Tài liệu ôn thi học kỳ 2 lớp 12 môn Toán

Tài liệu ôn thi học kỳ 2 lớp 12 môn Toán được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

39 20 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề HK2 Toán 12

Môn: Toán 12

Thông tin:

19 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
TRƯỜNG THCS-THPT MỸ THUẬN
TRƯỜNG THCS-THPT MỸ THUẬN
TỔ TOÁN
TỔ TOÁN
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ 2
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ 2
LỚP 12
LỚP 12
MÔN TOÁN
MÔN TOÁN
Once you stop learning,
you’ll start dying
MỤCLỤC TÀILIỆUÔNTHIHỌCKỲ2TOÁN12
MỤC LỤC
Chủ đề 1. Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
A. Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1. Nguyênhàm............................................................................... 2
2. Tíchphân................................................................................. 2
3. Ứngdụngcủatíchphântronghìnhhọc.................................................... 3
B. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1. Bàitậptrênlớp............................................................................ 4
2. Bàitậpvềnhà............................................................................. 6
Chủ đề 2. Số phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
A. Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1. Sốphức................................................................................... 8
2. Phépcộng,trừ,nhân,chiasốphức......................................................... 8
B. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1. Bàitậptrênlớp............................................................................ 9
2. Bàitậpvềnhà............................................................................. 10
Chủ đề 3. Phương pháp tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
A. Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1. HệtọađộOxyz............................................................................ 11
2. Phươngtrìnhmặtcầu...................................................................... 12
3. Phươngtrìnhmặtphẳng................................................................... 12
4. Phươngtrìnhđườngthẳng................................................................. 13
B. Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1. Bàitậptrênlớp............................................................................ 14
2. Bàitậpvềnhà............................................................................. 15
TổToán 1 TrườngTHCS-THPTMỹThuận
Chủđề1.Nguyênhàm-Tíchphânvàứngdụng TÀILIỆUÔNTHIHỌCKỲ2TOÁN12
Chủđề1.
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG
DỤNG
A.LÝ THUYẾT
1 NGUYÊN HÀM
1 Tính chất của nguyên hàm
!
Tínhchất1.
Z
f
′
(x)dx =..................
Tínhchất2.
Z
k · f(x)dx =............ (k làhằngsố)
Tínhchất3.
Z
[f(x)± g(x)] dx =.....................
Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
•
Z
0dx =...............
•
Z
dx =...............
•
Z
x
n
dx =............... (n =−1)
•
Z
1
x
dx =...............
•
Z
e
x
dx =...............
•
Z
a
x
dx =............... (a > 0,a =1)
•
Z
cosx dx =...............
•
Z
sinxdx =...............
•
Z
1
cos
2
x
dx =...............
•
Z
1
sin
2
x
dx =...............
2 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
Định lí − é
Nếu
Z
f(u)dx = F(u)+C vàu = u(x)làhàmsố
cóđạohàmliêntụcthì
Z
f
(
u(x)
)
·u
′
(x)dx =........................
Hệ quả − é
Vớiu =ax +b (a =0)thì
Z
f
(
ax +b
)
dx =...............
3 Phương pháp nguyên hàm từng phần
Định lí − é
Nếuhaihàmsốu =u(x) vàv =v(x) cóđạohàmliêntụctrênK thì
Z
u(x)· v
′
(x)dx =........................
2 TÍCH PHÂN
TổToán 2 TrườngTHCS-THPTMỹThuận
A.Lýthuyết TÀILIỆUÔNTHIHỌCKỲ2TOÁN12
1 Tính chất của tích phân
!
Tínhchất1.
b
Z
a
k · f(x)dx =............... (k làhằngsố)
Tínhchất2.
b
Z
a
[f(x)± g(x)] dx =...........................
Tínhchất3.
c
Z
a
f(x)dx +
b
Z
c
f(x)dx =............ (a < c < b)
2 Phương pháp tính tích phân từng phần
Định lí − é
Nếuhaihàmsốu =u(x) vàv =v(x) cóđạohàmliêntụctrênK thì
b
Z
a
u(x)· v
′
(x)dx =........................
3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Chohàmsốy =f(x) liêntụctrênđoạn[a;b].
Diện tích S của hình phẳng giởi hạn bởi đồ thị của hàm số y =f(x), trục ......... và hai đường thẳng x =a,
x =b được tính theo công thức
S =
b
Z
a
...... dx =
c
Z
a
...... dx +
b
Z
c
...... dx
2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Chohaihàmsốy =f(x) vày =g(x) liêntụctrênđoạn[a;b].
Diện tích S của hình phẳng giởi hạn bởi đồ thị của hai hàm số y =f(x), y =g(x) và hai đường thẳng x =a,
x =b được tính theo công thức
S =
b
Z
a
............... dx
3 Thể tích của vật thể
CắtmộtvậtthểV bởihaimặtphẳng(P)và(Q)vuônggócvớitrụcOx lầnlượttạix =a,x =b (a < b).
Cắt V bởi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại diểm x ∈ [a;b] theo thiết diện có diện tích S(x).
GiảsửS(x)liêntụctrênđoạn[a;b],khiđóvậtthểV cóthể
tíchlà
V =
b
Z
a
............ dx
TổToán 3 TrườngTHCS-THPTMỹThuận
B.Thựchành TÀILIỆUÔNTHIHỌCKỲ2TOÁN12
4 Thể tích khối tròn xoay
Quayhìnhthangconggiớihạnbởiđồthịhàmsốy = f(x),trụchoànhvàhaiđườngthẳngx =a,x = b quanh
trục...... tạothànhmộtkhối............ cóthểtíchlà
V =...
b
Z
a
......... dx
B.THỰC HÀNH
1 BÀI TẬP TRÊN LỚP
Câu 1. Chohàmsốy = f(x) xácđịnhtrênkhoảngK vàF(x)làmộtnguyênhàmcủaf(x)trênK.Khẳngđịnh
nàodướiđâyđúng?
A. f
′
(x)=F(x) với∀x ∈ K. B. F
′
(x)=f(x) với∀x ∈ K.
C. F(x)=f(x) với∀x ∈ K. D. F
′
(x)=f
′
(x) với∀x ∈ K.
Câu 2. Trongcáckhẳngđịnhsau,khẳngđịnhnàolàđúng?
A.
Z
[f(x)· g(x)] dx =
Z
f(x)dx ·
Z
g(x)dx. B.
Z
0dx =0.
C.
Z
f(x)dx =f
′
(x)+C. D.
Z
f
′
(x)dx =f(x)+C.
Câu 3. Tìmnguyênhàmcủahàmsốf(x)=x +
1
x
.
A.
Z
f(x)dx =lnx +
1
2
x
2
+C. B.
Z
f(x)dx =ln|x|+x
2
+C.
C.
Z
f(x)dx =ln|x|+
1
2
x
2
+C. D.
Z
f(x)dx =lnx +x
2
+C.
Câu 4. HàmsốF(x)=2sinx −3cosx làmộtnguyênhàmcủahàmsốnàosauđây?
A. f(x)=−2cosx − 3sinx. B. f(x)=−2cosx +3sinx.
C. f(x)=2cosx +3sinx. D. f(x)=2cosx − 3sinx.
Câu 5. Trongcáckhẳngđịnhsau,khẳngđịnhnàosai?
A.
Z
1
x +1
dx =ln|x +1| +C (∀x =−1). B.
Z
cos2x dx =
1
2
sin2x +C.
C.
Z
e
2x
dx =
e
2x
2
+C. D.
Z
2
x
dx =2
x
ln2+C.
Câu 6. ChoF(x) làmộtnguyênhàmcủahàmsốf(x)=
1
2x +1
,biếtF(0)=2.TínhF(1).
A. F(1)=
1
2
ln3+2. B. F(1)=ln3+2. C. F(1)=2ln3−2. D. F(1)=
1
2
ln3− 2.
Câu 7. Chobiết
Z
2x −13
(x +1)(x −2)
dx =aln|x +1| +bln|x −2|+C.Mệnhđềnàosauđâyđúng?
A. a −b =8. B. 2a − b =8. C. a +2b =8. D. a +b =8.
Câu 8. Chohàmsốf
(
x
)
cóđạohàmtrênđoạn[0;2] vàf
(
0
)
=−1,biết
2
Z
0
f
′
(
x
)
dx =5.Tínhf
(
2
)
.
A. f
(
2
)
=2. B. f
(
2
)
=6. C. f
(
2
)
=4. D. f
(
2
)
=5.
Câu 9. Chobiết
5
Z
2
f(x)dx =3,
5
Z
2
g(t)dt =9.Tính
5
Z
2
[f(x)− 2g(x)] dx.
A. −6. B. −15. C. 12. D. 21.
Câu 10. Cho
1
Z
0
f(x)dx =−1,
3
Z
0
f(x)dx =5.Tính
3
Z
1
f(x)dx.
A. 5. B. 4. C. 1. D. 6.
Câu 11. Giátrịcủa
π
2
Z
0
sinxdx bằng
A. 1. B. 0. C. −1. D.
π
2
.
TổToán 4 TrườngTHCS-THPTMỹThuận
B.Thựchành TÀILIỆUÔNTHIHỌCKỲ2TOÁN12
Câu 12. Tíchphân
2
Z
1
dx
2x +3
bằng
A.
1
2
ln
7
5
. B. ln
7
5
. C. 2ln
7
5
. D.
1
2
ln35.
Câu 13. Biết
2
Z
1
dx
(x +1)(2x +1)
=aln2+bln3+cln5.Khiđógiátrịa +b +c bằng
A. 1. B. 0. C. 2. D. −3.
Câu 14. TínhtíchphânI =
e
Z
1
√
2+lnx
2x
dx.
A.
3
√
3+2
√
2
3
. B.
√
3+
√
2
3
. C.
√
3−
√
2
3
. D.
3
√
3− 2
√
2
3
.
Câu 15. Chohàmsốy =f(x)xácđịnhvàliêntụctrênđoạn[a;b].Diệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởiđồthịhàm
sốy =f(x),trụchoànhvàhaiđườngthẳngx =a,x =b đượctínhtheocôngthức
A. S =
b
Z
a
f(x)dx. B. S =
a
Z
b
|
f(x)
|
dx. C. S =−
b
Z
a
f(x)dx. D. S =
b
Z
a
|
f(x)
|
dx.
Câu 16.
GọiS làdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởicácđườngy =f(x),trụchoànhvàhai
đườngthẳngx =−1,x =2(nhưhìnhvẽ).Đặta =
0
Z
−1
f(x)dx,b =
2
Z
0
f(x)dx,
mệnhđềnàodướiđâyđúng?
A. S =b − a. B. S =b +a. C. S =a − b. D. S =−a − b.
x
y
−1 2
Câu 17. TínhdiệntíchS củahìnhphẳng(H) giớihạnbởiđồthịhàmsốy = −x
3
+3x
2
− 2,haitrụctọađộvà
đườngthẳngx =2.
A. S =
1
3
. B. S =
19
2
. C. S =
9
2
. D. S =
5
2
.
Câu 18.
CâulạcbộbóngđáASRomadựđịnhxâydựngsânvậnđộngmớicó
tênlàStadioDelltaRomađểlàmsânnhàchođộibóngthaythếcho
sânOlimpico.Hệthốngmáicủasânvậnđộngdựđịnhđượcxâydựng
códạnghaihìnhelipnhưhìnhbênvớieliplớnbênngoàicócóđộdài
trụclớnlà146 mét,độdàitrụcnhỏlà108 mét;hìnhelipnhỏbêntrong
cóđộdàitrụclớnlà110mét,độdàitrụcnhỏlà72 mét.Giảsửchiphí
vậtliệulà100$mỗimétvuông.Tínhchiphícầnthiếtđểxâydựnghệ
thốngmáisân.
A. 98100$. B. 98100π$. C. 196200$. D. 196200π$.
Câu 19. ViếtcôngthứctínhthểtíchV củavậtthểnằmgiữahaimặtphẳngx =0vàx =ln4,bịcắtbởimột
mặtphẳngvuônggócvớitrụchoànhtạiđiểmcóhoànhđộx ∈ (0;ln4),cóthiếtdiệnlàmộthìnhvuôngcạnh
√
xe
x
.
A. V =π
ln4
Z
0
xe
x
dx. B. V =
ln4
Z
0
√
xe
x
dx. C. V =
ln4
Z
0
xe
x
dx. D. V =π
ln4
Z
0
[xe
x
]
2
dx.
Câu 20. Gọi(H)làhìnhphẳngtạobởiđồthịhàmsốy =
√
x
3
−x
2
−2x vàtrụchoành.Khicho(H) quayquanh
trụchoành,tađượckhốitrònxoaycóthểtíchlà
A.
13π
6
. B.
9π
4
. C.
5π
12
. D.
8π
3
.
TổToán 5 TrườngTHCS-THPTMỹThuận
B.Thựchành TÀILIỆUÔNTHIHỌCKỲ2TOÁN12
2 BÀI TẬP VỀ NHÀ
Câu 21. Chohàmsốy =f(x)liêntụctrênR vàcóđạo
hàmlàhàmsốf
′
(x).Mệnhđềnàodướiđâyđúng?
A.
Z
f(x)dx =−f
′
(x)+C.
B.
Z
f
′
(x)dx =−f(x)+C.
C.
Z
f
′
(x)dx =f(x)+C.
D.
Z
f(x)dx =f
′
(x)+C.
Câu 22. Chof(x), g(x) làcáchàmsốxácđịnhvàliêntục
trênR.Trongcácmệnhđềsau,mệnhđềnàosai?
A.
Z
[2f(x)+3g(x)] dx =2
Z
f(x)dx +3
Z
g(x)dx.
B.
Z
[f(x)− g(x)] dx =
Z
f(x)dx −
Z
g(x)dx.
C.
Z
2f(x)dx =2
Z
f(x)dx.
D.
Z
f(x)· g(x)dx =
Z
f(x)dx ·
Z
g(x)dx.
Câu 23. Tìmhọnguyên hàm của hàm số f(x) = 3x −
sinx.
A.
Z
f(x)dx =
3x
2
2
+cosx +C.
B.
Z
f(x)dx =3+cosx +C.
C.
Z
f(x)dx =
3x
2
2
−cosx +C.
D.
Z
f(x)dx =3x
2
+cosx +C.
Câu 24. Họnguyênhàmcủahàmsốf(x)=x
3
+x +1
là
A.
x
4
4
+
x
2
2
+C. B.
x
4
4
+
x
2
2
+x +C.
C. x
4
+
x
2
2
+C. D. 3x
2
+C.
Câu 25. Hàmsốnàosauđâykhông phải làmộtnguyên
hàmcủahàmsốf(x)=(2x −3)
3
?
A. F(x)=
(2x −3)
4
8
+8. B. F(x)=
(2x −3)
4
8
−3.
C. F(x)=
(2x −3)
4
8
. D. F(x)=
(2x −3)
4
4
.
