Tổng hợp công thức - Xác suất thống kê | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia HCM

Tổng hợp công thức - Xác suất thống kê | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia HCM được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

17 9 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Xác suất thống kê (Hus)

Trường: Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

Thông tin:

2 trang 2 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Probability and Statistics – Midterm Examination Reference #VanTuanKiet
Công thức cộng
Nếu
AB
thì
( ) ( ) ( )
P A B P A P B
Xác suất có điều kiện
Xác suất để A xảy ra với điều kiện B:
( )
( | )
( )
P A B
P B
nếu P(B) > 0
Tính chất
*
( | ) 1 ( | )
P A B P A B
*
( ) | ( | ) ( | )
P A C B P A B P C B
, nếu A, C xung khắc
Công thức nhân xác suất
( | ). ( ) ( | ). ( ) ( )
P A B P B P B A P A P AB
Công thức xác suất toàn phần
Giả sử {B
1
, B
2
, …, B
n
} là một hệ đầy đủ các biến cố và A là biến
cố nào đó
1 1
) ( ) ... ( | ) ( )
( ) ( |
n n
P A P BP P PA B
A B B
Công thức Bayes
Giả sử P(A) > 0 và {B
1
, B
2
, …, B
n
} là một hệ đầy đủ các biến cố
( | ) ( )
( | )
( )
k k
k
P A B P B
P B A
P A
Biến ngẫu nhiên
* BNN X là một ánh xạ từ không gian các biến cố sơ cấp
vào
. Dùng ký tự in hoa X, Y, Z,… để chỉ BNN và x, y, z,.. để
chỉ giá trị
* Phân loại:
+ BNN rời rạc: tập giá trị đếm được
+ BNN liên tục: tập giá trị dạng (a,b) or
Bảng phân phối xác suất rời rạc
X
x1 x2 …
P
P(X = x1)
P(X = x2)
…
Hàm phân phối xác suất (rời rạc)
1
1 1 2
1 2 2 3
1 2 1
0,
,
,( )
...
... ,
k k k
x x
p x
p p x
F
x
x x
x x
x
x
p p
x
p
Hàm mật độ xác suất liên tục
BNN liên tục X, f(x) là hàm mật độ xác xuất của X nếu, thỏa:
0
( )
f
x
x
&&
)(
( )
I
fP X
I x dx
&&
( ) 1
f x dx

Tính chất
* Mọi hàm f(x) không âm và thỏa
( ) 1
f x dx

đều là hàm
mật độ xác suất của 1 BNN nào đó
* Hàm phân phối xác suất:
)(
)
) ( (
x
F
u
x P
f d
X x u

*
'( ) ( ) ( )
dF
F x x f x
dx
* Trong case liên tục,
( ) ( ) 0
a
a
P X a f x dx
Kỳ vọng
( ), roi rac
( )
( ) , X lien tuc
x
xP X x X
E X
xf x dx

Tính chất
( )
E C C
,
( ) . ( )
E CX C E X
,
( ) ( ) ( )
E X Y E X E Y
Nếu X, Y độc lập thì
( ) ( ). ( )
E XY E X E Y
Phương sai
*
2
2
( ) ( ) ( )
Var X E X E X
*
2
2
2
( ), roi rac
( )
( ) , X lien tuc
x
x P X x X
E X
x f x dx

