Toán 6 Chuyên đề: Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Tóm tắt lý thuyết và tổng hợp các bài tập về Lũy thừa với số mũ tự nhiên Toán 6 có lời giải chi tiết được soạn dưới dạng file PDF gồm 30 trang giúp bạn củng cố kiến thức, ôn tập và đạt điểm cao trong kỳ thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!

97 49 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Tập hợp các số tự nhiên (KNTT)

Môn: Toán 6

Thông tin:

30 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Hậu
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ 5: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
PHẦN I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
1. Lũy thừa bậc n của số a là tích của
n
thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng
a
. ...
n
a a a a=
(
n
0
);
a
gọi là cơ số,
n
gọi là số mũ.
2.Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số
.
m n m n
a a a
+
=
3.Chia hai luỹ thừa cùng cơ số
:
m n m n
a a a
−
=
Quy ước
0
1a =
( )
0a
4.Luỹ thừa của luỹ thừa
( )
n
m m n
aa
=
5. Luỹ thừa mộttích
( )
..
m
mm
a b a b=
6. Một số luỹ thừa của 10:
- Một nghìn:
3
1000 10=
- Một vạn:
4
10000 10=
- Một triệu:
6
1000000 10=
- Một tỉ:
9
1000000000 10=
Tổng quát: nếu
n
là số tự nhiên khác
0
thì:
10 1000...00
n
=
7. Thứ tự thực hiện phép tính:
Trong một biểu thức có chứa nhiều dấu phép toán ta làm như sau:
- Nếu biểu thức không có dấu ngoặc chỉ có các phép cộng, trừ hoặc chỉ có các phép nhân chia ta thực
hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.
- Nếu biểu thức không có dấu ngoặc, có các phép cộng, trừ ,nhân ,chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện
nâng lên lũy thừa trước rồi thực hiện nhân chia,cuối cùng đến cộng trừ.
- Nếu biểu thức có dấu ngoặc
( )
,
,
ta thực hiện các phép tính trong ngoặc tròn trước, rồi đến
các phép tính trong ngoặc vuông, cuối cùng đến các phép tính trong ngoặc nhọn.
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. THỰC HIỆN TÍNH, VIẾT DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
I.Phương pháp giải.
Sử dụng công thức:
1)
. ...
n
n
a a a a=
(
n
0
);
a
gọi là cơ số,
n
gọi là số mũ.
n thừa số
a
thừa số a
Trang 2
2)
.
m n m n
a a a
+
=
3)
:
m n m n
a a a
−
=
Quy ước
0
1a =
( )
0a
4)
( )
n
m m n
aa
=
5)
( )
..
m
mm
a b a b=
II.Bài toán.
Bài 1. Viết các tích sau dưới dạng 1 luỹ thừa
a)
5.5.5.5.5.5
b)
2.2.2.2.3.3.3.3
c)
100.10.2.5
Lời giải
a)
6
5.5.5.5.5.5 5=
b)
44
2.2.2.2.3.3.3.3 2 .3=
c)
4
100.10.2.5 10.10.10.10 10==
Bài 2.Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
42
3 :3
b)
42
2 .2
c)
( )
2
4
2
Lời giải
a)
4 2 2
3 :3 3 9==
b)
42
2 .2 16.4 64==
c)
( )
2
48
2 2 256==
Bài 3. Viết các tích sau đây dưới dạng một luỹ thừa của một số:
a)
24
8 .32A =
b)
34
27 .9 .243B =
Lời giải
a)
2 4 6 20 26
8 .32 2 .2 2A = = =
b)
3 4 22
27 .9 .243 3B ==
Bài 4. Viết kết quả phép tính dưới dạng một lũy thừa:
a)
3
64:2
b)
4
243:3
c)
3
625:5
d)
5
7 :343
e)
3
100000:10
f)
5
11 :121
g)
3
243:3 :3
h)
8
4 :64:16
Lời giải
a)
3 6 3 3
64:2 2 : 2 2==
b)
4 5 4 1
243:3 3 :3 3==
c)
3 4 3 1
625:5 5 :5 5==
d)
5 5 3 2
7 :343 7 :7 7==
e)
3 5 3 2
100000:10 10 :10 10==
f)
5 5 2 3
11 :121 11 :11 11==
g)
3 5 3 1
243:3 :3 3 :3 :3 3==
h)
8 8 3 4
4 :64:16 4 :4 :4 4==
Bài 5.Tìm các số mũ
n
sao cho luỹ thừa
3
n
thảo mãn điều kiện:
25 3 250
n

Lời giải
Trang 3
Ta có:
2 3 4 5
3 9,3 27 25,3 81,3 243 250= = = =
nhưng
6
3 243.3 729 250= =
Vậy với số mũ
3,4,5n =
ta có
25 3 250
n

Bài 6 : Thực hiện phép tính:
a)
2
5.2 18:3−
b)
3
17.85 15.17 2 .3.5+−
c)
33
2 .17 2 .14−
d)
( )
2
20 30 5 1

− − −


e)
( )
23
75 3.5 4.2−−
f)
2 0 3
2.5 3:71 54:3+−
g)
2
150 50:5 2.3+−
h)
22
5.3 32:4−
Lời giải
a)
2
5.2 18:3−
5.4 18:3=−
20 6=−
14=
b)
3
17.85 15.17 2 .3.5+−
17.85 15.17 120= + −
( )
17. 85 15 120= + −
17.100 120=−
1700 120=−
1580=
c)
33
2 .17 2 .14−
( )
3
2 17 14=−
3
2 .3=
8.3
24
=
=
d)
( )
2
20 30 5 1

− − −


2
20 30 4

= − −

( )
20 30 16= − −
20 14 6= − =
e)
( )
23
75 3.5 4.2−−
( )
75 3.25 4.8= − −
( )
75 75 32= − −
75 75 32
32
= − +
=
f)
2 0 3
2.5 3:71 54:3+−
2.25 3:1 54:27= + −
50 3 2= + −
51=
g)
2
150 50:5 2.3+−
150 10 2.9= + −
150 10 18
142
= + −
=
h)
22
5.3 32:4−
5.9 32:16=−
45 2
43
=−
=
Bài 7: Thực hiện phép tính.
a)
2
27.75 25.27 2.3.5+−
b)
( )
12: 400: 500 125 25.7−+


c)
0
13.17 256:16 14:7 2021− + −
d)
( )
2
2.3 :3 182 3. 51:17++
e)
( )
23
15 5 .2 : 100.2−
f)
23
5 .2 12.5 170:17 8− + −
Lời giải
a)
2
27.75 25.27 2.3.5+−
( )
27. 75 25 150= + −
27.100 150=−
b)
( )
12: 400: 500 125 25.7−+


( )
12: 400: 500 125 175= − +


12: 400: 500 300=−
Trang 4
2700=
12: 400:200
12: 2 6
=
==
c)
0
13.17 256:16 14:7 2021− + −
221 16 2 1= − + −
206=
d)
( )
2
2.3 :3 182 3. 51:17++
6 182 3.3= + +
6 182 9= + +
197=
e)
( )
23
15 5 .2 : 100.2−
15 25.8:200=−
15 200:200=−
15 1
14
=−
=
f)
23
5 .2 12.5 170:17 8− + −
1000 60 10 8= − + −
942=
Bài 8: Thực hiện phép tính.
a)
3 3 2 2
2 5 :5 12.2−+
b)
( )
2
5. 85 35:7 :8 90 5 .2− + −


c)
( )
3 2 2
2. 7 3 :3 :2 99 100

− + −


d)
7 2 4 3 4 5
2 : 2 5 :5 .2 3.2+−
e)
( )
5 7 10 4 3
3 .3 :3 5.2 7 :7+−
f)
( )
2 2 4 3
3 . 5 3 :11 2 2.10

− − +


g)
( )
2007 2006 2006
6 6 :6−
h)
( )
2001 2000 2000
5 5 :5−
i)
( )
2005 2004 2004
7 7 :7+
j)
( ) ( ) ( )
7 5 8 6 4 2
5 7 . 6 8 . 2 4+ + −
k)
( ) ( ) ( )
5 9 4 6 3 2
7 7 . 5 5 . 3 .3 9+ + −
l)
( )
2 3 2 5
5 .2 7 .2 :2 .6 7.2

−−


Lời giải
a)
3 3 2 2
2 5 :5 12.2−+
8 5 12.4= − +
8 5 48
51
= − +
=
b)
( )
2
5. 85 35:7 :8 90 5 .2− + −


( )
5 85 5 :8 90 50= − + −


5 80:8 90 50= + −
5.100 50
450
=−
=
c)
( )
3 2 2
2. 7 3 :3 :2 99 100

− + −


( )
2. 7 3 :4 99 100= − + −


( )
2. 4: 4 99 100= + −
2.100 100
100
=−
=
d)
7 2 4 3 4 5
2 : 2 5 :5 .2 3.2+−
5 4 5
2 5.2 3.2= + −
( )
4
4
2 . 2 5 6
2
= + −
=
e)
( )
5 7 10 4 3
3 .3 :3 5.2 7 :7+−
12 10 4 2
3 :3 5.2 7= + −
2 4 2
3 5.2 7= + −
9 5.16 49= + −
9 80 49
40
= + −
=
f)
( )
2 2 4 3
3 . 5 3 :11 2 2.10

− − +


( )
9. 25 3 :11 16 2.1000= − − +


( )
9. 22:11 16 2000= − +
9.2 16 2000= − +
2 2000
2002
=+
=
Trang 5
g)
( )
2007 2006 2006
6 6 :6−
( )
2006 2006
6 6 1 :6=−
2006 2006
6 .5:6
5
=
=
h)
( )
2001 2000 2000
5 5 :5−
( )
2000 2000
5 5 1 :5=−
2000 2000
5 .4:5
4
=
=
i)
( )
2005 2004 2004
7 7 :7+
2004 2004
7 (7 1):7=+
2004 2004
7 .8:7
8
=
=
j)
( ) ( ) ( )
7 5 8 6 4 2
5 7 . 6 8 . 2 4+ + −
( ) ( )
( )
7 5 8 6
5 7 . 6 8 . 16 16= + + −
( ) ( )
7 5 8 6
5 7 . 6 8 .0
0
= + +
=
k)
( ) ( ) ( )
5 9 4 6 3 2
7 7 . 5 5 . 3 .3 9+ + −
( ) ( )
( )
5 9 4 6
7 7 . 5 5 . 27 27= + + −
( ) ( )
5 9 4 6
7 7 . 5 5 .0
0
= + +
=
l)
( )
2 3 2 5
5 .2 7 .2 :2 .6 7.2

−−


( )
5
25.8 49.2 :2 .6 7.2= − −


( )
200 98 :2.6 7.32= − −
306 224
82
=−
=
Bài 9 : Thực hiện phép tính.
a)
( )
33
142 50 2 .10 2 .5

− − −


b)
( )
2
375: 32 4 5.3 42 14

− + − −


c)
( )
2
210: 16 3. 6 3.2 3

+ + −


d)
( )
2
3
500 5. 409 2 .3 21 1724



− − − −





Lời giải:
a)
( )
33
142 50 2 .10 2 .5

− − −


3
142 50 2 .5

= − −

142 5.(10 8)= − −
142 10
132
=−
=
b)
( )
2
375: 32 4 5.3 42 14

− + − −


( )
375: 32 4 45 42 14= − + − −


( )
375: 32 4 3 14= − + −
375: 32 7 14= − −
375:25 14=−
15 14 1= − =
c)
( )
2
210: 16 3. 6 3.2 3

+ + −


( )
210: 16 3. 6 12 3= + + −


210: 16 3.18 3= + −
210:70 3=−
3 3 0=−=
d)
( )
2
3
500 5. 409 2 .3 21 1724



− − − −





( )
2
500 5 409 8.3 21 1724

= − − − −


( )
2
500 5. 409 24 21 1724

= − − − −


500 5. 409 9 1724= − − −
500 5.400 1724= − −
500 276 224= − =
Bài 10: Thực hiện phép tính.
a)
( )
23
80 4.5 3.2−−
b)
6 4 3 2 2017
5 :5 2 .2 1+−
Trang 6
c)
( )
3
5 2. 56 48: 15 7− − −


d)
22
23.75 5 .10 5 .13 180+ + +
e)
( )
2
0
36.4 4. 82 7.11 : 4 2016− − −
f)
( )
30
303 3. 655 18: 2 1 .4 5 :10

− − + +

Lời giải:
a)
( )
23
80 4.5 3.2−−
( )
80 4.25 3.8= − −
( )
80 100 24= − −
80 76 4= − =
b)
6 4 3 2 2017
5 :5 2 .2 1+−
25
5 2 1= + −
25 32 1
56
= + −
=
c)
( )
3
5 2. 56 48: 15 7− − −


125 2. 56 48:8= − −
( )
125 2. 56 6= − −
125 2.50
25
=−
=
d)
22
23.75 5 .10 5 .13 180+ + +
23.75 25.(10 13) 180= + + +
23.75 25.23 180= + +
23.100 180=+
2300 180
2480
=+
=
e)
( )
2
0
36.4 4. 82 7.11 : 4 2016− − −
( )
2
36.4 4. 82 77 :4 1= − − −
( )
4 36 25 :4 1= − −
11 1
10
=−
=
f)
( )
30
303 3. 655 18: 2 1 .4 5 :10

