Tài liệu tổng hợp. Tài liệu toán cao cấp- giải tích phần 4

Toaùn cao caáp: Giaûi tích 179 Chöông IX
PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN I. Ñònh nghóa :
• Phöông trình vi phaân laø phöông trình coù daïng
f(x, y, y’, y’’, ..., y(n)) = 0 (1).
Phöông trình vi phaân coù chöùa y(n) (hay coù vi phaân baäc n) goïi laø
phöông trình vi phaân caáp n.
• Neáu thay y = ϕ(x) vaøo (1) maø (1) thaønh ñoàng nhaát thöùc treân
D ⊂ ℝ thì ta noùi y = ϕ(x) laø nghieäm cuûa (1) treân D ⊂ ℝ .
• Nghieäm toång quaùt cuûa (1) thöôøng coù daïng y = ϕ(x, c1, c2, ..., cn)
vôùi c1, c2,.., cn laø nhöõng haèng soá tuøy yù. Neáu cho (c1, c2, ..., cn) moät
boä giaù trò cuï theå thì ta coù moät nghieäm rieâng.
Ñònh lyù: Neáu f(x, y) lieân tuïc treân taäp môû vaø bò chaän treân D
chöùa M(x0, y0) thì toàn taïi y = ϕ(x) laø nghieäm cuûa phöông trình vi
phaân caáp 1: y’ = f(x, y) ñi qua M(x ∂ f 0, y0). Hôn nöõa neáu lieân tuïc ∂ y
trong moät laân caän cuûa (x0, y0) thì nghieäm ñoù laø nghieäm duy nhaát. Ví duï:
i) Giaûi phöông trình xy’ + y = 0 (* )
(* )⇔ x dy + y = 0 ⇔ xdy + ydx = 0 ⇔ d(xy) = 0 dx ⇔ xy = C (haèng soá)
ii) Tìm nghieäm cuûa (* ) qua M(3, -5)
Nghieäm cuûa (* ) qua (3, -5) ⇒ xy = C qua (3, -5) ⇒ 3(-5) = C
⇒ C = -15. Vaäy nghieäm cuûa (* ) qua (3, -5) laø xy = -15 hay y = −15 x
II. Caùc phöông trình vi phaân caáp I thöôøng gặp:
Toaùn cao caáp: Giaûi tích 180
1) Phöông trình coù bieán phaân ly (coù theå taùch ra): laø phöông trình vi phaân coù daïng
ϕ(y)dy = f(x)dx hay f1(x)g1(y)dx = f2(x)g2(y)dy (2) (2) ⇔ f f1 x g2 y 2(x)g1(y) = 0 hay ( ) ( ) dx = dy f2 (x) g1( y) ⇔ f f1 x g2 y 2(x)g1(y) = 0 hay ( ) ( ) ∫ dx = ∫ dy f2 (x) g1( y)
Ví duï : Giaûi phöông trình
3extgydx + (2 - ex)(1 + tg2y)dy = 0 (3) x 2
(3) ⇔ tgy. (2 - ex) = 0 hay e 3 dx (1+ tg y)dy ∫ = −∫ x 2 − e tgy
⇔ tgy. (2 - ex) = 0 hay 3ln|2 - ex| = ln|tgy| + C1, C1 ∈ ℝ ⇔ tgy. (2 - ex) = 0 hay tgy ln = ln C e 2 , C2 = - C1∈ ℝ ( x − 3 2 e ) ⇔ tgy. (2 - ex) = 0 hay tgy = C
±e 2 =C , C∈ ∗ ℝ x ( − 3 2 e ) ⇔ (2 - ex) = 0 hay = ( x tgy C − 3 2 e ) , C∈ ℝ Ví duï: i)
Giaûi phöông trình (1 + ex)yy’ = ex ii)
Tìm nghieäm rieâng trong tröôøng hôïp y(0) = 1. Giaûi: x
i) (1 + ex)y dy = ex ⇔ ydy = e dx ⇔ y2 = ln(1 + ex) + C dx x 1+ e 2
ii) y(0) = 1 ⇒ 1 = 2ln2 + C.2 ⇒ C = 1 −ln2 2
⇒ nghieäm rieâng thoûa y (0) =1 laø:
Toaùn cao caáp: Giaûi tích 181 x
y2 = ln(1 + ex) + 1 − ln2 = 1+ e 1 ln( ) + 2 2 2 2 x x ⇔ y2 = 2 1+ e 1+ e ln( ) + 1 ⇔ y = ± 1+ ln( )2 2 2 x vì y(0) = 1 1+ ⇒ y > 0 ⇒ y = e 1+ ln( )2 2
2) Phöông trình ñaúng caáp caáp 1: laø phöông trình vi phaân coù daïng
y’ = f( y ) (4) ⇔ dy = f( y )dx x x
Ñaët u = y ⇒ y = u.x ⇒ dy = udx + xdu, (4) thaønh x
udx + xdu = f(u)dx ⇔ xdu = (f(u) − u))dx ⇔ x(f(u) −u) = 0 hay du dx =
f (u) − u x
ñaây laø phöông trình coù bieán phaân ly.