Câu 26. Chohàmsốf(x)=x
3
−x
2
+2x − 1.GọiF(x) là
mộtnguyênhàmcủaf(x).BiếtrằngF(1)=4.TìmF(x).
A. F(x)=
x
4
4
−
x
3
3
+x
2
−x.
B. F(x)=
x
4
4
−
x
3
3
+x
2
−x +1.
C. F(x)=
x
4
4
−
x
3
3
+x
2
−x +2.
D. F(x)=
x
4
4
−
x
3
3
+x
2
−x +
49
12
.
Câu 27. Chohàmsốf(x)thỏamãnf
′
(x)=xe
x
vàf(0)=2.
Tínhf(1).
A. f(1)=8− 2e. B. f(1)=e.
C. f(1)=3. D. f(1)=5− 2e.
Câu 28. Chohàmsốy =f(x) cóđạohàmliêntụctrênR,
biếtf(1)=2017và
2
Z
1
f
′
(x)dx =1,giátrịcủaf(2)bằng
A. 2017. B. 2019. C. 2018. D. 2016.
Câu 29. Cho
b
Z
a
f(x)dx =2và
b
Z
a
g(x)dx =−3.Giátrịcủa
b
Z
a
[f(x)− 2g(x)]dx bằng
A. −4. B. 4. C. 6. D. 8.
Câu 30. Chohàmsốf(x)liêntụctrênđoạn[0;10]thỏa
mãn
10
Z
0
f(x)dx =7và
6
Z
2
f(x)dx =3.TínhP =
2
Z
0
f(x)dx+
10
Z
6
f(x)dx.
A. P =4. B. P =10. C. P =−6. D. P =7.
Câu 31. Tíchphân
1
Z
0
(3x +1)(x +3)dx bằng
A. 6. B. 5. C. 12. D. 9.
Câu 32. TínhtíchphânI =
1
Z
0
(x +1)
2
dx.
A. I =
1
2
. B. I =
1
3
. C. I =
7
3
. D. I =−
1
2
.
Câu 33. Chobiết
1
Z
0
x
2
+x +1
x +1
dx = a +bln2,trongđó
a, b làhaisốhữutỉ,thì
A. a +b =
1
2
. B. a +b =
3
2
.
C. a +b =−
1
2
. D. a +b =
5
2
.
Câu 34. Nếu t =
√
x
2
+3 thì tích phân I =
2
Z
1
x
p
x
2
+3dx trởthành
A. I =
√
7
Z
2
t dt. B. I =
7
Z
2
t
2
dt.
C. I =
√
7
Z
2
t
2
dt. D. I =
√
7
Z
2
t
3
dt.
Câu 35. Diệntíchphầnhìnhphẳnggạchchéotronghình
vẽbênđượctínhtheocôngthứcnàodướiđây?
x
y
y =−x
2
+3
y =x
2
−2x − 1
−1
2
A.
2
Z
−1
(−2x +2)dx.
TổToán 6 TrườngTHCS-THPTMỹThuận
B.Thựchành TÀILIỆUÔNTHIHỌCKỲ2TOÁN12
B.
2
Z
−1
(2x −2)dx.
C.
2
Z
−1
−2x
2
+2x +4
dx.
D.
2
Z
−1
2x
2
−2x − 4
dx.
Câu 36. GọiS làdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởiđồthị
hàmsốy =f(x),trụchoành,x =a,x =b.
x
y
a c b
y =f(x)
KhiđóS đượctínhtheocôngthứcnàodướiđây?
A. S =
b
Z
a
f(x)dx.
B. S =
c
Z
a
f(x)dx +
b
Z
c
f(x)dx.
C. S =−
c
Z
a
f(x)dx +
b
Z
c
f(x)dx.
D. S =
c
Z
a
f(x)dx +
b
Z
c
f(x)dx
.
Câu 37. DiệntíchS củahìnhphẳnggiớihạnbởiđường
congy =−x
3
+3x
2
− 2,trụchoànhvàhaiđườngthẳng
x =0,x =2 là
A. S =
5
2
. B. S =
3
2
. C. S =
7
2
. D. S =4.
Câu 38. MộtmảnhvườnhìnhtròntâmO bánkính6m.
Ngườitacầntrồngcâytrêndảiđấtrộng6mnhậnO làm
tâmđốixứng,biếtkinhphítrồngcâylà70000đồng/m
2
.
6 cm
O
Hỏicầnbaonhiêutiềnđểtrồngcâytrêndảiđấtđó?
A. 8.412.322 đồng. B. 4.821.322 đồng.
C. 3.142.232 đồng. D. 4.821.232 đồng.
Câu 39. Chohìnhphẳng(H)giớihạnbởiđồthịhàmsố
y = −x
2
+3x − 2,trụchoànhvàhaiđườngthẳngx = 1,
x =2.Quay(H)xungquanhtrụchoànhđượckhốitròn
xoaycóthểtíchlà
A. V =
2
Z
1
x
2
−3x +2
dx.
B. V =
2
Z
1
x
2
−3x +2
2
dx.
C. V =π
2
Z
1
x
2
−3x +2
2
dx.
D. V =π
2
Z
1
x
2
−3x +2
dx.
Câu 40.
Chohìnhphẳnggiớihạnbởi
đồthịcáchàmsố y =
√
x,
đườngthẳngy =2−x vàtrục
hoành(phầngạchchéotrong
hình vẽ). Thể tích của khối
trònxoaysinhbởihìnhphẳng
trênkhiquayquanhtrụcOx
bằng
A.
5π
4
. B.
4π
3
.
C.
7π
6
. D.
5π
6
.
x
y
O
1 2
1
2
TổToán 7 TrườngTHCS-THPTMỹThuận
Chủđề2.Sốphức TÀILIỆUÔNTHIHỌCKỲ2TOÁN12
Chủđề2.
SỐ PHỨC
A.LÝ THUYẾT
1 SỐ PHỨC
1 Định nghĩa
Mỗibiểuthứcdạng......... trongđóa, b ∈ ... vài
2
=... đượcgọilàmộtsố phức.
• Đốivớisốphứcz =a +bi,tanóia là............,b là............ củaz.
• Sối đượcgọilà............
• Tậphợpcácsốphứckíhiệulà...... (ThesetofComplexnumbers).
!
• Mỗisốthựca đềulàmộtsốphứcvớiphần ảo
bằng...
• Sốphứcbi cóphần thực bằng... đượcgọilàsố
.........
2 Số phức bằng nhau
Haisốphứcđượcgọilàbằngnhaunếu............ và............ củachúngtươngứngbằngnhau.
a
1
+b
1
i =a
2
+b
2
i ⇔
(
a
1
=...
b
1
=...
3 Biểu diễn hình học của số phức
ĐiểmM(...;...) tronghệtrụctọađộOxy đượcgọilàđiểm............ củasốphứcz =a +bi.
4 Môđun của số phức
Chosốphứcz =a +bi cóđiểmbiểudiễnlàM(a;b).
......... củavectơ
−−Ï
OM đượcgọilàmôđuncủasốphứcz,kíhiệulà......
|z| =.........
5 Số phức liên hợp
Chosốphứcz =a +bi.Tagọi......... làsố phức liên hợp củaz,kíhiệulà....
2 PHÉP CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC
Chohaisốphứcz
1
=a
1
+b
1
i vàz
2
=a
2
+b
2
i,khiđó:
• z
1
+z
2
=...............
• z
1
−z
2
=...............
• (a +bi)(c +di)=.....................
•
z
1
z
2
=
z
1
·z
2
z
2
·z
2
=.....................
TổToán 8 TrườngTHCS-THPTMỹThuận
B.Thựchành TÀILIỆUÔNTHIHỌCKỲ2TOÁN12
B.THỰC HÀNH
1 BÀI TẬP TRÊN LỚP
Câu 41. Chosốphứcz =3− 4i.Sốphứcliênhợpcủaz là
A. z =3+4i. B. z =3+4i. C. z =3. D. z =4i.
Câu 42. Trongcácsốphứcsau,sốnàocómôđunlớnnhất?
A. z
1
=1+2i. B. z
2
=2− i. C. z
3
=3i. D. z
4
=1+i.
Câu 43. Phầnthựcvàphầnảocủasốphứcz =1+2i lầnlượtlà
A. 2và1. B. 1 và2i. C. 1 và2. D. 1 vài.
Câu 44. Chosốphứcz =(2m − 1)+(m
2
−4)i, m ∈ R.Tìmm đểsốphứcz làsốthuầnảo.
A. m =2, m =−2. B. m =2. C. m =−
1
2
. D. m =
1
2
.
Câu 45. Choa, b làhaisốthựcthỏamãn2a +(b −3)i=4−5i vớii làđơnvịảo.Giátrịcủaa, b bằng
A. a =1, b =8. B. a =8, b =8. C. a =2, b =−2. D. a =−2, b =2.
Câu 46. Điểmnàosauđâybiểudiễnsốphứcz =3− 4i trênmặtphẳngtọađộ?
A. M(3;4). B. N(−4;3). C. P(3;−4). D. Q(−3;−4).
Câu 47. Thugọnsốphứcz =i+(2− 4i)− (3− 2i) tađược
A. z =−1− i. B. z =1− i. C. z =−1− 2i. D. z =1+i.
Câu 48. Chosốphứcz =2+bi.Tínhz· z.
A. z · z =
√
4+b
2
. B. z · z =4− b
2
. C. z ·z =−b. D. z · z =4+b
2
.
Câu 49. Chohaisốphứcz
1
=4− 3i vàz
2
=7+3i.Tìmsốphứcz =z
1
−z
2
.
A. z =3+6i. B. z =11. C. z =−1− 10i. D. z =−3− 6i.
Câu 50.
Tronghìnhvẽ,điểmP biểudiễnsốphứcz
1
,điểmQ biểudiễnsốphứcz
2
.Tìm
sốphứcz =z
1
+z
2
.
A. z =1+3i. B. z =−3+i. C. z =−1+2i. D. z =2+i.
0
x
y
−1
P
2
1
Q
2
Câu 51. Chosốphứcz =−
1
2
+
√
3
2
i.Tìmsốphứcw =1+z +z
2
.
A. w =−
1
2
+
√
3
2
i. B. w =0. C. w =1. D. w =2−
√
3i.
Câu 52. Choz
1
, z
2
làhaisốphứctùyý.Khẳngđịnhnàodướiđâysai?
A. z · z =|z|
2
. B.
|
z
1
+z
2
|
=
|
z
1
|
+
|
z
2
|
. C. z
1
+z
2
=z
1
+z
2
. D.
|
z
1
·z
2
|
=
|
z
1
|
·
|
z
2
|
.
Câu 53. Chosốphứcz
1
=1+7i,z
2
=3− 4i.Tínhmôđuncủasốphứcz
1
+z
2
.
A.
|
z
1
+z
2
|
=
√
5. B.
|
z
1
+z
2
|
=2
√
5. C.
|
z
1
+z
2
|
=25
√
2. D.
|
z
1
+z
2
|
=5.
Câu 54. Tìmhaisốthựcx, y thỏamãn(2x −3yi)+(1− 3i)=−1+6i,vớii làđơnvịảo.
A.
(
x =1
y =−3
. B.
(
x =−1
y =−3
. C.
(
x =−1
y =−1
. D.
(
x =1
y =−1
.
Câu 55. Chosốphứcz thỏamãn(1−2i)z+(1+3i)
2
=5i.Khiđóđiểmnàosauđâybiểudiễnsốphứcz?
A. M(2;−3). B. N(2;3). C. P(−2;3). D. Q(−2;−3).
Câu 56. Chosốphứcz thỏamãn|z+2−i| =3.TìmtậphợpcácđiểmtrongmặtphẳngOxy biểudiễnsốphức
w =1+z.
A. ĐườngtròntâmI(−2;1) bánkínhR =3. B. ĐườngtròntâmI(2;−1) bánkínhR =3.
C. ĐườngtròntâmI(−1;−1) bánkínhR =9. D. ĐườngtròntâmI(−1;−1) bánkínhR =3.
Câu 57. Chosốphứcz =x +yi (x, y ∈ R)cómôđunnhỏnhấtthỏamãnđiềukiện|z − 4− 2i| =|z −2|.Tính
P =x
2
+y
2
.
A. 10. B. 16. C. 8. D. 32.
Câu 58. Tìmcáccănbậchaicủa−6.
A. −
√
6i. B. ±
√
6i. C. ±6i. D.
√
6i.
TổToán 9 TrườngTHCS-THPTMỹThuận
B.Thựchành TÀILIỆUÔNTHIHỌCKỲ2TOÁN12
Câu 59. Trongtậpsốphức,phươngtrìnhz
2
−2z +5=0 cónghiệmlà
A. z =−1± 2i. B. z =2± 2i. C. z =−2± 2i. D. z =1± 2i.
Câu 60. Chosốphứcz =x +yi (x ≥ 0,y ≥ 0)thỏa
|
z −1+i
|
≤
|
z +3−i
|
≤
|
z −3−5i
|
.Giátrịlớnnhấtcủa
T =35x +63y bằng
A. 70. B. 126. C. 172. D. 203.
2 BÀI TẬP VỀ NHÀ
Câu 61. Tìmsốphứcliênhợpcủasốphứcz =4−3i.
A. z =−4− 3i. B. z =−4+3i.
C. z =4+3i. D. z =3+4i.
Câu 62. Chom ∈ R.Sốphứcnàosauđâycómôđunnhỏ
nhất?
A. z
1
=m. B. z
2
=m +i.
C. z
3
=m +2i. D. z
4
=3+mi.
Câu 63. Sốphứccóphầnthựcbằng3 vàphầnảobằng4
là
A. 3+4i. B. 4− 3i. C. 3− 4i. D. 4+3i.
Câu 64. Sốphứcnàosauđâylàsốthuầnảo?
A. z =3i. B. z =
√
3+i.
C. z =−2+3i. D. z =−2.
Câu 65. Tìmcácsốthựca, b thỏamãn(a−2b)+(a+b+
4)i=(2a +b)+2bi vớii làđơnvịảo.
A. a =−3, b =1. B. a =3, b =−1.
C. a =−3, b =−1. D. a =3, b =1.
Câu 66. Chosốphứcz =3+4i.Điểmnàosauđâybiểu
diễnsốphứcz trênmặtphẳngtọađộ?
A. M(3;4). B. N(−4;3).
C. P(3;−4). D. Q(−3;−4).
Câu 67. Choz
1
=1+2i,z
2
=2−3i.Khiđów =z
1
−2z
2
bằng
A. 5+8i. B. −3+8i. C. 3− i. D. −3− 4i.
Câu 68. Chosốphứcz =1+i.Sốphứcnghịchđảocủaz
là
A. 1− i. B.
1− i
2
. C.
1− i
√
2
. D.
−1+i
2
.
