250 trang
61 lượt tải
TOP 10 đề thi thử tốt nghiệp THPT Toán 2024 (có lời giải chi tiết)
121
TOP 10 đề thi thử tốt nghiệp THPT Toán 2024 có lời giải chi tiết. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 250 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!
Chủ đề: Đề thi THPTQG môn Toán năm 2024 128 tài liệu
Môn: Toán 2 K tài liệu
Tác giả:
Danh sách Quiz
Trang 1
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2024
ĐỀ 1
Bài thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1: Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức
z
. Số phức
z
là:
A.
12i−
. B.
2 i+
. C.
12i+
. D.
2 i−
.
Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số
( )
2
log 2 1yx=+
.
A.
( )
2
2 1 ln2
y
x
=
+
B.
( )
1
2 1 ln2
y
x
=
+
C.
2
21
y
x
=
+
D.
1
21
y
x
=
+
Câu 3: Đạo hàm của hàm số
2024
yx=
trên tập số thực là
A.
2023
2024.yx
=
. B.
2024
2023.yx
=
. C.
2024
2025.yx
=
. D.
2024
2023
y
x
=
.
Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình
5
3 27
x−
là
A.
(
;8−
. B.
( )
8;+
. C.
)
8;+
. D.
( )
;8−
.
Câu 5: Cho cấp số cộng
( )
n
u
có số hạng đầu
1
3u =
và công sai
2d =
. Giá trị của
7
u
bằng
A.
15
. B.
17
. C.
19
. D.
13
.
Câu 6: Trong không gian
Oxyz
, cho
( ) ( ) ( )
9;0;0 , 0;9;0 , 0;0;9A B C
. Tìm tọa độ của một vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng
( )
ABC
.
A.
( )
1;2;3
. B.
( )
81;81;81
. C.
( )
9;0;0
. D.
( )
9;0;9
.
Câu 7: Cho hàm số
( )
42
,,= + + y ax bx c a b c R
có đồ thị là đường
cong trong hình bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho
và trục tung là
A.
( )
0; 2−
. B.
( )
2;0−
.
C.
( )
0; 1−
. D.
( )
1;0−
.
Câu 8: Nếu
( )
3
1
d5f x x
−
=−
và
( )
5
3
d1f x x =
thì
( )
5
1
df x x
−
bằng
A.
6
. B.
4−
.
C.
4
. D.
6−
.
Câu 9: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị
như hình vẽ?
Trang 2
A.
21
1
x
y
x
+
=
−
. B.
1
1
x
y
x
−
=
+
.
C.
21
1
x
y
x
−
=
−
. D.
2
1
x
y
x
−
=
−
.
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 4 2 6 2 0S x y z x y z+ + − + + − =
. Tọa
độ tâm
I
và bán kính
R
của
( )
S
là
A.
( )
2;1;3I −
,
4R=
. B.
( )
2; 1; 3I −−
,
4R=
.
C.
( )
2;1;3I −
,
23R=
. D.
( )
2; 1; 3I −−
,
12R=
.
Câu 11: Trong không gian
,Oxyz
cho hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
lần lượt có hai vectơ pháp tuyến là
P
n
và
Q
n
. Biết góc giữa hai vectơ
P
n
và
Q
n
bằng
30 .
Góc giữa hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
bằng.
A.
30
B.
45
C.
60
D.
90
Câu 12: Cho số phức
( )
2
75zi=−
, phần ảo của số phức
z
bằng
A.
70i
. B.
70
. C.
70−
. D.
70i−
.
Câu 13: Khối lập phương có thể tích
3
27a
thì cạnh của khối lập phương bằng
A.
6a
B.
9a
C.
3a
D.
27a
Câu 14: Cho hình chóp
.S ABCD
có
( )
SA ABCD⊥
, đáy
ABCD
là hình chữ nhật. Biết
AB a=
,
2AD a=
,
3SA a=
. Thể tích hình chóp
.S ABCD
bằng
A.
3
2a
. B.
3
6a
. C.
3
a
. D.
3
3
a
.
Câu 15: Tìm tất cả các giá trị của
m
để mặt phẳng
( )
:2 2 3 3 0P x y z m− − + − =
cắt mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 4 0S x y z x z+ + + − =
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1
A.
1
5
m
m
=
=
. B.
1
5
m
m
. C.
15m
. D.
1
5
m
m
=−
=−
.
Câu 16: Cho số phức
12=−zi
. Phần ảo của số phức
z
là?
A.
2
. B.
2−
. C.
2.i
D.
2.i−
Câu 17: Xét hình trụ
T
có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh bằng
a
. Diện tích toàn phần
S
của
hình trụ là
A.
2
4 a
. B.
2
a
. C.
2
3
2
a
. D.
2
2
a
.
Câu 18: Trong không gian oxyz, cho đường thẳng có phương trình
1
:2
3
xt
d y t
zt
=+
=−
= − +
. Điểm nào sau đây
không thuộc đường thẳng d?
A. Điểm
(0;3; 4)N −
. B. Điểm
(2;1; 2)P −
. C. Điểm
(1;3; 2)M −
. D. Điểm
(1;2; 3)Q −
.
Câu 19: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như hình bên. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã
cho có tọa độ là
Trang 3
A.
( 1;2)−
. B.
(0;1)
. C.
(1;2)
. D.
(1;0)
.
Câu 20: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
1
2
x
y
x
−
=
−
đường thẳng có phương trình
A.
2y =
. B.
2x =
. C.
1x =−
. D.
1y =−
.
Câu 21: Tìm tập nghiệm của bất phương trình
( )
2
5
log 4 1 0x − +
A.
13
4;
2
. B.
13
4;
2
. C.
13
;
2
−
. D.
13
;
2
+
.
Câu 22: Số cách chọn 2 học sinh từ 12 học sinh là
A.
2
12
C
. B.
2
12
. C.
2
12
A
. D.
12
2
.
Câu 23: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có họ tất cả các nguyên hàm là hàm số
( )
,
ln
x
a
F x C
a
=+
(
0, 1,a a C
là hằng số).
A.
( )
.
x
f x a=
B.
( )
1
.fx
x
=
C.
( )
ln .f x x=
D.
( )
.
a
f x x=
Câu 24: Biết
( )
5
1
d4f x x =
. Giá trị của
( )
5
1
2 3 dx f x x−
bằng
A.
13
. B.
2−
. C.
6
. D.
12
.
Câu 25: Một nguyên hàm của hàm số
( )
3 1 2
e2
x
f x x
+
=−
là
A.
3 1 3
e2
3
x
x
+
−
. B.
31
3
e
3
x
x
+
−
. C.
31
3
e
2
3
x
x
+
−
. D.
3 1 3
e
3
x
x
+
−
.
Câu 26: Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị như hình bên. Hàm số
( )
y f x=
nghịch biến trên khoảng nào
dưới đây?
A.
( )
;2−
. B.
( )
0;+
. C.
( )
2;2−
. D.
( )
0;2
.
Câu 27: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau:
Trang 4
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
A. 4. B.
1−
. C. 1. D. 0.
Câu 28: Cho
a
và
b
là hai số thực dương thỏa mãn
25
64ab =
. Giá trị của
22
2log 5logP a b=+
là
A.
7P =
. B.
64P =
. C.
6P =
. D.
2P =
.
Câu 29: Cho hình phẳng
( )
H
giới hạn bởi các đường
2
2=−y x x
,
0=y
. Quay
( )
H
quanh trục hoành
tạo thành khối tròn xoay có thể tích là
A.
( )
2
2
0
2 −
x x dx
. B.
( )
2
2
2
0
2−
x x dx
. C.
( )
2
2
2
0
2 −
x x dx
. D.
( )
2
2
0
2−
x x dx
.
Câu 30: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
2a
,
SA
vuông góc với đáy và
6SA a=
. Góc giữa hai mặt phẳng
( )
SBD
và
( )
ABCD
bằng
A.
0
30
. B.
0
60
. C.
0
45
. D.
0
90
.
Câu 31: Đồ thị ở hình vẽ bên là của hàm số
3
31y x x= − +
. Với giá trị nào
của tham số
m
thì phương trình
3
3 1 0x x m− + − =
có ba nghiệm
thực phân biệt
A.
13m−
. B.
13m−
.
C.
22m−
. D.
13m−
.
Câu 32: . Hình cho dưới đây là đồ thị của hàm số
()y f x
=
. Hàm số
()y f x=
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
(1;2)
. B.
(2; )+
. C.
(0;1)
. D.
(0;1)
và
(2; )+
.
Câu 33: Sắp xếp
3
quyển sách Toán và
3
quyển sách Vật Lí lên một kệ dài. Xác suất để
2
quyển sách
bất kỳ cùng một môn thì xếp cạnh nhau là
A.
1
5
. B.
1
10
. C.
1
20
. D.
2
5
.
Câu 34: Tìm tích tất cả các nghiệm của phương trình
2
2 log 1 log log
4.3 9.4 78.6
x x x++
+=
A. 100. B. 1. C. 10. D.
1
10
.
Trang 5
Câu 35: Cho các số phức
z
thỏa mãn
25z =
. Biết rằng trong mặt phẳng tọa độ các điểm biểu diễn
của số phức
( )
2w i i z= + −
cùng thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính
r
của đường
tròn đó?
A.
5r =
. B.
10r =
. C.
20r =
. D.
25r =
.
Câu 36: Trong không gian với hệ trục
Oxyz
, cho tam giác
ABC
có
( )
1;3;2A −
,
( )
2;0;5B
và
( )
0; 2;1C −
. Phương trình trung tuyến
AM
của tam giác
ABC
là.
A.
1 3 2
2 2 4
x y z+ − −
==
− − −
. B.
1 3 2
2 4 1
x y z+ − −
==
−
. C.
2 4 1
1 3 2
x y z− + −
==
−
. D.
1 3 2
2 4 1
x y z− + +
==
−
.
Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
122
:
3 1 2
x y z
d
− − +
==
−
và điểm
( )
1;2;0A =−
. Hình chiếu vuông góc của điểm
A
lên đường thẳng
d
có hoành độ là:
A.
15
7
. B.
4
7
. C.
16
7
−
. D.
1
7
−
.
Câu 38: Cho hình chóp
.S ABCD
có
( )
SA ABCD⊥
, đáy
ABCD
là hình chữ nhật. Biết
2,AD a SA a==
. Khoảng cách từ
A
đến
( )
SCD
bằng
A.
3
7
a
. B.
32
2
a
. C.
2
5
a
. D.
23
3
a
.
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 40: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên . Gọi
( ) ( )
,F x G x
là hai nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên
thỏa mãn
( ) ( )
1 1 2FG+ = −
và
( ) ( )
1 1 0FG− + − =
. Tính
( )
2
0
sin 2sin 2 cos2 dx x f x x
−
.
A.
2
. B.
2−
. C.
3
. D.
1−
.
Câu 41: Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm
( ) ( )
( )
2
5 4 ,y f x x x x
= = − −
. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của m thuộc đoạn
100;100−
để hàm số
( )
( )
3
3y g x f x x m= = + +
có ít nhất 3 điểm
cực trị?
A.
105
. B.
106
. C.
104
. D.
103
.
Câu 42: Cho hai số phức phân biệt
12
,zz
thỏa mãn
12
12
zz
zz
+
−
là số ảo và
1
11z −=
. Giá trị lớn nhất
12
zz−
bằng
A.
22
. B.
4
. C.
2
. D.
1
.
Câu 43: Cho lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh bằng
2.a
Biết diện tích tam
giác
A BC
bằng
2
23a
. Tính thể tích khối lăng trụ
.ABC A B C
.
A.
3
93a
. B.
3
63a
. C.
3
33a
D.
3
3a
25x
( )
2
33
(log 3 ) 4log 4 18.2 32 0
xx
xx
− − +
22
23
24
25
Trang 6
Câu 44: Cho hàm số
( )
y f x=
là hàm đa thức bậc bốn và
có đồ thị như hình vẽ bên. Hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hai hàm số
( )
y f x=
,
( )
y f x
=
có diện
tích bằng
A.
127
40
. B.
107
5
.
C.
87
40
. D.
127
10
.
Câu 45: Có bao nhiêu giá trị nguyên
m
để phương trình
2
1024 0z mz+ + =
có hai nghiệm
12
,zz
thỏa mãn
12
| | | | 64?zz+=
A.
128
. B.
129
. C.
127
. D.
126
.
Câu 46: Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
0
: 3 ,
x
d y t t R
zt
=
= −
=
. Gọi
( )
P
là mặt phẳng chứa
đường thẳng
d
và tạo với mặt phẳng
( )
Oxy
một góc
45
. Khoảng cách từ điểm
( )
3;2;5M −
đến
( )
P
bằng
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
22
.
Câu 47: Có tất cả bao nhiêu cặp số
( )
;ab
với
,ab
là các số nguyên dương thỏa mãn:
( ) ( )
( )
( )
3
22
5
log 5 3 3 5 1a b a b a b ab a b+ + + = + + + − +
.
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D. Vô số.
Câu 48: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn
( )
;OR
và
( )
;OR
.
AB
là một dây cung của đường
tròn
( )
;OR
sao cho tam giác
O AB
là tam giác đều và mặt phẳng
( )
O AB
tạo với mặt phẳng
chứa đường tròn
( )
;OR
một góc
60
. Tính theo
R
khoảng cách từ
O
đến mặt phẳng
( )
O AB
.
A.
37
7
R
. B.
7
7
R
. C.
7
14
R
. D.
37
14
R
.
Câu 49: Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng
1 2 3
:
2 3 4
x y z
d
− − −
==
và mặt cầu
( )
S
:
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 4 5 729x y z+ + + + + =
. Cho biết điểm
( )
2; 2; 7A −−−
, điểm
B
thuộc giao tuyến của
mặt cầu
( )
S
và mặt phẳng
( )
:2 3 4 107 0P x y z+ + − =
. Khi điểm
M
di động trên đường thẳng
d
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
MA MB+
bằng
A.
5 30
B.
27
C.
5 29
D.
742
Câu 50: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên có đồ thị hàm số
( )
y f x
=
như hình sau:
Trang 7
Hàm số
( )
( )
2
2 1 2x 2024g x f x x= − − + +
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
0;1
. B.
( )
3;1−
. C.
( )
1;3
. D.
( )
2;0−
.
---------- HẾT ----------
Trang 8
BẢNG ĐÁP ÁN
1.D
2.A
3.A
4.C
5.A
6.B
7.C
8.B
9.D
10.B
11.A
12.B
13.C
14.A
15.A
16.A
17.C
18.C
19.B
20.D
21.A
22.A
23.A
24.D
25.A
26.D
27.A
28.C
29.B
30.B
31.B
32.B
33.B
34.B
35.B
36.B
37.B
38.C
39.B
40.A
41.A
42.B
43.C
44.B
45.B
46.D
47.C
48.D
49.A
50.A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức
z
. Số phức
z
là:
A.
12i−
. B.
2 i+
. C.
12i+
. D.
2 i−
.
Lời giải
Điểm
( )
2;1M
trong hệ tọa độ vuông góc cuả mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức
2zi=+
suy ra
2zi=−
.
Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số
( )
2
log 2 1yx=+
.
A.
( )
2
2 1 ln2
y
x
=
+
B.
( )
1
2 1 ln2
y
x
=
+
C.
2
21
y
x
=
+
D.
1
21
y
x
=
+
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
( )
( )
( ) ( )
2
21
2
log 2 1
2 1 ln2 2 1 ln2
x
yx
xx
+
= + = =
++
.
Câu 3: Đạo hàm của hàm số
2024
yx=
trên tập số thực là
A.
2023
2024.yx
=
. B.
2024
2023.yx
=
. C.
2024
2025.yx
=
. D.
2024
2023
y
x
=
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
2024 2024 1 2023
2024. 2024.y x x x
−
= = =
.
Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình
5
3 27
x−
là
A.
(
;8−
. B.
( )
8;+
. C.
)
8;+
. D.
( )
;8−
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
5 5 3
3 27 3 3 5 3 8
xx
xx
−−
−
Tập nghiệm của bất phương trình là:
)
8;+
.
Câu 5: Cho cấp số cộng
( )
n
u
có số hạng đầu
1
3u =
và công sai
2d =
. Giá trị của
7
u
bằng
A.
15
. B.
17
. C.
19
. D.
13
.
Lời giải
Ta có
71
6. 3 6.2 15u u d= + = + =
.
Trang 9
Câu 6: Trong không gian
Oxyz
, cho
( ) ( ) ( )
9;0;0 , 0;9;0 , 0;0;9A B C
. Tìm tọa độ của một vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng
( )
ABC
.
A.
( )
1;2;3
. B.
( )
81;81;81
. C.
( )
9;0;0
. D.
( )
9;0;9
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
9;9;0AB =−
;
( )
9;0;9AC =−
.
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
ABC
là
( )
, 81;81;81n AB AC
==
.
Câu 7: Cho hàm số
( )
42
,,= + + y ax bx c a b c R
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Tọa độ giao
điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là
A.
( )
0; 2−
. B.
( )
2;0−
. C.
( )
0; 1−
. D.
( )
1;0−
.
Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị, ta dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ
( )
0; 1−
.
Câu 8: Nếu
( )
3
1
d5f x x
−
=−
và
( )
5
3
d1f x x =
thì
( )
5
1
df x x
−
bằng
A.
6
. B.
4−
. C.
4
. D.
6−
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( )
5 3 5
1 1 3
d d d 5 1 4f x x f x x f x x
−−
= + = − + = −
.
Câu 9: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình vẽ?
A.
21
1
x
y
x
+
=
−
. B.
1
1
x
y
x
−
=
+
. C.
21
1
x
y
x
−
=
−
. D.
2
1
x
y
x
−
=
−
.
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta có:
+ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng
1x =
.
Trang 10
+ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng
1y =
.
+ Đồ thị cắt trục
Ox
tại điểm
( )
2;0
, cắt trục
Oy
tại điểm
( )
0;2
.
Do đó đồ thị trên là của hàm số
2
1
x
y
x
−
=
−
. Đáp án D.
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 4 2 6 2 0S x y z x y z+ + − + + − =
. Tọa
độ tâm
I
và bán kính
R
của
( )
S
là
A.
( )
2;1;3I −
,
4R=
. B.
( )
2; 1; 3I −−
,
4R=
.
C.
( )
2;1;3I −
,
23R=
. D.
( )
2; 1; 3I −−
,
12R=
.
Lời giải
( )
2 2 2
: 4 2 6 2 0S x y z x y z+ + − + + − =
Có
2a=
,
1b=−
,
3c=−
,
2d =−
. Tọa độ tâm
( )
2; 1; 3I −−
, bán kính
( ) ( ) ( )
22
2
2 1 3 2 16 4R= + − + − − − = =
.
Câu 11: Trong không gian
,Oxyz
cho hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
lần lượt có hai vectơ pháp tuyến là
P
n
và
Q
n
. Biết góc giữa hai vectơ
P
n
và
Q
n
bằng
30 .
Góc giữa hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
bằng.
A.
30
B.
45
C.
60
D.
90
Lời giải
Chọn A
Ta có:
( )
( ) ( )
( )
; 30 ; 30 .
PQ
n n P Q= =
Câu 12: Cho số phức
( )
2
75zi=−
, phần ảo của số phức
z
bằng
A.
70i
. B.
70
. C.
70−
. D.
70i−
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
2
7 5 24 70 24 70z i i z i= − = − = +
Vậy phần ảo của số phức
z
bằng
70
.
Câu 13: Khối lập phương có thể tích
3
27a
thì cạnh của khối lập phương bằng
A.
6a
B.
9a
C.
3a
D.
27a
Lời giải
Gọi cạnh của hình lập phương là
x
, ta có thể tích khối lập phương là
33
27 3x a x a= Û =
.
Câu 14: Cho hình chóp
.S ABCD
có
( )
SA ABCD⊥
, đáy
ABCD
là hình chữ nhật. Biết
AB a=
,
2AD a=
,
3SA a=
. Thể tích hình chóp
.S ABCD
bằng
A.
3
2a
. B.
3
6a
. C.
3
a
. D.
3
3
a
.
Lời giải
Ta có:
3
.
1 1 1
. . . . .3 . .2 2
3 3 3
S ABCD ABCD
V SAS SA AB AD a a a a= = = =
.
Câu 15: Tìm tất cả các giá trị của
m
để mặt phẳng
( )
:2 2 3 3 0P x y z m− − + − =
cắt mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 4 0S x y z x z+ + + − =
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1
Trang 11
A.
1
5
m
m
=
=
. B.
1
5
m
m
. C.
15m
. D.
1
5
m
m
=−
=−
.
Lời giải
Mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
1;0;2I −
và bk
5.R =
Ta có
( )
( )
; 3 .d I P m=−
Để
( )
P
cắt mặt cầu
( )
S
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1 khi và chỉ khi.
( ) ( )
22
1
3 1 5 3 4
5
m
mm
m
=
− + = − =
=
Câu 16: Cho số phức
12=−zi
. Phần ảo của số phức
z
là?
A.
2
. B.
2−
. C.
2.i
D.
2.i−
Lời giải
Ta có số phức
12zi=+
. Phần ảo của số phức
z
là
2
.
Câu 17: Xét hình trụ
T
có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh bằng
a
. Diện tích toàn phần
S
của
hình trụ là
A.
2
4 a
. B.
2
a
. C.
2
3
2
a
. D.
2
2
a
.
Lời giải
Thiết diện qua trục là hình vuông cạnh bằng
a
. Suy ra
2
.
a
R
ha
=
=
Diện tích toàn phần của hình trụ bằng
( )
2
3
22
2
tp xq d
a
S S S R h R
= + = + =
.
Câu 18: Trong không gian oxyz, cho đường thẳng có phương trình
1
:2
3
xt
d y t
zt
=+
=−
= − +
. Điểm nào sau đây
không thuộc đường thẳng d?
A. Điểm
(0;3; 4)N −
. B. Điểm
(2;1; 2)P −
. C. Điểm
(1;3; 2)M −
. D. Điểm
(1;2; 3)Q −
.
Lời giải
Trang 12
Thay điểm
(1;3; 2)M −
đường thẳng d ta có:
1 1 0
3 2 1
2 3 1
tt
tt
tt
= + =
= − = −
− = − + =
. Vì các giá trị t khác nhau
nên điểm
(1;3; 2)M −
không thuộc đường thẳng d.
Câu 19: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như hình bên. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã
cho có tọa độ là
A.
( 1;2)−
. B.
(0;1)
. C.
(1;2)
. D.
(1;0)
.
Lời giải
Chọn B
Từ bảng biến thiên, ta có đồ thị hàm số đã cho có điểm cực tiểu là
(0;1)
.
Câu 20: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
1
2
x
y
x
−
=
−
đường thẳng có phương trình
A.
2y =
. B.
2x =
. C.
1x =−
. D.
1y =−
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
1
1
1
lim lim lim 1
2
2
1
x x x
x
x
y
x
x
→ → →
−
−
= = = −
−
−
. Vậy tiệm cận ngang là
1y =−
.
Câu 21: Tìm tập nghiệm của bất phương trình
( )
2
5
log 4 1 0x− +
A.
13
4;
2
. B.
13
4;
2
. C.
13
;
2
−
. D.
13
;
2
+
.
Lời giải
Điều kiện:
40x −
4x
.
( )
2
5
log 4 1x − −
5
4
2
x −
13
2
x
.
Vậy
13
4;
2
S
=
.
Câu 22: Số cách chọn 2 học sinh từ 12 học sinh là
A.
2
12
C
. B.
2
12
. C.
2
12
A
. D.
12
2
.
Lời giải
Số cách chọn 2 học sinh từ 12 học sinh là số các tổ hợp chập
2
của
12
phần tử.
Vậy có
2
12
C
cách thoả đề.
Câu 23: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có họ tất cả các nguyên hàm là hàm số
( )
,
ln
x
a
F x C
a
=+
(
0, 1,a a C
là hằng số).
A.
( )
.
x
f x a=
B.
( )
1
.fx
x
=
C.
( )
ln .f x x=
D.
( )
.
a
f x x=
Trang 13
Lời giải
Ta có
( ) ( )
d d ,
ln
x
x
a
F x f x x a x C
a
= = = +
(
0, 1,a a C
là hằngsố).
Câu 24: Biết
( )
5
1
d4f x x =
. Giá trị của
( )
5
1
2 3 dx f x x−
bằng
A.
13
. B.
2−
. C.
6
. D.
12
.
Lời giải
Ta có
( ) ( )
5 5 5
5
2
1
1 1 1
2 3 d 2 d 3 d 3.4 25 1 12 12x f x x x x f x x x− = − = − = − − =
.
Câu 25: Một nguyên hàm của hàm số
( )
3 1 2
e2
x
f x x
+
=−
là
A.
3 1 3
e2
3
x
x
+
−
. B.
31
3
e
3
x
x
+
−
. C.
31
3
e
2
3
x
x
+
−
. D.
3 1 3
e
3
x
x
+
−
.
Lời giải
3 1 2 3 1 3
3 1 3
12
( ) ( 2 ) (3 1)
33
2
3
xx
x
f x dx e x dx e d x x
ex
++
+
= − = + −
−
=
.
Câu 26: Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị như hình bên. Hàm số
( )
y f x=
nghịch biến trên khoảng nào
dưới đây?
A.
( )
;2−
. B.
( )
0;+
. C.
( )
2;2−
. D.
( )
0;2
.
Lời giải
Dựa vào đồ thị, trong khoảng
( )
0;2
đồ thị đi từ trên xuống dưới và từ trái qua phải nên hàm số
nghịch biến trên khoảng
( )
0;2
.
Câu 27: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
A. 4. B.
1−
. C. 1. D. 0.
Lời giải
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cực đại là
4y =
.
Trang 14
Câu 28: Cho
a
và
b
là hai số thực dương thỏa mãn
25
64ab =
. Giá trị của
22
2log 5logP a b=+
là
A.
7P =
. B.
64P =
. C.
6P =
. D.
2P =
.
Lời giải
Theo bài ra:
,0ab
;
( )
2 5 2 5
2 2 2 2
64 log log 64 2log 5log 6a b a b a b= = + =
.
Vậy
6P =
.
Câu 29: Cho hình phẳng
( )
H
giới hạn bởi các đường
2
2=−y x x
,
0=y
. Quay
( )
H
quanh trục hoành
tạo thành khối tròn xoay có thể tích là
A.
( )
2
2
0
2 −
x x dx
. B.
( )
2
2
2
0
2−
x x dx
. C.
( )
2
2
2
0
2 −
x x dx
. D.
( )
2
2
0
2−
x x dx
.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đường
2
2y x x=−
và đường
0y =
là
2
0
2 0 .
2
x
xx
x
=
− =
=
Thể tích là
( )
2
2
2
0
2 d .V x x x= −
Câu 30: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
2a
,
SA
vuông góc với đáy và
6SA a=
. Góc giữa hai mặt phẳng
( )
SBD
và
( )
ABCD
bằng
A.
0
30
. B.
0
60
. C.
0
45
. D.
0
90
.
Lời giải
Ta có
( ) ( )BD SBD ABCD=
,
AO BD⊥
,
SO BD⊥
.
Suy ra
(( ),( ))SBD ABCD SOA
==
.
Ta có
6
tan 3
2
SA a
AO
a
= = =
. Khi đó
0
60
=
.
Câu 31: Đồ thị ở hình vẽ bên là của hàm số
3
31y x x= − +
. Với giá trị nào của tham số
m
thì phương
trình
3
3 1 0x x m− + − =
có ba nghiệm thực phân biệt
Trang 15
A.
13m−
. B.
13m−
. C.
22m−
. D.
13m−
.
Lời giải
Số nghiệm của phương trình
3
3 1 0x x m− + − =
là số giao điểm của đồ thị hàm số
3
31y x x= − +
và đường thẳng
ym=
. Để phương trình có
3
nghiệm phân biệt thì:
13m−
Câu 32: . Hình cho dưới đây là đồ thị của hàm số
()y f x
=
. Hàm số
()y f x=
đồng biến trên khoảng
nào dưới đây?
A.
(1;2)
. B.
(2; )+
. C.
(0;1)
. D.
(0;1)
và
(2; )+
.
Lời giải
Dựa vào đồ thị của hàm số
( )
'fx
, ta có:
( )
'0fx
trên khoảng
( )
2;+
và
( )
'0fx
trên
khoảng
( )
;2−
. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
( )
2;+
.
Câu 33: Sắp xếp
3
quyển sách Toán và
3
quyển sách Vật Lí lên một kệ dài. Xác suất để
2
quyển sách
bất kỳ cùng một môn thì xếp cạnh nhau là
A.
1
5
. B.
1
10
. C.
1
20
. D.
2
5
.
Lời giải
( )
6! 720n = =
.
A
: “Xếp
2
quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau”. Số sách toán, số sách lý là số lẻ nên
không thể xếp cùng môn nằm rời thành cặp được. Do đó, phải xếp chúng cạnh nhau
+ Xếp vị trí nhóm sách toán – lý, có
2!
.
+ Ứng với mỗi cách trên, xếp vị trí của 3 sách toán, có
3!
; xếp vị trí của 3 sách lý, có
3!
.
+ Vậy số cách
( )
2!.3!.3! 72nA==
.
KL:
( )
( )
( )
72 1
720 10
nA
PA
n
= = =
.
Câu 34: Tìm tích tất cả các nghiệm của phương trình
2
2 log 1 log log
4.3 9.4 78.6
x x x++
+=
A. 100. B. 1. C. 10. D.
1
10
.
Trang 16
Lời giải
Điều kiện
0x
2
2 log 1 log log 2 2.log log log
log log 2log log
log
log
4.3 9.4 78.6 4.3 .3 9.4.4 78.6
9 3 3
0
10
log
3
36. 36 78. 36. 78. 36
4 2 2 2
3
2
1
3
22
3
23
1
log 1
10
x x x x x x
x x x x
x
x
x
x
x
x
++
=
+ = + =
+ = − + =
=
−
=
=
=
=
Do đó tích các nghiệm bằng 1.
Câu 35: Cho các số phức
z
thỏa mãn
25z =
. Biết rằng trong mặt phẳng tọa độ các điểm biểu diễn
của số phức
( )
2w i i z= + −
cùng thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính
r
của đường
tròn đó?
A.
5r =
. B.
10r =
. C.
20r =
. D.
25r =
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( ) ( )
22w i i z w i i z= + − − = −
. Suy ra
( )
2 2 . 10w i i z i z− = − = − =
.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức
w
trên mặt phẳng tọa độ nằm trên đường tròn có bán
kính
10r =
.
Câu 36: Trong không gian với hệ trục
Oxyz
, cho tam giác
ABC
có
( )
1;3;2A −
,
( )
2;0;5B
và
( )
0; 2;1C −
. Phương trình trung tuyến
AM
của tam giác
ABC
là.
A.
1 3 2
2 2 4
x y z+ − −
==
− − −
. B.
1 3 2
2 4 1
x y z+ − −
==
−
.
C.
2 4 1
1 3 2
x y z− + −
==
−
. D.
1 3 2
2 4 1
x y z− + +
==
−
.
Lời giải
Ta có:
( )
1; 1;3M −
;
( )
2; 4;1AM =−
. Phương trình
AM
:
1 3 2
2 4 1
x y z+ − −
==
−
.
Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
122
:
3 1 2
x y z
d
− − +
==
−
và điểm
( )
1;2;0A =−
. Hình chiếu vuông góc của điểm
A
lên đường thẳng
d
có hoành độ là:
A.
15
7
. B.
4
7
. C.
16
7
−
. D.
1
7
−
.
Lời giải
Đưa đường thẳng
d
về dạng tham số
13
:2
22
xt
d y t
zt
=+
=−
= − +
.
Gọi hình chiếu vuông góc của
A
lên đường thẳng
d
là điểm
( )
1 3 ;2 ; 2 2H t t t= + − − +
.
Vectơ
( )
3 2; ; 2 2AH t t t= + − − +
và vectơ chỉ phương của đường thẳng
d
là
( )
3; 1;2
d
u =−
Ta có
( ) ( ) ( )
1 4 15 16
. 0 3 3 2 1 2 2 2 0 ; ;
7 7 7 7
d
AH u t t t t H
−−
= + − − + − + = = =
Trang 17
Suy ra hoành độ của điểm
H
là
4
7
.
Câu 38: Cho hình chóp
.S ABCD
có
( )
SA ABCD⊥
, đáy
ABCD
là hình chữ nhật. Biết
2,AD a SA a==
. Khoảng cách từ
A
đến
( )
SCD
bằng
A.
3
7
a
. B.
32
2
a
. C.
2
5
a
. D.
23
3
a
.
Lời giải
Ta có
( )
CD AD
CD SAD
CD SA
⊥
⊥
⊥
.
Kẻ
AH SD⊥
, do
( )
CD SAD CD AH⊥ ⊥
suy ra
( )
AH SCD⊥
.
( )
( )
,.d A SCD AH=
Ta có:
2 2 2
1 1 1 2
D
5
a
AH
AH SA A
= + =
.
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
+ĐK:
Vậy có 23 giá trị nguyên của thỏa mãn yêu cầu bài ra.
Câu 40: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên . Gọi
( ) ( )
,F x G x
là hai nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên
thỏa mãn
( ) ( )
1 1 2FG+ = −
và
( ) ( )
1 1 0FG− + − =
. Tính
( )
2
0
sin 2sin 2 cos2 dx x f x x
−
.
A.
2
. B.
2−
. C.
3
. D.
1−
.
Lời giải
Chọn A
25x
( )
2
33
(log 3 ) 4log 4 18.2 32 0
xx
xx
− − +
22
23
24
25
( )
2
33
(log 3 ) 4log 4 18.2 32 0(1)
xx
xx
− − +
0 25;x x Z
( )
( )
( )
2
33
2
3
(1) (log ) 2log 1 4 18.2 32 0
log 1 4 18.2 32 0
xx
xx
xx
x
− + − +
− − +
3
3
4
1:log 1 0 3( )
2:log 1 0 3
(1) 4 18.2 32 0
2 2 4
&0 25; 1;4;5;...;24
1
22
xx
x
x
TH x x tm
TH x x
x
x x Z x
x
+ − = =
+ −
− +
x
Trang 18
Ta có:
( ) ( )
G x F x C=+
( ) ( )
( ) ( )
( )
11
2 (1) 2
(1) 1 1
2 ( 1
1 0
)0
1
2
FC
F
FF
FC
G
FG
+ = −
− − = −
− + =
−−
+ = −
+=
.
Do đó
( ) ( ) ( )
1
1
d 1 1 1f x F Fx
−
= − − = −
.
Lại có
( ) ( )
2 2 2
0 0 0
sin 2sin 2 cos2 d sin d 2 sin2 cos2 dx x f x x x x x f x x
− = −
( )
2
0
1 2 sin 2 cos2 dx f x x
=−
.
Mà
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11
22
0 0 1 1
1 1 1 1
sin 2 cos2 d cos2 d cos2 d d
2 2 2 2
x f x x f x x f u u f u u
−
−
= − = − = = −
.
Vậy
( )
2
0
1
sin 2sin 2 cos2 d 1 2. 2
2
x x f x x
− = − − =
.
Câu 41: Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm
( ) ( )
( )
2
5 4 ,y f x x x x
= = − −
. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của m thuộc đoạn
100;100−
để hàm số
( )
( )
3
3y g x f x x m= = + +
có ít nhất 3 điểm
cực trị?
A.
105
. B.
106
. C.
104
. D.
103
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
2
32
3
3
22
3
3
3
5 4 0 5; 2; 2
3 3 3
.3
3
3 3 3
.3
3
0 3 0
f x x x x x x
x x x
g x f x x m
xx
x x x
f x x m
xx
g x f x x m
= − − = = = = −
++
= + +
+
++
= + +
+
= + + =
Do đạo hàm không xác định tại
0x =
nên để hàm số
( )
( )
3
3y g x f x x m= = + +
có ít nhất 3
cực trị thì
( )
3
30f x x m
+ + =
có ít nhất hai nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ khác 0.
( )
33
3 3 3
33
3 5 3 5
3 0 3 2 3 2
3 2 3 2
x x m x x m
f x x m x x m x x m
x x m x x m
+ + = + = −
+ + = + + = + = −
+ + = − + = − −
Yêu cầu bài toán suy ra
5 0 5, , 100;100
100; 99;....4
m m m Z m
m
− −
− −
Vậy có tất cả 105 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trang 19
Câu 42: Cho hai số phức phân biệt
12
,zz
thỏa mãn
12
12
zz
zz
+
−
là số ảo và
1
11z −=
. Giá trị lớn nhất
12
zz−
bằng
A.
22
. B.
4
. C.
2
. D.
1
.
Lời giải
Đặt:
1
z a bi=+
,
2
z c di=+
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
12
22
12
a c b d i a c b d i
a bi c di a c b d i
zz
z z a bi c di a c b d i
a c b d
+ + + − − −
+ + + + + +
+
= = =
− + − + − + −
− + −
( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 2 2
22
a c b d b d a c a c b d i
a c b d
− + − + + − − + −
=
− + −
Ta có:
12
12
zz
zz
+
−
là số ảo
Suy ra
22
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
0a c b d a b c d z z z z− + − = + = + = =
Lại có:
( )
2
2
1
1 1 1 1z a b− = − + =
, suy ra
1
2z £
.
1 2 1 2 1
2 2.2 4z z z z z− + = =
Vậy giá trị lớn nhất
12
zz−
bằng
4
và dấu bằng xảy ra khi
21
2zz= − = −
.
Câu 43: Cho lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh bằng
2.a
Biết diện tích tam
giác
A BC
bằng
2
23a
. Tính thể tích khối lăng trụ
.ABC A B C
.
A.
3
93a
. B.
3
63a
. C.
3
33a
D.
3
3a
Lời giải
Thể tích khối lăng trụ
.ABC A B C
bằng
.
ABC
S AA
.
Vì tam giác
ABC
đều nên có diện tích bằng
( )
2
2
23
3
4
a
a=
.
Gọi
H
là trung điểm cạnh
BC
. Tam giác
A BC
cân tại
A
nên
2
1
. . 2 3
2
A BC
S BC A H a
==
.
Với
2
23
2 2 3
1
.2
2
a
BC a A H a
a
= = =
.
Xét tam giác
A AH
vuông tại
A
có cạnh
( )
23
3
2
a
AH a==
và
23A H a
=
, suy ra
Trang 20
( ) ( )
22
22
2 3 3 3 .AA A H AH a a a
= − = − =
Vậy thể tích khối lăng trụ
.ABC A B C
bằng:
23
3.3 3 3a a a=
Câu 44: Cho hàm số
( )
y f x=
là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ bên. Hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị hai hàm số
( )
y f x=
,
( )
y f x
=
có diện tích bằng
A.
127
40
. B.
107
5
. C.
87
40
. D.
127
10
.
Lời giải
Ta thấy đồ thị hàm số
( )
y f x=
tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm có hoành độ bằng
2−
và
1
nên hàm số có dạng
( ) ( ) ( )
22
21f x a x x= + −
.
Mà đồ thị hàm số
( )
y f x=
đi qua điểm
( ) ( ) ( ) ( )
22
11
0;1 4 1 2 1
44
A a a f x x x = = = + −
( ) ( )( )( )
1
2 1 2 1
2
f x x x x
= + − +
Xét phương trình hoành độ giao điểm của
( )
y f x=
và
( )
y f x
=
:
( ) ( ) ( )( )( )
22
2
1
11
2 1 2 1 2 1
1
42
4
x
x
x x x x x
x
x
=−
=
+ − = + − +
=−
=
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
( )
y f x=
,
( )
y f x
=
có diện tích là
( ) ( ) ( )( )( )
4
22
2
11
2 1 2 1 2 1
42
S x x x x x
−
= + − − + − + =
107
5
.
Câu 45: Có bao nhiêu giá trị nguyên
m
để phương trình
2
1024 0z mz+ + =
có hai nghiệm
12
,zz
thỏa
mãn
12
| | | | 64?zz+=
A.
128
. B.
129
. C.
127
. D.
126
.
Lời giải
Có
2
4096.m = −
+) TH1:
2
64
0 4096 0 .
64
m
m
m
−
−
Khi đó phương trình có hai nghiệm thực
12
,zz
.
Trang 21
Ta có
22
12
4096 4096
| | | | 128 64
22
m m m m
zz
− − − − + −
+ = + =
22
4096 4096 128m m m m + − + − − =
2 2 2
2( 4096) 2.4096 128 64m m m + − + = =
.
+) TH2:
2
0 4096 0 64 64.mm − −
Khi đó phương trình có hai nghiệm phức.
Ta có
12
| | | |
| | | | 64, ( 64;64).
22
m i m i
z z m
− − − +
+ = + = −
Vậy trong cả hai trường hợp có
129
giá trị nguyên của
m
thỏa mãn bài toán.
Câu 46: Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
0
: 3 ,
x
d y t t R
zt
=
= −
=
. Gọi
( )
P
là mặt phẳng chứa
đường thẳng
d
và tạo với mặt phẳng
( )
Oxy
một góc
45
. Khoảng cách từ điểm
( )
3;2;5M −
đến
( )
P
bằng
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
22
.
Lời giải
Chọn D
Đường thẳng
d
đi qua
(0;3;0)A
và có VTCP là
(0; 1;1)
d
u =−
Gọi
( ; ; )
p
n m n p=
là VTPT của mặt phẳng
( )
P
, khi đó
2 2 2
0m n p+ +
.
Ta có phương trình
( ): 3 0p mx ny pz n+ + − =
. Vì
. 0 ( ; ; )
p d p
n u n p n m n n= = =
Mặt phẳng
( )
Oxy
có một véctơ pháp tuyến là
( )
0;0;1k =
.
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
222
.
1
cos ; cos ; cos45
2
.
P
P
P
nk
n
P Oxy n k
nk
m n n
= = =
++
2 2 2
2 2 0 0m n n m m + = = =
.
Chọn
( )
1 : 3 0n P y z= + − =
.
Vậy
( )
( )
22
3
d , 2 2
11
MM
yz
MP
+−
==
+
.
Câu 47: Có tất cả bao nhiêu cặp số
( )
;ab
với
,ab
là các số nguyên dương thỏa mãn:
( ) ( )
( )
( )
3
22
5
log 5 3 3 5 1a b a b a b ab a b+ + + = + + + − +
.
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D. Vô số.
Lời giải
Chọn C
Với
,ab
là các số nguyên dương, ta có:
( ) ( )
( )
( )
3
22
5
log 5 3 3 5 1a b a b a b ab a b+ + + = + + + − +
( )
( )
( )
33
3 3 2 2
5
22
log 3 5 3 1
ab
a b ab a b a b ab ab a b
a ab b
+
+ + + + = + − + + +
−+
( ) ( ) ( )
( )
3 3 3 3 2 2 2 2
55
log log 5 5 1a b a b a ab b a b ab
+ + + = − + + + −
Xét hàm số:
( )
5
logf t t t=+
trên
( )
0;+
.
Trang 22
( )
1
' 1 0, 0
ln5
f t t
t
= +
nên hàm số
( )
ft
đồng biến trên
( )
0;+
.
Khi đó, phương trình
( )
1
trở thành :
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
3 3 2 2 3 3 2 2 2 2
22
5 5 5 0
02
.
5 0 3
f a b f a b ab a b a b ab a b ab a b
a b ab
ab
+ = + − + = + − + − + − =
+ − =
+ − =
Do
*
, ab
nên phương trình
( )
2
vô nghiệm. Từ
( )
3
suy ra:
5ab+=
.
Mà
,ab
là các số nguyên dương nên
*
05
05
5
,
a
b
ab
ab
+=
.
nên
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
; 1,4 ; 4,1 ; 2,3 ; 3;2ab
.
Vậy có 4 cặp số
( )
;ab
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 48: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn
( )
;OR
và
( )
;OR
.
AB
là một dây cung của đường
tròn
( )
;OR
sao cho tam giác
O AB
là tam giác đều và mặt phẳng
( )
O AB
tạo với mặt phẳng
chứa đường tròn
( )
;OR
một góc
60
. Tính theo
R
khoảng cách từ
O
đến mặt phẳng
( )
O AB
.
A.
37
7
R
. B.
7
7
R
. C.
7
14
R
. D.
37
14
R
.
Lời giải
Chọn D
Đặt độ dài cạnh
AB x=
( )
0x
và
M
là trung điểm
AB
.
Vì tam giác
O AB
đều nên
O A O B AB x
= = =
3
2
x
OM
=
.
Vì mặt phẳng
( )
O AB
tạo với mặt phẳng chứa đường tròn
( )
;OR
góc
60
nên
60O MO
=
.
Xét tam giác
O OM
vuông tại
O
ta có:
cos
OM
O MO
OM
=
. Suy ra
3
cos60
4
3
2
OM x
OM
x
= =
Xét tam giác
OAM
vuông ở
M
có:
2 2 2
OA OM AM=+
nên
M
B
A
O'
O
Trang 23
2
2
2 2 2
3 7 4 7
4 2 16 7
xx
R R x x R
= + = =
Do đó:
21
7
OM R=
Vậy khoảng cách từ
O
đến mặt phẳng
( )
O AB
là:
( )
( )
0
21 3 3 7
; ' .sin60 .
7 2 14
RR
d O O AB OM= = =
Câu 49: Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng
1 2 3
:
2 3 4
x y z
d
− − −
==
và mặt cầu
( )
S
:
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 4 5 729x y z+ + + + + =
. Cho biết điểm
( )
2; 2; 7A −−−
, điểm
B
thuộc giao tuyến của
mặt cầu
( )
S
và mặt phẳng
( )
:2 3 4 107 0P x y z+ + − =
. Khi điểm
M
di động trên đường thẳng
d
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
MA MB+
bằng
A.
5 30
B.
27
C.
5 29
D.
742
Lời giải
Chọn A
Mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
3; 4; 5I − − −
và bán kính
27R =
.
Đường thẳng
d
có 1 véc-tơ chỉ phương là
( ) ( )
2;3;4u d P= ⊥
.
Gọi
K
là giao điểm của mặt phẳng
( )
P
và đường thẳng
d
. Vì
Id
nên
K
là tâm của đường
tròn giao tuyến và
KB d⊥
.
Ta có
( )
1;2; 2 3IA IA= − =
và
.0IAu IA d= ⊥
.
Ta tính được
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2. 3 3. 4 4 5 107
d , 5 29
234
IK I P
− + − + − −
= = =
++
và
22
2KB R IK= − =
.
Do
M
di động trên đường thẳng
d
và
B
thuộc đường tròn giao tuyến nên biểu thức
MA MB+
nhỏ nhất khi và chỉ khi
M AB d=
.
Khi đó, ta có
3
2
MI IA
MK KB
==
và
5 29MI MK IK+ = =
.
Suy ra
3 29MI =
,
2 29MK =
.
Ta có
22
3 30AM IA MI= + =
2
2 30
3
BM AM = =
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của
MA MB+
là
3 30 2 30 5 30AM BM+ = + =
.
d
M
K
I
B
A
Trang 24
Câu 50: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên có đồ thị hàm số
( )
y f x
=
như hình sau:
Hàm số
( )
( )
2
2 1 2x 2024g x f x x= − − + +
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
0;1
. B.
( )
3;1−
. C.
( )
1;3
. D.
( )
2;0−
.
Lời giải
Ta có
( )
( ) ( )
2
2
2 1 2 2024 2 1 1 2023g x f x x x f x x= − − + + = − − − +
( )
( )
1
2 1 2 1 .
1
x
g x f x x
x
−
= − − −
−
với mọi
1x
( )
( )
0 1 1g x f x x
= − = −
Ta vẽ đường thẳng
yx=
cắt đồ thị hàm số
( )
y f x
=
tại các điểm
1, 1, 3x x x= − = =
như hình
vẽ sau:
Dựa vào đồ thị của hai hàm số trên ta có
( )
0
11
2
1 1 1 1
2
13
4
x
x
x
f x x x
x
x
x
=
− = −
=
− = − − =
=−
−=
=
.
Lập bảng biến thiên của hàm số
( )
gx
ta có
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số
( )
gx
đồng biến trên khoảng
( )
0;1 .
---------- HẾT ----------
Trang 25
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2024
ĐỀ 2
Bài thi: TOÁN
Câu 1: Điểm
M
trong hình vẽ bên dưới biểu thị cho số phức. Khi đó số phức
4wz=
là
A.
8 12 .wi=+
B.
8 12 .wi= − −
C.
8 12 .wi= − +
D.
8 12 .wi= − −
Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số
5
x
y =
A.
5
ln5
x
y
=
B.
1
.5
x
yx
−
=
C.
5 ln5
x
y
=
D.
5
x
y
=
Câu 3: Đạo hàm của hàm số
( )
1
3
21yx
-
=+
trên tập xác định là.
A.
( ) ( )
1
3
2 2 1 ln 2 1xx
-
++
. B.
( ) ( )
1
3
2 1 ln 2 1xx
-
++
. C.
( )
4
3
2
21
3
x
-
-+
. D.
( )
4
3
1
21
3
x
-
-+
.
Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình
23
51
x+
−
là
A.
( )
3;− +
. B. . C.
. D.
( )
;3− −
.
Câu 5: Cho cấp số nhân
( )
n
u
với
1
3u =
và công bội
2q =−
. Số hạng thứ
7
của cấp số nhân đó là
A.
384−
. B.
192
. C.
192−
. D.
384
.
Câu 6: Trong không gian
Oxyz
cho mặt phẳng
( ): 2 3 1 0P x y z− + − =
. Một véc tơ pháp tuyến của
()P
là
A.
(1;2;3)n =
. B.
(1;3; 2)n =−
. C.
(1; 2;3)n =−
. D.
(1; 2; 1)n = − −
.
Câu 7: Cho hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+
có đồ thị là đường
cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của
đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là
A.
( )
3;0
. B.
( )
2;0
.
C.
( )
0; 2−
. D.
( )
0;3
.
Câu 8: Nếu
( )
6
1
d2f x x =
và
( )
6
1
d4g x x =−
thì
( ) ( )
( )
6
1
df x g x x+
bằng
A.
2−
. B.
6
. C.
2
. D.
6−
.
x
y
2
M
3
O
Trang 26
Câu 9: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm
số được liệt kê ở bốn phương án dưới đây. Hỏi hàm số đó
là hàm số nào?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 10: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
()S
có tâm
( 1; 4;2)I −−
và điểm
( )
1;2;2M
thuộc mặt cầu.
Phương trình của
()S
là
A.
( )
2
22
( 1) ( 4) 2 40x y z+ + + + − =
. B.
( )
2
22
( 1) ( 4) 2 40x y z+ + + + − =
.
C.
( )
2
22
( 1) ( 4) 2 10x y z− + − + + =
. D.
( )
2
22
( 1) ( 4) 2 40x y z− + − + + =
.
Câu 11: Trong không gian
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
lần lượt có hai vectơ pháp tuyến là
P
n
và
Q
n
. Biết cosin góc giữa hai vectơ
P
n
và
Q
n
bằng
3
.
2
−
Góc giữa hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
bằng.
A.
30
B.
45
C.
60
D.
90
Câu 12: Cho số phức
12
3 4 ; 1z i z i= − = −
, phần ảo của số phức
12
.zz
bằng
A.
7−
. B.
7
. C.
1−
. D.
1
.
Câu 13: Thể tích khối hộp chữ nhật có 3 kích thước là
a
;
2a
;
3a
bằng
A.
3
a
. B.
2
6a
. C.
3
2a
. D.
3
6a
.
Câu 14: Cho khối chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông với
AB a=
,
( )
SA ABCD⊥
và
2SA a=
. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
3
2a
B.
3
3
a
. C.
3
2
3
a
. D.
3
6a
.
Câu 15: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( ) ( ) ( )
2 2 2
( ): 1 2 3 16S x y z− + + + − =
và mặt phẳng
( ):2 2 6 0P x y z− + + =
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
()P
không cắt mặt cầu
( ).S
B.
()P
tiếp xúc mặt cầu
( ).S
C.
()P
đi qua tâm mặt cầu
( ).S
D.
()P
cắt mặt cầu
()S
.
Câu 16: Trên mặt phẳng tọa độ, cho
(2;3)M
là điểm biểu diễn số phức
z
. Phần thực của
z
bằng
A.
2
. B.
3
. C.
3−
. D.
2−
.
Câu 17: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác đều cạnh có độ dài bằng
a
. Tính diện tích
toàn phần
tp
S
của hình nón đó.
A.
2
tp
Sa
=
. B.
2
3
4
tp
Sa
=
. C.
2
5
4
tp
Sa
=
. D.
2
1
4
tp
Sa
=
Câu 18: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
: 3 5 2 0P x y z− + − =
. Điểm nào dưới đây thuộc mặt
phẳng
( )
P
?
A.
( )
1;1;7N
. B.
( )
4;4;2Q
. C.
( )
4; 1;3P −
. D.
( )
0;0;2M
.
, , ,A B C D
3
31y x x= − + +
42
1y x x= − +
3
31y x x= − +
2
1y x x= − + −
Trang 27
Câu 19: Cho hàm số
42
y ax bx c= + +
có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là
A.
( 1; 4)−−
. B.
(0; 3)−
.
C.
(1; 4)−
. D.
( 3;0)−
.
Câu 20: Đường thẳng
2y =
là tiệm cận ngang của đồ thị nào dưới đây?
A.
2
1
y
x
=
+
. B.
1
12
x
y
x
+
=
−
. C.
23
2
x
y
x
−+
=
−
. D.
22
2
x
y
x
−
=
+
.
Câu 21: Bất phương trình
( )
2021
log 1 0x−
có bao nhiêu nghiệm nguyên?
A.
1
. B.
2022
. C.
2
. D.
0
.
Câu 22: Cần phân công
3
bạn từ một tổ
10
bạn để làm trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách phân công
khác nhau.
A.
10
3
. B.
3
10
A
. C.
3
10
C
. D.
3
10
.
Câu 23: Biết
( )
sin3f x dx x C=+
. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A.
( )
3cos3f x x=−
. B.
( )
3cos3f x x=
. C.
( )
cos3
3
x
fx=−
. D.
( )
cos3
3
x
fx=
Câu 24: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên và
( )
( )
2
0
2 d 5f x x x+=
. Tính
2
0
( )df x x
.
A.
9−
. B.
1−
. C.
9
. D.
1
.
Câu 25: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
( )
4
5 cos=+f x x x
là
A.
5
5 sin−+x x C
. B.
5
sin−+x x C
. C.
5
sin++x x C
. D.
5
5 sin++x x C
.
Câu 26: Cho hàm số
()y f x=
có bảng biến thiên như sau
Hàm số
()y f x=
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A.
( )
2;0−
. B.
( )
1;4−
. C.
( )
;2− −
. D.
( )
0;+
.
Câu 27: Cho hàm số
(
)
y f x=
là hàm số bậc 3 và có đồ thị như hình
vẽ
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A.
1
. B.
2
.
C.
1−
. D.
2−
.
Câu 28: Cho
a
,
b
là các số dương,
1a
sao cho
log 2=
a
b
, giá trị của
( )
3
log
a
ab
bằng
A.
3
2
. B.
3a
. C.
5
. D.
3
.
Trang 28
Câu 29: Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
2
( ): 4C y x=−
và trục
hoành quanh trục Ox.
A.
4
5
V =
.
B.
512
15
V
=
. C.
7
2
V
=
. D.
22
3
V
=
.
Câu 30: Cho hình chóp đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
2a
và đường cao
SH
bằng
2
2
a
. Tính góc
giữa mặt bên
( )
SDC
và mặt đáy.
A.
30
o
. B.
90
o
. C.
60
o
. D.
45
o
.
Câu 31: Cho hàm số bậc ba
( )
y f x=
có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Số giá trị nguyên của tham số
m
để phương
( )
f x m m+=
có ba nghiệm phân biệt?
A.
2
B.
1
C.
3
D.
0
Câu 32: Cho hàm số
( )
y f x=
xác định trên tập
¡
và có
( )
2
54f x x x
= − +
. Khẳng định nào sau đây
đúng?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
( )
1;4
.
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
( )
3; +
.
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
( )
;3−
.
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
( )
1;4
.
Câu 33: Cho đa giác đều
12
đỉnh. Chọn ngu nhiên
3
đỉnh trong
12
đỉnh của đa giác. Xác suất để
3
đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều là
A.
1
55
P =
. B.
1
220
P =
. C.
1
4
P =
. D.
1
14
P =
.
Câu 34: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
( )
2
log 6 2 1
x
x− = −
bằng
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D.
3
.
Câu 35: Cho số phức
z
thỏa mãn
1
2
z
i
=
+
. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
z
là một
đường tròn
( )
C
. Tính bán kính
r
của đường tròn
( )
C
.
A.
1.r =
B.
5.r =
C.
2.r =
. D.
3.r =
.
Câu 36: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm
(1;0;1)M
và
(3;2; 1)−N
. Đường thẳng
MN có phương trình tham số là
A.
12
2.
1
=+
=
=+
xt
yt
zt
B.
1
.
1
=+
=
=+
xt
yt
zt
C.
1
.
1
=−
=
=+
xt
yt
zt
D.
1
.
1
=+
=
=−
xt
yt
zt
Trang 29
Câu 37: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
Cho đường thẳng
21
:
1 1 2
x y x
d
−−
==
−
và điểm
( )
2;0;3A
. Toạ độ điểm
A
đối xứng với
A
qua đường thẳng
d
tương ứng là
A.
8 2 7
;;
3 3 3
−
. B.
2 4 5
;;
3 3 3
−
. C.
10 4 5
;;
2 3 3
−
. D.
( )
2; 3;1−
.
Câu 38: Cho hình chóp đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
. Tính khoảng cách từ điểm
A
đến mặt
phẳng
( )
SBD
theo
a
.
A.
2
a
. B.
2a
. C.
2a
. D.
2
2
a
.
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên
y
sao cho ứng với mỗi số nguyên
y
có tối đa
100
số nguyên
x
thỏa
mãn
( )
22
5
3 log
yx
xy
−
+
?
A.
17
. B.
18
. C.
13
. D.
20
.
Câu 40: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
R
. Gọi
( ) ( )
,F x G x
là hai nguyên hàm của
( )
fx
trên
R
thỏa
mãn
( ) ( )
2 001FG−=
,
( ) ( )
2224FG−=
và
( ) ( )
111FG− = −
. Tính
( )
2
1
ln
d
2
e
fx
x
x
.
A.
2−
. B.
4−
. C.
6−
. D.
8−
.
Câu 41: Cho hàm số
( )
=y f x
có đồ thị của
( )
32y f x
=−
như hình vẽ sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
2024;2024m−
để hàm số
( )
( )
3
2024g x f x x m= + +
có ít nhất
5
điểm cực trị?
A.
2014.
B.
2023.
C.
2026.
D.
2025.
Câu 42: Cho hai số phức
,uv
thỏa mãn
10uv==
và
3 4 50uv−=
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
4 3 8 6u v i+ − +
.
A.
30
. B.
40
. C.
60
. D.
50
.
Câu 43: Cho khối lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
,A
AB a=
. Biết
khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )
A BC
bằng
3
3
a
. Tính thể tích của khối lăng trụ
..ABC A B C
A.
3
2
6
a
. B.
3
2
2
a
. C.
3
2
a
. D.
3
6
a
8
6
4
2
2
4
6
8
15
10
5
5
10
15
x
y
2
1
-2
O
Trang 30
Câu 44: Cho hình thang cong
( )
H
giới hạn bởi các đường
, 0, 0, 4y x y x x= = = =
. Đường thẳng
( )
04x k k=
chia hình
( )
H
thành hai phần có diện tích là
1
S
và
2
S
như hình vẽ. Để
12
4SS=
thì giá trị
k
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
( )
3,1;3,3
B.
( )
3,7;3,9
C.
( )
3,3;3,5
D.
( )
3,5;3,7
Câu 45: Trên tập số phức, cho phương trình
( )
22
2 1 2 0z m z m m+ − + + =
. Có bao nhiêu tham số
m
để
phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
12
;zz
thõa mãn
22
12
5zz+=
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
4
.
Câu 46: Trong không gian
Oxyz
, cho hai đường thẳng chéo nhau
1
2 6 2
:
2 2 1
x y z
d
− − +
==
−
và
2
4 1 2
:
1 3 2
x y z
d
− + +
==
−
. Gọi mặt phẳng
( )
P
là chứa
1
d
và
( )
P
song song với đường thẳng
2
d
. Khoảng cách từ điểm
( )
1;1;1M
đến
( )
P
bằng
A.
10
. B.
1
53
. C.
2
3 10
. D.
3
5
.
Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên
( ; )xy
thỏa mãn
( ) ( ) ( )
2
4 3 4 3
2 2 2 2 2
log 9 16 112 log 9 16 log log 684 1216 720 ?yx y y x y x y y+ + + + + + +
A.
48
. B.
56
. C.
64
. D.
76
.
Câu 48: Cho hình nón đỉnh
S
, đường tròn đáy tâm
O
và góc ở đỉnh bằng
120
. Một mặt phẳng đi qua
S
cắt hình nón theo thiết diện là tam giác
SAB
. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
SO
bằng
3
, diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng
18 3
. Tính diện tích tam giác
SAB
.
A.
21.
B.
27.
C.
12.
D.
18.
Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
1;2; 3A −
và mặt phẳng
( )
:2 2 9 0P x y z+ − + =
. Đường thẳng
d
đi qua
A
và có vectơ chỉ phương
( )
3;4; 4u =−
cắt
( )
P
tại
B
. Điểm
M
thay đổi trong
( )
P
sao cho
M
luôn nhìn đoạn
AB
dưới góc
o
90
. Khi độ
dài
MB
lớn nhất, đường thẳng
MB
đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A.
( )
2; 1;3H −−
. B.
( )
1; 2;3I −−
. C.
( )
3;0;15K
. D.
( )
3;2;7J −
.
Câu 50: Cho hàm số
( )
3 2 2
1 1 2
( ) (2 3) 3
3 2 3
f x x m x m m x= − + + − + +
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số
m
thuộc
[ 9;9]−
để hàm số nghịch biến trên khoảng
(1;2)
?
A. 3. B. 2. C. 16. D. 9.
---------- HẾT ----------
Trang 31
BẢNG ĐÁP ÁN
1.C
2.C
3.C
4.B
5.B
6.C
7.A
8.A
9.C
10.B
11.A
12.A
13.D
14.C
15.A
16.A
17.B
18.B
19.B
20.D
21.A
22.C
23.B
24.D
25.C
26.A
27.D
28.C
29.B
30.D
31.C
32.A
33.A
34.A
35.B
36.D
37.C
38.D
39.D
40.B
41.D
42.C
43.D
44.C
45.C
46.C
47.D
48.D
49.B
50.B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Điểm
M
trong hình vẽ bên dưới biểu thị cho số phức. Khi đó số phức
4wz=
là
A.
8 12 .wi=+
B.
8 12 .wi= − −
C.
8 12 .wi= − +
D.
8 12 .wi= − −
Lời giải
Điểm
( )
2;3M −
biểu thị cho số phức
( )
2 3 4 4 2 3 8 12z i w z i i= − + = = − + = − +
Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số
5
x
y =
A.
5
ln5
x
y
=
B.
