Tài liệu thi cuối kì - Xác suất thống kê | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia HCM

CHƯƠNG 2 - P Ầ
H N 2: MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Xc đnh cỡ mu để sai s ưc lượng khoảng tin cậy không vượt qu THÔNG DỤNG
mt s cho trưc.
Phân phi nh thc:
Khi ưc lượng trung bnh tng thể: 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝐶𝑥 𝑛−𝑥 𝑛 𝑝𝑥(1 − 𝑝) , 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛.
a. Nu bit xuất phát t công thức 𝑘 2
𝑃(𝑋 ≤ 𝑘) = ∑ 𝐶𝑥 𝑛−𝑥
𝜖 = 𝑧1− 𝛼 . 𝜎 , khi đ đ 𝜖 ≤ 𝜖0, ta cn chn 𝑛 thoả 𝑛 ≥ (𝑧 ) .𝜎22 . 𝑛 𝑝𝑥(1 − 𝑝) , 𝑘 ≤ 𝑛. 2 √𝑛 1− 𝛼2 𝜖0 𝑥=0
b. Nu không bit 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜎2, căn cứ mẫu đã cho tính 𝑠2. T đ xác
𝑃(𝑋 ≥ 𝑘) = ∑𝑛𝑥=𝑘 𝐶𝑥 𝑛−𝑥 𝑛 𝑝𝑥(1 − 𝑝)
, 𝑘 ≤ 𝑛. hoc 1 − 𝑃(𝑋 < 𝑘)
định đưc kích thưc mẫu: 𝑏 2
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = ∑ 𝐶𝑥 𝑛−𝑥 𝑛 ≥ (𝑧 ) . 𝑠2 𝑛 𝑝𝑥(1 − 𝑝)
, 0 ≤ 𝑎 < 𝑏 ≤ 𝑛. 1− 𝛼 2 . 2 𝜖0 𝑥=𝑎
Khi ưc lượng tỷ l tng thể:
Trung bnh: 𝜇 = 𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝.
a. Nu bit 𝑝, đ 𝜖 ≤ 𝜖0, xuất phát t công thức
Phương sai: 𝜎2 = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑛 ( 𝑝 1 − 𝑝) Phân phi chun: ( ) 2 𝑝. (1 − 𝑝)
𝜖 = 𝑧1− 𝛼 .√𝑝. 1 − 𝑝 ) . (𝑥−𝜇)2 2 𝑛 => 𝑛 ≥ (𝑧1− 𝛼2 𝜖0
𝑓(𝑥) = 1 𝑒 2𝜎2 , 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 đ𝑜 μ = E(X) v 𝜎2 = 𝑉𝑎𝑟(𝑋), k 2 𝜎√2𝜋 ( )
hiu 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2).
b. Nu không bit 𝑝, ta c 𝜖 = 𝑧1− 𝛼 . √𝑝. 1−𝑝 . 2 𝑛
Trung bnh: 𝐸(𝑋) = 𝜇.
Phương sai: 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜎2
V 𝑝.(1 − 𝑝) đt giá trị cực đi l 0.25, khi 𝑝 = 0.5, nên 𝜖 ≤ 𝑧1− 𝛼 . √0.25. 2 𝑛
Phân phi chun tc: 𝜇 = 0 v 𝜎2 = 1, k hiu 𝑍~𝑁(0; 1) 2 0.25.(𝑧1− 𝛼 )
Φ(𝑧) = P(Z ≤ 𝑧) = ∫z 1 𝑒−𝑥2
Do đ đ đ 𝜖 ≤ 𝜖 2 0, chn n sao cho 𝑧 2 𝑑𝑥. . √0.25 ≤ 𝜖0, 𝑛 ≥ 2 . −∞ 1− 𝛼 𝜖 √2𝜋 2 𝑛 0
Nu 𝑋~𝑁(𝜇; 𝜎2) th 𝑍 = 𝑋−𝜇 ~𝑁(0; 1).
CHƯƠNG 5: KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ 𝜎 5.1 - P ầ
h n 1: Kiểm đnh cho 1 mu
Nu 𝑋~𝑁(𝜇; 𝜎2) th 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 𝑃 (𝑋−𝜇 ≤ 𝑥−𝜇 ) = 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧) = Φ(z). 𝜎 𝜎
Kiểm đnh cho trung bnh:
Nu 𝑋~𝑁(𝜇; 𝜎2) th 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = Φ (𝑏−𝜇) − Φ (𝑎−𝜇 ).
B1. Phát biu giả thuyn 𝐻0 v đối thuyt 𝐻1. 𝜎 𝜎
Φ(−z) = 1 − Φ(z). Φ(z) = α (α < 0.5) => 𝑧 = −Φ−1(1 − 𝛼). {𝐻0: μ = μ0 𝐻 {𝐻0: μ = μ0 𝐻 {𝐻0: μ = μ0
P(−z ≤ X ≤ z) = 2Φ(z) − 1. 1: μ ≠ μ0 1: μ < μ0 𝐻1: μ > μ0
B2. Xác định mức  ngha 𝛼
Xp x phân phi nh thc bng phân phi chun:
B3. Lấy mẫu ngẫu nhiên cỡ n v tính thống kê kim định
ĐK: 0,1 < 𝑝 < 0,9; 𝑛𝑝 ≥ 5; 𝑛𝑝(1 − 𝑝) ≥ 5
TH1: Phương sai 𝜎2 đã bit 𝑧  0 . √𝑛
P(X ≤ x) = P(X ≤ x + 0.5) ≈ P (Z ≤ x+0.5−np) = Φ (x+0.5−np ) 0 = 𝑥−μ , 𝜎 √np(1−p) √np(1−p)
TH2: Phương sai 𝜎2 KHÔNG bit v cỡ mẫu n ≥ 30 (ln) 𝑧  0 0 = 𝑥−μ . √𝑛 𝑠
P(X ≥ x) = P(X ≥ x − 0.5) ≈ P (𝑍 ≥ x−0.5−np) = 1 − Φ (x−0.5−np ). √np(1−p) √np(1−p)
TH3: Phương sai 𝜎2 KHÔNG bit v cỡ mẫu n < 30 (nh)  𝑡 0 0 = 𝑥−μ . √𝑛 𝑠
CHƯƠNG 4: ƯỚC LƯỢNG
B4. Xác định min bác b 𝑊𝛼:
Trung bnh mu: 𝑋 = 1 ∑𝑛 𝑋 𝑛 𝑖 Cách 1: So bảng: 𝑖=1
Phương sai mu: 𝑆2 = 1 ∑𝑛 (𝑋 TH1, TH2: 𝑛−1 𝑖 − 𝑋)2 𝑖=1 Giả thuyt Min bác b
Đ lch chun mu: 𝑆 = √𝑆2 H0: μ = μ0
Trung vị mẫu: sắp xp các quan trắc của mẫu ngẫu nhiên theo thứ } H : μ ≠ μ
𝑊𝛼 = {𝑧0 ∶ |𝑧0| > 𝑧1− 𝛼2
tự không giảm, rồi lấy giá trị ở vị trí trung tâm lm trung vị. 1 0 H0: μ = μ0
Nu cỡ mẫu l số c ẵ
h n th trung vị l giá trị trung bnh của hai H1: μ < μ
𝑊𝛼 = {𝑧0 ∶ 𝑧0 < −𝑧1− 𝛼} 0 giá trị trung tâm. H0: μ = μ0 4.2 Khoảng tin cậy H1: μ > μ
𝑊𝛼 = {𝑧0 ∶ 𝑧0 > 𝑧1− 𝛼} 0 TH3:
Cc bưc tnh khoảng tin cậy cho trung bnh: Giả thuyt Min bác b
B1. Tính trung bnh mẫu 𝑥 v phương sai mẫu 𝑠2, t các quan sát thực H0: μ = μ0 𝑛−1 nghim 𝑥 }
1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛. H : μ ≠ μ
𝑊𝛼 = {𝑡0 ∶ |𝑡0| > 𝑡1−𝛼2
B2. Xác định trưng hp tương ứng trong 3 trưng hp đ áp dng: 1 0 H0: μ = μ0 𝑛−1}
TH1: Phương sai 𝜎2 đã bit H1: μ < μ
𝑊𝛼 = {𝑡0 ∶ 𝑡0 < −𝑡1−𝛼 0
TH2: Phương sai 𝜎2 KHÔNG bit v cỡ mẫu n ≥ 30 H0: μ = μ0 ∶ 𝑡 > 𝑡𝑛−1 1−𝛼}
TH3: Phương sai 𝜎2 KHÔNG bit v cỡ mẫu n < 30 H1: μ > μ 𝑊𝛼 = {𝑡0 0 0
Cách 2: Dng p-giá trị: Kt lun bác b 𝐻 - ≤ 𝛼.
B3. Tm phân vị: 𝑧 𝑛−1 0 khi p giá trị Vi:
1 − 𝛼 nu l TH1 hoc TH2; 𝑡 nu l TH3. 2 1−𝛼2 TH1, TH2:
𝑧1− 𝛼 . 𝜎 , nu l TH1, Giả thuyt p – giá trị 2 √𝑛 H0: μ = μ0
B4. Tm dung sai: 𝜖 = 𝑧 (|
1− 𝛼 . 𝑠 , nu l TH2, 0|)] 2 √𝑛 H1: μ ≠ μ 𝑝 = 2[1 − Φ 𝑧 0 𝑛−1 H0: μ = μ0 { 𝑡
. 𝑠 , nu l TH3, 1−𝛼2 √𝑛 H : μ < μ 𝑝 = Φ(𝑧0)
B5. KTC 100(1 − 𝛼)% cho trung bnh của tng th l 𝑥 − 𝜖 ≤ 𝜇 ≤ 1 0 H0: μ = μ0 ( 𝑥 + 𝜖 . H 0) 1: μ > μ 𝑝 = 1 − Φ 𝑧 0
Cc bưc tnh khoảng tin cậy cho tỷ l: TH3:
B1. Tm t l mẫu: 𝑝. Giả thuyt p – giá trị H
B2. Kim tra điu kin: 𝑛. 𝑝 ≥ 5 v 𝑛. (1 − 𝑝) ≥ 5. 0: μ = μ0
B3. Tm phân vị: 𝑧 H : μ ≠ μ
𝑝 = 2𝑃(𝑇𝑛−1≥ |𝑡0|)
1 − 𝛼 bng cách tra bảng. 1 0 H 2 0: μ = μ0 B4. Tm dung sai: H1: μ < μ
𝑊𝛼 = 𝑃(𝑇𝑛−1≤ 𝑡0) 0 H0: μ = μ0 𝜖 = 𝑧 ( )
1− 𝛼 . √𝑝. 1−𝑝 . H : μ > μ
𝑊𝛼 = 𝑃(𝑇𝑛−1≥ 𝑡0) 2 𝑛 1 0
Kiểm đnh cho tỷ l:
B5. KTC 100(1 − 𝛼)% cho t l của tng th l 𝑝 − 𝜖 ≤ 𝑝 ≤ 𝑝 + 𝜖 .
B1. Phát biu giả thuyn 𝐻0 v đối thuyt 𝐻1.
B1. Phát biu giả thuyn 𝐻0 v đối thuyt 𝐻1. {𝐻0: p = p0 𝐻 𝐻 {𝐻0: p = p0 0: p1 − p2 = D0 1: p ≠ p0 𝐻1: p < p {𝐻0: p = p0 0 𝐻1: p > p 0 𝐻1: p1 − p2 ≠ D0 𝐻1: p1 − p2 < D0 𝐻1: p1 − p2 > D0
B2. Xác định mức  ngha 𝛼
B2. Xác định mức  ngha 𝛼
B3. Tính: 𝑝 = 𝑦 ; 𝑝 𝑛
0: xác suất xảy ra của bin cố. B3. Tính: 𝑃 
1 = 𝑋 ; 𝑃 = 𝑌 𝑃 = 𝑋+𝑌 xác suất xảy ra của bin cố. 𝑛 2 𝑛 𝑛+𝑚
Tính thống kê kim định
Tính thống kê kim định 𝑝 − 𝑝 𝑧 0 𝑝 0 = 𝑧 1  − 𝑝2  − 𝐷0 √𝑝 0 = 0. (1 − 𝑝0)
√𝑝. (1 − 𝑝).(1𝑛 + 1 B4. Xác đin 𝑛 h min bác b
B4. Xác đinh min bác b h 𝑚) oc p – giá trị: Cách 1: So bảng: Đối thuyt Min bác b p – giá trị Giả thuyt Min bác b H 𝐻1: 𝑝1 − p2 ≠ D0 |𝑧0| > 𝑧1− 𝛼 𝑝 = 2[1 − Φ(|𝑧0|)] 0: μ = μ0 } H
𝐻1: 𝑝1 − 𝑝2 < D0 𝑧0 < −𝑧1− 𝛼 𝑝 = Φ(𝑧0) 1: μ ≠ μ
𝑊𝛼 = {𝑧0 ∶ |𝑧0| > 𝑧1− 𝛼 0 2 H 𝐻 ( 0: μ = μ0 1: 𝑝1 − 𝑝2 > D0 𝑧0 > 𝑧1− 𝛼 𝑝 = 1 − Φ 𝑧0) H
CHƯƠNG 6: HỒI QUY TUYẾN TÍNH ĐƠN VÀ TƯƠNG QUAN 1: μ < μ
𝑊𝛼 = {𝑧0 ∶ 𝑧0 < −𝑧1− 𝛼} 0 H0: μ = μ0 ∶ 𝑧 > 𝑧
Tm ưc lượng cho cc h s , 𝛃 của phương trnh đường thẳng hồ 𝟏 i H 1− 𝛼} 1: μ > μ 𝑊𝛼 = {𝑧0 0 0
quy tuyến tnh bng phương php bnh phương bé nht.
Cách 2: Dng p-giá trị: Kt lun bác b 𝐻0 khi p-giá trị ≤ 𝛼. Vi:
Vi d liu a(𝑥𝑖, 𝑦𝑖), 𝑖 = 1,2, . . , 𝑛, ta c các giá trị dự đoán: 𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1. 𝑥𝑖 Giả thuyt p – giá trị
Đ sai khác gia 𝑦 so vi H 𝑖
𝑦𝑖, thng dư thứ i: 𝑒𝑖 ∶= 𝑦𝑖 − 𝑦𝑖 = 𝑦𝑖 − ( 𝛽0 + 0: μ = μ0 (| 𝛽 H 0|)] 1. 𝑥𝑖) . 1: μ ≠ μ 𝑝 = 2[1 − Φ 𝑧 0 H Tng các thng dư: 0: μ = μ0 𝑛 𝑛 H 𝑆𝐸 = ∑𝑖= (
1 𝑦𝑖 − 𝑦𝑖) = ∑𝑖=1 𝑒𝑖= 0 , 1: μ < μ 𝑝 = Φ(𝑧0) 0 H0: μ = μ0 ( 𝑆𝑆𝐸 = ∑𝑛𝑖 ( =1 𝑦𝑖 − 𝑦𝑖
)2 =∑ (𝑦𝑖 − (𝛽0 + 𝛽  1. 𝑥𝑖))2 𝑛 𝑖=1
. Tm 𝛽0 v 𝛽1 sao cho H 0) 1: μ > μ 𝑝 = 1 − Φ 𝑧 0 5.2 - P ầ
h n 2: Kiểm đnh cho 2 mu đc lập 𝑆𝑆𝐸 nh nhất.
So snh hai trung bnh: Cc bưc lm:
B1. Phát biu giả thuyn 𝐻 (𝑦𝑖 − (𝛽 0 v đối thuyt 𝐻1. 0 + 𝛽1. 𝑥𝑖))2 𝐻0: μ1 − μ2 = D0 B1. Tính: 𝐻 𝑛 𝑛 1: μ1 − μ2 ≠ D0 𝐻 ).(∑ 1: μ (∑ 𝑥 𝑦 ) 1 − μ2 < D0 𝐻1: μ1 − μ2 > D0 𝑆 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑖 𝑖=1 𝑖 𝑥𝑦= ∑ 𝑖( =𝑥
1 𝑖 − 𝑥). (𝑦𝑖 − 𝑦) = (∑ 𝑥 𝑖 𝑖 =.1𝑦𝑖 ) − ,
B2. Xác định mức  ngha 𝛼 𝑛 (∑ 𝑛 𝑥
B3. Xác định trưng hp 𝑆 𝑛 𝑛 2 𝑖=1 𝑖 )2 𝑥𝑥= ∑ 𝑖(𝑥
=1 𝑖 − 𝑥)2 = (∑ 𝑥𝑖𝑖=1 ) − 𝑛
TH1: Bit phương sai. B2. Tính:
TH2: Không bit phương sai, mẫu ln (n > 30, m > 30). 𝑆 𝑛 𝑥𝑦 ∑ 𝑖= 𝑥
1 . 𝑦𝑖 − 𝑛. 𝑥. 𝑦
TH3: Không bit phương sai, mẫu nh (n ≤ 30, m ≤ 30). 𝛽 𝑖
1 = 𝑆 = ∑𝑛𝑖=1 𝑥2 − 𝑛.(𝑥)2 , TH 3.1: 𝜎2 2 𝑥𝑥 𝑖 1 = 𝜎2 = 𝜎2   TH 3.2: 𝜎2 2
𝛽0 = 𝑦 − 𝛽1.𝑥 . 1 ≠ 𝜎2  
B4. Tính thống kê kim định
B3. Đưng thng c dng: 𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1 . 𝑥
Cho trưc gi tr 𝐱 , dùng phương trnh đường thẳng hồi quy để dự TH1: 𝑧 𝟎
0 = 𝑥−𝑦−(𝜇1−𝜇2) 2 2 √𝜎1
đon gi tr 𝒚𝟎
 tương ng vi 𝐱𝟎. 𝑛 +𝜎2
Dng 𝑦 = 𝛽 + 𝛽. 𝑥 th 𝑥 = 𝑥0 tm 𝑦 TH2: 𝑧 0 1 0  𝑚
0 = 𝑥−𝑦−(𝜇1−𝜇2) 2 2 √𝑆1
Tnh h s xc đnh 𝐑𝟐 v nhận xét về mi quan h tuyến tnh giữa X 𝑛 +𝑆2 2 v Y .