Câu 69. Chosốphứcz,khiđóz +z là
A. Sốthực. B. Sốảo. C. 0. D. 2.
Câu 70. Tìmsốphứcw = z
1
− 2z
2
,biếtrằngz
1
= 1+2i
vàz
2
=2− 3i.
A. w =3− i. B. w =5+8i.
C. w =−3+8i. D. w =−3− 4i.
Câu 71. Cho số phức z = 2+ 5i. Tìm số phức w =
iz +z.
A. w =7− 3i. B. w =−3− 3i.
C. w =3+7i. D. w =−7− 7i.
Câu 72. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =
2− i+
1
3
−2i
.
A.
7
3
và−3i. B.
7
3
và−3.
C.
7
3
và2. D.
5
3
và
1
2
.
Câu 73. Chosốphứcz =2−3i.Tìmphầnảocủasốphức
w =(1+i)z − (2− i)z.
A. −5. B. −9. C. −5i. D. −9i.
Câu 74. Sốphứcz thỏamãnđiềukiện(3+i)z+(1−2i)
2
=
8−17i.Khiđóhiệucủaphầnthựcvàphầnảocủaz là
A. 7. B. −3. C. 3. D. −7.
Câu 75. Chohaisốphứcz =3−5ivàw =−1+2i.Điểm
biểudiễnsốphứcφ = z − w · z trongmặtphẳngOxy có
tọađộlà
A. (−4;−6). B. (4;6).
C. (4;−6). D. (−6;−4).
Câu 76. Cóbaonhiêusốphứcz thỏamãnz
2
+|z| =0?
A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.
Câu 77. Chosốphứcz thỏamãn|z − 1| =|z − i|.Tìm
môđunnhỏnhấtcủasốphứcw =2z+2− i.
A. 3
√
2. B.
3
2
√
2
. C.
3
√
2
2
. D.
3
2
.
Câu 78. Tìmmộtcănbậchaicủa−8.
A. −2
√
2i. B. −2
√
2. C. 2
√
2. D. 2
√
−2i.
Câu 79. Tìm nghiệm phức có phần ảo âm của phương
trìnhz
2
−4z +13=0.
A. z =−2− 3i. B. z =2− 3i.
C. z =−2+3i. D. z =2+3i.
Câu 80. TrongmặtphẳngOxy chohaiđiểmA, B làđiểm
biểudiễn cho cácsố phức z và w = (1 +i)z.Biết tam
giácOAB códiệntíchbằng8.Mô-đuncủasốphứcw − z
bằng
A. 2. B. 2
√
2. C. 4
√
2. D. 4.
TổToán 10 TrườngTHCS-THPTMỹThuận
Chủđề3.Phươngpháptọađộtrongkhônggian TÀILIỆUÔNTHIHỌCKỲ2TOÁN12
Chủđề3.
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG
GIAN
A.LÝ THUYẾT
1 HỆ TỌA ĐỘ OXYZ
1 Tọa độ điểm và vectơ
Trongkhônggian,hệtrụctọađộOxyz baogồm... trụcOx,Oy,Oz đôimột............
• Cácvectơ
−Ï
i ,
−Ï
j ,
−Ï
k lầnlượtlàcácvectơ.........
trêncáctrụcOx,Oy,Oz.
• ĐiểmO(...;...;...) đượcgọilà...............
• Cácmặtphẳng......,......,...... đượcgọilàcác
mặtphẳngtọađộ.
• ĐiểmM
(
x
0
;y
0
;z
0
)
nếu
−−Ï
OM =...............
2 Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Các công thức cần nhớ − é
TrongkhônggianOxyz,chohaivectơ
−Ï
a =
(
a
1
;a
2
;a
3
)
và
−Ï
b =
(
b
1
;b
2
;b
3
)
.Tacó:
•
−Ï
a ±
−Ï
b =.....................
• k ·
−Ï
a =..................
•
−Ï
a =
−Ï
b ⇔
a
1
=...
a
2
=...
a
3
=...
•
−Ï
i =.........,
−Ï
j =.........,
−Ï
k =.........
• Vớivectơ
−Ï
b =
−Ï
0 thì
−Ï
a và
−Ï
b cùngphươngkhivà
chỉkhi∃k ∈ R saochoa
1
= ......,a
2
= ......,
a
3
=......
•
−Ï
AB =........................
• TrungđiểmcủađoạnthẳngAB làM
x
A
+x
B
...
;
.........
2
;
.........
...
• TrọngtâmcủatamgiácABC làG
x
A
+x
B
+x
C
...
;
............
3
;
............
...
3 Tích vô hướng
TrongkhônggianOxyz,tíchvôhướngcủahaivectơ
−Ï
a =
(
a
1
;a
2
;a
3
)
và
−Ï
b =
(
b
1
;b
2
;b
3
)
bằng
−Ï
a ·
−Ï
b =.....................
Độ dài của một vectơ − é
Chovectơ
−Ï
a =
(
a
1
;a
2
;a
3
)
.Khiđó
−Ï
a
=
q
a
2
1
+.........
Góc giữa hai vectơ − é
Góc giữa hai vectơ
−Ï
a =
(
a
1
;a
2
;a
3
)
và
−Ï
b =
(
b
1
;b
2
;b
3
)
đượctínhbởicôngthức
cos
−Ï
a ,
−Ï
b
=
−Ï
a ...
−Ï
b
−Ï
a
...
−Ï
b
=.....................
4 Tích có hướng
Trongkhônggian,chohaivectơ
−Ï
a =
(
a
1
;a
2
;a
3
)
và
−Ï
b =
(
b
1
;b
2
;b
3
)
.Tích có hướng củahaivectơ
−Ï
a và
−Ï
b làmột
...... ............ vớicả
−Ï
a và
−Ï
b .
h
−Ï
a ,
−Ï
b
i
=
(
............;............;............
)
TổToán 11 TrườngTHCS-THPTMỹThuận
A.Lýthuyết TÀILIỆUÔNTHIHỌCKỲ2TOÁN12
2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Định lí − é
TrongkhônggianOxyz,mặtcầu(S) tâmI(a;b;c) bánkínhR cóphươngtrìnhlà
(x −...)
2
+(y ......)
2
+(z......)
2
=......
Nhận xét: Phươngtrìnhmặtcầunóitrêncóthểviếtdướidạng
x
2
+y
2
+z
2
−......x −......y −......z +d =0
trongđóR =
√
a
2
+b
2
+c
2
−... (a
2
+b
2
+c
2
−... > ...)
3 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Định nghĩa − é
Chomặtphẳng
(
α
)
.Nếuvectơ
−Ï
n =
−Ï
0 vàcó...... vuônggócvớimặtphẳng
(
α
)
thì
−Ï
n đượcgọilàvectơ
.................. của
(
α
)
.
• Mỗimặtphẳngcó......... vectơpháptuyến.
• Nếu
−Ï
n làvectơpháptuyếncủa
(
α
)
thìk ·
−Ï
n cũnglà..................... của
(
α
)
.
2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng
TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng
(
α
)
điquađiểmM
(
x
0
;y
0
;z
0
)
vàcóvectơpháptuyến
−Ï
n = (a;b;c).Khi
đó
a
(
x − ...
)
+...
(
y ...y
0
)
+c
(
...− z
0
)
=...
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn − é
Nếumặtphẳng
(
α
)
cắtcáctrụcOx,Oy,Oz lầnlượttạiA(a;0;0),B(0;b;0) vàC(0;0;c) thì
(
α
)
:
x
a
+
y
b
+
z
c
=...
3 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
TrongkhônggianOxyz chohaimặtphẳng
(
α
)
: A
1
x +B
1
y +C
1
z +D
1
=0 và
(
β
)
: A
2
x +B
2
y +C
2
z +D
2
=0.
!
•
(
α
)
∥
(
β
)
⇔
(
(
A
1
;B
1
;C
1
)
...k
(
A
2
;B
2
;C
2
)
D
1
...kD
2
•
(
α
)
≡
(
β
)
⇔
(
(
A
1
;B
1
;C
1
)
...k
(
A
2
;B
2
;C
2
)
D
1
...kD
2
•
(
α
)
⊥
(
β
)
⇔ ............
4 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
TrongkhônggianOxyz,khoảngcáchtừđiểmM
(
x
0
;y
0
;z
0
)
đếnmặtphẳng
(
α
)
: Ax+By+Cz+D =0 được
tínhbằng
d
(
M,
(
α
))
=
A... +B... +C... +D
√
...
2
+...
2
+...
2
5 Góc giữa hai mặt phẳng
Giảsử
−Ï
m,
−Ï
n lầnlượtlàvectơpháptuyếncủahaimặtphẳng
(
α
)
,
(
β
)
.Khiđó
cos
((
α
)
,
(
β
))
=
−Ï
m ·
−Ï
n
−Ï
m
·
−Ï
n
TổToán 12 TrườngTHCS-THPTMỹThuận
A.Lýthuyết TÀILIỆUÔNTHIHỌCKỲ2TOÁN12
4 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1 Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
Định nghĩa − é
TrongkhônggianOxyz chođườngthẳng∆ điquađiểmM
(
x
0
;y
0
;z
0
)
vànhận
−Ï
u =
(
u
1
;u
2
;u
3
)
làmvectơchỉ
phương.Khiđóphươngtrìnhthamsốcủa∆ códạng
∆:
x =......+......t
y =...... +......t
z =......+......t
(1)
trongđót là............
!
Nếuu
1
, u
2
, u
3
=0 thìphươngtrình(1)cóthểviếtdướidạngchính tắc nhưsau:
x −...
...
=
y −...
...
=
z −...
...
2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Hai đường thẳng song song, trùng nhau
Gọi
−Ï
u,
−Ï
v lầnlượtlàvectơchỉphươngcủahaiđườngthẳng∆
1
, ∆
2
vàđiểmM ∈ ∆
1
.
• ∆
1
∥ ∆
2
⇔
(
−Ï
u =k......
M ......∆
2
• ∆
1
≡ ∆
2
⇔
(
−Ï
u =k......
M ......∆
2
Hai đường thẳng cắt nhau, chéo nhau
Chohaiđườngthẳngd:
x =x
0
+u
1
t
y =y
0
+u
2
t
z =z
0
+u
3
t
vàd
′
:
x =x
′
0
+v
1
t
′
y =y
′
0
+v
2
t
′
z =z
′
0
+v
3
t
′
.
• d vàd
′
cắtnhaukhivàchỉkhihệphươngtrình
x
0
+u
1
t =x
′
0
+v
1
t
′
y
0
+u
2
t =y
′
0
+v
2
t
′
z
0
+u
3
t =z
′
0
+v
3
t
′
cóđúng...... nghiệm.
• d vàd
′
chéonhaukhivàchỉkhihaivectơ
−Ï
u,
−Ï
v
............ phươngvàhệphươngtrình
x
0
+u
1
t =x
′
0
+v
1
t
′
y
0
+u
2
t =y
′
0
+v
2
t
′
z
0
+u
3
t =z
′
0
+v
3
t
′
...... nghiệm.
3 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
!
Đểtìmgiaođiểmcủađườngthẳng∆:
x =x
0
+u
1
t
y =y
0
+u
2
t
z =z
0
+u
3
t
vàmặtphẳng
(
α
)
: Ax +By +Cz +D = 0,taxét
phươngtrình
A
(
x
0
+u
1
t
)
+B
(
y
0
+u
2
t
)
+C
(
z
0
+u
3
t
)
+D =0(1)
• Nếu(1)vônghiệmthì∆.........
(
α
)
• Nếu(1)vôsốnghiệmthì∆.........
(
α
)
• Nếu(1)cóđúngmộtnghiệmthì∆.........
(
α
)
TổToán 13 TrườngTHCS-THPTMỹThuận
B.Thựchành TÀILIỆUÔNTHIHỌCKỲ2TOÁN12
B.THỰC HÀNH
1 BÀI TẬP TRÊN LỚP
Câu 81. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểmA
(
1;1;−2
)
vàB
(
2;2;1
)
.Vectơ
−Ï
AB cótọađộlà
A.
(
3;3;−1
)
. B.
(
3;1;1
)
. C.
(
−1;−1;−3
)
. D.
(
1;1;3
)
.
Câu 82. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chovectơa =−
i +2
j − 3
k.Tìmtọađộcủaa.
A. (2;−3;−1). B. (−3;2;−1). C. (−1;2;−3). D. (2;−1;−3).
Câu 83. TrongkhônggianOxyz,hìnhchiếuvuônggóccủađiểmM(13;2;15)trênmặtphẳngtọađộ(Oxy)là
điểmH(a;b;c).TínhP =3a +15b +c.
A. P =48. B. P =54. C. P =69. D. P =84.
Câu 84. TrongkhônggianOxyz,chobađiểmA(1;2;−1),B(2;−1;3),C(−3;5;1).TìmtọađộđiểmD saochotứ
giácABCD làhìnhbìnhhành.
A. D(−4;8;−5). B. D(−4;8;−3). C. D(−2;8;−3). D. Khôngtồntại.
Câu 85. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểmA(1;2;3)vàB(3;0;−5).TọađộtrungđiểmI củađoạnthẳngAB
là
A. I(2;1;−1). B. I(2;2;−2). C. I(4;2;−2). D. I(−1;1;4).
Câu 86. TrongkhônggianOxyz,chotamgiácABC vớiA(1;3;4),B(2;−1;0),C(3;1;2).TìmtọađộtrọngtâmG
củatamgiácABC.
A. G(2;1;2). B. G(6;3;6). C. G
3;
3
2
;3
. D. G(2;−1;2).
Câu 87. TrongkhônggianOxyz,cho a =(2;−3;3),
b =(0;2;−1),c =(3;−1;5).Tìmtọađộcủavectơ u =
2a +3
b − 2c.
A. (10;−2;13). B. (−2;2;−7). C. (−2;−2;7). D. (−2;2;7).
Câu 88. TrongkhônggianOxyz,tíchvôhướngcủahaivectơu =(3;0;1) vàv =(2;1;0) bằng
A. 8. B. 6. C. 0. D. −6.
Câu 89. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểmA(2;−1;4) vàB(−2;2;−6).TínhđộdàiđoạnthẳngAB.
A. AB =5
√
5. B. AB =
√
21+
√
44. C. AB =
√
65. D. AB =
√
5.
Câu 90. Giátrịcosincủagócgiữahaivectơ
−Ï
a =(4;3;1) và
−Ï
b =(0;2;3) là
A.
5
√
26
26
. B.
9
√
2
26
. C.
5
√
2
26
. D.
9
√
13
26
.
Câu 91. TrongkhônggianOxyz,điềukiệnđểphươngtrìnhdạngx
2
+y
2
+z
2
+2ax +2by +2cz +d =0là
phươngtrìnhcủamặtcầutâmI(−a;−b;−c),bánkínhR =
√
a
2
+b
2
+c
2
−d là
A. a
2
+b
2
+c
2
+d > 0. B. a
2
+b
2
+c
2
−d > 0.
C. a
2
+b
2
+c
2
+d
2
> 0. D. a
2
+b
2
+c
2
−d
2
> 0.