1
.5
x
yx
−
=
C.
5 ln5
x
y
=
D.
5
x
y
=
Lời giải
Chọn C
Ta có:
5 ln5
x
y
=
.
Câu 3: Đạo hàm của hàm số
( )
1
3
21yx
-
=+
trên tập xác định là.
A.
( ) ( )
1
3
2 2 1 ln 2 1xx
-
++
. B.
( ) ( )
1
3
2 1 ln 2 1xx
-
++
.
C.
( )
4
3
2
21
3
x
-
-+
. D.
( )
4
3
1
21
3
x
-
-+
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 4
1
3 3 3
12
2 1 2 1 2 1 2 1
33
y x x x x
− − − −
−−
= + = + + = +
.
Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình
23
51
x+
−
là
A.
( )
3;− +
. B. . C.
. D.
( )
;3− −
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
23
50
x+
với
x
23
51
x+
−
với
x
.
Do đó, bất phương trình đã cho nghiệm đúng với
x
.
Câu 5: Cho cấp số nhân
( )
n
u
với
1
3u =
và công bội
2q =−
. Số hạng thứ
7
của cấp số nhân đó là
A.
384−
. B.
192
. C.
192−
. D.
384
.
Lời giải
x
y
2
M
3
O
Trang 32
Chọn B
Số hạng thứ
7
của cấp số nhân đó là
( )
6
6
71
. 3. 2 192u u q= = − =
.
Câu 6: Trong không gian
Oxyz
cho mặt phẳng
( ): 2 3 1 0P x y z− + − =
. Một véc tơ pháp tuyến của
()P
là
A.
(1;2;3)n =
. B.
(1;3; 2)n =−
. C.
(1; 2;3)n =−
. D.
(1; 2; 1)n = − −
.
Lời giải
Từ phương trình mặt phẳng
( ): 2 3 1 0P x y z− + − =
suy ra một véc tơ pháp tuyến của
()P
là
(1; 2;3)n =−
.
Câu 7: Cho hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+
có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị
hàm số đã cho và trục hoành là
A.
( )
3;0
. B.
( )
2;0
. C.
( )
0; 2−
. D.
( )
0;3
.
Lời giải
Chọn A
Từ đồ thị, ta dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ
( )
3;0
.
Câu 8: Nếu
( )
6
1
d2f x x =
và
( )
6
1
d4g x x =−
thì
( ) ( )
( )
6
1
df x g x x+
bằng
A.
2−
. B.
6
. C.
2
. D.
6−
.
Lời giải
Ta có
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
6 6 6
1 1 1
d d d 2 4 2f x g x x f x x g x x+ = + = + − = −
.
Câu 9: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
, , ,A B C D
Trang 33
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Nhìn vào đồ thị thì đây là đồ thị hàm số bậc 3 nên loại phương án
42
1y x x= − +
,
2
1y x x= − + −
.
Do
lim
x
y
→+
= +
nên
0a
nên ta loại phương án
3
31y x x= − + +
.
Vậy đáp án đúng là
3
31y x x= − +
.
Câu 10: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
()S
có tâm
( 1; 4;2)I −−
và điểm
( )
1;2;2M
thuộc mặt cầu.
Phương trình của
()S
là
A.
( )
2
22
( 1) ( 4) 2 40x y z+ + + + − =
. B.
( )
2
22
( 1) ( 4) 2 40x y z+ + + + − =
.
C.
( )
2
22
( 1) ( 4) 2 10x y z− + − + + =
. D.
( )
2
22
( 1) ( 4) 2 40x y z− + − + + =
.
Lời giải
Phương trình mặt cầu
()S
có tâm
( 1; 4;2)I −−
và bán kính bằng
222
2 6 0 40IM = + + =
là
( )
2
22
( 1) ( 4) 2 40x y z+ + + + − =
.
Câu 11: Trong không gian
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
lần lượt có hai vectơ pháp tuyến là
P
n
và
Q
n
. Biết cosin góc giữa hai vectơ
P
n
và
Q
n
bằng
3
.
2
−
Góc giữa hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
bằng.
A.
30
B.
45
C.
60
D.
90
Lời giải
Chọn A
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
33
cos ; cos ; ; 30 .
22
PQ
P Q n n P Q= = − = =
Câu 12: Cho số phức
12
3 4 ; 1z i z i= − = −
, phần ảo của số phức
12
.zz
bằng
A.
7−
. B.
7
. C.
1−
. D.
1
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( ) ( )
1 2 1 2
3 4 ; 1 . 3 4 . 1 1 7z i z i z z i i i= − = − = − − = − −
Vậy phần ảo của số phức
12
.zz
bằng
7−
.
Câu 13: Thể tích khối hộp chữ nhật có 3 kích thước là
a
;
2a
;
3a
bằng
A.
3
a
. B.
2
6a
. C.
3
2a
. D.
3
6a
.
Lời giải
3
31y x x= − + +
42
1y x x= − +
3
31y x x= − +
2
1y x x= − + −
Trang 34
Thể tích khối hộp chữ nhật có 3 kích thước là
a
;
2a
;
3a
bằng
3
.2 .3 6a a a a=
.
Câu 14: Cho khối chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông với
AB a=
,
( )
SA ABCD⊥
và
2SA a=
. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
3
2a
B.
3
3
a
. C.
3
2
3
a
. D.
3
6a
.
Lời giải
Ta có
3
2
1 1 2
. .2
3 3 3
ABCD
a
V S SA a a= = =
.
Câu 15: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( ) ( ) ( )
2 2 2
( ): 1 2 3 16S x y z− + + + − =
và mặt phẳng
( ):2 2 6 0P x y z− + + =
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
()P
không cắt mặt cầu
( ).S
B.
()P
tiếp xúc mặt cầu
( ).S
C.
()P
đi qua tâm mặt cầu
( ).S
D.
()P
cắt mặt cầu
()S
.
Lời giải
Mặt cầu
()S
có tâm
( )
1; 2;3I −
và bán kính
4R =
Ta có:
( )
( )
2
22
2 4 3 6
,( ) 5
2 2 1
d I P R
+ + +
= =
+ − +
. Suy ra
()P
không cắt mặt cầu
( ).S
Câu 16: Trên mặt phẳng tọa độ, cho
(2;3)M
là điểm biểu diễn số phức
z
. Phần thực của
z
bằng
A.
2
. B.
3
. C.
3−
. D.
2−
.
Lời giải
Ta có:
(2;3)M
là điểm biểu diễn của số phức
z
trên mặt phẳng toạ độ
23zi=+
do đó
phần thực của
z
là 2.
Câu 17: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác đều cạnh có độ dài bằng
a
. Tính diện tích
toàn phần
tp
S
của hình nón đó.
A.
2
tp
Sa
=
. B.
2
3
4
tp
Sa
=
. C.
2
5
4
tp
Sa
=
. D.
2
1
4
tp
Sa
=
Lời giải
a
2a
D
A
B
C
S
Trang 35
Ta có
la=
,
2
a
r =
2 2 2
3
()
2 2 4
tp
aa
S rl r a a
= + = + =
.
Câu 18: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
: 3 5 2 0P x y z− + − =
. Điểm nào dưới đây thuộc mặt
phẳng
( )
P
?
A.
( )
1;1;7N
. B.
( )
4;4;2Q
. C.
( )
4; 1;3P −
. D.
( )
0;0;2M
.
Lời giải
Tọa độ điểm
( )
4;4;2Q
thỏa mãn phương trình
( )
P
nên
( )
QP
.
Câu 19: Cho hàm số
42
y ax bx c= + +
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Điểm cực đại của đồ thị
hàm số đã cho có tọa độ là
A.
( 1; 4)−−
. B.
(0; 3)−
. C.
(1; 4)−
. D.
( 3;0)−
.
Lời giải
Chọn B
Từ đồ thị, ta có đồ thị hàm số đã cho có điểm cực đại là
(0; 3)−
.
Câu 20: Đường thẳng
2y =
là tiệm cận ngang của đồ thị nào dưới đây?
A.
2
1
y
x
=
+
. B.
1
12
x
y
x
+
=
−
. C.
23
2
x
y
x
−+
=
−
. D.
22
2
x
y
x
−
=
+
.
Lời giải
Chọn D
Trong 4 đáp án trên chỉ có đáp án
22
2
x
y
x
−
=
+
thoả
22
lim 2
2
x
x
x
→
−
=
+
.
Câu 21: Bất phương trình
( )
2021
log 1 0x−
có bao nhiêu nghiệm nguyên?
A.
1
. B.
2022
. C.
2
. D.
0
.
Lời giải
( )
2021
0
10
1
log 1 0 1 2
2
1 2021
x
x
xx
x
x
−
−
−
.
Vì
x
và
12x
nên
2x =
.
Câu 22: Cần phân công
3
bạn từ một tổ
10
bạn để làm trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách phân công
khác nhau.
A.
10
3
. B.
3
10
A
. C.
3
10
C
. D.
3
10
.
Lời giải
Có
3
10
C
cách phân công
3
bạn từ một tổ
10
bạn để làm trực nhật.
Câu 23: Biết
( )
sin3f x dx x C=+
. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A.
( )
3cos3f x x=−
. B.
( )
3cos3f x x=
. C.
( )
cos3
3
x
fx=−
. D.
( )
cos3
3
x
fx=
Lời giải
O
x
y
4−
3−
1−
1
Trang 36
Áp dụng định nghĩa nguyên hàm.
Câu 24: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên và
( )
( )
2
0
2 d 5f x x x+=
. Tính
2
0
( )df x x
.
A.
9−
. B.
1−
. C.
9
. D.
1
.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2
0 0 0 0
2 d d 2 d d 4 5f x x x f x x x x f x x+ = + = + =
. Do đó
2
0
( )d 1f x x =
.
Câu 25: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
( )
4
5 cos=+f x x x
là
A.
5
5 sin−+x x C
. B.
5
sin−+x x C
. C.
5
sin++x x C
. D.
5
5 sin++x x C
.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
45
d 5 cos d sin= + = + +
f x x x x x x x C
.
Câu 26: Cho hàm số
()y f x=
có bảng biến thiên như sau
Hàm số
()y f x=
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A.
( )
2;0−
. B.
( )
1;4−
. C.
( )
;2− −
. D.
( )
0;+
.
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
2;0−
.
Câu 27: Cho hàm số
(
)
y f x=
là hàm số bậc 3 và có đồ thị như hình vẽ
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A.
1
. B.
2
. C.
1−
. D.
2−
.
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số ở hình vẽ, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại
1x =-
, giá trị cực tiểu bằng
2−
.
Câu 28: Cho
a
,
b
là các số dương,
1a
sao cho
log 2=
a
b
, giá trị của
( )
3
log
a
ab
bằng
A.
3
2
. B.
3a
. C.
5
. D.
3
.
Lời giải
Trang 37
Với
a
,
b
là các số dương và
1a
, ta có
( )
33
log log log 3 2 5= + = + =
a a a
a b a b
.
Câu 29: Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
2
( ): 4C y x=−
và trục
hoành quanh trục Ox.
A.
4
5
V =
.
B.
512
15
V
=
. C.
7
2
V
=
. D.
22
3
V
=
.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
2
2
40
2
x
x
x
=
− =
=−
.
Thể tích:
( ) ( )
2 2 2
35
2
2 2 2 4
2 2 2
2
8 512
4 16 8 16
2
3 5 15
xx
V y dx x dx x x dx x
− − −
= = − = − + = − + =
−
.
Câu 30: Cho hình chóp đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
2a
và đường cao
SH
bằng
2
2
a
. Tính góc
giữa mặt bên
( )
SDC
và mặt đáy.
A.
30
o
. B.
90
o
. C.
60
o
. D.
45
o
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
( ) ( )
SDC ABCD DC=
( )
,SI SDC SI DC⊥
( )
,HI ABCD HI DC⊥
( ) ( )
( )
(1),(2),(3) ,SDC ABCD SIH=
.
Trong
SIH
vuông tại
H
có:
2
2
tan 1 45
2
2
o
a
SH
SIH SIH
HI
a
= = = =
.
Vậy
( ) ( )
( )
, 45
o
SDC ABCD =
.
Câu 31: Cho hàm số bậc ba
( )
y f x=
có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Trang 38
Số giá trị nguyên của tham số
m
để phương
( )
f x m m+=
có ba nghiệm phân biệt?
A.
2
B.
1
C.
3
D.
0
Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị
( )
fx
ta tịnh tiến đồ thị sang trái để có được đồ thị hàm số
( )
f x m+
nên không ảnh
hưởng đến số điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số
( )
f x m+
. Khi đó ta có số nghiệm của
phương trình
( )
f x m m+=
cũng là số nghiệm của phương trình
( )
f x m=
, nên để phương
trình
( )
f x m m+=
có ba nghiệm phân biệt thì phương trình
( )
f x m=
có ba nghiệm phân biệt
31m −
.
Câu 32: Cho hàm số
( )
y f x=
xác định trên tập
¡
và có
( )
2
54f x x x
= − +
. Khẳng định nào sau đây
đúng?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
( )
1;4
.
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
( )
3; +
.
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
( )
;3−
.
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
( )
1;4
.
Lời giải
Ta có:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;1−
và
( )
4;+
. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
1;4
.
Câu 33: Cho đa giác đều
12
đỉnh. Chọn ngu nhiên
3
đỉnh trong
12
đỉnh của đa giác. Xác suất để
3
đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều là
A.
1
55
P =
. B.
1
220
P =
. C.
1
4
P =
. D.
1
14
P =
.
Lời giải
Số phần tử không gian mu:
( )
3
12
220nC = =
.
Gọi
A
: “
3
đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều ”.
.
Ta có:
( )
1
4
4n A C==
.
Khi đó:
( )
( )
( )
41
220 55
nA
PA
n
= = =
.
Câu 34: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
( )
2
log 6 2 1
x
x− = −
bằng
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D.
3
.
Trang 39
Lời giải
Điều kiện:
2
6 2 0 2 6 log 6
xx
x−
Ta có:
( )
1
2
2
log 6 2 1 6 2 2 6 2 (*)
2
x x x x
x
x
−
− = − − = − =
Đặt
2
x
t =
. Khi đó phương trình có dạng:
2
2
6 6 2 0t t t
t
− = − + =
.
Ta có
1 2 1 2
1 2 1 2
2 .2 2 2 1
x x x x
t t x x
+
= = = + =
.
Câu 35: Cho số phức
z
thỏa mãn
1
2
z
i
=
+
. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
z
là một
đường tròn
( )
C
. Tính bán kính
r
của đường tròn
( )
C
.
A.
1.r =
B.
5.r =
C.
2.r =
. D.
3.r =
.
Lời giải
Ta có:
1 2 5
2
z
zi
i
= = + =
+
.
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức
z
là một đường tròn có bán kính
5.r =
Câu 36: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm
(1;0;1)M
và
(3;2; 1)−N
. Đường thẳng
MN có phương trình tham số là
A.
12
2.
1
=+
=
=+
xt
yt
zt
B.
1
.
1
=+
=
=+
xt
yt
zt
C.
1
.
1
=−
=
=+
xt
yt
zt
D.
1
.
1
=+
=
=−
xt
yt
zt
Lời giải
Đường thẳng MN đi qua
(1;0;1)M
nhận
( ) ( )
2;2; 2 2. 1;1; 1= − = −MN
làm véctơ chỉ phương
nên có phương trình tham số là
( )
1
.
1
=+
=
=−
xt
y t t
zt
Câu 37: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
Cho đường thẳng
21
:
1 1 2
x y x
d
−−
==
−
và điểm
( )
2;0;3A
. Toạ độ điểm
A
đối xứng với
A
qua đường thẳng
d
tương ứng là
A.
8 2 7
;;
3 3 3
−
. B.
2 4 5
;;
3 3 3
−
. C.
10 4 5
;;
2 3 3
−
. D.
( )
2; 3;1−
.
Lời giải
Đưa đường thẳng
d
về phương trình tham số
2
:
12
xt
d y t
zt
=+
=−
=+
Gọi hình chiếu vuông góc của điểm
A
trên đường thẳng
d
là
H
suy ra
( )
2 ; ;1 2H t t t+ − +
.
Ta có
( )
; ; 2 2AH t t t= − −
và VTCP của đường thẳng
d
là
( )
1; 1; 2
d
u =−
.
Suy ra
2 8 2 7
. 0 4 4 0 ; ;
3 3 3 3
d
AH u t t t t H
= + + − = = −
.
Trang 40
Có điểm
H
là trung điểm của
AA
suy ra tọa độ điểm
A
là:
10
2
3
4
2
3
5
2
3
A H A
A H A
A H A
x x x
y y y
z z z
= − =
= − = −
= − =
.
Câu 38: Cho hình chóp đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
. Tính khoảng cách từ điểm
A
đến mặt
phẳng
( )
SBD
theo
a
.
A.
2
a
. B.
2a
. C.
2a
. D.
2
2
a
.
Lời giải
Gọi
O
là giao điểm của
AC
và
BD
. Theo tính chất hình chóp đều
( )
.S ABCD SO ABCD⊥
.
Ta có
AO BD⊥
;
AO SO⊥
nên suy ra
( )
AO SBD⊥
.
( )
( )
12
,
22
a
d A SBD AO AC= = =
.
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên
y
sao cho ứng với mỗi số nguyên
y
có tối đa
100
số nguyên
x
thỏa
mãn
( )
22
5
3 log
yx
xy
−
+
?
A.
17
. B.
18
. C.
13
. D.
20
.
Lời giải
Điều kiện:
2
0xy+
.
Do
2*
,x y x y + Z
, đặt
22
t x y x t y= + = −
, với mỗi giá trị
*
t
có một giá trị
xZ
, khi đó
( )
22
5
3 log
yx
xy
−
+
trở thành
2
22
5
log 3 0
y y t
t
+−
−
.
Xét hàm số
( )
2
22
5
log 3
y y t
f t t
+−
=−
có
( )
2
2 2 *
1
2.3 .ln3 0,
ln5
y y t
f t t
t
+−
= +
.
( )
ft
đồng biến trên
)
1; +
.
Ta có bảng biến thiên:
Trang 41
YCBT
( )
2
2 200
5
100 log 100 3 0
yy
f
+−
= −
.
( )
2
35
2 200 log log 100 0
10.28 9.78
10; 9;...;9
yy
y
y
+ − −
−
− −
Vậy có
20
số thỏa đề.
Câu 40: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
R
. Gọi
( ) ( )
,F x G x
là hai nguyên hàm của
( )
fx
trên
R
thỏa
mãn
( ) ( )
2 001FG−=
,
( ) ( )
2224FG−=
và
( ) ( )
111FG− = −
. Tính
( )
2
1
ln
d
2
e
fx
x
x
.
A.
2−
. B.
4−
. C.
6−
. D.
8−
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
( ) ( )
G x F x C=+
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
00
(0) 1 (0) 2
2 2 (2) 2 4 (2) 6
11
1
21
24
11
F C F
FC
FG
FG
F
F
CC
G
− = =
− − = = −
−=
−=
−
=
−
=
=
.
Do đó
( ) ( ) ( )
2
0
d 2 0 8f x F Fx = − = −
.
Vậy
( ) ( )
( ) ( )
22
2
1 1 0
ln ln
1
d d ln d 4
2 2 2
ee
f x f x
x x f u u
x
= = = −
.
Câu 41: Cho hàm số
( )
=y f x
có đồ thị của
( )
32y f x
=−
như hình vẽ sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
2024;2024m−
để hàm số
( )
( )
3
2024g x f x x m= + +
có ít nhất
5
điểm cực trị?
8
6
4
2
2
4
6
8
15
10
5
5
10
15
x
y
2
1
-2
O
Trang 42
A.
2024.
B.
2026.
C.
2023.
D.
2025.
Lời giải
Vì
( )
( )
3
2024g x f x x m= + +
là hàm số chẵn nên số điểm cực trị của
( )
gx
bằng
2
lần số cực
trị dương của
( )
3
2024f x x m++
cộng với
1.
Với
0,x
ta có
( )
( )
3
2024 ;g x f x x m= + +
( )
( ) ( )
23
3 2024 2024 .g x x f x x m
= + + +
Đặt
32xt=−
ta có
3
2
x
t
−
=
và
( ) ( )
7
2
3 2 0 1 .
1
1
x
t
f x f t x
t
x
=
=
= − = =
=
=−
Suy ra
( )
3
3
3
2024 7
0 2024 1
2024 1
x x m
g x x x m
x x m
+ + =
= + + =
+ + = −
3
3
3
2024 7 (1)
2024 1 (2).
2024 1 (3)
x x m
x x m
x x m
+ = −
+ = −
+ = − −
Hàm số
( )
gx
có ít nhất
5
điểm cực trị khi và chỉ khi có ít nhất
2
trong
3
phương trình
(1),
(2),
(3)
có nghiệm dương.
Xét hàm số
( )
3
2024h x x x=+
có
( )
2
3 2024h x x
=+
.
Ta có BBT của
( )
hx
như sau:
Vì
7 1 1m m m− − − −
nên ta có
1 0 1.mm−
Mà
2024;2024m −
nên
2024;...;0 .m−
Vậy có
2025
giá trị nguyên
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 42: Cho hai số phức
,uv
thỏa mãn
10uv==
và
3 4 50uv−=
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
4 3 8 6u v i+ − +
.
A.
30
. B.
40
. C.
60
. D.
50
.
Lời giải
Ta có
2
.z z z=
. Đặt
34T u v=−
,
43M u v=+
.
Khi đó
( )
( )
2
3 4 3 4T u v u v= − −
( )
22
9 16 12u v uv vu= + − +
.
Tương tự ta có
( )
( )
2
4 3 4 3M u v u v= + +
( )
22
16 9 12u v uv vu= + + +
.
Do đó
( )
22
22
25 5000M T u v+ = + =
.
Suy ra
22
5000MT=−
2
5000 50 2500= − =
hay
50M =
.
Áp dụng
z z z z
+ +
ta có
4 3 8 6 4 3 8 6 50 10 60u v i u v i+ − + + + − + = + =
.
Suy ra
max 4 3 10 60u v i+ − =
.
Trang 43
Câu 43: Cho khối lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
,A
AB a=
. Biết
khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )
A BC
bằng
3
3
a
. Tính thể tích của khối lăng trụ
..ABC A B C
A.
3
2
6
a
. B.
3
2
2
a
. C.
3
2
a
. D.
3
6
a
Lời giải
Gọi
M
là trung điểm của
BC
. Suy ra
AM BC^
.
Khi đó
( )
BC A AM
¢
^
.
Trong
( )
A BC
¢
kẻ
AK A M
¢
^
với
K A M
¢
Î
.
Khi đó
( ) ( )
( )
3
d,
3
a
AK A BC A A BC AK
⊥ = =
.
Trong
A AM
¢
D
vuông tại
A
ta có
2
22
BC a
AM ==
;
3
3
a
AK =
.
Ta có
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 9 4 1
32
A A a
AK A A AM A A AK AM A A a a a
= + = − = − = =
.
Vậy thể tích của khối lăng trụ
.ABC A B C
là
23
..
22
ABC
aa
V AA S a
= = =
.
Câu 44: Cho hình thang cong
( )
H
giới hạn bởi các đường
, 0, 0, 4y x y x x= = = =
. Đường thẳng
( )
04x k k=
chia hình
( )
H
thành hai phần có diện tích là
1
S
và
2
S
như hình vẽ. Để
12
4SS=
thì giá trị
k
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
( )
3,1;3,3
B.
( )
3,7;3,9
C.
( )
3,3;3,5
D.
( )
3,5;3,7
Lời giải
Trang 44
( )
3
3
2
2
1
0
0
2
d.
3
3
2
k
k
x
S x x k= = =
( )
4
3
4
33
2
22
2
22
d .4 . .
3
33
2
k
k
x
S x x k= = = −
Suy ra
3 3 3
2 2 2
12
2 2 2
4 4 .4 . 3.447
3 3 3
S S k k k
= = −
.
Câu 45: Trên tập số phức, cho phương trình
( )
22
2 1 2 0z m z m m+ − + + =
. Có bao nhiêu tham số
m
để
phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
12
;zz
thõa mãn
22
12
5zz+=
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
4
.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
2
2
1 2 4 1m m m m
= − − + = − +
TH1: YCBT
( )
( )
( )
22
2
2
2
12
1 2 1 2
1
1
0
4
4
5
4 1 2 2 5
25
m
m
zz
m m m
z z z z
+=
− − + =
+ − =
2
1
4
1
6 38
4
()
2
2 12 1 0
6 38
()
2
m
m
mL
mm
mN
+
=
− − =
−
=
TH2: Khi
1
0
4
m
Phương trình đã cho có hai nghiệm phức
12
;zz
có dạng
12
,z a bi z a bi= + = −
với
1; 4 1a m b m= − + = −
Khi đó:
( )
22
2 2 2 2
12
2
5
5 2 2 5
2
2 14
()
5
2
1 4 1
2
2 14
()
2
z z a b a b
mN
mm
mL
+ = + = + =
−+
=
− + − =
−−
=
Câu 46: Trong không gian
Oxyz
, cho hai đường thẳng chéo nhau
1
2 6 2
:
2 2 1
x y z
d
− − +
==
−
và
2
4 1 2
:
1 3 2
x y z
d
− + +
==
−
. Gọi mặt phẳng
( )
P
là chứa
1
d
và
( )
P
song song với đường thẳng
2
d
. Khoảng cách từ điểm
( )
1;1;1M
đến
( )
P
bằng
A.
10
. B.
1
53
. C.
2
3 10
. D.
3
5
.
Lời giải
Chọn C
Đường thẳng
1
d
đi qua
( )
2;6; 2A −
và có một véc tơ chỉ phương
( )
1
2; 2;1u =−
.
Đường thẳng
2
d
có một véc tơ chỉ phương
( )
2
1;3; 2u =−
.
Trang 45
Gọi
n
là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
P
. Do mặt phẳng
( )
P
chứa
1
d
và
( )
P
song
song với đường thẳng
2
d
nên
( )
12
, 1;5;8n u u
==
.
Phương trình mặt phẳng
( )
P
đi qua
( )
2;6; 2A −
và có một véc tơ pháp tuyến
( )
1;5;8n =
là
5 8 16 0x y z+ + − =
.
Vậy
( )
( )
2 2 2
5 8 16
2
d,
3 10
1 5 8
M M M
x y z
MP
+ + −
==
++
.
Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên
( ; )xy
thỏa mãn
( ) ( ) ( )
2
4 3 4 3
2 2 2 2 2
log 9 16 112 log 9 16 log log 684 1216 720 ?yx y y x y x y y+ + + + + + +
A.
48
. B.
56
. C.
64
. D.
76
.
Lời giải
Chọn D
Điều kiện:
0y
.
Ta có:
( ) ( ) ( )
2
4 3 4 3
2 2 2 2 2
log 9 16 112 log 9 16 log log 684 1216 720+ + + + + + +x y x yyy x y y
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
4 4 3 3
log 9 16 112 log log 684 1216 720 log 9 16x y y x y y x yy + + − + + − +
2 2 2 2
22
43
9 16 112 684 1216 720
log log
9 16
x y y x y y
y x y
+ + + +
+
2
3
22
4
2
9 16 720
log log
91
112 76
6
x y y
xy y
+
+
++
3
22
2
4
2
9 16 720
log log 0112 76
9 16
x
xyy
yy
+
−
+
++
Đặt:
22
9 16
( 0)
xy
y
tt
+
=
Bất phương trình trở thành:
43
l0
72
g
0
o ( 112) log 76t
t
+ − +
.
Xét hàm số
43
720
( ) log ( 112) log 76f t t
t
= + − +
có
( )
2
0
7201
( ) 0,
( 112)ln4
76 720 ln3
f t t
t
tt
= +
+
+
.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
(0; )+
.
Mà
43
(144) log (144 112) log 76 0
720
144
f
= + − + =
Từ đó
2 2 2
2
9 16 16 144
(1) ( ) (144) 144 144
9
x y y y
ft
y
f t x
+ − +
Điều kiện:
2
16 144 0 0 9y y y− +
Đếm các cặp giá trị nguyên của
( ; )xy
Với
2
128 8 2 8 2
1 8 { 3; 2; 1;0}
9 3 3
y hay y x x x= = −
nên có
14
cặp.
Với
2
224 4 14 4 14
2 7 { 4; 3; 2; 1;0}
9 3 3
y hay y x x x= = −
nên có
18
cặp.
Trang 46
Với
2
3 6 32 4 2 4 2 { 5; 4; 3; 2; 1;0}y hay y x x x= = −
nên có 22 cặp.
Với
2
320 8 5 8 5
4 5 { 5; 4; 3; 2; 1;0}
9 3 3
y hay y x x x= = −
nên có 22
cặp.
Vậy có
76
cặp giá trị nguyên
( ; )xy
thỏa mãn đề bài.
Câu 48: Cho hình nón đỉnh
S
, đường tròn đáy tâm
O
và góc ở đỉnh bằng
120
. Một mặt phẳng đi qua
S
cắt hình nón theo thiết diện là tam giác
SAB
. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
SO
bằng
3
, diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng
18 3
. Tính diện tích tam giác
SAB
.
A.
21.
B.
27.
C.
12.
D.
18.
Lời giải
Chọn D
+ Gọi
H
là trung điểm
AB
,
SAB
cân tại
( )
S SA SB l==
nên
OH AB⊥
.
Mà
SO
vuông góc với đáy
SO OH⊥
OH
là đoạn vuông góc chung của
AB
và
SO
nên
( )
,3d SO AB OH==
.
+ Gọi bán kính của đường tròn đáy hình nón là
r
r OB=
.
Vì góc đỉnh hình nón bằng
· ·
120 60 sin
OB
OSB OSB
SB
= =
23
sin60 3
3
2
r r r
SB = = =
.
Diện tích xung quanh của hình nón
2
2 3 2 3
33
.
xq
r
S rl
r
r
= = =
.
Theo giả thiết
2
23
3
xq
S
r
=
2
218 3 7 3 3rr
= ==
.
+ Xét
OHB
vuông tại
( )
2
2 2 2 2 2 2
: 3 3 3 3 18.H HB OB OH r= − = − = − =
3 2 6 2HB AB = =
.
Ta có:
23
6
3
r
SB ==
.
SAB
vuông cân tại
( )
2 2 2
, 72S SA SB SA SB AB= + = =
Trang 47
Vậy diện tích tam giác
SAB
bằng
11
. .6.6 18
22
SAB
S SASB
= = =
.
Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
1;2; 3A −
và mặt phẳng
( )
:2 2 9 0P x y z+ − + =
. Đường thẳng
d
đi qua
A
và có vectơ chỉ phương
( )
3;4; 4u =−
cắt
( )
P
tại
B
. Điểm
M
thay đổi trong
( )
P
sao cho
M
luôn nhìn đoạn
AB
dưới góc
o
90
. Khi độ
dài
MB
lớn nhất, đường thẳng
MB
đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A.
( )
2; 1;3H −−
. B.
( )
1; 2;3I −−
. C.
( )
3;0;15K
. D.
( )
3;2;7J −
.
Lời giải
Chọn B
+ Đường thẳng
d
đi qua
( )
1;2; 3A −
và có vectơ chỉ phương
( )
3;4; 4u =−
có phương trình là
13
24
34
xt
yt
zt
=+
=+
= − −
.
+ Ta có:
2 2 2
MB AB MA=−
. Do đó
( )
max
MB
khi và chỉ khi
( )
min
MA
.
+ Gọi
E
là hình chiếu của
A
lên
( )
P
. Ta có:
AM AE
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
ME
.
Khi đó
( )
min
AM AE=
và
MB
qua
B
nhận
BE
làm vectơ chỉ phương.
+ Ta có:
Bd
nên
( )
1 3 ;2 4 ; 3 4B t t t+ + − −
mà
( )
BP
suy ra:
( ) ( ) ( )
2 1 3 2 2 4 3 4 9 0 1t t t t+ + + − − − + = = −
( )
2; 2;1B − −
.
+ Đường thẳng
AE
qua
( )
1;2; 3A −
, nhận
( )
2;2; 1
P
n =−
làm vectơ chỉ phương có phương
trình là
12
22
3
xt
yt
zt
=+
=+
= − −
.
Suy ra
( )
1 2 ;2 2 ; 3E t t t+ + − −
.
Mặt khác,
( )
EP
nên
( ) ( ) ( )
2 1 2 2 2 2 3 9 0 2t t t t+ + + − − − + = = −
( )
3; 2; 1E − − −
.
Trang 48
+ Do đó đường thẳng.
MB
. qua
( )
2; 2;1B --
, có vectơ chỉ phương
( )
1;0; 2BE = - -
uur
nên có
phương trình là
2
2
12
xt
y
zt
ì
= - -
ï
ï
ï
ï
=-
í
ï
ï
=-
ï
ï
î
.
Thử các đáp án thấy điểm
( )
1; 2;3I −−
thỏa.
Câu 50: Cho hàm số
( )
3 2 2
1 1 2
( ) (2 3) 3
3 2 3
f x x m x m m x= − + + − + +
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số
m
thuộc
[ 9;9]−
để hàm số nghịch biến trên khoảng
(1;2)
?
A. 3. B. 2. C. 16. D. 9.
Lời giải
Xét hàm số
( )
3 2 2
1 1 2019
( ) (2 3) 3
3 2 2020
g x x m x m m x= − + + − + +
( )
22
( ) (2 3) 3g x x m x m m
= − + + − +
Để
()fx
nghịch biến trên khoảng
(1;2)
ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1:
()gx
nghịch biến và không âm trên khoảng
(1;2)
.
Tức là:
( )
( )
22
3 2 2
(2 3) 3 0, (1;2)
( ) 0, (1;2)
1 1 2
(2) 0
.2 .(2 3).2 3 .2 0
3 2 3
x m x m m x
g x x
g
m m m
− + + − +
− + + − + +
2
3, (1;2)
2
, (1;2)
2
2
21
2 2 4 0
x m x
m
x m x
m
m
m
mm
+
−
= −
−
− − +
.
Trường hợp 2:
()gx
đồng biến và không dương trên khoảng
(1;2)
.
Tức là:
( )
( )
22
3 2 2
(2 3) 3 0, (1;2)
( ) 0, (1;2)
1 1 2
(2) 0
.2 .(2 3).2 3 .2 0
3 2 3
x m x m m x
g x x
g
m m m
− + + − +
− + + − + +
2
11
3, (1;2)
1
1
2 2 4 0
2
m
m x m x
m
m
mm
m
−
+
=
− − +
−
.
---------- HẾT ----------
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2024
ĐỀ 3
Bài thi: TOÁN
Câu 1: Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức
z
. Khi đó số phức
2wz=−
là
A.
42wi=+
. B.
42wi=−
. C.
42wi= − +
. D.
42wi= − −
.
Trang 49
Câu 2: Trên khoảng
( )
0;+
, đạo hàm của hàm số
logyx
=
là
A.
x
y
=
. B.
1
ln
y
x
=
. C.
1
y
x
=
. D.
1
ln
y
x
=
.
Câu 3: Trên khoảng
( )
0;+
, đạo hàm của hàm số là
5
yx=
là
A.
5
5yx
=
. B.
21
5yx
−
=
. C.
1
ln 5
y
x
=
. D.
51
5yx
−
=
.
Câu 4: Tìm tập nghiệm
S
của bất phương trình
2 1 3 2
11
22
xx−+
.
A.
( )
;3S = − −
. B.
( )
3;S = − +
. C.
( )
;3S = −
. D.
( )
3;S = +
.
Câu 5: Cho cấp số cộng
( )
n
u
biết
45
10, 13uu==
. Số hạng đầu của cấp số cộng đã cho bằng
A.
1
3u =
. B.
1
1u =−
. C.
1
1u =
. D.
1
2u =
.
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, vectơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của mặt
phẳng
( )
Oxy
?
A.
( )
=
r
1; 0; 0i
B.
( )
=
ur
1;1;1m
C.
( )
=
r
0;1;0j
D.
( )
=
r
0;0;1k
Câu 7: Cho hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+
có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Số giao điểm của đồ thị hàm số đã
cho và trục hoành là
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 8: Nếu
( )
1
0
33f x dx =
thì
( )
1
0
f x dx
bằng
A.
1
. B.
18
.
C.
2
. D.
3
.
Câu 9: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A.
32
21y x x= + −
. B.
32
21y x x= − + −
.
C.
42
21y x x= − −
. D.
42
2 4 1y x x= − + −
.
Câu 10: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
2;1;0A −
,
( )
2; 1;2B −
. Phương trình của mặt cầu có
đường kính
AB
là
A.
( )
2
22
1 24x y z+ + − =
. B.
( )
2
22
16x y z+ + − =
.
C.
( )
2
22
1 24x y z+ + − =
. D.
( )
2
22
16x y z+ + − =
.
Câu 11: Trong không gian
,Oxyz
cho hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
lần lượt có hai vectơ pháp tuyến là
P
n
và
Q
n
. Biết góc giữa hai vectơ
P
n
và
Q
n
bằng
120 .
Góc giữa hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
bằng.
A.
30
B.
45
C.
60
D.
90
Câu 12: Cho số phức
z
thỏa mãn
52iz i=+
. Phần ảo của
z
bằng
Trang 50
A.
5
. B.
2
. C.
5−
. D.
2−
.
Câu 13: Thể tích của khối lập phương cạnh 4a bằng
A.
3
16a
. B.
3
64a
. C.
3
4a
. D.
3
a
.
Câu 14: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
2a
,
( )
SA ABCD⊥
và
3SA a=
.
Tính
.S ABCD
V
.
A.
3
4
3
a
. B.
3
4
9
a
. C.
3
4a
. D.
3
12a
.
Câu 15: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
( ): ( 2) 1S x y z+ + − =
và mặt phẳng
( ):3 4 12 0xz
+ + =
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Mặt phẳng
()
tiếp xúc mặt cầu
()S
.
B. Mặt phẳng
()
cắt mặt cầu
()S
theo một đường tròn.
C. Mặt phẳng
()
đi qua tâm của mặt cầu
()S
.
D. Mặt phẳng
()
không cắt mặt cầu
()S
.
Câu 16: Cho số phức
2 3 .zi=+
Phần ảo của số phức
z
bằng
A.
3
. B.
2
. C.
2−
. D.
3−
.
Câu 17: Một hình trụ có bán kính đáy bằng
a
và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính diện
tích xung quanh của hình trụ
A.
2
4 a
. B.
2
2 a
. C.
2
a
. D.
2
3 a
.
Câu 18: Trong không gian
Oxyz
, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng
( )
:2 2 0P x y z− + − =
?
A.
( )
1; 2;2Q −
. B.
( )
2; 1; 1P −−
. C.
( )
1;1; 1M −
. D.
( )
1; 1; 1N −−
.
Câu 19: Cho hàm số
32
y ax bx cx d= + + +
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Điểm cực đại của đồ
thị hàm số đã cho có tọa độ là
A.
( 1;2)−
. B.
(0;3)
. C.
(2; 1)−
. D.
(3;0)
.
Câu 20: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
21
1
x
y
x
+
=
+
?
A.
1y =−
. B.
1x =−
. C.
2y =
. D.
1x =
.
Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình
( )
1
3
log 3 2x − −
.
A.
( )
;12−
. B.
( )
12;+
. C.
( )
3;12
. D.
7
;
3
−
.
Câu 22: Cho tập hợp
M
có
10
phần tử. Số tập con gồm
5
phần tử của
M
là
A.
5
10
A
. B.
5
10
C
. C.
5
10
. D.
5!
.
Câu 23: Hàm số
( )
3
3
x
x
F x e=+
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
nào sau đây?
O
x
y
1−
2
3
1
1−
Trang 51
A.
( )
4
3
x
x
f x e=+
. B.
( )
2
3
x
f x x e=+
. C.
( )
4
12
x
x
f x e=+
. D.
( )
2 x
f x x e=+
.
Câu 24: Nếu
4
0
( ) 37f x dx =
thì
4
2
0
2 ( ) 3f x x dx
−
bằng
A. 12. B. 18. C.
27−
. D. 10.
Câu 25: Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
x
f x e x=+
thỏa mãn
( )
02F =
. Giá trị của
( )
2F
bằng
A.
2
5e +
. B.
2
1e +
. C.
2
e
. D.
2
4e +
.
Câu 26: Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số
( )
y f x=
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A.
( )
;2-¥
. B.
( )
1;1-
. C.
( )
0;2
. D.
( )
1; +¥
.
Câu 27: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng:
A.
3
B.
5
C.
1
D.
1−
Câu 28: Với mọi số thực dương
,ab
thỏa mãn
3
log
9
ab
a=
, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2
1ab=
. B.
2
1ab =
. C.
2
3ab =
. D.
2
2ab =
Câu 29: Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
1yx=−
và trục Ox quanh trục Ox.
A.
5
.
3
B.
4.
C.
16
.
15
D.
3.
Câu 30: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
AB a=
, cạnh bên
SA
vuông góc
với đáy và
SA a=
. Góc giữa hai mặt phẳng
( )
SAD
và
( )
SBC
bằng
A.
45
. B.
30
. C.
60
. D.
90
Câu 31: Cho hàm số
3
32y x x= − +
có đồ thị như đường cong trong hình bên. Tìm tất cả các giá trị của
tham số
m
để phương trình
3
3 2 0x x m− + − =
có ba nghiệm phân biệt.
+
∞
∞
1
0
0
3
x
y'
y
1
+
+
∞
∞
5
+
Trang 52
A.
04m
. B.
4m
. C.
04m
. D.
0m
.
Câu 32: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên và có
( ) ( )( )
2
21f x x x x
= + −
. Hàm số đã cho nghịch
biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A.
( )
2;3
. B.
( )
1;1−
. C.
( )
0;2
. D.
( )
;1−
.
Câu 33: Gọi
S
là tập hợp tất cả các số tự nhiên có
6
chữ số phân biệt được lấy từ các số
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
. Chọn ngu nhiên một số từ
S
. Xác suất chọn được số chỉ chứa 3 số lẻ là
A.
16
42
P =
. B.
16
21
P =
. C.
10
21
P =
. D.
23
42
P =
.
Câu 34: Biết phương trình
21
3 28.3 9 0
+
− + =
xx
có hai nghiệm thực
12
;xx
với
12
xx
. Giá trị của biểu
thức
12
2=−T x x
bằng
A.
5=−T
. B.
3=−T
. C.
0=T
. D.
4=T
.
Câu 35: Xét các số phức
z
thỏa mãn
2
2
z
zi
+
−
là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số
phức
z
luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng
A.
1
. B.
2
. C.
22
. D.
2
.
Câu 36: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
1;1;3M −
và hai đường thẳng
1 3 1
:
3 2 1
x y z− + −
= =
,
1
:
1 3 2
x y z+
= =
−
. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua
M
và
vuông góc với
và
.
A.
1
1
13
xt
yt
zt
= − −
=+
=+
. B.
1
3
xt
yt
zt
=−
=+
=+
. C.
1
1
3
xt
yt
zt
= − −
=−
=+
. D.
1
1
3
xt
yt
zt
= − −
=+
=+
.
Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
( )
2; 6;3M −
và đường thẳng
13
: 2 2
xt
d y t
zt
=+
= − −
=
.
Tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên d là
A.
( )
1; 2;0−
. B.
( )
8;4; 3−−
. C.
( )
1;2;1
. D.
( )
4; 4;1−
.
Câu 38: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
a
. Cạnh bên
3SA a=
và vuông
góc với mặt đáy
( )
ABC
. Tính khoảng cách
d
từ
A
đến mặt phẳng
( )
SBC
.
A.
5
5
a
d =
. B.
da=
. C.
15
5
a
d =
. D.
3
2
a
d =
.
Câu 39: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương
( )
;xy
thỏa mãn điều kiện
2022x
và
( )
( )
3
3
3 9 2 2 log 1
y
y x x+ + + +
?
Trang 53
A.
6
. B.
2
. C.
3776
. D.
3778
.
Câu 40: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
R
. Gọi
( ) ( )
,F x G x
là hai nguyên hàm của
( )
fx
trên
R
thỏa
mãn
( ) ( )
840 40FG+=
và
( ) ( )
0 0 2FG+ = −
. Khi đó
( )
( )
8
1
1
5ln d
e
f x x
x
bằng
A.
1−
. B.
1
. C.
5
. D.
5−
.
Câu 41: Cho hàm số
()y f x=
có đạo hàm và liên tục trên và có
đồ thị hàm số
()y f x
=
như hình bên. Có bao nhiêu giá trị
nguyên dương của
m
để hàm số
( )
4 2 2020y f x m= − + −
có
3
điểm cực tiểu?
A.
1
. B.
0
.
C.
2
. D.
2018
.
Câu 42: Xét các số phức
,zw
thỏa mãn
1z =
và
2w =
. Khi
68+ + +z iw i
đạt giá trị nhỏ nhất,
zw−
bằng
A.
3
. B.
29
5
. C.
5
. D.
221
5
.
Câu 43: Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
a
. Khoảng cách từ tâm
O
của tam giác
ABC
đến mặt phẳng
( )
A BC
bằng
6
a
. Thể tích khối lăng trụ bằng
A.
3
32
4
a
. B.
3
32
8
a
. C.
3
32
28
a
. D.
3
32
16
a
Câu 44: Cho hàm số
( )
42
y f x ax bx c= = + +
có đồ thị
( )
C
và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
bằng
1−
. Tiếp tuyến
d
tại điểm có hoành độ
1x =−
của
( )
C
cắt
( )
C
tại
2
điểm khác có
hoành độ lần lượt là
0
và
2
. Gọi
12
,SS
là diện tích các phần hình phẳng giới hạn bởi
d
và
( )
C
. Tỷ số
1
2
S
S
bằng
A.
1
14
B.
1
28
C.
2
25
D.
1
5
Câu 45: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình
( )
2
2 1 12 8 0z m z m+ + + − =
(
m
là tham số thực),
có bao nhiêu giá trị nguyên của
m
để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt
12
, zz
thỏa mãn
12
11zz+ = +
?
A.
7
. B.
8
. C.
10
. D.
11
.
Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho điểm
( )
1;3;0A −
và đường thẳng
: 3 2
25
xt
d y t
zt
=
=−
= − +
. Mặt phẳng
( )
đi qua điểm
A
và chứa đường thẳng
d
đi qua điểm nào dưới đây?
A.
( )
2; 3;1M −
. B.
( )
2;2;1N
.
C.
( )
1;2;3P −
. D.
( )
1;1;3Q
Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên
( ; )xy
thỏa mãn
48 50x- £ £
và
Trang 54
( )
22
5
log 5 2 25 2 110 10
y
xx x x y+- -++ £-
A.
53×
B.
54×
C.
99×
D.
55×
Câu 48: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn
( )
O
và
( )
O
, bán kính bằng
a
. Một hình nón có đỉnh
là
O
và có đáy là hình tròn
( )
O
. Biết góc giữa đường sinh của hình nón và mặt đáy là
o
60
, tỉ
số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng
A.
2
. B.
3
. C.
1
3
. D.
2
.
Câu 49: Trong không gian
Oxyz
cho mặt phẳng
( )
: 1 0Py−=
, đường thẳng
1
:2
1
x
d y t
z
=
=−
=
và hai điểm
( )
1; 3;11A −−
,
1
;0;8
2
B
. Hai điểm
M
,
N
thuộc mặt phẳng
( )
P
sao cho
( )
,2d M d =
và
2NA NB=
. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn
MN
.
A.
min
1MN =
. B.
min
2MN =
. C.
min
2
2
MN =
. D.
min
2
.
3
MN =
Câu 50: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
( )
2024;2024m−
để hàm số
( )
3
2 1 2x m xy + + −=
đồng biến trên
( )
1;3
?
A.
4030
. B.
2022
. C.
4034
. D.
4032
.
---------- HẾT ----------
BẢNG ĐÁP ÁN
1.C
2.B
3.D
4.A
5.C
6.D
7.B
8.A
9.D
10.D
11.C
12.A
13.B
14.C
15.D
16.D
17.A
18.D
19.B
20.B
21.B
22.B
23.D
24.D
25.A
26.B
27.B
28.B
29.C
30.A
31.A
32.A
33.C
34.A
35.B
36.D
37.D
38.C
39.D
40.B
41.C
42.B
43.D
44.B
45.B
46.D
47.B
48.B
49.A
50.C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức
z
. Khi đó số phức
2wz=−
là
A.
42wi=+
. B.
42wi=−
. C.
42wi= − +
. D.
42wi= − −
.
Lời giải
Điểm
( )
2;1M
trong hệ tọa độ vuông góc cuả mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức
2zi=+
suy ra
( )
2 2 2 4 2w z i i= − = − − = − +
.
Câu 2: Trên khoảng
( )
0;+
, đạo hàm của hàm số
logyx
=
là
A.
x
y
=
. B.
1
ln
y
x
=
. C.
1
y
x
=
. D.
1
ln
y
x
=
.
Lời giải
Trang 55
Chọn B
Ta có
( )
1
' log
ln
yx
x
==
Câu 3: Trên khoảng
( )
0;+
, đạo hàm của hàm số là
5
yx=
là
A.
5
5yx
=
. B.
21
5yx
−
=
. C.
1
ln 5
y
x
=
. D.
51
5yx
−
=
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( )
5 5 1
5.y x x
−
==
.
Câu 4: Tìm tập nghiệm
S
của bất phương trình
2 1 3 2
11
22
xx−+
.
A.
( )
;3S = − −
. B.
( )
3;S = − +
. C.
( )
;3S = −
. D.
( )
3;S = +
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2 1 3 2
11
2 1 3 2 3
22
xx
x x x
−+
− + −
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
( )
;3S = − −
.
Câu 5: Cho cấp số cộng
( )
n
u
biết
45
10, 13uu==
. Số hạng đầu của cấp số cộng đã cho bằng
A.
1
3u =
. B.
1
1u =−
. C.
1
1u =
. D.
1
2u =
.
Lời giải
Công sai của cấp số cộng là
54
13 10 3d u u= − = − =
.
Ta có
4 1 1 4
3 3 10 3.3 1u u d u u d= + = − = − =
.
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, vectơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của mặt
phẳng
( )
Oxy
?
A.
( )
=
r
1; 0; 0i
B.
( )
=
ur
1;1;1m
C.
( )
=
r
0;1;0j
D.
( )
=
r
0;0;1k
Lời giải
Chọn D
Do mặt phẳng
( )
Oxy
vuông góc với trục
Oz
nên nhận véctơ
( )
=
r
0;0;1k
làm một véc tơ
pháp
tuyến
Câu 7: Cho hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+
có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Số giao điểm của đồ thị hàm số đã
cho và trục hoành là
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Chọn B
Trang 56
Từ bảng biến thiên, ta dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng 1 điểm. Nên ta có 1 giao
điểm.
Câu 8: Nếu
( )
1
0
33f x dx =
thì
( )
1
0
f x dx
bằng
A.
1
. B.
18
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Ta có
( ) ( ) ( )
1 1 1
0 0 0
3 3 3 1f x dx f x dx f x dx= = =
.
Câu 9: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A.
32
21y x x= + −
. B.
32
21y x x= − + −
.
C.
42
21y x x= − −
. D.
42
2 4 1y x x= − + −
.
Lời giải
Từ đồ thị ta có:
Đồ thị hàm bậc 4 trùng phương
( )
42
0y ax bx c a= + +
loại A,B.
Đồ thị hàm số dáng đồ thị quay xuống
0a
.
Câu 10: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
2;1;0A −
,
( )
2; 1;2B −
. Phương trình của mặt cầu có
đường kính
AB
là
A.
( )
2
22
1 24x y z+ + − =
. B.
( )
2
22
16x y z+ + − =
.
C.
( )
2
22
1 24x y z+ + − =
. D.
( )
2
22
16x y z+ + − =
.
Lời giải
Gọi
I
là trung điểm của
AB
khi đó
( )
0
2
0 0;0;1
2
1
2
AB
I
AB
I
AB
I
xx
x
yy
yI
zz
z
+
==
+
= =
+
==
.
( ) ( ) ( )
222
0 2 0 1 1 0 6IA = + + − + − =
.
Mặt cầu đường kính
AB
nhận điểm
( )
0;0;1I
làm tâm và bán kính
6R IA==
có phương
trình là:
( )
2
22
16x y z+ + − =
.
Câu 11: Trong không gian
,Oxyz
cho hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
lần lượt có hai vectơ pháp tuyến là
P
n
và
Q
n
. Biết góc giữa hai vectơ
P
n
và
Q
n
bằng
120 .
Góc giữa hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
bằng.
A.
30
B.
45
C.
60
D.
90
Lời giải
Trang 57
Chọn C
Ta có:
( )
( ) ( )
( )
; 120 ; 180 120 60 .
PQ
n n P Q= = − =
Câu 12: Cho số phức
z
thỏa mãn
52iz i=+
. Phần ảo của
z
bằng
A.
5
. B.
2
. C.
5−
. D.
2−
.
Lời giải
52iz i= +
52i
z
i
+
=
25zi = −
25zi = +
.
Phần ảo của
z
bằng
5
.
Câu 13: Thể tích của khối lập phương cạnh 4a bằng
A.
3
16a
. B.
3
64a
. C.
3
4a
. D.
3
a
.
Lời giải
Thể tích của khối lập phương cạnh 4a là
( )
3
3
4 64V a a==
.
Câu 14: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
2a
,
( )
SA ABCD⊥
và
3SA a=
.
Tính
.S ABCD
V
.
A.
3
4
3
a
. B.
3
4
9
a
. C.
3
4a
. D.
3
12a
.
Lời giải
Thể tích của hình chóp
.S ABCD
là
( )
2
3
.
11
. .3 . 2 4
33
S ABCD ABCD
V SA S a a a= = =
Câu 15: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 2 2
( ): ( 2) 1S x y z+ + − =
và mặt phẳng
( ):3 4 12 0xz
+ + =
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Mặt phẳng
()
tiếp xúc mặt cầu
()S
.
B. Mặt phẳng
()
cắt mặt cầu
()S
theo một đường tròn.
C. Mặt phẳng
()
đi qua tâm của mặt cầu
()S
.
D. Mặt phẳng
()
không cắt mặt cầu
()S
.
Lời giải
Mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
0;0;2I
, bán kính
1R =
.
Khoảng cách từ
I
đến mặt phẳng
( )
là
( )
( )
22
3 4 12 3.0 4.2 12
, 4 1
5
34
II
xz
dI
+ + + +
= = =
+
.
Suy ra mặt phẳng
()
không cắt mặt cầu
()S
.
Câu 16: Cho số phức
2 3 .zi=+
Phần ảo của số phức
z
bằng
Trang 58
A.
3
. B.
2
. C.
2−
. D.
3−
.
Lời giải
Ta có:
23zi=−
nên phần ảo của
z
là
3.−
Câu 17: Một hình trụ có bán kính đáy bằng
a
và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính diện
tích xung quanh của hình trụ
A.
2
4 a
. B.
2
2 a
. C.
2
a
. D.
2
3 a
.
Lời giải
Một hình trụ có bán kính đáy bằng
a
, có thiết diện qua trục là một hình vuông nên
chiều cao
hình trụ bằng
2a
.
Do đó diện tích xung quanh hình trụ là
2
2 2 . .2 4
xq
S Rh a a a
= = =
Câu 18: Trong không gian
Oxyz
, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng
( )
:2 2 0P x y z− + − =
?
A.
( )
1; 2;2Q −
. B.
( )
2; 1; 1P −−
. C.
( )
1;1; 1M −
. D.
( )
1; 1; 1N −−
.
Lời giải
+) Thay toạ độ điểm
Q
vào phương trình mặt phẳng
( )
P
, ta được:
( )
2.1 2 2 2 4 0− − + − =
nên
( )
QP
.
+) Thay toạ độ điểm
P
vào phương trình mặt phẳng
( )
P
, ta được:
( ) ( )
2.2 1 1 2 2 0− − + − − =
nên
( )
PP
.
+) Thay toạ độ điểm
M
vào phương trình mặt phẳng
( )
P
, ta được:
( )
2.1 1 1 2 2 0− + − − = −
nên
( )
MP
.
+) Thay toạ độ điểm
N
vào phương trình mặt phẳng
( )
P
, ta được:
( ) ( )
2.1 1 1 2 0− − + − − =
nên
( )
NP
.
Câu 19: Cho hàm số
32
y ax bx cx d= + + +
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Điểm cực đại của đồ
thị hàm số đã cho có tọa độ là
A.
( 1;2)−
. B.
(0;3)
. C.
(2; 1)−
. D.
(3;0)
.
Lời giải
Chọn B
O
x
y
1−
2
3
1
1−
Trang 59
Từ đồ thị, ta có đồ thị hàm số đã cho có điểm cực đại là
(0;3)
.
Câu 20: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
21
1
x
y
x
+
=
+
?
A.
1y =−
. B.
1x =−
. C.
2y =
. D.
1x =
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
1 1 1 1
2 1 2 1
lim lim ; lim lim
11
x x x x
xx
yy
xx
+ + − −
→− →− →− →−
++
= = − = = +
++
suy ra đường thẳng
1x =−
là đường
tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
21
1
x
y
x
+
=
+
.
Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình
( )
1
3
log 3 2x − −
.
A.
( )
;12−
. B.
( )
12;+
. C.
( )
3;12
. D.
7
;
3
−
.
Lời giải
Điều kiện
3 0 3xx−
( )
2
1
3
1
log 3 2 3 3 9 12
3
x x x x
−
− − − −
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
( )
12;S = +
Câu 22: Cho tập hợp
M
có
10
phần tử. Số tập con gồm
5
phần tử của
M
là
A.
5
10
A
. B.
5
10
C
. C.
5
10
. D.
5!
.
Lời giải
Số tập hợp con gồm
5
phần tử của
M
có
5
10
C
cách.
Câu 23: Hàm số
( )
3
3
x
x
F x e=+
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
nào sau đây?
A.
( )
4
3
x
x
f x e=+
. B.
( )
2
3
x
f x x e=+
. C.
( )
4
12
x
x
f x e=+
. D.
( )
2 x
f x x e=+
.
Lời giải
Hàm số
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
( ) ( )
'F x f x=
.
Suy ra hàm số cần tìm là
( )
/
3
3
x
x
f x e
=+
2 x
xe=+
.
Câu 24: Nếu
4
0
( ) 37f x dx =
thì
4
2
0
2 ( ) 3f x x dx
−
bằng
A. 12. B. 18. C.
27−
. D. 10.
Lời giải
Ta có:
4 4 4
4
2 2 3
0
0 0 0
2 ( ) 3 d 2 ( )d 3 d 2.37 74 64 10
− = − = − = − =
f x x x f x x x x x
.
Câu 25: Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
x
f x e x=+
thỏa mãn
( )
02F =
. Giá trị của
( )
2F
bằng
A.
2
5e +
. B.
2
1e +
. C.
2
e
. D.
2
4e +
.
Lời giải
Trang 60
Ta có
( )
( )
2
2.
xx
F x e x dx e x C= + = + +
Mà
( )
02F =
nên
1C =
, suy ra
( )
21
x
F x e x= + +
.
Vậy
( )
2
25Fe=+
.
Câu 26: Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số
( )
y f x=
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A.
( )
;2-¥
. B.
( )
1;1-
. C.
( )
0;2
. D.
( )
1; +¥
.
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1;1−
.
Câu 27: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng:
A.
3
B.
5
C.
1
D.
1−
Lời giải
Từ Bảng biến thiên ta thấy giá trị cực đại của hàm số là
( )
15
CD
yy= − =
Câu 28: Với mọi số thực dương
,ab
thỏa mãn
3
log
9
ab
a=
, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2
1ab=
. B.
2
1ab =
. C.
2
3ab =
. D.
2
2ab =
Lời giải
Ta có
( )
2
3
33
log
log 2log
9 3 3
ab
ab ab
a a a= = =
( )
2
2
1ab a ab = =
.
Câu 29: Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
1yx=−
và trục Ox quanh trục Ox.
A.
5
.
3
B.
4.
C.
16
.
15
D.
3.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm
2
1
1 0 .
1
=
− =
=−
x
x
x
Thể tích:
( ) ( )
p p p
- - -
= = - = - +
ò ò ò
1 1 1
2
2 2 4 2
1 1 1
1 2 1V y dx x dx x x dx
=
53
1
2 16
1
5 3 15
xx
xpp
æö
÷
ç
÷
= - + =
ç
÷
ç
÷
-
ç
èø
.
+
∞
∞
1
0
0
3
x
y'
y
1
+
+
∞
∞
5
+
Trang 61
Câu 30: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
AB a=
, cạnh bên
SA
vuông góc
với đáy và
SA a=
. Góc giữa hai mặt phẳng
( )
SAD
và
( )
SBC
bằng
A.
45
. B.
30
. C.
60
. D.
90
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
SBC SAD
// // Sx BC AD=
Ta dễ dàng chứng minh được
( )
BC SAB⊥
BC SB Sx SB⊥ ⊥
Lại có:
( )
SA ABCD⊥
SA AD⊥
SA Sx⊥
Vậy góc giữa mặt phẳng
( )
SBC
và
( )
SAD
là góc
45BSA =
.
Câu 31: Cho hàm số
3
32y x x= − +
có đồ thị như đường cong trong hình bên. Tìm tất cả các giá trị của
tham số
m
để phương trình
3
3 2 0x x m− + − =
có ba nghiệm phân biệt.
A.
04m
. B.
4m
. C.
04m
. D.
0m
.
Lời giải
Phương trình
33
3 2 0 3 2x x m x x m− + − = − + =
.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số
3
32y x x= − +
và đường thẳng
ym=
Từ đồ thị suy ra, phương trình có ba nghiệm phân biệt
04m
.
Câu 32: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên và có
( ) ( )( )
2
21f x x x x
= + −
. Hàm số đã cho nghịch
biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
Trang 62
A.
( )
2;3
. B.
( )
1;1−
. C.
( )
0;2
. D.
( )
;1−
.
Lời giải
( ) ( )( )
2
0
2 1 0 1
2
x
f x x x x x
x
=
= + − = =
=−
BBT:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng
( ) ( )
1; 2;3+
Câu 33: Gọi
S
là tập hợp tất cả các số tự nhiên có
6
chữ số phân biệt được lấy từ các số
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
. Chọn ngu nhiên một số từ
S
. Xác suất chọn được số chỉ chứa 3 số lẻ là
A.
16
42
P =
. B.
16
21
P =
. C.
10
21
P =
. D.
23
42
P =
.
Lời giải
Số phần tử không gian mu:
( )
6
9
60480nA = =
.
.
Gọi
A
: “số được chọn chỉ chứa
3
số lẻ”. Ta có:
( )
333
5 6 4
. . 28800n A C A A==
.
Khi đó:
( )
( )
( )
28800 10
60480 21
nA
PA
n
= = =
.
Câu 34: Biết phương trình
21
3 28.3 9 0
+
− + =
xx
có hai nghiệm thực
12
;xx
với
12
xx
. Giá trị của biểu
thức
12
2=−T x x
bằng
A.
5=−T
. B.
3=−T
. C.
0=T
. D.
4=T
.
