Tổng hợp kiến thức chương 1 đến 7 môn Xác suất thống kê| Trường Đại học Ngoại Thương

Dương Đại Hải: haidd.frc@gmail.com
https://www.facebook.com/haicucai1112/
Tổng hợp kiến thức và kinh nghiệm Xác suất thống kê Phần I: Xác suất
Phần xác suất trong môn XSTK thực sự phải nói là dễ hiểu nhưng khó làm,
thế nên học phần này thì nên HIỂU công thức, để khi các thầy cô biến hóa thì còn
biết cách vận dụng vào bài. Đặc biệt trong phần này các thầy cô rất thích làm cho
đề bài trở nên khó hiểu, nên cần đọc kỹ, phân tích để áp dụng đúng công thức cho
từng bài. Nói chung phần này quan trọng nhất là đọc kỹ đề bài, viết ra được các
biến cố và tham số đề bài cho (đôi khi ngôn từ khó hiểu nên đọc mãi không tìm
thấy đâu) sau đó áp dụng công thưc phù hợp
Chương 1: Biến cố và xác suất của biến cố.
1. Công thức cộng, công thức nhân:
P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)
P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) 2. Công thức Bernoulli: C p np − P 1 ( −) n(k) = k k n k
3. Công thức xác suất đầy đủ: P(A) = n P (H ).P (A| H ) 4. Công thức Bayes: ii 1 = i P(H
P (H ).P (A / H ) = P (H ).P (A / H ) ( in= 1,2...... ) i/A) = i i i P() i A n P(H ).P (A / H ) ii =
Chương 2: Biến ngẫu nhiên. 1 i
1. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên:
a. Bảng phân phối xác suất: xi x1 x2 ... xn pi p1 p2 ... pn
Fanpage: https://www.facebook.com/FRC.community/
Dương Đại Hải: haidd.frc@gmail.com
https://www.facebook.com/haicucai1112/
b. Hàm phân bố xác suất:
F(x) = P(X- Các tính chất: i) 0 F(x) 1
ii) Hàm phân bố F(x) là hàm không giảm, tức là với x2>x 1 thì: F(x2) F(x1)
+ Hệ quả 1: P(a < X < b) = F(b) - F(a).
+ Hệ quả 2: Xác suất để biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị xác định bằng không: P(X=x0) = 0
+ Hệ quả 3: P(a X b) = P(a Xvi) Ta có biểu thức giới hạn sau: lxim → F−x = ( ) 0 , lxim → F +x =( ) 1
+ Hệ quả: Nếu X chỉ nhận giá trị trong [a,b] thì với x
a, F(x) = 0, và với x>b, F(x)=1.
c. Hàm mật độ xác suất: f(x) = F’(x) - Các tính chất: i) f(x) 0 x b ii) ( ) ( ) P a X
b = f x dx = F(b) – F(a) (phần diện tích) a x iii) F ( ) x ( f )x dx = = P(X− + iv) f ( ) x dx 1 = −
2. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên: a. Kỳ vọng (trung bình): - Biến rời rạc n E ()X = x p ii i 1 =
Fanpage: https://www.facebook.com/FRC.community/
Dương Đại Hải: haidd.frc@gmail.com
https://www.facebook.com/haicucai1112/ - Biến liên tục +∞
𝐸(𝑋)= ∫ 𝑥. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −∞ +∞
𝐸(𝑔(𝑥))= ∫ 𝑔(𝑥). 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −∞ b. Phương sai: V(X) = E[X-E(X)] 2 = E(X2) – [E(X)]2 c. Độ lệch chuẩn: XVX = ( )
d. Trung vị: MED(X) là giá trị của biến ngẫu nhiên X mà chia xác suất
thành 2 phần bằng nhau và bằng 0.5
e. Mốt MOD(X) là giá trị X xảy ra nhiều nhất (giá trị có xác suất cao nhất
hoặc là cực đại của hàm mật độ xác suất)
Chương 3: Quy luật phân phối xác suất.
1. Quy luật không một A(p): E(X) = p V(X) = p.q
2. Quy luật Bernoulli B(n,p): E(X) = np V(X) = npq
3. Quy luật Poisson P(𝝀): E(X) = V(X) = 𝜆
4. Quy luật phân phối đều U(a,b): E(X) = 𝑎+𝑏 2 V(X) = (𝑏−𝑎)2 12
5. Quy luật lũy thừa E(𝝀): E(X) = 1 𝝀 V(X) = 1 𝝀𝟐
6. Quy luật phân phối chuẩn N(𝝁, 𝝈𝟐): E(X) = 𝜇 V(X) = 𝜎2
Fanpage: https://www.facebook.com/FRC.community/
Dương Đại Hải: haidd.frc@gmail.com
https://www.facebook.com/haicucai1112/ Phần II: Thống kê
Phần này thì lại ngược lại với phần xác suất =)))) nếu phần xác suất dễ hiểu nhưng
khó làm thì phần này dễ làm nhưng cực khó hiểu. Bù lại thì chỉ cần thuộc công
thức, lắp vào là làm được thôi, hơn nữa thì phần này các thầy cô cũng không biến
hóa hay làm khó gì được mình cho lắm, chỉ cần thuộc công thức là vào phòng thi
tự tin quẩy tung 6 điểm thống kê thôi.
Chương 5: Tổng thể và mẫu. Tham số Tổng thể Mẫu Kích thước N n Trung bình 𝜇
𝑋 = ∑𝑥𝑖.𝑝𝑖 = ∑𝑥𝑖.𝑛𝑖 ∑𝑛 Phương sai ( trung bình 𝑠 )𝟐.𝑛𝑖 2=∑(𝑥𝑖 −𝑋
của bình phương độ sai 𝑛−1 lệch) 𝜎2
𝑠∗2 =∑(𝑥𝑖 −𝜇)𝟐.𝑛𝑖 𝑛 Độ lệch chuẩn 𝑠 𝜎 𝑠 ∗ Tỷ lệ 𝑝 = 𝑀 𝑓 = 𝑚 𝑁 𝑛
Fanpage: https://www.facebook.com/FRC.community/
Dương Đại Hải: haidd.frc@gmail.com
https://www.facebook.com/haicucai1112/
Chương 6: Ước lượng tham số tổng thể. 1. Ước lượng 𝝁: Đã biết 𝝈𝟐 Chưa biết 𝝈𝟐 Ước lượng đối −𝜎 +𝜎 −𝑆 +𝑆 𝑋
√𝑛. 𝑈𝛼/2 < 𝜇 < 𝑋 √𝑛. 𝑈𝛼/2 xứng 𝑋 √𝑛. 𝑡𝛼/2 𝑛−1 < 𝜇 < 𝑋 √𝑛. 𝑡𝛼/2 𝑛−1 Độ chính xác 𝜀 = 𝜎 √ 𝜀 = 𝑆 𝑛. 𝑈𝛼 𝑛−1 2 √𝑛. 𝑡𝛼 Ước lượng tối +𝜎 +𝜎 𝜇 < 𝑋 √𝑛. 𝑈 𝑛−1 𝛼 𝜇 < 𝑋 √𝑛. 𝑡𝛼 đa Ước lượng tối −𝜎 − 𝑋 √𝑛. 𝑈 𝑆 𝛼< 𝜇 √ thiểu 𝑋
𝑛. 𝑡𝛼𝑛−1 < 𝜇 Giá trị tới hạn
U – đã được tính sẵn trong phụ lục 6
T – đã được tính sẵn trong phụ lục 8 2. Ước lượng 𝝈𝟐: Đã biết 𝝁 Chưa biết 𝝁 Ước lượng đối 𝑛. 𝑆 2( ∗ 𝑛 2
) < 𝜎2< 𝑛. 𝑆∗2 (𝑛 −2 1 ( ) 𝑛 . − 𝑆 1) 2
< 𝜎2< (𝑛 − 1). 𝑆2 xứng 2( 2( 𝜒 𝑛) 𝑛−1) 𝛼/2 𝜒1−𝛼/2 𝜒𝛼/2 𝜒1−𝛼/2 Ước lượng tối
0 < 𝜎2< 𝑛. 𝑆∗2
0 < 𝜎2< (𝑛 − 1). 𝑆2 đa 2( 2( 𝜒 𝑛) 𝑛−1) 1−𝛼 𝜒1−𝛼 Ước lượng tối 𝑛. 𝑆∗2 (𝑛 − 1). 𝑆2 thiểu 2(𝑛) < 𝜎2 2(𝑛−1) < 𝜎2 𝜒𝛼 𝜒𝛼 Giá trị tới hạn
𝜒2- đã được tính sẵn trong bảng phụ lục 7
Fanpage: https://www.facebook.com/FRC.community/
Dương Đại Hải: haidd.frc@gmail.com
https://www.facebook.com/haicucai1112/ 3. Ước lượng p: Ước lượng p Ước lượng đối 𝑓 − √𝑓(1 − √ 𝑓
𝑛. )𝑈𝛼/2 < 𝑝 < 𝑓 + √𝑓(1 − 𝑓) xứng √𝑛. 𝑈𝛼/2 Độ chính xác 𝜀 = √𝑓(1 − 𝑓) √𝑛. 𝑈𝛼/2 Ước lượng tối
𝑝 < 𝑓 + √𝑓(1 − 𝑓) đa √𝑛. 𝑈𝛼 Ước lượng tối 𝑓 − √𝑓(1 − 𝑓) thiểu √𝑛. 𝑈𝛼< 𝑝 Giá trị tới hạn
