Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước

Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước 1. Số phức là gì?
- Số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i
thỏa mãn i2 = - 1. Kí hiệu z = a + bi.
i : đơn vị ảo, a: phần thực, b: phần ảo. Chú ý:
* z = a + 0i = a được gọi là số thực ( a ∈ R ⊂ C )
* z = 0 + bi = bi được gọi là số ảo (hay số thuần ảo)
* 0 = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo 2.
- Biểu diễn hình học của số phức.
* M (a;b) biểu diễn cho số phức z ⇔ z = a + bi
- Hai số phức bằng nhau. Cho hai số phức z = a + bi và z ′ = a ′ + b ′ i với a, b, a ′, b ′ ∈ R
z = z ′ ⇔ a = a ′ và b = b ′
- Cộng và trừ số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z ′ = a ′ + b ′i với a, b, a ′, b ′ ∈ R
z + z ′ = (a + a ′) + (b + b ′) i
z – z ′ = (a – a ′) + (b – b ′) i
- Nhân hai số phức. Cho hai số phức z = a + bI và z ′ = a ′ + b ′ i với a, b, a ′, b ′ ∈ R
z. z ′ = (a. a ′ – b. b ′) + (a. b ′ + a ′ b) i
k (a + bi) = k. a + k. bi ( k ∈ R )
- Môđun của số phức z = a + bi
Số thực | z | = √ a 2 + b 2 = |vecto OM| gọi là môdul của số phức z = a + bi .
| z | = √ a2 + b2 = √ z.z = |vecto OM| với M (a; b ) là điểm biểu diễn số phức z .
| z | ≥ 0, ∀ z ∈ C, | z | = 0 ⇔ z = 0. |z . z ′| = |z| . | z ′| ; |z/ z'| = |z|/ |z'|
| z| – |z ′| ≤ |z ± z ′| ≤ |z| + |z '|.
- Chia hai số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z ′ = a ′ + b ′i với a, b, a ′, b ′ ∈ R
Thương của z ′ chia cho z (z ≠ 0): z ′/ z = (a. a ′ + b. b ′)/ a2 + b2 + (a. b ′ – a ′. b)/ (a2 + b2) i
- Căn bâc hai của số phức. w = x + yi là căn bâc hai của số phức z = a + bi khi và chi khi w2 = z x2 – y2 = a và 2. x. y = b
Số 0 có một căn bâc hai là số w = 0.
Số z ≠ 0 có hai căn bâc hai đối nhau là w và – w.
Hai căn bâc hai của số thực a > 0 là ± √ a.
Hai căn bâc hai của số thực a < 0 là ± i √ – a. - Lũy thừa đơn vị ảo
i0 = 1 , i1 = i , i2 = – 1, i3 = i2 . i = – i,.... bằng quy nạp ta được:
i4n = 1 , i4n + 2 = i , i4n + 2 = – 1 , i4n + 3 = – i , ∀ n ∈ N ∗
Do đó: in ∈ { – 1; 1; – i; i } , ∀ n ∈ N ∗
- Phương trình bâc nhất a. x + b = 0 (a, b là số phức cho trước, a ≠ 0 ).