− − + +

303 3. 655 640 5= − − +
303 3. 655 640 5= − − +
303 3.10=−
263=
Bài 11: Tính giá trị của biểu thức:
2002.20012001 2001.20022002A=−
Lời giải:
2002.20012001 2001.20022002A=−
( ) ( )
2002. 20010000 2001 2001. 20020000 2002A = + − +
( ) ( )
44
2002. 2001.10 2001 2001. 2002.10 2001A = + − +
44
2002.2001.10 2002.2001 2001.2002.10 2001.2002A = + − −
0A=
Bài 12: Tính:
a)
2 3 4 100
2 2 2 2 ... 2A = + + + + +
b)
2 3 150
1 5 5 5 ... 5B = + + + + +
c)
2 3 1000
3 3 3 ... 3C = + + + +
Lời giải:
a)
2 3 4 100
2 2 2 2 ... 2A = + + + + +
2 3 4 100
2 2.2 2 .2 2 .2 2 .2 ... 2 .2A = + + + + +
2 3 4 5 101
2 2 2 2 2 ... 2A = + + + + +
( ) ( )
2 3 4 5 101 2 3 4 100
2 2 2 2 2 ... 2 2 2 2 2 ... 2AA− = + + + + + − + + + + +
2 3 4 5 101 2 3 4 100
2 2 2 2 ... 2 2 2 2 2 ... 2A = + + + + + − − − − − −
101
22A =−
Trang 7
Vậy
101
22A =−
b)
2 3 150
1 5 5 5 ... 5B = + + + + +
2 3 150
5 1.5 5.5 5 .5 5 .5 ... 5 .5B = + + + + +
2 3 4 151
5 5 5 5 5 ... 5B = + + + + +
( ) ( )
2 3 4 151 2 3 150
5 5 5 5 5 ... 5 1 5 5 5 ... 5BB− = + + + + + − + + + + +
2 3 4 151 2 3 150
4 5 5 5 5 ... 5 1 5 5 5 ... 5B = + + + + + − − − − − −
151
4 5 1B =−
151
51
4
B
−
=
c)
2 3 1000
3 3 3 ... 3C = + + + +
2 3 1000
3 3.3 3 .3 3 .3 ... 3 .3C = + + + +
2 3 4 1001
3 3 3 3 ... 3C = + + + +
( ) ( )
2 3 4 1001 2 3 1000
3 3 3 3 ... 3 3 3 3 ... 3CC− = + + + + − + + + +
2 3 4 1001 2 3 1000
2 3 3 3 ... 3 3 3 3 ... 3C = + + + + − − − − −
1001
2 3 3C =−
1001
33
2
C
−
=
Dạng 2.SO SÁNH CÁC LŨY THỪA
I.Phương pháp giải.
Để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử
dụng các lũy thừa trung gian để so sánh)
Với
, , ,a b m n N
ta có:
*nn
a b a b n N
( 1)
mn
m n a a a
0a =
hoặc
1a =
thì
( )
.0
mn
a a m n=
Với
,AB
là các biểu thức ta có :
0
nn
A B A B
mn
A A m n
và
1A
mn
và
01A
II.Bài toán.
Bài 1. So sánh:
Trang 8
a)
17
333
và
23
333
b)
10
2007
và
10
2008
c)
( )
2009
2008 2007−
và
( )
1999
1998 1997−
Lời giải
a) Vì
1 17 23
nên
17
333
và
23
333
b) Vì
2007 2008
nên
10
2007
và
10
2008
c) Ta có :
( )
2009
2008 2007−
2009
11==
( )
1999
1998 1997−
1999
11==
Vậy
( )
2009
2008 2007−
=
( )
1999
1998 1997−
Bài 2. So sánh
a)
300
2
và
200
3
e)
20
99
và
10
9999
b)
500
3
và
300
7
f)
1979
11
và
1320
37
c)
5
8
và
7
3.4
g)
10
10
và
5
48.50
d)
303
202
và
202
303
h)
10 9
1990 1990+
và
10
1991
Lời giải
a) Ta có :
( )
100
300 3 100
2 2 8==
( )
100
200 2 100
3 3 9==
Vì
100 100 300 200
8 9 2 3
b) Tương tự câu a) ta có :
( )
100
500 5 100
3 3 243==
( )
100
300 3 100
7 7 343==
Vì
100 100
243 343
nên
500 300
37
c) Ta có :
5 15 14 14 7 5 7
8 2 2.2 3.2 3.4 8 3.4= = =
d) Ta có :
( )
( ) ( )
( )
101 101
3.101 101
303 3 3 2
202 2.101 2 .101 8.101.102 808.101= = = =
( )
( ) ( )
101 101
2.101
202 2 2 2
303 3.101 3 .101 9.101= = =
Vì
22
808.101 9.101
nên
303 202
202 303
Trang 9
e) Ta thấy :
( )
10
2 2 10 20 10
99 99.101 9999 99 9999 99 9999 =
f) ta có :
( )
660
1979 1980 3 660
11 11 11 1331 = =
(1)
( )
660
1320 2 660
37 37 1369==
(2)
Từ (1) và (2) suy ra :
1979 1320
11 37
g) Ta có :
10 10 10 9 10
10 2 .5 2.2 .5==
(*)
( ) ( )
5 4 5 10 9 10
48.50 3.2 . 2 .5 3.2 .5==
(**)
Từ (*) và (**)
10 5
10 48.50
h) Có :
( )
10 9 9 9
1990 1990 1990 . 1990 1 1991.1990+ = + =
10 9
1991 1991.1991=
Vì
99
1990 1991
nên
10 9 10
1990 1990 1991+
Bài 3. Chứng tỏ rằng :
27 63 28
5 2 5
Lời giải
Ta có :
63 9
2 128=
27 9
5 125=
63 27
25
(1)
Lại có:
63 7
2 512=
28 7
5 625=
63 28
25
(2)
Từ (1) và (2)
27 63 28
5 2 5
Bài 4.So sánh:
a)
50
107
và
75
73
b)
91
2
và
35
5
Lời giải
a) Ta thấy :
( )
50
50 50 100 150
107 108 4.27 2 .3 = =
(1)
( )
75
75 75 225 150
73 72 8.9 2 .3 = =
(2)
Từ (1) và (2)
50 100 150 225 150 75
107 2 .3 2 .3 73
Trang 10
b)
91 90 18
2 2 32=
35 36 18
5 5 25=
91 18 18 35
2 32 25 5
Vậy
91 35
25
Bài 5. So sách các cặp số sau:
a)
5
27A =
và
3
243B =
b)
300
2A =
và
200
3B =
Lời giải
a) Ta có
( )
5
5 3 15
27 3 3A = = =
( )
3
5 15
33B ==
Vậy
AB=
b)
300 3.100 100
2 2 8A = = =
200 2.100 100
3 3 9B = = =
Vì
89
nên
100 100
89
AB
Bài 6.So sánh các số sau:
a)
20
199
và
15
2003
b)
39
3
và
21
11
Lời giải
a)
( )
20
20 20 3 2 60 40
199 200 2 .5 2 .5 = =
( ) ( )
15 15
15 15 3 4 3 60 45
2003 2000 2.10 2 .5 2 .5 = = =
Vậy
15 20
2003 199
b)
( )
20
39 40 2 20 21
3 3 3 9 11 = =
Bài 7. So sánh 2 hiệu:
45 44
72 72−
và
44 43
72 72−
Lời giải
( )
45 44 44 44
72 72 72 . 72 1 72 .71− = − =
( )
44 43 43 43
72 72 72 . 72 1 72 .71− = − =
Vậy
45 44 44 43
72 72 72 72−−
Bài 8.So sánh các số sau:
a)
5
9
và
3
27
b)
200
3
và
300
2
c)
500
3
và
300
7
d)
7
3.4
và
5
8
e)
303
202
và
202
303
Lời giải
Trang 11
a) Ta có:
( )
5
5 2 10
9 3 3==
( )
3
3 3 9
27 3 3==
Vì
10 9
33
nên
53
9 27
b) Ta có:
( )
100
200 2 100
3 3 9==
( )
100
300 3 100
2 2 8==
Vì
100 100
98
nên
200 300
32
c) Ta có:
( )
100
500 5 100
3 3 243==
( )
100
300 3 100
7 7 343==
Vì
100 100 500 300
243 343 3 7
d) Ta có:
( )
5
5 3 15
8 2 2==
15 14 14 7
2 2.2 3.2 3.4= =
Vậy
57
8 3.4
e) Ta có:
( )
101
303 3
202 202=
;
( )
101
202 2
303 303=
Ta so sánh
3
202
và
2
303
3 3 2
202 2 .101.101=
2 2 2
303 3 .101=
Vậy 303
202
< 2002
303
Bài 9: So sánh
a)
24
1 2 2 ... 2A = + + + +
và
5
21B =−
b)
2 3 100
3 3 3 ... 3C = + + + +
và
101
33
2
D
−
=
Lời giải:
a)
24
1 2 2 ... 2A = + + + +
24
2 1.2 2.2 2 .2 ... 2 .2A = + + + +
2 3 5
2 2 2 2 ... 2A = + + + +
( ) ( )
2 3 5 2 4
2 2 2 2 ... 2 1 2 2 ... 2AA− = + + + + − + + + +
2 3 5 2 4
2 2 2 ... 2 1 2 2 ... 2A = + + + + − − − − −
5
21A =−
Vậy
AB=
b)
2 3 100
3 3 3 ... 3C = + + + +
2 3 100
3 3.3 3 .3 3 .3 ... 3 .3C = + + + +
2 3 4 101
3 3 3 3 ... 3C = + + + +
( ) ( )
2 3 4 101 2 3 100
3 3 3 3 ... 3 3 3 3 ... 3CC− = + + + + − + + + +
2 3 4 101 2 3 100
2 3 3 3 ... 3 3 3 3 ... 3C = + + + + − − − − −
101
2 3 3C =−
101
33
2
C
−
=
Vậy
CD=
Dạng 3. TÌM SỐ CHƯA BIẾT TRONG LŨY THỪA
Trang 12
I. Phương pháp giải. Khigiải bài toán tìm
x
có luỹ thừa phải:
Phương pháp 1: Biến đổi về các luỹ thừa cùng cơ số .
Phương pháp 2: Biến đổi về các luỹ thừa cùng số mũ .
Phương pháp 3: Biến đổi về dạng tích các lũy thừa.
II. Bài toán.
Bài 1. Tìm x, biết.
a)
2 .4 128
x
=
b)
2 26 6
x
−=
c)
5
64.4 4
x
=
d)
27.3 243
x
=
e)
49.7 2041
x
=
g)
3 81
x
=
h)
47
3 .3 3
x
=
k)
20
3 25 26.2 2.3
x
+ = +
Lời giải
a) Ta có:
5
2 .4 128 2 128:4 2 32 2 2 5.
x x x x
x= = = = =
b) Ta có:
5
2 26 6 2 6 26 2 32 2 2 5.
x x x x
x− = = + = = =
c) Ta có:
5 3 5 3 5
64.4 4 4 .4 4 4 4 3 5 5 3 2.
x x x
x x x
+
= = = + = = − =
d) Ta có:
2
27.3 243 3 243: 27 3 9 3 3 2.
x x x x
x= = = = =
e) Ta có:
2
49.7 2401 7 2401: 49 7 49 7 7 2.
x x x x
x= = = = =
g) Ta có:
4
3 81 3 3 4.
xx
x= = =
h) Ta có:
4 7 7 4 4
3 .3 3 3 3 :3 3 3 4.
x x x
x= = = =
k) Ta có:
2 0 1
3 25 26.2 2.3 3 26.1 2.1 25 3 3 1.
x x x
x+ = + = + − = =
Bài 2.Tìm
,xN
biết.
a)
3 .3 243
x
=
b)
2
2 .16 1024
x
=
c)
8
64.4 16
x
=
d)
2 16
x
=
Lời giải
a) Ta có:
4
3 .3 243 3 243:3 3 81 3 3 4.
x x x x
x= = = = =
b) Ta có:
2 2 2
2 .16 1024 2 1024:16 2 1024: 256 2 4 2 2 2.
x x x x x
x= = = = = =
c) Ta có:
( )
8
8 3 2 3 16
64.4 16 4 .4 4 4 4 3 16 16 3 13.
x x x
x x x
+
= = = + = = − =
d) Ta có:
4
2 16 2 2 4.
xx
x= = =
Bài 3.Tìm
x
, biết.
Trang 13
a)
( )
3
52
7 11 2 .5 200x − = +
b)
2019 1
4 2019
x
x
−
=
−
c)
( )
4
2 1 16x −=
d)
( ) ( )
46
2 1 2 1xx+ = +
e)
2
39 15
3
22
x−=
g)
( )
3
2 1 125x +=
Lời giải
a) Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3
5 2 3
7 11 2 .5 200 7 11 32.25 200 7 11 1000 7 11 10x x x x− = + − = + − = − =
7 11 10 7 21 3x x x − = = =
b) Ta có:
( ) ( )
22
2
2019 1
2019 4 2019 2 2019 2 2021.
4 2019
x
x x x x
x
−
= − = − = − = =
−
c) Ta có:
( ) ( ) ( )
4 4 4
2 1 16 2 1 2 2 1 2.x x x− = − = − =
TH 1:
3
2 1 2 2 3
2
x x x− = = =
.
TH 2:
1
2 1 2 2 1
2
x x x
−
− = − = − =
.
Vậy
3
2
x =
hoặc
1
.
2
x
−
=
d)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
4
4 6 4 6 4 2
2
2 1 0
2 1 2 1 2 1 2 1 0 2 1 1 2 1 0
1 2 1 0
x
x x x x x x
x
+=

+ = + + − + = + − − =


− + =
2 1 0 0,5
2 1 1 0
2 1 1 1
xx
xx
xx
+ = = −


+ = =

+ = − = −

Vậy
0,5; 0; 1.x x x= − = = −
e) Ta có:
( )
2
2 2 2 2 2 2
39 15 39 15 39 15
3 3 3 3 12 4 2 2.
2 2 2 2 2 2
x x x x x x x− = − = = − = = = =
g) Ta có:
( ) ( )
33
3
2 1 125 2 1 5 2 1 5 2 5 1 2 4 4:2 2.x x x x x x x+ = + = + = = − = = =
Bài 4: Tìm
x
biết:
a,
( ) ( )
10 20
3 1 3 1xx− = −
b,
( ) ( )
2003 2003
66x x x− = −
c,
2
5 5 650
xx+
+=
Lời giải
a) Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
10 20 20 10
3 1 3 1 3 1 3 1 0x x x x− = − − − − =
Trang 14
( ) ( )
( )
10 10
10
1
1
3
3
3 1 0
2
3 1 3 1 1 0 3 1 1
3 1 1
3
3 1 1
0
x
x
x
x x x x
x
x
x
=
=
−=

− − − = − = =


−=
− = −
=
b) Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2003 2003 2003 2003
6 6 6 6 0x x x x x x− = − − − − =
( ) ( )
2003
6 0 6
6 1 0
1 0 1
xx
xx
xx
− = =

− − =

− = =

c) Ta có:
( )
22
5 5 .5 650 5 1 25 650 5 25 5 5 2
x x x x x
x+ = + = = = =
Bài 5: Tìm x biết:
a,
2
2 2 96
xx+
−=
b,
1
2 .3 12
x y x+
=
c)
10 :5 20
x y y
=
Lời giải
a) Ta có:
( )
25
2 2 96 2 .4 2 96 2 . 4 1 96 3.2 96 2 32 2 2 5
x x x x x x x x
x
+
− = − = − = = = = =
b) Ta có:
1 1 2
1 2 1
2 .3 12 2 .3 2 .3
1
x y x x y x
xx
x y y
++
+ = =
= =
==
Vậy
1.xy==
c) Ta có:
2
10 :5 20 10 20 .5 10 100 10 10 2 .
x y y x y y x y x y
xy= = = = =
Dạng 4. MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ LŨY THỪA
I.Phương pháp giải.
Phương pháp 1: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng
số mũ .
- Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số ( lớn hơn
1
) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.
( )
1
mn
a a a m n
- Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn
0
) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn .
( )
0
nn
a b n a b
Phương pháp 2: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân
,A B B C
thì
.AC
( )
0AC BC C A B
II.Bài toán.
Dạng 1: So sánh hai số lũy thừa.
Bài 1. So sánh các lũy thừa:
2
3
n
và
3
2
n
Lời giải
Ta có:
( )
22
3 39
n
n
n
==
( )
33
2 28
n
n
n
==
Trang 15
Vì
98
nn
nên
32
3 2
n n
Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với một số (so sánh hai biểu thức lũy thừa)
- Thu gọn biểu thức lũy thừa bằng cách vận dụng các phép tính lũy thừa, cộng trừ các số theo quy luật.
- Vận dụng phương pháp so sánh hai lũy thữa ở phần B.
- Nếu biểu thức lũy thừa là dạng phân thức: Đối với từng trường hợp bậc của luỹ thừa ở tử lớn hơn hay
bé hơn bậc của luỹ thừa ở mẫu mà ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phần nguyên rồi so sánh từng
phần tương ứng.
Với
, , , *a m n K N
. Ta có:
- Nếu
mn
thì
aa
KK
mn
− −
và
aa
KK
mn
+ +
.
- Nếu
mn
thì
aa
KK
mn
− −
và
aa
KK
mn
+ +
.(còn gọi là phương pháp so sánh phần bù)
* Với biểu thức là tổng các số có dạng
2
1
a
(với
*aN
) ta có vận dụng so sánh sau:
2
1 1 1 1 1
11a a a a
a
− −
+−
Bài 1. Cho
2 3 9
1 2 2 2 ... 2S = + + + + +
. So sánh
S
với
8
5.2
.
Lời giải
Ta có:
2 3 9
1 2 2 2 ... 2S = + + + + +
2 9 10
2 2 2 .... 2 2S = + + + +
Mà
10 10 8 8
2 1 2 4.2 5.2− =
Vậy
8
5.2S
.
Bài 2.So sánh hai biểu thức
A
và
B
, biết:
15
16
10 1
10 1
A
+
=
+
và
16
17
10 1
10 1
B
+
=
+
Lời giải
Ta có:
15
16
10 1
10 1
A
+
=
+
15
16
10 1
10 10.
10 1
A

