 0(x) + C. c) f 0(x)dx = f (x). AN Z Z b) f 0(x)dx = f (x) + C. d) f 00(x)dx = f 0(x) + C.
Câu 60 (Mức độ 2). Các khẳng định dưới đây đúng hay sai? THIÊN Z f 0(x) dx = f (x) + NGUYỄN Phát biểu Đ S a) C.
TÂM b) Nếu một nguyên hàm của hàm số y = f(x) là F(x) thì G Z 1 f (ax + b) dx = F (ax + b) + C . a UN Z c)
f (2x − 3) dx = 2F (2x − 3) − 3 + C. TR ThS:
ThS NGUYỄN HỮU CHUNG KIÊN − Ó 0987192212
Website www.thaykientoan.io.vn