-
Thông tin
-
Quiz
Tài Liệu Ôn Tập Cuối Kỳ Giải Tích 1 - Tích Phân Suy Rộng | Đại học Kỹ thuật - Công nghệ Cần Thơ
Tài Liệu Ôn Tập Cuối Kỳ Giải Tích 1 - Tích Phân Suy Rộng | Đại học Kỹ thuật - Công nghệ Cần Thơ. Tài liệu gồm 16 trang giúp bạn tham khảo, củng cố kiến thức và ôn tập đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!
Môn:
Giải tích 1 (CT) 2 tài liệu
Trường:
Đại học Kỹ thuật - Công nghệ Cần Thơ 98 tài liệu
Thông tin:
30 trang
5 tháng trước
Tác giả:
Tài Liệu Ôn Tập Cuối Kỳ Giải Tích 1 - Tích Phân Suy Rộng | Đại học Kỹ thuật - Công nghệ Cần Thơ
Tài Liệu Ôn Tập Cuối Kỳ Giải Tích 1 - Tích Phân Suy Rộng | Đại học Kỹ thuật - Công nghệ Cần Thơ. Tài liệu gồm 16 trang giúp bạn tham khảo, củng cố kiến thức và ôn tập đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!
92
46 lượt tải
Tải xuống
Môn: Giải tích 1 (CT) 2 tài liệu
Trường: Đại học Kỹ thuật - Công nghệ Cần Thơ 98 tài liệu
Thông tin:
30 trang
5 tháng trước
Tác giả:
Trang 1
TÀI LIỆU ÔN TẬP GIẢI TÍCH
TÍCH PHÂN SUY RỘNG
PHIÊN BẢN K-2018
Tài liệu được biên soạn bởi Ban Chuyên môn – CLB [CTCT] Chúng Ta Cùng Tiến.
Đây là tâm huyết của các anh/chị/bạn trong CLB [CTCT], gửi tặng đến các em, các
bạn sinh viên K18 – Đại học Bách Khoa Tp.HCM (BKU).
Bản quyền thuộc về cộng đồng Chúng Ta Cùng Tiến.
Mọi ý kiến phản hồi, đóng góp xin gửi về fanpage Chúng Ta Cùng Tiến hoặc liên hệ
trực tiếp tại Văn phòng: Phòng 102 – Nhà thi đấu Đại học Bách Khoa
Nội dung gồm 5 phần :
1.
2.
3.
4.
Tích phân suy rộng loại 1. Tích phân suy
rộng loại 2.
Tích phân suy rộng hỗn hợp.
Khảo sát sự hội tụ và phân kỳ của &ch phân.
Điểm gián đoạn loại 1 :
𝑥→𝑥
−
lim 𝑓(𝑥) = 𝑎 , lim 𝑓(𝑥) = 𝑏 với a,b là số
hữu hạn
0
𝑥→𝑥
+
0
Điểm gián đoạn loại 2 :
𝑥→𝑥
+
lim 𝑓(𝑥) = ∞ hoặc không
tồn tại
0
Trang 2
∫
PHẦN 1
TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1
1. Định nghĩa
b
Nếu
∫
f
(
x
)
dx tồn tại
(
hay f
(
x
)
khả tích
)
∀a ≤ b thì
a
Nếu kết quả ra một số hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ, nếu kết quả ra vô cùng hoặc không
