Toán tử Hamilton và các loại toán tử môn Cơ học lượng tử | Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

1. Toán tử Hamilton :
Trong cơ học lượng tử, toán tử Hamilton hay Hamiltonian là một toán tử tương ứng
với năng lượng toàn phần của hệ gây nên sự biến đổi theo thời gian, được ký hiệu là
H, hoặc Ĥ.Ȟ Như ta đã biết thì năng lượng toàn phần của hệ bằng tổng thế năng và
động năng của hệ:(phương trình )
trong đó (phương trình ) là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert với
đại lượng quan sát là thế năng.
(phương trình ) là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert với đại lượng
quan sát là động lượng.
(phương trình ) là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert với đại
lượng quan sát là động năng.
Kết hợp 2 toán tử trên, ta có toán tử Hamilton được sử dụng trong phương trình Schrödinger: (phương trình )
Phương trình Schrödinger và toán tử HamiltonCho hàm sóng .Ta có phương
trình Schrödinger phụ thuộc vào thời gian của hàm sóng đó là: (phương trình )
Trong đó (phương trình ) là toán tử Hamilton.
phương trình Schrödinger không phụ thuộc vào thời gian
Khi giải phương trình này, ta tìm được hàm riêng và giá trị riêng của toán tử
Hamilton.Khi tìm được giá trị riêng, ta có thể xác định các mức năng lượng và xem nó
co bị gián đoạn hay không. Khi tìm được hàm riêng, ta có thể tính xác suất những nơi tìm thấy hạt. 2.Toán tử Spin:
Toán tử spin mô tả mô men góc nội tại của các hạt như electron.spin không phải 1 đại
lượng phụ thuộc vào vị trí mà là 1 đặc tính lượng tử riêng biệt của các hạt.
Toán tử của Spin A biểu diễn cho hạt có spin -1/2 là: (phương trình )
là toán tử vector spin còn σ-̀
s là ma trận Pauli. Trong tọa độ Cartesian, cac thành phần của nó là:
(phương trình ) với trường hợp đặc biệt cho hạt spin -1/2
các ma trận Pauli cho bởi 3.Toán tử Lapace:
Toán tử Laplace là toán tử vi phân bậc 2 trong không gian Euclid n-chiều, định
nghĩa như là div () của gradient (). Do đó nếu f là một hàm số thực có đạo hàm bậc
2, thì Laplacian của f được định nghĩa bởi (1)(phương trình )
Nói một cách tương đương, Laplacian của f là tổng của các đạo hàm riêng bậc 2
thuần túy trong tọa độ Descartes : (2)(phương trình )
Biểu diễn trong các tọa độ khác nhau
Trong không gian hai chiềuToán tử Laplace trong không gian hai chiều được viết như là:
(phương trình ) với x và y là tọa độ
Descartes trong mặt phẳng xy.
Trong tọa độ cực: (phương trình )
Trong không gian ba chiều
Trong không gian 3 chiều, người ta thường viết toán tử Laplace sử dụng nhiều hệ tọa độ khác nhau.
Trong tọa độ Descartes:(phương trình)
Không gian N chiều:(phương trình)
4.Toán tử mô men động lượng:
Trong cơ học lượng tử, mô men động lượng được định nghĩa là động lượng - không
như một đại lượng mà như một toán tử trên hàm sóng:
(phương trình ) với r và p là toán tử vị trí và toán tử động lượng. Cụ thể,
một hạt không có điện tích và không có spin, có toán tử động lượng, viết trong hệ cơ sở vị trí là: (phương trình ) với là toán tử gradient
Trong cơ học lượng tử, mô men động lượng được định nghĩa là động lượng - không
như một đại lượng mà như một toán tử trên hàm sóng: (phương trình )
với r và p là toán tử vị trí và toán tử động lượng. Cụ thể, một hạt không có điện tích và
không có spin, có toán tử động lượng, viết trong hệ cơ sở vị trí là: (phương trình ) với là toán tử gradient