+
=


+

=
16
16
10 10
10 1
+
+
=
16
16 16
10 1 9 9
1
10 1 10 1
++
=+
++
.
16
17
10 1
10 1
B
+
=
+
16
17
10 1
10 10.
10 1
B

+
=


+

=
17
17
10 10
10 1
+
+
=
17
17 17
10 1 9 9
1
10 1 10 1
++
=+
++
.
Vì
16 17
10 1 10 1+ +
nên
16 17
99
10 1 10 1
++
16 17
99
11
10 1 10 1
+ +
++
10 10AB
hay
AB
Bài 3.So sánh hai biểu thức
C
và
D
, biết:
2008
2007
23
21
C
−
=
−
và
2007
2006
23
21
D
−
=
−
Lời giải
Ta có:
2008
2007
23
21
C
−
=
−
2008 2008 2008
2007 2008 2008 2008
1 1 2 3 2 3 2 2 1 1
1
22
2 1 2 2 2 2 2 2
C

− − − −
= = = = −


− − − −

.
Trang 16
2007
2006
23
21
D
−
=
−
2007 2007 2007
2006 2007 2007 2007
1 1 2 3 2 3 2 2 1 1
1
22
2 1 2 2 2 2 2 2
D

− − − −
= = = = −


− − − −

Vì
2008 2007
2 – 2 2 – 2
nên
2008 2007
11
2 2 2 2
−−
2008 2007
11
11
2 2 2 2
− −
−−
11
22
CD
hay
.CD
Vậy
.CD
Dạng 3: Từ việc so sánh lũy thừa, tìm cơ số (số mũ) chưa biết.
* Với các số tự nhiên
,,m x p
và số dương
a
.
+ Nếu
1a
thì:
m x p
a a a
m x p
.
+ Nếu
1a
thì:
m x p
a a a
m x p
.
* Với các số dương
,ab
và số tự nhiên
m
, ta có:
mm
a b a b
.
Bài 3. Tìm các số nguyên n thoã mãn:
64 48 72
3 5n
.
Lời giải
Ta giải từng bất đẳng thức
64 48
3 n
và
48 72
5n
.
Ta có:
( ) ( ) ( )
16 16 16
48 64 3 4 3 16 3
3 3 81 81n n n n 
4n
(với
n
) (1).
Mặt khác
( ) ( ) ( )
24 24 24
48 72 2 3 2 24 2
5 5 125 125n n n n
11 11n −
(với
n
) (2).
Từ (1) và (2)
4 11n
.
Vậy
n
nhận các giá trị nguyên là:
5;6;7;8;9;10;11.
Bài 4. Tìm
xN
, biết:
a)
4
16 128
x
. b)
1 2 18
18 0
5 .5 .5 100.............0: 2
x x x
chu so
++
.
Lời giải
a) Ta có:
4
16 128
x
( ) ( )
4
47
22
x
4 28
2 2 4 28 7
x
xx
0,1,2,3,4,5,6x
.
b) Ta có:
1 2 18
18 0
5 .5 .5 100.............0: 2
x x x
chu so
++
3 3 18 18 3 3 18
5 10 :2 5 5 3 3 18 5
xx
xx
++
+
0,1,2,3,4,5x
.
Bài 5: Tìm số tự nhiên
,xy
sao cho
2
10 143
x
y=−
.
Lời giải
Ta có:
22
10 143 10 143
xx
yy= − + =
Trang 17
Nếu
0 12xy= =
thỏa mãn.
Nếu
0 10
x
x 
có chữ số tận cùng là
0
. Khi đó,
10
x
có chữ số tận cùng là
3
. Mà
2
y
là số chính
phương nên không thể có tận cùng bằng
3
. Do đó không tồn tại
,xy
thỏa mãn.
Vậy
0; 12.xy==
Bài 6: a) Số
8
5
có bao nhiêu chữ số?
b) Hai số
2003
2
và
2003
5
viết liền nhau được số có bao nhiêu chữ số?
Lời giải
a) Ta có:
8 4 2 2 2
8
8
8
5 (5 ) 625 600 360000
10 100000000 100000000
5 400000
256 250
2
= = =
= = =
8
360000 5 400000.
Do đó
8
5
có 6 chữ số.
b) Giả sử
2003
2
có a chữ số và
2003
5
có b chữ số thì khi viết 2 số này liền nhau ta được
()ab+
chữ
số.
Vì
1 2003
10 2 10
aa−

và
1 2003
10 5 10
bb−

1 1 2003 2003
10 .10 2 .5 10 .10
a b a b−−
2 2003
10 10 10
a b a b+ − +
. Do đó:
2003 1 2004 a b a b= + − + =
.
Vậy số đó có 2004 chữ số.
Bài 7:Tìm số 5 các chữ số của các số n và m trong các trường hợp sau:
a)
35
8 . 15n =
. b)
16 25
4 . 5m =
.
Lời giải
a) Ta có:
( )
( )
( )
3
5
3 5 3 9 5 5
5
4 5 5 5
8 . 15 2
.
. 3.5 2 . 3 . 5
2 . 3 . 2.5 1 6.243 .10 3888. 10
n = = =
= = =
Số
5
3888.10
gồm 3888 theo sau là 5 chữ số 0 nên số này có 9 chữ số.
Vậy số n có 9 chữ số.
b) Ta có:
( )
( )
16
16 25 2 25
32 25 7 25 25 25
4 . 5 2 . 5
2. .5 2 . 2 .5 128.10
m ==
= = =
Số
25
128.10
gồm
128
theo sau là
25
chữ số
0
nên số này có tất cả
28
chữ số.
Vậy số m có
28
chữ số.
Dạng 4: Sử dụng lũy thừa chứng minh chia hết
Bài 1: Chứng minh rằng:
Trang 18
a.
2 11
1 3 3 ... 3A = + + + +
chia hết cho
4
b.
5 15
16 2B =+
chia hết cho
33
c.
2 3 8
5 5 5 ... 5C = + + + +
chia hết cho
30
d.
45 99 180D = + +
chia hết cho
9
e.
2 3 119
1 3 3 3 ... 3E = + + + + +
chia hết cho
13
f.
28
10 8F =+
chia hết cho
72
g.
8 20
82G =+
chia hết cho
17
h.
2 3 60
2 2 2 ... 2H = + + + +
chia hết cho
3,7,15
i.
2 3 1991
1 3 3 3 ... 3I = + + + + +
chia cho
13
và
41
j.
10 18 1
n
Jn= + −
chia hết cho
27
k.
10 72 1
n
Kn= + −
chia hết cho
81
Lời giải
a.
2 11
1 3 3 ... 3A = + + + +
chia hết cho
4
( ) ( ) ( )
2 10
1 3 3 . 1 3 ... 3 . 1 3A = + + + + + +
2 10
4 3 .4 ... 3 .4A = + + +
( )
( )
2 10
4. 1 3 ... 3 4 đpcmA = + + +
b.
5 15
16 2B =+
chia hết cho
33
( )
5
4 15
22B =+
20 15
22B =+
( )
15 5
2 . 1 2B =+
( )
15
2 .33 33 đpcmB =
c.
2 3 8
5 5 5 ... 5C = + + + +
chia hết cho
30
( ) ( ) ( )
2 2 2 6 2
5 5 5 . 5 5 ... 5 . 5 5C = + + + + + +
26
30 5 .30 ... 5 .30C = + + +
( )
( )
26
30. 1 5 ... 5 30 đpcmC = + + +
d.
45 99 180D = + +
chia hết cho
9
Trang 19
Ta có:
45 9;99 9;180 9
nên
45 99 180 9D = + +
(đpcm) (tính chất chia hết của một tổng)
e.
2 3 119
1 3 3 3 ... 3E = + + + + +
chia hết cho
13
( ) ( ) ( )
2 3 2 117 2
1 3 3 3 . 1 3 3 ... 3 . 1 3 3E = + + + + + + + + +
3 117
13 3 .13 ... 3 .13E = + + +
( )
( )
3 117
13. 1 3 ... 3 13 đpcmE = + + +
f.
28
10 8F =+
chia hết cho
72
Ta thấy:
72 8.9=
Ta có:
28
10 8 9+
vì tổng các chữ số bằng
9
28
10 8 8+
vì có tận cùng là
008
Mà
( )
8;9 1=
nên
28
10 8 8.9 72+=
(đpcm)
g.
8 20
82G =+
chia hết cho
17
( )
8
3 20
22G =+
24 20
22G =+
( )
20 4
2 . 2 1G =+
( )
20
2 .17 17 đpcmG =
h.
2 3 60
2 2 2 ... 2H = + + + +
chia hết cho
3,7,15
Ta có:
( ) ( )
3 59
2. 1 2 2 . 1 2 ... 2 .(1 2)H = + + + + + +
3 59
2.3 2 .3 ... 2 .3H = + + +
( )
3 59
3. 2 2 ... 2 3H = + + +
Ta có:
( ) ( ) ( )
2 4 2 28 2
2. 1 2 2 2 . 1 2 2 ... 2 . 1 2 2H = + + + + + + + + +
4 58
2.7 2 .7 ... 2 .7H = + + +
Trang 20
( )
4 58
7. 2 2 ... 2 7H = + + +
Ta có:
( ) ( ) ( )
2 3 5 2 3 57 2 3
2. 1 2 2 2 2 . 1 2 2 2 ... 2 . 1 2 2 2H = + + + + + + + + + + + +
5 57
2.15 2 .15 ... 2 .15H = + + +
( )
5 57
15. 2 2 ... 2 15H = + + +
Vậy
H
chia hết cho
3; 7;15
.
i.
2 3 1991
1 3 3 3 ... 3I = + + + + +
chia cho
13
và
41
Ta có:
( ) ( ) ( )
2 3 2 1989 2
1 3 3 3 . 1 3 3 ... 3 . 1 3 3I = + + + + + + + + +
3 1989
13 3 .13 ... 3 .13I = + + +
( )
( )
3 1989
13. 1 3 ... 3 13I mđpc= + + +
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 6 3 5 7 1984 1986 1988 1990 1985 1987 1989 1991
1 3 3 3 3 3 3 3 ... 3 3 3 3 3 3 3 3I = + + + + + + + + + + + + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 6 2 4 6 1984 2 4 6 1985 2 4 6
1 3 3 3 3. 1 3 3 3 ... 3 . 1 3 3 3 3 . 1 3 3 3I = + + + + + + + + + + + + + + + +
( )
1984 1985
820. 1 3 ... 3 3I = + + + +
( )
1984 1985
41.20. 1 3 ... 3 3 41I = + + + +
Vậy
I
chia hết cho
13; 41
j.
10 18 1
n
Jn= + −
chia hết cho
27
Ta có:
( )
10 18 1 10 1 18
nn
J n n= + − = − +
99...9 18Jn=+
(số
99...9
có
n
chữ số
9
)
( )
9. 11...1 2Jn=+
(số
11...1
có
n
chữ số
1
)
9.JL=
Xét biểu thức trong ngoặc
Trang 21
11...1 2 11...1 3L n n n= + = − +
(số
11...1
có
n
chữ số
1
)
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho
3
.
Số
11...1
có
n
chữ số
1
có tổng các chữ số là
1 1 ... 1 n+ + + =
(vì có
n
chữ số
1
).
11...1
(
n
chữ số
1
) và
n
có cùng số dư trong phép chia cho
3
11...1
(
n
chữ số
1
)
3n−
3L
9. 27L
hay
10 18 1
n
Jn= + −
chia hết cho
27
(đpcm)
k.
10 72 1
n
Kn= + −
chia hết cho
81
Ta có:
10 72 1
n
Kn= + −
10 1 72
n
Kn= − +
( )
12
10 1 . 10 10 ... 10 1 72
nn
Kn
−−

= − + + + + +

12
9. 10 10 ... 10 1 9 81
nn
K n n
−−

= + + + + − +

12
9. 10 10 ... 10 1 81
nn
K n n
−−

= + + + + − +

( ) ( )
( ) ( )
12
9. 10 1 10 1 ... 10 1 1 1 81
nn
Kn
−−

= − + − + + − + − +


Ta có:
( )
1
10 1 10 1 . 10 ... 10 1
kk−

− = − + + +

chia hết cho
9
( ) ( )
( ) ( )
12
9. 10 1 10 1 ... 10 1 1 1
nn−−

− + − + + − + −


chia hết cho
81
12
9. 10 10 ... 10 1 81
nn
nn
−−

+ + + + − +

chia hết cho
81
( )
10 72 1 81
n
Knmđpc = + −
BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1. So sánh:
a)
5
243
và
5
3.27
. b)
5
625
và
7
125
.
Bài 2: So sánh:
a)
20
99
và
10
9999 .
b)
500
3
và
300
7 .
c)
303
202
và
202
303 .
d)
1979
11
và
1320
37 .
Bài 3: So sánh:
a)
5
8
và
7
3.4 .
b)
10
10
và
5
48.50 .
c)
30 30 30
234++
và
10
3.24
. d)
10 9
1990 1990+
và
10
1991 .
Trang 22
Bài 4: So sánh các số sau:
20
199
và
15
2003
.
Bài 5: So sánh:
a)
12 11
78 78−
và
11 10
78 78−
. b)
45 44
72 72A =−
và
44 43
72 72B =−
.
Bài 6: So sánh các số sau:
39
3
và
21
11
.
Bài 7. Chứng tỏ rằng:
27 63 28
5 2 5
.
Bài 8: Chứng minh rằng:
1995 863
25
.
Bài 9: Chứng minh rằng:
1999 714
27
.
Bài 10. So sánh:
200
3
và
300
2
.
Bài 11: So sánh:
50
71
và
75
37
.
Bài 12: So sánh các số:
a)
20
50
và
10
2550
. b)
10
999
và
5
999999
.
Bài 13:Viết theo từ nhỏ đến lớn:
100 75
2 ;3
và
50
5
.
Bài 14: So sánh 2 số:
56789
1234
và
1234
56789
.
Bài 15: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số
0
.
Hãy so sánh m với
8
10.9
.
Bài 16: Cho
2 3 4 71 72
1 2012 2012 2012 2012 2012 2012A = + + + + + + +
và
73
2012 1B =−
.
So sánh A và B.
Bài 17: So sánh hai biểu thức:
10 10
94
3 .11 3 .5
3 .2
B
+
=
và
10 10
8
2 .13 2 .65
2 .104
C
+
=
.
Bài 18: So sánh:
34
37
88
M =+
và
34
73
88
N =+
.
Bài 19: So sánh M và N biết:
30
31
19 5
19 5
M
+
=
+
và
31
32
19 5
19 5
N
+
=
+
.
Bài 20: So sánh
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
101 102 103 104 105
+ + + +
và
22
1
2 .3.5 .7
.
Bài 21: So sánh
2 2 2 2
1 1 1 1
1 . 1 . 1 ....... 1
2 3 4 100
A
= − − − −
và
1
2
−
.
Bài 22: Tìm các số tự nhiên n sao cho:
a)
3 3 234
n
. b)
8.16 2 4
n

.
Bài 23: Tìm số tự nhiên n biết rằng:
15 15 16 16
4 . 9 2 . 3 18 . 2
nn

.
Bài 24: Cho
2 3 100
3 3 3 . 3A += + + +
. Tìm số tự nhiên
n
, biết
2 3 3
n
A+=
.
Bài 25: Tìm các số nguyên dương m và n sao cho:
2 2 256
mn
−=
.
Bài 26: Tìm số nguyên dương
n
biết:
a)
64 2 256
n

. b)
243 3 9
n
.
Bài 27: Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho:
200 300
6n
.
Bài 28: Tìm n N biết:
a)
32 2 512
n
. b*)
18 12 8
3 20n
.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1. So sánh:
Trang 23
a)
5
243
và
5
3.27
. b)
5
625
và
7
125
.
Lời giải:
a) Ta có:
( )
5
5 5 25
243 3 3==
;
( )
5
5 3 15 16
3.27 3. 3 3.3 3= = =
Vì
16 25 5 5
3 3 3.27 243
.
b)
5 4 5 20 3 7 21
625 (5 ) 5 ;125 (5 ) 5= = = =
. Vì
21 20 7 5
5 5 125 625
.
Bài 2: So sánh:
a)
20
99
và
10
9999 .
b)
500
3
và
300
7 .
c)
303
202
và
202
303 .
d)
1979
11
và
1320
37 .
Lời giải:
a) Ta thấy:
( )
( ) ( )
10 10
0
10
22 10
99 99.99 ;9999 9 199 9. 01== =
Vì
( ) ( )
10 10
20 10
.99.99 99.101 99 9999
b) Ta có :
( )
100
500 5 100
3 3 243==
,
( )
100
300 3 100
7 7 343==
.
Vì
100 100
243 343
nên
500 300
.37
c) Ta có:
( )
( ) ( )
( )
101 101
3.101 101
303 3 3 2
202 2.101 2 .101 8.101.101 808.101= = = =
( )
( ) ( )
101 101
2.101
202 2 2 2
303 3.101 3 .101 9.101= = =
Vì
22
808.101 9.101
nên
303 202
.202 303
d) Ta có:
( )
660
1979 1980 3 660
11 11 11 1331 = =
(1)
( )
660
1320 2 660
37 37 1369==
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
1979 1320
1 .1 37
Bài 3: So sánh:
a)
5
8
và
7
3.4 .
b)
10
10
và
5
48.50 .
c)
30 30 30
234++
và
10
3.24
. d)
10 9
1990 1990+
và
10
1991 .
Lời giải:
a) Ta có:
45 15 14 17
8 2 2.2 3.4, 3.2= = =
. Vì
14 14 5 7
.2 3 2.2 3.2 8 3.4
b) Ta có :
10 10 10 9 10
10 2 . 5 2. 2 . 5==
,
( ) ( )
5 4 5 10 9 10
48. 50 3. 2 . 2 . 5 3. 2 . 5==
Vì
9 10 9 10
2 3 2. 2 . 5 3. 2 . 5
10 5
.10 48. 50
c) Ta có:
30 2 30 30 30 30 3 10 2 15 10 15
4 (2 ) (2.2) 2 .2 (2 ) .(2 ) 8 .4= = = = =
,
10 10 10 10 10 11
24 .3 (8.3) .3 8 .3 .3 8 .3= = =
Trang 24
Vì
11 15 10 11 10 15
3 4 8 .3 8 .4
30 10
4 3.24
30 30 30 10
2 3 4 3.24 + +
.
d) Ta có :
( )
10 9 9 9
1990 1990 1990 . 1990 1 1991. 1990+ = + =
10 9
1991 1991. 1991=
Vì
99
1990 1991
nên
10 9 10
.1990 1990 1991+
Bài 4: So sánh các số sau:
20
199
và
15
2003
.
Lời giải:
20 20 20 3 2 3 2 20 60 40
199 200 (8.25) (2 .5 )20 (2 .5 ) 2 .5 = = = =
15 15 15 4 3 15 4 3 15 60 45
2003 2000 (16.125) (2 .5 ) (2 .5 ) 2 .5 = = = =
Vì
45 40 60 45 60 40
5 5 2 .5 2 .5
15 20
2003 199
.
Bài 5: So sánh:
a)
12 11
78 78−
và
11 10
78 78−
. b)
45 44
72 72A =−
và
44 43
72 72B =−
.
Lời giải:
a)Ta có:
( )
12 11 11 11
78 78 78 . 78 1 78 .77− = − =
( )
11 10 10 10
78 78 78 . 78 1 78 .77− = − =
Vì
11 10 11 10 12 11 11 10
78 78 78 .77 78 .77 78 78 78 78 − −
.
b) Ta có:
44 44
72 (72 1) 72 .71A = − =
và
43 43
72 (72 1) 72 .71B = − =
44 43 44 43
72 72 72 .71 72 .71
.AB
Bài 6: So sánh các số sau:
39
3
và
21
11
.
Lời giải:
Ta có:
39 40 4 10 10
3 3 (3 ) 81 = =
20 2 10 10 21
11 (11 ) 121 11= =
Vì
10 10 39 21
81 121 3 11
.
Bài 7. Chứng tỏ rằng:
27 63 28
5 2 5
.
Lời giải:
Ta có:
63 7 9 9 27 3 9 9 63 27
2 (2 ) 128 ,5 (5 ) 125 2 5= = = =
(1)
Lại có:
63 9 7 7 28 4 7 7 63 28
2 (2 ) 512 ,5 (5 ) 625 2 5= = = =
(2)
Từ (1) và (2)
27 63 28
5 2 5
Bài 8: Chứng minh rằng:
1995 863
25
.
Lời giải:
Ta có:
1995 1990 5 863 860 3
2 2 .2 ;5 5 .5==
Nhận xét:
53
2 32 5 125= =
nên cần so sánh
1990
2
và
860
5
Có:
10 5 10 5 1720 172 860
2 1024,5 3025 2 .3 5 2 .3 5= =
Trang 25
Có:
1990 1720 270
2 2 .2=
, cần so sánh
1720 270
2 .2
với số
1720 172
2 .3
như sau:
( ) ( ) ( )
7 11 7 11
24
172 7 4 11 4 11 6 270
3 2187;2 2048 3 2
3 3 .3 2 2 2 2 2
= =
= =
Do đó:
1720 270 1720 172 860 1990 860
2 .2 2 .3 5 2 5
Mà
5 3 1995 863
2 5 2 5
Bài 9: Chứng minh rằng:
1999 714
27
.
Lời giải:
Ta có:
10 3
2 1024;7 343==
10 3 10 238 238 3 238
2 3.7 (2 ) 3 .(7 )
2380 238 714
2 3 .7
(1)
Xét:
238 3 235 3 5 47 3 8 47 5 376 381
3 3 .3 3 .(3 ) 3 .(2 ) 2 .2 2= = =
(vì 3
5
<2
8
)
238 381
32
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
2380
381 714
2 2 .7
714
1999
27
Bài 10. So sánh:
200
3
và
300
2
.
Lời giải:
Ta có:
200 2 100 100 300 3 100 100
3 (3 ) 9 ;2 (2 ) 8= = = =
mà
100 100
89
300 200
23
Bài 11: So sánh:
50
71
và
75
37
.
Lời giải:
Ta có:
50 50 50 150 100
71 72 (8.9) 2 .3 = =
(1)
75 75 75 150 150
37 36 (4.9) 2 .3 = =
(2)
Mà
150 150 150 100
2 .3 2 .3
(3)
Từ (1), (2), và (3) suy ra:
75 50
37 71
Bài 12: So sánh các số:
a)
20
50
và
10
2550
. b)
10
999
và
5
999999
.
Lời giải:
a) Ta có:
( )
10
2
20 10 10 20 10
50 50 2500 2550 5 2550

= =


Trang 26
b) Ta có:
( )
5
5
2
10 5 5 10
999 999 998001 999999 999 999999

=


Bài 13: Viết theo từ nhỏ đến lớn:
100 75
2 ;3
và
50
5
.
Lời giải:
( )
50
100 2 50 50
2 2 4 5= =
(1)
75 3 25 25 75 50
3 (3 ) 27 3 5= = =
(2)
50 2 25 25
5 (5 ) 25==
(3)
Từ (1), (2), và (3) suy ra:
100 50 75
2 5 3
Bài 14: So sánh 2 số:
56789
1234
và
1234
56789
.
Lời giải:
Ta có:
56789 50000 3 50000 150000
1234 1000 (10 ) 10A = = =
1234 2000 5 2000 10000
56789 100000 (10 ) 10B = = =
Vì
10000 150000 1234 56789
10 10 56789 1234
Bài 15: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số
0
.
Hãy so sánh m với
8
10.9
.
Lời giải:
Số có 9 chữ số là
1 2 9
...a a a
trong đó các chữ số
0( 1;9)
i
ai=
và có thể giống nhau. Từ tập hợp số
1;2;3;4;5;6;7;8;9
mỗi chữ số a
i
có 9 cách chọn. Do đó ta có số các số có 9 chữ số thỏa mãn bài toán
là
9
9m =
số.
Từ đó:
9 8 8
9 9.9 10.9m = =
Bài 16: Cho
2 3 4 71 72
1 2012 2012 2012 2012 2012 2012A = + + + + + + +
và
73
2012 1B =−
.
So sánh A và B.
Lời giải:
Ta có:
2 3 4 71 72
1 2012 2012 2012 2012 ... 2012 2012A = + + + + + + +
2 3 4 5 72 73
2012. 2011 2012 2012 2012 2012 ... 2012 2012A = + + + + + + +
73
73 73
2012. 2011 2012 1
(2012 1):2011 2012 1
A A A
A
− = = −
= − −
Vậy A < B.
Bài 17: So sánh hai biểu thức:
10 10
94
3 .11 3 .5
3 .2
B
+
=
và
10 10
8
2 .13 2 .65
2 .104
C
+
=
.
Lời giải:
Trang 27
10 10 10
9 4 9
3 .11 3 .5 3 (11 5)
3
3 .2 3 .16
B
++
= = =
10 10 10 2
88
2 .13 2 .65 2 (13 65) 2 .78
3
104
2 .104 2 .104
C
++
= = = =
Vậy B = C.
Bài 18: So sánh:
34
37
88
M =+
và
34
73
88
N =+
.
Lời giải:
Ta có:
3 4 3 3 4 3 4 3
7 3 3 4 3 3 3 4
8 8 8 8 8 8 8 8

+ = + + = + +


3 4 3 3 4 3 4 3
7 3 3 4 3 3 3 4
8 8 8 8 8 8 8 8

+ = + + = + +


Vì
4 3 3 4 4 3 4 3
4 4 3 3 4 3 3 4
8 8 8 8 8 8 8 8
+ + + +
MN
Bài 19: So sánh M và N biết:
30
31
19 5
19 5
M
+
=
+
và
31
32
19 5
19 5
N
+
=
+
.
Lời giải:
30
31
19 5
19 5
M
+
=
+
nên
30 31
31 31 31
19.(19 5) 19 95 90
19 1
19 5 19 5 19 5
M
++
= = = +
+ + +
31
32
19 5
19 5
N
+
=
+
nên
31 32
32 32 32
19(19 5) 19 95 90
19 1
19 5 19 5 19 5
N
++
= = = +
+ + +
Vì
31 32
90 90
19 5 19 5
++
31 32
90 90
11
19 5 19 5
+ +
++
hay 19M > 19N
MN
Bài 20: So sánh
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
101 102 103 104 105
+ + + +
và
22
1
2 .3.5 .7
.
Lời giải:
Nếu n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì ta có:
2
1 1 ( 1) 1 1 1
1 ( 1). ( 1). ( 1)
n n n n
n n n n n n n n
n
− − − +
− = = =
− − − −
2
1 1 1
1nn
n
−
−
Áp dụng vào bài toán ta được:
Trang 28
2
2
2
2 2 2
1 1 1
100 101
101
1 1 1
101 102
102
.............................
1 1 1
104 103
105
1 1 1 1 1
...
100 105
101 102 105
−
−
−
+ + + −
2 2 2 2
105 100 5 1
100.105
2 .5 .5.3.7 2 .5 .3.7
−
= = =
Vậy
2 2 2 2 2
1 1 1 1
...
101 102 105 2 .5 .3.7
+ + +
Bài 21: So sánh
2 2 2 2
1 1 1 1
1 . 1 . 1 ....... 1
2 3 4 100
A
= − − − −
và
1
2
−
.
Lời giải:
A là tích của 99 số âm. Do đó:
2
1 1 1 1
1 1 1 ..... 1
4 9 16
100
A

− = − − − −


2 2 2 2
2 2 2 2
3 8 15 9999
. . .....
2 3 4 100
1.3 2.4 3.5 99.101
. . .....
2 3 4 100
=
=
Để dễ rút gọn ta viết tử dưới dạng tích các số tự nhiên liên tiếp như sau:
1.2.3.4.5.6.....98.99 3.4.5.....100.101 1 101 101 1
..
2.3.4.5.....99.100 2.3.4.....99.100 100 2 2002
A− = = =
Vậy A <
1
2
−
Bài 22: Tìm các số tự nhiên n sao cho:
a)
3 3 234
n
. b)
8.16 2 4
n

.
Lời giải:
a)
15
3 3 234 3 3 3 1 5
nn
n
n nhận các giá trị là: 2, 3, 4, 5.
b)
3 4 2 7 2
8.16 2 4 2 .2 2 2 2 2 2 7 2
n n n
n
n
nhận các giá trị là: 2, 4, 5, 6, 7
Bài 23: Tìm số tự nhiên n biết rằng:
15 15 16 16
4 . 9 2 . 3 18 . 2
nn

.
Lời giải:
Ta có:
15 15 16 16 15 16
4 .9 2 .3 18 .2 (4.9) (2.3) (18.2)
n n n
Trang 29
15 16
2 15 2 16
30 32
36 6 36
(6 ) 6 (6 )
6 6 6
30 32
31
n
n
n
n
n
=
Bài 24: Cho
2 3 100
3 3 3 . 3A += + + +
. Tìm số tự nhiên
n
, biết
2 3 3
n
A+=
.
Lời giải:
Có
2 3 100
3 3 3 ... 3A = + + + +
2 3 4 101
101
101
3 3 3 3 ... 3
3 2 3 3
2 3 3
A
A A A
A
= + + + +
− = = −
+ =
Mà theo đề bài ta có 2A + 3 = 3
n
101
3 3 101
n
n = =
Bài 25: Tìm các số nguyên dương
m
và
n
sao cho:
2 2 256
mn
−=
.
Lời giải:
Ta có:
88
2 2 256 2 2 (2 1) 2
m n n m n−
− = = − =
(1)
Dễ thấy
mn
, ta xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu m – n = 1 thì từ (1) ta có:
2
n
.(2 – 1) = 2
8
=> 2
n
= 2
8
=> n = 8 và m = 9
Trường hợp 2: Nếu m – n
2
21
mn−
−
là một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tách ra thừa
số nguyên tố, còn vế phải của (1) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2, do đó hai vế của (1) mâu thuẫn nhau.
Vậy
8n =
và
9m =
là đáp số duy nhất.
Bài 26: Tìm số nguyên dương
n
biết:
a)
64 2 256
n

. b)
243 3 9
n
.
Lời giải:
a) Ta có: 64 < 2
n
< 256
68
2 2 2 6 8
n
n
mà
n
nguyên dương nên
7n =
.
b) Ta có: 243 > 3
n
52
9 3 3 3 5 2
n
n
mà
n
nguyên dương nên
2;3;4n
.
Bài 27: Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho:
200 300
6n
.
Lời giải:
Ta có: n
200
= (n
2
)
100
; 6
300
= (6
3
)
100
= 216
100
n
200
< 6
300
( )
100
2 100 2
216 216nn
(*)
Suy ra: số nguyên lớn nhất thỏa mãn (*) là n = 14.
Bài 28: Tìm n N biết:
Trang 30
a)
32 2 512
n
. b*)
18 12 8
3 20n
.
Lời giải:
a)
32 2 512
n
59
2 2 2
n
Suy ra
59n
Vậy
6;7n
b) Với
n
, ta xét:
( ) ( )
66
18 12 3 2 3 2 2
3 3 3 27n n n n
Nhận thấy:
22
5 27 6
nên
22
66nn
( ) ( )
44
12 8 3 2 3 2 3
20 20 20 400n n n n
Nhận thấy:
33
7 400 8
nên
33
77nn
Do đó:
6 7 6;7nn
HẾT
| 1/30
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ 5: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
PHẦN I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
1. Lũy thừa bậc n của số a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a n a = . a ...
a a ( n  0 ); a gọi là cơ số, n gọi là số mũ. n thừa số a +
2.Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số m. n m n a a = a −
3.Chia hai luỹ thừa cùng cơ số m : n m n a a = a
(a  0,m n) Quy ước 0 a = 1 (a  0) 
4.Luỹ thừa của luỹ thừa ( )n m m n a = a m
5. Luỹ thừa mộttích ( . ) m = . m a b a b
6. Một số luỹ thừa của 10: - Một nghìn: 3 1000 = 10 - Một vạn: 4 10 000 = 10 - Một triệu: 6 1000 000 = 10 - Một tỉ: 9 1000 000 000 = 10
Tổng quát: nếu n là số tự nhiên khác 0 thì: 10n = 1000...00
7. Thứ tự thực hiện phép tính:
Trong một biểu thức có chứa nhiều dấu phép toán ta làm như sau:
- Nếu biểu thức không có dấu ngoặc chỉ có các phép cộng, trừ hoặc chỉ có các phép nhân chia ta thực
hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.
- Nếu biểu thức không có dấu ngoặc, có các phép cộng, trừ ,nhân ,chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện
nâng lên lũy thừa trước rồi thực hiện nhân chia,cuối cùng đến cộng trừ.
- Nếu biểu thức có dấu ngoặc ( ) ,  ,  ta thực hiện các phép tính trong ngoặc tròn trước, rồi đến
các phép tính trong ngoặc vuông, cuối cùng đến các phép tính trong ngoặc nhọn.
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. THỰC HIỆN TÍNH, VIẾT DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
I.Phương pháp giải. Sử dụng công thức: 1) n a = . a ...
a a ( n  0 ); a gọi là cơ số, n gọi là số mũ. n thừa số a Trang 1 + 2) m. n m n a a = a − 3) m : n m n a a = a
(a  0,m n) Quy ước 0 a = 1 (a  0)  4) ( )n m m n a = a m 5) ( . ) m = . m a b a b II.Bài toán.
Bài 1. Viết các tích sau dưới dạng 1 luỹ thừa a) 5.5.5.5.5.5 b) 2.2.2.2.3.3.3.3 c) 100.10.2.5 Lời giải a) 6 5.5.5.5.5.5 = 5 b) 4 4 2.2.2.2.3.3.3.3 = 2 .3 c) 4 100.10.2.5 = 10.10.10.10 = 10
Bài 2.Tính giá trị của các biểu thức sau: a) 4 2 3 : 3 b) 4 2 2 .2 c) ( )2 4 2 Lời giải a) 4 2 2 3 : 3 = 3 = 9 b) 4 2 2 .2 = 16.4 = 64 c) ( )2 4 8 2 = 2 = 256
Bài 3. Viết các tích sau đây dưới dạng một luỹ thừa của một số: a) 2 4 A = 8 .32 b) 3 4 B = 27 .9 .243 Lời giải a) 2 4 6 20 26 A = 8 .32 = 2 .2 = 2 b) 3 4 22 B = 27 .9 .243 = 3
Bài 4. Viết kết quả phép tính dưới dạng một lũy thừa: a) 3 64 : 2 b) 4 243 : 3 c) 3 625 : 5 d) 5 7 : 343 e) 3 100000 :10 f) 5 11 :121 g) 3 243 : 3 : 3 h) 8 4 : 64 :16 Lời giải a) 3 6 3 3 64 : 2 = 2 : 2 = 2 b) 4 5 4 1 243 : 3 = 3 : 3 = 3 c) 3 4 3 1 625 : 5 = 5 : 5 = 5 d) 5 5 3 2 7 : 343 = 7 : 7 = 7 e) 3 5 3 2 100000 :10 = 10 :10 = 10 f) 5 5 2 3 11 :121 = 11 :11 = 11 g) 3 5 3 1 243 : 3 : 3 = 3 : 3 : 3 = 3 h) 8 8 3 4 4 : 64 :16 = 4 : 4 : 4 = 4
Bài 5.Tìm các số mũ n sao cho luỹ thừa 3n thảo mãn điều kiện: 25 3n   250 Lời giải Trang 2 Ta có: 2 3 4 5
3 = 9, 3 = 27  25, 3 = 81, 3 = 243  250 nhưng 6 3 = 243.3 = 729  250
Vậy với số mũ n = 3, 4,5 ta có 25 3n   250
Bài 6 : Thực hiện phép tính: a) 2 5.2 −18 : 3 b) 3 17.85 +15.17 − 2 .3.5   c) 3 3 2 .17 − 2 .14 d) − − ( − )2 20 30 5 1   e) − ( 2 3 75 3.5 − 4.2 ) f) 2 0 3 2.5 + 3 : 71 − 54 : 3 g) 2 150 + 50 : 5 − 2.3 h) 2 2 5.3 − 32 : 4 Lời giải a) 2 5.2 −18 : 3 b) 3 17.85 +15.17 − 2 .3.5 = 5.4−18:3 =17.85+15.17 −120 = 20 − 6 = 17.(85 +15) −120 =14 =17.100−120 =1700 −120 =1580 c) 3 3 2 .17 − 2 .14   d) − − ( − )2 20 30 5 1   3 = 2 (17 −14)  2 20 30 4  = − − 3 =   2 .3 = = 20 − (30 −16) 8.3 = 24 = 20−14 = 6 e) − ( 2 3 75 3.5 − 4.2 ) f) 2 0 3 2.5 + 3 : 71 − 54 : 3 = 2.25+3:1−54: 27 = 75 − (3.25 − 4.8) = 50+3− 2 = 75 − (75− 32) = 51 = 75 − 75 + 32 = 32 g) 2 150 + 50 : 5 − 2.3 h) 2 2 5.3 − 32 : 4 =150 +10 − 2.9 = 5.9 −32:16 = 150 +10 −18 = 45 − 2 = 142 = 43
Bài 7: Thực hiện phép tính. a) 2 27.75 + 25.27 − 2.3.5
b) 12 :400 : 500 − (125 + 25.7)     2 c) 0
13.17 − 256 :16 +14 : 7 − 2021 d) 2.3 : 3 +182 + 3.(51:17) 2 3 e)15 − 5 .2 : (100.2) f) 2 3 5 .2 −12.5 +170 :17 − 8 Lời giải 2
12 :400 : 500 − 125 + 25.7  a) 27.75 + 25.27 − 2.3.5 b) ( )   = =12 :400: 500 −  (125+175)  27.(75 + 25) −150 
= 12 :400:500 −300 = 27.100 −150 Trang 3 = 2700 =12 :400: 20  0 =12 : 2 = 6 c) 0
13.17 − 256 :16 +14 : 7 − 2021 d) 2 2.3 : 3 +182 + 3.(51:17) = 221−16+ 2−1 = 6 +182+ 3.3 = 206 = 6+182+9 =197 e) 2 3 15 − 5 .2 : (100.2) f) 2 3 5 .2 −12.5 +170 :17 − 8 = = − + − 15 − 25.8: 200 1000 60 10 8 = = 15 − 200 : 200 942 = 15 −1 = 14
Bài 8: Thực hiện phép tính. a) 3 3 2 2 2 − 5 : 5 +12.2 b) ( − ) 2
5. 85 35 : 7 : 8 + 90 − 5 .2    c)  + − ( 3 2 − ) 2 2. 7 3 : 3 : 2 + 99 −100  d) 7 2 4 3 4 5 2 : 2 5 : 5 .2 3.2   e) ( 5 7 ) 10 4 3 3 .3 : 3 + 5.2 − 7 : 7 f) 2 ( 2 − ) 4 3 3 . 5 3 :11 − 2 + 2.10  g) ( 2007 2006 − ) 2006 6 6 : 6 h) ( 2001 2000 − ) 2000 5 5 : 5 i) ( 2005 2004 + ) 2004 7 7 : 7 j) ( 7 5 + ) ( 8 6 + ) ( 4 2 5 7 . 6 8 . 2 − 4 )   k) ( 5 9 + ) ( 4 6 + ) ( 3 2 7 7 . 5 5 . 3 .3 − 9 ) l) ( 2 3 2 − ) 5 5 .2 7 .2 : 2 .6 − 7.2  Lời giải a) 3 3 2 2 2 − 5 : 5 +12.2 b) ( − ) 2
5. 85 35 : 7 : 8 + 90 − 5 .2  = 8−5+12.4 = 5 (85−5) +  − = : 8 90 50  8 − 5 + 48 = 51 = 580 :8 + 90−50 = 5.100 − 50 = 450   c) + −  d) 7 2 4 3 4 5 2 : 2 5 : 5 .2 3.2 ( 3 2 − ) 2 2. 7 3 : 3 : 2 + 99 −100  5 4 5 = 2 + 5.2 − 3.2
= 2.(7 −3): 4 +99 −100  4 = 2 .(2 + 5− 6) = 2.(4 : 4 + 99) −100 4 = 2 = 2.100 −100 = 100 e) ( 5 7 ) 10 4 3 3 .3 : 3 + 5.2 − 7 : 7   f) 2 ( 2 − ) 4 3 3 . 5 3 :11 − 2 + 2.10  12 10 4 2 = 3 : 3 + 5.2 − 7
= 9.(25−3):11 −16 + 2.1000  2 4 2 = 3 + 5.2 − 7 = 9.(22: ) 11 −16 + 2000 = 9 +5.16 − 49 = 9.2−16+ 2000 = 9 + 80 − 49 = + = 2 2000 40 = 2002 Trang 4 g) ( 2007 2006 − ) 2006 6 6 : 6 h) ( 2001 2000 − ) 2000 5 5 : 5 2006 = ( − ) 2006 6 6 1 : 6 2000 2000 = 5 (5− )1:5 2006 2006 = 6 .5 : 6 2000 2000 = 5 .4 : 5 = 5 = 4 i) ( 2005 2004 + ) 2004 7 7 : 7 j) ( 7 5 + ) ( 8 6 + ) ( 4 2 5 7 . 6 8 . 2 − 4 ) 2004 2004 = 7 (7 +1) : 7 = ( 7 5 + ) ( 8 6 5 7 . 6 + 8 ).(16 −16) 2004 2004 = 7 .8 : 7 = ( 7 5 + ) ( 8 6 5 7 . 6 + 8 ) = .0 8 = 0 k) ( 5 9 + ) ( 4 6 + ) ( 3 2 7 7 . 5 5 . 3 .3 − 9 )   l) ( 2 3 2 − ) 5 5 .2 7 .2 : 2 .6 − 7.2  = ( 5 9 + ) ( 4 6 7 7 . 5 + 5 ).(27 − 27) = ( − ) 5 25.8 49.2 : 2 .6 − 7.2  = ( 5 9 + ) ( 4 6 = (200 −98) − 7 7 . 5 + 5 ).0 : 2.6 7.32 = = − 0 306 224 = 82
Bài 9 : Thực hiện phép tính.     a) − −  2 375 : 32 − 4 + 5.3 − 42    −  ( 3 3 142 50 2 .10 − 2 .5) b) ( ) 14        c) +  −  − − −  ( 2 210 : 16 3. 6 + 3.2 ) −3  d)  ( )2 3 500 5. 409 2 .3 21 1724       Lời giải:     a) − −  2 375 : 32 − 4 + 5.3 − 42    −  ( 3 3 142 50 2 .10 − 2 .5) b) ( ) 14   3 142 50 2 .5 = − −
= 375 :32 − 4 + 45− 42  −   ( ) 14  =142 −5.(10−8)
= 375:32 −(4 + 3)−14 =142 −10 = 375 :32 −  7 −14 = 132 = 375: 25−14 =15−14 =1       c)  +   ( 2 210 : 16 3. 6 + 3.2 ) −3  d) −  −  ( − )2 3 500 5. 409 2 .3 21 −1724       = 210: 16  + 3.  (6+12) −3  −  −( − )2 = 500 5 409 8.3 21 −172   4
= 210:16 + 3.18 −3 =  −  −( − )2 = 500 5. 409 24 21 −172    210 : 7  0 − 3 4 = 3−3 = 0
= 500 −5.409 −9−172  4 = 500 −5.400 −17  24 = 500− 276 = 224
Bài 10: Thực hiện phép tính. a) − ( 2 3 80 4.5 − 3.2 ) b) 6 4 3 2 2017 5 : 5 + 2 .2 −1 Trang 5 c) 3
5 − 2.56 − 48 : (15 − 7)   d) 2 2 23.75 + 5 .10 + 5 .13 +180 e) − ( − )2 0 36.4 4. 82 7.11 : 4 − 2016 f) −  −( + ) 3 +   0 303 3. 655 18 : 2 1 .4 5 :10  Lời giải: a) − ( 2 3 80 4.5 − 3.2 ) b) 6 4 3 2 2017 5 : 5 + 2 .2 −1 2 5 = = 5 + 2 −1 80 − (4.25 − 3.8) = 80 − (100 − 24) = 25 + 32 −1 = = 56 80 − 76 = 4 c) 3
5 − 2.56 − 48 : (15 − 7)   d) 2 2 23.75 + 5 .10 + 5 .13 +180 = = 23.75+ 25.(10 +13) +180 125 − 2.56 − 48 : 8 = 23.75+ 25.23+180 =125 − 2.(56 − 6) = 23.100+180 =125 − 2.50 = 2300 +180 = 25 = 2480 e) − ( − )2 0 36.4 4. 82 7.11 : 4 − 2016 f) −  −( + ) 3 +   0 303 3. 655 18 : 2 1 .4 5 :10  = − ( − )2 36.4 4. 82 77 : 4 −1 = 303 − 3.   655−640+5 = 4(36 − 25) : 4 −1 = 303 − 3.   655−640+5 = 11−1 = − = = 303 3.10 263 10
Bài 11: Tính giá trị của biểu thức: A = 2002.20012001− 2001.20022002 Lời giải:
A = 2002.20012001− 2001.20022002
A = 2002.(20010000 + 20 ) 01 − 2001.(20020000 + 2002) A = ( 4 + )− ( 4 2002. 2001.10 2001 2001. 2002.10 + 200 ) 1 4 4
A = 2002.2001.10 + 2002.2001− 2001.2002.10 − 2001.2002 A = 0 Bài 12: Tính: a) 2 3 4 100
A = 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 b) 2 3 150
B = 1+ 5 + 5 + 5 + ... + 5 c) 2 3 1000 C = 3 + 3 + 3 + ... + 3 Lời giải: a) 2 3 4 100
A = 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 2 3 4 100
2 A = 2.2 + 2 .2 + 2 .2 + 2 .2 + ... + 2 .2 2 3 4 5 101
2 A = 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 A − A = ( 2 3 4 5 101 + + + + + )−( 2 3 4 100 2 2 2 2 2 ... 2 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 ) 2 3 4 5 101 2 3 4 100
A = 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2
− 2 − 2 − 2 − 2 −...− 2 101 A = 2 − 2 Trang 6 Vậy 101 A = 2 − 2 b) 2 3 150
B = 1+ 5 + 5 + 5 + ... + 5 2 3 150
5B = 1.5 + 5.5 + 5 .5 + 5 .5 + ... + 5 .5 2 3 4 151