tồn tại thì ta nói tích phân phân kỳ
2. Nhận dạng.
+
∞
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
𝑎
gọi là tích phân suy rộng loại 1 nếu: 𝑓(𝑥) liên tục hoặc chứa hữu hạn
điểm gián đoạn loại 1 trên [𝑎, + ∞]
Có chứa cận là vô hạn (
∫
+ ∞
𝑓
(
𝑥
)
𝑑𝑥 ,
∫
𝑎
𝑓
(
𝑥
)
𝑑𝑥 ,
∫
+ ∞
𝑓
(
𝑥
)
𝑑𝑥)
− ∞ − ∞ 𝑎
Nhắc lại điểm gián đoạn nhé: (điểm gián đoạn 𝑥
0
là điểm 𝑓(𝑥
0
) không xác định trên [a,b] )
Ví dụ :
+ ∞ sin(𝑥)
∫0
𝑥
𝑑𝑥 có điểm gián đoạn là 𝑥 = 0
, lim
𝑥→0
+
sin(𝑥
)
𝑥
= 1 → chỉ có 1 điểm gián
đoạn
loại 1 → Tích phân suy rộng
loại 1
𝑏 𝑏
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(∞) −
𝐹(𝑎)
𝑎
𝑏→
∞
𝑎
Trang 3
3. Tính chất
+ ∞ 𝑎 + ∞
∫
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫
𝑓
(
𝑥
)
𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
− ∞ − ∞ 𝑎
+ ∞ + ∞
∫
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 và
∫
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất)
∀α > 0
𝑎 𝛼
+ ∞ + ∞
∫
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 và ∫ 𝛼. 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản
chất) ∀α ≠ 0
𝑎 𝑎
+ ∞ + ∞ + ∞
∫
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑣à
∫
𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 hội tụ ⇒
∫
(𝑓
(
𝑥
)
+ 𝑔
(
𝑥
)
) 𝑑𝑥 hội tụ
𝑎 𝑎 𝑎
+ ∞ + ∞ + ∞
∫
𝑓
(
𝑥
)
𝑑𝑥 hội tụ và
∫
𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 phân kỳ ⇒ ∫
(𝑓
(
𝑥
)
+ 𝑔
(
𝑥
)
) 𝑑𝑥 phân kỳ
𝑎 𝑎 𝑎
+ ∞ + ∞ + ∞
Hoặc
∫
𝑓
(
𝑥
)
𝑑𝑥 phân kỳ và
∫
𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 hội tụ ⇒
∫
(𝑓
(
𝑥
)
+ 𝑔
(
𝑥
)
) 𝑑𝑥 phân kỳ
𝑎 𝑎 𝑎
Hiểu đơn giản là cả 2 hội tụ thì tổng hội tụ, chỉ cần 1 trong 2 phân kì thì tổng sẽ phân kì. Thế
nhưng tổng 2 phân kỳ thì chưa biết được đâu nhé ^^
Rất may mắn là đề thi trường mình @hcmut, nếu có dạng tách tích phân như trên, thầy cô
sẽ “thương tình” ra đề chắc chắn có một thằng hội tụ. Chúng ta chỉ cần chứng minh ít nhất
một tích phân phân kỳ là có thể khẳng định tích phân (tổng) phân kỳ được rồi….. Hú hồn‼!
4. Cách tính tích phân suy rộng loại 1
Các phương pháp tính đều giống như Tích phân xác định
Đến bước thế cận có ∞ thì dùng limit
𝑏 𝑏
Trang 4
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim ∫
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
= 𝐹
(
∞
)
− 𝐹
(
𝑎
)
= lim 𝐹
(
𝑥
)
− 𝐹
(
𝑎
)
𝑎
𝑏→ ∞
𝑎
𝑥→∞
( Với 𝐹(𝑥) là nguyên hàm của 𝑓(𝑥) trên [𝑎, 𝑏] )
Tương tự,
∫0
𝑥
− ∞ (𝑥−2)
(𝑥−1)
𝑑𝑥là tích phân suy rộng
loại 1 vì
𝑥
(𝑥−2)
(𝑥−1)
liên tục trên (−∞,
0].
∫
0
+ ∞
𝑑𝑥 không phải là tích phân suy rộng loại 1 𝑠𝑖𝑛(𝑥) = 0 có vô số
nghiệm thuộc
sin(𝑥)
𝑥
[0, + ∞) nên có vô số điểm gián
đoạn loại 1.
Trang 5
Ví dụ 1.1: Tính &ch phân
∫
+ ∞
1
𝑑
𝑥
2
�
�
Giải :
Nhận dạng : Là &ch phân suy rộng loại 1 vì
1
liên tục trên [2, +
∞] )
𝑥
Ta có:
∫
+ ∞
1
+ ∞
2
�
�
𝑑𝑥 = ln|𝑥| |=lim ln|𝑥| − ln(2) = + ∞ − ln(2) = + ∞
2𝑥→+ ∞
Vậy &ch phân ∫+ ∞ 1 𝑑𝑥 phân
kì
2𝑥
Chú ý: Từ đầu ta có thể chứng minh &ch phân phân kì và kết luận mà không cần phải &nh ra
kết quả.
Ví dụ 1.2: Tính &ch phân
+∞
∫
1
−∞ 1 + 𝑥
2
𝑑
𝑥
Giải :
Nhận dạng : Là &ch phân suy rộng loại 1 vì
1
1+𝑥
2
liên tục trên (−∞, + ∞)
)
Vì cả hai cận đều vô cùng nên cần tách ra làm 2 phần để &nh ( tách tại điểm nào cũng được,
nhưng nên chọn những điểm đẹp mắt ví dụ như -1,0,1..)
Ta có:
+∞
∫
1
0 +∞
−∞ 1 + 𝑥
2
𝑑𝑥 = ∫
1
−∞ 1 +
𝑥
2
𝑑𝑥 + ∫
0
1
1 + 𝑥
2
𝑑𝑥
0
𝐼
1
= ∫1 + 𝑥2 𝑑𝑥 = arctan(𝑥) |−∞ = arctan(0) − lim
arctan(𝑥)
1 0
−∞
𝑥→−
∞
= 0 − (− )
=
�
�
𝜋
22
𝐼
2
=
∫
+∞1
0
1+𝑥
2
𝑑𝑥 = arctan(𝑥) |
+∞
= lim arctan(𝑥) −
arctan(0) =
0
𝑥→+
∞
�
�
2
Ví dụ 1.2: Tính &ch phân
+∞
∫
1
𝑑𝑥
𝑥√𝑥
2
+ 𝑥 + 1
1
Giải :
Nhận dạng : Là &ch phân suy rộng loại 1 vì
1
𝑥√𝑥2+𝑥+
1
liên tục trên [1, +
∞)
Đặt : 𝑢 = 1 → 𝑑𝑢 = −
1 𝑑𝑥
𝑥
𝑥2
Đổi cận
Ta có :
+∞ +∞
∫
1
𝑥√𝑥
2
+ 𝑥 +
1
𝑑𝑥 = ∫
1
𝑑𝑥 = ∫
1
0
𝑑𝑢
−
1
1
𝑥
2
√1 + 1 +
1
1
√1 + 𝑢 +
𝑢
2
�
�
𝑥
2
1
= ∫ 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛 |𝑢 ++ √(𝑢 + ) + | |= 𝑙𝑛 |
1 1
1 2
3 1 3 +
2√3
3
0 √
2 2 4 0 2
| − 𝑙𝑛 | |
2
(𝑢 + 2) + 4
3 + 2√3
1 2
3
= ln
(
3
)
Trang 6
x 1
+ ∞
u 1 0
Nhận thấy :
1
1+𝑥
2
𝜋𝜋
𝑉ậ𝑦 , 𝐼 = 𝐼
1
+ 𝐼
2
= 2 + 2 = 𝜋
là hàm số chẵn vì có 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) nên có
thể tính :
+∞
𝐼 = 2.
∫
0
1
1 + 𝑥
2
𝑑𝑥
Ghi nhớ : Một số giới hạn thường dùng trong &ch phân suy rộng để làm
nhanh:
𝜋𝜋
lim arctan(𝑥) =; lim arctan(𝑥) = −
𝑥→+ ∞2𝑥→−∞2
lim sin(𝑥) =
𝑥 ;lim
𝑥→0𝑥→+ ∞
sin(𝑥)
= 0 ;lim e
−x
= 0
𝑥𝑥→+ ∞
𝑏 𝑘
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏
−
) −
𝐹(𝑎)
𝑎
𝑘→
𝑏−
𝑎
𝑏 𝑏
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) −
𝐹(𝑎
+
)
𝑎
𝑘→
𝑎+
𝑘
Trang 7
∫
PHẦN 2
TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2
1. Định nghĩa.
b
Nếu
∫
f
(
x
)
dx tồn tại
(
hay f
(
x
)
khả tích
)
trên
[
a, b
)
và kì dị tại b thì
a
Tương tự, nếu điểm kì dị tại 𝑎 thì :
Nếu kết quả ra một số hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ, nếu kết quả ra vô cùng hoặc vô định
thì ta nói tích phân phân kỳ .
2. Nhận dạng:
𝑏
𝑓
(
𝑥
)
𝑑𝑥
𝑎
gọi là tích phân suy rộng loại 2 nếu 𝑓(𝑥) chứa hữu hạn các điểm kỳ dị trên [a,b]
Ví dụ :
∫3 1 𝑑𝑥 vì có 1 điểm kì dị 𝑥 = 0 ( 𝑙𝑖𝑚 1 = +∞) → Tích phân suy
rộng loại 2
0 𝑥
1
∫
1
−1
√1−𝑥4
𝑥→0+ 𝑥
𝑑𝑥 có 2 điểm kì dị là 𝑥 = 1 và 𝑥 =
−1
11
𝑥→−1+ √1 − 𝑥4
→ Tích phân suy rộng loại
2
( 𝑙𝑖𝑚 = +∞, 𝑙𝑖𝑚 = +∞)
𝑥→1− √1
− 𝑥4
Điểm kỳ dị (𝒙
𝟎
)
Là điểm mà 𝑓(𝑥) không xác định trên [a, b] và có:
lim 𝑓(𝑥) = ∞
𝑥→𝑥
±
0
Ví dụ 2.1: Tính &ch phân
3
∫𝑑𝑥
2
√𝑥 − 2
1
Giải :
Xét thấy : lim
1
𝑥→2+
√𝑥−2
= +∞ ( điểm kỳ dị tại 𝑥 = 2) → Tích phân suy
rộng loại 2
Đặt : 𝑢 = √𝑥 − 2 ⟺ 𝑢
2
= 𝑥 − 2 ⟺ 2𝑢𝑑𝑢
= 𝑑𝑥
Đổi cận :
3
∫𝑑𝑥 = ∫𝑑𝑢 = ∫ 2 𝑑𝑢 = 2𝑢 | = 2
1
1
2𝑢
1
1
2
√𝑥 −
2
0
�
�
0
0
Trang 8
3. Tính chất
Nếu 𝑓(𝑥) kì dị tại 𝑎 và 𝑏
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
𝑎
𝑐
= ∫ 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
𝑎
𝑏
+ ∫ 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
𝑐
(𝑐 ∈
(
𝑎, 𝑏
)
)
Nếu 𝑓(𝑥) kì dị tại 𝑥
0
với 𝑥
0
∈ (𝑎, 𝑏)
𝑏
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
𝑥
0
= ∫ 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
𝑎
𝑏
+ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑥
0
Các tính chất còn lại của tích phân suy rộng loại 2 đều giống với tích phân suy rộng
loaị 1.
Có thể nói là kì dị chỗ nào thì mình chẻ chỗ đó ra thành 2 tích phân)
4. Cách tính tính phân suy rộng loại 2
Tổng quát:
𝑏
∫
𝑓
(
𝑥
)
𝑑𝑥 là tích phân suy rộng loại 2 có điểm kỳ dị tại b,
khi đó
𝑎
𝑏
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
= 𝐹
(
𝑏
−
)
− 𝐹
(
𝑎
)
=
lim
𝑥→𝑏
−
𝐹(𝑥)
( với 𝐹(𝑥) là nguyên hàm của 𝑓(𝑥) trên [𝑎, 𝑏] )
Các phương pháp tính đều giống như Tích phân xác định !!!
x 2 3
u 0 1
Trang 9
Ví dụ 2.2: Tính &ch phân
2
∫
1
0 𝑥 −
1
𝑑
𝑥
Giải :
Xét thấy: lim= −∞ , lim= +∞ → Tích phân có chứa 1 điểm kỳ dị (𝑥 = 1)
1 1
𝑥→1−
𝑥−1
𝑥→1+
𝑥−1
→ Tích phân suy rộng loại 2.