Giải tương tự phương trình bâc nhất với hệ số thực
- Phương trình bâc hai a. x2 + b. x + c = 0 (a , b , c là số thực cho trước, a ≠ 0 ). Tính Δ = b2 – 4. a. c
Δ < 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt phức x1,2 = (– b ± i √ |Δ|)/ 2. a
Δ = 0: Phương trình có 1 nghiệm kép là x = – b/ 2. a
Δ > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt phức x1,2 = (– b ± √ Δ)/ 2. a
2. Một số bài toán thường gặp về số phức
- Dạng 1: Cộng, trừ số phức + Phương pháp giải
Cho hai số phức z1 = a + bi và z2 = c + di:
• Cộng số phức: z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i
• Trừ số phức: z1 – z2 = ( a- c) + ( b – d)i
- Dạng 2: Nhân, chia hai số phức
Nhân số phức: z1.z2 = (ac – bd) + (ad + bc). i Chia số phức:
• Số phức nghịch đảo của z = a + bi ≠ 0 là
• Thực hiện phép chia (c + di)/ (a + bi):
3. Các bài tập số phức và đáp án
Bài 1: Cho hai số phức z1 = 1 + 10i và z2 = 9 – 2i. Số phức z = z1 + z2 có z1 có phần thực là: A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
Lời giải: Ta có: z = z1 + z2 = (1 + 10i) + ( 9 – 2i) = 10 + 8i. Đáp án: B
Bài 2: Hãy tính số phức z. Biết rằng: z = 10i – ( 2 + 2i).i A. z = 2 + 8i B. z = 8 - 2i C. z = 8 + 2i D. z = 2 - 8i
Lời giải: Ta có z = 10i - (2 + 2i).i = 10i – 2i + 2 = 2 + 8i Đáp án: A
Bài 3: Cho hai số phức z = -2 + 3yi; z’ = ( x + 1)- 4i với x,y ∈ R.
Tìm x; y để z + i= z’ + 2 A. x = -5; y = -5/ 3 B. x = 5; y = 2 C. x = 2; y = 12/ 5 D. x = 1/ 4; y = -2 Lời giải: Để z + i = z’ + 2
⇔ - 2 + 3yi + i = ( x + 1) – 4i + 2
⇔ - 2 + (3y + 1).i = ( x + 3)- 4i
Do đó ta có hệ phương trình: -2 = x + 3 và 3y + 1 = -4 <=> x = -5 và y = -5/ 3 Đáp án: A
Bài 4: Cho z1 = a + 8i, z2 = 6 – 3i và z3 = 10 + bi ( a,b ∈ R ). Tìm a, b để z1 + z2 = z3 A. a = 2; b = 5 B. a = 1; b = -5 C. a = 4; b = 5 D. a = 3; b = 1
Lời giải: Có: z1 + z2 = z3 nên (a + 8i) + ( 6 – 3i) =10 + bi ⇔ ( a + 6) + 5i = 10 + bi ⇔ a + 6 = 10 và 5 = 5 ⇔ a = 4 và b = 5 Vây a = 4; b = 5. Đáp án: C
Bài 5: Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo? A. (√2 + i) - (1 + √2i) B. (8 + 2i) + (- 8 + 2i) C. (- 3 + i) – (3 - i) D. (10 + 3i) – (-10 – 3i) Lời giải: Ta xét các phương án:
* (√2 + i) - (1 + √2i)= (√2 - 1) - (1 - √2) không là số thuần ảo.
* (8 + 2i) + (- 8 + 2i) = 4i là số thuần ảo.
* (-3 + i) – (3- i) = - 3 + i – 3 + i= - 6 + 2i không là số thuần ảo.
* (10 + 3i) – ( -10 – 3i) = 10 + 3i + 10 + 3i = 20 + 6i không là số thuần ảo. Đáp án: B
Bài 6: Tính giá trị của P= i105 + i23 + i20 – i34 A. 1 B. -2 C. 2 D. 5 Lời giải: Ta có : i2 = -1 ⇒ i4 = 1.
Do đó, P = i105 + i23 + i20 – i34 = i104 + 1 + i20 + 3 + i4.5 – i4.8 + 2 = i.
i4.26 + i2.i.i4.5 + 1- i2. i4.8 = i. 1 + (-1).i.1 + 1 - (-1).1 = 2 Đáp án: C
Bài 7: Tìm số phức z = [(1 + 5i) - (1 + 3i)]2007. A. z= - 82007.i B. z= -82007.i C. z= -22007 D. z= -22007.i
Lời giải: z = [(1 + 5i) - (1 + 3i)]2007 ⇔ z = [2i]2007 ⇔ z = 22007i2007
⇔ z = 22007 i4.501.i2.i=22007 (-i) ( Vì i2 = -1 nên i4 =1) Đáp án: D
Document Outline

• Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước
  • 1. Số phức là gì?
  • 2. Một số bài toán thường gặp về số phức
  • 3. Các bài tập số phức và đáp án