Câu 92. TrongkhônggianOxyz,tọađộtâmI,bánkínhR củamặtcầu
(
S
)
: x
2
+y
2
+z
2
− 2x +4y − 20 =0
là
A. I
(
1;2;0
)
, R =5. B. I
(
1;−2
)
, R =5. C. I
(
−1;2;0
)
, R =5. D. I
(
1;−2;0
)
, R =5.
Câu 93. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểmA(1;−2;7), B(−3;8;−1).MặtcầuđườngkínhAB cóphươngtrình
là
A. (x +1)
2
+(y − 3)
2
+(z − 3)
2
=
√
45. B. (x − 1)
2
+(y +3)
2
+(z +3)
2
=45.
C. (x −1)
2
+(y − 3)
2
+(z +3)
2
=
√
45. D. (x +1)
2
+(y − 3)
2
+(z − 3)
2
=45.
Câu 94. TrongkhônggianOxyz,chobavectơa =(3;−1;−2),
b =(1;2;m) vàc =(5;1;7).Tìmgiátrịcủam để
h
a,
b
i
=c.
A. m =−1. B. m =0. C. m =1. D. m =2.
Câu 95. Chomặtphẳng
(
P
)
: 2x −3z − 1=0.Khiđó
(
P
)
cómộtvectơpháptuyếnlà
A.
−Ï
n =
(
2;−3;1
)
. B.
−Ï
n =
(
2;−3;0
)
. C.
−Ï
n =
(
2;0;−3
)
. D.
−Ï
n =
(
2;−3;−1
)
.
Câu 96. TrongkhônggianOxyz,mặtphẳng
(
α
)
điquagốctọađộO
(
0;0;0
)
vàcóvectơpháptuyếnlà
−Ï
n =
(
6;3;−2
)
thìphươngtrìnhcủa
(
α
)
là
A. 6x − 3y −2z =0. B. 6x +3y − 2z =0. C. −6x − 3y − 2z =0. D. −6x +3y − 2z =0.
Câu 97. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(Q): 2x − y +5z −15 = 0 vàđiểmE(1;2;−3).Mặtphẳng(P)
quaE vàsongsongvới(Q) cóphươngtrìnhlà
A. x +2y −3z +15=0. B. x +2y − 3z − 15=0. C. 2x − y +5z +15=0. D. 2x −y +5z −15=0.
Câu 98. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểmA(4;1;−2)vàB(5;9;3).Phươngtrìnhmặtphẳngtrungtrựccủa
đoạnAB là
A. 2x +6y − 5z +40=0. B. x +8y − 5z − 41=0.
C. x −8y − 5z − 35=0. D. x +8y +5z − 47=0.
TổToán 14 TrườngTHCS-THPTMỹThuận
B.Thựchành TÀILIỆUÔNTHIHỌCKỲ2TOÁN12
Câu 99. TrongkhônggianOxyz,chobađiểmA(−2;0;0),B(0;0;7),C(0;3;0).Phươngtrìnhmặtphẳng(ABC)
là
A.
x
−2
+
y
7
+
z
3
=1. B.
x
−2
+
y
3
+
z
7
=0. C.
x
−2
+
y
3
+
z
7
=1. D.
x
−2
+
y
3
+
z
7
+1=0.
Câu 100. TrongkhônggianOxyz,chomặtcầu(S)cóđườngkínhAB,vớiA(6;2;−5),B(−4;0;7).Viếtphương
trìnhmặtphẳng(P) tiếpxúcvới(S) tạiđiểmA.
A. (P): 5x +y −6z +62=0. B. (P): 5x +y − 6z − 62=0.
C. (P): 5x −y − 6z −62=0. D. (P): 5x +y +6z +62=0.
Câu 101. TrongkhônggianOxyz,chobađiểmA(3;−1;2),B(4;−1;−1)vàC(2;0;2).Mặtphẳngđiquabađiểm
A, B, C cóphươngtrìnhlà
A. 3x − 3y +z − 14=0. B. 3x +3y +z −8=0. C. 3x − 2y +z − 8=0. D. 2x +3y − z +8=0.
Câu 102. TrongkhônggianOxyz,mặtphẳng(P): x − 3y +1=0 điquađiểmnàosauđây?
A. A(3;1;1). B. B(1;−3;1). C. C(−1;0;0). D. D(1;0;0).
Câu 103. TrongkhônggianOxyz,chohaimặtphẳng(P): 2x −y −2z −9=0 và(Q): x −y −6=0.Sốđogóc
tạobởihaimặtphẳngbằng
A. 30
◦
. B. 45
◦
. C. 60
◦
. D. 90
◦
.
Câu 104. KhoảngcáchtừM
(
1;4;−7
)
đếnmặtphẳng
(
P
)
: 2x −y +2z − 9=0 là
A. 5. B. 12. C.
25
3
. D. 7.
Câu 105. Khoảngcáchgiữamặtphẳng(P): 2x −y +3z +5=0 và(Q): 2x − y +3z +1=0 bằng
A. 4. B.
6
√
14
. C. 6. D.
4
√
14
.
Câu 106. TrongkhônggianOxyz,đườngthẳngd:
x −1
2
=
y −3
−4
=
z −7
1
nhậnvectơnàodướiđâylàmộtvectơ
chỉphương?
A. a =(−2;−4;1). B.
b =(2;4;1). C. c =(1;−4;2). D.
d =(2;−4;1).
Câu 107. TrongkhônggianOxyz,điểmnàọdướiđâythuộcđườngthẳngd:
x +1
−1
=
y −2
3
=
z −1
3
?
A. P
(
−1;2;1
)
. B. Q
(
1;−2;−1
)
. C. N
(
−1;3;2
)
. D. M
(
1;2;1
)
.
Câu 108. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểmE(−1;0;2)vàF(2;1;−5).Phươngtrìnhchínhtắccủađường
thẳngEF là
A.
x −1
3
=
y
1
=
z +2
−7
. B.
x +1
3
=
y
1
=
z −2
−7
. C.
x −1
1
=
y
1
=
z +2
−3
. D.
x +1
1
=
y
1
=
z −2
3
.
Câu 109. Trong khônggianOxyz,đườngthẳng∆làgiao tuyến củahaimặtphẳng
(
α
)
:x + z − 5 = 0và
(
β
)
: x −2y − z +3=0 cóphươngtrìnhlà
A.
x +2
1
=
y +1
3
=
z
−1
. B.
x +2
1
=
y +1
2
=
z
−1
.
C.
x −2
1
=
y −1
1
=
z −3
−1
. D.
x −2
1
=
y −1
2
=
z −3
−1
.
Câu 110. TrongkhônggianOxyz,chođiểmM(1;−3;4),đườngthẳngd:
x +3
3
=
y −5
−5
=
z −2
−1
vàmặtphẳng
(P): 2x +z − 2=0.Viếtphươngtrìnhđườngthẳng∆ điquaM,vuônggócvớid vàsongsongvới(P).
A. ∆:
x −1
1
=
y +3
−1
=
z −4
−2
. B. ∆:
x −1
−1
=
y +3
−1
=
z −4
−2
.
C. ∆:
x −1
1
=
y +3
1
=
z −4
−2
. D. ∆:
x −1
1
=
y +3
−1
=
z −4
2
.
2 BÀI TẬP VỀ NHÀ
Câu 111. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểmM(2;3;1)
vàN(3;1;5).Tìmtọađộvectơ
−−Ï
MN.
A.
−−Ï
MN =(−1;2;−4). B.
−−Ï
MN =(−1;2;4).
C.
−−Ï
MN =(1;−2;4). D.
−−Ï
MN =(6;3;5).
Câu 112. TrongkhônggianOxyz,vectơa =−3
j +4
k có
tọađộlà
A. (0;3;4). B. (0;−3;4).
C. (0;−4;3). D. (−3;0;4).
Câu 113. TrongkhônggianOxyz,tìmtọađộđiểmH là
hìnhchiếuvuônggóccủađiểmA(2;1;−1)lêntrụctung.
A. H(2;0;−1). B. H(0;1;0).
C. H(0;1;−1). D. H(2;0;0).
Câu 114. TrongkhônggianOxyz,chobađiểmA(1;0;3),
B(2;3;−4),C(−3;1;2).TìmtọađộđiểmD saochotứgiác
ABCD làhìnhbìnhhành.
A. D(−4;−2;9). B. D(−4;2;9).
C. D(4;−2;9). D. Khôngtồntại.
Câu 115. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểmA(1;−1;2)
vàB(3;1;0).TọađộtrungđiểmI củađoạnthẳngAB là
A. I(2;0;1). B. I(1;1;−1).
C. I(2;2;−2). D. I(4;0;2).
Câu 116. TrongkhônggianOxyz,chotamgiácABC có
A(1;3;5),B(2;0;1)vàG(1;4;2)làtrọngtâm.Tìmtọađộđiểm
C.
TổToán 15 TrườngTHCS-THPTMỹThuận
B.Thựchành TÀILIỆUÔNTHIHỌCKỲ2TOÁN12
A. C(0;0;9). B. C
4
3
;
7
3
;
8
3
.
C. C(0;−9;0). D. C(0;9;0).
Câu 117. Trong không gian Oxyz cho hai vectơ x =
(2;1;−3) và y = (1;0;−1). Tìm tọa độ của vectơ a =
x +2y.
A. a =(4;1;−1). B. a =(3;1;−4).
C. a =(0;1;−1). D. a =(4;1;−5).
Câu 118. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A(1;−2;−1), B(1;4;3).ĐộdàiđoạnthẳngAB bằng
A. 2
√
13. B.
√
6. C. 3. D. 2
√
3.
Câu 119. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u =
(−1;1;0), v =(0;−1;0).Gócgiữau vàv cósốđobằng
A. 120
◦
. B. 45
◦
. C. 135
◦
. D. 60
◦
.
Câu 120. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a =
(3;−2;m)và
b = (2;m;−1).Tìm giá trị củam để a và
b vuônggócvớinhau.
A. m =2. B. m =1.
C. m =−2. D. m =−1.
Câu 121. Chomặtcầu(S):
(
x +1
)
2
+
(
y −2
)
2
+
(
z −3
)
2
=
12.Trongcácmệnhđềsau,mệnhđềnàosai?
A. (S) điquađiểmM(1;0;1).
B. (S) điquađiểmN(−3;4;2).
C. (S) cótâmI(−1;2;3).
D. (S) cóbánkínhR =2
√
3.
Câu 122. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết
phươngtrìnhcủamặtcầucótâmI
(
1;1;1
)
,bánkínhR =
√
2.
A.
(
x −1
)
2
+
(
y −1
)
2
+
(
z −1
)
2
=2.
B.
(
x +1
)
2
+
(
y +1
)
2
+
(
z +1
)
2
=4.
C.
(
x −1
)
2
+
(
y −1
)
2
+
(
z −1
)
2
=4.
D.
(
x +1
)
2
+
(
y +1
)
2
+
(
z +1
)
2
=2.
Câu 123. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A(−1;2;0), B(1;−2;2). Phương trình mặtcầu đường kính
AB là
A. x
2
+y
2
+(z − 1)
2
=6.
B. x
2
+y
2
+(z − 2)
2
=9.
C. x
2
+y
2
+(z +1)
2
=6.
D. (x −2)
2
+(y +4)
2
+(z − 2)
2
=24.
Câu 124. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm
A(1;−2;0),B(1;0;−1),C(0;−1;2)vàD(0;m;p)cùngthuộc
mộtmặtphẳng.Đẳngthứcnàosauđâylàđúng?
A. 2m +p =0. B. m +p =1.
C. m +2p =3. D. 2m − 3p =0.
Câu 125. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng
(P):2x − 4y + 6z − 1 = 0.Mặtphẳng(P)cómộtvectơ
pháptuyếnlà
A. n =(1;−2;3). B. n =(2;4;6).
C. n =(1;2;3). D. n =(−1;2;3).
Câu 126. TrongkhônggianOxyz,chọncâuđúngtrong
cáccâusau:
A. Mặtphẳngtọađộ(Oxy) cóphươngtrìnhz =0.
B. Mặtphẳngtọađộ(Ozx) cóphươngtrìnhx =0.
C. Mặtphẳngtọađộ(Oyz) cóphươngtrìnhy +z =0.
D. Mặtphẳngtọađộ(Oxy) cóphươngtrìnhx +y =0.
Câu 127. TrongkhônggianOxyz,mặtphẳng(P)quađiểm
G(1;1;1)vàvuônggócvớiđườngthẳngOG cóphươngtrình
là
A. x +y +z − 3=0. B. x +y +z =0.
C. x −y +z =0. D. x +y −z − 3=0.
Câu 128. TrongkhônggianOxyz,chohaiđiểmA(1;3;−4)
vàB(−1;2;2).Viếtphươngtrìnhmặtphẳngtrungtrực(α)
củađoạnthẳngAB.
A. (α): 4x +2y +12z +7=0.
B. (α): 4x −2y +12z +17=0.
C. (α): 4x +2y −12z − 17=0.
D. (α): 4x − 2y − 12z − 17=0.
Câu 129. TrongkhônggianOxyz,chobađiểmA
(
8;0;0
)
,
B
(
0;0;−4
)
,C
(
0;2;0
)
.Phươngtrìnhmặtphẳng
(
ABC
)
là
A.
x
4
+
y
1
+
z
−2
=1. B. x +4y − 2z− 8=0.
C.
x
8
+
y
2
+
z
−4
=0. D. x +4y − 2z =0.
Câu 130. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
M(1;−1;5) vàN(0;0;1).Mặtphẳng(α) chứaM, N vàsong
songvớitrụcOy cóphươngtrìnhlà
A. 4x −z +1=0. B. x − 4z+2=0.
C. 2x +z − 3=0. D. x +4z− 1=0.
Câu 131. Trong không gian Oxyz, điểm đối xứng của
M(1;2;3) quamặtphẳng(Oyz) cótọađộlà
A. (0;2;3). B. (−1;−2;−3).
C. (−1;2;3). D. (1;2;−3).
Câu 132. TrongkhônggianOxyz,chotứdiệnABCD có
A(0;2;0),B(2;0;0),C
0;0;
√
2
vàD(0;−2;0).Tínhsốđo
góccủahaimặtphẳng(ABC) và(ACD).
A. 30
◦
. B. 45
◦
. C. 60
◦
. D. 90
◦
.
Câu 133. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
(
α
)
: 4x − 3y +2z +28= 0vàđiểmI
(
0;1;2
)
.Viếtphương
trìnhcủamặtcầu
(
S
)
cótâmI vàtiếpxúcvớimặtphẳng
(
α
)
.
A.
(
S
)
: x
2
+
(
y −1
)
2
+
(
z −2
)
2
=29.
B.
(
S
)
: x
2
+
(
y −1
)
2
+
(
z −2
)
2
=
√
29.
C.
