Tổng Hợp Đề Thi Môn Toán giải tích | Đại học Vinh

lOMoAR cPSD| 60701415 Mục lục
1 Đề thi .............................................................................................................................................................. 1
1.1 Năm 1993 ................................................................................................................................................... 1
1.2 Năm 1994 ................................................................................................................................................... 1
1.3 Năm 1995 ................................................................................................................................................... 2
1.4 Năm 1996 ................................................................................................................................................... 3
1.5 Năm 1997 ................................................................................................................................................... 4
1.6 Năm 1998 ................................................................................................................................................... 4
1.7 Năm 1999 ................................................................................................................................................... 5
1.8 Năm 2000 ................................................................................................................................................... 6
1.9 Năm 2001 ................................................................................................................................................... 6
1.10 Năm 2002 ................................................................................................................................................. 7
1.11 Năm 2003 ................................................................................................................................................. 8
1.12 Năm 2004 ................................................................................................................................................. 8
1.13 Năm 2005 ................................................................................................................................................. 9
1.14 Năm 2006 ............................................................................................................................................... 11
1.15 Năm 2007 ............................................................................................................................................... 11
1.16 Năm 2008 ............................................................................................................................................... 12
1.17 Năm 2009 ............................................................................................................................................... 13
1.18 Năm 2010 ............................................................................................................................................... 14
1.19 Năm 2011 ............................................................................................................................................... 14
1.20 Năm 2012 ............................................................................................................................................... 15
1.21 Năm 2013 ............................................................................................................................................... 16
1.22 Năm 2014 ............................................................................................................................................... 17
1.23 Năm 2015 ............................................................................................................................................... 18
1.24 Năm 2016 ............................................................................................................................................... 18
1.25 Năm 2017 ............................................................................................................................................... 19
1.26 Năm 2018 ............................................................................................................................................... 20
1.27 Năm 2019 ............................................................................................................................................... 22
1.28 Năm 2022 ............................................................................................................................................... 23
1.29 Năm 2023 ............................................................................................................................................... 24
1.30 Năm 2024 ............................................................................................................................................... 26 lOMoAR cPSD| 60701415 1 Đề thi 1.1 Năm 1993 Câu 1. a) Cho
. Tìm một nguyên hàm của f(x) trên R. b) Tính tích phân
Câu 2. Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm bậc hai liên tục và không đồng nhất bằng không trên
bất kỳ đoạn nào của R. Biết rằng đồ thị của hàm số y = f(x) cắt đường thẳng fax”(+x)byđổi dấu qua+
c = 0 tại ba điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tạix0. x0 ∈ R sao cho f”(x0) = 0 và Câu 3. Cho . Chứng minh rằng:
y(arctany − x) ≥ ln(cosxp1 + y2).
Khi nào thì xảy ra dấu đẳng thức?
Câu 4. Cho p(x) là đa thức hệ số thực, p(x) khác hằng. Chứng minh rằng nếu hệ phương trình (
x p(t)sintdt = 0 0
R R0 p(t)costdt = 0 x
có nghiệm thực thì số nghiệm thực chỉ có thể là hữu hạn. 1.2 Năm 1994
Câu 1. Cho n số nguyên dương,ak,bk ∈ R (k = 1,2,3,...). Chứng minh rằng phương trình
có nghiệm trong khoảng (−π,π).
Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm cấp một trên (0,∞) và không phải là hàm hằng. Cho
a,b là hai số thực thoả mãn điều kiện 0 < a < b. Chứng minh rằng,phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc Câu 3.
a) Cho hàm số f : [a,b] → [a,b] với a < b và thoả mãn điều kiện: lOMoAR cPSD| 60701415
|f(x) − f(y)| < |x − y|,
∀x,y ∈ [a,b] và x ̸= y.
Chứng minh rằng phương trình f(x) = x có duy nhất một nghiệm thuộc [a,b].
b) Cho hàm số f(x) khả vi trên [a,b] và với ∀x ∈ [a,b] thì |f′(x)| < |f(x)|. Chứng minh rằng f(x) ≡ 0
với ∀x ∈ [a,b]. Câu 4. Xét tích phân . a) Tính In. b) Chứng minh rằng: .
Câu 5. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = arctanx tại x = 0. Câu 6.
a) Chứng tỏ rằng tích phân
không phụ thuộc vào α . b) Tính 1.3 Năm 1995
Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục và nghịch biến trên [0,b] và cho a ∈ [0,b]. Chứng minh rằng: Câu 2. Xét đa thức
Chứng minh rằng nếu f(x) là đa thức bậc m (m < n) thì .
Câu 3. Chứng minh rằng hàm số
f(x) = (e−1/x2 khi x = 0̸ 0 khi x = 0
khả vi vô hạn tại x = 0.
Câu 4. Cho hàm số f(x) khả vi vô hạn trên R và thoả mãn các điều kiện: lOMoAR cPSD| 60701415
1) ∃M > 0 sao cho f(n)(x) ≤ M
∀x ∈ R ∀n ∈ N 2) . Chứng minh rằng khi đó:
f(x) ≡ 0, ∀x ∈ R.
Câu 5. Cho hàm số f(x) liên tục trên [0,1]. Chứng minh rằng: .
Câu 6. Tìm f : R → R thoả mãn các điều kiện:
i) f(x + y) ≤ f(x) + f(y) (∀x,y ∈ R) ii) . Câu 7. Tính . 1.4 Năm 1996
Câu 1. Khảo sát tính khả vi của hàm số
f(x) = |x − 1||x − 2||x − 3|...|x − 1996|.
Câu 2. Cho b ∈ R. Tính: .
Câu 3. Chứng minh rằng tồn tại hàm h(x) thoả mãn hai điều kiện sau: i) ii) .
Câu 4. Cho g(x) là đa thức bậc 1996. Biết rằng,ứng với mọi x ∈ R ta đều có:
g(x + h) = g(x) + hg′(x + h)θ(x,h)
trong đó θ(x,h) bị chặn và g′′(x) ̸= 0. Tính hlim→∞ θ(x,h).
Câu 5. Cho M > 0 và hàm số f(x) xác định và liên tục trên R sao cho
|f(x + y) − f(x) − f(y)| ≤ M.
Chứng minh rằng với ∀x ∈ R đều tồn tại giới hạn . lOMoAR cPSD| 60701415 1.5 Năm 1997
Câu 1. Cho A ∈ R \ {0}. Xét hàm số f(x) xác định, liên tục trên [0,+∞) và thoả mãn điều kiện lim f(x) = A. Tính: x→+∞ 1 lim Z
f(nx)dx. n→+∞ 0
Câu 2. Xác định tất cả các số dương a sao cho ax ≥ 1 + x, ∀x ∈ R.
Câu 3. Chứng minh rằng với mọi t > 0 thì phương trình x3 +tx−8 = 0 luôn có nghiệm dương duy nhất,
ký hiệu là x(t). Tính tích phân Câu 4. Tính .
Câu 5. Xét các đa thức P(x) với hệ số thực thoả mãn các điều kiện: . Chứng minh rằng: .
Câu 6. Chứng minh rằng tồn tại dãy số thực an với
sao cho cosan = ann. Tìm giới hạn của dãy đó. 1.6 Năm 1998
Câu 1. Cho f(x) là hàm liên tục khả vi trên [0,1] và f(0) = 0. Chứng minh rằng:
Câu 2. Cho f(x) là một hàm khả vi liên tục và dương trên khoảng (0,+∞). Chứng minh rằng nếu một trong hai hàm số
có giới hạn hữu hạn khi x → +∞ thì hàm số còn lại cũng có giới hạn khi x → +∞.
Câu 3. Giả sử a,b là hai số dương và a < b. Chứng minh rằng hàm số lOMoAR cPSD| 60701415
là hàm đơn điệu tăng. Tính giới hạn của f(x) khi x tiến tới ±∞.
Câu 4. Cho hàm số f(x) khả vi trên [0,1] và thoả mãn điều kiện
f(0) = 0,f(1) = 1, 0 ≥ f(x) ≥ 1, ∀x ∈ R
Chứng minh rằng tồn tại a,b ∈ [0,1],a ≠
b sao cho f′(a)f′(b) = 1.
