Tìm tham số m để hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng | Chuyên đề Toán 12

Chuyên đề Toán 12: Tìm tham số m để hàm số đồng biến
nghịch biến trên khoảng
A. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số y  f x có đạo hàm trên khoảng K . Khi đó:
Nếu f 'x  0; x
  K và f ' x  0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f  x
đồng biến trên khoảng K .
Nếu f 'x  0; x
  K và f ' x  0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f  x
nghịch biến trên khoảng K .
B. Tìm tham số m để hàm số bậc ba đồng biến, nghịch biến trên khoảng Nhắc lại kiến thức
Xét tam thức bậc hai 2
y  ax  bx  ;
c a  0 (đã học ở lớp 10)   y   x    a 0 0    0   y   x    a 0 0;    0
Xét bài toán 1. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số bậc ba đồng biến, nghịch biến trên . Phương pháp giải Cho hàm số bậc ba 3 2
y  ax  bx  cx  d;a  0 chứa tham số m Hàm số đồng biến trên  a 
 y '  0x  3 0 2
 3ax  2bx  c  0 x  '   y 0 '
Hàm số nghịch biến trên  a 
 y '  0x  3 0 2
 3ax  2bx  c  0 x  '   y 0 '
Chú ý: Trong trường hợp hệ số a chứa tham số m , ví dụ y  m   3 2
1 x  mx  2x  3
ta cần xét a  0 trước.
Số giá trị nguyên trên đoạn a;b bằng b  a 1.
Ví dụ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 3 2
y  2x  3mx  6mx  2 đồng biến trên ? Hướng dẫn giải Ta có: 2
y '  6x  6mx  6m Hàm số đồng biến trên
 y '  0 x    a  6  0   2
 '  m  m   y 9 36 0 '  0  m  4
Kết hợp với m . Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài. Ví dụ. Cho hàm số 3 2
y  x  mx  4m  9 x  5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá
trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng  ;   ? Hướng dẫn giải Ta có: 2 y '  3
 x  2mx  4m  9
Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;
   y '  0 x    a     y 3 0 '    9 m 3 2  '  m  m    y 3 4 9 0 '   Kết hợp với m
Suy ra có 7 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ví dụ. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số 3 x 2 y 
 mx  4x  3 luôn tăng trên
. Số phần tử của tập hợp S là bao nhiêu? 3 Hướng dẫn giải Ta có: 2
y '  x  2mx  4
Hàm số đồng biến trên  y '  0 x    a    y 1 0 '    2 m 2 2  '  m    y 4 0 '
Kết hợp với m  m2;1;0;1;  2
Vậy số phần tử của tập hợp S là 5.
Ví dụ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1
y  m  2 3
x m  2 2
x  m 8 2
x  m 1 luôn nghịch biến trên ? 3 Hướng dẫn giải
Với m  2 ta có y  1
 0x  3 (hàm số này luôn nghịch biến trên tập số thực)
Với m  2 ta có y  m   2 '
2 x  2m  2 x  m 8
Hàm số nghịch biến trên  y '  0 x   
a  m   y 2 0 '    2 m 2  '   y 0 '
Kết hợp với m  m2;1;0;1;  2
Vậy số phần tử của tập hợp S là 5.
Xét bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y  f  ;xm đồng biến
hoặc nghịch biến trên một khoảng (hoặc nửa khoảng, đoạn hoặc nửa đoạn). Phương pháp giải
Xét hàm số y  f  ;xm ta tính y '  f ' ;xm
Hàm số đồng biến trên D  y '  0 x   D
Hàm số nghịch biến trên D  y '  0 x   D
Cô lập tham số m và đưa bất phương trình y'  0; y'  0 về dạng m  y' hoặc m  y '. Sử dụng tính chất
Bất phương trình m  y '; x
  D  m  max f  x D
Bất phương trình m  y'; x
  D  m  min f x D
Chú ý: Với hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d;a  0 liên tục trên tập số thực nên hàm số
đồng biến và nghịch biến trên khoảng a;b thì nó đồng biến trên đoạn a;b .
Lưu ý: Bất đẳng thức CauChy (AM – GM): Cho các số thực không âm a ;a ;a ;. .a 1 2 3 n thì ta có:
a  a  a  . . n
 a  n a a a a n . . . . . 1 2 3 1 2 3 n
Dấu bằng xảy ra khi a  a  a  . . a 1 2 3 n MaxF x 2 2  a b   c
Với hàm số lượng giác F x  asin x  bcos x  c thì  . MinF  x 2 2
  a b  c
Ví dụ. Tìm giá trị của tham số m để hàm số 1 3
y  x  m   2 1 x   2
m  2m x  3 3
nghịch biến trên khoảng 1;  1 ? Hướng dẫn giải Ta có: 2
y  x  m   x   2 ' 2 1 m  2m Xét 2
y   x  m   x   2 ' 0 2 1
m  2m  0 x  m  ;  m x  m  2
Hàm số luôn nghịch biến trong khoảng  ; m m  2; m 
Để hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1) thì 1;  1   ; m m  2 m  1 Nghĩa là m 1 1 m 2          1 1  m  1 . 1   m  2 Ví dụ. Cho hàm số 3 2
y  x  mx  m . Tìm điều kiện cần và đủ của tham số m để
hàm số nghịch biến trên 0;2 . Hướng dẫn giải
Tập xác định D  Ta có: 2
y '  3x  2mx
Để hàm số đã cho nghịch biến trên 0;2 thì y '  0; x  0;2 2
 3x  2mx  0; x  0;2 2 3 2  2mx  3
 x  m   x ; x  0;2 2  3 m min  x      3 0;2  2 
Vậy giá trị cần tìm là m  3 .
