Tổng hợp công thức và lý thuyết- Bộ công thức giải nhanh Toán 12
Tổng hợp công thức và lý thuyết- Bộ công thức giải nhanh Toán 12. Tài liệu sưu tầm được tổng hợp. Mời các bạn tham khảo
Chủ đề: Tài liệu chung 274 tài liệu
Môn: Toán 12 4.7 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
Tổng hợp công thức và lý thuyết – Toán 12 Trang 1
TỔNG HỢP CÔNG THỨC VÀ LÝ THUYẾT – TOÁN 12
Chương 1 – Hàm số
PHẦN 1 – ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ
1. Tính đơn điệu của hàm số
Cho K ⊂ , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. Định lí
Cho hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) có đạo hàm trên tập 𝐾𝐾. Nếu 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) ≥ 0 (hoặc 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) ≤ 0) với mọi 𝑥𝑥
thuộc 𝐾𝐾 và 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của 𝐾𝐾 thì hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) đồng biến (hoặc
nghịch biến) trên 𝐾𝐾.
2. Điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số Định nghĩa
Cho hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) xác định và liên tục trên khoảng (𝑎𝑎; 𝑏𝑏) (𝑎𝑎 có thể là −∞, 𝑏𝑏 có thể là +∞)
và điểm 𝑥𝑥0 ∈ (𝑎𝑎; 𝑏𝑏).
• Nếu tồn tại số ℎ > 0 sao cho 𝑓𝑓(𝑥𝑥) < 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) với mọi 𝑥𝑥 ∈ (𝑥𝑥0 − ℎ; 𝑥𝑥0 + ℎ) ⊂ (𝑎𝑎; 𝑏𝑏) và 𝑥𝑥 ≠
𝑥𝑥0 thì ta nói hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) đạt cực đại tại 𝑥𝑥0.
• Nếu tồn tại số ℎ > 0 sao cho 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) với mọi 𝑥𝑥 ∈ (𝑥𝑥0 − ℎ; 𝑥𝑥0 + ℎ) ⊂ (𝑎𝑎; 𝑏𝑏) và 𝑥𝑥 ≠
𝑥𝑥0 thì ta nói hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) đạt cực tiểu tại 𝑥𝑥0. Chú ý
Nếu 𝑥𝑥0 là một điểm cực trị của hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) thì điểm 𝑀𝑀(𝑥𝑥0; 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)) được gọi là điểm cực trị
của đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Định lý
Giả sử hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục trên khoảng (𝑎𝑎; 𝑏𝑏) chứa điểm 𝑥𝑥0 và có đạo hàm trên các khoảng
(𝑎𝑎; 𝑥𝑥0) và (𝑥𝑥0; 𝑏𝑏). Khi đó
• Nếu 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) < 0 với mọi 𝑥𝑥 ∈ (𝑎𝑎; 𝑥𝑥0) và 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) > 0 với mọi 𝑥𝑥 ∈ (𝑥𝑥0; 𝑏𝑏) thì 𝑥𝑥0 là một điểm
cực tiểu của hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Trang 2
► Đỗ Văn Đức | Luyện thi Toán 10, 11, 12 | thayduc. vn
• Nếu 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) > 0 với mọi 𝑥𝑥 ∈ (𝑎𝑎; 𝑥𝑥0) và 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) < 0 với mọi 𝑥𝑥 ∈ (𝑥𝑥0; 𝑏𝑏) thì 𝑥𝑥0 là một điểm
cực đại của hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥). 𝑥𝑥 −∞ 𝑥𝑥0 +∞ 𝑥𝑥 −∞ 𝑥𝑥0 +∞ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) − + 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) + − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)
PHẦN 2 – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 1. Khái niệm
Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) xác định trên 𝐷𝐷.
Số 𝑀𝑀 được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) trên 𝐷𝐷, kí hiệu 𝑀𝑀 = max 𝑓𝑓(𝑥𝑥) nếu D
f (x) ≤ M x ∀ ∈ D x
∃ ∈ D| f x = M 0 ( 0)
Số 𝑚𝑚 được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) trên 𝐷𝐷, kí hiệu 𝑚𝑚 = min 𝑓𝑓(𝑥𝑥) nếu D
f (x) ≥ m x ∀ ∈ D x
∃ ∈ D| f x = m 0 ( 0) 2. Lưu ý
a) Lưu ý về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = asin 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 cos 𝑥𝑥.
Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎 sin 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 cos 𝑥𝑥 (𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 > 0). Khi đó:
max 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2; min 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −�𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2
Hệ quả: max(𝑎𝑎 sin 𝑥𝑥) = |𝑎𝑎|; min(𝑎𝑎 sin 𝑥𝑥) = −|𝑎𝑎|.
b) Lưu ý về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 𝑓𝑓�𝑢𝑢(𝑥𝑥)� trên 𝐷𝐷.
Đặt 𝑡𝑡 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥), với 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷, giả sử ta tìm được tập giá trị của 𝑢𝑢(𝑥𝑥) trên 𝐷𝐷 là 𝐾𝐾. Khi đó:
max f (u(x)) = max f (t) x D ∈ t K ∈
c) Bất đẳng thức Cauchy (BĐT AM-GM) cho 2 số và cho 3 số
Cho 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 là các số thực không âm, khi đó 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 ≥ √𝑎𝑎𝑏𝑏.
Cho 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 là các số thực không âm, khi đó: 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 3 3
≥ √𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐.
Tổng hợp công thức và lý thuyết – Toán 12 Trang 3 Hệ quả 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2
𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 3 𝑎𝑎𝑏𝑏 ≤ � � � 2
, 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐 ≤ � 3
với 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ≥ 0.
d. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Với hai bộ số thực (a , a , ..., a
(b , b ,..., b 1 2 n ) 1 2 n ) và , ta luôn có: ( 2 2 2
a + a +...+ a b + b + + b ≥ a b + a b + + a b n ) ( 2 2 2 ... n ... 1 2 1 2 ) ( 1 1 2 2 n n )2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai bộ số (a , a , ..., a
(b , b ,..., b 1 2 n ) 1 2 n ) và là hai bộ số tỉ lệ
e. Bất đẳng thức tam giác
Với 3 điểm 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 bất kì, ta có: 𝐴𝐴𝐵𝐵 + 𝐴𝐴𝐶𝐶 ≥ 𝐵𝐵𝐶𝐶. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 𝐴𝐴 nằm giữa 𝐵𝐵 và 𝐶𝐶.
Với 3 điểm 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 bất kì, ta có: |𝐴𝐴𝐵𝐵 − 𝐴𝐴𝐶𝐶| ≤ 𝐵𝐵𝐶𝐶. Dấu bằng xảy ra khi 𝐴𝐴 nằm trên đường
thẳng 𝐵𝐵𝐶𝐶 và nằm ngoài đoạn 𝐵𝐵𝐶𝐶 (có thể trùng với các đầu mút).
Tổng quát: Trong tất cả các đường gấp khúc nối hai điểm 𝐴𝐴 và 𝐵𝐵 cho trước thì đoạn thẳng
𝐴𝐴𝐵𝐵 có độ dài nhỏ nhất.
PHẦN 3 – TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Đường tiệm cận ngang
Đường thẳng 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) nếu:
lim f (x) = y hoặc lim f (x) = y . 0 x→+∞ 0 x→−∞
lim f (x) = y
lim f (x) = y 0 x→+∞ 0 x→−∞
2. Đường tiệm cận đứng
Đường thẳng 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 được gọi là đường tiệm cận
đứng của đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) nếu ít nhất một
trong các điều kiện sau được thoả mãn:
lim f (x) = +∞; lim f (x) = −∞; x − − → 0 x x→ 0 x
lim f (x) = +∞; lim f (x) = . −∞ x + + → 0 x x→ 0 x
lim f (x) = +∞ x + → 0 x Trang 4
► Đỗ Văn Đức | Luyện thi Toán 10, 11, 12 | thayduc. vn
3. Đường tiệm cận xiên
Đường thẳng 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 (𝑎𝑎 ≠ 0) được gọi là
đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) nếu: lim f
( x) − (ax + b) = 0 hoặc x→+∞ lim f
( x) − (ax + b) = 0 x→−∞
Để xác định hệ số 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 của đường tiệm cận xiên 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 của đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), ta
có thể áp dụng công thức sau: f (x) a = lim
và b = lim f (x) − ax x→+∞ x x→+∞ f (x) hoặc a = lim
và b = lim f
( x) − ax. x→−∞ x x→−∞
PHẦN 4 – ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA
1. Kiến thức cần nhớ Cho hàm số
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥3 + 𝑏𝑏𝑥𝑥2 + 𝑐𝑐𝑥𝑥 + 𝑑𝑑(𝑎𝑎 ≠ 0), 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 2𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐; Δ′ = 𝑏𝑏2 − 3𝑎𝑎𝑐𝑐 ∆′ < 0 ∆′ = 0 ∆′ > 0 a > 0 a < 0
Điểm uốn của đồ thị hàm số bậc ba là tâm đối xứng của đồ thị. − Xét b
𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 6𝑎𝑎𝑥𝑥 + 2𝑏𝑏; 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 0 ⇔ 𝑥𝑥 = . 3a Điểm b − ; b U f −
là điểm uốn của đồ thị 3a 3a
Đồ thị hàm số bậc ba có thể không có cực trị, hoặc có thể có đúng 2 điểm cực trị.
Tổng hợp công thức và lý thuyết – Toán 12 Trang 5
2. Phương trình trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba
Bài toán: Biết đồ thị hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥3 + 𝑏𝑏𝑥𝑥2 + 𝑐𝑐𝑥𝑥 + 𝑑𝑑 có 2 điểm cực trị là 𝐴𝐴 và 𝐵𝐵. Viết
phương trình đường thẳng 𝐴𝐴𝐵𝐵.
Chú ý rằng hoành độ của các điểm 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 là nghiệm của phương trình 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0, với
f ′(x = f ′ x = 0 1 ) ( 2)
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 2𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐. Giả sử A(x , y và B(x , y thì y = f x . 1 ( 1) 2 2 ) 1 1 ) y = f x 2 ( 2)
𝑓𝑓(𝑥𝑥) là hàm đa thức bậc ba và 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) là hàm đa thức bậc hai, ta thực hiện phép chia đa thức
hàm 𝑓𝑓(𝑥𝑥) cho đa thức hàm 𝑓𝑓′(𝑥𝑥), giả sử thương là 𝑡𝑡(𝑥𝑥) và số dư là 𝑟𝑟(𝑥𝑥).
Khi đó 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓′(𝑥𝑥). 𝑡𝑡(𝑥𝑥) + 𝑟𝑟(𝑥𝑥).
Với 𝑟𝑟(𝑥𝑥) là hàm đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 1, nên phương trình 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟(𝑥𝑥) là phương
trình của 1 đường thẳng (i).
Ta có: 𝑦𝑦1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) = 𝑓𝑓′(𝑥𝑥1). 𝑡𝑡(𝑥𝑥1) + 𝑟𝑟(𝑥𝑥1) = 𝑟𝑟(𝑥𝑥1); 𝑦𝑦2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) = 𝑓𝑓′(𝑥𝑥2). 𝑡𝑡(𝑥𝑥2) +
𝑟𝑟(𝑥𝑥2) = 𝑟𝑟(𝑥𝑥2).
Do đó 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 là 2 điểm thuộc đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟(𝑥𝑥) (ii) .
Từ (i) và (ii) suy ra phương trình đường thẳng 𝐴𝐴𝐵𝐵 là 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟(𝑥𝑥).
Như vậy, việc viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị hàm số bậc ba, ta có
thể thực hiện phép chia đa thức hàm 𝑓𝑓(𝑥𝑥) cho đa thức hàm 𝑓𝑓′(𝑥𝑥), nếu số dư là 𝑟𝑟(𝑥𝑥) thì
đường thẳng 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟(𝑥𝑥) là phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
Trường hợp tổng quát, phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị hàm bậc ba 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = bc
𝑎𝑎𝑥𝑥3 + 𝑏𝑏𝑥𝑥2 + 𝑐𝑐𝑥𝑥 + 𝑑𝑑 là 2 y = −
.∆ .′x + d −
, trong đó ∆′= 𝑏𝑏2 − 3𝑎𝑎𝑐𝑐 > 0. 9a 9a
Ji9 mnjkiu89>>PHẦN 5 – ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT ax + b
Xét hàm số f ( x) = (c ≠ 0). cx + d
ad − bc < 0
ad − bc > 0 Nhận xét: Trang 6
► Đỗ Văn Đức | Luyện thi Toán 10, 11, 12 | thayduc. vn
Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận:
• Tiệm cận ngang: a y = c
• Tiệm cận đứng: d x = − . c
Giao điểm hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số, hay tâm đối xứng 𝐼𝐼 có tọa
độ là d ; a I − . c c
Hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên các khoảng xác định.
PHẦN 6 – ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT 2
ax + bx + c
Xét hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
với 𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑝𝑝 ≠ 0, đa thức tử không chia hết cho đa thức px + q mẫu.
Nhận xét: Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận:
• Tiệm cận xiên: Viết lại ( ) k
f x = mx + n +
(m ≠ 0) thì đồ thị hàm số nhận đường px + q
𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 làm đường tiệm cận xiên.
• Tiệm cận đứng: q x = − . p
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
• Đồ thị hàm số nhận đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng
Tổng hợp công thức và lý thuyết – Toán 12 Trang 7 Lưu ý
1. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị 2
Nếu đồ thị hàm số = ( ) ax + bx + c y f x =
có 2 điểm cực trị là 𝐴𝐴 và 𝐵𝐵, thì phương trình px + q ( 2 ax bx c)′ + + đường thẳng 2ax + b
𝐴𝐴𝐵𝐵 là: y = = . ( + )′ p px q
2. Mẹo kiểm tra nhanh xem hàm số có cực trị hay không 2 Xét hàm số
ax + bx + c 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
với 𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑝𝑝 ≠ 0, đa thức tử không chia hết cho đa thức px + q mẫu.
Đặt 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐. • Nếu . q a g − >
0 thì hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) có 2 điểm cực trị p • Nếu . q a g − ≤
0 thì hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) không có cực trị. p
PHẦN 7 – CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ
Hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) có đồ thị (𝐶𝐶). Đồ thị của các hàm số sau được xác định thông qua (𝐶𝐶). y
m > tịnh tiến đồ thị
= f (x) + m Nếu 0,
(𝐶𝐶) lên trên m đơn vị
Nếu m < 0, tịnh tiến đồ thị (𝐶𝐶) xuống dưới −m đơn vị. y
m > tịnh tiến đồ thị
= f (x + m) Nếu 0,
(𝐶𝐶) sang trái m đơn vị
Nếu m < 0, tịnh tiến đồ thị (𝐶𝐶) sang phải −m đơn vị.
y = − f (x)
Lấy đối xứng với (𝐶𝐶) qua trục hoành
y = f (−x)
Lấy đối xứng với (𝐶𝐶) qua trục tung
Phần 1: Phần đồ thị của (𝐶𝐶) không nằm phía dưới trục hoành
y = f (x)
Phần 2: Phần đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị của (𝐶𝐶) phía dưới trục hoành
y = f ( x )
Phần 1: Phần đồ thị của (𝐶𝐶) nằm bên phải trục tung
Phần 2: Phần đối xứng với phần 1 qua trục tung.
Bước 1: Từ đồ thị (𝐶𝐶) suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) (l)
y = f ( x )
Bước 2: Từ đồ thị (𝐿𝐿) suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) . Trang 8
► Đỗ Văn Đức | Luyện thi Toán 10, 11, 12 | thayduc. vn
PHẦN 8 – SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Số điểm cực trị của hàm số 𝑦𝑦 = |𝑓𝑓(𝑥𝑥)|
Hàm số 𝑦𝑦 = |𝑓𝑓(𝑥𝑥)| có số điểm cực trị bằng số điểm cực trị của hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) cộng với
số nghiệm đơn và số nghiệm bội lẻ của phương trình 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0.
Ví dụ. Đếm điểm cực trị của hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = |𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥|
► Giải: Xét hàm số g (x) 2
= x + 3x ⇒ h(x) = g (x) .
Phương trình g (x) = 0 có 2 nghiệm đơn là x = 0 và x = 3
− , ngoài ra hàm số g (x) có đúng
1 điểm cực trị nên h(x) có 2 +1= 3 điểm cực trị.
2. Số điểm cực trị của hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(|𝑥𝑥|).
Ta ôn lại phép biến đổi đồ thị: 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(|𝑥𝑥|) như sau:
Gọi 𝑎𝑎 là số điểm cực trị dương của hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Số điểm cực trị của hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(|𝑥𝑥|) là
• 2𝑎𝑎 + 1 nếu 𝑥𝑥 = 0 là 1 điểm cực trị của hàm số y = f ( x )
• 2𝑎𝑎 nếu 𝑥𝑥 = 0 không phải là 1 điểm cực trị dương của hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(|𝑥𝑥|).
Chương 2 – Tọa độ vectơ
PHẦN 1 – TỌA ĐỘ VECTƠ
1. Vectơ trong không gian
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Chú ý:
• Kí hiệu 𝐴𝐴�𝐵𝐵
��⃗ chỉ vectơ có điểm đầu 𝐴𝐴, điểm cuối 𝐵𝐵.
• Nếu không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối thì vectơ còn được kí hiệu là 𝑢𝑢�⃗, 𝑣𝑣⃗, 𝑥𝑥⃗, 𝑦𝑦⃗, …
Các khái niệm có liên quan đến vectơ trong không gian như: giá của vectơ, độ dài của vectơ,
vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, vectơ-không, hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối
nhau,… được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.
Tổng hợp công thức và lý thuyết – Toán 12 Trang 9
2. Các phép toán về vectơ trong không gian
a) Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian
Trong không gian, cho hai vectơ 𝑎𝑎⃗, 𝑏𝑏�⃗. Lấy một điểm A tuỳ ý, vẽ 𝑂𝑂��𝐴𝐴
�⃗ = 𝑎𝑎⃗, 𝐴𝐴�𝐵𝐵
��⃗ = 𝑏𝑏�⃗. Vectơ 𝑂𝑂�𝐵𝐵
��⃗ được gọi là tổng của hai vectơ 𝑎𝑎⃗ và 𝑏𝑏�⃗, kí hiệu là 𝑂𝑂�𝐵𝐵
��⃗ = 𝑎𝑎⃗ + 𝑏𝑏�⃗.
Đối với vectơ trong không gian, ta cũng có các quy tắc sau:
• Với ba điểm ,
A B,C trong không gian, ta có: AB + BC = AC (quy tắc ba điểm);
• Nếu 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 là hình bình hành thì AB + AD = AC (quy tắc hình bình hành).
• Nếu 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷. 𝐴𝐴′𝐵𝐵′𝐶𝐶′𝐷𝐷′ là hình hộp thì 𝐴𝐴�𝐵𝐵
��⃗ + 𝐴𝐴�𝐷𝐷 ��⃗ + 𝐴𝐴𝐴𝐴
��� ′⃗ = 𝐴𝐴�𝐶𝐶
�� ′⃗ (quy tắc hình hộp).
Trong không gian, cho hai vectơ a, .
b Hiệu của vectơ 𝑎𝑎⃗ và vectơ b là tổng của vectơ a và vectơ đối của vectơ ,
b kí hiệu là a − . b
Với ba điểm O, ,
A B trong không gian, ta có OA − OB = BA (quy tắc hiệu).
b) Tích của một số với một vectơ
Cho số thực k ≠ 0 và vectơ a ≠ 0. Tích của số k với vectơ a là một vectơ, kí hiệu là ka,
được xác định như sau:
• Cùng hướng với vectơ a nếu k > 0, ngược hướng với vectơ a nếu k < 0;
• Có độ dài bằng k . a .
Quy ước: 0a = 0,k0 = 0. Do đó, ka = 0 khi và chỉ khi k = 0 hoặc a = 0.
c) Tích vô hướng của hai vectơ
Trong không gian, cho hai vectơ 𝑢𝑢�⃗, 𝑣𝑣⃗ khác 0�⃗. Lấy một điểm 𝐴𝐴 tuỳ ý và vẽ hai vectơ 𝐴𝐴�𝐵𝐵 ��⃗ =
𝑢𝑢�⃗, 𝐴𝐴��𝐶𝐶
�⃗ = 𝑣𝑣⃗. Góc giữa hai vectơ 𝑢𝑢�⃗, 𝑣𝑣⃗ trong không gian, kí hiệu (𝑢𝑢�⃗, 𝑣𝑣⃗), là góc giữa hai vectơ 𝐴𝐴�𝐵𝐵
��⃗, 𝐴𝐴��𝐶𝐶�⃗. Trang 10
► Đỗ Văn Đức | Luyện thi Toán 10, 11, 12 | thayduc. vn
Chú ý: 0𝑜𝑜 ≤ (𝑢𝑢�⃗, 𝑣𝑣⃗) ≤ 180𝑜𝑜.
Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau:
Trong không gian, cho hai vectơ a,b khác 0. Tích vô hướng của hai vectơ a và , b kí hiệu . a ,
b là một số thực được xác định bởi công thức: .
a b = a . b .cos(a,b), ở đó (a,b) là góc giữa hai vectơ a, . b
► Quy ước: Tích vô hướng của một vectơ bất kì với vectơ 0 bằng 0.
Chú ý: Với các vectơ bất kì a,b,c và số thực k tuỳ ý, ta có: • . a b = .
b a (tính chất giao hoán); • .
a (b + c) = .ab + .ac (tính chất phân phối);
• (ka).b = k ( .ab) = a(kb); • 2 2
a ≥ 0,a = 0 ⇔ a = 0.
• Nếu a,b là hai vectơ khác 0 thì ( ) . cos , a b a b = . a . b
3. Ba vectơ đồng phẳng
Định nghĩa: Trong không gian, ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng
song song với một mặt phẳng.
Nhận xét: Người ta cũng chứng minh được một số điều kiện sau đây để ba vectơ trong không gian là đồng phẳng:
1) Trong không gian, cho hai vectơ a,b không cùng phương và vectơ c. Khi đó, ba vectơ
a,b,c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số ,
m n sao cho c = ma + .
nb Ngoài ra cặp số , m n là duy nhất.
2) Trong không gian, cho ba vectơ a,b,c đều khác vectơ-không. Từ điểm O trong không
gian, ta vẽ OA = a,OB = , b OC = .
c Khi đó, ba vectơ a,b,c đồng phẳng khi và chỉ khi bốn điểm O, ,
A B,C cùng thuộc một mặt phẳng.
Tổng hợp công thức và lý thuyết – Toán 12 Trang 11
PHẦN 2 – HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ trục toạ độ trong không gian
Hệ gồm ba trục 𝑂𝑂𝑥𝑥, 𝑂𝑂𝑦𝑦, 𝑂𝑂𝑂𝑂 đôi một vuông góc được gọi là hệ trục toạ độ vuông góc 𝑂𝑂𝑥𝑥𝑦𝑦𝑂𝑂
trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ toạ độ 𝑂𝑂𝑥𝑥𝑦𝑦𝑂𝑂.
Chú ý: Ta gọi i, j, k lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục 𝑂𝑂𝑥𝑥, 𝑂𝑂𝑦𝑦, 𝑂𝑂𝑂𝑂. Gọi tên:
• Điểm O là gốc toạ độ;
• Ox là trục hoành;
• Oy là trục tung;
• Oz là trục cao;
• Các mặt phẳng (Oxy),(Oyz),(Ozx) là các mặt phẳng toạ độ.
• Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.
► Nhận xét: Các mặt phẳng toạ độ (Oxy),(Oyz),(Ozx) đôi một vuông góc với nhau.
2. Toạ độ của một điểm
Trong không gian Oxyz, cho điểm 𝑀𝑀. Nếu OM = xi + yj + zk thì ta gọi bộ ba số (𝑥𝑥; 𝑦𝑦; 𝑂𝑂)
là tọa độ của điểm 𝑀𝑀 đối với hệ trục tọa độ 𝑂𝑂𝑥𝑥𝑦𝑦𝑂𝑂 và viết 𝑀𝑀 = (𝑥𝑥; 𝑦𝑦; 𝑂𝑂) hoặc 𝑀𝑀(𝑥𝑥; 𝑦𝑦; 𝑂𝑂), với
𝑥𝑥 là hoành độ, 𝑦𝑦 là tung độ và 𝑂𝑂 là cao độ.
► Lưu ý về tọa độ hình chiếu:
Trong không gian 𝑂𝑂𝑥𝑥𝑦𝑦𝑂𝑂, cho điểm 𝑀𝑀(𝑥𝑥𝑀𝑀; 𝑦𝑦𝑀𝑀; 𝑂𝑂𝑀𝑀).
• Hình chiếu vuông góc của 𝑀𝑀 lên (𝑂𝑂𝑥𝑥𝑦𝑦) là 𝑀𝑀1(𝑥𝑥𝑀𝑀; 𝑦𝑦𝑀𝑀; 0)
• Hình chiếu vuông góc của 𝑀𝑀 lên (𝑂𝑂𝑦𝑦𝑂𝑂) là 𝑀𝑀2(0; 𝑦𝑦𝑀𝑀; 𝑂𝑂𝑀𝑀)
• Hình chiếu vuông góc của 𝑀𝑀 lên (𝑂𝑂𝑂𝑂𝑥𝑥) là 𝑀𝑀3(𝑥𝑥𝑀𝑀; 0; 𝑂𝑂𝑀𝑀)
• Hình chiếu vuông góc của 𝑀𝑀 lên trục 𝑂𝑂𝑥𝑥 là 𝑀𝑀4(𝑥𝑥𝑀𝑀; 0; 0)
• Hình chiếu vuông góc của 𝑀𝑀 lên trục 𝑂𝑂𝑦𝑦 là 𝑀𝑀5(0; 𝑦𝑦𝑀𝑀; 0)
• Hình chiếu vuông góc của 𝑀𝑀 lên trục 𝑂𝑂𝑂𝑂 là 𝑀𝑀6(0; 0; 𝑂𝑂𝑀𝑀) Trang 12
► Đỗ Văn Đức | Luyện thi Toán 10, 11, 12 | thayduc. vn
3. Toạ độ của một vectơ
Toạ độ của điểm 𝑀𝑀 được gọi là toạ độ của vectơ 𝑂𝑂�𝑀𝑀 ��⃗ 𝑂𝑂 � 𝑀𝑀
��⃗ = (𝑎𝑎; 𝑏𝑏; 𝑐𝑐) ⇔ 𝑀𝑀(𝑎𝑎; 𝑏𝑏; 𝑐𝑐).
• Vectơ đơn vị i trên trục Ox có toạ độ là i = (1;0;0);
• Vectơ đơn vị j trên trục Oy có toạ độ là j = (0;1;0);
• Vectơ đơn vị k trên trục Oz có toạ độ là k = (0;0; ) 1 .
Trong không gian với hệ toạ độ 𝑂𝑂𝑥𝑥𝑦𝑦𝑂𝑂, toạ độ của một vectơ u là toạ độ của điểm , A trong
đó A là điểm sao cho OA = u.
Nếu u có toạ độ (a;b;c) thì ta viết u = (a;b;c), trong đó a gọi là hoành độ, b gọi là tung
độ và c gọi là cao độ của vectơ u.
Nếu u = (a;b;c) thì u = ai + b j + ck. Ngược lại, nếu u = ai + b j + ck thì u = (a;b;c). x = x 1 2
Chú ý: Với u = ( x ; y ; z và v = ( x ; y ; z , ta có: u = v ⇔ y = y . 2 2 2 ) 1 1 1 ) 1 2 z = z 1 2
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(x y z và B(x y z Khi
B ; B ; B ).
A ; A ; A )
đó, ta có: AB = (x − x y − y z − z B A ; B A ; B A ).
Tổng hợp công thức và lý thuyết – Toán 12 Trang 13
PHẦN 3 – BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
1. Biểu thức toạ độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ
Nếu u = (x ; y ; z và v = (x ; y ; z thì 2 2 2 ) 1 1 1 )
u + v = (x + x ; y + y ; z + z ; 1 2 1 2 1 2 )
u − v = (x − x ; y − y ; z − z ; 1 2 1 2 1 2 )
mu = (mx ;my ;mz với m∈ . 1 1 1 )
► Nhận xét: Hai vectơ u = (x ; y ; z ,v = x ; y ; z
v ≠ 0 cùng phương khi và chỉ khi 1 1 1 ) ( 2 2 2) ( ) x = mx 1 2
có một số thực m sao cho y = my . 1 2 z = mz 1 2
2. Toạ độ trung điểm đoạn thẳng, toạ độ trọng tâm tam giác
Cho hai điểm 𝐴𝐴(𝑥𝑥𝐴𝐴; 𝑦𝑦𝐴𝐴; 𝑂𝑂𝐴𝐴) và 𝐵𝐵(𝑥𝑥𝐵𝐵; 𝑦𝑦𝐵𝐵; 𝑂𝑂𝐵𝐵). Nếu 𝑀𝑀(𝑥𝑥𝑀𝑀; 𝑦𝑦𝑀𝑀; 𝑂𝑂𝑀𝑀) là trung điểm đoạn thẳng 𝐴𝐴𝐵𝐵 thì x + x y + y z + z A B x = ; A B y = ; A B z = M M M . 2 2 2
Cho tam giác 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 có 𝐴𝐴(𝑥𝑥𝐴𝐴; 𝑦𝑦𝐴𝐴; 𝑂𝑂𝐴𝐴), 𝐵𝐵(𝑥𝑥𝐵𝐵; 𝑦𝑦𝐵𝐵; 𝑂𝑂𝐵𝐵), 𝐶𝐶(𝑥𝑥𝐶𝐶; 𝑦𝑦𝐶𝐶; 𝑂𝑂𝐶𝐶). Nếu 𝐺𝐺(𝑥𝑥𝐺𝐺; 𝑦𝑦𝐺𝐺; 𝑂𝑂𝐺𝐺) là trọng
tâm tam giác 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 thì x + x + x y + y + y z + z + z A B C x = ; A B C y = ; A B C z = G G G . 3 3 3
3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Nếu u = (x ; y ; z và v = (x ; y ; z thì u.v = x x + y y + z z . 2 2 2 ) 1 1 1 ) 1 2 1 2 1 2 ► Nhận xét:
a) Nếu a = (x; y; z) thì 2 2 2
a = a.a = x + y + z .
b) Nếu A(x ; y ; z và B(x ; y ; z thì 2 2 2 ) 1 1 1 ) Trang 14
► Đỗ Văn Đức | Luyện thi Toán 10, 11, 12 | thayduc. vn
AB = AB = (x − x )2 + ( y − y )2 + (z − z )2 . 2 1 2 1 2 1
c) Với hai vectơ u = (x ; y ; z và v = (x ; y ; z khác vectơ 0, ta có: 2 2 2 ) 1 1 1 )
u và v vuông góc với nhau khi và chỉ khi x x + y y + z z = 0. 1 2 1 2 1 2 d) cos( + + u ,v ) u.v x x y y z z 1 2 1 2 1 2 = = . 2 2 2 2 2 2 u . v
x + y + z . x + y + z 1 1 1 2 2 2
Chương 3 – NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
PHẦN 1 – NGUYÊN HÀM
1. Khái niệm nguyên hàm
Với 𝐾𝐾 là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ℝ, ta có định nghĩa sau:
Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) xác định trên 𝐾𝐾. Hàm số 𝐹𝐹(𝑥𝑥) được gọi là nguyên hàm của hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
trên 𝐾𝐾 nếu 𝐹𝐹′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) với mọi 𝑥𝑥 ∈ 𝐾𝐾.
Chú ý: Trường hợp 𝐾𝐾 = [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] thì các đẳng thức 𝐹𝐹′(𝑎𝑎) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎) và 𝐹𝐹′(𝑏𝑏) = 𝑓𝑓(𝑏𝑏) được
hiểu là đạo hàm bên phải tại điểm 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 và đạo hàm bên trái tại điểm 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 của hàm số 𝐹𝐹(𝑥𝑥), tức là
𝐹𝐹(𝑥𝑥) − 𝐹𝐹(𝑎𝑎)
𝐹𝐹(𝑥𝑥) − 𝐹𝐹(𝑏𝑏) lim 𝑥𝑥→𝑎𝑎+ 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 = 𝑓𝑓(𝑎𝑎) và lim 𝑥𝑥→𝑏𝑏− 𝑥𝑥 − 𝑏𝑏 = 𝑓𝑓(𝑏𝑏). Họ nguyên hàm:
Giả sử hàm số 𝐹𝐹(𝑥𝑥) là một nguyên hàm của 𝑓𝑓(𝑥𝑥) trên 𝐾𝐾. Khi đó
a) Với mỗi hằng số 𝐶𝐶, hàm số 𝐺𝐺(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶 cũng là một nguyên hàm của hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) trên 𝐾𝐾.
b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm 𝐻𝐻(𝑥𝑥) của hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) trên 𝐾𝐾 thì tồn tại hằng số 𝐶𝐶 sao
cho 𝐻𝐻(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶 với mọi 𝑥𝑥 ∈ 𝐾𝐾.
Họ (hay tập hợp) tất cả các nguyên hàm của hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) trên 𝐾𝐾 được kí hiệu: ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)d𝑥𝑥. Nhận xét:
• Nếu 𝐹𝐹(𝑥𝑥) là một nguyên hàm của hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) trên 𝐾𝐾 thì mọi nguyên hàm của hàm
số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) trên 𝐾𝐾 đều có dạng 𝐹𝐹(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶, với 𝐶𝐶 là hằng số. Vì vậy:
∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)d𝑥𝑥 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶.
• Mọi hàm số liên tục trên 𝐾𝐾 đều có nguyên hàm trên 𝐾𝐾. Chú ý:
• Biểu thức 𝑓𝑓(𝑥𝑥)d𝑥𝑥 được gọi là vi phân của nguyên hàm 𝐹𝐹(𝑥𝑥), kí hiệu d𝐹𝐹(𝑥𝑥). Vậy:
d𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹′(𝑥𝑥)d𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)d𝑥𝑥
• Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập 𝐾𝐾, ta hiểu là tìm nguyên
hàm của hàm số đó trên tập xác định của nó.
Tổng hợp công thức và lý thuyết – Toán 12 Trang 15
• ∫ 0d𝑥𝑥 = 𝐶𝐶 và nếu ta quy ước ∫ 1d𝑥𝑥 = ∫ d𝑥𝑥 thì ∫ d𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶.
2. Tính chất của nguyên hàm
Cho 𝐾𝐾 là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ℝ. Tính chất 1
∫ 𝑘𝑘𝑓𝑓(𝑥𝑥)d𝑥𝑥 = 𝑘𝑘∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)d𝑥𝑥 (𝑘𝑘 ≠ 0). Tính chất 2
∫ [𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 𝑔𝑔(𝑥𝑥)]d𝑥𝑥 = ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)d𝑥𝑥 + ∫ 𝑔𝑔(𝑥𝑥)d𝑥𝑥.
∫ [𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑔𝑔(𝑥𝑥)]d𝑥𝑥 = ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)d𝑥𝑥 − ∫ 𝑔𝑔(𝑥𝑥)d𝑥𝑥.
3. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
∫ d𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶
VD: 2dx = 2x + C. ∫ 𝑥𝑥𝛼𝛼+1 3 x
� 𝑥𝑥𝑎𝑎d𝑥𝑥 = 2 x dx = + C.
𝛼𝛼 + 1 + 𝐶𝐶(𝛼𝛼 ≠ 1) VD: ∫ 3 𝑎𝑎𝑥𝑥 x
∫ 𝑎𝑎𝑥𝑥d𝑥𝑥 = x
ln𝑎𝑎 + 𝐶𝐶(0 < 𝑎𝑎 ≠ 1) VD: 2 2 dx = + C. ∫ ln 2 d𝑥𝑥 x � = x + + C
𝑥𝑥 = ln|𝑥𝑥| + 𝐶𝐶(𝑥𝑥 ≠ 0) VD: d ln 2 . ∫ x + 2
∫ 𝑒𝑒𝑥𝑥d𝑥𝑥 = 𝑒𝑒𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 VD: 3x 1 3 e d = e x x + C. ∫ 3
∫ cos𝑥𝑥. d𝑥𝑥 = sin𝑥𝑥 + 𝐶𝐶
∫ sin𝑥𝑥. d𝑥𝑥 = −cos𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 1 1
� sin2𝑥𝑥d𝑥𝑥 = −cot𝑥𝑥 + 𝐶𝐶
� cos2𝑥𝑥d𝑥𝑥 = tan𝑥𝑥 + 𝐶𝐶
4. Bổ đề về nguyên hàm của hàm số 𝒇𝒇(𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)(𝒂𝒂 ≠ 𝟎𝟎).
Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) có một nguyên hàm là 𝐹𝐹(𝑥𝑥)
Tính đạo hàm của hàm số 𝐹𝐹(𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏) với 𝑎𝑎 ≠ 0.
Từ đó suy ra họ nguyên hàm của hàm số 𝑓𝑓(𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏) 1
Bổ đề: Nếu ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)d𝑥𝑥 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶 thì ∫ 𝑓𝑓(𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏)𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝐹𝐹(𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏) + 𝐶𝐶 (𝑎𝑎 ≠ 0). a ► Hệ quả: 1 1 α +
dx = ln ax + b + C; ∫ α ax + b ax + b a ∫(ax+b) ( ) 1 1 dx = + C a α +1 ax+b 1 e d = eax+b x + C ∫ ∫ (ax+b) 1 cos
dx = sin (ax + b) + C a a Trang 16
► Đỗ Văn Đức | Luyện thi Toán 10, 11, 12 | thayduc. vn ∫ (ax b) 1 sin dx − + =
cos(ax + b) + C 1 1
dx = tan ax + b + C a ∫ 2 cos (ax + b) ( ) a
PHẦN 2 – TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa tích phân
Cho 𝑓𝑓(𝑥𝑥) là hàm số liên tục trên đoạn [𝑎𝑎; 𝑏𝑏]. Nếu 𝐹𝐹(𝑥𝑥) là một nguyên hàm của hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
trên đoạn [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] thì hiệu số 𝐹𝐹(𝑏𝑏) − 𝐹𝐹(𝑎𝑎) được gọi là tích phân từ 𝑎𝑎 đến 𝑏𝑏 của hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥), b
kí hiệu là f (x)d .x ∫ a
Hiệu 𝐹𝐹(𝑏𝑏) − 𝐹𝐹(𝑎𝑎) thường được kí hiệu là F (x) b . Như vậy: a b f
∫ (x)dx = F (x)b = F (b)− F (a). a a b
Ta gọi ∫ là dấu tích phân, 𝑎𝑎 là cận dưới, 𝑏𝑏 là cận trên, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)d𝑥𝑥 là biểu thức dưới dấu tích a
phân và 𝑓𝑓(𝑥𝑥) là hàm số dưới dấu tích phân. Chú ý: a b a
• Trong trường hợp 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 hoặc 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏, ta quy ước: f
∫ (x)dx = 0; f
∫ (x)dx = − f ∫ (x)d .x a a b
• Tích phân của hàm số 𝑓𝑓 từ 𝑎𝑎 đến 𝑏𝑏 chỉ phụ thuộc vào 𝑓𝑓 và các cận 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 mà không phụ b b
thuộc vào biến số 𝑥𝑥 hay 𝑡𝑡, nghĩa là f
∫ (x)dx = f ∫ (t)dt. a a b
• Nếu hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục và không âm trên đoạn [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] thì f (x)dx ∫ là diện tích 𝑆𝑆 a
của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), trục hoành và hai đường thẳng b
𝑥𝑥 = 𝑎𝑎, 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏. Ta viết: S = f ∫ (x)d .x a
• Ta đã biết rằng, đạo hàm của quãng đường di chuyển của vật theo thời gian bằng tốc độ
của chuyển động tại mỗi thời điểm �𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝑠𝑠′(𝑡𝑡)�. Do đó, nếu biết tốc độ 𝑣𝑣(𝑡𝑡) tại mọi
thời điểm 𝑡𝑡 ∈ [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] thì tính được quãng đường di chuyển trong khoảng thời gian từ 𝑎𝑎 đến b
𝑏𝑏 theo công thức 𝑠𝑠 = 𝑠𝑠(𝑏𝑏) − 𝑠𝑠(𝑎𝑎) = v(t)d .x ∫ a
• Nếu hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) có đạo hàm 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) và 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) liên trục trên đoạn [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] thì
Tổng hợp công thức và lý thuyết – Toán 12 Trang 17 b
𝑓𝑓(𝑏𝑏) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = f ′ ∫ (x)d .x a
2. Tính chất của tích phân Tính chất 1
Cho hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎𝑎; 𝑏𝑏], 𝑘𝑘 là số thực. Khi đó : b b kf
∫ (x)dx = k f ∫ (x)d .x a a Tính chất 2
Cho hai hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎𝑎; 𝑏𝑏]. Khi đó : b b b f
∫ (x)+ g(x)dx = f
∫ (x)dx+ g ∫ (x)d ;x a a a b b b f
∫ (x)− g(x)dx = f
∫ (x)dx− g ∫ (x)d .x a a a Tính chất 3
Cho hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎𝑎; 𝑏𝑏], 𝑐𝑐 ∈ (𝑎𝑎; 𝑏𝑏). Khi đó, b c b f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx+ f ∫ (x)d .x a a c
3. Tích phân của một số hàm số sơ cấp
a) Tích phân hàm số lũy thừa α 1 b b + α 1 + α 1 + Với α x b − a
𝛼𝛼 ≠ −1, ta có x dx = = . ∫ α +1 α +1 a a
b) Tích phân hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1. 𝑥𝑥 Với hàm số 1
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = liên tục trên đoạn [𝑎𝑎; 𝑏𝑏], ta có: x 𝑏𝑏 1 � x
𝑥𝑥 d𝑥𝑥 = ln b = ln|𝑏𝑏| − ln|𝑎𝑎|. a 𝑎𝑎
c) Tích phân hàm số lượng giác b b sin d x x = −cos b
x = cos a − cos ; b ∫ cos d x x = sin b
x = sin b − sin a; ∫ a a a a Trang 18
► Đỗ Văn Đức | Luyện thi Toán 10, 11, 12 | thayduc. vn b Nếu hàm số 1 1 y =
liên tục trên [𝑎𝑎; 𝑏𝑏], ta có: dx = −cot b
x = cot a − cot ; b 2 sin ∫ x 2 sin a x a b Nếu hàm số 1 1 y =
liên tục trên [𝑎𝑎; 𝑏𝑏], ta có: dx = tan b
x = tan b − tan . a 2 cos ∫ x 2 cos a x a d) Tích phân hàm số mũ x β β β α Với a a − a