Điểm kỳ dị nằm khoảng giữa hai cận nên ta cần tách tích
phân thành 2 phần‼
2 1 2
𝐼 = ∫
1 1 1
0 𝑥 −
1
𝑑𝑥 =
∫
0 𝑥 −
1
𝑑𝑥 +
∫
𝑑𝑥 = 𝐼
1
+ 𝐼
2
1 𝑥 − 1
1
𝐼
1
=
∫
1 1
0 𝑥 −
1
𝑑𝑥 = ln|𝑥 − 1| |= lim ln|𝑥 − 1| − 𝑙𝑛|−1| = lim ln|𝑥 − 1|
= −∞
0
𝑥→
1
𝑥→
1
Đến đây ta không cần &nh nữa, vì 𝐼
1
đã phân kì thì 𝐼 chắn chắn sẽ phân kì
( tính chất của
tổng 2 tích phân cùng khoảng cận )
Ví dụ 2.3: Tính &ch phân
1
∫𝑑𝑥
−1
√1 − 𝑥
2
1
Giải :
Đây là &ch phân suy rộng loại 2 vì có điểm kỳ dị ở 2 đầu cận : 𝑥 = 1, 𝑥 =
−1
Cần tách ra làm 2 phần để tính. Ta có :
1
𝐼 = ∫𝑑𝑥 = ∫
1
0 1
−1
√1
− 𝑥
2
−1
√1
− 𝑥
2
𝑑𝑥 + ∫
1 1
0
√1 −
𝑥
2
𝑑𝑥
𝐼
1
= arcsin |= arcsin(0) − arcsin(−1)
=
0
−
1
𝐼
2
= arcsin(𝑥) |= arcsin(1) −
arcsin(0) =
1
0
�
�
2
�
�
2
�
�
⇒ 𝐼 = 𝐼
1
+ 𝐼
2
= 2 + 2 = 𝜋
Nhận thấy 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) → 𝑓(𝑥) là hàm
số chẵn
⇒ 𝐼 = 2. ∫𝑑𝑥
0
√1 − 𝑥
2
�
�
1
1
Trang 10
∫
∫
PHẦN 3
TÍCH PHÂN SUY RỘNG KẾT HỢP
1. Lý thuyết
Tích phân suy rộng hỗn hợp là tích phân suy rộng gồm cả loại 1 và 2 hoặc gồm nhiều điểm kỳ
dị trong khoảng 2 cận của tích phân.
Có 2 dạng tích phân suy rộng kết hợp chính:
Tích phân dạng
+∞
𝑓
(
𝑥
)
𝑑𝑥 với 𝑓
(
𝑥
)
xác định ∀𝑥 > 𝑎 và a là điểm kỳ dị của
𝑓
(
𝑥
)
𝑎
Tích phân dạng
𝑏
−∞
𝑓
(
𝑥
)
𝑑𝑥 với 𝑓
(
𝑥
)
xác định ∀𝑥 < 𝑏 và b là điểm kỳ dị của
𝑓
(
𝑥
)
2. Cách tính tích phân suy rộng kết hợp
Ơn giời cậu đây rồi ‼!
o Các bài tích phân suy rộng hỗn hợp khá đơn giản, ta chỉ cần tách tích phân đã cho
thành từng loại (gồm loại 1 và lọai 2) rồi giải bình thường.
o Những tích phân có điểm kỳ dị ở trong khoảng 2 cận thì ta tách ra đưa về 2 dạng chính
o Lưu ý kiểm tra tích phân thật kỹ trước khi giải do đề bài có thể có nhiều điểm kỳ
dị, cần phải xác định hết rồi mới tách ra giải.
Ví dụ 3.1: Tính &ch phân
+∞
𝐼 = ∫
1
𝑑
𝑥
(𝑥 + 1)√𝑥
2
−
𝑥
Giải :
𝑥 = 1 là điểm kỳ dị → Tích phân suy rộng kết hợp. Ta tách
thành 2 tích phân
2
𝐼 = ∫
𝑑
𝑥
+∞
𝑑
𝑥
1
(𝑥 + 1)√𝑥
2
− 𝑥
+ ∫ = 𝐼
1
+ 𝐼
2
2
(𝑥 + 1)√𝑥
2
−
𝑥
Trang 11
2
𝑑𝑥
+∞
𝑑𝑥
𝐼
1
= ∫
𝐼
2
= ∫
1
(
𝑥 + 1
)
√𝑥
2
− 𝑥
2
(
𝑥 + 1
)
√𝑥
2
− 𝑥
Ta có :
2
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
𝐼
1
=
∫
= lim
∫
1
(
𝑥 + 1
)
√𝑥
2
−
𝑥
2
𝑘→1
+
𝑘
(
𝑥 + 1
)
√𝑥
2
− 𝑥
𝑑𝑥
= lim
∫
𝑘→1
+
𝑘
2
3 2
(
𝑥 + 1
)
√
1 −
𝑥 + 1
+
(
𝑥 + 1
)2
Đặt :
1 −𝑑𝑥
𝑡 =
𝑥 + 1