(
S
)
: x
2
+
(
y +1
)
2
+
(
z +2
)
2
=841.
D.
(
S
)
: x
2
+
(
y +1
)
2
+
(
z +2
)
2
=29.
Câu 134. TrongkhônggianOxyz,chođiểmM(1;2;0)và
mặtphẳng(α): x+2y−2z+1=0.KhoảngcáchtừM đến
(α) là
A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.
Câu 135. TrongkhônggianOxyz,chomặtphẳng(P): x−
2y+2z−2=0 vàđiểmI(−1;2;−1).Viếtphươngtrìnhmặt
cầu(S)tâmI,cắtmặtphẳng(P)theogiaotuyếnlàmột
đườngtròncóbánkínhbằng5.
A. (S): (x +1)
2
+(y − 2)
2
+(z +1)
2
=34.
B. (S): (x −1)
2
+(y +2)
2
+(z − 1)
2
=34.
C. (S): (x +1)
2
+(y − 2)
2
+(z +1)
2
=16.
D. (S): (x +1)
2
+(y − 2)
2
+(z +1)
2
=25.
Câu 136. Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới
đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
d:
x =1+t
y =4
z =3− 2t
?
A. u =(1;4;3). B. u =(1;4;−2).
C. u =(1;0;−2). D. u =(1;0;2).
Câu 137. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
d:
x −1
3
=
y +2
2
=
z −3
−4
.Điểmnàosauđâykhôngthuộc
đườngthẳngd?
A. Q(−2;−4;7). B. N(4;0;−1).
C. M(1;−2;3). D. P(7;2;1).
TổToán 16 TrườngTHCS-THPTMỹThuận
B.Thựchành TÀILIỆUÔNTHIHỌCKỲ2TOÁN12
Câu 138. Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm
A(3;2;1)vàsongsongvớiđườngthẳng
x
2
=
y
4
=
z +3
1
là
A.
x =3−2t
y =2− 4t
z =1− t
. B.
x =2+3t
y =4+2t
z =1+t
.
C.
x =2t
y =4t
z =3+t
. D.
x =3+2t
y =2− 4t
z =1+t
.
Câu 139. Trong không gian Oxyz, viết phương trình
đườngthẳnggiaotuyếncủahaimặtphẳng(P):x +3y −
z +1=0,(Q): 2x − y +z − 7=0.
A.
x +2
2
=
y
−3
=
z +3
−7
. B.
x −2
2
=
y
3
=
z −3
−7
.
C.
x
−2
=
y −3
−3
=
z −10
7
. D.
x −2
−2
=
y
3
=
z −3
7
.
Câu 140. TrongkhônggianOxyz,chođiểmA(3;5;3)và
haimặtphẳng(P): 2x+y+2z−8=0,(Q): x−4y+z−4=0.
Viếtphươngtrìnhđườngthẳngd điquaA vàsongsongvới
cảhaimặtphẳng(P),(Q).
A. d:
x =3+t
y =5− t
z =3
. B. d:
x =3+t
y =5
z =3− t
.
C. d:
x =3+t
y =5
z =3+t
. D. d:
x =3
y =5+t
z =3− t
.
TổToán 17 TrườngTHCS-THPTMỹThuận
Đápántrắcnghiệm TÀILIỆUÔNTHIHỌCKỲ2TOÁN12
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM
1. B 2. D 3. C 4. C 5. D 6. A 7. A 8. C 9. B 10. D
11. A 12. A 13. B 14. D 15. D 16. A 17. D 18. D 19. C 20. C
21. C 22. D 23. A 24. B 25. D 26. D 27. C 28. C 29. D 30. A
31. D 32. C 33. B 34. C 35. C 36. C 37. A 38. B 39. C 40. D
41. B 42. C 43. C 44. D 45. C 46. C 47. A 48. D 49. D 50. A
51. B 52. B 53. D 54. B 55. B 56. D 57. C 58. B 59. D 60. C
61. C 62. A 63. A 64. A 65. A 66. C 67. B 68. B 69. A 70. C
71. B 72. B 73. A 74. A 75. A 76. D 77. C 78. A 79. B 80. D
81. D 82. C 83. C 84. B 85. A 86. A 87. B 88. B 89. A 90. B
91. B 92. D 93. D 94. A 95. C 96. B 97. C 98. D 99. C 100. B
101. B 102. C 103. B 104. C 105. D 106. D 107. A 108. B 109. C 110. C
111. C 112. B 113. B 114. A 115. A 116. D 117. D 118. A 119. C 120. A
121. B 122. A 123. A 124. C 125. A 126. A 127. A 128. C 129. B 130. A
131. C 132. C 133. A 134. C 135. A 136. C 137. D 138. A 139. D 140. B
TổToán 18 TrườngTHCS-THPTMỹThuận
| 1/19
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TRƯỜNG THCS-THPT MỸ THUẬN TỔ TOÁN
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ 2 LỚP 12 MÔN TOÁN O learning, stop dying you start Once you’ll MỤC LỤC
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ 2 TOÁN 12 MỤC LỤC
Chủ đề 1. Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 A.
Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1. Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3. Ứng dụng của tích phân trong hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 B.
Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1. Bài tập trên lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Bài tập về nhà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chủ đề 2. Số phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 A.
Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1. Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Phép cộng, trừ, nhân, chia số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 B.
Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1. Bài tập trên lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Bài tập về nhà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Chủ đề 3. Phương pháp tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 A.
Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1. Hệ tọa độ Oxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. Phương trình mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3. Phương trình mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4. Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 B.
Thực hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1. Bài tập trên lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Bài tập về nhà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Tổ Toán 1
Trường THCS-THPT Mỹ Thuận
Chủ đề 1. Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ 2 TOÁN 12 Chủ đề 1.
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A.LÝ THUYẾT 1 NGUYÊN HÀM
1 Tính chất của nguyên hàm Z Tính chất 1.
f ′(x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z
! Tính chất 2. k · f(x)dx = ............ (k là hằng số) Z Tính chất 3.
[f(x) ± g(x)] dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp Z Z •
0 dx = . . . . . . . . . . . . . . . •
ax dx = . . . . . . . . . . . . . . . (a > 0, a ̸= 1) Z Z •
dx = . . . . . . . . . . . . . . . •
cos x dx = . . . . . . . . . . . . . . . Z Z •
xn dx = . . . . . . . . . . . . . . . (n ̸= −1) •
sin x dx = . . . . . . . . . . . . . . . Z Z 1 1 •
dx = . . . . . . . . . . . . . . . •
dx = . . . . . . . . . . . . . . . x cos2 x Z Z 1 •
ex dx = . . . . . . . . . . . . . . . •
dx = . . . . . . . . . . . . . . . sin2 x
2 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số Hệ quả − é Định lí − é Z
Với u = ax + b (a ̸= 0) thì Nếu
f (u) dx = F(u) + C và u = u(x) là hàm số Z
có đạo hàm liên tục thì
f (ax + b) dx = . . . . . . . . . . . . . . . Z
f (u(x)) · u′(x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Phương pháp nguyên hàm từng phần Định lí − é
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì Z
u(x) · v′(x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 TÍCH PHÂN Tổ Toán 2
Trường THCS-THPT Mỹ Thuận A. Lý thuyết
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ 2 TOÁN 12
1 Tính chất của tích phân b Z Tính chất 1.
k · f (x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . (k là hằng số) a b Z
! Tính chất 2. [f(x) ± g(x)] dx = ........................... a c Z b Z Tính chất 3.
f (x) dx +
f (x) dx = . . . . . . . . . . . . (a < c < b) a c
2 Phương pháp tính tích phân từng phần Định lí − é
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì b Z
u(x) · v′(x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 3
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
Diện tích S của hình phẳng giởi hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục . . . . . . . . . và hai đường thẳng x = a,
x = b được tính theo công thức b Z c Z b Z S = . . . . . . dx = . . . . . . dx + . . . . . . dx a a c
2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
Diện tích S của hình phẳng giởi hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a,
x = b được tính theo công thức b Z S =
. . . . . . . . . . . . . . . dx a
3 Thể tích của vật thể
Cắt một vật thể V bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a, x = b (a < b).
Cắt V bởi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại diểm x ∈ [a; b] theo thiết diện có diện tích S(x).
Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b], khi đó vật thể V có thể tích là b Z V =
. . . . . . . . . . . . dx a Tổ Toán 3
Trường THCS-THPT Mỹ Thuận B. Thực hành
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ 2 TOÁN 12
4 Thể tích khối tròn xoay
Quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh
trục . . . . . . tạo thành một khối . . . . . . . . . . . . có thể tích là b Z V = . . .
. . . . . . . . . dx a B.THỰC HÀNH 1 BÀI TẬP TRÊN LỚP
Câu 1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. f′(x) = F(x) với ∀x ∈ K.
B. F′(x) = f(x) với ∀x ∈ K.
C. F(x) = f(x) với ∀x ∈ K.
D. F′(x) = f′(x) với ∀x ∈ K.
Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng? Z Z Z Z A.
[f(x) · g(x)] dx =
f (x) dx · g(x) dx. B. 0 dx = 0. Z Z C.
f (x) dx = f′(x) + C. D.
f ′(x) dx = f(x) + C. 1
Câu 3. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x + . x Z Z 1 A.
f (x) dx = ln x + 2x2 + C. B.
f (x) dx = ln |x| + x2 + C. Z Z 1 C.
f (x) dx = ln |x| + 2x2 + C. D.
f (x) dx = ln x + x2 + C.
Câu 4. Hàm số F(x) = 2 sin x − 3 cos x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. f(x) = −2 cos x − 3 sin x.
B. f(x) = −2 cos x + 3 sin x.
C. f(x) = 2 cos x + 3 sin x.
D. f(x) = 2 cos x − 3 sin x.
Câu 5. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? Z Z 1 1 A.
dx = ln |x + 1| + C (∀x ̸= −1). B.
cos 2x dx = sin 2x + C. x + 1 2 Z Z e2x C. e2x dx = + 2x d 2 C. D.
x = 2x ln 2 + C. 1
Câu 6. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = , biết 2
F (0) = 2. Tính F(1). x + 1 1 1 A. F(1) = ln 3 + 2. ln 3 2
B. F(1) = ln 3 + 2.
C. F(1) = 2 ln 3 − 2. D. F(1) = 2 − 2. Z 2x − 13 Câu 7. Cho biết d (
x = a ln |x + 1| + b ln |x − 2| + C. Mệnh đề nào sau đây đúng? x + 1)(x − 2) A. a − b = 8. B. 2a − b = 8.
C. a + 2b = 8.
D. a + b = 8. 2 Z
Câu 8. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [0; 2] và f (0) = −1, biết
f ′ (x) dx = 5. Tính f (2). 0 A. f (2) = 2. B. f (2) = 6. C. f (2) = 4. D. f (2) = 5. 5 Z 5 Z 5 Z Câu 9. Cho biết
f (x) dx = 3,
g(t) dt = 9. Tính
[f(x) − 2g(x)] dx. 2 2 2 A. −6. B. −15. C. 12. D. 21. 1 Z 3 Z 3 Z Câu 10. Cho
f (x) dx = −1,
f (x) dx = 5. Tính f (x) dx. 0 0 1 A. 5. B. 4. C. 1. D. 6. π Z2
Câu 11. Giá trị của sin x dx bằng 0 A. 1. B. 0. C. −1. D. π . 2 Tổ Toán 4
Trường THCS-THPT Mỹ Thuận B. Thực hành
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ 2 TOÁN 12 2 Z dx Câu 12. Tích phân bằng 2x + 3 1 1 7 7 7 1 A. ln . . . ln 35. 2 5 B. ln 5 C. 2 ln 5 D. 2 2 Z dx Câu 13. Biết = (
a ln 2 + b ln 3 + c ln 5. Khi đó giá trị a + b + c bằng x + 1)(2x + 1) 1 A. 1. B. 0. C. 2. D. −3. e Z √2 + lnx
Câu 14. Tính tích phân I = d 2 x. x 1 √ √ √ √ √ √ √ √ 3 3 + 2 2 3 + 2 3 − 2 3 3 − 2 2 A. . . . . 3 B. 3 C. 3 D. 3
Câu 15. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức b Z a Z b Z b Z A. S = f (x) dx. B. S =
|f (x)| dx.
C. S = − f (x) dx. D. S =
|f (x)| dx. a b a a Câu 16.
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), trục hoành và hai y 0 Z 2 Z
đường thẳng x = −1, x = 2 (như hình vẽ). Đặt a =
f (x) dx, b = f (x) dx, −1 0
mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. S = b − a.
B. S = b + a.
C. S = a − b.
D. S = −a − b. x −1 2
Câu 17. Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = −x3 + 3x2 − 2, hai trục tọa độ và
đường thẳng x = 2. 1 19 9 5 A. S = . . . . 3 B. S = 2 C. S = 2 D. S = 2 Câu 18.
Câu lạc bộ bóng đá AS Roma dự định xây dựng sân vận động mới có
tên là Stadio Dellta Roma để làm sân nhà cho đội bóng thay thế cho
sân Olimpico. Hệ thống mái của sân vận động dự định được xây dựng
có dạng hai hình elip như hình bên với elip lớn bên ngoài có có độ dài
trục lớn là 146 mét, độ dài trục nhỏ là 108 mét; hình elip nhỏ bên trong
có độ dài trục lớn là 110 mét, độ dài trục nhỏ là 72 mét. Giả sử chi phí
vật liệu là 100$ mỗi mét vuông. Tính chi phí cần thiết để xây dựng hệ thống mái sân. A. 98100$. B. 98100π$. C. 196200$. D. 196200π$.
Câu 19. Viết công thức tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = ln 4, bị cắt bởi một
mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x ∈ (0; ln 4), có thiết diện là một hình vuông cạnh √xex. ln 4 Z ln 4 Z ln 4 Z ln 4 Z √ A. V = π xex dx. B. V = xex dx. C. V = xex dx. D. V = π
[xex]2 dx. 0 0 0 0 √
Câu 20. Gọi (H) là hình phẳng tạo bởi đồ thị hàm số y =
x3 − x2 − 2x và trục hoành. Khi cho (H) quay quanh
trục hoành, ta được khối tròn xoay có thể tích là 13π 9π 5π 8π A. . . . . 6 B. 4 C. 12 D. 3 Tổ Toán 5
Trường THCS-THPT Mỹ Thuận B. Thực hành
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ 2 TOÁN 12 2 BÀI TẬP VỀ NHÀ
Câu 21. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên b Z b Z R và có đạo
hàm là hàm số f′(x). Mệnh đề nào dưới đây đúng? Z Câu 29. Cho
f (x) dx = 2 và
g(x) dx = −3. Giá trị của A.
f (x) dx = −f′(x) + C. a a Z b Z B.
f ′(x) dx = −f(x) + C.
