Tài liệu ôn tập chương 4 môn Giải tích 2 | Đại học Kỹ thuật Công nghệ - Cần Thơ

Ôn tập Giải tích 2
Biên soạn: TS. Trần Thủ Lễ Năm học: 2023-2024
Đây là tài liệu tham khảo chưa được phản biện.
Các bạn sinh viên cần tự kiểm tra lại lý thuyết và đáp án. Mục Lục
1. Chương 4: Lý thuyết ........................................................................................................... 2
1.1. Tích phân đường loại một (vô hướng) ......................................................................... 2
1.2. Tích phân đường loại một - Cách tính ......................................................................... 2
1.3. Tích phân đường loại hai (có hướng) ........................................................................... 2
1.4. Tích phân đường loại hai liên hệ với loại một .............................................................. 3
1.5. Tích phân đường loại hai - Cách tính .......................................................................... 3
1.6. Tích phân đường loại hai với 𝐴𝐵 có dạng kín ............................................................. 4
1.7. Định lý Green .............................................................................................................. 4
1.8. Định lý Green và bốn mệnh đề tương đương ............................................................... 4
1.9. Hệ quả định lý Green - Tích phân bằng 0 ................................................................... 5
1.10. Hệ quả định lý Green - Tích phân bằng diện tích ...................................................... 5
1.11. Hệ quả định lý Green - Tích phân bằng hiệu ............................................................. 5
1.12. Tích phân mặt loại một (vô hướng) ........................................................................... 6
1.13. Tích phân mặt loại một với 𝑆 có dạng tường minh ................................................... 6
1.14. Tích phân mặt loại hai (có hướng) ............................................................................. 6
1.15. Tích phân mặt loại hai với 𝑆 có dạng tường minh ..................................................... 6
1.16. Tích phân mặt loại hai và liên hệ với loại một .......................................................... 7
1.17. Định lý Stokes ............................................................................................................ 7
1.18. Định lý Stokes và bốn mệnh đề tương đương ............................................................. 8
1.19. Định lý Gauss - Ostrogradsky .................................................................................... 8 1. Chương 4: Lý thuyết
1.1. Tích phân đường loại một (vô hướng) Lý thuyết
Ký hiệu: Cho 𝐴𝐵 ⊂ ℝ2 là một đường cong nối giữa hai điểm 𝐴, 𝐵. Khi đó tích phân đường
loại một của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) trên 𝐴𝐵 ký hiệu là:
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 𝐴𝐵
Bản chất: 𝐼 là khối lượng dây cung 𝐴𝐵 với mật độ khối lượng 𝑓(𝑥, 𝑦). Chú ý rằng, khi 𝑓 ≡ 1, ta có:
Độ dài dây cung 𝐴𝐵 = ∫ 𝑑𝑠. 𝐴𝐵
Tính chất (vô hướng): Tích phân đường loại một là vô hướng nghĩa là không phụ thuộc
chiều từ 𝐴 đến 𝐵 hay từ 𝐵 đến 𝐴:
∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠. 𝐴𝐵 𝐵𝐴
1.2. Tích phân đường loại một - Cách tính Lý thuyết
Xét tích phân 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 𝐴𝐵
• 𝐴𝐵 ⊂ ℝ2 có dạng tham số: 𝑥 = 𝜑(𝑡) 𝑏 𝐴𝐵 : {
, 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] ⇒ 𝐼 = ∫ 𝑓(𝜑(𝑡), 𝜓(𝑡))√[𝜑′(𝑡)]2 + [𝜓′(𝑡)]2𝑑𝑡 𝑦 = 𝜓(𝑡) 𝑎
• 𝐴𝐵 ⊂ ℝ2 có dạng tường minh: 𝑏
𝐴𝐵 : 𝑦 = 𝜑(𝑥), 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] ⇒ 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥, 𝜑(𝑥))√1 + [𝜑′(𝑥)]2𝑑𝑥 𝑎
Xét tích phân 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠 𝐴𝐵
• 𝐴𝐵 ⊂ ℝ3 có dạng ghềnh: { ⎧𝑥 = 𝜑(𝑡) 𝑏
𝐴𝐵 : 𝑦 = 𝜓(𝑡), 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] ⇒ 𝐼 = ∫ 𝑓(𝜑(𝑡), 𝜓(𝑡), 𝜒(𝑡))√[𝜑′(𝑡)]2 + [𝜓′(𝑡)]2 + [𝜒′(𝑡)]2𝑑𝑡 𝑎 ⎩ { ⎨𝑧 = 𝜒(𝑡)
1.3. Tích phân đường loại hai (có hướng) TS. Trần Thủ Lễ Trang 2/8 Lý thuyết
Ký hiệu: Cho 𝐴𝐵 là một đường cong nối từ 𝐴 đến 𝐵. Khi đó tích phân đường loại hai của
hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) trên 𝐴𝐵 ký hiệu là:
𝐼 = ∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦, 𝐴𝐵
hoặc ký hiệu đơn giản hơn:
𝐼 = ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦. 𝐴𝐵
Bản chất: 𝐼 là công của lực 𝐹⃗ = (𝑃 , 𝑄) đẩy điểm 𝑀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴𝐵 từ 𝐴 đến 𝐵.