⇒ 𝑑𝑡 =
(
𝑥 + 1
)2
Đổi cận:
Ta có:
𝑘
𝑑𝑡
√
2
3
3 1
𝑘
𝐼
1
= lim
−
∫
=
lim
−
ln |𝑡
−
+
√
𝑡
2
−
𝑡 + | |
1
1
𝑘→
2
1
√2𝑡
2
− 3𝑡
+ 1
3
1
𝑘→
2
2 2
3
√
2
= lim
3
√
2
3
1
√
2
√
2
1
−
𝑘→
2
ln |𝑘 −
+
2 4
𝑘 − 𝑘 + |
−
2 2
2
= −√2 ln
2 +
ln 12
2
+∞
𝑑𝑥
𝑘
𝑑𝑥
𝐼
2
=
∫
= lim
∫
2
(
𝑥 + 1
)
√𝑥
2
−
𝑥
+∞
𝑑𝑥
𝑘→+
∞
2
(
𝑥 + 1
)
√𝑥
2
− 𝑥
= lim
∫
𝑘→+∞
2
(
𝑥 + 1
)2
√1 −
3
+
2
𝑥 + 1 (
𝑥 + 1
)2
x 1 2
t
1 1
2 3
2 4
Trang 12
Giải tương tự ta được:
√
2 1
√
2 3
√
2
𝐼
2
=
ln
−
2 12
ln ( − )
2 4 2
√
2 3
√
2
⇒ 𝐼 = 𝐼
1
+ 𝐼
2
= −√2
ln 2 −
ln ( − )
2 4 2
Trang 13
PHẦN 4
KHẢO SÁT SỰ HỘI TỤ VÀ PHÂN KỲ CỦA TÍCH PHÂN
1. Xác định tích phân hội tụ hay phân kỳ:
Cách 1 :
- Tính trực tiếp như dạng 1
- Nếu kết quả tích phân tồn tại (là hằng số) thì tích phân hội tụ
Cách 2 :
* Bước 1: Xác định loại tích phân:
- Loại 1: Giữ nguyên
- Loại 2: Đưa về TH1 của tích phân loại 2
- Loại 3: Đưa về tổng loại 1 và loại 2 (loại 2 đưa tiếp về TH1)
* Bước 2: Xác định loại hàm trong dấu tích phân
o Hàm không âm (trong khoảng giữa hai cận):
Trường hợp 1 (thay tương đương được) : Dùng VCB,VCL đưa về tích phân
cơ bản theo loại tích phân tương ứng
Trường hợp 2 : không thay tương đương được) vì thay vào thành dạng triệt
tiêu→ khai triển Maclaurint. Cận không tiến về 0 → Dùng tiêu chuẩn so
sánh loại 2 theo loại tích phân tương ứng
o Hàm âm (trong khoảng giữa hai cận): Dùng tiêu chuẩn so sánh loại 2 theo loại tích
phân tương ứng
o Hàm đổi dấu (trong khoảng giữa hai cận): Tách cận đưa về hàm không âm
hoặc dùng hội tụ tuyệt đối
Trang 14
Ví dụ 4.1 : Tích phân suy rộng loại 1: Hàm không âm
+∞
𝐼 = ∫
1
𝑥 − 1
𝑥
3
+ 3𝑥 +
2 𝑑𝑥
Giải :
Ta có :
0 ≤ 𝑓(𝑥)
<
�
�
1
𝑥3𝑥2
=, ∀𝑥 ∈ [1, +∞)
Vì ∫+∞ 𝑑𝑥 hội tụ nên 𝐼
hội tụ
1
𝑥2
Ví dụ 4.2 : Tích phân suy rông loại 1 : Hàm âm
+∞
𝐼 = ∫
1
𝑥(𝑐𝑜𝑠−
1)𝑑𝑥
1
�
�
Giải :
Ta có 𝑓(𝑥) < 0, ∀𝑥 ∈ [1,
+∞)
Chọn :
𝑔(𝑥) =,
1
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑔(𝑥)
= 𝑥
2
(𝑐𝑜𝑠− 1) →−−
−→ −
1
𝑥→+
∞
�
�
1
2
Vì 𝑔(𝑥) phân kỳ nên 𝐼
phân kỳ
Ví dụ 4.3 : Tích phân suy rộng loại 1: Hàm thay đổi dấu
+∞
𝐼 = ∫
0
𝑥 − 1
𝑥
3
+ 3𝑥 +
2 𝑑𝑥
Giải :
Ta có 𝐼 cùng bản
chất với
+∞
𝐽 =
∫
1
𝑥 − 1
𝑥
3
+ 3𝑥 +
2 𝑑𝑥
Vì 𝐽 hội tụ (chứng minh ở Ví dụ 4.1 )
nên 𝐼 hội tụ
Trang 15
Ví dụ 4.4 : Tích phân suy rộng loại 1 : Hàm thay đổi dấu
𝐼 = ∫
+∞
𝑐𝑜𝑠𝑥
.