Lời giải
Ta có
2 1 2
1
3
1
3 28.3 9 0 3.3 28.3 9 0
3
2
39
+
=
=−
− + = − + =
=
=
x
x x x x
x
x
x
Theo bài ra
1 2 1 2
1; 2 = − =x x x x
Vậy
12
2 1 2.2 5.= − = − − = −T x x
Câu 35: Xét các số phức
z
thỏa mãn
2
2
z
zi
+
−
là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số
phức
z
luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng
A.
1
. B.
2
. C.
22
. D.
2
.
Lời giải
Đặt
,,z a bi a b= +
. Gọi
( )
;M a b
là điểm biểu diễn cho số phức
z
.
Có
( )
22
w
22
z a bi
z i a b i
+ + +
==
− + −
( ) ( )
( )
2
2
22
2
a bi a b i
ab
+ + − −
=
+−
( ) ( ) ( )( )
( )
2
2
2 2 2 2
2
a a b b a b ab i
ab
+ + − + − + − +
=
+−
Trang 63
w
là số thuần ảo
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 2 0 1
20
a a b b
ab
+ + − =
+ −
Có
( )
22
1 2 2 0a b a b + + − =
.
Suy ra
M
thuộc đường tròn tâm
( )
1;1I −
, bán kính
2R =
.
Câu 36: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
1;1;3M −
và hai đường thẳng
1 3 1
:
3 2 1
x y z− + −
= =
,
1
:
1 3 2
x y z+
= =
−
. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua
M
và
vuông góc với
và
.
A.
1
1
13
xt
yt
zt
= − −
=+
=+
. B.
1
3
xt
yt
zt
=−
=+
=+
. C.
1
1
3
xt
yt
zt
= − −
=−
=+
. D.
1
1
3
xt
yt
zt
= − −
=+
=+
.
Lời giải
+) VTCP của
,
lần lượt là
( )
3;2;1u =
và
( )
1;3; 2v =−
;
( )
, 7;7;7uv=−
+) Vì
d
vuông góc với
và
nên
d
có Vectơ chỉ phương
( )
1;1;1
d
u =−
.
+)
d
đi qua
( )
1;1;3M −
nên
1
:1
3
xt
d y t
zt
= − −
=+
=+
.
Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
( )
2; 6;3M −
và đường thẳng
13
: 2 2
xt
d y t
zt
=+
= − −
=
.
Tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên d là
A.
( )
1; 2;0−
. B.
( )
8;4; 3−−
. C.
( )
1;2;1
. D.
( )
4; 4;1−
.
Lời giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d.
Suy ra
Hd
nên
( ) ( )
1 3 ; 2 2 ; 3 1;4 2 ; 3H t t t MH t t t+ − − = − − −
.
Đường thẳng d có một VTCP là
( )
3; 2;1u=−
.
Ta có
MH d⊥
nên
( ) ( ) ( ) ( )
. 0 3 3 1 2 4 2 3 0 1 4; 4;1MH u t t t t H= − − − + − = = −
.
Câu 38: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
a
. Cạnh bên
3SA a=
và vuông
góc với mặt đáy
( )
ABC
. Tính khoảng cách
d
từ
A
đến mặt phẳng
( )
SBC
.
A.
5
5
a
d =
. B.
da=
. C.
15
5
a
d =
. D.
3
2
a
d =
.
Lời giải
Trang 64
Vẽ
AH BC⊥
tại
H
( )
BC SAH⊥
.
Vẽ
AK SH⊥
tại
K
mà
AK BC⊥
( )
AK SBC⊥
tại
K
.
Do đó
( )
( )
,AK d A SBC=
.
H
là trung điểm của
BC
nên
3
2
a
AH =
.
Vậy
( )
2 2 2
2
3
3.
. 15
2
.
5
3
3
2
a
a
SA AH a
AK
SA AH
a
a
= = =
+
+
Câu 39: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương
( )
;xy
thỏa mãn điều kiện
2022x
và
( )
( )
3
3
3 9 2 2 log 1
y
y x x+ + + +
?
A.
6
. B.
2
. C.
3776
. D.
3778
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( )
( ) ( )
3
33
3 9 2 2 log 1 3.9 6 2 3log 1
yy
y x x y x x+ + + + + + + +
( ) ( ) ( )
21
3
3 3 2 1 1 3log 1
y
y x x
+
+ + + + +
.
Xét hàm số
( )
33
t
f t t=+
có
( )
3.ln3 3 0,
t
f t t
= +
.
Suy ra hàm số
( )
33
t
f t t=+
đồng biến trên .
Do đó
( ) ( ) ( )
( )
( )
21
33
* 2 1 log 1 2 1 log 1 3 1
y
f y f x y x x
+
+ + + + −
.
Vì
2022x
nên
21
3
log 2023 1
3 1 2022 2,96
2
y
y
+
−
−
.
Với giả thiết
y
nguyên dương suy ra
1;2y
.
Với
1y =
có
26 2022x
suy ra có 1997 cặp số
( )
;xy
thỏa mãn.
Với
2y =
có
242 2022x
suy ra có 1781 cặp số
( )
;xy
thỏa mãn.
Vậy có tất cả 3778 cặp số
( )
;xy
thỏa mãn đề bài.
Câu 40: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
R
. Gọi
( ) ( )
,F x G x
là hai nguyên hàm của
( )
fx
trên
R
thỏa
mãn
( ) ( )
840 40FG+=
và
( ) ( )
0 0 2FG+ = −
. Khi đó
( )
( )
8
1
1
5ln d
e
f x x
x
bằng
Trang 65
A.
1−
. B.
1
. C.
5
. D.
5−
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
4 4
0
0 0
0
G F C
G x F x C
G F C
=+
= +
=+
( ) ( )
40 40
2 (40) 8
(40) (0) 5.
2 (0) 2
(0) (0) 2
8F
FC
FF
FC
G
G
F
+=
− =
+ = −
+ = −
=
+
Vậy:
( )
( )
( )
8
40
01
11
( ) (40) (0) 1.
5
1
5
5ln d
e
f t dtf x x FF
x
= = − =
Câu 41: Cho hàm số
()y f x=
có đạo hàm và liên tục trên và có đồ thị hàm số
()y f x
=
như hình
bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
m
để hàm số
( )
4 2 2020y f x m= − + −
có
3
điểm cực tiểu?
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
2018
.
Lời giải
Do đồ thị hàm số
( )
y f x=
liên tục và có đạo hàm trên nên hàm số
( )
4 2 2020y f x m= − + −
liên tục trên và hàm số không có đạo hàm tại
2x =
nhưng đạt
cực trị tại
2x =
. Hơn nữa hàm số
( )
4 2 2020y f x m= − + −
có đồ thị đối xứng qua đường
thẳng
2x =
. Do đó để hàm số
( )
4 2 2020y f x m= − + −
có
3
điểm cực tiểu khi và chỉ khi
hàm số đạt cực tiểu tại
2x =
, đạt cực tiểu tại điểm
2
A
x
và
2
B
x
với
A
x
và
B
x
đối xứng
qua đường thẳng
2x =
. Điều này đồng nghĩa với việc hàm số
( )
4 2 2020y f x m= − + −
có
5
điểm cực trị. Bảng biến thiên của hàm số cần tìm có dạng
• Với
2x
thì
( )
( )
4 2 2020 2 2016 .y f x m f x m= − + − = − + −
Ta có
( )
2 2 2016y f x m
= − − + −
.
Xét
0 ( 2 2016) 0y f x m
= − + − =
2015
2
2 2016 1
2017
2 2016 1 .
2
2 2016 4
2020
2
m
x
xm
m
x m x
xm
m
x
−
=
− + − = −
−
− + − = =
− + − =
−
=
Ta thấy
1 2 3
2020 2017 2015
2 2 2
m m m
x x x
− − −
= = =
.
Trang 66
• Với
2x
thì
( )
( )
4 2 2020 2 2024 .y f x m f x m= − + − = + −
Ta có
( )
2 2 2024y f x m
= + −
.
Xét
0 (2 2024) 0y f x m
= + − =
2023
2
2 2024 1
2025
2 2024 1 .
2
2 2024 4
2028
2
m
x
xm
m
x m x
xm
m
x
−
=
+ − = −
−
+ − = =
+ − =
−
=
Ta thấy
4 5 6
2023 2025 2028
2 2 2
m m m
x x x
− − −
= = =
.
Do đó để hàm số
( )
4 2 2020y f x m= − + −
có
5
điểm cực trị như đã nói ở trên khi và chỉ khi
23
45
2017 2015
2
2
2019 2021
22
2019 2021.
2 2023 2025 2019 2021
2
22
mm
xx
m
m
x x m m m
−−
− −
Vì
m
là số nguyên dương nên
2019m =
và
2020m =
.
Câu 42: Xét các số phức
,zw
thỏa mãn
1z =
và
2w =
. Khi
68+ + +z iw i
đạt giá trị nhỏ nhất,
zw−
bằng
A.
3
. B.
29
5
. C.
5
. D.
221
5
.
Lời giải
Ta có
6 8 6 8 6 8 10 1 2 7z iw i i z iw i z iw+ + + + − + + − − = − − =
.
Dấu “
=
” xảy ra khi
( )
( )
( )
11
22
6 8 , 0
6 8 , 0
6 8 , 0
,0
1
1
2
2
z t i t
z iw t i t
iw t i t
iw t z t
z
z
w
w
= +
+ = +
= +
=
=
=
=
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 1
6 8 6 8 6 8
10 10 10
2 1 1
6 8 8 6 8 6
10 5 5
z i z i z i
iw i w i w i
= − + = − + = − +
= − + = − + = − −
.
Khi đó
29
5
−=zw
.
Câu 43: Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
a
. Khoảng cách từ tâm
O
của tam giác
ABC
đến mặt phẳng
( )
A BC
bằng
6
a
. Thể tích khối lăng trụ bằng
A.
3
32
4
a
. B.
3
32
8
a
. C.
3
32
28
a
. D.
3
32
16
a
Lời giải
Trang 67
Gọi
M
là trung điểm của
BC
và
H
là hình chiếu của
A
trên
'AM
.
Ta có
( )
BC AM
BC AA M BC AH
BC AA
⊥
⊥ ⊥
⊥
Mà
( )
2AH A M
⊥
Từ và
( )
( )
,d A A BC AH
=
.
Ta có
( )
( )
( )
( )
,
1
3
,
d O A BC
MO
MA
d A A BC
==
.
( )
( )
( )
( )
, 3 ,
2
a
d A A BC d O A BC
= =
2
a
AH=
.
Xét tam giác vuông
'A AM
:
2 2 2
1 1 1
AH AA AM
=+
2 2 2
1 4 4 3
3
22
a
AA
AA a a
= − =
.
Suy ra thể tích lăng trụ
.'ABC A B C
là:
23
3 3 3 2
..
4 16
22
ABC
a a a
V AA S
= = =
.
Câu 44: Cho hàm số
( )
42
y f x ax bx c= = + +
có đồ thị
( )
C
và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
bằng
1−
. Tiếp tuyến
d
tại điểm có hoành độ
1x =−
của
( )
C
cắt
( )
C
tại
2
điểm khác có
hoành độ lần lượt là
0
và
2
. Gọi
12
,SS
là diện tích các phần hình phẳng giới hạn bởi
d
và
( )
C
. Tỷ số
1
2
S
S
bằng
A.
1
14
B.
1
28
C.
2
25
D.
1
5
Lời giải
Giả sử phương trình tiếp tuyến là
( )
y g x=
.
Do tiếp tuyến
d
tại điểm có hoành độ
1x =−
của
( )
C
cắt
( )
C
tại
2
điểm khác có hoành độ
lần lượt là
0
và
2
nên ta có phương trình hoành độ giao điểm của
d
và
( )
C
là:
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
1 2 0 0
2
x
f x g x ax x x x
x
=−
− = + − = =
=
.
Do đó
( ) ( )
0
2
1
1
1 2 d
5
a
S ax x x x
−
= + − =
;
( ) ( )
2
2
2
0
28
1 2 d
5
a
S ax x x x= + − =
.
M
C
B
A'
C'
B'
A
H
O
Trang 68
Suy ra
1
2
1
28
S
S
=
.
Câu 45: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình
( )
2
2 1 12 8 0z m z m+ + + − =
(
m
là tham số thực),
có bao nhiêu giá trị nguyên của
m
để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt
12
, zz
thỏa mãn
12
11zz+ = +
?
A.
7
. B.
8
. C.
10
. D.
11
.
Lời giải
Xét phương trình
( )
2
2 1 12 8 0z m z m+ + + − =
Đặt
1zw=−
( ) ( )( )
2
1 2 1 1 12 8 0w m w m− + + − + − =
2
2 10 9 0w mw m + + − =
2
10 9mm = − +
.
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt
12
, zz
thỏa mãn
12
11zz+ = +
thì phương trình có
hai nghiệm phân biệt
12
, ww
thỏa mãn
12
ww=
.
TH 1:
2
1
10 9 0
9
m
mm
m
− +
.
Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt
12
,ww
.
1 2 1 2 1 2
0 2 0 0w w w w w w m m= = − + = = =
).
TH 2:
2
10 9 0 1 9m m m − +
.
Phương trình có hai nghiệm phức
12
, ww
và
12
, ww
.
Ta có
12
ww=
suy ra
1 2 2
w w w==
.
Từ suy ra tập hợp các giá trị nguyên của
m
là
2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
.
Từ 2 trường hợp suy ra tập hợp các giá trị nguyên của
m
là
0; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
.
Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho điểm
( )
1;3;0A −
và đường thẳng
: 3 2
25
xt
d y t
zt
=
=−
= − +
. Mặt phẳng
( )
đi qua điểm
A
và chứa đường thẳng
d
đi qua điểm nào dưới đây?
A.
( )
2; 3;1M −
. B.
( )
2;2;1N
.
C.
( )
1;2;3P −
. D.
( )
1;1;3Q
Lời giải
Đường thẳng
d
có VTCP
( )
1; 2;5
d
u =−
.
Chọn
( ) ( ) ( )
0;3; 2 1;0; 2 , 4; 7; 2
d
B d AB n AB u
− = − = = − − −
.
Phương trình
( ) ( ) ( ) ( )
:4 1 7 3 2 0 0 4 7 2 17 0x y z x y z
+ + − + − = + + − =
.
Kiểm tra được điểm
( )
Q
.
Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên
( ; )xy
thỏa mãn
48 50x- £ £
và
( )
22
5
log 5 2 25 2 110 10
y
xx x x y+- -++ £-
A.
53×
B.
54×
C.
99×
D.
55×
Lời giải
Trang 69
Chọn B
Ta có:
( )
22
5
log 5 2 25 2 110 10
y
xx x x y+- -++ £-
( )
2 2 2
5
log 2 1 5 25 2 2
y
x x x yxÛ -++ - + £ +
( ) ( )
22
55
2
5 1 1 5log log 21
y
yxx
éù
+ - + -
êú
êú
ë
+ £ +
û
Û
( ) ( ) ( )
22
5
2
log 5 21 11 1 1
y
yxx
éù
- + - +
êú
+£
ú
û
+
ê
ë
Û
Đặt
( )
2
5
1log 1u x
éù
-+
ê
ê
ë
=
ú
ú
û
, mà
48 50x- £ £
nên
5
0 log 2402u££
( )
2
1 1 5
u
xÞ - + =
Phương trình trở thành
( )
2
5 2 5 2
uy
uy+ £ +
Xét hàm số đặc trưng
( ) 5
t
f t t=+
có
5
( ) 1 5 ln 5 0, 0;log 2402
t
f t t
éù
¢
= + > " Î
êú
ëû
.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
( )
5
0;log 2402
.
Từ đó suy ra:
( )
22uyÛ£
.
5
0 2 log 2402yÞ £ £
5
log 2402
0 2,41825
2
yÛ £ £ »
{0;1;2}yÞ=
Đếm các cặp giá trị nguyên của
( ; )xy
+ Với
( )
2
110 11y xx+=£ÛÞ -=
nên có 1 cặp.
+ Với
( )
2
31 1 5 2 21 11xxyx- + Û - - ± Û££-= Þ £ £ £
nên có 4 cặp.
+ Với
( )
2
4
1 1 5 4 39 1 4 32 9y xx- + Û -= Þ £ £ £-
23,97999 725,9 999x££Û-
nên có 49 cặp.
Vậy có 54 cặp giá trị nguyên
( ; )xy
thỏa mãn đề bài.
Câu 48: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn
( )
O
và
( )
O
, bán kính bằng
a
. Một hình nón có đỉnh
là
O
và có đáy là hình tròn
( )
O
. Biết góc giữa đường sinh của hình nón và mặt đáy là
o
60
, tỉ
số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng
A.
2
. B.
3
. C.
1
3
. D.
2
.
Lời giải
Chọn B
Trang 70
Ta có:
o
.tan .tan60 3OO OA a a
= = =
và
( )
2
2 2 2
32O A O O OA a a a
= + = + =
.
Gọi
1
S
là diện tích xung quanh của hình trụ.
Ta có:
2
1
2 2 . . 2 . 3 2 3S rl OAOO a a a
= = = =
.
Gọi
2
S
là diện tích xung quanh của hình nón.
Ta có:
2
2
. . .2 2S rl OAO A a a a
= = = =
.
Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón là:
2
1
2
2
23
3
2
S
a
Sa
==
.
Câu 49: Trong không gian
Oxyz
cho mặt phẳng
( )
: 1 0Py−=
, đường thẳng
1
:2
1
x
d y t
z
=
=−
=
và hai điểm
( )
1; 3;11A −−
,
1
;0;8
2
B
. Hai điểm
M
,
N
thuộc mặt phẳng
( )
P
sao cho
( )
,2d M d =
và
2NA NB=
. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn
MN
.
A.
min
1MN =
. B.
min
2MN =
. C.
min
2
2
MN =
. D.
min
2
.
3
MN =
3
2
24
a
V =
Lời giải
Chọn A
Gọi
( ) ( )
1;2 ;1I d P I t= −
( ) ( )
2 1 0 1 1;1;1I P t t I − − = =
Ta có
( )
d P M⊥
thuộc đường tròn tâm
( )
1
1;1;1 , 2IR=
.
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
1
; ; 1 ; 3 y;11 ; ; ;8
2
1
2 1 3 11 4 8
2
3 3 3 6 6 42 126 0
2 2 14 42 0
N x y z NA x z NB x y z
NA NB x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
− − − − − − − −
= + + + + − = − + + −
+ + − − − + =
+ + − − − + =
Vậy
( )
( )
2
1;1;7 ; 3N S J R=
và
( )
:1J P y=
Nên
N
thuộc đường tròn tâm
( )
2
1;1;7 ; 3JR=
Ta có
1 2 min 1 2
IJ 6 IJ 1R R MN R R= + = − − =
Trang 71
Câu 50: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
( )
2024;2024m−
để hàm số
( )
3
2 1 2x m xy + + −=
đồng biến trên
( )
1;3
?
A.
4030
. B.
2022
. C.
4034
. D.
4032
.
Lời giải
Xét hàm số
( ) ( )
3
2 1 2f x x m x= + + −
( )
2
3 2 1f x x m
= + +
Hàm số
( )
y f x=
đồng biến trên
( )
1;3
khi và chỉ khi xảy ra 2 trường hợp sau:
TH1: Hàm số
( )
y f x=
đồng biến trên
( )
1;3
và
( )
10f
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
0 1;3
3 2 1 0 1;3
10
20
2 1 3
2 1 3 1;3
0.
0
0
f x x
x m x
f
m
m
m x x
m
m
m
+ +
+ −
+ −
TH2: Hàm số
( )
y f x=
nghịch biến trên
( )
1;3
và
( )
10f
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
0 1;3
3 2 1 0 1;3
10
20
2 1 27
2 1 3 1;3
14.
0
0
f x x
x m x
f
m
m
m x x
m
m
m
+ +
+ −
+ −
−
Kết hợp 2 trường hợp ta có
14m−
hoặc
0m
.
Mà
( )
2024;2024m−
nên có 4034 giá trị nguyên của
m
thỏa mãn.
---------- HẾT ----------
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2024
ĐỀ 4
Bài thi: TOÁN
Câu 1: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức
32zi=−
?
A.
( )
3;2P −
. B.
( )
2; 3Q −
. C.
( )
3; 2N −
. D.
( )
2;3M −
.
Câu 2: Hàm số
2
2
xx
y
−
=
có đạo hàm là
A.
2
2 .ln2
xx−
. B.
2
(2 1).2 .ln2
xx
x
−
−
. C.
2
21
( ).2
xx
xx
−−
−
. D.
2
(2 1).2
xx
x
−
−
.
Câu 3: Trên khoảng
( )
0;+
, đạo hàm của hàm số là
5
4
yx=
là
A.
5
4
5
4
yx
=
. B.
1
4
4
5
yx
=
. C.
1
4
5
4
yx
=
. D.
1
4
5
4
y
x
=
.
Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình
1
28
x+
−
là
A. . B.
( )
4;− +
. C.
( )
;9− −
. D.
.
Câu 5: Cho dãy số
( )
n
u
là cấp số cộng với
1
3u =
;
8
24u =
thì
11
u
bằng
A.
33
. B.
30
. C.
32
. D.
28
.
Câu 6: Trong không gian
Oxyz
, vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của
( )
P
. Biết
( )
1; 2;0u =−
,
( )
0;2; 1v =−
là cặp vectơ chỉ phương của
( )
P
.
A.
( )
1; 2;0n =−
. B.
( )
2;1;2n =
. C.
( )
0;1;2n =
. D.
( )
2; 1;2n =−
.
Trang 72
Câu 7: Cho hàm số
( )
42
,,= + + y ax bx c a b c R
có đồ thị như
hình vẽ bên. Số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và
trục hoành là
A.
0
. B.
1
.
C.
2
. D.
3
.
Câu 8: Nếu
( )
3
0
d6f x x =
và
( )
2
0
d4f x x =
thì
( )
3
2
df x x
bằng
A.
10
. B.
2
. C.
10−
. D.
2−
.
Câu 9: Hàm số nào dưới đây có đồ thị dạng như đường cong trong hình vẽ bên dưới?
A.
1
1
x
y
x
+
=
−
. B.
21
1
x
y
x
−
=
−
. C.
21
1
x
y
x
−
=
+
. D.
1
1
x
y
x
−
=
+
.
Câu 10: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 8 2 1 0S x y z x y+ + − + + =
. Tìm tọa độ tâm và bán
kính của mặt cầu
( )
S
.
A.
( )
4;1;0I −
và
4R =
. B.
( )
4; 1;0I −
và
2R =
.
C.
( )
4;1;0I −
và
2R =
. D.
( )
4; 1;0I −
và
4R =
.
Câu 11: Trong không gian
,Oxyz
cho hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
lần lượt có hai vectơ pháp tuyến là
P
n
và
Q
n
. Biết sin góc giữa hai vectơ
P
n
và
Q
n
bằng
1
.
2
Cosin góc giữa hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
bằng.
A.
1
.
2
−
B.
3
.
2
−
C.
3
.
2
D.
1
.
2
Câu 12: Cho
12
2 4 , 3 5z i z i= + = −
. Xác định phần thực của
2
12
.w z z=
A.
120−
. B.
32−
. C.
88
. D.
152−
.
Câu 13: Cho khối lăng trụ đứng có chiều cao bằng
5m
, đáy là hình vuông có cạnh bằng
4m
. Thể tích
khối lăng trụ đã cho bằng
A.
3
80m
. B.
3
20m
. C.
3
40m
. D.
3
60m
.
Câu 14: Cho tứ diện
SABC
có các cạnh
, , SA SB SC
đôi một vuông góc với nhau. Biết
3,SA a=
4 , 5 .SB a SC a==
Tính theo
a
thể tích
V
của khối tứ diện
.SABC
A.
3
5.Va=
B.
2
5
.
2
a
V =
C.
3
10 .Va=
D.
3
20 .Va=
Câu 15: Tìm tất cả các giá trị của
m
để mặt phẳng
( )
:2 2 2 3 0P x y z m− − + − =
không có điểm chung
với mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 4 1 0S x y z x z+ + + − + =
.
x
y
O
1
1
Trang 73
A.
3
2
15
2
m
m
. B.
1
3
m
m
−
. C.
3 15
22
m
. D.
13m−
.
Câu 16: Cho số phức
z
có số phức liên hợp
32zi= − −
. Tổng phần thực và phần ảo của số phức
z
bằng.
A.
1
. B.
5
. C.
5−
. D.
1−
.
Câu 17: Cho hình nón có bán kính đáy là
a
, chiều cao là
2a
. Diện tích xung quanh của hình nón đó là
A.
2
3
=
xq
Sa
. B.
2
2
=
xq
Sa
. C.
2
5
=
xq
Sa
. D.
2
25
=
xq
Sa
.
Câu 18: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
P
có phương trình
2 5 4 0x y z− + − =
. Điểm nào dưới đây thuộc
( )
P
?
A.
( )
2;1;0A
. B.
( )
1; 1;1B −
. C.
( )
0;2;0C
. D.
( )
1;0;1D −
.
Câu 19: Hàm số
()y f x=
xác định trên và có bảng biến thiên như sau:
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là
A.
( 3; 1)−−
. B.
(4;5)
. C.
( 1; 3)−−
. D.
(5;4)
.
Câu 20: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2
2
2
xx
y
x
+−
=
−
là đường thẳng có phương trình
A.
2x =
. B.
2y =−
. C.
2y =
. D.
2x =−
.
Câu 21: Tìm tập nghiệm
S
của bất phương trình
( ) ( )
11
33
log 1 log 2 3xx− +
.
A.
2
;
3
S
= − −
. B.
2
;
3
S
= − +
. C.
2
;1
3
S
=−
. D.
( )
1;S = +
.
Câu 22: Cho đa giác lồi
11
đỉnh. Số tứ giác có cả
4
đỉnh thuộc đỉnh của đa giác đã cho là
A.
217
. B.
220
. C.
1320
. D.
330
.
Câu 23: Biết
( )
5
d 3
ln5
x
f x x x C= + +
, khi đó
( )
fx
bằng
A.
( )
53
x
fx=+
. B.
( )
5
3
ln5
x
f x x=+
. C.
( )
5
3
ln5
x
fx=+
. D.
( )
53
x
f x x=+
.
Câu 24: Biết
( )
2
0
2cos 3df x x x
+=
. Khi đó
( )
2
0
df x x
bằng
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2x 1
f x e
+
=
là
A.
( )
21
d2
x
f x x e C
+
=+
. B.
( )
2
d
xx
f x x e C
+
=+
.
C.
( )
21
1
d
2
x
f x x e C
+
=+
. D.
( )
21
d2
x
f x x e C
+
=+
.
Câu 26: Cho hàm số
( )
fx
có bảng biến thiên như sau:
Trang 74
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
1;0 .−
B.
( )
0;1 .
C.
( )
2;0 .−
D.
( )
0; .+
Câu 27: Cho hàm số
( )
42
,,y ax bx c a b c= + +
có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Giá trị cực tiểu
của hàm số đã cho là
A.
1.−
B.
1.
C.
2.
D.
3.
Câu 28: Tính giá trị của biểu thức
( )
2
log
2 log
a
b
a
Pa=+
( )
0, 1aa
.
A.
2
a
Pb=+
. B.
P a b=−
. C.
2P a b=+
. D.
P a b=+
.
Câu 29: Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình quanh với
được giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.
A. . B. . C. . D. .
Câu 30: Cho hình chóp
.S ABCD
có cạnh bên
()SB ABCD⊥
và
ABCD
là hình chữ nhật. Biết
2 , 3 , 4SB a AB a BC a= = =
và góc
là góc giữa mặt phẳng
( )
SAC
và mặt phẳng đáy. Giá trị
của
tan
bằng
A.
3
4
. B.
4
3
. C.
5
6
. D.
6
5
.
Câu 31: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như hình dưới.
Số giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình
( )
f x m=
có 6 nghiệm phân biệt là
A.
2
. B.
0
. C.
3
. D.
1
.
Câu 32: Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm
( ) ( )( )( )
2
1 2 4 .f x x x x
= − − +
Hàm số
( )
=y f x
đồng
biến trên khoảng nào dưới đây?
( )
H
Ox
( )
H
2
4y x x=−
31
3
32
3
34
3
35
3
Trang 75
A.
( )
4;2−
. B.
( )
0;+
. C.
( )
;0−
. D.
( )
1; +
.
Câu 33: Một hộp đựng
11
tấm thẻ được đánh số từ
1
đến
11
. Chọn ngu nhiên
6
tấm thẻ. Gọi
P
là xác
suất để tổng số ghi trên
6
tấm thẻ ấy là một số lẻ. Khi đó
P
bằng:
A.
100
231
. B.
115
231
. C.
1
2
. D.
118
231
.
Câu 34: Tích các nghiệm của phương trình
( )
1
5
log 6 36 1
xx+
−=
bằng
A.
5
log 6
. B.
5
. C.
6
log 5
. D.
0
.
Câu 35: Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn các số phức
z
thỏa mãn
1 2 4zi+ - =
là
A. Đường tròn tâm
( )
1; 2I -
, bán kính
16r =
. B. Đường tròn tâm
( )
1;2I -
, bán kính
9r =
.
C. Đường tròn tâm
( )
1;2I
, bán kính
9r =
. D. Đường tròn tâm
( )
1;2I -
, bán kính
4r =
.
Câu 36: Trong không gian
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
( )
1
: 2 3 0P x y− + =
và
( )
2
: 1 0P x z+ − =
. Viết
phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
1;2; 3A −−
và song song với hai mặt phẳng trên.
A.
1 2 3
2 1 2
x y z− + −
==
−−
. B.
1 2 3
2 1 2
x y z+ − +
==
.
C.
1 2 3
4 2 4
x y z+ − +
==
−
. D.
1 2 3
2 1 2
x y z− − −
==
−−
.
Câu 37: Cho đường thẳng
1 2 1
:
2 1 3
− + +
==
−
x y z
d
và điểm
( )
2; 5; 6 .−−A
Gọi
H
là hình chiếu vuông
góc của
A
trên
.d
Tọa độ của
H
là.
A.
( )
1; 3;2H −−
. B.
( )
3; 1;4H −−
. C.
( )
3; 1; 4H −−
. D.
( )
3;1;4H −
.
Câu 38: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
;
SA
vuông góc với đáy và
2SA a=
. Khoảng cách từ
B
đến
( )
SCD
bằng
A.
6
3
a
. B.
3
a
. C.
2a
. D.
a
.
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên
x
thoả mãn
( )
( )
( )
21
33
log 1 log 21 . 16 2 0?
x
xx
−
+ − + −
A.
17
. B.
18
. C.
16
. D. Vô số.
Câu 40: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
R
thỏa
( ) ( )
21f x f x=+
. Gọi
( )
Fx
là nguyên hàm của
( )
fx
trên
R
thỏa mãn
( )
43F =
. Khi đó giá trị của
( ) ( )
2 1 7FF+
bằng
A.
12
. B.
10−
. C.
8
. D.
6−
.
Câu 41: Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm
( )
fx
liên tục trên và hàm số
( )
y f x
=
có đồ thị như
hình vẽ bên. Gọi
S
là tập hợp các giá trị nguyên của
m
để hàm số
( )
1y f x m= + −
có ba
điểm cực trị. Tổng các phần tử của tập hợp
S
bằng
Trang 76
A.
12−
. B.
9−
. C.
7−
. D.
14−
.
Câu 42: Cho các số phức
,zw
thỏa mãn
2zi−=
và
21w−=
. Khi
13P z w i= + + +
đạt giá trị lớn
nhất,
12
1
5
z w i− + −
bằng
A.
11
5
. B.
5
11
. C.
29
5
. D.
13
5
.
Câu 43: Cho khối hộp chữ nhật
.ABCD A B C D
có đáy là hình vuông cạnh
a
. Khoảng cách từ
A
đến
mặt phẳng
( )
A B CD
bằng
25
5
a
. Tính thể tích
V
của khối hộp chữ nhật đã cho.
A.
3
2.Va=
. B.
3
2
.
3
a
V =
. C.
3
3
2
V
a
=
. D.
3
32Va=
.
Câu 44: Biết đồ thị
( )
C
của hàm số
( ) ( )
42
,f x x bx c b c= + +
có cực trị là
( )
1;0A
. Gọi
( )
P
là
parabol có đỉnh
( )
0; 1I −
và đi qua điểm
( )
2;3B
. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )
C
và
( )
P
thuộc khoảng nào dưới đây?
A.
( )
0;1
. B.
( )
2;3
. C.
( )
3;4
. D.
( )
1;2
.
Câu 45: Trên tập số phức, xét phương trình
2
2 6 0z mz m− + + =
(
m
là tham số thực). Có bao nhiêu giá
trị nguyên của
m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt
1
z
,
2
z
thỏa mãn
12
4zz+=
?
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D.
3
.
Câu 46: Cho hai đường thẳng chéo nhau
1
21
1 1 2
:
x y z
d
−−
==
−
và
2
22
:3
xt
dy
zt
=−
=
=
. Mặt phẳng song song
và cách đều
1
d
và
2
d
có phương trình là
A.
5 2 12 0xyz+ − + =
. B.
5 2 12 0x y z+ + − =
.
C.
5 2 12 0x y z− + − =
. D.
5 2 12 0x y z+ + + =
.
Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên
( )
;xy
thỏa mãn
( ) ( ) ( )
77 5 7
log log 5 log 5 log 4x y x y x y+ + + − − + +
A. 128. B. 120. C. 144. D. 149.
Câu 48: Cho hình nón
( )
N
có chiều cao bằng
6a
. Cắt
( )
N
bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh và cách tâm
của đáy một khoảng bằng
3a
ta được thiết diện có diện tích bằng
2
12 11a
. Thể tích của khối
nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
A.
3
36 5πa
. B.
3
270πa
. C.
3
90πa
. D.
3
12 5πa
.
Trang 77
Câu 49: Cho đường thẳng
21
:
3 2 3
x y z
d
−+
==
và đường thẳng
4 5 3
:
2 3 4
x y z− + −
= =
−
. Mặt phẳng
( ) ( )
;PQ
là 2 mặt phẳng vuông góc nhau, luôn chứa
d
và cắt
tại
,NM
. Tìm độ dài
MN
ngắn nhất
A.
182 319
319
. B.
91
638
. C.
91
319
. D.
91 638
319
.
Câu 50: Cho hàm số
( )
32
32y f x x x= = − +
. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
10;10m−
để hàm số
( )
( )
x f x mg +=
nghịch biến trên
( )
0;1
?
A.
7
. B.
8
. C.
9
. D.
10
.
---------- HẾT ----------
BẢNG ĐÁP ÁN
1.C
2.B
3.C
4.D
5.A
6.B
7.C
8.B
9.A
10.D
11.C
12.D
13.A
14.C
15.A
16.D
17.C
18.D
19.C
20.A
21.C
22.D
23.A
24.C
25.C
26.A
27.C
28.D
29.B
30.C
31.A
32.C
33.D
34.D
35.D
36.C
37.C
38.A
39.B
40.B
41.C
42.C
43.A
44.B
45.A
46.B
47.B
48.C
49.D
50.D
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức
32zi=−
?
A.
( )
3;2P −
. B.
( )
2; 3Q −
. C.
( )
3; 2N −
. D.
( )
2;3M −
.
Lời giải
Ta có:
( )
;z a bi N a b= +
là điểm biểu diễn của số phức
z
32zi=−
( )
3; 2N−
Câu 2: Hàm số
2
2
xx
y
−
=
có đạo hàm là
A.
2
2 .ln2
xx−
. B.
2
(2 1).2 .ln2
xx
x
−
−
.
C.
2
21
( ).2
xx
xx
−−
−
. D.
2
(2 1).2
xx
x
−
−
.
Lời giải
Ta có
22
2
' ( )'.2 .ln2 (2 1).2 .ln2
x x x x
y x x x
−−
= − = −
.
Câu 3: Trên khoảng
( )
0;+
, đạo hàm của hàm số là
5
4
yx=
là
A.
5
4
5
4
yx
=
. B.
1
4
4
5
yx
=
. C.
1
4
5
4
yx
=
. D.
1
4
5
4
y
x
=
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
5 5 1
1
4 4 4
55
..
44
y x x x
−
= = =
.
Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình
1
28
x+
−
là
A. . B.
( )
4;− +
. C.
( )
;9− −
. D.
.
Lời giải
Chọn D
Trang 78
Ta có
1
20
x+
với
x
1
28
x+
−
với
x
Do đó, bất phương trình đã cho vô nghệm.
Câu 5: Cho dãy số
( )
n
u
là cấp số cộng với
1
3u =
;
8
24u =
thì
11
u
bằng
A.
33
. B.
30
. C.
32
. D.
28
.
Lời giải
Ta có:
8
24u =
1
7 24ud + =
3 7 24d + =
3.d=
Ta có
11 1
10 3 3.10 33u u d= + = + =
Câu 6: Trong không gian
Oxyz
, vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của
( )
P
. Biết
( )
1; 2;0u =−
,
( )
0;2; 1v =−
là cặp vectơ chỉ phương của
( )
P
.
A.
( )
1; 2;0n =−
. B.
( )
2;1;2n =
. C.
( )
0;1;2n =
. D.
( )
2; 1;2n =−
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
P
có một vectơ pháp tuyến là
( )
, 2;1;2n u v
==
.
Câu 7: Cho hàm số
( )
42
,,= + + y ax bx c a b c R
có đồ thị như hình vẽ bên. Số giao điểm của đồ thị
hàm số đã cho và trục hoành là
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị, ta dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. Nên ta có 2 giao điểm.
Câu 8: Nếu
( )
3
0
d6f x x =
và
( )
2
0
d4f x x =
thì
( )
3
2
df x x
bằng
A.
10
. B.
2
. C.
10−
. D.
2−
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( )
3 2 3
0 0 2
d d df x x f x x f x x=+
.
Suy ra
( ) ( ) ( )
3 3 2
2 0 0
d d d 6 4 2f x x f x x f x x= − = − =
.
Câu 9: Hàm số nào dưới đây có đồ thị dạng như đường cong trong hình vẽ bên dưới?
Trang 79
A.
1
1
x
y
x
+
=
−
. B.
21
1
x
y
x
−
=
−
. C.
21
1
x
y
x
−
=
+
. D.
1
1
x
y
x
−
=
+
.
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số có phương trình tiệm cận đứng là
1x =
, tiệm cận ngang
1y =
. Chỉ có hàm số ở đáp án A là thỏa mãn.
Câu 10: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 8 2 1 0S x y z x y+ + − + + =
. Tìm tọa độ tâm và bán
kính của mặt cầu
( )
S
.
A.
( )
4;1;0I −
và
4R =
. B.
( )
4; 1;0I −
và
2R =
.
C.
( )
4;1;0I −
và
2R =
. D.
( )
4; 1;0I −
và
4R =
.
Lời giải
Từ phương trình của mặt cầu suy ra tâm
( )
4; 1;0I −
và bán kính
( )
2
22
4 1 0 1 4.R = + − + − =
Câu 11: Trong không gian
,Oxyz
cho hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
lần lượt có hai vectơ pháp tuyến là
P
n
và
Q
n
. Biết sin góc giữa hai vectơ
P
n
và
Q
n
bằng
1
.
2
Cosin góc giữa hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
bằng.
A.
1
.
2
−
B.
3
.
2
−
C.
3
.
2
D.
1
.
2
Lời giải
Chọn C
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
sin ; ; 30 ; 30 .
2
P Q P Q
n n n n P Q= = =
Câu 12: Cho
12
2 4 , 3 5z i z i= + = −
. Xác định phần thực của
2
12
.w z z=
A.
120−
. B.
32−
. C.
88
. D.
152−
.
Lời giải
Ta có
2
22
3 5 16 30z i z i= + =− +
( )( )
2
12
. 2 4 16 30 152 4w z z i i i = = + − + =− −
.
Vậy phần thực của
w
là
152−
.
Câu 13: Cho khối lăng trụ đứng có chiều cao bằng
5m
, đáy là hình vuông có cạnh bằng
4m
. Thể tích
khối lăng trụ đã cho bằng
A.
3
80m
. B.
3
20m
. C.
3
40m
. D.
3
60m
.
Lời giải
Diện tích đáy
22
4 16Bm==
.
Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
3
. 16.5 80V Bh m= = =
.
Câu 14: Cho tứ diện
SABC
có các cạnh
, , SA SB SC
đôi một vuông góc với nhau. Biết
3,SA a=
4 , 5 .SB a SC a==
Tính theo
a
thể tích
V
của khối tứ diện
.SABC
x
y
O
1
1
Trang 80
A.
3
5.Va=
B.
2
5
.
2
a
V =
C.
3
10 .Va=
D.
3
20 .Va=
Lời giải
Thể tích của khối tứ diện là:
3
11
. . .3 .4 .5 10 .
66
V SASB SC a a a a= = =
Câu 15: Tìm tất cả các giá trị của
m
để mặt phẳng
( )
:2 2 2 3 0P x y z m− − + − =
không có điểm chung
với mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 4 1 0S x y z x z+ + + − + =
.
A.
3
2
15
2
m
m
. B.
1
3
m
m
−
. C.
3 15
22
m
. D.
13m−
.
Lời giải
Mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
1;0;2I −
và bk
2R =
( )
P
không có điểm chung với
( ) ( )
( )
;S d I P R
.
( )
2 2 2
2, 1 2.2 2 3
2
2 1 2
m− − + −
++
3
2 9 6
2
2 9 6
2 9 6 15
2
m
m
m
m
m
− −
−
−
.
Câu 16: Cho số phức
z
có số phức liên hợp
32zi= − −
. Tổng phần thực và phần ảo của số phức
z
bằng.
A.
1
. B.
5
. C.
5−
. D.
1−
.
Lời giải
Ta có:
3 2 3 2z i z i= − − = − +
. Số phức
z
có phần thực
3−
, phần ảo
2
Tổng phần thực và phần ảo của số phức là
3 2 1− + = −
Câu 17: Cho hình nón có bán kính đáy là
a
, chiều cao là
2a
. Diện tích xung quanh của hình nón đó là
A.
2
3
=
xq
Sa
. B.
2
2
=
xq
Sa
. C.
2
5
=
xq
Sa
. D.
2
25
=
xq
Sa
.
Lời giải
Ta có:
2 2 2 2 2 2
(2 ) 5 5= + = + = =l h r a a a l a
.
Diện tích xung quanh của hình nón là
2
. . 5 5
= = =
xq
S rl a a a
.
Câu 18: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
P
có phương trình
2 5 4 0x y z− + − =
. Điểm nào dưới đây thuộc
( )
P
?
A.
( )
2;1;0A
. B.
( )
1; 1;1B −
. C.
( )
0;2;0C
. D.
( )
1;0;1D −
.
Lời giải
Thay tọa độ điểm
( )
2;1;0A
vào phương trình mặt phẳng
( )
P
ta được
40−=
vô lý
( )
AP
.
z
Trang 81
Thay tọa độ điểm
( )
1; 1;1B −
vào phương trình mặt phẳng
( )
P
ta được
40=
vô lý
( )
BP
.
Thay tọa độ điểm
( )
0;2;0C
vào phương trình mặt phẳng
( )
P
ta được
80−=
vô lý
( )
CP
.
Thay tọa độ điểm
( )
1;0;1D −
vào phương trình mặt phẳng
( )
P
ta được
00=
( )
DP
.
Câu 19: Hàm số
()y f x=
xác định trên và có bảng biến thiên như sau:
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là
A.
( 3; 1)−−
. B.
(4;5)
. C.
( 1; 3)−−
. D.
(5;4)
.
Lời giải
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là
( 1; 3)−−
.
Câu 20: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2
2
2
xx
y
x
+−
=
−
là đường thẳng có phương trình
A.
2x =
. B.
2y =−
. C.
2y =
. D.
2x =−
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2
2
2
lim ;
2
x
xx
x
+
→
+−
= +
−
2
2
2
lim
2
x
xx
x
→−
+−
= −
−
Suy ra hàm số có tiệm cận đứng là
2x =
.
Câu 21: Tìm tập nghiệm
S
của bất phương trình
( ) ( )
11
33
log 1 log 2 3xx− +
.
A.
2
;
3
S
= − −
. B.
2
;
3
S
= − +
. C.
2
;1
3
S
=−
. D.
( )
1;S = +
.
Lời giải
Bất phương trình tương đương với
10
1 2 3
x
xx
−
− +
1
2
3
x
x
−
2
1
3
x −
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
2
;1
3
S
=−
.
Câu 22: Cho đa giác lồi
11
đỉnh. Số tứ giác có cả
4
đỉnh thuộc đỉnh của đa giác đã cho là
A.
217
. B.
220
. C.
1320
. D.
330
.
Lời giải
Số tứ giác có cả 4 đỉnh thuộc đỉnh của đa giác đã cho là
4
11
330C =
tứ giá C.
Câu 23: Biết
( )
5
d 3
ln5
x
f x x x C= + +
, khi đó
( )
fx
bằng
A.
( )
53
x
fx=+
. B.
( )
5
3
ln5
x
f x x=+
. C.
( )
5
3
ln5
x
fx=+
. D.
( )
53
x
f x x=+
.
Lời giải
Trang 82
Ta có
( ) ( )
df x x F x C=+
với
( ) ( )
F x f x
=
.
Do đó
( )
5
3 5 3
ln5
x
x
f x x
= + = +
.
Câu 24: Biết
( )
2
0
2cos 3df x x x
+=
. Khi đó
( )
2
0
df x x
bằng
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Lời giải
Ta có
( )
2
0
2cos d 3f x x x
+=
( )
22
00
d 2 cos d 3f x x x x
+ =
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
0
0 0 0
d 2sin 3 d 2 3 d 1.f x x x f x x f x x
+ = + = =
Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2x 1
f x e
+
=
là
A.
( )
21
d2
x
f x x e C
+
=+
. B.
( )
2
d
xx
f x x e C
+
=+
.
C.
( )
21
1
d
2
x
f x x e C
+
=+
. D.
( )
21
d2
x
f x x e C
+
=+
.
Lời giải
( )
2x 1 2 1
1
dd
2
x
f x x e x e C
++
= = +
.
Câu 26: Cho hàm số
( )
fx
có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
1;0 .−
B.
( )
0;1 .
C.
( )
2;0 .−
D.
( )
0; .+
Lời giải
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
( )
1;0 .−
Câu 27: Cho hàm số
( )
42
,,y ax bx c a b c= + +
có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Giá trị cực tiểu
của hàm số đã cho là
Trang 83
A.
1.−
B.
1.
C.
2.
D.
3.
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta có điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là
( )
0;2A
. Giá trị cực tiểu của hàm số là
2y =
.
Câu 28: Tính giá trị của biểu thức
( )
2
log
2 log
a
b
a
Pa=+
( )
0, 1aa
.
A.
2
a
Pb=+
. B.
P a b=−
. C.
2P a b=+
. D.
P a b=+
.
Lời giải
Ta có
( )
2
log
2 log
a
b
a
P a a b= + = +
.
Câu 29: Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình quanh với
được giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Điều kiện xác định: .
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là :
.
Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình quanh là :
.
Vậy thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình quanh
là .
Câu 30: Cho hình chóp
.S ABCD
có cạnh bên
()SB ABCD⊥
và
ABCD
là hình chữ nhật. Biết
2 , 3 , 4SB a AB a BC a= = =
và góc
là góc giữa mặt phẳng
( )
SAC
và mặt phẳng đáy. Giá trị
của
tan
bằng
A.
3
4
. B.
4
3
. C.
5
6
. D.
6
5
.
Lời giải
( )
H
Ox
( )
H
2
4y x x=−
31
3
32
3
34
3
35
3
2
4 0 0 4x x x−
2
4y x x=−
2
40xx−=
2
40xx − =
0
4
x
x
=
=
( )
H
Ox
(
)
2
4
2
0
4dV x x x
=−
( )
4
2
0
4dx x x
=−
32
3
=
( )
H
Ox
32
3
Trang 84
Kẻ
BH AC SHB
⊥ =
.
Ta có
22
. 3 .4 12 2 5
tan
12
5 5 6
5
BA BC a a a SB a
HB
a
a BH
BA BC
= = = = = =
+
.
Câu 31: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như hình dưới.
Số giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình
( )
f x m=
có 6 nghiệm phân biệt là
A.
2
. B.
0
. C.
3
. D.
1
.
Lời giải
Từ bảng biến thiên của hàm số
( )
y f x=
ta có bảng biến thiên của hàm số
( )
y f x=
như sau:
Số nghiệm của phương trình
( )
f x m=
chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
( )
y f x=
và đường thẳng có phương trình
ym=
.
Từ bảng biến thiên trên ta suy ra đường thẳng
ym=
cắt đồ thị hàm số
( )
y f x=
tại 6 điểm
phân biệt khi và chỉ khi
25m
Do
3;4mm Z
. Vậy có 2 giá trị nguyên của
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 32: Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm
( ) ( )( )( )
2
1 2 4 .f x x x x
= − − +
Hàm số
( )
=y f x
đồng
biến trên khoảng nào dưới đây?
Trang 85
A.
( )
4;2−
. B.
( )
0;+
. C.
( )
;0−
. D.
( )
1; +
.
Lời giải
Ta có
( ) ( )( )( )
2
1
0 1 2 4 0 2
4
x
f x x x x x
x
=
= − − + = =
=−
Bảng xét dấu đạo hàm
Hàm số đồng biến trên khoảng
( ) ( )
;1 ; 2; .− +
Câu 33: Một hộp đựng
11
tấm thẻ được đánh số từ
1
đến
11
. Chọn ngu nhiên
6
tấm thẻ. Gọi
P
là xác
suất để tổng số ghi trên
6
tấm thẻ ấy là một số lẻ. Khi đó
P
bằng:
A.
100
231
. B.
115
231
. C.
1
2
. D.
118
231
.
Lời giải
6
11
( ) 462nC = =
. Gọi
A
:”tổng số ghi trên
6
tấm thẻ ấy là một số lẻ”.
Từ
1
đến
11
có
6
số lẻ và
5
số chẵn. Để có tổng là một số lẻ ta có
3
trường hợp.
Trường hợp 1: Chọn được
1
thẻ mang số lẻ và
5
thẻ mang số chẵn có:
5
5
6. 6C =
cách.
Trường hợp 2: Chọn được
3
thẻ mang số lẻ và
3
thẻ mang số chẵn có:
33
65
. 200CC=
cách.
Trường hợp 2: Chọn được
5
thẻ mang số lẻ và
1
thẻ mang số chẵn có:
5
6
.5 30C =
cách.
Do đó
( ) 6 200 30 236nA= + + =
. Vậy
236 118
()
462 231
PA==
.
Câu 34: Tích các nghiệm của phương trình
( )
1
5
log 6 36 1
xx+
−=
bằng
A.
5
log 6
. B.
5
. C.
6
log 5
. D.
0
.
Lời giải
Điều kiện xác định:
1
6 36 0
xx+
−
( )
6 6 6 0
xx
−
6 6 0
x
−
1x
.
Ta có:
( )
1
5
log 6 36 1
xx+
−=
1
6 36 5
xx+
− =
2
6 6.6 5 0
xx
− + =
.
Đặt
( )
6 ; 0
x
tt=
.
Phương trình trở thành:
2
6 5 0tt− + =
1
5
t
t
=
=
61
65
x
x
=
=
6
0
log 5
x
x
=
=
.
Vậy tích các nghiệm của phương trình bằng
0
.
Câu 35: Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn các số phức
z
thỏa mãn
1 2 4zi+ - =
là
A. Đường tròn tâm
( )
1; 2I -
, bán kính
16r =
.
B. Đường tròn tâm
( )
1;2I -
, bán kính
9r =
.
C. Đường tròn tâm
( )
1;2I
, bán kính
9r =
.
D. Đường tròn tâm
( )
1;2I -
, bán kính
4r =
.
Lời giải
Gọi
( )
,,z x yi x y= + Î ¡
.
Ta có
( )
1 2 4 1 2 4z i x y i+ - = Þ + + - =
Trang 86
( ) ( )
22
1 2 16xyÛ + + - =
.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức
z
là đường tròn tâm
( )
1;2I -
, bán kính
4r =
.
Câu 36: Trong không gian
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
( )
1
: 2 3 0P x y− + =
và
( )
2
: 1 0P x z+ − =
. Viết
phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
1;2; 3A −−
và song song với hai mặt phẳng trên.
A.
1 2 3
2 1 2
x y z− + −
==
−−
. B.
1 2 3
2 1 2
x y z+ − +
==
.
C.
1 2 3
4 2 4
x y z+ − +
==
−
. D.
1 2 3
2 1 2
x y z− − −
==
−−
.
Lời giải
Véc tơ pháp tuyến
( ) ( )
11
: 1; 2;0Pn=−
;
Véc tơ pháp tuyến
( ) ( )
21
: 1;0;1Pn=
.
Véc tơ chỉ phương đường thẳng
( )
12
: , 2; 1;2d u n n
= = − −
.
Đường thẳng
d
đi qua
( )
1;2; 3A −−
, véc tơ chỉ phương
( )
2; 1;2−−
có phương trình:
1 2 3
2 1 2
x y z+ − +
==
−−
.
Câu 37: Cho đường thẳng
1 2 1
:
2 1 3
− + +
==
−
x y z
d
và điểm
( )
2; 5; 6 .−−A
Gọi
H
là hình chiếu vuông
góc của
A
trên
.d
Tọa độ của
H
là.
A.
( )
1; 3;2H −−
. B.
( )
3; 1;4H −−
. C.
( )
3; 1; 4H −−
. D.
( )
3;1;4H −
.
Lời giải
Ta có
( )
2;1; 3=−
d
u
.
Vì
Hd
nên
( )
1 2 ; 2 ; 1 3+ − + − −H t t t
và
( )
1 2 ;3 ;5 3 .= − + + −AH t t t
⊥AH d
⊥
d
AH u
.
( ) ( ) ( )
.0
2 1 2 1 3 3 5 3 0
14 14 0 1.
=
− + + + − − =
− = =
d
AH u
t t t
tt
.
Tọa độ của
H
là
( )
3; 1; 4H −−
.
Câu 38: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
;
SA
vuông góc với đáy và
2SA a=
. Khoảng cách từ
B
đến
( )
SCD
bằng
A.
6
3
a
. B.
3
a
. C.
2a
. D.
a
.
Lời giải
Trang 87
Ta có
( )
// //AB CD AB SCD
( )
( )
( )
( )
( )
( )
, , ,d B SCD d AB SCD d A SCD = =
.
Vẽ
AH SD⊥
.
Khi đó
( )
CD SA
CD SAD AH CD
CD AD
⊥
⊥ ⊥
⊥
.
Do đó
( ) ( )
( )
22
.6
,
3
SA AD a
AH SCD d A SCD AH
SA AD
⊥ = = =
+
.
Vậy
( )
( )
6
,
3
a
d B SCD AH==
.
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên
x
thoả mãn
( )
( )
( )
21
33
log 1 log 21 . 16 2 0?
x
xx
−
+ − + −
A.
17
. B.
18
. C.
16
. D. Vô số.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện:
21.x −
Khi đó:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
21
33
2
33
1
2
33
1
log 1 log 21 . 16 2 0
log 1 log 21 0
()
16 2 0
log 1 log 21 0
()
16 2 0
x
x
x
xx
xx
I
xx
II
−
−
−
+ − + −
+ − +
−
+ − +
−
Giải
( )
I
ta có
( )
( )
( )
( )
22
3 3 3 3
1 1 4
log 1 log 21 0 log 1 log 21
16 2 0 2 2
xx
x x x x
−−
+ − + + +
−
22
4
4
1 21 20 0
.
5
5
1 4 5
5
x
x
x x x x
x
x
xx
x
−
−
+ + − −
=
−
Kết hợp điều kiện ta được
21 4
5
x
x
− −
=
( )
1
.
Giải
( )
II
ta có
( )
( )
( )
( )
22
3 3 3 3
1 1 4
log 1 log 21 0 log 1 log 21
16 2 0 2 2
xx
x x x x
−−
+ − + + +
−
( )
22
45
1 21 20 0
5 2 .
5
1 4 5
x
x x x x
x
x
xx
−
+ + − −
=
−
Từ
( )
1
và
( )
2
ta có các giá trị của
x
thoả mãn bất phương trình đã cho là
21 4
5
x
x
− −
=
.
Vì
x
nên suy ra
20; 19;...; 4;5x − − −
. Vậy có tất cả 18 số nguyên
x
thoả mãn đề bài.
Trang 88
Câu 40: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
R
thỏa
( ) ( )
21f x f x=+
. Gọi
( )
Fx
là nguyên hàm của
( )
fx
trên
R
thỏa mãn
( )
43F =
. Khi đó giá trị của
( ) ( )
2 1 7FF+
bằng
A.
12
. B.
10−
. C.
8
. D.
6−
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
dd2 1 2 1fxxx f x f xxf= + +=
( ) ( )
1
21
2
F x F x C = + +
Từ đó có:
( ) ( )
( ) ( )
2 1 3 2
2 3 7 2
F F C
F F C
=+
=+
( ) ( ) ( )
2 1 7 3 3 12F F F + = =
Câu 41: Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm
( )
fx
liên tục trên và hàm số
( )
y f x
=
có đồ thị như
hình vẽ bên. Gọi
S
là tập hợp các giá trị nguyên của
m
để hàm số
( )
1y f x m= + −
có ba
điểm cực trị. Tổng các phần tử của tập hợp
S
bằng
A.
12−
. B.
9−
. C.
7−
. D.
14−
.
Lời giải
Từ đồ thị hàm số
( )
y f x
=
, ta có bảng biến thiên của hàm số
( )
y f x=
Đặt
11t x x t= + = −
. Khi đó hàm số
( )
y f t=
có bảng biến thiên
Hàm số
( )
( )
g t f t m=−
là hàm số chẵn. Đồ thị hàm số
( )
( )
g t f t m=−
nhận đường thẳng
0t =
làm trục đối xứng.
Để hàm số
( )
( )
g t f t m=−
có
3
điểm cực trị thì hàm số
( )
y f t m=−
có 1 điểm cực trị
dương. Như vậy, ta cần tịnh tiến đồ thị hàm số
( )
y f t=
sang trái
m−
đơn vị,
0m
.
Trang 89
10
4 1 { 3; 2; 1}
40
m
mS
m
+
− − = − − −
+
.
Tổng các phần tử của
S
là
( 3) ( 2) ( 1) 7− + − + − = −
.
Câu 42: Cho các số phức
,zw
thỏa mãn
2zi−=
và
21w−=
. Khi
13P z w i= + + +
đạt giá trị lớn
nhất,
12
1
5
z w i− + −
bằng
A.
11
5
. B.
5
11
. C.
29
5
. D.
13
5
.
Lời giải
Ta có:
2 3 4 2 3 4 2 3 4 8P z i w i z i w i z i w i= − + − + + − + − + + = − + − + + =
Dấu “=” xảy ra khi:
( )
( )
34
2 3 4 , , 0
2; 2 1
z i t i
w t i t t
z i w
− = +
− = +
− = − =
( )
( )
2
34
5
1
2 3 4
5
z i i
wi
− = +
− = +
6 13
55
13 4
55
zi
wi
=+
=+
6 13
55
13 4
55
zi
wi
=+
=−
Khi đó:
12 2 29
1
5 5 5
z w i i− + − = − + =
.
Câu 43: Cho khối hộp chữ nhật
.ABCD A B C D
có đáy là hình vuông cạnh
a
. Khoảng cách từ
A
đến
mặt phẳng
( )
A B CD
bằng
25
5
a
. Tính thể tích
V
của khối hộp chữ nhật đã cho.
A.
3
2.Va=
. B.
3
2
.
3
a
V =
. C.
3
3
2
V
a
=
. D.
3
32Va=
.
Lời giải
Kẻ
AH AD
⊥
tại
H
.
Ta có
( )
AD
CD ADD A CD AH
D
CD
CD D
⊥
⊥ ⊥
⊥
Ta có
( )
D
A CD
AH A B C
AD
H
AH
⊥
⊥
⊥
tại
H
.
Vậy khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )
A B CD
là
AH
.
Tam giác
A AD
vuông tại
A
có
AH
là đường cao.
Suy ra
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 5 1 1
44AH AA AD AA AH AD a a a
= + = − = − =
Trang 90
Vậy
2AA a
=
.
Suy ra
23
. 2 . .2
ABCD
V AA S a a a
===
.
Câu 44: Biết đồ thị
( )
C
của hàm số
( ) ( )
42
,f x x bx c b c= + +
có cực trị là
( )
1;0A
. Gọi
( )
P
là
parabol có đỉnh
( )
0; 1I −
và đi qua điểm
( )
2;3B
. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )
C
và
( )
P
thuộc khoảng nào dưới đây?
A.
( )
0;1
. B.
( )
2;3
. C.
( )
3;4
. D.
( )
1;2
.
Lời giải
Đồ thị
( )
C
của hàm số
( ) ( )
42
,f x x bx c b c= + +
có cực trị là
( ) ( )
1;0 1A A C b c + = −
( )
3
42f x x bx
=+
vì
( )
1;0A
là cực trị nên
( )
1 0 4 2 0 2 1.f b b c
= + = = − =
( ) ( )
42
: 2 1C f x x x= − +
Gọi
( ) ( )
2
1 1 1 1
:0P y a x b x c a= + +
.
( )
P
là parabol có đỉnh
( ) ( )
1
0; 1 1I I P c− = −
.
Hoành độ đỉnh
( )
P
:
1
1
1
00
2
I
b
xb
a
= − = =
.
( )
P
đi qua điểm
( )
1 1 1 1
2;3 3 4 2 1B a b c a = + + =
.
( )
2
:1P y x=−
.
Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
C
và
( )
P
:
4 2 2 4 2
1
2 1 1 3 2 0
2
x
x x x x x
x
=
− + = − − + =
=
Diện tích hình phẳng:
2
42
2
3 2 d 2,537S x x x
−
= − +
.
Câu 45: Trên tập số phức, xét phương trình
2
2 6 0z mz m− + + =
(
m
là tham số thực). Có bao nhiêu giá
trị nguyên của
m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt
1
z
,
2
z
thỏa mãn
12
4zz+=
?
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D.
3
.
Lời giải
Ta có
( )
22
66m m m m
= − + = − −
.
Vì phương trình có hai nghiệm phân biệt nên
0
. Xét hai trường hợp:
TH1:
2
2
0 6 0
3
m
mm
m
−
− −
. Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt.
Ta có
12
4zz+=
( )
( )
2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
16 2 2 16z z z z z z z z + = + − + =
( )
2
2 6 2 6 16m m m + + − + =
Nếu
6 0 6mm+ −
, kết hợp với
( )
1
ta được
62
3
m
m
− −
Khi đó
( )
2
( ) ( )
22
4
2 6 2 6 16 16
4
m
m m m m
m
=
+ + − + = =
=−
).
Nếu
6 0 6mm+ −
, kết hợp với
( )
1
ta được
6m −
.
Trang 91
Khi đó
( )
2
( ) ( )
22
2 6 2 6 16 4 40 0 2 2 11m m m m m m− + − + = − − = =
).
TH2:
2
0 6 0 2 3m m m
− − −
. Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt.
Ta có
12
4zz+=
( )
2
12
16zz + =
( ) ( )
22
6 6 4m i m m m i m m + − + + − − + =
22
6 6 4m i m m m i m m + − + + + − − + + =
22
2 6 4 6 2 2m m m m m − + + = + = = −
).