Tính chất (có hướng): Tích phân đường loại hai là có hướng, nghĩa là khi đường cong 𝐴𝐵
đổi chiều, thì tích phân đổi dấu:
∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝐴𝐵 𝐵𝐴
1.4. Tích phân đường loại hai liên hệ với loại một Lý thuyết
Nếu: ⃗𝑛 = (cos(𝛼), cos(𝛽)) là pháp vector đơn vị của đường cong 𝐴𝐵 (chú ý ⃗𝑛 phụ thuộc (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴𝐵). Thì:
∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = ∫ [𝑃 cos(𝛼) + 𝑄 cos(𝛽)]𝑑𝑠 𝐴𝐵 𝐴𝐵
Chú ý: Khi đổi chiều đường cong từ 𝐴𝐵 sang 𝐵𝐴, nếu pháp vector của 𝐴𝐵 là ⃗𝑛 thì pháp
vector của 𝐵𝐴 là − ⃗𝑛. Điều này là lý do khiến khi đổi chiều đường cong, tích phân đường loại hai đổi dấu.
1.5. Tích phân đường loại hai - Cách tính Lý thuyết
Xét tích phân 𝐼 = ∫ 𝑃 𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 𝐴𝐵
• 𝐴𝐵 có dạng tham số: 𝑥 = 𝜑(𝑡) 𝑏 𝐴𝐵 : {
, 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] ⇒ 𝐼 = ∫ [𝑃(𝜑(𝑡), 𝜓(𝑡)) × 𝜑′(𝑡) + 𝑄(𝜑(𝑡), 𝜓(𝑡)) × 𝜓′(𝑡)]𝑑𝑡 𝑦 = 𝜓(𝑡) 𝑎
• 𝐴𝐵 có dạng tường minh: TS. Trần Thủ Lễ Trang 3/8 𝑏
𝐴𝐵 : 𝑦 = 𝜑(𝑥), 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] ⇒ 𝐼 = ∫ [𝑃(𝑥, 𝜑(𝑥)) + 𝑄(𝑥, 𝜑(𝑥)) × 𝜑′(𝑥)]𝑑𝑡 𝑎
Xét tích phân 𝐼 = ∫ 𝑃 𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 𝐴𝐵
• 𝐴𝐵 có dạng ghềnh: { ⎧𝑥 = 𝜑(𝑡) 𝑏
𝐴𝐵 : 𝑦 = 𝜓(𝑡), 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] ⇒ 𝐼 = ∫ [𝑃𝜑′(𝑡) + 𝑄𝜓′(𝑡) + 𝑅𝜒′(𝑡)]𝑑𝑡 𝑎 ⎩ { ⎨𝑧 = 𝜒(𝑡)
1.6. Tích phân đường loại hai với 𝐴𝐵 có dạng kín Lý thuyết
Cho 𝐿 là một đường cong kín có chiều dương (nghĩa là 𝐿 là biên của một miền 𝐷 đóng, bị chặn,
đơn liên, có diện tích và 𝐿 có chiều ngược chiều kim đồng hồ.) Ký hiệu:
𝐼 = ∮ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 𝐿 Chú ý:
1. Khi thấy ký hiệu ∮ ta biết rằng 𝐿 là kín và có chiều dương. 𝐿
2. Nếu 𝐿 phức tạp (𝐿 gồm nhiều đoạn gấp khúc, 𝐿 có dạng tham số quá phức tạp) thì khi đó 𝐼
rất khó tính được bằng các phương pháp đã giới thiệu. Lúc này ta cần dùng định lý Green,
giới thiệu trong phần tiếp theo. 1.7. Định lý Green Lý thuyết
Cho 𝐷 ⊂ ℝ2 đóng, bị chặn, đơn liên, có diện tích. Gọi 𝐿 là biên (kín) của 𝐷 lấy chiều dương. Khi đó 𝜕 𝜕
𝐼 = ∮ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = ∬ |𝜕𝑥 𝜕𝑦| 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ [𝑄′𝑥 − 𝑃′𝑦]𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐿 𝐷 𝑃 𝑄 𝐷
Ý tưởng cốt lõi của định lý Green là cho phép chuyển đổi:
Tích phân đường loại hai ⇔ Tích phân hai lớp
1.8. Định lý Green và bốn mệnh đề tương đương TS. Trần Thủ Lễ Trang 4/8 Lý thuyết Nếu:
• 𝐷 ⊂ ℝ2 là đóng, bị chặn, đơn liên, có diện tích. Gọi 𝐿 là biên (kín) của 𝐷 lấy chiều dương.