𝑑𝑥
1
𝑥
2
Giải :
𝑓(𝑥) thay đổi dấu trên
[1, +∞)
+∞
𝐼
1
= ∫
1
|𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 = ∫|| 𝑑𝑥
𝑥2
+∞
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
|𝑓(𝑥)|
≤
1
𝑥2
,
Vì
∫
+∞
𝑑𝑥
1
𝑥2
hội tụ nên 𝐼 hội tụ → 𝐼
hội tụ
1
Ví dụ 4.5 : Tích phân suy rộng loại 2: Hàm không âm
𝜋
𝐼 = ∫
2𝑑𝑥
0
√𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠
𝑥
Giải :
𝑓(𝑥) ≥ 0 , kỳ dị tại
𝜋
và 0 →
tách cận
2
�
�
3
�
�
𝐼 = ∫
𝑑
𝑥
+ ∫
2
𝑑
𝑥
0
√𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
𝜋
√𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
=
𝐼
1
+𝐼
2
3
�
�
3
�
�
𝐼
1
=
∫
𝑑
𝑥
𝐼
2
= ∫
2
𝑑
𝑥
0
√𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠
𝑥
𝜋
√𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠
𝑥
3
Xét 𝐼
1
: 𝑓(𝑥) kỳ dị tại
0
𝑥 → 0
+
∶ 𝑓(𝑥)~ 1 .
√𝑥
𝜋
3
Vì ∫
0
1
1
(𝑥 −
0)2
hội tụ nên I hội tụ
1
Xét 𝐼 : 𝑓(𝑥) kỳ dị
tại
𝜋
2
2
𝑥 →∶ 𝑓(𝑥) =
𝜋
−
2
√𝑠𝑖𝑛𝑥sin(𝜋 −
𝑥)
1
~
1
2
√2
− 𝑥
�
�
�
�
2
Vì ∫
1
�
�
1 hội tụ nên I
2
hội tụ
3
(2 −
𝑥)2
�
�
Kết luận : 𝐼 hội
tụ
Trang 16
2. Tìm 𝜶 để tích phân hội tụ:
- Bước 1: Xác định loại tích phân:
-Loại 1: Giữ nguyên
-Loại 2: Đưa về TH1 của tích phân loại 2
-Loại 3: Đưa về tổng loại 1 và loại 2 (loại 2 đưa tiếp về TH1)
- Bước 2: Đưa về dạng tích phân cơ bản theo loại tích phân tương ứng
- Bước 3: Biện luận 𝛼 để tích phân hội tụ
Lưu ý trong bước 3 phải xét cẩn thận các trường hợp α vì α làm các số mũ đổi dấu sẽ làm
cho các vô cùng bé và vô cùng lớn không tương đương nữa(ta sẽ nói rõ hơn trong ví dụ)
Các tích phân cơ bản dùng trong bài toán này:
𝑏
𝟏.
∫
𝑑𝑥
(
𝑥 −
𝑎
)𝛼
𝑏
𝑑𝑥
∫
(
𝑏 − 𝑥
)𝛼
𝑎 𝑎
Hai tích phân này hội tụ ↔ 𝛼 > 1
+∞
𝑑𝑥
2.
∫
𝑏>0
𝑥
𝛼
Hội tụ ↔ 𝛼 > 1
+∞
3.