5B = 5 + 5 + 5 + 5 + ... + 5 B − B = ( 2 3 4 151 + + + + + )−( 2 3 150 5 5 5 5 5 ... 5 1+ 5 + 5 + 5 + ... + 5 ) 2 3 4 151 2 3 150
4B = 5 + 5 + 5 + 5 + ... + 5
−1− 5 − 5 − 5 −...− 5 151 4B = 5 −1 151 5 −1 B = 4 c) 2 3 1000 C = 3 + 3 + 3 + ... + 3 2 3 1000
3C = 3.3 + 3 .3 + 3 .3 + ... + 3 .3 2 3 4 1001
3C = 3 + 3 + 3 + ... + 3 C − C = ( 2 3 4 1001 + + + + )−( 2 3 1000 3 3 3 3 ... 3 3 + 3 + 3 + ... + 3 ) 2 3 4 1001 2 3 1000
2C = 3 + 3 + 3 + ... + 3 − 3 − 3 − 3 −...− 3 1001 2C = 3 − 3 1001 3 − 3 C = 2
Dạng 2.SO SÁNH CÁC LŨY THỪA
I.Phương pháp giải.
Để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử
dụng các lũy thừa trung gian để so sánh) Với , a , b ,
m n N ta có: n n *
a b a b n   N m n
m n aa (a  1) m n
a = 0 hoặc a = 1thì a = a ( . m n  0) Với ,
A B là các biểu thức ta có : n n
A B A B  0 m n A
A m n và A 1
m n và 0  A  1 II.Bài toán. Bài 1. So sánh: Trang 7 a) 17 333 và 23 333 b) 10 2007 và 10 2008 c) ( − )2009 2008 2007 và ( − )1999 1998 1997 Lời giải a) Vì 1 17  23 nên 17 333 và 23 333 b) Vì 2007  2008 nên 10 2007 và 10 2008 c) Ta có : ( − )2009 2008 2007 2009 =1 =1 ( − )1999 1998 1997 1999 = 1 = 1 Vậy ( − )2009 2008 2007 = ( − )1999 1998 1997 Bài 2. So sánh a) 300 2 và 200 3 e) 20 99 và 10 9999 b) 500 3 và 300 7 f) 1979 11 và 1320 37 c) 5 8 và 7 3.4 g) 10 10 và 5 48.50 d) 303 202 và 202 303 h) 10 9 1990 +1990 và 10 1991 Lời giải a) Ta có : = ( )100 300 3 100 2 2 = 8 = ( )100 200 2 100 3 3 = 9 Vì 100 100 300 200 8  9  2  3
b) Tương tự câu a) ta có : = ( )100 500 5 100 3 3 = 243 = ( )100 300 3 100 7 7 = 343 Vì 100 100 243  343 nên 500 300 3  7 c) Ta có : 5 15 14 14 7 5 7 8 = 2
= 2.2  3.2 = 3.4  8  3.4 101 101 303 3.101 3 3 2 101 d) Ta có : 202 = (2.10 ) 1
= (2 .101 ) = (8.101.102 ) = (808.10 )1 101 101 202 2.101 = ( ) = ( 2 2) = ( 2 303 3.101 3 .101 9.101 ) Vì 2 2 808.101  9.101 nên 303 202 202  303 Trang 8 e) Ta thấy :  =  ( )10 2 2 10 20 10 99 99.101 9999 99  9999  99  9999 f) ta có :  = ( )660 1979 1980 3 660 11 11 11 =1331 (1) = ( )660 1320 2 660 37 37 =1369 (2) Từ (1) và (2) suy ra : 1979 1320 11  37 g) Ta có : 10 10 10 9 10 10 = 2 .5 = 2.2 .5 (*) 5 = ( 4) ( 5 10) 9 10 48.50 3.2 . 2 .5 = 3.2 .5 (**) Từ (*) và (**) 10 5  10  48.50 10 9 9 9 h) Có : 1990 +1990 =1990 .(1990 + ) 1 = 1991.1990 10 9 1991 = 1991.1991 Vì 9 9 1990  1991 nên 10 9 10 1990 +1990  1991
Bài 3. Chứng tỏ rằng : 27 63 28 5  2  5 Lời giải Ta có : 63 9 2 = 128 27 9 5 = 125 63 27  2  5 (1) Lại có: 63 7 2 = 512 28 7 5 = 625 63 28  2  5 (2) Từ (1) và (2)  27 63 28 5  2  5 Bài 4.So sánh: a) 50 107 và 75 73 b) 91 2 và 35 5 Lời giải a) Ta thấy : 50 50  = ( )50 100 150 107 108 4.27 = 2 .3 (1) 75 75  = ( )75 225 150 73 72 8.9 = 2 .3 (2) Từ (1) và (2) 50 100 150 225 150 75  107  2 .3  2 .3  73 Trang 9 b) 91 90 18 2  2 = 32 35 36 18 5  5 = 25 91 18 18 35  2  32  25  5 Vậy 91 35 2  5
Bài 5. So sách các cặp số sau: a) 5 A = 27 và 3 B = 243 b) 300 A = 2 và 200 B = 3 Lời giải A = = = a) Ta có A = = ( )5 5 3 15 27 3 = 3 b) 300 3.100 100 2 2 8 200 2.100 100 B = 3 = 3 = 9 B = ( )3 5 15 3 = 3 Vì 8  9 nên 100 100 8  9  A B Vậy A = B
Bài 6.So sánh các số sau: a) 20 199 và 15 2003 b) 39 3 và 21 11 Lời giải a)  = ( )20 20 20 3 2 60 40 199 200 2 .5 = 2 .5 15 15 15 15  = ( 3 ) = ( 4 3) 60 45 2003 2000 2.10 2 .5 = 2 .5 Vậy 15 20 2003  199 b)  = ( )20 39 40 2 20 21 3 3 3 = 9 11
Bài 7. So sánh 2 hiệu: 45 44 72 − 72 và 44 43 72 − 72 Lời giải 45 44 44 − = ( − ) 44 72 72 72 . 72 1 = 72 .71 44 43 43 − = ( − ) 43 72 72 72 . 72 1 = 72 .71 Vậy 45 44 44 43 72 − 72  72 − 72
Bài 8.So sánh các số sau: a) 5 9 và 3 27 b) 200 3 và 300 2 c) 500 3 và 300 7 d) 7 3.4 và 5 8 e) 303 202 và 202 303 Lời giải Trang 10 a) Ta có: = ( )5 5 2 10 9 3 = 3 b) Ta có: = ( )100 200 2 100 3 3 = 9 = ( )3 3 3 9 27 3 = 3 = ( )100 300 3 100 2 2 = 8 Vì 10 9 3  3 nên 5 3 9  27 Vì 100 100 9  8 nên 200 300 3  2 c) Ta có: = ( )100 500 5 100 3 3 = 243 d) Ta có: = ( )5 5 3 15 8 2 = 2 15 14 14 7 = ( )100 300 3 100 =  = 7 7 = 343 2 2.2 3.2 3.4 Vậy 5 7 8  3.4 Vì 100 100 500 300 243  343  3  7 e) Ta có: = ( )101 303 3 202 202 ; = ( )101 202 2 303 303 Ta so sánh 3 202 và 2 303 3 3 2 202 = 2 .101.101 2 2 2 303 = 3 .101 Vậy 303202< 2002303 Bài 9: So sánh 101 3 − 3 a) 2 4
A = 1+ 2 + 2 + ... + 2 và 5 B = 2 −1 b) 2 3 100 C = 3 + 3 + 3 + ... + 3 và D = 2 Lời giải: a) 2 4 A = 1+ 2 + 2 + ... + 2 2 4
2 A = 1.2 + 2.2 + 2 .2 + ... + 2 .2 2 3 5
2 A = 2 + 2 + 2 + ... + 2 A − A = ( 2 3 5 + + + + )−( 2 4 2 2 2 2 ... 2 1+ 2 + 2 + ... + 2 ) 2 3 5 2 4
A = 2 + 2 + 2 + ... + 2 −1− 2 − 2 − ... − 2 5 A = 2 −1 Vậy A = B b) 2 3 100 C = 3 + 3 + 3 + ... + 3 2 3 100
3C = 3.3 + 3 .3 + 3 .3 + ... + 3 .3 2 3 4 101
3C = 3 + 3 + 3 + ... + 3 C − C = ( 2 3 4 101 + + + + )−( 2 3 100 3 3 3 3 ... 3 3 + 3 + 3 + ... + 3 ) 2 3 4 101 2 3 100
2C = 3 + 3 + 3 + ... + 3 − 3 − 3 − 3 −...− 3 101 2C = 3 − 3 101 3 − 3 C = 2 Vậy C = D
Dạng 3. TÌM SỐ CHƯA BIẾT TRONG LŨY THỪA Trang 11
I. Phương pháp giải. Khigiải bài toán tìm x có luỹ thừa phải:
Phương pháp 1: Biến đổi về các luỹ thừa cùng cơ số .
Phương pháp 2: Biến đổi về các luỹ thừa cùng số mũ .
Phương pháp 3: Biến đổi về dạng tích các lũy thừa. II. Bài toán.
Bài 1. Tìm x, biết. a) 2 .4 x = 128 b) 2x − 26 = 6 c) x 5 64.4 = 4 d) 27.3x = 243 e) 49.7x = 2041 g) 3x = 81 h) 4 x 7 3 .3 = 3 k) x 2 0 3 + 25 = 26.2 + 2.3 Lời giải a) Ta có: x x x x 5
2 .4 = 128  2 = 128 : 4  2 = 32  2 = 2  x = 5. b) Ta có: x x x x 5
2 − 26 = 6  2 = 6 + 26  2 = 32  2 = 2  x = 5. + c) Ta có: x 5 3 x 5 x 3 5 64.4 = 4  4 .4 = 4  4
= 4  x + 3 = 5  x = 5 − 3  x = 2. d) Ta có: x x x x 2
27.3 = 243  3 = 243 : 27  3 = 9  3 = 3  x = 2. e) Ta có: x x x x 2
49.7 = 2401  7 = 2401: 49  7 = 49  7 = 7  x = 2. g) Ta có: x x 4
3 = 81  3 = 3  x = 4. h) Ta có: 4 x 7 x 7 4 x 4
3 .3 = 3  3 = 3 : 3  3 = 3  x = 4. k) Ta có: x 2 0 x x 1
3 + 25 = 26.2 + 2.3  3 = 26.1+ 2.1− 25  3 = 3  x = 1.
Bài 2.Tìm x N, biết. a) 3 .3 x = 243 b) x 2 2 .16 = 1024 c) x 8 64.4 = 16 d) 2x = 16 Lời giải a) Ta có: x x x x 4
3 .3 = 243  3 = 243 : 3  3 = 81  3 = 3  x = 4. b) Ta có: x 2 x 2 x x x 2
2 .16 = 1024  2 = 1024 :16  2 = 1024 : 256  2 = 4  2 = 2  x = 2. + c) Ta có: x x =  = ( )8 8 3 2 x 3 16 64.4 16 4 .4 4  4
= 4  x + 3 =16  x =16 −3  x =13. d) Ta có: x x 4
2 = 16  2 = 2  x = 4.
Bài 3.Tìm x , biết. Trang 12 x − 2019 1 a) ( x − )3 5 2 7 11 = 2 .5 + 200 b) = 4 x − 2019 4 6 c) ( x − )4 2 1 = 16 d) (2x + ) 1 = (2x + ) 1 39 15 e) 2 − 3x = g) ( x + )3 2 1 = 125 2 2 Lời giải 3 5 2 3 3 3 a) Ta có: ( x − ) = +  ( x − ) = +  ( x − ) =  ( x − ) 3 7 11 2 .5 200 7 11 32.25 200 7 11 1000 7 11 =10
 7x −11=10  7x = 21 x = 3 x − 2019 1 2 2 b) Ta có: =
 ( x − 2019) = 4  ( x − 2019) 2
= 2  x − 2019 = 2  x = 2021. 4 x − 2019 4 4 4 c) Ta có: (2x − ) 1 =16  (2x − ) 1
=  (2)  2x −1= 2  . 3
TH 1: 2x −1 = 2  2x = 3  x = . 2 1 − TH 2: 2x −1 = 2 −  2x = 1 −  x = . 2 3 −1 Vậy x = hoặc x = . 2 2  4 4 6 4 6 4  2 2x +1 = 0  d) (2x + ) 1 = (2x + ) 1  (2x + ) 1 − (2x + ) 1 = 0  (2x + ) 1 1− (2x − ) ( ) 1 = 0     1  −  (2x + )2 1 = 0 2x +1 = 0 x = 0 − ,5
 2x +1 =1  x = 0   2x +1 = 1 − x = 1 −   Vậy x = 0
− ,5; x = 0; x = 1 − . e) Ta có: 39 2 15 39 2 15 2 39 15 2 2 2 − 3x =  − 3x =  3x = −
 3x = 12  x = 4  x = ( 2  )2  x = 2. 2 2 2 2 2 2 3 3 g) Ta có: ( x + ) =  ( x + ) 3 2 1 125 2 1
= 5  2x +1 = 5  2x = 5 −1 2x = 4  x = 4 : 2  x = 2.
Bài 4: Tìm x biết: 10 20 2003 2003 a, (3x − ) 1 = (3x − ) 1 b, x (6 − x) = (6 − x) c, x x+2 5 + 5 = 650 Lời giải 10 20 20 10 a) Ta có: (3x − ) 1 = (3x − ) 1  (3x − ) 1 − (3x − ) 1 = 0 Trang 13  1  1 x = x =  3   − =   (    x − ) 3x 1 0 3 10 ( x − )10 2 3 1 3 1 −1 = 0     (  − =   = x − )10 3x 1 1 x 3 1 =1   3 3x −1 = 1 −  x = 0   2003 2003 2003 2003
b) Ta có: x (6 − x) = (6 − x)  x(6 − x) − (6 − x) = 0  (  − =  =
− x)2003 ( x − ) 6 x 0 x 6 6 1 = 0    x −1 = 0 x =1 x x 2 x x x 2
c) Ta có: 5 + 5 .5 = 650  5 (1+ 25) = 650  5 = 25  5 = 5  x = 2 Bài 5: Tìm x biết: + + a, x 2 2 − 2x = 96 b, x 1 2 .3y = 12x c) 10x : 5y 20 y = Lời giải a) Ta có: x+2 x x x x − =  − =  ( − ) x x x 5 2 2 96 2 .4 2 96
2 . 4 1 = 96  3.2 = 96  2 = 32  2 = 2  x = 5 x+ y x x+ y x x +1 = 2 x = 1 b) Ta có: 1 1 2 2 .3 = 12  2 .3 = 2 .3    x = yy= 1 Vậy x = y =1. c) Ta có: x y y x y y x y x 2
10 : 5 = 20  10 = 20 .5  10 = 100  10 = 10 y x = 2 . y
Dạng 4. MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ LŨY THỪA
I.Phương pháp giải.
Phương pháp 1: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ .
- Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số ( lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. m n aa (a  ) 1  m n
- Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0 ) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn . n n
a b (n  0)  a b
Phương pháp 2: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân A  ,
B B C thì A  . C
AC BC (C  0)  A B II.Bài toán.
Dạng 1: So sánh hai số lũy thừa.
Bài 1. So sánh các lũy thừa: 2 3 n và 3 2 n Lời giải n Ta có: 2 3 n ( 23) 9n = = n 3 2 n ( 32) 8n = = Trang 14 Vì 9n 8n  nên 2n 3 3 2 n
Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với một số (so sánh hai biểu thức lũy thừa)
- Thu gọn biểu thức lũy thừa bằng cách vận dụng các phép tính lũy thừa, cộng trừ các số theo quy luật.
- Vận dụng phương pháp so sánh hai lũy thữa ở phần B.
- Nếu biểu thức lũy thừa là dạng phân thức: Đối với từng trường hợp bậc của luỹ thừa ở tử lớn hơn hay
bé hơn bậc của luỹ thừa ở mẫu mà ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phần nguyên rồi so sánh từng phần tương ứng. Với , a , m ,
n K N * . Ta có: a a a a
- Nếu m n thì K −
K − và K +  K + . m n m n a a a a
- Nếu m n thì K −
K − và K +
K + .(còn gọi là phương pháp so sánh phần bù) m n m n 1
* Với biểu thức là tổng các số có dạng