Ví dụ. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y  x  3x  4  m x đồng biến trên khoảng 2; ? Hướng dẫn giải
Tập xác định D  Ta có: 2
y '  3x  6x  4  m
Hàm số đồng biến trên khoảng 2;  y '  0; x  2; 2
 m  3x  6x  4; x  2;
Xét hàm số g x 2
 3x  6x  4 trên khoảng 2; .
Ta có: g 'x  6x  6; g 'x  0  x 1 Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có: m  g x;; x
 2;  m  4
Vậy m  4 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ. Hàm số 1 3 m 2
y  x  x  x  6 đồng biến trên nửa khoảng 1; khi nào? 3 2 Hướng dẫn giải Ta có: 2
y '  x  mx 1
Để hàm số đã cho đồng biến trên nửa khoảng 1; khi đó:  y '  0; x  1; 2
 x  mx 1 0; x  1; 1
 m  x  ; x  1; x Xét hàm số   1
g x  x  trên nửa khoảng 1; ta có: x 2   1 1 '  1  x g x    2 2 x x   g x x 1 '
 0  x  1
Bảng biến thiên của hàm số   1
g x  x  trên nửa khoảng 1; là: x
Từ bảng biến thiên suy ra max g x  g   1  2  1;
Vậy m  g x; x
 1; khi và chỉ khi m  2 .
Ví dụ. Xác định điều kiện của tham số m để hàm số
y  f  x 3 2
 x  3x  2m  
1 x 1 nghịch biến trên khoảng 0; ? Hướng dẫn giải
Tập xác định D  Ta có: 2 y '  3
 x  6x  2m 1
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; y '  0; x
 0; khi và chỉ khi 2
 2m  3x  6x 1; x  0;
Xét hàm số g x 2
 3x  6x 1 trên 0; ta có bảng biến thiên như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
min g x  2 0;
Do đó  2m  min g x  2m  2   m  1  0;
Vậy m  1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
C. Tìm tham số m để hàm phân thức đồng biến, nghịch biến trên khoảng Xét hàm số ax  b   y  . TXĐ d D   ta có: ' ad bc y  cx    d  c  cx  d 2
Nếu ad  bc thì hàm số đã cho suy biến thành hàm hằng. Do đó:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó  ad bc  0 .
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó  ad bc  0 .
ad  bc  0
Hàm số đồng biến trên miền D   ;i j
y ' 0; x  ;i j        d     ;i j  c
ad  bc  0
Hàm số nghịch biến trên miền D   ;i j
y ' 0; x  ;i j        d     ;i j  c
Ví dụ. Xác định giá trị thực của tham số  m để hàm số x 5 y  đồng biến trên x  m khoảng ;8 ? Hướng dẫn giải
Tập xác định D  \  m Hàm số x  5 y 
đồng biến trên khoảng ;8 x  m
y '  0; x    ;  8  
 x  m
 m  5  0;x  ;  8  2  
  x  m m  ;8 m  5 m  5      5 m 8 m  8 m  8
Vậy đáp án cần tìm là 5;8.
Ví dụ. Có tất cả bao nhiêu các giá trị nguyên của tham số  m để hàm số 2x 4
y  xm
đồng biến trên khoảng ;4 ? Hướng dẫn giải
Tập xác định D  \  m Ta có: 2  4 ' m
y  xm2
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  m   m  
;4 khi và chỉ khi 4 4    2m 4 0     m  2
Vì m  m4;  3
Vậy có hai giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 Ví dụ. Cho hàm số m x  5 y 
với m là tham số. Gọi S là tập hợp các số nguyên 2mx 1
m2020;2020 để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 3; . Xác định số
phần tử của tập hợp S ? Hướng dẫn giải
Xét m  0  y  5 là hàm hằng nên hàm số không nghịch biến. Vậy m  0 không thỏa mãn. Xét m  0 Tập xác định  1   1 D ;   ;         2m 2m     
Để hàm số nghịch biến trên khoảng 3; khi và chỉ khi 2  m 10m 2  y '   0      mx  2 m 10m 0 2 1     6m 1 1    0   3  2m  2m 0  m 10  1   m    0  m  10   6  m  0 m Mà 
nên m1;2;3;. .;  9 m   2020;2020
Vậy tập hợp S có tất cả 9 giá trị. 2
Ví dụ. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số x 8x  4 y  2
x 8x  m
nghịch biến trên 1;0 ? Hướng dẫn giải Đặt 2
t  x 8x Điều kiện xác định x  0 2
x 8x  0  x 8 Xét hàm 2
t  x 8x; x 1;0 ta có: 2x 8 x  4 t '    0; x    1  ;0  2 2 2 x 8x x 8x Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số 2
t  x 8x nghịch biến trên khoảng 1;0 và t 0;3 Khi đó yêu cầu bài toán t  4  y  đồng biến trên 0;3 t  m
Điều kiện xác định D  \  m Ta có: m  4 y '  ; x   D t  m2
Để hàm số đồng biến trên 0;3 thì m  4  0 y '  0      m    m 0 0;3  m  3 m  4  4  m  3
 m  0    m  0 m  3
Vậy đáp án cần tìm là m4;  3 0; .
Ví dụ. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số  m để hàm số 2cot x 1 y  đồng biến cot x  m trên khoảng    ;   ? 4 2    Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định cot x  m 2 1  cot x  m  2cot x 1 2   2   Ta có: sin x sin y ' 
cot x  m2 1 2m  2 sin .
x cot x  m2
Hàm số đồng biến trên khoảng    ;   khi và chỉ khi 4 2    1   2m  0 y '  0       m    m 1 0;1  m  0 m  1  m    1 ; 1 0;        m 0    2 
Vậy đáp án cần tìm là m    1 ; 1 0;       .  2 