Ví duï 1: Giaûi phöông trình (2y2 −2xy + x2)dx − x.ydy = 0 (5)
+ Khi x = 0 ⇒ dx = 0 ⇒ x = 0 laø nghieäm. 2
+ Khi x ≠ 0, (5) thaønh: y y y (2 2 1 = 0 (5’) 2 − + )dx − dy x x x
Ñaët u = y ⇒ y = u.x ⇒ dy = udx + xdu ⇒ (5’) thaønh : x
(2u2 − 2u + 1)dx − u(udx + xdu) = 0 ⇔ (u −1)2dx − uxdu = 0 ⇔ u = 1 hay dx udu ∫ − ∫ = 0 x (u − )2 1
⇔ u = 1 hay (u −1+ ) 1 du dx ∫ = 0 2 − ∫ (u − ) 1 x ⇔ u = 1 hay u −1 1 ln − = C, C ∈ℝ x u −1
Toaùn cao caáp: Giaûi tích 182
Thay u = y ta coù y = x hay y − x x ln = C, C ∈ℝ 2 − x x y − x
laø nghieäm khi x ≠ 0. Vaäy nghieäm cuûa (5) laø: x = 0 hay y = x hay y − x x ln = C 2 − x y − x
Ví duï 2: Giaûi phöông trình (x2 −2xy )dy − x.ydx = 0 (6)
Caùch 1: (6) ⇔ x = 0 hay ( 1 y −2 )dy y − dx =0( ) 7 x x
Ñaët u = y ⇒ y = u.x ⇒ dy = udx + xdu ⇒ (7) thaønh: x
(1 − 2u ) (udx + xdu) − u dx = 0 ⇔ (1 − 2u ) xdu − 2u2 dx = 0 ⇔ u = 0 hay −1 2 dx ( + )du = −2 ⇔ u = 0 hay 1 2 c + ln u =ln , 0 2 > 2 u x c u u x 1 x ⇔ u = 0 hay 2 c 2 y . u u e = , c 0 0 0 2
> ⇔ y = hay y .e =c,c > x
Vaäy nghieäm cuûa (6) laø : x x = 0 hay 2 y
y = 0 hay y .e =c ,c > 0 2 x
Caùch 2: (6) ⇔ y = 0 hay ( x −2 )dy x − dx =0 ( ) 8 2 y y y
Ñaët v = x ⇒ x = v.y ⇒ dx = vdy + ydv ⇒ (8) thaønh : y
(v2 − 2v )dy − v(vdy + ydv) = 0 ⇔ − 2vdy − vydv = 0 2dy ⇔ v = 0 hay dv = − ⇔ v = 0 hay c v = ln , 0 2 > y c y
Toaùn cao caáp: Giaûi tích 183 x ⇔ v = 0 hay v c 2 y e =
, c > 0 ⇔ x = 0 hay y .e = c , c > 0 2 y
Vaäy nghieäm cuûa (6) laø: x x = 0 hay y= 0 hay 2 y y .e =c ,c > 0
Ghi chuù: phöông trình vi phaân sau ñaây coù theå ñöa ñöôïc veà  + + 
phöông trình vi phaân ñaúng caáp caáp 1: ax by c y ' = f   .
 a ' x + b ' y + c ' 
Ta coù hai tröôøng hôïp: • a b Neáu D =
≠ 0 thì ñaët u = x − x vôùi x laø 0 , y
0 , v = y − y0 , 0 a ' b '  + + = 0
nghieäm cuûa heä phöông trình ax by c 
a ' x + b ' y + c ' = 0 • a b Neáu D =
= 0 ta ñaët z = ax + by a ' b '
Ví duï 1: Giaûi phöông trình vi phaân
(2x −4y + 6)dx +(x + y −3)dy = 0
Ñaët u = x − ,1v = y − 2
Ví duï 2: Giaûi phöông trình vi phaân
(2x + 4y + 6)dx +(x +2y − )1dy = 0
Ñaët z = x + 2y
3) Phöông trình tuyeán tính (caáp 1): laø phöông trình vi phaân coù
daïng y’ + p(x).y = q(x) (6); trong ñoù p(x), q(x) laø caùc haøm soá lieân tuïc.
Toaùn cao caáp: Giaûi tích 184 i). dy
Neáu q(x) ≡ 0, (6) thaønh y = 0 hay = −p(x)dx y
⇔ y = 0 hay ln y = − ∫ p(x)dx +C , C 1 1∈ ℝ
⇔ y = 0 hay y = ± − p(x) ∫ dx + C 1 e , C1∈ℝ ⇔ y = 0 hay y = − ( ) ∫ p x dx C.e , C = C ± e 1 ≠ 0 ⇔ y = − ( ) ∫ p x dx C.e , C∈ℝ (6’)
ii). Neáu q(x) ≠ 0 ta giaûi baèng phöông phaùp “bieán thieân haèng soá”.
Khi ñoù nghieäm cuûa (6) coù daïng (töông töï 6’) :
y = C(x). − p(x)dx ∫ e
(7), trong ñoù C(x) laø haøm caàn tìm.