[f(x) − 2g(x)] dx bằng Z a C.
f ′(x) dx = f(x) + C. A. −4. B. 4. C. 6. D. 8. Z
Câu 30. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 10] thỏa D.
f (x) dx = f′(x) + C. 10 Z 6 Z 2 Z mãn
f (x) dx = 7 và
f (x) dx = 3. Tính P = f (x) dx+
Câu 22. Cho f(x), g(x) là các hàm số xác định và liên tục trên 0 2 0
R. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? Z Z Z 10 Z A.
[2f(x) + 3g(x)] dx = 2
f (x) dx + 3 g(x) dx. f (x) dx. Z Z Z 6 B.
[f(x) − g(x)] dx =
f (x) dx − g(x) dx. Z Z A. P = 4. B. P = 10.
C. P = −6. D. P = 7. 1 Z C.
2f(x) dx = 2 f (x) dx. Z Z Z Câu 31. Tích phân
(3x + 1)(x + 3) dx bằng D.
f (x) · g(x) dx =
f (x) dx · g(x) dx. 0 A. 6. B. 5. C. 12. D. 9.
Câu 23. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x − 1 Z sin x. Z
Câu 32. Tính tích phân I = (x + 1)2 dx. 3x2 A.
f (x) dx = + cos 0 2 x + C. Z 1 1 7 1 A. I = . B. I = . C. I = .
D. I = − . B.
f (x) dx = 3 + cos x + C. 2 3 3 2 Z 1 Z 3x2 x2 + x + 1 C.
f (x) dx = Câu 33. Cho biết
dx = a + b ln 2, trong đó
2 − cos x + C. Z x + 1 0 D.
f (x) dx = 3x2 + cos x + C.
a, b là hai số hữu tỉ, thì 1 3
A. a + b = .
B. a + b = .
Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x3 + x + 1 2 2 là 1 5
C. a + b = − . . 2
D. a + b = 2
A. x4 + x2 + + x2 + 4 2 C. B. x4 4 2 x + C. √ Câu 34. Nếu t =
x2 + 3 thì tích phân I = 2
C. x4 + x2 + Z p 2 C.
D. 3x2 + C. x
x2 + 3 dx trở thành
Câu 25. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số 1
f (x) = (2x − 3)3? √7 Z 7 Z (2x − 3)4 (2x − 3)4 A. F(x) = + 8. A. I = t dt. B. I = t2 dt. 8 B. F(x) = 8 − 3. (2x − 3)4 (2x − 3)4 2 2 C. F(x) = . . √ √ 8 D. F(x) = 4 7 Z 7 Z t2 dt. t3 dt.
Câu 26. Cho hàm số f(x) = x3 − x2 + 2x − 1. Gọi F(x) là C. I = D. I =
một nguyên hàm của f(x). Biết rằng F(1) = 4. Tìm F(x). 2 2 x3
Câu 35. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình
A. F(x) = x4 + 4 − 3 x2 − x.
vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? x3
B. F(x) = x4 + y 4 − 3 x2 − x + 1. x3
C. F(x) = x4 +
y = x2 − 2x − 1 4 − 3 x2 − x + 2. x3 49
D. F(x) = x4 + . 4 − 3 x2 − x + 12
Câu 27. Cho hàm số f(x) thỏa mãn f′(x) = xex và f(0) = 2. 2 Tính f(1). x −1
A. f(1) = 8 − 2e. B. f(1) = e. C. f(1) = 3.
D. f(1) = 5 − 2e.
Câu 28. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R, y = −x2 + 3 2 Z biết f(1) = 2017 và
f ′(x) dx = 1, giá trị của f(2) bằng 2 Z 1 A.
(−2x + 2) dx. A. 2017. B. 2019. C. 2018. D. 2016. −1 Tổ Toán 6
Trường THCS-THPT Mỹ Thuận B. Thực hành
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ 2 TOÁN 12 2 Z B. (2x − 2) dx. −12 Z C.
−2x2 + 2x + 4 dx. 6 cm −12 Z O D.
2x2 − 2x − 4 dx. −1
Câu 36. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số y = f(x), trục hoành, x = a, x = b. y
Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó?
A. 8.412.322 đồng.
B. 4.821.322 đồng.
C. 3.142.232 đồng.
D. 4.821.232 đồng.
Câu 39. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = −x2 + 3x − 2, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, a c b
x = 2. Quay (H) xung quanh trục hoành được khối tròn x xoay có thể tích là 2 Z y = f(x) A. V =
x2 − 3x + 2 dx. 1 2 Z
Khi đó S được tính theo công thức nào dưới đây? B. V =
x2 − 3x + 22 dx. b Z 1 A. S = f (x) dx. 2 Z 2 a C. V = π
x2 − 3x + 2 dx. c Z b Z 1 B. S =
f (x) dx + f (x) dx. 2 Z a c D. V = π
x2 − 3x + 2 dx. c Z b Z 1
C. S = −
f (x) dx + f (x) dx. Câu 40. a c c Z b Z
Cho hình phẳng giới hạn bởi √ y
D. S = f(x) dx + f (x) dx.
đồ thị các hàm số y = x, đường thẳng 2
y = 2−x và trục a c
hoành (phần gạch chéo trong
Câu 37. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường 1 cong
hình vẽ). Thể tích của khối
y = −x3 + 3x2 − 2, trục hoành và hai đường thẳng tròn xoay sinh bởi hình phẳng x = 0, x = 2 là 5 3 7
trên khi quay quanh trục Ox A. S = . . . x 2 B. S = 2 C. S = 2 D. S = 4. bằng O 1 2 5π 4π
Câu 38. Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính 6 m. A. . B. .
Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng 6 m nhận 4 3 O làm 7π 5π
tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70000 đồng/m2. C. . . 6 D. 6 Tổ Toán 7
Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Chủ đề 2. Số phức
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ 2 TOÁN 12 Chủ đề 2. SỐ PHỨC A.LÝ THUYẾT 1 SỐ PHỨC
1 Định nghĩa
Mỗi biểu thức dạng . . . . . . . . . trong đó a, b ∈ . . . và i2 = . . . được gọi là một số phức.
• Đối với số phức z = a + bi, ta nói a là . . . . . . . . . . . ., b là . . . . . . . . . . . . của z.
• Số i được gọi là . . . . . . . . . . . .
• Tập hợp các số phức kí hiệu là . . . . . . (The set of Complex numbers).
! • Mỗi số thực a đều là một số phức với phần ảo • Số phức bi có phần thực bằng ... được gọi là số bằng . . . . . . . . . . . .
2 Số phức bằng nhau
Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu . . . . . . . . . . . . và . . . . . . . . . . . . của chúng tương ứng bằng nhau. (a1 = ...
a1 + b1i = a2 + b2i ⇔ b1 = ...
3 Biểu diễn hình học của số phức
Điểm M(. . . ; . . .) trong hệ trục tọa độ Oxy được gọi là điểm . . . . . . . . . . . . của số phức z = a + bi.
4 Môđun của số phức
Cho số phức z = a + bi có điểm biểu diễn là M(a; b). −−Ï
. . . . . . . . . của vectơ OM được gọi là môđun của số phức z, kí hiệu là . . . . . .
|z| = . . . . . . . . .
5 Số phức liên hợp
Cho số phức z = a + bi. Ta gọi . . . . . . . . . là số phức liên hợp của z, kí hiệu là . . .. 2
PHÉP CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC
Cho hai số phức z1 = a1 + b1i và z2 = a2 + b2i, khi đó:
• z1 + z2 = . . . . . . . . . . . . . . .
• (a + bi)(c + di) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • z
• z1 = z1 · z2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 − z2 = . . . . . . . . . . . . . . . z2 z2 · z2 Tổ Toán 8
Trường THCS-THPT Mỹ Thuận B. Thực hành
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ 2 TOÁN 12 B.THỰC HÀNH 1 BÀI TẬP TRÊN LỚP
Câu 41. Cho số phức z = 3 − 4i. Số phức liên hợp của z là A. z = 3 + 4i. B. z = 3 + 4i. C. z = 3. D. z = 4i.
Câu 42. Trong các số phức sau, số nào có môđun lớn nhất? A. z1 = 1 + 2i.
B. z2 = 2 − i. C. z3 = 3i. D. z4 = 1 + i.
Câu 43. Phần thực và phần ảo của số phức z = 1 + 2i lần lượt là A. 2 và 1. B. 1 và 2i. C. 1 và 2. D. 1 và i.
Câu 44. Cho số phức z = (2m − 1) + (m2 − 4)i, m ∈ R. Tìm m để số phức z là số thuần ảo. 1 1
A. m = 2, m = −2. B. m = 2.
C. m = − . . 2 D. m = 2
Câu 45. Cho a, b là hai số thực thỏa mãn 2a + (b − 3)i = 4 − 5i với i là đơn vị ảo. Giá trị của a, b bằng
A. a = 1, b = 8.
B. a = 8, b = 8.
C. a = 2, b = −2.
D. a = −2, b = 2.
Câu 46. Điểm nào sau đây biểu diễn số phức z = 3 − 4i trên mặt phẳng tọa độ? A. M(3; 4).
B. N(−4; 3).
C. P(3; −4).
D. Q(−3; −4).
Câu 47. Thu gọn số phức z = i + (2 − 4i) − (3 − 2i) ta được
A. z = −1 − i.
B. z = 1 − i.
C. z = −1 − 2i. D. z = 1 + i.
Câu 48. Cho số phức z = 2 + bi. Tính z · z. √ A. z · z = 4 + b2.
B. z · z = 4 − b2.
C. z · z = −b.
D. z · z = 4 + b2.
Câu 49. Cho hai số phức z1 = 4 − 3i và z2 = 7 + 3i. Tìm số phức z = z1 − z2. A. z = 3 + 6i. B. z = 11.
C. z = −1 − 10i.
D. z = −3 − 6i. Câu 50.
Trong hình vẽ, điểm P biểu diễn số phức z1, điểm Q biểu diễn số phức z2. Tìm y
số phức z = z1 + z2. A. z = 1 + 3i.
B. z = −3 + i.
C. z = −1 + 2i. D. z = 2 + i. P 2 Q 1 −1 0 x 2 √ 1 3
Câu 51. Cho số phức z = − + i. Tìm số phức √ 2 2
w = 1 + z + z2. 1 3 √
A. w = − + i. 3i. 2 2 B. w = 0. C. w = 1.
D. w = 2 −
Câu 52. Cho z1, z2 là hai số phức tùy ý. Khẳng định nào dưới đây sai?
A. z · z = |z|2.
B. |z1 + z2| = |z1| + |z2|.
C. z1 + z2 = z1 + z2.
D. |z1 · z2| = |z1| · |z2|.
Câu 53. Cho số phức z √
1 = 1 + 7i, z2 = 3 − 4i. Tính môđun của số phức z √ 1 + z √ 2.
A. |z1 + z2| = 5.
B. |z1 + z2| = 2 5.
C. |z1 + z2| = 25 2.
D. |z1 + z2| = 5.
Câu 54. Tìm hai số thực x, y thỏa mãn (2x − 3yi) + (1 − 3i) = −1 + 6i, với i là đơn vị ảo. ( ( ( ( x = 1 x = −1 x = −1 x = 1 A. . B. . C. . D. . y = −3 y = −3 y = −1 y = −1
Câu 55. Cho số phức z thỏa mãn (1 − 2i)z + (1 + 3i)2 = 5i. Khi đó điểm nào sau đây biểu diễn số phức z?
A. M(2; −3). B. N(2; 3).
C. P(−2; 3).
D. Q(−2; −3).
Câu 56. Cho số phức z thỏa mãn |z + 2 − i| = 3. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức w = 1 + z.
A. Đường tròn tâm I(−2; 1) bán kính R = 3.
B. Đường tròn tâm I(2; −1) bán kính R = 3.
C. Đường tròn tâm I(−1; −1) bán kính R = 9.
D. Đường tròn tâm I(−1; −1) bán kính R = 3.
Câu 57. Cho số phức z = x + yi (x, y ∈ R) có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện |z − 4 − 2i| = |z − 2|. Tính
P = x2 + y2. A. 10. B. 16. C. 8. D. 32.
Câu 58. Tìm các căn bậc hai của −6. √ √ √
A. − 6i. B. ± 6i. C. ±6i. D. 6i. Tổ Toán 9
Trường THCS-THPT Mỹ Thuận B. Thực hành
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ 2 TOÁN 12
Câu 59. Trong tập số phức, phương trình z2 − 2z + 5 = 0 có nghiệm là
A. z = −1 ± 2i.
B. z = 2 ± 2i.
C. z = −2 ± 2i.
D. z = 1 ± 2i.
Câu 60. Cho số phức z = x + yi (x ≥ 0, y ≥ 0) thỏa |z − 1 + i| ≤ |z + 3 − i| ≤ |z − 3 − 5i|. Giá trị lớn nhất của
T = 35x + 63y bằng A. 70. B. 126. C. 172. D. 203. 2 BÀI TẬP VỀ NHÀ
Câu 61. Tìm số phức liên hợp của số phức z = 4 − 3i.
A. w = 7 − 3i.
B. w = −3 − 3i.
A. z = −4 − 3i.
B. z = −4 + 3i.
C. w = 3 + 7i.
D. w = −7 − 7i. C. z = 4 + 3i. D. z = 3 + 4i.
Câu 72. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =
Câu 62. Cho m ∈ 1
R. Số phức nào sau đây có môđun nhỏ 2 − i + . nhất? 3 − 2i
A. z1 = m.
B. z2 = m + i. 7 7 A. và −3i. B. và −3.
C. z3 = m + 2i.
D. z4 = 3 + mi. 3 3 7 5 1
Câu 63. Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 C. và 2. và . 3 D. 3 2 là
Câu 73. Cho số phức z = 2 − 3i. Tìm phần ảo của số phức A. 3 + 4i. B. 4 − 3i. C. 3 − 4i. D. 4 + 3i.
w = (1 + i)z − (2 − i)z.
Câu 64. Số phức nào sau đây là số thuần ảo? √ A. −5. B. −9. C. −5i. D. −9i. A. z = 3i. B. z = 3 + i.
Câu 74. Số phức z thỏa mãn điều kiện (3 + i)z + (1 − 2i)2 =
C. z = −2 + 3i.
D. z = −2.
8−17i. Khi đó hiệu của phần thực và phần ảo của z là
Câu 65. Tìm các số thực a, b thỏa mãn (a − 2b) + (a + b + A. 7. B. −3. C. 3. D. −7.
4)i = (2a + b) + 2bi với i là đơn vị ảo.
Câu 75. Cho hai số phức z = 3 − 5i và w = −1 + 2i. Điểm
A. a = −3, b = 1.
B. a = 3, b = −1.
biểu diễn số phức φ = z − w · z trong mặt phẳng Oxy có
C. a = −3, b = −1.
D. a = 3, b = 1. tọa độ là
Câu 66. Cho số phức z = 3 + 4i. Điểm nào sau đây biểu
A. (−4; −6). B. (4; 6).
diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ? C. (4; −6).
D. (−6; −4). A. M(3; 4).
B. N(−4; 3).
Câu 76. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z2+|z| = 0?