Câu 5. Cho hàm số f : N → R thoả mãn điều kiện:
i) f(1) = 2; ii) f(1) + f(2) + ... + f(n) = n2f(n)
Tính lim n2f(n). n→∞ 1.7 Năm 1999 Câu 1.
a) Xác định các hàm f(x) thoả mãn điều kiện: .
b) Xác định hàm p(x) thoả mãn điều kiện: Tồn tại g(x) sao cho
p(x + ∆x) − p(x) = g(x)∆x + α(x,∆x)
trong đó |α(x,∆x)| ≥ c|∆x|3.
Câu 2. Cho hàm số f(x) khả vi trên [0,1] và thoả mãn điều kiện
f(0) = 0,f(1) = 1, 0 ≥ f(x) ≥ 1, ∀x ∈ R
Chứng minh rằng tồn tại a,b ∈ [0,1],a ≠
b sao cho f′(a)f′(b) = 1.
Câu 3. Cho hàm số f : N → R thoả mãn điều kiện:
i) f(1) = 2; ii) f(1) + f(2) + ... + f(n) = n2f(n)
Tính lim n2f(n). n→∞
Câu 4. Giả sử q(x) là hàm số dương và đơn điệu tăng trong (0,+∞) sao cho lOMoAR cPSD| 60701415 Chứng minh rằng: . Câu 5. Tính . 1.8 Năm 2000
Câu 1. Tìm tất cả các hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và thoả mãn điều kiện:
f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy, x,y ∈ R.
Câu 2. Cho hàm số g(x) liên tục trên [0,1] và khả vi trên (0,1), thoả mãn điều kiện g(0) = g(1) = 0.
Chứng minh rằng tồn tại c ∈ (0,1) sao cho g′(c) = g(c).
Câu 3. Cho a ∈ (0,1). Giả sử hàm số f(x) liên tục trên [0,1] và thoả mãn điều kiện f(0) = f(1) = 0.
Chứng minh rằng tồn tại b thuộc [0,1] sao cho, hoặc f(b) = f(b − a) hoặc f(b) = f(b − a + 1).
Câu 4. Giả sử a là một số thực cho trước. Xét dãy số thực xn được cho bởi hệ thức:
Xác định b để dãy xn hội tụ và hãy tính giới hạn của dãy trong trường hợp đó. Câu 5. Cho
hàm số f(x) xác định và liên tục trên [0,1] và thoả mãn điều kiện
với mọi x1,x2 ∈ [1,2] sao cho x1 ≤ x2. Chứng minh rằng . 1.9 Năm 2001
Câu 1. Cho hàm số f(x) có f”(x) > 0 với mọi x > 0 và đồ thị của f(x) có tiệm cận xiên y = ax + b khi x → +∞.
a) Chứng minh rằng hàm số g(x) = f(x) − ax − b có đạo hàm g′(x) ≤ 0 với mọi x > 0.
b) Chứng minh rằng đồ thị hàm số f(x) (với x > 0) luôn nằm phía trên của tiệm cận xiên.
Câu 2. Cho các số p > 0,q > 0,p + q < 1 và dãy số {an}n∈N không âm thoả mãn điều kiện an+2 ≤ pan+1 +
qan,n = 1,2,.... Chứng minh rằng dãy {an}n∈N hội tụ và hãy tìm giới hạn của dãy đó.
Câu 3. Chứng minh rằng tồn tại số thực x ∈ (0,1) sao cho lOMoAR cPSD| 60701415 .
Câu 4. Cho hàm số f xác định và có đạo hàm cấp 2 trên R và thoả mãn điều kiện f(x)+f”(x) ≥ 0 với
mọi x ∈ R. Chứng minh rằng f(x) + f(x + π) ≥ 0, ∀x ∈ R.
Câu 5. Cho hàm số f(x) xác định trên [1,+∞) và thoả mãn các điều kiện sau:
i) f(1) = a > 0, ii) f(x + 1) = 2001f2(x) + f(x),
∀x ∈ [1,+∞). Tìm .
Câu 6. Cho hàm số f(x) khả vi trên [a,b] và thoả mãn điều kiện
[f(x)]2 + [f′(x)]2 > 0,
∀x ∈ [a,b].
Chứng minh rằng số nghiệm của phương trình f(x) = 0 trên [a,b] là hữu hạn. 1.10 Năm 2002 Câu 1. Tính tích phân
Câu 2. Chứng minh rằng với mọi α ≤ 3, ta đều có .
Câu 3. Cho hàm số f(x) khả vi trên đoạn [a,b] và thoả mãn điều kiện
f(a) = f(b) = 0, f(x) = 0̸ , ∀x ∈ (a,b). Chứng minh
rằng tồn tại dãy xn, xn ∈ (a,b) sao cho .
Câu 4. Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định và liên tục trên (−∞,+∞) và thoả mãn điều kiện sau: .
Câu 5. Cho dãy số thực {un} được xác định như sau: . lOMoAR cPSD| 60701415
Chứng minh rằng {un} là một dãy hội tụ.
Câu 6. Cho hàm số f(x) liên tục trên [1,e] và cho dãy số Jn xác định như sau: Tìm giới hạn của dãy. 1.11 Năm 2003
Câu 1. Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định và liên tục trên R thoả mãn điều kiện:
f(x + 2002)(f(x) + √2003) = −2004, ∀x ∈ R.
Câu 2. Xác định tất cả các hàm số f(x) liên tục trên [0,1], khả vi trên (0,1) và thoả mãn các điều kiện:
(f(0) = f(1) = 1 ≤ ∀ ∈
2003f′(x) + 2004f(x)
2004, x (0,1).
Câu 3. Cho hàm số f(x) khả vi trên [a,b] (a < b) và thoả mãn các điều kiện: .
Chứng minh rằng luôn tồn tại các số c1,c2,c3 phân biệt thuộc (a,b) để
f′(c1)f′(c2)f′(c3) = 1. Câu 4. Cho dãy số . Tính giới hạn .
Câu 5. Cho hàm số f(x) liên tục trên sao cho . Chứng
minh rằng phương trình f(x) = sinx có ít nhất một nghiệm trong khoảng .
Câu 6. Cho hai hàm số f,g : [a,b] → [a,b] (a < b) liên tục trên [a,b] và thoả mãn các điều kiện:
i) f(g(x)) = g(f(x)), ∀x ∈ [a,b]. ii) f(x) là
hàm đơn điệu trên [a,b].
Chứng minh rằng tồn tại x0 ∈ [a,b] sao cho f(x0) = g(x0) = x0. 1.12 Năm 2004
Câu 1. Cho dãy số {xn} được xác định như sau: Tính . lOMoAR cPSD| 60701415
Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục và dương trên [0,+∞). Chứng minh rằng hàm số
đồng biến trên [0,+∞).
Câu 3. Cho 0 < a < b. Tính tích phân a) và tính b) 1
lim[I(λ)]λ λ→0
Câu 4. Xác định các hàm số f(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau ,
(ii) f(x + y) ≥ f(x)f(y),∀x,y ∈ R.
Câu 5. Cho đa thức P(x) thoả mãn điều kiện P(a) = P(b) = 0 với a < b. Đặt M = max |P ′′(x)|.
a≤x≤b Chứng minh rằng a) b) . 1.13 Năm 2005
Câu 1. Cho dãy số {xn}(n = 1,2,3,...) được xác định bởi công thức truy hồi sau xn+1 = xn2−2, x1 = 5. Tìm giới hạn .
Câu 2. Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a,b](a < b) và thỏa mãn điều kiện .
Chứng minh rằng tồn tại c ∈ (a,b) sao cho
Câu 3. Cho số dương a và hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R sao cho f′(x) ≥ a với mọi x ∈ R. Biết rằng lOMoAR cPSD| 60701415
Chứng minh rằng khi đó trên đoạn
, phương trình f(x) = 0 có duy nhất nghiệm.
Câu 4. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0,1] và thoả mãn điều kiện . Hãy chứng minh lOMoAR cPSD| 60701415
Câu 5. Giả sử f(x) là hàm số có đạo hàm cấp 2 liên tục trên R và thoả mãn điều kiện f(0) = f(1) = a. Chứng minh rằng ,
với. Cho một mở rộng kết quả trên đối với đoạn [α,β] ∈ R. , 1.14 Năm 2006
Câu 1. Cho dãy số (xn) xác định theo hệ thức sau
x1 = 2, x1 + x2 + x3 + ... + xn = n2xn, n ≥ 2. Tính x2006.
Câu 2. Cho hàm số f(x) khả vi trên R. Giả sử tồn tại các số p > 0 và q ∈ (0;1) sao cho
|f(x)| ≤ p, |f′(x)| ≤ q, ∀x ∈ R.
Chứng minh rằng dãy số (xn) được xác định bởi hệ thức x0 = 0,xn+1 = f(xn) hội tụ.
Câu 3. Tìm tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện
P(0) = 0, 0 ≤ P ′(x) ≤ P(x), ∀x ∈ (0;1).
Câu 4. Cho hàm số liên tục f : [0;1] → [0;+∞). Đặt
và ta giả sử rằng luôn có
g(x) ≥ [f(x)]2 , ∀x ∈ [0;1].
Chứng minh rằng g(x) ≤ (1 + x)2.
Câu 5. Tồn tại hay không hàm số liên tục f : [a;b] → [a;b] với a < b và thỏa mãn bất đẳng thức
|f(x) − f(y)| > |x − y|, ∀x,y ∈ [a;b], x ≠ y.
Câu 6. Xác định các dãy số (xn) biết rằng
x2n+1 = 3xn + 2, ∀n = 0,1,2,... 1.15 Năm 2007 Câu 1. Tính tích phân .
Câu 2. Cho dãy số (xn) được xác định bởi: .
Tìm liên hệ giữa xn,xn−1 với n ≥ 1. Từ đó, tính tổng S = x0 + 2x1 + 4x2 + ... + 22007x2007. lOMoAR cPSD| 60701415
Câu 3. Tìm tất cả các hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện sau .
Câu 4. Cho a,b,c,α là các số thực α ≠
c − b. Dãy số (un),(vn) được xác định bởi công thức .
Biết rằng limun = α. Tính giới hạn của limvn.
Câu 5. Cho hàm số f(x) xác định và khả vi trên [0;+∞). Biết rằng tồn tại
lim [f(x) + f′(x)] = 1. x→+∞ Tính lim f(x). x→+∞
Câu 6. Chứng minh rằng nếu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với a,b,c ∈ R và a ̸= 0 có hai nghiệm
thực phân biệt thì có ít nhất một nguyên hàm của nó là đa thức bậc ba có các nghiệm đều là số thực. 1.16 Năm 2008
Câu 1. Dãy số (an) được xác định như sau Tính a2008. Câu 2. Tính giới hạn .
Câu 3. Giả sử hàm số f(x) liên tục trên [0;π] và f(0) = f(π) = 0 thỏa mãn |f′(x)| < 1 với x ∈ (0;π). Chứng minh rằng:
a) Tồn tại c ∈ (0;π) sao cho f′(c) = tanf(c). b)
với mọi x ∈ (0;π).
Câu 4. Cho hàm số f(x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn điều kiện xf(y) + yf(x) ≤ 1 với x,y ∈ [0;1]. Chứng minh rằng . lOMoAR cPSD| 60701415
Câu 5. Giả sử hàm số f(x) liên tục trên [0;1] và f(0) = 0,f(1) = 1, khả vi trong (0;1). Chứng minh rằng
với mọi α ∈ (0;1), luôn tồn tại x1,x2 ∈ (0;1) sao cho . Câu 6. Cho hàm số
x ∈ R f(x) xác định và
liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện . Chứng minh
rằng tồn tại c ∈ [0;π] sao cho f(c) = g(c). 1.17 Năm 2009
Câu 1. Giả sử dãy số (xn) được xác định bởi công thức
x1 = 1,x2 = 1, xn = (n − 1)(xn−1 + xn−2), n =
(3 ,4,5,... Tính x2009.
Câu 2. Cho hàm số f : [0,1] → R có đạo hàm cấp hai, liên tục và có f′′(x) > 0 trên [0,1]. Chứng minh rằng .
Câu 3. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện
f(x) ≤ 4 + 2009x, ∀x ∈ R f(x + y) ≤ f(x) +
( f(y) − 4, ∀x,y ∈ R
Câu 4. Giả sử f(x),g(x) là các hàm số liên tục trên R thỏa mãn f(g(x)) = g(f(x)),∀x ∈ R. Chứng minh
rằng nếu phương trình f(x) = g(x) không có nghiệm thực, phương trình f(f(x)) = g(g(x)) cũng không có nghiệm thực.