Ta coù: y’ = C’(x) − p(x)dx ∫ − p x dx ∫ e − p(x)C(x) ( ) e (8).
Theá (7) vaøo (8) ta ñöôïc: y’ = C’(x) − p(x)dx ∫ e − p(x).y
⇒ y’ + p(x).y = C’(x). − p(x)dx ∫ e (9).
(6) vaø (9) ⇒ q(x) = C’(x). − p(x)dx ∫ p x dx ∫ e ⇒ C’(x) = q(x). ( ) e ⇒ C(x) = p( x)dx ∫
∫(q(x).e ) dx
Vaäy nghieäm cuûa (6) laø y =  p( x )dx ∫
 − p(x)dx ∫ ∫(q(x)e )dx .e    
Ví duï 1: Giaûi phöông trình y’ + 2xy = 2x x e− 2
Nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát y’+2xy=0 laø y= C. x e− 2
⇒ nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho coù daïng y=C(x). x e− 2 ⇒ y’ = C’(x). x e− 2 −2xC(x). x e− 2 = C’(x) x e− 2 −2xy ⇒ 2x. x e− 2 = C’(x). x
e− 2 ⇒ C’(x) = 2x ⇒ C(x) = x2 + C1 ⇒ y = [x2 +C1]. x e− 2
Toaùn cao caáp: Giaûi tích 185
Caùch khaùc: Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø − p(x) ∫ dx  p( x) ∫ dx  - 2xdx 2xdx ∫ x ∫ y = e
. ∫ (q(x)e )dx = e .[   ∫ 2 2x e e dx   ( . − ). ] 2 -x =e + 2 2 2 2 2 2 2 1
C .∫(2 . −x ). x − 1C
−x ∫(2 . −x ). x − = = x x e e dx e x e e dx e [x + C] Ví duï 2:
a) (1 + y2)dx + (1 +x2)dy = 0 b) (1 + y2)dx + yxdx = 0
 y 'sin x − y cos x = 0 c)  π y( )  =1  2
d) x + y2 + yy ' + x2 1 1 = 0
e) exsin3y + y’(1 + e2x)cosy = 0 f) xyy’ = y2 + 3x2 g) xy + y2 = (2x2 + xy).y’ h) 2x2y’ = x2 + y2 i) (y −x)dx + (y + x)dy j) xy’ + y = x3y4.
Giải: Dành cho bạn ñọc
4. Phöông trình Bernoulli : laø phöông trình vi phaân coù daïng /
y + yp(x) = q(x). yα , 0 ≠ α ≠ 1 Chia yα ta coù /
y .y−α + y α − 1 p(x) = q(x). Ñaët v = y α − 1
thì v/ = (1 −α) /y.y−α .
Khi ñoù phöông trình thaønh 1 / v + v.p(x)= q(x) 1−α
⇔ v/ + (1 −α)p(x).v = (1 −α)q(x)
Ñaây laø phöông trình tuyeán tính
Ví duï: Giaûi phöông trình
Toaùn cao caáp: Giaûi tích 186 ' . x y x y y e− − = 2 5 2
⇔ y’ y−5 −x y−4 = x e− 2 2
Ñaët v = y−4 ⇒ v’ = −4y’ y−5 .Khi ñoù phöông trình thaønh: − 1 v’ − xv = x e− 2 2 ⇔ v’ + 4xv = −4 x e− 2 2 (* ) 4
Nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát v’ + 4xv = 0 laø x − 4 xdx ∫ v = C. e 0 = C. x e− 2 2
Nghieäm cuûa (* ) coù daïng v = C(x). x e− 2 2 ⇒ v’ = C’(x) x e− 2 2 − 4xC(x). x e− 2 2 ⇒ v’ + 4x.v = C’ x e− 2 2 (= −4 x e− 2 2
) ⇒ C’ = −4 ⇒ C = −4x + C1. ⇒ v = (−4x + C1) x e− 2 2
⇒ y−4 = (−4x + C1) x e− 2 2 2 2 x ⇒ y4 = e . − 4x + C1
III. Sô löôïc veà soá phöùc:
1. Ñònh nghóa: Taäp hôïp taát caû caùc soá phöùc kyù hieäu laø ℂ , ñöôïc
ñònh nghóa: ℂ = {a + bi / a, b ∈ ℝ vôùi i2 = −1}
Vôùi soá phöùc z = a + bi ta noùi a = Rez laø phaàn thöïc, b = Imz laø phaàn aûo.
Khi b = 0 ⇒ z = a ∈ ℝ .
Vaäy ℝ ⊂ ℂ . Hai soá phöùc z = a + ib vaø z = a − ib goïi laø 2 soá phöùc lieân hôïp.
Moãi soá phöùc z = a + ib öùng vôùi duy nhaát caëp (a, b) ∈ ℝ 2.