Tính chất
( ) 0
Var C
,
2
( ) ( )
Var CX C Var X
Nếu X, Y độc lập thì
( ) ( ) ( )
Var X Y Var X Var Y
Độ lệch chuẩn
Phân phối Bernoulli (rời rạc)
BNN X nhận 2 giá trị:
(1, )
X B p
Đặc trưng:
( )
E X p
,
( ) (1 )
Var X p p
Phân phối nhị thức (rời rạc)
BNN X nhận giá trị 0,1,..,n:
( , )
X B n p
khi
(1 ) , 0,
( )
0,
x nx x
n
C p p x n
f x
Đặc trưng:
( )
E X np
,
( ) (1 )
Var X np p
,
1 ( )
np p
np p Mod X k
Mô hình: Trong thí nghiệm, quan tâm biến cố A có xác suất p.
Thí nghiệm thực hiện n lần. X là số lần A xảy ra trong n lần.
Phân phối Poisson (rời rạc)
Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị 0, 1, 2, . . .:
(
)
X P
)
(
(
)
Var X
X
Probability and Statistics – Midterm Examination Reference #VanTuanKiet
*
, 0,1,...
!
( ) ,
0,
0
x
e
x
x
f x
*
( )
!
k
e
P X k
k
Đặc trưng:
( ) ( )
E X Var X
Mô hình: Biến cố A xảy ra trong một khoảng thời gian / không
gian cho trước (tham số
là tốc độ xuất hiện của A tỏng một
đơn vị thời gian or không gian)
Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson
Cho
( , )
X B n p
. Khi
100
n
,
0.01
p
và
20
np
thì
( , ) ( )
B n p P np
Phân phối mũ (liên tục)
( )
X Exp
với
0
nếu
,
( )
0, 0
0
x
x
f
e
x
x
0
( ) 1 ,
x
F x e x
Đặc trưng:
1
( )
E X
,
2
( )
Var X
Tính không nhớ:
( | ) ( )
P X s t X t P X s
Mô hình: Thời gian giữa hai cuộc gọi đến tổng đài trong
khoảng thời gian từ 14h00-16h00 là một biến ngẫu nhiên có
phân phối mũ với trung bình 2 phút. Giả sử vừa có một cuộc
gọi đến tổng đài. Hỏi xác suất để trong 3 phút tiếp theo
không có cuộc gọi đến tổng đài.
Phân phối chuẩn tắc (Gauss – liên tục)
(0,1)
Z N
nếu
2
2
1
( )
2
z
f z e
Đặc trưng:
( ) 0
E Z
,
( ) 1
Var Z
Hàm phân phối:
2
2
1
( ) ( )
2
z
u
du
z P Z z e
Tra bảng tìm giá trị
Tính chất:
( ) ( ) 1
a a
,
)
(
) ( ) (
P
b a
a
Z b
Phân phối chuẩn (liên tục)
2
)
,
(
X N
nếu
2
2
(
2
)
1
) ,
2
(
x
f x xe
Đặc trưng:
( )
E X
,
2
( )
Var X
Tính chất:
*
2
)
,
(
X N
thì
(0,1)
X
N
*
)(
a
aP X
*
)(
b
P
a
X ba
Mô hinh: một BNN là kết quả cộng của nhiều BNN thành
phần, trong đó ko có BNN nào thống trị
Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn
Cho
( , )
X B n p
Đk áp dụng:
0.1 0.9
p
,
5
np
,
(1 ) 5
np p
Khi đó:
( , ) , (1 )
B n p N np np p
Hiệu chỉnh liên tục
*
0, 5
( ) ( 0, 5)
a
P X a P X a
*
0, 5
( ) ( 0, 5)
a
P X a P X a
Định lý giới hạn trung tâm
1 2
, ,...
XX
là 1 dãy vô hạn các BNN độc lập cùng phân
phối với kỳ vọng
và độ lệch chuẩn
. Đặt
1
...
n n
X X
S
, khi đó:
)
lim
(
n
n
x
S n
x
n
P

Hay
(0,1)
n
S
n
n
N
hay
2
( )
,
n
S N n n
Ví dụ:
Giả sử rằng số lượng các hạt amiăng trong một cm
2
trên
bề mặt tuân theo phân bố Poisson với giá trị trung bình
là 1000. Hãy tính xác suất để trong 10 cm
2
có nhiều hơn
10.000 hạt.
Gọi X là… Ta có X ~ …
Quan trắc … các BNN X1, …, Xn lần lượt là…
Các BNN này độc lập và có cùng pp như X. Đặt
1
...
n n
X X
S
là…. Theo định lý giới hạn trung tâm, ta
có
(0,1)
n
S
n
n
N
. Do đó <cái đề hỏi>
| 1/2
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Probability and Statistics – Midterm Examination Reference #VanTuanKiet Công thức cộng x
* Hàm phân phối xác suất:    Nếu F(x ) P(X x ) f ( ) u u d
AB   thì P(A B)  P( )
A P(B) 
Xác suất có điều kiện dF
Xác suất để A xảy ra với điều kiện B: * F '(x) 
(x)  f (x) dx P(AB) a
P(A | B)  nếu P(B) > 0 P(B)
* Trong case liên tục, P(X a) 
f (x)dx  0  Tính chất a Kỳ vọng * P(A | )
B  1  P(A | ) B    * 
P (AC) | B  P(A | B) P(C | B) , nếu A, C xung khắc xP(X x ), X roi rac   E(X) x  
Công thức nhân xác suất
 xf(x)dx, X lien tuc 
P(A | B).P( ) B  ( P B | ) A . ( P ) A  ( P AB)   
Công thức xác suất toàn phần Tính chất
Giả sử {B1, B2, …, Bn } là một hệ đầy đủ các biến cố và A là biến
E(C) C , E(CX)  C. (
E X) , E (X Y
 )  E(X ) E(Y ) cố nào đó
Nếu X, Y độc lập thì E(XY)  (
E X).E(Y) P( )
A P(A | B )P(B )  ...  P(A | B )P(B ) 1 1 n n Phương sai Công thức Bayes
* Var X E X  E X 2 2 ( ) ( ) ( )
Giả sử P(A) > 0 và {B1, B2, …, Bn} là một hệ đầy đủ các biến cố 
P(A | B ) ( P B )   2 P(B | ) k k A   x P
 (X x), X roi rac  k P( ) A  * 2  E (X ) x     Biến ngẫu nhiên  2
x f (x)dx, X lien tuc 
* BNN X là một ánh xạ từ không gian các biến cố sơ cấp    
vào  . Dùng ký tự in hoa X, Y, Z,… để chỉ BNN và x, y, z,. để Tính chất chỉ giá trị Var(C)  0 , 2
Var(CX )  C Var (X ) * Phân loại:
Nếu X, Y độc lập thì Va (
r X Y)  Va ( r X)Va ( r Y)
+ BNN rời rạc: tập giá trị đếm được Độ lệch chuẩn
+ BNN liên tục: tập giá trị dạng (a,b) or  
Bảng phân phối xác suất rời rạc (  X) Va ( r X) X x1 x2 …
Phân phối Bernoulli (rời rạc) P P(X = x1) P(X = x2) …
BNN X nhận 2 giá trị: X  ( B 1, ) p
Đặc trưng: E(X )  p , Var(X )  p(1 p)
Hàm phân phối xác suất (rời rạc) 
Phân phối nhị thức (rời rạc) 0, x x  1 
BNN X nhận giá trị 0,1,. ,n: X  ( B , n ) p khi
p , x x x 1 1 2    F(x )   p
  p , x x x x x C
 p (1 p)n x, x  0,n 1 2 2 3    n f x    ( ) ...     0,   p
  p  ... p , x x x 1 2 k k k 1  
Đặc trưng: E(X )  np , Va ( r X)  n ( p 1  ) p ,
Hàm mật độ xác suất liên tục
np p  1 Mod (X ) k np p
BNN liên tục X, f(x) là hàm mật độ xác xuất của X nếu, thỏa:
Mô hình: Trong thí nghiệm, quan tâm biến cố A có xác suất p.  f(x)  0 x
   && P(X I ) f (x )dx  &&
f(x)dx  1 
Thí nghiệm thực hiện n lần. X là số lần A xảy ra trong n lần. I 
Phân phối Poisson (rời rạc) Tính chất
Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị 0, 1, 2, . . .: 
X P()
* Mọi hàm f(x) không âm và thỏa
f (x )dx  1  đều là hàm 
mật độ xác suất của 1 BNN nào đó
Probability and Statistics – Midterm Examination Reference #VanTuanKiet xe    b   a       , x  0,1,... 
* P(a X b)                  *  x ! f (x )   ,  0   0  ,  
Mô hinh: một BNN là kết quả cộng của nhiều BNN thành 
phần, trong đó ko có BNN nào thống trị k  e 
* P(X k)
Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn k !
Cho X B(n, p)
Đặc trưng: E(X) Var(X)  Đk áp dụng:
Mô hình: Biến cố A xảy ra trong một khoảng thời gian / không
0.1  p  0.9, np  5, n ( p 1  ) p  5
gian cho trước (tham số là tốc độ xuất hiện của A tỏng một Khi đó:
đơn vị thời gian or không gian)
Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson ( B , n )
p N n , p n ( p 1 p  ) Cho X B(n, p
). Khi n  100 , p  0.01 và np  20 thì
Hiệu chỉnh liên tục ( B , n ) p  ( P  n ) p a  0, 5  *   ( P X  ) a  (
P X a 0, 5)       
Phân phối mũ (liên tục) a  0,5      *         P (X a ) P (X a 0, 5)   xe   , x  0    X Ex (
p ) với  0 nếu ( f x)   0  , x 0   ( ) 1 x F xe , x  0
Định lý giới hạn trung tâm
X ,X ,... là 1 dãy vô hạn các BNN độc lập cùng phân 1 2 Đặc trưng: 1 E (X )   , 2 Va ( r ) X
phối với kỳ vọng và độ lệch chuẩn . Đặt
Tính không nhớ: P(X s t | X t)  P(X s)
S X  ...  X , khi đó:
Mô hình: Thời gian giữa hai cuộc gọi đến tổng đài trong n 1 n
khoảng thời gian từ 14h00-16h00 là một biến ngẫu nhiên có S n    lim n P   x    (x)
phân phối mũ với trung bình 2 phút. Giả sử vừa có một cuộc   n    n
gọi đến tổng đài. Hỏi xác suất để trong 3 phút tiếp theo S n 
không có cuộc gọi đến tổng đài. Hay nN (0,1) hay 2 S N  (n ,  n ) n  n Ví dụ:
Phân phối chuẩn tắc (Gauss – liên tục) 2
Giả sử rằng số lượng các hạt amiăng trong một cm2 trên 1 z
Z N(0,1) nếu 2 f(z)  e
bề mặt tuân theo phân bố Poisson với giá trị trung bình 2
là 1000. Hãy tính xác suất để trong 10 cm2 có nhiều hơn
Đặc trưng: E(Z ) 0 , Va ( r ) Z 1 10.000 hạt. 2 z 1 u  Hàm phân phối: 2 (  z)  ( P Z z)  e du    2 Gọi X là… Ta có X ~ …
 Tra bảng tìm giá trị
Quan trắc … các BNN X1, …, Xn lần lượt là… Tính chất: (  ) a  (   )
a  1 , P(a Z  ) b  (  ) b  (  a)
Các BNN này độc lập và có cùng pp như X. Đặt
S X  ...  X là…. Theo định lý giới hạn trung tâm, ta n 1 n
Phân phối chuẩn (liên tục) S n  có nN(0,1) . Do đó 2 (x  ) 1   n 2 X 2  N( ,   ) nếu 2 f(x)  e , x   2
Đặc trưng: E(X ) , 2
Var(X )  Tính chất: X * 2 X N( ,   ) thì  N (0,1)   * a   ( P X  ) a       