(với a N *) ta có vận dụng so sánh sau: 2 a 1 1 1 1 1 −   − 2 a a +1 a −1 a a Bài 1. Cho 2 3 9
S = 1+ 2 + 2 + 2 + ... + 2 . So sánh S với 8 5.2 . Lời giải Ta có: 2 3 9
S = 1+ 2 + 2 + 2 + ... + 2 2 9 10
2S = 2 + 2 + .... + 2 + 2 10  S = 2 −1 Mà 10 10 8 8 2 −1  2 = 4.2  5.2 Vậy 8 S  5.2 . 15 10 +1 16 10 +1
Bài 2.So sánh hai biểu thức A và B , biết: A = và B = 16 10 +1 17 10 +1 Lời giải 15 10 +1  15 10 1  + 16 10 +10 16 10 +1+ 9 9 Ta có: A = 10A =10.  = = =1+ . 16   10 +1 16 10 +1   16 10 +1 16 16 10 +1 10 +1 16 10 +1  16 10 1  + 17 10 +10 17 10 +1+ 9 9 B = 10B =10.  = = =1+ . 17   10 +1 17 10 +1   17 10 +1 17 17 10 +1 10 +1 9 9 9 9 Vì 16 17 10 +1  10 +1 nên  1+ 1+ 16 17 10 +1 10 +1 16 17 10 +1 10 +1
 10A 10B hay A B 2008 2 − 3 2007 2 − 3
Bài 3.So sánh hai biểu thức C và D , biết: C = và D = 2007 2 −1 2006 2 −1 Lời giải 2008 2 − 3  2008  2008 2008 1 1 2 − 3 2 − 3 2 − 2 −1 1 Ta có: C =  C =   = = =1− . 2007   2 −1 2007 2008 2008 2008 2 2 2 −1 2 − 2 2 − 2 2 − 2   Trang 15 2007 2 − 3  2007  2007 2007 1 1 2 − 3 2 − 3 2 − 2 −1 1 D =  D =   = = =1− 2006   2 −1 2006 2007 2007 2007 2 2 2 −1 2 − 2 2 − 2 2 − 2   1 1 Vì 2008 2007 2 – 2  2 – 2 nên  2008 2007 2 − 2 2 − 2 1 1 1− 1− 2008 2007 2 − 2 2 − 2  1 1 C D hay C  . D 2 2 Vậy C  . D
Dạng 3: Từ việc so sánh lũy thừa, tìm cơ số (số mũ) chưa biết.
* Với các số tự nhiên , m ,
x p và số dương a .
+ Nếu a 1 thì: m x p a
a a m x p.
+ Nếu a 1 thì: m x p a
a a m x p . * Với các số dương ,
a b và số tự nhiên m , ta có: m m a
b a b .
Bài 3. Tìm các số nguyên n thoã mãn: 64 48 72 3  n  5 . Lời giải
Ta giải từng bất đẳng thức 64 48 3  n và 48 72 n  5 . 16 16 16 Ta có: 48 64 n   ( 3 n ) ( 4 )  ( 3 n ) 16 3 3 3  81  n  81
n  4 (với n ) (1). 24 24 24 Mặt khác 48 72 n  ( 2 n )  ( 3)  ( 2 n ) 24 2 5 5  125  n 125  1
− 1 n 11 (với n ) (2).
Từ (1) và (2)  4  n 11 .
Vậy n nhận các giá trị nguyên là: 5;6;7;8;9;10;11.
Bài 4. Tìm x N , biết: + + a) x 4 16  128 . b) x x 1 x 2 18 5 .5 .5 100.............0 : 2 . 18 chu so 0 Lời giải x a) Ta có: x 4 16  128  ( )  ( )4 4 7 2 2  4x 28 2
 2  4x  28  x  7
x 0,1,2,3,4,5,  6 . + +
b) Ta có: x x 1 x 2 18 5 .5 .5 100.............0 : 2 18 chu so 0 + +  3x 3 18 18 3x 3 18 5  10 : 2  5
 5  3x + 3  18  x  5
x 0,1,2,3,4,  5 .
Bài 5: Tìm số tự nhiên x , x y sao cho 2 10 = y −143 . Lời giải Ta có: x 2 x 2
10 = y −143  10 +143 = y Trang 16
Nếu x = 0  y = 12 thỏa mãn. Nếu 0 10x x  
có chữ số tận cùng là 0 . Khi đó, 10x có chữ số tận cùng là 3 . Mà 2 y là số chính
phương nên không thể có tận cùng bằng 3 . Do đó không tồn tại , x y thỏa mãn.
Vậy x = 0; y =12. Bài 6: a) Số 8 5 có bao nhiêu chữ số? b) Hai số 2003 2 và 2003 5
viết liền nhau được số có bao nhiêu chữ số? Lời giải a) Ta có: 8 4 2 2 2
5 = (5 ) = 625  600 = 360000 8 8 10 100000000 100000000 5 = =  = 400000 8 256 250 2 8
 360000  5  400000. Do đó 8 5 có 6 chữ số. b) Giả sử 2003 2 có a chữ số và 2003 5
có b chữ số thì khi viết 2 số này liền nhau ta được (a + ) b chữ số. − − Vì a 1 2003 10  2  10a và b 1 2003 10  5  10b − − a 1 b 1 2003 2003  10 .10  2 .5  10 .10 a b + − + a b 2 2003  10  10
 10a b . Do đó: 2003 = a +b −1 a +b = 2004 .
Vậy số đó có 2004 chữ số.
Bài 7:Tìm số 5 các chữ số của các số n và m trong các trường hợp sau: a) 3 5 n = 8 . 15 . b) 16 25 m = 4 . 5 . Lời giải a) Ta có: 3 5 n = 8 . 15 = ( 3 2 )3.(3.5)5 9 5 5 = 2 . 3 . 5 4 5 = 2 . 3 .(2.5)5 5 5 =1 6.243 .10 = 3888. 10 . Số 5
3888.10 gồm 3888 theo sau là 5 chữ số 0 nên số này có 9 chữ số.
Vậy số n có 9 chữ số. b) Ta có: m = 4 . 5 = (2 )16 16 25 2 25 . 5 32 25 7 = 2 .5 = 2 .( 25 25 2 .5 ) 25 =128.10 . Số 25 128.10
gồm 128 theo sau là 25 chữ số 0 nên số này có tất cả 28 chữ số.
Vậy số m có 28 chữ số.
Dạng 4: Sử dụng lũy thừa chứng minh chia hết
Bài 1: Chứng minh rằng: Trang 17 a. 2 11
A = 1+ 3 + 3 + ... + 3 chia hết cho 4 b. 5 15 B = 16 + 2 chia hết cho 33 c. 2 3 8
C = 5 + 5 + 5 + ... + 5 chia hết cho 30
d. D = 45 + 99 +180 chia hết cho 9 e. 2 3 119
E = 1+ 3 + 3 + 3 + ... + 3 chia hết cho 13 f. 28 F = 10 + 8 chia hết cho 72 g. 8 20 G = 8 + 2 chia hết cho 17 h. 2 3 60 H = 2 + 2 + 2 + ... + 2 chia hết cho 3, 7,15 i. 2 3 1991
I = 1+ 3 + 3 + 3 + ... + 3 chia cho 13 và 41 j. = 10n J
+18n −1chia hết cho 27 k. = 10n K
+ 72n −1 chia hết cho 81 Lời giải a. 2 11
A = 1+ 3 + 3 + ... + 3 chia hết cho 4 A = ( + ) 2 + ( + ) 10 1 3 3 . 1 3 + ... + 3 .(1+ 3) 2 10
A = 4 + 3 .4 + ... + 3 .4 A = ( 2 10 4. 1+ 3 + ... + 3 ) 4(đpcm) b. 5 15 B = 16 + 2 chia hết cho 33 B = ( )5 4 15 2 + 2 20 15 B = 2 + 2 15 B = ( 5 2 . 1+ 2 ) 15
B = 2 .33 33(đpcm) c. 2 3 8
C = 5 + 5 + 5 + ... + 5 chia hết cho 30 C = ( 2 + ) 2 + ( 2 + ) 6 + + ( 2 5 5 5 . 5 5 ... 5 . 5 + 5 ) 2 6
C = 30 + 5 .30 + ... + 5 .30 C = ( 2 6
30. 1+ 5 + ... + 5 ) 30(đpcm)
d. D = 45 + 99 +180 chia hết cho 9 Trang 18
Ta có: 45 9;99 9;180 9 nên D = 45 + 99 +180 9 (đpcm) (tính chất chia hết của một tổng) e. 2 3 119
E = 1+ 3 + 3 + 3 + ... + 3 chia hết cho 13 E = ( 2 + + ) 3 + ( 2 + + ) 117 + + ( 2 1 3 3 3 . 1 3 3 ... 3 . 1+ 3 + 3 ) 3 117
E = 13 + 3 .13 + ... + 3 .13 E = ( 3 117 13. 1+ 3 + ... + 3 ) 13(đpcm) f. 28 F = 10 + 8 chia hết cho 72 Ta thấy: 72 = 8.9 Ta có: 28 10
+ 8 9 vì tổng các chữ số bằng 9 28 10
+ 8 8 vì có tận cùng là 008 Mà (8;9) = 1nên 28 10 + 8 8.9 = 72 (đpcm) g. 8 20 G = 8 + 2 chia hết cho 17 G = ( )8 3 20 2 + 2 24 20 G = 2 + 2 20 G = ( 4 2 . 2 + ) 1 20
G = 2 .17 17 (đpcm) h. 2 3 60 H = 2 + 2 + 2 + ... + 2 chia hết cho 3,7,15 Ta có: H = ( + ) 3 + ( + ) 59 2. 1 2 2 . 1 2 + ... + 2 .(1+ 2) 3 59
H = 2.3 + 2 .3 + ... + 2 .3 H = ( 3 59 3. 2 + 2 + ... + 2 ) 3 Ta có: H = ( 2 + + ) 4 + ( 2 + + ) 28 + + ( 2 2. 1 2 2 2 . 1 2 2 ... 2 . 1+ 2 + 2 ) 4 58
H = 2.7 + 2 .7 + ... + 2 .7 Trang 19 H = ( 4 58 7. 2 + 2 + ... + 2 ) 7 Ta có: H = ( 2 3 + + + ) 5 + ( 2 3 + + + ) 57 + + ( 2 3 2. 1 2 2 2 2 . 1 2 2 2 ... 2 . 1+ 2 + 2 + 2 ) 5 57
H = 2.15 + 2 .15 + ... + 2 .15 H = ( 5 57 15. 2 + 2 + ... + 2 ) 15
Vậy H chia hết cho 3; 7;15. i. 2 3 1991
I = 1+ 3 + 3 + 3 + ... + 3 chia cho 13 và 41 Ta có: I = ( 2 + + ) 3 + ( 2 + + ) 1989 + + ( 2 1 3 3 3 . 1 3 3 ... 3 . 1+ 3 + 3 ) 3 1989
I = 13 + 3 .13 + ... + 3 .13 I = ( 3 1989 13. 1+ 3 + ... + 3 ) 13( m đpc ) Ta có: I = ( 2 4 6 + + + )+( 3 5 7 + + + )+ +( 1984 1986 1988 1990 + + + )+( 1985 1987 1989 1991 1 3 3 3 3 3 3 3 ... 3 3 3 3 3 + 3 + 3 + 3 ) I = ( 2 4 6 + + + )+ ( 2 4 6 + + + ) 1984 + + ( 2 4 6 + + + ) 1985 + ( 2 4 6 1 3 3 3 3. 1 3 3 3 ... 3 . 1 3 3 3 3 . 1+ 3 + 3 + 3 ) I = ( 1984 1985 820. 1+ 3 + ... + 3 + 3 ) I = ( 1984 1985 41.20. 1+ 3 + ... + 3 + 3 ) 41
Vậy I chia hết cho 13; 41 j. = 10n J
+18n −1chia hết cho 27 Ta có:
=10n +18 −1 = (10n J n − )1+18n
J = 99...9 +18n (số 99...9có n chữ số 9 )
J = 9.(11...1+ 2n) (số 11...1có n chữ số 1) J = 9.L
Xét biểu thức trong ngoặc Trang 20
L =11...1+ 2n =11...1− n + 3n (số 11...1có n chữ số 1)
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3 .
Số 11...1có n chữ số 1có tổng các chữ số là 1+1+...+1 = n (vì có n chữ số 1).
11...1 ( n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 11...1 − ( n chữ số n 1) 3  L 3
 9.L 27 hay =10n J
+18n −1chia hết cho 27 (đpcm) k. = 10n K
+ 72n −1 chia hết cho 81 Ta có: = 10n K + 72n −1 = 10n K −1+ 72n  − − K ( ) n 1 n 2 10 1 . 10 10 ... 10 1 = − + + + + + 72n    n 1 − n−2 K 9. 10 10 ... 10 1 = + + + + − 9n + 81n    n 1 − n−2 K 9. 10 10 ... 10 1 n = + + + + − + 81n    − −  K =
( n 1 − ) + ( n 2 9. 10 1 10
− )1+...+(10− )1+(1− )1 +81n  Ta có: k ( )  k 1 − 10 1 10 1 . 10 ... 10 1 − = − + + +   chia hết cho 9  ( n 1 − − )+( n−2   9. 10 1 10
− )1+...+(10− )1+(1− )1chia hết cho 81  n 1 − n−2 9. 10 10 ... 10 1 n  + + + + − + 81n   chia hết cho 81  =10n K + 72n −1 81( m đpc ) BÀI TẬP VẬN DỤNG. Bài 1. So sánh: a) 5 243 và 5 3.27 . b) 5 625 và 7 125 . Bài 2: So sánh: a) 20 99 và 10 9999 . b) 500 3 và 300 7 . c) 303 202 và 202 303 . d) 1979 11 và 1320 37 . Bài 3: So sánh: a) 5 8 và 7 3.4 . b) 10 10 và 5 48.50 . c) 30 30 30 2 + 3 + 4 và 10 3.24 . d) 10 9 1990 +1990 và 10 1991 . Trang 21 Bài 4: So sánh các số sau: 20 199 và 15 2003 . Bài 5: So sánh: a) 12 11 78 − 78 và 11 10 78 − 78 . b) 45 44 A = 72 − 72 và 44 43 B = 72 − 72 . Bài 6: So sánh các số sau: 39 3 và 21 11 . Bài 7. Chứng tỏ rằng: 27 63 28 5  2  5 . Bài 8: Chứng minh rằng: 1995 863 2  5 . Bài 9: Chứng minh rằng: 1999 714 2  7 . Bài 10. So sánh: 200 3 và 300 2 . Bài 11: So sánh: 50 71 và 75 37 . Bài 12: So sánh các số: a) 20 50 và 10 2550 . b) 10 999 và 5 999999 .
Bài 13:Viết theo từ nhỏ đến lớn: 100 75 2 ;3 và 50 5 .
Bài 14: So sánh 2 số: 5 6 7 89 1234 và 12 3 4 56789 .
Bài 15: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0 . Hãy so sánh m với 8 10.9 . Bài 16: Cho 2 3 4 71 72
A = 1+ 2012 + 2012 + 2012 + 2012 +  + 2012 + 2012 và 73 B = 2012 −1. So sánh A và B. 10 10 3 .11+ 3 .5 10 10 2 .13 + 2 .65 Bài 17:
So sánh hai biểu thức: B = và C = . 9 4 3 .2 8 2 .104 3 7 7 3 Bài 18: So sánh: M = + và N = + . 3 4 8 8 3 4 8 8 30 19 + 5 31 19 + 5 Bài 19:
So sánh M và N biết: M = và N = . 31 19 + 5 32 19 + 5 1 1 1 1 1 1 Bài 20: So sánh + + + + và . 2 2 2 2 2 101 102 103 104 105 2 2 2 .3.5 .7  1   1   1   1  1 Bài 21: So sánh A = −1 . −1 . −1 ....... −1         và − . 2 2 2 2  2   3   4  100  2 Bài 22:
Tìm các số tự nhiên n sao cho: a) 3 3n   234 . b) 8.16 2n   4 . Bài 23:
Tìm số tự nhiên n biết rằng: 15 15 n n 16 16 4 . 9  2 . 3 18 . 2 . Bài 24: Cho 2 3 100 A = 3 + 3 + 3 + .  + 3
. Tìm số tự nhiên n , biết 2 3 3n A + = . Bài 25:
Tìm các số nguyên dương m và n sao cho: 2m 2n − = 256 . Bài 26:
Tìm số nguyên dương n biết: a) 64 2n   256 . b) 243 3n   9 . Bài 27:
Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho: 200 300 n  6 . Bài 28: Tìm n  N biết: a) 32  2n  512 . b*) 18 12 8 3  n  20 . HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. So sánh: Trang 22 a) 5 243 và 5 3.27 . b) 5 625 và 7 125 . Lời giải: a) Ta có: = ( )5 5 5 25 243 3 = 3 ; = ( )5 5 3 15 16 3.27 3. 3 = 3.3 = 3 Vì 16 25 5 5 3  3  3.27  243 . b) 5 4 5 20 3 7 21 625 = (5 ) = 5 ;125 = (5 ) = 5 . Vì 21 20 7 5 5  5  125  625 . Bài 2: So sánh: a) 20 99 và 10 9999 . b) 500 3 và 300 7 . c) 303 202 và 202 303 . d) 1979 11 và 1320 37 . Lời giải: 10 a) Ta thấy: 0 2 = ( 2 99 ) = ( )10 10 99 99.99 ;9999 = ( 99 1 . 0 )10 1 10 10 Vì (99.99)  (99.10 ) 20 10 1  99  9999 . b) Ta có : = ( )100 500 5 100 3 3 = 243 , = ( )100 300 3 100 7 7 = 343 . Vì 100 100 243  343 nên 500 300 3  7 . c) Ta có: 101 101 303 3.101 3 3 2 101 202 = (2.10 ) 1
= (2 .101 ) = (8.101.101 ) = (808.10 )1 101 101 202 2.101 = ( ) = ( 2 2) = ( 2 303 3.101 3 .101 9.101 ) Vì 2 2 808.101  9.101 nên 303 202 202  303 . d) Ta có:  = ( )660 1979 1980 3 660 11 11 11 =1331 (1) = ( )660 1320 2 660 37 37 =1369 (2) Từ (1) và (2) suy ra: 1979 1320 11  37 . Bài 3: So sánh: a) 5 8 và 7 3.4 . b) 10 10 và 5 48.50 . c) 30 30 30 2 + 3 + 4 và 10 3.24 . d) 10 9 1990 +1990 và 10 1991 . Lời giải: a) Ta có: 5 15 14 7 4 1 8 = 2 = 2.2 , 3.4 = 3.2 . Vì 14 14 5 7 2  3  2.2  3.2  8  3.4 . b) Ta có : 10 10 10 9 10 10 = 2 . 5 = 2. 2 . 5 , 5 = ( 4) ( 5 10) 9 10 48. 50 3. 2 . 2 . 5 = 3. 2 . 5 Vì 9 10 9 10 2  3  2. 2 . 5  3. 2 . 5 10 5  10  48. 50 . c) Ta có: 30 2 30 30 30 30 3 10 2 15 10 15 4
= (2 ) = (2.2) = 2 .2 = (2 ) .(2 ) = 8 .4 , 10 10 10 10 10 11
24 .3 = (8.3) .3 = 8 .3 .3 = 8 .3 Trang 23 Vì 11 15 10 11 10 15 3  4  8 .3  8 .4 30 10  4  3.24 30 30 30 10  2 + 3 + 4  3.24 . d) Ta có : 10 9 9 + = ( + ) 9 1990 1990 1990 . 1990 1 = 1991. 1990 10 9 1991 = 1991. 1991 Vì 9 9 1990  1991 nên 10 9 10 1990 +1990  1991 . Bài 4: So sánh các số sau: 20 199 và 15 2003 . Lời giải: 20 20 20 3 2 3 2 20 60 40 199
 200 = (8.25) = (2 .5 )20 = (2 .5 ) = 2 .5 15 15 15 4 3 15 4 3 15 60 45 2003
 2000 = (16.125) = (2 .5 ) = (2 .5 ) = 2 .5 Vì 45 40 60 45 60 40 5  5  2 .5  2 .5 15 20  2003  199 . Bài 5: So sánh: a) 12 11 78 − 78 và 11 10 78 − 78 . b) 45 44 A = 72 − 72 và 44 43 B = 72 − 72 . Lời giải: 12 11 11 11 a)Ta có: 78 − 78 = 78 .(78− ) 1 = 78 .77 11 10 10 10 78 − 78 = 78 .(78− ) 1 = 78 .77 Vì 11 10 11 10 12 11 11 10 78
 78  78 .77  78 .77  78 − 78  78 − 78 . b) Ta có: 44 44 A = 72 (72 −1) = 72 .71 và 43 43 B = 72 (72 −1) = 72 .71 44 43 44 43 72
 72  72 .71  72 .71  A  . B Bài 6: So sánh các số sau: 39 3 và 21 11 . Lời giải: Ta có: 39 40 4 10 10 3  3 = (3 ) = 81 20 2 10 10 21 11 = (11 ) =121 11 Vì 10 10 39 21 81  121  3  11 . Bài 7. Chứng tỏ rằng: 27 63 28 5  2  5 . Lời giải: Ta có: 63 7 9 9 27 3 9 9 63 27 2
= (2 ) =128 ,5 = (5 ) =125  2  5 (1) Lại có: 63 9 7 7 28 4 7 7 63 28 2
= (2 ) = 512 ,5 = (5 ) = 625  2  5 (2) Từ (1) và (2) 27 63 28  5  2  5 Bài 8: Chứng minh rằng: 1995 863 2  5 . Lời giải: Ta có: 1995 1990 5 863 860 3 2 = 2 .2 ;5 = 5 .5 Nhận xét: 5 3
2 = 32  5 = 125 nên cần so sánh 1990 2 và 860 5 Có: 10 5 10 5 1720 172 860 2
=1024,5 = 3025  2 .3  5  2 .3  5 Trang 24 Có: 1990 1720 270 2 = 2 .2 , cần so sánh 1720 270 2 .2 với số 1720 172 2 .3 như sau: 7 11 7 11 3 = 2187; 2 = 2048  3  2 3 = (3 )24 172 7 4 .3  ( 11 2 ) 4 2  ( 11 2 ) 6 270 2 = 2 Do đó: 1720 270 1720 172 860 1990 860 2 .2  2 .3  5  2  5 Mà 5 3 1995 863 2  5  2  5 Bài 9: Chứng minh rằng: 1999 714 2  7 . Lời giải: Ta có: 10 3 2 = 1024;7 = 343 10 3 10 238 238 3 238  2  3.7  (2 )  3 .(7 ) 2380 238 714  2  3 .7 (1) Xét: 238 3 235 3 5 47 3 8 47 5 376 381 3 = 3 .3 = 3 .(3 )  3 .(2 )  2 .2 = 2 (vì 35<28) 238 381  3  2 (2) 2380 Từ (1) và (2) ta có: 381 714 2  2 .7 714 1999  2  7 Bài 10. So sánh: 200 3 và 300 2 . Lời giải: Ta có: 200 2 100 100 300 3 100 100 3 = (3 ) = 9 ; 2 = (2 ) = 8 mà 100 100 8  9 300 200  2  3 Bài 11: So sánh: 50 71 và 75 37 . Lời giải: Ta có: 50 50 50 150 100 71  72 = (8.9) = 2 .3 (1) 75 75 75 150 150 37  36 = (4.9) = 2 .3 (2) Mà 150 150 150 100 2 .3  2 .3 (3)
Từ (1), (2), và (3) suy ra: 75 50 37  71 Bài 12: So sánh các số: a) 20 50 và 10 2550 . b) 10 999 và 5 999999 . Lời giải:   a) Ta có: 20 = ( ) 10 2 10 10 20 10 50 50 = 2500  2550  5  2550   Trang 25 5 10  2  b) Ta có: = ( ) 5 5 5 10 999 999
 998001  999999  999  999999  
Bài 13: Viết theo từ nhỏ đến lớn: 100 75 2 ;3 và 50 5 . Lời giải: = ( )50 100 2 50 50 2 2 = 4  5 (1) 75 3 25 25 75 50 3 = (3 ) = 27 = 3  5 (2) 50 2 25 25 5 = (5 ) = 25 (3)
Từ (1), (2), và (3) suy ra: 100 50 75 2  5  3
Bài 14: So sánh 2 số: 5 6 7 89 1234 và 12 3 4 56789 . Lời giải: Ta có: 56789 50000 3 50000 150000 A = 1234 1000 = (10 ) =10 1234 2000 5 2000 10000 B = 56789 100000 = (10 ) =10 Vì 10000 150000 1234 56789 10  10  56789  1234
Bài 15: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0 . Hãy so sánh m với 8 10.9 . Lời giải: Số có 9 chữ số là  = 1 a a2... 9
a trong đó các chữ số 0( 1;9) i a i
và có thể giống nhau. Từ tập hợp số 1;2;3;4;5;6;7;8; 
9 mỗi chữ số ai có 9 cách chọn. Do đó ta có số các số có 9 chữ số thỏa mãn bài toán là 9 m = 9 số. Từ đó: 9 8 8 m = 9 = 9.9  10.9 Bài 16: Cho 2 3 4 71 72
A = 1+ 2012 + 2012 + 2012 + 2012 +  + 2012 + 2012 và 73 B = 2012 −1. So sánh A và B. Lời giải: Ta có: 2 3 4 71 72
A = 1+ 2012 + 2012 + 2012 + 2012 + ... + 2012 + 2012 2 3 4 5 72 73
2012.A = 2011+ 2012 + 2012 + 2012 + 2012 + ... + 2012 + 2012 73
 2012.A − A = 2011A = 2012 −1 73 73
A = (2012 −1) : 2011 2012 −1 Vậy A < B. 10 10 3 .11+ 3 .5 10 10 2 .13 + 2 .65 Bài 17:
So sánh hai biểu thức: B = và C = . 9 4 3 .2 8 2 .104 Lời giải: Trang 26 10 10 10 3 .11+ 3 .5 3 (11+ 5) B = = = 3 9 4 9 3 .2 3 .16 10 10 10 2 2 .13 + 2 .65 2 (13 + 65) 2 .78 C = = = = 3 8 8 104 2 .104 2 .104 Vậy B = C. 3 7 7 3 Bài 18: So sánh: M = + và N = + . 3 4 8 8 3 4 8 8 Lời giải: 7 3 3 4 3  3 3  4 Ta có: + = + + = + +   3 4 3 3 4 3 4 3 8 8 8 8 8  8 8  8 7 3 3 4 3  3 3  4 + = + + = + +   3 4 3 3 4 3 4 3 8 8 8 8 8  8 8  8 4 4  3 3  4  3 3  4 Vì   + +  + +     4 3 3 4 4 3 4 3 8 8  8 8  8  8 8  8  M N 30 19 + 5 31 19 + 5 Bài 19:
So sánh M và N biết: M = và N = . 31 19 + 5 32 19 + 5 Lời giải: 30 19 + 5 30 31 19.(19 + 5) 19 + 95 90 M = nên 19M = = =1+ 31 19 + 5 31 31 31 19 + 5 19 + 5 19 + 5 31 19 + 5 31 32 19(19 + 5) 19 + 95 90 N = nên 19N = = =1+ 32 19 + 5 32 32 32 19 + 5 19 + 5 19 + 5 90 90 Vì  31 32 19 + 5 19 + 5 90 90 1+ 1+
hay 19M > 19N  M N 31 32 19 5 + 19 + 5 1 1 1 1 1 1 Bài 20: So sánh + + + + và . 2 2 2 2 2 101 102 103 104 105 2 2 2 .3.5 .7 Lời giải:
Nếu n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì ta có: 1 1 n − (n −1) n − n +1 1 1 − = = =  2 n −1 n (n −1).n (n −1).n (n −1)n n 1 1 1   − 2 n −1 n n
Áp dụng vào bài toán ta được: Trang 27 1 1 1  − 2 100 101 101 1 1 1  − 2 101 102 102 ............................. 1 1 1  − 2 104 103 105 1 1 1 1 1  + +...+  − 2 2 2 100 105 101 102 105 105 −100 5 1 = = = 2 2 2 2 100.105 2 .5 .5.3.7 2 .5 .3.7 1 1 1 1 Vậy + +...+  2 2 2 2 2 101 102 105 2 .5 .3.7  1   1   1   1  1 Bài 21: So sánh A = −1 . −1 . −1 ....... −1         và − . 2 2 2 2  2   3   4  100  2 Lời giải:
A là tích của 99 số âm. Do đó:  1  1  1   1  −A = 1− 1− 1− ..... 1−       2  4  9  16   100  3 8 15 9999 = . . ..... 2 2 2 2 2 3 4 100 1.3 2.4 3.5 99.101 = . . ..... 2 2 2 2 2 3 4 100
Để dễ rút gọn ta viết tử dưới dạng tích các số tự nhiên liên tiếp như sau:
1.2.3.4.5.6.....98.99 3.4.5.....100.101 1 101 101 1 −A = . = . =  2.3.4.5.....99.100 2.3.4.....99.100 100 2 200 2 1 Vậy A < − 2 Bài 22:
Tìm các số tự nhiên n sao cho: a) 3 3n   234 . b) 8.16 2n   4 . Lời giải: a) n 1 n 5
3  3  234  3  3  3  1  n  5
n nhận các giá trị là: 2, 3, 4, 5. b) n 3 4 n 2 7 n 2
8.16  2  4  2 .2  2  2  2  2  2  7  n  2
n nhận các giá trị là: 2, 4, 5, 6, 7 Bài 23:
Tìm số tự nhiên n biết rằng: 15 15 n n 16 16 4 . 9  2 . 3 18 . 2 . Lời giải: Ta có: 15 15 n n 16 16 15 n 16 4 .9
 2 .3 18 .2  (4.9)  (2.3)  (18.2) Trang 28 15 n 16  36  6  36 2 15 n 2 16  (6 )  6  (6 ) 30 n 32  6  6  6  30  n  32  n = 31 Bài 24: Cho 2 3 100 A = 3 + 3 + 3 + .  + 3
. Tìm số tự nhiên n , biết 2 3 3n A + = . Lời giải: Có 2 3 100 A = 3 + 3 + 3 + ... + 3 2 3 4 101
 3A = 3 + 3 + 3 +...+ 3 101
 3A − A = 2A = 3 − 3 101  2A + 3 = 3
Mà theo đề bài ta có 2A + 3 = 3n 101  3
= 3n n = 101 Bài 25:
Tìm các số nguyên dương m và n sao cho: 2m 2n − = 256 . Lời giải: − Ta có: m n 8 n m n 8 2 − 2 = 256 = 2  2 (2 −1) = 2 (1)
Dễ thấy m n , ta xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu m – n = 1 thì từ (1) ta có:
2n.(2 – 1) = 28 => 2n = 28 => n = 8 và m = 9
Trường hợp 2: Nếu m – n  2 −
 2m n −1 là một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tách ra thừa
số nguyên tố, còn vế phải của (1) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2, do đó hai vế của (1) mâu thuẫn nhau.
Vậy n = 8 và m = 9 là đáp số duy nhất. Bài 26:
Tìm số nguyên dương n biết: a) 64 2n   256 . b) 243 3n   9 . Lời giải: a) Ta có: 64 < 2n< 256 6 n 8
 2  2  2  6  n  8 mà n nguyên dương nên n = 7 . b) Ta có: 243 > 3n 5 n 2
 9  3  3  3  5  n  2 mà n nguyên dương nên n 2;3;  4 . Bài 27:
Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho: 200 300 n  6 . Lời giải:
Ta có: n200 = (n2)100; 6300 = (63)100 = 216100
n200 < 6300  (n )100 2 100 2  216  n  216 (*)
Suy ra: số nguyên lớn nhất thỏa mãn (*) là n = 14. Bài 28: Tìm n  N biết: Trang 29 a) 32  2n  512 . b*) 18 12 8 3  n  20 . Lời giải: a) 32  2n  512 5 n 9 2  2  2 Suy ra 5  n  9 Vậy n 6;  7 6 6 b) Với n  , ta xét: 18 12  n  ( 3)  ( 2 n ) 3 2 2 3 3
 3  n  27  n Nhận thấy: 2 2 5  27  6 nên 2 2
6  n  6  n n   (n )4  ( )4 12 8 3 2 3 2 3 20 20
n  20  n  400 Nhận thấy: 3 3 7  400  8 nên 3 3
n  7  n  7
Do đó: 6  n  7  n 6;  7 HẾT Trang 30