2. Caùc pheùp tính :
Cho z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2. Ta coù:  1 = i) a a z 2 1 = z2 ⇔  ⇔ (a1, b1) = (a2, b2) b  1 = b2 ii)
z1 ± z2 = (a1 + ib1) ± (a2 + ib2) = (a1 ± a2) + i(b1 ± b2)
Toaùn cao caáp: Giaûi tích 187 iii) z1.z2 = (a1 + ib1)(a2 + ib2)
= (a1a2 − b1b2) + i(a1b2 + a2b1) iv) z1 a1 + ib1
(a1 + ib1)(a2 − ib2 ) = = z a + ib a2 + b2 2 2 2 2 2 (a a b b i b a b a 1 2 + 1 2 ) + ( 1 2 − 2 1) = 2 a + 2 b 2 2
Daïng z = a + ib goïi laø daïng ñaïi soá cuûa soá phöùc.
3. Daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc: Cho soá phöùc z = a + ib. Ñaët
M=(a,b). Ta goïi r = | z | = a2 + b2 = z.z = | z | laø moâñul cuûa z → →
vaø ϕ = (Ox,OM ) laø argument cuûa z, kyù hieäu Argz.
Ta coù : a = rcosϕ, b= rsinϕ ⇒ z = a + ib = rcosϕ + irsinϕ = r(cosϕ + isinϕ) (* )
Daïng (* ) goïi laø daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc z. Ví duï :
i) z = i coù daïng löôïng giaùc laø z = i = 1 ( π π cos + i sin ) 2 2 ii) z = 1 −i coù r = b π
2 , tgϕ = = −1 ⇒ choïn ϕ = − . a 4
⇒ z = 1 −i coù daïng löôïng giaùc laø z =  π π 
2 cos(− ) + i sin(− )   .  4 4 
Ghi chuù: Argument cuûa soá phöùc z ñöôïc xaùc ñònh sai khaùc nhau k2π, k ∈ ℤ .
Giaû söû z1 = r1(cosϕ1 + isinϕ1) vaø z2 = r2(cosϕ2 + isinϕ2)
Khi ñoù z1. z2 = r1. r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + isin(ϕ1 + ϕ2)] z r
1 = 1 [cos(ϕ1 - ϕ2) + isin(ϕ1 - ϕ2)], z2 ≠ 0 z r 2 2
Toaùn cao caáp: Giaûi tích 188
zn= rn [cosϕ + isinϕ]n = rn[cosnϕ + isinnϕ] .
Coâng thöùc Euler: i eα = cosα + isin α
4. Khai caên cho soá phöùc: Caên baäc n cuûa soá phöùc c ∈ ℂ , kyù hieäu
n c , laø nhöõng soá phöùc z sao cho: zn = z.z... z = c
Neáu c ≠ 0 thì caên baäc n cuûa soá phöc c coù ñuùng n soá phöùc. z = r(cosϕ +isinϕ)  ϕ + k π 2 ϕ + k π 2 
⇒ n z = n r  cos + i sin  k ∈ ℤ  n n 
⇒ coù n soá laø caên baäc n cuûa z ≠ 0 .
Ví duï 1: Tìm 7 − 6 2i . Giả söû 7 − 6 2i = a + bi, a, b ∈ ℝ
⇒ 7 - 6 2 i = a2 - b2 + 2abi  2 − 2 = 7 a = 3 a = −3 a b ⇒  ⇔  ∨  2ab = −6 2 b  = − 2 b  = 2 ⇒ 7 − 6 2i = 3 − i
2 hay 7 − 6 2i = −3 + 2 i
Ví duï 2: Tìm 4 −2
Ta coù: -2 = 2(cosπ + isinπ)  4  π π   π π  4 −2 = 2 cos  
+ k  + isin  + k   , k ∈ Z   4 2   4 2   1 i   1  ⇒ 4 i
4 −2 coù 4 soá laø: 4 2  ±  , 2  − ±   2 2   2 2 
IV. Phöông trình vi phaân caáp hai:
1. Ñònh nghóa: Phöông trình vi phaân caáp hai laø phöông trình coù daïng
G(x, y, y’, y’’) = 0 (* ) hoaëc y’’ = f(x, y, y’)
• Nghieäm toång quaùt cuûa (* ) coù daïng y = ϕ(x, C1, C2),
cho (C1, C2) moät giaù trò cuï theå ta coù moät nghieäm rieâng .
• Thöôøng ta tìm ñöôïc nghieäm cuûa phöông trình (* ) döôùi daïng
Toaùn cao caáp: Giaûi tích 189
F(x, y, C1, C2) = 0 cho ta moái lieân heä giöõa bieán ñoäc laäp vaø nghieäm
toång quaùt cuûa phöông trình vi phaân caáp hai ñöôïc goïi laø phöông
trình toång quaùt cuûa noù.
2. Vaøi phöông trình vi phaân caáp hai coù theå haï baäc :
i) Phöông trình coù veá phaûi khoâng phuï thuoäc y, y’: coù daïng
y// = f(x) ⇒ y/ = ∫ f (x)dx + C 1 ⇒ y = 
∫ ∫ f (x)dx dx +C ℝ 1x + C2 , C , 2 ∈ 1 C  
Ví duï: Tìm nghieäm toång quaùt vaø nghieäm rieâng cuûa phöông trình  0 = 0
y’’ = cos2x thoûa (D) : y( )  /  y (0) =1 y’ = ∫ 1  1  cos 2xdx + C 2
⇔ y = ∫ sin 2x + C 1  dx 1 = sin x + C1 2  2 
Vaäy y = − 1 cos2x + C1x + C2 laø nghieäm toång quaùt . 4  1  0 = 0 − + 0 2 = Vì y( ) C  ⇒  4 /  y (0) =1 0 + C 1 1 =
Neân nghieäm rieâng thoûa (D) laø y = − 1 1 cos 2x + x + 4 4
ii) Phöông trình coù veá phaûi khoâng chöùa y : daïng y’’ = f(x, y’).
Ñaët y’ = u, y’’ = u’ phöông trình thaønh u’ = f(x, u)
Ñaây laø phöông trình caáp 1.
Ví duï : Giaûi phöông trình y’’ = x - y ' (1) x
Ñaët y’ = u ⇒ y’’ = u’ .Khi ñoù
Toaùn cao caáp: Giaûi tích 190
(1) thaønh u’ = x - u ⇔ u’ + u = x. Ñaây laø phöông trình tuyeán x x 2 2
tính caáp 1 coù nghieäm laø u = x C + x C 1 hay y’ = + 1 . Vaäy 3 x 3 x  2  3
nghieäm toång quaùt laø y = x C1 x ∫ +  = +C 1 ln x + C2  3 x  9
iii) Phöông trình coù veá phaûi khoâng chöùa x: daïng y’’ = f(y, y’).
Ñaët y’ = u, xem u laø haøm cuûa y laáy ñaïo haøm hai veá theo x, ta coù u / = du du dy du // y = = = u dx dy dx dy
Khi ñoù phöông trình thaønh u du = f(y, u). Ñaây laø phöông trình dy
vi phaân caáp 1 vôùi u laø haøm vaø y laø bieán ñoäc laäp. Neáu phöông
trình naøy giaûi ñöôïc, ta coù u = ϕ(y, C dy 1) hay = ϕ(y, C1) dx hay dy= ϕ(y, C1)dx Ví duï:
Giaûi phöông trình : 2yy’’ + (y’)2 = 0.
Ñaët y’ = u ⇒ y’’ = u du , phöông trình thaønh : dy 2yu du + u2 = 0 ⇔ du dy
u = 0 (hay y = c) (**) hay = − dy u 2 y ⇔ u = du dy
0 (hay y = c) (**) hay = − 2 u y du dy c ⇔ = −
⇔ 2ln u = ln ,c > 0 2 u y y ⇔ dy C u = C1 , 0 C c ⇔ = 1 , 0 C 1 ≠ 1 = ± ≠ y dx y
Toaùn cao caáp: Giaûi tích 191 2
⇔ y = (hx + k)3 , h, k ∈ ℝ,h≠ 0
Neáu cho h = 0 ⇒ hoï nghieäm (* * ) 2
⇒ nghieäm toång quaùt laø y = (hx + k)3 , h, k ∈ ℝ
3. Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp 2:
• Ñònh nghóa: Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp 2 laø phöông trình coù daïng: y// + a1y/ + a2y = f(x) (a) hay y// + a(x)y/ + b(x)y = c(x)
• Neáu f(x) = 0 thì (a) ñöôïc goïi laø phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát.
• Neáu a1, a2 laø haèng soá thì (a) goïi laø phöông trình tuyeán tính coù
heä soá khoâng ñoåi(heä soá haèng).
a. Phöông trình tuyeán tính caáp hai thuaàn nhaát:
y// + a1(x)y/ + a2(x)y = 0 (b) . Ta coù caùc keát quaû:
i). Tính chaát 1: Neáu y1(x) vaø y2(x) laø hai nghieäm cuûa (b) thì
y = C1y1(x) + C2y2(x) laø nghieäm cuûa (b) (vôùi C1, C2 ∈ ℝ )
Ñònh nghóa: Caùc haøm soá y1(x) vaø y2(x) ñöôïc goïi laø ñoäc laäp
tuyeán tính treân D neáu tæ soá cuûa chuùng khoâng phaûi laø haèng soá :
y1(x) ≠ constant. Noùi caùch khaùc, khoâng toàn taïi c∈ℝ sao cho y2 (x) y x c y x hay y x c y x x D . 1 ( ) = . 2 ( ) 2 ( ) = . 1( ),∀ ∈
Ngöôïc laïi, ta noùi chuùng phuï thuoäc tuyeán tính. Ví duï:
• Caùc haøm soá y 4 vaø x y
laø ñoäc laäp tuyeán tính treân ℝ 2 = e 1 = x
Toaùn cao caáp: Giaûi tích 192
• Caùc haøm y = 2x2 2 vaø y = x2 1 laø phuï thuoäc tuyeán tính 2 + 1 + treân ℝ .
ii) Tính chaát 2: Neáu y1(x), y2(x) laø 2 nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính
cuûa (b) thì y = C1y1(x) + C2y2(x) (trong ñoù C1, C2 laø 2 haèng soá
tuøy yù) laø nghieäm toång quaùt cuûa (b).
iii). Tính chaát 3: Neáu bieát moät nghieäm rieâng y1(x) cuûa (b) thì coù theå
tìm ñöôïc moät nghieäm rieâng y2(x) cuûa (b) vôùi y1, y2 ñoäc laäp tuyeán
tính baèng caùch ñaët y2 = y1(x)u(x).
Ví duï: Tìm nghieäm toång quaùt cuûa 2x 2 y ' + y ' = 0 bieát 2 − y 1− x 1− x2
moät nghieäm rieâng y1 = x.
Giaûi: Ta tìm moät nghieäm y2 = xu(x), thay y2 vaøo phöông trình ñaõ cho ta coù :
(2u/ + xu//) + 2x (u +xu/) - u 2 x = 0 1− x2 1− x2
⇔ u// x(1 - x2) + 2u’ = 0 Ñaët z = u/ 2
⇒ z’x(1 - x2) + 2z = 0 hay dz dx = − z x(1− x2 ) 2 1 C x 1 − ⇒ z = ( ) ,C 0 2 ≠ 1 x 2 Cho C x −1 1 du 1 1 = -1, ta ñöôïc z = 1 hay =1− 2 = − x x2 dx x2 1
⇒ u = x + + C 2 x
Ta chæ caàn laáy moät nghieäm rieâng u(x) ≠ haèng soá Choïn C 1 1 2 = 0 ⇒ u = x + ⇒ y2 = x(x + ) = x2 + 1 x x
⇒ nghieäm toång quaùt laø y = k1x + k2(x2 + 1) vôùi k1, k2 laø haèng soá tuøy yù.
Toaùn cao caáp: Giaûi tích 193
b. Phöông trình tuyeán tính caáp hai khoâng thuaàn nhaát:
Cho phöông trình khoâng thuaàn nhaát (a) (ôû treân) vôùi f(x) ≠ 0
phöông trình y// + a1y/ + a2y = 0 (a’) ñöôïc goïi laø
phöông trình thuaàn nhaát töông öùng (lieân keát) vôùi (a). i)
Tính chaát 1: nghieäm toång quaùt cuûa (a) laø toång cuûa nghieäm
toång quaùt cuûa (a’) vôùi moät nghieäm rieâng naøo ñoù cuûa (a).
ii) Tính chaát 2: (nguyeân lyù choàng chaát nghieäm) cho phöông
trình khoâng thuaàn nhaát y’’ + a1y’ + a2y = f1(x) + f2(x) (c)
neáu y1 laø nghieäm rieâng cuûa y’’ + a1y’ + a2y = f1(x) vaø y2 laø nghieäm
rieâng cuûa y’’ + a1y’ + a2y = f2(x) thì y1 + y2 laø nghieäm rieâng cuûa
(c) (ñònh lyù vaãn ñuùng khi veá phaûi = f1 + f2 + ... + fn)
iii) Phöông phaùp bieán thieân haèng soá Lagrange: Giaû söû cho
phöông trình tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát (a) (nhö treân) vaø giaû söû
bieát nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát (a’) laø: y = C1y1 + C2y2
(a’’). Haõy tìm nghieäm cuûa (a).
Ta seõ tìm nghieäm toång quaùt cuûa (a) döôùi daïng
y = C1y1 + C2y2 (* ) trong ñoù C1, C2 laø caùc haøm theo x (* )⇒ / / / / / y = C y C y C y C y . 1 1 + 2 2 + 1 1 + 2 2 Ta choïn C1, C2 sao cho: / / C y C y = 0 1 1 + 2 2 ⇒ / / / y = C y C y ⇒ // / / / / / / / / y = C y C y C y C y 1 1 + 2 2 + 1 1 + 1 1 + 2 2 2 2
Theá y, y/, y// vaøo (a) ta coù: // / // / / / / / C y a y a y C y a y a y C y C y = f(x) 1( 1
+ 1 1 + 2 1) + 2( 2 + 1 2 + 2 2) + 1 1 + 2 2
Vì y1, y2 laø nghieäm cuûa (a’) neân caùc bieåu thöùc trong ngoaëc baèng 0 ⇒ / / / / C y C y = f(x) ⇒ y = C 1 1 + 2 2
1y1 + C2y2 laø nghieäm cuûa
(a) neáu C1 , C2 laø nghieäm cuûa
Toaùn cao caáp: Giaûi tích 194 / / /  0 0 C y C y y y C 1 1 + 2 2 =  1 2    1   (**)  ⇔     =   . / / / / / /  / C y C y  + = f (x)  y y C f 1 2 1 1 2 2   2    y y Neáu y 1 2
1, y2 ñoäc laäp tuyeán tính thì
≠ 0 vaø (**) coù nghieäm / / y y 1 2 C
 1 = ∫ϕ1(x)dx + k  1 / C = ϕ C = ϕ  1 1(x), / 2 2(x) ⇒ C
 2 = ∫ϕ2(x)dx + k  2
Thay C1, C2 vaøo (* ) ta coù nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình (a) laø:
y = k1y1 + k2y2 + y1∫ϕ (x)dx + y2
vôùi k1, k2 tuøy yù ∈ ℝ . 1 ∫ϕ (x)dx 2
Cho k1 = k2 = 0 ta ñöôïc moät nghieäm rieâng cuûa (a).
Ví duï: Tìm nghieäm toång quaùt cuûa y ' y ' − = x x
Nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng y ' y y ' −
= 0 ⇔ ' = 1 ⇔ ln|y’| = ln|k.x| ⇔ y’ = C.x x y ' x ⇒y= C x2 + C C 2 = C1x2 + C2, C1 = 2 2
Bieåu thöùc: y = C1 (x).x2 + C2(x) laø nghieäm cuûa phöông trình neáu  1 / C1 = / 2 /  1 0 C x C  1 + 2 = C . 2 1, C2 laø nghieäm cuûa  ⇔  / / 2 0 C x C x 1 1 + 2. =  / C x 2 = − 2  2  1 C1 = x + k  1 ⇔  2  3  x C2 = − + k  2 6 Nghieäm toång quaùt laø
Toaùn cao caáp: Giaûi tích 195    2 − 3  3 y = x x x
 + k  x +  + k  = + k x2 1 2 1 + k2  2   6  3
4. Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp 2 coù heä soá khoâng ñoåi:
a. Phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát:
a2y’’ + a1y’ + a0y = 0 vôùi a laø caùc haèng soá vaø a 0 , a1, a2 2 ≠ 0
phöông trình treân töông ñöông: y’’ + α1y’ + α0y = 0 (iv) vôùi a1 a α . 1 = , o α = o a2 a2
Ta caàn tìm 2 nghieäm rieâng ñoäc laäp tuyeán tính cuûa (iv).
Ta tìm nghieäm rieâng cuûa (iv) döôùi daïng y = ekx vôùi k caàn xaùc
ñònh . Ta coù: y’ = kekx, y’’ = k2ekx theá vaøo (iv) coù : k2ekx + α1kekx + αoekx = 0 ⇔ k2 + α1k + αo = 0 (v)
Phöông trình naøy ñöôïc goïi laø phöông trình ñaëc tröng cuûa (iv).
Phöông trình (v) coù 2 nghieäm k1,k2. Ta coù caùc tröôøng hôïp sau :
• k1, k2 ∈ ℝ vaø k1 ≠ k2 ⇒ 2 nghieäm rieâng cuûa (iv) laø k x 1 = 1 , k2x y e y2 = e
Hieån nhieân 2 nghieäm naøy ñoäc laäp tuyeán tính vì y1 ≠ haèng soá y2
Suy ra nghieäm toång quaùt cuûa (iv) laø y = k x 1 k2 x C e vôùi C 1 + C2e 1, C2 tuøy yù ∈ ℝ .
Ví duï 1: Giaûi phöông trình : y’’ - 7y’ + 10y = 0
Phöông trình ñaëc tröng laø :
k2 - 7k + 10 = 0 ⇔ k = 2 hay k = 5
Nghieäm toång quaùt laø y = C1e2x + C2e5x
• k1 = k2 ∈ ℝ : Khi ñoù 1 nghieäm rieâng cuûa (iv) laø y1 = 1kx e .
Toaùn cao caáp: Giaûi tích 196
Ta tìm nghieäm rieâng y2 ñoäc laäp tuyeán tính vôùi y1 döôùi daïng y2 = y1u(x) = u(x) k x e 1 ⇒ ' k x 2 1 k x 1 ' 2 . 2 = ' + 1 , 2 = ' k x1 + 1 ' k x 1 k x y u e k ue y u e k u e + k1 ue 1 Theá vaøo (iv) ta coù : k x 2
e 1 [u’’ + (2k1 + a1)u’ + (k1 + a1k1 + a0)u] = 0 (vì k 2
1 laø nghieäm keùp cuûa (v) neân k1 + a1k1 + a0 = 0 vaø k1 = a − 1 2 ⇒ 2k1 + a1 = 0) ⇒ k x
e 1 u’’ = 0 ⇒ u’’ = 0 ⇒ u = Ax + B
Choïn A = 1, B = 0 ta coù u = x⇒ y2 = x k x e 1
⇒ nghieäm toång quaùt laø y = C1 k x e 1 + C2x k x
e 1 = (C1 + C2x) k x e 1
Ví duï 2: Giaûi phöông trình y’’ + 6y’ + 9y = 0.
Phöông trình ñaëc tröng laø k2 + 6k + 9 = 0 coù nghieäm keùp laø
k = -3 ⇒ nghieäm toång quaùt laø y = (C1 + C2x)e-3x.
• k1, k2 ∈ ℂ ; k1 = a + ib, k2 = a – ib thì
(a +i b) x ax 1 = = + y e
e (cos bx i sin bx),
(a −i b) x ax y2 = e
= e (cosbx − isin bx)
laø 2 nghieäm rieâng ñoäc laäp tuyeán tính cuûa (iv) 1 1 ⇒ 1 = ( 1 + 2 ) ax = cos ; 2 = ( 1 − 2 ) ax u y y e bx u y y = e sin bx 2 i 2
laø 2 nghieäm rieâng ñoäc laäp tuyeán tính cuûa (iv)
⇒ y = C1eaxcosbx + C2eaxsinbx laø nghieäm toång quaùt cuûa (iv).
Ví duï 3: Giaûi phöông trình y’’ - 3y’ + 5y = 0
Phöông trình ñaëc tröng laø k2 -3k + 5 = 0 ⇔ k = 3 ± i 11 2
Toaùn cao caáp: Giaûi tích 197
⇒ 2 nghieäm rieâng ñoäc laäp tuyeán tính laø 3 3 x 11 x 11 y = e2 cos x, y = e2 1 2 sin x 2 2 3 3 11 11
⇒ nghieäm toång quaùt laø : y = x x C e2 cos x + C e2 1 2 sin x 2 2
b. Vaøi daïng ñaëc bieät:
Cho phöông trình y’’ + α1y’ + α0y = f(x) (1) trong ñoù α1, α2 laø 2
haèng soá.Ta xeùt caùc tröôøng hôïp rieâng sau ñaây cuûa f(x):
• f(x) = ek x. Pn(x) vôùi k khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc
tröng. Khi ñoù (1) coù moät nghieäm rieâng coù daïng
y1 = ek x. Qn(x), trong ñoù Pn(x), Qn(x) laø caùc ña thöùc baäc n.
Ví duï 1: Tìm nghieäm toång quaùt vaø nghieäm thoûa ñieàu kieän ban
ñaàu cuûa phöông trình vi phaân sau :
y" + 2y’ + 2y = 4x2 ( A) vôùi y(0) = 2; y’(0) = −3.
Phöông trình ñaëc tröng : k2 + 2k + 2 = 0 ⇔ k = − ± 1 i .Vaäy
nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng laø −x y = e (c vôùi c
1 cos x + c2 sin x ) 1, c2 ∈ ℝ
k = 0 khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng neân nghieäm
rieâng cuûa (A) coù daïng y1 = ax2 + bx + c ⇒ / // y 2 2 . 1 = ax + ; b y1 = a Theá vaøo (A) ta coù
a + ax + b + ax2 + bx + c = x2 2 4 2 2 2 2 4 , x ∀
⇔ ax2 + ( a + b)x + a + b + c = x2 2 2 , x ∀ a = 2 a = 2  
⇔ 2a + b = 0 ⇔ b  = −4 .  
a + b + c = 0 c = 2
Vaäy moät nghieäm rieâng cuûa (A) laø y1 = 2x2 -4x + 2
⇒ nghieäm toång quaùt cuûa (A) laø
Toaùn cao caáp: Giaûi tích 198 y = y 2 −x
1 + y = 2x − 4x + 2 + e (c vôùi c
1 cos x + c2 sin x ) 1, c2 ∈ ℝ ⇒ / −x = 4 − 4 − ( 1 cos + 2 sin ) −x y x e c x c
x + e (−c1 sin x + c2 cos x)
y(0) = 2 vaø y’(0) = −3⇒ c1 = 0 vaø c2 = 1.
Vaäy nghieäm cuûa (A) thoûa y(0) = 2 vaø y’(0) = −3 laø y = 2 −x
2x − 4x + 2 + e sin x
Ví duï 2 : Giaûi y" – 4 y’ + 4y = ( x2 +1). e x. (B)
Phöông trình ñaëc tröng : k2 – 4 k + 4 = 0 coù nghieäm keùp k =2 .
Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng laø 2 x y = e (c vôùi c 1 + c2 x ) 1, c2 ∈ ℝ
k = 1 khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng neân nghieäm
rieâng cuûa (B) coù daïng y1 = e x (ax2 + bx + c) / x
 y =e (ax2 2 1 + bx + c) x
+ e ( ax + b); ⇒  . // x
 y = e (ax2 2 2 2 1 + bx + c) x
+ e ( ax + b) x + ae
Theá vaøo (B) vaø chia 2 veá cho e x ta coù
ax2 + bx + c − ( ax + b) + a = x2 2 2 2 + ,1 x ∀
⇔ ax2 + (− a + b)x + a − b + c = x2 4 2 2 + ,1 x ∀ a =1 a =1  
⇔ −4a + b = 0 ⇔ b  = 4 .   2a − b 2 + c =1 c = 7
Vaäy moät nghieäm rieâng cuûa (B) laø = ( 2 4 7 1 + + ) x y x x e
⇒ nghieäm toång quaùt cuûa (B) laø y = y 2 x 2 x
1 + y = ( x + 4x + 7)e + e (c vôùi c 1 + c2 x ) 1, c2 ∈ ℝ
Ví duï 3: y" + 3y’ + 2y = ( x2 +2x + 6). e3 x coù nghieäm rieâng coù daïng y = ( ax2 +bx + c). e3 x
Ví duï 4 : y" + 3y’ + 2y = ( 2x + 1). e3 x coù nghieäm rieâng coù daïng y = ( ax +b). e3 x.