∫
𝑑𝑥
𝑥
𝛼
𝑙𝑛
𝛽
𝑥
𝑏>0
Hội tụ ↔ {
𝛼 > 1, ∀𝛽
𝛼 = 1, 𝛽 > 1
Ví dụ 4.6 : Tìm 𝛼 để các tích phân sau
hội tụ:
+∞
𝑎). 𝐼 =
∫
0
𝑥
𝛼
𝑑𝑥
(1 + 𝑥
2
)(5√1 + 𝑥
4
−
cos 𝑥)
Xét
+∞
𝐼 = ∫
0
𝑥
𝛼
𝑑𝑥
(1 + 𝑥
2
)(5√1 + 𝑥
4
−
cos 𝑥)
1
= ∫
𝑥
𝛼
𝑑
𝑥
+∞
+ ∫
0
(1 + 𝑥
2
)(5√1 + 𝑥
4
− cos 𝑥)
1
𝑥
𝛼
𝑑𝑥
(1 + 𝑥
2
)(5√1 + 𝑥
4
−
cos 𝑥)
= 𝐼
1
+ 𝐼
2
Trang 17
∫
∫
∫
Xét 𝐼
1
, 𝑥 → 0
+
→ 𝐼
cùng bản chất với
∫
1
2
𝑑𝑥
2
𝑓(𝑥)~
𝑥
2−𝛼
1
0
𝑥
2−𝛼
Vậy 𝐼
1
hội tụ ↔ 2 − 𝛼 < 1 ↔ 𝛼 > 1
Xét 𝐼
2
, 𝑥 → +∞
→
𝐼
2
cùng bản chất với
+∞
1
2
14
𝑥
5
−𝛼
𝑑
𝑥
𝑓(𝑥)
~
2
14
−𝛼
𝑥
5
Vậy 𝐼
2
hội tụ ↔ 2 − 𝛼 < 1 ↔ 𝛼 > 1
+∞
𝑏). 𝐼 = ∫
√1 + 𝑥
2
𝑥
𝛼
(
1 + 𝑥
𝛼+1
)
𝑑𝑥
0
1
𝐼 =
∫
√1 + 𝑥
2 +∞
𝑥
𝛼
(1 + 𝑥
𝛼+1
)
𝑑𝑥 + ∫
√1 + 𝑥
2
𝑥
𝛼
(1 + 𝑥
𝛼+1
)
𝑑𝑥 = 𝐼
1
+ 𝐼
2
0 1
𝛼 > −1
Xét 𝐼
1
, 𝑥 → 0
+
→
𝐼
1
cùng bản chất với
1
1
𝑑𝑥
0
𝑥
𝛼
1
𝑓(𝑥)~
𝑥
𝛼
Vậy 𝐼
1
hội tụ ↔ 𝛼 > 1
Xét 𝐼
2
, 𝑥 → +∞
→
𝐼
2
cùng bản chất với
+∞
1
1
𝑥
2
𝛼
𝑑
𝑥
1
𝑓(𝑥)~
𝑥
2𝛼
Vậy
𝐼
2
Trang 18
hội tụ
↔ 2𝛼
> 1 ↔
𝛼 >
1
2
𝛼
<
−1
:
Trư
ờng
hợp
này
bạn
đọc
tự
xét
Trang 19
Bây giờ ta sẽ xem xét tại sao chúng ta lại xét 2 trường hợp trên :
Ta để ý rằng :Nếu không nói gì thêm, thì ta luôn nghĩ rằng 𝛼 + 1 > 0, bởi vì chúng ta đã
quen làm việc với các số dương rồi, nên khi đó ta chỉ xét tới một trường hợp là 𝛼 > −1, mà
quên đi trường hợp còn lại. Vậy chúng khác nhau ở điểm nào ??? Khi mặc định cho 𝛼 + 1
> 0 thì khi xét 𝐼
1
thì ta đã cho rằng 𝑥
𝛼+1
là một vô cùng bé, trong khi 𝑥
𝛼+1
, 𝑣ớ𝑖 𝛼 + 1
< 0 thì mọi chuyện sẽ khác, chúng đã trở thành vô cùng lớn nên hàm tương đương của ta đã
bị sai…
Tương tự khi ta xét với 𝐼
2
Do đó khi làm bài, bạn đọc nên chú ý đến các điểm làm các số mũ đổi dấu, xét xem chúng có
làm thay đổi tính VCB và VCL của các hàm ta đang xét để có được hàm tương đương cho
chính xác nhất
Trang 20
Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.