• 𝑃 , 𝑄 và các đạo hàm riêng của chúng là liên tục
Thì: Các mệnh đề sau là tương đương 1. 𝑄′𝑥 = 𝑃′𝑦
2. ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 với 𝐴𝐵 ⊂ 𝐷 chỉ phụ thuộc vào các đầu mút 𝐴, 𝐵 mà không phụ thuộc 𝐴𝐵
đường nối từ 𝐴 đến 𝐵
3. ∮ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 với mọi đường cong kín 𝐿 ⊂ 𝐷 𝐿
4. Tồn tại hàm số 𝑢(𝑥, 𝑦) sao cho 𝑑𝑢 = 𝑃 𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦
1.9. Hệ quả định lý Green - Tích phân bằng 0 Lý thuyết Nếu:
𝑄′𝑥 − 𝑃′𝑦 = 0 Thì:
𝐼 = ∮ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = 0. 𝐿
1.10. Hệ quả định lý Green - Tích phân bằng diện tích Lý thuyết Nếu:
𝑄′𝑥 − 𝑃′𝑦 = 𝑚 Thì:
𝐼 = ∮ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = 𝑚 × 𝑑𝑡(𝐷) 𝐿
với 𝑑𝑡(𝐷) là diện tích của miền 𝐷.
1.11. Hệ quả định lý Green - Tích phân bằng hiệu Lý thuyết
Nếu: Tồn tại hàm số 𝑢 sao cho 𝑑𝑢 = 𝑃 𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 Thì: TS. Trần Thủ Lễ Trang 5/8
𝐼 = ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = 𝑢(𝐵) − 𝑢(𝐴) 𝐴𝐵
1.12. Tích phân mặt loại một (vô hướng) Lý thuyết Ký hiệu:
𝐼 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆 𝑆
Bản chất: 𝐼 là khối lượng của mặt cong 𝑆 với hàm mật độ khối lượng 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧). Đặc biệt khi
𝑓 ≡ 1, 𝐼 là diện tích của mặt 𝑆
1.13. Tích phân mặt loại một với 𝑆 có dạng tường minh Lý thuyết
Cho 𝑆 là mặt xác định bởi đồ thị của hàm số 𝑧 = 𝜑(𝑥, 𝑦) với (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷. Khi đó
𝐼 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜑(𝑥, 𝑦))√1 + [𝑧′𝑥]2 + [𝑧′𝑦]2𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 𝐷
1.14. Tích phân mặt loại hai (có hướng) Lý thuyết Ký hiệu:
𝐼 = ∬ 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆
Bản chất: 𝐼 thông lượng của một dòng chất lỏng 𝐹⃗ = (𝑃 , 𝑄, 𝑅) chảy qua mặt có hướng 𝑆.
Tính chất có hướng: Khi 𝑆 đổi phía, tích phân đổi dấu. Cụ thể nếu 𝑆1 và 𝑆2 là hai phía của cùng một mặt cong thì
∬ 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦. 𝑆1 𝑆2
1.15. Tích phân mặt loại hai với 𝑆 có dạng tường minh Lý thuyết
Giả sử cần tính tích phân TS. Trần Thủ Lễ Trang 6/8
∬ 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝑆
với 𝑆 xác định bởi 𝑧 = 𝜑(𝑥, 𝑦) với (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷.