Câu 5. Cho hai dãy số (xn),(yn) xác định bởi công thức
Chứng minh rằng xnyn ∈ (2,3) với n = 2,3,4,... và
lim yn = 0. n→+∞
Câu 6. (Thí sinh chọn một trong hai câu)
a) Cho P(x) là đa thức bậc n có hệ số thực. Chứng minh rằng phương trình 2x = P(x) có không quá n + 1 nghiệm thực.
b) Cho f(x) − x,f(x) − x3 là những hàm số đơn điệu tăng trên R. Chứng minh rằng hàm số
cũng là hàm số đơn điệu tăng trên R. lOMoAR cPSD| 60701415 1.18 Năm 2010
Câu 1. Cho hàm số f(x) = ln(x + 1).
a. Chứng minh rằng với mọi x > 0, tồn tại duy nhất số thực c thỏa mãn f(x) = xf′(c) mà ta kí hiệu là c(x). b. Tính giới hạn .
Câu 2. Cho dãy (xn) xác định bởi x1 = 1,xn+1 = xn(1 + xn2010 ) với n = 1,2,3,... Tính giới hạn sau .
Câu 3. Cho số thực a và hàm số f(x) khả vi trên [0;+∞) thỏa mãn các điều kiện f(0) ≥ 0 và f(x) +
af′(x) ≥ 0 với mọi x ∈ [0;+∞). Chứng minh rằng f(x) ≥ 0 với mọi x ≥ 0.
Câu 4. Cho hàm số f(x) khả vi liên tục trên [0;1]. Giả sử rằng .
Chứng minh rằng tồn tại điểm c ∈ (0;1) sao cho f′(c) = 6.
Câu 5. Cho đa thức P(x) bậc n có hệ số thực sao cho. Chứng
minh rằng P(x) có ít nhất một nghiệm x0 với |x0| ≥ 1.
Câu 6. (Thí sinh chọn một trong hai câu)
a. Xác định hàm số f(x) khả vi liên tục trên .
b. Tìm tất cả các hàm số f : R → R liên tục thỏa mãn f(1) = 2010 và
f(x + y) = 2010xf(y) + 2010yf(x) với mọi x,y ∈ R. 1.19 Năm 2011 Câu 1. Cho hàm số .
a) Chứng minh rằng f(x) = x có nghiệm duy nhất trong đồng biến.
b) Chứng minh rằng dãy (un) xác định bởi u1 = 1,un+1 = f(un) thỏa mãn . Câu 2. Tính tích phân .
Câu 3. Cho hai dãy số (xn) và (yn) thỏa mãn với n ∈ N.
a. Chứng minh rằng các dãy (xn + yn), (xnyn) là những dãy đơn điệu tăng. lOMoAR cPSD| 60701415
b. Giả sử rằng (xn),(yn) bị chặn. Chứng minh rằng chúng cùng hội tụ về một điểm.
Câu 4. Cho α,β ∈ R thỏa mãn điều kiện . Tìm min|α − β|.
Câu 5. Ta gọi đoạn thẳng [α,β] là đoạn thẳng tốt nếu với mọi bộ số a,b,c thỏa mãn điều kiện
2a + 3b + 6c = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm thực thuộc đoạn [α,β]. Trong tất cả các
đoạn thẳng tốt, tìm đoạn có độ dài nhỏ nhất.
Câu 6. (Thí sinh chọn một trong hai câu)
a) Tìm hàm số f : R → R thỏa mãn (x−y)f(x+y)−(x+y)f(x−y) = 4xy(x2 −y2),∀x,y.
b) Cho hàm số f liên tục trên
và thỏa mãn điều kiện với mọi . Chứng minh rằng . 1.20 Năm 2012
Câu 1. Cho dãy số (an) thỏa mãn điều kiện .
Tìm α để dãy (an) hội tụ.
Câu 2. Cho đa thức P(x) có bậc không nhỏ hơn 1 có hệ số thực và đa thức Q(x) xác định bởi Q(x) =
(2012x2 +1)P(x)P ′(x)+2012x((P(x))2 +(P ′(x))2). Giả sử P(x) = 0 có đúng n nghiệm thực phân biệt trong khoảng
, chứng minh Q(x) = 0 có ít nhất 2n − 1 nghiệm thực phân biệt. Câu 3. Tính tích phân .