TH 3.1: 𝑆2 = (𝑛−1)𝑆 ( ) 𝑚12+ 𝑚−1 𝑆2 𝑝 ; 𝑇
; 𝑑𝑓 = 𝑚 + 𝑛 − 2 𝑛+𝑚−2
0 = 𝑋−𝑌 −(𝜇1−𝜇2)
Tng bnh phương ton phn: 𝑆𝑆𝑇 = ∑𝑛𝑖=1(𝑦 . 𝑆 𝑖 − 𝑦)2 𝑝√1𝑛+ 1𝑚
Tng bnh phương hồi quy: 𝑆𝑆𝑅 = ∑𝑛𝑖 ( =1 𝑦 = 𝛽 2 𝑖 − 𝑦)2 1. 𝑆 /𝑛+𝑠 2 𝑥𝑦 TH 3.2: 𝑇 2 /𝑚]2
0 = 𝑋−𝑌−(𝜇1−𝜇2) 𝑛  2 2 ; 𝑑𝑓 = [𝑠1 2 2
Tng bnh phương sai số: 𝑆𝑆𝐸 = ∑𝑖=1(𝑦𝑖 − 𝑦 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝛽1 . 𝑆𝑥𝑦 √𝑆 𝑖)2 1 (𝑠12/𝑛) 2/𝑚) 𝑛 +𝑆2𝑚 𝑛−1 +(𝑠2𝑚−1
H số xác định: 𝑅2 = 𝑆𝑆𝑅= 𝑆𝑆𝑅 ,(0 ≤ 𝑅2 ≤ 1) 𝑆𝑆𝑇 𝑆𝑆𝑅+𝑆𝑆𝐸
𝑅2 = 1: X, Y liên h tuyn tính mnh
B5. Xác đinh min bác b hoc p – giá trị 2 TH1,2:
0 < 𝑅 < 1:X, Y liên h tuyn tính yu Đối thuyt Min bác b p – giá trị
𝑅2 = 0: X, Y không c liên h tuyn tính (hay giá trị của Y không ph 𝐻 thuc vo X). 1: μ1 − μ2 ≠ D0 |𝑧0| > 𝑧1− 𝛼
𝑝 = 2[1 − Φ(|𝑧0|)] Tnh h s tương quan mu 𝐫 𝐻 𝐗𝐘 . 1: μ1 − μ2 < D0 𝑧0 < −𝑧1− 𝛼 𝑝 = Φ(𝑧0) 𝐻
H số tương quan mẫu rXY= 𝑆𝑋𝑌 ; 𝑅2 = 𝑟 1: μ1 − μ2 > D0 𝑧0 > 𝑧 𝑥𝑦2 1− 𝛼 𝑝 = 1 − Φ(𝑧0) √𝑆𝑋𝑋.𝑆𝑆𝑇 TH3:
Min giá trị: −1 ≤ 𝑟𝑥𝑦≤ 1. Đối thuyt Min bác b p – giá trị
𝑟𝑥𝑦 cng gn -1: (−1 ≤ 𝑟𝑥𝑦< 0) th liên h tuyn tính nghịch gia X, Y 𝐻 𝑑𝑓 1: μ1 − μ2 ≠ D0 |𝑡0| > 𝑡1− 𝛼 𝑝 = 2𝑃(𝑇 cng mnh. 2 𝑑𝑓≥ |𝑡0|) 𝐻 𝑑𝑓 1: μ1 − μ2 < D0 𝑡 𝑟 0 < −𝑡1− 𝛼
𝑝 = 𝑃(𝑇𝑑𝑓≤ 𝑡0)
𝑥𝑦 cng gn 1:(0 < 𝑟𝑥𝑦≤ 1) liên h tuyn tính thun gia X, Y cng mnh. 𝐻 𝑑𝑓 𝑟 1: μ1 − μ2 > D0 𝑡0 > 𝑡1−𝛼
𝑝 = 𝑃(𝑇𝑑𝑓≥ 𝑡0)
𝑥𝑦 cng gn 0: th mối liên h tuyn tính gia X, Y cng yu.
𝑟𝑥𝑦= 0:không c mối liên h tuyn tính gia X, Y(X, Y đc lp tuyn tính).
o snh hai tỷ l: