13 trang 7 lượt tải

Tài liệu tổng ôn Logic, tập hợp và các phép toán cơ bản môn Đại số các nhóm ngành chuẩn | Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

13

Tài liệu tổng ôn Logic, tập hợp và các phép toán cơ bản môn Đại số các nhóm ngành chuẩn. Tài liệu được sưu tầm gồm 13 trang, giúp các bạn ôn luyện và phục vụ cho việc học tập, đạt kết quả tốt. Mời các bạn đón xem!

Môn: Đại số các nhóm ngành chuẩn (THH) 23 tài liệu

Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội 3.4 K tài liệu

Tác giả:

Profile

My Lữ

3 tuần trước
Danh sách Quiz
/13
Chương 1: Logic – Tập Hợp – Ánh Xạ - Số Phức
Bài 1: Mệnh ề logic và tập hợp Lý
thuyết
Các phép logic thường gặp
- Logic: . Phép phủ ịnh:
A
1 A. Bảng giá trị chân lý
A
A
0
1
1
0
. Phép hội: A B A B , min AB, . Bảng giá trị chân lý
A
B
A B
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
. Phép tuyển: A BA B ; max AB, . Bảng giá trị chân lý
A
B
A B
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
. Phép kéo theo: A BA B ; max 1 AB; . Bảng giá trị chân lý
A
B
A B
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
. Phép tương ương:
A B
. Bảng giá trị chân lý
B
A B
0
1
1
0
0
0
1
1
Các tính chất của logic
. Tính giao hoán: A B B A A B; B A
. Tính kết hợp:
A B C A B C
. Tính phối hợp:
A B C
A C B C
. Công thức: A B A B A B ; A B B A
Các phép tập hợp thường gặp
Phép hợp Phép giao Phép trừ
x A x A x A
x A B
x B x A B
x B
x A B \
x B
Phép lấy phần bù : Nếu
A X
A X A\ gọi là phần bù của A trong X
x A
Phép nhân: (x y, ) A B
y B
Ví dụ về phép nhân: A {1,2};B {X Y, }
A B {(1,X);(1, );(2,Y
X);(2,Y)} Các tính chất của tập hợp:
- Tính giao hoán: A B B A ,
- Tính kết hợp: (A B ) C A (B C ), - Tính Phân phối: A (B C ) (A B ) (A
C )
- Công thức quan trọng (*):
Công thức trừ: Nếu AB X
,
thì A B A B
\
Công thức DeMoorgan: A B A B A ;
i
A
i
A B A B A ;
i
A
i
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Phủ ịnh các mệnh ề sau
a) A '' x R x,
2
0''.
b) B '' x y x, ,
2
y
2
0''.
c) C '' x y P x y, , , Q x ''.
Hướng dẫn giải:
a A) x R x,
2
0
b B) x y x, ,
2
y
2
0
c C) x y P x y,( , ( , )) Q x y( , ) x y P x y,( , ( , )) Q x y( , )
x y P x y,( , ( , )) Q x y( , ) x y P x y,( , ( , )) Q x
y( , ) Ví dụ 2: Chứng minh hai mệnh ề sau là tương ương
logic.
a)
p
q p
và
p q
.
b) A B và A B .
c)
A B
và B A.
Hướng dẫn giải:
a p, (q p) p q p( ) (p q) (p p) (p q)
1 p q
b A, B A B A B c A, B A B B A B A
Ví dụ 3: Xem hai mệnh ề sau có tương ương logic không .
a) A B C và B A C .
b) A B C
và
A B A C .
Hướng dẫn giải:
a A, (B C) A B C( ) A B C( )
B A C( ) B (A C)
Vậy hai mệnh ề có tương ương logic.
b A, (B C) A B C( ) (A B) (A C)
(A B) (A C)
Vậy hai mệnh ề có tương ương logic. Ví dụ
4 : Xét xem mệnh ề sau úng hay sai.
a) ‘’Nếu các số thực x y, thỏa mãn
x y
và
y x
thì suy ra
x y
’’.
b) ‘’Nếu số tự nhiên n lẻ và n
2
chẵn thì suy ra nlà số nguyên tố’’.
Hướng dẫn giải:
a, Gọi A là mệnh ề: “
x y
”, A là mệnh ề: “
x y
”
B là mệnh ề “ x y ”
Ta cần xét tính úng sai của mệnh ề (A A ) B.
Thật vậy ta thấy mệnh ề
A A
luôn sai, do ó mệnh ề (
A A
) Búng.
Vậy mệnh ề ã cho là mệnh ề úng.
b, Gọi A là mệnh ề: “ Số tự nhiên n lẻ”, A là mệnh ề: “Số tự nhiên n
2
chẵn ”
B là mệnh ề “nlà số nguyên tố”
Ta cần xét tính úng sai của mệnh ề (A A ) B.
Thật vậy ta thấy mệnh ề
A A
luôn sai, do ó mệnh ề (
A A
) Búng.
Vậy mệnh ề ã cho là mệnh ề úng.
Ví dụ 5: Cho AB, là tập con của X . Chứng minh rằng :
A B A B\ .
Hướng dẫn giải:
x B
Gọi x (A B\ )
x A x A
x B
x (A B) (A B\ ) (A B)
Gọi x (A B)
x A
x B
x A
x B x (A B\) (A B) (A B\ )
Vậy A B A B\ .
Ví dụ 6: Chứng minh rằng với ABC, , là các tập hợp bất kỳ , ta có:
A B C A B C\ \ \
Hướng dẫn giải:
(A B C\) \ (A B\) C A B C A (B C) A B C A B C\( )
Vậ
y
A B C A B C\ \ \
Ví dụ 7: AB, là các tập con của E , chứng minh : Nếu A và B rời nhau thì mọi phần
tử của E sẽ thuộc A hoặc thuộc B.
Hướng dẫn giải:
Ta có
A B
.Vậy A B A B E A B E \( ) \ E ( pcm)
Ví dụ 8: Cho các tập ABC, , thỏa mãn
A B
A C
và
A B
A C
.
Chứng minh rằng : B C .
Hướng dẫn giải:
Giả sử
x B
x A TH1:
x A
. Ta có: x B x (A B). Lạ
i
có
A B
A C
.
Do ó x A C ( ) x C
Như vậy ta có với
x B
suy ra
x C
. Do ó
B C
.
TH2:
x A
. Ta có
x B
x A B( ). Lại có
A B
A C
x (A C)
Do ó x A C ( ). Ta có x A x C
Như vậy ta có với
x B
suy ra
x C
. Do ó
B C
.
Một số bài tập tham khảo
Bài 1 [ZDS001]Xem hai mệnh ề sau có tương ương logic không .
a) A (B C) và B (A C).
b) A (B C) và (A B ) (A C).
Giải
...................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Bài 2: [ZDS002] Mệnh ề "Phương trình x
2
2x 3 0 vô nghiệm nên 3 5 10 "
úng hay sai? Tại sao?
Giải
...................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Bài 3[ZDS003]Cho p, q là các mệnh ề. Chứng minh mệnh ề [q q p ( )] p là luôn
úng.
Giải
...................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Bài 4:[ZDS004] Cho A, B và C là các mệnh ề. Biết A úng, B sai vả C úng.
Tìm giá trị chân lý của mệnh ề (A B ) (C A)
Giải
...................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Bài 5: [ZDS005] Cho 3 mệnh ề A, B, C. Nếu mệnh ề
A B
là mệnh ề úng thì mệnh
ề (A C ) (B C) là úng hay sai? Vì sao?
Giải
...................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Bài 6: [ZDS006] Cho A, B, C là các tập hợp. Chứng minh rằng
(A B) C (A C) (B C)
Giải
...................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Bài tập trắc nghiệm
Câu 1:[ZDS007] Mệnh ề nào tương ương logic với mệnh ề sau:
p q
A.
q
p B.
q
p C.
p q
D.
p q
E.
q p
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Câu 2:[ZDS008] Cho p,q là các mệnh ề. Mệnh ề
p q
tương ương với mệnh ề nào
sau ây?
A. p (p q) B. p (p q) C. q p D.
q p
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Câu 3:[ZDS009] Mệnh ề và mệnh ề nào sau ây tương ương logic?
A. (A B A B ) ( ) B. (A B ) (A B) C. (A B ) (A B)
D. (A B A B ) ( )
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Câu 4:[ZDS0010] Cho các mệnh ề A, B, C thỏa mãn (A C ) (B C) và
(A C ) (B C) lả các mệnh ề úng. Mệnh ề nào sau ây là mệnh ề úng:
A. B C B. A B C. A C D. C B
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Câu 5:[ZDS0011] Giả sử f x g x( ), ( ) là các hàm số xác ịnh trên . Đặt
A {x : f x( ) 0},B {x : ( )g x 0}. Giả sử A và B là các tập khác rỗng. Khi
ó, tập nghiệm của phương trình
f x( )
0 là: f x( ) g
x( )
A.
A B
B.
A B
C.
A B
D. A B\
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Câu 6:[ZDS0012] Cho A, B, C là ba tập hợp thóa mãn
A B
. Biểu thức nào trong các
biểu thức sau ây có thể SAI ?
A. (A B C) (A B) (BC) B. (A C\ ) (C B\ ) (A
B\ )
C. (A B\ )\(B C\ ) (A C\ ) D. (A B\ ) (C B\ ) (C B\ )
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Câu 7:[ZDS0013] Hai tập hợp A và B có số phần tử hữu hạn. Biết số các tập con của
tập A nhiều hơn số các tập con của tập B là 112 . Hỏi tập A có bao nhiêu phần tử?
A. 7 B. 12 C. 6 D. 11
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

Tài liệu khác của Đại học Bách Khoa Hà Nội

Preview text:

Chương 1: Logic – Tập Hợp – Ánh Xạ - Số Phức
Bài 1: Mệnh ề logic và tập hợp Lý thuyết
Các phép logic thường gặp
- Logic: . Phép phủ ịnh: A 1 A. Bảng giá trị chân lý A A 0 1 1 0
. Phép hội: A B A B , min AB, . Bảng giá trị chân lý A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
. Phép tuyển: A BA B ; max AB, . Bảng giá trị chân lý A B A B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
. Phép kéo theo: A BA B ; max 1 AB; . Bảng giá trị chân lý A B A B 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
. Phép tương ương: A B . Bảng giá trị chân lý A B A B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
Các tính chất của logic
. Tính giao hoán: A B B A A B; B A
. Tính kết hợp: A B C A B C
. Tính phối hợp: A B C A C B C
. Công thức: A B A B A B ; A B B A
Các phép tập hợp thường gặp Phép hợp Phép giao Phép trừ x A x A x A x A B x B x A B x B x A B \ x B
Phép lấy phần bù : Nếu A X
A X A\ gọi là phần bù của A trong X x A
Phép nhân: (x y, ) A B y B
Ví dụ về phép nhân: A {1,2};B {X Y, }
A B {(1,X);(1, );(2,Y
X);(2,Y)}  Các tính chất của tập hợp:
- Tính giao hoán: A B B A ,
- Tính kết hợp: (A B ) C A (B C ), - Tính Phân phối: A (B C ) (A B ) (A C )
- Công thức quan trọng (*):
Công thức trừ: Nếu AB X, thì A B A B\
Công thức DeMoorgan: A B A B A ; iAi A B A B A ; i Ai Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Phủ ịnh các mệnh ề sau
a) A '' x R x, 2 0''. b) B '' x y x, , 2 y2 0''.
c) C '' x y P x y, , , Q x ''.
Hướng dẫn giải: a A) x R x, 2 0 b B) x y x, , 2 y2 0 c C) x y P x y,( , ( , )) Q x y( , ) x y P x y,( , ( , )) Q x y( , )
x y P x y,( , ( , )) Q x y( , )
x y P x y,( , ( , )) Q x
y( , ) Ví dụ 2: Chứng minh hai mệnh ề sau là tương ương logic. a) p q p và p q .
b) A B và A B .
c) A B và B A.
Hướng dẫn giải:
a p, (q p) p q p( )
(p q) (p p) (p q) 1 p q b A, B A B A B
c A, B A B B A B A
Ví dụ 3: Xem hai mệnh ề sau có tương ương logic không . a) A B C và B A C . b) A B C và A B A C .
Hướng dẫn giải:
a A, (B C) A B C( ) A B C( ) B A C( ) B (A C)
Vậy hai mệnh ề có tương ương logic.
b A, (B C) A B C( ) (A B) (A C)
(A B) (A C)
Vậy hai mệnh ề có tương ương logic. Ví dụ
4 : Xét xem mệnh ề sau úng hay sai.
a) ‘’Nếu các số thực x y, thỏa mãn x y và y x thì suy ra x y ’’.
b) ‘’Nếu số tự nhiên n lẻ và n2 chẵn thì suy ra nlà số nguyên tố’’.
Hướng dẫn giải:
a, Gọi A là mệnh ề: “ x y ”, A là mệnh ề: “ x y ”
B là mệnh ề “ x y ”
Ta cần xét tính úng sai của mệnh ề (A A ) B.
Thật vậy ta thấy mệnh ề A A luôn sai, do ó mệnh ề (A A ) Búng.
Vậy mệnh ề ã cho là mệnh ề úng.
b, Gọi A là mệnh ề: “ Số tự nhiên n lẻ”, A là mệnh ề: “Số tự nhiên n2 chẵn ”
B là mệnh ề “nlà số nguyên tố”
Ta cần xét tính úng sai của mệnh ề (A A ) B.
Thật vậy ta thấy mệnh ề A A luôn sai, do ó mệnh ề (A A ) Búng.
Vậy mệnh ề ã cho là mệnh ề úng.
Ví dụ 5: Cho AB, là tập con của X . Chứng minh rằng : A B A B\ .
Hướng dẫn giải: x B x A x A Gọi x (A B\ ) x B x (A B) (A B\ ) (A B) x A Gọi x (A B) x B
x Ax B x (A B\) (A B) (A B\ ) Vậy A B A B\ .
Ví dụ 6: Chứng minh rằng với ABC, , là các tập hợp bất kỳ , ta có:
A B C A B C\ \ \
Hướng dẫn giải:
(A B C\) \ (A B\) C A B C A (B C) A B C A B C\( ) Vậy A B C A B C\ \ \
Ví dụ 7: AB, là các tập con của E , chứng minh : Nếu A và B rời nhau thì mọi phần
tử của E sẽ thuộc A hoặc thuộc B.
Hướng dẫn giải: Ta có A B
.Vậy A B A B E A B E \( ) \ E ( pcm)
Ví dụ 8: Cho các tập ABC, , thỏa mãn A B A C và A B A C .
Chứng minh rằng : B C .
Hướng dẫn giải: Giả sử x B
x A TH1: x A . Ta có: x B x (A B). Lại có A B A C . Do ó x A C ( ) x C
Như vậy ta có với x B suy ra x C . Do ó B C .
TH2: x A . Ta có x B x A B( ). Lại có A B A C x (A C)
Do ó x A C ( ). Ta có x A x C
Như vậy ta có với x B suy ra x C . Do ó B C .
Một số bài tập tham khảo
Bài 1 [ZDS001]Xem hai mệnh ề sau có tương ương logic không .
a) A (B C) và B (A C).
b) A (B C) và (A B ) (A C). Giải
...................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Bài 2: [ZDS002] Mệnh ề "Phương trình x2 2x 3 0 vô nghiệm nên 3 5 10 " úng hay sai? Tại sao? Giải
...................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Bài 3[ZDS003]Cho p, q là các mệnh ề. Chứng minh mệnh ề [q q p ( )] p là luôn úng. Giải
...................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Bài 4:[ZDS004] Cho A, B và C là các mệnh ề. Biết A úng, B sai vả C úng.
Tìm giá trị chân lý của mệnh ề (A B ) (C A) Giải
...................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Bài 5: [ZDS005] Cho 3 mệnh ề A, B, C. Nếu mệnh ề A B là mệnh ề úng thì mệnh
ề (A C ) (B C) là úng hay sai? Vì sao? Giải
...................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Bài 6: [ZDS006] Cho A, B, C là các tập hợp. Chứng minh rằng
(A B) C (A C) (B C) Giải
...................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Bài tập trắc nghiệm
Câu 1:[ZDS007] Mệnh ề nào tương ương logic với mệnh ề sau: p q A. q p B. q p C. p q D. p q E. q p
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Câu 2:[ZDS008] Cho p,q là các mệnh ề. Mệnh ề p q tương ương với mệnh ề nào sau ây?
A. p (p q)
B. p (p q) C. q p D. q p
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Câu 3:[ZDS009] Mệnh ề và mệnh ề nào sau ây tương ương logic?
A. (A B A B ) ( )
B. (A B ) (A B) C. (A B ) (A B)
D. (A B A B ) ( )
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Câu 4:[ZDS0010] Cho các mệnh ề A, B, C thỏa mãn (A C ) (B C) và (A C )
(B C) lả các mệnh ề úng. Mệnh ề nào sau ây là mệnh ề úng: A. B C B. A B C. A C D. C B
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Câu 5:[ZDS0011] Giả sử f x g x( ), ( ) là các hàm số xác ịnh trên . Đặt A {x
: f x( ) 0},B {x
: ( )g x 0}. Giả sử A và B là các tập khác rỗng. Khi
ó, tập nghiệm của phương trình f x( ) 0 là: f x( ) g x( ) A. A B B. A B C. A B D. A B\
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Câu 6:[ZDS0012] Cho A, B, C là ba tập hợp thóa mãn A B . Biểu thức nào trong các
biểu thức sau ây có thể SAI ?
A. (A B C) (A B)
(BC) B. (A C\ ) (C B\ ) (A B\ )
C. (A B\ )\(B C\ ) (A C\ ) D. (A B\ ) (C B\ ) (C B\ )
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
Câu 7:[ZDS0013] Hai tập hợp A và B có số phần tử hữu hạn. Biết số các tập con của
tập A nhiều hơn số các tập con của tập B là 112 . Hỏi tập A có bao nhiêu phần tử? A. 7 B. 12 C. 6 D. 11
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

Tài liệu liên quan: