Probability and Statistics – Midterm Examination Reference #VanTuanKiet Công thức cộng x
* Hàm phân phối xác suất:    Nếu F(x ) P(X x ) f ( ) u u d 
AB   thì P(A  B)  P( )
A  P(B) 
Xác suất có điều kiện dF
Xác suất để A xảy ra với điều kiện B: * F '(x) 
(x)  f (x) dx P(AB) a
P(A | B)  nếu P(B) > 0 P(B)
* Trong case liên tục, P(X  a) 
f (x)dx  0  Tính chất a Kỳ vọng * P(A | )
B  1  P(A | ) B    * 
P (A C) | B  P(A | B) P(C | B) , nếu A, C xung khắc xP(X x ), X roi rac   E(X) x  
Công thức nhân xác suất 
 xf(x)dx, X lien tuc 
P(A | B).P( ) B  ( P B | ) A . ( P ) A  ( P AB)   
Công thức xác suất toàn phần Tính chất
Giả sử {B1, B2, …, Bn } là một hệ đầy đủ các biến cố và A là biến
E(C) C , E(CX)  C. (
E X) , E (X Y
 )  E(X ) E(Y ) cố nào đó
Nếu X, Y độc lập thì E(XY)  (
E X).E(Y) P( )
A  P(A | B )P(B )  ...  P(A | B )P(B ) 1 1 n n Phương sai Công thức Bayes
* Var X  E X  E X 2 2 ( ) ( ) ( )
Giả sử P(A) > 0 và {B1, B2, …, Bn} là một hệ đầy đủ các biến cố 
P(A | B ) ( P B )   2 P(B | ) k k A   x P
 (X  x), X roi rac  k P( ) A  * 2  E (X ) x     Biến ngẫu nhiên  2
 x f (x)dx, X lien tuc 
* BNN X là một ánh xạ từ không gian các biến cố sơ cấp    
vào  . Dùng ký tự in hoa X, Y, Z,… để chỉ BNN và x, y, z,. để Tính chất chỉ giá trị Var(C)  0 , 2
Var(CX )  C Var (X ) * Phân loại:
Nếu X, Y độc lập thì Va (
r X  Y)  Va ( r X)Va ( r Y)
+ BNN rời rạc: tập giá trị đếm được Độ lệch chuẩn
+ BNN liên tục: tập giá trị dạng (a,b) or  
Bảng phân phối xác suất rời rạc (  X) Va ( r X) X x1 x2 …
Phân phối Bernoulli (rời rạc) P P(X = x1) P(X = x2) …
BNN X nhận 2 giá trị: X  ( B 1, ) p
Đặc trưng: E(X )  p , Var(X )  p(1 p)
Hàm phân phối xác suất (rời rạc) 
Phân phối nhị thức (rời rạc) 0, x  x  1 
BNN X nhận giá trị 0,1,. ,n: X  ( B , n ) p khi
p , x  x  x 1 1 2    F(x )   p
  p , x  x  x x x C
 p (1 p)n x, x  0,n 1 2 2 3    n f x    ( ) ...     0,   p
  p  ... p , x x  x 1 2 k k k 1  
Đặc trưng: E(X )  np , Va ( r X)  n ( p 1  ) p ,
Hàm mật độ xác suất liên tục
np  p  1 Mod (X ) k  np  p
BNN liên tục X, f(x) là hàm mật độ xác xuất của X nếu, thỏa:
Mô hình: Trong thí nghiệm, quan tâm biến cố A có xác suất p.  f(x)  0 x
   && P(X  I ) f (x )dx  &&
f(x)dx  1 
Thí nghiệm thực hiện n lần. X là số lần A xảy ra trong n lần. I 
Phân phối Poisson (rời rạc) Tính chất
Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị 0, 1, 2, . . .: 
X  P()
* Mọi hàm f(x) không âm và thỏa
f (x )dx  1  đều là hàm 
mật độ xác suất của 1 BNN nào đó
Probability and Statistics – Midterm Examination Reference #VanTuanKiet  x  e     b    a       , x  0,1,... 
* P(a  X  b)                  *  x ! f (x )   ,   0     0  ,  
Mô hinh: một BNN là kết quả cộng của nhiều BNN thành 
phần, trong đó ko có BNN nào thống trị k   e 
* P(X  k)
Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn k !
Cho X  B(n, p)
Đặc trưng: E(X) Var(X)   Đk áp dụng:
Mô hình: Biến cố A xảy ra trong một khoảng thời gian / không
0.1  p  0.9, np  5, n ( p 1  ) p  5
gian cho trước (tham số  là tốc độ xuất hiện của A tỏng một Khi đó:
đơn vị thời gian or không gian)
Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson ( B , n )
p  N n , p n ( p 1 p  ) Cho X B(n, p 
). Khi n  100 , p  0.01 và np  20 thì
Hiệu chỉnh liên tục ( B , n ) p  ( P   n ) p a  0, 5  *   ( P X  ) a  (
P X  a 0, 5)        
Phân phối mũ (liên tục) a  0,5      *         P (X a ) P (X a 0, 5)   x  e    , x  0      X  Ex (
p ) với   0 nếu ( f x)   0  , x 0   ( ) 1   x F x e , x  0
Định lý giới hạn trung tâm
X ,X ,... là 1 dãy vô hạn các BNN độc lập cùng phân 1 2 Đặc trưng: 1 E (X )    , 2 Va ( r ) X  
phối với kỳ vọng  và độ lệch chuẩn  . Đặt
Tính không nhớ: P(X  s  t | X  t)  P(X  s)
S  X  ...  X , khi đó:
Mô hình: Thời gian giữa hai cuộc gọi đến tổng đài trong n 1 n
khoảng thời gian từ 14h00-16h00 là một biến ngẫu nhiên có S n    lim n P   x    (x)
phân phối mũ với trung bình 2 phút. Giả sử vừa có một cuộc   n    n 
gọi đến tổng đài. Hỏi xác suất để trong 3 phút tiếp theo S n 
không có cuộc gọi đến tổng đài. Hay n  N (0,1) hay 2 S N  (n ,  n ) n  n Ví dụ:
Phân phối chuẩn tắc (Gauss – liên tục) 2
Giả sử rằng số lượng các hạt amiăng trong một cm2 trên 1 z 
Z  N(0,1) nếu 2 f(z)  e
bề mặt tuân theo phân bố Poisson với giá trị trung bình 2
là 1000. Hãy tính xác suất để trong 10 cm2 có nhiều hơn
Đặc trưng: E(Z ) 0 , Va ( r ) Z 1 10.000 hạt. 2 z 1 u  Hàm phân phối: 2 (  z)  ( P Z  z)  e du    2 Gọi X là… Ta có X ~ …
 Tra bảng tìm giá trị
Quan trắc … các BNN X1, …, Xn lần lượt là… Tính chất: (  ) a  (   )
a  1 , P(a  Z  ) b  (  ) b  (  a)
Các BNN này độc lập và có cùng pp như X. Đặt
S  X  ...  X là…. Theo định lý giới hạn trung tâm, ta n 1 n
Phân phối chuẩn (liên tục) S  n  có n  N(0,1) . Do đó 2 (x  )  1   n 2 X 2  N( ,   ) nếu 2 f(x)  e  , x    2
Đặc trưng: E(X )  , 2
Var(X )   Tính chất: X   * 2 X  N( ,   ) thì  N (0,1)      * a   ( P X  ) a        