U – đã được tính sẵn trong bảng phụ lục 6
Fanpage: https://www.facebook.com/FRC.community/
Dương Đại Hải: haidd.frc@gmail.com
https://www.facebook.com/haicucai1112/
Chương 7: Kiểm định tham số tổng thể. 1. Kiểm định 𝝁: Đã biết 𝝈𝟐 Chưa biết 𝝈𝟐 Cặp giả thuyết thống {𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 {𝐻0: 𝜇 ≥ 𝜇0 {𝐻0: 𝜇 ≤ 𝜇0 kê 𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0 𝐻1: 𝜇 < 𝜇0 𝐻1: 𝜇 > 𝜇0
𝑇𝑞𝑠 = (𝑋 − 𝜇0).√𝑛 Tiêu chuẩn kiểm định
𝑈𝑞𝑠 = (𝑋 − 𝜇0).√𝑛 𝜎 𝑆
𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0 𝑤𝛼=(−∞; −𝑈𝛼/2)∪(𝑈𝛼/2; +∞)
𝑤𝛼=(−∞; −𝑡𝛼/2 𝑛−1)∪(𝑡𝛼/2𝑛−1; +∞) Miền bác bỏ 𝐻1: 𝜇 < 𝜇0
𝑤𝛼=(−∞; −𝑈𝛼) 𝑤𝛼=(−∞; −𝑡𝛼 𝑛−1) 𝐻1: 𝜇 > 𝜇0 𝑤𝛼=(𝑈𝛼; +∞)
𝑤𝛼=(𝑡𝛼 𝑛−1; +∞) 2. Kiểm định 𝝈𝟐: Đã biết 𝝁 Chưa biết 𝝁 Cặp giả thuyết thống {𝐻0: 𝜎2= 𝜎0 2 {𝐻0: 𝜎2≥ 𝜎0 2 {𝐻0: 𝜎2≤ 𝜎0 2 kê 𝐻1: 𝜎2≠ 𝜎0 2 𝐻1: 𝜎2< 𝜎0 2 𝐻1: 𝜎2> 𝜎0 2 Tiêu chuẩn kiểm 2= 𝑛. 𝑆2 2= (𝑛 − 1). 𝑆2 định 𝜒𝑞𝑠 𝜎02 𝜒𝑞𝑠 𝜎02
Miền 𝐻1: 𝜎2≠ 𝜎0 2 𝑤𝛼=(0; 𝜒1−𝛼/22(𝑛) )∪(𝜒𝛼/2 2(𝑛);+∞) 𝑤𝛼=(0; 𝜒1−𝛼/22(𝑛−1))∪(𝜒𝛼/22(𝑛−1); +∞) bác bỏ 𝐻1: 𝜎2< 𝜎0 2
𝑤𝛼=(0; 𝜒1−𝛼2(𝑛))
𝑤𝛼=(0; 𝜒1−𝛼2(𝑛−1)) 𝐻1: 𝜎2> 𝜎0 2
𝑤𝛼=(𝜒𝛼 2(𝑛); +∞)
𝑤𝛼=(𝜒𝛼 2(𝑛−1); +∞)
Fanpage: https://www.facebook.com/FRC.community/
Dương Đại Hải: haidd.frc@gmail.com
https://www.facebook.com/haicucai1112/ 3. Kiểm định p:
Cặp giả thuyết thống kê {𝐻0: 𝑝 = 𝑝𝑜 {𝐻0: 𝑝 ≥ 𝑝𝑜 {𝐻0: 𝑝 ≤ 𝑝𝑜 𝐻1: 𝑝 ≠ 𝑝 𝐻 𝑜 𝐻1: 𝑝 < 𝑝𝑜 1: 𝑝 > 𝑝𝑜 Tiêu chuẩn kiểm định
𝑈𝑞𝑠 =𝑓 − 𝑝𝑜 √𝑝𝑜(1 − 𝑝𝑜) 𝑛 Miền bác 𝐻1: 𝑝 ≠ 𝑝𝑜
𝑤𝛼=(−∞; −𝑈𝛼/2)∪(𝑈𝛼/2; +∞) bỏ 𝐻1: 𝑝 < 𝑝𝑜
𝑤𝛼=(−∞; −𝑈𝛼) 𝐻1: 𝑝 > 𝑝𝑜 𝑤𝛼=(𝑈𝛼; +∞)
Fanpage: https://www.facebook.com/FRC.community/