C. P(3; −4).
D. Q(−3; −4). A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.
Câu 67. Cho z1 = 1 + 2i, z2 = 2 − 3i. Khi đó w = z1 − 2z2 Câu 77. Cho số phức z thỏa mãn |z − 1| = |z − i|. Tìm bằng
môđun nhỏ nhất của số phức w = 2z + 2 − i. √ A. 5 + 8i. B. −3 + 8i. C. 3 − i.
D. −3 − 4i. √ 3 3 2 3 A. 3 2. B. √ . C. . D. .
Câu 68. Cho số phức z = 1 + i. Số phức nghịch đảo của z 2 2 2 2 là 1 − i 1 − i
Câu 78. Tìm một căn bậc hai của −8. √ √ √ √ A. 1 − i. B. . √ . . 2 C.
D. −1 + i
A. −2 2i. B. −2 2. C. 2 2.
D. 2 −2i. 2 2
Câu 79. Tìm nghiệm phức có phần ảo âm của phương
Câu 69. Cho số phức z, khi đó z + z là
trình z2 − 4z + 13 = 0. A. Số thực. B. Số ảo. C. 0. D. 2.
A. z = −2 − 3i.
B. z = 2 − 3i.
Câu 70. Tìm số phức w = z1 − 2z2, biết rằng z1 = 1 + 2i
C. z = −2 + 3i.
D. z = 2 + 3i.
và z2 = 2 − 3i.
Câu 80. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A, B là điểm
A. w = 3 − i. B. w = 5 + 8i.
biểu diễn cho các số phức z và w = (1 + i)z. Biết tam
C. w = −3 + 8i.
D. w = −3 − 4i.
giác OAB có diện tích bằng 8. Mô-đun của số phức w − z
Câu 71. Cho số phức z = 2 + 5i. Tìm số phức w = bằng √ √ iz + z. A. 2. B. 2 2. C. 4 2. D. 4. Tổ Toán 10
Trường THCS-THPT Mỹ Thuận
Chủ đề 3. Phương pháp tọa độ trong không gian
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ 2 TOÁN 12 Chủ đề 3.
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A.LÝ THUYẾT 1 HỆ TỌA ĐỘ OXYZ
1 Tọa độ điểm và vectơ
Trong không gian, hệ trục tọa độ Oxyz bao gồm . . . trục Ox, Oy, Oz đôi một . . . . . . . . . . . . − Ï − Ï − Ï
• Các vectơ i , j , k lần lượt là các vectơ . . . . . . . . .
• Các mặt phẳng . . . . . ., . . . . . ., . . . . . . được gọi là các
trên các trục Ox, Oy, Oz. mặt phẳng tọa độ. −−Ï
• Điểm O(. . . ; . . . ; . . .) được gọi là . . . . . . . . . . . . . . .
• Điểm M (x0; y0; z0) nếu OM = . . . . . . . . . . . . . . .
2 Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Các công thức cần nhớ − é − Ï
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ − Ï
a = (a1; a2; a3) và b = (b1; b2; b3). Ta có: − Ï − Ï − Ï − Ï • − Ï
a ± b = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• i = . . . . . . . . ., j = . . . . . . . . ., k = . . . . . . . . . • − Ï − Ï − Ï − Ï
k · a = . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Với vectơ b ̸= 0 thì − Ï
a và b cùng phương khi và   chỉ khi ∃k ∈a
R sao cho a1 = . . . . . ., a2 = . . . . . ., 1 = . . . − Ï a • − Ï 3 = . . . . . .
a = b ⇔ a2 = ...− Ï a3 = . . .
• AB = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Trung điểm của đoạn thẳng x AB là M
A + xB ; . . . . . . . . .; . . . . . . . . . . . . 2 . . .
• Trọng tâm của tam giác x ABC là G
A + xB + xC ; . . . . . . . . . . . .; . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . .
3 Tích vô hướng − Ï
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ − Ï
a = (a1; a2; a3) và b = (b1; b2; b3) bằng − Ï − Ï
a · b = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Độ dài của một vectơ − é Góc giữa hai vectơ − é Cho vectơ − Ï a = (a − Ï
1; a2; a3). Khi đó
Góc giữa hai vectơ − Ï a
= (a1; a2; a3) và b = q
(b1; b2; b3) được tính bởi công thức − Ï a =
a21 + . . . . . . . . . − Ï − Ï − Ï cos − Ï a . . . b a , b =
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . − Ï − Ï
a . . . b
4 Tích có hướng − Ï − Ï
Trong không gian, cho hai vectơ − Ï
a = (a1; a2; a3) và b = (b1; b2; b3). Tích có hướng của hai vectơ − Ï
a và b là một − Ï
. . . . . . . . . . . . . . . . . . với cả − Ï a và b . h i − Ï − Ï a , b
= (. . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . .) Tổ Toán 11
Trường THCS-THPT Mỹ Thuận A. Lý thuyết
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ 2 TOÁN 12 2
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Định lí − é
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình là
(x − . . .)2 + (y . . . . . .)2 + (z . . . . . .)2 = . . . . . .
Nhận xét: Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng
x2 + y2 + z2 − . . . . . . x − . . . . . . y − . . . . . . z + d = 0 √
trong đó R = a2 + b2 + c2 − . . . (a2 + b2 + c2 − . . . > . . .) 3
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Định nghĩa − é − Ï
Cho mặt phẳng (α). Nếu vectơ − Ï
n ̸= 0 và có . . . . . . vuông góc với mặt phẳng (α) thì − Ï
n được gọi là vectơ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . của (α).
• Mỗi mặt phẳng có . . . . . . . . . vectơ pháp tuyến. • Nếu − Ï − Ï
n là vectơ pháp tuyến của (α) thì k · n cũng là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . của (α).
2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x0; y0; z0) và có vectơ pháp tuyến − Ï
n = (a; b; c). Khi đó
a (x − . . .) + . . . (y . . . y0) + c (. . . − z0) = . . .
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn − é
Nếu mặt phẳng (α) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) thì
(α) : x + y + z = . . . a b c
3 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (α) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (β) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0. ( ( • (A (A (
1; B1; C1) . . . k (A2; B2; C2)
1; B1; C1) . . . k (A2; B2; C2)
α) ∥ (β) ⇔
• (α) ≡ (β) ⇔ ! D1 . . . kD2 D1 . . . kD2
• (α) ⊥ (β) ⇔ . . . . . . . . . . . .
4 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M (x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0 được tính bằng
d (M, (α)) = A . . . + B . . . + C . . . + D
√...2 + ...2 + ...2
5 Góc giữa hai mặt phẳng Giả sử − Ï − Ï
m, n lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (α) , (β). Khi đó −Ï −Ï m · n
cos ((α) , (β)) = −Ï m · − Ï n Tổ Toán 12
Trường THCS-THPT Mỹ Thuận A. Lý thuyết
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ 2 TOÁN 12 4
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1 Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng Định nghĩa − é
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M (x0; y0; z0) và nhận − Ï
u = (u1; u2; u3) làm vectơ chỉ
phương. Khi đó phương trình tham số của ∆ có dạng  
x = . . . . . . + . . . . . . t ∆: (1)
y = . . . . . . + . . . . . . t
z = ...... + ......t
trong đó t là . . . . . . . . . . . .
Nếu u1, u2, u3 ̸= 0 thì phương trình (1) có thể viết dưới dạng chính tắc như sau: !
x − . . . = y − ... = z − ... . . . . . . . . .
2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Hai đường thẳng song song, trùng nhau Gọi − Ï − Ï
u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng ∆1, ∆2 và điểm M ∈ ∆1. ( ( − Ï − Ï • ∆
u = k . . . . . .
u = k . . . . . . 1 ∥ ∆2 ⇔
• ∆1 ≡ ∆2 ⇔ M . . . . . . ∆2 M . . . . . . ∆2
Hai đường thẳng cắt nhau, chéo nhau   
x = x0 + u1t
x = x′0 + v1t′
Cho hai đường thẳng d : và .
y = y0 + u2t d′ : y = y′    0 + v2t′
z = z0 + u3t
z = z′0 + v3t′ • − Ï
d và d′ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình
• d và d′ chéo nhau khi và chỉ khi hai vectơ − Ï u , v
. . . . . . . . . . . . phương và hệ phương trình 
x0 + u1t = x′0 + v1t′  x
y0 + u2t = y′
 0 + u1t = x′0 + v1t′  0 + v2t′
z0 + u3t = z′ y 0 + v3t′
 0 + u2t = y′  0 + v2t′
z0 + u3t = z′0 + v3t′
có đúng . . . . . . nghiệm. . . . . . . nghiệm.
3 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng  
x = x0 + u1t
Để tìm giao điểm của đường thẳng ∆: và mặt phẳng
y = y0 + u2t
(α) : Ax + By + Cz + D = 0, ta xét
z = z0 + u3t phương trình !
A (x0 + u1t) + B (y0 + u2t) + C (z0 + u3t) + D = 0 (1)
• Nếu (1) vô nghiệm thì ∆ . . . . . . . . . (α)
• Nếu (1) vô số nghiệm thì ∆ . . . . . . . . . (α)
• Nếu (1) có đúng một nghiệm thì ∆ . . . . . . . . . (α) Tổ Toán 13
Trường THCS-THPT Mỹ Thuận B. Thực hành
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ 2 TOÁN 12 B.THỰC HÀNH 1 BÀI TẬP TRÊN LỚP − Ï
Câu 81. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1; 1; −2) và B (2; 2; 1). Vectơ AB có tọa độ là A. (3; 3; −1). B. (3; 1; 1).
C. (−1; −1; −3). D. (1; 1; 3).
Câu 82. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ ⃗
a = −⃗i + 2⃗j − 3⃗k. Tìm tọa độ của ⃗ a.
A. (2; −3; −1).
B. (−3; 2; −1).
C. (−1; 2; −3).
D. (2; −1; −3).
Câu 83. Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(13; 2; 15) trên mặt phẳng tọa độ (Oxy) là
điểm H(a; b; c). Tính P = 3a + 15b + c. A. P = 48. B. P = 54. C. P = 69. D. P = 84.
Câu 84. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; −1), B(2; −1; 3), C(−3; 5; 1). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ
giác ABCD là hình bình hành.
A. D(−4; 8; −5).
B. D(−4; 8; −3).
C. D(−2; 8; −3). D. Không tồn tại.
Câu 85. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3) và B(3; 0; −5). Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là
A. I(2; 1; −1).
B. I(2; 2; −2).
C. I(4; 2; −2).
D. I(−1; 1; 4).
Câu 86. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 3; 4), B(2; −1; 0), C(3; 1; 2). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. 3 A. G(2; 1; 2). B. G(6; 3; 6). C. G 3; ; 3 . 2
D. G(2; −1; 2).
Câu 87. Trong không gian Oxyz, cho ⃗
a = (2; −3; 3), ⃗
b = (0; 2; −1), ⃗c = (3; −1; 5). Tìm tọa độ của vectơ ⃗ u =
2⃗a + 3⃗b − 2⃗c.
A. (10; −2; 13).
B. (−2; 2; −7).
C. (−2; −2; 7). D. (−2; 2; 7).
Câu 88. Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ ⃗
u = (3; 0; 1) và ⃗v = (2; 1; 0) bằng A. 8. B. 6. C. 0. D. −6.
Câu 89. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −1; 4) và B(−2; 2; −6). Tính độ dài đoạn thẳng AB. √ √ √ √ √ A. AB = 5 5. B. AB = 21 + 44. C. AB = 65. D. AB = 5. − Ï
Câu 90. Giá trị cosin của góc giữa hai vectơ − Ï
a = (4; 3; 1) và b = (0; 2; 3) là √ √ √ √ 5 26 9 2 5 2 9 13 A. . . . . 26 B. 26 C. 26 D. 26
Câu 91. Trong không gian Oxyz, điều kiện để phương trình
√ dạng x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 là
phương trình của mặt cầu tâm I(−a; −b; −c), bán kính R = a2 + b2 + c2 − d là
A. a2 + b2 + c2 + d > 0.
B. a2 + b2 + c2 − d > 0.
C. a2 + b2 + c2 + d2 > 0.
D. a2 + b2 + c2 − d2 > 0.
Câu 92. Trong không gian Oxyz, tọa độ tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 − 2x + 4y − 20 = 0 là
A. I (1; 2; 0) , R = 5.
B. I (1; −2) , R = 5.
C. I (−1; 2; 0) , R = 5.
D. I (1; −2; 0) , R = 5.
Câu 93. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; −2; 7), B(−3; 8; −1). Mặt cầu đường kính AB có phương trình là √
A. (x + 1)2 + (y − 3)2 + (z − 3)2 = 45.
B. (x − 1)2 + (y + 3)2 + (z + 3)2 = 45. √
C. (x − 1)2 + (y − 3)2 + (z + 3)2 = 45.
D. (x + 1)2 + (y − 3)2 + (z − 3)2 = 45.
Câu 94. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ ⃗
a = (3; −1; −2), ⃗
b = (1; 2; m) và ⃗c = (5; 1; 7). Tìm giá trị của m để h i ⃗ a, ⃗ b = ⃗c.
A. m = −1. B. m = 0. C. m = 1. D. m = 2.
Câu 95. Cho mặt phẳng (P) : 2x − 3z − 1 = 0. Khi đó (P) có một vectơ pháp tuyến là A. − Ï
n = (2; −3; 1). B. − Ï
n = (2; −3; 0). C. − Ï
n = (2; 0; −3). D. − Ï
n = (2; −3; −1).
Câu 96. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O (0; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến là − Ï n = (6; 3; −2)
thì phương trình của (α) là
A. 6x − 3y − 2z = 0.
B. 6x + 3y − 2z = 0.
C. −6x − 3y − 2z = 0.
D. −6x + 3y − 2z = 0.
Câu 97. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (Q) : 2x − y + 5z − 15 = 0 và điểm E(1; 2; −3). Mặt phẳng (P)
qua E và song song với (Q) có phương trình là
A. x + 2y − 3z + 15 = 0.
B. x + 2y − 3z − 15 = 0.
C. 2x − y + 5z + 15 = 0.
D. 2x − y + 5z − 15 = 0.
Câu 98. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4; 1; −2) và B(5; 9; 3). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là
A. 2x + 6y − 5z + 40 = 0.
B. x + 8y − 5z − 41 = 0.
C. x − 8y − 5z − 35 = 0.
D. x + 8y + 5z − 47 = 0. Tổ Toán 14
Trường THCS-THPT Mỹ Thuận B. Thực hành
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ 2 TOÁN 12
Câu 99. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(−2; 0; 0), B(0; 0; 7), C(0; 3; 0). Phương trình mặt phẳng (ABC) là A.
x + y + z = 1. B.
x + y + z = 0. C.
x + y + z = 1. D.
x + y + z + 1 = 0. −2 7 3 −2 3 7 −2 3 7 −2 3 7
Câu 100. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có đường kính AB, với A(6; 2; −5), B(−4; 0; 7). Viết phương
trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) tại điểm A.