𝑎𝑎 > 0, 𝑎𝑎 ≠ 1, ta có: x a dx = = . ∫ α ln a ln a α
4. Tích phân của hàm số 𝒇𝒇(𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)(𝒂𝒂 ≠ 𝟎𝟎).
Ta đã biết: Nếu hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) có một nguyên hàm là 𝐹𝐹(𝑥𝑥) thì một nguyên hàm của hàm số
𝑓𝑓(𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏) là 1 𝐹𝐹(𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏) + 𝐶𝐶. a β aβ +b
Từ đó ta dễ dàng chứng minh bổ đề sau: f ∫ (ax+b) 1 dx = f ∫ (x)d .x α a aα+b
5. Phương pháp đổi biến số Đổi biến nguyên hàm: Cho biết f
∫ (u)du = F (u)+C và 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥) là hàm số có đạo hàm liên tục. Khi đó: f
∫ (u(x)).u′(x)dx = F (u(x))+C. Đổi biến tích phân:
Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎𝑎; 𝑏𝑏]. Giả sử hàm số 𝑥𝑥 = 𝜑𝜑(𝑡𝑡) có đạo hàm liên tục trên
đoạn [𝛼𝛼; 𝛽𝛽] sao cho 𝜑𝜑(𝛼𝛼) = 𝑎𝑎, 𝜑𝜑(𝛽𝛽) = 𝑏𝑏 và 0 ≤ 𝜑𝜑(𝑡𝑡) ≤ 𝑏𝑏 với mọi 𝑡𝑡 ∈ [𝛼𝛼; 𝛽𝛽]. Khi đó b β f
∫ (x)dx = f
∫ ( ϕ(t))).ϕ′(t)dt. a α
PHẦN 3 - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH
1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒂𝒂), trục hoành và hai đường thẳng
𝒂𝒂 = 𝒂𝒂, 𝒂𝒂 = 𝒃𝒃
Cho hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎𝑎; 𝑏𝑏]. Khi đó diện tích 𝑆𝑆 của hình phẳng giới hạn b
bởi đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎, 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 là: S = f ∫ (x) d .x a
Tổng hợp công thức và lý thuyết – Toán 12 Trang 19
2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒂𝒂), 𝒚𝒚 = 𝒈𝒈(𝒂𝒂) và hai đường thẳng
𝒂𝒂 = 𝒂𝒂, 𝒂𝒂 = 𝒃𝒃
Cho các hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎𝑎; 𝑏𝑏]. Khi đó diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị các hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) và hai đường thẳng 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎, 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 là b S = f
∫ (x)− g(x) d .x a
3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒂𝒂) và 𝒚𝒚 = 𝒈𝒈(𝒂𝒂)
Nếu hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) và 𝑔𝑔(𝑥𝑥) liên tục trên ℝ, để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) và đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥), ta làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑔𝑔(𝑥𝑥), gọi 𝑎𝑎 là nghiệm bé nhất và 𝑏𝑏 là nghiệm lớn nhất của phương trình này b
Bước 2: Tính S = f
∫ (x)− g(x) d .x a
4. Diện tích cổng parabol 4 𝑆𝑆 = 3𝑅𝑅ℎ. 5. Diện tích Elip
𝑆𝑆 = 𝜋𝜋𝑎𝑎𝑏𝑏.
PHẦN 4 - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH 1. Định nghĩa
Cho một vật thể trong không gian 𝑂𝑂𝑥𝑥𝑦𝑦𝑂𝑂. Gọi 𝛣𝛣 là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng
vuông góc với trục 𝑂𝑂𝑥𝑥 tại các điểm có hoành độ 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 và 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏. Trang 20
► Đỗ Văn Đức | Luyện thi Toán 10, 11, 12 | thayduc. vn
Một mặt phẳng vuông góc với trục 𝑂𝑂𝑥𝑥 tại điểm có hoành độ bằng 𝑥𝑥 cắt vật thể theo mặt cắt
có diện tích là 𝑆𝑆(𝑥𝑥).
Giả sử 𝑆𝑆(𝑥𝑥) là hàm số liên tục trên đoạn [𝑎𝑎; 𝑏𝑏]. Khi đó thể tích 𝑉𝑉 của phần vật thể Β được b
tính bởi công thức: V = S ∫ (x)d .x a
2. Thể tích khối tròn xoay
Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục, không âm trên đoạn [𝑎𝑎; 𝑏𝑏]. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎, 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 xung quanh trục hoành, ta được
hình gọi là khối tròn xoay.
Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục 𝑂𝑂𝑥𝑥 tại điểm 𝑥𝑥 ∈ [𝑎𝑎; 𝑏𝑏], ta
được một hình tròn có bán kính 𝑓𝑓(𝑥𝑥).
Thể tích của khối tròn xoay này là: 𝑏𝑏
𝑉𝑉 = 𝜋𝜋 � 𝑓𝑓2(𝑥𝑥) d𝑥𝑥 𝑎𝑎
3. Một số công thức tính nhanh
a. Công thức tính thể tích chỏm cầu
Xét chỏm cầu (phần tô màu) trong hình vẽ, có chiều cao ℎ và khối cầu tạo nên chỏm cầu
này có bán kính ℝ. Thể tích chỏm cầu được tính bởi công thức: 1
𝑉𝑉 = 3𝜋𝜋ℎ2(3𝑅𝑅 − ℎ).