Nếu 𝑆 lấy phía TRÊN, thì
∬ 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝜑(𝑥, 𝑦))𝑑𝑥𝑑𝑦. 𝑆 𝐷
Nếu 𝑆 lấy phía DƯỚI, thì
∬ 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦 = − ∬ 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝜑(𝑥, 𝑦))𝑑𝑥𝑑𝑦. 𝑆 𝐷
1.16. Tích phân mặt loại hai và liên hệ với loại một Lý thuyết
Nếu ⃗𝑛 = (cos(𝛼), cos(𝛽), cos(𝛾)) là pháp vector đơn vị của 𝑆, sao cho ⃗𝑛 cùng hướng với 𝑆. Khi đó
∬ 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬[𝑃 cos(𝛼) + 𝑄 cos(𝛽) + 𝑅 cos(𝛾)]𝑑𝑆. 𝑆 𝑆
Chú ý (Hướng của ⃗𝑢 và 𝑆): ⃗𝑛 và 𝑆 được gọi là cùng hướng khi:
• Nếu 𝑆 lấy phía TRÊN, thì cos(𝛾) > 0
• Nếu 𝑆 lấy phía DƯỚI, thì cos(𝛾) < 0
Chú ý (Cách tìm ⃗𝑛): Giả sử 𝑆 được cho bởi 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0. Ta có ⃗𝑛 = ± 1
‖∇𝐹‖∇𝐹 với dấu
phụ thuộc vào chiều của 𝑆, cụ thể như sau:
• Nếu 𝑆 lấy phía TRÊN và 𝐹′𝑧 > 0, thì chọn ⃗𝑛 = 1 ‖∇𝐹‖∇𝐹
• Nếu 𝑆 lấy phía TRÊN và 𝐹′𝑧 < 0, thì chọn ⃗𝑛 = − 1 ‖∇𝐹‖∇𝐹
• Nếu 𝑆 lấy phía DƯỚI và 𝐹′𝑧 > 0, thì chọn ⃗𝑛 = − 1 ‖∇𝐹‖∇𝐹
• Nếu 𝑆 lấy phía DƯỚI và 𝐹′𝑧 < 0, thì chọn ⃗𝑛 = 1 ‖∇𝐹‖∇𝐹 1.17. Định lý Stokes Lý thuyết Nếu:
• Mặt 𝑆 là một mặt cong đóng, bị chặn, có diện tích, có 𝐿 là biên.
• Các hàm số 𝑃 , 𝑄, 𝑅 và các đạo hàm riêng liên tục trên 𝑆 kể cả biên 𝐿.
• Chiều của 𝐿 được chọn sao cho một người đứng trên 𝑆 có chiều từ chân lên đầu cùng chiều
với 𝑆 sẽ thấy 𝐿 có chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ). TS. Trần Thủ Lễ Trang 7/8 Khi đó:
|𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑧|
∮ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 = ∬| 𝜕 𝜕 𝜕 | 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝐿 𝑆| | | 𝑃 𝑄 𝑅 |
= ∬[𝑅′𝑦 − 𝑄′𝑧]𝑑𝑦𝑑𝑧 − [𝑅′𝑥 − 𝑃′𝑧]𝑑𝑥𝑑𝑧 + [𝑃′𝑦 − 𝑄′𝑥]𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆
1.18. Định lý Stokes và bốn mệnh đề tương đương Lý thuyết Nếu:
• Mặt 𝑆 là một mặt cong đóng, bị chặn, có diện tích.
• Các hàm số 𝑃 , 𝑄, 𝑅 và các đạo hàm riêng liên tục trên 𝑆.
Khi đó, bốn mệnh đề sau là tương đương:
1. [𝑅′𝑦 − 𝑄′𝑧] = [𝑅′𝑥 − 𝑃′𝑧] = [𝑃′𝑦 − 𝑄′𝑥] = 0.
2. ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 với 𝐴𝐵 ⊂ 𝑆, không phụ thuộc vào đường đi từ 𝐴 đến 𝐵 mà chỉ phụ 𝐴𝐵
thuộc vào các đầu mút 𝐴, 𝐵.
3. ∮ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 = 0 với mọi đường cong kín 𝐿 ⊂ 𝑆. 𝐿
4. Tồn tại hàm số 𝑢 sao cho 𝑑𝑢 = 𝑃 𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧.
1.19. Định lý Gauss - Ostrogradsky Lý thuyết Nếu:
• Khối 𝑉 ⊂ ℝ3 là một hình khối đóng, bị chặn, có thể tích, có 𝑆 là mặt biên.
• Các hàm số 𝑃 , 𝑄, 𝑅 và các đạo hàm riêng liên tục trên 𝑉 kể cả biên 𝑆.
• Mặt (kín) 𝑆 lấy phía NGOÀI. Khi đó,
∯ 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑧 = ∭ (𝑃′𝑥 + 𝑄′𝑦 + 𝑅′𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑆 𝑉
Chú ý: Ký hiệu ∯ nghĩa là 𝑆 kín và 𝑆 lấy phía ngoài. 𝑆 TS. Trần Thủ Lễ Trang 8/8