A. (P) : 5x + y − 6z + 62 = 0.
B. (P) : 5x + y − 6z − 62 = 0.
C. (P) : 5x − y − 6z − 62 = 0.
D. (P) : 5x + y + 6z + 62 = 0.
Câu 101. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3; −1; 2), B(4; −1; −1) và C(2; 0; 2). Mặt phẳng đi qua ba điểm
A, B, C có phương trình là
A. 3x − 3y + z − 14 = 0.
B. 3x + 3y + z − 8 = 0.
C. 3x − 2y + z − 8 = 0.
D. 2x + 3y − z + 8 = 0.
Câu 102. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) : x − 3y + 1 = 0 đi qua điểm nào sau đây? A. A(3; 1; 1).
B. B(1; −3; 1).
C. C(−1; 0; 0). D. D(1; 0; 0).
Câu 103. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : 2x − y − 2z − 9 = 0 và (Q) : x − y − 6 = 0. Số đo góc
tạo bởi hai mặt phẳng bằng A. 30◦. B. 45◦. C. 60◦. D. 90◦.
Câu 104. Khoảng cách từ M (1; 4; −7) đến mặt phẳng (P) : 2x − y + 2z − 9 = 0 là 25 A. 5. B. 12. C. . 3 D. 7.
Câu 105. Khoảng cách giữa mặt phẳng (P) : 2x − y + 3z + 5 = 0 và (Q) : 2x − y + 3z + 1 = 0 bằng 6 4 A. 4. B. √ . C. 6. D. √ . 14 14
Câu 106. Trong không gian Oxyz, đường thẳng d : x − 1 = y − 3 = z − 7 nhận vectơ nào dưới đây là một vectơ 2 −4 1 chỉ phương? A. ⃗
a = (−2; −4; 1). B. ⃗ b = (2; 4; 1).
C. ⃗c = (1; −4; 2). D. ⃗
d = (2; −4; 1).
Câu 107. Trong không gian Oxyz, điểm nàọ dưới đây thuộc đường thẳng d : x + 1 = y − 2 = z − 1 ? −1 3 3
A. P (−1; 2; 1).
B. Q (1; −2; −1).
C. N (−1; 3; 2). D. M (1; 2; 1).
Câu 108. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm E(−1; 0; 2) và F(2; 1; −5). Phương trình chính tắc của đường thẳng EF là
A. x − 1 = y = z + 2 . = y = z − 2. = y = z + 2. = y = z − 2. 3 1 B. x + 1 C. x − 1 D. x + 1 −7 3 1 −7 1 1 −3 1 1 3
Câu 109. Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) : x + z − 5 = 0 và
(β) : x − 2y − z + 3 = 0 có phương trình là
A. x + 2 = y + 1 = z . = y + 1 = z . 1 3 B. x + 2 −1 1 2 −1
C. x − 2 = y − 1 = z − 3 .
= y − 1 = z − 3. 1 1 D. x − 2 −1 1 2 −1
Câu 110. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; −3; 4), đường thẳng d : x + 3 = y − 5 = z − 2 và mặt phẳng 3 −5 −1
(P): 2x + z − 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M, vuông góc với d và song song với (P).
A. ∆ : x − 1 = y + 3 = z − 4 .
= y + 3 = z − 4. 1 B. ∆ : x − 1 −1 −2 −1 −1 −2
C. ∆ : x − 1 = y + 3 = z − 4 .
= y + 3 = z − 4. 1 1 D. ∆ : x − 1 −2 1 −1 2 2 BÀI TẬP VỀ NHÀ
Câu 111. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(2; 3; 1) Câu 114. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 3), −−Ï
và N(3; 1; 5). Tìm tọa độ vectơ MN.
B(2; 3; −4), C(−3; 1; 2). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác −−Ï −−Ï
A. MN = (−1; 2; −4).
B. MN = (−1; 2; 4).
ABCD là hình bình hành. −−Ï −−Ï
C. MN = (1; −2; 4).
D. MN = (6; 3; 5).
A. D(−4; −2; 9).
B. D(−4; 2; 9).
C. D(4; −2; 9). D. Không tồn tại.
Câu 112. Trong không gian Oxyz, vectơ ⃗
a = −3⃗j + 4⃗k có tọa độ là
Câu 115. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; −1; 2) A. (0; 3; 4). B. (0; −3; 4).
và B(3; 1; 0). Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là C. (0; −4; 3). D. (−3; 0; 4). A. I(2; 0; 1).
B. I(1; 1; −1).
Câu 113. Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ điểm H là
C. I(2; 2; −2). D. I(4; 0; 2).
hình chiếu vuông góc của điểm A(2; 1; −1) lên trục tung.
Câu 116. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có
A. H(2; 0; −1). B. H(0; 1; 0).
A(1; 3; 5), B(2; 0; 1) và G(1; 4; 2) là trọng tâm. Tìm tọa độ điểm
C. H(0; 1; −1). D. H(2; 0; 0). C. Tổ Toán 15
Trường THCS-THPT Mỹ Thuận B. Thực hành
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ 2 TOÁN 12 4 7 8
Câu 128. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 3; −4) A. C(0; 0; 9). B. C ; ; . 3 3 3
và B(−1; 2; 2). Viết phương trình mặt phẳng trung trực (α)
C. C(0; −9; 0). D. C(0; 9; 0).
của đoạn thẳng AB.
Câu 117. Trong không gian Oxyz cho hai vectơ ⃗ x =
A. (α) : 4x + 2y + 12z + 7 = 0.
(2; 1; −3) và ⃗y = (1; 0; −1). Tìm tọa độ của vectơ ⃗a =
B. (α) : 4x − 2y + 12z + 17 = 0. ⃗ x + 2⃗y.
C. (α) : 4x + 2y − 12z − 17 = 0. A. ⃗
a = (4; 1; −1). B. ⃗
a = (3; 1; −4).
D. (α) : 4x − 2y − 12z − 17 = 0. C. ⃗
a = (0; 1; −1). D. ⃗
a = (4; 1; −5).
Câu 129. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (8; 0; 0),
Câu 118. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm B (0; 0; −4), C (0; 2; 0). Phương trình mặt phẳng (ABC) là
A(1; −2; −1), B(1; 4; 3). Độ dài đoạn thẳng AB bằng √ √ √
A. x + y + z = 1.
B. x + 4y − 2z − 8 = 0. A. 2 13. B. 6. C. 3. D. 2 3. 4 1 −2
C. x + y + z = 0.
D. x + 4y − 2z = 0.
Câu 119. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ ⃗ u = 8 2 −4
(−1; 1; 0), ⃗v = (0; −1; 0). Góc giữa ⃗u và ⃗v có số đo bằng
Câu 130. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A. 120◦. B. 45◦. C. 135◦. D. 60◦.
M(1; −1; 5) và N(0; 0; 1). Mặt phẳng (α) chứa M, N và song
Câu 120. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ ⃗
a = song với trục Oy có phương trình là
(3; −2; m) và ⃗b = (2; m; −1). Tìm giá trị của m để ⃗a và
A. 4x − z + 1 = 0.
B. x − 4z + 2 = 0. ⃗
b vuông góc với nhau.
C. 2x + z − 3 = 0.
D. x + 4z − 1 = 0. A. m = 2. B. m = 1.
C. m = −2.
D. m = −1.
Câu 131. Trong không gian Oxyz, điểm đối xứng của
M(1; 2; 3) qua mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là
Câu 121. Cho mặt cầu (S) : (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 =
12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào A. (0; 2; 3).
B. (−1; −2; −3). sai? C. (−1; 2; 3). D. (1; 2; −3).
A. (S) đi qua điểm M(1; 0; 1).
B. (S) đi qua điểm N(−3; 4; 2).
Câu 132. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có √
C. (S) có tâm I(−1; 2; 3).
A(0; 2; 0), B(2; 0; 0), C 0; 0; 2 và D(0; −2; 0). Tính số đo √
D. (S) có bán kính R = 2 3.
góc của hai mặt phẳng (ABC) và (ACD).
Câu 122. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết A. 30◦. B. 45◦. C. 60◦. D. 90◦.
phương trình của mặt cầu có tâm I (1; 1; 1), bán kính R = √
Câu 133. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng 2.
(α) : 4x − 3y + 2z + 28 = 0 và điểm I (0; 1; 2). Viết phương
A. (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 2.
trình của mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng
B. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 4. (α).
C. (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 4.
A. (S) : x2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = 29. √
D. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 2.
B. (S) : x2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = 29.
Câu 123. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
C. (S) : x2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = 841.
A(−1; 2; 0), B(1; −2; 2). Phương trình mặt cầu đường kính
D. (S) : x2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = 29. AB là
Câu 134. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2; 0) và
A. x2 + y2 + (z − 1)2 = 6.
mặt phẳng (α): x + 2y − 2z + 1 = 0. Khoảng cách từ M đến
B. x2 + y2 + (z − 2)2 = 9. (α) là
C. x2 + y2 + (z + 1)2 = 6. A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.
D. (x − 2)2 + (y + 4)2 + (z − 2)2 = 24.
Câu 135. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x −
Câu 124. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm 2y + 2z − 2 = 0 và điểm I(−1; 2; −1). Viết phương trình mặt
A(1; −2; 0), B(1; 0; −1), C(0; −1; 2) và D(0; m; p) cùng thuộc cầu (S) tâm I, cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một
một mặt phẳng. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
đường tròn có bán kính bằng 5.
A. 2m + p = 0.
B. m + p = 1.
A. (S) : (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 34.
C. m + 2p = 3.
D. 2m − 3p = 0.
B. (S) : (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = 34.
Câu 125. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng
C. (S) : (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 16.
(P): 2x − 4y + 6z − 1 = 0. Mặt phẳng (P) có một vectơ
D. (S) : (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 25. pháp tuyến là A. ⃗
n = (1; −2; 3). B. ⃗ n = (2; 4; 6).
Câu 136. Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới C. ⃗ n = (1; 2; 3). D. ⃗
n = (−1; 2; 3).
đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng  x = 1 + t
Câu 126. Trong không gian Oxyz, chọn câu đúng trong  các câu sau: d : ? y = 4 
A. Mặt phẳng tọa độ (Oxy) có phương trình z = 0.
z = 3 − 2t
B. Mặt phẳng tọa độ (Ozx) có phương trình x = 0. A. ⃗ u = (1; 4; 3). B. ⃗
u = (1; 4; −2).
C. Mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình y + z = 0. C. ⃗
u = (1; 0; −2). D. ⃗ u = (1; 0; 2).
D. Mặt phẳng tọa độ (Oxy) có phương trình x + y = 0.
Câu 137. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
Câu 127. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) qua điểm d: x − 1 = y + 2 = z − 3. Điểm nào sau đây không thuộc
G(1; 1; 1) và vuông góc với đường thẳng OG có phương trình 3 2 −4 là đường thẳng d?
A. x + y + z − 3 = 0.
B. x + y + z = 0.
A. Q(−2; −4; 7).
B. N(4; 0; −1).
C. x − y + z = 0.
D. x + y − z − 3 = 0.
C. M(1; −2; 3). D. P(7; 2; 1). Tổ Toán 16
Trường THCS-THPT Mỹ Thuận B. Thực hành
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ 2 TOÁN 12
Câu 138. Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm
A. x + 2 = y = z + 3 . = y = z − 3. 2 B. x − 2 −3 −7 2 3 −7
A(3; 2; 1) và song song với đường thẳng x = y = z + 3 2 4 1 là
C. x = y − 3 = z − 10 . D. x − 2 = y = z − 3 .   −2 −3 7 −2 3 7 
x = 3 − 2t  x = 2 + 3t
Câu 140. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 5; 3) và A. . .
hai mặt phẳng (P): 2x+y+2z−8 = 0, (Q): x−4y+z−4 = 0.
y = 2 − 4t B. y = 4 + 2t   
Viết phương trình đường thẳng z = 1 − t z = 1 + t
d đi qua A và song song với  
cả hai mặt phẳng (P), (Q).  x = 2t  x = 3 + 2t    x = 3 + t  x = 3 + t C. . . y = 4t D.
y = 2 − 4t    A. d : y = 5 − t . B. d : y = 5 . z = 3 + t z = 1 + t     z = 3 z = 3 − t    
Câu 139. Trong không gian Oxyz, viết phương trình x = 3 + tx = 3
đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + 3y − C. d : . . y = 5 D. d : y = 5 + t   
z + 1 = 0, (Q) : 2x − y + z − 7 = 0. z = 3 + t z = 3 − t Tổ Toán 17
Trường THCS-THPT Mỹ Thuận Đáp án trắc nghiệm
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC KỲ 2 TOÁN 12
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1. B 2. D 3. C 4. C 5. D 6. A 7. A 8. C 9. B 10. D 11. A 12. A 13. B 14. D 15. D 16. A 17. D 18. D 19. C 20. C 21. C 22. D 23. A 24. B 25. D 26. D 27. C 28. C 29. D 30. A 31. D 32. C 33. B 34. C 35. C 36. C 37. A 38. B 39. C 40. D 41. B 42. C 43. C 44. D 45. C 46. C 47. A 48. D 49. D 50. A 51. B 52. B 53. D 54. B 55. B 56. D 57. C 58. B 59. D 60. C 61. C 62. A 63. A 64. A 65. A 66. C 67. B 68. B 69. A 70. C 71. B 72. B 73. A 74. A 75. A 76. D 77. C 78. A 79. B 80. D 81. D 82. C 83. C 84. B 85. A 86. A 87. B 88. B 89. A 90. B 91. B 92. D 93. D 94. A 95. C 96. B 97. C 98. D 99. C 100. B 101. B 102. C 103. B 104. C 105. D 106. D 107. A 108. B 109. C 110. C 111. C 112. B 113. B 114. A 115. A 116. D 117. D 118. A 119. C 120. A 121. B 122. A 123. A 124. C 125. A 126. A 127. A 128. C 129. B 130. A 131. C 132. C 133. A 134. C 135. A 136. C 137. D 138. A 139. D 140. B Tổ Toán 18
Trường THCS-THPT Mỹ Thuận
Document Outline

  • Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
    • Lý thuyết
      • Nguyên hàm
      • Tích phân
      • Ứng dụng của tích phân trong hình học
    • Thực hành
      • Bài tập trên lớp
      • Bài tập về nhà
  • Số phức
    • Lý thuyết
      • Số phức
      • Phép cộng, trừ, nhân, chia số phức
    • Thực hành
      • Bài tập trên lớp
      • Bài tập về nhà
  • Phương pháp tọa độ trong không gian
    • Lý thuyết
      • Hệ tọa độ Oxyz
      • Phương trình mặt cầu
      • Phương trình mặt phẳng
      • Phương trình đường thẳng
    • Thực hành
      • Bài tập trên lớp
      • Bài tập về nhà