I. Chương 1
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) P ( AB)
P ( AB)=P (A|B ) P (B )=P (B|A ) P( A)
P(A + B) = P(A) + P(B) (AB = ∅) P(A|B) = P(B) - Công thức Bayes:
P (B )=P(B|A ) P( A )+P ( B|A❑ )P( A )+…+P (B|A ) P ( A ) 1 1 2 2 n n P ( A B )
P ( B|A ) P( A ) P (A |B n = n n n )= P(B)
P( B|A ) P ( A )+P( B|A ❑ )P (A ) +…+P( B|A )P ( A ) 1 1 2 2 n n -
Tính độc lập: ta nói A, B độc lập nếu 1 trong các đk sau thỏa P(A|B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(AB) = P(A)P(B) -
Biến xung khắc: AB = ∅ - Hệ đầy đủ: -
Tính chất của xác suất:
- Tính chất của xác suất có điều kiện {A+A=∅
0 ≤ P( A )≤ 1
0 ≤ P( A∨B )≤ 1P (B|B)=1 A + A=Ω
P (∅)=0 ; P (Ω )=1 Nếu AC =∅
Nếu A ⊂ B thì P ( A )≤ P ( B)
thì P[( A+C )∨B ]=P( A∨B)+ P (C∨
P (A )=1−P ( A)
P (A∨B)=1−P (A∨B) II. Chương 2 1. Phân phối Bernouli: X B (n , p)
E (X) =npVar ( X )=np (1− p) k
P( X=k )={Cnpk(1−p)n−k
Giá trị tin chắc nhất :np−q ≤ Mod( X )≡ k ≤ np−q +1 0 ; nơi khác
2. Phân phối Poisson: thường dùng để mô hình số biến cố A nào đó xay ra trong một khoảng thời gian hoặc không gian nhất định
E (X )=λVar ( X) = λ
X P ( λ) P ( X=k)=e−λ λk k !
B ( n, p)≈ P (np) nếu n ≥100 , p≤0.01 , np ≥ 20
Nếu X P ( λ ) và Y P( λ ) ⇒ X +Y P (λ + λ ) 1 2 1 2
Sô lần xuất hiện tối ưu nhất : λ−1 ≤m ≤ λ 0
3. Phân phối chuẩn: X N ( a −z2
0 ; 1 ) N (μ ; σ2 ) 1
ϕ (a) =P(Z <a) =∫ e 2 dz −( z−μ )2
NếuY =aX +b :Y N ( aμ+ b ;aλ σ−λ) − √ ∞ 2 π f (z )= 1 e 2σ2 σ √ 2 π
ϕ (a) =1−ϕ(−a ) (a<0)
Nếu X N (μ ;σ 2) thì Z = X−μ σ a−μ a−μ
Nếu X N (μ; σ2)thì P (X ≤a)=P( X−μ≤
)=P(Z≤ )=ϕ(a−μ) σ σ σ σ −
Nếu X N (μ ;σ 2) thì : P (a ≤ X ≤ b ) =ϕ(b−μ )−ϕ (a μ) σ σ
B (n; p ) N (np;np (1− p ) )nếu 0.1< p<0.9 , np≥ 5 và np (1− p)≥ 5
P ( X ≤ k )=P (X ≤ k+0.5)≈ ϕ (k+0.5−np √
)P(X<k)=P(X<k−0.5)≈ϕ(k−0.5−np) np(1− p) √np(1− p) - Kỳ vọng: + ∞
Nếu X, Y độc lập E(XY) = E(X)E(Y)
E ( X) =∫ xf (x ) dx −∞
E(C) = C (với C ∈ R)
E(CX) = C.E(X) (với C ∈ R ) E(X + Y) = E(X) + E(Y) - Phương sai:
Var ( X )=E ( X2)−E( X )2
Nếu X, Y độc lập: Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)
Var(C) = 0 (với C ∈ R)
Var(CX) = C2Var (X ) (vớiC ∈ R) - Độ lệch chuẩn:
σ (X )=√ Var ( X )
1. Phân phối đều: Biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị trên đoạn [a,b] X ~ U(a,b)
P ( X=k)= 1 với k =1,2 … m <
E ( X) = a+b b−a x−a 2
F (X )={ 0,x a , x ∈[a , b] ; a≤ x ≤ b b−a ( b−a)2
f ( x)={ 1b−a Var ( X )= 1 , x >b 12 0 ơi khá
2. Phân phối siêu bội: Ck n−k aC b Từ tập a+b phần tử P (X=k)=
trong đó 0≤ k ≤ a ; 0 ≤ n−k ≤ b Cn (trong đó có a phần tử a +b
có tính chất A) lấy ngẫu nhiên n phần tử. X là số phần tử có tính chất A trong n phần tử lấy ra
3. Phân phối hình học: p: xác suất thành công
P (X=k)=qk p (k =1,2, … ; q=1− p) cho 1 lần thử duy nhất
q: xác suât thất bại cho 1 lần thử duy nhất k: là số lần thử 4. Phân phối mũ: X E( λ)
F ( x)={1−e−λx,x>0 E ( X) = 1 0 , x ≤ 0 λ
f ( x)={λ e−λx,x>0 0 , x ≤ 0 Var ( X )= 1 5. Phân phối Weibull λ2 −(x )k λ
f ( x) ={k(x)k−1e ,x≥0 λ λ
(k > 0 làhệ số hình dạng; λ làhệ số tỷ lệ) 0 , x <0 −(x)k
F (x)={1−e λ ,x≥0 0 , x <0
6. Phân phối T – distribution:
P ( X=k)=qk p (k =1,2, …)
7. Định lý giá trị trung bình: 1
Y B (n , p )=B (1, ) n=200 i 4
S = ∑ Y Định lý giới hạn trungtâm n i i=1 1 Y ,Y , … Y
B ( n , p)=B (1, )
S −E ( S S −np 1 2 n 4 Z= n n)= n
E (X) =p Var (X )=p (1− p)
√Var(S ) √np(1−p) n