Tóm tắt lý thuyết về Giới hạn - Vi tích phân

Tài liệu tóm tắt các công thức tính giới hạn, các dạng bài tập có ví dụ kèm theo giải chi tiết, giúp sinh viên tham khảo, dễ dàng củng cố kiến thức, nắm chắc cách làm các dạng bài liên quan đến giới hạn. Mời bạn đọc đón xem!

31 16 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Vi tích phân

Trường: Đại học Cần Thơ

Thông tin:

3 trang 4 tháng trước

Tác giả:

Profile Thu Hoàn
lOMoARcPSD| 35883770
GIỚI HẠN
Môn: Vi Tích Phân
A.
TÓM TẮT LÍ THUYẾT
I.
Các công thức tính giới hạn cơ bản:
1.
lim
sin x
= 1
.
x
→0
x
1
2.
lim (1 + α)
α
= e
.
α
→
0
3.
lim
x
→∞
1
x
1
+
x
=
e
.
II.
Vô cùng bé tương đương:
1.
sin α
∼
α
.
2.
tan α
∼
α
.
α
2
3.
1
−
cos α
∼
2
.
4.
ln(1
+
α)
∼
α
.
5.
e
α
−
1
∼
α
.
6.
(1 + µ)
α
−
1
∼
µα
.
III.
Quy tắc L’ Hospital:
Giả sử các hàm
f (x)
và
g(x)
khả vi,
g
J
(x)
/
= 0
ở lân cận
a
và
lim f (x) = 0
và
lim g(x) = 0
x→a x→a
1
lOMoARcPSD| 35883770
hoặc
lim f (x) =
±∞
và
lim g(x) =
±∞
.
x→a x→a
Nói cách khác, ta có dạng vô định
0
0
hay
∞
. Khi đó
∞
lim
f (x)
= lim
f
J
(x)
B.
HƯỚNG DẪN GIẢI
I.
Tính các giới hạn sau:
x
→
a
g(x)
x
→
a
g
J
(x)
1)
lim
x
→∞
1
sin
x
+ cos
1
x
.
x
Nhận xét:
Nhận định dạng: I.3 - công thức
lim [u(x)]
v
(
x
)
.
1 1
u
=
sin + cos
và
v
=
x
.
x
→
x
0
x
x
1
x
Các bài tập 2 đến 6, 12 và 13 của I: sử dụng công thức I.3
Các bài tập 7, 8, 11, 14, 15, 16 và 18 của I: sử dụng công thức VCB
tương đương
Các bài tập 9, 10 và 17 của I: sử dụng quy tắc L’Hospital
7)
lim
ln(1 + 3x sin x)
x
→
0
tan
2
x
Nhận xét
:
Tử và mẫu là hai VCB (xem lại định nghĩa về VCB) hoặc giới hạn có dạng vô định
0
nên ta có thể sử dụng công thức VCB tương đương (II) hoặc quy tắc L’Hospital
0
(III). Tuy nhiên, với bài toán này, giảng viên đề nghị sử dụng các VCB tương đương.
Giải
:
lim
ln(1 + 3x sin x)
2
= lim
3x sin x
2
=
lim
3x.x
=
3
.
x→0
tan x
x
→
0
x
x→0
x
2
2
lOMoARcPSD| 35883770
1
−
2
cos
2
x
10)
lim
1 1
−
=
lim
x
−
tan x 0
x→0
Giải
:
x tan x
x
2
x
→
0
x
2
tan x
0
Ta áp dụng quy tắc L’Hospital (lấy đạo hàm tử và mẫu) (3 lần)
lim
x
−
tan x
= lim
1
cos
2
x
= lim
cos
2
x − 1
= lim
—
sin
x
x
→
0
x
2
tan x
2
x
→
0
2x tan x + x
2
1
x
→
0
2x tan x cos
2
x
+
x
2
x
→
0
2x sin x cos x
+
x
2
=
lim
− sin x
=
lim
−2 sin x cos x
=
lim
− sin 2x
x
→
0
x sin 2x + x
2
x
→
0
sin 2x + 2x cos 2x + 2x
x
→
0
sin 2x + 2x(1 + cos 2x)
=
lim
−
2 cos 2x
=
−2
=
−
1
.
x
→
0
2 cos 2x + 2(1 + cos 2x)
−
4x sin 2x
2
+
2(1
+
1)
3
II.
Dùng quy tắc L’Hospital, tính các giới hạn sau đây:
3
| 1/3
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

lOMoAR cPSD| 35883770 GIỚI HẠN Môn: Vi Tích Phân A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
I. Các công thức tính giới hạn cơ bản: sin x 1. lim = 1. x→0 x 1
2. lim (1 + α)α = e. α→0 x 1 3. lim 1 + = e. x→∞ x
II. Vô cùng bé tương đương:
1. sin α ∼ α.
2. tan α ∼ α. α2 3. 1 − cos α ∼ . 2
4. ln(1 + α) ∼ α.
5. eα − 1 ∼ α.
6. (1 + µ)α − 1 ∼ µα. III. Quy tắc L’ Hospital:
Giả sử các hàm f (x) và g(x) khả vi, gJ(x) /= 0 ở lân cận a và
lim f (x) = 0 và lim g(x) = 0 x→a x→a 1 lOMoAR cPSD| 35883770 hoặc
lim f (x) = ±∞ và lim g(x) = ±∞. x→a x→a 0 ∞
Nói cách khác, ta có dạng vô định hay . Khi đó 0 ∞ f (x) f J(x) lim = lim
x→a g(x)
x→a gJ(x) B. HƯỚNG DẪN GIẢI
I. Tính các giới hạn sau: 1 x 1 1) lim sin + cos . x→∞ x x Nhận xét:
Nhận định dạng: I.3 - công thức lim [u(x)]v(x). x→x0 1 1 u = sin + cos và v = x. xx 1 x
Các bài tập 2 đến 6, 12 và 13 của I: sử dụng công thức I.3
Các bài tập 7, 8, 11, 14, 15, 16 và 18 của I: sử dụng công thức VCB tương đương
Các bài tập 9, 10 và 17 của I: sử dụng quy tắc L’Hospital
ln(1 + 3x sin x) 7) lim x→0 tan2 x Nhận xét:
Tử và mẫu là hai VCB (xem lại định nghĩa về VCB) hoặc giới hạn có dạng vô định
0 nên ta có thể sử dụng công thức VCB tương đương (II) hoặc quy tắc L’Hospital 0
(III). Tuy nhiên, với bài toán này, giảng viên đề nghị sử dụng các VCB tương đương. Giải : 3x sin x 3x.x
lim ln(1 + 3x sin x) = lim = 3. 2 = lim 2 x→0 tan x x→0 2 x x→0 x 2 lOMoAR cPSD| 35883770 1 1 10) lim − x − tan x 0 = lim x→0 x tan x x2
x→0 x2 tan x 0 Giải :
Ta áp dụng quy tắc L’Hospital (lấy đạo hàm tử và mẫu) (3 lần) 1 − 1 2
lim x − tan x = lim cos2 x = lim cos2 x − 1 = lim — sin x
x→0 x2 tan x
x→0 2x tan x + x2 1
0 2x tan x cos2 x + x2 2
x→0 2x sin x cos x + x2 cos2 x x→ − sin x
−2 sin x cos x − sin 2x = lim = lim = lim
x→0 x sin 2x + x2
x→0 sin 2x + 2x cos 2x + 2x
x→0 sin 2x + 2x(1 + cos 2x) −2 cos 2x −2 = lim = = − 1 .
x→0 2 cos 2x + 2(1 + cos 2x) − 4x sin 2x 2 + 2(1 + 1) 3
II. Dùng quy tắc L’Hospital, tính các giới hạn sau đây: 3