Vậy có
2
giá trị nguyên của
m
thỏa mãn điều kiện bài ra.
Câu 46: Cho hai đường thẳng chéo nhau
1
21
1 1 2
:
x y z
d
−−
==
−
và
2
22
:3
xt
dy
zt
=−
=
=
. Mặt phẳng song song
và cách đều
1
d
và
2
d
có phương trình là
A.
5 2 12 0xyz+ − + =
. B.
5 2 12 0x y z+ + − =
.
C.
5 2 12 0x y z− + − =
. D.
5 2 12 0x y z+ + + =
.
Lời giải
1
d
có VTCP
( )
1
1; 1;2u =−
.
2
d
có VTCP
( )
2
2;0;1u =−
Gọi
( )
là mặt phẳng cần tìm, có VTPT
( )
12
, 1; 5; 2n u u
= = − − −
( )
: 5 2 0x y z m
+ + + =
.
Lấy điểm
( )
11
2;1;0Md
,
( )
22
2;3;0Md
.
Vì
( )
cách đều
1
d
và
2
d
nên
( )
( )
( )
( )
12
,,d d d d
=
( )
( )
( )
( )
12
,,d M d M
=
7 17
30 30
mm++
=
12m = −
.
Vậy
( )
: 5 2 12 0x y z
+ + − =
.
Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên
( )
;xy
thỏa mãn
( ) ( ) ( )
77 5 7
log log 5 log 5 log 4x y x y x y+ + + − − + +
A. 128. B. 120. C. 144. D. 149.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện:
50xy+ −
.
Ta có:
( ) ( ) ( )
7775
log 5 log 4 log log 5x y x y x y+ − + + − + +
( )
57
5 5 20
log 5 log
xy
xy
xy
++
+ −
+
Đặt:
5 ( 0)t x y t= + −
, bất phương trình trở thành:
( )
57
l 5og
2
l
0
og
5
t
t
+
+
( )
57
0
20
log lo 5
5
gt
t
−
+
+
.
Trang 92
Xét hàm số
( )
57
( ) log
20
5
5
logft t
t
=−
+
+
ta có
( ) ( )
2
1 20
( ) 0, 0
ln5
5 5 20 5 ln7
f t t
t
tt
= +
+ + +
.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
(0; )+
.
Ta có
57
20
(5) log log 5 05
10
f
= − + =
Từ đó suy ra:
(1) ( ) (5) 0 5 5 5 5 10f t f t x y x y + − +
.
Đếm các cặp giá trị nguyên của
( ; )xy
Ta có:
10xy+
, mà
0y
nên
10x
.
Với
0 { 6; 7; 8; 9}xy= =
nên có 8 cặp.
Với
1 { 5; 6; 7; 8}xy= =
nên có 16 cặp.
Với
2 { 4; 5; 6; 7}xy= =
nên có 16 cặp.
Với
3 { 3; 4; 5; 6}xy= =
nên có 16 cặp.
Với
4 { 2; 3; 4; 5}xy= =
có 16 cặp.
Với
5 { 1; 2; 3; 4}xy= =
nên có 16 cặp.
Với
6 {0; 1; 2; 3}xy= =
nên có 14 cặp.
Với
7 {0; 1; 2}xy= =
có 10 cặp.
Với
8 {0; 1}xy= =
có 6 cặp.
Với
90xy= =
có 2 cặp.
Vậy có 120 cặp giá trị nguyên
( ; )xy
thỏa mãn đề bài.
Câu 48: Cho hình nón
( )
N
có chiều cao bằng
6a
. Cắt
( )
N
bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh và cách tâm
của đáy một khoảng bằng
3a
ta được thiết diện có diện tích bằng
2
12 11a
. Thể tích của khối
nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
A.
3
36 5πa
. B.
3
270πa
. C.
3
90πa
. D.
3
12 5πa
.
Lời giải
Chọn C
Giả sử mặt phẳng
( )
P
đi qua đỉnh của hình nón cắt hình nón theo thiết diện là tam giác
SBC
.
Gọi
I
là trung điểm của
BC
. Ta có
( )
BC OI
BC SOI
BC SO
⊥
⊥
⊥
.
H
I
C
O
B
A
S
Trang 93
Kẻ
OH SI⊥
( )
H SI
, mà
OH BC⊥
suy ra
( )
OH SBC⊥
.
Theo giả thiết có:
6SO a=
,
2
12 11
SBC
Sa=
và
( )
( )
;3d O SBC OH a==
.
Trong
SOI
vuông tại
O
có:
2 2 2
1 1 1
OH SO OI
=+
23OI a=
22
43SI SO OI a= + =
.
Ta có:
1
.
2
SBC
S SI BC=
2
2 33
SBC
S
BC a
SI
= =
33
2
BC
IC a = =
.
Trong
OIC
vuông tại
I
có:
22
35OC OI IC a R= + = =
.
Vậy thể tích của khối nón đã cho là
23
1
π. . 90π
3
V SOOC a==
.
Câu 49: Cho đường thẳng
21
:
3 2 3
x y z
d
−+
==
và đường thẳng
4 5 3
:
2 3 4
x y z− + −
= =
−
. Mặt phẳng
( ) ( )
;PQ
là 2 mặt phẳng vuông góc nhau, luôn chứa
d
và cắt
tại
,NM
. Tìm độ dài
MN
ngắn nhất
A.
182 319
319
. B.
91
638
. C.
91
319
. D.
91 638
319
.
Lời giải
Chọn D
Ta nhận xét
d ⊥
do
( )
. 3.2 2.3 3. 4 0
d
uu
= + + − =
Trong
( )
,Q ME d⊥
tại
E
. Suy ra
( )
ME P ME NE MEN⊥ ⊥
vuông tại
E
Hạ đường cao
EF
trong
MEN
vuông tại
E
.
Ta có:
( )
d ME
d MEN d EF
d MN
⊥
⊥ ⊥
⊥
Mà
( )
,EF EF d d⊥ =
Gọi
K
là trung điểm
MN
. Khi đó,
( )
2 2 2 ,MN EK EF d d= =
Dấu bằng xảy ra khi
KF
, tức là
MEN
vuông cân tại
E
Ta có:
Trang 94
( )
( )
( )
( )
2; 1; 0
21
:
3 2 3
3; 2; 3
4; 5; 3
4 5 3
:
2 3 4
2; 3; 4
d
Ad
x y z
d
u
B
x y z
u
−
−+
= =
=
−
− + −
= =
−
=−
Suy ra,
( )
( )
( )
.,
2 ; 4 ; 3
91
,
638
, 17 ;18; 5
,
d
d
d
AB u u
AB
dd
uu
uu
=−
= =
=−
Vậy
MN
ngắn nhất là
91 91 638
2.
319
638
=
Câu 50: Cho hàm số
( )
32
32y f x x x= = − +
. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
10;10m−
để hàm số
( )
( )
x f x mg +=
nghịch biến trên
( )
0;1
?
A.
7
. B.
8
. C.
9
. D.
10
.
Lời giải
Ta có
( ) ( )
2
3 6 3 2f x x x x x
= − = −
Xét hàm số
( )
( )
g x f x m=+
có
( )
( ) ( )
( )
( )
. .3 . 2 3 . 2
x m x m
g x f x m x m x m x m x m
x m x m
++
= + = + + − = + + −
++
( )
2
0
2
xm
gx
xm
= − −
=
= − +
( )
gx
không xác định khi
xm=−
.
Ta có bảng biến thiên của hàm số
( )
gx
như sau
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
0;1
( ) ( )
( ) ( )
0;1 ; 2
1 2 3
0 1 2 0 1
0;1 ; 2
m
mm
m m m
mm
− − −
− − −
− − +
− − +
Mà
10;10m−
nên có 10 giá trị nguyên của
m
thỏa mãn đề bài.
---------- HẾT ----------
Trang 95
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2024
ĐỀ 5
Bài thi: TOÁN
Câu 1: Điểm
M
trong hình vẽ bên dưới biểu thị cho số phức
A.
3 2 .i+
B.
2 3 .i−
C.
2 3 .i−+
D.
3 2 .i−
Câu 2: Trên khoảng
( )
0;+
, đạo hàm của hàm số
9
logyx=
là
A.
1
ln9
y
=
. B.
9
y
x
=
. C.
1
2 ln3
y
x
=
. D.
ln9
y
x
=
.
Câu 3: Trên khoảng
( )
0;+
, đạo hàm của hàm số
3
7
yx=
là
A.
4
7
3
7
yx
=
. B.
4
7
7
3
yx
−
=
. C.
4
7
3
7
yx
−
=
. D.
4
7
3
7
y
x
=
.
Câu 4: Bất phương trình
2
1
4
2
x+
có bao nhiêu nghiệm nguyên âm?
A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.
Câu 5: Cho cấp số nhân
( )
n
u
có
23
3, 6uu==
. Số hạng đầu
1
u
là
A.
2
. B.
1
. C.
3
2
. D.
0
.
Câu 6: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
P
có phương trình
1
2 3 1
x y z
+ + =
-
.
Véc-tơ nào sau đây là véc-tơ pháp tuyến của
( )
P
A.
( )
2; 3;1n =-
r
. B.
( )
1; 3;2n =-
r
. C.
( )
3; 2;6n =-
r
. D.
( )
3;2;6n =-
r
.
Câu 7: Cho hàm số
( )
23
, , ,y ax bx cx d a b c d= + + + R
có đồ thị như hình vẽ bên. Số giao điểm của
đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 8: Cho
4
0
( ) 4f x dx =
và
2
1
( ) 3f x dx =
. Tính tích phân
( ) ( )
14
02
I f x dx f x dx=+
x
y
2
M
3
O
O
x
2−
1−
1−
y
3
2
1
1
Trang 96
A.
1I =
. B.
2I =
. C.
3I =
. D.
4I =
.
Câu 9: Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào?
A.
1
x
y
x
−
=
−
. B.
21
22
x
y
x
+
=
−
. C.
1
1
x
y
x
+
=
−
. D.
1
1
x
y
x
−
=
+
.
Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
cho hai điểm
( )
6;2; 5M −
,
( )
4;0;7N −
. Viết
phương trình mặt cầu đường kính
MN
?
A.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 62x y z− + − + − =
. B.
( ) ( ) ( )
2 2 2
5 1 6 62x y z− + − + + =
.
C.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 62x y z+ + + + + =
. D.
( ) ( ) ( )
2 2 2
5 1 6 62x y z+ + + + − =
.
Câu 11: Trong không gian
,Oxyz
cho hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
lần lượt có hai vectơ pháp tuyến là
P
n
và
Q
n
. Biết cosin góc giữa hai vectơ
P
n
và
Q
n
bằng
3
.
3
−
Cosin góc giữa hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
bằng.
A.
3
.
3
B.
3
.
3
−
C.
6
.
3
D.
6
.
3
−
Câu 12: Cho số phức
23zi=+
, tổng phần thực và phần ảo của số phức
2
z
bằng
A.
7
. B.
12
. C.
5−
. D.
6
.
Câu 13: Cho lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng
3a
. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A.
3
93
2
a
. B.
3
93
4
a
. C.
3
27 3
2
a
. D.
3
27 3
4
a
.
Câu 14: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác đều cạnh
a
, cạnh bên
SA
vuông góc với mặt phẳng
đáy và
2SA a=
. Thể tích của khối chóp
.S ABC
bằng
A.
3
2a
. B.
3
6
12
a
. C.
3
6
4
a
. D.
3
6
3
a
.
Câu 15: Trong không gian tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( ) ( ) ( )
22
2
: 2 1 9S x y z− + + + =
và mặt phẳng
( )
:2 2 3 0P x y z− − − =
. Biết mặt phẳng
( )
P
cắt
( )
S
theo giao tuyến là đường tròn
( )
C
. Tính
bán kính
r
của
( )
C
.
A.
2r =
. B.
2 2r =
. C.
2r =
. D.
5r =
.
Câu 16: Cho số phức
2021 2022zi=−
. Phần thực và phần ảo của
z
lần lượt là
A.
2021
và
2022
. B.
2022
và
2021
. C.
2022
và
2021−
. D.
2021
và
2022−
.
Câu 17: Một hình trụ có bán kính đáy bằng
5cm
, chiều cao
5cm
. Diện tích toàn phần của hình trụ đó
bằng
x
y
O
-1
1
Trang 97
A.
2
50cm
. B.
2
100cm
. C.
2
50 cm
. D.
2
100 cm
.
Câu 18: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
( ): 2 3 2 0P x y z− − + =
đi qua điểm nào dưới đây?
A. Điểm
( )
1;0;1N −
. B. Điểm
( )
2;1; 1P −−
. C. Điểm
( )
3;1;1Q
. D. Điểm
( )
1;1;2M
.
Câu 19: Cho hàm số
( )
y f x=
xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên sau:
Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là.
A.
(2; 2)−
. B.
(1;5)
. C.
( 2;2)−
. D. Không có điểm cực
đại.
Câu 20: Đồ thị hàm số
21
1
x
y
x
+
=
-
có:
A. Tiệm cận đứng là
1x =-
; tiệm cận ngang là
2y =-
.
B. Tiệm cận đứng là
1x =
; tiệm cận ngang là
2y =
.
C. Tiệm cận đứng là
1x =
; tiệm cận ngang là
2y =-
.
D. Tiệm cận đứng là
1x =-
; tiệm cận ngang là
2y =
.
Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình
( ) ( )
log 2 log 6xx+
là:
A.
( )
6;+
. B.
(0;6)
. C.
[0;6)
. D.
( )
;6−
.
Câu 22: Một giá sách có
4
quyển sách Toán và
5
quyển sách Văn. Số cách chọn ra
3
quyển sách từ
giá sách là
A.
3!
. B.
3
4
C
. C.
3
5
C
. D.
3
9
C
.
Câu 23: Nếu
( )
snd i
x
fCxx e x= + +
thì
( )
fx
bằng.
A.
cos
x
ex−
. B.
sin
x
ex+
. C.
sin
x
ex−
. D.
cos
x
ex+
.
Câu 24: Biết
( )
4
F x x=
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên
¡
. Giá trị của
( )
( )
2
1
6dx f x x
−
+
bằng
A.
78
5
. B.
24
. C.
123
5
. D.
33
.
Câu 25: Cho hàm số
( )
1
2fx
x
=−
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
( )
d ln 2f x x x x C= − + +
. B.
( )
d ln 2f x x x x C= − +
.
C.
( )
2
1
d2f x x x C
x
= − − +
. D.
( )
d ln 2f x x x x C= + +
.
Câu 26: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau:
Trang 98
.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
0;2
. B.
( )
1;3
. C.
( )
2;0−
. D.
( )
1; +
.
Câu 27: Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị như hình vẽ
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A.
1−
. B.
2−
. C.
2
. D.
1
.
Câu 28: Với
a
là số thực dương tùy ý,
5
3
25
log
a
bằng
A.
5
2
3log a
. B.
5
2 3log a−
. C.
5
25 3log a−
. D.
5
2 3log a+
.
Câu 29: Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi
2
( ):C y x x=−
và trục
Ox quanh trục Ox.
A.
6
V
=
. B.
2
V
=
. C.
4
V
=
. D.
3
V
=
.
Câu 30: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông tâm
O
cạnh bằng
a
và
( )
,3SA ABCD SA a⊥=
. Tính góc giữa hai mặt phẳng
( )
SAB
và
( )
SDC
.
A.
30
o
. B.
90
o
. C.
60
o
. D.
45
o
.
Câu 31: Cho hàm số
3
32y x x= − +
có đồ thị như đường cong trong hình bên. Tìm tất cả các giá trị của
tham số
m
để phương trình
3
3 2 0x x m− + − =
có ba nghiệm phân biệt.
A.
04m
. B.
4m
. C.
04m
. D.
0m
.
Câu 32: Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm
( ) ( )( )( )
2
1 2 4 .f x x x x
= − − −
Hàm số
( )
=y f x
đồng biến
trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
1;2 .
B.
( )
3;5
. C.
( )
1;4
. D.
( )
0;2
.
Trang 99
Câu 33: Một nhóm gồm
8
nam và
7
nữ. Chọn ngu nhiên
5
bạn. Xác suất để trong
5
bạn được chọn
có cả nam ln nữ mà nam nhiều hơn nữ là:
A.
60
143
. B.
238
429
. C.
210
429
. D.
82
143
.
Câu 34: Cho phương trình
( )
22
22
log log 4 5 0xx+ − =
. Đặt
2
logtx=
, phương trình đã cho trở thành
phương trình nào dưới đây?
A.
2
2 3 0tt+ − =
. B.
2
4 5 0tt+ − =
. C.
2
4 3 0tt+ − =
. D.
2
2 5 0tt+ − =
Câu 35: Xét các số phức
z
thỏa mãn
( )
( )
42z i z−+
là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm
biểu diễn của
z
là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm của đường tròn đó.
A.
( )
1; 2−−
. B.
( )
1;2−
. C.
( )
1;2
. D.
( )
1; 2−
.
Câu 36: Trong không gian
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
( )
1
: 1 0P x y z− − + =
và
( )
2
: 1 0Pz−=
. Viết
phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
1;0; 3A −
và song song với hai mặt phẳng trên.
A.
13
1 1 0
x y z++
==
. B.
11
1 0 3
x y z−−
==
. C.
13
1 1 0
x y z−−
==
. D.
11
1 0 3
x y z++
==
.
Câu 37: Trong không gian
,Oxyz
cho điểm
( )
1;4;6H
và đường thẳng
21
:.
1 2 2
x y z−−
= =
−
Hình chiếu
vuông góc của điểm
H
trên đường thẳng
có tọa độ là
A.
( )
2;1;0 .
B.
13 19 10
; ; .
9 9 9
−
C.
23 1 10
; ; .
9 9 9
−
D.
19 7 2
; ; .
9 9 9
Câu 38: Cho hình chóp
.S ABCD
có
( )
SA ABCD⊥
, đáy
ABCD
là hình chữ nhật, biết
2 , .AD a SA a==
Khoảng cách từ
A
đến
( )
SCD
bằng:
A.
3
7
a
. B.
32
2
a
. C.
23
3
a
. D.
2
5
a
.
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên
x
sao cho ứng với mỗi
x
có không quá
728
số nguyên
y
thỏa mãn
( )
( )
2
43
log logx y x y+ +
?
A.
115
. B.
58
. C.
59
. D.
116
.
Câu 40: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
R
thỏa
( ) ( )
4 2 3f x f x= − +
. Gọi
( )
Fx
là nguyên hàm của
( )
fx
trên
R
và thỏa mãn
( ) ( )
2424FF−=
. Khi đó
( )
5
1
dfxx
−
bằng
A.
10
. B.
12
. C.
10−
. D.
12−
.
Câu 41: Cho hàm số
()y f x=
xác định trên
R
và hàm số
()y f x
=
có đồ thị như hình bên dưới.
Đặt
( )
()g x f x m=+
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
()gx
có đúng 5
điểm cực trị?
A.
2
.
B. 3.
C.
4
. D. Vô số.
Trang 100
Câu 42: Xét các số phức
z
và
w
thỏa mãn
1zw==
,
2zw+=
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 ( ) 4P zw i z w= + + −
bằng
A.
32
2
. B.
1 5 2
4
+
. C.
5 2 2−
. D.
5
.
Câu 43: Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác cân tại
C
, cạnh đáy
AB
bằng
2a
và
ABC
bằng
30
. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
'CB
bằng
2
a
. Khi đó
thể tích của khối lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
là
A.
3
3
9
a
. B.
3
23
3
a
. C.
3
3a
. D.
3
3
3
a
.
Câu 44: Cho hàm số
( )
4 3 2
f x x bx cx dx e= + + + +
(
, , ,b c d e
) có các giá trị cực trị là
1,4
và
9
.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
( )
( )
( )
fx
gx
fx
=
và trục hoành bằng
A.
4.
B.
6.
C.
2.
D.
8.
Câu 45: Tổng các giá trị nguyên của tham số
a
để phương trình
( )
22
2 2 3 0z a z a a− + + + =
có hai
nghiệm phức
12
,zz
thỏa mãn
1 2 1 2
z z z z+ = −
?
A. 4. B.
3−
. C. 3. D.
4−
.
Câu 46: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 4 4 0S x y z x z+ + − + − =
và đường thẳng
11
:
1 2 5
x y z
d
−+
==
−−
. Viết phương trình mặt phẳng
( )
vuông góc với
d
và cắt mặt cầu
( )
S
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng
3
.
A.
( )
: 2 5 11 0x y z
− − + =
. B.
( )
: 2 5 11 0x y z
− − − =
.
C.
( )
: 3 0xz
− + =
. D.
( )
: 2 5 5 0x y z
− − + =
.
Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên không âm
( )
;xy
thoả mãn điều kiện
2 2 2 2
22
65
log 1 log
4 6 9 2 3 4
x y x y
x y x y
+ + + +
+
+ + + +
?
A.
43
. B.
49
. C.
42
. D.
45
.
Câu 48: Cho hình trụ
( )
có hai đáy là hai đường tròn có tâm
O
và
'O
, mặt phẳng
( )
đi qua
'O
và cắt
đường tròn tâm
O
tại hai điểm
,AB
sao cho tam giác
'O AB
là tam giác đều và có diện tích
2
3
4
a
. Biết góc giữa mp
( )
và mp
( )
OAB
bằng
0
60
, tính khoảng cách từ điểm
O
đến mặt
phẳng
( )
O AB
?
A.
3
8
a
B.
3
4
a
. C.
3
4
a
. D.
3
8
a
.
Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
0; 2;0A −
và
( )
3;4;5B
. Gọi
( )
P
là mặt
phẳng chứa giao tuyến của hai mặt cầu
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1
: 1 1 3 4S x y z− + + + − =
và
( )
2 2 2
2
: 2 6 7 0S x y z x z+ + − − + =
. Xét hai điểm
M
,
N
là hai điểm bất kì thuộc
( )
P
sao cho
1MN =
. Giá trị nhỏ nhất của
AM BN+
bằng
Trang 101
A.
72 2 34−
. B.
72 2 34−
. C.
72 2 34+
. D.
72 2 34+
.
Câu 50: Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số
23
16 32y mx mx x= − + −
nghịch biến trên
khoảng
( )
1;2
.
A.
12m−
. B.
20m−
. C.
m
. D.
m
.
---------- HẾT ----------
BẢNG ĐÁP ÁN
1.C
2.C
3.C
4.C
5.C
6.C
7.D
8.A
9.C
10.A
11.A
12.A
13.D
14.B
15.B
16.A
17.D
18.C
19.B
20.B
21.B
22.D
23.D
24.B
25.B
26.C
27.B
28.B
29.A
30.A
31.A
32.B
33.B
34.C
35.B
36.C
37.C
38.D
39.D
40.B
41.B
42.A
43.D
44.B
45.B
46.B
47.C
48.A
49.B
50.B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Điểm
M
trong hình vẽ bên dưới biểu thị cho số phức
A.
3 2 .i+
B.
2 3 .i−
C.
2 3 .i−+
D.
3 2 .i−
Lời giải
Điểm
( )
2;3M −
biểu thị cho số phức
2 3 .zi= − +
Câu 2: Trên khoảng
( )
0;+
, đạo hàm của hàm số
9
logyx=
là
A.
1
ln9
y
=
. B.
9
y
x
=
. C.
1
2 ln3
y
x
=
. D.
ln9
y
x
=
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
9
11
' log
ln9 2 ln3
yx
xx
= = =
Câu 3: Trên khoảng
( )
0;+
, đạo hàm của hàm số
3
7
yx=
là
A.
4
7
3
7
yx
=
. B.
4
7
7
3
yx
−
=
. C.
4
7
3
7
yx
−
=
. D.
4
7
3
7
y
x
=
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
3 3 4
1
7 7 7
33
..
77
y x x x
−−
= = =
.
Câu 4: Bất phương trình
2
1
4
2
x+
có bao nhiêu nghiệm nguyên âm?
A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.
x
y
2
M
3
O
Trang 102
Lời giải
Chọn C
Ta có
2 2 2
1 1 1
44
2 2 2
xx
x
+ + −
−
Bất phương trình có 3 nghiệm nguyên âm.
Câu 5: Cho cấp số nhân
( )
n
u
có
23
3, 6uu==
. Số hạng đầu
1
u
là
A.
2
. B.
1
. C.
3
2
. D.
0
.
Lời giải
Ta có công bội
3
2
6
2
3
u
q
u
= = =
. Suy ra
2
1
3
2
u
u
q
==
.
Câu 6: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
P
có phương trình
1
2 3 1
x y z
+ + =
-
.
Véc-tơ nào sau đây là véc-tơ pháp tuyến của
( )
P
A.
( )
2; 3;1n =-
r
. B.
( )
1; 3;2n =-
r
. C.
( )
3; 2;6n =-
r
. D.
( )
3;2;6n =-
r
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
1 3 2 6 6 3 2 6 6 0
2 3 1
x y z
x y z x y z+ + = Û - + = Û - + - =
-
.
Vậy véc-tơ pháp tuyến của
( )
P
là
( )
3; 2;6n =-
r
Câu 7: Cho hàm số
( )
23
, , ,y ax bx cx d a b c d= + + + R
có đồ thị như hình vẽ bên. Số giao điểm của
đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Chọn D
Từ đồ thị, ta dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Nên ta có 3 giao điểm.
Câu 8: Cho
4
0
( ) 4f x dx =
và
2
1
( ) 3f x dx =
. Tính tích phân
( ) ( )
14
02
I f x dx f x dx=+
A.
1I =
. B.
2I =
. C.
3I =
. D.
4I =
.
Lời giải
( ) ( ) ( ) ( )
1 4 4 2
0 2 0 1
4 3 1I f x dx f x dx f x dx f x dx= + = − = − =
Câu 9: Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào?
O
x
2−
1−
1−
y
3
2
1
1
Trang 103
A.
1
x
y
x
−
=
−
. B.
21
22
x
y
x
+
=
−
. C.
1
1
x
y
x
+
=
−
. D.
1
1
x
y
x
−
=
+
.
Lời giải
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
1x =
nên loại đáp án. D.
Đồ thị hàm số đi qua điểm
( )
0; 1A −
nên loại đáp án A,. B.
Vậy đường cong trong hình đã cho là đồ thị của hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
.
Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
cho hai điểm
( )
6;2; 5M −
,
( )
4;0;7N −
. Viết
phương trình mặt cầu đường kính
MN
?
A.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 62x y z− + − + − =
. B.
( ) ( ) ( )
2 2 2
5 1 6 62x y z− + − + + =
.
C.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 62x y z+ + + + + =
. D.
( ) ( ) ( )
2 2 2
5 1 6 62x y z+ + + + − =
.
Lời giải
Tâm của mặt cầu là trung điểm
I
của
MN
, ta có.
Bán kính mặt cầu:
62r IM==
.
Phương trình mặt cầu là
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 62x y z− + − + − =
.
Câu 11: Trong không gian
,Oxyz
cho hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
lần lượt có hai vectơ pháp tuyến là
P
n
và
Q
n
. Biết cosin góc giữa hai vectơ
P
n
và
Q
n
bằng
3
.
3
−
Cosin góc giữa hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
bằng.
A.
3
.
3
B.
3
.
3
−
C.
6
.
3
D.
6
.
3
−
Lời giải
Chọn A
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
33
cos ; cos ; .
33
PQ
P Q n n= = − =
Câu 12: Cho số phức
23zi=+
, tổng phần thực và phần ảo của số phức
2
z
bằng
A.
7
. B.
12
. C.
5−
. D.
6
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
2
2
2 3 5 12z i i= + = − +
nên tổng phần thực và phần ảo bằng
5 12 7− + =
.
Câu 13: Cho lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng
3a
. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
x
y
O
-1
1
Trang 104
A.
3
93
2
a
. B.
3
93
4
a
. C.
3
27 3
2
a
. D.
3
27 3
4
a
.
Lời giải
Diện tích đáy của hình lăng trụ là:
( )
2
2
3 9 3
3.
44
a
Ba==
.
Chiều cao của hình lăng trụ là:
3ha=
.
Thể tích khối lăng trụ là:
23
9 3 27 3
. .3
44
aa
V B h a= = =
.
Câu 14: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác đều cạnh
a
, cạnh bên
SA
vuông góc với mặt phẳng
đáy và
2SA a=
. Thể tích của khối chóp
.S ABC
bằng
A.
3
2a
. B.
3
6
12
a
. C.
3
6
4
a
. D.
3
6
3
a
.
Lời giải
Diện tích của tam giác
ABC
đều cạnh
a
là:
2
3
4
ABC
a
S
=
.
Ta có,
( )
SA ABC⊥
SA
là đường cao của hình chóp
Thể tích của khối chóp
.S ABC
là:
23
.
1 1 3 6
. . . . 2
3 3 4 12
S ABC ABC
aa
V S SA a
= = =
.
Câu 15: Trong không gian tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( ) ( ) ( )
22
2
: 2 1 9S x y z− + + + =
và mặt phẳng
( )
:2 2 3 0P x y z− − − =
. Biết mặt phẳng
( )
P
cắt
( )
S
theo giao tuyến là đường tròn
( )
C
. Tính
bán kính
r
của
( )
C
.
A.
2r =
. B.
2 2r =
. C.
2r =
. D.
5r =
.
Lời giải
Ta có mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
2;0; 1I −
và bán kính
3R =
.
H
B
A
P
r
h
R
I
Trang 105
Khoảng cách từ
I
đến mặt phẳng
( )
P
là
( )
( )
( ) ( )
22
2
2.2 0 2 1 3
,( ) 1
2 1 2
h d I P
− − − −
= = =
+ − + −
Bán kính đường tròn giao tuyến là
2 2 2 2
3 1 2 2r R h= − = − =
.
Câu 16: Cho số phức
2021 2022zi=−
. Phần thực và phần ảo của
z
lần lượt là
A.
2021
và
2022
. B.
2022
và
2021
. C.
2022
và
2021−
. D.
2021
và
2022−
.
Lời giải
Dễ thấy
2021 2022 2021 2022z i z i= − = +
.
Câu 17: Một hình trụ có bán kính đáy bằng
5cm
, chiều cao
5cm
. Diện tích toàn phần của hình trụ đó
bằng
A.
2
50cm
. B.
2
100cm
. C.
2
50 cm
. D.
2
100 cm
.
Lời giải
Diện tích toàn phần của hình trụ:
22
2. 2 2 100= + = + =
tp xq d
S S S rh r cm
.
Câu 18: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
( ): 2 3 2 0P x y z− − + =
đi qua điểm nào dưới đây?
A. Điểm
( )
1;0;1N −
. B. Điểm
( )
2;1; 1P −−
. C. Điểm
( )
3;1;1Q
. D. Điểm
( )
1;1;2M
.
Lời giải
+ Thay tọa độ điểm
( )
1;0;1N −
vào phương trình mặt phẳng
( ): 2 3 2 0P x y z− − + =
ta có kết
quả:
20−=
Vậy
()NP
.
+ Thay tọa độ điểm
( )
2;1; 1P −−
vào phương trình mặt phẳng
( ): 2 3 2 0P x y z− − + =
ta có kết
quả:
10=
Vậy
()PP
.
+ Thay tọa độ điểm
( )
3;1;1Q
vào phương trình mặt phẳng
( ): 2 3 2 0P x y z− − + =
ta có kết
quả:
3 2 3 2 0− − + =
Vậy
()QP
.
Câu 19: Cho hàm số
( )
y f x=
xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên sau:
Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là.
A.
(2; 2)−
. B.
(1;5)
. C.
( 2;2)−
. D. Không có điểm cực
đại.
Lời giải
Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số có điểm cực đại
(1;5)
.
Câu 20: Đồ thị hàm số
21
1
x
y
x
+
=
-
có:
A. Tiệm cận đứng là
1x =-
; tiệm cận ngang là
2y =-
.
B. Tiệm cận đứng là
1x =
; tiệm cận ngang là
2y =
.
C. Tiệm cận đứng là
1x =
; tiệm cận ngang là
2y =-
.
Trang 106
D. Tiệm cận đứng là
1x =-
; tiệm cận ngang là
2y =
.
Lời giải
Chọn B
Vì
11
lim ,lim
xx
yy
−+
→→
= − = +
nên có tiệm cận đứng là
1x =
;
Vì
lim 2, lim 2
xx
yy
→− →+
==
nên có tiệm cận ngang là
2y =
.
Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình
( ) ( )
log 2 log 6xx+
là:
A.
( )
6;+
. B.
(0;6)
. C.
[0;6)
. D.
( )
;6−
.
Lời giải
Điều kiện xác định:
0.x
Bất phương trình
2 6 6x x x +
. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
( )
0;6
Câu 22: Một giá sách có
4
quyển sách Toán và
5
quyển sách Văn. Số cách chọn ra
3
quyển sách từ
giá sách là
A.
3!
. B.
3
4
C
. C.
3
5
C
. D.
3
9
C
.
Lời giải
Tổng số sách trên giá sách là
9
quyển.
Số cách chọn ra
3
quyển sách từ 9 quyển sách trên giá sách là số tổ hợp chập 3 của 9 phần tử
nên có
3
9
C
cách.
Câu 23: Nếu
( )
snd i
x
fCxx e x= + +
thì
( )
fx
bằng.
A.
cos
x
ex−
. B.
sin
x
ex+
. C.
sin
x
ex−
. D.
cos
x
ex+
.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
sin cos
xx
f x e x C e x
= + + = +
.
Câu 24: Biết
( )
4
F x x=
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên
¡
. Giá trị của
( )
( )
2
1
6dx f x x
−
+
bằng
A.
78
5
. B.
24
. C.
123
5
. D.
33
.
Lời giải
Ta có
( )
( )
( )
2
2
24
1
1
6 d 3 12 16 3 1 24x f x x x x
−
−
+ = + = + − − =
.
Câu 25: Cho hàm số
( )
1
2fx
x
=−
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
( )
d ln 2f x x x x C= − + +
. B.
( )
d ln 2f x x x x C= − +
.
C.
( )
2
1
d2f x x x C
x
= − − +
. D.
( )
d ln 2f x x x x C= + +
.
Lời giải
Ta có:
1
2 d ln 2x x x C
x
− = − +
.
Câu 26: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau:
Trang 107
.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
0;2
. B.
( )
1;3
. C.
( )
2;0−
. D.
( )
1; +
.
Lời giải
Dựa vào BBT ta có hàm số đồng biến trên
( )
2;0−
và
( )
2;+
.
Câu 27: Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị như hình vẽ
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A.
1−
. B.
2−
. C.
2
. D.
1
.
Lời giải
Từ đồ thị có giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
2−
.
Câu 28: Với
a
là số thực dương tùy ý,
5
3
25
log
a
bằng
A.
5
2
3log a
. B.
5
2 3log a−
. C.
5
25 3log a−
. D.
5
2 3log a+
.
Lời giải
Áp dụng công thức ta có:
55
3
55
3
25
log log lo o25 2 3g l gaa
a
= =−
−
.
Câu 29: Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi
2
( ):C y x x=−
và trục
Ox quanh trục Ox.
A.
6
V
=
. B.
2
V
=
. C.
4
V
=
. D.
3
V
=
.
Lời giải:
Điều kiện xác định:
2
0 0 1.x x x−
Phương trình hoành độ giao điểm:
2
0
0
1
x
xx
x
=
− =
=
.
Thể tích:
(
)
( )
1 1 1
23
2
2 2 2
0 0 0
1
0
2 3 6
xx
V y dx x x dx x x dx
= = − = − = − =
.
Câu 30: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông tâm
O
cạnh bằng
a
và
( )
,3SA ABCD SA a⊥=
. Tính góc giữa hai mặt phẳng
( )
SAB
và
( )
SDC
.
A.
30
o
. B.
90
o
. C.
60
o
. D.
45
o
.
Lời giải
Trang 108
Chọn A
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
,,
,,
,
SAB SAD AB SAB AB SA AB AD
SDC SAD DC SDC DC SA DC AD
SAB SAD SA
SDC SAD SD
SAB SDC ASD
⊥ ⊥ ⊥
⊥ ⊥ ⊥
=
=
=
Trong
SAD
vuông tại
A
có:
1
tan 30
33
o
AD a
ASD ASD
AS
a
= = = =
.
Vậy
( ) ( )
( )
, 30
o
SAB SDC =
.
Câu 31: Cho hàm số
3
32y x x= − +
có đồ thị như đường cong trong hình bên. Tìm tất cả các giá trị của
tham số
m
để phương trình
3
3 2 0x x m− + − =
có ba nghiệm phân biệt.
A.
04m
. B.
4m
. C.
04m
. D.
0m
.
Lời giải
Phương trình
33
3 2 0 3 2x x m x x m− + − = − + =
.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số
3
32y x x= − +
và đường thẳng
ym=
Trang 109
Từ đồ thị suy ra, phương trình có ba nghiệm phân biệt
04m
.
Câu 32: Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm
( ) ( )( )( )
2
1 2 4 .f x x x x
= − − −
Hàm số
( )
=y f x
đồng biến
trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
1;2 .
B.
( )
3;5
. C.
( )
1;4
. D.
( )
0;2
.
Lời giải
Ta có
( ) ( )( )( )
2
1
0 1 2 4 0 2
4
x
f x x x x x
x
=
= − − − = =
=
Bảng xét dấu đạo hàm
Hàm số đồng biến trên khoảng
( ) ( )
;1 ; 2; .− +
Câu 33: Một nhóm gồm
8
nam và
7
nữ. Chọn ngu nhiên
5
bạn. Xác suất để trong
5
bạn được chọn
có cả nam ln nữ mà nam nhiều hơn nữ là:
A.
60
143
. B.
238
429
. C.
210
429
. D.
82
143
.
Lời giải
Gọi A là biến cố: “
5
bạn được chọn có cả nam ln nữ mà nam nhiều hơn nữ “
-Không gian mu:
5
15
C=
.
-Số cách chọn
5
bạn trong đó có
4
nam,
1
nữ là:
41
87
..CC
- Số cách chọn
5
bạn trong đó có
3
nam,
2
nữ là:
32
87
..CC
( )
4 1 3 2
8 7 8 7
. . 1666n A C C C C = + =
( )
( )
5
15
1666 238
429
nA
PA
C
= = =
.
Câu 34: Cho phương trình
( )
22
22
log log 4 5 0xx+ − =
. Đặt
2
logtx=
, phương trình đã cho trở thành
phương trình nào dưới đây?
A.
2
2 3 0tt+ − =
. B.
2
4 5 0tt+ − =
. C.
2
4 3 0tt+ − =
. D.
2
2 5 0tt+ − =
Lời giải
Điều kiện:
0x
.
Ta có:
( )
22
22
log log 4 5 0xx+ − =
( ) ( )
2
2 2 2
2log log 4 log 5 0xx + + − =
22
2 2 2 2 2
4log log 4 log 5 0 4log log 3 0x x x x + + − = + − =
.
Đặt
2
logtx=
, phương trình đã cho trở thành
2
4 3 0tt+ − =
.
Trang 110
Câu 35: Xét các số phức
z
thỏa mãn
( )
( )
42z i z−+
là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm
biểu diễn của
z
là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm của đường tròn đó.
A.
( )
1; 2−−
. B.
( )
1;2−
. C.
( )
1;2
. D.
( )
1; 2−
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
z x yi=+
với
,xy
và
( )
;M x y
là điểm biểu diễn của số phức
z
.
Ta có
( )( ) ( )
22
4 2 2 4 2 4 8z i z x y x y y x i− + = + + − + − −
.
( )
( )
42z i z−+
là số thuần ảo
22
2 4 0x y x y + + − =
( ) ( )
22
1 2 5xy + + − =
.
Tập hợp các điểm biễn diễn của số phức
z
là mộ đường tròn có tâm
( )
1;2I −
,bán kính
5R =
.
Câu 36: Trong không gian
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
( )
1
: 1 0P x y z− − + =
và
( )
2
: 1 0Pz−=
. Viết
phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
1;0; 3A −
và song song với hai mặt phẳng trên.
A.
13
1 1 0
x y z++
==
. B.
11
1 0 3
x y z−−
==
. C.
13
1 1 0
x y z−−
==
. D.
11
1 0 3
x y z++
==
.
Lời giải
Véc tơ pháp tuyến
( ) ( )
11
: 1; 1; 1Pn= − −
; véc tơ pháp tuyến
( ) ( )
21
: 0;0;1Pn=
.
Véc tơ chỉ phương đường thẳng
( )
12
: , 1; 1;0d u n n
= = − −
.
Đường thẳng
d
đi qua
( )
1;0;3A
, véc tơ chỉ phương
( )
1;1;0
có phương trình:
13
1 1 0
x y z−−
==
.
Câu 37: Trong không gian
,Oxyz
cho điểm
( )
1;4;6H
và đường thẳng
21
:.
1 2 2
x y z−−
= =
−
Hình chiếu
vuông góc của điểm
H
trên đường thẳng
có tọa độ là
A.
( )
2;1;0 .
B.
13 19 10
; ; .
9 9 9
−
C.
23 1 10
; ; .
9 9 9
−
D.
19 7 2
; ; .
9 9 9
Lời giải
Gọi
( )
P
là mặt phẳng đi qua
H
và vuông góc với
tại điểm
.A
Khi đó
A
là hình chiếu của
H
trên
( )
.P
Ta có
( )
P
đi qua
H
và nhận
( )
1; 2;2u =−
làm VTPT
Phương trình của mặt phẳng
( ) ( ) ( ) ( )
:1 1 2 4 2 6 0 2 2 5 0.P x y z x y z− − − + − = − + − =
Lại có
2
: 1 2
2
xt
yt
zt
=+
= −
=
.
Khi đó tọa độ điểm
A
thỏa mãn hệ
23
2
9
12
1
2
9
10
2 2 5 0
9
x
xt
yt
y
zt
x y z
z
=
=+
=−
−
=
=
− + − =
=
Trang 111
23 1 10
; ; .
9 9 9
A
−
Câu 38: Cho hình chóp
.S ABCD
có
( )
SA ABCD⊥
, đáy
ABCD
là hình chữ nhật, biết
2 , .AD a SA a==
Khoảng cách từ
A
đến
( )
SCD
bằng:
A.
3
7
a
. B.
32
2
a
. C.
23
3
a
. D.
2
5
a
.
Lời giải
Gọi
H
là hình chiếu của
A
lên cạnh
SD
. Ta có:
( )
CD AD
CD SAD CD AH
CD SA
⊥
⊥ ⊥
⊥
Suy ra:
( )
AH SD
AH SCD
AH CD
⊥
⊥
⊥
. Khoảng cách từ
A
đến đến
( )
SCD
bằng
AH
.
Ta có:
( )
2 2 2
2
. .2 2
5
2
AS AD a a a
AH
AS AD
aa
= = =
+
+
.
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên
x
sao cho ứng với mỗi
x
có không quá
728
số nguyên
y
thỏa mãn
( )
( )
2
43
log logx y x y+ +
?
A.
115
. B.
58
. C.
59
. D.
116
.
Lời giải
Chọn D
Điều kiện
2
0
0
,
xy
xy
xy
+
+
.
Khi đó
( )
( )
2
43
log logx y x y+ +
( )
3
log
2
4
xy
xy
+
+
( )
3
log 4
2
x y x y + +
( ) ( )
3
log 4
2
x y x y x y − + − +
.
( )
1
Đặt
1t x y t= +
thì
( )
1
được viết lại là
3
log 4
2
x y t t− −
( )
2
Với mỗi
x
nguyên cho trước có không quá
728
số nguyên
y
thỏa mãn bất phương trình
( )
1
Tương đương với bất phương trình
( )
2
có không quá
728
nghiệm
t
.
Nhận thấy
( )
3
log 4
f t t t=−
đồng biến trên
)
1;+
nên nếu
3
log 4
2
729 729 3367xy− − =
thì sẽ
có ít nhất
729
nghiệm nguyên
1t
.
Do đó yêu cầu bài toán tương đương với
2
3367 57 58x x x− −
.
Mà
x
nguyên nên
x
nhận các giá trị
57, 56,...,57,58−−
.
Trang 112
Vậy có tất cả
116
số nguyên
x
thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 40: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
R
thỏa
( ) ( )
4 2 3f x f x= − +
. Gọi
( )
Fx
là nguyên hàm của
( )
fx
trên
R
và thỏa mãn
( ) ( )
2424FF−=
. Khi đó
( )
5
1
dfxx
−
bằng
A.
10
. B.
12
. C.
10−
. D.
12−
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
4 2 3 4 2 3ddf x f x f x fxxx= − + − +=
( ) ( )
2 2 3F x F x C = − − + +
Từ đó có:
( ) ( )
( ) ( )
2 2 1
4 2 5
F F C
F F C
= − +
= − +
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 4 2 5 1F F F F − = −
( ) ( )
5 1 12FF − =
Vậy
( ) ( ) ( ) ( )
5
5
1
1
5 1 12df xx F x F F= = − =
.
Câu 41: Cho hàm số
()y f x=
xác định trên
R
và hàm số
()y f x
=
có đồ thị như hình bên dưới.
Đặt
( )
()g x f x m=+
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
()gx
có đúng 5
điểm cực trị?
A.
2
.
B. 3.
C.
4
. D. Vô số.
Lời giải
Từ đồ thị
()fx
ta có
2
( ) 0 1
2
x
f x x
x
=−
= =
=
.
Suy ra bảng biến thiên của
()fx
Yêu cầu bài toán
hàm số
()f x m+
có 2 điểm cực trị dương.
Từ bảng biến thiên của
()fx
, suy ra
()f x m+
luôn có 2 điểm cực trị dương
tịnh tiến đồ thị
()fx
phải thỏa mãn:
Hoặc tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị
01m
.
Hoặc tịnh tiến sang phải không vượt quá 2 đơn vị
2m −
.
Suy ra
21m−
, mà
m
nên
{ 2; 1;0}m − −
.
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số
m
thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 42: Xét các số phức
z
và
w
thỏa mãn
1zw==
,
2zw+=
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 ( ) 4P zw i z w= + + −
bằng
Trang 113
A.
32
2
. B.
1 5 2
4
+
. C.
5 2 2−
. D.
5
.
Lời giải
Ta có
2zw+=
2
2 zw = +
( )
( )
z w z w= + +
22
z w zw zw= + + +
0zw zw + =
zw
là số thuần ảo. Hay
zw ki=
,
k
. Do đó,
ki
z
w
=
.
Mặt khác,
2zw+=
2
ki
w
w
+ =
2ki ww w + =
12ki + =
2
12k + =
1k =
.
Vậy
i
z
w
=
. Do vai trò bình đẳng của
z
và
w
nên ta chỉ cần xét trường hợp
i
z
w
=
.
Khi đó
2 2 2
(2 2) 4 (2 2 ) 4 ( 1 ) 2P iw i w w i w i w i i= + − − = + + + = + + +
.
Đặt
1 1 | | | 1 | 1u w i w u i w u i= + + = − − = − − =
và
0
1zi= − −
.
Ta có
22
2 2 2 2
0
2P u i u z= + = +
( )( )
2 2 2 2
00
u z u z= + +
( )
2
42
4
0 0 0 0
| | 2 .u z u z z u u z= + + + −
( )
2
42
00
| | 4 | | 4 .u u u z z u= − + + +
.
Mà
( )
( )
2
0 0 0
1u z u z u z+ + = + =
2
22
0 0 0
1 | | | | 1u z z u u z u + = − − = − −
.
Suy ra
( )
2
2 4 2 2
| | 4| | 4 | | 1P u u u= − + + +
42
2| | 2| | 5uu= − +
2
2
1 9 9
2 | |
2 2 2
u
= − +
32
2
P
.
Câu 43: Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác cân tại
C
, cạnh đáy
AB
bằng
2a
và
ABC
bằng
30
. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
'CB
bằng
2
a
. Khi đó
thể tích của khối lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
là
A.
3
3
9
a
. B.
3
23
3
a
. C.
3
3a
. D.
3
3
3
a
.
Lời giải
Trang 114
Gọi
M
,
N
lần lượt là trung điểm của
AB
và
''AB
. Kẻ
( ).MH CN H CN⊥
Tam giác
CAB
cân tại
C
suy ra
AB CM⊥
.
Mặt khác
AB CC
⊥
( ') ' ' ( ')AB CMNC A B CMNC ⊥ ⊥
''A B MH⊥
Như vậy
( ' ').
''
MH CN
MH CA B
MH A B
⊥
⊥
⊥
Ta có:
( )
//( ) ( , ) ,( ) ( ,( ) .AB CA B d AB CB d AB CA B d M CA B MH
= = =
Tam giác
BMC
vuông tại
M
, suy ra
0
.tan30
3
a
CM BM==
Tam giác
CMN
vuông tại
M
, có
MH
là đường cao
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 3 1
MN a
MH MC MN a a MN
= + = + =
Từ đó
3
. ' ' '
13
. .2 . . .
23
3
ABC A B C ABC
aa
V S MN a a= = =
Câu 44: Cho hàm số
( )
4 3 2
f x x bx cx dx e= + + + +
(
, , ,b c d e
) có các giá trị cực trị là
1,4
và
9
.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
( )
( )
( )
fx
gx
fx
=
và trục hoành bằng
A.
4.
B.
6.
C.
2.
D.
8.
Lời giải
+) Gọi
1 2 3
x x x
là ba điểm cực trị của hàm số
( )
fx
. Ta có bảng biến thiên:
+) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
( )
gx
và trục hoành là:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0 ( 1,2,3)
0
0 (TM)
0
i
i
f x x x i
fx
gx
fx
fx
fx
= = =
= =
N
M
A'
B'
C
A
B
C'
H
Trang 115
+) Diện tích cần tìm là
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
2
23
12
12
213
d d 2 2 4 2 2 6.
x
x
xx
xx
xx
f x f x
S x x f x f x f x f x f x
f x f x
= − = − = − − =
Câu 45: Tổng các giá trị nguyên của tham số
a
để phương trình
( )
22
2 2 3 0z a z a a− + + + =
có hai
nghiệm phức
12
,zz
thỏa mãn
1 2 1 2
z z z z+ = −
?
A. 4. B.
3−
. C. 3. D.
4−
.
Lời giải
Theo định lý Viet ta có:
( )
12
2
12
22
.3
z z a
z z a a
+ = +
=+
Mặt khác:
( ) ( )
22
1 2 1 2 1 2 1 2
z z z z z z z z+ = − + = −
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
2
1 2 1 2 1 2
4 4 2 4 2 4 3z z z z z z a a a a + = + − + = + − +
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
22
2
2
2 2 2
2
2 2 3
3 0 0
3
5 8 0
2 2 3
a a a a
a a a
a
aa
a a a a
+ = + − +
+ = =
=−
+ + =
+ = − + + +
.
Vậy tổng các giá trị nguyên của
a
bằng
3−
.
Câu 46: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 4 4 0S x y z x z+ + − + − =
và đường thẳng
11
:
1 2 5
x y z
d
−+
==
−−
. Viết phương trình mặt phẳng
( )
vuông góc với
d
và cắt mặt cầu
( )
S
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng
3
.
A.
( )
: 2 5 11 0x y z
− − + =
. B.
( )
: 2 5 11 0x y z
− − − =
.
C.
( )
: 3 0xz
− + =
. D.
( )
: 2 5 5 0x y z
− − + =
.
Lời giải
Đường thẳng
d
có vectơ chỉ phương
( )
1; 2; 5u = − −
.
Vì
( )
vuông góc với
d
nên
( )
nhận
( )
1; 2; 5u = − −
làm vectơ pháp tuyến.
Mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
1;0; 2I −
và bán kính
3R =
.
Do mặt phẳng
( )
cắt mặt cầu
( )
S
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng
3rR==
nên
( )
đi qua điểm
I
.
Suy ra phương trình mặt phẳng
( )
:
( ) ( ) ( )
1 1 2 0 5 2 0x y z− − − − + =
2 5 11 0x y z − − − =
.
Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên không âm
( )
;xy
thoả mãn điều kiện
2 2 2 2
22
65
log 1 log
4 6 9 2 3 4
x y x y
x y x y
+ + + +
+
+ + + +
?
A.
43
. B.
49
. C.
42
. D.
45
.
Lời giải
Chọn C
Với
,0xy
. Ta có
2 2 2 2
22
65
log 1 log
4 6 9 2 3 4
x y x y
x y x y
+ + + +
+
+ + + +
2 2 2 2
22
65
log log 1
4 6 9 2 3 4
x y x y
x y x y
+ + + +
−
+ + + +
2 2 2 2
22
65
log log
4 6 9 4 6 8
x y x y
x y x y
+ + + +
+ + + +
Trang 116
2 2 2 2
65
4 6 9 4 6 8
x y x y
x y x y
+ + + +
+ + + +
.
Đặt
( )
22
5; 4 6 8 , 0a x y b x y a b= + + = + +
.
Suy ra
1
1
a
bb
a+
+
( ) ( )
1 . 1a b a b + +
ba
.
Do đó
( ) ( )
22
22
4 6 8 5 2 3 16x y x y x y+ + + + − + −
.
Suy ra
4 2 4 2 6xx− − −
; mà
0x
và
x
nên ta có có các trường hợp sau
Trường hợp 1:
( )
2
0 3 12 3 2 2 3 2 3x y y= − − +
.
Do
0y
và
y
nên
0;1;2;3;4;5;6y
.
Suy ra có 7 cặp
( )
;xy
thoả mãn.
Trường hợp 2:
( )
2
1 3 15 3 15 3 15x y y= − − +
.
Do
0y
và
y
nên
0;1;2;3;4;5;6y
.
Suy ra có 7 cặp
( )
;xy
thoả mãn.
Trường hợp 3:
( )
2
2 3 16 1 7x y y= − −
.
Do
0y
và
y
nên
0;1;2;3;4;5;6;7y
.
Suy ra có 8 cặp
( )
;xy
thoả mãn.
Trường hợp 4:
( )
2
3 3 15 3 15 3 15x y y= − − +
.
Do
0y
và
y
nên
0;1;2;3;4;5;6y
.
Suy ra có 7 cặp
( )
;xy
thoả mãn.
Trường hợp 5:
( )
2
4 3 15 3 2 3 3 2 3x y y= − − +
.
Do
0y
và
y
nên
0;1;2;3;4;5;6y
.
Suy ra có 7 cặp
( )
;xy
thoả mãn.
Trường hợp 6:
( )
2
5 3 7 3 7 3 7x y y= − − +
.
Do
0y
và
y
nên
1;2;3;4;5y
.
Suy ra có 5 cặp
( )
;xy
thoả mãn.
Trường hợp 7:
( )
2
6 3 0 3x y y= − =
.
Suy ra có 1 cặp
( )
;xy
thoả mãn.
Vậy có tất cả 42 cặp số nguyên không âm
( )
;xy
thoả mãn điều kiện bài toán.
Câu 48: Cho hình trụ
( )
có hai đáy là hai đường tròn có tâm
O
và
'O
, mặt phẳng
( )
đi qua
'O
và cắt
đường tròn tâm
O
tại hai điểm
,AB
sao cho tam giác
'O AB
là tam giác đều và có diện tích
2
3
4
a
. Biết góc giữa mp
( )
và mp
( )
OAB
bằng
0
60
, tính khoảng cách từ điểm
O
đến mặt
phẳng
( )
O AB
?
A.
3
8
a
B.
3
4
a
. C.
3
4
a
. D.
3
8
a
.
Lời giải
Chọn A
Trang 117
'O AB
là tam giác đều và có diện tích
2
3
4
a
''AO AB BO a = = =
.
Gọi
I
là trung điểm
AB
,
3
'
2
a
IO =
. Ta có:
( ) ( )
( )
0
'
, ' 60
IO AB
OAB OIO
IO AB
⊥
= =
⊥
.
0
3
' '.sin60
4
a
OO IO==
;
22
AB a
IA ==
;
0
3
'.cos60
4
a
OI IO==
;
Gọi
d
là khoảng cách từ điểm
O
đến mặt phẳng
( )
O AB
Ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 16 16 64
9 3 9d OO OI a a a
= + = + =
3
8
a
d=
.
Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
0; 2;0A −
và
( )
3;4;5B
. Gọi
( )
P
là mặt
phẳng chứa giao tuyến của hai mặt cầu
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1
: 1 1 3 4S x y z− + + + − =
và
( )
2 2 2
2
: 2 6 7 0S x y z x z+ + − − + =
. Xét hai điểm
M
,
N
là hai điểm bất kì thuộc
( )
P
sao cho
1MN =
. Giá trị nhỏ nhất của
AM BN+
bằng
A.
72 2 34−
. B.
72 2 34−
. C.
72 2 34+
. D.
72 2 34+
.
Lời giải
Chọn B
Mặt phẳng
( )
P
là giao tuyến của hai mặt cầu
( )
1
S
và
( )
2
S
nên ta có hệ:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 1 3 4
2 6 7 0
x y z
x y z x z
− + + + − =
+ + − − + =
20y=
( ) ( )
P Ozx
.
Gọi
( )
0;0;0C
và
( )
3;0;5D
lần lượt là hình chiếu của
A
và
B
lên
( )
Ozx
. Khi đó
2AC =
,
4BD =
,
34CD =
.
Trang 118
Ta có:
2 2 2 2
AM BN AC CM BD DN+ = + + +
( ) ( )
22
AC BD CM DN + + +
Mặt khác:
CM DN MN CD+ +
34 1CM DN + −
.
Suy ra
( )
( )
2
2
36 36 34 1AM BN CM DN+ + + + −
Vậy
AM BN+
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
72 2 34−
, dấu
""=
xảy ra khi
, , ,C M N D
thẳng
hàng.
Câu 50: Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số
23
16 32y mx mx x= − + −
nghịch biến trên
khoảng
( )
1;2
.
A.
12m−
. B.
20m−
. C.
m
. D.
m
.
Lời giải
Đặt
( )
3 2
16 32f x mx mx x= − + −
( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
f x f x
y f x
f x f x
==
−
vôùi
vôùi
( ) ( )
( ) ( )
0
0
f x f x
y
f x f x
=
−
vôùi
vôùi
Trường hợp 1.
( ) ( )
( )
0 1;2
20
f x x
f
( )
2
3 2 16 0 1;2
8 4 0
mx mx x
mm
− +
−
( )
( )
2
3 2 16 1;2
0
m x x x
m
− −
2
16
32
0
m
xx
m
−
−
16
0
m
m
−
m
.
Trường hợp 2.
( ) ( )
( )
0 1;2
20
f x x
f
( )
2
3 2 16 0 1;2
8 4 0
mx mx x
mm
− +
−
( )
2
16
1;2
32
0
mx
xx
m
−
−
2
0
m
m
−
20m −
.
Vậy với
20m−
hàm số
23
16 32y mx mx x= − + −
nghịch biến trên khoảng
( )
1;2
.
---------- HẾT ----------
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2024
ĐỀ 6
Bài thi: TOÁN
Câu 1: Điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức
75zi=+
là:
A.
( )
5;7
. B.
( )
5; 7−
. C.
( )
7;5
. D.
( )
7; 5−
.
Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số
( )
2
log 2 1yx=+
?
A.
( )
1
'
2 1 ln2
y
x
=
+
. B.
( )
2
'
2 1 ln2
y
x
=
+
. C.
2
'
21
y
x
=
+
. D.
1
'
21
y
x
=
+
.
Trang 119
Câu 3: Tập xác định của hàm số
( )
2023
2
4yx
−
=−
là
A. . B.
( ) ( )
; 2 2;− − +
. C.
\2
. D.
\ 2;2−
.
Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình
39
x
là
A.
)
2;+
. B.
( )
2;+
. C.
( )
;2−
. D.
(
;2−
.
Câu 5: Cho cấp số cộng
( )
n
u
có
1
3u =
và
4
9u =
. Giá trị của
10
u
bằng
A.
18
. B.
19
. C.
20
. D.
21
.
Câu 6: Trong không gian
Oxyz
mặt phẳng
( ): 1
2 2 1
x y z
P + + =
−
, có một véc-tơ pháp tuyến là?
A.
3
(2;2; 1)n =−
. B.
4
(1;1; 2)n =−
. C.
1
(2; 2; 1)n = − −
. D.
2
( 2; 2;1)n = − −
.
Câu 7: Giao điểm của đồ thị hàm số
3
52y x x= − + −
với trục tung có toạ độ là
A.
2
;0
3
. B.
2
0;
3
. C.
(1;0)
. D.
(0; 2)−
.
Câu 8: Cho hàm số
( )
sin
2
x
fx=
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A.
( )
2cos
2
x
f x dx C=+
. B.
( )
1
cos
2
f x dx x C=+
.
C.
( )
1
cos
22
x
f x dx C= − +
. D.
( )
2cos
2
x
f x dx C= − +
.
Câu 9: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số là:
A.
2x =
. B.
2y =
. C.
0y =
. D.
0x =
.
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
mặt cầu
( )
S
có phương trình
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 3 9.x y z− + + + − =
Xác định tọa độ tâm
.I
A.
( )
2;1;3 .I
B.
( )
2; 1;3 .I −
C.
( )
2;1; 3 .I −−
D.
( )
2; 1; 3 .I − − −
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho tứ diện
ABCD
có
( )
0;2;0A
,
( )
2;0;0B
,
( )
0;0; 2C
và
( )
0; 2;0D −
. Số đo góc của hai mặt phẳng
( )
ABC
và
( )
ACD
là :
A.
0
30
. B.
0
45
. C.
0
60
. D.
0
90
.
Câu 12: Cho hai số phức
1
24zi=−
,
2
35zi= − +
. Khi đó số phức
12
zz−
là
A.
59i−+
. B.
59i+
. C.
59i−
. D.
59i−−
.
Câu 13: Cho hình lăng trụ tam giác đều
. ' ' 'ABC A B C
có tất cả các cạnh bằng
2a
. Tính thể tích khối
lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
.
Trang 120
A.
3
23
3
a
V =
. B.
3
23Va=
. C.
3
4a
. D.
3
4
3
a
V =
.
Câu 14: Biết khối chóp
.S ABCD
có diện tích đáy bằng
2
12cm
, chiều cao bằng
4cm
. Tính thể tích của
khối chóp
.S ABCD
.
A.
3
24V cm=
. B.
3
48V cm=
. C.
3
12V cm=
. D.
3
16V cm=
.
Câu 15: Trong không gian
Oxyz
, cho hai mặt cầu lần lượt có phương trình
( ) ( )
2
22
: 3 9S x y z− + + =
và
( ) ( )
2
22
' : 2 4S x y z+ + + =
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hai mặt cầu tiếp xúc ngoài. B. Hai mặt cầu tiếp xúc trong.
C. Hai mặt cầu không có điểm chung. D. Hai mặt cầu có nhiều hơn một điểm chung.
Câu 16: Cho số phức
z
thoả mãn
6 2 4zi+ − =
. Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu
diễn các số phức
z
là một đường tròn. Tìm toạ độ tâm
I
và bán kính
R
của đường tròn đó.
A.
( )
6;2I −
,
16R =
. B.
( )
6; 2I −
,
4R =
. C.
( )
6; 2I −
,
16R =
. D.
( )
6;2I −
,
4R =
.
Câu 17: Khối nón có bán kính đáy
3r =
, chiều cao
2h =
có thể tích bằng:
A.
2
. B.
3
. C.
18
. D.
6
.
Câu 18: Cho điểm
( )
1; 2;0A −
và đường thẳng
31
:
1 2 1
x y z
d
−+
==
−
. Viết phương trình mặt phẳng
()P
đi qua
A
và vuông góc với đường thẳng
d
.
A.
20x y z+ + − =
. B.
2 1 0x y z+ − + =
. C.
2 3 0x y z− − − − =
. D.
2 3 0x y z+ − + =
.
Câu 19: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình
bên?
A.
3
32y x x=−−
. B.
42
2y x x= + −
.
C.
42
2y x x= − + −
. D.
2
1
x
y
x
−
=
+
.
Câu 20: Đồ thị của hàm số
12
1
x
y
x
−
=
+
cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
bằng
A.
1−
. B.
1
2
. C.
1
D.
0
.
Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình
( )
( )
2
13
3
log 6 5 log 1 0x x x− + + −
là
A.
(
5;6S =
. B.
( )
1;S = +
. C.
1;6S =
. D.
)
6;S = +
.
Câu 22: Hoán vị của 5 phần tử bằng
A. 24. B. 60. C. 12. D. 120.
Câu 23: Cho hàm số
( )
2
12
fx
x
=
−
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A.
( )
d ln 1 2f x x x C= − − +
. B.
( )
1
d ln 1 2
2
f x x x C= − − +
.
C.
( )
d 2ln 1 2f x x x C= − − +
. D.
( )
d 4ln 1 2f x x x C= − − +
.
Trang 121
Câu 24: Cho hàm số
()y f x=
liên tục trên
1;9
, thỏa mãn
9
1
( ) 8f x dx =
và
5
4
( ) 6f x dx =
. Tính giá trị
biểu thức
49
15
( ) ( )I f x dx f x dx=+
.
A.
14I =
. B.
2I =−
. C.
48I =
. D.
2I =
.
Câu 25: Tích phân
3
2
2
d
21
x
x +
bằng
A.
5
2ln
7
. B.
7
2ln
5
. C.
5
ln
7
. D.
7
ln
5
.
Câu 26: Cho hàm số bậc bốn
( )
y f x=
. Hàm số
( )
y f x
=
có đồ thị như
hình vẽ. Hàm số
( )
y f x=
nghịch biến trên khoảng nào trong
các khoảng sau?
A.
( )
1;4
. B.
( )
1;1−
.
C.
( )
0;3
. D.
( )
;0−
.
Câu 27: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên đoạn
3;2−
và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới
Gọi
,Mm
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
y f x=
trên đoạn
3;2−
Tính
Mm+
.
A.
1−
. B.
1
. C.
3
. D.
5
.
Câu 28: Cho
, 0,ab
nếu
3
93
log log 5ab+=
và
46
81 27
log log 6ab+=
thì giá trị của
ab+
bằng
A.
86.
B.
84.
C.
80.
D.
82.
Câu 29: Cho hình phẳng
D
giới hạn bởi đường cong
2 cosyx=+
, trục hoành và các đường thẳng
π
0,
2
xx==
. Thể tích
V
của khối tròn xoay tạo thành khi quay
D
quanh trục hoành là
A.
π1V =−
. B.
π1V =+
. C.
( )
π π 1V =+
.
D.
( )
π π 1V =−
.
Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
có cạnh
2, 3AB BC==
và cạnh
15AA
=
(tham khảo hình vẽ).
Góc giữa đường thẳng
AC
và mặt phẳng
( )
ABC
bằng
A.
30
. B.
60
.
C.
45
. D.
90
.
Câu 31: Cho hàm
( )
y f x=
có bảng biên thiên như sau:
Trang 122
Số nghiệm của phương trình
( )
2
4 9 0fx−=
là
A.
3
B.
4
C.
6
D.
2
Câu 32: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm trên
R
là
( ) ( ) ( ) ( )
43
2 2 1f x x x x
= − + −
. Hàm số
( )
fx
đồng
biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
2;1−
. B.
( )
2;2−
. C.
( )
1;2
. D.
( )
0;+
.
Câu 33: Chọn ngu nhiên
5
học sinh từ một nhóm gồm
8
học sinh nam và
7
học sinh nữ. Xác suất
để trong
5
học sinh được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ mà số học sinh nam nhiều
hơn số học sinh nữ là
A.
70
.
143
B.
60
.
143
C.
238
.
429
D.
82
.
143
Câu 34: Cho số thực dương
1
1,
2
x x x
thoả mãn
( ) ( )
2
log 16 log 8
xx
xx=
. Giá trị
( )
log 16
x
x
bằng
log
m
n
với
,mn
là các số nguyên dương và phân số
m
n
tối giản. Tổng
mn+
bằng
A.
11
. B.
10
. C.
12
. D.
9
.
Câu 35: Cho số phức
23zi=+
. Môđun của số phức
( )
1 iz+
bằng
A.
26
. B.
37
. C.
5
. D.
4
.
Câu 36: Trong không gian
Oxyz
cho điểm
(1; 1;2), (3;0;1)AB−
. Đường thẳng vuông góc với
AB
tại A
đồng thời song song với mặt phẳng
( ): 2 0P x y z+ + =
có phương trình là:
A.
1
1
2
xt
yt
zt
=+
= − +
=+
. B.
1
1
2
xt
yt
zt
=+
= − −
=+
. C.
3
1
xt
yt
zt
=+
=−
=+
. D.
13
1
23
xt
yt
zt
=+
= − −
=+
.
Câu 37: Trong không gian
Oxyz
cho điểm
(1; 1;2)A −
. Gọi
,,M N K
là hình chiếu vuông góc của
A
lên ba trục tọa độ. Mặt cầu tâm
O
tiếp xúc với mặt phẳng
()MNK
có phương trình là:
A.
2 2 2
6x y z+ + =
. B.
2 2 2
4
3
x y z+ + =
. C.
2 2 2
1
9
x y z+ + =
. D.
2 2 2
4
9
x y z+ + =
.
Câu 38: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông, cạnh bên
SA
vuông góc mặt phẳng
( )
ABCD
,
3SA =
và
3SB =
(tham
khảo hình vẽ). Khoảng cách từ
D
đến
( )
SAC
bằng
A.
3
. B.
6
.
C.
6
2
. D.
3
2
.
Trang 123
Câu 39: Gọi
S
là tập nghiệm của bất phương trình
( ) ( )
22
log 2 log 2 3
aa
x x x x− − − + +
. Biết
( )
;S m n=
và
7
3
thuộc
S
. Tính
mn+
.
A.
13
3
mn+=
. B.
7
2
mn+=
. C.
11
3
mn+=
. D.
9
2
mn+=
.
Câu 40: Cho hàm số
( )
2
khi 0
2 3 khi 0
x
e m x
fx
x x x
+
=
+
liên tục trên , m là tham số thực và tích phân
( )
1
ln
.3
e
e
fx
dx a e b c
x
= + +
với
,,abc
. Tổng
3a b c+−
bằng :
A.
20
. B.
25
C.
19−
. D.
30
.
Câu 41: Cho hàm số
( )
32
1f x x mx nx= + + −
với
, mn
là các tham số thực thỏa mãn
0mn+
và
( )
7 2 2 0mn+ +
. Số điểm cực trị của hàm
( )
y f x=
là:
A.
2
. B.
5
. C.
9
. D.
11
.
Câu 42: Cho số phức
z
có phần thực là số nguyên và
z
thỏa mãn
2 7 3z z i z− + = +
. Tính mô-đun
của số phức
2
17z z i
= − −
bằng
A.
10
=
. B.
5
=
. C.
7
=
. D.
20
3
=
.
Câu 43: Cho hình chóp
.S ABCD
có
ABCD
là hình chữ nhật tâm
O
với
,3AB a BC a==
. Hình chiếu
vuông góc của
S
lên mặt phẳng
( )
ABCD
là trung điểm
AO
. Biết
( ) ( )
( )
; 60SAC SBC
=
. Khi
đó thể tích của
.S ABCD
là:
A.
3
3
3
a
. B.
3
3
2
a
. C.
3
2
a
. D.
3
6
8
a
.
Câu 44: Cho đồ thị hàm số
( )
32
:C y ax bx cx d= + + +
và
( )
2
:P y mx nx p= + +
có đồ thị như hình vẽ (Đồ
thị
( )
C
là nét có đường cong đậm hơn). Biết phần
hình phẳng được giới hạn bởi
( )
C
và
( )
P
(phần tô
đậm) có diện tích bằng
2
. Thể tích khối tròn xoay
tạo thành khi quay phần hình phẳng quanh trục
hoành có giá trị gần với số nào nhất?
A.
12,53
. B.
9,34
. C.
10,23
. D.
11,74
.
Câu 45: Cho hai số phức
12
,zz
thoả mãn
12
6, 2zz==
. Gọi
,MN
là các điểm biểu diễn cho
1
z
và
2
iz
. Biết
60MON =
. Giá trị lớn nhất của
12
33z iz i+−
bằng
A.
12 3+
. B.
43
. C.
12 3T =
. D.
73
.
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
1;3;2M
, mặt phẳng
( )
P
có phương trình
2 10 0x y z− + − =
và đường thẳng
có phương trình
2 1 1
2 1 1
x y z+ − −
==
−
. Đường thẳng
d
Trang 124
cắt
( )
P
và
lần lượt tại điểm
A
và
B
sao cho
M
là trung điểm của đoạn thẳng
AB
,
d
có
phương trình là:
A.
6 1 3
7 4 1
x y z− − +
==
−
. B.
8 7 1
7 4 1
x y z− − −
==
−
.
C.
6 1 3
7 4 1
x y z− − +
==
−−
. D.
6 1 3
7 4 1
x y z− + −
==
−−
.
Câu 47: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
a
( )
0a
thỏa mãn
2023
2023
2023
11
22
22
a
a
a
+ +
.
A.
2020
. B.
2023
. C.
2021
. D.
2022
.
Câu 48: Cho trụ có thể tích là
V
. Hình lăng trụ đều
.ABC A B C
nội tiếp hình trụ. Mặt phẳng
( )
ABB A
chia khối trụ làm hai phần có thể tích lần lượt là
1
V
và
2
V
biết
( )
12
VV
. Khi đó tỉ số
1
12
V a b b
V
−
=
với
( )
,a b N
. Tính tổng
T a b=+
.
A.
16T =
. B.
11T =
. C.
7T =
. D.
14T =
.
Câu 49: Trong không gian
,Oxyz
cho hai điểm
( )
2;1; 3 ,A −
( )
3;0;5 .B −
Một khối nón đỉnh
S
, đáy là
hình tròn tâm
,A
có các đường sinh và mặt đáy tiếp xúc với mặt cầu đường kính
.AB
Khi thể
tích khối nón đạt giá trị nhỏ nhất, cao độ của điểm
S
là
A.
8.−
B.
10.−
C.
1.−
D. 13.
Câu 50: Cho đồ thị hàm số
( )
52y f x=−
như hình vẽ dưới đây:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
23;23m−
để hàm số
( )
32
31y f x x m m= − + + −
đồng biến trên khoảng
( )
0;1
?
A.
23
. B.
22
. C.
21
. D.
20
.
-----------------HẾT-----------------
Trang 125
ĐÁP ÁN CHI TIẾT
1.D
2.B
3.D
4.D
5.D
6.B
7.D
8.D
9.C
10.B
11.C
12.C
13.B
14.D
15.A
16.D
17.D
18.D
19.B
20.B
21.D
22.D
23.A
24.D
25.D
26.A
27.B
28.B
29.C
30.B
31.C
32.A
33.C
34.A
35.A
36.B
37.D
38.A
39.D
40.B
41.D
42.B
43.D
44.D
45.D
46.B
47.B
48.C
49.D
50.A
Câu 1: Điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức
75zi=+
là:
A.
( )
5;7
. B.
( )
5; 7−
. C.
( )
7;5
. D.
( )
7; 5−
.
Lời giải
Số phức liên hợp của số phức
75zi=+
là
75zi=−
.
Điểm biểu diễn của số phức
75zi=−
là
( )
7; 5−
.
Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số
( )
2
log 2 1yx=+
?
A.
( )
1
'
2 1 ln2
y
x
=
+
. B.
( )
2
'
2 1 ln2
y
x
=
+
. C.
2
'
21
y
x
=
+
. D.
1
'
21
y
x
=
+
.
Lời giải
Chọn B
Áp dụng công thức tính đạo hàm:
( )
( )
( )
( ) ( )
2
21
2
log 2 1
2 1 ln2 2 1 ln2
x
yx
xx
+
= + = =
++
.
Câu 3: Tập xác định của hàm số
( )
2023
2
4yx
−
=−
là
A. . B.
( ) ( )
; 2 2;− − +
. C.
\2
. D.
\ 2;2−
.
Lời giải
Điều kiện xác định là
2
2
4 0 .
2
x
x
x
−
−
Do đó tập xác định của hàm số là
\ 2;2 .−
Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình
39
x
là
A.
)
2;+
. B.
( )
2;+
. C.
( )
;2−
. D.
(
;2−
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
3 9 2
x
x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình
(
;2S = −
.
Trang 126
Câu 5: Cho cấp số cộng
( )
n
u
có
1
3u =
và
4
9u =
. Giá trị của
10
u
bằng
A.
18
. B.
19
. C.
20
. D.
21
.
Lời giải
Ta có:
41
3 9 3 3 2u u d d d= + = + =
10 1
9 3 9.2 21u u d= + = + =
Câu 6: Trong không gian
Oxyz
mặt phẳng
( ): 1
2 2 1
x y z
P + + =
−
, có một véc-tơ pháp tuyến là?
A.
3
(2;2; 1)n =−
. B.
4
(1;1; 2)n =−
. C.
1
(2; 2; 1)n = − −
. D.
2
( 2; 2;1)n = − −
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
1 2 2 2 2 0
2 2 1
x y z
x y z x y z+ + = + − = − + − + =
−
Vậy một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng
()P
là
4
(1;1; 2)n =−
.
Câu 7: Giao điểm của đồ thị hàm số
3
52y x x= − + −
với trục tung có toạ độ là
A.
2
;0
3
. B.
2
0;
3
. C.
(1;0)
. D.
(0; 2)−
.
Lời giải
Chọn D
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm có hoành độ
02xy= = −
Vậy toạ độ giao điểm đó là
(0; 2)−
.
Câu 8: Cho hàm số
( )
sin
2
x
fx=
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A.
( )
2cos
2
x
f x dx C=+
. B.
( )
1
cos
2
f x dx x C=+
.
C.
( )
1
cos
22
x
f x dx C= − +
. D.
( )
2cos
2
x
f x dx C= − +
.
Lời giải
Áp dụng công thức
( ) ( ) ( )
1
sin cos , 0ax b dx ax b C a
a
+ = − + +
Trang 127
Ta có
( )
sin 2cos
22
xx
f x dx dx C= = − +
Câu 9: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số là:
A.
2x =
. B.
2y =
. C.
0y =
. D.
0x =
.
Lời giải
Vì
y
đổi dấu từ âm sang dương khi hàm số qua
2x =
nên
20
CT CT
xy= =
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
mặt cầu
( )
S
có phương trình
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 3 9.x y z− + + + − =
Xác định tọa độ tâm
.I
A.
( )
2;1;3 .I
B.
( )
2; 1;3 .I −
C.
( )
2;1; 3 .I −−
D.
( )
2; 1; 3 .I − − −
Lời giải
Chọn B
Phương trình
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2; 1;3
2 1 3 9
3
I
x y z
R
−
− + + + − =
=
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho tứ diện
ABCD
có
( )
0;2;0A
,
( )
2;0;0B
,
( )
0;0; 2C
và
( )
0; 2;0D −
. Số đo góc của hai mặt phẳng
( )
ABC
và
( )
ACD
là :
A.
0
30
. B.
0
45
. C.
0
60
. D.
0
90
.
Lời giải
Chọn C
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
ABC
là
( )
1
; 2 2; 2 2; 4n AB AC
= = − − −
.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
ACD
là
( )
2
; 4 2;0;0n AC AD
==
.
Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng
( )
ABC
và
( )
ACD
.
Trang 128
Ta có
( )
( )
( ) ( ) ( )
0
12
2 2 2
2
2 2 .4 2
1
cos cos , 60
2
2 2 2 2 4 . 4 2
nn
−
= = = → =
− + − +
.
Câu 12: Cho hai số phức
1
24zi=−
,
2
35zi= − +
. Khi đó số phức
12
zz−
là
A.
59i−+
. B.
59i+
. C.
59i−
. D.
59i−−
.
Lời giải
Ta có
( ) ( )
12
2 4 3 5 2 4 3 5 5 9z z i i i i i− = − − − + = − + − = −
.
Câu 13: Cho hình lăng trụ tam giác đều
. ' ' 'ABC A B C
có tất cả các cạnh bằng
2a
. Tính thể tích khối
lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
.
A.
3
23
3
a
V =
. B.
3
23Va=
. C.
3
4a
. D.
3
4
3
a
V =
.
Lời giải
Hình lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
là hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh
2a
suy ra
ABC
đều cạnh
2a
, chiều cao của hình lăng trụ là
'2AA a=
.
Ta có:
3
. ' ' '
11
. ' . .sin . ' .2 .2 .sin60 .2 2 3
22
o
ABC A B C ABC
V S AA AB AC A A A a a a a= = = =
.
Câu 14: Biết khối chóp
.S ABCD
có diện tích đáy bằng
2
12cm
, chiều cao bằng
4cm
. Tính thể tích của
khối chóp
.S ABCD
.
A.
3
24V cm=
. B.
3
48V cm=
. C.
3
12V cm=
. D.
3
16V cm=
.
Lời giải
Ta có:
.
1
.
3
S ABCD
V B h=
, trong đó
B
là diện tích đáy,
h
độ dài chiều cao.
Suy ra
3
.
1
.12.4 16( )
3
S ABCD
V cm==
Câu 15: Trong không gian
Oxyz
, cho hai mặt cầu lần lượt có phương trình
( ) ( )
2
22
: 3 9S x y z− + + =
và
( ) ( )
2
22
' : 2 4S x y z+ + + =
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hai mặt cầu tiếp xúc ngoài. B. Hai mặt cầu tiếp xúc trong.
C. Hai mặt cầu không có điểm chung. D. Hai mặt cầu có nhiều hơn một điểm chung.
Lời giải
Chọn A
( )
S
có tâm
( )
3;0;0 , 3IR=
Trang 129
( )
S
có tâm
( )
2;0;0 , 2IR
−=
Do
5II R R
= = +
nên hai mặt cầu tiếp xúc ngoài.
Câu 16: Cho số phức
z
thoả mãn
6 2 4zi+ − =
. Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu
diễn các số phức
z
là một đường tròn. Tìm toạ độ tâm
I
và bán kính
R
của đường tròn đó.
A.
( )
6;2I −
,
16R =
. B.
( )
6; 2I −
,
4R =
.
C.
( )
6; 2I −
,
16R =
. D.
( )
6;2I −
,
4R =
.
Lời giải
Đặt
z x yi=+
( )
,xy
.
Theo đề bài ta có:
( ) ( )
6 2 4 6 2 4x yi i x y i+ + − = + + − =
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
6 2 4 6 2 16x y x y + + − = + + − =
.
Vậy tập điểm biểu diễn số phức
z
là đường tròn tâm
( )
6;2I −
, bán kính
4R =
.
Câu 17: Khối nón có bán kính đáy
3r =
, chiều cao
2h =
có thể tích bằng:
A.
2
. B.
3
. C.
18
. D.
6
.
Lời giải
Thể tích của khối nón có bán kính đáy
3r =
, chiều cao
2h =
là
2
11
.9.2 6
33
V= πr h =
=
.
Câu 18: Cho điểm
( )
1; 2;0A −
và đường thẳng
31
:
1 2 1
x y z
d
−+
==
−
. Viết phương trình mặt phẳng
()P
đi qua
A
và vuông góc với đường thẳng
d
.
A.
20x y z+ + − =
. B.
2 1 0x y z+ − + =
. C.
2 3 0x y z− − − − =
. D.
2 3 0x y z+ − + =
.
Lời giải
Do
()dP⊥
nên ta chọn
( )
( )
1;2; 1
d
P
nu= = −
. Khi đó phương trình
()P
là:
( ) ( ) ( )
1 1 2 2 0 0 2 3 0x y z x y z− + + − − = + − + =
.
Câu 19: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
Trang 130
A.
3
32y x x=−−
. B.
42
2y x x= + −
. C.
42
2y x x= − + −
. D.
2
1
x
y
x
−
=
+
.
Lời giải
Đồ thị hàm số là đồ thị của hàm số bậc
4
.
Vì
lim
x
y
→
= +
nên hàm số đó là
42
2y x x= + −
.
Câu 20: Đồ thị của hàm số
12
1
x
y
x
−
=
+
cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
A.
1−
. B.
1
2
. C.
1
D.
0
.
Lời giải
Hoành độ giao điểm của đồ thị của hàm số
12
1
x
y
x
−
=
+
với trục hoành là nghiệm phương trình
12
0 1 2 0
1
x
x
x
−
= − =
+
hay
1
2
x =
.
Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình
( )
( )
2
13
3
log 6 5 log 1 0x x x− + + −
là
A.
(
5;6S =
. B.
( )
1;S = +
. C.
1;6S =
. D.
)
6;S = +
.
Lời giải
Chọn D
Bất phương trình
( )
( )
2
33
log 6 5 log 1 0x x x − − + + −
( )
( )
2
33
log 6 5 log 1x x x − + −
2
6 5 1
10
x x x
x
− + −
−
2
1
7 6 0
6
6
1
1
x
xx
x
x
x
x
− +
.
Tập nghiệm của bất phương trình
)
6;S = +
.
Câu 22: Hoán vị của 5 phần tử bằng
Trang 131
A. 24. B. 60. C. 12. D. 120.
Lời giải
Chọn D
Hoán vị của 5 phẩn tử
5
5! 120P ==
.
Câu 23: Cho hàm số
( )
2
12
fx
x
=
−
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A.
( )
d ln 1 2f x x x C= − − +
. B.
( )
1
d ln 1 2
2
f x x x C= − − +
.
C.
( )
d 2ln 1 2f x x x C= − − +
. D.
( )
d 4ln 1 2f x x x C= − − +
.
Lời giải
Ta có
( )
2 1 2
d d 2 d ln 1 2 ln 1 2
1 2 1 2 2
f x x x x x C x C
xx
= = = − + = − − +
− − −
.
Câu 24: Cho hàm số
()y f x=
liên tục trên
1;9
, thỏa mãn
9
1
( ) 8f x dx =
và
5
4
( ) 6f x dx =
. Tính giá trị
biểu thức
49
15
( ) ( )I f x dx f x dx=+
.
A.
14I =
. B.
2I =−
. C.
48I =
. D.
2I =
.
Lời giải
Ta có
9 4 5 9
1 1 4 5
8 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 2f x dx f x dx f x dx f x dx I I= = + + = + =
Câu 25: Tích phân
3
2
2
d
21
x
x +
bằng
A.
5
2ln
7
. B.
7
2ln
5
. C.
5
ln
7
. D.
7
ln
5
.
Lời giải
Ta có:
3
2
2
d
21
x
x +
3
7
ln 2 1 ln7 ln5 ln .
2
5
x= + = − =
Câu 26: Cho hàm số bậc bốn
( )
y f x=
. Hàm số
( )
y f x
=
có đồ thị như hình vẽ sau
Trang 132
Hàm số
( )
y f x=
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A.
( )
1;4
. B.
( )
1;1−
. C.
( )
0;3
. D.
( )
;0−
.
Lời giải
Chọn A
Dựa vào đồ thị hàm số
( )
y f x
=
ta có
( ) ( ) ( )
0 1;1 4;f x x
− +
và
( ) ( ) ( )
0 ; 1 1;4f x x
− −
.
Do đó hàm số
( )
y f x=
đồng biến trên các khoảng
( )
1;1−
và
( )
4;+
, nghịch biến trên các
khoảng
( )
;1− −
và
( )
1;4
.
Vậy hàm số
( )
y f x=
nghịch biến trên khoảng
( )
1;4
là đúng.
Câu 27: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên đoạn
3;2−
và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới
Gọi
,Mm
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
y f x=
trên đoạn
3;2−
Tính
Mm+
.
A.
1−
. B.
1
. C.
3
. D.
5
.
Lời giải
Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
3, 2 1M m M m= = − + =
.
Câu 28: Cho
, 0,ab
nếu
3
93
log log 5ab+=
và
46
81 27
log log 6ab+=
thì giá trị của
ab+
bằng
Trang 133
A.
86.
B.
84.
C.
80.
D.
82.
Lời giải
Chọn B
Với
,0ab
ta có:
3
9 3 3
33
46
3
81 27
33
1
log log 5 log 4
81
log 3log 5
2
log 1 3
log log 6
log 2log 6
a b a
a
ab
bb
ab
ab
+ = =
=
+=
==
+=
+=
Vậy
84.ab+=
Câu 29: Cho hình phẳng
D
giới hạn bởi đường cong
2 cosyx=+
, trục hoành và các đường thẳng
π
0,
2
xx==
. Thể tích
V
của khối tròn xoay tạo thành khi quay
D
quanh trục hoành là
A.
π1V =−
. B.
π1V =+
. C.
( )
π π 1V =+
. D.
( )
π π 1V =−
.
Lời giải
Chọn C
Hình phẳng
D
giới hạn bởi
2 cos
0
π
0,
2
yx
y
xx
=+
=
==
. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay
D
quanh trục hoành được tính theo công thức:
( )
( ) ( ) ( )
ππ
22
π
2
2
0
00
π 2 cos d π 2 cos d π 2 sin π π 1V x x x x x x= + = + = + = +
.
Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
có cạnh
2, 3AB BC==
và cạnh
15AA
=
(tham khảo hình vẽ). Góc giữa đường thẳng
AC
và
mặt phẳng
( )
ABC
bằng
A.
30
. B.
60
. C.
45
. D.
90
.
Lời giải
Trang 134
Ta có:
AC
là hình chiếu của .
AC
. lên mặt phẳng
( )
ABC
.
Góc giữa đường thẳng
AC
và mặt phẳng
( )
ABC
là góc
A CA
.
Lại có
( ) ( )
22
22
2 3 5AC AB BC= + = + =
.
Trong tam giác vuông
A AC
có
15
tan 3
5
AA
A CA
AC
= = =
.
Suy ra
60A CA
=
.
Câu 31: Cho hàm
( )
y f x=
có bảng biên thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình
( )
2
4 9 0fx−=
là
A.
3
B.
4
C.
6
D.
2
Lời giải
Chọn C
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
22
3
1
9
2
4 9 0
3
4
2
2
fx
f x f x
fx
=
− = =
−
=
.
Dựa vào bảng biến thiên: phương trình
( )
1
có
4
nghiệm, phương trình
( )
1
có
2
nghiệm.
Câu 32: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm trên
R
là
( ) ( ) ( ) ( )
43
2 2 1f x x x x
= − + −
. Hàm số
( )
fx
đồng
biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
2;1−
. B.
( )
2;2−
. C.
( )
1;2
. D.
( )
0;+
.
Lời giải
Trang 135
Chọn A
( ) ( ) ( ) ( )
43
2 2 1f x x x x
= − + −
2 ( boi chan )
2 ( boi le )
1 ( boi le )
x
x
x
=
= −
=
.
Bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
( )
2;1−
.
Câu 33: Chọn ngu nhiên
5
học sinh từ một nhóm gồm
8
học sinh nam và
7
học sinh nữ. Xác suất
để trong
5
học sinh được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ mà số học sinh nam nhiều
hơn số học sinh nữ là
A.
70
.
143
B.
60
.
143
C.
238
.
429
D.
82
.
143
Lời giải
Chọn C
Ta có:
( )
5
15
3003nC = =
cách chọn
Gọi biến cố
:A
5
học sinh được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ mà số học sinh nam
nhiều hơn số học sinh nữ
"
Trường hợp 1: Chọn
4
học sinh nam và
1
học sinh nữ
41
87
490CC→ =
cách
Trường hợp 2: Chọn
3
học sinh nam và
2
học sinh nữ
32
87
1176CC→ =
cách
Suy ra:
( )
490 1176 1666nA= + =
cách.
Vậy xác suất cần tính là:
( )
( )
( )
238
.
429
nA
PA
n
==
Câu 34: Cho số thực dương
1
1,
2
x x x
thoả mãn
( ) ( )
2
log 16 log 8
xx
xx=
. Giá trị
( )
log 16
x
x
bằng
log
m
n
với
,mn
là các số nguyên dương và phân số
m
n
tối giản. Tổng
mn+
bằng
A.
11
. B.
10
. C.
12
. D.
9
.
Lời giải
Chọn A
Trang 136
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
( )
22
2
22
log 16 log 8
log 16 log 8
log log 2
xx
xx
xx
xx
= =
( )( ) ( )
2 2 2 2 2
1
4 log 1 log log 3 log log 2
4
x x x x x x + + = + = − =
.
Vậy
( )
1
4
1
log 16 log 4 log
10
x
x ==
, khi đó
1; 10 11m n m n= = + =
.
Câu 35: Cho số phức
23zi=+
. Môđun của số phức
( )
1 iz+
bằng
A.
26
. B.
37
. C.
5
. D.
4
.
Lời giải
Ta có
( ) ( )( )
2
1 1 2 3 2 3 2 3 5i z i i i i i i+ = + − = − + − = −
( ) ( )
2
2
1 5 5 1 26i z i + = − = + − =
Câu 36: Trong không gian
Oxyz
cho điểm
(1; 1;2), (3;0;1)AB−
. Đường thẳng vuông góc với
AB
tại A
đồng thời song song với mặt phẳng
( ): 2 0P x y z+ + =
có phương trình là:
A.
1
1
2
xt
yt
zt
=+
= − +
=+
. B.
1
1
2
xt
yt
zt
=+
= − −
=+
. C.
3
1
xt
yt
zt
=+
=−
=+
. D.
13
1
23
xt
yt
zt
=+
= − −
=+
.
Lời giải
Với
d
là đường thẳng cần tìm
Ta có:
()
()
(2;1; 1)
[ , ] (3; 3;3)
(1;2;1)
d
P
dP
u AB
AB n
un
⊥ = −
= −
⊥=
là vec tơ chỉ phương của
d
.
Phương trình của
d
là
1
1
2
xt
yt
zt
=+
= − −
=+
Câu 37: Trong không gian
Oxyz
cho điểm
(1; 1;2)A −
. Gọi
,,M N K
là hình chiếu vuông góc của
A
lên ba trục tọa độ. Mặt cầu tâm
O
tiếp xúc với mặt phẳng
()MNK
có phương trình là:
A.
2 2 2
6x y z+ + =
. B.
2 2 2
4
3
x y z+ + =
. C.
2 2 2
1
9
x y z+ + =
. D.
2 2 2
4
9
x y z+ + =
.
Lời giải
Ta có:
(1;0;0),N(0; 1;0), (0;0;2)MK−
nên phương tình mặt phẳng
()MNK
là:
1 2 2 2 0
2
z
x y x y z− + = − + − =
Trang 137
Mặt cầu cần tìm có bán kính
2
( ;( ))
3
R d O MNK==
Phương trình mặt cầu là:
2 2 2
4
9
x y z+ + =
Câu 38: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông, cạnh bên
SA
vuông góc mặt phẳng
( )
ABCD
,
3SA =
và
3SB =
(tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ
D
đến
( )
SAC
bằng
A.
3
. B.
6
. C.
6
2
. D.
3
2
.
Lời giải
Ta có:
( )
DO AC
DO SAC
DO SA
⊥
⊥
⊥
( )
( )
,d D SAC DO=
.
Mặt khác
( )
2
2 2 2
3 3 6AB SB SA= − = − =
.
Vậy
( )
( )
2 6. 2
, 3.
2 2 2
BD AB
d D SAC DO= = = = =
Câu 39: Gọi
S
là tập nghiệm của bất phương trình
( ) ( )
22
log 2 log 2 3
aa
x x x x− − − + +
. Biết
( )
;S m n=
và
7
3
thuộc
S
. Tính
mn+
.
A.
13
3
mn+=
. B.
7
2
mn+=
. C.
11
3
mn+=
. D.
9
2
mn+=
.
Lời giải
Chọn D
Trang 138
Điều kiện:
2
2
20
23
2 3 0 .
01
01
xx
x
xx
a
a
− −
− + +
Do
7
3
x =
là nghiệm của bất phương trình đã cho nên
10 20
log log 0 1.
99
aa
a
Vì
01a
nên bất phương trình
22
2 2 3x x x x − − − + +
23
2
55
2 3 5 0 1 2 .
22
x
x x x x
− − − ⎯⎯⎯→
Vì vậy
59
2
22
mn+ = + =
Câu 40: Cho hàm số
( )
2
khi 0
2 3 khi 0
x
e m x
fx
x x x
+
=
+
liên tục trên , m là tham số thực và tích phân
( )
1
ln
.3
e
e
fx
dx a e b c
x
= + +
với
,,abc
. Tổng
3a b c+−
bằng :
A.
20
. B.
25
C.
19−
. D.
30
.
Lời giải
Do hàm số
( )
fx
liên tục trên các khoảng
( ) ( )
;0 ; 0;− +
nên hàm số liên tục trên khi và
chỉ khi hàm số liên tục tại điểm
0x =
hay
( ) ( ) ( )
00
lim lim 0 1 0 1
xx
f x f x f m m
+−
→→
= = + = = −
Ta có
( )
( ) ( ) ( )
1
11
1
ln
ln ln ,
ee
ee
fx
dx f x d x f t dt
x
−
==
với
lntx=
.
Lại có:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 1 0 1 0 1
2
1 1 1 0 1 0
2 3 1
x
f t dt f x dx f x dx f x dx x x dx e dx
− − − −
= = + = + + −
Xét
0
2
1
23x x dx
−
+
: Đặt
2 2 2
33u x u x udu xdx= + = + =
03
2 2 3 3
2
12
2 16
2 3 2 2 3
33
x x dx u du u
−
+ = = = −
Xét
( ) ( )
1
1
0
0
12
xx
e dx e x e− = − = −
Do đó
( )
1
ln
22
23
3
e
e
fx
dx e
x
= + −
, suy ra
22
1; 2; 3 25.
3
a b c a b c= = = − + − =
Câu 41: Cho hàm số
( )
32
1f x x mx nx= + + −
với
, mn
là các tham số thực thỏa mãn
0mn+
và
( )
7 2 2 0mn+ +
. Số điểm cực trị của hàm
( )
y f x=
là:
Trang 139
A.
2
. B.
5
. C.
9
. D.
11
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( )
32
1f x x mx nx= + + −
là hàm đa thức nên liên tục trên , mặt khác
( )
10f m n= +
và
( )
2 7 2(2 ) 0f m n= + +
( ) ( )
1 . 2 0ff
suy ra
( )
0fx=
có ít nhất một nghiệm thuộc
khoảng
( )
1;2
.
Ta có
( ) ( )
lim ; lim
xx
f x f x
→− →+
= − = +
ta có bảng biến thiên của hàm
( )
y f x=
Hàm số
( )
y f x=
có
2
cực trị dương nên hàm số
( )
y f x=
có
5
cực trị. Mặt khác, đồ thị
hàm số
( )
y f x=
cắt trục
Ox
tại
6
điểm. Suy ra hàm số
( )
y f x=
có 11 cực trị.
Câu 42: Cho số phức
z
có phần thực là số nguyên và
z
thỏa mãn
2 7 3z z i z− + = +
. Tính mô-đun
của số phức
2
17z z i
= − −
bằng
A.
10
=
. B.
5
=
. C.
7
=
. D.
20
3
=
.
Lời giải
Đặt
( )
,,z a bi a b= +
.
Ta có:
2 7 3z z i z− = − + +
( )
22
2 7 3a b a bi i a bi + − − = − + + +
( )
22
22
3 7 0
3 7 3 0
30
a b a
a b a b i
b
+ − + =
+ − + + − =
−=
2
9 3 7
3
aa
b
+ = −
=
22
7
3
9 9 42 49
3
a
a a a
b
+ = − +
=
( )
( )
7
3
4
5
4
3
a
aN
aL
b
=
=
=
3
4
b
a
=
=
.
Vậy
2
4 3 17 3 4. 5z i z z i i
= + = − − = + =
.
Trang 140
Câu 43: Cho hình chóp
.S ABCD
có
ABCD
là hình chữ nhật tâm
O
với
,3AB a BC a==
. Hình chiếu
vuông góc của
S
lên mặt phẳng
( )
ABCD
là trung điểm
AO
. Biết
( ) ( )
( )
; 60SAC SBC
=
. Khi
đó thể tích của
.S ABCD
là:
A.
3
3
3
a
. B.
3
3
2
a
. C.
3
2
a
. D.
3
6
8
a
.
Lời giải
Gọi
I
trung điểm
AO
, suy ra
( )
SI ABCD⊥
.
3
2;
2
a
AC a BI==
.
Vẽ
BE SC⊥
IE SC⊥
.
Vậy
( ) ( )
( )
( )
; ; 60SAC SBC BE IE
==
.
Xét
BIE
vuông tại
I
:
.cot60
2
a
IE BI==
.
Xét
SIC
vuông tại
I
:
2 2 2
1 1 1
IE SI IC
=+
32
8
a
SI=
.
Vậy
3
16
.
38
SABCD ABCD
a
V SI S==
.
Câu 44: Cho đồ thị hàm số
( )
32
:C y ax bx cx d= + + +
và
( )
2
:P y mx nx p= + +
có đồ thị như hình vẽ
(Đồ thị
( )
C
là nét có đường cong đậm hơn). Biết phần hình phẳng được giới hạn bởi
( )
C
và
( )
P
(phần tô đậm) có diện tích bằng
2
. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay phần hình
phẳng quanh trục hoành có giá trị gần với số nào nhất?
Trang 141
A.
12.53
. B.
9.34
. C.
10.23
. D.
11.74
.
Lời giải
Từ đồ thị ta có:
( ) ( )
2
:P y g x mx nx p= = + +
và
( )
P
qua
( )
3;1
,
( )
5;3
,
( )
1;2
3
9 3 1
8
25 5 3 2
2 29
8
m
m n p
m n p n
m n p
p
=
+ + =
+ + = = −
+ + =
=
( )
2
3 29
2
88
g x x x = − +
Đường cong
( )
32
:C y ax bx cx d= + + +
Đồ thị hàm số
( )
y f x=
và
( )
y g x=
cắt nhau tại điểm có hoành độ
1x =
,
3x =
,
5x =
suy ra
( ) ( ) ( )( )( )( )
1 3 5 0f x g x k x x x k− = − − −
( )( )( ) ( )( )( ) ( )
35
13
1 3 5 d 1 3 5 d 4 4 8S k x x x x x x x x k k
= − − − − − − − = − − =
( ) ( )( )( )
3
22
1
2 2 8
4
1 3 29 15 15 1
1 3 5 2
4 8 8 4 8 4 8
S k k
x
f x x x x x x x x
= = =
= − − − + − + = − + −
Vậy
( ) ( )
25
2 2 2 2
12
6533 2007
d d 11.74
3360 1120
V f g x g f x
= − + − = +
Câu 45: Cho hai số phức
12
,zz
thoả mãn
12
6, 2zz==
. Gọi
,MN
là các điểm biểu diễn cho
1
z
và
2
iz
. Biết
60MON =
. Giá trị lớn nhất của
12
33z iz i+−
bằng
A.
12 3+
. B.
43
. C.
12 3T =
. D.
73
.
Lời giải
Trang 142
Gọi
P
là điểm biểu diễn số phức
2
3iz
.
Ta có
12
3z iz OM OP+ = +
22OI OI==
.
Do
60MON =
và
6OM OP==
nên
MOP
đều suy ra
6PM =
và
3
6. 3 3
2
OI ==
.
Vậy
12
3 6 3z iz+=
.
Ta có
1 2 1 2
3 3 3 3 6 3 3 7 3z iz i z iz i+ − + + = + =
.
Đẳng thức xảy ra khi
12
12
3 6 3
33
0
z iz
z iz k i
k
+=
+=
12
3 6 3z iz i + =
.
Vậy
12
3 3 7 3
max
z iz i+ − =
.
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
1;3;2M
, mặt phẳng
( )
P
có phương trình
2 10 0x y z− + − =
và đường thẳng
có phương trình
2 1 1
2 1 1
x y z+ − −
==
−
. Đường thẳng
d
cắt
( )
P
và
lần lượt tại điểm
A
và
B
sao cho
M
là trung điểm của đoạn thẳng
AB
,
d
có
phương trình là:
A.
6 1 3
7 4 1
x y z− − +
==
−
. B.
8 7 1
7 4 1
x y z− − −
==
−
.
C.
6 1 3
7 4 1
x y z− − +
==
−−
. D.
6 1 3
7 4 1
x y z− + −
==
−−
.
Lời giải
Đường thẳng
có phương trình tham số
22
1
1
xt
yt
zt
= − +
=+
=−
(
t
).
Có
( )
2 2 ;1 ;1B t t t− + + −
.
M
là trung điểm của
AB
nên
( )
( )
( )
( )
2.1 2 2 4 2
2.3 1 5 4 2 ;5 ;3
2.2 1 3
A
A
A
x t t
y t t A t t t
z t t
= − − + = −
= − + = − − − +
= − − = +
.
Trang 143
Lại có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 4 2 5 3 10 0 2 8;7;1A P t t t t A − − − + + − = = −
.
Vậy đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
8;7;1A
và có vectơ chỉ phương là
( )
7;4; 1AM =−
có
phương trình là
8 7 1
7 4 1
x y z− − −
==
−
.
Câu 47: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
a
( )
0a
thỏa mãn
2023
2023
2023
11
22
22
a
a
a
+ +
.
A.
2020
. B.
2023
. C.
2021
. D.
2022
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2023
2023
2023
11
22
22
a
a
a
+ +
2023
22
2023
11
2023log 2 log 2
22
a
a
a.
+ +
2023
22
2023
11
log 2 log 2
22
2023
a
a
a
++
.
Xét hàm số
( )
( ) ( )
2
22
1
log 2
log 4 1 log 4 1
2
1
x
xx
x
x
y f x
x x x
+
+ − +
= = = = −
.
Ta có
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
41
ln 4 1
4 ln4 4 1 ln 4 1
11
41
0
ln2 ln2
41
x
x
x x x
x
x
'
.x
. .x
y
x
x
+
−+
− + +
+
= =
+
( ) ( )
( )
2
4 ln4 4 1 ln 4 1
1
0
ln2
41
x x x x
x
.
y
x
− + +
=
+
,
0x
.
Nên
( )
=y f x
là hàm nghịch biến trên
( )
0;+
.
Do đó
( ) ( )
2023f a f
với
( )
0a
khi
0 2023a
.
Vậy có
2023
giá trị của
a
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 48: Cho trụ có thể tích
V
. Hình lăng trụ đều
.ABC A B C
nội tiếp hình trụ. Mặt phẳng
( )
ABB A
chia khối trụ làm hai phần có thể tích lần lượt là
1
V
và
2
V
biết
( )
12
VV
. Khi đó tỉ số
1
12
V a b b
V
−
=
với
( )
,a b N
. Tính tổng
T a b=+
.
A.
16T =
. B.
11T =
. C.
7T =
. D.
14T =
.
Lời giải
Trang 144
Đặt
AB x=
,
AA h
=
, điều kiện
0,h 0x
. Gọi
2
V
là thể tích khối lăng trụ
.ABC A B C
.
Thể tích của khối lăng trụ
.ABC A B C
là
2
2
3
4
x
Vh=
.
Ta có bán kính đường tròn đáy của khối trụ đã cho là
3
3
x
R =
. Khi đó thể tích của khối trụ đã
cho là :
2
2
2
3
33
x x h
V R h h
= = =
.
Từ giả thiết có :
2
1 2 1
3
3
VV
V V V V
−
= + =
22
12
2
3
4 3 3
34
3 12
3
3
x h x
h
V V V
VV
xh
−
−−
= = =
.
Suy ra
4
3
a
b
=
=
. Vậy
7T =
.
Câu 49: Trong không gian
,Oxyz
cho hai điểm
( )
2;1; 3 ,A −
( )
3;0;5 .B −
Một khối nón đỉnh
S
, đáy là
hình tròn tâm
,A
có các đường sinh và mặt đáy tiếp xúc với mặt cầu đường kính
.AB
Khi thể
tích khối nón đạt giá trị nhỏ nhất, cao độ của điểm
S
là
A.
8.−
B.
10.−
C.
1.−
D. 13.
Lời giải
Gọi bán kính mặt cầu là
r
,
2
AB
r
=
tâm mặt cầu là
I
(
I
là trung điểm của
AB
), bán kính
đáy và chiều cao của hình nón là
R
và
( )
2.h h r
Xét thiết diện tạo bởi mặt phẳng qua trục của hình nón với hình nón là
SMN
(hình vẽ). Ta có
SMN
cân,
A
là trung điểm của
MN
và
I
là tâm đường tròn nội tiếp
.SMN
Trang 145
Áp dụng công thức:
,
S
r
p
=
ta có
22
.
SMN
SMN
S
SA AM Rh
r
p SM AM
R h R
= = =
+
++
Suy ra
( )
2 2 2 2
Rh Rr r R h R h r r R h= + + − = +
( )
2 2 2 2 2 2 2
2R h rh r r R r h − + = +
( )
( )
2 2 2 2 2 2
22R h rh r h R h r r h − = − =
2
2
.
2
rh
R
hr
=
−
Công thức tính thể tích hình nón:
2 2 2
2
1 1 1
. . . .
3 3 2 3 2
r h r h
V R h h
h r h r
= = =
−−
Để
V
nhỏ nhất thì
2
2
h
hr−
nhỏ nhất, xét hàm số
( )
2
2
h
fh
hr
=
−
trên
( )
2 ; ,r +
ta có
( )
( )
( )
2
4
2
h h r
fh
hr
−
=
−
, ta có bảng biến thiên hàm
( )
fh
trên
( )
2;r +
như sau:
Từ đó
( )
fh
nhỏ nhất khi
4,hr=
khi đó
S
là điểm đối xứng với
A
qua
B
nên
( )
8; 1;13 .S −−
Câu 50: Cho đồ thị hàm số
( )
52y f x=−
như hình vẽ dưới đây:
Trang 146
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
23;23m−
để hàm số
( )
32
31y f x x m m= − + + −
đồng biến trên khoảng
( )
0;1
?
A.
23
. B.
22
. C.
21
. D.
20
.
Lời giải
Chọn A
Bảng biến thiên của hàm số
( )
y f x=
được vẽ lại như sau:
( )
( )
( )
( )( )
( )
23
3 2 3 2
3
3 3 3
3 1 . 3 1
3
x x x m
g x f x x m m g x f x x m m
x x m
− − +
= − + + − = − + + −
−+
Nhận xét:
32
3 1 1,x x m m x− + + − −
và
( ) ( )
( )
22
3 3 3 1 0, 0;1x x x− = −
.
Hàm số
( )
y g x=
đồng biến trên khoảng
( )
0;1
khi và chỉ khi
( ) ( )
0, 0;1g x x
( )
( )
( )
3 3 2
3 . 3 1 0, 0;1x x m f x x m m x
− + − + + −
( )
( )
32
32
3
3
32
32
3
3
3 1 1;9
1 3 1 9
3
30
, 0;1
3 1 9
3 1 9
3
30
x x m m
x x m m
x x m
x x m
x
x x m m
x x m m
x x m
x x m
− + + − −
− − + + −
− −
− +
− − + + −
− + + −
− −
− +
Trang 147
2
2 3 2
2
3
23
2
3
2
3 10
10 0
3
2
10 3
10 0
3
0
mm
m m x x m
m
x x m
m
m m x x
mm
x x m
m
− − −
− − − −
−
− −
− −
− − −
− −
− −
−
; 23;23
1
2
10 10
2 10
2 23; 22;....; 3; 2;3
1 41
2
1 41
2
1 41
2
0
mm
m
m
m
m
mm
m
m
m
m
−
−
−
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − − −
−
−
+
Vậy có tất cả
23
giá trị của tham số
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2024
ĐỀ 7
Bài thi: TOÁN
Câu 1: Trên mặt phẳng toạ độ, cho số phức
34zi=−
. Môđun của
z
bằng
A.
16−
. B.
5
. C.
25
. D.
7
.
Câu 2: Trên khoảng
( )
0;+
, đạo hàm của hàm số
5
x
y =
là:
A.
5
x
y
=
. B.
5
ln5
x
y
=
. C.
5 .ln5
x
y
=
. D.
1
5
x
y
+
=
.
Câu 3: Tập xác định
D
của hàm số
( )
1yx
=−
là:
A.
\1D =
. B.
D =
. C.
)
1;D = +
. D.
( )
1;D = +
.
Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình
1
39
x−
là
A.
( )
;2−
. B.
(
;3−
. C.
)
3;+
. D.
)
2;+
.
Câu 5: Cho cấp số nhân
( )
n
u
với
1
2023u =
và công bội
3q =
. Giá trị của
3
u
bằng
A.
2029
. B.
54621
. C.
18207
. D.
6069
.
Câu 6: Trong không gian
xyzO
, mặt phẳng
( )
:2 2023 0P y z− + =
có một vectơ pháp tuyến là
A.
( )
1
0;2; 1n =−
. B.
( )
2
2; 1;2023n =−
. C.
( )
3
1;0;2n =−
. D.
( )
4
2; 1; 2023n = − −
.
Trang 148
Câu 7: Cho hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị
hàm số đã cho và trục tung là
A.
( )
0; 2−
. B.
( )
2;0
.
C.
( )
2;0−
. D.
( )
0;2
.
Câu 8: Nếu
( )
4
1
d 2023f x x
−
=
và
( )
4
1
d 2022g x x
−
=
thì
( ) ( )
4
1
df x g x x
−
−
bằng
A. 5. B. 6. C. 1. D.
1−
.
Câu 9: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
A.
42
32y x x= − +
.
B.
3
1
x
y
x
−
=
−
.
C.
2
41y x x= − +
.
D.
3
35y x x=−−
.
Câu 10: Trong không gian
Oxyz
cho mặt cầu
( )
S
có phương trình
2 2 2
2 4 6 0x y z x y z+ + − + − =
. Tìm tọa độ tâm
I
và bán kính
R
của mặt cầu
( )
S
.
A.
( )
1; 2;3 ; 14IR−=
. B.
( )
1;2; 3 ; 14IR− − =
.
C.
( )
1;2; 3 ; 14IR− − =
. D.
( )
1; 2;3 ; 14IR−=
.
Câu 11: Trong không gian
Oxyz
, góc giữa hai mặt phẳng
( )
: 11 0P x y z+ − − =
và
( )
:2 2 2 7 0Q x y z+ − + =
bằng
A.
0
. B.
90
. C.
180
. D.
45
.
Câu 12: Cho số phức
3 4 .zi=+
Phần thực của số phức
w z z=+
là
A.
8
. B.
4
. C.
5
. D.
3
.
Câu 13: Cho khối lập phương có độ dài đường chéo bằng
33
. Thể tích khối lập phương đã cho bằng
A.
9
. B.
12
. C.
27
. D.
18
.
Câu 14: Cho khối chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
,3AB a BC a==
,
SA
vuông góc
với đáy và
2SA a=
. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
3
23
3
a
. B.
3
23a
. C.
3
3
3
a
. D.
3
3
6
a
.
Câu 15: Cho mặt phẳng
( )
P
cắt mặt cầu
( )
;S O R
theo thiết diện là một đường tròn. Gọi
d
là khoảng
cách từ
O
đến
( )
P
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
dR=
. B.
dR
. C.
2dR=
. D.
dR
.
Câu 16: Số phức liên hợp của số phức
72zi= − −
là
Trang 149
A.
27zi=−
. B.
72zi=−
. C.
72zi= − +
. D.
72zi=+
.
Câu 17: Cho hình nón có bán kính đáy
r
, độ dài đường sinh
l
và chiều cao
h
. Khi đó, thể tích của khối
nón đã cho bằng
A.
2
r
. B.
rl
. C.
2
rh
. D.
2
1
3
rh
.
Câu 18: Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
3
: 5 2
2
xt
yt
zt
=−
= − +
=−
. Điểm nào sau đây thuộc
?
A.
( )
3;5;0M −
. B.
( )
3; 5; 2N −−
. C.
( )
3; 5;0P −
. D.
( )
1;2; 2Q −−
.
Câu 19: Cho hàm số
( )
32
f x ax bx cx d= + + +
có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Mệnh đề nào sau đây
sai?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại
2x =
.
B. Hàm số đạt cực đại tại
4x =
.
C. Hàm số có hai điểm cực trị.
D. Hàm số đạt cực đại tại
0x =
.
Câu 20: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như hình vẽ.
Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho lần lượt là
A.
1, 2xy==
. B.
2, 1xy==
. C.
2, 2xy==
. D.
1, 1xy==
.
Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình
2
3
log 2x
là
A.
4
;
9
−
. B.
( )
3
;4−
. C.
( )
3
4;+
. D.
4
0;
9
.
Câu 22: Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập từ các số
1;3;4;6;7
.
A.
15
. B.
120
. C.
10
. D.
24
.
Câu 23: Cho
( )
2
d 3 sinf x x x x C= + +
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
( )
6 cosf x x x=+
. B.
( )
3
cosf x x x=−
. C.
( )
3
cosf x x x=+
. D.
( )
6 cosf x x x=−
.
Câu 24: Cho
( )
( )
ln2
0
2 e d 5
x
f x x+=
. Tính
( )
ln2
0
df x x
.
A.
3
. B.
5
2
. C.
2
. D.
1
.
Trang 150
Câu 25: Cho hàm số
( )
sin 1f x x x= − +
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
( )
2
cos
2
x
f x dx x x C= − + +
. B.
( )
2
cos
2
x
f x dx x x C= − − + +
.
C.
( )
sinf x dx x x C= − +
. D.
( )
2
cosf x dx x x x C= − − + +
.
Câu 26: Cho hàm số
2023 22
1
x
y
x
−
=
+
. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;1− −
. B. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1;2023
.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;1−
. D. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1;2023−
.
Câu 27: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại
5x =
. B. Hàm số đạt cực tiểu tại
1x =
.
C. Hàm số đạt cực tiểu tại
0x =
. D. Hàm số đạt cực đại tại
0x =
.
Câu 28: Cho các số thực dương
;ab
thỏa mãn
2
log ax=
,
2
log by=
. Giá trị biểu thức
( )
23
2
logP a b=
theo
;xy
bằng
A.
23xy−
. B.
3xy+
. C.
32xy+
. D.
23xy+
.
Câu 29: Thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
43y x x= − +
và
trục hoành quay quanh trục
Ox
là
A.
4
3
. B.
16
15
. C.
16
15
. D.
4
3
.
Câu 30: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật cạnh
AB a=
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
2SB a=
(tham khảo hình
bên). Góc giữa mặt phẳng
()SBC
và mặt phẳng đáy bằng
A.
90
. B.
60
.
C.
45
. D.
30
.
Câu 31: Cho hàm số
( )
42
f x ax bx c= + +
có đồ thị là đường cong
trong hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn
2;5−
của tham số
m
để phương trình
( )
f x m=
có đúng hai
nghiệm thực phân biệt?
A.
6
. B. 7.
C.
8
. D.
9
Câu 32: Cho hàm số
()fx
xác định trên và có đạo hàm
( ) ( )( ) ( )
25
2 1 1f x x x x
= − + −
. Hàm số đã
cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Trang 151
A.
( )
;2−
B.
( )
2;+
C.
( )
1;2−
D.
( )
1; +
.
Câu 33: Chọn ngu nhiên
2
số khác nhau từ
30
số nguyên dương đầu tiên. Tính xác suất để chọn được
2
số có tích là một số lẻ?
A.
7
29
. B.
15
29
. C.
22
29
. D.
8
29
.
Câu 34: Biết phương trình
3
2log 2log 3 5
x
x +=
có hai nghiệm thực
12
xx
. Tính giá trị của biểu thức
2
12
61T x x= − +
.
A.
12T =
. B.
10T =
. C.
16T =
. D.
8T =
.
Câu 35: Cho số phức
z
thỏa mãn
( )
( )
3 2 3 2 16z i z i− + − − =
. Biết tập hợp các điểm
M
biểu diễn số
phức
2 2 3w z i= − +
là đường tròn tâm
( )
;I a b
và bán kính
c
. Giá trị của
abc++
bằng
A.
11
. B.
10
. C.
17
. D.
18
.
Câu 36: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
12
:
2 1 3
x y z
d
−+
==
−
và mặt phẳng
( )
: 6 4 27 0P x y z+ − + =
. Gọi
( )
;;M a b c
là giao điểm của
d
và
( )
P
. Tính
2S a b c= − +
.
A.
10S =
. B.
13S =
. C.
11S =
. D.
12S =
.
Câu 37: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
1;2;1M
và mặt phẳng
( ): 6 0P x y z− + + =
. Giả sử
( )
;;H a b c
là hình chiếu của
M
trên mặt phẳng
()P
. Khi đó
abc++
bằng
A.
4
. B.
2
. C.
1
. D.
1−
.
Câu 38: Cho hình chóp
SABCD
có đáy là hình vuông, cạnh
a
. Tam giác
SAB
là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng
AB
và
SC
bằng
A.
3
7
a
. B.
a
. C.
21
7
a
. D.
2
2
a
.
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên
x
trong khoảng
( )
0;2023
thỏa mãn
( )
32
log 2 5 log 1xx+ +
A.
2000
. B.
2022
. C.
2002
. D.
2020
.
Câu 40: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên . Gọi
( ) ( )
,F x G x
là hai nguyên hàm của
( )
fx
trên thỏa
mãn
( ) ( )
7 2 7 8FG+=
và
( ) ( )
1 2 1 2FG+=
. Khi đó
( )
3
0
2 1 df x x+
bằng
A.
6
. B.
4
. C.
1
. D.
3
.
Câu 41: Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm liên tục trên . Biết rằng hàm số
( )
2
2y f x x=+
có đồ thị
trên của đạo hàm như hình vẽ dưới đây:
Trang 152
Số điểm cực trị của hàm số
( )
3
42
4 6 4y f x x x x= − + −
bằng
A.
9
. B.
11
. C.
7
. D.
5
.
Câu 42: Xét các số phức
z
và
w
thỏa mãn
1zw==
,
2zw+=
. Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
2 ( ) 4P zw i z w= + + −
bằng
A.
32
2
. B.
1 5 2
4
+
. C.
5 2 2−
. D.
5
.
Câu 43: Cho lăng trụ tam giác
.ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
a
. Hình chiếu vuông góc của
A
trên mặt phẳng
( )
ABC
trùng với trọng tâm tam giác
ABC
. Biết khoảng cách giữa
AA
và
BC
bằng
3
4
a
. Khi đó thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A.
3
3
12
a
. B.
3
3
6
a
. C.
3
3
3
a
. D.
3
3
24
a
.
Câu 44: Biết hàm số
( )
fx
nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên nửa khoảng
(
0;1
, thỏa mãn
( )
11f =
và
( ) ( )
( )
2.
fx
f x x f x
x
+=
với mọi
(
0;1x
. Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đường
( )
y f x=
và
54yx=−
gần giá trị nào nhất sau đây?
A.
0,58
. B.
0,49
. C.
1,22
. D.
0,97
.
Câu 45: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình
2
2 12 0z mz m+ − + =
(
m
là tham số thực). Có bao
nhiêu giá trị nguyên của
m
để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt
1
z
,
2
z
thỏa mãn
1 2 1 2
2z z z z+ = −
?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
1;2; 2A −
; mặt phẳng
( )
: 2 2 8 0P x y z− − + =
và hai đường thẳng
1
11
1
2
: 1 2
43
xt
d y t
zt
=+
=+
=−
;
2
22
2
32
:3
5
xt
d y t
zt
=+
=+
= − +
. Đường thẳng
d
đi qua điểm
A
, cắt hai đường thẳng
1
d
;
2
d
lần lượt tại
B
và
C
. Tính tổng khoảng cách từ
B
và
C
đến mặt phẳng
( )
P
.
A.
9
. B.
10
. C.
7
. D.
8
.
Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên
( )
;xy
thoả mãn
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
35 5
22
3
log log log log 8 ?x y x x y x x y x+ + + + + + +
A.
10
. B.
12
. C.
6
. D.
5
.
Câu 48: Cho khối nón đỉnh
S
, chiều cao bằng
6
và thể tích bằng
128
. Gọi
A
và
B
là hai điểm thuộc
đường tròn đáy sao cho
10AB =
, khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng
( )
SAB
bằng
Trang 153
A.
6 15
5
. B.
6 13
5
. C.
3 15
5
. D.
3 13
5
.
Câu 49: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 4 2 3 0S x y z x y z+ + − + + − =
và mặt phẳng
( )
: 2 2 14 0P x y z− + − =
. Điểm
M
thay đổi trên
( )
S
, điểm
N
thay đổi trên
( )
P
. Biết rằng
khi
( )
( )
; ; , ; ;
M M M N N N
M x y z N x y z
thì
MN
có độ dài nhỏ nhất. Giá trị của
MN
T x y=+
bằng:
A.
3−
. B.
1
3
−
. C.
4−
. D.
1
3
.
Câu 50: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục và luôn dương trên có đồ thị hàm số
( )
y f x
=
như hình vẽ.
Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
0 20m
để hàm số
( )
2
4 2 2023y f x m x mx= − + − +
đồng biến trên khoảng
( )
1;2
?
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D.
1
.
----------------HẾT----------------
Trang 154
ĐÁP ÁN CHI TIẾT
1.B
2.C
3.D
4.B
5.C
6.A
7.A
8.C
9.D
10.A
11.A
12.A
13.C
14.A
15.D
16.C
17.D
18.C
19.B
20.A
21.D
22.B
23.A
24.C
25.B
26.C
27.D
28.B
29.C
30.B
31.C
32.B
33.A
34.B
35.A
36.D
37.B
38.C
39.D
40.C
41.C
42.A
43.A
44.B
45.C
46.D
47.B
48.B
49.B
50.C
Câu 1: Trên mặt phẳng toạ độ, cho số phức
34zi=−
. Môđun của
z
bằng
A.
16−
. B.
5
. C.
25
. D.
7
.
Lời giải
Chọn B
Môđun của
34zi=−
bằng
( )
2
2
3 4 25+ − =
.
Câu 2: Trên khoảng
( )
0;+
, đạo hàm của hàm số
5
x
y =
là:
A.
5
x
y
=
. B.
5
ln5
x
y
=
. C.
5 .ln5
x
y
=
. D.
1
5
x
y
+
=
.
Lời giải
Chọn C
Hàm số
x
ya=
có đạo hàm là
.ln
x
y a a
=
Đạo hàm của hàm số
5
x
y =
là
5 .ln5
x
y =
.
Câu 3: Tập xác định
D
của hàm số
( )
1yx
=−
là:
A.
\1D =
. B.
D =
. C.
)
1;D = +
. D.
( )
1;D = +
.
Lời giải
Chọn D
Tập xác định
D
của hàm số
( )
1yx
=−
là
( )
1;D = +
.
Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình
1
39
x−
là
A.
( )
;2−
. B.
(
;3−
. C.
)
3;+
. D.
)
2;+
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
1 1 2
3 9 3 3 1 2
xx
x
−−
−
3x
.
Câu 5: Cho cấp số nhân
( )
n
u
với
1
2023u =
và công bội
3q =
. Giá trị của
3
u
bằng
A.
2029
. B.
54621
. C.
18207
. D.
6069
.
Lời giải
Trang 155
Chọn C
Ta có:
22
31
. 2023.3 18207u u q= = =
.
Câu 6: Trong không gian
xyzO
, mặt phẳng
( )
:2 2023 0P y z− + =
có một vectơ pháp tuyến là
A.
( )
1
0;2; 1n =−
. B.
( )
2
2; 1;2023n =−
. C.
( )
3
1;0;2n =−
. D.
( )
4
2; 1; 2023n = − −
.
Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng
( )
:2 2023 0P y z− + =
có một vectơ pháp tuyến là
( )
1
0;2; 1n =−
.
Câu 7: Cho hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+
có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là
A.
( )
0; 2−
. B.
( )
2;0
. C.
( )
2;0−
. D.
( )
0;2
.
Lời giải
Chọn A
Dựa vào đồ thị hàm số: Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là
( )
0; 2−
.
Câu 8: Nếu
( )
4
1
d 2023f x x
−
=
và
( )
4
1
d 2022g x x
−
=
thì
( ) ( )
4
1
df x g x x
−
−
bằng
A. 5. B. 6. C. 1. D.
1−
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
4 4 4
1 1 1
d d d 2023 2022 1f x g x x f x x g x x
− − −
− = − = − =
.
Câu 9: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
Trang 156
A.
42
32y x x= − +
. B.
3
1
x
y
x
−
=
−
. C.
2
41y x x= − +
. D.
3
35y x x=−−
.
Lời giải
Chọn D
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số
3
35y x x=−−
.
Câu 10: Trong không gian
Oxyz
cho mặt cầu
( )
S
có phương trình
2 2 2
2 4 6 0x y z x y z+ + − + − =
.
Tìm tọa độ tâm
I
và bán kính
R
của mặt cầu
( )
S
.
A.
( )
1; 2;3 ; 14IR−=
. B.
( )
1;2; 3 ; 14IR− − =
.
C.
( )
1;2; 3 ; 14IR− − =
. D.
( )
1; 2;3 ; 14IR−=
.
Lời giải
Chọn A
Phương trình mặt cầu đã cho tương đương với phương trình sau:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 14x y z− + + + − =
.
Vậy mặt cầu đã cho có tâm
( )
1; 2;3I −
và bán kính
14R =
.
Câu 11: Trong không gian
Oxyz
, góc giữa hai mặt phẳng
( )
: 11 0P x y z+ − − =
và
( )
:2 2 2 7 0Q x y z+ − + =
bằng
A.
0
. B.
90
. C.
180
. D.
45
.
Lời giải
Chọn A
( )
( )
1;1; 1
P
n =−
,
( )
( )
2;2; 2
Q
n =−
.
Do
( )
P
n
và
( )
Q
n
là hai vectơ cùng phương nên góc giữa
( )
P
và
( )
Q
bằng
0
.
Câu 12: Cho số phức
3 4 .zi=+
Phần thực của số phức
w z z=+
là
A.
8
. B.
4
. C.
5
. D.
3
.
Lời giải
Chọn A
Trang 157
Ta có:
22
3 4 ; 3 4 5z i z= − = + =
.
3 4 5 8 4w z z i i= + = − + = −
.
Vậy phần thực của số phức
w
bằng
8
.
Câu 13: Cho khối lập phương có độ dài đường chéo bằng
33
. Thể tích khối lập phương đã cho bằng
A.
9
. B.
12
. C.
27
. D.
18
.
Lời giải
Chọn C
Độ dài đường chéo hình lập phương bằng
33
nên độ dài cạnh hình lập phương bằng
3
.
Thể tích khối lập phương đã cho là
( )
3
3 27V ==
.
Câu 14: Cho khối chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
,3AB a BC a==
,
SA
vuông góc
với đáy và
2SA a=
. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
3
23
3
a
. B.
3
23a
. C.
3
3
3
a
. D.
3
3
6
a
.
Lời giải
Chọn A
Diện tích đáy
2
. 3 3
ABCD
B S a a a= = =
.
Thể tích khối chóp đã cho
3
2
1 2 3
3.2
33
ABCD
a
V a a==
.
Câu 15: Cho mặt phẳng
( )
P
cắt mặt cầu
( )
;S O R
theo thiết diện là một đường tròn. Gọi
d
là khoảng
cách từ
O
đến
( )
P
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
dR=
. B.
dR
. C.
2dR=
. D.
dR
.
Lời giải
Chọn D
Mặt phẳng
( )
P
cắt mặt cầu
( )
;S O R
theo thiết diện là một đường tròn suy ra
dR
.
Câu 16: Số phức liên hợp của số phức
72zi= − −
là
A.
27zi=−
. B.
72zi=−
. C.
72zi= − +
. D.
72zi=+
.
Lời giải
Chọn C
Số phức liên hợp của số phức
72zi= − −
là
72zi= − +
.
Câu 17: Cho hình nón có bán kính đáy
r
, độ dài đường sinh
l
và chiều cao
h
. Khi đó, thể tích của khối
nón đã cho bằng
A.
2
r
. B.
rl
. C.
2
rh
. D.
2
1
3
rh
.
Lời giải
Chọn D
Trang 158
Thể tích của khối nón đã cho bằng
2
1
3
rh
.
Câu 18: Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
3
: 5 2
2
xt
yt
zt
=−
= − +
=−
. Điểm nào sau đây thuộc
?
A.
( )
3;5;0M −
. B.
( )
3; 5; 2N −−
. C.
( )
3; 5;0P −
. D.
( )
1;2; 2Q −−
.
Lời giải
Chọn C
Nhận thấy điểm
( )
3; 5;0P −
thuộc đường thẳng
.
Câu 19: Cho hàm số
( )
32
f x ax bx cx d= + + +
có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại
2x =
. B. Hàm số đạt cực đại tại
4x =
.
C. Hàm số có hai điểm cực trị. D. Hàm số đạt cực đại tại
0x =
.
Lời giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đạt cực đại tại
0x =
.
Câu 20: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như hình vẽ.
Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho lần lượt là
A.
1, 2xy==
. B.
2, 1xy==
. C.
2, 2xy==
. D.
1, 1xy==
.
Lời giải
Chọn A
Tập xác định: .
\1D =
Trang 159
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là .
Lại có: đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là .
Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình
2
3
log 2x
là
A.
4
;
9
−
. B.
( )
3
;4−
. C.
( )
3
4;+
. D.
4
0;
9
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2
2
3
24
log 2 0 0
39
x x x
. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
4
0;
9
.
Câu 22: Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập từ các số
1;3;4;6;7
.
A.
15
. B.
120
. C.
10
. D.
24
.
Lời giải
Chọn B
Số các số cần lập là
4
5
120A =
.
Câu 23: Cho
( )
2
d 3 sinf x x x x C= + +
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
( )
6 cosf x x x=+
. B.
( )
3
cosf x x x=−
. C.
( )
3
cosf x x x=+
. D.
( )
6 cosf x x x=−
.
Lời giải
Chọn B
Ta có :
( )
2
6 cos d 3 sinx x x x x C+ = + +
.
Do đó:
( )
6 cosf x x x=+
.
Câu 24: Cho
( )
( )
ln2
0
2 e d 5
x
f x x+=
. Tính
( )
ln2
0
df x x
.
A.
3
. B.
5
2
. C.
2
. D.
1
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
( )
( )
( ) ( )
ln2 ln2 ln2
ln2 0
0 0 0
ln2
2 e d 2 d e 2 d e e
0
xx
f x x f x x f x x+ = + = + −
( )
ln2
0
2 d 1f x x=+
.
( )
1
lim
x
fx
+
→
= +
1x =
( )
lim 2
x
fx
→
=
2y =
Trang 160
Theo bài ra
( )
( )
( )
ln2 ln 2
00
2 e d 5 2 d 1 5
x
f x x f x x+ = + =
( )
ln2
0
d2f x x=
.
Câu 25: Cho hàm số
( )
sin 1f x x x= − +
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
( )
2
cos
2
x
f x dx x x C= − + +
. B.
( )
2
cos
2
x
f x dx x x C= − − + +
.
C.
( )
sinf x dx x x C= − +
. D.
( )
2
cosf x dx x x x C= − − + +
.
Lời giải
Chọn B
( )
2
sin cos
2
x
f x dx xdx xdx dx x x C= − + = − − + +
.
Câu 26: Cho hàm số
2023 22
1
x
y
x
−
=
+
. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;1− −
.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1;2023
.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;1−
.
D. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1;2023−
.
Lời giải
Chọn C
( )
2
2023 22 2045
0; 1
1
1
x
y y x
x
x
−
= = −
+
+
.
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng
( )
;1− −
và
( )
1;− +
nên nó cũng đồng biến
trên các khoảng
( )
1;2023
và
( )
1;2023 .−
Câu 27: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại
5x =
. B. Hàm số đạt cực tiểu tại
1x =
.
C. Hàm số đạt cực tiểu tại
0x =
. D. Hàm số đạt cực đại tại
0x =
.
Lời giải
Chọn D
Qua bảng biến thiên ta thấy hàm số có
y
đổi dấu từ dương sang âm qua
0x =
nên hàm số đạt
cực đại tại
0x =
.
Trang 161
Câu 28: Cho các số thực dương
;ab
thỏa mãn
2
log ax=
,
2
log by=
. Giá trị biểu thức
( )
23
2
logP a b=
theo
;xy
bằng
A.
23xy−
. B.
3xy+
. C.
32xy+
. D.
23xy+
.
Lời giải
Chọn B
Theo tính chất Logarit ta có:
( )
23
2
logP a b=
23
22
log logab=+
22
2log 3logab=+
23xy=+
.
Câu 29: Thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
43y x x= − +
và
trục hoành quay quanh trục
Ox
là
A.
4
3
. B.
16
15
. C.
16
15
. D.
4
3
.
Lời giải
Chọn C
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
2
43y x x= − +
và trục hoành là nghiệm phương trình
2
1
4 3 0
3
x
xx
x
=
− + =
=
.
Do đó, thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
43y x x= − +
và trục hoành quay quanh trục
Ox
là
( ) ( )
33
2
2 4 3 2
11
4 3 d 8 22 24 9 dV x x x x x x x x
= − + = − + − +
3
53
42
1
22 16
2 12 9
5 3 15
xx
x x x
= − + − + =
.
Câu 30: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật cạnh
AB a=
,
SA
vuông góc với mặt phẳng
đáy và
2SB a=
(tham khảo hình bên). Góc giữa mặt phẳng
()SBC
và mặt phẳng đáy bằng
A.
90
. B.
60
. C.
45
. D.
30
.
Lời giải
Chọn B
Vì
()SA ABCD⊥
nên
SA BC⊥
.
Mặt khác, theo giả thiết
AB BC⊥
. Do đó
()BC SAB⊥
nên
SB BC⊥
.
Trang 162
Góc giữa hai mặt phẳng
()SBC
và
()ABCD
là góc
SBA
.
Ta có
1
cos
22
AB a
SBA
SB a
= = =
60SBA =
.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng
()SBC
và
()ABCD
bằng
60
.
Câu 31: Cho hàm số
( )
42
f x ax bx c= + +
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu giá trị
nguyên thuộc đoạn
2;5−
của tham số
m
để phương trình
( )
f x m=
có đúng hai nghiệm thực
phân biệt?
A.
6
. B. 7. C.
8
. D.
9
Lời giải
Chọn C
Để phương trình
( )
f x m=
có đúng hai nghiệm thực phân biệt thì đồ thị hàm số
ym=
cắt đồ
thị hàm số
()y f x=
tại hai điểm phân biệt.
Dựa vào đồ thị hàm số ta có
3
4
m
m
−
=−
Do
m
;
2;5m−
nên
2; 1;....;5m − −
. Có
8
giá trị cuả
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 32: Cho hàm số
()fx
xác định trên và có đạo hàm
( ) ( )( ) ( )
25
2 1 1f x x x x
= − + −
. Hàm số đã
cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? (Tailieuchuan.vn)
A.
( )
;2−
B.
( )
2;+
C.
( )
1;2−
D.
( )
1; +
.
Lời giải
Trang 163
Chọn B
( ) ( )( ) ( )
25
2
0 2 1 1 0 1
1
x
f x x x x x
x
=
= − + − = = −
=
Bảng xét dấu
( )
fx
Từ bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng
( )
;1−
và
( )
2;+
.
Câu 33: Chọn ngu nhiên
2
số khác nhau từ
30
số nguyên dương đầu tiên. Tính xác suất để chọn được
2
số có tích là một số lẻ?
A.
7
29
. B.
15
29
. C.
22
29
. D.
8
29
.
Lời giải
Chọn A
Không gian mu
2
30
435.C =
Từ số
1
đến số
30
có
15
số lẻ và
15
số chẵn.
Để chọn được
2
số có tích là một số lẻ thì cả
2
số đó phải đều là số lẻ nên có
2
15
105C =
số.
Vậy xác suất cần tìm là:
105 7
435 29
=
.
Câu 34: Biết phương trình
3
2log 2log 3 5
x
x +=
có hai nghiệm thực
12
xx
. Tính giá trị của biểu thức
2
12
61T x x= − +
.
A.
12T =
. B.
10T =
. C.
16T =
. D.
8T =
.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện:
0
1
x
x
.
Ta có:
3
2log 2log 3 5
x
x +=
3
3
2
2log 5
log
x
x
+ =
2
33
2log 5log 2 0xx − + =
3
3
log 2
1
log
2
x
x
=
=
9
3
x
x
=
=
(thỏa mãn).
1
3x=
;
2
9x =
2
12
6 1 6.3 9 1 10T x x = − + = − + =
.
Trang 164
Câu 35: Cho số phức
z
thỏa mãn
( )
( )
3 2 3 2 16z i z i− + − − =
. Biết tập hợp các điểm
M
biểu diễn số
phức
2 2 3w z i= − +
là đường tròn tâm
( )
;I a b
và bán kính
c
. Giá trị của
abc++
bằng
A.
11
. B.
10
. C.
17
. D.
18
.
Lời giải
Chọn A
Gọi:
w x yi=+
( )
;xy
.
Ta có:
2 3 2 3
2 2 3
22
w i x yi i
w z i z
+ − + + −
= − + = =
.
Theo gt:
( )
( )
3 2 3 2 16z i z i− + − − =
2 3 2 3
3 2 3 2 16
22
x yi i x yi i
ii
+ + − + − +
− + − − =
2 3 6 4 2 3 6 4
16
22
x yi i i x yi i i+ + − − + + − + − −
=
44
16
22
x yi i x yi i− + + − − −
=
( ) ( ) ( ) ( )
4 1 4 1 64x y i x y i − + + − − + =
( ) ( )
22
4 1 64xy − + + =
.
Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn của số phức
w
là đường tròn tâm
( )
4; 1I −
và bán kính
8c =
.
Vậy
11abc+ + =
.
Câu 36: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
12
:
2 1 3
x y z
d
−+
==
−
và mặt phẳng
( )
: 6 4 27 0P x y z+ − + =
. Gọi
( )
;;M a b c
là giao điểm của
d
và
( )
P
. Tính
2S a b c= − +
.
A.
10S =
. B.
13S =
. C.
11S =
. D.
12S =
.
Lời giải
Chọn D
d
có phương trình tham số
( )
12
2,
3
xt
y t t
zt
=+
= − −
=
.
Ta có:
( )
1 2 ; 2 ; 3M t t t d+ − −
và
( ) ( )
1 2 6 2 4.3 27 0M P t t t + + − − − + =
1t=
.
Suy ra
( )
3; 3;3M −
nên
3, 3, 3a b c= = − =
.
Vậy
2 2.3 3 3 12S a b c= − + = + + =
.
Câu 37: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
1;2;1M
và mặt phẳng
( ): 6 0P x y z− + + =
. Giả sử
( )
;;H a b c
là hình chiếu của
M
trên mặt phẳng
()P
. Khi đó
abc++
bằng
A.
4
. B.
2
. C.
1
. D.
1−
.
Lời giải
Trang 165
Chọn B
Gọi d là đường thẳng qua
M
và vuông góc với
()P
.
Phương trình tham số của
1
: 2 ( )
1
xt
d y t t
zt
=+
= −
=+
Khi đó,
()H d P=
1 2 1 6 0 2t t t t + − + + + + = = −
( )
1;4; 1H − −
.
Câu 38: Cho hình chóp
SABCD
có đáy là hình vuông, cạnh
a
. Tam giác
SAB
là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng
AB
và
SC
bằng
A.
3
7
a
. B.
a
. C.
21
7
a
. D.
2
2
a
.
Lời giải
Chon C
Gọi
I
là trung điểm
AB
.
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
SAB ABCD
SAB ABCD AB
SI ABCD
SI AB
SI SAB
⊥
=
⊥
⊥
Gọi
M
là trung điểm
CD
. Dựng
IH
là đường cao tam giác
SIM
.
Ta có
( )
CD SI
CD SIM CD IH
CD IM
⊥
⊥ ⊥
⊥
Do đó
( ) ( )
( )
;
IH SM
IH SCD d I SCD IH
IH CD
⊥
⊥ =
⊥
Suy ra
( ) ( )
( )
,,d AB SC d AB SCD=
( )
( )
;d I SCD IH==
2 2 2
2
3
.
. 21
2
7
3
4
a
a
SI IM a
SI IM a
a
= = =
+
+
.
Trang 166
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên
x
trong khoảng
( )
0;2023
thỏa mãn
( )
32
log 2 5 log 1xx+ +
A.
2000
. B.
2022
. C.
2002
. D.
2020
.
Lời giải
Chon D
Ta có:
( )
32
log 2 5 log 1xx+ +
Điều kiện xác định:
0x
Đặt
2
log 2
t
t x x= =
Ta được
( )
1
3
log 2.2 5 1 2.2 5 3
t t t
t
+
+ + +
21
2. 5. 3 (*)
33
tt
+
Xét
( )
21
2. 5.
33
tt
ft
=+
Ta có
( )
2 2 1 1
2. ln 5. ln 0
3 3 3 3
tt
ft
= +
do đó
( )
ft
nghịch biến trên và
( )
13f =
Bất phương trình
( ) ( )
2
(*) 1 1 log 1 2f t f t x x
Mà
x
là số nguyên trong khoảng
( )
0;2023
3;4;5;...;2022x=
.
Vậy có
2020
giá trị
x
thỏa mãn.
Câu 40: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên . Gọi
( ) ( )
,F x G x
là hai nguyên hàm của
( )
fx
trên thỏa
mãn
( ) ( )
7 2 7 8FG+=
và
( ) ( )
1 2 1 2FG+=
. Khi đó
( )
3
0
2 1 df x x+
bằng
A.
6
. B.
4
. C.
1
. D.
3
.
Lời giải
Chọn C
Vì
( ) ( )
,F x G x
là hai nguyên hàm của
( )
fx
trên nên tồn tại hằng số
C
thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
,G x F x C x= +
.
Suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
7 1 7 1G G F F− = −
.
Theo giả thiết ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
7 1 2 7 1 6 3 7 1 6 7 1 2F F G G F F F F− + − = − = − =
.
Xét
( )
3
0
2 1 df x x+
Trang 167
Đặt
1
2 1 d d
2
x t x t+ = =
Đổi cận:
01xt= =
37xt= =
Khi đó
( ) ( ) ( ) ( )
37
01
11
2 1 d d 7 1 1
22
f x x f t t F F+ = = − =
.
Câu 41: Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm liên tục trên . Biết rằng hàm số
( )
2
2y f x x=+
có đồ thị
trên của đạo hàm như hình vẽ dưới đây:
Số điểm cực trị của hàm số
( )
3
42
4 6 4y f x x x x= − + −
bằng
A.
9
. B.
11
. C.
7
. D.
5
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
22
2
1
2 0 2 2 . 2 0
20
x
f x x x f x x
f x x
=−
+ = + + =
+=
Dựa vào đồ thị, suy ra phương trình
( )
2
20f x x
+=
có hai nghiệm bội lẻ là
2
và
5
( )
( )
80
35 0
f
f
=
=
Do đó phương trình
( )
0fx
=
có hai nghiệm bội lẻ là
8
và
35
.
( )
1
Xét hàm số
( )
( )
432
4 6 4y g x f x x x x= = − + −
liên tục trên có
( )
( )
( ) ( )
4 3 2 3 2 4 3 2
4 6 4 0 4 12 12 4 . 4 6 4 0f x x x x x x x f x x x x
− + − = − + − − + − =
( )
( )
3
32
432
432
432
4 1 0
1
4 12 12 4 0
4 6 4 8 1 3
4 6 4 0
4 6 4 35
16
x
x
x x x
x x x x x
f x x x x
x x x x
x
−=
=
− + − =
− + − = =
− + − =
− + − =
=
.
Trang 168
Cả
5
nghiệm này đều làm bội lẻ trong đó có đúng
3
nghiệm dương
Hay hàm số
( )
( )
432
4 6 4y g x f x x x x= = − + −
có
5
điểm cực trị trong đó có đúng
3
nghiệm dương.
Suy ra hàm số
( )
( )
3
42
4 6 4y g x f x x x x= = − + −
có
2.3 1 7+=
điểm cực trị.
Câu 42: Xét các số phức
z
và
w
thỏa mãn
1zw==
,
2zw+=
. Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
2 ( ) 4P zw i z w= + + −
bằng
A.
32
2
. B.
1 5 2
4
+
. C.
5 2 2−
. D.
5
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2zw+=
2
2 zw = +
( )
( )
z w z w= + +
22
z w zw zw= + + +
0zw zw + =
zw
là số thuần ảo. Hay
zw ki=
,
k
. Do đó,
ki
z
w
=
.
Mặt khác,
2zw+=
2
ki
w
w
+ =
2ki ww w + =
12ki + =
(do
1ww==
)
2
12k + =
1k =
.
Vậy
i
z
w
=
. Do vai trò bình đẳng của
z
và
w
nên ta chỉ cần xét trường hợp
i
z
w
=
.
Khi đó:
2 2 2
(2 2) 4 (2 2 ) 4 ( 1 ) 2P iw i w w i w i w i i= + − − = + + + = + + +
.
Đặt
1 1 | | | 1 | 1u w i w u i w u i= + + = − − = − − =
và
0
1zi= − −
.
Ta có
22
2 2 2 2
0
2P u i u z= + = +
( )( )
2 2 2 2
00
u z u z= + +
( )
2
42
4
0 0 0 0
2.u z u z z u u z= + + + −
( )
2
42
00
| | 4| | 4 .u u u z z u= − + + +
.
Mà
( )
( )
2
0 0 0
1u z u z u z+ + = + =
2
22
0 0 0
1 | | | | 1u z z u u z u + = − − = − −
.
Suy ra
( )
2
2 4 2 2
| | 4| | 4 | | 1P u u u= − + + +
42
2| | 2 | | 5uu= − +
2
2
1 9 9
2 | |
2 2 2
u
= − +
32
2
P
.
Trang 169
Câu 43: Cho lăng trụ tam giác
.ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
a
. Hình chiếu vuông góc của
A
trên mặt phẳng
( )
ABC
trùng với trọng tâm tam giác
ABC
. Biết khoảng cách giữa
AA
và
BC
bằng
3
4
a
. Khi đó thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A.
3
3
12
a
. B.
3
3
6
a
. C.
3
3
3
a
. D.
3
3
24
a
.
Lời giải
Chọn A
Do tam giác
ABC
đều có trọng tâm
G
và
( )
A G ABC
⊥
nên
.A ABC
là hình chóp đều.
Gọi
H
là trung điểm của
BC
, khi đó
AH BC⊥
và
3
2
a
AH =
23
33
a
AG AH = =
.
Gọi
K
là hình chiếu vuông góc của
H
trên
AA
HK AA
⊥
( )
1
.
Lại có
( )
BC A HA
⊥
mà
( )
HK A HA
nên
BC HK⊥
( )
2
.
Từ
( )
1
và
( )
2
suy ra
HK
là đoạn vuông góc chung của
BC
và
AA
.
Do đó
( )
3
,
4
a
d AA BC HK
==
. Đặt
A A A B A C x
= = =
, khi đó
2
2
3
a
A G x
=−
.
Ta có
22
2 2 2
3 3 2
2 . . . . 4
4 3 2 3 3
A HA
a a a a a
S HK AA A G AH x x x x x
= = = − = − =
.
Khi đó
22
2
3
,
3 3 4
ABC
a a a
A G x S
= − = =
.
.
ABC A B C ABC
V A G S
=
2
3
.
34
aa
=
3
3
12
a
=
.
Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là
3
.
3
12
ABC A B C
a
V
=
.
Trang 170
Câu 44: Biết hàm số
( )
fx
nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên nửa khoảng
(
0;1
, thỏa mãn
( )
11f =
và
( ) ( )
( )
2.
fx
f x x f x
x
+=
với mọi
(
0;1x
. Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đường
( )
y f x=
và
54yx=−
gần giá trị nào nhất sau đây?
A.
0,58
. B.
0,49
. C.
1,22
. D.
0,97
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
( ) ( )
( )
2.
fx
f x x f x
x
+=
( )
( )
( )
.
1
2.
x f x
fx
x
fx
+ =
( ) ( )
( )
( )
1
2 . 2 .
2
fx
x f x x
x
fx
+ =
( )
( )
1
2.x f x
x
=
( )
1
2.x f x dx
x
=
( )
2 . 2x f x x C = +
Vì
( ) ( )
1 1 2.1. 1 2 1 0f f C C= = + =
.
Do đó
( ) ( )
1
2 . 2x f x x f x
x
= =
.
Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số
( )
y f x=
và đường thẳng
5yx=−
là
2
1
1
5 4 4 5 1 0
4
1
x
x x x
x
x
=
= − − + − =
=
.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là
( ) ( )
11
11
44
1
5 4 0,488S f x g x dx x dx
x
= − = − + =
.
Câu 45: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình
2
2 12 0z mz m+ − + =
(
m
là tham số thực). Có bao
nhiêu giá trị nguyên của
m
để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt
1
z
,
2
z
thỏa mãn
1 2 1 2
2z z z z+ = −
?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Chọn C
Phương trình đã cho có
2
12mm
= + −
.
Trường hợp 1:
2
4
0 12 0
3
m
mm
m
−
+ −
.
Trang 171
Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm thực
1
z
,
2
z
phân biệt.
Do đó,
1 2 1 2
2z z z z+ = −
( )
( )
2
2
1 2 1 2
2z z z z + = −
( )
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2z z z z z z z z + + = + −
( ) ( )
22
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 4z z z z z z z z z z
+ − + = + −
( )
2
1 2 1 2 1 2
6 2 0z z z z z z + − − =
( ) ( )
2
4 6 12 2 12 0m m m − − + − − + =
Nếu
4m −
hoặc
3 12m
thì
( ) ( )
22
6
4 8 12 0 2 24 0
4
m
m m m m
m
=−
− − + = + − =
=
.
Nếu
12m
thì
( ) ( )
22
4 4 12 0 12 0m m m m − − + = + − =
(không thỏa mãn).
Trường hợp 2:
2
0 12 0 4 3m m m
+ − −
.
Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
1
z
,
2
z
là hai số phức liên hợp:
2
12m i m m− + − − +
và
2
12m i m m− − − − +
.
Do đó,
1 2 1 2
2z z z z+ = −
( )
2 2 2
2 12 2 12m m m m m + − − + = − − +
2
12 12m m m − + = − − +
0m=
(thỏa mãn).
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số
m
thỏa mãn đề bài.
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
1;2; 2A −
; mặt phẳng
( )
: 2 2 8 0P x y z− − + =
và hai đường thẳng
1
11
1
2
: 1 2
43
xt
d y t
zt
=+
=+
=−
;
2
22
2
32
:3
5
xt
d y t
zt
=+
=+
= − +
. Đường thẳng
d
đi qua điểm
A
, cắt hai đường thẳng
1
d
;
2
d
lần lượt tại
B
và
C
. Tính tổng khoảng cách từ
B
và
C
đến mặt phẳng
( )
P
.
A.
9
. B.
10
. C.
7
. D.
8
.
Lời giải
Chọn D
Do
1
Bd
nên tọa độ
B
có dạng
( )
1 1 1
2 ;1 2 ;4 3B t t t+ + −
;
2
Cd
nên tọa độ
C
có dạng
( )
2 2 2
3 2 ;3 ; 5C t t t+ + − +
.
( )
1 1 1
1 ; 1 2 ;6 3AB t t t= + − + −
;
( )
2 2 2
2 2 ;1 ; 3AC t t t= + + − +
.
Do
A
;
B
;
C
thẳng hàng nên
AB kAC=
( )
k
Trang 172
( )
( )
( )
12
12
12
1 2 2
1 2 1
6 3 3
t k t
t k t
t k t
+ = +
− + = +
− = − +
( )
12
1
1
1 2 1
3 3 0
7 5 4
t k t
t
tk
− + = +
−=
− + =
1
2
1
1
2
3
t
k
t
=
=−
=−
( )
3;3;1B
;
( )
3;0; 8C −−
.
Vậy tổng khoảng cách từ
B
và
C
đến mặt phẳng
( )
P
là
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2
22
3 2.0 2. 8 8
3 2.3 2.1 8
; ; 8
1 2 2 1 2 2
d B P d C P
− − − − +
− − +
+ = + =
+ − + − + − + −
.
Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên
( )
;xy
thoả mãn
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
35 5
22
3
log log log log 8 ?x y x x y x x y x+ + + + + + +
A.
10
. B.
12
. C.
6
. D.
5
.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện
0x
.
Ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
35 5
22
3
log log log log 8 ?x y x x y x x y x+ + + + + + +
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
5 5 3 3
log log log 8 logx y x x x y x x y + + − + + − +
2 2 2 2
53
22
8
log log
x y x x y x
x
xy
+ + + +
+
22
53
22
8
log 1 log 1 0
x y x
x
xy
+
+ − +
+
Đặt
22
xy
t
x
+
=
( )
0t
; bất phương trình trở thành
( )
53
8
log 1 log 1 0t
t
+ − +
.
Xét hàm số
( ) ( )
53
8
log 1 log 1f t t
t
= + − +
có
( )
( )
( )
2
18
0
1 ln5
8 ln3
ft
t
tt
= +
+
+
,
0t
Suy ra hàm số
( )
ft
đồng biến trên khoảng
( )
0;+
.
Mặt khác
( ) ( )
53
8
4 log 4 1 log 1 0
4
f
= + − + =
( ) ( )
4f t f
4t
Suy ra
22
4
xy
x
+
( )
2
2
24xy − +
.
Đếm các cặp giá trị nguyên của
( )
;xy
Ta có:
( )
2
2 4 0 4xx−
.
Với
1x =
0; 1y
có 3 cặp.
Với
2x =
0; 1; 2y
có 5 cặp
Với
3x =
0; 1y
có 3 cặp
Với
4x =
0y=
có 1 cặp
Vậy có 12 cặp giá trị nguyên
( )
;xy
thoả mãn yêu cầu bài toán.
Trang 173
Câu 48: Cho khối nón đỉnh
S
, chiều cao bằng
6
và thể tích bằng
128
. Gọi
A
và
B
là hai điểm
thuộc đường tròn đáy sao cho
10AB =
, khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng
( )
SAB
bằng
A.
6 15
5
. B.
6 13
5
. C.
3 15
5
. D.
3 13
5
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
,OR
lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn đáy.
,KH
lần lượt là hình chiếu của
O
lên
AB
và
SK
. Khi đó khoảng cách từ
O
đến mặt phẳng
( )
SAB
bằng
OH
.
Ta có:
2
1
3
V R h
=
2
3 3.128
64
.6
V
R
h
= = =
8R=
.
Xét tam giác vuông
OAK
có:
2 2 2 2
8 5 39OK OA AK= − = − =
.
Xét tam giác vuông
SOK
có:
( )
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
6
39
OH SO OK
= + = +
6 13
5
OH=
.
Câu 49: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 4 2 3 0S x y z x y z+ + − + + − =
và mặt phẳng
( )
: 2 2 14 0P x y z− + − =
. Điểm
M
thay đổi trên
( )
S
, điểm
N
thay đổi trên
( )
P
. Biết rằng
khi
( )
( )
; ; , ; ;
M M M N N N
M x y z N x y z
thì
MN
có độ dài nhỏ nhất. Giá trị của
MN
T x y=+
bằng:
A.
3−
. B.
1
3
−
. C.
4−
. D.
1
3
.
Lời giải
Chọn B
Trang 174
Mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
1; 2; 1I −−
, bán kính
3R =
.
Khoảng cách từ
I
đến
( )
P
bằng:
( )
( )
,4d I P R=
( )
S
và
( )
P
không có điểm chung.
Đường thẳng
qua
I
và vuông góc với
( )
P
cắt
( )
S
tại
A
, cắt
( )
P
tại
H
. Gọi
,MN
lần
lượt là hai điểm thay đổi trên
( )
S
và
( )
P
. Gọi
,KE
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
M
trên
( )
P
và
IH
.
Ta có:
MN MK EH=
Vì
M
nằm trên mặt cầu
( )
S
(
M
nằm trên đường tròn tâm
E
là giao tuyến của mặt cầu với
mặt phẳng qua
M
vuông góc với
IH
) nên
EH AH MN AH
.
Do đó,
MN
nhỏ nhất khi
,MN
là giao điểm của
( ) ( )
,SP
với đường thẳng
. Phương trình
là:
12
2
12
xt
yt
zt
=+
= − −
= − +
Giao điểm của
và
( )
P
là:
11
12
3
2
10 11 10 5
;;
12
3 3 3 3
5
2 2 14 0
3
x
xt
yt
yH
zt
x y z
z
=
=+
= − −
−−
=
= − +
− + − =
=
Giao điểm của
và
( )
S
là:
( )
( )
2 2 2
12
3; 3;1
2
12
1; 1; 3
2 4 2 3 0
xt
A
yt
zt
A
x y z x y z
=+
−
= − −
= − +
−−−
+ + − + + − =
Ta có:
1, 7AH AH
==
nên để
MN
nhỏ nhất thì
( )
3; 3;1M −
và
11 10 5
;;
3 3 3
N
−
Trang 175
Vậy
3T =
Câu 50: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục và luôn dương trên có đồ thị hàm số
( )
y f x
=
như hình vẽ.
Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
0 20m
để hàm số
( )
2
4 2 2023y f x m x mx= − + − +
đồng biến trên khoảng
( )
1;2
?
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D.
1
.
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số
( )
( ) ( )
( )
2
22
4 2 2023 4 2023g x f x m x mx f x m x m m= − + − + = − + − − +
.
Đạo hàm:
( ) ( )
( )
( )
42g x x m f x m x m
= − − + −
Theo giả thiết
( )
0,f x x
và
)
0;20m
suy ra
( ) ( )
0, *g x x
Để hàm số
( )
y g x=
đồng biến trên
( )
1;2
thì
( ) ( ) ( )
. 0, 1;2g x g x x
Mặt khác
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
0 0 4 2 0, 1;2g x g x x m f x m x m x
− − + −
( )
( )
( )
( )
( )
1;2
00
1
4 2 0 4 2 0
4
0 0 2
25
4
4 2 0 4 2 0
x
x m x m
m
m
f x m x m f x m x m
xm
x m x m m
m
xm
f x m x m f x m x m
− −
⎯⎯⎯→
− + − − + −
−
− −
−
− + − − + −
Vậy có
4
giá trị nguyên của tham số
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2024
Trang 176
ĐỀ 8
Bài thi: TOÁN
Câu 1: Số phức liên hợp của số phức
12zi= − +
là
A.
1 2 .zi=−
B.
1 2 .zi=+
C.
1 2 .zi= − −
D.
2zi=−
Câu 2: Đạo hàm của hàm số
3
x
y
−
=
là
A.
3 ln3
x
y
−
=
. B.
3 ln3
x
y
−
=−
. C.
3
ln3
x
y
−
−
=
. D.
3
ln3
x
y
−
=
.
Câu 3: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh để tham
gia vệ sinh toàn trường?
A. 9880. B. 59280. C. 2300. D. 455.
Câu 4: Cho cấp số cộng
( )
n
u
có
1
5u =−
và công sai
3.d =
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
13
34u =
. B.
13
45u =
. C.
13
31u =
. D.
13
35u =
.
Câu 5: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
;1−
. B.
( )
1;− +
. C.
( )
0;1
. D.
( )
;0−
.
Câu 6: Với
a
là số thực dương tùy ý,
2023
a
bằng
A.
1
2023
a
. B.
2023
a
. C.
2023
a
. D.
2023
a
.
Câu 7: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng xét dấu của đạo hàm
( )
fx
như sau:
Hàm số
( )
fx
có bao nhiêu điểm cực trị?
A.
3
. B.
4
. C.
5
. D.
6
.
Câu 8: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
36
2
x
y
x
+
=
−
là đường thẳng
A.
3x =
. B.
2x =−
.
C.
3x =−
. D.
2x =
.
Câu 9: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong (nét
đậm) trong hình sau?
A.
2
21
21
xx
y
x
−+
=
−
. B.
21
21
x
y
x
+
=
−
. C.
32
9
23
2
y x x x= − +
. D.
21
21
x
y
x
−
=
+
.
Câu 10: Số giao điểm của đồ thị hàm số
3
8y x x=−
với trục hoành là
Trang 177
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 11: Với
a
là số thực dương tùy ý,
( )
22
ln ea
bằng
A.
2
ln 4ln 4aa++
. B.
4lna
. C.
2ln 4a +
. D.
2
ln 4a +
.
Câu 12: Họ các nguyên hàm của hàm số
( )
5
1y x x=+
là
A.
( ) ( )
76
11
76
xx
C
++
++
. B.
( ) ( )
54
6 1 5 1x x C+ + + +
.
C.
( ) ( )
54
6 1 5 1x x C+ − + +
. D.
( ) ( )
76
11
76
xx
C
++
−+
.
Câu 13: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau:
Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
A.
1x =
. B.
3x =
. C.
4x =
. D.
2x =−
.
Câu 14: Nghiệm của phương trình
12
4 32
xx+
=
là
A.
1x =−
. B.
1
3
x =
. C.
2
9
x =
. D.
2x =
.
Câu 15: Phương trình
( )
2
log 3 4 3xx− + =
có bao nhiêu nghiệm thực?
A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.
Câu 16: Cho hàm số
( )
22
1
sin cosxx
fx=
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
( )
d tan cotf x x x x C= − + +
. B.
( )
d tan cotf x x x x C= + +
.
C.
( ) ( )
d tan cotf x x x x C= − + +
. D.
( )
d tan cotf x x x x C= − +
.
Câu 17: Trong mặt phẳng
( )
Oxy
, gọi
M
là điểm biểu diễn số phức
2.zi=−
Khi đó
M
có tọa độ là
A.
( )
1; 2−
. B.
( )
2;1
. C.
( )
2; 1−
. D.
( )
1;2
.
Câu 18: Cho hai hàm số
( )
fx
,
( )
gx
liên tục trên thỏa mãn
( )
2
1
d3f x x =
và
1
2
( )d 5g x x =−
. Tính
( ) ( )
( )
2
1
2 3 df x g x x−
.
A. 21. B. 9. C.
21−
. D.
9−
.
Câu 19: Cho hai số phức
1
34zi=+
và
2
5 11zi=−
. Phần thực và phần ảo của số phức
12
zz+
lần lượt
là
A.
8−
và
7i−
. B. 8 và
7−
. C.
8−
và
7−
. D.
8
và
7i−
.
Câu 20: Cho hình chóp tam giác
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
,
AB a=
,
2AC a=
,
cạnh bên
SA
vuông góc với mặt đáy và
SA a=
. Tính thể tích của khối chóp
.S ABC
.
V
Trang 178
A.
3
Va=
.
B.
3
2
a
V =
.
C.
3
3
a
V =
.
D.
3
4
a
V =
.
Câu 21: Cho hình hộp chữ nhật
.ABCD A B C D
có
5AC a=
,
10A B a
=
và
13BC a
=
. Tính
theo
a
thể tích
V
của khối hộp chữ nhật đã cho.
A.
3
6Va=
. B.
3
12Va=
. C.
3
24Va=
. D.
3
2Va=
.
Câu 22: Tích phân
1
42
1
( 3 2)dx x x
−
−+
bằng
A. 0. B.
12
5
. C.
12
5
−
. D.
6
5
.
Câu 23: Cho khối nón có bán kính đáy bằng
r
, chiều cao bằng
h
và độ dài đường sinh bằng
l
. Thể tích
V
của khối nón đã cho được tính bởi công thức nào dưới đây?
A.
2
πV r h=
. B.
1
π
3
V rh=
. C.
( )
22
1
π
3
V l h h=−
. D.
( )
22
1
π
3
V l h l=−
.
Câu 24: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1;2;0A −
,
( )
3;0; 2B −
. Tọa độ tâm mặt cầu đường
kính
AB
là
A.
( )
2;2; 2−
. B.
( )
1;1; 1−
. C.
( )
4; 2; 2−−
. D.
( )
2; 1; 1−−
.
Câu 25: Trong không gian
Oxyz
, cho hình lập phương
.ABCD A B C D
có
( )
0;0;0A
,
( )
3;0;0B
,
( )
0;3;0D
,
( )
0;0;3A
. Tìm tọa độ tâm
I
và tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp hình lập
phương
.ABCD AB C D
.
A.
3 3 3 3 3
; ; ,
2 2 2 2
IR
=
. B.
( )
33
1;1;1 ,
2
IR=
.
C.
3 3 3 3 2
; ; ,
2 2 2 2
IR
=
. D.
333
; ; , 1
222
IR
=
.
Câu 26: Cho hình trụ có diện tích mỗi mặt đáy bằng
25π
, biết thiết diện qua trục là một hình vuông.
Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.
A.
50π
. B.
100π
. C.
25π
. D.
400π
.
Câu 27: Hai người cùng bắn độc lập vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng của từng người lần lượt là
0,8
và
0,9
. Tìm xác suất của biến cố
A
: “ Chỉ có một người bắn trúng mục tiêu ”.
A.
( )
0,26PA=
. B.
( )
0,74PA=
. C.
( )
0,72PA=
. D.
( )
0,3PA=
.
Câu 28: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( ): 2 3 2 0x my z
+ + − =
(
m
là tham số thực) và mặt
cầu
2 2 2
( ) : ( 1) ( 2) 9S x y z− + − + =
. Tìm giá trị của tham số
m
để mặt phẳng
()
cắt mặt cầu
( )
S
theo giao tuyến là đường tròn lớn.
A.
1m =−
. B.
1m =
. C.
0m =
. D.
2m =
.
Câu 29: Cho các hàm số
53
2y x x x= + +
;
1
2
x
y
x
−
=
+
;
3
4 4siny x x x= + −
;
( )
2
log 2 .yx=+
Số các
hàm số đồng biến trên là
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Trang 179
Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho đường thẳng
( )
1 2 3 3
:.
2 4 2
x y z
d
− + −
==
Vectơ nào
dưới đây là một vectơ chỉ phương của
( )
d
?
A.
( )
1
1;1;1u =
. B.
( )
2
1; 1;1u = − −
. C.
( )
3
2; 2;2u =−
. D.
( )
4
1; 1; 1u = − −
.
Câu 31: Cho hàm số
42
23y x x= − + −
. Điểm cực tiểu của hàm số là
A.
3x =−
. B.
0x =
. C.
1x =−
. D.
1x =
.
Câu 32: Hàm số
( )
y f x=
xác định và có đạo hàm trên
\ 1;1 ,−
có bảng biến thiên như sau:
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( )
( )
1
2
gx
fx
=
−
là
A. 3. B. 2. C. 4. D. 1.
Câu 33: Tập nghiệm của bất phương trình
2
2
28
xx−
là
A.
( )
3; +
. B.
( )
;1− −
. C.
( ) ( )
; 1 3;− − +
. D.
( )
1;3−
.
Câu 34: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
5 4 3
5 5 1f x x x x= − + +
trên đoạn
1;2−
bằng
A.
4−
. B.
8−
. C. 8. D. 4.
Câu 35: Cho hai số phức
z
và
w
thỏa mãn
3( . 2) 4 (2 . )w z i w z− = −
. Tính
| . |wz
.
A. 20. B. 10. C. 2. D. 5.
Câu 36: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
: 2 2 3 0Q x y z+ + − =
và điểm
( )
2;3;1 .A
Viết
phương trình tham số của đường thẳng
d
qua
A
và vuông góc với mặt phẳng
( )
Q
.
A.
22
32
1
xt
yt
zt
=+
=+
=+
. B.
22
23
1
xt
yt
zt
=+
=+
=+
. C.
22
33
1
xt
yt
zt
=+
=+
=+
. D.
22
22
1
xt
yt
zt
=+
=+
=+
.
Câu 37: Trong không gian
Oxyz
, mặt cầu có tâm
( )
1;2; 1I −
và đi qua điểm
( )
2;2;3A −
có phương trình
là
A.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 1 2 1 25S x y z− + − + + =
. B.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 1 2 1 5S x y z− + − + + =
.
C.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 1 2 1 5S x y z− + − + − =
. D.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 1 2 1 25S x y z− + − + − =
.
Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh
a
,
cạnh bên
23SA a=
vuông góc với đáy (tham khảo hình
bên). Tính khoảng cách từ
B
đến mặt phẳng
( )
SCD
.
Trang 180
A.
2
13
a
. B.
2 39
13
a
.
C.
39
13
a
. D.
39
2
a
.
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên
x
thỏa mãn
2
3
2
2
11
log log
81 16
xx−−
?
A.
68
. B.
73
. C.
70
. D.
72
.
Câu 40: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên . Gọi
( )
Fx
và
( )
Gx
là hai nguyên hàm của hàm số
( )
fx
và
( )
2
f x x+
trên thỏa mãn
( ) ( )
3 3 10GF−=
. Khi đó
( ) ( )
( )
3
2
1
x G x F x dx−
bằng
A.
1
2
. B.
442
9
. C.
2
. D.
26
3
.
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để đồ thị của hàm số
( )
42
22y x m x= − + −
có ba
điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn
42
.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
0
.
Câu 42: Cho số phức
z
thỏa mãn
( )( )
2
2 5 1 2 1 3z z z i z i+ + = + + + −
và số phức
12w z i= − −
. Giá
trị nhỏ nhất
w
bằng
A.
25
. B.
1
2
. C.
5
2
. D.
5
.
Câu 43: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết
rằng góc giữa
SC
và mặt phẳng đáy bằng
60
và khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )
SBC
bằng
6a
. Thể tích khối chóp
.S ABCD
bằng:
A.
3
76
3
a
. B.
3
42
3
a
. C.
3
7 42
3
a
. D.
3
6
3
a
.
Câu 44: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên . Gọi
( )
Fx
và
( )
Gx
là hai nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên và thỏa mãn
( ) ( ) ( ) ( )
3
2
1
3 1 3 1 0f x dx F G m m= − + +
. Gọi
S
là diện tích hình
phẳng giới hạn bởi các đường
( ) ( )
, , 1y F x y G x x= = =
và
3=
. Khi
8S =
thì giá trị của
tham số
m
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
( )
1;0−
. B.
( )
0;2
. C.
( )
2;5
. D.
( )
3; 1−−
Câu 45: Trên tập hợp số phức, xét phương trình
( )
22
2 2 1 0z m z m− − + =
(
m
là số thực). Khi phương
trình có hai nghiệm phân biệt
12
,zz
sao cho biểu thức
22
1 2 1 2
10T z z z z= + −
đạt giá trị nhỏ
nhất thì giá trị
m
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
( )
1;1−
. B.
)
1;2
. C.
3
;3
2
. D.
( )
2;+
.
Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm
( ) ( ) ( )
2;1;0 , 4;0;0 , 0;2;0A B C
và mặt phẳng
( )
:0x y z
− − =
. Gọi
d
là đường thẳng song song với mặt phẳng
( )
và đi qua điểm
A
.
Trang 181
Khi tổng khoảng cách từ các điểm
,BC
tới đường thẳng
d
đạt giá trị nhỏ nhất thì đường thẳng
d
đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?
A.
( )
4; 1;4D −
. B.
( )
2;2; 5E −−
. C.
( )
3; 3;5F −
. D.
( )
5;1;3G
.
Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên
( )
;xy
thỏa mãn
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 5 2 5
log 18 log 4 log log 2 1x y x x y x x y x+ + − + + + − +
.
A. 10. B. 20. C. 27. D. 28
Câu 48: Cho hình nón
( )
N
có bán kính đáy
6 cmr =
và độ dài đường sinh
4 3 cml =
. Cắt hình nón
( )
N
bằng mặt phẳng đi qua đỉnh
S
và tạo với trục một góc
30
ta được thiết diện là tam giác
SAB
. Diện tích của tam giác
SAB
bằng
A.
2
32 3 cm
. B.
2
32 2 cm
. C.
2
16 3 cm
. D.
2
16 2 cm
.
Câu 49: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
0;0;4C
,
( )
1; 1;0M −−
. Mặt phẳng
( )
đi qua điểm
C
và tạo với trục
Oz
một góc
thỏa mãn
52
tan
4
=
. Giả sử
( )
;;n a b c=
là một vectơ pháp
tuyến của
( )
. Khi khoảng cách từ
M
đến
( )
lớn nhất thì giá trị biểu thức
a b c−+
bằng
A.
5
2
−
. B.
5
2
. C.
5
. D.
5−
.
Câu 50: Cho hàm số
( )
y f x=
. Đồ thị hàm số
( )
y f x
=
như hình vẽ dưới đây.
Biết
( )
2 ln2f =
. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
2023;2023m−
để hàm
số
( ) ( )
( )
2
2 1 ln 4 1 2g x f x x mx= + − + −
nghịch biến trên khoảng
11
;
22
−
?
A.
1
. B.
3
. C.
0
. D.
2
.
---------------------HẾT---------------------
Trang 182
ĐÁP ÁN CHI TIẾT
1.C
2.B
3.A
4.C
5.D
6.A
7.C
8.D
9.B
10.C
11.A
12.D
13.B
14.D
15.D
16.D
17.C
18.D
19.B
20.C
21.A
22.B
23.C
24.B
25.A
26.B
27.A
28.C
29.A
30.B
31.B
32.A
33.D
34.B
35.C
36.A
37.A
38.B
39.C
40.B
41.A
42.B
43.C
44.B
45.C
46.D
47.D
48.D
49.C
50.C
Câu 1: Số phức liên hợp của số phức
12zi= − +
là
A.
1 2 .zi=−
B.
1 2 .zi=+
C.
1 2 .zi= − −
D.
2zi=−
Lời giải
Số phức
z a bi=+
có số phức liên hợp là
z a bi=−
do đó số phức
12zi= − +
có số phức liên
hợp là
12zi= − −
.
Câu 2: Đạo hàm của hàm số
3
x
y
−
=
là
A.
3 ln3
x
y
−
=
. B.
3 ln3
x
y
−
=−
. C.
3
ln3
x
y
−
−
=
. D.
3
ln3
x
y
−
=
.
Lời giải
Ta có:
3
x
y
−
=
3 ln3
x
y
−
= −
.
Câu 3: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh để tham
gia vệ sinh toàn trường?
A. 9880. B. 59280. C. 2300. D. 455.
Lời giải
Nhóm học sinh 3 người được chọn (không phân biệt nam, nữ - công việc) là một tổ hợp chập 3
của 40 (học sinh).
Vì vậy, số cách chọn 3 học sinh để tham gia vệ sinh toàn trường là
3
40
40!
9880
37!.3!
C ==
.
Câu 4: Cho cấp số cộng
( )
n
u
có
1
5u =−
và công sai
3.d =
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
13
34u =
. B.
13
45u =
. C.
13
31u =
. D.
13
35u =
.
Lời giải
Ta có:
( )
1
13 1
5
13 1 31
3
u
u u d
d
=−
= + − =
=
.
Câu 5: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau:
Trang 183
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
;1−
. B.
( )
1;− +
. C.
( )
0;1
. D.
( )
;0−
.
Lời giải
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
;0−
và
( )
1;+
.
Câu 6: Với
a
là số thực dương tùy ý,
2023
a
bằng
A.
1
2023
a
. B.
2023
a
. C.
2023
a
. D.
2023
a
.
Lời giải
Với mọi
0a
ta có:
1
2023
2023
aa=
.
Câu 7: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng xét dấu của đạo hàm
( )
fx
như sau:
Hàm số
( )
fx
có bao nhiêu điểm cực trị?
A.
3
. B.
4
. C.
5
. D.
6
.
Lời giải
Vì
( )
fx
đổi dấu khi qua
3, 0, 1, 2, 3x x x x x= − = = = =
nên hàm số
( )
fx
có năm điểm cực
trị.
Câu 8: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
36
2
x
y
x
+
=
−
là đường thẳng
A.
3x =
. B.
2x =−
. C.
3x =−
. D.
2x =
.
Lời giải
Ta có
2
36
lim
2
x
x
x
+
→
+
= +
−
,
2
36
lim
2
x
x
x
−
→
+
= −
−
nên đường thẳng
2x =
là tiệm cận đứng.
Câu 9: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong (nét đậm) trong hình sau?
Trang 184
A.
2
21
21
xx
y
x
−+
=
−
. B.
21
21
x
y
x
+
=
−
.
C.
32
9
23
2
y x x x= − +
. D.
21
21
x
y
x
−
=
+
.
Lời giải
Đường cong đã cho có hình dạng của đồ thị hàm số
( )
0
ax b
y ad bc
cx d
+
= −
+
, với tiệm cận
ngang là đường thẳng
1y =
và tiệm cận đứng là đường thẳng
1
2
x =
.
Vậy hàm số
21
21
x
y
x
+
=
−
thỏa yêu cầu bài toán vì
2 1 2 1
lim lim 1
2 1 2 1
xx
xx
xx
→+ →−
++
==
−−
và
1
2
21
lim
21
x
x
x
−
→
+
= −
−
,
1
2
21
lim
21
x
x
x
+
→
+
= +
−
.
Câu 10: Số giao điểm của đồ thị hàm số
3
8y x x=−
với trục hoành là
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
3
8y x x=−
với trục hoành:
( )
32
2
0
0
8 0 8 0 2 2
80
22
x
x
x x x x x
x
x
=
=
− = − = =
−=
=−
.
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên có 3 giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục
hoành.
Câu 11: Với
a
là số thực dương tùy ý,
( )
22
ln ea
bằng
A.
2
ln 4ln 4aa++
. B.
4lna
. C.
2ln 4a +
. D.
2
ln 4a +
.
Lời giải
Với mọi
0a
ta có
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
2 2 2 2 2
ln ln ln ln ln 2 ln 4ln 4ae ae a e a a a
= = + = + = + +
.
Câu 12: Họ các nguyên hàm của hàm số
( )
5
1y x x=+
là
A.
( ) ( )
76
11
76
xx
C
++
++
. B.
( ) ( )
54
6 1 5 1x x C+ + + +
.
Trang 185
C.
( ) ( )
54
6 1 5 1x x C+ − + +
. D.
( ) ( )
76
11
76
xx
C
++
−+
.
Lời giải
Ta có
( ) ( )( ) ( ) ( )
5 5 6 5
1 1 1 1 1 1y x x x x x x= + = + − + = + − +
nên hàm số có họ các nguyên hàm
là
( )
( ) ( )
76
11
76
xx
F x C
++
= − +
.
Câu 13: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau:
Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
A.
1x =
. B.
3x =
. C.
4x =
. D.
2x =−
.
Lời giải
Vì
( )
fx
đổi dấu từ âm sang dương khi qua
3x =
nên
3
CT
x =
.
Câu 14: Nghiệm của phương trình
12
4 32
xx+
=
là
A.
1x =−
. B.
1
3
x =
. C.
2
9
x =
. D.
2x =
.
Lời giải
Ta có:
1 2 2 4 5
4 32 2 2 2 4 5 2
x x x x
x x x
++
= = + = =
.
Câu 15: Phương trình
( )
2
log 3 4 3xx− + =
có bao nhiêu nghiệm thực?
A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.
Lời giải
Ta có:
( )
3
2
log 3 4 3 3 4 2x x x x− + = − + =
10
3 4 0 16
4
x
x x x
x
= −
− − = =
=
.
Câu 16: Cho hàm số
( )
22
1
sin cosxx
fx=
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
( )
d tan cotf x x x x C= − + +
. B.
( )
d tan cotf x x x x C= + +
.
C.
( ) ( )
d tan cotf x x x x C= − + +
. D.
( )
d tan cotf x x x x C= − +
.
Lời giải
Trang 186
Ta có
22
d
1
sin cos
x
xx
22
22
d
sin cos
sin cos
x
xx
xx
=
+
22
dd
11
sin cos
xx
xx
=+
tan cotx x C= − +
.
Câu 17: Trong mặt phẳng
( )
Oxy
, gọi
M
là điểm biểu diễn số phức
2.zi=−
Khi đó
M
có tọa độ là
A.
( )
1; 2−
. B.
( )
2;1
. C.
( )
2; 1−
. D.
( )
1;2
.
Lời giải
Ta có
( )
2 2; 1z i M= − −
là điểm biểu diễn số phức
2zi=−
.
Câu 18: Cho hai hàm số
( )
fx
,
( )
gx
liên tục trên thỏa mãn
( )
2
1
d3f x x =
và
1
2
( )d 5g x x =−
. Tính
( ) ( )
( )
2
1
2 3 df x g x x−
.
A. 21. B. 9. C.
21−
. D.
9−
.
Lời giải
Ta có
2 2 2 2 1
1 1 1 1 2
(2 ( ) 3 ( ))d 2 ( )d 3 ( )d 2 ( )d 3 ( )d 2.3 3.( 5) 9.f x g x x f x x g x x f x x g x x− = − = + = + − = −
Câu 19: Cho hai số phức
1
34zi=+
và
2
5 11zi=−
. Phần thực và phần ảo của số phức
12
zz+
lần lượt
là
A.
8−
và
7i−
. B. 8 và
7−
. C.
8−
và
7−
. D.
8
và
7i−
.
Lời giải
Ta có:
12
(3 4 ) (5 11 ) 8 7 .z iiz i= + + −+ −=
Vậy
12
zz+
có phần thực bằng 8 và phần ảo bằng
7−
.
Câu 20: Cho hình chóp tam giác
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
,
AB a=
,
2AC a=
,
cạnh bên
SA
vuông góc với mặt đáy và
SA a=
. Tính thể tích của khối chóp
.S ABC
.
A.
3
Va=
.
B.
3
2
a
V =
.
C.
3
3
a
V =
.
D.
3
4
a
V =
.
Lời giải
V
Trang 187
Diện tích mặt đáy
2
1
.2
2
ABC
S a a a==
Chiều cao
SA a=
. Thể tích khối chóp
.S ABC
:
3
2
11
..
3 3 3
ABC
a
V S SA a a= = =
.
Câu 21: Cho hình hộp chữ nhật
.ABCD AB C D
có
5AC a=
,
10A B a
=
và
13BC a
=
. Tính
theo
a
thể tích
V
của khối hộp chữ nhật đã cho.
A.
3
6Va=
. B.
3
12Va=
. C.
3
24Va=
. D.
3
2Va=
.
Lời giải
Gọi
,,x y z
lần lượt là độ dài của các cạnh
,,AB BC AA
.
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
5
10 4 2
3
13 9
AC AB BC a x y x a
xa
A B AB AA a x z y a y a
za
BC BC AA a y z z a
= + = + =
=
= + = + = =
=
= + = + =
.
Vậy thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho là
3
6V xyz a==
.
Câu 22: Tích phân
1
42
1
( 3 2)dx x x
−
−+
bằng
A. 0. B.
12
5
. C.
12
5
−
. D.
6
5
.
Lời giải
Ta có
1
1
5
4 2 3
1
1
1 1 12
( 3 2)d 2 1 2 1 2 .
5 5 5 5
x
x x x x x
−
−
− + = − + = − + − − + − =
Câu 23: Cho khối nón có bán kính đáy bằng
r
, chiều cao bằng
h
và độ dài đường sinh bằng
l
. Thể tích
V
của khối nón đã cho được tính bởi công thức nào dưới đây?
A.
2
πV r h=
. B.
1
π
3
V rh=
. C.
( )
22
1
π
3
V l h h=−
. D.
( )
22
1
π
3
V l h l=−
.
Lời giải
Ta có
2 2 2 2 2 2
l h r r l h= + = −
. Do đó thể tích của khối nón là
( )
2 2 2
11
ππ
33
V r h l h h= = −
.
Câu 24: Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1;2;0A −
,
( )
3;0; 2B −
. Tọa độ tâm mặt cầu đường
kính
AB
là
A.
( )
2;2; 2−
. B.
( )
1;1; 1−
. C.
( )
4; 2; 2−−
. D.
( )
2; 1; 1−−
.
Trang 188
Lời giải
Gọi
I
là tâm mặt cầu đường kính
AB
thì
I
là trung điểm đoạn thẳng
AB
. Khi đó tọa độ
I
là
(1;1; 1)−
.
Câu 25: Trong không gian
Oxyz
, cho hình lập phương
.ABCD AB C D
có
( )
0;0;0A
,
( )
3;0;0B
,
( )
0;3;0D
,
( )
0;0;3A
. Tìm tọa độ tâm
I
và tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp hình lập
phương
.ABCD A B C D
.
A.
3 3 3 3 3
; ; ,
2 2 2 2
IR
=
. B.
( )
33
1;1;1 ,
2
IR=
.
C.
3 3 3 3 2
; ; ,
2 2 2 2
IR
=
. D.
333
; ; , 1
222
IR
=
.
Lời giải
Hình lập phương
.ABCD A B C D
cạnh bằng 3 có đường kính mặt cầu ngoại tiếp là đường chéo
AC
. Do đó bán kính
33
2
R =
.
Dễ thấy
( )
3;3;3C
, tâm mặt cầu là trung điểm
AC
nên có tọa độ
333
;;
222
I
.
Câu 26: Cho hình trụ có diện tích mỗi mặt đáy bằng
25π
, biết thiết diện qua trục là một hình vuông.
Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.
A.
50π
. B.
100π
. C.
25π
. D.
400π
.
Lời giải
Ta có
22
π 25π π 5
d
S r r r= = =
. Theo giả thiết, thiết diện qua trục là một hình vuông, suy
ra
2 10hr==
. Vậy diện tích xung quanh của hình trụ đó là
2π 100π
xq
S rh==
.
Câu 27: Hai người cùng bắn độc lập vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng của từng người lần lượt là
0,8
và
0,9
. Tìm xác suất của biến cố
A
: “ Chỉ có một người bắn trúng mục tiêu ”.
A.
( )
0,26PA=
. B.
( )
0,74PA=
. C.
( )
0,72PA=
. D.
( )
0,3PA=
.
Lời giải
Gọi
1
A
là biến cố “ Người 1 bắn trúng mục tiêu ”.
Gọi
2
A
là biến cố “ Người 2 bắn trúng mục tiêu ” (
1 2 1 2
; ; ; A A A A
là các biến cố độc lập). Từ
giả thiết ta có
( ) ( )
12
0,8; 0,9.P A P A==
Mà
1 2 1 2
A A A A A=
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
. . 0,8. 1 0,9 1 0,8 .0,9 0,26P A P A P A P A P A = + = − + − =
.
Trang 189
Câu 28: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( ): 2 3 2 0x my z
+ + − =
(
m
là tham số thực) và mặt
cầu
2 2 2
( ) : ( 1) ( 2) 9S x y z− + − + =
. Tìm giá trị của tham số
m
để mặt phẳng
()
cắt mặt cầu
( )
S
theo giao tuyến là đường tròn lớn.
A.
1m =−
. B.
1m =
. C.
0m =
. D.
2m =
.
Lời giải
Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn lớn khi mặt phẳng đi qua tâm mặt cầu.
Ta có tâm
(1;2;0)I
, thay tọa độ tâm
I
vào phương trình mặt phẳng
()
ta được
0m =
.
Câu 29: Cho các hàm số
53
2y x x x= + +
;
1
2
x
y
x
−
=
+
;
3
4 4siny x x x= + −
;
( )
2
log 2 .yx=+
Số các
hàm số đồng biến trên là
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Lời giải
Ta có
5 3 4 2
2 ' 5 3 2 0,y x x x y x x x= + + = + +
, do đó hàm số đồng biến trên .
Ta có hàm số
1
2
x
y
x
−
=
+
có tập xác định là
\2−
nên hàm số không đồng biến trên
.
3
4 4siny x x x= + −
( )
22
3 4 4cos 3 4 1 cos 0y x x x x
= + − = + −
,
x
và
0y
=
0x=
do đó hàm số đồng biến trên
.
Ta có hàm số
( )
2
log 2yx=+
có tập xác định là
( )
2; .− +
Do đó hàm số không đồng biến trên
.
Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho đường thẳng
( )
1 2 3 3
:.
2 4 2
x y z
d
− + −
==
Vectơ nào
dưới đây là một vectơ chỉ phương của
( )
d
?
A.
( )
1
1;1;1u =
. B.
( )
2
1; 1;1u = − −
. C.
( )
3
2; 2;2u =−
. D.
( )
4
1; 1; 1u = − −
.
Lời giải
Ta viết phương trình đường thẳng
( )
d
về dạng phương trình chính tắc:
3
13
2
2 2 2
y
xz
+
−−
==
−
Từ phương trình của
( )
d
ta có vectơ chỉ phương
( )
2;2; 2−
hay chọn vectơ cùng phương
( )
2
1; 1;1 .u = − −
Câu 31: Cho hàm số
42
23y x x= − + −
. Điểm cực tiểu của hàm số là
A.
3x =−
. B.
0x =
. C.
1x =−
. D.
1x =
.
Lời giải
Tập xác định:
D =
.
Đạo hàm:
3
44y x x
= − +
.
3
0
0 4 4 0 1
1
x
y x x x
x
=
= − + = = −
=
.
Bảng biến thiên:
Trang 190
Dựa vào bảng biến thiên suy ra điểm cực tiểu của hàm số là
0x =
.
Câu 32: Hàm số
( )
y f x=
xác định và có đạo hàm trên
\ 1;1 ,−
có bảng biến thiên như sau:
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( )
( )
1
2
gx
fx
=
−
là
A. 3. B. 2. C. 4. D. 1.
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
( ) ( )
( )
( )
( )
;1
2 0 2 1;0
0;1
xa
f x f x x b
xc
= − −
− = = = −
=
.
Suy ra đồ thị hàm số
( )
( )
1
2
gx
fx
=
−
có 3 tiệm cận đứng.
Câu 33: Tập nghiệm của bất phương trình
2
2
28
xx−
là
A.
( )
3; +
. B.
( )
;1− −
. C.
( ) ( )
; 1 3;− − +
. D.
( )
1;3−
.
Lời giải
Ta có:
22
2 2 3 2 2
2 8 2 2 2 3 2 3 0
x x x x
x x x x
−−
− − −
13x −
.
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
( 1;3)S =−
.
Câu 34: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
5 4 3
5 5 1f x x x x= − + +
trên đoạn
1;2−
bằng
A.
4−
. B.
8−
. C. 8. D. 4.
Lời giải
Tập xác định:
D =
.
( )
( )
4 3 2 2 2
5 20 15 5 20 15 0f x x x x x x x
= − + = − + =
2
2
0 1;2
0
1 1;2
5 20 15 0
3 1;2
x
x
x
xx
x
= −
=
= −
− + =
= −
.
Trang 191
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra:
( )
( )
1;2
1;2
Max 2;Min 10f x f x
−
−
= = −
.
Vậy tổng cần tìm là:
( )
2 10 8+ − = −
.
Câu 35: Cho hai số phức
z
và
w
thỏa mãn
3( . 2) 4 (2 . )w z i w z− = −
. Tính
| . |wz
.
A. 20. B. 10. C. 2. D. 5.
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
3 . 2 4 2 .w z i w z− = −
3. . 6 8 4 . .w z i i w z − = −
( )
. 3 4 6 8w z i i + = +
. 2 | . | 2w z w z = =
.
Câu 36: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
: 2 2 3 0Q x y z+ + − =
và điểm
( )
2;3;1 .A
Viết
phương trình tham số của đường thẳng
d
qua
A
và vuông góc với mặt phẳng
( )
Q
.
A.
22
32
1
xt
yt
zt
=+
=+
=+
. B.
22
23
1
xt
yt
zt
=+
=+
=+
. C.
22
33
1
xt
yt
zt
=+
=+
=+
. D.
22
22
1
xt
yt
zt
=+
=+
=+
.
Lời giải
Mặt phẳng
( )
: 2 2 3 0Q x y z+ + − =
có vectơ pháp tuyến
( )
2;2;1n =
.
Đường thẳng
d
vuông góc với mặt phẳng
( )
Q
nên
d
có vectơ chỉ phương là
( )
2;2;1a =
.
Suy ra phương trình tham số của đường thẳng
d
qua
( )
2;3;1A
và vuông góc với mặt phẳng
( )
: 2 2 3 0Q x y z+ + − =
là
22
32
1
xt
yt
zt
=+
=+
=+
.
Câu 37: Trong không gian
Oxyz
, mặt cầu có tâm
( )
1;2; 1I −
và đi qua điểm
( )
2;2;3A −
có phương trình
là
A.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 1 2 1 25S x y z− + − + + =
. B.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 1 2 1 5S x y z− + − + + =
.
C.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 1 2 1 5S x y z− + − + − =
. D.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 1 2 1 25S x y z− + − + − =
.
Lời giải
Ta có
5R IA==
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 1 2 1 25S x y z− + − + + =
Trang 192
Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên
23SA a=
vuông góc với đáy
(tham khảo hình bên). Tính khoảng cách từ
B
đến mặt phẳng
( )
SCD
.
A.
2
13
a
. B.
2 39
13
a
. C.
39
13
a
. D.
39
2
a
.
Lời giải
Ta có
( ) ( )
( )
( )
( )
// // , ,AB CD AB SCD d B SDC d A SCD =
( ) ( ) ( )
CD AD
CD SAD SCD SAD
CD SA
⊥
⊥ ⊥
⊥
.
Mà
( ) ( )
SCD SAD SD=
, trong
SAD
kẻ
AK SD⊥
( )
AK SCD⊥
.
Do đó
( )
( )
( )
( )
22
. 2 39
,,
13
SA AD a
d B SCD d A SCD AK
SA AD
= = = =
+
.
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên
x
thỏa mãn
2
3
2
2
11
log log
81 16
xx−−
?
A.
68
. B.
73
. C.
70
. D.
72
.
Lời giải
Điều kiện:
2
1
10
1
x
x
x
−
−
.
Ta có:
( ) ( )
2
2
22
2 3 2 3 3
2
11
l 6og log log log log log
81 16
1 81 1 1x
x
x
x−
− − −
−
−
( ) ( )
22
2 3 2 3 3
log 3. 1 4log 3 1 4 2log log logxx−− − −
( )
( )
( )
2
2 3 2 3
log log log lo3 1 1 4 3 2gx− − −
Trang 193
( )
( )
23
2
3
2
4 3 2
1
31
log log
log
log
x
−
−
−
( )
3
3
2
3
3
1
log
log
log
1
1
42
2
2l
1
og
x
−
−
−
( )
( )
2
33
g12log 4 1 lox −+
( )
24
33
1gl6lo ogx −
24
16x −
1297 1297x −
.
Kết hợp điều kiện ta có
36; 35;...; 2;2;...;35;36x − − −
.
Vậy có
70
số nguyên
x
thỏa mãn.
Câu 40: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên . Gọi
( )
Fx
và
( )
Gx
là hai nguyên hàm của hàm số
( )
fx
và
( )
2
f x x+
trên thỏa mãn
( ) ( )
3 3 10GF−=
. Khi đó
( ) ( )
( )
3
2
1
x G x F x dx−
bằng
A.
1
2
. B.
442
9
. C.
2
. D.
26
3
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
1
f x dx F x C=+
suy ra:
( )
( )
( ) ( )
3
22
2
3
x
f x x dx f x dx x dx F x C+ = + = + +
Mặt khác:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
33
2
3
33
xx
f x x dx G x C G x F x C G x F x C+ = + = + + − = +
Theo giả thiết:
( ) ( ) ( ) ( )
33
3
3 3 10 10 1 1
33
x
G F C C G x F x− = + = = − = +
.
Khi đó:
( ) ( )
( )
3 3 3
35
2 2 2
1 1 1
442
1
3 3 9
xx
x G x F x dx x dx x dx
− = + = + =
.
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để đồ thị của hàm số
( )
42
22y x m x= − + −
có ba
điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn
42
.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
0
.
Lời giải
Trang 194
Ta có
D =
,
( )
( )
32
4 4 2 4 2y x m x x x m
= − + − = − − +
.
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị
phương trình
0y
=
có ba nghiệm phân biệt
2m
.
Ta có
0
02
2
x
y x m
xm
=
= = − −
=−
.
Khi đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
( ) ( )
( )
2
0;0 , 2; 2O B m m− − −
và
( )
( )
2
2; 2C m m−−
.
Các điểm cực trị tạo thành tam giác cân có đáy bằng
22BC m=−
, đường cao bằng
( )
2
2OH m=−
. (như hình minh họa).
Ta được
( )
2
1
. 2. 2
2
OBC
S OH BC m m
= = − −
.
Tam giác
OBC
có diện tích nhỏ hơn
42
( )
2
2. 2 4 2mm − −
( )
5
2 32 2 2 4m m m − −
. Vậy
( )
2;4m
, mà
3mm =
.
Câu 42: Cho số phức
z
thỏa mãn
( )( )
2
2 5 1 2 1 3z z z i z i+ + = + + + −
và số phức
12w z i= − −
. Giá
trị nhỏ nhất
w
bằng
A.
25
. B.
1
2
. C.
5
2
. D.
5
.
Lời giải
Theo giả thiết,
( )( )
2
2 5 1 2 1 3z z z i z i+ + = + + + −
( )( ) ( )( )
1 2 1 2 1 2 1 3z i z i z i z i + + + − = + + + −
( )
1 2 . 1 2 1 3 0z i z i z i + + + − − + − =
( )
( )
1 2 0 1
1 2 1 3 2
zi
z i z i
+ + =
+ − = + −
.
( )
1 1 2 0 1 2z i z i + + = = − −
. Khi đó,
1 2 1 2 2 4 2 5w i i i= − − − − = − − =
( )
3
.
Đặt
z x yi=+
(
, xy
). Khi đó:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1 3x y i x y i + + − = + + −
Trang 195
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
55
1 2 1 3 2 3
22
x y x y y y y z x i + + − = + + − − = − = = +
.
( ) ( )
2
1 1 1 1
11
2 4 4 2
w x i x = − + = − + =
x
.
( )
4
.
Từ
( )
3
và
( )
4
suy ra giá trị nhỏ nhất
1
min
2
w =
.
Câu 43: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết
rằng góc giữa
SC
và mặt phẳng đáy bằng
60
và khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )
SBC
bằng
6a
. Thể tích khối chóp
.S ABCD
bằng:
A.
3
76
3
a
. B.
3
42
3
a
. C.
3
7 42
3
a
. D.
3
6
3
a
.
Lời giải
Gọi
,2SA h AB x AC x= = =
. Vì
AC
là hình chiếu vuông góc của
SC
lên
( )
ABCD
( )
(
)
( )
, , 60SC ABCD SC AC SCA = = =
.
Xét
SAC
vuông tại
A
, ta có
( )
.tan60 6 1SA AC h x= =
.
Kẻ
( )
2AH SB⊥
. Ta có
( ) ( )
3
BC AB
BC SAB BC AH
BC SA
⊥
⊥ ⊥
⊥
.
Từ
( )
2
,
( ) ( ) ( )
( )
3 d , 6AH SBC A SBC AH a ⊥ = =
.
Xét
SAB
vuông tại
A
, đường cao
AH
ta có
2 2 2
1 1 1
AH SA AB
=+
( )
2 2 2
1 1 1
4
6a h x
= +
.
Từ
( )
1
và
( )
4 42, 7h a x a = =
. Vậy
( )
2
3
.
1 1 7 42
. . . 42. 7
3 3 3
S ABCD ABCD
V SAS a a a= = =
.
Trang 196
Câu 44: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên . Gọi
( )
Fx
và
( )
Gx
là hai nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên và thỏa mãn
( ) ( ) ( ) ( )
3
2
1
3 1 3 1 0f x dx F G m m= − + +
. Gọi
S
là diện tích hình
phẳng giới hạn bởi các đường
( ) ( )
, , 1y F x y G x x= = =
và
3=
. Khi
8S =
thì giá trị của
tham số
m
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
( )
1;0−
. B.
( )
0;2
. C.
( )
2;5
. D.
( )
3; 1−−
Lời giải
Ta có:
( )
Fx
và
( )
Gx
là hai nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên nên ta có
( ) ( )
:x F x G x C = +
(với
C
là hằng số).
Do đó
( ) ( )
11F G C=+
(1).
Lại có
( ) ( ) ( )
3
1
d 3 1f x x F F=−
( ) ( ) ( ) ( )
2
3 1 3 1 3 1F G m F F − + + = −
( ) ( )
2
1 1 3 1G F m − = +
(2).
Từ (1) và (2) suy ra
2
31Cm= − −
.
Khi đó
( ) ( )
2
31F x G x m= − −
,
x
( ) ( )
2
31F x G x m − = +
,
x
.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
( )
y F x=
,
( )
y G x=
,
1x =
và
3x =
là
( ) ( )
3
1
dS F x G x x=−
( ) ( )
3
2 2 2
1
3 1 d 8 3 1 .2 8 3 1 4 1m x m m m= + = + = + = =
Do
0m
nên
( )
1 0;2m =
thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 45: Trên tập hợp số phức, xét phương trình
( )
22
2 2 1 0z m z m− − + =
(
m
là số thực). Khi phương
trình có hai nghiệm phân biệt
12
,zz
sao cho biểu thức
22
1 2 1 2
10T z z z z= + −
đạt giá trị nhỏ
nhất thì giá trị
m
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
( )
1;1−
. B.
)
1;2
. C.
3
;3
2
. D.
( )
2;+
.
Lời giải
Ta có:
2
3 4 1mm
= − +
.
Trường hợp 1:
2
1
0 3 4 1 0 1
3
m m m
− +
.
Phương trình có hai nghiệm phức
2
1,2
2 1 3 4 1z m i m m= − − + −
.
Ta có
22
2
1 2 1 2
z z z z m= = =
.
Trang 197
Do đó
22
2
1 2 1 2 1 2 1 2
1
10 2 10 8 8, ;1
3
T z z z z z z z z m m
= + − = − = − −
.
Trường hợp này không tồn tại
m
để
T
đạt giá trị nhỏ nhất.
Trường hợp 2:
2
1
0 3 4 1 0
1
3
m
mm
m
− +
.
Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt
12
,zz
.
Ta có
( )
2
1 2 1 2
2 2 1 0;z z m z z m+ = − =
.
Khi đó
( )
22
2
22
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
10 10 2 10T z z z z z z z z z z z z z z= + − = + − = + − −
( )
2
22
4 2 1 12 4 16 4m m m m= − − = − +
( ) ( )
2
1
4 2 12 12, ; 1;
3
mm
= − − − − +
.
Vậy biểu thức
T
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
12−
khi
2m =
.
Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm
( ) ( ) ( )
2;1;0 , 4;0;0 , 0;2;0A B C
và mặt phẳng
( )
:0x y z
− − =
. Gọi
d
là đường thẳng song song với mặt phẳng
( )
và đi qua điểm
A
.
Khi tổng khoảng cách từ các điểm
,BC
tới đường thẳng
d
đạt giá trị nhỏ nhất thì đường thẳng
d
đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?
A.
( )
4; 1;4D −
. B.
( )
2;2; 5E −−
. C.
( )
3; 3;5F −
. D.
( )
5;1;3G
.
Lời giải
Ta nhận thấy điểm
( )
2,1,0A
là trung điểm của
BC
.
Xét mặt phẳng
( )
đi qua điểm
( )
2,1,0A
và song song với
( )
, khi đó
( )
: 1 0x y z
− − − =
,
ta suy ra
( )
d
.
Gọi
,MN
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
,BC
trên
d
và
,PQ
lần lượt là hình chiếu
vuông góc của
,BC
trên
( )
.
Khi đó:
( ) ( ) ( )
( )
, , 2 ,d B d d C d BM CN BP CQ d B
+ = + + =
(Do
( )
đi qua điểm
A
là trung điểm của
BC
).
Từ đây suy ra tổng khoảng cách từ các điểm
,BC
tới đường thẳng
d
đạt giá trị nhỏ nhất khi và
chỉ khi
d
đi qua hai điểm
,PQ
.
Trang 198
Dễ dàng tìm được
( )
3;1;1P
là hình chiếu vuông góc của
B
trên mặt phẳng
( )
. Suy ra đường
thẳng
d
đi qua
( )
2,1,0A
, có véc-tơ chỉ phương
( )
1;0;1AP =
có phương trình tham số
( )
2
1,
xt
yt
zt
=+
=
=
. Từ đó ta thấy
( )
5;1;3Gd
.
Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên
( )
;xy
thỏa mãn:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 5 2 5
log 18 log 4 log log 2 1x y x x y x x y x+ + − + + + − +
.
A. 10. B. 20. C. 27. D. 28
Lời giải
Điều kiện
0x
Ta có
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 5 2 5
log 18 log 4 log log 2 1x y x x y x x y x+ + − + + + − +
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 5 5
log 18 log log 4 log 2 1x y x x y x y x x
+ + − + − + + −
2 2 2 2 2 2
2 5 2 5
2 2 2 2
18 4 18
log log 1 log 1 log 2 1
22
x y x x y x x x y
xx
x y x y
+ + + + +
− + − +
++
Đặt
22
0
2
xy
t
x
+
=
, bất phương trình trở thành
( )
25
9
log 1 log 2 1t
t
+ − +
(1).
Xét hàm số
( ) ( )
25
9
log 1 log 2f t t
t
= + − +
có
( )
( )
( )
2
91
0 0
2 ln5
9 ln2
f t t
t
tt
= − −
+
+
( )
ft
là hàm nghịch biến trên
( )
0 ; +
(2).
Mà
( )
31f =
nên từ (1) và (2) ta có
( ) ( )
33f t f t
.
Từ đó ta có
( )
22
2
2 2 2
3 6 0 3 9
2
xy
x y x x y
x
+
+ − − +
.
Suy ra
( )
2
3 9 3 3 3 0 6x x x− − −
. Mà
0x
nên
06x
;
,xy
:
Nếu
1x =
hoặc
5x =
thì
1; 2; 0y
: trường hợp này có 10 cặp số nguyên
( )
; xy
thỏa
mãn.
Nếu
2x =
hoặc
4x =
thì
1; 2; 0y
: trường hợp này có 10 cặp số nguyên
( )
; xy
thỏa
mãn.
Nếu
3x =
thì
1; 2; 3; 0y
: trường hợp này có 7 cặp số nguyên
( )
; xy
thỏa mãn.
Nếu
6x =
thì
0y =
: trường hợp này có 1 cặp số nguyên
( )
; xy
thỏa mãn.
Trang 199
Vậy có tất cả 28 cặp số nguyên
( )
; xy
thỏa mãn yêu cầu của đề bài.
Câu 48: Cho hình nón
( )
N
có bán kính đáy
6 cmr =
và độ dài đường sinh
4 3 cml =
. Cắt hình nón
( )
N
bằng mặt phẳng đi qua đỉnh
S
và tạo với trục một góc
30
ta được thiết diện là tam giác
SAB
. Diện tích của tam giác
SAB
bằng
A.
2
32 3 cm
. B.
2
32 2 cm
. C.
2
16 3 cm
. D.
2
16 2 cm
.
Lời giải
Gọi
I
là trung điểm
AB
. Ta có góc giữa
SO
và
( )
SAB
là
30OSI =
.
22
2 3cmSO l r= − =
Tam giác
SOI
có
4 cm
cos30
SO
SI ==
.
22
2 8 2cmAB SB SI= − =
.
Vậy diện tích tam giác
SAB
bằng:
2
11
. .8 2.4 16 2 cm
22
SAB
S AB SI= = =
.
Câu 49: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
0;0;4C
,
( )
1; 1;0M −−
. Mặt phẳng
( )
đi qua điểm
C
và tạo với trục
Oz
một góc
thỏa mãn
52
tan
4
=
. Giả sử
( )
;;n a b c=
là một vectơ pháp
tuyến của
( )
. Khi khoảng cách từ
M
đến
( )
lớn nhất thì giá trị biểu thức
a b c−+
bằng
A.
5
2
−
. B.
5
2
. C.
5
. D.
5−
.
Lời giải
y
z
x
C
O
N
A
M
E
B
P
H
K
Trang 200
Gọi
K
là hình chiếu vuông góc của
O
trên
( )
và điểm
( )
N Oxy CK=
.
Ta có
52ON =
suy ra
N
thuộc đường tròn
( )
T
có tâm
O
, bán kính
52r =
nằm trong
( )
Oxy
.
Ta có:
( )
chứa một đường sinh duy nhất của hình nón đỉnh
C
, trục
CO
và góc ở đỉnh là
2
Gọi
,HE
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
M
trên
( )
và
CN
.
Suy ra:
( )
( )
, .sind M MH ME CM MCN
= =
.
Do đó
( )
( )
,dM
lớn nhất khi
sinMCN
lớn nhất.
Vì
M
nằm trên
( )
Oxy
và nằm bên trong đường tròn
( )
T
nên số đo góc
MCN
lớn nhất khi
,,M O N
thẳng hàng và
O
nằm giữa
,MN
.
Khi đó
2 5 2
arctan arctan
4 4 2
MCN
= +
nên
sinMCN
lớn nhất khi
,,M O N
thẳng hàng
và
O
nằm giữa
,MN
.
Mặt khác trong
( )
Oxy
thì
M
nằm trên đường phân giác của góc
x Oy
( )
5;5;0N
.
Cũng trong
( )
Oxy
gọi
d
là đường phân giác của góc
( )
1; 1;0
d
xOy u
= −
là vectơ chỉ
phương của
d
và
( )
d MCN⊥
.
Dễ thấy
d
u OK⊥
và
n
cùng phương với
OK
, do đó
n
vuông góc với
d
u
và
CN
, từ đó ta
có
( ) ( )
, 4;4;10 2;2;5n u CN
= = =
5a b c − + =
.
Câu 50: Cho hàm số
( )
y f x=
. Đồ thị hàm số
( )
y f x
=
như hình vẽ dưới đây.
Biết
( )
2 ln2f =
. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
2023;2023m−
để
hàm số
( ) ( )
( )
2
2 1 ln 4 1 2g x f x x mx= + − + −
nghịch biến trên khoảng
11
;
22
−
?
Trang 201
A.
1
. B.
3
. C.
0
. D.
2
.
Lời giải
Đặt
( ) ( )
( )
2
2 1 ln 4 1 2h x f x x mx= + − + −
Đạo hàm:
( ) ( ) ( )
22
84
2 2 1 2 2 2 1
4 1 4 1
xx
h x f x m f x m
xx
= + − − = + − −
++
.
Để hàm số
( )
y g x=
nghịch biến trên khoảng
11
;
22
−
thì:
Trường hợp 1:
( )
( )
( )
2
0
4
21
1 1 1 1
, ; , ;
41
1
2 2 2 2
0
2 ln2 0
2
hx
x
f x m
xx
x
h
fm
+ −
− −
+
− −
.
Khi
11
;
22
x
−
thì
( ) ( )
2 1 0;4fx
+
và
( )
2
4
1;1
41
x
x
− −
+
Suy ra:
( )
1
1
2 ln2 0
0
m
m
fm
m
−
−
− −
(không thỏa mãn)
Trường hợp 2:
( )
( )
( )
2
0
4
21
1 1 1 1
, ; , ;
41
1
2 2 2 2
0
2 ln2 0
2
hx
x
f x m
xx
x
h
fm
+ −
− −
+
− −
.
Suy ra:
( )
5
5
2 ln2 0
0
m
m
fm
m
− −
(không thỏa mãn)
Vậy không tồn tại giá trị nào của tham số
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2024
ĐỀ 9
Bài thi: TOÁN
Câu 1: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức
( )
2
2zi=+
là điểm nào dưới đây?
A.
( )
3;4P
. B.
( )
5;4M
. C.
( )
4;5N
. D.
( )
4;3Q
.
Câu 2: Trên khoảng
( )
0;+
, đạo hàm của hàm số
7
logyx=
là
A.
1
7
y
x
=
. B.
ln 7
y
x
=
. C.
1
ln 7
y
x
=
. D.
1
ln7
y
x
=
.
Câu 3: Đạo hàm của hàm số là
2023
yx=
trên tập số thực, là
A.
2022
2023.yx
=
. B.
2021
2023.yx
=
. C.
2024
2022.yx
=
. D.
2022
2023
y
x
=
.
Câu 4: Phương trình
2
20
x−
=
có nghiệm là:
A.
2x =−
. B.
2x =
. C.
3x =
. D. vô nghiệm.
Trang 202
Câu 5: Cho cấp số nhân
( )
n
u
với
1
3u =
và công bội
2q =−
. Số hạng thứ
7
của cấp số nhân đó là
A.
384−
. B.
192
. C.
192−
. D.
384
.
Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho
( ) ( )
1; 3;5 , 2;4; 1AB−−
. Toạ độ của vectơ
AB
là
A.
( )
1; 7;6AB = − −
. B.
( )
1;7; 6AB =−
. C.
31
; ;2
22
AB
=
. D.
( )
3;1;4AB =
.
Câu 7: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
42
( ) 2 4 2023f x x x= − +
trên đoạn
2;0−
bằng
A.
2022
B.
2023
C.
2021
D.
2039
Câu 8: Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
33
x
f x x=−
là:
A.
3
3
ln3
x
x−
. B.
3
3
x
xC−+
. C.
3
3 ln3
x
xC−+
. D.
3
3
ln3
x
xC−+
.
Câu 9: Đồ thị của hàm số nào sau đây có dạng đường cong như hình dưới đây?
A.
42
2 1.y x x= − −
B.
42
2 1.y x x= − +
C.
32
2 1.y x x= − −
D.
42
2 1.y x x= − + −
Câu 10: Cho
;;a b x
là các số dương, biết
2 4 2
log 2log 5logx a b=+
. Khi đó
x
bằng
A.
25
ab+
. B.
5ab+
. C.
25
ab
. D.
5
ab
.
Câu 11: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 6 2 5 0S x y z x y z+ + − + − − =
. Đường kính của
mặt cầu
( )
S
bằng
A.
4
. B.
26
. C.
6
. D.
8
.
Câu 12: Cho hai số phức
1
23zi=−
,
2
4zi=+
. Số phức
12
z z z=−
bằng
A.
62i+
. B.
24i−
. C.
22i−
. D.
24i−−
.
Câu 13: Khối đa diện đều loại
3;5
có số đỉnh, số cạnh và số mặt lần lượt bằng
A.
20; 30;12
. B.
30;12; 20
. C.
12; 30; 20
. D.
20;12;30
.
Câu 14: Cho hình chóp tứ giác
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên
SA
vuông góc
với mặt phẳng đáy và
2SA a=
. Thể tích
V
của khối chóp
.S ABCD
bằng
A.
3
2
6
a
V =
. B.
3
2
4
a
V =
. C.
3
2Va=
. D.
3
2
3
a
V =
.
Câu 15: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
( )
: 2 2 1 0P x y z− + − =
, mặt phẳng
( )
đi qua điểm
( )
1;2;0M −
và song song với mặt phẳng
( )
P
có phương trình là
A.
2 2 5 0x y z− + + =
. B.
2 2 5 0x y z− + − =
.
C.
2 2 5 0x y z− + + + =
. D.
2 2 3 0x y z− + + =
.
Trang 203
Câu 16: Gọi
0
z
là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình
2
2 5 0zz+ + =
. Tìm số phức
0
w z i=+
A.
1wi=−
. B.
13wi= − +
. C.
13wi= − −
. D.
1wi= − −
.
Câu 17: Cho hình nón có đường kính đáy bằng
2,a
chiều cao bằng
3ha=
. Diện tích xung quanh của
hình nón đã cho bằng
A.
2
2.a
B.
2
2 7.a
C.
2
2 3.a
D.
2
3.a
Câu 18: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, điểm
( )
3;2; 1B −
thuộc được thẳng nào?
A.
1
1,
1
xt
y t t R
zt
=+
= +
= − −
. B.
3
2,
1
xt
y t t R
zt
=+
= −
= − −
. C.
1
,
1
xt
y t t R
zt
=−
= −
=+
. D.
2
2,
2
xt
y t t R
zt
=+
= +
= − −
.
Câu 19: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên và có bảng xét dấu
( )
fx
như hình sau:
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A.
2
. B.
4
. C.
3
. D.
5
.
Câu 20: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
2
42
2
34
x
y
x
xx
−−
−
=
−
là
A.
4
. B.
3
. C.
5
. D.
2
.
Câu 21: Cho bất phương trình
( )
2
22
log 2 3log 5 0xx+ +
có tập nghiệm
( )
;S a b=
. Tổng
ab+
bằng
A.
5−
. B.
12
. C.
8
3
. D.
3
8
.
Câu 22: Một giỏ hoa có 5 bông hoa đỏ và 6 bông hoa vàng. Các bông hoa đều khác nhau về kích thước.
Có bao nhiêu cách chọn ra 2 bông hoa khác màu?
A. 5 cách. B. 6 cách. C. 11 cách. D. 30 cách.
Câu 23: Cho
( )
2 dx x F x C=+
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
( )
2Fx
=
. B.
( )
2F x x
=
. C.
( )
2
F x x
=
. D.
( )
2
2F x x
=
.
Câu 24: Cho
( )
1
0
1f x dx =
tích phân
( )
( )
1
2
0
23f x x dx−
bằng
A.
1
. B.
0
. C.
3
. D.
1−
.
Câu 25: Cho hàm số
( )
2
2 ( 1)f x x x=−
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
( )
42
1
d.
2
f x x x x C= − +
B.
( )
42
2
d 2 .
3
f x x x x C= − +
C.
( )
42
d.f x x x x C= − +
D.
( )
42
d.f x x x x C= + +
Câu 26: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau:
Trang 204
Hỏi hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
;1 .−
B.
( )
3; 2 .−−
C.
( )
1;1 .−
D.
( )
2;0 .−
Câu 27: Cho hàm số
( )
fx
có bảng biến thiên như sau
x
−
+
+
−
y
y
−
0
0
+
+
3−
1−
0
4−
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A.
1−
. B.
0
. C.
4−
. D.
3−
.
Câu 28: Với các số thực dương
, ba
bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
3
2 2 2
2
log 1 3log log
a
ab
b
= + +
. B.
3
2 2 2
21
log 1 log log
3
a
ab
b
= + +
.
C.
3
2 2 2
2
log 1 3log log
a
ab
b
= + −
. D.
3
2 2 2
21
log 1 log log
3
a
ab
b
= + −
.
Câu 29: Cho hình phẳng
( )
H
giới hạn bởi
2
2 ; 0y x x y= − =
. Tính thể tích của khối tròn xoay thu
được khi quay
( )
H
xung quanh trục
Ox
ta được
1
a
V
b
=+
. Khi đó
A.
15.ab =
B.
16.ab =
C.
18.ab =
D.
12.ab =
Câu 30: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác cân ở
A
,
60 , 2BAC BC a= =
. Biết
( )
SA ABC⊥
,
góc giữa
SC
và mặt phẳng
( )
ABC
bằng
30
. Tính thể tích
V
của khối chóp
.S ABC
.
A.
3
Va=
. B.
3
2
3
a
V =
. C.
3
24
a
V =
. D.
3
3
6
a
V =
.
Câu 31: Cho hàm số bậc ba
( )
y f x=
có đồ thị là đường cong trong hình
bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình
( )
22
f x m=
có ba nghiệm thực phân biệt?
A.
2
B.
1
C.
3
D.
4
Câu 32: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1;2; 2A −
và
( )
3;6; 4B −−
. Mặt cầu
đường kính
AB
có phương trình là
A.
2 2 2
2 8 6 17 0x y z x y z+ + + − + + =
. B.
2 2 2
2 8 6 17 0x y z x y z+ + − + − + =
.
C.
2 2 2
8 6 20 0x y z y z+ + + + + =
. D.
2 2 2
2 8 6 26 0x y z x y z+ + + − + + =
.
Trang 205
Câu 33: Xếp ngu nhiên
3
quả cầu màu đỏ khác nhau và
3
quả cầu màu xanh giống nhau vào một giá
chứa đồ nằm ngang có
7
ô trống, mỗi quả cầu được xếp vào một ô. Xác suất để
3
quả cầu màu
đỏ xếp cạnh nhau và
3
quả cầu màu xanh xếp cạnh nhau bằng.
A.
3
160
. B.
3
70
. C.
3
80
. D.
3
140
.
Câu 34: Số nghiệm của phương trình
( )
2
33
log 4log 3 7 0xx− + =
là.
A.
2
. B.
0
. C.
3
. D.
1
.
Câu 35: Cho số phức
z
thỏa
1 2 3zi− + =
. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức
2w z i=+
trên mặt phẳng
( )
Oxy
là một đường tròn. Tìm tâm của đường tròn đó.
A.
( )
2; 3I −
. B.
( )
1;1I
. C.
( )
0;1I
. D.
( )
1;0I
.
Câu 36: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
3;1; 5A −
, hai mặt phẳng
( )
: 4 0P x y z− + − =
và
( )
:2 4 0Q x y z+ + + =
. Viết phương trình đường thẳng
đi qua
A
đồng thời
song song
với hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
.
A.
:
3 1 5
2 1 3
x y z− − +
==
−−
. B.
:
3 1 5
2 1 3
x y z+ + −
==
−−
.
C.
:
3 1 5
2 1 3
x y z− − +
==
−
. D.
:
3 1 5
2 1 3
x y z− − +
==
−−
.
Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
2; 6;3M −
và đường thẳng
13
: 2 2
xt
d y t
zt
=+
= − −
=
.
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
M
lên
d
. Khi đó toạ độ điểm
H
là:
A.
( )
1; 2;3H −
. B.
( )
4; 4;1H −
. C.
( )
1;2;1H
. D.
( )
8;4;3H −
.
Câu 38: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông tâm
O
và có độ dài cạnh bằng
2a
,
5SA SB SC SD a= = = =
. Tính khoảng cách từ điểm
B
đến mặt phẳng
( )
SCD
.
A.
3
2
a
. B.
3a
. C.
a
. D.
5
2
a
.
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên dương
y
sao cho ứng mỗi
y
có không quá
302
số nguyên dương
x
thỏa mãn
4 3 2 2 2
21
ln 9 6 4 4 .
31
x
y y x y y x
y
+
+ − −
+
A.
201
. B.
202
. C.
301
. D.
200
.
Câu 40: Cho hàm số
( )
y f x=
xác định và liên tục trên thỏa mãn biểu thức :
( ) ( ) ( ) ( )
4sin . cos2 sin 2sin 4cos2 1 2023 4sin 1x f x f x x x x− = − + −
. Tính
( )
0
1
df x x
−
.
A.
2023
. B.
1−
. C.
2022
. D.
2021
.
Câu 41: Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
Trang 206
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
( )
( )
3
41g x f x m= + +
có 7 điểm cực
trị?
A.
3
B.
1
C.
0
D. Vô số
Câu 42: Cho
12
,zz
là hai trong các số phức thỏa mãn
2
2
zi
zi
−
+
là số ảo và
12
2 20zz+=
. Tổng giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của
12
21P z iz= + −
là
A.
4
. B.
6
. C.
8
. D.
12
.
Câu 43: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông tâm
O
có cạnh bằng
2
, cạnh bên
SA x=
và
( )
SA ABCD⊥
. Gọi
E
,
F
lần lượt là trung điểm của
SB
và
SD
. Biết rằng khoảng
cách giữa hai đường thẳng
AE
và
CF
bằng
4
19
. Khi đó
x
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
( )
3; +
. B.
( )
2;3
. C.
( )
0;1
. D.
( )
1;2
.
Câu 44: Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm và nhận giá trị dương với
( )
0;x +
. Biết
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 . , 0;f x xf x x f x x
+ = +
và
( )
11f =
. Khi đó, diện tích hình phẳng giới
hạn với các đường thẳng
( )
y f x=
, trục hoành,
1x =
và
4x =
bằng:
A.
1
. B.
2ln2
. C.
ln2
. D.
2
.
Câu 45: Trong tập hợp số phức, xét phương trình
( )
42
2 1 2 1 0z m z m− + + + =
(
m
là tham số thực). Có
bao nhiêu giá trị của
m
để phương trình đó có bốn nghiệm phân biệt
1 2 3 4
, , ,z z z z
thỏa mãn
1 2 3 4
6z z z z+ + + =
?
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D.
3
.
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
( ) ( ) ( )
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c
với
,,abc
dương.
Biết
,,A B C
di động trên các tia
,,Ox Oy Oz
sao cho
2abc+ + =
. Biết rằng khi
,,abc
thay
đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện
OABC
thuộc mặt phẳng
( )
P
cố định. Khoảng
cách từ
( )
0;2023;0M
tới mặt phẳng
( )
P
bằng
A.
2022
. B.
2023
3
. C.
2021
3
. D.
674 3
.
Câu 47: Xét các số thực
x
,
y
( )
0x
thỏa mãn biểu thức:
( )
3 1 1
3
1
2023 2023 1 2023 3
2023
x y xy xy
xy
x y x
+ + − −
+
+ + + = + − +
.
Gọi
m
là giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2T x y=+
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
( )
1;0m−
. B.
( )
1;2m
. C.
( )
2;3m
. D.
( )
0;1m
.
Trang 207
Câu 48: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( ) ( )
: 3 2 3 9 0P mx y m z− − − − =
(
m
là tham số thực)
và mặt cầu
( ) ( ) ( )
22
2
: 1 1 16S x y z− + − + =
. Biết rằng
( )
P
cắt
( )
S
theo giao tuyến là đường
tròn có bán kính nhỏ nhất, khi đó khoảng cách từ điểm
( )
1;2;3A −
đến
( )
P
bằng
A.
11.
B.
13 11
.
11
C.
11
.
11
D.
2 11
.
11
Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 3 2 1 75S x y z− + + + − =
và
mặt phẳng
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
: 2 4 1 2 3 1 1 0P m m x m m y m z m+ − + − + − + + =
.
A
là điểm thuộc mặt
cầu
( )
S
. Khi khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )
P
đạt giá trị lớn nhất thì khối nón có đỉnh là
A
, đường tròn đáy là giao tuyến của
( )
P
và
( )
S
có thể tích bằng bao nhiêu.
A.
75 3
. B.
128
. C.
128 3
. D.
64
.
Câu 50: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
0;23m
để hàm số
( )
( )
2
2 2023g x f x x m= − + +
đồng biến trên khoảng
( )
2; ?+
A.
23
. B.
20
. C.
21
. D.
22
.
---------------------HẾT---------------------
Trang 208
ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Câu 1: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức
( )
2
2zi=+
là điểm nào dưới đây?
A.
( )
3;4P
. B.
( )
5;4M
. C.
( )
4;5N
. D.
( )
4;3Q
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
2
2
2 4 4 3 4z i i i i= + = + + = +
, suy ra điểm biểu diễn số phức
( )
2
2zi=+
là điểm
( )
3;4P
.
Câu 2: Trên khoảng
( )
0;+
, đạo hàm của hàm số
7
logyx=
là
A.
1
7
y
x
=
. B.
ln 7
y
x
=
. C.
1
ln 7
y
x
=
. D.
1
ln7
y
x
=
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
7
1
' log
ln 7
yx
x
==
Câu 3: Đạo hàm của hàm số là
2023
yx=
trên tập số thực, là
A.
2022
2023.yx
=
. B.
2021
2023.yx
=
. C.
2024
2022.yx
=
. D.
2022
2023
y
x
=
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
2023 2023 1 2022
2023. 2023.y x x x
−
= = =
.
Câu 4: Phương trình
2
20
x−
=
có nghiệm là:
A.
2x =−
. B.
2x =
. C.
3x =
. D. vô nghiệm.
Lời giải
Vì
2
2 0,
x
x
−
nên phương trình
2
20
x−
=
vô nghiệm.
Câu 5: Cho cấp số nhân
( )
n
u
với
1
3u =
và công bội
2q =−
. Số hạng thứ
7
của cấp số nhân đó là
A.
384−
. B.
192
. C.
192−
. D.
384
.
Lời giải
1.A
2.C
3.A
4.D
5.B
6.B
7.C
8.D
9.A
10.D
11.D
12.D
13.C
14.D
15.A
16.D
17.A
18.B
19.D
20.D
21.D
22.D
23.B
24.A
25.A
26.B
27.C
28.B
29.A
30.B
31.B
32.A
33.B
34.A
35.A
36.A
37.B
38.B
39.B
40.C
41.B
42.C
43.C
44.D
45.B
46.D
47.A
48.B
49.C
50.A
Trang 209
Chọn B
Số hạng thứ
7
của cấp số nhân đó là
( )
6
6
71
. 3. 2 192u u q= = − =
.
Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho
( ) ( )
1; 3;5 , 2;4; 1AB−−
. Toạ độ của vectơ
AB
là
A.
( )
1; 7;6AB = − −
. B.
( )
1;7; 6AB =−
. C.
31
; ;2
22
AB
=
. D.
( )
3;1;4AB =
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
; ; 1;7; 6
B A B A B A
AB x x y y z z= − − − = −
.
Câu 7: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
42
( ) 2 4 2023f x x x= − +
trên đoạn
2;0−
bằng
A.
2022
B.
2023
C.
2021
D.
2039
Lời giải
Chọn C
Tập xác định:
D =
.
Ta có
( )
3
8 8 .f x x x
=−
Cho
0 2;0
( ) 0 1 2;0 .
1 2;0
x
f x x
x
= −
= = −
= − −
Ta có:
( )
2 2039,f −=
( )
1 2021f −=
và
( )
0 2023f =
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
2;0−
bằng
2021
.
Câu 8: Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
33
x
f x x=−
là:
A.
3
3
ln3
x
x−
. B.
3
3
x
xC−+
. C.
3
3 ln3
x
xC−+
. D.
3
3
ln3
x
xC−+
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
( )
23
3
3 3 d
ln3
x
x
x x x C− = − +
.
Câu 9: Đồ thị của hàm số nào sau đây có dạng đường cong như hình dưới đây?
A.
42
2 1.y x x= − −
B.
42
2 1.y x x= − +
C.
32
2 1.y x x= − −
D.
42
2 1.y x x= − + −
Lời giải
Trang 210
Chọn A
Đây là dạng đồ thị hàm bậc
4
trùng phương
42
y ax bx c= + +
có
( )
42
lim
x
ax bx c
→+
+ + = +
suy ra hệ số
0a
nên ta loại C và D.
Đồ thị hàm số cắt trục
Oy
phía dưới trục hoành nên
0c
nên loại B, do đó ta chọn A.
Câu 10: Cho
;;a b x
là các số dương, biết
2 4 2
log 2log 5logx a b=+
. Khi đó
x
bằng
A.
25
ab+
. B.
5ab+
. C.
25
ab
. D.
5
ab
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( )
5 5 5
2 4 2 2 2 2 2 2
log 2log 5log log log log log log .x a b x a b x ab x ab= + = + = =
Vậy
5
.x ab=
Câu 11: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 6 2 5 0S x y z x y z+ + − + − − =
. Đường kính của
mặt cầu
( )
S
bằng
A.
4
. B.
26
. C.
6
. D.
8
.
Lời giải
Chọn D
Ta có mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
1; 3;1I −
và bán kính
( )
2
22
1 3 1 5 4R = + − + + =
.
Vậy đường kính của mặt cầu
( )
S
bằng
28R =
.
Câu 12: Cho hai số phức
1
23zi=−
,
2
4zi=+
. Số phức
12
z z z=−
bằng
A.
62i+
. B.
24i−
. C.
22i−
. D.
24i−−
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
( ) ( )
12
2 3 4 2 4z z i i i− = − − + = − −
.
Câu 13: Khối đa diện đều loại
3;5
có số đỉnh, số cạnh và số mặt lần lượt bằng
A.
20; 30;12
. B.
30;12; 20
. C.
12; 30; 20
. D.
20;12;30
.
Lời giải
Chọn C
Khối đa diện đều loại
3;5
là khối
20
mặt đều có
12
đỉnh,
30
cạnh và
20
mặt.
Câu 14: Cho hình chóp tứ giác
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên
SA
vuông góc
với mặt phẳng đáy và
2SA a=
. Thể tích
V
của khối chóp
.S ABCD
bằng
A.
3
2
6
a
V =
. B.
3
2
4
a
V =
. C.
3
2Va=
. D.
3
2
3
a
V =
.
Lời giải
Chọn D
Trang 211
Ta có
( )
SA ABCD SA⊥
là đường cao của hình chóp
Thể tích khối chóp
.S ABCD
:
3
2
1 1 2
. . 2.
3 3 3
ABCD
a
V SAS a a= = =
.
Câu 15: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
( )
: 2 2 1 0P x y z− + − =
, mặt phẳng
( )
đi qua điểm
( )
1;2;0M −
và song song với mặt phẳng
( )
P
có phương trình là
A.
2 2 5 0x y z− + + =
. B.
2 2 5 0x y z− + − =
.
C.
2 2 5 0x y z− + + + =
. D.
2 2 3 0x y z− + + =
.
Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng
( )
song song với mặt phẳng
( )
P
nên có phương trình dạng:
2 2 0x y z C− + + =
với
1C −
Vì mặt phẳng
( )
đi qua
( )
1;2;0M −
nên
1 2.2 0 5CC− − + = =
(thỏa mãn
1C −
).
Vậy phương trình mặt phẳng
( )
là:
2 2 5 0x y z− + + =
.
Câu 16: Gọi
0
z
là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình
2
2 5 0zz+ + =
. Tìm số phức
0
w z i=+
A.
1wi=−
. B.
13wi= − +
. C.
13wi= − −
. D.
1wi= − −
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
22
1 5 4 4i
= − = − =
.
Suy ra phương trình có hai nghiệm phức:
0
1
12
12
zi
zi
= − −
= − +
. Vậy
1wi= − −
.
Câu 17: Cho hình nón có đường kính đáy bằng
2,a
chiều cao bằng
3ha=
. Diện tích xung quanh của
hình nón đã cho bằng
A.
2
2.a
B.
2
2 7.a
C.
2
2 3.a
D.
2
3.a
Lời giải
Chọn A
Gọi
l
là độ dài đường sinh của hình nón và
R
là bán kính đường tròn đáy.
Trang 212
Khi đó ta có
2
2 2 2
2
3 2 .
2
a
l R h a a
= + = + =
Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là:
2
. .2 2
xq
S Rl a a a
= = =
(đơn vị diện tích).
Câu 18: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, điểm
( )
3;2; 1B −
thuộc được thẳng nào?
A.
1
1,
1
xt
y t t R
zt
=+
= +
= − −
. B.
3
2,
1
xt
y t t R
zt
=+
= −
= − −
. C.
1
,
1
xt
y t t R
zt
=−
= −
=+
. D.
2
2,
2
xt
y t t R
zt
=+
= +
= − −
.
Lời giải
Chọn B
Thay trực tiếp tọa độ các điểm
( )
3;2; 1B −
trên vào đường thẳng
Câu 19: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên và có bảng xét dấu
( )
fx
như hình sau:
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A.
2
. B.
4
. C.
3
. D.
5
.
Lời giải
Chọn D
Cách 1:
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số
( )
y f x=
có
5
điểm cực trị.
Cách 2:
Hàm số
( )
y f x=
liên tục trên và có đạo hàm
( )
fx
đổi dấu khi qua các điểm
2; 1; 0; 1; 2x x x x x= − = − = = =
.
Suy ra hàm số
( )
y f x=
đạt cực trị tại
5
điểm là
2; 1; 0; 1; 2x x x x x= − = − = = =
.
Vậy hàm số
( )
y f x=
có
5
điểm cực trị.
Trang 213
Câu 20: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
2
42
2
34
x
y
x
xx
−−
−
=
−
là
A.
4
. B.
3
. C.
5
. D.
2
.
Lời giải
Chọn D
Điều kiện xác định của hàm số:
42
3 4 0xx− −
2
4x
2x
.
Ta có:
2
42
lim 0
2
34
x
x x
xx
→+
−−
−
=
−
và
2
42
lim 0
2
34
x
x x
xx
→−
−−
−
=
−
Đồ thị hàm số có đường tiệm ngang là
0y =
.
Ta có:
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
2
2
2
4
2
21
1
2 2 2 1
2
34
1
y
x
x
xx
xx
x
x x x x x
−−
−
+
−+
+
= = =
−
+ − + +
.
2
3
lim
20
x
y
→
=
;
( 2)
lim
x
y
+
→−
= −
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là:
2x =−
.
Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận:
0y =
,
2x =−
.
Câu 21: Cho bất phương trình
( )
2
22
log 2 3log 5 0xx+ +
có tập nghiệm
( )
;S a b=
. Tổng
ab+
bằng
A.
5−
. B.
12
. C.
8
3
. D.
3
8
.
Lời giải
Chọn D
Điều kiện:
0x
.
Ta có:
( ) ( )
2
2
2 2 2 2
log 2 3log 5 0 1 log 3log 5 0x x x x+ + + + +
( )
2
22
log 5log 6 0xx + +
.
Đặt
2
logtx=
khi đó bất phương trình
( )
trở thành
2
5 6 0 3 2t t t+ + − −
.
Với
32t− −
thì
2
11
3 log 2
84
xx− −
.
Đối chiếu với điều kiện
0x
, vậy
11
;
84
S
=
. Suy ra
3
8
ab+=
.
Câu 22: Một giỏ hoa có 5 bông hoa đỏ và 6 bông hoa vàng. Các bông hoa đều khác nhau về kích thước.
Có bao nhiêu cách chọn ra 2 bông hoa khác màu?
A. 5 cách. B. 6 cách. C. 11 cách. D. 30 cách.
Lời giải
Chọn D
Chọn 1 bông hoa đỏ có:
1
5
C
cách.
Trang 214
Chọn 1 bông hoa vàng có:
1
6
C
cách.
Vậy có
11
56
. 30CC=
cách chọn ra 2 bông hoa khác màu.
Câu 23: Cho
( )
2 dx x F x C=+
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
( )
2Fx
=
. B.
( )
2F x x
=
. C.
( )
2
F x x
=
. D.
( )
2
2F x x
=
.
Lời giải
Chọn B
( )
Fx
là nguyên hàm của
( )
fx
thì
( ) ( )
F x f x
=
. Vậy
( )
2F x x
=
.
Câu 24: Cho
( )
1
0
1f x dx =
tích phân
( )
( )
1
2
0
23f x x dx−
bằng
A.
1
. B.
0
. C.
3
. D.
1−
.
Lời giải
Chọn A.
Ta có:
( )
( )
( )
1 1 1
22
0 0 0
2 3 2 3 2 1 1f x x dx f x dx x dx− = − = − =
.
Câu 25: Cho hàm số
( )
2
2 ( 1)f x x x=−
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
( )
42
1
d.
2
f x x x x C= − +
B.
( )
42
2
d 2 .
3
f x x x x C= − +
C.
( )
42
d.f x x x x C= − +
D.
( )
42
d.f x x x x C= + +
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
2 3 4 2
1
d 2 ( 1)d (2 2 )d .
2
f x x x x x x x x x x C= − = − = − +
Câu 26: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau:
Hỏi hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
;1 .−
B.
( )
3; 2 .−−
C.
( )
1;1 .−
D.
( )
2;0 .−
Lời giải
Chọn B
Ta có
( ) ( )
; 1 1;3x − −
thì
'( ) 0fx
nên hàm số đồng biến biến trên khoảng
( )
3; 2−−
.
Câu 27: Cho hàm số
( )
fx
có bảng biến thiên như sau
Trang 215
x
−
+
+
−
y
y
−
0
0
+
+
3−
1−
0
4−
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A.
1−
. B.
0
. C.
4−
. D.
3−
.
Lời giải
Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số có giá trị cực tiểu là
4y =−
.
Câu 28: Với các số thực dương
, ba
bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
3
2 2 2
2
log 1 3log log
a
ab
b
= + +
. B.
3
2 2 2
21
log 1 log log
3
a
ab
b
= + +
.
C.
3
2 2 2
2
log 1 3log log
a
ab
b
= + −
. D.
3
2 2 2
21
log 1 log log
3
a
ab
b
= + −
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
( )
( )
3
33
2 2 2 2 2 2 2
2
log log 2 log log 2 log log 1 3log log
a
a b a b a b
b
= − = + − = + −
.
Câu 29: Cho hình phẳng
( )
H
giới hạn bởi . Tính thể tích của khối tròn xoay thu
được khi quay
( )
H
xung quanh trục
Ox
ta được . Khi đó
A.
15.ab =
B.
16.ab =
C.
18.ab =
D.
12.ab =
Lời giải:
Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của đường
2
2y x x= − +
và đường
0y =
là
2
0
2 0 .
2
x
xx
x
=
− =
=
Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay
( )
H
xung quanh trục
Ox
là:
( ) ( )
22
53
2
2 4 3 2 4
00
2
16 1
2 d 4 4 d 4. 1 .
0
5 3 15 15
xx
V x x x x x x x x
= − = − + = − + = = +
Vậy
15.ab =
Câu 30: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác cân ở
A
,
60 , 2BAC BC a= =
. Biết
( )
SA ABC⊥
,
góc giữa
SC
và mặt phẳng
( )
ABC
bằng
30
. Tính thể tích
V
của khối chóp
.S ABC
.
A.
3
Va=
. B.
3
2
3
a
V =
. C.
3
24
a
V =
. D.
3
3
6
a
V =
.
Lời giải
Chọn B
2
2 , 0y x x y= − =
1
a
V
b
= +
Trang 216
Xét tam giác
ABC
cân ở
A
và
60BAC =
nên tam giác
ABC
là tam giác đều cạnh
2a
.
Ta có diện tích tam giác
ABC
bằng
( )
2
2
23
3
4
ABC
a
Sa==
.
Ta lại có hình chiếu vuông góc của
SC
xuống mặt phẳng
( )
ABC
là
AC
.
Theo đề bài ta có
( )
( )
( )
, , 30SC ABC SC AC SCA= = =
.
Xét tam giác
SAC
vuông tại
A
có
2 ; 30AC a SCA= =
23
.tan30
3
a
SA AC = =
.
Thể tích
V
khối chóp
.S ABC
bằng
3
2
1 1 2 3 2
. .S . . 3
3 3 3 3
ABC
aa
V SA a= = =
.
Câu 31: Cho hàm số bậc ba
( )
y f x=
có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Câu 1:
Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình
( )
22
f x m=
có ba
nghiệm thực phân biệt?
A.
2
B.
1
C.
3
D.
4
Lời giải
Chọn B
Câu 3: Ta có
( )
( )
( )
22
f x m
f x m
f x m
=
=
=−
.
Để phương trình
( )
22
f x m=
có ba nghiệm thực
3m=
.
Trang 217
Câu 32: Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1;2; 2A −
và
( )
3;6; 4B −−
. Mặt cầu
đường kính
AB
có phương trình là
A.
2 2 2
2 8 6 17 0x y z x y z+ + + − + + =
. B.
2 2 2
2 8 6 17 0x y z x y z+ + − + − + =
.
C.
2 2 2
8 6 20 0x y z y z+ + + + + =
. D.
2 2 2
2 8 6 26 0x y z x y z+ + + − + + =
.
Lời giải
Chọn A
Gọi
( )
S
là mặt cầu đường kính
AB
.
Mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
1;4; 3I −−
là trung điểm của đoạn thẳng
AB
và bán kính
2
AB
R =
.
Ta có
( )
( ) ( )
22
2
4 4 2
4;4; 2 3
22
AB
AB R
− + + −
= − − = = =
.
Mặt cầu
( )
S
có phương trình là
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 4 3 9x y z+ + − + + =
Hay
2 2 2
2 8 6 17 0x y z x y z+ + + − + + =
.
Câu 33: Xếp ngu nhiên
3
quả cầu màu đỏ khác nhau và
3
quả cầu màu xanh giống nhau vào một giá
chứa đồ nằm ngang có
7
ô trống, mỗi quả cầu được xếp vào một ô. Xác suất để
3
quả cầu màu
đỏ xếp cạnh nhau và
3
quả cầu màu xanh xếp cạnh nhau bằng.
A.
3
160
. B.
3
70
. C.
3
80
. D.
3
140
.
Lời giải
Chọn B
Chọn
3
ô trống trong
7
ô để xếp
3
quả cầu xanh giống nhau có
3
7
C
cách.
Chọn
3
ô trống trong
4
ô còn lại để xếp
3
quả cầu đỏ khác nhau có
3
4
A
cách.
( )
33
74
. 840n C A = =
cách.
Gọi
A
là biến cố “
3
quả cầu đỏ xếp cạnh nhau và
3
quả cầu xanh xếp cạnh nhau”
Xem
3
quả cầu đỏ là nhóm
X
,
3
quả cầu xanh là nhóm
Y
.
Xếp
X
,
Y
vào các ô trống có
2
3
A
cách.
Hoán vị
3
quả cầu đỏ trong
X
có
3!
cách.
( )
2
3
.3! 36n A A==
.
Xác suất của biến cố
A
là:
( )
( )
( )
3
70
nA
PA
n
==
.
Câu 34: Số nghiệm của phương trình
( )
2
33
log 4log 3 7 0xx− + =
là.
A.
2
. B.
0
. C.
3
. D.
1
.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện
0.x
.
Trang 218
( )
3
22
3 3 3 3
3
log 1
3
log 4 1 log 7 0 log 4log 3 0 (t/m).
log 3 27
x
x
x x x x
xx
=
=
− + + = − + =
==
.
Vậy phương trình đã cho có
2
nghiệm.
Câu 35: Cho số phức
z
thỏa
1 2 3zi− + =
. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức
2w z i=+
trên mặt phẳng
( )
Oxy
là một đường tròn. Tìm tâm của đường tròn đó.
A.
( )
2; 3I −
. B.
( )
1;1I
. C.
( )
0;1I
. D.
( )
1;0I
.
Lời giải
Chọn A
Gọi
M
là điểm biểu diễn số phức
w
.
Ta có
2
2
wi
w z i z
−
= + =
.
Do đó
1 2 3zi− + =
1 2 3
2
wi
i
−
− + =
2 3 6wi − + =
6MI=
, với
( )
2; 3I −
.
Do đó tập hợp điểm
M
là đường tròn tâm
( )
2; 3I −
và bán kính
6R =
.
Câu 36: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
3;1; 5A −
, hai mặt phẳng
( )
: 4 0P x y z− + − =
và
( )
:2 4 0Q x y z+ + + =
. Viết phương trình đường thẳng
đi qua
A
đồng thời
song song
với hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
.
A.
:
3 1 5
2 1 3
x y z− − +
==
−−
. B.
:
3 1 5
2 1 3
x y z+ + −
==
−−
.
C.
:
3 1 5
2 1 3
x y z− − +
==
−
. D.
:
3 1 5
2 1 3
x y z− − +
==
−−
.
Lời giải
Chọn A
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
P
là
( )
1
1; 1;1n =−
.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
Q
là
( )
2
2;1;1n =
.
11
21
−
1
n
và
2
n
không cùng phương.
Ta có:
12
,n n n
=
( )
2;1;3=−
.
Đường thẳng
đi qua
( )
3;1; 5A −
và nhận vectơ
( )
2;1;3n =−
làm vectơ chỉ phương.
Phương trình chính tắc của đường thẳng
là:
3 1 5
2 1 3
x y z− − +
==
−−
.
Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( )
2; 6;3M −
và đường thẳng
13
: 2 2
xt
d y t
zt
=+
= − −
=
.
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
M
lên
d
. Khi đó toạ độ điểm
H
là:
A.
( )
1; 2;3H −
. B.
( )
4; 4;1H −
. C.
( )
1;2;1H
. D.
( )
8;4;3H −
.
Lời giải
Trang 219
Chọn B
Gọi
( )
là mặt phẳng qua
M
và vuông góc với
d
.
Khi đó:
( )
3; 2;1
d
nu
= = −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
:3 2 2 6 3 0 :3 2 21 0x y z x y z
− − + + − = − + − =
Vì
H
hình chiếu vuông góc của
M
lên
d
nên
( )
Hd
=
.
Do đó tọa độ
H
là nghiệm của hệ:
13
22
1
3 2 21 0
xt
yt
t
zt
x y z
=+
= − −
=
=
− + − =
. Vậy:
( )
4; 4;1H −
.
Câu 38: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông tâm
O
và có độ dài cạnh bằng
2a
,
5SA SB SC SD a= = = =
. Tính khoảng cách từ điểm
B
đến mặt phẳng
( )
SCD
.
A.
3
2
a
. B.
3a
. C.
a
. D.
5
2
a
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
H
là trung điểm
CD
. Trong
( )
SOH
, kẻ
OI SH⊥
.
Ta có:
( )
CD SO
CD SOH CD OI
CD SH
⊥
⊥ ⊥
⊥
.
Mà
OI SH⊥
nên
( )
OI SCD⊥
( )
( )
,d O SCD OI=
.
Vì
O
là trung điểm
BD
nên
( )
( )
( )
( )
22
2.
, , 2
SOOH
d B SCD d O SCD OI
SO OH
= = =
+
.
Có
22BD a=
,
2 2 2 2
5 2 3SO SD OD a a a= − = − =
,
OH a=
( )
( )
,3d B SCD a=
.
Vậy khoảng cách từ điểm
B
đến mặt phẳng
( )
SCD
bằng
3a
.
Trang 220
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên dương
y
sao cho ứng mỗi
y
có không quá
302
số nguyên dương
x
thỏa mãn
4 3 2 2 2
21
ln 9 6 4 4 .
31
x
y y x y y x
y
+
+ − −
+
A.
201
. B.
202
. C.
301
. D.
200
.
Lời giải
Chọn B
Với điều kiện
, 0,xy
ta có:
( )
( )
2
2
4 3 2 2 2 2
2
2 1 2
ln 9 6 4 4 ln 3 2
31
3
x xy y
y y x y y x y y xy y
y
yy
++
+ − − + − +
+
+
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
22
ln 2 2 ln 3 3 *xy y xy y y y y y + + + + + +
.
Xét hàm số
( )
2
lnf t t t=+
trên khoảng
( )
0;+
. Có
( ) ( )
1
2 0, 0;f t t t
t
= + +
suy ra
hàm số
( )
2
lnf t t t=+
đồng biến trên khoảng
( )
0;+
.
( )
( )
2
23f xy y f y y+ +
2
3
23
2
y
xy y y y x + +
Do đó, để yêu cầu bài toán thỏa mãn thì
3
303 202.
2
y
y
Vậy có
202
số nguyên dương
y
thỏa mãn yêu cầu.
Câu 40: Cho hàm số
( )
y f x=
xác định và liên tục trên thỏa mãn biểu thức :
( ) ( ) ( ) ( )
4sin . cos2 sin 2sin 4cos2 1 2023 4sin 1x f x f x x x x− = − + −
. Tính
( )
0
1
df x x
−
.
A.
2023
. B.
1−
. C.
2022
. D.
2021
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
( )
sin , 1;1x t t= −
.
Khi đó ta được:
( )
( )
( )
( )
( )
22
4 . 1 2 2 4 1 2 1 2023 4 1 , 1;1t f t f t t t t t
− − = − − + − −
.
Hay
( )
( )
( )
23
4 . 1 2 16 8098 2023, 1;1t f t f t t t t− − = − + − −
Lấy tích phân hai vế cận từ
0
đến
1
ta được:
( )
( )
( )
1 1 1
23
0 0 0
4 . 1 2 d d 16 8098 2023 dt f t t f t t t t t− − = − + −
Xét
( )
1
2
0
4 . 1 2 dI t f t t=−
, đặt
2
12tu−=
, khi đó
( ) ( )
11
11
ddI f u u f t t
−−
==
.
Trang 221
Mặt khác,
( )
1
3
0
16 8098 2023 d 2022t t t− + − =
.
( ) ( )
11
10
d d 2022f t t f t t
−
−=
, hay
( )
0
1
d 2022f t t
−
=
.
Vậy
( )
0
1
d 2022f x x
−
=
.
Câu 41: Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
( )
( )
3
41g x f x m= + +
có 7 điểm cực
trị?
A.
3
B.
1
C.
0
D. Vô số
Lời giải
Chọn B
Ta có:
( )
( ) ( )
( )
2 3 3
3
12 4 1 4 1
41
x f x f x m
gx
f x m
+ + +
=
++
.
Dễ thấy:
2
12 0,xx
.
Từ bảng biến thiên ta có:
( )
3
33
3
4 1 3
0
4 1 0 4 1 1 1
1
4 1 5
x
x
f x x x
x
x
+ = −
=
+ = + = = −
=
+=
.
Ta có:
( )
3
4 1 0f x m+ + =
( )
*
( )
3
41f x m + = −
.
Đặt:
3
41tx=+
2
12 0 0t x x
= = =
.
Ta có bảng biến thiên:
Trang 222
Để hàm số
( )
gx
có 7 điểm cực trị thì phương trình
( )
*
phải có 4 nghiệm bội lẻ khác
0
và
1
.
Suy ra
0 2 2 0mm − −
.
Vậy có tất cả 1 giá trị nguyên của tham số
m
thỏa mãn.
Câu 42: Cho
12
,zz
là hai trong các số phức thỏa mãn
2
2
zi
zi
−
+
là số ảo và
12
2 20zz+=
. Tổng giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của
12
21P z iz= + −
là
A.
4
. B.
6
. C.
8
. D.
12
.
Lời giải
Chọn C
Gọi số phức có dạng
z x yi=+
,
( )
,xy
. Điều kiện
2zi−
.
Ta có:
2
2
zi
zi
−
+
( )
( )
2
2
x y i
x y i
+−
=
++
( )
( ) ( )
22
22
22
4
4
22
xy
x
i
x y x y
+−
−
=+
+ + + +
.
Theo đề:
2
2
zi
zi
−
+
là số ảo
22
40xy + − =
22
12
4 2 2x y z z z + = = = =
.
Gọi
,,A B C
và
D
lần lượt là điểm biểu diễn số phức
1
z
,
2
z
,
2
2z
và
( )
12
2zz+
.
Suy ra
2OC OB=
và
OA OC OD+=
. Do
12
2 2 2 4z z OC OA OB= = = = =
và
12
2 20 20z z OD+ = =
Xét tam giác
OAD
có:
2 2 2
cos
2.
OA AD OD
OAD
OA AD
+−
=
22
2 4 20
0
2.2.4
+−
==
90OAD =
.
Hay
90AOC =
( )
, 90OA OB =
.
Gọi
;EF
và
G
lần lượt là điểm biểu diễn số phức
1
2z
,
2
iz
và
1−
. Khi đó ta có
12
2 ; 2 4; 2; 1 1OE OA OE z OF iz OG = = = = = = − =
.
Trang 223
Do
B
là điểm biểu diễn số phức
2
z
và
F
là điểm biểu diễn số phức
2
iz
nên
;OB OF
vuông
góc với nhau. Do
;OA OB
vuông góc với nhau nên ta có được
OA
và
OF
cùng hướng hoặc
ngược hướng với nhau, suy ra
OE
và
OF
cùng hướng hoặc ngược hướng với nhau.
Ta có
12
21P z iz= + −
OE OF OG= + +
.
Do
OE OF OG OE OF OG+ + + +
4 2 1 7P + + =
Dấu bằng xảy ra khi
;;OE OF OG
cùng hướng
1
2
2
24
2
z
OE OF OG
zi
=−
= =
=
.
Vậy
7MaxP =
Do
( )
OE OF OG OE OF OG OE OF OG+ + − + − +
4 2 1 1P − − =
Dấu bằng xảy ra khi
OE
ngược hướng với
OF
và
OG
1
2
2
24
2
z
OE OF OG
zi
=
= − = −
=
.
Vậy
min 1P =
, suy ra tổng giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của P là:
7 1 8+=
.
Câu 43: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông tâm
O
có cạnh bằng
2
, cạnh bên
SA x=
và
( )
SA ABCD⊥
. Gọi
E
,
F
lần lượt là trung điểm của
SB
và
SD
. Biết rằng khoảng
cách giữa hai đường thẳng
AE
và
CF
bằng
4
19
. Khi đó
x
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
( )
3; +
. B.
( )
2;3
. C.
( )
0;1
. D.
( )
1;2
.
Lời giải
Chọn C
Gọi
H
,
K
lần lượt là trung điểm
AD
và
BC
. Suy ra
( )
FH ABCD⊥
và
2
x
FH =
.
Vẽ hình bình hành
ABOP
. Ta có
EF
song song và bằng
AP
(do cùng song song và bằng
1
2
BD
), suy ra
AEFP
là hình bình hành.
Do đó
( ) ( ) ( )
( )
d , d ,AE FPC AE CF A FPC=
.
Trang 224
Gọi
Q
là giao điểm
CP
và
AD
( )
( )
( )
( )
( )
d,
d,
A FPC
AQ
AH FPC Q
H FPC HQ
= =
.
Ta có
1 1 1 1 1
2 2 3 3 4
HO AB PO PH PK HQ KC HQ AQ= = = = =
.
Do đó
( )
( )
( )
( )
1 1 4 1
d , d ,
44
19 19
H FPC A FPC= = =
.
( ) ( )
d , . d , .H CP CP C PH PH=
với
22
10C CK PKP ==+
,
1PH =
,
( )
d , 1C PH CK==
,
suy ra
( )
1
d,
10
H CP =
.
Ta có
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
1 1 1 4 2
19 10 0;1
3
d,
d,
x
FH x
H CP
H FPC
= + = + =
.
Câu 44: Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm và nhận giá trị dương với
( )
0;x +
. Biết
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 . , 0;f x xf x x f x x
+ = +
và
( )
11f =
. Khi đó, diện tích hình phẳng giới
hạn với các đường thẳng
( )
y f x=
, trục hoành,
1x =
và
4x =
bằng:
A.
1
. B.
2ln2
. C.
ln2
. D.
2
.
Lời giải
Chọn D
Với
( )
0;x +
, ta có:
( ) ( ) ( )
2
2.f x xf x x f x
+=
( )
( )
( )
2
2.xf x x f x
=
( )
( )
( )
2 2 2
2
xf x
x
x f x x
=
( )
( )
( )
( )
2
1
2
xf x
xx
xf x
− = −
( )
11
xf x
x
=
( )
11
C
xf x
x
= +
.
Với
1x =
( )
11
1
1
C
f
= +
11
0
1
1
CC = + =
.
( )
1
fx
x
=
( )
44
11
1
2S f x dx dx
x
= = =
.
Câu 45: Trong tập hợp số phức, xét phương trình
( )
42
2 1 2 1 0z m z m− + + + =
(
m
là tham số thực). Có
bao nhiêu giá trị của
m
để phương trình đó có bốn nghiệm phân biệt
1 2 3 4
, , ,z z z z
thỏa mãn
1 2 3 4
6z z z z+ + + =
?
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D.
3
.
Lời giải
Chọn B
( )
42
2 1 2 1 0 (1)z m z m− + + + =
2
2
1
21
z
zm
=
=+
2
1
2 1 (2)
z
zm
=
=+
Trang 225
Đặt
12
1, 1zz= = −
Trường hợp 1: Nếu
1
2
m −
, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt
phương trình
( )
2
có hai nghiệm phân biệt khác
1
2 1 1 0mm +
Hai nghiệm của phương trình
( )
2
là
34
2 1, 2 1z m z m= + = − +
.
Khi đó
1 2 3 4
6 1 1 2 1 2 1 6z z z z m m+ + + = + + + + − + =
3
2 2 1 4 2 1 2
2
m m m+ = + = =
(thỏa mãn).
Trường hợp 2: Nếu
1
2
m −
, phương trình
( )
2
có hai nghiệm phức là
34
2 1. , 2 1.z m i z m i= − − = − − −
Khi đó
1 2 3 4
6 1 1 2 1 2 1 6z z z z m m+ + + = + + − − + − − − =
5
2 2 1 4 2 1 2
2
m m m− − = − − = = −
(thỏa mãn).
Vậy có hai giá trị của
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
( ) ( ) ( )
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c
với
,,abc
dương.
Biết
,,A B C
di động trên các tia
,,Ox Oy Oz
sao cho
2abc+ + =
. Biết rằng khi
,,abc
thay
đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện
OABC
thuộc mặt phẳng
( )
P
cố định. Khoảng
cách từ
( )
0;2023;0M
tới mặt phẳng
( )
P
bằng
A.
2022
. B.
2023
3
. C.
2021
3
. D.
674 3
.
Lời giải
Chọn D
Gọi
( )
là mặt phẳng trung trực của đoạn
OA
.
( )
đi qua điểm
;0;0
2
a
D
và có VTPT
( ) ( )
;0;0 1;0;0OA a a==
( )
:0
2
a
x
− =
.
Gọi
( )
là mặt phẳng trung trực của đoạn
OB
.
( )
đi qua điểm
0; ;0
2
b
E
và có VTPT
( ) ( )
0; ;0 0;1;0OB b b==
( )
:0
2
b
y
− =
.
Gọi
( )
là mặt phẳng trung trực của đoạn
OC
.
( )
đi qua điểm
0;0;
2
c
F
và có VTPT
( ) ( )
0;0; 0;0;1OC c c==
( )
:0
2
c
z
− =
.
Gọi
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
OABC
( ) ( ) ( )
;;
2 2 2
a b c
II
=
.
Trang 226
Theo giả thiết,
( )
2 1 : 1
2 2 2
a b c
a b c I P x y z+ + = + + = + + =
.
Vậy,
( )
( )
2023 1
2022
, 674 3
33
d M P
−
= = =
.
Câu 47: Xét các số thực
x
,
y
( )
0x
thỏa mãn biểu thức:
( )
3 1 1
3
1
2023 2023 1 2023 3
2023
x y xy xy
xy
x y x
+ + − −
+
+ + + = + − +
.
Gọi
m
là giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2T x y=+
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
( )
1;0m−
. B.
( )
1;2m
. C.
( )
2;3m
. D.
( )
0;1m
.
Lời giải
Chọn A
Xét hàm số
( )
2023 2023
tt
f t t
−
= − +
, với
t
.
( )
2023 ln2023 2023 ln2023 1 0
tt
ft
−
= + +
,
t
.
Do đó
( )
ft
đồng biến trên .
Ta có:
( )
3 1 1
3
1
2023 2023 1 2023 3
2023
x y xy xy
xy
x y x
+ + − −
+
+ + + = + − +
3 3 1 1
2023 2023 3 2023 2023 1
x y x y xy xy
x y xy
+ − − − − +
− + + = − − −
( ) ( )
31f x y f xy+ = − −
( )
*
.
Khi đó:
( )
*
31x y xy+ = − −
( )
31y x x+ = − −
1
3
x
y
x
+
= −
+
( )
21
3
x
Tx
x
+
= −
+
.
Xét hàm số
( )
( )
21
3
x
f x x
x
+
=−
+
, với
)
0;x +
có
( )
( )
2
4
1
3
fx
x
=−
+
( )
2
2
65
0
3
xx
x
++
=
+
,
( )
0;x +
.
Do đó
( )
fx
đồng biến trên
)
0;+
( ) ( )
2
0
3
f x f = −
.
Dấu “
=
” xảy ra
0x=
2
3
m = −
.
Câu 48: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( ) ( )
: 3 2 3 9 0P mx y m z− − − − =
(
m
là tham số thực)
và mặt cầu
( ) ( ) ( )
22
2
: 1 1 16S x y z− + − + =
. Biết rằng
( )
P
cắt
( )
S
theo giao tuyến là đường
tròn có bán kính nhỏ nhất, khi đó khoảng cách từ điểm
( )
1;2;3A −
đến
( )
P
bằng
A.
11.
B.
13 11
.
11
C.
11
.
11
D.
2 11
.
11
Lời giải
Chọn B
Trang 227
Mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
1;1;0I
và có bán kính
4R =
.
Mặt phẳng
( )
P
cắt mặt cầu
( )
S
theo gieo tuyến là đường tròn
( )
C
Khi đó tọa độ tâm
H
của đường tròn
( )
C
là hình chiếu vuông góc của
I
lên mặt phẳng
( )
P
và
bán kính của đường
( )
C
là
22
r R IH=−
r
nhỏ nhất
IH
lớn nhất.
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
12
12
,
5 12 18
2 3 9
m
m
IH d I P IH
mm
mm
−
−
= = =
−+
+ − +
.
Xét hàm số
( )
( )
2
2
12
5 12 18
m
fm
mm
−
=
−+
( )
( )
2
2
2
1
108 1404 1296
'0
12
5 12 18
m
mm
fm
m
mm
=
−+
= =
=
−+
.
( )
11Maxf m =
khi
1m =
11MaxIH=
khi
( )
1 : 3 9 0m P x y z= − + − =
.
( )
( )
1 6 3 9
13 11
,
11
11
d A P
− − + −
= =
.
Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 3 2 1 75S x y z− + + + − =
và
mặt phẳng
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
: 2 4 1 2 3 1 1 0P m m x m m y m z m+ − + − + − + + =
.
A
là điểm thuộc mặt
cầu
( )
S
. Khi khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )
P
đạt giá trị lớn nhất thì khối nón có đỉnh là
A
, đường tròn đáy là giao tuyến của
( )
P
và
( )
S
có thể tích bằng bao nhiêu.
A.
75 3
. B.
128
. C.
128 3
. D.
64
.
Lời giải
Chọn C
Trang 228
Mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
3; 2;1I −
và bán kính
53R =
.
Gọi là điểm cố định mà mặt phẳng
( )
P
luôn đi qua.
Khi đó
( ) ( )
( )
2 2 2
0 0 0
2 4 1 2 3 1 1 0,m m x m m y m z m m+ − + − + − + + =
( ) ( )
2
0 0 0 0 0 0 0
1 2 4 6 2 1 0,x y m x y z m y z m − + + − + + − + =
( )
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
1 0 2
2 4 6 0 1 2; 1;0
2 1 0 0
x y x
x y z y M
y z z
− + = = −
− + = = − − −
− + = =
.
Do mặt phẳng
( )
P
luôn đi qua
M
nên
( )
( )
,d I P IM
.
Ta có
A
là điểm thuộc mặt cầu
( )
S
( )
( )
( )
( )
, , 5 3 3 3 8 3d A P R d I P R IM + + = + =
Trong trường hợp khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )
P
đạt giá trị lớn nhất thì khối nón có
đỉnh là
A
, đường tròn đáy là giao tuyến của
( )
P
và
( )
S
có bán kính
22
43r R IM= − =
.
Khi đó
2
1
128 3
3
N
V r h
==
.
( )
0 0 0
;;M x y z
Trang 229
Câu 50: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
0;23m
để hàm số
( )
( )
2
2 2023g x f x x m= − + +
đồng biến trên khoảng
( )
2; ?+
A.
23
. B.
20
. C.
21
. D.
22
.
Lời giải:
Chọn A
Để hàm số
( )
( )
2
2 2023g x f x x m= − + +
đồng biến trên khoảng
( )
2;+
thì
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2 2 2
2 0, 2;
2
x x x
g x f x x m x
xx
−−
= − + +
−
Mà
( )
( )
( )
2
2
2 2 2
0, 2;
2
x x x
x
xx
−−
+
−
( )
( )
2
2 0, 2;f x x m x
− + +
Từ đồ thị, hàm số
( )
y f x=
đồng biến trên
1;0−
và
)
1; +
.
Suy ra
( )
22
22
2 1 2 1
, 2;
1 2 0 1 2
x x m x x m
x
x x m m x x m
− + − −
+
− − + − − − −
.
Nhận xét: Ta thấy
( )
; 0;23
2
2 0, 2; 0 1 1 1 23
mm
x x x m m m
− + − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
.
Vậy có tất cả
23
giá trị nguyên của tham số
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trang 230
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2024
ĐỀ 10
Bài thi: TOÁN
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho các điểm
, , ,M N P Q
như hình dưới đây
Số phức
14zi=−
được biểu diễn bởi điểm:
A.
N
. B.
P
. C.
Q
. D.
M
.
Câu 2: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
A.
3
. B.
2
. C.
4
. D.
5
.
Câu 3: Thể tích của khối cầu có bán kính
3r =
bằng:
A.
9
. B.
3
4
. C.
108
. D.
36
.
Câu 4: Số phức liên hợp của số phức
52zi=−
là
A.
52zi=+
. B.
25zi=+
. C.
52zi= − −
. D.
25zi= − −
.
Câu 5: Trong không gian
,Oxyz
cho mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
1;0;2I
và bán kính
3.R =
Phương trình mặt cầu
( )
S
là
A.
( ) ( )
22
2
1 2 3x y z+ + + + =
. B.
( ) ( )
22
2
1 2 3x y z− + + − =
.
C.
( ) ( )
22
2
1 2 9x y z+ + + + =
. D.
( ) ( )
22
2
1 2 9x y z− + + − =
.
Câu 6: Đồ thị hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
cắt trục
Ox
tại điểm nào dưới đây?
A.
( )
0; 1M −
. B.
( )
1;0N −
. C.
( )
0;1P
. D.
( )
1;0Q
.
Câu 7: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
;2−
. B.
( )
;1−
. C.
( )
1; +
. D.
( )
1;3
.
Câu 8: Phần ảo của số phức
52zi=−
là
A.
2i
. B.
2i-
. C.
2-
D.
2
.
Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình
( )
2
log 2 2x −
là
A.
( )
4;+
. B.
( )
2;+
. C.
( )
6;+
. D.
( )
2;6
.
Trang 231
Câu 10: Nghiệm của phương trình
2
28
x
=
là:
A.
3
2
x =
. B.
1
2
x =
. C.
2x =
. D.
3x =
Câu 11: Thể tích khối hộp có diện tích đáy
3B =
chiều cao
5h =
bằng:
A.
15
. B.
5
. C.
15
. D.
5
3
.
Câu 12: Cho
(2) 4; (0) 1ff==
khi đó:
2
0
'( )f x dx
bằng
A.
4
. B.
2
. C.
5
. D.
3
Câu 13: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình bên?
A.
3
3y x x= − +
. B.
3
33y x x= − −
.
C.
42
23y x x= − −
. D.
42
23xx− + −
.
Câu 14: Thể tích của khối chóp tứ giác có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, chiều cao
3h =
bằng:
A.
12
. B.
4
.
C.
6
. D.
18
.
Câu 15: Họ nguyên hàm của hàm số
( )
3
f x x=
là:
A.
2
3xC+
. B.
4
1
4
xC+
. C.
4
4xC+
. D.
2
1
2
xC+
.
Câu 16: Cho cấp số cộng
( )
n
u
, biết
1
2u =
, công sai
3d =
. Số hạng thứ tư của cấp số cộng đã cho là
A.
4
18u =
B.
4
11u =
C.
4
54u =
D.
4
9u =
Câu 17: Tập xác định của hàm số
( )
1
3
21yx=−
A.
1
;
2
−
B.
( )
;− +
C.
1
;
2
+
D.
1
;
2
+
Câu 18: Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị như hình vẽ dưới đây
Hàm số đã cho đạt cực trị đại tại
A.
1x =
B.
3x =
C.
2x =
D.
2x =−
Câu 19: Với
a
là số thực dương khác 1 tùy ý,
log
a
a
bằng
A.
1
2
.
B.
1
2
.−
C.
2.−
D.
2.
Câu 20: Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng
12
:
3 2 1
x y x
d
−+
==
đi qua điểm nào dưới đây?
A.
( )
0; 1; 2 .M −−
B.
( )
3;2;1 .M
C.
( )
0;1; 2 .N −
D.
( )
0;1;2 .Q
Câu 21: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng vuông góc với đường thẳng
12
:2
34
xt
d y t
zt
=−
=+
=+
có một véc tơ pháp
tuyến là
A.
( )
3
2;1;4 .n =
B.
( )
2
1;2; 3 .n =−
C.
( )
4
2;1;4 .n =−
D.
( )
1;2;3 .n =
Câu 22: Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng đi qua hai điểm
( ; ; )A −3 2 4
và
( ; ; )B 112
có một vectơ chỉ
phương là
Trang 232
A.
2
(4; 1;6)u =−
. B.
2
(2; 3;2)u =−
. C.
2
( 2;3;2)u =−
. D.
2
1
(2; ;3)
2
u =−
.
Câu 23: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y
x
=
+
4
2
là
A.
2x =
. B.
2x =−
. C.
0y =
. D.
2y =
.
Câu 24: Diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh
l = 5
và
r = 3
bằng
A.
30
. B.
15
. C.
48
. D.
24
.
Câu 25: Hàm số nào dưới đây có tập xác định là
\0
?
A.
3
x
y =
. B.
1
3
yx=
. C.
3
yx
−
=
. D.
3
logyx=
.
Câu 26: Một tổ hợp chập 2 của tập
1; 2; 3; 4; 5
là
A.
2
5
C
. B.
2
5
A
. C.
1; 2
. D.
( )
1; 2
.
Câu 27: Trong không gian
Oxyz
, tọa độ của vectơ
23a i k j= + −
là
A.
( )
2; 3; 1−
. B.
( )
1; 3; 2−
. C.
( )
2; 1; 3−
. D.
( )
1; 2; 3−
.
Câu 28: Cho
2
0
( ) 6f x dx =−
và
4
0
( ) 3f x dx =
khi đó
4
2
()f x dx
bằng
A. -9. B. 3. C. 9. D. -3.
Câu 29: Trên đoạn
[ 2;1]−
, hàm số
32
31y x x= + −
đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
A.
2x =−
. B.
1x =
. C.
0x =
. D.
1x =−
.
Câu 30: Gọi
S
là tập tất cả các số tự nhiên gồm hai chữ số được lập từ các chữ số
1,2,3,4,5,6
. Chọn ngu
nhiên một số thuộc
S
, xác suất để số được chọn gồm hai chữ số phân biệt bằng
A.
5
6
. B.
1
2
. C.
1
6
. D.
5
12
.
Câu 31: Cho lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
có tất cả các cạnh bằng nhau. Hình chiếu vuông góc của
A
trên mặt phẳng
(A'B'C')
là trung điểm
H
của
''BC
. Góc giữa hai đường thẳng
AA'
và
''BC
bằng
A.
0
60
. B.
0
45
. C.
0
30
. D.
0
90
Câu 32: Cho
F
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên
R
.Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A.
(2 1) (2 1)
x x x
e f e dx F e C− = − +
B.
(2 1) 2 (2 1)
x x x
e f e dx F e C− = − +
C.
1
(2 1) (2 1)
2
x x x
e f e dx F e C− = − +
D.
1
(2 1) (2 1)
2
x x x
e f e dx F e C− = − − +
Câu 33: Cho hàm số
()fx
có đạo hàm
= +
2
'( ) ( 2),f x x x x R
. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào
dưới đây?
A.
−( 2;0)
. B.
( )
+0;
. C.
− −( ; 2)
. D.
− +( 2; )
Câu 34: Diện tích phân gạch chéo trong hình vẽ được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số
2
1 2 2
,
3 3 3
y x x y x= − − =
và đường thẳng
1x =
được tính bởi công thức
Trang 233
A.
4
2
1
1 2 2
d
3 3 3
S x x x x
= − − −
. B.
( )
4
2
1
1
3 2 3 d
3
S x x x x= − + +
.
C.
4
2
0
1 2 2
d
3 3 3
S x x x x
= − + +
. D.
4
2
0
1 2 2
d
3 3 3
S x x x x
= − − −
.
Câu 35: Cho
a
và
b
là hai số thực dương khác
1
thỏa mãn
3
ab=
. Tính giá trị
log
a
b
.
A.
3
3
log
2
a
b =
. B.
3
3
log
2
a
b =
. C.
3
log
2
a
b =
. D.
2
log
3
a
b =
.
Câu 36: Cho hai số thực
,ab
thỏa mãn
( )
.2 3 6 8a i b i i+ + = +
. Tổng
ab+
bằng
A.
5
. B.
6
. C.
4
. D.
7
.
Câu 37: Trong không gian
Oxyz
, hình chiếu vuông góc của điểm
( )
1;2; 1M −
trên mặt phẳng
( )
: 2 3 6 0P x y z+ − + =
là điểm
( )
;;H a b c
. Tổng
abc++
bằng
A.
3−
. B.
4−
. C.
0
. D.
2
.
Câu 38: Cho hình chóp đều
.S ABCD
có độ dài cạnh đáy bằng
4
, mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc
0
30
.
Khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
( )
SCD
bằng
A.
23
. B.
43
. C.
43
3
. D.
2
.
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên
x
thỏa mãn
( ) ( )
23
2 3 2 3
log log log .log 4x x x x+ −
?
A.
27
. B.
134
. C.
26
. D.
133
.
Câu 40: Cho hàm số
()fx
có đạo hàm
( ) cos 1,f x x x = +
và
2
2
0
( )d 1
8
f x x
=+
, khi đó
2
f
bằng
A.
2
. B.
1
2
+
. C.
1
2
−
. D.
1
.
Câu 41: Cho khối chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh
S
trên mặt phẳng
đáy là trung điểm
H
của cạnh
AB
. Biết
3SC a=
và góc giữa hai mặt phẳng
()SAC
và
()SBC
bằng
90
. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
3
2a
. B.
3
1
2
a
. C.
3
4a
. D.
3
3a
.
Câu 42: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
(3;0;5)E
và hai đường thẳng
1
22
:
1 1 1
x y z
d
−−
==
−
2
2
: 1 2
3
xt
d y t
zt
=+
= − +
=−
. Gọi
()P
là mặt phẳng đi qua
E
, cắt hai đường thẳng
1
d
,
2
d
lần lượt tại các điểm
A
và
B
sao cho
6AB =
. Điểm nào dưới đây thuộc
()P
?
A.
(1;2;3)M
. B.
(3;2; 1)Q −
. C.
(1; 2;3)P −
. D.
(2; 1;3)N −
.
Trang 234
Câu 43: Trên tập số phức, cho phương trình
2
0 ( , )z az b a b+ + =
. Có bao nhiêu số phức
w
sao cho
phương trình đã cho có hai nghiệm là
1
(6 ) 2z i w i= − −
và
2
( 5 ) | |z w i w= − +
?
A. 4. B. 3. C. 6. D. 5.
Câu 44: Cho hàm số
()fx
có đạo hàm
2
( ) 6 6 12,f x x x x
= − −
và
( 1) 2f −=
. Số giá trị nguyên của
tham số
m
để hàm số
( )
42
( ) 2g x f x x m= − −
có ít nhất 9 điểm cực trị là
A. 27. B. 20. C. 26. D. 19.
Câu 45: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
(3;0;5)M
và mặt cầu
2 2 2
( ):( 1) ( 2) ( 4) 81S x y z− + + + − =
. Xét
các điểm
,,A B C
di động trên
()S
sao cho
,,MA MB MC
đôi một vuông góc và gọi
E
là đỉnh đối diện
với đỉnh
M
của hình hộp chữ nhật có ba cạnh
,,MA MB MC
. Khoảng cách từ điểm
E
đến măt phẳng
()Oxy
có giá trị lơn nhất bằng
A. 21. B. 15. C. 17. D. 19.
Câu 46: Cho hàm số bậc bốn
()fx
có đồ thị
()C
như hình vẽ:
Đường thẳng
: ( )d y g x=
là tiếp tuyến của
()C
tại điểm có hoành độ
3x =
. Số nghiệm thực phân
biệt của phương trình
( ) 4 ( )
( ) 4 ( )
f x g x
g x f x
−
=
−
là
A.
7
. B.
4
. C.
5
. D.
6
.
Câu 47: Xét hai số phức
12
,zz
thoả mãn
12
24zz−=
và
12
35zz+=
. Gọi
,Mm
lần lượt là giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 2 1 2
5 3 5P z z z z= − + +
, khi đó
22
Mm−
bằng
A.
325
. B.
125
. C.
247
. D.
100
.
Câu 48: Cho hình trụ có bán kính đáy và chiều cao cùng bằng
2a
và hai đường tròn đáy tâm
O
và
O
. Xét hai
điểm
,AB
lần lượt di động trên đường tròn tâm
O
và đường tròn đáy tâm
O
sao cho
AB
tạo với
OO
góc
( )
0 90
. Khi thể tích khối tứ diện
OAO B
đạt giá trị lớn nhất thì tan
bằng:
A.
2
. B.
1
2
. C.
2
3
. D.
1
3
.
Câu 49: Có bao nhiêu số nguyên
[ 30;30]−a
sao cho ứng với mỗi
a
có không quá 5 số nguyên
x
thoả mãn
13 13
33
4 4 log (1 ) log ( 1)
− + −
+ + − + +
x x a
x x a
?
A. 23. B. 53. C. 22. D. 54.
Câu 50: Cho hàm số
42
()= + +f x x bx c
sao cho hàm số
2
()
()
1
=
+
fx
gx
x
đạt cực trị tại điểm
1=−x
. Gọi
()=y h x
là hàm số bậc hai có đồ thị qua tất cả các điểm cực trị của đồ thị hàm số
()=y g x
. Diện tích
hình phẳng giới hạn bởi hai đường
()=y g x
và
()=y h x
bằng
A.
64
15
. B.
8
2
3
−
. C.
128
15
. D.
16
4
3
−
.
---------- HẾT ----------
Trang 235
Trang 236
BẢNG ĐÁP ÁN
1.D
2.C
3.D
4.A
5.D
6.B
7.B
8.C
9.C
10.A
11.A
12.D
13.C
14.B
15.B
16.B
17.D
18.A
19.A
20.C
21.C
22.B
23.B
24.B
25.C
26.A
27.C
28.C
29.C
30.A
31.D
32.C
33.C
34.B
35.C
36.A
37.D
38.A
39.B
40.B
41.A
42.A
43.A
44.C
45.D
46.B
47.D
48.A
49.D
50.B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho các điểm
, , ,M N P Q
như hình dưới đây
Số phức
14zi=−
được biểu diễn bởi điểm:
A.
N
. B.
P
. C.
Q
. D.
M
.
Lời giải
Chọn D
Số phức
14zi=−
được biểu diễn bởi điểm:
( )
1; 4−
Câu 2: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
A.
3
. B.
2
. C.
4
. D.
5
.
Lời giải
Chọn C
Câu 3: Thể tích của khối cầu có bán kính
3r =
bằng:
A.
9
. B.
3
4
. C.
108
. D.
36
.
Lời giải
Chọn D
Câu 4: Số phức liên hợp của số phức
52zi=−
là
A.
52zi=+
. B.
25zi=+
. C.
52zi= − −
. D.
25zi= − −
.
Lời giải
Chọn A
Ta có: Số phức liên hợp của số phức
52zi=−
là
52zi=+
.
Câu 5: Trong không gian
,Oxyz
cho mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
1;0;2I
và bán kính
3.R =
Phương trình mặt cầu
( )
S
là
A.
( ) ( )
22
2
1 2 3x y z+ + + + =
. B.
( ) ( )
22
2
1 2 3x y z− + + − =
.
Trang 237
C.
( ) ( )
22
2
1 2 9x y z+ + + + =
. D.
( ) ( )
22
2
1 2 9x y z− + + − =
.
Lời giải
Chọn D
Mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
1;0;2I
và bán kính
3R =
có phương trình là
( ) ( )
22
2
1 2 9x y z− + + − =
.
Câu 6: Đồ thị hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
cắt trục
Ox
tại điểm nào dưới đây?
A.
( )
0; 1M −
. B.
( )
1;0N −
. C.
( )
0;1P
. D.
( )
1;0Q
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
1
0 0 1
1
x
yx
x
+
= = = −
−
đồ thị hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
cắt trục
Ox
tại điểm
( )
1;0N −
.
Câu 7: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
;2−
. B.
( )
;1−
. C.
( )
1; +
. D.
( )
1;3
.
Lời giải
Chọn B
Từ Bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;1−
.
Câu 8: Phần ảo của số phức
52zi=−
là
A.
2i
. B.
2i-
. C.
2-
D.
2
.
Lời giải
Chọn C
Phần ảo của số phức
52zi=−
là
2.−
Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình
( )
2
log 2 2x −
là
A.
( )
4;+
. B.
( )
2;+
. C.
( )
6;+
. D.
( )
2;6
.
Lời giải
Chọn C
( )
2
22
log 2 2 6
2 4 6
xx
xx
xx
−
−
.
Tập nghiệm của bất phương trình là
( )
6; .S = +
Câu 10: Nghiệm của phương trình
2
28
x
=
là:
A.
3
2
x =
. B.
1
2
x =
. C.
2x =
. D.
3x =
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2 2 3
3
2 8 2 2 2 3 .
2
xx
xx= = = =
Câu 11: Thể tích khối hộp có diện tích đáy
3B =
chiều cao
5h =
bằng:
A.
15
. B.
5
. C.
15
. D.
5
3
.
Trang 238
Lời giải
Chọn A
Thể tích khối hộp là:
. 3.5 15.V Bh= = =
Câu 12: Cho
(2) 4; (0) 1ff==
khi đó:
2
0
'( )f x dx
bằng
A.
4
. B.
2
. C.
5
. D.
3
Lời giải
Chọn D
Ta có:
( ) ( ) ( )
2
2
0
0
'( ) 2 0 4 1 3.f x dx f x f f= = − = − =
Câu 13: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình bên?
A.
3
3y x x= − +
. B.
3
33y x x= − −
. C.
42
23y x x= − −
. D.
42
23xx− + −
.
Lời giải
Chọn C
Đồ thị hàm số trên là của hàm số bậc bốn trùng phương có hệ số
0a
.
Câu 14: Thể tích của khối chóp tứ giác có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, chiều cao
3h =
bằng:
A.
12
. B.
4
. C.
6
. D.
18
.
Lời giải
Chọn B
2
11
. .2 .3 4
33
V S h= = =
.
Câu 15: Họ nguyên hàm của hàm số
( )
3
f x x=
là:
A.
2
3xC+
. B.
4
1
4
xC+
. C.
4
4xC+
. D.
2
1
2
xC+
.
Lời giải
Chọn B
( )
4
3
dx
4
x
F x x C= = +
.
Câu 16: Cho cấp số cộng
( )
n
u
, biết
1
2u =
, công sai
3d =
. Số hạng thứ tư của cấp số cộng đã cho là
A.
4
18u =
B.
4
11u =
C.
4
54u =
D.
4
9u =
Lời giải
Ta có
41
3 2 3.3 11u u d= + = + =
.
Câu 17: Tập xác định của hàm số
( )
1
3
21yx=−
A.
1
;
2
−
B.
( )
;− +
C.
1
;
2
+
D.
1
;
2
+
Lời giải
Điều kiện xác định:
1
2 1 0
2
xx−
.
Trang 239
Suy ra tập xác định của hàm số đã cho là:
1
;
2
D
= +
.
Câu 18: Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị như hình vẽ dưới đây
Hàm số đã cho đạt cực trị đại tại
A.
1x =
B.
3x =
C.
2x =
D.
2x =−
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số, hàm số đã cho đạt cực đại tại
1x =
.
Câu 19: Với
a
là số thực dương khác 1 tùy ý,
log
a
a
bằng
A.
1
2
.
B.
1
2
.−
C.
2.−
D.
2.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
1
2
1
log log .
2
aa
aa==
Câu 20: Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng
12
:
3 2 1
x y x
d
−+
==
đi qua điểm nào dưới đây?
A.
( )
0; 1; 2 .M −−
B.
( )
3;2;1 .M
C.
( )
0;1; 2 .N −
D.
( )
0;1;2 .Q
Lời giải
Chọn C
Ta có:
0 1 1 2 2
.
3 2 1
Nd
− − +
= =
Câu 21: Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng vuông góc với đường thẳng
12
:2
34
xt
d y t
zt
=−
=+
=+
có một véc tơ pháp
tuyến là
A.
( )
3
2;1;4 .n =
B.
( )
2
1;2; 3 .n =−
C.
( )
4
2;1;4 .n =−
D.
( )
1;2;3 .n =
Lời giải
Chọn C
Đường thẳng
d
có một véc tơ chỉ phương là
( )
2;1;4
d
u =−
.
Vì mặt phẳng vuông góc với đường thẳng
d
nên mặt phẳng có 1 véc tơ pháp tuyến
( )
4
2;1;4n =−
.
Câu 22: Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng đi qua hai điểm
( ; ; )A −3 2 4
và
( ; ; )B 112
có một vectơ chỉ
phương là
A.
2
(4; 1;6)u =−
. B.
2
(2; 3;2)u =−
. C.
2
( 2;3;2)u =−
. D.
2
1
(2; ;3)
2
u =−
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( ; ; ) ( ; ; )AB u= − − = −
1
2 3 2 2 3 2
Câu 23: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y
x
=
+
4
2
là
A.
2x =
. B.
2x =−
. C.
0y =
. D.
2y =
.
Trang 240
Lời giải
Chọn B
TXĐ
\{ }D =−2
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y
x
=
+
4
2
là
2x =−
Câu 24: Diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh
l = 5
và
r = 3
bằng
A.
30
. B.
15
. C.
48
. D.
24
.
Lời giải
Chọn B
Diện tích xung quanh của hình nón
xq
S rl
==15
Câu 25: Hàm số nào dưới đây có tập xác định là
\0
?
A.
3
x
y =
. B.
1
3
yx=
. C.
3
yx
−
=
. D.
3
logyx=
.
Lời giải
Chọn C
Câu 26: Một tổ hợp chập 2 của tập
1; 2; 3; 4; 5
là
A.
2
5
C
. B.
2
5
A
. C.
1; 2
. D.
( )
1; 2
.
Lời giải
Chọn A
Câu 27: Trong không gian
Oxyz
, tọa độ của vectơ
23a i k j= + −
là
A.
( )
2; 3; 1−
. B.
( )
1; 3; 2−
. C.
( )
2; 1; 3−
. D.
( )
1; 2; 3−
.
Lời giải
Chọn C
Câu 28: Cho
2
0
( ) 6f x dx =−
và
4
0
( ) 3f x dx =
khi đó
4
2
()f x dx
bằng
A. -9. B. 3. C. 9. D. -3.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
440 4
0220
2
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 3 9f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx= + = − + = + =
Câu 29: Trên đoạn
[ 2;1]−
, hàm số
32
31y x x= + −
đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
A.
2x =−
. B.
1x =
. C.
0x =
. D.
1x =−
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 3, 1 3, 0 1, 1 1y y y y− = = = − − =
Vậy hàm số
32
31y x x= + −
đạt giá trị nhỏ nhấ trên đoạn
2;1−
taij
0x =
Câu 30: Gọi
S
là tập tất cả các số tự nhiên gồm hai chữ số được lập từ các chữ số
1,2,3,4,5,6
. Chọn ngu
nhiên một số thuộc
S
, xác suất để số được chọn gồm hai chữ số phân biệt bằng
A.
5
6
. B.
1
2
. C.
1
6
. D.
5
12
.
Lời giải
Chọn A
Số các số tự nhiên có hai chữ số lập được từ các chữ số
1,2,3,4,5,6
là
6.6 36=
Số các số tự nhiên có hai chữ số kgacs nhau lập được từ các chữ số
1,2,3,4,5,6
là
6.5 30.=
Vậy xác suất cần tính là
30 5
36 6
P ==
Trang 241
Câu 31: Cho lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
có tất cả các cạnh bằng nhau. Hình chiếu vuông góc của
A
trên mặt phẳng
(A'B'C')
là trung điểm
H
của
''BC
. Góc giữa hai đường thẳng
AA'
và
''BC
bằng
A.
0
60
. B.
0
45
. C.
0
30
. D.
0
90
Lời giải
Chọn D
Ta có:
AA'/ / ' ( '; ' ') ( '; ' ')BB AA B C BB B C=
Vì
' ' ( ' ) ' ' ' ' ' 'B C AA H AA B C BB B C⊥ ⊥ ⊥
Câu 32: Cho
F
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên
R
.Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A.
(2 1) (2 1)
x x x
e f e dx F e C− = − +
B.
(2 1) 2 (2 1)
x x x
e f e dx F e C− = − +
C.
1
(2 1) (2 1)
2
x x x
e f e dx F e C− = − +
D.
1
(2 1) (2 1)
2
x x x
e f e dx F e C− = − − +
Lời giải
Chọn C
Ta có
11
(2 1) (2 1) (2 1) (2 1)
22
x x x x x
e f e dx f e d e x F e C− = − − = − +
.
Câu 33: Cho hàm số
()fx
có đạo hàm
= +
2
'( ) ( 2),f x x x x R
. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào
dưới đây?
A.
−( 2;0)
. B.
( )
+0;
. C.
− −( ; 2)
. D.
− +( 2; )
Lời giải
Chọn C
Ta có
+ − −
2
'( ) 0 ( 2) 0 ( ; 2)f x x x x
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng
− −( ; 2)
Câu 34: Diện tích phân gạch chéo trong hình vẽ được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số
2
1 2 2
,
3 3 3
y x x y x= − − =
và đường thẳng
1x =
được tính bởi công thức
A.
4
2
1
1 2 2
d
3 3 3
S x x x x
= − − −
. B.
( )
4
2
1
1
3 2 3 d
3
S x x x x= − + +
.
Trang 242
C.
4
2
0
1 2 2
d
3 3 3
S x x x x
= − + +
. D.
4
2
0
1 2 2
d
3 3 3
S x x x x
= − − −
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
44
22
11
1 2 2 1
d 3 2 3 d
3 3 3 3
S x x x x x x x x
= − + + = − + +
.
Câu 35: Cho
a
và
b
là hai số thực dương khác
1
thỏa mãn
3
ab=
. Tính giá trị
log
a
b
.
A.
3
3
log
2
a
b =
. B.
3
3
log
2
a
b =
. C.
3
log
2
a
b =
. D.
2
log
3
a
b =
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
3
3
3
2
a b b a a= = =
.
Khi đó
3
2
3
log log
2
aa
ba==
.
Câu 36: Cho hai số thực
,ab
thỏa mãn
( )
.2 3 6 8a i b i i+ + = +
. Tổng
ab+
bằng
A.
5
. B.
6
. C.
4
. D.
7
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
.2 3 6 8a i b i i+ + = +
( )
3 2 6 8b a b i i + + = +
3 6 3
2 8 2
ba
a b b
==
+ = =
.
Vậy
5ab+=
.
Câu 37: Trong không gian
Oxyz
, hình chiếu vuông góc của điểm
( )
1;2; 1M −
trên mặt phẳng
( )
: 2 3 6 0P x y z+ − + =
là điểm
( )
;;H a b c
. Tổng
abc++
bằng
A.
3−
. B.
4−
. C.
0
. D.
2
.
Lời giải
Chọn D
Gọi
là đường thẳng đi qua
M
và vuông góc mặt phẳng
( )
1 2 1
:
1 2 3
x y z
P
− − +
= =
−
( )
HP =
nên tọa độ điểm
H
là nghiệm của hệ phương trình
2 3 6 0 0 0
2 3 6 0
2 0 0 0 2
1 2 1
3 2 2 2
1 2 3
x y z x a
x y z
x y y b a b c
x y z
x z z c
+ − + = = =
+ − + =
− = = = + + =
− − +
==
+ = = =
−
Câu 38: Cho hình chóp đều
.S ABCD
có độ dài cạnh đáy bằng
4
, mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc
0
30
.
Khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
( )
SCD
bằng
A.
23
. B.
43
. C.
43
3
. D.
2
.
Lời giải
Chọn A
Trang 243
Góc giữa mặt bên
( )
SCD
với mặt phẳng đáy
( )
ABCD
là góc
0
30SMO =
với
M
là trung điểm
CD
.
Kẻ
OH SM⊥
, ta lại có
( )
;CD SO CD OM CD SOM OH OH CD⊥ ⊥ ⊥ ⊥
Vậy
( ) ( )
( )
;OH SCD d O SCD OH⊥ =
Ta có
0
3
sin30 . .2 3
2
OH OM= = =
Mà
( )
( )
( )
( )
; 2 ; 2 2 3d A SCD d O SCD OH= = =
.
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên
x
thỏa mãn
( ) ( )
23
2 3 2 3
log log log .log 4x x x x+ −
?
A.
27
. B.
134
. C.
26
. D.
133
.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện
0x
Bất phương trình
( ) ( )
23
2 3 2 3
log log log .log 4x x x x+ −
2 3 2 3
2log 3log log .log 4 0x x x x + − +
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
3 3 3 3 3
3
2 3 2 2 3 2
2
3 2 3 2
22
3 3 3 3 3 3
2
33
2 3log 2 4 28log 2 9 log 2 2 3log 2 4 28log
2log 2
2log 3log 2.log log .log 2.log 4 0
log 2. log 2 3log 2 log 4 0
2 3log 2 4 28log 2 9 log 2 2 3log 2 4 28log 2 9 log 2
log
2log 2 2log 2
22
x x x x
xx
x
x
+ − + + + + +
+ − +
− + −
+ − + + + + + +
( )
2
3
3
2 9 log 2
2log 2
0,53 134,08x
+
Do
x
nguyên nên có
134
giá trị.
Câu 40: Cho hàm số
()fx
có đạo hàm
( ) cos 1,f x x x = +
và
2
2
0
( )d 1
8
f x x
=+
, khi đó
2
f
bằng
A.
2
. B.
1
2
+
. C.
1
2
−
. D.
1
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( ) ( )
cos 1 sinf x x dx x x C= + = + +
.
Thay vào ta được
( )
22
22
00
( )d 1 sin 1
88
f x x x x C dx
= + + + = +
2 2 2 2
2
0
cos 1 1 . 1 0
2 8 8 2 8
x
x Cx C C
− + + = + + + = + =
.
Trang 244
Vậy
1
22
f
=+
.
Câu 41: Cho khối chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh
S
trên mặt phẳng
đáy là trung điểm
H
của cạnh
AB
. Biết
3SC a=
và góc giữa hai mặt phẳng
()SAC
và
()SBC
bằng
90
. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
3
2a
. B.
3
1
2
a
. C.
3
4a
. D.
3
3a
.
Lời giải
Chọn A
Kẻ
BK
vuông góc với
SC
, suy ra
AK
cũng vuông góc với
SC
.
Suy ra
( ) ( )
, , 90SAC SBC AK BK AKB= = =
.
Đặt
2
x
AB x HK= =
.
Xét tam giác
3
. . .3 .
22
x
SHC HK SC SH HC a SH x = =
22
3
3 9 3 6 . 2 2
2
SH a HC a a a x x a = = − = = =
.
Vậy thể tích khối chóp
.S ABC
bằng
23
.
1 1 3
. . 3.8 . 2
3 3 4
S ABC ABC
V SH S a a a
= = =
.
Câu 42: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
(3;0;5)E
và hai đường thẳng
1
22
:
1 1 1
x y z
d
−−
==
−
2
2
: 1 2
3
xt
d y t
zt
=+
= − +
=−
. Gọi
()P
là mặt phẳng đi qua
E
, cắt hai đường thẳng
1
d
,
2
d
lần lượt tại các điểm
A
và
B
sao cho
6AB =
. Điểm nào dưới đây thuộc
()P
?
A.
(1;2;3)M
. B.
(3;2; 1)Q −
. C.
(1; 2;3)P −
. D.
(2; 1;3)N −
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
1
d
qua
( )
1
2;2;0M =
có VTCP
( )
1
1;1; 1u =−
.
2
d
qua
( )
2
2; 1;0M =−
có VTCP
( )
2
1;2; 3u =−
, suy ra
( )
12
0; 3;0MM =−
Mà
( )
1 2 1 2 1 2
, 1;2;1 , . 6 0u u u u M M
= − = −
( )
1 2 1 2
12
12
,.
6
;6
6
,
u u M M
d d d
uu
= = =
.
Suy ra mặt phẳng
( )
P
chứa đường vuông góc chung
AB
của hai đường thẳng chéo nhau
1
d
,
2
d
.
Ta có
( ) ( )
1
2 ;2 ;P d A a a a = = + + −
,
H
S
C
B
A
K
Trang 245
( ) ( )
2
2 ; 1 2 ; 3P d B b b b = = + − + −
.
Ta có
( )
; 3 2 ; 3AB a b a b a b= − + − − + −
, mà
1
2
.0
.0
AB u
AB u
=
=
3 2 3 0 3 6 3 1
6 2 4 3 9 0 6 14 6 0
a b a b a b a b a
a b a b a b a b b
− + − − + − + = − + = = −
− + − − + − + = − + = =
.
Suy ra
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
1;1;1 1; 2; 1
; 9; 6;3 3 3;2; 1
2; 1;0
2; 1;4
A AB
AB AE
B
AE
= − −
= − − = − −
−
=−
.
Suy ra phương trình mặt phẳng
( )
:3 2 4P x y z+ − =
.
Ta có
( )
(1;2;3)MP
do
3.1 2.2 3 4+ − =
.
Câu 43: Trên tập số phức, cho phương trình
2
0 ( , )z az b a b+ + =
. Có bao nhiêu số phức
w
sao cho
phương trình đã cho có hai nghiệm là
1
(6 ) 2z i w i= − −
và
2
( 5 ) | |z w i w= − +
?
A. 4. B. 3. C. 6. D. 5.
Lời giải
Chọn A
Trường hợp 1:
12
,zz
.
1
(6 ) 2 (6 )( ) 2z i w i i x yi i= − − = − + −
là số thực nên
6 2 0xy− + − =
.
22
2
( 5 ) | | [( 5) (1 ) ]z w i w x y x y i= − + = + − + −
là số thực nên
22
(1 ) 0y x y− + =
.
Ta có hệ phương trình
22
6 2 0
4
4
1
(1 ) 0
xy
x
wi
y
y x y
− + − =
=
= +
=
− + =
.
Trường hợp 2:
12
,zz
. Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm là liên hợp với nhau.
12
(6 ) 2 ( 5 )| | . 5 . ( | |)z z i w i w i w t w t t i t w= − − = − − = − − =
[( 6) ] 5 ( 2)w t i t t i − + = + −
. (1)
2 2 2 2
( 6) 1 25 ( 2)t t t t
− + = + −
4 3 2
12 11 4 4 0t t t t − + + − =
1
0,62079
10,967
t
t
t
=
.
Thay mỗi giá trị của
t
vào (1), ta được một số phức
w
tương ứng.
Vậy có tất cả 4 số phức
w
thoả mãn.
Câu 44: Cho hàm số
()fx
có đạo hàm
2
( ) 6 6 12,f x x x x
= − −
và
( 1) 2f −=
. Số giá trị nguyên của
tham số
m
để hàm số
( )
42
( ) 2g x f x x m= − −
có ít nhất 9 điểm cực trị là
A. 27. B. 20. C. 26. D. 19.
Lời giải
Chọn C
Bảng biến thiên của hàm số
()fx
Xét hàm số
( )
42
( ) 2u x f x x m= − −
, ta có bảng biến thiên
Trang 246
Trong đó
( ) ( )
20
22
11
(2) 2 6 2 25; (0) 2 6 2 5f x x dx f x x dx
−−
= + − − = − = + − − = −
.
Suy ra hàm số
( ) | ( )|g x u x=
có ít nhất 9 điểm cực trị khi
()ux
có ít nhất 4 lần đổi đấu. Điều này xảy ra
khi và chỉ khi
25 0 2 25 2 { 24, ,1}m m m m− − − − −
.
Kết hợp với
m
nguyên, ta nhận
{ 24, ,1}m −
.
Câu 45: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
(3;0;5)M
và mặt cầu
2 2 2
( ):( 1) ( 2) ( 4) 81S x y z− + + + − =
. Xét
các điểm
,,A B C
di động trên
()S
sao cho
,,MA MB MC
đôi một vuông góc và gọi
E
là đỉnh đối diện
với đỉnh
M
của hình hộp chữ nhật có ba cạnh
,,MA MB MC
. Khoảng cách từ điểm
E
đến măt phẳng
()Oxy
có giá trị lơn nhất bằng
A. 21. B. 15. C. 17. D. 19.
Lời giải
Chọn D
Mặt cầu
()S
có tâm
(1; 2;4), 9IR−=
và
3; 9IM IA IB IC R− = = = −
.
Ta cần tìm quỹ tích điểm
E
.
Áp dụng tính chất hình hộp ta có
ME MA MB MC IE IM IA IM IB IM IC IM= + + − = − + − + −
2IE IM IA IB IC + = + +
.
( ) ( )
22
2IE IM IA IB IC + = + +
2 2 2
4 4 3 2( . )IM IE IM R IA IB IB IC IC IAIE + + = + + +
.
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
4 2 3
IE IM IE IM EM R IA IB AB IB IC BC
IC IA CA
+ + + − = + + − + +
−
−
++
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
3 6 2 9
1
2 3 2
3
IE IM EM R AB BC CA
IE IM R EM AB BC CA
+ − = − + +
+ = + − + +
Vì
2 2 2 2
ME MA MB MC=++
và
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 3AB BC CA MA MB MC IE IM R+ + = + + + =
nên
22
3 2 3.81 2.9 15IE R IM= − = − =
.
Câu 46: Cho hàm số bậc bốn
()fx
có đồ thị
()C
như hình vẽ:
Trang 247
Đường thẳng
: ( )d y g x=
là tiếp tuyến của
()C
tại điểm có hoành độ
3x =
. Số nghiệm thực phân
biệt của phương trình
( ) 4 ( )
( ) 4 ( )
f x g x
g x f x
−
=
−
là
A.
7
. B.
4
. C.
5
. D.
6
.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện:
( ) 0 { ,0,3, }
{ ,0,3, }
( ) 4 0 0
f x x a b
x a b
g x x
−
trong đó
,ab
là các hoành độ giao
điểm của (C) và trục hoành như hình vẽ:
Ðặt
( ) ( )
4
( ); ( )
4 ( ) 4 ( )
4
a b f x g x
ab
a f x b g x
a b f x g x
ba
==
−
= = =
= − = −
−
.
Đường thẳng
()y g x=
cắt
()C
tại ba điểm phân biệt trong đó hai điểm có hoành độ là
;3x c x==
.
Đường thẳng
4 ( )y g x=−
qua hai điểm
(0;0),( ;2)c
cắt
()C
tại bốn điểm phân biệt trong đó hai điểm
có hoành độ là
0;x x c==
.
Đối chiếu với điều kiện suy ra phương trình có tất cả
(3 4) 2 1 4+ − − =
nghiệm.
Câu 47: Xét hai số phức
12
,zz
thoả mãn
12
24zz−=
và
12
35zz+=
. Gọi
,Mm
lần lượt là giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 2 1 2
5 3 5P z z z z= − + +
, khi đó
22
Mm−
bằng
A.
325
. B.
125
. C.
247
. D.
100
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
1 2 1 2 1 2 1 2
2 ; 3 5 3 2 ; 5 2 ;| | 4;| | 5a z z b z z z z a b z z b a a b= − = + − = + + = − = =
.
Khi đó
|2 | | 2 |P a b b a= + + −
. Gọi
( ), ( ) | | | | 4;| | | | 5A a B b a OA b OB = = = =
và
22
22
| 2 | (2 ) 4 4
64 25 4 cos( , ) 89 80
a b OA OB OA OB OAOB
OA OB OA OB x
+ = + = + +
= + + = +
22
22
| 2 | ( 2 ) 4 4
64 25 40 cos( , ) 89 80
b a OA OB OA OB OAOB
A OB OA OB x
− = − + = + −
= + − = −
trong đó,
cos( , ) [ 1;1]x OA OB= −
.
Suy ra
( ) 89 80 89 80P g x x x= = + + −
Trang 248
[ 1;1]
[ 1;1]
max ( ) (0) 2 89; min ( ) ( 1) 16M g x g m g x g
−
−
= = = = = =
. Vậy
2 2 2 2
(2 89) 16 100Mm− = − =
.
Câu 48: Cho hình trụ có bán kính đáy và chiều cao cùng bằng
2a
và hai đường tròn đáy tâm
O
và
O
. Xét hai
điểm
,AB
lần lượt di động trên đường tròn tâm
O
và đường tròn đáy tâm
O
sao cho
AB
tạo với
OO
góc
( )
0 90
. Khi thể tích khối tứ diện
OAO B
đạt giá trị lớn nhất thì tan
bằng:
A.
2
. B.
1
2
. C.
2
3
. D.
1
3
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2r h a==
. Hạ đường sinh
AA
khi đó
( ) ( )
,,OO AA AB OO AB AA A AB
= = =
∥
.
Kẻ
( )
BH O A BH OAO
⊥ ⊥
. Ta có
( )
( )
2
1 1 1 2
,.
3 3 2 3
OAO B OAO
a
V S d B OAO OA OO BH BH
= = =
.
Do đó
max max
OAO B
V BH
. Ta có
2BH BO r a
= =
. Dấu bằng xảy ra khi
H O ABD
vuông cân tại
2 2 2B A B r a
= =
.
Khi đó trong tam giác vuông
A AB
có
22
tan 2
2
A B a
AA a
= = =
.
Gọi
H
,
K
theo thứ tự là hình chiếu của
E
và
I
trên mặt phẳng
()Oxy
thì
(1; 2;0)K −
và
( ,( )) ( ,( )) 4 15 19d E Oxy EH EK IK IE d I Oxy IE= + = + = + =
.
Dấu bằng xảy ra khi
(1; 2;0)HK−
và
,,E I K
thẳng hàng theo thứ tự.
Khi đó
15 15
(0;0; 4) (1; 2;19)
44
EI
EI IK IK E
IK
= = = − −
.
Câu 49: Có bao nhiêu số nguyên
[ 30;30]−a
sao cho ứng với mỗi
a
có không quá 5 số nguyên
x
thoả mãn
13 13
33
4 4 log (1 ) log ( 1)
− + −
+ + − + +
x x a
x x a
?
Trang 249
A. 23. B. 53. C. 22. D. 54.
Lời giải
Chọn D
TH1: Nếu
0 0; 0 =
x
a VP VT S
không chứa số nguyên nào nên thoả mãn (nhiều em sẽ
bỏ qua trường hợp này)
TH2: Nếu
0a
điều kiện của bất phương trình là
1
1
1
−
− −
− −
x
xa
xa
.
Bất phương trình tương đương với:
13 13
33
( ) 4 4 log (1 ) log ( 1) 0
− + −
= + − + + + +
x x a
g x x x a
.
Ta có
13 13
11
( ) 4 ln 4 4 ln 4
( 1)ln3 ( 1)ln3
− + −
= + − +
+ + +
x x a
gx
x x a
13 13
1
4 ln 4 4 ln4 0, 0, 1
ln3 ( 1)( 1)
− + −
= + − − −
+ + +
x x a
a
a x a
x x a
.
Bảng biến thiên:
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là
(
0
1;= − −
x
S a x
] chứa tối đa 5 số nguyên là số
0
88
33
; 1; 2; 3; 4 5 ( 5) 0
4 4 log ( 6) log 6 0 { 30, , 8}.
− − −
− − + − + − + − + − + − +
+ − − + + − −
a
a a a a a x a g a
aa
Vậy
{ 30, , 8,0, ,30} − − a
Câu 50: Cho hàm số
42
()= + +f x x bx c
sao cho hàm số
2
()
()
1
=
+
fx
gx
x
đạt cực trị tại điểm
1=−x
. Gọi
()=y h x
là hàm số bậc hai có đồ thị qua tất cả các điểm cực trị của đồ thị hàm số
()=y g x
. Diện tích
hình phẳng giới hạn bởi hai đường
()=y g x
và
()=y h x
bằng
A.
64
15
. B.
8
2
3
−
. C.
128
15
. D.
16
4
3
−
.
Lời giải
Chọn B
( )
( )
( )( ) ( )
( )
2 2 3 4 2
22
22
( ) 1 2 ( ) 1 4 2 2
()
11
+ − + + − + +
==
++
f x x x f x x x bx x x bx c
gx
xx
( )( )
( )
( )
( )
2 2 4 2
42
22
22
2 1 2
22
11
+ + − − −
+ + −
==
++
x x x b x bx c
x x x b c
xx
1 3 0 3 = − + − = − = −x b c b c
Suy ra
( ) ( )
2 4 2
1 ( ) 2 ( ) 2 2 3
+ − = + −x f x x f x x x x
( )
3
2
2
( ( )) ( ) 4 2
2
22
1
+
= = = = +
+
f x f x x bx
y x b
xx
x
bậc hai nên
2
()
( ) 2
2
= = +
fx
h x x b
x
.
Xét
( )
( )
2
42
22
2
1 ( ) 2 ( )
( ) ( ) 2 3
( ) ( ) 0 0 0 1
2 1 1
21
+ −
+−
= − = = = =
++
+
x f x x f x
f x f x x x
g x h x x
x x x
xx
Trang 250
42
11
2
11
2 3 8
| ( ) ( )| 2
13
−−
+−
= − = = −
+
xx
S g x h x dx dx
x
. Chọn đáp án B.
---------- HẾT ----------
Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.