Câu 4. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn .
Câu 5. Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;2012] và thỏa mãn
với mọi x ∈ [0;2012]. Chứng minh có
nghiệm trong khoảng (0;2012).
Câu 6. (Thí sinh chọn một trong hai câu) 1
a. Cho hàm số f(x) khả vi liên tục cấp 2
trên R. Giả sử f(1) =
0 và R f(x)dx = 0. Chứng minh rằng với mọi α ∈ (0;1), ta có lOMoAR cPSD| 60701415
b. Cho hàm số f : [0;1] → R là hàm lõm (còn gọi là lồi lên phía trên), khả vi liên tục thỏa mãn
f(0) = f(1) = 0. Chứng minh . 1.21 Năm 2013
Câu 1. Cho x1 = a ∈ R và dãy (xn) được xác định bởi (n + 1)2xn+1 = n2xn + 2n + 1. Tìm lim xn.
Câu 2.n→∞Tìm giới hạn
Câu 3. Cho α ≥ β > 0. Hãy tìm các hàm số f : (0,∞) → R thỏa mãn điều kiện
f(x) = max{xαyβ − f(y) : y ≥ x}
với mọi x ∈ (0,∞).
Câu 4. Cho hàm f(x) liên tục trên [0,1] và khả vi trong (0,1), thỏa mãn f(0) = 0;f(1) = 1.
Chứng minh rằng tồn tại các số phân biệt x1,x2,...,x2013 ∈ (0,1) sao cho .
Câu 5. Cho f(x) là hàm dương, liên tục trên đoạn [0,1] và thỏa mãn điều kiện
f(x) + f((1 − √x )2) ≤ 1
với mọi x ∈ [0,1]. Chứng minh rằng .
Hãy chỉ ra rằng dấu đẳng thức không thể xảy ra. Câu 6. Thí
sinh chọn một trong hai câu:
1) Cho (an) là dãy số dương sao cho chuỗi số
hội tụ. Chứng minh rằng tồn tại dãy số dương (b =
n) sao cho limn→∞ bn ∞ và chuỗi cũng hội tụ.
2) Cho hàm số f(x) liên tục trên [0,1]. Chứng minh rằng nếu tồn tại hàm g(x) đơn điệu thực sự (tức
là đơn điệu và g(x) ≠
g(y) nếu x ≠ y) và liên tục trên đoạn [0,1] sao cho
với mọi k = 0,1,2,...,2013.
thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 2014 nghiệm phân biệt nằm trong khoảng (0,1). Hãy chỉ ra
thí dụ nếu bỏ tính đơn điệu của hàm g(x) thì định lý có thể không đúng. lOMoAR cPSD| 60701415 1.22 Năm 2014
Câu 1. Cho dãy số (un) thỏa mãn u1 = 1 và un+1 =
un2 + an, n 1, trong đó a 0. Tìm
a sao cho (un) hội tụ và tìm giới hạn đó. p ∀ ≥ ≥
Câu 2. Cho hai hàm f(x) và g(x) xác định trên R và thỏa mãn điều kiện
(f(x) − f(y))(g(x) − g(y)) = 0,
với mọi x,y ∈ R. Chứng minh ít nhất một trong hai hàm f hoặc g là hàm hằng. Câu 3. 1) Cho
hàm số f đơn điệu trên (0,∞) và . Chứng minh rằng
lim f(x) = +∞. x→+∞
2) Kết luận trên còn đúng không khi f là hàm liên tục trên [0,∞) nhưng không đơn điệu trên khoảng đó? Tại sao?
Câu 4. Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định, liên tục trên đoạn [0,1], khả vi trong khoảng (0,1) và thỏa mãn điều kiện .
Câu 5. Cho dãy số (xn) được xác định bởi xn+2 = √xn+1 + √xn, n ≥ 0. Tìm lim xn với điều n→∞
kiện x0 ≥ 4;x1 ≥ 4.
Câu 6a. (Thí sinh chọn một trong hai câu) Cho (an) là dãy số xác định bởi . n lần
Hãy chứng minh rằng chuỗi số hội tụ.
Câu 6b. Cho f là hàm số liên tục trên [0,+∞). Giả sử rằng . Chứng minh rằng
với mọi x ≥ 0. lOMoAR cPSD| 60701415 1.23 Năm 2015
Câu 1. Cho dãy số (an) được xác định bởi công thức truy hồi:
1. Chứng minh rằng (an) là một dãy đơn điệu.
2. Biết a0 = 1, hãy tìm lim an. n→∞
3. Tìm điều kiện của a0 để dãy (an) có giới hạn hữu hạn. Trong trường hợp này, hãy tìm
lim nan. n→∞
Câu 2. Cho α,β là hai số thực bất kỳ mà |α| ̸= |β|. Tìm tất cả các hàm f : R → R liên tục tại 0 và thỏa
mãn phương trình f(αx) = f(βx) + x2
với mọi x ∈ R. Có tồn tại hàm f thỏa mãn các điều kiện nói trên không nếu |α| = |β|?
Câu 3. Cho f là một hàm nhận giá trị thực, xác định và liên tục trên [0,1]. Chứng minh rằng tồn tại
các số x1,x2,x3 ∈ (0,1) sao cho .
Câu 4. Cho f : [0,∞) → [0,∞) là một hàm liên tục. Biết rằng tồn tại giới hạn ,
hãy tìm lim √3 xf (x). x→∞
Câu 5. Cho (an) là một dãy đơn điệu giảm, không âm, sao cho chuỗi hội tụ. Chứng minh rằng chuỗi cũng hội tụ. 1.24 Năm 2016 Câu 1 . Cho
là dãy số được xác định bởi các điều kiện u1 = a,
un+1 = u2n − un + 1 ∀n ≥ 1.
1. Tìm tất cả các giá trị thực của a để dãy số hội tụ.
2. Tìm giới hạn của dãy số khi nó hội tụ.
Câu 2. Phần nguyên của số thực x được định nghĩa là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, và
được kí hiệu là [x]. Hiệu x − [x] được gọi là phần lẻ của x, và được kí hiệu là {x}. Giả sử a,b là các số
thực dương và n là số tự nhiên. Chứng minh rằng
lim (a{nb} + b{na}) = 0 n→∞
khi và chỉ khi a và b là các số nguyên.
Câu 3. Cho a ≥ 1 là một số thực và f : R → R là một hàm số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: lOMoAR cPSD| 60701415
ˆ (f(ax))2 ≤ a3x2f(x) với mọi số thực x;
ˆ f bị chặn trên trong một lân cận nào đó của 0. Chứng minh rằng
với mọi số thực x.
Câu 4. Cho f : R → R là một hàm số khả vi vô hạn lần và thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
f(0)f′(0) ≥ 0,
lim f(x) = 0. x→+∞
1. Chứng minh rằng tồn tại một dãy số
tăng ngặt và không âm sao cho
f(n)(xn) = 0
với mọi số nguyên dương n (trong đó, f(n) kí hiệu đạo hàm cấp n của f).
2. Tồn tại hay không một hàm số f thỏa mãn mọi yêu cầu của đề bài và không đồng nhất bằng 0?
Câu 5. Với mỗi số thực 0 < a = 1̸
, gọi fa là hàm số được xác định trên khoảng (1,∞) bởi công thức .
1. Chứng minh rằng fa là một phép đồng phôi, tức là một song ánh liên tục, từ khoảng (1,∞) lên
một khoảng Ia ⊂ R nào đó sao cho ánh xạ ngược fa−1 : Ia → (1,∞) cũng liên tục. 2. Tìm Iα. 1.25 Năm 2017 Câu 1. Cho
là dãy số được xác định bởi các điều kiện . Chứng minh rằng dãy số
hội tụ và tìm giới hạn của nó.
Câu 2. Cho f : (0,∞) → (0,∞) là một hàm số khả vi liên tục. Chứng minh rằng .
Kết luận trên còn đúng hay không nếu ta thay số 2017 bởi số 1?
Câu 3. Giả sử f : R → R là một hàm số liên tục thỏa mãn đồng thời hai điều kiện .
1. Tìm một ví dụ về hàm số liên tục f thỏa mãn cả hai điều kiện trên.